Dinamicaderobots Sierrasierranelsonariel Kuka Kr6!2!130924231741 Phpapp01

Dinamica de RobotsCaractersticas del Robot

CinematicaSimulaciones

Bibliografa

Proyecto 1: Estudio del RobotKUKA KR 6-2.

Universidad NACIONAL de Colombia.

Nelson Ariel Sierra. - [email protected]

7 de junio de 2013

Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2



Bibliografa

Caractersticas tecnicasEspacio de trabajoParametros de articulacion

Descripcion del Robot

Item Descripcion

Carga util nominal 6[kg]Carga en el brazo 10[kg]Carga en el eslabon delbrazo

variable

Carga en la columna de ro-tacion

20[kg]

Carga distribuida total 36[kg]Carga distribuida total 36[kg]

El robot KR 6, es un robot de 6grados de libertad de juntas derevolucion optimizado para lassiguientes tareas:

Manipulacion.

Ensamblaje.

Aplicacion de adhesivos ysellantes .

Maquinado.




Bibliografa


Caractersticas del Robot

Eje Posicion Velocidad

1 185[] 156[/s]2 -125 a 65 [] 156[/s]3 15 a -130 [] 156[/s]4 350[] 343[/s]5 130[] 362[/s]6 350[] 659[/s]

Angulos tomados desde la posicion Homedel Robot.




Bibliografa


Espacio de trabajo

680

100

670

2412

675

35

1320

260

115

10815301027 1611

120

2026

R118

+35

+154---130

---155

1611R

---185

+185




Bibliografa


Parametros de articulacion (Denavit-Hartenberg)

Definicion

Se trata de un procedimiento sistematico para describir la estructura cinematica de unacadena articulada constituida por articulaciones con un solo grado de libertad. Paraello, a cada articulacion se le asigna un sistema de referencia local con origen en unpunto. Donde:

ai distancia entre zi a zi+1 medido por xi.i angulo entre zi a zi+1 medido por xi.di distancia entre xi1 a xi medido por zi.i angulo entre xi1 a xi medido por zi.




Bibliografa


Parametros de articulacion

q2

q1

q3q4q5

q6

zR

z0,z1

z4 z6

x2x0,x1

xR

x3x4,x5 x6

y2

y3




Bibliografa



Cuadro : Tabla de parametros DH modificada

i i1 ai1 di i1 0 0 0 12 pi/2 x(21) 0 23 0 z(32) 0 34 pi/2 z(43) x(54) 45 pi/2 0 0 56 pi/2 0 x(65) 6

{SR} =(0, 0, 0) {S0} = {S1} =(0, 0, 675) {S2} =(260, 0, 675){S3} =(260, 0, 1355) {S4} = {S5} =(930, 0, 1320) {S6} =(1045, 0, 1320)




Bibliografa



Cuadro : Tabla de parametros DH modificada

i i1 ai1 di i1 0 0 0 12 pi/2 260 0 23 0 680 0 34 pi/2 -35 670 45 pi/2 0 0 56 pi/2 0 115 6

Todas las medidas en milmetros.




Bibliografa

Cinematica directaCinematica inversaCinematica diferencial

Cinematica directa

Definicion

La cinematica directa es una tecnica usada para calcular la posicion de partes de unaestructura articulada a partir de sus componentes fijas y las transformaciones inducidaspor las articulaciones de la misma.La cinematica directa se refiere al uso de ecuaciones cinematicas para calcular laposicion de su actuador final a partir de valores especficos llamados conjunto deparametros.

(1, 2, ..., m) (x1, x2, ..., xn).

Cinematica Directa.m




Bibliografa


Cinematica directa

Definicion

Para hallar la cinematica directa se utiliza la matriz de transformacion homogeneabasada en la tabla de parametros Denavit-Hartenberg anteriormente definida.

i1i T =

ci si 0 ai1

sici1 cici1 si1 si1disisi1 cisi1 ci1 ci1di

0 0 0 1




Bibliografa


Cinematica directa

01T =

c1 s1 0 0s1 c1 0 00 0 1 00 0 0 1

; 12T =

c2 s2 0 2600 0 1 0s2 c2 0 0

0 0 0 1

; 23T =c3 s3 0 680s3 c3 0 00 0 1 00 0 0 1

34T =

c4 s4 0 350 0 1 670s4 c4 0 0

0 0 0 1

; 45T =

c5 s5 0 00 0 1 0s5 c5 0 0

0 0 0 1




Bibliografa


Cinematica directa

56T =

c6 s6 0 00 0 1 115s6 c6 0 00 0 0 1

; 03T =c23c1 s23c1 s1 20c1(34c2 + 13)c23s1 s23s1 c1 20s1(34c2 + 13)s23 c23 0 680s2

