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CAMPOS Y ONDAS

Campo variables en el tiempoen conductores.

Ecuacin de Difusin

Campos y Ondas

FACULTAD DE INGENIERAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

CAMPOS Y ONDAS

Ecuacin de Difusin

La distribucin de corrientes y campos en el seno de materiales conductores no slo resulta de inters desde un punto de vista terico, sino que fundamentalmente reviste una gran importancia en la prctica de la Ingeniera.

En efecto, los conductores normalmente son materiales costosos, y proporcionar conductores innecesariamente gruesos, si la corriente circula slamente a travs de una seccin reducida, vecina a la superficie del conductor, constituye un mal diseo de ingeniera.

Debido a la importancia de este tema, este captulo estar dedicado a la discusin de la distribucin de corrientes y campos variables con el tiempo, en el seno de materiales conductores.

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Ecuacin de Difusin

Carga y corriente en un conducto en un conductor de longitud uniforme, en el que circula una

corriente estacionaria, la densidad de corriente es uniforme, y de acuerdo a la ley de Ohm puntual:

En un conductor de longitud uniforme, en el que circula una corriente estacionaria, la densidad de corriente es uniforme, y la intensidad de campo elctrico tambin es uniforme a travs de la seccin del conductor.En ausencia de f.e.m. en el conductor, el campo elctrico E es un campo irrotacional (que por lo tanto, puede ser expresado por el gradiente de un potencial escalar V) , que slo puede tener fuentes de divergencia. Tal campo puede proceder nicamente de cargas elctricas, y surge la cuestin: Dnde se encuentran las cargas que originan el flujo de corriente? Deben estar o bien en el material conductor, o en su superficie, o en ambos lugares

E J=

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Ecuacin de Difusin

La ecuacin de continuidad de la carga y corriente

Q

I1

I

I

I

I2

3

4

5I QtSalida =

J sdt

dv = + =J t 0( ) = 0 E

0 0+ =t

E J= ( ) = 0 0e t

De manera que, si dentro del conductor aislado existe una densidad de carga 0 la misma disminuye exponencialmente (se relaja), con una constante de tiempo caracterstica o tiempo de relajacin = 0/.

Pero dado que la cantidad de carga en el conductor debe conservarse, porque se encuentra aislado, dicha carga debe difundirse hacia la superficie del conductor.

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Ecuacin de Difusin

El tiempo de relajacin es una caracterstica propia de cada medio, y da una indicacin del tiempo en el cual se alcanzarn las condiciones esencialmente estacionarias, despus de la iniciacin de un determinado flujo de carga.

Para un buen conductor, los valores de conductividad son del orden de 107 (m)-1 (siemens), y siendo 0 del orden de 10-11 F/m, la constante de tiempo resulta del orden de 10-18 segundos.

Esto significa que la carga se difundir a la superficie del conductor con extrema rapidez, y no quedar carga en el interior del conductor, y en lugar de la ecuacin se podr escribir:

0 =J + =J t 0

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Ecuacin de Difusin

La Ley de Ampere modificada para que cumpla con la ecuacin de CONTINUIDAD

H = J

+ =J t 0

.( H) = 0 = .J

DH = J + ddt

( D)( H) = 0 = J + ddt

Falta Algo?

En buenos conductores vale:

0 =JH = J

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Ecuacin de Difusin

Otra forma de evaluar : se asume que los campos varan armnicamente en el tiempo:

j tj te j e j

t t

= D D D D

= + ddt

DH J

tje . DD

EEEE

jej

te

ttj

tj

=

( )EH j+=

D E=

En un conductor >> = =H E J

0.cos( )t d = +D D

D E J Jt j j j= = =0 0( = 0/ 10-18 segundos):

( ) = + H J J1 j

( ) ( ) ( )0 0Re (D . ) Re (D . . )

j t d j d j tal e al e e += =D JJG JJG

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Ecuacin de Difusin

Ecuacin general para la distribucin de corriente variable con el tiempo, en el seno de un material conductor.

=H J = E B t

J E=

B H= 0 r

= J H 0 r t( ) = = J H J

0 0r rt t

( ) = J J J2 2 0 r t = JJ

Aplicamos Rotor

J E=

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Ecuacin de Difusin

De manera similar, puede demostrarse que los vectores E, B y H tambin quedan descritos por una ecuacin de la misma forma que se conoce con el nombre de ecuacin de difusin :

=2 0E E r t =2 0B B r t

=2 0H H r t

Estas ecuaciones dan las relaciones entre las derivadas espacialesy temporales de la densidad de corriente J, del campo elctrico E, de la induccin magntica B y del campo magntico H, en cualquier punto en el interior de un buen conductor.

