Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
��� ����� ��
������ ��� �� ���� ���� ��� �� ����� �� ��� ����� ���
������ � � �
��������� �� � ���!��" �" �#�$ �� ���%&'� �b �#� () �� *��� ��+ ,#-. �b /�.�
0�1�� ,#-. ���� �" !2�) �� ����)� �� 0�3�� 4� ��� ���� �1#� � �533� 6� 7 �� �'���
� � 1�� �� 8-9 () �� !��" �� !�3� )�� �:/� 4--"��� !)�;" ����� ��� � ���� 4!��"
4!��" �� �b 3)�?���@ A � � =�39� 0�� �b 3)�
��W 8-9 0��� �� �5��" �" �+� 7 �� U����������� �� 8-9 () �� !��" �� �/" � � ��
�H�H7 I�J� � ���� ���!��" �� () �� �b���� �" �� �5�� � 9� V��Y-.� �) �R��� 0� -
�� L A � �� 0� +�� � -53� Z-3�� L� � L� ���>?���@ A � 4F G: �� ��� �Y-. �b���� ��
48-#�� !��" �� �� �b 3)�. + �O�� �� ,�@ U#-@ 0�P �� �f���� !.� �;-� A� b. �)� I� 9 �:-)�
� � �� V`�H7W ��� �" -5�� ��
��P A � � N/T A � �Y)� ����� �� � 4!3�� �) �p� �-�) 4!3�� �:�� m
n6� 7 ��
p� 0���
�-53�� Z-3�� N���
�b ��P �� �!3�� �) �pn ��� G��" ��k#� � ? n ��� �" ��" !��j ����. �� 0� +�� NP�� ��
S��� E+ ���� ) 0��T�)� �" � �� ���� V�O�� �� ,�@ =��CD 0�PW �0 �O2� S 5+�E+ I�5" FQp
0��--"����-� �� �:) 0 �O2� ��j$ �� ��Y)� ��9 �� �!.� ���.� 6��j� �� n � �� �+ �� n/�� �)�
���!��" � 9� �� =��� �c"� �:-)� %?d�� � -" ���3�� ����� ��� �� !�3� ���-+$ GC9 ��
�-5�� ����$ Z-3����
!�O �U�-"�� G
�U�3) ��� ���� ����� �� -)��2 �)�
a� � n�a� � a� � � � a� � a� VKW
�" U�-���� VFW � VmW 4VKW 0��" A���� �� a� � � ��� �f�#� �!.� ����� � () n� 0$ �� �"
�U�-"�� ��� �U����� ����� ���� � !.� a� � a� ,#-. ���� ���Y-. a�
�b����P�� �� =�� ���-5� ����+ �� d�� -)��2 ��� �C-+ � ��� -53� Z-3�� a� � a� ����� ���
6� 7 �)� �� ������ � �nk 4ak�� � nkak �" �� �5�� � 9� k ����� � �-�) 4.�� �;7
�!.� a� � a� ,#-. ���� ���Y-. ak
�U)��� .�� �;7 �� =�� k �� t 2 -)��2 ��� ���������������������������������������
a� � n�a� � a�� � � a� � a� ����� � � n�
a� � n�a� � a�� � � a� � a� ����� � � n���� ��� ���
ak�� � nk��ak�� � ak � � � ak � ak�� ����� � � nk��
ak�� � nkak ����� � � nk
VQW
���J� ak�� �?$ �� �:) ����� �� 8@ 4!.� ak �� �H�H7 I�J� ak�� ���� 0�'� �?$ �b����
I�J� �� �� a� � a� �" � �� �#�5 � A�� �b ���� �� � � � �7 � � n�+�+ ���� �� � 4!.� ak ��
a� � a� �-" i�2 8:���� �!.� a� � a� ,#-. ���� ���Y-. ak �-�) 4-53� ak �� �H�H7
I�J� �� �� a� � a� �" ���� � 9� �Y-. 0� - �� u � � �� 6� 7 �)� �� 4-�� Z-3��
�� 8_. 4!.� u �� `�H7 ���J� 1�� a� �" � �� �#�5� d�� A�� �b ���� �� �-53� u �� �H�H7
a�� a�� � � � � ap �" �� � !��j ��� n�+�+ ���� �� � 4!.� u �� `�H7 ���J� a� �� �����
G: �� ��� �b���� � -53� u `�H7 I�J�
ap�� � npap � ap��
Q
�� -)��2 �)� ��� A�R �!.� u �� �H�H7 I�J� ap�� � ap�� � npap �" U)����� �#�5� 4��
�!.� �)� ���1� 6� 7 �� �������P�� ������ 4.�� �;7 �b����P��
a� � a� � a� � � � �
!.� �:����a �5��T� ��-D �-���� u!�c� � �� �H�H7 I�J� �� aj �b �� �#-)� �� �"
�" ���� 0�'� ��� �)� �#-��� u`�H7 I�J� ���-5� ����+ >
� �� ��#)� �OTd� ��� 5� U�-" G7� C� � D� �� A� �� ��� �" ��)� !.� a� ����� A�B�C�D�E�
�U)��� � a� � a� �)����-� VDE ��� � �� �� AC � A�C� w-53� BC ��� � �� �� AD � A�D�W
a� � � � a� � a� � � � a� � a�
!��T� �f�#� 4U)��Y� �B� �� �� a� ��P � a� N/T �� A�B�C�D�E� UB5-� ��/Tr-@ ��� A�R
U��� ? �-�) 4� �� ���:+ a� � a� n�+�+ �� ��P A � � N/T A � �� ABCDE ���'5� ��/Tr-@
!��a� � � � a� � a� � � � a� � a�a� � � � a� � a� � � � a� � a�
�:-)� �� �9 + �� � 4an�� � an�� � an ^)��+ �� 4-�� � ^)��+ an �+ �� ai ��� �/" � � ��
)@ ��/Tr-@ 0��� �� �Y)� UB5-� ��/Tr-@ () UB5-� ��/Tr-@ �����P 0��" U.� �� ��� ��
�!�� U��� ? )$��
an�� � � � an � an�� � � � an�� � an
� a� 8@ 4.���� �;7 �� �����P�� 1��� �" �<c �� � U�53� FyF ���1� !��T� �� n�+�+ �)�
z!.� �) ��� a�a��Y)� 6��� �� �) 4-53�� Z-3�� a�
n��9 �T�)� {� ? � !.� M���� �)O� !�3� �� !�3� �)� �a�a�
� ��p�
���� 0�'� �� �����
�� G��53� ��)�+��)�� 0����� ) %?d�� ��� � � �5?�- 0�5.�� 0���� �� �J�� �" ���� �C9 +
��� �)O� !�3� ����� 0$ i� �� A � !�3� �" -53����� �/��53� 4�� \OT� n.�-+ �B�
N/T �� N��� () �C�$ �� ��� �" ���� �� ��s)� �)� 4��G��53� �)� >
�� �)W ���'� 6� 7 �� ����� A��5� �3) �� =�B� �" � ���� n/�� �)� �� )�� �#-)� ��
�Y-. �� =�� k �� VFyFW g���� �" �) � !�3� () �!�� � 9� 0�5.�� 0�� ) 0��� �� V�Y)� ��-��
��� ���� ,)��� �)� 6� 7 �� .���
n� ��
n� ��
n���
���nk��
��nk
VLW
�U)��� VQW g�� �" �-" �9 + �-����� V�� 5&� �)W ���-5� G3/3� �3" () �� �+��� ��-Da�a�
� n� �a�a�
� n� ��a�
a�
� n� ��
n��a�
a�
� n� ��
n���a�a�
�� ��� �� 5&� G3/3� �3" �) ��� ���!�3� �� � �� �U�.��� VLW �� VQW �� ���;5.� �b ���� �� �
�)$�� !.��� �)� ,)��� �)O� !�3� �� � �� Of c�
�
�� ���
�
��������
V|W
�� �:/� 4��� �b����� ,)��� ���� �� 4���� UC� ��������" 6��T�)� �� 1�� ������ G3/3� ����3"
���B� 6d
4� � ���� � � � � n� � ��� �� �:) )�� �����P�� �� 4� '� �;7 ��Yq�� �����P� � ��� �!.�
�� ���'� =�P�� 8@ 0$ �� � �� ? ���� =�� ��� ���� �������P�� 4���:+ ��� n �� �f��P �)����-�
4� '� �� 5&� mn���'� ,)��� ��� �)����-� � -�� ? ���:+ �����P�� �)� � C� ����� 6� 7
����-+ df �� �" ���'� �3" �� �)����-� � -�� ? ���:+ ����-+ 6� 7 �� df �� ��'� �� 8@ =�P��
�Of c� 4n�+�+ �)� ��� �) � � () �Y')��� �� +��� ���
����������������� � � �
� 9� 0$ �� I��-+ 0�:�� � ��)�� ,)�12� �/�P �� !�3� �:) ��� �� �;7 ���e /� A � 0$ �� �"
���() �f�P�� d�� 6��� �)$ �" !.� �)� ����� �" ��� b. �C-+ �!3�� mn �3" u�� ����� ����
G: �� 6��� �� 0� +�� �)$ 4�/" � � �� �) ]!.�
c��c�c�c� � � �
�
��� ����� ��
��� �� � ���� � �� ���� ��� �� �� ��� �� ���� ����� �� ���� � ��� �� � �!� �"#$ %�&
'(���� ���)�* ��+ ������ � � � ��� ����,-* .� /��� �0� �12� �� �� � ���� � � �
��������� � � � 345
'��� ���� 6�7 �� ���� ���� � ��� �0* ����� ��� �80�� /��� 9��� �:#) ����� �� ��
9%"�7 ;�� (���� .� ���
9%"�7 ��� �� .� ��
��� � ��� ���� 1#� �� H�� �� ���0� ��� ��� ���0,MD�� �SD .� �� %��� �$�) ���� @����,D
@�D���* I��,� .�-* ��"D� W���� �� �8 * Z�� *
�G:D �� /�$ �� ��� @1��� L��2 ���0* 345 /��� ��� 1����H [��� ��0�� �3=>�5 ���* ��
���� � \�2� �*�V* (���� ��� �1���P� �SD �� �� ����� � � � �� (���� 345 �� 3���&*�D �*���5
'����
�� � ����� � � � �� � �� �����
� � � �������
I�.��D� �� 1� %�� ���� �BG2 ��� ��� ����� ��� �� 345 (���� ��� @1�0��* %��N) ]�H � ��
%�� �8,* �� /��� �>� @�.�� � 87�� �� �+ �D��)�,D �� �� ���� X�2�� ���6C� �� ���. ���� ��
.� � ��6� ����
.� �D��)�,D ��� ��� 9���� �D��)�* �� .� � ��6� ��:7 �N���F ��� ���� 345 K��)
'������0� @��� � ��6� �� .� ��M�� .� ^� X� � 12� %"����* (�� �+ �� �� ���. ���� ��
�� � ��������� � � � � �� ��
���3_5
%�� /��� ���$� (�� �� ���������� � � � R�)�) ���� @���� ���2�� � �� /�.��� ���� 3_5 �� G���
@� � ������ � � � ��0��* `� � �� /�.��� 3_5 /��"*�D �� ��
@�0� `� � �� /�.��� 3_5 /��"*�D �� %�� �8,* ��� �� �N���F ��� �����
�� D� �� ��� 2 ���� �� � ���� � I�.� � �� � �� /�.�� � �� �0�� � � ��� ��$� �� � � ��� �� ��� �� �
�7�� I��O>� �� ���)�* �� ����
�� � C�� a�6� �� ��7 @%�� � 87�� ����
�� .� ��� �� ��� �� #�C
� @� � �� ^� ����� � 87�� /��� �� .� ���� �� � � �#�C �%H��
/��I.�� �� ,� �� ���� /��� ��07 @%"�7 �,b * 3_5 ��c�� �� /��� ��$� �� 1�0���* ��0��
��7 �� ��0� �$�) @���� ���2 ���� �� � ���� �
�� � �� � �� � � � �
�� � � � �� ��
��� �� �
�
���� � � �
_
'�0 "� �) �� �) ��I.�� ���
� � � � ���� �� ��
���� � ���� �� �
�
��� � ���� �� � ��
���2 ��I.�� ��� �� ,� �� ���� ������� � � � �E�C ��� � ���� ��H %��� %,� I�.�� ��� �>�� I.�� ��
�� ���� � "� /��I.�� �E��:D� �� >��D� ��� �� �0��* 18F � KH1�D ����� � ����� .� �* ��V� @����
��,� �� �� ���� ������� � � � ��G:D ��,� ��7�D �� ���� �� ��� ?��: * � KH1�D /�� �G:D �) ��
KH ���� � ���� .� �* W���� .� ��6$ �8#� %"�D (��d� L��2 ���0� �� � %�*�,) L� 1�: "* �-� D �����* �i��� ��N* ���0� �� �� ���. �� 8D
'1�0� ����� �� ��. ��� 1����H�* ����
����� � � �
�� � %�� ��� �� �BG2 ��� %�*�,) L� \�� @� � � �� /�.��� �� � � � �� � � �-0�� �� ^�
'�0��* `� ��. /��/��"*�D ��,�
��� � � ��� �� �
�
� ����� � � � � ��� � � ��� �� �
�
��
���� � �� � ������ � � ��
j
'1���� 4g_ \�� ������0� @�0��* `� � �� /�.��� /��"*�D ��,� �� 6�D _ ��� �P�� �C�� .�
����� � � � � �
��� ��0� %��d L�2 ��N* k�� �� @� � �� /�.��� �� � � � �� � � ��0� Y�C ������
����� � � � ����� � � �
@%�� ����� � � � ������� � �� �����
/��M�� (�� �� �� �b� �� �0� ���� �� 1��� ��MD l&� L�,8) /��� %�� X.; �-0�� ��
�� � � � �� �>�� * m�& ��� �� ����� � .� /�b� � ��� @%�� [��,D L��2 X� O*�D �� X� O*
��6-) �6-* I�.����. 4Q �� ��. (�� �� �� ���� �� � �� I�.�� ��� @�� � � � �� � � �� %C�� ���)�*
'1�0�
���� �� ��
������� �
�
��� �� �
�
���� � � � � ��� �
�
��� �� � ��
���� � ���� � �� �����
��� � b � � AB N * ����� ��� 2 I.� � 4Q � �� .� � 8 � � V 0 ) � � � �� � �� �
'%��D ���)�* (�� ��� �� �� @%�� ��� � ���� � � � ��
�� �����
� � � �� �����
��
��
�-� D � I��� � �6-) ����
��� � � I�.� � 4Q � � �� ��� � ���� � �� ���
��� �
��� I�.� � R� )� ) ��,� � �
'�� /��� �� ���� ��$� �� �,2� �� 1�����*
�� �����
������
� � � �� �����
������
��
���
AB N * ��� � n 7 % , � � �� V D� �� G : D � ��� � �B : � 2� � �� *� � �� � �� �L , � � �� �� *��� � �
� ����,D =2� * �0���C ��� (�� ��� ��o �� @� � ����� � � � �� 1���� �� � �� � ���� � � � �� �����
'%��� 1����H
�� ���
��� � � �� ��
���� � � �� �
��
��� � � � � ��
���� �
���� � ������ � � � �� /�.���
� �� ���
��� � � � � ��
���� �
���
p
@1���� [��,D ��������� � � � �� =��) \�� ��0� `� ��/��"*�D ��� ��,� �� �� �� /���
�S D � � � )�# � �%�� � )��-* �� ����* � i��� /�P �� ��� * L8� � � %�*�, ) L� ;B �, *
L� (�� ��� �i��� �,E @����D �� 4Q �"��D��� /�0�* �� 3_g_5 /���U �P "��� � ����*
�* ���0� ����
@�� �� 1���� � ��� � ����,-* /��� � /;�� ���� �� /�.��� 3?
