Diziler ve Seriler ÜNİTE - yildiz.edu.trenyilmaz/unite07.pdf · AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 1. Giriş Cebir kurallar ı ile ancak sonlu tane say ıyı toplayabiliriz. Buna kar şılık

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• dizi kavramını tanıyacak,• dizilerin yakınsaklığını araştırabilecek,• sonsuz toplamın anlamını bilecek,• serilerin yakınsaklığını araştırabilecek,• bazı serilerin toplamını bulabileceksiniz.

İçindekiler

• Giriş 181• Diziler 181• Seriler 186• Pozitif Terimli Serilerin Yakınsaklığı 191• Alterne Seriler ve Mutlak Yakınsaklık 195• Değerlendirme Soruları 197

ÜNİTE

7Diziler ve SerilerYazarProf .Dr. Vakıf CAFEROV

A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

Çalışma Önerileri

• Ünitedeki kavramları, tanımları, testleri iyi öğreniniz• Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz• Herhangi bir dizi, seri örnekleri alıp onların yakınsaklığını

araştırmaya çalışınız.

A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

1. GirişCebir kuralları ile ancak sonlu tane sayıyı toplayabiliriz. Buna karşılık matematiktesonsuz sayıda sayının "toplamı" ile de sık sık karşılaşmaktayız. Örneğin, sa-yı-ssının ondalık açılımı

gibi bir sonsuz toplamdır.

Böyle bir toplama seri kavramı ile anlam kazandırılmıştır. Bu ünitede seri kavramıile, serilerle çok yakından alakalı olan dizi kavramını inceleyeceğiz.

2. Diziler Tanım kümesi IN doğal sayılar kümesi, değer kümesi ise IR gerçel sayılar kümesiolan bir fonksiyona dizi denir. Dizinin verilebilmesi için her 1, 2, ..., n, ... doğalsayılarına x1 , x2 , ...., xn , ... gibi gerçel sayıların karşı getirilmesi gerekmektedir. x1, x2,... .. sayılarına dizinin terimleri, n ye bağlı bir ifade olan xn ye ise dizinin genelterimi denir. Diziler ya x1 , x2 , x3 ,....gibi veya xn genel terimini parantez içine alarak{xn} veya (xn) gibi de gösterilebilir.

Örnek: 1) dizisinin genel terimi dir. Bu nedenle, dizi

şekilnde gösterilir. Bu dizinin, örneğin 8. ci terimi

2) -1, 1, -1, 1, ... dizisinin genel terimi xn= (-1)n dir. Buna göre, dizi kısaca ((-1)n)şeklinde gösterilir.

3) dizisinin genel terimi Bu nedenle, dizi şeklinde

gösterilir.

4) a ve d gerçel sayılar olmak üzere,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...

dizisinin genel terimi xn= a + (n - 1) d dir. Böyle ifade edilebilen bir diziye arit-metik dizi, d sayısına da dizinin ortak farkı denir.

(a + (n - 1) d) aritmetik dizisinde ardışık (birbirini takip eden) herhangi iki terimarasındaki farkın daima sabit olup d ye eşit olduğuna dikkat ediniz.

D İ Z İ L E R V E S E R İ L E R 181

12

, 14

, 18

, ... xn = 12n

x8 = 128

= 1256

dır.

1, 12

, 13

, 14

, ... xn = 1n dir.

13

13

= 0, 333 ... = 310

+ 3102

+ 3103

+ ...

12n

1n


5) a ve q, q ≠ 0, gerçel sayılar olmak üzere

a, aq, aq2, aq3, ...

dizisinin genel terimi xn = a .qn-1 dir. Böyle bir diziye geometrik dizi, q sayısına dadizinin ortak çarpanı denir.

(aqn-1) geometrik dizisinde ardışık herhangi iki terimin oranı daima sabit olupq ya eşittir.

6) sayısının yaklaşık değerlerini gösteren

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205, ......

rasyonel sayıları da bir dizi oluşturur. Önceki örneklerden farklı olarak bu diziningenel terimini bir formülle ifade etmek mümkün değildir.

7) Yarıçapı r olan bir daire içine çizilmiş düzgün n-kenarlının (n-gen) çevresininPn uzunluğu formülü ile hesaplanır. Buna göre, bu dairenin içineçizilmiş düzgün üçgen, dörtgen, beşgen, ... lerin çevre uzunlukları

gibi bir dizi oluşturur.

Aşağıdaki dizilerin genel terimlerini yazınız.

Cevaplarınız olmalıydı.

Bir (xn) dizisinde n büyüdükçe, dizinin terimleri belli bir a sayısına istenildiği ka-dar yaklaşıyorsa, (xn) dizisi a sayısına yakınsıyor denir. Bu durumu matematikdille ve daha kesin olarak ifade etmeden önce bir hatırlatma yapalım: matematikte,sıfıra istenildiği kadar yakın olabilen pozitif sayılar, ε (epsilon), δ (delta) , ... gibiharflerle gösterilirler.

