DIKTAT PENDUKUNGMATEMATIKA DISKRIT K0144Drs. Sangadji, M.Sc.,
Ph.D.D1808F S TUNIVERSITAS BINA NUSANTARAJAKARTAKATA PENGANTARPuji
dansyukur kitapanjatkankepadaAllahs.w.t. atas limpahanrahmat dan
karuniaNya, sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan Diktat
Pendukung Geometri Terapan II K0084 ini. Saya mohon maaf atas
kekurangan atau kesalahan pada penulisan diktat ini,
danmohonsaranataukritikyangmembangundari parapembaca.Mudah-mudahan
diktat ini dapat bermanfaat dan khususnya dapat membantu
mahasiswa.Atas kesalahan maupunkekurangan yang terdapat dalamdiktat
ini, penulis mohon maaf dansaran untuk perbaikannya.Akhirnya
penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu penyusunan diktat ini, khususnya kepada Angger Aji
Winanto.. Jakarta, Desember 2010Penulis,Drs.Sangadji, M.Sc.,
Ph.D.2DAFTAR ISIhalamanKata Pengantar 2Daftar Isi 3 Abstrak 4Bab 1.
Logika Proposisi5Bab 2. Aljabar Proposisi 8Bab 3. Pernyataan 13Bab
4. Argumentasi dan Kuantor 16Bab 5. Himpunan 23Bab 6. Relasi 26Bab
7. Himpunan Kabur 36Bab 8. Poset 39Bab 9. Aljabar Boole 41Bab 10
Disjunction Normal Form 44Bab 11. Teori Graph 47Bab 12. Pewarnaan
Graph 49Bab 13. Graph Pohon 54Bab 14. Finite Automata 57Bab 15.
Nondeterministic Finite Automata 60Daftar Pustaka
653ABSTRAKPenulisan diktat ini dimaksudkan untuk membantu
pembacayang tertarik mempelajari matematika diskrit, terutama
mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit K0144
dengan4sks. Bab-bab1, 2, 3dan4membicarakantentanglogikamatematika,
yaitulogika proposisi, aljabar proposisi,
pernyataansertaargumentasi dankuantor. Kemudianhimpunan, relasi,
himpunan kabur dan poset dibicarakan berturut-turut dalam Bab 5
sampai dengan Bab 8. Bab 9 sampai dengan Bab 13 membicarakan
tentang aljabar Boole, DNF dan graph. Sedangkan sisanya tentang
finite automata dan nondeterministic finite automata dibicarakan
dalam Bab 14 dan Bab 15. Mudah-mudahandiktat ini dapat bermanfaat
dankhususnyadapat membantu mahasiswa. Atas kesalahan maupun
kekurangan yang terdapat dalam diktat ini, penulis mohon maaf dan
saran untuk perbaikannya.Kata-kata kunci: matematika diskrit,
fondasi matematika,aljabar Boole, graph, finite automata.4Bab 1.
Logika ProposisiPendahuluanDalamlogikamatematika,
yangdibicarakanhanyalahproposisi ataupernyataanatau kalimat
deklaratif yang artinya kalimat yang bernilai benar atau salah dan
tidak sekaligus
kedua-duanya.Yangtidaktermasukpernyataanmisalnyakalimat harapan,
kalimat perintah, kalimat seru dan sebagainya. Beberapa pernyataan
merupakan susunan atau gabungan dari
pernyataan-pernyataanbagiannyayangdihubungkanolehbeberapamacamkonektif(katahubunglogika)
misalnya dan, atau dll. dan disebut pernyataan gabungan.Contoh1.
Contoh pernyataan:a. New York kota besarb. Paris ibukota negara
Inggrisc. . 2 0 1 + 2. Contoh bukan pernyataan:a. Semoga kamu lekas
sembuhb. Cepat lari!c. Ke mana dia pergi?d. Alangkah cantiknya
gadis itu.e. Penduduk kota Jakarta kaya (tidak dilengkapi
kuantor/pembatas penduduk)f. . 100 5 + x (untuk95 xbenar, untuk95
xsalah, disebut kalimat terbuka)Tabel kebenaranSuatu definisi yang
berbentuk tabel yang menunjukkan hubungan antara nilai kebenaran
dari
setiappernyataanbagianyangmenyusunpernyataangabungandengannilai
kebenaran pernyataan gabungan tersebut.Negasi (ingkaran), konjungsi
dan disjungsi p qp qq p q p q p 5B B S S B B SB S S B S B BS B B S
S B BS S B B S S Sp,q: pernyataan bagian.B: benar,S: salahpatau ~ p
: ingkaran dari p,qatau ~ q: ingkaran dari q.q p : konjungsi darip
dan q dibaca p dan q (pernyataan gabungan).q p : disjungsi dari p
dan q dibaca p atau q (pernyataan gabungan).q p : bernilai benar
hanya untuk keduanya benar.q p : bernilai salah hanya untuk
keduanya salah.q p : exclusive or dari p dan q dibaca p exclusive
or qImplikasip q p qB B BB S SS B BS S Bp: hipotesis, q: konklusi.
: implikasi.p q: bila p maka q.p q: bernilai salah hanya untuk p
benar dan q salah.p q: p disebut syarat cukup bagi q. q disebut
syarat perlu bagi p.Konvers, invers, dan kontrapositif dari
implikasi6p q: implikasi mula mula.qp: konvers dari p q,p q: invers
dari p q.q p : kontrapositif dari p q.p q p q qpp q q ppqB B B B B
BSSB S S B B SSBS B B S S B B SS S B B B BBBBiimplikasip q: p bila
dan hanya bila q.p q p q qp( ) ( ) p q q p q p B B B B B BB S S B S
SS B B S S SS S B B B Bq p : bernilai benar untuk keduanya bernilai
kebenaran yang sama,bernilai salah untuk keduanya bernilai
kebenaran yang berlainan.7samasamasamaBab 2. Aljabar
ProposisiProposisi mempunyai sifat fundamental yangdisebut
hukumatauformula. Beberapa hukum yang penting kita kelompokkan di
bawah ini.1) Idempotenp p = p, p p = p 2) Asosiatif(p q) r = p (q
r), (p q) r = p (q r)3) Komutatifp q = q p,p q = q p4) Distributifp
(q r) = ( p q) ( p r)p (q r) = (p q) (p r) 5) DeMorganq p q p q p q
p ,6) Identitasp F = p, p F = Fp T = T, p T = pT : Tautologi, F :
Kontradiksi7) KomplemenF p p T p pT F F T p p ,, ,8) Absorpsip (p
q) = p, p (p q) = p8Contoh1. Bukanpernyataan:a. Kemana kamu mudik
?,b. Semoga dia lekas sadar.,c. Cepat keluar!,d. Alangkah kayanya
saudagar itu.,e. Penduduk kota Medan kaya.f. x + 2 = 10.2. Termasuk
pernyataan:a. Jakarta kota kecil., b. 1 2 1 disebut prima bila
pembagi positif dari p hanyalah 1dan p.3. Suatu segitiga disebut
samakaki bila dua sisinya panjangnya sama.4. Pasanganberurutandari
bilangannyata(real) ( )1 1, y x adalahsamadenganpasangan berurutan
dari bilangan nyata( )2 2, y x bila 2 1x x dan 2 1y y .5. Bilangan
bulat n disebut genap bila 2 adalah pembagi dari n.6. Bilangan
bulat n disebut ganjil bila n = 2k +1 untuk suatu bilangan bulat
k.137. Bilangan nyata r disebutrasional(terukur)bila nmr dengan m
dan n bilangan bulat dan0 n .8. Suatu segitiga disebut siku-
sikubila dua sisinya saling tegaklurus.Terminologi (istilah)
matematika1. ProposisiSuatu pernyataan yang telah dibuktikan
kebenarannya.2. TeoremaSuatu pernyataan yang sifatnya lebih umum
dan lebih penting dari proposisi yang telah dibuktikan
kebenarannya.3. CorollarySuatupernyataanyangbuktinya dengan
mudahdapatditurunkandari suatu teorema atau singkatnya suatu
akibat.4. LemmaSuatu pernyataan yang telah dibuktikankebenarannya
dan digunakan untuk membuktikan teorema.5. AksiomaSuatu pernyataan
yang dapat diterima kebenarannya tanpa bukti.Contoh1. Proposisi a)
Jumlah sudut- sudut dalam segitiga sembarang adalah 180b) Akar-akar
persamaan kuadrat02 + + c bx axakan sama dan bernilai realbila . 0
42 ac b2. Teorema a) Teorema Binomial : ( )( ) +nkk k n ny xk n kny
x0,! !!di mana n bilangan bulat positif.b) Teorema Fundamental
Aritmatika :14Setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 adalah
prima atau sebagai hasil kali dari bilangan-bilangan prima. Tanpa
memerhatikan urutan, penyajian hasil kali tersebut adalah tunggal
(unique).Misalnya. 2 3 2 5 5 3 2 2 60 3. Corollary a) ( )( )+ + +
+303 2 2 3 3 33 3! 3 !! 3kk ky xy y x x y xk ky x .b) ( )( ) +nkn
nk n kn0! !!2 1 14. Lemmaa) Untuk membuktikan Teorema Binomial
diperlukan lemma :( )( ) ( ) ( ) ( ).! !!! 1 ! 1!! 1 !! 1k n knk n
knk n kn++ ++b) Untuk membuktikan Teorema Fundamental Aritmatika
diperlukan lemma:Bila p adalah bilangan prima dan p adalah pembagi
dari hasil kali t c b a makapadalahpembagi dari
sekurang-kurangnyasatudari bilangan- bilangan t c b a , , , , 5.
Aksiomaa) Garis lurus ditentukan oleh 2 titik.b) Bidang datar
ditentukan oleh 3 titik.Soal1. Berikan definisi dari segitiga
samakaki yang ekivalen dengan definisi di muka.2. Berikan dua
definisi yang ekivalen dari segitiga samasisi.3. Berikan
definisi-definisi dari fungsi genap dan fungsi ganjil.4.
