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DISEÑO DE LIBRO - TALLER PARA LA
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE FUNCIONES REALES EN EL GRADO 11
DORIELA NOREYDA FLÓREZ MENA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
MEDELLÍN
2014
DISEÑO DE LIBRO - TALLER PARA LA
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE FUNCIONES REALES EN EL GRADO 11
DORIELA NOREYDA FLÓREZ MENA
TRABAJO FINAL PARA OPTAR AL TÍTULO DE
MAGISTER EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
DIRECTOR:
CARLOS JULIO ECHAVARRÍA HINCAPIÉ
MATEMÁTICO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
MEDELLÍN
2014
AGRADECIMIENTOS
Primero quiero agradecer a Dios, por la maravillosa oportunidad de permitir realizar
y culminar este proyecto.
A mi familia por estar siempre apoyándome en todo momento, en especial a mi
madre por ser siempre incondicional.
A mis profesores por permitirme cada día seguir en este mundo hermoso de la
academia y generar la inquietud para buscar nuevos saberes.
Al profesor Carlos Julio Echavarría, por la confianza que depositó en mí y por
permitir que cada una de mis ideas se hiciera realidad.
A mis amigos, por el tiempo que me brindaron para leer el trabajo, proponer
actividades, discutir y hacer sugerencias, en especial a Marcela Velásquez.
RESUMEN
El siguiente trabajo es un diseño de un libro - taller para la enseñanza y aprendizaje
de funciones reales en el grado 11. Se propone 4 unidades, cada una de las cuales
presenta una actividad al inicio, un desarrollo temático, una secuencia de
actividades y una actividad final. Cada una de las actividades fueron diseñadas con
el fin de que el estudiante practique y desarrolle cada contenido de acuerdo a sus
capacidades y su ritmo, valorando siempre el trabajo entre compañeros y la
capacidad que cada uno tiene para enfrentarse a problemas matemáticos y
procedimentales. Los docentes verán en este trabajo una herramienta sólida,
dinámica, incluyente y de aula para aplicar y utilizar en sus clases, no sólo en
bachillerato si no en los primeros semestres de universidades.
Palabras claves: números reales, funciones, clasificación de funciones, álgebra de
funciones y transformación de funciones.
ABSTRACT
The next job is to design a book - workshop for the teaching and learning of real
functions in grade 11. 4 units are proposed, each of which has an activity at the
beginning, a thematic development, a sequence of activities and a final activity. Each
of the activities were designed to enable the student to practice and develop every
content according to their skills and pace, always valuing the work among peers and
the ability that everyone has to deal with mathematical and procedural problems.
Teachers will see in this paper a robust, dynamic and inclusive classroom to
implement and use in their classrooms tool not only in high school if not in the first
semester of university.
Key words: real numbers, functions, classification of functions, algebra of functions,
transformation of functions.
IX
ÍNDICE
1. RESUMEN……………………………………………………………………………..IX
2. INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………… 1
3. MARCO TEÓRICO……………………………...……………………………………..2
Teoría de las situaciones didácticas……………………………………………2
Secuencias didácticas…………………………………………….…………5
Guías didácticas………………………………………………….…………..6
4. Mapa: Ruta temática del libro - taller……………………………………………...7
5. UNIDAD N°1: NÚMEROS REALES……………………………………………...….9
Actividad introductoria N°1: historia de los números racionales e
irracionales………………………………………………………………………….10
Tema 1: los números reales……………………………………………………….12
Actividad N°1: números reales………………………………..……………13
Tema 2: desigualdades en los reales……………………………………..…….15
Tema 3: intervalo………………………………………………………….………...15
Tema 4: inecuaciones……………………………………………………….……..16
Actividad N°2: desigualdades, intervalos e inecuaciones……………….17
Tema 5: valor absoluto…………………………………………………………….28
Actividad N°3: valor absoluto………………………………………………...29
Actividad final N°1: números enteros……………………………………….32
Valora tu experiencia de la unidad N°1………………………………..……….33
6. UNIDAD N°2: FUNCIONES………………………………………………...………34
Actividad introductoria N°2: funciones……………………………….………..35
Tema 6: pareja ordenada…………………………………………………...…….36
Tema 7: producto cartesiano…………………………………………...36
Actividad N°4: pareja ordenada y producto cartesiano…………………..……..…37
Tema 8: relación………………………………………………………………….…38
Actividad N°5: relación…………………………………………………….….39
Tema 9: función…………………………………………………………….……….41
Tema 10: representación de una función…………………………………….…42
Actividad N°7: función…………………………………………………….…..43
Tema 11: dominio y rango de una función……………………………..……...49
Actividad N° 6: dominio y rango……………………………………….….….50
Actividad final N°2: funciones……………………………………..……….…55
Valora tu experiencia de la unidad N°2……………………………………….…57
7. UNIDAD N° 3: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES…………………….…….…..58
Actividad introductoria N°3: clasificación de funciones……………..……….…59
Tema 12: función biyectiva…………………………………………………….…..61
Actividad N°9: función biyectiva……………………………………………..62
Tema 13: función par, impar, creciente y decreciente……………………….…64
Actividad N°10: función par, impar, creciente y decreciente………..…..65
Tema 14: clasificación de funciones………………………………….…….…….70
Tema 15: asíntotas en una función…………………………………….…………73
Actividad N°12: clasificación de funciones…………………………………74
Actividad final N°3: clasificación de funciones…………………………….86
Valora tu experiencia de la unidad N°3……………………………….…………..88
8. UNIDAD N° 4: ALGEBRA Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES…………89
Actividad introductoria N°4: una fórmula de la vida……………………….91
Tema 16: álgebra de funciones…………………………………………………...92
Actividad N°13: algebra de funciones……………………………...………93
Tema 17: trasformación de funciones cuadráticas……………………….……..97
Actividad N° 14: transformación de funciones…………………………….99
Actividad N°14: transformación de funciones……………………..…….100
Tema 18: función inversa………………………………………………………..103
Actividad N° 15: funciones inversas……………………………..………104
Actividad final N°:4 algebra y transformación de funciones……….…106
Valora tu experiencia de la unidad N°4………………………………...………108
9. CONCLUSIÓN………………………………………………………………….……109
10. BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………110
1
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo tiene la finalidad de ayudar a estudiantes a reforzar los
conceptos sobre funciones reales, los cuales son de gran importancia en el estudio
del cálculo universitario. Presenta diferentes secuencias de actividades que le
permitirán ir comprendiendo y construyendo los conceptos al ritmo de cada uno y al
mismo tiempo involucrándolos en las diferentes actividades de tal forma que se
sienta partícipe y autónomo en su proceso de aprendizaje.
Este libro - taller es una recopilación de ejercicios, procedimientos y situaciones
problemas que sean han venido desarrollando durante los diferentes cursos de
matemáticas en el grado once. Por tanto se permite que el estudiante se enfrente a
situaciones cotidianas en un contexto donde necesitará no sólo del conocimiento
matemático sino de un conocimiento cultural ya que muchas de las actividades
están relacionadas con situaciones cotidianas.
Teniendo en cuenta la importancia del aprendizaje de funciones reales, en cada una
de las unidades se estudiaran deferentes actividades que encaminaran al
estudiante a la compresión de los conceptos y buscando que cada uno muestre sus
avances. De esta forma, ésta guía contempla cuatro unidades: los números reales,
función, clasificación de funciones y álgebra y transformación de funciones.
Para cada unidad se diseña una actividad inicial, un desarrollo temático, una
secuencia de actividades y una actividad final, los cuales ubican al estudiante en la
historia y aplicación de los conceptos a trabajar permitiendo identificar saberes,
preconceptos y experiencias que han adquirido a través de tu formación,
permitiendo que el estudiante desarrolle situaciones específicas de forma individual
o grupal. Al final de cada unidad el estudiante escribirá su experiencia de cada
unidad con el fin de mejorar en los procesos de enseñanza y aprendizaje. De esta
forma en el libro – taller se proponen los componentes procedimental, conceptual y
actitudinal que permitirán formar personas consientes de un saber hacer, saber ser
y saber conocer.
2
MARCO TEÓRICO
Teorías de las situaciones didácticas
La teoría de las situaciones didácticas de Guy Brousseau se desarrolló en la escuela
francesa de Didáctica de la Matemática a mediados de los años 70. Ésta propuesta
surge de “la preocupación de un grupo de investigadores por descubrir e interpretar
los fenómenos y procesos ligados a la adquisición y a la transmisión del
conocimiento matemático”1
La teoría de las situaciones didácticas es una teoría de enseñanza y aprendizaje
que busca los fundamentos de los conocimientos matemáticos, considerando que
los conocimientos no se construyen de forma espontánea. Esta teoría ayuda al
trabajo de la práctica docente a través de una secuencia didáctica la cual se
construye con una intención clara tanto para el docente como para el estudiante.
Las situaciones didácticas son una herramienta, Guy Brousseau la plantea cómo
“(...) La descripción sistemática de las situaciones didácticas es un medio más
directo para discutir con los maestros acerca de lo que hacen o podrían hacer, y
para considerar cómo éstos podrían tomar en cuenta los resultados de las
investigaciones en otros campos. La teoría de las situaciones aparece entonces
como un medio privilegiado, no solamente para comprender lo que hacen los
profesores y los alumnos, sino también para producir problemas o ejercicios
adaptados a los saberes y a los alumnos y para producir finalmente un medio de
comunicación entre los investigadores y los profesores.”
1 www.crecerysonreir.org/docs/matematicas_teorico.pdf. Conceptos básicos de la teoría de situaciones didácticas de Mabel
Panizza. Consultado el 5 de abril de 2013.
3
Las situaciones en ésta teoría toman gran valor ya que se ven reflejado en la
construcción del conocimiento, según Guy Brousseau (1999)
“Hemos llamado ´situación` a un modelo de interacción de un sujeto con cierto
medio que determina a un conocimiento dado. Algunas de estas “situaciones”
requieren de la adquisición ´anterior` de todos los conocimientos y esquemas
necesarios, pero hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por
sí mismo un conocimiento nuevo en un proceso “genético”.”
Esta teoría es de aprendizaje porque se diseñó para que el estudiante adquiera un
saber determinado, como lo plantea Brousseau (1984)
“Un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o explícitamente entre un
alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente
instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con
la finalidad de lograr que los alumnos se apropien de un saber constituido o en vías
de constitución.”
Lo anterior, le otorga al estudiante un papel protagónico en la construcción de sus
saberes, organización de la enseñanza y de su aprendizaje, de ésta forma, pueden
resolver situaciones problemáticas sin que el docente intervenga. Esto, ayuda a
lograr una de las intenciones de las situaciones didácticas, que el estudiante
aprenda algo.
En ésta teoría didáctica se distinguen tres situaciones las cuales apuntan al trabajo
del aula con los estudiantes. Estas corresponden a situaciones, acción de
formulación y validación que hacen referencia a la interacción con el medio, la
comunicación de los conceptos y la socialización de los mismos. Esto se puede
lograr en forma individual o grupal.
