156
ALJABARA. Ruang Lingkup Materi PelatihanMateri aljabar yang akan
dipelajari pada materi PLPG ini meliputi :
1. Himpunan.
2. Persamaan dan pertidaksamaan linear dan atau kuadrat.
3. Sistem persamaan linear dan atau kuadrat.
4. Persamaan polinom.
5. Persamaan eksponen dan atau logaritma.
6. Fungsi aljabar.
7. Konsep matriks.
8. Aljabar vektor berdimensi dua.
9. Barisan dan deret.
B. Tujuan PelatihanSetelah mempelajari materi aljabar ini,
peserta diharapkan dapat :
1. Memahami konsep himpunan dan menggunakannya dalam pemecahan
masalah2. Menyelesaikan masalah persamaan dan pertidaksamaan linear
dan atau kuadrat. 3. Menyelesaikan masalah sistem persamaan linear
dan atau kuadrat4. Menyelesaikan persamaan polinom
5. Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan persamaan eksponen
dan Logaritma6. Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan fungsi
kuadrat
7. Memahami konsep matrik dan menggunakannya dalam pemecahan
masalah8. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor
dimensi dua
9. Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan barisan geometri
maupun aritmetika.C. MATERI1. Himpunan
Pada saat proses pembelajaran matematika berlangsung, seorang
guru membawa beberapa foto perempuan, kemudian guru bertanya kepada
muridnya : anak-anak menurut kalian apakah perempuan yang ada di
dalam foto ini termasuk kumpulan perempuan yang cantik?. Si Amir
menjawab: Tidak, Pak! masih lebih cantik pacar saya. Lain lagi
dengan Si Budi ia mengatakan: perempuan dalam foto tersebut
termasuk cantik pak karena mirip artis di TV .
Guru tersebut hanya tersenyum melihat jawaban muridnya .
Kemudian pak Guru membuka sebuah tas yang berisi gambar
binatang-binatang. Pak Guru bertanya kepada muridnya: Dapatkah
kalian menyebutkan manakah yang termasuk kumpulan binatang berkaki
empat?. Dengan serentak seluruh siswa menjawab: bisa, Pak!. Pak
Guru bertanya lagi: berapa jumlahnya?. Secara serentak siswa
menjawab: lima, pak!. Kemudian Pak Guru bertanya lagi: Dapatkah
kalian menyebutkan manakah yang termasuk kumpulan binatang berkaki
dua?. Seluruh siswa pun menjawab: bisa, Pak!. Berapa jumlahnya?
tanya Pak Guru. Tiga, Pak! jawab seluruh siswa.
Berdasarkan kedua contoh yang disajikan Pak Guru kepada
muridnya, ada dua situasi yang berbeda ketika siswa ditanya apakah
perempuan di dalam foto termasuk kumpulan perempuan cantik maka
jawaban siswa berbeda-beda, tetapi ketika siswa ditanya manakah
kumpulan binatang berkaki empat maka seluruh siswa secara serentak
menjawab sama.
Mengapa hal ini terjadi, karena pada contoh pertama semua siswa
berbeda pendapat mengenai definisi orang yang cantik. Sedangkan
pada contoh kedua semua siswa sepakat bahwa definisi binatang
berkaki empat maupun yang berkaki dua. Kumpulan benda-benda seperti
binatang berkaki empat tersebut itulah yang dinamakan himpunan.
1.1 Notasi Himpunan
Himpunan dinotasikan dengan huruf kapital A, B, C, .... dan
sebagainya. Sedangkan anggota suatu himpunan dinyatakan dengan
huruf kecil a, b, c, .... dan sebagainya. Jika x adalah anggota
himpunan B maka ditulis dengan x ( b , sedangkan jika x bukan
anggota himpunan B maka ditulis x ( B Ada 3 cara mendefinisikan
suatu himpunan yaitu :
1. Dengan mendaftar anggota-anggotanya
2. Dengan notasi pembentuk himpunan3. Dengan menyatakan
sifat-sifat yang dipenuhi anggotanyaContoh:
A adalah himpunan prima antara 1 dan 10, dapat dinyatakan
dengan:
1. Mendaftar anggota: A={2, 3, 5, 7}
2. Notasi pembentuk himpunan: A={x( 1 < x < 10, x (
bilangan prima}
3. Menyatakan sifat yang dipenuhi anggotanya : A = {bilangan
prima antara 1 dan 10}
1.2 Macam-Macam Himpunan
Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua
obyek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta dinyatakan dengan
notasi S (Semesta)
Contoh :
Semesta pembicaraan dari M = {a, i, u}adalah S = {a, i, u, e, o}
atau S = {huruf vokal}
Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai
anggota. Himpunan kosong biasanya dinyatakan dengan notasi ( atau {
}.
Contoh : A adalah himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi
dua
Himpunan Berhingga (Finit) dan Himpunan Tak Berhingga
(Infinit)
Suatu himpunan dapat berupa himpunan yang berhingga atau
himpunan tak berhingga. Secara intuitif, suatu himpunan dikatakan
berhingga (finit set) jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen
berbeda dan banyaknya tertentu atau dapat juga dikatakan jika
dilakukan proses membilang banyak anggota yang berbeda maka proses
membilang tersebut pasti akan berakhir.
Contoh : C={1, 2, 3,., 100}
D = himpunan rambut di kepala
Sedangkan himpunan yang tidak memenuhi syarat di atas disebut
sebagai himpunan infinit (infinit set). Himpunan infinit adalah
himpunan yang jika dilakukan proses membilang untuk menghitung
banyak anggota himpunan tersebut tidak akan pernah beakhir.Contoh :
B ={1, 2, 3, 4, 5, .}
Himpunan Yang Sama
Himpunan A dan himpunan B adalah sama (ditulis A = B) jhj A ( B
dan B ( A
Contoh :
Himpunan P = { i, o, a, e, u}
Himpunan Q = {huruf vokal dalam abjad} = {a, i, u, e, o}
1.3 Operasi HimpunanIrisan
Irisan dari himpunan A dan himpunan B (ditulis A ( B)
didefinisikan sebagai :
A ( B = {x ( x ( A dan x ( B}
Contoh :1. A={3, 4, 5} dan B={5, 6, 7}
A ( B ={5}2. R = {m, a, t,e, i, k}
S = {c, i, n, t, a}
R ( S ={i, t, a}Gabungan
Gabungan dari himpunan A dan himpunan B (ditulis A ( B)
didefinisikan sebagai:
A ( B = { x ( x ( A atau x ( B}Contoh: A={3, 4, 5} dan B={5, 6,
7}
A ( B ={3, 4, 5, 6, 7}Selisih
Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B (ditulis
A B) didefinisikan sebagai :
A - B = { x ( x (A dan x (B }.2. Persamaan dan Pertidaksamaan
Kuadrat
Persamaan yang memuat x berpangkat dua dan tidak memuat x
berpangkat lebih dari dua dinamakan persamaan kuadrat atau
persamaan derajat dua dalam x, dapat ditulis dalam bentuk umum
ax2 + bx + c = 0,
dengan a, b, c ( R dan a 0.2.1.Menyelesaikan Persamaan
Kuadrat
Nilai x yang memenuhi suatu persamaan kuadrat disebut akar atau
penyelesaian dari persamaan itu. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar
dari ax2 + bx + c = 0, maka x1 dan x2 memenuhi persamaan itu, yaitu
a(x1)2 + b(x1) + c = 0 dan a(x2)2 + b(x2) + c = 0.
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan (dicari akar-akarnya)
dengan beberapa cara, antara lain adalah:
Memfaktorkan (faktorisasi)
menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan
menggunakan sebuah sifat pada sistem bilangan real yaitu:Jika a, b
( R dan berlaku ab = 0, maka a = 0 atau b = 0
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari persamaan x2 + 3x 10 = 0.
Jawab :x2 + 3x 10 = 0
x2 - 2x + 5x - 10 = 0
x(x 2) + 5(x 2) = 0
(x + 5) (x 2) = 0
x + 5 = 0 atau x 2 = 0
x = -5 atau x = 2
Jadi, akar-akarnya adalah x1 = -5 atau x2 = 2.
Melengkapkan kuadrat sempurnaPada hakikatnya setiap bentuk
kuadrat dapat diubah menjadi kuadrat sempurna. Manipulasi aljabar
yang dapat dilakukan adalah dengan menambah atau mengurangi bagian
suku tetapan. Langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat
dengan melengkapkan kuadrat senpurna adalah sebagai berikut :
1. Mengubah persamaan kuadrat sempurna ke dalam bentuk
(x+p)2 = q dengan q 0
2. Tentukan akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk
persamaan terakhir (x + p) = (q atau x = -p (qUntuk melengkapkan
kuadrat pada bentuk x2 + bx tambahan
yaitu kuadrat dari setengah koefisien x sehingga : ax2 + bx
+
=
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari persamaan x2 - 8x + 3 = 0
Penyelesaian :
x2 - 8x + 3 = 0
x2 - 8x = -3
x2 - 8x + 42 = -3 + 42
x2 - 8x + 16 = -3 + 16
(x 4)2 = 13
x 4 =
x = 4
x1 = 4 -
atau x2 = 4 +
Jadi, akar-akarnya adalah x1=4 - atau x2 =4+.
Jika koefisien x2, yaitu a tidak sama dengan 1, kedua ruas
dibagi dengan koefisien tersebut sebelum melengkapkan kuadrat.
2.2 Menggunakan rumus kuadrat
Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a 0
dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc.
Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ditentukan oleh :
x1 = atau x2 =
Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 2x2 7x 4 =
0.
Penyelesaian :Pada persamaan 2x2 7x 4 = 0,
koefisien-koefisiennya adalah a = 2, b = -7, dan c = -4
x1,2 =
=
=
=
Didapat dua penyelesaian, yaitu
x1 = = 4 atau x2 = = -
Jadi, akar-akarnya adalah x1 = 4 atau x2 = -
2.3 Hubungan Jenis Akar dan Nilai Diskriminan
Pada rumus kuadrat terdapat bentuk b2 4ac yang disebut
diskriminan persamaan kuadrat, disingkat D. Kalau di lihat dari
nilai diskriminan persaman kuadrat, maka akar persamaan kuadrat
dapat dikelompokkan
a. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua
akar real yang berlainan.b. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat
tersebut memuliki dua akar real yang sama, disebut akar kembar.
c. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki
akar real.
