Divisibilidad en los números naturales 1. Múltiplos y divisores de un número 2. Propiedades de múltiplos y divisores 3. Criterios de divisibilidad 4. Números

Divisibilidad en los números naturales

1. Múltiplos y divisores de un número

2. Propiedades de múltiplos y divisores

3. Criterios de divisibilidad

4. Números primos y números compuestos

5. Descomposición factorial

6. Máximo común divisor

7. Mínimo común múltiplo

UNIDAD 03

1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

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1. Múltiplos y divisores de un número

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES


Un número natural a se dice que es múltiplo del número natural b si podemos obtener a como

resultado de multiplicar b por un número natural k.

a = b · k

Un número natural a se dice que es divisor del número natural b si b es divisible entre a, es decir,

b se puede dividir entre a y la división es exacta.

7 = {7, 14, 21,…}

Notación matemática: múltiplos de un número

Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a

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- Los múltiplos de un número son infinitos:

= 5, 10, 15, 20, 25, ...

5

- Los divisores de un número no son infinitos, son finitos:

D (12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12

- El conjunto de múltiplos de 1 es:

1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

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- El cero es múltiplo de todos los números naturales:

- Los divisores de un número pueden formar parejas cuyo producto es ese mismo número:

D (15) = 1, 3, 5, 15 1 · 15 = 3 · 5 = 15

- Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo:

a = a · 1

a · 0 = 0

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NUMEROS PERFECTOS: son los números cuyos divisores, exceptuando el propio número, suman exactamente su valor.

6 = 1+ 2 + 3

28 = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

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Un número es divisible entre 2

Si acaba en cifra par


Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3


Si acaba en 0 ó en 5


Si la diferencia de la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las que ocupan

lugar par es cero o múltiplo de 11

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Si es divisible entre 2 y 3 a la vez


Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9


Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 4 ó si son 00


Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 25 ó

si son 00


Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 4 ó si son 00


Si es divisible entre 2 y 3 a la vez

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Si la diferencia entre el número quitándole la cifra de unidades y el doble de la cifra de unidades es múltiplo

de 7 ó 0

343 34 – 2·3 = 28 múltiplo de 7.

105 10 – 2·5 = 0 múltiplo de 7.

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4. Números primos y compuestos



Un número es primo si solo admite como divisores a él mismo y la unidad

Por ejemplo: 1, 2, 3, 13, 53,...

Para un número primo a solo es posible una descomposición en factores:

a = a · 1

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Un número es compuesto si admite otros divisores distintos de sí mismo y de la unidad.

D (18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18

Dos números son primos entre sí cuando el único divisor común que tienen es el uno.

D (8) = 1, 2, 4, 8, D (15) = 1, 3, 5, 15

8 y 15 son primos entre sí porque el único divisor común es el 1.

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CRIBA DE ERATOSTENES

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180 5 36 3 12 3 4 2 2 2 1

Cualquier número se puede descomponer en el producto de sus factores primos (todos ellos números

primos).

180 = 22 · 32 · 5 · 1

Divisores

Cocientes

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D (220) = {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284


D (284) = {1,2,4,71,142} 1+2+4+71+142 = 220

NUMEROS AMIGOS: son parejas de números en los que la suma de los divisores de uno de ellos da como resultado el otro y recíprocamente.

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El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el mayor de los divisores comunes. Si descomponemos los números en factores primos, multiplicamos los factores comunes elevados al

menor exponente

m.c.d. (90, 84) = 2 · 3 = 6

90 = 2· 32 · 5

84 = 22 · 3 · 7

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Otra manera de calcular el máximo común divisor (m.c.d.)

m.c.d. (72, 80, 200) = 23 = 8

72 80 200 2

36 40 100 2

18 20 50 2

9 10 25 No hay más

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El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de los múltiplos comunes. Si

descomponemos los números en factores primos, se multiplican todos los factores comunes y no comunes

elevados al mayor exponente

m.c.m. (90,84) = 22 · 32 · 5 · 7 = 1.260

90 = 2· 32 · 5

84 = 22 · 3 · 7

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Otra manera de calcular el mínimo común múltiplo (m.c.d.)

m.c.d. (45, 70, 50) = 2 · 32 · 52 · 7= 3150

45 70 50 5

9 14 10 2

- 7 5 5

- - 1 7

- 1 3

3 3

1


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