DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORESUn diseño factorial con dos factores consiste en experimentar con todos los tratamientos que se obtienen al combinar cada nivel de un factor con los niveles del otro. En general, si existen dos factores de interés, el primero con K niveles y el segundo con J niveles distintos, el conjunto de datos del diseño factorial se resume en una tabla del tipo: • El valor yj representa la observación realizada de la variable respuesta, en el nivel i del primer factor, y el valor j del segundo.Los objetivos de un diseño factorial con dos factores son los siguientes:• Contrastar si existen diferencias entre las medias de la variable respuesta en cada uno de los niveles del factor 1.• Contrastar si existen diferencias entre las medias de la variable respuesta en cada uno de los niveles del factor 2.• Contrastar si los dos factores interaccionan.El modelo sin replicación El modelo estadístico para este diseño es: Supondremos que se toma una observación por cada combinación de factores, por tanto, hay un total de N = ab observaciones. Estimación de los parámetros del modeloLos estimadores máximo verosímiles de los parámetros del modelo son Por lo tanto, al ser los residuos nulos no es posible estimar la varianza del modelo y no se pueden contrastar la significatividad de los efectos de los factores. Dichos contrates sólo pueden realizarse si: El modelo con replicaciónEl modelo estadístico para este diseño es: Donde r es el número de replicaciones y n = abr es el número de observaciones. El número de parámetros de este modelo es, como en el modelo de dos factores sin replicación, ab + 1 pero en este caso el número de observaciones es abr.Estimación de los parámetros del modeloLos estimadores máximo verosímiles de los parámetros del modelo son Se verifica que todos los residuos de una celdilla deben sumar cero es decir, en cada celdilla hay r − 1 residuos independientes. Por lo tanto, en total habrá ab(r − 1) residuos independientes. Se verifican las mismas propiedades para los estimadores máximo-verosímiles que en los modelos anteriores. La varianza residual tiene la siguiente expresión Descomposición de la variabilidadLa ecuación básica del análisis de la varianza es: Que simbólicamente podemos escribir: SCT = SCA + SCB + SC(AB) + SCR. Estas sumas de cuadrados también se pueden expresar como: Análisis estadísticoEl objetivo del análisis es realizar los contrastes de hipótesis nula: EJEMPLO:En unos laboratorios se está estudiando los factores que influyen en la resistencia de un tipo particular de fibra. Se eligen al azar cuatro máquinas y tres operarios y se realiza un experimento factorial usando fibras de un mismo lote de producción. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla adjunta. Analizar los resultados y obtener las conclusiones apropiadas. Para realizar el análisis organizamos los datos en forma tabular de la manera siguiente:
DISEO FACTORIAL DE DOS FACTORESUn diseo factorial con dos
factores consiste en experimentar con todos los tratamientos que se
obtienen al combinar cada nivel de un factor con los niveles del
otro. En general, si existen dos factores de inters, el primero con
K niveles y el segundo con J niveles distintos, el conjunto de
datos del diseo factorial se resume en una tabla del tipo:
El valor yj representa la observacin realizada de la variable
respuesta, en el nivel i del primer factor, y el valor j del
segundo.Los objetivos de un diseo factorial con dos factores son
los siguientes: Contrastar si existen diferencias entre las medias
de la variable respuesta en cada uno de los niveles del factor 1.
Contrastar si existen diferencias entre las medias de la variable
respuesta en cada uno de los niveles del factor 2. Contrastar si
los dos factores interaccionan.El modelo sin replicacin El modelo
estadstico para este diseo es:
Supondremos que se toma una observacin por cada combinacin de
factores, por tanto, hay un total de N = ab observaciones.
Estimacin de los parmetros del modeloLos estimadores mximo
verosmiles de los parmetros del modelo sonPor lo tanto, al ser los
residuos nulos no es posible estimar la varianza del modelo y no se
pueden contrastar la significatividad de los efectos de los
factores. Dichos contrates slo pueden realizarse si:El modelo con
replicacinEl modelo estadstico para este diseo es:Donde r es el
nmero de replicaciones y n = abr es el nmero de observaciones. El
nmero de parmetros de este modelo es, como en el modelo de dos
factores sin replicacin, ab + 1 pero en este caso el nmero de
observaciones es abr.
Estimacin de los parmetros del modeloLos estimadores mximo
verosmiles de los parmetros del modelo sonSe verifica que todos los
residuos de una celdilla deben sumar cero es decir, en cada
celdilla hay r 1 residuos independientes. Por lo tanto, en total
habr ab(r 1) residuos independientes. Se verifican las mismas
propiedades para los estimadores mximo-verosmiles que en los
modelos anteriores. La varianza residual tiene la siguiente
expresinDescomposicin de la variabilidadLa ecuacin bsica del
anlisis de la varianza es: Que simblicamente podemos escribir: SCT
= SCA + SCB + SC(AB) + SCR. Estas sumas de cuadrados tambin se
pueden expresar como:
Anlisis estadsticoEl objetivo del anlisis es realizar los
contrastes de hiptesis nula:
EJEMPLO:En unos laboratorios se est estudiando los factores que
influyen en la resistencia de un tipo particular de fibra. Se
eligen al azar cuatro mquinas y tres operarios y se realiza un
experimento factorial usando fibras de un mismo lote de produccin.
Los resultados obtenidos se muestran en la tabla adjunta. Analizar
los resultados y obtener las conclusiones apropiadas.
Para realizar el anlisis organizamos los datos en forma tabular
de la manera siguiente:
