DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/matematika/Nastavni materijali/dig.pdf · Predgovor Ova skripta je napisana s namjerom da pomogne studentima Prirodoslovno-matematiˇckog

Ljuban Dedic

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJAskripta

04.06.2008

Sadrzaj

Predgovor ii

1 Uvod 1

2 Krivulje 92.1 Osnovna svojstva krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Fleksija i torzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Frenetove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Plohe 223.1 Osnovna svojstva ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Metricki operator i operator oblika . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Fundamentalne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Zakrivljenosti ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Krivulje na plohama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Preslikavanja ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Predgovor

Ova skripta je napisana s namjerom da pomogne studentima Prirodoslovno-matematickog fakulteta Sveucilista u Mostaru pri polaganju ispita iz kolegijaUvod u diferencijalnu geometriju. U njoj se izlaze elementarna klasicnateorija krivulja i ploha u trodimenzionalnom realnom euklidskom prostoru.

Podijeljena je u tri poglavlja.U prvom poglavlju se uvode standardne oznake i nazivi te daju neke

elementarne tvrdnje u obliku primjera.U drugom poglavlju se izlaze klasicna teorija krivulja u R

3, dokazuju seFrenetove formule, kao i neke druge elementarne tvrdnje o krivuljama, tedaju primjeri raznih krivulja. Osnovni teorem teorije krivulja je navodenbez dokaza.

U trecem poglavlju se proucava klasicna lokalna teorija ploha u R3, uvo-

di se metricki operator, operator oblika, fundamentalne forme te razne za-krivljenosti ploha. Takoder se proucavaju krivulje na plohama te njihovezakrivljenosti. Navodi se i dosta primjera raznih ploha.

Na koncu se bez dokaza navodi Gaussov theorema egregium.

Poglavlje 1

Uvod

Neka je R3 standardni vektorski prostor nad R dimenzije 3. Elemente od

R3 zovemo vektori, a elemente od R skalari. Ako su x,y ∈ R

3, α ∈ R,x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), onda su formulama

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), αx = (αx1, αx2, αx3)

dane operacije zbrajanja i mnozenje sa skalarom. Ako je e1 = (1, 0, 0),e2 = (0, 1, 0) i e3 = (0, 0, 1), onda je (e1, e2, e3) baza od R

3 pa se svakix ∈ R

3 moze napisati, na jedinstven nacin, u obliku linearne kombinacijex = x1e1 + x2e2 + x3e3. Bazu (e1, e2, e3) zovemo standardna baza od R

3.Ako su x,y ∈ R

3 onda definiramo skalarni produkt (x|y) sa

(x|y) = x1y1 + x2y2 + x3y3

i normu ‖x‖ = (x|x)1/2 = (x21 + x2

2 + x23)

1/2.Ako je (x|y) = 0 onda kazemo da su x i y okomiti ili ortogonalni. Ako

je ‖x‖=1 onda kazemo da je x normiran vektor. Zamijetimo da su baznivektori e1, e2, e3 medusobno okomiti i normirani pa kazemo da su ortonor-mirani, odnosno da cine ortonormiranu bazu od R

3.Ako su x,y ∈ R

3, x 6= 0 i y 6= 0, onda definiramo kut α izmedu x i yformulom (x|y) = ‖x‖‖y‖ cosα.

Ako su x,y ∈ R3 onda definiramo vektorski produkt x × y sa

x × y = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1)

sto se moze napisati u obliku simbolicke determinante

x × y =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e1 e2 e3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

POGLAVLJE 1. UVOD 2

Takoder definiramo mjesoviti produkt [x,y, z] formulom

[x,y, z] = (x × y| z) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Ako su X i Y vektorski podprostori od R3 onda sa L(X, Y ) oz-

nacavamo skup svih linearnih operatora A : X → Y i uvodimo oznakuL(X) = L(X, X). Ako je A ∈ L(X, Y ) onda definiramo Aτ ∈ L(Y, X) for-mulom

(Ax|y) = (x|Aτy), x ∈ X, y ∈ Y

i zovemo ga transponirani operator od A.Kazemo da je operator A ∈ L(X) pozitivan i pisemo A ≥ 0, ako je A

simetrican tj. Aτ = A i (Ax|x) ≥ 0, za svaki x. Kazemo da je A strogopozitivan ako je A regularan i pozitivan. Spektar pozitivnog operatora jesadrzan u [0,∞), a strogo pozitivnog u (0,∞).

PRIMJERI 1.1 Neka su a,b,x,y, z ∈ R3 i α ∈ R.

(1) Skalarni produkt je linearan po obje varijable i vrijedi:(a) (x|y) = (y|x)(b) |(x|y)| ≤ ‖x‖‖y‖ (Cauchy-Schwarzova nejednakost)

(2) Norma zadovoljava sljedece relacije:(a) ‖x‖ ≥ 0 i ‖x‖ = 0 ako i samo ako x = 0.(b) ‖αx‖ = |α|‖x‖(c) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (relacija trokuta)(d) ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2(x|y)(e) ‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 (relacija paralelograma)(f) |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖

(3) Vektorski produkt je linearan po obje varijable i vrijedi:(a) x× y = 0 ako i samo ako su x i y linearno zavisni.(b) x× y = −y × x, x × x = 0(c) (a× b|x × y) = (a|x)(b|y) − (a|y)(b|x)(d) ‖x× y‖2 = ‖x‖2‖y‖2 − (x|y)2

(e) x× y je okomit na x i y i vrijedi ‖x× y‖ = ‖x‖‖y‖ sinαgdje je α kut izmedu x i y.(f) ‖x× y‖ ≤ ‖x‖‖y‖(g) ‖x× y‖ je jednak povrsini paralelograma sa stranicama x i y.(h) x× (y × z) = (x|z)y − (x|y)z, (x × y) × z = (x|z)y − (y|z)xDakle, vektorski produkt nije asocijativan.(i) x× (y × z) +y× (z × x) + z× (x × y) = 0 (Jacobijeva identiteta)

POGLAVLJE 1. UVOD 3

(j) Vektor 〈x,y, z〉 = x × (y × z) − (x × y) × z se zove asocijator odx,y, z i za njega vrijedi 〈x,y, z〉 = (y|z)x − (x|y)z

(k) 〈x,y,x〉 = 〈x,x × z, z〉 = 0(4) Ako je Tx ∈ L(R3), Txy = x × y, onda vrijedi:

(a) Matrica T x od Tx, u standardnoj bazi, je dana sa

T x =

0 −x3 x2

x3 0 −x1

−x2 x1 0

(b) T τx = −Tx tj. Tx je antisimetrican operator.

(c) T 3x = −(x|x)Tx

(d) Spektar od Tx je jednak {0, i‖x‖,−i‖x‖} i vrijedi det Tx = tr Tx = 0(e) TxTy = Bx,y − (x|y)I, gdje je Bx,y operator ranga 1, Bx,yz = (x|z)y(f) tr TxTy = −2(x|y)(g) Tx×y = TxTy − TyTx = Bx,y − By,x

(h) x 7→ Tx je linearno i injektivno preslikavanje.(i) Tx(y × z) = Txy × z + y × T xz(j) Ax × Ay = A+(x × y), A ∈ L(R3)(k) Ax × y + x × Ay = (I trA − Aτ )(x × y)

gdje je A+ operator algebarskih komplemenata dan sa AτA+ = I det A.Zamijetimo da je (AB)+ = A+B+ i (αA)+ = α2A+. Ako je A regularanonda je A+ = (A−1)τ det A. Ako je A ortogonalan tj. AAτ = I onda jeA+ = A det A. Ako je A = Tx onda je A+ = Bx,x. Nadalje, (A+)+ = A det A

(l) Definiramo operatore Ux = Tx/‖x‖, Px = −U 2x = −T 2

x/‖x‖2, za x 6= 0i U0 = P0 = 0. Tada je Px projektor na ravninu im Tx tj. njegova slika jeim Tx i vrijedi P 2

x = Px = P τx .

(m) Ako je f parni polinom onda je f(Tx) = f(0)(I −Px)+ f(i‖x‖)Px,a ako je f neparni polinom onda je f(Tx) = −if(i‖x‖)Ux. Specijalno jeT 2n

x = (−1)n‖x‖2nPx, T 2n+1x = (−1)n‖x‖2n+1Ux, n ≥ 1.

(n) Ako je z = x× (x× (· · · × (x×y)) · · · ), gdje se x pojavljuje 11 puta,a y samo jedanput na kraju, onda je z = T 11

x y = −‖x‖10 x × y.(o) Ako je Ex = I−Px+cos ‖x‖·Px+sin ‖x‖·Ux, onda je Ex ortogonalan

tj. ExEτx = I, E−x = Eτ

x i E0 = I. Nadalje, tr Ex = 1+2 cos ‖x‖, det Ex = 1,dok je {1, exp i‖x‖, exp(−i‖x‖)} spektar od Ex, za svaki x.(5) Mjesoviti produkt je linearan po svakoj varijabli i vrijedi:

(a) [x,y, z] = 0 ako i samo ako su x,y, z linearno zavisni.(b) |[x,y, z]| je jednak volumenu paralelepipeda sa bridovima x,y, z.(c) |[x,y, z]| ≤‖x‖‖y‖‖z‖ (Hadamardova nejednakost)(d) [x,y, z] = det A, gdje je A matrica ciji su redci koordinate vektora

x,y, z. Determinanta matrice AAτ se zove Gramova determinanta i oz-

POGLAVLJE 1. UVOD 4

nacava se sa Γ(x,y, z). Prema tome [x,y, z]2 = Γ(x,y, z). Zamijetimo da jeΓ(x,y, z) ≥ 0 i da je Γ(x,y, z) = 0 ako i samo ako su x,y, z linearno zavisni.

(e) Neka su x,y, z nezavisni i d = |[x,y, z]|/‖x × y‖. Tada je d visinaparalelepipeda s bridovima x,y, z, nasuprot paralelograma sa stranicamax,y. Nadalje, d je takoder udaljenost od z do ravnine generirane sa x,y.

(f) [Ax, Ay,Az] = [x,y, z] det A, Γ(Ax, Ay,Az) = (det A)2Γ(x,y, z)(g) [Ax,y, z] + [x, Ay, z] + [x,y,Az] = [x,y, z] tr A(h) (x × y) × (x × z) = [x,y, z] x(i) [y × z, z× x,x × y] = [x,y, z]2

(j) [a × b, c × d, e × f ] = [a,b, e][c,d, f ] − [a,b, f ][c,d, e]

PRIMJERI 1.2 U sljedecim primjerima dajemo algebarsku verziju teorijeploha u trodimenzionalnom euklidskom prostoru.

(1) Neka je Π podprostor od R3 generiran linearno nezavisnim vektorima

r1, r2 ∈ R3 i R ∈ L(R2, R3), Rx = x1r1 + x2r2 = x♮. Ako je A ∈ L(R2) onda

definiramo operator A♮ ∈ L(Π) sa A♮x♮ = (Ax)♮, x ∈ R2. Tada vrijedi

(a) Preslikavanje A 7→ A♮ je linearni operator i bijekcija izmedu vek-torskih prostora L(R2) i L(Π).

(b) (ABx)♮ = A♮(Bx)♮ = A♮B♮x♮

(c) (AB)♮ = A♮B♮, pa je A 7→ A♮ izomorfizam algebra.(d) RA = A♮R, za svaki A ∈ L(R2)(e) Relacija Ax = y je ekvivalentna sa A♮x♮ = y♮, za svaki x i y, pa je

matrica od A, u standardnoj bazi, jednaka matrici od A♮, u bazi (r1, r2).(f) Spektar od A♮ je jednak spektru od A.(g) Matrica R od R, u standardnim bazama, ima dva stupca: prvi stupac

cine koordinate od r1, a drugi koordinate od r2. Matrica od Rτ je Rτ .(h) Operator G = RτR ∈ L(R2) je regularan, simetrican i pozitivan

i ima matricu

G =

[

(r1|r1) (r1|r2)(r2|r1) (r2|r2)

]

pri cemu je det G = (r1|r1)(r2|r2) − (r1|r2)2 = ‖r1 × r2‖2.

(i) Inverz preslikavanja A 7→ A♮ je dan sa A = G−1RτA♮R(j) Aτ = Rτ(A♮)τRG−1 = G−1Rτ(Aτ )♮R(k) Operatori (A♮)τ i (Aτ )♮ ne moraju biti jednaki tj. izomorfizam ♮

opcenito ne cuva transponiranje. Ako su r1 i r2 ortogonalni i jednakenorme tj. ako je G = αI, gdje je α = (r1|r1), onda je (A♮)τ = (Aτ )♮, patada izomorfizam ♮ cuva transponiranje. Vrijedi i obrat.

(l) Ako je P = RG−1Rτ onda je P projektor na Π tj. njegova slika jeΠ i vrijede relacije P 2 = P τ = P.

POGLAVLJE 1. UVOD 5

(m) Ako je ν = r1 × r2/‖r1 × r2‖, onda je ν normala na Π i (r1, r2, ν)je baza od R

3. Nadalje, P = I − Pν, gdje je Pν ∈ L(R3), Pνz = (z|ν)ν,projektor na normalu.

(n) Neka su ν1, ν2 ∈ Π. Tada definiramo operatore B, S ∈ L(R2) i ope-rator N ∈ L(R2, R3) sa

Nx = x1ν1 + x2ν2, B = −RτN, S = G−1B

Za njih vrijedi RS = S♮R = −N i RτS♮R = B pa je S♮Rx = −Nx, tj.

S♮(x1r1 + x2r2) = −x1ν1 − x2ν2

Operatori S i S♮ imaju isti spektar. Ako je Sx = αx onda je S♮x♮ = αx♮.Zamijetimo da je N τN = SτGS = BτS. Matrice od G−1 i B su dane sa

G−1 =1

det G

[

(r2|r2) −(r1|r2)−(r2|r1) (r1|r1)

]

, B =

[

−(r1|ν1) −(r1|ν2)−(r2|ν1) −(r2|ν2)

]

dok je S = G−1B matrica od S.(o) ν1 × ν2 = r1 × r2 det S, r1 × ν2 + ν1 × r2 = −r1 × r2 tr S

(2) Neka je B simetrican operator tj. Bτ = B. To je ekvivalentno sa sime-tricnoscu od B tj. (r1|ν2) = (r2|ν1).

(a) Neka je T = G1/2 i H = T−1BT−1. Tada su T i H simetricni operatori,G = T 2 i S = T−1HT, sto znaci da je S slican simetricnom operatoruH. Dakle, H i S imaju iste svojstvene vrijednosti i one su realne, aoznacavamo ih sa k1 i k2, pri cemu smatramo da je k2 ≤ k1. Zamijetimo daje u ovom slucaju i S♮ simetrican operator, zbog RτS♮R = B.