Contoh :
Tentukan jenis akar-akar dari persamaan 3x2 + 7x + 4 = 0
Penyelesaian :
Pada persamaan 3x2 + 7x + 4 = 0, a = 3, b = 7 dan c = 4
Nilai diskriminannya adalah :
D = b2 4ac = (7)2 4(3)(4) = 49 48 = 1
Karena D = 1 > 0, maka persamaan 3x2 + 7x + 4 = 0 memiliki
dua akar real dan berlainan.
Hubungan sifat akar dan koefisien persamaan
a)Kedua akarnya berlawanan :
b)Kedua akarnya berkebalikan:
c)Sebuah akarnya = 0 : dan x2 =
d)Kedua akarnya sama:
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c =
0 dengan a 0 maka
a. x1 + x2 =
(jumlah akar-akar persamaan kuadrat)b. x1 . x2 = (hasil kali
akar-akar persamaan kuadrat)
2.4 Menyusun Persamaan Kuadrat
Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya
a. Memakai faktor
Apabila dapat difaktorkan menjadi ( x - x1 ) ( x - x2 ) maka x1
dan x2 merupakan akar PK dan sebaliknya jika x1 dan x2 merupakan
akar PK maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan ( x - x1
) ( x - x2 ) = 0b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar
Dari rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
diperoleh hubungan x1 + x2 = dan x1 . x2 = jadi menentukan
persamaan kuadrat dapat ditentukan dgnx2 - ( x1 + x2 )x + ( x1 . x2
) = 0Contoh :
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5Penyelesaian
:
a) Dengan menggunakan factor ( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0( x - 2 )
( x - 5 ) = 0
x2 7x + 10 = 0
jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x2 7x + 10 = 0
b) Dengan menggunakan rumus jumlah dan kali x2 - ( x1 + x2 )x +
( x1 . x2 ) = 0 x1 + x2 = 2 + 5 = 7 danx1 . x2 = 2.5 = 10, maka
persamaan yang di maksud adalah :
x2 - ( x1 + x2 )x + ( x1 . x2 ) = 0
x2 - 7x + 10 = 0jadi persamaan kuadrat yang diminta adalah x2 7x
+ 10 = 02.4 Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
Bentuk bentuk pertidaksamaan kuadrat dengan satu variable adalah
:
ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c 0; ax2 + bx + c < 0;
ax2 + bx + c 0
Fungsi kuadrat yang bersesuaikan dengan pertidaksamaan
pertidaksamaan tersebut ialah f: x ax2 + bx + c yang grafiknya
merupakan parabola dengan persamaan
y = ax2 + bx + c.
Himpunan penyelesaian dari masing masing pertidaksamaan diatas
dapat diperoleh dari grafik kuadrat yang bersesuaian.
Contoh :
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertidaksamaan
berikut :
a) 8 + 2x x2 > 0
b) 8 + 2x x2 0
c) 8 + 2x x2< 0
d) 8 + 2x x2 0
Jawab :
Gambar 1 : merupakan parabola yang persamaannya y = 8 + 2x
x2
Y (1, 9)
(0, 8)
(-2, 0)(4, 0)
X
Gambar 1.
Tampak bahwa :
Untuk x < -2
maka y = f(x) < 0
x = -2
maka y = f(x) = 0
Untuk 2 < x < 4maka y = f(x) > 0
Untuk x = 4
maka y = f(x) = 0
Untuk x > 4
maka y = f(x) < 0
Dapat disimpulkan bahwa penyelesaian masing masing
pertidaksamaan batas adalah :
a) { x | -2 < x < 4 }
b) { x | -2 x 4 }
c) { x | x < -2 atau x > 4 }
d) { x | x -2 atau x 4 }
2. Tentukan himpunan penyelesaian masing masing pertidaksamaan
batas adalah
a) x2 + 4x + 4 > 0
b) x2 + 4x + 4 0
c) x2 + 4x + 4 < 0
d) x2 + 4x + 4 0
Jawab : Gambar 2. merupakan parabola yang persamaannya :
y = x2 + 4x + 4
Y
(0, 4)
0X
(-2, 0)
Gambar 2.
Tampak bahwa :
Untuk x < 2
maka y = f(x) > 0
Untuk x = -2
maka y = f(x) = 0
Untuk x > -2
maka y = f(x) > 0
Dapat disimpulkan bahwa himpunan pentelesaian masing masing
pertidaksamaan ialah :
a) { x | x < -2 atau x > -2 }
b) { x | x c) { } = d) { -2 }
3. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertidaksamaan
berikut
a) x2 2x + 5 > 0
b) x2 2x + 5 0
c) x2 2x + 5 < 0
d) x2 2x + 5 0
Jawab : Gambar 3 merupakan parabola yang persamaannya :
y = x2 2x + 5
Y
Gambar 3.
(0, 5)(1, 4)
0X
Tampak bahwa untuk x yang manapun y = f (x) selalu positif.
Jadi himpunan penyelesaian masing masing pertidaksamaan tersebut
ialah :
1) R
2) R
3) 4) Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan garis bilangan
menurut sifat perkalian dua bilangan nyata :
1) ( ab > 0 )2) ( ab < 0 ) Sifat sifat kita pergunakan
untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
Contoh 1 : Sederhanakan x2 7x + 12 > 0
Jawab : Pandanglah y = x2 7x + 12 = ( x 3 ) ( x 4 )
Tanda tanda dari y dengan garis bilangan :
+0-0+
34
Tampak bahwa : y positif untuk x < 3 atau x > 4
y negative untuk 3 < x < 3
y berharga nol untuk x = 3 atau x = 4
Himpunan penyelesaian x2 7x + 12 > 0 ialah = { x | x < 3
atau x > 4 }
Contoh : Selesaikan :Jawab : Suhu ruas kanan keruas kiri :
mengapa kedua ruas tidak dikalikan dengan x 3?
Akhirnya diperoleh : 0 (Tanda dari suatu pembagian = tanda dari
perhatian factor -2 nya )
dengan garis bilangan :
+0-0+
3 4
Himpunan penyelesaian = { x | 3 < x 4 }
Mengapa untuk x = 3 pertidaksamaan itu tidak berlaku?
3.Sistem Persamaan Linear atau Kuadrat
3.1. Sistem persamaan dengan dua variable yang satu kuadrat yang
lain linear.
Bentuk umum dari sistem ini dapat ditulis:
px +qy+r=0.(1)
ax2 + bxy + cy+ dx + cy + f = 0.(2)
persamaan (1) ekuivalen dengan xdengan subtitusi pada persamaan
(2) diperoleh suatu persamaan kuadrat dengan variable I umpamanya
:
py2 + Qy + R = R
maka system persamaan I ekuivalen dengan system persamaan II
yaitu:
px + qy + r = 0 (1)
Py2 + Qy + R=0.(2)
persamaan (3) akan memberikan harga y sehingga x dapat
ditentukan
Contoh 1 : Selesaikanlah x2 + y2 = 26. . . . . . . . . . (1)
x + y = 6
Jawab :
Persmaan (2) ekuivalen dengan x = 6 y
Substitusikan (1) dan (2) diperoleh :
( 6 y )2 + y2 = 26
y2 6y + 5 = 0
y = 5 atau y = 1
Untuk y = 5, x= 1
Untuk y = 1, x = 5
Jadi himpunan penyelesaian system tersebut, ialah :
{ ( 1, 5 ), ( 5, 1 ) }
Persamaan persamaan tersebut jika grafiknya digambar dalam satu
susunan koordinat tampak pada gambar berikut ini :
Y
Q
X
Titik titik potong P dan Q bersesuaian dengan anggota himpunan
penyelesaian system tersebut.
Contoh :
2x2 5xy + 2y2 = 5. . . . . . . . . . . . .(1)Selesaikanlah
2x y = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2)
Jawab :
Persamaan (2) ekuivalen dengan y = 2x 1
Substitusikan (1) dan (2) diperoleh :
2x2 5x (2x 1) + 2 (2x 1)2 = 5
x = - 5
x untuk x = -1, y = -3
Himpunan penyelesaian system tersebut ialah :
{ (-1, -3)}
Catatan :
Apabila sisitem persamaan berbentuk :
x + y = p
xy = q
Maka x dan y dapat dipandang sebagai akar akar persamaan
V2 pv + q = 0 Mengapa?
Perhatikan bahwa setiap persamaan pada system, simetri terhadap
x dan y.
Contoh : x + y = p
Selesaikan
xy = q
Jawab : x dan y merupakan akar akar persamaan :
V2 5V + 6 = 0
V1 = 2 dan V2 = 3
Sehingga didapat : Untuk x = 2, y = 3
Untuk x =3, y = 2Himpunan penyelesaiannya { (2, 3) , (3, 2)
}3.2. Sistem persamaan dengan dua variable, keduanya kuadrat salah
satu dapat diuraikan
Salah satu dapat diuraikan,
Bentuk umum system semacam ini dapat ditulis :
(kx + lx + m) (px + qx + r) = 0I
ax2 + bxy + cy2 + dy + dx + ey + f = 0
Dengan mencek dengan tabel kebenaran.
Dengan demikian mudah dipahami bahwa system I ekuivalen dengan
:
kx +Iy + m = 0
IAax2 + bxy +cy2 + dx + ey + y = 0
px + qy + r = 0
IB
ax2 + bxy + cy2 + dy + ey + f = 0
Untuk menyelesaikan ini dapat kita kerjakan dengan cara seprti
menyelesaikan system persamaan dengan dua variable yang linier yang
lain kuadrat.
Contoh :
Penyelesaian :
x2 + 4xy + 3y2 = 0
I
2x2 2x + y 2 = 0
Jawab :
Sistem I ekuivalen dengan
(x y) (x 3y) = 0
II
2x2 2x + y 2 = 0
Sistem II ekuivalen dengan :
x y =0
IIA 2x2 2x + y + 2 = 0
x 3y = 0
IIB
2x2 2x + y 2 = 0
Dari IIa diperoleh :
2x2 2x + x 2 = 0
Untuk x = 1, y = 1
Dari IIB didapat :
18y2 6y + y 1 =0
18y2 5y 1 = 0
y1 =. y2 =.Himpunan penyelesaian system I ialah : .3.3. Sistem
persamaan dengan dua variable, keduanya kuadrat dan dapat
diuraikan
Sistem semacam ini dinyatakan sebagai berikut :
(a1x + b1y c1) (a2x + b2y + r2) =0I
(p1x + q1y + r1) (p2x + q2y + r2) = 0
Perhatikan bahwa :
{ ( ab = 0 )
( b = 0 ) ( c = 0 )= 0) Ceklah dengan table kebenaran :
Dengan demikian mudah dipahami bahwa system I ekuivalen dengan
:
a1x + b1x + c1 = 0IAp1x + q1y + r1 = 0
a1x + b1y + c1 = 0IBp2x + q2y + r2 = 0
a1x + b1y + c1 = 0
ICp1x + q1y + r1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
ID p2x + q2y + r2 = 0
Dengan menyelesaikan IA, IB, Ic, dan ID kita akan dapat
mendapatkan himpunan penyelesaian dari system I.