Berikancontoh-contoh yanglaindari proposisi, teorema, corollary,
lemma, dan aksioma.15Bab 4. Argumentasi dan Kuantor
ARGUMENTASIArgumentasi adalahpenarikankesimpulandari
sekelompokpernyataannS S S , , ,2 1yang disebutpremisyang
menghasilkan pernyataan lain Syang disebutkonklusi. Argumentasi
sedemikian akan ditulis dengan
notasi/simbol.__________21SSSSnPerludicatat bahwaargumentasi
jugamerupakanpernyataansehinggamempunyaisatunilai kebenaran.Bila
suatu argumentasi benar, disebutvaliddan bila salah
disebutfallacyatau tidak valid.Hukum SilogismeArgumentasi ini
valid: q p
r q __________
. r p Hukum modus ponensArgumentasi ini valid: q p
p _________
q Hukum modus tolens:Argumentasi ini valid: q p
q ~___________p ~
16Contoh1. Tentukan validitas dari argumentasi ini q p
p ~ __________
q ~ SolusiBila p maka q atau (~ p atau q) benar dengan ~ p benar
maka dapat disimpulkan qbisa benar atausalah. Jadi ~ q bisa benar
atau salah. Jadi argumentasi tersebut tidak valid.2. Tentukan
validitas dari argumentasi ini q p
q __________p Solusi
q p benar bila kedua p dan q benar atau salah. Karena q benar
maka p juga benar. Jadi argumentasi tersebut valid.Soal 1. Buktikan
bahwa argumentasi di bawah ini valid.
rq rq p~ __________
p ~ 2. Tentukan validitas dari argumentasi di bawah ini.
q rq p~ __________
p r ~ 3. Tentukan validitas dari argumentasi di bawah ini.
q rq p~ ~~ __________
r p ~ 174. Untuk premis-premis yang diberikan tariklah suatu
kesimpulan supaya argumentasinya valid.
qq p ~ 5. Untuk premis-premis yang diberikan tariklah suatu
kesimpulan supaya argumentasinya valid..
q rq p~ 6. Untuk premis-premis yang diberikan tariklah suatu
kesimpulan supaya argumentasinya valid..
r pq p~~
7. Untukpremis-premis
yangdiberikantariklahsuatukesimpulansupayaargumentasinya
valid..
qp rq p~~
KUANTOR Kuantoradalahnotasi
yangdigunakanuntukmenyatakankuantitassuatuobyekdalamlogika
matematika.Contoh1)Kuantor unive rsal: , dibaca semua atau
setiap.2) Kuantor eksistensial : , dibaca beberapa atau terdapat
paling sedikit satu atau lebih singkatterdapat. ! , dibaca terdapat
tepat satu.Contoh penggunaanMisalkan X suatu himpunan yang tidak
kosong.BilaX x punya sifat/predikatP ditulis( ) x P .181) ( ) x P X
x , dibacaUntuksetiap X x ,xbersifat P , atausemua X x bersifatP
.2) ( ) x P X x , dibaca BeberapaX x bersifat P , atau Terdapat
paling sedikit satuX x yang bersifatP .3) ! , digunakan pada 2) : (
) x P X x ! , dibaca Terdapat tepat satuX x yang bersifatP .Contoh
dalam negasi1)( ) ( ) . , DeMorgan Teorema x P X x x XP x 2)( ) ( )
. , DeMorgan Teorema x P X x x XP x 3)( ) ( ) ( ) y x P y x y x P y
x , ~ , , , ~ di mana . ~ 4)( ) ( ) ( ). , ~ , , , ~ y x P y x y x
P y x 5)( ) ( ) ( ). , ~ , , , ~ y x P y x y x P y x 6)( ) ( ) ( ).
, ~ , , , ~ y x P y x y x P y x Contoh dalam definisi1)
Bilanganbulatnadalahbilangankuadratbila terdapat
bilanganbulatksedemikian sehingga 2k n .2) Himpunan A tidak kosong
bila terdapat elemen a sedemikian sehingga. A a .3) Himpunan S
dikatakan himpunan bagian dari T bila T x S x x ,.4) Fungsi R R : f
disebut genap bilaR x ,( ) ( ). x f x f 5) Fungsi R R : f disebut
ganjil bila , R x( ) ( ). x f x f 6) Diketahui himpunan-himpunan, A
B, dan B A . HimpunanAdisebut himpunan bagian sejati dari himpunan
B bilaB b dan. A bInduksi matematika19Seringkali kita akan
menentukan bahwa suatu proposisi tertentu( ) n Padalah benar untuk
setiapN n ( ) N + + N , ,N N,N n , , , n dengan2 1 atau2 1 0 atau
.Misalnya ( ) ( ) ( ) 6 1 2 1 3 2 1 :2 2 2 2+ + + + + + n n n n n P
atau ( )( )+ + nkn n n k126 1 2 1 .Untuk membuktikannya, digunakan
Prinsip Induksi Matematika.Prinsip induksi matematikaUntuk
membuktikan bahwa( ) n Pbenar untukN n:1) Buktikan( ) 1 Pbenar.2)
Asumsikan( ) n Pbenar, buktikan( ) 1 + n Pbenar.Contoh1. Buktikan(
) , 2 11+ nkn n kSolusi( ) , 2 1 1 1 111+ kk, jadi ( ) 1 Pbenar
atau untukkanan. ruas kiri ruas 1 n Asumsikan ( ) n P benar, yaitu
( )+ nkn n k12 1benar.Dibuktikan ( ) 1 + n P benar, yaitu( ) ( )++
+ 112 2 1nkn n k .( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) benar 1 Jadi, 2 2 1 2 2
32 2 2 2 1 2 1 12211 1++ + + + + + + + + + + + + n Pn n n n nn n n
n n n n k knknkCatatan: ( ) 1 Pbenar: pangkal,( ) 1 + n Pbenar :
konklusi induksi, Asumsi( ) n Pbenar : hipotesis induksi.2.
Buktikan( ) ( )+ + nkn n n k12. 6 1 2 1Solusi20( ) ( ) , 6 1 1 2 1
1 1 1 1112+ + kkjadi( ) 1 P benar. Asumsikan( ) n Pbenar. ( )( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) benar. 1
jadi , 6 3 2 2 13 2 2616 7 2611 6 1 2616 1 6 6 1 2 1 1 6 1 2 1122
212 2112+ + + + + ++ + ++ + + +++ + + + + + + + + +n P n n nn nnn
nnn n nnn n n n n n n nn k knknk3. Buktikan( ) ( )+ < nkn ka r r
r a ar01, 1 , 1 1 RSolusi( ) ( ) ( ) benar. 0 jadi , 1 11 000P r r
a a ar arkk Asumsikan ( ) n P benar.( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )
benar. 1 jadi , 1 11 111121 2 11110 01+ + ++ ++ + ++++ + n P r r
arr rrra arrraar ar arnn n nnnnknkn k k4. Buktikan Rumus DeMoivre
:( ) ( ) ( ) N + + n n i n in, sin cos sin cos Solusi ( ) ( ) ( ),
1 sin 1 cos sin cos1 + + i ijadi ( ) 1 Pbenar. Asumsikan ( ) n P
benar.Maka, 21( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) benar. 1 jadi, 1 sin
1 cos sin cossin cos cos sin sin sin cos coscos sin sin cos sin sin
cos cossin cos sin cossin cos sin cos sin cos1 1++ + + + + + + + +
+ + + + + + ++n Pn i n n i nn n i n nn n i n i ni n i ni i in n
Soal1)Buktikan( ) ,_
+ nknkn k n n k1212 2 3. , 4 1 N2)Buktikan ( ) , 4 , 3 , 2 ,! 1
11121111111 2 1 ,_
+ ,_
+ ,_
+nnnnnn3)Buktikan( ) ( ) ( ) . , 3 2 1 1 4 3 3 2 2 1 N + + + + +
+ + n n n n n n 4)Buktikan Rumus Binomial :( )( ) +nkkk nnn xyk n
kny x0. ,! !!NSesuai pada Teorema Binomial, buktikan dulu lemma:(
)( ) ( ) ( ) ( ).! !!! 1 ! 1!! 1 !! 1k n knk n knk n kn++
++5)Diketahui fungsiN N : fdengan sifat( ) ( ) ( ). , , y f x f xy
f y x + NBuktikan bahwa( ) ( ). a nf a f n an N N6)Diketahui
fungsiN N : fdengan sifat( ) ( ) ( ). , , y f x f y x f y x +
NBuktikan bahwa( ) ( ) ( ) N n f n fn, 1 .7)Buktikan bahwa1 x n N(
) ( )( ) ( ) .111 1 1 1122 4 2xxx x x xnn + + + ++8)Buktikan bahwa:
, R N y x ny x adalah pembagi dari n ny x 9)Buktikan bahwaN n6
adalah pembagi dari n n 3.2210)Buktikan bahwaN n9 adalah pembagi
dari( ) ( ) . 2 13 3 3+ + + + n n n11)Buktikan bahwa untuk20 2 : ,
7 , 6 , 5 + > n nn .12)Buktikan bahwa N n :( ) ( ) + + + nkn n n
n n k12 2 4. 30 1 9 6 123Bab
5.HimpunanSuatuhimpunanadalahsuatukumpulandari obyek-obyek.
Obyek-obyektersebut dinamakan anggota-anggotaatau elemen-elemendari
himpunan. Bila A adalah suatu himpunan dan x adalah suatu elemen
dariA,ditulis A x . Bilax bukan elemen dariA, ditulis A x .
Himpunan yang elemen-elemennya hanya a, b, c ditulis{ } c b a , ,
.Himpunan dari semua x yang punya sifatPditulis{ } P x x sifatpunya
.Dua himpunan A danBsama, ditulis A = B, bila : x B x A x .
Himpunan A disebuthimpunan bagiandariB, ditulis B A , bila setiap
anggota dariAadalah juga anggota dari B.Himpunan yang tidak punya
anggota, ditulis atau { }, adalah himpunan bagian dari himpunan
sebarang.disebut juga himpunan kosong.Definisi1) Produk (kartesius)
dari A dan B, ditulis, B A adalah :( ) { } B b A a b a B A dan,2)
Gabungan atau union dari A dan B, ditulis A B, adalah :{ }. atauB x
A x x B A 3) Irisan atau intersection dari A dan B, ditulis B A ,
adalah :{ }. danB x A x x B A 4) Selisih dari A dan B, ditulisB A
\adalah :A x x B A | { \ dan }. B x 5) Himpunan kuasa dari A ,
ditulis( ) A P , adalah :( ) { }. dari bagianhimpunanadalahA x A P
ContohMisalkan A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, maka :1)( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 3 , 3 , 2 ,
3 , 1 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1; 2 , 3 ,
1 , 3 , 2 , 2 , 1 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1; , ; 2 , 2 , 1 , 2 , 2 , 1 ,
1 , 1; 3 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 3 , 2 , 2 , 2 , 1 , 2, 3 , 2 , 2 , 2
, 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 B BA BA A A AB AB A 242) { } { } .