4
“El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de
dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Este
saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que
son la prueba del aprendizaje.”
Las situaciones didácticas llevan a que los estudiantes actúen, reflexionen,
interactúen, comuniquen, propongan y modifiquen conocimientos haciendo posible
el aprendizaje. De ésta forma se busca que los estudiantes estén en capacidad de
formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad;
comunicar, razonar, formular, ejercitar procedimientos y algoritmos, además puedan
a partir de las situaciones problemáticas anticipar sus respuestas, construir y aplicar
esquemas, verificar lo que hacen, buscar diferentes alternativas para la solución de
la situación, plantear o modificar preguntas.
El material a utilizar como medio de interacción entre docentes y estudiantes son
las guías didácticas ya que son herramientas mediadoras en el proceso de
enseñanza - aprendizaje. Además sirven de apoyo y orientación para el trabajo
individual y colaborativo en el aula con los estudiantes, permitiendo que en este se
cree autonomía, además, que vaya construyendo sus conocimientos a sus ritmos.
De esta forma, los estudiantes puedan emplear estrategias de aprendizaje y sean
capaces de proponer cambios en sus procesos educativos. Para los docentes
contribuir al desarrollo profesional, innovación educativa, considerando que el
magisterio está lleno de retos que pueden ser superados cuando el maestro
desarrolla estrategias docentes para promover el aprendizaje en sus estudiantes.
5
Secuencias didácticas
Corresponden a la organización de las actividades, estás van en forma progresiva
de acuerdo al avances de los estudiantes, se acuerdo, con lo anterior, las
secuencias didácticas son una estructuración sistemática del trabajo en el aula en
la relación estudiante, profesor, saber y entorno (relación didáctica).
Las secuencias didácticas contienen tres momentos básicos referidos a actividades
inicial, desarrollo y final.
• Actividades de inicio: identifican y recuperan saberes, conocimientos previos
y preconcepciones.
• Actividades de desarrollo: relacionan los saberes, los conocimientos previos
y las preconcepciones con el conocimiento científico.
• Actividades de final: utilizan eficazmente los conocimientos científicos
construidos durante la secuencia.
Las secuencias didácticas permiten un monitoreo de las actividades realizadas por
el estudiantes con el fin de observar avances, dificultades, aprendizajes y de esta
forma llevar un seguimiento al proceso de cada estudiante.
En una secuencia didáctica, cada problema permite poner en juego o cuestionar el
anterior. Es decir, los problemas están entrelazados, y guardan cierta relación. No
solo los contenidos son importantes, también, el tiempo, el espacio, el material, los
6
objetivos, los conocimientos previos de los estudiantes, ya que todos interactúan
con el mismo fin.
Guías didácticas
Una Guía es una herramienta que permite la interacción entre el docente y
estudiante, es un facilitador del proceso enseñanza y aprendizaje, es un camino que
ayuda al estudiante a adquirir conceptos cada vez más complejos sobre un
determinado tema.
El trabajo con guías permite al estudiante:
Adquisición de valores
Esfuerzo personal
Reflexión sobre la actividad
Originalidad
Responsabilidad
Elaboración de juicios propios
Aplicación de los conocimientos
Trabajo en grupo
Autonomía
Autoevaluación de los aprendizajes
Por eso, las guías deben ser elaboradas por el docente; éste es quien mejor conoce
a cada estudiante y las dificultades y necesidades que a nivel de procesos, logros y
contenidos presentan los estudiantes.
7
MAPA: RUTA TEMÁTICA DE LAS UNIDADES
8
Leer atentamente la presentación que lo orientará en forma general en el
contenido de la guía
Realizar las lecturas antes de iniciar a resolver las actividades propuestas
Leer la estructura de cada unidad
Ampliar la información buscando otras bibliografías o utilizar la bibliografía
recomendada que aparece al final de cada unidad
Realizar cada una de las actividades propuestas siguiendo el orden
establecido
Procurar resolver las dudas primero con el grupo de trabajo, segundo
buscando vídeos o textos guías y finalmente con el docente
Comprobar las respuestas con la de los demás compañeros, discutiendo los
resultados obtenidos
Utilizar la calculadora sólo para comprobar un resultado
La siguiente guía es para su uso, cuídela y utilícela de la mejor forma posible
RECOMENDACIONES PARA EL BUEN USO DE ESTA GUÍA
APELLIDOS Y NOMBRES: ______________________________________
INSTITUCIÓN EDUCATIVA: _____________________________________
DOCENTE: ___________________________________________________
ÁREA: ______________________ASIGNATURA: ____________________
GRADO: ____________PERIODO:____________AÑO:________________
TELÉFONO FIJO: ______________CELULAR:_______________________
E-MAIL:______________________________________________________
DIRECCIÓN: _________________________________________________
BIENVENIDA AL ESTUDIANTE
9
UNIDAD 1: NÚMEROS REALES
TEMAS DE LA GUÍA:
1. Números reales
Números naturales
Números enteros
Números racionales
Números irracionales
2. Intervalos
3. Desigualdades
Desigualdades lineales
Desigualdades
cuadráticas
4. Valor absoluto
Desigualdades con valor
absoluto
LOGROS
1. Identifica cada uno de los conjuntos numéricos de tal manera que se amplíe la capacidad de comunicación y comprensión frente a los fenómenos que nos rodean
2. Resuelve situaciones
problemas aplicando los
conceptos de intervalos,
desigualdad y valor absoluto
3. Trabaja en equipo
reconociendo y aceptando
las diferencias de cada uno
Tiempo: 5 Horas Fecha:
OTROS:
10
LECTURA N°1: HISTORIA DE LOS NÚMEROS REALES
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.” Filolao, filósofo pitagórico.
Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, el descubrimiento de los números racionales fue debido a la necesidad de resolver problemas. Los antiguos necesitaban medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y todo otro tipo de medidas. Al enfrentarse a esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no era suficiente poder contar con los números naturales para hacerlo de manera exacta, ya que estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores que la misma pero que no eran números naturales, por lo que fue necesario ampliar el concepto de número natural. Así surgieron los números racionales.
Las fracciones aparecen ya en los primeros textos matemáticos de los que hay constancia, quizás uno de los más antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1. 650 a.C. y que pasa por ser la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia.
En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulmanes introdujeron su sistema de numeración, conocido como indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio de los números racionales en la vieja Europa.
Sin embargo, no fue hasta el S. XIII cuando Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo el concepto de números quebrados o números “ruptus”, empleando además la raya para separar el numerador del denominador.
El concepto o la idea de número irracional apareció pronto en la geometría. Ya los antiguos griegos observaron que los números racionales no completaban la recta. Quizás el primero en constatarlo fue el célebre filósofo y matemático griego Pitágoras de Samos (582 a.C. – 507 a.C.), quien estudiando un triángulo rectángulo con catetos de longitud uno, observó que la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo no podía tener un valor racional. Con esto demostró la no completitud de los números racionales y dedujo la existencia de unos números hasta entonces desconocidos.
La Escuela Pitagórica llamó a dichos números inconmensurables. Al principio la aparición de estos “desconocidos” desconcertó de forma alarmante a los miembros de la Escuela Pitagórica, pues la existencia de los irracionales ponía en evidencia que muchas suposiciones y demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas.
11
La sorpresa y preocupación llegó hasta tal punto que llegaron a plantearse el mantener en secreto estos números que contradecían su doctrina, que entre otras cosas preconizaba “la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía”.
Siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos” el tema de los números irracionales, y llega a demostrar que la raíz cuadrada de dos no puede ser un número racional. Los matemáticos griegos posteriores estudiaron además de estos irracionales sencillos, otros cada vez más complicados, encontrándose tipos como raíz cuadrada de a + raíz cuadrada de b y otros semejantes, pero nunca llegaron a tener la idea general de número irracional. Esta idea aparece ya bien entrado el siglo XVI, al considerar la idea de un número decimal aperiódico, esto es un número decimal cuyas cifras se sucedían de manera indefinida sin obedecer a ley alguna determinada.
Historia y didáctica de los números racionales e irracionales de Francisco Luis Flores Gil. España .2008
ACTIVIDAD INTRODUCTORIA N°1. HISTORIA DE LOS NÚMEROS
RACIONALES E IRRACIONALES
Después de realizar la lectura responde:
1. Mencione tres actividades que permitieron la aparición de los números.
2. Mencione 5 actividades cotidianas en las cuales se utilicen los números
12
TEMA 1: LOS NÚMEROS REALES
ILUSTRACIÓN N°1: NÚMEROS REALES
1. Resuelva las siguientes operaciones entre números reales.
A. 2 – 5 + 33 − 6 = 18
B. 5
4+ 7 − 5 ∙ 3 = −6,75
C. 1
2− 52 +
4
3+ 33 = −14,83 …
D. 2,56 + 105 ÷ 4 − √12 = 25,35
Diga a que conjunto numérico corresponden cada uno de los resultados
obtenidos.
13
1. Clasifique los siguientes números reales en: 𝑄, 𝐼, 𝑍 y 𝑁
Número Real
Natural (ℕ)
Entero (ℤ)
Racional (ℚ)
Irracional
( )
(-25)12
√7293
4,57
5𝜋
132
3
0,66
𝐿𝑛10
1
3−1
√132
4
2. Encuentra un número racional y otro irracional entre cada par de de números
dados.
𝑎. 3 𝑦 4 𝑏. − 6 𝑦 − 7 𝑐. 12,3 𝑦 12,4 𝑑. √5 𝑦 3
3. Prueba a partir de ejemplos la siguiente proposición. Si 𝑝 ≤ 𝑞, entonces 𝑝2 ≤
𝑞2. Verifica la veracidad y muestra tres condiciones en las cuales es válida la
proposición.
ACTIVIDAD N°1: NÚMEROS REALES
14
ACTIVIDAD N°1: NÚMEROS REALES
4. Preguntas de falso y verdadero con justificación.
Nº Pregunta Justificación Verdadero (V) o Falso (F)
1 La suma de dos números enteros es un número entero.
2 El cociente de dos núemros racionales es un numero racional.
3 La suma de dos números iracionales es un número racional.
4 El producto de dos números irracionales en un número irracional.
5 Todo número entero es un número racional.
6 Entre dos números enteros siempre hay otro número entero.
7 El siguiente de cualquier número entero es un número maypr que él.
8 Los núemros enteros se pueden escribir como números decimales no periódicos.
9 Todos los núemros decimales se pueden escribir como una fracción.
5. Escribe dos ejemplos numéricos reales que cumplan las condiciones en cada
caso:
a. Un número racional que no sea natural. _______ y ________
b. Un número entero que no sea natural. _______ y ________
c. Un número real que no sea entero. _______ y ________
d. Un número decimal finito. _______ y ________
e. Un decimal infinito periódico puro. _______ y ________
f. Un número real que no sea irracional. _______ y ________
g. Un número real que no sea racional. _______ y ________
h. Un decimal infinito periódico mixto. _______ y ________
15
TEMA 2: DESIGUALDADES EN LOS REALES
Es una expresión de la f orma, 𝑏 < 𝑎, 𝑏 > 𝑎, 𝑏 ≤ 𝑎, 𝑏 ≥ 𝑎, 𝑏 = 𝑎 en la que 𝑎 y 𝑏 son
números reales.
