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Tânia - Din Estoc - 2016 2
. Discretização da equação de Langevin
. Obtenção da equação de Fokker-Planck
3Tânia - Din Estoc - 2016
Discretização da equação de Langevin
A forma discretizada da equação de Langevin propicia a: simulação a equação de Langevin
e
a obtenção a equação de Fokker-Planck
A equação de Langevin acima pode ser aproximada por:
variável estocástica discreta tal que:
)(tvdt
dv
Equação de Langevin discretizada
6Tânia - Din Estoc - 2016
(1)
0 n
',' nnnn
n
delta de Kronecker
nnnn vvv 1
(4)
(5)
(6)
Equação de Langevindiscretizada
Equação de Langevin - Discretização
7Tânia - Din Estoc - 2016
12 n
',' nnnn
'0' nnnn
Delta de Kronecker ',nn
1', nn se 'nn
0', nn se 'nn
nt
nn vv
dt
dv 1
)(tvvn
tais que:
)(1 tvvn
Discretizamos o tempo em intervalos iguais
Equação de Langevin - Discretização
8Tânia - Din Estoc - 2016
Justificativa / expressão (4)
Equação de Langevin & discretização
10Tânia - Din Estoc - 2016
nn
nn vvv
1
)(tvdt
dv
t
nt discreto
discreto
discreto
Equação de Langevin - Discretização
11Tânia - Din Estoc - 2016
)(t
nt tais que:Discretizar o tempo em intervalos iguais
t
Fazendo a correspondência entre os termos das duas últimas expressões e lembrando que estamos tomandot discreto (como acima definido) temos que se relaciona com por meio de: n
nt
)(
')'( nt
discreta
')'()( nntt
e
discreta
Equação de Langevin - Discretização
12Tânia - Din Estoc - 2016
nt tais que:Discretizar o tempo em intervalos iguais
t
discreta')'()( nntt
')'()()',( nnttttf
Seja a função
',' nnnn
',nn
discreta
13Tânia - Din Estoc - 2016
t
discreta
',)'()()',( nnttttf
Seja a função )'( tt
'' nt
nt 't
)',()',( ttfdtttfn
',nn
n
0
Equação de Langevin & discretização
discreta
Equação de Langevin
14Tânia - Din Estoc - 2016
)',()',( ttfdtttfn
',nn
n
Por outro lado, no limite em que temos (ou seja, quando consideramos variáveis contínuas) 0
)'()',( ttttf
dtttdtttf )'()',(
= 1
fim da justificativa
1n n n nv v v
Equação de Langevin discretizada
15Tânia - Din Estoc - 2016
(4)
A partir da expressão (4) complementada pelas expressões (5) e (6) pode-se encontrar a distribuição de probabilidades da variável como está no livro “Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade” e como é pedido no exercício 1 da lista 2A.
