Diferencijalna Geometrija, Split, Ljuban Dedic

Ljuban Dedic

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJAskripta

04.06.2008

Sadrzaj

Predgovor ii

1 Uvod 1

2 Krivulje 92.1 Osnovna svojstva krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Fleksija i torzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Frenetove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Plohe 223.1 Osnovna svojstva ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Metricki operator i operator oblika . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Fundamentalne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Zakrivljenosti ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Krivulje na plohama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Preslikavanja ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Predgovor

Ova skripta je napisana s namjerom da pomogne studentima Prirodoslovno-matematickog fakulteta Sveucilista u Mostaru pri polaganju ispita iz kolegijaUvod u diferencijalnu geometriju. U njoj se izlaze elementarna klasicnateorija krivulja i ploha u trodimenzionalnom realnom euklidskom prostoru.

Podijeljena je u tri poglavlja.U prvom poglavlju se uvode standardne oznake i nazivi te daju neke

elementarne tvrdnje u obliku primjera.U drugom poglavlju se izlaze klasicna teorija krivulja u R3, dokazuju se

Frenetove formule, kao i neke druge elementarne tvrdnje o krivuljama, tedaju primjeri raznih krivulja. Osnovni teorem teorije krivulja je navodenbez dokaza.

U trecem poglavlju se proucava klasicna lokalna teorija ploha u R3, uvo-di se metricki operator, operator oblika, fundamentalne forme te razne za-krivljenosti ploha. Takoder se proucavaju krivulje na plohama te njihovezakrivljenosti. Navodi se i dosta primjera raznih ploha.

Na koncu se bez dokaza navodi Gaussov theorema egregium.

Poglavlje 1

Uvod

Neka je R3 standardni vektorski prostor nad R dimenzije 3. Elemente odR

3 zovemo vektori, a elemente od R skalari. Ako su x,y R3, R,x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), onda su formulama

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), x = (x1, x2, x3)

dane operacije zbrajanja i mnozenje sa skalarom. Ako je e1 = (1, 0, 0),e2 = (0, 1, 0) i e3 = (0, 0, 1), onda je (e1, e2, e3) baza od R

3 pa se svakix R3 moze napisati, na jedinstven nacin, u obliku linearne kombinacijex = x1e1 + x2e2 + x3e3. Bazu (e1, e2, e3) zovemo standardna baza od R

3.Ako su x,y R3 onda definiramo skalarni produkt (x|y) sa

(x|y) = x1y1 + x2y2 + x3y3i normu x = (x|x)1/2 = (x21 + x22 + x23)1/2.

Ako je (x|y) = 0 onda kazemo da su x i y okomiti ili ortogonalni. Akoje x=1 onda kazemo da je x normiran vektor. Zamijetimo da su baznivektori e1, e2, e3 medusobno okomiti i normirani pa kazemo da su ortonor-mirani, odnosno da cine ortonormiranu bazu od R3.

Ako su x,y R3, x 6= 0 i y 6= 0, onda definiramo kut izmedu x i yformulom (x|y) = xy cos.

Ako su x,y R3 onda definiramo vektorski produkt x y sa

x y = (x2y3 x3y2, x3y1 x1y3, x1y2 x2y1)

sto se moze napisati u obliku simbolicke determinante

x y =e1 e2 e3x1 x2 x3y1 y2 y3

POGLAVLJE 1. UVOD 2

Takoder definiramo mjesoviti produkt [x,y, z] formulom

[x,y, z] = (x y| z) =x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

Ako su X i Y vektorski podprostori od R3 onda sa L(X, Y ) oz-

nacavamo skup svih linearnih operatora A : X Y i uvodimo oznakuL(X) = L(X,X). Ako je A L(X, Y ) onda definiramo A L(Y,X) for-mulom

(Ax|y) = (x|Ay), x X, y Yi zovemo ga transponirani operator od A.

Kazemo da je operator A L(X) pozitivan i pisemo A 0, ako je Asimetrican tj. A = A i (Ax|x) 0, za svaki x. Kazemo da je A strogopozitivan ako je A regularan i pozitivan. Spektar pozitivnog operatora jesadrzan u [0,), a strogo pozitivnog u (0,).

PRIMJERI 1.1 Neka su a,b,x,y, z R3 i R.

(1) Skalarni produkt je linearan po obje varijable i vrijedi:(a) (x|y) = (y|x)(b) |(x|y)| xy (Cauchy-Schwarzova nejednakost)

(2) Norma zadovoljava sljedece relacije:(a) x 0 i x = 0 ako i samo ako x = 0.(b) x = ||x(c) x+ y x+ y (relacija trokuta)(d) x+ y2 = x2 + y2 + 2(x|y)(e) x+ y2 + x y2 = 2x2 + 2y2 (relacija paralelograma)(f) |x y| x y

(3) Vektorski produkt je linearan po obje varijable i vrijedi:(a) x y = 0 ako i samo ako su x i y linearno zavisni.(b) x y = y x, x x = 0(c) (a b|x y) = (a|x)(b|y) (a|y)(b|x)(d) x y2 = x2y2 (x|y)2(e) x y je okomit na x i y i vrijedi x y = xy singdje je kut izmedu x i y.(f) x y xy(g) x y je jednak povrsini paralelograma sa stranicama x i y.(h) x (y z) = (x|z)y (x|y)z, (x y) z = (x|z)y (y|z)xDakle, vektorski produkt nije asocijativan.(i) x (y z)+y (z x)+ z (x y) = 0 (Jacobijeva identiteta)

POGLAVLJE 1. UVOD 3

(j) Vektor x,y, z = x (y z) (x y) z se zove asocijator odx,y, z i za njega vrijedi x,y, z = (y|z)x (x|y)z

(k) x,y,x = x,x z, z = 0(4) Ako je Tx L(R3), Txy = x y, onda vrijedi:

(a) Matrica T x od Tx, u standardnoj bazi, je dana sa

T x =

0 x3 x2x3 0 x1x2 x1 0

(b) T x = Tx tj. Tx je antisimetrican operator.(c) T 3x = (x|x)Tx(d) Spektar od Tx je jednak {0, ix,ix} i vrijedi det Tx = trTx = 0(e) TxTy = Bx,y (x|y)I, gdje je Bx,y operator ranga 1, Bx,yz = (x|z)y(f) trTxTy = 2(x|y)(g) Txy = TxTy TyTx = Bx,y By,x(h) x 7 Tx je linearno i injektivno preslikavanje.(i) Tx(y z) = Txy z+ y T xz(j) AxAy = A+(x y), A L(R3)(k) Ax y + x Ay = (I trAA )(x y)

gdje je A+ operator algebarskih komplemenata dan sa AA+ = I detA.Zamijetimo da je (AB)+ = A+B+ i (A)+ = 2A+. Ako je A regularanonda je A+ = (A1) detA. Ako je A ortogonalan tj. AA = I onda jeA+ = A detA. Ako je A = Tx onda je A

+ = Bx,x. Nadalje, (A+)+ = A detA

(l) Definiramo operatore Ux = Tx/x, Px = U 2x = T 2x/x2, za x 6= 0i U0 = P0 = 0. Tada je Px projektor na ravninu im Tx tj. njegova slika jeim Tx i vrijedi P

2x = Px = P

x .

(m) Ako je f parni polinom onda je f(Tx) = f(0)(IPx)+ f(ix)Px,a ako je f neparni polinom onda je f(Tx) = if(ix)Ux. Specijalno jeT 2nx = (1)nx2nPx, T 2n+1x = (1)nx2n+1Ux, n 1.

(n) Ako je z = x (x ( (xy)) ), gdje se x pojavljuje 11 puta,a y samo jedanput na kraju, onda je z = T 11x y = x10 x y.

(o) Ako je Ex = IPx+cos xPx+sin xUx, onda je Ex ortogonalantj. ExE

x = I, Ex = E

x i E0 = I. Nadalje, trEx = 1+2 cos x, detEx = 1,

dok je {1, exp ix, exp(ix)} spektar od Ex, za svaki x.(5) Mjesoviti produkt je linearan po svakoj varijabli i vrijedi:

(a) [x,y, z] = 0 ako i samo ako su x,y, z linearno zavisni.(b) |[x,y, z]| je jednak volumenu paralelepipeda sa bridovima x,y, z.(c) |[x,y, z]| xyz (Hadamardova nejednakost)(d) [x,y, z] = detA, gdje je A matrica ciji su redci koordinate vektora

x,y, z. Determinanta matrice AA se zove Gramova determinanta i oz-

POGLAVLJE 1. UVOD 4

nacava se sa (x,y, z). Prema tome [x,y, z]2 = (x,y, z). Zamijetimo da je(x,y, z) 0 i da je (x,y, z) = 0 ako i samo ako su x,y, z linearno zavisni.

(e) Neka su x,y, z nezavisni i d = |[x,y, z]|/x y. Tada je d visinaparalelepipeda s bridovima x,y, z, nasuprot paralelograma sa stranicamax,y. Nadalje, d je takoder udaljenost od z do ravnine generirane sa x,y.

(f) [Ax, Ay,Az] = [x,y, z] detA, (Ax, Ay,Az) = (detA)2(x,y, z)(g) [Ax,y, z] + [x, Ay, z] + [x,y,Az] = [x,y, z] trA(h) (x y) (x z) = [x,y, z] x(i) [y z, z x,x y] = [x,y, z]2(j) [a b, c d, e f ] = [a,b, e][c,d, f ] [a,b, f ][c,d, e]

PRIMJERI 1.2 U sljedecim primjerima dajemo algebarsku verziju teorijeploha u trodimenzionalnom euklidskom prostoru.

(1) Neka je podprostor od R3 generiran linearno nezavisnim vektorimar1, r2 R3 i R L(R2,R3), Rx = x1r1 + x2r2 = x. Ako je A L(R2) ondadefiniramo operator A L() sa Ax = (Ax), x R2. Tada vrijedi

(a) Preslikavanje A 7 A je linearni operator i bijekcija izmedu vek-torskih prostora L(R2) i L().

(b) (ABx) = A(Bx) = ABx

(c) (AB) = AB, pa je A 7 A izomorfizam algebra.(d) RA = AR, za svaki A L(R2)(e) Relacija Ax = y je ekvivalentna sa Ax = y, za svaki x i y, pa je

matrica od A, u standardnoj bazi, jednaka matrici od A, u bazi (r1, r2).(f) Spektar od A je jednak spektru od A.(g) Matrica R od R, u standardnim bazama, ima dva stupca: prvi stupac

cine koordinate od r1, a drugi koordinate od r2. Matrica od R je R .

(h) Operator G = RR L(R2) je regularan, simetrican i pozitivani ima matricu

G =

[(r1|r1) (r1|r2)(r2|r1) (r2|r2)

]

pri cemu je detG = (r1|r1)(r2|r2) (r1|r2)2 = r1 r22.(i) Inverz preslikavanja A 7 A je dan sa A = G1RAR(j) A = R(A)RG1 = G1R(A )R(k) Operatori (A) i (A ) ne moraju biti jednaki tj. izomorfizam

opcenito ne cuva transponiranje. Ako su r1 i r2 ortogonalni i jednakenorme tj. ako je G = I, gdje je = (r1|r1), onda je (A) = (A ), patada izomorfizam cuva transponiranje. Vrijedi i obrat.

(l) Ako je P = RG1R onda je P projektor na tj. njegova slika je i vrijede relacije P 2 = P = P.

POGLAVLJE 1. UVOD 5

(m) Ako je = r1 r2/r1 r2, onda je normala na i (r1, r2,)je baza od R3. Nadalje, P = I P, gdje je P L(R3), Pz = (z|),projektor na normalu.

(n) Neka su 1,2 . Tada definiramo operatore B, S L(R2) i ope-rator N L(R2,R3) sa

Nx = x11 + x22, B = RN, S = G1BZa njih vrijedi RS = SR = N i RSR = B pa je SRx = Nx, tj.

S(x1r1 + x2r2) = x11 x22Operatori S i S imaju isti spektar. Ako je Sx = x onda je Sx = x.Zamijetimo da je N N = SGS = BS. Matrice od G1 i B su dane sa

G1 =1

detG

[(r2|r2) (r1|r2)(r2|r1) (r1|r1)

], B =

[ (r1|1) (r1|2)(r2|1) (r2|2)

]

dok je S = G1B matrica od S.(o) 1 2 = r1 r2 detS, r1 2 + 1 r2 = r1 r2 trS

(2) Neka je B simetrican operator tj. B = B. To je ekvivalentno sa sime-tricnoscu od B tj. (r1|2) = (r2|1).

(a) Neka je T = G1/2 iH = T1BT1. Tada su T iH simetricni operatori,G = T 2 i S = T1HT, sto znaci da je S slican simetricnom operatoruH. Dakle, H i S imaju iste svojstvene vrijednosti i one su realne, aoznacavamo ih sa k1 i k2, pri cemu smatramo da je k2 k1. Zamijetimo daje u ovom slucaju i S simetrican operator, zbog RSR = B.

(b) Neka su y1 i y2 svojstveni vektori od H pridruzeni k1 i k2. Tada je(y1|y2) = 0 pa ako je x1 = T1y1 i x2 = T1y2 onda su x1 i x2 svojstvenivektori od S pridruzeni k1 i k2 i vrijedi (Gx1|x2) = 0, dok su x1 i x2svojstveni vektori od S i (x1|x2) = 0. Smatramo da su oni normirani tj.(x1|x1) = 1 i (x2|x2) = 1.

(c) trS = trG1B = k1 + k2 i

detS =detB

detG=

(r1|1)(r2|2) (r1|2)2(r1|r1)(r2|r2) (r1|r2)2 = k1k2

dok je svojstveni polinom od S dan sa 2 trS + detS, sto je ujedno isvojstveni polinom od S.

(d) Neka je (x) = (Bx|x)/(Gx|x) i (x) = [Rx,,Nx]/(Gx|x), x 6= 0.Tada je (tx) = (x) i (tx) = (x), za svaki t R, t 6= 0.

(e) Za vrijedi Eulerova formula (x) = k1 cos2 + k2 sin

2 , gdje je kut izmedu x i x1, a x1 svojstveni vektor od S pridruzen k1.

POGLAVLJE 1. UVOD 6

(f) k2 (x) k1, a jednakosti se dostizu na x1 i x2(g) Za vrijedi Bonnetova formula (x) = (k2 k1) cos sin , gdje je

kut izmedu x i x1.(3) Operatori G,B i S imaju vaznu ulogu u teoriji ploha u R3. Svakojtocki na plohi se pridruzuje ovakva operatorska trojka. Operator G se zovemetricki operator (ili metricki tenzor), a S operator oblika (ili tenzorzakrivljenosti) plohe u toj tocki. Tako se zove i operator S, kojeg mi rjedekoristimo.

