Dr. Koncsos László egy. docens

Bevezetés – modell fogalmaBevezetés – modell fogalma

1. Példa – Newton bolygómozgási modellje1. Példa – Newton bolygómozgási modellje• egyik első modern modell – úttörő eredményegyik első modern modell – úttörő eredmény• két test problémakét test probléma

• kiterjedés nélküli testekkiterjedés nélküli testek• Nap + 1 bolygóNap + 1 bolygó

• Kepler törvényeinek „elegáns” leírásaKepler törvényeinek „elegáns” leírása

• több-test probléma – jóval bonyolultabb feladattöbb-test probléma – jóval bonyolultabb feladat

m1 m2

FF

r

221

rmm

fF

2. Példa – kémai reakció kevert reaktorban2. Példa – kémai reakció kevert reaktorban

Hűtővíz

Hűtővíz

Reagáló anyagok

Termék és melléktermékek

Törvények, hipotézisekTörvények, hipotézisek1.1. anyag- és energiamegmaradás trvanyag- és energiamegmaradás trv

2.2. Fourier hővezetési trv.Fourier hővezetési trv.

3.3. irreverzibilis reakcióirreverzibilis reakció

4.4. rendszerparaméterek állandóakrendszerparaméterek állandóak

5.5. tökéletes keverés – homogén tökéletes keverés – homogén részrendszerekrészrendszerek

……

n.n. a köpeny reagálása azonnalia köpeny reagálása azonnali


Több modell is készíthetőTöbb modell is készíthető• egyszerűsítésekegyszerűsítések• kezelhetőségkezelhetőség

