Diseño Analógicos con Técnicas del Control Clásico. (Usando …dea.unsj.edu.ar/control2/DCdeCAporC.pdf · Computación). Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2008 . CONTROL II (Elo

CONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín 1

CONTROL II Tema: Diseño de Controladores Analógicos con Técnicas del Control Clásico. (Usando Software de Computación). Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2008


Introducción: Se ha mostrado que para un sistema típico de segundo orden, o uno de elevado orden pero con un par de polos complejos conjugados dominantes, existen relaciones analíticas simples exactas o aproximadas respectivamente, entre las especificaciones, en los dominios del tiempo y de la frecuencia. Sin embargo, para sistemas de orden superior e general, la correlación entre las especificaciones entre los dominios del tiempo y la frecuencia son difíciles de establecer. Como se señaló anteriormente, el análisis y diseño de sistemas de control es más un ejercicio de selección, entre varios métodos alternativos, para resolver un mismo problema. Por tanto la selección de si el diseño se debe realizar en el dominio del tiempo o de la frecuencia depende de la preferencia del diseñador. Sin embargo, se debe señalar que, en la mayoría de los casos. Las especificaciones en el dominio del tiempo tales como sobrepaso máximo, tiempo de levantamiento y tiempo de establecimiento se emplean normalmente como la medida final del desempeño del sistema. Para un diseñador sin experiencia, es difícil comprender la conexión física entre las especificaciones en el dominio de la frecuencia tales como márgenes de ganancia y de fase, pico de resonancia, con el desempeño real del sistema. Por ejemplo, ¿un margen de ganancia de 20 dB garantiza un sobrepaso máximo menor al 10%? Para un diseñador tiene mas sentido especificar, por ejemplo, un sobrepaso máximo menor que el 5% y un tiempo de establecimiento menor que 0.1 segundos. Es menos obvio que, por ejemplo, un margen de fase de 60º y un MR menor que 1.1 lleven al desempeño correcto del sistema. Los siguientes comentarios se espera clarifiquen y expliquen las razones para emplear las especificaciones en el dominio del tiempo contra las del dominio frecuencial.

1. Históricamente, el diseño de sistemas de control lineales fue desarrollado con una gran cantidad de herramientas gráficas tales como las trazas de Bode, la traza de Nyquist, las de magnitud-fase, y la carta de Nichols, que se realizan en el dominio de la frecuencia. La ventaja de estas herramientas es que se pueden bosquejar mediante métodos aproximados sin realizar un dibujo detallado. En consecuencia, el diseñador puede realizar empleando especificaciones en el dominio de la frecuencia tales como margen de ganancia, margen de fase, MR, etc. Los sistemas de orden superior no presentan mayor problema. Para ciertos tipos de controlador, existen procedimientos de diseño en la frecuencia que reducen el esfuerzo de prueba y error a un mínimo.


2. El diseño en el dominio del tiempo que emplea especificaciones de diseño tales como tiempo de levantamiento, tiempo de retardo, tiempo de establecimiento, sobrepaso máximo, etc. es factible analíticamente sólo para sistemas, o sistemas que se puedan aproximar mediante sistemas de segundo orden. Los procedimientos generales de diseño que emplean especificaciones en el dominio del tiempo son difíciles de establecer para sistemas de orden superior al segundo.

El desarrollo y la disponibilidad de software de computadora amigable y poderoso ha cambiado rápidamente la práctica de diseño de sistemas de control, que hasta hace poco había estado dictado por el desarrollo histórico. Con herramientas de software modernas, el diseñador puede correr, un unos cuantos minutos, un gran número de diseños empleando especificaciones en el dominio del tiempo. Esto disminuye considerablemente la ventaja histórica del diseño en el dominio de la frecuencia, el cual está basado en la conveniencia de realizar el diseño gráfico en forma manual. Además, generalmente es difícil, excepto para el diseñador experimentado, seleccionar un conjunto coherente de especificaciones en el dominio de la frecuencia que correspondan a requisitos de desempeño en el dominio del tiempo. Por ejemplo, especificar un margen de fase de 60º tendrá sentido si se sabe que corresponde a un cierto sobrepaso máximo. Eventualmente, el establecer un conjunto inteligente de especificaciones en el dominio de la frecuencia se convierte en un proceso de prueba y error que precede al diseño real, el cual, a menudo, también es un esfuerzo de prueba y error. Sin embargo, los métodos en el dominio de la frecuencia aún son valiosos al interpretarse rechazo a ruido y propiedades se sensibilidad, y la mayoría de ellos ofrecen otra perspectiva de diseño. Por todo lo dicho se tratara aquí el diseño de sistemas de control lineales con especificaciones en el dominio del tiempo con la ayuda de software de computación.- Se verán ahora algunos ejemplos de aplicación del diseño de diferentes controladores. Diseño del Controlador de Adelanto de Fase, cuando el par de Polos Complejos Conjugados no sea necesariamente Dominante. Las especificaciones mas comunes que se deberán satisfacer podrán ser por ejemplo: el TE(5%), el MP(%), el TR, etc. La respuesta del sistema diseñado será en general diferente a la de un típico sistema de segundo orden. Las mismas se conseguirán para una ubicación adecuada del cero y el polo del controlador de adelanto.


Se puede emplear el método de los contornos de las raíces para indicar los intervalos apropiados de los parámetros del controlador. Los programas de computadora disponibles en Matlab, (por ejemplo, step, rltool, ltiview, simulink, etc.) y en Csad/Matlab como lldesign y pidesign, se pueden emplear para agilizar el procedimiento de prueba y error en forma considerable. Las siguientes guías sirven para la selección de los parámetros a y T.

1. Al mover el cero en -1/aT hacia el origen se deben mejorar los tiempos de levantamientos y establecimiento. Si el cero se mueve muy cerca del origen, el sobrepaso máximo se puede incrementar otra vez ya que -1/aT también aparece como un cero de la función de transferencia de lazo cerrado.

2. Al mover el polo en -1/T , (con el cero fijo o sea aT = cte), lejos del cero y del origen, se debe reducir el sobrepaso máximo, (puede llegar al 0%), pero si el valor de T es muy pequeño, los tiempos de levantamiento y establecimiento se incrementaran otra vez, (la respuesta entra por debajo de la banda del %5± , muy amortiguada).

Se pueden hacer los siguientes comentarios con respecto a los efectos del control de adelanto de fase sobre el desempeño en el dominio del tiempo de un sistema de control.

1. Cuando se emplea en forma adecuada, puede incrementar el amortiguamiento del sistema.

2. Mejora los tiempos de levantamiento y asentamiento.

3. En la forma de la ecuación: )1()1()(

TsaTs

KocsGc

++

= el control de adelanto de

fase no afecta el error en estado estable, ya que Gc(0)/Koc=1.- Se aplicará todo esto a varios ejemplos prácticos: Diseño en el Dominio del Tiempo Usando la Computadora Digital: Controlador Serie de Adelanto de Fase Ejemplo 1: La función de transferencia de una planta a controlar es:

)5(50)(+

=ss

sGp

las especificaciones solicitadas son las siguientes: −≥≤ − ..20%)5(;05.0)()º1 1segKvounitariarampaunaparaeEE

%5(%))º2 ≤Mp .15.0)º3 segTR ≤

.20.0%)5()º4 segTE ≤ .40.0%)2()º5 segTE ≤


El valor mínimo de la ganancia estática del controlador Koc, se determinara de la especificación 1º), si )()( tsttr µ= se tendrá que:

205.010

1)(

11

0

≥⇒≤===

→

KocKocsGpKocslimKv

es

EE

Se elegirá Koc = 2, la ecuación característica del sistema básico será: 01005505 22 =++=++ ssKocss , que nos da: ./1025.0 segrady n == ωδ

Por lo cual la correspondiente sobreelongación resulta: %5%4.44(%) >=Mp

Por ende se tendrá que usar la parte )1()1(

TsaTs++ , del controlador Gc(s).

También se podría usar un controlador PD serie o un control P – D.- Por lo tanto la función de transferencia del lazo es:

)1()5(

)1(100)()()(Tsss

aTssGpsGcsG++

+=×=

Se puede usar el método del contorno de las raíces para estudiar el efecto sobre la respuesta del sistema al variar los parámetros a y T del controlador. Si a = 0, se tendrá que la ecuación característica será:

0100)1)(5( =+++ Tsss (1) 0)5(]100)5([ 2 =++++ ssTss

Por ende la función del lazo equivalente es:

)1005(

)5().( 2

2

+++

=ssssTsGequiv

)5()1005)(/1()].([ 2

21

+++

=⇒ −

ssssTsGequiv

Los contorno de las raíces de la ecuación (1), cuando T varia, se determina en base a la función )(, sGequiv . Si se desea hacerlos con la computadora, con la función rlocus de Matlab, se tendría que emplear la 1)].([ −sGequiv , para que sea estrictamente propia, (mas polos que ceros), pues es un requisito del programa. Se procede así: » n=[1 5 100]; » d=pmake(0,0,-5); » rlocus(n,d) El mismo está representado en la figura 1. Como se ve al agregar solo el factor (1+T s) en el denominador de G(s) no podrá mejorar el desempeño del sistema, ya que las raíces de la ecuación característica son empujadas hacia la derecha del plano s. El sistema se volvería inestable cuando 1/T>15, o T<1/15, (T<0.0666).- Para alcanzar el efecto total del controlador Gc(s), se debe restaurar el valor del parámetro “a”. El contorno de las raíces con a variable para un valor fijo de T se obtiene a partir de:


-8 -6 -4 -2 0 2-12

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

1/T=20

T=0 1/T=15 jω

σ

T=1/15

1/T=20

Para 1/T= 20, o T=0.05 los polos son: -0.3627 + 9.0697i -0.3627 - 9.0697i -24.2746

El cruce con el eje jω ocurre para 1/T = 15 Los polos asociados son: 0.0000 + 8.6602i 0.0000 - 8.6602i -20.0000

-j8.6602

Figura 1

)/100()/5()/15()100()(. 231 TsTsTssasGequiv

++++=

Procediendo como ya se indico oportunamente, los valores de T que hacen que los contornos tengan puntos de ruptura de orden dos será:

10226.0* >≅ aparaT ; adelanto de fase.- 1991.20* <≅ aparaT ; atraso de fase.-

En la figura 2, se muestran los contornos para: T=0.01; T=T* ; T=0.025 y T=0.04.- Por ejemplo usando lldesign para graficar el contorno para T=0.025, se procedería así: » LLDESIGN Default transfer function: 100 ------------ s^2 + 10s^1 Enter numerator [n] > 50 Enter denominator [d] > pmake(0,-5) Enter Plant Time Delay [0] > Enter controller type (lead,lag,other) [lead] > LLDESIGN > k


Controller is: K(aTs+1)/(Ts+1) Enter K [1] > 2 Enter T [1] > 0.01 Enter a>1 [2] > LLDESIGN > R - Choose Root Locus Structure - (1) Vary K, keep others fixed (2) Vary a, keep others fixed (3) Vary 1/T, keep others fixed (4) Vary aT, keep others fixed (0) Second thought, not now... Your Choice? > 2 RLPLOT > k El programa graficara el lugar de las raíces correspondiente, la figura 2 muestra cuatro lugares para diferentes valores de T.

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40jω

σ

T=0.01

T=T*

T=0.025

T=0.04

Variando a en forma continua

Si T=0.025, para a=10 los polosdel sistema son:λ1= - 20.5806+j24.8682λ2= - 20.5806-j24.8682λ3= - 3.8388

El cero está en:z1=-4.0000

-16.42

Figura 2 El lugar para T=0.025 será a la postre para el diseño final.- Continuando con el diseño, si se elige T=0.05 en forma arbitraria pero menor que el Tlím=1/15. El polo del controlador estará fijo en -20, y el cero será el variable. La tabla I resume los atributos de las respuestas al escalón unitario cuando a varia de 1 a 10. El programa usado puede se el llsedign del Csad/Matlab. Por ejemplo para a = 5 se procedería de la manera indicada a continuación:


» lldesign Default transfer function: 100 ------------ s^2 + 10s^1 Enter numerator [n] > 50 Enter denominator [d] > [1 5 0] Enter Plant Time Delay [0] > Enter controller type (lead,lag,other) [lead] > LLDESIGN > k Controller is: K(aTs+1)/(Ts+1) Enter K [1] > 2 Enter T [0.1] > 0.05 Enter a>1 [2] > 5 LLDESIGN > t Choose output variable: Y,E,U [y] > - TFTPLOT OPTIONS - Plot Stimulus Error Final time Zoom New TF Grid Display TF Hold Attributes Label Roots View data Quit Interpolate TFTPLOT > f Enter desired final time [1.661] > 0.8 TFTPLOT > p ⇒ El programa grafica la respuesta c(t) TFTPLOT > a ⇒ devuelve los atributos de la respuesta, fila 4 de la tabla I.- The accuracy of these specifications depend on the quality of the plotted STEP response. 10-90% Rise Time 0.02469 5% Settling Time 0.2667 2% Settling Time 0.3313 Max % Overshoot 50.1 Time at Max %OS 0.06465 Steady State Error 0 Place attributes on plot? (y/n) [n] > y


T a aT Zc tr (seg) te(5%) (seg)

te(2%) (seg) Mp% polo

0,05 1 0,05 -∞ 0,127 1,071 1,394 44,4 0,05 2 0,1 -10 0,1113 0,4242 0,6768 26,7 0,05 4 0,2 -5 0,0819 0,2696 0,3990 16,3 0,05 5 0,25 -4 0,07175 0,2222 0,3788 16,2 0,05 6 0,30 -3,333 0,06388 0,3152 0,3576 17,3 0,05 8 0,40 -2,5 0,05287 0,2858 0,5091 20,5 0,05 10 0,50 -2 0,04559 0,2545 0,4909 24

-20

Tabla I

La tabla I muestra que el Mp(%) mínimo se obtiene para, aT = 0.25, o sea con el cero de Gc(s) ubicado en -4. Pero el Mp(%) excede el valor especificado. A continuación se hace: aT = 0.25 = cte, (Z1 = -4), y se mueve el polo en -1/T, hacia la izquierda. El valor de a se incrementa hasta 100, con el valor de T tal que, aT = cte = 0.25. Los resultados se muestran en la tabla II.-

<0,15 <0,15 <0,40 <5

aT ↔ A ↑ 0,25Ta

↓ = Pc=4a tr (seg) te(5%) (seg)

te(2%) (seg) Mp%

0,25 5 0,05 -20 0,07169 0,2222 0,3798 16,2 0,25 7 0,0357 -28 0,06685 0,1818 0,3273 10,1 0,25 9 0,0277 -36 0,06465 0,1455 0,2909 5,9 0,25 9,5 0,0263 -38 0,06436 0,1293 0,2828 5 0,25 10 0,025 -40 0,06448 0,08485 0,2758 4,20 0,25 12,5 0,020 -50 0,06466 0,08081 0,2505 1,1 0,25 25 0,010 -100 0,07402 0,1121 0,2394 0 0,25 35 0,00714 -140 0,08090 0,1242 0,2485 0 0,25 50 0,005 -200 0,08628 0,1333 0,2515 0 0,25 100 0,0025 -400 0,09243 0,1394 0,2545 0

Tabla II

Conforme el valor de T disminuye y el Mp(%) también. Pero los TR y SE TE incrementan pata T muy bajos. Los casos indicados en la tabla II que satisfacen todas las especificaciones solicitadas son los sombreados. T: varía entre 0.0263 hasta 0.0025 y A: varía entre 9,50 hasta 100.- La figura 3, compara las respuestas al escalón de los sistemas ajustados solo en ganancia y el diseñado. Para este último se eligió:


T = 0.025 y a = 10 por ende: Koc=A/a ⇒ A = axKoc ⇒ A = 20.- En la figura 4, se indican las respuestas al escalón unitario en la entrada del sistema diseñado con sus atributos, y a la rampa.-

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

Salid

a c

(t)

Tiempo, seg.

Tr = 0.1269 s > 0.10 s5%Ts = 1.071 s > 0.20 s2%Ts = 1.394 s > 0.40 s %OS = 44.4 % > 5 %Tmax = 0.3232 s Ess = 0

Atributos del Sistema ajustadosolo en ganancia

Sistema Diseñado

Gc(s) = 20 (s+4) / (s+40)

Figura 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

Salid

a c

(t)

Controlador de Adelanto: a = 10 ; T = 0.025 seg. y A = 20

Tr = 0.06425 s < 0.15 seg.5%Ts = 0.08586 s < 0.20 seg.2%Ts = 0.2778 s < 0.40 seg. %OS = 4.2 % < 5 %Tmax = 0.1263 s

Ess = 0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.25

0.5

Salid

a c

(t)

Tiempo, seg.

Error de Estado Estable = 0.05

Ceros ---------- Polos -4.0000 -20.5806 +24.8682i Inf -20.5806 -24.8682i Inf -3.8388

δ del par de polos complejos = 0.6375

Kv = 20 seg-1

Figura 4


La configuración de polos y ceros del sistema diseñado será: 1 2

3

1

20,58 24,873,844

j

z

λλ

− = − ± ≅ − = −

Para implementar el ( )Gc s : Si se elige 0,1C Fµ=

2 2

1 2 1

3

4

250

250

20

TR R KC

R aR R K

RR

= → = Ω

= → = Ω

=

También se puede intentar usar un controlador P.D. ( ) P DGc s K K s= + , con 2PK = , se cumple la especificación del error: ( ) 2 DGc s K s= + .

( )( ) 2

50 2 50( ) ( )5 5 100D D

equiv

K s K sG s G ss s s s

+= → =

+ + +

El contorno de las raíces con KD variando en forma continua se muestra en la figura 5.

Figura 5.