PROPIEDADES: ∀ 𝑏 y 𝑎 en 𝑅 se tiene una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
1. 𝑎 = 𝑏 ó 𝑎 < 𝑏 ó 𝑎 > 𝑏
2. 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
3. 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 > 0 → 𝑎 𝑐 < 𝑏𝑐
4. 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 < 0 → 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
5. 𝑎𝑏 > 0 ↔ (𝑎 > 0 ˄ 𝑏 > 0) ˅ (𝑎 < 0 ˄ 𝑏 < 0) de igual forma para 𝑎𝑏 ≥ 0,𝑎
𝑏> 0 𝑦
𝑎
𝑏≥ 0
6. 𝑎𝑏 < 0 ↔ (𝑎 > 0 ˄ 𝑏 < 0) ˅ (𝑎 < 0 ˄ 𝑏 > 0)
TEMA 3: INTERVALO
Un intervalo es un subconjunto de los números reales. Los intervalos se clasifican en:
16
TEMA 4: INECUACIONES
ILUSTRACIÓN N°2: INECUACIÓN
1. Resuelva la siguiente inecuación y muestre el resultado en forma de
gráfico e intervalo.
2055 x
5205 x
5
25x
5 x
Solución en intervalo: ,5
Solución gráfica:
5
17
ACTIVIDAD N°2: DESIGUALDADES, INTERVALOS E INECUACIONES
1. Represente en la recta numérica cada uno de los
siguientes intervalos.
A. x > 5
B. Todos los 𝑥 mayores e iguales que menos 4
C. (−7,0]
D. −3 ≤ 𝑥 ≤ 5
E. (0, ∞)
F. [−4, 8]
G. (-∞, −2) U [−4, ∞)
H. Todos los x mayores o iguales que siete interceptados con los x menores
que diez
I. −6 < 𝑥
J. [6,13) U (−9,15]
18
ACTIVIDAD N°2: DESIGUALDADES, INTERVALOS E INECUACIONES
2. Escriba en notación de intervalo y de conjunto cada una de las
representaciones gráficas.
3. Escribir en forma de intervalo los siguientes conjuntos.
A. 𝐴 = { 𝑥/𝑥𝜖𝑅, −6 ≤ 𝑥 ≤ 13}
B. 𝐵 = { 𝑥/𝑥𝜖𝑅, 5 ≤ 𝑥 }
C. 𝐶 = { 𝑥/𝑥𝜖𝑅, 𝑥 < 12}
4. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones de grado uno con una
incógnita.
A. 5<3x
19
ACTIVIDAD N°2: DESIGUALDADES, INTERVALOS E INECUACIONES
B. 8>4x
C. 91 x
D. 3<93 x
E. 5810 x
F. 7>2
13 x
G. 3432
5 xx
20
ACTIVIDAD N°2: DESIGUALDADES, INTERVALOS E INECUACIONES
H. -4
5x-20 ≥ -2-
3
5x
I. 5
x-2+
6
x-1 ≥ 0
J. 16
x+6≤
7
x+8
K. 7
x+4-
3
x+2 >0
21
ACTIVIDAD N°2: DESIGUALDADES, INTERVALOS E INECUACIONES
L. 3𝑥 + 2(𝑥 – 4) > 4𝑥
M. 7(𝑥 – 3) ≥ 4(1 + 2𝑥)
N. 2 ≤ 5𝑥 + 3 < 15
O. 10 < 3𝑥 – 4
2< 12
22
ACTIVIDAD N°2: DESIGUALDADES, INTERVALOS E INECUACIONES
5. Halle el conjunto solución de las siguientes inecuaciones
cuadráticas o de grado dos.
A. 𝑥2 − 3 ≤ −2x
B. 𝑥2 − 9 > 0
C. −2𝑥 + 𝑥2 ≥ 8
D. 3𝑥2 − 10𝑥 > 0
E. 6𝑥2 − 5 < 𝑥
F. 4x2-100 ≤ 0
23
ACTIVIDAD N°2: DESIGUALDADES, INTERVALOS E INECUACIONES
G. x3+ 4x ≥ 0
H. (𝑥2 − 3 + 2𝑥)(3𝑥 − 4 − 𝑥2) < 0
I. (x+1)4≤(x+1)2
J. (𝑥+3)(2−𝑥)
(4𝑥−1)(5−2𝑥)≥ 0
K. 𝑥2+4𝑥+4
𝑥2−3𝑥+2≥ 0
24
ACTIVIDAD N°2: DESIGUALDADES, INTERVALOS E INECUACIONES
6. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones
𝑝(𝑥) =2𝑥 + 5
3𝑥 − 4
A. 𝑝(𝑥) =2
3
B. 𝑝(𝑥) >2
3
C. 𝑝(𝑥) ≤ 0
D. 𝑝(𝑥)(𝑥−1)
(1−𝑥)2≥ 0
25
ACTIVIDAD N°2: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: DESIGUALDADES,
INTERVALOS E INECUACIONES
7. Hallar el conjunto solución de los R:
A. Cuyo duplo dista del inverso aditivo de tres en por lo menos
una unidad y a lo más en cuatro unidades.
B. Cuyo triplo dista del opuesto aditivo de menos 6 en a lo más lo que dista su
duplo del inverso multiplicativo en menos un cuarto.
C. Cuyo duplo dista en cinco en más de una centésima, pero en menos de una
décima.
D. Cuyo recíproco multiplicativo dista del inverso aditivo de tres en menos de una
unidad.
8. Un terreno es regado de agua por medio de tres mangueras. A, B y C. LA
manguera A riega 1 300 litros de agua por segundo y la manguera C riega tres
veces la cantidad de agua que la manguera B. Si el terreno debe regarse con
máximo 5 700 litros de agua por segundo, ¿Qué cantidad máxima de agua
debe regarse desde las mangueras B y C?
26
9. Un asesor comercial recibe como salario básico
$ 750 000 y por cada venta realizada obtiene una comisión
del 8% sobre la venta. ¿Cuál debe ser el mínimo de las ventas
para tener un ingreso mensual de $1 000 000?
10. Un lote cuadrado se subdividió por medio de una cerca en dos lotes
rectangulares. Uno de ellos quedó encerrando un área de 96 m2 y el otro
quedó con un ancho de 4 m. Hallar las dimensiones de los rectángulos.
ACTIVIDAD N°2: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: DESIGUALDADES,
INTERVALOS E INECUACIONES
27
ACTIVIDAD N°2: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: DESIGUALDADES,
INTERVALOS E INECUACIONES
11. Una parcela rectangular de por lo menos 135 m2 de área se
va a subdividir en dos parcelas. Una debe ser cuadrada y la
otra rectangular. En la rectangular, uno de sus lados debe medir
6 m. ¿Cuántos metros por lo menos deberá medir el lado de la
parcela cuadrada?
12. Un supermercado dispone de $ 400 000 para comprar duraznos y peras. Cada
durazno cuesta $ 800 y cada pera cuesta $ 500. En el supermercado se
compran 500 frutas como máximo y se deben comprar mínimo 200 frutas de
cada una para la semana.
a. Escribir cuatro inecuaciones que representen la información, teniendo
presente que 𝑑 representa los duraznos y 𝑝 representa las peras.
b. Halle un conjunto solución para las inecuaciones del numeral a.
c. ¿Cuánto duraznos y peras se compran?
28
TEMA 5: VALOR ABSOLUTO
Sea x ϵ R entonces, |𝑥| es igual a la distancia de 𝑥 a cero. Es decir,
|𝑥| = {−𝑥, 𝑥 < 0
𝑥, 𝑥 ≥ 0
Propiedades de valor absoluto
1. |𝑥| ≥ ∀ 𝑥 ∈ ℝ
2. 𝑥 ≤ |𝑥|; −|𝑥| ≤ 𝑥
3. |𝑥2| = |𝑥|2 = 𝑥2 √𝑥2
= |𝑥|
4. |𝑎 + 𝑏| = |𝑎| + |𝑏| si 𝑎 𝑦 𝑏 son de igual signo
5. |𝑎 + 𝑏| < |𝑎| + |𝑏| si 𝑎 𝑦 𝑏 son de signo opuestos
6. |𝑎𝑏| = |𝑎| |𝑏|
En general:
Para |𝑥| ≤ 𝑎 entonces |𝑥 − 0| ≤ 𝑎 luego,
La solución del sistema es: [-a, a]
Para |𝑥| ≥ 𝑎 entonces |𝑥 − 0| ≥ 𝑎 luego,
La solución del sistema es: (-∞, a] U [a, ∞)
ILUSTRACIÓN N°3: VALOR ABSOLUTO
Resolver por el método gráfico |3𝑥 − 4| < 5 y realizar la gráfica en
la recta numérica
3 |𝑥 −4
3| < 5
|𝑥 −4
3| <
5
3 Se trata de hallar ℝ, x tal que su distancia a
4
3 sea menos de
5
3, es decir:
Luego la solución del sistema es
(−1
3, 3)
29
ACTIVIDAD N°3: VALOR ABSOLUTO
1. Resolver Geométricamente y analíticamente
A. |𝑥
𝑥−1| = 2
B. |𝑥| ≤ 4
C. |𝑥 − 3| > 1
D. |4𝑥 − 7| ≥ 1
E. |2 − 16𝑡| = 0
30
ACTIVIDAD N°3: VALOR ABSOLUTO
F. |3𝑥 − 4| < 5
G. |−3𝑥 − 5| > 4
H. |2𝑥 + 6| ≥ 0
I. |5 −1
3𝑥| >
1
2
J. |2−5𝑥
3| ≤ 5
31
ACTIVIDAD N°3: VALOR ABSOLUTO
2. Resolver por cualquiera de los dos métodos.
A. І𝑥 + 5І ≤ 𝑥 − 1
B. ||𝑥2 + 2| ≥ 1|
C. |6𝑥+8
𝑥+2| = |
2−5𝑥
3|
D. │2x + 5│ ≥ │x + 4│
E. |−9𝑥
5+ 2| = 5𝑥 + 4
F. |6𝑥 + 7| = |5𝑥 + 8|
32
ACTIVIDAD FINAL N°1: NÚMEROS ENTEROS
Resuelve los siguientes problemas.
1. Un minero está a 15 metros bajo tierra. El minero desciende 12 metros más y luego debe subir 19 metros para dejar materiales a un depósito ubicado en esta posición. ¿A Cuántos metros bajo tierra se encuentra el minero?
