Dinámica de Sistemas-Javier Aracil

7/25/2019 Dinmica de Sistemas-Javier Aracil

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Otros ttulos publicados:

1. Ingeniera de Sistemas. Benjamin S. Blanchard.2. La Teora General de Sistemas. ngel A. Sarabia.

ILUSTRACIN DE PORTADATornillo de Arqumedes.

En la actualidad es Cate-drtico de Ingeniera deSistemas y Automtica,en la Escuela Superior deIngenieros de la Universi-dad de Sevilla.

Ha investigado sobre las aplicaciones dela teora de sistemas dinmicos al mode-lado y control de sistemas tecnolgicos ysocioeconmicos, prestando especialatencin a la teora cualitativa (bifurcacio-nes, estudio global de los modos de com-portamiento, cambio cualitativo, caos,...)de la dinmica de sistemas. En este con-

texto ha desarrollado una lnea original deinvestigacin, que ha alcanzado reconoci-miento internacional al ser galardonadocon el Premio Forrester 1986. Es autor degran nmero de publicaciones en revistasde su especialidad y de varios libros, entreellos Introduccin a la Dinmica de Siste-mas, Alianza Editorial y Mquinas, siste-mas y modelos,Tecnos.

Es miembro numerario de la Academia deIngeniera de Espaa, de la Real Acade-mia de Medicina de Sevilla y de la Acade-mia Sevillana de Ciencias.

Javier Aracil


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DINMICA DE SISTEMAS2


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Nota previa

El autor desea agradecer a los miembros

del Comit de Redaccin de esta serie,

en especial al Teniente General Martn Alear

Ginard y a Alberto Sols, los interesantes comentarios

que hicieron al primer borrador de esta monografa.Asimismo aportaron valiosas sugerencias

Teodoro lamo y Francisco Gordillo,

del Departamento de Ingeniera de Sistemas

y Automtica de la Universidad de Sevilla.


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NDICE GENERAL1. INTRODUCCIN A LA DINMICA DE SISTEMAS 7

1.1.Generalidades 81.2.Metodologa sistmica 101.3.Aplicaciones de la dinmica de sistemas 17

2. ESTRUCTURA ELEMENTAL DE SISTEMAS 18

2.1.Un lenguaje elemental para la descripcin de sistemas 212.1.1.Bucle de realimentacin negativa 242.1.2. Bucle de realimentacin positiva 262.1.3. Retrasos 282.1.4. Sistemas complejos y estructuras genricas 33

3. DE LA ESTRUCTURA AL COMPORTAMIENTO 34

3.1.Introduccin 343.2.Gnesis del comportamiento en un diagrama de influencias 353.3.Dinmica de sistemas 49

4. CONSTRUCCIN, ANLISIS Y EXPLOTACIN DE MODELOS 55

4.1.Modelos de sistemas 564.2.Proceso de modelado 574.3.Simulacin de un modelo 624.4.Anlisis de sensibilidad de un modelo 644.5.Explotacin de un modelo 67

REFERENCIAS 71

BIBLIOGRAFA 75

GLOSARIO 79


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1Introduccina la dinmica

de sistemas


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1.1. Generalidades

En esta monografa vamos a tratar de dinmica de sistemas.Conviene empezar aclarando los sentidos en que emplearemos losdos trminos que aparecen en esa locucin. En primer lugar, empece-mos por sistema. Este trmino se emplea con frecuencia, aunque condistintas acepciones. De modo coloquial hablamos de un sistema, comode un modo o manera de hacer algo; as, decimos que tenemos unsistema para resolver un problema o para alcanzar un objetivo. No esese el sentido que nos interesa aqu. Ms formalmente hablamos deun sistema como de un objeto dotado de alguna complejidad, formadopor partes coordinadas, de modo que el conjunto posea una ciertaunidad, que es precisamente el sistema. As, hablamos del sistemaplanetario, formado por los planetas unidos mediante las fuerzasgravitatorias; de un sistema econmico, formado por agentes econ-micos, relacionados entre s por el intercambio de bienes y servicios;

de un sistema ecolgico, formado por distintas poblaciones, relacio-nadas mediante cadenas alimentarias o vnculos de cooperacin; deuna empresa, como sistema, en la que los distintos departamentos secoordinan en la organizacin empresarial; de una mquina, cuyas di-ferentes partes interactan para lograr el fin para el que ha sidoconcebida. Este es el uso del trmino sistema que vamos a adoptar.

Un sistema, en este sentido, lo entendemos como una unidadcuyos elementos interaccionan juntos, ya que continuamente se afec-tan unos a otros, de modo que operan hacia una meta comn. Es algo


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Introduccin a la dinmica de sistemas

que se percibe como una identidad que lo distingue de lo que la ro-dea, y que es capaz de mantener esa identidad a lo largo del tiempo y

bajo entornos cambiantes.

De casi todo lo que nos rodea se puede decir que es un siste-ma. El hecho de que incluso en fsica no hayamos encontrado unapartcula fundamental nos indica que todo est formado por partesligadas por alguna forma de coordinacin. Sin embargo, la considera-cin de que en la realidad todo est relacionado con todo puede pecarde excesivamente etrea, y resultar poco operativa. Nos interesar,

como veremos, concentrarnos en ciertos aspectos de la realidad a losque quepa considerar como sistemas, aunque para ello tengamos queprescindir de alguna de sus conexiones.

Aqu nos ocuparemos de la clase de sistemas caracterizadapor el hecho de que podemos especificar claramente las partes quelos forman y las relaciones entre estas partes mediante las que se

articulan en la correspondiente unidad. La descripcin ms elementalque podemos hacer de ellos es sencillamente enunciar ese conjuntode partes y establecer un esbozo de como se influyen esas partesentre s. A esta descripcin elemental asociaremos la imagen de ungrafo (Figura 1a), cuyos nodos son esas partes, y cuyas aristas repre-sentan las influencias que se producen entre ellas. Este grafo aportauna descripcin de naturaleza estructural del sistema, y diremos querepresenta su estructura. Veremos en el Captulo 2 cmo podemos

realizar esa descripcin.

El otro trmino que aparece en la locucin dinmicade siste-mas es dinmica. El trmino dinmica lo empleamos por oposicin aesttica, y queremos con l expresar el carcter cambiante de aquelloque adjetivamos con ese trmino. A algo que cambia asociamos unaimagen como la de la Figura 1b, que muestra la trayectoria de unamagnitud. Al hablar de la dinmica de un sistema nos referimos a quelas distintas variables que podemos asociar a sus partes sufren cam-bios a lo largo del tiempo, como consecuencia de las interacciones


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que se producen entre ellas. Su comportamiento vendr dado por elconjunto de las trayectorias de todas las variables, que suministra algoas como una narracin de lo acaecido al sistema. Por otra parte, eltrmino dinmico tiene una connotacin no slo de cambio, sino de lafuerza, de la determinacin, que lo engendra. Veremos cmo estossignificados se ajustan al uso que hacemos de ese trmino en dinmi-ca de sistemas. En el Captulo 3 presentaremos un lenguaje que nos

permitir describir cmo se genera el cambio en el seno de un siste-ma.

1.2. Metodologa sistmica

Para el estudio de los sistemas en general se ha desarrollado loque se conoce como metodologa sistmica, o conjunto de mtodosmediante los cuales abordar los problemas en los que la presencia desistemas es dominante. En realidad, la metodologa sistmica preten-


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de aportar instrumentos con los que estudiar aquellos problemas queresultan de las interacciones que se producen en el seno de un siste-

ma, y no de disfunciones de las partes consideradas aisladamente.

El anlisis de un sistema consiste en su diseccin, al menosconceptual, para establecer las partes que lo forman. Sin embargo, elmero anlisis de un sistema no es suficiente; no basta con saber cu-les son sus partes. Para comprender su comportamiento necesitamossaber cmo se integran; cules son los mecanismos mediante los quese produce su coordinacin. Necesitamos saber cmo se produce la

sntesis de las partes en el sistema.

Por ello, en el estudio de un sistema, tan importante es el an-lisis como la sntesis. El nfasis en la sntesis distingue la metodologasistmica de las metodologas cientficas ms clsicas de anlisis dela realidad, en las que se tiende a sobrevalorar los aspectos analticospor oposicin a los sintticos, mientras que en la metodologa sistmica

se adopta una posicin ms equilibrada. Tan importante es el anlisis,que nos permite conocer las partes de un sistema, como la sntesis,mediante la cual estudiamos cmo se produce la integracin de esaspartes en el sistema.

El especialista en sistemas, al que se conoce tambin comosistemista, al estudiar un cierto aspecto de la realidad analiza culesson los distintos elementos que lo forman, al tiempo que trata de es-

pecificar cmo se produce la integracin de esos elementos en la uni-dad del problema que est analizando. Por tanto, para l, tanta impor-tancia tiene el todo el propio sistema como las partes, y al consi-derar al sistema como una unidad lo har sin perder de vista las par-tes que lo forman, pero al considerar las partes, no perder de vistaque son eso, partes de un todo.

Lo que acabamos de decir puede pecar de abstracto. Vamos aver, en esta monografa, cmo la dinmica de sistemas aporta un ejem-plo concreto de una metodologa en la que se articulan el anlisis y la



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sntesis, por lo que nos va a suministrar una muestra de unametodologa sistmica.

En dinmica de sistemas vamos a ocuparnos de analizar cmolas relaciones en el seno de un sistema permiten explicar su compor-tamiento. Un sistema, ya lo hemos visto, es un conjunto de elementosen interaccin. Esta interaccin es el resultado de que unas partesinfluyen sobre otras. Estas influencias mutuas determinarn cambiosen esas partes. Por tanto, los cambios que se producen en el sistemason reflejo, en alguna medida, de las interacciones que tienen en su

seno. Los cambios en un sistema se manifiestan mediante su compor-tamiento (recurdese la Figura 1b). Por otra parte, la trama de relacio-nes constituye lo que se denomina su estructura (Figura 1a). Lo queacabamos de decir se puede parafrasear diciendo que en dinmica desistemas se trata de poner de manifiesto cmo estn relacionados suestructura y su comportamiento. Su objetivo es el conciliar estas dosdescripciones, de modo que aparezcan como las dos caras de una

misma moneda.