Para 1 2

1

100,3

6,666DK zλ − = −

= → = −

Usando “Pidesign” se obtiene la tabla III:


< 0,15 < 0,20 < 0,40 < 5%

PK DK rt (5%)Et (2%)Et (%)Mp 2 0,18 0,13 0,42 0,51 9,5 2 0,20 0,13 0,40 0,50 7,9 2 0,25 0,126 0,155 0,466 4,7 2 0,30 0,12 0,15 0,375 2,5 2 0,32 0,12 0,5 0,178 1,8 2 0,35 0,115 0,146 0,182 0,9

Tabla III.

Si se elige 20,3; 6,660,3

PD

D

KK zK

−= = = = −

En la figura 6 se muestran tres respuestas del sistema.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.5

1

1.5

Salid

a c

(t)

Tiempo, seg.


Ess = 0

Respuestas con Kp = 2y Kd Variando Kd = 0

Kd = 0.30

Kd = 0.50

Atributos del Sistema Diseñado

Figura 6.

Ejemplo 2: Consideremos una planta de tercer orden cuya función de transferencia es:

)50)(4(1600)(

++=

ssssGp

Se solicitan las especificaciones de funcionamiento del sistema siguientes: 1º) 10.0)( ≤unitariasrampasentradasparaeEE 2º) %5(%) ≤Mp 3º) .20.0 segTR ≤ 4º) .40.0%)5( segTE ≤


5º) .5.1%)2( segTE ≤ Se intentaran conseguir las mismas con un controlador serie PD. Para alcanzar la 1º), se puede colocar un controlador proporcional con ganancia Kc, por ende Kp=1. También puede ser solo el controlador PD, en cuyo caso Kp=Kc. Adoptaremos la primera forma así resultan valores de Kp y Kd mas chicos para no tener problemas en la implementación física del controlador PD. La función de transferencia del lazo del sistema básico será:

)50)(4(1600)(

++=

sssKcsG ⇒ KcKv 8= ⇒

101

811

≤==KcKv

eEE

En consecuencia: 25.1≥Kc La ecuación característica del sistema básico será:

01600)50)(4( =+++ Kcsss El valor límite de la ganancia Kc para que el sistema sea estable será:

LímiteKc160020054 =× ⇒ KcKcLímite <= 75.6 Si se adopta Kc=1.25, el sistema básico será estable, y habrá que ajustar KD para conseguir, si es posible, las especificaciones del transitorio al escalón unitario restantes. La función de transferencia del controlador PD será:

)1()( sKsGc D+= La ecuación característica del sistema diseñado será la siguiente:

)50)(4()1(2000

)(++

+=

ssssK

sG D ⇒ 0)1(2000)50)(4( =++++ sKsss D

Para ver como se mueven, en el plano s, los polos del sistema diseñado al variar KD, se encuentra la función del lazo equivalente.

0]2000[]2000)50)(4([ =++++ sKsss D

2000200542000).( 23 +++

=ssssKsGequiv D

El lugar se puede graficar con la función pidesign del Csad/Matlab. » Pidesign Default transfer function: 100 ------------ s^2 + 10s^1 Enter numerator [n] > 2000 Enter denominator [d] > pmake(0,-4,-50) Enter controller type (p,pi,pd,pid,other) [pid] > pd PIDESIGN > k Enter Kp [1] > Enter Kd [0] > 1


PIDESIGN > R - Choose Root Locus Structure - (1) Vary Kp, keep others fixed (3) Vary Kd, keep others fixed (5) Vary Kd, hold Kp/Kd constant (0) Second thought, not now... Your choice? > 3 RLPLOT > d 2000*(s^1 ) --------------------------------------- s^3 + 54s^2 + 200s^1 + 2000 RLPLOT > !rlocus(n,d) ⇒ se dibuja el lugar correspondiente, (Fig. 7)

-50 -40 -30 -20 -10 0-30

-20

-10

0

10

20

30

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

δ = 0.707

Kd = 0.628

Kd = 0.138

jω

σ

Kd = 0.2073 Kd = 0.3026

Figura 7 Como se puede apreciar en el rango: 3026.02073.0 << DK , los tres polos del sistema son reales. Para valores muy grandes de KD, el valor de Mp(%) se incrementará debido al par de polos complejos con un coeficiente de amortiguamiento relativo muy chico. La tabla IV resume los resultados obtenidos con el programa Pidesign del Csad/Matlab.


KD tr tE 5% tE 2% Mp % Cero 1Kd

− 1 2 3, Aλ −

0 0,205 1,717 2,247 43,7 −∞ 0,1 0,215 0,727 0,806 13,9 -10

0,169 0,20 0,255 0,718 5 -5,917 0,2 0,192 0,251 0,582 2,5 75← 6,82 1,75 ; 49,36j− ± − 0,25 0,177 0,251 0,314 0 -4 1 2 336,18 ; 19,82 ; 4λ λ λ= − = − = −

0,4 0,126 0,333 0,737 0 -2,5 0,5 0,095 0,40 0,909 0 -2 26,1 20,6 ; 1,81j− ± − 1,0 0,048 0,384 1,354 3,7 -1 26,53 38,03 ; 0,93j− ± −

1,074 0,044 0,348 1,409 5 0,931↑ − 2 0,029 0,1212 1,535 16,7 -0,50 5 0,013 0,10 0,206 39,1 -0,20

Tablas IV

La figura 8, muestra algunas respuestas para diferentes KD.-

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

Sal

idas

c(t)

Tiempo, seg.

Tr = 0.1918 s < 0.20 seg.5%Ts = 0.2525 s < 0.40 seg.2%Ts = 0.5758 s < 1.50 seg. %OS = 2.5 % < 5 %

Tmax = 0.4646 s Ess = 0

Kd = 2

Kd = 1

Kd = 0.4

Kd = 0.20 Atributos del Sistema Diseñado

Figura 8 Se puede elegir el valor de KD entre: 0.169 < KD < 1.074, pues en ese rango se cumplen todas las especificaciones solicitadas. Si se adopta:


KD = 0.20, las resistencias y capacidades del circuito con amplificadores operacionales serán:

Ω==⇒== MRRRR

Kp 11 211

2

Ω=⇒=⇒=⇒= MRFsegRFCsiCR ddddd 2

1.02.01.020.0µ

µ

343

4 25.125.125.1 RRRRoKc =⇒==

Como se puede ver se logró una buena compensación, debido a que KcKcLímite >> , cuando KcKcLímite ≈ o KcKcLímite < , (sistema inestable),

generalmente no se puede lograr una buena compensación con una etapa de adelanto o PD.- Ejemplo 3: Consideremos una planta de tercer orden cuya función de transferencia es:

)10)(3(60)(

++=

ssssGp

Se solicitan las especificaciones de funcionamiento del sistema siguientes: 1º) 10.0)( ≤unitariasrampasentradasparaeEE 2º) %5(%) ≤Mp 3º) .20.0 segTR ≤ 4º) .50.0%)5( segTE ≤ Se intentaran conseguir las mismas con un controlador serie PD. Para alcanzar la 1º), se puede colocar un controlador proporcional con ganancia Kc, por ende Kp=1. También puede ser solo el controlador PD, en cuyo caso Kp=Kc. Adoptaremos la primera forma así resultan valores de Kp y Kd mas chicos para no tener problemas en la implementación física del controlador PD. La función de transferencia del lazo del sistema básico será:

)10)(3(60)(

++=

sssKcsG ⇒ KcKv 2= ⇒

101

211

≤==KcKv

eEE

En consecuencia: 5≥Kc La ecuación característica del sistema básico será:

01600)50)(4( =+++ Kcsss El valor límite de la ganancia Kc para que el sistema sea estable será:

LímiteKc160020054 =× ⇒ KcKcLímite <= 75.6


Si se adopta Kc=1.25, el sistema básico será estable, y habrá que ajustar KD para conseguir, si es posible, las especificaciones del transitorio al escalón unitario restantes. La función de transferencia del controlador PD, con Kp = 1 será:

)1()( sKsGc D+= La ecuación característica del sistema diseñado será la siguiente:

)10)(3()1(300

)(++

+=

ssssK

sG D ⇒ 0)1(300)10)(3( =++++ sKsss D

Para ver como se mueven, en el plano s, los polos del sistema diseñado al variar KD, se encuentra la función del lazo equivalente.

0]300[]300)10)(3([ =++++ sKsss D

3003013300).( 23 +++

=ssssK

sGequiv D

El lugar se puede graficar con la función pidesign del Csad/Matlab. » pidesign Default transfer function: 100 ------------ s^2 + 10s^1 Enter numerator [n] > 300 Enter denominator [d] > pmake(0,-3,-10) Enter controller type (p,pi,pd,pid,other) [pid] > pd PIDESIGN > k Enter Kp [1] > Enter Kd [0] > 1 PIDESIGN > R - Choose Root Locus Structure - (1) Vary Kp, keep others fixed (3) Vary Kd, keep others fixed (5) Vary Kd, hold Kp/Kd constant (0) Second thought, not now... Your choice? > 3 RLPLOT > d 300*(s^1 ) --------------------------------------- s^3 + 13s^2 + 30s^1 + 300


RLPLOT > !rlocus(n,d) ⇒ se dibuja el lugar correspondiente, (Figura 9)

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-15

-10

-5

0

5

10

15

Eje Real

Eje

Imag

inar

io Kd=0.26

Kd=0.26

Kd=0.4

Kd=0.4δ = 0.52 jω

σ

Kd=0.26

Kd=0.4

Para Kd= 0.4 los polos estan en: -2.4101 -5.2950 + 9.8204i -5.2950 - 9.8204i Y el cero en:

Z1 = - 2.5

Figura 9 Los contornos la efectividad del controlador PD para mejorar la estabilidad relativa del sistema. Conforme el valor de KD se incrementa, un polo del sistema se mueve desde -12.52 hacia el origen, mientras que los otros dos son siempre complejos conjugados comienzan a desplazarse hacia la izquierda y eventualmente se aproximan a las asíntotas verticales de abscisa -6.5. La conclusión inmediata de esta situación es que si el valor de KD es muy grande, las dos raíces complejas de la ecuación característica reducirán el amortiguamiento, mientras incrementan la frecuencia natural del sistema, el valor de Mp(%) se incrementará también. Parece ser que la ubicación ideal de los polos complejos, desde el punto de vista de la estabilidad relativa, es cuando el coeficiente de amortiguamientoδ es el mayor, aproximadamente 52.0≅δ . Los contornos de las raíces muestran claramente que si el sistema básico tiene un amortiguamiento muy bajo, o fuera inestable, el cero introducido por el controlador PD puede no ser capaz de añadir suficiente amortiguamiento, o aún más estabilizar el sistema. La tabla V resume los resultados obtenidos con el programa Pidesign del Csad/Matlab.


KD tr tE 5% Mp % z1 0 0,24 11,72 79,5 −∞

0,1 0,236 1,91 40,8 0,2 0,2044 0,74 23,9 -5

0,333 0,1639 0,525 16,3 0,4 0,148 0,4545 15,6 -2,5 0,5 0,129 0,616 16,3 -2 0,8 0,095 0,5350 21,6 -1,25 2 0,0525 0,5556 39 -0,5

Tablas V

Las conclusiones finales sobre los efectos del controlador PD, en este ejemplo con una planta de tercer orden son las siguientes:

1. El valor mínimo del Mp(%) es 15.6% y se obtiene cuando KD=0.40. 2. El tiempo de subida se mejora, (se reduce), con el incremento de KD. 3. Un valor grande de KD incrementa el Mp(%) y el TE.-

La figura 10, muestra las respuestas al escalón unitario para diferentes KD.- La conclusión final es que mientras el control PD mejora el amortiguamiento no cumple con el requisito del sobrepaso máximo.-

0 1 2 30

0.4

0.8

1.2

1.6

Sal

idas

c(t)

Tiempo, seg.

Kd = 0

Kd = 0.2 Kd = 0.40

Kd = 0.80

Kd = 2

Mínimo Mp(%)

Figura 10


Controlador de Atraso de Fase Ejemplo 4: En este ejemplo se emplea el sistema de segundo orden (planta) ya visto con un control de Adelanto de Fase para ilustrar el principio de diseño del control de Atraso de Fase. Para lo cual tendremos que relajar los tiempos de establecimiento, en especial el (2%)Et .

50( )( 5)

Gp ss s

=+

1º ) 0,05

2º ) 1,0 ( 0,15)3º ) (5%) 1,5 ( 0, 20)4º ) (2%) 3,5 ( 0, 40)5º ) (%) 5% ( tan )

entrada rampaEE

r

E

E

p

e

t seg antesespecificaciones t seg antes

t seg antesM o pequeño como sea posible

≤

≤ ≤⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

(1 )( ) ?(1 )aTsGc s KocTs

+= =

+ Con ?AKoc

a= =

El lugar de las raíces del sistema básico ( )KocGp s se muestra en la figura 11

Figura 11

( )( ) '( )( 5)

EEK oeKocGp s G ss sδ

= =+


Si se ajusta la ganancia para que se cumpla el error de estado estacionario, será:

100EEKe ≥ o sea 50 100 2 2 2AKoc Koc A aa

≥ ⇒ ≥ = → =

El δ resulta aproximadamente 0,25 y (5) 44,4%Mp = (hay que compensar). O sea agregar el cero y el polo del controlador. Si 2Koc = :

( )

1100100 (1 )( ) ; 100

1( 5) (1 ) 5

a saTs aTG s a K

s s Ts s s sT

δ

+ + = = =+ + + +

Como 12,5 0,125 0,125100EE

Ka aKeδ

≅ = = → =

Si se mantiene ese 2 0,25a A a A→ = → =

Por lo tanto, si el valor de T es suficientemente grande, el diseño puede resultar. Para ver el valor aproximado de T para empezar a tantear, se pueden graficar los Contorno de las Raíces con a = cte y T variable.

100 (1 )( )( 5) (1 )

aTsG ss s Ts

+=

+ +

2

2

( 5 100 )( )( 5 100)equiv

Ts s s aG ss s

+ +=

+ + si 0,125a = , o con la función estrictamente propia:

( )2

1

2

1 5 100( )

( 5 12,5)equiv

s sTG ss s s

−

+ + = + +

El contorno se muestra en la Figura 12.


-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-15

-10

-5

0

5

10

15

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

[ Gequiv.(s) ] -1 = 1/T (s2+5s+100) / s (s2+5s+12.5)

1/T = 0.01 T = 100

T = 0

1/T = 0 δ = 0.707

jω

σ j 2.5

Figura 12 Si 100T seg≥ las raíces complejas tendrán aproximadamente 0,707δ = . Para 100T = resultan:

1 2

3

1

2, 4638 2, 46450,08230,08

j

z

λλ

− = − ± = − = −

Para reducir el valor de T y al mismo tiempo satisfacer el requerimiento de sobrepaso máximo, “a ” también se debe reducir. Sin embargo “a ” no se

puede reducir en forma indefinida o el cero en 1aT

− se correrá muy lejos

hacia la izquierda en el eje real. La tabla VI proporciona los atributos de desempeño en el dominio del tiempo del sistema con varios “a ” y “T ”


1≤ 1,5≤ 3,5≤ 5%≤ a T tr te (5%) te (2%) Mp % 1 1 0,127 1,070 1,394 44,4 0,125 100 0,587 1,636 5,03 7,2 0,125 200 0,596 1,455 1,939 5,8 0s← ⇒ 0,100 200 0,7435 1,01 3,273 3,9 1s⇐ 0,100 150 0,7412 0,909 7,07 4,6 0,100 135 0,732 0,969 7,9 5 0,125 400 0,60 1,288 1,793 5 2s← → 0,100 250 0,748 1,00 2,455 3,5 3s← 0,09 200 0,832 1,111 7,27 3,6 0,08 150 0,922 1,21 41,52 4,7

Tabla VI Si se elige 0,1 200a T= → =

Si se dispone de un capacitor: 10C Fµ=

2 2

1 2 1

200 2010

2

2 0, 2

TR R MC

R aR R M

A a A

= = → = Ω

= → = Ω

= → =

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

Salid

a c

(t)

Tiempo, seg.


Ess = 0


Ajustado solo Para el Mp(%)

Ajustado para el Regimen Permanente

Figura 13


La respuesta del sistema ajustado solo en ganancia la del sistema diseñado se muestra en la figura 13 Controlador PI: Ejemplo 5: Consideremos la planta a controlar ya vista, con la función de transferencia

)5(50)(+

=ss

sGp se tratará de conseguir las especificaciones con un

controlador PI, las mismas son las siguientes: 1º) 50)( ≤unitariassparabólicaparaeEE 2º) %5(%) ≤Mp 3º) .80.0 segTR ≤ 4º) .20.1%)5( segTE ≤ 5º) .5.2%)2( segTE ≤ Se tuvieron que relajar las especificaciones de los tiempos de subida y de establecimiento, a los tratados con el controlador PD, para que se tenga un diseño razonable para este sistema. El significado sobre el EEe a entradas parabólicas indirectamente establece un requisito mínimo sobre la velocidad de la respuesta transitoria. La constante de error a la parábola es:

( )2 2

20 0

5050lim ( ) lim 10 10

5 5

IP

P II Is s

KK sK KKa s G s s K Ka K

s s→ →

+

= = = = → =+

El error de estado estable debido a la entrada parabólica:

21( ) ( )2 sM t t u t= es:

1 1 15010 500EE Ie K

Ka Ka= = ≤ → ≥

Se tendrá: 0,002IK ≥

La ecuación característica del sistema será:

( )2

3 2

( 5) 50 0

5 50 50 0P I

P I

s s K s K

s s K s K

+ + + =

+ + + =

Estable si 250 50 5P I I PK K K K→ > → <

Entonces, el rango del cero será: 0 5I

P

KK

< <


Se deberá colocar el cero en I

P

KK

− relativamente cerca del origen. Para éste

ejemplo, el polo más significativo de ( )Gp s , además del polo en 0s = , está

en 5s = − . Por lo tanto, I

P

KK

se debe escoger la condición siguiente:

5<<KpKI

El lugar de las raíces de la ecuación característica con 0,01I

P

KK

= se muestra

en la figura 14. Obsérvese que a menos del pequeño lazo alrededor del cero en 0,01s = − , este lugar geométrico de las raíces es muy similar al sin cero (sistema básico) y el otro polo en el origen.

