Département Génie-Civilartoisgc.free.fr/wp-content/uploads/polycop_cours_etu.pdf · 2012. 12. 3. · Département Génie-Civil UNIVERSITE D'ARTOIS Introduction à la méthode des

Département Génie-Civil

UNIVERSITE D'ARTOIS

Introduction à la méthode des éléments finis

O. Carpentier

Master 1 GC

Master 1 GC Introduction à la MEF Université d’Artois

Table des matières

1 Analyse numérique pour la physique 2

2 Les équations différentielles 3

3 Les opérateurs différentiels 4

4 Familles d’équations différentielles 4

4.1 Equations différentielles Ordinaires (EDO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2 Equations aux dérivées partielles (EDP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5 Principe de discrétisation en espace et en temps 7

5.1 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6 Méthodes d’approximation 9

7 Forme intégrale du problème mathématique 9

7.1 Méthode des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7.2 Application à la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

8 Mise en place du problème numérique 11

8.1 Méthode de Galerkin - Fonctions d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8.2 Mise sous forme matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9 Résolution d’un problème en mécanique statique 14

9.1 Assemblage des sous-domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9.2 Introduction des conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9.3 Construction de la matrices de ridigité pour des éléments type barre . . . . . . . . . . . . . . 16

9.4 Construction de la matrices de ridigité pour des éléments type poutre . . . . . . . . . . . . . 17

9.5 Changement de repère - Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9.6 Calcul des réactions aux appuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

10 Optimisation 20

10.1 Les éléments isoparamètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

10.2 Aide à la résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

11 Travaux dirigés 23

11.1 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

11.2 Problème complet : Barre soumise à la traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

11.3 Dimensionnement d’une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

11.4 Géométrie à symétrie axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

11.5 Ecoulement dans un tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

11.6 Problème complet : Etude d’un portique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

11.7 Problème complet : Equation de Poisson 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

12 Références Bibliographiques 23

O. Carpentier 1


1 Analyse numérique pour la physique

L’analyse numérique d’un problème en physique associe des notions de mathématiques, de physique et

d’analyse numérique. On part d’un problème de physique comprenant des lois. Les hypothèses de modélisa-

tion conduisent à la construction d’un modèle mathématique représentant le problème physique. Souvent, le

problème mathématique ne présente pas de solution analytique simplement exprimable. On passe alors à sa

résolution par des méthodes numériques, généralement à base de discrétisations du problème mathématique.

La résolution numérique nous fournit des résultats qu’il faudra alors vérifier et interprêter. Cela peut conduire

à la construction de nouveaux modèles physiques ou mathématiques.

De façon plus concrète, Le cadre précis de l’étude est défini par les hypothèses simplificatrices qui per-

mettent de déterminer le modèle mathématique approprié. La difficulté pour l’ingénieur est de savoir choisir

parmi les lois de la physique, celles dont les équations traduiront avec la précision voulue la réalité du problème

physique. Un bon choix doit donner une réponse acceptable pour des efforts de mise en oeuvre non prohibitifs.

En résumé, les questions essentielles auxquelles l’ingénieur devra répondre, s’il veut effectuer une analyse

par un modèle numérique dans de bonnes conditions, sont les suivantes :

– quel modèle mathématique utiliser ?

– quel modèle numérique faut-il lui associer ?

– quelle est l’erreur d’approximation commise ?

– quelle est l’erreur numérique commise ?

– peut-on améliorer le modèle numérique ?

– faut-il changer le modèle mathématique ? etc.

Qu’est ce qu’un modèle ? La figure suivante (fig.1) illustre sur un exemple mécanique simple trois modéli-

sations envisageables. Chacune correspond à modèle mathématique différent mais quelle est la bonne ?

Le choix du modèle mathématique est un compromis entre le problème posé à l’ingénieur « quelles grandeurs

veut-on calculer et avec quelle précision ? » et les moyens disponibles pour y répondre. En fait, les équations

du modèle retenu sont soumises à un certain nombre d’hypothèses basées sur les sciences de l’ingénieur et il

faut connaître leur domaine de validité pour pouvoir vérifier que la solution obtenue est satisfaisante.

Si le modèle mathématique n’admet pas de solution analytique, il est alors nécessaire de chercher une solution

approchée de ce modèle. Dès lors, la discrétisation du problème correspond au choix d’un modèle numérique

permettant de traiter les équations mathématiques. Il est important de savoir distinguer et hiérarchiser les

différents niveaux d’hypothèse utilisés pour modéliser un phénomène physique. En effet, la solution exacte

d’un modèle mathématique qui ne correspond pas à la réalité physique est inutile.

O. Carpentier 2


Figure 1 – choix d’un modèle mathématique

2 Les équations différentielles

A la base de nos modèles physiques et numériques, nous avons des équations différentielles. Faisons quelques

rappels basiques sur ces notions avant de poursuivre plus en avant dans l’analyse numérique de modèles

physiques.

Une équation différentielle peut être définie comme une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues

et leurs dérivées. L’ordre d’une équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel

l’une des fonctions inconnues a été soumise.

Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes

physiques et biologiques, par exemple pour l’étude de la radioactivité ou la mécanique céleste. Par conséquent,

les équations différentielles représentent un vaste champ d’étude, aussi bien en mathématiques pures qu’en

mathématiques appliquées.

