Dinamicka analiza skeletnih zgrada

8/3/2019 Dinamicka analiza skeletnih zgrada

1/131

5

Univerzitet u BeograduGraevinski fakultet

piro L. Gopevi

Dinamika analiza skeletnih zgrada sa polukrutimvezama

Magistarski rad

Beograd, 2002 godine


2/131

6

Univerzitet u BeograduGraevinski fakultet

piro L. Gopevi

Dinamika analiza skeletnih zgrada sa polukrutimvezama

Magistarski radRad ima 72 lista

Beograd, 2002 godine


3/131

7

Mentor: Profesor dr Stanko Bri,Graevinski fakultet Univerziteta uBeogradu

lanovi komisije: 1.

2.

3.

4.

Datum odbrane

Magistarskog rada:

Datum promocije

Magistarskog rada:


4/131

8

Dinamika analiza skeletnih zgrada sa polukrutim vezama

Rezime

Predmet ovoga magistarskog rada je dinamika linearna analiza prostornih okvirnih elinihkonstrukcija sa polukrutim i ekscentrinim vezama greda-stub. Na osnovu ovakvog zahtevanapravljen je jedan od moguih matematiih modela. Polukruta veza krajeva tapamodelirana je pomou rotacionih opruga na krajevima tapa koje imaju linearnu vezumoment-rotacija. Ekscentrinost veze predstavljena je kratkim beskonano krutimelementima. Uticaj polukrute i ekscentrine veze u proraun je uveden preko korektivnematrice. Primenom korektivne matrice modifikovana je konvencionalna matrica krutostielementa sa krutim i centrinim vezama.Kao dinamiko optereenje konstrukcije razmatrano je seizmiko optereenje koje moe biti

zadato preko akcelelograma ili preko krive spektra pseudoubrzanja. Naroita panja jeposveena spektralnoj modalnoj analizi pomou koje mogu da se odrede maksimalne iekstremne vrednosti uticaja u konstrukciji usled seizmikog optereenja.Na osnovu predhodne analize uraena je objektno orijentisana analiza primenom jezika UML(Unified modeling language) i dobijen je model podataka.Kao rezultat predhodnih analiza napravljen je raunski program u jeziku C++. Pomou njega

je sprovedena parametarska analiza da bi se utvrdio uticaj polukrute i ekscentrine veze nakonstrukciju za dinamika optereenja.

Kljune rei: linearna dinamika analiza, nesimetrine prostorne skeletne zgrade, polukrute iekscentrine veze, spektralna modalna analiza, UML, C++


5/131

9

Dynamic Analysis of Frame Buildings with Semi RigidConnections

Summary

The subject of this Masters Thesis is dynamic analysis of non-symmetric space framebuildings with semi rigid and eccentric beam-to-column connections. The correspondingmathematical model is developed in this work. Semi rigid connections are modeled by thecorresponding rotational springs at both ends of beams, with linear moment-rotationrelationship. Eccentricity of connections is represented by the corresponding short infinitelyrigid elements. The overall effect of the semi rigid and eccentric connections is introduced bythe corresponding corrective matrix, which is then used to modify the conventional stiffnessmatrix.As one of the most important dynamic loadings upon structures, the seismic loading is

considered in this thesis. It is being defined either by the corresponding accelerogram, or bythe corresponding spectral pseudo-acceleration. The particular attention is being paid to themultimode spectral analysis, which is currently considered, see, for example, the Euro codeEC8, as the most appropriate way to obtain the corresponding extreme effects of anearthquake. However, direct numerical integration of differential equations of motion is beingconsidered too.Considered approach to dynamic analysis of non-symmetric space frame buildings with semirigid and eccentric connections is then analyzed from the object-oriented viewpoint. Thecorresponding object-oriented decomposition and modeling of the considered problem isdone using the UML (Unified Modeling Language) approach.As result of the considered analysis, the corresponding computer implementation is made andthe program written in C++ language and Windows environment is developed. The computer

code called ELAN was tested on various examples. Also, in order to obtain some generalconclusions about the influence of semi rigid and eccentric connections upon dynamicbehavior of non-symmetric 3D frame buildings, the corresponding parametric analyses weremade.

Key words: linear dynamic analysis, non-symmetric space frame buildings, semi rigid andeccentric connections, multimode spectral analysis, UML, C++


6/131

10

Sadraj

Sadraj 1

Predgovor 5

Deo I Matematiko modeliranje

1 Matematiko modeliranje fizikih sistema 111.1 Uvod 111.2 Klasifikacija matematikih modela 11

1.3 Modeliranje konstrukcije 131.3.1 Trodimenzionalni model 131.3.2 Pseudotrodimenzionalni model 14

1.4 Modeliranje veza elemenata 161.3.1 Modeliranje polukrutih veza 161.3.2 Modeliranje ekscentrinosti veza 19

1.5Polazne pretpostavke analize 20

2 Statiki model konstrukcije sa polukrutim i ekscentrinimvezama 21

2.1 Uvod 212.2 Odreivanje matrica krutosti na savijanje tapa u ravni 232.2.1Uticaj polukrutih veza za tap tipak 242.2.2 Uticaj polukrutih veza za tap tipag 272.2.3 Uticaj ekscentrinih veza 302.2.4 Uticaj polukrutih i ekscentrinih veza 302.2.5 Matrica krutosti tapa na savijanje u ravni 31

2.3 Matrica krutosti prostornog tapa 332.4Matrica krutosti sistema 35

2.4.1Trodimenzionalni model 352.4.2 Pseudo trodimenzionalni model 36

3. Dinamiki model konstrukcije sa polukrutim iekscentrinim vezama 42

3.1 Uvod 423.2 Matrica masa sistema 423.3 Oscilacije nepriguenog sistema 43

3.3.1Jednaina kretanja trodimenzionalnog modela 433.3.2 Jednaina kretanja pseudo trodimenzionalnog modela 43

3.3.3 Preureenje jednaina kretanja sistema 46


7/131

11

3.3.4Kondezacija sistema jednaina 463.3.5 Generalisani problem svojstvenih vrednosti 47

3.4 Oscilacije priguenog sistema 493.4.1 Oblici priguenja 493.4.2 Matrica priguenja sistema 50

3.5 Optereenje konstrukcije 51

3.6 Proraun pomeranja i presenih sila 543.7 Reavanje jednaina kretanja 56

3.7.1 Metode direktne integracije- Postupak 563.7.2 Modalna analiza 583.7.3 Alternativa konvolucionom integralu 593.7.4 Spektralna modalna analiza kod seizmikog optereenja 61

3.7.4.1 Pomeranja i unutranje sile 653.7.4.2 Ekstremna pomeranja i unutranje sile 68

Deo II Objektno orijentisano modeliranje iimplementacija

4. Objektno orijentisano modeliranje 734.1 Uvod 73

4.1.1 Objektno orijentisano programiranje 734.1.2 Objektno orijentisano modeliranje 75

4.2Osnove objektno orijentisanog modeliranja na jeziku UML 764.2.1 Osnovni elementi jezika UML 764.2.2 Dijagram klasa 79

4.3 Dijagrami klasa 824.3.1 Dijagram klasa Elan 824.3.2 Dijagram klasa Misclaneous 834.3.3 Dijagram klasa Boundary conditions 844.3.4 Dijagram klasa FEConnections 864.3.5 Dijagram klasa FE 874.3.6 Dijagram klasa Functions 884.3.7 Dijagram klasa Loads 894.3.8 Dijagram klasa Methodes 904.3.9 Dijagram klasa Models 91

5. Implementacija modela u objektno orijentisanom jezikuC++92

5.1 Uvod 925.2 Raunarski program ELAN 93

5.2.1 Osnovne karakteristike programa 935.2.2 ema ulaznog dokumenta 94


8/131

12

Deo III Parametarska analiza i zakljuak

6. Parametarska analiza uticaja fleksibilnosti iekscentrinosti veza 105

6.1 Uvod 1056.2 Analizirani primeri 1086.3 Analiza dinamikih osobina konstrukcije 1126.4 Analiza seizmikog odgovora konstrukcije 115

7. Zakljuak 123

Literatura 125

Prilog A Oznake 127Prilog B Matrica transformacije prostornog tapa 129Prilog C Spektri odgovora 131Prilog D Hermite-ovi polinomi i presene sile 135

Biografija 139


9/131

13

Predgovor

Model je pojednostavljeni prikaz stvarnosti. Dobar model je onaj koji ukljuuje one elementeposmatranog problema koji su bitni, a izostavlja one koji nisu bitni za dati problem. Jedan istiproblem moe se predstaviti na razliite naine. Izbor modela ima kljuni uticaj na to kako seproblem reava i kako se oblikuje reenjeU savremenom projektovanju i proraunu elinih konstrukcija optereenih dinamikimoptereenjima zahteva se analiza na to realnijim raunskim modelima. Konvencionalnemetode statike i dinamike analize okvirnih elinih konstrukcija zasnovane su napretpostavci o idealnim vornim vezama. To znai da su veze ili idealno krute ili idealnozglobne.. Mnogobrojna ispitivanja su pokazala da su veze realno polukrute. Osim toga uvezama postoji vea ili manja ekscentrinost, koja moe izazvati znaajne promene uticaja ukonstrukciji.

Predmet ovoga magistarskog rada je dinamika linearna analiza prostornih okvirnih elinihkonstrukcija sa polukrutim i ekscentrinim vezama greda-stub.

Prvo je uraen matematiki model postavljenog problema. Model prostorne konstrukcijedefinisan je na dva naina: kao klasian trodimenzionalni model sastavljen iz konanihelemenata i kao pseudo trodimenzionalni model sastavljen iz makroelemenata. Pri definisanjumatrice krutosti konstrukcije ukljueno je i modeliranje polukrutih i ekscentrinih veza uvorovima. Na ovako definisanom modelu, formulisane su diferencijalne jednaine kretanja imetode za odreivanje reenja dobijenih diferencijalnih jednaina, kako za sluaj slobodnih,tako i za sluaj prinudnih vibracija. Jednaine prinudnih vibracija su reavane na tri naina:metodom alternative konvolucionom integralu, direktnom numerikom integracijom

postupkom i metodom spektralne modalne analize. Reavanjem jednaina na prvi ili druginain moe da se dobije vremenski tok odgovora konstrukcije. Primena spektralne modalneanalize omoguava nam da naemo maksimalne i ekstremne uticaje u konstrukciji usledseizmikog optereenja.

Na osnovu predloenog matematikog modela konstrukcije, uraena je i objektnoorijentisana analiza i napisan je program kojim je omoguen efikasan proraun i pomoukojega je sprovedena odgovarajua parmetarska analiza.


10/131

14

Kratak sadraj rada

Rad se sastoji iz tri dela, sedam poglavlja i etiri priloga.

Prvi deo govori o matematikom modeliranju konstrukcije, o statikom i dinamikom modeluposmatranog problema i ima tri poglavlja. Drugi deo govori o objektno orijentisanom modelu

i implementaciji i ima dva poglavlja, a u treem delu data je parametarska analiza i zakljuaki ima dva poglavlja.

U prvom poglavlju govori se ta je to matematiko modeliranje. Navedena su objanjenja zadva matematika modela konstrukcije: trodimenzionalni model i pseudo trodimenzionalnimodel. Prikazane su i dve bitne osobine elinih veza greda-stub: fleksibilnost iekscentrinost veze. Na kraju poglavlja date su polazne pretpostavke prorauna.

U drugom poglavlju izvedena je matrica krutosti na savijanje grednog elementa sa polukrutimi ekscentrinim vezama i to za obostrano ukljeten tap i tap koji ima ukljetenje samo na

jednom kraju. Izvedena je matrica krutosti sistema trodimenzionalnog modela i pseudo-trodimenzionalnog modela.

U treem poglavlju opisana je primena predhodno definisanog konanog elementa udinamikoj analizi. Izvedene su diferencijalne jednaine kretanja za trodimenzionalni modeli pseudo-trodimenzionalni model. Dato je objanjenje numerikih metoda za reavanjediferencijalnih jednaina kretanja. Kod primene spektralne modalne analize dat je postupakza odreivanje maksimalnih i ekstremnih uticaja usled seizmikog optereenja.

U etvrtom poglavlju dato je objanjenje objektno orijentisanog programiranja i modeliranja.Dat je kratak prikaz osnova objektno orijentisanog modeliranja na jeziku UML (Unifiedmodeling language) i dat je strukturni model naeg problema u vidu dijagrama klasa.

U petom poglavlju, kao rezultat predhodnih analiza, napisan je program ELAN (ELastinaANaliza). Dat je opis formata ulaznih podataka u program. Sam program sa izvornim kodomi primerima dat je na prateem CD-u.

U estom poglavlju, primenom programa ELAN, uraena je parametarska analiza ponaanjaelinih okvirnih konstrukcija.

U sedmom poglavlju, na osnovu parametarske analize u estom poglavlju, izvedeni suzakljuci rada.

U prilogu A, prikazane su oznake koje su koriene u radu. Oznake koje nisu navedene udodatku objanjene su na mestu na kome se prvi put pojavljuju u tekstu.

U prilogu B objanjeno je odreivanje ugla u matrici transformacije prostornog tapa.

U prilogu C su date krive spektra odgovora konstrukcije, prema naim propisima i premaEurocode 8 , u tabelarnom i grafikom obliku.

U prilogu D dati suHermite-ovi polinomi za obostrano ukljeten tap i tap ukljeten samo sajedne strane i dat je izraz za silu u proizvoljnom poprenom preseku tapa.


11/131

15

elim ovom prilikom da se zahvalim mentoru ove magistarske teze prof.dr. Stanku Briu ,na pomoi, podrci, konsultacijama i sugestijama koje mi je pruio u toku rada.


12/131

9

DEO I

Matematiko modeliranje


13/131

10


14/131

42

Poglavlje 1

Matematiko modeliranje fizikih sistema

1.1 Uvod

U analizi posmatranog fizikog sistema, najvanija faza rada je izbor odgovarajueg modela.Model treba, s jedne strane, da ukljui sve najvanije karakteristike sistema, a s druge stranemora biti to jednostavniji. Ne mora da znai da se poveanjem komplikovanosti modela iproraunske metode poveava i tanost rezultata.esto se mogu dobiti odgovarajui rezultati i veoma prostim postupcima. Treba imati u viduda su takvi postupci zasnovani na nizu pretpostavki i da se mogu primeniti samo kada su tepretpostavke ispunjene.

Izbor odgovarajueg modela ne zavisi samo od izbora konstrukcije nego i od optereenja i odznaaja objekta. Treba imati u vidu da tanost rezultata uvek zavisti od tanosti najmanjetane faze u postupku rauna. Ako je na primer tanost optereenja mala, kao to je sluaj naprimer kod seizmikog optereenja, onda veoma komlikovan model i velika tanost raunane doprinose mnogo tanosti rezultata.

Pri modeliranju potrebno je da se prvo identifikuju svi parametri koji bitno odreujuponaanje sistema i da im se dodele odgovarajue fizike sobine. U zavisnosti odsagledavanja i razumevanja posmatranog procesa, mogue je isti fiziki sistem prikazatipomou vie matematikih modela. Najpoeljniji matematiki model razmatranog problema

je onaj koji je matematiki i konceptualno najjednostavniji, i pri tom istovremeno opisuje iobuhvata sve bitne karakteristike fizikog sistema.

1.2 Klasifikacija matematikih modela

Matematiki modeli posmatranog fizikog sistema mogu da se formuliu na razliite naine.Zbog toga je moguca i razliita klasifikacija modela na bazi vie razliitih i medjusobnonezavisnih kriterijuma. U tabeli 1.1 data je klasifikacija modela na osnovu nekolikokriterijuma.

Matematiki model je nelinearan ako se neki od parametara sistema: masa, krutost ilipriguenje menja kroz vreme. U suprotnom je linearan.

Za dinamiku i statiku analizu se esto upotrebljavaju razliiti modeli. Model za dinamikuanalizu je esto jednostavniji nego za statiku analizu. Za to ima vei broj opravdanja:


15/131

43

- nesigurnost podataka dinamikog optereenja (seizmiki uticaji, vetar,eksplozije),

- na ponaanje konstrukcije praktino utie samo nekoliko najniih osnovnihtonova vibracija i na te tonove ima bitan uticaj samo manji broj stepeni slobodepomeranja vorova,

- inercijalne karakteristike konstrukcije mogu se opisati mnogo jednostavnijimmodelom od onoga kojim opisujemo krutost. Reenje problema svojstvenihvrednosti moe se se dobiti dovoljno tano uz svoenje sistema na znatno manjibroj stepeni slobode od broja koji je potreban za dobijanje statikog reenja istetanosti,

- dinamika analiza trai dosta vei obim rada nego statika analiza.

Pod pojmom deterministiki spoljanji dinamiki uticaji podrazumevamo da su funkcijeoptereenja kroz vreme poznate. Meutim u praksi esto nailazimo da funkcije sile nisupoznate, a u najboljm sluaju da su samo pretpostavljene. Pretpostavke su zasnovane naiskustvu ili na osnovu eksperimenata. Predviena pobuda vie nije deterministika. Nepostoji nain koji bi nam garantovao da e ova pretpostavljena pobuda stvarno nastati. U

najboljem sluaju se moemo nadati da stvarna pobuda nee mnogo odstupiti od predviene.To su na primer: zemljotres, eksplozije, udari vetra itd. Zbog toga se ove pobude nazivajusluajne pobude.Uobiajeno je da se i tako uobiajene sluajne pojave kao to su na primer zemljotresianaliziraju na bazi deterministikog pristupa, tj pretpostavlja se da je funkcija optereenjakroz vreme poznata .

Kontinualni modeli su praktini u sluajevima gde je mogue pomou njih dobiti analitikoreenje. Ta reenja su obino data u tabelama i dijagramima. Diskretnim modelima se mogumodelirati proizvoljne konstrukcije i za reavanje sistema jednaina je potrebna numerikaanaliza.

Klasifikacija modela na osnovu spomenutih faktora je meusobno nezavisna. Mogue jeformirati modele sa proizvoljnom kombinacijom atributa na primer linearni dinamikidiskretni deterministiki model u prostoru.

Tabela 1.1 Klasifikacija modela na osnovu nekih kriterijuma

Faktorikoji utiu na tip modela Modeli

Priroda jednaina Linearni NelinearniTip optereenja Statiki DinamikiDinamicki uticaji Deterministicki ProbabilistickiRaspored parametarau prostoru(masa, krutost, priguenje)

Ravanski (2D) Prostorni (3D)

Raspored parametara duelementa(masa,krutost,pri-guenje)

Kontinualni Diskretni


16/131

44

1.3 Modeliranje konstrukcije

1.3.1 Trodimenzionalni model

Postoji niz razliitih metoda kojima se vri diskretizacija posmatranog fizikog sistema.Najvie se primenjuje diferencna metoda, metoda graninih elemenata, metoda konanihelemenata (MKE), metoda konanih traka. MKE je danas dominantni metod u savremenojnumerikoj analizi konstrukcija.

Za analizu inenjerskih konstrukcija po MKE razvijeni su posebni elementi za linijskesisteme (okvirni nosai, tankozidni nosai), povrinske sisteme (ploe i ljuske) itrodimenzionalna tela. U svakoj kategoriji egzistira veliki broj konanih elemenata koji semedjusobno razlikuju oblikom, brojem nepoznatih generalisanih pomeranja, kao i nainomaproksimacije polja osnovnih nepoznatih u elementu.

U naem sluaju, poto imamo okvirnu prostornu konstrukciju, diskretizacija je izvrena

MKE i to linijskim elementima-tapovima u prostoru. vorovi sistema imaju po estgeneralisanih pomeranja i to tri obrtanja i tri pomeranja. Na taj nain formiran je raunskimodel konstrukcije. Ovako formiran raunski model koristi se za statiku analizu i naziva sestatiki model konstrukcije. Ako se u modelu konstrukcije pojavi zidno platno, ono moe dase zameni konzolnim nosaem sa odgovarajuim karakteristikama (slika 1.1)

Slika 1.1 Primer zidnog platna u okvirnoj konstrukciji

Posle formiranja statikog modela, za dinamiki proraun se formira dinamiki modelkonstrukcije. Kod dinamikog modela bitno je prvo izvriti raspored masa konstrukcije. Masese rasporeuju u vorovima sistema. Mase mogu da budu rasporeene u svim vorovimasistema ili samo u nekim. Posle raspodele masa po vorovima, treba voditi rauna koja subitna generalisana pomeranja masa koja e na najpogodniji nain opisati dinamika svojstva


17/131

45

konstrukcije. Na primer kod simetrinog trodimenzionalnog rama koji je optereenhorizontalnim optereenjem, za usvojene mase u vorovima, kao parametri pomeranja masamogu da se izaberu samo horizontalna pomeranja u pravcu ose X i Y (slika 1.2). Na ovajnain dobija se da dinamiki model konstrukcije koji ima manji broj nepoznatih pomeranja uodnosu na statiki model.

Slika 1.2 Mogui dinamiki model prostorne konstrukcije

1.3.2 Pseudo trodimenzionalni model

Za analizu zgrada kod horizontalnog optereenja (seizmika, vetar, eksplozija) u poslednjevreme se u svetu najee upotrebljava takozvani pseudo-trodimenzionalni model koji, iakorelativno jednostavan u najveem broju sluajeva zadovoljavajue simulira stvarnodinamiko ponaanje zgrada. Model je diskretan. Upotrebljiv je za zgrade sa simetrinom inesimetrinom osnovom.

Model je sastavljen iz niza elemenata koji se zovu makroelementi. Makroelementi mogu dabudu ravanski (ravni okviri, zidovi, zidovi sa otvorima) i prostorni (jezgro) i mogu bitiproizvoljno smeteni i orjentisani u tlocrtu. Prostorni makroelementi mogu dalje da se razbijuna ravanske makroelemente. U visini spratova makroelementi su vezani sa medjuspratnimploama - tavanicama. Za tavanice se obino pretpostavlja da su beskonano krute u svojojravni i da nemaju krutost upravno na tu ravan. Pretpostavlja se da ravanski makroelementiprimaju optereenje samo u ravni u kojoj lee (slika 1.3)


18/131

46

Slika 1.3 Elementi pseudo-trodimenzionalog modela

Razne varijante pseudo-trodimenzionalnog modela upotrebljene su u veini komercijalnihprograma koji se danas upotrebljavaju u svetu (TABS, COMBAT). Pseudo-trodimenzionalnimodel je mogue kao posebnu opciju upotrebiti i u optem programu za MKESAP90.

Gornji model se zove pseudo-trodimenzionalni jer kod konstrukcija u prostoru nisu ispunjeniuslovi kompatibilnosti na mestima spajanja pojedinih makroelemenata. Na primer, akoprostorni okvir raunamo kao konstrukciju koja je sastavljena od ravanskih okvira upojedinim pravcima, onda nije ispunjen uslov kompatibilnosti pomeranja u zajednikim

stubovima koji pripadaju dvema ravanskim okvirima A, C, E, G (slika 1.4).

Slika 1.4 Tlocrt sprata modela sa slike 1.3

Kod formiranja dinamikog modela pseudo trodimenzionalnog modela, mase konstrukcijerasporedjuju se u centrima masa tavanica. Kao dinamiki model dobija se konzola kod kojese za generalisana pomeranja usvajaju horizontalna pomeranja i obrtanje, oko vertikalne osekoja prolazi kroz centar masa, svake tavanice (slika 1.5).


19/131

47

Slika 1.5 Dinamiki model pseudo trodimenzionalnog modela

1.4 Modeliranje veza elemenata

1.4.1 Modeliranje polukrutih veza

Prilikom idealizacije veza u vorovima polazi se od pretpostavke da su veze idealne: krute ilizglobne. Veliki broj ispitivanja realnih veza pokazao je da veina krutih veza nije apsolutnokruta, kao i da veina zglobnih veza nije idealna. Krute veze pri optereenju dozvoljavajuizvesnu relativnu rotaciju na mestu veze, dok zglobne veze pri optereenju pokazuju odreenstepen rotacione krutosti. Veze koje po svome ponaanju predstavljaju prelaz izmedjuzglobnih i krutih veza nazivaju se polukrute veze.

Veza greda-stub je medijum koji prenosi odgovarajue sile i momente sa elementa naelement. Veze greda-stub su izloene dejstvu momenata savijanja, torzije, transferzalnih inormalnih sila. Uticaji momenata torzije, transferzalnih i normalnih sila na relativno obrtanjeveze su obino zanemarljivi, tako da su od praktinog znaaja samo uticaji od momenatasavijanja.

U optem sluaju ponaanje polukrute veze prikazuje se krivom M-, gde je Mmomenat

savijanja na mestu veze, a je relativno obrtanje. Na slici 1.6 prikazan je oblik funkcije M-za neke karakteristine vrste veza. Idealno krute veze su u dijagramu M- prikazanevertikalnom pravom linijom koja prolazi kroz kordinatni poetak, a idealno zglobne vezehorizontalnom pravom kroz koordinatni poetak


20/131

48

TSDWA- Top and Seat Double Web Angle veza sa dva ugaonika na rebru i noiciTSA- Top and Seat Angle veza sa ugaonokom na gornjoj i donjoj noici

DWA- Double Web Angle veza sa dva ugaonika na rebruSWA- Single Web Angle veza sa ugaonikom na rebruWSP- Web Side Plate prikljuni lim na rebru

Slika 1.6 Opti oblik funkcijeM-

Za efikasan proraun i analizu elinih ramova, u kojima se razmatraju polukrute veze,potrebno je usvojiti model koji moe adekvatno da predstavi ponaanje polukrute veze.Potrebno je odrediti matematiku funkciju koja uspostavlja relaciju izmeu momenta M i

rotacije na kraju elementa koji je polukruto vezan

M=f() (1.1)

Ove funkcije se najee zasnivaju na eksperimentalno utvrenom ponaanju veze iustanovljenoj fizikoj nelinearnosti veza, a prema nainu kako su formirani modeli mogu sepodeliti u tri glavna tipa: analitiki modeli, matematiki modeli, i meoviti modeli.

Analitiki modeli su zasnovani na geometrijsko-fizikim karakteristikama svih komponenata jedne posebne veze. Za pretpostavljeni mehanizam deformacije veze i naponskodeformacijsko ponaanje materijala procenjuje se globalno ponaanje cele veze. Matematikimodel je zasnovan na iznalaenju matematike funkcije koja e najbolje predstaviti

eksperimentalno dobijene podatke. Matematiki model je dobar ako je jednostavan, sa tomanje parametara koji treba da imaju odredjeno fiziko znaenje. Meoviti modeli nastali sukombinacijom analitikog i matematikog modela.

Polukrute veze ponaaju se drugaije pri monotonom, a drugaije pri ciklinom optereenju.Za isti tip veze imamo jednu krivu M- za statiko optereenje, a drugu za dinamikooptereenje. U dinamikoj analizi uticaj polukrutih veza na odgovor sistema je jo izraenijinego u statikoj analizi. Kako su ramovski sistemi sa polukrutim vezama fleksibilniji od


21/131

49

sistema sa krutim vezama, uopteno se moe rei da se u seizmikoj analizi kod takvihsistema dobijaju vea horizontalna pomeranja.

Na slici 1.7 prikazani su neki matematiki modeli veze M- za monotono rastueoptereenje, a na slici 1.8 neki matematiki modeli veze M- za ciklino optereenje. Naslikama kpredstavlja koeficijent rotacione krutosti i jednak je k=M/.

Slika 1.7 Matematiki modeli veze M- za monotono rastue optereenje.

Slika 1.8 Matematiki modeli vezeM-za ciklino optereenje

Zbog velikog znaaja polukrutih veza na konane rezultate prorauna, poslednjih godinadefinisanje ponaanja veze je predmet mnogobrojnih naunih istraivanja. O fleksibilnostiveza vodi se rauna u mnogim aktuelnim standardima za projektovanje elinih konstrukcija,


22/131

50

kao to su na primer: American Load and Resistance Factored Design-LFRD, BritishstandardBS5950 (1990), Eurocode 3 (1992).

1.4.2 Modeliranje ekscentrinosti veza

Kao to su eline veze vie ili manje fleksibilne, tako su one takoe vie ili manjeekscentrine. Najee se ekscentricitet veze zanemaruje, meutim u nekim sluajevima tonema opravdanja. To je sluaj kada su veze ostvarene preko vornog lima, tako da odnosekscentriciteta i duine linijskog elementa nije mali. Obino se veze sa vornim limovimaostvaruju kod reetlastih nosaa, a kod ramovskog sistema nosaa pojavljuje se u spregovimai ukruenjima. Kod reetkastih nosaa odnos ekscentriciteta i duine tapa moe da iznosi ido 20%, dok je kod ramovskih sistema on znaajno manji i iznosi oko 5%.

Karakteristike preseka linijskog elementa na delu ekscentriciteta u vezi nemaju istekarakteristike kao i na ostalom delu elementa, ve su one znaajno vee, pa se taj deo moe u

proraunu tretirati kao potpuno krut ( slika 1.9 ).

Slika 1.9 Ekscentricitet linijskih elemenata a) kod ramova b) kod reetkastih nosaa


23/131

51

1.5 Polazne pretpostavke analize

Kako bi proraun sloenog problema bio racionalan i ininjerski prihvatljiv uvedene su nekepretpostavke koje znaajno skrauju i pojednostavljuju proraun. Rad se zasniva na sledeimpretpostavkama:

1. materijal je homogen, izotropan i elastian pretpostavka o materijalnojlinearnosti,

2. pomeranja su mala - pretpostavka o geometrijskoj linearnosti,3. deformacije su male - pretpostavka o geometrijskoj linearnosti,4. Bernoulli-jevoj pretpostavci da se popreni preseci tapa ne deformiu, kao i da u

toku deformacije ostaju ravni i upravni na deformisanu osu tapa.

Posledica pretpostavke 2 je da su jednaine u vezama izmeu deformacija i pomeranjalinearne, posledica pretpostavke 3 je da su uslovi ravnotee (veze izmeu spoljanjih iunutranjih sila) linearni i posledica pretpostavke 1 je da su veze izmeu statikih ideformacijskih veliina elementa (konstitutivne veze) linearne. Posledica pretpostavke 4 je da

transferzalne sile nemaju uticaja na klizanja, jer se uzima da je proseno klizanje jednakonuli.

Usvojene su dodatne pretpostavke:

- dijagramM-linearan,- spoljanji uticaji na konstrukciji dati su kao koncetrisane sile u vorovima

sistema,- kod trodimenzionalnog modela mase su direktno koncentrisane u vorovima

sistema,- kod pseudo trodimenzionalnog modela:

- mase su koncentrisane u nivoima pojedinih tavanica,

- tavanice su beskonano krute u svojim ravnima,- makroelementi poseduju krutost samo u svojim ravnima.


24/131

52

Poglavlje 2

Statiki model konstrukcije sa polukrutim i

ekscentrinim vezama

2.1 Uvod

Numeriko modeliranje efekata fleksibilnosti vornih veza grede moe se uvesti u diskretnuanalizu okvira na razliite naine. Po jednom pristupu, to se ostvaruje pomou posebnogveznog polukrutog elementa (slika 2.1). Takav elemenat za modeliranje polukrute veze sluida reprezentuje znaajne promene ugla izmeu linijskih elemenata. U voru na spoju dvaelementa uvode se dva fiktivna vora, ije se koordinate poklapaju, a izmeu njih se uvodifiktivni element. Fleksibilnost veze ogleda se u razlici obrtanja fiktivnih vorova u kojima suusvojene globalne vorne rotacije.

Slika 2.1 Vezni polukruti element

Greda sa polukrutim vezama moe se predstaviti i pomou hibridnog elementa (slika 2.2).Dodavanjem rotacione opruge na oba kraja grede formira se takav sloeni element.Eliminisanjem unutranjih stepeni slobode opruge i modifikovanjem matrice krutostielementa definie se konani element za analizu ramova sa polukrutim vezama.


25/131

53

Slika 2.2 Hibridni element za gredu sa polukrutim vezama


26/131

54

Jedan od naina matematikog modeliranja takve veze je preko korektivnih matrica, kojimase modifikuje konvencionalna matrica krutosti elementa sa krutim vezama. Elementikorektivne matrice krutosti su obino funkcije bezdimenzionalnih parametara koji odredjujukrutost veze.

Osim to je veza polukruta, ona u isto vreme moe da bude i ekscentrina. Ekscentrinost semodelira tapom beskonane krutosti i u proraun se uvodi preko korektivne matrice kojadefinie krutu ekscentrinu vezu. Tom matricom se modifikuje konvencionalna matricakrutosti elementa sa centrinim vezama.U ovom poglavlju razvijen je model za linearnu numeriku analizu koji ukljuuje u sebeefekte fleksibilnosti i ekscentrinosti veza. Uticaj polukrutih i ekscentrinih veza uzet je uobzir preko korektivne matrice koja u sebi ukljuuje efekte polukrutih i ekscentrinih veza .Matrica krutosti tapa sa polukrutim i ekscentrinim vezama izvedena je varijacionimpostupkom. Za osnovna generalisana pomeranja usvojena su pomeranja i obrtanja vorova,dok su pomeranja i obrtanja krajeva elementa eliminisana kondenzacijom sistema. Brojgeneralisanih pomeranja ostaje isti kao i kod sistema sa krutim i centrinim vezama.

Linijski element u prostoru - tap ima 12 generalisanih pomeranja krajeva, po est na svakom.Generalisanim pomeranjima na krajevima tapa odgovaraju generalisane sile. Konvencije onjihovim pozitivnim znacima date su na slici 2.3.

Slika 2.3. Generalisana pomeranja i generalisane sile tapa u prostoru

Vektor generalisanih pomeranja u vorovima 1 i 2 q1, q2i vektor generalisanih pomeranja

krajeva tapa q mogu da se prikau kao

1111111 zyxT wvu =q

[ ]2222222 zyxT wvu =q

[ ] [ ]n

TTTqqq 2121 == qqq (2.1)

a vektor generalisanih sila u vorovima 1 i 2 R1, R2i vektor generalisanih sila krajeva tapamogu da se prikau kao


27/131

55

1111111 zyxzyT MMMTTN=R

[ ]2222222 zyxzyT MMMTTN=R

[ ] [ ]n

TTT RRR 2121 == RRR (2.2)

gde je n ukupan broj stepeni slobode tapa.

Veza izmeu vektora generalisanih sila R i vektora generalisanih pomeranja q tapa je data uobliku

R=Kq (2.3)

gde je K matrica krutosti tapa.

Na osnovu principa superpozicije, opti sluaj prostornog naponskog stanja tapa u okvirulinearne analize, moe da se razdvoji na: aksijalno naprezanje, torziju i savijanje u dveortogonalne ravni i predstavljaju etiri nezavisna problema. Korektivna matrica, preko kojese uzima u obzir uticaj polukrutih ekscentrinih veza, ima uticaja samo na lanove matricekrutosti elementa koji se odnose na savijanje.

Posle odreivanja matrice krutosti tapa na savijanje, odreena je kombinovana matricakrutosti tapa usled savijanja, torzije i normalnih sila, a zatim je odreena matrica krutostisistema.

2.2 Odreivanje matrice krutosti na savijanje tapa u ravni

Da bismo odredili matricu krutosti tapa na savijanje u ravni, moramo prvo da naemomatricu korekcije tapa kojom emo da modifikujemo matricu krutosti na savijanje.Krenuemo od tapa koji je optereen na savijanje u jednoj ravni. Konani element tap sapolukrutim i ekscentrinim vezama i sa usvojenim generalisanim pomeranjima prikazan je naslici 2.4.

Slika 2.4 tap u ravni tipak sa polukrutim i ekscentrinim vezama.


28/131

56

Fleksibilnost tapa modelirana je pomou rotacionih opruga na krajevima, a ekscentrinostveze predstavljena je kratkim beskonano krutim elementima. Formulacija elementa izvedena

je tako da se moe razdvojiti uticaj usled polukrute veze i uticaj ekscentrine veze. Razmatrase linearna polukruta veza. Izvedeni su izrazi za korektivne matrice za tapove tipak ig.

.2.2.1Uticaj polukrutih veza za tap tipak

Vektor generalisanih pomeranja na krajevima tapa je

[ ]2211 vvT =q (2.4)

a vektor generalisanih pomeranja u vorovima sistema je

[ ]2211 vvT =q (2.5)

Veza izmeu vertikalnog pomeranja ose tapa i generalisanih pomeranja vorova nakrajevima tapa moe se prikazati preko interpolacionih funkcijaNi(x)

qN )(xv(x) = (2.6)

[ ])()()()()( 4321 xNxNxNxNx =N (2.7)

pri emu se za funkcijeNi(x) usvajaju Hermite-ovi polinomi prve vrste (prilog D).

Poto je obrtanje vorova sistema jednako zbiru obrtanja krajeva tapai

i dodatnog obrtanja

i kraja tapa nastalog kao posledica polukrute veze (slika 2.5)

iii += (2.8)

Slika 2.5 Deformacija tapa tipak

jednaina (2.6) se moe napisati


29/131

57

=

=

=

2

1

2

2

1

1

22

2

11

1

2

2

1

1

0

0

)()()()(

v

v

xv

v

xv

v

xxv NNN (2.9)

Ako uvedemo oznake

21211~ vvT =q [ ]21 00

T = (2.10)

jednainu (2.9) piemo u skraenom obliku

)~)(( qN = xv(x) (2.11)

Odavde se vidi da je

qq = ~ (2.12)

Izmeu momenata na krajevima tapa i dodatnog obrtanja moe se uspostaviti veza

i

i

k

M=i 2,1=i (2.13)

gde je ki rotaciona krutost opruge u voru i tapa. Vektor sada moe da se pie kao

=

2

2

1

1 00k

M

k

MT (2.14)

Momente na krajevima tapa treba sada izraziti u funkciji vektora q~ . Iz veze sila i pomeranjana krajevima tapa

qKR 0= (2.15)

q

=

22

22

3

2

2

1

1

4626

612612

2646

612612

llll

ll

llll

ll

l

EI

M

T

M

T

(2.16)

i primenom jednaina (2.12) i (2.14) dobijamo momente na krajevima tapa


30/131

58

)0

0

~(4l62l6

2l64l6

l

EI

2

2

1

1

22

1

=

k

M

k

M

M

Mq (2.17)

Ako jednainu (2.17) sredimo dobijamo

q~4626

264642

24

22

1

21

21

2

1

=

+

ll

ll

l

EI

M

M

kk

kk

l

EI

M

M (2.18)

Ako u jednainu (2.18) uvedemo bezdimenzionalnu rotacionu krutost opruge u voru i koju

definiemo kao

i

ilk

EIg = 2,1=i (2.19)

i ako je reimo po momentima kao nepoznatim dobijamo

q~)31(4)21(62)21(6

2)21(6)31(4)21(6

111

222

22

1

+++

+++

=

glglg

lgglg

l

EI

M

M

(2.20)

2121 12441 gggg +++=

Vektor rotacijemoe sada da se napie

qG ~0

0

2

2

1

1

=

=

k

M

k

M

(2.21)

gde je uvedena korektivna matrica G za element tipak sa polukrutim vezama na oba kraja

+++

+++

=

)g(g)g(gl

g)g(l

g

g)g(gl

)g(g)g(l

g

1212212

1212121

314216

2216

0000

2216

314216

0000

1G

(2.22)


31/131

59

S obzirom da je odreen vektor rotacije , on se moe eliminisati iz jednaine (2.6), a zatimdefinisati vertikalno pomeranje proizvoljne take ose tapa u funkciji parametara pomeranjakrajeva tapa

qGINqGq(NqNqN ~))(()~~)()~)(()()( ==== xxxxxv (2.23)

Kako je za sluaj polukrutih centrinih veza

11 vv = 22 vv = (2.24)

vektor q~ je identian vektoru q sledi da je vektor interpolacionih funkcija za tap sapolukrutim centrinim vezama

))(()( GINN = xx (2.25)

2.2.2 Uticaj polukrutih veza za tap tipag

tap tipag , u jednom od vorova , ima zglobnu vezu. Matrica korekcije za tap tipag moese dobiti na isti nain kao i za tap tipa k . U ovom sluaju sistem je samo jednaput statikineodreen i proraun je znatno jednostavniji.

tapg1

Pretpostavlja se da je veza u voru 1 tapa polukruta, a u voru 2 zglobna. Vektorgeneralisanih pomeranja na krajevima tapa je

[ ]0211 vvT =q (2.26)


[ ]0211 vvT =q (2.27)

Vektor interpolacionih funkcija N(x) je

[ ]0)()()()( 321 xNxNxNx =N (2.28)

Vektor jednak je

[ ]

== 000000

1

11

k

MT (2.29)

Vektor q~ jednak je


32/131

60

0vv~ 211 =Tq (2.30)

Ako sada krenemo od jednaine veze sila i pomeranja na krajevima tapa (2.15) imamo da je

q

=

0000

03330333

0333

0

2

32

1

1

llll

l

lEI

TM

T

(2.31)

i ako sledimo postupak kao za tap tipak (poglavlje 2.2.1), moment na kraju 1 tapa iznosi

[ ]q~033321

= ll

EIM (2.32)

13g1 +=

Vektor rotacije sada se moe pisati u obliku

qG ~

0

0

0

1

1

=

= k

M

(2.33)

gde je matrica G matrica korekcije za tap tipa g2 koji na kraju 1 ima polukrutu vezu, a nakraju 2 zglobnu vezu i jednaka je

=

0000

0000

03

33 0000

1 111 gl

gglG (2.34)

tapg2

Pretpostavlja se da je veza u voru 1 tapa zglobna, a u voru 2 polukruta. Vektorgeneralisanih pomeranja na krajevima tapa je

[ ]221 0 vvT =q (2.35)


[ ]221 0 vvT =q (2.36)

Vektor interpolacionih funkcija N(x)


33/131

61

[ ])()(0)()( 321 xNxNxNx =N (2.37)

Vektor jednak je

[ ]

==

2

22 000000 k

MT (2.38)

Vektor q~ jednak je

[ ]221 v0v~ =Tq (2.39)

Ako sada krenemo od jednaine veze sila i pomeranja na krajevima tapa (2.15) imamo da je

q

=

2

3

2

2

1

3303

3303

0000

3303

0

lll

l

l

l

EI

M

T

T

(2.40)

i ako sledimo postupak kao za tap tipak (poglavlje 2.2.1), moment na kraju 2 tapa iznosi

[ ]q~330322

ll

EIM = (2.41)

23g1 +=

Vektor rotacije sada se moe pisati u obliku

qG ~0

0

0

2

2

=

=

k

M

(2.42)

gde je matrica G matrica korekcije za tap tipag2 koji na kraju 1 ima zglobnu, a na kraju 2 polukrutu vezu i jednaka je

=

23

23

02

30000

0000

0000

1

ggl

gl

G (2.43)


34/131

62

2.2.3 Uticaj ekscentrinih veza

Ekscentricitet vornih veza tapa modeliran je kratkim idealno krutim elementima konaneduine e1 i e2 (slika 2.4). Za male rotacije, veza izmeu pomeranja krajeva tapa i pomeranjavorova veze moe se napisati u obliku

=

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

1000

100

0010001

v

v

e

e

v

v

(2.44)

ili matrino

E)q(Iq +=~ (2.45)

gde je

=

0000

000

0000

000

2

1

e

e

E (2.46)

korektivna matrica koja definie krutu ekscentrinu vezu. Analiza zasnovana na uzimanjupune duine ekscentriciteta u vorovima, moe dovesti do potcenjivanja deformacije obrtanjavora (Wilson L. E i dr, 1984). Zbog toga uvodimo faktor redukcije krute zonez. On treba danadoknadi neku od deformacija koje postoje u zoni ogranienoj konanom dimenzijom vora.Veza izmeu vertikalnog pomeranja krajeva tapa i vertikalnog pomeranja vorova veze za

sluaj ekscentrinih veza, vodei rauna i o faktoru redukcije krute zone, moe se napisati uobliku

qNE)qINqN )()((~)()( xzxxxv =+== (2.47)

gde je )(xN vektor interpolacionih funkcija za ekscentrinu vezu. Preporuena vrednostfaktora redukcije krute zone je z=0.5.

2.2.4 Uticaj polukrutih i ekscentrinih veza

Uticaj polukrutih i ekscentrinih veza moe se odrediti primenom predhodno izvedenihrelacija. Polazei od jednaina (2.23), (2.45) i (2.47) deformaciona linija tapa sa polukrutim iekscentrinim vezama moe se izraziti kao

qNE)qG)(IINqG(IN )()((~))((x) xzxxv =+== (2.48)


35/131

63

gde je )( xN vektor interpolacionih funkcija za tap sa polukrutim i ekscentrinim vezama.

Sada izraz za )x(N prikaimo u drugaijem obliku

)G)(IN(GEEGI)N(E)G)(I(INN 1+=+=+= xzzxzxx )()()( (2.49)

Jednainom (2.49) je uvedena nova korektivna matrica G1 za tap sa polukrutim iekscentrinim vezama

GE)EG(G1 zz += (2.50)

2.2.5 Matrica krutosti tapa na savijanje u ravni

Matricu krutosti tapa sa polukrutim ekscentrinim vezama izvodimo preko deformacionograda tapa koji iznosi

[ ]

++= 222

211

2

0

)(2

1 kkdxxvEIA

l

)( 21 eezLl +=

(2.51)

Prvi lan jednaine predstavlja potencijalnu energiju elastine deformacije tapa, a drugi itrei lan potencijalnu energiju rotacionih opruga u polukrutim vezama tapa. Kod tapa tipa

k postoje obe rotacione opruge, a kod tapa tipa g postoji jedna od dve opruge u zavisnostigde je polukruta veza. Jednainu (2.51) moemo da izrazimo i u matrinom obliku

[ ] [ ] SqNNq Tl

TT dxxxEIA2

1)()(

2

1

0

+

= (2.52)

gde je matrica S za tap tipak

=

2

1

000

0000

000

0000

k

kS (2.53)

a za tap tipagpostoji jedna od dve vrednosti u zavisnosti gde je polukruta veza.Imamo da je prema jednainama ( 2.21) i (2.47)

qGE)qG(IqG ~ =+== z (2.54)

gde je matrica G


36/131

64

) EG(IG z+= (2.55)

Jednaina (2.52) ima sada oblik

[ ] [ ] qGSGqqNNq T 21)()(21 0T

l

TT dxxxEIA +

= (2.56)

ili kad se preuredi

[ ] [ ] qGSGNNq T

+

= 2

1)()(

2

1

0

dxxxEIA

l

TT (2.57)

Predhodni izraz za deformacioni rad moe da se prikae u obliku

Kqq2

1 T=A (2.58)

gde je K matrica krutosti tapa na savijanje

[ ] [ ] GSGNNK T )()(0

+

= dxxxEIl

T (2.59)

U jednaini (2.59) uvedimo smenu (2.49) te imamo

[ ] [ ] GSG)G(ING(INK T1 ")" 10

+++=

dxEI

lT

(2.60)

odnosno

[ ] [ ] GSGGINNGIK 11 )("")(0

TdxEI

lTT ++

+= (2.61)

Ako uvedemo

[ ] [ ]dxEI

lT

""00 NNK = (2.62)

gde je K0 matrica krutosti tapa sa krutim centrinim vezama, onda matrica krutosti nasavijanje tapa sa polukrutim i ekscentinim vezama glasi

GSG)G(IK)G(IK T1T

1

0 +++= (2.63)


37/131

65

Pri odredjivanju matrice krutosti K vrednosti G1, 0K , S, G zavisie od tipa tapa, tj da li jetap tipak ilig.

2.3 Matrica krutosti prostornog tapaNa osnovu principa superpozicije, opti sluaj prostornog naponskog stanja tapa u okvirulinearne analize moe da se razdvoji na: aksijalno naprezanje, savijanje u ravni xoy (okoose z), savijanje u ravni xoz (oko ose y) i torziju oko ose x. Za prav prizmatian tapkonstantnog poprenog preseka (slika 2.3), elementi matrice krutosti za pojedine vrstenaprezanja su:

- za aksijalno naprezanje

12

11

10

9

8

7

6

5

4

32

1

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000001000001

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000000000000000

000001000001

=l

EFNK

(2.64)

- za savijanje u ravnixoy (oko osez)

12

11

10

98

7

6

5

4

3

2

1

00000000

000000000000

000000000000

00000000000000000000

000000000000

00000000

000000000000

000000000000

000000000000

00000000

000000000000

=szK (2.65)

lanovi obeleeni sa x popunjavaju se vrednostima prema jednaini (2.63).


38/131

66

- za savijanje u ravnixoz (oko osey)

12

11

10

9

8

7

6

5

43

2

1

000000000000

00000000

000000000000

00000000

000000000000

000000000000

000000000000

00000000

000000000000 00000000

000000000000

000000000000

=syK (2.66)

lanovi obeleeni sa x popunjavaju se vrednostima prema jednaini (2.63).

- za torziju

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

000000000000

000000000000

001000001000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

001000001000

000000000000

000000000000

000000000000

=l

GIK xt

(2.67)

U gornjim jednainama E je moduo elsatinosti tapa, G je moduo klizanja, Ix momenatinercije okox ose, Fpovrina poprenog preseka tapa.

Matrica krutosti prostornog tapa sada je

K =KN+Ksz+Ksy+Kt (2.68)


39/131

67

2.4 Matrica krutosti sistema

2.4.1 Trodimenzionalni model

Analiza elementa se sprovodi u pogodno izabranom lokalnom koordinatnom sistemu. Lokalni

koordinatni sistemi elemenata se obino ne poklapaju sa globalnim koordinatnim sistemom.Zbog toga je pri formiranju globalne matrice krutosti, odnosno sistema jednaina za sistemelemenata, neophodno izvriti transformaciju sa lokalnog na globalni sistem koordinata.

Pretpostavimo da promenjiva koja oznaava broj elementa se menja od i=1,2,...,M, apromenjiva koja oznaava broj vora odj=1,2,...,N. Veza izmeu generalisanih pomeranja ulokalnom i globalnom sistemu koordinata elementa i data je preko matrice transformacije T(za tap u prostoru matrica transformacije data u prilogu B)i moe da se prikae u obliku

iiiqTq = (2.70)

gde je iq vektor generalisanih pomeranja elementa u lokalnom, a qi vektor generalisanihpomeranja elementa u globalnom sistemu koordinata.

Poto nema spoljanjeg optereenja du elementa, vektor generalisanih sila u vorovimasistema elementa i u lokalnom koordinatnom sistemu iR , dat je kao

iii qKR = (2.71)

Smenom (2.70) u (2.71) i mnoenjem sa leve strane sa TiT dobijamo

iii qKR = (2.72)

gde je

ii

T

ii TKTK =

i

T

ii RTR = (2.73)

U jednaini (2.72) Ki je matrica krutosti i Ri vektor generalisanih sila u vorovima sistemakonanog elementa i u globalnom sistemu koordinata.Sa Q obeleimo vektor spoljanjeg vornog optereenja sistema

[ ]Mj

T

QQQQ

1= [ ]nk

T

jQQQQ 21=Q (2.74)

a sa *R vektor generalisanih sila u vorovima sistema

[ ]***1*

Mj

T RRRR =

[ ]***2*1

*nk

T

jRRRR =R (2.75)


40/131

68

gde je n broj generalisanih pomeranja vora sistema. Iz uslova ravnotee spoljanjih iunutranjih sila QR =* dobija se jednaina statike ravnotee za ceo sistem

Kq=Q (2.76)

gde je K matrica krutosti sistema.

2.4.2 Pseudo trodimenzionalni model

Pretpostavimo da imamo nesimetrinu skeletnu zgradu sa proizvoljnim rasporedomvertikalnih elemenata - makroelemenata kojih ukupno ima M. Pretpostavimo da imamo i Nhorizontalnih elemenata tavanica (slika 1.3)

Odredjivanje matrice krutosti pseudo trodimenzionalnog modela ima dve faze. U prvoj fazi

se odredjuju matrice krutosti makroelemenata, a u drugoj fazi matrica krutosti celekonstrukcije.

Pretpostavimo da se promenjiva koja oznaava broj makroelemenata menja od i=1,2,...,M, apromenjiva koja oznaava broj tavanica odj=1,2,...,N.

Makroelement

Uslov ravnotee makroelementa i dat je jednainom

iii

QuK = (2.77)

gdeiK matrica krutosti, iu vektor horizontalnih pomeranja makroelementa i u visini

tavanica u ravni makroelementa

[ ]iNiji

T

iuuu 1=u (2.78)

aiQ je vektor ije komponente predstavljaju spoljanje sile u visini tavanica

[ ]iNiji

T

iQQQ 1=Q (2.79)

koje izazivaju pomeranja elemenata definisana vektorom iu .

Matrica krutostiiK makroelementa i je kvadratna matrica redaNxNi data je u obliku


41/131

69

=

NN,iNj,iNj,i,iN

jN,ijj,i,ij,ij

N,ij,i,i,i

N,ij,i,i,i

i

SSSS

SSSS

SSSS

SSSS

1

21

222221

111211

K (2.80)

Fiziko znaenje koeficijenata matriceiK moe se uoiti sa slike 2.6.

Slika 2.6 Fiziko znaenje koeficijenata matrice krutosti

Odavde se vidi da je

Sjj,i= ijQ , iju =1, 0=inu n=1,2,,j-1,j+1,,N (2.81)

Ovako definisana matrica krutosti okvira moe da se odredi na vie naina. Jedan od nainaje odredjivanje matrice krutosti iK preko matrice fleksibilnosti Di, kada se iskoristi uslov daje

iK =Di-1 (2.82)

Matrica fleksibilnosti Di makroelementa i je kvadratna matrica redaNxNi data je u obliku


42/131

70

=

NN,iNj,i,iN,iN

jN,ijj,i,ij,ij

N,ij,i,i,i

N,ij,i,i,i

i

dddd

dddd

dddd

dddd

21

21

222221

111211

D (2.83)

Da bi odredili matricu fleksibilnosti zadajemo jedinine sile u nivoima pojedinih tavanica israunavamo odgovarajua horizontalna pomeranja (slika 2.7). Jedinine sile u nivoimapojedinih tavanica zadajemo u jednom od vorova tavanice i u pravcu odgovarajueggeneralisanog pomeranja tog vora tavanice.

Slika 2.7 Fiziko znaenje koeficijenata matrice fleksibilnosti

Fiziko znaenje koeficijenata matrice Di moe se uoiti sa slike 2.7. Odavde se vidi da je

djj,i=uij , Qij=1 , Qin=0 n=1,2,,j-1,j+1,,N (2.84)

Pseudo trodimenzionalni model konstrukcije

Kada smo odredili matrice krutosti makroelemenata, odrediemo matricu krutosti pseudotrodimenzionalnog modela konstrukcije.

Uoimo makroelement i i tavanicu j. Na osnovu pretpostavke da su tavanice krute u svojojravni, pomeranje tavanice j opisano je sa tri parametra: dva pomeranja uj i vj i obrtanjem joko vertikalne ose Z globalnog koordinatnog sistema (slika 2.8). Vektor generalisanihpomeranja tavanice j je


43/131

71

jjj

T

j vu =q (2.85)

Slika 2.8 Parametri pomeranja tavanice

Poloaj i-tog makroelementa definisan je pozicijom centroida makroelementa Ci(Xi,Yi) iorijentisanim pravcem makroelementa datim uglom i= (X,xi) gde je xi osa lokalnogkoordinatnog sistema makroelementa i.

Horizontalno pomeranje makroelmenta i u njegovoj ravni u nivou tavanice j prekogeneralisanih pomeranja tavanicej dato je kao

jiiju qA=

(2.86)

gde je iA matrica transformacije koja daje vezu izmeu pomeranja iju makroelementa i u

nivou tavanice j i generalisanih pomeranja tavanice j i data je kao

[ ]iii

h sincos=A (2.87)

iiiii yxh cossin =

Ako sa q oznaimo vektor generalisanih pomeranja svih tavanica

[ ]Nj

T qqqq 1= (2.88)

sa Ai matricu transformacije koja daje vezu izmeu generalisanih pomeranja makroelementai i generalisanih pomeranja tavanica, koja je data kao


44/131

72

=

N

ii

A

A

A

A

1

(2.89)

onda je veza izmeu generalisanih pomeranja u lokalnom i globalnom sistemumakroelementa i data kao

qAu ii = (2.90)

Veza izmeu makroelementa i i tavanice j moe se, kako je to prikazano na slici 2.8,prikazati preko horizontalnog oslonca iji se pravac oslanjanja u ravni tavanice poklapa sapravcem vertikalnog elementa. Reakcije ovoga oslonca obeleiemo sa

ijR . Vektor

generalisanih sila makroelementa i u nivou svih tavanica je

iii uKR =* (2.91)

gde je

[ ]iNiji

T

iRRR 1=R (2.92)

Ako u jednaini (2.91) uvedemo smenu (2.90) imamo

qAKR iii =* (2.93)

Ako sada jednainu (2.93) pomnoimo sa leve strane sa AiT imamo

qAKARA iiT

ii

T

i =* (2.94)

ili u skraenom obliku

qKR ii =* (2.95)

U gornjoj jednaini je Ki matrica krutosti

AKAK iTii = (2.96)

a *iR vektor generalisanih sila u vorovima

**i

T

ii RAR = (2.97)

makroelementa i u globalnom koordinatnom sistemu. Za ceo sistem imamo da je


45/131

73

R*=Kq (2.98)

gde je K matrica krutosti i R* vektor generalisanih sila u vorovima pseudotrodimenzionalnog modela sistema. U gornjoj jednaini je

=M

i

1

KK

=M

i

1

RR

[ ]***1*

Nj

T RRRR =

[ ]321* RRRTj

=R

(2.99)

Iz uslova ravnotee reaktivnih i aktivnih sila u svim vorovima sistema R*=Q, dobija sejednaina statike ravnotee za pseudo tordimenzionalni model

Kq=Q (2.100)

Vektor aktivnih sila redukovan je u nivoima pojedinih tavanica na Zosu i iznosi

[ ]Nj

T QQQQ 1= ZjYjXjj MFF=Q (2.101)


46/131

74

Poglavlje 3

Dinamiki model konstrukcije sa polukrutim i

ekscentrinim vezama

3.1 Uvod

U odnosu na proraun u statikoj analizi konstrukcija, dinamiki proraun je ne samoobimniji, ve i znatno komplikovaniji. Razlog za to je vei broj potrebnih parametara iininjerski mnogo neizvesnija procena ulaznih veliina.

Za reenje problema usvojen je proraun zasnovan na metodi konanih elemenata (MKE). Uskladu sa usvojenim postupkom, potrebno je definisati osnovne dinamike karakteristikesistema, odnosno treba odrediti matricu masa, matricu krutosti i matricu priguenjarazmatranog sistema. Odreivanje matrice krutosti za gredni elemenat sa ekscentrinim ilinearno polukrutim vezama definisano je u okviru predhodnog poglavlja u kojem jerazmatran sistem pri dejstvu statikog optereenja po teoriji prvog reda. U ovom poglavljuizvedena je matrica masa i matrica priguenja sistema.

Izvedeni su izrazi za spektralnu modalnu analizu na osnovu kojih mogu da se odrede direktnomaksimalne vrednosti seizmikih uticaja za zadati pravac dejstva zemljotresa kao i ekstremnevrednosti seizmikih uticaja.

3.2 Matrica masa sistema

Kod dinamikog modela bitno je izvriti raspored masa i odrediti matricu masa sistema.Matrica masa sistema moe se dobiti na dva naina.

Prvi nain je da se prvo odredi matrica masa pojedinih elemenata u lokalnom koordinatnomsistemu. U tom smislu postoje dva prilaza: zamena raspodeljenih masa direktnokoncentrisanim masama i zamena raspodeljenih masa ekvivalentnim masama. U prvom idrugom sluaju , broj jednaina kretanja linijskog elementa moe, a ne mora da bude isti.

Kada su poznate matrice masa pojedinih elemenata, moe se zatim dobiti matrica masasistema.

Drugi nain je direktno odredjivanje matrice masa sistema. Mase se direktno koncentriu uodabranim vorovima i u pravcima odabranih generalisanih pomeranja vorova u globalnomkoordinatnom sistemu. Ova matrica masa je dijagonalna

)(M jmdiag= (3.1)


47/131

75

gde je mj masa u pravcu generalisanog pomeranja j u globalnom koordinatnom sistemu.Neki elementi dijagonale mogu da budu jednaki nuli.

Ovako dobijenu matricu masa sistema koristimo dalje u proraunu.

3.3 Oscilacije nepriguenog sistema

3.3.1 Jednaina kretanja trodimenzionalnog modela

Poto smo pretpostavili da su mase direktno koncentrisane u vorovima i u pravcimageneralisanih pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu, vektor ekvivalentnoginercijalnog optereenja elementa jednak je 0 vektoru, te je vektor generalisanih sila elementai u vorovima sistema jednak

iii qKR = i=1,2,...,M (3.2)

Ako na jednainu (3.2) primenimo postupak iz poglavlja 2.4.1 imamo da je vektorgeneralisanih sila u vorovima sistema u globalnom koordinatnom sistemu

KqR =* (3.3)

Ako se primeni D Alambert-ov princip, jednaina ravnotee vorova za ceo sistem elemenata

glasi

Q+J=R* (3.4)

gde je Q vektor spoljanjih dinamikih sila u vorovima, a J vektor inercijalnih sila usledkretanja masa koje su direktno koncentrisane u vorovima i u pravcima generalisanihpomeranja u globalnom koordinatnom sistemu i za koje se moe napisati veza

qMJ = (3.5)

Sada moemo da napiemo jednainu dinamike ravnotee za ceo sistem

QKqqM =+ (3.6)

3.3.2 Jednaina kretanja pseudo trodimenzionalnog modela


48/131

76

Kod statike analize, kao to smo videli, na osnovu pretpostavke da su tavanice krute usvojoj ravni, pomeranje tavanicej opisano je sa tri generalisane koordinate: dva pomeranja uji vj i obrtanjem j oko referentne take na vertikalnoj osiZ.


49/131

77

Za dinamiku analizu, centri masa pojednih tavanica biraju se za referentne take. Sada sugeneralisane koordinate pomeranja centara mase tavanice j usj, vsj i obrtanje sj. Centarmase tavanicej ima poloaj u taki CSj(XSj , YSj ) (slika 3.1).

Slika 3.1 Parametri pomeranja tavanicej u koordinatnom sistemu 1 i 2

Generalisana pomeranja tavanica izraena preko generalisanih pomeranja oko referentnihtaaka naZosi - koordinatni sistem 1, moemo jednostavnom transformacijom izraziti prekogeneralisanih pomeranja kod kojih su referentne take centri masa tavanica - koordinatnisistem 2.Pretpostavimo da se promenjiva koja oznaava broj makroelemenata menja od i=1,2,...,M, apromenjiva koja oznaava broj tavanica od j=1,2,...,N.Neka je q j vektor generalisanih pomeranja tavanicej , a q vektor generalisanih pomeranjasistema u koordinatnom sistemu 1

T

N

T

j

TT qqqq 1= (3.7)

Neka je j vektor generalisanih pomeranja tavanice j, a vektor generalisanih pomeranjasistema u koordinatnom sistemu 2

=

sj

sj

sj

j v

u

T

N

T

j

TT 1= (3.8)

Jednaina koja daje vezu izmeu pomeranja tavanicej u koordinatnom sistemu 1 i 2 glasi

=

j

j

j

v

u

jq


50/131

78

jjj Tq = (3.9)

gde je matrica Tj matrica transformacije generalisanih pomeranja tavanice j izkoordinatnog sistema 2 u koordinatni sistem 1. Struktura ove matrice je

=

1

1

1

sj

sj

jX

Y

T (3.10)

Jednaina koja daje vezu izmeu generalisanih pomeranja sistema u koordinatnom sistemu 1i koordinatnom sistemu 2 glasi

Tq = (3.11)

gde je matrica T matrica transformacije ovih pomeranja iz koordinatnog sistema 2 u

koordinatnii sistem 1. Ona je dijagonalna matrica

T=diag(Tj) (3.12)

Poto smo pretpostavili da su u dinamikom proraunu mase sistema koncentrisane ucentrima masa tavanica, vektor ekvivalentnog inercijalnog vornog optereenja jednak je 0vektoru, te vektor generalisanih sila u vorovima pseudo trodimenzionalnog modela sistemaima oblik dat jednainom (2.98). Ova jednaina data je u koordinatnom sistemu 1.Izvriemo transformaciju jednaine (2.98) iz koordinatnog sistema 1 u koordinatni sistem 2.U jednaini (2.98) izvrimo smenu sa jednainom (3.11) i pomnoimo je sa leve strane sa TTi dobiemo

KTTRT TT =* (3.13)

Ako sada uvedemo oznake

KTTK TS = ** RTR TS =

(3.14)

jednaina (3.13) prelazi u

KR SS =* (3.15)

*SR je vektor generalisanih sila u vorovima sistema u koorinatnom sistemu 2 i iznosi

[ ]TSN

T

Sj

T

S

T

S

***1

* RRRR =

[ ]321*

SSS

T

SjRRR=R

(3.16)

a matrica KSje globalna matrica krutosti sistema u koordinatnom sistemu 2.


51/131

79

Na isti nain na koji smo doli do jednaine kretanja trodimenzionalnog modela (poglavlje3.3.1) dolazimo do jednaine kretanja pseudo trodimenzionalnog modela. Ona glasi

)(tSS QKM =+ (3.17)

Ovde treba naglasiti. da je vektor spoljanjeg optereenja QS(t) dat u odnosu na centre masatavanica

[ ]TSN

T

Sj

T

S

T

SQQQQ 1=

[ ]ZsjYsjXsj

T

SjMFF=Q

(3.18)

3.3.3 Preureenje jednaina kretanja sistema

Matrina jednaina (3.6) ili (3.17) moe da se preuredi, tako da se prvo ispiu usloviravnotee aktivnih i inercijalnih sila u pravcu nepoznatih qn, pa zatim poznatih pomeranja qp.Uzmimo jednainu (3.6). Preureenjem dobija se jednaina oblika

=

+

p

n

p

n

pppn

npnn

p

n

pppn

npnn

Q

Q

q

q

KK

KK

q

q

MM

MM

(3.19)

Odavde dobijamo jednainu za proraun nepoznatih pomeranja

pnppnpnnnnnnn qKqMQqKqM =+ (3.20)

Ako pretpostavimo da se oslonci ne pomeraju tada se nepoznata pomeranja odreuju izjednaine:

nnnnnnn QqKqM =+ (3.21)

3.3.4 Kondenzacija sistema jednaina

U postupku formiranja matrice masa sistema moe se desiti:

- da su neki elementi na glavnoj dijagonali jednaki nuli,- da je kolinik dijagonalnih lanova matrice krutosti i matrice masa vei od neke

unapred zadate vrednosti , to znai da su inercijalne sile usled te mase male i moguse zanemariti.

>ii

ii

M

K (3.20)


52/131

80

Neka se u vektoru q generalisanih pomeranja vorova sistema gde je sa q1 oznaen vektorpomeranja sa komponentama u pravcima pomeranja za koje postoje inercijalne sile ( bitnistepeni slobode pomeranja), a vektor q2 vektor pomeranja u pravcima pomeranja za koje suinercijalne sile male ili jednake nuli (nebitni stepeni slobode pomeranja).Tada moemo da piemo

=

2

1

qqq (3.23)

Matrice Knn i Mnn takodje treba da se preurede i mogu da se piu u obliku

=

00

011MMnn

=

2221

1211

KK

KKK nn (3.24)

Sada jednainu nepriguenih oscilacija piemo

=

+

0000 1

2

1

2221

1211

2

111 Qqq

KKKK

qqM (3.25)

Iz druge jednaine (3.25) dobija se da je

1211

222 qKKq= (3.26)

Zamenom (3.26) u prvoj jednaini (3.25) i posle sreivanja dobija se

CCQqKqM =+ 1111 (3.27)

gde je KCkondenzovana matrica krutosti

211

221211 KKKKK=

C (3.28)

a CQ kondenzovani vektor spoljanjeg optereenja

1QQ =C (3.29)

Veza izmedju q1 i q2 je statika veza. U literaturi se mogu nai i drugi postupcikondenzacije, koji priblino uzimaju u obzir i inercijalne sile vezane za nebitne stepeneslobode.

3.3.5 Generalisani problem svojstvenih vrednosti

Matrica masa M i matrica krutosti K su odgovarajue matrice sistema uz nepoznatapomeranja. Ove matrice su i kondenzovane, ako je to potrebno.

Ako uoimo diferencijalnu jednainu kretanja slobodnih nepriguenih oscilacija sistema


53/131

81

0KqqM =+ (3.30)

interesuje nas reenje gde se sve generalisane koordinate menjaju sinhrono i sinfazno. To jetakvo reenje u kome sve generalisane koordinate imaju istu vremensku zavisnot i optakonfiguracija kretanja se ne menja sa vremenom izuzev po amplitudi.

Trai se reenje jednaine kretanja u obliku

)cos()( = tt qq (3.31)

gde je q konstantan vektor reda n.