-6 -4 -2 0-4

-2

0

2

4

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

Kδ=12.5

jω

σ

Para Kδ= 12.5 los polos son: -0.01004024 -2.49497987 + 2.49498998i -2.49497987 - 2.49498998i El cero está en:Z1=-0.01 = Ki/Kp

Kδ = 50Kp = 12,5

Por lo tanto

Kp = 0.25

Figura 14

Con la condición 5<<KpKI , la ( )G s quedaría:

50

( )

IP

P

KK sK

G s

+

=

2s50( )( 5)( 5)

PKG ss ss

→ ≅++

(*)

Donde el término I

P

KK

en el numerador es despreciado comparado con la

magnitud de s, que a valores a lo largo de puntos de operación sobre la


porción compleja del L.G.R. que corresponde a un δ de los polos complejos en el rango 0,7 1δ< < . Se considera que se desea tener un factor de amortiguamiento relativo de 0,707 ( (%) 4,3% 5%PM = < ). De la ecuación (*) el valor requerido de PK será:

12,5 50

0, 25

P

P

K K

K

δ = =

∴ =

En el programa Pidesign del Csad/Matlab con la opción del menú principal “Roots Locus”, la cual llama al programa Rlplot, con la opción (2), variable Ki con Kp fijo se puede ver el lugar de las raíces de:

]5.1252^[50)(1 ++

=sssKisG , Lugar se muestra en la Figura 15.-

Como se aprecia para valores bajos de Ki el δ de los polos complejos estará muy cerca de 0.707, y el otro polo muy cerca del cero, en –Ki/Kp.-

-4 -2 0-5

-2.5

0

2.5

5

Eje real

Eje

Imag

inar

io

jω

σ

δ = 0.707

G1(s) = 50 Ki / s(s2+5s+12.5)

Con Kp = 0.25

Figura 15 La tabla VII resume los atributos de la respuesta al escalón unitario, para

varios valores de I

P

KK

primero con 0,25PK = y luego con 0,20PK = .


0,8≤ 1,2≤ 2,5≤ 5≤ I PK K PK IK rt (5%)Et (2%)Et (%)PM 0 1,000 0 0,127 1,071 1,394 44,4

0,25 0,25 0,0625 0,549 3,434 6,768 14,1 0,15 0,25 0,0375 0,569 2,182 7,838 10,4 0,07 0,25 0,0175 0,587 1,636 5,636 7,2 0,03 0,25 0,00750 0,598 1,414 1,894 5,6 0,016 0,25 0,0040 0,602 0,808 1,793 5 0,010 0,25 0,0025 0,604 0,808 1,742 4,7 0,002 0,25 0,0020 0,605 0,808 1,717 4,7 0,050 0,20 0,010 0,742 1,00 5,636 4,2 0,030 0,20 0,0060 0,750 1,00 2,273 3,2 0,015 0,20 0,0030 0,761 1,03 1,910 2,5 0,010 0,20 0,0020 0,764 1,03 1,818 2,2

Tabla VII

Los resultados de la tabla VII verifican el hecho de que el control PI reduce el (%)PM a expensas de aumentar el rt . También se ve que el (%)PM se puede reducir aún más para valores más pequeños de PK que 0,25. sin embargo rt y Et pueden ser excesivos. Si se elige 0, 25 0,00250P IK y K= = o sea:

0,25( 0,01)( ) sGc ss+

=

La figura 16 muestra el controlador implementado con amplificadores operacionales.

Figura 16


22 1

1

0,025 0,025PRK R RR

= = → =

1I

i i

KRC

= ; si se elige iC y se despeja iR : 1 10,0025i

I i i

RK C C

= =× ×

La figura 17 muestra la respuesta al escalón unitario del sistema diseñado y sus atributos, junto con las respuestas del sistema básico y del diseñado con un controlador PD.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

Salid

a c(

t)

Tiempo, seg.


Ess = 0


Kp = 0.25Ki = 0.0025

Gp(s) = 50/s(s+5) Gc(s) = 0.25 (s+0.01)/s

Sistema Básico: Koc = 2

Con PD: Kp = 2 y Kd = 0.30

Figura 17 Ejemplo 6: Un proceso tiene la siguiente función de transferencia:

)6)(2(52)(

++=

sssGp

Seleccionar un controlador serie adecuado para que se satisfagan las especificaciones siguientes: 1º) 3/1)( ≤unitariasrampasentradasaeEE 2º) %5(%) ≤Mp 3º) .50.0 segtR ≤ 4º) .50.1%)5( segtE ≤ 5º) .50.2%)2( segtE ≤ Por la 1º) especificación el controlador deberá tener un polo en el origen, en consecuencia se elegirá un control PI.


)6()2()(52)()()(

+++

==ssssKpKisGpsGcsG

El coeficiente de error a la rampa será:

KiKisGsKvs 3

1312

52)(lim0

===→

Por ende el error será:

31

1331

≤==KiKv

eEE ⇒ 6923.0≥Ki ⇒ 70.0≥Ki

Se tendrá que seleccionar Kp, para que se cumplan, si es posible, todas las otras especificaciones de funcionamiento del sistema diseñado. Se tiene que:

)6()2()70.0(52)(

+++

=sss

sKpsG

la ecuación característica es: 04.3652)6()2( =++++ sKpsss

La función de transferencia del lazo equivalente, con Kp como parámetro variable será:

4.36)6)(2(52).(

+++=

ssssKpsGequiv ⇒

4.3612852).( 23 +++

=ssssKpsGequiv

El lugar de las raíces se muestra en la figura 18, en ella se ve que la recta para 707.0=δ corta a las ramas para 35.028.0 ≅≅ KpyKp .

-8 -6 -4 -2 0-4

-2

0

2

4

Eje Real

Eje

Im

agin

ario

Kp = 0.28

Kp = 0.35 δ = 0.707

jω

σ

Figura 18


En la tabla VIII, se muestran los atributos del sistema para 70.0=Ki , con varios valores de Kp , (entre 0.1 y 1), se puede apreciar que en el rango de Kp entre 0.35 y 0.60, (para Kp=0.70) se cumple todo lo pedido.-

IK PK rt (5%)Et (2%)Et (%)PM 0.70 0.1 0.60 3.15 4.34 27.3 0.70 0.116 0.60 3.03 3.32 24.7 0.70 0.2 0.58 1.85 2.06 14.8 0.70 0.35 0.50 0.67 1.4 4.50

⇒ 0.70 0.40 0.47 0.63 1.06 2.60 ⇐ 0.70 0.50 0.42 0.58 1.79 0.60 0.70 0.60 0.37 1.33 2.00 0.40 0.70 0.80 0.30 1.41 2.63 2.40 0.70 0.90 0.27 1.42 2.90 3.90 0.70 1.00 0.25 1.45 3.10 5.40

Tabla VIII Se ve que al aumentar Kp, el tiempo de subida se reduce siempre y el de establecimiento al 2% se reduce hasta Kp = 0.4, luego aumenta otra vez. El Mp(%) hasta Kp = 0.6 y después también aumenta. Se elige: Ki = 0.70 y Kp = 0.4. En la figura 19, se puede ver la respuesta del sistema.-

0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Sal

ida

c(t)

Tiempo, seg.

Tr = 0.4736 s < 0.50 seg.5%Ts = 0.6364 s < 1.50 seg.2%Ts = 1.061 s < 2.5 seg. %OS = 2.6 % < 5 %

Tmax = 0.9394 s Ess = 0


Kp = 0.40Ki = 0.70

Figura 19


Ejemplo 7: Consideremos la planta del ejemplo 3, donde con un controlador PD, no se pudo conseguir la especificación respecto al MP(%). Se intentará ahora con un controlador PI, relajando los tiempos de respuesta evidentemente, conseguir que esa especificación se cumpla. Se tenia que:

)10)(3(60)(

++=

ssssGp

Las especificaciones serán ahora las siguientes: 1º) 100)( ≤unitariassparabólicaentradasparaeEE 2º) %5(%) ≤Mp 3º) )2.0(.0.2 deeraantessegtR ≤ 4º) )50.0(.75.2%)5( deeraantessegtE ≤ 5º) )(.0.5%)2( doespecificaestabanoantessegtE ≤ Al seleccionar el controlador PI, la función del lazo del sistema será:

)10)(3()/(60)()()( 2 ++

+==

sssKpKisKpsGpsGcsG

El coeficiente de error correspondiente será:

KiKisGsKas

230

60)(lim 2

0===

→

El error será:

⇒≤== 1002

11KiKa

eEE El valor mínimo de Ki será: 005.0≥Ki

La ecuación característica del sistema será: 06060)10)(3(2 =++++ KisKpsss 060603013 234 =++++ KiKpssss

Aplicando el criterio de Routh se puede determinar la zona, en el plano Ki=f(Kp), donde el sistema será estable. Se puede emplear el programa srouth, agregado al Csad/Matlab, para tal fin. Se procede así: » srouth Variables posibles de utilizar: kp kd ki t a k Ingrese el polinomio como vector > [1 13 30 60*kp 60*ki] Las variables que se encuentran presentes en el polinomio son: ki, kp. Ingrese como vector las variables que desee reemplazar por un valor constante [kp,ki,kd,t,a,k] > Se optó por dejar todas como elementos variables. El polinomio ingresado es: 4 3 2 s + 13 s + 30 s + 60 kp s + 60 ki La tabla de Routh es:


[s^4, 1, 30, 60*ki, 0] [s^3, 13, 60*kp, 0, 0] [s^2, 30-60/13*kp, 60*ki, 0, 0] [s, 60*kp-780*ki/(30-60/13*kp), 0, 0, 0] [1, 60*ki, 0, 0, 0] Las siguientes expresiones deben ser mayores que cero para que el sistema sea estable. 60 30 - ----- kp 13 ki 60 kp - 780 -------------- 60 30 - ----- kp 13 60 ki ¿Qué variable desea despejar? kp(p),ki(i),kd(d),t,a,k > i ****************************************************************

ki [ 30 60 2]

[----- kp - ----- kp ] ⇒ )5.6()169/60(

)169/60()13/30( 2

−−<−<

KpKpKioKpKpKi

[ 13 169 ] [ ] [ 0 ] ⇒ 0>Ki Hay elementos de la columna que no tienen la variable (i). 60 30 - ----- kp ⇒ 5.6<Kp 13 Por ende los 3 requisitos para que el sistema sea estable son:

0>Ki

5.6<Kp

)5.6()169/60()169/60()13/30( 2

−−<−<

KpKpKioKpKpKi

En la figura 20 se muestra la zona en el plano Ki=f(Kp), donde el sistema será estable:


0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

2

3

4Ki

Kp

Zona de

Estabilidad

6.5

Figura 20 El diseño del controlador PI necesita un valor pequeño para (Ki/Kp), relativamente cercano al polo en el origen del controlador y lejos del polo de la planta, en este caso en –3.

-12 -9 -6 -3 0-8

-4

0

4

8

Eje Real

Eje

Im

agin

ario Kp=0.57 Kp=0.57

jω

σ

δ = 0.707

Figura 21


Si se elige: Ki/Kp<<3, la G(s) quedará:

)10()3(60

)10()3()/(60)( 2 ++≅

+++

=sssKp

sssKpKisKpsG

En la zona dominante del lugar: Construyendo el lugar, se muestra en la figura 21, para 707.0=δ nos da que la ganancia del lazo es aproximadamente: K = 34.20, por lo tanto el valor de Kp resulta:

57.060

2.34≅⇒= KpKp , ⇒ se tomara Kp = 0.50

El diseño se completara eligiendo Ki/Kp, y en consecuencia saldrá el valor de Ki, que deberá cumplir, además, con lo que dice la figura 20.- Al seleccionar el valor de Kp en forma adecuada es posible satisfacer los requisitos de diseño. La tabla IX muestra los atributos de desempeño para varias combinaciones de Ki/Kp y Kp, hay dos que satisfacen todo lo pedido.

PK I

P

KK IK rt (5%)Et (2%)Et (%)PM

0.5 0.05 0.025 1.32 4.44 19.8 7.1 0.5 0.03 0.015 1.35 3.33 15.6 5.2 ⇒ 0.5 0.01 0.005 1.38 1.9 3.94 3.3 ⇐ 0.5 0.02 0.008 1.84 2.62 3.03 0.2

0.5 0.03 0.012 1.74 2.42 23.5 3.9 0.5 0.05 0.02 1.67 7.6 24.5 6.1 0.5 0.01 0.01 2.6 3.64 4.24 1.6

Tabla IX Se tomará como solución: Kp = 0.50 Ki = 0.005 Con lo cual se puede sintetizar el controlador.


La figura 22, muestra la respuesta del sistema diseñado, además de los atributos de la respuesta temporal del mismo a una entrada escalón unitario.-

0 2 4 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Salid

a c

(t)

Tiempo, seg.

Tr = 1.382 s < 2 seg.5%Ts = 1.939 s < 2.75 seg.2%Ts = 3.939 s < 5 seg. %OS = 3.3 % < 5 %Tmax = 3.03 s

Ess = 0


Kp = 0.50Ki = 0.005

Gp(s) = 60/s(s+3)(s+10)

Gc(s) = 0.5 (s+0.01)/s

Figura 22 Diseño con el Controlador PID De los diseños anteriores se observa que el controlador PD puede añadir amortiguamiento a un sistema pero no afecta a la respuesta en estado estable (si 1PK = ). El controlador PI puede mejorar la estabilidad relativa y el error en estado estable al mismo tiempo, pero el rt y el st se incrementan. Esto conduce a emplear un control PID para que se cumplan las mejores características de ambos. Veamos un ejemplo: Ejemplo 8: supongamos que tenemos el sistema de la figura 23:


Figura 23 Las especificaciones son:

1º ) 0,01 (1%)

2º ) (%) 5%

3º ) 0,54º ) (5%) 1,55º ) (2%) 4,5

entrada rampaEE

p

r

E

E

e

M

t segt segt seg

≤

≤ ≤ ≤ ≤

Se deben calcular: , ,P IA K K y DK . Proporcional: Para satisfacer la primera especificación se fijara el valor de A .

0

1 1 1lim ( ) 22 100

50

EEsKv sAGp s A e

Kv A

A

→= = → = = ≤

→ ≥

La ecuación característica es: 3 215 50 100 0

15 50 100 7,5s s s A

A A+ + + =× = → =

Como 50>7,5 el sistema sería inestable. Proporcional-Derivativo (PD):

Veremos con un PD. Puesto que ya con la ganancia del lazo, 50K = se satisface el requerimiento del error, por ende se adoptara 1pk = y el valor

de KD resulta muy chico (50 veces mas chico), ( '150 DK ) .-

por ende: ( ) (1 )c DG s k s= + 5000(1 ) ( ) ( ). ( )( 5)( 10)

Dc p

k sG s G s G ss s s

+∴ = =

+ +; pues 100xKc = 5000

( 5)( 10) 500(1 ) 0DEC s s s k s→ + + + + =

3 2

5000( )15 50 5000

Deq

k sG ss s s

=+ + +


El lugar de las raíces con KD variable está dibujado en la figura 24 Del mismo se aprecia la limitación del control PD para obtener todas las especificaciones pedidas. Aunque las raíces se mueven hacia el semiplano izquierdo, el incremento en el δ de los polos complejos es muy limitado. Cuando 0,25Dk ≅ , ( )0,16δ ≅ por ende el MP será excesivo. El lugar se puede hacer con ayuda del Csad/Matlab, con el programa Pidesign de la manera siguiente: Controller Form: Kp + Ki/s + Kds --- PIDESIGN OPTIONS --- Controller type Time response Begin Rltool View Nyquist Kp,Kd,Ki values Freq response Show values Root locus Goals to meet Error, Ess Ziegler-Nichols Display TF's Add controller New/clear TF's Poles and Zeros Lldesign H-Routh Introd. Delay M - Rootcontorn Quit PIDESIGN > k Enter Kp [1] > Enter Kd [1] > PIDESIGN > r - Choose Root Locus Structure - (1) Vary Kp, keep others fixed (3) Vary Kd, keep others fixed (5) Vary Kd, hold Kp/Kd constant (0) Second thought, not now... Your choice? > 3 RLPLOT > d 5000*(s^1 ) -------------------------------------- s^3 + 15s^2 + 50s^1 + 5000 RLPLOT > !rlocus(n,d) El lugar esta indicado en la figura 24.


-24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4-50

-30

-10

10

30

50

Eje Real

Eje

Imag

inar

io Kd=0.25

Kd=0.25

jω

σ 0

Para Kd = 0.25 los polos estan en: -3.98 -5.50 +35.0i -5.50 -35.0i

δ = 0.16

Figura 24 Para verificar que el mejor valor de KD es 0,25, usaremos la opción Time Response del pidesign/CSAD/Matlab. Los atributos de la respuesta al escalón son obtenidos para varios valores de KD con 1pK = , los mismos se muestran en la tabla X.