3. Példa – 3. Példa – QUAL 2K QUAL 2K vízmin. modellvízmin. modell

dn

upipo

h

e

d

s

s

s

sodcf

re

se

se se

se

s

smi

s

Alk

s

X

hnano

nnn

cf

hcs

oxox

mo

ds

rod

rda

rna

rpaIN

IPa

p

r

s

u

e

o

cT

ocT

o

cT

o

cT

o

cT

dn

upipo

h

e

d

s

s

s

sodcf

re

se

se se

se

s

smi

s

Alk

s

X

hnano

nnn

cf

hcs

oxox

mo

ds

rod

rda

rna

rpaIN

IPa

p

r

s

u

e

o

cT

ocT ocT

o

cT

o

cT

o

cT

VariableVariable SymbolSymbol Units*Units*

Inorganic suspended solidsInorganic suspended solids mmiimgD/LmgD/L

Dissolved oxygenDissolved oxygen oo mgOmgO22/L/L

Slowly reacting CBODSlowly reacting CBOD ccss mgOmgO22/L/L

Fast reacting CBODFast reacting CBOD ccff mgOmgO22/L/L

Total inorganic carbonTotal inorganic carbon ccTT mole/Lmole/L


dn

upipo

h

e

d

s

s

s

sodcf

re

se

se se

se

s

smi

s

Alk

s

X

hnano

nnn

cf

hcs

oxox

mo

ds

rod

rda

rna

rpaIN

IPa

p

r

s

u

e

o

cT

ocT

o

cT

o

cT

o

cT

dn

upipo

h

e

d

s

s

s

sodcf

re

se

se se

se

s

smi

s

Alk

s

X

hnano

nnn

cf

hcs

oxox

mo

ds

rod

rda

rna

rpaIN

IPa

p

r

s

u

e

o

cT

ocT ocT

o

cT

o

cT

o

cT







Organic nitrogenOrganic nitrogen nnoo gN/LgN/L

Ammonia nitrogenAmmonia nitrogen nnaa gN/LgN/L

Nitrate nitrogenNitrate nitrogen nnnn gN/LgN/L

3. Példa – 3. Példa – QUAL 2K QUAL 2K vízmin. modellvízmin. modellBevezetés – modell fogalmaBevezetés – modell fogalma

dn

upipo

h

e

d

s

s

s

sodcf

re

se

se se

se

s

smi

s

Alk

s

X

hnano

nnn

cf

hcs

oxox

mo

ds

rod

rda

rna

rpaIN

IPa

p

r

s

u

e

o

cT

ocT

o

cT

o

cT

o

cT

dn

upipo

h

e

d

s

s

s

sodcf

re

se

se se

se

s

smi

s

Alk

s

X

hnano

nnn

cf

hcs

oxox

mo

ds

rod

rda

rna

rpaIN

IPa

p

r

s

u

e

o

cT

ocT ocT

o

cT

o

cT

o

cT







Organic nitrogenOrganic nitrogen nnoo gN/LgN/L

Ammonia nitrogenAmmonia nitrogen nnaa gN/LgN/L

Nitrate nitrogenNitrate nitrogen nnnn gN/LgN/L

Organic phosphorusOrganic phosphorus ppoo gP/LgP/L

Inorganic phosphorusInorganic phosphorus ppii gP/LgP/L

PhytoplanktonPhytoplankton aapp gA/LgA/L

Phytoplankton nitrogenPhytoplankton nitrogen ININppgN/LgN/L

Phytoplankton phosphorusPhytoplankton phosphorus IPIPpp gP/LgP/L

DetritusDetritus mmoomgD/LmgD/L

Bottom algae biomassBottom algae biomass aabb mgA/mmgA/m22

Bottom algae nitrogenBottom algae nitrogen ININbbmgN/mmgN/m22

Bottom algae phosphorusBottom algae phosphorus IPIPbb mgP/mmgP/m22

3. Példa – 3. Példa – QUAL 2K QUAL 2K vízmin. modellvízmin. modellBevezetés – modell fogalmaBevezetés – modell fogalma


ModellalkotásModellalkotás• szabadságfoka gyakran igen nagyszabadságfoka gyakran igen nagy• gátló tényezők, lehetőségek figyelembe vételegátló tényezők, lehetőségek figyelembe vétele• megfelelő stragtégia megválasztásamegfelelő stragtégia megválasztása

Modellek alkalmazásával célunkModellek alkalmazásával célunk• fizikai (biológiai,…) folyamatok előrejelzése, fizikai (biológiai,…) folyamatok előrejelzése,

rendszerváltozók jövőbeli alakulásának rendszerváltozók jövőbeli alakulásának meghatározásameghatározása

• további kísérletek, megfigyelések módosításatovábbi kísérletek, megfigyelések módosítása• fogalmaink fejlesztése megértésefogalmaink fejlesztése megértése

• tervezési céloktervezési célok


Modell – nehéz általánosan definiálniModell – nehéz általánosan definiálni

„„Egy matematikai modell matematikai egyenletek Egy matematikai modell matematikai egyenletek (struktúrák) tetszőleges teljes és konzisztens (struktúrák) tetszőleges teljes és konzisztens halmaza, amelyet arra terveztek, hogy más halmaza, amelyet arra terveztek, hogy más tulajdonságok összességét, azok prototípusát írja tulajdonságok összességét, azok prototípusát írja le. A prototípus lehet fizikai, biológiai, társadalmi, le. A prototípus lehet fizikai, biológiai, társadalmi, pszichológiai vagy konceptuális (vázlatos) pszichológiai vagy konceptuális (vázlatos) tulajdonság, vagy esetleg éppen egy másik tulajdonság, vagy esetleg éppen egy másik matematikai modell.matematikai modell.” [Aris, 1978]” [Aris, 1978]



„…„…Tehát a modellek jellemzően a valóság Tehát a modellek jellemzően a valóság egyszerűsített megfelelői, amelyek egyszerűsített megfelelői, amelyek alkalmasak a vizsgálatra. … alkalmasak a vizsgálatra. …

Ezért úgy definiálhatjuk a matematikai modellt, Ezért úgy definiálhatjuk a matematikai modellt, mint egy idealizált szabályrendszer, ami a mint egy idealizált szabályrendszer, ami a fizikai rendszer külső behatásra adott fizikai rendszer külső behatásra adott válaszát adja meg.”válaszát adja meg.” [Chapra, 1997] [Chapra, 1997]



„„A modellek a modern tudomány alapvető eszközei A modellek a modern tudomány alapvető eszközei közé tartoznak.” közé tartoznak.” [Frigg, Hartmann 2006][Frigg, Hartmann 2006]

