DISEÑO DE EXPERIMENTOS · Web viewUn planteamiento claro del problema contribuye a menudo en forma sustancial a un mejor conocimiento del fenómeno y de la solución final del problema

dR. pRIMITIVO REYES AGUILAR

DISEÑO DE EXPERIMENTOS

Teoría

Dr. Primitivo Reyes Aguilar

1/5/2009

Mail: [email protected] Cel. 04455 5217 4912

Diseño de experimentos factorials de dos niveles, factoriales completos, factorials fraccionales y diseños especiales: Taguchi, Mezclas. Se tomo como referencia el texto de Douglas Montgomery, Diseño y análisis de experimentos, 2ª. edición

mailto:[email protected]

CURSO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS P. Reyes / enero 2009

OBJETIVO

Objetivo general del módulo. Que los asistentes actualicen los conocimientos necesarios para diseñar, analizar y obtener inferencias sobre experimentos conducentes a la mejora de productos y procesos en la industria y que sean capaces de aplicar la mejor estrategia experimental para resolver un problema de desarrollo de productos, o de calidad en los productos.

Contenido1. INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE EXPERIMENTOS..........................................................4

1.1 Aplicaciones del diseño de experimentos..............................................................5

Definición de experimento, diseño de experimentos y eficiencia de un experimento............................................................................................................ 7

1. 2 Principios básicos del diseño de experimentos.....................................................7

1.3. Metodología general para realizar un experimento............................................9

1.4. Aplicaciones del diseño de experimentos...........................................................13

2. ANALISIS DE VARIANZA DE UN FACTOR (ANOVA 1 VIA)............................................15

2.1 Introducción.........................................................................................................15

2.2 Tipos de variación y sumas de cuadrados............................................................16

2.3 Uso de Excel:........................................................................................................18

2.4 Uso de Minitab.....................................................................................................19

2.5 Grafica de residuos contra el valor ajustado de y ij ..............................................20

2.6 Ejercicios..............................................................................................................21

3. ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VÍAS o DIRECCIONES (ANOVA 2 VIAS).....................23

3.1 Introducción.........................................................................................................23

3.2 Ejemplos con cálculo manual...............................................................................23

3.3 Procedimiento en Excel.......................................................................................24

3.4 ANOVA en Minitab...............................................................................................25

4. DISEÑOS FACTORIALES..............................................................................................29

4.1 Principios y definiciones básicas..........................................................................29

Ventajas de los diseños factoriales........................................................................31

4.2 Diseño factorial de dos niveles (2^K)...................................................................32

5. DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FRACCIONALES DE DOS NIVELES.................................40

5.1 Concepto de replicación fraccionada...................................................................40

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5.2 Fracción un medio del diseño 2k..........................................................................41

5.3 Resolución del diseño..........................................................................................44

6. DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS..........................................46

6.1 Diseño factorial completo de 2 factores..............................................................46

6.2 Análisis Estadístico del Modelo de Efectos Fijos..................................................48

7. DISEÑO DE EXPERIMENTOS TAGUCHI........................................................................56

7.1 Introducción.........................................................................................................56

7.2 Arreglos ortogonales para experimentos a dos niveles.......................................57

7.3 Caso menor es mejor...........................................................................................59

8. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL..........................................................................64

8.1 Introducción.........................................................................................................64

8.2 Ejemplo manual...................................................................................................66

8.3 Uso de Excel.........................................................................................................68

8.4 Uso de Minitab.....................................................................................................69

8.5 Ejercicios:.............................................................................................................71

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1. INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE EXPERIMENTOS

l diseño de experimentos es una técnica estadística que nos ayuda a identificar qué factores o variables afectan El comportamiento de un proceso productivo y de

esta manera poder mejorarlo. EO bien: es una prueba o una serie de pruebas en las cuales se inducen cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso o sistema, de manera que sea posible observar e identificar las causas de los cambios en la respuesta de salida.

Experimento: es una prueba o ensayo.

El proceso o sistema bajo estudio puede representarse por medio del modelo de la figura 1.1.

Algunas de las variables del proceso x1, x2,..., xk son controlables, mientras que otras z1, z2,...,zk son incontrolables (aunque pueden ser controlables para los fines de prueba). Entre los objetivos del experimento pueden incluirse:

1. Determinar cuáles variables tiene mayor influencia en la respuesta, y.2. Determinar el mejor valor de las x que influyen en y, de modo que y tenga casi

siempre un valor cercano a valor nominal deseado.3. Determinar el mejor valor de las x que influyen en y, de modo que la

variabilidad de y sea pequeña.4. Determinar el mejor valor de las x que influyen en y, de modo que se

minimicen los efectos de las variables no controlables z1, z2,...zq.

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Lo métodos de diseño experimental tiene un propósito que puede ser desarrollar un proceso consistente o robusto; esto es, un proceso que no sea afectado por fuentes de variabilidad externas o ruido (las zi).

En el diseño de experimentos se plantean varias preguntas importantes:

1. ¿Son estas dos soluciones los únicos medios para lograr la respuesta de interés?

2. ¿Existen otros factores que pueden afectar la respuesta de las muestras y que deban ser investigados o controlados?

3. ¿Cuántas muestras deben ser sometidas a cada solución de templado?4. ¿En que forma debe asignarse cada muestra a los tratamientos, y en qué orden

deben realizarse las mediciones?5. ¿Qué método de análisis debe utilizarse?6. ¿Qué diferencia en los niveles promedio de respuesta entre los dos

tratamientos debe considerarse como significativa?

Estas, y quizá muchas otras preguntas, deberán ser contestadas satisfactoriamente antes de llevar a cabo el experimento.

1.1 Aplicaciones del diseño de experimentos

l diseño de experimentos puede servir para mejorar el rendimiento de un proceso de manufactura, desarrollo de nuevos procesos con lo que se logra:E

1. Mejorar el rendimiento del proceso.2. Menor variabilidad y mayor apego a los requerimientos nominales y objetivos.3. Menor tiempo de desarrollo.4. Menores costos totales.

Los métodos de diseño de experimentos también se aplican al diseño de productos como sigue:

1. Evaluación y comparación de conceptos de diseño básicos.2. Evaluación de materiales alternativos.3. Selección de parámetros de diseño de modo que el producto funcione bien desde

una amplia variedad de condiciones de uso real; Esto es, de modo que el producto sea consistente (robusto).

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El uso del diseño de experimentos en estas áreas puede dar por resultado productos con mayor confiabilidad y mejor funcionamiento en el campo, menores costos, y menor tiempo de diseño y desarrollo del producto.

El diseño estadístico de experimentos es el proceso de planear un experimento para obtener datos apropiados, que pueden ser analizados mediante métodos estadísticos, con objeto de producir conclusiones validas y objetivas.

Cuando se identifican los factores y su influencia en un sistema productivo, se pueden tomar decisiones que efectivamente mejoren la calidad del producto o servicio. Se pueden identificar las fuentes de variación reales para su reducción en la búsqueda de la mejora continua.

Cuando se usan experimentos pretendemos analizar el efecto de cambios que nosotros inducimos más que analizar variaciones al azar. Por ejemplo, mediante un diagrama causa-efecto podemos identificar las posibles causas o factores que inciden en un efecto o respuesta especifica tal y como sé muestra en la figura 2

Figura 1.2 Diagrama de Causa Efecto

Mediante un experimento podemos inducir cambios en uno varios factores (F2l. F33 y F11 por ejemplo) y analizar estadísticamente si el cambio en los factores afecta o no el resultado o efecto del proceso.

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CARACTERI STI CA DE CALI DAD

F2 F1

F3F4

F21

F22 F12

F11

F31F32

F41

F42

CARACTERI STI CA DE CALI DAD

F2 F1

F3F4

F21

F22 F12

F11

F31F32

F41

F42


Definición de experimento, diseño de experimentos y eficiencia de un

experimento

Experimento

s un conjunto de pruebas estructurado y coherente que son analizadas a fin de comprender la operación del proceso. E

Diseño de experimentos

s el proceso de planear, ejecutar y analizar el experimento de manera que los datos apropiados sean recolectados, y que estos tengan validez estadística para

obtener conclusiones validas y útiles. Se entiende por validez estadística, el que los resultados se puedan repetir consistentemente sobre todo en la operación a gran escala o masiva.

E

Eficiencia de un experimento

Un experimento es eficiente cuando:

1. Se obtiene la información requerida. 2. Con el mínimo consumo de recursos.

Esto es, un experimento eficiente debe ser lo más simple y económico posible pero efectivo. Las técnicas del diseño de experimentos pretenden que los experimentos sean eficientes.

1. 2 Principios básicos del diseño de experimentos

ara que un experimento pueda tener validez estadística se deben de observar al menos tres principios: P Reproducción. Esto significa que el experimento se pueda llevar a cabo o repetir

bajo las mismas condiciones en más de una ocasión.

La diferencia observada como resultado de un experimento es real, o se debe a simple error aleatorio, o aun más a otro factor como por ejemplo diferente tipo del material. Para aclarar esto, es necesario repetir el experimento y cuantificar si se presenta consistentemente o no la variación detectada.

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La reproducción por lo tanto es importante por al menos dos razones:

i) Permite cuantificar el error aleatorio inherente al proceso y ii) Permite una mejor estimación de los parámetros.

Aleatoriedad. Esto significa que tanto el material asignado a un experimento en particular, como el orden en que se efectúan las pruebas se efectué de una manera aleatoria.

Suponga por ejemplo, que se desea saber si la temperatura influye en el nivel de contaminación de un producto, medida en mgms/lt, para esto primero efectúa cuatro pruebas a una temperatura de 80°C y enseguida cuatro pruebas a 90°C, los Resultados son:

80ºC

2.2 2.83.2

3.6 2.95

90ºC

3.4 3.94.3

4.7 4.07

A primera vista con la temperatura de 80°C se ve que tiene menor nivel de contaminación, sin embargo, algo raro se observa, el nivel de contaminación siempre aumenta, esto se debe a que los residuos que quedan en el equipo aumentan constantemente la contaminación del producto. Esto se puede evitar lavando perfectamente el material, lo cual puede no ser físicamente posible. "En lugar de esto podemos confundir, anular o igualar este efecto, realizando las pruebas en orden aleatorio” bajo las dos temperaturas.

En una diagrama causa-efecto con un gran número de factores afectando la característica de calidad, si se desea analizar el efecto de uno o varios factores, se debería controlar y medir todos los otros factores y aun así no eliminaría el error aleatorio, en lugar de esto se puede "confundir" o anular el efecto de estos factores no controlables al efectuar las pruebas siguiendo un orden aleatorio o al azar.

La aleatoriedad por lo tanto es importante por al menos dos razones

i) Confunde el efecto de factores no controlables y ii) Valida las pruebas estadísticas al hacer que los errores experimentales sean

estadísticamente independientes.

Análisis por bloques . Es una técnica que se usa para incrementar la precisión del experimento. Un bloque es una porción del material experimental que sea más

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homogénea que el total del material o cuando las condiciones son más homogéneas. Al realizar un experimento por bloques se hacen las comparaciones entre las condiciones de interés del experimento dentro de cada bloque.

1.3. Metodología general para realizar un experimento

Se sugieren varias metodologías en la literatura, la siguiente es una de ellas:

1. Identifique claramente el problema o situación a resolver. Antes de poder planear un experimento necesitamos definir claramente que es la que estamos buscando, aun cuando esto puede parecer trivial en ocasiones es tanta la presión para tomar decisiones que corremos a experimentar sin por lo menos definir claramente nuestros objetivos.

En este paso es necesario definir que tipo de información es exactamente la que nos interesa, ya que no podemos medir o variar todos y cada uno de los componentes de un experimento.

En ocasiones escuchamos que el experimento fue un éxito pero la calidad no mejoró. Antes de planear un experimento se debe de investigar y. analizar el conocimiento y datos que ya se tengan sobre este problema. La participación activa del personal involucrado en el problema es de vital importancia en este paso.