Resta por resolver estas ecuaciones diferenciales teniendo en cuenta las condiciones de frontera impuestas por ciertas formas fsicas de los conductores, de inters en la prctica de la ingeniera.

20 r t

=JJ

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Ecuacin de Difusin

Discusin de la ecuacin de difusin Existen muchos fenmenos descritos por ecuaciones de la forma de la

ecuacin de difusin. Tal vez el ejemplo ms importante del fenmeno de difusin sea el flujo de calor a travs de la materia, el cual puede describirse

=2

kc t

donde es la temperatura, k la conductividad trmica, cel calor especfico y la densidad de la materia.

Supongamos que la temperatura en la superficie de la tierra vara durante el ao en forma senoidal, como se muestra en la curva A de la Figura

10

20

0 0 3 6 9 12

B

C

A

C0

Meses

Figura. Variacin anual de la temperatura del suelo en la superficie y a profundidades de 1 m y 2 m debajo de la superficie.

Es razonable suponer que a medida que aumenta la profundidad en la tierra, dicha variacin anual, ser de menor amplitud. Tambin debe producirse cierto retardo en el tiempo al difundirse el calor hacia adentro, de manera que existirun desfasaje que variar al aumentar la profundidad. Esto se muestra en las curvas B y C de la Figura

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Ecuacin de Difusin

Si ahora la frecuencia de la variacin de temperatura en la superficie aumenta, como se muestra en la curva A (la cual corresponde a la variacin diaria), es de esperar que la atenuacin y el ngulo de fase aumenten ms pronunciadamente a medida que aumenta la profundidad. Esto queda confirmado en la curva Bque ha sido obtenida mediante la ecuacin de difusin

10

20

0 0

C0

6 12 18 24

Horas

B

A

Variacin diaria de la temperatura del suelo en la superficie y a una profundidad de 25 cm debajo de la superficie.

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Anlisis cualitativo de la distribucin de corriente y campos

Anticipar cualitativamente los resultados que arrojar la resolucin de las ecuaciones de campo en conductores y haciendo uso intuitivo de la ley de Faraday.

Una fuente de alta frecuencia que produce un campo elctrico aplicado E0 en la superficie del conductor.

Este campo debe causar que fluya una corriente, la cual producir un campo magntico normal a E0.

Este campo magntico variante producir un campo elctrico inducido E' opuesto a E0.

Si efectuamos un estudio de las dos integrales de lnea 1-2-3-4-1 y 1-2'-3'-4-1, se encuentra que esta ltima concatena ms lneas de flujo, y por lo

tanto la tensin inducida a lo largo de este trayecto ser mayor, el campo inducido E a lo largo de 2'-3'es mayor que el inducido sobre 2-3. A medida que se penetra en el conductor, resulta cada vez menor el campo

neto E0+E' que produce el flujo de corriente.

4

1

3

2

3'

2'

E 0

FuenteE

4

1

3

2

3'

2'

E 0

Fuente

E

B(t)= sBE.dl .dstvBEt

= Et

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Impedancia interna del conductor

IMPEDANCIA INTERNA DE UN CONDUCTOR Impedancia interna entre los extremos de una trayectoria a lo

largo de un conductor. Para corrientes variables con el tiempo, la distribucin de la

corriente no es uniforme en la seccin transversal del conductor, por lo tanto ni la J ni la E son uniformes en la seccin transversal. Entonces la cada de potencial entre un extremo y otro depende de la trayectoria

Si defino una IMPEDANCIA como el cociente entre la cada de potencial y la corriente total, qu cada de potencial debo considerar?

Por definicin elijo calcular la cada de potencial en la superficie, es decir la integral del campo elctrico sobre la superficie del conductor.

Z INT = (ESUP dl)/ITOTAL Si defino IMPEDANCIA INTERNA POR UNIDAD DE LONGITUD: Z INT x unid long = ESUP/ITOTAL

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Impedancia interna del conductor

Z EIis=

U d II

d I Z dl IZAB sAB s

A

BiA

B= = = = J l E l La impedancia tiene tanto una parte real como una parte

imaginaria, ya que el campo elctrico en la superficie no se encuentra en fase con la corriente total en el conductor debido a la velocidad de cambio del flujo magntico dentro del conductor.

