Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Dinâmica Estocástica
Aula 8
Ifusp, setembro de 2016
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 1
Equação de Fokker-Planck
1) Caso especial: movimento browniano –superamortecido
2) Método da solução estacionária
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 2
3
Tânia Tomé & Mário J de Oliveira, Cap. 3 e Cap. 4
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Bibliografia básica
Risken, The Fokker-Planck Equation
4Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
),(2
),()(),(2
2
txPx
txPxfx
txPt
(1)
Equação de Fokker-Planck Equação de evolução temporal de P(x,t)
Obtivemos na aula passada
A essa equação está associada a equação de Langevin
)()( txfdt
dx (2)
5
)()( txfdt
dx
0)( t
)()()( tttt
(2)
(3)
(4)
Equação de Langevin
em que,
e
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 6
Equação de Fokker-Planck
0)( xfCaso especial:
7
Solução:
),(2
),(2
2
txPx
txPt
(5)
)2/exp(2
1),( 2 tx
ttxP
(6)
Verificar que a expressão (6) é solução da equação de Fokker-Planck (5)substituindo (6) em (5).
Fazer isso pelo menos uma vez na vida!!!
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck0)( xfCaso especial:
8
dxtxPxx nn ),(
Obtenção da solução (caso especial f(x)=0)
Portanto:(8)
dxtxP
txx
dt
d nn ),(
),(2
),(2
2
txPx
txPt
Mas,
dxtxP
xxx
dt
d nn ),(2 2
2
(7)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
O momento de x de ordem n é definido por:
Derivando com relação a t ambos os membros da Eq. (7) temos:
(6)
9
Portanto: (9)
dxtxP
xxx
dt
d nn ),(2 2
2
dxtxP
xxn n ),(
2
1
dxtxPxnn n ),()1(
2
2
2)1(2
nn xnnxdt
d
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Obtenção da solução (caso especial f(x)=0)
Equação de Fokker-Planck
(8)
xPeP / se anulampara x
10
Agora a função característica associada a x é (definição):
(9)
2)1(2
nn xnnxdt
d
0 !
)()exp(),(
x
ikikxtkG
0 !
)(),(
x
t
iktkG
t
Portanto, utilizando as equações (9) e (10) obtemos:
(10)Então:
2
212!
)(),(
xik
tkGt
(11)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Obtenção da solução (caso especial f(x)=0)
Equação de Fokker-Planck
11
Definindo:
(12)
2
212!
)(),(
xik
tkGt
2
2
2)!2(
)(
x
ik
0
2
0
2
)!(
)(
22)!(
)(
m
mm
m
mm
xm
ikkx
m
ik
2 m
),(2
),( 2 tkGktkGt
Portanto:
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Obtenção da solução (caso especial f(x)=0)Equação de Fokker-Planck
(11)
12
),(2
),( 2 tkGktkGdt
d
Solução
)2/exp(),( 2 tktkG
0t 1G
Condição inicial
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Obtenção da solução (caso especial f(x)=0)
Equação de Fokker-Planck
(13)
(12)
0x 0t
13
Essa é a forma da função característica de uma distribuição de probabilidades gaussiana e de variância
)2/exp(),( 2 tktkG
)( t
)2/exp(2
1),( 2 tx
ttxP
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(14)
Obtenção da solução (caso especial f(x)=0)
Equação de Fokker-Planck
(13)
Portanto,
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 14
(*) Observação. Lembrar que para a gaussiana:
)2/exp(2
1)( 22
2
xxP
)2/exp()( 22kkg
No caso: t2
2 =variância
a função característica também é uma gaussiana.