A. Realiza un gráfico donde se pueda visualizar los desplazamientos del minero.
B. ¿Cuál es el punto de referencia a partir del cual se hacen los desplazamientos? ¿Por qué?
C. ¿Qué desplazamientos debe hacer el minero desde su posición inicial, si el depósito está en la superficie de la tierra? ¿a 2 metros bajo tierra? ¿a 5 metros sobre la tierra?
2. Una persona, buscando una dirección efectúa los siguientes desplazamientos: 8 cuadras hacía el sur, se devuelve 5 cuadras, nuevamente 7 cuadras hacia el sur, se devuelve 2 cuadras y encuentra la dirección.
A. Realiza un gráfico de los desplazamientos realizados por la persona
B. ¿Cuál es el punto de referencia a partir del cual se hacen los
desplazamientos? ¿Por qué?
C. ¿Qué desplazamientos debe hacer la persona para llegar a la posición
inicial? ¿para quedar a 2 cuadras de donde partió? ¿para retroceder 5 cuadras de la posición inicial?
Chaparro, O y otros. Jugando con los números. Consulta: Diciembre 10 de 2013. Modificado de: http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/articles-110453_archivo.pdf.
33
VALORA TU EXPERIENCIA DE LA UNIDAD N°1
NOTA APRECIATIVA:
1. (20%) La nota que te mereces de acuerdo a tu proceso:
2. (20%) La nota que tú o tus compañeros de trabajos te ponen:
3. (60%) La nota del docente:
DEFINITIVA DE LA UNIDAD 1:
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TEMAS:
1. Pareja ordenada
2. Producto cartesiano
3. Relación
Dominio de una relación
Codominio de una relación
Rango de una relación
4. Función
5. Representación de una función
Dominio de una función
Rango de una función
LOGROS:
1. Identifica cuando una relación es función
2. Halla el dominio y el rango de una función de forma gráfica y analítica
3. Completa tablas de valores de algunas funciones y construye su grafico respectivo.
4. Participa activamente en cada una de las actividades programadas de la unidad, desarrollando trabajos individuales y grupales.
UNIDAD N°2: FUNCIONES
Tiempo Fecha
8 horas
Otros.
35
VIDEO 1: ALTERADOS POR PI (TEMP 3) - CAPÍTULO 6 – FUNCIONES
Ingresar a la siguiente página web y observar el video.
Página web: http://www.youtube.com/watch?v=iwYeu3MbkTU
ACTIVIDAD INTRODUCTORIA N°2: FUNCIONES
Responde las siguientes preguntas en base a la información presentada en el video
y tus experiencias y conocimiento.
1. Menciona tres aplicaciones concretas del concepto de función en la vida
cotidiana
2. Plantea tres preguntas sobre el video que ayuden a generar una discusión del
tema en la clase.
36
.
TEMA 6: PAREJA ORDENADA
Es un conjunto de dos elementos en el cual se tiene en cuenta el orden de sus
elementos. Para el “par ordenado de componentes a y b” que se denota (a, b) se
tiene que (a, b)= {{a} {a, b}}.
Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.
TEMA 7: PRODUCTO CARTESIANO
Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al
conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer
conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir:
A x B= {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}
ILUSTRACIÓN N°4: PAREJA ORDENADA Y PRODUCTO CARTESIANO
1. sean 𝐴 = {−1,0, 1,2} 𝑦 𝐵 = {2,3,4}, determinar y representar
en el plano cartesiano, A x {0}, {1} x B, A x B y B x A.
A x {0}= {(-1,0), (0,0), (1,0), (2,0)}
{1} x B= {(1,2), (1,3), (1,4)}
A x B= {(-1,2), (-1,3), (-1,4), (0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4)}
B x A= {(2,-1), (2,0), (2,1), (2,2), (3,-1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,-1), (4,0), (4,1), (4,2)}
37
ACTIVIDAD N°4: PAREJA ORDENADA Y PRODUCTO CARTESIANO
1. Halle el producto cartesiano en los siguientes conjuntos y represéntelos
gráficamente.
A. 𝐴 = {1}, 𝐵 = {−1, 0, 1}
B. 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} 𝑦 𝐵 = {1, 2, 3, 4}
C. 𝐴 = [−4,3) 𝑦 𝐵 = (1,5]
D. 𝐴 = {−4, −3, −2, −1,0,1,2} 𝑦 𝐵 = (2,6]
E. 𝐴 = {1} 𝑦 𝐵 = 𝑅
2. Sean 𝐴 = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝑅 ˄ − 5 ≤ 𝑥 ≤ −1} y 𝐵 = {𝑦 / 𝑦 ∈ 𝑅 ˄ 0 ≤ 𝑥 ≤ 4}, Hallar y representar
gráficamente:
A. 𝐴𝑥{0}
B. {1}𝑥𝐵
C. 𝐴𝑥𝐵
D. 𝐵𝑥𝐴
38
TEMA 8: RELACIÓN
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Si R es un subconjunto de 𝐴𝑥𝐵 diremos que R es una relación
de 𝐴 en 𝐵.
Dominio de una relación: (DR), son los conjuntos de preimágenes es decir, los
{𝑥 ∈ 𝐴/ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅} .
Rango de una relación: (RR), son los conjuntos de imágenes es decir,
{ 𝑦 ∈ 𝐵/ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅} .
Codominio: (𝐶𝑅), es el conjunto que tiene el rango.
ILUSTRACIÓN N°5: RELACIÓN
1. Sea 𝐴 = {1, 0, −1} y 𝐵 = {2, 4, 6, 8}, se tiene que:
𝑅1 = {(0,6), (0,8), (−1,8)} es una relación de A en B
∅ (𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑐í𝑜) es una relación de A en B
2. Sea 𝐴 = {−1,0,1}, 𝐵 = {2, −2} y 𝑅 = {(−1,2), (−1, −2), (0,2)}
El dominio y el rango de R son: DR={-1,0}; RR={2,-2}
3. Sea 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅/ 𝑦 = 2𝑥 + 1} 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝐷𝑅 𝑦 𝑅𝑅
𝐷𝑅 = {𝑥 ∈ 𝑅 / ∃𝑦 ∈ 𝑅: 𝑦 = 2𝑥 + 1} ∴ 𝐷𝑅 = ℝ
𝑅𝑅 = {𝑦 ∈ 𝑅 / ∃𝑥 ∈ 𝑅: 𝑦 = 2𝑥 + 1} Luego, 𝑦 = 2𝑥 + 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 =𝑦−1
2
∴ 𝑅𝑅 = ℝ
39
ACTIVIDAD N°5: RELACIÓN
1. Dados los conjuntos 𝐴 = {−1,0,1,2}, 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 7}
A. Realice en forma de diagrama de Ven la relación de A en B
B. Identifique dominio, rango y Codominio de la relación
2. Si 𝑂 = {0, 1, 2, 3, 4} 𝑦 𝑃 = {2, 3, 4, 5, 6}, determinar para cada caso el conjunto de
parejas ordenadas que cumple con la relación. Justifique.
𝑅1: La segunda componente es el doble de la primera componente.
𝐴. {(0, 0), (1, 3), (0, 2)}
𝐵. {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}
𝐶. {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}
𝑅2: La primera componente son números pares y la segunda componente, número
primos.
A. {(0, 1), (2, 3), (2, 2)}
B. {(2, 1), (4, 3), (6, 5)}
C. {(3, 2), (5, 4), (1, 6)}
𝑅3: La primera componente equivale a la segunda componente más uno
A. {(4, 2), (5, 4), (1, 2)}
B. {(2, 3), (4, 5), (5, 6)}
C. {(2, 1), (3, 2), (6, 5)}
40
ACTIVIDAD N°5: RELACIÓN
3. Hallar dominio y rango de las siguientes relaciones.
A. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 2/ 𝑦 =2𝑥+3
3𝑥−𝑦 }
B. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 2 / 𝑦 − 3 = −√2𝑥 − 1}
4. Dada las siguientes situaciones, halle las relaciones que se pueden dar y realice un
gráfico para cada una.
A. La distancia recorrida por un móvil en un determinado tiempo
B. La estatura de una persona con su peso
C. La longitud de una circunferencia y su radio: L=2πr
5. Mencione tres situaciones cotidianas que representen una relación.
41
TEMA 10: REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Una función se puede representar de cuatro formas.
TEMA 9: FUNCIÓN Una función es una relación entre dos conjuntos numéricos de forma que a
cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del
segundo conjunto. Es decir, 𝑓: 𝑋 → 𝑌 donde 𝑋 → 𝑌 = 𝑓(𝑋).
Para que una relación sea función debe cumplirse que:
I. todos los elementos de X están relacionados con el elementos de Y
II. a cada elemento x ϵ X le corresponde un único elemento y ϵ Y
A la variable X se le llama variable independiente, mientras que a la variable
Y se le denomina variable dependiente.
42
Para reconocer si una relación es o no una función en estas cuatro formas, hay
que tener en cuenta:
Diagrama sagital: De todos los elementos del conjunto de partida debe salir
una única flecha.
Gráfico cartesiano: Al trazar líneas verticales (paralelas al eje y) se debe
cortar al gráfico siempre en un punto.
Extensión: En la primera coordenada de cada par ordenado deben aparecer
todos los puntos sólo una vez.
Comprensión: Se debe analizar cada caso en particular, observando sus
restricciones.
ILUSTRACIÓN N°6: FUNCIÓN
1. Sea 𝐴 = {−1,0,1,2} y 𝐵 = {2, 4, 6}, diga cuál de las
siguientes relaciones son funciones.
𝑅1 = {(−1, 2), (0, 4), (1, 6)} No es función por que 2 no tiene imagen.
𝑅2 = {(−1, 4), (0, 6), (1, 2), (1, 6)}NO es función por que 1 tienen dos imagen en B.
𝑅3 = {(−1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 2)} Es función por que a cada elemento de A le
corresponde un único elemento en B.
𝑅4 = {(−1, 2), (0, 2), (1, 2), (2, 2)} Es función
43
ACTIVIDAD N°7: FUNCIÓN
1. Diga cuáles de los siguientes diagramas representan una función de A
en B y escriba por medio de una expresión algebraica el comportamiento.
2. Diga cuáles de los siguientes gráficos representan una función de R en R
44
ACTIVIDAD N°7FUNCIÓN
3. Sean los conjuntos A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, ¿cuál
de las siguientes relaciones representa una función de A en B?
A. {(a, 1),(b, 2),(a, 3),(c, 4)}
B. {(a, 3),(b, 3),(a, 3)}
C. {(a, 4),(c,2)(b,1)}
D. {(b, 1),(c, 2)}
E. {(a, 1),(b, 2),(b, 3)}
F. {(a, 1),(a, 2),(a, 3),(a, 4)}
4. Determinar si cada una de las relaciones planteadas es una función. En caso de
no serlo justifique.