En conclusión como resultado de este paso, la hipótesis a probar debe quedar bien definida. Un diagrama causa-efecto es una buena ayuda en este paso.

2. Identificar variables. En este paso dos tipos de variables se deben de identificar, variables dependientes y factores o variables independientes.

La variable dependiente o variable de respuesta es la característica de calidad que queremos mejorar y cuyo comportamiento deseamos conocer, ejemplos de esta son: porcentaje de contaminación, satisfacción de un cliente, desgaste de una herramienta, tiempo, de falla, etc.

Es deseable que una variable dependiente reúna las características siguientes:

Cuantitativa Precisa.

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Que tenga algún significado físico.

Las variables independientes o factores representan aquellas causas o factores cuyo efecto sobre la variable dependiente se quiere analizar. Cada uno de estos factores se deberá probar al menos a dos valores diferentes para evaluar su efecto, a cada uno de estos valores o niveles se les llama tratamientos. Por ejemplo, si queremos conocer el efecto de la temperatura sobre la dureza de un material y para ello se realizan pruebas a 70, 80 y 90ºC se dice que tenemos un experimento de un solo factor con tres tratamientos. Otra vez es de vital importancia la participación del personal involucrado en el problema a fin de seleccionar apropiadamente los factores o variables independientes y los niveles de cada factor o tratamiento de interés.

¿Cómo seleccionar los diferentes niveles de un factor?, En general un factor puede ser cualitativo (proveedor, turno, operario, etc), o cuantitativo (temperatura, presión, altura, tiempo, etc.). Los niveles específicos en cualquier caso se pueden seleccionar ya sea aleatoriamente dentro de un cierto rango o a un nivel fijo definido por el experimentador previamente, esto nos lleva a cuatro situaciones generales:

A. Factor fijo, cualitativo. En este caso, de entre los diferentes niveles o tratamientos posibles para el factor, el experimentador esta interesado en el efecto que ciertos niveles seleccionados por él previamente tienen sobre la variable de respuesta. Además, el factor es del tipo cualitativo. Por ejemplo tres proveedores, tres turnos, dos procesos diferentes, etc.

B. Factor fijo, cuantitativo.

Este caso es similar al anterior excepto que el factor es cuantitativo, por ejemplo: temperatura, presión, tiempo, concentración de un componente, etc. Para este caso es recomendable que los diferentes niveles o tratamientos se tomen equiespaciados, esto es, por ejemplo 10, 20, 30 y 40 °C: 5, 10, 15, 20 y 25 psi; 8, 12, 16 y 20 minutos, etc.

La conclusión a que se puede llegar con este caso es si la variable de respuesta es diferente para cada uno de los tratamientos que se seleccionaron y de ser así el tipo de relación que existe entre el factor y la variable de respuesta (lineal, cuadrática, etc.).

C. Factor aleatorio, cualitativo.

En este caso los niveles o tratamientos se seleccionan al azar de entre varios posibles. Por ejemplo: se tienen varios lotes de un mismo proveedor, se selecciona al azar cuáles

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de ellos analizar, en este caso la conclusión del experimento se extiende para cubrir todos los posibles niveles..

D. Factor aleatorio, cuantitativo.

Igual que en el caso anterior los diferentes niveles o tratamientos son seleccionados al azar.

Por ejemplo para la temperatura si el rango de interés es de 0 a 100. Se puede al azar seleccionar 5 niveles 7, 36, 46, 80 y 8 °C. La conclusión que se puede obtener en este caso es similar al caso c.

En este material, a menos que se especifique lo contrario, los factores se consideran fijos.

3. Definir el diseño del experimento. Esto imp1ica definir de qué manera se efectuaran las pruebas y qué modelo matemático describe mejor el experimento. En el resto de este material se describen varios tipos de experimentos de los cuales se tomará el que mejor se ajuste a la situación particular.

4. Efectuar el experimento. Esto de acuerdo a lo que se defina en el paso 3.

5. Análisis de los datos. Estos son básicamente análisis estadísticos.

6. Conclusiones y toma de decisiones.

Una metodología (alterna) desarrollada por Douglas C. Montgomery es la siguiente:

ara usar un enfoque estadístico al diseñar y analizar un experimento se requiere que todos los participantes en él tengan de antemano una idea clara de qué es

exactamente lo que se va a estudiar, cómo se van a recopilar los datos y, al menos, una idea cualitativa de cómo se van a analizar. A continuación, se ofrece una guía del procedimiento recomendado:

P

1. Comprensión y planteamiento del problema.

Este punto pudiera parecer obvio; sin embargo, en la práctica no es sencillo darse cuenta de que existe un problema que requiere experimentación, ni diseñar un planteamiento claro y aceptable del mismo. Es necesario desarrollar todas las ideas sobre los objetivos del experimento. Suele ser importante solicitar la opinión de todas las partes implicadas. Un planteamiento claro del problema contribuye a menudo en

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forma sustancial a un mejor conocimiento del fenómeno y de la solución final del problema.

2. Elección de factores y niveles.

El experimentador debe elegir los factores que variarán en el experimento, los intervalos de dicha variación y los niveles específicos de interés a los cuales se hará el experimento. También debe considerarse la forma en que se controlarán estos factores para mantenerlos en los valores deseados, y cómo se les medirá. Para ello es necesario conocer el proceso de manera práctica y teórica.

3. Selección de la variable de respuesta.

Al seleccionar la respuesta o variable dependiente, el experimentador debe estar seguro de que la respuesta que se va a medir realmente provea información útil acerca del proceso de estudio. Con mayor frecuencia, el promedio o la desviación estándar (o ambos) de la característica medida serán la variable de respuesta. No son raras las respuestas múltiples. La capacidad de medición (o el error de medición) también es un factor importante. Si la capacidad de medición es deficiente, sólo puede esperarse que el experimento detecte efectos relativamente grandes de los factores; en caso contrario deben hacerse repeticiones.

4. Elección del diseño experimental.

Para elegir el diseño es necesario considerar el tamaño muestral (número de repeticiones), seleccionar un orden adecuado para los ensayos experimentales, y determinar si hay implicado bloqueo u otras restricciones de aleatorización.

Es importante tener presente los objetivos experimentales al seleccionar el diseño, se tiene interés en identificar qué factores causan diferencias en estimar la magnitud del cambio de la respuesta. En otras situaciones habrá más interés en verificar la uniformidad. Por ejemplo, pueden compararse dos condiciones de producción A y 8, siendo A la estándar y B una alternativa de menor costo. El investigador estará interesado en demostrar que no hay diferencia en cuanto a la productividad (por ejemplo), entre las dos condiciones.

5. Realización del experimento.

Cuando se realiza el experimento, es vital vigilar el proceso cuidadosamente para asegurar que todo se haga conforme a lo planeado. En esta fase, los errores en el procedimiento suelen anular la validez experimental. La planeación integral es decisiva

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para el proceso. En un complejo entorno de manufactura o investigación y desarrollo, es fácil subestimar los aspectos logísticos y de planeación de la realización de un experimento diseñado.

6. Análisis de datos.

Deben emplearse métodos estadísticos para analizar los datos, de modo que los resultados y conclusiones sean objetivos más que apreciativos. Existen muchos excelentes paquetes de software para el análisis de datos, y varios métodos gráficos sencillos son importantes en la interpretación de tales datos. El análisis de residuos y la verificación de la idoneidad del modelo son también técnicas de análisis de gran utilidad.

Hay que recordar que los métodos estadísticos sólo proporcionan directrices para la veracidad y validez de los resultados. Los métodos estadísticos, aplicados adecuadamente, no permiten probar algo experimentalmente, sólo hacen posible obtener el probable error de una conclusión, o asignar un nivel de confiabilidad a los resultados. La principal ventaja de los métodos estadísticos es que agregan objetividad al proceso de toma de decisiones. Las técnicas estadísticas, aunadas aun buen conocimiento técnico o del proceso y al sentido común, suelen llevar a conclusiones razonables.

7. Conclusiones y recomendaciones.

Una vez que se han analizado los datos, él experimentador debe extraer conclusiones prácticas de los resultados y recomendar un curso de acción. En esta fase a menudo son útiles los métodos gráficos, en especial al presentar los resultados a otras personas. También deben realizarse corridas de seguimiento y pruebas de confirmación para validar las conclusiones del experimento.

1.4. Aplicaciones del diseño de experimentos.

n muchas ocasiones él termino experimento se considera asociado exclusivamente para cuestiones científicas y teóricas; sin embargo tienen varias aplicaciones

prácticas.EAlgunos ejemplos son:

Si la materia prima que es entregada por tres diferentes proveedores producen características diferentes en el producto

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Si diferentes marcas de herramienta tienen o no vida diferente. Si la temperatura de recocido afecta o no alguna propiedad mecánica del producto. Si diferentes cabezales de una misma máquina producen productos similares. Si un nuevo método de ensamble incrementa o no la productividad en una línea de

producción. Cuál es el factor que más influye en la variabilidad de alguna característica de

calidad.

Es necesario tener claros y en todo caso revisar los siguientes conceptos estadísticos antes de seguir:

¿Qué es una prueba de hipótesis? ¿Qué e s un error tipo I y Qué es un error tipo II? ¿Qué es una prueba t para comparar dos medias? ¿Qué es la potencia de una prueba de hipótesis? ¿Qué es control estadístico?. ¿Qué es nivel de significancia?.

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2. ANALISIS DE VARIANZA DE UN FACTOR (ANOVA 1 VIA)

2.1 Introducción

El análisis de la varianza de un factor (ANOVA) es una metodología para analizar la variación entre muestras y la variación al interior de las mismas mediante la determinación de varianzas. Es llamado de una vía porque analiza un variable independiente o Factor ejemplo: Velocidad. Como tal, es un método estadístico útil para comparar dos o más medias poblacionales. El ANOVA de un criterio nos permite poner a prueba hipótesis tales como:

H0=μ1=μ2=μ3=.. . .=μkH1 : Al menos dos medias poblacionales son diferentes .

Los supuestos en que se basa la prueba t de dos muestras que utiliza muestras independientes son:

1. Ambas poblaciones son normales.

2. Las varianzas poblacionales son iguales, esto es, σ 12=σ2

2 .

El estadístico tiene una distribución muestral resultando:

Fc=sb

2

sw2

El valor crítico para la prueba F es:

Fα , (k−1) , k (n−1))

Donde el número de grados de libertad para el numerador (Sb^2 > Sw^2) es k-1 y para el denominador es k(n-1), siendo α el nivel de significancia.

k = número de muestras.

Por ejemplo:

Ejemplo: Se tienen 14 empleados seleccionados al azar que se someten a 3 diferentes cursos de entrenamiento: Programa 1, Programa 2 y Programa 3.

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Como los empleados se seleccionan aleatoriamente para cada programael diseño se denomina DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADOSe observa el aprovechamiento de los empleados en los programas:

TRATAMIENTOS

I c=1 c=2 c=3 J

Programa 1 Programa 2 Programa 3r=1 85 80 82r=2 72 84 80r=3 83 81 85r=4 80 78 90r=5 ** 82 88

Medias 80.00 81.00 85.00 XjMedia de medias o media total 82.14

2.2 Tipos de variación y sumas de cuadrados

1. Variación total entre los 14 empleados, su puntuación no fue igual con todosVARIACIÓN TOTAL RESPECTO A LA MEDIA GENERAL

SCT = (85-82.14)2 + (72-82.14)2+(83-82.14)2+.....+(88-82.14)2SCT = 251.7

2. Variación entre los diferentes tratamientos o Variación entre muestras o variación entre programa 1, programa 2 y programa 3

EFECTO DE LA MEDIA DE CADA TRATAMIENTO RESPECTO A LA MEDIA GENERAL

SCTR = 4(79.5 - 81.3333)2 + 5(81 - 81.3333)2 + 5(85 - 81.333)2SCTR = 65.71

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SCT=∑i=1

r

∑j=1

c

(Xij−X )2

SCTR=∑j=1

r

r j( X j−X )2


3. Variación dentro de un tratamiento o muestra o programa dado que no todos los empleados dentro de un mismo programa obtuvieron los mismos puntajes. Se denomina Variación dentro de los tratamientos.

