SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE

STAVEBNÁ FAKULTA

Doc. Ing. Juraj Veselský, PhD.

Doc. RNDr. Jozefa Lukovičová, PhD.

FYZIKA

Mechanika, pružnosť a pevnosť, hydromechanika

2007

© Doc. Ing. Juraj Veselský, PhD., Doc. RNDr. Jozefa Lukovičová, PhD.

Lektori: Prof. RNDr. Jozef Zámečník, PhD.

Doc. Ing. Peter Dieška, CSc.

PREDHOVOR

Skriptá sú určené ako učebná pomôcka najmä pre študentov bakalárskeho stupňa štúdia

všetkých študijných programov vyučovaných na Stavebnej fakulte STU, ale iste budú osožné

aj pre iných záujemcov, ktorí sa chcú oboznámiť s problematikou v nich predkladanou.

Súčasná doba je charakterizovaná nástupom mnohých nových techník a technológií, ktoré

zasahujú prakticky do každého technického odvetvia. Domnievame sa, že každý absolvent

vysokoškolského technického štúdia by mal byť nielen ich užívateľom, ale mal by aspoň

v základe chápať ich podstatu. Tomuto cieľu je podriadená aj výučba fyziky na technických

univerzitách. Nie je jej úlohou, napr. z budúcich stavbárov bakalárov či inžinierov, vychovať

erudovaných fyzikov, ale jej úlohou je naučiť ich fyzikálne rozmýšľať. Nie je možné

predstaviť si úspešného technika bez toho, že by mu absentovalo fyzikálne myslenie. Aj tieto

predkladané skriptá majú pomôcť rozvíjať fyzikálne myslenie. Ich obsahom sú kapitoly

z mechaniky hmotného bodu, mechaniky sústavy hmotných bodov a telesa, pružnosti a

pevnosti a hydromechaniky.

Skriptá nadväzujú svojim obsahom na poznatky získané zo štúdia fyziky na gymnáziách.

Sú však prístupné i pre absolventov priemysloviek či odborných učilíšť s maturitou.

V podstate sa začína s výučbou od úplne základných fyzikálnych pojmov a poznatkov. Je však

nutné poznať základy diferenciálneho a integrálneho počtu. Jednotlivé kapitoly sú

koncipované tak, aby vytvárali jednotný, logicky previazaný celok. Teoretické poznatky v

jednotlivých kapitolách dopĺňajú riešené príklady, ktoré majú za úlohu ukázať aplikáciu teórie

na riešenie konkrétneho problému. Na záver každej kapitoly je zaradený súhrn

najdôležitejších poznatkov a vzťahov z príslušnej kapitoly. Dá sa povedať, že je to kapitola v

„skratke“. Sú to minimálne poznatky, ktoré by mal študent ovládať, aby úspešne vykonal

skúšku. Niektoré podkapitoly zasahujú aj hlbšie do preberanej problematiky, čo môže

uspokojiť vnímavejšieho študenta. Literatúra uvedená v závere skrípt predstavuje nielen

literatúru, z ktorej bolo čerpané pri zostavovaní skrípt, ale aj literatúru odporúčanú na hlbšie

štúdium.

Záverom nám dovoľte vysloviť presvedčenie, že tieto skriptá splnia svoj účel a nielenže

uľahčia prípravu na skúšku z predmetu Fyzika, ale vedomosti z nich získané pomôžu lepšie

chápať problematiku preberanú v odborných technických predmetoch.

Bratislava, október 2006 Juraj Veselský

Jozefa Lukovičová

OBSAH

PREDHOVOR 3

1 ÚVOD 5

1.1 Čo je fyzika? Čím sa zaoberá? 5

1.2 Stručne o fyzikálnom obraze sveta 6

1.3 Vzťah fyziky k iným vedám 8

1.4 Základy vektorovej algebry 10 1.4.1 Súčet a rozdiel vektorov 10 1.4.2 Rozklad vektora na zložky. Veľkosť vektora 11 1.4.3 Násobenie vektora skalárom 12 1.4.4 Skalárny súčin dvoch vektorov 13 1.4.5 Vektorový súčin dvoch vektorov 15 1.4.6 Zmiešaný súčin 16

1.4.7 Dvojnásobný vektorový súčin 17

Súhrn 55

2 POHYB HMOTNÉHO BODU 18

2.1 Úvod 18

2.2 Základné veličiny charakterizujúce pohyb 19

2.3 Klasifikácia pohybov 21

2.4 Priamočiary pohyb 23 2.4.1 Rovnomerný priamočiary pohyb 23 2.4.2 Nerovnomerný priamočiary pohyb 24

2.5 Príklad krivočiareho pohybu – pohyb po kružnici 28

2.5.1 Základné charakteristiky 28 2.5.2 Rýchlosť a zrýchlenie pri pohybe hmotného bodu po kružnici 30

2.6 Zložený pohyb 33

2.7 Newtonove pohybové zákony 37

2.8 Pohyb hmotného bodu v neinerciálnej súradnicovej sústave 40

2.9 Hybnosť, impulz sily, zákon zachovania hybnosti 41

2.10 Energia, práca, výkon, účinnosť 43

2.11 Kinetická a potenciálna energia 45

2.12 Gravitačné pole 46

2.12.1 Úvod 46 2.12.2 Newtonov gravitačný zákon 47 2.12.3 Intenzita gravitačného poľa 51

2.12.4 Gravitačná potenciálna energia. Gravitačný potenciál 53

2.12.5 Gravitačné pole Zeme 56

2.13 Zákon zachovania mechanickej energie 58

Súhrn 61

3 POHYB SÚSTAVY HMOTNÝCH BODOV

A DOKONA-LE TUHÉHO TELESA 68 3.1 Úvod 68

3.2 Kinematika sústavy hmotných bodov a telesa 68

3.3 Hmotný stred sústavy hmotných bodov (ťažisko) 70

3.4 I. pohybová rovnica sústavy hmotných bodov.

Veta o pohybe hmotného stredu 73

3.5 Moment sily. Moment hybnosti 75

3.6 II. pohybová rovnica sústavy hmotných bodov 77

3.7 Dokonale tuhé teleso. Skladanie síl v tuhom telese 79

3.8 Hmotný stred telesa. Pohybové rovnice tuhého telesa 81

3.9 Zákon zachovania hybnosti a zákon zachovania

momentu hybnosti telesa 83

3.10 Podmienky rovnováhy tuhého telesa 85

3.11 Pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi 89

3.12 Moment zotrvačnosti. Steinerova veta 90

3.13 Kinetická energia rotujúceho telesa. Zotrvačník 97

3.14 Kyvadlový pohyb 103 3.14.1 Matematické kyvadlo 103 3.14.2 Fyzikálne kyvadlo 104 3.14.3 Torzné kyvadlo 108

Súhrn 109

4 PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ 118

4.1 Úvod 118

4.2 Charakteristika tuhých látok 118

4.2.1 Rozdelenie tuhých látok 118

4.2.2 Väzbové sily, väzbová energia 123

4.2.3 Hustota kryštálu a medziatómové vzdialenosti 126

4.2.4 Poruchy kryštálovej štruktúry 129

4.3 Mechanické vlastnosti inžinierskych materiálov 131

4.4 Deformácia v ťahu a tlaku. Hookov zákon 132

4.5 Homogénna deformácia stlačením 136

4.6 Deformácia v šmyku. Hookov zákon pre šmyk 139

4.7 Súvis medzi modulom pružnosti v ťahu E a modulom

pružnosti v šmyku G 141

4.8 Ohyb laty 144

4.9 Krútenie a jeho súvis so šmykom 147

4.10 Zovšeobecnený Hookov zákon 149

4.11 Potenciálna energia pružnej deformácie 151

Súhrn 152

5 MECHANIKA IDEÁLNYCH TEKUTÍN 158 5.1 Úvod 158

5.2 Hydrostatika 159

5.3 Hydrodynamika 168

5.4 Dynamické účinky prúdiacej kvapaliny 175

5.5 Reálna kvapalina – základné poznatky 176

5.6 Povrchové javy 180

Súhrn 185

LITERATÚRA 189

1 ÚVOD

1.1 Čo je fyzika? Čím sa zaoberá?

Pôvodne bola fyzika jedinou vedou o prírode (grécke slovo fysis značí príroda). Dnes je

vied o prírode mnoho, napr. chémia, biológia, geológia, astronómia atď. Čo teda skúma

fyzika? Na túto otázku odpovedať je veľmi ťažké. Ako uvidíme neskôr, odpovede na naj-

jednoduchšie otázky bývajú mnoho raz ťažké: Napr. Čo je to čas? Čo je to elektrický náboj?

...

Pokúsime sa však predsa odpovedať na túto otázku. V literatúre (H. Lindner) som našiel

túto definíciu: „Základná úloha fyziky spočíva v tom, aby hľadala a objavovala spojitosti

medzi procesmi a javmi v prírode a aby zjednotila všetky zákonitosti prírody do úplného

a vnútorne uzavretého systému.“

Rozviňme poslednú definíciu ďalej. Sú namieste prirodzené otázky: Ako, akým

spôsobom opisuje fyzika javy a ich súvislosti? Ako ich overuje? Aké prostriedky pritom

používa?

Fyzika využíva ako pracovný materiál len fakty potvrdené systematickým pozorovaním

a pokusmi. Najvyššou a jedinou inštanciou, kritériom „vedeckej pravdy“, ktorá vynáša výroky

o pravdivosti alebo chybnosti fyzikálnej teórie (skôr hypotézy) je experiment. Popri všetkej

dokonalosti a hĺbke fyzikálnych teórií je fyzika v svojej podstate experimentálnou vedou.

Teda, ako sme už uviedli, fyzikálne javy sa skúmajú dvoma spôsobmi: teoreticky

a experimentálne. V prvom prípade (teoretická fyzika) sa odvodzujú nové vzťahy a poskytujú

predpovede využívaním matematiky a používaním už známych fyzikálnych zákonov. V tomto

prípade sú hlavné pracovné prostriedky pero, papier a počítač. V druhom prípade

(experimentálna fyzika) sa získavajú nové poznatky a súvislosti medzi fyzikálnymi veličinami

a javmi pomocou fyzikálnych meraní. V tomto prípade sú pracovné prostriedky rôzne, od

najjednoduchších prístrojov až po veľmi zložité, veľmi drahé, stojace miliardy korún,

zariadenia a projekty. Obe tieto oblasti fyziky však nemožno chápať ako izolované –

vzájomne sa podmieňujú a ovplyvňujú. I keď vo fyzike sú rozhodujúce myšlienky –

predstavivosť z pozorovaných javov vytvárať zovšeobecnenia, obraz o tom ako daný jav

prebieha, čo ho spôsobuje, ako súvisí s iným javom, teda kvalitatívne predstavy – je nutné,

kvôli porovnaniu týchto predstáv s výsledkami experimentov, vyjadriť ich aj v kvantitatívnej

forme, vo forme matematických vzťahov. Kvantitatívny súhlas predpovedí teórie

s experimentom je najkrajšie overenie teórie. Je zrejmé, že kvantitatívne opísanie fyzikálneho

sveta nie je možné uskutočniť bez matematiky (preto sa možno fyzika zdá byť ťažká).

Matematika nielenže poskytuje spôsoby riešenia fyzikálnych rovníc, no vytvára aj metódy

opísania odpovedajúce charakteru fyzikálneho problému.

Ak niektorá oblasť fyziky dosiahne taký stupeň rozvoja, že všetky jej výsledky bude

možné odvodiť z niekoľkých presne experimentálne stanovených poznatkov, vtedy táto oblasť

prestane byť časťou rozvíjajúcej sa fyziky a prejde do oblasti aplikovanej matematiky alebo

techniky. To sa stalo napríklad s klasickou i relativistickou mechanikou (preto samostatný

predmet „Mechanika“), ale i s klasickým elektromagnetizmom (Fakulta elektrotechniky

a informatiky).

6

Je tu ešte jedna otázka: Ako vyučovať fyziku? Už sme spomínali, že na opis fyzikálnych

javov nepostačí iba kvalitatívny opis, je nutný aj kvantitatívny opis. V základe každej práce vo

fyzike (aj technike) stojí predovšetkým presné určenie veličín, ktorých charakter bol určený už

skôr. Základná vlastnosť ľubovoľnej fyzikálnej veličiny spočíva v tom, že ju možno vyjadriť

pomocou čísla (jej hodnoty) a jednotky a vykonávať s ňou určené matematické operácie. Nie

je teda možné vyučovať fyziku bez príslušných matematických znalostí. Na univerzite sa

predpokladá znalosť vyššej matematiky, aspoň na úrovni znalostí základov diferenciálneho

a integrálneho počtu. Okrem tejto požiadavky je tu didaktický problém: Čomu máme dať

prednosť? Máme začať výučbu so správnejšími, ale veľmi obtiažnymi (z hľadiska chápania

i matematiky) zákonmi ako je napr. teória relativity so svojim štvorrozmerným

priestoročasom, či zákony kvantovej mechaniky a pod. a z nich potom odvodzovať jednotlivé

jednoduchšie zákony a javy alebo máme najskôr vysvetľovať jednoduchšie, i keď približné

zákony, ktoré si nevyžadujú náročné predstavy? Druhý spôsob je ľahší – postupujeme od

známeho k neznámemu, od jednoduchšieho k zložitejšiemu. Podľa našej mienky je tento

spôsob vhodnejší a pri výučbe fyziky ako základu chápania technických disciplín vo väčšine

prípadov dostačujúci. Vždy však je vhodné zaujímať sa do akej miery je presné to, čo teraz

poznáme, ako to súvisí s ostatným a aký to môže mať dopad, keď bude naše poznanie

pokročilejšie. Pritom, všetkom si treba uvedomovať, že naše predstavy na svet nie sú uzavreté

a môžu sa v dôsledku nových poznatkov neustále vyvíjať.

1.2 Stručne o fyzikálnom obraze sveta

Známy americký fyzik R. Feynman, nositeľ Nobelovej ceny, vyslovil v svojom i u nás

známom kurze fyziky toto tvrdenie: „Ak by sa v nejakej kataklyzme zničili všetky vedecké

poznatky a ďalším generáciám by mala zostať jediná veta obsahujúca najbohatšiu informáciu

zostavenú z najmenšieho počtu slov, som presvedčený, že je to atómová hypotéza (alebo

atómový fakt), totiž, že všetky veci sa skladajú z atómov – malých častíc, ktoré sa neprestajne

pohybujú, ktoré sa vzájomne priťahujú, keď sú od seba neveľmi vzdialené, ale ktoré sa

odpudzujú, keď sú tesne pri sebe.“

Myslíme si, že v dnešnej dobe už väčšinu ľudí netreba presviedčať, že látka sa skladá

z častíc, medzi ktorými pôsobia sily (sila – vzájomné pôsobenie, interakcia objektov), ktoré

majú isté vlastnosti. Poznáme štyri základné (fundamentálne) interakcie pôsobiace v našom

svete. Sú to:

1) Gravitačná sila – pôsobiaca bez výnimky medzi všetkými časticami a majúca

charakter priťahovania.

2) Elektromagnetická sila. Elektrická sila pôsobí medzi elektricky nabitými časticami

a môže byť príťažlivá alebo odpudivá v závislosti od znamienok elektrických nábojov častíc.

S elektrickou silou je nerozlučne spätá magnetická sila, ktorá vzniká pri pohybe elektricky

nabitej častice. Obe tieto sily sú zjednotené pod spoločným názvom elektromagnetická sila.

3) Silná alebo jadrová sila – pôsobiaca medzi jadrovými časticami (protónmi

a neutrónmi). Nezávisí od elektrických nábojov častíc.

4) Slabá sila – uplatňujúca sa medzi časticami pri radioaktívnom rozpade. Tiež nezávisí

od elektrického náboja častíc.

Tieto štyri sily sa rozlišujú tiež podľa charakteru závislosti ich intenzity od vzdialenosti

medzi interagujúcimi časticami: Gravitačná a elektrická sila klesá so vzdialenosťou pomerne

pomaly – s druhou mocninou vzdialenosti. Naproti tomu silná sila klesá podstatne rýchlejšie,

jej polomer pôsobenia je len okolo m 10 15 (pri väčších vzdialenostiach táto interakcia sa

7

stáva veľmi rýchle zanedbateľnou). Slabá sila sa javí v tomto zmysle tiež krátkodosahová.

Predpokladá sa, že jej polomer pôsobenia je značne menší než pri silnej sile.

Opísané rozdiely v polomere pôsobenia a intenzity síl možno ilustrovať, ak budeme

sledovať závislosť silového pôsobenia medzi dvoma atómami vodíka od ich vzájomnej

vzdialenosti. Použijeme zjednodušenú predstavu, že atóm vodíka sa skladá z protónu, okolo

ktorého obieha vo vzdialenosti rádu m 10 10 elektrón. Za vzdialenosť medzi atómami

zoberieme vzdialenosť medzi stredmi protónov: Pri vzdialenostiach rádovo m 10 15 , t. j.

vzdialenostiach približne rovných maximálnemu polomeru pôsobenia jadrovej sily, jadrová

sila viac ako 100-násobne prevyšuje elektromagnetickú silu. Pri tejto vzdialenosti je

gravitačná a slabá sila zanedbateľná. Silná sila je rovná elektromagnetickej vo vzdialenosti

m, 10.6,5 15 pričom pri tomto výpočte bol zanedbaný vplyv elektrónov – uvažovalo sa len

pôsobenie protónov. Pri vzdialenostiach medzi protónmi rádovo m, 10 10 charakteristických

pre rozmery atómov a ich vzdialenosti v rámci molekúl, elektromagnetická sila sa stáva

dominujúcou.

Gravitačné sily hrajú rozhodujúcu úlohu pri veľkých rozmeroch (samozrejme pri

predpoklade elektrickej neutrálnosti objektov). Gravitácia drží pokope základné štruktúry

vesmíru galaxie, hviezdy a planéty. My sami sme nerozlučne spojení s našou planétou

gravitačnou silou, pretože i my i Zem sme elektricky neutrálni.

Zdá sa, že medzi vymenovanými štyrmi druhmi síl nachádzame ohromné rozdiely. Predsa

však fyzici hľadajú cesty ako zjednotiť všetky tieto sily na spoločnom základe. Takej teórii,

ktorá by zjednotila všetky základné interakcie sa hovorí finálna teória alebo teória všetkého.

Je snom fyzikov. Zdá sa, že ak takáto jednota interakcií existuje, potom sa uplatnila v prvých

okamihoch vzniku vesmíru.

Zaujímavá odpoveď je na otázku, prečo existujú práve tieto štyri druhy síl? Z pozície

antropocentrizmu je jasné, že je nám „potrebná“ gravitačná sila vytvárajúca galaxie, udržujúca

planéty na obežných dráhach okolo Slnka a nás na povrchu Zeme. Z hľadiska našej existencie

je taktiež potrebná elektrická sila. Táto udržuje elektróny v atómoch a spája atómy

v molekulách, z ktorých sa skladáme zas my. Silnú (jadrovú) silu potrebujeme tiež, pretože

viaže protóny a neutróny a tak vytvára rôzne atómové jadrá a teda rôzne chemické prvky.

Slabá sila je tiež veľmi potrebná, lebo podmieňuje proces „horenia“ hviezd, pri ktorom

vznikajú rôzne chemické prvky, ktoré, ako sme už spomínali, vytvárajú molekuly, tie zas

bunky a tie zas živé organizmy. Ak sa dva protóny nachádzajúce sa v hviezde zrazia, niekedy

sa jeden z protónov, vďaka slabej sile, zmení na neutrón, emitujúc pritom kladný pozitrón

(antičastica elektrónu) a neutríno. Neutrón a druhý protón sa zlúčia a vytvoria tak deuterón –

jadro ťažkého vodíka. Hneď za tým, jadrové reakcie (podmienené silnými

a elektromagnetickými interakciami) vytvoria -časticu – jadro hélia. Pritom sa uvoľňuje

obrovské množstvo energie – energia Slnka je v podstate určená týmto procesom. Teda

z hľadiska našej existencie je potrebné, aby vyššie vymenované štyri sily existovali. Bez nich

by sme tu neboli a nemohli by sme o nich vôbec hovoriť.

V predchádzajúcom sme hovorili o základných silách, ktoré udržujú hmotné častice, resp.

telesá v jestvujúcich štruktúrach. V nasledujúcom obrátime pozornosť na opis týchto štruktúr.

Začneme zo stručného opisu mikrosveta, kde sú dĺžkové rozmery značne menšie ako naše

vlastné. Tam sa stretávame so stavebnými časticami materiálnych objektov, s molekulami

a atómami. Vieme, že molekuly sa skladajú z atómov a vieme tiež, že atóm sa skladá z ešte

menších častíc. Na opis jeho zostavy použijeme nie veľmi presnú, ale zato názornú predstavu:

Atóm sa podobá drobučkej Slnečnej sústave s priemerom máličko viacej ako m 10 10 . Okolo

jadra, ktoré sa nachádza v strede „obiehajú“ elektróny. Elektrón je elementárna častica, nie je

8

zložená z iných častíc. Jadro sa skladá z protónov a neutrónov, ktoré, ako sme už spomínali,

držia pokope jadrové (silné) sily. Počet protónov v jadre určuje o aký chemický prvok ide.

V jadre je sústredená prakticky celá hmotnosť atómu (protón má približne 1800-krát väčšiu

hmotnosť ako elektrón; neutrón je ešte o máličko hmotnejší ako protón). Vyjadrenie

„elektróny obiehajú okolo jadra“ nie je správny z pohľadu kvantovej mechaniky, ktorá jediná

dokáže správne opísať mikroobjekty. Podľa kvantovej mechaniky elektrón neobieha okolo

jadra, ale jednoducho existuje v atóme. S prísne stanovenou pravdepodobnosťou ho môžeme

nájsť v niektorom bode atómu. V mnohých príkladoch sa však správanie elektrónov

vysvetľuje na základe planetárneho modelu.

Z experimentov vyplýva, že aj nukleóny majú svoju vnútornú štruktúru. Teda sú to

zložené častice. Elementárne častice, z ktorých nukleóny pozostávajú sa nazývajú kvarky.

Predpokladá sa, že kvark nemôže existovať samostatne.

Prenesme sa teraz z mikrosveta do makrosveta – do obrovských priestorov a vzdialeností

vesmíru. Pokúsime sa aspoň trochu priblížiť naše súčasné poznatky o vesmíre. Usporiadanie

hmoty vo vesmíre je dané, na rozdiel od mikrosveta, pôsobením gravitácie. Iné druhy

interakcií sú pri týchto obrovských hmotnostiach a vzdialenostiach zanedbateľné. Vesmírne

telesá sú prakticky elektricky neutrálne. Naše súčasné predstavy o vzniku a evolúcii vesmíru

sú založené na modeli veľkého výbuchu (Big Bangu). V súhlase s týmto modelom vznikol

vesmír pred 7 až 12 miliardami rokov (tento údaj sa na základe nových pozorovaní neustále

upresňuje). V okamihu Big Bangu bolo všetko skomprimované do veľmi malého priestoru,

kde bola extrémne vysoká hustota a teplota. Od tohto okamihu je vesmír v stave neustáleho

rozpínania sa. Jeho priemerná hustota a teplota neustále klesá. A v akom stave sa nachádza

vesmír dnes? Dnešný vesmír pozostáva z hviezd, ktoré sú zlúčené do galaxií. Galaxie

vytvárajú kopy galaxií. Hviezdy v galaxiách môžu mať planéty, podobne ako naše Slnko. Vo

vesmíre existujú kvasary, objekty vyžarujúce ohromné množstvo energie, existujú v ňom

čierne diery, množstvo plynu, prachu a pod. Mnoho vecí nám ešte nie je známych a mnohé sú

ešte nejasné. Vieme však, že vesmír sa rozpína. Bude toto rozširovanie prebiehať večne?

zastaví sa? alebo sa vesmír začne zmršťovať? Možné sú všetky tri scenáre. To, ktorý z nich

nastane závisí od celkovej hmotnosti vesmíru. Ak táto hmotnosť prevyšuje istú, tzv. kritickú

hmotnosť, potom gravitácia „zvíťazí“ nad rozpínaním a vesmír sa začne zmršťovať,

skolabuje, nastane veľké stlačenie (anglicky Big Crunch) – hovoríme o uzavretom modeli

vesmíru. Keď je hmotnosti málo, vesmír sa bude rozpínať večne (otvorený model vesmíru).

Keď je hmotnosť kritická rozpínanie bude najpomalšie a hovoríme o plochom modeli.

Existuje aj hypotéza oscilujúceho vesmíru, v ktorom by sa striedal Big Bang s Big Crunchom.

1.3 Vzťah fyziky k iným vedám

Až do začiatku 19. storočia sa používal pre náuku o prírode názov „prírodná filozofia“.

Prvé poznatky o prírode získavali ľudia prostredníctvom svojich zmyslov. Je známe, že

prostredníctvom zraku získavame najviac informácií o našom svete. S procesom videnia je

bezprostredne spojený pojem svetla a veda, ktorá sa začala rozvíjať na základe tohto procesu

sa nazýva optika. Zvuk je spojený s ďalším našim zmyslom, sluchom. Veda, ktorá sa zaoberá

skúmaním zvuku sa nazýva akustika. Teplo a teplota sú spojené s ďalšími našimi pocitmi,

s pocitmi chladu, resp. tepla. Časť fyziky, ktorá sa zaoberá skúmaním problémov spojených

s uvedenými veličinami sa nazýva termika. S bezprostredným ľudským pozorovaním sú tiež

tesne späté problémy pohybu telies. Štúdiu pohybu telies, ale aj ich správaním sa za pôsobenia

síl venuje mechanika. Voľný pád telies a pohyby planét sú spôsobené gravitačnými

9

interakciami a gravitácia sa tradične zahŕňa do mechaniky. Z hľadiska stavebníctva je veľmi

dôležitou súčasťou mechaniky statika – časť mechaniky zaoberajúca sa podmienkami

rovnováhy telies. Elektromagnetizmus, ktorý už zdanlivo nesúvisí priamo s našim zmyslovým

vnímaním sa začal rozvíjať ako súčasť fyziky až v 19. storočí. Od dávno známych javov,

akými boli vznik elektriny trením a vzájomné pôsobenie prírodných magnetov, sa prešlo

k systematickému skúmaniu týchto javov a ich vzájomných súvislostí. Možno bez

zveličovania povedať, že práve pochopenie elektrických a magnetických javov podmienilo

ďalší prudký rozvoj fyziky a techniky. Vymenované časti fyziky zvykneme nazývať klasickou

fyzikou. Táto je základom pre značnú časť technických vied. Na prelome 19. a 20. storočia

bola zavedená kvantová hypotéza, na ktorej základe sa vybudovali kvantové teórie rôznych

fyzikálnych javov. Začiatkom 20. storočia bola Einsteinom vytvorená teória relativity. Fyzika

rozvíjajúca sa na základe uvedených teórií sa zvykne nazývať moderná fyzika.

Ako sme už spomenuli, fyzika je veda, ktorej náplňou je študovať zložky látky a ich

vzájomné interakcie. Na tomto základe sa potom snaží vysvetliť objemové vlastnosti telies,

ale aj iné prírodné zákonitosti, ktoré pozorujeme. Z uvedeného pohľadu sa fyzika javí ako

najzákladnejšia prírodná veda, lebo napr. chémia, ktorá sa zaoberá vytváraním a štruktúrou

molekúl, ich premenou na iné sa pri tom nezaobíde bez aplikovania fundamentálnejších

fyzikálnych zákonov. Podobne biológia, ktorá študuje zložité živé systémy sa nezaobíde bez

poznania a aplikácie fyzikálnych a chemických princípov. Aplikácia fyzikálnych

a chemických princípov na riešenie praktických problémov nášho života dala podnet na vznik

a rozvoj rôznych inžinierskych odvetví. Modernú inžiniersku prax a výskum na slušnej úrovni

nie je možné uskutočňovať bez porozumenia základných ideí fyziky.

Ale fyzika nie je dôležitá len z hľadiska toho, že je teoretickým základom pre ostatné

prírodné a inžinierske vedy, ale fyzika poskytuje aj metódy a techniky, ktoré sa používajú vo

väčšine oblastí základného i aplikovaného výskumu. Fyzika ako prvá pocítila, keďže je

v svojej podstate experimentálnou vedou, potrebu presne definovať a merať veličiny, ktoré

skúma. Na tomto základe bola zavedená v našich krajinách sústava jednotiek SI (Système

Internationale d´Unités). Fyzika taktiež poskytuje základné princípy a postupy pre meranie

rôznych veličín. Realizáciou jednotiek veličín vyskytujúcich sa vo fyzike a technike sa

zaoberajú metrologické ústavy. Mnohé z meracích techník pôvodne vyvinutých na poli fyziky

sa dnes bežne používajú v technickej praxi. Napr. geodeti a geológovia používajú

gravimetrické, akustické, nukleárne, optické, rádiotechnické a mechanické metódy. To isté

možno povedať aj o iných vedných odvetviach. Na záver tohto krátkeho a neúplného prehľadu

súvisu fyziky a iných vied treba spomenúť jeden veľmi dôležitý fyzikálny objav, bez ktorého

by sme si súčasnú techniku, ale aj bežný každodenný život, už ani nevedeli predstaviť. Je to

objav polovodičovej diódy a tranzistora. Dnes sa s týmito a podobnými polovodičovým

súčiastkami stretávame doslova na každom kroku a častokrát bez toho, že by sme si to

uvedomovali. Dnešný elektrotechnický, či elektronický priemysel je temer výhradne založený

na týchto súčiastkach. Moderné informačné technológie by bez nich neboli možné.

Technológie vyvinuté na pôde aplikovanej fyziky podmieňujú rozvoj výpočtovej techniky, čo

spätne umožňuje a podnecuje vznik nových objavov. Mnohé prístroje používané nielen

v technike, ale aj iných oblastiach ľudskej činnosti sú práve založené na použití klasických

meracích techník umocnených použitím výpočtovej techniky. Napr. nemocnice sú vybavené

najsofistikovanejšími fyzikálnymi technikami: röntgenmi, CT-čkami – počítačovými

tomografmi, MRI – zobrazovaním pomocou magnetickej rezonancie, ultrazvukovými

prístrojmi (sonografmi), lasermi, rádioizotopovými zariadeniami atď. Zväčša sa týmito

prístrojmi hrdia lekári a akosi sa zabúda na ich tvorcov – fyzikov a technikov. V tomto duchu

10

by sme mohli načrieť do každého technického, či iného odvetvia ľudskej činnosti a v každom

by sme sa zaručene stretli s príspevkom fyziky.

1.4 Základy vektorovej algebry

Niektoré fyzikálne veličiny sú úplne určené ich hodnotou (veľkosťou) v príslušných

jednotkách. Tieto veličiny nazývame skalármi. Takéto veličiny sú napr. čas, hmotnosť,

elektrický náboj, energia. Iné veličiny potrebujú na úplné určenie dva údaje – veľkosť a smer.

Takéto veličiny nazývame vektormi. Príkladom sú napr. rýchlosť, zrýchlenie, sila. Vektory

znázorňujeme pomocou orientovaných úsečiek, ktoré majú smer vektora a ktorých dĺžka

zodpovedá hodnote príslušnej vektorovej veličiny. Značky vektorových veličín v tlačenom

texte píšeme tučným písmom v kurzíve (a) a tenkým písmom v kurzíve (a) označujeme

veľkosť vektora. V písanom texte píšeme nad značku príslušnej vektorovej veličiny šipku ( a

).

Bez šipky nad značkou (a) znova ide len o veľkosť príslušnej vektorovej veličiny.

Dva vektory sú rovnaké, keď majú rovnaké veľkosti aj smery, obr. 1.1. Jednotkový vektor

je vektor, ktorého veľkosť je jedna. Vektor a, ktorý má smer jednotkového vektora 0a

(jednotkové vektory zvykneme označovať príslušnou značkou vektora s horným indexom 0

alebo veľmi často používame malé grécke písmená) možno vyjadriť v tvare

0aa a (1.1)

Opačný vektor k vektoru a je vektor, ktorý má rovnakú veľkosť ako a ale opačný smer

( a ), obr. 1.2.

Vo fyzike (ale nielen v nej) sa stretneme so skalárnymi aj vektorovými veličinami, ktoré

vystupujú v rôznych matematických vzťahoch. Ako sa narába so skalármi sme sa naučili

v bežnej algebre. Aby sme nemali problémy s narábaním s vektormi, uvedieme základné

pravidlá počítania s vektormi – uvedieme základné pravidlá vektorovej algebry.

1.4.1 Súčet a rozdiel vektorov

Kvôli ľahšiemu pochopeniu pravidla pre sčítanie vektorov uvažujme posunutie nejakej

častice z bodu A do bodu B (obr. 1.3) a nasledovne z bodu B do bodu C. Časticu však možno

posunúť z bodu A do bodu C aj priamo. Tieto posunutia môžu byť reprezentované aj vektormi

a, b a c. Teda platí

cba (1.2)

Teda graficky robíme súčet vektorov tak, že ku koncovému bodu prvého vektora

priložíme začiatočný bod druhého vektora a výsledný vektor má začiatok v začiatočnom bode

Obr. 1.1. Dva vektory sú

rovnaké, keď majú rovnaké

veľkosti aj smery.

Obr. 1.2. Vektor a je opačný vektor k vektoru a.

a

-a

a a

11

prvého vektora a koncový bod v koncovom bode druhého vektora. Tento postup možno

použiť aj pri sčítavaní viacerých vektorov – pozri obr. 1.4. Iný postup grafického sčítavania

dvoch vektorov je takýto: Posunieme obidva vektory do spoločného začiatku (obr. 1.5) a

koncovým bodom prvého vektora (a) vedieme rovnobežku s druhým vektorom (b)

a koncovým bodom druhého vektora rovnobežku s prvým vektorom. Výsledný vektor (c) má

začiatok v spoločnom začiatku obidvoch sčítavaných vektorov a koniec v protiľahlom vrchole

rovnobežníka tvoreného sčítavanými vektormi a rovnobežkami.

Pre súčet vektorov platí zákon komutatívny, t.j. abba , obr. 1.6.

Rozdiel dvoch vektorov dba možno napísať aj takto: dba . Týmto máme

daný návod na urobenie rozdielu dvoch vektorov: urobíme súčet prvého vektora (a) a vektora

opačného k druhému vektoru, teda vektora –b, pozri obr. 1.7.

Veľkosť výsledných vektorov pri súčte a rozdiele vypočítame podľa pravidiel

používaných pri riešení trojuholníkov – použitím Pytagorovej, kosínusovej alebo sínusovej

vety.

1.4.2 Rozklad vektora na zložky. Veľkosť vektora

Ľubovoľný vektor a možno považovať za súčet dvoch vektorov. Tieto vektory nazývame

zložkami vektora a. Inými slovami, ľubovoľný vektor možno rozložiť na zložky. Na obr. 1.8 je

naznačený postup – vektor a možno rozložiť na dve zložky aaa 21 ; ďalej zložku 1a

Obr. 1.5. Iný postup pri gra-

fickom sčítavaní vektorov. Vý-

sledný vektor je uhlopriečka

rovnobežníka určeného sčítava-

nými vektormi. Všetky tri vek-

tory majú spoločný začiatok.

Obr. 1.3. Časticu možno posu-

núť z bodu A do bodu C tak, že

ju posunieme z bodu A do bodu

B a potom z bodu B do bodu C.

Časticu však možno posunúť

z bodu A do bodu C aj priamo.

Obr. 1.4. Postup pri sčítavaní

viacerých vektorov. Sčítavané

vektory sa „naháňajú“. Výsled-

ný vektor má začiatok v začiat-

ku prvého vektora a koniec

v koncovom bode posledného.

Obr. 1.7. Rozdiel dvoch vek-

torov dba urobíme tak, že

k prvému vektoru a pripočítame

opačný druhý vektor .b

Obr. 1.8. Vektor a možno

rozložiť na ľubovoľný

počet zložiek. Napríklad:

21211 aaaa .

Obr. 1.6. Pre súčet vektorov platí

zákon komutatívny abba .

a

b

c

d

a

b

c

a

b

-b

d

aaa

a

a

112

12

1

a

b

c

A

B

C

a

a

b

b

cc

a) b)

12

možno rozložiť na zložky 11211 aaa . Teda vektor 21211 aaaa . V rozklade by sme

mohli pokračovať do nekonečna.

Najčastejšie rozkladáme vektory na pravouhlé zložky, do

smerov súradnicových osí x, y, z. Najprv rozložíme vektor len do

smerov osí x a y, obr. 1.9. Vektor a, ktorý zviera s kladným

smerom osi x uhol možno vyjadriť ako yx aaa . Veľkosti

zložiek sú

cos aax

sin aay (1.3)

V kladnom smere osí x a y zavádzame vo fyzike jednotkové

vektory i a j. Potom ia xx a , ja yy a a vektor

jia yx aa (1.4)

Zložky jednotkového vektora 0a , ktorý určuje smer vektora a sú cos i a sin j , teda

sin cos 0 jia

a a

(1.5)

Veľkosť a vektora a, ako vyplýva zo vzťahu (1.3), je

22

yx aaa (1.6)

Veľkosť vektora vyjadreného v pravouhlých zložkách

vypočítame teda pomocou Pytagorovej vety. Keď máme

tri zložky, pribudne ešte jeden člen

222

zyx aaaa (1.7)

Ako uvidíme v 2. kapitole, polohu hmotného bodu

udávame pomocou polohového vektora r. V zložkách ho

možno vyjadriť takto

kjir zyx (1.8)

kde x, y a z sú súradnice hmotného bodu. Postup pri

rozklade polohového vektora na pravouhlé zložky je znázornený na obr. 1.10.

1.4.3 Násobenie vektora skalárom

Keď vynásobíme vektor a skalárom s dostaneme vektor

ab s (1.9)

Obr. 1.9. Rozklad vektora na

pravouhlé zložky.

Obr. 1.10. Rozklad polohového

vektora na pravouhlé zložky.

0

x

y

a

a

i

j0

r

x

xy

y

z

z

0i

j

k

r

r

r

x

y

z

13

ktorý má súhlasný alebo nesúhlasný smer so smerom vektora a, podľa toho, či s je kladné

alebo záporné a s-krát väčšiu absolútnu hodnotu, obr. 1.11.

1.4.4 Skalárny súčin dvoch vektorov

Skalárny súčin dvoch vektorov a a b je definovaný vzťahom

cos abba (1.10)

kde a, b sú veľkosti vektorov a a b a je uhol medzi nimi ( 180 ), obr. 1.12.

Poznámka: Nezabudnite písať bodku medzi vektormi ako znak skalárneho súčinu!

Ako vidno z definície, výsledkom skalárneho súčinu dvoch vektorov je skalár, čo sa

odzrkadľuje aj v názve tohto súčinu.

Skalárny súčin je komutatívny

abba (1.11)

Pre skalárny súčin platí zákon distributívny

cabacba (1.12)

a zákon asociatívny

bababa sss (1.13)

Skalárny súčin ,2aaa lebo uhol medzi vektormi je rovný nule. Ak sú vektory kolmé

( 2π ), skalárny súčin je rovný nule. Podmienkou kolmosti dvoch vektorov je teda, aby ich

skalárny súčin bol rovný nule, .0ba

Skalárny súčin dvoch vektorov a a b vyjadrených pomocou pravouhlých zložiek je

kjikjiba zyxzyx bbbaaa

kijiii zxyxxx bababa

kjjjij zyyyxy bababa

kkjkik zzyzxz bababa (1.14)

Obr. 1.12. Hodnota skalárneho

súčinu je rovná súčinu veľkosti

priemetu jedného vektora do

smeru druhého a veľkosti dru-

hého vektora.

Obr. 1.11. Násobenie vektora

skalárom: a) skalár s je kladný

a väčší ako jedna, b) skalár s je

záporný a jeho absolútna hod-

nota je menšia ako jedna.

asa

sa

a) b)

b

a

14

Skalárne súčiny jednotkových vektorov sú

10 cos 11 .kkjjii

02

π cos 1.1 jkikkjijkiji (1.15)

Potom, keď použijeme vzťahy (1.15) skalárny súčin je

zzyyxx bababa ba (1.16)

Urobme skalárny súčin aa

2222zyx aaaa aa

Z tohto vzťahu veľkosť a vektora a je

222

zyx aaaa

čo je vzťah totožný so vzťahom (1.7).

Geometrický význam skalárneho súčinu. Ako vyplýva

z definície skalárneho súčinu (1.10) a pozri tiež obr. 1.12,

hodnota skalárneho súčinu je rovná súčinu veľkosti

priemetu jedného vektora do smeru druhého a veľkosti

druhého vektora. Pomocou skalárneho súčinu vektora a

jednotkového vektora v zadanom smere vypočítame

veľkosť zložky vektora spadajúcu do zadaného smeru –

napr.: xaa cos a.i je veľkosť zložky vektora a

v smere osi x.

Veľmi často určujeme smer vektora pomocou

smerových kosínusov. Označme uhly, ktoré zviera vektor a

s vektormi i, j, k ako , , (obr. 1.13). Kosínusy týchto

uhlov ( cos , cos , cos ) nazývame smerové kosínusy.

Sú zviazané nasledujúcim vzťahom

1coscoscos 222 (1.17)

Tento vzťah možno odvodiť takto: Vydelíme najprv vektor a, vyjadrený v zložkovom

tvare, jeho veľkosťou a

cos cos cos 0kjikjia

a

a

a

a

a

a

a

a

zyx

Potom vynásobíme skalárne jednotkový vektor 0a sebou samým

Obr. 1.13. Smer vektora udávame

často pomocou smerových kosínu-

sov: cos , cos , cos .

a

x

y

z

0i

j

k

15

cos cos cos cos cos cos 00kjikjiaa

a teda platí

222 coscoscos1

1.4.5 Vektorový súčin dvoch vektorov

Vektorový súčin dvoch vektorov a a b je definovaný

vzťahom

ρba sin ab (1.18)

kde a a b sú veľkosti vektorov a uhol je uhol medzi

vektormi ( 180 ). Výsledkom vektorového súčinu, ako

napovedá aj jeho názov, je vektor, ktorého veľkosť je určená

vzťahom v zátvorke a ktorý je kolmý na rovinu v ktorej ležia

vektory a a b. Smer výsledného vektora je určený

jednotkovým vektorom ρ , ktorý určíme pomocou pravidla

pravej ruky: Prsty pravej ruky stotožníme s prvým vektorom v

súčine a potom ich stotožňujeme po kratšej „dráhe“ (v smere

menšieho uhla) s druhým vektorom, Palec ukazuje smer

vektora ρ , obr. 1.14.

Z definície vektorového súčinu vyplýva, že

abba , čo značí, že pre vektorový súčin neplatí

komutatívny zákon. Keď je vektorový súčin vektorov rovný nule, 0ba , značí to, že

vektory sú paralelné.

Pre vektorový súčin platí distributívny zákon

bcacbac (1.19)

a asociatívny zákon

bababa sss (1.20)

Vektorový súčin v zložkovom tvare. Majme dva vektory vyjadrené v zložkovom tvare:

kjia zyx aaa a kjib zyx bbb . Potom

kjikjiba zyxzyx bbbaaa

kijiii zxyxxx bababa

kjjjij zyyyxy bababa

kkjkik bababa zyzxz (1.21)

Vektorové súčiny jednotkových vektorov sú

Obr. 1.14. Smer vektora ba

je určený jednotkovým vekto-

rom ρ , ktorý určíme pomocou

pravidla pravej ruky.

a

b

a bx

b ax

16

0 , ,

0, ,

, ,0

kkikjjki

ijkjj kji

jikkijii

-

-

Po dosadení vektorových súčinov jednotkových vektorov do vzťahu (1.21) dostaneme

kjiba xyyxzxxzyzzy babababababa (1.22)

Vektorový súčin možno pohodlne vypočítať ako determinant matice, v ktorej v 1. riadku

sú jednotkové vektory, v 2. riadku súradnice prvého vektora a v 3. riadku súradnice druhého

vektora

kji

kji

ba yx

yx

xz

xz

zy

zy

zyx

zyx bb

aa

bb

aa

bb

aa

bbb

aaa

kji xyyxzxxzyzzy babababababa

Geometrický význam vektorového súčinu. Uvažujme rovnobežník určený vektormi a a b

(obr. 1.15). Jeho plocha je

sin ba v ab.aS (1.23)

Teda, absolútna hodnota vektorového súčinu dvoch vektorov je rovná ploche S

rovnobežníka určeného týmito dvoma vektormi. Vektorovým súčinom je ploche S

rovnobežníka priradený aj vektor S, ktorý je, ako vidno z obr. 1.15, kolmý na plochu.

1.4.6 Zmiešaný súčin

Pod zmiešaným súčinom vektorov rozumieme skalárny súčin vektora, napr. c,

s vektorovým súčinom vektorov a a b

Obr. 1.15. Geometrickým význa-

mom vektorového súčinu dvoch

vektorov je plocha rovnobežníka

určeného týmito dvoma vektormi.

Obr. 1.16. Absolútna hodnota

zmiešaného súčinu je rovná

objemu kvádra určeného vek-

tormi a, b a c.

b

S = a bx

a

vb

a

v

S = a bx

c

17

V bac (1.24)

Výsledkom, ako je zrejmé, je skalár. Absolútna hodnota zmiešaného súčinu je rovná

objemu rovnobežnostena (kvádra) určeného vektormi a, b a c (obr. 1.16). Objem šikmého

hranola totiž počítame takto

cos sin cba.SV v

kde S je plocha základne hranola a v jeho výška.

Rovnaký vzťah dostaneme, keď použijeme zmiešaný súčin

cos sin abcV

Uvedieme tu ešte pravidlo cyklického posúvania vektorov v súčine, ktoré sa často

používa pri úprave vektorových vzťahov

cbaacbbac (1.25)

1.4.7 Dvojnásobný vektorový súčin

Stretneme sa aj s tzv. dvojnásobným vektorovým súčinom. Uvedieme vzťah pre jeho

výpočet

baccabcba (1.26)

Dvojnásobný vektorový súčin troch vektorov je teda rovný rozdielu prostredného vektora

násobeného skalárnym súčinom obidvoch zvyšných vektorov a druhého vektora zo zátvorky

násobeného skalárnym súčinom obidvoch zvyšných vektorov.

Zátvorka vyjadruje, ktoré násobenie vektorov treba vykonať najprv. Výsledkom tohto

súčinu je vektor, ktorý leží v rovine vektorov b a c.

2 POHYB HMOTNÉHO BODU

2.1 Úvod

Vo fyzike budeme rozlišovať dve fyzikálne formy existencie hmoty: látku a pole. Látkou

budeme nazývať hmotu, ktorá prejavuje tzv. korpuskulárne (čiastočkové) vlastnosti. Poľom

označujeme priestor silových pôsobení medzi látkami. V tomto zmysle potom hovoríme

o materiálnych látkových objektoch (atómy, molekuly, telesá, planéty, ...) a o materiálnych

poľných objektoch (gravitačné pole, elektromagnetické pole, ...). Ukazuje sa však, že látka

vykazuje vlastnosti typické pre pole – napríklad difrakcia elektrónov na štrbine a pole má

vlastnosti korpuskúl – fotóny, gravitóny. Teda toto delenie je viac-menej formálne.

V úvodnej časti nášho kurzu sa budeme zaoberať pohybom látkových objektov – telies.

Pod pohybom budeme rozumieť zmenu vzájomnej konfigurácie telies. Teda pohyb jedného

telesa môžeme opísať polohou a zmenou tejto polohy

(ako funkcií času) vzhľadom na druhé teleso. Na tento

účel si zavádzame súradnicovú sústavu viazanú na

niektoré teleso. Najčastejšie používame pravouhlú

(kartézsku) pravotočivú súradnicovú sústavu, v ktorej

je poloha bodu určená súradnicami x, y, z (obr. 2.1).1

Opísať pohyb telesa znamená nájsť také

vyjadrenie tohto pohybu, ktoré umožňuje odvodiť

podľa potreby pohyb ktoréhokoľvek bodu telesa. Túto

úlohu, obecne veľmi obtiažnu u skutočného

deformovateľného telesa, je možné si uľahčiť

predpokladom mysleného tuhého telesa, ktoré má

nemenný tvar. Jeho všetky body majú stále vzájomné

polohy, a preto i vzájomne viazané pohyby.

Pohyb tuhého telesa je možno rozložiť na dva

základné druhy pohybov: posuvný (translačný) a

otáčavý (rotačný).

Posuvný pohyb sa vyznačuje tým, že každá priamka a rovina v tuhom telese zostáva pri

tomto pohybe rovnobežná so svojou začiatočnou polohou. Všetky body tuhého telesa sa

pohybujú pri posuvnom pohybe po rovnakých trajektóriách a majú súčasne rovnaké rýchlosti

a zrýchlenia, obr. 2.2a.

Otáčavý pohyb je charakterizovaný tým, že pri ňom všetky body tuhého telesa konajú

pohyb po kružniciach okolo spoločnej osi rotácie. Teda sprievodiče všetkých bodov telesa

opíšu za určitý čas rovnaké stredové uhly a všetky body telesa majú súčasne rovnaké uhlové

rýchlosti a uhlové zrýchlenia. Otáčavý pohyb tuhého telesa môžeme teda určiť pohybom

ktoréhokoľvek jeho bodu po kružnici a polohou osi rotácie vo zvolenej sústave súradníc,

obr. 2.2b.

1Tu sa treba zmieniť o vzájomnom súvise pokoja a pohybu. O tom, či dané teleso je v pokoji alebo

v pohybe rozhoduje aj to, vzhľadom na ktorú súradnicovú sústavu pohybový stav telesa určujeme. Vzhľadom na

jednu sústavu teleso môže byť v pohybe, ale vzhľadom na druhú môže byť v pokoji. Čiže všeobecne má zmysel

hovoriť len o relatívnom pohybe.

Obr. 2.1. Pravouhlá pravotočivá súrad-

nicová sústava viazaná na teleso.

0

x

y

z

19

Obecný pohyb tuhého telesa je pohyb zložený z pohybu posuvného a otáčavého a každú

z týchto zložiek môžeme určiť pohybom niektorého bodu daného telesa.

Z týchto dôvodov sa teda naučíme najprv opísať pohyb hmotného bodu, ktorý zavedieme

touto definíciou: Hmotný bod je teleso, ktorého geometrické rozmery môžeme vzhľadom na

ostatné vzdialenosti vystupujúce pri pohybe zanedbať.

2.2 Základné veličiny charakterizujúce pohyb

Polohový vektor. Z hľadiska kinematiky môžeme tvrdiť, že skúmaný pohyb hmotného

bodu poznáme, keď vieme vyjadriť funkčnú závislosť medzi jeho súradnicami a časom. Ak sú

jeho súradnice v čase nepremenné (konštantné), hmotný bod je v pokoji. Pohyb hmotného

bodu je teda opísaný rovnicami

tzztyytxx ; ; (2.1)

Polohu hmotného bodu možno udať aj jeho polohovým vektorom r. Je to vektor, ktorý

má začiatočný bod v začiatku súradnicovej sústavy a koncový bod v mieste, kde sa hmotný

bod práve nachádza (obr. 2.3). Možno ho vyjadriť pomocou súradníc x, y, z takto

kjir zyx (2.2)

V tomto vzťahu i, j, k sú jednotkové vektory v smere

kladných polosí x, y, z. Ak r nezávisí od času, hmotný

bod je v pokoji a ak je funkciou času, hmotný bod sa

pohybuje a

kjirr tztytxt (2.3)

Ak poznáme časovú závislosť polohového vekto-

ra, môžeme zistiť po akej krivke – trajektórii sa

hmotný bod pohybuje.

Rýchlosť. V praxi nás často zaujíma nielen to, po akej trajektórii sa hmotný bod

pohybuje, ale aj to, ako „rýchlo“ sa pohybuje. Rýchlosťou budeme nazývať dráhu, ktorú

Obr. 2.2. Pohyb telesa: a) posuvný – každá priamka a rovina zostáva rovnobežná so

svojou začiatočnou polohou, všetky body majú súčasne rovnaké rýchlosti a zrýchlenia,

b) otáčavý – všetky body telesa konajú pohyb po kružniciach okolo spoločnej osi

rotácie, všetky body telesa majú súčasne rovnaké uhlové rýchlosti a zrýchlenia.

Obr. 2.3. Polohu hmotného bodu udá-

va polohový vektor.

0

x

y

z

r

m

ij

k

1 2

3 1

2

a b

20

prejde hmotný bod za jednotku času. Takouto definíciou je však definovaná len veľkosť

rýchlosti. Úplná definícia rýchlosti musí obsahovať aj smerové vlastnosti pohybu. Vektor

okamžitej rýchlosti v je definovaný vzťahom

ttt d

d

Δ

Δ lim

0Δ

rr

v (2.4)

Význam veličín a obsah vzťahu (2.4) je znázornený na obr. 2.4.

Ak polohový vektor r vyjadríme v zložkovom tvare, dostaneme vektor rýchlosti

v zložkovom tvare

kjikjikjir

zyxt

z

t

y

t

xzyx

ttvvv

d

d

d

d

d

d

d

d

d

dv (2.5)

z čoho vyplýva, že veľkosti zložiek rýchlosti v smere súradnicových osí sú

t

z;

t

y;

t

xzyx

d

d

d

d

d

d vvv (2.6)

Veľkosť rýchlosti vypočítame zo vzťahu

t

s

d

dv (2.7)

kde tss je dráha hmotného bodu, alebo, ak poznáme zložky vektora rýchlosti, zo vzťahu

222

zyx vvvv (2.8)

Častokrát sa používa aj priemerná rýchlosť, ktorá je definovaná ako rýchlosť, ktorou by

sa musel trvale pohybovať hmotný bod, aby za časový interval t (za dobu t) prešiel dráhu s

(dráhu s)

t

s

Δ

Δp v (2.9)

Jednotkou rýchlosti je .-1s . m 1

Obr. 2.4. K vysvetleniu vektora okamžitej rýchlosti. Ak sa časový interval t blíži k nule, vektor rýchlosti

nadobúda veľkosť a smer vektora okamžitej rýchlosti v. Vektor v má smer dotyčnice ku trajektórii.

0 0 0

x x x

y y y

z z z

r

r

r

r

rr r

t t t

t

t

0 0

0 0

_

_

_

_

_

_

21

Zrýchlenie je ďalšia dôležitá veličina charakterizujúca pohyb. Súvisí so zmenou

rýchlosti a je definované nasledujúco

2

2

0Δ d

d

d

d

Δ

Δ lim

tttt

ra

vv (2.10)

Vlastnosti vektora zrýchlenia ozrejmuje obr. 2.5.

Vektor zrýchlenia vyjadrený v zložkovom tvare je

kjikjikjikjia zyxzyx

zyx aaat

z

t

y

t

x

ttttt

2

2

2

2

2

2

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d vvvvvv

v

(2.11)

z čoho vyplýva, že veľkosti zložiek zrýchlenia sú

2

2

2

2

22

2

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

t

z

ta;

t

y

ta;

t

x

ta z

z

y

yx

x vvv

(2.12)

Veľkosť vektora zrýchlenia vypočítame zo vzťahu

222

zyx aaaa (2.13)

Treba si uvedomiť, že rýchlosť a zrýchlenie, tak ako sme ich definovali, sú všeobecnejšie

ako pojmy dané len skúsenosťou. Napríklad zrýchlenie môže byť nenulové aj vtedy, keď sa

nemení veľkosť rýchlosti, ale len jej smer, pozri obr. 2.5.

2.3 Klasifikácia pohybov

Najjednoduchšiu klasifikáciu mechanických pohybov hmotného bodu môžeme urobiť

pomocou analýzy vektora rýchlosti. Vektor rýchlosti v môžeme vyjadriť pomocou jeho

veľkosti v a jednotkového vektora v smere v : τvv (obr. 2.6). Potom

1) Ak ,konštτ hmotný bod sa pohybuje po priamke a takýto pohyb nazývame

priamočiary. Tento môže byť rovnomerný (ak konštv ) alebo nerovnomerný (ak

konštv ).

Obr. 2.5. K vysvetleniu vektora zrýchlenia. Ak sa časový interval t blíži k nule, vektor zrýchlenia

nadobúda veľkosť a smer vektora okamžitého zrýchlenia a.

0 0 0

x x xy y y

zz z

t t t

t

t

0 0

0 0

0 0

a a

a

_ _

22

2) Ak ,konštτ hmotný bod sa môže pohybovať po ľubovoľnej krivke a takýto pohyb

nazývame pohyb krivočiary. Tento môže byť znova rovnomerný (ak konštv ) alebo

nerovnomerný (ak konštv ).

Z definície rýchlosti (2.4) vyplýva, že td d vr .

Integráciou dostaneme vzťah pre polohový vektor

t

t

0

0 d vrr (2.14)

kde r0 je polohový vektor v čase t = 0.

V nasledujúcich podkapitolách budeme skúmať

pohyby, opierajúc sa o vyššie uvedenú klasifikáciu.

Príklad 2.1. Pohyb hmotného bodu je určený rovnicami ,BA 2 tx ,DC 2 ty

kde ,, -2s . m 20A ,, m 050B ,, -2s . m 150C m. 030D , Treba nájsť veľkosť aj smer

rýchlosti a zrýchlenia v čase s 2t a klasifikovať pohyb.

Riešenie: Polohový vektor pohybujúceho sa hmotného bodu je

jijirr DC BA 22 tttytxt

Deriváciou podľa času dostaneme okamžitú rýchlosť hmotného bodu

jiji

r C2 A2 DC BA

d

d

d

d 22 tttttt

ttv

a deriváciou rýchlosti dostaneme jeho zrýchlenie

jijia C2 A2 C2 A2

d

d

d

d tt

tt

tv

Ako vidno, zrýchlenie nezávisí od času – je konštantné.

Vektory rýchlosti a zrýchlenia v čase s 2t sú

jiji s . m 60 s . m 80 s 2 .s . m 0,15 . 2 2s s . m 20 . 2 -1-1-2-22 ,,., v

jijia s . m 30 s . m 40 s . m 0,15 . 2 s . m 0,2 . 22 -2-2-2-2 ,,

a ich veľkosti sú

1-21-21- s . m 1s . m 60s . m 802 ,,v

2-22-22- s . m 50s . m 30s . m 402 ,,,a

Obr. 2.6. Ku klasifikácii pohybov.

0

r

v =

23

Smery vektorov rýchlosti a zrýchlenia v čase s 2t určíme pomocou smerových

kosínusov ( v a a sú uhly, ktoré zvierajú vektory v a a s kladným smerom osi x)

80s . m 1

s . m 801-

-1

,,

cos v

vxv

80s . m 0,5

s . m 402-

-2

,,

cos a

axa

Z toho, že smerové kosínusy vektora rýchlosti i zrýchlenia sú rovnaké a vektor zrýchlenia

nezávisí od času možno usúdiť, že hmotný bod sa pohybuje rovnomerne zrýchleným

priamočiarym pohybom. Toto tvrdenie možno dokázať aj tak, že zo vzťahov pre x-ovú a

y-ovú súradnicu pohybujúceho sa hmotného bodu

BA 2 tx

DC 2 ty

vylúčime čas. Z prvej rovnice vyjadríme 2t

A

B2

xt

a dosadíme do druhej rovnice, čím získame vzťah

A

CBD

A

Cxy

čo je rovnica priamky.

2.4 Priamočiary pohyb

Priamočiary pohyb, ako sme uviedli v predchádzajúcej podkapitole je charakterizovaný

tým, že jednotkový vektor τ v smere vektora rýchlosti je časovo nepremenný .konštτ

2.4.1 Rovnomerný priamočiary pohyb

Ak okrem vyššie spomínanej podmienky platí, že konštv ide o rovnomerný

priamočiary pohyb (obr. 2.7a). Polohový vektor v tomto prípade možno vyjadriť takto

tt

t

0

0

0 d vv rrr (2.15)

Keď stotožníme pohyb po priamke s pohybom, napr. v smere osi x, (obr. 2.7b), môžeme

písať iir sx ; iir 000 sx ; i vv . Potom vzťah (2.15) možno napísať ako

iii tss 0 v (2.16)

24

Keď poslednú rovnicu vynásobíme skalárne jednotkovým vektorom i, dostaneme

tss 0 v (2.17)

alebo, ak začiatočná dráha (dráha prejdená pred začatím počítania času) 00 s

ts v

Obidva posledné vzorčeky sú nám dôverne známe už zo základnej školy.

2.4.2 Nerovnomerný priamočiary pohyb

Pre nerovnomerný priamočiary pohyb platí: ,konštτ konšt.v Budeme sa zaoberať

dvomi druhmi nerovnomerného priamočiareho pohybu: Pohybom rovnomerne zrýchleným

a pohybom nerovnomerne zrýchleným.

a) O rovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe hovoríme vtedy, keď τa a

a konšt.a Polohový vektor je určený vzťahom

t

t

0

0 .d vrr Avšak v tomto prípade, keď

chceme tento integrál vypočítať, musíme najprv zistiť ako závisí vektor rýchlosti od času.

Z definície zrýchlenia, vzťah (2.10), vyplýva, že

td d av

t

t

0

d d

0

a

v

v

v

t

t

0

0 d avv ,

ale keďže ,konšta potom

ta 0vv (2.18)

a) b)

Obr. 2.7. a) K odvodeniu vzťahu pre polohový vektor pri rovnomernom priamočiarom pohybe.

b) Stotožnenie pohybu po priamke s pohybom v smere osi x.

Obr. 2.8. K odvodeniu vzťahu

pre polohový vektor pri rovno-

merne zrýchlenom priamočiarom

pohybe.