Nadalje, k = detS se zove Gaussova zakrivljenost, h = 12trS se zove

srednja zakrivljenost, (x) se zove normalna zakrivljenost u smjeruvektora x, (x) se zove geodetska torzija u smjeru vektora x, dok se k1 ik2 zovu glavne zakrivljenosti plohe u toj tocki.

Svojstveni vektori x1 i x2 od S se zovu glavni smjerovi plohe u tojtocki. Tako se zovu i svjstveni vektori x1 i x

2 operatora S

.Funkcije g, b : R2R2 R, g(x,y) = (Gx|y), b(x,y) = (Bx|y), se zovu

prva i druga fundamentalna forma plohe u toj tocki.Ako je tangencijalni prostor plohe u toj tocki, onda je x 7 x

izomorfizam izmedu R2 i , dok je A 7 A izomorfizam algebre L(R2) ialgebre L(). Nadalje, g(x,y) = (x|y) i b(x,y) = (Sx|y). Ako vrijedi(x) = 0 onda se x zove asimptotski smjer plohe u toj tocki. Tako se zovei x. Umjesto g(x,x) pisemo g(x), a b(x) umjesto b(x,x).(4) Neka je B simetrican operator, C = N N i c : R2 R2 R, funkcijadefinirana sa c(x,y) = (Cx|y). Tada se c zove treca fundamentalna formaplohe u danoj tocki. Krace pisemo c(x) = c(x,x).

(a) C = SGS = BS i detC = k2 detG(b) C = kG+ 2hB, sto se dobije iz S2 2hS + kI = 0(c) c = kg + 2hb(d) c(x) 0, za svaki x(e) c(x,y) = (Sx|Sy), za svaki x i y(f) 2h(x) k, za svaki x 6= 0(g) Za c vrijedi Eulerova formula c(x)/g(x) = k21 cos

2 +k22 sin2 , gdje

je kut izmedu x i x1.(h) Ako je x asimptotski smjer onda je c(x) = kg(x)

(5) Vrijede sljedece tvrdnje(a) k1 = h+ (h

2 k)1/2, k2 = h (h2 k)1/2(b) 1 2 = k r1 r2, r1 2 + 1 r2 = 2h r1 r2(c) Ako je k > 0 onda nema asimptotskih smjerova(d) Ako je k < 0 onda je k2 < 0 < k1 i postoje dva asimptotska smjera

y1 i y2, pri cemu je y1 = a1x1 + a2x2, y2 = a1x1 + a2x2, gdje su x1 i x2glavni smjerovi i a1 = (

k2k1k2

)1/2, a2 = (k1

k1k2)1/2, dok je kut izmedu y1 i

POGLAVLJE 1. UVOD 7

y2 dan sa cos = (k1 + k2)/(k1 k2) = h/(h2 k)1/2 ili ctg2 = h2/k.Prema tome su y1 i y

2 okomiti ako i samo ako je h = 0.

(e) Ako je k = 0 i h 6= 0 onda postoji samo jedan asimptotski smjer i onje x1, za k1 = 0, odnosno x2, za k2 = 0.

(f) Ako je k = 0 i h = 0 onda je svaki smjer asimptotski(6) Neka je B simetrican operator i d : R2R2 R, funkcija definirana sa

2d(x,y) = [Rx,,Ny] + [Ry,,Nx]

Tada se d zove cetvrta fundamentalna forma plohe u danoj tocki. Kracepisemo d(x) = d(x,x) pa je d(x) = [Rx,,Nx].

(a) d(x,y) = (Dx|y), gdje je D = (detG)1/2J(hI S), a J L(R2)operator rotacije za pravi kut tj. Je1 = e2, Je2 = e1. Matrica od D, ustandardnoj bazi, je dana sa

D = 12(detG)1/2

[2s21 s22 s11

s22 s11 2s12

], J =

[0 11 0

]

pri cemu je S = [sij ] matrica operatora oblika, u standardnoj bazi.(b) detD = 1

4(k1 k2)2 detG = (k h2) detG

(c) 2d(x,y) = [x, Sy,] + [y, Sx,](d) d(x) = [x, Sx,](e) b(x)2 + d(x)2 = g(x)c(x)(f) d(x)2 = kg(x)2 + 2hg(x)b(x) b(x)2(g) (x) = d(x)/g(x)(h) (x)2 + (x)2 = c(x)/g(x)(i) (x)2 = k + 2h(x) (x)2(j) (x) = 0 ako i samo ako je x svojstveni vektor od S(k) d(x1,x2) = (k2 k1)/2, gdje su x1 i x2 glavni smjerovi(l) Ako je x asimptotski smjer onda je (x)2 = k(m) Ako je k < 0 onda za asimptotske smjerove y1 i y2 vrijedi

(y1) = (k)1/2, (y2) = (k)1/2, (y1) (y2) = k

PRIMJERI 1.3 U sljedecim primjerima uvodimo oznake i navodimo nekeelementarne tvrdnje iz analize koje nam trebaju u drugom i trecem poglavlju.

(1) Neka su f : R3 R i f : R3 R3, f(x) = (f1(x),f2(x),f3(x)) derivabilnefunkcije.

(a) Linearni operator f (x) L(R3), definiran sa

f (x)ei = if(x) = (if1(x),if2(x),if3(x)), i = 1, 2, 3

POGLAVLJE 1. UVOD 8

gdje je i = /xi, se zove derivacija od f u tocki x. Njegova matrica, ustandardnoj bazi, je [jfi(x)].

(b) div f(x) = tr f (x) = 1f1(x)+2f2(x)+3f3(x) se zove divergencijaod f u tocki x.

(c) rot f(x) = (2f3(x) 3f2(x), 3f1(x) 1f3(x), 1f2(x) 2f1(x))se zove rotacija od f u tocki x.

(d) f (x) = (1f(x), 2f(x), 3f(x)) se zove derivacija ili gradijent odf u tocki x. Vektor f (x) se drugukcije oznacava sa grad f(x) ili sa f(x),gdje je = 1e1 + 2e2 + 3e3 tzv. nabla operator, koji se shvaca kaosimbolicki vektor.

(e) div f(x) = (|f(x)), za svaki x(f) rot f(x) = f(x), za svaki x

(2) Ako je f iz (1) takva da je njezina derivacija f derivabilna funkcija,onda se linearni operator f (x) L(R3), zadan matricom [ijf(x)], u stan-dardnoj bazi, zove druga derivacija od f u tocki x.

(a) f (x) je simetrican operator, za svaki x(b) Operator definiran sa

f(x) = trf (x) = 21f(x) + 22f(x) +

23f(x)

se zove Laplaceov operator ili Laplacian, a njegova veza s nabla opera-torom je dana sa = 21 +

22 +

23 = (|).

(c) div f (x) = f(x), za svaki x(d) div rot f(x) = 0, za svaki x(e) rot f (x) = 0, za svaki x

(3) Ako je f : R2 R i f : R2 R2 onda gornje definicije ostaju iste (osimrotacije koja se ne definira), s tim sto svi vektori imaju dvije koordinate, af (x) i f (x) su iz L(R2).

Poglavlje 2

Krivulje

2.1 Osnovna svojstva krivulja

Neka je I interval u R i x : I R3

x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = x1(t)e1 + x2(t)e2 + x3(t)e3

Tada se funkcije xi : I R, i = 1, 2, 3, zovu koordinatne funkcije odx. Kazemo da je funkcija x neprekidna [odnosno derivabilna, glatka,integrabilna] ako su sve njezine koordinatne funkcije neprekidne [odnosnoderivabilne, glatke, integrabilne]. Ako je x derivabilna onda se

x(t) = (x1(t), x2(t), x

3(t)) = x

1(t)e1 + x

2(t)e2 + x

3(t)e3

zove derivacija od x u tocki t I. Funkcija x se zove derivacija od x,x = (x) se zove druga derivacija od x, itd. U daljem razmatramo samoglatke funkcije tj. beskonacno derivabilne funkcije.

Skup svih glatkih funkcija x : I R3 oznacavamo sa C(I).Ponekad takoder razmatramo i funkcije z : K R3, gdje K R nije

interval, pri cemu smatramo da postoji interval I koji sadrzi K i glatkafunkcija x : I R3 takva da je x|K = z.

Kazemo da su x C(I) i y C(J) ekvivalentne ako postoji glatkabijekcija : J I takva da je y(t) = x((t)) i (t) > 0, za svaki t J.Klasa ekvivalencije C od x C(I) se zove krivulja u R3, a funkcija xse zove parametrizacija krivulje C. Ako je y C(J) ekvivalentna sax C(I) onda se y zove reparametrizacija od C.

Kazemo da je krivulja C regularna ako je x(t) 6= 0, za svaki t I.U daljem razmatramo samo regularne krivulje.Radi jednostavnije vizualizacije krivulju C, s parametrizacijom x C(I),

cesto poistovjecujemo sa skupom x(I) R3 tj. sa slikom od x.

POGLAVLJE 2. KRIVULJE 10

Kazemo da je krivulja C ravninska ako je C sadrzana u nekoj ravnini.Neka je C krivulja s parametrizacijom x C(I) i [a, b] I. Tada se

Lx(a, b) = bax(t)dt

zove duljina luka krivulje C, od a i b. Duljina luka ne zavisi o repara-metrizaciji. Naime, ako je y(t) = x((t)) reparametrizacija od C onda jepo teoremu o zamjeni varijable Lx((a), (b)) = Ly(a, b).

Kazemo da je x prirodna parametrizacija krivulje C ili da je C pa-rametrizirana duljinom luka ako vrijedi x(t) = 1, t I. Parametarduljine luka obicno oznacavamo sa s umjesto sa t.

PROPOZICIJA 2.1 Regularna krivulja ima prirodnu parametrizaciju.

Dokaz Neka je I = (a, b), t0 I i x C(I) parametrizacija krivulje C.Tada je funkcija t 7 s(t) = t

t0x(u)du striktno rastuca na I i s(t) =

x(t) pa ima inverznu funkciju s 7 (s) = t, pri cemu vrijedi (s) =1/x((s)). Neka je J = (s(a), s(b)), y : J R3, y(s) = x((s)). Tadaje y(s) = x((s))(s) = x((s))(s) = x(t)/x(t) = 1, stoznaci da je y C(J) prirodna parametrizacija od C.

PRIMJERI 2.2

(1) Neka su a,b R3, b=1, i C krivulja s parametrizacijom x C(R),x(t) = a + tb. Tada se C zove pravac. On prolazi kroz a i ima smjer b.Buduci da je x(t) = b i x(t)=b=1 zakljucujemo da je pravac regularnakrivulja parametrizirana duljinom luka.(2) Elipsa C u R2 zadana implicitnom jednadzbom

(x1 c1)2 /a21 + (x2 c2)2 /a22 = 1a1 > 0, a2 > 0, ima parametrizaciju x : I R2, I = [0, 2], x(t) =c+a1 cos t e1+a2 sin t e2. Tocka c R2 se zove srediste elipse C, dok se a1i a2 zovu poluosi elipse. Ako je c R3 i ako su u1,u2 R3 ortonormiranivektori onda je krivulja C u R3 zadana parametrizacijom y : [0, 2] R3,

y(t) = c+ a1 cos t u1 + a2 sin t u2elipsa u ravnini = c + Ru1 + Ru2 = {c + t1u1 + t2u2; t1, t2 R} kojaprolazi kroz c i generirana je vektorima u1,u2. Buduci da je y(t)2 =a21 sin

2 t+ a22 cos2 t, zakljucujemo da je elipsa regularna krivulja.

Ako je a1 = a2 = r onda se C zove kruznica polumjera r sa sredistem uc. Za nju vrijedi y(t) = r pa je y(t/r) prirodna parametrizacija kruznice.


(3) Parabola C u R2 zadana implicitnom jednadzbom x2 = x21 ima para-

metrizaciju x : R R2, x(t) = te1 + t2e2 = (t, t2) i vrijedi x(t) = e1 + 2te2,x(t)2 = 1 + 4t2. Slicno kao u prethodnom primjeru zakljucujemo da jekrivulja C u R3 zadana parametrizacijom y : R R3, y(t) = c+ tu1 + t2u2,parabola u ravnini s vrhom u tocki c.(4) Neka je f : R R glatka funkcija. Tada je njezin graf

G(f) = {(t, f(t)) : t R}krivulja u R2 s parametrizacijom x : R R2, x(t) = te1 + f(t)e2. Graf jeregularna krivulja zbog x(t) = e1 + f

(t)e2, x(t)2 = 1 + f (t)2.(5) Krivulja C u R3 zadana parametrizacijom x C(R),

x(t) = r cos t e1 + r sin t e2 + ate3 = (r cos t, r sin t, at)r > 0, a 6= 0, se zove obicna cilindricna spirala. Ona je regularna zbogx(t)2 = r2 + a2, dok je parametrizacija duljinom luka dana formulomy(s) = x(s/c), c = (r2 + a2)1/2.(6) Krivulja C u R2 se cesto zadaje implicitnom jednadzbom f(x) = 0,gdje je f : R2 R glatka funkcija takva da je f (x) 6= 0, za svaki x C.Tada pisemo C = f1(0). Ako je x C(I) parametrizacija krivulje C, ondaje f(x(t)) = 0, t I, pa deriviranjem dobijemo (f (x(t))|x(t)) = 0, t I.

2.2 Fleksija i torzija

DEFINICIJA 2.3 Neka je x C(I) parametrizacija krivulje C u R3.(1) v(t) = x(t) se zove brzina od C u tocki t, a v(t) = v(t) = x(t)

se zove skalarna brzina od C u tocki t.(2) a(t) = v(t) = x(t) se zove ubrzanje od C u tocki t.(3) t(t) = x(t)/v(t) se zove tangenta od C u tocki t.(4) Ako su x(t) i x(t) nezavisni onda se vektor n(t) = t(t)/t(t) zove

normala od C u tocki t, a b(t) = t(t) n(t) se zove binormala od C utocki t. Uredena trojka (t(t),n(t),b(t)) se zove trobrid od C u tocki t.

(5) ot = x(t) + Rt(t)+Rn(t) se zove oskulacijska ravnina,nt = x(t) + Rn(t)+Rb(t) se zove normalna ravnina,rt = x(t) + Rt(t)+Rb(t) se zove rektifikacijska ravninakrivulje C u tocki t.

DEFINICIJA 2.4 Neka je x C(I) parametrizacija krivulje C u R3.(1) Funkcija : I R, (t) = x(t) x(t)/v(t)3, se zove fleksija

ili zakrivljenost krivulje C. Ako je (t) 6= 0 onda se (t) = 1/(t) zoveradius fleksije krivulje C u tocki t.


(2) Funkcija : I R, (t) = [x(t),x(t),x(t)]/x(t) x(t)2, sezove torzija krivulje C, pri cemu stavljamo (t) = 0, ako su x(t) i x(t)linearno zavisni.

