273

dl.megamadar.comdl.megamadar.com/ebooks/Darsi/Ketab/14-Riazi-Omoomi1_elc... · 2019. 7. 1. · Þ Î ¤ ¤¢ ¢À õ ± µ ªÁ ¢¤¢ ± · » ÷ ´ ¿ ´ ÷ ¢Â ¨ ® \ " ¨ ¤¢

  • Upload
    others

  • View
    8

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • ��� ����� ��

    ������ ��� �� ���� ���� ��� �� ����� �� ��� ����� ���

    ������ � � �

    ��������� �� � ���!��" �" �#�$ �� ���%&'� �b �#� () �� *��� ��+ ,#-. �b /�.�

    0�1�� ,#-. ���� �" !2�) �� ����)� �� 0�3�� 4� ��� ���� �1#� � �533� 6� 7 �� �'���

    � � 1�� �� 8-9 () �� !��" �� !�3� )�� �:/� 4--"��� !)�;" ����� ��� � ���� 4!��"

    4!��" �� �b 3)�?���@ A � � =�39� 0�� �b 3)�

  • ��W 8-9 0��� �� �5��" �" �+� 7 �� U����������� �� 8-9 () �� !��" �� �/" � � ��

    �H�H7 I�J� � ���� ���!��" �� () �� �b���� �" �� �5�� � 9� V��Y-.� �) �R��� 0� -

    �� L A � �� 0� +�� � -53� Z-3�� L� � L� ���>?���@ A � 4F G: �� ��� �Y-. �b���� ��

    48-#�� !��" �� �� �b 3)�. + �O�� �� ,�@ U#-@ 0�P �� �f���� !.� �;-� A� b. �)� I� 9 �:-)�

    � � �� V`�H7W ��� �" -5�� ��

  • ��P A � � N/T A � �Y)� ����� �� � 4!3�� �) �p� �-�) 4!3�� �:�� m

    n6� 7 ��

    p� 0���

    �-53�� Z-3�� N���

    �b ��P �� �!3�� �) �pn ��� G��" ��k#� � ? n ��� �" ��" !��j ����. �� 0� +�� NP�� ��

    S��� E+ ���� ) 0��T�)� �" � �� ���� V�O�� �� ,�@ =��CD 0�PW �0 �O2� S 5+�E+ I�5" FQp

    0��--"����-� �� �:) 0 �O2� ��j$ �� ��Y)� ��9 �� �!.� ���.� 6��j� �� n � �� �+ �� n/�� �)�

    ���!��" � 9� �� =��� �c"� �:-)� %?d�� � -" ���3�� ����� ��� �� !�3� ���-+$ GC9 ��

    �-5�� ����$ Z-3����

    !�O �U�-"�� G

  • �U�3) ��� ���� ����� �� -)��2 �)�

    a� � n�a� � a� � � � a� � a� VKW

    �" U�-���� VFW � VmW 4VKW 0��" A���� �� a� � � ��� �f�#� �!.� ����� � () n� 0$ �� �"

    �U�-"�� ��� �U����� ����� ���� � !.� a� � a� ,#-. ���� ���Y-. a�

    �b����P�� �� =�� ���-5� ����+ �� d�� -)��2 ��� �C-+ � ��� -53� Z-3�� a� � a� ����� ���

    6� 7 �)� �� ������ � �nk 4ak�� � nkak �" �� �5�� � 9� k ����� � �-�) 4.�� �;7

    �!.� a� � a� ,#-. ���� ���Y-. ak

    �U)��� .�� �;7 �� =�� k �� t 2 -)��2 ��� ���������������������������������������

    a� � n�a� � a�� � � a� � a� ����� � � n�

    a� � n�a� � a�� � � a� � a� ����� � � n���� ��� ���

    ak�� � nk��ak�� � ak � � � ak � ak�� ����� � � nk��

    ak�� � nkak ����� � � nk

    VQW

    ���J� ak�� �?$ �� �:) ����� �� 8@ 4!.� ak �� �H�H7 I�J� ak�� ���� 0�'� �?$ �b����

    I�J� �� �� a� � a� �" � �� �#�5 � A�� �b ���� �� � � � �7 � � n�+�+ ���� �� � 4!.� ak ��

    a� � a� �-" i�2 8:���� �!.� a� � a� ,#-. ���� ���Y-. ak �-�) 4-53� ak �� �H�H7

    I�J� �� �� a� � a� �" ���� � 9� �Y-. 0� - �� u � � �� 6� 7 �)� �� 4-�� Z-3��

    �� 8_. 4!.� u �� `�H7 ���J� 1�� a� �" � �� �#�5� d�� A�� �b ���� �� �-53� u �� �H�H7

    a�� a�� � � � � ap �" �� � !��j ��� n�+�+ ���� �� � 4!.� u �� `�H7 ���J� a� �� �����

    G: �� ��� �b���� � -53� u `�H7 I�J�

    ap�� � npap � ap��

    Q

  • �� -)��2 �)� ��� A�R �!.� u �� �H�H7 I�J� ap�� � ap�� � npap �" U)����� �#�5� 4��

    �!.� �)� ���1� 6� 7 �� �������P�� ������ 4.�� �;7 �b����P��

    a� � a� � a� � � � �

    !.� �:����a �5��T� ��-D �-���� u!�c� � �� �H�H7 I�J� �� aj �b �� �#-)� �� �"

    �" ���� 0�'� ��� �)� �#-��� u`�H7 I�J� ���-5� ����+ >

  • � �� ��#)� �OTd� ��� 5� U�-" G7� C� � D� �� A� �� ��� �" ��)� !.� a� ����� A�B�C�D�E�

    �U)��� � a� � a� �)����-� VDE ��� � �� �� AC � A�C� w-53� BC ��� � �� �� AD � A�D�W

    a� � � � a� � a� � � � a� � a�

    !��T� �f�#� 4U)��Y� �B� �� �� a� ��P � a� N/T �� A�B�C�D�E� UB5-� ��/Tr-@ ��� A�R

    U��� ? �-�) 4� �� ���:+ a� � a� n�+�+ �� ��P A � � N/T A � �� ABCDE ���'5� ��/Tr-@

    !��a� � � � a� � a� � � � a� � a�a� � � � a� � a� � � � a� � a�

    �:-)� �� �9 + �� � 4an�� � an�� � an ^)��+ �� 4-�� � ^)��+ an �+ �� ai ��� �/" � � ��

    )@ ��/Tr-@ 0��� �� �Y)� UB5-� ��/Tr-@ () UB5-� ��/Tr-@ �����P 0��" U.� �� ��� ��

    �!�� U��� ? )$��

    an�� � � � an � an�� � � � an�� � an

    � a� 8@ 4.���� �;7 �� �����P�� 1��� �" �<c �� � U�53� FyF ���1� !��T� �� n�+�+ �)�

    z!.� �) ��� a�a��Y)� 6��� �� �) 4-53�� Z-3�� a�

    n��9 �T�)� {� ? � !.� M���� �)O� !�3� �� !�3� �)� �a�a�

    � ��p�

    ���� 0�'� �� �����

    �� G��53� ��)�+��)�� 0����� ) %?d�� ��� � � �5?�- 0�5.�� 0���� �� �J�� �" ���� �C9 +

    ��� �)O� !�3� ����� 0$ i� �� A � !�3� �" -53����� �/��53� 4�� \OT� n.�-+ �B�

    N/T �� N��� () �C�$ �� ��� �" ���� �� ��s)� �)� 4��G��53� �)� >

  • �� �)W ���'� 6� 7 �� ����� A��5� �3) �� =�B� �" � ���� n/�� �)� �� )�� �#-)� ��

    �Y-. �� =�� k �� VFyFW g���� �" �) � !�3� () �!�� � 9� 0�5.�� 0�� ) 0��� �� V�Y)� ��-��

    ��� ���� ,)��� �)� 6� 7 �� .���

    n� ��

    n� ��

    n���

    ���nk��

    ��nk

    VLW

    �U)��� VQW g�� �" �-" �9 + �-����� V�� 5&� �)W ���-5� G3/3� �3" () �� �+��� ��-Da�a�

    � n� �a�a�

    � n� ��a�

    a�

    � n� ��

    n��a�

    a�

    � n� ��

    n���a�a�

    �� ��� �� 5&� G3/3� �3" �) ��� ���!�3� �� � �� �U�.��� VLW �� VQW �� ���;5.� �b ���� �� �

    �)$�� !.��� �)� ,)��� �)O� !�3� �� � �� Of c�

    �� ���

    ��������

    V|W

    �� �:/� 4��� �b����� ,)��� ���� �� 4���� UC� ��������" 6��T�)� �� 1�� ������ G3/3� ����3"

    ���B� 6d

  • 4� � ���� � � � � n� � ��� �� �:) )�� �����P�� �� 4� '� �;7 ��Yq�� �����P� � ��� �!.�

    �� ���'� =�P�� 8@ 0$ �� � �� ? ���� =�� ��� ���� �������P�� 4���:+ ��� n �� �f��P �)����-�

    4� '� �� 5&� mn���'� ,)��� ��� �)����-� � -�� ? ���:+ �����P�� �)� � C� ����� 6� 7

    ����-+ df �� �" ���'� �3" �� �)����-� � -�� ? ���:+ ����-+ 6� 7 �� df �� ��'� �� 8@ =�P��

    �Of c� 4n�+�+ �)� ��� �) � � () �Y')��� �� +��� ���

    ����������������� � � �

    � 9� 0$ �� I��-+ 0�:�� � ��)�� ,)�12� �/�P �� !�3� �:) ��� �� �;7 ���e /� A � 0$ �� �"

    ���() �f�P�� d�� 6��� �)$ �" !.� �)� ����� �" ��� b. �C-+ �!3�� mn �3" u�� ����� ����

    G: �� 6��� �� 0� +�� �)$ 4�/" � � �� �) ]!.�

    c��c�c�c� � � �

  • ��� ����� ��

    ��� �� � ���� � �� ���� ��� �� �� ��� �� ���� ����� �� ���� � ��� �� � �!� �"#$ %�&

    '(���� ���)�* ��+ ������ � � � ��� ����,-* .� /��� �0� �12� �� �� � ���� � � �

    ��������� � � � 345

    '��� ���� 6�7 �� ���� ���� � ��� �0* ����� ��� �80�� /��� 9��� �:#) ����� �� ��

    9%"�7 ;�� (���� .� ���

    9%"�7 ��� �� .� ��

  • ��� � ��� ���� 1#� �� H�� �� ���0� ��� ��� ���0,MD�� �SD .� �� %��� �$�) ���� @����,D

    @�D���* I��,� .�-* ��"D� W���� �� �8 * Z�� *

    �G:D �� /�$ �� ��� @1��� L��2 ���0* 345 /��� ��� 1����H [��� ��0�� �3=>�5 ���* ��

    ���� � \�2� �*�V* (���� ��� �1���P� �SD �� �� ����� � � � �� (���� 345 �� 3���&*�D �*���5

    '����

    �� � ����� � � � �� � �� �����

    � � � �������

    I�.��D� �� 1� %�� ���� �BG2 ��� ��� ����� ��� �� 345 (���� ��� @1�0��* %��N) ]�H � ��

    %�� �8,* �� /��� �>� @�.�� � 87�� �� �+ �D��)�,D �� �� ���� X�2�� ���6C� �� ���. ���� ��

    .� � ��6� ����

    .� �D��)�,D ��� ��� 9���� �D��)�* �� .� � ��6� ��:7 �N���F ��� ���� 345 K��)

    '������0� @��� � ��6� �� .� ��M�� .� ^� X� � 12� %"����* (�� �+ �� �� ���. ���� ��

    �� � ��������� � � � � �� ��

    ���3_5

    %�� /��� ���$� (�� �� ���������� � � � R�)�) ���� @���� ���2�� � �� /�.��� ���� 3_5 �� G���

    @� � ������ � � � ��0��* `� � �� /�.��� 3_5 /��"*�D �� ��

    @�0� `� � �� /�.��� 3_5 /��"*�D �� %�� �8,* ��� �� �N���F ��� �����

    �� D� �� ��� 2 ���� �� � ���� � I�.� � �� � �� /�.�� � �� �0�� � � ��� ��$� �� � � ��� �� ��� �� �

    �7�� I��O>� �� ���)�* �� ����

    �� � C�� a�6� �� ��7 @%�� � 87�� ����

    �� .� ��� �� ��� �� #�C

    � @� � �� ^� ����� � 87�� /��� �� .� ���� �� � � �#�C �%H��

    /��I.�� �� ,� �� ���� /��� ��07 @%"�7 �,b * 3_5 ��c�� �� /��� ��$� �� 1�0���* ��0��

    ��7 �� ��0� �$�) @���� ���2 ���� �� � ���� �

    �� � �� � �� � � � �

    �� � � � �� ��

    ��� �� �

    ���� � � �

    _

  • '�0 "� �) �� �) ��I.�� ���

    � � � � ���� �� ��

    ���� � ���� �� �

    ��� � ���� �� � ��

    ���2 ��I.�� ��� �� ,� �� ���� ������� � � � �E�C ��� � ���� ��H %��� %,� I�.�� ��� �>�� I.�� ��

    �� ���� � "� /��I.�� �E��:D� �� >��D� ��� �� �0��* 18F � KH1�D ����� � ����� .� �* ��V� @����

    ��,� �� �� ���� ������� � � � ��G:D ��,� ��7�D �� ���� �� ��� ?��: * � KH1�D /�� �G:D �) ��

    KH ���� � ���� .� �* W���� .� ��6$ �8#� %"�D (��d� L��2 ���0� �� � %�*�,) L� 1�: "* �-� D �����* �i��� ��N* ���0� �� �� ���. �� 8D

