1

DINAMIKA

Jedinice svih veliina u kinematici se izraavaju pomou metra m i sekunde s. Za izraavanje veliina u dinamici neophodna je jo jedna osnovna jedinica Meunarodnog sistema jedinica (SI) kilogram (kg), jedinica za masu. Ve je reeno da se dinamika za razliku od kinematike bavi i silom kao uzrokom koji dovodi do promene stanja kretanja tela.

Njutnovi zakoni

To su postulati, logika tvrenja koja se ne dokazuju ali se svakodnevno proveravaju.

Tenja tela da se opiru promeni stanja kretanja naziva se inercija. Inercija je kvantitativna mera mase tela. Tela se kreu samo pod dejstvom rezultantne sile koja deluje na njih. Kad se govori o rezultantnoj sili misli se na sve sile koje deluju na neko telo. Ponekad rezultantna sila moe biti jednaka nuli, ali to ne znai da na telo ne deluju sile, ve se moe desiti da se sile meusobno ponitavaju. Ako se to dogodi telo je u ravnotei. Statika ravnotea znai da se telo nalazi u stanju mirovanja. Dinamika ravnotea znai da se telo kree pravolinijski, konstantnom brzinom.

Ako neko telo deluje silom na drugo telo tada e i drugo telo delovati nekom suprotnom silom na prvo telo. Ovo se javlja usled toga to sila predstavlja meru interakcije izmeu dva tela. Sile se uvek pojavljuju u paru, jedna je sila akcije a druga sila reakcije i obe zajedno predstavljaju interakciju izmeu tela. Ne postoji ni jedna sila sama za sebe. S obzirom na to da sile akcije i interakcije deluju na razliita tela, one se nikada ne ponitavaju.

Kada na telo deluje neka rezultantna sila, telo se kree. Ubrzanje kojim se kree telo direktno je proporcionalno sili koja na njega deluje, a obrnuto proporcionalno masi tela. Ovo se moe zapisati kao a ~ F/m. Ubrzanje je uvek u pravcu dejstva sile.

Ako neko telo slobodno pada kroz vakuum (u gravitacionom polju), rezultantna sila je u stvari teina tela, a ubrzanje kojim se kree iznosi -g (g oznaava gravitaciono ubrzanje). Ako telo slobodno pada kroz vazduh, rezultantna sila predstavlja razliku teine tela i sile otpora vazduha, tako da se telo kree ubrzanjem manjim od g. Ukoliko bi sila otpora vazduha bila jednaka teini tela, ubrzanje bi bilo jednako nuli te bi telo padalo kroz vazduh konstantnom brzinom.

2

I Njutnov zakon - zakon inercije

Prvi Njutnov zakon je ustvari prvi formulisao Galileo Galilej 1638.god.

Neko telo izolovano od dejstva spoljanjih sila, zadrava svoje stanje

mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok ga dejstvo neke

spoljanje sile ne prinudi da to stanje promeni.

Kretanje koje vri neko telo u odsustvu sila naziva se kretanje po inerciji. Smatra se da masa (skalar) predstavlja meru otpora koga telo prua promeni stanja kretanja, tj. masa predstavlja meru inercije tela.

Koliina kretanja

Ve je reeno da inercija predstavlja svojstvo tela da se opire promeni stanja kretanja u kome se nalazi; npr. ako pokuamo da pokrenemo telo koje miruje ono se opire (oteava pokretanje) utoliko vie ukoliko mu je masa vea; ili zamislimo dva tela razliitih masa koja se kreu iskustvo nam govori da je tee zaustaviti telo vee mase. Ovo nas navodi na zakljuak da je potrebno uvesti jo

jednu vektorsku fiziku veliinu koliinu kretanja p

(impuls) koja karakterie dinamiko stanje tela i

predstavlja proizvod mase i vektora kretanja tela:

II Njutnov zakon osnovni zakon dinamike

II Njutnov zakon daje kvantitativnu i kvalitativnu vezu izmeu uzroka promene kretanja (sile) i

posledice kojom se meri stanje kretanja, a to je promena impulsa p

.