La parte real da la resistencia en corriente alterna del conductor; y la parte imaginaria da la reactancia interna, que es la parte de la reactancia debida al flujo magntico interior al conductor (el flujo magntico puede subdividirse en interior y exterior).

La eleccin de una trayectoria a lo largo de la superficie del conductor fue arbitraria, y podra haberse adoptado una a lo largo del centro del conductor o a otra profundidad. Lo importante es que la misma debe tomarse en el mismo lugar para el tratamiento de cada uno de los trminos de la ecuacin del circuito.

La eleccin a lo largo de la superficie es conveniente porque la misma marca la separacin entre la inductancia interna y la inductancia externa para la mayora de las formas geomtricas simples.

Es

I

A

B

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Conductor plano semi-infinito

Conductor plano de profundidad infinita (en el sentido del eje de coordenadas y), en el cual no existen variaciones del campo elctrico en toda la extensin de sus otras dos dimensiones ancho (eje de coordenadas x) y largo (eje de coordenadas z),

tambin infinitas

UTILIDAD: el anlisis de este caso es de gran importancia en la prctica an con superficies

curvadas, dado que en frecuencias elevadas la profundidad sobre la cual los campos se encuentran concentrados, es muy pequea, el espesor del conductor pueden considerarse comparativamente infinitos. Adems, cualquier variacin de los campos en la extensin de las dimensiones largo o ancho, debidas ya sea, a la curvaura o efectos de borde, son por lo general despreciables frente a las variaciones en la profundidad del conductor.

x

z

x

yy

J

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Es decir, por debajo de cierto espesor, habr variacin despreciable y por lo tanto es razonable considerar a un material grueso, como una placa semi-infinita, con una superficie libre slamente.

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Densidad de corriente en un conductor semi-infinito

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( ) ( ) ( ) =+ = + = +12

11j

j fj

=1f

[m]

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( )E E e ez z y j t y= 0

( )J J e ez z y j t y= 0

( )B B e ex x y j t y= 0

Ez0, Bx0 y Hx0 son las magnitudes de los respectivos campos en la superficie del conductor.

Las magnitudes de los campos y de la densidad de corriente, decrecen exponencialmente con la penetracin en el conductor, y tiene el significado de ser la profundidad a la cual dichas magnitudes han decrecido a 1/e(alrededor de 36,9%) de sus respectivos valores en la superficie.

Por ello a la magnitud se la denomina profundidad de penetracin o profundidad pelicular o simplemente (aunque menos apropiadamente) penetracin.

el retraso en la fase, cuyo valor (y/, en radianes) depende de la laprofundidad y y de , tanto para la densidad de corriente J como para los campos E, B

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0( , ) cos( )y

zyJ y t J e t

=

{ }( , ) Re ( ). j tx xJ y t al J y e = i

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Impedancia interna de un conductor plano semi-infinito

es el cociente entre el campo elctrico en la superficie y la corriente total. resulta conveniente definir la impedancia interna por unidad de longitud y

unidad de ancho. iz la densidad de corriente por unidad de ancho, desde la superficie del

conductor, hasta una profundidad infinita:

( )( ) ( )

i J dy J e dy Jjz z z

j y z= = = + + 0 00 1 01

E Jz z0 0=

( ) Z Eij

sz

z= = +0 1

Impedancia interna por unidad de longitud y unidad de ancho, resulta

Ezo

Z R j Ls s i= +

R fs = =1

L Rf

i s= = =1 L fi =

4

INTzZ Zsx

=

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Conductor plano semi-infinito Rs y Xs interna de un conductor plano

semi-infinito resultan iguales a cualquier frecuencia.

La impedancia interna Zs tiene un ngulo de fase de 45.

La resistencia debida al efecto pelicular de un conductor plano semi-infinito es exactamente la misma que la resistencia en corriente continua de un plano conductor de profundidad .

Esto es, la resistencia de este conductor, con decrecimiento exponencial de la densidad de corriente, es exactamente la misma que si la corriente estuviera uniformemente distribuida sobre una profundidad .

La Zs de un conductor plano, por unidad de longitud y unidad de ancho, se denomina impedancia de superficie. Para un conductor de rea finita, la resistencia se obtiene multiplicando (Rs y Xs) por la longitud, y dividindola por el ancho (ya que los elementos del ancho se encuentran esencialmente en paralelo). De manera que dimensionalmente Zs se expresa en ohms.