Contoh :
Selesaikan :
x2 + 2xy + y2 2x 2y 3 = 0. . . . . . . . . . . (1)I
4x2 y2 +4y 4 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
= (1)Dari (2) 4x2 y2 + 4y 4 = 0
4x2 = y2 4y + 4
Sehingga (2x+y-2)(2x-y+2)Dengan demikian system I ekuivalen
dengan :
(x + y 3) (x + y + 1) = 0
II
(2x + y 2) (2x y + 2) = 0
Sistem II ekuivalen dengan :
x + y 3 = 0x + y + 1 = 0
IIAIIC
2x + y 2 = 02x + y 2 = 0
(x + y 3) = 0x + y + 2 = 0
IIBIID2x y + 2 = 0 2x y + 2 = 0Dari system IIA, didapat x =-1 ,
y = 2
IIB, didapat x = -1, y = 4
IIC, didapat x = -1, y = 0
IID, didapat x = 3, y = -4
Himpunan penyelesaian sistem I adalah { (-1, 2), (-1, 4), ( -1,
0),(3,4)}4. Persamaan PolinomBentuk umum suku banyak (polinom)
berderajat tinggi ialah :
anxn + an-1xn-1 + a1x + a
Bentuk diatas disebut suku banyak dalam x berderajat n .
Dengan an, an-1, a1, a0 adalah konsanta dan n bilangan
cacah.
Suku banyak dapat ditulis dengan lambing f(x), sehingga :
f(x) = anxn + an-1xn-1 + a1x + a.
Jika suku banyak itu diberi nilai nol, berubah menjadi persamaan
derajat tinggi atau persamaan pangkat tinggi.
anxn + an-1xn-1 + a1x + a0 = 0
Konstanta an, an-1 , a1 disebut koefisiensi suku yang
bersangkutan, sedang a0 dinamakan suku tetap.
Contoh 1 :
x4 5x2 + 4 = 0 , persamaan tinggi berderajat empat. Dapat
dijadikan faktor-faktor sebagai berikut :
x4 5x2 + 4 = (x2 4) (x2-1) = (x 2) (x + 2) (x 1) ( x + 1) = 0
menentukan faktor-faktor diatas, dapat juga dengan pertolongan
dalil sisa. Himpunan penyelesaian : {2, - 2, 1, - 1}
Contoh 2 :
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan :
(x 1) (x 2)2 (x 5)3 (x + 6)4 < 0
Jawab :
Pandanglah fungsi f(x) = (x 1) (x 2)2 (x 5)3 (x + 6)4. Tanda
dari f(x) ditentukan dengan menyusun faktor-faktor sedemikian
sehingga urutannya sesuai dengan urutan titik-titik nol
faktor-faktor itu, mulai kiri berturut-turut ke kanan, sehingga di
dapat urutan faktor sebagai berikut :
f(x) = (x + 6)4 (x 2)2 (x 1) (x 5)3
Tanda dari f(x) dinyatakan dengan garis bilangan sbb :
f(x) =
Tanda dari f(x) untuk x > 5, adalah positif, karena semua
faktor untuk x > 5 adalah positif. Untuk 1 < x < 5, tanda
dari f(x) adalah negatif, karena ada satu faktor yang negatif ialah
faktor (x-5). Silahkan anda menjelaskan mengapa untuk x bergerak
melampaui titik x = 2, tanda dari f(x) tidak berubah, tetapi tetap
positif?. Nilai x yang memenuhi f(x) < 0, ialah 1 < x <
5.
Perhatikan tanda dari garis bilangan untuk f(x) diatas.
Contoh 3.
Tentukan nilai x yang memenuhi
Jawab :
Tanda postif atau negatif dari suatu pembagian, sama dengan
tanda-tanda dari perkalian faktor-faktor pada pembilang dan
penyebutnya.
Sehingga untuk f(x) = , tandanya sama dengan tanda dari f(x) =
(x 1) (x + 2)2 (x + 2) (x + 3) dengan syarat untuk x = -2 dan x =
-3, pecahan f(x) tidak mempunyau arti. Dibuat garis bilangan dari
f(x) sbb :
f(x) = (x + 3) (x + 2) (x +1)2 (x -1)
f(x) = Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas adalah : -3
< x < -2 atau x 1
5. Eksponen dan Logaritma5.1 Bentuk Pangkat
Bentuk Pangkat paling sederhna adalah pangkat bulat positif .
Sebagai contoh 32 artinya 3 x 3, sehingga 32 = 9. Pangkat ke-n dari
bilangan real a, dengan n blangan bulat positif dinotasikan dengan
an dan didefinisikan sebagai : an = a . a . a a .a . a
sebanyak n faktorDari definisi diatas, dapat diturunkan suatu
teorema sebagai berikut :1. ap .aq = ap+q2. (ap)q = apxq3. ap : aq
= ap-q4. (ab)n = an bn5.
Ada dua akibat dari teorema diatas, yaitu :
1. a0 = 1, a ( 02. a-p = , a ( 0Rumus-rumus dari teorema diatas
dapat diperluas sehingga berlaku untuk pangkat bilangan rasional
dengan pengertian bahwa :
=
5.2 Bentuk AkarBilangan irrasional yang menggunakan tanda akar
seperti ,, disebut bentuk akar. Namun bilangan yang menggunakan
tanda akar tetapi bukan bilangan irasional,seperti , ,, , sehingga
bentuk akar dapat dinyatakan sebagai akar adalah akar dari bilangan
rasional yang bukan merupakan bilangan rasional.Operasi-operasi
bentuk akar
Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat disederhanakan
apabila suku-sukunya sejenis.
1) m+ n = (m + n)
2) m n = (m n)
Contoh Sederhanakanlah 4
Jawab:
4 = (4 + 3)
Contoh Sederhanakanlah 6
Jawab:
6 = (6 2)
Perkalian Bentuk Akar
Sifat-sifat yang mungkin diperlukan untuk menyederhanakan
perkalian bentuk akar anatara lain:
1)
2)
Merasionalkan Penyebut Pecahan
a. Merasionalkan Penyebut Pecahan Berbentuk
b. Merasionalkan Penyebut Pecahan berbentuk dan .Contoh
Tunjukkan bahwa untuk a > b
Jawab :
(
(
Jika kedua ruas persamaan diambil akarnya diperoleh :
atau
Sekarang tunjukkan bahwa untuk a > b
5.3.Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang eksponennya atau
pangkatnya memuat pebah x atau persamaan yang bilangan pokok dan
eksponennya membuat perubahan x.
a. Bentuk af(x) = 1
Jika af(x) = 1 dengan a>0 dan a1 maka berlaku f (x) = 0
b. Bentuk af(x) = apaf(x) = ap dengan a>0 dan a1, maka
berlaku f (x) = p
c. Bentuk af(x) = ag(x)Jika af(x) = ag(x) dengan a>0 dan a 1,
maka berlaku f(x) = g (x)
d. Bentuk af(x) = bf(x)Jika af(x) = bf(x) dengan a b, a, b >
0, a 1 dan b 1, maka berlaku f (x) = 0
e. Bentuk A (af(x))2 + B (af(x)) + c = 0
Untuk menentukan himpunan penyelesaian pesamaan eksponen A
(af(x))2 + B (af(x)) + c = 0 harus diubah menjdi bentuk persamaan
kuadrat terlebih dahulu.
Contoh:
a) =
Jawab :
= = 2
x-2 =
2 (x -2 ) = -5
2x 4 = -5
2x = -5 + 4
2x = -1 maka Himpunan Penyelesainnya adalah { }
b)
Jawab :
EMBED Equation.3=
EMBED Equation.3=
EMBED Equation.3x2-3x-4 = 2x+2x2-5x-6 = 0(x-6) (x+1)=0x1 = 6
atau x2 = -1Himpunan penyelesaiannya adalah : { 6, -1 }
c)
Jawab :
x
EMBED Equation.3Misal :
+ - 12 = 0
1 + 2 - 3 2 = 0
(1 - ) (1 + 3 )
1 = 1 atau 2 =
2x = 1
2x = 20 2x =
x = 0
himpunan penyelesaiannya adalah {0}
5.4. Logaritma
Log adalah notasi dari logaritma. Bentuk alog b dibaca sebagai
logaritma b dengan bilangan pokok a.
Secara umum: alog b = n b = an
Dengan : a disebut bilangan pokok, a > 0 dan a 1
b disebut numerus, b > 0
n disebut hasil logaritma
1. Mengubah bentuk alog b menjadi an = b
Contoh: 2log 2 = 1 2log 2 = 1 2 = 21
2. Mengubah bentuk an = b menjadi alog b = n
Contoh: 8 = 23 8 = 23 2log 8 = 3
Dari hubungan pangkat dan logaritma diatas dapat diturunkan
beberapa teorema di bawah ini :Jika a > 0, a ( 1, m > 0, n
> 0 dan x ( R, maka :1. alog ax = x2. aalog n = n
3.
4. alog mn = alog m + alog n5. alog = alog m - alog n6. alog mx
= x . alog m7. , untuk g > 0, g ( 15.5 Persamaan logaritmaUntuk
menyelesaiakan persamaan logaritma perlu diperhatikan syarat-syarat
dari bentuk a log b = c dengan a > 0 dan a ( 1, b > 0. Perlu
juga dibedakan anara log log x dan log2x karena log log = log (log
x), sedangkan log2x = (log x)(log x) Contoh 1 : selesaikanlah log
(2x 3) + log 4 log (2x 6) = 0
Penyelesaian : log (2x 3) + log 4 log (2x 6) =0
log 4 (2x 3) = log (2x 6)
4 (2x 3) = 2x 6
18x 12 = 2x 6
6x = 6
x = 1
Subtitusi x = 1 pada persamaan semula ternyata bilangan di bawah
tanda logaritma negatif. Jadi persamaan diatas tidak mempunyai
penyelesaian (akar).
Contoh 2 : Selesaikan
Penyelesaian :
Semua logaritma ini kita jadikan logaritma dengan dasar 10.