�� �� � �� ��� �� ���. %�� ��C �� �
AB N* @����D �� ���� � �b� %�� �8,* � �� ��,-* ��;�� ���� ��� 87�� �� %�� ��!) �� X.;
�>� �����* ����� �b� �� %�� ;�� ���� ��� 87�� _ ��� ������ � ����� �� ��,-* �� �� /���
@%"�D ����� �b�
�� �� �� ��� �� X�V* ��� �� �0 "� ���* %�*�,) L� (�� �� �� 1����* ��MD ��0��
@%�� (��d� L��2 I�� � C��!� L� .� /�P�� �1���!r�
/����,-* �� � R�)�) ���� @����* �-� D �� X�� (�� ���� (�� 1����* ��MD %"OD
�b� �� @1�0��* �i��� �� ��;�� ���� ��� 87�� �+ /��� � ���� ��;�� ���� �� 1�����* � .� �V)�D
/��[��,D ��� m�& DZ�6$� ��� �� ����� ;�� ���� � ��7 @1����* [��,D /��M�� (�� �� �� �
� .� � ��6� /�b� � �� ���� ��� �� /��� (�� ��� ��o ��5 ���� ��$� ��� ��6� /��M��
�� �� � /�b�� ���* �� m�& DZ6$ ��� ��6� @3��� ����OD ��;�� ���� /���� � � %��� ����H
� %�� I�� L�8M) �� m�& DZ6$ �� /�b�� .� �� 1�����* � �� ��,-*��. �� �� ��F @1�*�D�*
@���� ���� � � � �� ����� .� �8� ���� 12� ��� @1�0��* I�PD �� /�b�� ��M�� .� ^� ��� 12� ��
�� �� ��,-*��. �� �� ��F @1�*�D�* �� �� �� /�b�� ���* ��$�* ��M�� .� ^� ��� 12� ��� ��6�
I�PD �� ��0� ���* �� ��M�� .� ^� X�� 12� �� � �D���* s��� ����� �� [��b�� �� 1�����*
� � ��������� � � � ��F @1����* �*��� �� ;�� L,� � 1�*�D�* �� �� ��$�* 12� ��� ��6� @1�0��*
'�� %�� JOM* � %H�� k�� .� � %�� ��� �� %�*�,) L� \��
�� �����
� � � � ������
� � � �� �����
� � � �������
��
���� � ������ � � � �� /���
%�� � /��� ��;�� ���� � �80�� @%�� � �� ��,-* /��� ��;�� ���� ��� 87�� � 1�0��* ����
��$�* 12� ��� ��6� � X� � 12� �#F�* �� �� e2�� �� �����* �-� D n7 %,� /��/��"*�D .�
��� �� ���. ����D ��$� � /��� � .� /� 87�� ��;�� ���� I�A� �� @�� ?�O D� � ��0� ��� ��
� 87�� ���� ���� ��U�0 * 12� �#F�* �� �� ����� � � ��������� � � � .� � 87�� �� � ������������� � � �
12� �� �D��� ��$� � .� /��0� ���� t� � � � /�.��� ��� ��>�� /��� ����� � ��� ��� @���� �� .�
� /��� ;�� ���� �D��)�,D � %�� � 87�� � ��0� �b� .� �� ^� �%�� ���
.� � ��6� �VD+ X� �
u
@����
%�� d �0� @����* �-� D �� ��� (�� �%�*�,) L� X�� (�� 1�0��* %�� d ^8>� �
�0� �X�2�� �� ��,-* �� �� �� � ���� ������� � � �� ���,-* .� m�& ��� �� �� I���� 1�0��*
'�� ���� ��$� � /��� I�PD+ ������ � � � ��� ����,-* /�b��
�� �����
� � � �������
� � � �� �����
� � � �������
��
���� � ������ � � � �� /��� 3j5
'1�0��* =��) ��. (�� �� �� � ����,-* ���� ��� /���
� � ���� ������ �������� � � ��
��� 87�� /���� �%�*�,) L� X�� (�� \�� ^� �3�� � � AB N*5 ���� ;�� ���� ���,-* ���
`� 3j5 /��/��"*�D �� � ��� ��� 1�0� %��d ���� @1����* [��,D � �� �� %�� ��;�� ����
� 87�� ������� � � � �� .� �� v�� .� � ����* ��MD %�� � /��� ��;�� ���� � �80�� @�0��*
��� �0���D ���2�� %��� %,� /��/��"*�D ��� ��F @�D���2�� n7 %,� /��/��"*�D �0� �%"�D
�� ���� ��$� � �&�&
�� �����
� � � � ������
��
���� �
� � � � 0 � � $� )5 % �� � ��6 � � � � 0 � �� , � .� �� � ���� � � � � � ����� � ���� � >�
�� %�� I�� %C� � � .� � 87�� � /��� ��;� � ���� �� ���� �� 0 � 3��� � � ������ � � � �� � ����
.� %�*�,) L� ��� (�� R�)�) ���� @%�� � ��;�� ���� ��� 87�� ���0� �� � ?�O D� ZAH
@����* �-� D X�� (��
���0� �� �0* ����� � C��!� �O���) �SD .� @��� %�& 6�D ��0* ������ .� %�� X.; �-0�� ��
�� (�"#$ �� �� ��*���* ������ �� I��,� [���,� �0* ����� e2�� �� � ��M� ��� ����2 ���
@�D�� � C��!� ����� ���0� �� ��$ 1#� � M�� ���) �� /�A�* 1��6D�� ��2 �� �� �0���H w�G*
�� 0��2 @%�� L*�� %��� KH �� �� n7 /�� �� � KH1�D X���) �0* ����� �C�* I�� ���)I���
x
R�)�) �G��� � 1�0��* ��,�� �� y�D��* /��$ (��#,� �1����* [��,D ��� �� �� � �� � �b� ��
�� � � �0* �%�N* ����� �� ��,-* @1�0��* ��S0* �� ���� ���2 n7 Z�� �� � /�0* �� � �
X�� (�� @1����* [��,D � �� � 1�*�D�* ����� ����� �� ���� �0�+�* %���� \��� ����
'%��D �:�:F ����� /��� �B0�� ���)�* �� %�*�,) L�
����� � ��� ��$� ��;�� ���� � .� � �V)�D �� ��,-*��. /��� ���@� ��� ����� �� �����
@���� ��$� ��;�� ���� ��� 87�� �� � /��� I�PD+
I�A� �� @1�0��* ��!��� I�0D��H �� ���,) ���0� �� ����* �-� D 3jg_5 .� 3pg_5 �80��
18F � ��� =��) ��/��"*�D ���� �D� ��� �� 6�D �� ����� ���� ��� ��6� � ����� ���� X�V* ���)�*
'%C�� �-� D �� ��.