    '1�0� ����� �� ��. ��� 1����H�* ����

    ����� � � �

    �� � %�� ��� �� �BG2 ��� %�*�,) L� \�� @� � � �� /�.��� �� � � � �� � � �-0�� �� ^�

    '�0��* `� ��. /��/��"*�D ��,�

    ��� � � ��� �� �

    � ����� � � � � ��� � � ��� �� �

    ��

    ���� � �� � ������ � � ��

    j

  • '1���� 4g_ \�� ������0� @�0��* `� � �� /�.��� /��"*�D ��,� �� 6�D _ ��� �P�� �C�� .�

    ����� � � � � �

    ��� ��0� %��d L�2 ��N* k�� �� @� � �� /�.��� �� � � � �� � � ��0� Y�C ������

    ����� � � � ����� � � �

    @%�� ����� � � � ������� � �� �����

    /��M�� (�� �� �� �b� �� �0� ���� �� 1��� ��MD l&� L�,8) /��� %�� X.; �-0�� ��

    �� � � � �� �>�� * m�& ��� �� ����� � .� /�b� � ��� @%�� [��,D L��2 X� O*�D �� X� O*

    ��6-) �6-* I�.����. 4Q �� ��. (�� �� �� ���� �� � �� I�.�� ��� @�� � � � �� � � �� %C�� ���)�*

    '1�0�

    ���� �� ��

    ������� �

    ��� �� �

    ���� � � � � ��� �

    ��� �� � ��

    ���� � ���� � �� �����

    ��� � b � � AB N * ����� ��� 2 I.� � 4Q � �� .� � 8 � � V 0 ) � � � �� � �� �

    '%��D ���)�* (�� ��� �� �� @%�� ��� � ���� � � � ��

    �� �����

    � � � �� �����

    ��

    ��

    �-� D � I��� � �6-) ����

    ��� � � I�.� � 4Q � � �� ��� � ���� � �� ���

    ��� �

    ��� I�.� � R� )� ) ��,� � �

    '�� /��� �� ���� ��$� �� �,2� �� 1�����*

    �� �����

    ������

    � � � �� �����

    ������

    ��

    ���

    AB N * ��� � n 7 % , � � �� V D� �� G : D � ��� � �B : � 2� � �� *� � �� � �� �L , � � �� �� *��� � �

    � ����,D =2� * �0���C ��� (�� ��� ��o �� @� � ����� � � � �� 1���� �� � �� � ���� � � � �� �����

    '%��� 1����H

    �� ���

    ��� � � �� ��

    ���� � � �� �

    ��

    ��� � � � � ��

    ���� �

    ���� � ������ � � � �� /�.���

    � �� ���

    ��� � � � � ��

    ���� �

    ���

    p

  • @1���� [��,D ��������� � � � �� =��) \�� ��0� `� ��/��"*�D ��� ��,� �� �� �� /���

    �S D � � � )�# � �%�� � )��-* �� ����* � i��� /�P �� ��� * L8� � � %�*�, ) L� ;B �, *

    L� (�� ��� �i��� �,E @����D �� 4Q �"��D��� /�0�* �� 3_g_5 /���U �P "��� � ����*

    �* ���0� ����

    @�� �� 1���� � ��� � ����,-* /��� � /;�� ���� �� /�.��� 3?

    �� �� � �� ��� �� ���. %�� ��C �� �

  • AB N* @����D �� ���� � �b� %�� �8,* � �� ��,-* ��;�� ���� ��� 87�� �� %�� ��!) �� X.;

    �>� �����* ����� �b� �� %�� ;�� ���� ��� 87�� _ ��� ������ � ����� �� ��,-* �� �� /���

    @%"�D ����� �b�

    �� �� �� ��� �� X�V* ��� �� �0 "� ���* %�*�,) L� (�� �� �� 1����* ��MD ��0��

    @%�� (��d� L��2 I�� � C��!� L� .� /�P�� �1���!r�

    /����,-* �� � R�)�) ���� @����* �-� D �� X�� (�� ���� (�� 1����* ��MD %"OD

    �b� �� @1�0��* �i��� �� ��;�� ���� ��� 87�� �+ /��� � ���� ��;�� ���� �� 1�����* � .� �V)�D

    /��[��,D ��� m�& DZ�6$� ��� �� ����� ;�� ���� � ��7 @1����* [��,D /��M�� (�� �� �� �

    � .� � ��6� /�b� � �� ���� ��� �� /��� (�� ��� ��o ��5 ���� ��$� ��� ��6� /��M��

    �� �� � /�b�� ���* �� m�& DZ6$ ��� ��6� @3��� ����OD ��;�� ���� /���� � � %��� ����H

    � %�� I�� L�8M) �� m�& DZ6$ �� /�b�� .� �� 1�����* � �� ��,-*��. �� �� ��F @1�*�D�*

    @���� ���� � � � �� ����� .� �8� ���� 12� ��� @1�0��* I�PD �� /�b�� ��M�� .� ^� ��� 12� ��

    �� �� ��,-*��. �� �� ��F @1�*�D�* �� �� �� /�b�� ���* ��$�* ��M�� .� ^� ��� 12� ��� ��6�

    I�PD �� ��0� ���* �� ��M�� .� ^� X�� 12� �� � �D���* s��� ����� �� [��b�� �� 1�����*

    � � ��������� � � � ��F @1����* �*��� �� ;�� L,� � 1�*�D�* �� �� ��$�* 12� ��� ��6� @1�0��*

    '�� %�� JOM* � %H�� k�� .� � %�� ��� �� %�*�,) L� \��

    �� �����

    � � � � ������

    � � � �� �����

    � � � �������

    ��

    ���� � ������ � � � �� /���

    %�� � /��� ��;�� ���� � �80�� @%�� � �� ��,-* /��� ��;�� ���� ��� 87�� � 1�0��* ����

    ��$�* 12� ��� ��6� � X� � 12� �#F�* �� �� e2�� �� �����* �-� D n7 %,� /��/��"*�D .�

    ��� �� ���. ����D ��$� � /��� � .� /� 87�� ��;�� ���� I�A� �� @�� ?�O D� � ��0� ��� ��

    � 87�� ���� ���� ��U�0 * 12� �#F�* �� �� ����� � � ��������� � � � .� � 87�� �� � ������������� � � �

    12� �� �D��� ��$� � .� /��0� ���� t� � � � /�.��� ��� ��>�� /��� ����� � ��� ��� @���� �� .�

    � /��� ;�� ���� �D��)�,D � %�� � 87�� � ��0� �b� .� �� ^� �%�� ���

    .� � ��6� �VD+ X� �

    u

  • @����

    %�� d �0� @����* �-� D �� ��� (�� �%�*�,) L� X�� (�� 1�0��* %�� d ^8>� �

    �0� �X�2�� �� ��,-* �� �� �� � ���� ������� � � �� ���,-* .� m�& ��� �� �� I���� 1�0��*

    '�� ���� ��$� � /��� I�PD+ ������ � � � ��� ����,-* /�b��

    �� �����

    � � � �������

    � � � �� �����

    � � � �������

    ��

    ���� � ������ � � � �� /��� 3j5

    '1�0��* =��) ��. (�� �� �� � ����,-* ���� ��� /���

    � � ���� ������ �������� � � ��

    ��� 87�� /���� �%�*�,) L� X�� (�� \�� ^� �3�� � � AB N*5 ���� ;�� ���� ���,-* ���

    `� 3j5 /��/��"*�D �� � ��� ��� 1�0� %��d ���� @1����* [��,D � �� �� %�� ��;�� ����

    � 87�� ������� � � � �� .� �� v�� .� � ����* ��MD %�� � /��� ��;�� ���� � �80�� @�0��*

    ��� �0���D ���2�� %��� %,� /��/��"*�D ��� ��F @�D���2�� n7 %,� /��/��"*�D �0� �%"�D

    �� ���� ��$� � �&�&

    �� �����

    � � � � ������

    ��

    ���� �

    � � � � 0 � � $� )5 % �� � ��6 � � � � 0 � �� , � .� �� � ���� � � � � � ����� � ���� � >�

    �� %�� I�� %C� � � .� � 87�� � /��� ��;� � ���� �� ���� �� 0 � 3��� � � ������ � � � �� � ����

    .� %�*�,) L� ��� (�� R�)�) ���� @%�� � ��;�� ���� ��� 87�� ���0� �� � ?�O D� ZAH

    @����* �-� D X�� (��

    ���0� �� �0* ����� � C��!� �O���) �SD .� @��� %�& 6�D ��0* ������ .� %�� X.; �-0�� ��

    �� (�"#$ �� �� ��*���* ������ �� I��,� [���,� �0* ����� e2�� �� � ��M� ��� ����2 ���

    @�D�� � C��!� ����� ���0� �� ��$ 1#� � M�� ���) �� /�A�* 1��6D�� ��2 �� �� �0���H w�G*

    �� 0��2 @%�� L*�� %��� KH �� �� n7 /�� �� � KH1�D X���) �0* ����� �C�* I�� ���)I���

    x

  • R�)�) �G��� � 1�0��* ��,�� �� y�D��* /��$ (��#,� �1����* [��,D ��� �� �� � �� � �b� ��

    �� � � �0* �%�N* ����� �� ��,-* @1�0��* ��S0* �� ���� ���2 n7 Z�� �� � /�0* �� � �

    X�� (�� @1����* [��,D � �� � 1�*�D�* ����� ����� �� ���� �0�+�* %���� \��� ����

    '%��D �:�:F ����� /��� �B0�� ���)�* �� %�*�,) L�

    ����� � ��� ��$� ��;�� ���� � .� � �V)�D �� ��,-*��. /��� ���@� ��� ����� �� �����

    @���� ��$� ��;�� ���� ��� 87�� �� � /��� I�PD+

    I�A� �� @1�0��* ��!��� I�0D��H �� ���,) ���0� �� ����* �-� D 3jg_5 .� 3pg_5 �80��

    18F � ��� =��) ��/��"*�D ���� �D� ��� �� 6�D �� ����� ���� ��� ��6� � ����� ���� X�V* ���)�*

    '%C�� �-� D �� ��.

    ��� ��6� � /��� I�PD+ ����� � ��� ��$� �0���� ���� � .� � �V)�D �� ��,-*��. /��� ��� �����

    @���� ��$� �0���� ����

    �� �#� .� �� ����P� �SD �� �� �� �� ��,-* @���,0���5 ����P� �-� D 3pg_5 .� �� 3qg_5 ������

    @3%�� I�� L�8M) �� � � /�.��� ��� ���

    ��� �V0) � ��� � %�� ��;�� ���� ��� 87�� � �� ��,-* /��� � ��;�� ���� ���� ��MD ������

    @� � ����

    �� ���� � ��� ��$� � .� � .� /�b� �� ���� ��� �� /�.���

    L � 2 � 0 D� * �B 0 � � ��� � � ��� � ���� � ���� � /� �I.� � �� 0 �� � � : � : F ��� �� � � I� �� �

    � �� �� .� �� < : * � �� � � � � �� �� �� , - * ����� .� �� < : * @� D� �� * = �� )

    @�D���* =��) ��� �� � ����� /�����,-* R�)�) ��,� �� @%�� �� � � � � ��V���,-*

    z

  • (1) Íܵ¿õ ¢Àä

    õÀÖõ .1 x

    ø ©¤Þª Τ ¤¢ ¢Àä ôúÔõ î ÝþÀþ¢ .Ýþ¢Âî ´±½¬ üÖÖ ¢Àä öõ µªÁð bÆÜ ø¢ ¤¢

    ßØó .¢ ¢øÀ½õ Ýõ÷üõ ´±·õ ýþð ¢Àä ¥øÂõ »÷ ´Æ¿÷ ø Àõ ÀþÀ û´Þî ýÂðù¥À÷

    Ã÷ üÔõ ¢Àä ø þð ¢Àä î üÞÆì ¢Âî ¹þ ¤ ¢Àä ôúÔõ b 㨠üÞÜä b ¹ ¤ø®

    .¢ªüõ ùÀ÷¡ ,R ,üÖÖ ¢Àä bäÞ¹õ ¥øÂõ ,ÝûÔõ ßþ bäÞ¹õ ø À÷Àª µ¡ª \¢Àä" öä

    ôÜãõ ´Èðüõ ¨ ¤¢ ¢ãõ Û ñøÁ±õ ý¢õ Ýû¢Ã÷ª öÂì ¤¢ î üþûǪî üÏ ¤¢

    .¢¥¨üõ ÛÌãõ ¤¢ ¤ ûǪî ßþ î ´¨ üþûüµ¨î ©¿µ¨¢ ¥û üÖÖ ¢Àä ôúÔõ î Àª

    x°Æ 3 ¤¢ b ó¢ãõ Âû .Ýîüõ ü¨¤Â öî ¤ á®õ ßþ ,¾þ¤ ý¥¨¥ üîÀ÷

    :´ª÷ Âþ¥ ¤¬ x3 b ÜÞ °þ®  ö¢Âî ÝÆÖ ¥ Å öüõ ¤ üÖÖ °þ®

    x3 + ax2 + bx+ c = 0 (1)