A. El comportamiento de una bacteria está determinado por la expresión 𝑦 = 𝑒𝑥
B. La muestra de sangre de un cultivo para determinar si hay bacterias se describe
por las parejas (2, 3), (4, 7), (6, 9), (8, 11), (10,13), (12, 15).
C. El movimiento de un cuerpo está representado por la expresión d = -2 · t2
D. (-1, 0), (-2, -3), (0, 1), (1, 0), (2, -3), representan la trayectoria que deja un balón de
básquet al ser lanzado por un jugador al aro.
E. El trabajo realizado por un obrero al desplazar un bulto de cemento está dado por
la expresión 𝑊 = 𝐹 · 𝑑
45
ACTIVIDAD N°7: FUNCIÓN
5. Realice la gráfica de cada función construyendo la tabla de valores.
A. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4
x y
B. 𝑔(𝑥) =𝑥+1
2
x y
C. 𝑦 = 2𝑥2 − 9
x y
46
ACTIVIDAD N°7: FUNCIÓN
D. 𝑔(𝑥) = 2𝑥3 − 1
x y
E. 𝑦 = 𝑥4+𝑥3
x y
F. 𝑓(𝑥) =𝑥3+2𝑥
−5
x y
47
ACTIVIDAD N°7: FUNCIÓN
1. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 Halla:
A. El dominio de 𝑓
B. 𝑓(−3)
C. 𝑓(1
4)
D. 𝑓(𝑎 + 𝑏)
E. 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ, ℎ ≠ 0
48
ACTIVIDAD N° 7: FUNCIÓN
6. Usando la gráfica de la función f que aparece a continuación,
halla:
Halle:
A. Dominio
B. Rango
C. f(0)
D. f(-2)
E. Interceptos con x e y
F. Valores de x donde: f(x)=2, f(x)<0 y f(x)≥0
49
TEMA 11: DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN.
Sea 𝑓: 𝑥 → 𝑦 diremos que en una función real,
El dominio de 𝑓 son el conjunto de las primeras componentes, tal que 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / ∃𝑦 ∈ 𝑅: 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
El dominio para una
Función polinómica son los ℝ. Función racional se restringe por el denominador que tiene que ser
diferente de cero Función radical se restringe por el radicando que tiene que ser mayor o
igual a cero
El rango de 𝑓 son el conjunto de las segundas componentes, tal que 𝑅𝑓 = {𝑦 ∈ 𝑅 / ∃𝑥 ∈ 𝑅: 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
El rango de una
función polinómica son los R. Para hallar el rango de una función racional y radical se despeja la variable x y
se tiene presenta las restricciones para el dominio.
ILUSTRACIÓN N°7: DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
1. Halle dominio y rango de la función y =2x+3
3x−1
DOMINIO: Son todos los reales menos los valores que hacen que el denominador
sea cero. Para esto, despejamos la variable 𝑥 en la expresión 3𝑥 − 1 = 0. ∴
Df = R − {1
3}
RANGO: Despejamos la variable x, y el rango sería todos los reales menos los
valores que hacen que el denominador sea cero.
𝑦 =2𝑥 + 3
3𝑥 − 1 ↔ (3𝑥 − 1) · 𝑦 = 2𝑥 + 3
↔ 3𝑥𝑦 − 𝑦 = 2𝑥 + 3
→ x=y+3
3y-2 en consecuente el rango es:
Rf = R − {2
3}
50
ACTIVIDAD N° 6: DOMINIO Y RANGO
1. Determinar el dominio y el rango de las siguientes funciones
51
ACTIVIDAD N°6: DOMINIO Y RANGO
52
ACTIVIDAD N°6: DOMINIO Y RANGO
2. Hallar dominio y rango de las siguientes funciones
A. 𝑦 = 5𝑥 − 3
B. 𝑦 =1
𝑥
C. 𝑦 =1
𝑥−4
D. 𝑦 =4
2𝑥+4
E. 𝑦 =2
2−7𝑥
53
ACTIVIDAD N°6: DOMINIO Y RANGO
F. 𝑦 =𝑥
𝑥−6
G. 𝑦 =𝑥−1
𝑥−4
H. 𝑦 =9−𝑥2
2𝑥2
I. 𝑦 =16+7𝑥2
𝑥2
J. 𝑦 =√𝑥2+25
𝑥
54
ACTIVIDAD N°6: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: DOMINIO
3. Una hoja de papel tiene una de base de 20 cm y altura 30 cm.
Si se recorta por una línea paralela a la base, a una altura x y luego
se enrolla el papel hasta formar un cilindro de 2,5 cm de radio, ¿Cuál será el
dominio?
4. A un cuadrado de 20 cm de lado se le modifica la base y la altura, recortando x
cm como se muestra en la figura. Halle el área y el dominio de la función.
5. Si un rectángulo tiene un perímetro de 40 cm y x es la longitud de la base, el área
y el dominio son:
55
ACTIVIDAD FINAL N°2: FUNCIONES
En grupos de cinco estudiantes realizar la siguiente actividad.
Materiales: Cronómetro y metro
1. En el piso medir con el metro distancias de 1m, 2m como se indican en la
tabla y con el cronómetro tomar el tiempo que cada integrante del grupo se
demora en caminar dichas distancias. Consignar los tiempos de cada
estudiante (Est.) en la siguiente tabla, luego hallar los promedios de los
tiempos para cada distancia. Suponga que cada uno se mueve con una
aceleración de 0,7 m/s2.
Distancia d (m) Est. 1 Est. 2 Est. 3 Est. 4 Est. 5 Promedios
1
2
3
4
5
2. Complete la siguiente tabla con los tiempos promedios encontrados
Tiempo t (s)
Distancia d (m) 1 2 3 4 5 6
3. Realice el gráfico de d (m) Vs t (s)
56
4. Responda las siguientes preguntas
A. La gráfica que obtuvo representa una relación SI, NO ¿Por qué?
B. La gráfica que obtuvo representa una función SI, NO ¿Por qué?
C. Cuál es el dominio de la gráfica
D. Cuál es el rango de la gráfica
E. ¿Qué se puede decir de los promedios de los tiempos encontrados?
F. En qué ciencia es aplicada ésta situación
G. Que significado o qué representa la gráfica encontrada.
H. Si la ecuación que describe el desplazamiento realizado está dada por la
expresión d=at2/2 ¿Qué tipo de gráfica representa?
57
VALORA TU EXPERIENCIA DE LA UNIDAD N°2
NOTA APRECIATIVA:
1. (20%) La nota que te mereces de acuerdo a tu proceso:
2. (20%) La nota que tú o tus compañeros de trabajos te ponen:
3. (60%) La nota del docente:
DEFINITIVA DE LA UNIDAD:
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58
TEMAS:
1. Función biyectiva
Sobreyectiva
Inyectiva
2. Función par
3. Función impar
4. Función creciente
5. Función decreciente
6. Clasificación de funciones
Algebraicas
Trascendentes
Especiales
7. Asíntotas en una función
Horizontales
Verticales
LOGROS: 1. Identifica cuando una función es
algebraica, trascendente o
especial
2. Representa gráficamente una
función a partir de sus
características
3. Propicia con su participación
actica, constante, respetuosa y
oportuna el proceso de
aprendizaje propio y el de
sus compañeros mediante el
desarrollo de actividades
individuales y/o colectivas.
Tiempo Fecha
8 horas
Otros:
UNIDAD N° 3: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
59
Las funciones aparecen en muchas situaciones de nuestras vidas y están
visiblemente en la naturaleza que nos rodea. Las funciones permiten describir el
mundo real en términos matemáticos.
A continuación aparece una seria de situaciones para las cuales deben especificar
si corresponden a una función lineal, cuadrática o cúbica.
SITUACIÓN FUNCIÓN
Hallar el volumen de un balón de
futbol
Relación entre el peso y el
volumen de un material en
condiciones constantes de presión
y temperatura.
Platos satelitales
La relación entre el peso (o precio)
de una sandía y su longitud
Movimiento de una partícula que
describe una parábola
Diseño gráfico de piezas
Chorro de agua
Lanzar un balón de básquet
Tiempo empleado por un ciclista
en una competencia
Construir diagramas de fuerza
cortante y momento flexionante
Ganancias y pérdidas de negocios
Área bajo una parábola
ACTIVIDAD INTRODUCTORIA N°3: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
60
Relación entre el precio inicial y el
precio rebajado con un 10%.
Hallar el área de una figura
El crecimiento de un feto en
gestación al determinar su
distancia desde los pies hasta la
cabeza obteniendo la semana de
gestación del feto.
Forma de los cables de un puente
suspendido
Los vientos o la energía eólica con
respecto a la intensidad de estos y
su tiempo de duración
Aplicar un descuento a todos los
productos
El producto de una función lineal
por una función cuadrática
Una compañía de teléfonos
celulares tiene inicialmente 7 mil
usuarios, y el número de éstos
crecerá alrededor de 4 mil por año
Relación entre la posición y el
tiempo de un móvil
El precio fijo de la venta de un
coche y la comisión que se da por
cada venta.
Un móvil está a mi lado
durante 1 hora y luego se aleja a 2
km/h
61
TEMA 12: FUNCIÓN BIYECTIVA
Cuando es a la vez
inyectiva y sobreyectiva
Ilustración:
Una función f es inyectiva o uno a
uno si a cada elemento del dominio
le corresponde un único elemento
en el Codominio y no existen dos
elementos en el dominio con una
misma imagen. Es decir, para dos
valores x1 y x2 se cumple que:
𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥)2
Una función f es sobreyectiva si el
rango de la función es igual al
Codominio, es decir, todo elemento
del Codominio es imagen de algún
elemento del dominio.
𝑅𝑓 = 𝐶𝑓
Verifique si la siguiente función es
inyectiva.
Verifique si la siguiente función es
sobreyectiva.
Se observa que a cada valor de x
corresponde un único valor en y
diferentes para cada x. Por tanto, la
función es inyectiva. Esta función
también es sobreyectiva.
Se observa que cada elemento de
"Y" es la imagen de como mínimo
un elemento de "X", por tanto la
función es sobreyectiva.
