Digital Image Processing Chapter 3 Dr. Mario Chacón DSP & Vision Lab

Digital Image Processing Digital Image Processing Chapter 3Chapter 3

Dr. Mario ChacónDr. Mario Chacón

DSP & Vision LabDSP & Vision Lab

Space Domain Image Processin Methods

)]y,x(i[T)y,x(iN

T [ ]

Figura 3.1 Proceso de punto.

Image Processin Methods

))],(([),( 8 yxiNTyxiN

T()

Figura 3.2. Proceso de área o ventana.


)]y,x(i),y,x(i[T)y,x(i )1n(ccnN

T()

Figura 3. 3.Proceso de cuadros.


)]y,x(i[T)t,s(iN

Figura 3. 4. Proceso geométrico.

Image Enhancement

a) b) c)

Figura 3. 5. Proceso para mejorar una imagen, a) Original, b) Mejorada, c) Adecuada para la aplicación.

Image Enhancement

Two main methods

Spatial processing

Frequency processing

Spatial Image Enhancement

91

7676 8080 9191

6565 101044

101044

8888 111122

111155

Figura 3. 6 Procesamiento en el espacio.

)]y,x(I[T)y,x(I N

Frequency Image Enhancement

Figura 3.7 Procesamiento de imágenes en la frecuencia.

212121N

1M

0m

1N

0nN ,I,H,Iny,mxhn,mIy,xIy,xhy,xI

21211 ,,, IHyxI N

Generic Spatial Processing

)]y,x(I[Ty,xI N

lTlN

th th

Figura 3.8 a) Incremento de contraste b) Binarización.

Contrast and Brightness

a) b) c)

Figura 3. 9a) Bajo contraste, b) Buen contraste, c) Alto contraste.


a) b) c)

Figura 3. 10 a) Bajo brillo, b) Normal, c) Alto.


by,xaiy,xiN

Si a = 1 y b = 0 el operador es el operador identidad, Figura 3.11a

Si a < 1ó a>1 tenemos una reducción o incremento de contraste Figura 3.11b Si a = 1 y b 0 tenemos un incremento o decremento de brillo Figura 3.11c Si a = -1, b= L-1 obtendremos el negativo de la imagen. Figura 3.11d.


255

255

0255

255

0255

255

0255

255

0

Figura 3. 11 a) Identidad, b) Contraste, c) Brillo, d) Negativo.

a) b)

Figura 3. 12 a) Original, b) Negativo.


5.127b5.127k)y,x(i)y,x(iN modifica brillo antes de contraste

k5.127b5.127)y,x(i)y,x(iN modifica brillo después de contraste

Los valores de k y b se definen de acuerdo al efecto deseado del brillo y contraste.


Un operador que solo actúa sobre el contraste es

minmax

maxmin),(),(

LL

LLyxiyxiN

El operado anterior es un operador lineal pero existen otros operadores no lineales de la forma ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Ni x y i x y Ci x y L i x y

iN

Dynamic Range

a) b)

Figura 3. 14 a) Sin corrección c) con corrección.

Dynamic Range

Una forma efectiva de comprimir el rango dinámico de los valores de pixeles es: (3.15) donde C es una constante de escalamiento, la suma de 1 es para evitar problema con los valores de gris iguales a cero.

lClN 1log

Dynamic Range

Por ejemplo si el espectro de Fourier tiene un rango de [0,R] = [0, 1.05 X 106 ]. El rango de es [0, 6.022]. Si el sistema de

visualización usara el rango [0 , L -1] = [0 , 255], entonces , 42.35 log (1+|1.05 X 106 |) = 42.35(6.022) = 255 si el sistema usara el rango [0 , L -1] = [0 , 1], entonces , 0.166 log (1+|1.05 X 106 |) = 0.166(6.022) = 1. Otras formas de resolver este problema es consultar el funcionamiento de la función de visualización que se utiliza y ver si acepta un parámetro que indique que realice un autoajuste.

i1logCln

35.42022.6

255c

166.0022.6

1c

Gray Level Range enhancement

En ocasiones lo que se desea es realzar únicamente ciertos pixeles dentro de un rango de niveles de gris presentes en la imagen.

a) Resaltar los píxeles de interés y desaparecer los píxeles de no interés, esto es, cambiar a valores altos los valores de pixeles con nivel de gris de interés y a valores bajos todos los demás valores de gris. (3.16) b) Resaltar los píxeles de interés y no modificar los demás píxeles. En este caso se aumenta el brillo del rango deseado y se conservan lo demás valores. (3.17)

formaotrade0

lilLi

21N

formaotradei

lilLi

21N

Gray Level Range enhancement

i

iN iN

i

Figura 3. 15 a) Pixeles de interés a valor alto los demás a cero, b) Pixeles de interés a alto los demás igual.