VARIACIÓN DENTRO DEL TRATAMIENTO O VARIACIÓN DEL ERRORCADA VALOR RESPECTO A LA MEDIA DE SU TRATAMIENTO

SCE = SCT - SCTR = 186

4. Grados de libertad

Grados de libertad totales = n - 1 = 14-1 = 13Grados de libertad de los tratamientos = c - 1 = 3 - 1 = 2Grados de libertad del error = gl. Totales - gl. Tratamientos = 13 - 2 = 11

gl SCT = gl SCTR + gl SCE gl SCE = gl SCT - gl SCTR = (n -1) - (c - 1) = n -c

5. Cuadrados medios (Suma Cuadrados/ Grados libertad)CMT = Cuadrado medio total = SCT / (n-1) = 19.4CMTR = Cuadrado medio del tratamiento = SCTR / (c -1) = 32.9CME = Cuadrado medio del error = SCE/ gle.= 16.9

6. Estadístico de prueba Fc y estadístico F crítico de alfa

Fc = CMTR / CME= 1.946745562

Cálculo de F con Excel=DISTR.F.INV(ALFA, GL. TR, GL. ERR) =DISTR.F.INV(0.05, 2, 11) = 3.982297957

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SCE=∑i=1

r

∑j=1

c

( X ij−X j )2

Falfa , gl .numerador , gl.deno minador=Fα , c−1 , n−c


NO RECHAZAR ZONA DE

RECHAZO

Distr. F

Como Fc es menor a Falfa no se rechaza Ho y las medias son iguales.

7. Valor de P Fc

P = distr.f(Fc, gl. SCTr, gl. SCE) = distr.f(1.946, 2, 11) = 0.18898099Como P es mayor a alfa no se rechaza HoCONCLUSION: NO HAY SUFICIENTE EVIDENCIA PARA RECHAZAR HO, LAS MEDIAS DE LOS TRATAMIENTOS SON IGUALES

TABLA DE ANOVA

FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO CUADRADOS LIBERTAD MEDIO VALOR F Entre muestras (tratam.) SCTR c-1 CMTR CMTR/CMEDentro de muestras (err.) SCE n-c CMEVariación total SCT n-1 CMT

Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa

2.3 Uso de Excel:

En el menú herramientas seleccione la opción Análisis de datos, en funciones para análisis seleccione Análisis de varianza de un factor.

En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos (todas las columnas a la vez).

Alfa = 0.05 En Rango de salida indicar la celda donde se iniciará la presentación de

resultados.

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RESUMEN Análisis de varianza de un factorGrupos Cuenta Suma Promedio Varianza

Programa 1 4 320 8032.66666

7Programa 2 5 405 81 5Programa 3 5 425 85 17

ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de

Promedio de

VariacionesSuma

cuadrados libertad Cuadrados FcProbabilida

d F crítica

Entre grupos 65.71428571 232.8571428

61.943164

4 0.189377313.9822979

6Dentro de grupos 186 11

16.90909091

Total 251.7142857 13

2.4 Uso de Minitab

Stat > ANOVA > One Way (Unstacked)en Responses in separate columns Indicar las columnas de datosEn Confidence Level 95%Seleccionar Comparisons Tukey 5%OK

One-way ANOVA: Programa 1, Programa 2, Programa 3

Source DF SS MS F PFactor 2 65.7 32.9 1.94 0.189Error 11 186.0 16.9Total 13 251.7

S = 4.112 R-Sq = 26.11% R-Sq(adj) = 12.67%

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev

Level N Mean StDev ----+---------+---------+---------+-----Programa 1 4 80.000 5.715 (------------*------------)Programa 2 5 81.000 2.236 (----------*-----------)Programa 3 5 85.000 4.123 (-----------*----------) ----+---------+---------+---------+----- 77.0 80.5 84.0 87.5Pooled StDev = 4.112

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NOTA: Si los Intervalos de confianza se traslapan, las medias son iguales estadísticamente

Tukey 95% Simultaneous Confidence IntervalsAll Pairwise Comparisons

Individual confidence level = 97.94%

Programa 1 subtracted from:

Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+-Programa 2 -6.451 1.000 8.451 (------------*-----------)Programa 3 -2.451 5.000 12.451 (-----------*------------) --------+---------+---------+---------+- -6.0 0.0 6.0 12.0

Programa 2 subtracted from:

Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+-Programa 3 -3.025 4.000 11.025 (-----------*----------) --------+---------+---------+---------+- -6.0 0.0 6.0 12.0

NOTA: Si el cero se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia entre medias, este par de medias no son diferentes.

2.5 Grafica de residuos contra el valor ajustado de y ij

i el modelo es correcto y las suposiciones se satisfacen, los residuos no deben tener algún patrón, ni deben estar relacionados con alguna variable, incluyendo la

respuesta Yij. Una comprobación sencilla consiste en graficar los residuos contra los

valores ajustados y ij (debe recordarse que para el modelo en un sentido y ij- y i . , el promedio del tratamiento i-ésimo). En esta grafica no debe revelarse ningún patrón obvio en la siguiente figura se grafican los residuos contra los valores ajustados de los datos de la resistencia a la tensión del ejemplo 2.3 Ningún patrón inusual es evidente.

S

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Grafica de residuos contra valores ajustados

Un efecto que en ocasiones revela la grafica es el de una varianza variable. Algunas veces la varianza de las observaciones lo hace. Esto resulta cuando el error es proporcional a la magnitud de la observación (comúnmente esto sucede en instrumentos de medición – el error es proporcional a la escala de la lectura). Si este es el caso, los residuos aumenta a medida que Yij lo hace, y la grafica de los residuos

contra Y ij parecerá un embudo que se ensancha o un altavoz. La varianza variable también ocurre en casos cuyos datos no tienen distribución normal y están sesgados, porque en las distribuciones sesgadas la varianza tiende a ser función de la media.

2.6 Ejercicios

1. Cuatro catalizadores que pueden afectar la concentración de un componente en una mezcla líquida de tres componentes están siendo investigado.

Se obtienen las siguientes concentraciones: Catalizado

rA B C D

58.2 56.3 50.1 52.957.2 54.5 54.2 49.958.4 57 55.4 5055.8 55.3 51.754.9

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2. Para determinar si existe diferencia significativa en el nivel de Matemáticas de 4 grupos de estudiantes de Ingeniería se realizó un examen aleatorio a 6 individuos por grupo. Determine cuales son los grupos en los cuales existen diferencias a un 95% de nivel de confianza.

3. Las calificaciones en el examen a 18 empleados de tres unidades de negocioSe muestran a continuación:Probar si no hay diferencia entre las unidades a un 5% de nivel de significancia.

A B C85 71 5975 75 6482 73 6276 74 6971 69 7585 82 67

4. Probar si hay diferencia en los tiempos de servicio de 4 unidades de negocio para el mismo servicio a un nivel de significancia del 5%.

A B C D5.4 8.7 11.1 9.97.8 7.4 10.3 12.85.3 9.4 9.7 12.17.4 10.1 10.3 10.88.4 9.2 9.2 11.37.3 9.8 8.8 11.5

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3. ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VÍAS o DIRECCIONES (ANOVA 2 VIAS)

3.1 Introducción

En este caso las fórmulas son parecidas a la del ANOVA de una vía pero ahora agregando el cálculo por renglones adicional al de columnas donde se incluye la variable de bloqueo. El bloqueo es completamente al azar.

Se trata de bloquear un factor externo que probablemente tenga efecto en la respuesta pero que no hay interés en probar su influencia, sólo se bloquea para minimizar la variabilidad de este factor externo, evitando que contamine la prueba de igualdad entre los tratamientos.

Los tratamientos se asignan a las columnas y los bloques a los renglones. Un bloque indica condiciones similares de los sujetos al experimentar con diferentes tratamientos.

Las hipótesis son:

Ho: No hay diferencia en las medias del factor de columnaHa: Al menos una media del factor de columna es diferente

Ho: No hay diferencia en las medias de la variable de renglónHa: Al menos una media de la variable de renglón es diferente

3.2 Ejemplos con cálculo manual

Ejemplo 1.Suponiendo que se quiere investigar si la producción de tres diferentes máquinas es igual, tomando en cuenta la experiencia de los operadores a un nivel de significancia del 5%.

Experiencia Máquinas de ops. En años Maq 1 Maq 2 Maq 3 Promedios

1 27 21 25 24.333332 31 33 35 333 42 39 39 404 38 41 37 38.66667

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5 45 46 45 45.33333Promedios 36.6 36 36.2 36.26667

TABLA ANOVA SS GL CM Fc Falfa

SCTR= 0.933333 2 CMTR= 0.466667 Ftr = 0.09 4.46

SCBL= 764.9333 4 CMBL= 191.2333Fbl = 37.25 3.84

SCE = 41.06667 8 CME= 5.133333 SCT = 806.9333 14 CMT= 57.6381

Conclusión: No hay diferencia entre máquinas a pesar de la diferencia en experiencia de los operadores.

Ejemplo 2 (Problema 4.1 del Texto de Montgomery, Análisis y diseño de experimentos)

Un químico quiere probar el efecto de 4 agentes químicos sobre la resistencia de un tipo particular de tela. Debido a que podría haber variabilidad de un rollo de tela a otro, el químico decide usar un diseño de bloques aleatorizados, con los rollos de tela considerados como bloques. Selecciona 5 rollos y aplica los 4 agentes químicos de manera aleatoria a cada rollo. A continuación se presentan las resistencias a la tención resultantes. Analizar los datos de este experimento (utilizar α=0.05) y sacar las conclusiones apropiadas.

3.3 Procedimiento en Excel

En el menú herramientas seleccione la opción Análisis de datos, en funciones para análisis seleccione Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo.

En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos. Alfa = 0.05 En Rango de salida indicar la celda donde se iniciará la presentación de

resultados.

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RolloAgente Químico 1 2 3 4 5

1 73 68 74 71 672 73 67 75 72 703 75 68 78 73 684 73 71 75 75 69


Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupoRESUMEN Cuenta Suma Promedio Varianza

Fila 1 5 353 70.6 9.3Fila 2 5 357 71.4 9.3Fila 3 5 362 72.4 19.3Fila 4 5 363 72.6 6.8

Columna 1 4 294 73.5 1Columna 2 4 274 68.5 3Columna 3 4 302 75.5 3Columna 4 4 291 72.75 2.92Columna 5 4 274 68.5 1.67

ANÁLISIS DE VARIANZA

Fuente de Suma deGrados

de Cuadrados Fc ProbabilidadF

tablasvariación Cuadrados libertad medios Valor PFilas 12.95 3 4.32 2.38 0.12 3.49Columnas 157 4 39.25 21.61 2.06E-05 3.26Error 21.8 12 1.82Total 191.75 19 Total 231 24

En la tabla observamos que el estadístico de prueba Fc es menor al valor crítico para F 2.38<3.49, por lo cual no rechazamos al Hipótesis nula H0. No tenemos evidencia estadística para afirmar que el agente químico tenga influencia en la respuesta.

Sin embargo observamos que el rollo si tiene influenza significativa en la respuesta (P<0.05).

3.4 ANOVA en Minitab

Utilice α=0 . 05 para calcular si hay diferencias entre los efectos de las columnas y los renglones.

Introducir los datos arreglados con las respuestas en una sola columna e indicando a que renglón y columna pertenece cada uno de estos, como sigue:

RespColumn

a Fila73 1 173 1 275 1 3

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73 1 468 2 167 2 268 2 371 2 474 3 175 3 278 3 375 3 471 4 172 4 273 4 375 4 467 5 170 5 268 5 369 5 4

Instrucciones:

Stat > ANOVA > One two Way Response Respuesta, indicar Row factor y Column Factor, Seleccionar º! Display MeansSeleccionar º! Store Residuals º! Store Fits Confidence level 95%

Graphs Seleccionar Normal plot of residualsOKResultados:

La gráfica normal de residuos debe mostrar los residuos aproximados por una recta para validar el modelo:

Los residuos se aproximan a la distribución normal por lo cual se concluye que se está utilizando un modelo válido.