La metodologa sistmica suministra tambin un lenguaje queaporta nuevas formas de ver los problemas complejos. Las herramien-tas que aporta la dinmica de sistemas -desde los diagramas de in-fluencias hasta los modelos informticos- nos van a permitir ver lossistemas que pueblan nuestro entorno mediante una ptica diferenteque nos descubrir aspectos en los que posiblemente no hayamos

reparado y que, de este modo, nos permite alcanzar una visin msrica de la realidad.

1.3. Aplicaciones de la dinmica de sistemas

La dinmica de sistemas es una metodologa ideada para re-solver problemas concretos. Inicialmente se concibi para estudiarlos problemas que se presentan en determinadas empresas en lasque los retrasos en la transmisin de informacin, unido a la existen-


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cia de estructuras de realimentacin, da lugar a modos de comporta-miento indeseables, normalmente de tipo oscilatorio. Originalmente

se denomin dinmica industrial. Los trabajos pioneros se desarrollana finales de los aos 50, y durante los 60 tiene lugar su implantacinen los medios profesionales [1] [2]. Esta implantacin se produce tan-to de una forma ms o menos pura, siguiendo lo que podemos deno-minar la ortodoxia forresteriana, como, ms habitualmente, de formaeclctica, en simbiosis con otras metodologas de anlisis sistmico.En particular, los diagramas de Forrester, o de flujos-niveles, que ve-remos luego, han alcanzado una amplia difusin y son empleados aun

por aquellos que no mencionan explcitamente la dinmica de siste-mas.

A mediados de los 60, Forrester propone la aplicacin de latcnica que haba desarrollado originalmente para los estudios indus-triales, a sistemas urbanos. Surge as lo que se denomin la dinmicaurbana [3] [4] en la que las variables consideradas son los habitantes

en un rea urbana, las viviendas, las empresas, etc. Una aplicacinanloga a la dinmica urbana la constituye la dinmica regional. Conestos modelos se pretende aportar un elemento auxiliar para la plani-ficacin urbana y regional, representando las interacciones que seproducen entre las principales magnitudes socio-econmicas del reacorrespondiente [5], y generando, a partir de ellas, las evoluciones delas magnitudes consideradas significativas: habitantes, indicadoreseconmicos, etc. para, a partir de estas evoluciones, planificar las ne-

cesidades de infraestructura y otras.

A finales del decenio de los 60 se produce el estudio que posi-blemente ms haya contribuido a la difusin de la dinmica de siste-mas. Se trata del primer informe al Club de Roma, sobre los lmites alcrecimiento, que se bas precisamente en un modelo de dinmica desistemas, en el que se analizaba la previsible evolucin de una seriede magnitudes agregadas a nivel mundial como son la poblacin, losrecursos y la contaminacin [6] [7]. En este modelo se analizaba lainteraccin de estas magnitudes y se pona de manifiesto cmo, en un



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sistema, debido a las fuertes interacciones que se producen en suseno, la actuacin sobre unos elementos, prescindiendo de los otros,

no conduce a resultados satisfactorios. El informe correspondientetuvo una gran incidencia en la opinin pblica y ha sido objeto demltiples debates, tanto a favor como en contra. Recientemente se hapublicado una reelaboracin de sus conclusiones, en la que prctica-mente se mantienen las recomendaciones de aquel informe [8].

A raz de la realizacin de este ltimo informe, se puso de mani-fiesto que la dinmica de sistemas era algo ms que la dinmica in-

dustrial o la dinmica urbana, y se convino adoptar la denominacinde dinmica de sistemas, con la que se conoce actualmente.

Los campos de aplicacin de la dinmica de sistemas son muyvariados. Durante sus ms de 30 aos de existencia se ha empleadopara construir modelos de simulacin informtica en casi todas las cien-cias. Por ejemplo, en sistemas sociolgicos ha encontrado multitud de

aplicaciones, desde aspectos ms bien tericos como la dinmica so-cial de Pareto o de Marx [9], hasta cuestiones de implantacin de lajusticia [10]. Un rea en la que se han desarrollado importantes aplica-ciones es la de los sistemas ecolgicos y medioambientales, en dondese han estudiado, tanto problemas de dinmica de poblaciones [11],como de difusin de la contaminacin [12]. No es casual que, comohemos mencionado, esta metodologa fuese empleada por el Club deRoma. Otro campo interesante de aplicaciones es el que suministran los

sistemas energticos, en donde se ha empleado para definir estrategiasde empleo de los recursos energticos [13] [14]. Se ha empleado tam-bin para problemas de defensa, simulando problemas logsticos de evo-lucin de tropas y otros problemas anlogos ([15], Captulos 8 y 10).

Ms all de las aplicaciones concretas que acabamos de men-cionar, la difusin de estas tcnicas ha sido muy amplia, y en nuestrosdas se puede decir que constituye una de las herramientas sistmicasmas slidamente desarrolladas y que mayor grado de aceptacin eimplantacin han alcanzado.


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En las pginas que siguen vamos a hacer una presentacinelemental de la dinmica de sistemas. De los cuatro Captulos en que

est dividida esta monografa, el primero ya lo est terminando el lec-tor. Los dos siguientes se dedican a sentar las bases del lenguajepara la descripcin de sistemas empleado en dinmica de sistemas.En el Captulo 2 vamos a presentar los elementos bsicos de un len-guaje sistmico, que nos van a permitir alcanzar un esbozo de su es-tructura, y especialmente de las estructuras bsicas de realimentacinsubyacentes. El Captulo 3 aporta los instrumentos con los que vamosa poder describir lo que es propiamente la dinmica de un sistema. El

Captulo 4 se dedica a exponer cmo se realiza en la prctica la explo-tacin de ese lenguaje.



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2Estructura elemental

de sistemas


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2.1. Un lenguaje elemental para la descripcin de sistemas

La descripcin mnima de un sistema viene dada por la especifica-cin de las distintas partes que lo forman, mediante el conjunto Cde sucomposicin, y por la relacin Rque establece cmo se produce la in-fluencia entre esas partes. Veamos mediante un sencillo ejemplo cmopodemos analizar la estructura sistmica de un proceso. Supongamos elhecho elemental de llenar un vaso de agua. En la Figura 2 se muestrauna ilustracin grfica de ese proceso. Su descripcin, en lenguaje ordina-rio, es muy simple: el que llena el vaso de agua, mediante la observacindel nivel alcanzado en el vaso, acta sobre el grifo, de modo que lo vacerrando segn se alcanza el nivel que estima oportuno. El proceso quetiene lugar lo describiramos como sigue: el agente (el que llena el vaso)compara el nivel alcanzado en el vaso con el nivel deseado, si existediscrepancia acta sobre el grifo, con lo que se influye sobre el nivelalcanzado, que es de nuevo comparado (en realidad se trata de un pro-

ceso continuo) con el nivel deseado; segn disminuya la discrepancia, seir cerrando el grifo, hasta que al anularse esta, se cierre definitivamente.

El proceso as descrito se puede representar de forma ms sin-ttica mediante un diagrama como el que se superpone en la Figura3a. En este diagrama se indican los hitos ms importantes que inter-vienen en el proceso, de acuerdo con la descripcin anterior, y queson el nivel alcanzado en el vaso, la discrepancia entre ese nivel y eldeseado, y el flujo de agua que modifica aquel nivel. Estos elementosbsicos del proceso estn unidos entre s mediante flechas que indi-


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Estructura elemental de sistemas

can las influencias que se establecen entre ellos. Por ejemplo, el nivelalcanzado depende del flujo de agua o, lo que es lo mismo, el flujo deagua influye sobre el nivel alcanzado, lo que se indica, en el diagra-ma, mediante una flecha que va desde flujo de agua a nivel al-canzado. Esta relacin de influencia se escribe:

FLUJO DE AGUA NIVEL

De forma anloga, la discrepancia se determina a partir delnivel deseado y del nivel alcanzado (en realidad es la diferenciaentre ambas). Por ltimo, la discrepancia determina el flujo deagua. Articulando todas las relaciones de influencia se tiene el diagra-ma de la Figura 3a.

En esta figura se observa que las flechas que unen la discre-pancia con el flujo de agua, ste con el nivel alcanzado, para acabarde nuevo en la discrepancia, forman una cadena circular o cerrada de


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influencias. Es lo que se conoce como un bucle de realimentacin,que es un elemento bsico en la estructura del sistema y que tratare-mos con detalle en la Seccin siguiente.

Este ejemplo constituye una muestra de cmo se puede anali-zar un sistema, descomponerlo en sus elementos esenciales, y rela-cionar estos elementos mediante un bosquejo de cmo se producen

las influencias entre ellos. De este modo se tiene la descripcin mselemental que podemos tener de ese sistema, que se limita a estable-cer qu partes lo forman y cules de ellas se influyen entre s. Lainfluencia, en esta descripcin, se mantiene a un nivel cualitativo, enel sentido de que nicamente se dice si se produce o no influencia,pero no la forma o magnitud que tenga. En general, si Ay Bson dospartes de un sistema, el hecho de que Ainfluya sobre Bse representamediante un flecha de la forma A Be indica que Bes una funcinde A, es decir B= (A), aunque no conozcamos la forma matemticaexacta de la funcin.


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El conjunto de las relaciones entre los elementos de un sistemarecibe la denominacin de estructura del sistema y se representa me-

diante el diagrama de influenciaso causal. Emplearemos preferente-mente la denominacin diagrama de influencias para lo que en literatu-ra clsica de dinmica de sistemas se conoce tambin como diagramacausal. Esta ltima denominacin tiene connotaciones ms fuertes y seconsidera menos apropiada. El diagrama de influencias de la Figura 3aconstituye un ejemplo de la estructura de un sistema. La estructura jue-ga un papel esencial en la determinacin de las propiedades sistmicas.