(b) Neka su y1 i y2 svojstveni vektori od H pridruzeni k1 i k2. Tada je(y1|y2) = 0 pa ako je x1 = T−1y1 i x2 = T−1y2 onda su x1 i x2 svojstvenivektori od S pridruzeni k1 i k2 i vrijedi (Gx1|x2) = 0, dok su x♮

1 i x♮2

svojstveni vektori od S♮ i (x♮1|x♮

2) = 0. Smatramo da su oni normirani tj.(x♮

1|x♮1) = 1 i (x♮

2|x♮2) = 1.

(c) tr S = tr G−1B = k1 + k2 i

det S =det B

det G=

(r1|ν1)(r2|ν2) − (r1|ν2)2

(r1|r1)(r2|r2) − (r1|r2)2= k1k2

dok je svojstveni polinom od S dan sa λ2 − λ tr S + det S, sto je ujedno isvojstveni polinom od S♮.

(d) Neka je κ(x) = (Bx|x)/(Gx|x) i τ (x) = [Rx, ν,Nx]/(Gx|x), x 6= 0.Tada je κ(tx) = κ(x) i τ (tx) = τ(x), za svaki t ∈ R, t 6= 0.

(e) Za κ vrijedi Eulerova formula κ(x) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ, gdje je θkut izmedu x♮ i x♮

1, a x1 svojstveni vektor od S pridruzen k1.

POGLAVLJE 1. UVOD 6

(f) k2 ≤ κ(x) ≤ k1, a jednakosti se dostizu na x1 i x2

(g) Za τ vrijedi Bonnetova formula τ (x) = (k2 − k1) cos θ sin θ, gdje jeθ kut izmedu x♮ i x♮

1.(3) Operatori G, B i S imaju vaznu ulogu u teoriji ploha u R

3. Svakojtocki na plohi se pridruzuje ovakva operatorska trojka. Operator G se zovemetricki operator (ili metricki tenzor), a S operator oblika (ili tenzorzakrivljenosti) plohe u toj tocki. Tako se zove i operator S♮, kojeg mi rjedekoristimo.

Nadalje, k = det S se zove Gaussova zakrivljenost, h = 12tr S se zove

srednja zakrivljenost, κ(x) se zove normalna zakrivljenost u smjeruvektora x, τ (x) se zove geodetska torzija u smjeru vektora x, dok se k1 ik2 zovu glavne zakrivljenosti plohe u toj tocki.

Svojstveni vektori x1 i x2 od S se zovu glavni smjerovi plohe u tojtocki. Tako se zovu i svjstveni vektori x♮

1 i x♮2 operatora S♮.

Funkcije g, b : R2 ×R

2 → R, g(x,y) = (Gx|y), b(x,y) = (Bx|y), se zovuprva i druga fundamentalna forma plohe u toj tocki.

Ako je Π tangencijalni prostor plohe u toj tocki, onda je x 7→ x♮

izomorfizam izmedu R2 i Π, dok je A 7→ A♮ izomorfizam algebre L(R2) i

algebre L(Π). Nadalje, g(x,y) = (x♮|y♮) i b(x,y) = (S♮x♮|y♮). Ako vrijediκ(x) = 0 onda se x zove asimptotski smjer plohe u toj tocki. Tako se zovei x♮. Umjesto g(x,x) pisemo g(x), a b(x) umjesto b(x,x).(4) Neka je B simetrican operator, C = N τN i c : R

2 × R2 → R, funkcija

definirana sa c(x,y) = (Cx|y). Tada se c zove treca fundamentalna formaplohe u danoj tocki. Krace pisemo c(x) = c(x,x).

(a) C = SτGS = BS i det C = k2 det G(b) C = −kG + 2hB, sto se dobije iz S2 − 2hS + kI = 0(c) c = −kg + 2hb(d) c(x) ≥ 0, za svaki x(e) c(x,y) = (S♮x♮|S♮y♮), za svaki x i y(f) 2hκ(x) ≥ k, za svaki x 6= 0(g) Za c vrijedi Eulerova formula c(x)/g(x) = k2

1 cos2 θ+k22 sin2 θ, gdje

je θ kut izmedu x♮ i x♮1.

(h) Ako je x asimptotski smjer onda je c(x) = −kg(x)(5) Vrijede sljedece tvrdnje

(a) k1 = h + (h2 − k)1/2, k2 = h − (h2 − k)1/2

(b) ν1 × ν2 = k r1 × r2, r1 × ν2 + ν1 × r2 = −2h r1 × r2

(c) Ako je k > 0 onda nema asimptotskih smjerova(d) Ako je k < 0 onda je k2 < 0 < k1 i postoje dva asimptotska smjera

y1 i y2, pri cemu je y1 = a1x1 + a2x2, y2 = −a1x1 + a2x2, gdje su x1 i x2

glavni smjerovi i a1 = ( −k2

k1−k2)1/2, a2 = ( k1

k1−k2)1/2, dok je kut ϕ izmedu y♮

1 i

POGLAVLJE 1. UVOD 7

y♮2 dan sa cos ϕ = (k1 + k2)/(k1 − k2) = h/(h2 − k)1/2 ili ctg2ϕ = −h2/k.

Prema tome su y♮1 i y♮

2 okomiti ako i samo ako je h = 0.(e) Ako je k = 0 i h 6= 0 onda postoji samo jedan asimptotski smjer i on

je x1, za k1 = 0, odnosno x2, za k2 = 0.(f) Ako je k = 0 i h = 0 onda je svaki smjer asimptotski

(6) Neka je B simetrican operator i d : R2×R

2 → R, funkcija definirana sa

2d(x,y) = [Rx, ν,Ny] + [Ry, ν,Nx]

Tada se d zove cetvrta fundamentalna forma plohe u danoj tocki. Kracepisemo d(x) = d(x,x) pa je d(x) = [Rx, ν,Nx].

(a) d(x,y) = (Dx|y), gdje je D = (det G)1/2J(hI − S), a J ∈ L(R2)operator rotacije za pravi kut tj. Je1 = e2, Je2 = −e1. Matrica od D, ustandardnoj bazi, je dana sa

D = 12(det G)1/2

[

2s21 s22 − s11

s22 − s11 −2s12

]

, J =

[

0 −11 0

]

pri cemu je S = [sij ] matrica operatora oblika, u standardnoj bazi.(b) det D = −1

4(k1 − k2)

2 det G = (k − h2) det G(c) 2d(x,y) = [x♮, S♮y♮, ν] + [y♮, S♮x♮, ν](d) d(x) = [x♮, S♮x♮, ν](e) b(x)2 + d(x)2 = g(x)c(x)(f) d(x)2 = −kg(x)2 + 2hg(x)b(x) − b(x)2

(g) τ(x) = d(x)/g(x)(h) κ(x)2 + τ (x)2 = c(x)/g(x)(i) τ (x)2 = −k + 2hκ(x) − κ(x)2

(j) τ(x) = 0 ako i samo ako je x svojstveni vektor od S(k) d(x1,x2) = (k2 − k1)/2, gdje su x1 i x2 glavni smjerovi(l) Ako je x asimptotski smjer onda je τ (x)2 = −k(m) Ako je k < 0 onda za asimptotske smjerove y1 i y2 vrijedi

τ(y1) = −(−k)1/2, τ (y2) = (−k)1/2, τ (y1)τ (y2) = k

PRIMJERI 1.3 U sljedecim primjerima uvodimo oznake i navodimo nekeelementarne tvrdnje iz analize koje nam trebaju u drugom i trecem poglavlju.

(1) Neka su f : R3 → R i f : R

3 → R3, f(x) = (f1(x),f2(x),f3(x)) derivabilne

funkcije.(a) Linearni operator f ′(x) ∈ L(R3), definiran sa

f ′(x)ei = ∂if(x) = (∂if1(x),∂if2(x),∂if3(x)), i = 1, 2, 3

POGLAVLJE 1. UVOD 8

gdje je ∂i = ∂/∂xi, se zove derivacija od f u tocki x. Njegova matrica, ustandardnoj bazi, je [∂jfi(x)].

(b) div f(x) = tr f ′(x) = ∂1f1(x)+∂2f2(x)+∂3f3(x) se zove divergencijaod f u tocki x.

(c) rot f(x) = (∂2f3(x) − ∂3f2(x), ∂3f1(x) − ∂1f3(x), ∂1f2(x) − ∂2f1(x))se zove rotacija od f u tocki x.

(d) f ′(x) = (∂1f(x), ∂2f(x), ∂3f(x)) se zove derivacija ili gradijent odf u tocki x. Vektor f ′(x) se drugukcije oznacava sa grad f(x) ili sa ∇f(x),gdje je ∇ = ∂1e1 + ∂2e2 + ∂3e3 tzv. nabla operator, koji se shvaca kaosimbolicki vektor.

(e) div f(x) = (∇|f(x)), za svaki x(f) rot f(x) = ∇× f(x), za svaki x

(2) Ako je f iz (1) takva da je njezina derivacija f ′ derivabilna funkcija,onda se linearni operator f ′′(x) ∈ L(R3), zadan matricom [∂i∂jf(x)], u stan-dardnoj bazi, zove druga derivacija od f u tocki x.

(a) f ′′(x) je simetrican operator, za svaki x(b) Operator ∆ definiran sa

∆f(x) = trf ′′(x) = ∂21f(x) + ∂2

2f(x) + ∂23f(x)

se zove Laplaceov operator ili Laplacian, a njegova veza s nabla opera-torom je dana sa ∆ = ∂2

1 + ∂22 + ∂2

3 = (∇|∇).(c) div f ′(x) = ∆f(x), za svaki x(d) div rot f(x) = 0, za svaki x(e) rot f ′(x) = 0, za svaki x

(3) Ako je f : R2 → R i f : R

2 → R2 onda gornje definicije ostaju iste (osim

rotacije koja se ne definira), s tim sto svi vektori imaju dvije koordinate, af ′(x) i f ′′(x) su iz L(R2).

Poglavlje 2

Krivulje

2.1 Osnovna svojstva krivulja

Neka je I interval u R i x : I → R3

x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = x1(t)e1 + x2(t)e2 + x3(t)e3

Tada se funkcije xi : I → R, i = 1, 2, 3, zovu koordinatne funkcije odx. Kazemo da je funkcija x neprekidna [odnosno derivabilna, glatka,integrabilna] ako su sve njezine koordinatne funkcije neprekidne [odnosnoderivabilne, glatke, integrabilne]. Ako je x derivabilna onda se

x′(t) = (x′1(t), x

′2(t), x

′3(t)) = x′

1(t)e1 + x′2(t)e2 + x′

3(t)e3

zove derivacija od x u tocki t ∈ I. Funkcija x′ se zove derivacija od x,x′′ = (x′)′ se zove druga derivacija od x, itd. U daljem razmatramo samoglatke funkcije tj. beskonacno derivabilne funkcije.

Skup svih glatkih funkcija x : I → R3 oznacavamo sa C∞(I).

Ponekad takoder razmatramo i funkcije z : K → R3, gdje K ⊂ R nije

interval, pri cemu smatramo da postoji interval I koji sadrzi K i glatkafunkcija x : I → R

3 takva da je x|K = z.Kazemo da su x ∈ C∞(I) i y ∈ C∞(J) ekvivalentne ako postoji glatka

bijekcija ϕ : J → I takva da je y(t) = x(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0, za svaki t ∈ J.Klasa ekvivalencije C od x ∈ C∞(I) se zove krivulja u R

3, a funkcija xse zove parametrizacija krivulje C. Ako je y ∈ C∞(J) ekvivalentna sax ∈ C∞(I) onda se y zove reparametrizacija od C.

Kazemo da je krivulja C regularna ako je x′(t) 6= 0, za svaki t ∈ I.U daljem razmatramo samo regularne krivulje.Radi jednostavnije vizualizacije krivulju C, s parametrizacijom x ∈ C∞(I),

cesto poistovjecujemo sa skupom x(I) ⊂ R3 tj. sa slikom od x.

POGLAVLJE 2. KRIVULJE 10

Kazemo da je krivulja C ravninska ako je C sadrzana u nekoj ravnini.Neka je C krivulja s parametrizacijom x ∈ C∞(I) i [a, b] ⊂ I. Tada se

Lx(a, b) =∫ b

a‖x′(t)‖dt

zove duljina luka krivulje C, od a i b. Duljina luka ne zavisi o repara-metrizaciji. Naime, ako je y(t) = x(ϕ(t)) reparametrizacija od C onda jepo teoremu o zamjeni varijable Lx(ϕ(a), ϕ(b)) = Ly(a, b).

Kazemo da je x prirodna parametrizacija krivulje C ili da je C pa-rametrizirana duljinom luka ako vrijedi ‖x′(t)‖ = 1, t ∈ I. Parametarduljine luka obicno oznacavamo sa s umjesto sa t.

PROPOZICIJA 2.1 Regularna krivulja ima prirodnu parametrizaciju.

Dokaz Neka je I = (a, b), t0 ∈ I i x ∈ C∞(I) parametrizacija krivulje C.Tada je funkcija t 7→ s(t) =

∫ t

t0‖x′(u)‖du striktno rastuca na I i s′(t) =

‖x′(t)‖ pa ima inverznu funkciju s 7→ ϕ(s) = t, pri cemu vrijedi ϕ′(s) =1/‖x′(ϕ(s))‖. Neka je J = (s(a), s(b)), y : J → R

3, y(s) = x(ϕ(s)). Tadaje ‖y′(s)‖ = ‖x′(ϕ(s))ϕ′(s)‖ = ‖x′(ϕ(s))‖ϕ′(s) = ‖x′(t)‖/‖x′(t)‖ = 1, stoznaci da je y ∈ C∞(J) prirodna parametrizacija od C.

PRIMJERI 2.2

(1) Neka su a,b ∈ R3, ‖b‖=1, i C krivulja s parametrizacijom x ∈ C∞(R),

x(t) = a + tb. Tada se C zove pravac. On prolazi kroz a i ima smjer b.Buduci da je x′(t) = b i ‖x′(t)‖=‖b‖=1 zakljucujemo da je pravac regularnakrivulja parametrizirana duljinom luka.(2) Elipsa C u R

2 zadana implicitnom jednadzbom

(x1 − c1)2 /a2

1 + (x2 − c2)2 /a2

2 = 1

a1 > 0, a2 > 0, ima parametrizaciju x : I → R2, I = [0, 2π], x(t) =

c+a1 cos t ·e1+a2 sin t ·e2. Tocka c ∈ R2 se zove srediste elipse C, dok se a1

i a2 zovu poluosi elipse. Ako je c ∈ R3 i ako su u1,u2 ∈ R

3 ortonormiranivektori onda je krivulja C u R

3 zadana parametrizacijom y : [0, 2π] → R3,

y(t) = c + a1 cos t · u1 + a2 sin t · u2

elipsa u ravnini Π = c + Ru1 + Ru2 = {c + t1u1 + t2u2; t1, t2 ∈ R} kojaprolazi kroz c i generirana je vektorima u1,u2. Buduci da je ‖y′(t)‖2 =a2

1 sin2 t + a22 cos2 t, zakljucujemo da je elipsa regularna krivulja.