Les solutions des équations différentielles peuvent être très simples (polynômes, fonctions exponentielles,...)

ou très difficiles à exprimer (fonctions de Bessel, fonction d’erreur de Gauss,...), voire parfois impossible à

résoudre. Il est nécessaire de bien comprendre le sens physique des fonctions décrivant les phènomènes afin de

pouvoir, le cas échant, apporter des hypothèses simplificatrices qui vont nous aider à résoudre notre problème.

O. Carpentier 3


3 Les opérateurs différentiels

Un opérateur différentiel est une application linéaire agissant sur des fonctions différentiables.

– Lorsque la fonction est à une seule variable, l’opérateur différentiel est construit à partir des dérivées

ordinaires.

– Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l’opérateur différentiel est construit à partir des dérivées

partielles.

Dans la plupart des applications, on utilise 4 opérateurs différentiels. Soit f(x, y, z) une fonction de classe C2 :

Le gradient

Il représente le taux de variation de f .

−−−→grad(f) =

∂f

∂x~x+

∂f

∂y~y +

∂f

∂z~z (1)

La divergence

Elle représente la somme des variations élémentaires d’une quantité donnée.

div(f) =∂f

∂x+∂f

∂y+∂f

∂z(2)

Le rotationel

Il représente la capacité qu’à f à tourner autour d’un point :

−→rot(f) =

(

∂fz

∂y− ∂fy

∂z

)

~x+

(

∂fx

∂z− ∂fz

∂x

)

~y +

(

∂fx

∂y− ∂fy

∂z

)

~z (3)

Le Laplacien

Il mesure la différence entre la valeur de f en un point et sa valeur moyenne au voisinnage du point. Il permet

de voir les variations brusques.

(f) =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2(4)

4 Familles d’équations différentielles

4.1 Equations différentielles Ordinaires (EDO)

Définition

Une EDO est une équation faisant intervenir une fonction (inconnue) d’une seule variable (espace ou temps),

ainsi qu’une ou plusieurs dérivées de la fonction. Exemple :

dC

dt= −kDC (5)

C représente la concentration d’une substance dissoute, kD son taux de dégradation et t le temps. La

fonction inconnue C(t) est appelée la variable dépendante et t est appelée la variable indépendante.

Ordre d’une EDO

L’ordre d’une EDO est défini comme celui de la dérivée la plus élevée rencontrée dans l’équation. Exemple

d’équation du deuxième ordre :

O. Carpentier 4


d2C

dt2+ a(t)

dC

dt+ b(t) = 0 (6)

a et b sont des fonctions connues du temps.

Linéarité

Les EDO peuvent être linéaires, non-linéaires ou quasi-linéaires. Si l’EDO ne fait intervenir que des combi-

naisons linéaires des dérivées de la fonction inconnue, alors l’EDO est linéaire :

a0U + a1dU

dt+ ...+ an

dnU

dtn= b (7)

Les coefficients a0, a1, ..., an et b sont constants. U est la fonction inconnue à déterminer.

Une EDO est non-linéaire si une de ces dérivées intervient comme argument d’une fonction non-linéaire.

dU

dt+ aU(t)2 = P (t) (8)

Une fonction peut également être quasi-linéaire, c’est à dire que ses coefficients dépendent de U et/ou de t :

d2U

dt2+ a(t)

dU

dt+ b(t) = 0 (9)

Conditions initiales

Lorsqu’on calcule la solution générale d’une EDO, des coefficients apparaissent. Par exemple :

dC

dt= −kDC a pour solution C(t) = C0e−kt (10)

C0 est la valeur de C au temps t = 0. C’est la condition initiale, sans elle, on ne peut pas formuler de

solution unique à l’équation. Le nombre de conditions limites pour que la solution d’une EDO soit unique est

égal à l’ordre de l’EDO.

4.2 Equations aux dérivées partielles (EDP)

Définition

C’est une équation différentielle qui fait intervenir plusieurs variables indépendantes, ainsi que les dérivées

partielles de la variable dépendante par rapport aux variables indépendantes. Exemple :

∂C

∂t+ u

∂C

∂x= 0 (11)

C’est une EDP. C est fonction de x et t. u pourrait également être fonction de x et t également. Un outil

mathématiques classique pour résoudre ce type d’équation est l’utilisation des transformées de Laplace.

Ordre d’une EDP et linéarité

Il est égal à l’ordre le plus élevé parmis toutes les dérivées partielles de l’EDP. La propriété linéaire ou non

d’une EDP est identique à la définition donnée pour les EDO.

Conditions initiales, conditions limites

Contrairement aux EDO, les conditions initiales ne suffisent pas à assurer l’unicité de la solution. Il faut égale-

ment fournir des conditions aux limites. Parfois même, seules les conditions aux limites sont nécessaires, les

O. Carpentier 5


autres n’ayant pas de sens physique.

• Une condition initiale s’applique pour une valeur donnée et unique d’une variable indépendante. A partir

de la condition initiale, il est possible de déduire toute les autres valeurs de la variable indépendante.

• Une condition limite est appliquée en tout point de la frontière du domaine sur lequel on souhaite résoudre

les équations (et non en un point unique). La solution étant dépendante des points environnants, à partir

d’un point unique, il serait impossible de calculer la solution.