, , 2 , 1 , 3 , 2 , 1 B A A B A B A3) { } . , , 3 , B A A A B B A4)
( ) { } { } { } { } ( ) { }. , 2 , 1 , 2 , 1 , P A PAljabar dari
himpunan, dualitasUntukUadalah himpunan semesta, adalah himpunan
kosong,A,B,Cadalah himpunan sembarang, berlakulah huku-hukum di
bawah ini.Hukum Idempoten1a. A A A 1b.A A A Hukum Asosiatif2a. ) (
) ( C B A C B A 2b. ) ( ) ( C B A C B A Hukum Komutatif3a.A B B A
3b. A B B A Hukum Distributif4a. ) ( ) ( ) ( C A B A C B A 4b. ) (
) ( ) ( C A B A C B A Hukum Identitas5a.A A 5b. A U A 6a. U U A 6b.
AHukum Involusi7.A Ac c ) (Hukum Komplemen8a. U A Ac 8b. cA A9a. cU
9b. Uc Hukum DeMorgan10a. c c cB A B A ) ( 10b.c c cB A B A )
(BuktiSebagaicontoh, kta buktikan Hukum DeMorgan c c cB A B A ) ( :
cB A x ) ( bhb B A x ( bhbtidakbenarbahwa( A x atau B x )bhb( A x
dan) B x bhb25(cA x dan cB x )bhb ) (c cB A x .Soal1. Buktikana. )
\ ( B A B B A b.. ) \ ( B A B2. Buktikana.) ( ) \ ( B A B A A b.. )
( ) \ ( B A B A3. Buktikana.B A bhb cB Ab. B A bhb . U B Ac 4.
Buktikana. B A bhb c cA B b.B A bhb . \ B A5. FormulacB A B A
\memberikan definisi operasi beda dinyatakan dengan operasi
interseksi dan komplemen. Carilah formula yang memberikan definisi
B A dinyatakan dengan operasi interseksi dan komplemen.6. Suatu
survei dari 100 mahasiswa, diperoleh data statistik sebagai
berikut: 22 belajar matematika, 20belajarfisika, 45belajarbiologi,
15belajarmatematikadanbiologi, 7belajar matematika dan fisika, 10
belajar fisika dan biologi, 40 tidak belajar apa-apa. a. Tentukan
banyaknya mahasiswa yang belajar ketiga pelajaran tersebut.b.
Tentukan banyaknya mahasiswa yang hanya belajar satu pelajaran
saja.7. Yangdimaksuddenganbedasimetrikdari himpunan-himpunanAdanB
adalahhimpunan ). ( \ ) ( B A B A B A a. Buktikan sifat asosiatif
dari beda simetrik, yaitu. ) ( ) ( C B A C B A b. Buktikan sifat
kanselasi dari beda simetrik, yaitu bila AdanC A B A maka. C B c.
Buktikan sifat distributif dari beda simetrik, yaitu). ( ) ( ) ( C
A B A C B A 8. Buktikan bahwa) ( \ ) ( ) \ ( C A B A C B A 9,
Carilah contoh yang menunjukkan bahwa) ( \ ) ( ) \ ( C A B A C B A
.10.Dari 60mahasiswayangbelajar bahasaInggris diketahui bahwa:
30mahasiswapernah belajar bahasaPerancis, 48mahasiswapernahbelajar
bahasaJerman, 20mahasiswapernah belajar bahasaLatin,
22mahasiswapernahbelajar bahasaPerancis danbahasaJerman, 18
mahasiswa pernah belajar bahasa Jerman dan bahasa Latin, 10
mahasiswa pernah belajar ketiga bahasa tersebut, dan6mahasiswa
takpernahbelajar satupundari ketiga bahasa tersebut. Tunjukkan
bahwa terdapat kesalahan pada data di atas.26Bab 6.
RelasiRelasiBila A dan B adalah himpunan, yang dimaksud relasi dari
A ke B adalah suatu himpunan bagian dariB A .FungsiFungsiA ke B
adalah suatu relasi dariA ke Bsedemikian sehingga untuk setiapA a
terdapat satu dan hanya satuB b dimana (a, b) f. Bila untuk setiapA
a terdapat paling banyak satuB b dimana (a, b) f, f disebut fungsi
parsial.Himpunan A disebut domain dari fungsi f dan himpunan B
disebut range dari fungsi f.Bila (a, b) f, b = f(a) yaitu nilai
dari f di a. Definisi1) FungsiB A f :disebut surjektif atau onto
bila :( ) . b a f A a B b 2) FungsiB A f :disebut injektif atau
satu-ke-satu bila :( ) ( ) [ ]' ' ', a f a f a a A a a atau( ) ( )
[ ]. ,' ' 'a a a f a f A a a .3) FungsiB A f :disebut bijektif bila
: f surjektif dan sekaligus injektif.4) Image dari fungsiB A f
:adalah :( ) ( ) { }. : A x x f A f ContohMisalkan{ } c b a A , ,
dan{ }, , , , d c b a B maka :1) ( ) ( ) ( ) { } B A d c b b b a f
, , , , , adalah fungsi dari Ake B , dengan ( ) ( ) ( ) . , , c f b
b f b a f . ( ) A f image dari fungsi{ } . , B d b f 2) ( ) ( ) ( )
{ } B B d c b b b a f , , , , , hanyalah relasi dari B keB dan
bukan fungsi dari BkeB .Relasi f ini merupakan fungsi parsial dariB
keB .3) Fungsi { } S B A P , : disebutpredikatpada himpunanA.
Misalnya { }, , 2 , 1 , 0 (omega) dapat didefinisikan fungsi { } S
B P , : sebagaipredikat pada dengan ( )'genap. bilaganjil bilan
SALAHn BENARn PSoal27yzdcba1) Diketahui{ } { } { } { }. , , , , , ,
4 , 3 , 2 , 2 , 1 d c b W c b a V B A a) Carilah :( ). , , , , , V
P A W B V A V A B A b) Carilah :( ) ( ) V P A B P W V A A A B B A ,
, , , ,2) Yang manakah relasi-relasi dariB A ke di bawah ini
merupakan fungsi ?{ } { } 4 , 3 , 2 , 2 , 1 B A .a)( ) ( ) { } 4 ,
2 , 3 , 1b)( ) ( ) { } 4 , 1 , 3 , 1c)( ) ( ) { } ( ) ( ) { } 4 , 1
, 2 , 2 , 3 , 1 , 3 , 13) Apakah( ) ( ) { } 3 , 2 , 2 , 1merupakan
fungsi :a) dari( ) ( ) { } ? 3 , 2 ke 2 , 1b) dari? ke N Nc) dari(
) { } ? ke 2 , 1 Nd) dari( ) { } ( ) { } 3 , 2 ke 3 , 2 , 1 ?Relasi
sebagai graphRelasiRdariA keB adalahhimpunanbagiandari B A .
RelasiRdapat disajikan dengan diagram sebagai berikut : Tulis
elemen-elemen dari A pada satu garis dan tulis juga elemen-elemen
dari B pada satu garis lain.Untuk setiap( ) R b a , , gambar panah
dari titik a ke titik b.Penyajian ini disebut bipartite graph
representation dari R, dengan contoh sebagai berikut :
x{ } { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }. , , , , , , , , , , ,, , ,
, , ,z d z c x c y b y a x a Rz y x B d c b a A 28BilaA=B
dapatdigunakanpenyajianlaindariR yanglebihmenarik. Penyajianini
disebutdirected graph representation. Untuk menyajikanA A R ,
gambar diagram dengan satu titik untuk setiap elemen dari A; untuk
setiap( ) R y x ,gambar panah dari titik x ke titik y.Titik-titik
disebutnodesatauvertices, sedang panah-panah disebutedges. Hal ini
digambarkan sebagai berikut : { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }. , , ,
, , , , , , , ,, , ,a d c c a b d b c b b a Rd c b a A { }( ) ( ) (
) ( ) ( ) { }. , , , , , , , , ,, , ,d d c b c a b a a a Rd c b a
ABilaxsuatunode, banyaknya panahyangmenujuxdisebutin-degree;
sedangkan banyaknya panah yang berasalah dari x disebut out-degree.
Definisi1) Relasi R pada A disebut refleksif bila( ) R a a A a ,
,2) Relasi R pada A disebut simetrik bila :( ) ( ) [ ] R x y R y x
A y x , , ,3) Relasi R pada A disebut transitif bila :( ) ( ) ( ) [
] R z x R z y y x A y x , , , ,Bila relasiRsimetrik, dapat
digambarkan penyajian ke tiga dariRyang tidak memerlukan arah
panah, disebut undirected graph representation.b adcdabc29Relasi R
refleksif Relasi R tidak refleksifRelasi R simetrik Relasi R tidak
simetrikRelasi R transitif30Undirected grah representation dari
relasi simetrik R diatasRelasi R : refleksif, simetrik dan
transitifMisalkanrelasiRpadaAadalahtransitif dan ( ) ( ) ( )4 3 3 2
2 1, , , , , a a a a a a adalahpanah-panah dalam R . Dengan sifat
transitif, didapat : ( ) R a a 3 1, , sehingga juga didapat ( ) R a
a 4 1, .DefinisiMisalkan A A R adalahsuaturelasi.
Yangdimaksuddenganpathdariake bdalamRadalah barisan na a a , , ,1
0sedemikian sehingga,(i)1 n(ii)n i A a ii, , 1 , 0 dengan, (iii) b
a a an ,0(iv) ( ) 1 , , 1 , 0 dengan, ,1 +n i R a a ii iBila na a
0, path di atas disebutcycle. Bilangan ndisebutpanjangdari path di
atas. Suatu graph tanpa cycles disebut acyclic.ProposisiRelasi R
transitifbhbuntuk setiap path dari b a ke berada di dalamR maka
terdapat edge( ) b a,yang berada di dalamR .311) Misalkan { } e d c
b a A , , , , dan relasi R padaAadalah : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) { }. , , , , , , , , , , , , , , , c e c d e c d c a c a b c
a b a R a. Gambarkan bipartite graph representation dariR .b.