nv
variável estocástica discreta tal que:
0 n
',' nnnn
n
(5)
(6)
Equação de Langevin para a variável x :
0)( t
)()()( tttt
Equação de Langevin – variável x
17Tânia - Din Estoc - 2016
(7)
(8)
(9)
)()( txfdt
dx
18Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Langenvin – Partíula sujeita à força externa e movimento superamortecido
)()(2
2
tFxFdt
dx
dt
xdm ext
x
)(t
posição da partícula
)'()'()( tttt 0)( t
m
)()( txfdt
dx
Equação de Langevin para o movimento browniano superamortecido
= massa desprezível o termo em m é desprezado
)()( tFxFdt
dxext
/)( extFxf
extF força externa atuando sobre a partícula
caso especial:
Exemplo
é tal que
n
pode ser aproximada por:
1 ( ) ,n n n nx x f x
variável estocástica discreta
Equação de Langevin discretizada
19Tânia - Din Estoc - 2016
(7)
(10)
(11)
)()( txfdt
dx
0 n
(12)',' nnnn
delta de Kronecker
Equação deLangevindiscretizada
( ) ( )dx
f x tdt
nt
1n nx xdx
dt
( )nx x t
tal que:
1 ( )nx x t
Discretizar o tempo em intervalos iguais
Equação de Langevin & Discretização
20Tânia - Din Estoc - 2016
(7)
nt tal queDiscretizar o tempo em intervalos iguais
Equação de Langevin - Discretização
21Tânia - Din Estoc - 2016
(10)nnnn xfxx )(1
Equação de Langevin discretizada
Justificativa
E seguir o mesmo procedimento desenvolvido nos slides anteriores (quando justificamos a discretizaçãoda equação de Langevin (1), isto é, a expressão (4))
(11)0 n
(12)',' nnnn
Equação de Langevin & Simulação de um movimento aleatório
0 1 2, , , sequência de números aleatórias
1 2 3, , ...x x xSequência de pontos
Trajetória da partícula
0xdado
L número de trajetórias geradas
22Tânia - Din Estoc - 2016
0 n 12 n
nnnn fxx 1)( nn xff
estimativa da posição média da partículano instante nt
0)( t )()()( tttt )()( txfdt
dx
xcaso em que é a posição
(13))(
1
1 i
n
L
i
n xL
x
)(i
nx posição da partícula no instante na i-ésima trajetória nt
Tânia - Din Estoc - 2016 23
Equação de Fokker-Planck
Obtenção da equação de Fokker-Planck a partir da equação de Langevin discretizada
24
Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade, TT e MJO, Cap. 3 (e Cap. 4)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Bibliografia básica
The Fokker-Planck Equation, H. Risken, Springer, 1996
25
),(2
),()(),(2
2
txPx
txPxfx
txPt
(14)
Equação de Fokker-PlanckEquação para a evolução temporal de P(x,t)
A essa equação está associada a equação de Langevin
)()( txfdt
dx
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(7)
Vamos obter
26
)()( txfdt
dx
0)( t
)()()( tttt
(7)
(8)
(9)
Equação de Langevin
em que,
e
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
27
Equação de Fokker-Planck - Caso especial
)(tdt
dx
x
0)( xf
)(t posição da partícularuído
Movimento browniano de uma partícula livre em uma dimensão
Movimento browniano superamortecido
),(2
),(2
2
txPx
txPt
Equação de Fokker-Planck
(16)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(15)
Vamos obter
(caso especial)
Equação de Langevin
28Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção Equação de Langevin discretizada
(10)
Função característica
)exp()( 11 nn ikxkg dxxPe n
ikxn )(11
função característica associada a 1nx
nnnn xfxx )(1
(17)
0 n
',' nnnn
(11)
(12)
29
nnxComo e são variáveis estocásticas independentes, temos:
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
)exp()( 11 nn ikxkg
))((
1 )( nnn xfxik
n ekg
nnnn xfxx )(1
nnn ikxfxik
n eekg ))((
1 )(
(18)
(10)
Mas,
(20)
Portanto,
(19)
30
média sobre a distribuição de
média sobre a distribuição de n
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
nnn ikxfxik
n eekg ))((
1 )(
))(( nn xfxik
e ... nx
nik
e
...
(20)
(21)
(22)
31
Expansão em da equação
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
nnn ikxfxik
n eekg ))((
1 )(
))(( nn xfxik
e
(20)
(21)
Passamos agora a analisar cada uma das médias no lado direito da equação (20).