(xn) dizisi verilsin. Eğer her ε > 0 için öyle bir n0 doğal sayısı bulunabiliyor ve nnin n0 dan büyük tüm değerleri için |xn - a| < ε eşitsizliği sağlanıyorsa, o zamana sayısına (xn) dizisinin limiti denir ve

D İ Z İ L E R V E S E R İ L E R182

3

Pn = 2nr sin πn

6r sin π3

, 8r sin π4

, 10r sin π5

, ...

1) 13

, 24

, 35

, 46

, ... 3) 12

, 24

, 38

, 416

, ... 2) -1, 1

2 , - 1

3 , 1

4 , ... 4) - 1

3! , 1

6! , - 1

9! , 1

12! , ...

?xn = n

n + 2 , 2) xn = (-1) n

n , 3) xn = n2n ve 4) xn = (-1) n

3n !

a = xnlimn → ∞ veya xn →a


şeklinde gösterilir ("lim" sembolü latince "limes" sözünden kaynaklanıp limit anla-mı ifade etmektedir). Bu durumda (xn) dizisi a ya yakınsıyor da denir. Eğer birdizi herhangi bir limite yakınsıyor ise, bu diziye yakınsak dizi, hiç bir limite yakın-samıyorsa ıraksak dizi denir.

Mutlak değerin özelliklerine göre, |xn - a| < ε eşitsizliği - ε < xn - a < ε ve a - ε < xn < a + ε eşitsizlikleri ile eşdeğer olduğundan, limitin yukarıdaki tanımıgeometrik olarak şöyle yorumlanabilir: Sayı ekseni üzerinde orta noktası a ve uzun-luğu 2ε olan (a - ε, a + ε) açık aralığı verildiğinde ε ne kadar küçültülürse küçül-tülsün, n nin öyle bir n0 değeri vardır ki numarası (indisi) n0 dan büyük olan tüm xnterimleri bu aralığın içine düşer.

|xn - a|mutlak değeri sayı ekseni üzerinde xn noktası ile a noktası arasındaki uzaklı-ğı gösterdiğinden limitin tanımı şöyle de ifade edilebilir: Belli bir n den sonra xn ile aarasındaki uzaklık önceden verilen ve istenildiği kadar küçük olabilen pozitif εsayısından küçük oluyorsa, (xn) dizisinin limiti a dır.

Örnek: dizisinin limitinin sıfır olduğunu gösteriniz.

Çözüm: , a =0 dır. ε > 0 verilsin. O zaman

Buna göre eğer, alırsak o zaman n > n0

eşitsizliğini sağlayan tüm n ler için

Yukarıdaki örneğe benzer olarak dizisinin de limitinin sıfır olduğugösterilebilir. Fakat bu dizide sıfıra yaklaşma hızı daha yüksektir. Örneğin,

(xn) = ( (-1)n) dizisi ise ıraksaktır. Çünkü n nin tek veya çift olmasına bağlı olarakn büyüdükçe xn hem -1 hem de 1 değerleri almaya devam eder. Yani tek indisliterimler 1 e, çift indisli terimler -1 e yaklaşmaz. Dolayısıyla ne -1 ne de 1 limit olmadı-ğı gibi başka bir sayı da bu dizinin limiti olamaz.


xn

a( )

a + εa - ε

xn = 1n

xn = 1n

xn - a < ε ⇔ 1n - 0 < ε ⇔ 1n < ε ⇔ n > 1ε

.

n0 = 1ε

+ 1 , 1ε

nun tam değeri artı 1

xn - a = 1n - 0 < ε olur.

xn = 12n

1n için x5 = 0, 2 ; x10 = 0, 1 iken, 1

2n için x5 = 132

= 0, 03125, x10 ≅ 0, 001 olur.


Bu kitabın amacı dışındaki yöntemlerle dizisinin yakınsak oldu-ğunu ispatlamak mümkündür. Bu dizinin limitine, 1. ve 5. ünitelerde de sözünü etti-ğimiz e sayısı denir:

Dizilerin yakınsak olduğunu tanımdan hareketle göstermek zor olabilir. Bu du-rumlarda aşağıdaki önermeler yararlı olabilir.

1) (xn) dizisi yakınsak ise limiti tektir.

2) (xn) dizisi yakınsak ise sınırlıdır, yani öyle bir M sayısı vardır ki tüm n leriçin |xn| ≤ M sağlanır.

3) (xn) ve (yn) yakınsak dizileri verildiğinde eğer her n için xn ≤ yn ise o za-

man

dir.

4) (xn) ve (yn) yakınsak dizileri verildiğinde xn ± yn , xn . yn dizileri de yakın-saktır ve

dir. Son eşitlikte yn = c sabit dizisini alırsak, o zamaneşitliği çıkar. Başka deyişle sabiti limit işareti dışına

çıkarmak mümkündür.