Gambarkan directed graph representation dariR .c. Cek apakah
Rrefleksif, simetrik atau transitif.2) Misalkan ( ) { } { } { }. ,
, , , b a B a A a a R Apakah A A R refleksif ?Apakah B B R
refleksif ? Gambarkan kedua relasi tersebut sebagai bepartite
graphs dan directed graphs.3) Pandang undirected graph ini :
Sajikan graph ini sebagai suatu relasi.4) Gambarlah suatu directed
graph yang simetrik dan transitif, tetapi tidak refleksif.5)
Suaturelasi yangrefleksif, simetrikdantransitifdisebut
relasiekivalen.Berikan deskripsi dari directed graph dari relasi
ekivalen.6) Misalkan{ } { }. , , b a B a A a. Daftar semua relasiA
A R .b. Daftar semua relasiB B R .c. Dari relasi-relasi dalam a.
dan b. , mana yang refleksif, simetrik, transitif? Relasi
ekivalenSuatu relasi yang refleksif, simetrik dan transitif disebut
relasi ekivalen.DefinisiMisalkanA A R adalah suatu relasi
ekivalendanmisalkanA a . Klasekivalen dari a terhadap R, ditulis[
]Ra , adalah [ ] ( ) { } R a a A a aR ' ', , disingkat[ ] a
.324x2x3xTeoremaBila Radalah relasi ekivalen padaA, danA b a , ,
maka :(i) bila( ) [ ] [ ] b a R b a maka , .(ii) bila( ) [ ] [ ] b
a R b a maka , .(iii) [ ] [ ] [ ] [ ] b a b a atau.Graph dari
relasi ekivalenDefinisiBila R adalah relasi ekivalen pada A, maka
yang disebut quotient setR Aadalah[ ] { }. | A a a R AR
DefinisiMisalkan A adalah suatu himpunan.Himpunan bagiandari P(A)
disebut partisi dari A bilasetiap S adalahtidakkosongdanuntuksetiap
A a , terdapat tepat satu Ssedemikian sehinggaS a .{ } { } { } { }
( ){ }{ } { } { } { } { } ( ). dari partisi4 , 3 , 2 , 14 3 2 1
dimana dari partisi3 , 2 , 4 , 121AA P, , , A AA P
33132TeoremaHimpunanbagian dariP(A) merupakanpartisi padaAbhbR A
untuksuatu relasi ekivalen R pada A.
{ }{ } { } { } { } { } { }[ ] { } [ ] { }[ ] { } { } { } { } 3 ,
2 , 1 , 2 , 1 23 3 , 2 , 1 13 , 3 , 2 , 2 , 1 , 2 , 2 , 1 , 1 , 13
, 2 , 1 R ARARR RSoal1) Diketahui { } 6 1 x x A dan R suatu relasi
dari pada A di mana ( ) { }. 3 dari kelipatan, y x y x R Buktikan
bahwa R adalah relasi ekivalen dan carilahR A . 2) Diketahui { } 8
1 x x A dan R suatu relasi dari pada A di mana( ) { }. ganjil k,
dan, 2 dan2 ,' 'k k y k x y x Ri i Buktikan bahwa R adalah relasi
ekivalen dan carilah R A .3) Misalkan A dan B adalah himpunan dan B
A f :suatu fungsi.Didefinisikan :( ) f Kerkernel dari( ) ( ) ( ) {
}. dan, , y f x f A y x y x f Buktikan bahwa untuk f sebarang,( ) f
Ker adalah relasi ekivalen.4) Buktikan :BilaRadalahrelasi
ekivalenpadaA, terdapatlahhimpunanBdanfungsi B A f :sedemikian
sehingga( ). f Ker R 34KomposisirelasiMisalkan A, B, dan C adalah
himpunan-himpunan. Misalkan juga R adalah relasi dari A keBdan
Sadalah relasi dariBkeC. Jadi dari definisi relasi, R adalah
himpunan bagian dari B Adan S adalah himpunan bagian dari. C
BDibentuk relasi komposisi dari R dan S, yaitu ( ) S R dari A ke C
yang didefinisikan sebagai{ } . & : ) , ( C A bSc aRb B b c a S
R Kadang-kadang relasiS Rdasingkat RS.Contoh1. Misalkan{ }, 4 , 3 ,
2 , 1 A { } d c b a B , , , , dan{ } z y x C , , . Misalkan juga{ }
{ }. ) , ( ), , ( ), , ( ), , ( , ) , 3 ( ), , 3 ( ), , 3 ( ), , 2
( ), , 1 ( z d y c z b x b S d b a d a R Maka35, ) ( 3 & ) ( 2
x S R z S R karenaRd 2 dan, dSzserta. & 3 bSx RbJuga didapatz S
R ) ( 3 karena. & 3 dSz Rd Dapat disimpulkan { }. ) , 3 ( ), ,
3 ( ), , 2 ( z x z S R TeoremaMisalkan A, B, C, D adalah
himpunan-himpunan. Misalkan juga R adalah relasi dari A ke B, S
relasi dari B ke C, dan T relasi dari C ke D. Maka). ( ) ( T S R T
S R Invers relasiMisalkan R adalah relasi dari A ke B. Yang
dimaksud dengan invers relasidari R, ditulis 1 R adalah relasi dari
B ke A dengan { }. ) , ( : ) , (1R b a a b R Contoh1. Misalkan{ } 3
, 2 , 1 Adan R adalah relasi pada A di mana{ }, ) 3 , 2 ( ), 3 , 1
( ), 2 , 1 ( R maka1 R adalah juga relasi pada A dengan{ }. ) 2 , 3
( ), 1 , 3 ( ), 1 , 2 (1R2. Invers dari relasi x adalah suami y
adalah relasi y adalah isteri x.36Bab 7. Himpunan
KaburPendahuluanMisalkan X merupakan himpunan semesta. Yang
dimaksud dengan himpunan kabur atau fuzzy setAadalah dikarakterisir
denganfungsi karakteristik yang diperumumatau fungsi keanggotaanA
dari Xke selang tertutup]. 1 , 0
[Contoh1.MisalkanXadalahhimpunandari semuapabrikmobil.
HimpunankaburA dikarakterisir dengan fungsi keanggotaan] 1 , 0 [ :
XAdi manaX x ) (xA adalah prosentase mobil x digunakan di
Jakarta.2. Misalkan himpunan semesta X adalah himpunan dari semua
mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit K0144.
Himpunan kabur B dikarakterisir dengan fungsi keanggotaan ] 1 , 0 [
: XBdi manaX x ) (xA adalah IPK x dibagi 4.3.Misalkan Xadalah
himpunan semesta.Himpunan biasa atau crisp setCdapat dikarakterisir
dengan fungsi keanggotaan fungsi karakteristik biasa pada C. Ingat
bahwa fungsi karakteristik biasapada C atau Cadalah fungsi dari X
ke selang tertutup] 1 , 0 [ dengan '. , 0, 1) (C xC xxCDua himpunan
kabur A dan B disebut sama, ditulis, B A bila dan hanya bila.B A
Bila himpunan semesta{ }nu u u u U , , , ,3 2 1 berhingga, himpunan
kabur D, misalnya dapat ditulis sebagainna a a aDu u u u3 2 13 2
1:atau sebagai jumlahu u DU uD/ ) ( atau dengan notasin nu a u a u
a u a D / / / /3 3 2 2 1 1+ + + Himpunan (kabur) kosong dan
himpunan(kabur) semesta37Misalkan Xadalah himpunan semesta.Himpunan
kabur kosong dikarakterisir dengan fungsi keanggotaanfungsi nol
dariXyaitu, 0 ) ( : x X xsedangkanhimpunankabur semesta
dikarakterisir dngan fungsi keanggotaan. 1 ) ( X x xX Support dari
himpunan kaburMisalkan X adalah himpunan semesta.Support dari
himpunan kabur A:supp { }. 0 ) ( | ) ( > x X x AAUntuk himpunan
kabur A dengan penulisan1 9 , 0 8 , 0 6 , 0 4 , 0 0 2 , 0 1 , 0:8 7
6 5 4 3 2 1Ax x x x x x x xmaka supp { } { }. , , , , , , ) (3 8 7
6 5 4 2 1x X x x x x x x x A cut dari himpunan kaburMisalkan X
adalah himpunan semesta. Untuk[ ], 1 , 0 yang dimaksud dengancut
dari himpunan kabur A adalah{ } . ) ( | x X x AA Untuk himpunan
kabur A dengan penulisan1 9 , 0 8 , 0 6 , 0 4 , 0 0 2 , 0 1 , 0:8 7
6 5 4 3 2 1Ax x x x x x x xmakacut 4 , 0dari himpunan kabur A
adalah{ }. , , , ,8 7 6 5 4x x x x xInklusi untuk himpunan
kaburDiberikan dua himpunan kabur Adan Bdari himpunan semesta X.
Himpunan Adisebut himpunan bagian dari himpunan B ditulisB A bila.
) ( ) ( X x x xB A Operasi himpunan kaburDiberikan dua himpunan
kabur A dan B dari himpunan semesta X. GabunganB Adari
himpunan-himpunan kaburAdanBdikarakterisir dengan fungsi
keanggotaan { } , ) ( ), ( ) ( X x x x maks xB A B A sedangkan
irisan B A dari himpunan-himpunan kabur A dan B dikarakterisir
dengan fungsi 38keanggotaan { } . ) ( ), ( min ) ( X x x x xB A B A
Untuk komplemencAdari himpunan kabur A dikarakterisir dengan fungsi
keanggotaan . ) ( 1 ) ( X x x xAAc SoalMisalkan himpunan semesta
adalah [ ] { } . 1 0 | 1 , 0 x x X R Himpunan-himpunan kabur A, B
dan Cberturut-turut dikarakterisir oleh fungsi-fungsi keanggotaan .
| 5 , 0 | 1 ) ( , | 5 , 0 | ) ( , ) ( X x x x X x x x X x x xB B A
Dengan menggambarkan kurva fungsi keanggotaannya, 1. Tentukan
himpunan kabur. B A2. Tentukan himpunan kabur. B A3. Tentukan
himpunan kabur .cA4. Tentukan himpunan kabur. C A5. Tentukan
himpunan kabur. C B 6. Tentukan himpunan kabur .cB7. Tentukan
himpunan kabur. C B 8. Tentukan himpunan kabur .cC39Bab 8.