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Two-way ANOVA: Resistencia versus Agente Químico, Rollo

Source DF SS MS F PAgente Químico 3 12.95 4.3167 2.38 0.121Rollo 4 157.00 39.2500 21.61 0.000Error 12 21.80 1.8167Total 19 191.75

S = 1.348 R-Sq = 88.63% R-Sq(adj) = 82.00%

Como el valor de P es menor a 0.05 el Rollo tiene influencia significativa en la resistencia.

Individual 95% CIs For Mean Based onAgente Pooled StDevQuímico Mean ---+---------+---------+---------+------1 70.6 (----------*----------)2 71.4 (----------*----------)3 72.4 (----------*----------)4 72.6 (----------*----------) ---+---------+---------+---------+------ 69.6 70.8 72.0 73.2

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevRollo Mean --+---------+---------+---------+-------1 73.50 (-----*-----)2 68.50 (-----*-----)3 75.50 (-----*-----)4 72.75 (-----*-----)

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5 68.50 (-----*-----) --+---------+---------+---------+------- 67.5 70.0 72.5 75.0

Se seleccionarían en 2º y 5º rollo ya que tienen los valores más pequeños.

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4. DISEÑOS FACTORIALES

4.1 Principios y definiciones básicas

uchos experimentos se llevan a cabo para estudiar los efectos producidos por dos o más factores. Puede mostrarse que en general los diseños

factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos. Por diseño factorial se entiende aquel en el que se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada ensayo completo o réplica del experimento. Por ejemplo, si existen “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B, entonces cada réplica del experimento contiene todas las “ab” combinaciones de los tratamientos. A menudo, se dice que los factores están cruzados cuando éstos se arreglan en un diseño factorial.

M

El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un cambio en el nivel del factor. Con frecuencia, éste se conoce como efecto principal porque se refiere a los factores de interés primordial del experimento. Por ejemplo, consideremos los datos de la tabla 1. El efecto principal del factor A podría interpretarse como la diferencia entre la respuesta promedio en el primer y segundo nivel de ese factor. Numéricamente:

Tabla 1 Un experimento factorial

A=40+52

2−

20+302

=21

En otras palabras incrementar el factor A del nivel 1 al 2 produce un cambio en la respuesta promedio de 21 unidades. Similarmente, el efecto principal de B es:

B=30+52

2−

20+ 402

=11

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20 30

40 52

B1 B2

A1

A2

Factor B

Factor A

20 30

40 52

B1 B2

A1

A2

Factor B

Factor A


Si los factores tienen más de dos niveles, el procedimiento anterior debe ser modificado ya que las diferencias entre las respuestas promedio pueden expresarse de muchas formas.

En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre existe una interacción entre los factores. Por ejemplo, considérense los datos de la Tabla 2.

Tabla 2. Un experimento factorial con interacción

En el primer nivel del factor B, el efecto de A es: A = 50 - 20 = 30

Mientras que en el segundo nivel de B, el efecto de A es: A = 12 - 40 = 28

Puede observarse que existe una interacción entre los factores A y B porque el efecto de A depende del nivel elegido de B.

Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la Fig. 1 se muestra una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 1 contra los niveles del factor A para ambos niveles del factor B. Se observa que las rectas B1 y B2 son, aproximadamente, paralelas. Esto indica que no hay interacción entre los factores. De manera similar, en la Fig. 2 se presenta una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 2.

Figura 1 Un experimento factorial sin interacciones

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20 40

50 12

B1 B2

A1

A2

Factor B

Factor A

20 40

50 12

B1 B2

A1

A2

Factor B

Factor A

102030405060

A1 A2

B1B2

B1B2

Resp

uest

a

Factor A

102030405060

A1 A2

B1B2

B1B2

Resp

uest

a

Factor A


En este caso se ve que las rectas B1 y B2 no son paralelas. Esto muestra que existe una interacción entre A y B. Sin embargo, no debe ser la única técnica para analizar los datos, porque su interpretación es subjetiva y su apariencia, a menudo, es engañosa.

Figura 2 Un experimento factorial con interacciones

Hay que notar que cuando una interacción es grande los correspondientes efectos principales tienen poco significado práctico. Una estimación del efecto principal de A de los datos de la Tabla 2 es:

A=50+12

2−

20+402

=1

El cual resulta ser muy pequeño corriéndose el riesgo de concluir que no existe un efecto debido a A. Sin embargo, cuando se examinó el efecto de A en niveles diferentes de B se concluyó que éste no era el caso. El factor A tiene un efecto, pero depende del nivel del factor B. En otras palabras, es más útil conocer la interacción AB que el efecto principal. Una interacción significativa oculta a menudo el significado de los efectos principales.

Ventajas de los diseños factoriales

as ventajas de los diseños factoriales pueden ilustrarse fácilmente. Supongamos que se tienen dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Estos niveles se

representan mediante A1, A2, B1 y B1. La información acerca de ambos factores puede obtenerse variando un factor a la vez como aparece en la tabla 3. El efecto de variar el factor A está dada por A2B1 -A1B2. A causa de que existe error experimental, es conveniente realizar, por ejemplo, dos observaciones de cada combinación de tratamientos y hacer una estimación de los efectos de los factores usando las respuestas promedio. Por lo tanto, se requiere un total de seis observaciones.

L

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102030405060

A1 A2

B1

B2

B1

B2

Resp

uest

a

Factor A

102030405060

A1 A2

B1

B2

B1

B2

Resp

uest

a

Factor A


Tabla 3 El método de un factor a la vez

Los diseños factoriales poseen algunas ventajas.

Son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez.

Los diseños factoriales son necesarios cuando alguna interacción puede estar presente, para evitar hacer conclusiones engañosas.

Los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor en diversos niveles de los otros factores, produciendo conclusiones que son válidas sobre toda la extensión de las condiciones experimentales.

4.2 Diseño factorial de dos niveles (2^K)

l primer diseño de la serie 22 es aquel en el que solo dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial 22. Arbitrariamente,

los niveles del factor pueden llamarse “bajo” y “alto”.EEjemplo 1 Considérese una investigación llevada a cabo para estudiar el efecto que tiene la concentración de un reactivo y la presencia de un catalizador sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el factor A con dos niveles de interés, 15% y 20%. El catalizador constituye el factor B; el nivel alto o superior denota el uso de dos sacos de catalizador y el nivel bajo o inferior denota el uso de un solo saco. El experimento se realiza (“replica o repite”) tres veces, y los datos son como sigue:

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A1B1 A1B2

A2B1 12

B1 B2

A1

A2

Factor B

Factor A

A1B1 A1B2

A2B1 12

B1 B2

A1

A2

Factor B

Factor A


En la figura 3 siguiente se presentan gráficamente las combinaciones de tratamiento para este diseño, el efecto de un factor se denota por la letra latina minúscula. De este modo, “A” se refiere al efecto del factor “A”, y “B” se refiere al efecto del factor “B”, y “AB” se refiere a la interacción entre AB. En el diseño 22 los niveles bajo y alto de A y B se denotan por “-“ y “+” respectivamente, en los ejes A y B. Así – en el eje B representa el nivel bajo de catalizador mientras que + denota el nivel alto.

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Combinación detratamientos

ReplicaI II III Total

A baja, B baja 28 25 27 80A alta, B baja 36 32 32 100A baja, B alta 18 19 23 60A alta, B alta 31 30 29 90


Las cuatro combinaciones de tratamientos en el diseño pueden representarse por letras minúsculas, cono se muestra en la figura 3. En esta figura se aprecia que el nivel superior de cualquier factor de una combinación de tratamientos está representado por la presencia de la letra minúscula correspondiente, mientras que la ausencia de esta ultima representa el nivel inferior del factor.

Así

“a” representa la combinación de tratamientos, en la que A se encuentra en el nivel superior y B en el nivel inferior;

“b” representa aquella en la que A se halla en el nivel inferior y B en el superior, y

“ab” representa a ambos factores en el nivel superior.

Por convención (1) se usa para representar a ambos factores en el nivel inferior. El efecto promedio de un factor se define como el cambio en la respuesta

producida por un cambio en el nivel de ese factor, promediado sobre los niveles del otro factor.

Como se ilustra en la figura 3, las letras minúsculas (1), a, b y ab también se usan para representar los totales de las n replicas de las combinaciones de tratamientos correspondientes. Ahora bien, el efecto de A en el nivel B es {a-(1)}/n. Mientras que el nivel superior B es {ab-b}/n. Tomando el promedio de estas dos cantidades se obtiene:

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Alto (2 sacos) +

bajo (1 saco) -

-bajo (15%)

+alto (20%)

Concentracion de reactivo A

Cant

idad

de c a

tali z

a do r

B b = 60(18+19+23) ab = 90(31+30+19)

(1) = 80(28+25+27) a = 100(36+32+32)

Figura 1: Combinaciones de tratamiento en el diseño factoriall

Alto (2 sacos) +

bajo (1 saco) -

-bajo (15%)

+alto (20%)

Concentracion de reactivo A

Cant

idad

de c a

tali z

a do r

B b = 60(18+19+23) ab = 90(31+30+19)

(1) = 80(28+25+27) a = 100(36+32+32)

Figura 1: Combinaciones de tratamiento en el diseño factoriallFig. 3


A=1

2n{[ ab−b ]+ [a−(1) ]}= 1

2n[ab−a−b−(1)]

El efecto promedio de B se determina a partir de su efecto en el nivel inferior de A (esto es, {b-(1)}/n, y de su efecto en el nivel superior de A (que es igual a [ab-a]/n obteniéndose:

B=1

2n{ [ab−a ]+ [b−(1) ]}= 1

2n[ab+b-a−(1 )]

El efecto de la interacción AB se define como la diferencia promedio entre el efecto de A en el nivel superior de B y su efecto en el nivel inferior de B, así:

AB=1

2n{[ ab−b ]−[a−(1)] }= 1

2n[ ab+(1)−a−(b )]

Por otro lado se puede definir AB como la diferencia promedio entre el efecto de B en el nivel superior de A y el efecto de B en el nivel inferior de A.

Las formulas para los efectos de A, B y AB pueden deducirse por otro método. El efecto de A puede hallarse como la diferencia en la respuesta promedio de las dos

combinaciones de tratamiento en la mitad derecha (que llamaremos Y A+, puesto que es la respuesta promedio para las combinaciones de tratamientos a las que A que se encuentra en el nivel alto) y las dos combinaciones de tratamientos en la mitad izquierda (o Y A). Esto es,

A=Y A+−Y A−

= ab+a2n

−b+(1)

2n

=1

2n[ ab+a−b−(1)]

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Este es exactamente el mismo resultado, el efecto de B se encuentra como la diferencia entre el promedio de las dos combinaciones de tratamientos en la parte superior del cuadrado (Y B+) y el promedio de las dos combinaciones de tratamientos

en la parte inferior (Y B-), o

B=Y B+−Y B−

= ab+b2n

−a+(1)

2n

=1

2n[ab+b−a−(1)]

Finalmente el efecto de interacción AB es el promedio de las combinaciones de tratamientos en la diagonal de derecha a izquierda del cuadrado ab y (1) menos el promedio de las combinaciones de tratamientos en la diagonal de izquierda a derecha (a y b), o

AB=ab+(1)

2n− a+b

2n

=1

2n[ ab+(1)−a−b ]

Con los datos que aparecen en la figura 1, las estimaciones de los efectos promedio son:

A=1

2(3)(90+100−60−80)=8 .33

B=1

2(3)(90+60−100−80)=−5 .00

AB=1

2(3)(90+80−100−60)=1.67

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El efecto de A (concentración de reactivo) es positivo; esto sugiere que al elevar A del nivel bajo (15%) al nivel alto (25%) incrementará el rendimiento. El efecto de B (catalizador) es negativo; esto sugiere que elevar la cantidad del catalizador agregada al proceso reducirá el rendimiento. Al parecer, el efecto de interacciones es pequeño comparado con los dos efectos principales.