Tambin puede resultar un parmetro til en el estudio de conductores aunque no sean de forma plana

sINTzZ Zx

=

L Rf

i s= = =1

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Potencia disipada en un conductor plano semi-infinito

.dP ef ef dv= J .E

.dP dv= J.EDensidad de potencia unidad de volumen

Para cada coordenada y

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0( , ) cos( )y

zyJ y t J e t

=

2 22 22

20 0( , )1 1 cos ( )2

y yT Tz

o o

J e J eJ y tdP ydt t dtdv T T

= = =

2 22 2 20 0 0

0

0

.( . ) ( . ) ( . )2 2.2 4

y yJ e J e JdP dv dy x z x z x z

dv

= = =

. .dP dv dv= =JJ.E J

Densidad de potencia promedio temporal por unidad de volumen

Para cada coordenada y

2

4oJ Prdida por unidad de largo z y ancho (x)

Potencia de prdida en un volumen, de superficie .x z

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( ) cos cosi J t sin t J tz z z= + = 0 02 2 4 I Jeficaz z= 02

R PI

eficaz

= =2 12

4zoJP =

De aqu que la energa disipada es la misma que si circulase una corriente distribuda uniformemente en una capa superficial de profundidad .

Observar que existe corriente por debajo de la profundidad de penetracin , aunque disminuye rpidamente.

Por ejemplo, a una profundidad 4 la densidad de corriente ha cado a menos del 2% del valor en la superficie.

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Lmina conductora de doble cara

La lmina conductora de doble cara, tambin conocida como lmina plana, es un conductor cuyas dimensiones son longitud infinita (en el sentido del eje z), ancho infinito (en el sentido del eje x), y espesor finito e igual a 2b (en el sentido del eje y).

Para efectuar el estudio de esta geometra, resulta conveniente adoptar el sistema de coordenadas mostrado en dicha figura, destacndose la adopcin, por simetra, del eje y=0 en la lnea central de la lmina

J

J

x

z

y

b

b

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Densidad de corriente en una lmina de doble cara

CAMPOS Y ONDAS

Densidad de corriente en una lmina de doble cara

2 j ( ) ( ) ( ) =+ = + = +12

11j

j fj

( ) ( )( ) ( )1 / 1 /0 0 cosh 12 j b j bzzs zJ bJ e e J j + + = + = +

( ) ( )( ) ( )1 / 1 /0 0 cosh 12 j y j yzz zJ yJ e e J j + + = + = +

( )( )( )( )

cosh

coshJ J

j y

j bz zs= ++

1

1

( )( )( )( )

cosh

coshE E

j y

j bz zs= ++

1

1

( )( )( )( )

cosh

coshB B

j y

j bx xs= ++

1

1

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Impedancia interna de una lmina de doble cara

La impedancia interna por unidad de longitud es el cociente entre el campo elctrico en la superficie y la corriente total. Tal como se hizo con el conductor plano semi-infinito, en este caso tambin resulta conveniente definir la impedancia interna por unidad de longitud y unidad de ancho.

Sea iz la densidad de corriente por unidad de ancho, desde la superficie del conductor

( )

i Jjz

zs= +21

Este es el valor que podra obtenerse, imaginando la lmina de dos caras como dos placas infinitas colocadas juntas. Es decir, para relaciones b/ > 2,64, ambas caras de la lmina se comportan como sendos conductores planos semi-infinitos

J

J

x

z

y

b

b

xz

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Campo en La superficie

E Jzs zs= Impedancia Interna superficial, por unidad de ancho y largo

( ) ( ) cothZ Eij

j bs zsz

= = + +

12

1 Z R j Ls s i= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

cosh / cos / / // cos / cosh / /

Zj b b j sinh b sin b

sinh b b j b sin bs= + +

12

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

/ /cosh / cos /

/ /cosh / cos /

Z R j Xsinh b sin b

b bj sinh b sin b

b bs ca i= + = + +

12

2 22 2 2

2 22 2

R bcc =1

2 ( ) ( )( ) ( )RR

b sinh b sin bb b

ca

cc= +

2 22 2

/ /cosh / cos /

( ) ( )( ) ( )

sinh 2 / sin 2 /cosh 2 / cos 2 /

i

cc

b bX bR b b

=

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

b/delta

R

c

a

/

R

c

c

;

X

c

a

/

R

c

c

Xca/Rcc

Rca/Rcc

( ) ( )( ) ( )

