Distribución normal, Geometría analítica, solución De … · aplicando los teoremas del seno y del coseno, valorando la opinión de los demás. Utilizarás con criticidad la línea

55

ObjetivosdelaUnidad: Tomarás decisiones acertadas a partir de la determinación deocurrenciadeun suceso,aplicando losmétodosdedistribuciónnormalparaestimar lasprobabilidadesdeeventosendiferentesámbitosdelavidasocial,culturalyeconómica.

Propondrássolucionesasituacionesproblemáticasdelentornoenlas cuales se requiere la resoluciónde triángulosoblicuángulos,aplicandolosteoremasdelsenoydelcoseno,valorandolaopinióndelosdemás.

Utilizarásconcriticidadlalínearecta,elementos,característicasyecuacionesalproponersolucionesaproblemasdetuentorno.

Aplicaráscorrectamentelageometríaanalítica–circunferencia–alencontrarsolucionesadiversasproblemáticasdetuentorno.

Distribución normal, Geometría analítica, solución De triánGulos

MATEMÁTICAUnidad3

56 matemática - segundo año

Descripción del proyecto:

Éste consiste en una aplicación de la línea recta, mediante la cual vas a encontrar una fórmula que te permita convertir grados Celsius a Fahrenheit y viceversa.

Distribución normal

Características

Calcular porcentajes

Distribuciónnormal estándar

Formasimétrica

sus

permiten

utilizando

entre

ellas

Triángulos oblicuángulos

Ley de seno Ley del coseno

LLA, ALA, AAL LAL, LLL

en los casos en los casos

resolución utilizando

Geometría analítica

Distancia entre dos puntos

Punto medio de un segmento

Distancia de unpunto a una recta

Centro

Radio

Tangente

La circunferencia

Elementos Ecuaciones

Ordinaria

Canónica

General

Elementos Ecuaciones

Pendiente

Intersectos

Punto pendiente

General

Pendiente intersecto

La línea recta

comprende

sus

son son son

sus

son

pueden ser

segundo año - matemática 57

Tercera Unidad Lección1Motivación

Indicadores de logro

¿Recuerdas que las variables continuas pueden tomar un número infinito de valores?

El gráfico de la distribución para la prueba de 4 preguntas de falso y verdadero, suponiendo que la variable es continua, tiene la forma presentada a la izquierda y recibe el nombre de distribución normal por su forma.

Identificarás, interpretarás y explicarás, con seguridad, las características de la distribución normal.

Determinarás las propiedades de la distribución normal estándar, con precisión y confianza.

Utilizarás, con precisión y seguridad las tablas para encontrar áreas bajo la curva normal.

Resolverás ejercicios y problemas aplicados a la vida cotidiana sobre variables con distribución normal con seguridad.

Número de respuestas correctas

(r)0 1 2 3 4

Prob

alida

d de

éxito

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

P(r)

Cuando determinas la distribución de probabilidades de una prueba de 4 preguntas de falso y verdadero, obtienes el gráfico de la derecha.Ahora imagina que, hipotéticamente la variable “número de respuestas correctas” se vuelve continua.¿Cómo queda entonces el gráfico de la distribución?

Distribución normal

0,4

0,3

0,2

0,1

0 1 2 3 4-1-2


UNIDAD 3

El gráfico anterior es la base para enunciar las características de la distribución normal:

1. La curva normal tiene perfil de campana. La media aritmética, mediana y moda de la distribución son iguales y están en el punto central. De esta forma, la mitad del área bajo la curva se halla a un lado de este punto, y la otra mitad, al otro lado. La distribución de probabilidad normal es simétrica con respecto a su media. Si se corta la curva normal verticalmente por el valor central, las dos mitades serán como imágenes reflejadas en un espejo.

2. Los porcentajes bajo la curva normal decrecen uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, lo cual significa que la curva se acerca cada vez más al eje x, pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, las dos colas o extremos se extienden indefinidamente en ambas direcciones. La distribución normal es un buen modelo para representar, aproximadamente, algunos fenómenos del mundo real.

Familia de Distribuciones Normales

Para la distribución de probabilidad normal del tiempo de servicio de los empleados de tres plantas industriales, se tiene las siguientes medidas:

Planta A: μ = 20 años y σ = 3.1 años

Planta B: μ = 20 años y σ = 3.9 años

Planta C: μ = 20 años y σ = 5.0 años

Al tener la misma media aritmética, forman una familia de distribuciones normales y se pueden representar en el mismo gráfico.

Recuerda que μ (miu) representa la media aritmética de una población y σ (sigma) la desviación típica o estándar.

Áreas bajo la curva normal

Para una distribución de probabilidad normal:

1. Aproximadamente 68.27% del área bajo la curva normal está entre μ – σ y μ + σ. Esto puede expresarse como μ ± σ.

2.Aproximadamente 95.45% del área bajo la curva normal está entre μ – 2σ y μ + 2σ. Lo que se expresa μ ± 2σ.

3.Casi toda el área (99.73%) bajo la curva normal está dentro de tres desviaciones estándares respecto de la media (a uno y otro lado), lo cual se escribe μ ± 3σ.

Mostrando esto en un diagrama y utilizando porcentajes, tienes:

σ = 3.1 años planta A

20 años Tiempo de servicio

µ

σ = 3.9 años planta B

σ = 5.0 años planta C

µ - 3σ µµ - 2σ µ - 1σ µ + 1σ µ + 2σ µ + 3σ 68.27%95.45%99.73%

La curva normal es simétrica, con dos mitades idénticas

Extremidad(o cola)

Extremidad(o cola)

La media, la mediana y la moda son iguales

En teoria, la curva se extiende hasta -∞

En teoria, la curva se extiende hasta +∞

Características de una distribución normal


UNIDAD 3

Ejemplo 1

Una prueba acelerada de duración en un gran número de pilas alcalinas tipo D reveló que la duración media para un uso especifico antes de que falle es 19.0 horas. La distribución de las duraciones se aproxima a una distribución normal. La desviación estándar de la distribución fue 1.2 horas.

¿Entre qué par de valores se encuentra la durabilidad del 68.27% de las pilas?



Solución:

Aproximadamente el 68.27% duró entre 17.8 horas y 20.2 horas, valor obtenido por 19.0 ± 1(1.2)



Mostrando esto en un diagrama te queda así:

1. Explica lo que significa este enunciado “No existe sólo una distribución probabilística normal, sino familias de estas distribuciones”.

2. Enumera las principales características de una distribución probabilística normal.

3. Si la media de una distribución probabilística normal es 500 y la desviación estándar 10, determina lo siguiente.

a) ¿Entre qué par de valores está, aproximadamente, 68% de las observaciones?

b) ¿Entre qué par de valores se halla, aproximadamente, 95% de las observaciones?

c) ¿Entre qué par de valores se encuentran prácticamente todas las observaciones?

4. La media de una distribución probabilística normal es 60, y la desviación estándar es 5. Aproximadamente:

a) ¿Qué porcentaje de las observaciones se encuentra entre 55 y 65?

b) ¿Qué porcentaje de las observaciones se halla entre 50 y 70?

c) ¿Qué porcentaje de las observaciones se halla entre 45 y 75?

Actividad 1

µ - 3σ µµ - 2σ µ - 1σ µ + 1σ µ + 2σ µ + 3σ

15.4 16.6 17.8 19.0 20.2 21.4 22.6 Escala dehoras X

Escala de Z

Estos valores los expresamos de otra forma: el área bajo la curva normal entre µ σ µ σy− + es aproximadamente 0.6827, el área entre µ σ µ σy− +2 2 es aproximadamente 0.9545 y el

área entre µ σ µ σy− +3 3 es aproximadamente 0.9973.

Observa que el área total bajo la curva es: 1.0000

UNIDAD 3


Distribución normal estándar

Existen familias de distribuciones normales, cada una con su propia media (μ) y sus desviaciones estándar (σ). Por tanto el número de distribuciones normales es ilimitado. Resultaría físicamente imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de μ y σ. Sin embargo, puede utilizarse un elemento de la familia de distribuciones normales para todos los problemas donde esta distribución resulte aplicable. Ésta es una normal con media igual a 0 y una desviación estándar igual a 1, y se denomina Distribución normal estándar.

Como ejemplo de su aplicación supongamos que la media de una distribución normal es 100 libras, y la desviación estándar, 2 libras. Considera que estás interesado en determinar el área entre un valor de 113 libras y la media de 100 libras. Primero se convierte la distribución, a lo que se conoce cono estandarización, de una distribución normal estándar, utilizando el llamado valor z o desvío normal z.

El valor z es la diferencia (desviación) entre un valor seleccionado, denotado por x y la media poblacional, dividida entre la desviación estándar de la población.

El valor z mide la distancia entre el valor específico x y la media, en unidades de desviación estándar.

Así, el valor de z para el ejemplo dado es: z = =113 100

26 5

−. unidades de

desviación estándar.