Ako je a1 = a2 = r onda se C zove kruznica polumjera r sa sredistem uc. Za nju vrijedi ‖y′(t)‖ = r pa je y(t/r) prirodna parametrizacija kruznice.


(3) Parabola C u R2 zadana implicitnom jednadzbom x2 = x2

1 ima para-metrizaciju x : R → R

2, x(t) = te1 + t2e2 = (t, t2) i vrijedi x′(t) = e1 + 2te2,‖x′(t)‖2 = 1 + 4t2. Slicno kao u prethodnom primjeru zakljucujemo da jekrivulja C u R

3 zadana parametrizacijom y : R → R3, y(t) = c+ tu1 + t2u2,

parabola u ravnini Π s vrhom u tocki c.(4) Neka je f : R → R glatka funkcija. Tada je njezin graf

G(f) = {(t, f(t)) : t ∈ R}

krivulja u R2 s parametrizacijom x : R → R

2, x(t) = te1 + f(t)e2. Graf jeregularna krivulja zbog x′(t) = e1 + f ′(t)e2, ‖x′(t)‖2 = 1 + f ′(t)2.(5) Krivulja C u R

3 zadana parametrizacijom x ∈ C∞(R),

x(t) = r cos t · e1 + r sin t · e2 + ate3 = (r cos t, r sin t, at)

r > 0, a 6= 0, se zove obicna cilindricna spirala. Ona je regularna zbog‖x′(t)‖2 = r2 + a2, dok je parametrizacija duljinom luka dana formulomy(s) = x(s/c), c = (r2 + a2)1/2.(6) Krivulja C u R

2 se cesto zadaje implicitnom jednadzbom f(x) = 0,gdje je f : R

2 → R glatka funkcija takva da je f ′(x) 6= 0, za svaki x ∈ C.Tada pisemo C = f−1(0). Ako je x ∈ C∞(I) parametrizacija krivulje C, ondaje f(x(t)) = 0, t ∈ I, pa deriviranjem dobijemo (f ′(x(t))|x′(t)) = 0, t ∈ I.

2.2 Fleksija i torzija

DEFINICIJA 2.3 Neka je x ∈ C∞(I) parametrizacija krivulje C u R3.

(1) v(t) = x′(t) se zove brzina od C u tocki t, a v(t) = ‖v(t)‖ = ‖x′(t)‖se zove skalarna brzina od C u tocki t.

(2) a(t) = v′(t) = x′′(t) se zove ubrzanje od C u tocki t.(3) t(t) = x′(t)/v(t) se zove tangenta od C u tocki t.(4) Ako su x′(t) i x′′(t) nezavisni onda se vektor n(t) = t′(t)/‖t′(t)‖ zove

normala od C u tocki t, a b(t) = t(t) × n(t) se zove binormala od C utocki t. Uredena trojka (t(t),n(t),b(t)) se zove trobrid od C u tocki t.

(5) Πot = x(t) + Rt(t)+Rn(t) se zove oskulacijska ravnina,

Πnt = x(t) + Rn(t)+Rb(t) se zove normalna ravnina,

Πrt = x(t) + Rt(t)+Rb(t) se zove rektifikacijska ravnina

krivulje C u tocki t.

DEFINICIJA 2.4 Neka je x ∈ C∞(I) parametrizacija krivulje C u R3.

(1) Funkcija κ : I → R, κ(t) = ‖x′(t) × x′′(t)‖/v(t)3, se zove fleksija

ili zakrivljenost krivulje C. Ako je κ(t) 6= 0 onda se ρ(t) = 1/κ(t) zoveradius fleksije krivulje C u tocki t.


(2) Funkcija τ : I → R, τ (t) = [x′(t),x′′(t),x′′′(t)]/‖x′(t) × x′′(t)‖2, sezove torzija krivulje C, pri cemu stavljamo τ(t) = 0, ako su x′(t) i x′′(t)linearno zavisni.

PRIMJERI 2.5 Ako su x,y, z : I → R3 i f : R → R glatke funkcije onda

vrijede sljedece formule

(a) (x + y)′ = x′ + y′, (αx)′ = αx′, α ∈ R

(b) (x|y)′ = (x′|y) + (x|y′)(c) (x × y)′ = x′ × y + x× y′

(d) [x,y, z]′ = [x′,y, z] + [x,y′, z] + [x,y, z′](e) (fx)′ = f ′x + fx′

(f) ‖x‖′ = (x′|x)/‖x‖(g) [f(‖x‖)]′ = f ′(‖x‖)(x′|x)/‖x‖.

PROPOZICIJA 2.6 Trobrid (t(t),n(t),b(t)) je ortonormiran i ne zavisiod reperametrizacije.

Dokaz Buduci da je ‖t‖ = 1 tj. (t|t) = 1 deriviranjem slijedi (t|t′) = 0 tj.(t|n) = 0, sto znaci da su t,n ortonormirani, a onda su t,n, t× n takoderortonormirani.

Ako je y(t) = x(ϕ(t)) reparametrizacija krivulje C i (t1,n1,b1) trobridod C, izracunat u parametrizaciji y, onda je t1(t) = t(ϕ(t)), n1(t) = n(ϕ(t))i b1(t) = b(ϕ(t)), sto znaci da trobrid ne zavisi od reparametrizacije.

PROPOZICIJA 2.7 Vrijede sljedece tvrdnje(1) t′ = vκn(2) a = v′t + v2

κn(3) x′ × x′′ = v3

κb(4) n× n′ = t′×t′′/‖t′‖2

(5) [x′,x′′,x′′′] = v6κ

2τ(6) [t, t′, t′′] = v3

κ2τ

(7) b′ = −vτn

Dokaz (1) Iz t = x′/v slijedi t′ = x′′/v − (x′|x′′)x′/v3 pa uzimanjem normedobijemo ‖t′‖ = ‖x′ × x′′‖/v2 sto daje ‖t′‖ = vκ pa je t′ = ‖t′‖n = vκn.

(2) Iz v = x′ = vt dobijemo a = x′′ = v′t+vt′ = v′t + v2κn

(3) x′ × x′′ = vt× [v′t + v2κn] = v3

κb.(4) Iz n = t′/‖t′‖ slijedi n′ = t′′/‖t′‖ − (t′|t′′)t′/‖t′‖3 pa vektorskim

mnozenjem dobijemo formulu. (5) Slijedi iz definicije od κ i τ .


(6) Buduci da je t = x′/v i t′ = x′′/v − (x′|x′′)x′/v3 dobijemo t′′ =x′′′/v + (∗), gdje je (∗) linearna kombinacija od x′ i x′′, pa je [t, t′, t′′] =[x′/v,x′′/v,x′′′/v]. Sada primijenimo prethodnu formulu.

(7) Buduci da je (b|b) = 1 deriviranjem dobijemo (b|b′) = 0. Na slicannacin iz (b|t) = 0 dobijemo (b′|t) + (b|t′) = 0 pa je (b′|t) = −(b|t′) =−vκ(b|n) = 0. Prema tome je b′ okomit na t i b pa je proporcionalansa n tj. vrijedi b′ = (b′|n)n. Buduci da je (b|n) = 0 dobijemo (b′|n) =−(b|n′) = −(t× n|n′) = (n × t|n′) = −(t|n × n′) = −(t|t′×t′′)/‖t′‖2 =−[t, t′, t′′]/‖t′‖2 = −vτ , gdje smo koristili formule (4) i (6).

2.3 Frenetove formule

TEOREM 2.8 (Frenetove formule)(1) t′ = vκn(2) n′ = −vκt + vτb(3) b′ = −vτn

Dokaz Formule (1) i (3) su dokazane u prethodnoj propoziciji. Dokazimoformulu (2). Buduci da je (n|n) = 1 dobijemo (n′|n) = 0 pa je n′(t) linearnakombinacija od t(t) i b(t) tj. vrijedi n′ = (n′|t)t + (n′|b)b. Buduci da je(n|t) = 0 dobijemo (n′|t) + (n|t′) = 0 pa je (n′|t) = −(n|t′) = −vκ. Slicnoje (n′|b) + (n|b′) = 0, iz cega slijedi (n′|b) = −(n|b′) = vτ .

KOROLAR 2.9 Vektor ω = vτt+ vκb se zove kutna brzina ili Darbo-

uxov vektor od C i za njega vrijedi t′ = ω × t, n′ = ω × n, b′ = ω × b.

Dokaz Slijedi neposredno iz prethodnog teorema.

KOROLAR 2.10 Fleksija i torzija ne zavise od reparametrizacije.

Dokaz Ako je y(t) = x(ϕ(t)) reparametrizacija krivulje C i (t1,n1,b1) tro-brid od C, izracunat u parametrizaciji y, onda je po 2.6 t1(t) = t(ϕ(t)),n1(t) = n(ϕ(t)) i b1(t)) = b(ϕ(t)). Buduci da je v1(t) = v(ϕ(t))ϕ′(t) po pr-voj Frenetovoj formuli dobijemo t′1(t) = v1(t)κ1(t)n1(t) pa je t′(ϕ(t))ϕ′(t) =v(ϕ(t))ϕ′(t)κ1(t)n(ϕ(t)), iz cega slijedi t′(ϕ(t)) = v(ϕ(t))κ1(t)n(ϕ(t)). Opetpo prvoj Frenetovoj formuli dobijemo κ1(t) = κ(ϕ(t)). Na slican nacin, koris-teci trecu Frenetovu formulu, dobijemo τ 1(t) = τ(ϕ(t)), sto znaci da fleksijai torzija ne zavise od reparametrizacije.

PRIMJERI 2.11


(1) Ako je x prirodna parametrizaacija od C onda se formule iz prethodnepropozicije i teorema pojednostavljuju pa vrijedi

(a) v = ‖x′‖ = 1 tj. skalarna brzina je jednaka 1.(b) t = x′, t′ = x′′ = a = κn, κ = ‖x′′‖(c) n′ = −κt + τb, b′ = −τn(d) x′ × x′′ = κb, x′′′ = −κ

2t + κ′n + κτb

(e) (x′|x′′) = 0, (x′|x′′′) = −κ2, (x′′|x′′′) = κκ

′

(f) [x′,x′′,x′′′] = [t, t′, t′′] = κ2τ

(g) n′′ = −κ′t− (κ2 + τ 2)n + τ ′b

(h) [n,n′,n′′] = κ2(τ/κ)′, [b,b′,b′′] = κτ 2

(2) Ako je C krivulja u R2 tj. ako je x(I) ⊂ R

2 onda su x′,x′′,x′′′ zavisnipa je τ = 0. Nadalje x′ × x′′ = (x′

1x′′2 − x′′

1x′2)e3 pa za fleksiju dobijemo

κ = |x′1x

′′2 − x′′

1x′2|/‖x′‖3. Medutim, cesto se u ovom slucaju κ definira tako

da izostavimo znak apsolutne vrijednosti u brojniku pa κ moze bitii negativna. Ako je krivulja C zadana u polarnim koordinatama sa ϕ 7→r(ϕ) onda su duljina luka i fleksija od C dani sa

s(ϕ) =ϕ∫

ϕ0

(r(ϕ)2 + r′(ϕ)2)1/2dϕ, κ(ϕ) =r(ϕ)2 + 2r′(ϕ)2 − r(ϕ)r′′(ϕ)

(r(ϕ)2 + r′(ϕ)2)3/2

(3) Neka je C = f−1(0) krivulja u R2 dana implicitnom jednadzbom f(x) =

0, gdje je f : R2 → R glatka funkcija takva da je f ′(x) 6= 0, za svaki

x ∈ C. Nadalje, neka je κ∗ : C → R, κ

∗(x) = (f ′′(x)+f ′(x)|f ′(x))/‖f ′(x)‖3.Ako je x ∈ C∞(I) parametrizacija od C onda je fleksija krivulje C danasa κ(t) = κ

∗(x(t)), za svaki t ∈ I. Ovdje smo izostavili znak apsolutnevrijednosti, kao u (2), pa nam fleksija moze biti i negativna.

Zamijetimo da je brojnik od κ∗(x) dan sa

(f ′′(x)+f ′(x)|f ′(x)) = −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f11(x) f12(x) f1(x)f21(x) f22(x) f2(x)f1(x) f2(x) 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

gdje je fi(x) = ∂if(x), fij(x) = ∂i∂jf(x), ∂i = ∂/∂xi, i = 1, 2.Ako umjesto f stavimo −f onda se C ne mijanja, ali κ

∗(x) promijenipredznak. Ova promjena je ekvivalentna promjeni predznaka normale n,koja je dana formulom n = ±f ′(x)/‖f ′(x)‖.(4) Ako je C = G(f) graf funkcije f onda je x(t) = (t, f(t)), x′(t) = (1, f ′(t)),x′′(t) = (0, f ′′(t)), pa je ‖x′‖2 = 1 + f ′2 i κ = f ′′/(1 + f ′2)3/2. Ovo semoze dobiti i po prethodnom primjeru buduci da je g(x) = f(x1) − x2 = 0implicitna jednadzba od G(f) pa je ‖g′(x)‖ = (1 + f ′(x1)

2)1/2 sto ondadaje (g′′(x)+g′(x)|g′(x)) = f ′′(x1).


(5) Ako je C pravac s parametrizacijom x(t) = a+ tb, onda je ‖x′(t)‖ = ‖b‖i x′′(t) = 0 pa je κ = τ = 0.(6) Ako je C kruznica u R

3 i x(t) = c+ r cos t ·u1 + r sin t ·u2, onda je v = r,x′ × x′′ = r2u1 × u2 pa je t = x′/r, n = x′′/r, b = u1 × u2 iz cega slijediκ = 1/r i τ = 0. Dakle, kruznica ima konstantnu fleksiju.(7) Ako je C obicna cilindricna spirala onda je [x′,x′′,x′′′] = ar2 i takoderx′(t) × x′′(t) = (ar sin t,−ar cos t, r2), iz cega slijedi ‖x′‖2 = r2 + a2 dok je‖x′ × x′′‖2 = r2(a2 + r2) pa za fleksiju i torziju dobijemo κ = r/(a2 + r2),τ = a/(a2 + r2).