��� ��6� � /��� I�PD+ ����� � ��� ��$� �0���� ���� � .� � �V)�D �� ��,-*��. /��� ��� �����
@���� ��$� �0���� ����
�� �#� .� �� ����P� �SD �� �� �� �� ��,-* @���,0���5 ����P� �-� D 3pg_5 .� �� 3qg_5 ������
@3%�� I�� L�8M) �� � � /�.��� ��� ���
��� �V0) � ��� � %�� ��;�� ���� ��� 87�� � �� ��,-* /��� � ��;�� ���� ���� ��MD ������
@� � ����
�� ���� � ��� ��$� � .� � .� /�b� �� ���� ��� �� /�.���
L � 2 � 0 D� * �B 0 � � ��� � � ��� � ���� � ���� � /� �I.� � �� 0 �� � � : � : F ��� �� � � I� �� �
� �� �� .� �� < : * � �� � � � � �� �� �� , - * ����� .� �� < : * @� D� �� * = �� )
@�D���* =��) ��� �� � ����� /�����,-* R�)�) ��,� �� @%�� �� � � � � ��V���,-*
z
(1) Íܵ¿õ ¢Àä
õÀÖõ .1 x
ø ©¤Þª Τ ¤¢ ¢Àä ôúÔõ î ÝþÀþ¢ .Ýþ¢Âî ´±½¬ üÖÖ ¢Àä öõ µªÁð bÆÜ ø¢ ¤¢
ßØó .¢ ¢øÀ½õ Ýõ÷üõ ´±·õ ýþð ¢Àä ¥øÂõ »÷ ´Æ¿÷ ø Àõ ÀþÀ û´Þî ýÂðù¥À÷
Ã÷ üÔõ ¢Àä ø þð ¢Àä î üÞÆì ¢Âî ¹þ ¤ ¢Àä ôúÔõ b 㨠üÞÜä b ¹ ¤ø®
.¢ªüõ ùÀ÷¡ ,R ,üÖÖ ¢Àä bäÞ¹õ ¥øÂõ ,ÝûÔõ ßþ bäÞ¹õ ø À÷Àª µ¡ª \¢Àä" öä
ôÜãõ ´Èðüõ ¨ ¤¢ ¢ãõ Û ñøÁ±õ ý¢õ Ýû¢Ã÷ª öÂì ¤¢ î üþûǪî üÏ ¤¢
.¢¥¨üõ ÛÌãõ ¤¢ ¤ ûǪî ßþ î ´¨ üþûüµ¨î ©¿µ¨¢ ¥û üÖÖ ¢Àä ôúÔõ î Àª
x°Æ 3 ¤¢ b ó¢ãõ Âû .Ýîüõ ü¨¤Â öî ¤ á®õ ßþ ,¾þ¤ ý¥¨¥ üîÀ÷
:´ª÷ Âþ¥ ¤¬ x3 b ÜÞ °þ®  ö¢Âî ÝÆÖ ¥ Å öüõ ¤ üÖÖ °þ®
x3 + ax2 + bx+ c = 0 (1)
(1) ó¢ãõ ,x = t� a3Ýû¢ ¤Âì Âð .¢Âî éÁ ¤ ôø¢ b ¤¢ b ÜÞ öüõ ù¢¨ üþÃÚþ ×þ
Ûت
t3 + pt+ q = 0 (2)
b ó¢ãõ Ýîüõ Ǫî ñ .ÀµÆû c ø b ,a °þ® °Æ üþû¤±ä p; q ö ¤¢ î Àþüõ ¤¢
1
Ýþ¤¢ ,t = u+ v ÝÆþ Âð .Ýî Û ¤ (2)
(u+ v)3 + p(u+ v) + q = 0
u3 + v3 + (3uv + p)(u+ v) + q = 0(3)
ý .Àþüõ ´¨¢ (2) ý t = u+ v ×þ ,Àî ëÀ¬ ó¢ãõ ßþ ¤¢ î u; v ø¥ Âû ýÂ
¤Ñµ÷ î ´¨ ñú¹õ ø¢ ó¢ãõ ×þ (3) î Ýîüõ ùÀûÈõ ´Æ¿÷ üø¥ ß ö¢¤ø ´¨¢
.Àª µª¢ ´þú÷ü f Þãõ Ýþ¤¢
:Ýû¢üõ ¤Âì .ݨ üÊ¿Èõ Ýîüõ ü㨠,u; v öõ ÂÚþ¢ bΤ ×þ ö¢øÃê
uv = � p3þ 3uv + p = 0 (4)
:Àþüõ ¤¢ Âþ¥ ùÚµ¨¢ ¤¬ (4) ø (3) ¤¬ ßþ ¤¢ î8><>:
u3 + v3 = �q
u3v3 = � p327
(5)
î ÝÆþ ôø¢ ¤¢ ó¢ãõ ×þ Ý÷üõ v3 ø u3 ´Þî ø¢ ®۬ ø áÞ¹õ ßµª¢ ñ
:Àª v3 ø u3 ÇþûÈþ¤
z2 + qz � p3
27= 0 (6)
Å
z =�q �
qq2 + 4
27q3
2
(2) ,t = u + v ¥ ù¢Ôµ¨ ø ú÷ °ãî ßµêÂð Å ,ÀµÆû v3 ø u3 Âþ¢Öõ z ø¢
:Àþüõ ´¨¢
t =3
vuut�q +qq2 + 427p32
+3
vuut�q �qq2 + 427p32
(7)
üóø ,´¨ 3 ¤¢ ¢ãõ Û Ûõî ¤µ¨¢ fÂûÒ ´¨ éøÂãõ 1÷¢¤î ñõÂê î ñõÂê ßþ
:¢¥¨üõ õ ¤ ÛØÈõ ø¢ ö ¥ üÜÞä ùb¢Ôµ¨ ø ëê ¤±ä ¢¤õ ¤¢ ´ì¢ üÞî©ø¤ ø ñõÂê ßþ ¢ªüõ µÔð î üþóµþ ÀÞÈ÷¢ (1501-1576) Girolamo Cardano ÷¢¤î õ øÂ1üÔ¿õ ÝÆì (1499-1557) Niccol�o Tartaglia ó¤ óØ÷ ýÂÚþ¢ üþóµþ öÀ®þ¤ ¥ âìø ¤¢ ¤ ëê Û
.´¨ ù¢Âî ´êþ ¤¢ ö ßµªÀûÚ÷
2
.Àª µª¢ ø¢ þ ×þ ,ºû ´¨ ßØÞõ ,ax2 + bx + c = 0 ,ôø¢ ¤¢ b ó¢ãõ ×þ (1
¢ãõ .´¨ ø¢ ¢ø öØõ ÂÚ÷ x= �b�p
b2�4ac
2üãþ , ñõÂê ¤¢ � ¢ø
¤ ×þ ÍÖê fÂûÒ (7) ñõÂê üóø Àª µª¢ üÖÖ ¨ ´¨ ßØÞõ 3 ¤¢
¤¢ (2) ý t = � ×þ f ·õ Âð î Âþ¥ ´Æ÷ üÜØÈõ ßþ ÛÞä ¤¢ .Àû¢üõ ´¨¢
:ÝÆþ Ý÷üõ ,Àª ´¨¢
t3 + pt+ q = (t � �)(t2 +At +B)
ÂÑ÷ ñ ßþ .Àª Àû¡ À ÂÚþ¢ üóÞµ ýû t2 +At + B = 0 ü¨¤Â ø
Âþ¥ ñ·õ .´Æ÷ ¤¢¤¡Â ôø¢ ¤¢ ¢ãõ Û ñõÂê Èõ üµõÞä ¥ (7) ñõÂê À¨¤üõ
:ÀþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤
t3 � 3t+ 2 = 0
b ó¢ãõ ýû Å ,´ª÷ (t� 1)2(t+ 2) ¤¬ öüõ ¤ t3 �3t+ 2 ¤±ä
:Ýþ¤¢ q = 2 ø p = �3 ,ÝþÂð ¤î ¤ ÷¢¤î ñõÂê Âð ñ .1;1;�2 ¥ À¤±ä
t =3p�1+ 3
p�1 = �2
.¢ªüõ Û¬ û ¥ üØþ ÍÖê ø
öä p�1 Ûت üþª ßµêÂþÁ ø ¢Àä ôúÔõ b 㨠¹õ î ¤ ýÂýÀ ÛØÈõ (2
:ÀþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ Âþ¥ b ó¢ãõ .Ýîüõ ¼þÂÈ ñ·õ ×þ Âî£ Àª \¢Àä"
t3 � 6t+ 4 = 0 (8)
ýÂð¤µîê ¤ (t� 2) ÜÞ öüõ Å ,Àîüõ ëÀ¬ ó¢ãõ ßþ ¤¢ t = 2 î Àî ùÀûÈõ
:Ýþ¤¢ ø ¢Âî
t3 � 6t + 4 = (t� 2)(t2 + 2t� 2)
3
:Àþüõ ´¨¢ (8) ó¢ãõ ýû b Üî t2 + 2t � 2 = 0 ö¢¢ ¤Âì
t = 2 ; �1�p3
:Ýþ¤¢ (7) ñõÂê ¥ ÂÚþ¢ üêÂÏ ¥
t =3
s�4+
p�16
2+
3
s�4�
p�16
2
:´ª¢ Ýû¡ Ýî ¬¡ 4p�1 p�16 Âð
t =3
q�2+ 2
p�1+ 3
q�2� 2
p�1 (9)
íØÈõ üãõ ÂÑ÷ ¥ ùøä ø ´Æ÷ ùÀª Âî£ ¨ ¥ ×þ ºû ÂûÒ ¤¢ ¤±ä ßþ
µ õ Ýû¢Ã ÷ª öÂì ö÷À ® þ¤ .Ý þùÀÈ÷ Ûþ ì üþ ãõp�1 ý ö î î  þ¥ ´¨
ÛìÀ þ ¢¤¢ üãõp�1 Àî Âê .Àª Û¨µõ Âþ¥ ý¤¬ b ±¨½õ öüõ î À÷Àª
¢½  î Àî ¤¬ ßþ ¤¢ .¢¢ ô¹÷ ¤ ý± ý¢ä ±¨½õ ö öüõ
:(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
(1+p�1)3 = 1+ 3
p�1� 3�
p�1
= �2+ 2p�1
:¢ªüõ ù¢¨ Âþ¥ ¤¬ (9) Å ,(1�p�1)3 = �2�
p�1 Ýþ¤¢ fúÈõ ø
t = 1+p�1+ 1�
p�1 = 2
ÜÞä ¢Àä ×þ ¤¬ ö Âð ,ݵÆ÷ Ûþì üþãõp�1 ý î ßþ ÝèÂÜä üãþ
À÷õ ýÂþ¢Öõ ¢¡ µî ¤¢ ÷¢¤î !¢¤ø Ýû¡ ´¨¢ ¤ ó¢ãõ ,Ýû¢ ô¹÷ ý±
Èõ ý± ¤µê¤ ßØó ø ÀµÆ÷ ¢Àä ¢¡ À Âû î ¢Âîüõ ¢ÀÞÜì \ý¥¹õ ¢Àä" ¤p�1
¢Àä ßµêÂþÁ î ö»Þû ,À¨¤ ¢Àä ¢¤õ ¤¢ üÖþÖ öüõ ú÷ ×Þî ø À÷¤¢ ¢Àä
.Àîüõ ¤Þû ´±·õ Âþ¢Öõ ü¨¤Â ý ¤ ù¤ ± ¤¢ üÔõ
4
üþãõ ±ã ø ´êþ ®þ¤ ¤¢ ¤ ¢¡ ý f¹þ¤À ö ñ·õ øp�1 ôúÔõ öÂì ¨ ø¢ üÏ
¤³¨î ý¦øÂ÷ Æõ À÷¢¢ ¤p�1 ý ü¨Àû ý±ã î ý¢Âê ßóø .Àª ¤ ö ý üÖì¢
«¡ ø ¢Àä ÷ð ßþ Õì¢ ø âõ ü¨¤Â üóø À÷¢ 3öð¤ Âø¤ ö¦ üÆþ¨ ¤ÀÆ ø 2Û¨ø
¢Àä" ¢¤¡Â ý¥øÂõ ©ø¤ .5À¨¤ ñÞî 4§øbð ü÷Þó ï¤Ã öÀ®þ¤ ¤ ¤¢ ú÷ ý±
¤¢ ¢ãõ Û ,ùÀþ ýûÇ¿ ¤¢ Íܵ¿õ ¢Àä ü¨¤Â ¥ Å .´¨ §øbð ©ø¤ \Íܵ¿õ
¤¢ Âð Ýþ¢Âî ¤ 3 ¤¢ ¢ãõ Û ý î üªø¤ ¢¢ Ýû¡ öÈ÷ ù¢Âî ü¨¤Â f¢À¹õ ¤ 3
.¢ªüõ ¹õ ó¢ãõ ýû Üî ßµêþ ø ´¨ Ûõî üªø¤ ,¢Âð ô¹÷ Íܵ¿õ ¢Àä ¤
Íܵ¿õ ¢Àä üêÂãõ .2 x
xy üʵ¿õ b½Ô¬ ñ .Ýþù¢¢ ¤Âì ´¨¤ Í¡ ×þ ¯Ö÷ ×þ ×þ ÂÒ ¤¢ ¤ üÖÖ ¢Àä
üÖÖ ¢Àä üãþ ,Ýîüõ ´±· üÖÖ ¢Àä ùÚþ öä ¤ ö ¤¢ x ¤½õ ø ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤
¢Àä ôúÔõ ¥ üÞÞã ½Ô¬ ôÞ Í¡ ßþ ¥ ¤Áð .Ýû¢üõ ÇþÞ÷ (x;0) b ÎÖ÷ ¤ x
¥ z0 = (x0; y0) ø z = (x; y) b ÎÖ÷ ø¢ ý .´¨ üÖÖ ¢Àä ùÀ÷Â𠤢 î À¨¤ Ýû¡ üÖÖ
üãþ ,\üÖÖ ¢Àä" Âð î ¢Âî Ýû¡ ÓþÂã ý¤Ï ¤ ®۬ ø áÞ¹õ ôúÔõ ½Ô¬
(x+ x0;0)üãþ ,üóÞãõ ®۬ ø áÞ¹õ ôúÔõ öÞû ,¢ª ¢øÀ½õ (x0 ;0) ø (x;0)ýûø¥
.Àû¢ ´¨¢ ¤ (xx0 ;0) ø
:Ýîüõ ÓþÂã z0 = (x0; y0) ø z = (x; y)ýÂ âÞ (1-2)
z + z0 = (x+ x0; y + y0)
Caspar Wessel2
Jean Robert Argand3
Carl Friedrich Gauss4
:Àî ãÂõ Âþ¥ µî 3 ÛÊê Íܵ¿õ ¢Àä ôúÔõ ñ½ ü¿þ¤ ¨ ãóÎõ ýÂ5Ebbinghaus, H. D., et al Numbers, Springer 1991.