En su forma ms simple el diagrama de influencias est forma-do por lo que se conoce como un grafo orientado. A las flechas querepresentan las aristas se puede asociar un signo. Este signo indica silas variaciones del antecedente y del consecuente son, o no, del mis-mo signo. Supongamos que entre Ay Bexiste una relacin de influen-cia positiva

+A B

Ello quiere decir que si Ase incrementa, lo mismo suceder conB; y, por el contrario, si Adisminuye, as mismo lo har B. Por otraparte, si la influencia fuese negativa a un incremento de A seguirauna disminucin de B, y viceversa. De este modo, asociando un signoa las relaciones de influencia, se tiene un diagrama que suministrauna informacin ms rica sobre la estructura del sistema, aunque con-

tine conservando su carcter cualitativo. El grafo correspondiente sedice que est signado. En la Figura 3b se muestra el diagrama delproceso de llenar un vaso, con un grafo de este tipo.

2.1.1. Bucle de realimentacin negativa

El proceso considerado en la Figura 2, al que se ha asociado eldiagrama de influencias de la Figura 3, es un caso particular de la situa-cin general que se considera en la Figura 4. En esta figura se tiene



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que el estado alcanzado por una cierta magnitud (el nivel de agua en elejemplo anterior) viene determinado por una accin (el flujo de agua)

que a su vez es consecuencia de la discrepancia entre el estado alcan-zado por esa magnitud y el valor que se pretende que tenga, que en laFigura 4 se denomina objetivo. Es decir, la discrepancia entre el estadoy objetivo determina la accin que modifica el estado en el sentido deque alcance el objetivo deseado (que la discrepancia se anule).

El diagrama de la Figura 4 recibe la denominacin de bucle derealimentacin negativa, y representa un tipo de situacin muy frecuente

en el que se trata de decidir acciones para modificar el comportamientocon el fin de alcanzar un determinado objetivo. Un diagrama de esta na-turaleza se puede aplicar tanto al sencillo acto de coger un lpiz, detec-tando mediante la vista la discrepancia entre las posiciones de la mano ydel lpiz; al proceso de regulacin de la temperatura en una habitacin,en el que la discrepancia entre la temperatura deseada y la consideradaconfortable determina la actuacin de un calefactor (si estamos en invier-

no) para corregir esa discrepancia (ver Figura 5); y tantos otros procesosde naturaleza semejante. El diagrama de un bucle de realimentacin ne-gativa aporta el esquema bsico de todo comportamiento orientado a unobjetivo. Su ubicuidad fue puesta de manifiesto por Norbert Wiener cuan-do, en el decenio de los aos 40, sent las bases de la ciberntica.

Un bucle de realimentacin negativa tiene la notable propiedad deque si, por una accin exterior, se perturba alguno de sus elementos, el

sistema, en virtud de su estructura, reacciona tendiendo a anular esaperturbacin. En efecto, consideremos el bucle de la Figura 6a, en el quelos elementos se han representado, de forma general, mediante las le-tras A, By C. Supongamos que uno cualquiera de ellos, por ejemplo el B,se incrementa. En virtud de las relaciones de influencia, el incremento deBdeterminar el de C, ya que la relacin de influencia correspondientees positiva. A su vez, el incremento de Cdeterminar el decrecimiento de

A, ya que as lo determina el carcter negativo de la influencia. El

decrecimiento de Adar lugar al de B, pues la relacin es positiva. Portanto, el incremento inicial de Ble vuelve, a lo largo de la cadena de


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realimentacin, como un decremento; es decir, la propia estructura derealimentacin tiende a anular la perturbacin inicial, que era un incre-

mento, generando un decremento. De este modo se comprende que losbucles de realimentacin negativa son bucles estabilizadores, que tien-den a anular las perturbaciones exteriores. Por ello, los ingenieros quedisean sistemas de regulacin automtica los incorporan en sus pro-yectos como elementos bsicos para conseguir la accin reguladora (loque logran mediante la adicin de bucles de realimentacin negativa alos procesos que disean). El efecto de un bucle de realimentacin nega-tiva es, por tanto, el tratar de conseguir que las cosas continen como

estn, que no varen. Son bucles que estabilizan los sistemas.

Es conveniente observar que en un bucle de realimentacinnegativa lo que se realimenta es informacin. El agente necesita infor-macin sobre los resultados de sus decisiones para adaptarlas a losresultados que esas acciones van produciendo. Ms adelante, en laSeccin 3.3, volveremos sobre este punto.


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2.1.2. Bucle de realimentacin positiva

La otra forma que puede adoptar un bucle de realimentacines la que se muestra en la Figura 7, en la que se tiene un bucle derealimentacin positiva. Se trata de un bucle en el que todas lasinfluencias son positivas (o si las hubiese negativas, tendran quecompensarse por pares). En general la Figura 7 representa un pro-ceso en el que un estado determina una accin, que a su vez refuerzaeste estado, y as indefinidamente. En este caso el estado es unapoblacin, y la accin su crecimiento neto. En tal caso, cuanto mayor

sea la poblacin, mayor es su crecimiento, por lo que a su vez mayores la poblacin, y as sucesivamente. Se tiene, por tanto, un creci-miento explosivo de la poblacin.

En la Figura 8a se representa de forma esquemtica, mediantelas letras A, By C, un bucle de esta naturaleza. Con ayuda de estediagrama se puede analizar, de forma general, el comportamiento que


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genera este bucle. Si cualquiera de sus elementos sufre una perturba-cin, sta se propaga, reforzndose, a lo largo del bucle. En efecto, si

Acrece, entonces, en virtud del signo de la influencia, lo har B, loque a su vez determinar el crecimiento de Cy, de nuevo, el de A. Porlo tanto, la propia estructura del sistema determina que el crecimientoinicial de Avuelva reforzado a A, inicindose de este modo un pro-ceso sin fin que determinar el crecimiento de A (Figura 8b). Esteefecto se conoce vulgarmente como crculo vicioso o bola de nie-ve. El cambio se amplifica produciendo ms cambio.

Se trata, por tanto, de una realimentacin que amplifica las per-turbaciones y que, por tanto, inestabiliza al sistema. En este sentidose puede decir que su efecto es contrario al de la realimentacin ne-gativa. Si aquella estabilizaba, esta desestabiliza.

Antes de terminar con esta presentacin elemental de los bu-cles de realimentacin positiva y negativa debe quedar bien claro que


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el comportamiento asociado a estos bucles, sea el comportamientoautorregulador del bucle de realimentacin negativa o el comporta-

miento explosivo del positivo, son modos de comportamiento que cabeimputar a la estructura del sistema, y no a las partes que lo forman.Recurdense las Figuras 6 y 8 que nos han suministrado el esquemabsico de estos bucles de realimentacin. Con estas Figuras hemospodido entender el comportamiento correspondiente, prescindiendode los elementos concretos que representasen A, B y C. En estesentido decimos que los bucles de realimentacin son elementos b-sicos para la generacin endgena (desde dentro del propio sistema)

del comportamiento.

2.1.3. Retrasos

Hemos visto como la informacin sobre las relaciones de in-fluencia poda enriquecerse con la adicin de un signo. En algunos

casos interesa, adems, distinguir entre influencias que se producende forma ms o menos instantnea e influencias que tardan un ciertotiempo en manifestarse. En este ltimo caso, se tienen influencias alas que se asocian retrasos. En el diagrama de influencias, si Ainfluyesobre B, y esta influencia tarda un cierto tiempo en manifestarse, en-tonces se aaden dos trazos sobre la flecha correspondiente. En laFigura 9a se muestra un bucle de realimentacin negativa en el que lainfluencia entre Cy Ase produce con un retraso, por lo que la flecha

correspondiente presenta dos trazos.

Los retrasos pueden tener una enorme influencia en el compor-tamiento de un sistema. En los bucles de realimentacin positiva de-terminan que el crecimiento no se produzca de forma tan rpida comocabra esperar. En los de realimentacin negativa su efecto es mspatente. Su presencia puede determinar que ante la lentitud de losresultados se tomen decisiones drsticas que conduzcan a una osci-lacin del sistema. As en la Figura 9b se muestra el posible compor-tamiento del sistema de la Figura 9a, en el que se produce una oscila-


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cin en torno a la meta perseguida. Precisamente, el anlisis de estasoscilaciones en una empresa con retrasos en la transmisin de infor-macin se encuentra en los orgenes de la dinmica de sistemas.

2.1.4. Sistemas complejos y estructuras genricas

Los bucles de realimentacin positiva y negativa constituyenlos ejemplos ms simples de estructura de un sistema capaces degenerar comportamiento de forma autnoma. Sin embargo, los siste-mas con los que habitualmente nos encontramos no es frecuente queadmitan una descripcin en la que aparezca exclusivamente una deesas estructuras. Por el contrario, lo habitual es que nos encontremoscon sistemas complejos en los que coexistan mltiples bucles derealimentacin, tanto positivos como negativos. En tal caso el com-portamiento resultante depender de cules de los bucles sean domi-nantes en cada momento.


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El ejemplo ms simple de un sistema con varios bucles derealimentacin es el que se muestra en la Figura 10, en el que se

tiene una estructura en la que coexisten un bucle de realimentacinpositiva con uno negativo. Existen muchos procesos en la realidad alos que es aplicable este diagrama. Se trata de procesos en los queinicialmente se produce un crecimiento; es decir, al principio el buclede realimentacin positiva es el dominante. Sin embargo, sabemosque todo proceso de crecimiento tarde o temprano debe cesar. No hayun crecimiento indefinido. Este efecto limitador del crecimiento se in-corpora mediante un bucle de realimentacin negativa, como el que

se muestra a la derecha de la Figura 10. Cuando el estado ha alcan-zado un considerable nivel de crecimiento, como consecuencia deque el bucle de realimentacin positiva es dominante, se invierte ladominancia de los bucles, de modo que el nuevo bucle dominante esel negativo y se produce la limitacin del crecimiento.