PRIMJERI 2.5 Ako su x,y, z : I R3 i f : R R glatke funkcije ondavrijede sljedece formule

(a) (x+ y) = x + y, (x) = x, R(b) (x|y) = (x|y) + (x|y)(c) (x y) = x y + x y(d) [x,y, z] = [x,y, z] + [x,y, z] + [x,y, z](e) (fx) = f x+ fx

(f) x = (x|x)/x(g) [f(x)] = f (x)(x|x)/x.

PROPOZICIJA 2.6 Trobrid (t(t),n(t),b(t)) je ortonormiran i ne zavisiod reperametrizacije.

Dokaz Buduci da je t = 1 tj. (t|t) = 1 deriviranjem slijedi (t|t) = 0 tj.(t|n) = 0, sto znaci da su t,n ortonormirani, a onda su t,n, t n takoderortonormirani.

Ako je y(t) = x((t)) reparametrizacija krivulje C i (t1,n1,b1) trobridod C, izracunat u parametrizaciji y, onda je t1(t) = t((t)), n1(t) = n((t))i b1(t) = b((t)), sto znaci da trobrid ne zavisi od reparametrizacije.

PROPOZICIJA 2.7 Vrijede sljedece tvrdnje(1) t = vn(2) a = vt+ v2n(3) x x = v3b(4) n n = tt/t2(5) [x,x,x] = v62(6) [t, t, t] = v32(7) b = vn

Dokaz (1) Iz t = x/v slijedi t = x/v (x|x)x/v3 pa uzimanjem normedobijemo t = x x/v2 sto daje t = v pa je t = tn = vn.

(2) Iz v = x = vt dobijemo a = x = vt+vt = vt+ v2n(3) x x = vt [vt+ v2n] = v3b.(4) Iz n = t/t slijedi n = t/t (t|t)t/t3 pa vektorskim

mnozenjem dobijemo formulu. (5) Slijedi iz definicije od i .


(6) Buduci da je t = x/v i t = x/v (x|x)x/v3 dobijemo t =x/v + (), gdje je () linearna kombinacija od x i x, pa je [t, t, t] =[x/v,x/v,x/v]. Sada primijenimo prethodnu formulu.

(7) Buduci da je (b|b) = 1 deriviranjem dobijemo (b|b) = 0. Na slicannacin iz (b|t) = 0 dobijemo (b|t) + (b|t) = 0 pa je (b|t) = (b|t) =v(b|n) = 0. Prema tome je b okomit na t i b pa je proporcionalansa n tj. vrijedi b = (b|n)n. Buduci da je (b|n) = 0 dobijemo (b|n) =(b|n) = (t n|n) = (n t|n) = (t|n n) = (t|tt)/t2 =[t, t, t]/t2 = v , gdje smo koristili formule (4) i (6).

2.3 Frenetove formule

TEOREM 2.8 (Frenetove formule)(1) t = vn(2) n = vt+ vb(3) b = vn

Dokaz Formule (1) i (3) su dokazane u prethodnoj propoziciji. Dokazimoformulu (2). Buduci da je (n|n) = 1 dobijemo (n|n) = 0 pa je n(t) linearnakombinacija od t(t) i b(t) tj. vrijedi n = (n|t)t + (n|b)b. Buduci da je(n|t) = 0 dobijemo (n|t) + (n|t) = 0 pa je (n|t) = (n|t) = v. Slicnoje (n|b) + (n|b) = 0, iz cega slijedi (n|b) = (n|b) = v .

KOROLAR 2.9 Vektor = vt+ vb se zove kutna brzina ili Darbo-uxov vektor od C i za njega vrijedi t = t, n = n, b = b.

Dokaz Slijedi neposredno iz prethodnog teorema.

KOROLAR 2.10 Fleksija i torzija ne zavise od reparametrizacije.

Dokaz Ako je y(t) = x((t)) reparametrizacija krivulje C i (t1,n1,b1) tro-brid od C, izracunat u parametrizaciji y, onda je po 2.6 t1(t) = t((t)),n1(t) = n((t)) i b1(t)) = b((t)). Buduci da je v1(t) = v((t))

(t) po pr-voj Frenetovoj formuli dobijemo t1(t) = v1(t)1(t)n1(t) pa je t

((t))(t) =v((t))(t)1(t)n((t)), iz cega slijedi t

((t)) = v((t))1(t)n((t)). Opetpo prvoj Frenetovoj formuli dobijemo 1(t) = ((t)). Na slican nacin, koris-teci trecu Frenetovu formulu, dobijemo 1(t) = ((t)), sto znaci da fleksijai torzija ne zavise od reparametrizacije.

PRIMJERI 2.11


(1) Ako je x prirodna parametrizaacija od C onda se formule iz prethodnepropozicije i teorema pojednostavljuju pa vrijedi

(a) v = x = 1 tj. skalarna brzina je jednaka 1.(b) t = x, t = x = a = n, = x(c) n = t+ b, b = n(d) x x = b, x = 2t+ n+ b(e) (x|x) = 0, (x|x) = 2, (x|x) = (f) [x,x,x] = [t, t, t] = 2(g) n = t (2 + 2)n+ b(h) [n,n,n] = 2(/), [b,b,b] = 2

(2) Ako je C krivulja u R2 tj. ako je x(I) R2 onda su x,x,x zavisnipa je = 0. Nadalje x x = (x1x2 x1x2)e3 pa za fleksiju dobijemo = |x1x2 x1x2|/x3. Medutim, cesto se u ovom slucaju definira takoda izostavimo znak apsolutne vrijednosti u brojniku pa moze bitii negativna. Ako je krivulja C zadana u polarnim koordinatama sa 7r() onda su duljina luka i fleksija od C dani sa

s() =0

(r()2 + r()2)1/2d, () =r()2 + 2r()2 r()r()

(r()2 + r()2)3/2

(3) Neka je C = f1(0) krivulja u R2 dana implicitnom jednadzbom f(x) =0, gdje je f : R2 R glatka funkcija takva da je f (x) 6= 0, za svakix C. Nadalje, neka je : C R, (x) = (f (x)+f (x)|f (x))/f (x)3.Ako je x C(I) parametrizacija od C onda je fleksija krivulje C danasa (t) = (x(t)), za svaki t I. Ovdje smo izostavili znak apsolutnevrijednosti, kao u (2), pa nam fleksija moze biti i negativna.

Zamijetimo da je brojnik od (x) dan sa

(f (x)+f (x)|f (x)) = f11(x) f12(x) f1(x)f21(x) f22(x) f2(x)f1(x) f2(x) 0

gdje je fi(x) = if(x), fij(x) = ijf(x), i = /xi, i = 1, 2.

Ako umjesto f stavimo f onda se C ne mijanja, ali (x) promijenipredznak. Ova promjena je ekvivalentna promjeni predznaka normale n,koja je dana formulom n = f (x)/f (x).(4) Ako je C = G(f) graf funkcije f onda je x(t) = (t, f(t)), x(t) = (1, f (t)),x(t) = (0, f (t)), pa je x2 = 1 + f 2 i = f /(1 + f 2)3/2. Ovo semoze dobiti i po prethodnom primjeru buduci da je g(x) = f(x1) x2 = 0implicitna jednadzba od G(f) pa je g(x) = (1 + f (x1)2)1/2 sto ondadaje (g(x)+g(x)|g(x)) = f (x1).


(5) Ako je C pravac s parametrizacijom x(t) = a+ tb, onda je x(t) = bi x(t) = 0 pa je = = 0.(6) Ako je C kruznica u R3 i x(t) = c+ r cos t u1+ r sin t u2, onda je v = r,x x = r2u1 u2 pa je t = x/r, n = x/r, b = u1 u2 iz cega slijedi = 1/r i = 0. Dakle, kruznica ima konstantnu fleksiju.(7) Ako je C obicna cilindricna spirala onda je [x,x,x] = ar2 i takoderx(t) x(t) = (ar sin t,ar cos t, r2), iz cega slijedi x2 = r2 + a2 dok jex x2 = r2(a2 + r2) pa za fleksiju i torziju dobijemo = r/(a2 + r2), = a/(a2 + r2).

Dakle, obicna cilindricna spirala ima konstantnu fleksiju i torziju.(8) Neka je a R3, A : R3 R3 ortogonalan operator tj. AA = I, if : R3 R3, f(x) = Ax+ a. Tada se f zove izometrija od R3.

(a) Neka je C krivulja u R3 s parametrizacijom x C(I), f izometrijaod R3 i C1 = f(C) krivulja s parametrizacijom x1 C(I), x1(t) = f(x(t))tj. x1(t) = Ax(t) + a. Tada je x

(k)1 = Ax

(k), za k 1, v1 = v, t1 = At,n1 = An, b1 = Ab detA pa dobijemo 1 = , 1 = detA.

(b) Kazemo da su krivulje C i C1 kongruentne ako postoji izometrijaf od R3 takva da je C1 = f(C) i detA = 1. Dakle, kongruentne krivuljeimaju istu fleksiju i torziju.

(c) Ako je C1 = rC + a, r > 0, krivulja s parametrizacijom x1(t) =rx(t) + a, onda je trobrid od C1 jednak trobridu od C, dok je 1 = /r i 1 = /r. U ovom slucaju kazemo da su C i C1 homoteticne.

(d) Krivulju C s paramertizacijom x C(I), x(t) = x(t), zovemosuprotna krivulja od C ili suprotno orijentirana krivulja od C. Takoderkazemo da smo obrnuli orijentaciju od C. Za nju vrijedi x(t) = x(t),x(t) = x(t), x(t) = x(t) pa je v(t) = v(t), sto daje t(t) = t(t),n(t) = n(t), b(t) = b(t), a onda je (t) = (t) i (t) = (t).

Dakle, fleksija i torzija ne zavise od orijentacije krivulje.(9) Neka je C krivulja u R3 s parametrizacijom x C(I) i t0 I. Nadalje,neka je C(t0) kruznica zadana parametrizacijom y : [0, 2] R3,

y(s) = c(t0) (t0) cos s(t0) n(t0) + (t0) sin s(t0) t(t0)gdje je c(t0) = x(t0) + (t0)n(t0) i = 1/ polumjer fleksije od C. Tada seC(t0) zove oskulacijska kruznica od C u tocki t0.

Kruznica C(t0) lezi u oskulacijskoj ravnini ot0, prolazi kroz y(0) =

x(t0), ima srediste c(t0) te ima istu fleksiju (t0) kao i C u tocki t0.(10) Neka je : [0, b] R glatka funkcija i C krivulja u R2 s para-metrizacijom x : [0, b] R2, x(s) = ( s

0cos (u)du,

s0sin (u)du). Ta-

da je x(s) = ( cos (s), sin (s)) i x(s) = (s)( sin (s), cos (s)) pa jex(s) = 1, sto znaci da je x prirodna parametrizacija od C. Nadalje, vrije-di formula (s) = (s).


Zanimljivo je da za svaku ravninsku krivulju C postoji glatka funkcija, koja je jedinstvena do na aditivni faktor 2k, k Z, takva da C imaovakvu prirodnu parametrizaciju x i fleksiju (s) = (s). Specijalno, ako je(s) = s2/2 onda je (s) = s pa se tada C zove klotoida.(11) Neka je C krivulja u R2 s parametrizacijom x : I R2. Tada jeformulom y(t) = x(t)+(t)n(t) definirana parametrizacija krivulje C u R2,koju zovemo evoluta od C.

(a) Ako je C elipsa s parametrizacijom x(t) = (a cos t,b sin t), onda senjezina evoluta zove astroida. Parametrizacija astroide je dana formulomy(t) = (a2 b2)(1

acos3 t,1

bsin3 t).

(b) Ako je C hiperbola s parametrizacijom x(t) = (a ch t,b sh t), onda C

ima parametrizaciju y(t) = (a2 + b2)(1ach3 t,1

bsh3 t).

(c) Ako je C parabola s parametrizacijom x(t) = (t,t2/(2p)), p > 0, ondaC ima parametrizaciju y(t) = (t3/p2, p+ 3t2/(2p)).(12) Neka su C i C+ krivulje u R2. Kazemo da je C+ evolventa ili involutaod C, ako je C evoluta od C+ tj. C = (C+). Evolventa nije jedinstvena.Ako je s 7 x(s) prirodna parametrizacija od C, onda C+ ima parametrizacijuy(t) = x(t) + ( t)t(t), gdje je R proizvoljan.

(a) Ako je C kruznica s jednadzbom x21 + x22 = r

2 onda njezina evolventaima parametrizaciju x(t) = (r cos t+ r(t ) sin t, r sin t r(t ) cos t).

(b) Krivulju C zadanu jednadzbom x2 = a ch(x1/a), a > 0, zovemolancanica. Njezina fleksija je dana formulom (s) = a/(a2 + s2) = 1

acos2 t,

gdje je s parametar duljine luka od C, pri cemu je t = arctg(s/a). Evolventalancanice, koja prolazi kroz njezin vrh, se zove traktrisa i ima parametriza-ciju x(t) = (a cos t+ a log tg(t/2), a sin t), t (0, ).(13) Krivulja C u R3 se cesto zadaje implicitnom jednadzbom f(x) = 0,g(x) = 0, gdje su f, g : R3 R glatke funkcije takve da su f (x) i g(x)nezavisni, za svaki x C. Ako je x C(I) parametrizacija od C on-da je f(x(t)) = g(x(t)) = 0, za svaki t I, pa deriviranjem dobijemo(f (x(t))|x(t)) = (g(x(t))|x(t)) = 0, sto znaci da f (x(t)) i g(x(t)) generi-raju normalnu ravninu nt , za svaki t I, pa za tangentu dobijemo formulut = f (x) g(x)/f (x) g(x).

Vivianijeva krivulja C se zadaje implicitnom jednadzbom

f(x) = x21 + x22 + x

23 4r2 = 0, g(x) = x21 + x22 2rx1 = 0

Ona ima parametrizaciju x(t) = r(1 + cos t, sin t, 2 sin(t/2)), t [0, 4], anjezina fleksija i torzija su dane sa

(t) =(13 + 3 cos t)1/2

r(3 + cos t)3/2, (t) =

6 cos(t/2)

r(13 + 3 cos t)


(14) Neka je R, 6= 0, b C(I), a I, b(t) = 1 i b(t) = | |, zasvaki t. Definiramo krivulju C prirodnom parametrizacijom x C(I),

x(s) = x(a) + 1

sab(t) b(t)dt

Tada krivulja C ima konstantnu torziju i njezina binormala je jednakab(s). Nadalje, svaka krivulja s konstantnom torzijom 6= 0 se mozezadati na ovaj nacin.(15) Neka je C krivulja u R3 s prirodnom parametrizacijom x C(I), zakoju je > 0 i 6= 0. Ako je Cb krivulja s parametrizacijom b C(I),gdje je b binormala od C, onda su fleksija b i torzija b od Cb dane sa

b = (2 + 2)1/2/| |, b = (/ )/(2 + 2)

(16) Neka je C krivulja u R3 s parametrizacijom x C(I) i a I. Tadavrijede formule x(t) =

tav(s)ds+ x(a), v(t) =

taa(s)ds+ v(a) i

x(t) = ta(t s)a(s)ds+ (t a)v(a) + x(a)

(17) Neka je C krivulja u R3 s injektivnom parametrizacijom x C(I),[a, b] I i f : R3 R3. Tada se f zove vektorsko polje na R3.