Dakle, obicna cilindricna spirala ima konstantnu fleksiju i torziju.(8) Neka je a ∈ R

3, A : R3 → R

3 ortogonalan operator tj. AτA = I, if : R

3 → R3, f(x) = Ax + a. Tada se f zove izometrija od R

3.(a) Neka je C krivulja u R

3 s parametrizacijom x ∈ C∞(I), f izometrijaod R

3 i C1 = f(C) krivulja s parametrizacijom x1 ∈ C∞(I), x1(t) = f(x(t))

tj. x1(t) = Ax(t) + a. Tada je x(k)1 = Ax(k), za k ≥ 1, v1 = v, t1 = At,

n1 = An, b1 = Ab det A pa dobijemo κ1 = κ, τ 1 = τ det A.(b) Kazemo da su krivulje C i C1 kongruentne ako postoji izometrija

f od R3 takva da je C1 = f(C) i det A = 1. Dakle, kongruentne krivulje

imaju istu fleksiju i torziju.(c) Ako je C1 = rC + a, r > 0, krivulja s parametrizacijom x1(t) =

rx(t) + a, onda je trobrid od C1 jednak trobridu od C, dok je κ1 = κ/r iτ 1 = τ/r. U ovom slucaju kazemo da su C i C1 homoteticne.

(d) Krivulju C s paramertizacijom x ∈ C∞(−I), x(t) = x(−t), zovemosuprotna krivulja od C ili suprotno orijentirana krivulja od C. Takoderkazemo da smo obrnuli orijentaciju od C. Za nju vrijedi x′(t) = −x′(−t),x′′(t) = x′′(−t), x′′′(t) = −x′′′(−t) pa je v(t) = v(−t), sto daje t(t) = −t(−t),n(t) = n(−t), b(t) = −b(−t), a onda je κ(t) = κ(−t) i τ (t) = τ(−t).

Dakle, fleksija i torzija ne zavise od orijentacije krivulje.(9) Neka je C krivulja u R

3 s parametrizacijom x ∈ C∞(I) i t0 ∈ I. Nadalje,neka je C(t0) kruznica zadana parametrizacijom y : [0, 2π] → R

3,

y(s) = c(t0) − ρ(t0) cos sκ(t0) · n(t0) + ρ(t0) sin sκ(t0) · t(t0)gdje je c(t0) = x(t0) + ρ(t0)n(t0) i ρ = 1/κ polumjer fleksije od C. Tada seC(t0) zove oskulacijska kruznica od C u tocki t0.

Kruznica C(t0) lezi u oskulacijskoj ravnini Πot0, prolazi kroz y(0) =

x(t0), ima srediste c(t0) te ima istu fleksiju κ(t0) kao i C u tocki t0.(10) Neka je θ : [0, b] → R glatka funkcija i C krivulja u R

2 s para-metrizacijom x : [0, b] → R

2, x(s) = (∫ s

0cos θ(u)du,

∫ s

0sin θ(u)du). Ta-

da je x′(s) = ( cos θ(s), sin θ(s)) i x′′(s) = θ′(s)(− sin θ(s), cos θ(s)) pa je‖x′(s)‖ = 1, sto znaci da je x prirodna parametrizacija od C. Nadalje, vrije-di formula κ(s) = θ′(s).


Zanimljivo je da za svaku ravninsku krivulju C postoji glatka funkcijaθ, koja je jedinstvena do na aditivni faktor 2πk, k ∈ Z, takva da C imaovakvu prirodnu parametrizaciju x i fleksiju κ(s) = θ′(s). Specijalno, ako jeθ(s) = s2/2 onda je κ(s) = s pa se tada C zove klotoida.(11) Neka je C krivulja u R

2 s parametrizacijom x : I → R2. Tada je

formulom y(t) = x(t)+ρ(t)n(t) definirana parametrizacija krivulje C− u R2,

koju zovemo evoluta od C.(a) Ako je C elipsa s parametrizacijom x(t) = (a cos t,b sin t), onda se

njezina evoluta zove astroida. Parametrizacija astroide je dana formulomy(t) = (a2 − b2)(1

acos3 t,−1

bsin3 t).

(b) Ako je C hiperbola s parametrizacijom x(t) = (a ch t,b sh t), onda C−

ima parametrizaciju y(t) = (a2 + b2)(1ach3 t,−1

bsh3 t).

(c) Ako je C parabola s parametrizacijom x(t) = (t,t2/(2p)), p > 0, ondaC− ima parametrizaciju y(t) = (−t3/p2, p + 3t2/(2p)).(12) Neka su C i C+ krivulje u R

2. Kazemo da je C+ evolventa ili involutaod C, ako je C evoluta od C+ tj. C = (C+)−. Evolventa nije jedinstvena.Ako je s 7→ x(s) prirodna parametrizacija od C, onda C+ ima parametrizacijuy(t) = x(t) + (α − t)t(t), gdje je α ∈ R proizvoljan.

(a) Ako je C kruznica s jednadzbom x21 + x2

2 = r2 onda njezina evolventaima parametrizaciju x(t) = (r cos t + r(t − α) sin t, r sin t − r(t − α) cos t).

(b) Krivulju C zadanu jednadzbom x2 = a ch(x1/a), a > 0, zovemolancanica. Njezina fleksija je dana formulom κ(s) = a/(a2 + s2) = 1

acos2 t,

gdje je s parametar duljine luka od C, pri cemu je t = arctg(s/a). Evolventalancanice, koja prolazi kroz njezin vrh, se zove traktrisa i ima parametriza-ciju x(t) = (a cos t + a log tg(t/2), a sin t), t ∈ (0, π).(13) Krivulja C u R

3 se cesto zadaje implicitnom jednadzbom f(x) = 0,g(x) = 0, gdje su f, g : R

3 → R glatke funkcije takve da su f ′(x) i g′(x)nezavisni, za svaki x ∈ C. Ako je x ∈ C∞(I) parametrizacija od C on-da je f(x(t)) = g(x(t)) = 0, za svaki t ∈ I, pa deriviranjem dobijemo(f ′(x(t))|x′(t)) = (g′(x(t))|x′(t)) = 0, sto znaci da f ′(x(t)) i g′(x(t)) generi-raju normalnu ravninu Πn

t , za svaki t ∈ I, pa za tangentu dobijemo formulut = ±f ′(x) × g′(x)/‖f ′(x) × g′(x)‖.

Vivianijeva krivulja C se zadaje implicitnom jednadzbom

f(x) = x21 + x2

2 + x23 − 4r2 = 0, g(x) = x2

1 + x22 − 2rx1 = 0

Ona ima parametrizaciju x(t) = r(1 + cos t, sin t, 2 sin(t/2)), t ∈ [0, 4π], anjezina fleksija i torzija su dane sa

κ(t) =(13 + 3 cos t)1/2

r(3 + cos t)3/2, τ (t) =

6 cos(t/2)

r(13 + 3 cos t)


(14) Neka je τ ∈ R, τ 6= 0, b ∈ C∞(I), a ∈ I, ‖b(t)‖ = 1 i ‖b′(t)‖ = |τ |, zasvaki t. Definiramo krivulju C prirodnom parametrizacijom x ∈ C∞(I),

x(s) = x(a) + 1τ

∫ s

ab(t) × b′(t)dt

Tada krivulja C ima konstantnu torziju τ i njezina binormala je jednaka±b(s). Nadalje, svaka krivulja s konstantnom torzijom τ 6= 0 se mozezadati na ovaj nacin.(15) Neka je C krivulja u R

3 s prirodnom parametrizacijom x ∈ C∞(I), zakoju je κ > 0 i τ 6= 0. Ako je Cb krivulja s parametrizacijom b ∈ C∞(I),gdje je b binormala od C, onda su fleksija κb i torzija τ b od Cb dane sa

κb = (κ2 + τ 2)1/2/|τ |, τ b = τ (κ/τ )′/(κ2 + τ 2)

(16) Neka je C krivulja u R3 s parametrizacijom x ∈ C∞(I) i a ∈ I. Tada

vrijede formule x(t) =∫ t

av(s)ds + x(a), v(t) =

∫ t

aa(s)ds + v(a) i

x(t) =∫ t

a(t − s)a(s)ds + (t − a)v(a) + x(a)

(17) Neka je C krivulja u R3 s injektivnom parametrizacijom x ∈ C∞(I),

[a, b] ⊂ I i f : R3 → R

3. Tada se f zove vektorsko polje na R3.

(a) Integral W =∫ b

a(f(x(t))|x′(t))dt se zove tok vektorskog polja f po

krivulji C, od a do b.Ako postoji derivabilna funkcija f : R

3 → R, takva da je f(x) = f ′(x),onda kazemo da je f konzervativno ili potencijalno polje, a funkciju fzovemo potencijal od f .

Ako je f konzervativno polje onda je W =∫ b

adf(x(t)) = f(x(b))−f(x(a)).

(b) Ako je I = [a, b] i x(a) = x(b) onda se C zove zatvorena krivulja.Prema tome, tok konzervativnog vektorskog polja po zatvorenoj krivulji jenula. Primjeri zatvorenih krivulja su elipsa i kruznica.

(c) Ako je f : R3 → R neprekidna onda se L =

∫ b

af(x(t))‖x′(t)‖dt zove

integral funkcije f po krivulji C, od a do b.Specijalno, ako je f = 1 onda je L = Lx(a, b). Zamijetimo da integrali

W i L uvijek postoje zbog |W | ≤ m1Lx(a, b), |L| ≤ m2Lx(a, b), gdje jem1 = maxa≤t≤b ‖f(x(t))‖, m2 = maxa≤t≤b |f(x(t))|.

(d) Ako je C1 = x([a, b]) onda integral L drukcije oznacavamo sa

L =∫

C1f(x)dl(x) ili L =

∫

C1fdl

i zovemo ga integral od f po C1. Specijalno je Lx(a, b) =∫

C1dl = |C1| jednak

duljini od C1.Integrali W i L ne zavise od reparametrizacije.


(e) Integral Ex(a, b) =∫ b

a‖x′(t)‖2dt se zove energija krivulje C, od a

do b, i za nju vrijedi nejednakost Lx(a, b)2 ≤ (b−a)Ex(a, b). Energija zavisiod reparametrizacije, slicno kao brzina i ubrzanje krivulje.(18) Neka je C zatvorena ravninska krivulja s parametrizacijom x : [a, b] →R

2. Kazemo da je C jednostavna krivulja ako se R2\C sastoji od dvije kom-

ponente: vanjske neogranicene i unutrasnje ogranicene koju oznacavamosa U. Smatramo da je C orijentirana tako da obilazimo U jedanput u pozi-tivnom smjeru.

Ako je C jednostavna krivulja i f : R2 → R

2, f(x) = (f1(x),f2(x)), deri-vabilna funkcija, onda vrijedi Greenova formula

∫∫

U[∂1f2(x) − ∂2f1(x)]dx1dx2 =

∫ b

a(f(x(t))|x′(t))dt

(a) Ako u Greenovu formulu uvrstimo bilo koju od sljedecih funkcijaf(x) = (0, x1), f(x) = (−x2, 0), f(x) = 1

2(−x2, x1) dobijemo povrsinu |U |

unutrasnje komponente U tj.

|U | =∫ b

ax1(t)x

′2(t)dt = −

∫ b

ax2(t)x

′1(t)dt = 1

2

∫ b

a[x1(t)x

′2(t) − x2(t)x

′1(t)]dt

(b) Ako je C elipsa s poluosima a i b onda je |U | = πab(c) Vrijedi izoperimetrijska nejednakost 4π|U | ≤ |C|2, gdje je |C|

duljina od C, pri cemu jednakost vrijedi samo za kruznicu.(19) Ako je x : I → R

3 glatka funkcija, a ∈ I, n ∈ N, onda za x vrijediTaylorova formula

x(t) =∑n

k=01k!x(k)(a)(t − a)k + R(t)

gdje je R(t) = 1n!

∫ t

ax(n+1)(s)(t − s)nds ostatak Taylorove formule.

NAPOMENA 2.12

Pored trobrida (t,n,b) definiraju se i drugi trobridi. Jedan od njih se zovetrobrid paralelnog transporta (t,n1,n2) krivulje C, gdje je t(t) tangentaod C, a n1(t) i n2(t) ortonormirani vektori u normalnoj ravnini krivulje C utocki t i definirani su formulama

(1) t′ = vκ1n1 + vκ2n2

(2) n′1 = −vκ1t

(3) n′2 = −vκ2t

koje imaju ulogu Frenetovih formula za ovaj trobrid, pri cemu vrijedi

κ2 = κ

21 + κ

22 , vκ

2τ = κ1κ′2 − κ2κ

′1


Nadalje, vτ = θ′, gdje je θ = arctg(κ2/κ1). Zamijetimo da κ1 i κ2 imajuulogu kartezijevih koordinata tocaka u normalnoj ravnini, ako κ i θ shvatimokao polarne koordinate tih tocaka.

Pripadni vektor kutne brzine je dan sa ω = −vκ2n1 +vκ1n2 pa dobijemot′ = ω × t, n′

1 = ω × n1, n′2 = ω × n2.

Ako krivulja C lezi na plohi M u R3 onda se definira jos jedan trobrid

tzv. geodetski trobrid (t,ng,m) od C, gdje je t(t) tangenta od C, a ng(t)i m(t) ortonormirani vektori u normalnoj ravnini krivulje C u tocki t, koji sezovu geodetska i plosna normala od C u tocki t. Ovaj trobrid je veomavazan i o njemu ce biti rijeci u sljedecem poglavlju.

2.4 Spirale

PROPOZICIJA 2.13 Neka je C krivulja u R3 za koju je κ 6= 0 i τ 6= 0.

Tada su sljedece tvrdnje ekvivalentne:(1) Postoji a ∈ R

3, a 6= 0, takav da je (a|t) = const(2) Postoji a ∈ R

3, a 6= 0, takav da je (a|n) = 0(3) Postoji a ∈ R

3, a 6= 0, takav da je (a|b) = const(4) τ/κ = const

Krivulja C s ovim svojstvima se zove spirala.

Dokaz (1)⇒(2): Ako je (a|t) = const onda deriviranjem dobijemo (a|t′) = 0tj. (a|vκn) = 0 pa je (a|n) = 0. (2)⇒(3): Ako je (a|n) = 0 onda je po trecojFrenetovoj formuli (a|b′) = 0 pa je (a|b) = const. (3)⇒(4): Ako je (a|b) =const, onda je (a|b′) = 0 tj. (a|n) = 0 te (a|n′) = 0 pa po drugoj Frenetovojformuli slijedi κ(a|t) = τ(a|b) sto znaci da je κ/τ = (a|b)/(a|t) = const.(4)⇒(1): Ako je τ/κ = const, onda po prvoj i trecoj Frenetovoj formulidobijemo t′/κ + b′/τ = 0 pa je (τ/κ)t′ + b′ = 0 te (τ/κ)t + b = const = a,sto daje (a|t) = τ/κ = const.