    (1) ó¢ãõ ,x = t� a3Ýû¢ ¤Âì Âð .¢Âî éÁ ¤ ôø¢ b ¤¢ b ÜÞ öüõ ù¢¨ üþÃÚþ ×þ

    Ûت

    t3 + pt+ q = 0 (2)

    b ó¢ãõ Ýîüõ Ǫî ñ .ÀµÆû c ø b ,a °þ® °Æ üþû¤±ä p; q ö ¤¢ î Àþüõ ¤¢

    1

  • Ýþ¤¢ ,t = u+ v ÝÆþ Âð .Ýî Û ¤ (2)

    (u+ v)3 + p(u+ v) + q = 0

    u3 + v3 + (3uv + p)(u+ v) + q = 0(3)

    ý .Àþüõ ´¨¢ (2) ý t = u+ v ×þ ,Àî ëÀ¬ ó¢ãõ ßþ ¤¢ î u; v ø¥ Âû ýÂ

    ¤Ñµ÷ î ´¨ ñú¹õ ø¢ ó¢ãõ ×þ (3) î Ýîüõ ùÀûÈõ ´Æ¿÷ üø¥ ß ö¢¤ø ´¨¢

    .Àª µª¢ ´þú÷ü f Þãõ Ýþ¤¢

    :Ýû¢üõ ¤Âì .ݨ üÊ¿Èõ Ýîüõ ü㨠,u; v öõ ÂÚþ¢ bΤ ×þ ö¢øÃê

    uv = � p3þ 3uv + p = 0 (4)

    :Àþüõ ¤¢ Âþ¥ ùÚµ¨¢ ¤¬ (4) ø (3) ¤¬ ßþ ¤¢ î8><>:

    u3 + v3 = �q

    u3v3 = � p327

    (5)

    î ÝÆþ ôø¢ ¤¢ ó¢ãõ ×þ Ý÷üõ v3 ø u3 ´Þî ø¢ ®۬ ø áÞ¹õ ßµª¢ ñ

    :Àª v3 ø u3 ÇþûÈþ¤

    z2 + qz � p3

    27= 0 (6)

    Å

    z =�q �

    qq2 + 4

    27q3

    2

    (2) ,t = u + v ¥ ù¢Ôµ¨ ø ú÷ °ãî ßµêÂð Å ,ÀµÆû v3 ø u3 Âþ¢Öõ z ø¢

    :Àþüõ ´¨¢

    t =3

    vuut�q +qq2 + 427p32

    +3

    vuut�q �qq2 + 427p32

    (7)

    üóø ,´¨ 3 ¤¢ ¢ãõ Û Ûõî ¤µ¨¢ fÂûÒ ´¨ éøÂãõ 1÷¢¤î ñõÂê î ñõÂê ßþ

    :¢¥¨üõ õ ¤ ÛØÈõ ø¢ ö ¥ üÜÞä ùb¢Ôµ¨ ø ëê ¤±ä ¢¤õ ¤¢ ´ì¢ üÞî©ø¤ ø ñõÂê ßþ ¢ªüõ µÔð î üþóµþ ÀÞÈ÷¢ (1501-1576) Girolamo Cardano ÷¢¤î õ øÂ1üÔ¿õ ÝÆì (1499-1557) Niccol�o Tartaglia ó¤ óØ÷ ýÂÚþ¢ üþóµþ öÀ®þ¤ ¥ âìø ¤¢ ¤ ëê Û

    .´¨ ù¢Âî ´êþ ¤¢ ö ßµªÀûÚ÷

    2

  • .Àª µª¢ ø¢ þ ×þ ,ºû ´¨ ßØÞõ ,ax2 + bx + c = 0 ,ôø¢ ¤¢ b ó¢ãõ ×þ (1

    ¢ãõ .´¨ ø¢ ¢ø öØõ ÂÚ÷ x= �b�p

    b2�4ac

    2üãþ , ñõÂê ¤¢ � ¢ø

    ¤ ×þ ÍÖê fÂûÒ (7) ñõÂê üóø Àª µª¢ üÖÖ ¨ ´¨ ßØÞõ 3 ¤¢

    ¤¢ (2) ý t = � ×þ f ·õ Âð î Âþ¥ ´Æ÷ üÜØÈõ ßþ ÛÞä ¤¢ .Àû¢üõ ´¨¢

    :ÝÆþ Ý÷üõ ,Àª ´¨¢

    t3 + pt+ q = (t � �)(t2 +At +B)

    ÂÑ÷ ñ ßþ .Àª Àû¡ À ÂÚþ¢ üóÞµ ýû t2 +At + B = 0 ü¨¤Â ø

    Âþ¥ ñ·õ .´Æ÷ ¤¢¤¡Â ôø¢ ¤¢ ¢ãõ Û ñõÂê Èõ üµõÞä ¥ (7) ñõÂê À¨¤üõ

    :ÀþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

    t3 � 3t+ 2 = 0

    b ó¢ãõ ýû Å ,´ª÷ (t� 1)2(t+ 2) ¤¬ öüõ ¤ t3 �3t+ 2 ¤±ä

    :Ýþ¤¢ q = 2 ø p = �3 ,ÝþÂð ¤î ¤ ÷¢¤î ñõÂê Âð ñ .1;1;�2 ¥ À¤±ä

    t =3p�1+ 3

    p�1 = �2

    .¢ªüõ Û¬ û ¥ üØþ ÍÖê ø

    öä p�1 Ûت üþª ßµêÂþÁ ø ¢Àä ôúÔõ b 㨠¹õ î ¤ ýÂýÀ ÛØÈõ (2

    :ÀþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ Âþ¥ b ó¢ãõ .Ýîüõ ¼þÂÈ ñ·õ ×þ Âî£ Àª \¢Àä"

    t3 � 6t+ 4 = 0 (8)

    ýÂð¤µîê ¤ (t� 2) ÜÞ öüõ Å ,Àîüõ ëÀ¬ ó¢ãõ ßþ ¤¢ t = 2 î Àî ùÀûÈõ

    :Ýþ¤¢ ø ¢Âî

    t3 � 6t + 4 = (t� 2)(t2 + 2t� 2)

    3

  • :Àþüõ ´¨¢ (8) ó¢ãõ ýû b Üî t2 + 2t � 2 = 0 ö¢¢ ¤Âì

    t = 2 ; �1�p3

    :Ýþ¤¢ (7) ñõÂê ¥ ÂÚþ¢ üêÂÏ ¥

    t =3

    s�4+

    p�16

    2+

    3

    s�4�

    p�16

    2

    :´ª¢ Ýû¡ Ýî ¬¡ 4p�1 p�16 Âð

    t =3

    q�2+ 2

    p�1+ 3

    q�2� 2

    p�1 (9)

    íØÈõ üãõ ÂÑ÷ ¥ ùøä ø ´Æ÷ ùÀª Âî£ ¨ ¥ ×þ ºû ÂûÒ ¤¢ ¤±ä ßþ

    µ õ Ýû¢Ã ÷ª öÂì ö÷À ® þ¤ .Ý þùÀÈ÷ Ûþ ì üþ ãõp�1 ý ö î î  þ¥ ´¨

    ÛìÀ þ ¢¤¢ üãõp�1 Àî Âê .Àª Û¨µõ Âþ¥ ý¤¬ b ±¨½õ öüõ î À÷Àª

    ¢½  î Àî ¤¬ ßþ ¤¢ .¢¢ ô¹÷ ¤ ý± ý¢ä ±¨½õ ö öüõ

    :(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

    (1+p�1)3 = 1+ 3

    p�1� 3�

    p�1

    = �2+ 2p�1

    :¢ªüõ ù¢¨ Âþ¥ ¤¬ (9) Å ,(1�p�1)3 = �2�

    p�1 Ýþ¤¢ fúÈõ ø

    t = 1+p�1+ 1�

    p�1 = 2

    ÜÞä ¢Àä ×þ ¤¬ ö Âð ,ݵÆ÷ Ûþì üþãõp�1 ý î ßþ ÝèÂÜä üãþ

    À÷õ ýÂþ¢Öõ ¢¡ µî ¤¢ ÷¢¤î !¢¤ø Ýû¡ ´¨¢ ¤ ó¢ãõ ,Ýû¢ ô¹÷ ý±

    Èõ ý± ¤µê¤ ßØó ø ÀµÆ÷ ¢Àä ¢¡ À Âû î ¢Âîüõ ¢ÀÞÜì \ý¥¹õ ¢Àä" ¤p�1

    ¢Àä ßµêÂþÁ î ö»Þû ,À¨¤ ¢Àä ¢¤õ ¤¢ üÖþÖ öüõ ú÷ ×Þî ø À÷¤¢ ¢Àä

    .Àîüõ ¤Þû ´±·õ Âþ¢Öõ ü¨¤Â ý ¤ ù¤ ± ¤¢ üÔõ

    4

  • üþãõ ±ã ø ´êþ ®þ¤ ¤¢ ¤ ¢¡ ý f¹þ¤À ö ñ·õ øp�1 ôúÔõ öÂì ¨ ø¢ üÏ

    ¤³¨î ý¦øÂ÷ Æõ À÷¢¢ ¤p�1 ý ü¨Àû ý±ã î ý¢Âê ßóø .Àª ¤ ö ý üÖì¢

    «¡ ø ¢Àä ÷ð ßþ Õì¢ ø âõ ü¨¤Â üóø À÷¢ 3öð¤ Âø¤ ö¦ üÆþ¨ ¤ÀÆ ø 2Û¨ø

    ¢Àä" ¢¤¡Â ý¥øÂõ ©ø¤ .5À¨¤ ñÞî 4§øbð ü÷Þó ï¤Ã öÀ®þ¤ ¤ ¤¢ ú÷ ý±

    ¤¢ ¢ãõ Û ,ùÀþ ýûÇ¿ ¤¢ Íܵ¿õ ¢Àä ü¨¤Â ¥ Å .´¨ §øbð ©ø¤ \Íܵ¿õ

    ¤¢ Âð Ýþ¢Âî ¤ 3 ¤¢ ¢ãõ Û ý î üªø¤ ¢¢ Ýû¡ öÈ÷ ù¢Âî ü¨¤Â f¢À¹õ ¤ 3

    .¢ªüõ ¹õ ó¢ãõ ýû Üî ßµêþ ø ´¨ Ûõî üªø¤ ,¢Âð ô¹÷ Íܵ¿õ ¢Àä ¤

    Íܵ¿õ ¢Àä üêÂãõ .2 x

    xy üʵ¿õ b½Ô¬ ñ .Ýþù¢¢ ¤Âì ´¨¤ Í¡ ×þ ¯Ö÷ ×þ ×þ ÂÒ ¤¢ ¤ üÖÖ ¢Àä

    üÖÖ ¢Àä üãþ ,Ýîüõ ´±· üÖÖ ¢Àä ùÚþ öä ¤ ö ¤¢ x ¤½õ ø ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤

    ¢Àä ôúÔõ ¥ üÞÞã ½Ô¬ ôÞ Í¡ ßþ ¥ ¤Áð .Ýû¢üõ ÇþÞ÷ (x;0) b ÎÖ÷ ¤ x

    ¥ z0 = (x0; y0) ø z = (x; y) b ÎÖ÷ ø¢ ý .´¨ üÖÖ ¢Àä ùÀ÷Â𠤢 î À¨¤ Ýû¡ üÖÖ

    üãþ ,\üÖÖ ¢Àä" Âð î ¢Âî Ýû¡ ÓþÂã ý¤Ï ¤ ®۬ ø áÞ¹õ ôúÔõ ½Ô¬

    (x+ x0;0)üãþ ,üóÞãõ ®۬ ø áÞ¹õ ôúÔõ öÞû ,¢ª ¢øÀ½õ (x0 ;0) ø (x;0)ýûø¥

    .Àû¢ ´¨¢ ¤ (xx0 ;0) ø

    :Ýîüõ ÓþÂã z0 = (x0; y0) ø z = (x; y)ýÂ âÞ (1-2)

    z + z0 = (x+ x0; y + y0)

    Caspar Wessel2

    Jean Robert Argand3

    Carl Friedrich Gauss4

    :Àî ãÂõ Âþ¥ µî 3 ÛÊê Íܵ¿õ ¢Àä ôúÔõ ñ½ ü¿þ¤ ¨ ãóÎõ ýÂ5Ebbinghaus, H. D., et al Numbers, Springer 1991.