örök igazság örök igazság kifejeződésekifejeződése

időleges, célszerű,időleges, célszerű,kényelmes megközelítéskényelmes megközelítés

túl egyszerű / túl bonyolulttúl egyszerű / túl bonyolult

hasznos / haszontalanhasznos / haszontalanigaz / hamisigaz / hamis

x

x

Fizikai kisminta kísérletekFizikai kisminta kísérletek

dn

upipo

h

e

d

s

s

s

sodcf

re

se

se se

se

s

smi

s

Alk

s

X

hnano

nnn

cf

hcs

oxox

mo

ds

rod

rda

rna

rpaIN

IPa

p

r

s

u

e

o

cT

ocT

o

cT

o

cT

o

cT

dn

upipo

h

e

d

s

s

s

sodcf

re

se

se se

se

s

smi

s

Alk

s

X

hnano

nnn

cf

hcs

oxox

mo

ds

rod

rda

rna

rpaIN

IPa

p

r

s

u

e

o

cT

ocT ocT

o

cT

o

cT

o

cT

Modellek elemeiModellek elemei

Változók (valós rendszer jellemzői)Változók (valós rendszer jellemzői)

Függvénykapcsolatok (kölcsönhatások)Függvénykapcsolatok (kölcsönhatások)

Paraméterek (ráták, együtthatók, állandók)Paraméterek (ráták, együtthatók, állandók)

Modellek besorolásaModellek besorolása……származtatás alapján:származtatás alapján:1.1. DeterminisztikusDeterminisztikus

• fizika (más tudományág) alaptörvényeire, igazolt fizika (más tudományág) alaptörvényeire, igazolt összefüggésere alapulösszefüggésere alapul

• ált. differenciál- és integrálegyenletek rendszereként írható leált. differenciál- és integrálegyenletek rendszereként írható le

EmpirikusEmpirikus• megfigyelések alapján felállított, de nem általános érvényű megfigyelések alapján felállított, de nem általános érvényű

(~empirikus) összefüggésekre alapul(~empirikus) összefüggésekre alapul• független megfigyelések segítségévelfüggetlen megfigyelések segítségével

2.2. SztochasztikusSztochasztikus• Valószínűség-elméleti törvényszerűségekre alapulValószínűség-elméleti törvényszerűségekre alapul

3.3. HibridHibrid• determinisztikus + empirikus elemek + sztochasztikusdeterminisztikus + empirikus elemek + sztochasztikus• biológiai, meteorológiai, … folyamatok leírása során hasznosbiológiai, meteorológiai, … folyamatok leírása során hasznos

Modellek besorolásaModellek besorolása

……időbeliség alapján:időbeliség alapján:

StatikusStatikusInputInput

OutputOutput

timetime

xxout,1out,1

timetime

xxout,1out,1

timetime

xxin,1in,1

timetime

xxin,2in,2

timetime

xxin,3in,3

DinamikusDinamikusInputInput

OutputOutput

timetime

xxout,1out,1

timetime

xxout,1out,1

timetime

xxin,1in,1

timetime

xxin,2in,2

timetime

xxin,3in,3

Modellek besorolásaModellek besorolása

… … paramparaméterek alapján:éterek alapján:

1.1. IdőbenIdőben• állandó paraméterűállandó paraméterű• változó paraméterűváltozó paraméterű

2.2. TérbenTérben• „„halmozott” (lumped), állandó paraméterűhalmozott” (lumped), állandó paraméterű• osztott paraméterűosztott paraméterű

Modellalkotás folyamataModellalkotás folyamata1.1. IdentifikációIdentifikáció

• alaptörvények, feltevések számbavételealaptörvények, feltevések számbavétele• elégséges részrendszer kiválasztásaelégséges részrendszer kiválasztása• matematikai realizáció (papír-ceruza / szoftver)matematikai realizáció (papír-ceruza / szoftver)

2.2. KalibrációKalibráció• modellállandók beállításamodellállandók beállítása• számítások és megfigyelések összevetésén alapulszámítások és megfigyelések összevetésén alapul

3.3. ValidációValidáció• kalibrált modell igazolásakalibrált modell igazolása• független megfigyelések segítségévelfüggetlen megfigyelések segítségével

4.4. ÉrzékenységvizsgálatÉrzékenységvizsgálat

Identifikáció – determinisztikusIdentifikáció – determinisztikusSzennyzőanyag szivárgási problémaSzennyzőanyag szivárgási probléma

Kérdés: Kérdés: xx((00)=)=h xh x(t)=?(t)=?