(a) Integral W = ba(f(x(t))|x(t))dt se zove tok vektorskog polja f po

krivulji C, od a do b.Ako postoji derivabilna funkcija f : R3 R, takva da je f(x) = f (x),

onda kazemo da je f konzervativno ili potencijalno polje, a funkciju fzovemo potencijal od f .

Ako je f konzervativno polje onda jeW = badf(x(t)) = f(x(b))f(x(a)).

(b) Ako je I = [a, b] i x(a) = x(b) onda se C zove zatvorena krivulja.Prema tome, tok konzervativnog vektorskog polja po zatvorenoj krivulji jenula. Primjeri zatvorenih krivulja su elipsa i kruznica.

(c) Ako je f : R3 R neprekidna onda se L = baf(x(t))x(t)dt zove

integral funkcije f po krivulji C, od a do b.Specijalno, ako je f = 1 onda je L = Lx(a, b). Zamijetimo da integrali

W i L uvijek postoje zbog |W | m1Lx(a, b), |L| m2Lx(a, b), gdje jem1 = maxatb f(x(t)), m2 = maxatb |f(x(t))|.

(d) Ako je C1 = x([a, b]) onda integral L drukcije oznacavamo sa

L =C1f(x)dl(x) ili L =

C1fdl

i zovemo ga integral od f po C1. Specijalno je Lx(a, b) =C1dl = |C1| jednak

duljini od C1.Integrali W i L ne zavise od reparametrizacije.


(e) Integral Ex(a, b) = bax(t)2dt se zove energija krivulje C, od a

do b, i za nju vrijedi nejednakost Lx(a, b)2 (ba)Ex(a, b). Energija zavisi

od reparametrizacije, slicno kao brzina i ubrzanje krivulje.(18) Neka je C zatvorena ravninska krivulja s parametrizacijom x : [a, b]R

2. Kazemo da je C jednostavna krivulja ako se R2\C sastoji od dvije kom-ponente: vanjske neogranicene i unutrasnje ogranicene koju oznacavamosa U. Smatramo da je C orijentirana tako da obilazimo U jedanput u pozi-tivnom smjeru.

Ako je C jednostavna krivulja i f : R2 R2, f(x) = (f1(x),f2(x)), deri-vabilna funkcija, onda vrijedi Greenova formula

U[1f2(x) 2f1(x)]dx1dx2 =

ba(f(x(t))|x(t))dt

(a) Ako u Greenovu formulu uvrstimo bilo koju od sljedecih funkcijaf(x) = (0, x1), f(x) = (x2, 0), f(x) = 12(x2, x1) dobijemo povrsinu |U |unutrasnje komponente U tj.

|U | = bax1(t)x

2(t)dt =

bax2(t)x

1(t)dt =

12

ba[x1(t)x

2(t) x2(t)x1(t)]dt

(b) Ako je C elipsa s poluosima a i b onda je |U | = ab(c) Vrijedi izoperimetrijska nejednakost 4|U | |C|2, gdje je |C|

duljina od C, pri cemu jednakost vrijedi samo za kruznicu.(19) Ako je x : I R3 glatka funkcija, a I, n N, onda za x vrijediTaylorova formula

x(t) =n

k=01k!x(k)(a)(t a)k +R(t)

gdje je R(t) = 1n!

tax(n+1)(s)(t s)nds ostatak Taylorove formule.

NAPOMENA 2.12

Pored trobrida (t,n,b) definiraju se i drugi trobridi. Jedan od njih se zovetrobrid paralelnog transporta (t,n1,n2) krivulje C, gdje je t(t) tangentaod C, a n1(t) i n2(t) ortonormirani vektori u normalnoj ravnini krivulje C utocki t i definirani su formulama

(1) t = v1n1 + v2n2(2) n1 = v1t(3) n2 = v2t

koje imaju ulogu Frenetovih formula za ovaj trobrid, pri cemu vrijedi

2 = 21 +

22 , v

2 = 12 21


Nadalje, v = , gdje je = arctg(2/1). Zamijetimo da 1 i 2 imajuulogu kartezijevih koordinata tocaka u normalnoj ravnini, ako i shvatimokao polarne koordinate tih tocaka.

Pripadni vektor kutne brzine je dan sa = v2n1+v1n2 pa dobijemot = t, n1 = n1, n2 = n2.

Ako krivulja C lezi na plohi M u R3 onda se definira jos jedan trobridtzv. geodetski trobrid (t,ng,m) od C, gdje je t(t) tangenta od C, a ng(t)i m(t) ortonormirani vektori u normalnoj ravnini krivulje C u tocki t, koji sezovu geodetska i plosna normala od C u tocki t. Ovaj trobrid je veomavazan i o njemu ce biti rijeci u sljedecem poglavlju.

2.4 Spirale

PROPOZICIJA 2.13 Neka je C krivulja u R3 za koju je 6= 0 i 6= 0.Tada su sljedece tvrdnje ekvivalentne:

(1) Postoji a R3, a 6= 0, takav da je (a|t) = const(2) Postoji a R3, a 6= 0, takav da je (a|n) = 0(3) Postoji a R3, a 6= 0, takav da je (a|b) = const(4) / = const

Krivulja C s ovim svojstvima se zove spirala.

Dokaz (1)(2): Ako je (a|t) = const onda deriviranjem dobijemo (a|t) = 0tj. (a|vn) = 0 pa je (a|n) = 0. (2)(3): Ako je (a|n) = 0 onda je po trecojFrenetovoj formuli (a|b) = 0 pa je (a|b) = const. (3)(4): Ako je (a|b) =const, onda je (a|b) = 0 tj. (a|n) = 0 te (a|n) = 0 pa po drugoj Frenetovojformuli slijedi (a|t) = (a|b) sto znaci da je / = (a|b)/(a|t) = const.(4)(1): Ako je / = const, onda po prvoj i trecoj Frenetovoj formulidobijemo t/ + b/ = 0 pa je (/)t + b = 0 te (/)t+ b = const = a,sto daje (a|t) = / = const.

PRIMJERI 2.14

(1) Ako je C spirala onda je (a|t) = c = const pa je (a|x) = cv, pa inte-griranjem od t0 do t dobijemo duljinu luka spirale cs = (a|x(t) x(t0)), pricemu je c = / i a = (/)t+ b. Pravac = Ra se zove os spirale C.(2) Ako je C obicna cilindricna spirala onda je = const i = const, pa je/ = const tj. C je spirala. Obrat ne vrijedi.(3) Ako je x0 R3, (u1,u2,u3) ortonormirana baza od R3 i C krivulja sparametrizacijom x(t) = x0 + r cos t u1 + r sin t u2 + atu3, t R, gdje jer > 0 i a 6= 0, onda je = r/(a2 + r2) i = a/(a2 + r2) pa je C kongruentnaobicnoj cilindricnoj spirali.


(4) Ako je C krivulja s parametrizacijom x(t) = a(ch t, sh t, t), t R, gdjeje a 6= 0, onda je C spirala i (s) = (s) = a/(2a2 + s2), gdje je s parametarduljine luka od C.(5) Ako je C krivulja s parametrizacijom x(t) = (at,

2a log t, a/t), t > 0,

gdje je a 6= 0, onda je C spirala i (s) = (s) = a2/(4a2 + s2), gdje je sparametar duljine luka od C.(6) Ako je C krivulja s parametrizacijom x(t) = (3t t3, 3t2, 3t+ t3), t R,onda je C spirala i (t) = (t) = 1

3(1 + t2)2.

(7) Ako je x prirodna parametrizacija od C onda vrijedi(a) [t,b,b] = , [b,b,b] = 5(/ )

(b) [x,x,x(4)] = [t, t, t] = 5(/)

(c) C je spirala ako i samo ako je 6= 0 i [x,x,x(4)] = 0(8) Neka je C krivulja u R3 s fleksijom i torzijom . Ako postoje A,B Rtakvi da je A +B = 1, onda se C zove Bertrandova krivulja. KrivuljaC 6= C, koja ima istu normalu kao i C, se zove dualna krivulja od C.

Ako je x C(I) prirodna parametrizacija Bertrandove krivulje C,(t,n,b) njezin trobrid i C krivulja s parametrizacijom y(t) = x(t) +An(t),t I, onda vrijedi

(a) y x = |A| i y = (1A)t +Ab(b) C i C imaju istu normalu n tj. C je dualna krivulja od C.(c) C je Bertrandova krivulja.(d) Kut izmedu tangenti od C i C je konstantan.(e) Za kut vrijedi cos2 = B2/(A2 +B2)(f) Svaka krivulja s konstantnom fleksijom 6= 0 je Bertrandova krivulja.(g) Obicna cilindricna spirala je Bertrandova krivulja.(h) Obicna cilindricna spirala ima beskonacno dualnih krivulja.(i) Svaka Bertrandova krivulja C ima jedinstvenu dualnu krivulju, osim

u slucaju kad je C obicna cilindricna spirala.

TEOREM 2.15 Neka je C krivulja s fleksijom i torzijom .(1) Ako je = 0 onda je C dio nekog pravca u R3.(2) Ako je 6= 0 i = 0 onda je C sadrzana u nekoj ravnini u R3.(3) Ako je = const 6= 0 i = 0 onda je C dio neke kruznice u R3.(4) Ako je = const 6= 0 i = const 6= 0 onda je C kongruentna dijelu

obicne cilindricne spirale.(5) Ako je 6= 0 i / = const onda je C spirala.

Dokaz Neka je x C(I) prirodna parametrizacija od C.(1) Buduci da je t(s) = (s) = 0 postoje a,b R3 takvi da je t(s) =

b R3 i x(s) = a+sb sto znaci da je C a+Rb. (2) Buduci da je b(s) = 0dobijemo b(s) = b R3, za svaki s I. Ako je f(s) = (x(s)x(s0)|b) onda


je f(s0) = 0 i f(s) = (t(s)|b) = 0 sto znaci f(s) = 0, za svaki s I, pa

je x(s) element oskulacijske ravnine os0 , za svaki s I. Prema tome je Csadrzana u os0 . (3) Neka je y(s) = x(s) + n(s)/. Tada je

y(s) = n(s) + (t(s) + b(s))/ = 0

sto znaci y(s) = a R3, za svaki s I, pa je x(s) a = 1/. Dakle,x(s) S, gdje je S sfera sa sredistem u a, polumjera = 1/, pa je C S.S druge strane, po (2) je C os0 pa je C os0 S, a ovo je kruznica.

(4) Ako je a = (/)t + b, kao u dokazu prethodne propozicije, onda jea = (2 + 2)1/2/, i cs = (a|x(s) x0), gdje je c = /. Po prethodnojpropoziciji je (a|n(s)) = 0, za svaki s I, sto znaci da je n(s) , gdje je podprostor okomit na a. Neka je (u1,u2) ortonormirana baza u i u3 =a/a. Tada je (u1,u2,u3) ortonormirana baza od R3, pri cemu smatramoda su u1 i u2 odabrani tako da je [u1,u2,u3] = 1. Buduci da je x(s) = 1,x(s) = n(s) i n(s) = cossu1 + sinsu2, = (

2 + 2)1/2, dobijemo

x(s) = 1 sinsu1 1 cossu2 + 1u3

pa je x(s) = x0 ( 1)2 cossu1 ( 1)2 sinsu2 + 1su3. DefiniramoU L(R3) sa Ue1 = u1, Ue2 = u2, Ue3 = u3 i preslikavanje f : R3 R3,f(x) = x0 + Ux. Tada je f kongruencija i f(C0) = C, gdje je C0 dio obicnecilindricne spirale s fleksijom i torzijom , zadan prirodnom parametriza-cijom. (5) Slijedi iz prethodne propozicije.

TEOREM 2.16 (Osnovni teorem teorije krivulja)(1) Fleksija i torzija jedinstveno odreduju krivulju do na kongruenciju tj.

ako dvije krivulje imaju istu fleksiju i torziju onda su one kongruentne.(2) Ako su , : [0, b] R, > 0, glatke funkcije onda postoji krivulja

C u R3, parametrizirana duljinom luka, takva da su i fleksija i torzijaod C.

Dokaz Dokaz je dosta kompliciran pa ga ne navodimo.

Poglavlje 3

Plohe

3.1 Osnovna svojstva ploha

Neka je U otvoren skup u R2 i r : U R3,r(u) = (r1(u), r2(u), r3(u)) = r1(u)e1 + r2(u)e2 + r3(u)e3

gdje je u U, u = (u1, u2). Tada se funkcije ri : U R, i = 1, 2, 3, zovukoordinatne funkcije od r. Kazemo da je funkcija r neprekidna [odnosnoderivabilna, glatka, integrabilna] ako su sve njezine koordinatne funkcijeneprekidne [odnosno derivabilne, glatke, integrabilne]. Ako je r derivabilnaonda se

r1(u) = 1r(u) = (1r1(u), 1r2(u), 1r3(u))

r2(u) = 2r(u) = (2r1(u), 2r2(u), 2r3(u))

zovu parcijalne derivacije od r u tocki u, gdje je 1 = /u1 i 2 = /u2.U daljem razmatramo samo glatke funkcije tj. funkcije r koje imaju

sve parcijalne derivacije

n1 m2 r(u) =

n+m

un1um

2

r(u), n,m 0.Skup svih glatkih funkcija r : U R3 oznacavamo sa C(U).

Ponekad takoder razmatramo i funkcije f : K R3, gdje K R2 nijeotvoren, pri cemu smatramo da postoji otvoren skup U koji sadrzi K, i glatkafunkcija r : U R3 takva da je r|K = f .

Neka je r C(U) i r(u) : R2 R3 linearni operator definiran sar(u)x = x1r1(u) + x2r2(u)

Tada se r(u) zove derivacija od r u tocki u U. Ako je Ru matrica odr(u), u standardnim bazama od R2 i R3, onda Ru ima dva stupca: u prvomstupcu su koordinate od r1(u), a u drugom koordinate od r2(u).

POGLAVLJE 3. PLOHE 23

Neka su U, V R2 otvoreni skupovi i : V U glatka bijekcija takvada je njezin inverz 1 : U V glatka funkcija. Tada se funkcija zovedifeomorfizam. Ako je : V U difeomorfizam onda je (u) linearnioperator na R2, (u)x = x11(u) + x22(u), pa za njegovu matricu Fu,u standardnoj bazi od R2, vrijedi

Fu =

[11(u) 21(u)12(u) 22(u)

]

gdje je (u) = (1(u), 2(u)). Dakle, det = 1122 2112 i

det(u) 6= 0, za svaki u V.Kazemo da su r C(U) i r C(V ) ekvivalentne ako postoji dife-

omorfizam : V U takav da je r(u) = r((u)) i det(u) > 0, u V.Klasa ekvivalencije M od r C(U) se zove ploha u R3, a funkcija r se

zove parametrizacija plohe M. Ako je r C(V ) ekvivalentna sa r ondase r zove reparametrizacija od M.

Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U). Kazemo da je plohaM regularna ako je r(u) injektivan operator, za svaki u U, tj. ako sur1(u) i r2(u) linearno nezavisni, za svaki u U. Ako je r reparametrizacijaod M onda je po pravilu deriviranja kompozicije r(u) = r((u))(u), stoznaci da r(u) i r((u)) imaju isti rang, za svaki u U.

U daljem razmatramo samo regularne plohe.Radi jednostavnije vizualizacije plohuM, s parametrizacijom r C(U),

cesto poistovjecujemo sa skupom r(U) R3 tj. sa slikom od r.Ako je M ploha u R3 s parametrizacijom r C(U) onda se

TuM = Rr1(u) + Rr2(u) = {1r1(u) + 2r2(u);1, 2 R}

zove tangencijalni prostor od M u tocki u, dok se ravnina r(u) + TuMzove tangencijalna ravnina na plohu M u tocki u. Ako je r C(V ),r(u) = r((u)), reparametrizacija od M i T uM tangencijalni prostor od M,izracunat u r, onda je r(u) = r((u))(u) pa je

r1(u) = r1((u))11(u) + r2((u))12(u) (3.1)

r2(u) = r1((u))21(u) + r2((u))22(u)

iz cega slijedi T uM = T(u)M, sto znaci da tangencijalni prostor ne zavisiod reparametrizacije.

Svaki element iz TuM se zove tangencijalni vektor na M u tocki u.Ako je f C(U) onda se f zove vektorsko polje na M. Kazemo da

je f tangencijalno vektorsko polje ako je f(u) TuM, u U. Primjeritangencijalnih vektorskih polja su f = r1 i f = r2, gdje je r parametrizacija


od M. Buduci da je (r1(u), r2(u)) baza od TuM, za svaki u U, svakotangencijalno polje se moze napisati u obliku f = f1r1 + f2r2, gdje su f1, f2 :U R glatke funkcije. Vektorsko polje

(u) = r1(u) r2(u)/r1(u) r2(u)

se zove normala na M u tocki u. Ako je r(u) = r((u)) reparametrizacijaod M i (u) normala na M, izracunata u parametrizaciji r, onda je po (3.1)

r1(u) r2(u) = r1((u)) r2((u)) det(u)

pa je (u) = ((u)), za svaki u V, sto znaci da normala ne zavisi odreparametrizacije.

Ploha je regularna ako i samo ako ima normalu u svakoj tocki.Zamijetimo da je (r1(u), r2(u),(u)) baza od R

3, za svaki u U.U daljem nam trebaju i parcijalne derivacije od r drugog reda pa

za njih uvodimo oznake r11 = 21r, r12 = r21 = 12r, r22 =

22r, kao i prve

parcijalne derivacije normale 1 = 1, 2 = 2.Zamijetimo da su 1 i 2 tangencijalna vektorska polja. Naime, kako je

(|) = 1, parcijalnim deriviranjem dobijemo (1|) = 0 i (2|) = 0, stoznaci da su 1 i 2 okomiti na .

Linearni operator (u) : R2 R3, definiran formulom

(u)x = x11(u) + x22(u)

se zove derivacija od u tocki u. Njegova matrica, u standardnim bazamaod R2 i R3, izgleda slicno kao matrica od r(u).

U daljem vaznu ulogu imaju operatori Gu, Bu, Su L(R2),

Gu = r(u)r(u), Bu = r(u) (u), Su = G1u Bu

Operator Gu se zove metricki operator (ili metricki tenzor), a Su se zoveoperator oblika (ili tenzor zakrivljenosti) plohe M u tocki u. Buduci daje r(u) injektivan operator zakljucujemo da je Gu regularan, simetricani pozitivan operator.

Ponekad nam treba i operator Su L(TuM), Sur(u) = (u) tj.

Su(x1r1 + x2r2) = x11 x22, x1, x2 R

Dakle, Sur1 = 1, Sur2 = 2, 1 2 = r1 r2 detSu i

r1 2 + 1 r2 = r1 r2 trSu


Zamijetimo da je Sur(u) = r(u)Su pa je spektar od S

u jednak spektru

od Su. Ako je Sux = x onda je Sur

(u)x = r(u)x.Za Su vrijedi r

(u)Sur(u) = Bu. Operator S

u se takoder zove operator

oblika plohe M u tocki u.Buduci da je (u) = r(u)Su = Sur(u), za operator Cu = (u) (u)

dobijemo Cu 0 i Cu = SuGuSu = BuSu.PRIMJERI 3.1

(1) Svaki otvoreni skup U R2 je regularna ploha s parametrizacijom r :U R2 R3, r(u) = u, pri cemu je (u) = e3, za svaki u U. Posebno suvazni U = R2 i jedinicni disk U = D2 = {u R2; u < 1}.(2) Neka je a R3 i neka su b1,b2 R3 nezavisni vektori. Nadalje, nekaje M ploha u R3 s parametrizacijom r : R2 R3, r(u) = a + u1b1 + u2b2.Tada se M zove ravnina u R3 i oznacavamo je sa M = a + Rb1 + Rb2.Za nju vrijedi r1(u) = b1, r2(u) = b2 i r1(u) r2(u) = b1 b2, dok jeTuM = Rb1 + Rb2. Dakle, ravnina je regularna ploha.(3) Ako je f : R2 R glatka funkcija onda je njezin graf

G(f) = {(u1, u2, f(u));u R2} = {(u, f(u));u R2}ploha s parametrizacijom r : R2 R3,

r(u) = (u1, u2, f(u)) = u1e1 + u2e2 + f(u)e3 = u+ f(u)e3

i za nju vrijedi r1 = (1, 0, 1f), r2 = (0, 1, 2f) i r1 r2 = (1f,2f, 1) paje G(f) regularna ploha i r1 r22 = 1 + f 2.(4) Neka je S2 = {x R3; x = 1} jedinicna sfera u R3 i

S2+ = {x S2 : x3 > 0}, S2 = {x S2 : x3 < 0}Tada se S2+ zove gornja polusfera, S

2 donja polusfera, dok se skup S

20 =

{x S2 : x3 = 0} zove ekvator i vrijedi S2 = S2+ S2 S20 .(a) S2+ = G(f+), S

2 = G(f), gdje je f(u) = (1 u2)1/2, u D2.

Prema tome, S2+ i S2 su regularne plohe.

(b) Neka je r : R2 R3, r(u) = (2u1, 2u2, u2 1)/(u2 + 1).Tada je r(u) = 1, za svaki u, pa je r(u) S2 i r(R2) = S2\{e3}. Nadalje,r je glatka bijekcija od R2 i S2\{e3} i ima inverz r1 : S2\{e3} R2 danformulom r1(x) = (x1, x2)/(1x3), a zove se stereografska projekcija izsjevernog pola e3.

(c) Neka je r : R2 R3, r(u) = (2u1, 2u2, 1 u2)/(u2 + 1).Tada je r glatka bijekcija od R2 i S2\{e3}, a inverz r1 : S2\{e3} R2je dan sa r1(x) = (x1, x2)/(1 + x3), i zove se stereografska projekcija izjuznog pola e3.


(d) Neka je r(u) = (2(1u2)1/2u1, 2(1u2)1/2u2, 2u21), u D2.Tada je r parametrizacija od S2\{e3} koja ima inverz r1 : S2\{e3} D2,r1(x) = (x1, x2)/(2 2x3)1/2 i vrijedi = r.

(e) Neka je K = [0, 2] (/2, /2) R2 i r : K R3,r(u) = (cos u1 cos u2, sinu1 cos u2, sinu2)

Tada je r glatka funkcija, r(K) = S2\{e3,e3}, i zove se geografska para-metrizacija od S2\{e3,e3}. Parametar u1 se zove geografska duzina, au2 geografska sirina. Funkcija r nije injektivna, naime nulti meridijan sepokrije dvaput. Ako prosirimo r na K = [0, 2][/2, /2] onda pokrijemocijelu sferu, tj. r(K) = S2, ali izgubimo regularnost u sjevernom i juznompolu. Ako restringiramo r na K = (0, 2) (/2, /2) onda ne pokrijemonulti meridijan, tj. r(K) = S2\r(K\K), ali dobijemo bijekciju.(5) Plohe u R3 se cesto zadaju implicitnom jednadzbom

M = f1(0) = {x R3; f(x) = 0}gdje je f : R3 R glatka funkcija takva da je f (x) 6= 0, za svaki x M.Medutim, moze se dogoditi da parametrizacija r : U R3 ovakve ploheM ne pokrije cijelu plohu tj. da je r(U) 6= M. Ovaj slucaj smo imali kodjedinicne sfereM = S2, koja ima implicitnu jednadzbu x = 1 tj. (x|x) = 1,pri cemu je u ovom slucaju f(x) = (x|x) 1. Ovakav nacin zadavanja ploheima jednu dobru stranu, naime lako je naci normalu. Ako je r : U R3parametrizacija od M = f1(0) onda je f(r(u)) = 0 pa deriviranjem slijedi(f (r(u))|r1(u)) = (f (r(u))|r2(u)) = 0, sto znaci da je f (r) okomit na r1 ir2 pa je normala dana sa = f (r)/f (r).

Ravnina M = a+Rb1 +Rb2 iz (2) se moze zadati u obliku M = f1(0),

ako stavimo f(x) = (x a|b), gdje je b = b1 b2.(6) Ako je A L(R3), A 6= 0, simetrican operator, a R3, R i

f : R3 R, f(x) = (Ax|x) + 2(a|x) + onda se M = f1(0) zove kvadrika ili ploha drugog reda. Buduci da jef (x) = 2Ax + 2a, dobijemo f (x) = 0, za svaki x M0, gdje je M0 skupsvih x R3 za koje vrijedi Ax + a = 0. Dakle, ako je M M0 = onda jeM regularna, a ako je M M0 6= onda M nije regularna. U tom slucajuumjesto M mozemo razmatrati M\M0.

Kazemo da je M nedegenerirana kvadrika ako je (A+a|a) 6= detA.Zamijetimo da je detA (A+a|a) dan 4 4 determinantom

detA (A+a|a) = A a

a


Ako je M nedegenerirana i detA 6= 0 onda je M elipsoid ili hiperboloid(sto zavisi od spektra od A), a ako je detA = 0 onda je M paraboloid.Primjeri degeneriranih kvadrika su konusi i cilindri.

Sfera M sa sredistem u a R3, polumjera r > 0, se zadaje imlicitnomjednadzbom x a = r tj. (x a|x a) r2 = 0 sto se moze napisati uobliku (x|x) 2(a|x) + (a|a) r2 = 0, pa je M kvadrika za A = I.

3.2 Metricki operator i operator oblika

PROPOZICIJA 3.2 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U).(1) Ako je Gu matrica od Gu, u standardnoj bazi, onda je

Gu =

[E(u) F (u)F (u) G(u)

]

gdje je E = (r1|r1), F = (r1|r2), G = (r2|r2).Nadalje, detGu = EG F 2 = r1 r22.(2) Ako je Bu matrica od Bu, u standardnoj bazi, onda je

Bu =

[e(u) f(u)f(u) g(u)

]

gdje su matricni koeficijenti dani sa e = (r1|1) = (r11|), g = (r2|2) =(r22|), f = (r1|2) = (r12|) = (r2|1).

Nadalje, Bu je simetrican operator i detBu = eg f 2.

Dokaz (1) Neka je Ru matrica od r(u). Tada je Gu = R

uRu iz cega slijedi

tvrdnja. (2) Ako je Nu matrica od (u) i Bu matrica od Bu, onda je Bu =

RuNu. Zamijetimo da je (|r1) = 0 i (|r2) = 0 pa parcijalnim deriviranjempo prvoj varijabli dobijemo (1|r1) + (|r11) = 0 i (1|r2) + (|r12) = 0 izcega slijedi (1|r1) = (|r11) i (1|r2) = (|r12) = (2|r1). Na slicannacin, derivirajuci po drugoj varijabli, dobijemo (2|r2) = (|r22), iz cegaslijedi tvrdnja.

TEOREM 3.3 Vrijede sljedece tvrdnje(1) Operator Su je slican simetricnom operatoru.(2) Operator Su ima dvije realne svojstvene vrijednosti, a ako su

x1 i x2 pripadni svojstveni vektori onda je (Gux1|x2) = 0.

Dokaz Neka je T = G1/2u i H = T1BuT

1. Tada su T i H simetricnioperatori i vrijedi T1HT = T1T1BuT

1T = G1u Bu = Su pa je Su jeslican simetricnom operatoru H. Dakle, spektar od Su je jednak spektru


od H, pa Su ima dvije realne svojstvene vrijednosti. Ako je Hy = y ix = T1y onda je Bux = Gux pa je Sux = x. Dakle, ako su y1 i y2svojstveni vektori od H onda su x1 = T

1y1 i x2 = T1y2 svojstveni vektori

od Su i vrijedi (y1|y2) = 0, pa je (Gux1|x2) = (Tx1|Tx2) = (y1|y2) = 0.PROPOZICIJA 3.4 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U).Ako je r C(V ), r(u) = r((u)), reparametrizacija od M, i ako su Gu,Bu i Su operatori izracunati u r, onda je Gu =

(u)G(u)(u), Bu =

(u)B(u)

(u) i Su = (u)1S(u)

(u).

Dokaz Buduci da je Gu = r(u)r(u) dobijemo

Gu = [r((u))(u)]r((u))(u) = (u)G(u)

(u)

i slicno za Bu, a onda mnozenjem dobijemo formulu za Su.

DEFINICIJA 3.5 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U).(1) Neka je C krivulja u R3 s parametrizacijom x C(I). Ako postoji

ravninska krivulja C1 s parametrizacijom u : I R2 takva da je u(t) U ix(t) = r(u(t)), za svaki t I, onda kazemo da je C krivulja na plohi M,ili da C lezi na M.

(2) Krivulja s parametrizacijom u1 7 r(u), zadana sa u2 = const, se zoveprva koordinatna krivulja na M, a krivulja s parametrizacijom u2 7r(u), zadana sa u1 = const, se zove druga koordinatna krivulja na M.

(3) Neka su C1 i C2 krivulje na M s parametrizacijama x(t) = r(u(t)),t I, i y(s) = r(v(s)), s J. Ako je u(t0) = v(s0), za neki t0 I i s0 J,onda kazemo da se C1 i C2 sijeku u tocki u(t0) i definiramo kut izmeduC1 i C2 u tocki u(t0) kao kut izmedu njihovih brzina u toj tocki.