PosetDefinisi Poset Relasi R pada himpunan S disebut partial order
atau urutan parsial pada S bila R adalah:(1) refleksif, yaitu: aRa
untuk setiap a di dalam S.(2) Antisimetrik, yaitu: , , S b a bila
aRb dan bRa maka. b a (3) Transitif, yaitu: , , , S c b a bila aRb
dan bRc maka aRc.SuatuhimpunanSbersamapartial
orderatauurutanparsial disebut suatupartially orderedset
(himpunanterurut parsial) atau poset. Biasanyakitamenggunakanrelasi
urutan parsial dengan simbol , danb a dibaca a mendahului b atau b
melampaui a.Contoha. Misalkan Sadalah himpunan dari
himpunan-himpunan atau keluarga dari himpunan-himpunan. Diadakan
relasi inklusi (termuat) pada S. 1. Jelas bahwaA A untuk setiap
anggota dari S, sehingga relasi inklusi merupakan relasi refleksif
pada S.2.Bila A B B A & maka. , B A sehinggarelasi inklusi
merupakanrelasi anti simetrik pada S.3. Bila C B B A & maka. ,
C A sehinggarelasi inklusi merupakan relasi transitif pada S. Jadi,
berdasarkan definisi poset di atas, Sbersama relasi inklusi atau
ditulis) , ( Smerupakan poset.b.Pandanghimpunan N, yaitu himpunan
dari semua bilangan-bilangan bulat positif. PadaNdiadakanrelasi
habis membagi ataumembagi. Bila N b a, dana membagib, maka aRb
ditulis . | b a Ingat bahwabila N b a, dengan , | b aartinyaN c . b
c a 1. Jelas bahwa a a | untuk setiap anggotaadariN,sehingga relasi
membagi |merupakan relasi refleksif.2.Bila a b b a | & | maka.
b a sehingga relasi membagi | merupakan relasi anti simetrik. 403.
Bila c b b a | & | maka. , | c a sehingga relasi membagi
|merupakan relasitransitif pada N. Jadi, berdasarkan definisi poset
di atas, Nbersama relasi membagi | atau ) | , ( N merupakan
poset.Supremum dan infimumMisalkan A merupakan himpunan bagian dari
poset S. Suatu elemen M di dalam Sdisebut batas atas dariAbila
Mmelampaui setiap elemen xdi dalam A, atau A x berlaku . M x
BilasuatubatasatasdariA mendahuluisemua batas atas yang lain dari A
maka elemen tersebut disebut supremum dari A dan ditulis sup(A)
atau batas atas terkecil dari A dan ditulis lub (A). Secara analog,
suatu elemen m di dalam S disebut batas bawah dari A bila m
mendahului setiap elemen xdi dalam A, atauA x berlaku. x m Bila
suatu batas bawah dari A melampaui semua batas bawah yang lain
dariAmaka elemen tersebut disebut infimum dari A dan ditulis inf(A)
atau batas bawah terbesar dari A dan ditulis glb (A).Contoha.
Himpunan N diurutkan secara parsial dengan relasi membagi |.
Misalkan . , N b aPembagi persekutuan terbesar dariadanbditulis
dengan ) , gcd( b a adalah bilangan bulat positif terbesar yang
membagi kedua a dan b. Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b
ditulis dengan) , ( b a lcm adalah bilangan bulat positif terkecil
yang dapat dibagi oleh keduaadan b. Dari teori bilangan diperoleh
sifat bahwa setiap pembagi persekutuan dari a dan b juga membagi )
, gcd( b a serta) , ( b a lcmmembagi setiap kelipatan persekutuan
dari a dan b. Jadi,) , glb( ) , inf( ) , gcd( b a b a b a ). , lub(
) , sup( ) , ( b a b a b a lcm b. Untuk setiap bilangan bulat
positifm, misalkan mDmenunjukkan himpunan dari semua
pembagi-pembagi dari m terurut dengan relasi habis membagi. Maka,}.
36 , 18 , 12 , 9 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 {36 DTerlihat bahwa ) , glb( )
, inf( ) , gcd( b a b a b a dan) , lub( ) , sup( ) , ( b a b a b a
lcm eksis untuk semua a dan b di dalam.36DSoal411. Relasi R adalah
relasi habis membagi yang didefinisikan atas himpunan }. 1296 , 648
, 432 , 324 , 216 , 162 , 144 , 108 , 81 , 72 , 54 , 48 , 36 , 27 ,
24 , 18 , 16 , 12 , 9 , 8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 { AGambarkan poset) ,
( R A di atas dalam diagram Hess. Carilah ub, lub, lb dan glb dari
himpunan{6,12,36,72}.Bab 9. Aljabar BooleDefinisi
dasarBaikhimpunan-himpunanmaupunpernyataan-pernyataan,
keduanyamempunyai sifat-sifat yangmirip, yangdisebut
hukum-hukumidentikal. Hukum-hukumini digunakanuntuk
mendefinisikanstruktur matematika yangabstrakyangdisebutaljabar
Boole.Nama tersebut diambil dari matematikawan Inggris Geoge Boole
(1815-1864).MisalkanBadalahhimpunantidakkosongdenganduaoperasi
biner +dan , satu operasi unari , dan dua elemen yang berbeda 0 dan
1. Himpunan Bdisebut aljabar Boole, bila aksioma-aksioma di bawah
ini dipenuhi, di mana a, b, c adalah lemen-elemen sembarang dalam
B. (B1) Hukum-hukum komutatif:a b b a b a b b a a + + ) 1 ( ) 1
((B2) Hukum-hukum distributif:) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( c a b
a c b a b c a b a c b a a + + + + +(B3) Hukum-hukum identiti:a a b
a a a + 1 ) 3 ( 0 ) 3 ((B4) Hukum-hukum komplemen:. 0 ' ) 4 ( 1 ' )
4 ( + a a b a a aKadang-kadang aljabar Boole ditulis dengan
notasi). 1 , 0 , ' , , , ( + B di mana 0 disebut elemen nol,
1disebut elemensatuandan ' a disebut komplemendaria.
Sebagaimanapadahasilkali biasa pada bilangan-bilangan real,
tandatidak akan dituliskan. Misalnyaab artinya. b a Operasi-operasi
+, dan berturut-turut disebut jumlah, hasilkali dan komplemen.Kita
mengikuti aturanc b a + yang berarti), ( c b a + ' b a yang
berarti). ' (b a Contoh421. Misalkan{ } 1 , 0 B dengan dua operasi
biner + danyang didefinisikan sebagai + 1 01 1 10 1 0 1 01 1 00 0
0dan operasi unari didefinisikan sebagai1 ' 0 dan. 0 ' 1 Maka B
merupakan aljabar Boole.2. Misalkan Ckoleksi dari himpunan yang
tertutup terhadap union, interseksi dan komplemen. Maka C merupakan
aljabar Boole dengan himpunan kosongsebagai elemen nol dan himpunan
semesta U sebagai elemen 1.3. Misalkan 70Dadalah himpunan dari
pembagi-pembagi 70 yaitu{ }. 70 , 35 , 14 , 10 , 7 , 5 , 2 , 170 D
Didefinisikan +,dan pada70D sebagai + b a kelipatan persekutuan
terkecil dari a dan b, b apembagi persekutuan terbesar dari a,. /
70 ' a a Maka 70Dmerupakan aljabar Boole dengan 1 sebagai elemen
nol dan 70 sebagai elemen satuan.DualitasDual dari
pernyataansembarangdalamsuatualjabarBooleBadalahpernyataanyang
diperoleh dengan menukar operasi-operasi + dan dan menukar
elemen-elemen 0 dan 1 dalam pernyataan semula. Sebagai contoh, dual
darib b a + + ) 0 ( ) 1 (adalah. ) 1 ( ) 0 ( b b a +
Perhatikansifatsimetri dalamaksioma-aksiomadarialjabarBooleB.Yaitu,
dualdariaksioma juga aksioma dalam aljabar Boole B. Berdasarkan hal
tersebut, diperoleh hasil Prinsip Dualitas yang penting, yang
dinyatakan sebagaiTeorema 1 (Prinsip Dualitas):Dual dari teorema
sembarang dalamdalamaljabar Boole juga merupakan suatu teorema.