62
ACTIVIDAD N°9: FUNCIÓN BIYECTIVA
1. Construya los siguientes diagramas
A. No sobreyectiva, no inyecta C. Función inyectiva pero no sobreyectiva
B. Función biyectiva D. Función sobreyectiva y no inyectiva
63
ACTIVIDAD N°9: FUNCIÓN BIYECTIVA
2. Complete la tabla justificando para cada función.
Función
x 0 1 2 3
y -1
-2
-3
-4
g(x)=x3-2
Inyectiva
Sobreyectiva
Biyectiva
64
TEMA 13: FUNCION PAR, IMPAR, CRECIENTE Y DECRECIENTE
FUNCIÓN PAR
Una función 𝑓 es par, si es simétrica
con respecto al eje y o si ∀xϵDf se
cumple que 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)
FUNCIÓN IMPAR
Una función 𝑓 es impar si es
simétrica con respecto al origen o si
∀xϵDf se cumple que 𝑓(−𝑥) =
−𝑓(𝑥)
FUNCIÓN CRECIENTE
Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es creciente si
cuando 𝑦 aumenta 𝑥 también
aumenta. Es decir, ∀x1,x2 ∈ a
intervalo, x1 < x2 entonces
f(𝐱𝟏) < 𝐟(𝐱𝟐 )
FUNCIÓN DECRECIENTE
Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es decreciente
cuando 𝑦 disminuye 𝑥 aumenta. Es
decir, ∀x1,x2 ∈ a intervalo, x1 < x2
entonces f(𝐱𝟏) > 𝐟(𝐱𝟐 )
65
ACTIVIDAD N°10: FUNCIÓN PAR, IMPAR, CRECIENTE Y DECRECIENTE
1. Completa la siguiente tabla y justifique.
Función
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥
𝑓(𝑥) = 3𝑥2
Par
Impar
Intervalos Creciente
Intervalos Decreciente
Dominio
Rango
66
3. Realiza las gráficas teniendo presente los intervalos dados.
f(x)= x2 para (-∞, -2]
f(x)= 2x-5 para (-2, 5]
f(x)= x3+ 1 para (5, 7]
f(x)= x
3para (7, ∞]
De la gráfica obtenida responda:
¿Cuál es el dominio y el rango?
¿Cuáles son los intervalos crecientes y decrecientes?
Plantee dos preguntas cuyas respuestas se puedan deducir de la gráfica.
ACTIVIDAD N°10: FUNCIÓN PAR, IMPAR, CRECIENTE Y DECRECIENTE
67
4. La gráfica de la función f aparece a continuación.
Halla:
A. Dominio
B. Rango
C. Intervalos donde f es creciente, decreciente y constante
D. f(−1)
E. f(1)
F. f(3)
G. f(5)
ACTIVIDAD N°10: FUNCIÓN PAR, IMPAR, CRECIENTE Y DECRECIENTE
68
5. Suponga que t horas después de medianoche, la temperatura
en Medellín estaba dada por la función 𝑇(𝑡) = 6
1𝑡2 + 4𝑡 + 10 grados
Celsius. A. ¿Cuál será la temperatura a las 3:00pm?
B. Cuánto aumentó o disminuyó la temperatura entre las 11:00 a.m y las 2:00 p.m.
6. La distancia recorrida por un cuerpo está determinada por la expresión y=0,5t2
+45, donde 𝑡 es el tiempo en segundos.
A. Grafica de la función para 𝑡 igual al intervalo [0,10]
B. Determinar si la gráfica es una función biyectiva, par o impar
C. Cuáles son los intervalos donde la función es creciente y decreciente.
ACTIVIDAD N°10: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: FUNCIÓN PAR, IMPAR, CRECIENTE Y DECRECIENTE
69
7. Tres obreros son contratados como ayudantes de una obra.
El obrero X, inicia labores a las 7 de la mañana cobrando por hora
trabajada $ 6500. El obrero Y, inicia labores a las 9 de la mañana ganando $
6000 por hora trabajada y el obrero Z inicia labor a las 11 de la mañana
devengando $ 5500 por hora trabajada.
A. Escriba la ecuación para cada obrero donde exprese el salario en función
de la hora trabajada.
B. Si cada obrero trabaja mínimo 8 horas diarias, ¿Cuánto ha ganado el
obrero Y y Z cuando el obrero X lleva 7 horas de trabajado? ¿Cuántas
horas más necesitan trabajar los obreros Y y Z para tener un salario
superior al obrero X?
C. Realice una gráfica donde relacione el tiempo trabajado Vs horas
trabajadas para cada obrero.
ACTIVIDAD N°10: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: FUNCIÓN PAR, IMPAR, CRECIENTE Y DECRECIENTE
70
TEMA 14: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
FUNCIÓN ALGEBRAICA
GRÁFICA DOMINIO RANGO
A L G E B R A I C A
P O L I N Ó M I C A
Constante
𝒇(𝒙) = 𝒌 𝒄𝒐𝒏 𝒌 ∈ 𝑹
𝑫𝒐𝒎𝒇 = ℝ
𝑹𝒂𝒏𝒇
= 𝒌
L I N E A L
A f í n
𝒇(𝒙)= 𝒎𝒙 + 𝒃
Dónde 𝒎 es pendiente
y 𝒃 intercepto con el eje y
𝑫𝒐𝒎𝒇 = ℝ
𝑹𝒂𝒏𝒇
= ℝ
I d é n t i c a
𝒇(𝒙) = 𝒙
Con a=1
𝑫𝒐𝒎𝒇 = ℝ
𝑹𝒂𝒏𝒇
= ℝ
Cuadrática
𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 o
𝒚= 𝒂(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒌
Con vértice (h, k)
y a ≠ 0 para
ambos casos
𝑫𝒐𝒎𝒇 = ℝ
𝑹𝒂𝒏𝒇
varía de Acuerdo Con el
valor de 𝑏 y la
abertura de la
parábola
Cúbica
𝒚= 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄𝒙 + 𝒅
con a ≠ 0
𝑫𝒐𝒎𝒇 = ℝ
𝑹𝒂𝒏𝒇
= 𝒌
R A C I O N A L
Racional
𝒇(𝒙) =𝒑(𝒙)
𝒒(𝒙)
Donde 𝑝(𝑥) y
𝑞(𝑥) son polinomios y
𝑞(𝑥) ≠ 0
El dominio son los números
reales excepto los valores
que hacen que el
denominador sea cero.
Se despeja
la variable x. Ver
dominio.
71
R A D I C A L
Radical
𝒚 = √𝒙𝒏
𝐶𝑜𝑛 𝑥 𝜖 ℕ
n par: dom ℝ ≥0 n impar, dom los ℝ
Depende del signo que esta antes del radical.
T R A S C E N D E N T E S
Exponencial
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 para 𝑎 > 0
y
𝒇(𝒙) = −𝒂𝒙 para
𝑎 < 0
∀ 𝑥𝜖ℝ 𝑦 𝑎 ≠ 1
𝑫𝒐𝒎𝒇 = ℝ
𝑹𝒂𝒏𝒇
= ℝ+
𝑹𝒂𝒏𝒇
= [𝟎, ∞)
Logarítmica
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥
∀ 𝑥𝜖ℝ+ 𝑦
𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1
𝑫𝒐𝒎𝒇 = ℝ+
𝑫𝒐𝒎𝒇 = [𝟎, ∞)
𝑹𝒂𝒏𝒇
= ℝ
T R I G O N O M É T R I C A S
Seno
𝐲 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐= 𝟐𝝅
𝑫𝒐𝒎𝒇 = ℝ 𝑹𝒂𝒏𝒇
= [−𝟏, 𝟏]
Coseno
𝐲 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐= 𝟐𝝅
𝑫𝒐𝒎𝒇 = ℝ 𝑹𝒂𝒏𝒇
= [−𝟏, 𝟏]
Tangente
𝐲 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝝅
𝑫𝒐𝒎𝒇
= ℝ
− {𝒙
= 𝒏𝝅
𝟐/ 𝒏𝝐ℤ𝚲 𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓}
𝑹𝒂𝒏𝒇
= ℝ
72
Cosecante
𝐲 = 𝐜𝐬𝐜 𝒙
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐= 𝟐𝝅
𝑫𝒐𝒎𝒇
= ℝ− {𝒙 = 𝒏 𝝅/ 𝒏 𝝐 ℤ}
𝑹𝒂𝒏𝒇
= (−∞,−𝟏]∪ [𝟏, ∞)
Secante
𝐲 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐= 𝟐𝝅
𝑫𝒐𝒎𝒇
= ℝ
− {𝒙
= 𝒏𝝅
𝟐
/ 𝒏𝝐ℤ𝚲 𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓}
𝑹𝒂𝒏𝒇
= (−∞,−𝟏]∪ [𝟏, ∞)
Cotangente
𝐲 = 𝐜𝐨𝐭 𝒙
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝝅
𝑫𝒐𝒎𝒇
= ℝ− {𝒙 = 𝒏 𝝅/ 𝒏 𝝐 ℤ}
𝑹𝒂𝒏𝒇
= ℝ
E S P E C I A L E S
Valor absoluto
𝒇(𝒙) = |𝒙|
= {𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
−𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 0
𝑫𝒐𝒎𝒇 = ℝ
𝑹𝒂𝒏𝒇
= ℝ+
𝑹𝒂𝒏𝒇
= [𝟎, ∞)
A trozos
𝒇(𝒙)
= {
𝒇𝟏(𝒙) 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑰𝟏
𝒇𝟐(𝒙) 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑰𝟐
𝒇𝟑(𝒙) 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑰𝟑
Donde
𝑰𝟏 ∩ 𝑰𝟐 ∩ 𝑰𝟑 ∩ …∩ 𝑰𝒏 = ∅
El dominio de la función es
la unión de los dominio de cada parte
El rango de la
función es la
unión de los
rangos de cada
parte
Parte entera
𝒖(𝒙) = ⟦𝒙⟧ 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 ⟦𝒙⟧= 𝒖
𝒚 𝒖 ≤ 𝒙< 𝑢 + 1
𝒄𝒐𝒏 𝒖 ∈ ℤ
El dominio de la función es
el conjunto de los números
enteros
El rango de la
función es el
conjunto de los
números enteros
73
TEMA 15: ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN
Actividad
Hay asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando:
congradomxq
congradonxpxf
)(
)()(
ASÍNTOTAS VERTICALES
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
ASÍNTOTAS OBLICUAS
n>m
SI NO Si n= m+1
SI SI en y=0, eje x NO
Una ASÍNTOTA es la recta a la cual se aproxima la función, sin llegar a
tocarla.
ASÍNTOTAS VERTICALES
Son rectas verticales asociadas
a la función.
Las asíntotas verticales se dibujan en los valores que hacen que el denominador sea cero.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Son rectas horizontales asociadas a la función.
Para hallar las asíntotas horizontales se despeja la variable x y se dibujan las asíntotas en los valores que hacen que el denominador sea cero.
ASÍNTOTAS OBLICUAS
Son rectas que no son paralelas ni perpendiculares a los ejes x, y, y está asociadas a la recta y=mx +b.
Para hallar las asíntotas oblicuas se divide p(x) entre q(x), si R(x) = 0 no tiene asíntota oblicua y si R(x) ≠ 0, la asíntota oblicua es dada por la ecuación Q(x) = mx + b. R(x)= residuo y Q(x)= cociente.
𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) =𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) y n el grado de p(x) y m el grado de q(x)
74
n<m
n=m
SI SI NO
ACTIVIDAD N°12: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
1. Completa la tabla luego realiza la gráfica de la
función y halla dominio y rango
A. 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟓
x -2 -1 0 1 2
y
B. 𝒚 = −𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏
𝟐
x -3 -1 0 1 3
y
C. 𝒚 = 𝟏
𝟓𝒙𝟑 – 𝟓
x -5 -1 0 1 5
y
75
ACTIVIDAD N°12: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
D. 𝒚 = √−𝒙 + 𝟒
x -10 -1 0 1 4
y
E. 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙
x 1/4 1/3 1/2 1 2
y
F. 𝒚 = 𝟐𝒙−𝟑
x -2 -1 0 1 2
y
76
ACTIVIDAD N° 12: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
G. 𝒚 = ⟦𝒙 + 𝟏⟧
x -2≤x<-1 -1≤x<0 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<3 3≤x<4
y
H. 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟏| por definición de valor absoluto tenemos que
𝒇(𝒙) = {𝟐𝒙 − 𝟏 𝒔𝒊 𝟐𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟎 ↔ 𝒙 ≥
𝟏
𝟐
−(𝟐𝒙 − 𝟏)𝒔𝒊 𝟐𝒙 − 𝟏 < 0 ↔ 𝑥 <𝟏
𝟐
I. 𝒚 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙
x −𝝅 −𝝅
𝟐
−𝝅
𝟑 0 𝝅
𝟒
𝝅
𝟑
𝝅
𝟐
y
77
ACTIVIDAD N°12: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
2. Realiza las gráficas de las siguientes funciones,
determina asíntotas, dominio y rango.
A. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 6
B. 𝑓(𝑥) =𝑥2− 16
𝑥−4
C. 𝑓(𝑥) = √81 − 𝑥2
D. 𝑓(𝑥) = √2 − 3𝑥
78
ACTIVIDAD N°12: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
E. 𝑓(𝑥) =𝑥2−3𝑥+2
𝑥2−4𝑥−5
F. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥
G. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥+1
H. 𝑓(𝑥) = log 3𝑥
79
ACTIVIDAD N°12: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
3. Escribe una función que cumpla con cada una de las siguientes
condiciones.
A. Que su dominio sea [0,∞)
B. Qué tenga asíntotas verticales en x=4 y x= - 4
C. Qué tenga asíntotas horizontales en y=3
D. Qué su rango sea (-∞,0]
4. Realiza las siguientes gráficas por tramos y halla dominio y rango de cada
función
A. 𝑓(𝑥) = {𝑥2 𝑥 < 0
2𝑥𝑥 + 2 𝑥 ≥ 3
0 ≤ 𝑥 < 3
80
ACTIVIDAD N°12: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
B. (𝑥) = {4 𝑥 < 0
4 − 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 2𝑥 − 11 𝑥 > 2
A. 𝑓(𝑥) = {√𝑥 + 3 𝑥 < 12
𝑥 𝑥 ≥ 1
B. 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 3 𝑥 < 15 − 𝑥2 𝑥 ≥ 1
81
ACTIVIDAD N° 12: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
C. 𝑓(𝑥) = {|𝑥 + 2| 𝑥 < −1
𝑥2 − 1 ≤ 𝑥 < 1 2𝑥 + 1 𝑥 > 1
D. 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝑥 < −12𝑥 + 2 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2−𝑥2 + 8𝑥 𝑥 > 2
82
ACTIVIDAD N°12: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
5. El costo total en pesos por la fabricación de x unidades de un cierto artículo
está representado por la función C(x)=x3-40x2+300x+400. Determinar:
A. Gráfica de la función
B. Dominio y rango de la función
C. El costo de fabricación para 10, 20 y 50 unidades
6. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad inicial
de 89 pies por segundo, si la altura del objeto es h pies después de t segundos, y se
desprecia la resistencia del aire, tenemos que h = 89t-14t2
A. Calcular la altura alcanzada a los 2, 3, 4 y 5 segundos
B. Realizar la gráfica
C. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
D. ¿Qué tipo de movimiento realiza el objeto?
83
ACTIVIDAD N°12: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
7. Un taxi en Medellín cobra $ 2600 el “banderazo” y $ 81 por kilómetro recorrido
A. Si se realiza un recorrido de 28 km ¿Cuánto se tendría que pagar? B. Escribe una función que represente el costo de viajar en taxi cuando se
recorren x kilómetros C. Qué tipo de gráfica representaría la función
D. ¿Cuál es el dominio y el rango de la función?
8. Cierto tipo de bacteria duplica el tamaño de su población cada hora. El número n de bacterias después de que se empiezan a observar está dado por n = (100)2t, en un tiempo t determinado. Determine el número de bacterias presentes después de:
A. 1 hora, 5.5 horas, un día B. Realice la gráfica
C. Halle dominio y rango D. ¿Qué tipo de gráfica representa el problema?
84
9. Con una hoja rectangular de cartón cuyas dimensiones son
5 centímetros por 8 centímetros, se va a construir una caja
abierta recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de
las esquinas y luego doblando los bordes hacia arriba.
A. Realice un gráfico que ilustre la situación
B. Exprese el área de las caras de la caja como una función de x
C. Exprese el volumen de la caja como una función de x.
D. Realice la gráfica del área y el volumen de la caja en un mismo plano
E. Realice una conclusión con respecto a la gráfica
ACTIVIDAD N°12: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
85
ACTIVIDAD N° 12: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
10. En un terreno rectangular de 25 metros de largo por 15 de
ancho se va a construir una casa, dejando para el jardín una
parte del terreno (región sombreada). Determine:
A. Expresión algebraica para el perímetro P(x) de la casa en función de x.
B. Expresión algebraica para el área A(x) del jardín en función de x.
C. Encuentra el perímetro y el área de la casa si x = 3m
86
ACTIVIDAD FINAL N°3: CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
En grupos de tres estudiantes realizar la siguiente actividad
Materiales: cartulina, tijeras y colbón
1. Dibujar en un cuarto de cartulina el siguiente molde, modificando el tamaño dado.
3. Halla el perímetro y escribe una expresión matemática que permita generalizar este.
4. Realiza una gráfica que pueda ilustrar la fórmula del perímetro
5. Pegar las caras y formar la figura. ¿Qué tipo de figura es? Realiza una breve
descripción
6. Medir cada uno de los lados: largo:______, ancho:______ y alto:______
7. ¿Qué característica tienen el largo, el ancho y el alto de la figura? ¿Qué nombre reciben?
¿Qué tipo de función es?
2. ¿Cómo puedes encontrar el perímetro de la figura?
87
8. ¿Cómo puedes hallar el área de las caras de la figura?
9. Halla el área total de la figura y escribe una fórmula que permita generalizar
el área
10. Realiza una gráfica que pueda ilustrar la fórmula del área
11. ¿Cómo puedes encontrar el volumen de la figura?
12. Halla el volumen de la figura y escriba una fórmula que permita generalizar
el volumen
13. Realiza una gráfica que pueda ilustrar la fórmula del volumen
14. Realiza una conclusión sobre la actividad realizada
¿Qué tipo de función es?
¿Qué tipo de figura es?
88
VALORA TU EXPERIENCIA DE LA UNIDAD N°3
NOTA APRECIATIVA:
1. (20%) La nota que te mereces de acuerdo a tu proceso:
2. (20%) La nota que tu o tus compañeros de trabajos te ponen:
3. (60%) La nota del docente:
DEFINITIVA DE LA UNIDAD 3:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
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__________________________________________________________________________________
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__________________________________________________________________________________
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__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
89
TEMAS:
1. Algebra de funciones
Suma
Diferencia
Producto
Cociente
Composición
2. Transformación de funciones
3. Función inversa
LOGROS:
1. Resuelve operaciones de suma,
diferencia, producto, cociente y
composición con funciones
reales.
2. Grafica funciones realizando
diferentes transformaciones
verticales, horizontales y
oblicuas
3. Trabaja en equipo, desarrolla
las actividades propuestas en
forma ordenada y las entrega a
tiempo.
Tiempo Fecha
5 horas
Otros:
UNIDAD N° 4: ALGEBRA Y TRANSFORMACION DE FUNCIONES
90
LECTURA N°2: CAPÍTULO VIII.- UNA FÓRMULA DE LA VIDA
"Al decir Andrés que la vida, según su profesor Letamendi, es una función
indeterminada entre la energía individual y el cosmos, y que esta función no puede ser
más que suma, resta, multiplicación y división, y que no pudiendo ser suma, ni resta,
ni división, tiene que ser multiplicación, uno de los amigos de Sañudo se echó a reír.
–¿Por qué se ríe usted? –le preguntó Andrés sorprendido. –Porque en todo eso que
dice usted hay una porción de sofismas y de falsedades. Primeramente hay muchas
más funciones matemáticas que sumar, restar, multiplicar y dividir. –¿Cuáles? –Elevar
a potencia, extraer raíces... Después, aunque no hubiera más que cuatro funciones
matemáticas primitivas, es absurdo pensar que en el conflicto de estos dos elementos,
la energía de la vida y el cosmos, uno de ellos, por lo menos, heterogéneo y
complicado, porque no haya suma, ni resta, ni división, ha de haber multiplicación.
Además, sería necesario demostrar por qué no puede haber suma, por qué no puede
haber resta y por qué no puede haber división.
Después habría que demostrar por qué no puede haber dos o tres funciones
simultáneas. No basta decirlo. –Pero eso lo da el razonamiento.
–No, no; perdone usted –replicó el estudiante–. Por ejemplo, entre esa mujer y yo
puede haber varias funciones matemáticas: suma, si hacemos los dos una misma cosa
ayudándonos; resta, si ella quiere una cosa y yo la contraria y vence uno de los dos
contra el otro; multiplicación, si tenemos un hijo, y división si yo la corto en pedazos a
ella o ella a mí.
–Eso es una broma –dijo Andrés. –Claro que es una broma –replicó el estudiante–,
una broma por el estilo de las de su profesor; pero que tiende a una verdad, y es que
entre la fuerza de la vida y el cosmos hay un infinito de funciones distintas: sumas,
restas, multiplicaciones, de todo, y que además es muy posible que existan otras
funciones que no tengan expresión matemática."
Tomado de: El árbol de la Ciencia. Pío Baroja. Editorial Madrid.
Año de edición: 2005
91
Responde las siguientes preguntas en base a la lectura y tus conocimientos:
1. Justifica tu opinión frente al enunciado “la suma, la resta, la multiplicación
y la división son operaciones básicas de las matemáticas”
2. Qué relación existe entre las funciones matemáticas y las operaciones
matemáticas.