< 0,5 < 1,5 < 5 < 4,5

Con cK , KD Sin cK tr (s) ts (5%) (s) Mp (%) tE (2%) s 0,1 5 0,05 1,147 70,2 1,552 0,2 10 0,0374 0,525 60,5 0,727 0,25 12,5 0,03305 0,5444 60,2 0,6565 0,28 14 0,03137 0,5172 60,7 0,6859 0,30 15 0,03025 0,502 60,5 0,6646 0,50 25 0,02316 0,4455 64,8 0,5727 1,00 50 0,01717 0,403 71,2 0,5444

Tabla X

Los resultados muestran que el valor óptimo de KD con respecto al Mp es aproximadamente 0,25, lo cual concuerda con lo visto en el lugar de las raíces. La respuesta del sistema básico y compensado con el control PD se muestra en la figura 25.-


0 0.2 0.4 0.6-4

-2

0

2

4

Salid

a c

(t)

Tiempo, seg.

Tr = 0.03293 s5%Ts = 0.5455 s2%Ts = 0.5697 s %OS = 60.3 %Tmax = 0.09091 s

Ess = 0

Con el PD Solamente:

Figura 25

Como se ve los tr, tE (5%) y tE (2%) se consiguen de sobra pero el

(%) 60,3Mp ≅ es excesivo. Intentaremos ahora con un PI. Diseño del Controlador PI:

Este diseño también será la etapa inicial para el diseño de un controlador PID; usando el método ya delineado. Al aplicar el controlador PI a ( )pG s nos queda:

2

100 ( )100( )( ) ( ). ( )

( 5)( 10) ( 5)( 10)

II ppp

c p

kk k sk ksG s G s G ss s s s s s

++= = ≡

+ + + +

Ahora el sistema es tipo 2 y el eEE a la rampa de entrada es nulo (si el sistema es estable), independientemente de los valores de kp y kI.

La clave del diseño del controlador PI es fijar el valor del cero I

p

kk

−

significativamente más pequeño que la magnitud del polo dominante de Gp(s) (sin incluir el del origen) el cual en este caso esta en -5.


Si se hace esto: 5I

p

kk

<< la G(s) queda aproximadamente:

100( )

( 5)( 10)pkG s

s s s≅

+ + , y el comportamiento transitorio del sistema

compensado será muy similar al del sistema básico pero con la ganancia del lazo 100Kp en vez de 100. El lugar se muestra en la figura 26

-12 -9 -6 -3 0-10

-5

0

5

10

Eje Real

Eje

Imag

inar

io K=81.56 K=81.56

81.56 = 100Kp

Kp = 0.8156

jω

σ

G(s) = K / s(s+5)(s+10)

Figura 26

Será enfatizado que esta aproximación se justifica solo para la respuesta transitoria y no para el régimen permanente. Ahora el valor de Kp se podrá seleccionar para mejorar la respuesta transitoria y en consecuencia el de KI

que se conoce I

p

kk

.

Si se elige 5 0,1 0,1I II p

p p

k k k kk k

<< → = → = .

Para 0,707δ ≅ , de los polos complejos conjugados del sistema el valor de Kp resulta del la figura 26 8156.0=Kp . En un entorno de este valor, se variará Kp y en consecuencia resultará el

de KI para I

p

k ctek

= .

Un resumen de los resultados se obtienen para varios valores de Kp, hasta el KpLímite , sistema marginalmente estable, en la tabla XI.-


Kp KI I

p

KK

tr (seg)

tE (5%)(s)

tE (2%)(s) Mp %

0,25 0,025 0,1 2,633 17,17 23,99 12,9 0,50 0,050 0,1 1,305 8,889 17,17 8,4

minino Mp% 0,60 0,0600 0,1 1,077 6,91 15,27 8 0,75 0,075 0,1 0,848 4,242 12,88 9,2 0,815 0,0815 0,1 0,77 3,15 11,95 10,2 1,00 0,10 0,1 0,637 2,323 9,798 13,8 1,25 0,125 0,1 0,522 1,859 7,475 19,3 1,50 0,150 0,1 0,450 1,616 5,636 24,4

mínimo tE(5%) 1,75 0,1750 0,1 0,401 1,455 4,667 29,5 2,0 0,20 0,1 0,362 2,727 4,343 34,2 2,5 0,25 0,1 0,310 2,525 4,040 42,7

mínimo tE(2%) 3,000 0,3000 0,1 0,274 2,828 3,737 50 4,0 0,40 0,1 0,232 4,242 5,515 62,8 5,0 0,50 0,1 0,210 5,96 8,08 73,2

7,275 0,7275 0,1 0,166 Sistema marginalmente estable ← →

Tabla XI Desde estos resultados es evidente que pueden obtenerse bajos Mp(%) con Kp aproximadamente 0.60, pero los tiempos de subida y de establecimiento serán muy grandes. Por ende el control PI tampoco puede conseguir las especificaciones pedidas. Los resultados muestran que, en general, mientras TR cae siempre, con el incremento de Kp, el tiempo TE(5%) alcanza un mínimo para Kp aproximadamente 1.75 seg. y al (2%) para Kp = 3, la primera con un Mp(%) = 29.5% y la segunda con un Mp(%)=50%. Las respuestas al escalón unitario para los tres valores particulares de Kp, (con el Ki resultante, para que el cero en –Ki/Kp esté ubicado en - 0.1), Kp = 0.60, Kp = 1.75 y Kp = 3.0, se muestran en la figura 27.


0 2.5 5 7.5 100

0.5

1

1.5

Sal

idas

c(

t)

Tiempo, seg.

Kp = 3 y Ki = 0.30

Kp = 1.75 y Ki = 0.175

Kp = 0.60 y Ki = 0.06

Figura 27 Diseño del Controlador PID El controlador PI ya visto que produce el mínimo TE(5%), será usado como base para el diseño del controlador PID. Los valores de Kp y Ki eran: Kp2 = 1.75 y Ki2 = 0.175. Con estos valores, y con el controlador PD con Kp1 =1, la función de transferencia del lazo queda:

)10)(5()1()/175.075.1(100)()()( 1

++++

==sss

sKdssGpsGcsG

operando:

)10()5(

)1()1.0(175)( 21

++++

=sss

sKdssG

Kd1, se elegirá para que los TE y la Mp(%) sean ambos reducidos, manteniendo el TR dentro de una tolerancia adecuada. Ahora se puede usar la opción del menú principal de Pidesign, llamada Add Controller para diseñar la parte derivativa. Para investigar el efecto de la variación de Kd1, seleccionamos la opción del menú principal Root Locus, una vez ingresada la planta y la parte PI, con los valores de los parámetros correctos, se procede así:


Controller Form: Kp + Ki/s + Kds --- PIDESIGN OPTIONS --- Controller type Time response Begin Rltool View Nyquist Kp,Kd,Ki values Freq response Show values Root locus Goals to meet Error, Ess Ziegler-Nichols Display TF's Add controller New/clear TF's Poles and Zeros Lldesign H-Routh Introd. Delay M - Rootcontorn Quit PIDESIGN > a Cascade present controller to plant? (y/n) [n] > y Cascaded controller TF: 1.75*(s^1 + 0.1) ---------------------- s^1 Enter controller type (p,pi,pd,pid,other) [pid] > pd PIDESIGN > k Enter Kp [1.75] > 1 Enter Kd [0] > 1 PIDESIGN > r - Choose Root Locus Structure - (1) Vary Kp, keep others fixed (3) Vary Kd, keep others fixed (5) Vary Kd, hold Kp/Kd constant (0) Second thought, not now... Your choice? > 3 RLPLOT >d 175*(s^2 + 0.1s^1 ) -------------------------------------------------- s^4 + 15s^3 + 50s^2 + 175s^1 + 17.5 RLPLOT >k El programa grafica el lugar de las raíces con Kd1, como parámetro variable, el mismo esta hecho en la figura 28.


-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-10

-5

0

5

10

Eje Real

Eje

Im

agin

ario

Kd1=0.35

Kd1=0.14

jω

σ

δ = 0.707

Figura 28 Como se aprecia el lugar de las raíces intercepta la línea de 707.0=δ para dos valores de Kd1, en Kd1 = 0.11 y Kd1 = 0.35. Los atributos de la respuesta al escalón unitario del sistema diseñado con los controladores PI y PD en serie, con Kp2 = 1.75 y Ki2 = 0.175, variando Kd1 entre 0.10 y 2.0 son resumidos en la tabla XII.-

Especificaciones ⇒ 0.50< 1.50< 4.50< 5< 1dK rt (5%)Et (2%)Et (%)PM 0.100 0.430 1.414 4.04 12.9 0.200 0.431 0.9596 4.192 5 ⇒ 0.300 0.429 0.556 4.192 3.4 ⇐ 0.350 0.416 0.606 4.293 2.3

0.500 0.405 0.758 4.343 2.2 0.500 0.3367 0.960 4.242 2 0.600 0.259 1.00 1.465 1.9 0.800 0.203 1.131 1.697 1.8 1.020 0.1425 1.273 1.919 1.7 1.200 0.1233 1.303 2.061 3.5 1.280 0.116 1.333 2.121 4.5 1.300 0.124 1.313 2.12 5 1.500 0.103 1.333 2.273 8.8 2.000 0.0934 1.313 2.525 16

Tabla XII


Como se puede observar de la misma, el incremento de Kd1 disminuye el Mp(%), hasta aproximadamente 1.5%, y luego vuelve a aumentar si Kd1 es mayor que 1.0, como así también los tiempos de establecimiento. Todas las especificaciones se cumplen en el rango de Kd1 siguiente: 0.178 < Kd1 < 1.300. Cuando Kd1 = 0.60, el TE(2%) = 1.465 seg, cae bruscamente, y luego comienza a aumentar otra vez, esto se debe a que cuando Kd1=0.5, el Mp(%) = 2% , y debido a lo ya comentado en su oportunidad, la curva de respuesta empieza a entrar en la banda del %2± siempre por debajo. Si se elige, Kd1 = 0.30, se puede determinar los valores de los parámetros del controlador PID, de la manera ya estudiada:

Kp = Kp2+Kd1Ki2=1.75+0.30x0.175=1.8025

Kd = Kd1Kp2 = 0.30 x 1.75 = 0.525

Ki = Ki2 = 0.175

La Gc(s), será: sss

sssGc )33.043.3(525.018025.0525.08025.1)(

2 ++≅++=

Tres respuestas posibles se muestran en la figura 29.

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

salid

as c

(t)

Tiempo, seg.


Ess = 0


Kd1 = 1.3 Kd1 = 0.178

Kd1 = 0.30 (Respusta Elegida)

Parámetros del Controlador:Kp2=1.75; Ki2=0.175 y Kd1=0.30

Kp=1.803Ki=0.175Kd=0.525

Figura 29


Otro Procedimiento para Diseñar el Controlador:

El controlador PID se puede expresar por la función de transferencia: [ ]

sKdKisKdKpsKdsGc )/()/()(

2 ++=

Un método de diseño seria elegir la posición de los dos ceros del controlador, por ende esto equivale a elegir las relaciones Kp/Kd y Ki/Kd. Luego variar Kd, por ende indirectamente a Kp y Ki, para tratar de conseguir todas las especificaciones de funcionamiento especificadas. Los dos ceros deben cumplir:

121 )( kKdKpZZ ==+− ⇒ KdkKp 1=

221 kKdKiZZ == ⇒ KdkKi 2=

Luego de seleccionar los ceros, los valores de k1 y k2, y posteriormente adoptado un Kd que cumpla con las especificaciones, con las dos últimas expresiones se determinan los valores de Kp y Ki. Se puede usar Pidesign del Csad/Matlab, para reducir el tiempo de las pruebas con diferentes valores de Kd, para determinar el rango de Kd que satisface lo pedido. Ejemplo 9: Se tratara de diseñar un sistema de control de la planta, ya estudiada en el ejemplo 8. Las especificaciones son las mismas.- Recordar que:

)10()5(100)(

++=

ssssGp

Se puede situar un cero en –5 para cancelar el polo de la planta, y luego ubicar el otro en alguna posición tal que, ajustando posteriormente Kd se verifique que se cumplen todas los atributos de la respuesta al escalón unitario solicitados. Luego de algunos intentos se elige:

10.05 21 −=−= ZyZ En consecuencia se tendrá:

10.5)( 21 =+− ZZ ⇒ KdKp ×= 10.5 5.0)( 21 =× ZZ ⇒ KdKi ×= 50.0 Usando Pidesign, una vez ingresada la planta y elegido el controlador PID, se fijan Kp, Ki y Kd en cualquier valor, por ejemplo en 1 todos. Con Root Locus del menú principal, se elige la opción (6) Con Kd variable y Kp/Kd y Ki/Kd fijos. Se ingresa luego la posición de los ceros del controlador elegidos en un vector, [-5;-0.1] y luego se construye el lugar de las raíces de la ecuación característica del sistema al variar Kd.


Esto se indica a continuación: PIDESIGN > k Enter Kp [1] > Enter Ki [0.5] > 1 Enter Kd [0.001] > 1 PIDESIGN > r - Choose Root Locus Structure - (1) Vary Kp, keep others fixed (2) Vary Ki, keep others fixed (3) Vary Kd, keep others fixed (6) Vary Kd, fix Kp/Kd and Ki/Kd (0) Second thought, not now... Your choice? > 6 Kp = -(Z1+Z2)*Kd and Ki = Z1*Z2*Kd Enter a vector of TWO zeros [Z1;Z2] fixed by Kp/Kd and Ki/Kd > [-5;-0.1] RLPLOT > d 100*(s^1 + 0.1) ---------------------- s^3 + 10s^2 RLPLOT > k Se construye el lugar, indicado en la figura 30.

-12 -9 -6 -3 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

Kd=0.5δ = 0.707 jω

σ

Kd = 0.255

Figura 30 En ella se ve que para 707.0=δ , le corresponde Kd = 0.50.


En la tabla XIII, se resumen los atributos para diferentes valores de Kd. Disminuyendo Kd desde Kd = 0.5 hasta 0.15.-

DK 5,1P DK K= 0,5I DK K= rt (5%)Et (2%)Et (%)PM 0.5 2.550 0.250 2.97 0.7576 1.061 6.4 0.44 0.244 0.22 0.3393 0.4545 1.465 5 ⇒ 0.40 2.04 0.200 0.371 0.485 2.82 4.2 ⇐ 0.35 1.785 0.1750 0.429 0.555 4.192 3.4

0.345 1.7595 0.1725 0.4362 0.5556 4.343 3.4 0.25 1.275 0.125 0.621 0.808 7.758 3.5 0.150 0.7650 0.075 1.076 4.525 13.15 5.3

Tabla XIII De la misma se puede observar que las especificaciones se cumple en el siguiente rango de Kd: 0.345 < Kd < 0.44.- Si se elige: Kd = 0.40 ⇒ Kp = 2.04 y Ki = 0.20.- La figura 31 muestra la respuesta, con sus atributos del sistema diseñado.

0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Salid

a c

(t)

Tiempo, seg.


Ess = 0


Gc(s) = 0.40 (s2+5.1s+0.5) / s

Parámetros de Gc(s)Kp = 2.04Ki = 0.20Kd = 0.40

Figura 31


Ejemplo 10: Se tratara de diseñar un sistema de control de posición de una carga inercial, el cual tiene un controlador serie proporcional y una realimentación taquimétrica, en principio con propósitos de estabilizar al mismo. Un diagrama de bloques del sistema se muestra en la figura 32.

Figura 32 Se piden las especificaciones siguientes: Como Seguidor 1º) El 0)( =escalónreferenciadeseñalesparaeEE 2º) El 50.0)( ≤unitariasrampasreferenciadeseñalesparaeEE 3º) El .50.0)( segdemoradeTiempoTD ≤ 4º) El .80.0)( segsubidadeTiempoTR ≤ 5º) El .50.1)(%)5( segientoestablecimdeTiempoTE ≤ 6º) El .0.2)(%)2( segientoestablecimdeTiempoTE ≤ 7º) El %0(%) ≅posibleessiMp Como Regulador: 8º) Si el par perturbador es un escalón unitario, )()( tttc Sµ= el apartamiento final de la salida, (el error), deberá ser menor que 0.01 unidades.- 9º) El transitorio a dicho escalón deberá entrar en la banda del ± 2% del valor del apartamiento de la salida ∆C.- La especificación 1º) se cumplirá pues como se vera el sistema es tipo 1.- Para que se cumpla la especificación 8º), hay que fijar Ka, pues:

=∆C 01.01)0()0(

≤×TcC


Como:

)/250()/750(10)10(1.0

)()(

23 ππα KasKasss

sTcsC

++++

= ⇒ 01.0250)0(

)0(≤=

KaTcC π

Por lo tanto: 5.2π

≥Ka ⇒ 26.1≥Ka

Se tiene que:

)/250()/750(105.2)/100()(

)()()(' 23 ππα

πKasKass

KasMKsSRsCsM H +++

=== ⇒ 1)0(' =M

Como se puede ver se cumplirá la especificación 1º). También se puede ver determinando la función de transferencia del lazo del sistema con realimentación unitaria equivalente. La misma resulta ser:

))/750(10()/250().( 2 πα

πKasss

KasGequiv++

= ⇒ Sistema Tipo uno.-

Como se aprecia el error a la rampa dependerá solo de ,α dicho de otra manera, de la posición del cero de la realimentación taquimétrica. El coeficiente de error a la rampa es:

απαπ

31

/750/250

==KaKaKv ⇒ α3)( =rampaeEE

Como: 50.03 ≤α ⇒ 61

≤α

Se puede determinar el rango de α para que el sistema sea estable es:

1301

<<α , por ende para que se cumpla la especificación 2º) deberá ser:

61

301

<<α

Por ende la ubicación de cero de la realimentación tacométrica deberá estar entre:

210 −<<− Z Podemos ayudarnos con la técnica del contorno de las raíces para determinar si se puede conseguir una ubicación adecuada de los polos del sistema, (pues el mismo no tendrá ceros), con el ajuste solo de los parámetros Ka y α , en sus rangos ya determinados.- Como la función de transferencia del lazo del sistema es:

)10()31(250)( 2 +

+=

sssKasL α

π

Para Ka fijo y α variando en forma continua se tendrá:


0750250)10(2 =

+

++ sKaKass

πα

π, por consiguiente:

)/25010(

)/750().( 23 παπKasssKasLequiv

++= (1)

Para 0=α , los puntos de iniciación de los contornos serán los ceros de :

0250)10(2 =++πKass

Los puntos de partida de los contornos, en función de Ka, se podrán

graficar a partir de, )10()/250().(' 2 +

=ssKasequivL π , en la figura 33 se muestran.-

-12 -9 -6 -3 0-8

-4

0

4

8

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

jω

σ

Figura 33 Figura 34 Los contornos para diferentes Ka, podrán o no tener puntos de ruptura. Los mismos en función de Ka se determinan de la siguiente manera:

0)).('( =sequivLdsdN ⇒ 0/1255 23 =−+ πKass , en consecuencia:


-6 -4 -2 0-7

-3.5

0

3.5

7

Eje Real

Eje

Imag

inar

iojω

σ

σ* = -10/3Ka* = π/6.75

Figura 34

)5()/125().('' 2 +

−=

ssKasequivL π se grafican en la figura 34, en la misma, la abscisa

y el valor de Ka que hacen que el sistema tenga un punto de ruptura de orden dos serán:

4654.075.6125

)5(3/100)3/10(30)''(2

** ≅=+

=−=⇒=+⇒=ππσ ssKayssL

dsdN

Los contornos para tres valores de Ka, Ka < Ka*, Ka = Ka* y Ka > Ka*, variando α en forma continua, tendrán 2 puntos de ruptura con y = 1, q = 2, un punto de ruptura con y = 2 , q = 3 y ninguno respectivamente, los mismos se muestran en la figura 35.