(sesuai teorema 4)
atau
atau
Jika disubtitusikan (dicek) pada persamaan semula ternyata x =
2,074 dan x = 0,4821. memenuhi
Contoh 3 : Tentukan x dan y darin persamaan :
Jika bilangan pokok logaritma adalah 9
x y = 1
..................................................................(2)
Jawab : Ruas kiri persamaan (1)
ruas kanan persamaan (2) :
sehingga persamaan (1) menjadi :
diambil logaritmanya
Misalkan log (x + y) = p
(1 + p log 5) p log 5 p =0
Diperoleh :
Atau log (x + y) + 1 = 0log (x + y)=log 5
daridiperoleh dari diperoleh :
6. Fungsi KuadratSumbu Simetri, Titik Puncak, Sifat Definit
Positif atau Negatif
Untuk menentukan persamaan sumbu simetri, titik puncak atau
titik balik, sifat definit positif dan definit negatif cobalah Anda
lihat di bawah ini Persamaan fungsi kuadrat : y = f (x) = ax2 + bx
+ c
Dari persamaan : y = ax2 + bx + c Anda ubah menjadi:
y = a (x2 + x) + c
Dengan melengkapkan bentuk kuadrat, coba Anda ubah menjadi:
y = a ( x2 +x ) + -+c y = a ( x2 +x ) + a-+cy = a ( x2 +x +)
-+
y = a ( x2 +x +) ( )y = a ( x+)2 ()Untuk a > 0 :Maka bentuk a
( x+)2 0, (x bilangan real, sehingga nilai terkecil (minimum) dari
a ( x+)2 adalah 0. Dengan demikian y = y = a ( x+)2 () mempunyai
nlai minimum (-) dan nilai itu dicapai jika a ( x+)2 = 0 atau x =
-. Jadi titik balik minimum parabola y = a ( x+)2 () adalah (-,-).
Untuk a < 0
Maka bentuk a ( x+)2 0, (x bilangan real, sehingga nilai
terbesar (maksimum) dari a ( x+)2 adalah 0. Dengan demikian y = y =
a ( x+)2 () mempunyai nilai maksimum (-) dan nilai itu dicapai jika
a ( x+)2 = 0 atau x = -. Jadi titik balik maksimum parabola y = a (
x+)2 () adalah (-,-)
Dari penjelas diatas maka dapat di simpulkan Jenis titik balik
:Jika a > 0, maka mempunyai titik balik minimum
Jika a < 0, maka mempunyai titik balik minimum
Misalkan p = - dan q = -,
Maka persamaan fungsi kuadratnya adalah
y = f(x) = y = a ( x+)2 () dapat dinyatakan sebagai
y = f(x) = y = a ( x p)2 + q dengan sumbu simetri x = p dan
titik puncak (p,q)Setelah Anda dapat menentukan sumbu simetri dan
titik balik dari suatu grafik kuadrat yang diketahui persamaannya,
selanjutnya akan dipelajari cara menentukan sifat definit positif
atau negatif suatu fungsi kuadrat. Oleh karena itu perhatikan
fungsi kuadrat dengan persamaan
y = f(x) = y = a ( x p)2 + q.
Secara geometris, grafik fungsi kuadrat y = a ( x p)2 + q
dikatakan definit positif
apabila grafik fungsi tersebut selalu berada di atas sumbu x
untuk setiap x bilangan real R atau
jika jika a > 0 dan q > 0Sedangkan grafik fungsi kuadrat y
= a ( x p)2 + q dikatakan definit negatif
apabila grafik fungsi tersebut selalu berada di bawah sumbu x
untuk setiap x bilangan real R atau
jika jika a < 0 dan q < 0
1.7.LOGIKAPernyataan (statement) adalah kalimat deklaratif yang
bernilai benar saja atau salah saja tetapi tidak sekaligus benar
dan salah.Benar atau salahnya suatu pernyataan disebut dengan nilai
kebenaran pernyataan itu.
Contoh :
a. Ayahku seorang tentarab. Jembatan Suramadu merupakan jembatan
terpanjang di Indonesiac. Hari ini hujan derasd. Aku menyayangimu
dan mencintaimuNilai kebenaran pernyataan (statement) di atas
tergantung pada realitas yang dinyatakan. Kalimat pada contoh a, b,
c merupakan pernyataan sederhana (simple statement) yaitu
pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tidak
mengandung kata hubung kalimat. Sedangkan kalimat d adalah
pernyataan majemuk (composite statement) yang terdiri dari
pernyataan sederhana (satu atau lebih) dengan bermacam-macam kata
hubung kalimat.Pernyataan-pernyataan tunggal biasanya dilambangkan
dengan huruf kecil, seperti p, q, r dsb. Contoh :
pernyataan 5 bilangan ganjil dapat dilambangkan dengan memakai
huruf t
ditulis t : 5 bilangan ganjilVariabel dan KonstantaVariabel
adalah simbol untuk menunjuk suatu anggota yang belum spesifik
dalam semesta pembicaraannya.
Konstanta adalah simbol yang menunjukkan anggota tertentu (sudah
spesifik) dalam semesta pembicaraan.
Contoh :
a. Manusia makan nasi
b. 4 + x = 7
Kalimat TerbukaKalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah
atau variable, sehingga belum dapat ditentukan benar atau salahnya.
Sebuah kalimat terbuka berubah menjadi pernyataan bila peubahnya
diganti oleh suatu anggota semesta pembicaraan yang bila
menggantikan peubah dalam suatu kalimat terbuka menjadi pernyataan
yang benar disebut penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut.
Himpunan yang menjadi terdiri dari semua penyelesaian suatu kalimat
terbuka disebut himpunan penyelesaian kalimat terbuka
tesebut.Contoh :
Jika x dan y adalah peubah pada himpunan bilangan cacah, maka
himpunan penyelesaian dari persamaan 2x + y =6 adalah {(0,6),
(1,4), (2,2), (3,0)}.
1.7.1.OPERASI PADA PERNYATAAN
Dua pernyataan atau lebih dapat dikomposisikan dengan kata
hubung logika (dan, atau, jika.maka., jika dan hanya jika)
membentuk pernyataan baru yang disebut pernyataan mejemuk atau
pernyataan komposisi.Dalam suatu pernyataan mejemuk tidak
diharuskan adanya hubungan antar komponen-komponennya. Hal ini
merupakan sifat yang fundamental di dalam logika matematika.
Negasi (kontradiksi, ingkaran atau penyangkalan)Ingkaran suatu
pernyataan adalah pernyataan yang bernilai benar, jika pernyataan
semula salah dan sebaliknya.
Misalkan p adalah suau pernyataan suatu pernyataan lain yang
dibentuk dari pernyataan p dengan cara menuliskan adalah salah
bahwa sebelum pernyataan p, atau jika dengan menyisipkan kata tidak
atau bukan pada pernyataan negasi atau penyangkalan atau inkaran
dari pernyataan p. Negasi dari pernyataan p ditulis: ~p atau p
(dibaca:tidak benar bahwa p).Sifat Negasi : Jika p benar maka ~p
salah dan jika p salah maka ~p benar.
Dalam tabel kebenaran sifat itu disajikan sebagai berikut:
p~p
B
SS
B
Catatan : Negasi dari semua atau setiap adalah ada atau
beberapa
Negasi dari ada atau beberapa adalah semua atau setiap
Contoh : p = jakarta ibukota RI (Benar)
~p = tidak benar bahwa jakarta ibukota RI (salah)
~p = jakarta bukan ibukota RI (salah)
Konjungsi (dan)Dua pernyataan yang dirangkaikan dengan kata
hubung logika dan untuk membentuk suatu pernyataan majemuk disebut
konjungsi dari pernyataan semula. Dalam bentuk lambang, konjungsi
dari pernyataan p dan q ditulis p ( q (dibaca: p dan q). nilai
kebenaran dari p ( q memenuhi sifat berikut
Jika p benar dan q benar maka p ( q benar, dalam hal lain p ( q
salah. Dalam tabel kebenaran sifat itu disajikan sebagai
berikut.
Pqp ( q
B
B
S
SB
S
B
SB
S
S
S
Disjungsi
Dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung logika atau
untuk membuat suatu pernyataan majemuk tersebut disjungsi dari
pernyataan semula. Dengan lambang, disjungsi dari dua pernyataan p
dan q ditulis : p v q (dibaca : p atau q).
Dijungsi ada dua macam, yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi
eksklusif.
Disjungsi inklusif (mencakup) p v q dibaca p atau q , atau p dan
q.
Contoh :
Jika p: Dua garis sebidang adalah sejajar
q : Dua garis sebidang sejajar
maka p v q : Dua garis sebidang adalah sejajar atau
berpotongan.
Dalam contoh ini p danq tidak dapat bersama-sama benar. Jika dua
garis sebidang sejajar, pasti tidak berpotongan. Dan jika dua garis
sebidang itu berpotongan, pasti tidak sejajar.
Nilai kebenaran dari p v q memenuhi sifat :
Jika p benar atau q benar atau keduanya benar, maka p v q benar.
Dalam hal lain p v q salah. Ketentuan nilai tentang nilai kebenaran
suatu konjungsi terseut disajikan dengan tabel kebenaran sebagai
berikut.
Pqp v q
B
B
S
SB
S
B
SB
B
B
S
Implikasi
Dari pernyataan p dan q dapar dibuat pernyataan majemuk dalam
bentuk jika p maka q yang disebut implikasi atau pernyataan
bersyarat. Pernyataan p disebut alasan atau sebab (hipotesis) dan
pernyataan q disebut kesimpulan. Implikasi jika p maka q
dilambangkan dengan p q. implikasi p q juga dibaca :(i) p hanya
jika q(ii) q jika p(iii) p syarat cukup bagi q(iv) q syarat perlu
bagi pNilai kebenaran dari implikasi p q memenuhi sifat :
Implikasi p q selalu benar kecuali dalam kasus p benar dan q
salah, yang dapat dilihat pada table berikut ini Pqp q
B
B
S
SB
S
B
SB
S
B
B
BiimplikasiPernyataan bersyarat berbentuk p jika dan hanya jika
q disebut biimplikasi (implikasi dwi
arah/bikondisional/ekuivalensi). Pernyataan ini adalah gabungan
dari p q, karena itu disebut implikasi dwi arah. Biimplikasi p jika
dan hanya jika q dinyatakan dengan lambang p q dapat juga dibaca
sebagai.
a. Jika p maka q dan jika q maka pb. p syarat perlu dan cukup
bagi qc. q syarat perlu dan cukup bagi p
Nilai kebenaran dari pernyataan p q adalah sebagai berikut :
Jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama, maka p q
bernilai dan jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang berlawanan,
maka p q bernilai salah. Tabel kebenaran dari p q adalah sebagai
berikut.