Histogram Processing

El histograma de niveles de gris de una imagen digital es una función discreta, debido a la naturaleza propia de la imagen digital, que indica, para cada nivel de gris, el número de pixeles presentes en la imagen. (3.18)

donde es el k’esimo nivel de gris y | | indica cardinalidad del conjunto.

1-L0,...,k ,:),( )( kk lyxiyxili

kl

Si consideramos como el número total de pixeles en la imagen y calculamos

(3.19)donde representa el número de pixeles con tono de gris entonces es una estimación de la probabilidad de ocurrencia del nivel de gris . Este enfoque es referente a considerar a una imagen como una señal aleatoria dado el comportamiento aleatorio del valor de los píxeles.

N

N

Nli k

k )(

kN

kl)( kli

kl


( )ki l

I1

I2

I3

Figura 3. 16 Mapeo de histogramas a imágenes.


( )ki l ( )ki l

kl kl

d)

( )ki l ( )ki l

kl kl

Figura 3. 17 Histograma de Imagen, a) Obscura, b) Brillante, c) Poco contraste, d) Alto contraste.

Histogram Equalization

Un histograma con buen contraste tenderá a tener una distribución semejante a la de una distribución uniforme, es decir (3.20)

por lo que el método de ecualización de histograma consiste en encontrar la transformación tal que la imagen generada tenga un histograma que tienda a la distribución uniforme.

formaotrade

LlLli k0

01

)(

]l[T


Si y son conocidos y satisface la condición

)( kli ]l[T ]l[T N1

i) es función valuada–simple, monotónica incremental, en el rango (3.21)

]l[T

1l0

Nk

lTlNNk dl

dlli

dl

dllili

N

)()()(][1

entonces:

(3.23)


Considere que utilizamos como transformación, , la función de distribución acumulada, CDF, del inglés Cumulative Distribution Function, de la imagen original con pixeles con tonos de gris ,

(3.24)

]l[T

l

l

N 1l0 dwwilTl0

)(][

También de teoría de probabilidad se sabe que la derivada de la CDF con respecto a la variable aleatoria es la función de densidad. Así tenemos que (3.25)dl

ldT

dl

dlN ][


por lo que

(3.26) sustituyendo (3.26) en (3.23) tenemos

(3.27)

(3.28)

)()(][

0

k

lN lidwwi

dl

d

dl

ldT

dl

dl

][1

)()(NlTlN

kNK dl

dllili

1011)(

1)()( ][

][

1

1

NlTl

lTlkkNk l

lilili

N

N

Siendo una densidad uniforme, independientemente de la forma de .

)( Nkli

][lT


a) b)

Figura 3. 18 Ecualización de histograma, a) Original b) Ecualizada.


Asumiendo que una imagen tiene la siguiente función de densidad

la función de transformación será

formaotrade

llli k 0

103

llww

dwwdwwilTll

ll l

N 32

1

23)(][ 2

0

00 0

2


La prueba de que el histograma es uniforme es como y las raíces son y y entonces seleccionamos ahora aplicando (3.27) obtenemos para

)( Nklh

032

2

Nlll NNN lllTl 2932/14931

1l0 N Nll 2931 Nll 2932

1l0 Nll 2932

NN llTl 2931

2292

132933)()( 2

1

2

1

][1NN

NlTlNkNk lll

dl

dl

dl

dllili

N

NN

lTlNNNk

ll

lllllh

N

29

13293

29

13293)(

][

2

1

1

129

29)(

N

NNk

l

llh


Funciones discretas

1,,1,0 Lkn

nli k

kl

l

N dwwilTl0

)(][

k

jkkkNk llilTl

0

1-L0,1,...,ky 10 )(][


Nkl CDF redondeado

0 0 0/64 0 0 0

1 0 0/64 0 0 0

2 0 0/64 0 0 0

3 4 4/64 0.0625 0.1875 0

4 5 5/64 0.140625 0.5625 1

5 20 20/64 0.453125 2.265625 2

6 15 15/64 0.6875 4.125 4

7 3 3/64 0.734375 5.140625 5

8 0 0/64 0.734375 5.875 6

9 7 7/64 0.84375 7.59375 8

10 5 5/64 0.921875 9.21875 9

11 3 3/64 0.96875 10.65625 11

12 2 2/64 1 12 12

13 0 0/64 1 13 13

14 0 0/64 1 14 14

15 0 0/64 1 15 15

N 64

Nkl)( kl likll

k

jjlNk lil

0

)(


redondeado

0 0 0 4

1 0 0 5

2 0 0 20

3 4 0 0

4 5 1 15

5 20 2 3

6 15 4 0

7 3 5 0

8 0 6 7

9 7 8 5

10 5 9 0

11 3 11 3

12 2 12 2

13 0 13 0

14 0 14 0

15 0 15 0

N 64

l kl Nkl)( NkNk li

Histogram Specification

Si partimos de la suposición de que la nueva imagen deseada, , fuera conocida, entonces podríamos realizar el proceso de ecualización de histograma a dicha imagen. Si la imagen deseada, , estuviera disponible, sus niveles de gris podrían ecualizarse por medio de la transformación