Todo sucede como si se combinase el crecimiento asociado a

un bucle de realimentacin positiva (recurdese la Figura 8b), en la



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fase inicial del proceso, con el comportamiento asinttico correspon-diente a un bucle de realimentacin negativa (Figura 6b), en la fase

terminal. En la Figura 11 se muestra la combinacin de estos dos mo-dos de comportamiento, que da lugar a la conocida curva de creci-miento logstico o sigmoidal.

El nmero de procesos a los que se puede aplicar esta estruc-tura de dos bucles es muy amplio y comprende desde la introduccinde un nuevo producto en un mercado (con una fase inicial deimplantacin y gran crecimiento, y una fase final de saturacin) hasta

la introduccin de una nueva poblacin en un hbitat en el que inicial-mente estaba ausente. La estructura de la Figura 10 permite dar unainterpretacin estructural del comportamiento que aparece en la Figu-ra 11. De este modo vamos viendo cmo es posible asociar estructuray comportamiento, que ya hemos dicho que es el objetivo fundamentalde la dinmica de sistemas. Sin embargo, por el momento, lo estamoshaciendo de forma eminentemente cualitativa. En el prximo Captulo


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veremos cmo efectivamente se pueden obtener los comportamien-tos, como el de la Figura 11, a partir de estructuras, como las de la

Figura 10.

La estructura que se ha representado en la Figura 10 constitu-ye un ejemplo de lo que se conoce como arquetipos sistmicoso es-tructuras genricas. Se trata de situaciones tpicas que aparecen enproblemas muy variados, pero que admiten la misma descripcin b-sica desde un punto de vista sistmico. Aqu hemos presentado unade las ms sencillas, pero en la literatura se encuentra un gran nme-

ro de ellas. Una presentacin ms completa de los arquetipossistmicos puede verse en el libro de Senge, La quinta disciplina[16].

En dinmica de sistemas clsica las nicas estructuras bsi-cas que se consideran son las de realimentacin. Ello es debido aque se trabaja con un alto grado de agregacin y se prescinde nor-malmente de la estructura espacial del sistema considerado. Cuan-

do sto no es as, e interesa analizar la organizacin en el espacio,entonces la consideracin exclusiva de la estructura de realimentacindeja de ser suficiente. Hay que recurrir a otra estructura, que es lade reaccin-difusin, que permite dar cuenta de cmo se produce laordenacin espacial en el seno de un sistema. La consideracin deesta estructura excede los lmites impuestos a esta monografa (ver[17], Captulo 8).


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3De la estructura

al comportamiento


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3.1. Introduccin

En el captulo anterior se ha presentado un lenguaje sistmicoque aporta los elementos bsicos para una descripcin esquemticade un sistema. De acuerdo con esta descripcin, un sistema se redu-ce a una serie de elementos entre los que se producen influencias.La descripcin se traduce en un grafo, de los que hemos visto algu-nos ejemplos en ese captulo.

Hemos visto tambin cmo a determinadas estructuras se aso-ciaban modos de comportamiento. Por ejemplo, se ha mostrado quea un bucle de realimentacin positiva, tal como el de la Figura 6a,se puede asociar un comportamiento caracterizado por el creci-miento, como el de la Figura 6b. Pero ello lo hemos hecho a partirde consideraciones meramente cualitativas, sin disponer de instru-mentos para determinar exactamente la curva de crecimiento de la

Figura 6b.

En este Captulo vamos a presentar instrumentos adicionalesque nos van a permitir reelaborar los diagramas de influenciaspara convertirlos en unos objetos matemticos ms ricos, quereciben la denominacin de sistemas dinmicos, y queprogramados en un computador (adoptaremos este trmino paralo que tambin se conoce como ordenador) permitarn generarlas trayectorias que representan el comportamiento de lossistemas.


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De la estructura al comportamiento

3.2. Gnesis del comportamiento en un diagrama de influencias

La estructura de un sistema, tal como se ha presentado en elCaptulo anterior, puede aparentar tener un carcter esencialmente es-ttico aunque, sin embrago, hemos visto cmo permita conjeturar elcomportamiento del sistema ante perturbaciones exteriores. Ahora cabepreguntarse cmo dar razn de la generacin endgena del comporta-miento. A ello vamos a dedicar esta Seccin. Partiremos de la observa-cin de que entre los distintos elementos que aparecen en los nodos deun diagrama de influencias, algunos representan variaciones con res-

pecto al tiempo de otras magnitudes consideradas en ese mismo diagra-ma. Por ejemplo, en el diagrama de la Figura 3 la variable flujo de aguarepresenta la variacin con respecto al tiempo del nivel alcanzado porel fluido en el vaso. Recordando esa figura se tiene:

FLUJO NIVEL

Esta influencia es un caso particular de otra ms general quepodemos expresar de la forma:

(3.1)

En la que dX/dtdenota la variacin con respecto al tiempo de lamagnitud X. Esta expresin representa una relacin trivial: la variacin

con respecto al tiempo de Xinfluye en el crecimiento de la propia variableX. Sin embargo, lo que interesa por el momento resaltar es que la existen-cia, en el diagrama de influencias, de variables que representan la varia-cin con respecto al tiempo de otras, comporta que estas ltimas varen alo largo del tiempo. En este sencillo hecho se basa el que podamos decirque en la estructura est implcito el comportamiento del sistema.

Conviene tambin observar que siempre que tengamos unavariable del tipo dX/dt, que representa la variacin de una magnitud Xcon respecto al tiempo, se tendr una relacin de influencia como la


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de la expresin (3.1). La variable X resulta de la acumulacin delcambio implcito en la variable dX/dt. Por tanto, siempre que aparez-

ca una variable como la dX/dtaparecer una X, y entre ambas seestablecer una relacin como la (3.1). Por analoga con el ejemplode la Figura 3, la variable Xse denomina variable de nively la varia-ble dX/dtvariable de flujo. En la literatura matemtica a la variablede nivel se la conoce tambin como variable de estado.

Las anteriores consideraciones nos llevan a postular una clasi-ficacin de las distintas variables que aparecen en un diagrama de

influencias en tres grupos: variables de nivel o estado, variables deflujo y variables auxiliares. Las variables de nivel son normalmente lasvariables ms importantes y representan esas magnitudes cuya evo-lucin es especialmente significativa. Asociada a cada variable de ni-vel se encuentran una o varias variables de flujo, que determinan suvariacin a lo largo del tiempo. Por ltimo, las variables auxiliares sonel resto de las variables que aparecen en el diagrama, y representan

pasos intermedios para la determinacin de las variables de flujo apartir de las variables de nivel.

Si somos capaces de realizar esa clasificacin vamos a poderdar un paso de significacin considerable para llegar a una descrip-cin del sistema ms formalizada. Un ejemplo nos permitir ilustrar loque estamos diciendo. Para ello vamos a considerar el proceso dedifusin de una infeccin en una poblacin inicialmente sana. Esta

poblacin sufre el efecto de una epidemia, de modo que, medianteuna tasa de contagio, la enfermedad se va propagando hasta infectara toda la poblacin. La descripcin del proceso, en lenguaje ordinario,se puede reducir a los cuatro enunciados siguientes:

R1: cuanto ms grande es la tasa de contagio, mayor es la

poblacin infectada; R

2: a su vez, cuanto mayor es la poblacin infectada ms gran-

de ser la tasa de contagio (la infeccin se difundir a mayorvelocidad);


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R3: por otra parte, cuanto mayor es la poblacin infectada menor

ser la poblacin an vulnerable; y,

R4: cuanto mayor sea la poblacin vulnerable a la epidemia,mayor ser la tasa de contagio.

Estos enunciados, que constituyen la descripcin bsica del pro-ceso, se pueden convertir en relaciones de influencia entre las diferentesvariables con las que se puede describir el proceso. Estas variables son:la poblacin infectada PI, la tasa de contagio TCy la poblacin vulnera-ble a la enfermedad PV. Entre estas variables, de acuerdo con los ante-

riores enunciados, se pueden establecer las relaciones de influencia:

R1 : TC PI

R2 : PI TC

R3 : PI PV

R4 : PV TC

+

+

-

+

El conjunto de estas relaciones conduce al diagrama integrado

que se muestra en la Figura 12. En este diagrama se pone de manifiestoque el proceso posee una estructura con dos bucles de realimentacin,uno positivo y otro negativo. En el Captulo anterior hemos consideradoestructuras de este tipo De momento, sin embargo, lo que interesa esresaltar cmo los enunciados bsicos del proceso han conducido a undiagrama de influencias. Estos enunciados bsicos, en un caso real demodelado, corresponderan al conocimiento disponible con relacin al

proceso que se trata de modelar, y normalmente ser facilitado por losespecialistas en ese tipo de procesos. En la literatura clsica de dinmicade sistemas es frecuente referirse a este conjunto de enunciados como almodelo mental de los correspondientes especialistas. El diagrama de laFigura 12 constituye una descripcin del proceso que se est estudiandoen el lenguaje sistmico que se ha desarrollado en el Captulo anterior.

Interesa ahora clasificar los distintos elementos que apare-

cen en el diagrama de la Figura 12 en los tres tipos de variablespropuestos: niveles, flujos y auxiliares. Para ello, en primer lugar,



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deben identificarse las variables de nivel del proceso en cuestin.En este caso es fcil ver que existe una nica variable de nivel quecorresponde a la poblacin infectada PI. La tasa de contagio esuna variable de flujo, ya que su significado es precisamente el de lavariacin de la poblacin infectada con respecto al tiempo. Es de-cir la influencia

TASA DE CONTAGIO POBLACION INFECTADA

+

es de la forma (3.1) y por tanto a la poblacin infectada PIle corres-ponde el carcter de variable de nivel Xy a la tasa de contagio TCelde flujo dX/dt. Algunos autores proponen realizar un anlisis dimen-sional para llevar a cabo la identificacin de las variables de nivel yde flujo. En efecto, en la expresin (3.1) tenemos una relacin deinfluencia en la que el consecuente viene medido en unas ciertas

unidades y el antecedente en esas mismas unidades partidas portiempo.


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A las variables de nivel y de flujo se asocian unos iconos (grfi-cos) como los que se indican en la Figura 13, en la que a una variable

de nivel se asocia un rectngulo y a una de flujo un icono que recuerdauna vlvula, cuya apertura se regula precisamente mediante el flujo querepresenta esta variable. En la literatura se encuentran las dos formasde representar las variables de flujo que se indican en la Figura 13.

Las variables auxiliares se representan mediante crculos. Eldiagrama que se obtiene a partir de un diagrama de influencias, clasi-ficando sus nodos en variables de nivel, flujo o auxiliares y asociando

a esos nodos los iconos correspondientes recibe la denominacin dediagrama de Forrester o diagrama de flujos-niveles.

En la Figura 14 se tiene el diagrama de Forrester del procesode difusin de una enfermedad. Este diagrama se ha obtenido particu-larizando los elementos que aparecen en el de la Figura 12, convir-tiendo cada uno de ellos en una variable de estado, de flujo o auxiliar.


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Ya hemos identificado la variable PIcomo de nivel y la TCcomo deflujo. La restante PVes una variable auxiliar, ya que representa unpaso intermedio en la determinacin de TCa partir de PI. Adems, enla Figura 14 se indican mediante los smbolos IPC, TNCy PTlas cons-tantes que representan a las infeccionnes por contagio, la tasa nor-mal de contagio y la poblacin total, respectivamente. Por ltimo, en lamisma Figura, aparece, en el extremo superior izquierdo, una nube

que representa una fuente, o un sumidero, que no es relevante parala descripcin del sistema. Se podra prescindir de l pero se incluyepara dar mayor coherencia al diagrama.

Veamos cmo al diagrama de Forrester se asocian, a su vez,las ecuaciones funcionales del modelo. En primer lugar, considere-mos la relacin entre la tasa de contagio TCy la poblacin infectadaPI. La evolucin de esta poblacin viene dada por la expresin

PI (T + t) = PI (t) + t * TC (3.2)


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que indica que la poblacin infectada PIen el instante de tiempo t + tse obtiene sumando a la poblacin infectada que exista en el tiempo

t los contagios que se han producido en el perodo de tiempo entre tyt + t. La ecuacin anterior recibe la denominacin de ecuacin denivel o de estado, e indica cmo evoluciona la variable de estado PIenfuncin del flujo TCque determina su variacin. Esta ecuacin se puedeescribir tambin, empleando notacin diferencial, de forma alternati-va:

(3.3)

La tasa de contagio TCse determina con ayuda de la expre-sin:

TC(t) = IPC * TNC * PI(t) * PV(t) (3.4)

que establece que esa tasa de contagio se obtiene multiplicando lasinfecciones por contagio IPC, la tasa normal de contagio TNC, la po-blacin infectada PIy la poblacin vulnerable PV. Esta ecuacin esuna muestra de lo que se conoce como una ecuacin de flujo. Lasecuaciones de este tipo permiten determinar una variable de flujo apartir de determinados parmetros del modelo (en este caso IPC yTNC), de variables auxiliares (como PV) y/o de variables de estado

(como PI). Los parmetros IPCy TNCtoman valores constantes paracada simulacin del modelo.

En el modelo aparece tambin la variable auxiliar poblacin vul-nerable PV, que viene dada por:

PV = PT - PI (3.5)

es decir, como diferencia entre la poblacin vulnerable PV y la pobla-cin infectada PI.



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En la Tabla 1 se reune el conjunto de las expresiones (3.2),(3.4) y (3.5) que constituyen una descripcin matemtica del proceso

de difusin de una enfermedad. Cada ecuacin se asocia a la relacinRide la descripcin verbal del proceso.

TABLA 1 - RELACIONES QUE FORMAN LA DESCRIPCIN

VERBAL Y ECUACIONES DEL MODELO -

Conviene observar que en el modelo adems de la variable deestado PI, el flujo TCy la variable auxiliar PTtambin han aparecidounos parmetros IPC y TNC y una variable exgena PV. A losparmetros hay que darles un valor numrico para que el modelo serefiera a una situacin concreta. Ello se hace habitualmente de una de

las dos formas siguientes:

1. Bien se atiende al significado concreto de esos parmetros, yse dispone de informacin numrica suficiente para conocersus valores. En este caso, se requerira el conocimiento delnmero de infecciones por contagio, que nos dara el parmetroIPC, y de la tasa normal de contagio TNC. Esta informacinser suministrada por los correspondientes especialistas.

2. O bien, en los casos en los que no se disponga de informacinsobre los valores de los parmetros, pero sin embargo se dis-ponga de datos con relacin a la evolucin de las magnitudessignificativas del sistema en un perodo de tiempo determinado,se puede emplear tcnicas de ajuste de los parmetros. Estastcnicas consisten, esencialmente, en determinar los valoresnumricos de los parmetros que minimizan algn ndice quemida la discrepancia entre los datos histricos de evolucin delproceso y los generados por el sistema dinmico.

R1 PI(t + t) = PI(t) + t* TC

R2yR4 TC = IPC* TNC* PI* PV

R3 PV = PT PI


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Resulta interesante observar que hasta la escritura de las ex-presiones de la Tabla 1, o lo que es lo mismo del diagrama de Forrester,

la nica informacin que se ha considerado es de naturaleza cualita-tiva. La informacin cuantitativa se emplea posteriormente para asig-nar valores numricos a los parmetros que intervienen en esas ex-presiones.

El ejemplo que acabamos de ver muestra los elementos bsicosen la descripcin de un sistema. Sin embargo, en este ejemplo falta unelemento muy importante: la funcin tabla. Esta funcin permite repre-

sentar dependencias no lineales entre variables. Por ejemplo, supon-gamos que la variable auxiliar Bes funcin de A, mediante una expre-sin de la forma B = (A). Supongamos que la funcin tiene la formaque se indica en la Figura 15. Es habitual que esta funcin se de me-diante una tabla de valores correspondientes a determinados valoresde A. A ello obedece la denominacin de funcin tabla. En un diagramade Forrester se representa mediante un crculo, tal como se indica en la



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Figura 15. Desde un punto de vista matemtico es importante observarque mediante las funciones tablas se describen las no-linealidades del

sistema que vienen dadas por puntos. Adems, pueden tenerse no-linealidades mediante expresiones analticas.

Con ello ya hemos completado el conjunto de smbolos que seemplea en un diagrama Forrester, y que se reunen en la Figura 16.

El lector con formacin matemtica habr entendido que si lle-vamos las expresiones (3.4) y (3.5) a (3.3), hacemos x = PI, v = PTy

englobamos en pel producto de los parmetros IPC * TNCdel mode-lo, podemos escribir:

(3.6)

Esta expresin es del tipo:

(3.7)

que representa lo que los matemticos conocen como un sistema di-nmico. Con ello se pone de manifiesto que un modelo de dinmicade sistemas es un sistema dinmico.

Con lo visto hasta aqu hemos completado el proceso medianteel cual a partir de un diagrama de influencias, que representa la des-cripcin ms elemental que podemos hacer de un sistema, hemossido capaces de obtener el diagrama de Forrester, especializando losdistintos elementos que aparecen en aquel, a partir del cual tenemosun objeto matemtico muy elaborado, que es un sistema dinmico, elcual puede ser programado en un computador. Para ello se recurre alenguajes o entornos informticos de simulacin adecuados. Aunquela programacin de un modelo como el que se tiene en la Tabla 1puede hacerse en cualquier lenguaje de alto nivel, resulta ms cmo-


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do emplear los que se han desarrollado al efecto. El ms clsico em-pleado en dinmica de sistemas es el DYNAMO. Con ayuda de estelenguaje, el modelo que estamos viendo se programara como sigue:

* * Difusin de una epidemia * *l pi.k = pi.j+dt * tc.jkn pi = 10

r tc.kl = ipc * tcn * pi.k * pv.kc ipc = 0.15c tcn = 0.025a pv.k = pt - pi.kc pt = 100save pi, pv, tcspec dt = 0.25/length = 40/savper = 1

Si se comparan las lneas de este programa con las de la Tabla1 se ver que resultan muy fciles de entender. En cada lnea, a la


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izquierda, aparece una letra que representa el tipo de la ecuacin: lsise trata de una ecuacin de nivel; rsi lo es de flujo; asi es una auxiliar;

cpara indicar una constante; y npara las condiciones iniciales de unavariable de nivel. Para indicar los instantes de tiempo se emplean losletras i, jy k, despus de un punto, tras la correspondiente variable.Por ejemplo, pi.krepresenta el valor de pien el tiempo k. El empleode dos letras representa el incremento de la variable entre los instan-tes de tiempo correspondiente. As tc.kles el valor de la tasa de cre-cimiento tcen el intervalo de tiempo entre ky l. Las dos ltimas lneasdel programa se refieren a especificaciones como el tiempo de inte-

gracin, qu variables se quieren almacenar y similares. Con estasindicaciones es fcil leer el programa del modelo.

En la actualidad se dispone de entornos de simulacin muyflexibles que permiten construir un modelo de forma grfica, en lapantalla del ordenador, empleando iconos, de modo que, combinan-do stos, se llega al diagrama de Forrester de forma directa. Estos

entornos, una vez se ha construido este diagrama en la pantalla,generan automticamente las ecuaciones. En la Figura 17 se mues-tra el tratamiento del modelo que estamos considerando en el entor-no PowerSim.