3.3 Fundamentalne forme

DEFINICIJA 3.6 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U).(1) Funkcija gu : R

2 R2 R, gu(x,y) = (r(u)x|r(u)y), se zove prvafundamentalna forma od M u tocki u. Krace pisemo gu(x) = gu(x,x).

(2) Funkcija bu : R2R2 R, bu(x,y) = ( (u)x|r(u)y), se zove dru-

ga fundamentalna forma odM u tocki u. Krace pisemo bu(x) = bu(x,x).Ako je bu(x,y) = 0 onda kazemo da su x i y konjugirani smjerovi u u.

DEFINICIJA 3.7 Kazemo da je parametrizacija r plohe M :(1) ortogonalna ako je (r1|r2) = 0.(2) polugeodetska ako je ortogonalna i r1 = const ili r2 = const.(3) konformna ako je ortogonalna i r1 = r2.(4) harmonijska ako je r11 + r22 = 0.


PROPOZICIJA 3.8 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U).(1) gu(x,y) = (Gux|y), bu(x,y) = (Bux|y), za svaki x,y(2) gu(x,y) = E(u)x1y1 + F (u)[x1y2 + x2y1] +G(u)x2y2

Slicna formula vrijedi za bu(x,y).(3) r je ortogonalna ako i samo ako je F = 0.(4) r je konformna ako i samo ako je Gu = E(u)I, za svaki u.

Dokaz (1) Imamo gu(x,y) = (r(u)r(u)x|y) = (Gux|y) i slicno za bu. (2)

Slijedi iz (r(u)x|r(u)y) = (r1(u)x1 + r2(u)x2|r1(u)y1 + r2(u)y2) skalarnimmnozenjem. Dokaz za bu je slican. Tvrdnje (3) i (4) slijede iz 3.2.

KOROLAR 3.9 (1) Ako je C krivulja na M s parametrizacijom x(t) =r(u(t)) onda je x(t) Tu(t)M, za svaki t, i vrijedi x(t) = r(u(t))u(t) =r1(u(t))u

1(t) + r2(u(t))u

2(t), pri cemu je x(t)2 = gu(t)(u(t)).

(2) Ako su C1 i C2 krivulje na M s parametrizacijama x(t) = r(u(t)),t I, i y(s) = r(v(s)), s J, koje se sijeku u tocki u(t) = v(s), onda je kut izmedu C1 i C2 u tocki u(t) dan formulom

cos = gu(t)(u(t),v(s))/[gu(t)(u

(t))gu(t)(v(s))]1/2

(3) r1(u) i r2(u) su brzine koordinatnih krivulja u1 7 r(u) i u2 7r(u) u tocki u, dok je kut izmedu koordinatnih krivulja u tocki u dan

formulom cos = F (u)/[E(u)G(u)]1/2. Koordinatne krivulje su okomite utocki u ako i samo ako je F (u) = 0.

(4) Ako je parametrizacija r ortogonalna onda su koordinatne krivuljeokomite u svim tockama.

Dokaz Prva formula iz (1) slijedi po pravilima deriviranja slozene funkcije,a druga iz prve i prethodne propozicije. Tvrdnja (2) slijedi iz (1) i definicijekuta, dok (3) slijedi iz definicije koordinatnih krivulja i (2). Tvrdnja (4)slijedi iz (3).

3.4 Zakrivljenosti ploha

DEFINICIJA 3.10 Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r C(U),k1(u) i k2(u) svojstvene vrijednosti operatora Su, k2(u) k1(u), i x1(u) ix2(u) pripadni svojstveni vektori takvi da je gu(x1(u)) = gu(x2(u)) = 1.

Tada se k1(u) i k2(u) zovu glavne zakrivljenosti, a x1(u) i x2(u)glavni smjerovi plohe M u tocki u. Nadalje, K(u) = k1(u)k2(u) se zo-ve Gaussova zakrivljenost, a H(u) = 1

2(k1(u) + k2(u)) se zove srednja

zakrivljenost plohe M u tocki u.Ako je H = 0 onda se M zove minimalna ploha, a ako je K = 0 onda

se M zove razvojna ploha.


PROPOZICIJA 3.11 Neka je r C(U) parametrizacija i r C(V ),r(u) = r((u)), reparametrizacija od M. Tada vrijedi k1(u) = k1((u)),k2(u) = k2((u)), K(u) = K((u)), H(u) = H((u)), sto znaci da glavnezakrivljenosti te Gaussova i srednja zakrivljenost ne zavise od reparame-trizacije. Za glavne smjerove vrijede formule x1(u) =

(u)1x1((u)),x2(u) =

(u)1x2((u)).

Dokaz Po 3.4 je Su = (u)1S(u)

(u), sto znaci da Su i S(u) imaju istesvojstvene vrijednosti i vrijedi gornja formula za svojstvene vektore.

PROPOZICIJA 3.12 (1) Ako je Su matrica od Su onda vrijedi

Su =1

detGu

[Ge Ff Gf FgEf Fe Eg Ff

]

(2) K = (egf 2)/(EGF 2)(3) H = 1

2(Eg + eG 2Ff)/(EGF 2)

(4) k1 = H + (H2 K)1/2, k2 = H (H2 K)1/2

Dokaz Buduci da je detGu = EGF 2, Su = G1u Bu i

G1u =1

detGu

[G FF E

]

mnozenjem matrica dobijemo (1), a uzimanjem determinante i traga dobi-jemo (2) i (3). Nule svojstvenog polinoma 2 2H(u) + K(u) od Su suglavne zakrivljenosti pa dobijemo (4).

KOROLAR 3.13 Neka je M ploha s parametrizacijom r.(1) Ako je r ortogonalna onda je

K = (egf 2)/(EG), 2H = (Eg + eG)/(EG)(2) Ako je r polugeodetska i E = 1 onda je

K = (egf 2)/G, 2H = (g + eG)/G(3) Ako je r konformna onda je Gu = EI, Su = Bu/E i

K = (egf 2)/E2, 2H = (e+ g)/E(4) Ako je r konformna i harmonijska onda je K = (e2+f 2)/E2, H = 0

Dokaz Prve tri tvrdnje slijede neposredno iz prethodne propozicije, a cetvrtaiz e+ g = (r11 + r22|) = 0.


PROPOZICIJA 3.14 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U),u U , x R2, x 6= 0. Tada se u(x) = bu(x)/gu(x) zove normalnazakrivljenost od M u tocki u, u smjeru od x, i za nju vrijedi Eulerovaformula

u(x) = k1 cos2 + k2 sin

2

gdje je kut izmedu tangencijalnih vektora r(u)x i r(u)x1.Nadalje, vrijedi k2(u) u(x) k1(u), pri cemu se jednakosti dostizu

na svojstvenim vektorima operatora Su.Ako je u(x) = 0 onda kazemo da je x asimptotski smjer u tocki u.

Asimptotski smjer je sam sebi konjugiran.

Dokaz Zamijetimo da je u(tx) = u(x), za svaki t R, t 6= 0. Neka jex R2 i gu(x) = 1. Buduci da glavni smjerovi x1 i x2 cine bazu u R2,postoje 1, 2 R takvi da je x = 1x1 + 2x2. Za njih je 1 = gu(x,x1),2 = gu(x,x2),

21 +

22 = gu(x) = 1, pa je 1 = cos , 2 = sin . Nadalje,

za i = 1, 2, je Buxi = kiGuxi, (Buxi|xi) = ki i (Bux1|x2) = 0 pa imamou(x) = bu(x) = k1

21 + k2

22.

Nejednakosti slijede iz Eulerove formule za = 0 i = /2.

PROPOZICIJA 3.15 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U),u U , x R2 i x 6= 0. Nadalje, neka je u(x) = r(u) + Rr(u)x + R(u)i Cu(x) = u(x) M. Tada se krivulja Cu(x) zove normalni presjek odM u tocki u, u smjeru vektora x. Ako je x(t) = r(u(t)) parametrizacija odCu(x), takva da je u(t) = u i u

(t) = x, za neki t, onda je fleksija (t)krivulje Cu(x) u tocki t, jednaka u(x).Dokaz Buduci da je x(t) = r1(u(t))u

1(t) + r2(u(t))u

2(t) dobijemo

x(t) = r11(u(t))u1(t)

2 + 2r12(u(t))u1(t)u

2(t) + r22(u(t))u

2(t)

2

+ r1(u(t))u1(t) + r2(u(t))u

2(t)

a kako je v(t)2 = x(t)2 = gu(x) i n(t) = (u), imamo v(t)2(t) =(x(t)|n(t)) = (x(t)|(u)) = bu(x). Dakle, (t) = bu(x)/v(t)2 =u(x). Ovdje smatramo da fleksija (t) ravninske krivulje Cu(x) mozebiti i negativna kao u 2.11, (2).

LEMA 3.16 Neka je M ploha u s parametrizacijom r C(U). Tada zaoperator Cu =

(u) (u) vrijedi(1) (u) = r(u)Su = Sur(u)(2) Cu = S

uGuSu = BuSu = S

uBu

(3) Cu = KGu + 2HBu(4) detCu = K

2 detGu


Dokaz Prve dvije tvrdnje slijede iz definicije operatora. Operator Su po-nistava svoj karakteristicni polinom tj. S2u 2H(u)Su + K(u)I = 0 pamnozeci ovu relaciju slijeva sa Gu dobijemo (3), a uzimanjem determinanteu (2) dobijemo (4).

PROPOZICIJA 3.17 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U).Tada se funkcija cu : R

2 R2 R, cu(x,y) = ( (u)x| (u)y), zove trecafundamentalna forma plohe M u tocki u i za nju vrijedi

(1) cu(x,y) = (Cux|y)(2) cu(x,y) = Kgu(x,y) + 2Hbu(x,y)(3) cu(x) = cu(x,x) 0(4) 2Hu(x) K(5) Ako je x asimptotski smjer onda je cu(x) = Kgu(x)

Dokaz Prve dvije tvrdnje slijede iz prethodne leme, formule (1) i (3). Buducida je Cu 0 dobijemo trecu tvrdnju, dok cetvrta slijedi iz druge i trece zax = y. Posljednja formula slijedi iz druge.

PROPOZICIJA 3.18 Za cu vrijedi Eulerova formula

cu(x)/gu(x) = k21 cos

2 + k22 sin2

gdje je kut izmedu tangencijalnih vektora r(u)x i r(u)x1.

Dokaz Koristimo iste oznake kao u dokazu od 3.14. Ako je x = 1x1 +2x2i gu(x) = 1, onda je cu(x) = (S

ur

x|Surx) = 1k1rx1 + 2k2rx22 =k21

21 + k

22

21, gdje je 1 = cos , 2 = sin .

PROPOZICIJA 3.19 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U).Tada se funkcija du : R

2 R2 R, definirana formulom2du(x,y) = [r

(u)x,(u), (u)y] + [r(u)y,(u), (u)x]

zove cetvrta fundamentalna forma plohe M u tocki u i za nju vrijedi(1) du(x,y) = (Dux|y), gdje je Du = (detGu)1/2J(H(u)I Su), a J

operator rotacije za pravi kut. Matrica od Du je dana sa

Du =12(detGu)

1/2

[2s21 s22 s11

s22 s11 2s12

], J =

[0 11 0

]

pri cemu je Su = [sij] matrica operatora oblika.(2) detDu = 14(k1 k2)2 detGu = (K H2) detGu(3) bu(x)

2 + du(x)2 = gu(x)cu(x), gdje je du(x) = du(x,x)

(4) du(x)2 = Kgu(x)2 + 2Hgu(x)bu(x) bu(x)2


Dokaz (1) [rx,, y] = [rx, rSuy,], za svaki x,y. Nadalje, rx rSuy+

ry rSux je jednak [2s21x1y1 + (s22 s11)(x1y2 + x2y1) 2s12x2y2]r1 r2pa mnozeci skalarno ovu formulu sa dobijemo da je 2du(x,y) jednak[2s21x1y1+(s22s11)(x1y2+x2y1)2s12x2y2](detGu)1/2, iz cega slijedi tvrd-nja. Tvrdnja (2) slijedi uzimanjem determinante u (1).

Imamo r(u)x (u)x2 = r(u)x2 (u)x2 (r(u)x| (u)x)2 stoje jednako gu(x)cu(x) bu(x)2. Nadalje, r(u)x (u)x je kolinearan sa pa je du(x)

2 = (r(u)x (u)x|(u))2 = r(u)x (u)x2, iz cega slijede(3) i (4) po 3.17, formula (2).

PROPOZICIJA 3.20 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U),u U , x R2, x 6= 0. Tada se u(x) = du(x)/gu(x) zove geodetska tor-zija od M u tocki u, u smjeru od x, i za nju vrijedi Bonnetova formula

u(x) = (k2 k1) cos sin

gdje je kut izmedu tangencijalnih vektora r(u)x i r(u)x1.

Dokaz Koristimo iste oznake kao u dokazu Propozicije 3.14. Zamijetimo daje u(tx) = u(x), za svaki t 6= 0. Buduci da je (u) = r(u)Su dobijemo[r(u)x,(u), (u)x] = [r(u)x, r(u)Sux,(u)] pa za x = 1x1 + 2x2 igu(x) = 1 imamo r

x rSux = (1rx1 + 2rx2) (1k1rx1 + 2k2rx2) =(k2 k1)12rx1 rx2, a kako je (rx1, rx2,) ortonormirana baza odR

3 dobijemo [rx, rSux,] = (k2 k1)12, iz cega slijedi tvrdnja, zbog1 = cos , 2 = sin .

KOROLAR 3.21 u(x) = 0 ako i samo ako je x svojstveni vektor od Su.

Dokaz Po prethodnoj propoziciji je u(x) = 0 ako i samo ako je k2 = k1,a onda je svaki vektor svojstveni, ili je cos sin = 0 sto znaci da je xproporcionalan sa x1 ili sa x2.

KOROLAR 3.22 Vrijede formule(1) u(x)

2 + u(x)2 = cu(x)/gu(x)

(2) u(x)2 = K + 2Hu(x) u(x)2

Dokaz Tvrdnje slijede iz 3.19, (3) i (4).

KOROLAR 3.23 Ako je x asimptotski smjer onda je u(x)2 = K(u).

Dokaz Stavimo u prethodnom korolaru u(x) = 0.


DEFINICIJA 3.24 Kazemo da je tocka r(u) M :(1) elipticka ako je K(u) > 0(2) hiperbolicka ako je K(u) < 0(3) parabolicka ako je K(u) = 0 i H(u) 6= 0(4) planarna ako je K(u) = H(u) = 0(5) umbilicka ako je k1(u) = k2(u).

PROPOZICIJA 3.25 Neka je M ploha u R3. Tada vrijedi(1) U eliptickoj tocki plohe nema asimptotskih smjerova.(2) U hiperbolickoj tocki postoje dva asimptotska smjera y1 i y2, gdje je

y1 = a1x1 + a2x2, y2 = a1x1 + a2x2, pri cemu su x1 i x2 glavni smjerovi ia1 = (k2)1/2/(k1 k2)1/2, a2 = k1/21 /(k1 k2)1/2.

