Dinámica del cuerpo rígido. momento de inercia

7/29/2019 Dinmica del cuerpo rgido. momento de inercia

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Dinmica del cuerpo rgido:momento de inercia, aceleracinangular.

En un slido rgido las distancias relativas de suspuntos se mantienen constantes.

Los puntos del slido rgido se mueven con velocidadangular constante

vR i = R rR i

Nota 1. ij=1 si i= j

0 si i

jes el smbolo de Kronecker

Energa Cintica:

E=i

12mivR i

2 =i

12mi(R rR i)

2 =i

12mi(R 2rR i

2

(R .rR i)2)=

1


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1

2

i

mi(ri2

riri)

E=1

2T

Tensor de inercia:

T =

imi(ri

2 riri)

(AB)(CD) =ijkAjBkilnClDn =

(jlkn jnkl)AjBkClDn =A.CB.DA.DB.C

Momento de Inercia

Rotacin alrededor del eje z:

E=12

I332

I3 es el momento de inercia respecto al eje z:

I3 = T33 =i

midi2, di = distancia del punto i aleje z

Ejercicio 1. Encontrar I1 e I2.

Problema 1. Considere una molcula de Oxgeno (O2)

rotando en el plano xy alrededor del eje z. El eje de rotacin

2


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pasa a travs del centro de la molcula, perpendicular a su

longitud. La masa de cada tomo de Oxgeno es 2.66 1026

kg, y a temperatura ambiente la separacin promedio entre

los dos tomos es d=1.211010m.(Los tomos se suponen

puntuales).

(a) Calcule el momento de inercia de la molcula alrededor

del eje z. R:1.95 1046kgm2.

I= m(2 d2/4)= md2/2 = 2.66x1.212x1046/2

(b) Si la velocidad angular de la molcula alrededor del

eje z es 4.601012 rad/s, encuentre la energa cintica derotacin.R:2.06 1021J

Clculo de Momentos de Inercia

Consideremos un slido de densidad , el momento deinercia respecto a un eje fijo es:

I=i

(xi)d(xi)2d3xi

d3x(xR )d(xR )2 =

dm(xR ) d2(xR )

xR

puede ser un vector uni,bi o tridimensional.

Ejercicio 2. Encuentre el momento de inercia de una

circunsferencia con masa M, uniformemente distribuida,y

radio R, respecto a un eje perpendicular a la circunsferencia

que pasa por su centro.

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I= R2

dm = M R2

Ejercicio 3. Barra uniforme de largo L y masa M.

I=

L

2

L

2

dxx2 = 2L3

24

= L3

12

M = L, =M

L

4


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I= ML2

12

Ejercicio 4. Cilindro uniforme de radio R,masa M y largo

L.

d m=2rdrdz,I=

2rdrdzr2 =

2L

0

R

d rr3 = 2LR4

4

M =

2rdrdz = 2L

0

R

drr =2LR2

2

M = LR2

I= 2M

L R2L

R4

4=

12

MR2

Ejercicio 5. Casquete cilndrico

5


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I= M R2

Ejercicio 6. Cilindro hueco

dm=2rdrdz,I=

2rdrdzr2 =

2LR1

R2

drr3 = 2L (R24

R14

)4

M =

2rdrdz = 2L

R1

R2

drr =2L(R2

2R1

2)2

M = L(R22R1

2)

I = 2M

L (R22R1

2)L

(R24R1

4)

4=

12 M (R22

+ R12

)

Ejercicio 7. Tablilla rectangular de lados a, b

6


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dm= dxdy

I= dxdy(x2+ y2) =

b

a

2

a

2

dxx2 + a

b

2

b

2

dyy2

=

2

ba3

24+ a

b3

24

=

ba3

12+ a

b3

12

M= ab

I=Mba3

12+ a

b3

12

ab

=M

12(a2+ b2)

Ejercicio 8. Casquete esfrico de radio R.

dm = R2

sen d d

7


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I= R2

sen d d(R sen )2 =2R40

dsen3 =

2R41

1

du(1u2) =8

3R4 u = cos

M = 4R2

I= 83

M

4R2R4 = 2

3MR2

Ejercicio 9. Esfera slida, alrededor del eje z

I=2

34

0

R

r2d rr2 =8

15R5

M =

4r2dr =

4

3 R3

I=8

15

3M

4R3R5 =

25

M R2

Teorema de los ejes paralelos

I= ICM + MD2

8


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I=

dm(x2 + y2) x = xCM + x

y = yCM + y

I=

dm(xCM2

+ yCM2

)

+

dm

x2

+ y 2

+ 2xCM

dmx + 2yCM

dmy =

MD2 + ICM + 0

Ejercicio 10. Encuentre el momento de inercia de

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una barra de largo L y masa M alrededor de un eje

perpendicular a la barra que pasa por un extremo.