5) (xn) ve (yn) yakınsak ve ise o zaman dizisi de yakınsaktırve


xn ± ynlimn →→→→ ∞∞∞∞

= xnlimn →→→→ ∞∞∞∞

± ynlimn →→→→ ∞∞∞∞

xn . ynlim

n →→→→ ∞∞∞∞ = xnlim

n →→→→ ∞∞∞∞ . ynlim

n →→→→ ∞∞∞∞

cnlimn →→→→ ∞∞∞∞

= c xnlimn →→→→ ∞∞∞∞

xnlimn →→→→ ∞∞∞∞

≤ ynlimn →→→→ ∞∞∞∞

xnyn

1) xn = nn + 1

dizisinin limitinin 1 olduğunu gösteriniz. 2) xn = -1 n

n dizisinin limitinin 0 olduğunu gösteriniz.?

xn = (1 + 1n)n

1 + 1nn = e .lim

n →→→→ ∞∞∞∞

ynlimn →→→→ ∞∞∞∞

≠≠≠≠ 0

xnyn

limn →→→→ ∞∞∞∞

= xnlim

n →→→→ ∞∞∞∞

ynlimn →→→→ ∞∞∞∞


6) (xn), (yn) ve (zn) dizileri verilsin ve her n için zn≤ xn ≤ yn eşitsizliği sağ-lanmış olsun. Eğer (yn) ve (zn) dizileri ayni limite yakınsar ise (xn) diziside yakınsaktır ve

dir.

Bu önermeler tanımdan yararlanarak ispatlanabilir, fakat ispatlar üzerinde dur-mayacağız.

Örnek:1) 2)

limitlerini hesaplayınız.

Çözüm: 1) kesrinde pay ve paydayı n2 ile bölersek

olduklarından

2) ifadesini ile çarpıp bölersek

olur.


2n2 + 3n -1n2 - n + 2

limn → ∞ =

2 + 3n - 1n2

1 - 1n + 2n2

= 2 + 3n - 1

n2lim

n → ∞

1 - 1n + 2n2

limn → ∞

limn → ∞ = 2 + 0 - 0

1 - 0 + 0 = 2 bulunur.

n2 + 1 + n

n2 + 1 - n = n2 + 1 - n n2 + 1 + nn2 + 1 + n

= n2 + 1 2 -n2

n2 + 1 + n =

= n2 + 1 - n2

n2 + 1 + n = 1

n2 + 1 + n

1limn → ∞ = 1, 2lim

n → ∞ = 2, 3n = 3. 1

n = 3.0 = 0, 1n2

= 1n . 1

n limn → ∞lim

n → ∞ = 0.0 = 0,limn → ∞lim

n → ∞limn → ∞

1

n limn → ∞ = 0, 2

n2 lim

n → ∞ = 2. 1n2

limn → ∞ = 0

xnlimn →→→→ ∞∞∞∞

= ynlimn →→→→ ∞∞∞∞

= znlimn →→→→ ∞∞∞∞

2n2 + 3n -1n2 - n + 2

= 2 + 3n - 1

n2

1 - 1n + 2n2

olur. O zaman

2n2 + 3n -1n2 - n + 2

limn → ∞ n2 + 1 - nlim

n → ∞

2n2 + 3n -1n2 - n + 2

n2 + 1 - n

n2 + 1 > n olduğunda 1n2 + 1 + n

< 12n


olur. Dolayısıyla

elde edilir.

olur.

Not: Iraksak olduğu halde limitinden söz etmenin yararlı olduğu diziler vardır.(xn) dizisi verilsin. Eğer yeterli derecede büyük her M > 0 için bir n0 doğalsayısı varsa ve n > n0 eşitsizliğini sağlayan tüm n ler için xn > M oluyorsa, o za-man (xn) dizisinin limiti sonsuzdur denir ve

şeklinde gösterilir. Eğer (-xn) dizisinin limiti ∞ ise (xn) dizisinin limiti - ∞ dur denirve gibi gösterilir.

Örneğin, dizilerinin limiti ∞ dur.

Yukarıdaki dizilerin limitinin ∞∞∞∞ olduğunu gösteriniz.

3. Seriler

Bir (xn) dizisi verilsin. Bu dizinin ilk n tane teriminin toplamı olan x1 + x2 + ... + xn

ifadesi sembolik olarak gibi yazılır. Buradaki ∑ (sigma) harfi bu tür top-

lamları kısa olarak yazmak için kullanılır. k ya toplama indisi denir ve k indisi yerine

başka indisin kullanılması sonucu etkilemez. Örneğin,

yazılabilir. ∑ işareti matematikde çok kullanışlıdır ve çok zaman uzun ifadelerin ya-zılımını kısaltmaya imkan verir.


n , n2 + 1n , n!

10n

xk ∑k = 1

n

1 + 2 + 3 + . . . + 999 + 1000 = k∑k= 1

1000 = m = n∑

n= 1

1000 ,∑

m= 1

1000

1 + 1

2 + 1

3 + . . . + 1

49 + 1

50 = 1

k ∑

k= 1

50 = 1

i ∑

i= 1

50 = 1

n ∑n= 1

50

n2 + 1 - nlimn → ∞ = 0

n2 + 1 - n = 1n2 + 1 + n

< 12n

0 < n2 + 1 - n < 12n

,

12n

limn → ∞

= 0 olduğundan yukarıdaki 6). önermeye göre

xnlimn → ∞ = ∞ veya xn →∞

xnlimn → ∞ = - ∞

?