ZI

ZI

(3.33) donde es la función de densidad de , histograma normalizado, y es la función de transformación para generar una nueva imagen con valores de pixeles .

Z

z dwwizQu0

)(wiz

ZI

zQ

u


iz(l)

Iz Q[z] izE(l)

Figura 3. 19 Ilustración de ecualización de la imagen .


Sin embargo el proceso anterior no es posible ya que es una imagen deseada y por lo tanto no existente. Si fuera posible podríamos usar el proceso inverso para generar los niveles z de la imagen deseada. De esto surge la posibilidad de generar , ya que si somos capaces de obtener los valores de u entonces podríamos generar la imagen deseada.

ZI

uQz 1

ZI

El histograma de la imagen original, , ecualizada , y el histograma de la imagen que provendría de la ecualización de , , son densidades de probabilidad uniformes ya que son resultado de un proceso de ecualización. Como se mencionó antes, la ecualización produce un histograma uniforme independiente de la distribución del histograma original. Así que si en lugar de usar los valores de en el proceso inverso se utilizan los niveles uniformes de obtenidos de la imagen original después del proceso de ecualización, los niveles resultantes tendrán la función de densidad de probabilidad deseada.

I )( kNNk li

ZI )( kZe li

uNl

NlQz 1


Asumiendo que es valuada simple el proceso se resume en: Ecualice los niveles de la imagen original (3.34) Especifique la función de densidad deseada y obtenga la función de transformación usando:

(3.35) Aplique la función de transformación inversa .

NlQ 1

r

N dwwilTl0

zQ

Z

z dwwizQu0

NlQz 1


Imagen Original

Ii(l)

lN

T[l]

l

IE

i(lN)

IZ

iZ(l)

u

Q(z)

lNK

Figura 3. 20 Proceso de especificación de histograma.


En la practica la transformación inversa de a z a menudo no es valuada simple. La situación surge cuando existen niveles de gris en cero en el histograma especificado, lo cual hace que la CDF sea constante sobre un intervalo o en el proceso de redondeo de al tono de gris más cercano

Nl

NlQ 1

Figura 3. 21 Ejemplo de generación de una función no valuada simple.


a) b) c)

Figura 3. 22 Imagen mejorada con especificación de histograma. a)Original y su histograma, b) Histograma deseado, c) Histograma obtenido y su imagen.

Arithmetic OperationsArithmetic Operations

Image AdditionImage Addition

La suma de dos imágenes e se define como:

(3.36)

)y,x(I1 )y,x(I2

)y,x(I)y,x(II 21N

Image Addition and Noise additionImage Addition and Noise addition

+ =

Image SubtractionImage Subtraction

La diferencia entre dos imágenes e es:

(3.37)

)y,x(I1 )y,x(I2

)y,x(I)y,x(II 21N

Background removalBackground removal

Motion detection by subtractionMotion detection by subtraction

Edge detectionEdge detection

y

y,xIx

y,xI

y,xI

22

y

I

x

Iy,xI

1y,xIy,xI,y,1xIy,xImaxy,xI

Edge detectionEdge detection

200 210 50 50 10 160 0

210 215 45 48 5 170 3

211 210 44 46 1 166 2

209 210 45 46 1 165 1

a) b)

Noise reduction by averagingNoise reduction by averaging

(3.41)

yxNyxSyxD ii ,,,

Asumiendo un conjunto de M realizaciones de una imagen de interés:

donde S(x,y) : es la imagen de interés.Ni(x,y) : realización de imagen de ruido

asumimos que cada realización de imagen de ruido proviene de un ruido aleatorio no correlacionado con medio cero.