En muchos experimentos que implican diseños 2K se examina la magnitud y la dirección de los efectos de los factores para determinar cuales variables es probable que sean importantes. Por lo general puede emplearse el análisis de varianza para confirmar esta interpretación. En el diseño 2k existen algunos métodos rápidos especiales para realizar los cálculos del análisis de varianza.

Consideremos la suma de cuadrados para A, B y AB. Obsérvese la primera ecuación que se utiliza un contraste para estimar A; esto es,

ContrasteA=ab+a−b−(1)

Este contraste suele llamarse efecto total de A. A partir de la segunda y tercera ecuación, puede apreciarse que también se utilizan contraste para estimar B y AB. Además, estos tres contrastes son ortogonales. La suma de cuadrados de cualquiera de ellos puede calcularse usando la siguiente ecuación:

SSc=(∑1

aciyi .)2/n∑a

aci2

.

Esta ecuación establece que la suma de cuadrados de contraste es igual al contraste elevado al cuadrado entre el producto del número de las observaciones de cada total del contraste por la suma de cuadrados de los coeficientes del mismo. En consecuencia, se obtiene que las sumas de cuadrados de A, B y AB sean:

SS A=[ ab+a−b−(1)]2

n*4

SSB=[ ab+b−a−(1)]2

n*4

SSAB=[ ab+(1)−a−b ]2

n*4

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Con los datos de la figura 3, las sumas de cuadrados se pueden calcular aplicando las ecuaciones anteriores, obteniéndose:

SS A=502

4 (3 )=208.33

SSB=−302

4 (3 )=75 . 00

SSAB=102

4 (3 )=8 . 33

La suma total de cuadrados se determina de la manera usual mediante:

SST=∑i=1

2 ∑ j=1

2 ∑k= 1

nY 2 ijk−Y 2. . .

4n

En general SST tiene 4n –1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error, con 4(n-1) G.L. se puede calcular en la forma usual, por diferencia, mediante.

SSE=∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

3

Y ijk2 − Y 2

4(3)=9398 . 00−9075. 00=323. 00

SSE=SST−SSA−SSB−SSAB

=323.00−208. 33−75 .00−8.33=31.34

El análisis de varianza completo se presenta en la tabla siguiente. Ambos efectos principales son significativos al 1%.

A menudo se es conveniente escribir las combinaciones de tratamientos en el orden (1), a, b, y ab. Este orden se conoce como orden estándar. Cuando se utiliza es posible apreciar que los coeficientes de los contrastes usados para estimar los efectos son

Efectos (1) a b AbA: -1 + -1 +1

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B:AB:

-1+1

1-1-1

+1-1

+1+1

Tabla ANOVA para los datos del ejemplo 1 es la siguiente:

Fuente devariación SS G.L. MS FoABABErrorTotal

208.33

75.008.33

31.34323.0

0

1118

11

208.3375.00

8.333.92

53.15a

19.13a

2.13

a significativo al 1%

Signos algebraicos para calcular los efectos en un diseño 22

CombinaciónDeTratamientos

Efecto Factorial

I A B AB

(1)abab

+ - - ++ + - -+ - + -+ + + +

Observe que los coeficientes de los contrastes usados para estimar la interacción son iguales al producto de los coeficientes correspondientes a los dos efectos principales. Los coeficientes de los contrastes siempre son +1 o –1 y se puede usar una tabla de signos positivos y negativos como la mostrada en la de signos algebraicos para determinar el signo apropiado de cada combinación de tratamientos. En el encabezado de las columnas de tabla y se encuentran los efectos principales (A y B), la interacción AB, e I, que representa el total el total o el promedio de todo el experimento. Se observa que la columna encabezada por I se compone de solo de signos positivos. Los renglones corresponden a las combinaciones de tratamientos.

Para encontrar un contraste con el fin de estimar cualquier efecto, simplemente se multiplican los signos de la columna apropiada de la tabla por la correspondiente

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combinación de tratamientos, y se suma. Por ejemplo, el contraste para estimar A es –(1) + a – b + ab, lo cual concuerda con la ecuación.

A=1

2n{[ ab−b ]+ [a−(1) ]}= 1

2n[ab−a−b−(1)]

Los tipos más sencillos de diseños factoriales implican sólo dos factores o conjuntos de tratamientos. Haya “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B, dispuestos en un diseño factorial; esto es, cada A repetición o réplica del experimento contiene todas las combinaciones de tratamiento ab. En general, hay n repeticiones.

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5. DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FRACCIONALES DE DOS NIVELES

5.1 Concepto de replicación fraccionada

Conforme el número de factores del experimento crece, el número de casillas o condiciones experimentales (y por lo tanto el número de lecturas o pruebas necesarias), crece exponencialmente en un experimento factorial. El número de efectos a evaluar (interacciones principalmente) crece exponencialmente también. El número de efectos y casillas varía con el número de factores en una relación como se muestra en la tabla siguiente para un experimento factorial 2k.

No. De No. De Efectosfactores casillas principales 1 3 4 5 6 7 8

4 16 4 6 4 15 32 5 10 10 5 16 64 6 15 20 15 6 17 128 7 21 35 35 27 7 18 256 8 28 58 70 56 28 8 1

Interacciones entre factores de

Así por ejemplo cuando se tienen siete factores, existen 128 posibles condiciones experimentales, lo que implica que al hacer una replicación por celda de todo el experimento requiere un total de 128 observaciones. Si se decide tomar dos replicas por celda, entonces serian necesarias 256 observaciones, lo cual es una cantidad excesiva de pruebas para fines prácticos.

Por otro lado, se necesitan 128 observaciones para un experimento con 7 factores por que se deben evaluar 127 posibles efectos (que son los grados de libertad totales en 128 observaciones) de estos efectos 7 son los factores principales, 21 interacciones de 2 factores, 35 de tres, 35 de cuatro, 27 de cinco en cinco, 7 de seis en seis y una interacción de 7 factores. En general el número de interacciones de k factores tomados r en r es:

K![ r!(k−r ) ! ]

El concepto de replicación fraccionada parte de las siguientes hipótesis:

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1. Las interacciones de tres o más factores son sumamente raras en la práctica, por lo que en general se pueden suponer como no existentes.

2. En un experimento de varios factores lo más probable es que solo algunos de ellos sean relevantes para la variable de respuesta.

3. La mayor parte del efecto se debe a los factores principales y algunas interacciones de dos factores.

Lo anterior implica que por ejemplo para siete factores son necesarios probablemente solo 28 grados de libertad (7 factores principales y 21 interacciones de dos factores), y esto equivale a solo 29 unidades de información y no 128 como en el experimento original. Esto quiere decir que no es necesario el correr una replicación completa de todo el experimento cuando el número de factores crece, sino solamente algunas casillas o condiciones experimentales.

Cuando solamente una parte de las posibles casillas se prueban, se dice que se tiene una replicación fraccionada del experimento.Las preguntas que surgen son:

1. ¿Cuántas y cuales casillas probar?2. ¿Cómo analizar los resultados?3. ¿Qué información se pierde?

El responder a estas preguntas es uno de los objetivos de la replicación fraccionaria.

5.2 Fracción un medio del diseño 2k

onsidérese el caso en el que se estudian tres factores de dos niveles cada uno, pero en el que los experimentadores no pueden costear las 23 = 8 combinaciones

de tratamientos, sin embargo, si se puede costear 4 observaciones. Esto sugiere una fracción un medio, de un diseño 23. la fracción un medio del diseño 23 se conoce también como un diseño 23-1 porque tiene 23-1 = 4 combinaciones de tratamiento.

C

En la tabla 1 aparecen signos positivos y negativos del diseño 23. Supóngase que para componer la fracción un medio, se seleccionan las combinaciones de tratamientos se usa indistintamente la notación convencional (a,b,c,...) y la de signos positivos y negativos. La equivalencia de las dos notaciones se muestra a continuación.

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Notación 1

Notación 2

a + - -b - + -c - - +abc + + +

Combinación deTratamientos

Efecto factorial

I A B C AB AC BC ABCa + + - - - - + +b + - + - - + - +c + - - + + - - +abc + + + + + + + +ab + + + - + - - -ac + + - + - + - -bc + - + + - - + -(1) + - - - + + + -

Tabla 1 Signos positivos para el diseño 23

Nótese que el diseño 23-1 se forma al seleccionar solo las combinaciones de tratamientos que producen un signo positivo sobre la columna ABC. Por esto ABC se denomina generador de una fracción particular. Además, la columna identidad I siempre es positiva, por lo cual:

I = ABC

Se denominara relación definitoria de nuestro diseño, en general, la relación definitoria de un factorial fraccionario siempre es el conjunto de todas las columnas que son iguales a la columna identidad I.

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c

abc

b

a

C BA

(a) Fracción principal I = ABC

ab

bc

(1)

ac

(b) Fracción alterna I = -ABC

c

abc

b

a

c

abc

b

a

C BA

C BA

(a) Fracción principal I = ABC

ab

bc

(1)

ac


ab

bc

(1)

ac



Las combinaciones de tratamientos del diseño 23-1 producen 3 G.L. que pueden usase para estimar los efectos principales. En la tabla 1 se muestra que las combinaciones lineales de las observaciones que se utilizan para estimar los efectos principales A, B, y C son:

L A=1/2 (a−b−c+abc )LB=1/2(−a+b−c+abc )LC=1/2(−a−b+c+abc )LBC=1/2(a−b−c+abc )LAC=1/2 (−a+b−c+abc )LAB=1/2 (−a−b+c+abc )

Por lo tanto LA = LBC, LB = LAC y LC = LAB. En consecuencia, es imposible distinguir entre A y BC, entre B y AC y entre C y AB. De hecho, es posible mostrar que cuando se estima A, B y C, en realidad, lo que sé esta haciendo es estimar A + BC, CB + AC y C + AB, respectivamente. Dos o más efectos que tienen esta propiedad se conoce como alias. En este ejemplo, A y BC, B y AC y C y AB son alias. Esto se indica empleando la notación:

L A→ A+BC,LB→B+ACLC→C+AB

La estructura de los alias de este diseño pueden determinarse fácilmente con la relación I = ABC, multiplicando cualquier efecto por la relación que define al diseño, modulo 2, da como resultado los alias de dicho efecto. En el ejemplo anterior, los alias son:

A*I = A*ABC = A2BC

O dado que el cuadrado de cualquier columna es simplemente la identidad I.

A = BC

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De modo similar, se encuentra que los alias de B y C son:

B*I = B*ABC = AB2C = AC C*I = C*ABC = ABC2 = AB

Esta fracción un medio o semifracción, con I = +ABC, suele llamarse fracción principal.

Ahora supóngase que se eligió la otra mitad de la réplica. Esta se compone de las combinaciones de tratamientos de la tabla 1 que tiene signo negativo asociado con ABC. Esta fracción un medio o alterna que consta de las siguientes corridas:

Notación 1

Notación 2

(1) - - -ab + + -ac + - +

abc - + +

La relación definitoria de este diseño es:I = -ABC

Usando la fracción alterna, las combinaciones lineales de las observaciones, L’A, L’B y L’C, son:

L' A→A−BCL' B→B−ACL'C→C−AB

Por lo tanto, en realidad se está estimando A – BC, B – AC y C – AB al estimar A, B y C con esta fracción. En la práctica, no importa cual de las dos fracciones se utilice. Generalmente la fracción asociada con I = +ABC se denomina fracción principal. Ambas fracciones pertenecen a la misma familia; en otras palabras, estas dos fracciones forman el diseño 23 completo.

5.3 Resolución del diseño

l diseño anterior 23-1 se conoce como diseño de resolución III. En tal diseño los alias de los efectos principales son interacciones de dos factores. Un diseño es

resolución R si ningún efecto de p factores es alias de otro efecto que tenga menos R – E

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p factores. Usualmente, se emplea el numeral romano como subíndice para indicar la resolución del diseño. Así, la fracción un medio del diseño 23 definido por la relación I =

ABC (o bien I = - ABC) constituye un diseño 2III

3−1.