Ejemplo 2:

La media de un grupo de ingresos quincenales con distribución normal para un gran conjunto de gerentes de nivel medio, es $ 1,000; la desviación estándar es $ 100 ¿Cuál es el desvió normal o valor z para un ingreso x de $ 1,100? ¿Y para uno de $ 900?

Solución:

Para x

zx

=

=−

=−

=

$ ,

$ , $ ,$

1 100

1 100 1 000100

1

µσ

..00

Para x

zx

=

=−

=−

=

$

$ $ ,$

.

900

900 1 000100

1 00

µσ

−

Es decir, zx

=− µσ

donde:

x: es el valor de cualquier observación específica.

μ: es la media de la distribución.

σ: es la desviación estándar de la distribución.

UNIDAD 3


El desvío z es 1.00 indica que un ingreso quincenal de $ 1,100 para un gerente de nivel medio está una desviación estándar por encima de la media; un valor z de – 1.00 indica que un ingreso de $ 900 está una desviación estándar por debajo de la media. Observa que ambos ingresos ($ 1,100 y $ 900) están a la misma distancia ($ 100) de la media.

El transformar las mediciones a desvíos normales z cambia la escala. Las conversiones se muestran en la gráfica de la par. Por ejemplo, μ + 2 σ se transforma en z = 2.00.

Observa que el centro de la distribución z es cero, lo cual indica que no existe desviación respecto a la media μ.

Ejemplo 3

Utilizando el mismo problema que en el ejemplo anterior del ingreso quincenal (μ = $ 1,000, σ = $ 100), ¿cuál es el área bajo la curva normal entre $ 1,000 y $ 1,100?

Solución:

Ya convertiste $ 1,100 a un valor z de 1.00

zx $ $

$= = =

− −µσ

1 100 1 000100

1 00, ,

.

La probabilidad asociada a un z de 1.00, ya se calculó y se presenta en una tabla.

Utiliza la misma información del ejemplo 2 (μ = $1,000,σ = 100) y convierte:

a) El ingreso quincenal de $ 1,225 a una unidad estándar o valor z.

b) El ingreso quincenal de $ 775 a un valor z.

Actividad 2

µ - 3σ µµ - 2σ µ - 1σ µ + 1σ µ + 2σ µ + 3σ

-3 -2 -1 0 1 2 3

Se convierte en

X

Z

Observa

Cuando x es igual a la media μ, su valor estandarizado es cero.

UNIDAD 3


A continuación te presentamos una pequeña parte de esa tabla. Para localizar el área recorre hacia abajo la columna izquierda hasta 1.0. Después recorre horizontalmente hacia la derecha y lees el área bajo la curva en la columna marcada 0.00. Te resulta así el valor 0.3413

z 0.00 0.01 0.020.7 0.2580 0.2611 0.26420.8 0.2881 0.2910 0.29390.9 0.3159 0.3186 0.32121.0 0.3413 0.3438 0.34611.1 0.3643 0.3665 0.3686

Representando esto en un diagrama, resulta:

El área bajo la curva normal entre $ 1,000 y $ 1,100 es 0.3413. También puede decirse que 34.13% de los ingresos quincenales están entre $ 1,000 y $ 1,100, y la probabilidad que un ingreso específico se halle entre $ 1,000 y $ 1,100 es 0.3413

Para resolver los siguientes problemas es imprescindible que fotocopies la tabla de la distribución normal de un libro de estadística.

Ejemplo 4

En relación al problema anterior (μ = $ 1,000; σ = $100).

a) ¿Cuál es la probabilidad que un ingreso quincenal específico seleccionado al azar esté entre $790 y $1,000?

b) ¿Cuál es la probabilidad que el ingreso sea menor de $790?

Solución:

Calculando el valor z para $790:

zx

=−

=−

=− µ

σ$ $ ,

$$

$790 1 000

100210

100== − 2 10.

0 1.00 Escala de z

Escala de dólares$ 1 000 $ 1 100

0.3413

UNIDAD 3


a) El área bajo la curva normal entre μ y x para un valor z de – 2.10 es 0.4821, valor tomado de la tabla. Puesto que la curva normal es simétrica, el signo negativo antes de 2.10 te indica que el área está a la izquierda de la media. Por lo tanto la probabilidad que un ingreso quincenal esté entre $790 y $1,000 es de 0.4821 ó 48.21%

b) La media divide a la curva normal en dos mitades idénticas. El área de la mitad de la izquierda (o de la derecha) de la media también es 0.5000. Como el área bajo la curva entre $790 y $1 000 es 0.4821, el área por debajo de $790 se determina restando 0.4821 de 0.5000.

A los estudiantes de séptimo grado se les dan puntos por aplicación. La distribución de éstos sigue una distribución normal, con media 400 y desviación estándar 50.

a) ¿Cuánto vale el área bajo la curva normal entre 400 y 482?

b) ¿Cuánto vale el área bajo la curva normal por encima de 482?

c) Representa en forma gráfica las respuestas anteriores.

Actividad 3

Resumen

La distribución de probabilidad normal es una distribución continua con las siguientes propiedades.

a) Es simétrica con respecto a la media.

b) Su gráfico tiene forma de campana.

c) La media, la moda y la mediana son iguales.

d) La distribución es asintótica, o sea, la curva se acerca al eje x sin llegar a tocarlo.

e) Cualquier distribución normal puede estandarizarse mediante la fórmula zx

= − µσ

f) La distribución normal estándar indica la desviación o distancia a partir de la media en unidades de desviación estándar. A esta se le llama valor o desvío normal z.

De esta forma:

0.5000 – 0.4821 = 0.0179. La probabilidad de que el ingreso sea menor de $790 es 0.0179 ó 1.79%. Esto se muestra en el diagrama anterior a la izquierda.

Recuerda que para resolver tus problemas debes buscar en la tabla de áreas bajo la curva normal.

02.1 Escala de z

0.4821

0.50000.5000

0.0179


UNIDAD 3

Autocomprobación Cuál es la gráfica de la probabilidad encontrada en 3:4

El área bajo la curva normal a la izquierda de la media es igual a:a) cero c) unob) menos uno d) un medio

2

3

1 El área total bajo la curva normal estándar es igual a a) cero c) menos unob) uno d) un medio

0-4

10-14

20-24

30-34

40-44

50-54

60-64

70-74

80-84

90-64

100+

400 300 200 100 0 100 200 300 400

HOMBRES MUJERESUna pirámide de población corresponde a una representación gráfica de la distribución por sexo y edad de la población de una localidad o país en un momento particular en el tiempo.

Está constituido por dos histogramas, uno correspondiente a cada género. En el eje de

las abscisas se representa la población total o porcentaje de población según corresponda,

mientras que en el eje de ordenadas se representa la edad simple o grupo de edades.

Los histogramas se ubican en posición contraria uno del otro usando como referencia el eje de las ordenadas. Observa que la figura tiene una

forma parecida a una distribución normal.

a)

b)

d)

c)

POBLACIÓN Y DISTRIBUCIÓN NORMAL

10095 Escala de z

105-0.5

10095 Escala de z

1050.5

10095 Escala de z

105-0.5

10095 Escala de z

1050.5

Los coeficientes de inteligencia (IQ) de los humanos se distribuyen normalmente con media 100 y desviación estándar 10. Si una persona es elegida al azar, para calcular la probabilidad de que su IQ sea mayor que 95 el valor de z es igual a:

a) 100 9510 − c) 100 95

5 −

b) 95 1005

− d) 95 10010 −


Tercera Unidad

Motivación

En esta lección aprenderás a calcular distancias cuando no es posible hacerlo directamente, como hallar la altura de un globo sobre el nivel del suelo o la altura de un edificio o de una montaña.

La ley de los senos y la ley de los cosenos tienen aplicación en casi todas las áreas del conocimiento: ciencias naturales, astronomía, topografía, etc. En esta lección aprenderás a aplicar estas leyes a la resolución de problemas cotidianos.

Indicadores de logro Identificarás, determinarás y ejemplificarás triángulos oblicuángulos, con

interés y confianza. Deducirás y explicarás, con seguridad la expresión que denota el teorema

del seno. Utilizarás el teorema del seno, al solucionar ejercicios sobre triángulos

oblicuángulos, con seguridad y precisión. Resolverás, con actitud propositiva y perseverante, problemas aplicando

el teorema del seno.

Deducirás y explicarás, con seguridad, la expresión que denota el teorema del coseno.

Utilizarás el teorema del coseno, al solucionar ejercicios sobre triángulos oblicuángulos con seguridad y precisión.

Resolverás problemas, aplicando el teorema del coseno, con actitud propositiva y perseverante.

ab

A Bα = 48° β = 57°c = 200 m

γ

CEn un estanque de forma triangular se cultivan peces para el consumo de la comunidad. Del estanque se sabe que un lado mide 200 m y adyacente a él dos ángulos que miden 48o y 57o.¿Cuál será la medida del otro ángulo?¿Cuáles serián las medidas de los otros dos lados?

solución De triánGulos

Lección2

UNIDAD 3


Los métodos trigonométricos para resolver triángulos rectángulos no funcionan con los triángulos oblicuángulos. Para trabajar con éstos suelen aplicarse dos métodos; uno de ellos es la ley de los senos, el otro es la ley de los cosenos.