    5

  • ø Àû¢üõ ÛØÈ ¤ á® ý¥µõ ×þ §b¤ ¤ú z+ z0 ø z0 ,z ,0 = (0;0) ¯Ö÷ °Â ßþÀ

    .(1 Ûت) ´¨ ʵ¿õ bÀ±õ ¥ âϨ ýû¤¢Â ý ý¤¢Â âÞ öÞû ¯Ö÷ âÞ ÛÞä

    x

    y

    O

    z

    z0

    z + z0

    âÞ«¡ (1-1-2)

    .z + z0 = z0 + z (üþ¹) ýÂþÁ Ëþã (1-1-2)

    .z + (z0 + z00) = (z + z0) + z00 ýÂþÁ´îª (2-1-2)

    î ´¨ üðÄþø ßþ ý¤¢ (ÎÖ÷ ßþ ÍÖê ø) 0 = (0;0) ÎÖ÷ Âü ÂÊä (3-1-2)

    z + 0 = 0+ z = z

    ¤¬ z üÔõ þ þÂì ,z = (x; y)ý þÂì ÂÊä (4-1-2)

    �z = (�x;�y)

    :î ´¨ üðÄþø ßþ ý¤¢ (ÎÖ÷ ÷Úþ) ø ¢ªüõ ÓþÂã

    z + (�z) = (�z) + z = 0

    ¢Àä î ,Ôób õ Âû ý ÂÒµõ üðÄþø î À÷ªüõ ¹µ÷ ßþ ¥ ü𢨠Þû ÂîÁóëê «¡

    .´¨ ¤Âì ,´¨ üÖÖ

    ÂÑ ÷ ßû£ ¥ ¤ø¢ ¥ è ¤¢ z0 = (x0; y0) ø z = (x; y) ®۬ ÓþÂã ® (1-2)

    î áÞ¹õ é¡ Â î Àî ´Æ¿÷ .Àª Àû¡ ߪø¤ ö ´ä®õ f¹þ¤À üóø À¨¤ Àû¡

    6

  • ¤ø¢ î Àª Àû¡ ü¬¡ ¥ø ßÞ̵õ ®۬ ý üÔþÂã ß ,Àª ÓþÂã Ôób õ Ôób õ

    î ¢ªüõ ¹µ÷ ,Ýî ÓþÂã (xx0 ; yy0) ¤¬ ¤ z � z0 Âð .´¨ üÖÖ ¢Àä §÷bõ «¡ ¥

    «¡ é¡ î ,¢ªüõ ÂÔ¬ ,ÂÔ¬ Âè ÂÊä ø¢ ®۬ üãþ ,(1;0) � (0;1) = (0;0)

    ¢Àä ®«¡ ±ª ¢Âî Ýû¡ ÓþÂã î ü®۬«¡ .´¨ üÖÖ ¢Àä ý±

    (x;0) � (x0;0)®۬ üãþ ,¢ Àû¡ ¤ð¥¨ üÖÖ ¢Àä ®۬ ø ´¨ üÖÖ

    .¢ªüõ (xx0 ;0) ÂÂ

    ½Ô¬ ¤¢ ýÎÖ÷ zz0 .Ýîüõ ÓþÂã Âþ¥ ¤¬ ¤ z � z0 ,z0 = (x0; y0) ø z = (x; y)ýÂ

    Âð Å .´¨ bÀ±õ ¥ z0 ø z Û¬ê ®۬  ʵ¿õ bÀ±õ ¥ ö b ܬê î ¢ Àû¡

    .´ª¢ Àû¡ ¤Âì 0 ÃîÂõ rr0 á㪠ùbÂþ¢ ýø¤ z � z0 ,Àª r0 ø r °Â bÀ±õ ¥ z0 ø z b ܬê

    zz0

    z

    z0

    ��0

    � + �0

    r

    r0

    rr0

    7

  • z

    y

    x

    r

    ø z 6= 0 Ýîüõ Âê ñ .zz0 = 0 fõøÃó ¹µ÷ ¤¢ ø Àª Àû¡ ÂÔ¬ r0 þ r ,Àª ÂÔ¬ z0 þ z Âð

    ø ÝþÂðüõ z 0 Û¬ø Í¡Ý÷ x ¤½õ ´±·õ Í¡Ý÷ ¥ b þø¥  ¤ �¤¬ ßþ ¤¢ .z0 6= 0

    0 ñ rr0 á㪠ùbÂþ¢ ýø¤ ÎÖ÷ ö ¤ zz0 öî .ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ z0 ý ¤ �0 °Â ßÞû

    .Àª � + �0  ö Ûõ á㪠x ¤½õ ´±·õ Þ÷ ¥ b þø¥ î ÝþÂðüõ

    ®«¡ (1-2-2)

    .z � z0 = z0 � z (üþ¹) ýÂþÁËþã (1-1-2-2)

    .z � (z0 � z00) = (z � z0) � z00 ýÂþÁ´îª (2-1-2-2)

    î ´¨ üðÄþø ßþ ý¤¢ (ÎÖ÷ ßþ ÍÖê ø) (1;0) bÎÖ÷ Âü ÂÊä (3-1-2-2)

    z � (1;0) = (1;0) � z = z

    î ¢¤¢ ¢ø z0 (¢Âê Âʽõ) ýÂÊä z 6= 0 Âû ý §Øãõ ÂÊä (4-1-2-2)

    z � z0 = z0 � z = (1;0)

    ø r = 1 Ýþ¤¢ (1;0) ¢¤õ ¤¢ ,(3-1-2-2) ý .´¨ ´¨¤Â¨ f õî ñø ´¬¡ ø¢ ±

    ,r üãþ ,0 ¥ z ܬê ,z 6= 0 Âð ,ü® §Øãõ ÂÊä ý ù¡ .¢ªüõ ¹µ÷ ÝØ ø � = 0

    Àîüõ ëÀ¬ Íþª ¤¢ î ´¨ ýÎÖ÷ ÷Úþ (��) b þø¥ ø r�1 ܬê z0 ùÚ÷ ,´¨ ÂÔ¬÷

    8

  • (3 Ûت)

    1

    z

    z�1

    ��

    r

    1

    r

    ùÀ÷¡ z b ÎÖ÷ ü±Îì ʵ¿õ ((Óó) 2 Ûت) Àª ù¢¢ ´±Æ÷ z = (x; y) b ÎÖ÷ î (r; �) ø¥

    ö¢øÃê ,´Æ÷ ÷Úþ � üóø ¢ªüõ ßã ¢Âê Âʽõ ¤Ï ,bÀ±õ ¥ ܬê ,r Ôób õ .À÷ªüõ

    (z ÕÜÎõ ¤Àì) jzj ¤ r .Àþüõ ´¨¢ ÂÚþ¢ ñ±ì Ûì ¤ÀÖõ ×þ ,� (2�) ¼½¬ ÂÌõ Âû

    ¥ âϨ Í¡Ý÷ ×þ ýø¤ ¯Ö÷ b Þû ý î Àî .Àû¢üõ ÇþÞ÷ arg(z) üûð ¤ � ø

    ,x < 0 ,(x;0) ¯Ö÷ arg(z) = � ;y > 0 ,(0; y) ¯Ö÷ arg(z) = �2f ·õ .´¨ Â Â arg(z) ,0

    .Àû¢üõ ÇþÞ÷ ¤ y < 0 (0; y) ¯Ö÷ arg(z) = 3�2

    ,ý± «¡ ÛÞØ ý .Àª ¬¡ ® ø âÞ «¡ (1-2-2) ø (1-1-2) ¤¢

    :Àþüõ Âþ¥ ¤¢ î ´¨ ÂÎõ Ã÷ � ø + bΤ

    :Ýþ¤¢ z; z0; z00 ý üÈ¿ ö÷ì (3-2)

    z � (z0 + z00) = (z � z00) + (z � z00)

    (z + z0) � z00 = (z � z00) + (z � z00)

    .Ýîüõ ü¨¤Â ¤ ѽó ßþ ùÀõ ´¨¢ ¸þµ÷ üÌã ,üÈ¿ ö÷ì ± ¥ Û±ì

    ,ù¢¢ ÇþÞ ÷ C ¤ ëê ® ø âÞ ÛÞä ½Ô¬ ¯Ö÷ äÞ¹õ ý¤Áð¢Þ÷ (4-2)

    .¢ªüõ ùÀ÷¡ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ (x; y) ø¥ Âû °Â ßþ .Ýõ÷üõ Íܵ¿õ ¢Àä äÞ¹õ

    ÇþÞ÷ (x;0) ¤ R ¬ä Âð üãþ ,´¨ C ùÚµ¨¢Âþ¥ ×þ ö ñÞãõ ® ø âÞ Rî Àî

    ¤¢ .´¨ üØþ Íܵ¿õ ¢Àä þ üÖÖ ¢Àä öä ,üÖÖ ¢Àä ø¢ ®۬ ø áÞ¹õ ,Ýû¢

    9

  • Ýþ¤¢ ,Àª ´õä Ýû x0 ø x Âð î À î ,z0 = (x0;0) ø z = (x;0)®۬ ¢¤õ

    ö ø arg(z � z0) = 0 ´ó ø¢ Âû ¤¢ Å ,arg(z) = arg(z0) = � þ arg(z) = arg(z0) = 0

    ,Àª ´õãó Óܵ¿õ x0 ø x î üµó ¤¢ .(x;0) � (x0;0) = (xx0;0) Å ,xx0 = jzz0j ,xx0 > 0

    jzjjz0j = �xx0  0 ¥ ö b ܬê î ´¨ arg = � ÎÖ÷ ÷Úþ xx0 ø xx0 < 0 ,arg(zz0) = �

    .(x;0) � (x0;0) = (xx0;0) f¢À¹õ Å ,Àªüõ

    ö .´¨ (�1) ý ¤Á ¢ø ½Ô¬ ¯Ö÷ ý ® ø âÞ ÓþÂã ý¤ê ¹µ÷ ßþÂ¥¤

    üêÂÏ ¥ .Àª 1 Àþ bÀ±õ ¥ ö üóÞµ ¤Á Âû ܬê ,´¨ Àø  bÀ±õ ¥ (�1;0) ܬê

    :À÷¤¢ ¤ ÂÑ÷ ¢¤õ üðÄþø (0;�1) ø (0;1) bÎÖ÷ ø¢ fÖì¢ ø ,arg(�1;0) = � ÂÚþ¢

    (0;1) � (0;1) = (�1;0)

    (0;�1) � (0;�1) = (�1;0)

    .ÀµÆû ((�1;0) þ) (�1)ýû¤Á �i ø (0;�1) = �i Å ,Àû¢üõ ÇþÞ÷ i ¤ (0;1) bÎÖ÷

    .�i ø �1 üãþ ,´¨ ô¤ú bÈþ¤ ¤ú ý¤¢ ((1;0) þ) 1 ¢Àä î ßþ ¹µ÷

    ¤Ï î Âþ¥ b ÎÖ÷ n î ¢ªüõ ¹µ÷ ® ÓþÂã ¥ .´¨ ô n bÈþ¤ ný¤¢ 1 üÜî ¤Ï

    :Àªüõ 1 ô n ýûÈþ¤ À÷ùÀª âþ¥ Àø ùbÂþ¢ ýø¤ ܬÔó ýøƵõ

    (1;0); (cos2�

    n; sin

    2�

    n); (cos

    4�

    n; sin

    4�

    n); : : : ; (cos

    (n� 1)2�n

    ; sin(n� 1)2�

    n)

    .À÷ùÀª ù¢¢ ÇþÞ÷ 1 ݵÈû ýûÈþ¤ () 4 Ûت ¤¢ ø 1 ô¨ ýûÈþ¤ (Óó) 4 Ûت ¤¢

    4

    10

  • (1;0)

    2�

    3

    :¥ À¤±ä 1 ô¨ ýûÈþ¤ î Àî ýÀã ýûᤠ´ú

    (1;0)

    (�12;

    p3

    2) = (cos

    2�

    3; sin

    2�

    3)

    (�12;�

    p3

    2) = (cos

    4�

    3; sin

    4�

    3)

    11

  • (2) Íܵ¿õ ¢Àä

    (x; y) bÎÖ÷ b ܬê r ,Àª (x; y) bÎÖ÷ ü±Îì ʵ¿õ (r; �) ø¥ Âð î Àþ¤ø ¢þ Û±ì bÆÜ ¥

    ÂÑ÷ ¤¢ (x; y) 0 ¥ Û¬ø Í¡Ý÷ x ¤½õ ´±·õ Í¡Ý÷ ¥ î ´¨ ýþø¥ � ø ´¨ bÀ±õ ¥

    Ýþ¤¢ .ÝþÂðüõ üÔõ ¤ ´ä¨ b ÂÖä ´ú ø ´±·õ � ý ¤ ü·Ü·õ ´ú .¢ªüõ µêÂð

    x = r cos � ; y = r sin � (1)

    ý ü±Î ì ʵ¿õ ø¥ ×þ À î ëÀ¬ ë ê Í ø¤ ¤¢ î r � 0 (r; �) ø¥  û â ìø ¤¢

    Õ±Ï .Àª z0 = (x0; y0) ý ü±Îì ʵ¿õ (r0; �0) Àî Âê ñ .¢ªüõ ¤Ñõ z = (x; y)

    :Ýþ¤¢ Íܵ¿õ ¢Àä ® ÓþÂã

    z � z0 = (rr0 cos(� + �0); rr0 sin(� + �0))

    = (rr0 cos � cos �0 � rr0 sin � sin �0; rr0 sin � cos �0 + rr0 cos � sin �0)

    = (xx0 � yy0; xy0 + x0y)Å

    (x; y) � (x0; y0) = (xx0 � yy0; xy0+ x0y) (2)

    Ó þ ã ö ä ö ¥ ö ü õ ø ´¨ Í Ü µ ¿ õ ¢À ä ø¢ ®۬ ý ± ö ë ê Î ¤

    Âê .Ýîüõ ÕÖ½ ¤ üÈ¿ ö÷ì ´½¬ öî ,(2) ¥ ù¢Ôµ¨ .¢Âî ù¢Ôµ¨ ®۬

    1

  • :¤¬ ßþ ¤¢ ,z00 = (x00; y00) Àî

    z � (z0 + z00) = (x; y) � (x0 + x00; y0 + y00)

