DIKTAT ALJABAR LINIER

DISUSUN UNTUK MENUNJANG PEKULIAHAN TEKNIK RISET OPERASI

SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN ILMU KOMPUTER

YOGYAKARTA 2006

SILABI ALJABAR LINIER A. Deskripsi: Mata kuliah ini membahas tentang Matriks, Determinan, Matriks Invers, Persamaanpersamaan Linier, Transformasi Linier, Transformasi Linier, Vektor, Ruang Vektor B. Tujuan: 1. Mahasiswa memahami tentang matriks dan dapat menyelesaikan soal-soal matriks. 2. Mahasiswa memahami determinan dan dapat menyelesaikan soal-soal determinan. 3. Mahasiswa Memahami tentang matriks invers dan dapat menyelesaikan soal-soal matriks invers. 4. Mahasiswa memahami tentang persamaan-persamaan linier dan dapat menyelesaikan soal-soal persamaan linier. 5. Mahasiswa memahami tentang transformasi linier dan dapat menyelesaikan soal-soal transformasi linier. 6. Mahasiswa memahami tentang vektor dan dapat menyelesaikan soal-soal vektor. 7. Mahasiswa memahami tentang ruang vektor dan dapat menyelesaikan soal-soal ruang vektor. C. Penilaian: 1. Ujian Akhir 2. Ujian Tengah Semester 3. Tugas/Quis 4. Presensi : : : :

D. Metode Kuliah: Mahasiswa diwajibkan untuk mengetahui rencana proses belajar mengajar melalui silabi yang telah ditetapkan. Kuliah dilakukan dalam bentuk kombinasi proses tutorial, latihan soal, dan tugastugas. Dosen akan menjelaskan pengertian, membuat contoh soal dan membahasnya. Mahasiswa diberikan soal latihan untuk dikerjakan dikelas dan kemudian dibahas bersama dengan salah seorang mahasiswa maju kedepan kelas secara bergiliran mengerjakan soal didepan. Mahasiswa juga wajib mengerjakan Quis dikerjakan dikelas dan dikumpulkan, dan diberi tugas untuk dikerjakan dirumah dan dikumpulkan pada awal pertemuan berikutnya. E. Literatur: 1. Howard Anton, 1990, Aljabar Linier Elementer, Jakarta:Erlangga. 2. Wono Setya Budi, 1995,Aljabar Linier, Jakarta:PT. Gramedia Pustaka Utama. 3. Taha Hamdy A., 1982, Operation Research An Introduction, Mac Millan Publishing Co. D. Suryadi H.S., S. Harini Machmudi, 1990, Aljabar Linier, Jakarta:Ghalia Indonesia. F. Materi Kuliah: Temu Materi Kuliah Kelas 1 2 Linear Programming menggunakan metode Grafik bentuk standar 3 Linear Programming menggunakan metode Grafik bentuk non standar 4 Linear Programming menggunakan metode Simpleks bentuk standar 5 1.Linear Programming menggunakan metode Simpleks bentuk standar Bahan Buku 1, 2, 3 Buku 1, 2, 3, 4. Buku 1, 2, 3, 4. Buku 1, 2, 3, 4. Buku 1, 2, 3, 4.

6 7 8 9 10 11 12

2. Linear Programming menggunakan metode simpleks bentuk non standar Linear Programming menggunakan metode simpleks bentuk non standar Masalah Transportasi dengan metode stepping stone Masalah Transportasi dengan metode MODI Masalah Transportasi dengan metode Vogels Approximation Program Dinamik dengan persoalan investasi Program Dinamik dengan persoalan stagecoach Teori Antrian dengan model Antrian Tak Hingga Sumber Hingga Satu Pelayan Teori Antrian dengan Model Antrian Tak Hingga Sumber Hingga Banyak Pelayan Teori Antrian dengan Model Antrian Tak Hingga Sumber Hingga Banyak Pelayan Teori Antrian dengan Model Atrian Berhingga Sumber Hingga Satu Pelayan Teori Antrian dengan Model Atrian Berhingga Sumber Hingga Pelayan Ganda

Buku 1, 2, 3, 4. Buku 1, 2, 3, 4. Buku 1, 2, 3, 4. Buku 1, 2, 3, 4. Buku 1, 2, 3, 4. Buku 1, 2, 3, 4.

Tak Buku 1, 2, 3, 4. Tak Tak Buku 1, 2, 3, 4. Tak Tak Buku 1, 2, 3, 4.

13

14

MATRIKS Matriks adalah himpunan scalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan secara empat persegi panjang (menurut baris-baris dan kolom-kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks. Untuk batasnya kita berikan:

[ ] atauContoh : Matriks riil: 3 6 2 0 12 kolom 1 5 1 8 9 2 2 7 6 0 1 6 3

( ) atau

0 10 3 5 7 4

baris1 baris2 baris3 baris4 baris5

Notasi matriks Matriks diberi nama huruf besar (A, B, dst), secara lengkap ditulis matriks A=(aij) artinya A yang elemen-elemennya aij dimana indeks I menyatakan baris ke I dan indeks j menyatakan kolom ke j dari elemen tersebut. Secara umum: Matriks A= (aij), a= 1, 2, .., m dan j= 1, 2, ., n yang mana berarti bahwa banyaknya baris=m dan kolom=n.

A=

a1 1a1 2a1 3. . . .a.1.n a a a . . .a 2 1 2 2 2 3 ..2n . . . .. . . . . . . . .... . .. . . . .. . . . . . . . .... . .. am1am2 am3 .. .a.m n

Matriks A( mxn ) = (aij). (mxn) disebut ukuran (ordo) dari matriks Kesamaan Matriks: Dua buah matriks A=(aij) dan B=(bij) dikatakan sama A=B, bila ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij=bij untuk setiap I dan j. Operasi pada Matriks a. Penjumlahan Matriks Jika A=(aij) dan B=(bij), matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana cij=aij+bij, untuk setiap i dan j. Atau A+B=(aij+bij) Contoh:

A=

3 0 1 2 A = d = m a an k B a 4 1 2 3 3 0 3 0;1++ 21 2 A+ B = + = 4 1 4 1;2++ 32 3 3 3 = 5 5

Perkalian Skalar terhadap matriks Kalau suatu scalar (bilangan) dan A=9aij) maka matriks A= (Aij), dengan perkataanlain, matriks A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan . Contoh:

4 3 .4;3. ;3.7 A = m 3A = a k a 3 03. ;3.0;3. 1= 12 9 21 9 0 -3 Pengurangan Matriks Mengurangi matriks A dengan matriks B, yaitu A - B, adalah menjumlahkan matriks A dengan matriks B. Syarat : ukuran A = ukuran B Contoh : 3 1 0 2 A= 4 2 B= 1 3

AB=

3 4 3 3

1 2 -1 -1

-

0 1

2 3

=

Beberapa hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar Kalau A, B, C matriks berukuran sama, dan scalar maka: 1) A + B = B + A 2) ( A + B ) + C = A + ( B + C )

(komutatif) (asosiatif)

3) ( A + B ) = A + B

(distributive)

4) Selalu ada matriks D sedemikian sehingga A + D = B Contoh: A= 2 1 3 0 2 1 1 1 3 dan B = 5 2 6 0 3 3 1 2 3

Maka A + B =

2 0 1

1 2 1

3 1 3

+

5 2 6

0 3 3

1 2 3

= sedangkan:

7 2 7

1 5 4

4 3 6

sama dengan

B+A

4 2 6 2A = 0 4 2 2 2 6

dan

2B =

10 4 12

0 6 6

2 4 6

2A + 2B =

14 2 8 7 4 10 6 jelas 2(A+B) = 2 2 14 8 12 7 14 2 8 4 10 6 jelas 2A + 2B = 2(A + B) 14 8 12

1 5 4

4 3 6

=

Perkalian Matriks Pada umumnya matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB BA. Pada perkalian matriks AB, matriks A kita sebut matriks pertama dan B matriks kedua. Syarat perkalian matriks : Jumlah banyaknya kolom matriks pertama = jumlah banyaknya baris matriks kedua. Definisi: Pandang A = (aij) berukuran (p x q) dan B = (bij) berukuran (q x r). Maka perkalian AB adalah suatu matriks C = (cij) berukuran (p x r) di mana: Cij = ai1b1j + ai2b2j + .. + aiqbqj untuk setiap i = 1,2,.,p dan j = 1,2,.,r contoh : 2 1. A= 4 1 2 6 B= 3 (1 x 3) 5 1 (3 x 1)

Karena banyaknya kolom matriks A = 3 dan banyaknya baris matriks B = 3, AB ada, dan berukuran (1 X 1). c11 = a11b11 + a12b21 + a13B31 = 4.2 + 1.3 + 2.5 + 6.1 = 27 atau : 2 3 5 1

AB = 4

1

2

6

= 4.2 + 1.3 + 2.5 + 6.1 = 27 2. A= 1 2 3 1 1 3 5 dan B = 0 2

AB = = 3. A=

1.5 + 3.0 + 1.2 2.2 + 1.0 + 3.2 7 10 4 -2 8 2 -6 0 4 B= 2 2 3 1 6 1 0 4 4.1 + -2.0 + -6.4 8.1 + 2.0 + 0.4

AB =

4.4 + -2,2 + -6.2 8.4 + 2.2 + 0.2 -26 -20 26 8

4.3 + -2.1 + -6.6 8.3 + 2.1 + 0.6

0 = 36

Beberapa hukum dalam perkalian matriks : Jika A, B, C matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka: 1) A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA, memenuhi hukum distribusi. 2) A(BC) = (AB)C, memenuhi hokum asosiatif. 3) Perkalian tidak komutatif, AB BA 4) Jika AB = 0 (matriks nol) yaitu matriks yang semua elemennya = 0, kemungkinankemungkinannnya : i) A = 0 dan B = 0

ii) A = 0 atau B = 0 iii) A 0 dan B 0 5) Bila AB = AC belum tentu B = C Contoh : 1. 1 -1 4 3 1 2 3 A= 2 1 0 , B= 1 4 , C=