Una vez programado el computador se generan las trayecto-rias del sistema, que muestran la evolucin de las variables corres-pondientes, especialmente de los niveles (Figura 18). Por lo que res-

pecta a nuestro modelo, se observa que la poblacin infectada PImuestra un crecimiento sigmoidal. Ello no debe extraarnos, des-pus de lo que habamos visto en la Seccin 2.1.3 del Captulo ante-rior. En efecto, vimos all cmo un sistema cuya estructura presenta-se dos bucles de realimentacin, uno positivo y otro negativo, mos-traba un comportamiento de crecimiento sigmoidal. El proceso dedifusin de una enfermedad, que estamos analizando ahora, mues-tra esa estructura, segn hemos visto en la Figura 12. En la faseinicial del proceso, cuando las personas que han padecido la enfer-medad son pocas, se produce un proceso de crecimiento exponencial


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de difusin de la enfermedad. El bucle de realimentacin positivadomina sobre el negativo. Ms adelante, en la medida en la que la

poblacin total va disminuyendo, se invierte la dominacin de bu-cles. Entonces es el negativo el que empieza a dominar, limitando elcrecimiento por el efecto que representa el agotamiento de la pobla-cin vulnerable. El caso particular que acabamos de ver, de difusinde una enfermedad, es representativo de una amplia clase de proce-sos : todos aquellos que muestran un crecimiento sigmoidal. Lo queaqu se ha dicho con respecto a la difusin de una enfermedad, pue-de decirse con respecto a la introduccin de un nuevo producto en

un mercado, la difusin de una innovacin tecnolgica u otros pro-ceso de naturaleza similar. En todos ellos se tiene una estructuracon dos bucles de realimentacin, y se llega a una formalizacinanloga a la anterior, que conduce a un crecimiento logstico, comoacabamos de ver.

El ejemplo que acabamos de ver constituye una muestra senci-

lla de las posibilidades que posee el lenguaje que estamos presentan-do. Se trata de un sistema con una variable de nivel y cuyo comporta-miento se muestra en la Figura 18. En sistemas ms elaborados, conestructuras ms complejas, podemos tener comportamientos con otraspautas. Por ejemplo, si en un mismo bucle de realimentacin hay doso ms variables de nivel, entonces pueden presentarse fenmenososcilatorios (recurdese la Figura 9b).

Aqu, por el momento, conviene resaltar, como resumen detodo lo anterior, que hemos sido capaces de establecer un nexo en-tre la estructura de un sistema (su diagrama de influencias) y sucomportamiento (las trayectorias que describen las magnitudes aso-ciadas a l) a la que se alude en el ttulo de este Captulo. A ello esa lo que nos referimos cuando decimos que mediante la dinmica desistemas estamos tratando de relacionar estructura y comportamien-to; de modo que en una descripcin como la Tabla 1 estn implcitaslas dos caras de una misma moneda.


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3.3. Dinmica de sistemas

Aunque la denominacin dinmica de sistemas, en un sentidoamplio, se refiere al comportamiento dinmico que pueden presentarlos sistemas, en sentido restringido se emplea para denominar unametodologa concreta, desarrollada por Jay W. Forrester, que utilizael lenguaje que acabamos de presentar para el modelado y la simula-cin de determinados problemas complejos.

Forrester es un ingeniero que inici su carrera profesional tra-

bajando en servomecanismos y en diseo de computadores. Su xitoen estos campos fue notorio y, entre otras cosas, invent las memo-rias de computadores con ncleo de ferrita. De sus trabajos con losservomecanismos aprendi que un sistema dotado de realimentacin,en el que se producen retrasos en la transmisin de informacin, pre-senta oscilaciones atenuadas en torno a la meta perseguida.

Mediados los aos 50 se le plante el problema que presenta-ba una gran empresa electrnica que, teniendo un mercado muy esta-ble, sin embargo presentaba importantes oscilaciones en la produc-cin. Forrester intuy que el problema era anlogo al que presenta-ban los servomecanismos y que en ambos casos las oscilaciones eranproducidas por estructuras de realimentacin negativa con retrasosen la transmisin de informacin. Para concretar esta intuicin desa-rroll la dinmica de sistemas, a la que inicialmente denomin dinmi-

ca industrial.

Forrester tom como elemento bsico de su anlisis la estruc-tura de realimentacin negativa (Figura 19). Esta estructura la inter-pret con ayuda del lenguaje que hemos presentado en la Seccinanterior (en realidad, cre el lenguaje para representar ese problema)de modo que el diagrama de la Figura 19 lo reinterpret teniendo encuenta el de la Figura 20, cuyo parecido con el de la Figura 2 es bienpatente. De acuerdo con este diagrama, es en los puntos en que setoman las decisiones donde se generan las variaciones que se produ-



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cen en el sistema. En estos puntos se recoge la informacin respectoal estado del sistema, se procesa, y se toman las decisiones. Son

anlogos a aquellos en los que se determinan las variables de flujo.La estructura bsica correspondiente es la de realimentacin, ya quelas decisiones se toman a partir de la informacin sobre los resultadosde las acciones previamente adoptadas. Como estas acciones son asu vez el resultado de decisiones anteriores se tiene as una cadenacircular sin fin como la que se muestra en la Figura 19.

En realidad, en una empresa, en una organizacin o en cual-

quier situacin real compleja, las estructuras no son tan simples comolas de las Figuras 19 y 20, sino que presentan una estructura mscomplicada del tipo de la que se muestra en la Figura 21, en la quecoexisten mltiples bucles de realimentacin.

En un sistema complejo las decisiones se toman en mltiplespuntos. Estas decisiones provocan acciones que, a su vez, modifican


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los valores de las variables del sistema, generando nueva informa-cin que sirve de base para ulteriores tomas de decisiones. De este

modo se tiene una estructura con mltiples bucles de realimentacin,que tomados en su conjunto, describen un sistema complejo. Ello eslo que se ha querido representar en la Figura 21 en la que los recuadroscon una Dindican las decisiones que se toman a partir de la informa-cin que se tiene de los resultados de acciones Aque resultan, a suvez, de esas decisiones.

De lo anterior se desprende que los bucles de realimentacin

constituyen las estructuras bsicas que controlan los cambios que seproducen en los sistemas. Aportan la estructura organizativa en tornoa la cual se genera la dinmica del sistema. Su importancia no debeser subestimada. Existe una cierta tendencia a considerar el procesode toma de decisiones de acuerdo con el esquema simplificado quese muestra en la Figura 22, en la que se representa cmo a partir de lainformacin acerca de un cierto problema se decide la accin a tomar


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y se obtienen los correspondientes resultados. Se trata de lo que seconoce tambin como cadena unidireccional de influencias (en cierta

literatura se habla de cadena lineal para aludir a la unidireccional,pero esa denominacin es impropia y debe evitarse). En realidad, larepresentacin adecuada de este proceso viene dada por la Figura 23en la que se muestra una estructura de realimentacin que correspon-de a una descripcin ms correcta del proceso. Se tiene una estructu-ra de realimentacin, y no una relacin unidireccional de influencias.La consideracin de la Figura 23, en vez de la 22, tiene importantesconsecuencias ya que, como hemos visto, la estructura de

realimentacin comporta la generacin autnoma de comportamien-to, por lo que se requieren instrumentos de anlisis adecuados. Elloes lo que pretende aportar la dinmica de sistemas.


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4Construccin,

anlisis y explotacin

de modelos


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4.1. Modelos de sistemas

Con el material que se ha presentado en el Captulo anterior sedispone de un lenguaje con el que realizar descripciones de sistemasque permiten, a la vez, dar cuenta de su estructura y de su comporta-miento. A una descripcin de un sistema mediante un lenguaje deesta naturaleza se la conoce como un modelo de ese sistema.

El trmino modelo est dotado de mltiples acepciones en el len-guaje ordinario. Aqu nos interesa aquella en la que se emplea comosinnimo de representacin. Incluso en este caso se usa en doble sen-tido. Se dice que la persona a la que un pintor pinta (representa) es sumodelo; y que una maqueta es el modelo a escala (lo que representa)de un edificio o un vehculo. A nosotros nos interesa este segundo uso,como representacin de un cierto aspecto de la realidad. As, decimosque un plano o un mapa es una representacin bidimensional de la

estructura geogrfica de una cierta rea. Nos sirve para conocer lasrelaciones espaciales entre los accidentes geogrficos representados,para poder decidir cmo desplazarse de un punto a otro, y otros usossimilares. Del mismo modo que al usuario de un plano lo que le intere-san son exclusivamente las relaciones espaciales, al especialista ensistemas lo que le interesa de un sistema es cmo su estructura deter-mina la evolucin a lo largo del tiempo de las magnitudes que considerarelevantes para describirlo. En este sentido, diremos que el conjunto deexpresiones de la Tabla 1 del Captulo anterior forman un modelo mate-mtico del proceso de difusin de una enfermedad, ya que constituyen


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Construccin, anlisis y explotacin de modelos

una representacin de ese proceso. Estas ecuaciones podemos pro-gramarlas en un computador, en cuyo caso tenemos un modelo

informtico del proceso correspondiente. Con este modelo podemosexperimentar con el comportamiento del sistema.

Ante un determinado comportamiento problemtico, el sistemistapretende determinar cmo ste emerge de la estructura (Figura 24).Para resolver ese problema debe desarrollar una descripcin cuyaestructura permita generar ese comportamiento (Figura 25).

4.2. Proceso de modelado

El proceso de modelado consiste en el conjunto de operacionesmediante el cual, tras el oportuno estudio y anlisis, se construye elmodelo del aspecto de la realidad que nos resulta problemtico. Esteproceso, consiste, en esencia, en analizar toda la informacin de la


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que se dispone con relacin al proceso, depurarla hasta reducirla asus aspectos esenciales, y reelaborarla de modo que pueda sertranscrita al lenguaje sistmico que estamos viendo. En el proceso demodelado se pueden distinguir las fases siguientes:

Definicin del problema.En esta primera fase se trata dedefinir claramente el problema y de establecer si es adecuado

para ser descrito con los tiles sistmicos que hemos desa-rrollado. Para ello el problema debe ser susceptible de seranalizado en elementos componentes, los cuales llevan aso-ciadas magnitudes cuya variacin a lo largo del tiempo quere-mos estudiar. Entre estos elementos se producen relacionesde influencia anlogas a las Rique se han visto en la Seccin3.2 al considerar la descripcin del proceso de difusin deuna enfermedad. Es decir, debe ser razonable adoptar el len-guaje que se ha desarrollado en el Captulo 2 de estamonografa como adecuado para describir el sistema.