Şimdi (xn) dizisinin sonlu tane elemanını değil de tüm elemanlarını "toplayalım".

x1 + x2 + ... + xn + ...

sonsuz "toplamına" seri denir. Sigma gösterimi yardımı ile bu seri gibi gösterilir. Şimdi sonsuz sayıda gerçel sayının toplamına anlam kazandırmak için

serisinden yeni (sn) dizisini elde edelim:

s1 = x1 , s2 = x1 + x2 , s3 = x1 + x2 + x3 , ... , sn = x1 + x2 + .... + xn , ...

Eğer (sn) dizisi yakınsak olup limiti a ise serisine yakınsak seri denir ve

gibi yazılır. a sayısına serinin toplamı da denilir.

Eğer (sn) dizisi ıraksak ise serisine ıraksak seri denir.

x1 , x2, ... sayılarına serinin terimleri, xnye genel terimi, (sn) dizisine serinin kıs-mi toplamlar dizisi denir.

Görüldüğü gibi sonsuz sayıda gerçel sayının "toplamı", sonlu sayıdakilerin toplam-larının bir limiti olarak tanımlanmaktadır.

Eğer (sn) dizisinin limiti ∞ ise serisi ıraksak olmasına rağmenyazılımı kullanılır.

Örnek: geometrik diziden elde edilen, serisinin yakınsak ol-

duğunu gösteriniz.

Çözüm: Bu serinin kısmi toplamlar dizisini görelim:

sn toplamının

ifadesine eşit olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla

olur.


xn = 13

n

s1 = 13

, s2 = 13

+ 132

, . . . , sn = 13

+ 132

+ . . . + 13n ; . . .

13

. 1 - 1

3n

1 - 13

sn = 12

1 - 13

n

xn∑n = 1

∞ = ∞

xn∑n = 1

∞

xn∑n = 1

∞

xn∑n = 1

∞

xn∑n = 1

∞ = a

xn∑n = 1

∞

xn∑n = 1

∞

13

n∑

n = 1

∞


olduğu da kolayca gösterilebilir. Buna göre,

(sn) dizisi yakınsak olduğundan verilen seri yakınsaktır ve toplamı

a ve q gerçel sayılar ve q ≠≠≠≠ 1 olmak üzere

olduğunu gösteriniz.

q gerçel sayısı 0<q<1 koşulunu sağlasın. O zaman geometrik serisinin

yakınsak ve toplamının olduğunu gösteriniz.

Örnek: serisinin yakınsak olup olmadığını araştırınız.

Çözüm: olduğundan kısmi toplamlar aşağıdaki gibidir.

sn nin ifadesini sadeleştirmek mümkündür. Bunun için


11 - q

?

1n n + 1∑

n = 1

∞

xn = 1n n + 1

13

nlimn → ∞

= 0

a + aq + aq2 + . . . + aqn - 1 = a 1 - qn

1 - q

13

n∑

n = 1

∞ = 1

2 .

12

dir:

snlimn → ∞ = 1

2limn → ∞

1 - 13

n = 1

2 1 - 1

3n

limn → ∞ = 1

2 1 - 0 = 1

2 ,

qn∑n = 1

∞∞∞∞

?

s1 = 11 . 2

, s2 = 11 . 2

+ 12 . 3

, s3 = 11 . 2

+ 12 . 3

+ 13 . 4

, . . . ,

sn = 1

1 . 2 + 1

2 . 3 + . . . + 1

n n + 1 , . . .

11 . 2

= 1 - 12

12 . 3

= 12

- 13

13 . 4

= 13

- 14

..

1n n + 1

= 1n - 1n + 1


eşitliklerini taraf tarafa toplarsak,

elde edilir. Dolayısıyla

Buna göre, seri yakınsak olup toplamı 1 dir.

Önerme: Eğer serisi yakınsak ise

İspat: Kısmı toplamlar için

sn-1 = x1 + x2 + ... + xn-1, sn = x1 + x2 + ... + xn -1 + xn

yazılabilir. Buradan xn = sn - sn-1 olur. Seri yakınsak olduğundan (sn) ve (sn-1) di-zileri serinin toplamı olan aynı a sayısına yakınsarlar. Buna göre,

Yukarıda yakınsak olduklarını gösterdiğimiz

serilerinde genel terimler

dizilerinin limitlerinin sıfır olduğunu görmek zor değildir.

Yukarıdaki önermeye göre serisinin yakınsaklığı için

gerekli koşuldur. Yani bu koşul sağlanmıyorsa seri kesin olarak ıraksaktır. Ancak

bu koşul yeterli olmayabilir: Genel terimi sıfıra yaklaşan seri ıraksak olabilir. Bunu

aşağıdaki örnekte görebiliriz.