FeltételezésekFeltételezések• RR==áll.áll.• folyadékfolyadék==áll.áll.

• talaj homogén, talaj homogén,

befogadóképessége állandóbefogadóképessége állandó

• Rések rendszere állandóRések rendszere állandótalajtalajrésrés

d=2R

hh

t=0t=0

tt

x(t)

x(t)

Felírható modell:Felírható modell: kifolyási sebesség ~ folyadék szintkifolyási sebesség ~ folyadék szint

)()( 2 txRtV xkdt

dxR

dt

dV 2 x

R

k

dt

dx

2 t

πR

k2

hex(t)

Térfogat Térfogat tt időpontban időpontban Szivárgási modellSzivárgási modell

Identifikáció – sztochasztikusIdentifikáció – sztochasztikusGalton deszkaGalton deszka Milyen lesz a golyók eloszlása Milyen lesz a golyók eloszlása

a gyűjtőcellákban?a gyűjtőcellákban?

nn

n+1n+1

nnx xnxn

x

np

21

21

!!!

p=1/2p=1/2 p=1/2p=1/2

• azonos golyókazonos golyók• n sorn sor• n-1 ütközésn-1 ütközés• n+1 gyűjtőcellan+1 gyűjtőcella

A Moivre-Laplace tétel szerint:A Moivre-Laplace tétel szerint:(a normális eloszlással közelíthető) (a normális eloszlással közelíthető)

2

2

2

1lim

x

xn

ep

xx =0,1,2,…,n=0,1,2,…,n – – tartály indexetartály indexe

http://www.nanowerk.com/

Kalibráció – szivárgási problémaKalibráció – szivárgási probléma

talajtalajrésrés

d=2R

hh

t=0t=0

tt

x(t)

x(t)

tπR

k2

hex(t)

Levezetett szivárgási modellLevezetett szivárgási modell• input (ftlen)input (ftlen) tt

• output (függő)output (függő) x(t)x(t)

• paraméterekparaméterek k,k, h, R h, R

ModellparaméterModellparaméter

• matematikai modell közvetlenül nem mérhető paraméterematematikai modell közvetlenül nem mérhető paramétere• fizikai tartalommal, gyakran dimenzióval rendelkezikfizikai tartalommal, gyakran dimenzióval rendelkezik• meghatározása közvetett módon zajlikmeghatározása közvetett módon zajlik kalibrációkalibráció

Kalibrációs feladatKalibrációs feladat1.1. x(t)x(t) nn-szeri megfigyelése a -szeri megfigyelése a {{0;T0;T}} idő-intervallumban idő-intervallumban

xx=(x=(xmért,1mért,1,x,xmért,2mért,2,…….,x,…….,xmért,nmért,n) ) – mért idősor – mért idősor

2.2. x(t)x(t) s számítása a zámítása a {{0;T0;T}} idő-intervallumban, különböző idő-intervallumban, különböző kk értékekre értékekrexx(k)=(x(k)=(xsszámított,1zámított,1,x,xsszámított,2zámított,2,…….,x,…….,xsszámított,nzámított,n) ) – számított idősor – számított idősor

3.3. célfüggvény célfüggvény kk-tól függő minimuma?-tól függő minimuma?


tπR

k2

hex(t)

k=100k=100

k=0.01k=0.01

k=kk=koptopt

TT

hh

x [m]x [m]

00 t [s]t [s]

Mért értékekMért értékek

számítottmért )(,min kxxk

R

Kiértékelés: Kiértékelés: (k(k11)) > > (k(k22)) > … > > … > (k(knn)) kkoptopt=k=knn