PRIMJERI 2.14

(1) Ako je C spirala onda je (a|t) = c = const pa je (a|x′) = cv, pa inte-griranjem od t0 do t dobijemo duljinu luka spirale cs = (a|x(t) − x(t0)), pricemu je c = τ/κ i a = (τ/κ)t + b. Pravac Π = Ra se zove os spirale C.(2) Ako je C obicna cilindricna spirala onda je κ = const i τ = const, pa jeτ/κ = const tj. C je spirala. Obrat ne vrijedi.(3) Ako je x0 ∈ R

3, (u1,u2,u3) ortonormirana baza od R3 i C krivulja s

parametrizacijom x(t) = x0 + r cos t · u1 + r sin t · u2 + atu3, t ∈ R, gdje jer > 0 i a 6= 0, onda je κ = r/(a2 + r2) i τ = a/(a2 + r2) pa je C kongruentnaobicnoj cilindricnoj spirali.


(4) Ako je C krivulja s parametrizacijom x(t) = a(ch t, sh t, t), t ∈ R, gdjeje a 6= 0, onda je C spirala i κ(s) = τ (s) = a/(2a2 + s2), gdje je s parametarduljine luka od C.(5) Ako je C krivulja s parametrizacijom x(t) = (at,

√2a log t, a/t), t > 0,

gdje je a 6= 0, onda je C spirala i κ(s) = τ(s) = a√

2/(4a2 + s2), gdje je sparametar duljine luka od C.(6) Ako je C krivulja s parametrizacijom x(t) = (3t− t3, 3t2, 3t + t3), t ∈ R,onda je C spirala i κ(t) = τ (t) = 1

3(1 + t2)−2.

(7) Ako je x prirodna parametrizacija od C onda vrijedi(a) [t,b,b′] = τ , [b′,b′′,b′′′] = τ 5(κ/τ )′

(b) [x′′,x′′′,x(4)] = [t′, t′′, t′′′] = κ5(τ/κ)′

(c) C je spirala ako i samo ako je κτ 6= 0 i [x′′,x′′′,x(4)] = 0(8) Neka je C krivulja u R

3 s fleksijom κ i torzijom τ . Ako postoje A, B ∈ R

takvi da je Aκ + Bτ = 1, onda se C zove Bertrandova krivulja. KrivuljaC∗ 6= C, koja ima istu normalu kao i C, se zove dualna krivulja od C.

Ako je x ∈ C∞(I) prirodna parametrizacija Bertrandove krivulje C,(t,n,b) njezin trobrid i C∗ krivulja s parametrizacijom y(t) = x(t) + An(t),t ∈ I, onda vrijedi

(a) ‖y − x‖ = |A| i y′ = (1 − Aκ)t + Aτb(b) C∗ i C imaju istu normalu n tj. C∗ je dualna krivulja od C.(c) C∗ je Bertrandova krivulja.(d) Kut α izmedu tangenti od C i C∗ je konstantan.(e) Za kut α vrijedi cos2 α = B2/(A2 + B2)(f) Svaka krivulja s konstantnom fleksijom κ 6= 0 je Bertrandova krivulja.(g) Obicna cilindricna spirala je Bertrandova krivulja.(h) Obicna cilindricna spirala ima beskonacno dualnih krivulja.(i) Svaka Bertrandova krivulja C ima jedinstvenu dualnu krivulju, osim

u slucaju kad je C obicna cilindricna spirala.

TEOREM 2.15 Neka je C krivulja s fleksijom κ i torzijom τ .(1) Ako je κ = 0 onda je C dio nekog pravca u R

3.(2) Ako je κ 6= 0 i τ = 0 onda je C sadrzana u nekoj ravnini u R

3.(3) Ako je κ = const 6= 0 i τ = 0 onda je C dio neke kruznice u R

3.(4) Ako je κ = const 6= 0 i τ = const 6= 0 onda je C kongruentna dijelu

obicne cilindricne spirale.(5) Ako je κτ 6= 0 i τ/κ = const onda je C spirala.

Dokaz Neka je x ∈ C∞(I) prirodna parametrizacija od C.(1) Buduci da je ‖t′(s)‖ = κ(s) = 0 postoje a,b ∈ R

3 takvi da je t′(s) =b ∈ R

3 i x(s) = a+sb sto znaci da je C ⊂ a+Rb. (2) Buduci da je b′(s) = 0dobijemo b(s) = b ∈ R

3, za svaki s ∈ I. Ako je f(s) = (x(s)−x(s0)|b) onda


je f(s0) = 0 i f ′(s) = (t(s)|b) = 0 sto znaci f(s) = 0, za svaki s ∈ I, paje x(s) element oskulacijske ravnine Πo

s0, za svaki s ∈ I. Prema tome je C

sadrzana u Πos0

. (3) Neka je y(s) = x(s) + n(s)/κ. Tada je

y′(s) = n(s) + (−κt(s) + τb(s))/κ = 0

sto znaci y(s) = a ∈ R3, za svaki s ∈ I, pa je ‖x(s) − a‖ = 1/κ. Dakle,

x(s) ∈ S, gdje je S sfera sa sredistem u a, polumjera ρ = 1/κ, pa je C ⊂ S.S druge strane, po (2) je C ⊂ Πo

s0pa je C ⊂ Πo

s0∩ S, a ovo je kruznica.

(4) Ako je a = (τ/κ)t + b, kao u dokazu prethodne propozicije, onda je‖a‖ = (κ2 + τ 2)1/2/κ, i cs = (a|x(s) − x0), gdje je c = τ/κ. Po prethodnojpropoziciji je (a|n(s)) = 0, za svaki s ∈ I, sto znaci da je n(s) ∈ Π, gdje jeΠ podprostor okomit na a. Neka je (u1,u2) ortonormirana baza u Π i u3 =a/‖a‖. Tada je (u1,u2,u3) ortonormirana baza od R

3, pri cemu smatramoda su u1 i u2 odabrani tako da je [u1,u2,u3] = 1. Buduci da je ‖x′(s)‖ = 1,x′′(s) = κn(s) i n(s) = cos αsu1 + sin αsu2, α = (κ2 + τ 2)1/2, dobijemo

x′(s) = 1ακ sin αsu1 − 1

ακ cos αsu2 + 1

ατu3

pa je x(s) = x0 − ( 1α)2

κ cos αsu1 − ( 1α)2

κ sin αsu2 + 1ατsu3. Definiramo

U ∈ L(R3) sa Ue1 = −u1, Ue2 = −u2, Ue3 = u3 i preslikavanje f : R3 → R

3,f(x) = x0 + Ux. Tada je f kongruencija i f(C0) = C, gdje je C0 dio obicnecilindricne spirale s fleksijom κ i torzijom τ , zadan prirodnom parametriza-cijom. (5) Slijedi iz prethodne propozicije.

TEOREM 2.16 (Osnovni teorem teorije krivulja)(1) Fleksija i torzija jedinstveno odreduju krivulju do na kongruenciju tj.

ako dvije krivulje imaju istu fleksiju i torziju onda su one kongruentne.(2) Ako su κ, τ : [0, b] → R, κ > 0, glatke funkcije onda postoji krivulja

C u R3, parametrizirana duljinom luka, takva da su κ i τ fleksija i torzija

od C.

Dokaz Dokaz je dosta kompliciran pa ga ne navodimo.

Poglavlje 3

Plohe

3.1 Osnovna svojstva ploha

Neka je U otvoren skup u R2 i r : U → R

3,

r(u) = (r1(u), r2(u), r3(u)) = r1(u)e1 + r2(u)e2 + r3(u)e3

gdje je u ∈ U, u = (u1, u2). Tada se funkcije ri : U → R, i = 1, 2, 3, zovukoordinatne funkcije od r. Kazemo da je funkcija r neprekidna [odnosnoderivabilna, glatka, integrabilna] ako su sve njezine koordinatne funkcijeneprekidne [odnosno derivabilne, glatke, integrabilne]. Ako je r derivabilnaonda se

r1(u) = ∂1r(u) = (∂1r1(u), ∂1r2(u), ∂1r3(u))

r2(u) = ∂2r(u) = (∂2r1(u), ∂2r2(u), ∂2r3(u))

zovu parcijalne derivacije od r u tocki u, gdje je ∂1 = ∂/∂u1 i ∂2 = ∂/∂u2.U daljem razmatramo samo glatke funkcije tj. funkcije r koje imaju

sve parcijalne derivacije

∂n1 ∂m

2 r(u) = ∂n+m

∂un

1∂um

2

r(u), n, m ≥ 0.

Skup svih glatkih funkcija r : U → R3 oznacavamo sa C∞(U).

Ponekad takoder razmatramo i funkcije f : K → R3, gdje K ⊂ R

2 nijeotvoren, pri cemu smatramo da postoji otvoren skup U koji sadrzi K, i glatkafunkcija r : U → R

3 takva da je r|K = f .Neka je r ∈ C∞(U) i r′(u) : R

2 → R3 linearni operator definiran sa

r′(u)x = x1r1(u) + x2r2(u)

Tada se r′(u) zove derivacija od r u tocki u ∈ U. Ako je Ru matrica odr′(u), u standardnim bazama od R

2 i R3, onda Ru ima dva stupca: u prvom

stupcu su koordinate od r1(u), a u drugom koordinate od r2(u).

POGLAVLJE 3. PLOHE 23

Neka su U, V ⊂ R2 otvoreni skupovi i ϕ : V → U glatka bijekcija takva

da je njezin inverz ϕ−1 : U → V glatka funkcija. Tada se funkcija ϕ zove

difeomorfizam. Ako je ϕ : V → U difeomorfizam onda je ϕ′(u) linearni

operator na R2, ϕ

′(u)x = x1∂1ϕ(u) + x2∂2ϕ(u), pa za njegovu matricu Fu,u standardnoj bazi od R

2, vrijedi

Fu =

[

∂1ϕ1(u) ∂2ϕ1(u)∂1ϕ2(u) ∂2ϕ2(u)

]

gdje je ϕ(u) = (ϕ1(u), ϕ2(u)). Dakle, det ϕ′ = ∂1ϕ1∂2ϕ2 − ∂2ϕ1∂1ϕ2 i

det ϕ′(u) 6= 0, za svaki u ∈ V.

Kazemo da su r ∈ C∞(U) i r ∈ C∞(V ) ekvivalentne ako postoji dife-omorfizam ϕ : V → U takav da je r(u) = r(ϕ(u)) i det ϕ

′(u) > 0, u ∈ V.Klasa ekvivalencije M od r ∈ C∞(U) se zove ploha u R

3, a funkcija r sezove parametrizacija plohe M. Ako je r ∈ C∞(V ) ekvivalentna sa r ondase r zove reparametrizacija od M.

Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U). Kazemo da je plohaM regularna ako je r′(u) injektivan operator, za svaki u ∈ U, tj. ako sur1(u) i r2(u) linearno nezavisni, za svaki u ∈ U. Ako je r reparametrizacijaod M onda je po pravilu deriviranja kompozicije r′(u) = r′(ϕ(u))ϕ′(u), stoznaci da r′(u) i r′(ϕ(u)) imaju isti rang, za svaki u ∈ U.

U daljem razmatramo samo regularne plohe.Radi jednostavnije vizualizacije plohu M, s parametrizacijom r ∈ C∞(U),

cesto poistovjecujemo sa skupom r(U) ⊂ R3 tj. sa slikom od r.

Ako je M ploha u R3 s parametrizacijom r ∈ C∞(U) onda se

TuM = Rr1(u) + Rr2(u) = {α1r1(u) + α2r2(u); α1, α2 ∈ R}

zove tangencijalni prostor od M u tocki u, dok se ravnina r(u) + TuMzove tangencijalna ravnina na plohu M u tocki u. Ako je r ∈ C∞(V ),r(u) = r(ϕ(u)), reparametrizacija od M i T uM tangencijalni prostor od M,izracunat u r, onda je r′(u) = r′(ϕ(u))ϕ′(u) pa je

r1(u) = r1(ϕ(u))∂1ϕ1(u) + r2(ϕ(u))∂1ϕ2(u) (3.1)

r2(u) = r1(ϕ(u))∂2ϕ1(u) + r2(ϕ(u))∂2ϕ2(u)

iz cega slijedi T uM = Tϕ(u)M, sto znaci da tangencijalni prostor ne zavisiod reparametrizacije.

Svaki element iz TuM se zove tangencijalni vektor na M u tocki u.Ako je f ∈ C∞(U) onda se f zove vektorsko polje na M. Kazemo da

je f tangencijalno vektorsko polje ako je f(u) ∈ TuM, u ∈ U. Primjeritangencijalnih vektorskih polja su f = r1 i f = r2, gdje je r parametrizacija


od M. Buduci da je (r1(u), r2(u)) baza od TuM, za svaki u ∈ U, svakotangencijalno polje se moze napisati u obliku f = f1r1 + f2r2, gdje su f1, f2 :U → R glatke funkcije. Vektorsko polje

ν(u) = r1(u) × r2(u)/‖r1(u) × r2(u)‖

se zove normala na M u tocki u. Ako je r(u) = r(ϕ(u)) reparametrizacijaod M i ν(u) normala na M, izracunata u parametrizaciji r, onda je po (3.1)

r1(u) × r2(u) = r1(ϕ(u)) × r2(ϕ(u)) · det ϕ′(u)

pa je ν(u) = ν(ϕ(u)), za svaki u ∈ V, sto znaci da normala ne zavisi odreparametrizacije.

Ploha je regularna ako i samo ako ima normalu u svakoj tocki.Zamijetimo da je (r1(u), r2(u), ν(u)) baza od R

3, za svaki u ∈ U.U daljem nam trebaju i parcijalne derivacije od r drugog reda pa

za njih uvodimo oznake r11 = ∂21r, r12 = r21 = ∂1∂2r, r22 = ∂2

2r, kao i prveparcijalne derivacije normale ν1 = ∂1ν, ν2 = ∂2ν.

Zamijetimo da su ν1 i ν2 tangencijalna vektorska polja. Naime, kako je(ν|ν) = 1, parcijalnim deriviranjem dobijemo (ν1|ν) = 0 i (ν2|ν) = 0, stoznaci da su ν1 i ν2 okomiti na ν.

Linearni operator ν′(u) : R

2 → R3, definiran formulom

ν′(u)x = x1ν1(u) + x2ν2(u)

se zove derivacija od ν u tocki u. Njegova matrica, u standardnim bazamaod R

2 i R3, izgleda slicno kao matrica od r′(u).

U daljem vaznu ulogu imaju operatori Gu, Bu, Su ∈ L(R2),

Gu = r′(u)τr′(u), Bu = −r′(u)τν′(u), Su = G−1

u Bu

Operator Gu se zove metricki operator (ili metricki tenzor), a Su se zoveoperator oblika (ili tenzor zakrivljenosti) plohe M u tocki u. Buduci daje r′(u) injektivan operator zakljucujemo da je Gu regularan, simetricani pozitivan operator.

Ponekad nam treba i operator S♮u ∈ L(TuM), S♮

ur′(u) = −ν

′(u) tj.

S♮u(x1r1 + x2r2) = −x1ν1 − x2ν2, x1, x2 ∈ R

Dakle, S♮ur1 = −ν1, S♮

ur2 = −ν2, ν1 × ν2 = r1 × r2 det S♮u i

r1 × ν2 + ν1 × r2 = −r1 × r2 trS♮u


Zamijetimo da je S♮ur

′(u) = r′(u)Su pa je spektar od S♮u jednak spektru

od Su. Ako je Sux = αx onda je S♮ur

′(u)x = αr′(u)x.Za S♮

u vrijedi r′(u)τS♮ur

′(u) = Bu. Operator S♮u se takoder zove operator

oblika plohe M u tocki u.Buduci da je ν

′(u) = −r′(u)Su = −S♮ur

′(u), za operator Cu = ν′(u)τ

ν′(u)

dobijemo Cu ≥ 0 i Cu = SτuGuSu = Bτ

uSu.

PRIMJERI 3.1

(1) Svaki otvoreni skup U ⊂ R2 je regularna ploha s parametrizacijom r :

U → R2 ⊂ R

3, r(u) = u, pri cemu je ν(u) = e3, za svaki u ∈ U. Posebno suvazni U = R

2 i jedinicni disk U = D2 = {u ∈ R2; ‖u‖ < 1}.

(2) Neka je a ∈ R3 i neka su b1,b2 ∈ R

3 nezavisni vektori. Nadalje, nekaje M ploha u R

3 s parametrizacijom r : R2 → R

3, r(u) = a + u1b1 + u2b2.Tada se M zove ravnina u R

3 i oznacavamo je sa M = a + Rb1 + Rb2.Za nju vrijedi r1(u) = b1, r2(u) = b2 i r1(u) × r2(u) = b1 × b2, dok jeTuM = Rb1 + Rb2. Dakle, ravnina je regularna ploha.(3) Ako je f : R

2 → R glatka funkcija onda je njezin graf

G(f) = {(u1, u2, f(u));u ∈ R2} = {(u, f(u));u ∈ R

2}

ploha s parametrizacijom r : R2 → R

3,

r(u) = (u1, u2, f(u)) = u1e1 + u2e2 + f(u)e3 = u + f(u)e3

i za nju vrijedi r1 = (1, 0, ∂1f), r2 = (0, 1, ∂2f) i r1 × r2 = (−∂1f,−∂2f, 1) paje G(f) regularna ploha i ‖r1 × r2‖2 = 1 + ‖f ′‖2.(4) Neka je S2 = {x ∈ R

3; ‖x‖ = 1} jedinicna sfera u R3 i

S2+ = {x ∈ S2 : x3 > 0}, S2

− = {x ∈ S2 : x3 < 0}

Tada se S2+ zove gornja polusfera, S2

− donja polusfera, dok se skup S20 =

{x ∈ S2 : x3 = 0} zove ekvator i vrijedi S2 = S2+ ∪ S2

− ∪ S20 .

(a) S2+ = G(f+), S2

− = G(f−), gdje je f±(u) = ±(1 − ‖u‖2)1/2, u ∈ D2.Prema tome, S2

+ i S2− su regularne plohe.

(b) Neka je r : R2 → R

3, r(u) = (2u1, 2u2, ‖u‖2 − 1)/(‖u‖2 + 1).Tada je ‖r(u)‖ = 1, za svaki u, pa je r(u) ∈ S2 i r(R2) = S2\{e3}. Nadalje,r je glatka bijekcija od R

2 i S2\{e3} i ima inverz r−1 : S2\{e3} → R2 dan

formulom r−1(x) = (x1, x2)/(1−x3), a zove se stereografska projekcija izsjevernog pola e3.

(c) Neka je r : R2 → R

3, r(u) = (2u1, 2u2, 1 − ‖u‖2)/(‖u‖2 + 1).Tada je r glatka bijekcija od R

2 i S2\{−e3}, a inverz r−1 : S2\{−e3} → R2

je dan sa r−1(x) = (x1, x2)/(1 + x3), i zove se stereografska projekcija izjuznog pola −e3.


(d) Neka je r(u) = (2(1−‖u‖2)1/2u1, 2(1−‖u‖2)1/2u2, 2‖u‖2−1), u ∈ D2.Tada je r parametrizacija od S2\{e3} koja ima inverz r−1 : S2\{e3} → D2,r−1(x) = (x1, x2)/(2 − 2x3)

1/2 i vrijedi ν = r.(e) Neka je K = [0, 2π] × (−π/2, π/2) ⊂ R

2 i r : K → R3,

r(u) = (cos u1 cos u2, sin u1 cos u2, sin u2)

Tada je r glatka funkcija, r(K) = S2\{e3,−e3}, i zove se geografska para-metrizacija od S2\{e3,−e3}. Parametar u1 se zove geografska duzina, au2 geografska sirina. Funkcija r nije injektivna, naime nulti meridijan sepokrije dvaput. Ako prosirimo r na K = [0, 2π]×[−π/2, π/2] onda pokrijemocijelu sferu, tj. r(K) = S2, ali izgubimo regularnost u sjevernom i juznompolu. Ako restringiramo r na K◦ = (0, 2π)× (−π/2, π/2) onda ne pokrijemonulti meridijan, tj. r(K◦) = S2\r(K\K◦), ali dobijemo bijekciju.(5) Plohe u R

3 se cesto zadaju implicitnom jednadzbom

M = f−1(0) = {x ∈ R3; f(x) = 0}

gdje je f : R3 → R glatka funkcija takva da je f ′(x) 6= 0, za svaki x ∈ M.

Medutim, moze se dogoditi da parametrizacija r : U → R3 ovakve plohe

M ne pokrije cijelu plohu tj. da je r(U) 6= M. Ovaj slucaj smo imali kodjedinicne sfere M = S2, koja ima implicitnu jednadzbu ‖x‖ = 1 tj. (x|x) = 1,pri cemu je u ovom slucaju f(x) = (x|x)− 1. Ovakav nacin zadavanja ploheima jednu dobru stranu, naime lako je naci normalu. Ako je r : U → R

3

parametrizacija od M = f−1(0) onda je f(r(u)) = 0 pa deriviranjem slijedi(f ′(r(u))|r1(u)) = (f ′(r(u))|r2(u)) = 0, sto znaci da je f ′(r) okomit na r1 ir2 pa je normala dana sa ν = ±f ′(r)/‖f ′(r)‖.

Ravnina M = a+ Rb1 + Rb2 iz (2) se moze zadati u obliku M = f−1(0),ako stavimo f(x) = (x − a|b), gdje je b = b1 × b2.(6) Ako je A ∈ L(R3), A 6= 0, simetrican operator, a ∈ R

3, α ∈ R i

f : R3 → R, f(x) = (Ax|x) + 2(a|x) + α

onda se M = f−1(0) zove kvadrika ili ploha drugog reda. Buduci da jef ′(x) = 2Ax + 2a, dobijemo f ′(x) = 0, za svaki x ∈ M0, gdje je M0 skupsvih x ∈ R

3 za koje vrijedi Ax + a = 0. Dakle, ako je M ∩ M0 = ∅ onda jeM regularna, a ako je M ∩ M0 6= ∅ onda M nije regularna. U tom slucajuumjesto M mozemo razmatrati M\M0.

Kazemo da je M nedegenerirana kvadrika ako je (A+a|a) 6= α det A.Zamijetimo da je α det A − (A+a|a) dan 4 × 4 determinantom

α det A − (A+a|a) =

∣

∣

∣

∣

A aτ

a α

∣

∣

∣

∣


Ako je M nedegenerirana i det A 6= 0 onda je M elipsoid ili hiperboloid(sto zavisi od spektra od A), a ako je det A = 0 onda je M paraboloid.Primjeri degeneriranih kvadrika su konusi i cilindri.

Sfera M sa sredistem u a ∈ R3, polumjera r > 0, se zadaje imlicitnom

jednadzbom ‖x − a‖ = r tj. (x − a|x − a) − r2 = 0 sto se moze napisati uobliku (x|x) − 2(a|x) + (a|a) − r2 = 0, pa je M kvadrika za A = I.

3.2 Metricki operator i operator oblika

PROPOZICIJA 3.2 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U).(1) Ako je Gu matrica od Gu, u standardnoj bazi, onda je

Gu =

[

E(u) F (u)F (u) G(u)

]

gdje je E = (r1|r1), F = (r1|r2), G = (r2|r2).Nadalje, det Gu = EG − F 2 = ‖r1 × r2‖2.(2) Ako je Bu matrica od Bu, u standardnoj bazi, onda je

Bu =

[

e(u) f(u)f(u) g(u)

]

gdje su matricni koeficijenti dani sa e = −(r1|ν1) = (r11|ν), g = −(r2|ν2) =(r22|ν), f = −(r1|ν2) = (r12|ν) = −(r2|ν1).

Nadalje, Bu je simetrican operator i det Bu = eg − f 2.

Dokaz (1) Neka je Ru matrica od r′(u). Tada je Gu = RτuRu iz cega slijedi

tvrdnja. (2) Ako je Nu matrica od ν′(u) i Bu matrica od Bu, onda je Bu =

−RτuNu. Zamijetimo da je (ν|r1) = 0 i (ν|r2) = 0 pa parcijalnim deriviranjem

po prvoj varijabli dobijemo (ν1|r1) + (ν|r11) = 0 i (ν1|r2) + (ν|r12) = 0 izcega slijedi (ν1|r1) = −(ν|r11) i (ν1|r2) = −(ν|r12) = (ν2|r1). Na slicannacin, derivirajuci po drugoj varijabli, dobijemo (ν2|r2) = −(ν|r22), iz cegaslijedi tvrdnja.

TEOREM 3.3 Vrijede sljedece tvrdnje(1) Operator Su je slican simetricnom operatoru.(2) Operator Su ima dvije realne svojstvene vrijednosti, a ako su

x1 i x2 pripadni svojstveni vektori onda je (Gux1|x2) = 0.

Dokaz Neka je T = G1/2u i H = T−1BuT−1. Tada su T i H simetricni

operatori i vrijedi T−1HT = T−1T−1BuT−1T = G−1u Bu = Su pa je Su je

slican simetricnom operatoru H. Dakle, spektar od Su je jednak spektru


od H, pa Su ima dvije realne svojstvene vrijednosti. Ako je Hy = αy ix = T−1y onda je Bux = αGux pa je Sux = αx. Dakle, ako su y1 i y2

svojstveni vektori od H onda su x1 = T−1y1 i x2 = T−1y2 svojstveni vektoriod Su i vrijedi (y1|y2) = 0, pa je (Gux1|x2) = (Tx1|Tx2) = (y1|y2) = 0.

PROPOZICIJA 3.4 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U).Ako je r ∈ C∞(V ), r(u) = r(ϕ(u)), reparametrizacija od M, i ako su Gu,Bu i Su operatori izracunati u r, onda je Gu = ϕ

′(u)τGϕ(u)ϕ′(u), Bu =

ϕ′(u)τBϕ(u)ϕ

′(u) i Su = ϕ′(u)−1Sϕ(u)ϕ

′(u).

Dokaz Buduci da je Gu = r′(u)τr′(u) dobijemo

Gu = [r′(ϕ(u))ϕ′(u)]τr′(ϕ(u))ϕ′(u) = ϕ′(u)τGϕ(u)ϕ

′(u)

i slicno za Bu, a onda mnozenjem dobijemo formulu za Su.

DEFINICIJA 3.5 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U).(1) Neka je C krivulja u R

3 s parametrizacijom x ∈ C∞(I). Ako postojiravninska krivulja C1 s parametrizacijom u : I → R

2 takva da je u(t) ∈ U ix(t) = r(u(t)), za svaki t ∈ I, onda kazemo da je C krivulja na plohi M,ili da C lezi na M.

(2) Krivulja s parametrizacijom u1 7→ r(u), zadana sa u2 = const, se zoveprva koordinatna krivulja na M, a krivulja s parametrizacijom u2 7→r(u), zadana sa u1 = const, se zove druga koordinatna krivulja na M.

(3) Neka su C1 i C2 krivulje na M s parametrizacijama x(t) = r(u(t)),t ∈ I, i y(s) = r(v(s)), s ∈ J. Ako je u(t0) = v(s0), za neki t0 ∈ I i s0 ∈ J,onda kazemo da se C1 i C2 sijeku u tocki u(t0) i definiramo kut α izmedu

C1 i C2 u tocki u(t0) kao kut izmedu njihovih brzina u toj tocki.

3.3 Fundamentalne forme

DEFINICIJA 3.6 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U).(1) Funkcija gu : R

2 × R2 → R, gu(x,y) = (r′(u)x|r′(u)y), se zove prva

fundamentalna forma od M u tocki u. Krace pisemo gu(x) = gu(x,x).(2) Funkcija bu : R

2×R2 → R, bu(x,y) = −(ν ′(u)x|r′(u)y), se zove dru-

ga fundamentalna forma od M u tocki u. Krace pisemo bu(x) = bu(x,x).Ako je bu(x,y) = 0 onda kazemo da su x i y konjugirani smjerovi u u.

DEFINICIJA 3.7 Kazemo da je parametrizacija r plohe M :(1) ortogonalna ako je (r1|r2) = 0.(2) polugeodetska ako je ortogonalna i ‖r1‖ = const ili ‖r2‖ = const.(3) konformna ako je ortogonalna i ‖r1‖ = ‖r2‖.(4) harmonijska ako je r11 + r22 = 0.


PROPOZICIJA 3.8 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U).(1) gu(x,y) = (Gux|y), bu(x,y) = (Bux|y), za svaki x,y(2) gu(x,y) = E(u)x1y1 + F (u)[x1y2 + x2y1] + G(u)x2y2

Slicna formula vrijedi za bu(x,y).(3) r je ortogonalna ako i samo ako je F = 0.(4) r je konformna ako i samo ako je Gu = E(u)I, za svaki u.

Dokaz (1) Imamo gu(x,y) = (r′(u)τr′(u)x|y) = (Gux|y) i slicno za bu. (2)Slijedi iz (r′(u)x|r′(u)y) = (r1(u)x1 + r2(u)x2|r1(u)y1 + r2(u)y2) skalarnimmnozenjem. Dokaz za bu je slican. Tvrdnje (3) i (4) slijede iz 3.2.