Classification des EDP

Dans de très nombreux domaines de la physique, on rencontre des EDP du second ordre. En prenant le cas le

plus courant des EDP linéaires et quasi-linéaires, une EDP peut s’écrire de manière très générale sous cette

forme :

A∂2U

∂η2+B

∂2U

∂η∂ξ+ C

∂2U

∂ξ2+D

∂U

∂η+ E

∂U

∂ξ+ F = 0 (12)

Dans cette EDP, A,B, ..., F sont des fonctions des variables indépendantes η et ξ (qui peuvent être des

variables spatiales, temporelles ou une combinaison des deux). Selon la valeur des coefficients A,B et C,

l’EDP est dite hyperbolique, parabolique ou elliptique.

– Si B2 − 4AC < 0, l’EDP est elliptique

– Si B2 − 4AC = 0, l’EDP est parabolique

– Si B2 − 4AC > 0, l’EDP est hyperbolique

EDP elliptique

C’est par exemple l’équation de la chaleur stationnaire en 1D :

a(T ) = 0 soit a

(

∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)

= 0 (13)

Avec a, la diffusivité thermique du milieu étudié.

B2 − 4AC = 0 − 4 × 1 × 1 = −4 < 0

L’équation est bien elliptique. Dans un "problème elliptique" la zone de dépendance et la zone d’influence

d’un point sont identiques, c’est à dire l’ensemble du domaine étudié. Le système ne dépend pas du temps, il

n’y a pas de condition initiale à définir car elle n’a pas de sens physique pour ce type d’équation.

EDP parabolique

On peut prendre cette fois ci le cas de l’équation de la chaleur en 1D :

∂T

∂t− a

∂2T

∂x2= Q (14)

Avec Q un terme de source de chaleur volumique (B2 − 4AC = 0 − 4 × 0 × 1 = 0). On peut imag-

iner ce système comme un ensemble de systèmes elliptiques à calculer à chaque pas de temps. Les systèmes

paraboliques sont dissipatifs. Il faut donc définir les conditions initiales et les conditions limites sur la frontière

du domaine pour pouvoir le résoudre.

EDP hyperboliques

Un modèle type hyperbolique à l’ordre 2 est par exemple l’équation qui régit les variations de pression dans

O. Carpentier 6


un fluide homogène en un point x à l’instant t (équation des ondes) :

∂2p

∂t2− u2 ∂

2p

∂x2= g (15)

p représente la pression, u la vitesse locale des ondes acoustiques (u ∈ R, u2 > 0) et g, le terme de source

(B2 −4AC = 0−(−4×1×1). Les systèmes hyperboliques sont dits conservatifs. Ils nécessitent une condition

initiale, en revanche il n’y a pas besoin de définir les conditions limites sur tout le domaine. Le système étant

conservatif, on peut juste définir les conditions limites à l’entrée du système.

Note

Si plus de deux variables sont indépendantes, comme par exemple avec l’équation de la chaleur instationnaire

en 2D, on peut appliquer la même méthode que précédemment en utilisant un changement de variable :

∂T

∂t− a

(

∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)

= 0 ;∂T

∂t7→ Z,

∂T

∂x7→ X,

∂T

∂y7→ Y (16)

L’équation précédente devient :

(

X√a

)2

+

(

Y 2

√a

)2

− Z = 0 (17)

On reconnait ici l’équation type d’un paraboloïde. Par extension, on classe alors l’équation transitoire de la

chaleur 2D puis 3D dans la famille des équations paraboliques. En appliquant la même démarche aux autres

équations, on retrouve les équations des ellipsoïdes et des hyperboloïdes.

5 Principe de discrétisation en espace et en temps

L’objectif du numéricien en physique et de bien comprendre les fondements des EDP qu’il utilise et de les

manipuler afin de pouvoir les utiliser dans le plus de cas possibles. Proposer une résolution d’une EDP qui est

strictement dépendante de la géométrie ou des conditions limites et qui demande une programmation adaptée

à chaque cas n’entre pas dans le principe d’optimisation du travail du physicien numéricien. En outre, pour

des cas très simples, il vaut mieux chercher une solution analytique précise plutôt qu’une solution numérique.

Les solutions numériques ont surtout été créées afin de palier aux besoins des ingénieurs en matière de

calcul mécanique (problèmes non-linéaires, dynamique des solides, mécanique des fluides,...). Pour autant, le

princpe même qui à conduit à la création de la méthodes des éléments finis remonte à beaucoup plus loin.

Déjà Liebniz en 1696 propose d’approcher une solution par des fonctions différentiables par morceaux.

L’idée directrice de nombreuses méthodes numériques, et pas seulement de la MEF, est de transformer

un problème continu complexe à résoudre en une somme de problèmes discrets (sous-problèmes) simples à

résoudre, mais dont la solution n’est généralement pas exprimée sous forme analytique. On rappelle que le

mot numérique signifie à l’origine : Quelque-chose qu’on peut quantifier. C’est dans sons sens premier et pas

uniquement dans le sens informatique du terme qu’il faut comprendre l’origine de la méthode.