Örnek: Harmonik seri denilen

serisinin ıraksak olduğunu gösteriniz.


xn∑n = 1

∞

xnlimn → ∞ = 0 dır.

xnlimn → ∞ = sn - sn - 1 = snlimn → ∞

- sn - 1limn → ∞ = a - a = 0 .limn → ∞

13

n∑

n = 1

∞ ve 1

n n + 1∑n= 1

∞

xn = 13

n ve xn = 1

n n + 1 dir. 1

3n

ve 1n n + 1

xnlimn → ∞ = 0 koşulu xn∑

n = 1

∞

1n = 1 + 1

2 + . . . + 1n + . . .∑

n = 1

∞

11 . 2

+ 12 . 3

+ 13 . 4

+ . . . + 1n n + 1

= 1 - 12

+ 12

- 13

+ 13

- 14

+ . . . + 1n - 1

n + 1 = 1 - 1

n + 1

sn = 1 - 1n + 1

dir ve

snlimn → ∞ = 1 - 1

n + 1limn → ∞

= 1 - 0 = 1 olur.

11 . 2

+ 12 . 3

+ . . . + 1n n + 1

+ . . . = 1


Çözüm: Önce her n∈ IN için olduğunu kolayca görebi-

liriz. (bunun için kesirlerinin yerine onlardan küçük kesrini

yazmak yeterlidir) Buna göre sn kısmi toplamları için aşağıdakileri yazabiliriz.

dır.

Buradan pozitif terimli dizinin alt dizisinin limiti ∞

οlduğundan olduğu sonucuna varıyoruz. O zaman serisi

ıraksak olup

Sonuçta olmasına rağmen serisi ıraksaktır.

Not: 1) Seride toplama indisinin 1 den başlaması mecburi değildir. Örneğin, aynı

serisi gibi de yazılabilir.

2) Her gerçel a sayısının a= c0 , c1 c2 ... gibi devirli veya devirsiz sonsuz ondalıkkesirle yazılımının mümkün olduğunu biliyoruz. Bu yazılım aslında bir seridenbaşka bir şey değildir:

Örneğin,

dir.


s22 = s4 = s2 + 13

+ 14

> 12

+ 12

= 2.12

s23 = s8 = s4 + 15

+ 16

+ 17

+ 18

> 2.12

+ 12

= 3.12

s24 = s16 = s8 + 19

+ 110

+ . . . + 116

> 3.12

+ 12

= 4.12

s2k > k.12

1k + 1∑

k = 0

∞ , 1

m - 1 , . . . ∑

m = 2

∞

1n + 1

+ 1n + 2

+ . . . + 12n

> 12

1n + 1

, 1n + 2

, . . . 12n

s2 = 1 + 12

> 12

s2k = ∞ limk → ∞

olur. sn s2k

sn = ∞ limn → ∞

1nlimn → ∞

= 0

1n∑

n = 1

∞

.

.

.

1n∑

n = 1

∞ = ∞ dur.

1n∑

n = 1

∞

1n∑

n = 1

∞

a = c0 , c1 c2 . . . = c0

100 + c1

101 + c2

102 + . . .

13

= 0,3333 ... = 310

+ 3102

+ 3103

+ ... + 310n + ...


Aşağıdaki serilerin toplamlarını bulunuz:

Cevaplarınız

Örnek: 1000 litrelik bir su deposu, önce 1 litre, sonra litre, ... , litre, .. . sualınarak boşaltılabilir mi?

Çözüm: Boşaltılan su miktarı

litredir. Bu serinin toplamı ∞ olduğundan depo sonlu adımda boşaltılabilir.

Örnek: 30 litrelik bir su deposu, önce litre, sonra litre, ... , litre, .. . sualınarak boşaltılabilir mi?

Çözüm: Boşaltılan su miktarı

litredir. Bu serinin toplamı

olduğundan, depo, bu yolla, sonlu adımda fiilen boşaltılamaz.


4. Pozitif Terimli Serilerin YakınsaklığıBir serinin yakınsaklığının araştırılması ile serinin yakınsak olması halinde topla-mının bulunması seri konusunun önemli iki problemidir. Serilerin yakınsaklığınıaraştırmak için çeşitli testler vardır. Biz bu kesimde pozitif terimli serilerin yakın-saklığını araştırmada kullanılıan bazı testleri ele alacağız.

serisi verilsin. Eğer her n için xn> 0 ise bu seriye pozitif terimli seri denir.


? 1) 1

5n

∑n = 1

∞ 2) 1

n n + 5∑n = 1

∞

14

ve 137300

olmalıdır.

ln 1 + 1n∑n = 1

∞

12

1n

1 + 12

+ 13

+ ... + 1n + ... = 1n∑

n = 1

∞

302

3022

302n

302

+ 3022

+ ... + 302n + ... = 30

2n∑n = 1

∞

302n∑

n = 1

∞ = 30 1

2n∑n = 1

∞ = 30. 1 = 30

?

xn∑n = 1

∞


Pozitif terimli bir serinin yakınsaklığı veya ıraksaklığını bu seriyi, yakınsaklığı veyaıraksaklığı bilinen başka seri ile karşılaştırarak söylemek mümkün olur.

Karşılaştırma testleri

pozitif terimli serileri verilsin.