15
)2/exp(2
1),( 2 tx
ttxP
)4/exp(4
1),( 2 tDx
tDtxP
),(),(2
),(2
2
2
2
txPx
DtxPx
txPt
Ou:
D = constante de difusão
É a solução da equação de Fokker-Planck: (para a condição inicial: t=0, x=0)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(caso especial f(x)=0)
Equação de Fokker-Planck
(15)
16
)2/exp(2
1),( 2 tx
ttxP
),(),(2
2
txPx
DtxPt
D = constante de difusão
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Caso especial f(x)=0
Equação de Fokker-Planck
)4/exp(4
1),( 2 tDx
tDtxP
)(tdt
dx x
)(t
posição da partícula
ruído
Equação de Fokker-Planck
Equação de Langevin
)'()'()( tttt 0)( t
RESUMO
2/D
17Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Langenvin – movimento superamortecido
)(2
2
tFdt
dx
dt
xdm
x
)(t
posição da partícula
ruído
Equação de Langevin
)'()'()( tttt 0)( t
m m
)(tdt
dx
Equação de Langevin para o movimento browniano – movimento superamortecido
= massa desprezível
)(2
2
tFdt
dx
dt
xdm
O termo contendo é desprezado
)(tFdt
dx
Observação sobre o caso especial (f(x)=0)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 18
Solução da equação de Fokker-Planck
Método da solução estacionária
),(2
),()(),(2
2
txPx
txPxfx
txPt
Equação de Fokker-Planck em uma variável
Equação de Langevin em uma variável
)()( txfdt
dx
0)( t )'()'()( tttt
Essa equação de Langevin está associada à equação de Fokker-Planck em uma variável:
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 19
20
),(2
),()(),(2
2
txPx
txPxfx
txPt
(1)
Encontrar a solução da equação de Fokker-Planck no regime estacionário
Equação de Fokker-Planck
),(2
),()(),( txPx
txPxftxJ
Definição:
),( txJ Corrente de probabilidade
(2)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
Corrente de probabilidade
21
),(2
),()(),(2
2
txPx
txPxfx
txPt
(1)Equação de Fokker-Planck
),(2
),()(),( txPx
txPxftxJ
),(),( txJx
txPt
Portanto:
corrente de probabilidade
Equação de Fokker-Planck
(2)
(3)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
Definição:
),( txJ
(*)
22
),(),( txJx
txPt
Equação de Fokker-Planck (3)
dxtxPt
b
a
),(
Consideremos x no intervalo [a,b]
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
Integrando com relação a x ambos os membros da Eq. (3):
ba
b
a
txJdxx
txJ),(
),(
Lado esquerdo da equação (3):
Lado direito da equação (3):
(4)
(5)
),( txJ = corrente de probabilidade
23
),(),( txJx
txPt
Equação de Fokker-Planck (3)
),(),(),( tbJtaJdxtxPt
b
a
(6)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
dxtxPt
b
a
),(
(4)
ba
b
a
txJdxx
txJ),(
),(
(5)),(),( taJtbJ
24
),( txP
0),(
dxtxP
t
b
a
(7)
Então:
é a densidade de probabilidade e, portanto,
1),( dxtxP
b
a
válida para todo e qualquer instante de tempo t!
(8)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
é normalizada , ou seja,
25
0),(
dxtxP
t
b
a
),(),(),( tbJtaJdxtxPt
b
a
Mas, já obtivemos que a integração em x da equação de Fokker-Planck fornece:
(8)
Portanto, a partir das Eqs. (6) e (8) temos:
),(),( tbJtaJ para qualquer instante t (7)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
(6)
26
),(),( tbJtaJ (Para qualquer instante t)
1),( dxtxP
b
a
Resumo
condições de contorno
),(2
),()(),( txPx
txPxftxJ
),(),( txJx
txPt
Equação de Fokker-Planck
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
Corrente de probabilidade
Normalização
),(),(),( tbJtaJdxtxPt
b
a
0),(
dxtxP
t
b
a
27
Consideraremos a condição de contorno refletora:
),(2
),()(),( txPx
txPxftxJ
),(),( tbJtaJ
),(),( txJx
txPt
Equação de Fokker-Planck
(9)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
0
(3)
28
Regime estacionário
0),(
txP
t
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
Regime estacionário a derivada com relação ao tempo de P(x,t) se anula.
Isto é, a probabilidade P não depende do tempo t no regime estacionário.
29
Regime estacionário
0),(
txP
t0),(
txJ
x
0),(
txJ
xnão depende de xno estado estacionário),( txJ
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
(10)
),(),( txJx
txPt
(3)
(3)
A partir da Eq. (10) temos que no regime estacionário:
pois,
30
0),(
txJ
x
0),(),( tbJtaJ(9)
(8 )
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
Condição de contorno:
não depende de x no estado estacionárioJ
(regime estacionário)
Então, no regime estacionário: 0)()()( bJaJxJ x
qualquer seja t
31
0),(),( tbJtaJ (9)
Então, 0)( xJNo regime estacionário
para todo e qualquer x
(10)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
Condição de contorno refletora:
não depende de x no estado estacionárioJ
Resumo
32
Isto é, no regime estacionário,
0)( xJ no regime estacionário,
para todo e qualquer x.(10)
0)(2
)()()(
xP
xxPxfxJ
0)(2
)()(
xP
xxPxf (11)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
33
0)(2
)()(
xP
xxPxf (11)
No regime estacionário temos:
)(2
)()( xPx
xPxf
)()(
1)(
2xP
xxPxf
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
(12)
Ou
34
regime estacionário
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
(13)
)()(
1)(
2xP
xxPxf
(12)
dxx
xP
xPdxxf
)(
)(
1)(
2
.)(ln)(2
constxPdxxf
Integrando ambos os lados da Eq. (12) temos:
Ou seja:
35Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
(13).)(ln)(2
constxPdxxf
CxPdxxf ln)(ln)(2
.ln constC
C
xPdxxf
)(ln)(
2
Ou,
(13)
36Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
C
xPdxxf
)(ln)(
2
C
xPdxxf
)()(
2exp
dxxfCxP )(
2exp)(
Portanto,
(14)
.constC
Solução estacionária da equação de Fokker-Planck
Aplicação
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 37
38
)()(2
2
tFxFdt
dx
dt
xdm e
dtdx /
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Consideremos a seguinte equação de Langevin para o movimento de uma partícula:
)(xFe
)(tF
força de atrito viscoso
força externa
força aleatória
Regime estacionário
Método da solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
Aplicação
39
Portanto:
Consideremos que a massa da partícula é desprezível e o meio é altamente viscoso. Nessas condições podemos desprezar o termo do lado direito da equação de Langevin que acabamos de considerar.