0 0 0 1

36T =

c4c5c6 s4s6 c6s4 c4c5s6 c4s5 115c4s5 35c6s5 s5s6 c5 115c5 + 670

c4s6 c5c6s4 c5s4s6 c4c6 s4s5 115s4s50 0 0 1




Bibliografa


Cinematica directa

06T =

r11 r12 r13

0Pxr21 r22 r23

0Pyr31 r32 r33

0Pz0 0 0 1

r11 = s1(c4s6 + c5c6s4) c23c1(s4s6 c4c5c6) + s23c1c6s5r12 = s1(c4c6 c5s4s6) c23c1(c6s4 + c4c5s6) s23c1s5s6

r13 = s1s4s5 s23c1c5 + c23c1c4s5r21 = s23c6s1s5 c23s1(s4s6 c4c5c6) c1(c4s6 + c5c6s4)r22 = c1(c4c6 c5s4s6) c23s1(c6s4 + c4c5s6) s23s1s5s6

r23 = c23c4s1s5 s23c5s1 c1s4s5r31 = s23(s4s6 c4c5c6) + c23c6s5r32 = s23(c6s4 + c4c5s6) c23s5s6

r33 = c23c5 s23c4s5Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2



Bibliografa


Cinematica directa

06T =

r11 r12 r13

0Pxr21 r22 r23

0Pyr31 r32 r33

0Pz0 0 0 1

0p6ORGx = 20c1(34c2 + 13) + 115s1s4s5 + c23c1(115c4s5 35) s23c1(115c5 + 670)0p6ORGy = 20s1(34c2 + 13) 115c1s4s5 + c23s1(115c4s5 35) s23s1(115c5 + 670)

0p6ORGz = 680s2 s23(115c4s5 35) c23(115c5 + 670)




Bibliografa


Cinematica inversa

Definicion

La cinematica inversa es la tecnica que permite determinar el movimiento de unacadena de articulaciones para lograr que un actuador final se ubique en una posicionconcreta. El calculo de la cinematica inversa es un problema complejo que consiste enla resolucion de una serie de ecuaciones cuya solucion normalmente no es unica.La cinematica inversa se refiere al uso de la posicion y orientacion del efector final (osistema) para calcular los parametros de articulacion.

(x1, x2, ..., xn) (1, 2, ..., m).

Cinematica Inversa.m y KUKA KR 6 2.m




Bibliografa


Cinematica inversa

Se parte del hecho que se conoce la orientacion y la posicion del punto que se deseaalcanzar, (es decir 06T ) es conocida:

0P4ORG =06 T 6 P4ORG

0P4ORG =

r11 r12 r13

0Pxr21 r22 r23

0Pyr31 r32 r33

0Pz0 0 0 1

00115

1

0P4ORG =

115r13 +0 px115r23 +0 py115r13 +0 pz

1

=

0p4ORGx0p4ORGy0p4ORGz

1




Bibliografa


Cinematica inversa

A su vez se define como igualdad


Al realizar dicha multiplicacion:

0P4ORG =

35c23c1 670s23c1 + 20c1(34c2 + 13)35c23s1 670s23s1 + 20s1(34c2 + 13)

35s23 670c23 680s21

=ABC1

=


1

Al realizar la comparacion entre A/c1 y B/s1, se obtiene:

[A/c1] 35c23 670s23 + 20(34c2 + 13) =0 p4ORGx/c1[B/s1] 35c23 670s23 + 20(34c2 + 13) =0 p4ORGy/s1




Bibliografa


Cinematica inversa

0p4ORGxc1

=0p4ORGy

s1

tan(1) =0p4ORGy0p4ORGx

1 = atan2(0p4ORGy,

0 p4ORGx) o 1 = atan2(0p4ORGy,0p4ORGx)Para obtener un angulo diferente se toma la relacion (A/c1)

2 y (C)2. La cual utilizando reduc-ciones algebraicas puede ser expresada de la forma:

35c3 670s3 = 11360

((0p4ORGx

c1 260

)2+ (0p4ORGz)

2 352 6702 6802)

35c3 670

1 (c3)2 = 11360

((0p4ORGx

c1 260

)2+ (0p4ORGz)

2 352 6702 6802)




Bibliografa


Cinematica inversa

Finalmente, para el seno y coseno de este angulo se obtiene una solucion de la forma:

c23

(6702 + 352

K2

) 2c3

(35

K

)+

(1

(670

K

)2)Donde:

K =1

1360

((0p4ORGx

c1 260

)2+ (0p4ORGz)

2 352 6702 6802)

Ademas:

s3 =1

1360 670

((0p4ORGx

c1 260

)2+ (0p4ORGz)

2 352 6702 6802) 35

670c3

Entonces:3 = atan2(s3, c3)




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Cinematica inversa

Para el siguiente angulo se relaciona (A/c1) y (C), y se expresa un sistema de ecuaciones22 en funcion de las incognitas s2 y c2: s2 c2 b35s3 670c3 35c3 670s3 + 680 (0p4ORGx/c1) 260

35c3 + 670s3 680 35s3 670c3 0p4ORGz

Las soluciones de este sistema son:

s2 =34840 c1 c3 136 c1 0p4ORGz 134 c3 0p4ORGx 1820 c1 s3 + 7 0p4ORGx s3 + 7 c1 c3 0p4ORGz + 134 c1 0p4ORGz s3

5 c1(18005 c32 1904 c3 + 18005 s32 36448 s3 + 18496

)

c2 = 35360 c1 136 1820 c1 c3 + 7 c3 0p4ORGx 34840 c1 s3 + 134 0p4ORGx s3 + 134 c1 c3 0p4ORGz 7 c1 0p4ORGz s3

5 c1(18005 c32 1904 c3 + 18005 s32 36448 s3 + 18496

)Entonces:

2 = atan2(s2, c2)




Bibliografa


Cinematica inversa

Para los ultimos 3 angulos se hace uso de la relacion (Dado que se conocen los 3 primerosangulos, entonces 03T es conocida):


3P6ORG =(

03T)1 0 P6ORG

115c4s5 35115c5 + 670115s4s5

1

=


1

De la comparacion termino a termino se obtiene:

c5 =3p6ORGy 670

115donde |s5| =

1 (c5)2





Bibliografa


Cinematica inversa

115c4s5 35 =3 p6ORGx y 115s4s5 =3 p6ORGzc4 =

3p6ORGx + 35

115s5y s4 =

3p6ORGz115s5


Para el ultimo de los angulos (6) se toma la relacion de transformacion:

36T =

30 T 06 T

36T =

(03T)1 06 T

Con la comparacion termino a termino se tiene:

36T (2, 1) = c6s5 =

((03T)1 06 T) (2, 1)

36T (2, 2) = s5s6 =

((03T)1 06 T) (2, 2)




Bibliografa


Cinematica inversa

c6 = [(

03T)1 06 T] (2, 1)

s5

s6 =

[(03T)1 06 T] (2, 2)

s5

Finalmente:6 = atan2(s6, c6)




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Cinematica diferencial

Definicion

El jacobiano del manipulador relaciona las velocidades articulares con las velocidadescartesianas del extremo.

V = J() = J1() V

V =[vx vy vz x y z

]TEs de notar, que existan valores de para los que el jacobiano es singular. Estassingularidades se presentan en los lmites del espacio de trabajo, o en su interiorcuando dos o mas ejes de articulacion estan alineados.

Jacobiano.m




Bibliografa


Velocidades angulares y lineales

Se calculan las velocidades (lineales y angulares) de las articulaciones de atras hacadelante (Es decir del marco {0} al de la Herramienta). Ademas se define una nuevamatriz para la herramienta con la misma orientacion del ultimo marco, pero desplazadasegun sea la distancia de la herramienta.

6HT =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 350 0 0 1

i+1i+1 =

i+1i R i i + i+1 i+1 Zi+1 Velocidad Angular

i+1vi+1 =i+1i R (ivi + (ii i Pi+1)) Velocidad Lineal




Bibliografa


Calculo del Jacobiano

Se realizan las derivadas pertinentes ((iVj)/k), calculando el cambio entre la posicionj del vector de velocidad, descrita en el marco i y la variable k.