1) Öyle bir n0 ∈∈∈∈ IN bulunsun ki n > n0 değerleri için xn ≤ yn eşitsizliği sağ-lanmış olsun. O zaman:

• serisi yakınsak ise de yakınsaktır.

• serisi ıraksak ise de ıraksaktır.

2) Eğer limiti mevcut olup pozitif bir sayıya eşitse, o zaman bu iki seri

aynı zamanda yakınsak veya ıraksaktır.

Örnek:

serilerinin yakınsak olup olmadığını araştırınız.

Çözüm:

geometrik serisi yakınsak olduğundan, karşılaştırma testine göre, serisiyakınsaktır.

2)

eşitsizliği her n ∈ ΙΝ için doğru ve harmonik serisi ıraksak olduğundan

karşılaştırma testine göre serisi de ıraksaktır.


xnyn

limn →→→→ ∞∞∞∞

1n!∑

n = 1

∞ ve 1

n∑n = 1

∞

1) 1n !

= 11 . 2. 3 . . . n

≤ 12n - 1

olduğundan

xn = 1

n ! , yn = 1

2n - 1 alırsak xn ≤ yn olur.

1

2n - 1∑n = 1

∞ = 1

2n - 1

∑n = 1

∞

xn∑n = 1

∞∞∞∞

ve yn∑n = 1

∞∞∞∞

1n ≤ 1

n

yn∑n = 1

∞∞∞∞

xn∑n = 1

∞∞∞∞

xn∑n = 1

∞∞∞∞

yn∑n = 1

∞∞∞∞

1n!∑

n = 1

∞

1n∑

n = 1

∞

1n∑

n = 1

∞


Örnek:


Çözüm: Bu seriyi ıraksak serisi ile karşılaştıralım.

olmak üzere,

dir. Bu durumda 2). karşılaştırma testine göre serisi ıraksaktır.

serisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.

serisi verilsin.

Eğer 0 < α ≤ 1 ise serisi ıraksaktır. α > 1 ise serisi yakınsaktır.

Örneğin serisinde α = 2 > 1 olduğundan seri yakınsaktır. Buna karşılık,

serisinde olduğundan bu seri ıraksaktır.

Örnek: serisinin yakınsaklığını arştırınız.

Çözüm: Bu serinin genel teriminin paydasının derecesi dir.

Bu seri ile serisini karşılaştıralım.2). karşılaştırma testini uygulayalım.


?

xnyn

limn → ∞ = 1

2n - 1 : 1n = n

2n - 1limn → ∞

= 12 - 1/n

limn → ∞ = 1

2 - 0 = 1

2 > 0limn → ∞

12n - 1∑

n = 1

∞ = 1 + 1

3 + 1

5 + . . . + 1

2n - 1 + . . .

12n - 1 2n∑

n = 1

∞

12n - 1 ∑

n = 1

∞

1n∑

n = 1

∞ xn = 1

2n - 1 , yn = 1n

α ∈ IR+ olmak üzere 1nα

∑n = 1

∞

1nα

∑n = 1

∞ 1nα

∑n = 1

∞

1n2∑

n = 1

∞

1n3∑

n = 1

∞ α = 1

3 < 1

1n n + 2∑

n = 1

∞

32

1n n + 2

= 1n1/2 n + 2

= 1n3/2 + 2n1/2

olduğuna dikkat ediniz.

1n3/2

∑n = 1

∞

1n n + 2

1n3/2

limn → ∞ = n3/2

n3/2 1 + 2n

= 1 1 + 2n

limn → ∞ = 1limn → ∞


dir. Buna göre, yakınsak olduğundan serisi

yakınsaktır.

Örnek: serisinin yakınsaklığını araştıralım.

Çözüm:

olduğundan bu seriyi serisi ile karşılaştıralım.

2). karşılaştırma testine göre, serisi ıraksak olduğundan

serisi ıraksaktır.

Cauchy testi

pozitif terimli serisi verilsin. Eğer limiti varsa ve 1 den küçük-

se o zaman bu seri yakınsak, 1 den büyükse ıraksaktır.

D'Alambert oran testi

Eğer pozitif terimli serisinde limiti varsa ve 1 den küçükse

bu seri yakınsak, 1 den büyükse ıraksaktır.

Cauchy ve D'Alambert testleri verilen serileri geometrik serilerle karşılaştırmayadayanır.

Örnek:

serilerinin yakınsaklığını araştırınız.


1n3/2

∑n = 1

∞α = 3

2 > 1 , 1

n n + 2∑n = 1

∞

n2n + 3∑

n = 1

∞

n2n + 3

= nn 2 + 3n

= 1n 2 + 3n

1n∑

n = 1

∞

n2n + 3

1n

limn → ∞ = n2n + 3

. n1

= n 2n + 3

limn → ∞ limn → ∞

= 1

2 + 3n

limn → ∞ = 12 + 0

= 12

.