5
ø Àû¢üõ ÛØÈ ¤ á® ý¥µõ ×þ §b¤ ¤ú z+ z0 ø z0 ,z ,0 = (0;0) ¯Ö÷ °Â ßþÀ
.(1 Ûت) ´¨ ʵ¿õ bÀ±õ ¥ âϨ ýû¤¢Â ý ý¤¢Â âÞ öÞû ¯Ö÷ âÞ ÛÞä
x
y
O
z
z0
z + z0
âÞ«¡ (1-1-2)
.z + z0 = z0 + z (üþ¹) ýÂþÁ Ëþã (1-1-2)
.z + (z0 + z00) = (z + z0) + z00 ýÂþÁ´îª (2-1-2)
î ´¨ üðÄþø ßþ ý¤¢ (ÎÖ÷ ßþ ÍÖê ø) 0 = (0;0) ÎÖ÷ Âü ÂÊä (3-1-2)
z + 0 = 0+ z = z
¤¬ z üÔõ þ þÂì ,z = (x; y)ý þÂì ÂÊä (4-1-2)
�z = (�x;�y)
:î ´¨ üðÄþø ßþ ý¤¢ (ÎÖ÷ ÷Úþ) ø ¢ªüõ ÓþÂã
z + (�z) = (�z) + z = 0
¢Àä î ,Ôób õ Âû ý ÂÒµõ üðÄþø î À÷ªüõ ¹µ÷ ßþ ¥ ü𢨠Þû ÂîÁóëê «¡
.´¨ ¤Âì ,´¨ üÖÖ
ÂÑ ÷ ßû£ ¥ ¤ø¢ ¥ è ¤¢ z0 = (x0; y0) ø z = (x; y) ®۬ ÓþÂã ® (1-2)
î áÞ¹õ é¡ Â î Àî ´Æ¿÷ .Àª Àû¡ ߪø¤ ö ´ä®õ f¹þ¤À üóø À¨¤ Àû¡
6
¤ø¢ î Àª Àû¡ ü¬¡ ¥ø ßÞ̵õ ®۬ ý üÔþÂã ß ,Àª ÓþÂã Ôób õ Ôób õ
î ¢ªüõ ¹µ÷ ,Ýî ÓþÂã (xx0 ; yy0) ¤¬ ¤ z � z0 Âð .´¨ üÖÖ ¢Àä §÷bõ «¡ ¥
«¡ é¡ î ,¢ªüõ ÂÔ¬ ,ÂÔ¬ Âè ÂÊä ø¢ ®۬ üãþ ,(1;0) � (0;1) = (0;0)
¢Àä ®«¡ ±ª ¢Âî Ýû¡ ÓþÂã î ü®۬«¡ .´¨ üÖÖ ¢Àä ý±
(x;0) � (x0;0)®۬ üãþ ,¢ Àû¡ ¤ð¥¨ üÖÖ ¢Àä ®۬ ø ´¨ üÖÖ
.¢ªüõ (xx0 ;0) ÂÂ
½Ô¬ ¤¢ ýÎÖ÷ zz0 .Ýîüõ ÓþÂã Âþ¥ ¤¬ ¤ z � z0 ,z0 = (x0; y0) ø z = (x; y)ýÂ
Âð Å .´¨ bÀ±õ ¥ z0 ø z Û¬ê ®۬  ʵ¿õ bÀ±õ ¥ ö b ܬê î ¢ Àû¡
.´ª¢ Àû¡ ¤Âì 0 ÃîÂõ rr0 á㪠ùbÂþ¢ ýø¤ z � z0 ,Àª r0 ø r °Â bÀ±õ ¥ z0 ø z b ܬê
zz0
z
z0
��0
� + �0
r
r0
rr0
7
z
y
x
r
�
ø z 6= 0 Ýîüõ Âê ñ .zz0 = 0 fõøÃó ¹µ÷ ¤¢ ø Àª Àû¡ ÂÔ¬ r0 þ r ,Àª ÂÔ¬ z0 þ z Âð
ø ÝþÂðüõ z 0 Û¬ø Í¡Ý÷ x ¤½õ ´±·õ Í¡Ý÷ ¥ b þø¥  ¤ �¤¬ ßþ ¤¢ .z0 6= 0
0 ñ rr0 á㪠ùbÂþ¢ ýø¤ ÎÖ÷ ö ¤ zz0 öî .ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ z0 ý ¤ �0 °Â ßÞû
.Àª � + �0  ö Ûõ á㪠x ¤½õ ´±·õ Þ÷ ¥ b þø¥ î ÝþÂðüõ
®«¡ (1-2-2)
.z � z0 = z0 � z (üþ¹) ýÂþÁËþã (1-1-2-2)
.z � (z0 � z00) = (z � z0) � z00 ýÂþÁ´îª (2-1-2-2)
î ´¨ üðÄþø ßþ ý¤¢ (ÎÖ÷ ßþ ÍÖê ø) (1;0) bÎÖ÷ Âü ÂÊä (3-1-2-2)
z � (1;0) = (1;0) � z = z
î ¢¤¢ ¢ø z0 (¢Âê Âʽõ) ýÂÊä z 6= 0 Âû ý §Øãõ ÂÊä (4-1-2-2)
z � z0 = z0 � z = (1;0)
ø r = 1 Ýþ¤¢ (1;0) ¢¤õ ¤¢ ,(3-1-2-2) ý .´¨ ´¨¤Â¨ f õî ñø ´¬¡ ø¢ ±
,r üãþ ,0 ¥ z ܬê ,z 6= 0 Âð ,ü® §Øãõ ÂÊä ý ù¡ .¢ªüõ ¹µ÷ ÝØ ø � = 0
Àîüõ ëÀ¬ Íþª ¤¢ î ´¨ ýÎÖ÷ ÷Úþ (��) b þø¥ ø r�1 ܬê z0 ùÚ÷ ,´¨ ÂÔ¬÷
8
(3 Ûت)
1
z
z�1
�
��
r
1
r
ùÀ÷¡ z b ÎÖ÷ ü±Îì ʵ¿õ ((Óó) 2 Ûت) Àª ù¢¢ ´±Æ÷ z = (x; y) b ÎÖ÷ î (r; �) ø¥
ö¢øÃê ,´Æ÷ ÷Úþ � üóø ¢ªüõ ßã ¢Âê Âʽõ ¤Ï ,bÀ±õ ¥ ܬê ,r Ôób õ .À÷ªüõ
(z ÕÜÎõ ¤Àì) jzj ¤ r .Àþüõ ´¨¢ ÂÚþ¢ ñ±ì Ûì ¤ÀÖõ ×þ ,� (2�) ¼½¬ ÂÌõ Âû
¥ âϨ Í¡Ý÷ ×þ ýø¤ ¯Ö÷ b Þû ý î Àî .Àû¢üõ ÇþÞ÷ arg(z) üûð ¤ � ø
,x < 0 ,(x;0) ¯Ö÷ arg(z) = � ;y > 0 ,(0; y) ¯Ö÷ arg(z) = �2f ·õ .´¨ Â Â arg(z) ,0
.Àû¢üõ ÇþÞ÷ ¤ y < 0 (0; y) ¯Ö÷ arg(z) = 3�2
,ý± «¡ ÛÞØ ý .Àª ¬¡ ® ø âÞ «¡ (1-2-2) ø (1-1-2) ¤¢
:Àþüõ Âþ¥ ¤¢ î ´¨ ÂÎõ Ã÷ � ø + bΤ
:Ýþ¤¢ z; z0; z00 ý üÈ¿ ö÷ì (3-2)
z � (z0 + z00) = (z � z00) + (z � z00)
(z + z0) � z00 = (z � z00) + (z � z00)
.Ýîüõ ü¨¤Â ¤ ѽó ßþ ùÀõ ´¨¢ ¸þµ÷ üÌã ,üÈ¿ ö÷ì ± ¥ Û±ì
,ù¢¢ ÇþÞ ÷ C ¤ ëê ® ø âÞ ÛÞä ½Ô¬ ¯Ö÷ äÞ¹õ ý¤Áð¢Þ÷ (4-2)
.¢ªüõ ùÀ÷¡ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ (x; y) ø¥ Âû °Â ßþ .Ýõ÷üõ Íܵ¿õ ¢Àä äÞ¹õ
ÇþÞ÷ (x;0) ¤ R ¬ä Âð üãþ ,´¨ C ùÚµ¨¢Âþ¥ ×þ ö ñÞãõ ® ø âÞ Rî Àî
¤¢ .´¨ üØþ Íܵ¿õ ¢Àä þ üÖÖ ¢Àä öä ,üÖÖ ¢Àä ø¢ ®۬ ø áÞ¹õ ,Ýû¢
9
Ýþ¤¢ ,Àª ´õä Ýû x0 ø x Âð î À î ,z0 = (x0;0) ø z = (x;0)®۬ ¢¤õ
ö ø arg(z � z0) = 0 ´ó ø¢ Âû ¤¢ Å ,arg(z) = arg(z0) = � þ arg(z) = arg(z0) = 0
,Àª ´õãó Óܵ¿õ x0 ø x î üµó ¤¢ .(x;0) � (x0;0) = (xx0;0) Å ,xx0 = jzz0j ,xx0 > 0
jzjjz0j = �xx0  0 ¥ ö b ܬê î ´¨ arg = � ÎÖ÷ ÷Úþ xx0 ø xx0 < 0 ,arg(zz0) = �
.(x;0) � (x0;0) = (xx0;0) f¢À¹õ Å ,Àªüõ
ö .´¨ (�1) ý ¤Á ¢ø ½Ô¬ ¯Ö÷ ý ® ø âÞ ÓþÂã ý¤ê ¹µ÷ ßþÂ¥¤
üêÂÏ ¥ .Àª 1 Àþ bÀ±õ ¥ ö üóÞµ ¤Á Âû ܬê ,´¨ Àø  bÀ±õ ¥ (�1;0) ܬê
:À÷¤¢ ¤ ÂÑ÷ ¢¤õ üðÄþø (0;�1) ø (0;1) bÎÖ÷ ø¢ fÖì¢ ø ,arg(�1;0) = � ÂÚþ¢
(0;1) � (0;1) = (�1;0)
(0;�1) � (0;�1) = (�1;0)
.ÀµÆû ((�1;0) þ) (�1)ýû¤Á �i ø (0;�1) = �i Å ,Àû¢üõ ÇþÞ÷ i ¤ (0;1) bÎÖ÷
.�i ø �1 üãþ ,´¨ ô¤ú bÈþ¤ ¤ú ý¤¢ ((1;0) þ) 1 ¢Àä î ßþ ¹µ÷
¤Ï î Âþ¥ b ÎÖ÷ n î ¢ªüõ ¹µ÷ ® ÓþÂã ¥ .´¨ ô n bÈþ¤ ný¤¢ 1 üÜî ¤Ï
:Àªüõ 1 ô n ýûÈþ¤ À÷ùÀª âþ¥ Àø ùbÂþ¢ ýø¤ ܬÔó ýøƵõ
(1;0); (cos2�
n; sin
2�
n); (cos
4�
n; sin
4�
n); : : : ; (cos
(n� 1)2�n
; sin(n� 1)2�
n)
.À÷ùÀª ù¢¢ ÇþÞ÷ 1 ݵÈû ýûÈþ¤ () 4 Ûت ¤¢ ø 1 ô¨ ýûÈþ¤ (Óó) 4 Ûت ¤¢
�
4
10
(1;0)
2�
3
:¥ À¤±ä 1 ô¨ ýûÈþ¤ î Àî ýÀã ýûᤠ´ú
(1;0)
(�12;
p3
2) = (cos
2�
3; sin
2�
3)
(�12;�
p3
2) = (cos
4�
3; sin
4�
3)
11
(2) Íܵ¿õ ¢Àä
(x; y) bÎÖ÷ b ܬê r ,Àª (x; y) bÎÖ÷ ü±Îì ʵ¿õ (r; �) ø¥ Âð î Àþ¤ø ¢þ Û±ì bÆÜ ¥
ÂÑ÷ ¤¢ (x; y) 0 ¥ Û¬ø Í¡Ý÷ x ¤½õ ´±·õ Í¡Ý÷ ¥ î ´¨ ýþø¥ � ø ´¨ bÀ±õ ¥
Ýþ¤¢ .ÝþÂðüõ üÔõ ¤ ´ä¨ b ÂÖä ´ú ø ´±·õ � ý ¤ ü·Ü·õ ´ú .¢ªüõ µêÂð
x = r cos � ; y = r sin � (1)
ý ü±Î ì ʵ¿õ ø¥ ×þ À î ëÀ¬ ë ê Í ø¤ ¤¢ î r � 0 (r; �) ø¥  û â ìø ¤¢
Õ±Ï .Àª z0 = (x0; y0) ý ü±Îì ʵ¿õ (r0; �0) Àî Âê ñ .¢ªüõ ¤Ñõ z = (x; y)
:Ýþ¤¢ Íܵ¿õ ¢Àä ® ÓþÂã
z � z0 = (rr0 cos(� + �0); rr0 sin(� + �0))
= (rr0 cos � cos �0 � rr0 sin � sin �0; rr0 sin � cos �0 + rr0 cos � sin �0)
= (xx0 � yy0; xy0 + x0y)Å
(x; y) � (x0; y0) = (xx0 � yy0; xy0+ x0y) (2)
Ó þ ã ö ä ö ¥ ö ü õ ø ´¨ Í Ü µ ¿ õ ¢À ä ø¢ ®۬ ý ± ö ë ê Î ¤
Âê .Ýîüõ ÕÖ½ ¤ üÈ¿ ö÷ì ´½¬ öî ,(2) ¥ ù¢Ôµ¨ .¢Âî ù¢Ôµ¨ ®۬
1
:¤¬ ßþ ¤¢ ,z00 = (x00; y00) Àî
z � (z0 + z00) = (x; y) � (x0 + x00; y0 + y00)
= (x(x0 + x00)� y(y0 + y00); x(y0 + y00) + (x0 + x00)y) (2) Õ±Ï