0x

y

z

r

r

t

0

0

a

t = 0

0 0

x

xy

yz

z

r

r

r

r

t

t

0

0i

t = 0

t = 0

25

a polohový vektor (obr. 2.8) je

tt

t

d

0

00 arr v

a po integrácii 2

21

00 tt arr v (2.19)

Keď stotožníme smer pohybu so smerom niektorej osi, podobne ako pri rovnomernom

priamočiarom pohybe, dostaneme vzťah pre prejdenú dráhu

2

21

00 attss v (2.20)

kde s0 je začiatočná dráha a v0 začiatočná rýchlosť – rýchlosť v čase .0t Znamienko plus

pred členom 2

21 at je vtedy, keď vektor zrýchlenia a má smer vektora rýchlosti v

a znamienko mínus, ak vektor zrýchlenia má opačný smer ako vektor rýchlosti. V prvom

prípade hovoríme o rovnomerne zrýchlenom pohybe a v druhom prípade o rovnomerne

spomalenom pohybe.

b) O nerovnomerne zrýchlenom priamočiarom pohybe hovoríme vtedy, keď τa a

a konšt.a Polohový vektor je znova určený vzťahom

t

t

0

0 d vrr . V tomto prípade, keď

chceme dostať konkrétny vzťah pre polohový vektor, musíme vedieť ako závisí zrýchlenie od

času. Naznačíme preto len symbolický postup. Rýchlosť, ako funkciu času zistíme

integrovaním

t

t

0

0 d avv

Potom ju dosadíme do vzťahu pre polohový vektor. Dostaneme

t tt t

ttttt

0 0

00

0 0

00 d d d d ararr vv (2.21)

Príklad 2.2. Automobil sa rozbieha z pokoja po priamej ceste so zrýchlením, ktoré

rovnomerne rastie a to tak, že po uplynutí doby s 10 malo hodnotu .2s . m 5,5 Vypočítajte

rýchlosť, ktorú automobil za tú dobu nadobudol ako aj dráhu, ktorú za tú dobu prešiel.

Riešenie: Zo zadania úlohy vyplýva, že pohyb automobilu je priamočiary, nerovnomerne

zrýchlený. Zrýchlenie podľa zadania možno vyjadriť lineárnou funkciou času

kta .

Konštantu k určíme zo zadaných hodnôt: Vieme, že za dobu s 101 t zrýchlenie automobilu

nadobudlo hodnotu 21 s . m 5,5 a , teda

26

32

1

1 s . m 550s 10

s . m 5,5

,t

ak

Zrýchlenie automobilu potom v ľubovoľnom čase vyjadruje vzťah

t,a s . m 550 3

a jeho rýchlosť je

23

0

2

0

s . m 55,02

1

2

1d d tktttktta

tt

v (P1)

Dráhu, ktorú automobil prešiel za dobu t vypočítame takto

3332

00

s . m 55,06

1

6

1d

2

1d tktttktts

tt v (P2)

Rýchlosť a dráhu, ktorú automobil prešiel za s 10 vypočítame po dosadení tejto hodnoty

do vzťahov (P1) a (P2)

1223 s . m 27,5s 10 . s . m 0,552

1 .v

m 91,7s 10 . s . m ,5506

1 333 .s

Poznámka: Rozklad pohybov. S vektorovými rovnicami počítame zvyčajne tak, že ich

rozkladáme na zložky. Ako príklad použijeme rovnicu (2.19)

2

21

00 tt arr v

Rozpísaná v zložkovom tvare

2

21

000000 taaatzyxzyx zyxzyx kjikjikjikji vvv

Odtiaľto ľahko zistíme, že

2

21

00 tatxx xx v

2

21

00 tatyy yy v

2

21

00 tatzz zz v

Rozklad pohybov na osové zložky

uľahčuje vyšetrovanie krivočiarych

pohybov a zjednodušuje ich

numerické riešenie. Ako príklad môže

slúžiť pohyb hmotného bodu v gravitačnom poli Zeme. Takýto pohyb je pohyb rovinný,

a preto pri jeho opise vystačíme s dvoma súradnicami, napr. x a y. Napríklad pri šikmom vrhu

Obr. 2.9. Šikmý vrh v gravitačnom poli Zeme.

0

0

0

x

y

y

( )x, y

0y

0x

27

postupujeme tak, že riešime nezávisle pohyb v smere osi x a potom v smere osi y. Pre pohyb

v smere osi x dostaneme rovnice (pozri obr. 2.9):

cos 00 vvv xx

cos 0tx v

Pre pohyb v smere osi y: ga

gtgtyy sin 00 vvv

200

2

1sin gttyy v

Príklad 2.3. Z budovy vysokej 12 m hodíme kameň rýchlosťou 1s . m 15 pod elevačným

uhlom 50°. Treba nájsť: a) vzťah pre trajektóriu, po ktorej sa pohybuje kameň, b) dobu, za ktorú

dosiahne maximálnu výšku, c) maximálnu výšku, do ktorej kameň vystúpi, d) dobu, za ktorú

dopadne a e) vodorovnú vzdialenosť miesta dopadu od miesta vrhu.

Riešenie: a) Trajektóriu pohybu kameňa dostaneme vylúčením času z rovníc

cos 0tx v

200

2

1sin gttyy v

Z prvej rovnice vyjadríme t

cos 0v

xt

a dosadíme do druhej

20

2

0cos 2

1 tg

v

xgxyy

Tento vzťah je rovnica paraboly. Dosadením číselných hodnôt zo zadania dostaneme

2122

21

2

m 10285191m 1250 cos s . m 15

s . m 819

2

1 50 tgm 12 x.,x,x

.

,.xy

b) V najvyššom bode trajektórie je zložka rýchlosti yv rovná nule. Teda platí rovnica

m0 0 gty sinvv

z ktorej určíme dobu, za ktorú kameň dosiahne maximálnu výšku

s 171s . m 9,81

50sin s . m 15sin 2

1

0m ,

.

gt

v

28

c) Maximálnu výšku, do ktorej kameň vystúpi dostaneme, keď do vzťahu pre y-ovú

súradnicu dosadíme čas mt

m 718s 1,17 s . m 8192

150sin . s 1,17 s . m 15m 12

2

1 22212

mm00m ,.,..gtsintyy v

d) Pri dopade kameňa 0y a z tejto podmienky vypočítame čas dopadu kameňa

2dd00

2

1sin 0 gttyy v

Je to kvadratická rovnica, ktorej riešením je

g

gyt

02

00d1,2

2 sinsin vv

s 3,13 s; 7830

s . m 819

m 12 . s . m 9,81 . 250sin s . m 1550sin s . m 152

2211

,,

..

Nášmu problému vyhovuje riešenie s. 133d ,t

e) Vodorovnú vzdialenosť od miesta vrhu vypočítame, keď do vzťahu pre x-ovú

súradnicu dosadíme dt

m 30,250 cos . s 3,13 s . m 15cos 1

d0d .tx v

2.5 Príklad krivočiareho pohybu – pohyb po kružnici

2.5.1 Základné charakteristiky

Pohyb po kružnici je krivočiary pohyb, ktorý má akési „výsadné” postavenie. Po

kružnici, v prvom priblížení, obiehajú planéty okolo Slnka. Ďalej pri otáčaní tuhého telesa

okolo pevnej osi sa jednotlivé body telesa pohybujú po kružniciach a nakoniec priamočiarym

pohybom a pohybom po kružniciach môžeme nahradiť ľubovoľný krivočiary pohyb

hmotného bodu, keď si zavedieme pojmy oskulačnej roviny a oskulačnej kružnice. Každú

krivku možno totiž v bezprostrednom okolí niektorého jej bodu nahradiť oblúkom kružnice

určitého polomeru r, ktorý sa nazýva polomer krivosti krivky v danom mieste, alebo tiež

polomer oskulačnej kružnice. Pod oskulačnou kružnicou rozumieme kružnicu určenú tromi

nekonečne blízkymi bodmi v danom mieste krivky. Tromi bodmi je totiž určená jediná

kružnica. Týka sa to aj troch nekonečne blízkych bodov.

Pre charakteristiku kruhových pohybov zavádzame analogické veličiny veličinám s, r, v,

a, ktoré sme zaviedli pri lineárnych pohyboch, a to: uhlovú dráhu , vektor uhla , uhlovú

rýchlosť ω a uhlové zrýchlenie .

Uhlová dráha je uhol vytvorený sprievodičom pohybujúceho sa hmotného bodu

a sprievodičom zvoleným za základ. Vektor uhla je vektor kolmý na ramená uhla

29

a smerujúci na tú stranu, z ktorej sa otáčanie hmotného bodu javí proti pohybu hodinových

ručičiek (obr.2.10).

Vektor uhlovej rýchlosti je definovaný vzťahom

td

dω (2.22)

Jednotkou uhlovej rýchlosti je .s . rad 1 -1

Vektor uhlového zrýchlenia je

2

2

d

d

d

d

tt

ω (2.23)

Jednotkou uhlového zrýchlenia je .s . rad 1 -2

Analogicky ako pri priamočiarych pohyboch môžeme získať vzťahy pre výpočet uhlovej

rýchlosti

t

t

0

0 d ωω (2.24)

a uhlovej dráhy

t

t

0

0 d ω (2.25)

Konkrétne, pri rovnomernom pohybe po kružnici ( = konšt) dostaneme vzťah

tω 0

a pri rovnomerne zrýchlenom pohybe ( = konšt) vzťahy

t 0ωω

200

2

1tt ω

V súvislosti s rovnomerným pohybom hmotného bodu po kružnici zavádzame dve

užitočné fyzikálne veličiny, a to periódu a frekvenciu.

Perióda pohybu po kružnici je čas T potrebný na jeden obeh

π2π2

v

rT (2.26)

Frekvencia je počet obehov za jednotku času

rTf

π2π2

1 v

(2.27)

Jednotkou frekvencie je Hz.1s 1 -1

Obr. 2.10. Pohyb hmotného bodu

po kružnici.

r

r

0

t

S = 0

t = 0

30

2.5.2 Rýchlosť a zrýchlenie pri pohybe hmotného bodu po kružnici

Uvažujme pohyb hmotného bodu po kružnici podľa obr. 2.11. So stredom kružnice

stotožníme začiatok súradnicovej sústavy s kladnými smermi osí podľa obrázku. Pretože

pohyb po kružnici je rovinný pohyb, môžeme polohový vektor hmotného bodu vyjadriť takto

njijir rrrr sin + cos sin cos (2.28)

kde r je polomer kružnice, – uhol, ktorý zviera sprievodič hmotného bodu s kladným

smerom osi x, i, j, k – jednotkové vektory v smere osí x, y a z, n – jednotkový vektor v smere

polohového vektora. Rýchlosť pohybujúceho sa hmotného bodu je potom

ττjijir

v

cos sin cos

d

d sin

d

d

d

d

rr

ttr

tv (2.29)

kde tdd je veľkosť uhlovej rýchlosti,

τ – jednotkový vektor v smere vektora rých-

losti v a rv – veľkosť obvodovej

rýchlosti. Jednotkový vektor τ môžeme

vyjadriť pomocou vektorového súčinu

jednotkových vektorov k a n

nkτ

a potom dosadením za τ do vzťahu (2.29)

dostaneme súvis medzi vektorom obvodovej

rýchlosti v a vektorom uhlovej rýchlosti ω

rωnknkr

rrt

d

dv (2.30)

Poznámka: Všimnime si podrobnejšie vzťah rωr tdd . Tento vzťah tvrdí, že časová derivácia

vektora, ktorý má konštantnú veľkosť (veľkosť vektora r sa nemení – pozri obr. 2.11) je rovná vektorovému

súčinu vektora uhlovej rýchlosti stáčania sa vektora a tohto vektora. Tento poznatok môžeme zovšeobecniť pre

časovú deriváciu ľubovoľného jednotkového vektora, napr. iωi tdd .

Zrýchlenie hmotného bodu pri pohybe po kružnici je

ntd

d

d

d

d

d

d

daarωωr

rωr

ωrωa

tttt

v (2.31)

kde at je tangenciálne zrýchlenie – zrýchlenie súvisiace so zmenou veľkosti rýchlosti

τnkra t rr (2.32)

a an je normálové (dostredivé) zrýchlenie súvisiace so zmenou smeru pohybu

nrωωrrωωrωωa 22

n r (2.33)

pretože 0 rω .

Obr. 2.11. Rýchlosť a zrýchlenie pri pohybe

hmotného bodu po kružnici.

r

y

x

z

0i

jk

n

r cos

r sin

aa

a tn

31

Celkové zrýchlenie môžeme vyjadriť aj takto

tttt d

d

d

d

d

d

d

d ττ

τa v

vv

v (2.34)

Veľkosti tangenciálneho, normálového a celkového zrýchlenia pri pohybe hmotného

bodu po kružnici sú teda

2n

2t

22

nt ; d

daaa

rrar

ta v

vv (2.35)

Príklad 2.4. Koleso s polomerom 10 cm sa krúti tak, že jeho uhlová dráha závisí od času

podľa vzťahu 3CBA ttt , kde 31 s . rad 1C s . rad 2 Brad, 3A , . Treba určiť

uhlovú dráhu, uhlovú rýchlosť, uhlové zrýchlenie, obvodovú rýchlosť, tangenciálne, normálové

a celkové zrýchlenie bodov na obvode kolesa v čase s. 2t

Riešenie: Uhlová dráha prejdená bodmi kolesa za dobu 2 s je

rad 15s 2 s . rad 1s 2 s . rad 2rad 3CBA2 33313 ..tt

Uhlová rýchlosť v závislosti od času je

23 C3BCBAd

d

d

dttt

ttt

a v čase s 2t

12231 s . rad 14s 2 ..s rad 1 . 3s . rad 22

Uhlové zrýchlenie kolesa ako funkcia času

tttt

t C6C3Bd

d

d

d 2

a v čase s 2t

23 s . rad 12s 2 s . rad 1 . 62 .

Obvodová rýchlosť bodov na obvode kolesa sa vypočíta zo vzťahu

Rv

a teda v čase s 2t je

11 s . m 1,4 m 0,1 s 1422 .Rv

Tangenciálne zrýchlenie v čase s 2t je

22t s . m 1,2m 0,1 s 1222 .Ra

normálové zrýchlenie

2222n s . m 619m 0,1 s 142 ,.Ra

32

a celkové zrýchlenie

222222

n

2

t s . m 619s . m 619s . m 21222 ,,,aaa

Príklad 2.5. Pohyb hmotného bodu je určený polohovým vektorom jir tt C BA 2 ,

kde m, 5A ,s . m 52B 2-, 1s . m 5C - . Treba určiť:

a) Vektor rýchlosti a zrýchlenia,

b) veľkosť rýchlosti, celkového zrýchlenia, tangenciálneho a normálového zrýchlenia v čase

s, 2t

c) klasifikujte pohyb.

Riešenie: a) Vektor rýchlosti dostaneme deriváciou polohového vektora podľa času

jiji

rCB2C BA

d

d

d

d 2 ttttt

ttv

a po dosadení číselných hodnôt nadobudne tvar

ji s . m 5 s . m 5 12 ttv

Vektor zrýchlenia je

ijia B2CB2d

d

d

d t

ttt

tv

a po dosadení číselných hodnôt

iaa s . m 5 2t

b) Najskôr si napíšeme vektory rýchlosti a zrýchlenia v čase s 2t

ji ji s . m 5s . m 10 s . m 5 s 2 . s . m 5 11122

v

ia s . m 52 2

keďže zrýchlenie nie je funkciou času.

Veľkosť rýchlosti a zrýchlenia v čase s 2t je potom

1212122 s . m 2,11s . m 5s . m 102 yx vvv

a

2s . m 52 a

Veľkosť tangenciálneho zrýchlenia vypočítame deriváciou veľkosti rýchlosti (ako

funkcie času)

33

2222222 CB4CB2 ttyx vvtv

teda

tv

tv t

t

tt

ttta

2

222

2222

t

B4

CB4

B4CB4

d

d

d

d

Veľkosť tangenciálneho zrýchlenia v čase s 2t je

2

1

222

t s . m 46,4s . m ,211

s 2 s . m 5,2 . 4

2

B42

.t

av

Veľkosť normálového zrýchlenia v čase s 2t vypočítame zo vzťahu

2-22222

t

2

n s . m ,262s . m ,464s . m 5222 aaa

d) Trajektóriu, po ktorej sa pohybuje hmotný bod

dostaneme vylúčením času zo vzťahov pre jeho

súradnice 2BA tx

ty C

Z prvej rovnice zo súboru vyjadríme t a dosadíme do

druhej rovnice. Dostaneme

B

AC

xy

Aby sme dostali reálne riešenie, keďže B je záporné,

musí platiť m 5A x . Hmotný bod sa pohybuje po

parabole, ktorá je znázornená na obr. 2.12.

2.6 Zložený pohyb

O zloženom pohybe hovoríme vtedy, keď skúmame pohyb hmotného bodu (telesa)

z hľadiska dvoch vzťažných sústav, z ktorých jedna sa voči druhej pohybuje.

Uvažujme dve súradnicové sústavy S a S (obr. 2.13). Nech sústava S sa pohybuje

vzhľadom na sústavu S tak, že rýchlosť jej začiatku je 0v , zrýchlenie 0a , uhlová rýchlosť

a uhlové zrýchlenie . Polohový vektor, rýchlosť a zrýchlenie hmotného bodu s hmotnosťou

m vzhľadom na sústavu S sú: ar ,, v a vzhľadom na sústavu S: r, v, a.

Polohový vektor r možno vyjadriť ako

rrr 0 (2.36)

Potom rýchlosť v je

Obr. 2.12. Hmotný bod z príkladu 2.5

sa pohybuje po parabole.

t = 0 s

t = 0,5 s

t = 1 s

t = 1,5 s

x

y

2

2

4

4

6

6

m

m

0

34

tttt d

d

d

d

d

d

d0

0 rrrr

vv

d

V tomto vzťahu upravíme druhý člen (pozri poznámku v časti 2.5.2)

rkjikji

kk

jj

iikji

r

vzyx

tz

t

z

ty

t

y

tx

t

xzyx

tt

zyx vvv

d

dd

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

a vzťah pre rýchlosť v možno upraviť takto

rω vvv 0 (2.37)

Zrýchlenie a vzhľadom na sústavu S do-

staneme deriváciou rýchlosti v

rrωωωaa

rω

rωa

v

vv

vvv

2

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

0

0

0

ttt

tt

(2.38)

Pri odvodzovaní vzťahu (2.38) sme použili

nasledujúce úpravy

v

v

ωakωjωiωkji

kk

jj

iikji

zyxzyx

zz

yy

xx

zyx

aaa

tttttttt

vvv

vv

vv

vv

vvvd

d

d

d

d

dd

d

d

d

d

d

d

d

d

d

a

rωωωrrωωrr

ωrω

rω

vv ttt d

d

d

d

d

d

Rýchlosť a zrýchlenie vzhľadom na čiarkovanú sústavu S možno teda vyjadriť vzťahmi

rω 0vvv (2.39)

aaaaarrωωωaaa odC00 2 v (2.40)

kde v ωa 2C je Coriolisovo zrýchlenie, rωωa od – odstredivé zrýchlenie

a zrýchlenie ra súvisí s uhlovým zrýchlením čiarkovanej súradnicovej sústavy.

Obr. 2.13. Zložený pohyb. Sústava S´ sa pohy-

buje vzhľadom na sústavu S.

0

0

0

x

x

y

yy

z

z

´

´

´

´

´

´

´

´

´

rr

r

i

i

j

jk

kS

Sm

35

Príklad 2.6. Automobil sa pohybuje rovnomerným priamočiarym pohybom rýchlosťou

.-1s . m 10 Pri jazde sa do pneumatiky zachytil kamienok. Určte jeho polohu vzhľadom na bod,

kde pôvodne kamienok ležal a jeho okamžitú rýchlosť po uplynutí doby s 10 od zachytenia

kamienka. Polomer kolesa je m. 0,5

Riešenie: Pohyb kamienka môžeme riešiť ako zložený pohyb. Za „nehybnú“ súradnicovú

sústavu S zvolíme súradnicovú sústavu so začiatkom 0 stotožneným s bodom, kde kamienok

ležal a s osami x a y orientovanými tak, ako je znázornené na obr. 2.14. S otáčajúcim sa

kolesom je spojená súradnicová sústava .S Jej začiatok 0 je v strede kolesa a vzhľadom na

sústavu S sa pohybuje rýchlosťou 0v (rýchlosťou auta) a rotuje okolo svojho začiatku

uhlovou rýchlosťou ω .

Polohový vektor r kamienka, v čase t, vzhľadom na sústavu S možno vyjadriť vzťahom

(pozri vzťah (2.36))

rrr 0 (P1)

a rýchlosť kamienka vzťahom (pozri aj (2.37)

rω vvv 0

Rýchlosť v je rýchlosť kamienka vzhľadom na rotujúcu sústavu S a keďže kamienok rotuje

spolu so sústavou S a nachádza sa v nemennej vzdialenosti od osi rotácie, 0v . Potom

rω 0vv (P2)

Ďalej, vektor 0r vo vzťahu (P1) možno vyjadriť v zložkovom tvare ako

jijir RtRx 000 v (P3)

kde 0x je posunutie stredu kolesa za dobu t a R – polomer kolesa.

Vektor r možno v sústave S vyjadriť v zložkovom tvare ako

jijir sin cos RRrr yx

Obr. 2.14. V mieste zachytenia kamienka je začiatok inerciálnej súradnicovej sústavy S.

Sústava S je viazaná na koleso a vzhľadom na sústavu S sa pohybuje rýchlosťou 0v

(rýchlosťou auta) a rotuje spolu s kolesom uhlovou rýchlosťou .

x

´

´

´´

´

´y

y

0

0

z

r

r

r t

i

i

j

j

k

t = 0 tSS

0

0

36

a keďže ,π23 t a teda ,sinsin . πsincos . πcosπ coscos

23

23

23 tttt

a ďalej ,cosπ sinsin23 tt možno r vyjadriť takto

jir cos sin tRtR (P4)

Po dosadení vzťahov (P3) a (P4) do vzťahu (P1) dostaneme pre polohový vektor r

kamienka v čase t vyjadrenie

jijijir cos1 sin cos sin 00 tRtRttRtRRt vv (P5)

Vektor uhlovej rýchlosti rotácie súradnicovej sústavy S (aj kolesa) možno vyjadriť ako

kω (pozri obr. 2.14). Potom vzťah (P2) pre okamžitú rýchlosť kamienka možno

upraviť takto

ji

iji

jiki

sin cos1

cos sin

cos sin

00

0

0

tt

tRtR

tRtR

vv

v

v

v

(P6)

Pri úprave vzťahu (P6) sme použili súvis medzi veľkosťou uhlovej a obvodovej rýchlosti

kamienka, .R0v Uvedomme si, že obvodová rýchlosť kamienka (bodu na povrchu kolesa)

je rovná rýchlosti, ktorou sa pohybuje automobil.

Napokon určíme súradnice kamienka v čase t (zo vzťahu (P5))

tR

Rttxx 00 sin

vv

t

RRtyy 0cos1

v (P7)

kde sme znovu použili úpravu R0v .

Pre veľkosť rýchlosti v kamienka v čase t podľa vzťahu (P6) platí

t

Rtt 0

0

22

0

22

0 cos12sin cos1v

vvvv (P8)

Po dosadení číselných hodnôt do vzťahov (P7) a (P8) dostaneme

m ,437100s 10 . m 0,5

s . m 10sin . m ,50s 10 . s . m 1010

11

x

m 0,256s 10 . m 0,5

s . m 10 cos1 . m 0,510

1

y

11

1 s . m 10,127s 10 . m 0,5

s . m 10 cos1 . 2 s . m 1010

v

37

2.7 Newtonove pohybové zákony

Newtonove zákony sú základnými zákonmi dynamiky. Dynamika rieši problémy príčiny

a následku v mechanike. Hľadá teda odpoveď na otázky: Čo zapríčiňuje pohyb? Aký druh

pohybu vzniká, keď je známa príčina? Treba si však uvedomiť, že pri týchto úvahách ide len

o relatívny pohyb a jeho zmeny. Z hľadiska fyziky nemá zmysel pýtať sa čo je príčinou

pohybu vôbec, pretože pohyb je spätý so samotnou existenciou hmoty.

V Newtonových zákonoch vystupujú veličiny sila a hmotnosť. Je užitočné, skôr než si

budeme formulovať Newtonove zákony, pomocou ktorých sú vlastne tieto veličiny

definované exaktne, urobiť si o týchto veličinách istú predstavu na základe každodenných

skúseností.

Hmotnosť. Hmotnosť je mierou zotrvačných (i gravitačných) vlastností telesa. Je mierou

odporu telesa proti zmene jeho pohybového stavu. Teleso s väčšou hmotnosťou ťažšie

zastavíme (pohneme), než teleso s menšou hmotnosťou. Samozrejme, pri ináč rovnakých

podmienkach. Jednotkou hmotnosti je 1 kg (kilogram).

Sila. Zmeny v povahe pohybu telies vznikajú ako následok interakcie (vzájomného

pôsobenia) telies, čo je poznatok získaný skúsenosťou. Kvôli jednoduchšej charakteristike

týchto javov človek si vytvoril užitočný pojem – silu. Sila je teda miera vzájomného

pôsobenia telies. Nemôže existovať sama o sebe – telesá pôsobia na seba prostredníctvom

polí (gravitačného, elektromagnetického, ...).

Predstavte si, že tlačíte rukou na nejaké teleso (napr. na stôl). Hovoríme, že pôsobíte na

teleso silou. Takúto silu, ktorá je výsledkom priameho kontaktu telies, nazývame kontaktnou

silou. Inou známou silou je tiaž telesa. Je to sila, ktorou pôsobí Zem na teleso. Ak problém

zjednodušíme, môžeme ju považovať za gravitačnú silu. Ďalšími druhmi síl sú elektrické

a magnetické sily, ktoré môžeme zahrnúť pod spoločný názov elektromagnetické interakcie.

A napokon, pri štúdiu jadra atómu sa stretneme s tzv. silnými a slabými interakciami.

Kurzívou písané sily sú štyri základné druhy síl, ktoré pozorujeme vo svete.

Zo skúseností vyplýva, že sila je: 1. vektorová veličina, 2. vyskytuje sa v pároch (rukou

tlačíte na stôl – stôl tlačí na Vašu ruku), 3. môže byť príčinou toho, že teleso sa pohybuje so

zrýchlením (voľný pád), 4. môže deformovať teleso.

Všetky vyššie opísané skutočnosti zhrnul Newton do troch zákonov:

1. Newtonov zákon – zákon zotrvačnosti: Existuje súradnicová sústava, v ktorej hmotný

bod (teleso) zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, kým nie je nútené

pôsobením iných hmotných bodov (telies) svoj pohybový stav zmeniť.

2. Newtonov zákon – zákon sily: Sila pôsobiaca na hmotný bod (teleso) je rovná súčinu

jeho hmotnosti m a zrýchlenia a, ktoré mu udeľuje

aF m (2.41)

sila F je výslednica síl pôsobiacich na hmotný bod (teleso)

iFF

Jednotkou sily je 1 N (newton).

3. Newtonov zákon – akcie a reakcie: Ak teleso 1 pôsobí na teleso 2 silou 12F , potom

teleso 2 pôsobí na teleso 1 silou 21F , ktorá má rovnakú veľkosť ako sila 12F a ktorá leží ma

tej istej vektorovej priamke ako sila 12F , avšak má opačný smer

2112 FF (2.42)

38

Najväčší význam z uvedených zákonov má zákon sily, pretože ten dáva do súvisu príčinu

zmeny pohybového stavu – silu s následkom, t. j. vyvolaným zrýchlením. Praktické riešenie

dynamických problémov spočíva v tom, že na základe známej sily F sa vypočíta zrýchlenie a

(alebo aj iná veličina charakterizujúca pohyb) a potom sa už postupuje podľa vzťahov

známych z kinematiky. Rovnica (2.41) sa nazýva aj pohybová rovnica voľného hmotného

bodu.

Príklad 2.7. Teleso tvaru kvádra s hmotnosťou 4 kg sa nachádza na stole. Pomocou

laniek vedených cez kladky je spojené s voľne visiacimi závažiami s hmotnosťami 2 kg a 1 kg

(pozri obr. 2.15). Treba určiť zrýchlenie kvádra a sily namáhajúce lanká. Trenie a hmotnosti

kladiek zanedbajte.

Riešenie: Pri riešení vychádzame z Newtonovho zákona sily aF mi

i . Podľa neho

zostavené pohybové rovnice jednotlivých telies sú

11T11 aFF mg

aFF m 2T1T (P1)

2222T aFF mg

V týchto rovniciach 21 a gg FF sú tiaže závaží,

T2T1T21T a , FFFF , sú sily pôsobiace v lankách

(„ťahy“ v lankách), 21 a , mmm sú hmotnosti

telesa a závaží a 21 a , aaa sú zrýchlenia

príslušných telies (pozri tiež obr. 2.15).

Pri prepisovaní rovníc (P1) do skalárneho

tvaru si treba uvedomiť, že všetky telesá sa

budú pohybovať s rovnako veľkým zrýchlením: a aaa 21 a platí, že 1TT11T F FF a

T2T2T2 F FF . Ďalej, pri prepisovaní rovníc (P1) do skalárneho tvaru budeme sily

pôsobiace v smere pohybu písať s kladným znamienkom, proti pohybu so záporným

znamienkom (pozri obr. 2.15). Pohybové rovnice jednotlivých telies potom sú

amFFg 1T11

maFF 2T1T (P2)

amFF g 222T

Sčítaním rovníc ľahko dostaneme vzťah pre zrýchlenie telies

22

21

21

21

21s . m 40,1

kg 1kg 4kg 2

s . m 9,81 . kg 1kg 2

mmm

gmm

mmm

FFa

gg

„Ťahy“ v lankách vypočítame z prvej a tretej rovnice súboru (P2)

N 8,16s . m 40,19,81 . kg 2 21111T agmamFF g

N 11,2s . m 40,19,81 . kg 1 22222T agmamFF g

Obr. 2.15. Všetky tri telesá sa pohybujú so

zrýchlením, ktoré má rovnakú veľkosť.

m

m

m

1

1

1

1

2

2

2

2

T

T

T

T

g

g

F

F

F

F

F

F´ ´

39

Príklad 2.8. Pohyb spôsobený silou závisiacou od polohy. Modelovým príkladom je

závažie na pružine (obr. 2.16). Sila, ktorá ho vracia do rovnovážnej polohy je priamo úmerná

výchylke, má však opačný smer: yF k .

Riešenie: Potom pohybová rovnica závažia má tvar

yaF km

Po dosadení 22 dd tya a prepísaní do skalárneho tvaru

dostaneme

0d

d2

2

kyt

ym

Riešením tejto rovnice je funkcia

tyy sin 0

kde y0 je amplitúda (absolútna hodnota maximálnej výchylky

z rovnovážnej polohy), mk – uhlová frekvencia kmitavého

pohybu a – fázová konštanta. Rýchlosť a zrýchlenie pri tomto

pohybe zistíme derivovaním podľa času

tytytt

y cos sin

d

d

d

d00v

a

ytytytt

a 20

20 sin cos

d

d

d

d

v

Vidíme, že výchylka y, rýchlosť v i zrýchlenie a sú harmonickými funkciami času.

Príklad 2.9. Pohyb spôsobený silou závisiacou od rýchlosti – brzdnou silou. Sila je

nasmerovaná proti smeru pohybu: vbkF .

Riešenie: Pohybová rovnica má v tomto prípade tvar

vbkm a

Keď dosadíme za tddva a prepíšeme rovnicu do skalárneho tvaru, dostaneme

vv

bd

dk

tm

Po separácii premenných

tm

kd

d bv

v

a integrovaní dostaneme vzťah pre rýchlosť

e

0

b tmkvv

kde v0 je rýchlosť v čase .0t

Obr. 2.16. Sila pôsobiaca

na závažie na pružine má

opačný smer ako výchylka

závažia z rovnovážnej po-

lohy.

k

y

y

0

0

0m

-y

F

y

j

40

Vzťah pre prejdenú dráhu a vzťah pre zrýchlenie dostaneme integráciou (

t

txs

0

d v ),

resp. derivovaním ( ta ddv )

tmk

k

mx

b

0 be1

v

, resp. tmk

m

ka

0

b be

v

Prvé dva Newtonove zákony platia len v takých súradnicových sústavách, ktoré stoja

alebo sa pohybujú bez zrýchlenia. Také súradnicové sústavy sa nazývajú inerciálne. Za

inerciálnu sa považuje súradnicová sústava viazaná na nepohyblivé hviezdy – stálice.

Ak vyberieme neinerciálnu súradnicovú sústavu, t. j. takú, ktorá sa pohybuje so

zrýchlením (jej začiatok sa pohybuje so zrýchlením alebo súradnicová sústava rotuje) zákon

zotrvačnosti v nej neplatí a objavia sa sily, ktoré zvykneme nazývať „fiktívne” (alebo

pseudosily). Tieto nie sú podmienené prítomnosťou iných hmotných bodov (telies) v blízkosti

daného hmotného bodu (telesa). Napríklad, uvažujme súradnicovú sústavu viazanú na

železničný vagón, na ktorého podlahe sa nachádza guľa. Ak vlak začne brzdiť (spomalený

pohyb), guľa sa začne pohybovať smerom k lokomotíve pri zrýchľovaní smerom dozadu. Ak

vlak zatáča vľavo, guľa pôjde vpravo, ak vlak pôjde vpravo, guľa sa bude pohybovať doľava.

Newtonov zákon sily v tvare (2.41) určuje „reálnu” silu pôsobiacu na hmotný bod (teleso),

spôsobenú iným hmotným bodom (telesom).

Z predchádzajúcich úvah vyplýva, že všetky inerciálne súradnicové sústavy sú

ekvivalentné. Táto skutočnosť je vyjadrená v Galileovom princípe relativity: Základné zákony

fyziky sa rovnako formulujú pre všetky súradnicové sústavy, ktoré sa pohybujú navzájom

konštantnými rýchlosťami. Inými slovami: Nijakými fyzikálnymi pokusmi sa nemožno

presvedčiť, či je súradnicová sústava v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe.

2.8 Pohyb hmotného bodu v neinerciálnej súradnicovej sústave

Zákon sily môžeme chápať aj tak, že každému zrýchleniu a odpovedá sila aF m , takže

zrýchleniu a, ktoré nameria pozorovateľ v neinerciálnej súradnicovej sústave zodpovedá sila

rαrωωωaaaF mmmmmm v20 (2.43)

alebo

FFFFFF odC0 (2.44)

kde a je zrýchlenie vzhľadom na inerciálnu sústavu,

a0 – zrýchlenie začiatku neinerciálnej sústavy,

– uhlová rýchlosť, s ktorou rotuje neinerciálna sústava,

– uhlové zrýchlenie neinerciálnej sústavy,

F – sila pôsobiaca na hmotný bod v neinerciálnej sústave,

aF m – reálna sila,

00 aF m – sila súvisiaca so zrýchlením začiatku neinerciálnej sústavy,

v ωF m2C – Coriolisova sila,

rωωF mod – odstredivá sila,

rαF m – sila súvisiaca so zmenou uhlovej rýchlosti otáčania neinerciálnej sústavy.

41

Príklad 2.10. Vo výťahu sa vezie človek hmotnosti 70 kg. Aká je jeho zdanlivá tiaž,

keď sa výťah rozbieha: a) smerom nahor so zrýchlením 2s . m ,50 , b) smerom dole so

zrýchlením ?s . m ,60 2

Riešenie: Súradnicová sústava spojená s výťahom je neinerciálna súradnicová sústava

pohybujúca sa vzhľadom na inerciálnu (spojenú s budovou) so zrýchlením .0a Na človeka

pôsobí preto sila (pozri vzťah (2.44))

00 agFFF mm

čo je zdanlivá tiaž človeka.

a) Pri pohybe nahor vektory g a 0a majú opačné smery, preto zdanlivá tiaž je

N 722s . m 5,09,81 . kg 70 200hzh agmmamgFF

b) Pri pohybe nadol g a 0a majú rovnaké smery, preto

N 645s . m 6,081,9 . kg 70 200dzd agmmamgFF

2.9 Hybnosť, impulz sily, zákon zachovania hybnosti

Pomocou Newtonových zákonov dynamiky by sme mohli principiálne vyriešiť každý

konkrétny problém týkajúci sa pohybu. Niekedy však riešenie problémov pomocou nich je

komplikované, a preto budeme v ďalšom formulovať niekoľko zákonov, pomocou ktorých sa

dajú mnohé problémy dynamiky riešiť elegantnejšie a rýchlejšie. Na tento účel si budeme

definovať dve veličiny – hybnosť a impulz sily.

Hybnosť hmotného bodu je definovaná súčinom jeho hmotnosti m a rýchlosti v

vmp (2.45)

Impulz sily (časový účinok sily) je definovaný vzťahom

t

t

d

0

FI (2.46)

Odvodíme súvis medzi impulzom sily pôsobiacej na hmotný bod a medzi hybnosťou

hmotného bodu

00

000 0

d d d

dd d ppaFI

v

v

vvvv

mmmtt

mtmt

ttt

(2.47)

Teda, impulz sily pôsobiacej na voľný hmotný bod sa rovná zmene hybnosti hmotného bodu.

Uvažujme zrážku dvoch hmotných bodov (obr. 2.17). V okamihu zrážky, ktorá trvá dobu

,dt pôsobia na seba hmotné body podľa zákona akcie a reakcie silami

2112 FF

42

Sily F12 a F21 môžeme vyjadriť aj pomocou hybnosti, lebo

tt

m

tmm

d

d

d

d

d

d paF

vv (2.48)

Teda

tt d

da

d

d 121

212

pF

pF

Potom zákon akcie a reakcie môžeme napísať v tvare

0d

d

d

d 21 tt

pp

z ktorého vyplýva, že

.21 konšt pp (2.49)

čo môžeme slovne interpretovať takto: V izolovanej sústave hmotných bodov ich celková

hybnosť zostáva konštantná. Izolovaná sústava hmotných bodov (telies) je taká sústava

hmotných bodov, na ktoré nepôsobia žiadne vonkajšie sily (t. j. žiadne objekty mimo sústavy)

alebo výslednica vonkajších síl je nulová.

Príklad 2.10. Hmotný bod s hmotnosťou 10 g sa pohybuje po kružnici s polomerom

cm, 10 s periódou 2 s. Treba zistiť zmenu jeho hybnosti (veľkosť zmeny aj smer) po uplynutí

štvrtiny periódy.

Riešenie: Treba si uvedomiť, že hybnosť je vektorová veličina (obr. 2.18a). Zmena

hybnosti je

00Δ vv mm ppp

čo je znázornené na obr. 2.18b. Veľkosť zmeny hybnosti, keď si uvedomíme, že ,0vv je

rovná

T

mr

T

rmmmmmp 8π

π2 2 22Δ 0

20

20

2 vvvv

Číselne

13

2

s . m . kg 10444

s 2

m 0,1 . kg 10. 8Δ

.,

p

Vektor zmeny hybnosti

smeruje do stredu kružnice, lebo

pri rovnomernom pohybe hmot-

ného bodu po kružnici pôsobí na

hmotný bod len sila smerujúca

do stredu kružnice – dostredivá

sila (pozri vzťah (2.47)).

Obr. 2.17. Celková hybnosť izolovanej

sústavy hmotných bodov sa zachováva.

Obr. 2.18. Zmena hybnosti hmotného bodu pri jeho rovnomer-

nom pohybe po kružnici.

m

mp

p1

1

1

2

22

S

r

0

0

p

p

p

mp=

m 00p =

a) b)

43

Príklad 2.11. Molekula argónu, letiaca rýchlosťou

,s . m 500 1 pružne narazí na stenu nádoby. Smer rýchlosti

molekuly zviera s normálou k stene uhol 45°. Treba vypočítať

impulz sily, ktorý udelí stena molekule (obr. 2.19). Hmotnosť

molekuly argónu je kg. 6,63.10 26

Riešenie: Impulz sily, ktorý udelí stena molekule je rovný

zmene jej hybnosti

0vv mm I

Smer impulzu sily je zrejmý z obr. 2.19 a keďže ide o pružný

náraz, platí 00 vmmm vv . Veľkosť impulzu sily potom

možno vypočítať takto

s . N ,69.10445 cos s . m 500 . kg 6,63.10 . 2cos2 23126 vmI

Keby molekula dopadla na stenu kolmo, uhol 0 a impulz sily, ktorý udelí stena

molekule by bol rovný 02 vmI .

2.10 Energia, práca, výkon, účinnosť

Častokrát budeme v našom kurze spomínať slovo energia. Mali by sme presne vymedziť

čo to je energia. Bohužiaľ presná odpoveď neexistuje, súčasná fyzika vlastne nevie čo je to

energia. Pokúsme sa aspoň objasniť jej zmysel. Energia je veličina, ktorá zachováva svoju

hodnotu pri akýchkoľvek dejoch, čo sa vyjadruje zákonom zachovania energie. Tento zákon

vyjadruje skutočnosť, že po skončení pozorovania

„izolovanej” časti prírody prechádzajúcej rôznymi

premenami, dostaneme výpočtom to isté číslo ako pred

premenami. Izolovaný systém značí, že energia do

systému nemôže len „prichádzať” alebo len

„odchádzať”. Ak nejaká energia do systému príde,

musíme dať pozor, aby rovnaké množstvo odišlo. Teda

energia uzavretého systému je v čase konštantná.

Energia vyjadrená vzťahmi má mnoho foriem:

gravitačná, kinetická, potenciálna, tepelná, energia

pružnosti, elektrická, chemická, radiačná, jadrová, atď.

Častokrát energiu definujeme ako schopnosť telesa konať prácu. Pojem práca vznikol

skúsenosťou a v bežnej reči sa spája s dvomi inými veličinami, s dráhou a silou.

Mechanická práca W (dráhový účinok sily) je definovaná vzťahom

2

1

d

r

r

rFW (2.50)

kde F je sila, r – polohový vektor pôsobiska sily.

Obr. 2.19. Stena udelí mo-

lekule impulz sily rovný

zmene jej hybnosti.

Obr. 2.20. K práci konštantnej sily.

mm

m-m

I

00

0

.

m

F

r

0

rr1

2

44

Ak napr. .,konštF práca je

cos Δd 12

2

1

FsW rFrrFrF

r

r

(2.51)

kde s je posunutie pôsobiska sily a – uhol medzi vektorom F a vektorom r, (obr. 2.20).

Jednotka práce: J 1 s . m . kg 1m 1 . N 1 2 (joule – číta sa džaul).

Výkon je práca vykonaná za jednotku času

t

WP

d

d (2.52)

Výkon je teda mierou intenzity konania práce. Vzťahom (2.52) je definovaný okamžitý výkon.

Priemerný výkon je definovaný vzťahom

t

WP

Δ

Δ (2.53)

kde W je práca vykonaná za dobu t.

Ak do vzťahu (2.52) dosadíme diferenciál práce rF dd W , dostaneme ďalší užitočný

vzťah pre určenie výkonu

v

FrF

tt

WP

d

d

d

d (2.54)

Jednotka výkonu: 1 1 J 1 s W (watt) .

Účinnosť stroja alebo zariadenia je definovaná vzťahom

pP

P (2.55)

kde P je výkon stroja a Pp príkon (výkon dodávaný do stroja). Účinnosť sa udáva buď ako

desatinné číslo (je vždy menšia ako jeden), alebo v percentách (ak vynásobíme desatinné číslo

stoma).

Príklad 2.12. Plne naložený výťah sa pohybuje smerom nahor s konštantnou

rýchlosťou ., 1s . m 60 Aká sila napína lano, na ktorom je zavesený výťah, keď výkon

elektromotora navíjajúceho lano je 24 kW?

Riešenie: Sila tF pôsobiaca na lano výťahu je paralelná so smerom rýchlosti v. Potom

platí, že

vvt

tt FFP cosvF

Z tohto vzťahu potom hľadaná sila je

kN 04N 1040s . m 0,6

W10 . 24 3

1

3

t

.P

Fv

45

2.11 Kinetická a potenciálna energia

V mechanike sa stretávame s dvoma formami energie: kinetickou a potenciálnou.

Pohybujúci sa hmotný bod má energiu, ktorú nazývame kinetickou. Teda, ak chceme takýto

pohybujúci sa bod zastaviť, musíme konať prácu, podobne, ako keď chceme stojaci hmotný

bod uviesť do pohybu. Ak chceme zmeniť pohybový stav hmotného bodu, musíme konať

prácu. Potenciálna energia súvisí s konaním práce silou, ktorá premáha inú silu. Napr. pri

zdvíhaní telesa v gravitačnom poli Zeme

prekonávame gravitačnú silu, pričom poten-

ciálna energia telesa vzhľadom na povrch Zeme

sa zvyšuje. Teda teleso na streche domu má istú

skrytú energiu, podobne ako stlačená, resp.

natiahnutá pružina.

Kinetická energia hmotného bodu pohy-

bujúceho sa rýchlosťou v je určená vzťahom

2k

2

1vmE (2.56)

kde m je hmotnosť hmotného bodu. Pohybujúci sa hmotný bod (teleso) má vždy kinetickú

energiu, pričom vôbec nezáleží na tom, odkiaľ pohyb pochádza. Jednotka energie je 1 J.

Odvodíme súvis medzi prácou sily, ktorá začne pôsobiť na pohybujúci sa hmotný bod

a zmenou kinetickej energie tohto bodu (obr. 2.21)

k21

1

Δ 2

1

2

1ddd

d

ddd

2

1

22

1

2

1

2

1

Emmmmt

mmW vvvv 22

v

v

v

v

vvv

rrarF

r

r

r

r

r

r

(2.57)

Práca sily sa rovná zmene kinetickej energie. Rovnosť vv d d vv dostaneme diferenco-

vaním rovnosti vvvvvvvv d 2ddd2teda , 2 v vv .

Potenciálna energia hmotného bodu v mieste (B) vzhľadom na miesto (A) sa rovná práci,

ktorú vykonajú vonkajšie sily pri premiestnení hmotného bodu z miesta (A) do miesta (B).

Potenciálna energia hmotného bodu v mieste (B) vzhľadom na miesto (A) je teda

definovaná vzťahom

B

A

B

A

E rFrF ddvp (2.58)

kde F je sila poľa – sila, ktorú musí premáhať vonkajšia sila FF v , keď koná prácu a rd

je zmena polohového vektora pôsobiska sily.

Príklad 2.13: Vypočítame potenciálnu energiu natiahnutej, resp. stlačenej pružiny,

obr. 2.16.

Riešenie: Zo skúseností vyplýva, že pružná sila F, ktorou sa „snaží pružina vrátiť“ do

rovnovážnej polohy, je priamo úmerná jej predĺženiu (skráteniu) y a nasmerovaná proti

tomuto predĺženiu (skráteniu), pozri obr. 2.16. Teda

kyF

Obr. 2.21. Práca sily pôsobiacej na hmotný

bod je rovná zmene jeho kinetickej energie.

m mF

0

rr1 12

2

46

Potenciálnu energiu natiahnutej pružiny vypočítame podľa vzťahu (2.58)

2

000

p2

1d d d kyyykyykyFE

yyy

Keď integrál vo vzťahu (2.57) závisí len od začiatočnej polohy (A) a konečnej polohy

(B), hovoríme o poli konzervatívnych síl alebo o potenciálovom poli. V takomto prípade platí

tiež, že integrál po uzavretej krivke sa rovná nule:

0d s

rF Potenciálové pole je teda také,

v ktorom je jednoznačne definovaná potenciálna energia vzťahom (2.58).

V takomto prípade možno zo vzťahu (2.57) odvodiť vzťah pre silu v ľubovoľnom bode

poľa

pdd E rF

čo možno napísať tiež ako

rkjikjirF dddddddd ppppppp

Ezyx

z

E

y

E

x

Ez

z

Ey

y

Ex

x

E

Z posledného vzťahu vyplýva, že

pEF (2.59)

čo možno v zložkovom tvare vyjadriť ako

z

EF

y

EF

x

EF zyx

ppp ; ;

2.12 Gravitačné pole

2.12.1 Úvod

Pohyb nebeských telies pútal pozornosť ľudskej mysle už od dôb najstarších civilizácií.

Veľmi zaujímavým a dôležitým z hľadiska porozumenia nášho sveta (vesmíru) je proces

vývoja poznania planetárneho pohybu.

Starí Gréci považovali Zem za centrum vesmíru. Domnievali sa, že Zem je jeho

geometrickým stredom a že všetky „nebeské telesá“ sa pohybujú okolo Zeme. Telesá známe

v tom čase boli umiestnené vzhľadom na Zem podľa ich vzdialeností od nej. Prvým bol

Mesiac, potom nasledovali Merkúr, Venuša, zaujímavé – potom Slnko, ďalej Mars, Jupiter a

Saturn. Ostatné nebeské telesá boli rozmiestnené za vonkajšou sférou.

Táto prvá hypotéza o pohybe nebeských telies predpokladala, že sa pohybujú po

koncentrických kružniciach, v ktorých strede sa nachádza Zem (tzv. geocentrický model).

Tento predpoklad však nebol v súlade s pozorovaným pohybom planét. Preto v druhom

storočí nášho letopočtu, aby odstránil tento nesúlad, navrhol Ptolemaios geocentrický model,

podľa ktorého sa planéty pohybujú po malých kružniciach – epicykloch a stredy epicyklov sa

zasa pohybujú po väčších kružniciach koncentrických so Zemou, nazývanými deferenty.

47

Výsledná trajektória planéty je epicykloida. Dnes vieme, že tento model je úplne chybný, ale

je zaujímavé, že výpočty pohybu planét odvodené z tohto modelu boli pomerne presné a ešte

v 16. storočí konkurovali výpočtom polôh podľa Kopernikovho heliocentrického modelu.

Kopernikov model bol revolučným krokom, lebo namiesto Zeme umiestnil do stredu

planetárnej sústavy Slnko – navrhol tak heliocentrický model. M. Kopernik (1473 – 1543)

predpokladal, že trajektórie planét sú kružnice, čo viedlo k chybám, ktoré sa museli korigovať

zavedením pomocných epicyklov. Až starostlivé pozorovania Tycha de Braheho a ich

dôkladné štúdium priviedli J. Keplera (1571 – 1630) k modelu, podľa ktorého sa planéty

pohybujú po málo výstredných elipsách, v ktorých jednom spoločnom ohnisku sa nachádza

Slnko. S týmto modelom vystačila astronómia až do polovice 20. storočia.

S rozvojom kozmonautiky a presných metód merania planetárnych vzdialeností pomocou

radaru sa ukázalo, že ani tento model planetárnej sústavy nie je dosť presný. Astronómovia ho

museli nahradiť modelom relativistickým. Pri letoch kozmických sond k Venuši a Marsu sú

relativistické opravy klasického gravitačného poľa Slnka už tak značné, že keby sme ich

nezahrnuli do výpočtu dráh kozmických sond, mohlo by sa stať, že sondy by mohli planétu

i minúť.

2.12.2 Newtonov gravitačný zákon

J. Kepler, ako sme už spomenuli, analýzou pozorovaných údajov o pohybe planét

sformuloval nasledovné zákony:

1. Planéty obiehajú okolo Slnka po eliptických, málo výstredných trajektóriách, pričom

Slnko je spoločné ohnisko.

2. Plochy opísané sprievodičom planéty (spojnicou planéty a Slnka) za dva rovnaké

časové intervaly sú rovnaké.

3. Druhé mocniny obežných dôb planét sú úmerné tretím mocninám veľkých poloosí ich

eliptických trajektórií (obr. 2.22).

I. Newton (1642 – 1727) správne usúdil, že pohyb planét okolo Slnka zapríčiňuje tá istá

sila, ktorá spôsobuje pohyb voľne pustených telies smerom k Zemi. Taká príťažlivá sila sa

nazýva gravitačná sila. Newton z troch Keplerových zákonov odvodil všeobecne platný

gravitačný zákon.

Obr. 2.22. Planéty obiehajú okolo Slnka po

eliptických, málo výstredných trajektóriách, pri-

čom Slnko je spoločné ohnisko.

Obr. 2.23. Pri odvodzovaní Newtonovho

gravitačného zákona je pohyb planéty po

kružnici dostačujúcou aproximáciou.

SLNKO

PLANÉTAS

S

1

2t

t

SLNKO

PLANÉTAr FM

m

48

Videli sme, že z pohybových rovníc môžeme určiť trajektóriu, keď poznáme pôsobiacu

silu (napr. šikmý vrh). Ale zo známej trajektórie možno odvodiť aj silu, ktorá skúmaný pohyb

zapríčiňuje. Newton použil práve túto druhú možnosť.

Keplerov 1. zákon tvrdí, že orbitála planéty je elipsa. Špeciálnym prípadom elipsy je

kružnica, pri ktorej obidve ohniská splývajú so stredom. Toto priblíženie pre trajektóriu planét

je možné použiť, lebo výstrednosť elíps, po ktorých sa planéty pohybujú je malá. Keď sa teda

planéta pohybuje rovnomerným pohybom po kružnici, jediným zrýchlením je dostredivé

zrýchlenie spôsobené príťažlivou silou smerujúcou do stredu kružnice, v ktorom sa nachádza

Slnko (obr. 2.23). Veľkosť tejto sily sa dá vyjadriť podľa 2. Newtonovho zákona – zákona sily

nasledujúco

rmmaF

2

d

v

V tomto vzťahu m je hmotnosť planéty, v – obežná rýchlosť planéty okolo Slnka a r – vzdia-

lenosť planéty od Slnka.

Pre dostredivé zrýchlenie použitím 3. Keplerovho zákona ( 32 krT ) dostaneme vyjadre-

nie

22

2

3

2222

d

11π41π41π2

rC

rkrkr

r

rT

r

ra

v

a pre dostredivú (gravitačnú) silu, ktorou Slnko pôsobí na planétu

2r

mCF (2.60)

Konštanta C vystupujúca vo vzťahu (2.60) závisí len od vlastností Slnka.

Podľa princípu akcie a reakcie však musí pôsobiť aj planéta na Slnko silou rovnako

veľkou, teda

2r

MCF (2.61)

kde M je hmotnosť Slnka a konštanta C v tomto prípade závisí len od vlastností planéty.

Porovnaním vzťahov (2.60) a (2.61) dostaneme, že

MCCm

resp.

Gm

C

M

C

Potom GMC a mGC . Keď dosadíme vzťah GMC do vzťahu (2.60) alebo vzťah

mGC do vzťahu (2.61) dostaneme pre veľkosť príťažlivej sily vzťah

2r

MmGF (2.62)

Tento vzťah zovšeobecnil Newton pre akékoľvek telesá (ktoré možno považovať za

hmotné body) s hmotnosťami m a m : Sila, ktorou sa priťahujú dve telesá s hmotnosťami m a

49

m je priamo úmerná súčinu obidvoch hmotností a nepriamo úmerná druhej mocnine ich

vzdialenosti r

2r

mmGF

(2.63)

Konštanta G sa nazýva gravitačná konštanta. Jej hodnota

je (údaj z r. 2002)

-2-1311 s kg m 100010067426 .,,G

Rovnica (2.63) platí, ako sme už spomenuli, presne len

pre hmotné body, t. zn. pre telesá, ktorých vzájomná

vzdialenosť je podstatne väčšia ako sú ich rozmery a pre

homogénne gule, pri ktorých za r dosadzujeme vzdialenosť

ich stredov.

Keďže sila je vektorová veličina, upravíme vzťah (2.63) do vektorového tvaru. Teda sila,

ktorou hmotný bod s hmotnosťou m priťahuje hmotný bod s hmotnosťou m sa dá vyjadriť

nasledujúco

rF3r

mmG

(2.64)

V tomto vzťahu r je polohový vektor hmotného

bodu s hmotnosťou m vzhľadom na hmotný bod

s hmotnosťou m, r je jeho absolútna hodnota

(vzdialenosť hmotných bodov), pozri obr. 2.24.

Gravitačnú konštantu nemožno vypočítať

z výsledkov astronomických pozorovaní. Z nich sa

dajú určiť len kinematické veličiny. Gravitačná

konštanta sa preto musí určiť vhodným laboratórnym

meraním. Ako prvý ju zmeral r. 1798 H. Cavendish

(1731 – 1810) pomocou torzných váh (obr. 2.25): Na

dlhom, jemnom a pružnom vlákne je upevnená

ľahká tyčinka, na ktorej koncoch sú umiestnené dve

rovnaké malé olovené guľôčky A a B s hmotnosťou

m. Ďalšie dve gule C a D, znova s rovnakou, ale

podstatne väčšou hmotnosťou mM , boli

umiestnené v blízkosti gúľ A a B tak, ako je

znázornené na obr. 2.25. Gravitačná sila pôsobiaca

medzi guľami, skrúti vlákno. Keďže sily pôsobiace

medzi guľami sú malé, použije sa na zistenie

pootočenia vlákna optické zariadenie. Potom sa gule C a D umiestnia do polôh, ktoré sú

vyznačené čiarkovanými krúžkami a znova sa určí uhol pootočenia vlákna. Z nameraných

údajov sa dá zistiť sila pôsobiaca medzi guľami a pomocou vzťahu MmFrG 2 sa vypočíta

gravitačná konštanta.

Cavendish opísal svoj experiment ako „váženie Zeme“. Skutočne, ak poznáme gravitačnú

konštantu, hmotnosť Zeme vieme vypočítať, pozri vzťah (2.62). Takýmto spôsobom možno

nájsť aj hmotnosť iných planét a tiež aj Slnka.

Obr. 2.24. Gravitačná sila je prí-

ťažlivá sila.

Obr. 2.25. Schematické znázornenie

Cavendishovho experimentu na určenie

gravitačnej konštanty.

m

m

x

y

z

r

F

A

B

Zrkadlo

Stupnica

Zdroj svetla

C

D

m

m

M

M

50

Príklad 2.14. Na obr. 2.26 sú znázornené tri hmotné

body s hmotnosťami kg 21 m , kg 32 m , kg 43 m .

Vzdialenosti medzi hmotným bodom m1 a hmotnými bodmi

s hmotnosťami m2 a m3 sú cm 912 r , cm 1213 r . Uhol

30 . Určite silu F1 pôsobiacu na hmotný bod

s hmotnosťou m1, t. j. jej veľkosť F1 a smer – pomocou uhla

, ktorý zviera s kladným smerom osi x.

Riešenie: Veľkosť síl 12F a 13F , ktorými pôsobia

hmotné body m2 a m3 na hmotný bod m1 určíme pomocou

Newtonovho gravitačného zákona (vzťah 2.64)

N 10944

m 9.10

kg 3 . kg 2. s .kg . m 10676 8

22-

21311

212

2112

.,.,.

r

mmGF

a

N 10713

m 12.10

kg 4 . kg 2s . kg . m 6,67.10 8

22-

21311

213

3113

.,..

r

mmGF

Sily medzi hmotnými bodmi sú príťažlivé (pozri obr. 2.26).

Ďalej vypočítame veľkosti zložiek sily F1 do smeru osi x a do smeru osi y

N 1021330 .cosN 107130 881313121

.,.,cosFFFF xxx

a

N 1080630 sin .N 10713N 10944 888131213121

.,.,.,sinFFFFF yyy

Veľkosť sily F1 je potom

2

1

2

11 yx FFF

N 10527N ,80.106N ,21.103 82828 .,

a uhol, ktorý zviera s kladným smerom osi x

4270N 7,52.10

N ,21.1038

8

1

1 ,cos

F

F x , 764,

Poznámka: Gravitačná a zotrvačná hmotnosť. Hmotnosť vystupujúca v Newtonovom

gravitačnom zákone sa nazýva gravitačná hmotnosť. Pri Newtonových zákonoch dynamiky

sme hmotnosť definovali ako mieru zotrvačnosti telies pri posuvnom pohybe. Takú hmotnosť

nazývame zotrvačná hmotnosť. Je experimentálne potvrdené, že tieto dve hmotnosti sú

rovnaké. Tento fakt, rovnosť gravitačnej a zotrvačnej hmotnosti, je základom Eisteinovej

všeobecnej teórie relativity.

Obr. 2.26. Gravitačná sila je

príťažlivá. K príkladu 2.14.

m

m

m

x

y

F

F

F

12

13

1

1

23

51

2.12.3 Intenzita gravitačného poľa

Pojem poľa je spojený s polohou. Napríklad teplota vzduchu v miestnosti má v každom

bode miestnosti svoju konkrétnu hodnotu. Ak teplotu označíme symbolom T, potom existuje

funkcia zyxTT ,, , ktorá určuje teplotu v každom bode zyx ,, priestoru. Samozrejme,

teplota sa môže meniť aj s časom t, potom tzyxTT , ,, . Keďže teplota je skalárna

veličina, uvedený príklad je príkladom skalárneho poľa.

Keď veličina, charakteristická pre každý bod priestoru je vektorová veličina, hovoríme

o vektorovom poli. Napríklad rýchlosť prúdenia vzduchu tzyx ,,,vv predstavuje

vektorové pole.

Gravitačné pole je priestor, v ktorom na hmotné objekty pôsobí sila. Keďže koncept

okamžitého silového pôsobenia dvoch vzdialených telies je z hľadiska súčasnej fyziky

neprípustný, musíme pole chápať ako objektívne jestvujúcu fyzikálnu realitu, ktorá

sprostredkuje vzájomné pôsobenie telies.

Teda aj gravitačné pole v danom bode priestranstva chápeme ako istý stav priestranstva,

ktorý má vplyv na bezprostredné pôsobenie na ľubovoľný hmotný objekt nachádzajúci sa

v danom bode.