Menggunakan aksioma-aksioma (B1) sampai dengan (B4) dalam aljabar
Boole B, diperolehTeorema 2Misalkanc b a , ,adalah elemen-elemen
sembarang dalam aljabar Boole B. Maka berlaku(i) Hukum-hukum
idempoten:a a a a a a + ,(ii) Hukum-hukum keterbatasan: 0 0 , 1 1 +
a a(iii) Hukum-hukum absorpsi: a b a a a b a a + + ) ( , ) (43(iv)
Hukum-hukum asosiatif: ). ( ) ), ( ) ( c b a c b a c b a c b a + +
+ +Teorema 3 Misalkan a adalah elemen sembarang dalam aljabar Boole
B.Maka berlaku(i) Hukum Ketunggalan Komplemen: Bila 0 & 1 + x a
x a maka'. a x (ii) Hukum Involusi: 0 0 , )' ' ( a a a(iii)0 ' 1 ,
1 ' 0 Teorema 4 (Hukum-hukum DeMorgan)Misalkanb a,adalah
elemen-elemen sembarang dalam aljabar Boole B.Maka berlaku(i) '. '
)' ( , ' ' )' ( b a b a b a b a + +Disain rangkaian skakelar
listrik (rangkaian logika)Misalkan , , B A merupakan skakelar
listrik, dan misalkan untuk skakelarA,A menunjukkanskakelar
listrikbilaAhidupAmati danbilaAmatiA hidup.AdanBdapat
dihubungkanseri, ditulis , B A atauparalel ditulis . B A
Disainrangkaianskakelar listrik Boole adalah susunan dari kawat dan
skakelar yang disusun dengan penggunaan berulang-ulang dari
kombinasi seri dan paralel. Jadi rangkaian tersebut dapat dapat
ditulis dengan notasi dan . Teorema 5Aljabar dari rangkaian
skakelar listrik Boole merupakan aljabar
Boole.Soal1.Gambarkanungkapan(ekspresi) Boole ( ) [ ]. ' ) ' ( B C
A B A Sederhanakanungkapan (ekspresi) Boole( ) [ ] B C A B A ' ) '
(dan kemudian gambarkan hasilnya.2.Gambarkan ungkapan(ekspresi)
Boole ) ' ' ( )] ' ( [ B A B B A Sederhanakan ungkapan (ekspresi)
Boole( ) [ ] ( ) ' ' ' B A B B A dan kemudian gambarkan
hasilnya.44Bab 10. Disjunction Normal FormPandanghimpunandari
peubah-peubah(huruf atausimbol), misalkan . , , ,2 1 nx x x
Yangdimaksuddenganekspresi BooleEdalampeubah-peubahini,
biasanyaditulis sebagai ) , , , (2 1 nx x x E , adalah peubah
sembarang atau ekspresi sembarang yang dibangun oleh peubah-peubah
tersebut menggunakan operasi-operasi Boole +, dan . Sebagai contoh,
)' ' ' ( )' ' ( y x xyz z y x E + + + dan )' ' )' ' ' (( z x y z xy
F + + merupakan ekspresi Boole dalam peubah x, y,
z.Yangdimaksuddenganliteraladalahpeubahataukomplemendari peubah,
misalnya ' , , ' , y y x x dsb. Produk Fundamental Yang dimaksud
dengan produk fundamental adalah literal atau produk dari dua atau
lebih literal di mana tidak ada dua literal yang mengandung peubah
yang sama. Misalnya,yz x yz y x z xy xz ' , ' , ' , , ' , 'semuanya
merupakan produk fundamental. Tetapi z xyx' danxyzykeduanya bukan
produk fundamental.Produk fundamental 1Pdikatakan termuat dalam
produkfundamental lain 2P bila literal-literaldari1P
jugaiteral-literaldari .2P Sebagai contoh z x' termuatdalamz y x'
tetapitidak dalam, ' z xykarena x bukan literal dariproduk
fundamental kedua.Bila produk fundamental 1P termuat dalam produk
fundamental,2Pmaka dengan hukum absorpsi.1 2 1P P P + Misalnya'
actermuat dalam, ' b ac diperoleh'. ) ' ( ' ac b ac ac +DNF &
Metodanya45Ekspresi Boolean E merupakan disjunctive normal form
(dnf) bila Eadalah produk fundamental atau jumlah dari dua atau
lebih produk fundamental di mana tak ada produk fundamental yang
termuat dalam produk fundamental yang lain. Sebagai contoh, ' ' '1z
y x z y z x E + + dan'. ' ' ' '2z y x z y x z x E + + Yang pertama
bukan dnf karena' z x termuat dalam, ' z y x sedang yang kedua juga
bukan dnf karena' xztermuat dalam'. ' z xyMenggunakan
hukum-hukumaljabar Boole, kita dapat mengkonstruksikan algoritma
untuk mengubah ekspresi Boole sembarang E ke bentuk dnf, dengan
cara sbb.(1) Menggunakan hukum-hukumde Morgandan involusi, kita
dapatmenjalankan operasi komplemenkedalam kurungsembarang sampai
akhirnyahanyaterdapat komplemen dari peubah-peubah. Kemudian Ehanya
mengandung jumlahan dan produk dari literal saja.(2) Menggunakan
hukum distributif, kita dapat terus mengubah Eke dalam jumlahan
dari produk-produk, lalumenggunakanhukum-hukumkomutatif,
idempotendanabsorpsi, kita akhirnya dapat mengubah E dalam
dnf.Sebagai contoh, dengan (1) ). ' )( ' () )' ' ' ( )' ' )(( ' '
)' (( ))' ' ' )( ' (( )' )' ((bc ac c abc b c a c ab c b c a c ab
E+ + + + + + + + Kemudian dengan (2),, ' 0 ' ' ' ' ' ' abc ac ac
abc abc bcc c ac abbc abac E + + + + + + + yang berbentuk dnf.Full
DNFEkspresi Boole ) , , , (2 1 nx x x E disebut full disjunctive
normal form bila) , , , (2 1 nx x x E merupakan dnf dan setiap
produk fundamental mengandung semua peubah. Kita dengan mudah dapat
mengubah dnf ke dalam full dnf dengan mengalikan setiap produk
fundamentalPdariE dengan 'i ix x + bilaPtidak mengandung .ix
Sebagai contoh, kita dapat mengubah ) , , ( c b a E E di atas ke
dalam full dnf dengan. ' ' ' ) ' ( ' ' abc c ab abc abc b b ac abc
ac E + + + + + Perlu dicatat bahwa, 1 ' +i ix x sehingga
mengalikanPdengan'i ix x +dibolehkan.Teorema46Setiapekspresi Boole
) , , , (2 1 nx x x E yangtidaksamadengannol dapat dituliskan dalam
full dnf dengan tunggal.Contoh1. Nyatakan ekspresi Boolean berikut
dalam dnf dan dalam full dnf)'. ' ( ) , , (1 1z y x z y x E E
Solusi, ' ) ' ( )' ' (1xz xy z y x z y x E + + dalam dnf.Juga, , '
' ' ' ' ' '' ) ' ( ) ' ( '1z xy xyz xyz z xy xyz xyz xyzz y y x z z
xy xz xy E+ + + + + + + + + dalam full dnf.2. Nyatakan ekspresi
Boolean berikut dalam dnf dan dalam full dnf '. ) ' ( ) , , (2 2y y
x z z y x E E + + Solusi, ' ' ' ) ' (2y yz z x y y x z E + + + +
dalam dnf. Juga,, ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ') ' )( '
( ' ) ' ( ) ' ( ' ' ) ' (2z y x z y x yz x z xy z xy xyzz y x z y x
z xy z xy yz x xyz z y x yz xz z x x y x x yz y y z x y y x z E+ +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + dalam full dnf.3. Nyatakan
ekspresi Boolean berikut dalam dnf dan dalam full dnf . ' )' ' ( )
, , (3 3y x y x z y x E E + + Solusi, ' ' ' )' ' (3y x xy y x y x E
+ + + dalamdnf. Bentukterakhir ini bisadipandangsebagai dalam
bentuk full dnf bilapeubah-peubahnya hanyaxdan y.Tetapi dalamsoal
jelas bahwapeubah-peubahnya diketahui dalam x, y, z. Jadi, ' ' ' '
' ') ' ( ' ) ' ( ' ' ' ' )' ' (3yz x yz x z xy z xyz z y x z z xy y
x xy y x y x E+ + + + + + + + + dalam full dnf. 47Bab 11. Teori
GraphPengertian dan konsep dasarGraph G terdiri dari dua bagian:(i)
Himpunan Vyang elemen-elemennya disebut titik-titik atau nodes.(ii)
HimpunanE daripasangan-pasangantakberurutandarititik-titikyang
berlainan yang disebut rusuk-rusuk atau
edges.Kitamenulisgraphsedemikiandengan ) , ( E V G
untukmenekankanduabagiandari graphG tersebut.Titik-titik udan
vdisebut bersebelahan atau adjacentbila terdapat rusuk}. , { v u
Kita menggambarkangraphdengandiagramsecara alami. Dalamhal ini
setiaptitikvdalamV disajikan dengan lingkaran kecil atau dot, dan
setiap rusuk} , {2 1v v e disajikan dengan kurva yang menghubungkan
titik-titik ujung 1vdan.2vPadagraph ) , ( E V G
biasanyatidakdibolehkanadanyarusukgandaataumultipleedges, yaitu
adanyalebihdari
saturusukyangmenghubungkanduatitikpadagraphtersebut. Padagraph ) ,
( E V G juga tidak dibolehkan adanya loop, yaitu rusuk yang
titik-titik ujungnya sama. Graph ) , ( E V G dengan dua sifat ini
disebut multigraph. Yang dimaksud denganwalk adalah multigraph yang
terdiri dari barisan yang bergantian dari titik dan rusuk dengan
bentuk. , , , , , , , , ,1 1 2 2 1 1 0 n n n nv e v e v e v e v
Sedangkan path adalah walk di mana semua titik-titiknya berlainan.
Misalkan ) , ( E V G adalahgraph. MisalkanjugaVhimpunanbagiandariV
, danEadalah himpunan bagian dariEyang memuat semua rusuk dariEyang
titik-titik ujungnya merupakan elemen dari V. Dalam hal ini ) ' , '
( E V G merupakan subgraph dari graph). , ( E V GKomponen
darigraph48Graph) , ( E V G disebut terhubung atau connected bila
antara dua titik sembarang terdapat suatu
pathyangmenghubungkanduatitiktersebut. Subgraphterhubungdarigraph)
, ( E V G disebut komponen terhubung dari) , ( E V G bila dia tidak
termuat dalam subgraph terhubungsembarang yang lebih besar. Secara
intuitif jelas bahwa setiap graph dapat dipartisi ke dalam
komponen-komponen terhubungnya.Jarak antara dua titik dan
diameterJarak antara dua titik u dan v dari graph terhubung G,
ditulis) , ( v u d , adalah panjangdari path terpendek antara u dan
v. Diameter dari graph terhubung G adalah jarak maksimum dari dua
titik sembarang dari G.Misalkan v adalah titik dari graph G. Yang
dimaksud denganv G adalah adalah graph yang diperoleh dari G dengan
menghilangkan v dan semua rusuk-rusuk yang berinsiden dengan v.
Titik v dalam graph terhubung G disebut titik potong atau cut point
bilav G menjadi tak terhubung.49Bab 12. Pewarnaan GraphPewarnaan
titikPewarnaantitikdari graphG
adalahpenentuanwarnapadatitik-titikG, sedemikian sehingga
titik-titik yang bersebelahan mempunyai warna-warna
berlainan.Banyaknya warna minimum yang diperlukan untuk mewarnaiG
disebut bilangan kromatikatau chromatic numberdariGdan ditulis
dengan simbol ). (G Kita berikan algoritma Welch dan Powell untuk
mewarnai graphG. Langkah pertama adalah mengurutkan titik-titik
dariG berdasarkan degreenya yang menurun (urutan ini tidak tunggal
karena ada titik-titik yang punya degreesama). Ingat
bahwadegreeatau derajat dari suatu simpul dalamgraphGadalah
banyaknya rusuk yang melalui simpul tersebut. Langkah kedua adalah
memberikan warna pertamauntuktitikpertama. Untukmewarnai
selanjutnyaadalahsecarabarisan, warnai setiap titik yang tidak
bersebelahan dengan titik yang diwarnai sebelumnya dengan warna
yang sama. Ulangi
prosesyangsamamenggunakanwarnakeduadanbarisanbagiandari
titik-titikyang belumdiwarnai. Lanjutkan prosesnya dengan warna
ketiga, dst. sampai semua titik-titik terwarnai. Kitamemakai
algoritmaWelch-Powelluntukmewarnai graph GpadaGambar6-5.