    = (x(x0 + x00)� y(y0 + y00); x(y0 + y00) + (x0 + x00)y) (2) Õ±Ï

    = ((xx0 � yy0) + (xx00 � yy00); (xy0 + x0y) + (xy00 + x00y))

    = (xx0 � yy0; xy0 + x0y) + (xx00 � yy00; xy00+ x00y)

    = zz0 + zz00

    ýø¤ ¯Ö÷ ¥ ÛØȵõ C b äÞ¹õÂþ¥ öä ¤ ,R ,üÖÖ ¢Àä b äÞ¹õ î Ýîüõ ý¤ø¢þ

    :Ýþ¤¢ ßþ ,À÷ªüõÂê üØþ (x;0) ø x üãþ ,ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ x ¤½õ

    (x; y) = (x;0) + (0; y)

    = (x;0) + (0;1)(y;0) ((2) Õ±Ï)

    = x+ iy

    (x; y) ¥ ÂñÞãõ x+ iy ¢Þ÷ ,Ýîüõ üÖÜ \Íܵ¿õ ¢Àä" öä ¤ ½Ô¬ ¯Ö÷ üµìø âìø ¤¢

    ¢Àä ö¢Âî ¤î À÷õ x+ iy ö¢Âî¤î ,üÈ¿ ø ýÂþÁ´îª ,üþ¹ ß÷ì .´¨

    ¤ (2) ¤µ¨¢ f ·õ .¢ªüõ (�1) ÛþÀ± i � i Þû î ´ª¢ Àþ ÍÖê .´¨ üóÞãõ

    :¢Âî ÕÖ½ f¢À¹õ Âþ¥ Ûت öüõ

    (x+ iy) � (x0 + iy0) = (x+ iy) � x0 + (x+ iy) � (iy0)

    = xx0 + iyx0 + xiy0 + (iy)(iy0)

    = xx0 + i(yx0 + xy0) + (i � i)(yy0)

    = (xx0 � yy0) + i(xy0 + x0y)

    ¤ x .Àõ÷üõ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ üê¤ãµõ ÇþÞ÷ ¤ z = x+ iy ¤¬ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ ÇþÞ÷

    ¢Àä ,iy üãþ ,y ¤½õ ýø¤ ¢Àä üÜî ¤Ï .Àõ÷üõ z üõûõ ´ÞÆì ¤ y ø z üÖÖ ´ÞÆì

    (Ýþ¢¢üõ ÇþÞ÷ r ü±Îì ʵ¿õ ¤¢ î) 0 ¥ z = x+ iy ܬê .À÷ªüõ ùÀ÷¡ üõûõ

    ßþ .¢ªüõ ù¢¢ ÇþÞ÷ jzj ø ¢ªüõ ùÀ÷¡ z ÕÜÎõ¤Àì

    jzj =qx2 + y2 (3)

    2

  • :À÷¤Âì z0 ø z Íܵ¿õ ¢Àä ý Âþ¥ Íø¤

    jz + z0j � jzj+ jz0j (¶Ü·õ ýøÆõ÷) (4)

    jz � z0j = jzjjz0j (5)

    âÞ ý üÜî ýùÀäì (4) ø ´¨ Íܵ¿õ ¢Àä ®۬ ü¨Àû ÓþÂã ¹µ÷ (5) Τ

    ü¨Àû üãõ .(ßþÂÞ) ¢Þ÷ ÕÖ½ (3) ø âÞ ÓþÂã ßµêÂð ¤î ¹þ öüõ î ´¨û¤¢Â

    .´¨ ô¨ âÜ® ýøÆõ þ µð¤Ã ¶Ü·õ âÜ® ø¢ áÞ¹õ î ´¨ ßþ ö

    ,x ¤½õ ´±Æ÷ ö b þÂì ,z = x+ iy ý .´¨ ø¢Ãõ ¢Þ÷ ýÂÚþ¢ ÀÔõ ø ñÞãõ ¢Þ÷

    ø ´¨ ´¨¤Â¨ Âþ¥ Íø¤ ± .¢ªüõ ùÀ÷¡ z ø¢Ãõ ø ùÀª ù¢¢ ÇþÞ÷ z x� iy üãþ

    :¢ªüõ ¤Áðø ßþÂÞ öä

    z + z0 = z + z0 (6)

    z � z0 = z � z0 (7)

    î Àî ß»Þû

    z � z = jzj2 (8)

    °Â ßþÀ .¢ø¤üõ ¤î arg(z) ¢Þ÷ üûð ,� ü±Îì b þø¥ ý ù¡

    z = jzj(cos(arg(z)) + i sin(arg(z)) (9)

    :Ýþ¤¢ .ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ jzj = 1 z Íܵ¿õ ¢Àä ñ

    z = cos � + i sin �

    3

  • ×þ n Âð î ¢ªüõ ¹µ÷ ®۬ ü¨Àû ÓþÂã ¥ .Ýû¢üõ ÇþÞ÷ Ã÷ cis(�) ¤ ¢Àä ßþ

    Ýþ¤¢ Àª ´±·õ ¼½¬ ¢Àä

    (cos � + i sin �)n = cos(n�) + i sin(n�) (10)

    ßþ ¥ üÌã ¤ ¥ Û±ì .¢¤¢ ü÷øÂê ýû¢Â¤î ø ´¨ éøÂãõ 1¤øõ¢e ñõÂê (10) ñõÂê

    ¤Âì ,ÂÔ¬ ø üÔõ ,´±·õ ¥ Ýä ,n ¼½¬ ¢Àä b Þû ý (10) î Ýîüõ öÈ÷ ÂÏ¡ ,û¢Â¤î

    .Àîüõ ¤Âì ¤ b Τ î Ýû¢üõ ¤Âì 1  ¢¢¤Âì Õ±Ï ¤ z0 ,z Íܵ¿õ ¢Àä Âû ý .´¨

    :Ýþ¤¢ ü® §Øãõ ÓþÂã ,n = �1 ýÂ

    (cos � + i sin �)�1 = cos(��) + i sin(��)

    :Å ,´¨ zn ü® §Øãõ ,´±·õ ¼½¬ ¢Àä :n ,z�n ¥ ¢ÊÖõ ñ

    (cos � + i sin �)�n = (cos(n�) + i sin(n�))�1 = cos((�n)�) + i sin((�n)�)

    .´¨ ¤Âì ö»Þû ¤øõ¢ ñõÂê Å

    ü·Ü·õ ýû¢½ :1 ¢Â¤î

    ü±¨õ ¤±ä Àþ f Þãõ .¢¤ø ´¨¢ ¤øõ¢ ñõÂê ×Þî öüõ ¤ ü·Ü·õ ýû¢½ üÌã

    ø cos3� Ýû¡üõ Àî Âê ÷Þ÷ öä .¢Âî ×ØÔ üõûõ ø üÖÖ ýû´ÞÆì ¤

    :Àû¢üõ n = 3 ý ¤øõ¢ ñõÂê .ÝÆþ sin � ø cos � °Æ ¤ sin3�

    cos3� + i sin3� = (cos � + i sin �)3

    = cos3 � + 3i cos2 � sin � � 3 cos � sin2 � � i sin3 �

    = (cos3 � � 3 cos � sin2 �) + i(3 cos2 � sin � � sin3 �)de Moivre

    1

    4

  • Å8><>:

    cos3� = cos3 � � 3 cos � sin2 �

    sin3� = 3 cos2 � sin � � sin3 �

    Íܵ¿õ ¢Àä ô n bÈþ¤ :2 ¢Â¤î

    .´¨ ÃþÞµõ ô n bÈþ¤ n ý¤¢ 1 î ÝþÀþ¢ ø Ýþ¢Âî ±¨½õ ¤ Àø ô nýûÈþ¤ Û±ì bÆÜ ¤¢

    üÆþ÷ ù¢¨ ý ø Ýîüõ ù¢Ôµ¨ (9) ¥ .´¨ ´¨¤¢ z 6= 0 Íܵ¿õ ¢Àä Âû ý °ÜÎõ ßþ

    .Ýû¢üõ ÇþÞ÷ � ¤ arg(z)

    z = jzj(cos� + i sin �)

    :Å ,ÝÆþ÷üõ jwj(cos �+ i sin�) ¤¬ ¤ w .wn = z Ýþ¤¢ ,Àª z ô n bÈþ¤ ×þ w Âð

    jwjn(cosn� + i sin�) = jzj(cos � + i sin �)

     jwj üãþ ,jzj = jwjn Ýþ¤¢ ´¨ jwjn ² éÂÏ ÕÜÎõ¤Àì ø jzj´¨¤ éÂÏ ÕÜÎõ¤Àì ö

    ö¢¢¤Â ì ýøÆ õ .Àª ü õ jzj´± · õ ¢Àä ´± · õ ô n È þ¤ npjzj ¥ ¢ÊÖ õ î ´¨ npjzj

    Ýþ¤¢ éÂÏ ø¢ üõûõ ø üÖÖ ýû´ÞÆì8<:

    cosn� = cos �

    sin n� = sin �

    Ån� = � + 2k� ; *½¬ ¢Àä : k

    � = �n+ k2�

    n

    :¢Àä ¥ À¤±ä z ô n ýûÈþ¤ ßþÂ

    n

    qjzj(cos( �

    n+ k

    2�

    n) + i sin(

    n+ k

    2�

    n)) *½¬ ¢Àä : k

    5

  • ÀþÀ ´¨¤ éÂÏ ¤¢ ÃþÞµõ ¤ÀÖõ n ÍÖê Àîüõ üÏ ¤ ¼½¬ ¢Àä Üî k üµìø î Àî

    ù¢øÃê �n+ k2�

    n 2� ¼½¬ ÂÌõ ×þ ,¢ª ù¢øÃê k n ¥ ¼½¬ üÂÌõ Âð î Âþ¥ Àþüõ

    ´¨¢ Âþ¥ ª jzjý ô n bÈþ¤ n âìø ¤¢ Å ,¢¤À÷ §¨ ø §Æî  ýÂ î ¢ªüõ

    :Àþüõ8<:

    n

    pjzj(cos( �n+ k2�

    n) + i sin( �

    n+ k2�

    n))

    k = 0;1; : : : ; n� 1(11)

    ¢ãõ Û ¢¤õ ¤¢ ü¿þ¤ ¶½ Ý÷üõ Ýþµª¢ Íܵ¿õ ¢Àä ¥ î üÔ¬ öî

    ¤¬ ¤ t ,t3 + pt + q = 0 b ó¢ãõ Û ý î Ýîüõ ý¤ø¢þ .Ýî ÛÞØ ¤ ô¨ ¤¢

    ýûÈþ¤ Àþ u; v î ÝþÀ¨¤ ¹µ÷ ßþ 3uv+ p = 0 b Τ ×þ ö¢øÃê ø ݵª÷ t = u+ v

    :¤ÀÖõ ø¢ ô¨ ýûÈþ¤ üãþ ,z2 + qz � p327

    = 0 ôø¢ ¤¢ b ó¢ãõ ýû ô¨

    z =�q �

    qq2 + 4

    27p3

    2(12)

    ÀþÀ ñÀµ¨ ¤¢ üÜÜ¡ ºû Àª Ã÷ Íܵ¿õ q ø p Âð üóø ݵêÂð üÖÖ ¤ q ø p ¥è ¤¢ õ .Àª

    ô¨ ¤¢ ¢ãõ ¢¤õ ¤¢ Ñõ b Þû ¹þ ø ÀÞî ý± ß÷ì öÞû î Âþ¥ ÀþüÞ÷

    öî üóø ¢ª üÔõ ´¨ ßØÞõ ñØþ¢¤ Âþ¥ (12) ¤¢ î Àî .´¨ 뢬 Ã÷ Íܵ¿õ °þ®

    Âû ñ .À÷ù¢Âî À üãõ Ã÷ Íܵ¿õ ø üõûõ ¢Àä î Âþ¥ ¢Âî Àû¿÷ ¢¹þ üÜØÈõ °ÜÎõ ßþ

    ÂÔ¬ ø¢ Âû þ ×þ î üµó ý·µ¨ ) ´¨ ô¨ bÈþ¤ ¨ ý¤¢ (12) ¤¢ z ¤ÀÖõ ø¢ ¥ ×þ

    î Ýû¢üõ öÈ÷ üóø ,Àõ Àû¡ ´¨¢ (u; v) ø¥ ý ¿µ÷ 9 = 3� 3 áÞ¹õ ¤¢ ø ,(À÷ª

    þ ,3uv + p = 0 üØÞî b Τ î Àî .Àîüõ ëÀ¬ óbÆõ ¤¢ ¹þ ¤¢ ¿µ÷ ¨ ·îÀ

    Å ,Àû¢ ÇþÞ÷ (u1; v1) ¤ ßØÞõ ×þ .Àª ¤Âì Àþ uv = � p3

    u1 =3

    vuut�q +qq2 + 4

    27p3

    2; v1 =

    3

    vuut�q �qq2 + 4

    27p3

    2

    ¿µ÷ Âû ñ .u1v1 = � p3 î ý¤Ï ´¨ ô¨ b Èþ¤ ¿µ÷ ×þ 3p ¥ ¢ÊÖõ ¹þ ¤¢ î

    6

  • Ûت Àþ (11) ýû ý ô¨ bÈþ¤ ÂÚþ¢

    u = !1u1 ; v = !2u2

    Àþ À÷Þ ¤Âì ö»Þû uv = � p3î ßþ ý .ÀµÆû Àø ô¨ ýûÈþ¤ !2 ø !1 î Àª

    :¥ À¤±ä Àø Èþ¤ ¨ üóø .!1!2 = 1 ݪ µª¢

    1

    ! = cis(2�3) = �1

    2+ i

    p3

    2

    !2 = cis(4�3) = �1

    2� i

    p3

    2

    :¥ À¤±ä î ¢¤¢ ¢ø !1!2 = 1 ý öØõ ¨ ú ø

    (!1 = !2 = 1) ; (!1 = !; !2 = !2) ; (!1 = !