Pqp q
B
B
S
SB
S
B
SB
S
S
B
Contoh :
a. ABC adalah segitiga sama kaki jika dan hanya jika A = B
b. x > 5 jika dan hanya jika 3x > 15c. 0 < x < 6
jika dan hanya jika x2 6X < 0.
1.8.Sistem Persaman Linier Dua Variabel
Dua atau lebih persamaan linear dengan dua variabel yang
disajikan secara bersamaan disebut sistem persamaan linear. Sistem
persamaan linear dengan dua variabel mempunyai bentuk umum:a1 x +
b1 y = c1 dengan a1, b1, c1, a2, b3, c2 R a2 x + b2 y = c2
Ada beberapa jenis penyelesaian sistem persamaan linear dua
variabel. Hal ini dapat ditinjau dari hubungan antar a1, b1, c1,
a2, b3, dan c2 dari sistem persamaan linear dua variable diatas
Beberapa penyelesaian dapat dibedakan dalam 3 kelompok, yaitu
:
a. Jika dengan a2 0 dan b2 0, maka hanya mempunyai satu titik
potong yang merupakan himpunan penyelesaian.
b. Jika = dengan a2 0, b2 0, dan c2 0, maka kedua garis tersebut
sejajar atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian.
c. = = dengan a2, b2 dan c2 0,maka kedua garis tersebut berimpit
atau mempunyai titik persekutuan yang tak terhingga banyaknya
sehingga anggota himpunan penyelesaiannya tak terhingga banyaknya.
Y p
q Y
Y
q p
p dan q
X X
X
(a) berpotongan
(b) sejajar
(c) berimpit
Cara menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linear dengan dua variabel adalah Metode grafik, Metode substitusi,
Metode eliminasi.1. Metode Grafik.
Bentuk grafik dari persamaan linear dengan dua variabel berupa
garis lurus.2. Metode Substitusi.
Dalam metode substitusi, salah satu persamaannya variabelnya
dipisahkan kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang
lain.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan
menggunakan metode substitusi
2x + y = 7
5x 3y = 1
Jawab :
Misalkan kita memilih persamaan pertama
2x + y = 7
y = 7 - 2x
Subtitusikan ke dalam persamaan kedua sehingga diperoleh
5x 3y = 1
5x 3 (7-2x) = 1
5x 21 + 6x = 1
11x = 1 + 21
11x = 22
x = 2
y = 7 2x
= 7 - 2 (2)
= 7 - 4
= 3
Jadi, HP = {(2,3)}
3. Metode Eliminasi.
Dalam metode eliminasi, salah satu variabelnya dieliminasi atau
dihilangkan dengan cara mengurangkan atau menambahkan kedua
persamaan yang ada, sebelum dikurangkan atau ditambahkan terlebih
dahulu disamakan koefesien dan variabel yang dieleminasi dengan
cara mengalihkan dengan suatu bilangan.
Contoh :
Lima baju dan lima celana berharga Rp. 170. 000, sedangkan empat
baju dan dua celana adalah Rp. 102. 000. tentukan harga baju dan
celana tersebut.
Jawab :
Misalkan banyaknya baju = x 5x + 5y = 170.000
banyaknya celana = y 4x + 2y = 102. 000
Untuk menentukan nilai x, kita eliminasi variabel y
5x + 5y = 170. 000x2 10x + 10y = 340. 000
4x + 2y = 102. 000x5 20x + 10y = 510. 000 -
-10x = -170. 000
x = 17. 000
untuk menentukan nilai y, kita eliminasi variabel x
5x + 5y = 170. 000x2 20x + 20y = 680. 000
4x + 2y = 102. 000x5 20x + 10y = 510. 000 -
-10y = -170. 000
y = 17. 000
Jadi harga baju adalah Rp. 17. 000 dan harga celana adalah Rp.
17. 000.
1.8.Sistem Pertidaksamaan Linear
1.8.1.Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel, dengan p,
q, r R serta x dan y sebagai variabel, adalah sebagai berikut :
-
-
-
-
Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan daerah himpunan
penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel, perhatikan contoh
berikut :
Contoh
Arsirlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan
Penyelesaian :
Untuk mempermudah menentukan daerah himpunan penyelesaian
ikutilah langkah-langkah berikut :
1. Gambarlah garis pada bidang cartesius, dengan menentukan
titik potong sumbu koordinat dengan garis tersebut.
Dalam bentuk tabel di peroleh titik potongnya sebagai berikut
:
x60
y09
Titik potong dengan sumbu x maka y = 0
Titik potong dengan sumbu y maka x = 0
Jadi titik potong dengan sumbu x dan y adalah (6,0) dan
(0,9)
2. Ambil titik sembarang dari salah satu sisi garis , misalnya
titik pangkal O (0,0) kemudian, titik O (0,0) di subtitusikan pada
, di peroleh
(pernyataan benar)
Jadi, daerah yang memuat titik O (0,0) itu adalah daerah
penyelesaian.
3. Arsirlah daerah yang memuat titik O (0,0) sebagai himpunan
penyelesaian seperti gambar disamping1.8.2. Sistem Pertidaksamaan
Linear
Beberapa pertidaksamaan linear yang di gabungkan dan irisannya
merupakan himpunan penyelesaiaan pertidaksamaan linear yang
membentuknya disebut sistem pertidaksamaan linear.
Contoh :
Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan 2x + y 8 ;
2x + 3y 12 ; x 0 ; y 0 pada diagram cartesius.
Penyelesaian :
Pada sistem pertidaksamaan didapat pertidaksamaan dan maka
himpunan penyelesaiaan berada di kuadran I, sehingga kita cukup
memperhatikan pertidaksamaan dan .
x40
y08
Untuk akan diperoleh
Jadi titik potong dengan sumbu koordinat (4,0) dan (0,8)
x40
y08
Untuk akan diperoleh
Jadi titik potong dengan sumbu koordinat (6,0) dan (0,4)
Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan adalah irisan daerah
yang memenuhi semua pertidaksamaannya, seperti gambar berikut :
1.8.3. Model Matematika
Untuk menyelesaikan masalah program linear terlebih dahulu kita
harus menterjemahkan permasalahan itu kedalam bahasa
matematika.
Contoh
Pada sebuah toko sepatu olahraga diketahui harga beli sepasang
sepatu merek A Rp.100.000, dan harga beli sepasang sepatu merek B
adalah Rp. 75.000. setiap pasang sepatu merek A memberikan
keuntungan Rp.12.000 dan tiap sepasang sepatu merek B memberikan
keuntungan Rp.10.000. modal yang tersedia sebesar Rp. 60.000.000
dan toko tersebut memuat paling banyak 700 pasang sepatu. Buatlah
model matematika dari program linear tersebut jika keuntungan yang
diperoleh sebesar-besarnya.
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal ini, kita tentukan langkah-langkah
berikut :
1. Misalkan banyaknya sepatu merek A adalah x, dan banyaknya
sepatu merek B adalah y, kemudian buatlah tabel dari soal itu
menjadi seperti berikut:
Merk SepatuHarga SepatuBanyaknyaKeuntungan
A
B
kapasitas100.000
75.000
60.000.000X
Y
70012.000
10.000
2. Untuk membeli x pasang sepatu merek A dan y pasang sepatu
merek B, modalnya tidak lebih dari Rp.60.000.000, sehingga
pertidaksamaannya adalah
3. Toko hanya dapat menampung tidak lebih dari 700 pasang, maka
pertidaksamaannya
(banyak sepatu merek A tidak mungkin negatif).
(banyak sepatu merek B tidak mungkin negatif).
4. Keuntungan yang diperoleh (dalam rupiah) adalah 12.000x +
10.000y (5)
Jadi model matematika dari program linear itu adalah :
Fungsi kendala
Fungsi tujuan (fungsi objektif)nya adalah
1.8.4. Nilai Optimum dari Fungsi Tujuan (Fungsi Objektif)
Dengan menggunakan model matematika yang telah kita bahas
diatas, dan menentukan himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan linear maka kita dapat menentukan penyelesaian yang
akan mengoptimumkan fungsi tujuan. Ada beberapa cara menentukan
nilai optimum dari fungsi tujuan, diantaranya :
1. Melalui uji titik pojok dari daerah fisibel, dan
2. garis selidik
Melalui Uji Titik Pojok
Langkah-langkah untuk menentukan nilai optimum dari program
linear dengan melalui uji titik pojok adalah sebagai berikut :
1. Menggambar daerah kendala pada bidang cartesius.
2. Menentukan titik-titik pojok daerah kendala.
3. Memilih penyelesaian yang sebaik mungkin (optimum), baik
untuk penyelesaian maksimum ataupun penyelesaiaan minimum.
Contoh :
Pada sebuah toko sepatu olahraga diketahui harga beli sepasang
sepatu merek A Rp.100.000 dan harga beli sepasang sepatu merek B
adalah Rp.75.000. Setiap pasang sepatu merek A memberikan
keuntungan Rp.12.000 dan setiap pasang sepatu merek B memberikan
keuntungan Rp.10.000. modal yang tersedia sebesar Rp.60.000.000 dan
toko tersebut memuat paling banyak 700 pasang sepatu.
A. Berapakah keuntungan maksimumnya ?
B. tentukan banyaknya masing-masing sepatuyang di jual agar
dapat di peroleh keuntungan yang sebesar-besarnya?
Penyelesaian :
Model matematikanya :
100.000 x + 75.000 y
Fungsi tujuan f (x,y) = 12.000x+10.000y
Pada gambar diatas daerah OABC yang diarsir merupakan himpunan
penyelesaiaan dari system pertidaksamaan (1), (2), (3), dan
(4).
Titik O(0,0), A(600, 0), B dan C (0, 700).
Untuk menentukan koordinat titik B, di cari dengan cara
eliminasi dan subtitusi dari persamaan 4x + 3y= 2.400 dan x + y
=700.
Eliminasi x, diperoleh nilai y.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 X = 300
Subtitusi x = 300 ke persamaan x + y = 700 diperoleh
300 + y = 700
Jadi koordinat titik B (300, 400).
Untuk menentukan keuntungan maksimum, kita subtitusikan titik O,
A, B dan C kedalam fungsi tujuan.Titik Pojok
O (0,0)
A (600,0)
B (300,400)
C (0,700)
Pada tabel di atas dapat kita lihat bahwa titik B memperoleh
nilai paling besar, yaitu 7.600.000. jadi, keuntungan maksimum
Rp.7.600.000 untuk penjualan sepatu merek A sebanyak 300 pasang dan
sepatu B sebanyak 400 pasang.