Observa la figura

Considera el triángulo de la figura. Eliges uno de los vértices, en este caso el vértice C.

Trazas una perpendicular al lado opuesto. A partir de los triángulos rectángulos resultantes se tiene:

senhb

senha

yα β= =

o bien, h = b sen α y h = a sen β

Debido a que las dos expresiones anteriores son iguales a

h, entonces b sen α = a sen β; asen

bsenα β

=

De manera similar a la anterior puedes obtener:a

senc

senα γ=

Al combinar todo lo anterior llegaremos a la ley de los senos. Ésta establece que si ABC es un triángulo con lados de longitudes a, b y c, y ángulos opuestos respectivos α , β y γ , entonces:

asen

bsen

csenα β γ

= =

En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un ángulo y el lado opuesto a dicho ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado opuesto a ese ángulo.

Resolver un triángulo significa encontrar sus seis elementos: tres lados y tres ángulos.

La ley de los senos la aplicarás para resolver un triángulo cuando se conocen tres de sus elementos. Los casos son los siguientes:

Caso 1 (LLA): se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Caso 2 (ALA): se conocen dos ángulos y el lado adyacente a ellos.

Caso 3 (A AL): se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.

La respuesta a la pregunta planteada respecto del estanque de forma triangular se resuelve calculando el lado a = BC del triángulo ABC.

Triángulos como éste, que no poseen ángulo recto se denominan obtusángulos y acutángulos. A éstos, de forma genérica se les llama triángulos oblicuángulos.

ab

A Bα = 48° β = 57°c = 200 m

γ

C

ab

C

A Bα βc

hγ

Caso 1 (LLA)

Caso 2 (ALA)

Caso 3 (AAL)

L

L

A

A

A

L

L

A A

UNIDAD 3


Ejemplo 1

Resuelve el problema anterior del estanque de forma triangular.

Lados Angulosa = ? α = 48ºb = ? β = 57º

c = 200 γ = ?

Conoces dos ángulos y el lado adyacente a ellos. (Caso 2: ALA).La tabla con los datos iniciales es:

Como la suma de ángulos internos de todo triángulo es 180°, entonces, γ = 180º – (48º + 57º) = 75º

Dado que conoces el lado c y los tres ángulos, puedes calcular el lado “a” mediante la ley de los senos usando la razón cuyos dos términos se conocen.

O sea, a

senc

senα γ= Ley de los senos

asen sen

a

Sustituyendo

48200

75°=

°

=2200 48

75

( )sen

sena

Despejando

1

°°

= 553.87 m

Concluyes que la longitud “a” es 153.87 m.

Ejemplo 2

Calcula el lado b del triángulo anterior.

Solución:

Lados Angulosa = ? α = 48ºb = ? β = 57º

c = 200 γ = 75º

Lados Angulosa = 153.87 α = 48ºb = ? β = 57ºc = 200 γ = 75º

ab

A Bα = 48° β = 57°c = 200 m

C

γ

Para calcular b puedes relacionar la razón bsen β

con cualquiera de las otras dos, ya

que en ambas conoces los dos términos.

UNIDAD 3


Ejemplo 3

Resuelve el triángulo:

Conoces dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos: Caso 3 (A AL). Comienzas construyendo tu tabla de datos.

Si se conocen 2 ángulos podemos encontrar el valor γ

γ = 180° – (13° + 65°) = 102º

Como en la razón a

sen α conoces ambos términos, vas a relacionarla con las otras

razones.

Es decir, asen

bsen B α

= Ley de los senos

3513 65sen

bsen °

=°

Sustituyendo a por 35, α por 13º y β por 65º.

bsen

sen=

°°

=35 65

13141 01

( ). Despejando b y sustituyendo valores

Cálculo de c.a

senc

sen α γ= Ley de los senos.

3513 102sen

csen °

=°

Sustituyendo a por 35, α por 13º y γ por 102º

Lados Angulosa = 35 α = 13ºb = ? β = 65ºc = ? γ = ?

Es decir, bsen

csenβ γ

= Ley de los senos

bsen sen 57

20075°

=°

Sustituyendo β por 57º y γ por 75º

bsen

sen=

°°

=200 57

75173 65

( ). Despejando b y sustituyendo valores

Luego concluyes que el lado b del triángulo mide 173.65 m

b

Bα = 13° β = 65°c

C

a = 35 γ

A

UNIDAD 3


Lados Angulosa = 35 α = 13ºb = 141.01 β = 65ºc = 152.19 γ = 102º

En el apartado anterior conociste la ley de los senos y cuándo aplicarla. Puedes aplicarla en tres casos. En el caso 1 conoces las medidas de dos lados y del ángulo opuesto a uno de ellos; se denomina LLA. El caso 2 se presenta cuando conoces las medidas de los ángulos y del lado adyacente a ellos se denomina ALA. En el caso 3 conoces las medidas de dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos; se denomina ALL.

Hay otros dos casos que conducen a triángulos que hay que resolver.

Caso 4 (LAL) se conocen las medidas de dos lados y el ángulo entre ellos. Caso 5 (LLL) se conocen las medidas de los tres lados.

Observa la figura

Resuelve los siguientes triángulos

Actividad 1

Para resolver los casos 4 y 5 se utiliza la ley de los cosenos que se enuncia asi:

Luego, si ABC es un triángulo con lados de longitudes a, b y c y ángulos opuestos α , β, γ , entonces por la ley de los cosenos se cumple:

b = 141.01

Bα = 13° β = 65°c = 152.19

102°

C

a = 35

A

A

C

45˚ 28˚

45˚

120 mB

45˚ 28˚ 50˚

34˚40 cm

C

BA

csen

sen=

°°

=35 102

13152 19

( ). Despejando c y sustituyendo valores.

Luego, el triángulo resuelto te queda así:

Ley de los cosenos

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

b2 = a2 + c2 – 2ac cos β

c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos por el coseno del ángulo que forman.

Observa que hay tres versiones de la ley de los cosenos. Cada versión simplemente replantea la ley de modo que se utilicen distintos elementos del triángulo.

a) b)

c

A

B

Cb

aγ

β

α

UNIDAD 3


Ejemplo 4

Si b = 14.7, c = 9.3 y α = 46.3°, resolver el triángulo.

Solución:

La tabla de datos es:

Este tipo de problema es el caso 3 (LAL).

Debido a que conoces la medida del ángulo α , primero utilizas la ley de los cosenos para encontrar la longitud del lado a.

Lados Angulosa = ? α = 46.3ºb = 14.7 β = ?c = 9.3 γ = ?

Aplica nuevamente la ley de los cosenos para encontrar la medida del ángulo β.b a c ac

ac a c b

2 2 2

2 2 2

2

2

= + −

= + −

cos ,

cos ,

cos

ββ

ββ =+ −a c b

ac

2 2 2

2

cos. . .

. .

c

( ) ( ) ( )( )( )

β =+10 7 9 3 14 7

2 10 7 9 3

2 2 2−

oos. . .

.cos

β

β

=+114 49 86 49 216 09

199 02 −

== −= =

0 07592201793

94 354201 94 35

.

. . ºβ

Sabes que α = 46.3º,de modo que γ = 180º – (46.3º + 94.35º) = 39.35°.Luego la tabla de datos completa te queda así:

a b c bc2 2 2 2 Ley= + – cos α dde los cosenos

( ) ( ) ( )= +14 7 9 3 2 14 72 2. . – . (( ) ( º) Sust9 3 46 3. cos . iituyendo los valores dados

= +26 09 86 49. . ( ) Efectuand– . .273 42 0 6908824 oo operación= +216 09 86 49 188 90107. . – . Efectuando operación= 113 6. 77893 Efectuando operación

a = 110 66. Extrayendo laa raíz cuadrada

Sustituyendo los datos

Efectuando operaciones

Efetuando la inversa de seno para obtener el ángulo

Lados Angulosa = 10.67 α = 46.3ºb = 14.7 β = 94.35ºc = 9.3 γ = 39.35º

b = 14.70

B46.3=α β

c = 9.30

a

A

γ

C

UNIDAD 3


a = 573 γ b = 347

B A

C

c

a = 573 m; b = 347 m; γ = 106.63º. Éste es un problema del tipo LAL. Quieres encontrar c. Al aplicar la ley de los cosenos tienes:

c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

c2 = (573)2 + (347)2 – 2(573) (347) cos (106.63°)

c2 = 562,544.93

c = 750

1. Resuelve cada triángulo tomando en cuenta los elementos dados.

a) a = 9.3, b = 16.3, γ = 42.3ºb) a = 19.52, b = 63.42, c = 56.53c) α = 47.85°, b = 29.43, c = 36.52

2. Un barco zarpa al mediodía y se desplaza hacia el norte a 21 km/h. A las 15 h cambia de dirección a 37° noreste. ¿A qué distancia del puerto estará el barco a las 19 h? (Ver figura).