• Modellparaméterek beállítása úgy, hogy a számított Modellparaméterek beállítása úgy, hogy a számított eredmények a legjobban közelítsék a valóságban eredmények a legjobban közelítsék a valóságban megfigyelt értékeketmegfigyelt értékeket

• manuális manuális • algoritmikusalgoritmikus

Távolság - hibaTávolság - hiba• absztrakt matematikai fogalomabsztrakt matematikai fogalom• jelentősége – célfüggvény felírásajelentősége – célfüggvény felírása• általános összefüggések:általános összefüggések:

• módosított alakú összefüggések:módosított alakú összefüggések:


b

a

pdxhghg p1 ),(

n

iii yx

n 1

21, yx

folytonos függvényrefolytonos függvényre diszkrét függvényrediszkrét függvényre

n

iii hg

nhg

1

21,

n

iiii yxx

n 1

21, yx

folytonos függvényrefolytonos függvényre

diszkretizáltdiszkretizáltsúlyozott hibafüggvénysúlyozott hibafüggvény

Validációs feladatValidációs feladat

• igazolni a modell és a kalibrált paraméter-vektor igazolni a modell és a kalibrált paraméter-vektor

megfelelő voltátmegfelelő voltát

• a kalibrált modell optimalizációs időszakon kívüli a kalibrált modell optimalizációs időszakon kívüli

egyeztetése a valósággalegyeztetése a valósággal

Validáció – szivárgási problémaValidáció – szivárgási probléma

tπR

k2

hex(t)

k=kk=koptopt

TT

hh

x [m]x [m]

00 t [s]t [s]

Mért értékekMért értékek

AGGREGÁLT MODELL

PROBLÉMA &

RENDSZER

MEGOLDÁS MEGOLDÁS

AG

GR

EG

ÁC

IÓ

DE

KO

MP

OZ

ÍCIÓ

DE

KO

MP

OZ

ÍCIÓ

MEGOLD

ÁS?

DEKOMPONÁLT RENDSZER

1980 2000

MódszertanMódszertan – – dekompozíció és aggregációdekompozíció és aggregáció

CC - KONCENTRÁCIÓ VEKTOR - KONCENTRÁCIÓ VEKTOR

HIDRODINAMIKAI EGYENLETEKHIDRODINAMIKAI EGYENLETEK

KEZDETI- ÉS PEREMFELTÉTELEKKEZDETI- ÉS PEREMFELTÉTELEK

)p,c(Rx

cD

x)c(v

xt

c

i

x

3

1ii

3

1ii

i

MódszertanMódszertan – – dekompozíció és aggregációdekompozíció és aggregációPPélda 1.élda 1.




)p,c(Rx

cD

x)c(v

xt

c

i

x

3

1ii

3

1ii

i


D(x,y)=f(v(x,y))

HelyszínrajzHelyszínrajz

2. Melegvíz-csatorna2. Melegvíz-csatorna

1. Hidegvíz-csatorna1. Hidegvíz-csatorna

3. Sarkantyú3. Sarkantyú

4. Keresztgát4. Keresztgát

5. Uszodi sziget5. Uszodi sziget

1.

2.

5.

3.

4.

Lagrange-i nyomjelzős kísérletek eredményeAz úszók észlelési helyei

137000

137200

137400

137600

137800

636400 636600 636800 637000 637200 637400

x irány [EOV koordináta]

Duna

északi sorozat

Part (sematikus)

1525+800 fkm

1525+600 fkm

1525+500 fkm

y ir

án

y [

EO

V k

oo

rdin

áta

]

Bevezetés

Sarkantyú

Keresztgát


137000

137200

137400

137600

137800

636400 636600 636800 637000 637200 637400


Duna

északi sorozat

középső sorozat

Part (sematikus)

1525+800 fkm

1525+600 fkm

1525+500 fkm

y ir

án

y [

EO

V k

oo

rdin

áta

]

Bevezetés

Sarkantyú

Keresztgát


137000

137200

137400

137600

137800

636400 636600 636800 637000 637200 637400


Duna

északi sorozat

középső sorozat

déli sorozat

Part (sematikus)

