DINAMIKA
tudijsko gradivo z zbranimi nalogami s podro ja dinamike
Vladimir Grubelnik
Marjan Logar
Maribor, 2014
2
Vsebina 1. Newtonovi zakoni ................................................................................... 4 2. Primeri sil ............................................................................................... 5 2.1 Sila podlage ............................................................................................................... 5 2.2 Gravitacijska sila ....................................................................................................... 6
2.2.1 Tea teni pospeek ......................................................................................... 7 2.2.2 Masno sredie, teie ...................................................................................... 8
2.3 Elastine deformacije Hookov zakon ................................................................... 10
2.3.1 Raztezanje ice ali palice ................................................................................. 10 2.3.2 Raztezanje vzmeti ............................................................................................ 11 2.3.3 Prostorsko stiskanje .......................................................................................... 11
2.4 Vzgon ...................................................................................................................... 12
2.4.1 Plavanje ............................................................................................................ 12 2.5 Upor v tekoinah ..................................................................................................... 12
2.5.1 Viskozni upor (linearni zakon upora)............................................................... 12 2.5.2 Dinamini upor (kvadratni zakon upora) ......................................................... 13
2.6 Elektrina sila .......................................................................................................... 14
2.6.1 Elektrino polje ................................................................................................ 14 2.6.2 Snov v elektrinem polju ................................................................................. 15
2.7 Magnetna sila .......................................................................................................... 16
2.7.1 Magnetna sila na tokovni vodnik ..................................................................... 16 Naloge ........................................................................................................................... 17 3. Gibalna koliina ................................................................................... 26 3.1 Sunek sile ................................................................................................................ 26 3.2 Trk dveh teles .......................................................................................................... 27 3.3 Sila curka ................................................................................................................. 27 Naloge ........................................................................................................................... 29 4. Delo, mo in mehanska energija ......................................................... 30 4.1 Delo ......................................................................................................................... 30 4.2 Izrek o kinetini energiji ......................................................................................... 30
3
4.3 Potencialna energija ................................................................................................ 31 4.4. Izrek o ohranitvi energije ....................................................................................... 32 4.5 Gravitacijska potencialna energija .......................................................................... 32 4.6 Pronostna energija ................................................................................................. 34 4.7 Elektrina potencialna energija ............................................................................... 34 4.8 Mo.......................................................................................................................... 35 Naloge ........................................................................................................................... 36 5 Nihanje ................................................................................................... 39 5.1 Nedueno nihanje vijane vzmeti ............................................................................ 39 5.2 Dueno nihanje ........................................................................................................ 40 Naloge ........................................................................................................................... 41
Dinamika tudijsko gradivo z zbranimi nalogami
4
1. Newtonovi zakoni 1. zakon:
Telo vztraja v mirovanju ali v premo enakomernem gibanju, e nanj ne delujejo zunanje sile, oziroma je vsota vseh zunanjih sil iF
in navorov iM
enaka ni:
=
iiF 0
, =i
iM 0
.
2. zakon:
Velikost rezultante zunanjih sil na telo je enaka produktu mase telesa in pospeka teia telesa, kjer je smer pospeka enaka smeri rezultante zunanjih sil: t
ii amFF
== .
3 zakon:
Zakon o vzajemnem uinku, ki pravi: e prvo telo deluje na drugo telo z neko silo potem tudi drugo telo deluje na prvo z nasprotno enako silo:
1,22,1 FF
= Isaac Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Lex I Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare. Lex II Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impress, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Lex III Actioni contrariam semper & qualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse quales & in partes contrarias dirigi.
Dinamika tudijsko gradivo z zbranimi nalogami
5
2. Primeri sil 2.1 Sila podlage Ko telo miruje ali se giblje po podlagi, deluje nanj sila podlage. e telo miruje, govorimo o statinem trenju ali lepenju, e pa se giblje, govorimo o dinaminem trenju . Silo podlage razdelimo na komponento, ki kae pravokotno na podlago (normalna komponenta, oznaka N) in komponento, ki lei v podlagi, imenovano sila lepenja F l oziroma sila trenja Ft. Komponenta v podlagi kae vedno nasproti premikanja ali poskusa premikanja. Razmerje med komponento v podlagi in normalno komponento je odvisno od kvalitete stinih povrin telesa in podlage, kar podamo z ustreznim koeficientom. Sila lepenja je NkF ll = , kjer je kl koeficient lepenja. Velikost sile lepenja ima vrednosti od 0 pa do najveje vrednosti, ko telo zdrsne, e je ta preseena. Obiajno so podane vrednosti koeficienta lepenja, ki ustrezajo njegovi najveji vrednosti. Sila trenja je NkF tt = , kjer je kt koeficient trenja, odvisen od stinih povrin telesa in podlage, ter od relativne hitrosti, kar pa veinoma spregledamo ali zanemarino .
Koeficient trenja in lepenja:
primeri Koeficient lepenja
Koeficient trenja
jeklo-jeklo 0,12 0,3 0,1 kovina na les 0,5 0,65 0,2 0,5
les na les 0,4 0,65 0,2 0,4
Dinamika tudijsko gradivo z zbranimi nalogami
6
Koeficient trenja za gumijasto kolo na cestiu (asfalt):
primeri Koeficient trenja
suho 0,5 0,65 vlano 0,2 0,35 sneg 0,1 0,5 led 0,05 0,15
2.2 Gravitacijska sila Vsa telesa se med seboj privlaijo z gravitacijsko silo. Gravitacijska privlanost teles je odvisna od mase teles in njihove medsebojne oddaljenosti. Gravitacijski zakon je prvi zapisal Isaac Newton. Izhajal je iz Keplerjevega zakona.
Kt
r =2
0
3
Keplerjev zakon
planet r (UA) t0 (leto) (UA3/leto2 ) Merkur 0,387 0,241 1 Venera 0,723 0,616 1 Zemlja 1,000 1,000 1 Mars 1,524 1,88 1 Saturn 5,20 11,86 1 Jupiter 9,54 29,46 1 Uran 19,18 84,0 1
Neptun 30,06 164,8 1 Pluton 39,5 247,7 1
Gibanje planetov okoli Sonca omogoa gravitacijska silaF
, s katero Sonce privlai planete. Ta planetom, ki kroijo okoli Sonca, podeli radialni pospeek:
2
22
0
2 42
r
mK
tmrmrmaF r
=
===
Sila F je sorazmerna z maso planeta m. Ker planet privlai Sonce z enako veliko silo, mora biti sila sorazmerna tudi z maso Sonca M:
22
2
2
2 44
r
mMG
Mr
mMK
r
mKF ===
2
211107,6
kg
NmG = je t.i. gravitacijska konstanta in
221
r
mmGF = gravitacijski zakon.
Dinamika tudijsko gradivo z zbranimi nalogami
7
Pri nebesnih telesih (zvezde, planeti) je njihova medsebojna razdalja velika v primerjavi z njihovimi velikostmi in jih lahko obravnavamo kot tokasta telesa v razdalji r. e telesa niso majhna v primerjavi z medsebojno oddaljenostjo, je gravitacijska sila odvisna tudi od oblike teles. Primeri: 1. Gravitacijska sila med tokastim telesom z maso m0 in palico z dolino L in maso m.
Blinji konec palice se nahaja v razdalji a od tokastega telesa.
dm=Sdr
)(
0202
0
Laa
mmG
r
drSGm
r
dmmGF
La
a +===
+
2.2.1 Tea teni pospeek Na vsako telo na zemeljskem povrju deluje gravitacijska privlana sila Zemlje, katere veli