Los diseños de resolución III, IV y V son de importancia primordial. A continuación, se presenta la definición de estos diseños junto con un ejemplo.

1. Diseño con resolución III: éstos son diseños en los que ningún efecto principal es alias de otro, pero si lo son de las interacciones de dos factores; a su vez, estas últimas son alias entre sí. El diseño 23-1 de la tabla 4.1 es de resolución III.

2. Diseño con resolución IV: En estos diseño ningún efecto principal es alias de otro efecto principal, o bien, de alguna interacción de dos factores. Las interacciones de dos factores son “alias” entre sí. Un diseño 24-1 con I = ABCD es de resolución

IV (2IV4−1

).

3. Diseños resolución V: Estos son diseños en los que ningún efecto principal o interacción de dos factores es alias de ningún efecto principal o interacciones

entre dos factores, un diseño 25-1 con I = ABCDE es de resolución V (2V5−1

).

En general, la resolución de un diseño factorial fraccionario de dos niveles es igual al mínimo número de letras de cualquier palabra de la relación que define al diseño. En consecuencia, los diseños anteriores, a menudo, se conocen como diseños de 3, 4 y 5 letras, respectivamente. Por lo general se deben usar diseños fraccionarios con la mayor resolución posible congruentes con el fraccionamiento requerido. A mayor resolución, las suposiciones relativas a las interacciones que deben despreciarse con el propósito de hacer una interpretación única de los datos son menos restrictivas.

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6. DISEÑOS DE EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS

6.1 Diseño factorial completo de 2 factores

Un ingeniero decide probar los tres materiales de la cubierta, único factor controlable a tres niveles de temperatura (15, 70 y 125 °F) consistentes en el entorno de uso final del producto. Se prueban cuatro baterías a cada combinación de material de la cubierta y temperatura, y las 36 pruebas se ejecutan al azar.

En la tabla 1 se presentan el experimento y los datos resultantes de duración observada de las baterías.

En este problema, el ingeniero desea contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Qué efecto tienen el tipo de material y la temperatura sobre la duración de la batería? 2. ¿Existe una elección del material que dé por resultado una duración uniformemente larga sin importar la temperatura?

Tipo de materialTemperatura F

15 70 1251 13

0155 34 40 20 70

74 180 80 75 82 583 15

0188 126 12

225 70

159

126 106 115

58 45

3 138

110 174 120

96 104

168

160 150 139

82 60

Tabla 1. Duración en horas para el ejemplo del diseño de una batería

Esta última pregunta reviste particular importancia. Existe la posibilidad de hallar un material que no sea muy afectado por la temperatura. De ser así, el ingeniero puede hacer que la batería sea robusta a la variación de temperatura en el campo. Éste es un

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ejemplo del uso del diseño experimental estadístico para el diseño de un producto robusto (o consistente), un importante problema de ingeniería.

Este diseño es un ejemplo específico del caso general de un diseño con dos factores (bifactorial). Para pasar al caso general, sea Yijk la respuesta observada cuando el factor A se encuentra en el i-ésimo nivel (i -1, 2,..., n). En general, los datos observados se verán como en la tabla 2. El orden en el cual se toman las abn observaciones es aleatorio, de modo que éste es un diseño completamente aleatorizado.

Tabla 2. Disposición general para un diseño bifactorial

Las observaciones pueden describirse mediante el modelo estadístico lineal:

Yijk=μ+τi+βj+ (τβ ) ij+εijk¿ { i=1,2, . .. ,a ¿ { j=1,2, . .. ,b ¿ ¿¿¿En donde es el efecto medio general, i es el efecto del i-ésimo nivel del factor renglón A, j es el efecto del j-ésimo nivel del factor columna B, ()ij es el efecto de la interacción entre i y j, ijk es el componente del error aleatorio. Inicialmente se supone que ambos factores son fijos y que los efectos de tratamiento se definen como

desviaciones de la media general, por lo tanto. ∑i=1

aτi=0;∑ j=1

bβj=0 Se supone que los

efectos de interacción son fijos y que se definen dé manera que: ∑i=1

a( τβ ) ij=0 . Hay un

total de abn observaciones porque se realizan n réplicas.

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En un diseño factorial de dos factores, tanto los factores (o tratamientos) de renglón como de columna tienen la misma importancia, específicamente el interés consiste en probar hipótesis acerca de la igualdad de los efectos de tratamiento de renglón, es decir:

Ho: τ 1=¿ τ 2=. .. τ a=0 ¿H 1: al menos una τ i≠0Y de la igualdad de los efectos de tratamiento de columna:

Ho: β 1=¿ β 2=. .. β b=0 ¿H1: al menos una β j≠0También es interesante determinar sí los tratamientos de renglón y columna interaccionan. En otras palabras, resulta conveniente probar:

Ho: ( τβ )ij=0 para toda i,j

H1: al menos una ( τβ )ij≠0A continuación, se muestra cómo pueden probarse estas hipótesis usando un análisis de variancia bifactorial o bidireccional (de dos factores o en dos sentidos).

6.2 Análisis Estadístico del Modelo de Efectos Fijos

ea Yi..; el total de las observaciones bajo el i-ésimo nivel del factor A; Y.j. El total de las observaciones bajo el j-ésimo nivel del factor B, Yij. El total de las

observaciones de la ij-ésima celda, e Y... el total general de todas las observaciones. Se

definen Y i . . ;Y . j . y Y ij. y Y . ..como los promedios de renglón, columna, celda y general, respectivamente, matemáticamente:

S

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Yi ..=∑j= 1

b

∑k=1

n

Yijk Y i . .=Yi. .bn

;i=1,2, . .. ,a

Y . j .=∑i=1

a

∑k=1

n

Yijk Y . j .=Y . j .an

;j=1,2, . .. ,b

Yij .=∑k=1

n

Yijk Y ij .=Y . . .n

;¿ { i=1,2, . .. ,a ¿¿¿¿

¿

La suma total de cuadrados corregida puede expresarse mediante:

¿ a¿ ¿∑i=1

a

∑j=1

b

∑k=1

n

(Yijk−Y . . . )2= ¿ bn∑i=1

a

(Y i ..−Y . . .)2+an∑j=1

b

(Y . j .−Y . . .)2+n∑i=1

a

∑j=1

b

(Y ij .−Y i . .−Y . j .+Y . . .)2 ¿ +∑i=1

a

∑j=1

b

∑k=1

n

(Yijk-Y ij .)2 ¿¿Dado que los seis productos cruzados del segundo miembro de la ecuación anterior son iguales a cero. Se observa que la suma total de cuadrados se ha descompuesto en una suma de cuadrados debida a los “renglones” o al “factor” A (SSA) en una suma de cuadrados debida a las "columnas" o al factor B (SSB), en una suma de cuadrados debida a la interacción entre A y B (SSAB), y en una suma de cuadrados debida al error (SSE): Analizando el último término del miembro derecho de la Ecuación anterior es

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posible observar que es necesario tener al menos dos réplicas (n 2) para poder obtenerla suma de cuadrados del error.

Simbólicamente, la Ecuación anterior puede expresarse mediante:

SST=¿ SS A+¿ SSB+¿ SSAB+¿SS E ¿¿¿¿Los grados de libertad asociados a cada suma de cuadrados son:

Efecto Grados de libertadA a-1B b-1Interacción AB (a-1)(b-1)Error ab(n-1)Total abn-1

Esta descomposición del total de abn -1 grados de libertad para las sumas de cuadrados se puede justificar como sigue: Los efectos principales de A y B tienen a y b niveles, respectivamente, por lo tanto, tienen a -1 y b -1 grados de libertad como se muestra.

Los grados de libertad de la interacción simplemente corresponden a los grados de libertad de cada celda (los cuales son iguales a ab -1) menos los grados de libertad de los dos efectos principales A y B en otras palabras, ab -1 -(a -1) -(b -1) -(a- 1)(b -1). Dentro de cada una de las ab celdas hay n -1 grados de libertad entre las n réplicas, por lo tanto, hay ab(n -1) grados de libertad del error.

Se observa que la suma de los grados de libertad de los términos del miembro derecho de la ecuación anterior es igual al total de los grados de libertad.

Cada suma de cuadrados dividida entre sus grados de libertad produce una media de cuadrados.

Por lo tanto, para probar el significado de ambos efectos principales, así como de su interacción, simplemente deben dividirse las medias de cuadrados correspondientes entre la media de cuadrados del error. Valores grandes de estas razones implican que los datos no concuerdan con las hipótesis nulas.

Si se considera que el modelo estadístico es adecuado y que los términos del error ijk son independientes con distribuciones normales con variancia constante 2, entonces las razones de las medias de cuadrados MSA/MSE, MSB/MSE y MSAB/MSE tienen

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distribución F con a -1, b- 1 y (a -1)(b -1) grados de libertad en el numerador, respectivamente, y ab(n -1) grados de libertad en el denominador. Las regiones críticas corresponden al extremo superior de la distribución F. Usualmente la prueba se presenta en una tabla de análisis de variancia como la que aparece en la tabla 2.

Fuente deVariación SS G.L. MS FoTratamientos A SSA a - 1 MS A=

SS Aa−1

MS A

MS E

Tratamientos B SSB b - 1 MSB=SS Bb−1

MSBMSE

Interacción SSAB (a - 1)(b - 1)

MS AB=SS AB

(a−1 )(b−1)

MS ABMSE

Error SSE ab(n-1) MSB=SS E

ab (n−1 )Total SST abn - 1

Tabla 2 ANOVA para el modelo bifactorial de efectos fijos

Es posible obtener las fórmulas para calcular las sumas de cuadrados de la ecuación anterior. La suma total de cuadrados se calcula en forma usual mediante:

SST=∑i=1

a

∑j=1

b

∑k=1

n

Y 2 ijk−Y2.. .

abn

Las sumas de cuadrados para los efectos principales son:

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SS A=∑i=1

a Y 2i ..bn

−Y2 . ..

abn

SS B=∑j=1

b Y 2 . j .an

−Y2 .. .

abn

Es conveniente obtener SSAB en dos etapas. Primero se calcula la suma de cuadrados entre los totales de las ab celdas, conocida como la suma de cuadrados debido a los "subtotales":

SSsubtotales=∑i=1

a

∑j=1

b Y 2 ij .n

−Y2 . ..

abn

Esta suma de cuadrados contiene a la SSA y SSB. Por lo tanto, la segunda etapa consiste en calcular SSAB mediante:

SS AB=¿SSsubtotales−¿SS A−¿SS B ¿¿¿La SSE se calcula por diferencia:

SS E=¿SST−¿ SSAB−¿SS A−¿ SSB ¿o bien: ¿SS E=¿SST−¿SSSubtotales ¿¿¿ ¿

Ejemplo: Más sobre el experimento de diseño de una batería. En la tabla 3 se presenta la duración efectiva (en horas) observada en el ejemplo de diseño de una batería descrito en la anterior Los totales de renglón y de columna se indican en los márgenes de la tabla; los números subrayados son los totales de celda.

Tipo de

Mat.

Temperatura (F)

15 70 125 Yi..