Hovoríme, že hmotný objekt (teleso) s hmotnosťou m vytvorí v priestore taký stav, na

ktorý iné teleso s hmotnosťou m reaguje tak, že naň pôsobí príťažlivá sila k telesu

s hmotnosťou m. Tento „stav priestoru“ nazývame gravitačným poľom objektu s hmotnosťou

m. Avšak presne tak isto by sme mohli povedať, že objekt s hmotnosťou m vytvára pole

a objekt s hmotnosťou m na toto pole reaguje. Keďže objekt s hmotnosťou m vytvára pole,

hovoríme, že je zdrojom poľa. Na ľubovoľný objekt s hmotnosťou m umiestnený do tohoto

poľa bude pôsobiť podľa Newtonovho gravitačného zákona sila

rF3r

mmG

Keď vydelíme obidve strany tejto rovnice hmotnosťou m dostaneme

rF

3r

mG

m

(2.65)

Vidíme, že pravá strana tejto rovnice nezávisí od m , ale len od m a od polohového

vektora objektu s hmotnosťou m vzhľadom na objekt s hmotnosťou m. Inými slovami, pravá

strana rovnice (2.65) je charakteristikou poľa v mieste s polohovým vektorom r vzhľadom na

zdrojové teleso s hmotnosťou m. Túto charakteristiku

nazývame intenzita gravitačného poľa a značíme ju

symbolom K

m

FK (2.66)

Jednotkou intenzity gravitačného poľa je -1kg .N 1 .

Intenzita gravitačného poľa je teda sila, ktorá v danom

bode poľa pôsobí na objekt s jednotkovou hmotnosťou.

Jednotka intenzity gravitačného poľa vyjadrená

pomocou základných jednotiek SI je -2s . m 1 . Teda je

Obr. 2.27. Intenzita gravitačného

poľa v okolí hmotného bodu (i homo-

génneho guľového telesa) s hmotnos-

ťou m.

m

m´

x

y

z

rFK

52

totožná s jednotkou zrýchlenia. Intenzita gravitačného poľa K v danom mieste je číselne aj

rozmerovo totožná s gravitačným zrýchlením ga v tom istom mieste. Platí: gaKF mm .

Vzťahom (2.66) je vlastne určená intenzita gravitačného poľa v okolí hmotného bodu

(i homogénneho guľového telesa) s hmotnosťou m (obr. 2.27)

rK3r

mG (2.67)

Intenzita gravitačného poľa v okolí viacerých hmotných bodov s hmotnosťami m1, m2, …,

mi, …, mn je daná princípom superpozície (vektorovým súčtom jednotlivých intenzít,

obr. 2.28a)

i

n

i i

in

i

ir

mG rKK

1

31

(2.68)

Intenzita v okolí telesa s objemovou hustotou Vm dd sa určí podľa vzťahu

rrKK

Vmr

VG

r

m33

d

d Gd

(2.69)

kde dV je objemový element telesa (obr. 2.28b).

Znázorňovanie gravitačného poľa. Siločiarou v gravitačnom poli nazývame orientovanú

čiaru, ktorá v každom svojom bode je súhlasne rovnobežná so smerom intenzity gravitačného

Obr. 2.28. K výpočtu intenzity gravitačného poľa: a) v okolí viacerých

hmotných bodov, b) v okolí telesa s objemovou hustotou .

Obr. 2.29. Siločiary gravitačného poľa: a) hmotného bodu, b) dvoch rovnakých

hmotných bodov, c) homogénneho.

r

K

dV

a) b)

m

m

m

m

m

r

1 1

2

2

i

i

i

n

n

j

j

K

K

K

KK

K

KK

K

a) b)

mm m

c)

53

poľa v tomto bode. Pomocou siločiar možno „zviditeľniť“ gravitačné pole. Príklady

znázornenia gravitačného poľa sú na obr. 2.29. Rozloženie siločiar reprezentuje veľkosť poľa.

V oblasti, kde sú siločiary bližšie pri sebe (hustejšie), je intenzita gravitačného poľa väčšia

ako tam, kde sú siločiary ďalej od seba (redšie). Homogénne pole je znázorňované

siločiarami, ktoré sú rovnako vzdialené, priame a paralelné.

2.12.4 Gravitačná potenciálna energia. Gravitačný potenciál

Ako sme už skôr uviedli, potenciálna energia súvisí s konaním práce silou, ktorá premáha

inú silu. Teda, keď dvíhame teleso v gravitačnom poli Zeme prekonávame gravitačnú silu,

pričom potenciálna energia telesa vzhľadom na povrch Zeme sa zvyšuje.

Počítajme teda prácu W, ktorú vykoná vonkajšia sila Fv (sila premáhajúca gravitačnú

silu), keď prenesie v gravitačnom poli vytvorenom hmotným bodom s hmotnosťou m, hmotný

bod s hmotnosťou m z miesta s polohovým vektorom r1 do miesta s polohovým vektorom r2

(obr. 2.30). Táto práca je rovná prírastku potenciálnej energie Ep hmotného bodu

s hmotnosťou m . Teda

1223vp1p2

11d

1ddd

2

1

2

1

2

1

2

1

rrmGmr

rmGm

r

mmGEEW

r

r

rrrFrF

r

r

r

r

r

r

(2.70)

Je zvykom zaviesť pojem absolútnej potenciálnej energie Ep. Táto je definovaná ako

práca vonkajších síl, ktorú vykonajú pri premiestnení hmotného bodu s hmotnosťou m

z referenčného miesta nachádzajúceho sa v nekonečne (vo vzťahu (2.70) 1r ) do miesta vo

vzdialenosti r od zdroja gravitačného poľa (hmotného bodu s hmotnosťou m)

r

mmGE

p (2.71)

Tento vzťah je vyjadrením vzájomnej potenciálnej energie

dvoch hmotných bodov, ktoré sú vo vzájomnej vzdialenosti r.

Podobne, ako sme zaviedli podiel gravitačnej sily a hmot-

nosti, je výhodné zaviesť aj podiel potenciálnej energie a hmot-

nosti telesa, ktorému táto energia prislúcha. Tento podiel sa

nazýva potenciál gravitačného poľa

m

E

pg (2.72)

Slovne možno potenciál gravitačného poľa v danom bode priestoru definovať ako prácu

vonkajších síl potrebnú na prenesenie hmotného objektu s jednotkovou hmotnosťou

z referenčného bodu do daného bodu.

Jednotkou potenciálu v sústave SI je -1kg .J 1 . Potenciál -1kg .J 1 má teda daný bod

v gravitačnom poli vtedy, keď na prenesenie jednotkovej hmotnosti (1 kg) z referenčného

bodu do daného bodu vykonajú vonkajšie sily prácu 1 J.

Obr. 2.30. K výpočtu práce

v gravitačnom poli.

r

r1

2

m

m´

(2)

(1)

54

Ak je gravitačné pole vytvorené sústavou hmotných bodov s hmotnosťami m1, m2, …, mn,

absolútny potenciál je daný vzťahom

n

i i

in

i

ir

mG

11

gg (2.73)

kde ri je vzdialenosť bodu, v ktorom potenciál určujeme, od hmotného bodu s hmotnosťou mi.

Ak je zdrojom gravitačného poľa teleso s objemovou hustotou , absolútny potenciál

určíme podľa vzťahu

Vr

VG

d d

gg

(2.74)

Odvodíme si ešte súvis medzi intenzitou a potenciálom gravitačného poľa. Podľa

definície možno potenciál vyjadriť ako

rKrF

ddp

gmm

E

teda

rK dg (2.75)

Malý prírastok potenciálu možno vyjadriť ako

rK dd

a ďalej

kjikji zyxKKKzz

yy

xx

zyx ddddddggg

Z posledného vzťahu vyplýva, že

zK;

yK;

xK zyx

ggg

a tiež

gg grad K (2.76)

intenzita gravitačného poľa sa rovná zápornému gradientu potenciálu.

Keďže potenciál zyx ,,gg je skalárna funkcia, pri určovaní charakteristík poľa

spravidla začíname práve s jeho výpočtom. Na výpočet intenzity gravitačného poľa

zyx ,,KK , ktorá je vektorovou funkciou, potom použijeme vzťah (2.76). Tento postup je

prezentovaný v nasledujúcom príklade 2.15.

Príklad 2.15. Vypočítajte absolútny potenciál a intenzitu, ktorú vybudí drôt

s hmotnosťou m a polomerom R ohnutý do tvaru kružnice v bode P ležiacom na osi kružnice

kolmej na jej rovinu (obr. 2.31).

55

Riešenie: Zvolíme si súradnicovú sústavu podľa obr. 2.31. Budeme počítať najprv

potenciál. Drôt dĺžky dl má hmotnosť dm. Tento hmotnostný element vybudí v bode P,

ktorého súradnice sú (x, 0, 0) potenciál gd

22

g

d

dd

xR

mG

r

mGx

Pretože každý takýto hmotnostný

element vybudí rovnaký potenciál,

potenciál vybudený celým drôtom

dostaneme integráciou

22

g

xR

mGx

Na výpočet intenzity použijeme

súvis medzi intenzitou a potenciálom

zyxzyx

zyx ,,,, gg grad

kjiK

V našom prípade

iK

x

x

d

d g

Teda

iiK

32222

G

d

d

xR

xmG

xR

m

x

.

Ekvipotenciálna plocha (hladina, povrch) je plocha, na ktorej je všade rovnaký potenciál

konštg . Keď sa hmotný bod pohybuje po ekvipotenciálnej ploche, gravitačné sily

nekonajú žiadnu prácu. Podobne, ako siločiary, aj

ekvipotenciálne plochy sú užitočné pre znázorňovanie

gravitačného poľa. Na obr. 2.32 sú znázornené ekvipotenciálne

plochy a siločiary v okolí homogénneho guľového telesa.

Potenciál v okolí takejto gule počítame podľa vzťahu

rGmg , takže vo vzdialenosti r od stredu gule je

potenciál konštantný. Ekvipotenciálne plochy sú teda

koncentrické guľové plochy so stredom v strede guľového

telesa.

Zo vzťahu (2.76) vyplýva, že siločiary gravitačného poľa sú

kolmé na ekvipotenciálne plochy a tiež to, že smer intenzity

gravitačného poľa K je opačný ako smer, v ktorom narastá

potenciál.

Obr. 2.31. Intenzita a potenciál vybudený drôtom v bo-

de P. K príkladu 2.15.

Obr. 2.32. Siločiary a ekvi-

potenciálne plochy v okolí

guľového telesa.

K

= konšt

m

g

R

xx

y

z

r

P

dm

0i K

g

56

2.12.5 Gravitačné pole Zeme

Začneme z jednoduchej predstavy, že naša Zem je dokonalá guľa, že jej hustota sa mení

len radiálne od stredu a že nerotuje. V tomto prípade sa dá ukázať, že veľkosť sily pôsobiacej

na teleso s hmotnosťou m nachádzajúce sa mimo vnútra Zeme vo vzdialenosti r od jej stredu

sa dá vypočítať podľa vzťahu

2r

MmGF

kde M je hmotnosť Zeme.

Podľa 2. Newtonovho zákona však túto silu možno vyjadriť tiež ako

gmaF

kde ga je gravitačné zrýchlenie. Kombináciou dvoch predchádzajúcich vzťahov dostaneme

2gr

MGa (2.77)

V tabuľke 2.1 sú uvedené hodnoty ga pre rôzne výšky h nad zemským povrchom

vypočítané podľa vzťahu (2.77), kde ,hRr pričom R je polomer Zeme. Vo výške pri-

bližne 10 km lietajú dopravné lietadlá, vo výške 400 km raketoplány, vo výške 35700 km sú

umiestnené komunikačné (stacionárne) družice a 380000 km je vzdialenosť Mesiaca od Zeme.

Tabuľka 2.1. Zmena ga v závislosti od výšky

km

h

2

g

s . m

a

0 9,83

10 9,80

50 9,68

100 9,53

400i

8,70

35700j

0,225

380000k

0,0027

i Vzdialenosť v ktorej lietajú raketoplány

j Výška komunikačných satelitov

k Vzdialenosť Mesiaca

Samozrejme „reálna“ Zem sa od nášho ideálneho modelu odlišuje:

1. Zemská kôra nie je homogénna. Jej hustota sa mení od miesta k miestu, čo má vplyv

na hodnotu zrýchlenia voľne padajúcich telies. Precízne merania zrýchlenia voľného pádu

poskytujú cenné informácie pre geológov skúmajúcich zloženie zemskej kôry a tiež pri

vyhľadávaní nerastných a ropných ložísk. Odchýlky od dohodnutej referenčnej hodnoty sa

merajú v jednotkách miligaloch ( 25 s . m 10mgal 1 ).

57

2. Zem nie je guľa. Má približne tvar elipsoidu. Jej priemer v rovine rovníka je približne

o 42 km väčší ako priemer v rovine poludníka. Teda bod na póle je bližšie k hustému

zemskému jadru ako bod na rovníku. V dôsledku toho narastá zrýchlenie voľne padajúcich

telies smerom od rovníka k pólom.

3. Zem rotuje. Na obr. 2.33 je znázornená rotujúca Zem.

Súradnicová sústava spojená so Zemou je neinerciálna, takže

na teleso nachádzajúce sa na Zemi pôsobia fiktívne sily,

z ktorých najväčšia je odstredivá sila. Ak ostatné fiktívne sily

zanedbáme, na telesá nachádzajúce sa na zemskom povrchu

pôsobí sila ,F ktorá je výslednicou gravitačnej a odstredivej

sily (pozri časť 2.8)

odgodgod aaaaFFF mmm

Teda zrýchlenie voľne opadajúcich telies možno vyjadriť

ako

odg aag (2.78)

Odstredivé zrýchlenie možno vyjadriť ako rωωa mod , kde význam vektorov

rω a je zrejmý z obr. 2.33. Keďže veľkosť vektorového súčinu rω sa zmenšuje od

rovníka smerom k pólom, aj odstredivé zrýchlenie klesá v tom istom smere. Na póloch je

nulové. To je ďalší dôvod prečo sa zrýchlenie voľne padajúcich telies na povrchu Zeme mení.

Najmenšiu hodnotu má g na rovníku ( 2s . m 9,78 g ) a najväčšiu na póloch

( 2s . m 9,83 g ). Ako normálové zrýchlenie sa používa hodnota

22 s . m 9,81s . m 9,80665 g

Príklad 2.16. Vypočítame potenciálnu energiu telesa s hmotnosťou m vo výške h nad

zemským povrchom, pričom Rh , kde R je polomer Zeme, pomocou Newtonovho

gravitačného zákona.

Riešenie: Zem budeme považovať za homogénnu guľu,

ktorá má hmotnosť M. Potom sila, ktorou je teleso vo výške

h nad povrchom priťahované k Zemi je daná vzťahom

rF3r

MmG

kde r je polohový vektor telesa vzhľadom na stred Zeme a

hRr r (obr. 2.34).

Podľa definície, potenciálna energia telesa vo výške h

nad zemským povrchom je rovná práci vonkajšej sily

,v FF ktorú táto sila vykoná pri prenesení telesa zo

zemského povrchu do výšky h. Teda

Obr. 2.33. Na telesá na zem-

skom povrchu pôsobí okrem

gravitačnej sily aj odstredivá.

Obr. 2.34. K výpočtu potenciál-

nej energie v blízkosti povrchu

Zeme.

R

h

r

m

M

S

S

m

M

a

agg

odr

58

mghhma

R

hGMm

hRR

hRRGMm

RhRGMmr

rGMm

r

MmGE

hR

R

g2

23vp

11d

1ddd rrrFrF

r

R

r

R

r

R

Pri úprave sme zanedbali h vzhľadom na R, lebo podľa zadania Rh a použili sme

vzťah gR

MGa

2g .

2.13 Zákon zachovania mechanickej energie

Úvahy v tejto časti začneme pripomenutím, čo sú to konzervatívne sily. Sú to také sily, pri

ktorých práca nimi vykonaná nezávisí od tvaru trajektórie spájajúcej začiatočnú a konečnú

polohu – inými slovami, závisí práve len od začiatočnej a konečnej polohy. Príkladom takejto

konzervatívnej sily je gravitačná sila (viď vzťah (2.70) pre prácu v gravitačnom poli).

Uvažujme pohyb hmotného bodu s hmotnosťou m

z miesta 1 do miesta 2 pôsobením gravitačnej sily (obr.

2.35). Prácu gravitačnej sily možno vyjadriť vzťahom

p2p1p1p2

2

1

p d EEEEW rF

ktorý značí úbytok potenciálnej energie hmotného bodu.

Ďalej si pripomeňme, že keď na voľný hmotný bod

pôsobí sila, práca tejto sily sa rovná prírastku kinetickej

energie hmotného bodu. Prácu gravitačnej sily pri

premiestnení hmotného bodu z miesta (1) do miesta (2)

možno teda vyjadriť tiež vzťahom

1kk2p EEW

Z predchádzajúcich úvah vyplýva, že

k1k2p2p1 EEEE

alebo

k2p2k1p1 EEEE

čo možno zapísať ešte úspornejšie

21 EE (2.79)

kde pk EEE je mechanická energia systému. Vzťah (2.79) nazývame zákonom zacho-

vania mechanickej energie. Slovne ho možno interpretovať nasledujúco: Pri pohybe voľných

Obr.2.35. Práca gravitačnej sily je

rovná úbytku potenciálnej energie.

r

r1

2

m

m´

(2)

(1)

59

hmotných bodov spôsobenom len účinkom medzi nimi pôsobiacich gravitačných síl je súčet

ich vzájomnej potenciálnej a kinetickej energie konštantný.

Príklad 2.17. Malý kúsok ľadu hmotnosti m sa šmýka bez trenia dolu žľabom, ktorý

prechádza do zvislého kruhu s polomerom R. Začiatočná poloha je vo výške 5R nad najnižším

bodom trajektórie. Treba vypočítať: a) rýchlosť ľadu v najvyššom bode kruhu, b) normálovú

silu, ktorou pôsobí ľad na kruh v tom istom bode.

Riešenie: a) Na určenie rýchlosti ľadu použijeme zákon zachovania mechanickej energie

p2k2p1k1 EEEE

kde k1E , p1E , k2E , p2E sú kinetické a potenciálne energie ľadu v mieste 1 a v mieste 2,

pozri obr. 2.36. Po dosadení za kinetické a potenciálne energie dostaneme rovnicu

R.mgmR.mg 22

150 2

2 v

z ktorej určíme rýchlosť ľadu v najvyššom bode kruhu

gR62 v

b) Dostredivá sila dF pôsobiaca na ľad v najvyššom bode kruhu je rovná súčtu tiaže ľadu

gF a normálovej sily nF , ktorou pôsobí kruh na ľad

nd FFF g

Po prepísaní tejto rovnice do skalárneho tvaru a dosadení za RmF 22d v a mgFg

dostaneme

n

22 FmgR

m v

z čoho sila, ktorou pôsobí kruh na ľad je

mgmgR

gRmmg

RmF 5

62

2n

v

Zo zákona akcie a reakcie vyplýva, že

rovnako veľkou, avšak opačne orientovanou

silou pôsobí ľad na kruh.

Treba si však uvedomiť, že mechanická

energia sa zachováva len vtedy, keď sily

konajúce prácu sú konzervatívne a vykonaná

práca je daná úbytkom potenciálnej energie.

Obr. 2.36. K príkladu 2.17. Keď nepôsobia

disipatívne sily, celková mechanická energia

telesa sa zachováva.

F

F

-F

n

n

g2R

5R

m

m

1

2

60

Keď bude konať prácu aj nekonzervatívna sila (napr. odporová sila), potom sa celková

mechanická energia nezachováva – bude sa počas pohybu meniť. Aby sme zistili ako sa bude

meniť, budeme vychádzať zo vzťahu pre zmenu kinetickej energie 1kk2 EEW .

V uvažovanom prípade sa práca W bude skladať z dvoch členov – z práce konzervatívnych síl

p2p1K EEW a z práce nekonzervatívnych síl WN. Prácu nekonzervatívnych síl nemôžeme

obecne vyjadriť pretože jej hodnota závisí na detailoch pohybu objektu. Aby sme ju mohli

určiť, musíme poznať trajektóriu a ako sa pozdĺž nej mení sila.

Po týchto úvahách môžeme písať, že

k1k2Np2p1NK EEWEEWWW

a po úprave

Nk1p1k2p2 WEEEE

alebo

N12 WEE (2.80)

kde E1 a E2 sú celkové mechanické energie v miestach (1) a (2).

Zo vzťahu (2.80) vidno, že zmena mechanickej energie 12 EE je rovná práci

nekonzervatívnych síl vykonanej pozdĺž trajektórie z miesta (1) do miesta (2). Teda, keď

poznáme mechanickú energiu hmotného bodu (telesa) v mieste (1) a (2), môžeme pomocou

vzťahu (2.80) vypočítať prácu vykonanú nekonzervatívnymi silami (trením, deformačnú

prácu).

Príklad 2.18. Lyžiar sa spúšťa dole kopcom z miesta, ktoré je nad úpätím vo výške

m 20 . Jeho rýchlosť na úpätí je 1h . km 54 . Akú prácu vykonali disipatívne sily (trenie,

odpor vzduchu)?

Riešenie: Na riešenie úlohy použijeme túto úvahu: Práca gravitačnej sily, ktorá je rovná

poklesu potenciálnej energie lyžiara, teda p2p1 EE , plus práca disipatívnych síl NW sa

rovná prírastku kinetickej energie k1k2 EE lyžiara

(obr. 2.37), teda platí

k1k2Np2p1 EEWEE

Z tejto rovnice potom práca disipatívnych síl je

J 5860m 20 .s . m 9,81 . kg 70s .m 15 . kg 70 2

1

2

1

2222

2

2k1p1k2p2N

.

mghmEEEEW v

Záporné znamienko vo výsledku hovorí o tom, že práca

disipatívnych síl zmenšuje celkovú energiu lyžiara.

Obr. 2.37. Práca disipatívnych

síl zmenšuje celkovú energiu

lyžiara.

1

2

h

61

Súhrn

2.1 Úvod

Posuvný pohyb sa vyznačuje tým, že každá priamka a rovina v tuhom telese zostáva pri tomto

pohybe rovnobežná so svojou začiatočnou polohou. Všetky body tuhého telesa sa pohybujú

pri posuvnom pohybe po rovnakých trajektóriách a majú súčasne rovnaké rýchlosti

a zrýchlenia.

Otáčavý pohyb je charakterizovaný tým, že pri ňom všetky body tuhého telesa konajú pohyb

po kružniciach okolo spoločnej osi rotácie. Sprievodiče všetkých bodov telesa opíšu za určitý

čas rovnaké stredové uhly a všetky body telesa majú súčasne rovnaké uhlové rýchlosti a

uhlové zrýchlenia.

Obecný pohyb tuhého telesa je pohyb zložený z pohybu posuvného a otáčavého a každú

z týchto zložiek môžeme určiť pohybom niektorého bodu daného telesa.

2.2 Základné veličiny charakterizujúce pohyb

Polohový vektor. Pohyb hmotného bodu poznáme, ak vieme vyjadriť funkčnú závislosť medzi

jeho súradnicami a časom. Ak sú jeho súradnice v čase nepremenné (konštantné), hmotný bod

je v pokoji. Pohyb hmotného bodu je opísaný rovnicami

tzztyytxx ; ; (2.1)

Polohu hmotného bodu možno udať aj jeho polohovým vektorom r. Je to vektor, ktorý má

začiatočný bod v začiatku súradnicovej sústavy a koncový bod v mieste, kde sa hmotný bod

práve nachádza. Možno ho vyjadriť pomocou súradníc x, y, z takto

kjir zyx (2.2)

kde i, j, k sú jednotkové vektory v smere kladných polosí x, y, z.

Rýchlosť. Vektor okamžitej rýchlosti v je definovaný vzťahom

ttt d

d

Δ

Δ lim

0Δ

rr

v (2.4)

Častokrát sa používa aj priemerná rýchlosť, ktorá je definovaná ako rýchlosť, ktorou by sa

musel trvale pohybovať hmotný bod, aby za časový interval t prešiel dráhu s

t

s

Δ

Δp v (2.9)

Zrýchlenie súvisí so zmenou rýchlosti a je definované nasledujúco

2

2

0Δ d

d

d

d

Δ

Δ lim

tttt

ra

vv (2.10)

2.3 Klasifikácia pohybov

Najjednoduchšiu klasifikáciu mechanických pohybov hmotného bodu môžeme urobiť

pomocou analýzy vektora rýchlosti τvv . Ak konštv pohyb je rovnomerný; ak konštv

62

pohyb je nerovnomerný a ak konštτ pohyb je priamočiary a ak konštτ pohyb je

krivočiary.

2.4 Priamočiary pohyb

2.4.1 Rovnomerný priamočiary pohyb. Polohový vektor v tomto prípade možno vyjadriť

takto

t 0 v rr (2.15)

2.4.2 Nerovnomerný priamočiary pohyb.

a) Rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb. V tomto prípade rýchlosť je rovná

ta 0vv (2.18)

a polohový vektor 2

21

00 tt arr v (2.19)

b) Nerovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb. V tomto prípade, keď chceme dostať

konkrétny vzťah pre polohový vektor, musíme vedieť ako závisí zrýchlenie od času. Rýchlosť,

ako funkciu času vypočítame podľa vzťahu

t

t

0

0 d avv

a polohový vektor následne podľa vzťahu

t tt t

ttttt0 0

00

0 0

00 d d d d ararr vv (2.21)

2.5 Príklad krivočiareho pohybu – pohyb po kružnici

2.5.1 Základné charakteristiky.

Uhlová dráha je uhol vytvorený sprievodičom pohybujúceho sa hmotného bodu a

sprievodičom zvoleným za základ. Vektor uhla je vektor kolmý na ramená uhla a smerujúci

na tú stranu, z ktorej sa otáčanie hmotného bodu javí proti pohybu hodinových ručičiek.

Vektor uhlovej rýchlosti je definovaný vzťahom

td

dω (2.22)

Vektor uhlového zrýchlenia je

2

2

d

d

d

d

tt

ω (2.23)

Analogicky ako pri priamočiarych pohyboch môžeme získať vzťahy pre výpočet uhlovej

rýchlosti

t

t

0

0 d ωω (2.24)

a uhlovej dráhy

t

t

0

0 d ω (2.25)

63

Perióda pohybu po kružnici je čas T potrebný na jeden obeh

π2π2

v

rT (2.26)

Frekvencia je počet obehov za jednotku času

rTf

π2π2

1 v

(2.27)

2.5.2 Rýchlosť a zrýchlenie pri pohybe hmotného bodu po kružnici

Pretože pohyb po kružnici je rovinný pohyb, môžeme polohový vektor hmotného bodu

vyjadriť takto

njijir rrrr sin + cos sin cos (2.28)

kde r je polomer kružnice, – uhol, ktorý zviera sprievodič hmotného bodu s kladným

smerom osi x, i, j, k – jednotkové vektory v smere osí x, y a z, n – jednotkový vektor v smere

polohového vektora. Rýchlosť pohybujúceho sa hmotného bodu je potom

ττjijir

v

cos sin cos

d

d sin

d

d

d

d

rr

ttr

tv (2.29)

Súvis medzi vektorom obvodovej rýchlosti v a vektorom uhlovej rýchlosti ω je daný

vzťahom

rωnknkr

rrt

d

dv (2.30)

Zrýchlenie hmotného bodu pri pohybe po kružnici je

ntd

d

d

d

d

d

d

daarωωr

rωr

ωrωa

tttt

v

(2.31)

kde at je tangenciálne zrýchlenie – zrýchlenie súvisiace so zmenou veľkosti rýchlosti

τrτa d

dt r

t

v (2.32)

a an je normálové (dostredivé) zrýchlenie súvisiace so zmenou smeru pohybu

nrrωωa 22n r (2.33)

2.6 Zložený pohyb

O zloženom pohybe hovoríme vtedy, keď skúmame pohyb hmotného bodu (telesa) z hľadiska

dvoch vzťažných sústav, z ktorých jedna sa voči druhej pohybuje. Nech sústava S sa

pohybuje vzhľadom na sústavu S tak, že rýchlosť jej začiatku je 0v , zrýchlenie 0a , uhlová

64

rýchlosť a uhlové zrýchlenie . Polohový vektor, rýchlosť a zrýchlenie hmotného bodu s

hmotnosťou m vzhľadom na sústavu S sú: ar ,, v a vzhľadom na sústavu S: r, v, a.

Polohový vektor r možno vyjadriť ako

rrr 0 (2.36)

Rýchlosť a zrýchlenie vzhľadom na čiarkovanú sústavu S možno teda vyjadriť vzťahmi

rω 0vvv (2.39)

aaaaarrωωωaaa odC00 2 v (2.40)

2.7 Newtonove pohybové zákony

Hmotnosť je mierou zotrvačných (i gravitačných) vlastností telesa. Je mierou odporu telesa

proti zmene jeho pohybového stavu.

Sila je mierou vzájomného pôsobenia telies. Nemôže existovať sama o sebe – telesá pôsobia

na seba prostredníctvom polí.

1. Newtonov zákon – zákon zotrvačnosti: Existuje súradnicová sústava, v ktorej hmotný bod

(teleso) zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, kým nie je nútené

pôsobením iných hmotných bodov (telies) svoj pohybový stav zmeniť.

2. Newtonov zákon – zákon sily: Sila pôsobiaca na hmotný bod (teleso) je rovná súčinu jeho

hmotnosti m a zrýchlenia a, ktoré mu udeľuje

aF m (2.41)

sila F je výslednica síl pôsobiacich na hmotný bod (teleso)

iFF

3. Newtonov zákon – akcie a reakcie: Ak teleso 1 pôsobí na teleso 2 silou 12F , potom teleso 2

pôsobí na teleso 1 silou 21F , ktorá má rovnakú veľkosť ako sila 12F , a ktorá leží ma tej istej

vektorovej priamke ako sila 12F , avšak má opačný smer

2112 FF (2.42)

Galileov princíp relativity: Základné zákony fyziky sa rovnako formulujú pre všetky

súradnicové sústavy, ktoré sa pohybujú navzájom konštantnými rýchlosťami. Inými slovami:

Nijakými fyzikálnymi pokusmi sa nemožno presvedčiť, či je súradnicová sústava v pokoji

alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe.

2.8 Pohyb hmotného bodu v neinerciálnej súradnicovej sústave

Sila pôsobiaca na hmotný bod v neinerciálnej súradnicovej sústave je

rαrωωωaaaF mmmmmm v20 (2.43)

alebo

FFFFFF odC0 (2.44)

65

kde a je zrýchlenie vzhľadom na inerciálnu sústavu, a0 – zrýchlenie začiatku neinerciálnej

sústavy, – uhlová rýchlosť, s ktorou rotuje neinerciálna sústava, – uhlové zrýchlenie

neinerciálnej sústavy, F – sila pôsobiaca na hmotný bod v neinerciálnej sústave, aF m –

reálna sila, 00 aF m – sila súvisiaca so zrýchlením začiatku neinerciálnej sústavy,

v ωF m2C – Coriolisova sila, rωωF mod – odstredivá sila, rαF m –

sila súvisiaca so zmenou uhlovej rýchlosti otáčania neinerciálnej sústavy.

2.9 Hybnosť, impulz sily, zákon zachovania hybnosti

Hybnosť hmotného bodu je definovaná súčinom jeho hmotnosti m a rýchlosti v

vmp (2.45)

Impulz sily (časový účinok sily) je definovaný vzťahom

t

t

d 0

FI (2.46)

Zákon zachovania hybnosti

.21 konšt pp (2.49)

čo možno slovne interpretovať takto: V izolovanej sústave hmotných bodov ich celková

hybnosť zostáva konštantná. Izolovaná sústava hmotných bodov (telies) je taká sústava

hmotných bodov, na ktoré nepôsobia žiadne vonkajšie sily (t.j. žiadne objekty mimo sústavy)

alebo výslednica vonkajších síl je nulová.

2.10 Energia, práca, výkon, účinnosť

Mechanická práca W (dráhový účinok sily) je definovaná vzťahom

2

1

d

r

r

rFW (2.50)

kde F je sila, r – polohový vektor pôsobiska sily.

Výkon je práca vykonaná za jednotku času

t

WP

d

d (2.52)

Vzťahom (2.52) je definovaný okamžitý výkon.

Účinnosť stroja alebo zariadenia je definovaná vzťahom

pP

P (2.55)

kde P je výkon stroja a Pp príkon (výkon dodávaný do stroja).

2.11 Kinetická a potenciálna energia

Kinetická energia hmotného bodu pohybujúceho sa rýchlosťou v je určená vzťahom

2

k 2

1vmE (2.56)

66

kde m je hmotnosť hmotného bodu. Práca sily pôsobiacej na hmotný bod sa rovná zmene jeho

kinetickej energie kΔEW .

Potenciálna energia hmotného bodu v mieste (B) vzhľadom na miesto (A) sa rovná práci,

ktorú vykonajú vonkajšie sily pri premiestnení hmotného bodu z miesta (A) do miesta (B).

Potenciálna energia hmotného bodu v mieste (B) vzhľadom na miesto (A) je teda definovaná

vzťahom

B

A

B

A

E rFrF ddvp (2.58)

kde F je sila poľa – sila, ktorú musí premáhať vonkajšia sila, FF v , keď koná prácu a rd

je zmena polohového vektora pôsobiska sily.

2.12 Gravitačné pole

2.12.2 Newtonov gravitačný zákon: Sila, ktorou hmotný bod s hmotnosťou m priťahuje

hmotný bod s hmotnosťou m sa dá vyjadriť nasledujúco

rF3r

mmG

(2.64)

V tomto vzťahu r je polohový vektor hmotného bodu s hmotnosťou m vzhľadom na hmotný

bod s hmotnosťou m.

2.12.3 Intenzita gravitačného poľa

m

FK (2.66)

Intenzita gravitačného poľa je teda sila, ktorá v danom bode poľa pôsobí na objekt

s jednotkovou hmotnosťou.

2.12.4 Gravitačná potenciálna energia. Gravitačný potenciál. Absolútna potenciálna energia

Ep je definovaná ako práca vonkajších síl, ktorú vykonajú pri premiestnení hmotného bodu

s hmotnosťou m z referenčného miesta nachádzajúceho sa v nekonečne do miesta vo

vzdialenosti r od zdroja gravitačného poľa (hmotného bodu s hmotnosťou m)

r

mmGE

p (2.71)

Tento vzťah je vyjadrením vzájomnej potenciálnej energie dvoch hmotných bodov, ktoré sú

vo vzájomnej vzdialenosti r.

Potenciál gravitačného poľa

m

E

pg (2.72)

je prácu vonkajších síl potrebná na prenesenie hmotného objektu s jednotkovou hmotnosťou

z referenčného bodu do daného bodu.

Intenzita gravitačného poľa sa rovná zápornému gradientu potenciálu

gg grad K (2.76)

67

2.12.5 Gravitačné pole Zeme. Ak ostatné fiktívne sily zanedbáme na telesá nachádzajúce sa

na zemskom povrchu pôsobí sila ,F ktorá je výslednicou gravitačnej a odstredivej sily

odgodgod aaaaFFF mmm

Potom zrýchlenie voľne opadajúcich telies možno vyjadriť ako súčet gravitačného

a odstredivého zrýchlenia

odg aag (2.78)

Potenciálnu energiu telesa s hmotnosťou m vo výške h nad zemským povrchom, pričom

Rh , kde R je polomer Zeme, počítame podľa vzorca mghE p .

2.13 Zákon zachovania mechanickej energie

Pri pohybe voľných hmotných bodov spôsobenom účinkom medzi nimi pôsobiacich

gravitačných síl je súčet ich vzájomnej potenciálnej a kinetickej energie konštantný

k2p2k1p1 EEEE

čo možno zapísať úspornejšie ako

21 EE (2.79)

kde pk EEE je mechanická energia systému.

3 POHYB SÚSTAVY HMOTNÝCH BODOV A DOKONA-

LE TUHÉHO TELESA

3.1 Úvod

Doteraz sme sa zaoberali pohybom telesa, ktorého geometrické rozmery sme mohli

zanedbať. Také teleso sme nazvali hmotným bodom. Avšak náhrada pohybu skutočných

objektov pohybom jediného hmotného bodu nemusí byť vždy postačujúca. Reálne telesá

môžu konať, ako sme už spomenuli v 2. kapitole, okrem posuvného pohybu aj pohyb otáčavý.

Ako prvý krok k opisu pohybu telesa si vytvoríme model reálneho telesa, ktorý pozostáva

z veľkého počtu hmotných bodov – sústavu hmotných bodov (SHB). Na SHB budeme

aplikovať Newtonove dynamické zákony a neskôr, ak si predstavíme, že reálne teleso je

zložené z takého ohromného počtu hmotných bodov, že môžeme pokladať hmotnosť v telese

za spojito rozloženú, uvedieme aj základné poznatky o pohybe tuhého telesa. V našich

nasledujúcich úvahách budeme predpokladať, že vzájomná vzdialenosť hmotných bodov

v sústave sa nemení a že teleso je nedeformovateľné – je to dokonale tuhé teleso.

3.2 Kinematika sústavy hmotných bodov a telesa

Pohyb SHB (telesa) je jednoznačne určený, ak poznáme pohyb ľubovoľného bodu

sústavy, čo značí, že vieme v ľubovoľnom čase určiť súradnice ľubovoľného bodu. Na to

potrebujeme poznať, ak SHB pozostáva z n bodov, n rovníc

tttt nnii rrrrrrrr ........ ; .......... ; ; 2211

Zdá sa, že keď hmotných bodov je veľmi veľa (pri tuhom telese prakticky nekonečne

veľa) je tento problém neriešiteľný. Hmotné body sú však v sústave viazané (ich vzájomné

polohy sa nemenia) a potom už pohyb jednotlivých

bodov nie je nezávislý. Napríklad, keď je SHB (teleso)

upevnené tak, že jeden jej bod, napríklad A (obr. 3.1),

nemôže zmeniť svoju polohu vzhľadom na zvolenú

súradnicovú sústavu, môžu sa ostatné body SHB (telesa)

ešte pohybovať po povrchoch gulí s polomermi

rovnajúcimi sa ich vzdialenostiam od nehybného bodu

A. Keď sa nemôžu pohybovať dva body SHB (telesa),

napr. A a B, SHB (teleso) sa môže ešte otáčať okolo osi

prechádzajúcej bodmi A a B. Keď sa však nemôžu

pohybovať tri body SHB (telesa) neležiace na tej istej

priamke, napr. A, B a C, potom sa už SHB (teleso)

nemôže vôbec pohybovať. Teda poloha SHB (tuhého

telesa) vzhľadom na zvolenú súradnicovú sústavu je úplne určená polohami troch jej (jeho)

bodov, ktoré neležia na jednej priamke.

Obr. 3.1. K opisu pohybu SHB a telesa.

A

B

C

d

dd

BA

CBAC

69

Z uvedeného sa zdá, že na určenie polohy SHB (telesa) je potrebných deväť súradníc:

) , ,( , , CBAizyx iii . Nie je tomu však tak, lebo, ako sme už spomenuli, vzdialenosti bodov

v SHB (telese) sú v dôsledku definície SHB, resp. dôsledku tuhosti telesa nemenné. Napr.

vzdialenosti bodov ACCBBA , , ddd spĺňajú vzťahy

2AB2

AB2

AB2BA zzyyxxd

2BC2

BC2

BC2CB zzyyxxd

2CA2

CA2

CA2AC zzyyxxd

a preto na určenie polohy úplne voľnej SHB (telesa) postačuje šesť vhodne vybraných

súradníc troch bodov, ktoré neležia na jednej priamke. Hovoríme, že úplne voľná SHB (teleso)

má šesť stupňov voľnosti pohybu. Teda počet stupňov voľnosti je počet údajov potrebných na

určenie polohy objektu pri danom pohybe.

Napríklad hmotný bod pohybujúci sa po priamke má jeden stupeň voľnosti, ak je jeho

pohyb viazaný na rovinu, má dva stupne voľnosti, pri pohybe v priestore má tri stupne

voľnosti. Polohu telesa upevneného v jednom bode určujú tri vhodne zvolené súradnice jeho

ďalších dvoch bodov, ktoré s nehybným bodom telesa neležia na jednej priamke – v jednom

bode upevnené tuhé teleso má tri stupne voľnosti. Polohu tuhého telesa uloženého na osi

určuje jedna súradnica jediného bodu, ktorý neleží na osi otáčania – tuhé teleso uložené na osi

má jeden stupeň voľnosti.

Najjednoduchším druhom pohybu tuhého telesa je posuvný (translačný) pohyb. Pri

translačnom pohybe spojnica ľubovoľných bodov telesa zachováva svoj smer. Z toho vyplýva

tiež, že vektory rýchlosti a zrýchlenia všetkých jeho bodov v danom okamihu sú rovnaké a že

všetky body sa pohybujú po rovnakých trajektóriach. Teleso konajúce posuvný pohyb má tri

stupne voľnosti – jeho poloha je určená polohou jediného bodu.

Otáčanie sa tuhého telesa okolo pevnej osi. Keď sú pri pohybe telesa dva z jeho bodov

v pokoji, sú v pokoji všetky body na priamke prechádzajúcej oboma bodmi. Túto priamku

nazývame osou otáčania (rotácie), ktorá má v tomto prípade v priestore stály smer. Pri otáčaní

sa telesa okolo nehybnej osi sa pohybujú jednotlivé body telesa po kružniciach ležiacich

v rovinách kolmých na túto os. Stredy kružníc ležia na osi otáčania.

Pohyb úplne voľného telesa. V časti 2.1 sme už hovorili, že všeobecný pohyb telesa, ktorý

niekedy nazývame aj zložený pohyb pozostáva z pohybu posuvného (translačného)

a otáčavého (rotačného). Ľubovoľný pohyb tuhého telesa

možno rozložiť na nekonečne malé, po sebe nasledujúce,

priamočiare translácie a nekonečne malé po sebe

nasledujúce rotácie okolo okamžitej osi otáčania. Keď si

zvolíme v telese vhodný bod 0 , dosiahneme potrebné

elementárne pootočenia rotáciou okolo priamok idúcich

týmto bodom. Tieto priamky však menia v pozorovacej

sústave i v samotnom telese svoju orientáciu, a preto sa

nazývajú okamžité osi rotácie. Priestorovú orientáciu

takejto okamžitej osi otáčania je možné určiť vektorom

uhlovej rýchlosti . Nech 0r je polohový vektor vhodne

zvoleného bodu 0 tuhého telesa úplne voľného vzhľadom na začiatok 0 inerciálnej

súradnicovej sústavy S (obr. 3.2). Polohový vektor iného bodu A telesa vzhľadom na bod 0

nech je r a vzhľadom na bod 0 nech je r . Potom platí

rrr 0

Obr. 3.2. Všeobecný pohyb tele-

sa je zložený z translačného a ro-

tačného pohybu.

r

r

r

0

00

´

´

A

S

70

Derivovaním tejto rovnice podľa času dostaneme vzťah pre rýchlosť v bodu A vzhľadom na

súradnicovú sústavu S

rωrrr

00

d

d

d

d

d

dvv

ttt (3.1)

kde rωr

td

d – časová derivácia vektora, ktorý má konštantnú veľkosť (veľkosť vektora

r sa nemení) je rovná vektorovému súčinu vektora uhlovej rýchlosti stáčania sa vektora a

tohto vektora (pozri tiež poznámku v časti 2.5.2) a 0v je rýchlosť bodu 0 vzhľadom na

súradnicovú sústavu S (inými slovami je to rýchlosť translačného pohybu telesa). Treba si

však uvedomiť, že tento vzťah charakterizuje okamžitý pohybový stav zvoleného bodu tuhého

telesa (bodu A) a že v ďalšom okamihu má vektor v i vektor všeobecne inú veľkosť a iný

smer. Za vzťažný bod 0 sa s výhodou volí hmotný stred (ťažisko) telesa, o ktorom bude reč

v nasledujúcej časti.

Príkladom zloženého pohybu telesa je valenie sa kolesa po rovine. Výsledná rýchlosť

každého bodu kolesa je súčtom translačnej rýchlosti kolesa (rýchlosti, ktorou sa pohybuje

hmotný stred kolesa) a obvodovej rýchlosti rotačného pohybu okolo osi prechádzajúcej

hmotným stredom, obr. 3.3.

3.3 Hmotný stred sústavy hmotných bodov (ťažisko)

Pri opisovaní pohybu SHB a tuhého telesa hrá veľmi význačnú rolu určitý bod,

nachádzajúci sa v telese alebo jeho blízkosti. Tento bod sa nazýva hmotný stred a častokrát aj

ťažisko. Hmotný stred SHB (telesa) je jednoznačne

určený priestorovým rozložením hmotnosti. Pri

odvodzovaní vzťahov pre výpočet súradníc hmotného

stredu viacerých hmotných bodov sa vychádza

z definície hmotného stredu dvoch hmotných bodov:

Hmotný stred T dvoch hmotných bodov s hmotnosťami

m1 a m2 leží na spojnici týchto bodov a rozdeľuje ju

v nepriamom pomere k ich hmotnostiam (obr. 3.4)

1

2

m

m

b

a

Obr. 3.3. Valenie sa valca je pohyb zložený z translačného a rotačného pohybu.

Obr. 3.4. Hmotný stred dvoch hmot-

ných bodov delí ich spojnicu v nepria-

mom pomere k ich hmotnostiam.

S S SA A A

B B B

C C C

D D D

0 0

00 2

Translácia Rotácia Valenie

m m1 2a bT

x x

x

x

1

2

T

y

0

71

Z obr. 3.4 ďalej vyplýva, že 1T xxa a b x x 2 T . Keď dosadíme za a a b tieto

vyjadrenia, dostaneme

x x

x x

m

m

T

T

1

2

2

1

a jednoduchou úpravou získame vzťah pre výpočet x-ovej súradnice hmotného stredu dvoch

hmotných bodov

xm x m x

m mT

1 1 2 2

1 2

Ak tento poznatok rozšírime pre prípad n hmotných bodov rozmiestnených v priestore,

súradnice ich hmotného stredu môžeme určiť podľa vzťahov

; ; TTTm

zmz

m

ymy

m

xmx

iiiiii (3.2)

kde im je hmotnosť i-teho hmotného bodu, xi, yi, zi – súradnice i-teho bodu a imm –

hmotnosť celej sústavy hmotných bodov.

Polohový vektor hmotného stredu sústavy hmotných bodov možno teda vyjadriť vzťahom

kjir

r TTTT zyxm

m ii

(3.3)

Rovnorodé tuhé telesá, ktoré majú stred súmernosti (napr. guľa, kocka, kváder, valec, tyč

atď.) majú hmotný stred v tomto bode. Rovnorodé tuhé telesá, ktoré majú os súmernosti

(napr. rotačný kužeľ, ihlan, guľový vrchlík, ...) majú hmotný stred na tejto osi. Pri výpočte

súradníc hmotného stredu telesa, zloženého z telies, ktorých hmotné stredy vieme ľahko určiť,

postupujeme tak, že tieto telesá nahradíme hmotnými bodmi, ktoré sa nachádzajú v ich

hmotných stredoch, prisúdime im hmotnosť telies a na výpočet súradníc hmotného stredu

zloženého telesa použijeme vzťahy (3.2).

Príklad 3.1. Vo vrcholoch rovnostranného

trojuholníka s dĺžkou strany 12 cm (obr. 3.5) sa

nachádzajú hmotné body s hmotnosťami

g. 2a g 3 g, 5 321 mmm Kde sa nachádza

hmotný stred týchto bodov?

Riešenie: Súradnice hmotného stredu našej

sústavy hmotných bodov vypočítame podľa vzťahov

(3.2)

m

zmz

m

ymy

m

xmx

iiiiii TTT ; ;

Z obr. 3.5 – podľa našej voľby súradnicovej

sústavy – vyplýva, že súradnice hmotných bodov

Obr. 3.5. Hmotný stred SHB je jedno-

značne určený priestorovým rozložením

hmotnosti.

m

m

m

m

m1 2

3

aa

0 2

2

4

4

6

6

8

8

10

10

12 x

y

T

72

(v centimetroch) sú: 0), (12; : 0), (0; : 21 mm 10,4 63 ;:m . Ypsilonovú súradnicu hmotné-

ho bodu 3m sme určili takto:

cm 10,4cm 6cm 122

222

23

aay

Potom

cm 4,8g 2 g 3g 5

cm 6 . g 2cm 12 . g 3cm 0 . g 5

321

332211T

mmm

xmxmxmx

cm 2,08g 2 g 3g 5

cm 10,4 . g 2cm 0 . g 3cm 0 . g 5

321

332211T

mmm

ymymymy

cm 0T z

Súradnice hmotného stredu našej sústavy hmotných bodov sú cm 0 cm, 2,08 cm, 4,8 .

Príklad 3.2. Nájdeme polohu hmotného stredu homogénneho betónového panelu

hrúbky 25 cm s otvorom pre okno (obr. 3.6),

vzhľadom na ľavý spodný roh. Miery na

obrázku sú v centimetroch.

Riešenie: Panel rozdelíme na časti

(kvádre), ktorých hmotný stred vieme ľahko

nájsť – leží v strede symetrie. Ak hmotnosť

jednotlivých častí vyjadríme pomocou hustoty

a geometrických rozmerov (plochy príslušnej

časti a hrúbky panela), dostaneme pre

vyjadrenie x-ovej súradnice hmotného stredu

celého panela nasledujúci vzťah (vzhľadom na

ľavý spodný roh – tam sme situovali začiatok

súradnicovej sústavy)

i

ii

i

ii

i

ii

S

xS

hS

hxS

m

xmx

=T

4321

44332211

SSSS

xSxSxSxS

0 2 2 2 11 0 5 1 5 0 25 0 5 1 5 1 95 2 2 0 9 11

0 2 2 2 0 5 1 5 0 5 1 5 2 2 0 9

, m . , m . , m + , m . , m . , m + , m . , m . , m + , m . , m . , m

m . , m + , m . , m + , m . , m + , m . , m,

m 101 ,

Podobne budeme postupovať aj pri výpočte y-ovej súradnice hmotného stredu

Obr. 3.6. K výpočtu polohy hmotného stredu

panela (príklad 3.2).

120

20

260

150

220

50

y

x

S

S S

S

1 1

2

2

3

3

4

4

T

T

T

T

0

73

ym y

m

S y

ST

i i

i

i i

i

0 2 2 2 2 0 5 1 5 1 0 5 1 5 1 2 2 0 9 0

0 2 2 2 0 5 1 5 0 5 1 5 2 2 0 9

, m . , m . ,5 m + , m . , m . ,65 m + , m . , m . ,65 m + , m . , m . ,45 m

m . , m + , m . , m + , m . , m + , m . , m,

, m114

Poloha hmotného stredu panela vzhľadom na ľavý spodný roh: smerom doprava 1,1 m a

smerom hore 1,14 m.

3.4 I. pohybová rovnica sústavy hmotných bodov. Veta o pohybe

hmotného stredu

Uvažujme SHB s hmotnosťami jednotlivých hmotných bodov m1, m2, ….. mi, ….mn.

Vyberme si z tejto sústavy napr. i-ty hmotný bod a skúmajme aké sily naň pôsobia, (obr. 3.7).

Nech naň pôsobí výslednica vonkajších síl Fi a vnútorné sily jiF , ktorými naň pôsobia ostat-

né hmotné body sústavy. Tieto sily mu podľa Newtonovho zákona sily udeľujú zrýchlenie ai

ii

n

ijj

jii m aFF 1

Vnútorné sily však nepoznáme, ale podľa zákona akcie a reakcie, ak j-ty hmotný bod

pôsobí na i-ty silou jiF , potom i-ty pôsobí na j-ty silou

rovnako veľkou ale opačne orientovanou jiij FF .

Napíšme teraz pohybovú rovnicu pre celú sústavu

hmotných bodov. Na celú SHB pôsobí výslednica všetkých

vonkajších síl i

iFF a výslednica všetkých vnútorných

síl i j

jiF

i i j i

iijii m aFF (3.4)

ale 0i j

jiF . Potom rovnicu (3.4) môžeme prepísať do

tvaru

i

iim aF (3.5)

Rovnicu (3.5) upravíme nasledovne: Najprv použijeme na úpravu vzťah t

ii

d

dva . Dostaneme

i

i

i

i

i

ii

ttttm

d

d

d

d

d

d

d

d pp

pF

v (3.6)

Obr. 3.7. Na hmotný bod s hmot-

nosťou mi pôsobí výslednica von-

kajších síl Fi a sily Fji, ktorými

naň pôsobia ostatné hmotné body.

m

m

m

m

m

m1

2

3

i

j

n

F

F

F

FF

F

F

ji

1i

i1

i2 2ii

ij

74

kde i

pp i je celková hybnosť SHB. Rovnica (3.6) sa nazýva I. pohybová rovnica SHB a

opisuje translačný pohyb sústavy. Slovne ju možno formulovať takto: Súčet všetkých

vonkajších síl pôsobiacich na SHB sa rovná časovej derivácii celkovej hybnosti sústavy.

Rovnicu (3.6) možno upraviť aj takto

pF d d t

resp.

pF 2

1

Δd

t

t

t (3.7)

Z tohto vyjadrenia vyplýva názov I. impulzová veta, ktorá slovne znie: Impulz výslednice

vonkajších síl pôsobiacich na SHB sa rovná zmene celkovej hybnosti sústavy.

Teraz použijeme na úpravu rovnice (3.5) vzťah 2

2

d

d

t

ii

ra . Dostaneme

T T 2

2

2

2

2

2

d

d

d

d

d

darr

rF mm

tm

ttm i

i

i

i

ii (3.8)

lebo ako vyplýva zo vzťahu pre polohový vektor hmotného stredu SHB T rr mmi

ii . Vzťah

(3.8) sa nazýva veta o pohybe hmotného stredu (ťažiska). Slovne znie: Hmotný stred SHB sa

pohybuje tak, ako keby naň pôsobili všetky vonkajšie sily pôsobiace na sústavu a celá

hmotnosť sústavy bola sústredená v ňom.

Príklad 3.3. Máme sústavu troch hmotných bodov s nasledujúcimi hmotnosťami a

polohovými vektormi: kg, 21 m ;m 8m 21 jir kg, 22 m ;m 2m 52 jir

kg, 63 m .m 8m 83 jir V čase 0t začnú pôsobiť na jednotlivé hmotné body

sústavy nasledujúce sily: ,N 3N 21 jiF ,N 1N 32 jiF .jiF N 1N 43

Treba určiť: a) Polohový vektor hmotného stredu (ťažiska) sústavy hmotných bodov (SHB)

v čase 0t . b) Vektor zrýchlenia a veľkosť zrýchlenia ťažiska SHB. c) Vektor rýchlosti,

veľkosť rýchlosti a polohový vektor ťažiska SHB v čase s 2t , ak rýchlosť ťažiska v čase

0t bola rovná nule.

Riešenie: a) Na určenie polohového vektora hmotného stredu našej sústavy hmotných

bodov použijeme vzťah (3.3)

75

ji

jijiji

rrrr

r

m 6,8m 6,20

kg 6kg 2kg 2

m 8m 8 . kg 6m 2m 5 . kg 2m 8m 2 . kg 2

321

332211T0

mmm

mmm

m

m

i

i

i

ii

b) Na určenie zrýchlenia hmotného stredu SHB použijeme vetu o pohybe ťažiska SHB

(pozri (3.8)). Z nej vektor zrýchlenia hmotného stredu je

ji

jijijiFFFF

a

s . m 0,3 s . m 0,9

kg 6kg 2kg 2

N 1 N 4 N 1 N 3 N 3 N 2

22

321

321T

mmmmi

i

i

i

a jeho veľkosť

222222T

2TT s . m 0,949s . m ,30s . m 0,9 yx aaa

c) Keďže sily 321 a , FFF sú konštantné, nezávislé od času, hmotný stred SHB sa bude

pohybovať rovnomerne zrýchleným priamočiarym pohybom. Potom vektor rýchlosti

hmotného stredu, s uvážením, že v čase 0t je 0T0T vv , možno vyjadriť takto

tTT av

a teda vektor rýchlosti hmotného stredu a veľkosť rýchlosti hmotného stredu sú

jiji s . m 0,6 s . m 1,8s 2 . s . m 0,3 s . m 0,9 1122T2

v

a

12 12 1-2T2y

2T2xT2 s . m 1,90s . m 0,6s . m 1,8 vvv

Polohový vektor hmotného stredu SHB

2TT0T

2

1tarr

v čase s 2t je

jijirr m 6,20 m 8,00 s 2 . s . m 0,3 s . m 0,92

1 2222T0T2

3.5 Moment sily. Moment hybnosti

Pri otváraní dverí ste si iste všimli, že dvere sa tým ľahšie otvoria, čím ďalej od osi

závesov ich otvárame. Teda to, aké budú otáčavé účinky sily pôsobiacej na tuhé teleso, závisí

nielen od veľkosti a smeru pôsobiacej sily ale aj od polohy jej pôsobiska vzhľadom na os

otáčania. Otáčavé účinky sily budeme charakterizovať veličinou, ktorú nazývame moment sily.

76

Uvažujme tuhé teleso, ktoré sa môže otáčať okolo osi prechádzajúcej bodom 0 (obr. 3.8).

Kolmá vzdialenosť sin rd , kde je uhol medzi vektormi r a F, bodu 0 od vektorovej

priamky sily F sa nazýva rameno sily. Veľkosť momentu sily M vzhľadom na bod 0 je daná

súčinom ramena d a veľkosti sily F

M d F r F . ( sin ) (3.9)

Moment sily M je však vektorová veličina. Môžeme ho definovať vzťahom

FrM (3.10)

kde r je polohový vektor pôsobiska sily vzhľadom na bod 0 a F pôsobiaca sila.

Takáto definícia je úplná, lebo vyjadruje aj tú skutočnosť, že vo všeobecnom prípade

môže moment sily spôsobiť nielen zmenu pohybového stavu (uhlové zrýchlenie) telesa, ale aj

zmenu priestorovej orientácie osi otáčania.

Jednotka momentu sily je 1 N.m.

Ak na SHB (tuhé teleso) pôsobí viac síl, výsledný moment sily je daný vektorovým

súčtom jednotlivých momentov

i

in MMMMM ...21 (3.11)

Moment sily vzhľadom na os je dôležitý z hľadiska zmeny pohybového stavu otáčajúceho

sa telesa. Je to zložka momentu sily v smere osi rotácie (obr. 3.9)

0 MM

V tomto vzťahu M0 je moment sily vzhľadom na os, M –

moment sily vzhľadom na bod osi a

– jednotkový vektor v smere osi.

Ukážeme si, že moment sily vzhľadom na os nezávisí od

voľby vzťažného bodu na osi. Na tento účel si zvoľme na osi dva

body, bod A a bod B (obr. 3.10). Moment sily vzhľadom na bod

A je FrM AA a moment tej istej sily vzhľadom na bod B je

FrM BB . Ten môžeme ďalej upraviť

Obr. 3.8. Moment sily je prí-

činou rotácie telesa.

Obr. 3.9. K definícii momentu

sily vzhľadom na os.

Obr. 3.10. Moment sily vzhľadom na os

nezávisí od voľby vzťažného bodu na osi.

F

r

0

F

r

d.

M

r

r

r

F

AA

B

B

0

os

.M

M

0

0 r

F

os

77

AA0A0B MMFrFrFrrM

Veľkosť priemetu momentu sily MA do smeru osi je

A0A MM a veľkosť priemetu momentu sily MB je

AA0B MMMM , lebo moment sily

FrM 0 je kolmý na os, a teda jeho priemet do smeru

osi je nulový. Z uvedeného vyplýva, že 0B0A MM .

Z toho vidno, že moment sily vzhľadom na os naozaj

nezávisí od voľby vzťažného bodu na osi.

Zložky momentu sily vzhľadom na osi pravouhlej

súradnicovej sústavy, ako vyplýva z definície (3.10), sú

xyz

zxy

yzx

yFxFM

xFzFM

zFyFM

Grafická ilustrácia vzťahov je na obr. 3.11.

Položme si otázku: Prečo sa zastaví roztočené teleso,

napríklad bicyklové koleso? Na príčine sú momenty síl trenia

a odporu vzduchu. Zapamätajme si teda, že príčinou zmeny

pohybového stavu otáčajúceho sa telesa je moment sily.

Pri valení bicyklového kolesa (alebo starej pneuma-tiky)

– chlapci sa tak hrávajú – sa pred nami vynárajú ďalšie

otázky. Keď koleso vykonáva valivý pohyb, nespadne. Keď sa

zastaví, spadne. Prečo? A prečo roztočené koleso má

tendenciu zotrvať v otáčaní a prečo nespadneme z bicykla,

keď sa pohybujeme? Odpovede na tieto otázky súvisia s

veličinou, ktorá sa nazýva moment hybnosti. Táto veličina má

veľmi dôležité postavenie pri štúdiu dynamiky otáčania.

Moment hybnosti hmotného bodu definujeme vzťahom

prL (3.13)

kde r je vektor určujúci polohu hmotného bodu vzhľadom na bod 0 a p – hybnosť hmotného

bodu (obr. 3.12). Z definície vyplýva, že moment hybnosti je vektorová veličina. Veľkosť

momentu hybnosti hmotného bodu je

pdprL . )sin (

kde je uhol medzi vektormi r a p (alebo v) a sin rd je kolmá vzdialenosť vektorovej

priamky hybnosti od bodu 0.

Pri otáčaní sa telesa, zavádzame podobne ako moment sily vzhľadom na os, moment

hybnosti vzhľadom na os

0 LL (3.14)

Obr. 3.11. Aby sme mohli určiť

zložky momentu sily vzhľadom na

osi pravouhlej súradnicovej sústavy

musíme rozložiť silu F na zložky.

Obr. 3.12. K definícii momen-

tu hybnosti hmotného bodu.

r

x

xy

y

z

z

0

F

F

F

Fx y

z

..

.

m

r

d0

L p =m

78

V tomto vzťahu L je moment hybnosti vzhľadom na ľubovoľný bod osi a je jednotkový

vektor v smere osi.

3.6 II. pohybová rovnica sústavy hmotných bodov

K úplnému opisu pohybu sústavy hmotných bodov nestačí len I. pohybová rovnica. Aby

sme dokázali opísať aj rotačný pohyb, treba nájsť ďalšiu rovnicu. Tou bude rovnica, ktorú si

odvodíme v tejto časti a ktorá sa nazýva II. pohybová rovnica sústavy hmotných bodov alebo

v upravenej forme aj II. impulzová veta.