Actividad 2

Resumen

La ley de los senos: asen

bsen

csenα β γ

= =

Te es útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando conoces:

Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Dos ángulos y el lado adyacente a ellos.

Dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos.

La ley de los cosenos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α te sirve cuando conoces:

Tres lados.

Dos lados y el ángulo que éstos forman.

Justifica y verifica las igualdades anteriores. Luego, la distancia entre las torres mide 750 m.

63

84

d

19h

12h

15h 127˚

Ejemplo 5

Se necesita tender una línea de transmisión eléctrica directamente sobre un pantano. La línea estará sostenida por dos torres situadas en los puntos A y B, según la figura. Un topógrafo encuentra que la distancia de B a C es de 573 m; que la distancia de A a C es de 347 m, y que el ángulo mide 106.63°. ¿Cuál es la distancia de la torre A a la torre B?

Solución:

b

c

γ

α β

a

d vtdddd

== ( )( )== ( )( )=

1

1

2

2

21 363

21 4

km/h hkm

km/h h884 km


UNIDAD 3

Autocomprobación

37º30º

25 m

La trigonometría, del griego trígono (triángulo) y metría (medición), fue creada inicialmente

para resolver triángulos rectángulos, y pronto aumentó su aplicación y por tanto su desarrollo

como parte de la matemática.

Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol como la araucaria, se determinan dos ángulos y se aplica la ley correspondiente. En la ilustración

de la izquierda la altura del árbol puede calcularse con una combinación apropiada de los

triángulos que se forman y las leyes del seno y coseno.

1 Considera que dos de los ángulos de un triángulo son 57° y 75°. El lado opuesto a 75° es 175 cm, ¿cuál es el lado opuesto a 57°?a) 151.94 cm c) 146.76 cmb) 201.55 cm d) 157 cm

4

Si en un triángulo conoces sus tres lados, entonces se representa así:a) ALA b) LAL c) LLL d) AAL

3

Si dos lados de un triángulo forman un ángulo de 35º, y dichos lados miden 8 m y 10 m, respectivamente, entonces el lado opuesto al ángulo se calcula con la expresión:a) 82 + 102 + 2(8)(10)(cos35°)b) 82 – 102 + 2(8)(10)(cos35°)c) 82 – 102 – 2(8)(10)(cos35°)d) 82 + 102 – 2(8)(10)(cos35°)

De las siguientes, la ecuación correcta referida al triángulo ABC es:a) b2 = a2 + c2 – 2ac cos βb) c2 = a2 + b2 + 2ab cos γc) a2 = b2 – c2 + 2bc cos αd) Todas son correctas

ALTURA DE UN ÁRBOL

2b

C

γ

α β

a

A c B


Tercera Unidad

Motivación

Indicadores de logro

Una forma sería graficarlos a escala en el plano cartesiano y luego medir dicha distancia. Sin embargo, el método no daría una medida con mucha precisión.

Ahora bien, si observas la figura, notarás que se ha formado un triángulo rectángulo.

Determinarás y explicarás, con interés, el ángulo de inclinación de una recta y su relación con la pendiente de la misma.

Resolverás problemas utilizando la fórmula de la pendiente de una recta, con interés y seguridad.

Representarás gráficamente rectas paralelas y/o perpendiculares, con precisión, orden y aseo.

Deducirás y explicarás la expresión matemática que denota el paralelismo y/o perpendicularidad.

Utilizarás la expresión matemática que denota el paralelismo y/ perpendicularidad entre dos rectas con precisión y confianza al resolver ejercicios.

Deducirás, utilizarás y explicarás, con seguridad y confianza, la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos.

Resolverás problemas utilizando la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos.

Determinarás y localizarás, con precisión las coordenadas del punto medio de un segmento de recta.

Resolverás problemas utilizando la fórmula para el punto medio de un segmento de recta con precisión.

Deducirás, utilizarás y explicarás la pendiente de una recta con seguridad y confianza.

¿Cómo encuentras la distancia entre los puntos A (2,3) y B (6,5)?Observa la figura.Para resolver este tipo de situación, en esta lección estudiarás la forma para encontrar la distancia entre dos puntos del plano cartesiano.

elementos De Geometría analítica

Lección3

Distancia entre dos puntos

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

A

B

Los catetos miden 6 – 2 = 4 y 5 – 3 = 2, respectivamente. La distancia d = AB es la hipotenusa del triángulo.Luego por Pitágoras.

d

d

d

2 2 2

2 2

2

6 2 5 3

6 2 5 3

4 2

= −( ) + −( )

= ( ) + ( )

= ( ) +

− −

(( ) = =2 20 4 47.

y

x

6-2

5-3A

B

UNIDAD 3


Como este procedimiento lo aplicas a cualquier par de puntos, entonces la fórmula es:

Para encontrar la distancia entre dos puntos P y Q a uno de los puntos le llamas (x1, y1) y al otro punto le llamas (x2, y2)

Punto de apoyo

Ejemplo 1

Encuentra la distancia entre los puntos P( – 3, 3) y Q( 5, – 2).

Solución:

La distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) es

P P d x x y y1 2 2 12

2 12= = ( ) + ( ) − −

Puedes ver que los números (x2 – x1)2 y (y2 – y1)

2 siempre son positivos, ya que están elevados al cuadrado. También puedes comprobar que PQ QP= , ya que (x2 – x1)

2 = (x1 – x2)2 y también (y2 – y1)2 = (y1 – y2)2.

Esto te dice que cuando se emplea la fórmula de la distancia entre dos puntos puedes tomar como punto inicial (x1 – y1) a cualquiera de ellos.

Ejemplo 2

Hallar la distancia entre los puntos (3, – 8) y ( – 6, 4).

Solución:

Como, d x x y y= −( ) + −( )2 12

2 12 al

sustituir las coordenadas de los puntos, obtienes,

= +( ) + ( ) = + = =3 6 8 4 81 144 225 152 2 − −

a) Grafica en el plano cartesiano el triángulo cuyos vértices son los puntos A(– 1, – 3), B(6, 1) y C(2, – 7).

b) Encuentra la longitud de cada lado del triángulo del problema anterior.

Actividad 1

Punto medio de un segmento rectilíneo

Este es el triángulo ABC. Los puntos P, Q y M son los puntos medios de sus lados AB, BC y CA, respectivamente.

¿Qué nombre reciben los segmentos PC, QA y MB?

d x x y y

PQ d

= ( ) + ( )= = ( )( )

2 12

2 12

5 3

− −

− − 22 2

2 2

2

2 3

5 3 5

8 5

+ ( )

= +( ) + ( )

= + ( )

− −

−

− 22

64 25

89 9 43

= +

= =

.

C

PBA

M Q

y

x

dP2 (x2, y2)

P1 (x1, y1) (x2, y1)[x2 –x1]

[y2 –y1]

y

x-3

-2Q

P3

5

UNIDAD 3


¿Cómo encuentras el punto medio, Pm, del segmento de recta AB?

Observa que las coordenadas del punto A son (1, 2) y las de B son (5, 6).

¿Cuáles son las coordenadas del punto medio Pm? Puedes ver que Pm(3, 4). ¿Cómo calculas la abscisa Xm de Pm? ¿Y cómo calculas la ordenada Ym de Pm?

Puedes ver que Xm = 3, es el punto medio de X A = 1 y XB = 5.

X m =+

=1 5

23

Además, Ym = 4, es el punto medio de YA = 2 y YB = 6

Y m =+

=2 6

24

En general, si los puntos A (X A, YA) y B (XB, YB) son los extremos del segmento rectilíneo AB, entonces el punto medio Pm del segmento AB es Pm(Xm, Ym), donde

XX X

YY Y

mA B

mA B=

+=

+y

2 2

Ejemplo 3

Dados los puntos P(– 3, 4) y Q(2, – 5), encuentra el punto medio del segmento PQ.

Solución:

XP = – 3; XQ = 2

Aplicando las fórmulas.

XX X

mP Q=

+=

− += −

2

3 22

12

YY Y

mP Q=

+=

+ ( )= −

2

4 52

12

−

Luego, Pm − −12

12

,

Encuentra el punto medio del segmento cuyos puntos extremos son:

a) R( – 3, 4) y S (7, – 4)b) T(5, – 2) y U ( – 4, 0)

Actividad 2

A(X A , YA )

PM(X m , Ym )

B(X B , YB )

y

x

B

A

Pm

y

x

Q

P

-3 2

4

-5

Pm

UNIDAD 3


Rosita dice que la línea recta L1 está más inclinada que L2 ¿Y tú qué opinas?