= ((xx0 � yy0) + (xx00 � yy00); (xy0 + x0y) + (xy00 + x00y))
= (xx0 � yy0; xy0 + x0y) + (xx00 � yy00; xy00+ x00y)
= zz0 + zz00
ýø¤ ¯Ö÷ ¥ ÛØȵõ C b äÞ¹õÂþ¥ öä ¤ ,R ,üÖÖ ¢Àä b äÞ¹õ î Ýîüõ ý¤ø¢þ
:Ýþ¤¢ ßþ ,À÷ªüõÂê üØþ (x;0) ø x üãþ ,ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ x ¤½õ
(x; y) = (x;0) + (0; y)
= (x;0) + (0;1)(y;0) ((2) Õ±Ï)
= x+ iy
(x; y) ¥ ÂñÞãõ x+ iy ¢Þ÷ ,Ýîüõ üÖÜ \Íܵ¿õ ¢Àä" öä ¤ ½Ô¬ ¯Ö÷ üµìø âìø ¤¢
¢Àä ö¢Âî ¤î À÷õ x+ iy ö¢Âî¤î ,üÈ¿ ø ýÂþÁ´îª ,üþ¹ ß÷ì .´¨
¤ (2) ¤µ¨¢ f ·õ .¢ªüõ (�1) ÛþÀ± i � i Þû î ´ª¢ Àþ ÍÖê .´¨ üóÞãõ
:¢Âî ÕÖ½ f¢À¹õ Âþ¥ Ûت öüõ
(x+ iy) � (x0 + iy0) = (x+ iy) � x0 + (x+ iy) � (iy0)
= xx0 + iyx0 + xiy0 + (iy)(iy0)
= xx0 + i(yx0 + xy0) + (i � i)(yy0)
= (xx0 � yy0) + i(xy0 + x0y)
¤ x .Àõ÷üõ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ üê¤ãµõ ÇþÞ÷ ¤ z = x+ iy ¤¬ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ ÇþÞ÷
¢Àä ,iy üãþ ,y ¤½õ ýø¤ ¢Àä üÜî ¤Ï .Àõ÷üõ z üõûõ ´ÞÆì ¤ y ø z üÖÖ ´ÞÆì
(Ýþ¢¢üõ ÇþÞ÷ r ü±Îì ʵ¿õ ¤¢ î) 0 ¥ z = x+ iy ܬê .À÷ªüõ ùÀ÷¡ üõûõ
ßþ .¢ªüõ ù¢¢ ÇþÞ÷ jzj ø ¢ªüõ ùÀ÷¡ z ÕÜÎõ¤Àì
jzj =qx2 + y2 (3)
2
:À÷¤Âì z0 ø z Íܵ¿õ ¢Àä ý Âþ¥ Íø¤
jz + z0j � jzj+ jz0j (¶Ü·õ ýøÆõ÷) (4)
jz � z0j = jzjjz0j (5)
âÞ ý üÜî ýùÀäì (4) ø ´¨ Íܵ¿õ ¢Àä ®۬ ü¨Àû ÓþÂã ¹µ÷ (5) Τ
ü¨Àû üãõ .(ßþÂÞ) ¢Þ÷ ÕÖ½ (3) ø âÞ ÓþÂã ßµêÂð ¤î ¹þ öüõ î ´¨û¤¢Â
.´¨ ô¨ âÜ® ýøÆõ þ µð¤Ã ¶Ü·õ âÜ® ø¢ áÞ¹õ î ´¨ ßþ ö
,x ¤½õ ´±Æ÷ ö b þÂì ,z = x+ iy ý .´¨ ø¢Ãõ ¢Þ÷ ýÂÚþ¢ ÀÔõ ø ñÞãõ ¢Þ÷
ø ´¨ ´¨¤Â¨ Âþ¥ Íø¤ ± .¢ªüõ ùÀ÷¡ z ø¢Ãõ ø ùÀª ù¢¢ ÇþÞ÷ z x� iy üãþ
:¢ªüõ ¤Áðø ßþÂÞ öä
z + z0 = z + z0 (6)
z � z0 = z � z0 (7)
î Àî ß»Þû
z � z = jzj2 (8)
°Â ßþÀ .¢ø¤üõ ¤î arg(z) ¢Þ÷ üûð ,� ü±Îì b þø¥ ý ù¡
z = jzj(cos(arg(z)) + i sin(arg(z)) (9)
:Ýþ¤¢ .ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ jzj = 1 z Íܵ¿õ ¢Àä ñ
z = cos � + i sin �
3
×þ n Âð î ¢ªüõ ¹µ÷ ®۬ ü¨Àû ÓþÂã ¥ .Ýû¢üõ ÇþÞ÷ Ã÷ cis(�) ¤ ¢Àä ßþ
Ýþ¤¢ Àª ´±·õ ¼½¬ ¢Àä
(cos � + i sin �)n = cos(n�) + i sin(n�) (10)
ßþ ¥ üÌã ¤ ¥ Û±ì .¢¤¢ ü÷øÂê ýû¢Â¤î ø ´¨ éøÂãõ 1¤øõ¢e ñõÂê (10) ñõÂê
¤Âì ,ÂÔ¬ ø üÔõ ,´±·õ ¥ Ýä ,n ¼½¬ ¢Àä b Þû ý (10) î Ýîüõ öÈ÷ ÂÏ¡ ,û¢Â¤î
.Àîüõ ¤Âì ¤ b Τ î Ýû¢üõ ¤Âì 1  ¢¢¤Âì Õ±Ï ¤ z0 ,z Íܵ¿õ ¢Àä Âû ý .´¨
:Ýþ¤¢ ü® §Øãõ ÓþÂã ,n = �1 ýÂ
(cos � + i sin �)�1 = cos(��) + i sin(��)
:Å ,´¨ zn ü® §Øãõ ,´±·õ ¼½¬ ¢Àä :n ,z�n ¥ ¢ÊÖõ ñ
(cos � + i sin �)�n = (cos(n�) + i sin(n�))�1 = cos((�n)�) + i sin((�n)�)
.´¨ ¤Âì ö»Þû ¤øõ¢ ñõÂê Å
ü·Ü·õ ýû¢½ :1 ¢Â¤î
ü±¨õ ¤±ä Àþ f Þãõ .¢¤ø ´¨¢ ¤øõ¢ ñõÂê ×Þî öüõ ¤ ü·Ü·õ ýû¢½ üÌã
ø cos3� Ýû¡üõ Àî Âê ÷Þ÷ öä .¢Âî ×ØÔ üõûõ ø üÖÖ ýû´ÞÆì ¤
:Àû¢üõ n = 3 ý ¤øõ¢ ñõÂê .ÝÆþ sin � ø cos � °Æ ¤ sin3�
cos3� + i sin3� = (cos � + i sin �)3
= cos3 � + 3i cos2 � sin � � 3 cos � sin2 � � i sin3 �
= (cos3 � � 3 cos � sin2 �) + i(3 cos2 � sin � � sin3 �)de Moivre
1
4
Å8><>:
cos3� = cos3 � � 3 cos � sin2 �
sin3� = 3 cos2 � sin � � sin3 �
Íܵ¿õ ¢Àä ô n bÈþ¤ :2 ¢Â¤î
.´¨ ÃþÞµõ ô n bÈþ¤ n ý¤¢ 1 î ÝþÀþ¢ ø Ýþ¢Âî ±¨½õ ¤ Àø ô nýûÈþ¤ Û±ì bÆÜ ¤¢
üÆþ÷ ù¢¨ ý ø Ýîüõ ù¢Ôµ¨ (9) ¥ .´¨ ´¨¤¢ z 6= 0 Íܵ¿õ ¢Àä Âû ý °ÜÎõ ßþ
.Ýû¢üõ ÇþÞ÷ � ¤ arg(z)
z = jzj(cos� + i sin �)
:Å ,ÝÆþ÷üõ jwj(cos �+ i sin�) ¤¬ ¤ w .wn = z Ýþ¤¢ ,Àª z ô n bÈþ¤ ×þ w Âð
jwjn(cosn� + i sin�) = jzj(cos � + i sin �)
 jwj üãþ ,jzj = jwjn Ýþ¤¢ ´¨ jwjn ² éÂÏ ÕÜÎõ¤Àì ø jzj´¨¤ éÂÏ ÕÜÎõ¤Àì ö
ö¢¢¤Â ì ýøÆ õ .Àª ü õ jzj´± · õ ¢Àä ´± · õ ô n È þ¤ npjzj ¥ ¢ÊÖ õ î ´¨ npjzj
Ýþ¤¢ éÂÏ ø¢ üõûõ ø üÖÖ ýû´ÞÆì8<:
cosn� = cos �
sin n� = sin �
Ån� = � + 2k� ; *½¬ ¢Àä : k
� = �n+ k2�
n
:¢Àä ¥ À¤±ä z ô n ýûÈþ¤ ßþÂ
n
qjzj(cos( �
n+ k
2�
n) + i sin(
�
n+ k
2�
n)) *½¬ ¢Àä : k
5
ÀþÀ ´¨¤ éÂÏ ¤¢ ÃþÞµõ ¤ÀÖõ n ÍÖê Àîüõ üÏ ¤ ¼½¬ ¢Àä Üî k üµìø î Àî
ù¢øÃê �n+ k2�
n 2� ¼½¬ ÂÌõ ×þ ,¢ª ù¢øÃê k n ¥ ¼½¬ üÂÌõ Âð î Âþ¥ Àþüõ
´¨¢ Âþ¥ ª jzjý ô n bÈþ¤ n âìø ¤¢ Å ,¢¤À÷ §¨ ø §Æî  ýÂ î ¢ªüõ
:Àþüõ8<:
n
pjzj(cos( �n+ k2�
n) + i sin( �
n+ k2�
n))
k = 0;1; : : : ; n� 1(11)
¢ãõ Û ¢¤õ ¤¢ ü¿þ¤ ¶½ Ý÷üõ Ýþµª¢ Íܵ¿õ ¢Àä ¥ î üÔ¬ öî
¤¬ ¤ t ,t3 + pt + q = 0 b ó¢ãõ Û ý î Ýîüõ ý¤ø¢þ .Ýî ÛÞØ ¤ ô¨ ¤¢
ýûÈþ¤ Àþ u; v î ÝþÀ¨¤ ¹µ÷ ßþ 3uv+ p = 0 b Τ ×þ ö¢øÃê ø ݵª÷ t = u+ v
:¤ÀÖõ ø¢ ô¨ ýûÈþ¤ üãþ ,z2 + qz � p327
= 0 ôø¢ ¤¢ b ó¢ãõ ýû ô¨
z =�q �
qq2 + 4
27p3
2(12)
ÀþÀ ñÀµ¨ ¤¢ üÜÜ¡ ºû Àª Ã÷ Íܵ¿õ q ø p Âð üóø ݵêÂð üÖÖ ¤ q ø p ¥è ¤¢ õ .Àª
ô¨ ¤¢ ¢ãõ ¢¤õ ¤¢ Ñõ b Þû ¹þ ø ÀÞî ý± ß÷ì öÞû î Âþ¥ ÀþüÞ÷
öî üóø ¢ª üÔõ ´¨ ßØÞõ ñØþ¢¤ Âþ¥ (12) ¤¢ î Àî .´¨ 뢬 Ã÷ Íܵ¿õ °þ®
Âû ñ .À÷ù¢Âî À üãõ Ã÷ Íܵ¿õ ø üõûõ ¢Àä î Âþ¥ ¢Âî Àû¿÷ ¢¹þ üÜØÈõ °ÜÎõ ßþ
ÂÔ¬ ø¢ Âû þ ×þ î üµó ý·µ¨ ) ´¨ ô¨ bÈþ¤ ¨ ý¤¢ (12) ¤¢ z ¤ÀÖõ ø¢ ¥ ×þ
î Ýû¢üõ öÈ÷ üóø ,Àõ Àû¡ ´¨¢ (u; v) ø¥ ý ¿µ÷ 9 = 3� 3 áÞ¹õ ¤¢ ø ,(À÷ª
þ ,3uv + p = 0 üØÞî b Τ î Àî .Àîüõ ëÀ¬ óbÆõ ¤¢ ¹þ ¤¢ ¿µ÷ ¨ ·îÀ
Å ,Àû¢ ÇþÞ÷ (u1; v1) ¤ ßØÞõ ×þ .Àª ¤Âì Àþ uv = � p3
u1 =3
vuut�q +qq2 + 4
27p3
2; v1 =
3
vuut�q �qq2 + 4
27p3
2
¿µ÷ Âû ñ .u1v1 = � p3 î ý¤Ï ´¨ ô¨ b Èþ¤ ¿µ÷ ×þ 3p ¥ ¢ÊÖõ ¹þ ¤¢ î
6
Ûت Àþ (11) ýû ý ô¨ bÈþ¤ ÂÚþ¢
u = !1u1 ; v = !2u2
Àþ À÷Þ ¤Âì ö»Þû uv = � p3î ßþ ý .ÀµÆû Àø ô¨ ýûÈþ¤ !2 ø !1 î Àª
:¥ À¤±ä Àø Èþ¤ ¨ üóø .!1!2 = 1 ݪ µª¢
1
! = cis(2�3) = �1
2+ i
p3
2
!2 = cis(4�3) = �1
2� i
p3
2
:¥ À¤±ä î ¢¤¢ ¢ø !1!2 = 1 ý öØõ ¨ ú ø
(!1 = !2 = 1) ; (!1 = !; !2 = !2) ; (!1 = !