3. Explica y representa por medio de un gráfico tu opinión frente a los
conceptos:
a. suma de funciones
b. composición de funciones
c. transformación de funciones
ACTIVIDAD INTRODUCTORIA N°4: UNA FÓRMULA DE LA VIDA
92
TEMA 16: ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Sean f y g funciones reales, se definen
SUMA
DIFERENCI
A
PRODUCTO
COCIENTE
COMPOSICIÓN
(𝒇 + 𝒈)(𝒙)= 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
(𝑓 · 𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)
(𝑓
𝑔) (𝑥)
=𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
(𝑓о𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)]
DOMINIO
xϵ Df ∩ 𝑫𝒈
DOMINIO
xϵ Df ∩ 𝐷𝑔
DOMINIO
xϵ Df ∩ 𝐷𝑔
DOMINIO
xϵ Df
∩ 𝐷𝑔 y g(x)
≠ 0
DOMINIO
Dfоg={x|xϵDgy g(x)ϵDf}
(𝒇 + 𝒈)(𝒙)
= 𝒙 +𝟏
𝒙
(𝒇 + 𝒈)(𝒙)
=𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙
D(f+g)(x)= R-
{0}
(𝑓 − 𝑔)(𝑥)
= 𝑥 −1
𝑥
(𝑓 + 𝑔)(𝑥)
=𝑥2 − 1
𝑥
D(f-g)(x)= R-{0}
(𝑓 · 𝑔)(𝑥)
= 𝑥 ·1
𝑥
(𝑓 · 𝑔)(𝑥) = 1
D(f·g)(x)= R-
{0}
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
𝑥1
𝑥
(𝑓
𝑔) (𝑥) =𝑥2
D(
fg
)(x)= R-
{0}
(𝑓о𝑔)(𝑥) = 𝑓 [1
𝑥]
(𝑓о𝑔)(𝑥) = 1
x2
D(fоg)(x)= R-{0}
ILUSTRACIÓN N°8: ALGEBRA DE FUNCIONES
1. Dada las siguientes funciones 5)( 2 xxf y 5
3)(
xxg halle:
a. gf
b. Dominio de gf
c. Gráfica de gf
Solución:
5
3255
5
3)5(
22
xxxxgf
5
286 2
xgf
93
ACTIVIDAD N°13: ALGEBRA DE FUNCIONES
1. Dadas las siguientes funciones,
f(x)=6x2-8x-8; g(x)=2x-4 y h(x)=√4-x2 obtener:
2. (𝑓 + ℎ)(3), (𝑓 − 𝑔)(3), (ℎ · 𝑔)(3) 𝑦 (𝑓
𝑔) (3)
3. (𝑓 + ℎ)(𝑥), (𝑓 − 𝑔)(𝑥), (ℎ · 𝑔)(𝑥) 𝑦 (𝑓
𝑔) (𝑥)
4. Los dominios de las funciones: 𝑓, 𝑔 𝑦 ℎ
Dominio: ℝ
Rango: ,5
94
ACTIVIDAD N° 13: ALGEBRA DE FUNCIONES
5. Realice las gráficas de (𝑓 + ℎ)(𝑥), (𝑓 − 𝑔)(𝑥), (ℎ · 𝑔)(𝑥) 𝑦 (𝑓
𝑔) (𝑥)
6. Los dominios de las funciones (𝑓 + ℎ)(𝑥), (𝑓 − 𝑔)(𝑥), (ℎ · 𝑔)(𝑥) 𝑦 (𝑓
𝑔) (𝑥)
95
ACTIVIDAD N° 13: ÁLGEBRA DE FUNCIONES
7. Si 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 𝑦 𝑔(𝑥) =1
𝑥−1 halla:
A. (𝑓 + 𝑔)(2)
B. (𝑓 𝑔)(3)
C. (𝑓 − 𝑔)(𝑥)
D. 𝑓
𝑔(𝑥)
E. 𝑔
𝑓(𝑥)
F. Dominio de la función (𝑓 + 𝑔)
G. Dominio de la función 𝑓
𝑔
96
ACTIVIDAD N°13: ALGEBRA DE FUNCIONES
8. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) = √𝑥 , halla:
𝐴. (𝑓 ° 𝑔)(1)
𝐵. (𝑓 °𝑔)(−2)
𝐶. (𝑓 ° 𝑔)(𝑥)
𝐷. (𝑔 ° 𝑓)(𝑥)
E. Dominio de la función 𝑓 °𝑔
97
TEMA 17: TRASFORMACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
FUNCIÓN ALGEBRAICA
DESPLAZAMIENTO GRAFICA VÉRTICES PUNTOS DE CORTE
y = ax2
Si a>1 la gráfica se expande.
(h, k) (0,0)
X no tiene y= no tiene
Si 0<a<1 la gráfica se contrae
(h, k) (0,0)
X no tiene y= no tiene
y = x2 + k
Vertical sube k unidades
(h, k) (0,k)
X no tiene y= k
y = x2 - k
Vertical baja k unidades
(h, k) (0,-k)
kx
y= - k
y = (x - h)2
Horizontal h unidades hacia la
derecha
(h, k) (h,0)
0=x2-2xh+h2
y= h2
y = (x + h)2
Horizontal menos h unidades hacia la
izquierda
(h, k) (-h,0)
0=x2+2xh+h2
y= h2
98
y = (x + h)² + k
Desplazamiento oblicuo menos h
unidades a la izquierda y k
unidades a la derecha
(h, k) (h, k)
0= x2+2xh+h2+k y = h2 + k
y = -ax2
Si a >-1 la gráfica se contrae.
(h, k) (0,0)
x=no tiene y= no tiene
Si 0 < a < -1 la gráfica se expande
(h, k) (0,0)
x=no tiene y= no tiene
y = -x2 + k
Vertical, k unidades hacia arriba
(h, k) (0,k)
kx
y= k
y = -x2 - k
Vertical, -k unidades hacia abajo
(h, k) (0,-k)
x no tiene y = - k
y = -(x - h)2
Horizontal h unidades hacia la
derecha
(h, k) (h,0)
0= -x2+2xh-h2 y= h2
y = -(x + h)2
Horizontal menos h unidades hacia la
izquierda
(h, k) (-h,0)
0= -x2-2xh-h2 y= h2
99
y = -(x - h)² - k
Oblicuo, h unidades a la derecha, menos
k unidades hacia abajo
(h, k) (h,-k)
0= -x2+2xh-h2-k y= h2 - k
ACTIVIDAD N° 14: TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
1. Asocia a cada ecuación su respectiva grafica
100
ACTIVIDAD N°14: TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
2. Describe cómo se desplaza “y” con respecto a la función
g(x)=(x+4)4 y la función h(x)=(x-3)4 con respecto a la función base
f(x)=x4
3. Dadas las gráficas f xx3, g xx3 - 3 y h xx3 + 9, describe los cambios
que sufrió g(x) y h(x) con respecto a la función base f(x).
101
ACTIVIDAD N° 14: TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Nombre de la función:
𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3
𝑓(𝑥) = −√𝑥 + 3
Nombre de la función:
𝑓(𝑥) = 𝑥3
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 5
𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 5
Nombre de la función:
𝑦 = 2𝑥2 − 2
𝑦 =1
3𝑥2 + 2
𝑦 =2
3𝑥2 − 2
102
ACTIVIDAD N° 14: TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
4. Para el cuadrado de lado x, halla:
A. La ecuación del área sombreada en función de x.
B. Dominio y rango
5. Una familia paga por el alquiler de una cabaña $ 720 000. Si el alquiler sube el 2% cada año.
A. ¿Cuánto se pagará la familia dentro de 1 año? ¿Dentro de 2 años? ¿Y dentro de 3 años?
B. ¿Cuál es la que permite calcular el costo anual al cabo de x años?
C. Representa gráficamente los datos obtenidos en el numeral A.
C. Representa gráficamente la función
obtenida
103
TEMA 18: FUNCIÓN INVERSA
Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma que se
verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a
PASOS PARA HALLAR UNA FUNCIÓN INVERSA:
1. Escribir y = f(x)
2. Despejar la variable independiente x en términos de y (si es posible).
3. Intercambiar x por y. La ecuación resultante es y = f-1(x)
Los gráficos de dos funciones inversas son simétricas respecto a la función y = x
ILUSTRACIÓN N°: FUNCIÓN INVERSA
Hallar la función inversa de y = 3x - 4, y representar las gráficas
de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.
Paso 1: f(x) = 3x - 4
Paso 2: despejamos la variable independiente x: 3
4
yx
Paso 3: intercambiamos x por y, y la y por x: 3
4
xy
3
4
xy Es la función inversa de 43 xy
104
ACTIVIDAD N° 15: FUNCIONES INVERSAS
1. ¿Para que una función sea inversa tiene que ser inyectiva?
Justifique.
2. Encuentre la inversa, f-1, de la función f. Establezca el dominio y el rango de cada función y grafíquelas en el plano cartesiano.
A. xy 51
B. 2
1
xy
105
ACTIVIDAD N° 15: FUNCIONES INVERSAS
C. 13
32
x
xy
D. 22 xy con 0x
E. 15
14
x
xy
106
ACTIVIDAD FINAL N°:4 ALGEBRA Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
1. Construye gráficas que sean el resultado de operaciones entre funciones, transformación
de funciones y funciones inversas. Realiza 3 representaciones para cada caso.
107
ACTIVIDAD FINAL N°:4 ALGEBRA Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
2. Explica cada una de las representaciones realizadas, donde muestres diferencias,
similitudes, características, ecuaciones, dominios y rangos de las gráficas. Organiza la
información en un cuadro.
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VALORA TU EXPERIENCIA DE LA UNIDAD N°4
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A MODO DE CONCLUSIÓN
El trabajo que se ha llamado libro – taller es el resultado de las experiencias que
como docente de aula se han venido adquiriendo hace algunos años. Los espacios
de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales deben permitir
que cada docente desarrolle y construya su material de trabajo. Aquí se propone
una recopilación de problemas y ejercicios que conllevan a unas secuencias
didácticas que pondrán a los estudiantes a pensar en matemáticas y a los docentes
a reflexionar en la forma como se enseñan los conceptos y la forma como los
estudiantes aprenden matemáticas. El trabajo de aula no es un espacio solo
académico, debe permitir la formación de cada persona que esté en ella.
Esta propuesta promueve en el estudiante un trabajo independiente, de autonomía
y permite que el estudiante se llene de confianza para desarrollar por el mismo cada
una de las actividades, además, muestra la importancia del trabajo en grupo, seguir
instrucciones y desarrollar un contenido sin que el docente este presente para dar
instrucciones.
Este trabajo es único porque es una propuesta que cualquier docente de grado once
o de primeros semestres de universidad puede aplicar y desarrollar con los
estudiantes. Porque los conceptos trabajos y las actividades están diseñadas al
NOTA APRECIATIVA:
1. (20%) La nota que te mereces de acuerdo a tu proceso:
2. (20%) La nota que tu o tus compañeros de trabajos te ponen:
3. (60%) La nota del docente:
DEFINITIVA DE LA UNIDAD 4:
110
nivel del estudiante, usando un lenguaje formal sin perder el rigor de la escritura
matemática. Porque éste libro - taller es una ayuda y sirve de nivelación, de guía
de estudio, permite que el estudiante tome una postura crítica frente a su saber, las
actividades son diversas y motivadoras, abarcan las temáticas centrales para iniciar
el estudio del cálculo, permite una enseñanza y un aprendizaje colaborativo
estableciendo una relación dialógica entre docentes estudiantes, conocimiento y
material de trabajo.
BIBLIOGRAFÍA
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