Rezultantna spoljanja (eksterna) sila1) koja deluje na neko telo ili

sistem tela predstavlja brzinu promene njegove koliine kretanja,

tj. jednaka je prvom izvodu koliine kretanja po vremenu:

Kao to se vidi iz gornjeg izraza jedinica za silu 2s

mkg

s

s

mkg

, to predstavlja definiciju jedinice sile

Njutn (N).

Drugi Njutnov zakon moe da se napie i u sledeem obliku tFp exrezdd

odakle se zakljuuje da se

telo kree u pravcu i smeru rezultantne sile pri emu treba naglasiti da usled inertnosti ni jedno telo ne menja trenutno svoje stanje, ve uvek postoji prelazni period.

II Njutnov zakon u ovom obliku je optevaei zakon vai u svim oblastima fizike i u relativistikoj fizici.

Analizom ovog zakona mogu se izvui razne zakonitosti.

1) Zakon o odranju koliine kretanja. Posmatra se

izolovan sistem, koji se sastoji od n tela. Sistem je izolovan ako je rezultantna spoljanja sila koja deluje na njega jednaka nuli -

0exrezF

. Svako od tela mase m1, m2, m3 ..., mi, ..., mn ima vektor

1)

Rezultantna sila predstavlja vektorski zbir svih sila koje deluju na neko telo ili sistem.

s

mkgmp

t

pF exrez

d

d

ip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

1p 2p

3p

3

koliine kretanjaip

. Ukupan vektor koliine kretanja ovog sistema jednak je zbiru pojedinanih

vektora koliine kretanja svih tela

Ako je rezultantna sila koja deluje na posmatrani sistem jednaka nuli tada je 0d

d

t

p

, to je ispunjeno

ako je 0dp

. Oznaka d ispred vektora koliine kretanja predstavlja beskonano malu promenu

veliine ispred koje stoji. Ako je promena koliine kretanja jednaka nuli znai da je koliina kretanja

izolovanog sistema konstantna constp

. Ovo predstavlja jo jedan optevaei zakon zakon o

odranju koliine kretanja:

Ukupan vektor koliine kretanja izolovanog sistema je konstantan.

II Njutnov zakon u oblasti klasine fizike.

Ako u drugi Njutnov zakon uvrstimo izraz za vektor koliine kretanja

mp , dobija se

dt

dm

dt

dm

dt

md

dt

pdF exrez

Sila u optem sluaju nije u pravcu ubrzanja (

dt

da

).

Kada se telo kree brzinom

, njegova masa se menja prema

izrazu iz relativistike fizike to je grafiki predstavljeno na dijagramu. m0 predstavlja masu tela u mirovanju. Oigledno da masa tela nije konstantna. Ako je brzina posmatranog tela mnogo manja od brzine

svetlosti, porast mase je zanemarljivo mali tj. masa se moe smatrati konstantnom, pa je izvod dt

dm

jednak nuli, pa samim tim i prvi sabirak u gornjem izrazu. Izraz za drugi Njutnov zakon se tada svodi na

Rezultantna sila koja deluje na telo jednaka je proizvodu mase i

ubrzanja tog tela.

ta se dobija iz gornjeg izraza ako je spoljanja rezultantna sila jednaka nuli? Dobijen je matematii izraz prvog Njutnovog zakona ako nema dejstva spoljanje sile brzina tela je konstantnog intenziteta, pravca i smera. Iskustvo govori da tela koja se kreu, lagano usporavaju i na kraju se zaustavljaju. U realnosti na telo deluju sila trenja i sila otpora sredine, to znai da telo trpi dejstvo rezultante ove dve sile te menja stanje svoga kretanja tj. usporava. Za razliku od prethodna dva optevaea zakona, sledei zakon ne vai u relativistikoj fizici, to

znai da vai samo ako su brzine tela mnogo manje od brzine svetlosti , ( = 3 108m/s).

n

iini pp...p...pppp

1321

2

2

0

1c

mm

amdt

dmexrezF

const00

d

dt

dmF exrez

m0

m

0,6c c

4

III Njutnov zakon zakon akcije i reakcije

Trei Njutnov zakon daje informaciju o interakciji izmeu tela u prirodi i govori o tome da se sile u prirodi uvek javljaju u paru.