Príčinou rotačného pohybu je moment sily. Preto pri odvádzaní II. pohybovej rovnice

budeme vychádzať z momentu síl pôsobiacich na i-ty hmotný bod SHB a potom získané

poznatky rozšírime na celú sústavu hmotných bodov. Na i-ty

hmotný bod sústavy (obr. 3.13) pôsobí výsledný moment sily iM

vyjadrený vzťahom

j

jiiii FFrM (3.15)

kde ir je polohový vektor i-teho hmotného bodu, iF – výslednica

vonkajších síl pôsobiacich na i-ty hmotný bod, jiF – sila, ktorou

pôsobí j-ty hmotný bod na i-ty hmotný bod a j

jiF – suma

vnútorných síl pôsobiacich na i-ty hmotný bod. Avšak podľa

Newtonovho zákona sily .m ii

j

jii aFF S uvážením tohto

vzťahu a definície zrýchlenia tii ddva môžeme vzťah (3.15) upraviť takto

t

mtt

mm iiii

iiiiiii

d

d

d

d

d

d LrrarM v

v (3.16)

V tomto vzťahu iL je moment hybnosti i-teho hmotného bodu a ďalej sme pri jeho úprave

využili skutočnosť, že vektorový súčin dvoch rovnobežných vektorov sa rovná nule

t

mmt

mt

iiiii

iiii

d

d

d

d

d

d vvv r

rr

tm

tmm i

iii

iiiiid

d

d

d vvvv rr

teda, v našom prípade .m iii 0 vv

Na celú sústavu hmotných bodov pôsobí moment sily M, ktorý je výslednicou (súčtom)

momentov síl pôsobiacich na jednotlivé hmotné body

i

i

i i j

jiiii

i i j

jiiiit

LFrFrFFrMMd

d (3.17)

Obr. 3.13. K odvodeniu

II. pohybovej rovnice sú-

stavy hmotných bodov.

m

m

m

m

m

m

1

2

3

i

i

j

n

F

FFji

i

i

ij

0

r

79

Výslednica momentov vnútorných síl sa však rovná nule:

0

i j

jii Fr , čo zjednodušene ukážeme pre prípad dvoch

hmotných bodov. Majme dva hmotné body s hmotnosťami 1m a 2m ,

(obr. 3.14). Na hmotný bod 1 pôsobí hmotný bod 2 silou (vnútornou)

21F a na hmotný bod 2 podľa zákona akcie a reakcie pôsobí hmotný

bod 1 silou .2112 FF Momenty týchto síl vzhľadom na bod 0

možno vyjadriť takto: 211 Fr a 122 Fr . Potom ich suma

,02121212211122211

2

1

2

1

FrrFrFrFrFrFr

iij

j

jii lebo vektor

21 rr má smer vektora sily, a preto ich vektorový súčin sa rovná nule.

Rovnicu (3.17) možno potom prepísať do tvaru

td

dLM (3.18)

kde M je už len výslednica momentov vonkajších síl pôsobiacich na sústavu a i

iLL je

výsledný moment hybnosti SHB. Rovnica (3.18) sa nazýva druhá pohybová rovnica sústavy

hmotných bodov. Slovne ju možno interpretovať nasledujúco: Súčet momentov vonkajších síl

pôsobiacich na sústavu hmotných bodov sa rovná časovej derivácii celkového momentu

hybnosti sústavy.

Rovnicu (3.18) možno upraviť aj takto

LM d d t

resp.

LM 2

1

Δd

t

t

t (3.19)

Z tohto vyjadrenia II. pohybovej rovnice SHB vyplýva názov II. impulzová veta, ktorá slovne

znie: Impulz výslednice momentov vonkajších síl pôsobiacich na SHB sa rovná zmene

celkového momentu hybnosti sústavy.

3.7 Dokonale tuhé teleso. Skladanie síl v tuhom telese

V predchádzajúcich častiach sme aplikovali Newtonove dynamické zákony na diskrétne

rozloženú hmotnosť, na sústavu hmotných bodov. Keď týchto bodov je tak veľa a sú tak

blízko pri sebe, že z nášho pohľadu môžeme hmotnosť považovať za spojito rozloženú,

hovoríme o tuhom telese. Naozaj, reálne telesá sa skladajú z hmotných častíc – atómov, resp.

molekúl. V našich nasledujúcich úvahách budeme predpokladať, že vzájomná vzdialenosť

atómov v telese sa nemení, teda teleso je nedeformovateľné – je to dokonale tuhé teleso.

Obr. 3.14. Výslednica

momentov vnútorných

síl sa rovná nule.

mm1

1

2

2

F F1221

0

r r

80

Ak na teleso pôsobí v bode A sila F1 a v bode B, ktorý leží na jej vektorovej priamke sily

F2 a F3 také, že 23 FF a 13 FF (obr. 3.15), spoločný účinok je totožný s účinkom

samotnej sily F1, lebo účinky síl F2 a F3 sa navzájom rušia. Ale spoločný účinok všetkých

troch síl je totožný aj s účinkom samotnej sily F3, lebo účinky síl F1 a F2 sa navzájom tiež

rušia. Sila F1 pôsobiaca v bode A a sila 13 FF pôsobiaca v bode B, ktorý leží na vektorovej

priamke sily F1, sú teda rovnaké. Z toho vyplýva fakt, že účinok

sily na tuhé teleso sa nemení, ak posunieme jej pôsobisko do

ľubovoľného bodu telesa ležiaceho na vektorovej priamke sily.

Dovolené posúvanie síl po ich vektorových priamkach

umožňuje skladať rôznobežné a najčastejšie i rovnobežné sily,

pôsobiace v rôznych bodoch tuhého telesa.

Ak na tuhé teleso pôsobia dve rôznobežné sily F1 a F2

v bodoch A a B (obr. 3.16), môžeme posunúť ich pôsobiská do

bodu C, ktorý je priesečníkom ich vektorových priamok.

V tomto bode zostrojíme rovnobežník síl 2211 a FFFF .

Uhlopriečka rovnobežníka znázorňuje výslednicu F síl

21 a FF , ktoré sú však rovnocenné silám F1 a F2. Pôsobisko

výslednice F môžeme opäť voliť ľubovoľne na jej vektorovej priamke. Pohybový účinok

výslednice F na teleso je rovnaký ako pohybový účinok síl F1 a F2.

Moment výslednice F vzhľadom na ľubovoľný bod jej vektorovej priamky (napr. 0) sa

rovná nule, pretože rameno sa rovná nule. Keďže pohybový účinok výslednice F je rovnaký

ako účinok síl F1 a F2, musí sa súčet ich momentov M1 a M2 rovnať nule, teda

0 21 MM

alebo

2211 FdFd

Ramená síl F1 a F2 vzhľadom na ľubovoľný bod priamky ich

výslednice sú teda nepriamo úmerné veľkostiam síl

1

2

2

1

F

F

d

d

Tento poznatok môžeme použiť na nájdenie pôsobiska

výslednice rovnobežných síl súhlasne orientovaných: Spojnicu ich

Obr. 3.15. Posúvanie sily

po vektorovej priamke.

Obr. 3.16. Skladanie rôzno-

bežných síl.

Obr. 3.17. Skladanie rovnobežných súhlas-

ne orientovaných síl.

Obr. 3.18. Skladanie rovnobežných nesúhlasne

orientovaných síl.

F

F

F

1

2

A

B

F

F

F

1

2

3

F

F

F

1

2

d d1 2

AB

C

0

F

F

FF

F

dd

1

1

1

2

22

´´

.

.

81

pôsobísk rozdelíme v obrátenom pomere k ich veľkostiam. Na obr.

3.17 je znázornená grafická konštrukcia umožňujúca nájsť

pôsobisko výslednice: Na vektorovú priamku druhej sily nanesieme

v obrátenom smere úsečku rovnú veľkosti prvej sily a na vektorovú

priamku prvej sily v smere druhej sily úsečku rovnú veľkosti druhej

sily. Priesečník spojnice koncových bodov úsečiek so spojnicou

pôsobísk skladaných síl je pôsobisko výslednice. Vidíme, že

pôsobisko leží vnútri spojnice pôsobísk pôvodných síl. Veľkosť

výslednice je rovná súčtu veľkostí skladaných síl

Na obr. 3.18 je na základe rovnakej úvahy vykonaná

konštrukcia výslednice dvoch rovnobežných síl nesúhlasne orientovaných. Výslednica dvoch

rovnobežných nesúhlasne orientovaných síl je súhlasne orientovaná s väčšou silou a jej

veľkosť sa rovná rozdielu veľkostí zložiek. Jej pôsobisko leží na predĺženej spojnici pôsobísk

síl F1 a F2.

Dvojicu síl tvoria dve rovnako veľké nesúhlasne rovnobežné sily F F1 2 neležiace na

tej istej vektorovej priamke (obr. 3.19). Dvojica síl spôsobuje otáčanie tuhého telesa. Moment

dvojice síl DM je rovnaký vzhľadom na ľubovoľnú os kolmú na rovinu dvojice síl a jeho

veľkosť je daná súčinom ramena d dvojice síl a jednej sily

FdM .D (3.20)

Rovnobežné sily nemožno zložiť, keď tvoria dvojicu síl.

Podobne nemožno zložiť ani dve sily mimobežné.

Možno ukázať, že ľubovoľný počet síl účinkujúcich na tuhé

teleso môžeme nahradiť jedinou výslednicou F, pôsobiacou

v ľubovoľne zvolenom bode telesa a rovnajúcou sa ich

vektorovému súčtu a jedinou dvojicou s momentom DM , ktorý sa

rovná súčtu momentov všetkých účinkujúcich síl vzhľadom na

zvolené pôsobisko sily F

i

ii

i

i FrMFF D ; (3.21)

3.8 Hmotný stred telesa. Pohybové rovnice tuhého telesa

Ako sme už spomínali v predchádzajúcej časti, na tuhé teleso možno nazerať ako na

sústavu hmotných bodov s obrovskou hustotou bodov. So zreteľom na túto skutočnosť

prechádzame od diskrétnej predstavy ku kontinuálnej predstave tuhého telesa, čo sa prejaví

v tom, že pri výpočtoch používame integrálny počet: Namiesto hmotného bodu budeme

používať „kúštik“ telesa (hmotnostný element), ktorý má z makro-pohľadu maličkú hmotnosť

md , ktorej zodpovedá maličký objem ,dV ale so zreteľom na stavebné častice telesa (atómy,

molekuly) musí byť dostatočne veľký aby reprezentoval priemerné fyzikálne vlastnosti látky,

z ktorej teleso pozostáva. Taký objem nazývame fyzikálne malý (na rozdiel od matematiky,

kde veličiny typu md , Vd sú nekonečne malé). Teda naše tuhé teleso bude teraz pozostávať

z malých častí s objemom Vd a hmotnosťou md . Pri výpočte fyzikálnych veličín týkajúcich

sa telesa nebudeme teraz používať sumáciu, ale integráciu. Až na tento rozdiel, môžeme bezo

zbytku aplikovať na tuhé teleso vzťahy a rovnice odvodené pre sústavu hmotných bodov.

Polohový vektor, resp. súradnice hmotného stredu telesa počítame podľa vzťahov

Obr. 3.19. Dvojica síl.

Obr. 3.20. Pri výpočte

polohového vektora hmot-

ného stredu telesa považu-

jeme hmotnosť za spojito

rozloženú.

dV

dm

x y

z

0

r

.

F

F

1

2

d

82

V

m

mV

mm

m

d 1

d

d

T r

r

r (3.22)

resp.

d 1

; d 1

; d 1

m

T

m

T

m

T mzm

zmym

ymxm

x

kde m je hmotnosť telesa, r – polohový vektor hmotnostného elementu, md – hmotnosť

elementu, – hustota látky, z ktorej je teleso zhotovené, Vd – objem elementu, x, y, z –

súradnice elementu, obr. 3.20.

Ďalej, pohybové rovnice tuhého telesa majú taký istý tvar ako pohybové rovnice sústavy

hmotných bodov (pozri (3.6) a (3.18)). I. pohybová

rovnica má tvar

dt

pF

d

a II. pohybová rovnica tvar

td

dLM

V týchto rovniciach F je výslednica všetkých vonkajších

síl pôsobiacich na tuhé teleso,

M – výslednica momentov vonkajších síl pôsobiacich na

teleso, p – celková hybnosť telesa,

L – celkový moment hybnosti telesa a pd , Ld sú zmeny

hybnosti a momentu hybnosti telesa za dobu td .

Príklad 3.3. Vypočítame polohu hmotného stredu

drôtu ohnutého do tvaru trištvrtekruž-nice s polomerom R.

Riešenie: Pre x-ovú súradnicu hmotného stredu platí

m

mxm

x d 1

T (P1)

Hmotnostný element dm možno vyjadriť takto

d π3

2d

π3

2d

π24

3d d

mR

R

m

R.

mm

V tomto vzťahu sme dĺžku „oblúčika“ d , pozri obr. 3.21, vyjadrili pomocou polomeru R a

uhla d : d d R .

x-ovú súradnicu hmotnostného elementu dm možno vyjadriť ako cos Rx . Po dosadení do

vzťahu (P1) dostaneme, že

Obr. 3.21. K výpočtu hmotného

stredu drôtu ohnutého do tvaru

trištvrtekružnice.

dm

d

xxR

y

y

0

m~dl

83

π3

201

π3

2

π3

2d cos

π3

21 π0

π

0

T2

32

3

RRsin

RmR

mx

Podobne, pre y-ovú súradnicu, keď si uvedomíme, že

sin Ry , dostaneme

π3

210

π3

2

π3

2d sin

π3

2 π0

π

0

T2

32

3

RRcos

RRy

Súradnice ťažiska drôtu ohnutého do tvaru trištvrtekružnice

sú: .;π3

2

π3

2TT

Ry

Rx

Príklad 3.4. Vypočítame polohu ťažiska polgule, ktorá má hmotnosť m a polomer R.

Riešenie: Je zrejmé, že pri zvolenej súradnicovej sústave (obr. 3.22) platí .0TT zx

Ypsilonovú súradnicu ťažiska vypočítame podľa vzťahu

m

mym

y d 1

T (P1)

Hmotnostný element dm vyjadríme pomocou hustoty ,Vm kde V je objem polgule,

3

32 πRV , a pomocou objemu elementu yyRyrV d πd πd 222 . Teda

yyRR

myyR.

R

mVm d

2

3d π

πd d 22

3

22

3

32

Dosadíme vyjadrenie hmotnostného elementu do vzťahu (P1) a vypočítame Ty

4

22

3d d

2

3d

2

31

0

4

0

22

30 0 0

32

3

22

3T

RRR R Ryy

RR

yyyyRR

yyRyR

m

my

RRR

R 8

3

422

3 44

3

Súradnice ťažiska polgule sú: .; Ryzx8

3 0 TTT

Obr. 3.22. K výpočtu hmotného

stredu polgule.

0

R

r

dy

y

y

x

dm ~

84

3.9 Zákon zachovania hybnosti a zákon zachovania momentu hybnosti

telesa

Predpokladajme, že na teleso, resp. SHB, nepôsobí žiadna vonkajšia sila alebo výslednica

vonkajších síl je rovná nule a nech aj výslednica

momentov vonkajších síl pôsobiacich na teleso je

rovná nule. Takéto teleso (sústavu hmotných

bodov) nazývame izolovanou sústavou. Potom I.

pohybová rovnica (3.6) v takomto prípade

nadobudne tvar

0d

d

t

p

z ktorého vyplýva, že

konštp . (izolovaná sústava)

(3.23)

Tento výsledok nám hovorí, že keď na teleso

(SHB) nepôsobia žiadne vonkajšie sily alebo ich

výslednica je nulová, celková hybnosť telesa

(SHB) sa zachováva. Táto skutočnosť sa nazýva

zákon zachovania hybnosti.

Podotýkame, že rovnica (3.23) je vektorová rovnica, čo zodpovedá trom skalárnym

rovniciam vyjadrujúcim zákon zachovania hybnosti v troch navzájom kolmých smeroch.

Príklad 3.5. Biliardová guľa pohybujúca sa rýchlosťou 1s . m 5 narazí do inej, rovnakej,

stojacej biliardovej gule. Po zrážke jej rýchlosť klesne na 1s . m 4 a pohybuje sa doprava pod

uhlom 30° vzhľadom na pôvodný smer. Pod akým uhlom k pôvodnému smeru prvej gule sa bude

pohybovať po zrážke druhá guľa, keď jej rýchlosť je 1s . m 3 ?

Riešenie: Pri riešení úlohy budeme vychádzať zo zákona zachovania hybnosti. Musí

platiť (pozri obr. 3.23)

2121 pppp

kde 2121 a , , , pppp sú hybnosti gúľ pred a po zrážke. Podotýkame, že 02 p . Keďže

hybnosť je vektorová veličina, musí platiť aj rovnosť horizontálnych a vertikálnych zložiek.

Teda pre veľkosť zložiek v smere osi x platí

cos cos 211 vvv mmm

Z tejto rovnice potom hľadaný uhol je

512,0s . m 3

30 cos . s . m 4s . m 5 cos cos

1

11

2

11

v

vv ; 2,59

Obr. 3.23. Súčet hybností gúľ pred zrážkou

sa rovná súčtu ich hybností po zrážke.

mm

m

m

2

´

x

x

1

1

85

Keď je teleso (SHB) izolované, II. pohybová rovnica (3.18) má tiež tvar s nulovou pravou

stranou

0d

d

t

L

z ktorého vyplýva, že

konštL . (izolovaná sústava) (3.24)

Tento výsledok hovorí, že keď výslednica momentov vonkajších síl pôsobiacich na teleso

(SHB) sa rovná nule, celkový moment hybnosti telesa

(SHB) sa zachováva. Tento fakt sa nazýva zákon

zachovania momentu hybnosti. Znova si treba

uvedomiť, že moment hybnosti je vektorová veličina,

a preto túto skutočnosť treba brať do úvahy pri

aplikácii tohto zákona.

Zákon zachovania momentu hybnosti hral

dôležitú úlohu pri vzniku vesmírnych objektov –

galaxií a slnečných sústav. Tieto vznikli z rozsiahleho

zhluku malinkých prachových čiastočiek. Zhluk sa

vplyvom gravitačných síl zmršťoval, tým sa

zväčšovala jeho hustota a teplota a postupne sa

zväčšovala jeho rýchlosť otáčania. Všetky tieto zmeny

stavu zhluku sú dôsledkom platnosti elementárnych

fyzikálnych zákonov. Ak rovnaká hmotnosť zaujíma

stále menší objem, vedie to nutne k narastaniu hustoty.

Súčasne sa však zvyšuje tlak vnútri zhluku, čo má za následok zvýšenie teploty. Ak sa

pôvodný zhluk otáčal v priestore pomerne pomaly, potom pri zmršťovaní sa muselo v

dôsledku zákona zachovania momentu hybnosti otáčanie zrýchľovať. Tým sa zväčšovala

odstredivá sila, takže pôvodne chaotický zhluk sa postupne zmenil na pomerne pravidelný

rotujúci disk, ktorý je uprostred najhrubší a smerom k okrajom sa stenčuje.

Príklad 3.6. Na meranie rýchlosti projektilu (náboja) sa používa balistické kyvadlo,

obr. 3.24. Projektil, ktorý narazí do dreveného bloku a uviazne v ňom má hmotnosť 12 g a blok

5 kg. Dĺžka závesu kyvadla je 350 mm. Po náraze sa záves vychýlil o uhol 28,5°. Aká bola

rýchlosť projektilu?

Riešenie: Pri riešení úlohy budeme vychádzať zo zákona zachovania hybnosti. Blok

a projektil budeme považovať za izolovanú sústavu. Potom platí

vvv bpbbpp mmmm (P1)

kde bp a mm sú hmotnosti projektilu a bloku, bp a vv – rýchlosti projektilu a bloku pred

zrážkou a v – rýchlosť bloku s uviaznutým projektilom tesne po zrážke. Avšak 0 b v .

Druhým zákonom, ktorý pri riešení použijeme je zákon zachovania mechanickej energie

bloku s uviaznutým projektilom

p2k2p1k1 EEEE (P2)

Obr. 3.24. Balistické kyvadlo slúži na

meranie rýchlosti projektilov.

mm

p

p b

b

h

l

l cos

1

2

86

V tomto vzťahu k1E je kinetická energia bloku, ktorú nadobudne v okamihu uviaznutia

projektilu (v polo-

he 1). Táto sa mení postupne na potenciálnu energiu, až pokým v polohe 2 má blok

s projektilom len potenciálnu energiu. Teda 0k2 E a položíme tiež 0p1 E , t.zn., že

potenciálnu energiu

v polohe 2 počítame vzhľadom na polohu 1. Keď do rovnice (P2) dosadíme za

2bp2

1k1 vmmE a za ,ghmmE bpp2 kde, ako vidno z obr. 3.23, cos h ,

dostaneme rovnice

vv bppp mmm

cos 1 2

1bp

2bp gmmmm v

ktorých riešením získame vzťah na určenie rýchlosti projektilu

kg 0,012

28,5 cos-1 m 0,35 s . m 9,81 . 2kg 5 kg 0,01212 2

p

bpp

.cos

m

gmm v

1s . m 381

3.10 Podmienky rovnováhy tuhého telesa

Keď hmotný bod zostáva v pokoji v inerciálnej súradnicovej sústave, jeho zrýchlenie je

nulové a z Newtonovho zákona sily vyplýva, že výsledná sila pôsobiaca naň sa rovná nule,

0i

iF . Toto je nutná (a postačujúca) podmienka pre statickú rovnováhu hmotného bodu.

V realite máme do činenia skôr s telesami než s časticami. Čo teda budeme rozumieť pod

statickou rovnováhou telesa? Teleso je v statickej rovnováhe, ak jeho každý bod je v pokoji.

Avšak, ak je teleso v statickej rovnováhe v jednej inerciálnej súradnicovej sústave, vzhľadom

na inú sa môže pohybovať konštantnou rýchlosťou. Preto my budeme v ďalšom predpokladať,

že teleso vzhľadom na našu súradnicovú sústavu je v pokoji.

Z I. pohybovej rovnice vyplýva, že keď výslednica vonkajších síl pôsobiacich na teleso sa

rovná nule, teda keď

i

i 0FF (3.25)

teleso si zachováva svoju hybnosť. My sme však predpokladali, že teleso je v pokoji, teda

jeho hybnosť je rovná nule. Podmienka (3.25) je podmienkou translačnej rovnováhy – aby sa

teleso neposúvalo.

Podmienka rovnováhy (3.25) prepísaná do skalárneho tvaru je

0 0 0 i

zi

i

yi

i

xi F,F,F (3.26)

Teleso by však mohlo ešte rotovať okolo osi prechádzajúcej hmotným stredom. Aby

k tomu neprišlo, je nutné splniť aj druhú podmienku, a to, aby výslednica momentov

vonkajších síl vzhľadom na ľubovoľný bod bola rovná nule

87

0i

iMM (3.27)

Ak sily pôsobia len v jednej rovine, napr. xy, podmienky rovnováhy sa zredukujú na

nasledujúce tri algebraické rovnice

0 0 0 i

zi

i

yi

i

xi M,F,F (3.28)

Príklad 3.7. Hrubá drevená doska s hustotou 3m . kg 600 a rozmermi 4 cm 30 cm

300 cm je uložená na dvoch podperách („kozách“) tak, že jedna podpera je na kraji dosky a

druhá je vo vzdialenosti 100 cm od druhého konca dosky. Teda vzdialenosť podpier je 200 cm.

Akú minimálnu hmotnosť musí mať závažie, ktoré položíme na neprečnievajúci kraj dosky,

aby sa na druhý, prečnievajúci koniec dosky mohol postaviť človek hmotnosti 80 kg? Aké sily

pôsobia na podpery?

Riešenie: Pri hľadaní minimálnej hmotnosti závažia budeme vychádzať z podmienky

rovnováhy: Súčet momentu tiaže závažia a momentu tiaže dosky vzhľadom na os

prechádzajúcu podperou bližšou k prečnievajúcemu koncu dosky (obr. 3.25) sa musí rovnať

momentu tiaže človeka vzhľadom na tú istú os. V tomto prípade sa podpera pri

neprečnievajúcom konci dosky neuplatňuje – nepôsobí na dosku žiadnou silou. Teda

02

1D2

gbmbgmgam

Z tejto rovnice vyjadríme hľadanú hmotnosť závažia m2

kg 634m 2

m 12

m 3 . kg 21,6m 1 . kg 80

2D1

2 ,

a

bmbm

m

kde hmotnosť dosky sme určili podľa vzťahu

kg 21,6m 3 . m 0,3 . m 0,04 .m . kg 600 3D hsVm

Minimálna hmotnosť závažia je 34,6 kg.

Na podperu na kraji dosky nepôsobí v tomto prípade žiadna sila. Teda

FR2 0 N

Sila pôsobiaca na druhú podperu

N 1363s . m 9,81 . kg 34,6+kg 21,6+kg 80=g 22D1R1 mmmF

Na podperu na kraji dosky nepôsobí

žiadna sila a na druhú podperu pôsobí sila

1363 N.

Obr. 3.25. Aby človek stojaci na prečnievajúcom

konci dosky nespadol, musíme druhý koniec zaťažiť.

mm

m g

gga b

l

T

FF

2

1

R1R2D

88

Príklad 3.8. O stenu je opretý rebrík. Faktor šmykového trenia rebríka o stenu je 401 ,

a o vodorovnú podlahu 502 , . Aký najmenší uhol môže zvierať rebrík s vodorovnou podlahou,

aby neskĺzol, keď predpokladáme, že ťažisko rebríka je v jeho strede?

Riešenie: Na rebrík pôsobia trecie sily T2T1 a FF , normálové sily N2N1 a FF a tiaž

rebríka gF , pozri obr. 3.26.

Ide o statický problém, preto pri jeho riešení vychádzame z podmienok rovnováhy pre

teleso. Podmienka rovnováhy pre sily je

0 gN2T1N1T2gN2N1T2T1 jiFFFFFF FFFFFi

i

Podmienka rovnováhy pre momenty síl vzhľadom

na os prechádzajúcu bodom 0 je

0gT2N2gT2N2 kkkMMM MMM

Po prepise do skalárneho tvaru podmienky

rovnováhy sú

0N1T2 FF (P1)

0gN2T1 FFF

(P2)

0cos 2

sin cos gT22N

FFF

(P3)

Ďalej, medzi trecími a normálovými silami platia

tieto vzťahy

N22T2 FF (P4)

N11T1 FF (P5)

V ďalšom kroku nahradíme trecie sily vo vzťahoch (P1), (P2) a (P3) ich vyjadreniami

pomocou normálových síl (P4), (P5) a potom vzťah (P3) ešte upravíme vydelením cos .

Dostaneme rovnice

0N1N22 FF

0gN2N11 FFF

02

tg N2g

N22 FF

F

Obr. 3.26. Keď uhol bude menší ako

medzný uhol, rebrík spadne.

F

F

F

F

F

N1

N2

T1

T2

g

l

x

y

0

+

z

ij

k

89

Z poslednej rovnice súboru vyjadríme tg

N22

gN2

2tgF

FF

(P6)

Ďalej, z prvej rovnice súboru vyjadríme N1F , dosadíme do druhej rovnice a vyjadríme N2F

21

gN2

1

FF

Toto vyjadrenie dosadíme do vzťahu (P6), čím dostaneme rovnicu

800,5 . 2

0,5 . 401

2

1

1

21tg

2

21

21

g2

g

21

g

,,

F

FF

z ktorej uhol je

0438 °

Najmenší uhol, ktorý môže zvierať rebrík s vodorovnou podlahou, aby neskĺzol je 0438 .

89

3.11 Pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi

Rotácia tuhého telesa okolo pevnej osi má veľký praktický význam, veď väčšina

strojných súčastí vykonáva práve takýto pohyb. V ďalšom si odvodíme rovnice, ktoré tento

pohyb opisujú.

Uvažujme tuhé teleso, ktoré sa otáča okolo nehybnej osi (obr. 3.27) uhlovou rýchlosťou

proti smeru pohybu hodinových ručičiek. Použijeme predstavu, že teleso pozostáva

z množstva hmotných bodov – hmotnostných elementov s hmotnosťou dm. Pri otáčaní telesa

sa pohybujú všetky jeho hmotnostné elementy po kružniciach, ktoré majú svoje stredy na osi

otáčania. Moment hybnosti dL vybraného hmotnostného elementu vzhľadom na bod 0

nachádzajúci sa na osi je

mmmmm d d d d d vvvv rrrrrL

V tomto vzťahu mr je polohový vektor hmotnostného elementu dm, r – zložka polohového

vektora v smere osi a r – zložka polohového vektora kolmá na os.

Z hľadiska rotácie telesa okolo pevnej osi je dôležitá zložka momentu hybnosti

rovnobežná s osou rotácie. Označíme ju dL0 a možno ju vyjadriť ako

md dd 0 v rννLL (3.29)

lebo vektor md vr je kolmý na os a jeho zložka do smeru

osi je teda nulová. Vektor je jednotkový vektor v smere osi.

Vzťah (3.29) môžeme ďalej upraviť takto

mrmrmrm d d d d d 220 ωννrL vv

Moment hybnosti L0 celého telesa vzhľadom na os

dostaneme integráciou

mm

Imr ωωLL d d 200 (3.30)

kde

m

mrI d2 (3.31)

je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os. Rovnica (3.30) je platná pre ľubovoľné tuhé

teleso, ale vzťahuje sa len na zložku momentu hybnosti spadajúcu do smeru osi.

Ak je však teleso symetrické vzhľadom na os rotácie, potom celkový moment hybnosti L

je rovný L0. Vysvetlíme si to pomocou obr. 3.28. Uvažujme dva hmotnostné elementy telesa

s hmotnosťami ji mm dd symetricky uložené vzhľadom na os. Radiálne zložky ich

momentov hybnosti rjri LL da d majú rovnakú veľkosť a opačný smer. Keďže v tuhom telese,

symetrickom vzhľadom na os, existuje vždy ku vybranému hmotnostnému elementu jeho

symetrický proťajšok, výsledná radiálna zložka momentu hybnosti telesa sa rovná nule a

moment hybnosti telesa L je rovnobežný s osou a platí

ωL I (3.32)

Obr. 3.27. Pri otáčaní telesa

sa pohybujú všetky jeho hmot-

nostné elementy po kružni-

ciach, ktoré majú svoje stredy

na osi otáčania.

r

r.

L

L0

rv

0

.

. dmm

90

Ak teleso nie je symetrické vzhľadom na os, moment hybnosti L nie je paralelný s osou a

smer L bude pri otáčaní sa telesa tiež „rotovať“. Napríklad, ak automobilové koleso nie je

„vyvážené“, pri jazde (teda pri otáčaní sa) bude kmitať a bude

namáhať ložiská, na ktorých je uložené.

Vzťah (3.30), resp. (3.32) môžeme upraviť použitím

vzťahu (3.18) takto

αω

ωL

M It

IItt

d

d

d

d

d

d

Rovnicu

αM I (3.33)

nazývame pohybovou rovnicou telesa uloženého na pevnej

osi. Podotýkame, že v tejto rovnici i

iMM je výslednica

momentov vonkajších síl vzhľadom na os a moment

zotrvačnosti telesa I musí byť tiež vztiahnutý na tú istú os.

Táto rovnica je rotačnou analógiou pohybovej rovnice

translačného pohybu aF m . Z tejto analógie môžeme tiež

ľahšie pochopiť fyzikálny význam momentu zotrvačnosti. Tak, ako je hmotnosť mierou

zotrvačnosti telesa pri translačnom pohybe, je moment zotrvačnosti mierou zotrvačnosti telesa

pri rotačnom pohybe – pri danom momente vonkajších síl bude mať teleso s väčším

momentom zotrvačnosti menšie uhlové zrýchlenie než teleso s menším momentom

zotrvačnosti.

3.12 Moment zotrvačnosti. Steinerova veta

Moment zotrvačnosti telesa sme zaviedli v predchádzajúcej časti, kde sme vysvetlili aj

jeho fyzikálny význam. V tejto časti sa zameriame viac na techniku výpočtu momentu

zotrvačnosti.

Moment zotrvačnosti tuhého telesa počítame podľa vzťahu

m V

VrmrI d d 22 (3.34)

kde r je kolmá vzdialenosť hmotnostného elementu dm telesa od osi, vzhľadom na ktorú

moment zotrvačnosti určujeme, – hustota a dV – objem hmotnostného elementu. Jednotkou

momentu zotrvačnosti je .2m . kg 1

Keď môžeme rozmery telesa zanedbať, stretneme sa s pojmom moment zotrvačnosti

hmotného bodu. Ten vypočítame podľa vzťahu

2mrI

alebo ak ide o sústavu hmotných bodov podľa vzťahu

i

iirmI 2

Obr. 3.28. Radiálne zložky

momentov hybnosti dLi a dLj

majú rovnakú veľkosť, ale

opačný smer.

dm

dmjj

ji

i idL

dL

rrmjmi

0

os

91

V týchto vzťahoch m, resp. mi je hmotnosť hmotného bodu a r, resp ir kolmá vzdialenosť

hmotného bodu od osi.

Moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na osi

pravouhlej súradnicovej sústavy vypočítame zo vzťahov

mzymrI

mm

xx d d 222

mzxmrI

mm

yy d d 222

myxmrI

mm

zz d d 222

Význam symbolov v rovniciach je zrejmý z obr. 3.30.

Moment zotrvačnosti telesa závisí, ako vyplýva zo

vzťahu (3.34), nielen od tvaru telesa a od rozloženia

hmotnosti v ňom, ale aj od polohy osi rotácie. Významné

sú tzv. hlavné momenty zotrvačnosti ,I určené k osiam

(hlavným osiam), ktoré prechádzajú cez hmotný stred telesa. Keď má teleso rovinu

súmernosti, je os kolmá na túto rovinu hlavnou osou zotrvačnosti, keď má teleso os

súmernosti, je táto os jednou z hlavných osí zotrvačnosti. Hlavné momenty zotrvačnosti majú

všeobecne dve medzné hodnoty – najväčšiu a najmenšiu – ku dvom navzájom kolmým osiam.

Vzhľadom k tretej hlavnej osi má moment zotrvačnosti veľkosť ležiacu medzi obidvomi

krajnými hodnotami. Ako príklad uvádzame hlavné momenty zotrvačnosti hranola. Ako sme

už uviedli, sú to momenty zotrvačnosti k hlavným osiam zotrvačnosti – na obr. 3.31 sú tieto

osi označené ako x, y a z. Úvahou sa ľahko možno presvedčiť, že pre hlavné momenty

zotrvačnosti hranola platí

zyx III

Pomocou hlavných momentov zotrvačnosti telesa môžeme určiť jeho moment zotrvačnosti

k ľubovoľnej osi. Napríklad k osi Lo (obr. 3.32), ktorá prechádza hmotným stredom telesa

a s hlavnými osami x, y, z zviera uhly , , je

moment zotrvačnosti určený vzťahom

222L cosIcosIcosII zyx

Častokrát treba vypočítať moment zotrvačnosti

vzhľadom na os o , ktorá neprechádza hmotným

stredom telesa (obr. 3.33). Výpočet pomocou

definičného vzťahu môže byť niekedy veľmi

obťažný. Našťastie sa dá tento výpočet zjednodušiť

pomocou teorémy, ktorú nazývame Steinerova veta:

Moment zotrvačnosti I tuhého telesa vzhľadom na os

,o ktorá neprechádza hmotným stredom telesa sa

rovná súčtu momentu zotrvačnosti IT vzhľadom na os

o prechádzajúcu hmotným stredom a rovnobežnú

Obr. 3.30. K výpočtu momentov

zotrvačnosti vzhľadom na osi pra-

vouhlej súradnicovej sústavy.

Obr. 3.31. Hlavné momenty zotrvačnosti

hranola sú momenty zotrvačnosti k hlav-

ným osiam x, y a z.

rr r

r

m

dm

x

xy

y

z

z

0

T x

y

z

92

s osou o a súčinu hmotnosti telesa m a štvorca vzdialenosti obidvoch osí (a2)

2T maII (3.35)

Steinerovu vetu odvodíme nasledujúcim výpočtom. Moment zotrvačnosti telesa

vzhľadom na os o (obr. 3. 33) podľa definície možno vyjadriť

2T

22222 d 2ddd 2d maImmamrmramrI arar

Pri odvádzaní sme použili túto úpravu: 222 2 rar arrararr a ďalej

sme uvážili, že 0d 2d 2 mm raar , čo vyplýva zo vzťahu pre výpočet polohového

vektora hmotného stredu 0dd T mmrr . Polohový vektor hmotného stredu vzhľadom

na hmotný stred sa rovná nule a preto sa musí nule rovnať tiež md r .

Na obr. 3.34 sú uvedené momenty zotrvačnosti niektorých rovnorodých telies vzhľadom

na vyznačené osi.

Obr. 3.32. Pomocou hlavných

momentov zotrvačnosti možno

určiť moment zotrvačnosti k ľu-

bovoľnej osi prechádzajúcej hmot-

ným stredom telesa.

Obr. 3.33. Moment zotrvačnosti

telesa vzhľadom na os o´ môžeme

počítať pomocou Steinerovej vety.

Obr. 3.34. Momenty zotrvačnosti niektorých rovnorodých telies:

a) tenká obruč, b) kruhová doska (valec), c) tenká tyč, d) plná guľa.

x

y

z

T

oL

r

rr

0

00

l

a)

c)

b

d)

I mr = 00

22 I = 1_2

mr0

0

2

2I =

25_

mrI = 1

12 m l 2

)

93

Príklad 3.9. Aký je moment zotrvačnosti homogénnej tyče dĺžky a hmotnosti m

vzhľadom na os kolmú na tyč a prechádzajúcu a) stredom tyče, b) koncovým bodom tyče?

Riešenie: a) Moment zotrvačnosti

vzhľadom na os prechádzajúcu stredom

tyče, obr. 3.35a

xm

xmxI

m

d d

2

2

22T

2

2

3

3

xm

233

12

1

2424

m

m

b) Moment zotrvačnosti vzhľadom na

os prechádzajúcu koncovým bodom tyče,

obr. 3.35b

2

0

3

0

22

3

1

3d d

mxm

xm

xmxI

m

Tento moment zotrvačnosti možno vypočítať aj pomocou Steinerovej vety

22

22T

3

1

212

1

mmmmaII

Príklad 3.10. Vypočítame moment zotrvačnosti homogénnej kruhovej dosky

s hmotnosťou m a polomerom R a hrúbkou h vzhľadom na os kolmú na dosku a prechádzajúcu jej

stredom, obr. 3.36.

Riešenie: Pri výpočte vychádzame z definície momentu

zotrvačnosti

mrI

m

d2

Hmotnostný element dm (pozri obr. 3.36) určíme takto

rrR

mrrh

hR

mVm d

2d π2

πdd

22

Po jeho dosadení do vzťahu pre moment zotrvačnosti dostaneme

24

20

3

20

2

2

2

1

4

2d

2d

2 mR

R

R

mrr

R

mrr

R

mrI

RR

Obr. 3.35. K výpočtu momentu zotrvačnosti tyče:

a) vzhľadom na os prechádzajúcu stredom, b) vzhľa-

dom na os prechádzajúcu koncovým bodom.

Obr. 3.36. K výpočtu mo-

mentu zotrvačnosti kruho-

vej dosky vzhľadom na os

kolmú na dosku a prechá-

dzajúcu jej stredom.

0

0

x

x

x

x

l

l

dx

dx

os

os

- /2l l /2

dm

dm

a)

b)

R

rdrdm

hr. h

94

Príklad 3.11. Aký veľký je orbitálny moment hybnosti Zeme a koľkokrát je väčší ako

moment hybnosti Zeme vzhľadom na vlastnú os otáčania?

Pozn.: Budeme predpokladať, že Zem obieha okolo Slnka po kruhovej dráhe a budeme ju

považovať za hmotný bod. Vzdialenosť Zeme od Slnka je približne 150 miliónov kilometrov.

Pri výpočte momentu hybnosti Zeme vzhľadom na jej os otáčania, považujeme Zem za

homogénnu guľu. Hmotnosť Zeme je kg. 10.98,5 24

Riešenie: Orbitálny moment hybnosti Zeme je moment hybnosti, ktorý má Zem pri

obiehaní okolo Slnka vzhľadom na os kolmú na rovinu jej trajektórie (podľa zadania

kružnice) a prechádzajúcu Slnkom. V tomto prípade považujeme Zem i Slnko za hmotné

body. Teda veľkosť orbitálneho momentu hybnosti Zeme vypočítame zo vzťahu

orb

2Z

orbZZorb

π2π2

T

rmr

T

rmL mvr

1240

21124

s .m . kg 10682s 60 . 60 . 24 . 365

m 1,5.10 . kg 5,98.10 . π2 .,

V tomto vzťahu mZ je hmotnosť Zeme, rv – rýchlosť, s ktorou Zem obieha okolo Slnka,

r – polomer jej kruhovej trajektórie a orbT – perióda obiehania Zeme okolo Slnka (1 rok).

Moment hybnosti Zeme vzhľadom na vlastnú os otáčania určíme z rovnice

os

2ZZos

π2

5

2

TRmIL .

12332624 s .m . kg 10087s 60 . 60 . 24

π2m 6,378.10 . kg 5,98.10

5

2 .,..

Vo vyššie uvedenom vzťahu I je moment zotrvačnosti Zeme (gule) vzhľadom na jej os

otáčania, osπ2 T – uhlová rýchlosť otáčania Zeme, Zm – hmotnosť Zeme, ZR – polomer

Zeme, osT – perióda otáčavého pohybu Zeme okolo vlastnej osi (1 deň).

Napokon vydelíme orbitálny moment hybnosti Zeme jej momentom hybnosti vzhľadom na

vlastnú os otáčania a tak zistíme koľkokrát je väčší

L

L

sorb

os

40 2

33 2 -1

6 . 10 kg.m

. 10 kg.m .s . 10

2 68

7 083 78

1, .

,,

Orbitálny moment hybnosti Zeme je krát-10783 6., väčší ako jej moment hybnosti vzhľadom

na vlastnú os otáčania.

Príklad 3.12. Dva kotúče, voľne uložené na hriadeli, sa otáčajú tak, že prvý vykoná za

minútu 840 otáčok a druhý 1200 otáčok (obr. 3.29). Hmotnosť prvého kotúča je 3 kg, druhého

2 kg a polomer obidvoch 10 cm. Kotúče pritlačíme k sebe, takže sa začnú otáčať rovnako.

Aký je počet otáčok, ktorými sa budú spojené kotúče otáčať, a to keď:

95

a) pred pritlačením sa otáčali rovnakým smerom,

b) pred pritlačením sa otáčali proti sebe. Treba tiež rozhodnúť, či sa spojené kotúče

v tomto prípade budú otáčať v pôvodnom smere prvého alebo druhého kotúča.

Riešenie: Pri riešení vychádzame zo

zákona zachovania momentu hybnosti

k21 LLL

kde 21 LL , sú momenty hybnosti kotúčov

pred pritlačením a kL je moment hybnosti

kotúčov po pritlačení. Ďalej si musíme

uvedomiť, že moment hybnosti je

vektorová veličina, a preto v prípade

b) budú mať pôvodné momenty hybnosti opačné smery.

a) V tomto prípade zákon zachovania momentu hybnosti v skalárnej forme má tvar

k21 LLL

A po dosadení za L I tvar

212211 IIII

Ďalej s22112

222

11 2π= a π2 ,π2 a 2

1 ,

2

1nnnRmIRmI ss , kde m1, m2 sú hmot-

nosti kotúčov, R ich polomer, ,1 ,2 – uhlové rýchlosti, n1s, n2s – počty otáčok za

sekundu (frekvencia) kotúčov pred pritlačením, sn – počet otáčok za sekundu spojených

kotúčov (po pritlačení). Potom

s2

22

12s2

21s2

1 2π 2

1+

2

1=π2

2

1+π2

2

1n.RmRmn.Rmn.Rm

Z toho počet otáčok za 1 sekundu spojených kotúčov

1-1-1

21

2s21s1s s 416

kg 2+kg 3

s 20 kg 2s 14 . kg 3+

,.

mm

nmnmn

Počet otáčok za minútu bude 60-krát väčší

-1-1sm min 984min 16,4 60 . 60 .nn

Kotúče sa budú otáčať tak, že za 1 min vykonajú 984 otáčok.

b) V tomto prípade zákon zachovania momentu hybnosti má v skalárnej forme tvar

L L L1 2 k

a teda

Obr. 3.29. Dva voľne rotujúce kotúče pritlačíme

k sebe. Po pritlačení sa budú otáčať rovnako.

n nn1 2

96

s2

22

12s2

21s2

1 2π 2

1+

2

1=π2

2

1π2

2

1n.RmRmn.Rmn.Rm

z čoho počet otáčok za sekundu

1-1-1

21

2s21s1s s 4000

kg 2+kg 3

s 20 kg 2s 14 . kg 3

,

.

mm

nmnmn

a za minútu

-1-1sm min 24min 0,400 60 . 60 .nn

Kotúče sa budú otáčať tak, že za 1 minútu vykonajú 24 otáčok v smere prvého kotúča.

Voľné osi. Teleso, ktoré sa môže otáčať okolo osi prechádzajúcej jeho hmotným stredom

zostane v rovnováhe pri ľubovoľnom pootočení, pretože výsledný moment tiaže všetkých

jeho častí vzhľadom na hmotný stred je rovný nule. Jeho celkovú tiaž „zachytávajú“ ložiská,

v ktorých je uložená os telesa. Keď však teleso rotuje okolo takej osi, môžu vplyvom

odstredivých síl, ktoré pôsobia v každej časti telesa, vzniknúť v ložiskách iné tlaky, ktoré

menia svoj smer a spôsobujú opotrebovávanie ložísk. Ako príklad môže poslúžiť hranol,

ktorý je znázornený na obr. 3.37a. Jeho rotačná os prechádza jeho hmotným stredom.

Odstredivé sily tvoria dvojicu, ktorá sa snaží vychýliť rotačnú os z jej polohy, čím vznikajú

nepriaznivé tlaky v ložiskách. Keď však výslednica všetkých elementárnych odstredivých síl

a aj výsledná dvojica odstredivých síl sú nulové, tieto tlaky nevzniknú. Príkladom rotácie

hranola, kedy tlaky nevzniknú, je rotácia hranola okolo osi, ktorá sa nazýva voľná os,

obr. 3.37b. Voľná os je teda os otáčania, ktorá prechádza hmotným stredom telesa

a nepodlieha vplyvu odstredivých síl. Voľnými osami v telese sú hlavné osi zotrvačnosti.

Deviačný moment. Keď sa teleso otáča okolo osi idúcej jeho hmotným stredom, celkový

moment odstredivých síl je vzhľadom na všetky body osi rovnaký a možno ho vyjadriť

jediným momentom dvojice síl

UM2

od (3.36)

Obr. 3.38. Pri rotácii telesa na

každý jeho hmotnostný element

pôsobí odstredivá sila.

Obr. 3.37. a) Odstredivé sily tvoria dvojicu,

ktorá sa snaží vychýliť rotačnú os z jej polo-

hy – vznikajú tlaky v ložiskách. b) Keď vý-

slednica všetkých elementárnych odstredi-

vých síl a aj výsledná dvojica odstredivých síl

sú nulové, tieto tlaky nevzniknú.

r

r.rv

0

. dm

m

dFod

a) b)

97

kde U je deviačný moment (moment, ktorý sa snaží odkloniť os rotácie; deviácia – odchýlka,

odklon). Vzťah (3.36) odvodíme nasledujúco: V rotujúcom telese (obr. 3.38) si predstavme

hmotnostný element dm. Odstredivú silu pôsobiacu naň možno vyjadriť vzťahom

mdd 2od rF

a moment tejto sily vzhľadom na bod O ležiaci na rotačnej osi ako

mm dd 2od rrM (3.37)

Význam veličín vystupujúcich pri tomto odvodzovaní je zrejmý z obr. 3.38. Celkový

moment odstredivých síl dostaneme integráciou vzťahu (3.37)

UrrrrrrrrrM22222

od ddd d mmmm mmmmm

kde

m

m

m d rrU

je deviačný moment.

3.13 Kinetická energia rotujúceho telesa. Zotrvačník

Teleso konajúce posuvný pohyb rýchlosťou veľkosti v má kinetickú energiu, ktorá je

daná vzťahom 2

21

k vmE . Podobne aj s telesom konajúcim otáčavý pohyb je spätá kinetická

energia. Použijeme opäť predstavu, že teleso je zložené z množstva malých čiastočiek –

hmotnostných elementov s hmotnosťou dm, obr. 3.39. Každý hmotnostný element sa

pohybuje pri otáčaní telesa po kružnici polomeru r rýchlosťou veľkosti v. Jeho kinetická

energia je

2k d

2

1d vmE

Integráciou tohto vzťahu dostaneme kinetickú energiu

celého telesa

mEE d 2

1d 2

kk v

Pri rotácii telesa majú jednotlivé hmotnostné elementy

rozličné obvodové rýchlosti, avšak ich uhlové rýchlosti sú

rovnaké. Použitím vzťahu rv môžeme vzťah pre

kinetickú energiu rotujúceho telesa upraviť nasledujúco

2222k

2

1d

2

1d

2

1 ImrmE v (3.38)

Obr. 3.39. Kinetická energia

rotujúceho telesa sa vypočíta

podľa vzťahu 2

21

k IE .

rdr

dmd

d0

98

kde, ako už vieme, Imr d2 je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os okolo ktorej

rotuje.

Ďalej odvodíme vzťah pre prácu W sily, ktorá mení pohybový stav rotujúceho telesa

000 0

dddd MFrrFrF

r

r

W (3.39)

Teda, napríklad prácu konštantnej sily, ktorej moment M má smer vektora uhla

pootočenia môžeme vypočítať ako súčin veľkosti jej momentu a zmeny uhla pootočenia

Δ MW (3.40)

Avšak, keď na teleso konajúce rotačný pohyb pôsobí sila, ktorá mení jeho pohybový stav,

musí sa meniť tiež jeho kinetická energia. Odvodíme si v ďalšom vzťah medzi prácou tejto

sily a zmenou kinetickej energie rotujúceho telesa

k202

12

21 Δd dd

d

ddd

0 000

EIIIIt

IIW

M

Pri všeobecnom pohybe tuhého telesa s hmotnosťou m je jeho celková kinetická energia

súčtom kinetickej energie posuvného a rotačného pohybu

2

T212

T21

k ImE v (3.41)

kde vT je veľkosť rýchlosti hmotného stredu telesa, IT – moment zotrvačnosti telesa vzhľadom

na rotačnú os prechádzajúcu hmotným stredom a – uhlová rýchlosť rotácie telesa.

Na objasnenie problematiky preberanej v tejto časti si rozoberieme valenie sa valca po

vodorovnej rovine. Na valenie valca budeme najprv nazerať ako na čistú rotáciu okolo

okamžitej osi rotácie o, ktorá splýva s priamkou dotyku valca s rovinou. Kinetická energia

valca je 2

21

k IE

kde I je moment zotrvačnosti valca vzhľadom na os rotácie o a je veľkosť uhlovej rýchlosti

rotácie. Podľa Steinerovej vety platí 2

T mrII (3.42)

kde IT je moment zotrvačnosti valca vzhľadom na os prechádzajúcu hmotným stredom

a rovnobežnú s osou o, m je hmotnosť valca a r jeho polomer. Dosadením vzťahu (3.42) do

vzťahu pre kinetickú energiu valca a použitím vzťahu rv dostaneme

2T2

12T2

122

212

T21

k vmIrmIE

Tento vzťah je totožný so vzťahom (3.41) a teda kinetická energia valiaceho sa valca môže

byť vyjadrená ako súčet dvoch výrazov: Jeden odpovedá kinetickej energii rotácie okolo osi

99

prechádzajúcej hmotným stredom a druhý odpovedá posuvnému pohybu hmotného stredu

(pozri obr. 3.3).

Príklad 3.13. Kotúč s polomerom m 0,08R sa môže otáčať okolo horizontálnej osi

kolmej na kotúč a prechádzajúcej bodom O. Bod O sa nachádza vo vzdialenosti 32R od

stredu S kotúča. Bod A je k nemu symetrický vzhľadom na stred S. Kotúč vychýlime o uhol

3π2 a pustíme. Treba určiť uhlovú a obvodovú rýchlosť bodu A pri prechode cez

rovnovážnu polohu.

Riešenie: Pri výpočte budeme vychádzať zo zákona zachovania mechanickej energie: Vo

vychýlenej polohe má kotúč, vzhľadom na rovnovážnu polohu, potenciálnu energiu určenú

vzťahom ,p mghE kde význam h je zrejmý z obr. 3.40. Po uvoľnení kotúča vo vychýlenej

polohe kotúč vykonáva rotačný pohyb okolo

horizontálnej osi prechádzajúcej bodom O. Jeho

potenciálna energia sa postupne transformuje na

kinetickú. V rovnovážnej polohe má kotúč už len

kinetickú energiu ,2

21

k IE kde I je moment

zotrvačnosti kotúča vzhľadom na os rotácie a je

uhlová rýchlosť rotácie. Teda zákon zachovania

mechanickej energie kotúča má tvar

2

2

1Imgh (P1)

Moment zotrvačnosti I určíme pomocou

Steinerovej vety (vzťah (3.35))

2

T maII

V našom prípade 2

21

T mRI a Ra32 , teda

22

2

18

17

3

2

2

1mRRmmRI

(P2)

Ďalej, ako vyplýva z obr. 3.40

sin13

2sin

3

2

3

2

3

2 RRRxRh (P3)

Po dosadení vzťahov (P2) a (P3) do vzťahu (P1) dostaneme rovnicu

22

18

17

2

1sin1

3

2 mR.Rmg

z ktorej

Obr. 3.40. Kotúč vychýlime z rovnováž-

nej polohy a pustíme. Koná rotačný po-

hyb okolo bodu O.

O

S

S

A

A

R

´

´

h

x

23

R

100

12

s ,11630sin 1m 0,08

s . m ,819

17

24sin1

17

24

.R

g.

Obvodová rýchlosť bodu A pri prechode rovnovážnou polohou je

11A s . m 1,72m 0,08 .

3

4. s 16,1

3

4 Rv

Príklad 3.14. Na hornom konci naklonenej roviny dĺžky 2 m a výšky 0,2 m zadržíme

vedľa seba zarážkou valec a guľu s tými istými polomermi, obr. 3.41. Valec sa dotýka roviny

v povrchovej priamke, ktorá má vodorovný smer. Keď telesá uvoľníme, konajú valivý pohyb

bez kĺzania. Ktoré teleso sa dostane prvé na spodný koniec naklonenej roviny? Akú dráhu

prejde za túto dobu druhé teleso?

Riešenie: Pri riešení úlohy budeme vychádzať zo zákona zachovania mechanickej energie.

Pri valení telies dole naklonenou rovinou vykonávajú telesá obecný pohyb – hmotný stred

telesa sa posúva smerom nadol rýchlosťou Tv a teleso rotuje okolo osi prechádzajúcej

hmotným stredom uhlovou rýchlosťou . Celková kinetická

energia telies je teda súčtom kinetickej energie posuvného

pohybu 2T2

1kp vmE a rotačného pohybu 2

21

kr IE .

V hornej polohe naklonenej roviny majú telesá len

potenciálnu energiu ,pE ktorá sa počas valenia telies

smerom nadol mení postupne na kinetickú energiu.

V spodnej polohe naklonenej roviny majú telesá už len

kinetickú energiu (potenciálnu energiu telies na hornom

konci naklonenej roviny počítame vzhľadom na spodný

koniec). Budeme najprv riešiť pohyb valca a potom analogicky gule. Veličiny týkajúce sa

valca budeme označovať indexom „V“ a gule indexom „G“. Teda, zákon zachovania

mechanickej energie pre valec

2VV

2TVVV

2

1

2

1Imghm v (P1)

kde Vm je hmotnosť valca, h – výška naklonenej roviny, TVv – rýchlosť hmotného stredu

valca, VI – moment zotrvačnosti valca vzhľadom na os rotácie prechádzajúcu hmotným

stredom a V – uhlová rýchlosť rotácie valca okolo jeho geometrickej osi.

Moment zotrvačnosti valca vzhľadom na jeho geometrickú os je 2VV2

1V RmI . Po

dosadení do vzťahu (P1) dostaneme

2V

2VV

2TVVV

2

1

2

1

2

1Rm.mghm v

a ďalej, keďže TVVV vR

2TV

4

3vgh (P2)

Pohyb dole naklonenou rovinou je spôsobený konštantnou silou, preto platia tiež vzťahy

Obr. 3.41. Valenie sa valca

a gule dole naklonenou rovinou.

Príklad 3.14.

hs

T

101

VTVTV tav (P3)

2VTV

2

1tas (P4)

kde TVa je zrýchlenie valca, s – dĺžka naklonenej roviny a Vt – doba, za ktorú príde valec na

spodný okraj naklonenej roviny. Dosadením vzťahu (P3) do vzťahu (P2) dostaneme rovnicu

2V

2TV

4

3tagh

z ktorej možno získať vzťah, keď do nej dosadíme vyjadrenie 2V

TV

2

t

sa zo vzťahu (P4), pre

hľadanú dobu valenia sa valca dole naklonenou rovinou

s 2,47m 0,2 . s . m 9,81

3 . m 2

32V

ghst

Analogicky postupujeme aj pri výpočte doby valenia gule. Jediným rozdielom je, že

moment zotrvačnosti gule vzhľadom na os prechádzajúcu jej hmotným stredom, okolo ktorej

sa otáča pri valení je 2GGG

5

2RmI . Zákon zachovania mechanickej energie pre guľu je

2G

2GG

2TGGG

5

2.

2

1

2

1Rmmghm v

a ďalej, keďže TGGG vR

2TG

10

7vgh (P5)

Ďalej, keď postupujeme analogicky ako pri valci, dostaneme pre dobu valenia gule dole

naklonenou rovinou nasledujúci vzťah

s 2,39m 0,2 . s . m 9,81 . 5

14 . m 2

5

142G

ghst

Porovnaním výsledkov vidíme, že na spodný okraj naklonenej roviny príde skôr guľa.

Valec za tú dobu prejde vzdialenosť

m 1,87s 2,39 .

s 2,47

m 22s.

2

1

2

1 2

2

2G2

V

2VTV t

ttas

Zotrvačník. Zotrvačník je tuhé teleso, súmerné vzhľadom na svoju geometrickú os. Máva

najčastejšie tvar kotúča, otáčajúceho sa okolo svojej geometrickej osi. Táto os je potom voľná

os a kotúč má vzhľadom na ňu najväčší hlavný moment zotrvačnosti. Ak je zotrvačník

upevnený v hmotnom strede, nazýva sa voľným (bezsilovým). Keď roztočíme taký zotrvačník

okolo jeho osi symetrie, zachováva táto os stály smer v priestore pretože je voľnou osou

102

a teda na zotrvačník nepôsobí vonkajší moment sily. Roztočenému zotrvačníku môžeme

priradiť moment hybnosti ωL I , pričom I je moment zotrvačnosti vzhľadom na rotačnú os

a je vektor uhlovej rýchlosti majúci smer rotačnej osi. Podľa druhej pohybovej rovnice,

,dd tLM časová zmena momentu hybnosti je rovná výslednici momentov vonkajších síl.

Avšak pri voľnom zotrvačníku 0M a teda 0dd tL . Z toho vyplýva, že .konštL Pri

voľnom zotrvačníku je teda moment hybnosti konštantný vektor (zachováva teda smer

i veľkosť) a spolu s vektorom uhlovej rýchlosti má smer rotačnej osi. Obidva vektory

zachovávajú stály smer v priestore, obr. 3.42.

Keď moment vonkajších síl pôsobiaci na zotrvačník nie je rovný nule, potom, ako

vyplýva z rovnice tddLM , zmena momentu hybnosti Ld zotrvačníka má smer

pôsobiaceho momentu sily M. Vysvetlíme si to na pohybe zotrvačníka, ktorým bude

bicyklové koleso (kvôli ľahkej dostupnosti a praktickej demonštrácii). Roztočíme bicyklové

koleso tak, aby sa veľmi rýchlo otáčalo okolo svojej osi s uhlovou rýchlosťou veľkosti 0 .

Potom jeden koniec osky kolesa upevníme do voľnej slučky na konci motúza, obr. 3.43. Keby

sa koleso neotáčalo, zo slučky vypadne o čom sa možno ľahko presvedčiť. Avšak, keď sa

koleso rýchlo otáča nespadne, začne celé rotovať uhlovou rýchlosťou p okolo osi totožnej

s motúzom. Tento pohyb nazývame precesný pohyb.

V ďalšom odvodíme vzťah pre precesnú uhlovú rýchlosť. Budeme predpokladať, že os

roztočeného kolesa má vodorovný smer a má smer osi x (pozri obr. 3.43). Na sústavu koleso

plus oska (v ďalšom, kvôli jednoduchosti zahrnieme aj osku pod pojem koleso) pôsobia

vonkajšie sily, sila 0F , ktorou pôsobí motúz a tiaž kolesa gF . Potom moment vonkajších síl

pôsobiacich na sústavu je

jkiM mgDFD g

lebo moment sily 0F vzhľadom na bod 0 je rovný nule. Elementárna zmena momentu

hybnosti Ld kolesa za dobu td je

jML tmgDt ddd

Obr. 3.42. Os rotácie zotrvačníka, ak naňho

nepôsobí moment sily má stály smer

v priestore a preto vzhľadom na Zem rotuje.

Obr. 3.43. Keď na rotujúci zotrvačník pôsobí mo-

ment vonkajších síl, zotrvačník vykonáva precesný

pohyb.