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1 130

155 539/ 4=

134. 75

34

40

229

20

70

230

9987

4180

80

75

82

58

2 150

188

623

136

122 4

79

25

70

198

13001

59

126

106

115

58

45

3 138

110

576

174

120 5

83

96

104 3

42

15011

68

160

150

139

82

60

Y.j.=

1738 1291 770 Y...=

3799

Tabla 3. Duración (en horas) para el experimento de diseño de una batería

Las sumas de cuadrados se calculan a continuación:

SST=∑i=1

a

∑j=1

b

∑k=1

n

Y 2ijk−Y2 .. .

abn=

1302+1552+742+ .. .+602−37992

36=77,646. 97

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SSmaterial=∑i=1

a Y 2i ..bn

−Y2 .. .

abn=

9982+13002+15012

(3)(4 )−37992

36=10,683. 72

SStemperatura=∑j=1

b Y 2 . j .an

−Y 2. . .abn

=

17382+12912+7702

(3)(49 −37992

36 =39,118. 72

SSinteraccion=∑i=1

a

∑j=1

b Y 2ij .n

−Y 2 .. .abn

=

5392+2292+ . ..+3422

4 −37992

36 −10,683 .72−−39,118 .72=9,613 . 78

SS E=SST−SSmaterial−SStemperatura−SSinteraccion

SS E=77,646 . 97−10,638. 72−39,118 .72−9,613 . 78=

18,230. 75

El análisis de variancia aparece en la tabla 4. Se concluye que existe una interacción significativa entre el tipo de material y la temperatura porque F0.05,4.27 = 2.73. Además, también son significativos los efectos principales del tipo de material y de la temperatura, porque FO.O5.2.27 = 3.35.

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Fuente de variación SS

G.L. MS Fo

Tipo de material 10,683.72 2 5,341.86 7.91Temperatura 39,118.72 2 19,558.3

628.97

Interacción 9,613.78 4 2,403.44 3.56Error 18,230.75 27 675.21Total 77,646.97 35

Tabla 4. ANOVA para los datos de la duración de la batería

Como auxiliar en la interpretación de los resultados de este experimento resulta útil la construcción de una gráfica de las respuestas promedio de cada combinación de tratamiento. Esta gráfica se muestra en la figura 1.

Figura 1. Gráfica de respuesta vs temperatura

El hecho de que las rectas no sean paralelas indica una interacción significativa. En general, a menor temperatura mayor duración, independientemente del tipo de material.

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Material tipo 2255075100125150

Dura

cion

prom

edio

Temperatura 15 70 125

175

.ijY

Material tipo 1

Material tipo 3

Material tipo 2255075100125150

Dura

cion

prom

edio

Temperatura 15 70 125

175

.ijY

Material tipo 1

Material tipo 3


Al variar la temperatura de baja a intermedia, la duración aumenta con el material tipo 3, mientras que disminuye con los materiales tipo 1 y 2,

Cuando la temperatura varía de intermedia a alta, la duración disminuye con los materiales tipo 2 y 3, mientras que con el tipo 1 esencialmente permanece sin cambio. Al parecer, el material tipo 3 da los mejores resultados si lo que se desea es menor perdida de duración efectiva al cambiar la temperatura.

Para comprobar si el modelo es adecuado, se analizan los residuos que tengan un comportamiento aleatorio y normal.

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7. DISEÑO DE EXPERIMENTOS TAGUCHI

7.1 Introducción

La parte fundamental de la metodología ideada por el matemático japonés G. Taguchi es la optimización de productos y procesos, a fin de asegurar productos robustos, de alta calidad y bajo costo. La metodología Taguchi consta de tres etapas:

a) Diseño del sistema b) Diseño de parámetros c) Diseño de tolerancias

De estas tres etapas, la más importante es el diseño de parámetros cuyos objetivos son:a) Identificar qué factores afectan la característica de calidad en cuanto a su magnitud

y en cuanto a su variabilidad.b) Definir los niveles “óptimos” en que debe fijarse cada parámetro o factor, a fin de

optimizar la operación del producto y hacerlo lo más robusto posible. c) Identificar factores que no afectan substancialmente la característica de calidad a fin de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas.

Para lograr lo anterior se ha manejado una serie de herramientas estadísticas conocida como diseño de experimentos, tratadas anteriormente.

Taguchi ha propuesto una alternativa no del todo diferente que se que conoce como: Arreglos Ortogonales y las Gráficas Lineales.

La herramienta utilizada normalmente son diseños Factoriales fraccionados, sin embargo cuando el número de factores se ve incrementado, las posibles interacciones aumentan, así como la complicaciones para identificar cuáles son las condiciones específicas a experimentar.

Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicación factorial fraccionada, de manera que conserva el concepto de ortogonalidad y contrastes. Un experimento factorial fraccionado es también un arreglo ortogonal .

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Taguchi desarrolló una serie de arreglos particulares que denominó:

La (b)C

Donde:a = Representa el número de pruebas o condiciones experimentales que se tomarán. Esto es el número de renglones o líneas en el arreglo.

b = Representa los diferentes niveles a los que se tomará cada factor. c = Es el número de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el número de columnas.

7.2 Arreglos ortogonales para experimentos a dos niveles

En esta sección, se analiza qué son, cómo se usan y cuáles son los arreglos ortogonales más importantes para experimentos en los que cada factor toma dos niveles.Un arreglo ortogonal es una tabla de números. Como ejemplo de un arreglo ortogonal

tenemos el siguiente:De acuerdo con la notación empleada por Taguchi al arreglo mostrado como

ejemplo, se le llama un arreglo L4, por tener cuatro renglones.En general, para un arreglo a dos niveles, el número de columnas (efectos o factores) que se pueden analizar, es igual al número de renglones menos 1.

Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos niveles, los más utilizados y difundidos según el número de factores a analizar son:

No. de factores a analizar

Arreglo a utilizar

No. de condiciones a probar

Entre 1 y 3 L4 4Entre 4 y 7 L8 8Entre 8 y 11 L12 12Entre 12 y 15 L16 16

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Entre 16 y 31 L32 32Entre 32 y 63 L64 64

El arreglo ortogonal más popular es el arreglo L8, que se muestra a continuación junto con sus gráficas lineales:

L8 Col.1 Col. 2 Col. 3 Col. 4 Col. 5 Col. 6 Col. 7Exp. No. 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 2

Matriz o tabla de interacciones

Columnas 1 2 3 4 5 6 71 (1) 3 2 5 4 7 62 (2) 1 6 7 4 53 (3) 7 6 5 44 (4) 1 2 35 (5) 1 26 ¡(1) 67 (7)

1 3 2 3 5

1

.7 5 4 6

2 6 4 (a)

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(b) 7

Gráficas lineales

Los pasos para un diseño de experimentos de parámetros en el caso de menor es mejor son:

7.3 Caso menor es mejor

1. Seleccionar una característica de calidad de salida a ser optimizada.2. Seleccionar factores de control y sus niveles, identificando sus posibles interacciones.3. Seleccionar los factores de ruido y sus niveles; si son demasiados combinarlos en dos o

tres factores combinados.4. Seleccionar los arreglos interno y externo adecuados; asignar los factores de control al

arreglo interno y los factores de ruido al arreglo externo.5. Realizar los experimentos.6. Realizar análisis estadístico con base en S/N para identificar los niveles de los factores

de control óptimos Algunas veces ayuda realizar un estudio de la interacción entre factores de control y de ruido.

7. Realizar análisis estadístico con base en las medias para identificar los niveles de los factores de control óptimos que ajustan a la respuesta promedio en el nivel deseado. Si hay conflicto entre los niveles de los factores para maximizar la relación S/N y ajustar la media, dar prioridad a los que sirven para maximizar la relación S/N.

8. Predecir el desempeño de salida óptimo con base en una combinación óptima de niveles de factores de control y realiza un experimento confirmatorio.

Ejemplo: Disminución de la contaminación

Optimización de un método de purificación para drenajes contaminados con metales.

Las aguas residuales que contienen iones metálicos es muy riesgoso por su toxicidad y no biodegradable. Se propone utilizar óxidos de hierro hidratados con un pH adecuado para remover los metales dañinos. La característica de salida es la concentración remanente de metales en mg/L, con una respuesta menor es mejor.

Los factores de control son los siguientes:

Factores de control Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3A Contaminación de FeII 2 7 15B Temperatura ºC 25 50 75C Tiempo de añejamiento h 1 2 3D pH 8 10 12

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El factor de ruido introducido artificialmente es permanganato de potasio.

Factores de ruido Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3N Conc. De KMnO4 0.00375 0.0375 0.075

Se asume que no hay interacciones por lo que se puede utilizar un arreglo L9, realizando los experimentos se obtienen los datos siguientes con dos réplicas en cada nivel del factor de ruido:

L9 Col.1 Col. 2 Col. 3 Col. 4 N1 N1 N2 N2 N3 N3Exp. No.

A B C DRep. 1 Rep. 2 Rep. 1 Rep. 2 Rep. 1 Rep. 2 Y promedio S/N

1 1 1 1 1 2.24 0.59 5.29 1.75 155.04 166.27 55.20 -39.362 1 2 2 2 1.75 5.07 1.05 0.41 0.38 0.48 1.52 -7.053 1 3 3 3 5.32 0.65 0.4 1.07 0.51 0.36 1.39 -7.054 2 1 2 3 0.37 0.32 0.34 0.68 4.31 0.65 1.11 -5.195 2 2 3 1 7.2 0.49 0.48 0.44 0.8 0.88 1.72 -9.546 2 3 1 2 39.17 27.05 46.54 25.77 138.08 165.61 73.70 -39.347 3 1 3 2 0.57 1.26 0.61 0.7 0.91 1.42 0.91 0.288 3 2 1 3 3.88 7.85 22.74 36.33 92.8 120.33 47.32 -36.209 3 3 2 1 15.42 25.52 35.27 48.61 67.56 72.73 44.19 -33.79

S/N=−10 log ( 1n∑i=1

n

yi2)

Las sumas de cuadrados son las siguientes:

Para el arreglo L9 con nueve respuestas Y1 a Y9 se tiene:

La suma de cuadrados del factor A es:

A1 = Y1 + Y2 + Y3A2 = Y4 + Y5 + Y6A3 = Y7 + Y8 + Y9

SSA=A1

2+A22+A3

3

3−CF

CF=(Y 1+Y 2+. .. .+Y 9 )

2

9

La suma de cuadrados del factor B es:

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B1 = Y1 + Y4 + Y7B2 = Y4 + Y5 + Y8B3 = Y3 + Y6 + Y9

SSB=B1

2+B22+B3

3

3−CF

CF=(Y 1+Y 2+. .. .+Y 9 )

2

9

De la misma forma se calculan las sumas de cuadrados para los factores C y D:

La suma de cuadrados total es:

SST = SSA + SSB + SSC + SSD

Haciendo los cálculos en Minitab se obtiene:

Taguchi Analysis: Rep. 1, Rep. 2, Rep. 1_1, Rep. 2_1, ... versus A, B, C, D

Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D

Estimated Model Coefficients for SN ratios

Term CoefConstant -19.6915A 1 1.8735A 2 1.6687B 1 4.9386B 2 2.0970C 1 -18.6078C 2 4.3499D 1 -7.8678D 2 4.3221

S = *

Analysis of Variance for SN ratiosSource DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Porcentaje de contribuciónA 2 56.52 56.52 28.261 * * 2.49%B 2 234.86 234.86 117.428 * * 10.32%C 2 1705.37 1705.37 852.685 * * 74.91%D 2 279.46 279.46 139.732 * * 12.28%Residual Error 0 * * *

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Total 8 2276.21

Linear Model Analysis: Means versus A, B, C, D

Estimated Model Coefficients for Means

Term CoefConstant 25.2281A 1 -5.8598A 2 0.2819B 1 -6.1548B 2 -8.3748C 1 33.5124C 2 -9.6215D 1 8.4707D 2 0.1513

S = *

Analysis of Variance for MeansSource DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 2 196.59 196.59 98.30 * *B 2 957.39 957.39 478.69 * *C 2 5359.29 5359.29 2679.65 * *D 2 438.35 438.35 219.17 * *Residual Error 0 * * *Total 8 6951.62

Response Table for Signal to Noise RatiosSmaller is better

Level A B C D1 -17.818 -14.753 -38.299 -27.5592 -18.023 -17.595 -15.342 -15.3693 -23.234 -26.727 -5.434 -16.146Delta 5.416 11.974 32.866 12.190Rank 4 3 1 2

Response Table for MeansLevel A B C D1 19.368 19.073 58.741 33.6992 25.510 16.853 15.607 25.3793 30.806 39.758 1.337 16.606

Delta 11.438 22.904 57.403 17.093Rank 4 2 1 3

Las gráficas factoriales son las siguientes:

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Mea

n of

SN

ratio

s

321

-10

-20

-30

-40321

321

-10

-20

-30

-40321

A B

C D

Main Effects Plot (data means) for SN ratios

Signal-to-noise: Smaller is better

Los niveles seleccionados son A en 1, B en 1, C en 3 y D en 2

Mea

n of

Mea

ns

321

60

45

30

15

0321

321

60

45

30

15

0321

A B

C D

Main Effects Plot (data means) for Means

La respuesta estimada es:

Predicted values

S/N Ratio Mean

5.70044 -10.5261 Factor levels for predictionsA B C D1 1 3 2

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8. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL

8.1 Introducción

Son dos herramientas para investigar la dependencia de una variable dependiente Y en función de una variable independiente X. Y = f(X)

Y = Variable dependiente que se desea explicar o predecir, también se llama regresor o respuesta

X = Variable independiente, también se llama variable explicativa, regresor o predictor

Regresión lineal - La relación entre X y Y se representa por medio de una línea rectaRegresión curvilinea - La relación entre X y Y se representa por medio de una curva.