Garis selidik ax + by = k
Penentuan nilai optimum program linear, selain dengan metode uji
titik pojok di dalam daerah himpunan penyelesaian, dapat juga
dengan menggunakan garis-garis sejajar, yang mempunyai persamaan ax
+ by = k dengan ax + by merupakan fungsi objektif dan . Garis-garis
sejajar untuk menyelidiki titik-titik keuntungan disebut garis
keuntungan atau garis-garis selidik.
Sifat garis selidik ax + by = k adalah sebagai berikut :
a. Jika k = 0, maka ax + by = k melalui titik asal O(0,0)
b. Jika maka ax + by = k semakin jauh dari titik O(0,0) dan
sebaliknya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh beikut :
Langkah- langkah menentukan nilai optimum dengan menggunakan
garis selidik ax + by = k adalah sebagai berikut :
1. Gambar garis ax + by = ab yang memotong sumbu x di titik
(b,0) dan memotong sumbu y di titik (0,a).
2. Jika garis sejajar ax + by = ab berada di paling kanan dan
menyinggung daerah himpunan penyelesaiaan, maka nilai adalh nilai
maksimum.3. Jika garis adalah garis yang paling kiri maka merupakan
nilai minimum.Contoh
Tentukan nilai maksimum dari yang memenuhi
EMBED Equation.3 Gunakan garis-garis selidik.
Penyelesaian :
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah irisan dari
masing-masing himpunan penyelesaiaan pertidaksamaan. Pada gambar
dibawah ini daerah OABC yang diarsir merupakan himpunan
penyelesaiaan dari sistem pertidaksamaan dan funfsi tujuan : 2x + y
(garis selidik : 2x + y = k).
Pada gambar diatas, garis yang sejajar dengan 2x + y = 2 (garis
ax + by = ab) dan berada paling kanan melalui titik A(4,0),
sehingga di peroleh nilai maksimum dari 2x + y adalah , jadi nilai
maksimum dari 2x + y adalah 8.
1.9. Matrik
Suatu matriks adalah susunan segiempat dari bilangan-bilangan
yang disajikan dalam tanda kurung atau kurung siku-siku.
Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan elemen dalam
matriks. Ukuran matriks dinyatakan dengan m X n dimana m menyatakan
banyaknya baris dan n menyatakan banyaknya kolom.
Untuk suatu matrik dinotasikan dengan huruf besar
Contoh
Tiga orang penjual koran di persimpangan jalan Bratang mencatat
koran-koran yang telah terjual selama sehari
Daftar koran-koran yang telah terjual oleh Adi, Eko, dan
Santo
Jenis KoranJawa PostKompasMemoDutaSindo
Adi1010252060
Eko155301540
Santo1016601042
Jika susunan bilangan tersebut disajikan dalam bentuk matrik
menjadi
Jika diberi nama M, maka
M =
kolom
Suatu matrik tidak hanya memiliki sebuah nilai tetapi memiliki
ukuran yang disebut order A = , B = , C =
1.9.1.Macam-macam Matrik1. Matrik Persegi
Suatu matrik disebut matrik persegi jika banyaknya baris dan
banyaknya kolom sama.
2. Matrik Baris
Suatu matrik disebut matrik baris jika banyaknya baris hanya
satu.
3. Matrik Kolom
Suatu matrik disebut matrik kolom jika banyaknya kolom hanya
satu
4. Matrik Diagonal
Suatu matrik disebut matrik diagonal jika semua elemen di luar
diagonal utama bernilai 0 dan paling tidak satu elemen pada
diagonal utama ( 0. Dalam simbolik : aij = 0 untuk i j
5. Matrik Identitas
Suatu matrik disebut matrik identitas jika matrik persegi dan
semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 serta bernilai 0 pada
elemen di luar diagonal utama. Dalam simbolik : aij = 1 untuk i = j
dan aij = 0 untuk i j.
6. Matrik Nol
Suatu matrik disebut matrik nol jika semua elemennya bernilai 0.
Dalam simbolik : aij = 0 untuk i = j dan i j. 7. Matrik Segitiga
Atas
Matrik persegi yang elemen di bawah diagonal utama bernilai nol.
Dalam simbolik : aij = 0 untuk i > j.
8. Matrik Segitiga Bawah
Matrik persegi yang elemen di atas diagonal utama bernila nol.
Dalam simbolik : aij = 0 untuk i < j.
9. Matrik Skalar
Matrik diagonal yan elemen utamanaya sama dengan k dan k 0.
Dalam simbolik : aij = k untuk i = j dg k 0 dan aij = 0 untuk i
j.
10. Matrik Simetris
Matrik persegi yang elemen pada baris ke i kolom ke j sama
dengan elemen pada ke j kolom ke i. Dalam simbolik : aij = aji
untuk i dan j.
11. Matrik Antisimetris
Matrik persegi yang elemen pada baris ke i kolom ke j sama
dengan lawan dari elemen pada ke j kolom ke i. Dalam simbolik : aij
= - aji untuk i dan j.
1.9.2.Operasi-operasi pada matrik
Dua matrik dikatakan sama jika kedua matrik tersebut mempunyai
ordo yang sama dan elemen yang bersesuaian juga sama.
Jumlahan dua matrik
Jika matrik A = (aij) dan B = (bij) berordo yang sama, maka A (
B = C (jumlah/selisih) dimana C = (cij) = (aij) ( (bij).
Perkalian matrik dengan skalar
A = (aij) adalah sebarang matriks dan k skalar, maka perkalian
kA = k(aij)
Transpos Matrik
A adalah sebarang matriks m X n, maka transpos A dinyatakan oleh
At adalah matriks n X m. Dimana baris-barisnya jadi kolom dan
kolom-kolomnya jadi baris.
Perkalian dua matrik
hasil kali AB adalah matriks yang berukuran m X n yang
entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri
dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A
dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian
dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian
tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.(dengan syarat Matriks A
berukuran m X r dan matriks B berukuran r X n ).
Jika matrik A = (aij) berordo m x n dan B = (bij) berordo n x q,
maka AB = C, maka (cij) = (ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + . . . . .
+ ain bnj)
Contoh:
A = B =
AB =
=
= =
1.9.3. Menghitung Determinan
Determinan suatu matrik A dinotasikan sebagai det(A) atau .
Determinan suatu matrik dapat di cari secara langsung, untuk matrik
ordo 2 dan ordo 3
A = , maka det (A) = =
A = , maka det (A) =
=
= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)
(a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)
Untuk mementukan nilai determinan suatu matrik tidak hanya
menggunakan cara diatas, Ada cara lain dalam menghitung determinan
yaitu menggunakan ekspansi kofaktor.
Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri aij dinyatakan
oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap
setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)i +
jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij
Contoh
Misalkan A =
ElemenMinorKofaktor
a11 M11 = = 16C11 = (-1)1 + 1M11 = M11 = 16
a3M32 = = 26C32 = (-1)3 + 2M32 = -M32 = -26
Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen aij hanya berbeda
dalam tandanya, yakni Cij = ( Mij. Cara cepat untuk menentukan
apakah penggunaan tanda + atau tanda merupakan kenyataan bahwa
penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris
ke i dan kolom ke j dari susunan
Misalkan, C11 = M11, C21 = -M21, C12 = -M12, C22 = M22 , dan
seterusnya.
Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan
mengalikan entri-entri dalam suatu baris/ kolom dengan
kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang
dihasilkan; yakni, untuk setiap 1 ( i ( n dan 1 ( j ( n, maka
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + a3jC3j + ......... + anjCnj(ekspansi
kofaktor sepanjang kolom ke-j)
ataudet(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ai3Ci3 + ......... +
ainCin(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)
Contoh
Hitunglah det(A) dengan menggunakan ekspansi sepanjang baris
pertama, dimana A =
Pemecahan.
det(A) = = -11.9.4. Invers suatu matrikJika A matriks persegi,
jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I , maka A
dikatakan dapat dibalik (Invertible) dan B dinamakan Invers dari A.
A-1 = Invers dari AMatrik A = dapat di balik jika ad bc 0, sehingga
invernya dirumuskan
A-1 = atau A-1 =
1.10. Barisan dan DeretMarilah kita ingat kembali rumus-rumus
yang dipakai dalam barisan aritmetika dan geometri.
Pada barisan aritmetika:
b = un un-1
un = a + (n1)b
Sifat yang berlaku,
2ut = ut-p + ut+p
Pada barisan geometri
r =
un = arn-1
sifat yang berlaku :ut 2 = ut-p x ut+p, t > p, t dan p
bilangan asli
tetapi tidak berarti selalu ut =
Contoh :
Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut
aturan barisan aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak
permen yang diperoleh. Banyak permen yang diterima anak kedua 11
buah dan anak keempat 19 buah. Berapa banyak permen yang diterima
oleh anak terkecil?
Jawab :
Misal permen yang diterima 5 anak tersebut mulai dari anak
tertua
adalah
a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b
a + b = 11 ....1)
a + 3b = 19 ....2)
Persamaan 2) dikurangkan dengan 1) diperoleh b = 4, selanjutnya
a = 7.
a + 4b = 7 + 4(4) = 23
Jadi, banyak permen yang diterima anak terkecil adalah 23
buah.
Contoh
Tetangga Beni mempunyai tiga anak yang umurnya membentuk barisan
aritmetika. Lima tahun yang lalu, umur anak tertua sama dengan
empat kali umur anak termuda. Umur Beni sekarang adalah jumlah umur
ketiga anak itu. Separuh umur Beni sekarang sama dengan jumlah umur
ketiga anak lima tahun yang lalu. Berapa umur Beni dan ketiga anak
itu?
Penyelesaian:
Misal umur Beni adalah x dan umur tiga anak mulai dari anak
tertua p+b, p, pb. (diambil pemisalan suku-suku barisan aritmetika
seperti ini supaya ketika dijumlahkan akan diperoleh persamaan
dalam satu peubah).
Keadaan sekarang berlaku
x = (p+b) + (p) + (pb) = 3p ...1)
Juga berlaku x = 3p 15
...2)
Lima tahun yang lalu berlaku
p+b5 = 4(pb5) 3p 5b = 15 ....3)
Dari penyelesaian 1) dan 2) diperoleh p = 10.
Substitusi nilai p ke 3) diperoleh b = 3. Umur ketiga anak itu
mulai dari yang tertua dalam tahun adalah 13, 10, 7. Umur Beni
sekarang adalah 30 tahun.