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Conceptualizacin del sistema.Una vez asumida, en la faseanterior, la adecuacin del lenguaje sistmico elemental para

estudiar el problema, en esta segunda fase se trata de aco-meter dicho estudio, definiendo los distintos elementos queintegran la descripcin, as como las influencias que se pro-ducen entre ellos. El resultado de esta fase es el estableci-miento del diagrama de influencias del sistema.

Formalizacin.En esta fase se pretende convertir el diagramade influencias, alcanzado en la anterior, en el de Forrester. A

partir de este diagrama se pueden escribir las ecuaciones delmodelo (algunos entornos informticos permiten hacerlo di-rectamente). Al final de la fase se dispone de un modelo delsistema programado en un computador.

Comportamiento del modelo.Esta cuarta fase consiste enla simulacin informtica del modelo para determinar las tra-

yectorias que genera.

Evaluacin del modelo.En esta fase se somete el modelo auna serie de ensayos y anlisis para evaluar su validez y cali-dad. Estos anlisis son muy variados y comprenden desde lacomprobacin de la consistencia lgica de las hiptesis queincorpora hasta el estudio del ajuste entre las trayectorias ge-neradas por el modelo y las registradas en la realidad. As mis-

mo, se incluyen anlisis de sensibilidad que permiten determi-nar la sensibilidad del modelo, y por tanto, de las conclusionesque se extraigan de l, con relacin a los valores numricos delos parmetros que incorpora o las hiptesis estructurales.

Explotacin del modelo.En esta ltima fase el modelo se em-plea para analizar polticas alternativas que pueden aplicarse alsistema que se est estudiando. Estas polticas alternativas sedefinen normalmente mediante escenarios que representan lassituaciones a las que debe enfrentarse el usuario del modelo.



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El conjunto de estas fases se representa en la Figura 26. En estaFigura adems de la secuencia de los bloques que representan las

fases, de arriba a abajo, se muestran flechas que indican vueltas haciaatrs del proceso de modelado. Se quiere con ello indicar que el proce-so de modelado no consiste en recorrer secuencialmente, y por ordencorrelativo, estas fases sino que, con frecuencia, al completar algunade ellas, debemos volver hacia atrs, a una fase anterior, parareconsiderar algunos supuestos que hasta entonces habamos consi-derado vlidos. El proceso de modelado es un proceso iterativo me-diante el cual se combinan los distintos elementos conceptuales y

operativos que suministra la dinmica de sistemas, para alcanzar comoresultado final un modelo aceptable del proceso que estamos estudian-do. En este sentido, se dice que el proceso de modelado tiene ms dearte que de ciencia, y en l el modelista juega un papel esencial.

Para la construccin de un modelo se parte de informacin dedos tipos. Por una parte, se tienen registros numricos de las trayec-


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torias seguidas en el pasado por las magnitudes correspondientes.Por otra, se dispone de una informacin, de naturaleza muy variada,

con relacin a cmo se producen las interacciones en el seno delsistema. Segn la importancia relativa que se d a estos dos tipos deinformacin, se tienen diferentes mtodos de modelado. En los mto-dos basados en la estadstica, se considera que la nica informacinrelavante es la del primer tipo y, por tanto, en estos mtodos de mode-lado se trata de realizar un ajuste numrico de los modelos a esosdatos.

Por otra parte, en mtodos como la dinmica de sistemas seasume que la informacin relevante es la del segundo tipo. Es decir,informacin con respecto a cmo se producen las interacciones en elseno del sistema, aunque sea en principio cualitativa. Esta informa-cin, mediante el proceso de conceptualizacin, conduce al diagramade influencias. Este diagrama se reelabora para construir el deForrester. Slo entonces, de acuerdo con este mtodo, como hemos

visto al final de la Seccin 3.2, empieza a tener inters la considera-cin de la informacin numrica.

La Figura 27 pretende poner de manifiesto los distintos gra-dos de informacin que tenemos con relacin a la realidad. De losdiferentes problemas con que nos encontramos, la informacin msamplia de la que se suele disponer es la que suministran los mode-los mentales de esas situaciones. Estos modelos sintetizan, de for-

ma ms o menos intuitiva, la experiencia que tenemos con respectoa esas situaciones y se encuentran evaluados por los resultadosque hemos alcanzado previamente al emplearlos como base de nues-tras decisiones. Por otra parte, la informacin escrita de la que sesuele disponer es considerablemente menor. Por ltimo, la informa-cin cuantitativa es relativamente escasa. Sin embargo, debemostomar decisiones, especialmente con relacin a problemas comple-jos, teniendo en cuenta esos tres tipos de informacin. Por tanto,conviene que seamos capaces de integrarla. Eso es lo que permitela dinmica de sistemas.



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En la labor de integracin que se produce en un modelo tienelugar una generacin de comportamiento que no se debe subvalorar.El modelo aporta estructuras que generan comportamientos. Por tan-to, en el modelo, adems de la informacin de distinto tipo que esta-mos comentando, se incorporan estructuras que justifican, a veces engran medida, el comportamiento. En el modelo, al integrarse la infor-macin mediante las estructuras adecuadas, se tienen modos de com-

portamiento no triviales. En este sentido, decimos que un modelo con-tribuye a la generacin de conocimiento.

4.3. Simulacin de un modelo

Como hemos visto en la Tabla 1 del Captulo anterior, un mode-lo matemtico consiste esencialmente en un conjunto de ecuaciones.Para procesarlas necesitamos de la ayuda de la informtica. Una vezprogramadas en un computador podemos experimentar con el mode-


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lo. Este proceso recibe la denominacin de simulacin informtica delsistema y requiere de herramientas informticas adecuadas. Por lo

que respecta a la dinmica de sistemas se han desarrollado un ciertonmero de ellas. Las ms empleadas son:

Professional DYNAMO. Es el ms clsico de los lenguajes. Nopresenta posibilidades de modelado mediante iconos, pero sinembargo permite tratar ecuaciones de gran dimensin. La ma-yor parte de los modelos que se encuentran en los libros clsi-cos de la dinmica de sistemas estn escritos en este lenguaje.

STELLA y i-think. Son entornos informticos de ampliacapacidad interactiva que permiten construir modelos emplean-do procedimientos grficos, mediante iconos. Ambos poseenuna estructura similar, pero mientras el primero se encuentrams orientado hacia usos acadmicos el segundo lo hace haciaaplicaciones profesionales. Ambos permiten construir los

diagramas de Forrester en la pantalla del computador, de modoque al establecer su estructura se generan las ecuaciones.Se pueden agrupar elementos en sus modelos, y posee unzoomque permite desenvolverse con modelos complejos.

PowerSim. Entorno de caractersticas anlogas a los anterio-res (mientras aquellos son americanos, este es europeo enconcreto noruego). Permite desarrollar varios modelos simul-

tneamente, e interconectarlos posteriormente entre s.

VenSim.Con respecto a las anteriores presenta algunas ven-tajas con relacin a la organizacin de datos y a posibilidadesde optimizacin. Se trata de un lenguaje muy potente para eldesarrollo de modelos que pueden emplearse tanto en entornosPC como en Unix. Permite documentar automticamente elmodelo segn se va construyendo, y crea rboles que permitenseguir las relaciones de causa efecto a lo largo del modelo.Est dotado de instrumentos para realizar anlisis estadsticos.



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4.4. Anlisis de sensibilidad de un modelo

Los problemas a los que se aplica habitualmente la dinmica desistemas incluyen relaciones y parmetros de los que se dispone depocos datos empricos. En un modelo de dinmica de sistemas se pro-

duce una integracin de informacin de tipo cualitativo con informacinde tipo cuantitativo. Esta mezcla tan dispar puede producir problemas.En todo modelo hay una componente de imprecisin que no podemos

Mosaikk-SimTek.Mosaikk es una herramienta muy sofisticadapara PC, que conecta directamente al SimTek, que es un len-

guaje de modelado tipo DYNAMO que posee una gran versa-tilidad.

En la Figura 28 se muestra una pantalla del tipo de las quesuministran estos entornos informticos.


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eludir. El hecho de que asignemos un valor numrico concreto a unparmetro, o una forma funcional determinada a la expresin que rela-

ciona dos variables, nos obliga a preguntarnos que sucedera si el valorde ese parmetro o de esa funcin, fuesen otros, aunque esos valoressean prximos a aquel que hemos adoptado. El anlisis de sensibilidadpretende precisamente abordar este problema.

Otra razn para realizar el anlisis de sensibilidad es que losmodelos, debido a su complejidad, pueden resultar difciles de com-prender. Este anlisis aporta un instrumento para alcanzar una mejor

comprensin sobre cuales son los puntos de actuacin en los que sepueden producir efectos ms considerables.

El anlisis de sensibilidad consiste en un estudio sistemticode cmo afectan a las conclusiones de un modelo las posibles varia-ciones en los valores de los parmetros y en las relaciones funciona-les que incluye. La forma ms simple de realizar el anlisis consiste

en modificar los valores numricos de cada uno de sus parmetros.Para ello se incrementa el valor del parmetro cuya sensibilidad sequiere estudiar en un cierto porcentaje y se analiza en qu medidaesta variacin afecta a las conclusiones del modelo (a las trayectoriasque genera). Realizndolo de forma sistemtica para todos losparmetros, con incrementos y decrementos previamente estableci-dos, se puede tener una evaluacin de los efectos de esas modifica-ciones sobre las conclusiones del modelo. Diremos que el modelo es

insensible a las variaciones de los parmentros, si variaciones razo-nables de ellos no afectan sensiblemente a las conclusiones que seextraen del mismo.