I= M

L

2

2

+1

12M L2 =

1

3ML2

Momento Angular Total:

LR =i

rR imivi =

i

mirR i (R rR i) =

i

mi(R ri2 rR i.ri) =

i

mi(ri2 riri)

L = T

A (B C) = ijkAjklnBlCn =

(iljn injl)AjBlCn =

BiA.CCiA.B

Rotacin respecto al eje z

L3 = I33

Ecuacin de Movimiento

Los momentos de inercia de un slido rgido sonindependientes del tiempo.

d LR

dt = R

L3 = I33 = I33

Aceleracin angular:

R

= R

Nota 2.En general

La = Tabb

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Ejercicio 11. Una varilla rgida de masa M y longitud

l rota sin friccin alrededor de su centro (Fig. ). Dos

partculas de masas m1 y m2 se pegan a sus extremos. La

combinacin rota en un plano vertical con velocidad angular.

(a) Encontrar la magnitud del momento angular del

sistema.

L = I

I=1

12Ml2 + m1 l

22

+ m2 l22

=

l2

4

M

3+ m1 + m2

(b) Encontrar la aceleracin angular del sistema cuando la

varilla hace un ngulo con la horizontal.

=(m2m1)gl

2cos +Mg 0

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=(m2m1)g cos l

4

M

3+ m1 + m2

Ejercicio 12.

L = m1v R + m2v R + Iv

R(torque externo)m1g R =

dL

dt=(m1 + m2)R a + I

a

R

a =m1g

(m1 + m2) +I

R2

Ejercicio 13. Una estrella rota alrededor de un eje que

pasa por su centro con un perodo de 30 das. Despus

que la estrella se transforma en supernova, su centro de104km.colapsa para formar una estrella de neutrones, de

radio 3 km. Cul es el perodo de rotacin de la estrella

de neutrones?

Iii = Iff

Ii =2

5

MRi2 If=

2

5

MRf2

2

TiIi =

2

TfIf Tf= Ti

IfIi

= Ti

RfRi

2

12


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Tf= .23s

Ejercicio 14.Una plataforma horizontal con forma dedisco de radio R = 2m. y masa M= 100kg, rota en un plano

horizontal sin roce alrededor de un eje vertical que pasa por

su centro. Un estudiante de masa m = 60kg. camina desde

el borde de la plataforma hasta una distancia rf = 0.50m

del centro. Si la velocidad angular de la plataforma cuando

el estudiante estaba en el borde era 2 rad/s, encuentre la

velocidad angular al final.

Iii = Iff

f= i

IiIf

I=1

2MR2 + m r2

f= 2 (50 4 + 60 4)50 4 + 600.25 = 2 440215 = 4.1rad/s

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Ejercicio 15. Rueda en rotacin

Li = Lf= Lrueda

Lf= LestudianteLrueda

Lestudiante = 2Lrueda

Ejercicio 16. Descomponga la energa cintica de un

cuerpo rgido en energa cintica de traslacin del CM y

energa cintica de rotacin alrededor del CM.

K=i

1

2mivR i

2 =i

1

2mi(vR CM + vR i

)2 =

1

2Mv

R CM2 + K + vR CM .

i

mivR i =

1

2

MvR CM2 + K

K =12

T

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Ejercicio 17. Disco y palo. Un disco de masa md = 2kg.

impacta un palo de masa mp = 1kg. que reposa sobre una

superficie de hielo sin roce, con una velocidad vdi = 3m/s.

Suponga que el choque es elstico.

Encuentre la velocidad de traslacin del disco, del palo yla velocidad de rotacin del palo despus del choque.Ip =

1.33kg m2 alrededor de su centro de masa. La longitud

del palo es l = 4m.

mdvdi = mpvs + mdvdf12

mdvdi2 =

12

mdvdf2 +

12

mpvs2 +

12

Ip2

mdvdil

2

=mdvdfl

2

+ Ip

vdf= 2.3m/s vs = 1.3m/s

=2rad/s

Problema 2. Teorema de los ejes perpendiculares.