-12 -8 -4 0-12

-8

-4

0

4

8

12

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

jω

σ

α = 0.14654

-10/3

j6.0526

α = 0.14654

Ka = 2 > Ka*

Ka = pi/6.75 = Ka*

Ka = 0.40 < Ka*

Para Ka = 2 y α = 0.1465los polos del Sistema están en:-3.3333-3.3333+6.0526i-3.3333-6.0526i

Figura 35 Como Ka > 1.26, se elegirá Ka = 2, y se variará α dentro del rango:

6/130/1 <<α , para encontrar alguna solución al diseño, si la misma existe.- El contorno para Ka = 2, muestra como los polos del sistema se mueven hacia la izquierda a medida que se aumenta α . Como el sistema no tiene ceros, el Mp(%) puede llegar a ser nulo si el valor del tercer polo es: σλ ≥3 y esto se traduce en un valor de 14654.0≥α , como se vera a continuación:

1321 −−=++ naλλλ 102 −=+σσ ⇒ 33/10 λσ ≡−=

0321 )1( an−=×× λλλ ⇒ πλωσ /500)( 3

22 −=+ d Resultando: 0527.6≅dω El valor de α correspondiente será:

sss

)/1500()/50010( 23

ππα ++−

= , para s = -10/3, reemplazando quedaría:

14654.0=α Por lo tanto para Ka = 2 y 14654.0=α , los polos del sistema serán:

−=±−=−

3/100527.63/10

3

21

λλ j

, como se quería demostrar.-

Para obtener las respuestas con sus atributos y verificar si se cumplen las especificaciones solicitadas se pueden usar varios programas de computación, entre ellos están:


Con un diagrama de Simulink. Ltiview de Matlab. Rltool de Matlab. Frtool para adicionar al Matlab. Tftplot del Csad/Matlab. Pidesign del Csad/Matlab. Etc.

Con Tftplot y Ltiview hay que ingresar la función de transferencia M’(s). Con Pidesign hay que entrar la Gequiv.(s) del sistema con realimentación unitaria, como ya se sabe.- En la tabla XIV, se resumen los resultados.

Especificaciones⇒ <0,8 <1,5 <2 <0,5 <5% <0,5 <1,5

aK α rt (5%)Et (2%)Et Dt (%)PM entrada rampaEEe Regulador

(2%)Et

2 0.10 0.36 1.66 1.80 0.375 21.3 0.30 2.15 2 0.12 0.40 1.05 1.54 0.39 8.9 0.36 1.47 2 0.1275 0.42 0.65 1.07 0.39 4.9 0.38 1.30

2 0.13 0.43 0.66 1.02 0.39 3.7 0.39 0.95 2 0.135 0.45 0.67 0.73 0.39 1.4 0.40 0.85

2 0.14654 0.50 0.78 1.36 0.40 0 0.44 1.27 2 0.150 0.53 0.87 1.39 0.40 0 0.45 1.28 2 0.1666 0.74 1.23 1.55 0.41 0 0.50 1.42 2 0.2 1.047 1.55 20.3 0.44 0 0.6 1.92

Tabla XIV

Como ser puede apreciar para Ka = 2, el rango del parámetro α que cumple con todos las especificaciones es: 6/11275.0 <<α Si se elige 15.0=α , la figura 36 muestra tres respuestas, la adoptada con sus atributos.


0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Salid

as c

(t)

Tiempo, seg.

Tr = 0.527 s < 0.80 seg.5%Ts = 0.8687 s < 1.5 seg.2%Ts = 1.394 s < 2.0 seg. %OS = 0 %

Ess = 0

Atrbutos del Sistema Diseñado, α = 0.15

Para Ka = 2 y α = 0.15

Para Ka = 2 y α = 0.1275

Para Ka = 2 y α = 0.135

Eee (Para Sr(t) = t µs(t)) = 0.45 < 0.50

Figura 36 Un esquema de simulink, se muestra en la figura 37.-

Ka = 2a = 0 .15

s 2

12.5*Ka

s+10

R

T c

EaSR

E

C

PID

0.1

100/p i

Figura 37 Para usar RLTOOL, de Matlab y verificar el funcionamiento del sistema como seguidor y regulador, se puede proceder del modo siguiente. Las funciones de transferencia en este programa tienen que ser propias o estrictamente propias. En Matlab 6.5, si todas las funciones no son impropias permite cambiar la configuración, para seguidor y regulador, En el 5.3 no. Como H(s) en este sistema no lo es, hay que hacer un artificio para poder usar el rltool.


Un diagrama con realimentación no unitaria, esta representado en la figura 38.-

)(sSR + )(sC - Figura 38 Un diagrama equivalente al anterior puede ser el de la figura 39:

)(sSR + )(sC - Figura 39 En el mismo ahora )(sF , es una función, en este caso, es estrictamente propia. Esto se pude aplicar, en el presente ejemplo, para poder usar el programa rltool de Matlab. Como seguidor las funciones a ingresar serán:

.1)()(;)(;)(' =sHysPsKsF Las mismas serán en este ejemplo:

)31(1)('s

sFα+

= ; )10(

5.2)()(+

==sKasCsK ; 2

)3/1()/300()()(sssGsP απα +

== y 1) =Hs

Como se puede apreciar todas funciones estrictamente propias.- Para analizar el comportamiento como regulador el diagrama que resultara, en este ejemplo será el indicado en la figura 40.

)(sTc + )(sC Figura 40 Para el presente ejemplo las funciones son:

−+

+==== .

)10()3/1()/750()(1)(;1)(;10.0)( 2 s

sKasHys

sPsKsF απα

Para Ka = 2 y diferentes valores de α se pueden obtener las respuestas cuyos resultados están resumidos en la tabla XIV.- El procedimiento para usar rltool de Matlab sería: Para Ka = 2 y 15.0=α , se ingresan las funciones respectivas. » F=tf(1,[0.45 1]) Transfer function:

)(' sF )(sK

)(' sH

)(' sP

)(')(')(sHsFsF = )(')(')( sHsPsP =)(sK

)(sF )(sK )(sP

)(sH


1 ------------- 0.45 s + 1 » K=tf(5,[1 10]) Transfer function: 5 -------- s + 10 » P=tf(45/pi*[1 1/0.45],[1 0 0]) Transfer function: 14.32 s + 31.83 ------------------- s^2 » H=tf(1,1) Transfer function: 1 » rltool ⇒ Se importan las funciones correspondientes y se grafica la respuesta al escalón unitario del sistema, figura 41.

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 System: Closed Loop: r to y

I/O: r to y Final Value: 1

System: Closed Loop: r to y I/O: r to y

Settling Time (sec): 1.4 System: Closed Loop: r to y I/O: r to y

Rise Time (sec): 0.527

Figura 41 Como Regulador sería: » F=tf(0.1,1) Transfer function: 0.1 » K=tf(1,1)


Transfer function: 1 » P=tf(1,[1 0 0]) Transfer function: 1 ----- s^2 » H=tf(225/pi*[1 1/0.45],[1 10]) Transfer function: 71.62 s + 159.2 -------------------- s + 10 » rltool ⇒ Se importan las funciones correspondientes y se grafica la respuesta al escalón unitario del sistema, figura 42.

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3 System: Closed Loop: r to y

I/O: r to y Final Value: 0.00628


Settling Time (sec): 1.3

Figura 42 Todo esto se puede evitar usando un programa llamado FRTOOL, que es similar al rltool, pero se apoya para el diseño en el plano de Nichols. Este programa no lo trae el Matlab, pero se puede incluir en la caja de herramientas de Matlab como el Csad por ejemplo. Las ventajas que tiene este programa son. 1º) Algunas funciones pueden ser impropias. 2º) Permite la inclusión de retardos puros en la planta. 3º) Se puede cambiar la configuración de seguidor a regulador, cambiando solo a la función F, al pasar de seguidor a regulador, solo hay que cambiar


la función de entrada F(s) y la configuración del sistema, (regulador o seguidor), se coloca la función K(s) en el camino de realimentación, solo con un click en el botón correspondiente.- Hay que tener presente que la función K(s), se debe ingresar con el modo zpk y no tf.- Como seguidor: » F=tf(100/pi,1) Transfer function: 31.83 » K=zpk([],[-10],5) Zero/pole/gain: 5 -------- (s+10) » P=tf(1,[1 0 0]) Transfer function: 1 ----- s^2 » H=tf(45/pi*[1 1/0.45],1) Transfer function: 14.32 s + 31.83 ⇒ Se admitió esta función que es impropia.- » frtool ⇒ Se importan las funciones correspondientes y se grafica la respuesta al escalón unitario del sistema, que sería una grafica similar a la figura 41.- Como regulador, solo hay que cambiar F(s) y la configuración. » F=tf(0.1,1) Transfer function: 0.1 » P Transfer function: 1 ----- s^2 » H Transfer function: 14.32 s + 31.83 » K Zero/pole/gain: 5 -------- (s+10)


» frtool ⇒ Se importan las funciones correspondientes y se grafica la respuesta al escalón unitario del sistema, que sería una grafica similar a la figura 42.- Ejemplo 11: Se considerara el mismo sistema de control de posición ya diseñado en el ejemplo anterior, pero ahora con las especificaciones siguientes: Como seguidor: 1º) El 0)( =escalónreferenciadeseñalesparaeEE 2º) El 00.1)( ≤unitariasrampasreferenciadeseñalesparaeEE 3º) %0(%) ≅posibleessiMp 4º) El .80.0)( segdemoradeTiempoTD ≤ 5º) El .75.1)( segsubidadeTiempoTR ≤ 6º) El .50.3)(%)5( segientoestablecimdeTiempoTE ≤ 7º) El .0.6)(%)2( segientoestablecimdeTiempoTE ≤ Como Regulador: 8º) Si el par perturbador es un escalón de magnitud 5, )(5)( tttc Sµ= el apartamiento final de la salida, (el error), deberá ser nulo.- 9º) En el transitorio el ∆C máximo < 0.10.- 10º) El transitorio a dicho escalón deberá entrar en la banda del ± 2% del valor final de la salida en un tiempo menor que 3.50 segundos.- Para que se cumpla la 1º) especificación, hay que cambiar el controlador proporcional por uno integral, Gc(s) = Ka/s, a pesar de ya tener dos en la función de transferencia de la planta. Por lo tanto se tendrá:

)10(5.2)(1)(

)10(5.2)( 3221 +

=⇒=+

=ssKasG

ssGy

ssKasG

Como: )3/1(300)( απα

+= ssH , la función de transferencia del lazo será:

)10()3/1()/750()( 3 +

+=

sssKasL απα , si 3/1=α ⇒

)10()3/1()/250()( 3 +

+=

sssKasL απ

Para un valor fijo de α (1/3) Ka variando en todo su rango positivo, se tendrá el nuevo lugar de las raíces mostrado en la figura 43.


-12 -9 -6 -3 0-6

-3

0

3

6

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

jω

σ

Figura 43 Como se ve habrá que estabilizarlo y además cumplir con todas las especificaciones solicitadas.

-12 -8 -4 0 4-10

-5

0

5

10

Eje Real

Eje

Im

agin

ario

j ω

σ

Si Ka = 2π

Lequiv.(s) = 1500α s / s4+10s3+500

Figura 44


También para Ka fijo, por ejemplo π2=Ka , variando α , (ubicación del cero de la realimentación tacométrica), en forma continua se tendrá:

500101500).( 34 ++

=ssssLequiv α ,

El lugar es el indicado en la figura 44.- Como se aprecia el sistema será también inestable cualquiera sea el valor del parámetro α . Para estabilizar el sistema hay varias maneras de hacerlo, una puede ser colocar un controlador serie de adelanto de fase:

)/1()/1()(

TsaTsAsGc

++

= ,

puede ser con A = 1, pues la ganancia se podrá ajustar con la ganancia del amplificador Ka.-

)/1()/1()(

TsaTssGc

++

=

A los efectos de simplificar los cálculos se elegirá el cero del controlador en (-1/aT), en el mismo lugar que el cero de la realimentación tacométrica, o sea en, (-1/3α ), y el polo en coincidencia con el polo originado por el arrollamiento de campo del motor, en (-10), por lo tanto:

)10()3/1()(

++

=sssGc α

El valor del parámetro α se elegirá para que se cumpla la especificación del error a la rampa, en consecuencia:

23 )10()3/1(5.2)(

++

=sssKasG α y )3/1(300)( α

πα

+= ssH

La función de transferencia del sistema de control será:

223 )3/1()/750()10()3/1)(/250()(100)(

)()()('

απααπ

π ++++

====sKass

sKasMsMKsSRsCsM H

Operando se tendrá:

)3/250()/500()/750(10020

)3/1()/250()(' 2345 παππααπ

KasKasKassssKasM

++++++

=

Se ve que M’(0) = 1, por lo tanto como se sabe se cumplirá la especificación del error nulo al escalón. Para el error a la rampa:

⇒≤=−

=−

= 00.13)3/250(

)/250()/500('

0

11 απα

ππα

αKa

KaKabeEE 31

≤α

Esta conclusión se puede obtener también con la Gequiv(s) del sistema con realimentación unitaria equivalente:

)/250()/750(10020)3/1)(/250().( 234 ππα

απKasKassss

sKasGequiv++++

+= ⇒ Sistema Tipo 1.


El coeficiente de error será:

αππα

31

)/250()3/250().(lim

0===

→ KaKassGequivKv

s

Por ende el error:

α31==

KveEE , como se ve se llega al mismo resultado.-

Si se elige 31

=α , para no alegar el cero muy a la izquierda se tendrá:

)/250()/250(10020)1()/250().( 234 ππ

πKasKassss

sKasGequiv++++

+=

y la función de transferencia del sistema será.

)/250()/500()/250(10020)1()/250()(' 2345 πππ

πKaKasKasss

sKasM+++++

+=

Nos queda solo Ka como el parámetro que habrá que ajustar para tratar de cumplir con todas las especificaciones solicitadas.-

El lugar de las raíces, en base a: 23

2

)10()1()/250()()(

++

=ss

sKasHsG π , figura 45.-

-16 -12 -8 -4 0-10

-5

0

5

10

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

Ka=15.16

Ka=8

Ka=8

Ka=5

Ka=5

Ka=1.04 Ka=1.04 Ka=1.04

jω

σ

Para Ka = 5 los polos del sistema estan en: -14.8304 -0.9987 + 3.7734i -0.9987 - 3.7734i -2.4549 -0.7173

El cero del sistema esta ubicado en:Z1 = - 1

Figura 45


Para obtener las respuestas con sus atributos y verificar si se cumplen las especificaciones solicitadas se pueden usar varios programas de computación, entre ellos están:

Con un diagrama de Simulink. Ltiview de Matlab. Rltool de Matlab. Frtool para adicionar al Matlab. Tftplot del Csad/Matlab. Pidesign del Csad/Matlab. Etc.

Con Tftplot y Ltiview hay que ingresar la función de transferencia M’(s). Con Pidesign hay que entrar la Gequiv.(s) del sistema con realimentación unitaria, como ya se sabe.-

Como se puede ver en la figura 45, para bajos y altos valores de Ka el sistema será inestable, como se muestra en la figura 46.-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Sal

idas

c(t)

Tiempo, seg.