Severný pól

L

L

p

p

z

x

y

F

F

g

0

0

0

0

0

0 0

0

0 M

dL

d

D

L L + d

103

Celkový moment hybnosti kolesa L vzhľadom na bod 0 je súčtom momentu hybnosti 0L

otáčajúceho sa kolesa okolo osky a momentu hybnosti pL precesného pohybu kolesa

p0 LLL

Moment hybnosti otáčajúceho sa kolesa je

iωL 00000 II

kde 0I je moment zotrvačnosti kolesa vzhľadom na jeho os rotácie. Moment hybnosti

precesného pohybu je

iωL ppppp II

kde pI je moment zotrvačnosti rotujúceho kolesa vzhľadom na os z. Potom

kiL pp00 II

Poznamenávame, že L je kolmé na Ld , takže sa nemôže meniť jeho veľkosť, ale len smer.

Predpokladajme, že p0 , potom celkový moment hybnosti je približne rovný momentu

hybnosti otáčania sa kolesa okolo svojej osi. Po tomto zjednodušení možno z trojuholníka na

obr. 3.43 napísať pre elementárnu zmenu precesného uhla Φd

00

ddd

I

tmgD

L

LΦ

a potom uhlová rýchlosť precesie je

00p

d

d

I

mgD

t

Φ

3.14 Kyvadlový pohyb

Kyvadlový pohyb je zvláštnym prípadom rotácie tuhého telesa okolo pevnej osi. Teleso

uvedieme do kyvadlového pohybu tak, že ho vychýlime z rovnovážnej polohy a pustíme.

Teleso začne vykonávať pohyb okolo svojej rovnovážnej polohy vplyvom tiažovej alebo

pružnej sily. V nasledujúcich častiach si rozoberieme najprv pohyb matematického kyvadla,

ktoré je akýmsi základným modelom kyvadla, potom kyvadlový pohyb reálneho telesa

(fyzikálneho kyvadla) a napokon pohyb torzného kyvadla, ktoré sa navracia do rovnovážnej

polohy pôsobením pružných síl na rozdiel od dvoch skôr spomínaných kyvadiel, ktoré sa

vracajú do rovnovážnej polohy pôsobením ich tiaže.

3.14.1 Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je kyvadlo tvorené hmotným bodom na nehmotnom závese.

Modelom tohto kyvadla je malá guľôčka zavesená na tenkej niti, obr. 3.44. Keď guľôčku

vychýlime z jej rovnovážnej polohy a pustíme, začne konať kyvadlový pohyb. Ako sme už

104

spomínali, kyvadlový pohyb je špeciálny pohyb okolo pevnej osi – v našom prípade pohyb

okolo vodorovnej osi prechádzajúcej bodom upevnenia závesu. Pri matematickom opise

pohybu budeme teda vychádzať z pohybovej rovnice (3.33) telesa rotujúceho okolo pevnej osi

αM I

kde M je moment sily pôsobiaci na kyvadlo, I – moment zotrvačnosti kyvadla vzhľadom na

os, okolo ktorej kýva a α – uhlové zrýchlenie kyvadla.

Moment sily navracajúci kyvadlo do rovnovážnej polohy má opačný smer ako vektor

uhla výchylky závesu, preto pri prepise pohybovej rovnice do skalárneho tvaru mu

priraďujeme záporné znamienko a možno ho vyjadriť takto

sinmgM (3.43)

kde m je hmotnosť guľôčky, g – zrýchlenie voľného pádu, – dĺžka závesu a – uhol

vychýlenia závesu z rovnovážnej polohy.

Pohybová rovnica kyvadla nadobudne po dosadení vzťahu

(3.43) tvar

sinmgt

IIM 2

2

d

d

Moment zotrvačnosti kyvadla (guľôčky – hmotného bodu)

vzhľadom na os kývania je .2mI Ďalej, pre uhly 5

platí, že sin . Po dosadení uvedených vzťahov a malej

úprave pohybová rovnica matematického kyvadla má tvar

0d

d 2

2

2

t (3.44)

kde

g (3.45)

je uhlová frekvencia, s ktorou matematické kyvadlo kýva. Perióda (doba jedného kmitu)

kývania je

gT

π2

π2

(3.46)

Riešením pohybovej rovnice (3.44) matematického kyvadla je funkcia

tsin0 (3.47)

kde je okamžitá uhlová výchylka kyvadla, 0 – amplitúda uhlovej výchylky a – fázová

konštanta.

3.14.2 Fyzikálne kyvadlo

Fyzikálne kyvadlo je každé teleso, ktoré sa môže otáčať okolo vodorovnej osi

neprechádzajúcej jeho hmotným stredom. Toto teleso je v rovnováhe, keď jeho hmotný stred

Obr. 3.44. Matematické ky-

vadlo. Do rovnovážnej polohy

ho vracia moment sily s veľ-

kosťou sin mgFM 1 .

mg

l

F

F

1

2

M

105

sa nachádza v najnižšej polohe, t. zn., že leží na zvislici pretínajúcej os. Ako sme už skôr

uviedli, po vychýlení kyvadla z rovnovážnej polohy a pustení, začne kyvadlo vykonávať

kyvadlový pohyb. Pri matematickom opise jeho pohybu znovu vychádzame z rovnice

αM I . Moment sily navracajúci kyvadlo do rovnovážnej polohy znovu pôsobí proti

výchylke a možno ho vyjadriť ako (pozri obr. 3.45)

sinmgaM (3.48)

V tomto vzťahu m je hmotnosť kyvadla, g – zrýchlenie voľného pádu, a – vzdialenosť

hmotného stredu kyvadla od osi kývania a – uhol vychýlenia kyvadla z rovnovážnej polohy.

Pohybová rovnica kyvadla má tvar

sinmgat

IIM 2

2

d

d

Znovu riešime pohyb kyvadla len pre malé uhlové výchylky, pre

5 , kedy sin . Po dosadení tohto zjednodušenia do

pohybovej rovnice a malej úprave dostaneme

0d 2

2

I

mga

t

d

Činiteľ Imga v rovnici je štvorec uhlovej frekvencie kývania

kyvadla. Teda uhlová frekvencia je

I

mga (3.49)

Napokon pohybová rovnica fyzikálneho kyvadla nadobudne tvar

0d

d 2

2

2

t

Jej riešením, rovnako ako pri matematickom kyvadle, je harmonická funkcia

tsin0

kde, rovnako ako pri matematickom kyvadle, je okamžitá uhlová výchylka kyvadla, 0 –

amplitúda uhlovej výchylky a – fázová konštanta.

Perióda kývania fyzikálneho kyvadla je

mga

IT π2

π2

(3.50)

Uvedieme ešte pre zaujímavosť uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie, s ktorými sa

pohybuje kyvadlo. Uhlovú rýchlosť označíme , lebo „malým“ značíme uhlovú frekvenciu.

Teda

tt

cos0d

d

Obr. 3.45. Fyzikálne

kyvadlo.

mg

FF

1

2

Mos

a

106

a uhlové zrýchlenie

tsint

02

d

d

Redukovanou dĺžkou r fyzikálneho kyvadla nazývame dĺžku matematického kyvadla,

ktoré kýva s rovnakou periódou ako dané fyzikálne kyvadlo. Teda musí platiť

fm TT

kde fm a TT sú perióda matematického a fyzikálneho kyvadla. Po dosadení za fm a TT

dostaneme rovnicu

mga

I

gπ2π2 r

z ktorej redukovaná dĺžka r fyzikálneho kyvadla je

ma

Ir (3.51)

Príklad 3.15. Kyvadlo pozostáva z tyče a gule privarenej na jeden koniec tyče. Tyč má

hmotnosť 1 kg a dĺžku 0,8 m; guľa má hmotnosť 2 kg a priemer 0,1 m. Os, okolo ktorej

kyvadlo kýva, prechádza druhým (voľným) koncom tyče, obr. 3.46. Aká je perióda

a frekvencia, s ktorou kyvadlo kýva? Aká je jeho redukovaná dĺžka?

Riešenie: Periódu kývania kyvadla určíme podľa vzťahu

mga

IT π2

Vzdialenosť a hmotného stredu kyvadla od osi, okolo ktorej

kyvadlo kýva určíme podľa vzťahu

m 7,0kg 2kg 1

m 0,85 . kg 2m 0,4 . kg 1

gt

TggTtt

mm

mma

V tomto vzťahu m 0,42m 8,02Tt je vzdialenosť

ťažiska tyče od osi kývania a m 0,85m 0,05 m 8,0Tg R je vzdialenosť ťažiska

gule od osi kývania.

Moment zotrvačnosti I kyvadla vzhľadom na os, okolo ktorej kýva je

5

2

3

1 2 g

2g

2tgt

RmRmmIII

22 2 2 m . kg 671m 0,05m 0,8 . kg 2m 0,1 . kg 2

5

2m 0,8 . kg 1

3

1,..

Obr. 3.46. Fyzikálne kyvadlo

pozostávajúce z tyče a gule.

a

T

R

os

107

V predchádzajúcom vzťahu 32tt mI je moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os

kývania (pozri príklad 3.11), 2 g

2gg 52 RmRmI je moment zotrvačnosti gule

vzhľadom na os kývania. Tu sme použili Steinerovu vetu (vzťah (3.35)). 52 2gg RmI je

moment zotrvačnosti gule vzhľadom na os prechádzajúcu jej ťažiskom (pozri obr. 3.34).

Perióda kývania kyvadla je potom

s 791

m 0,7 . s . m 9,81 . kg 2kg 1

m . kg 1,67π2

2

2

,T

Frekvencia kývania je

1s 5590s 791

11 ,,T

f

Redukovaná dĺžka

m 7950m 0,7 . kg 3

m . kg 671 2

r ,,

ma

I

Príklad 3.16. V akej vzdialenosti od stredu máme upevniť homogénnu kruhovú dosku

s polomerom R, aby sa kývala ako fyzikálne kyvadlo s minimálnou periódou?

Riešenie: Perióda T kývania dosky je daná vzťahom

mga

IT π2

V tomto vzťahu, zopakujeme, je I – moment zotrvačnosti dosky

vzhľadom na os, okolo ktorej sa kýva, m – hmotnosť dosky, g –

zrýchlenie voľného pádu a a – vzdialenosť hmotného stredu dosky

od osi kývania. V ďalšom položíme xa , obr. 3.47, teda

predchádzajúci vzťah bude mať tvar

mgx

IT π2

Aby bola perióda minimálna, musí byť minimálny vzťah pod odmocninou. Teda musí

byť minimálna funkcia

mgx

Iy (P1)

Moment zotrvačnosti I určíme pomocou Steinerovej vety (pozri vzťah (3.35))

222T

2

1mxmRmxII (P2)

Obr. 3.47. Kruhová doska

ako fyzikálne kyvadlo.

R

xS

108

Vo vzťahu (P2) 22T mRI je moment zotrvačnosti dosky vzhľadom na os prechádzajúcu

jej hmotným stredom. Dosadením vzťahu (P2) do (P1) dostaneme

g

x

gx

Ry

2

2

(P3)

Ako sme sa už zmienili, aby bola perióda kývania dosky minimálna, musí byť minimálna

funkcia (P3). Budeme teda hľadať extrém tejto funkcie – položíme prvú deriváciu tejto

funkcie rovnú nule

01

2 2

2

ggx

Ry

Z tejto rovnice dostaneme hľadanú vzdialenosť, v ktorej máme upevniť dosku, aby kývala ako

fyzikálne kyvadlo s minimálnou periódou

2

Rx

Poznámka: Vykonaním druhej derivácie y a dosadením 2Rx sa ľahko presvedčíme, že

0y a teda naozaj ide o minimum.

3.14.3 Torzné kyvadlo

Torzné kyvadlo je teleso s osovou súmernosťou, ktoré vykonáva kyvadlový pohyb okolo

pružného závesu, ktorého os splýva s osou súmernosti telesa. Teleso kyvadla (zotrvačník) je

v tomto prípade po vychýlení z rovnovážnej polohy vracané späť do nej pôsobením pružných

síl v jeho závese. Príklady torzných kyvadiel sú na obr. 3.48. Pohybová rovnica torzného

kyvadla má tvar

D2

2

d

dM

tI (3.52)

kde DM je direkčný moment – moment sily potrebný na vychýlenie (stočenie) telesa kyvadla

Obr. 3.48. Torzné kyvadlo: a) so zotrvačníkom tvaru kotúča, b) so zotrvačníkom tvaru tyče.

R

l

a) b)

109

o jednotkový uhol (1 rad); platí totiž DMM a I je moment zotrvačnosti telesa

vzhľadom na os, okolo ktorej kýva. Po malej úprave rovnice (3.52) dostaneme nám už

dôverne známu rovnicu

0d

d 2

2

2

t

kde

I

M D

je uhlová frekvencia, s ktorou kyvadlo kýva. Perióda kývania torzného kyvadla je daná

vzťahom

D

π2M

IT (3.53)

Ako sme videli už pri predchádzajúcich kyvadlách, riešením pohybovej rovnice je znova

harmonická funkcia

tsin0

kde je okamžitá uhlová výchylka (stočenia) kyvadla, 0 – amplitúda uhlovej výchylky

a – fázová konštanta.

Súhrn

3.1 Úvod

Ako prvý krok k opisu pohybu telesa si vytvoríme model reálneho telesa, ktorý pozostáva

z veľkého počtu hmotných bodov – sústavu hmotných bodov (SHB). Na SHB budeme

aplikovať Newtonove dynamické zákony a neskôr, ak si predstavíme, že reálne teleso je

zložené z takého ohromného počtu hmotných bodov, že môžeme pokladať hmotnosť v telese

za spojito rozloženú, uvedieme aj základné poznatky o pohybe tuhého telesa. V našich

nasledujúcich úvahách budeme predpokladať, že vzájomná vzdialenosť hmotných bodov

v sústave sa nemení a že teleso je nedeformovateľné – je to dokonale tuhé teleso.

3.2 Kinematika sústavy hmotných bodov a telesa

Poloha SHB (tuhého telesa) vzhľadom na zvolenú súradnicovú sústavu je úplne určená

polohami troch jej (jeho) bodov, ktoré neležia na jednej priamke.

Z uvedeného sa zdá, že na určenie polohy SHB (telesa) je potrebných deväť súradníc:

) , ,( , , CBAizyx iii . Nie je tomu však tak, lebo, ako sme už spomenuli, vzdialenosti bodov

v SHB (telese) sú v dôsledku definície SHB, resp. dôsledku tuhosti telesa nemenné a preto na

určenie polohy úplne voľnej SHB (telesa) postačuje šesť vhodne vybraných súradníc troch

bodov, ktoré neležia na jednej priamke. Hovoríme, že úplne voľná SHB (teleso) má šesť

stupňov voľnosti pohybu. Teda počet stupňov voľnosti je počet údajov potrebných na určenie

polohy objektu pri danom pohybe.

Nech 0r je polohový vektor vhodne zvoleného bodu 0 tuhého telesa úplne voľného

vzhľadom na začiatok 0 inerciálnej súradnicovej sústavy S (obr. 3.2). Polohový vektor iného

bodu A telesa vzhľadom na bod 0 nech je r a vzhľadom na bod 0 nech je r . Potom platí

110

rrr 0

Derivovaním tejto rovnice podľa času dostaneme vzťah pre rýchlosť v bodu A vzhľadom na

súradnicovú sústavu S

rωrrr

00

d

d

d

d

d

dvv

ttt (3.1)

kde je vektor uhlovej rýchlosti, s ktorou teleso rotuje.

3.3 Hmotný stred sústavy hmotných bodov (ťažisko)

Polohový vektor hmotného stredu sústavy hmotných bodov možno vyjadriť vzťahom

kjir

r TTTT zyxm

m ii

(3.3)

kde im je hmotnosť i-teho hmotného bodu, ir – polohový vektor i-teho bodu a imm –

hmotnosť celej sústavy hmotných bodov.

3.4 I. pohybová rovnica sústavy hmotných bodov. Veta o pohybe hmotného stredu

Rovnica

i

i

i

i

i

ii

i

iitttt

mmd

d

d

d

d

d

d

d pp

paF

v (3.6)

sa nazýva I. pohybová rovnica SHB a opisuje translačný pohyb sústavy. V tejto rovnici F je

výslednica vonkajších síl pôsobiacich na SHB, im – hmotnosť i-teho bodu, ip – hybnosť i-

teho bodu a i

pp i – celková hybnosť SHB. Slovne možno rovnicu formulovať takto:

Súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na SHB sa rovná časovej derivácii celkovej

hybnosti sústavy.

Rovnica (3.6) napísaná v tvare

pF 2

1

Δd

t

t

t (3.7)

sa nazýva I. impulzová veta a slovne znie: Impulz výslednice vonkajších síl pôsobiacich na

SHB sa rovná zmene celkovej hybnosti sústavy.

Rovnicu (3.6) možno upraviť, ak použijeme vzťah 2

2

d

d

t

ii

ra , aj takto

T T 2

2

2

2

2

2

d

d

d

d

d

darr

rF mm

tm

ttm i

i

i

i

ii (3.8)

lebo ako vyplýva zo vzťahu pre polohový vektor hmotného stredu SHB T rr mmi

ii .

Vzťah (3.8) sa nazýva veta o pohybe hmotného stredu (ťažiska). Slovne znie: Hmotný stred

SHB sa pohybuje tak, ako keby naň pôsobili všetky vonkajšie sily pôsobiace na sústavu a celá

hmotnosť sústavy bola sústredená v ňom.

111

3.5 Moment sily. Moment hybnosti

Moment sily M je vektorová veličina. Moment sily vzhľadom na bod 0 definujeme vzťahom

FrM (3.10)

kde r je polohový vektor pôsobiska sily vzhľadom na bod 0 a F pôsobiaca sila. Takáto

definícia vyjadruje aj tú skutočnosť, že vo všeobecnom prípade môže moment sily spôsobiť

nielen zmenu pohybového stavu (uhlové zrýchlenie) telesa, ale aj zmenu priestorovej

orientácie osi otáčania.

Moment sily vzhľadom na os je dôležitý z hľadiska zmeny pohybového stavu otáčajúceho sa

telesa. Je to zložka momentu sily v smere osi rotácie

0 MM

V tomto vzťahu M0 je moment sily vzhľadom na os, M – moment sily vzhľadom na bod osi a

– jednotkový vektor v smere osi. Moment sily vzhľadom na os nezávisí od voľby vzťažného

bodu na osi.

Moment hybnosti hmotného bodu vzhľadom na bod 0 definujeme vzťahom

prL (3.13)

kde r je vektor určujúci polohu hmotného bodu vzhľadom na bod 0 a p – hybnosť hmotného

bodu.

Pri otáčaní sa telesa, zavádzame podobne ako moment sily vzhľadom na os, moment hybnosti

vzhľadom na os

0 LL (3.14)

V tomto vzťahu L je moment hybnosti vzhľadom na ľubovoľný bod osi a je jednotkový

vektor v smere osi.

3.6 II. pohybová rovnica sústavy hmotných bodov

Rovnica, ktorá opisuje rotačný pohyb telesa nazýva sa II. pohybová rovnica sústavy hmotných

bodov

td

dLM (3.18)

Slovne ju možno interpretovať nasledujúco: Súčet momentov vonkajších síl pôsobiacich na

sústavu hmotných bodov sa rovná časovej derivácii celkového momentu hybnosti sústavy.

V upravenej forme ju nazývame aj II. impulzová veta

LM 2

1

Δd

t

t

t (3.19)

Impulz výslednice momentov vonkajších síl pôsobiacich na SHB sa rovná zmene celkového

momentu hybnosti sústavy.

3.7 Dokonale tuhé teleso. Skladanie síl v tuhom telese

Dokonale tuhé teleso je teleso nedeformovateľné.

Účinok sily na tuhé teleso sa nemení, ak posunieme jej pôsobisko do ľubovoľného bodu telesa

ležiaceho na vektorovej priamke sily.

112

Ak na tuhé teleso pôsobia dve rôznobežné sily F1 a F2 v bodoch A a B môžeme posunúť ich

pôsobiská do bodu C, ktorý je priesečníkom ich vektorových priamok. V tomto bode

zostrojíme rovnobežník síl 2211 a FFFF . Uhlopriečka rovnobežníka znázorňuje

výslednicu F síl 21 a FF , ktoré sú však rovnocenné silám F1 a F2. Pôsobisko výslednice F

môžeme opäť voliť ľubovoľne na jej vektorovej priamke. Pohybový účinok výslednice F na

teleso je rovnaký ako pohybový účinok síl F1 a F2.

Pôsobisko výslednice dvoch rovnobežných síl súhlasne orientovaných leží vnútri spojnice

pôsobísk pôvodných síl a delí ju v nepriamom pomere k ich veľkostiam. Veľkosť výslednice

je rovná súčtu veľkostí skladaných síl.

Výslednica dvoch rovnobežných nesúhlasne orientovaných síl je súhlasne orientovaná

s väčšou silou a jej veľkosť sa rovná rozdielu veľkostí zložiek. Jej pôsobisko leží na

predĺženej spojnici pôsobísk síl F1 a F2.

Dvojicu síl tvoria dve rovnako veľké nesúhlasne rovnobežné sily F F1 2 neležiace na tej

istej vektorovej priamke. Dvojica síl spôsobuje otáčanie tuhého telesa. Moment dvojice síl

DM je rovnaký vzhľadom na ľubovoľnú os kolmú na rovinu dvojice síl a jeho veľkosť je

daná súčinom ramena d dvojice síl a jednej sily

dFM D (3.20)

Rovnobežné sily nemožno zložiť, keď tvoria dvojicu síl. Podobne nemožno zložiť ani dve sily

mimobežné.

3.8 Hmotný stred telesa. Pohybové rovnice tuhého telesa

Polohový vektor, resp. súradnice hmotného stredu telesa počítame podľa vzťahov

V

m

mV

mm

m

d 1

d

d

T r

r

r (3.22)

resp.

d 1

; d 1

; d 1

m

T

m

T

m

T mzm

zmym

ymxm

x

kde m je hmotnosť telesa, r – polohový vektor hmotnostného elementu telesa, md – hmotnosť

elementu, – hustota látky, z ktorej je teleso zhotovené, Vd – objem elementu, x, y, z –

súradnice elementu.

Pohybové rovnice tuhého telesa majú taký istý tvar ako pohybové rovnice sústavy hmotných

bodov (pozri (3.6) a (3.18)). I. pohybová rovnica má tvar

dt

pF

d

a II. pohybová rovnica tvar

td

dLM

V týchto rovniciach F je výslednica všetkých vonkajších síl pôsobiacich na tuhé teleso,

M – výslednica momentov vonkajších síl pôsobiacich na teleso, p – celková hybnosť telesa,

L – celkový moment hybnosti telesa a pd , Ld sú zmeny hybnosti a momentu hybnosti telesa

za dobu td .

113

3.9 Zákon zachovania hybnosti a zákon zachovania momentu hybnosti telesa.

Keď na teleso (SHB) nepôsobia žiadne vonkajšie sily alebo ich výslednica je nulová, celková

hybnosť telesa (SHB) sa zachováva. Táto skutočnosť sa nazýva zákon zachovania hybnosti

konštp . (izolovaná sústava) (3.23)

Keď výslednica momentov vonkajších síl pôsobiacich na teleso (SHB) je rovná nule, celkový

moment hybnosti telesa (SHB) sa zachováva. Tento fakt sa nazýva zákon zachovania

momentu hybnosti

konštL . (izolovaná sústava) (3.24)

3.10 Podmienky rovnováhy tuhého telesa

Z I. pohybovej rovnice vyplýva, že keď výslednica vonkajších síl pôsobiacich na teleso je

rovná nule

i

i 0FF (3.25)

teleso si zachováva svoju hybnosť. Keď je teleso v pokoji, jeho hybnosť je rovná nule.

Podmienka (3.25) je podmienkou translačnej rovnováhy – aby sa teleso neposúvalo.

Prepísaná do skalárneho tvaru je

0 0 0 i

zi

i

yi

i

xi F,F,F (3.26)

Avšak teleso by mohlo ešte rotovať okolo osi prechádzajúcej hmotným stredom. Aby k tomu

neprišlo, je nutné splniť aj druhú podmienku, a to, aby výslednica momentov vonkajších síl

vzhľadom na ľubovoľný bod bola rovná nule

0i

iMM (3.27)

Ak sily pôsobia len v jednej rovine, napr. xy, podmienky rovnováhy sa zredukujú na

nasledujúce tri algebraické rovnice

0 0 0 i

zi

i

yi

i

xi M,F,F (3.28)

3.11 Pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi

Moment hybnosti L0 telesa vzhľadom na os rotácie je

ωL I0 (3.30)

kde

m

mrI d2 (3.31)

je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os. Rovnica (3.30) je platná pre ľubovoľné tuhé

teleso, ale vzťahuje sa len na zložku momentu hybnosti spadajúcu do smeru osi. Ak je však

teleso symetrické vzhľadom na os rotácie, potom celkový moment hybnosti L je rovný L0 a

možno písať

ωL I (3.32)

114

Vzťah (3.30), resp. (3.32) možno upraviť takto

αM I (3.33)

Túto rovnicu nazývame pohybovou rovnicou telesa uloženého na pevnej osi. Podotýkame, že

v tejto rovnici i

iMM je výslednica momentov vonkajších síl vzhľadom na os a moment

zotrvačnosti telesa I musí byť tiež vztiahnutý na tú istú os.

3.12 Moment zotrvačnosti. Steinerova veta

Moment zotrvačnosti je mierou zotrvačnosti telesa pri rotačnom pohybe – pri danom

momente vonkajších síl bude mať teleso s väčším momentom zotrvačnosti menšie uhlové

zrýchlenie než teleso s menším momentom zotrvačnosti. Počítame ho podľa vzťahu

m V

VrmrI d d 22 (3.34)

kde r je kolmá vzdialenosť hmotnostného elementu dm telesa od osi, vzhľadom na ktorú

moment zotrvačnosti určujeme, – hustota a dV – objem hmotnostného elementu. Jednotkou

momentu zotrvačnosti je .2m . kg 1

Keď môžeme rozmery telesa zanedbať, stretneme sa s pojmom moment zotrvačnosti

hmotného bodu. Ten vypočítame podľa vzťahu

2mrI

alebo ak ide o sústavu hmotných bodov podľa vzťahu

i

iirmI 2

V týchto vzťahoch m, resp. mi je hmotnosť hmotného bodu a r, resp ir kolmá vzdialenosť

hmotného bodu od osi.

Steinerova veta: Moment zotrvačnosti I tuhého telesa vzhľadom na os ,o ktorá neprechádza

hmotným stredom telesa sa rovná súčtu momentu zotrvačnosti IT vzhľadom na os o

prechádzajúcu hmotným stredom a rovnobežnú s osou o a súčinu hmotnosti telesa m a

štvorca vzdialenosti obidvoch osí (a2)

2T maII (3.35)

3.13 Kinetická energia rotujúceho telesa. Zotrvačník

Kinetická energia telesa rotujúceho s uhlovou rýchlosťou je určená vzťahom

2k

2

1IE (3.38)

kde I je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os, okolo ktorej rotuje.

Práca W sily, ktorá mení pohybový stav rotujúceho telesa sa vypočíta podľa vzťahu

00

dd MrF

r

r

W (3.39)

115

Prácu konštantnej sily, ktorej moment M má smer vektora uhla pootočenia , môžeme

vypočítať ako súčin veľkosti jej momentu a zmeny uhla pootočenia

Δ MW (3.40)

Keď na teleso konajúce rotačný pohyb pôsobí sila, ktorá mení jeho pohybový stav, musí sa

meniť tiež jeho kinetická energia. Súvis medzi prácou tejto sily a zmenou kinetickej energie

rotujúceho telesa je nasledujúci

k202

12

21 ΔEIIW

Pri všeobecnom pohybe tuhého telesa s hmotnosťou m je jeho celková kinetická energia

súčtom kinetickej energie posuvného a rotačného pohybu

2T2

12T2

1k ImE v (3.41)

kde vT je veľkosť rýchlosti hmotného stredu telesa, IT – moment zotrvačnosti telesa vzhľadom

na rotačnú os prechádzajúcu hmotným stredom a – uhlová rýchlosť rotácie telesa.

Zotrvačník. Zotrvačník je tuhé teleso, súmerné vzhľadom na svoju geometrickú os. Máva

najčastejšie tvar kotúča, otáčajúceho sa okolo svojej geometrickej osi.

3.14 Kyvadlový pohyb

Kyvadlový pohyb je zvláštnym prípadom rotácie tuhého telesa okolo pevnej osi. Teleso

uvedieme do kyvadlového pohybu tak, že ho vychýlime z rovnovážnej polohy a pustíme.

Teleso začne vykonávať pohyb okolo svojej rovnovážnej polohy vplyvom tiažovej alebo

pružnej sily.

3.14.1 Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je kyvadlo tvorené hmotným bodom na nehmotnom závese. Modelom

tohto kyvadla je malá guľôčka zavesená na tenkej niti.

Pohybová rovnica kyvadla pre uhly vychýlenia 5 má tvar

0d

d 2

2

2

t (3.44)

kde

g (3.45)

je uhlová frekvencia, s ktorou matematické kyvadlo kýva, pričom g je zrýchlenie voľného

pádu a – dĺžka závesu kyvadla. Perióda kývania je

gT

π2

π2

(3.46)

Riešením pohybovej rovnice (3.44) matematického kyvadla je funkcia

tsin0 (3.47)

kde je okamžitá uhlová výchylka kyvadla, 0 – amplitúda uhlovej výchylky a – fázová

konštanta.

116

3.14.2 Fyzikálne kyvadlo

Fyzikálne kyvadlo, je každé teleso, ktoré sa môže otáčať okolo vodorovnej osi

neprechádzajúcej jeho hmotným stredom.

Pohybová rovnica kyvadla pre uhly vychýlenia 5 má tvar

0d

d 2

2

2

t

kde

I

mga (3.49)

je uhlová frekvencia kývania kyvadla, m – hmotnosť kyvadla, a – vzdialenosť ťažiska

kyvadla od osi, okolo ktorej kýva a I – moment zotrvačnosti kyvadla vzhľadom na os

kývania.

Riešením pohybovej rovnice fyzikálneho kyvadla je harmonická funkcia

tsin0

kde je okamžitá uhlová výchylka kyvadla, 0 – amplitúda uhlovej výchylky a – fázová

konštanta.

Perióda kývania fyzikálneho kyvadla je

mga

IT π2

π2

(3.50)

Redukovanou dĺžkou r fyzikálneho kyvadla nazývame dĺžku matematického kyvadla, ktoré

kýva s rovnakou periódou ako dané fyzikálne kyvadlo. Vypočítame ju podľa vzťahu

ma

Ir (3.51)

3.14.3 Torzné kyvadlo

Torzné kyvadlo je teleso s osovou súmernosťou, ktoré vykonáva kyvadlový pohyb okolo

pružného závesu, ktorého os splýva s osou súmernosti telesa. Teleso kyvadla (zotrvačník) je

v tomto prípade po vychýlení z rovnovážnej polohy vracané späť do nej pôsobením pružných

síl v jeho závese. Pohybová rovnica torzného kyvadla je

0d

d 2

2

2

t

kde

I

M D

je uhlová frekvencia, s ktorou kyvadlo kýva, DM – direkčný moment – moment sily potrebný

na vychýlenie (stočenie) telesa kyvadla o jednotkový uhol (1 rad); platí totiž DMM a I

je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os, okolo ktorej kýva. Perióda kývania torzného

kyvadla je daná vzťahom

117

D

π2M

IT (3.53)

Riešením pohybovej rovnice je znova harmonická funkcia

tsin0

kde je okamžitá uhlová výchylka (stočenia) kyvadla, 0 – amplitúda uhlovej výchylky

a – fázová konštanta.

51

4 PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ

4.1 Úvod

V predchádzajúcich kapitolách sme sa zaoberali správaním sa tuhých telies, ktoré sa

nedeformovali ani pôsobením najväčších síl. Také telesá sme nazvali dokonale tuhé. Skúmali

sme ich správanie sa z hľadiska zmeny ich pohybového stavu, keď na ne pôsobia vonkajšie

sily. Sem teda možno zaradiť aj problémy, ktoré rieši statika.

4.2 Charakteristika tuhých látok

4.2.1 Rozdelenie tuhých látok

4.2.2 Väzbové sily, väzbová energia

4.2.3 Hustota kryštálu a medziatómové vzdialenosti

4.2.4 Poruchy kryštálovej štruktúry

4.2.5 Fázové diagramy

4.3 Pevnosť tuhých látok

4.4 Deformácia v ťahu a tlaku. Hookov zákon pre ťah

4.5 Ohyb laty

4.6 Deformácia v šmyku. Hookov zákon pre šmyk

4.7 Krútenie a jeho súvis so šmykom

1

4 PRUŢNOSŤ A PEVNOSŤ

4.1 Úvod

V predchádzajúcich kapitolách sme sa zaoberali správaním sa tuhých telies, ktoré sa

nedeformovali ani pôsobením najväčších síl. Také telesá sme nazvali dokonale tuhé. Skúmali

sme ich správanie sa z hľadiska zmeny ich pohybového stavu, keď na ne pôsobia vonkajšie

sily. Sem teda moţno zaradiť aj problémy, ktoré rieši statika.

Skutočnosť je však iná. Tuhé telesá sa pôsobením vonkajších síl deformujú. Niektoré

viac, iné menej. Práve deformovateľnosť telies umoţňuje vytvárať z nich rôzne výrobky,

napríklad valcovaním plechy, vytláčaním rôzne nádoby, lisovaním automobilové karosérie

atď. Na druhej strane však môţe deformovateľnosť telies spôsobiť aj váţne problémy –

zdeformovaním niektorého konštrukčného prvku môţe prísť k havárii strojného zariadenia,

budovy, či inej konštrukcie. Ako sme uţ spomínali, deformácia telies vyrobených z rôznych

materiálov je pôsobením tej istej sily rôzna. Tento fakt súvisí s vnútornou štruktúrou telies,

s väzbovými silami pôsobiacimi medzi atómami, resp. molekulami. Veľkú rolu tu hrajú tieţ

„nečistoty“ – atómy iných prvkov nachádzajúcich sa v základnom materiáli, ďalej rôzne

mikro a makro poruchy v materiáli. V tejto kapitole sústredíme pozornosť na skúmanie

súvislostí medzi vonkajšími „zaťaţeniami“ (silami a momentmi síl) a vnútornými silami

a s tým spojenými deformáciami telesa. Dobré pochopenie makroskopického správania sa

telies za pôsobenia vonkajších zaťaţení teda začína na úrovni atómov a molekúl –

v pochopení ich vzájomných interakcií. Preto, skôr neţ sa začneme zaoberať makroskopickým

opisom správania sa tuhých telies za pôsobenia vonkajších síl, uvedieme základné

charakteristiky tuhých látok.

4.2 Charakteristika tuhých látok

4.2.1 Rozdelenie tuhých látok

Všetky tuhé látky moţno rozdeliť na kryštalické a amorfné v závislosti od toho, či sú

atómy alebo molekuly usporiadané pravidelne alebo nie. Väčšina tuhých látok sú látky

kryštalické, ktorých atómy, molekuly alebo ich súbory vytvárajú pravidelné, periodicky sa

opakujúce trojrozmerné útvary. Hovoríme, ţe sa vyznačujú translačnou symetriou.

Charakteristickou vlastnosťou kryštálu je teda existencia usporiadania na veľkú vzdialenosť

(ďalekodosahové usporiadanie).

Amorfné tuhé látky nemajú usporiadanie na veľkú vzdialenosť. Existuje však v nich istá

usporiadanosť v bezprostrednej blízkosti (na vzdialenosti niekoľkých susedných atómov)

vybraného atómu alebo molekuly. Hovoríme, ţe štruktúra amorfných tuhých látok sa

vyznačuje usporiadaním na malú vzdialenosť (krátkodosahové usporiadanie). Rozdiel medzi

kryštálom kremeňa a sklom (amorfná látka) je znázornený na obr. 4.1. Čierne krúţky

znázorňujú atómy kremíka a biele atómy kyslíka. Vidíme, ţe v kryštáli existuje pravidelné

usporiadanie atómov v celom objeme, kým v skle existuje isté usporiadanie len v blízkosti

vybraného atómu.

2

Existuje istá analógia medzi amorfnými tuhými látkami a kvapalinami. Kvapaliny sa

zvyčajne povaţujú za bliţšie plynom neţ tuhým látkam. Kvapaliny a plyny sa vyznačujú

vlastnosťou, ktorú nazývame tekutosť (odtiaľ spoločný názov tekutiny) a ako uvidíme neskôr,

pri teplotách nad kritickým bodom niet medzi nimi rozdielu. Kvapaliny majú však niečo

spoločné aj s tuhými látkami. Napríklad hustota

danej kvapaliny je zvyčajne bliţšie k hustote

príslušnej tuhej látky, neţ k hustote príslušnej

plynnej látky. Z toho vyplýva, ţe usporiadanie častíc

z hľadiska tesnosti v tuhej a kvapalnej fáze je

porovnateľné, čo potvrdzuje i temer rovnaká

stlačiteľnosť týchto látok. Dokonca merania ukazujú,

ţe mnohé kvapaliny majú v kaţdom okamihu určité

usporiadanie na malú vzdialenosť, podobne ako

amorfné tuhé látky avšak s tým rozdielom, ţe zhluky

molekúl kvapaliny sa neustále posúvajú. Ak je

rýchlosť tuhnutia kvapaliny taká veľká, ţe molekuly

sa nestačia premiestňovať, usporiadať do kryštálovej

mrieţky, potom výsledkom je tuhá látka s vnútornou

konfiguráciou kvapaliny. Zachovalo sa tak jedno

z prechodných usporiadaní molekúl kvapaliny.

Amorfné tuhé látky sú nestabilné a s časom menia

svoju štruktúru tak, ţe táto sa pribliţuje kryštalickej

štruktúre. Kryštalizácia je taká pomalá, ţe k nej

prakticky neprichádza. Avšak sú známe prípady

starých vzoriek skla (niekoľko sto rokov), ktoré

skryštalizovali. Proces kryštalizácie skla sa dá

urýchliť ohriatím na teplotu jeho mäknutia.

Kryštalické látky delíme z hľadiska toho, či

pozostávajú len z jedného obrovského kryštálu alebo

zo súboru maličkých kryštálikov – zŕn na mono-

kryštalické a polykryštalické. Pritom tá istá látka sa

môţe nachádzať v jednej aj druhej modifikácii.

Obr. 4.1. Usporiadanie atómov v kryštáli kremeňa a v skle. Čierne krúţky

znázorňujú atómy kremíka a biele atómy kyslíka. V kryštáli existuje

pravidelné usporiadanie v celom objeme. V skle existuje isté usporiadanie

len v blízkosti vybraného atómu.

Obr. 4.2. Kryštálová štruktúra vznikne

umiestnením bázy do kaţdého uzlového

bodu kryštalickej (priestorovej) mrieţky.

Kryštalická mrieţka

Báza pozostávajúca z dvochrôznych atómov

Kryštálová štruktúra

uzlový bod

3

Väčšina kryštalických látok sú polykryštály, teda skladajú sa z maličkých kryštalických zŕn.

Na hraniciach zŕn sa mení orientácia kryštálovej štruktúry a keďţe zrná sú usporiadané viac-

menej náhodne, vlastnosti takýchto látok sú väčšinou vo všetkých smeroch rovnaké – sú to

látky izotrópne. Naproti tomu mnohé monokryštalické látky sa vyznačujú anizotrópiou (ich

vlastnosti sa líšia v rozdielnych smeroch).

Ideálny kryštál moţno vytvoriť pravidelným opakovaním rovnakých štruktúrnych

jednotiek v celom priestore. V najjednoduchších kryštáloch, napríklad v kryštáloch medi,

striebra, zlata, je štruktúrna jednotka tvorená len jedným atómom. V kryštáloch zloţitejších

látok môţe štruktúrna jednotka obsahovať niekoľko atómov alebo molekúl. Táto štruktúrna

jednotka sa nazýva bázou. Bázu, z hľadiska priestorového usporiadania kryštálu, môţeme

nahradiť jedným bodom, ktorý nazývame uzlovým bodom. Uzlové body určujú kryštalickú

(priestorovú) mriežku. Kryštalická mrieţka a báza určujú kryštálovú štruktúru (obr. 4.2)1.

Rôzne látky majú rôzne kryštalické mrieţky.

Kryštálovú štruktúru opisujeme pomocou v priestore periodicky sa opakujúcej

elementárnej časti kryštalickej mrieţky, ktorú nazývame elementárnou bunkou. Táto

elementárna bunka môţe mať napríklad tvar kocky, pravidelného dodekaedra alebo

ľubovoľného rovnobeţnostena (hranola).

Kryštalické mrieţky (polohy uzlových bodov) sa konštruujú pomocou troch základných

nekomplanárnych vektorov translácie (posunutia) a, b, c. Úkon posunutia bodu o vektor T sa

nazýva operáciou translácie, obr. 3. Potom

kryštalickú mrieţku môţeme zostrojiť pouţitím

všetkých operácií translácie tvaru

cbaT 321 nnn

(n1, n2, n3 sú celé čísla) vzhľadom napríklad

na začiatok súradníc.

Rovnobeţnosten zostrojený pomocou

základných vektorov sa nazýva základná bunka

alebo primitívna bunka (obr. 4.3). Má tú

vlastnosť, ţe uzly mrieţky sa nachádzajú len v jej

vrcholoch. Základná bunka nie je vţdy

najvhodnejším stavebným blokom kryštálu,

pretoţe mnohokrát nevystihuje úplne symetriu

mrieţky. Existuje veľké mnoţstvo tvarov

a rozmerov ako základných, tak i elementárnych buniek. Avšak tieto bunky môţu byť

klasifikované podľa ich vlastností symetrie. Symetria je veľmi dôleţitá vlastnosť

kryštalického tuhého telesa, ktorá sa prejavuje napríklad v jeho elastických, magnetických,

elektrických a tepelných vlastnostiach, odráţa symetriu mrieţky a určuje sa pomocou nej.

Teda z dôvodu symetrie sa častokrát vyberajú iné elementárne bunky namiesto základných

buniek.

Elementárne bunky moţno rozdeliť do 14 kategórií odpovedajúcich 14 moţným rôznym

priestorovým mrieţkam. Tieto mrieţky nazývame Bravaisovými (bravého) mrieţkami

(obr. 4.4). Ku konštrukcii 14 Bravaisových mrieţok stačia osi siedmich typov, čo vedie ku

1 Uvedomme si, ţe kryštalická mrieţka je matematická abstrakcia, zatiaľ čo kryštálová štruktúra vzniká len vtedy,

keď s kaţdým uzlovým bodom mrieţky je spätá báza.

Obr. 4.3. Primitívna bunka kryštalickej mrieţky.

T = a + b - c 2

a

b

c

0

4

klasifikácii všetkých kryštálov do 7 kryštalografických sústav. Tieto kryštalografické sústavy

majú nasledujúce vlastnosti:

a) Kubická (kocková). Kryštálové osi sú navzájom kolmé a periodicky sa opakujúci

interval – perióda identity – je rovnaký pozdĺţ všetkých troch osí. Kubické mrieţky môţu byť

prosté a priestorove alebo plošne centrované.

b) Tetragonálna (štvorcová). Kryštálové osi sú navzájom kolmé. Periódy identity sú

pozdĺţ dvoch osí rovnaké. Pozdĺţ tretej osi je perióda iná. Tetragonálne mrieţky môţu byť

prosté alebo priestorove centrované.

Obr. 4.4. Kryštalografické sústavy a typy Bravaisových priestorových mrieţok:

a) kubická - a b c , 90o, prostá, priestorove centrovaná, plošne

centrovaná; b) tetragonálna - a b c , 90o, prostá, priestorove

centrovaná; c) hexagonálna - a b c , 90 = =o o 120 ; d) trigonálna -

a b c , = = 90 o; e) rombická - a b c , = = = 90 o , prostá, bazálne

centrovaná, priestorove centrovaná, plošne centrovaná; f) monoklinická - a b c ,

90o o 90 , prostá, bazálne centrovaná; g) triklinická - a b c , .

a

a

b

b

c

c

a

a

b

a

ab

b

cc

c d

e

f g

ab

b

g

g

g

g

5

c) Hexagonálna (šesťuholníková). Dve kryštálové osi zvierajú uhol 60°, tretia je na ne

kolmá. Periódy identity sú rovnaké pozdĺţ osí zvierajúcich uhol 60°, ale perióda pozdĺţ tretej

osi je odlišná.

d) Trigonálna (romboedrická). Uhly medzi kaţdými dvomi kryštálovými osami sú

rovnaké, ale nerovnajú sa 90°. Perióda identity je rovnaká pozdĺţ všetkých troch osí.

e) Rombická (kosoštvorcová). Kryštálové osi sú navzájom kolmé, ale periódy identity sú

pozdĺţ všetkých osí iné. Rombické mrieţky môţu byť prosté, bazálne centrované, priestorove

centrované a plošne centrované.

f) Monoklinická (jednoklonná). Dve kryštálové osi nie sú navzájom kolmé, ale tretia os je

na ne kolmá. Periódy identity sú pozdĺţ všetkých troch osí rôzne. Monoklinické mrieţky

môţu byť prosté alebo bazálne centrované.

g) Triklinická (trojklonná). Ţiadne dve kryštálové osi nie sú navzájom kolmé a periódy

identity sú pozdĺţ všetkých troch osí rôzne.

Body Bravaisovej mrieţky, ktoré sa nachádzajú najbliţšie k danému bodu sa nazývajú

najbližšími susedmi. Pretoţe Bravaisova mrieţka je periodická, jej ľubovoľný bod má rovnaký

počet najbliţších susedov. Tento počet je charakteristický pre danú mrieţku a nazýva sa

koordinačné číslo mriežky. Koordinačné číslo prostej kubickej mrieţky je šesť, objemovo

centrovanej – osem a plošne centrovanej – dvanásť. Niektoré charakteristiky kubickej mrieţky

sú uvedené v tabuľke 4.1.

Podľa vyššie opísanej stavby kryštalických látok by sa mohlo zdať, ţe atómy nehybne

sídlia v okolí uzlových bodov mrieţky. Samozrejme nie je tomu tak. Atómy neustále kmitajú

okolo svojich rovnováţnych polôh. Amplitúda kmitov závisí od hmotnosti atómov a síl

pôsobiacich medzi nimi a je tým menšia, čím je niţšia teplota. Je veľmi rozšírený názor, ţe

pohyb atómov pri absolútnej nule zastane. Nie je to však pravda, kmity atómov nezaniknú

podľa kvantovej mechaniky ani pri absolútnej nule, atómy budú kmitať tzv. nulovými kmitmi.

Kryštalografia poskytuje úplný geometrický obraz stavby reálnych kryštálov. Ale prečo

jeden kryštál narastie tak a iný inak sa väčšinou nepodarí vysvetliť. Pri raste kryštálov sa

atómy nachádzajú v nepretrţitom tepelnom pohybe a akýmsi spôsobom si nájdu svoje miesto

v kryštáli, ktoré odpovedá minimu jeho potenciálnej energie. Tieto skutočnosti sú zviazané

s charakterom chemickej väzby medzi atómami kryštálu.

Tabuľka 4.1. Niektoré charakteristiky kubickej mrieţky

Charakteristika mrieţky

Kubická mrieţka

Prostá Obj. centr. Ploš. centr.

Objem elementárnej bunky a3 a

3 a

3

Počet atómov (uzlových bodov) pri-

padajúcich na elementárnu bunku 1 2 4

Objem primitívnej bunky a3 a

3/2 a

3/4

Počet najbliţších susedov (koordi-

načné číslo) 6 8 12

Vzdialenosť medzi najbliţšími su-

sedmi a

3 2a

2 2a

6

4.2.2 Väzbové sily, väzbová energia

Schopnosť tuhých látok udrţiavať tvar a objem si

vysvetľujeme pôsobením silových väzieb medzi atómami

resp. molekulami, ktoré danú látku vytvárajú. Medzi

atómami musia existovať príťažlivé, ale aj odpudivé sily.

Sledujme sily pôsobiace medzi dvoma atómami, keď ich

vzájomne pribliţujeme: Pri pomerne veľkej vzdialenosti

medzi atómami pôsobia prevaţne príťaţlivé sily, ktoré

narastajú so zmenšujúcou sa vzdialenosťou (krivka 1 na

obr. 4.5). Pri istej vzájomnej vzdialenosti sa začnú

prejavovať odpudivé sily (krivka 2), ktoré s ďalším

zmenšovaním vzdialenosti narastajú oveľa rýchlejšie ako

príťaţlivé sily. Vo vzdialenosti 0rr príťaţlivé a

odpudivé sily sú rovnaké, výsledná sila (krivka 3)

pôsobiaca medzi atómami je rovná nule a vzájomná

potenciálna energia je minimálna. Táto poloha atómov je

stabilná (rovnovážna). Takýmto spôsobom sa viaţu ďalšie

a ďalšie atómy, ktoré takto vytvárajú teleso s pravidelnou

vnútornou štruktúrou – kryštál. Medzi atómami vznikla

väzba – presnejšie hovoríme chemická väzba.

Tuhé látky môţeme v závislosti od charakteru

väzbových síl rozdeliť na štyri typy: iónové kryštály,

kovalentné kryštály, kovy a molekulárne kryštály.

Vymenovanie je urobené v smere poklesu väzbovej

energie. Väzbová energia je energia, ktorú musíme dodať

tuhej látke aby sme ju zmenili na súbor vzájomne

neinteragujúcich atómov – teda zhruba energia potrebná

na to, aby sme tuhú látku dostali do plynného skupenstva.

Iónové kryštály

Najjednoduchším typom chemickej väzby je iónová väzba. V uzloch kryštalickej mrieţky

sa nachádzajú ióny s opačnými elektrickými nábojmi, medzi ktorými pôsobia coulombovské

sily. Rovnováţna poloha medzi iónmi je určená rovnováhou príťaţlivých síl a silnými, no

Obr. 4.5. Závislosť príťaţlivých

a odpudivých síl a potenciálnej

energie od vzdialenosti medzi

dvoma atómami.

Obr. 4.6. Štruktúra kryštálu chloridu sodného (NaCl). Vľavo schematický pohľad,

vpravo model kryštálu v reálnej mierke.

r

r

2

1

3

0

0

F

r0

E

Ep

pv

+Cl

_

Na Na Cl+_

7

krátkodosahovými odpudivými silami, ktoré sa začínajú uplatňovať, keď sa ióny priblíţia

natoľko, ţe sa stáva podstatným prekryv rozdelenia nábojov zaplnených sfér jednotlivých

iónov.

Typickým predstaviteľom kryštálu s iónovou väzbou je kryštál kamennej soli, chloridu

sodného NaCl (obr. 4.6). V NaCl atóm sodíka odovzdáva svoj valenčný elektrón atómu

chlóru, čím z pôvodne neutrálnych atómov vzniká kladný ión sodíka Na+ a záporný ión Cl

.

Na základe uvedeného modelu moţno opísať

vlastnosti iónových kryštálov. Odovzdaním, resp. prijatím

elektrónu si ióny Na+ a Cl

zaplnili svoje valenčné sféry.

Elektróny sú v iónoch veľmi silne viazané, a preto sa

nemôţu zúčastňovať prenosu elektrického náboja –

iónové kryštály sú pri nízkych a beţných teplotách dobré

elektrické i tepelné izolanty. Pri vyšších teplotách sa však

objavuje elektrická vodivosť, ktorá je podmienená

difúziou kladných a záporných iónov, hovoríme o iónovej

vodivosti. Iónové kryštály sa vyznačujú pomerne veľkou

tvrdosťou a vysokou teplotou topenia. Dobrá

štiepateľnosť a krehkosť iónových kryštálov sa vysvetľuje

tým, ţe pri vzájomnom posunutí rovín, v ktorých leţia

ióny mrieţky, dostanú sa proti sebe súhlasne nabité ióny

a odpudivými silami sa kryštál rozštiepi.

Kovalentné kryštály

V prípade iónových kryštálov sme videli, ţe elektrické príťaţlivé sily väzby vznikli ako

výsledok prechodu elektrónu z atómu jedného prvku (Na) na atóm druhého (Cl), čím sa tieto

atómy stali iónmi s opačnými nábojmi. Kovalentná väzba vzniká aj medzi rovnakými

atómami. Je príčinou tvorby molekúl plynov (H2, N2, O2 atď.) a veľkého mnoţstva

heterogénnych molekúl.

Hoci úplné pochopenie kovalentnej väzby je moţné len z pohľadu kvantovej mechaniky,

môţeme fyzikálnu podstatu tejto väzby názorne vysvetliť aj pomocou klasických predstáv.

Uvaţujme dva rovnaké kladné náboje nachádzajúce sa v istej vzájomnej vzdialenosti.

Náboje sa odpudzujú Coulombovskou silou. Ak doprostred medzi tieto náboje umiestnime

záporný náboj rovnako veľký ako sú kladné náboje, potom tento náboj bude pôsobiť na

Obr. 4.7. Schematické znázornenie

kovalentnej väzby.

Obr. 4.8. Štruktúra diamantu. Vľavo schematické znázornenie, vpravo model v reálnej mierke.

Si

Si

Si Si Si

Si

Si

Si

Si

8

kladné náboje príťaţlivými silami, ktoré sú štyri razy väčšie ako sú odpudivé sily kladných

nábojov. Výsledkom je sila, ktorá sa snaţí kladné náboje priblíţiť, t.j. príťaţlivá sila medzi

kladnými nábojmi. Sily pôsobiace na záporný náboj zo strany kladných nábojov sa vzájomne

rušia. Toto je princíp kovalentnej väzby.

A ako sa vytvára kovalentná väzba v kryštáloch? Valenčné elektróny kaţdého atómu,

ktoré by v izolovanom atóme boli rozdelené sféricky symetricky okolo jadra v kryštáli sa

nachádzajú prevaţne v priestranstve medzi najbliţšími atómami. Takýmto spôsobom, jadro

s vnútornými elektrónmi má kladný efektívny náboj, zatiaľ čo oblasť medzi týmto atómom

a susedným atómom má nadbytočný záporný náboj. Tento je lokalizovaný hlavne pozdĺţ

priamky spájajúcej atómy (uzly mrieţky) (obr. 4.7). Tento model je úplne iný ako model

iónového kryštálu, kde sa v uzloch mrieţky pravidelne striedajú kladné a záporné ióny.

Kryštálová štruktúra kovalentných kryštálov je v hlavnej miere určená podstatou samotnej

väzby. Uhlík (diamant), germánium i kremík sú kovalentné kryštály. Majú štyri valenčné

elektróny, ktoré sa môţu zúčastňovať väzby. Kaţdý atóm

môţe mať účasť v štyroch väzbách, a preto štruktúra

týchto kryštálov je taká, ţe kaţdý atóm sa nachádza

v strede tetraedra (pravidelného trojbokého ihlana)

symetricky obklopený štyrmi susedmi nachádzajúcimi sa

vo vrcholoch tetraedra (obr. 4.8). Kovalentné kryštály by

mali byť izolátormi, pretoţe kaţdý valenčný elektrón je

súčasťou väzby, a preto sa nemôţe voľne pohybovať po

kryštáli. Skutočne, čisté kovalentné kryštály sú pri veľmi

nízkych teplotách izolátormi. A predsa mnohé z nich,

napríklad germánium a kremík, pri vyšších teplotách vedú

elektrický prúd – sú polovodičmi.

Kovalentné kryštály sa vyznačujú značnou

pevnosťou, tvrdosťou, vysokou teplotou topenia a sú

väčšinou diamagnetické.

Kovové kryštály

V kovových kryštáloch väzbu medzi jednotlivými atómami vytvárajú valenčné elektróny,

ktoré prakticky stratili akúkoľvek väzbu s atómami (iónmi), od ktorých pochádzajú, takţe

tieto elektróny sú spoločné pre celý kryštál. Hovoríme, ţe v kryštáli sa vytvoril elektrónový

plyn. Takáto väzba sa nazýva kovová (princíp väzby je znázornený na obr. 4.9).

0br. 4.9. Schematické znázornenie

kovovej väzby.

Obr. 4.10. Model kubickej plošne a objemovo centrovanej elementárnej bunky v reálnej mierke.

Cu Cu Cu

Cu Cu Cu

Cu Cu Cu

elektrónový plyn

9

Typickou elementárnou bunkou pre kovy je kocka s atómami v strede stien alebo

s atómom uprostred (plošne resp. objemovo centrovaná kubická mrieţka) (obr. 4.10). Kovy sa

vyznačujú veľkou elektrickou a tepelnou vodivosťou. Je to ľahko pochopiteľné, ak si

uvedomíme, ţe v kovoch sú elektróny prakticky voľné, môţu sa neobmedzene pohybovať cez

celý kryštál. Kovy sú nepriehľadné, vyznačujú sa charakteristickým kovovým leskom. Sú

menej pevné ako iónové a kovalentné kryštály, sú tvárne.

4.2.3 Hustota kryštálu a medziatómové vzdialenosti

Makroskopická hustota kryštálu závisí od hmotnosti atómov, od ich priemeru a okrem

toho, od kryštálovej štruktúry, ktorá určuje ako tesne sú usporiadané atómy. Ozrejmíme si to

na príklade prostej kubickej mrieţky. Elementárna bunka prostej kubickej mrieţky má tvar

kocky, vo vrcholoch ktorej sa nachádzajú atómy. Označme dĺţku hrany kocky ako a (táto

veličina sa nazýva mriežková konštanta). Potom

d a ,

kde d je priemer atómu, pretoţe dĺţka hrany kocky je rovná vzdialenosti medzi najbliţšími

atómami. Predpokladáme, ţe atómy sú tuhé gule, ktoré sa vzájomne dotýkajú.

Ak uváţime, ţe kaţdý atóm nachádzajúci sa vo vrchole kocky patrí ôsmim kockám (vo

vrchole sa stýka osem kociek), potom kaţdý atóm patrí vybranej kocke len jednou osminou.

Takýchto atómov je osem (osem vrcholov), preto na vybranú kocku pripadá celkove jeden

Tabuľka 4.2. Počty atómov v elementárnej bunke niektorých štruktúr

Štruktúra Počet atómov v elemen-

tárnej bunke

Kubická – prostá 1

Kubická – objemovo centrovaná 2

Kubická – plošne centrovaná 4

Diamantová (obr. 4.8) 8

atóm. Počet atómov pripadajúcich na elementárnu bunku niektorých kryštalických štruktúr je

uvedený v tabuľke 4.2. Teda na atóm v prostej kubickej mrieţke pripadá objem a3. Hmotnosť

atómu vypočítame zo vzťahu m M m AN , kde Mm je molová hmotnosť príslušnej látky a

NA – Avogadrova konštanta. Potom hustota v prípade prostej kubickej mrieţky je

M

a

m

AN 3.

V ďalšom si na niekoľkých príkladoch ukáţeme výpočet niektorých zaujímavých veličín

súvisiacich so štruktúrou látky.

Príklad 1. Zlato má hustotu 19,32 g/cm3, relatívnu atómovú hmotnosť 197 a plošne

centrovanú kubickú mrieţku. Vypočítajte:

a) počet atómov zlata v 1 cm3,

b) mrieţkovú konštantu,

10

c) polomer atómu zlata.

Riešenie:

a) Označme N počet atómov v 1 cm3 a m – hmotnosť jedného atómu. Potom hustotu

môţeme vyjadriť vzťahom

N m NM

. N

m

A

,

kde Mm je molová hmotnosť a NA Avogadrova konštanta.. Potom

NM

. , . .

,N g cm 6,022 . 10 mol

197 g . mol . 10 cm A

m

-3 23 -1

-1

22 -319 325 91 .

V 1 cm3 zlata sa nachádza 5,91 . 10

22 atómov.

b) Na elementárnu bunku plošne centrovanej kubickej mrieţky pripadajú 4 atómy (pozri

obr. 4.10): Kaţdý atóm vo vrchole patrí ôsmim elementárnym bunkám – vrcholov je osem,

jednej bunke pripadá 1 atóm. O atóm v strede steny sa delia dve bunky – stien je šesť, na

jednu bunku pripadajú tri atómy leţiace v strede stien. Teda, pri plošne centrovanej kubickej

mrieţke pripadajú na elementárnu bunku štyri atómy. Objem Ve elementárnej bunky je:

V ae 3 , kde a je mrieţková konštanta. Hustotu v prípade plošne centrovanej kubickej

mrieţky vypočítame zo vzťahu

4

3

M

a

m

N A

.

Z tohto vzťahu mrieţková konštanta

aM

4 4

4 083 3m

A

-1

-3 23 -1

-8

N

. 197 g . mol

19,32 g . cm . 6,022 . 10 mol . 10 cm

, .

Mrieţková konštanta zlata je 4,08 . 10-8

cm.

c) Pri zisťovaní polomeru atómu budeme vychádzať z predstavy, ţe atómy sú tuhé gule.

V prípade plošne centrovanej kubickej mrieţky, ak budeme uvaţovať jednu stenu kocky, vo

vrcholoch steny sú umiestnené 4 atómy a jeden je umiestnený v strede steny. Atómy

nachádzajúce sa vo vrcholoch dotýkajú sa atómu v strede steny (atómy vo vrcholoch sa

vzájomne nedotýkajú). Z tohto vyplýva, ţe dĺţka u stenovej uhlopriečky je rovná dvom

priemerom d atómu: u a d r 2 2 4 , z čoho polomer atómu

cm 10 . 44,14

cm 10 . .4,08 2

4

2 8--8

a

r .

Polomer atómu zlata je 1,44 . 10-8

cm.

11

Príklad 2. Ukáţte, ţe časť objemu zaplnená atómami (povaţujte ich za tuhé gule)

rozloţenými v uzloch nasledujúcich mrieţok je:

a) 6

π v prostej kubickej mrieţke,

b) 8

π3 v objemovo centrovanej kubickej mrieţke,

c) 6

π2 v plošne centrovanej kubickej mrieţke.