El momento de inercia de una lmina rgida y plana

respecto a un eje normal a su plano es igual a la

suma de los momentos de inercia respecto a dos

ejes perpendiculares situados en el plano que se

cortan en el eje normal.

I3 =

dm(x2 + y2) =

d mx2 +

dm y2

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Ejercicio 18. Giro sin deslizamiento. Consideremos, como

indica la fig, el giro hacia abajo por un plano inclinado de

un objeto de periferia circular y una distribu- cin simtrica

de masa alrededor de su centro. (Puede tratarse de uncilindro slido, un cilindro hueco, una esfera, etc.)

Rotacin alrededor del punto instantneo de contacto.

En cualquier instante el movimiento consiste en una

rotacin alrededor de P, punto de contacto con la super-

ficie inclinada. La direccin del eje de rotacin es cons-

tante, aunque su posicin avanza a lo largo del plano. La

aceleracin en el movimiento del cuerpo que rueda se calculateniendo en cuenta que instantneamente el movimiento

es simplemente una rotacin alrededor de un punto en la

periferia del objeto. El momento de la fuerza respecto de P

debe ser igual a la variacin respecto al tiempo del momento

cintico alrededor de P (vase figura).

El carcter del movimiento de un cuerpo rodando es,en cualquier Instante, la rotacin alrededor del punto

instantneo de contacto P.

L = (MR2 + I) =(MR2 + I)v

R = MgR sen

L =M R2 + I

R

a = MgR sen

a =g

1 +I

MR2

sen

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Ejercicio 19. Pndulo fsico

=m gd sen = Io Io = ICM + M d2

Io =m gd 1

=m gd

Io

Permite determinar empricamente Io.

Momentos y productos de inercia:Ejes

principales y ecuacin de Euler

El tensor de inercia es, visto como matriz:

T= I11 I12 I13

I21 I22 I23

I31 I32 I33

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Como ya sabemos, los elementos diagonales se llamanmomentos de inercia.

Los elementos no diagonales son los productos deinercia.

En todo slido rgido, podemos encontrar un conjuntode ejes(ejes principales) donde T es diagonal.

El momento angular del slido respecto a los ejesprincipales es:

LR = I11x + I22y + I33 z

Los ejes principales estn atados al cuerpo y dependendel tiempo(Movimiento relativo).

LR

=I11x

+I22y

+I33 z

+I11x

+I22y

+I33 z

Recordemos que el cambio temporal de un vector enrotacin es:

vR

= R

rR

x = R x

y = R y

z = R z

Ecuaciones de Euler:

LR

= I11x + I22y + I33 z + R LR = R

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R

:torque respecto a los ejes principales.

1 = I11 (I2 I3)23

2 = I22 (I3 I1)31

3 = I33 (I1 I2)12

Ejercicio 20. Rotor rgido de dos partculas. Ejes fijos.

Volvamos al sistema de dos masas puntuales unidas por una

barra sin peso, que giran alrededor de un eje fijo que pasa

por su centro de masas, segn un ngulo arbitrario.

Consideraremos el problema usando los ejes principales

con referencia a la fig. Elegiremos el eje y que coincidacon la barra y origen en el centro de masas. El eje x es

perpendicular a la barra en el plano determinado por la

barra y .

El eje z (no indicado) en el instante representado est

dirigido hacia el observador. Con esta eleccin de ejes

resulta

Ix= 2ma2

Iy = 0

Iz = 2ma2

y = cos

x = sen

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z = 0

J = m a2 sen x

Para mantener la velocidad angular constante debemos

aplicar un torque:

R

= R

JR

1 = 0

2 = 0

3 =2m a2 sen cos =

2ma22 sen cos

Ejercicio 21. Disco circular

Ejercicio 22. Trompo o girscopo

Equilibrio esttico

Condiciones de equilibrio:i

FR i = 0R equilibrio traslacional (1)

i

R i = 0R respecto a cualquier eje. equilibriorotacional

equilibrio translacional:CM se mueve con velocidadv

R cm constante respecto a un sistema inercial.

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equilibrio rotacional: El cuerpo rota con velocidadangular

R

constante, respecto a cualquier eje.

Equilibrio esttico:vR cm = 0R = R

Si (1) se satisface, entonces el torque total no dependedel punto O.

Sea RR el vector posicin de O respecto a O.