Ka = 17

Ka = 0.80

α = 1/3

Rango de Estabilidad:

1.041 < Ka < 15.16

Figura 46 Para el sistema seguidor se empleo el programa Pidesign del Csad/Matlab, y para el sistema regulador, rltool, Frtool, simulink, etc.- La tabla XV resume los resultados obtenidos. Las dos últimas columnas corresponden al sistema funcionando como regulador. Como se aprecia, las especificaciones pedidas se cumplen todas si el rango de Ka es: 4 < Ka <8


SEGUIDOR REGULADOR aK rt

dt (5%)Et (2%)Et (%)PM entrada rampaEEe (%)máxC∆ (2%)Et 2 0.88 0.99 9.25 12.7 27.2 1 20.48 8.66 3 0.81 0.87 3.65 6.04 11.12 1 13.33 4.21 4 0.78 0.78 3.04 4.86 0.60 1 9.81 3.30

⇒ 5 0.81 0.73 2.65 4.20 0 1 7.75 2.81 ⇐ 6 1.84 0.68 3.45 4.76 0 1 6.40 2.50

8 1.58 0.63 2.96 5.10 0.24 1 4.75 2.10 10 1.43 0.58 4.47 6.53 2.9 1 3.7 1.80

Tabla XV En la figura 47, se muestran tres soluciones posibles, y dos fuera del rango posible de Ka. Se eligió Ka = 5 y para ella se muestran los atributos del sistema diseñado.-

0 3 6 90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

salid

as c

(t)

Tiempo, seg.

Tr = 0.8113 s < 1.75 seg.5%Ts = 2.636 s < 3.5 seg.

2%Ts = 4.182 s < 6 seg.

%OS = 0 %

Ess = 0

Ka = 3

Ka = 4

Ka = 5

Ka = 12

Ka = 8

Atributos de Sistema Diseñadocon Ka = 5 y α = 1/3

Figura 47 Las figuras 48 y 49, muestran las respuestas elegidas como seguidor y regulador, usando el programa rltool de Matlab. El procedimiento seria: » F=tf(1,[1 1]) Transfer function: 1 ------ s + 1


» K=tf(12.5*[1 1],[1 20 100 0]) Transfer function: 12.5 s + 12.5 ---------------------------- s^3 + 20 s^2 + 100 s » P=tf(100/pi*[1 1],[1 0 0]) Transfer function: 31.83 s + 31.83 --------------- s^2 » H=tf(1,1) Transfer function: 1 » rltool

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Rise Time (sec): 0.813


Settling Time (sec): 4.27


Final Value: 1

Figura 48 Para el sistema trabajando como Regulador: » F=tf(0.5,1) Transfer function: 0.5 » K=tf(1,1) Transfer function: 1


» P=tf(1,[1 0 0]) Transfer function: 1 ----- s^2 » H=tf(1250/pi*[1 2 1],[1 20 100 0]) Transfer function: 397.9 s^2 + 795.8 s + 397.9 ------------------------------------ s^3 + 20 s^2 + 100 s » rltool

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

System: Closed Loop: r to y I/O: r to y Peak amplitude: 0.0759 At time (sec): 0.924

Te(2%) 2.805 seg. < 3.5 seg.

Figura 49 Se puede utilizar el programa ya comentado, Frtool.- También como seguidor y regulador, el procedimiento sería el siguiente: Como Seguidor: » F=tf(100/pi,1) Transfer function: 31.83 » K=zpk([-1],[0,-10,-10],12.5)


Zero/pole/gain: 12.5 (s+1) -------------- s (s+10)^2 » P=tf(1,[1 0 0]) Transfer function: 1 ----- s^2 » H=tf(100/pi*[1 1],1) Transfer function: 31.83 s + 31.83 ⇒ Función impropia. » Frtool ⇒ La respuesta seria idéntica a la figura 48.- Como Regulador: Solo hay que cambiar la función F y la configuración como ya se comento, haciendo click en el botón correspondiente: F=tf(0.5,1) Transfer function: 0.5 » K Zero/pole/gain: 12.5 (s+1) -------------- s (s+10)^2 » P Transfer function: 1 ----- s^2 » H Transfer function: 31.83 s + 31.83 ⇒ Función impropia. » Frtool ⇒ La respuesta seria idéntica a la figura 49.- Empleando el Simulink se pueden verificar todas las especificaciones solicitadas. La figura 50 muestra el diagrama correspondiente:


Figura 50

La respuesta del sistema diseñado se muestra en la figura 51. A los 8 seg. aparece el par perturbador de 5 unidades.-

0 4 8 12 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figura 51 Sintetizando el controlador de adelanto, se tiene: 1/aT = 1 y 1/T = 10, con A = 1, por ende: T = 1.10 seg. a = 10 : Si C = 0.1µ F ; R2 = T/C =1MΩ, como R1 = a R2 ;

Ka = 5.-

Kp = 100/pi Ki = 0 y Kd = 100/pì

tc(t) = 5 us(t)

1

s 2s+10

2.5s+1

s+10

1

s

C

PID

100/pi

0.10

Ka


R1 = 10MΩ y finalmente; R3 = R4 = 1 MΩ.- Un diagrama de bloques completo del sistema diseñado es el indicado en la figura 52.-

Figura 52 Ejemplo 12: La función de transferencia de la planta a controlar de un sistema de control de posición es:

)570.0()10()40.0(10)( 2 +++

+=

ssssssGp

Las especificaciones solicitadas son: 1º) El 0)( =escalónreferenciadeseñalesparaeEE 2º) El 50.1)( ≤unitariasrampasreferenciadeseñalesparaeEE 3º) %5(%) ≤posibleessiMp 4º) El .0.2)( segsubidadeTiempoTR ≤ 5º) El .0.3)(%)5( segientoestablecimdeTiempoTE ≤ 6º) El .0.5)(%)2( segientoestablecimdeTiempoTE ≤ Consideremos el sistema básico, con un controlador proporcional solamente, Gc(s) = A, por lo tanto:

)570.0)(10()40.0(10)( 2 +++

+=

sssssAsG

El lugar de las raíces se muestra en la figura 53.


-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

A=5.45

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

RLPLOT > jEnter a value of K that gives Stability [0.001] > Enter a value of K that gives INstability [1000] > One moment please... A jw-axis crossing occurs at K = 5.451 Associated System Poles are: -10.4871 -0.0000 + 3.1253i -0.0000 - 3.1253i -0.2129

jω

σ

G(s) = 10A (s+0.4) / s(s+109(s2+0.7s+5)

Figura 53 El mismo muestra que el sistema se hace inestable para valores muy chicos de la ganancia A. Por Routh se puede verificar que el rango de estabilidad para A es: 0 < A < 5.451 Para que se cumpla la 2º) especificación el valor de A debería ser:

5.12504 AAKv == ⇒≤=⇒ 50.15.12

AeEE 333.8≥A , El sistema sería Inestable.

Además la respuesta del sistema a un escalón de entrada sería muy lenta debido al polo muy cercano al origen, a pesar que el Mp(%) puede ser incluso nulo como se puede apreciar en las respuestas de la figura 54, para A = 0.5; 1; 2 y 3, las últimas muy oscilatorias.-


0 10 20 30 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Sal

idas

c(t)

Tiempo, seg.

A = 0.50 A = 1

A = 2

A = 3

Figura 54 En consecuencia se deberá compensar el sistema básico. Para variar se intentara un control PD modificado, un P – D. En otras palabras además de la realimentación unitaria que censa la posición de la carga se emplea otra realimentación interna o secundaria que cuya señal es proporcional a la velocidad angular de la carga. Con este control se intentará desplazar el lugar de las raíces hacia la izquierda del plano s. El diagrama de bloques será el de la figura 55. La realimentación secundaria de velocidad tiene el efecto de mover los polos complejos del Lazo hacia la izquierda y el polo real a la derecha. Esto se puede ver si se determina la nueva función de transferencia del lazo G(s):

)4.0(10)57.0()10(

)4.0(10)( 2 ++++++

=sKtssss

sAsG

Los nuevos polos del lazo serán las raíces del polinomio:


Figura 55

0)4.0(10)57.0()10( 2 =++++++ sKtsss El movimiento de las mismas en función del valor de Kt se puede ver a partir de la función:

)57.0()10(

)4.0(10)( 21 ++++

=sss

sKtsG ;

El lugar de los nuevos polos del lazo se grafica en la figura 56.

-12 -9 -6 -3 0-7

-3.5

0

3.5

7

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

Kt=3

Kt=3

jω

σ

Para Kt = 3 los polos del lazo son:

-3.2247 + 2.0463i -3.2247 - 2.0463i -4.2506

δ = 0.85

Kt=3

Figura 56 El lugar muestra el valor máximo del coeficiente de amortiguamiento de los polos complejos conjugados es 85.0≈δ y corresponde al valor de Kt = 3. El polo en –10 se desplaza hacia la derecha hasta –4.25 para Kt = 3.


La elección de un valor alto para Kt, daría como resultado un coeficiente de amortiguación muy bajo, y además el polo real del lazo se acercaría mucho al origen del plano s. El lugar de las raíces del sistema completo para Kt = 3 y A variable se muestra en la figura 57, en base a la función del lazo siguiente:

)587.1445.6()25.4(

)4.0(10)( 2 ++++

=ssss

sAsG

-8 -4 0-7

-3.5

0

3.5

7

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

A=12.5

A=12.5

A=12.5

Para A = 12.5 los polos son: λ3=-8.2672 λ1=-1.0743 + 4.4859i λ2=-1.0743 - 4.4859i λ4=-0.2842 El cero del Sistema es:z1 = -0.40

jω

σ

A = 12.5

A=34.85

Figura 57 Habrá que elegir el valor de A, si existe, que cumpla con las especificaciones. Este lugar es similar, en la forma, al del sistema básico sin compensar. Sin embargo, los polos complejos del lazo se han desplazados hacia la izquierda. Por tanto, el resultado es que se pueden permitir mayores valores de la ganancia A, (A L= 34.85, antes 5.45) y la componente oscilatoria del transitorio se desvanece mas rápido. Sin embargo queda el polo real 284.04 −=λ , que producirá un transitorio con un gran tiempo de establecimiento. Los polos 19.427.121 j±−=−λ , producen un transitorio oscilante. El polo 9.73 −=λ , está tan a la izquierda que no ejerce casi influencia alguna, (despreciable), en la respuesta. Esto se puede verificar con el programa Pidesign del Csad/Matlab, ingresando la función de transferencia del lazo como Gp(s) y con un control proporcional de ganancia A variable a seleccionar. Los resultados se resumen en la tabla XVI.


Se comenzó con A = 10.333, para que cumpla la especificación del error a las rampas, pues:

50.15.155.1562

4≤=⇒==

AeAAKv EE ⇒ 333.10≥A

A Tr(seg) TE(5%) TE(2%) Mp% eEE rampa

10,333 0,57 7,273 10,67 0 1,5 11 0,514 6,91 10,3 0 1,409

11,5 0,493 6,667 10,06 0 1,348 12 0,4588 6,465 9,798 1,3 1,292

12,5 0,44 6,26 9,596 3,7 1,24 12,75 0,43 6,16 9,495 4,8 1,216

13 0,42 6,16 9,29 6 1,192 Tabla XVI Como se puede apreciar se cumplen solo las especificaciones sobre el tiempo de subida y el MP(%) y del error a la rampa, en el rango de : 10.333 < A < 12.75. Los tiempos de establecimiento no se cumplen, son demasiado grandes.

0 4 8 120

0.5

1

Sal

ida

c(t)

Tiempo, seg.

Tr = 0.4524 s < 2 seg.5%Ts = 6.303 s > 3 seg.2%Ts = 9.576 s > 5 seg. %OS = 4 % < 5 %Tmax = 0.8485 s

Ess = 0

0 4 8 120

4

8

12

Salid

a c

(t)

Tiempo, seg.

Error de Estado Estable = 1.24 < 1.25

Figura 58 Para disminuir los tiempos de establecimiento, habrá que “aumentar”, la compensación.- Esto se podrá hacer de varias formas, dos de ellas son:


1º) Con un controlador serie de adelanto de fase en el lazo interno, con:

)30()10()(

++

=sssGc

El efecto sería correr el polo del lazo de –10 a –30, provocando que la respuesta sea mas rápida. 2º) Introduciendo un polo del lazo en el eje real negativo en serie con el amplificador de ganancia A. La función total del controlador serie sería:

)4.0(

)(+

=sAsGc

De esta manera el polo se cancela con el cero de la planta produciendo el efecto deseado. Veremos primero esta última solución: De esta forma la pequeña rama del lugar de las raíces cerca del origen desaparece, ya que la función de transferencia del lazo será ahora:

)4.0(10)57.0()10(

10)( 2 +++++=

sKtssssAsG

Con Kt = 3, variando A, nos queda:

)587.1425.4()25.4(10

)62427.10(10)( 223 +++

≅+++

=ssss

Assss

AsG

El nuevo lugar de las raíces se muestra en la figura 59.

-6 -4 -2 0-3

-2

-1

0

1

2

3

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

A=4.5

A=4.5Para A = 4.5 los polos son: λ1=-4.3727 + 1.9556i λ2=-4.3727 - 1.9556i λ3=-0.9773 + 1.0030i λ4=-0.9773 - 1.0030i

A=4.5

A=4.5

jω

σ

Figura 59 Ahora para que se cumpla la especificación del error a las rampas:


⇒≤=⇒== 5.12.62.662

10A

eAAKv EE 133.4≥A

Por tal motivo la tabla XVII, que resume los resultados comienza para : A = 4.133.-

A 2tr ≤ 5% 3Et ≤ 2% 5Et ≤ % 5Mp ≤ eEE rampa

1,5≤ 4,1333 1,80 2,73 4,5 2,5 1,500 4,2 1,764 2,67 4,6 2,8 1,476 4,3 1,712 2,606 4,606 3,3 1,442 4,4 1,662 2,545 4,667 3,8 1,409 ⇒ 4,5 1,630 2,485 4,606 4,4 1,378 4,6 1,573 2,424 4,646 5 1,348 4,7 1,533 3,737 4,596 5,5 1,319

Tabla XVII El polo real 4λ ha sido reemplazado por dos polos complejos conjugados

0 5 10 15 200

0.5

1

Out

put y

(t)

Time, s

Tr = 1.618 s < 2 seg.5%Ts = 2.424 s < 3 seg.2%Ts = 4.646 s < 5 seg. %OS = 4.4 % < 5 %Tmax = 3.535 s

Ess = 0

Sistema Básico

Diseñado con el Control P - D


Diseño Final

Figura 60 mas alejados hacia la izquierda. Sus transitorios se desvanecen rápidamente con una mejora sustancial de la respuesta del sistema al escalón de entrada. El rango de A que cumple todas las especificaciones es: 4.133 < A < 4.60.


Si se elige A = 4.5 con Kt = 3, la respuesta del sistema diseñado a una entrada escalón unitario con sus atributos, junto con la del sistema básico y con el control P - D, a los efectos de comparación se muestran en la figura 60.- Veremos ahora la primera solución mencionada, con un controlador serie de adelanto de fase en el lazo interno de realimentación.- El diagrama de bloque del sistema se muestra en la figura 61.

Figura 61

La función de transferencia del controlador de adelanto se adopto:

)30()10()(

++

=sssGc ,

por ende: 1/aT = 10 1/T = 30 En consecuencia: T = 1/30 seg ; a = 3 y la ganancia unitaria, (R3 = R4).- La función de transferencia del lazo del sistema será:

)4.0(10)57.0()30()4.0(10)( 2 +++++

+=

sKtsssssAsG

Los nuevos polos del lazo del sistema dependen del valor de Kt, y serán las raíces del polinomio: 0)4.0(10)57.0()30( 2 =+++++ sKtsss , por ende la Geq.(s) será:

)57.0)(30(

)4.0(10)( 21 ++++

=sss

sKtsG

El lugar de los nuevos polos del lazo será el mostrado en la figura 62.


-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5-20

-10

0

10

20

Ele Real

Eje

Imag

inar

io Kt=25 Kt=25

Para Kt = 25 los polos del lazo son: -1.0170 -14.8415 + 5.0539i -14.8415 - 5.0539i

jω

σ

Kt=25Kt = 22.56 Kt = 12.33

Figura 62 Si se elige un poco en forma arbitraria el valor de Kt = 25, quedara ahora ajustar A para cumplir con las especificaciones pedidas.- Si el error a las rampas debe ser menor que 0.5, seria mas riguroso pues es una unidad menos que con el diseño anterior. Por ende el valor de A deberá ser para ello:

)2502767.30()4.0(10

)4.0(250)57.0)(30()4.0(10)( 232 +++

+=

++++++

=ssss

sAsssss

sAsG o;

)812.145683.29()017.1(

)4.0(10)( 2 ++++

=ssss

sAsG

⇒≤=⇒== 5.05.625.62250

4A

eAAKv EE 125≥A

El lugar de las raíces del la ecuación característica del sistema diseñado Se muestra en la figura 63. Usando el programa Pidesign del Csad/Matlab para valores de Kt = 25 y A en el rango de : 125 < A < 160 Los resultados se resumen en la tabla XVIII.-


Esp. ⇒ <0,5 <3 <5 <5 <0,5

A rt (5%)Et (2%)Et (%)PM entrada rampaEEe

125 0.297 2.343 4.93 0 0.50 135 0.268 2.170 4.72 1.2 0.463

140 0.256 2.06 4.61 2.6 0.4464 ⇒ 145 0.250 1.94 4.485 3.9 0.4310

150 0.243 1.88 4.36 5 0.4167 155 0.234 1.758 4.242 6.1 0.4032 160 0.223 1.697 4.182 7.0 0.3906

Tabla XVIII

-25 -20 -15 -10 -5 0-20

-10

0

10

20

Eje Real

Eje

Imag

inar

io

A=145

A=145

A=145

Para A = 145 los polos del Sistema son: λ3=-21.4757 λ1= -4.4314 + 7.4203i λ2= -4.4314 - 7.4203i λ4= -0.3616

A=145

jω

σ

El Cero del Sistema está en:

Z = -0.40

A = 785.8

Figura 63 Si se elige: A = 145 y Kt = 25, la respuesta del sistema a una entrada escalón se muestra en la figura 64.-


0 2 4 60

0.5

1

Sal

ida

c(t)

Tiempo, seg.