Posmatra se izolovan sistem od dva tela. Ukupan vektor koliine kretanja je 21 ppp

. Poto je

sistem izolovan 0exrezF

, onda je

Prvi sabirak t

p

d

d 1

, predstavlja silu koja deluje na telo 1, a poto je

sistem izolovan onda na tom silom na njega moe da deluje samo telo

2. Dakle to je sila kojom drugo telo deluje na prvo 21F

. Isto tako drugi sabirak t

p

d

d 2

predstavlja silu

koja deluje na telo 2, a nju moe da izazove jedino telo 1 znai to je sila kojom prvo telo deluje na

drugo 12F

. Na osnovu prethodnog poslednji deo gornje jednakosti moe se napisati kao

01221 FF

, ili

Ove dve sile su istog intenziteta i pravca a suprotonih smerova. Prema tome trei Njutnov zakon glasi

Ako jedno telo deluje na drugo nekom silom, onda i drugo telo

deluje na prvo silom istog intenziteta i prvca ali suprotnog smera.

III Njutnov zakon vai: 1. ako se interakcija izmeu tela odigrava neposrednim kontaktom i 2. ako se tela nalaze na meusobnim rastojanjima pod uslovom da se kreu brzinama mnogo manjim od brzine svetlosti. PODELA SILA

Sve poznate sile u prirodi mogu se podeliti na:

gravitacione (poznati zakoni, dugog su dometa),

elektromagnetne (poznati zakoni, dugog su dometa),

nuklearne sile koje se dele na a) sile slabe interakcije (domet im je priblino 1012

m i odgovorne su za transformacije elementarnih estica u jezgru i b) sile jake interakcije (domet

im je priblino 1015

m i ove sile dre na okupu nukleone u jezgru).

Neki tipovi sila u mehanici

SILA GRAVITACIJE Sila gravitacije definie Njutnov zakon opte gravitacije koji glasi: Svako telo privlai drugo telo silom koja je proporcionalna

proizvodu njihovih masa a obrnuto proporcionalna kvadratu

rastojanja izmeu njihovih centara i deluje du prave koja ih spaja.

Ovaj zakon se matematiki moe zapisati

00 2121

dt

pd

dt

pd

dt

ppd

dt

pd

1p

2p

1221 FF

1p

2p

21F

12F

m1 m2

21F

12F

r

0r

02

21r

r

mmFg

5

gde je 0r

jedinini vektor rastojanja izmeu centara posmatranih tela a je univerzalna gravitaciona

konstanta 2)

i iznosi = 6,67 1011

Nm2/kg

2. Znak minus oznaava da se radi o privlanoj sili izmeu

tela. S obzirom na to da je veoma malo, gravitaciona sila meu telima na Zemlji je zanemarljivo mala u poreenju sa gravitacionom silom privlaenja izmeu pojedinanih tela i Zemlje. Potrebno je podvui da je za razliku od elektromagnetnih sila koje mogu biti i privlane i odbojne, gravitaciona sila uvek privlana i zahvaljujui njoj postoji Univerzum.