O. Carpentier 7


5.1 Formule de Taylor

En analyse, le théorème de Taylor (1715) montre qu’une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d’un

point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées

de la fonction en ce point :

f(b) = f(a) +f ′(a)

1!(b− a) +

f (2)(a)

2!(b− a)2 + · · · +

f (n)(a)

n!(b− a)n +Rn(b) (18)

Note : Lorsque a tend vers 0, on obtient la formule de Mac-Laurin :

Le calcul de l’équation d’une droite nécessite deux points. Prenons le cas où b = x, et le point a et situé

à la distance dx du point b :

f(x+ dx) ≃ f(x) + f ′(x)dx soit f ′(x) =f(x+ dx) − f(x)

dx(19)

La démarche est analogue pour le cas des dérivées secondes. Dans ce cas on utilise le développement de

la formule de Taylor à l’ordre 2 :

f(b) ≃ f(a) +f ′(a)

1!(b − a) +

f (2)(a)

2!(b− a)2 (20)

Le but est de ne laisser aucune dérivée première à droite de la quasi-égalité conduisant à la définition de

la dérivée seconde. Pour cela on considère un point x. On regarde ce qui ce passe à une distance dx à gauche

de ce point (x− dx) et à droite de ce point (x+ dx).

f(x− dx) ≃ f(x) + f ′(x)dx + f”(x)dx2/2 et f(x+ dx) ≃ f(x) − f ′(x)dx + f”(x)dx2/2 (21)

En additionnant les deux équations :

f”(dx) =f(x− dx) − 2f(dx) + f(x+ dx)

dx2(22)

On en déduit donc que sans connaître explicitement la fonction f(x) (ou ses dérivées n-ième), on peut

approcher une dérivée première en connaissant la valeur numérique de f(x) en deux points proches et on

peut approcher une dérivée seconde en connaissant la valeur numérique de f(x) en trois points proches. La

démarche reste la même pour l’application à 2 et à 3 dimensions :

O. Carpentier 8


6 Méthodes d’approximation

Pour discrétiser les modèles complexes de phénomènes physiques, l’ingénieur dispose de méthodes d’ap-

proximation permettant de résoudre la plupart des problèmes pour lesquels il n’existe pas de solution formelle.

Toutes les méthodes d’approximation ont un même objectif, à savoir remplacer un problème mathématique

défini sur un milieu continu (équations différentielles ou intégrales) par un problème mathématique discret

(équations matricielles) de dimension finie que l’on sait résoudre numériquement.

Il est important de noter qu’un problème physique peut être formulé de façon équivalente en un système

d’équations différentielles ou sous une formulation variationnelle.

Méthodes des résidus pondérés (ou annulation de l’erreur) : elle utilise comme point de départ les

équations locales, équations différentielles définies sur l’intérieur du domaine, et les conditions aux limites du

problème définies sur la frontière du domaine ;

Méthodes variationnelles : le point de départ de ces méthodes est un principe variationnel qui est une

formulation mathématique du problème basée sur des considérations énergétiques. La formulation obtenue

dépend bien entendu des hypothèses de modélisation du problème physique.

7 Forme intégrale du problème mathématique

7.1 Méthode des résidus pondérés

Dans les annes 40, des ingénieurs (Hrennikoff, Mc Henry,...) posent les bases d’une méthode de résolution

des EDP par une approximation simple des variables inconnues.

En 1956, Turner introduit le concept d’élément fini représentant un milieu continu élastique par des "briques

géométriques élémentaires" dans lesquelles les déplacements sont supposés varier linéairement.

Dés 1960, une approche mathématique basée sur l’analyse fonctionnelle est établie. On reconnait alors la

méthodes des éléments finis comme outil général de résolution des EDP. La méthode est également reformulée

à partir des considérations énergétiques et variationnelles sous la forme générale des résidus pondérés.

Soit L et C des opérateurs différentiels caractérisant un système physique, u les fonctions inconnues (tem-

pératures, déplacements, réactions,...) et fΩ et fs les sollicitations (fonctions connues). Le comportement d’un

système continu s’écrit alors :

L(u) + fΩ = 0 sur le domaine Ω

C(u) = fs sur la frontière S de Ω(23)

On appelle résidu la quantité R(u) définie par :

R(u) = L(u) + fΩ (24)

Si u est solution du système alors R(u) = 0.

La passage sous la forme intégrale de l’équation précédente ne change rien à la validité de celle-ci. Pour, ce

passage sous forme intégrale va nous permettre d’introduire des outils mathématiques facilitant sa résolution.

W (u) =

∫

Ω

R(u) dV = 0 (25)

O. Carpentier 9


Soit ψ une fonction de pondération intégrable sur Ω, la méthode des résidus pondérés consiste à rechercher

les fonctions u qui annulent la forme intégrale :

W (u) =

∫

Ω

ψR(u) dV = 0 (26)

7.2 Application à la mécanique

Dans le cadre d’un problème de mécanique classique à résoudre, le système s’écrit de la manière suivante :

∀M ∈ Ω ρ~u− ~div(σ) = ~f équation locale

∀M ∈ Γu ~u = ~ud conditions aux limites en déplacement

∀M ∈ Γσ σ.~n = ~T conditions aux limites en force

(27)

La loi de comportement σ = f(ε) traduit le comportement physique du matériau. La relation ε = grad(~u)

relie les déplacements aux déformations (hypothèse des petites déformations). On peut donc exprimer le prob-

lème en reliant les déplacements aux forces externes.