    2; !2 = !)

    ø (!u1; !2u2) ¥ À¤±ä ýÂÚþ¢ ñ±ì Ûì ýûø¥ ,Àª ñ±ì Ûì ø¥ ×þ (u1; v1) Âð Å

    ¨ Å ,(!2u1; !u2)t = u1 + v1

    t = !u1 + !2u2

    t = !2u1 + !u2

    .Àþüõ ´¨¢ t3 + pt + q = 0 ¨ ¤¢ b ó¢ãõ ýÂ

    :Ýîüõ ü¨¤Â Ûõî ¤Ï ¤ 3 ÆÜ ¥è ñ·õ ø¢ ¤Ã ßþ

    ô¨ ýûÈþ¤ u; v ø q = 2 ,p = �3 Ýþ¤¢ .ÀþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ t3 � 3t+ 2 = 0 b ó¢ãõ .1 ñ·õ

    ¤ÀÖõ ø¢

    z =�2� p4� 4

    2= �1

    ô¨ ýûÈþ¤ .¢ª ¿µ÷ (�1) ô¨ b Èþ¤ ×þ Àþ u; v ¥ ×þ Âû °Â ßþÀ .Àª Àû¡

    :¥ À¤±ä (11) Õ±Ï (�1)

    cos�

    3=1

    2+ i

    p3

    2; cos� = �1 ; cos 5�

    3=1

    2� i

    p3

    2

    7

  • °Â ßþÀ u1 = v1 = �1 f ·õ ,¢ª � p3 = 1  öÈ®۬ î À÷ª ¿µ÷ üþûø¥ Àþ

    :¥ À¤±ä ó¢ãõ bÈþ¤ ¨

    �1� 1 = �2 ; �! � !2 = 12

    +1

    2= 1 ; �!2 � ! = 1

    2+1

    2= 1

    ×þ Âû u; v ø q = 4 ,p = �6 ö ý î Ýþ Âðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ t3 � 6t+ 4 = 0 b ó¢ãõ .2 ñ·õ

    ¤ÀÖõ ø¢ ô¨ ýûÈþ¤

    z =�4� p16� 32

    2= �2� 2i

    :¥ À¤±ä ô¨ ýûÈþ¤ ßþ .ÀµÆû

    :�2+ 2i ô¨ ýûÈþ¤

    p2cis

    4= 1+ i ;

    p2cis(

    4+2�

    3) ;

    p2cis(

    4+4�

    3)

    :�2� 2i ô¨ ýûÈþ¤

    p2cis

    5�

    12;

    p2cis(

    5�

    12+2�

    3) ;

    p2cis(

    5�

    12+4�

    3) =

    p2cis(��

    4) = 1� i

    (1+i)+(1�i) = 2 ¥ ´¨ ¤±ä ×þÅ ,(1+i)(1�i) = 2 = � p3î Ýîüõ Ñõ

    :À÷Âþ¥ ª û bÞû ø

    (1+ i) + (1� i) = 2

    !(1+ i) + !2(1� i) = (�12+ i

    p3

    2)(1+ i) + (�1

    2� i

    p3

    2)(1� i) = �1�

    p3

    !2(1+ i) + !(1� i) = (�12� i

    p3

    2)(1+ i) + (�1

    2+ i

    p3

    2)(1� i) = �1+

    p3

    üÖÖ ¢Àä ü¹þµ÷ öüõ Íܵ¿õ ¢Àä ¥ ¤Áð ÷Ú î Àû¢üõ öÈ÷ ü¡ ñ·õ ßþ

    .À¨¤

    8

  • ½Ô¬ þÀ± ø Íܵ¿õ ¢Àä

    û¢Â ¤î ßþ ¥ ÷Þ ÷ ×þ ¤ ¹ þ ¤¢ .¢¤¢ ¢ø Íܵ¿õ ¢Àä ý üä µõ ýû¢Â ¤î

    ýûÛþÀ± ü¨¤Â Íܵ¿õ ¢Àä ×Þî .ÀþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ C f ¢ãõ þ R2 b ½Ô¬ .Ýþ¥¢Âüõ

    b Þû î ÝþÂðüõ ôúÔõ ßþ ¤ ñÖµ÷ .´¡¢Â Ýû¡ ½Ô¬ ¥ \Å÷¹" ø \ö¤ø¢" ,\ñÖµ÷"

    ÎÖ÷ Âû ,B üµ ¤¢Â ý ,ÂÕì¢ ¤Ï .Àî ´î ¤ÀÖõ ×þ ø ¢Àµõ ×þ ¤¢ ½Ô¬ ¯Ö÷

    öüõ ,Àª ÓþÂã û¤¢Â âÞ ÂÒµõ Íܵ¿õ ¢Àä âÞ î ¹÷ ¥ .Àîüõ ´î B ùb¥À÷

    Ûت f : C �! C üã ¤ ñÖµ÷

    T (z) = z + B (1)

    ´ Íܵ¿õ ¢Àä ø¢ B2 ø B1 Âð °Â ßþÀ .´¨ ´ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ B ö ¤¢ î ¢Âî üÖÜ

    z

    w

    z + B

    w + B

    B

    :¥ ´¨ ¤±ä B2 ø B1 üóµõ ñÖµ÷ ø¢ Û¬ Àª

    z �! z +B1 �! (z1 +B1) + B2 = z + (B1 +B2)

    1

  • .B1 + B2 ܨø ñÖµ÷ üãþ

    .Ýîüõ ü¨¤Â ¤ ,0 üãþ ,ʵ¿õ bÀ±õ ñ ö¤ø¢ ´Æ¿÷ ø ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ ö¤ø¢ ñ

    z0 ýÎÖ÷ ¤ z ÎÖ÷ Âû î ´¨ üÜþÀ± � b þø¥ 0 ñ ö¤ø¢ ¥ ¢ÊÖõ ,� b þø¥ Âû ýÂ

    Í¡ z 0 ¥ Û¬ø Í¡ ¥ þø¥ üóø ´¨ bÀ±õ ¥ z ܬê  bÀ±õ ¥ ö b ܬê î Àµ¨Âêüõ

    ¤¢ �´±·õ Âþ¢Öõ ,¢¢¤Âì Õ±Ï ù¤Þû î Àª µª¢ .´¨ � ´ ¤ÀÖõ  z0 0 ¥ Û¬ø

    Âð ,Íܵ¿õ ¢Àä ®۬ ÓþÂã .¢ªüõ ¤Ñõ (´ä¨ ÂÖä À®) ü·Ü·õ ´ú

    z

    z0

    O

    :Ýþ¤¢ ,Àª ʵ¿õ bÀ±õ ñ ö¤ø¢ ×þ R : C �! C

    R(z) = cis(�) � z (2)

    Íܵ¿õ ¢Àä ¤ z0 üû¿ó¢ bÎÖ÷ ñ � þø¥ ö¤ø¢ Ýû¿ Âð ñ .´¨ ´ ý¤ÀÖõ � î

    0 ¤ z0 î Ýû¢üõ ô¹÷ (�z0) ùb¥À÷ üóÖµ÷ ´Æ¿÷ .Ýîüõ ÛÞä Âþ¥ ÕþÂÏ Ýû¢ ÇþÞ÷

    ñÖµ÷ ù¡ ø ,(cis(�) ¤¢ ö¢Âî ®) Ýû¢üõ ô¹÷ ¤ 0 ñ � b þø¥ ö¤ø¢ ų¨ ,Àî ÛÖµõ

    z0 ñ � þø¥ ö¤ø¢ °Â ßþÀ .Ý÷¢Âðüõ ¥ ©óø öØõ ¤ z0 b óø ÎÖ÷ ,z0 b ܨø

    :¢ªüõ Û¬ Âþ¥ ¤¬

    z �! z � z0 �! cis(�) � (z � z0) �! cis(�) � (z � z0) + z0 (3)

    :¢ªüõ ù¢¢ Ã÷ Âþ¥ ¤¬ z0 ñ � b þø¥ ö¤ø¢ ñõÂê Å

    z �! cis(�) � (z � z0) + z0 = cis(�) � z + (1� cis(�)) � z0 (4)

    î ¢ªüõ ¹µ÷ ܬê ,´¨ ´ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ (1� cis(�)) � z0 ö î Àî

    2

  • ñÖµ÷ ×þ ø þø¥ öÞû 0 ñ ö¤ø¢ °î ¤¬ öüõ ¤ ½Ô¬ ¤¢ ö¤ø¢ Âû (1-5)

    .´ª÷

    ,¢Â 𠤬 ñÖµ ÷ ×þ ų¨ ø 0 ñ ,� 6= 2k� ,� b þø¥ ö¤ø¢ ×þ f ó µ õ Âð ÅØãó

    ¤¬ ü± îÂ ß .¢ Àû¡ z0 ýÎÖ÷ ñ � b þø¥ ö¤ø¢ ×þ Û¬ Ý îüõ ä¢

    ¤¬ ¤ z0 Âð Å cos(�) 6= 1 Ýþ¤¢ ,� 6= 2k� Ýþù¢Âî Âê ö .¢ Àû¡ cis(�) � z+B

    ö¤ø¢ (4) Õ±Ï î cis(�) � z + B = cis(�) � z + (1 � cis(�)) � z0 Ýþ¤¢ ,Ýî ÓþÂã B1�cis(�).´¨ z0 ñ � b þø¥

    ÎÖ÷ ×þ z0 ø Àª ùÀª ù¢¢ k üÔõ÷ üÖÖ ¢Àä Âð .ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ Å÷¹ ÛþÀ± ñ

    Í¡Ý÷ ýø¤ z ÎÖ÷ Âû î ´¨ ßþ k °þ® z0 ÃîÂõ Å÷¹ ¥ ¢ÊÖõ ,Àª ½Ô¬ ¤¢

    .´¨ z0 ¥ z ܬê  k ,z0 ¥ ©Ü¬ê î Àîüõ ´î z0 ýÎÖ÷ z z0 ¥ Û¬ø

    z

    zz

    z

    z0

    z0

    z0

    z0

    z0

    O

    .À÷õüõ üì ´ Å÷¹  ´½ Å÷¹ ÃîÂõ ,k � 0 = 0 ø ´¨ ÂÔ¬ z0 ¥ z0 ܬê ö

    bÀ±õ Å÷¹ ÃîÂõ î ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ üµó ´Æ¿÷ ,Å÷¹ ý üóõÂê ö¢¤ø ´¨¢ ýÂ

    k ¢Àä ®) ¢ªüõ ù¢µ¨Âê kz bÎÖ÷ z ÎÖ÷ î ´¨ ߪø¤ ´ó ßþ ¤¢ .´¨ ,0 ,ʵ¿õ

    :¥ ´¨ ¤±ä ,H : C �! C ,k °þ® 0 ÃîÂõ Å÷¹ â °Â ßþÀ .(z \¤¢Â" ¤¢

    H(z) = kz (5)

    ´Æ¿÷ üãþ ,Ýîüõ ÛÞä z0 ñ ö¤ø¢ Èõ üªø¤ ,z0 ù¿ó¢ ÃîÂõ ´±Æ÷ Å÷¹ ýÂ

    ø Ýû¢üõ ô¹÷ ¤ ,H ,ëê Å÷¹ ų¨ ,Ýîüõ ÛÖµõ 0 ¤ z0 bÎÖ÷ ,½Ô¬ ¤¢ (�z0) ñÖµ÷

    3

  • :Ýû¢üõ ñÖµ÷ z0 ùb¥À÷ ¤ Û¬ ù¡

    z �! z � z0 �! k(z � z0) �! k(z � z0) + z0 (6)

    :´ª÷ Âþ¥ ¤¬ öüõ ¤ k °þ® ø z0 ÃîÂõ Å÷¹ â üãþ

    z �! k(z � z0) + z0 = kz + (1� k)z0 (7)

    Ýþ¤¢ ´¨ ´ ý¢Àä (1� k)z0 î ¹÷ ¥

    ×þ ø °þ® öÞû 0 ñ Å÷¹ °î ¤¬ öüõ ¤ ½Ô¬ ¤¢ Å÷¹ Âû (2-5)

    .´ª÷ ñÖµ÷

    ¢Âð ô¹÷ k 6= 1 °þ® Å÷¹ ´Æ¿÷ Àî Âê .´¨ ´¨¤¢ °ÜÎõ ÅØä Ã÷ ¹þ ¤¢

    ö .kz + B ¥ ´¨ ¤±ä z b ÎÖ÷   ۬ ¤¬ ßþ ¤¢ .B ¤¢Â ñÖµ÷ ×þ ų¨ ø

    (7) Õ±Ï î kz + B = kz + (1� k)z0 Ýþ¤¢ Ýõ z0 ¤ ö Âð ø ´¨ ùÀª ÓþÂã B1�k ,k 6= 1

    ͨ î ,Å÷¹ ø ö¤ø¢ ,ñÖµ÷ üÜî ýûñõÂê Âð ñ .´¨ z0 ÃîÂõ k°þ® Å÷¹

    z ´±Æ÷ ×þ ¤¢ ýûâ ,¨ Âû î Ýîüõ Ñõ ,Ýî ÂÑ÷ ,À÷ùÀª ¤ (7) ø (4) ,(1)