Para comenzar, diremos que la inclinación de una recta es la medida del ángulo que forma la recta con el eje x medido en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.

Como α es la inclinación de L1 y β es la inclinación de L2 y α > β, Rosita tiene razón:

L1 está más inclinada que L2 .

Éstas son las inclinaciones de algunas rectas.

Se le llama pendiente de una recta, a la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir:

Pendiente = tangente de θ Se denota: m = tan θ

Ejemplo 4

Calcular la pendiente de las siguientes rectas

L1

L2

α β

Pendiente de una recta

Inclinación de una recta

y

x45˚

y

x

135˚

y

x

150˚

y

x30˚

y

xθ

L

y

x60˚

y

x

120˚

y

x

30˚

UNIDAD 3


Solución:

Para calcular la pendiente de una recta, solamente encuentras mediante tu calculadora científica la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir:

a) m = tan 60º = 1.73

b) m = tan 120º = – 1.73

c) m = tan 30º = 0.58

Ejemplo 5

Dibuja dos rectas en las cuales no se cumple el hecho que “a mayor inclinación, mayor pendiente”.

Solución:

Las respectivas pendientes de las rectas son: tan 150º = – 0.58; tan 70º = 2.75

En este caso observas que la recta de mayor inclinación, posee menor pendiente, ya que tiene pendiente negativa.

Ejemplo 6

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos A( – 2, – 3) y B(3, 1).

m = tan θ

tancateto opuesto

cateto adyacenteθ =

Fíjate que el cateto opuesto es la línea punteada vertical. Es decir: Cateto opuesto = 1 – ( – 3) = 4.

El cateto adyacente es la línea punteada horizontal. Cateto adyacente = 3 – ( – 2) = 5.

tan .θ = =45

0 8 Por lo que m = 0.8

En general, si P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2) son dos puntos de una recta, su pendiente m se calcula mediante la siguiente expresión.

m = tan θ

mcateto opuesto

cateto adyacente=

Cateto opuesto = Y2 – Y1

Cateto adyacente X2 – X1

Luego, mY YX X

= 2 1

2 1

−−

x

y

x

y

70°

150°

y

x-2 -3

1

-3θ5

4

y

x

P1(x1 , y1 )

P2 (x 2 , y2 )

y2− y1

θ

θ

UNIDAD 3


Ejemplo 7

¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A( 2, – 5 ) y B( – 4, 7 )?

Solución:m

Y YX X

= = =( )

tan θ 2 1

2 1

7 54 2

−−

− −− −

== = −12

62

−

Observa que si restas de B hacia A obtienes el mismo resultado:

m =− −− −( )

= = −

5 7

2 4126

2−

De los ejemplos anteriores concluyes que toda recta inclinada a la izquierda, tiene una pendiente negativa. Si está inclinada hacia la derecha, su pendiente es positiva.

Ejemplo 8

Una recta tiene una pendiente de – 2. ¿Cuál es la inclinación de esa recta?

Solución:

m = tan θ = – 2, de modo que θ = tan–1( – 2). θ es la tangente inversa de – 2. En tu calculadora: tan –1( – 2) = – 63.4349º. Para obtener la inclinación es necesario sumar 180º, ya que ésta debe quedar entre 0º y 180º: θ = – 63.43º + 180º = 116.57º

Siempre que θ > 90º la pendiente es negativa.

Observa la inclinación de las rectas a la derecha. Puedes ver que la inclinación de L3 es 0º, mientras que L4 tiene una inclinación de 90º. Encuentra la pendiente de L3 y L4.

La pendiente de una recta horizontal es cero y de una vertical es indefinida (∞).

L3

L4

y

x

y

x

Rectas con pendiente negativa

Rectas con pendiente positiva

y

x

7

2

-5

-4

y

x

θ= 180˚ -63.43=116.57

-63.43

UNIDAD 3


Rectas paralelas y rectas perpendiculares

Si dos rectas son paralelas, tienen la misma inclinación, de modo que las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

1. Calcula la pendiente de una recta si:

a) Su inclinación es 45ºb) Pasa por ( – 8, – 4) y (5, 9)

2. Encuentra la inclinación de la recta del literal b) del numeral anterior.

3. Demuestra gráficamente y aplicando el concepto de pendiente, que los puntos

A( 8, 6 ), B( 4, 8 ) y C( 2, 4 ) son los vértices de un triángulo rectángulo.

Actividad 3Si dos rectas son perpendiculares, se cortan formando un ángulo de 90º, esto significa que sus inclinaciones deben diferir en 90º.

También significa que sus pendientes tienen signos diferentes.

Resumen

La distancia entre los puntos A(X1, Y1) y B(X2, Y2)

es X X Y Y2 12

2 12- -( ) + ( )

Se le llama ángulo de inclinación o inclinación de una recta, al ángulo que, medido en un sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, forma la recta con el eje x.

Pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación de ésta: m = tan θ .

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente (m1 = m2) y son perpendiculares si la pendiente de una es igual a la inversa de la pendiente de la otra con signo contrario. ( m1m2 = – 1 )

En general, si dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es –1.

Ejemplo 9

Determina la pendiente de la recta que pasa por A( 2, 3) y B( 7, 5), e investiga si es paralela a la recta que pasa por C( – 1, 4 ) y D( 4, 6 ).

Solución:

La pendiente de la recta que pasa por A y B es m AB =

−−

=5 37 2

25

La pendiente de la recta que pasa por C y D es mCD =

( )=

6 44 1

25

−− −

Como mAB = mCD, ambas rectas son paralelas.

Ejemplo 10

Averigua si la recta que determina los puntos P(3, 5) y Q( – 2, 3) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos D(2, – 1) y F( – 4, 14).

Solución:

mPQ =−

− −=

−−

=3 5

2 325

25

mDF =− ( )

− −=

−=

14 14 2

156

52

−−

mmDF

PQ

= −1

las rectas son perpendiculares.

Se cumple que 25

52

1−

= −

L1

L2

m1 = m2

m1 =

L1

L2

m21

L1

L2

m1 = m2

m1 =

L1

L2

m21


UNIDAD 3

Autocomprobación

Los griegos eran grandes geómetras. Sin embargo sus conocimientos de álgebra fueron limitados. Esto hizo que no pudieran resolver muchos problemas geométricos. Fue hasta

el año 1600 que Fermat y Descartes unieron ambas ramas de la matemática: la madura

geometría y la naciente álgebra. A dicha unión se le llamo geometría analítica o

geometría coordenada.

Uno de los ejes principales de la geometría analítica lo constituye el sistema de coordenadas

cartesianas, sistema coordenado o plano cartesiano.

La pendiente de una recta es – 2. La pendiente de otra recta perpendicular a ella es: a) 2

b) −12

c) −21

d) 12

4 La pendiente de una recta cuya inclinación

es 30º, es:a) tan 30ºb) 0.58c) 0.87d) a y b son correctas

2

La inclinación de una recta con pendiente igual a 1 es:a) 30ºb) 60ºc) 45ºd) 90º

3 La distancia entre los puntos A( – 3, 4 ) y B( 1, – 5)es:a) 1 3 5 42 2+( ) + ( )− −

b) 1 3 5 42 2+( ) ( )− − −

c) − − + + 3 1 4 52 2( ) ( )d) a y c son correctas

1

BASE DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA


Tercera Unidad

Motivación

Ahora, dibuja la recta con pendiente 23

y que pasa por el punto P( 4, 3 ).

Puedes ver que la recta L satisface las condiciones anteriores: pasa por el punto P( 4, 3 ) y su pendiente es

23

. ¿Cuántas rectas cumplen estas condiciones?

Puedes ver que en cada una de las tres rectas, tienes:

my yx x

= =2 1

2 1

23

--

¿Cuántas rectas con pendientes 23

existen? Observarás que existen un número infinito de

rectas con m =23

.

Indicadores de logro Construirás, utilizarás y explicarás la ecuación general de una recta,

valorando su utilidad. Construirás la gráfica de una recta a partir de cualquiera de sus formas,

valorando su utilidad con seguridad, orden y limpieza. Deducirás, aplicarás y explicarás la fórmula para calcular la distancia de un

punto a una recta con confianza.

Identificarás y seleccionarás con seguridad, los elementos que definen a una línea recta.

Construirás, utilizarás y explicarás la ecuación de una recta: punto pendiente, valorando su utilidad.

Construirás, utilizarás y explicarás la ecuación de una recta: pendiente intercepto, valorando su utilidad.

Construirás, utilizarás y explicarás la ecuación simétrica de una recta, valorando su utilidad.

Laura trabaja de Chef en un hotel, observa que en una receta de cocina la temperatura es de 120º Celsius y quiere convertirla a grados Farenheit ya que su cocina presenta esta escala.Los datos que ella ha conseguido son: 0º C equivalen a 32º F y 100ºC equivalen a 212º F.Ayudale a Laura a resolver la situación.

la línea recta

Lección4

L1

y

x

L2

L3 Δ x = 3

Δ y = 2

x2 - x1 = 3

y2 - y1 = 2

Δ y = 2Δ x = 3

y

x

L

P

4

3

UNIDAD 3


Ejemplo 1

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto ( – 5, 4 ), si su pendiente es 3

5.