3 1 2

1 0 0

maka

B+C=

4 3 3

0 3 4

dan A(B + C) =

4 2

3 1

1 0

4 3 3

0 3 4

= =

4.4 + 3.3 + 1.3 2.4 + 1.3 + 0.3 16 + 9 + 3 8 +3+0

4.0 + 3.3 + 1.4 2.0 + 1.3 + 0.4

0+9+4 0+3+0 4 3 2 1 1 0 1 2 1 -1 3 4

28 13 = 12 3

sedangkan AB =

=

4.1 + 3.2 + 1.1 2.1 + 1.2 + 0.1 4+6+1 2+2+0 11 4 9 1 ,

4.-1 + 3.3 + 1.4 2.-1 + 1.3 + 0.4

= =

-4 + 9 + 4 -2 + 3 + 0 AC = 4 2 3 1 1 0 3 1 2 1 0 0

= =

4.3 + 3.1 + 1.2 2.3 + 1.1 + 0.2 12 + 3 + 2 6 +1+0 11 4 9 1

4.1 + 3.0 + 1.0 2.1 + 1.0 + 0.0 = 17 7 4 2

4+0+0 2+0+0 17 4 7 2

sehingga AB + AC =

=

11.17 + 9.7 4.17 + 1.7 187 + 63

11.4 + 9.2 4.4 + 1.2 44 + 18

=

68 + 7 250 75 62 18

16 + 2

=

= A(B + C)

2. A= 3 4 0 1 1 2 2 3 0 ,B= 1 1 2 3 4 0.3 + 2.4 1.3 + 3.4 0+ 8 3 + 12 4 7 8 15 = A 4 7 8 15 2 3 ,C= 1 2 3 4 maka :

A(BC) = A

= A =A 3 4

0.1 + 2.2 1.1 + 3.2 0+4 1+6 1 2

=

=

3.4 + 1.7 4.4 + 2.7 12 + 7 16 + 14 3 4 1 2

3.8 + 1.15 4.8 + 2.15 24 + 15 32 + 30 0 1 2 3 19 30 39 62

= (AB)C =

= C

= =

3.0 + 1.1 4.0 + 2.1 0+1 0+2 1 2 9 14

3.2 + 1.3 4.2 + 2.3 6+3 8+6 C 1 2 3 4 =

C 1 2 9 14 C

=

1.1 + 9.2

1.3 + 9.4

=

2.1 + 14.2 1 + 18 2 + 28

2.3 + 14.4 39 62

=

3 + 36 19 6 + 56 = 30

Jelas A(BC) = (AB)C

3. Pada umumnya AB BA. Contoh : A= 3 4 1 2 B= 0 1 2 3

Maka AB, AB = 3 4 1 2 0 1 2 3

= =

3.0 + 1.1 4.0 + 2.1 0+1 0+2

3.2 + 1.3 4.2 + 2.3 = 1 2 9 14

6+3 8+6

sedangkan BA, BA = 0 1 2 3 3 4 1 2 1.1 + 2.2 1.1 + 3.2 1+4 1+6 8 15 5 7

=

0.3 + 2.4 1.3 + 3.4 0+ 8 3 + 12

=

=

maka AB BA 4. A= 1 -3 -2 1 -3 -2 -1 2 1 -1 2 1 1 -1 0 1 -1 0 1 2 1 B= 3 6 3 1 2 1 2 4 2 1.2 + -1.4 + 1.2 3 6 3 2 4 2

AB =

1.1 + -1.2 + 1.1

1.3 + -1.6 + 1.3

=

-3.1 + 2.2 + -1.1 -2.1 + 1.2 + 0.1 12+1 -3 + 4 1 -2 + 2 + 0

-3.3 + 2.6 + -1.3 -2.3 + 1.6 + 0.3 =

-3.2 + 2.4 + -1.2 -2.2 + 1.4 + 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

=

36+3 24+2 -9 + 12 - 3 -6 + 8 2 -6 + 6 + 0 -4 + 4 + 0

Ternyata AB = 0 meskipun A0, B0 5. A= 2 4 2 4 2 4 1 2 1 2 1 2 B= 1 1 0 3 1 1 1 0 1 0 1 0 C= 3 6 3 6 2 4 2 4 0 3 1 0

AB =

=

AC =

=

Ternyata meskipun BC tetapi AB = AC Transpose Matriks Pandang suatu matriks A=(aij) berukuran (mxn) maka transpose dari A adalah matriks A T berukuran (nxm) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke I dari A, i = 1, 2,., m, sebagai kolom ke i dari A T . Dengan perkataan lain : A T = (aji). Beberapa sifat matriks transpose: 1) ( A + B ) T = AT + B T Bukti: Misalnya A = (aij) dan B = (bij) maka: (A + B) T = (aij + bij) T = (cij) T = (cji) = (aji + bji) = A T + B T 2) (A T ) T = A Bukti : Misalnya A = (aij) maka (A T ) T = (aji) T = (aij) = A T T