Ada banyak barisan bilangan yang dapat dipelajari, tetapi anda
juga minimal harus dapat menyelesaikan masalah yang berhubungan
dengan barisan aritmetika dan geometri. Untuk menentukan suku-suku
suatu barisan kita melihat keteraturan pola dari suku-suku
sebelumnya. Barisan seperti 2, 4, 7, 11, ... memiliki keteraturan
karena beda suku ke-2 dengan pertama adalah 2, beda dari suku ke-3
dengan ke-2 adalah 3, beda suku ke-4 dengan ke-3 adalah 4. Jika
masing-masing beda ini dibuat menjadi barisan baru dan dicari lagi
selisih masing-masing suku, maka akan terlihat keteraturan barisan
ini. Bagaimana menentukan rumus suku ke-n barisan-barisan seperti
ini? Salah satu cara untuk menentukan ruus umum suku ke-n barisan
adalah menggunakan konsep fungsi.
1. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan Aritmetika
Untuk menentukan rumus umum suku ke-n barisan seperti ini
caranya adalah dengan memperhatikan selisih antara dua suku yang
berurutan. Bila pada satu tingkat pengurangan belum diperoleh
selisih tetap, maka pengurangan dilakukan pada tingkat berikutnya
sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisan disebut berderajat
satu (linear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tingkat
pengurangan, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh
dalam dua tingkat pengurangan dan seterusnya. Bentuk umum dari
barisan-barisan itu merupakan fungsi dalam n sebagai berikut:
Selisih tetap 1 tingkat f(n) = an + b atau un = an + b
Selisih tetap 2 tingkat f(n) = an2 + bn + c atau un = an2 + bn +
c
Selisih tetap 3 tingkat f(n) = an3 + bn2 + cn + d atau un = an3
+ bn2 + cn + d
Perlu diperhatikan bahwa a dan b pada fungsi ini tidak sama
dengan a = suku pertama dan b = beda pada suku-suku barisan
aritmetika yang dibicarakan sebelumnya.
Contoh :
Rumus umum suku ke-n barisan 2, 5, 8, 11, dapat ditentukan
dengan cara:
(i) 25 8 11,
(ii) 3 3 3
(ii) a = 3 (i) a + b = 2 , maka 3 + b = 2 b = 1 , sehingga
diperoleh un = 3n 1
Contoh :
Rumus umum suku ke-n barisan 2, 5, 18, 45, 90, dapat
ditentukan dengan cara:
(i) 2 518 45 90.... (ii) 3 13 27 45
(iii) 10 14 18
(iv) 4 4
Dengan menyelesaikan persamaan (iv), (iii), (ii) dan (i)
diperoleh
a = , b = 1, c = - , dan d = 5 sehingga rumus suku ke-n
un =n3 + n2 n + 5
2. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan Geometri
Ada juga barisan yang setelah dicari beda antara dua suku
berurutan tidak juga diperoleh selisih yang tetap sampai beberapa
kali tingkat pengurangan, tetapi beda pada tingkat tertentu itu
membentuk suatu barisan geometri.
Contoh :
125122758121, ...
1 3 7 15 31 63
2481632
2 4 8 16
248
Barisan di atas dapat dilihat keteraturannya setelah terjadi
pengurangan pada tingkat dua. Tampak bahwa pada barisan itu
terdapat unsur 2n
ditambah bilangan tertentu. Barisan seperti itu
dirumuskan sebagai un = 2n + kn.
Untuk n = 11 = 2 + k k = 1
Jadi, rumus suku ke-n barisan itu adalah un = 2n n.
Contoh :
5101728 4782149, ...
5 7 11 19 35 67 ...
2 4 8 16 32 ...
2 4 8 16 ...
Seperti pada contoh sebelum, barisan seperti ini dirumuskan
sebagai un = 2n + kn. Untuk n = 1 5 = 2 + k k = 3. Jadi, rumus suku
ke-n barisan itu adalah un = 2n + 3n.
Selanjutnya kita akan mempelajari deret.
Pada deret aritmetika berlaku:
Sn = n (a + un) = n [(2a + (n 1)b], dan
Un = Sn Sn-1
Pada deret geometri berlaku:
Sn = atau Sn =
Contoh :Tentukan n jika
Penyelesaian:
Deret di atas dapat dinyatakan sebagai
n + n2 = 216n
n2 215n = 0
n (n 215) = 0
n = 0 atau n = 215
Karena n = 0 tidak memenuhi, maka penyelesaian hanya berlaku
untuk n = 215.
Latihan
1. Sebuah club ada 50 orang, dimana 23 orang suka renang, 23
orang suka fitness, 31 orang suka atletik. Jika ada 11 orang yang
atletik dan fitness, 14 orang suka fitness dan renang, 13 orang
suka renang dan atletik, dan 6 orang suka ketiga-tiganya. Tentukan
:
a. Berapa orang yang tidak suka ketiga-tiganya ?
b. Berapa orang yang suka renang saja ?
c. Berapa orang yang suka fitness saja ?
d. Berapa orang yang suka renang tetapi tidak suka atletik ?
e. Berapa orang yang suka atletik tetapi tidak suka fitness
?
f. Berapa orang yang suka fitness tetapi tidak suka renang ?
g. Berapa orang yang tidak suka atletik dan fitness ?
h. Berapa orang yang tidak suka renang atau atletik ?
i. Berapa orang yang suka renang atau atletik tetapi tidak suka
fitness ?j. Berapa orang yang suka atletik dan fitness tetapi tidak
suka renang ?
2. Diketahui P = {a, b, c, d} Q = {c, d, e, f} dan R = {b, c, d,
e}Tentukanlah :
a. P ( Qb. Q ( Rc. (P ( Q) ( Rd. P ( (Q ( R)e. Gambarlah diagram
venn dan arsirlah daerah yang memenuhi c) dan d). Apa kesimpulan
saudara ?3. Dengan melengkapkan kuadrat sempurna tentukan akar-akar
daria. 5 x2 3x + 4 = 0
b. x2 4x + 1 = 0
c. x2 + 8x 5 = 0
d. x2 x 2 = 0
e. -x2 + 6x 4 = 0
4. Jika suatu persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c =
0Buktikan bahwa x1 + x2 = dan x1 . x2 =
5. Untuk setiap k bilangan real dan k 0, tunjukkan bahwa bentuk
baku (umum) persamaan kuadrat dari persamaan
6. Dengan cara memfaktorkan dan rumus abc, carilah akar-akar
persamaan kuadrat berikut ;
a. 3x2 + x - 2 = 0
b. 6x2 - 5x + 1 = 0
c. x2 + 9x + 14 = 0
7. Dengan cara melengkapkan kuadrat, carilah akar-akar persamaan
kuadrat berikut ;
a. x2 - 4 = 0
b. 3x2 + 10x - 8 = 0
c. 5x2 - 28x - 12 = 0
8. Tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu,
tentukanlah jenis akar tiap persamaan kuadrat berikut ini
a. 2 x2 + x = 0
b. 3 x2 = 4
9. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui dengan
menggunakan rumus factor dan rumus jumlah dan hasil kali akar
a. 6 dan 9
d. (2 + ) dan (2 + )
b. -3p dan 2p
e.
QUOTE
dan c. - dan 3
f. p dan -p10. Selisih tiga kali kuadrat suatu bilangan dengan
tiga belas kali bilangan itu sama dengan negatif empat. Tentukanlah
bilangan itu !
11. Jumlah dua buah bilangan sama dengan 30, jika hasil kali
kedua bilangan itu sama dengan 200, tentukanlah bilangan itu !
12. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di A
( -2,0 ) dan B( 4,0 ) , serta melalui titik ( 1,-18 )!
13. Tetukan persamaan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu x di
titik ( -2,0 ) dan melalui titik ( 0,4 )
14. Keliling sebuah persegipanjang sama dengan 52 cm dan luasnya
sama dengan 160 cm2. Tentukanlah panjang dan lebar persegipanjang
itu.
15. Tentukan sumbu simetri dan titik balik tiap-tiap grafik
fungsi kuadrat berikut
a. y = x2 8x 9
b. y = x2 + 2x + 3
c. y = -x2 2x + 1
d. y = -x2 5x
e. y = -3x2 1
16. Selidiki apakah fungsi kuadrat berikut bersifat definit
positif atau definit negatif atau tidak kedua-duanya?
a. y = x2 2x + 7
b. y = -x2 6x 10
c. y = 2x2 8x
d. y = -x2 + 9
17. Diantara kalimat-kalimat berikut ini manakah yang merupakan
pernyataan dan tentukanlah nilai kebenarannya
a. 11 habis dibagi 3
b. Apakah dua garis sejajar tidak berpotongan ?
c. Tutuplah pintu, itu!
d. Ada 30 hari dalam 1 bulan
18. Diketahui pernyataan-pernyataan sbb dan tuliskan secara
simbolis untuk setiap disjungsi
p: 3 adalah bilangan prima
q: 3 adalah bilangan ganjil
a. 3 bukan bilangan prima atau 3 adalah bilangan ganjil
b. 3 adalah bilangan prima atau 3 bukan bilangan ganjil
c. 3 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilangan ganjil
d. 3 bukan bilangan ganjil atau 3 adalah bilangan prima
19. Misalkan p : Budi siswa kelas X SMA Calon Tunas Bangsaq :
Budi anak yang pintar di kelasnya
Tuliskan dalam bentuk kalimat dari simbol berikut:
a. p q
c. ~p q
b. p ~q
d. p ~q
20. Tentukan negasi atau ingkaran dari pernyataan berikut :
a. Semua peserta UNAS berpakaian seragam
b. Ada peserta ujian yang datang terlambat
c. ( ( x)( (y)()
d. Tidak ada bilangan pecahan yang merupakan bilangan bulat
21. Seorang ayah memberikan uang saku harian yang berbeda-beda
kepada lima anaknya. Uang saku seorang adik Rp 1000,00 kurang dari
uang saku yang diterima kakak tepat di atasnya. Jika setiap hari
ayah itu mengeluarkan Rp 17.500,00 untuk uang saku semua anaknya,
berapakah uang saku harian anak ke-4?22. Suatu barisan aritmetika,
suku ke-2 adalah 25 dan suku ke-11 adalah 79. Berapa banyak suku
barisan ini yang kurang dari 200?
23. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika.
Hasil kali bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan hasil kali
bilangan kedua dan ketiga adalah 144. Tentukan jumlah keempat
bilangan tersebut!
24. Sebidang tanah berharga Rp. 20.000.000,00. Setiap tahun
harga tanah itu naik 5% dari harga tanah tahun sebelumnya.
Berapakah harga tanah itu pada tahun ke-8?
25. dianatara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan
sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka
jumlah deret hitung yang terjadi adalah
26. jumlah penduduk suatu kota tiap 10 tahun menjadi dua kali
lipat. Menurut perhitungan. Pada tahun 2000 nanti akan mencapai 3,2
juta orang. Ini berarti bahwa pada tahun 1950 jumlah penduduj kota
itu baru mencapai.