    ×þ ¤¢ â Âû üãþ ,´¨ ¼½¬ Ã÷ °ÜÎõ ßþ ÅØä î Ýû¢üõ öÈ÷ öî .Àîüõ ÓþÂã

    ¤¬ f : C �! C â Àî Âê .´¨ ÛþÀ± á÷ ¨ ßþ ¥ ü±î âìø ¤¢ f : C �! C

    f(z) = Az +B (8)

    b ÎÖ÷ ½Ô¬ ¯Ö÷ b Þû î A = 0 Âð .Àª ´ Íܵ¿õ ¢Àä A;B ö ¤¢ î ´¨ ùÀª ù¢¢

    .´¨ k = 0°þ® B ÃîÂõ Å÷¹ ,ßþ ø À÷ªüõ ù¢µ¨Âê B ´

    :´ª÷ öüõ ,A 6= 0 Àî Âê

    A = jAjcis(�) (9)

    :´ª÷ Âþ¥ °î ¤¬ öüõ ¤ f Å

    z0 ñ ö¤ø¢

    �! cis(�) � z0 ÃîÂõ Å÷¹

    �! jAjcis(�) � zñÖµ÷�! jAjcis(�) � z + B (10)

    4

  • .´¨ ñÖµ ÷ ×þ ø ,0 ÃîÂõ Å÷¹ ×þ ,0 ñ ö¤ø¢ ×þ °î ,×þ ¤¢ â Âû üã þ

    .¢Âî Ëþã ¤ Å÷¹ ø ö¤ø¢ °Â öüõ ,´¨ üþ¹ ® ÛÞä ö ß»Þû

    Å÷¹ ×þ ø ö¤ø¢ ×þ °î þ ø ´¨ ñÖµ÷ ×þ þ (10) °î î Ýüõ öî âìø ¤¢

    :íµÈõ ÃîÂõ

    .´¨ ñÖµ÷ ×þ î ¢ªüõ ¬¡ z �! z + B â ¤¬ ßþ ¤¢ A = 1 :ñø ´ó

    î ý¤ Ï ¢¤¢ ¢ ø z0 ýÎ Ö ÷ î Ý û¢ü õ ö È ÷ ¤¬ ß þ ¤¢ A 6= 1 :ôø¢ ´ ó

    b Τ ¤¢ Àþ z0 b ÎÖ÷ ß ×þ .´¨ z0 ÃîÂõ Å÷¹ ×þ ø ö¤ø¢ ×þ °î z �! Az + B

    ø (1�A)z0 = B f ¢ãõ Å ,À÷õüõ ´ Å÷¹ ø ö¤ø¢ ÃîÂõ ö Àî ëÀ¬ Az0 +B = z0

    âìóüê ÎÖ÷ ßþ î Ýû¢üõ öÈ÷ ñ .Àþüõ ´¨¢ z0 = B1�A ,´¨ ùÀª Âê A 6= 1 ö

    :Ýþ¤¢ .´¨ z0 ñ Å÷¹ ø ö¤ø¢ °î z �! Az +B üãþ ,¢¤¢ ¤ ÂÑ÷ ¢¤õ üðÄþø

    Az +B = A(z �B

    1�A) + B +

    AB

    1�A= A(z � z0) + z0

    °þ® Å÷¹ ø � þø¥ ö¤ø¢ °î â ßþ î Ýîüõ Ñõ A = jAjcis(�) ßµª÷

    .´¨ z0 ñ jAj

    :Ýû¢üõ ¤Âì ¢¤õ ¤ Âþ¥ ´ó ø¢É¡

    .´¨ z0 = B1�A ñ cis(arg(A)) þø¥ ö¤ø¢ z �! Az + B â ,jAj = 1 ø A 6= 1 Âð

    .´¨ z0 = B1�A ñ A °þ® Å÷¹ z �! Az + B â ,A � 0 ø A 6= 1 Âð

    � b þø¥ ö¤ø¢ T2 : C �! C ø z1 ñ � þø¥ ö¤ø¢ T1 : C �! C Àî Âê .1 ñ·õ

    ?´¨ üÜþÀ± ÷Ú T2 � T1 °î ¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ z2 ñ

    Å .T2(z) = cis(�) � z + B2 ø T1(z) = cis(�) � z +B1 Ýþ¤¢

    T2 � T1(z) = T2(cis(�) � z +B1) + B2

    = cis(�) � cis(�) � z + cis(�) �B1 + B2

    = cis(�+ �) � z + (cis(�) �B1 +B2)

    cos(�+ �) = 1 þ ,�+ � = 2k� Âð .´¨ ´ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ cis(�) �B1 + B2 ¹þ ¤¢ î

    5

  • ö¤ø¢ ×þ ëê ÛþÀ± ,�+ � 6= 2k� Âð .´¨ cis(�) �B1 + B2 ¤ÀÖõ ñÖµ÷ ×þ ÛþÀ± ßþ

    .Àªüõ z0 = cis(�)�B1+B21�cis(�+�) ñ �+ � þø¥

    6

  • ��� ���� �� ���� �b ����

    �� ���� ���� ���� � ����� ����� ������ ���� �� ���� ��� !"#� $%� ��&� �� ��'%

    �(� )'�% �� *��� ��+, ���� ����� b �- � �!��� ���� ��!( ����� ���� � �,��� ��.��- /�!,��

    /�� �,%�#, 0- ��� ���� �1��- ��!2 � �� �&�, % 3�4 �5��#, �)�� �2� 6�� ��"7

    %� ��� 8�9 *�.���� ���� :���. 6�� ��"7 ;�� < 6�� �� *�!���. ��-�=� ��!(�. % ��!( �����

    ���(�� ��!> �� ���� �!?� @1�� @�1 �� B % A A��. *�.���� ���� b % a @�B� ���� ���

    �C��.� � �� ���(�D b .�-� �(� $�� *����� ���� b % a E,�, � ��-$!> OB % OA ��-FG���D �

    �B b ��. @1�� @�1 �� ����� )>��, b ��. ���� �1� ������� H�+� ;�� % B I��� � % ��� C�� OA

    )>��, b ��. % J@1� b� a ����� OC FG���D $!> ��+�K �-��� :���. �� b� a ��� �C b��. ��+�

    �1� O C� FG�. %� 3�4 6�� ���� *@1� b� a ��� �L=���. �D b ��. ��+� �B M7 @�1 ��

    ����� OB $!> % ���% ����� OU $!> � ���(�� ��!> �� B % U A��. FG�. N� �%� *�����

    FG �(� $�� *���� a ����� OA $!> � ����� ���G� �!?. � A b ��. �L�� FG�. �%� *���� b

    $!> � @1� ��!> C ��+� ��L�� FG�. �� /O �'P, b ��. ���� �1� UA��C�!� � B C� ��1��

    �1� �� �b���� .!L7 �.��� @1� �9�� a

    b@�&. �1�, ���� *J�-QB� ��=, �����K @1� ab ����� OC

    ���% $!> %� �- OV % OU � ���L� ��!> �� V % U A��. �O �� )>���� FG�. %� �%� *���

    ��!2 ;�� �� *���� b ����� OB $!> � ���(�� ��!> OU FG�. �%� �� B b��. *����� ����

    O C� R�2�9 � ����� )�' B� ����. �� �� �L�� FG �!� �1� BV ��C�!� � U C� � ��G

    �1� O I��� % ���% H�+� � ������� � @1� ;�� ��L�� $!�+� R%� *J��=, �f��S�K @1� �b�����

  • @&T. *���� b ����� OB $!> � ���(�� ��!> �� B b ��. �O C� )>�1 ��G�. �%� *�����

    C� % ����� �1� ����� �� �1��� B C� ��!2 ;�� �� *���� ����� U��G B VD �b � � ��� 8�9

    *J�-QB� ��=, �f��S�K @1� �b����� O C� �B� ��!�� ��D b 2�9 *����� �!�� OB �� W��, b ��.

    *���(�� �X. �� �� Y�� �����9 W!�+� 6�� /��- � +���� �� �b � � ����

    Y�� ��-R%� C� /����� E1��� ��(���' �� /�!,�� ������ �#�� b % a �%� �- �� ��� ��(�-

    ���1�, ������ ��� ���� b % a $!> � ���-FG���D ��(�- � @1� ��Z 6��' I. ;�� *��� ���#�1�

    *���&- ���� 6��' U����[ :�FG % ��(�D N�� � \!9 �1��-

    ��� 8�9 *� �� ]2!, ���� �� ���&� ��!2 � �� �2� 6�� ��"7 �-�!G�� $��

    ^��� �1�?� �� a� b ���� .!L7 *����� @�B� ��� %� b � b��b�b�b� � � � % a � a��a�a�a� � � �

    a �(� �� �!> � *����G!�O /��&�� �� �� a � b b �1�?� R%� ����� �!�T� b % a ���=�� F&� �(�

    _?2 ��� n�� m�� n�m �S��� �� � ��&�!.�� b � m�n�

    % a � mn��!2 � �� �".O ������ ��!( b %

    � @1� ;�%� *����� ��!(�. b % a � @1� ��'% 6�=� *a� b � nm��n�mnn�

    ����� % ����&- @�B�

    ;�� @1�� @�1 �� � ���C @&. !L��!� �S��� �� @1�� @�1 C� ���=�� )�� �.��&�� ����!L`�

    *����. �!�% ��%�� b��. % �.!���. �!�T� �����

    a� � a� a� a� � � �� b� � b� b� b� � � �

    C� VD �'� Y�� ��� %� C� N� �- �(� *��� a��� ��C ��!2 � ��� E���, ��� N� /�!,�� �`%

    � � � �O�� @1� � b� � b��b� � � �bn % a� � a��a� � � �an ��-��� ��� �!�T� ��=�� � '� n

    ���� 5��> � �� b� % a� �(� $�� *���&- ���n

    �%�&� �� ���7!� ���G �� N� �- b % a ��-E���,

    ��+� � ���n

    /�!,�� n ;�9�( c�I� �� *���� 2�9 a� b H!�S� �� �� ���n

    �B���� 62�� ��� )��

    �� a� b � ��� /�=. �(��1 � /�!,�� /!��� *��� N7!� ��!T`� � �� �)�� 62�� ���G �B����

    U�T� 8�9 �K @�&'U��G % 3�d2�� ��!� �� *@1�-E���, ;�� ��Y�� /��� ;����7!� )'�%

    �(� ��!� %� ;�� �� �`% ��� ���#�1� E���, ���� �!�T� ��-�&� C� �"��=� R%� � /�!,�� J� ��

    % jab� a�b�j ��+� �@�&'U��G % 3�462�� ���G ;�T, �jb� b�j � ���n

    % ja� a�j � ���n

    e

  • ���� �`��.� ����L�-� /�!�� ��C ��,�� % C�1��� ��!"#� ��C �� *@&. �(��1 ;�� � jab� a

    b�j

    *@��� �-�!G I. ��L�� /�%��9 ��-������ % @1� ���!� ;�� b �- ��.�(�� �� � �����

    g@1� _?2 ����� C� 6�=�� ��C 6�� � ���!�S� _?2 ����� C� ���� N� C� /���!h��

    fk� k � �� k� �� � � �g

    ���� _?2 ����� C� +�' N� S �(� *@1� k �%�&� �� ��(�I� _?2 ����� b�- 6��� +�' ��+�

    n !d� �- � aE,�, ;��� *����.�� �E ��� ���� N� �� a � S �� E )��, �- ��!�S� N� E %

    � �� a )��, ��!h, % an �&�!.�� a�n� ��� � Yf !�+� *�-��� @�&. E C� a�n� ��h�� �S C�

    g����� ]��� ��!+2 E,�,

    ak� ak��� ak��� � � � J

  • % �!��� ��(�I� k���, � nV��.� :��I9� �� � @1� ���� ����� C� �L�� ��`��.� �!��� ]��+,

    *�����. )�S, ��0-

    g���(�� �X. �� ��C ��!2 � �� a � f������ � � �g �� C `��.� �������

    an �in

    n

    gC� ��,���� `��.� ;�� $%� b �� ��7

    i���

    ���i

    ���

    ��i

    ����

    �� � � �

    )�S, � �!1 � % ������ �1 �f �%���� �� ?#2 �!?� �. ��"7 �=G�7 ��!2 � ����� ;��

    *Je 6��K ������

    l � f������ � � �g �� L )��, % ���(�� ?#2 �� @1�� A!�G b �!�S� �� L �������

    @1�� FG ��+� �@1� nE� �� � C� ��i( @1�� FG ln �� l�n� g����� ]��+, ��C ��!2 � ��

    *����� 6� y �!?� �!1 � � @1� @1�� A!�G b `��.� N� ;�� *Jj 6��K y � nx

    ��!2 � �� c � f���� � � �g �� F )��, % ���(�� R � R C� ��-)��, b�!�S� �� F ������

    *��n

    3%��, �b�%� �� @1� ��%��, )��, N� cn �- *Jl 6��K @1� cosnx )��, c�n� g����� ]��+, ��C

    /O �� � a � S �� E ��-`��.� ��+� ��C���D�� ���� ��-`��.� � F�9 �� ��� ;�� ��

    R � �S.O C� % �&�! .�� F�T� ����� ��-`� � .� ��� � �� �� Q?� *@1� R � � C Yf !�+� E

    ����� C� ���-`��.� /�!�� � I. �� ���� ����� ��-`��.� /�!,�� ��!��� ��, C C� ���!�S���C

    :��I9� � � � �� ��� Jjm

  • ��L.O �n � N ��(�- � ���� ���� �!�% N @�B� _?2 ��� �e � � �- ���� � �,�!2 ��

    *jan � a�j � e

    �N ����� @1� ���' ��!� �!X�� � e � � oT=, b ��� �- �]��+, ;�� 5�> � ��� �!,

    oT=, 6��' �[ a� C� �- an ��+� � ��� /O C� � ���� ���� �!�% �e � �&��% $!2Y���

    *�����

    ���� ��� ���

    �� ��!� �!X�� e � � �(� � ���C �n�� � ����� �S��� �� *��� �!,

  • 62� 5�> � �.���� @&T. *����� 6� \!9 b�!�S� ��Y�� /��� ;����7!� � an �-��� /�=.