Riešenie:

a) Na elementárnu bunku prostej kubickej mrieţky pripadá jeden atóm. Jeho objem je

3

31

2

a π

3

4 π

3

4

rV ,

lebo r a 2 , kde a je mrieţková konštanta – dĺţka hrany elementárnej bunky. Objem

elementárnej bunky je 3e aV . Teda časť objemu elementárnej bunky zaplnená atómami

6

π2 π

3

4

3

3

e

1

a

a

V

V.

b) Na elementárnu bunku objemovo centrovanej kubickej mrieţky pripadajú dva atómy.

Ich objem je 3

312

4

3 π

3

8 π

3

4 . 2 2

arVV ,

lebo 4 3=4t aur , kde ut je telesná uhlopriečka elementárnej bunky (kocky). Teda časť

objemu zaplnená atómami

8

π34

3 π

3

8

3e

2

a

a

V

V.

c) Na elementárnu bunku plošne centrovanej kubickej mrieţky pripadajú 4 atómy. Ich

objem je 3

314

4

2 π

3

16 π

3

4 . 4 4

arVV ,

lebo r u a 4 2 4 , kde u je stenová uhlopriečka. Časť objemu elementárnej bunky

zaplnená atómami

12

6

24

2 π

3

16

3

3

e

4 a

a

a

V

V

.

Príklad 3. Určte mrieţkovú konštantu kryštálu NaCl. Hustota NaCl je 2,16 g/cm3.

Riešenie:

Štruktúra kryštálu NaCl (obr. 4.11), ak by sme zanedbali

rozdiel medzi druhmi iónov, by vyzerala ako prostá kubická

štruktúra. Keď uvaţujeme len jeden druh iónov je to plošne

centrovaná kubická štruktúra (viď ióny chlóru). Na túto štruktúru

moţno nazerať aj tak, ţe mrieţka bude plošne centrovaná

kubická, v ktorej uzlových bodoch sú umiestnené molekuly

NaCl.

Z obr. 4.11 je zrejmé, ţe súčet polomerov iónov Na+ a Cl

- je

rovný polovici dĺţky hrany kocky (polovici mrieţkovej

konštanty)

r r a1 2 2 ,

kde r1 a r2 sú polomery iónov. Elementárna bunka obsahuje štyri ióny Na+ a štyri ióny Cl

-.

Preto

4

3

N

m

A

M

a,

kde Mm = 58,44 g/mol je molová hmotnosť NaCl. Z tejto rovnice mrieţková konštanta

aM

4 45 643 3

8

N

. 58,44 g . mol

2,16 g . cm . 6,022 . 10 mol . 10 cmm

A

-1

-3 23 -1, .

Mrieţková konštanta NaCl je 5,64 . 10-8

cm.

4.2.4 Poruchy kryštálovej štruktúry

Obr. 4.11. Štruktúra kryš-

tálu NaCl.

13

Ako sme uţ skôr spomínali, v ideálnom kryštáli sa pravidelne opakujú rovnaké štruktúrne

jednotky (atómy, resp molekuly) v celom jeho objeme. V reálnych kryštáloch však vţdy

existuje odklon od ideálneho pravidla: jeden uzol – jeden atóm, resp. jedna molekula. Z názvu

tejto časti „poruchy“ by sa mohlo zdať, ţe je to vţdy len negatívny jav. Nie je však tomu tak.

Áno, niekedy sú poruchy (iným slovami defekty) neţiaduce, ale v mnohých prípadoch sa

vyvolávajú umelo s cieľom zlepšiť vlastnosti materiálov alebo dokonca dodať materiálom

nové poţadované vlastnosti. Bez porúch v mrieţke by neboli napr. moţné aj také javy ako je

difúzia v tuhých látkach a plastická deformácia materiálov. Od prítomnosti porúch závisia

i iné vlastnosti materiálov, napr. tepelná i elektrická vodivosť.

V závislosti od veľkosti porušenej oblasti delíme defekty v kryštáli na bodové, čiarové

a plošné. Medzi bodové defekty

kryštálovej mrieţky patrí vakancia

(chýbajúci atóm v uzle), atóm

nachádzajúci sa v intersticiálnej

polohe (medzi uzlami) a substitučný

atóm (atóm iného prvku nahradzujúci

v uzle mrieţky pôvodný atóm), pozri

obr. 4.12. Atóm nachádzajúci sa

v medziuzlí môţe byť atóm pôvodnej

alebo aj inej látky.

Čiarové poruchy nazývame aj

dislokácie. Základnými druhmi

dislokácií sú hranová dislokácia

a špirálová dislokácia. Začneme

s opisom hranovej dislokácie.

Predstavme si, ţe jedna z atómových

rovín (rovina R na obr. 4.13a) sa nerozprestiera cez celý kryštál ale je ukončená v jeho vnútri.

Kraj (hrana) tejto roviny vytvára lineárny defekt, ktorý nazývame hranová dislokácia. Na obr.

4.13b je zobrazené rozmiestnenie atómov v rovine kolmej na hranovú dislokáciu. Tam, kde sa

„neúplná“ atómová rovina končí (bod O) sa nachádza dislokácia – je kolmá na rovinu

nákresne. Atómový rad

1, ktorý prechádza cez

bod O má o jeden atóm

viac ako atómový rad 2

nachádzajúci sa niţšie. Preto v rade 1 je v okolí dislokácie vzdialenosť medzi atómami menšia

ako normálna a v rade 2 väčšia ako normálna v dôsledku čoho je kryštál v okolí dislokácie

deformovaný.

Obr. 4.12. Bodové defekty kryštálovej mrieţky: a) vakancia, b) substitučný atóm,

c) intersticiálna poloha.

Obr. 4.13. Hranová dislokácia je v mieste O kolmo na

rovinu nákresne.

Obr. 4.14. Pohyb hranovej dislokácie cez kryštál. a b c

a

R

O1

2

b

F F

-F -F

Rovina pohybu dislokácie

1 2 3

14

Takéto dislokácie sa môţu v kryštáli presúvať i pôsobením pomerne malej sily. Jeden

mechanizmus premiestnenia hranovej dislokácie je znázornený na obr. 4.14. Prechod

dislokácie cez kryštál je ekvivalentý posunutiu jednej časti kryštálu vzhľadom na druhú.

Prítomnosť dislokácií umoţňuje plastickú de-

formáciu telesa.

Druhým jednodu-chým typom dislokácie je

špirálová dislokácia, schematicky znázornená na

obr. 4.15. Z obrázku vidno hranicu medzi po-

sunutou a neposunutou časťou kryštálu. V blíz-

kosti čiary OO´ atómy atómových rovín leţiacich

vpravo i vľavo od roviny posunutia P sú vzájomne

posunuté. Toto posunutie spôsobuje lokálnu

poruchu mrieţky, ktorú nazývame špirálová

dislokácia. Hranica (čiara OO´) dislokácie je

v tomto prípade paralelná so smerom posuvu

v kryštáli a nie kolmá ako tomu bolo pri hranovej

dislokácii.

Pre ľubovoľný atóm nachádzajúci sa vnútri kryštálu je charakteristická symetria síl,

ktorými pôsobia na tento atóm susedné atómy. Na voľných povrchoch látok v dôsledku

porušenia tejto symetrie prichádza k narušeniu spôsobu usporiadania povrchových atómov –

k zmene vzdialenosti medzi nimi a ich posuvu oproti polohám, ktoré zaujímajú v atómových

rovinách v objeme kryštálu. Takto vzniká plošný defekt. Plošné defekty vznikajú tieţ na

hraniciach zŕn – malých kryštálikov, z ktorých pozostáva väčšina reálnych látok. V týchto

miestach sú atómy viazané zvyčajne menšími silami a lom materiálu prebieha po hraniciach

zŕn o čom sa moţno presvedčiť pozorovaním povrchu lomu.

K objemovým defektom patria póry rôzneho druhu a veľkosti, ďalej tzv. precipitáty – iné,

znečisťujúce chemické látky zaujímajúce časť objemu kryštálu a podobne.

4.2.5 Fázové diagramy

4.3 Pevnosť tuhých látok

4.4 Deformácia v ťahu a tlaku. Hookov zákon pre ťah

4.5 Ohyb laty

4.6 Deformácia v šmyku. Hookov zákon pre šmyk

4.7 Krútenie a jeho súvis so šmykom

Obr. 4.15. Špirálová dislokácia.

O

O´Rovina posunutia P

15

4 PRUŢNOSŤ A PEVNOSŤ

4.1 Úvod

V predchádzajúcich kapitolách sme sa zaoberali správaním sa tuhých telies, ktoré sa

nedeformovali ani pôsobením najväčších síl. Také telesá sme nazvali dokonale tuhé. Skúmali

sme ich správanie sa z hľadiska zmeny ich pohybového stavu, keď na ne pôsobia vonkajšie

sily. Sem teda moţno zaradiť aj problémy, ktoré rieši statika.

Skutočnosť je však iná. Tuhé telesá sa pôsobením vonkajších síl deformujú. Niektoré

viac, iné menej. Práve deformovateľnosť telies umoţňuje vytvárať z nich rôzne výrobky,

napríklad valcovaním plechy, vytláčaním rôzne nádoby, lisovaním automobilové karosérie

atď. Na druhej strane však môţe deformovateľnosť telies spôsobiť aj váţne problémy –

zdeformovaním niektorého konštrukčného prvku môţe prísť k havárii strojného zariadenia,

budovy, či inej konštrukcie. Ako sme uţ spomínali, deformácia telies vyrobených z rôznych

materiálov je pôsobením tej istej sily rôzna. Tento fakt súvisí s vnútornou štruktúrou telies,

s väzbovými silami pôsobiacimi medzi atómami, resp. molekulami. Veľkú rolu tu hrajú tieţ

„nečistoty“ – atómy iných prvkov nachádzajúcich sa v základnom materiáli a ďalej rôzne

mikro a makro poruchy materiálu. V tejto kapitole sústredíme pozornosť na skúmanie

súvislostí medzi vonkajšími „zaťaţeniami“ (silami a momentmi síl) a vnútornými silami

a s tým spojenými deformáciami telesa. Uvaţujme teleso tvaru tyče. Ak na teleso pôsobí sila

v smere jeho telesnej osi, môţe ho predĺţiť alebo skrátiť. Vtedy hovoríme o namáhaní v ťahu,

resp. v tlaku. Sily pôsobiace kolmo na os sa snaţia odstrihnúť (resp. posunúť) jednu časť tyče

od druhej – hovoríme o namáhaní v šmyku. Krútiaci moment sily je moment sily, ktorý sa

snaţí točiť tyč okolo jej osi. Moment sily pôsobiacej kolmo na tyč sa snaţí ju ohnúť –

hovoríme o ohybovom momente.

Dobré pochopenie makroskopického správania sa telies za pôsobenia vonkajších zaťaţe-

ní, ako sme uţ spomínali začína na úrovni atómov a molekúl – v pochopení ich vzájomných

interakcií. Preto, skôr neţ sa začneme zaoberať makroskopickým opisom správania sa tuhých

telies za pôsobenia vonkajších síl, uvedieme základné charakteristiky tuhých látok.

4.2 Charakteristika tuhých látok

4.2.1 Rozdelenie tuhých látok

Všetky tuhé látky moţno rozdeliť na kryštalické a amorfné v závislosti od toho, či sú

atómy alebo molekuly usporiadané pravidelne alebo nie. Väčšina tuhých látok sú látky

kryštalické, ktorých atómy, molekuly alebo ich súbory vytvárajú pravidelné, periodicky sa

opakujúce trojrozmerné útvary. Hovoríme, ţe sa vyznačujú translačnou symetriou.

Charakteristickou vlastnosťou kryštálu je teda existencia usporiadania na veľkú vzdialenosť

(ďalekodosahové usporiadanie).

Amorfné tuhé látky nemajú usporiadanie na veľkú vzdialenosť. Existuje však v nich istá

usporiadanosť v bezprostrednej blízkosti (na vzdialenosti niekoľkých susedných atómov)

vybraného atómu alebo molekuly. Hovoríme, ţe štruktúra amorfných tuhých látok sa

119

vyznačuje usporiadaním na malú vzdialenosť (krátkodosahové usporiadanie). Rozdiel medzi

kryštálom kremeňa a sklom (amorfná látka) je znázornený na obr. 4.1. Čierne krúţky

znázorňujú atómy kremíka a biele atómy kyslíka. Vidíme, ţe v kryštáli existuje pravidelné

usporiadanie atómov v celom objeme, kým v skle existuje isté usporiadanie len v blízkosti

vybraného atómu.

Existuje istá analógia medzi amorfnými tuhými

látkami a kvapalinami. Kvapaliny sa zvyčajne

povaţujú za bliţšie plynom neţ tuhým látkam.

Kvapaliny a plyny sa vyznačujú vlastnosťou, ktorú

nazývame tekutosť (odtiaľ spoločný názov tekutiny)

a ako uvidíme neskôr, pri teplotách nad kritickým

bodom niet medzi nimi rozdielu. Kvapaliny majú

však niečo spoločné aj s tuhými látkami. Napríklad

hustota danej kvapaliny je zvyčajne bliţšie k hustote

príslušnej tuhej látky, neţ k hustote príslušnej

plynnej látky. Z toho vyplýva, ţe usporiadanie častíc

z hľadiska tesnosti v tuhej a kvapalnej fáze je

porovnateľné, čo potvrdzuje i temer rovnaká

stlačiteľnosť týchto látok. Dokonca merania ukazujú,

ţe mnohé kvapaliny majú v kaţdom okamihu určité

usporiadanie na malú vzdialenosť, podobne ako

amorfné tuhé látky avšak s tým rozdielom, ţe zhluky

molekúl kvapaliny sa neustále posúvajú. Ak je

rýchlosť tuhnutia kvapaliny taká veľká, ţe molekuly

sa nestačia premiestňovať, usporiadať do kryštálovej

mrieţky, potom výsledkom je tuhá látka s vnútornou

konfiguráciou kvapaliny. Zachovalo sa tak jedno

z prechodných usporiadaní molekúl kvapaliny.

Amorfné tuhé látky sú nestabilné a s časom menia

svoju štruktúru tak, ţe táto sa pribliţuje kryštalickej

štruktúre. Kryštalizácia je taká pomalá, ţe k nej

prakticky neprichádza. Avšak sú známe prípady

Obr. 4.1. Usporiadanie atómov v kryštáli kremeňa a v skle. Čierne krúţky

znázorňujú atómy kremíka a biele atómy kyslíka. V kryštáli existuje

pravidelné usporiadanie v celom objeme. V skle existuje isté usporiadanie

len v blízkosti vybraného atómu

Obr. 4.2. Kryštálová štruktúra vznikne

umiestnením bázy do kaţdého uzlového

bodu kryštalickej (priestorovej) mrieţky

Kryštalická mrieţka

Báza pozostávajúca z dvochrôznych atómov

Kryštálová štruktúra

uzlový bod

120

starých vzoriek skla (niekoľko sto rokov), ktoré skryštalizovali. Proces kryštalizácie skla sa dá

urýchliť ohriatím na teplotu jeho mäknutia.

Kryštalické látky delíme z hľadiska toho, či pozostávajú len z jedného obrovského

kryštálu alebo zo súboru maličkých kryštálikov – zŕn na monokryštalické a polykryštalické.

Pritom tá istá látka sa môţe nachádzať v jednej aj druhej modifikácii. Väčšina kryštalických

látok sú polykryštály, teda skladajú sa z maličkých kryštalických zŕn. Na hraniciach zŕn sa

mení orientácia kryštálovej štruktúry a keďţe zrná sú usporiadané viac-menej náhodne,

vlastnosti takýchto látok sú väčšinou vo všetkých smeroch rovnaké – sú to látky izotrópne.

Naproti tomu mnohé monokryštalické látky sa vyznačujú anizotrópiou (ich vlastnosti sa líšia

v rozdielnych smeroch).

Ideálny kryštál moţno vytvoriť pravidelným opakovaním rovnakých štruktúrnych

jednotiek v celom priestore. V najjednoduchších kryštáloch, napríklad v kryštáloch medi,

striebra, zlata, je štruktúrna jednotka tvorená len jedným atómom. V kryštáloch zloţitejších

látok môţe štruktúrna jednotka obsahovať niekoľko atómov alebo molekúl. Táto štruktúrna

jednotka sa nazýva bázou. Bázu, z hľadiska priestorového usporiadania kryštálu, môţeme

nahradiť jedným bodom, ktorý nazývame uzlovým bodom. Uzlové body určujú kryštalickú

(priestorovú) mriežku. Kryštalická mrieţka a báza určujú kryštálovú štruktúru (obr. 4.2)1.

Rôzne látky majú rôzne kryštalické mrieţky.

Kryštálovú štruktúru opisujeme pomocou v priestore periodicky sa opakujúcej

elementárnej časti kryštalickej mrieţky, ktorú nazývame elementárnou bunkou. Táto

elementárna bunka môţe mať napríklad tvar kocky, pravidelného dodekaedra alebo

ľubovoľného rovnobeţnostena (hranola).

Kryštalické mrieţky (polohy uzlových bodov) sa konštruujú pomocou troch základných

nekomplanárnych vektorov translácie (posunutia) a, b, c. Úkon posunutia bodu o vektor T sa

nazýva operáciou translácie, obr. 4.3. Potom

kryštalickú mrieţku môţeme zostrojiť pouţitím

všetkých operácií translácie tvaru

cbaT 321 nnn (4.1)

(n1, n2, n3 sú celé čísla) vzhľadom napríklad na

začiatok súradníc.

Rovnobeţnosten zostrojený pomocou

základných vektorov sa nazýva základná bunka

alebo primitívna bunka (obr. 4.3). Má tú

vlastnosť, ţe uzly mrieţky sa nachádzajú len v jej

vrcholoch. Základná bunka nie je vţdy

najvhodnejším stavebným blokom kryštálu,

pretoţe mnohokrát nevystihuje úplne symetriu

mrieţky. Existuje veľké mnoţstvo tvarov

a rozmerov ako základných, tak i elementárnych buniek. Avšak tieto bunky môţu byť

klasifikované podľa ich vlastností symetrie. Symetria je veľmi dôleţitá vlastnosť

kryštalického tuhého telesa, ktorá sa prejavuje napríklad v jeho elastických, magnetických,

elektrických a tepelných vlastnostiach, odráţa symetriu mrieţky a určuje sa pomocou nej.

1 Uvedomme si, ţe kryštalická mrieţka je matematická abstrakcia, zatiaľ čo kryštálová štruktúra vzniká len vtedy,

keď s kaţdým uzlovým bodom mrieţky je spätá báza.

Obr. 4.3. Primitívna bunka kryštalickej mrieţky

T = a + b - c 2

a

b

c

0

121

Teda z dôvodu symetrie sa častokrát vyberajú iné elementárne bunky namiesto základných

buniek.

Elementárne bunky moţno rozdeliť do 14 kategórií odpovedajúcich 14 moţným rôznym

priestorovým mrieţkam. Tieto mrieţky nazývame Bravaisovými (bravého) mrieţkami

(obr. 4.4). Ku konštrukcii 14 Bravaisových mrieţok stačia osi siedmich typov, čo vedie ku

klasifikácii všetkých kryštálov do 7 kryštalografických sústav. Tieto kryštalografické sústavy

majú nasledujúce vlastnosti:

Obr. 4.4. Kryštalografické sústavy a typy Bravaisových priestorových mrieţok:

a) kubická – a b c , 90o, prostá, priestorove centrovaná, plošne

centrovaná; b) tetragonálna – a b c , 90o, prostá, priestorove

centrovaná; c) hexagonálna – a b c , 90 = =o o 120 ; d) trigonálna –

a b c , = = 90 o; e) rombická – 90=== ,cba , prostá, bazálne

centrovaná, priestorove centrovaná, plošne centrovaná; f) monoklinická – a b c , 9090 , prostá, bazálne centrovaná; g) triklinická – a b c ,

a

a

b

b

c

c

a

a

b

a

ab

b

cc

c d

e

f g

ab

b

g

g

g

g

122

a) Kubická (kocková). Kryštálové osi sú navzájom kolmé a periodicky sa opakujúci

interval – perióda identity – je rovnaký pozdĺţ všetkých troch osí. Kubické mrieţky môţu byť

prosté a priestorove alebo plošne centrované.

b) Tetragonálna (štvorcová). Kryštálové osi sú navzájom kolmé. Periódy identity sú

pozdĺţ dvoch osí rovnaké. Pozdĺţ tretej osi je perióda iná. Tetragonálne mrieţky môţu byť

prosté alebo priestorove centrované.

c) Hexagonálna (šesťuholníková). Dve kryštálové osi zvierajú uhol 60°, tretia je na ne

kolmá. Periódy identity sú rovnaké pozdĺţ osí zvierajúcich uhol 60°, ale perióda pozdĺţ tretej

osi je odlišná.

d) Trigonálna (romboedrická). Uhly medzi kaţdými dvomi kryštálovými osami sú

rovnaké, ale nerovnajú sa 90°. Perióda identity je rovnaká pozdĺţ všetkých troch osí.

e) Rombická (kosoštvorcová). Kryštálové osi sú navzájom kolmé, ale periódy identity sú

pozdĺţ všetkých osí iné. Rombické mrieţky môţu byť prosté, bazálne centrované, priestorove

centrované a plošne centrované.

f) Monoklinická (jednoklonná). Dve kryštálové osi nie sú navzájom kolmé, ale tretia os je

na ne kolmá. Periódy identity sú pozdĺţ všetkých troch osí rôzne. Monoklinické mrieţky

môţu byť prosté alebo bazálne centrované.

g) Triklinická (trojklonná). Ţiadne dve kryštálové osi nie sú navzájom kolmé a periódy

identity sú pozdĺţ všetkých troch osí rôzne.

Body Bravaisovej mrieţky, ktoré sa nachádzajú najbliţšie k danému bodu sa nazývajú

najbližšími susedmi. Pretoţe Bravaisova mrieţka je periodická, jej ľubovoľný bod má rovnaký

počet najbliţších susedov. Tento počet je charakteristický pre danú mrieţku a nazýva sa

koordinačné číslo mriežky. Koordinačné číslo prostej kubickej mrieţky je šesť, objemovo

centrovanej – osem a plošne centrovanej – dvanásť. Niektoré charakteristiky kubickej mrieţky

sú uvedené v tabuľke 4.1.

Podľa vyššie opísanej stavby kryštalických látok by sa mohlo zdať, ţe atómy nehybne

sídlia v okolí uzlových bodov mrieţky. Samozrejme nie je tomu tak. Atómy neustále kmitajú

okolo svojich rovnováţnych polôh. Amplitúda kmitov závisí od hmotnosti atómov a síl

pôsobiacich medzi nimi a je tým menšia, čím je niţšia teplota. Je veľmi rozšírený názor, ţe

pohyb atómov pri absolútnej nule zastane. Nie je to však pravda, kmity atómov nezaniknú

podľa kvantovej mechaniky ani pri absolútnej nule, atómy budú kmitať tzv. nulovými kmitmi.

Kryštalografia poskytuje úplný geometrický obraz stavby reálnych kryštálov. Ale prečo

jeden kryštál narastie tak a iný inak sa väčšinou nepodarí vysvetliť. Pri raste kryštálov sa

Tabuľka 4.1. Niektoré charakteristiky kubickej mrieţky

Charakteristika mrieţky

Kubická mrieţka

Prostá Obj. centr. Ploš. centr.

Objem elementárnej bunky a3 a

3 a

3

Počet atómov (uzlových bodov) pri-

padajúcich na elementárnu bunku 1 2 4

Objem primitívnej bunky a3 a

3/2 a

3/4

Počet najbliţších susedov (koordi-

načné číslo) 6 8 12

Vzdialenosť medzi najbliţšími su-

sedmi a

3 2a

2 2a

123

atómy nachádzajú v nepretrţitom tepelnom pohybe a akýmsi spôsobom si nájdu svoje miesto

v kryštáli, ktoré odpovedá minimu jeho potenciálnej

energie. Tieto skutočnosti sú zviazané s charakterom

chemickej väzby medzi atómami kryštálu.

4.2.2 Väzbové sily, väzbová energia

Schopnosť tuhých látok udrţiavať tvar a objem si

vysvetľujeme pôsobením silových väzieb medzi atómami

resp. molekulami, ktoré danú látku vytvárajú. Medzi

atómami musia existovať príťažlivé, ale aj odpudivé sily.

Sledujme sily pôsobiace medzi dvoma atómami, keď ich

vzájomne pribliţujeme: Pri pomerne veľkej vzdialenosti

medzi atómami pôsobia prevaţne príťaţlivé sily, ktoré

narastajú so zmenšujúcou sa vzdialenosťou (krivka 1 na

obr. 4.5). Pri istej vzájomnej vzdialenosti sa začnú

prejavovať odpudivé sily (krivka 2), ktoré s ďalším

zmenšovaním vzdialenosti narastajú oveľa rýchlejšie ako

príťaţlivé sily. Vo vzdialenosti 0rr príťaţlivé a

odpudivé sily sú rovnaké, výsledná sila (krivka 3)

pôsobiaca medzi atómami je rovná nule a vzájomná

potenciálna energia je minimálna. Táto poloha atómov je

stabilná (rovnovážna). Takýmto spôsobom sa viaţu ďalšie

a ďalšie atómy, ktoré takto vytvárajú teleso s pravidelnou

vnútornou štruktúrou – kryštál. Medzi atómami vznikla

väzba – presnejšie hovoríme chemická väzba.

Tuhé látky môţeme v závislosti od charakteru

väzbových síl rozdeliť na štyri typy: iónové kryštály,

kovalentné kryštály, kovy a molekulárne kryštály.

Vymenovanie je urobené v smere poklesu väzbovej

energie. Väzbová energia je energia, ktorú musíme dodať

tuhej látke aby sme ju zmenili na súbor vzájomne neinteragujúcich atómov – teda zhruba

energia potrebná na to, aby sme tuhú látku dostali do plynného skupenstva.

Iónové kryštály

Obr. 4.5. Závislosť príťaţlivých

a odpudivých síl a potenciálnej

energie od vzdialenosti medzi

dvoma atómami

Obr. 4.6. Štruktúra kryštálu chloridu sodného (NaCl). Vľavo schematický pohľad,

vpravo model kryštálu v reálnej mierke

r

r

2

1

3

0

0

F

r0

E

Ep

pv

+Cl

_

Na Na Cl+_

124

Najjednoduchším typom chemickej väzby je iónová väzba. V uzloch kryštalickej mrieţky

sa nachádzajú ióny s opačnými elektrickými nábojmi, medzi ktorými pôsobia coulombovské

sily. Rovnováţna poloha medzi iónmi je určená rovnováhou príťaţlivých síl a silnými, no

krátkodosahovými odpudivými silami, ktoré sa začínajú uplatňovať, keď sa ióny priblíţia

natoľko, ţe sa stáva podstatným prekryv rozdelenia nábojov zaplnených sfér jednotlivých

iónov.

Typickým predstaviteľom kryštálu s iónovou väzbou

je kryštál kamennej soli, chloridu sodného NaCl (obr.

4.6). V NaCl atóm sodíka odovzdáva svoj valenčný

elektrón atómu chlóru, čím z pôvodne neutrálnych

atómov vzniká kladný ión sodíka Na+ a záporný ión Cl

.

Na základe uvedeného modelu moţno opísať

vlastnosti iónových kryštálov. Odovzdaním, resp. prijatím

elektrónu si ióny Na+ a Cl

zaplnili svoje valenčné sféry.

Elektróny sú v iónoch veľmi silne viazané, a preto sa

nemôţu zúčastňovať prenosu elektrického náboja –

iónové kryštály sú pri nízkych a beţných teplotách dobré

elektrické i tepelné izolanty. Pri vyšších teplotách sa však

objavuje elektrická vodivosť, ktorá je podmienená

difúziou kladných a záporných iónov, hovoríme o iónovej

vodivosti. Iónové kryštály sa vyznačujú pomerne veľkou

tvrdosťou a vysokou teplotou topenia. Dobrá

štiepateľnosť a krehkosť iónových kryštálov sa vysvetľuje tým, ţe pri vzájomnom posunutí

rovín, v ktorých leţia ióny mrieţky, dostanú sa proti sebe súhlasne nabité ióny a odpudivými

silami sa kryštál rozštiepi.

Kovalentné kryštály

V prípade iónových kryštálov sme videli, ţe elektrické príťaţlivé sily väzby vznikli ako

výsledok prechodu elektrónu z atómu jedného prvku (Na) na atóm druhého (Cl), čím sa tieto

atómy stali iónmi s opačnými nábojmi. Kovalentná väzba vzniká aj medzi rovnakými

atómami. Je príčinou tvorby molekúl plynov (H2, N2, O2 atď.) a veľkého mnoţstva

heterogénnych molekúl.

Hoci úplné pochopenie kovalentnej väzby je moţné len z pohľadu kvantovej mechaniky,

môţeme fyzikálnu podstatu tejto väzby názorne vysvetliť aj pomocou klasických predstáv.

Obr. 4.7. Schematické znázornenie

kovalentnej väzby

Si

Si

Si Si Si

Si

Si

Si

Si

125

Uvaţujme dva rovnaké kladné náboje nachádzajúce sa v istej vzájomnej vzdialenosti.

Náboje sa odpudzujú Coulombovskou silou. Ak doprostred medzi tieto náboje umiestnime

záporný náboj rovnako veľký ako sú kladné náboje, potom tento náboj bude pôsobiť na

kladné náboje príťaţlivými silami, ktoré sú štyri razy väčšie ako sú odpudivé sily kladných

nábojov. Výsledkom je sila, ktorá sa snaţí kladné náboje priblíţiť, t.j. príťaţlivá sila medzi

kladnými nábojmi. Sily pôsobiace na záporný náboj zo strany kladných nábojov sa vzájomne

rušia. Toto je princíp kovalentnej väzby.

A ako sa vytvára kovalentná väzba v kryštáloch? Valenčné elektróny kaţdého atómu,

ktoré by v izolovanom atóme boli rozdelené sféricky symetricky okolo jadra v kryštáli sa

nachádzajú prevaţne v priestranstve medzi najbliţšími atómami. Takýmto spôsobom, jadro

s vnútornými elektrónmi má kladný efektívny náboj, zatiaľ čo oblasť medzi týmto atómom

a susedným atómom má nadbytočný záporný náboj. Tento je lokalizovaný hlavne pozdĺţ

priamky spájajúcej atómy (uzly mrieţky) (obr. 4.7). Tento model je úplne iný ako model

iónového kryštálu, kde sa v uzloch mrieţky pravidelne

striedajú kladné a záporné ióny.

Kryštálová štruktúra kovalentných kryštálov je v

hlavnej miere určená podstatou samotnej väzby. Uhlík

(diamant), germánium i kremík sú kovalentné kryštály.

Majú štyri valenčné elektróny, ktoré sa môţu zúčastňovať

väzby. Kaţdý atóm môţe mať účasť v štyroch väzbách, a

preto štruktúra týchto kryštálov je taká, ţe kaţdý atóm sa

nachádza v strede tetraedra (pravidelného trojbokého

ihlana) symetricky obklopený štyrmi susedmi

nachádzajúcimi sa vo vrcholoch tetraedra (obr. 4.8).

Kovalentné kryštály by mali byť izolátormi, pretoţe kaţdý

valenčný elektrón je súčasťou väzby, a preto sa nemôţe

voľne pohybovať po kryštáli. Skutočne, čisté kovalentné

kryštály sú pri veľmi nízkych teplotách izolátormi. A

predsa mnohé z nich, napríklad germánium a kremík, pri

vyšších teplotách vedú elektrický prúd – sú polovodičmi.

Kovalentné kryštály sa vyznačujú značnou pevnosťou, tvrdosťou, vysokou teplotou

topenia a sú väčšinou diamagnetické.

Obr. 4.8. Štruktúra diamantu. Vľavo schematické znázornenie, vpravo model v reálnej mierke

0br. 4.9. Schematické znázornenie

kovovej väzby

Cu Cu Cu

Cu Cu Cu

Cu Cu Cu

elektrónový plyn

126

Kovové kryštály

V kovových kryštáloch väzbu medzi jednotlivými atómami vytvárajú valenčné elektróny,

ktoré prakticky stratili akúkoľvek väzbu s atómami (iónmi), od ktorých pochádzajú, takţe

tieto elektróny sú spoločné pre celý kryštál. Hovoríme, ţe v kryštáli sa vytvoril elektrónový

plyn. Takáto väzba sa nazýva kovová (princíp väzby je znázornený na obr. 4.9).

Typickou elementárnou bunkou pre kovy je kocka s atómami v strede stien alebo

s atómom uprostred (plošne resp. objemovo centrovaná kubická mrieţka) (obr. 4.10). Kovy sa

vyznačujú veľkou elektrickou a tepelnou vodivosťou. Je to ľahko pochopiteľné, ak si

uvedomíme, ţe v kovoch sú elektróny prakticky voľné, môţu sa neobmedzene pohybovať cez

celý kryštál. Kovy sú nepriehľadné, vyznačujú sa charakteristickým kovovým leskom. Sú

menej pevné ako iónové a kovalentné kryštály, sú tvárne.

4.2.3 Hustota kryštálu a medziatómové vzdialenosti

Makroskopická hustota kryštálu závisí od hmotnosti atómov, od ich priemeru a okrem

toho, od kryštálovej štruktúry, ktorá určuje ako tesne sú usporiadané atómy. Ozrejmíme si to

na príklade prostej kubickej mrieţky. Elementárna bunka prostej kubickej mrieţky má tvar

kocky, vo vrcholoch ktorej sa nachádzajú atómy. Označme dĺţku hrany kocky ako a (táto

veličina sa nazýva mriežková konštanta). Potom

ad

kde d je priemer atómu, pretoţe dĺţka hrany kocky je rovná vzdialenosti medzi najbliţšími

atómami. Predpokladáme, ţe atómy sú tuhé gule, ktoré sa vzájomne dotýkajú.

Ak uváţime, ţe kaţdý atóm nachádzajúci sa vo vrchole kocky patrí ôsmim kockám (vo

vrchole sa stýka osem kociek), potom kaţdý atóm patrí vybranej kocke len jednou osminou.

Takýchto atómov je osem (osem vrcholov), preto na vybranú kocku pripadá celkove jeden

Tabuľka 4.2. Počty atómov v elementárnej bunke niektorých štruktúr

Štruktúra Počet atómov v elemen-

tárnej bunke

Kubická – prostá 1

Kubická – objemovo centrovaná 2

Kubická – plošne centrovaná 4

Obr. 4.10. Model kubickej plošne a objemovo centrovanej elementárnej bunky v reálnej mierke

127

Diamantová (obr. 4.8) 8

atóm. Počet atómov pripadajúcich na elementárnu bunku niektorých kryštálových štruktúr je

uvedený v tabuľke 4.2. Teda na atóm v prostej kubickej mrieţke pripadá objem a3. Hmotnosť

atómu vypočítame zo vzťahu Am NMm , kde Mm je molárna hmotnosť príslušnej látky a

NA – Avogadrova konštanta. Potom hustota v prípade prostej kubickej mrieţky je

3A

m

aN

M (4.2)

V ďalšom si na niekoľkých príkladoch ukáţeme výpočet niektorých zaujímavých veličín

súvisiacich so štruktúrou látky.

Príklad 4.1. Zlato má hustotu 19,32 g/cm3, relatívnu atómovú hmotnosť 197 a plošne

centrovanú kubickú mrieţku. Vypočítajte:

a) počet atómov zlata v 1 cm3,

b) mrieţkovú konštantu,

c) polomer atómu zlata.

Riešenie:

a) Označme N počet atómov v 1 cm3 a m – hmotnosť jedného atómu. Potom hustotu

môţeme vyjadriť vzťahom

A

m . N

MNmN

kde mM je molárna hmotnosť a NA Avogadrova konštanta. Potom

cm 10 . 91,5mol . g 197

mol 10 . 6,022 cmg 32,19 3-22

1-

-1233-

m

A ..

M

NN

V 1 cm3 zlata sa nachádza 221091,5 . atómov.

b) Na elementárnu bunku plošne centrovanej kubickej mrieţky pripadajú 4 atómy (pozri

obr. 4.10): Kaţdý atóm vo vrchole patrí ôsmim elementárnym bunkám – vrcholov je osem,

jednej bunke pripadá 1 atóm. O atóm v strede steny sa delia dve bunky – stien je šesť, na

jednu bunku pripadajú tri atómy leţiace v strede stien. Teda, pri plošne centrovanej kubickej

mrieţke pripadajú na elementárnu bunku štyri atómy. Objem eV elementárnej bunky je:

3e aV , kde a je mrieţková konštanta. Hustotu v prípade plošne centrovanej kubickej

mrieţky vypočítame zo vzťahu

3A

4

aN

M m

Z tohto vzťahu mrieţková konštanta

128

cm 10 . 08,4mol 10 . 6,022 . cm . g 19,32

mol . g 197 . 4

4 8-3

1-233-

1-

3

A

m N

Ma

Mrieţková konštanta zlata je 4,08 . 10-8

cm.

c) Pri zisťovaní polomeru atómu budeme vychádzať z predstavy, ţe atómy sú tuhé gule.

V prípade plošne centrovanej kubickej mrieţky, ak budeme uvaţovať jednu stenu kocky, vo

vrcholoch steny sú umiestnené 4 atómy a jeden je umiestnený v strede steny. Atómy

nachádzajúce sa vo vrcholoch dotýkajú sa atómu v strede steny (atómy vo vrcholoch sa

vzájomne nedotýkajú). Z tohto vyplýva, ţe dĺţka u stenovej uhlopriečky je rovná dvom

priemerom d atómu: u a d r 2 2 4 , z čoho polomer atómu

cm 10 . 44,14

cm 10 . .4,08 2

4

2 8--8

a

r

Polomer atómu zlata je 1,44 . 10-8

cm.

Príklad 4.2. Ukáţte, ţe časť objemu zaplnená atómami (povaţujte ich za tuhé gule)

rozloţenými v uzloch nasledujúcich mrieţok je:

a) 6

π v prostej kubickej mrieţke,

b) 8

π3 v objemovo centrovanej kubickej mrieţke,

c) 6

π2 v plošne centrovanej kubickej mrieţke.

Riešenie:

a) Na elementárnu bunku prostej kubickej mrieţky pripadá jeden atóm. Jeho objem je

3

31

2 π

3

4 π

3

4

arV

lebo r a 2 , kde a je mrieţková konštanta – dĺţka hrany elementárnej bunky. Objem

elementárnej bunky je 3e aV . Teda časť objemu elementárnej bunky zaplnená atómami

6

π2 π

3

4

3

3

e

1

a

a

V

V

b) Na elementárnu bunku objemovo centrovanej kubickej mrieţky pripadajú dva atómy.

Ich objem je 3

312

4

3 π

3

8 π

3

4 . 2 2

arVV

129

lebo 4 3=4t aur , kde tu je telesná uhlopriečka elementárnej bunky (kocky). Teda

časť objemu zaplnená atómami

8

π34

3 π

3

8

3e

2

a

a

V

V

c) Na elementárnu bunku plošne centrovanej kubickej mrieţky pripadajú 4 atómy. Ich

objem je 3

314

4

2 π

3

16 π

3

4 . 4 4

arVV

lebo r u a 4 2 4 , kde u je stenová uhlopriečka. Časť objemu elementárnej bunky

zaplnená atómami

6

24

2 π

3

16

3

3

e

4 a

a

a

V

V

Príklad 4.3. Určte mrieţkovú konštantu kryštálu NaCl. Hustota NaCl je 2,16 g/cm3.

Riešenie:

Štruktúra kryštálu NaCl (obr. 4.11), ak by sme zanedbali

rozdiel medzi druhmi iónov, by vyzerala ako prostá kubická

štruktúra. Keď uvaţujeme len jeden druh iónov je to plošne

centrovaná kubická štruktúra (viď ióny chlóru). Na túto štruktúru

moţno nazerať aj tak, ţe mrieţka bude plošne centrovaná

kubická, v ktorej uzlových bodoch sú umiestnené molekuly

NaCl.

Z obr. 4.11 je zrejmé, ţe súčet polomerov iónov Na+ a Cl

- je

rovný polovici dĺţky hrany kocky (polovici mrieţkovej

konštanty)

r r a1 2 2

kde r1 a r2 sú polomery iónov. Elementárna bunka obsahuje štyri ióny Na+ a štyri ióny Cl

-.

Preto

3A

m 4

aN

M

kde g/mol 44,58m M je molárna hmotnosť NaCl. Z tejto rovnice mrieţková konštanta

cm 10 . 64,5mol 10 . 6,022 . cm . g 2,16

mol . g 58,44 . 4

4 83

1-233-

1-

3

A

m N

Ma

Obr. 4.11. Štruktúra kryš-

tálu NaCl

130

Mrieţková konštanta NaCl je 5,64 . 10-8

cm.

4.2.4 Poruchy kryštálovej štruktúry

Ako sme uţ skôr spomínali, v ideálnom kryštáli sa pravidelne opakujú rovnaké štruktúrne

jednotky (atómy, resp. molekuly) v celom jeho objeme. V reálnych kryštáloch však vţdy

existuje odklon od ideálneho pravidla:

jeden uzol – jeden atóm, resp. jedna

molekula. Z názvu tejto časti

„poruchy“ by sa mohlo zdať, ţe je to

vţdy len negatívny jav. Nie je však

tomu tak. Áno, niekedy sú poruchy

(iným slovom defekty) neţiaduce, ale

v mnohých prípadoch sa vyvolávajú

umelo s cieľom zlepšiť vlastnosti

materiálov alebo dokonca dodať

materiálom nové poţadované

vlastnosti. Bez porúch v mrieţke by

neboli napr. moţné aj také javy ako je

difúzia v tuhých látkach a plastická

deformácia materiálov. Od

prítomnosti porúch závisia i iné

vlastnosti materiálov, napr. tepelná i elektrická vodivosť.

V závislosti od veľkosti porušenej oblasti delíme defekty v kryštáli na bodové, čiarové

a plošné. Medzi bodové defekty kryštálovej mrieţky patrí vakancia (chýbajúci atóm v uzle),

atóm nachádzajúci sa v intersticiálnej polohe (medzi uzlami) a substitučný atóm (atóm iného

prvku nahradzujúci v uzle mrieţky pôvodný atóm), pozri obr. 4.12. Atóm nachádzajúci sa

v medziuzlí môţe byť atóm pôvodnej alebo aj inej látky.

Čiarové poruchy nazývame aj dislokácie. Základnými druhmi dislokácií sú hranová

dislokácia a špirálová dislokácia. Začneme s opisom hranovej dislokácie. Predstavme si, ţe

jedna z atómových rovín (rovina R na obr. 4.13a) sa nerozprestiera cez celý kryštál ale je

ukončená v jeho vnútri. Kraj (hrana) tejto roviny vytvára lineárny defekt, ktorý nazývame

hranová dislokácia. Na obr. 4.13b je zobrazené roz-miestnenie atómov v rovine kolmej na

hranovú dislokáciu. Tam, kde sa „neúplná“ atómová rovina končí

(bod O) sa nachádza dislokácia (je kolmá na rovinu nákresne). Atómový rad 1, ktorý

Obr. 4.12. Bodové defekty kryštálovej mrieţky: a) vakancia, b) substitučný atóm,

c) intersticiálna poloha

Obr. 4.13. Hranová dislokácia je v mieste O, kolmo na

rovinu nákresne

a b c

a

R

O1

2

b

131

prechádza cez bod O má o jeden atóm viac ako atómový rad 2 nachádzajúci sa niţšie. Preto

v rade 1 je v okolí dislokácie vzdialenosť medzi atómami menšia ako normálna a v rade 2

väčšia ako normálna v dôsledku čoho je kryštál v okolí dislokácie deformovaný.

Takéto dislokácie sa môţu v kryštáli presúvať i

pôsobením pomerne malej sily. Jeden

mechanizmus premiestnenia hranovej dislokácie je

znázornený na obr. 4.14. Prechod dislokácie cez

kryštál je ekvivalentý posunutiu jednej časti

kryštálu vzhľadom na druhú. Prítomnosť dislokácií

umoţňuje plastickú deformáciu telesa.

Druhým jednodu-chým typom dislokácie je

špirálová dislokácia, schematicky znázornená na

obr. 4.15. Z obrázku vidno hranicu medzi

posunutou a neposunu-tou časťou kryštálu.

V blízkosti čiary OO´ atómy atómových rovín

leţiacich vpravo i vľavo od roviny posunutia P sú

vzájomne posunuté. Toto posunutie spôsobuje lokálnu poruchu mrieţky, ktorú nazývame

špirálová dislokácia. Hranica (čiara OO´) dislokácie je v tomto prípade paralelná so smerom

posuvu v kryštáli a nie kolmá ako tomu bolo pri hranovej dislokácii.

Pre ľubovoľný atóm nachádzajúci sa vnútri kryštálu je charakteristická symetria síl,

ktorými pôsobia na tento atóm susedné atómy. Na voľných povrchoch látok v dôsledku

porušenia tejto symetrie prichádza k narušeniu spôsobu usporiadania povrchových atómov –

k zmene vzdialenosti medzi nimi a ich posuvu oproti polohám, ktoré zaujímajú v atómových

rovinách v objeme kryštálu. Takto vzniká plošný defekt. Plošné defekty vznikajú tieţ na

hraniciach zŕn – malých kryštálikov, z ktorých pozostáva väčšina reálnych látok. V týchto

miestach sú atómy viazané zvyčajne menšími silami a lom materiálu prebieha po hraniciach

zŕn o čom sa moţno presvedčiť pozorovaním povrchu lomu.

K objemovým defektom patria póry rôzneho druhu a veľkosti, ďalej tzv. precipitáty – iné,

znečisťujúce chemické látky zaujímajúce časť objemu kryštálu a podobne.

4.3 Mechanické vlastnosti inţinierskych materiálov

Kovové materiály

sa všeobecne povaţujú

za pomerne tvrdé

a pevné. Ak sú však

„čisté“, neobsahujúce

iné atómy ako sú

materské, ich pevnosť

a tvrdosť je malá, napr.

čisté olovo, zlato, hliník

atď. Nízka pevnosť

a ľahká

deformovateľnosť dobrých kryštálov bola počas mnohých rokov záhadou. Bolo totiţ

experimentálne zistené, ţe pevnosť pomerne zle zhotovených kryštálov bola vyššia ako

pevnosť kryštálov, z ktorých sa snaţilo starostlivo odstrániť poruchy. Bolo totiţ prirodzené

predpokladať, ţe pevnosť v dokonalejších vzorkách sa bude pribliţovať k pevnosti ideálneho

Obr. 4.14. Pohyb hranovej dislokácie cez kryštál

Obr. 4.15. Špirálová dislokácia

F F

-F -F

Rovina pohybu dislokácie

1 2 3

O

O´Rovina posunutia P

132

kryštálu. No nebolo to tak. Pevnosť bola o niekoľko rádov niţšia. Vysvetlenie tejto

skutočnosti spočíva v prítomnosti dislokácií, ktoré sa v reálnom kryštáli vţdy nachádzajú,

kým v ideálnom kryštáli dislokácie nie sú. Pokým je dislokácií v kryštáli málo (starostlivo

pripravené reálne kryštály), nič im neprekáţa v pohybe a kryštál sa ľahko deformuje. Preto

vznikla idea zabrániť pohybu dislokácií a to sa naozaj dá dosiahnuť. Do materiálu sa umelo

zavedú atómy iných prvkov alebo rôzne prímesi, alebo sa umelo zväčší počet dislokácií. Tým

si dislokácie začnú vzájomne prekáţať v pohybe a pevnosť materiálu narastá. Na tejto

skutočnosti je zaloţená celá oceliarska výroba.

Ako príklad spevnenia materiálu pomocou nárastu dislokácií môţe poslúţiť nasledujúci

jav: Ohýbajme hore-dole drôt z mäkkého kovu. Po mnohých ohyboch zistíme, ţe je to stále

ťaţšie, aţ napokon drôt sa zlomí. Je to príklad deformačného spevnenia. Pri kaţdom ohybe

vznikajú v drôte nové a nové dislokácie, aţ kým ich počet nie je taký veľký, ţe sa uţ nemôţu

pohybovať (vzájomne si prekáţajú v pohybe). Vtedy kryštál stráca schopnosť plastickej

deformácie a pri ďalšom ohýbaní sa jednoducho zlomí. V ďalšom uvedieme základné atribúty

materiálov pouţívaných v inţinierskej praxi:

Elastické materiály sú také, ktoré po zrušení zaťaţenia (pôsobiacich síl a ich momentov)

nadobudnú rozmery aké mali pred začiatkom pôsobenia zaťaţenia. Elasticita teda zabraňuje

permanentnej deformácii. Zvyčajne je elastická oblasť vymedzená lineárnou závislosťou

medzi pôsobiacou silou a deformáciou (napr. predĺţením) telesa.

Materiál je plastický, ak po zrušení zaťaţenia nenadobudne pôvodné rozmery a tvar.

Plastickými materiálmi a deformáciami sa v nasledujúcich častiach nebudeme zaoberať.

Húževnaté materiály sú také, ktoré sa porušia aţ pri pomerne veľkých zaťaţeniach. Medzi

takéto materiály patrí konštrukčná oceľ a mnohé zliatiny iných kovov.

132

Krehké materiály, napr. liatina a betón, vykazujú malú deformáciu predtým než sa

porušia a častokrát prichádza k náhlej poruche (lomu) bez predchádzajúceho varovania.

Kompozitné materiály pozostávajú z dvoch alebo viacerých rozličných zložiek.

Kompozity zvyčajne obsahujú vysoko pevné materiály (oceľ, sklo, grafit, polyméry),

zvyčajne v tvare vlákien, ktoré sú zabudované do materiálu (napr. do betónu, živice, nylonu),

ktorý nazývame matrica. Kompozitné materiály majú väčší pomer medzi pevnosťou

a hmotnosťou ako klasické homogénne materiály. Ich výhodné vlastnosti ich predurčujú pre

stále širšie použitie v praxi.

4.4 Deformácia v ťahu a tlaku. Hookov zákon

Ako sme už spomínali, pôsobením vonkajších síl menia skutočné telesá svoje rozmery a

aj svoj tvar – deformujú sa. V prírode a v rôznych technických zariadeniach sú telesá

zaťažované a deformované mnohými rôznymi spôsobmi. Avšak, aj keď je namáhanie telesa

akokoľvek zložité, je ho možno vždy vyjadriť ako kombináciu dvoch jednoduchých druhov

namáhania, a to namáhania v ťahu či tlaku a namáhania v šmyku.

Ak sa teleso deformuje tak, že sa jeden jeho rozmer predĺži (skráti) a priečne rozmery sa

skrátia (predĺžia), hovoríme o deformácii v ťahu (tlaku). Najjednoduchším príkladom

deformácie v ťahu je predĺženie tyče namáhanej na ťah (obr. 4.16). Tyč s pôvodnou dĺžkou

0 sa pôsobením sily veľkosti F predĺži o hodnotu 0 , kde je dĺžka tyče pri

pôsobení sily F. Ako miera deformácie v ťahu sa používa veličina nezávislá od pôvodnej

dĺžky, a to relatívne predĺženie definované vzťahom

0

(4.3)

Účinok sily F sa rozkladá po celej ploche prierezu S, takže za mieru namáhania materiálu

považujeme mechanické normálové napätie definované vzťahom

Obr. 4.16. Valček namáhaný ťahom sa

predĺži o hodnotu 0Δ .

Obr. 4.17. Pracovný diagram ocele. 1 – medza

úmernosti, 2 – medza pružnosti, 3 – medza

klzu (prieťažnosti), 4 – medza pevnosti.

s

s

s

s

s

0 e

= Ees

1

2

3

4

S

l 0

F

-F

l

133

S

F (4.4)

Jeho jednotkou je Pa1mN 1 2 (pascal).

Mechanické vlastnosti materiálu pri namáhaní v ťahu a tlaku sú charakterizované

závislosťou f , zvyčajne vo forme grafu, ktorý nazývame pracovný diagram. Tento sa

získava na tzv. trhacích strojoch. Ako príklad uvádzame tvar pracovného diagramu pre oceľ

(obr. 4.17). Tento je symetrický podľa začiatku pre ťah a tlak, preto sa uvádza iba časť platná

pre ťah. Každý druh materiálu má svoj pracovný diagram. Medzi pomerným predĺžením

a normálovým napätím je spočiatku lineárna závislosť

E (4.5)

ktorá je vyjadrením Hookovho zákona. Materiálová konštanta E sa nazýva modul pružnosti

v ťahu (tlaku) alebo aj Youngov modul pružnosti. Jeho jednotkou je 1 Pa. Modul pružnosti

udáva hodnotu mysleného normálového napätia, ktorým by sa tyč z daného materiálu

predĺžila na dvojnásobok pôvodnej dĺžky.

Hodnoty modulu pružnosti v ťahu pre rozličné materiály sú rôzne. Je to materiálová kon-

tanta. Hodnoty modulov pružnosti v ťahu (E) vybraných materiálov sú uvedené v tab. 4.3.

Tabuľka 4.3. Moduly pružnosti v ťahu a šmyku vybraných materiálov

Materiál GPa

E

GPa

G

Oceľ 200 78

Šedá liatina 70 28

Dural 72 28

Mosadz 105 39

Betón 24 -

Drevo (borovica) 11 -

Sledujme závislosť relatívnej deformácie od napätia pri namáhaní valčeka z ocele ťahom.

Experimentálne zistená závislosť je graficky znázornená na obr. 4.17. Vysvetlíme si túto

závislosť na základe mikroskopických úvah. Vonkajšia sila pôsobiaca na materiál má snahu

posúvať proti sebe celé atómové roviny (pozri obr. 4.18). Snaží sa vysunúť každý atóm

z oblasti pôsobenia susedného atómu do oblasti pôsobenia druhého. Tento mechanizmus

Obr. 4.18. Vonkajšia sila pôsobiaca na

materiál má snahu posúvať proti sebe celé

atómové roviny.

Obr. 4.19. Kryštál deformo-

vaný namáhaním ťahom.

a)

b)

F

-FF

-F

134

deformácie je potvrdený skutočne pozorovaným vzhľadom povrchu deformovaného

kovového kryštálu. Na obr. 4.19, ktorý je prekreslenou fotografiou z knihy [Wert,

Thomson].je zreteľne vidno posuv atómových rovín.

Oblasť napätí od 0 po 1 (obr. 4.17) je charakterizovaná situáciou, v ktorej sa atómy

správajú ako harmonické oscilátory – ich výchylka z rovnovážnej polohy je priamo úmerná

pôsobiacej sile. Pri väčších napätiach (nad 2 ) lineárnosť medzi napätím a deformáciou

prestáva platiť, ale deformácia je vratná, t. zn., že materiál po zrušení zaťaženia nadobudne

pôvodné rozmery. Situácia pri napätí 3 je znázornená na obr. 4.18b. Pri nepatrnom

prekročení tohto napätia prebieha deformácia sama – kĺzaním jednotlivých rovín po sebe.

Oblasť medzi napätiami 3 a 4 možno nazvať oblasťou spevnenia. Reálne kryštály vždy,

ako sme už spomínali, obsahujú dislokácie. Namáhaním sa generujú ďalšie. Keď však ich

koncentrácia dosiahne určitú hodnotu, začínajú si v pohybe navzájom prekážať a nastáva

spevnenie materiálu. Pri napätí 4 proces deformácie sa už nedá zastaviť a prichádza

k pretrhnutiu materiálu.

Samozrejme, pracovné diagramy rôznych materiálov sú rôzne. Niektoré materiály

nevykazujú zreteľne medzu klzu, iné materiály nie sú symetrické z hľadiska namáhania

ťahom a tlakom.

Pri namáhaní tyče ťahom sa okrem zmeny dĺžky súčasne menia aj priečne rozmery. Keď

berieme do úvahy namáhanie tyče s kruhovým prierezom s pôvodným priemerom 0d ,

relatívnu zmenu priečneho rozmeru možno vyjadriť takto

0

0

0 d

dd

d

d

(4.6)

kde d je priemer tyče pri danom zaťažení. Pri kladnej pozdĺžnej deformácii, čiže pri namáhaní

ťahom 0dd a teda 0 . Pri namáhaní tlakom 0dd a 0 .

Podiel pomerného priečneho skrátenia a pomerného predĺženia

(4.7)

sa nazýva Poissonovo číslo. Jeho prevrátená hodnota 1m sa nazýva Poissonova

konštanta. Obidve veličiny sú bezrozmerné. Znamienko mínus vo vzťahu (4.7) značí, že

pozdĺžna deformácia má opačný charakter ako priečna deformácia. Keď sa tyč predĺži,

priečny rozmer sa skráti a naopak. Experimentálne je zistené, že je zvyčajne v rozsahu od

0,25 do 0,35. Extrémne prípady sú: 10, pre niektoré betóny a 50, pre gumu.

Dĺžku tyče pri zaťažení ťahovým napätím určíme úpravou vzťahu

0

0

E

teda

E

10 (4.8)

Priečny rozmer d pri zaťažení tyče ťahovým napätím určíme úpravou vzťahu

135

0

0

d

dd

keď do neho dosadíme E

Edd

10 (4.9)

Príklad 4.4. Oceľový kváder s rozmermi cm 5,2a , cm 2,1b a cm 100 je

namáhaný na ťah v smere rozmeru 0 . Meraním sme zistili, že kváder sa predĺžil

o cm 10.11,7 3 a jeho šírka (rozmer a) sa zmenšila o cm 10.33,5 4 , keď zaťažujúca sila mala

hodnotu 45 kN. Vypočítajte modul pružnosti v ťahu a Poissonovo číslo materiálu.

Riešenie: Z Hookovho zákona

Pa 10.11,2m 7,11.10

m 10.1.

m 1,2.10 . m 2,5.10

N 10.5,4 11

5-

1

2-2-

400

ab

F

S

FE

Poissonovo číslo

3,0m 2,5.10 . m 7,11.10

m 1.10 . m 10.33,5

.

. 2-5-

1-60

0

a

aa

a

Príklad 4.5. O koľko sa predĺži homogénny oceľový drôt dĺžky 100 m a prierezu 2mm 1 , ak ho voľne zavesíme za jeden jeho koniec? Modul pružnosti drôtu v ťahu je

Pa 102 11. a jeho hustota -33 kg.m 1087 ., .

Riešenie: Dĺžkový element drôtu xd sa napína tiažou drôtu, ktorý

je pod ním (obr. 4.20). Pre predĺženie elementu platí

xx

E

gx

S

gxS

Ex

S

F

Edd

1d

1d

Celkové predĺženie drôtu dostaneme súčtom predĺžení jednotlivých

elementov (t.j. integráciou), teda

E

gxx

E

gxx

E

g

22dd

2

0

2

00

Príklad 4.6. Oceľová valcová nádrž s polguľovými koncami obsahuje vzduch, ktorého

tlak je 1,4 MPa. Vypočítajte napätie pôsobiace v stene nádrže v axiálnom i radiálnom smere.

Polomer nádrže je 25 cm a hrúbka jej steny 8 mm (obr. 4.21a)

Obr. 4.20. K príkla-

du 4.5.

x

dx l

136

Riešenie: Silu, ktorá namáha nádrž v axiálnom smere vypočítame ako súčin tlaku p

a plochy priemetu (kruhu) S polguľového konca kolmo na pozdĺžnu os nádrže, teda

2

a π rppSF

Táto sila je príčinou axiálneho napätia a

v stene nádrže (pozri obr. 4.21b). Toto axiálne

napätie pôsobí na ploche rtS π2a . Možno

potom písať

rtrp π2 π a2

z ktorého axiálne napätie je

Pa 10.19,2m 8.10 . 2

m 2,5.10 . Pa 10.4,1

2

7

3-

-16

a t

pr

Silu rF pôsobiacu v radiálnom smere

vypočítame podľa vzťahu (pozri aj obr. 4.21c)

rppSF 2.rr

Táto sila namáha nádrž ťahom v priereze

s plochou tS 2r . Platí

rpt 2.2.r

Z tohto vzťahu

Pa 10.38,4m 8.10

m 2,5.10 . Pa 10.4,1 7

3-

-16

r t

pr

4.5 Homogénna deformácia stlačením

Skúmajme správanie sa pravouhlého hranola s rozmermi x0, y0 a z0 pod vplyvom

všestranného (hydrostatického) tlaku p (obr. 4.22). Keď uvažujeme pôsobenie tlaku na steny

kolmé na rozmer x0, pomerná deformácia Ep má záporné znamienko (hranol je stláčaný)

0

1Δ

x

x

E

p (4.10)

Pôsobením tlaku na bočné steny je deformácia v smere z rovnaká ako v predchádzajúcom

prípade

0

1Δ

z

z

E

p (4.11)

Obr. 4.21. K príkladu 4.6

p

p

r

2r

t

t

t

t

l

l

rp s

s

a

r

a)

b)

c)

137

Nás však zaujíma deformácia v smere x.

Pôsobením tlaku na steny kolmé na rozmer z,

deformácia (rozšírenie) v smere rozmeru x je

E

p

x

x

0

2 (4.12)

Podobne, ak budeme stláčať hranol zhora (v

smere y) deformácia v smere y je opäť

0

1Δ

y

y

E

p (4.13)

a priečna deformácia v smere x je

E

p

x

x

0

3 (4.14)

Zložením všetkých deformácií v smere x dostaneme

0

321

0 x

xxx

x

x

resp.

21E

p

E

p

E

p

E

px (4.15)

Problém je samozrejme symetrický vo všetkých troch smeroch. Preto platí

21000

E

p

z

z

y

y

x

x (4.16)

resp.