1525+800 fkm

1525+600 fkm

1525+500 fkm

y ir

án

y [

EO

V k

oo

rdin

áta

]

Bevezetés

Sarkantyú

Keresztgát

Keresztirányú diszperziós tényező a hossz menténSzelvényekre vonatkoztatott értékek

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1525+800 1525+600 1525+500

Szelvény [fkm]

Dis

zpe

rzió

s t

én

ye

ző [

m2 /s

]

Minden sorozat

Északi sorozat

Középső sorozat

Déli sorozat




)p,c(Rx

cD

x)c(v

xt

c

i

x

3

1ii

3

1ii

i


RR((CC, , PP) - REAKCIÓ TAG (félempírikus)) - REAKCIÓ TAG (félempírikus) PP - PARAMÉTER VEKTOR - PARAMÉTER VEKTOR

IDENTIFIKÁCIÓ SZÜKSÉGESIDENTIFIKÁCIÓ SZÜKSÉGES

HIPOTHIPOTÉZISEKÉZISEK KALIBRÁLÁS ÉS IGAZOLÁSKALIBRÁLÁS ÉS IGAZOLÁS ÉRZÉKENYSÉGI ÉRZÉKENYSÉGI ÉÉSBIZONYTALANSÁGISBIZONYTALANSÁGI

ELEMZÉSEKELEMZÉSEK


QUAL 2K QUAL 2K vízmin. modellvízmin. modellVariable Symbol Units*

Conductivity s mhos

Inorganic suspended solids mimgD/L

Dissolved oxygen o mgO2/L

Slowly reacting CBOD csmgO2/L

Fast reacting CBOD cfmgO2/L

Organic nitrogen nogN/L

Ammonia nitrogen nagN/L

Nitrate nitrogen nngN/L

Organic phosphorus pogP/L

Inorganic phosphorus pigP/L

Phytoplankton apgA/L

Phytoplankton nitrogen INpgN/L

Phytoplankton phosphorus IPpgP/L

Detritus momgD/L

Pathogen X cfu/100 mL

Alkalinity Alk mgCaCO3/L

Total inorganic carbon cTmole/L

Bottom algae biomass abmgA/m2

Bottom algae nitrogen INbmgN/m2

Bottom algae phosphorus IPbmgP/m2

QUAL 2K QUAL 2K vízmin. modellvízmin. modell

dn

upipo

h

e

d

s

s

s

sodcf

re

se

se se

se

s

smi

s

Alk

s

X

hnano

nnn

cf

hcs

oxox

mo

ds

rod

rda

rna

rpaIN

IPa

p

r

s

u

e

o

cT

ocT

o

cT

o

cT

o

cT

dn

upipo

h

e

d

s

s

s

sodcf

re

se

se se

se

s

smi

s

Alk

s

X

hnano

nnn

cf

hcs

oxox

mo

ds

rod

rda

rna

rpaIN

IPa

p

r

s

u

e

o

cT

ocT ocT

o

cT

o

cT

o

cT

2D Transzport2D Transzportmodellmodell

2D Hidrodinamikai2D Hidrodinamikaimodellmodell

MorfolMorfológiaiógiaimodellmodell

v(x,y)v(x,y)

T(x,y)T(x,y)

z(x,y)z(x,y)

DDyy

kkstst

PAKSPAKS

KomplexitásKomplexitás

KOMPLEXITÁS

ME

GB

ÍZH

AT

ÓS

ÁG

Költség növekedés

Elvárt megbízhatóság

Költség = k1 Költség = = k1 + k

Elméleti megalapozottságElméleti megalapozottság

y = 0.0000x6

- 0.0003x5

+ 0.0110x4

- 0.1791x3

+ 1.4243x2

- 3.7935x + 4.5644

R2 = 0.9978

y = 0.0000x6

- 0.0003x5

+ 0.0110x4

- 0.1791x3

+ 1.4243x2

- 3.7935x + 4.5644

R2 = 0.9978

y = 0.0000x6

- 0.0003x5

+ 0.0110x4

- 0.1791x3

+ 1.4243x2

- 3.7935x + 4.5644

R2 = 0.9978

Documents

Dr. Koncsos László egy. docens