Nadalje, kut izmedu tangencijalnih vektora r(u)y1 i r(u)y2 je dan

formulom cos = H/(H2 K)1/2.(3) U parabolickoj tocki postoji samo jedan asimptotski smjer i on je x1,

za k1 = 0, odnosno x2, za k2 = 0.(4) U planarnoj tocki je svaki smjer asimptotski.

Dokaz (1) Ako je K(u) > 0 onda je operator Bu strogo pozitivan ili negati-van pa nema asimptotskih smjerova. (2) Ako je x = 1x1+2x2 asimptotskismjer i gu(x) = 1 onda je u(x) = 0 i cu(x) = K(u) pa po Eulerovim for-mulama dobijemo: k1

21 + k2

22 = 0, k

21

21 + k

22

22 = K, gdje je 1 = cos ,

2 = sin . Ovaj sustav jednadzbi ima dva rjesenja: 1 = a1, 2 = a2 te1 = a1, 2 = a2, pa smo time dobili asimptotske smjerove, dok za kut imamo cos = gu(y1,y2) = 21 + 22 = (k1 + k2)/(k1 k2) sto je jednakoH/(H2 K)1/2. (3) Ako je K = 0 i H 6= 0 onda gornji sustav jednadzbi imarjesenje 1 = 1, 2 = 0, za k1 = 0, odnosno 1 = 0, 2 = 1, za k2 = 0. (4)Ako je K = H = 0 onda je Bu = 0 pa je bu = 0.

KOROLAR 3.26 Ako je K(u) < 0 onda za asimptotske smjerove y1 i y2vrijede formule

(1) u(y1) = (K(u))1/2, u(y2) = (K(u))1/2(2) u(y1)u(y2) = K(u)

Dokaz (1) Po prethodnoj propoziciji i Bonnetovoj formuli imamo u(y1) =2a1a2du(x1,x2) = a1a2(k2 k1) iz cega slijedi prva formula, i slicno druga.(2) Slijedi iz (1).

DEFINICIJA 3.27 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U) i Ckrivulja na M s parametrizacijom x C(I), x(t) = r(u(t)).


(1) Kazemo da je C glavna krivulja (ili krivulja zakrivljenosti) od Mako je u(t) svojstveni vektor operatora Su(t), za svaki t, tj. ako je x

(t)

svojstveni vektor operatora Su(t), za svaki t.

(2) Kazemo da je C asimptotska krivulja od M ako je bu(t)(u(t)) = 0,

za svaki t, tj. ako je u(t) asimptotski smjer u tocki u(t), za svaki t.

PRIMJERI 3.28

(1) Svaki otvoreni skup U R2 je regularna ploha s parametrizacijom r :U R2 R3, r(u) = u, pri cemu je (u) = e3, za svaki u U , pa jer(u) = I, (u) = 0, Gu = I, Bu = Su = 0.

Prema tome sve zakrivljenosti su jednake nuli.(2) Neka je a R3 i neka su b1,b2 R3 nezavisni vektori. Nadalje, neka jeM = a+Rb1+Rb2 ravnina u R

3 s parametrizacijom r(u) = a+u1b1+u2b2.Tada je r1 = b1, r2 = b2 i r1 r2 = b1 b2, pa je Bu = Su = 0 i svezakrivljenosti su jednake nuli. Sve tocke u ravnini M su planarne iumbilicke.(3) Ako je f : R2 R glatka funkcija onda je njezin graf G(f) ploha sparametrizacijom r(u) = (u1, u2, f(u)) i za nju vrijedi r1r2 = (f1,f2, 1),rij = fije3, gdje je fi = if i fij = ijf . Nadalje, E = 1 + f

21 , F = f1f2,

G = 1 + f 22 , e = f11/h, f = f12/h, g = f22/h, gdje je h = (1 + f 2)1/2.Prema tome je K = (f11f22 f 212)/h4 i

2h3H = (1 + f 21 )f22 + (1 + f22 )f11 2f1f2f12

(4) Neka je S2 = {x R3; x = 1} jedinicna sfera u R3.(a) Ako je r : R2 R3, r(u) = (2u1, 2u2, u2 1)/(u2 + 1), onda

je r konformna parametrizacija i Gu = 4I/(u2 + 1)2. Nadalje, = ri Bu = Gu, Cu = Gu, Su = I, iz cega slijedi k1 = k2 = 1, K = 1,H = 1, Du = 0. Prema tome sve tocke na sferi su elipticke i umbilicke.Ista tvrdnja vrijedi i za inverz stereografske projekcije iz juznog pola.

(b) Neka je r(u) = (2(1 u2)1/2u1, 2(1 u2)1/2u2, 2u2 1), zau D2. Tada je r parametrizacija od S2\{e3} i

Gu = 4(1 u2)I + 42 u2

1 u2Pu

gdje je Pux = (x|u)u. Nadalje, F (u) = 4(2 u2)u1u2/(1 u2) pa jeBu = Gu, Su = I, Cu = Gu, Du = 0. Zamijetimo da je detGu = 16.

(c) Neka je K = [0, 2] (/2, /2) R2 i r : K R3,

r(u) = (cos u1 cos u2, sinu1 cos u2, sinu2)


Tada je r polugeodetska parametrizacija od S2\{e3,e3}, E(u) = cos u2,F = 0, G = 1, a svi operatori su kao i prije.(5) Parametrizaciju r sfere M = rS2 + a, sa sredistem u a R3, polumjerar > 0, dobijemo tako sto odaberemo neku parametrizaciju r od S2 i stavimor(u) = rr(u) + a. Tada je = r normala na M i

Gu = r2r(u)r(u), Bu = 1rGu, Cu = 1rBu, Du = 0

pa je Su = 1rI, k1 = k2 = 1/r, K = 1/r2, H = 1/r.(6) Neka je C krivulja u R3 s parametrizacijom x C(I), zadanom sax(t) = (x1(t), 0, x3(t)), x1(t) > 0, t I. Definiramo plohu M s parametriza-cijom r :[0, 2] I R3,

r(u) = (x1(u2) cos u1, x1(u2) sinu1, x3(u2))

Tada se M zove rotacijska ploha i ona se dobije rotiranjem krivulje C okotrece koordinatne osi. Prva koordinatna krivulja u1 7 r(u1, u2) je kruznicapolumjera x1(u2) i zove se paralela od M, na geografskoj sirini u2, dok sedruga u2 7 r(u1, u2) zove meridijan, na geografskoj duzini u1. Zamijetimoda se nulti meridijan tj. sama krivulja C, pokrije dvaput, za u1 = 0 i u1 = 2.Imamo r1 r2 = x1(u2)(x3(u2) cos u1, x3(u2) sinu1,x1(u2)).

Dakle, r1 r2 = x1(u2)x(u2). Nadalje, E = x1(u2)2, F = 0, G =x(u2)2, dok je f = 0, e = x1(u2)x3(u2)/x(u2) pri cemu za g vrijedig = (x1(u2)x

3(u2) x1(u2)x3(u2))/x(u2). Kako je F = 0 i f = 0 za-

kljucujemo da se operatori Gu, Bu i Su dijagonaliziraju u standardnoj bazi,pa su koordinatne krivulje tj. meridijani i paralele, glavne krivulje plohe M .Nadalje, k1 = e/E, k2 = g/G, K = eg/(EG) i 2H = e/E + g/G.

Ako je x prirodna parametrizacija od C onda je k1 = x3(u2)/x1(u2),k2 = x

1(u2)x

3(u2) x1(u2)x3(u2), pa je K = x1(u2)/x1(u2), zbog uvjeta

(x(t)|x(t)) = 1 i (x(t)|x(t)) = 0.Posebni slucaj rotacijske plohe je torus koji se dobije rotacijom kruznice

C sa redistem a = Re1, polumjera r, pri cemu je R > r. Ako je kruznicazadana sa x(t) = (R + r cos t, 0, r sin t), onda za torus dobijemo

r(u) = ((R + r cos u2) cos u1, (R + r cos u2) sinu1, r sinu2)

Meridijani i paralele torusa su kruznice i K = 1rcos u2/(R + r cos u2).

Dakle, vanjske tocke torusa su elipticke (za u2 < /2 ili u2 > 3/2),unutrasnje tocke su hiperbolicke (za /2 < u2 < 3/2), dok su tocke sgornje i donje kruznice parabolicke (za u2 = /2 ili u2 = 3/2).(7) Kako naci sve rotacijske plohe konstantne Gaussove zakrivljenosti?Pretpostavimo da je krivulja C zadana prirodnom parametrizacijom. Tada


je x(t) = 1, t I i K(u) = K, u U, pa imamo sustav diferencijalnihjednadzbi: x1(t) +Kx1(t) = 0, x

1(t)

2 + x3(t)2 = 1. Ovaj sustav ima vise

rjesenja npr. sferu polumjera r = K1/2, za K > 0, ravninu za K = 0,ali i neke plohe za K < 0. Plohu M cija je Gaussova zakrivljenost kons-tantna i negativna zovemo hiperbolicka ravnina. Rotacijska ploha M sparametrizacijom r :[0, 2] (0, ) R3,

r(u) = (r sin u2 cos u1, r sinu2 sinu1, r cos u2 + r log tg(u2/2))

se zove pseudosfera. Ona se dobije rotacijom krivulje x C(0, ),x(t) = (r sin t, 0, r cos t+ r log tg(t/2))

koja se zove traktrisa. Za M vrijedi F = f = 0, E = r2 ctg2 u2, G =r2 sin2 u2, e = r ctg u2, g = r sinu2 cos u2, pa je k1 = 1r ctg u2, k2 = 1r tg u2,iz cega slijedi H = 1

rctg 2u2, K = 1/r2, sto znaci da je M hiperbo-

licka ravnina. Asimptotske krivulje na pseudosferi M su zadane uvjetomlog tg(u2/2) u1 = const.(8) Rotacijska ploha M s parametrizacijom r :[0, 2] R R3, zadana sar(u) = (r cos u1, r sinu1, u2), gdje je r > 0, se zove cilindar nad kruznicom,a dobije se rotacijom pravca = re1 + Re3, oko trece osi. Za nju vrijediE = r2, F = 0, G = 1 i e = r, f = 0, g = 0, pa je k1 = 1/r, k2 = 0, K = 0,H = 1/(2r), sto znaci da je M razvojna ploha, a ujedno i degeneriranakvadrika.

Rotacijska ploha M s parametrizacijom r :[0, 2] R R3, zadana sar(u) = (ch u2 cos u1, ch u2 sinu1, u2), se zove katenoid. Za njega je H = 0 iK = 1/ ch4 u2, sto znaci da je katenoid minimalna ploha.

Asimptotske krivulje katenoida su dane uvjetom u1 u2 = const.(9) Neka su C1 i C2 krivulje u R

3 s parametrizacijama x,y C(I) i Mploha s parametrizacijom r :I J R3,

r(u) = x(u1) + u2y(u1)

Tada se M zove pravcasta ploha. Krivulja C1 se zove direktrisa plohe M.Ako je x(t) = x0 R3, t I, onda se M zove konus. Ako je C1 ravninskakrivulja, a y(t) = y0 R3, t I, onda se M zove cilindar nad C1. Ako jey(t) = x(t), t I, onda se M zove tangencijalna ploha krivulje C1. Akoje y(t) = n(t), t I, gdje je n(t) normala na C1, onda se M zove normalnaploha od C1. Ako je y(t) = b(t), t I, gdje je b(t) binormala na C1, ondase M zove binormalna ploha od C1.

Opcenito M nije regularna ploha pa se razmatraju specijalni slucajevi.Za M imamo r1 = x

(u1) + u2y(u1), r2 = y(u1), r12 = y

(u1) i r22 = 0 pa jeg = 0 i f = [x(u1),y(u1),y

(u1)]/r1 r2.


Dakle, K = [x(u1),y(u1),y(u1)]2/r1 r23 pa zakljucujemo da jeGaussova zakrivljenost od M negativna.

(a) Ako je M konus ili cilindar onda je K = 0.(b) Pravcasta ploha M se zove helikoid ako su krivulje C1 i C2 dane sa

x(t) = ate3, y(t) = cos te1 + sin te2, pa je parametrizacija helikoida

r(u) = x(u1) + u2y(u1) = (u2 cos u1, u2 sinu1, au1), u R2

Za njega vrijedi r1 r2 = (a2 + u22)1/2, E = a2 + u22, F = 0, G = 1, e = 0,f = a(a2+u22)1/2, g = 0, pa imamo K = a2(a2+u22)2, H = 0, pri cemuje k1 = a(a

2 + u22)1, k2 = a(a2 + u22)1. Helikoid je minimalna ploha.

Koordinatne krivulje helikoida su asimptotske krivulje.(c) Ako je x prirodna parametrizacija od C1 onda za tangencijalnu

plohu od C1 vrijedi E(u) = 1 + (u1)2u22, F = 1, G = 1, dok je f = g = 0,

e(u) = (u1) (u1)u2, pa je K = 0, H = (u1)/(2(u1)u2). Tangencijalnaploha nije regularna za u2 = 0 tj. u tockama krivulje C1. Glavne krivuljena M su dane uvjetima u1 = const, u1 + u2 = const.

(d) Ako je x prirodna parametrizacija od C1 onda za normalnu plohuod C1 vrijedi E(u) = (1 (u1)u2)2 + (u1)2u22, F = 0, G = 1, i

K(u) = (u1)2

E(u)2, H(u) =

[(u1) (u1) (u1)(u1)]u22 + (u1)u22E(u)3/2

Krivulja C1 je asimptotska krivulja svoje normalne plohe.(e) Ako je x prirodna parametrizacija od C1 onda za binormalnu plohu

od C1 vrijedi E(u) = 1 + (u1)2u22, F = 0, G = 1, i

K(u) = (u1)2

E(u)2, H(u) =

(u1) + (u1) (u1)2u22 (u1)u2

2E(u)3/2

3.5 Krivulje na plohama

PROPOZICIJA 3.29 (Rodrigues)Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r C(U) i C krivulja na M s

parametrizacijom x C(I), x(t) = r(u(t)), te y C(I), y(t) = (u(t)).Tada je C glavna krivulja od M ako i samo ako postoji glatka funkcija :I R takva da je y(t) + (t)x(t) = 0, t I.

Dokaz Ako postoji C(I) takva da je y(t) = (t)x(t), t I, onda je(u(t))u(t) = (t)r(u(t))u(t) pa je Bu(t)u(t) = (t)Gu(t)u(t) odnosno

Su(t)u(t) = (t)u(t) sto znaci da je u(t) svojstveni vektor od Su(t).

Obrat se dokazuje slicno.


PROPOZICIJA 3.30 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U) iC krivulja na M s parametrizacijom x C(I), x(t) = r(u(t)).