21E

pzyx (4.16´)

Vypočítame teraz relatívnu zmenu objemu kvádra. Objem kvádra V0 pred zaťažením je

0000 zyxV

a objem V pri pôsobení tlaku

zzyyxxV 000 (4.17)

Po vynásobení pravej strany vzťahu (4.17) a zanedbaní vzájomných súčinov zmien (typu

yx a zyx ) dostaneme pre objem V vzťah

zyxyzxxzyVV 0000000

Ďalej, vydelením vzťahu

zyxyzxxzyVVV 0000000

Obr. 4.22. Hranol namáhaný všestranným

tlakom.

x

z

y

0

0

0

p

138

objemom 0000 zyxV , dostaneme hľadanú relatívnu zmenu objemu hranola pri zaťažení

všestranným tlakom

0000 z

z

y

y

x

x

V

V

(4.18)

resp.

30

zyxV

V (4.18´)

Vzťah (4.18´) možno použitím vzťahu (4.16´) upraviť takto

213

0

E

p

V

V (4.19)

Pri objemových deformáciách je zvykom používať vzťah tvaru

0V

VKp

(4.20)

kde p je tlak a K – modul objemovej pružnosti. Jeho prevrátená hodnota

p

V

VK

0

11 (4.21)

sa nazýva objemová stlačiteľnosť.

Porovnaním vzťahov (4.19) a (4.20) dostaneme, že

213

EK (4.22)

Z tohto vzťahu vidno prečo musí byť 5,0 . Keby tak nebolo, bolo by K záporné a látka

by sa pri zvyšovaní tlaku rozpínala a to by umožňovalo získať z pôvodného hranola energiu,

čo nie je možné.

Príklad 4.7. Tuhá guľa s polomerom 200 mm zhotovená z materiálu, ktorého modul

pružnosti v ťahu je 70 GPa a Poissonovo číslo 0,3 je vystavená všestrannému tlaku 120 MPa.

Treba vypočítať zmenu jej priemeru a zmenu jej objemu.

Riešenie: Keďže ide o všestranný tlak, pomerné deformácie v smeroch súradnicových osí

x, y a z sú rovnaké, teda platí

4

10

8

10.86,60,3 . 21Pa 7.10

Pa 10.2,121

E

pzyx

Zmena priemeru je

mm 0,137m 10.37,1m 0,2 . 10.86,6 . 44 dd

Záporné znamienko značí, že priemer sa zmenší.

139

Relatívna zmena objemu pri všestrannom tlaku podľa vzťahu (4.18´) je

30

zyxV

V

a po malej úprave, keď za dosadíme zo vzťahu (4.16´)

213

0

E

p

V

V

Zmena objemu gule je potom

336

3

10

83

0

mm 8620m 10.62,8

m 0,1 π3

4 . 0,3 . 21

Pa 7.10

Pa 1,2.10 . 3 π

3

4 . 21

3 21

3

rE

pV

E

pV

Znamienko mínus znova značí, že ide o pokles objemu.

4.6 Deformácia v šmyku. Hookov zákon pre šmyk

O namáhaní šmykom hovoríme vtedy, keď sa zaťažujúca sila snaží posunúť jednu časť

telesa vzhľadom na jeho susednú časť. Ako príklad môže poslúžiť spoj vytvorený pomocou

vidlice a čapu (obr. 4.23). V prierezoch označených A-A a B-

B je čap namáhaný šmykovým napätím , ktoré možno určiť

zo vzťahu

S

F

2 (4.23)

kde 4π 2dS je plocha prierezu čapu a F je zaťažujúca sila

(snaží sa „ustrihnúť“ čap v dvoch prierezoch). Všimnime si,

že šmykové napätie pôsobí v rovine paralelnej so smerom

zaťažujúcej sily.

Iným príkladom šmykového namáhania je namáhanie nitu spájajúceho dva pásové

nosníky (obr. 4.24). Nit je namáhaný šmykovým napätím v reze A-A. Jeho hodnota je

2π

4

d

F

S

F

Obr. 4.23. Spoj vytvorený vidli-

cou a čapom. V prierezoch A-A

a B-B je namáhaný šmykovým

napätím.

Obr. 4.24. Namáhanie nosníkov ťahom sa snaží v priereze

A-A nit ustrihnúť.

A

A

B

B

d

F

-FA A F

-F

140

V obidvoch uvedených príkladoch sa zaťažujúca sila F snaží vzájomne posunúť dve

susedné časti čapu, resp. nitu. To však znamená, s trochou idealizácie, že sa snaží posunúť

dve susedné atómové roviny.

Kvôli odvodeniu vzťahu medzi šmykovým napätím a deformáciou uvažujme zaťaženie

materiálu tvaru kvádra, tak ako je znázornené na obr. 4.25. Spodná podstava je pevne

uchytená a na hornú podstavu, paralelnú so spodnou,

pôsobí tangenciálna sila F. Pôsobením sily F vznikne

v materiáli šmykové napätie SF , v dôsledku

čoho sa horná podstava posunie oproti spodnej

o vzdialenosť . Bočné steny hranola, ktoré boli

pôvodne pravouhlé sa pôsobením šmykového napätia

skosia o uhol . Uhol nazývame aj skos alebo uhol

skosu. Keďže vo väčšine reálnych prípadov je uhol

veľmi malý, platí, že

a

tg (4.24)

kde a je vzdialenosť rovín, ktoré sa vzájomne posunuli o vzdialenosť . Uhol sa nazýva tiež

pomerné posunutie (alebo aj pomerná deformácia pri šmyku).

Medzi tangenciálnym napätím a pomernou deformáciou platí vzťah

G (4.25)

ktorý nazývame Hookov zákon pre šmyk. Materiálovú konštantu G nazývame modul pružnosti

v šmyku. Pre niektoré materiály je uvedený v tab. 4.3.

Príklad 4.8. Dve oceľové dosky sú spojené štyrmi nitmi priemeru 20 mm tak, ako je

znázornené na obr. 4.26. Určte maximálne možné zaťaženie (silu F), ak maximálne napätia

môžu byť: v šmyku 80 MPa, v ťahu 100 MPa a v otlačení (tlaku na nity) 140 MPa.

Predpokladáme, že záťaž je rovnomerne rozložená na všetky nity.

Riešenie: Najväčšie napätie v ťahu bude v doske, kde je najmenšia plocha prierezu.

Vypočítame plochy prierezov v rezoch A-A, B-B a C-C. Plocha S11 prierezu v reze A-A

2

1111 mm 1200mm 15 . mm 80 haS

Obr. 4.25. Deformácia materiálu tvaru

kvádra tangenciálnou silou.

Obr. 4.26. Nitový spoj dvoch oceľových dosiek.

F

a

S

d

g

A

A

B

B

C

C

a a a1

1

12 2

2

d

h h F

F

-F

-F

141

Plocha S12 prierezu ľavej dosky v reze B-B

211212 mm 009mm 15 . mm 20 . 2-mm 1002 hdaS

Plocha S21 prierezu pravej dosky v reze B-B

22221 mm 008mm 10 . mm 20 . 2-mm 1202 hdaS

Plocha S22 prierezu pravej dosky v reze C-C

22222 mm 1200mm 10 . mm 120 haS

Najmenšia plocha prierezu kolmého na zaťažujúcu silu je 221 mm 800S . Teda

z hľadiska namáhania ťahom je povolená maximálna sila

kN 80N 108m 8.10 . Pa 10100 42-4621dovtťah ..S.F

Šmykom sú namáhané štyri priečne rezy nitov. Z hľadiska namáhania šmykom je

povolená maximálna sila

kN 101N 10011m 2.10 . π. Pa 1080π4

π44 522-62

dov

2

dovdovš .,.d.d

.S.F

Nity sú ďalej namáhanie tlakom. Vyššie tlakové napätie bude na časť nitov

nachádzajúcich sa v pravej doske (má menšiu hrúbku). Z hľadiska tlaku môže na spoj pôsobiť

maximálna sila

kN 112N 10121m 2.10 . m 1.10 . 4 . Pa 101404 5-2-262dovtlak .,.d.h.F

Z porovnania vyššie vypočítaných síl vidno, že najmenšia sila je 80 kN a to je teda sila,

ktorú nesmieme prekročiť, aby neprišlo k poruche spoja.

4.7 Súvis medzi modulom pružnosti v ťahu E a modulom pružnosti

v šmyku G

Skôr než začneme odvodzovať súvis medzi E a G uvažujme namáhanie materiálu tvaru

kocky s hranou dĺžky a ťahovou silou veľkosti F vo vodorovnom smere a tlakovou silou

rovnakej veľkosti F vo zvislom smere (obr. 4.27).

Relatívna zmena dĺžky vo vodorovnom smere je

S

F

ES

F

E

11v (4.26)

kde druhý člen je relatívne rozšírenie v dôsledku pôsobenia

tlakovej sily. Vzťah (4.26) možno ďalej upraviť takto

ES

F

E

11v (4.27)

Relatívna zmena dĺžky vo zvislom smere bude

rovnaká, má však opačné znamienko

Obr. 4.27. Namáhanie materiálu

tvaru kocky súčasným ťahom a tla-

kom. Sily F´a F majú rovnakú

veľkosť.

F

-F´

F´

-Fa

a

142

E

1z (4.28)

Nech na tú istú kocku pôsobia teraz šmykové sily veľkosti F tak, ako je znázornené na

obr. 4.28a. Uvedomme si, že všetky štyri sily musia byť rovnako veľké aby bola kocka

v rovnováhe – výsledný moment síl musí sa rovnať nule. V tomto prípade hovoríme, že kocka

sa nachádza v stave „čistého šmyku“. Tieto šmykové sily zdeformujú kocku tak, ako je

znázornené na obr. 4.28b. Rovnakú deformáciu kocky dostaneme aj pôsobením kombinácie

navzájom kolmých ťahových a tlakových, rovnako veľkých síl, ktoré zvierajú s pôvodnými

stenami kocky uhol 45°. Napätie a deformácie sú rovnaké, aké by boli vo väčšom bloku

daného materiálu, na ktorý pôsobia sily ako na obr. 4.28c. Takýto problém sme však už riešili

v úvode tejto časti. Podľa vzťahov (4.27) a (4.28) absolútne hodnoty relatívneho predĺženia

uhlopriečky v a relatívneho skrátenia uhlopriečky u sú rovnaké

Eu

u

1

v

v (4.29)

pričom je normálové napätie pôsobiace na plochu S , ktorú dostaneme, keď presekneme

kocku rovinou pozdĺž uhlopriečky u. Toto napätie možno vyjadriť vzťahom

S

F (4.30)

kde plocha 2aS .

Vzťah (4.30) možno odvodiť nasledujúco: Silu F možno rozložiť na ťahovú silu tF

kolmú na uhlopriečku u a tlakovú silu pF kolmú na uhlopriečku v (pozri obr. 4.28b). Možno

teda písať 2

t2

p2

t2 2FFFF

lebo sily tF a pF sú rovnako veľké. Potom sila FF2

1t . Na plochu S pôsobia však dve

takéto sily, preto výsledná ťahová sila pôsobiaca kolmo na plochu S je FFF 22 tt .

Obr. 4.28. Deformácia materiálu tvaru kocky šmykovými silami.

F F

F

F

F´

F´

F´F

F´

F

F

F

F

F

tt

t

t

t

t

t

t

a

a

S

S´S´

u u u

v v v

t

t

tp

p

p

a) b) c)

143

Plocha S je však SaauaS 2.2 . Výsledné napätie v ťahu pôsobiace v tejto ploche

je potom

S

F

S

F

S

F

2

2tt

Podobne, na plochu, v ktorej leží uhlopriečka

v pôsobí tlakové napätie rovnako veľké

S

F tp (4.31)

čím je vzťah (4.30) odvodený.

Ako sme už uviedli, vyjadrujeme deformáciu pri

šmyku pomocou uhla , obr. 4.29. Posunutia sú malé,

preto možno písať

u

u

u

u

atg

2

2

2 (4.32)

lebo 2222 2 uuu .

Ďalej, šmykové napätie pôsobiace v ploche S je SF a rovná sa napätiu vo

vzťahu (4.31), resp. (4.29).

Keď teraz skombinujeme vzťahy (4.29) a (4.32) dostaneme

E

12

a keď za dosadíme G dostaneme hľadaný súvis medzi modulom pružnosti v šmyku

(torzii) G a modulom pružnosti v ťahu E

12

EG (4.33)

Častokrát sa tento vzťah uvádza aj pomocou Poissonovej konštanty 1m . Potom

12

m

mEG (4.33´)

Príklad 4.9. Drôt pôvodnej dĺžky 5 m je na jednom konci upevnený a na druhom

konci napínaný v smere dĺžky silou 2500 N, čím sa predĺži o 0,2 cm. Nájdite pôvodný priemer

drôtu ako aj zmenu priemeru pri pôsobení napínacej sily. Modul pružnosti drôtu v ťahu je

Pa 102 11. a modul pružnosti v torzii je Pa. 1087 10.,

Riešenie: Pri riešení vychádzame z Hookovho zákona

0

E

S

F

Obr. 4.29. Deformácia kocky materiálu

tangenciálnou silou.

d

Du D

u

g

a

a

u

144

Z ktorého vyjadríme plochu prierezu drôtu a následne pôvodný priemer drôtu

E

FdS 0

20

4

π

mm 1,99m 10991m 2.10 . Pa 2.10 , π

m 5 . N 25022 3

3-11

00

.,

πE

Fd

Pri určení zmeny priemeru vychádzame z definície Poissonovho čísla

0

0

0

0

.

.

d

dd

d

z ktorej

0

0 .

dd

Poissonovo číslo vystupujúce v tomto vzťahu určíme zo súvisu medzi modulmi

pružnosti v ťahu a šmyku

12

EG

teda

28201Pa 7,8.10 . 2

Pa 1021

2 10

11

,.

G

E

Zmena priemeru pri zaťažení je teda

mm 2,24.10m 1024,2m 5

m 1,99.10 . m 2.10 . 282,0 4-7-3-3

.d

4.8 Ohyb laty

V tejto časti odvodíme vzťah pre priehyb laty (nosníka) zaťaženého silou uprostred Pri

odvodení vzťahu pre priehyb takto zaťaženého nosníka budeme vychádzať z priehybu

Obr. 4.30. Votknutý nosník zaťažený na voľnom konci silou F. Nosník sa pôsobením sily ohne. Jeho

horné vlákna sa predĺžia, dolné skrátia. Neutrálne vlákno si pri ohybe zachová svoju pôvodnú dĺžku.

p x( )

x

x

l

p( )l

0

r

ydy

a

b

dS

a) b)

145

votknutého nosníka zaťaženého na voľnom konci silou F (obr. 4.30a). Na obr. 4.30b je kvôli

názornosti nosník nakreslený v proporcionálnom nepomere priečnych rozmerov k dĺžke.

V našich úvahách vlastnú tiaž nosníka zanedbáme. Nosník sa pôsobením sily ohne. Jeho

horné vlákna sa predĺžia, dolné skrátia. Medzi nimi je tzv. neutrálne vlákno, ktoré si pri ohybe

zachová svoju pôvodnú dĺžku. Toto vlákno prechádza ťažiskom prierezu tyče.

Vo vzdialenosti x od votknutého konca nosníka nech má nosník priehyb xpp a

neutrálne vlákno má polomer krivosti r. V malom výseku nosníka v tomto mieste, ktorý

zodpovedá stredovému uhlu d , má neutrálne vlákno dĺžku d r . Vlákno, ktoré je

o hodnotu y nad ním má dĺžku d yr (obr. 4.31) a vlákno, ktoré je o y pod ním má dĺžku

d yr . Ich relatívna deformácia (predĺženie horného, skrátenie dolného) je rovnaká

r

y

r

yrr

r

ryr

d

d d

d

d d

Normálové napätia týchto vlákien sú rovnaké a rovnajú sa výrazu

r

yEE (4.34)

Nad neutrálnym vláknom je to ťahové napätie, pod neutrálnym

tlakové.

Ďalej vyjadríme podmienku rovnováhy pre časť nosníka od

rezu vo vzdialenosti x od votknutia až po jeho voľný koniec, kde

pôsobí vonkajšia sila F, obr. 4.30b. V rovnováhe musí platiť, že

veľkosť momentu M vonkajšej sily F je rovný veľkosti momentu

M vnútorných (pružných) síl F

MM (4.35)

kde

xFM . a FyMM d d (4.36)

Sila F d je sila, ktorou na uvažovanú koncovú časť nosníka

pôsobí napnuté elementárne vlákno. Vlákno je však v rôznych

vzdialenostiach od neutrálneho vlákna rôzne napnuté. Ak

predpokladáme, že elementárne vlákno má plochu priečneho rezu

Sd (obr. 4.30b) a keď za dosadíme zo vzťahu (4.34), F d je

Syr

EF d d (4.37)

Moment vnútorných síl potom je

r

EISy

r

EM d 2 (4.38)

Integrál SyI d 2 nazývame plošný moment zotrvačnosti.

Ako sme už spomínali, v rovnováhe musí platiť vzťah (4.35), ktorý možno teraz napísať

ako

r

EIxF . (4.39)

Obr. 4.31. Vlákna nad ne-

utrálnym vláknom sa pre-

dlžujú, pod ním sa skracujú.

r d( + ) dr y

d

146

Prevrátenú hodnotu polomeru krivosti možno vyjadriť ako (pozri pozn. na konci tejto

časti)

2

2

d

d1

x

xp

r

Dosadením tohto vyjadrenia do rovnice (4.39) dostaneme rovnicu

x

EI

F

x

xp

2

2

d

d

ktorej riešením je priehyb nosníka v mieste x

62

32 xx

EI

Fxp

(4.40)

Najväčší priehyb je na konci nosníka ( x ), teda

EI

Fp

3

3 (4.41)

V prípade, že prierez je obdĺžnik so šírkou a a výškou b, plošný moment zotrvačnosti

prierezu vzhľadom na vodorovnú os idúcu ťažiskom rezu je

32

2

22

12

1 d d abyaySyI

b

b

Potom vzťah (4.41) nadobudne tvar

3

34

Eab

Fp

(4.42)

Keď je nosník podoprený na obidvoch koncoch a zaťažený uprostred silou F (obr. 4.32),

účinok sily F je taký istý, aký by vyvolali sily opačného smeru a veľkosti 2F na koncoch

nosníka, keby bol nosník upevnený

v prostriedku. Potom priehyb uprostred je

3

3

3

3

4

2

2 4

Eab

F

Eab

F

p

(4.43)

Poznámka: Dĺžku krivky (obr. 4.33a) možno vypočítať ako

xyx

x

y

x

xyxs d1d

d

d

d

dddd

22

2

2

2

222

Z obr. 4.33b však tiež

Obr. 4.32. Nosník podopretý na obidvoch koncoch

a zaťažený uprostred silou F.

- /2F- /2F

F

l /2 l /2

147

d d rs alebo sr d

d1

Ďalej však

x

y

d

dtg a

x

y

d

darctg

Potom

2

2

2

2

2

1

d

d1

d

d

d

d

y

y

x

y

x

y

x

a

232

2

2121d1

d

d1

y

y

xysr

d

V našom prípade

232

2

1

1

p

p

r

Nás však zaujímajú len malé priehyby, preto zanedbáme v menovateli 22dd xpp v porovnaní

s jednotkou ( tgdd xp – uhly sú maličké, preto teda 1dd2xp ). Potom

2

2

d

d1

x

p

r

Koniec poznámky.

4.9 Krútenie a jeho súvis so šmykom

V tejto časti si ukážeme ako súvisí skrúcanie so šmykom. Uvažujme materiál tvaru

kruhovej tyče s polomerom r a dĺžkou . Tyč je na spodnom konci pevne prichytená na

podložku, obr. 4.34a. Na hornom konci na ňu pôsobí dvojica síl, ktorá tyč skrúca. Nech

dvojica síl pootočí (skrúti) horný koniec tyče o uhol . Ako vidno z obr. 4.34a pri skrúcaní sa

Obr. 4.33. K výpočtu dĺžky krivky.

y y

ds dsdy dy

dxdx

x x+d x x+dx xx x0 0

r

d

S

a) b)

148

jednotlivé kruhové prierezy tyče navzájom po sebe „posúvajú“ – pootáčajú sa. Na osi tyče ku

pootočeniu samozrejme neprichádza. Najväčšie pootočenie je na okraji prierezov. Z tohto

dôvodu je i tangenciálne napätie v priereze tyče nerovnomerne rozložené. Na osi je nulové

a na okraji tyče maximálne.

V každej pootočenej polohe je moment vonkajších síl skrúcajúcich tyč v rovnováhe

s momentom pružných (vnútorných) síl. V ďalšom odvodíme vzťah vyjadrujúci tento moment

pružných síl: Uvažujme elementárne medzikružie s vnútorným polomerom x a šírkou dx,

takže jeho plocha je xxS d π2d . Na toto medzikružie pôsobí pri skrútení tangenciálna sila

xxGSGSF d π2d d d (4.44)

Uvažované elementárne medzikružie je prierezom dutého valca dĺžky . Ak tento dutý

valec rozvinieme pred zaťažením, dostaneme pravouhlý kváder, ktorý sa pri zaťažení

zdeformuje tak, ako je znázornené na obr. 4.34b. Pomerné posunutie zdeformovaného

kvádra možno vyjadriť takto

x

Po dosadení za do vzťahu (4.44) dostaneme pre elementárnu tangenciálnu silu

vyjadrenie

xxGF d π2d 2

Moment tejto sily je

xxGFxM dπ2d d 3

(4.45)

Celkový moment síl účinkujúcich v celom priereze dostaneme integráciou posledného vzťahu

2

πdπ2

4

0

3 rGxxGM

r

(4.46)

Obr. 4.34. Valec skrúcaný dvojicou síl.

xdx

dx

r

d

d

l

dS dS

dF

F

-F

g

2px

a) b)

149

Pretože pri skrúcaní tyče sa uplatňuje modul pružnosti v šmyku G, nazývame tento modul

aj modulom pružnosti v torzii.

Vzťah (4.46), ak poznáme veľkosť momentu vonkajších síl M, možno použiť na určenie

modulu pružnosti v torzii

4 π

2

r

MG

(4.47)

4.10 Zovšeobecnený Hookov zákon

Hookov zákon platný pre jednoosové namáhanie môže byť rozšírený na dvojosové

a trojosové namáhanie , s ktorým sa možno stretnúť v inžinierskej praxi. Pri nasledujúcich

úvahách sa budeme opierať o isté experimentálne fakty: Normálové napätie nezapríčiňuje

šmykovú deformáciu a šmykové napätie produkuje len šmykovú deformáciu. Keďže

uvažujeme len malé deformácie, možno použiť pri viacosovom namáhaní princíp

superpozície. Tieto predpoklady platia pre izotropné materiály namáhané v lineárnej elastickej

oblasti.

Uvažujme namáhanie izotropného materiálu tvaru kocky ťahovými normálovými

napätiami v smere osí x, y, z (obr. 4.35). Namáhanie v smere osi x spôsobí predĺženie kocky

v smere x a pre pomernú deformáciu platí vzťah

E

xxx

Priečne namáhania (v smere osí y a z) však spôsobia kontrakciu (skrátenie) v smere osi x

a pre túto kontrakciu platia vzťahy

E

yxy

E

zxz

Potom celková pomerná deformácia v smere osi x je

zyxxE

1

(4.48)

Obr. 4.35. Namáhanie izotropného mate-

riálu tvaru kocky ťahovými normálovými

napätiami v smere osí x, y, z.

Obr. 4.36. Namáhanie izotropného mate-

riálu tvaru kocky pôsobením čistých šmy-

kových napätí .

s

x

y

yz

sx

sy

s

s

z

z

sx

x

y

yz

z

tt

xyt

xzt

xyt

xzt

yzt

150

Analogický vzťah platí aj pre pomernú deformáciu y v smere osi y a pre pomernú

deformáciu z v smere osi z.

Okrem ťahových napätí uvažujme aj pôsobenie čistých šmykových napätí na kocku

(obr. 4.36). Keďže ide o čisté šmykové namáhania platia medzi a pomernými šmykovými

deformáciami vzťahy tvaru

G

Po zosumarizovaní našich úvah možno napísať nasledujúcu sústavu rovníc

zyxxE

1

zxyyE

1

(4.49)

yxzzE

1

G

xyxy

G

yzyz

G

xzxz

ktorú nazývame zovšeobecnený Hookov zákon. Poznamenávame, že kladné hodnoty pre

napätie (resp. deformáciu) odpovedajú namáhaniu ťahom (predĺženiu) a záporné pre

namáhanie tlakom (skráteniu) t. j., keď niektoré normálové napätie je tlakové, zmení sa

znamienko v odpovedajúcom člene rovníc (4.49).

Príklad 4.10. Na nízky liatinový valec pôsobí axiálne i radiálne tlakové napätie.

Axiálne má hodnotu 50 MPa a radiálne 20 MPa. Modul pružnosti v ťahu liatiny je 100 GPa

a Poissonovo číslo 0,25. Rozmery valca sú: výška 200 mm a priemer 120 mm. Vypočítajte

zmenu dĺžky, priemeru a objemu valca pri pôsobení uvedených napätí.

Riešenie: Uvedomme si, že valec je podrobený tlaku, preto

MPa 50x a MPa. 10 zy Dôležité sú aj znamienka

– pri namáhaní ťahom by boli kladné. Pomerné deformácie podľa

vzťahov (4.49) sú

zyxxE

1

466

9105,4 Pa .101010 . 250Pa 1050

Pa 10100

1 .,..

566

9105Pa 101050 . 25,0Pa 1010

Pa 10100

11 ....E

zxyy

566

9105Pa .101050 . 0,25Pa 1010

Pa 10100

11 ...E

yxzz

Obr. 4.37. K príkladu 4.10.

x

yzl

d

151

Zmena výšky je

mm 09,0 mm 200 . 105,4 40 ..x

Zmena priemeru ( zy )

mm 0,006 mm 120 . 105 50 .d.d

Zmena objemu

mm 200

4

mm 120 . π . 5.10 . 21054

4

π . 2

25-4

0

20

0 ..,.d

VV xzyx

3mm 792

Negatívne znamienka značia, že ide o pokles a kladné, že ide o nárast. Výška valca sa

teda zmenšila, rovnako aj objem, ale priemer narástol.

4.11 Potenciálna energia pružnej deformácie

Pri elastických deformáciách je práca vonkajších deformujúcich síl transformovaná na

potenciálnu energiu napätosti. Pri dokonale pružnom telese sa táto energia počas odľahčenia

(zrušenia zaťaženia) celá spotrebuje na návrat telesa do pôvodného tvaru.

Uvažujme deformáciu telesa tvaru tyče pôvodnej dĺžky 0 ťahom. Vonkajšia sila

veľkosti xF spôsobí predĺženie tyče o hodnotu x. Z Hookovho zákona platného pre jednoosé

namáhanie dostaneme pre silu xF takéto vyjadrenie

xSE

Fx0

kde S je plocha prierezu tyče. Elementárna práca tejto sily je rovná prírastku potenciálnej

energie napätosti

xxSE

xFEW d d dd0

p

(4.50)

Celkovú energiu naakumulovanú v telese pri predĺžení o dostaneme integráciou

vzťahu (4.50)

2

d 2

00 0p

SExx

SEE (4.51)

Hustota potenciálnej energie pw pružnej deformácie je energia akumulovaná v jednotke

objemu telesa, teda

2

2

00

ppp

2

1

2

1EE

S

E

V

Ew

(4.52)

152

čo možno vyjadriť aj vzťahom (keď použijeme E )

Ew

2

p2

1 (4.53)

resp. vzťahom

2

1p w (4.54)

Súhrn

4.1 Úvod

Tuhé telesá sa pôsobením vonkajších síl deformujú. Niektoré viac, iné menej. Deformácia

telies vyrobených z rôznych materiálov je pôsobením tej istej sily rôzna. Tento fakt súvisí

s vnútornou štruktúrou telies, s väzbovými silami pôsobiacimi medzi atómami, resp.

molekulami. Veľkú rolu tu hrajú tiež „nečistoty“ – atómy iných prvkov nachádzajúcich sa

v základnom materiáli, ďalej rôzne mikro a makro poruchy v materiáli. Ak na teleso pôsobí

sila v smere jeho telesnej osi, môže ho predĺžiť alebo skrátiť. Vtedy hovoríme o namáhaní

v ťahu, resp. v tlaku. Sily pôsobiace kolmo na os sa snažia odstrihnúť (resp. posunúť) jednu

časť tyče od druhej – hovoríme o namáhaní v šmyku. Krútiaci moment sily je moment sily,

ktorý sa snaží točiť tyč okolo jej osi. Moment sily pôsobiacej kolmo na tyč sa snaží ju ohnúť –

hovoríme o ohybovom momente.

4.2 Charakteristika tuhých látok

4.2.1 Rozdelenie tuhých látok. Všetky tuhé látky možno rozdeliť na kryštalické a amorfné v

závislosti od toho, či sú atómy alebo molekuly usporiadané pravidelne alebo nie. Väčšina

tuhých látok sú látky kryštalické, ktorých atómy, molekuly alebo ich súbory vytvárajú

pravidelné, periodicky sa opakujúce trojrozmerné útvary. Hovoríme, že sa vyznačujú

translačnou symetriou. Charakteristickou vlastnosťou kryštálu je teda existencia usporiadania

na veľkú vzdialenosť (ďalekodosahové usporiadanie).

Amorfné tuhé látky nemajú usporiadanie na veľkú vzdialenosť. Existuje však v nich istá

usporiadanosť v bezprostrednej blízkosti (na vzdialenosti niekoľkých susedných atómov)

vybraného atómu alebo molekuly. Hovoríme, že štruktúra amorfných tuhých látok sa

vyznačuje usporiadaním na malú vzdialenosť (krátkodosahové usporiadanie).

4.2.2 Väzbové sily, väzbová energia. Schopnosť tuhých látok udržiavať tvar a objem si

vysvetľujeme pôsobením silových väzieb medzi atómami resp. molekulami, ktoré danú látku

vytvárajú. Medzi atómami musia existovať príťažlivé, ale aj odpudivé sily. Tuhé látky

môžeme v závislosti od charakteru väzbových síl rozdeliť na štyri typy: iónové kryštály,

kovalentné kryštály, kovy a molekulárne kryštály. Vymenovanie je urobené v smere poklesu

väzbovej energie. Väzbová energia je energia, ktorú musíme dodať tuhej látke aby sme ju

zmenili na súbor vzájomne neinteragujúcich atómov – teda zhruba energia potrebná na to, aby

sme tuhú látku dostali do plynného skupenstva.

4.2.3 Hustota kryštálu a medziatómové vzdialenosti. Makroskopická hustota kryštálu závisí

od hmotnosti atómov, od ich priemeru a okrem toho, od kryštálovej štruktúry, ktorá určuje

ako tesne sú usporiadané atómy.

4.2.4 Poruchy kryštálovej štruktúry. V reálnych kryštáloch vždy existuje odklon od ideálneho

pravidla: jeden uzol – jeden atóm, resp. jedna molekula. Z názvu tejto časti „poruchy“ by sa

mohlo zdať, že je to vždy len negatívny jav. Áno, niekedy sú poruchy (iným slovom defekty)

nežiaduce, ale v mnohých prípadoch sa vyvolávajú umelo s cieľom zlepšiť vlastnosti

153

materiálov alebo dokonca dodať materiálom nové požadované vlastnosti. Bez porúch

v mriežke by neboli napr. možné aj také javy ako je difúzia v tuhých látkach a plastická

deformácia materiálov. Od prítomnosti porúch závisia i iné vlastnosti materiálov, napr.

tepelná i elektrická vodivosť.

V závislosti od veľkosti porušenej oblasti delíme defekty v kryštáli na bodové, čiarové

a plošné. Medzi bodové defekty kryštálovej mriežky patrí vakancia (chýbajúci atóm v uzle),

atóm nachádzajúci sa v intersticiálnej polohe (medzi uzlami) a substitučný atóm (atóm iného

prvku nahradzujúci v uzle mriežky pôvodný atóm), pozri obr. 4.12. Atóm nachádzajúci sa

v medziuzlí môže byť atóm pôvodnej alebo aj inej látky. Čiarové poruchy nazývame aj

dislokácie. Základnými druhmi dislokácií sú hranová dislokácia a špirálová dislokácia. Na

voľných povrchoch látok v dôsledku porušenia tejto symetrie prichádza k narušeniu spôsobu

usporiadania povrchových atómov – k zmene vzdialenosti medzi nimi a ich posuvu oproti

polohám, ktoré zaujímajú v atómových rovinách v objeme kryštálu. Takto vzniká plošný

defekt. Plošné defekty vznikajú tiež na hraniciach zŕn – malých kryštálikov, z ktorých

pozostáva väčšina reálnych látok. K objemovým defektom patria póry rôzneho druhu a

veľkosti, ďalej tzv. precipitáty – iné, znečisťujúce chemické látky zaujímajúce časť objemu

kryštálu a podobne.

4.3 Mechanické vlastnosti inžinierskych materiálov

Elastické materiály sú také, ktoré po zrušení zaťaženia (pôsobiacich síl a ich momentov)

nadobudnú rozmery aké mali pred začiatkom pôsobenia zaťaženia. Elasticita teda zabraňuje

permanentnej deformácii. Zvyčajne je elastická oblasť vymedzená lineárnou závislosťou

medzi pôsobiacou silou a deformáciou (napr. predĺžením) telesa.

Materiál je plastický, ak po zrušení zaťaženia nenadobudne pôvodné rozmery a tvar.

Plastickými materiálmi a deformáciami sa v nasledujúcich častiach nebudeme zaoberať.

Húževnaté materiály sú také, ktoré sa porušia až pri pomerne veľkých zaťaženiach. Medzi

takéto materiály patrí konštrukčná oceľ a mnohé zliatiny iných kovov.

Krehké materiály, napr. liatina a betón, vykazujú malú deformáciu predtým než sa porušia

a častokrát prichádza k náhlej poruche (lomu) bez predchádzajúceho varovania.

Kompozitné materiály pozostávajú z dvoch alebo viacerých rozličných zložiek. Kompozity

zvyčajne obsahujú vysoko pevné materiály (oceľ, sklo, grafit, polyméry), zvyčajne v tvare

vlákien, ktoré sú zabudované do materiálu (napr. do betónu, živice, nylonu), ktorý nazývame

matrica. Kompozitné materiály majú väčší pomer medzi pevnosťou a hmotnosťou ako

klasické homogénne materiály. Ich výhodné vlastnosti ich predurčujú pre stále širšie použitie

v praxi.

4.4 Deformácia v ťahu a tlaku. Hookov zákon

Ak sa teleso deformuje tak, že sa jeden jeho rozmer predĺži (skráti) a priečne rozmery sa

skrátia (predĺžia), hovoríme o deformácii v ťahu (tlaku). Najjednoduchším príkladom

deformácie v ťahu je predĺženie tyče namáhanej na ťah (obr. 4.16). Tyč s pôvodnou dĺžkou 0

sa pôsobením sily veľkosti F predĺži o hodnotu 0 , kde je dĺžka tyče pri pôsobení

sily F. Ako miera deformácie v ťahu sa používa veličina nezávislá od pôvodnej dĺžky, a to

relatívne predĺženie definované vzťahom

0

(4.3)

Účinok sily F sa rozkladá po celej ploche prierezu S, takže za mieru namáhania materiálu

považujeme mechanické normálové napätie definované vzťahom

154

S

F (4.4)

Jeho jednotkou je Pa1mN 1 2 (pascal).

Mechanické vlastnosti materiálu pri namáhaní v ťahu a tlaku sú charakterizované závislosťou

f , zvyčajne vo forme grafu, ktorý nazývame pracovný diagram. Každý druh

materiálu má svoj pracovný diagram. Medzi pomerným predĺžením a normálovým napätím

je spočiatku lineárna závislosť

E (4.5)

ktorá je vyjadrením Hookovho zákona. Materiálová konštanta E sa nazýva modul pružnosti

v ťahu (tlaku) alebo aj Youngov modul pružnosti.

Pri namáhaní tyče ťahom sa okrem zmeny dĺžky súčasne menia aj priečne rozmery. Keď

berieme do úvahy namáhanie tyče s kruhovým prierezom s pôvodným priemerom 0d ,

relatívnu zmenu priečneho rozmeru možno vyjadriť takto

0

0

0 d

dd

d

d

(4.6)

kde d je priemer tyče pri danom zaťažení. Pri kladnej pozdĺžnej deformácii, čiže pri namáhaní

ťahom 0dd a teda 0 . Pri namáhaní tlakom 0dd a 0 .

Podiel pomerného priečneho skrátenia a pomerného predĺženia

(4.7)

sa nazýva Poissonovo číslo. Jeho prevrátená hodnota 1m sa nazýva Poissonova

konštanta. Obidve veličiny sú bezrozmerné. Znamienko mínus vo vzťahu (4.7) značí, že

pozdĺžna deformácia má opačný charakter ako priečna deformácia. Keď sa tyč predĺži,

priečny rozmer sa skráti a naopak.

Dĺžku tyče pri zaťažení ťahovým napätím určíme úpravou vzťahu

0

0

E

teda

E

10 (4.8)

Priečny rozmer d pri zaťažení tyče ťahovým napätím určíme úpravou vzťahu

0

0

d

dd

keď do neho dosadíme E

Edd

10 (4.9)

155

4.5 Homogénna deformácia stlačením

Relatívnu zmenu objemu hranola pri zaťažení všestranným tlakom možno vyjadriť vzťahom

zyxV

V

0

(4.18´)

Vzťah (4.18´) možno ďalej upraviť takto

213

0

EV

V (4.19)

Pri objemových deformáciách je zvykom používať vzťah tvaru

0V

VKp

(4.20)

kde p je tlak a K – modul objemovej pružnosti. Jeho prevrátená hodnota

p

V

VK

0

11 (4.21)

sa nazýva objemová stlačiteľnosť.

Porovnaním vzťahov (4.19) a (4.20) dostaneme, že

213

EK (4.22)

Z tohto vzťahu vidno prečo musí byť 5,0 . Keby tak nebolo, bolo by K záporné a látka by

sa pri zvyšovaní tlaku rozpínala a to by umožňovalo získať z pôvodného hranola energiu, čo

nie je možné.

4.6 Deformácia v šmyku. Hookov zákon pre šmyk

O namáhaní šmykom hovoríme vtedy, keď sa zaťažujúca sila snaží posunúť jednu časť telesa

vzhľadom na jeho susednú časť. Šmykové napätie pôsobí v rovine paralelnej so smerom

zaťažujúcej sily. Kvôli odvodeniu vzťahu medzi šmykovým napätím a deformáciou uvažujme

zaťaženie materiálu tvaru kvádra. Spodná podstava je pevne uchytená a na hornú podstavu,

paralelnú so spodnou, pôsobí tangenciálna sila F. Pôsobením sily F vznikne v materiáli

šmykové napätie SF , v dôsledku čoho sa horná podstava posunie oproti spodnej

o vzdialenosť . Bočné steny hranola, ktoré boli pôvodne pravouhlé sa pôsobením šmykového

napätia skosia o uhol . Uhol nazývame aj skos alebo uhol skosu. Keďže vo väčšine

reálnych prípadov je uhol veľmi malý, platí, že

a

tg (4.24)

kde a je vzdialenosť rovín, ktoré sa vzájomne posunuli o vzdialenosť . Uhol sa nazýva tiež

pomerné posunutie (alebo aj pomerná deformácia pri šmyku).

Medzi tangenciálnym napätím a pomernou deformáciou platí vzťah

G (4.25)

ktorý nazývame Hookov zákon pre šmyk. Materiálovú konštantu G nazývame modul pružnosti

v šmyku.

156

4.7 Súvis medzi modulom pružnosti v ťahu E a modulom pružnosti v šmyku G

Súvis medzi modulom pružnosti v šmyku (torzii) G a modulom pružnosti v ťahu E je

vyjadrený vzťahom

12

EG (4.33)

kde je Poissonovo číslo. Častokrát sa tento vzťah uvádza aj pomocou Poissonovej konštanty

1m . Potom

12

m

mEG (4.33´)

4.8 Ohyb laty

Skúmame priehyb laty (nosníka) zaťaženej silou uprostred Nosník sa pôsobením sily ohne.

Jeho horné vlákna sa predĺžia, dolné skrátia. Medzi nimi je tzv. neutrálne vlákno, ktoré si pri

ohybe zachová svoju pôvodnú dĺžku. Toto vlákno prechádza ťažiskom prierezu tyče.

Pre priehyb votknutého nosníka v mieste x od votknutia je

62

32 xx

EI

Fxp

(4.40)

a najväčší priehyb je na konci nosníka ( x ), teda

EI

Fp

3

3 (4.41)

Priehyb nosníka zaťaženého uprostred silou F je možno vypočítať podľa vzťahu

3

3

4Eab

Fp

(4.43)

4.9 Krútenie a jeho súvis so šmykom

Uvažujme materiál tvaru kruhovej tyče s polomerom r a dĺžkou . Tyč je na spodnom konci

pevne prichytená na podložku. Na hornom konci na ňu pôsobí dvojica síl, ktorá tyč skrúca.

Nech dvojica síl pootočí (skrúti) horný koniec tyče o uhol . Pri skrúcaní sa jednotlivé

kruhové prierezy tyče navzájom po sebe „posúvajú“ – pootáčajú sa. Na osi tyče ku pootočeniu

samozrejme neprichádza. Najväčšie pootočenie je na okraji prierezov. Z tohto dôvodu je

i tangenciálne napätie v priereze tyče nerovnomerne rozložené. Na osi je nulové a na okraji

tyče maximálne. Celkový moment síl účinkujúcich v celom priereze tyče možno vyjadriť

vzťahom

2

π 4rGM

(4.46)

Pretože pri skrúcaní tyče sa uplatňuje modul pružnosti v šmyku G, nazývame tento modul aj

modulom pružnosti v torzii.

Vzťah (4.46), ak poznáme veľkosť momentu vonkajších síl M, možno použiť na určenie

modulu pružnosti v torzii

4 π

2

r

MG

(4.47)

157

4.10 Zovšeobecnený Hookov zákon

Sústavu rovníc

zyxxE

1

zxyyE

1

(4.49)

yxzzE

1

G

xyxy

G

yzyz

G

xzxz

nazývame zovšeobecnený Hookov zákon. zyx , , sú pomerné predĺženia (skrátenia)

v smere osí x, y a z; zyx , , sú normálové napätia v smere príslušných osí; je

Poissonovo číslo Poznamenávame, že kladné hodnoty pre napätie (resp. deformáciu)

odpovedajú namáhaniu ťahom (predĺženiu) a záporné pre namáhanie tlakom (skráteniu) t. j.,

keď niektoré normálové napätie je tlakové, zmení sa znamienko v odpovedajúcom člene

rovníc (4.49). xzyzxy , , sú tangenciálne napätia a xzyzxy , , sú k nim príslušné pomerné

deformácie.

4.11 Potenciálna energia pružnej deformácie

Pri elastických deformáciách je práca vonkajších deformujúcich síl transformovaná na

potenciálnu energiu napätosti. Pri dokonale pružnom telese sa táto energia počas odľahčenia

(zrušenia zaťaženia) celá spotrebuje na návrat telesa do pôvodného tvaru. Celkovú energiu

naakumulovanú v telese pri predĺžení o vyjadruje vzťah

2

2

0p

SEE (4.51)

Hustota potenciálnej energie pw pružnej deformácie je energia akumulovaná v jednotke

objemu telesa, teda

2

2

00

ppp

2

1

2

1EE

S

E

V

Ew

(4.52)

čo možno vyjadriť aj vzťahom (keď použijeme E )

Ew

2

p2

1 (4.53)

resp. vzťahom

2

1p w (4.54)

5 MECHANIKA IDEÁLNYCH TEKUTÍN

5.1 Úvod

Látky pri normálnych podmienkach existujú v jednom z troch skupenstiev: tuhom,

kvapalnom alebo plynnom. Atómy alebo molekuly, ktoré vytvárajú tuhú látku sú usporiadané

veľmi tesne a nemôžu sa voľne pohybovať cez materiál. Vykonávajú malé kmity okolo

rovnovážnych polôh. Tuhé látky si zachovávajú objem a tvar, ktorý je možné zmeniť len

pôsobením pomerne veľkých síl.

Stavebné častice v kvapalných látkach sú usporiadané tiež tesne, ale môžu sa vzájomne

pomerne voľne pohybovať. Atómy, resp. molekuly, nie sú viazané na jedno miesto. Kvapaliny

sú málo stlačiteľné a nemajú tvarovú stálosť – nadobudnú vždy tvar nádoby,

v ktorej sú umiestnené. Ich voľný povrch je vždy kolmý na smer intenzity silového poľa,

v ktorom sa nachádzajú. Malá stlačiteľnosť kvapalín je dôsledkom toho, že molekuly v jej

povrchovej vrstve pôsobia na celú kvapalinu tlakom, ktorý nazývame molekulový alebo aj

kohézny tlak. Tento tlak je spôsobený tým, že molekuly v povrchovej vrstve majú iné okolie

ako molekuly nachádzajúce sa vnútri kvapaliny. Molekuly vnútri kvapaliny sú rovnomerne

obklopené inými molekulami kvapaliny, ale molekuly na

povrchu nie (obr. 5.1). V guli s polomerom r (polomer

molekulového pôsobenia) opísanej okolo molekuly A,

nachádza sa veľký počet molekúl. Príťažlivé sily, ktorými

tieto molekuly pôsobia na molekulu A, sa vplyvom

izotropného rozdelenia navzájom rušia a výsledná sila

pôsobiaca na molekulu A je rovná nule. Iná situácia je v

prípade molekuly B, ktorá sa nachádza na povrchu

kvapaliny. Ak je molekula od povrchu v menšej

vzdialenosti ako je polomer molekulového pôsobenia,

výsledná sila pôsobiaca na molekulu nie je nulová. Rušia

sa sily rovnobežné s povrchom, ale v smere kolmom na

povrch kvapaliny pôsobí výsledná sila smerujúca do jej

vnútra, pretože nad povrchom kvapaliny je menej molekúl

v guli molekulového pôsobenia ako pod povrchom. Na každú molekulu kvapaliny, ktorá sa

nachádza vo vrstve kvapaliny hrúbky r pod jej povrchom pôsobí teda výsledná sila s rovnakou

orientáciou, smerujúca dovnútra. Silové pôsobenie je tým väčšie, čím je molekula bližšie k

povrchu kvapaliny. Ak na kvapalinu nepôsobia nijaké iné sily, dosiahne sa rovnovážny stav

vtedy, keď povrch kvapaliny nadobudne taký tvar, pri ktorom v každom bode povrchu sú

kohézne sily kolmé na povrch kvapaliny. Ak je množstvo kvapaliny malé, kvapalina zaujme

tvar gule – vznikne kvapka. Pri väčších množstvách kvapaliny prevláda gravitačné pôsobenie

a výsledný tvar povrchu kvapaliny nie je guľový. Dokonca povrch vo väčšej nádobe sa stáva

rovinným s výnimkou oblasti dotyku povrchu kvapaliny so stenami nádoby.

Plyn je tvorený atómami alebo molekulami, ktoré sa nachádzajú ďaleko od seba a ktoré sa

voľne pohybujú cez celý objem látky. Pretože molekuly sú ďaleko od seba, interakcia medzi

nimi je veľmi slabá. Plynné látky nemajú ani tvarovú, ani objemovú stálosť. Vyplnia vždy

celý objem nádoby, v ktorej sú umiestnené a sú ľahko stlačiteľné.

Obr. 5.1. Sily pôsobiace na mole-

kulu nachádzajúcu sa vnútri kvapa-

liny (A) a na molekulu nachádza-

júcu sa v povrchovej vrstve (B).

A

B

r

159

Kvapaliny a plyny sa vyznačujú vlastnosťou, ktorú nazývame tekutosť. Preto tieto látky

nazývame spoločným názvom – tekutiny. Sú to látky, ktoré hrajú v našom každodennom

živote veľmi dôležitú úlohu. Dýchame vzduch, pijeme vodu, v našich cievach koluje

životodarná kvapalina – krv. Máme tekutú atmosféru, tekutý oceán a v strede Zeme máme

tekuté jadro. Podobne, ako v prípade tuhej látky, aj pri tekutinách si zavedieme predstavu

ideálnej tekutiny. Takáto ideálna tekutina je dokonale tekutá, na zmenu svojho tvaru

nepotrebuje žiadnu energiu. V tekutine nepôsobí napätie v šmyku. Ak by sme predsa na ňu

pôsobili šmykovým napätím, ktoré je spôsobené silami meniacimi jej tvar, dá sa do pohybu,

ktorý trvá tak dlho, kým šmykové napätie nevymizne.

V tejto kapitole sa budeme zaoberať prevažne kvapalinami, pri ktorých je ďalšou

charakteristikou ideálnosti nestlačiteľnosť. Zvykom je deliť mechaniku kvapalín na

hydrostatiku – zaoberá sa kvapalinami v pokoji a hydrodynamiku, ktorá skúma kvapaliny

z hľadiska ich pohybu.

5.2 Hydrostatika

Ako vyplýva z názvu tejto časti, budeme v nej skúmať problémy týkajúce sa kvapalín

v pokoji. Patria sem však aj také pohyby kvapaliny, pri ktorých ich hmotný stred zostáva

v pokoji. Základným problémom hydrostatiky je formulovanie zákonov rovnováhy kvapaliny

v rôznych potenciálových poliach.

O namáhaní v ťahu v kvapalinách nemá zmysel hovoriť – kvapaliny nekladú prakticky

žiadny odpor proti vzájomnému oddeleniu jednotlivých častí. V kvapalinách má zmysel

hovoriť len o tlaku. Tlak p je definovaný ako podiel sily pôsobiacej kolmo na danú plochu

a veľkosti S tejto plochy

S

Fp (5.1)

Jednotkou tlaku je )( Pa,1m 1N 1 2 pascalp .

Pomocou nasledujúcich úvah odvodíme základnú rovnicu hydrostatiky. Uvažujme určité

množstve ideálnej kvapaliny s objemom V (obr. 5.2), ktoré je časťou kvapaliny nachádzajúcej

sa v silovom poli. My budeme uvažovať kvapalinu

nachádzajúcu sa v gravitačnom poli, charakterizovanom

intenzitou K a potenciálom g . Na každý element povrchu

Sd tejto kvapaliny pôsobí zo strany okolitej kvapaliny tlaková

sila

SF dd pp

kde Sd je vektor uvažovaného plošného elementu. Na celú

uvažovanú plochu, ohraničujúcu vybrané množstvo kvapaliny,

pôsobí teda tlaková sila

S

p p SF d (5.2)

Ďalej, keďže každý element sa nachádza v gravitačnom

poli, pôsobí naň objemová sila

Obr. 5.2. Na časť kvapaliny

uzavretú v ploche S pôsobí

tlaková sila pF (spôsobená tla-

kom okolitej kvapaliny) a obje-

mová sila VF (napr. tiaž).

dS

dmdF

dFp

V

V

160

VVm gV d gradd d d KKF

kde ggradK , pozri vzťah (2.76). Celková objemová sila pôsobiaca na skúmané

množstvo kvapaliny je teda

V

V

gV d grad F (5.3)

Podľa vety o pohybe hmotného stredu sa výsledná sila pôsobiaca na skúmané množstvo

kvapaliny s hmotnosťou

V

Vm d (5.4)

rovná súčinu tejto hmotnosti a zrýchlenia a hmotného stredu tohto množstva

aFF mVp (5.5)

a po dosadení vzťahov (5.2), (5.3) a (5.4) tiež

VV

g VVp d d gradd aS

S

Podľa Gaussovej vety,

V

Vff d gradd

S

S , ktorá hovorí, že integrál skalárnej funkcie cez

uzavretú plochu sa rovná integrálu gradientu tejto funkcie cez objem nachádzajúci sa vnútri

plochy, možno prvý člen rovnice upraviť takto

Vpp

V

d gradd

S

S

Potom platí

VV

g

V

VVVp d d gradd grad a

a taktiež

a gp grad grad (5.6)

Avšak v hydrostatike zrýchlenie 0a . Potom

0grad grad gp (5.7)

Táto rovnica nemá vo všeobecnosti riešenie. Keď sa hustota v kvapaline mení, sily sa nijako

nemôžu vyrovnať a kvapalina sa nemôže nachádzať v stabilnom stave. V kvapaline začnú

tiecť konvekčné prúdy. Vidieť to aj z rovnice (5.7), v ktorej prvý člen je úplným gradientom,

kým druhý nie je, keď hustota je premenlivá. Iba keď je konštantná, je aj druhý člen úplným

gradientom. Vtedy rovnicu (5.7) možno prepísať takto

0 gpgrad

161

Z nej vyplýva, že

.p g konšt (5.8)

Túto rovnicu nazývame základná rovnica hydrostatiky. Slovne ju možno interpertovať takto:

súčet tlaku (statického) a potenciálnej energie jednotkového objemu kvapaliny je konštantný.

V gravitačnom poli Zeme, ak zvolíme 0g na hladine kvapaliny, je v hĺbke h

potenciál ghg a rovnica (5.8) nadobudne tvar

ghpp 0 (5.9)

kde p je tlak v hĺbke h, 0p – tlak pôsobiaci na povrch kvapaliny, – hustota kvapaliny

a g – zrýchlenie voľného pádu.

Tlak p v rovnici (5.8) sa nazýva statický tlak a tlak ghph sa nazýva hydrostatický

tlak.

Tlak v danej hĺbke závisí len od hĺbky a nie od horizontálnych rozmerov nádoby, resp.

nádrže. Teda, tlak vody na priehradný múr závisí len od hĺbky vody za ním a nie od množstva

vody, ktoré zadržiava.

Rovnica (5.8) platí nezávisle od tvaru nádoby. Na obr. 5.3 sú kvôli demonštrácii

znázornené dva prípady. V prípade a) ide o tlak v hĺbke h pod hladinou vody v jazere

a v prípade b) o tlak, tiež v hĺbke h pod hladinou vody, vo vypúšťacom systéme z nádrže.

V obidvoch prípadoch je tlak rovnaký.

Príklad 5.1. U-trubica obsahuje v pravom ramene vodu

hustoty v a v ľavom olej neznámej hustoty o . Hladiny

v obidvoch ramenách sú na rôznej úrovni, obr. 5.4. Meraním

sme zistili, že mm 135 a mm. 512,d Aká je hustota

oleja?

Riešenie: Tlak na úrovni rozhrania medzi vodou a olejom

musí byť v obidvoch ramenách trubice rovnaký a možno ho

vyjadriť vzťahmi

gpp v0r

dgpp 00r

Obr. 5.3. Statický tlak v kvapaline je v rovnakej hĺbke pod hladinou kvapaliny rovnaký. Nezáleží

od toho, či je to a) pod hladinou jazera alebo b) vo vypúšťacom systéme z nádrže.

Obr. 5.4. Na úrovni rozhrania

oleja a vody musí byť v obi-

dvoch ramenách U-trubice rov-

naký tlak.

AA

AA

h h

p

a) b)

p p

p

0 0

d

VODA

OLEJ

r

v

o

162

z ktorých neznáma hustota oleja je

33vo m . kg 915m . kg 1000

m 0,125m 1,35

m 351

.,

d

Pascalov zákon. Zmena tlaku aplikovaná na kvapalinu v nádobe sa prenáša nezmenene

do každého bodu kvapaliny a na steny nádoby.

Vysvetlíme si Pascalov zákon na nasledujúcom príklade: Majme kvapalinu uzavretú vo

valci s piestom, obr. 5.5. Nech piest vyvíja na povrch kvapaliny tlak .01p Potom tlak v hĺbke

h je

ghpp 011

Zvýšme teraz tlak piesta na 02p . Potom tlak v tej istej hĺbke h je

ghpp 022

Rozdiel v hĺbke h je rovný rozdielu externých tlakov (tlakov vyvinutých piestom)

ppppp Δ010212

Tento rozdiel, ako vidno, nezávisí od hĺbky h, preto platí pre každý bod kvapaliny.

Na základe Pascalovho zákona pracujú hydraulické stroje – lisy, zdviháky, brzdy. Majme

kvapalinu, v hydraulických strojoch najčastejšie olej, ktorá sa nachádza v rovnováhe

v uzavretej „nádobe“ s dvoma valcami a piestami, ktoré majú nerovnaké plochy prierezov,

obr. 5.6. Keď na malý piest s plochou 1S začneme pôsobiť silou veľkosti 1F zmena tlaku

bude pΔ . Táto sa podľa Pascalovho zákona prenesie aj do miesta druhého piesta, teda platí

2

2

1

1ΔS

F

S

Fp (5.10)

Obr. 5.5. Keď zmeníme

tlak na povrchu kvapaliny,

prenesie sa táto zmena do

každého bodu v kvapaline.

Obr. 5.6. Na základe Pascalovho zákona pracujú

hydraulické stroje – lisy, zdviháky, brzdy.

Pôsobením malej sily na malý piest vyvinieme

veľkým piestom veľkú silu.

p

p

01h S S1

1

2

2F

Fm

163

2S je plocha druhého piesta a 2F je veľkosť sily, ktorou musíme držať (alebo, ktorú vyvíja)

druhý piest – je schopný udržať bremeno s tiažou 2FmgFg .

Poznámka k Pascalovmu zákonu. Pascalov zákon sa často formuluje takto: Tlak

v kvapaline sa šíri všetkými smermi rovnako a jeho matematické vyjadrenie je

konšt0 pp . (5.11)

Skutočne, keď je kvapalina pod takým externým tlakom 0p , že možno hydrostatický tlak

ghph zanedbať, dostaneme zo základnej rovnice hydrostatiky vzťah (5.10).

Príklad 5.2. Plocha piesta spojeného s nožným pedálom hydraulickej brzdy je .2cm 5

Brzdový valec má plochu .2cm 75 Akou silou musíme tlačiť nohou, aby brzda vyvinula silu

N? 1500 O akú vzdialenosť sa posunie piest v brzdovom valci, ak piest spojený s pedálom sa

posunie o cm? 8

Riešenie: Na riešenie tejto úlohy použijeme Pascalov zákon. Tlak, ktorý vyvinie piest

brzdy je

1

11

S

Fp

Taký istý tlak pôsobí na piest v brzdovom valci. Platí teda vzťah

2

2

1

11

S

F

S

Fp

z ktorého dostaneme silu, ktorou musíme tlačiť nohou na brzdový pedál

N 100N 1500cm 75

cm 52

2

22

11 .F

S

SF

Posunutie 2s piesta v brzdovom valci vypočítame z rovnosti prác, ktoré vykonajú sily

21 a FF

2211 sFsF

Potom hľadané posunutie piesta v brzdovom valci je

mm 5,33m 5,33.10m 108N 1500

N 100 321

2

12 ..s

F

Fs

Archimedov zákon. Teleso ponorené do tekutiny (kvapaliny, plynu) je nadľahčované

silou, ktorá sa rovná tiaži ním vytlačenej tekutiny. Jeho matematická formulácia je

nasledujúca

gVF vz (5.12)

164

kde je hustota tekutiny, g – zrýchlenie voľného pádu a V – objem tekutiny vytlačenej

telesom (rovný objemu telesa ponoreného v tekutine). Silu vzF nazývame vztlakovou silou.

Ukážeme si, že tento zákon je tiež len dôsledkom

základnej rovnice hydrostatiky. Uvažujme teleso tvaru

hranola (kúska dosky) s plochou podstavy S a hrúbkou ,hΔ

ponorené v kvapaline tak, ako je znázornené na obr. 5.7.

Tlak v mieste hornej strany dosky označme ako 1p a tlak

v mieste dolnej strany ako 2p . Silu pôsobiacu na hornú

stranu dosky možno vyjadriť takto

SghpSpF 011

a silu pôsobiacu na dolnú stranu ako

ShhgpSpF Δ022

Výsledná sila pôsobiaca na dosku v zvislom smere nahor, keďže 12 FF , je

gVhSgSghpShhgpFFF ΔΔ 0012vz

kde hSV Δ je objem telesa (dosky). Výsledná sila pôsobiaca na dosku vo vodorovnom

smere je rovná nule, lebo každá elementárna plôška na jednej bočnej strane má na opačnej

strane proťajšok, na ktorý pôsobí rovnako veľká sila ako na túto plôšku ale opačne

orientovaná. Týmto sme dokázali tvrdenie Archimedovho zákona, vzťah (5.11).

Príklad 5.3. Hovorí sa, že len malá časť ľadovca plávajúceho v mori vyčnieva nad

hladinu. Koľko percent je to z celého ľadovca? Hustota ľadu je 3m . kg 917 a hustota

morskej vody 3m . kg 1024 .

Riešenie: Označíme objem ľadovca ako V

a objem jeho ponorenej časti ako vV , obr. 5.8. Pre

plávajúci ľadovec platí rovnosť tiaže ľadovca

a vztlakovej sily pôsobiacej naň

gVgV vv

Z tejto rovnice vyjadríme objem ponorenej časti

VVv

v

Objem časti ľadovca, ktorý vyčnieva nad vodu je daný rozdielom objemu celého ľadovca

a časti ponorenej pod vodu, vVV . Vyčnievajúca časť ľadovca v percentách je daná

podielom objemu vyčnievajúcej časti a objemu celého ľadovca vynásobenému 100 %

% 10,4% 100m . kg 1024

m . kg 9171% 1001% 1001% 100

3

3

v

vv

...V

V.

V

VV

Obr. 5.7. Na teleso ponorené do

kvapaliny pôsobí vztlaková sila.

Obr. 5.8. Iba malá časť ľadovca vyčnieva

nad hladinu.

p

p

p

1 1

22

0

h

h

SF

F

l

v

vV

F

F

vz

g

165

Plávanie. Nahraďme vybraný objem kvapaliny (budeme uvažovať vodu) telesom, ktoré

má takú istú hustotu ako voda, t . V tomto prípade je vztlaková sila rovná tiaži telesa –

hovoríme, že teleso sa vznáša vo vode, obr. 5.8a. Je v rovnovážnom stave s vodou v každom

mieste.