Zamenom (3.31) u (3.30) dobijamo

0qMK = )( 2 (3.32)

Ova jednaina predstavlja u matematikom smislu, problem svojstvenih vrednosti paramatrica K i M. Ovaj sistem jednaina ima reenje osim trivijalnog samo ako je determinantaovoga sistema jednaka 0

0]det[ 2 = MK (3.33)

Jednainu (3.32) sada emo pogodnim transformacijama svesti na linearni standardniproblem. Matricu masa M izrazimo kao

M=LLT (3.34)

gde je L donja trougaona matrica, a LT transponovana matrica matrice L. Izraz (3.34)zamenimo u (3.32) i imaemo

0qLLK 2 = )( T (3.35)

Jednainu (3.35) pomnoimo sa leve strane sa L-1 , a sa desne sa L-T i posle sreivanjadobiemo

0I)Y(A 2 = (3.36)

gde je

T= KLLA 1 (3.37)qLY T= (3.38)

Jednaina (3.36) u razvijenom obliku predstavlja karakteristini polinom n-tog reda po 2.Svi koreni ovoga polinoma predstavljaju svojstvene vrednosti. Kvadratni koreni ovihvrednosti su svojstvene krune frekvencije sistema. Ako su matrice K i M simetrine ipozitivno definitne svi koreni po 2 su meusobno razliiti, realni i pozitivni.


54/131

82

Svakoj svojstvenoj frekvenciji i odgovara svojstveni (karakteristini, modalni) vektor i .

Modalni vektori mogu da se grupiu u kvadratnu matricu reda n, tako to predstavljaju kolonematrice

[ ]n 21= (3.39)

Modalni vektori su ortogonalni na matricu masa. Ako su jo i ortonormirani tada vai

IM =T , K =T (3.40)

gde je

=

2

22

21

n

(3.41)

3.4 Oscilacije priguenog sistema

3.4.1 Oblici priguenja

Kod oscilacija konstrukcije, kojima se ne dovodi energija, amplitude oscilacija se vremenommenjaju. Nekonzervativne sile koje se protive kretanju i umanjuju mehaniku energiju,nazivaju se silama priguenja, a pojava umanjenja energije sistema naziva se disipacijaenergije ili priguenje.

Dok su masa i krutost svojstvene karakteristike sistema, priguenje ne moe tako da sekvalifikuje. Sile priguenja mogu da zavise od sistema koji vibrira, kao i od elemenata vannjega. Formulisanje izraza za sile priguenja predstavlja komplikovan problem i jo zahtevaintenzivno istraivanje.

U nekim proraunima priguenje se zanemaruje pretpostavljajui da su vrednosti otporapriguenja male ili da nisu znaajne za neki mali vremenski interval za koji se posmatraponaanje sistema. Kod prinudnih oscilacija, kada frekvencija prinudnog optereenja nijebliska rezonantnoj frekvenciji, uticaj priguenja se takodje moe da zanemari. Sa inenjerskestrane gledita uvoenje priguenja u proraun nema opravdanja, jer krune frekvencije idrugi rezultati dinamikog prorauna se procentualno relativno malo razlikuju za priguen i

nepriguen sistem. Meutim, odgovor sistema razmatran preko amplituda uticaja se sutinskimenja. Ako se zahteva tanija dinamika analiza potrebno je u jednaine kretanja uvesti i silepriguenja.

Najjednostavnije je pretpostaviti viskozan otpor, odnosno otpor proporcionalan brzinikretanja. Taj tip priguenja obino preovladava kod oscilacija u elastinom podruiju i

jednostavno ga je matematiki modelirati. Model viskoznog priguenja esto se koristi zamodeliranje drugih vrsta priguenja. Kako su za nove nepoznate prorauna usvojena


55/131

83

generalisana pomeranja vorova linijskog sistema, sile priguenja su proporcionalne vektorubrzine vorova q , te je jednaina dinamike ravnotee za priguen sistem

QKqqCqM =++ (3.42)

gde je C matrica viskoznog priguenja sistema.

Kod linearne analize najee se koristi matrica priguenja proporcionalna matrici masa imatrici krutosti sistema ili nekoj njihovoj linearnoj kombinaciji. Ovo omoguava da se

jednaine kretanja za neki linearni prigueni sistem, primenom normalnih koordinata, moguda razdvoje.

3.4.2 Matrica priguenja sistema

Matrica unutranjeg viskoznog priguenja C se uvodi da modelira utroak energije

izazvan nekonstruktivnim elementima zgrade i tlom ispod nje. Matrica priguenja Csistema odreuje se direktno za celi sistem na osnovu ukupne disipativne energijesistema u toku delovanja optereenja.

Matricu priguenja prikazujemo kao linearnu kombinaciju matrice masa i matrice krutosti

C=M+K (3.43)

gde su i parametri priguenja. Dobijanje matrice priguenja C zasniva se na pretpostavcida je totalno priguenje sistema jednako zbiru priguenja koje odgovara pojedinimsvojstvenim formama vibracija sistema.

Procenu parametara priguenja u domenu linearne dinamike analize, mogue je odreditiprimenom principa modalne analize. Po metodi modalne superpozicije, vai jednainaproporcionalnosti

iTCi= 2iiij (3.44)

gde je i koeficijenat priguenja i-tog moda, a ij Kronecker-ov simbol. Ako su vektori iortonormirani tada je

2i i

T

ii

T

i+=+= K)M(C (3.45)

te iz jednaine (3.44) i (3.45) imamo

+= i

i

i

2

1 (3.46)

Koeficijenti relativnog priguenja i za pojedine modove vibracija odreuju seeksperimentalnim putem.


56/131

84

Ako su i i j dve proizvoljne krune frekencije za dva bilo koja meusobno nezavisna tonavibracija, a i i j odgovarajui koeficijenti priguenja odreeni eksperimentalno, tada iz dve

jednaine sa dve nepoznate po parametrima i prema (3.46) imamo

22

)(2

ij

jiijji

= (3.47)

22

)(2

ij

iijj

= (3.48)

U praktinim proraunima obino se usvaja da su dva priguenja jednaka 1=n=te imamo

1

12

+=

n

n (3.49)

1

2

+=

n

(3.50)

Tada je priguenjej-tog tona oscilovanja

n

n

j

j

j

+

+

=1

1

(3.51)

3.5 Optereenje konstrukcije

Dinamiko optereenje konstrukcije moe da bude dato kao: optereenje nekomproizvoljnom dinamikom silom, seizmikim optereenjem datim preko dinamikogpomeranja oslonaca ili seizmikim optereenjem datim preko krive spektra pseudoubrzanja(poglavlje 3.7.4).

Pretpostavljamo da je sistem pobuen proizvoljnim dinamikim silama datim u oblikudeterministikih funkcija sila, tj poznatim funkcijama. One mogu biti periodine ilineperiodine. Mogu biti izraene analitiki ili su iscrtane na osnovu podataka.

U optem sluaju u diferencijalnoj jednaini kretanja u generalisanim kordinatama, svakooptereenje moe da bude pobueno drugom vremenskom funkcijom. Ako je spoljanje

optereenje konstrukcije pobueno istom vremenskom funkcijom, to moe da se prikae kao

)()()( tgst fQ = (3.52)

U jednaini (3.52) f(s) predstavlja vektor koji prikazuje prostorni raspored sila i koji jenezavistan od vremena, dok je g(t) funkcija vremenske promene optereenja..

Drugi est sluaj optereenja je seizmiko optereenje. Ono moe da bude dato preko vektorageneralisanog dinamikog pomeranja oslonaca a(t). Ovaj vektor sastoji se od vektora


57/131

85

dinamikog pomeranja oslonaca ad(t) i vektora dinamikog obrtanja oslonaca a(t). Uproraunu se pretpostavlja da je vektor dinamikog obrtanja oslonaca jednak nula vektoru.Vektor dinamikog pomeranja oslonaca ad(t) ima proizvoljan pravac u prostoru. Vrh vektoraad(t) jedne take na povrini zemlje za vreme zemljotresa opisuje proizvoljnu krivu uprostoru. Vektor ad(t) moe da se razloiukoordinatnom sistemu123 na tri komponente tevektor generalisanog dinamikog pomeranja oslonaca iznosi

[ ] [ ]0aaaa )()()()( tttt TdTT

d

T ==

[ ]321)( aaatT

d=a

[ ] 0a == 000)(tT (3.53)

Pri seizmikom optereenju, ukupno pomeranje objekta sastoji se od pomeranja objekta kaokrutog tela qk(t) i relativnog pomeranja qr(t) (slika 3.2). Pomeranje objekta kao krutog telaqk(t) jednako je vektoru generalisanog dinamikog pomeranja oslonaca

Slika 3.2 Pomeranje objekta pri zemljotresu

Neka osa 1 koordinatnog sistema 123 u kojem je dat vektor dinamikog pomeranja oslonaca

zaklapa ugao sa globalno osom X objekta, a osa 3 je u pravcu oseZ (slika 3.3). Kakotrenutno razmatramo objekat kao kruto telo, svi vorovi objekta (j=1,2,...,N) usledseizmikog pomeranja oslonaca imaju ista pomeranja. Ako pretpostavimo da je brojgeneralisanih pomeranja vora est, pomeranje vora j objekta u pravcu osa globalnogkoordinatnog sistema iznosie

aB0

aq j

d

kj =

=

(3.54)


58/131

86

=

1

cossin

sincos

gde je vektor transformacije dinamikog pomeranja oslonaca iz koordinatnog sistema 123

u koordinatni sistemXYZ. Vektor pomeranja svih vorova sistema iznosi

qk=Ba (3.55)

gde je

[ ]TN

T

j

TT BBBB 1= (3.56)

Slika 3.3 Razlaganje vektora dinamikog pomeranja oslonaca

Pomeranje qk u konstrukciji izaziva inercijalne sile. Ako pretpostavimo da je vektorspoljanjeg vornog optereenja Q(t)=0, tada je jednaina dinamike ravnotee data kao

0KqqC)qMq(M rr =+++ kr

)(taMBKqqCqM rrr =++

)(tk

aBq =

(3.57)

Vektor (t)a uvodi se u proraun kao niz diskretnih vrednosti snimljenog akcelerograma.Akcelelogram moe imati jednu, dve ili tri komponente. Uzimaju se akcelelogrami nekolikozemljotresa koji bi mogli da se jave na lokaciji objekta. Za svaki akcelelogram proraunavajuse seizmike veliine pa se od njih za proveru konstrukcije ili dimenzionisanje uzimajunajnepovoljnije vrednosti. Na slici 3.4 je dat primer dva akcelelograma


59/131

87

a)

b)

Slika 3.4 Vremenski tok horizontalnog ubrzanja tla ( akcelerogram) za vreme zemljotresa u a)Meksiku 19.09.1985 registrovan u Mexico City-ju u pravcu N90W b) Crnoj Gori 15.04.1979

registrovan u Petrovcu u pravcu NS

Seizmiko optereenje dato preko krive spektra odgovora detaljno se obrauje u poglavlju3.7.4.

3.6 Proraun pomeranja i presenih sila

Pomeranja konstrukcije koja smo dobili dinamikim proraunom su generalisana pomeranjamasa dinamikog modela. Sada je potrebno da naemo generalisana pomeranja vorova ustatikom modelu. Da bismo to postigli potrebno je uraditi sledee:

- Trodimenzionalni model.

Ako sa KD oznaimo matricu krutosti sistema u dinamikom modelu koja ne mora,ali moe da bude kondenzovana ( KD=KC), Q vektor generalisanih sila dinamikogmodela kojim optereujemo statiki model konstrukcije, a sa qdinoznaimo vrednostiizraunatih generalisanih pomeranja dinamikog modela, imamo:

dinDqKQ = (3.58)

Poto je dinamiki model obino jednostavniji nego statiki model, ove sile trebarasporediti u pravcima odgovarajuih generalisanih pomeranja statikog modela, azatim sa tim optereenjem izraunati generalisana pomeranja vorova.