El problema que presenta la realizacin del anlisis como seacaba de describir, es que al modificar cada uno de los parmetrosseparadamente se prescinde de los posibles efectos de variacionesconjuntas de varios de ellos. Si se quiere evitar este reparo, entoncesdebe procederse a formas de anlisis de sensibilidad ms elaboradascomo son las que permite la aplicacin del mtodo de Montecarlo. De



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acuerdo con este mtodo se sortean aleatoriamente los valores de losparmetros, de acuerdo con una distribucin que represente su dis-

persin con relacin a los valores considerados normales, y se simulael modelo con los valores de los parmetros que resulten de ese sor-teo. Los resultados de cada simulacin se almacenan. Se repite elproceso un cierto nmero de veces hasta conseguir almacenar unnmero importante de trayectorias que se someten a un anlisis esta-dstico para estudiar su eventual dispersin. Esta dispersin es unamedida de la sensibilidad del modelo.

En el anlisis de sensibilidad no slo se considera los valoresde los parmetros, sino las propias relaciones funcionales. El estudiosistemtico de las modificaciones de esas relaciones es ms complejoque el de los valores numricos de los parmetros. No existe un mto-do general para abordar este problema, pero en cada caso concretoes posible encontrar una solucin, ya que, en ltimo extremo, todarelacin funcional incorpora un cierto nmero de parmetros.

El anlisis de sensibilidad de un modelo constituye uno de loselementos esenciales para evaluacin. Nos permite dar respuesta ados tipos de cuestiones: por una parte, en qu medida el modelo esinsensible a variaciones en su estructura y, por tanto, resulta robusto;y, por otra, cuales son los puntos de mxima sensibilidad del modeloque sugieren cuales son las actuaciones sobre el proceso real quesern ms efectivas.

Existen otras formas de abordar el problema del anlisis de sen-sibilidad. Una forma especialmente interesante est basada en la apli-cacin de los resultados de la teora cualitativa de los sistemas din-micos a un modelo de dinmica de sistemas que, como hemos vistoen la expresin (3.7), en realidad es un sistema dinmico. De estemodo conceptos como el de estabilidad estructural pueden aplicarsea un modelo de dinmica de sistemas. Sin embargo estas tcnicascomportan un nivel matemtico muy elaborado que excede el nivel deesta monografa (vase [18]).


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4.5. Explotacin de un modelo

Todo modelo se construye con el fin de ayudar a resolver unproblema concreto. En consecuencia, la explotacin del modelo con-sistir precisamente en valerse de l para resolver ese problema. Sinembargo, esa explotacin puede tomar formas variadas. En algunoscasos, el modelo permite hacer predicciones. Es decir, alcanza unnivel de precisin tan elevado que nos permite emplearlo para prede-cir con exactitud qu valores tomarn algunas magnitudes en un ins-tante de tiempo determinado del futuro. Estos modelos predictivos pre-

suponen que el modelo tenga una gran precisin, tanto por lo querespecta a los valores de los parmetros, como a las relaciones fun-cionales que incluye. Este grado de precisin se alcanza normalmen-te en las ciencias fsicas, por lo que es en este mbito donde se dancon mayor frecuencia este tipo de modelos.Ello no excluye que endeterminados problemas de las ciencias sociales puedan hacerse tam-bin predicciones, pero estas no suelen tener el grado de aceptacin

de las que se logran en las ciencias fsicas.

Otra de las posibles utilizaciones de los modelos, especialmen-te cuando incorporan una cierta imprecisin, consiste en emplearlosno tanto para hacer predicciones concretas de valores numricos pre-cisos para determinadas magnitudes, sino para analizar las tenden-cias de evolucin de esas magnitudes. As, se trata de establecer siuna magnitud tiende a crecer, a decrecer, a oscilar, o a permanecer

invariable. Se tratan de predicciones ms laxas que las consideradasen el prrafo anterior. En realidad, en este caso estamos ms prxi-mos a hacer previsiones que propiamente predicciones.

Por ltimo, el tercer uso posible de los modelos consiste enemplearlos como instrumentos para analizar los distintos modos decomportamiento que puede mostrar ese sistema. De acuerdo con esteuso, los modelos no tratan de ayudarnos a anticipar el porvenir, seaen forma precisa o en forma ms laxa, sino de suministrarnos elemen-tos para una reflexin disciplinada sobre los posibles modos de des-



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envolverse el sistema que estamos estudiando. Este uso se encuen-tra en la actualidad muy generalizado y consiste en emplearlos como

bancos de prueba para el aprendizaje.

En este sentido se ha propuesto aplicar el concepto demicromundo (microworld) de Seymour Papert. De acuerdo con esteautor el proceso de aprendizaje se refuerza cuando se dispone deobjetos adecuados con los que se mantiene una interaccin que, enalguna medida, recuerda a un juego. Estos objetos pueden desarro-llarse informticamente, y en particular, Papert emple el LOGO para

la enseanza de la geometra a nios. Se ha propuesto emplear estasmismas ideas en el mbito de la dinmica de sistemas para que losdirectivos de las empresas puedan organizar sus estrategias empre-sariales, con ayuda de modelos de simulacin, que les sirvan paraensayar esas estrategias y reelaborarlas como consecuencia de lainteraccin que se tiene con el modelo de simulacin que las incorpo-ra. De este modo se crea un entorno de aprendizaje en el que el direc-

tivo puede ensayar las potenciales polticas que trate de aplicar pararesolver los problemas de su empresa. El desarrollo de micromundosgoza en la actualidad de un gran desarrollo, y se considera una de laslneas de aplicacin de la dinmica de sistemas ms prometedoras[19] [20].


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Referencias


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[1] Forrester, J.W., Industrial Dynamics, Productivity Press,1986.

[2] Roberts, E.B., Managerial Applications of SystemDynamics, The MIT Press, 1978.

[3] Alfeld, L. y A. Graham, Introduction to Urban Dynamics,Wright-Allen Press, 1976.

[4] Forrester, J.W., Urban Dynamics, Productivity Press, 1986.

[5] Hamilton, H.R., System Simulation for Regional Analysis,The MIT Press, 1969.

[6] Forrester, J.W., World Dynamics, Productivity Press, 1974.

[7] Meadows, D. y otros, Dynamics of Growth in a Finite World,

Wright-Allen Press, 1974.

[8] Meadows, D. y otros, Ms all de los lmites del crecimiento,El Pas-Aguilar, 1992.

[9] Hanneman, R.A., Computer-assisted Theory Building,Sage, 1988.

[10] Jacobsen, C. y R. Bronson, Simulating Violators, ORSA, 1985.

[11] Gutirrez, L. y W. Fey, Ecosystem Succession, The MITPress, 1980.

[12] Meadows, D.L. y D.L. Meadows, Toward Global Equilibrium,Wright-Allen Press, 1973.

[13] Choucri, N.,International Energy Futures, The MIT Press,1981.


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Referencias

[14] Naill, R.F., Managing the Energy Transition, Ballinger, 1977.

[15] Wolstenholme, E., Systems Enquiry, Wiley, 1990.

[16] Senge, P., La quinta disciplina, Ediciones Granica, 1992.

[17] Aracil, J., Introduccin a la dinmica de sistemas, AlianzaEditorial, 1986.

[18] Aracil, J. y M. Toro, Mtodos cualitativos en dinmica de

sistemas, Secretariado de Publicaciones de la Universidad deSevilla, 1993.

[19] Prez Ros, J., Direccin estratgica y pensamientosistmico, Universidad de Valladolid, 1992.

[20] Morecroft, J. y J. Sterman, Modeling for Learning

Organizations, Productivity Press, 1994.


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Bibliografa


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Aracil, J.:

Rosnay, J.:

Mquinas, sistemas y modelos,Tecnos, 1986.

- Dinmica industrial,Editorial El Ateneo, Buenos Aires.

- Collected papers,Wright-Allen Press, Inc. 1975.

Study Notes in System Dynamics,Productivity Press.

- Simulacin dinmica por ordenador,Alianza Editorial, 1988.

- Dinmica de sistemas,(dos volmenes), Alianza Editorial 1986.

Mindstorms,The Harvester Press, 1980.

Elements of the System Dynamics Method,M.I.T. Press, 1980.

El macroscopio,Editorial AC, 1977.

Martnez-Vicente, S.y A. Requena:

Forrester, J. W.:

Goodman, M.:

Papert, S.:

Randers, J.:


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Bibliografa


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Glosario


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1. Bucle cerradoverRealimentacin.

2. Comportamiento de un sistema.Representacin grfica delconjunto de trayectorias que describen los cambios que sufren a lolargo del tiempo las variables asociadas a un sistema.

3. Constante.Elemento cuyo valor no cambia durante una simulacin.

4. Crecimiento sigmoidal.Crecimiento caracterizado por unafase inicial de crecimiento exponencial seguida por una fase deestabilizacin en un valor constante. Recibe tambin la denominacinde crecimiento logstico.

5. Diagrama causalverDiagrama de influencias.

6. Diagrama de flujos-nivelesverDiagrama de Forrester.

7. Diagrama de Forrester. Diagrama que muestra las relacio-nes entre las variables de un sistema, una vez que han sido clasifica-das en variables de nivel, de flujo y auxiliares. Constituye unareelaboracin del diagrama de influencias. Recibe tambin las deno-minaciones de diagrama de flujos y niveles, de flujos-niveles, odiagrama dynamo, esta ltima denominacin por su relacin con el

lenguaje informtico DYNAMO.

8. Diagramas de influencias.Grafo cuyos nodos son los ele-


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Glosario

mentos del sistema y cuyas aristas indican las influencias entre ellos.Constituye una representacin grfica de la estructuradel sistema.

Recibe tambin la denominacin de diagrama causal.

9. Dinmica de sistemas.Disciplina para el estudio de las re-laciones entre la estructura y elcomportamientode un sistema conayuda de modelos informticos de simulacin.

10. Equilibrio. Estado de un sistema en el cual ninguna de susvariables cambia a lo largo del tiempo.

11. Estado.Informacin concerniente a un sistema a partir dela cual se puede predecir su futura evolucin. En los modelos de din-mica de sistemas el estado viene representado por el conjunto de va-ri

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Dinámica de Sistemas-Javier Aracil