    � e � � �- $�� *���� �!�% a� ��Y�� /��� ;����7!� fa�� a�� a�� � � �g b �!�S� ���� @���,

    � �S.O C� ���L. ���' �C�� ;�� �� aN 0- �(� *����� ��L. a�� e� a� � e �C�� � ��!� �!X��

    ;������� *n �- ���� an � a� � e ���� ���� ���� �@1�- an b �!�S� ���� ��Y�� /��� N� a�

    ;�� qPG � �!� �-�!G �a� C� ���7!� ��!�S� ���� ��Y�� /��� N� a� % a� � e ;� ��� �-

    �� aN � ���� �!�% N VD *������ fa�� a�� � � �g ���� ��Y�� /��� �������� a� � @1� 8�9

    �- % @1� �`%I.�[ �an� b `��.� � �S.O C� *a� � e � aN � a� ��`� *��(�� ���' a�� e� a� � e

    g����� n � N �- ���� ����� /O �%�&� �� a� ��Y�� /��� C� ���7!� ���� an

    a� � e � aN � an � a�

    *@1� ���'�� jan � a�j � e �%�&��. �n � N �- ���� ;�������

    �H!�S� �1�?� R%� ��+� �����(�� C�� �� ���� :T� ;�� C�[O �� � ��`�b&� � /!���

    �� ��C ���I( *����� �1��� �� ;�G�1 �!�T� E���, �� ���� ����� @�&'U��G % 3�462��

    *@��� �-�!G I. ��L�� ��&� ���#�1� ���!� �f�+� % @1� r�G C�. ;�� C� �,�� )'�%

    % an �� a� � ����� F�T� ����� b `��.� %� �bn��n�k % �an��n�k ��� 8�9 ����� �����

    g��!2 ;�� �� *bn �� b�

    *cn �� a� � b� ����� ���� ]��+, cn � an � bn ��!2 � �� �cn��n�k b `��.� �(� J]`�

    *cn �� a� � b� ����� ���� ]��+, cn � an � bn ��!2 � �� �cn��n�k b `��.� �(� J3

    cn �an

    bn��!2 � �� �cn��n�k b `�� .� % b� �� � % n �- ���� bn �� � ��� 8�9 �f 9�d� �(� JU

    *cn �� a�b� ����� ���� ]��+,

    n � N � � � ��� !S �&� ��!> �� N ���� � ��� ���� e � � � � � 8�9 J]`�K �� � ��

    % jan � a�j � e� � ��� ;��b , ��!> �� N �.�!�� �(� *j�an � bn�� �a� � b��j � e �-� S�.

    n

  • g����� QB� �%�&��. ����� ��.!� ���'�� n � N ��C�� %� �- jbn � b�j � e�j�an � bn�� �a

    � � b��j � j�an � a�� � �bn � b

    ��j

    � jan � a�j� jbn � b

    �j

    � e�� e

    �� e

    � �-��� S� . n � N� � ���� �!�% N� ���� � e� � � ��� � �an �� a� � �S .O C� � `%

    S�. n � N� � ���� �!�% N� ���� � e� � � ���� �bn �� b� � �S.O C� I. % �jan � a�j � e�*�!��� 62�� �X. ��!� S�. �N � maxfN�� N�g;�9�( �� VD *jbn � b�j � e� �-���

    �-� S�. n � N � ����� !S�&� ��!> �� N ���� ���� e � � ���� I. �S��� �� J3K

    �(��1 � jbn�b�j % jan�a�j@�� %� �� janbn�a�b�j ;�G�1 F�,�� �S��� �� *janbn�a�b�j � e

    anbn� anb�� a�bn� a

    �b� �� @1� ����� �an� a���bn� b�� 3�462�� Pf B� �@&. J]`�K @�&'

    *�!��� �-�s �� %� ;�� H!�S� �anbn � a�b� 64�#, ��� � % ���� �!�% ���C b �� %� /O �� �

    g����� ���#�1� ��C ���� ��� C�

    K � � ���� ��L.O �cn �� c� % ���� F�T� ����� C� ��L�- ��`��.� �cn� ��(�- �� ����

    *J@1� ����� ��L�- `��.� �- ��P�2� � ��K n �- ���� jcnj � K % jc�j � K � ���� �!�%

    N ���� �����L�- ]��+, 5�> *���(�� �X. �� < H�+� � �!( N� c� $!� �� �����

    � ���C jcnj � jc�j� � ����� n � N ���� ;������� *jcn� c�j � � ����� n � N ���� � ���� �!�%

    �-���� ���+, ;� �� $�� *���� � C� jc�j� � C� �����I. ���� c� $!� < H�+� �!( 6G�� b ��. �-

    :���. R � �� � � �".O ;��,�%� b 2�9 ����&- �!( /%�� �� � �N ��� C� 6�' �`��.� !d�

    � *@1� �X. ��!� ��� K � maxfR� jc�j� �g ��!2 ;�� �� *�-���

    ��! 2 � �� anbn � a�b� ��� � � *� ��� (� � C� � ���I ( C� J3K @ � & ' �� � t� � /! � ��

    g����� VD *�&�!.�� anbn � anb� � anb� � a�b�

    janbn � a�b�j � janbn � anb

    �j� janb� � a�b�j

    � janjjbn � b�j� jb�jjan � a�j

    ����� �!�% b� % �bn� ���� K� �.��� I. % �a� % �an� b `�� .� ���� K� �.��� �pmn �` 5�> $��

    u

  • gVD

    janbn � a�b�j � K�jbn � b

    �j�K�jan � a�j JeK

    � ���� n � N� ��� � � ���� �! �% N� ��� � � e�K� � � ��� � �an �� a� � � S .O C�

    n � N� ���� � ���� �!�% N� � e�K� � � � �-��� S�. bn �� b� I. % �jan � a�j � e�K�

    % �.��� '� � �%�&�� . %� �- n � N ���� �N � maxfN�� N�g ;�9�( � � *jbn� b�j � e�K� �����

    *janbn � a�b�j � e � �!��� S�.

    3�462�� ���� J3K ��� C� % �bn�� �

    b��-� /�=. @1� �9�� �an

    bn�� a

    b����t� ���� JUK

    g@1� C�. ��!� ��' �` W!�+� % ��=� ���� �` N� I. �S��� �� *��� ���#�1� an � �bn��L.O �b� �� � % bn �� b� � ���� �#2�. F�T� ����� C� ��`��.� �bn� ��(�- �� �����

    *n �- ���� jbnj � k % jb�j � k � ���� �!�% k � � ����

    �X. �� �� b� I��� � ��jb�j H�+� � �!( �(� *���� ���' � C� jb�j @�B� b 2�9 �� b� b ��. �����

    ��� � jbnj � jb�j�

    VD �jbn � b�j � jb�j�

    �n � N ��� � � ���� �!�% N �bn �� b� /!7 �� �� L �

    �n � N ���� ��+� ������ �!( ;�� U��G �� @1� ;��� � `��.� !d� �-���� ���+, ���� *n� N

    :���. r � �� 2�9 ;�� *���� �� � C� ;��� @�B� b 2�9 ;����7!� ��� ����&- �#2 �[ �- /!7

    � *@1� �X. ��!� k ��� minfr� jb�j�g $�� *�-���

    *���� ��� ���� e � � ��� 8�9 * �bn�� �

    b���� @��t �-�!G�� �����(�� C�� JUK ���t� �

    g�&�!.��

    j �bn� �

    b�j � jbn�b

    �jjbnjjb�j

    � jbn�b�j

    k�Jnmn �` 5�>K

    JjK

    VD �jbn � b�j � ek� �-��� S�. n � N � N ���� �!�% �ek� � � ���� �bn �� b� /!7 $��

    � *j �bn� �

    b�j � e ����� n � N ����

    % a � a��a�a�a� � � � �� � %� @ � & 'U�� G % 3� 462� � � 1� ? � ��� � �E ,� , ; �� �

    ��� ���#�1� b� b��b� � � � bn % a � a��a� � � �an b �!�T� ��-E���, C� /�!,�� b� b��b�b�b� � � �

    v

  • �%�# , @�&'U��G % 3�462�� ��!� �� ��� *�� �����I . a � b �+'�% ����� � n :��I9� � � %

    I�� C� �+� �'� n C� VD N� �- b % a �(� � ����� H!�S� ��!� �� *���� �!�% H!�S� �� ������

    ��!� �� *����� 7 b % a ����� ���� C� 6��&� �@&. ��=� ���n

    C� H!�S� ���G ��.!� �!�T�

    a � a��a� � � �an �(� � ��+� ;��� ��� ���2 �"��=� ���� /�!,��. @�&'U��G % 3�462��

    %K 3�462�� q��?.� ��.!� �9�( �X. �� b % a b �!�T� ��-E���, /�!�� � b � b��b� � � �bn%

    % a �bC��.� � �� �@&. �&��% n � F�9 JE,�, � �ab %K ab C� ��� %� ;�� JE,�, � �@�&'U��G

    g����� JeK 5�> �J3K lmn ���t� �� Pf B� *@��� �-�!G �L�&� I. b

    janbn � a�b�j � K�jbn � b

    �j�K�jan � a�j

    *@1� �bn� b `�� .� ���� ��Y�� /��� N� K� % �an� b `�� .� ���� ��Y�� /��� N� K� �S��� �� �

    % ���� 3�T�.� N7!� �f�1���� �� jbn� b�j ���� ����� c�I� @�&. � �- an 5����' �(� E,�, ;���

    �!, ��C ��-$�B� � *�!� 62�� �X. ��!� @'� �, �jan� a�j �� ���� �� �- bn ���� �!> ;�-

    *���

    ���� ����

    �� n � -�! G� � *� .��� � ���� b � ��s�s�s� � � � % a � ���r�r�r� � � � �� � %� �������

    3�462�� C� bn � ��s� � � �sn % an � ���r� � � �rn 3�462�� q��?.� � ��� ���G� ��!>

    5�> VD �jbn � b�j � ���n % jan � a�j � ���n ����� n ;�7 ���� *���� ���� C� ���7!� ab

    gJeK

    janbn � abj � �K� �K�����n

    VD �@9�( �X. �� �!�T� ��-`��.� ���� ��Y�� /��� /�!�� � �� K� � � % K� � ��� /�!,��

    ���� C� ���7!� FG ;�� �-�!T� �(� *@1� �������n C� ���7!� Y�� �%�&��. @1�� q�>

    b % a C� N� �- �(� E,�, ;��� *�����. ��� n� �`% �� � ��� ���C ����� ��� n� � �����

    w

  • 3�462�� C� �!�T� ��� %� 3�462�� q��?.� ��.!� �!�T� I�� C� VD �'� @=- C� VD

    *�!� �-�!G ���� C� ���7!� �+'�%

    n C� VD �� ��� ;�� �(� *���(�� �X. �� �� b� �������

    � � � ��� �������

    � ��� ���G� ��!> �� n �-�!G�� *�-��� :���. bn � �� E���, *��� �!�T� I�� C� �+� �'�

    g����� nmn ���t� �� JjK �%�&��. 5�> *���� ���� C� ���7!� �b�� �

    bnqP�G�

    j�

    bn��

    bj �

    k�jbn � bj

    ���G� ������ ����� �� k �.�!,�� �S��� �� *jb�j � k % jbnj � k � @1� ���� k � � /O �� �

    VD � �k�

    � ��� % ��������� � ���� ����� ������ � ��� � ;�� � �!, �� % ���

    j�

    bn��

    bj � �����jbn� b

    �j

    ����� ���� C� ���7!� jbn � b�j � @1� �9�� ����� ���� C� ���7!� @1�� q�> ���� ����

    ;��� �� �1�?� *@��� �-�!G ���� C� ���7!� �9��?.� b�� C� ������� W!�+� ;�������

    g� �-��� /�=. �!' @�&. � 3�&�

    ��������

    ��� � ���������

    ����������� � �����������

    *������ ���7!� ���� C� � @1� ��������� ����� ��� %� ;�� qP�G