1n∑

n = 1

∞α = 1

2 < 1

n2n + 3∑

n = 1

∞

xn∑n = 1

∞xn

nlimn →→→→ ∞∞∞∞

xn∑n = 1

∞ xn + 1 xn

limn →→→→ ∞∞∞∞

1) 1ln n n∑

n = 2

∞ 2) 3n

n + 1 !∑n = 1

∞


Çözüm:

olduğundan Cauchy testine göre seri yakınsaktır.

olduğundan seri yakınsaktır.

serisinin yakınsaklığını araştırınız.

Cevabınız "seri yakınsaktır" olmalıydı.

Pozitif terimli seri ya yakınsaktır ya da toplamı ∞∞∞∞ dur. Tüm terimleri negatifolan serilerin yakınsaklığı ise pozitif terimli serilerin yakınsaklığının bir sonucuolarak incelenebilir.

Pozitif terimli serilerde veya ise kök testi ve oran testi

ile karar verilemez. Başka testleri denemek gerekir.

5. Alterne Seriler ve Mutlak YakınsaklıkHer n ∈ IN için xn > 0 olmak üzere,

şeklindeki bir seriye alterne seri denir. Örneğin,

serileri alterne serilerdir. Bu tür serilerin yakınsaklığı için Leibniz kuralı geçerlidir.


1) xnn = 1

ln n nn = 1

ln n ,

xn

nlimn → ∞ = 1

ln nlimn → ∞

= 0 < 1

2) xn = 3n

n + 1 ! , xn+1 = 3n+1

n + 2 ! xn+1

xnlimn → ∞ = 3n+1

n + 2 !limn → ∞ : 3n

n + 1 ! = 3n+1 . n + 1 !

3n . n + 2 !limn → ∞ =

3. 3n. n + 1 !

3n . n + 1 ! n + 2limn → ∞ = 3

n + 2 = 0 < 1limn → ∞

n3n∑

n = 1

∞ ?

xnnlim

n →→→→ ∞∞∞∞= 1 xn + 1

xnlim

n →→→→ ∞∞∞∞

x1 - x2 + x3 - x4 + ... + -1 n+1 xn + ... = -1 n + 1 xn∑n = 1

∞

1 - 12

+ 13

- 14

+ ... + -1 n+1 1n + ...

1 - 12

+ 13

- 14

+ ... + -1 n+1 1n

+ ...


Leibniz Kuralı

xn > 0 olmak üzere alterne serisinde, eğer ve her

n ∈∈∈∈ IN için xn+1 < xn ise o zaman bu alterne serisi yakınsaktır.

Örneğin, yukarıda örnek olarak verdiğimiz her iki alterne seri bu kurala göre ya-kınsaktırlar. Çünkü

dir.

Örnek:

alterne serilerinin yakınsak olup olmadığını araştırınız.

Çözüm:

Çünkü tek indisli terimler 1 e yakınsarken çift indisli terimler -1 e yakınsarlar.Serinin genel terimi sıfıra yakınsamadığından seri ıraksaktır.

olduğundan Leibniz Kuralına göre seri yakınsaktır.

serisi verilsin. (Bu serinin terimleri hem pozitif, hem de negatif olabilir). Eğer te-rimlerin mutlak değerlerinden oluşan

serisi yakınsak ise serisine mutlak yakınsak seri denir.

Eğer serisi yakınsak fakat mutlak yakınsak değilse bu seriye koşullu

(şartlı) yakınsak seri denir.

Önerme: Eğer serisi mutlak yakınsak ise yakınsaktır.


2) 1ln n

limn → ∞ = 0 ve 1ln n + 1

< 1ln n

x1 + x2 + ... + xn + ... = xn ∑n = 1

∞

-1 n + 1 xn∑n = 1

∞

1nlimn → ∞ = 0 , 1

nlimn → ∞ = 0 , 1

n + 1 < 1n ve 1

n + 1 < 1

n

1) -1 n + 1 n + 2n∑

n = 1

∞ 2) -1 n + 1

ln n∑n = 1

∞

1) Serinin genel terimi olan -1 n+1 n + 2n dizisinin limiti yoktur.

x1 + x2 + ... + xn + ... = xn ∑n = 1

∞

xn∑n = 1

∞

xn∑n = 1

∞

xn∑n = 1

∞

xn = 0limn →→→→ ∞∞∞∞


Örnek:

serisi mutlak yakınsaktır. Çünkü mutlak değerlerden oluşan

serisi yakınsaktır.

serisi mutlak yakınsak değil fakat koşullu yakınsaktır. Çünkü serinin kendisi ya-kınsak iken terimlerin mutlak değerlerinden oluşan seri, harmonik seri olup ırak-saktır.

Değerlendirme Soruları1.

2.

A. -1B. 0C. 1D. 2E. 3

3.

A. -1B. 4/3C. 2D. 3E. 4


1) 13

- 19

+ 127

- 181

+ ... + -1 n+1

3n + ...

13

+ 19

+ 127

+ ... + 13n + ...

2) 1 - 12

+ 13

- 14

+ ... + -1 n+1

n + ...

0, 14

, 26

, 38

, ... dizisinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?