Esto significa que el valor esperado (3.42) es

(3.43) El valor esperado de dos realizaciones de imágenes de ruido será: (3.44)

dxxxfXE x )(

0, yxNE i

yxNEyxNEyxNyxNE jiji ,,,, ji


entre las realizaciones de ruido es

(3.46) yxNEyxNEyxNyxNE jiji ,,,, ji

y la correlación

(3.45)

dxdyfxyfYXE yx,

es el promedio del ruido en el pixel con coordenadas x,y de todas las imágenes con ruido en las i’esimas realizaciónes.

yxNE i ,


(3.47) yxNE

yxSyxSNRP

,

,,

2

2

Si promediamos M imágenes para formar: (3.48)

M

1ii y,xNy,xS

M

1y,xD

entonces la razón de potencia señal-ruido está dada por (3.49)

2

12

2

2

1

2

,1

,

,1

,,

M

ii

M

ii yxNE

M

yxS

yxNM

E

yxSyxSNRP


ó (3.50)

ya que el ruido es no correlacionado, tenemos

(3.51)

y

(3.52)

M

i

M

jji yxNyxNE

yxSMyxSNRP

1 1

22

,,

,,

M

i

M

jji

M

ii yxNyxNEyxNE

yxSMyxSNRP

1 11

2

22

,,,

),(, ji

M

i

M

i

M

jjii yxNEyxNEyxNE

yxSMyxSNRP

1 1 1

2

22

,,,

,, ji


M

i

M

i

M

jjii yxNEyxNEyxNE

yxSMyxSNRP

1 1 1

2

22

,,,

,, ji

Usando la ecuación (3.43), el segundo término en el denominador es cero, ya que el problema asume que el ruido aleatorio tiene media cero. Además las M muestras de ruido provienen del mismo conjunto, todos los términos en la primera sumatoria son idénticos por lo que

(3.53) Así que el promedio de M imágenes incrementa el factor señal-ruido por un factor de M. La amplitud del factor señal-ruido es:

(3.54)

MyxSNRP

yxNME

yxSMyxSNRP ,

,

,,

2

22

yxSNRPMyxSNRPRNS ,,


Spatial filteringSpatial filtering

Imagen

Filter

Figura 3. 30 Aplicación de un filtro espacial.


i(x-1,y-1) i(x-1,y) i(x-1,y+1)

i(x,y-1) i(x,y) i(x,y+1)

i(x+1,y-1) i(x+1,y) i(x+1,y+1)

wi(x-1,y-1) w(x-1,y) w(x-1,y+1)

w(x,y-1) w(x,y) w(x,y+1)

w(x+1,y-1) w(x+1,y) w(x+1,y+1)

)1.1()1,1(),1(),1()1,1()1,1(

)1,()1,(),(),()1,()1,(

)1,1()1,1(),1(),1()1,1()1,1(),(

yxwyxiyxwyxiyxwyxi

yxwyxiyxwyxiyxwyxi

yxwyxiyxwyxiyxwyxiyxiN


La forma genérica de la aplicación de un filtro espacial de tamaño esta dada por (3.56) donde y para y enteros no negativos.

mxn

a

as

b

btN )t,s(w)ty,sx(I)y,x(I

1a2m 1b2n a b

Smoothing filtersSmoothing filters

x251

x91

x161

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1

2 4 2

1 2 1

Figura 3. 32 Mascaras de filtros de suavizado.

Gaussian filterGaussian filter

0.0005 0.0050 0.0109 0.0050 0.0005

0.0050 0.0522 0.1141 0.0522 0.0050

0.0109 0.1141 0.2491 0.1141 0.0109

0.0050 0.0522 0.1141 0.0522 0.0050

0.0005 0.0050 0.0109 0.0050 0.0005

Smoothing filtersSmoothing filters

Figura 3. 33 a) Original, b) con ruido, c) promediado 3x3,d) promediado 5x5, e) Gausiano.

Average filter vs. median filterAverage filter vs. median filter

Laplacian filtersLaplacian filters

0 1 0

1 -4 1

0 1 0

1 1 1

1 -8 1

1 1 1

1 1 1

1 -8 1

1 1 1

-1 -1 -1

-1 8 -1

-1 -1 -1

SharpeningSharpening

Gradient magnitudeGradient magnitude

-1 0

0 1

0 -1

1 0

-1 -2 -1

0 0 0

1 2 1

-1 0 1

-2 0 2

-1 0 1

Gradient magnitudeGradient magnitude

Discrete Time SignalsDiscrete Time Signals ...0,4,3,2,1,0...,)( nx

40

41

00

)(

n

nn

n

nx

Discrete Time SignalsDiscrete Time Signals

cnxnx

knxnx

knxnx

)()(

)()(

)()(

Time shifting

Amplitude scaling

Impulse Impulse

)(n

)3( n

Impulse Impulse

)(n

)4( n

Step Step

)()( nunx

)3()( nunx

Step Step

)()( nunx

)4()( nunx

Ramp Ramp

)()( nnunx

)]11()4()[5()( nununnx

ExponentialExponential

)()( nuanx n

)()( )2( nuanx n

FoldingFolding

)()]([ nxnxTF

Time ScalingTime Scaling

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