Ou:
Portanto:
)()( tFxFdt
dxe
)()( tFxF
dt
dx e
)()( txfdt
dx
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Langevin
(15) /)()( xFxf e (16)
)()(0 tFxFdt
dxe
40
A eq. (15) é a equação de Langevin associada à equação de Fokker-Planck:
)()( txfdt
dx
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Langevin & Equação de Fokker-Planck
(15)
),(2
),()(),(2
2
txPx
txPxfx
txPt
Que pode ser escrita como:
),(),( txJx
txPt
),(2
),()(),( txPx
txPxftxJ
0)( t )'()'()( tttt
(1)
(3)
41
Regime estacionário
))(2
exp()( dxxfCxP
/)()( xFxf e
x
xUxFe
)()( )(xU energia potencial
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
(14)
(16)
Consideremos que é tal que . é derivada de um potencial:)(xf )()( xfxFe
(17)
)(xFe
42
x
xUxFe
)()(
dxx
xUdxxf
)(2
)(2
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
(18)
)()( xfxFe
))(2
exp()( dxxfCxP (14)
A solução estacionária da equação da equação de Fokker-Planck que estamos considerando é:
x
xUxf
)(1)(
Estamos considerando que:
43
dxx
xUdxxf
)(2
)(2
))(2
exp()( xUCxP
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
))(2
exp()( dxxfCxP
(14)
(19 )
Portanto,
(18)
Mas,
Exemplo: potencial harmônico partícula sujeita a uma força elástica
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 44
45Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Fokker-Planck
Exemplo: potencial harmônico partícula sujeita a uma força elástica
kxxFe )(
k
xxk
xf
)((20)
(21)
(22)
Portanto a equação de Langevin dada em (15) fica:
)(txdt
dx
(23)
),(2
),(),(2
2
txPx
txxPx
txPt
E a equação de Fokker-Planck fica dada por:
(25)
)()(
xFxf e
46
))(2
exp()( xUCxP
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
(19)
Portanto,
)()( xUdx
dxFe
(26)
kxxFe )(2
2
1)( kxxU
)exp()(2
kxCxP
Exemplo: potencial harmônico partícula sujeita a uma força elástica
47Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
Portanto,
(26))exp()(2
kxCxP
k (23)
)exp()(2
xCxP
(27)
Exemplo: potencial harmônico partícula sujeita a uma força elástica
48Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Regime estacionário
Equação de Fokker-Planck
Exemplo: potencial harmônico partícula sujeita a uma força elástica
)exp()(2
xCxP
(27)
1)(
dxxP
1)exp()(2
dxx
CdxxP
Normalização:
(28)
49Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
1)exp(2
dxx
CNormalização:
dxx
)exp(2
adxax
)exp( 2
Integral gaussina:
A equação (28) envolve uma integral gaussina para a qual : /a
(28)
(29)
Exemplo: potencial harmônico partícula sujeita a uma força elástica
50Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
1)exp(2
dxx
C
Normalização:
dxx
)exp(2
(28)
(29)
C
(30)
Exemplo: potencial harmônico partícula sujeita a uma força elástica
51Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
Exemplo: partícula sujeita a uma força elástica (potencial harmônico)
C (30))exp()(
2
xCxP
(27)
)exp()(2
xxP
(31)
k
kx
Solução estacionária da equação de Fokker-Planck
Relação com a mecânica estatística
))(2
exp()( xUCxP
Solução estacionária
Equação de Fokker-Planck
(19)
&
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 52
53
Da mecânica estatística temos que:
))(2
exp()( xUCxP
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Regime estacionário
Equação de Fokker-Planck
(19)
))(
exp(1
)(Tk
xU
ZxP
B
.constZ
(32)
Bk T= constante de Boltzmann = temperatura absoluta
54
))(2
exp()( xUCxP
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Regime estacionário
Equação de Fokker-Planck
(19) ))(
exp(1
)(Tk
xU
ZxP
B
/2 TkB
(32)
(33)
Relação entre a intensidade do ruído e a temperatura
Portanto,
TkB
12
Comparando (19) e (32) obtemos:
FIM
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 55