Partons de l’équation locale :

ρ~u− ~div(σ) = ~f (28)

Mettons l’équation sous sa forme intégrale en utilisant la méthode des résidus pondérés :

∫

Ω

ψ[

ρ~u− ~div(σ) − f]

dV = 0 (29)

A partir de cette équation, il faut connaître deux égalités importantes afin de poursuivre le raisonnement :

Théorème de Green-Ostrogradsky

∫

Ω

div(A) dΩ =

∫

Γ

A dS

Propriétés de l’opérateur divergence

div(fA) = fdiv(A) + t−−−→grad(f).A

Soit l’équation suivante :

∫

Ω

ψρ~u dV −∫

Ω

~div(ψσ) dV +

∫

Ω

σ : t−−−→grad(ψ) dV −

∫

Ω

ψf dV = 0 (30)

En posant σ.~n = ~T sur la frontière d’application des forces externes :

∫

Ω

ψρ~u+ σ : t−−−→grad(ψ) dV =

∫

Γu

ψσ.~n dS +

∫

Γσ

ψ~T dS +

∫

Ω

ψf dV (31)

O. Carpentier 10


Dans la pratique, et afin de simplifier les calculs, les fonctions ψ (fonctions de pondération) sont prises

comme nulles sur la frontières Γu. Ceci implique :

∀M ∈ Γu , ψ(M) = 0 →∫

Γu

ψσ.~n dS = 0 (32)

Soit,

∫

Ω

ψρ~u+ σ : t−−−→grad(ψ) dV =

∫

Γσ

ψ~T dS +

∫

Ω

ψf dV (33)

Notre inconnue dans cette équation est le changement déplacement u(M). Si l’on connait la loi de com-

portement reliant les contraintes aux déformations, on peut exprimer l’équation précédent uniquement en

fonction de l’inconnue recherchée. Prenons le cas simple de la loi de Hooke σ = E : ε. On obtient l’équation

finale :

∫

Ω

ψρ~u+ E grad(u)t−−−→grad(ψ) dV =

∫

Γσ

ψ~T dS +

∫

Ω

ψf dV (34)

Cette équation amène la remarque suivante : La formulation variationnelle est équivalent au système

d’équations aux dérivées partielles (on résoud une seule équation au lieu de trois). Si nous parvenons à ré-

soudre l’équation intégrale, nous obtenons la solution exacte du problème.

8 Mise en place du problème numérique

La solution exacte du problème est généralement impossible à calculer. On cherche donc une solution

approchée. Celle-ci se présente sous la forme d’une combinaison linéaire de n fonctions, dites fonctions de

forme. La méthode consiste alors à affaiblir la forme intégrale précédente en ne la satisfaisant que pour n

fonctions de pondération. Cette solution sera d’autant meilleure que la base de fonctions utilisées sera riche,

c’est-à-dire permettant de bien représenter la solution cherchée.

Partons de l’équation (34), comment transformer cette formulation en un problème que l’on peut résoudre

numériquement ? Le principe est d’utiliser les fonctions d’interpolation pour s’aider. C’est le principe de la

méthode de Galerkin.

O. Carpentier 11


8.1 Méthode de Galerkin - Fonctions d’interpolation

ψ est la désignation générale des fonctions d’interpolation. Dans la méthode de Galerkin, on choisit comme

fonctions d’interpolation des polynômes sur un espace fini élémentaire afin d’approcher la solution analytique.

On note ces fonctions < N > dont la forme dépend :

– De la forme des éléments (sous-domaines Ωi)

– De ses noeuds géométriques

– De ses noeuds d’interpolation

Prenons un exemple :

u(x) = ex sin(3x) + e−x cos(6x)

x ∈]0; 2[

avec :

xi 0 0.084 0.338 0.797 1.666 2

ui 1.000 1.076 0.876 1.545 −5.236 −1.950

On choisit une interpolation par plusieurs polynômes du premier degrès : u(x) ≃∑

e αex+ βe , e étant le

nombre d’éléments :

u = a

O. Carpentier 12


Attention, u(x) 6= u car u(x) représente la fonction continue alors que u représente une forme discrétisée

de la fonction continue. Comme nous interpolons avec des polynômes du premier degrès :

 = < 1 x > et a =

β

α

Pour chaque sous-domaine Ωi, on a :

ui = αxi + β

ui+1 = αxi+1 + β

Mis sous forme matricielle, celà revient à chercher les α et β de la fonction d’interpolation :

[

1 xi

1 xi+1

]

β

α

=

ui

ui+1

[X ]a = u

a = [X ]−1u

Soit

u(x) = a = [X ]−1u =< N > u

Remarque : le nombre de fonctions d’interplation est égal au nombre d’éléments multipliés par le nombre

de points d’intégration par élément.

u(x) ≃e

∑

[

∑

i

N(e)i ui

]

Par exemple pour l’élément 1 :

u(x)x∈[x1;x2] ≃ N(1)1 u1 +N

(1)2 u2

[X ]−1 =

[

1 x1

1 x2

]−1

=1

detXt[X ]

′

[X ]−1 =1

x2 − x1

[

x2 −x1

−1 1

]

=

[

x2/D −x1/D

−1/D 1/D

]

D étant le déterminant de [X ].