(1) C je glavna krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadzbu

u2(t)

2 u1(t)u2(t) u1(t)2E(u(t)) F (u(t)) G(u(t))e(u(t)) f(u(t)) g(u(t))

= 0

koju zovemo diferencijalna jednadzba glavnih krivulja.(2) Koordinatne krivulje su glavne ako i samo ako je F = f = 0.

Dokaz (1) C je glavna krivulja ako i samo ako postoji glatka funkcija :I R takva da je Su(t)u(t) = (t)u(t), sto se moze zapisati u obliku

(Ge Ff)u1 + (Gf Fg)u2 = (EG F 2)u1(Ef Fe)u1 + (Eg Ff)u2 = (EG F 2)u2

pa je (Ef Fe)u1(t)2 + (Eg Ge)u1(t)u2(t) + (Fg Gf)u2(t)2 = 0, aovo se drukcije zapisuje u obliku gornje determinante. (2) Operator Su sedijagonalizira u standardnoj bazi ako i samo ako je F = f = 0.

PROPOZICIJA 3.31 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U) iC krivulja na M s parametrizacijom x C(I), x(t) = r(u(t)).

(1) C je asimptotska krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadzbu

e(u(t))u1(t)2 + 2f(u(t))u1(t)u

2(t) + g(u(t))u

2(t)

2 = 0

koju zovemo diferencijalna jednadzba asimptotskih krivulja.(2) Koordinatne krivulje su asimptotske ako i samo ako je e = g = 0.

Dokaz (1) C je asimptotska krivulja ako i samo ako vrijedi bu(t)(u(t)) = 0, za

svaki t I, sto se drukcije zapisuje u obliku gornje diferencijalne jednadzbe.(2) Koordinatne krivulje su asimptotske ako i samo ako je u(e1) = 0 iu(e2) = 0, sto se svodi na e = 0 i g = 0.

DEFINICIJA 3.32 Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r C(U)i C krivulja na M s parametrizacijom x C(I), x(t) = r(u(t)). Ako jem(t) = (u(t)) i ng(t) = m(t) t(t) onda se m(t) zove plosna normala,ng(t) se zove geodetska normala, a (t(t),ng(t),m(t)) se zove geodetskitrobrid krivulje C u tocki t.


DEFINICIJA 3.33 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U) i Ckrivulja na M s parametrizacijom x C(I), x(t) = r(u(t)), trobridom(t,n,b) i fleksijom .

(1) Funkcija g : I R, g(t) = (t)(n(t)|ng(t)), se zove geodetskazakrivljenost ili geodetska fleksija od C.

Kazemo da je C geodetska krivulja ako je g = 0.(2) Funkcija n : I R, n(t) = (t)(n(t)|m(t)), se zove normalna

zakrivljenost ili normalna fleksija od C.(3) Funkcija g : I R, g(t) = [x(t),m(t),m(t)]/x(t)2, se zove

geodetska torzija od C.

PROPOZICIJA 3.34 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U) iC krivulja na M s parametrizacijom x C(I), x(t) = r(u(t)). Tada zasvaki t I vrijede sljedece tvrdnje

(1) 2 = 2g + 2n

(2) n(t) = u(t)(u(t))

(3) g(t) = [x(t),x(t),m(t)]/x(t)3

(4) g(t) = u(t)(u(t))

(5) Funkcije n, g i g ne zavise od reparametrizacije.

Dokaz (1) Prikaz vektora n u ortonormiranoj bazi (t,ng,m) je dan for-mulom n = gng+nm pa tvrdnja slijedi uzimanjem norme. (2) Po prvojFrenetovoj formuli je t = xn pa je n = (t|m)/x = (t|m)/x =(x|m)/x2 = (r(u)u| (u)u)/x2 = bu(u)/gu(u) = u(u). (3)Slijedi iz g = (b|m) i x x = x3b, po 2.7, a (4) iz 3.20, dok je (5)evidentno buduci da oba trobrida i fleksija ne zavise od reparametrizacije.

KOROLAR 3.35 Neka je C krivulja na M. Tada vrijedi(1) C je asimptotska krivulja ako i samo ako je n = 0.(2) C je glavna krivulja ako i samo ako je g = 0.

Dokaz (1) slijedi iz prethodne propozicije, formula (2), a (2) iz 3.21.

KOROLAR 3.36 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U) i Ckrivulja na M s parametrizacijom x C(I), x(t) = r(u(t)).

(1) C je geodetska krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadzbu

[x(t),x(t),m(t)] = 0, t I

(2) C je glavna krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadzbu

[x(t),m(t),m(t)] = 0, t I


Dokaz Tvrdnje slijede iz 3.34 i 3.35.

PROPOZICIJA 3.37 Za geodetski trobrid krivulje vrijedi(1) t = vgng + vnm(2) ng = vgt+ v gm(3) m = vnt v gng

Dokaz Zamijetimo da je geodetski trobrid ortonormirana baza od R3 pase t, ng i m

mogu prikazati kao linearne kombinacije vektora geodetskogtrobrida. Formula (1) je dokazana u 3.34. Derivirajuci evidentne relacije(t|t) = (ng|ng) = (m|m) = 1 i (t|ng) = (t|m) = (ng|m) = 0 dobijemopreostale dvije.

KOROLAR 3.38 Vektor g = v gt vnng + vgm se zove geodetskakutna brzina od C i vrijedi t = g t, ng = g ng, m = g m.Dokaz Tvrdnja neposredno slijedi iz prethodne propozicije.

KOROLAR 3.39 v2( g) = gn ngDokaz Iz 2.7 slijedi [t, t, t] = v32 , a iz prethodne propozicije dobijemo[t, t, t] = v2(g

n ng) + v32 g pa slijedi tvrdnja.

KOROLAR 3.40 Neka je C krivulja na M . Tada vrijedi(1) Ako je C asimptotska krivulja onda je n = 0, |g| = , g = .(2) Ako je C geodetska krivulja onda je g = 0, |n| = , g = .(3) Ako je C glavna krivulja onda je g = 0, n(t) = k1(u(t)) ili k2(u(t)).

Dokaz Tvrdnje slijede iz 3.37, 3.39 i Frenetovih formula.

KOROLAR 3.41 g(t)2 = K(u(t)) + 2H(u(t))n(t) n(t)2

Dokaz Dokaz slijedi iz 3.22 i 3.34.

KOROLAR 3.42 Ako je C asimptotska krivulja na M onda za njezinutorziju vrijedi Beltramijeva formula (t)2 = K(u(t)), t I.Dokaz Slijedi iz prethodna dva korolara.

PROPOZICIJA 3.43 Neka je M ploha za koju je K < 0. Tada vrijedi(1) Kut izmedu asimptotskih krivulja je dan sa cos = H/(H2K)1/2.(2) Asimptotske krivulje od M su okomite u svim tockama ako i samo ako

je M minimalna ploha.(3) Ako su 1 i 2 torzije asimptotskih krivulja, koje se sijeku u tocki

r(u(t)), onda vrijedi 1(t) 2(t) = K(u(t)), t I.


Dokaz (1) Buduci da su sve tocke od M hiperbolicke, po 3.25 u svakoj tockipostoje dva asimptotska smjera, koji se sijeku pod kutom , sto znaci da seasimptotske krivulje s tim brzinama takoder sijeku pod kutom . (2) = /2ako i samo ako je H = 0. (3) Slijedi iz 3.26.

KOROLAR 3.44 Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U).(1) Normalna zakrivljenost koordinatnih krivulja je dana sa

n = e/E ; n = g/G

(2) Geodetska zakrivljenost koordinatnih krivulja je dana sa

g = [r1, r11,]/r13 ; g = [r2, r22,]/r23

(3) Geodetska torzija koordinatnih krivulja je dana sa

g = [r1,,1]/r12 ; g = [r2,,2]/r22

Dokaz Dokaz slijedi iz 3.34, formule (2), (3) i (4).

PRIMJERI 3.45

(1) Neka je M rotacijska ploha iz 3.28, (6).(a) Meridijan odM, na geografskoj duljini u1, ima parametrizaciju x(u2) =

r(u), pa je x(u2) = r2(u) i x(u2) = r22(u). Za njega vrijedi g = 0, sto

znaci da je meridijan geodetska krivulja od M.(b) Paralela od M, na geografskoj sirini u2, ima parametrizaciju x(u1) =

r(u), pa je x(u1) = r1(u) i x(u1) = r11(u). Paralela nije geodetska

krivulja, osim za x1(u2) = 0.(c) Meridijani i paralele su glavne krivulje na M pa su njihove normalne

zakrivljenosti jednake glavnim zakrivljenostima od M.(d) Geodetska zakrivljenost paralele pseudosfere je dana sa g(u1) = 1/r,

za 0 < u2 < /2, g(u1) = 1/r, za /2 < u2 < .(2) Vrijede sljedece tvrdnje:

(a) Pravci su geodetske krivulje u ravini. Svaka geodetska krivuljau ravnini je dio nekog pravca. Ako je C pravac ili dio pravca na plohi Monda je C geodetska krivulja. Naime, tada je [x(t),x(t),m(t)] = 0 zbogtoga sto je t 7 x(t) linearna funkcija pa je x(t) = 0, za svaki t.

(b) Neka je M sfera u R3 polumjera R i C kruznica na M polumjera r.Tada je geodetska zakrivljenost od C dana formulom g = (R

2r2)1/2/(Rr).Ako je R = r onda se C zove velika kruznica na M i ona je geodetskakrivulja na M. Svaka geodetska krivulja na M je dio neke velike kruznice.


(c) Neka jeM helikoid s parametrizacijom r(u) = (u2 cos u1, u2 sinu1, au1).Prva koordinatna krivulja od M je obicna cilindricna spirala. Njezina ge-odetska zakrivljenost je dana sa g(u1) = u2/(u

22 + a

2). Druga koordinatnakrivulja od M je pravac pa je geodetska krivulja od M.

(d) Krivulja je geodetska i asimptotska ako i samo ako je dio pravca.Naime, tada je = g = 0.

(e) Geodetska krivulja je glavna ako i samo ako je ravninska. Naime,tada je = g = 0.

(f) Ako je krivulja asimptotska i glavna onda je = g = 0, K(u(t)) =0, za svaki t, i m(t) = const.

(g) Svaka krivulja je geodetska krivulja svoje binormalne plohe iasimptotska krivulja svoje normalne plohe.(3) Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r C(U) i C krivulja na Ms parametrizacijom x C(I), x(t) = r(u(t)). Ako se materijalna tockamase m giba po C pod djelovanjem vanjske sile f , onda je jednadzbagibanja dana sa mx(t) = f(t) + Rm(t) |R|t(t), gdje je R reakcijapodloge, a koeficijent trenja. Ako jednadzbu gibanja pomnozimo ska-larno sa x(t)m(t) dobijemo m[x(t),x(t),m(t)] = [x(t), f(t),m(t)].

Ako nema vanjske sile tj. ako je f = 0, onda je [x(t),x(t),m(t)] = 0,sto znaci da se materijalna tocka giba po geodetskoj krivulji.(4) Neka jeM ploha i r(u) = (f1(u1), f2(u1), u2). Ako je C geodetska krivuljana M onda je C pravac, koji je paralelan trecoj osi, ili je C zadana uvjetomu2 = u1 + , i ima parametrizaciju x(t) = (f1(t), f2(t), t+ ).(5) Neka je C krivulja s prirodnom parametrizacijom x C(I), r > 0,r(s) < 1, s I, i M ploha s parametrizacijom r :I [0, 2] R3,

r(u) = x(u1) + rn(u1) cos u2 + rb(u1) sinu2

gdje su n i b normala i binormala od C.Tada se M zove tubularna ploha od C i za nju vrijedi(a) r1 r2 = r(1 r(u1) cos u2)(b) E = (1 r(u1) cos u2)2 + r2 (u1)2, F = r2(u1), G = r2(c) Gaussova i srednja zakrivljenost od M su dane sa

K(u) = (u1) cos u2r(1 r(u1) cos u2) , H(u) =

1

2r (u1) cos u2

2(1 r(u1) cos u2)(d) Glavne krivulje od M su dane uvjetom u1 = const, sto je kruznica,

te uvjetom u2 +(u1)du1 = const.

(e) Buduci da je r22 = r dobijemo [r2, r22,] = 0, sto znaci da je drugakoordinatna krivulja ujedno i geodetska krivulja na M.


(f) Ako je C kruznica polumjera R > r onda je M torus tj. torus jetubularna ploha kruznice. U ovom slucaju je binormala konstantna.(6) Ako je parametrizacija plohe M polugeodetska i E = const, onda je prvakoordinatna krivulja geodetska.(7) Ako je x C(I) injektivna parametrizacija krivulje C na plohi M,[a, b] I i C1 = x([a, b]) onda se

(C1) =C1

gdl = bag(t)x(t)dt

zove totalna geodetska zakrivljenost od C1. Ona ne zavisi od reparame-trizacije i vrijedi |(C1)| m|C1|, gdje je m = maxatb |g(t)|.

(a) Ako je C kruznica u ravnini polumjera r onda je g = 1/r pa zatotalnu geodetsku zakrivljenost od C dobijemo (C) = 2rg = 2.

(b) Ako je C jednostavna zatvorena krivulja u ravnini onda za totalnugeodetsku zakrivljenost vrijedi (C) = 2, pri cemu predznak zavisi odorijentacije krivulje. Ova tvrdnja se zove Hopfov teorem, a popularnija jepod njemackim nazivom Hopf Umlaufsatz.

(c) Ako je C suprotna krivulja od C, s parametrizacijom x C(I),x(t) = x(t), onda je t(t) = t(t), ng(t) = ng(t) i m(t) =m(t) pa jen(t) = n(t), g(t) = g(t) i g(t) = g(t), dok za totalnu geodetskuzakrivljenost dobijemo (C1) = (C1). Dakle, normalna zakrivljenost igeodetska torzija ne zavise od orijentacije krivulje, dok geodetska zakriv-ljenost i totalna geodetska zakrivljenost mijenjaju predznak pri promjeniorijentacije krivulje.

3.6 Preslikavanja ploha

PRIMJERI 3.46 U sljedecim primjerima uvodimo neke nove pojmove, kojisu standardni u teoriji ploha, i dopunjujemo prethodnu teoriju.

(1) Neka su V1 i V2 otvoreni podskupovi od R3 i f : V1 V2 glatka bijekcija

takva da je f1 : V2 V1 takoder glatka. Tada se f zove difeomorfizam.Ako je f difeomorfizam onda je det f (x) 6= 0, x V1. Kazemo da f cuvaorijentaciju ako je det f (x) > 0, x V1.

Neka je M ploha s parametrizacijom r C(U), f : V1 V2 dife-omorfizam, M V1 i M = f(M) ploha s parametrizacijom r C(U),r(u) = f(r(u)). Tada kazemo da su M i M difeomorfne plohe.

Kazemo da suM iM = f(M) konformne ili konformno ekvivalentneako je f difeomorfizam i postoji glatka funkcija : U R\{0} ta

Documents

Diferencijalna Geometrija, Split, Ljuban Dedic