Y * * ** * * * * * * * * * b1 * * * * * * * *

* * * * * * b0

Correlación positiva Correlación negativa X Sin correlación

La ecuación de la recta es la siguiente:

El término de error es la diferencia entre los valores reales observados Yi y los valores estimados por la ecuación de la recta. Se trata de que estos sean mínimos, para lo cual se utiliza el método de mínimos cuadrados.

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estimadaregresióndeModeloXbbY

muestraladedatosenbaseConeXbbYpoblaciónlaenbaseConXY

...................

..............................

10

*

10

10


Y *

*

XSe trata de minimizar la suma de todos los errores o residuos:

Las fórmulas resultado de la minimización de lo cuadrados del error se aplicarán en el siguiente ejemplo por claridad. Se tienen los siguientes supuestos:

1. Los errores o residuos se distribuyen normalmente alrededor de la recta de regresión poblacional2. Las varianzas de los errores son las mismas en todos los valores de X (Homoscedasticidad) en caso contrario se tiene (Heteroscedasticidad)3. Los errores o residuos son independientes: No se muestra algún patrón definido.

El coeficiente de Correlación r desarrollado por Carl Pearson es un indicador de la fuerza de la relación entre las variables X y Y, puede asumir valores entre -1 y 1 para correlación negativa y positiva perfecta respectivamente. Por ejemplo si se encuentra que la variable presión tiene una correlación positiva con el rendimiento de una caldera, se deben buscar soluciones al problema mediante acciones asociadas con la variable presión; de lo contrario, sería necesario buscar la solución por otro lado.

Se identifican tres medidas de desviación como sigue:

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Error=Re siduo=(Yi−Yi )¿


YYest = 4.4 + 1.08 X

Yi = 23 * Desviación no explicadaError = (Yi - Yest) = 1.32

Variación total

(Yi-media)=5.13 Desviación explicada(Yest-Ymedia) = 3.81

Ymedia =17.87

X = 16 X

8.2 Ejemplo manual

Se sospecha que el tiempo requerido para hacer un mantenimiento preventivo está relacionado con su número. Calcular el coeficiente de correlación y graficar. Los datos de tiempo tomados para n = 25 servicios se muestran a continuación:

X Servicios Y Tiempo (Xi-X)*(Yi-Y) (Xi-X)^2 (Yi-Y)^2 Yest Error2 9.95 119.076672 38.9376 364.1533 10.9199 0.94088 24.45 1.099872 0.0576 21.0021 28.3362 15.1022

11 31.75 7.499472 7.6176 7.3832 37.0443 28.029210 35.00 10.502272 3.0976 35.6075 34.1416 0.73698 25.02 0.963072 0.0576 16.1026 28.3362 10.99694 16.86 51.612672 17.9776 148.1771 16.7253 0.01812 14.38 91.433472 38.9376 214.7045 10.9199 11.9721

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2 9.60 121.260672 38.9376 377.6337 10.9199 1.74229 24.35 -3.558928 0.5776 21.9286 31.2389 47.45638 27.50 0.367872 0.0576 2.3495 28.3362 0.69914 17.08 50.679872 17.9776 142.8694 16.7253 0.1258

11 37.00 21.989472 7.6176 63.4763 37.0443 0.002012 41.95 48.568672 14.1376 166.8541 39.9470 4.01212 11.66 108.406272 38.9376 301.8142 10.9199 0.54774 21.65 31.303072 17.9776 54.5057 16.7253 24.25234 17.89 47.245472 17.9776 124.1620 16.7253 1.3564

20 69.00 470.014272 138.2976 1,597.3771 63.1686 34.00521 10.30 135.625472 52.4176 350.9178 8.0172 5.2111

10 34.93 10.379072 3.0976 34.7770 34.1416 0.621615 46.59 118.686672 45.6976 308.2553 48.6551 4.264615 44.88 107.127072 45.6976 251.1337 48.6551 14.251216 54.12 194.676672 60.2176 629.3676 51.5578 6.564917 56.63 241.751472 76.7376 761.6054 54.4605 4.70686 22.13 15.462272 5.0176 47.6486 22.5307 0.16065 21.15 25.540272 10.4976 62.1385 19.6280 2.3164

206 725.82 2,027.7132 698.5600 6,105.9447 220.0926SX SY Sxy Sxx Syy = SST SSE

X promedio Y Promedio S(Xi-X)*(Yi-Y) S(Xi-X)^2 S(Yi-Y)^2

Sxy Sxx Syy

Si todos los puntos estuvieran completamente sobre la recta la ecuación lineal sería y = a + bx. Como la correlación no siempre es perfecta, se calculan a y b de tal forma que se minimice la distancia total entre puntos y la recta. Los cálculos tomando las sumas de cuadrados siguientes se muestran a continuación:

Sxy = 2027.71Sxx = 698.56Syy = 6105.94

Las ecuaciones para el cálculo manual son las siguientes:

b1= β1=∑ (Xi−X )(Yi−Y )

∑ (Xi−X )2=S XYS XX = 2.902704421

b0= β0=∑Y i− β1∑ X i

n=Y− β X

= 5.114515575

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Las sumas de cuadrados son:

SST=∑ (Y i−Y )2=6,105.9447

SSE=∑ (Y i−Y i)2=∑ (Y i−(bo+b1∗X i ))

2=220.0926

SSR=SST−SSE=5,885.8521

El coeficiente de determinación r2 y el coeficiente de correlación r se calculan a continuación:

r2=1− SSESST

=( SST−SSE )

SST= SSRSST = 0.9639

El coeficiente de determinación indica el porcentaje de la variación total que es explicada por la regresión.

r=√r2= 0.9816

El coeficiente de correlación proporciona el nivel de ajuste que tienen los puntos a la línea recta indicando el nivel de influencia de una variable en la otra. El factor de correlación r es un número entre –1 (correlación negativa evidente) y +1 (correlación positiva evidente), y r = 0 indicaría correlación nula.

El coeficiente de correlación r = 0.98 por lo cual tenemos suficiente evidencia estadística para afirmar que el tiempo de atención esta relacionado con el número de servicios atendidos.

8.3 Uso de Excel

1. En el menú Herramientas seleccione la opción Análisis de datos. Datos de ejemplo 6.

2. Seleccione la opción Regresión.3. Seleccione el rango de entrada, estos corresponden a los datos numéricos de la

tabla.4. Seleccione Resumen de estadísticas.5. En opciones de salida seleccione en Rango de salida, una celda de la hoja de

cálculo que este en blanco (a partir de esta celda serán insertados los resultados).

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Resumen

Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple

0.981811778

Coeficiente de determinación R^2

0.963954368

R^2 ajustado0.96238716

7

Error típico3.09341962

7Observaciones 25

ANÁLISIS DE VARIANZA Suma dePromedio de

Grados de

libertad Cuadrados cuadrados FValor

crítico de F

Regresión 15885.8520

695885.8520

69615.08008

984.24118E-

18

Residuos 23220.09263

489.5692449

92

Total 246105.9447

04

Coeficiente

s Error típicoEstadístico

tProbabilida

dInferior

95%

Intercepción5.11451557

51.1458041

274.4636910

040.0001772

152.7442391

61

XServicios2.90270442

10.1170407

1924.800808

254.24118E-

182.6605872

49

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X Servicios Curva de regresión ajustada

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

0 5 10 15 20 25

X Servicios

Y Ti

empo

Y Tiempo

Pronóstico Y Tiempo

Lineal (Pronóstico YTiempo)

En la gráfica observamos que al aumentar el número de servicios el tiempo de atención aumenta.

8.4 Uso de Minitab

Para determinar la función de regresión y correlación en Minitab se siguen los pasos siguientes (después de cargar los datos correspondientes a X y a Y en las columnas C1 y C2):

Stat >Regresión ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores X y aceptar con OK. Observar el valor del coeficiente de correlación y de determinación.

Para obtener la línea de mejor ajuste de la regresión, se procede como sigue en Minitab:

Stat >Fitted Line Plot ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores X, seleccionar si se quiere ajustar con los datos con una línea, una función cuadrática o cúbica y aceptar con OK. Observar el mayor valor del coeficiente de correlación que indica el mejor ajuste.

En Options: seleccionar Display Confidence (para media en X) y Prediction Intervals para X.En Graphs: Seleccionar Residual for plots Standardized y Normal Plot of residualsLa gráfica de residuos debe apegarse a la recta y tener siempre un valor P value >0.05.

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X Servicios

Y Tie

mpo

20151050

70

60

50

40

30

20

10

0

S 3.09342R-Sq 96.4%R-Sq(adj) 96.2%

Regression95% CI95% PI

Fitted Line PlotY Tiempo = 5.115 + 2.903 X Servicios

Regression Analysis: Y Tiempo versus X Servicios

The regression equation isY Tiempo = 5.115 + 2.903 X ServiciosS = 3.09342 R-Sq = 96.4% R-Sq(adj) = 96.2%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 5885.85 5885.85 615.08 0.000Error 23 220.09 9.57Total 24 6105.94

La regresión tiene una r^2 de 96.4% y la influencia de una variable X en Y es significativo.

Los intervalos de confianza para la media y el intervalo de predicción para un punto específico X son los siguientes:

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tSyiestYYxparaIP

SCxXXi

nSeSyi

*

2

..

)(11

tSyestYparaIC

SCxXXi

nSeSy

xy

*

!

2

..

)(1


8.5 Ejercicios:

1. La energía consumida en un proceso depende del ajuste de máquinas, realizar una regresión cuadrática con los datos siguientes y responder las preguntas.

Cons_energíaAjuste Máq.

Y X21.6 11.15

4 15.71.8 18.91 19.41 21.4

0.8 21.73.8 25.37.4 26.44.3 26.7

36.2 29.1

a) Trazar un diagrama de dispersiónb) Obtener la ecuación de regresión lineal y cuadrática y compararc) Estimar el consumo de energía para un ajuste de máquina de 20 con regresión cuadráticad) Obtener los intervalos de predicción y de confianza para un ajuste de máquina de 20e) Obtener el coeficiente de correlación y de determinación

2. En base al porcentaje de puntualidad se trata de ver si hay correlación con las quejas en una línea aérea. Las quejas son por cada 100000 pasajeros.

%puntos QuejasAerolinea X Y

A 81.8 0.21B 76.6 0.58C 76.6 0.85D 75.7 0.68E 73.8 0.74F 72.2 0.93G 70.8 0.72H 68.5 1.22

a) Trazar un diagrama de dispersiónb) Obtener la ecuación de regresión lineal c) Estimar las quejas para un porcentaje de puntualidad de 80%d) Obtener los intervalos de predicción y de confianza para una altura de 63"e) Obtener el coeficiente de correlación y de determinación

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DISEÑO DE EXPERIMENTOS · Web viewUn planteamiento claro del problema contribuye a menudo en forma sustancial a un mejor conocimiento del fenómeno y de la solución final del problema