< N (1) >=<(x2 − x)

D;

(x1 − x)

D>

Soit

u(x)x∈[x1;x2] ≃ (x2 − x)

Du1 +

(x1 − x)

Du2

O. Carpentier 13


Pour xt = (x1 + x2)/2 on trouve :

u(xt) ≃ 1.038 (valeur exacte : 1.0596)

8.2 Mise sous forme matricielle

u(x, y, z) est une fonction continue. Avec la méthode de Galerkin on remplace la fonction continue u(x, y, z)

par sa version discrétisée u(x, y, z) ≃ N(x, y, z)u. On pose :

−−−→gradu ≃

(

∂N

∂x~x+

∂N

∂y~y +

∂N

∂z~z

)

u (35)

B(x, y, z) =−−−→grad[N(x, y, z)] (36)

On reformule l’équation (34) :

∫

Ω

[N ]ρ[N ]~u dV +

∫

Ω

E.t[B][B]u dV =

∫

Γσ

[N ]T dS +

∫

Ω

[N ]f dV (37)

On en déduit l’équation matricielle suivante :

[M ]u + [K]u = f (38)

Avec :

[M ] =

∫

Ω

[N ]ρ[N ] dV ; [K] =

∫

Ω

t[B]E[B] dV ; f =

∫

Γσ

[N ]T dS +

∫

Ω

[N ]f dV (39)

9 Résolution d’un problème en mécanique statique

9.1 Assemblage des sous-domaines

Une structure discrétisée spatialement en sous domaines est composée d’éléments simples où l’on trouve

deux systèmes de numérotation :

– Numérotation globale des noeuds dans le domaine Ω

– Numérotation locale des noeuds dans chaque sous domaine élémentaire Ωe

O. Carpentier 14


La numérotation locale permet de résoudre le problème localement. Ensuite, il faut réintroduire les résultats

dans le calcul global.

Le vecteur déplacement de cet élément est donné par :

u11

u12

u13

u14

=

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

D’une manière plus générale :

– Pour un vecteur : V e = [Ae].V et V =∑

eV e– Pour une matrice : [M e] = [Ae]t[M e][Ae] et [M ] =

∑

e[M e]

9.2 Introduction des conditions limites

Les conditions limites sont les solutions connues du problème. En mécanique le système est simple, on

retire du système les conditions de blocage. Soit u1 et u3 des encastrements, et un élément du système suivant

à résoudre :

K11 K12 K13 K14 K15

K21 K22 K23 K24 K25

K31 K32 K33 K34 K35

K41 K42 K43 K44 K45

K51 K52 K53 K54 K55

u1

u2

u3

u4

u5

=

f1

f2

f3

f4

f5

→

K22 K24 K25

K42 K44 K45

K52 K54 K55

u2

u4

u5

=

f2

f4

f5

(40)

La mise sous forme matricielle complète est la dernière étape avant la résolution numérique. A chaque

élément correspondra une matrice de rigidité (plus une matrice d’inertie dans le cadre de la dynamique des

structures). La résolution complète passe par la sommation de toutes les matrices et vecteurs du système :

[K] =∑

e

[Ke] ; f =∑

e

fe (41)

[K]U = (f) ⇔ U = [K]−1(f) (42)

La résolution numérique peut se faire directement si le problème est bien posé (peu courant dans le cadre

de résolutions avec de nombreux éléments). Dans le cas contraire, il est nécessaire de recourir à des algorithmes

d’optimisation tels que le pré-conditionnement de matrice.

O. Carpentier 15


9.3 Construction de la matrices de ridigité pour des éléments type barre

Lorsque la géométrie d’une structure étudiée est complexe, on ne peut pas simplifier sa définition du

point de vue géométrique. Le principe est alors de discrétisé la structure avec des éléments simples (triangles,

quadrangles pour la 2D - polyèdres pour la 3D) :

Si en revanche la structure présente une géométrie constante (profile en I, section rectangulaire) et/ou une

direction privilégiée des contraintes (traction, symétrie axiale), certaines composantes du problème physique

peuvent être directement intégrées dans la matrice de rigidité [K]. Dans les calculs de RDM, on rencontre

souvent ce type de procédé pour le calcul des portiques ou des structures en treillis hyperstatiques :

Considérons un problème de mécanique statique (~u = 0), d’un milieu homogène isotrope élastique. Le

système à résoudre se pose de manière numérique sous la forme [K](u) = (f). La loi de Hooke nous donne

quant à elle la relation contrainte-déformation : σxx = E.εxx. Il faut faire apparaitre à partir de la loi de hooke

les forces f et les déplacements u.

L’intégration des contraintes sur la surface nous donne la loi de comportement intégrée suivante :

σxx = E.εxx ⇒ N = ES∂u(x)

∂x(43)

La matrice de rigidité est calculée à partir de l’équation précédente :

u(x) = [N(x)]u

B(x) = ∂N(x)∂x

(44)

Avec Ω = lb (lb étant la longueur de la barre), on pose donc la matrice de rigidité suivante :

[Kb] =

∫ lb

0

t[B].ES.[B] dx =ES

lb

[

1 −1

−1 1

]

(45)

O. Carpentier 16


9.4 Construction de la matrices de ridigité pour des éléments type poutre

Le principe est équivalent lorsqu’on cherche à exprimer la matrice de ridigité d’un élément barre soumis

aux efforts normaux, tranchants et de flexion. C’est souvent le cas des structures portique. L’élément poutre

bidimensionnel est obtenu par superposition de la traction, du cisaillement et de la flexion dans le plan principal

d’inertie de la section droite. La RDM nous donne comme torseur de cohésion pour ce système :