KOROLAR 3.9 (1) Ako je C krivulja na M s parametrizacijom x(t) =r(u(t)) onda je x′(t) ∈ Tu(t)M, za svaki t, i vrijedi x′(t) = r′(u(t))u′(t) =r1(u(t))u′

1(t) + r2(u(t))u′2(t), pri cemu je ‖x′(t)‖2 = gu(t)(u

′(t)).(2) Ako su C1 i C2 krivulje na M s parametrizacijama x(t) = r(u(t)),

t ∈ I, i y(s) = r(v(s)), s ∈ J, koje se sijeku u tocki u(t) = v(s), onda je kutα izmedu C1 i C2 u tocki u(t) dan formulom

cos α = gu(t)(u′(t),v′(s))/[gu(t)(u

′(t))gu(t)(v′(s))]1/2

(3) r1(u) i r2(u) su brzine koordinatnih krivulja u1 7→ r(u) i u2 7→r(u) u tocki u, dok je kut α izmedu koordinatnih krivulja u tocki u dan

formulom cos α = F (u)/[E(u)G(u)]1/2. Koordinatne krivulje su okomite utocki u ako i samo ako je F (u) = 0.

(4) Ako je parametrizacija r ortogonalna onda su koordinatne krivuljeokomite u svim tockama.

Dokaz Prva formula iz (1) slijedi po pravilima deriviranja slozene funkcije,a druga iz prve i prethodne propozicije. Tvrdnja (2) slijedi iz (1) i definicijekuta, dok (3) slijedi iz definicije koordinatnih krivulja i (2). Tvrdnja (4)slijedi iz (3).

3.4 Zakrivljenosti ploha

DEFINICIJA 3.10 Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r ∈ C∞(U),

k1(u) i k2(u) svojstvene vrijednosti operatora Su, k2(u) ≤ k1(u), i x1(u) ix2(u) pripadni svojstveni vektori takvi da je gu(x1(u)) = gu(x2(u)) = 1.

Tada se k1(u) i k2(u) zovu glavne zakrivljenosti, a x1(u) i x2(u)glavni smjerovi plohe M u tocki u. Nadalje, K(u) = k1(u)k2(u) se zo-ve Gaussova zakrivljenost, a H(u) = 1

2(k1(u) + k2(u)) se zove srednja

zakrivljenost plohe M u tocki u.Ako je H = 0 onda se M zove minimalna ploha, a ako je K = 0 onda

se M zove razvojna ploha.


PROPOZICIJA 3.11 Neka je r ∈ C∞(U) parametrizacija i r ∈ C∞(V ),r(u) = r(ϕ(u)), reparametrizacija od M. Tada vrijedi k1(u) = k1(ϕ(u)),k2(u) = k2(ϕ(u)), K(u) = K(ϕ(u)), H(u) = H(ϕ(u)), sto znaci da glavnezakrivljenosti te Gaussova i srednja zakrivljenost ne zavise od reparame-

trizacije. Za glavne smjerove vrijede formule x1(u) = ϕ′(u)−1x1(ϕ(u)),

x2(u) = ϕ′(u)−1x2(ϕ(u)).

Dokaz Po 3.4 je Su = ϕ′(u)−1Sϕ(u)ϕ

′(u), sto znaci da Su i Sϕ(u) imaju istesvojstvene vrijednosti i vrijedi gornja formula za svojstvene vektore.

PROPOZICIJA 3.12 (1) Ako je Su matrica od Su onda vrijedi

Su =1

det Gu

[

Ge − Ff Gf − FgEf − Fe Eg − Ff

]

(2) K = (eg−f 2)/(EG−F 2)(3) H = 1

2(Eg + eG − 2Ff)/(EG−F 2)

(4) k1 = H + (H2 − K)1/2, k2 = H − (H2 − K)1/2

Dokaz Buduci da je det Gu = EG−F 2, Su = G−1u Bu i

G−1u =

1

det Gu

[

G −F−F E

]

mnozenjem matrica dobijemo (1), a uzimanjem determinante i traga dobi-jemo (2) i (3). Nule svojstvenog polinoma λ2 − 2H(u)λ + K(u) od Su suglavne zakrivljenosti pa dobijemo (4).

KOROLAR 3.13 Neka je M ploha s parametrizacijom r.(1) Ako je r ortogonalna onda je

K = (eg−f 2)/(EG), 2H = (Eg + eG)/(EG)

(2) Ako je r polugeodetska i E = 1 onda je

K = (eg−f 2)/G, 2H = (g + eG)/G

(3) Ako je r konformna onda je Gu = EI, Su = Bu/E i

K = (eg−f 2)/E2, 2H = (e + g)/E

(4) Ako je r konformna i harmonijska onda je K = −(e2+f 2)/E2, H = 0

Dokaz Prve tri tvrdnje slijede neposredno iz prethodne propozicije, a cetvrtaiz e + g = (r11 + r22|ν) = 0.


PROPOZICIJA 3.14 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U),u ∈ U , x ∈ R

2, x 6= 0. Tada se κu(x) = bu(x)/gu(x) zove normalna

zakrivljenost od M u tocki u, u smjeru od x, i za nju vrijedi Eulerova

formula

κu(x) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ

gdje je θ kut izmedu tangencijalnih vektora r′(u)x i r′(u)x1.Nadalje, vrijedi k2(u) ≤ κu(x) ≤ k1(u), pri cemu se jednakosti dostizu

na svojstvenim vektorima operatora Su.Ako je κu(x) = 0 onda kazemo da je x asimptotski smjer u tocki u.

Asimptotski smjer je sam sebi konjugiran.

Dokaz Zamijetimo da je κu(tx) = κu(x), za svaki t ∈ R, t 6= 0. Neka jex ∈ R

2 i gu(x) = 1. Buduci da glavni smjerovi x1 i x2 cine bazu u R2,

postoje α1, α2 ∈ R takvi da je x = α1x1 + α2x2. Za njih je α1 = gu(x,x1),α2 = gu(x,x2), α2

1 + α22 = gu(x) = 1, pa je α1 = cos θ, α2 = sin θ. Nadalje,

za i = 1, 2, je Buxi = kiGuxi, (Buxi|xi) = ki i (Bux1|x2) = 0 pa imamoκu(x) = bu(x) = k1α

21 + k2α

22.

Nejednakosti slijede iz Eulerove formule za θ = 0 i θ = π/2.


2 i x 6= 0. Nadalje, neka je Πu(x) = r(u) + Rr′(u)x + Rν(u)i Cu(x) = Πu(x) ∩ M. Tada se krivulja Cu(x) zove normalni presjek odM u tocki u, u smjeru vektora x. Ako je x(t) = r(u(t)) parametrizacija odCu(x), takva da je u(t) = u i u′(t) = x, za neki t, onda je fleksija κ(t)krivulje Cu(x) u tocki t, jednaka ±κu(x).

Dokaz Buduci da je x′(t) = r1(u(t))u′1(t) + r2(u(t))u′

2(t) dobijemo

x′′(t) = r11(u(t))u′1(t)

2 + 2r12(u(t))u′1(t)u

′2(t) + r22(u(t))u′

2(t)2

+ r1(u(t))u′′1(t) + r2(u(t))u′′

2(t)

a kako je v(t)2 = ‖x′(t)‖2 = gu(x) i n(t) = ±ν(u), imamo v(t)2κ(t) =

(x′′(t)|n(t)) = ±(x′′(t)|ν(u)) = ±bu(x). Dakle, κ(t) = ±bu(x)/v(t)2 =±κu(x). Ovdje smatramo da fleksija κ(t) ravninske krivulje Cu(x) mozebiti i negativna kao u 2.11, (2).

LEMA 3.16 Neka je M ploha u s parametrizacijom r ∈ C∞(U). Tada zaoperator Cu = ν

′(u)τν′(u) vrijedi

(1) ν′(u) = −r′(u)Su = −S♮

ur′(u)

(2) Cu = SτuGuSu = BuSu = Sτ

uBu

(3) Cu = −KGu + 2HBu

(4) det Cu = K2 det Gu


Dokaz Prve dvije tvrdnje slijede iz definicije operatora. Operator Su po-nistava svoj karakteristicni polinom tj. S2

u − 2H(u)Su + K(u)I = 0 pamnozeci ovu relaciju slijeva sa Gu dobijemo (3), a uzimanjem determinanteu (2) dobijemo (4).

PROPOZICIJA 3.17 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U).Tada se funkcija cu : R

2 × R2 → R, cu(x,y) = (ν ′(u)x|ν ′(u)y), zove treca

fundamentalna forma plohe M u tocki u i za nju vrijedi(1) cu(x,y) = (Cux|y)(2) cu(x,y) = −Kgu(x,y) + 2Hbu(x,y)(3) cu(x) = cu(x,x) ≥ 0(4) 2Hκu(x) ≥ K(5) Ako je x asimptotski smjer onda je cu(x) = −Kgu(x)

Dokaz Prve dvije tvrdnje slijede iz prethodne leme, formule (1) i (3). Buducida je Cu ≥ 0 dobijemo trecu tvrdnju, dok cetvrta slijedi iz druge i trece zax = y. Posljednja formula slijedi iz druge.

PROPOZICIJA 3.18 Za cu vrijedi Eulerova formula

cu(x)/gu(x) = k21 cos2 θ + k2

2 sin2 θ

gdje je θ kut izmedu tangencijalnih vektora r′(u)x i r′(u)x1.

Dokaz Koristimo iste oznake kao u dokazu od 3.14. Ako je x = α1x1 +α2x2

i gu(x) = 1, onda je cu(x) = (S♮ur

′x|S♮ur

′x) = ‖α1k1r′x1 + α2k2r

′x2‖2 =k2

1α21 + k2

2α21, gdje je α1 = cos θ, α2 = sin θ.

PROPOZICIJA 3.19 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U).Tada se funkcija du : R

2 × R2 → R, definirana formulom

2du(x,y) = [r′(u)x, ν(u), ν ′(u)y] + [r′(u)y, ν(u), ν ′(u)x]

zove cetvrta fundamentalna forma plohe M u tocki u i za nju vrijedi(1) du(x,y) = (Dux|y), gdje je Du = (det Gu)1/2J(H(u)I − Su), a J

operator rotacije za pravi kut. Matrica od Du je dana sa

Du = 12(det Gu)1/2

[

2s21 s22 − s11

s22 − s11 −2s12

]

, J =

[

0 −11 0

]

pri cemu je Su = [sij] matrica operatora oblika.(2) det Du = −1

4(k1 − k2)

2 det Gu = (K − H2) det Gu

(3) bu(x)2 + du(x)2 = gu(x)cu(x), gdje je du(x) = du(x,x)(4) du(x)2 = −Kgu(x)2 + 2Hgu(x)bu(x) − bu(x)2


Dokaz (1) [r′x, ν, ν ′y] = [r′x, r′Suy, ν], za svaki x,y. Nadalje, r′x × r′Suy+r′y × r′Sux je jednak [2s21x1y1 + (s22 − s11)(x1y2 + x2y1) − 2s12x2y2]r1 × r2

pa mnozeci skalarno ovu formulu sa ν dobijemo da je 2du(x,y) jednak[2s21x1y1 +(s22−s11)(x1y2 +x2y1)−2s12x2y2](det Gu)1/2, iz cega slijedi tvrd-nja. Tvrdnja (2) slijedi uzimanjem determinante u (1).

Imamo ‖r′(u)x × ν′(u)x‖2 = ‖r′(u)x‖2‖ν ′(u)x‖2 − (r′(u)x|ν ′(u)x)2 sto

je jednako gu(x)cu(x) − bu(x)2. Nadalje, r′(u)x × ν′(u)x je kolinearan sa ν

pa je du(x)2 = (r′(u)x × ν′(u)x|ν(u))2 = ‖r′(u)x× ν

′(u)x‖2, iz cega slijede(3) i (4) po 3.17, formula (2).


2, x 6= 0. Tada se τu(x) = du(x)/gu(x) zove geodetska tor-

zija od M u tocki u, u smjeru od x, i za nju vrijedi Bonnetova formula

τu(x) = (k2 − k1) cos θ sin θ

gdje je θ kut izmedu tangencijalnih vektora r′(u)x i r′(u)x1.

Dokaz Koristimo iste oznake kao u dokazu Propozicije 3.14. Zamijetimo daje τu(tx) = τu(x), za svaki t 6= 0. Buduci da je ν

′(u) = −r′(u)Su dobijemo[r′(u)x, ν(u), ν ′(u)x] = [r′(u)x, r′(u)Sux, ν(u)] pa za x = α1x1 + α2x2 igu(x) = 1 imamo r′x × r′Sux = (α1r

′x1 + α2r′x2)× (α1k1r

′x1 + α2k2r′x2) =

(k2 − k1)α1α2r′x1 × r′x2, a kako je (r′x1, r

′x2, ν) ortonormirana baza odR

3 dobijemo [r′x, r′Sux, ν] = (k2 − k1)α1α2, iz cega slijedi tvrdnja, zbogα1 = cos θ, α2 = sin θ.

KOROLAR 3.21 τu(x) = 0 ako i samo ako je x svojstveni vektor od Su.

Dokaz Po prethodnoj propoziciji je τu(x) = 0 ako i samo ako je k2 = k1,a onda je svaki vektor svojstveni, ili je cos θ sin θ = 0 sto znaci da je xproporcionalan sa x1 ili sa x2.

KOROLAR 3.22 Vrijede formule(1) κu(x)2 + τu(x)2 = cu(x)/gu(x)(2) τu(x)2 = −K + 2Hκu(x) − κu(x)2

Dokaz Tvrdnje slijede iz 3.19, (3) i (4).

KOROLAR 3.23 Ako je x asimptotski smjer onda je τu(x)2 = −K(u).

Dokaz Stavimo u prethodnom korolaru κu(x) = 0.


DEFINICIJA 3.24 Kazemo da je tocka r(u) ∈ M :(1) elipticka ako je K(u) > 0(2) hiperbolicka ako je K(u) < 0(3) parabolicka ako je K(u) = 0 i H(u) 6= 0(4) planarna ako je K(u) = H(u) = 0(5) umbilicka ako je k1(u) = k2(u).

PROPOZICIJA 3.25 Neka je M ploha u R3. Tada vrijedi

(1) U eliptickoj tocki plohe nema asimptotskih smjerova.(2) U hiperbolickoj tocki postoje dva asimptotska smjera y1 i y2, gdje je

y1 = a1x1 + a2x2, y2 = −a1x1 + a2x2, pri cemu su x1 i x2 glavni smjerovi ia1 = (−k2)

1/2/(k1 − k2)1/2, a2 = k

1/21 /(k1 − k2)

1/2.Nadalje, kut ϕ izmedu tangencijalnih vektora r′(u)y1 i r′(u)y2 je dan

formulom cos ϕ = H/(H2 − K)1/2.(3) U parabolickoj tocki postoji samo jedan asimptotski smjer i on je x1,

za k1 = 0, odnosno x2, za k2 = 0.(4) U planarnoj tocki je svaki smjer asimptotski.