Mengurutkan titik-titik menurut degreenya yang menurun diperoleh
barisan. , , , , , , ,8 6 4 2 1 7 3 5A A A A A A A
A50Warnapertamadigunakanuntukmewarnai titik-titik5A dan .1A
Warnakeduadipakai untuk mewarnai titik-titik. , ,8 4 3A A A Warna
ketiga dipakai untuk mewarnai titik-titik 2 7, A A dan,6Asehingga .
3 ) ( G Perlu dicatat bahwa , 2 ) ( > G karena2 1, A A dan3A
harus diwarnai berlainan. Jadi . 3 ) ( G Juga, graph komplit atau
lengkapnK denganntitik simpul memerlukannwarna
dalampewarnaansembarang, karena setiap titik simpul bersebelahan
dengan setiap titik simpul lainnya. Contoh1. Perhatikan Gambar
6-18. Gunakan algoritma Welch-Powell untuk mewarnai (pewarnaan
titik) graph pada gambar tersebut.SolusiLangkahpertama,
mengurutkantitik-titikmenurut degreenyayangmenurundiperolehbarisan.
, , , , , , , G E C B F D A H Dikerjakansecarabarisan, kitapakai
warnapertamauntukmewarnai titik-titiksimpulH,B, danlaluG.(
Kitatidakdapat mewarnaiA,D, atauFdenganwarna pertamakarena
masing-masing terhubung dengan H. Kerjakan terus secara barisan
dengan titik-titik simpul yang belum diwarnai, kita pakai warna
kedua untuk titik-titik simpul A dan D.51Titik-titik simpul sisanya
F, C dan Edapat diwarnai dengan warna ketiga. Jadi bilangan
kromatik ntidak dapat melebihi 3. Pada setiap pewarnaan,H,D, dan E
harus diwarnai berlainan, karena mereka terhubung satu sama lain,
sehingga n tidak dapat kurang dari 3. Jadi bilangan kromatik . 3
nPewarnaan rusukPewarnaan rusuk dari graphGadalah penentuan warna
pada rusuk-rusukG, sedemikian sehingga rusuk-rusuk yang
bersebelahan mempunyai warna-warna berlainan.Banyaknya warna yang
diperlukan dibuat minimum.Contoh1. Perhatikan graph pada halaman
52. Pewarnaan rusuk graph tersebut dikerjakan sebagai berikut:1) 1e
kita beri warna pertama.2) 4e dan 9e kita beri warna pertama juga,
karena 4 1, e e dan 9e tidak saling terhubung langsung oleh sebuah
titik.3) 2ekita beri warna kedua. 4)5e dan7e dapatdiberi
warnakeduajuga, karena5 2, e e dan7e jugatidaksalingterhubung
melalui sebuah titik.5) 3edan 8edapat diberi warna ketiga.6)
Terakhir, 6ekita beri warna keempat. Jadi bilangan kromatik
(pewarnaan rusuk) dari graph di atas adalah empat, atau. 4 ) ( G 2.
Pada pewarnaan rusuk untuk graph lengkap,n bilangan kromatik dari n
memenuhi rumus:'. , 1,) (genap n bila nganjil n bila nn Pewarnaan
daerahPandangsuatumapM, yaiturepresentasi planar dari
multigraphplanar yangberhingga. Dua
daerahdariMdikatakanbersebelahanbilamerekamempunyai
suaturusukberserikat. Yang dimaksud dengan pewarnaan daerah
dariMadalah penentuan warna pada setiap daerah dariM sedemikian
sehingga daerah-daerah yang bersebelahan mempunyai warna yang
berlainan. 5253Contoh1. Sebagai contoh, pada Gambar 6-6 (a)
daerah-daerah 2rdan 5r bersebelahan, sedangkan 3rdan 5r tidak. Map
pada Gambar 6-6 (a) mempunyai bilangan kromatik tiga, yaitu
banyaknya warna minimum untuk pewarnaan daerah dari map tersebut.
Hal ini mengingat: 1rdiberi warna merah, 2r putih, 3rmerah, 4r
putih, 5rmerah dan6rbiru. 2. Gambar 6-7 memperlihatkan map yang
sangat sederhana, yang memerlukan empat warna pada pewarnaan
(daerah) sembarang.54Soal1. Carilah bilangan kromatik untuk
pewarnaan daerah pada setiap map pada Gambar 6-30.55Bab 13. : Graph
PohonSuatu graph terhubung tanpacycledisebuttree atau
pohon.Subgraph T dari graph Gdisebut spanning tree dari G bila T
merupakan tree dan memuat semua titik simpul dari G. Gambar 6-8
memperlihatkan graph G dengan spanning trees 2 1,T Tdan 3TdariG.
BilaGadalah suatu graph yang rusuk-rusuknya mempunyai panjang, maka
yang dimaksuddenganminimalspanningtreedari Gadalahspanningtreedari
G di manajumlah panjang dari rusuk-rusuknya minimal di antara semua
spanning tree dari G.Pandang graph G yang merupakan graph terhubung
berlabel berhingga dengan m titik-titik simpul. Di bawah ini kita
berikan dua algoritma untuk mendapatkan minimal spanning tree dari
G.Algoritma I.Pertama, urutkan rusuk-rusuk dariGsesuai dengan
panjangnya secara menurun. Kerjakan secara barisan, hilangkan
setiap rusuk yang tidak memutus (membuat tidak terhubung) graph G
sampai tinggal1 mrusuk. Rusuk-rusuk ini membentuk minimal spanning
tree dari G. Algoritmaini
bergantungpadadiketahuinyagraphnyaterhubung, yangpadaumumnyatidak
mudah dibuat programnya.Algoritma II.Dimulai dengan mengurutkan
rusuk-rusuk dariGsesuai dengan panjangnya secara menaik. Kemudian,
dimulai dengan hanya titik-titik simpul dariG, kita tambahkan rusuk
satu persatudi manasetiaprusukpunyapanjangminimal
dantidakmembentukcyclemanapun. Setelah menambahkan1 m rusuk, kita
dapatkan minimal spanning tree dari G. Gambar 6-9 memberikan graph
terhubung berlabel G dan minimal spanning tree M.56Contoh1.Tentukan
semua spanning trees dari graph G pada Gambar 6-20.Solusi Terdapat
delapanspanningtreesdari graphGsebagaimanadiperlihatkanpadaGambar
6-21. Setiapspanningtreemempunyai tigarusuk. Jadi
setiapspanningtreedapat diperolehdengan menghilangkan dua dari lima
rusuk G. Ini dapat dikerjakan dalam sepuluh cara, kecuali dua di
antaranyamenjadi graphtakterhubung. Jadidelapan
spanningtreesdiatasmerupakansemua spanning trees dari G.2.
57Carilah minimum spanning tree untuk graph dengan
rusuk-rusukberlabel pada Gambar
6-22.SolusiTerushilangkanrusuk-rusukdenganpanjangmaksimumtanpamembuat
graphmenjadi tidak terhubung. Cara lain, mulai dengan sembilan
titik simpul, terus tambahkan rusuk rusuk dengan panjang minimum
tanpa membuatcycle manapun. Kedua cara menghasilkan minimum
spanning tree sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 6-23. 58Bab 14.
Finite AutomataKita bisa memandang suatu komputer digital sebagai
suatu mesin yang berada di dalam internal state tertentu pada waktu
yang diberikan sembarang.Komputer tersebut membaca input symbol,
dankemudianmencetakoutput symboldanmengubahstatenya.Outputsymbol
bergantung hanya pada input symbol dan internal state dari mesin,
dan internal state dari mesinbergantunghanyapadastatesebelumnya
daninputsymbolsebelumnya. Gagasanini diformalisasikan pada definisi
berikut.DefinisiSuatu finite state machine M terdiri dari lima
bagian:(1) Himpunan berhingga A dari input symbols.(2) Himpunan
berhingga S dari internal states.(3) Himpunan berhingga Z dari
output symbols.(4)Next-state function fdariA S ke S.(5) Output
function g dariA S ke Z.Mesin M ini ditulis dengang f Z S A M ,. ,
, , sewaktu kita ingin menekankan lima bagiannya.