2; !2 = !)
ø (!u1; !2u2) ¥ À¤±ä ýÂÚþ¢ ñ±ì Ûì ýûø¥ ,Àª ñ±ì Ûì ø¥ ×þ (u1; v1) Âð Å
¨ Å ,(!2u1; !u2)t = u1 + v1
t = !u1 + !2u2
t = !2u1 + !u2
.Àþüõ ´¨¢ t3 + pt + q = 0 ¨ ¤¢ b ó¢ãõ ýÂ
:Ýîüõ ü¨¤Â Ûõî ¤Ï ¤ 3 ÆÜ ¥è ñ·õ ø¢ ¤Ã ßþ
ô¨ ýûÈþ¤ u; v ø q = 2 ,p = �3 Ýþ¤¢ .ÀþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ t3 � 3t+ 2 = 0 b ó¢ãõ .1 ñ·õ
¤ÀÖõ ø¢
z =�2� p4� 4
2= �1
ô¨ ýûÈþ¤ .¢ª ¿µ÷ (�1) ô¨ b Èþ¤ ×þ Àþ u; v ¥ ×þ Âû °Â ßþÀ .Àª Àû¡
:¥ À¤±ä (11) Õ±Ï (�1)
cos�
3=1
2+ i
p3
2; cos� = �1 ; cos 5�
3=1
2� i
p3
2
7
°Â ßþÀ u1 = v1 = �1 f ·õ ,¢ª � p3 = 1  öÈ®۬ î À÷ª ¿µ÷ üþûø¥ Àþ
:¥ À¤±ä ó¢ãõ bÈþ¤ ¨
�1� 1 = �2 ; �! � !2 = 12
+1
2= 1 ; �!2 � ! = 1
2+1
2= 1
×þ Âû u; v ø q = 4 ,p = �6 ö ý î Ýþ Âðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ t3 � 6t+ 4 = 0 b ó¢ãõ .2 ñ·õ
¤ÀÖõ ø¢ ô¨ ýûÈþ¤
z =�4� p16� 32
2= �2� 2i
:¥ À¤±ä ô¨ ýûÈþ¤ ßþ .ÀµÆû
:�2+ 2i ô¨ ýûÈþ¤
p2cis
�
4= 1+ i ;
p2cis(
�
4+2�
3) ;
p2cis(
�
4+4�
3)
:�2� 2i ô¨ ýûÈþ¤
p2cis
5�
12;
p2cis(
5�
12+2�
3) ;
p2cis(
5�
12+4�
3) =
p2cis(��
4) = 1� i
(1+i)+(1�i) = 2 ¥ ´¨ ¤±ä ×þÅ ,(1+i)(1�i) = 2 = � p3î Ýîüõ Ñõ
:À÷Âþ¥ ª û bÞû ø
(1+ i) + (1� i) = 2
!(1+ i) + !2(1� i) = (�12+ i
p3
2)(1+ i) + (�1
2� i
p3
2)(1� i) = �1�
p3
!2(1+ i) + !(1� i) = (�12� i
p3
2)(1+ i) + (�1
2+ i
p3
2)(1� i) = �1+
p3
üÖÖ ¢Àä ü¹þµ÷ öüõ Íܵ¿õ ¢Àä ¥ ¤Áð ÷Ú î Àû¢üõ öÈ÷ ü¡ ñ·õ ßþ
.À¨¤
8
½Ô¬ þÀ± ø Íܵ¿õ ¢Àä
û¢Â ¤î ßþ ¥ ÷Þ ÷ ×þ ¤ ¹ þ ¤¢ .¢¤¢ ¢ø Íܵ¿õ ¢Àä ý üä µõ ýû¢Â ¤î
ýûÛþÀ± ü¨¤Â Íܵ¿õ ¢Àä ×Þî .ÀþÂÚ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ C f ¢ãõ þ R2 b ½Ô¬ .Ýþ¥¢Âüõ
b Þû î ÝþÂðüõ ôúÔõ ßþ ¤ ñÖµ÷ .´¡¢Â Ýû¡ ½Ô¬ ¥ \Å÷¹" ø \ö¤ø¢" ,\ñÖµ÷"
ÎÖ÷ Âû ,B üµ ¤¢Â ý ,ÂÕì¢ ¤Ï .Àî ´î ¤ÀÖõ ×þ ø ¢Àµõ ×þ ¤¢ ½Ô¬ ¯Ö÷
öüõ ,Àª ÓþÂã û¤¢Â âÞ ÂÒµõ Íܵ¿õ ¢Àä âÞ î ¹÷ ¥ .Àîüõ ´î B ùb¥À÷
Ûت f : C �! C üã ¤ ñÖµ÷
T (z) = z + B (1)
´ Íܵ¿õ ¢Àä ø¢ B2 ø B1 Âð °Â ßþÀ .´¨ ´ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ B ö ¤¢ î ¢Âî üÖÜ
z
w
z + B
w + B
B
:¥ ´¨ ¤±ä B2 ø B1 üóµõ ñÖµ÷ ø¢ Û¬ Àª
z �! z +B1 �! (z1 +B1) + B2 = z + (B1 +B2)
1
.B1 + B2 ܨø ñÖµ÷ üãþ
.Ýîüõ ü¨¤Â ¤ ,0 üãþ ,ʵ¿õ bÀ±õ ñ ö¤ø¢ ´Æ¿÷ ø ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ ö¤ø¢ ñ
z0 ýÎÖ÷ ¤ z ÎÖ÷ Âû î ´¨ üÜþÀ± � b þø¥ 0 ñ ö¤ø¢ ¥ ¢ÊÖõ ,� b þø¥ Âû ýÂ
Í¡ z 0 ¥ Û¬ø Í¡ ¥ þø¥ üóø ´¨ bÀ±õ ¥ z ܬê  bÀ±õ ¥ ö b ܬê î Àµ¨Âêüõ
¤¢ �´±·õ Âþ¢Öõ ,¢¢¤Âì Õ±Ï ù¤Þû î Àª µª¢ .´¨ � ´ ¤ÀÖõ  z0 0 ¥ Û¬ø
Âð ,Íܵ¿õ ¢Àä ®۬ ÓþÂã .¢ªüõ ¤Ñõ (´ä¨ ÂÖä À®) ü·Ü·õ ´ú
z
z0
O
�
:Ýþ¤¢ ,Àª ʵ¿õ bÀ±õ ñ ö¤ø¢ ×þ R : C �! C
R(z) = cis(�) � z (2)
Íܵ¿õ ¢Àä ¤ z0 üû¿ó¢ bÎÖ÷ ñ � þø¥ ö¤ø¢ Ýû¿ Âð ñ .´¨ ´ ý¤ÀÖõ � î
0 ¤ z0 î Ýû¢üõ ô¹÷ (�z0) ùb¥À÷ üóÖµ÷ ´Æ¿÷ .Ýîüõ ÛÞä Âþ¥ ÕþÂÏ Ýû¢ ÇþÞ÷
ñÖµ÷ ù¡ ø ,(cis(�) ¤¢ ö¢Âî ®) Ýû¢üõ ô¹÷ ¤ 0 ñ � b þø¥ ö¤ø¢ ų¨ ,Àî ÛÖµõ
z0 ñ � þø¥ ö¤ø¢ °Â ßþÀ .Ý÷¢Âðüõ ¥ ©óø öØõ ¤ z0 b óø ÎÖ÷ ,z0 b ܨø
:¢ªüõ Û¬ Âþ¥ ¤¬
z �! z � z0 �! cis(�) � (z � z0) �! cis(�) � (z � z0) + z0 (3)
:¢ªüõ ù¢¢ Ã÷ Âþ¥ ¤¬ z0 ñ � b þø¥ ö¤ø¢ ñõÂê Å
z �! cis(�) � (z � z0) + z0 = cis(�) � z + (1� cis(�)) � z0 (4)
î ¢ªüõ ¹µ÷ ܬê ,´¨ ´ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ (1� cis(�)) � z0 ö î Àî
2
ñÖµ÷ ×þ ø þø¥ öÞû 0 ñ ö¤ø¢ °î ¤¬ öüõ ¤ ½Ô¬ ¤¢ ö¤ø¢ Âû (1-5)
.´ª÷
,¢Â 𠤬 ñÖµ ÷ ×þ ų¨ ø 0 ñ ,� 6= 2k� ,� b þø¥ ö¤ø¢ ×þ f ó µ õ Âð ÅØãó
¤¬ ü± îÂ ß .¢ Àû¡ z0 ýÎÖ÷ ñ � b þø¥ ö¤ø¢ ×þ Û¬ Ý îüõ ä¢
¤¬ ¤ z0 Âð Å cos(�) 6= 1 Ýþ¤¢ ,� 6= 2k� Ýþù¢Âî Âê ö .¢ Àû¡ cis(�) � z+B
ö¤ø¢ (4) Õ±Ï î cis(�) � z + B = cis(�) � z + (1 � cis(�)) � z0 Ýþ¤¢ ,Ýî ÓþÂã B1�cis(�).´¨ z0 ñ � b þø¥
ÎÖ÷ ×þ z0 ø Àª ùÀª ù¢¢ k üÔõ÷ üÖÖ ¢Àä Âð .ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ Å÷¹ ÛþÀ± ñ
Í¡Ý÷ ýø¤ z ÎÖ÷ Âû î ´¨ ßþ k °þ® z0 ÃîÂõ Å÷¹ ¥ ¢ÊÖõ ,Àª ½Ô¬ ¤¢
.´¨ z0 ¥ z ܬê  k ,z0 ¥ ©Ü¬ê î Àîüõ ´î z0 ýÎÖ÷ z z0 ¥ Û¬ø
z
zz
z
z0
z0
z0
z0
z0
O
.À÷õüõ üì ´ Å÷¹  ´½ Å÷¹ ÃîÂõ ,k � 0 = 0 ø ´¨ ÂÔ¬ z0 ¥ z0 ܬê ö
bÀ±õ Å÷¹ ÃîÂõ î ÝþÂðüõ ÂÑ÷ ¤¢ ¤ üµó ´Æ¿÷ ,Å÷¹ ý üóõÂê ö¢¤ø ´¨¢ ýÂ
k ¢Àä ®) ¢ªüõ ù¢µ¨Âê kz bÎÖ÷ z ÎÖ÷ î ´¨ ߪø¤ ´ó ßþ ¤¢ .´¨ ,0 ,ʵ¿õ
:¥ ´¨ ¤±ä ,H : C �! C ,k °þ® 0 ÃîÂõ Å÷¹ â °Â ßþÀ .(z \¤¢Â" ¤¢
H(z) = kz (5)
´Æ¿÷ üãþ ,Ýîüõ ÛÞä z0 ñ ö¤ø¢ Èõ üªø¤ ,z0 ù¿ó¢ ÃîÂõ ´±Æ÷ Å÷¹ ýÂ
ø Ýû¢üõ ô¹÷ ¤ ,H ,ëê Å÷¹ ų¨ ,Ýîüõ ÛÖµõ 0 ¤ z0 bÎÖ÷ ,½Ô¬ ¤¢ (�z0) ñÖµ÷
3
:Ýû¢üõ ñÖµ÷ z0 ùb¥À÷ ¤ Û¬ ù¡
z �! z � z0 �! k(z � z0) �! k(z � z0) + z0 (6)
:´ª÷ Âþ¥ ¤¬ öüõ ¤ k °þ® ø z0 ÃîÂõ Å÷¹ â üãþ
z �! k(z � z0) + z0 = kz + (1� k)z0 (7)
Ýþ¤¢ ´¨ ´ ý¢Àä (1� k)z0 î ¹÷ ¥
×þ ø °þ® öÞû 0 ñ Å÷¹ °î ¤¬ öüõ ¤ ½Ô¬ ¤¢ Å÷¹ Âû (2-5)
.´ª÷ ñÖµ÷
¢Âð ô¹÷ k 6= 1 °þ® Å÷¹ ´Æ¿÷ Àî Âê .´¨ ´¨¤¢ °ÜÎõ ÅØä Ã÷ ¹þ ¤¢
ö .kz + B ¥ ´¨ ¤±ä z b ÎÖ÷   ۬ ¤¬ ßþ ¤¢ .B ¤¢Â ñÖµ÷ ×þ ų¨ ø
(7) Õ±Ï î kz + B = kz + (1� k)z0 Ýþ¤¢ Ýõ z0 ¤ ö Âð ø ´¨ ùÀª ÓþÂã B1�k ,k 6= 1
ͨ î ,Å÷¹ ø ö¤ø¢ ,ñÖµ÷ üÜî ýûñõÂê Âð ñ .´¨ z0 ÃîÂõ k°þ® Å÷¹
z ´±Æ÷ ×þ ¤¢ ýûâ ,¨ Âû î Ýîüõ Ñõ ,Ýî ÂÑ÷ ,À÷ùÀª ¤ (7) ø (4) ,(1)
×þ ¤¢ â Âû üãþ ,´¨ ¼½¬ Ã÷ °ÜÎõ ßþ ÅØä î Ýû¢üõ öÈ÷ öî .Àîüõ ÓþÂã
¤¬ f : C �! C â Àî Âê .´¨ ÛþÀ± á÷ ¨ ßþ ¥ ü±î âìø ¤¢ f : C �! C
f(z) = Az +B (8)
b ÎÖ÷ ½Ô¬ ¯Ö÷ b Þû î A = 0 Âð .Àª ´ Íܵ¿õ ¢Àä A;B ö ¤¢ î ´¨ ùÀª ù¢¢
.´¨ k = 0°þ® B ÃîÂõ Å÷¹ ,ßþ ø À÷ªüõ ù¢µ¨Âê B ´
:´ª÷ öüõ ,A 6= 0 Àî Âê
A = jAjcis(�) (9)
:´ª÷ Âþ¥ °î ¤¬ öüõ ¤ f Å
z0 ñ ö¤ø¢
�! cis(�) � z0 ÃîÂõ Å÷¹
�! jAjcis(�) � zñÖµ÷�! jAjcis(�) � z + B (10)
4
.´¨ ñÖµ ÷ ×þ ø ,0 ÃîÂõ Å÷¹ ×þ ,0 ñ ö¤ø¢ ×þ °î ,×þ ¤¢ â Âû üã þ
.¢Âî Ëþã ¤ Å÷¹ ø ö¤ø¢ °Â öüõ ,´¨ üþ¹ ® ÛÞä ö ß»Þû
Å÷¹ ×þ ø ö¤ø¢ ×þ °î þ ø ´¨ ñÖµ÷ ×þ þ (10) °î î Ýüõ öî âìø ¤¢
:íµÈõ ÃîÂõ
.´¨ ñÖµ÷ ×þ î ¢ªüõ ¬¡ z �! z + B â ¤¬ ßþ ¤¢ A = 1 :ñø ´ó
î ý¤ Ï ¢¤¢ ¢ ø z0 ýÎ Ö ÷ î Ý û¢ü õ ö È ÷ ¤¬ ß þ ¤¢ A 6= 1 :ôø¢ ´ ó
b Τ ¤¢ Àþ z0 b ÎÖ÷ ß ×þ .´¨ z0 ÃîÂõ Å÷¹ ×þ ø ö¤ø¢ ×þ °î z �! Az + B
ø (1�A)z0 = B f ¢ãõ Å ,À÷õüõ ´ Å÷¹ ø ö¤ø¢ ÃîÂõ ö Àî ëÀ¬ Az0 +B = z0
âìóüê ÎÖ÷ ßþ î Ýû¢üõ öÈ÷ ñ .Àþüõ ´¨¢ z0 = B1�A ,´¨ ùÀª Âê A 6= 1 ö
:Ýþ¤¢ .´¨ z0 ñ Å÷¹ ø ö¤ø¢ °î z �! Az +B üãþ ,¢¤¢ ¤ ÂÑ÷ ¢¤õ üðÄþø
Az +B = A(z �B
1�A) + B +
AB
1�A= A(z � z0) + z0
°þ® Å÷¹ ø � þø¥ ö¤ø¢ °î â ßþ î Ýîüõ Ñõ A = jAjcis(�) ßµª÷
.´¨ z0 ñ jAj
:Ýû¢üõ ¤Âì ¢¤õ ¤ Âþ¥ ´ó ø¢É¡
.´¨ z0 = B1�A ñ cis(arg(A)) þø¥ ö¤ø¢ z �! Az + B â ,jAj = 1 ø A 6= 1 Âð