A. n - 1n

B. n + 2

2n C. n + 1

2n D. n - 1

2n E. n - 2

2n

n - n -1limn → ∞ limiti aşağıdakilerden hangisidir?

4n - -1 n

2n + 3limn → ∞ limiti aşağıdakilerden hangisidir?


4.

A. -1B.

C. 0D. 1E. 2

5. Aşağıdaki dizilerden hangisi yakınsaktır?

6. İlk terimi 5, ortak farkı (-3) olan bir aritmetik dizinin ilk dört teriminin top-lamı kaçtır?

A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4

7. İlk terimi 1, ortak çarpanı 3 olan bir geometrik dizinin ilk 10 teriminin top-lamı kaçtır?

A. 29524B. 31086C. 33414D. 36213E. 41476

8. İlk terimi 1, olan bir geometrik dizinin 11. terimi 1024 olduğuna göre, dizi-nin ortak çarpanı kaçtır?

A. 2B. 4C. 8D. 12E. 16


a sabitinin hangi değerinde an2 + n - 1n dizisi yakınsaktır?

- 12

A. 1 + -1 n

n B. -1 3n + 1

C. -1 nn D. -1 n n + 1

n + 3 E. n + -1 nn


9. Bir (xn) dizisi yakınsak ise aşağıdaki dizilerden hangisi yakınsak olmayabilir?

10.

11. Aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur?


A. 3xn B. xn2

C. 1

xn D. xn

xn2 + 1 E. 2xn - xn 2

37

n∑

n = 3

∞ serisinin toplamı kaçtır?

A. 74

B. 27

28 C. 4

7 D. 27

196 E. 9

196

i) xn∑n = 1

∞ yakınsak ise xn = 0limn → ∞ dır.

ii) xn = 0limn → ∞ ise xn∑n = 1

∞ yakınsaktır.

iii) xn∑n = 1

∞ yakınsak ise xn

n <limn → ∞ 1 dir. iv) Mutlak yakınsak seri yakınsaktır.

v) xn∑n = 1

∞ serisi yakınsak ise bu serinin kısmi toplamlar dizisinin limiti

∞ dur.A. i, ii, iii, iv, v B. i, iv C. i, iv, v D. i, iii E. iii, iv, v


12.

13. Aşağıdaki serilerden hangisi ıraksaktır?

14. Aşağıdaki serilerden hangisi koşullu yakınsaktır?


qn∑n = 1

∞ serisinin yakınsak olduğu q gerçel sayılarının en geniş kümesi

aşağıdakilerden hangisidir?

A. - ∞, ∞ B. - ∞, 0 C. 0, ∞ D. -1, 1 E. 0, 1

A. -1n

n

∑n = 1

∞

B. 1n2∑

n = 1

∞

C. -1n2

n

∑n = 1

∞

D. 3n + 12n + 2∑

n = 1

∞

E. 4n + 3n3 + 1

∑n = 1

∞

A. -1n2

n

∑n = 1

∞

B. -1 nnn3 + 1

∑n = 1

∞

C. -1n

n

∑n = 1

∞

D. -1 n n5n + 1∑

n = 1

∞

E. -1 n+ 1n∑

n = 1

∞


15.

Değerlendirme Sorularının Yanıtları

1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. C 7. A 8. A 9. C 10. D11. B 12. D 13. D 14. C 15.B


1n n + 2∑

n = 1

∞ serisinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

A. 12

B. 3

4 C. 1 D. 4

3 E. 2


Yararlanılan ve Başvurulabilecek KaynaklarDemana F., Waits B. K., Precalculus, Addison- Wesley Publishing Com., New

York, 1990.

Gaughan E. D., Hall C. E., College Algebra and Trigonometry, Brooks/Cole Pub-lishing Com., Monterey, 1984.

Göğüş M., Koçak Ş, Tayfur C., Üreyen M., Matematik I (Diferansiyel Hesap), BizimBüro Basımevi, Ankara, 1984.

Göğüş M., Koçak Ş, Tayfur C., Üreyen M., Matematik I (İktisadi Uygulamalı) Bi-zim Büro Basımevi, Ankara, 1986.

Koçak Ş., Üreyen M., Göğüş M., Olgun Ş., Görgülü A., Genel Matematik Fasikül 1,Açıköğretim Fakültesi Yayınları No: 115, Eskişehir, 1990.

Göğüş M., Koçak Ş, Tayfur C., Üreyen M., Matematik Fasikül 1, Açıköğretim Fa-kültesi Yayınları No: 58, Eskişehir, 1986.

Larson R. E., Hostetler R. P., Edwards B. H., Brief Calculus, D.C. Heath and Com.,Lexington, 1995.

Musser G.L., Burger W. F., Mathematics for Elementary Theachers, Prentice Hall,New Jersey, 1994.

Saban G., Analize Giriş, İ. Ü. Fen Fakültesi Basımevi, İstanbul, 1989.

202

Documents

Diziler ve Seriler ÜNİTE - yildiz.edu.trenyilmaz/unite07.pdf · AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 1. Giriş Cebir kurallar ı ile ancak sonlu tane say ıyı toplayabiliriz. Buna kar şılık