Kadang-kadangdiberikan jugainitial stateataustateawal0q didalam S,
dan mesin M ditulis dengan. ,. , , , ,0g f q Z S A MContohDi bawah
inidiberikan finite state machineMdengan dua input symbols, tiga
internal states dan tiga output symbols:(1)} , { b a A (2) } , , {2
1 0q q q S (3) } , , { z y x Z (4) Next-state function fdariA S ke
S didefinisikan dengan ( ). ) , ( ) , ( ) , (, ) , ( ) , (1 2 1 1 2
00 2 2 1 1 0q b q f q b q f q b q fq a q f q a q f q a q f (5)
Output function g dariA S ke Z didefinisikan dengan ( ). ) , ( ) ,
( ) , (, ) , ( ) , (2 1 02 1 0y b q g z b q g y b q gz a q g x a q
g x a q g 59Menurut tradisi, untuk menunjukkan statesdigunakan
simbolqdan untuk menunjukkan initial state digunakan
simbol.0qFinite AutomataFinite automatonadalah miripfinite state
machinekecuali bahwa automaton mempunyai accepting dan rejecting
states. Secara spesifik, finite automaton M terdiri dari lima
bagian, yaitu: (1) Himpunan berhingga A dari input symbols.(2)
Himpunan berhingga S dari internal states.(3) Himpunan bagian T
dari S ( yang elemen-elemennya disebut accepting states)(4)Initial
state 0q di dalam S.(5) Next-state function f dariA S ke
S.AutomatonMini ditulis dengan f q T S A M ,. , , ,0
sewaktukitainginmenekankanlima bagiannya. Contoh1. Di bawah ini
mendefinisikan suatu finite automaton dengan dua input symbols dan
tiga states:(1)} , { b a A , input symbols(2)states q q q S }, , ,
{2 1 0(2) } , {1 0q q T , accepting states(4)0q , initial state.(5)
Next-state function fdariA S ke S didefinisikan dengan ( ). ) , ( )
, ( ) , (, ) , ( ) , (2 2 2 1 1 02 2 0 1 0 0q b q f q b q f q b q
fq a q f q a q f q a q f Kita dengan ringkas dapat mendiskripsikan
finite automaton Mdengan state diagramnya
sebagaimanadikerjakandenganfinitestatemachine, kecuali bahwadi sini
kitamenggunakan lingkaran dobel untuk accepting states dan setiap
rusuk dilabel hanya dengan input symbol. Secara
spesifik,statediagram DdariMadalahgraphberarahyangdilabel
yangtitik-titiknyaadalah statesdariSdi manaaccepting statesdilabel
menggunakan lingkaran dobel; dan bila , ) , (k i jq a q f maka
terdapat busur dari jq ke kq yang dilabel dengan.ia Juga initial
state 0qditunjukkan dengan panah menuju titik.0q Sebagai contoh,
state diagram dari automaton M dari contoh di atas diberikan dalam
Gambar 7-9.60Diberikan stringberhingga na a a a W 3 2 1 dariinput
symbolsdari automaton M, kita perolehbarisan dari states ns s s s 2
1 0di mana 0s adalah initial state dan) , (1 i i ia s f s untuk . 0
> i Kita katakanbahwa Mmengenal ataumenerimastringWbilafinal
state ns adalah acceptingstate,yaitubila . T sn Kitagunakan ) (M L
untukmenunjukkanhimpunansemua stringyangdikenal olehM.Sebagai
contoh, kitadapat memperlihatkanbahwaautomatonM dalam contoh di
atas akan mengenal semua string yang tidak mempunyai dua b yang
berurutan . Jadi M akan menerima abaaababab baab aaa aababaaba , ,
,dan akan menolak abbbaa bb ababbaab bbaaa aabaabba , , , ,61Bab
15. Nondeterministic Finite AutomataDalamteori komputasi,
non-deterministic finite state machine atau non-deterministic
finite automaton (NFA) adalah finite state machine di mana untuk
setiap pasangan dari state dan input symbol yang diberikan, mungkin
dapat menentukan/menghasilkan beberapa state berikutnya. Ini
membedakannya dari deterministic finite automaton (DFA), di mana
state berikutnya yang mungkin, ditentukan dengan tunggal. Meskipun
DFA dan NFA memiliki definisi yang berlainan, dapat dibuktikan
secara teori, bahwa keduanya ekivalen, dalam arti bahwa, bila
diberikan NFA sembarang, kita dapat mengkonstruksikan DFAyang
ekivalen dengan NFAtersebut dan sebaliknya. Ini adalah konstruksi
power set. Kedua tipe automata mengenal hanya bahasa-bahasa yang
beraturan.Kadang-kadang non-deterministic finite state machines
dipelajari dengan nama subshifts of finite type.Non-deterministic
finite state machines digeneralisir dengan probabilistic automata,
yang menentukan probabilitas ke tiap transisi state.Introduksi
IntuitifNFA, miripDFA, mengkonsumsi stringdari input
symbols.Untuksetiapinput symbol, NFA mentransisi ke state baru
sampai semua input symbol dikonsumsi.Tidakseperi DFA,
NFAadalahnon-deterministicdalamarti, untukinput symbol sembarang,
stateberikutnyamungkinsalahsatudari beberapastateyangmungkin. Jadi,
dalamdefinisi formal, stateberikutnyaadalahelemendari power set
dari states. Elemenini sendiri adalah himpunan, menyajikan suatu
subset dari semua states yang mungkin untuk dipertimbangkan satu
kali.Perluasan dari NFA adalah NFA-lambda (juga dikenal sebagai
NFA-epsilon atauNFAdengan gerak epsilon), yang mengizinkan
transformasi ke state baru tanpa mengkonsumsi input symbol. Sebagai
contoh,bilaNFA-lambda dalam state 1,dengan input symbol
berikutnyaa, dia dapat bergerak ke state 2 tanpa mengkonsumsi input
symbol apa saja, dan terjadi kerancuan:apakah sistem dalam state 1,
atau dalam state 2, sebelum mengkonsumsi huruf a? Karena kerancuan
ini, adalah lebih nyaman untuk berbicara tentang himpunan dari
states yang mungkin, di dalam mana sistemnya berada.Jadi,
sebelummengkonsumsi hurufa, NFA-epsilonbisadi dalamsalahsatudari
statesyang beradadalamhimpunan }. 2 , 1 { Secaraekivalen,
diaberadadidalamstate1dan2padawaktu yang sama: dan ini memberikan
petunjuk informal dari konstruksi power
set:EkivalenDFAterhadapNFAdidefinisikansebagai
satusistemyangberadadi dalamstate q={1,2}. Transformasi ke state
baru tanpa mengkonsumsi input symbol disebut transisilambda
atautransisiepsilon. Mereka biasanya ditunjukkan dengan huruf
Yunani atau . Pengertian menerima suatu input mirip dengan yang
untuk DFA. Sewaktu input symbol terakhir dikonsumsi, NFA menerima
bila dan hanya bila terdapat suatu himpunan dari transisi yang akan
mengambilnya ke accepting state. Secara ekivalen, dia menolak,
bila, tanpa memandang transisi-transisi yang dipakai, dia tak akan
berakhir dalam accepting state.Definisi formal62Dua tipe NFA yang
mirip biasanya didefinisikan sebagai NFA dan NFA dengan gerak-.NFA
didefinisikan sebagai5-tuple (Q, , T, q0, F), di mana Q himpunan
berhingga dari states. himpunan berhingga dari input symbols. T
fungsi transisi, dari Q ke power set P(Q). 2Q0qinitial (start)
state,.0Q q F himpunan dari accepting (final) states, F Q.NFAdengan
gerak-(NFA-epsilonatau NFA-lambda)menggantikan fungsi transisi
dengan fungsi yang mengizinkan string kosong sebagai input, yaituT
: Q ( {}) P(Q). Dapat dibuktikan bahwa NFA dan NFAdengan
gerak-adalah ekivalen,dalam arti, diberikan salah satu, kita dapat
mengkonstruksikan yang lain, yang mengenal bahasa yang sama.Mesin
tersebut mulai dalam state awal yang ditentukan dan membaca string
dari simbol-simbol dari alfabetnya. Automaton memakai fungsi
transisi state Tuntuk menentukan state berikutnya menggunakan state
sekarang, dan simbol yang baru saja dibaca atau string kosong.
Tetapi state berikutnya dari NFAbergantung tidakhanya pada
keadaaninput sekarang, tapi juga pada sejumlahkeadaaninput
selanjutnya. Sampai keadaan-keadaanselanjutnyaini terjadi, tidaklah
mungkin menentukan state di dalam mana mesin tersebut berada. Bila,
ketika automaton telah selesai membaca, dia berada dalamaccepting
state, NFAdikatakanmenerima string, yang lainnya dikatakan menolak
string. Himpunan dari dari strings yang diterima NFA disebut bahasa
yang diterima NFA. Bahasa ini adalah bahasa beraturan. Untuk setiap
NFA, suatu DFA yang dapat menerima bahasa yang sama dapat
dicari.Maka, adalah mungkin untuk mengubah NFA yang eksis ke suatu
DFA untuk tujuan mengimplementasi (bila mungkin) mesin yang lebih
sederhana. Ini dapat ditunjukkan menggunakan
konstruksipowerset,yang bisa membawakenaikandaribanyaknya
statesyang diperlukan secara eksponensial. 63Sifat-sifat NFA-bila
dan hanya bila qdapat dicapai daripdengan mengerjakan nol atau
lebih panah. Dengan kata lain, bila dan hanya bilaterdapatdi
manasedemikian sehingga. Untuk sembarang ,himpunan semua states
yang dapat dicapai dari p disebut epsilon-closure atau -closure
dari p, dan ditulis . Untuk subset sembarang, didefinisikan
-closure dariP sebagai. Relasi epsilon-transitions
adalahtransitif,dalamarti, untuksemua , bila dan,
maka.Misalkanxstringlewat alfabet{}.
NFA-Mmenerimastringxbilaterdapat kedua representasi dari x dalam
bentuk x1x2 ... xn, di mana xi ({}), dan barisan states p0,p1, ...,
pn, di manapi Q, memenuhi syarat-syarat berikut:}) ({1 0x E p1.
piE(T(pi-1, xi )) for i = 1, ..., n 2. pnF. ContohContohberikut ini
menjelaskansuatuNFAM, denganalfabet biner, yangmenentukanbila
inputnya mengandung 0 yang banyaknya genap atau 1 yang banyaknya
juga genap. (perlu dicatat bahwa 0 adalah bilangan genap.)
MisalkanM = (Q, , T, s0, F) = {0, 1}, Q = {s0, s1, s2, s3, s4},
E({s0}) = { s1, s3 } F = {s1, s3}, dan Fungsi transisiT dapat
didefinisikan dengan tabel transisi state berikut:640 1 S0 {} {}
{S1, S3}S1 {S2} {S1} {}S2 {S1} {S2} {}S3 {S3} {S4} {}S4 {S4} {S3}
{}Diagram stateuntuk M adalah:Mdapat dipandang sebagai union dari
dua DFA: yang pertama dengan states {S1,S2}, dan yang kedua dengan
states {S3, S4}.BahasaMdapat
ddeskripsikandenganthebahasaberaturanyangdiberikandenganekspresi
beraturan ini: Aplikasi NFA-NFA dan DFA adalah ekivalen, dalam hal
bila suatu bahasa dikenal oleh NFA, bahasa tersebut jugadikenal
olehDFAdansebaliknya.Penegakan/pendirian dari keekivalenan
tersebutadalah pentingdanbermanfaat. Hal itubermanfaat,
karenamengkonstruksikanNFAuntukmengenal bahasa yang diberikan
kadang-kadang jauh lebih mudah daripada mengkonstruksikan DFA untuk
bahasa tersebut. Hal itu penting, karena NFA dapat digunakan untuk
meredusir kompleksitas dari pekerjaan matematik yang diperlukan
untuk menegakkan sifat-sifat penting yang banyak di dalam 65teori
komputasi. Sebagai contoh, adalah jauh lebih mudah untuk
membuktikan sifat-sifat berikut menggunakan NFA daripada DFA: Union
dari dua bahasa yang beraturan adalah juga beraturan Konkatenasi
(concatenation) dari dua bahasa yang beraturan adalah juga
beraturan.Penutupan (closure) Kleen dari bahasa yang beraturan juga
beraturan. 66Daftar Pustaka1. Lipschutz, S. (1976). Discrete
Mathematics (1976). McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-037981-52.
Johnsonbaugh, R. (2007). Discrete Mathematics. Prentice Hall. New
Jersey. ISBN
01308900813.file:///G:/Nondeterministic%20finitestate%20machine%20%20Wikipedia,%20the%20free%20encyclopedia.htm67