Solución:

Sea el punto Q( – 5, 4 ) que pertenece a la recta; P(x, y) un punto cualquiera de la misma recta.

Recuerda:y yx x

m2 1

2 1

−−

=

La pendiente de la recta L es:y

x

−

=4

535− −( )

Despejando y – 4:

y – 4= 35

(x – ( – 5))

y – 4 = 35

(x + 5)

Sean los puntos de una recta L: Q(x1, y1), P(x, y) un

punto arbitrario de ella. Su pendiente es: y yx x −−

1

1de aquí obtienes la ecuación punto pendiente que se escribe así: y – y1 = m( x – x1).

Ejemplo 2

Determina la ecuación punto pendiente de la recta:

1. Que pasa por ( – 3, 4) y m = −25

Solución:

Como y y m x x− = −( )1 es la ecuación

Entonces y x− = − − −( )( )425

3

sustituyendo ( –3, 4 ) y m = −25

Luego, y x− = − +( )425

3 es la ecuación de la

línea recta.

2. Que pasa por (2, – 6) y m = – 1

Solución:y y m x x

y xy

− = −( )− −( ) = − −( )

+ = −

1 1

6 1 2

6 xxy

y xSi despejas " " obtienes:

−( )

= − + −

2

2 664y x= − −

El ejemplo anterior te muestra que si conoces un punto y la pendiente de una recta, ésta queda definida.

y

x

QL

-5

4P(x, y)

-10

y

x2

-6

UNIDAD 3


Ejemplo 3

En cada una de las siguientes rectas, determina un punto y el valor de su pendiente.

y – 3 = 2 (x – 4)

Solución:

Si y – y1 = m (x – x1), entonces m = 2 es la pendiente; ( 4, 3 ) es un punto de ella.

y + 3 = – 2 ( x + 5 )

Solución:

m = – 2 es la pendiente y ( – 5, – 3 ) es un punto de la recta.

a) Copia y completa el cuadro siguiente:

Actividad 1

Ejemplo 4

Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( – 3, 2) y B(4, – 1)

Solución:

Con ambos puntos determinamos su pendiente.

my yx x

=−−

=− −− −

=− −2 1

2 1

1 24 3

1 2

( ) 44 3

37 +

= −

Con A: y x− = − +( )237

3

Ecuación de la recta Punto dela recta

Pendiente de m

y x− = +( )523

4

( –2, 1 ) −12

y + 2 = –( x + 3 )( 0, 3 ) 1

y – 4 = x

Ahora, ya puedes ayudar a Laura a resolver la situación presentada al inicio de esta lección.

Con B: y x+ = − −( )137

4

Si tienes n puntos de una recta, puedes formar n ecuaciones de ella, todas son equivalentes. Es decir representan a la misma recta.

¿Cómo demuestras que las ecuaciones anteriores son equivalentes? Una forma es despejar “y” en cada ecuación. De esta forma llegas a expresiones iguales para “y”. ¡Hazlo en tu cuaderno!

Tomando los puntos A(0, 32) y B(100, 212) con los grados Celsius en el eje x y los Farenheit en el eje y.

Se tiene que:

my yx x

=−−

=−−

= =2 1

2 1

212 32100 0

180100

95

Luego: y x

y x

− =

= +

329595

32

Así, para 120º Celsius y = ( ) + =95

120 32 248

Es decir, 120º Celsius equivalen a 248º Farenheit.

F

C

(0,32)

212

100

(100, 212)

32

UNIDAD 3


Ecuación pendiente intersecto de la línea recta

1. Encuentra la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por:

a) P(2, –3) y Q( – 1, – 4)b) R( –1, – 4) y S( 3, – 4)

2. ¿Cómo compruebas si un punto determinado pertenece a una recta cuya ecuación es conocida? Comprueba que el punto (1, –7) pertenece a la recta y –3 = –2(x + 4). Para ello, sustituyes la variable x por 1, y la variable y por –7. La igualdad que resulte debe ser cierta. En caso contrario, el punto no pertenece a la recta.

y

x0

-2

3

El valor 3 te da el intersecto de la recta con el eje y.

y x= +32

3

Pendiente Intersecto en y

El valor de b; es aquél en que la recta corta al eje y se le llama ordenada en el origen.

Ejemplo 5

Halla la ecuación de la recta si su intersecto en y u ordenada en el origen es b = 4 y su pendiente es

m = −35

Solución:

Sustituye los valores de m y b en la ecuación y = mx + b.

y x= − +35

4 es la ecuación de la recta.¿Qué elementos conoces de esta recta? ¿Cuál es su ecuación punto pendiente?

Observa que dos puntos de la recta son

A( 0, 3 ) y B( – 2, 0). Tienes:

m =−

− −=

−−

=0 3

2 03

232

Luego, con el punto A:

y x− = −( )332

0

y x− =332

Efectuas x – 0 = x

y x= +32

3

Despejas y

Hazlo tú con el punto B.

Observa esta última ecuación. ¿Qué elementos de la recta contiene?

Observa que 32

es la pendiente de la recta.

Actividad2

UNIDAD 3


Ejemplo 6

Encuentra la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 2x + y – 5 = 0.

Solución:

Primero despeja “y” de la ecuación dada:

2x + y – 5 = 0

y = – 2x + 5 Ecuación pendiente intersecto

Luego, m = – 2 y b = 5

Ejemplo 7

Encuentra la ecuación pendiente intersecto de la recta

que pasa por (2, – 3) si m =23

Solución:

La ecuación punto pendiente es: y x+ = −( )323

2

Ahora en tu cuaderno despeja la variable y.

Al hacerlo llegas a la ecuación y x= −23

133

1. Escribe la ecuación pendiente intersecto de la línea recta en cada caso.

a) m = – 2, b = 4b) m =

12

, b = – 3

c) m = −34

, b = 2

2. Determina el valor de la pendiente y el intersecto en y en cada caso.

a) y = 2x – 5b) y x= − +

34

2

c) y x= −12

5

Actividad 3

Ecuación general de la línea recta

La siguiente expresión muestra la ecuación punto pendiente de una recta.

y x− = −( )325

4 multiplicas por 5 para eliminar el denominador

5y – 15 = 2(x – 4) multiplicas para eliminar los paréntesis

5y – 15 = 2x – 8 traspones términos para igualar a cero

– 2x + 5y – 15 + 8 = 0 reduces términos semejantes

– 2x + 5y – 7 = 0 multiplicas por –1 para que el primer término sea positivo

2x – 5y + 7 = 0 Ecuación general de la línea recta.

Esta última ecuación de la línea recta, recibe el nombre de ecuación general. Puedes ver que: La ecuacioón general de la línea recta es de la forma Ax + By + C = 0.

UNIDAD 3


Ahora, observa las ecuaciones:

y x− = −( )325

4 Ecuación punto pendiente.

2x – 5y + 7 = 0 Ecuación general.

Son dos formas de definir la misma recta. Supón ahora que estamos interesados en determinar el valor de su pendiente. En la primera de las ecuaciones por simple

inspección hallas que m =25

Para encontrarla en 2x – 5y + 7 = 0, tendremos:

m == −−25

25

Concluyes entonces que en la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0, para determinar la pendiente,

lo haces así: mAB

= −

Ejemplo 8

Determina la ecuación general de la recta que pasa por

( – 2, 6) si m =34

Solución:

Encuentras la ecuación punto pendiente.

y x− = +( )634

2 multiplicas por 4

4y – 24 = 3(x + 2) eliminas paréntesis

4y – 24 = 3x + 6 traspones términos

– 3x + 4y – 24 – 6 = 0 reduces términos semejantes

– 3x + 4y – 30 = 0 multiplicas por – 1

3x – 4y + 30 = 0 Ecuación general de la línea recta

En la ecuación general de la recta puedes observar que la

pendiente m es igual a −AB

, o sea, m = −−

=34

34

UNIDAD 3


Calcula la distancia del punto R(2, 1) a la recta2x – y + 5 = 0.

Para encontrar la distancia del punto P(r, s) a la recta Ax + By + C = 0, utilizas la fórmula siguiente:

dAr Bs C

A B=

+ ++2 2

Solución:

A = 2, B = –1 y C = 5. Además r = 2 y s = 1, sustituyes estos valores en la fórmula:

dAr Bs C

A B=

+ ++

=( ) + −( )( ) +

+ −(2 2 2

2 2 1 1 5

2 1))= =

2

85

3 58.

Grafica en tu cuaderno el punto y la recta y luego mide la distancia entre ellos.

Compara tu respuesta con la anterior.