Primeiramente a média:
(1)
(2)
E em seguida a média:
nik
e
(22)
32
Expansão em da expressão:
Expansão em da expressão (23)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
(23)
)())(( nnnn xfikikxxfxik
eee
)()(1)(
oxfike n
xfik n
))()(1())((
oxfikee n
ikxxfxik nnn
))(1())((
n
ikxxfxikxfikee nnn (25)
))(( nn xfxik
e (21)
A expressão (21) pode ser escrita como:
(24)
33Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
Expansão em do termo (22)
Expansão em da expressão (22)
)(2
1
22
o
kike n
n
ik n
(27)
21
22n
n
ik kike n
nik
e
(26)
Considerando a expansão até termos lineares em temos:
34Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
Expansão em da expressão (22)
(27)
21
22n
n
ik kike n
nn
ik kike n 2
2
21
Mas, a partir das equações (11) e (12) temos: . . Portanto, a equação (28) pode ser reescrita como:
0 n 12 ne
21
2
ke nik
Ou,
(28)
(29)
35Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
Expansão em da equação
nnn ikxfxik
n eekg ))((
1 )( (20)
))(1())((
n
ikxxfxikxfikee nnn
(25)
21
2
ke nik (29)
)2
1()(1()(2
1
kxfikekg n
ikx
nn (30)
A partir das Eqs. (25) e (29) obtemos a seguinte expressão para definida na Eq. (20): )(1 kgn
36Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
)2
1()(1()(2
1
kxfikekg n
ikx
nn
)2
1()()(2
1
kexfikekg nn ikx
n
ikx
n
nnn ikx
n
ikxikx
n exfikk
eekg )(2
)(2
1
(30)
(31)
37Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
nnn ikx
n
ikxikx
n exfikk
eekg )(2
)(2
1
(31)
nnn ikx
n
ikxikx
n exfikk
eekg )(2
)(2
1
nn ikx
n
ikx
nn exfikk
ekgkg )(2
)()(2
1 (32)
Expansão até 1ª ordem em de )(1 xgn
Ou
38Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
nn ikx
n
ikx
nn exfikk
ekgkg )(2
)()(2
1
(32)
)()()(1 kg
dt
dkgkg nn
ikxikx ek
exfikkgdt
d
2)()(
2
nn ikxikx
nnn e
kexfik
kgkg
2)(
)()( 2
1
Limite 0
(33)
Ou
39Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
ikxikx ek
exfikkgdt
d
2)()(
2
(33)
ikxikx edx
dxfexfik )()(
dx
dx
dexPxfe
dx
dxf
ikxikx )()()( (34)
Análise do 1º termo do lado direito da equação (33):
40Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
(35)
dx
dx
dexPxfe
dx
dxf
ikxikx )()()(
(34)
dxxPxf
dx
dedx
dx
dexPxf ikx
ikx
)()()()(
Pois, calculada nos limites de integração superior e inferior é nula. ikxexPxf )()(
P
dxxPdx
dee
dx
dek ikxikxikx )(
2
2
2
22
O segundo termo envolve a média:(36)
Novamente foi utilizado que a probabilidade se anula nas bordas. Também foi usado que se anula nas bordas.
P
Mas,
De fato a probabilidade é tal que se anula nas bordas (se anula no limites inferior e superior de integração).
dxdP /
Análise do 2º termo do lado direito da equação (33):
41Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
(35)
dxxPxf
dx
dedx
dx
dexPxf ikx
ikx
)()()()(
ikxikx ek
exfikkgdt
d
2)()(
2
(33)
dxxPdx
dee
dx
dek ikxikxikx )(
2
2
2
22
(36)
dxxPdx
dedxxPxf
dx
dekg
dt
d ikxikx )(2
))()(()(2
2
(37)
42Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck - Obtenção
dxxPdx
dedxxPxf
dx
dekg
dt
d ikxikx )(2
))()(()(2
2
(37)
dxxPdx
dedxxPxf
dx
dedxxPe
dt
d ikxikxikx )(2
))()(()(2
2
dxtxPx
edxtxPxfx
edxtxPt
e ikxikxikx ),(2
)),()((),(2
2
),( txPA probabilidade depende de x e de t e, portanto, escrevemos:
ou,
(38)
(39)
43Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
dxtxPx
edxtxPxfx
edxtxPt
e ikxikxikx ),(2
),()(),(2
2
),(2
),()(),(2
2
txPx
txPxfx
txPt
(40)
Equação de Fokker-Planck Equação de evolução temporal de P(x,t)
Portanto,
(39)