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Divisibilidad en N - Mdulo I
La divisibilidad entre nmeros aparece frecuentemente, en muchos
y variados problemas de la vida cotidiana. Algunos problemas para
entrar en el tema.
1) En un estante hay menos de 1000 libros, todos del mismo
tamao. La bibliotecaria nos dice que se pueden empaquetar, sin que
sobre ningn libro, por docenas, en paquetes de 28, o en paquetes de
49. Cuntos libros hay exactamente?
2) La edad de la maestra tiene la particularidad de que, al
dividirse entre 2, 3, 4, 6 y 8, siempre da resto 1. Pero al
dividirse entre 5, da resto 0. Cuntos aos tiene la maestra?
3) Un herrero, quiere cortar una plancha de acero, de 10 dm de
largo y 6 dm de ancho, en cuadrados lo ms grandes posibles y cuyo
lado sea un nmero natural de decmetros. Cul debe ser la longitud
del lado?
4) Para pensar .LAS EDADES DE LAS HIJAS
Un encuestador llama a una casa donde es atendido por una mujer:
- Cuntos hijos tiene? - Tres hijas, -dice la seora-.- De qu edades?
- El producto de las edades es 36 y la suma es igual al nmero de
esta casa. El encuestador se va, pero al rato vuelve y le dice a la
seora que necesita ms informacin para deducir las edades de sus
hijas. La seora piensa un momento y le dice: - Tiene razn, la mayor
toca el piano.Qu edades tienen las hijas?
La solucin de estos problemas requiere conocimientos previos de
mltiplos y divisores. En este curso abordaremos el tema en el
conjunto de los nmeros naturales.
Divisores y mltiplos en NDefinicin: Divisor de un nmero
natural
Sean bN, aN*. a es divisor de b k, kN, tal que: b = k.aAnotamos
a/b Es lo mismo decir: b es divisible por a; b es mltiplo de a ( b
=a
) o a divide a bPor ejemplo:2/16 porque 8, 8N, tal que: 16 =
8.220 =5
porque 20 = 4.51/a porque a = a.1m0, m/0 porque 0 = 0.ma/a
porque a = 1.aConcluimos:
1 divide a todo nmero natural. 0 no es divisor de ningn natural.
0 es mltiplo de todo natural. Todo nmero natural no nulo, es
divisor de s mismo.
Adems se cumple la propiedad transitiva, es decir:Con aN*, bN*,
si a/b y b/c a/c
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Ejemplo:Probar que la suma de dos nmeros pares, es
par.Recordando que los nmeros pares son mltiplos de 2, entonces dos
nmeros pares, b y c pueden expresarse as:b = 2.m ; mNc = 2.n ;
nN
Tenemos entonces que b + c = 2.m + 2.n = 2. ({N
m n
+ ) b+c = 2
Algunas propiedades:
1) Si un nmero es divisor de dos naturales, tambin es divisor de
su suma/ /
/( )0
d a d bd a b
d
+
Demostracin:d/a k, kN, tal que: a = k.dd/b p, pN, tal que: b =
p.dSumando miembro a miembro: (a+b)=dk+dpAplicando propiedad
distributiva: (a+b)=d(k+p)Como adems (k+p)N, concluimos finalmente
que d/(a+b)
2) / /
/( )0 ;
d a d bd a b
d a b
Demostracin: ..
.....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
3) Si un nmero es divisor de otro nmero natural, tambin es
divisor de todos
sus mltiplos. /
/ . ; 0
d ad m a m N
d
Demostracin:d/a k, kN, tal que: a = k.dMultiplicando por m ambos
miembros obtenemos: m.a=(m.k).dComo adems (m.k)N, concluimos que
d/m.a.
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Otro ejemplo:a) Probar que el nmero natural N= abba es mltiplo
de 11.
La notacin anterior la utilizamos para indicar la posicin que
ocupa cada cifra en el nmero N de 4 cifras. Por lo tanto se cumple:
N = 1000a+100b+10b+a = 1001a+110bObservando que: 1001 = 11.91 y
110=11.10Podemos escribir que: N = 11.91.a + 11.10.b = 11(91.a
+10.b)Como (91a +10b)N, concluimos que 11/N lo mismo que decir: N =
11
b) Hallar el nmero N = abba sabiendo adems que: N 0bb =2002 y a
+ b = 5
Planteamos: abba 0bb =2002 (1000a+100b+10b+a) (100b+10b) =
2002Efectuando operaciones: 1000a + a = 2002 1001a = 2002 a = 2Como
a + b = 5 b = 3El nmero N = 2332
Indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Si es falsa,
muestra un contraejemplo, si es verdadera, justifcalo.
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Divisin Entera
Presentaremos el tema, proponiendo un juego, interesante y que
tiene que ver con este tema. Para ganar este juego, no se requiere
suerte, sino ingenio. Adems, jugando bien, siempre se puede
ganar.El juego es entre dos personas, quien comienza dice un nmero
del 1 al 10, la otra persona piensa un nmero del 1 al 10 y se lo
suma. El juego se desarrolla de esta forma, hasta que uno llega a
50. Esa persona es la que gana.Ejemplo:
Matas dice: 9Bruno piensa 8 y dice 17 (9+8)Matas piensa 10 y
dice 27 (17+10)Bruno piensa 6 y dice 33 (27+6)Matas piensa 10 y
dice 43 (33+10)Bruno piensa 7, dice 50 (43+7) y gana!!!!!
La propuesta es que pienses una estrategia ganadora para el
jugador que comienza este juego. En el caso del ejemplo, una
estrategia ganadora para Matas.
Ejemplos:Determinar cociente y resto en cada caso:
1) 43 5... ...
q=8 r=3 porque: 43=5.8+3 y 3
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Ejemplos:Completemos de todas las formas posibles los esquemas
de divisin que siguen:
a) 582
bq
58=b.q + 2 y 2
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B) a br q
y kN* . ..a k b kr k q
Como a = b,q + r, entonces a.k = (b.q + r).kAplicando
distributiva
a.k = (b.q).k + r.kAplicando conmutativa y asociativa
a.k = (b.k).q + r.kAdems r