1. Determina la ecuación general de la recta:

a) Si m = –1 y pasa por ( – 2, 3 ) b) Si m = 1 y su ordenada en el origen es –2

2. Calcula la distancia del punto S(–3, 2) a la recta 3x – 4y + 2 = 0

Actividad 4

Resumen

Ecuaciones de la línea recta:

Ecuación punto pendiente y – y1 = m (x – x1)

Ecuación pendiente intersecto y = mx + b

Ecuación general Ax + By + C = 0

Una línea recta queda definida cuando conoces un punto y su pendiente, o su pendiente y su intersecto con el eje y (ordenada en el origen). Las cuales puedes pasarlas a la forma Ax + By + C = 0.

Para calcular la distancia del punto R(r, s) a la recta Ax + By + C = 0 aplicas la fórmula.

dAr Bs C

A B=

+ ++2 2

Distancia de un punto a una recta

y

x

(r, s)d


UNIDAD 3

Autocomprobación

El concepto de sistema coordenado que caracteriza a la geometría analítica fue aplicado

por primera vez en 1637 por el matemático y filósofo francés René Descartes. Por ello,

la geometría analítica se llama también geometría cartesiana. Por el papel unificador de la geometría analítica en diversas ramas de la matemática, el aporte de Descartes

representa uno de los pilares del desarrollo de la matemática. En el inicio, las dos ramas de la matemática que fueron objeto de esta

unificación, fueron el álgebra, por su nivel de representación abstracta y la

geometría euclídea.

La pendiente de la recta y = – 2x + 5 es:a) 2b) –5c) 5d) –2

4 El número de rectas que pasan por el punto ( –3, 4 ) y pendiente 2 es:a) 1b) 4c) infinitod) 2

2

La ecuación de la recta cuya pendiente es -1 y que pasa por ( 3, –4 ) es:a) y + 4 = –1( x + 3 )b) y + 4 = –1( x – 3 )c) y – 3 = –1( x + 4 )d) y – 4 = –1( x + 3 )

3 El número de rectas con pendiente -1 es igual a:a) 1b) 10c) infinitod) 0

1

RENÉ DESCARTES

René Descartes


Tercera Unidad

Motivación

La circunferencia pertenece a un conjunto de figuras llamadas cónicas. Éstas reciben dicho nombre debido a que resultan al efectuar determinados cortes en el cono. Por ejemplo, ¿qué figura resulta al hacer un corte paralelo a la base?

Indicadores de logro Construirás, con seguridad y esmero, la ecuación general de la

circunferencia utilizando el centro, el radio y un punto. Resolverás problemas aplicando con interés la ecuación ordinaria y

general de la circunferencia.

Identificarás los elementos de una circunferencia, con interés en su construcción.

Construirás la ecuación ordinaria de la circunferencia, con seguridad. Determinarás, con interés y seguridad, la ecuación ordinaria de la

circunferencia utilizando, el centro, el radio y un punto.

La organización de planta circular en la arquitectura clásica se encuentra presente en templos, circos y anfiteatros. Esta predilección por su uso para espacios públicos que congregan grandes multitudes continúa debido, entre otros aspectos, a la equisdistancia de las visuales que se generan al interior de la forma circular. Sin embargo, hoy día las formas y plantas circulares se encuentran con frecuencia en todo tipo de edificaciones tanto de uso privado como público.

¿Cuáles construcciones en tu comunidad presentan formas circulares?

la circunferencia

Lección5

UNIDAD 3


Ejemplo 1

¿Cuál es el radio de las siguientes circunferencias?

a) x2 + y2 = 16 b) x2 + y2 = 49 c) x2 + y2 = 25

Solución:

a) Como x2 + y2 = 16, r2 =16 y r = 4; el radio es 4

b) Como x2 + y2 = 49, r2 = 49 y r = 7; el radio es 7

c) Como x2 + y2 = 25, r2 = 25 y r = 5; el radio es 5

Ecuación ordinaria de la circunferencia¿Cuál es la ecuación de la circunferencia?

¿Cómo es la distancia que va desde el centro de la circunferencia a cualquiera de sus puntos?

¿Cómo se le llama a esa distancia?

Recordarás que esa distancia es constante y se llama radio, al cual denotas por r. En este caso, r = 3.

Ecuación canónica de la circunferencia

Punto de Apoyo

Recuerda que: La distancia entre el punto (x, y) y

(a, b) es: ( ) ( )x a y b− + −2 2

Como OP = r = 3, entonces, al aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos O(0, 0) y P(x, y), tienes:

( - ) ( - )x y0 0 32 2+ =

x y2 2 3+ = ya que x – 0 = x; y – 0 = y

x y2 22

23+( ) = Elevando al cuadrado y efectuando tienes x2 + y2 = 9

Esta expresión se llama ecuación canónica de la circunferencia con r = 3.

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a cinco? En este caso, ésta es x2 + y2 = 52; o sea, x2 + y2 = 25.

En general, si una circunferencia de radio r tiene su centro en O(0, 0), su ecuación se llama canónica, y se obtiene a partir de la distancia entre dos puntos (0, 0); (x, y) para lo cual obtienes:

r x y= +( - ) ( - )0 02 2 La distancia es r

r x y= +2 2 Efectuando las restas

r x y2 2 2= + Elevando al cuadrado

x2 + y2 = r2 Ecuación Canónica de la Circunferencia

Observa que en este caso, su centro C (3, 4) no coincide con el origen O(0, 0).

Como en el caso de la forma canónica de la circunferencia, vamos a calcular la distancia CP = r, donde C es su centro y P(x, y) es un punto variable de ella. Tienes:

( ) ( )x y − −3 4 52 2+ = CP = r = 5

(x – 3)2 + (y – 4)2= 52 Elevado al cuadrado(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 Efectuado 52 = 25

0

r =3

x

y

P(x,y)

x

y

3

4C

UNIDAD 3


Por lo tanto la ecuación de la circunferencia es

(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25

Ejemplo 2

Encuentra la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C(1, 2) y radio r = 3

Solución:

( - ) ( - )x y 1 2 32 2+ = CP = r = 3

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 32 Elevando al cuadrado

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 9 Efectuando 32 = 9

En general, en una circunferencia de radio r y centro C ( h, k ), su ecuación ordinaria es: ( x – h )2 + (y – k)2 = r2

Ejemplo 3

Dibuja la circunferencia con centro en ( – 2, 4 ) y radio 7 y halla su ecuación.

Solución:

y

x-10 -8 -6 -4 -2 2 4

10

8

4

2

-2

-4

6

(-2, 4)

r = 7

(x, y)

UNIDAD 3


Solución:

El radio r de la circunferencia es CP. Luego, por la

fórmula de la distancia entre dos puntos:

r = + +( ) ( )5 1 2 42 2 − −

r = + = =36 36 72 6 2

La ecuación es:

x y−( ) + +( ) = ( )5 2 6 22 2 2

(x – 5)2 + (y + 2)2 = 72, ya que 6 2 722 2( ) = ( )

La ecuación de la circunferencia es: (x – 5)2 + (y + 2)2 = 72

Ejemplo 5

Encuentra la ecuación de la circunferencia tal que uno de sus diámetros es el segmento que une los puntos Q(5, – 1) y P(– 3, 7).

Solución:

y

x

-1

5

Q

C

-3

P 7

Como P( – 3, 7 ) y Q( 5, – 1 ) son los extremos de un diámetro, las coordenadas del centro C, por la fórmula del punto medio que ya estudiaste, son:

h =+

=5 3

21

( )− k =

+=

7 12

3( )−

Luego, el centro es C( 1, 3 )

El radio es la distancia entre el centro C y uno de los puntos P o Q. Luego, calculas la distancia CQ = r:

r = + =( ) ( )5 1 1 3 322 2− − −

La ecuación es ( x – 1 )2 + ( y – 3 )2 = 32

Nota que en la ecuación (x – h)2 + (y – k)2 = r 2 las coordenadas del centro son (h, k): En la ecuación aparecen con signo contrario.

Debido a que el centro está en ( – 2, 4 ), tienes h = – 2 y k = 4, y como el radio es 7, entonces r = 7.Por tanto,

( x – h )2 + ( y – k )2 = r2

[x –( – 2 )]2 + ( y – 4 )2 = 72

( x + 2 )2 + ( y – 4)2 = 49

Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la circunferencia de centro C( 5, – 2 ) y que pase por el punto ( – 1, 4 ).

y

x

-2

5

4

-1

C

P

UNIDAD 3


1. Dibuja las siguientes circunferencias con centro en el origen y encuentra su ecuación si:

a) r = 1b) r = 2c) r = 3

2. Dibuja las siguientes circunferencias con centro y radio dados y encuentra su ecuación ordinaria.

a) C( 3, – 1 ), r = 2b) C( – 2, 2 ), r = 3c) C( 2, 6 ), r = 4

3. Encuentra las coordenadas del centro y el valor del radio de las siguientes circunferencias:

a) ( x – 3 )2 + ( y + 4)2 = 9b) ( x – 7 )2 + ( y + 5)2 = 25c) ( x + 3 )2 + y2 = 121

Actividad 1Ecuación general de la circunferencia

Ejemplo 6

Encuentra la ecuación general de la circunferencia ( x – 3 )2 + ( y + 5 )2 = 7

Solución:

( x – 3 )2 + ( y + 5 )2 = 7 ecuación ordinaria

x2 – 6x + 9 + y2 + 10y + 25 = 7 desarrollando binomios al cuadrado

x2 – 6x + 9 + y2 + 10y + 25 – 7 = 0 transponiendo a 7

x2 – 6x + y2 + 10y + 9 + 25 – 7 = 0 ordenando términos

x2 – 6x + y2 + 10y + 27 = 0 reduciendo términos semejantes

x2 + y2 – 6x + 10y + 27 = 0

Esta última expresión recibe el nombre de ecuación general de la circunferencia.