Tr = 0.2512 s < 2 seg.5%Ts = 1.939 s < 3 seg2%Ts = 4.485 s < 5 seg. %OS = 3.9 % < 5 %

Tmax = 0.4848 s Ess = 0

Atributos con el controlador de Adelanto en elLazo interno y los parámetros:Kt = 25 A = 145

Figura 64 Matlab tiene una poderosa herramienta de diseño en el dominio temporal llamada LRTooL. Se basa en la técnica del lugar de las raíces del sistema. En el dominio frecuencial los Prof. Dr. Ir Robin De Keyser, ir. Cristian Nicolae VLASIN del Departamento de Ingeniería de Control y Automatización de la Universidad de Ghent desarrollaron una herramienta similar que llamaron FRTOOL. Para la versión 1.3, la cual se puede usar con Matlab 6.5 o mayor, se dará a continuación una introducción de la misma. Se puede bajar desde: www.autoctrl.UGent.be/rdk/FRtool, o desde la página web de la cátedra desde “Otros Recursos”.- Su uso es similar a RLTool.-


FRTOOL -- Guía para el Usuario Herramienta de Diseño de los Controladores en el Dominio Frecuencial 1.1 Introducción Los estudiantes de ingeniería de control pueden diseñar un controlador siguiendo alguno de los caminos siguientes:

• Aplicando un método de diseño analítico matemático, o • Usando una herramienta de diseño para el controlador.

En el caso que elijan usar un método matemático, ellos tienen que hacer simplificaciones en los cálculos matemáticos. Usando una herramienta para el diseño del controlador, ellos podrán fijar los parámetros del controlador sin la simplificación del proceso, (la función de transferencia), y se pueden obtener, en la mayoría de los casos un funcionamiento mucho mejor del sistema de control. En la actualidad, Matlab ofrece una herramienta de diseño de los controladores basada en el método del lugar de las raíces, (lrtool). Esta herramienta no puede manejar sistemas con tiempos de retardo si no es aproximando el retardo puro por una función de transferencia racional. Para resolver este problema, se elegirá trabajar con diagramas en el dominio frecuencial, (diagramas de Nichols), como se sabe el tiempo de retardo (Td) no tiene influencia sobre la ganancia pero solo cambiará el corrimiento de la fase en el valor (-wT). 1.2. Especificaciones de Diseño Una característica importante de una herramienta de diseño del controlador es la posibilidad de definir restricciones de diseño, las cuales dirigen al diseñador en el proceso de adaptación del sistema a las mismas. Las especificaciones de diseño tienen que ser convertidas en restricciones gráficas para hacer trabajo del diseñador más fácil. Las restricciones gráficas se obtienen de especificaciones numéricas usando las relaciones definidas para el sistema de segunda orden, relaciones que se pueden ampliar a sistemas de orden más altos como una regla general, (los mismos deberán tener un par de polos complejos conjugados dominantes). Se considerara como especificaciones de diseño importantes las siguientes: Robustez, Ro, tiempo de establecimiento, TE, sobreelongación porcentual máxima, Mp (%), y márgenes de ganancia y de fase. Dada Mp (%) como una especificación de diseño, se podrá calcular el coeficiente de amortiguación relativo,δ , usando la relación (1):

22

2

(lnMpu)π(lnMpu)eMpu+

≥⇒= −

−

δδ

δπ21 (1)

Directamente se podrá obtener el valor del máximo de resonancia, MR, del


sistema en el dominio frecuencial, definido por la ecuación (2), las cuales serán curvas de M=Cte. en la carta de Nichols, mostradas en la figura 65.

2121

δδ −≤RM (2)

-270 -180 -90-15

-10

-5

0

5

10

15

Fase de G(jw), en grados

Mód

ulo

de G

(jw),

en (

dB)

Curvas de Mr contante correspondientes los valores de Mpu

Mpu=0.5 Mp(%)=(50%)

Mpu=0.4

Mpu=0.3 Mpu=0.25

Mpu=0.2 Mpu=0.15

Mpu=0.1 Mpu=0.05

-3dB

Figura 65: Curvas de Mr=Cte. correspondientes a diferentes valores de la Mpu Como se puede apreciar incrementando el valor de Mpu desde un 5% a 50% las curvas se vuelven menos restrictivas, (ellas son más pequeñas). Para satisfacer esta especificación, la traza de Nichols de la función de transferencia del lazo del sistema tiene que ser exterior tangente a la curva de MR correspondiente. La segunda importante especificación de diseño es el tiempo de establecimiento. Dado el tiempo de establecimiento y especificado el máximo Mp(%), se pueden usar las expresiones (1) y (3) para obtener el coeficiente de amortiguamiento relativo δ y la frecuencia natural (wn), del sistema equivalente de segundo orden respectivamente.

En

nE

En

nE T

ToT

Tδ

ωωδδ

δωωδ

δ 443232 22

=⇒≅+

=⇒+

≅ (3)

Una vez conocidos el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural, el valor de la frecuencia del ancho de banda (en -3dB), wab del sistema de lazo cerrado se puede obtener con la relación (4).

24421 242 +−+−≥ δδδωω nba (4)


Este valor será usado como restricción gráfica puesto que la frecuencia es el parámetro variable sobre la traza de Nichols. La figura 66 como la frecuencia del ancho de banda wab es marcada sobre la traza de Nichols con circulitos rojos.

-270 -180 -90-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40


0 dB

0.25 dB0.5 dB

1 dB

3 dB6 dB

wab=0.1

wab=0.443

wab=1.96

wab=6.58

wab=13.8

wab=29.2

Carta de Nichols, traza de G(jw) e indicadas las frecuencias wab

Mód

ulo

de G

(jw),

en d

B

wab=4.386

O

O

O

O

O

O

O -3dB

Figura 66: Traza de Nichols con las wab marcadas Como se puede ver a lo largo de la traza de Nichols hay varios pequeños círculos rojos correspondientes a la variación wab. Para cumplir con la especificación de diseño del tiempo de establecimiento, el circulito rojo que corresponde al valor relacionado de wab, deberá estar por arriba del lugar verde de M=Cte.=-3dB, pues el valor de la frecuencia wab (real) deberá ser mayor que la wab (calculada con la expresión 4). Como wab (calculado con la expresión 4), fue obtenido usando como se dijo la especificación de Mp (%), la misma deberá ser también respetada. La especificación de diseño como la Robustez, (inversa de la sensibilidad), puede ser considerada en un todo de acuerdo a la definición siguiente en el plano de Nyquist, (ver figura 67). La robustez es el radio de la circunferencia y puede tomar valores que respetan la relación: 0 < Ro < 1. Como se usara el diagrama de Nichols para el proceso de diseño, se necesitará convertir esta especificación de Robustez desde el diagrama de Nyquist al de Nichols. Dado el valor de Ro se podrá computar los valores


de las partes real e imaginaria del vector Ro con las relaciones (5) y (6), donde β es el ángulo del vector Ro medido como se muestra en la figura.

Definición de la Robustez sobre el plano de Nyquist

j Im

Re G Re

jIm

. * β

Ro = Cte.

0

( -1+j0 )

G(jω)

G

1+G(jω) Ro=

ω

Figura 67: Definición de Robustez sobre Nyquist

-270 -180 -90-30

-20

-10

0

10

20


Mód

ulo

de G

(jw),

en (

dB)

Curvas de Robustez Constante sobre la Carta de Nichols

6 dB

3 dB

1 dB 0.5 dB

Ro=0.95 Ro=0.99

Ro=0.85

Ro=0.6

Ro=0.8

Ro=0.4 Ro=0.2 -3dB

Figura 68: Curvas de Robustez sobre el gráfico de Nichols


)(βcosRo1Re +−= (5) )(βsenRoIm = (6) 22 ImRelog20dBM +×=, (7)

[ ]Im/RetagGrados1180 −+−=φ ; Con: [ ]Im/Retag 1− (en grados) (8)

Una vez que las partes imaginarias y real de un número complejo son conocidas su módulo y fase pueden ser computados usando las expresiones (7) y (8). Como resultado de esta conversión sobre el grafico de Nichols se obtendrán las curvas mostradas en la figura 68 que corresponderán a los círculos desde el plano de Nyquist. La especificación de Robustez será satisfecha solamente cuando la traza de Nichols de la función de transferencia del lazo del sistema queda fuera de la curva de restricción, a lo sumo tangente a ella. Además de estas tres restricciones se consideraran también los márgenes de ganancia y de fase, pues los mismos son muy fáciles de leer sobre el diagrama de Nichols. El margen de ganancia es la línea vertical que comienza en el punto crítico: 0dB de ganancia y -180º de fase, y va hacia abajo, mientras que la restricción del margen de fase es la línea horizontal que parte del mismo punto y va hacia la derecha del grafico. La figura 69 ilustra estas explicaciones.

-220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40


Mód

ulo

de G

(jw) e

n (d

B)

M.G y M.F. medidos sobre el gráfico de Nichols

6 dB

3 dB

1 dB0.5 dB

0.25 dB0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

MF=60º

MG = 20 dB

-40 dB

Figura 69: Márgenes de Ganancia y de Fase medidos sobre el grafico de Nichols Para satisfacer estas dos especificaciones la traza de Nichols tiene que estar hacia la derecha de la línea roja del margen de fase y por debajo de


la línea del margen de ganancia, sin cruzar ninguna de ellas. Cuando todas las especificaciones de diseño activas, son satisfechas, el diagrama de Nichols en la ventana principal de la herramienta Frtool, debe parecerse a la que está mostrada en la figura 70.

Figura 1.6: Ventana Principal de Frtool. Especificaciones satisfechas sobre la carta de Nichols 1.3. Guía El interfaz gráfico utilizado por FRtool (GUI) es de gran alcance, ofreciendo para el diseño de un sistema características muy útiles que hacen esta herramienta fácil de utilizar. Tiene las siguientes ventanas:

1. Una en la cual la se muestran la curva de Nichols del lazo abierto actual y las restricciones que corresponden a las especificaciones de un diseño determinado, archiva las operaciones y diseña a una parte


del controlador (su ganancia); de ahora en adelante la llamaremos "ventana principal ";

2. Una en la cual el usuario puede ver las respuestas al Escalón y al Impulso así como los diagramas de Bode o de Nyquist, utilizados para comprobar si las especificaciones del diseño se satisfacen o no; ésta será llamada " ventana de las respuestas”;

3. Una para ubicar los polos y ceros del controlador; ella será llamada “ventana para el diseño del controlador” porque ésta es la ventana donde el usuario puede "jugar" con los parámetros del controlador. 4. Una en la cual el usuario puede seleccionar las funciones de

Transferencia para los bloques F, P y H, en el lazo de control (ver figuras 71 y 72), que será llamada, “Ventana para importar el sistema”.

5. Una para importar un controlador diseñado/predefinido, en el Formato ZPK, llamada “ventana para importar el controlador”.

6. Y una para fijar las especificaciones de diseño, llamada: “ventana de las restricciones”.

Figura 71: Configuración del Lazo de Control

Figura 72: Configuración del Lazo de Control

1.3.1. Ventana Principal La ventana principal se utiliza para establecer la herramienta de diseño y se mostró en la figura 70. Como se puede ver la ventana contiene tres menús (File, Tools y Help), herramientas de enfoque, (zoom), el plano para trazar la curva de Nichols del lazo abierto, un botón para elegir la configuración del lazo, (ver figuras 71 y 72), otros para la definición de sistema y para la ganancia del controlador, una casilla de activación y desactivación, (checkbox), de la grilla de Nichols, (Ngrid), un botón de activación del editor del compensador o controlador, unas casillas de activación para las respuestas, otra para las restricciones y la última para indicar el estado actual del sistema a diseñar. En los sub-capítulos siguientes discutiremos las características disponibles en esta ventana. 1.3.1.1 Archivo Menú


Este menú se utiliza para las operaciones del archivo y tiene las opciones siguientes: Importar, exportar el proceso o el controlador, imprimir el diagrama de Nichols/de la ventana principal y, por supuesto, la salida del programa. La opción “Import” de este menú puede ser solicitada para importar funciones de trasferencias desde el área de trabajo de Matlab. Ella tiene dos sub-menús: uno para importar el proceso y otro para importar el controlador, en ambos casos colocados en los bloques del lazo de control mostrados en las figuras 71 o 72. En caso de que sea requerida la importación del sistema la ventana de la importación del sistema será activada y en caso de la petición de la importación del regulador, la ventana de la importación del regulador será mostrada, (ver mas adelante figuras 76 y 77).- La opción de “Export” del menú File permite al usuario grabar la configuración del lazo actual, grabando las funciones de transferencias F, P y H en el área de trabajo de Matlab, en caso de que la exportación del sistema sea la pedida, o grabando la función de transferencia del controlador K, en caso que la exportación del controlador sea la requerida. Estas funciones de transferencias pueden ser encontradas luego en el área de trabajo de Matlab con los nombres siguientes: sysF, sysP, sysH y sysK. Las opciones “Print Nichols” y “Print” del menú File, abrirán la ventana de la vista previa de impresión de Matlab. La primera opción imprimirá solamente la traza de Nichols, mientras que la segunda lo hará con la ventana principal tal como está exhibida. “Exit” Finaliza la aplicación y cierra todas las sub-ventanas de Frtool. 1.3.1.2. Menú Tools El menú Tools tiene dos submenús: el submenú “Constraints” permite al usuario definir las especificaciones de diseño, (Robustez, Sobreelongación, Tiempo de Establecimiento, margen de Fase y Margen de Ganancia), y el submenú “Simulatión” permite que el usuario defina tiempo final para las simulaciones del sistema de lazo cerrado. FRTool determinara en cada caso automáticamente el tiempo final para las simulaciones, pero si este valor no sea satisfactorio, el usuario puede definir su tiempo final deseado. Para definir estas restricciones FRTool exhibirá la ventana de las restricciones como se mostrará en la figura 75. 1.3.1.3. Menú Help En este tiempo, solo contiene la información general solamente de la ayuda y del lanzamiento y están disponibles vía las opciones de este menú pero con posterioridad otras características serán agregadas en una versión futura.


1.3.1.4. Ejes del Diagrama de Nichols Una vez que están definidos el sistema y/o el controlador, la traza de Nichols de la función de transferencia del lazo del sistema es graficada en la ventana principal, para guiar al usuario en el proceso de diseño. Las especificaciones de diseño, (Robustez, Sobreelongación, Tiempo de Establecimiento, margen de Fase y Margen de Ganancia) serán también dibujadas como restricciones gráficas sobre el diagrama de Nichols de la ventana principal, (ver figura 70). Mirando este diagrama el diseñador puede ver el efecto de cambiar parámetros del controlador y además ajustar los mismos hasta que se satisfagan, si es posible, todas las especificaciones del diseño. 1.3.1.5. Botón de la Configuración del Lazo El botón exhibe continuamente la configuración actual del lazo (ver figuras 71 y 72), y permite que el usuario cambie la posición del controlador, en el camino directo o en el lazo de realimentación. Poniendo el proceso en diversos bloques en el lazo de control y cambiando la configuración del lazo, el usuario puede obtener las respuestas de lazo cerrado del sistema para una entrada de referencia o a las perturbaciones en diversos puntos del lazo de control.- 1.3.1.6. Marco para la Definición del Sistema El sistema contenido en el bloque de P del lazo de control se puede definir también usando el marco para la definición de sistema. En cuyo caso, solamente el numerador y el denominador del sistema P será afectado y no pueden ser definidos sistemas con tiempos de retardo. Una vez que un sistema se importa usando la opción del menú, (véase la característica de la importación), estas dos casillas de texto, (textboxes), serán desactivados y serán vueltos a activar, solamente cuando todos los sistemas puestos en bloques de F, de P o de H se borran. 1.3.1.7. Marco de la Ganancia del Controlador Este marco contiene una casilla de texto con el valor de la ganancia, dos botones los cuales permiten incrementar o disminuir la ganancia y una casilla de texto para elegir el tamaño del incremento o disminución de la misma, (cuánto será agregado o restado del valor actual de la ganancia, para obtener el nuevo valor). Otra forma de cambiar la ganancia del controlador es arrastrando la frecuencia del ancho de banda wab, con el mouse (solo el movimiento vertical es posible, pues este es el efecto de cambiar la ganancia del lazo de control).


1.3.1.8. Casilla de Activación de la Grilla, (tildar a Ngrid) y Botón para Editar el Controlador Tildando en el checkbox de Ngrid el usuario puede mostrar u ocultar las curvas de ganancia y fase constante en el grafico de Nichols. El botón “Editar el Compensador” puede ser utilizado para abrir o reabrir de nuevo la ventana de diseño. 1.3.1.9. Recuadro de las Respuestas Usando las casillas de texto disponibles en este recuadro, el usuario puede seleccionar qué respuestas características tienen que ser exhibidas. Por ejemplo, si la respuesta al escalón es requerida, el usuario deberá tildar sobre el checkbox “Step” para activar este tipo de respuesta. Las respuestas y/o las características múltiples pueden ser activas al mismo tiempo y serán exhibidas en la misma ventana: “Ventana de Respuestas”.- 1.3.1.10. Recuadro de las Restricciones Este recuadro es similar al anterior, pero el se usa para notificar a FRTool que una cierta especificación de diseño debe ser tenida en cuenta al dibujar las restricciones gráficas. Si el valor de esa especificación de diseño no se fija ya, la ventana de las restricciones será exhibida para entrar el valor de esa especificación de diseño. Incluso si está definida, una especificación de diseño puede ser omitida si la casilla de activación, (el checkbox), correspondiente es desactivado. 1.3.1.11. Recuadro del Estado (al final, abajo, de la Ventana Principal) Este recuadro será utilizado por FRTool para comunicarse con el usuario. Por ejemplo, si una ganancia se fija en cero, FRTool exhibirá un mensaje para informar al usuario que deberá cambiar la ganancia a otro valor porque el que está no se permite. 1.3.2. Ventana de las Respuestas Las simulaciones de las respuestas y sus atributos característicos pueden ser vistos en la “Ventana de las Respuestas”, (ver figura 73). Esta ventana es mostrada/ocultada automáticamente por FRTool como sigue: Si no se necesitan las respuestas o características de las mismas, la ventana será ocultada; una vez que por lo menos se solicita una respuesta, la ventana será mostrada automáticamente. Todas las respuestas y características pedidas compartirán la misma ventana y serán actualizadas cada vez que un cambio se realiza en los parámetros del sistema o del controlador. Cliqueando en forma correcta sobre el grafico de las respuestas, los usuarios puede seleccionar características de la respuesta,


como: colocar/sacar la grilla, valor máximo de la respuesta, tiempo de establecimiento, tiempo de levantamiento o usar el zoom.