Ak tento objem nahradíme telesom s väčšou hustotou ako je hustota vody, t , napr.

kameňom, tiaž telesa je väčšia ako vztlaková sila a teleso padá ku dnu, obr. 5.8b.

Keď nahradíme vybraný objem vody telesom s menšou hustotou ako má voda, t ,

vztlaková sila je väčšia ako tiaž telesa a ponorené teleso stúpa vo vode smerom nahor, vynára

sa z vody, čím vztlaková sila klesá, až do okamihu, keď jej hodnota je rovná tiaži telesa –

teleso pláva na hladine, obr. 5.8c, d.

Rovnováha plávajúcich objektov. Iste ste už v televízii alebo nejakom filme videli, že

plávajúca loď alebo ľadovec sa môže prevrátiť. Čo musí byť splnené aby sa to nestalo? Na

plávajúci objekt na povrchu vody (kvapaliny) účinkujú v tej istej priamke (v osi plávania) dve

sily, ktoré majú rovnaké veľkosti ale opačné smery: tiaž objektu, ktorej pôsobiskom je hmotný

stred objektu a vztlaková sila, ktorej pôsobiskom je hmotný stred vody nahradenej objektom.

O stabilite plávania rozhoduje poloha bodu C, ktorý sa nazýva metacentrom. Je to priesečník

priamky, v ktorej pôsobí vztlaková sila a osi plávania po jej vychýlení zo zvislej polohy, teda

pri naklonení, napr. lode (obr. 5.9). Podmienkou stability plávania je to, aby sa metacentrum

nachádzalo nad hmotným stredom plávajúcej lode. Vtedy totiž momenty vztlakovej sily

Obr. 5.8. a) Teleso sa vznáša vo vode, keď t . b) Teleso padá ku dnu, keď t . c) Pono-

rené teleso stúpa ku hladine, keď t . d) Teleso pláva na vode, keď t a teleso nie je celé

ponorené. Vtedy mgF vz .

Obr. 5.9. Keď sa metacentrum (bod

C) nachádza nad hmotným stredom

plávajúcej lode, je loď stabilná.

Obr. 5.10. Hydrostatický

tlak stĺpca ortuti sa rovná

atmosférickému tlaku.

Fvz

mg

C

T Tvz

a) b) c) d)

F F F

F

vz vz vz

vz

mgmg

mg

mg

tt t

t

t t

t

t

h

pa

166

a tiaže lode vracajú loď do pôvodnej polohy. Ak by bolo metacentrum pod hmotným stredom,

loď by sa prevrhla. Momenty uvedených síl by pomáhali loď prevrátiť.

Meranie atmosférického tlaku. Na obr. 5.10 je znázornený princíp ortuťového

barometra, používaného na meranie atmosférického tlaku. Skonštruujeme ho tak, že naplníme

tenkú, dlhú sklenenú, na jednom konci zatavenú rúrku ortuťou až po okraj, uzavrieme ju,

otočíme, ponoríme do nádoby s ortuťou a otvor uvoľníme. Ortuť klesne a nad ňou zostanú len

ortuťové pary, ktorých tlak pri bežných teplotách je taký malý, že ho možno zanedbať. Keďže

0p je zrejmé, že tlak 0p je rovný hydrostatickému tlaku stĺpca ortuti v rúrke

ghp Hg0

Výška h stĺpca ortuti nezávisí od plochy prierezu rúrky. Teda atmosférický tlak je priamo

úmerný výške ortuťového stĺpca. Pre presné merania treba však uvažovať korekcie zrýchlenia

voľného pádu g – so zreteľom na zemepisnú šírku a výšku nad hladinou mora a závislosť

hustoty ortuti Hg od teploty. Ako normálny atmosférický tlak je dohodou stanovený tlak

Pa10013251 50 .,p . Tento tlak odpovedá hydrostatickému tlaku stĺpca ortuti výšky 760 mm

m 7600s . m 9,81 m . kg 13,6.10

Pa100132512-3-3

5

Hg

0 ,.

.,

g

ph

Príklad 5.4. Na obr. 5.11 je znázornená priehrada a časť vodnej nádrže za ňou.

Priehrada je urobená z betónu hustoty 3m . kg 3200 a má rozmery: hrúbku m, 25 výšku

m 55 a šírku m. 150 Hĺbka vody za múrom je m. 50 a) Aký je bezpečnostný faktor 1k proti

posunutiu priehrady? 1k je pomer medzi maximálnou silou trenia priehrady o podložie

a silou, ktorou pôsobí voda na priehradu. b) Aký je bezpečnostný faktor 2k proti prevráteniu

priehrady? 2k je pomer medzi momentom tiaže priehrady a momentom sily, ktorým pôsobí na

priehradu voda. Faktor šmykového trenia medzi priehradou a podložím je .,490

Riešenie: a) Voda pôsobí horizontálnou silou na priehradu a táto sila sa ju snaží posunúť.

Proti posunutiu pôsobí trecia sila medzi priehradou a podložím. Kým „sila vody“ nedosiahne

kritickú hodnotu danú vzťahom mgFF Tv , kde mg je tiaž priehrady, priehrada sa

Obr. 5.11. Voda za priehradným múrom sa ho snaží posunúť a prevrátiť okolo osi o.

a

a/2

b

c

h

hy

y

dyh-y

dF

F

v

g

o

167

nebude posúvať. Aby sme mohli vypočítať bezpečnostný faktor 1k , potrebujeme vypočítať

„silu vody“ a treciu silu.

Elementárna sila vdF , ktorou pôsobí voda na plôšku Sd priehradného múra je

ygycSpF d d d v

kde gyp je tlak vody v hĺbke y, kde sa nachádza plôška .ycS dd Potom výsledná sila

pôsobiaca na priehradný múr je

2

0

v2

1d gchygcyF

h

Trecia sila medzi priehradným múrom a podložím sa vypočíta podľa známeho vzťahu

abcgVgmgF bbT

Bezpečnostný faktor 1k proti posunutiu priehrady je potom

721m .50 m . kg 1000

m 55 . m .25 m . kg 3200 . 0,49 22223

3

2b

2

21

b

v

T1 ,

.

h

ab

gch

abcg

F

Fk

b) Voda sa snaží tiež otočiť múr okolo osi o. Moment tiaže priehrady pôsobí proti. Ak

chceme vypočítať bezpečnostný faktor proti prevrhnutiu, musíme teda najprv poznať moment

tiaže múra a moment sily, ktorým pôsobí voda na múr. Obidva momenty počítame vzhľadom

na os o. Moment tiaže je

bcgamga

M g2

b2

1

2

Pri určovaní „momentu sily vody“ najprv určíme elementárny moment sily, ktorým

pôsobí voda na múr. V mieste y pod hladinou pôsobí na múr elementárna sila vdF . Táto

pôsobí vzhľadom na os o momentom sily, ktorý možno vyjadriť takto

ygcyyhFyhM d d d vv

Výsledný moment sily, ktorým pôsobí voda na múr dostaneme integráciou

333

0 0

2

0

v6

1

3

1

2

1dd d gchgchgchygcyygchyygcyyhM

h hh

Bezpečnostný faktor 2k proti prevráteniu priehrady je

642m 50 . m . kg 1000

m 55 . m 25 . m . kg 3200 33333

223

3

2b

3

61

2b2

1

v2 ,

.

h

ba

gch

bcga

M

Mk

g

168

5.3 Hydrodynamika

Prúdenie reálnej kvapaliny je veľmi komplikované, preto sa v ďalšom zameriame na

prúdenie ideálnej kvapaliny.

Pohyb kvapaliny je úplne určený, keď v každom bode vnútri kvapaliny je daná rýchlosť

pohybu jej „čiastočiek“ – kvapalinu si možno predstaviť, podobne ako tuhé teleso, zloženú

z malých čiastočiek. Tieto čiastočky vo všeobecnosti menia stále svoj tvar a v reálnych

kvapalinách aj veľkosť. Rýchlosť týchto čiastočiek sa môže meniť od miesta k miestu

a v danom mieste aj v závislosti od času. Teda rýchlosť v čiastočiek je funkciou polohy aj

času, t,rvv . Rozloženie rýchlostí v čiastočiek predstavuje vektorové pole. Keď rýchlosť v

závisí len od polohy, hovoríme, že prúdenie je ustálené (stacionárne).

Prúdnicou budeme nazývať trajektóriu, po ktorej sa pohybuje vybraná čiastočka

kvapaliny. Vektor rýchlosti v čiastočky má vždy smer dotyčnice ku prúdnici, obr. 5.12.

Prúdnice sa nikdy nepretínajú. Keby tak bolo, v mieste pretnutia by mohla mať čiastočka

kvapaliny dve rôzne rýchlosti, čo je nemožné. Avšak, keď prúdenie kvapaliny nie je ustálené,

mení sa obraz prúdnic v každom okamihu a čiastočka kvapaliny, ktorá bola pôvodne v mieste

1, bude mať v mieste 2 inú rýchlosť, čo sa týka veľkosti aj smeru, než akú mala iná čiastočka

v mieste 2, keď naša čiastočka bola ešte v mieste 1. Prúdnicami sa znázorňuje nielen smer

rýchlosti a trajektória čiastočiek kvapaliny pri ustálenom prúdení, ale aj veľkosť rýchlosti

v rôznych miestach kvapaliny, a to hustotou prúdnic, pod ktorou budeme rozumieť počet

prúdnic prechádzajúcich jednotkovou plochou kolmou na smer prúdenia. Keď ľubovoľnou

uzavretou krivkou vnútri kvapaliny preložíme všetky prúdnice, tieto vytvoria prúdovú trubicu,

obr. 5.13.

Uviedli sme, že prúdnice sa nemôžu pretínať, preto plášťom prúdovej trubice

neprechádza žiadna kvapalina. Pri ustálenom prúdení teda cez každý prierez prúdovej trubice

preteká rovnaké množstvo kvapaliny, lebo ináč by sa množstvo kvapaliny medzi prierezmi

menilo. Inými slovami, keďže ideálna kvapalina je nestlačiteľná, keď do časti prúdovej

trubice medzi rezmi za dobu td vtečie nejaké množstvo kvapaliny, napr. tSV dd 111 v , také

isté množstvo kvapaliny musí vytiecť, teda tSVV ddd 2221 v . Z rovnosti týchto množstiev

získame rovnicu

2211 vv SS

alebo tiež

konšt.vS (5.13)

Obr. 5.12. Prúdnicou budeme nazývať

trajektóriu, po ktorej sa pohybuje vybraná čias-

točka kvapaliny. Vektor rýchlosti v čiastočky

má vždy smer dotyčnice ku prúdnici

Obr. 5.13. Prúdová trubica je určená prúdnicami,

ktoré vytvoria jej „hranice“. V každom bode

daného priečneho rezu musí byť rýchlosť

prúdenia kvapaliny tá istá.

1

2

2

dt

dt

S

1

1

2S

169

ktorú nazývame rovnica spojitosti (kontinuity). Ako sme videli, táto rovnica je dôsledkom

nestlačiteľnosti kvapaliny. Súčin vS má jednotku sm3 , čo značí objem kvapaliny, ktorý

pretečie plochou S za jednu sekundu. Túto veličinu nazývame objemový tok, alebo aj prietok

a značíme ju písmenom ,VQ teda vSQV .

Príklad 5.5. Priečnym prierezom potrubia s priemerom 2,5 cm pretečie za 30 minút 200 l vody. Aká je rýchlosť prúdenia vody v potrubí?

Riešenie: Množstvo vody V (objem), ktoré pretečie za dobu t cez prierez potrubia je dané

vzťahom

tStQV V v (P1)

kde vSQV je objemový tok. Zo vzťahu (P1), keď dosadíme 4π 2dS , kde d je

priemer potrubia, hľadaná rýchlosť prúdenia vody je

1

32 2

33

2s . m 2260

s 10 . 1,8 m 10 . 2,5 . π

m 200.10 . 4

π

4

,

.td

V

St

Vv

V ďalšom si odvodíme základné rovnice, ktoré opisujú taký pohyb ideálnej kvapaliny, pri

ktorom aj hmotný stred mení svoju polohu. Východiskom bude základná pohybová rovnica

(5.6) odvodená v časti 5.2, teda rovnica

a gp grad grad

Kvôli ďalšej úprave pohybovej rovnice potrebujeme nájsť vyjadrenie zrýchlenia a čiastočky

kvapaliny. Predstavme si, že zafarbíme malú čiastočku kvapaliny. Jej rýchlosť v mieste

zyx ,, v čase t je tzyx , , ,v , je teda funkciou polohy a času. Za malý časový interval td sa

táto čiastočka presunie do bodu zzyyxx d d d ,, a jej rýchlosť bude

ttzzyyxx d d d d ,,,v a možno ju vyjadriť takto

t

tz

zy

yx

xtzyxttzzyyxx dddd d d d d

vvvvvv ,,,,,,

tt

tz

ty

tx

t,z,y,x zyx dddd

vvvvv vvv

Zmena rýchlosti vd je teda

tt

tz

ty

tx

tzyxttzzyyxx zyx dddd d d d dd

vvvvvvv vvv,,,,,,

Zrýchlenie a je potom

tttzyxdtzyx

vvv

vvv

vvvvvgrad

dvvva

170

Po dosadení zrýchlenia a do pohybovej rovnice dostaneme

pt

g grad1

gradgrad

vv

v (5.14)

Táto rovnica sa nazýva Eulerova rovnica. Opisuje pohyb kvapaliny, pri ktorom môžu vznikať

vo všeobecnosti aj víry. V tomto prípade je problém veľmi zložitý.

Matematická poznámka: Ukážeme si ako sa počíta prírastok funkcie, napr. xfy , ktorej graf je na

obr. 5.14. Podľa definície derivácie (

x

y

x

xfxf

xx Δ

Δ lim

Δ

Δ lim

0 0

) je podiel

x

y

Δ

Δ dobrou aproximáciou

derivácie f x , keď x Δ je malé. Možno potom písať

malé"" je Δ Δ

Δxxf

x

y

Z tejto rovnice vyplýva

malé"" je Δ Δ Δ xxxfy

Výraz xxf Δ sa nazýva diferenciál funkcie xf a

označujeme ho yxf d alebo d

xxfxf Δ d

Diferenciál teda predstavuje zmenu funkcie xf „pozdĺž“

dotyčnice ku grafu funkcie (obr. 5.x). Podľa posledného vzťahu

napríklad diferenciály funkcií 4xxf a xxf sú

xxx

xxx

ΔΔ 1d

Δ 4d 34

Všimnime si, že xx Δd . Z tohto dôvodu môžeme

namiesto x Δ písať xd . Potom diferenciál (malý prírastok)

funkcie xf možno vyjadriť ako

xx

xfxfxxfxf d

d

dd alebo d d

V prípade vektorovej funkcie viac premenných, napr. tzyx ,,,f potom diferenciál (prírastok) tejto

funkcie je tt

zz

yy

xx

ddddd

fffff .

Z Eulerovej rovnice sa pre nevírové, ustálené prúdenie kvapaliny dá odvodiť

jednoduchšia rovnica, ktorá sa nazýva Bernoulliho rovnica. My zvolíme kvôli jednoduchšej

matematike iný postup: Uvažujme ustálené prúdenie kvapaliny a prúdovú trubicu podľa obr.

5.15 Ďalej budeme si všímať kvapalinu uzavretú v objeme medzi plochami 1S a .2S

Čiastočky kvapaliny, ktoré vchádzajú do tohto objemu cez plochu 1S , za časový interval td

dosiahnu plochu 1S vo vzdialenosti ts dd 11 v od plochy 1S . Za tú istú dobu čiastočky

kvapaliny, ktoré vytekajú z objemu cez plochu 2S dosiahnu plochu 2S vo vzdialenosti

ts dd 22 v . Pozornosť budeme venovať len tieňovaným objemom, lebo objem medzi 1S a

2S zostane nezmenený. Tieto dva objemy sú rovnaké, čo vyplýva z nestlačiteľnosti kvapaliny.

Obr. 5.14. K zavedeniu diferenciálu funkcie.

y

xx

x

x x+

f

df

DOTYČNICA

GRAF ( )f x

P

171

Označíme sily pôsobiace na plochy 1S a 2S ako 1F a 2F . Tieto sily sú tlakové sily, sú

výsledkom tlaku pôsobiaceho v kvapaline. Pri prúdení kvapaliny tieto sily konajú prácu. Sila

1F je sila, ktorou pôsobí kvapalina nachádzajúca sa vľavo od plochy 1S na nami uvažovanú

kvapalinu. Túto silu možno nazvať

hnacia sila. Táto vykoná prácu

11dsF . V priereze s plochou 2S

pôsobí však proti posunutiu nami

uvažovanej kvapaliny sila 2F a teda

„naša“ kvapalina vykoná prácu

22dsF – prácu potrebnú na

posunutie kvapaliny nachádzajúcej

sa vpravo od plochy 2S . Teda

výsledná práca vykonaná silami 1F

a 2F na kvapaline uzavretej medzi

1S a 2S je daná rozdielom ich prác

2211 ddd sFsFW

Nech 1p je tlak v kvapaline v priereze s plochou 1S a 2p tlak v priereze s plochou 2S .

Potom 111 SpF a 222 SpF a výsledná práca je

tSptSpsSpsSpW ddddd 222111222111 vv

Avšak, ako bolo už skôr konštatované, VtStS ddd 2211 vv , čo vyplýva z rovnice spojitosti

2211 vv SS . Potom

VppW d d 21 (5.15)

Práca síl 1F a 2F zmení celkovú energiu elementárneho objemu .Vd Celková energia

pozostáva z dvoch častí – kinetickej a potenciálnej. Kinetická energia sa zmení takto

1k2kk ddd EEE

a podobne aj potenciálna

1p2pp ddd EEE

Energie k2dE a p2dE sú kinetická a potenciálna energia elementárneho množstva kvapaliny

s hmotnosťou Vm dd v priereze s plochou 2S a k1dE a p1dE v priereze s plochou 1S .

Tieto energie možno vyjadriť známymi vzťahmi z mechaniky. Po uvedených vysvetleniach

možno písať

pk ddd EEW

po dosadení

1221

2221 ddd

2

1d

2

1d mghmghmmVpp vv

a po vydelení rovnice objemom Vd a krátkej úprave dostaneme

Obr. 5.15. Pre ustálené, nevírové prúdenie kvapaliny sa dá

odvodiť rovnica, ktorá sa nazýva Bernoulliho rovnica.

S

S S

S1

1 1

1

1

1

2

2

2

2 2

2

h

h

´

´d = ds tv

d = ds tv

p

p

172

222211

21

2

1

2

1pghpgh vv (5.16)

Táto rovnica hovorí o rovnosti dvoch veličín v dvoch rôznych bodoch pozdĺž prúdnice, čo

možno zovšeobecniť takto

.pgh konšt2

1 2v (5.17)

Rovnica (5.16) i (5.17) sa nazýva Bernoulliho rovnica a vyjadruje zákon zachovania energie

v kvapaline. Prvý člen v rovnici (5.17) predstavuje kinetickú energiu objemovej jednotky

kvapaliny, druhý člen je potenciálna energia objemovej jednotky a tretí, tlak, možno chápať aj

ako potenciálnu tlakovú energiu jednotkového objemu ( 332 mJ 1mN.m 1mN 1 Pa1 ).

V mieste, kde je kvapalina v pokoji, ako vyplýva z rovnice (5.17), je tlak

ghp konšt (5.18)

Tento tlak nazývame statický tlak. Tlak v rovnakej výške h (h je kladné, ak „ideme“ smerom

nahor od zvolenej nulovej úrovne a je záporné, keď ideme dole), keď tam kvapalina prúdi

rýchlosťou v je

2d

2

1konšt v ghp

Tento tlak nazývame dynamický. Vidíme, že pri rovnakom h, tam, kde kvapalina (alebo aj

plyn) prúdi väčšou rýchlosťou je tlak nižší.

Príklad 5.6. Vodorovné potrubie je zhotovené z rúr nerovnakého priemeru (5 cm

a 2,5 cm). a) Akou rýchlosťou prúdi voda v užšej rúre, keď rozdiel tlakov v širšej a užšej rúre

je 5 kPa? b) Za akú dobu naplníme týmto potrubím nádrž s objemom 1000 l ?

Riešenie: Na riešenie použijeme Bernoulliho rovnicu, ktorá pre vodorovné potrubie má

tvar

2221

21

2

1

2

1pp vv (P1)

a rovnicu spojitosti

2211 vv SS (P2)

V týchto rovniciach 111 , Sp ,v sú rýchlosť prúdenia vody, tlak a plocha priečneho rezu širšej

rúry a 222 , Sp ,v sú rovnaké veličiny platné pre užšiu rúru.

Keď z rovnice (P1) vyjadríme rozdiel tlakov

21

2221

2

1Δ vv ppp (P3)

a z rovnice (P2) rýchlosť 1v a dosadíme ju do rovnice (P3) dostaneme vzťah

21

22

212

22

1Δ

S

SSp

v

173

Z tohoto vzťahu po dosadení za 4π 211 dS a za 4π 2

22 dS dostaneme vzťah pre výpočet

rýchlosti prúdenia vody v užšej časti potrubia

1

4 24 233

34 2

42

41

41

2 s . m 273

m 1052m 5.10 m . kg 1.10

Pa 10 . 5 m 5.10 . 2

)

Δ2

,

.,.

.

dd(

pd

v

Množstvo vody (objem), ktoré musíme dodať do nádrže možno vyjadriť vzťahom

tSV 22v . Z neho doba, za ktorú naplníme nádrž je

min 10,4s 623

s . m 3,27 m 10 . 2,5 . π

m 1 . 4

π

4

12 2

3

22222

.d

V

S

Vt

vv

V nasledujúcom texte uvedieme niektoré aplikácie Bernoulliho rovnice.

Rýchlosť vytekania kvapaliny z nádrže cez malý otvor. Majme nádrž s kvapalinou

s malým otvorom v bočnej stene v hĺbke 21 hhh pod hladinou kvapaliny, obr. 5.16

Položme 0h a teda aj ,0g na dne nádrže. Bernoulliho rovnica napísaná pre miesto

A – hladinu kvapaliny a pre miesto B – výtokový otvor má tvar

022

0120

2

1

2

1pghpgh vv

Význam symbolov použitých v rovnici je zrejmý z obr. 5.16 Rovnicu upravíme takto

2120

2

2

1hhg vv (5.19)

Z rovnice spojitosti vv SS 00 však vyplýva, že 00 SSvv a potom

2

20

220 vv

S

S (5.20)

Po dosadení vzťahu (5.20) do rovnice (5.19) dostaneme

212

20

22

2

1hhg

S

S

vv

Predpokladali sme, že otvor je malý, plocha S jeho prierezu je

oveľa menšia ako plocha 0S povrchu kvapaliny v nádrži. Teda,

člen 220

22 vv SS a možno ho so zreteľom na 2v zanedbať. Napokon pre výtokovú

rýchlosť kvapaliny z otvoru dostaneme vzťah

ghhhg 22 21 v (5.21)

Obr. 5.16. Výtok kvapaliny

z nádrže cez malý otvor.

A

Bp

p ,

0

0 00S

S,h

h

1

2

174

Príklad 5.7. V dne valcovitej nádoby je kruhový otvor s priemerom 1 cm. Priemer nádoby

je 0,5 m. Aká je závislosť rýchlosti 0v , ktorou klesá hladina vody v nádobe od jej výšky h nad

dnom? Aká je táto rýchlosť pre cm? 20h Vodu považujte za ideálnu kvapalinu.

Riešenie: Na riešenie použijeme Bernoulliho rovnicu

220

2

1

2

1vv ghρ

kde je hustota vody, 0v – rýchlosť poklesu hladiny vody v nádobe, h – výška hladiny vody

nad dnom nádoby a v – výtoková rýchlosť vody cez otvor, a rovnicu spojitosti

vv SS 00

kde 0S je plocha prierezu nádoby (plocha hladiny vody) a S – plocha otvoru.

Riešením uvedených rovníc z hľadiska 0v a dosadením za 4π 20 DS a za 4π 2dS ,

kde D je priemer nádoby a d – priemer výtokového otvoru, dostaneme

44

2

0

2

dD

ghd

v

Keď si uvedomíme, že 44 dD , môžeme 4d vzhľadom na 4D zanedbať a vzťah pre

rýchlosť poklesu hladiny vody v nádobe sa zjednoduší

ghD

d2

2

0

v

Číselná hodnota pre cm 20h

1142

2

1

2

0 s . mm 7920s . m 10927m 0,2 s . m 8192 .m 5.10

m 101

,.,.,.

.v

Pitotova trubica. Slúži na meranie rýchlosti prúdenia kvapaliny v potrubí. Vložme do

vodorovného potrubia, ktorým prúdi kvapalina rýchlosťou v, v dostatočne veľkej vzájomnej

vzdialenosti dve rúrky majúce tvar ako je znázornené na obr. 5.17 Podľa Bernoulliho rovnice

je súčet tlaku a kinetickej energie objemovej jednotky

kvapaliny v bodoch 1 a 2 rovnako veľký. Teda platí

2221

21

2

1

2

1pp vv

Avšak rýchlosť 1v v priereze dopredu ohnutého konca

Pitotovej trubice sa rovná nule a rýchlosť 2v v bode 2

(v ústi druhej trubice) sa rovná rýchlosti prúdenia

kvapaliny v. Potom

Obr. 5.17. Pitotova trubica.

h

h

1

1

2

2

175

21212

2

1ghghpp v

Rýchlosť prúdenia kvapaliny v potrubí je

212 hhg v

Venturiho merač rýchlosti prúdenia. Princíp je znázornený na obr. 5.18 Do potrubia,

v ktorom chceme zmerať rýchlosť v prúdenia kvapaliny, vložíme diel, ktorého priemer sa

zužuje a potom rozširuje na pôvodnú hodnotu. Ako vyplýva z Bernoulliho rovnice, v mieste 1

s plochou priečneho rezu S, je rýchlosť prúdenia kvapaliny menšia ako v mieste 2 (plocha

priečneho rezu S ), teda vv a naopak tlak v mieste 1 je väčší ako v mieste 2, pp .

Z Bernoulliho rovnice

pp 2vv 2

1

2

1 2

a z rovnice spojitosti

vv SS

možno ľahko odvodiť pre rýchlosť v prúdenia

kvapaliny vzťah

22

22

SS

ppS

v

Rozdiel tlakov ghpp zistíme z rozdielu hladín v pripojenom manometri.

5.4 Dynamické účinky prúdiacej kvapaliny

Dynamické účinky kvapaliny (ale aj plynu, napr. vzduchu) vznikajú všade tam, kde tok

kvapaliny mení rýchlosť. Pri prúdení kvapaliny zahnutou rúrou podľa obr. 5.19 vzniká medzi

vstupným a výstupným prierezom zmena prietokovej rýchlosti 12Δ vvv . Hmotnostný

element md kvapaliny zmení pritom hybnosť. Táto zmena hybnosti je

12 dd vv mp

Na zmenu hybnosti hmotnostného elementu kvapaliny je potrebné, aby mu rúra udelila

impulz sily

12rr dddd vv mt pFI (5.22)

Kvapalina však tečie nepretržite a pri ustálenom toku rúra pôsobí na kvapalinu silou rF ,

ktorú možno vyjadriť z rovnice (5.22)

1212rd

dvvvv mQ

t

mF (5.23)

Obr. 5.18. Venturiho merač rýchlosti

prúdenia tekutiny.

h

12

´ ´

´

SS

SS

pp

pp

,,

,,

176

V tomto vzťahu

vSQtmQ Vm dd

je hmotnostný tok kvapaliny – hmotnosť kvapaliny, ktorá pretečie prierezom potrubia za

jednotku času. Smer sily, ktorou rúra pôsobí na kvapalinu je daný rozdielom vstupnej a

výstupnej rýchlosti.

Zo zákona akcie a reakcie však vyplýva, že sila F,

ktorou pôsobí kvapalina na rúru je rovnako veľká ako

sila určená vzťahom (5.23), ale majúca opačný smer,

teda

21 vv mQF (5.24)

Tento vzťah predstavuje základnú rovnicu, ktorá

umožňuje skúmať dynamické účinky prúdiacich tekutín,

teda i plynov, na rôzne konštrukcie.

Pomocou rovnice (5.24) možno určiť dynamickú

silu, ktorou pôsobí prúd tekutiny dopadajúci na rovinnú

stenu kolmú na prúd. Budeme predpokladať, že pri

kolmom dopade sa tekutina rovnomerne rozptyľuje po

stene a odteká všetkými smermi rovnobežne so stenou,

obr. 5.20. Keďže sa tekutina rozptyľuje rovnomerne, ku

každej čiastočke rozptýlenej tekutiny možno nájsť

čiastočku, ktorá má rovnako veľkú rýchlosť, ale opačného smeru. Potom vektorový súčet

hybností všetkých rozptýlených čiastočiek je rovný nule a teda aj súčin .Qm 2v Pri kolmom

dopade tekutiny na stenu rýchlosťou veľkosti vv 1 je

teda veľkosť dynamickej sily, ktorou tekutina pôsobí na

stenu daná vzťahom

2vvvv S.SQF m

Z posledného vzťahu vyplýva vzťah pre tlak

tekutiny na stenu 2vp (5.25)

Tento vzťah sa používa ako približný vzorec na výpočet

tlaku vetra na kolmo orientovanú stenu budovy.

5.5 Reálna kvapalina – základné poznatky

Pri prúdení reálnej tekutiny v potrubí je krajná vrstva tekutiny viazaná k stene a zostáva

pokoji. Podobný jav možno pozorovať aj pri prúdení vody v rieke: Voda pri dne rieky je

prakticky v pokoji, neprúdi. Túto skutočnosť možno vysvetliť pôsobením molekulárnych síl

medzi molekulami kvapaliny a molekulami potrubia, resp. podložia. So vzrastaním

vzdialenosti od steny potrubia, resp. od dna rieky, rastie rýchlosť vrstiev až po maximálnu

Obr. 5.19. Pri prúdení kvapaliny

zahnutou rúrou pôsobí kvapalina na

rúru dynamickou silou F.

Obr. 5.20. Prúd kvapaliny pôsobí na

kolmú stenu tlakovou silou .2vSF

S

S

1

1

1

2

2

2

Q

Q

m

m

F

F

r-

12mr-F = (Q )

QmF

177

rýchlosť v strede potrubia, resp. na hladine rieky, obr. 5.21. Medzi susednými vrstvami

kvapaliny existuje tangenciálne napätie, ktoré možno vyjadriť vzťahom

yd

dv (5.26)

Činiteľ sa nazýva dynamický koeficient viskozity

(vnútorného trenia). Hovoríme, že reálne kvapaliny sú

viskózne – existuje v nich vnútorné trenie. Koeficient

viskozity závisí pomerne výrazne od teploty. Kvôli ilustrácii

koeficienty dynamickej viskozity niektorých látok sú uvedené

v tabuľke 5.1. Poznámka: V bežnej reči sa hovorí, napr., že olej je hustejší ako

voda. To však nie je pravda. Správne by sme mali hovoriť – je

viskóznejší. Hustota, ako všetci dobre vieme, je hmotnosť objemovej jednotky a tú má olej menšiu ako voda –

olej pláva na vode. Preto si uvedomme túto skutočnosť: viskóznejšia kvapalina nemusí byť nutne hustejšia.

Tabuľka 5.1. Koeficienty dynamickej viskozity niektorých látok

Látka C

t

s .Pa

Vzduch 20 1,84.10-5

40 1,96.10-5

Olej 20 0,99

Glycerín 20 1,49

Ortuť 20 1,55.10-3

Voda 20 1.10-3

40 6,56.10-3

Ako príklad vypočítame prietok VQ viskóznej kvapaliny s koeficientom viskozity , cez

rúrku, ktorá má polomer r. Zvolíme si v kvapaline v rúrke súosový valec kvapaliny

(tieňovaný) s polomerom y a dĺžkou . Kvapalina sa pohybuje účinkom pretlaku (rozdielu

tlakov). Nech 21Δ ppp je tlakový rozdiel na koncoch zvoleného valca, obr. 5.22. Valec je

pri ustálenom prúdení v rovnováhe s ostatnou

prúdiacou kvapalinou, teda tlaková sila pF

pôsobiaca na základňu valca

2πyppSFp

musí byť v rovnováhe s trecou silou TF

yyyF

d

dπ2π2T

v

pôsobiacou medzi plášťom valca a ostatnou

kvapalinou. (Znamienko mínus vo vzťahu pre

je z toho dôvodu, že výraz yddv je

Obr. 5.21. Medzi vrstvami

reálnej kvapaliny pôsobí tangen-

ciálne napätie.

Obr. 5.22. V reálnej kvapaline tlaková sila pF

pôsobiaca na základňu valca musí byť v rovno-

váhe s trecou silou TF .

y

x

y

l

p p1 2

y

r

178

záporný – rýchlosť v smere osi y klesá). Teda musí platiť

pyy

y 2πd

dπ2

v

Úpravou tejto rovnice

yyp

d2

d

v

a jej integráciou dostaneme

Cyp

y

22

2

v

Integračnú konštantu C určíme z hraničnej podmienky – v mieste ry (na stene rúrky) sa

rýchlosť prúdenia kvapaliny rovná nule, 0rv , teda

Crp

r

22

2

v

a konštanta C je

22

2rpC

Rýchlosť prúdenia kvapaliny v mieste y je potom

22

4yr

py

v (5.27)

Ako vyplýva z tohoto vzťahu, rýchlosť v priečnom reze potrubia má parabolický priebeh –

najvyššia je v strede potrubia ( 0y ) a najmenšia, nulová, je na stene potrubia, obr. 5.23a.

V priereze potrubia sú rýchlosti rozložené súmerne vzhľadom na os potrubia. Cez

medzikružie s polomerom y a šírkou yd (obr. 5.23b), teda s plochou yyS dπ2d , preteká

kvapalina s konštantnou rýchlosťou yv a prietok VQd cez túto plochu je daný vzťahom

Obr. 5.23. a) Rýchlosť v priečnom reze potrubia má parabolický priebeh.

b) Prietok VQd cez plochu dS sa rovná: .SyQV dd v

r

ydy

a) b)

179

yyyrp

SyQV d 2

πdd 22

v

Integráciou tohto vzťahu v hraniciach od 0y po ry dostaneme prietok kvapaliny cez

potrubie

prQV

8

π 4

(5.28)

Tento vzťah sa nazýva Hagenov – Poisseuillov vzťah. Z neho možno určiť priemernú

prietokovú rýchlosť

8π

8

π2

2

4

pr

r

pr

S

QV v

Tlakový spád

v2

8

r

p

(5.29)

je príčinou prúdenia kvapaliny. Odporovú silu, pôsobiacu proti prietoku kvapaliny možno

pomocou vzťahu (5.29) vyjadriť takto

π8π8

2od vrv 2

rpSF

Ako vidno pri laminárnom prúdení je odporová sila úmerná prietokovej rýchlosti.

Podobne je to aj pri laminárnom obtekaní telies. Na guľu s polomerom r v neohraničenom

kvapalnom (i plynnom) prostredí pôsobí podľa vzťahu, ktorý odvodil Stokes odporová sila

veľkosti

vrF π6od (5.30)

úmerná rýchlosti, ktorou sa guľa pohybuje v kvapaline.

Príklad 5.8. Určíme dynamický koeficient viskozity

kvapaliny z pádu guľôčky v nej.

Riešenie: Kvapalinu, ktorej koeficient viskozity chceme

zmerať vlejeme do odmerného valca, pozri obr. 5.24. Do

kvapaliny vhodíme guľôčku s polomerom r, zhotovenú

z materiálu hustoty G . Na guľôčku pri pohybe v kvapaline

pôsobia tri sily: tiaž guľôčky ,GVgg F vztlaková sila

VgvzF a odporová sila, ktorej veľkosť je daná vzťahom

(5.30). V uvedených vzťahoch V je objem guľôčky a je

hustota kvapaliny. Ak ,G guľôčka padá v kvapaline

Obr. 5.24. Keď výsledná sila

pôsobiaca na guľôčku sa

rovná nule, guľôčka sa pohy-

buje rovnomerným pohybom.

F

FF

odvz

g l

180

smerom nadol. Spočiatku sa guľôčka pohybuje so zrýchlením, pretože tiaž pôsobiaca v smere

pohybu je väčšia ako súčet vztlakovej a odporovej sily, ktoré majú smer proti pohybu

guľôčky. Odporová sila však s narastajúcou rýchlosťou rastie, až v istom okamihu je výsledná

sila pôsobiaca na guľôčku rovná nule a guľôčka sa potom pohybuje rovnomerným pohybom,

t.zn. s konštantnou rýchlosťou. Vtedy platí

odvz FFFg

vrVgVg π6G (P1)

Rýchlosť určíme z dráhy prejdenej guľôčkou a príslušnej doby t: tv a objem V

guľôčky vypočítame podľa vzťahu: 3π4 3rV . Po vyjadrení z rovnice (P1) a do sadení za

V a v dostaneme vzťah na určenie dynamického koeficienta viskozity

9

2 2G trg

Poznatky uvedené v predchádzajúcom texte však neplatia pre turbulentné prúdenie.

Otázkou zmeny laminárneho prúdenia na turbulentné sa zaoberal Reynolds. Podľa neho

určité, bezrozmerné číslo Re (nazvané na jeho počesť Reynoldsovo číslo), rozhoduje o tom, či

je prúdenie laminárne alebo turbulentné

ddRe

vv (5.31)

V tomto vzťahu je kinematický koeficient viskozity, – hustota kvapaliny,

v – prietoková rýchlosť a d – priemer potrubia.

Pri určitej, tzv. kritickej rýchlosti kv dochádza k viditeľnému prechodu laminárneho

prúdenia na turbulentné. Prúdenie bude laminárne, keď 2000Re a turbulentné keď

3000Re . Oblasť medzi 2000 a 3000 je prechodná. Prúdenie je tu nestabilné a môže sa

náhodne meniť na laminárne a turbulentné. Prúdenie, ako sme už uviedli, bude laminárne,

keď 2000Re . Vypočítame tomu odpovedajúcu rýchlosť prúdenia vody v potrubí

s priemerom cm. 2d Kinematický koeficient viskozity vody je .. 126 s .m 101 Potom

11

2

126

s . cm 10s . m 10m 10 . 2

s .m 101 2000

,.

.d

ν Rekv

V technicky dôležitých prípadoch je prúdenie turbulentné.

5.6 Povrchové javy

Najdôležitejšou molekulárnou vlastnosťou kvapalín je existencia povrchového napätia.

Toto napätie je spôsobené tým, že molekuly v povrchovej vrstve majú iné okolie ako

molekuly nachádzajúce sa vnútri kvapaliny. Ako sme uviedli už v časti 5.1 molekuly

v povrchovej vrstve pôsobia potom na celú kvapalinu tlakom, ktorý nazývame molekulový

alebo aj kohézny tlak. Kohézne sily pôsobia kolmo na povrch kvapaliny a smerujú do jej

181

vnútra. Ak chceme zväčšiť povrch kvapaliny, musíme dostať na povrch molekuly z vnútra

kvapaliny. To však vyžaduje konať prácu, pretože treba prekonávať kohézne sily. Práca

potrebná na vytvorenie jednotkového povrchu sa nazýva plošná hustota povrchovej energie

kvapaliny ináč aj povrchové napätie. Číselne sa povrchové

napätie rovná sile, pôsobiacej v kolmom smere na jednotku

dĺžky v povrchovej vrstve

F (5.32)

Táto sila sa snaží zmenšiť povrch kvapaliny. Jednotkou

povrchového napätia je .21 m .J 1m .N 1

Povrchové napätie závisí od vlastností kvapaliny a mení

sa v širokom rozsahu. Pre väčšinu kvapalín pri teplote C 20

má hodnoty rádove od 210 do .11 m .N 10 Hodnoty

povrchového napätia niektorých kvapalín sú v tabuľke 5.2.

Dokážeme, že povrchové napätie kvapaliny sa rovná plošnej hustote jej povrchovej

energie. Vytvoríme tenkú blanu kvapaliny pomocou drôtu vytvarovaného do tvaru obdĺžnika,

pričom jedna jeho strana sa môže voľne pohybovať (obr. 5.25). Ak blanu zväčšujeme

pohybom tejto strany, premáhame silu 2F . Dvojka je vo výraze preto, lebo blana má dva

povrchy. Práca, ktorá sa vykoná pri posuve strany o hodnotu sd ( sFW d d ), predstavuje

povrchovú energiu pripadajúcu na plochu sS d 2d . Na jednotku plochy pripadá teda

energia

s

s

S

Wu

d 2

d 2

d

d

(5.33)

Ako sme už spomenuli, pôsobením povrchových síl malé množstvá kvapaliny sa snažia

zaujať tvar gule, ktorá má pri danom objeme najmenší povrch. Preto napríklad kvapka jednej

kvapaliny, ak ju dáme do inej kvapaliny s rovnakou hustotou a ktorá sa nezmiešava s prvou

Tabuľka 5.2. Povrchové napätie niektorých látok

Látka C

t

m .N

Voda 20 7,27.10-2

Ortuť 20 4,65.10-1

Glycerín 20 6,57.10-2

Benzol 20 2,89.10-2

Acetón 20 2,33.10-2

kvapalinou, bude mať guľový tvar. Taký istý tvar budú mať aj drobné kvapôčky ortuti na

sklenej podložke alebo aj kvapôčky vody na sklenej podložke pokrytej parafínom. Ale

napríklad voda na čistom skle alebo kovovej podložke nebude vytvárať kvapôčky, roztečie sa.

Na príčine sú sily vzájomného pôsobenia medzi molekulami kvapaliny a tuhej látky.

Roztekanie väčších množstiev kvapaliny zapríčiňuje tiažová sila.

Povrchové napätie kvapaliny závisí teda od vlastností látky, s ktorou je povrch kvapaliny

v styku. Túto skutočnosť ľahšie pochopíme, keď si uvedomíme, že povrchové napätie má tiež

význam povrchovej energie. Je logické predpokladať, že látka stýkajúca sa s kvapalinou

pôsobí na molekuly na jej povrchu a tým mení kohézne sily, ktoré ich vťahujú do kvapaliny.

Obr. 5.25. Povrchové napätie

kvapaliny sa rovná plošnej

hustote jej povrchovej energie

objasneniu.

l, S Fds

182

To však značí, že povrchové napätie kvapaliny sa mení. Teda, keď budeme hovoriť

o povrchovom napätí, budeme musieť uvažovať aj látku (teleso), s ktorou sa povrch kvapaliny

stýka. Tento fakt budeme označovať dvoma indexami pri značke povrchového napätia, napr.

12 – značí, že povrch kvapaliny 1 sa stýka s látkou 2. Je zjavné, že povrchové napätie na

styku dvoch kvapalín musí byť menšie než na voľnom povrchu. Napr. na rozhraní voda –

vzduch je 112 m .N 07270 , a na rozhraní voda – benzén

113 m .N 03360 , .

Podmienky rovnováhy na styku dvoch kvapalín. Keď na

povrch danej kvapaliny dáme kvapku inej, menej hustej

kvapaliny, sú možné dva výsledky, ktoré závisia od hodnôt

povrchových napätí stýkajúcich sa kvapalín, obr. 5.26.

Označme ako d element dĺžky majúci smer čiary, v ktorej sa

stýkajú tri prostredia 1, 2, 3. Tento element na obr. 5.26 je

kolmý na rovinu papiera. Na element pôsobia tri sily d12 ,

d13 a d23 . Ak 122313 , je rovnovážna situácia

znázornená na obr. 5.26a. Podmienkou rovnováhy je, aby

výslednica síl pôsobiacich na element bola rovná nule

21212313 coscos

212123 sinsin

Tieto rovnice umožňujú určiť uhly 1 a 2 , ktoré sa nazývajú

krajové uhly.

Keď 122313 , rovnováha nemôže nastať a

kvapka kvapaliny 2 sa roztiahne vo veľmi tenkej vrstve po

povrchu kvapaliny 1, obr. 5.26b.

Podmienky rovnováhy na styku kvapaliny a pevnej látky.

V tomto prípade sú možné situácie znázornené na obr. 5.27.

Podmienka rovnováhy na obr. 5.27a a obr. 5.27b je

122313 cos

Keď 122313 , kvapalina vytvorí na povrchu

pevnej látky tenkú vrstvu. Hovoríme, že kvapalina zmáča

látku, obr. 5.27c. V prípade znázornenom na obr. 5.27a

hovoríme, že kvapalina zmáča pevné teleso čiastočne a

v prípade 5.27b – úplne nezmáča pevné teleso.

Keď sa kvapalina nachádza v nádobe, je tvar povrchu

kvapaliny pri stenách nádoby rôzny, závisí od toho, či

kvapalina zmáča alebo nezmáča steny nádoby, obr. 5.28.

Z podmienky rovnováhy povrchových napätí možno odvodiť

krajový uhol

23

1213

cos . (5.34)

Obr. 5.26. Kvapka kvapaliny 2

zostane na povrchu kvapaliny 1

ako kvapka alebo sa roztiahne

vo veľmi tenkej vrstve.

Obr. 5.27. Kvapalina pevné

teleso a) zmáča čiastočne,

b) úplne nezmáča, c) zmáča.

d

d

d

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3 ll

l

a)

b)

d

d

d

d

d

d

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

l

l

l

l

l

l

l

l

2

2

2

a)

b)

c)

183

V prípade, že kvapalina sa stýka s pevnou stenou a vzduchom, čitateľ zlomku vo vzťahu

(5.34) sa nazýva adhézna konštanta. Táto keď je kladná, krajový uhol je ostrý a kvapalina

zmáča stenu nádoby. Okraj povrchu kvapaliny je pri stene nádoby zdvihnutý, napr. pri vode

v sklenenej nádobe. Ak je záporná, uhol je tupý a kvapalina nezmáča steny nádoby, napr.

pri styku ortuti so stenou sklenenej nádoby. Len zriedkavo sa adhézna konštanta rovná nule.

Pri plávaní telies v dôsledku zmáčania (alebo nezmáčania) vznikajú dodatočné sily, ktoré

alebo zvyšujú vztlakovú silu alebo ju zmenšujú. Keď kvapalina zmáča pevné teleso, sila

vznikajúca v dôsledku povrchového napätia má smer proti vztlakovej sile a teda má snahu

teleso ponoriť, obr. 5.29a. Keď kvapalina nezmáča teleso je to práve naopak, povrchové

napätie sa snaží teleso vytlačiť z kvapaliny, obr. 5.29b. Tieto sily sú však v porovnaní so

vztlakovou silou malé. Existuje ale hmyz (volá sa vodomerka), ktorý behá po vode a nepotopí

sa práve v dôsledku existencie povrchového napätia.

Tlak pod zakriveným povrchom. Keď nie je povrch kvapaliny rovinný, povrchové napätie

spôsobuje to, že povrchová vrstva pôsobí tlakom na nižšie ležiace vrstvy. Aby sme tento tlak

určili, uvažujme mydlovú bublinu tvaru gule. Pretlak p v bubline (rozdiel tlaku vnútri

a vonku bubliny) je v rovnováhe s tlakom stien bubliny spôsobeným povrchovým napätím. Pri

zväčšení tlaku vnútri bubliny sa jej polomer zväčší o rd a vykoná sa pritom práca

rprrSprFW d π4d dd 2

ktorá sa rovná zväčšeniu povrchovej energie Sd blany, kde ,d π8 2d rrS . pretože blana

(stena bubliny) má dva povrchy. Teda musí potom platiť

rrrpr d π8 2d π4 2 .

odkiaľ dostaneme vzťah pre pretlak v bubline

rp

4 (5.35)

Tento tlak je vytvorený dvoma zaoblenými povrchmi mydlovej bubliny (vnútorným

a vonkajším). Jeden povrch vytvorí tlak, ktorý je dvakrát menší, teda

Obr. 5.29. a) Keď kvapalina zmáča pevné

teleso, sila vznikajúca v dôsledku povrchového

napätia má smer proti vztlakovej sile a teda má

snahu teleso ponoriť. b) Keď kvapalina

nezmáča teleso je to práve naopak, povrchové

napätie sa snaží teleso vytlačiť z kvapaliny.

Obr. 5.28. Okraj povrchu kvapaliny pri

stene nádoby je zdvihnutý, keď kvapalina

zmáča steny nádoby a) a je klesnutý, keď

kvapalina steny nezmáča b).

a) b)

d

d

1

11

1

3

33

3l

l

d

d

1

1

2

2

l

l

d

d

2

2

2

23

3

l

l

a) b)

184

2

2

2

p

p (5.36)

Vo všeobecnom prípade krivosť plochy je určená dvoma hlavnými polomermi krivosti 1r

a 2r . Potom pretlak v bubline je daný vzťahom

21

11

rrp (5.37)

Tento vzťah sa nazýva Laplaceova rovnica. Pre 21 rr , ako je to v prípade mydlovej bubliny,

vzťah (5.37) prejde na vzťah (5.36). Preto, ak je na vonkajšej strane bubliny (v bode A) tlak

0p (obr. 5.30), podľa rovnice (5.36) je v bode B tlak r

pp2

0B a vnútri bubliny, v bode

C, tlak r

pr

pp 42

0BC . Pretlak v bubline r

ppp4

0C je teda taký istý ako

ho stanovuje vzťah (5.35).

Kapilárna elevácia a depresia. Keď do kvapaliny v širšej nádobe ponoríme v zvislej

polohe úzku rúrku s kruhovým prierezom, kapiláru, hladina kvapaliny bude v kapiláre v inej

výške ako v širokej nádobe. Kvapalina, ktorá zmáča steny kapiláry vystúpi v kapiláre nad

úroveň hladiny v širokej nádobe. Tomuto javu hovoríme kapilárna elevácia a zakrivený

povrch kvapaliny (meniskus) je dutý, obr. 5.31a. Keď kvapalina steny kapiláry nezmáča,

hladina kvapaliny v kapiláre je pod úrovňou hladiny v širokej nádobe – nastáva kapilárna

depresia a meniskus je vypuklý, obr. 5.31b.

Veľkosť kapilárnej elevácie aj depresie vyplýva z Laplaceovej rovnice. Povrch kvapaliny

má približne sférický tvar s polomerom R. Rozdiel tlakov p nad hladinou a pod hladinou sa

podľa vzťahu (5.36) rovná

R

ghppp

2

00

Tento vzťah možno upraviť takto

22

42

yr

y

Rgh

(5.38)

Obr. 5.31. a) Keď kvapalina zmáča steny kapiláry, nastáva

kapilárna elevácia. b) Keď kvapalina steny nezmáča, nastáva

kapilárna depresia.

Obr. 5.30. Pretlak v bubline

oproti atmosférickému tlaku

je rovný rp 4 .

R

2r

y

hh

a) b)

r

A

BC

p

p

p = p - p

0

0

C

C

185

kde je hustota kvapaliny, r – polomer kapiláry a y – hĺbka menisku. Vzťah (5.38) umožňuje

veľmi jednoducho merať povrchové napätie kvapaliny. Výška h, do ktorej vystúpi kvapalina

narastá so zmenšujúcim sa polomerom kapiláry, čo vyplýva z malej úpravy vzťahu (5.38)

rRgh

cos22

Z obr. 5.31a totiž vyplýva, že cosRr .

Analogicky by sme vypočítali aj hĺbku kapilárnej depresie, pri nezmáčavej kvapaline.

Povrchovo aktívne látky. Povrchová energia sa snaží dosiahnuť minimálnu hodnotu. Toto

je možné jednak zmenšením plochy povrchu, jednak zmenšením povrchového napätia. Preto,

keď dáme do kvapaliny inú kvapalinu s menším povrchovým napätím, táto sa bude

adsorbovať prevažne v povrchovej vrstve v dôsledku čoho sa povrchové napätie zmenší.

Takúto látku nazývame povrchovo – aktívnou látkou, napr. mydlo, jar, pur. Iné látky zväčšujú

povrchové napätie (napr. roztok cukru, roztoky rôznych solí atď.). Také látky, naopak,

koncentrujú sa mimo povrchovej vrstvy kvapaliny. Pri ich dodaní do roztoku, ktorý obsahuje

povrchovo aktívnu látku, sa aktívna látka intenzívne vytláča na povrch. Napríklad dodanie

soli do mydlového roztoku spôsobí vytlačenie mydla na povrch roztoku.

Súhrn

5.1 Úvod

Stavebné častice v kvapalných látkach sú usporiadané tesne, ale môžu sa vzájomne pomerne

voľne pohybovať. Atómy, resp. molekuly, nie sú viazané na jedno miesto. Kvapaliny sú málo

stlačiteľné a nemajú tvarovú stálosť – nadobudnú vždy tvar nádoby, v ktorej sú umiestnené.

Kvapaliny a plyny sa vyznačujú vlastnosťou, ktorú nazývame tekutosť. Preto tieto látky

nazývame spoločným názvom – tekutiny. Zavedieme si predstavu ideálnej tekutiny. Takáto

ideálna tekutina je dokonale tekutá, na zmenu svojho tvaru nepotrebuje žiadnu energiu.

V tekutine nepôsobí napätie v šmyku. Ďalšou charakteristikou ideálnosti nestlačiteľnosť.

Zvykom je deliť mechaniku kvapalín na hydrostatiku – zaoberá sa kvapalinami v pokoji a

hydrodynamiku, ktorá skúma kvapaliny z hľadiska ich pohybu.

5.2 Hydrostatika

Tlak p je definovaný ako podiel sily pôsobiacej kolmo na danú plochu a veľkosti S tejto

plochy

S

Fp (5.1)

Jednotkou tlaku je )( Pa,1m 1N 1 2 pascalp .

Základná rovnica hydrostatiky má tvar

konšt. gp (5.8)

kde p je tlak, – hustota kvapaliny a g – gravitačný potenciál v danom bode kvapaliny.

Slovne ju možno interpertovať takto: súčet tlaku (statického) a potenciálnej energie

jednotkového objemu kvapaliny je konštantný.

186

V gravitačnom poli Zeme, ak zvolíme 0g na hladine kvapaliny, je v hĺbke h potenciál

ghg a rovnica (5.8) nadobudne tvar

ghpp 0 (5.9)

kde p je tlak v hĺbke h, konšt0 p – tlak pôsobiaci na povrch kvapaliny.

Tlak p v rovnici (5.8) sa nazýva statický tlak a tlak ,ghph ktorý sa nazýva hydrostatický

tlak.

Pascalov zákon. Zmena tlaku aplikovaná na kvapalinu v nádobe sa prenáša nezmenene do

každého bodu kvapaliny a na steny nádoby.

Archimedov zákon. Teleso ponorené do tekutiny (kvapaliny, plynu) je nadľahčované silou,

ktorá sa rovná tiaži ním vytlačenej tekutiny. Jeho matematická formulácia je nasledujúca

gVF vz (5.12)

kde je hustota tekutiny, g – zrýchlenie voľného pádu a V – objem tekutiny vytlačenej

telesom (rovný objemu telesa ponoreného v tekutine). Silu vzF nazývame vztlakovou silou.

Plávanie. Teleso sa vznáša vo vode, keď t . Teleso padá ku dnu, keď t . Ponorené

teleso stúpa ku hladine, keď t . Teleso pláva na vode, keď t a teleso nie je celé

ponorené. Vtedy mgF vz . V predchádzajúcich vzťahoch t a sú hustoty telesa a vody.

5.3 Hydrodynamika

Pohyb kvapaliny je úplne určený, keď v každom bode vnútri kvapaliny je daná rýchlosť

pohybu jej „čiastočiek“. Rýchlosť v čiastočiek je funkciou polohy aj času, t,rvv .

Rozloženie rýchlostí v čiastočiek predstavuje vektorové pole. Keď rýchlosť v závisí len od

polohy, hovoríme, že prúdenie je ustálené (stacionárne). Prúdnicou budeme nazývať

trajektóriu, po ktorej sa pohybuje vybraná čiastočka kvapaliny. Vektor rýchlosti v čiastočky

má vždy smer dotyčnice ku prúdnici. Keď ľubovoľnou uzavretou krivkou vnútri kvapaliny

preložíme všetky prúdnice, tieto vytvoria prúdovú trubicu.

Rovnica spojitosti (kontinuity)

konšt.vS (5.13)

je dôsledkom nestlačiteľnosti kvapaliny.

Eulerova rovnica

pt

g grad1

gradgrad

vv

v (5.14)

opisuje pohyb kvapaliny, pri ktorom môžu vznikať vo všeobecnosti aj víry. V tomto prípade

je problém veľmi zložitý.

Bernoulliho rovnica

.pgh konšt2

1 2v (5.17)

vyjadruje zákon zachovania energie v kvapaline. Prvý člen v rovnici (5.17) predstavuje

kinetickú energiu objemovej jednotky kvapaliny, druhý člen je potenciálna energia objemovej

187

jednotky a tretí, tlak, možno chápať aj ako potenciálnu tlakovú energiu jednotkového objemu

( 332 mJ 1mN.m 1mN 1 Pa1 ).

V mieste, kde je kvapalina v pokoji, ako vyplýva z rovnice (5.17), je tlak

ghp konšt (5.18)

Tento tlak nazývame statický tlak. Tlak v rovnakej výške h (h je kladné, ak „ideme“ smerom

nahor od zvolenej nulovej úrovne a je záporné, keď ideme dole), keď tam kvapalina prúdi

rýchlosťou v je

2d

2

1konšt v ghp

a tento tlak nazývame dynamický. Vidíme, že pri rovnakom h, tam, kde kvapalina (alebo aj

plyn) prúdi väčšou rýchlosťou je tlak nižší.

Rýchlosť vytekania kvapaliny z nádrže cez malý otvor v bočnej stene v hĺbke h pod hladinou

kvapaliny je daná vzťahom

gh2v (5.21)

Pitotova trubica a Venturiho merač slúžia na meranie rýchlosti prúdenia kvapaliny v potrubí.

5.4 Dynamické účinky prúdiacej kvapaliny

Sila F, ktorou pôsobí kvapalina na rúru pri pretekaní cez pravouhlé koleno je určená vzťahom

21 vv mQF (5.24)

kde mQ je hmotnostný tok kvapaliny – hmotnosť kvapaliny, ktorá pretečie prierezom potrubia

za jednotku času. Smer sily, ktorou rúra pôsobí na kvapalinu je daný rozdielom vstupnej 1v a

výstupnej 2v rýchlosti.

Vzťah 2vp (5.25)

sa používa ako približný vzorec na výpočet tlaku vetra na kolmo orientovanú stenu budovy.

5.5 Reálna kvapalina – základné poznatky

So vzrastaním vzdialenosti od steny potrubia, resp. od dna rieky, rastie rýchlosť vrstiev

kvapaliny až po maximálnu rýchlosť v strede potrubia, resp. na hladine rieky. Medzi

susednými vrstvami kvapaliny existuje tangenciálne napätie, ktoré možno vyjadriť vzťahom

yd

dv (5.26)

Činiteľ sa nazýva dynamický koeficient viskozity (vnútorného trenia). yddv predstavuje

spád rýchlosti v smere kolmom na tok kvapaliny.

Rýchlosť prúdenia kvapaliny v potrubí v mieste vzdialenom od osi potrubia o y je

22

4yr

py

v (5.27)

188

Ako vyplýva z tohoto vzťahu, rýchlosť v priečnom reze potrubia má parabolický priebeh –

najvyššia je v strede potrubia ( 0y ) a najmenšia, nulová, je na stene potrubia.

Prietok reálnej kvapaliny cez potrubie vypočítame podľa vzťahu

prQV

8

π 4

(5.28)

Tento vzťah sa nazýva Hagenov – Poisseuillov vzťah.

Na guľu s polomerom r v neohraničenom kvapalnom (i plynnom) prostredí pôsobí podľa

vzťahu, ktorý odvodil Stokes odporová sila veľkosti

vrF π6od (5.30)

úmerná rýchlosti, ktorou sa guľa pohybuje v kvapaline.

Reynoldsovo číslo, rozhoduje o tom, či je prúdenie laminárne alebo turbulentné

ddRe

vv (5.31)

V tomto vzťahu je kinematický koeficient viskozity, – hustota kvapaliny,

v – prietoková rýchlosť a d – priemer potrubia.

5.6 Povrchové javy

Práca potrebná na vytvorenie jednotkového povrchu sa nazýva plošná hustota povrchovej

energie kvapaliny ináč aj povrchové napätie. Číselne sa povrchové napätie rovná sile,

pôsobiacej v kolmom smere na jednotku dĺžky v povrchovej vrstve

F (5.32)

Táto sila sa snaží zmenšiť povrch kvapaliny. Jednotkou povrchového napätia je

.21 m .J 1m .N 1

Povrchové napätie kvapaliny závisí od vlastností látky, s ktorou je povrch kvapaliny v styku.

Kvapalina zmáča látku, keď sa roztiahne po nej vo veľmi tenkej vrstve. V prípade, keď

vytvára na povrchu „guľôčky“ úplne nezmáča pevné teleso. Medzi týmito dvoma krajnými

prípadmi leží prípad, keď kvapalina zmáča pevné teleso čiastočne.

Pretlak v bubline (rozdiel tlaku v bubline a mimo bubliny) je daný vzťahom

21

11

rrp (5.37)

Tento vzťah sa nazýva Laplaceova rovnica.

Kapilárna elevácia a depresia. Keď do kvapaliny v širšej nádobe ponoríme v zvislej polohe

úzku rúrku s kruhovým prierezom, kapiláru, hladina kvapaliny bude v kapiláre v inej výške

ako v širokej nádobe. Kvapalina, ktorá zmáča steny kapiláry vystúpi v kapiláre nad úroveň

hladiny v širokej nádobe. Tomuto javu hovoríme kapilárna elevácia a zakrivený povrch

kvapaliny (meniskus) je dutý. Keď kvapalina steny kapiláry nezmáča, hladina kvapaliny

v kapiláre je pod úrovňou hladiny v širokej nádobe – nastáva kapilárna depresia a meniskus

je vypuklý.