Si desarrollas la forma general de la ecuación ordinaria de la circunferencia obtienes:

( x – h )2 + ( y – k )2 = r2

x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2

x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 – r2= 0

Debido a que h2, k2 y r2 son constantes, hacemos h2 + k2 – r2 = F.

Si haces que las constantes – 2h = D; – 2k = E, entonces la ecuación general de la circunferencia se escribe así: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

¿Cuáles son los valores de D, E y F en la ecuación anterior?

UNIDAD 3


Solución

Para convertir la ecuación a la forma ordinaria, necesitas completar el trinomio cuadrado perfecto. Primero, escribes la constante en el miembro derecho y agrupas los términos que contienen a x; luego, agrupas los que contienen a y.

Los símbolos O y F te indicarán las constantes que faltan y que debes determinar para completar el trinomio cuadrado perfecto.

x2 + y2 + 4x – 8y + 4 = 0 ecuación

(x2 + 4x + O) + (y2 – 8y + F) = – 4 + O + Fagrupando términos en x y términos en y y transponiendo a 4.

El coeficiente del término x es 4. Si le sacas mitad y lo elevas al cuadrado, puedes sumar el resultado, 4, a ambos miembros de la ecuación. De manera semejante, la mitad de – 8 es – 4, y también sumas ( – 4 )2 = 16 a ambos miembros de la ecuación. Por lo tanto, ésta se convierte en:

( x2 + 4x + 4 ) + ( y2 – 8y + 16 ) = –4 + 4 + 16Haz completado el trinomio cuadrado perfecto.

( x + 2 )2 + ( y – 4 )2 = 16 Factorizando trinomios cuadrado perfectos y reduciendo términos semejantes.

Luego, como 16 = 42, el radio es 4 y el centro ( –2, 4 )

Ejemplo 8

Escribe la ecuación 4x2 + 4y2 – 8x – 24y – 9 = 0 en la forma ordinaria y determina el centro y el radio.

Solución:

De nuevo completas el trinomio cuadrado perfecto. Primero pasas la constante al miembro derecho y agrupas los términos en x, y en y.

4x2 – 8x + 4y2 – 24y = 9

Luego, factorizas el 4 de los términos en x, y de los términos en y.

4( x2 – 2x ) + 4( y2 – 6y ) = 9

Ahora, utilizamos un para indicar las constantes que faltan. Observa que al miembro derecho de la ecuación se añadieron 4 para mostrar donde es necesario escribir las constantes.

4(x2 – 2x + ) + 4( y2 – 6y + ) = 9 + 4 +4

4( x2 – 2x + 1 ) + 4( y2 – 6y + 9 ) = 9 + 4(1) + 4(9)

4( x –1 )2 + 4( y – 3 )2 = 49

Factorizas los trinomios cuadrados perfectos.

x y−( ) + −( ) =1 3494

2 2 divides entre 4.

El centro es (1, 3) y el radio es r = =494

72

Aunque hubiera sido posible empezar dividiendo entre 4 toda la ecuación esperas hasta el final para no trabajar con tantas fracciones. El procedimiento anterior se utilizará también en las elipses e hipérbolas que estudiarás en las siguientes lecciones.

Determina las coordenadas del centro C y el radio de las siguientes circunferencias.

a) x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0b) x2 + y2 – 6x + 2y – 26 = 0c) x2 + y2 – 10x + 2y + 22 = 0

d) x2 + y2 – x + 8y + 614

= 0

Actividad 2

Ejemplo 7

Si x2 + y2 + 4x – 8y + 4 = 0, determina la ecuación ordinaria de la circunferencia y encuentra el centro y el radio.

UNIDAD 3


Problemas que consideran la tangente de la circunferencia

a) Dibuja y encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto P( – 4,3 ) y que es tangente al eje y.

Actividad 3

Resumen

La forma más simple de la circunferencia es cuando su centro coincide con el origen O(0,0) del sistema de coordenadas cartesianas. En este caso, su ecuación es x2 + y2 = r2, la cual se llama canónica. Si el centro de la circunferencia es C( h, k ) y éste no coincide con el origen, su ecuación es de la forma ( x – h )2 + (y – k)2 = r2, y se llama ecuación ordinaria. La ecuación general de la circunferencia es de la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, donde D, E y F son constantes, no todas diferentes de cero. La ecuación ordinaria puede convertirse a la ecuación general, y viceversa.

Llamamos tangente de una circunferencia a la recta que la toca en un sólo punto. Una propiedad de la tangente es que ésta es perpendicular al radio en el punto de tangente, como lo muestra la ilustración de la derecha.

Ejemplo 9

Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto P( – 2, 3 ), si es tangente a la recta 20x – 21y – 42 = 0.

Solución:

Como el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia, entonces su longitud está dada por la distancia entre la tangente y el centro, como se aprecia en el diagrama anterior. Luego:

r

r

=− + − −

+ −

=− − −

20 2 21 3 42

20 21

40 63 428

2 2

( ) ( )( )

( )

44114529

5= =

Entonces, la ecuación de la circunferencia es: x y+( ) + −( ) =2 3 252 2

x

y

3

-2

C(-2,3) 20x−21 y−42= 0


UNIDAD 3

Autocomprobación

La tangente a una circunferencia es perpendicular en el punto de tangencia a:a) El radiob) Su curvatura c) Su centrod) Ninguna de las anteriores

4 El radio de la circunferencia ( x – 3 )2 + ( x + 5 )2 = 16 es:a) 16b) 8c) 2d) 4

2

Las coordenadas del centro de la circunferencia del numeral anterior es:a) ( 3, 5 )b) ( 3, – 5 )c) ( – 3, 5 )d) ( 4, 16 )

3 La ecuación de la circunferencia de radio 1 y centro en el origen es:a) x2 + y2 = 0b) x + y = 1c) x2 + y2 = 1d) todas las anteriores

1

Al desarmar el motor de un automóvil o de un reloj se hallan una gran cantidad de piezas de forma circular. El conocimiento de la utilidad del

círculo por el hombre primitivo fue un factor fundamental en el desarrollo de la humanidad.

Además, la naturaleza ofrece infinidad de ejemplos de circunferencias y círculos. Así, la

sección transversal de la tierra es circular, como también los tallos de las plantas. Por ejemplo, la nervadura de las haces fibro leñosos en el reverso de la hoja circular del nenúfar gigante

del Amazonas es circular y forma una gran variedad de arcos y ángulos.

4. a.

APLICANDO LA CIRCUNFERENCIA




Proyecto

El mecánico Francisco cobra 96 dólares por un trabajo que realiza en 2 horas y 135 dólares si termina en 5 h.

a) Ayúdale a encontrar una ecuación lineal que describa cuánto debe cobrar Francisco por un trabajo que realiza en x horas.

Empieza por considerar la información dada como puntos de una recta. Cada punto lo representas como un par ordenado de la forma (x, C), donde x representa el número de horas en que se termina el trabajo y C la cantidad que cobra el mecánico por ese trabajo .Con los puntos formados construyes la ecuación lineal pedida.

b) Ahora utiliza esa ecuación para construir una tabla que proporcione lo que cobra el mecánico a partir de 0.5 de hora hasta 6 horas variando de media hora en media hora.

UNIDAD 3


Recursos

BARNETT, Raymond, Álgebra y Trigonometría. Editorial Mc Graw Hill, tercera edición, Colombia, 1990

PETERSON, John, Matemáticas Básicas. Editorial CECSA, primera edición, México, 1998

SPIEGEL, Murray, Estadística. Editorial McGraw-Hill, Serie Schaum, segunda edición, México, 1996

JOHNSON, Robert, Estadística Elemental. Grupo Editorial Iberoamericana, quinta edición, México, 1991

LEHMANN, Charles, Geometría Analítica. Editorial Limusa, vigésima tercera reimpresión, México, 1996

http://mx.geocities.com/francosta11/estadistica/dnormal.html

Documents

Distribución normal, Geometría analítica, solución De … · aplicando los teoremas del seno y del coseno, valorando la opinión de los demás. Utilizarás con criticidad la línea