R =

i

rR iFR i rR i = RR + rR i

R =

i

rR

i

FR i + RR

i

FR i = R

Ejercicio 23. Balancn

Una tabla uniforme que pesa 40N soporta a un padre y a

su hija que pesan 800N y 350N respectivamente. El pivote

est bajo el centro de gravedad de la tabla.

Si el padre est a 1m del pivote

(a) Encuentre la fuerza normal que el pivote ejerce sobre la

tabla.

n 40800 350 = 0

n = 1190N

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(b) Encuentre donde la nia debe sentarse para equilibrar

el balancn.

800 1 350 d = 0

d =800

350m =2.29m

Ejercicio 24. Escalera inclinada

Una escalera uniforme de largo l y peso mg = 50N se apoya

sobre una pared vertical suave. Si el coeficiente de roce

esttico entre el suelo y la escalera es = .4, encuentre

el ngulo mnimo 0 para que la escalera no deslice.

m gn = 0

nP = 0 frn

mgl

2cosP l sen = 0

tan =m g

Pl=

1

2=1.25

0 = 51

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Ejercicio 25. p357

Un anillo plano de masa M = 2.40 kg, radio interior

Ri = 6.00 cm, y radio exterior Re = 8.00 cm rueda(sin

deslizarse) subiendo un plano inclinado que hace un ngulo

= 36.9(Fig.). Cuando el anillo est en la posicin x =

2.00 m sobre el plano, su velocidad v = 2.80 m/s. El anillo

sigue su ascenso y luego se devuelve, sin salirse del plano

inclinado.

(a) Encuentre el momento de inercia del anillo

(b) Encuentre la distancia xf de mximo recorrido.

I=

dm r2 = 2

Ri

Re

drr3 =

2(Re

4Ri

4)

M = (Re2Ri

2)

ICM =1

2M(Re

2 + Ri2)

(b) L = I = (ICM + M Re2)

v

Re

(ICM + M Re2)

a

Re= Mg sen Re

v = v0 at

tf=v0a

x = x0 + v0t1

2at2

xf= x0 +1

2

v02

a

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Ejercicio 26. p360

Un cilindro con momento de inercia I1 rota alrededor de un

eje vertical sin friccin, con velocidad angular i . Un segudo

cilindro con momento de inercia I2 y que inicialmente no

rota cae sobre el primer cilindro (Fig.). Debido a la friccin

entre las superficies de contacto, los dos cilidros finalmene

alcanzarn la misma volocidad angular f .

(a) Calcule f.

(b) Muestre que la energa cintica del sistema decrece

con esta interaccin y calcule el cuociente entre la energa

cintica final y la energa cintica inicial.

Slo hay torques internos. Se conserva el momentumangular:

I1i = (I1 + I2)f

(a)f=I1

I1 + I2i

(b)Kf=12

(I1 + I2)f2 Ki =

12

I1i2

KfKi

= I1I1 + I2

Ejercicio 27. p385

Una barra uniforme de masa mb y longitud l soporta bloques

de masas m1, m2 en dos posiciones, como se muestra en la

figura. La barra se sostiene en dos puntos.

Para cul valor de x la barra se encontrar balanceada en

P tal que la fuerza normal en O se anula?

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Fuerzas:

nO + nPmbgm1gm2g = 0

Torques:

m2gxmbgdm1gl

2

+ d+ nOl

2

+ d= 0 nO = 0

x =mbd + m1

l

2+ d

m2

Ejercicio 28. p423

Un pndulo fsico en la forma de un cuerpo plano realiza

un movimiento armnico simple con frecuencia f = 0.450Hz. Si el pndulo tiene masa m = 2.20 kg y el pivote est

a una distancia d = 0.350 m del CM, encuentre el momento

de inercia I del pndulo.

I =m gd sen m g d 1

=m gd

I = 2f

I=m g d

42f2

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I=2.2x9.8x.35

4x3.142x.452=

7.557.99

= 0.95

Ejercicio 29. p425

Una esfera slida de radio R rueda sin deslizamiento

en un agujero cilndrico de radio Rc=5R, como semuestra en la Figure P13.56. Muestre que, para

pequeos desplazamientos desde el punto de equilibrio,

perpendiculares a la longitud del agujero, la esfera tiene

un movimiento armnico simple con perodo T=228R

5g

.

L = Iv

R= (ICM + MR

2)v

R =M gR sen =MgR

(ICM + MR2)

a

R=MgR

a = 4R

=

M gR

4(ICM + MR2)

ICM =25

M R2

=5 g

28R

=5g

28R

=

2T

T = 228R

5 g

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