τcoh =

~R

~mG

=

Nx 0

Ty 0

0 Mz

avec∂Mz

∂x= −Ty (46)

Isolons pour l’instant le cas de la flexion simple plane, soit :

τfsp =

~R

~mG

=

0 0

Ty 0

0 Mz

(47)

La déformation en flexion s’écrit :

γ =Mz

EIz

;∂Mz

∂x= −Ty et γ =

∂2v

∂x2(Hyp. Petites déf.) (48)

Soit la loi de comportement intégrée suivante :

EIz

∂2v

∂x2= Mz ce qui nous donne : Ty = −EIz

∂3v

∂x3(49)

Approximation nodale

Pour chaque élément de longueur L, nous utilisons comme variables nodales, les déplacements nodaux des

extrémités, vi et vj , et les rotations θi et θj . Ceci nous conduit à chercher une approximation polynomiale

cubique de la forme v(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3

3 :

v(x) =[

1 x x2 x3]

a0

a1

a2

a3

(50)

O. Carpentier 17


Identifions les variables nodales avec l’expression de l’approximation du champ de déplacement. Nous

obtenons la relation matricielle suivante :

vi(x)

θi(x)

vj(x)

θj(x)

=

v(0)∂v(0)/∂x

v(L)∂v(L)/∂x

=

1 0 0 0

0 1 0 0

1 L L2 L3

0 1 2L 3L2

a0

a1

a2

a3

(51)

Calculons les fonctions d’interpolation : v(x) = N(x)v = [X ]−1 v :

[X ]1 =

1 0 0 0

0 1 0 0−3/L2 −2/L 3/L2 −1/L

2/L3 1/L2 −2/L3 1/L2

soit [N(x)] =

1 − 3x2

L2 + 2x3

L3

x− 2xL

+ x3

L2

3x2

L2 − 2x3

L3

− x2

L+ x3

L2

(52)

Matrice élémentaire

Le calcul des matrices élémentaire se fait à partir de l’expression de la déformation en flexion : γ = ∂2v(x)∂x2

Ce qui nous donne pour [B] = ∂2N(x)∂x2 :

[B(x)] =

12xL3 − 6

L2

6xL2 − 4

L

− 12xL3 + 6

L2

6xL2 − 2

L

(53)

Le calcul de la matrice de rigidité se fait par intégration sur l’élément de référence :

[Ke] =

∫ L

0

t[B].EIz .[B] dx =EIz

L3

12 6L −12 6L

6L 4L2 −6L 2L2

−12 −6L 12 −6L

6L 2L2 −6L 4L2

(54)

Matrice globale

Résoudre le système global implique de chercher à la fois dans le cas d’un problème plan :

– u(x, y) : déplacement horizontal

– v(x, y) : déplacement vertical

– θ(x, y) : rotation selon z

O. Carpentier 18


D’après ce que nous avons vu précédemment, il vient pour [Ke] :

[Ke] =E

L

S 0 0 −S 0 0

0 A B 0 −A B

0 B 4Iz 0 −B 2Iz

−S 0 0 S 0 0

0 −A −B 0 A −B0 B 2Iz 0 −B 4Iz

(55)

Avec :

A =12I

L2et B =

6I

L(56)

9.5 Changement de repère - Matrice de passage

Si la poutre fait un angle α avec l’axe ~Ox, on ne peut pas calculer directement la matrice de rigidité.

On note alors [R], la matrice de passage qui permet de passer d’un repère local au repère global. En notant

c = cos(α) et s = sin(α) :

[Re] =

c s 0 0 0 0

−s c 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 c s 0

0 0 0 −s c 0

0 0 0 0 0 1

(57)

La matrice de rigidité d’un élément s’écrit alors : [Ke] = t[Re][Ke][Re]

On note également : F e = [Re]F e et (u) = [Re](ue)

O. Carpentier 19


9.6 Calcul des réactions aux appuis

Dans le système [K](u) = (f), l’introduction des conditions aux limites permet de réduire le système. Par

exemple, dans un système tel que ci-dessous, le calcul suivant permet de déterminer les déplacements uj , vj

et θj .

uj

vj

θj

= [Kj ]−1

0

0

M

(58)

On pose comme conditions limites aux efforts Fxj = Fyj = 0 et Mzj = M , on peut expliciter les réac-

tions aux appuis :

Fxi

Fyi

θzi

Fxk

Fyk

θzk

= [Kik]

uj

vj

θj

(59)

10 Optimisation

10.1 Les éléments isoparamètriques

Il arrive fréquemment que le calcul des fonctions d’interpolation N dans le repère global soit lourd. Une

méthode très utilisée est de remplacer les fonctions d’interpolation classiques N par des fonctions d’interpo-

lation formant des éléments isoparamétriques (N).