27. harga karcis bus untuk anak Rp 20,- dan untuk dewasa Rp
30,-. Terjual 180 karcis dalam seminggu dengan hasil penjualan Rp
4.200,-
28. Diketahui sistem persamaan 3x + 2y = 8 dan x 5y = - 37,
Nilai 6x + 4y adalah . . .29. Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah
pensil Rp 14.400,00. harga 6 buah buku tulis dan 5 buah pensil Rp
11.200,00. Jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil adalah
.
30. Pada sebuah tempat parkir terdapat 84 kendaraan yang terdiri
dari sepeda motor dan mobil ( roda empat ). Setelah dihitung jumlah
roda seluruhnya ada 220. Jika tarif parkir untuk sepeda motor Rp
300,00 dan untuk mobil Rp 500.00, maka besar uang parkir yang
diterima tukasng parkir tersebut adalah 31. Pada suatu ladang
terdapat 12 ekor hewan terdiri dari ayam dan kambing, sedangkan
jumlah kaki hewan itu ada 40 buah. Banyak kambing diladang tersebut
adalah32. Diketahui keliling sebuah persegi panjang adalah 70 cm
dan panjangnya 5 cm lebih dari lebarnya. Maka luas persegi panjang
itu adalah ...33. Gunakan garis selidik untuk menentukan nilai
minimum dari 2x + 5y yang memenuhi sistem pertidaksamaan . .34.
Suatu deret aritmatika dengan suku ke-n dilambangkn dengan un.
Diketahui u1 + u3 + u5 + u7 + u9 + u11 = 72. Tentukan nilai u1 + u6
+ u11. (gunakan sifat-sifat pada barisan aritmetika)35. Berapa
banyaknya bilangan antara 1 sampai 1000 yang tidak habis dibagi 5
dan 6 ?36. Tentukan rumus suku ke-n untuk tiap-tiap barisan berikut
ini :a. 5,9,13,17,...
d. 2,10,30,68,...b. 6,11,16,21,...
e. 1,6,13,22, ...c. 2,7,16,29,...37. Tentukan rumus suku ke-n
daria. 2,6,12,20,...
d. -3,-1,3,11,...b. 1,5,14,30,...
e. 4,7,12,21, ...c. 5,13,33,69,...38. Tiga bilangan merupakan
barisan aritmatika turun. Jika yang terbesar ditambah 4 , terjadi
barisan geometri dengan hasil kali ketiga sukunya 512. Dibentuk
deret geometri tak hingga dengan tiga suku pertama yang diperoleh
diatas. Tentukan limit jumlah deret tersebut.39. Hitunglah nilai
dariS =
40. Hitunglah nilai dari
Daftar Pustaka
Anton, Howard. 2000. Elementary Linear Algebra, 8th ed, Jonh
Wiley & Sons, inc. Singpore.Ashlock, Robert B, dkk. 1980.
Guiding Each Child Learning of Mathematics Adalah Diagnostic
Approach to Instruction. London: Charles E. Merril Publishing
Company.
Cullen, Charles G. 1993. Aljabar Linear, Gramedia Pustaka Utama,
Jakarta
M. Oetjoep Ilman, H Gunawan, Tosin, Zainuddin, Al-Jabar &
Ilmu Ukur Analitika IV, Penerbit Widjaya jakarta, 1968.
Musser, Gary L. & Burger, William F.1998. Mathematics for
Elementary Teacher second edition. Ontario: Collier Macmillan
Canada.
Sinaga, Mangatur, dkk. 2006. Matematika Terampil Berhitung Jilid
4. Jakarta: Erlangga.
Soedjadi.1988. Pengantar Logika Matematika (non-aksiomatik).
Jakarta : Depdiknas
Soemartono, dkk. 1982. Pedoman Umum Matematika Sekolah Dasar.
Jakarta: PT. Rais Utama.
Supranto, J. 1974. Pengantar Matrik. Lembaga penerbit fak.
Ekonomi UI. Jakarta.
Sutawijaya, Akbar, dkk. 1991. Pendidikan Matematika III.
Jakarta: Departeman Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jendral
Pendidikan Tinggi Proyek Pembinaan Tenaga Pendidik.Theresia M. H.
Tirta Seputro M.Pd, 1992. Pengantar Dasar Matematika Logika dan
Teori Himpunan. Jakarta : Erlangga.Persamaan Kuadrat
ax2 + bx + c = 0
Akar-akar
x1 dan x2
Menyelesaikan PK
Menyusun PK
+
+
+
-
+
0
0
0
0
-6
-2
1
5
-
+
-
-
+
0
0
-3
-2
-1
1
+ + +
_1336903584.unknown
_1337166099.unknown
_1337168867.unknown
_1396890817.unknown
_1504683376.unknown
_1508330984.unknown
_1508331121.unknown
_1508395129.unknown
_1508398687.unknown
_1508398686.unknown
_1508381616.unknown
_1508381703.unknown
_1508381844.unknown
_1508331162.unknown
_1508331048.unknown
_1508331094.unknown
_1508331025.unknown
_1508310348.unknown
_1508310447.unknown
_1504683416.unknown
_1396890825.unknown
_1396891162.unknown
_1504682957.unknown
_1504682979.unknown
_1396891163.unknown
_1396890827.unknown
_1396890829.unknown
_1396890830.unknown
_1396890831.unknown
_1396890828.unknown
_1396890826.unknown
_1396890821.unknown
_1396890823.unknown
_1396890824.unknown
_1396890822.unknown
_1396890819.unknown
_1396890820.unknown
_1396890818.unknown
_1337175894.unknown
_1396890812.unknown
_1396890815.unknown
_1396890816.unknown
_1396890813.unknown
_1337181389.unknown
_1396890810.unknown
_1396890811.unknown
_1337181793.unknown
_1337233857.unknown
_1337233995.unknown
_1337181858.unknown
_1337181638.unknown
_1337181237.unknown
_1337181260.unknown
_1337175919.unknown
_1337171857.unknown
_1337175812.unknown
_1337175854.unknown
_1337172140.unknown
_1337168870.unknown
_1337171682.unknown
_1337168868.unknown
_1337168829.unknown
_1337168837.unknown
_1337168852.unknown
_1337168854.unknown
_1337168855.unknown
_1337168853.unknown
_1337168850.unknown
_1337168851.unknown
_1337168838.unknown
_1337168833.unknown
_1337168835.unknown
_1337168836.unknown
_1337168834.unknown
_1337168831.unknown
_1337168832.unknown
_1337168830.unknown
_1337168773.unknown
_1337168825.unknown
_1337168827.unknown
_1337168828.unknown
_1337168826.unknown
_1337168775.unknown
_1337168776.unknown
_1337168774.unknown
_1337166180.unknown
_1337168771.unknown
_1337168772.unknown
_1337166181.unknown
_1337166176.unknown
_1337166178.unknown
_1337166179.unknown
_1337166177.unknown
_1337166174.unknown
_1337166175.unknown
_1337166171.unknown
_1337166170.unknown
_1337064762.unknown
_1337136491.unknown
_1337138599.unknown
_1337138691.unknown
_1337138755.unknown
_1337165652.unknown
_1337138611.unknown
_1337138534.unknown
_1337138573.unknown
_1337138488.unknown
_1337138364.unknown
_1337138388.unknown
_1337137673.unknown
_1337137757.unknown
_1337137819.unknown
_1337138259.unknown
_1337137796.unknown
_1337137737.unknown
_1337136542.unknown
_1337064802.unknown
_1337070166.unknown
_1337070335.unknown
_1337070402.unknown
_1337068250.unknown
_1337064798.unknown
_1337064801.unknown
_1337064796.unknown
_1337064752.unknown
_1337064758.unknown
_1337064760.unknown
_1337064761.unknown
_1337064759.unknown
_1337064755.unknown
_1337064757.unknown
_1337064753.unknown
_1337064732.unknown
_1337064748.unknown
_1337064750.unknown
_1337064751.unknown
_1337064749.unknown
_1337064746.unknown
_1337064747.unknown
_1337064745.unknown
_1337064728.unknown
_1337064730.unknown
_1337064731.unknown
_1337064729.unknown
_1337064724.unknown
_1337064726.unknown
_1337064727.unknown
_1337064725.unknown
_1337064722.unknown
_1337064723.unknown
_1337064720.unknown
_1337064721.unknown
_1336903585.unknown
_1336903586.unknown
_1289459716.unknown
_1336903568.unknown
_1336903576.unknown
_1336903580.unknown
_1336903582.unknown
_1336903583.unknown
_1336903581.unknown
_1336903578.unknown
_1336903579.unknown
_1336903577.unknown
_1336903572.unknown
_1336903574.unknown
_1336903575.unknown
_1336903573.unknown
_1336903570.unknown
_1336903571.unknown
_1336903569.unknown
_1336903558.unknown
_1336903562.unknown
_1336903566.unknown
_1336903567.unknown
_1336903565.unknown
_1336903560.unknown
_1336903561.unknown
_1336903559.unknown
_1336903554.unknown
_1336903556.unknown
_1336903557.unknown
_1336903555.unknown
_1289593385.unknown
_1336903552.unknown
_1336903553.unknown
_1336903551.unknown
_1289947617.unknown
_1289459780.unknown
_1289592657.unknown
_1289459735.unknown
_1288117324.unknown
_1289147906.unknown
_1289457163.unknown
_1289457571.unknown
_1289458663.unknown
_1289458799.unknown
_1289458831.unknown
_1289458996.unknown
_1289458748.unknown
_1289457970.unknown
_1289458369.unknown
_1289457578.unknown
_1289457505.unknown
_1289457539.unknown
_1289457377.unknown
_1289148076.unknown
_1289148831.unknown
_1289147936.unknown
_1288196218.unknown
_1288626512.unknown
_1288626755.unknown
_1288627150.unknown
_1288627301.unknown
_1288627353.unknown
_1288627184.unknown
_1288626820.unknown
_1288626713.unknown
_1288196544.unknown
_1288626486.unknown
_1288196316.unknown
_1288196100.unknown
_1288196182.unknown
_1288196080.unknown
_1287944624.unknown
_1288113807.unknown
_1288114043.unknown
_1288117261.unknown
_1288113899.unknown
_1288113560.unknown
_1288113573.unknown
_1288113468.unknown
_1288113481.unknown
_1173753172.unknown
_1173754126.unknown
_1173754140.unknown
_1173753176.unknown
_1173752094.unknown
_1173752098.unknown
_1173752089.unknown