RR

b sinh b sin bb b

ca

cc= +

2 22 2

/ /cosh / cos /

( ) ( )( ) ( )

sinh 2 / sin 2 /cosh 2 / cos 2 /

ca

cc

b bX bR b b

=

Para valores grandes de b/, tiende a b/, debido a que las prdidas son como si la corriente estuviera concentrada en dos capas superficiales de profundidad . Para valores bajos de b/ se puede efectuar un desarrollo en serie de potencias crecientes de b/:

RR

bcacc

+ 1

445

4

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Conductores cilndricos

z

r

La mayora de los conductores empleados en los circuitos elctricos son alambres de seccin circular. Si un alambre de este tipo constituye una trayectoria conductora sin curvaturas agudas, como en la mayora de las aplicaciones circuitales, cualquier porcin pequea puede tratarse como un cilindro circular recto.

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Densidad de corriente en conductores cilndricos

La ecuacin de difusin que describe la distribucin de la corriente, escrita en coordenadas cilndricas, para el caso de no existir variaciones ni en la direccin z, ni en la direccin resulta:

d Jd r r

d Jd r

j Jz z z2

21 + =

d Jd r r

d Jd r

Jz z z2

221 0

+ + =

2 j = = j j

12

12 2

La ecuacin es de la forma de la ecuacin de Bessel de orden cero, con complejo. Una solucin completa de esta ecuacin es: ( ) ( ) ( )J A r B rz = +J H0 01

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Densidad de corriente en conductores cilndricos

Para un alambre slido, r=0 debe estar includa en la solucin, y por lo tanto es necesario que la constante B sea cero ya que un estudio de la funcin de Hankel demuestra que sta se hace infinita cuando r=0

( )J A rz = J0 J J r rz z= =0 0en ( )A J rz=

0

0 0J ( )( )

J

J rrz

z= 0 00 0

JJ

Pero siendo complejo puede resultar problemtico encontrar la funcin de Bessel. Si nos referimos a la serie de potencias para J0, se observa que si el argumento es complejo la funcin tendr tanto parte real como parte imaginaria. Estas pueden ser calculadas separadamente, si definimos:

( ) ( ){ }Ber v j v Re J 0 12 ( ) ( ){ }Bei v j v Im J 0 12

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( ) ( )( ) ( ) J J

Ber r j Bei r

Ber r j Bei rz z=

++0 0 0

2 2

2 2

= 0.755 (/r0 f = 104Hz; = 1 mm)

= 7.55 (/r0 f = 106Hz; = 1 mm)

= 2.39 (/r0 f = 105Hz; = 1 mm)

radioexterno

radioexterno

eje delconductor

1.0

0

0.5

J zJ z0

= 0.239 (/r0 f = 103Hz; = 1 mm)

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Como un ejemplo de la aplicabilidad del anlisis del conductor plano semi-infinito a casos de conductores curvados en frecuencias elevadas con pequeo frente al radio de curvatura, se puede estudiar el presente caso del conductor cilndrico.

Si se va a despreciar la curvatura para aplicar el anlisis del conductor plano, la coordenada y, distancia medida desde la superficie hacia el interior del conductor, es para el conductor cilndrico: r0-r. Entonces, la ecuacin resulta:

( )JJ

ezz

r r

0

0=

= 2.39

radioexterno

eje delconductor

1.0

0

0.5

J zJ z0

Frmula exactaFrmula aproximada(conductor plano semi-infinito)

= 7.55/r0

/r0

Distribucin de corriente real en conductores cilndricos y aproximada (expresin para un conductor plano semi-infinito) para diferentes frecuencia

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ro

02 r ancho =

0

1 12INT

lZ jr

= +

02 r Sup =

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Para altas frecuencias

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Impedancia interna de un conductor cilndrico en muy bajas frecuencias

En muy bajas frecuencias, la corriente tiene esencialmente una distribucin uniforme sobre la seccin transversal del conductor de manera que es posible aplicar la expresin para corriente continua:

= 0.755 (/r0 f = 104Hz; = 1 mm)

= 7.55 (/r0 f = 106Hz; = 1 mm)

= 2.39 (/r0 f = 105Hz; = 1 mm)

radioexterno

radioexterno

eje delconductor

1.0

0

0.5

J zJ z0

= 0.239 (/r0 f = 103Hz; = 1 mm)Rr0 0

21= / m

Li = 8 H m/

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Para frecuencias intermedias donde los valores de r0/=2, el error se 6%

011 ( )48

rRRo = +

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