iJi() =

ivx1

ivx2

ivx3

ivx4

ivx5

ivx6

ivy1

ivy2

ivy3

ivy4

ivy5

ivy6

ivz1

ivz2

ivz3

ivz4

ivz5

ivz6

ix1

ix2

ix3

ix4

ix5

ix6

iy1

iy2

iy3

iy4

iy5

iy6

iz1

iz2

iz3

iz4

iz5

iz6

donde iVi =

[iviii

]=

ivxivyivzixiyiz




Bibliografa



J11 = s6(c4(35c23 +670s23 680c2 260) 115c23s5 +115s23c4c5) + c6(115s23s4 + c5s4(35c23 +670s23 680c2 260))J12 = s6(c4(35c23 + 670s23 680c2) 115c23s5 + 115s23c4c5) + c6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 680c2))J13 = s6(670s4 + 115c5s4) c6(115c4 35s5 + 670c4c5)J14 = 115c5s4s6 115c4c6J15 = 115s5s6J16 = J26 = J34 = J35 = J36 = J66 = 0J21 = c6(c4(35c23 +670s23 680c2 260) 115c23s5 +115s23c4c5) s6(115s23s4 + c5s4(35c23 +670s23 680c2 260))J22 = c6(c4(35c23 + 670s23 680c2) 115c23s5 + 115s23c4c5) s6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 680c2))J23 = s6(115c4 35s5 + 670c4c5) + c6(670s4 + 115c5s4)J24 = 115c4s6 + 115c5c6s4J25 = 115c6s5J31 = s4s5(35c23 + 670s23 680c2 260)J32 = s4s5(35c23 + 670s23 680c2)J33 = 35c5 670c4s5J41 = c6(c23s5 s23c4c5) + s23s4s6J42 = c6(c23s5 s23c4c5) + s23s4s6J43 = c4s6 c5c6s4J44 = c4s6 c5c6s4J45 = c6s5




Bibliografa



J46 = s6J51 = s23c6s4 s6(c23s5 s23c4c5)J52 = s23c6s4 s6(c23s5 s23c4c5)J53 = c5s4s6 c4c6J54 = c5s4s6 c4c6J55 = s5s6J56 = c6J61 = c23c5 s23c4s5J62 = c23c5 s23c4s5J63 = s4s5J64 = s4s5J65 = c5

150[mm]




Bibliografa

Descripcion de la trayectoriaGraficas de articulacionModelacion en Matlab c

Descripcion de la trayectoria

c1

c2c3

c4

[xp, 350, 400] [xp, 50, 400]A B

C

D

EF

G

H [xp, 0, 450]

[xp, 0, 550]

[xp, 50, 600][xp, 350, 600]

[xp, 400, 550]

[xp, 400, 450]

[xp, 200, 500]

[xp, 350, 450]

[xp, 350, 550] [xp, 50, 550]

[xp, 50, 450]

zPxP

121113

14

15

10

1

2

3 4

5

678

9

Dimensiones (400 200 30)[mm] y Ubicacion del centro de la placa = [xP , 200, 500][mm]




Bibliografa


Parametrizacion de la trayectoria (Desplazamiento)

[A-B] (y decrece)

z = 450

(B-C] (y decrece)

z =

502 (y c1(y))2 + c1(z)

(C-D] (z crece)

y = 0

(D-E] (y crece)

z =

502 (y c2(y))2 + c2(z)

(E-F ] (y crece)

z = 600

(F -G] (y crece)

z =

502 (y c3(y))2 + c3(z)

(G-H] (z decrece)

y = 400

(H-A] (y decrece)

z =

502 (y c4(y))2 + c4(z)




Bibliografa


Parametrizacion de la trayectoria (Rotacion)




Bibliografa



Se asume en cada tramo que la pareja (y, z) cambia segun se desplace y el punto en x se mantiene constante.La orientacion de los intervalos parametrizados, en el segmento recto, es constante debido a que la orientacion semantiene constante; pero en los curvos dicha orientacion se calcula con base en un angulo definido por el vectorque apunta al centro de la trayectoria.

xH

zH

yH xH

zH

yH

El angulo (j) de rotacion en el i-esimo segmento curvo con (ci) centro de rotacion, esta dado por el cosenoinverso entre el producto punto del vector unitario dirigido desde el k-esimo punto (xP , yk, zk) de la trayectoriay el i-esimo centro de rotacion, y el vector unitario del eje z:

ai =(xP , y, z) ci||(xP , y, z) ci||

j = arc cos(ai Z)




Bibliografa



Trayectoria [A-B]:0HR = Ry(pi/2) Rz(pi)

Trayectoria (B-C]:......El angulo cambia, ya que se evalua en cada iteracion, entre los lmites:

Cambia de (1 = 0) a (1 = pi/2)0HR = Ry(pi/2) Rz(pi) Rx(1)

Trayectoria (C-D]:0HR = Ry(pi/2) Rz(pi) Rx(pi/2)

Trayectoria (D-E]:......El angulo cambia, ya que se evalua en cada iteracion, entre los lmites:

Cambia de (2 = pi/2) a (2 = pi)0HR = Ry(pi/2) Rz(pi) Rx(2)




Bibliografa



Trayectoria (E-F ]:0HR = Ry(pi/2) Rz(pi) Rx(pi)

Trayectoria (F -G]:......El angulo cambia, ya que se evalua en cada iteracion, entre los lmites:

Cambia de (3 = pi) a (3 = 3pi/2)0HR = Ry(pi/2) Rz(pi) Rx(3)

Trayectoria (G-H]:0HR = Ry(pi/2) Rz(pi) Rx(3pi/2)

Trayectoria (H-A]:......El angulo cambia, ya que se evalua en cada iteracion, entre los lmites:

Cambia de (4 = 3pi/2) a (4 = 2pi)0HR = Ry(pi/2) Rz(pi) Rx(4)




Bibliografa


Descripcion de la trayectoria

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000400

350

300

250

200

150

100

50

0

Muestras[

]

11991199.5

12001200.5

1201

0100

200300

400400

450

500

550

600

xy

z




Bibliografa


Graficas de articulacion - Velocidad

Las posiciones de articulacion se hallan evaluando la parametrizacion de posicion y rotacion en la funcion decinematica inversa y optimizando tales resultados. Las velocidades se articulacion se hallan ayudados por ladefinicion del Jacobiano inverso, tomando en cuenta que unicamente en los segmentos curvos existe velocidadangular y que la velocidad lineal (tangencial) es constante durante toda la trayectoria.

HvH = [0,100, 0]T [mm/s]

p =2pir

4=

2pi(50)

4= 25pi[mm]

ttrayectoria =p

v=

25pi

100=pi

4[s]

|x| = ttrayectoria

=pi/2

pi/4

HH = [2, 0, 0]T [rad/s]




Bibliografa


Graficas de articulacion - Posicion

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Grficas de Posicin para 1

[rad

]

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001.3

1.25

1.2

1.15

1.1

1.05

1

0.95

0.9


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10004

3

2

1

0

1

2

3

4

Muestras

[rad

]

Grficas de Posicin para 4

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10003.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0Grficas de Posicin para 5

Muestras0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10004

3

2

1

0

1

2

3

4

Muestras

Grficas de Posicin para 6




Bibliografa


Graficas de articulacion - Velocidad

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10004

2

0

2

4

6

8

10

[rad

/s]

Grfica de velocidad angular para q1

.

[rad

/s]

.

Muestra Muestra Muestra

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100012

10

8

6

4

2

0

2

4

6Grfica de velocidad angular para q2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Grfica de velocidad angular para q3

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Grfica de velocidad angular para q5

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10003

2

1

0

1

2





Bibliografa


Modelacion en Matlab c


Robot_Palos.aviMedia File (video/avi)



Bibliografa


Modelo de Matlab c- SimMechanics

Tierra

Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares

para q6

theta6T


para q5

theta5T


para q4

theta4T


para q3

theta3TTiempo de trayectoria y Posiciones Angulares

para q2

theta2TTiempo de trayectoria y Posiciones Angulares

para q1

theta1T

Soldadura

B F

Referencias Velocidady Aceleracin Angular

para q6

0


para q5

0


para q4

0


para q3

0


para q2

0


para q1

0

Junta de Revolucin

6

B

F

Junta de Revolucin

5

B

F

Junta de Revolucin

4

BF

Junta de Revolucin

3

BF

Junta de Revolucin

2

BF

Junta de Revolucin

1

BF

Eslabon {SH}

CS1

Eslabon {S6}

CS1CS2Eslabon

{S5}

CS1CS2

Eslabon {S4}

CS1 CS2

Eslabon {S3}

CS1 CS2

Eslabon {S2}

CS1 CS2Eslabon {S0} {S1}

CS1 CS2Eslabon

Referencial {SR}

CS1 CS2

AjusteHerramienta

B F

Actuador Junta R6

Actuador Junta R5

Actuador Junta R4

Actuador Junta R3

Actuador Junta R2

Actuador Junta R1




Bibliografa


Resultado de Matlab c- SimMechanics




Bibliografa

Bibliografa

Introduction to Robotics: Mechanics and Control.Craig. John J.3rd. Edition, Pearson Editorial.

KUKA cKR6 robot specification.KUKA RoboticsDisponible en: http://www.kuka-robotics.com/es/products/industrial_robots/low/kr6_2/

Simulaciones realizadas en Matlab 2011a.MathWorks cVersion: 7.12.0.635


Caractersticas del RobotCaractersticas tcnicasEspacio de trabajoParmetros de articulacin

CinemticaCinemtica directaCinemtica inversaCinemtica diferencial

SimulacionesDescripcin de la trayectoriaGrficas de articulacinModelacin en Matlab

Bibliografa

Documents

Dinamicaderobots Sierrasierranelsonariel Kuka Kr6!2!130924231741 Phpapp01