60/131

88

- Pseudo trodimenzionalni model

Kod pseudo trodimenzionalnog modela imamo dva koraka u proraunu:

- Prvi korak je da se nau sile kojima se optereuje statiki model konstrukcije u

koordinatnom sistemu 1. Ako sa KD oznaimo matricu krutosti sistema udinamikom modelu koja ne mora, ali moe da bude kondenzovana ( KD=KC), QOvektor generalisanih sila dinamikog modela u koordinatnom sistemu 2 kojimoptereujemo statiki model konstrukcije, a sa qdin oznaimo vrednost izraunatihgeneralisanih pomeranja dinamikog modela, imamo:

dinDOqKQ = (3.59)

Ako je matrica krutosti koju smo koristili pri proraunu bila kondenzovana,dobijene komponente vektora QO, moramo rasporediti tako, da odgovarajugeneralisanim pomeranjima statikog modela u koordinatnom sistemu 2 i tajvektor oznaimo sa Q1.Neka je T matrica transformacije data sa jednainom (3.12) . Tada je vektorgeneralisanih sila u vorovima Q kojima optereujemo statiki model dat

jednainom

1QTQT= (3.60)

Sa tim optereenjem sada raunamo nepoznata generalisana pomeranja qstat pseudotrodimenzionalnog modela.

- Drugi korak je proraun optereenja za svaki makroelement. Ako jeiK matrica

krutosti makroelementa data jednainom (2.82), Ai vektor transformacije datjednainom (2.90) tada je vektor optereenja Qimakroelementa i

statiiiqAKQ = (3.61)

Komponente vektora Qi treba rasporediti u pravcima odgovarajuih generalisanihpomeranja statikog modela makroelementa, a zatim sa tim optereenjem izraunatinepoznata generalisana pomeranja vorovamakroelementa i.

Kada su poznata pomeranja vorova sistema, sa tim pomeranjima mogu da se izraunajupresene sile na krajevima ili du tapa.


61/131

89

3.7 Reavanje jednaina kretanja

3.7.1 Metode direktne integracije- Postupak

Posmatramo diferencijalnu jednainu priguenih prinudnih vibracija (3.42). Jednaina moe

da se reava direktnom numerikom integracijom, to znai da pre izvrenja numerikeintegracije nije izvrena nikakva transformacija jednaina. Postupci direktne integracijezasnivaju se na dvema idejama:

- umesto da se trai reenje koje zadovoljava diferencijalne jednaine kretanja u bilo komtrenutku vremena t, trai se reenje koje zadovoljava jednaine samo u diskretnimtrenucima vremena meusobno udaljenim za neki interval vremena t,

- pretpostavlja se varijacija nepoznatih pomeranja, brzina i ubrzanja unutar svakogintervala vremena t.

Postoji vie metoda direktne integracije. Ovde e biti razmatran postupak (Hilber Huges

Taylor)

Jednaine kretanja se posmatraju u trenutku tn+1 = tn+ t

M 1+nq + (1+)C 1+nq -C nq + (1+)Kqn+1 -Kq

n = Qn+ (3.62)

Pri tome je

Qn+=Q(tn+) (3.63)

gde je

tn+=(1+)tn+1-tn=tn+1+t (3.64)

dok se vektori pomeranja i brzine izraavaju na sledei nain

]2)21[(2

12

1 ++ +

++= nnnnn t

t qqqqq (3.65)

11 )1[( ++ ++= nnnn t qqqq (3.66)

Iz jednaina (3.65) i (3.66) vektori brzine i ubrzanja na kraju intervala, znai u trenutkutn+1=tn+t:

1+nq i 1+nq izraavaju se preko vektora pomeranja na kraju intervala 1+nq . Na taj

nain dolazi se do jednaina

nnnnn tt

qqqqq )12

()1)( 11

= =+

(3.67)

nnnnn

ttqqqqq )1

2

1(

1)(

1 12

1

= ++

(3.68)


62/131

90

Ako se ove jednaine unesu u jednainu kretanja (3.62) dobija se jednaina ravnoteeoblika

K*qn+1 = Q*n+ (3.69)

gde je sada

=*K CMKtt

++

++

)1(

1)1(

2

(3.70)

=+n*Q

++

+

++ ])12

1(

11[

2nnnn

ttqqqMQ

+++

+ nn

tqqC ]1)1[()1{(

nn t Kqq ++ })12

)(1(

(3.71)

Reavanjem jednaine (3.69) dobija se vektor pomeranja na kraju intervala vremena, tj. utrenutku vremena tn+1=tn+t. Sa dobijenim vektorom pomeranja qn+1 se, prema jenainama

(3.67) i (3.68) , zatim odredjuju i vektori brzine i ubrzanja na kraju posmatranog intervala.

Kada se zapoinje postupak numerike integracije, tj kada se posmatra prvi interval vremenat, onda su vektori pomeranja i brzine na poetku prvog intervala vremena zadati poetnimuslovima kretanja

q(t = 0) = q0 0)0( qq ==t (3.72)

Vektor ubrzanja na poetku prvog intervala vremena je takoe potreban za dobijanje reenjana kraju intervala. Zbog toga se poetno ubrzanje izraunava iz diferencijalne jednainekretanja napisane za poetni trenutak vremena t=0

)( 00010 KqqCQMq = S (3.73)

postupak predstavlja bezuslovno stabilan postupak, ako se parametri , i izaberu uskladu sa relacijama

]0,3

1[ =

1

2 =

1

41 2( )

(3.74)

Ako usvojimo 31= , onda je = 56 i = 49 . Sa ovim parametrima se efektivna matrica

krutosti (3.70) i vektor efektivnog optereenja (3.71) dobijaju kao

CMKKtt

+

+=4

5

4

9

3

22

* (3.75)

nnnnnnnnn tttt

KqqqqCqqqMQQ3

1)

24

1

4

1

4

5(.]

8

1

4

9

4

9[

2* +

++

+

+= ++ (3.76)


63/131

91

pri emu je

tn+=tn+2/3t (3.77)

)3

2( ttn

n +=+ QQ (3.78)

Brzine i ubrzanja na kraju intervala vremena, sa zadatim koeficijentima, se dobijaju izjednaina (3.67) i (3.68) i glase

nnnnn tt

qqqqq 16

1

8

7)(

8

15 11

= ++ (3.79)

nnnnn

ttqqqqq

8

1

4

9)(

4

9 12

1

= ++ (3.80)

3.7.2 Modalna analiza

Sistem simultanih diferencijalnih jednaina (3.42) moemo transformisati u sistemmeusobno nezavisnih jednaina. Do ovakve transformacije dolazimo, ako koristimo glavneforme sopstvenih nepriguenih oscilacija sistema, preko modalne matrice .

Izvriemo linearnu transformaciju vektora generalisanih koordinata q(t)

q(t)=(t) (3.81)

gde je (t) vektor novih koordinata.

Matrica je nezavisna od vremena, te je

)()( tt q = )()( tt q = (3.82)

Unosei jednaine (3.81) i (3.82) u jednainu (3.42) i mnoei je sa leve strane sa Timamo

TM (t) + TC (t) + TK (t) = TQ(t) (3.83)

Ako su modalni vektori ortonormirani, vodei rauna o (3.40), jednaina (3.83) glasi

(t)+C* (t)+ (t)=N(t) )()( tt TQN = (3.84)

gde je

C* = TC (3.85)

simetrina matrica, ali u optem sluaju nije dijagonalna. Ako uzmemo da je matricapriguenja proporcionalna matrici masa i matrici krutosti

KMC += (3.86)


64/131

92

i vodei rauna o relacijama ortonormiranosti modalnih vektora (3.40), dobijamo matricupriguenja C* u dijagonalnom obliku:

IKMCC TTT +=+== * (3.87)

Po metodi modalne superpozicije, vai jednaina proporcionalnosti

iTCi= 2iiij (3.88)

gde je i koeficijenat priguenja i tog moda, a ij Kronecker-ov simbol. Tada je matricapriguenja C* data u obliku

C*=diag(2ii) i=1,2,,N (3.88)

Sistem jednaina (3.84) prelazi u skup nezavisnih jednaina po normalnim koordinatama

i(t) + 2ii i(t) + i2i(t) =Ni(t) i=1,2,,N (3.89)

Reenje ove jednaine moe biti dato u obliku integrala konvolucije

i

i

t

i

)t(

i

i

i

)t(Dd)t(sine)(N ii

==

0

1 (3.90)

3.7.3 Alternativa konvolucionom integralu

Primena reenja jednaine (3.89) u obliku integrala konvolucije mogua je kod onih

sluajeva kod kojih je optereenje zadato u analitikom obliku i kod kojih je podintegralnafunkcija integrabilna. Ova dva uslova nisu ispunjena kod seizmikih optereenja kao i kodone vrste optereenja koje je definisano eksperimentalno utvrenim nizom brojnih vrednostiu diskretnim takama.

Na slici 3.5 prikazano je modalno optereenje podeljeno na intervale duine t. Zasprovoenje numerikog prorauna pogodno je da duine intervala budu meusobno jednake.Pretpostavljamo da je promena modalnog optereenja du intervala linearna. Pri utvrivanjuvrednosti pomeranja i brzine na poetku jednog intervala uvaavamo vrednosti pomeranja ibrzine na kraju predhodnog intervala. Koordinatni sistem biramo tako da sa merenjemvremena poinjemo na poetku intervala.


65/131

93

Slika 3.5 Podela modalnog optereenja na intervale

Modalno optereenje unutar intervala tje

bat

NNN(Ni +=

+= 010) (3.91)

Modalna jednaina postaje

i()+ 2ii i() + i2i() = a+b i=1,2,,N (3.92)

Neka su dati granini uslovi q0i 0q za t=t0 ili =0. Poto je

)t()t( 0000 q = )t()t( 0000 q

= (3.93)

mnoei izraze (3.93) sa leve strane sa TM i vodei rauna o relacijama ortonormiranosti,poetni uslovi za jednainu (3.92) u trenutku t=t0 ili =0 glase

000 MqT

iii)( === 000 qM

T

iii)( === (3.94)

Reenje jednaine (3.92) sa poetnim uslovima (3.94) moe da se prikae u matrinom oblikukao

+

=

== 1

0

01 N

N

tti

i

tti

i BA

(3.95)

Matrica A je matrica uveanja i predstavlja uticaj poetnih uslova na poetku vremenskogintervala. Matrica A je prikazana kao

,t),(aaa

aaiiij=

=

2221

1211A (3.96)


66/131

94

pri emu su elementi matrice A dati sa

)sin1

(cos211

tteadi

i

i

di

tii

+=

teadi

ii

tii

=

sin1

1

212

122

221sin

1atea idi

i

itii

=

= (3.97)

)sin1

(cos2

22 ttea dii

i

di

tii

=

Matrica B predstavlja uticaj spoljanjeg optereenja i prikazana je kao

)2221

1211t,,(b

bb

bbiiij =

=B

(3.98)

Elementi matrice B su dati sa

tt

tt

t

teb

i

i

di

i

i

i

di

ii

iitii

+

+

=

33223

2

11

2]cos)

21(sin

1

21[

tt

tt

teb

i

i

i

di

i

i

di

ii

itii

+

+

=

32323

2

12

21]cos

2sin

1

12[

t

ttt

t

ebi

didi

i

ii

i

tii

+

+

=

22221

1]cossin

1[

1

(3.99)

ttt

teb

i

didi

i

i

i

tii

++

=

22222

1]cossin

1[

1

pri emu je

21 iidi = (3.100)

3.7.4 Spektralna modalna analiza kod seizmikog optereenja

U dosadanjim izvoenjima uvek smo traili kompletan vremenski tok odgovora konstrukcije

Documents

Dinamicka analiza skeletnih zgrada