Njutnov zakon opte gravitacije vai samo za materijalne take i (homogena) sferna tela. U ovom kursu najznaajnije je ispoljavanje gravitacione sile izmeu Zemlje koja je priblino sfernog oblika i tela na njoj ili u blizini njene povrine. Dimenzije tela su zanemarljivo male u odnosu na dimenzije Zemlje, tako da se mogu smatrati materijalnim takama. Ta gravitaciona sila zbog posebnog znaaja koji ima za ljude na Zemlji dobila je posebno ime sila Zemljine tee ili samo sila tee (ne sme se meati sa teinom tela). Neka se telo mase m nalazi na nadmorskoj visini h (na visini h iznad povrine Zemlje). Oznai se masa Zemlje sa Mz a njen poluprenik sa Rz. Poto su u pitanju materijalna taka i sferno telo, sila kojom Zemlja privlai telo (ali i telo Zemlju samo to joj zbog male mase daje zanemarljivo ubrzanje), moe da se napie kao:

gde smo sa 22

22

11zz

z

z

z

zh

R

h

g

R

hR

M

hR

Mg oznaili ubrzanje zemljine tee na

nadmorskoj visini h, 2z

z

R

Mg predstavlja ubrzanje zemljine tee na povrini Zemlje. Znajui da je

Mz = 5.98 x 1024

kg a Rz = 6.37 x 106 m, za g se dobija 9,81 m/sec.

Na desnoj slici je grafiki prikazana zavisnost sile tee od rastojanja. Na

rastojanjima r Rz sila tee opada sa kvadratom rastojanja, dok na

rastojanjima r Rz (u unutranjosti Zemlje) raste proporcionalno rastojanju od centra ka povrini Zemlje. Zainteresovani studenti mogu dobiti formalno izvoenje.

Uobiajene oznake za silu tee su gF

, Q

i G

.

SILA REAKCIJE PODLOGE

Svako telo deluje nekom silom na podlogu na kojoj se nalazi. Prema treem Njutnovom zakonu i podloga deluje na telo silom istog intenziteta i pravca ali suprotnog smera. Ta sila se naziva sila reakcije podloge ili normalna sila jer uvek ima pravac normale na dodirnu povrinu. Neka telo miruje na horizontalnoj podlozi. Na telo deluje gravitaciona sila

gmFg

i ona je ta koja pritiska telo uz podlogu. Poto telo miruje,

rezultantna sila koja deluje na njega jednaka je nuli, to znai da je

2)

Univerzalnu gravitacionu konstantu prvi je eksperimentalno odredio Henri Kevendi 1797.god.

Mz

Rz

m

h

h

zzz

z

z

zg gm

R

h

gm

R

hR

Mm

hR

mMF

222

2

11

Rz 2Rz 3Rz

1/9g

1/4g

g

Fg

r

2

1

r~r~

gmFg

N

6

gravitaciona sila uravnoteena nekom silom u ovom sluaju to je sila reakcije podloge N

. Vektori istog pravca se sabiraju tako to se algebarski sabiraju njihovi intenziteti. Najpre se usvaja pozitivan smer (bira se proizvoljno) i sve sile koje su u tom smeru su sa znakom +, a sve sile

suprotnog smera su sa znakom .

Prema slici, normalna sila se rauna sa znakom +, a sila tee sa znakom :

Dobja se da je u ovom sluaju sila reakcije podloge jednaka sili tee. Na donjim slikama su prikazane sile reakcije podloge u razliitim sluajevima. Potrebno je obratiti panju da je sila reakcije podloge uvek normalna na podlogu u usmerena je od nje. Intenzitet zavisi i od ostalih sila koje deluju na neko telo.

Primer strme ravni

Neka se sila tee oznai sa Q

. Sila tee je razloena na dve

komponente na komponentu paralelnu strmoj ravni pQ

i

komponentu normalnu na strmu ravan nQ

(podsetiti se razlaganja

vektora). Telo moe da se kree uz strmu ravan ili niz nju ali nikako ne moe da se kree u pravcu normalnom na strmu ravan, to znai da je

zbir sila koje deluju na telo u tom pravcu jednak nuli. Osim sile reakcije podloge N

, u tom pravcu

deluje i normalna komponenta sile tee nQ

. Ako se usvoji kao pozitivan, smer navie (videti sliku),

onda moe da se pie: nnrezn QNQNF 0 .