.´¨ z0 = B1�A ñ A °þ® Å÷¹ z �! Az + B â ,A � 0 ø A 6= 1 Âð
� b þø¥ ö¤ø¢ T2 : C �! C ø z1 ñ � þø¥ ö¤ø¢ T1 : C �! C Àî Âê .1 ñ·õ
?´¨ üÜþÀ± ÷Ú T2 � T1 °î ¤¬ ßþ ¤¢ .´¨ z2 ñ
Å .T2(z) = cis(�) � z + B2 ø T1(z) = cis(�) � z +B1 Ýþ¤¢
T2 � T1(z) = T2(cis(�) � z +B1) + B2
= cis(�) � cis(�) � z + cis(�) �B1 + B2
= cis(�+ �) � z + (cis(�) �B1 +B2)
cos(�+ �) = 1 þ ,�+ � = 2k� Âð .´¨ ´ Íܵ¿õ ¢Àä ×þ cis(�) �B1 + B2 ¹þ ¤¢ î
5
ö¤ø¢ ×þ ëê ÛþÀ± ,�+ � 6= 2k� Âð .´¨ cis(�) �B1 + B2 ¤ÀÖõ ñÖµ÷ ×þ ÛþÀ± ßþ
.Àªüõ z0 = cis(�)�B1+B21�cis(�+�) ñ �+ � þø¥
6
��� ���� �� ���� �b ����
�� ���� ���� ���� � ����� ����� ������ ���� �� ���� ��� !"#� $%� ��&� �� ��'%
�(� )'�% �� *��� ��+, ���� ����� b �- � �!��� ���� ��!( ����� ���� � �,��� ��.��- /�!,��
/�� �,%�#, 0- ��� ���� �1��- ��!2 � �� �&�, % 3�4 �5��#, �)�� �2� 6�� ��"7
%� ��� 8�9 *�.���� ���� :���. 6�� ��"7 ;�� < 6�� �� *�!���. ��-�=� ��!(�. % ��!( �����
���(�� ��!> �� ���� �!?� @1�� @�1 �� B % A A��. *�.���� ���� b % a @�B� ���� ���
�C��.� � �� ���(�D b .�-� �(� $�� *����� ���� b % a E,�, � ��-$!> OB % OA ��-FG���D �
�B b ��. @1�� @�1 �� ����� )>��, b ��. ���� �1� ������� H�+� ;�� % B I��� � % ��� C�� OA
)>��, b ��. % J@1� b� a ����� OC FG���D $!> ��+�K �-��� :���. �� b� a ��� �C b��. ��+�
�1� O C� FG�. %� 3�4 6�� ���� *@1� b� a ��� �L=���. �D b ��. ��+� �B M7 @�1 ��
����� OB $!> % ���% ����� OU $!> � ���(�� ��!> �� B % U A��. FG�. N� �%� *�����
FG �(� $�� *���� a ����� OA $!> � ����� ���G� �!?. � A b ��. �L�� FG�. �%� *���� b
$!> � @1� ��!> C ��+� ��L�� FG�. �� /O �'P, b ��. ���� �1� UA��C�!� � B C� ��1��
�1� �� �b���� .!L7 �.��� @1� �9�� a
b@�&. �1�, ���� *J�-QB� ��=, �����K @1� ab ����� OC
���% $!> %� �- OV % OU � ���L� ��!> �� V % U A��. �O �� )>���� FG�. %� �%� *���
��!2 ;�� �� *���� b ����� OB $!> � ���(�� ��!> OU FG�. �%� �� B b��. *����� ����
O C� R�2�9 � ����� )�' B� ����. �� �� �L�� FG �!� �1� BV ��C�!� � U C� � ��G
�1� O I��� % ���% H�+� � ������� � @1� ;�� ��L�� $!�+� R%� *J��=, �f��S�K @1� �b�����
@&T. *���� b ����� OB $!> � ���(�� ��!> �� B b ��. �O C� )>�1 ��G�. �%� *�����
C� % ����� �1� ����� �� �1��� B C� ��!2 ;�� �� *���� ����� U��G B VD �b � � ��� 8�9
*J�-QB� ��=, �f��S�K @1� �b����� O C� �B� ��!�� ��D b 2�9 *����� �!�� OB �� W��, b ��.
*���(�� �X. �� �� Y�� �����9 W!�+� 6�� /��- � +���� �� �b � � ����
Y�� ��-R%� C� /����� E1��� ��(���' �� /�!,�� ������ �#�� b % a �%� �- �� ��� ��(�-
���1�, ������ ��� ���� b % a $!> � ���-FG���D ��(�- � @1� ��Z 6��' I. ;�� *��� ���#�1�
*���&- ���� 6��' U����[ :�FG % ��(�D N�� � \!9 �1��-
��� 8�9 *� �� ]2!, ���� �� ���&� ��!2 � �� �2� 6�� ��"7 �-�!G�� $��
^��� �1�?� �� a� b ���� .!L7 *����� @�B� ��� %� b � b��b�b�b� � � � % a � a��a�a�a� � � �
a �(� �� �!> � *����G!�O /��&�� �� �� a � b b �1�?� R%� ����� �!�T� b % a ���=�� F&� �(�
_?2 ��� n�� m�� n�m �S��� �� � ��&�!.�� b � m�n�
% a � mn��!2 � �� �".O ������ ��!( b %
� @1� ;�%� *����� ��!(�. b % a � @1� ��'% 6�=� *a� b � nm��n�mnn�
����� % ����&- @�B�
;�� @1�� @�1 �� � ���C @&. !L��!� �S��� �� @1�� @�1 C� ���=�� )�� �.��&�� ����!L`�
*����. �!�% ��%�� b��. % �.!���. �!�T� �����
a� � a� a� a� � � �� b� � b� b� b� � � �
�
C� VD �'� Y�� ��� %� C� N� �- �(� *��� a��� ��C ��!2 � ��� E���, ��� N� /�!,�� �`%
� � � �O�� @1� � b� � b��b� � � �bn % a� � a��a� � � �an ��-��� ��� �!�T� ��=�� � '� n
���� 5��> � �� b� % a� �(� $�� *���&- ���n
�%�&� �� ���7!� ���G �� N� �- b % a ��-E���,
��+� � ���n
/�!,�� n ;�9�( c�I� �� *���� 2�9 a� b H!�S� �� �� ���n
�B���� 62�� ��� )��
�� a� b � ��� /�=. �(��1 � /�!,�� /!��� *��� N7!� ��!T`� � �� �)�� 62�� ���G �B����
U�T� 8�9 �K @�&'U��G % 3�d2�� ��!� �� *@1�-E���, ;�� ��Y�� /��� ;����7!� )'�%
�(� ��!� %� ;�� �� �`% ��� ���#�1� E���, ���� �!�T� ��-�&� C� �"��=� R%� � /�!,�� J� ��
% jab� a�b�j ��+� �@�&'U��G % 3�462�� ���G ;�T, �jb� b�j � ���n
% ja� a�j � ���n
e
���� �`��.� ����L�-� /�!�� ��C ��,�� % C�1��� ��!"#� ��C �� *@&. �(��1 ;�� � jab� a
�
b�j
*@��� �-�!G I. ��L�� /�%��9 ��-������ % @1� ���!� ;�� b �- ��.�(�� �� � �����
g@1� _?2 ����� C� 6�=�� ��C 6�� � ���!�S� _?2 ����� C� ���� N� C� /���!h��
fk� k � �� k� �� � � �g
���� _?2 ����� C� +�' N� S �(� *@1� k �%�&� �� ��(�I� _?2 ����� b�- 6��� +�' ��+�
n !d� �- � aE,�, ;��� *����.�� �E ��� ���� N� �� a � S �� E )��, �- ��!�S� N� E %
� �� a )��, ��!h, % an �&�!.�� a�n� ��� � Yf !�+� *�-��� @�&. E C� a�n� ��h�� �S C�
g����� ]��� ��!+2 E,�,
ak� ak��� ak��� � � � J
% �!��� ��(�I� k���, � nV��.� :��I9� �� � @1� ���� ����� C� �L�� ��`��.� �!��� ]��+,
*�����. )�S, ��0-
g���(�� �X. �� ��C ��!2 � �� a � f������ � � �g �� C `��.� �������
an �in
n
gC� ��,���� `��.� ;�� $%� b �� ��7
i���
���i
���
��i
����
�� � � �
)�S, � �!1 � % ������ �1 �f �%���� �� ?#2 �!?� �. ��"7 �=G�7 ��!2 � ����� ;��
*Je 6��K ������
l � f������ � � �g �� L )��, % ���(�� ?#2 �� @1�� A!�G b �!�S� �� L �������
@1�� FG ��+� �@1� nE� �� � C� ��i( @1�� FG ln �� l�n� g����� ]��+, ��C ��!2 � ��
*����� 6� y �!?� �!1 � � @1� @1�� A!�G b `��.� N� ;�� *Jj 6��K y � nx
��!2 � �� c � f���� � � �g �� F )��, % ���(�� R � R C� ��-)��, b�!�S� �� F ������
*��n
3%��, �b�%� �� @1� ��%��, )��, N� cn �- *Jl 6��K @1� cosnx )��, c�n� g����� ]��+, ��C
/O �� � a � S �� E ��-`��.� ��+� ��C���D�� ���� ��-`��.� � F�9 �� ��� ;�� ��
R � �S.O C� % �&�! .�� F�T� ����� ��-`� � .� ��� � �� �� Q?� *@1� R � � C Yf !�+� E
����� C� ���-`��.� /�!�� � I. �� ���� ����� ��-`��.� /�!,�� ��!��� ��, C C� ���!�S���C
:��I9� � � � �� ��� Jjm
��L.O �n � N ��(�- � ���� ���� �!�% N @�B� _?2 ��� �e � � �- ���� � �,�!2 ��
*jan � a�j � e
�N ����� @1� ���' ��!� �!X�� � e � � oT=, b ��� �- �]��+, ;�� 5�> � ��� �!,
oT=, 6��' �[ a� C� �- an ��+� � ��� /O C� � ���� ���� �!�% �e � �&��% $!2Y���
*�����
���� ��� ���
�� ��!� �!X�� e � � �(� � ���C �n�� � ����� �S��� �� *��� �!,
62� 5�> � �.���� @&T. *����� 6� \!9 b�!�S� ��Y�� /��� ;����7!� � an �-��� /�=.