O. Carpentier 20


Dans le cas du triangle de la figure précédente, l’expression de N est très simple

=< 1 ξ η > et [X ] =

1 ξ1 η1

1 ξ2 η2

1 ξ3 η3

=

1 0 0

1 1 0

1 0 1

(60)

Ce qui nous donne :

< N >= [X ]−1 =< 1 − ξ − η ; ξ ; η > (61)

On obtient alors les coordonnées (x, y) d’un point quelconque dans l’élément réel à partir des coordonnées

de référence par :

x(ξ, η) =∑npe

i Nix1 = (1 − ξ − η)x1 + ξx2 + ηx3

y(ξ, η) =∑npe

i Niy1 = (1 − ξ − η)y1 + ξy2 + ηy3

(62)

L’avantage de cette méthode est de ne pas avoir à construire les fonctions d’interpolation car elles sont

connues. Il faut alors construire une matrice de passage, la jacobienne de transformation J . En prenant l’ex-

emple précédent :

J =

[

∂x∂ξ

∂x∂η

∂y∂ξ

∂y∂η

]

=

[

x2 − x1 x3 − x1

y2 − y1 y3 − y1

]

avec JS = det(J) (63)

En injectant les matrices de passage dans la formulation intégrale, on obtient, par exemple pour le problème

en mécanique statique :

[K] =∫

Ω

−−−→grad(N).J−1.E.J−T .

−−−→grad(N).J dΩ

[F ] =∫

Ω[N ]f dΩ +

∫

Γσ

[N ]T.JS dS(64)

10.2 Aide à la résolution numérique

Préconditionnement de matrice

Nous remarquons que les matrices de rigidité ou de capacité définissant les systèmes à étudier sont carrées.

C’est à dire qu’on s’intéresse à des fonctions linéaires d’un espace dans lui-même ([A] ∈ Rnn). Le calcul du

déterminant de la matrice nous donne une information importante sur la possibilité ou non de résoudre le

problème. En fait si det(A) 6= 0 alors, le problème peut être résolu.

Si [A] est inversible alors on peut exprimer [A]−1. Avec || [A] || la norme de la matrice [A], on note :

κ(A) =|| [A] || . || [A]−1 || (65)

O. Carpentier 21


κ est le préconditionnement de la matrice [A]. Il exprime la sensibilité de la solution aux perturbations des

données. Plus κ est petit, meilleur le système de comportera lors de la résolution du problème. En fait, le point

le plus délicat se situe dans le processus d’inversion de la matrice [A]. Il existe des techniques, plus longues

mais plus robustes, permettant de calculer la solution du problème sans inverser [A]. La matrice [A] est alors

remplacée par plusieurs matrices aux propriétés spécifiques (diagonales, triangulaires, ...).

En supposant le système [A]X = (B), on peut également écrire : [M−1][A]X = [M ]−1(B)

[M ] représente la matrice de conditionnement. La résolution d’un tel système peut se faire en 2 étapes :

[A][M ]−1Y = (B) et X = [M ]−1Y (66)

Dans cette configuration, il n’est plus nécessaire d’inverser la matrice [A].

On pose généralement [A] = [D] − [E] − [F ]. Parmi les méthodes les plus employées on note :

• Jacobi : [M ] = [D]

• SOR : [M ] = [D] − ω[E], pour ω = 1 on obtient la méthode de Gauss-Seidel

• SSOR : [M ] = ([D] − ω[E])[D]−1([D] − ω[F ])

Décomposition de matrice

En plus du préconditionnement de matrice, on peut également modifier l’écriture de [A] afin de faciliter le

calcul des solutions.

Le principe est de découper la matrice [A] en deux matrices : [A] = [L][U ]

• [L] : matrice triangulaire inférieure

• [U ] : matrice triangulaire supérieure

Dans cette décomposition, les déterminants des matrices sont plus simples à calculer. Le problème est moins

gourmand en temps de calcul pour des tailles de matrices importantes.

Ceci est l’exemple de la décomposition LU mais il en existe bien d’autres...

O. Carpentier 22


11 Travaux dirigés

11.1 Assemblage

11.2 Problème complet : Barre soumise à la traction

11.3 Dimensionnement d’une colonne

11.4 Géométrie à symétrie axiale

11.5 Ecoulement dans un tube

11.6 Problème complet : Etude d’un portique

11.7 Problème complet : Equation de Poisson 1D

12 Références Bibliographiques

• V. Guinot, B. Cappelaere, Méthodes Numériques Appliquées (Résolution numérique des équations

différentielles de l’ingénieur), Polytech’Montpellier

• H. Oudin, Introduction à la méthode des éléments finis, Polytech’Nantes

• C. Jost, Modélisation en comportement et neurosciences : une introduction avec applications, Centre

de Recherches sur la Cognition Animale, Université Paul Sabatier, Toulouse

• A. Curnier, Méthodes Numériques en Mécanique du solide, PPUR (1993)

• J.M Bergheau, R. Fortunier, Simulation Numérique des Transferts Thermiques par éléments finis,

LAVOSIER (2004)

• G. Dhatt, G. Touzot, Une présentation de la méthode des éléments finis, MALOINE (1984)

• N. Kikuchi, Finite Elements In Mechanics, CAMBRIGDE UNIVERSITY PRESS (1986)

• C. Vanhille, A. Lavie, C. Campos-Pozuelo, Modélisation numérique en mécanique : Introduction et

mise en pratique, HERMES (2007)

O. Carpentier 23

Documents

Département Génie-Civilartoisgc.free.fr/wp-content/uploads/polycop_cours_etu.pdf · 2012. 12. 3. · Département Génie-Civil UNIVERSITE D'ARTOIS Introduction à la méthode des