Ako je nagib strme ravni , onda je i ugao izmeu Q

i nQ

. Poto je nQ

nalegla kateta na ugao , a

Q

hipotenuza, onda je coscoscos mgQQQ

Qn

n . Tako da je ovde cosmgN .

SILA ZATEZANJA Ako se za telo vee ue (kanap, konac, kabl ili sl.) i povue se, onda na to telo deluje sila zatezanja.

Ruka na ue deluje silom 1kF

. Prema treem

Njutnovom zakonu i ue deluje na ruku silom istog

intenziteta ali suprotnog smera 1zF

. Sa druge

strane ue deluje na telo silom zatezanja 2zF

i

prema III Njutnovom zakonu telo na njega deluje silom 2kF

. Znai da je ukupna sila koja deluje na

ue 2121 kkkkkk FFFFFF

.

U veini sluajeva ue je zanemarljivo male mase u odnosu na masu tela koje vue. Ako je masa ueta zanemarljivo mala a ue se kree istim ubrzanjem kao i telo koje vue, sledi da sila koja deluje na ue mora biti jednaka nuli 2121 0 kkkkk FFFFF . Odavde sledi da su i sile zatezanja ueta koje

deluju na telo i ruku takoe jednakih intenziteta:

mgNmgNGNFNGF rezrez 00

N

N

NN

N

N

pQ

nQ

Q

+

2zF

2kF

1zF

1kF

zzz FFF 21

7

Sla zatezanja je uvek u pravcu ueta a usmerena je od tela ka uetu. Intenzitet zavisi od dejstva

okolnih sila. Uobiajene oznake za silu zatezanja su zF

i T

.

Teina je sila kojom telo deluje na podlogu na kojoj se nalazi ili zatee nit (ue) na kojoj visi.

Sila trenja i sila otpora sredine

Sila trenja se javlja izmeu dva sloja koji se kreu jedan u odnosu na drugi ili postoji tenja da se relativno kreu (tj. da se jedan pokrene u odnosu na drugi). Ona uvek deluje u ravni koja tangira dodirnu povrinu dva sloja. Trenje moe da se javi izmeu 1) vrstih tela, 2) vrstih tela i fluida (tenosti i gasovi) i 3) slojeva fluida. 1) i 2) uestvuju u spoljanjem trenju koje moe da bude suvo i vlano a svako od njih jo i trenje klizanja i trenje kotrljanja. 2) i 3) uestvuju u unutranjem trenju koje moe biti viskozno ili predstavlja silu otpora sredine. Ovde e biti razmatrana sila spoljanjeg suvog trenja pri klizanju i sila otpora sredine. Sila otpora sredine se javlja pri kretanju vrstog tela kroz fluid, proporcionalna je brzini tela, ima

pravac brzine tela a suprotnog je smera:

const0F .

Spoljanje suvo trenje pri klizanju moe biti statiko i dinamiko. Iako je suvo statiko trenje takoe veoma vano u mainstvu (npr. kod veza izmeu zavrtanja i zakivaka), detaljnije e se obraivati samo dinamiko trenje. Ako se telo 1 kree preko tela 2, na telo 1 deluje sila trenja u smeru suprotnom od smera brzine tela 1 u odnosu na telo 2 a intenzitet joj je

NFtr , gde je N sila reakcije podloge, (mi) je dinamiki koeficijent

trenja N

Ftr , koji je bezdimenziona veliina 1Njutn

Njutn (bezdimenziona

veliina neimenovan broj nema jedinicu). Prema III Njutnovom zakonu

silom trF

istog intenziteta ali suprotnog smera deluje telo 1 na telo 2.

zF

zF

zF

A

zF

zF

1

2

trF

trF

N