Figura 73: Ventana de Respuestas de FRTOOL La opción “Print” del menú File de la “Ventana de las Respuestas” mostrara la ventana previa a imprimir de Matlab, para luego poder imprimir todas las respuestas que están exhibiéndose en la ventana de las mismas. 1.3.3. Ventana de Diseño Es la segunda ventana más importante de esta herramienta de diseño en el dominio frecuencial, (ver figura 74), pues ella le permite al usuario cambiar la ubicación de los polos y ceros del controlador y también agregar nuevos polos o ceros y remover los ya existentes. Los límites de los ejes serán ajustados en correlación con la ubicación de los polos/ceros, y los límites


actuales serán cambiados usando la herramienta de enfoque disponible en esta ventana, que trabaja de la misma forma que la que está disponible en la ventana principal.

Figura 74: Ventana de Diseño del Controlador Usando el mouse y arrastrando, el usuario puede cambiar la posición de los polos y ceros y mientras arrastra los polos o ceros él puede ver los cambios de la curva de Nichols en tiempo real. FRTool tomará con cuidado los polos complejos conjugados, moviendo el polo conjugado en la posición apropiada. Moviendo el mouse a la nueva posición del polo o el cero, la misma será fijada y la ventana de las respuestas será actualizada, también. 1.3.4. Otras Ventanas de FRTool Siempre que una especificación del diseño tenga que ser definida, FRTool exhibe una ventana similar a la que está mostrada en la figura 75.

Figura 75: Ventana de Restricciones de Frtool


La ventana contendrá el nombre de la restricción, tipo (<, =, > =, >=), el valor y las unidades en que se mide la restricción. La figura 75 muestra el caso para la sobreelongación y puede ser leída como " La sobreelongación tiene que ser más baja que ---- %”.

Figura 76: Ventana para Importar el Sistema Como mencionamos antes, el proceso se puede poner en tres posiciones. P, F, H en el lazo de control, (ver figuras 71 y 72). Por lo tanto, la “ventana para importar el proceso” , mostrada en la figura 76, tiene en su lado izquierdo una lista de de los procesos definidos en el área de trabajo de Matlab con el formato “ TF ” o “ ZPK ” y tiene un conjunto de tres botones, uno para cada bloque del lazo de control. Para insertar un proceso de la lista en el bloque P, tiene que ser seleccionado con el mouse y el botón "→P" debe ser presionado. Cuando se fija todo, presionando el botón “Use " validará la configuración de lazo.

Figura 77: Ventana para Importar el Controlador


En forma similar a la ventana para importar el proceso, es la ventana para importar el controlador. La diferencia es que, en este caso, la lista solo contiene al controlador definido en el área de trabajo de Matlab con el formato “ZPK”. Para utilizar un controlador predefinido, el tiene que ser seleccionado la lista e insertado en bloque de K con el botón "→ K". Esta ventana es mostrada en la figura 77. 1.4. Ejemplo de Diseño (Aplicación) En la mayor parte de los casos la manera más fácil de aprender cómo utilizar software es seguir una breve demostración. Por lo tanto, escogimos un ejemplo sencillo para su uso e intentaremos dar una versión parcial del programa con el procedimiento de diseño seguido. Ejemplo 13: Tarea: considerando que la planta tiene la función de transferencia dada por la relación 9, diseñe un controlador de adelanto de fase, tal que el sistema de lazo cerrado con realimentación unitaria satisfaga las especificaciones siguientes:

• Sobe-elongación Máxima al escalón en la entrada: Mp (%) ≤ 8%. • Tiempo de establecimiento al (2%) : TE ≤ 1.8 segundos • La Robustez : Ro ≥ 0.65 • El M.G. ≥ 12 dB • El M.F. ≥ 60º

2)5(250)(+

=ss

sG (9)

Suponiendo que FRTool está instalado ya y trabajando correctamente en nuestro sistema, definimos el proceso en el espacio de trabajo de Matlab usando la relación 10. Sys=tf (250, [1 10 25 0]); (10) Si FRTool no esta activado todavía, puede ser puede ser activado con el comando "Frtool". Una vez que la ventana principal es visible nosotros podremos comenzar a usar la herramienta importando la función de transferencia del proceso. Cliqueando sobre el menú “File/Import/System”, aparecerá la ventana para importar el sistema con la función de transferencia “Sys” en la lista. Después de cliquear en el nombre " Sys", luego en el botón "→P" y finalmente, en el botón " Use" el sistema se coloca en el bloque de P del lazo de control y en la ventana principal se exhibe el diagrama de Nichols del lazo abierto. Por ahora el lazo abierto contiene solamente la función de transferencia P (nuestro sistema). El paso siguiente es definir las especificaciones de diseño. Cliqueando sobre la casilla de texto “Ts”, la ventana de las restricciones será exhibida para incorporar el valor de la especificación del tiempo de establecimiento,


porque no estaba definido todavía. Después de incorporar este valor, procedemos con las otras especificaciones de diseño de la misma manera. Luego, la ventana principal de la herramienta será la que está mostrada en la figura 78.-

Figure 78: Ventana principal de FRTool De ahora en adelante tenemos que escoger la estructura del controlador y diseñar sus parámetros. Tenemos que diseñar un controlador de adelanto de fase, definido por la relación (11), que como se sabe cumple con la relación (12).

1;)/1()/1(

)1()1()( >

++

=++

= aTsaTsKp

sTsTa

aKpsK (11)

CeroPolo > (12)


Para tener la estructura definida en la relación (11) el polo y el cero del controlador deben ser ambos reales. Además, para satisfacer la relación (12) elegiremos la localización del polo (-50) y la localización del cero (-5). Así se cancela un polo de la planta en -5. Se fue probando varias posiciones del polo del controlador hasta elegir -50.

Figura 79: Ubicación del polo /cero del controlador Para definirlos tenemos que ir la ventana de diseño del controlador y hacer las acciones siguientes: escriba -50 en el texbox de la parte real y luego presione el botón “Add pole”, para definir el cero, escribir -5 en el mismo texbox y presione el botón “Add zero” para definir el mismo. Por ahora la ventana de diseño del controlador parecerá como en la figura 79 y la ventana principal será similar al de la figura 80. Nosotros al principio no sabíamos, a priori, el efecto de cambiar el cero, el polo, y la ganancia del controlador, (nota: el aumento de la ganancia estática del compensador no se ha tenido en cuenta explícitamente en la fórmula 11). Se fue probando el efecto de variar cada parámetro por separado. Primero moveremos el cero, e intentaremos ver el efecto sobre la curva de Nichols. Luego el polo y por último la ganancia estática del controlador Kp. Jugando algunos minutos con la posición del polo y del cero podemos formar la curva de Nichols para todas las especificaciones de diseño sean


satisfechas. La figura 81 muestra la posición final de la curva de Nichols. En la misma se ve que se cumplen todas las especificaciones pedidas, pues las restricciones se satisfacen, como se puede observar:

Figura 80: Curva de Nichols de la Función (K× Kp× P) Con todas la Especificaciones cumplidas. Se puede ver que la curva de Nichols no cruza la restricción del Mp (%) y que la frecuencia del ancho de banda está sobre la línea verde de -3dB.- Además para la Ro y los M.G. y M.F. también se satisfacen. La respuesta temporal del sistema diseñado se muestra en la figura 81. Por lo tanto los valores de los parámetros del controlado empleado serán:

• 1/aT=5 • 1/T=50 • Kp=A=2.5


Por lo tanto: a=10 T=0.02 seg.

Figura 81: Ventana de las respuestas de FRTool Respuesta al escalón unitario Ejemplo 14: Consideremos una planta que tiene la función de transferencia dada por la Gp(s) indicada a continuación:

)2(5)(

5.0

+=

−

ssesGp

s

.

Diseñe un controlador de adelanto de fase, tal que el sistema de lazo cerrado con realimentación unitaria satisfaga las especificaciones siguientes:


1. 65.0: ≥RoRobustezLa 2. %5(%): ≤MpPorcentualaciónSobreelongLa 3. .6%)2(: segTientoEstablecimdeTiempoEl E ≤ 4. dBdBGMGananciadeMargenEl 10.,.: ≥ 5. º60..: ≥FMFasedeMargenEl Primero se ingresa la función Gp(s) en el área de trabajo de Matlab: » P=tf(5,[1 2 0],'inputdelay',0.5) Transfer function: 5 exp(-0.5*s) * ------------- s^2 + 2 s Luego se importa a FRTool como ya se sabe. Por ahora el lazo abierto contiene solamente la función de transferencia P (nuestro sistema).

Figura 82: Ventana principal de FRTool


El paso siguiente es definir las especificaciones de diseño. Cliqueando sobre la casilla de texto “Ts”, la ventana de las restricciones será exhibida para incorporar el valor de la especificación del tiempo de establecimiento, porque no estaba definido todavía. Después de incorporar este valor, procedemos con las otras especificaciones de diseño de la misma manera. Luego, la ventana principal de la herramienta será la que está mostrada en la figura 82.- De ahora en adelante tenemos que escoger la estructura del controlador y diseñar sus parámetros. Tenemos que diseñar un controlador de adelanto de fase:

1;)/1()/1(

)1()1()( >

++

=++

= aTsaTsKp

sTsTa

aKpsK

Se fue probando el efecto de variar cada parámetro por separado.

Figura 83: Curva o traza final de Nichols


Primero moveremos el cero, e intentaremos ver el efecto sobre la curva de Nichols. Luego el polo y por último la ganancia estática del controlador Kp. Jugando algunos minutos con la posición del polo y del cero podemos formar la curva de Nichols para todas las especificaciones de diseño sean satisfechas. La figura 83 muestra la posición final de la curva de Nichols. En la misma se ve que se cumplen todas las especificaciones pedidas, pues las restricciones se satisfacen, como se puede observar. La respuesta temporal del sistema diseñado se muestra en la figura 84. Por lo tanto los valores de los parámetros del controlado empleado serán:

• 1/aT=3 • 1/T=7 • Kp=A=0.6

Por lo tanto: a=7/3 y T=1/7 seg.

Figura 84: Respuesta Temporal del Sistema Diseñado


También se puede obtener la respuesta del sistema diseñado usando la función Pidesign del Csad/Matlab, usando una aproximación de Padé de tercer orden del retardo puro. Entrando la G(s)=K(s).P(s) y luego usando la opción del menú “Introd. Delay”, la respuesta obtenida con sus atributos es la indicada en la figura 85.

0 2 4 6 8-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Sal

ida

c(t)

Tiempo, seg.

Tr = 1.74 s5%Te = 2.747 s2%Te = 5.414 s < 6seg. %Mp = 5 %Tmax = 4.04 s Ess = 0

Atributos de la Respuesta

Figura 85: respuesta con una aprox. del retardo Ejemplo 15: Veremos un ejemplo para ilustrar la característica de la robustez del controlador diseñado. Considere, por ejemplo un control de la velocidad (angular) del sistema de los mandos de una antena, representado por:

)16)(4(32)(

++=

sssP (13)

y las especificaciones de diseño siguientes para un controlador Proporcional Integral : 1) robustez Ro> 0.7, (una especificación razonablemente alta de la robustez en una escala 0… 1); 2) sobreelongación porcentual de la respuesta a un escalón de entrada Mp(%) < 10 % y 3) mínimo tiempo de establecimiento Ts. El diseño óptimo del controlador P.I. y su correspondiente respuesta al escalón se dan en la figura 86.


Figura 86: Controlador PI óptimo que satisface las especificaciones requeridas para el sistema y su respuesta al escalón La robustez puede ser evaluada en caso de que el modelo del proceso cambie, (el controlador es fijo). Para ilustrar este caso, considere la función de transferencia siguiente, asumiendo que la función (13) ha cambiado a:

12)(s5)(s48)(*++

=sP (14)

Mientras que puede ser observado de (13), los cambios no afectan solamente la ganancia (el +50%), si no también cambian la dinámica del proceso muy significativamente. En la figura 87 se puede evaluar el funcionamiento del mismo controlador P.I. diseñado en la figura 86, pero aplicado en el modelo de proceso (14). Se puede concluir que el funcionamiento del controlador no satisface más las especificaciones iniciales (Mp%> 10%) pero él todavía tiene un comportamiento razonablemente bueno, considerando los cambios bastante grandes en la función de transferencia de proceso. Esto es debido al hecho de que una robustez relativamente alta fue pedida en las especificaciones. La línea continua representa el modelo de proceso nominal, y la línea discontinua la del modelo de proceso cambiado.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

salid

a c

(t)

Tiempo, seg.

Figura 87: Evaluación de la Robustez del controlador P.I. 1.5. Preguntas mas Frecuentes 1.5.1. ¿Cómo puedo variar los parámetros del controlador? Los parámetros del controlador son: la ganancia, la posición del polo y del cero. La ganancia puede ser cambiada usando el recuadro de la ganancia del controlador ubicada en la ventana principal o arrastrando el pequeño círculo rojo, (frecuencia del ancho de banda), dibujado sobre la curva de Nichols. Los polos y ceros del controlador pueden ser fácilmente usando la propiedad del arrastre de los mismos en la ventana de diseño del controlador. 1.5.2. ¿Cómo puedo Definen las Restricciones? o (Especificaciones de Diseño para el Sistema) Cuando seleccionamos una restricción, FRTool comprueba primero si hay un valor definido para esta restricción. Si ningún valor es encontrado la “ventana de las restricciones” es activada para forzar al usuario que fije el valor a la misma. Otra manera es seleccionar las opciones del submenú " Tools/Specs” e insertan el valor en la ventana que se exhibe. En este caso la caja de texto, (checkbox), que activa la restricción tiene que ser tildada, si no la especificación no se exhibe.


1.5.3. ¿Cómo puedo borrar todos los sistemas definidos en los bloques de F, de P, y de H? Simplemente abriendo la “ventana de importar el sistema" desde la opción del menú “File/Import/System” y el cliqueando sobre Use, sin la selección de ningún sistema, los bloques del lazo de control serán vaciados. 1.5.4. ¿Cómo Tengo que Definir el Sistema en el Espacio de Trabajo?. Para poder importar un sistema, el usuario tiene que definirlo en el formato TF o ZPK. Solamente estos tipos de sistemas se exhiben en la lista de la ventana de importación del sistema. 1.5.5. ¿Cómo Tengo que Definir el Controlador? Para poder importar un controlador, el usuario tiene que definirlo en el formato ZPK. Solamente estos tipos de sistemas se exhiben en la lista de la ventana de importación del controlador. En la petición " File/Export/System", FRTool enviará al espacio de trabajo de Matlab los sistemas de todos los bloques excepto el bloque K, y los nombres dados serán: " sysF". “sysP" y " sysH". En la petición " File/Export/Controller", FRTool enviará al mismo espacio de trabajo de Matlab el regulador en formato ZPK con el nombre " sysK". 1.5.7. ¿Por qué, después de definir, solo el Tiempo de Establecimiento, él no se exhibe en la Curva de Nichols? El equivalente gráfico de la restricción del tiempo de establecimiento se considera que es la frecuencia del ancho de banda, la cual es computada usando el factor de amortiguación y frecuencia natural. Para computar el factor amortiguación hay que definir primero la sobreelongación máxima. Por lo tanto, usted no puede utilizar solamente la restricción del tiempo de establecimiento, sin la restricción de la sobreelongación máxima. Sin embargo, la restricción de la sobreelongación máxima puede ser utilizada sin definir la especificación del tiempo de establecimiento.- Conclusiones: Se ha presentado con esta contribución, una caja de herramientas nueva para el diseño del controlador para el dominio de Matlab. Se basa en la representación de la respuesta de frecuencia (carta de Nichols) de los sistemas llamada FRTool - caja de herramientas de la respuesta de frecuencia. La caja de herramientas puede realizar el diseño del controlador con las especificaciones prácticas tales como sobreelongación, tiempo de establecimiento, robustez (y también con los clásicos márgenes


de ganancia y de fase como una opción). Puede ocuparse de los sistemas con un retardo de tiempo en el lazo, lo cual fue ilustrado en un ejemplo. Note que el procedimiento de diseño es extremadamente simple, dado que FRTool utiliza una interfase gráfica altamente interactiva. Profundizar en todos los detalles de los principios subyacentes de la ingeniería de control no es realmente requerido al usar la herramienta del CAD. Esto hace la caja de herramientas atractiva a los estudiantes y los ingenieros que no son expertos en control, y ofrece una solución elegante para obtener resultados satisfactorios. La experiencia es que la mayoría de ellos puede manejar la herramienta y presentar un buen diseño del controlador en unos pocos minutos. .

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Diseño Analógicos con Técnicas del Control Clásico. (Usando …dea.unsj.edu.ar/control2/DCdeCAporC.pdf · Computación). Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2008 . CONTROL II (Elo