� e � � �- $�� *���� �!�% a� ��Y�� /��� ;����7!� fa�� a�� a�� � � �g b �!�S� ���� @���,
� �S.O C� ���L. ���' �C�� ;�� �� aN 0- �(� *����� ��L. a�� e� a� � e �C�� � ��!� �!X��
;������� *n �- ���� an � a� � e ���� ���� ���� �@1�- an b �!�S� ���� ��Y�� /��� N� a�
;�� qPG � �!� �-�!G �a� C� ���7!� ��!�S� ���� ��Y�� /��� N� a� % a� � e ;� ��� �-
�� aN � ���� �!�% N VD *������ fa�� a�� � � �g ���� ��Y�� /��� �������� a� � @1� 8�9
�- % @1� �`%I.�[ �an� b `��.� � �S.O C� *a� � e � aN � a� ��`� *��(�� ���' a�� e� a� � e
g����� n � N �- ���� ����� /O �%�&� �� a� ��Y�� /��� C� ���7!� ���� an
a� � e � aN � an � a�
*@1� ���'�� jan � a�j � e �%�&��. �n � N �- ���� ;�������
�H!�S� �1�?� R%� ��+� �����(�� C�� �� ���� :T� ;�� C�[O �� � ��`�b&� � /!���
�� ��C ���I( *����� �1��� �� ;�G�1 �!�T� E���, �� ���� ����� @�&'U��G % 3�462��
*@��� �-�!G I. ��L�� ��&� ���#�1� ���!� �f�+� % @1� r�G C�. ;�� C� �,�� )'�%
% an �� a� � ����� F�T� ����� b `��.� %� �bn��n�k % �an��n�k ��� 8�9 ����� �����
g��!2 ;�� �� *bn �� b�
*cn �� a� � b� ����� ���� ]��+, cn � an � bn ��!2 � �� �cn��n�k b `��.� �(� J]`�
*cn �� a� � b� ����� ���� ]��+, cn � an � bn ��!2 � �� �cn��n�k b `��.� �(� J3
cn �an
bn��!2 � �� �cn��n�k b `�� .� % b� �� � % n �- ���� bn �� � ��� 8�9 �f 9�d� �(� JU
*cn �� a�b� ����� ���� ]��+,
n � N � � � ��� !S �&� ��!> �� N ���� � ��� ���� e � � � � � 8�9 J]`�K �� � ��
% jan � a�j � e� � ��� ;��b , ��!> �� N �.�!�� �(� *j�an � bn�� �a� � b��j � e �-� S�.
n
g����� QB� �%�&��. ����� ��.!� ���'�� n � N ��C�� %� �- jbn � b�j � e�j�an � bn�� �a
� � b��j � j�an � a�� � �bn � b
��j
� jan � a�j� jbn � b
�j
� e�� e
�� e
� �-��� S� . n � N� � ���� �!�% N� ���� � e� � � ��� � �an �� a� � �S .O C� � `%
S�. n � N� � ���� �!�% N� ���� � e� � � ���� �bn �� b� � �S.O C� I. % �jan � a�j � e�*�!��� 62�� �X. ��!� S�. �N � maxfN�� N�g;�9�( �� VD *jbn � b�j � e� �-���
�-� S�. n � N � ����� !S�&� ��!> �� N ���� ���� e � � ���� I. �S��� �� J3K
�(��1 � jbn�b�j % jan�a�j@�� %� �� janbn�a�b�j ;�G�1 F�,�� �S��� �� *janbn�a�b�j � e
anbn� anb�� a�bn� a
�b� �� @1� ����� �an� a���bn� b�� 3�462�� Pf B� �@&. J]`�K @�&'
*�!��� �-�s �� %� ;�� H!�S� �anbn � a�b� 64�#, ��� � % ���� �!�% ���C b �� %� /O �� �
g����� ���#�1� ��C ���� ��� C�
K � � ���� ��L.O �cn �� c� % ���� F�T� ����� C� ��L�- ��`��.� �cn� ��(�- �� ����
*J@1� ����� ��L�- `��.� �- ��P�2� � ��K n �- ���� jcnj � K % jc�j � K � ���� �!�%
N ���� �����L�- ]��+, 5�> *���(�� �X. �� < H�+� � �!( N� c� $!� �� �����
� ���C jcnj � jc�j� � ����� n � N ���� ;������� *jcn� c�j � � ����� n � N ���� � ���� �!�%
�-���� ���+, ;� �� $�� *���� � C� jc�j� � C� �����I. ���� c� $!� < H�+� �!( 6G�� b ��. �-
:���. R � �� � � �".O ;��,�%� b 2�9 ����&- �!( /%�� �� � �N ��� C� 6�' �`��.� !d�
� *@1� �X. ��!� ��� K � maxfR� jc�j� �g ��!2 ;�� �� *�-���
��! 2 � �� anbn � a�b� ��� � � *� ��� (� � C� � ���I ( C� J3K @ � & ' �� � t� � /! � ��
g����� VD *�&�!.�� anbn � anb� � anb� � a�b�
janbn � a�b�j � janbn � anb
�j� janb� � a�b�j
� janjjbn � b�j� jb�jjan � a�j
����� �!�% b� % �bn� ���� K� �.��� I. % �a� % �an� b `�� .� ���� K� �.��� �pmn �` 5�> $��
u
gVD
janbn � a�b�j � K�jbn � b
�j�K�jan � a�j JeK
� ���� n � N� ��� � � ���� �! �% N� ��� � � e�K� � � ��� � �an �� a� � � S .O C�
n � N� ���� � ���� �!�% N� � e�K� � � � �-��� S�. bn �� b� I. % �jan � a�j � e�K�
% �.��� '� � �%�&�� . %� �- n � N ���� �N � maxfN�� N�g ;�9�( � � *jbn� b�j � e�K� �����
*janbn � a�b�j � e � �!��� S�.
3�462�� ���� J3K ��� C� % �bn�� �
b��-� /�=. @1� �9�� �an
bn�� a
�
b����t� ���� JUK
g@1� C�. ��!� ��' �` W!�+� % ��=� ���� �` N� I. �S��� �� *��� ���#�1� an � �bn��L.O �b� �� � % bn �� b� � ���� �#2�. F�T� ����� C� ��`��.� �bn� ��(�- �� �����
*n �- ���� jbnj � k % jb�j � k � ���� �!�% k � � ����
�X. �� �� b� I��� � ��jb�j H�+� � �!( �(� *���� ���' � C� jb�j @�B� b 2�9 �� b� b ��. �����
��� � jbnj � jb�j�
VD �jbn � b�j � jb�j�
�n � N ��� � � ���� �!�% N �bn �� b� /!7 �� �� L �
�n � N ���� ��+� ������ �!( ;�� U��G �� @1� ;��� � `��.� !d� �-���� ���+, ���� *n� N
:���. r � �� 2�9 ;�� *���� �� � C� ;��� @�B� b 2�9 ;����7!� ��� ����&- �#2 �[ �- /!7
� *@1� �X. ��!� k ��� minfr� jb�j�g $�� *�-���
*���� ��� ���� e � � ��� 8�9 * �bn�� �
b���� @��t �-�!G�� �����(�� C�� JUK ���t� �
g�&�!.��
j �bn� �
b�j � jbn�b
�jjbnjjb�j
� jbn�b�j
k�Jnmn �` 5�>K
JjK
VD �jbn � b�j � ek� �-��� S�. n � N � N ���� �!�% �ek� � � ���� �bn �� b� /!7 $��
� *j �bn� �
b�j � e ����� n � N ����
% a � a��a�a�a� � � � �� � %� @ � & 'U�� G % 3� 462� � � 1� ? � ��� � �E ,� , ; �� �
��� ���#�1� b� b��b� � � � bn % a � a��a� � � �an b �!�T� ��-E���, C� /�!,�� b� b��b�b�b� � � �
v
�%�# , @�&'U��G % 3�462�� ��!� �� ��� *�� �����I . a � b �+'�% ����� � n :��I9� � � %
I�� C� �+� �'� n C� VD N� �- b % a �(� � ����� H!�S� ��!� �� *���� �!�% H!�S� �� ������
��!� �� *����� 7 b % a ����� ���� C� 6��&� �@&. ��=� ���n
C� H!�S� ���G ��.!� �!�T�
a � a��a� � � �an �(� � ��+� ;��� ��� ���2 �"��=� ���� /�!,��. @�&'U��G % 3�462��
%K 3�462�� q��?.� ��.!� �9�( �X. �� b % a b �!�T� ��-E���, /�!�� � b � b��b� � � �bn%
% a �bC��.� � �� �@&. �&��% n � F�9 JE,�, � �ab %K ab C� ��� %� ;�� JE,�, � �@�&'U��G
g����� JeK 5�> �J3K lmn ���t� �� Pf B� *@��� �-�!G �L�&� I. b
janbn � a�b�j � K�jbn � b
�j�K�jan � a�j
*@1� �bn� b `�� .� ���� ��Y�� /��� N� K� % �an� b `�� .� ���� ��Y�� /��� N� K� �S��� �� �
% ���� 3�T�.� N7!� �f�1���� �� jbn� b�j ���� ����� c�I� @�&. � �- an 5����' �(� E,�, ;���
�!, ��C ��-$�B� � *�!� 62�� �X. ��!� @'� �, �jan� a�j �� ���� �� �- bn ���� �!> ;�-
*���
���� ����
�� n � -�! G� � *� .��� � ���� b � ��s�s�s� � � � % a � ���r�r�r� � � � �� � %� �������
3�462�� C� bn � ��s� � � �sn % an � ���r� � � �rn 3�462�� q��?.� � ��� ���G� ��!>
5�> VD �jbn � b�j � ���n % jan � a�j � ���n ����� n ;�7 ���� *���� ���� C� ���7!� ab
gJeK
janbn � abj � �K� �K�����n
VD �@9�( �X. �� �!�T� ��-`��.� ���� ��Y�� /��� /�!�� � �� K� � � % K� � ��� /�!,��
���� C� ���7!� FG ;�� �-�!T� �(� *@1� �������n C� ���7!� Y�� �%�&��. @1�� q�>
b % a C� N� �- �(� E,�, ;��� *�����. ��� n� �`% �� � ��� ���C ����� ��� n� � �����
w
3�462�� C� �!�T� ��� %� 3�462�� q��?.� ��.!� �!�T� I�� C� VD �'� @=- C� VD
*�!� �-�!G ���� C� ���7!� �+'�%
n C� VD �� ��� ;�� �(� *���(�� �X. �� �� b� �������
�
� � � ��� �������
� ��� ���G� ��!> �� n �-�!G�� *�-��� :���. bn � �� E���, *��� �!�T� I�� C� �+� �'�
g����� nmn ���t� �� JjK �%�&��. 5�> *���� ���� C� ���7!� �b�� �
bnqP�G�
j�
bn��
bj �
�
k�jbn � bj
���G� ������ ����� �� k �.�!,�� �S��� �� *jb�j � k % jbnj � k � @1� ���� k � � /O �� �
VD � �k�
� ��� % ��������� � ���� ����� ������ � ��� � ;�� � �!, �� % ���
j�
bn��
bj � �����jbn� b
�j
����� ���� C� ���7!� jbn � b�j � @1� �9�� ����� ���� C� ���7!� @1�� q�> ���� ����
;��� �� �1�?� *@��� �-�!G ���� C� ���7!� �9��?.� b�� C� ������� W!�+� ;�������
g� �-��� /�=. �!' @�&. � 3�&�
��������
�
��� � ���������
����������� � �����������
*������ ���7!� ���� C� � @1� ��������� ����� ��� %� ;�� qP�G