Dokaz (1) Ako je K(u) > 0 onda je operator Bu strogo pozitivan ili negati-van pa nema asimptotskih smjerova. (2) Ako je x = α1x1 +α2x2 asimptotskismjer i gu(x) = 1 onda je κu(x) = 0 i cu(x) = −K(u) pa po Eulerovim for-mulama dobijemo: k1α

21 + k2α

22 = 0, k2

1α21 + k2

2α22 = −K, gdje je α1 = cos θ,

α2 = sin θ. Ovaj sustav jednadzbi ima dva rjesenja: α1 = a1, α2 = a2 teα1 = −a1, α2 = a2, pa smo time dobili asimptotske smjerove, dok za kut ϕimamo cos ϕ = gu(y1,y2) = −α2

1 + α22 = (k1 + k2)/(k1 − k2) sto je jednako

H/(H2 −K)1/2. (3) Ako je K = 0 i H 6= 0 onda gornji sustav jednadzbi imarjesenje α1 = 1, α2 = 0, za k1 = 0, odnosno α1 = 0, α2 = 1, za k2 = 0. (4)Ako je K = H = 0 onda je Bu = 0 pa je bu = 0.

KOROLAR 3.26 Ako je K(u) < 0 onda za asimptotske smjerove y1 i y2

vrijede formule(1) τu(y1) = −(−K(u))1/2, τu(y2) = (−K(u))1/2

(2) τu(y1)τu(y2) = K(u)

Dokaz (1) Po prethodnoj propoziciji i Bonnetovoj formuli imamo τu(y1) =2a1a2du(x1,x2) = a1a2(k2 − k1) iz cega slijedi prva formula, i slicno druga.(2) Slijedi iz (1).

DEFINICIJA 3.27 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U) i Ckrivulja na M s parametrizacijom x ∈ C∞(I), x(t) = r(u(t)).


(1) Kazemo da je C glavna krivulja (ili krivulja zakrivljenosti) od Mako je u′(t) svojstveni vektor operatora Su(t), za svaki t, tj. ako je x′(t)

svojstveni vektor operatora S♮u(t), za svaki t.

(2) Kazemo da je C asimptotska krivulja od M ako je bu(t)(u′(t)) = 0,

za svaki t, tj. ako je u′(t) asimptotski smjer u tocki u(t), za svaki t.

PRIMJERI 3.28

(1) Svaki otvoreni skup U ⊂ R2 je regularna ploha s parametrizacijom r :

U → R2 ⊂ R

3, r(u) = u, pri cemu je ν(u) = e3, za svaki u ∈ U , pa jer′(u) = I, ν

′(u) = 0, Gu = I, Bu = Su = 0.Prema tome sve zakrivljenosti su jednake nuli.

(2) Neka je a ∈ R3 i neka su b1,b2 ∈ R

3 nezavisni vektori. Nadalje, neka jeM = a+Rb1+Rb2 ravnina u R

3 s parametrizacijom r(u) = a+u1b1+u2b2.Tada je r1 = b1, r2 = b2 i r1 × r2 = b1 × b2, pa je Bu = Su = 0 i svezakrivljenosti su jednake nuli. Sve tocke u ravnini M su planarne iumbilicke.(3) Ako je f : R

2 → R glatka funkcija onda je njezin graf G(f) ploha sparametrizacijom r(u) = (u1, u2, f(u)) i za nju vrijedi r1×r2 = (−f1,−f2, 1),rij = fije3, gdje je fi = ∂if i fij = ∂i∂jf . Nadalje, E = 1 + f 2

1 , F = f1f2,G = 1 + f 2

2 , e = f11/h, f = f12/h, g = f22/h, gdje je h = (1 + ‖f ′‖2)1/2.Prema tome je K = (f11f22 − f 2

12)/h4 i

2h3H = (1 + f 21 )f22 + (1 + f 2

2 )f11 − 2f1f2f12

(4) Neka je S2 = {x ∈ R3; ‖x‖ = 1} jedinicna sfera u R

3.(a) Ako je r : R

2 → R3, r(u) = (2u1, 2u2, ‖u‖2 − 1)/(‖u‖2 + 1), onda

je r konformna parametrizacija i Gu = 4I/(‖u‖2 + 1)2. Nadalje, ν = ri Bu = −Gu, Cu = Gu, Su = −I, iz cega slijedi k1 = k2 = −1, K = 1,H = −1, Du = 0. Prema tome sve tocke na sferi su elipticke i umbilicke.Ista tvrdnja vrijedi i za inverz stereografske projekcije iz juznog pola.

(b) Neka je r(u) = (2(1 − ‖u‖2)1/2u1, 2(1 − ‖u‖2)1/2u2, 2‖u‖2 − 1), zau ∈ D2. Tada je r parametrizacija od S2\{e3} i

Gu = 4(1 − ‖u‖2)I + 42 − ‖u‖2

1 − ‖u‖2Pu

gdje je Pux = (x|u)u. Nadalje, F (u) = 4(2 − ‖u‖2)u1u2/(1 − ‖u‖2) pa jeBu = −Gu, Su = −I, Cu = Gu, Du = 0. Zamijetimo da je det Gu = 16.

(c) Neka je K = [0, 2π] × (−π/2, π/2) ⊂ R2 i r : K → R

3,

r(u) = (cos u1 cos u2, sin u1 cos u2, sin u2)


Tada je r polugeodetska parametrizacija od S2\{e3,−e3}, E(u) = cos u2,F = 0, G = 1, a svi operatori su kao i prije.(5) Parametrizaciju r sfere M = rS2 + a, sa sredistem u a ∈ R

3, polumjerar > 0, dobijemo tako sto odaberemo neku parametrizaciju r od S2 i stavimor(u) = rr(u) + a. Tada je ν = r normala na M i

Gu = r2r′(u)τr′(u), Bu = −1rGu, Cu = −1

rBu, Du = 0

pa je Su = −1rI, k1 = k2 = −1/r, K = 1/r2, H = −1/r.

(6) Neka je C krivulja u R3 s parametrizacijom x ∈ C∞(I), zadanom sa

x(t) = (x1(t), 0, x3(t)), x1(t) > 0, t ∈ I. Definiramo plohu M s parametriza-cijom r :[0, 2π] × I → R

3,

r(u) = (x1(u2) cos u1, x1(u2) sin u1, x3(u2))

Tada se M zove rotacijska ploha i ona se dobije rotiranjem krivulje C okotrece koordinatne osi. Prva koordinatna krivulja u1 7→ r(u1, u2) je kruznicapolumjera x1(u2) i zove se paralela od M, na geografskoj sirini u2, dok sedruga u2 7→ r(u1, u2) zove meridijan, na geografskoj duzini u1. Zamijetimoda se nulti meridijan tj. sama krivulja C, pokrije dvaput, za u1 = 0 i u1 = 2π.Imamo r1 × r2 = x1(u2)(x

′3(u2) cos u1, x

′3(u2) sin u1,−x′

1(u2)).Dakle, ‖r1 × r2‖ = x1(u2)‖x′(u2)‖. Nadalje, E = x1(u2)

2, F = 0, G =‖x′(u2)‖2, dok je f = 0, e = −x1(u2)x

′3(u2)/‖x′(u2)‖ pri cemu za g vrijedi

g = (x′′1(u2)x

′3(u2) − x′

1(u2)x′′3(u2))/‖x′(u2)‖. Kako je F = 0 i f = 0 za-

kljucujemo da se operatori Gu, Bu i Su dijagonaliziraju u standardnoj bazi,pa su koordinatne krivulje tj. meridijani i paralele, glavne krivulje plohe M .Nadalje, k1 = e/E, k2 = g/G, K = eg/(EG) i 2H = e/E + g/G.

Ako je x prirodna parametrizacija od C onda je k1 = −x′3(u2)/x1(u2),

k2 = x′′1(u2)x

′3(u2) − x′

1(u2)x′′3(u2), pa je K = −x′′

1(u2)/x1(u2), zbog uvjeta(x′(t)|x′(t)) = 1 i (x′(t)|x′′(t)) = 0.

Posebni slucaj rotacijske plohe je torus koji se dobije rotacijom kruzniceC sa redistem a = Re1, polumjera r, pri cemu je R > r. Ako je kruznicazadana sa x(t) = (R + r cos t, 0, r sin t), onda za torus dobijemo

r(u) = ((R + r cos u2) cos u1, (R + r cos u2) sin u1, r sin u2)

Meridijani i paralele torusa su kruznice i K = 1rcos u2/(R + r cos u2).

Dakle, vanjske tocke torusa su elipticke (za u2 < π/2 ili u2 > 3π/2),unutrasnje tocke su hiperbolicke (za π/2 < u2 < 3π/2), dok su tocke sgornje i donje kruznice parabolicke (za u2 = π/2 ili u2 = 3π/2).(7) Kako naci sve rotacijske plohe konstantne Gaussove zakrivljenosti?Pretpostavimo da je krivulja C zadana prirodnom parametrizacijom. Tada


je ‖x′(t)‖ = 1, t ∈ I i K(u) = K, u ∈ U, pa imamo sustav diferencijalnihjednadzbi: x′′

1(t) + Kx1(t) = 0, x′1(t)

2 + x′3(t)

2 = 1. Ovaj sustav ima viserjesenja npr. sferu polumjera r = K−1/2, za K > 0, ravninu za K = 0,ali i neke plohe za K < 0. Plohu M cija je Gaussova zakrivljenost kons-tantna i negativna zovemo hiperbolicka ravnina. Rotacijska ploha M sparametrizacijom r :[0, 2π] × (0, π) → R

3,

r(u) = (r sin u2 cos u1, r sin u2 sin u1, r cos u2 + r log tg(u2/2))

se zove pseudosfera. Ona se dobije rotacijom krivulje x ∈ C∞(0, π),

x(t) = (r sin t, 0, r cos t + r log tg(t/2))

koja se zove traktrisa. Za M vrijedi F = f = 0, E = r2 ctg2 u2, G =r2 sin2 u2, e = −r ctg u2, g = r sin u2 cos u2, pa je k1 = 1

rctg u2, k2 = −1

rtg u2,

iz cega slijedi H = 1rctg 2u2, K = −1/r2, sto znaci da je M hiperbo-

licka ravnina. Asimptotske krivulje na pseudosferi M su zadane uvjetomlog tg(u2/2) ± u1 = const.(8) Rotacijska ploha M s parametrizacijom r :[0, 2π] × R → R

3, zadana sar(u) = (r cos u1, r sin u1, u2), gdje je r > 0, se zove cilindar nad kruznicom,a dobije se rotacijom pravca Π = re1 + Re3, oko trece osi. Za nju vrijediE = r2, F = 0, G = 1 i e = r, f = 0, g = 0, pa je k1 = 1/r, k2 = 0, K = 0,H = 1/(2r), sto znaci da je M razvojna ploha, a ujedno i degeneriranakvadrika.

Rotacijska ploha M s parametrizacijom r :[0, 2π] × R → R3, zadana sa

r(u) = (ch u2 cos u1, ch u2 sin u1, u2), se zove katenoid. Za njega je H = 0 iK = −1/ ch4 u2, sto znaci da je katenoid minimalna ploha.

Asimptotske krivulje katenoida su dane uvjetom u1 ± u2 = const.(9) Neka su C1 i C2 krivulje u R

3 s parametrizacijama x,y ∈ C∞(I) i Mploha s parametrizacijom r :I × J → R

3,

r(u) = x(u1) + u2y(u1)

Tada se M zove pravcasta ploha. Krivulja C1 se zove direktrisa plohe M.Ako je x(t) = x0 ∈ R

3, t ∈ I, onda se M zove konus. Ako je C1 ravninskakrivulja, a y(t) = y0 ∈ R

3, t ∈ I, onda se M zove cilindar nad C1. Ako jey(t) = x′(t), t ∈ I, onda se M zove tangencijalna ploha krivulje C1. Akoje y(t) = n(t), t ∈ I, gdje je n(t) normala na C1, onda se M zove normalnaploha od C1. Ako je y(t) = b(t), t ∈ I, gdje je b(t) binormala na C1, ondase M zove binormalna ploha od C1.

Opcenito M nije regularna ploha pa se razmatraju specijalni slucajevi.Za M imamo r1 = x′(u1) + u2y

′(u1), r2 = y(u1), r12 = y′(u1) i r22 = 0 pa jeg = 0 i f = [x′(u1),y(u1),y

′(u1)]/‖r1 × r2‖.


Dakle, K = −[x′(u1),y(u1),y′(u1)]

2/‖r1 × r2‖3 pa zakljucujemo da jeGaussova zakrivljenost od M negativna.

(a) Ako je M konus ili cilindar onda je K = 0.(b) Pravcasta ploha M se zove helikoid ako su krivulje C1 i C2 dane sa

x(t) = ate3, y(t) = cos te1 + sin te2, pa je parametrizacija helikoida

r(u) = x(u1) + u2y(u1) = (u2 cos u1, u2 sin u1, au1), u ∈ R2

Za njega vrijedi ‖r1 × r2‖ = (a2 + u22)

1/2, E = a2 + u22, F = 0, G = 1, e = 0,

f = −a(a2 +u22)

−1/2, g = 0, pa imamo K = −a2(a2 +u22)

−2, H = 0, pri cemuje k1 = a(a2 + u2

2)−1, k2 = −a(a2 + u2

2)−1. Helikoid je minimalna ploha.

Koordinatne krivulje helikoida su asimptotske krivulje.(c) Ako je x prirodna parametrizacija od C1 onda za tangencijalnu

plohu od C1 vrijedi E(u) = 1 + κ(u1)2u2

2, F = 1, G = 1, dok je f = g = 0,e(u) = −κ(u1)τ (u1)u2, pa je K = 0, H = −τ(u1)/(2κ(u1)u2). Tangencijalnaploha nije regularna za u2 = 0 tj. u tockama krivulje C1. Glavne krivuljena M su dane uvjetima u1 = const, u1 + u2 = const.

(d) Ako je x prirodna parametrizacija od C1 onda za normalnu plohuod C1 vrijedi E(u) = (1 − κ(u1)u2)

2 + τ (u1)2u2

2, F = 0, G = 1, i

K(u) = −τ(u1)2

E(u)2, H(u) =

[κ′(u1)τ (u1) − τ ′(u1)κ(u1)]u22 + τ (u1)u2

2E(u)3/2

Krivulja C1 je asimptotska krivulja svoje normalne plohe.(e) Ako je x prirodna parametrizacija od C1 onda za binormalnu plohu

od C1 vrijedi E(u) = 1 + τ(u1)2u2

2, F = 0, G = 1, i

K(u) = −τ(u1)2

E(u)2, H(u) =

κ(u1) + κ(u1)τ (u1)2u2

2 − τ ′(u1)u2

2E(u)3/2

3.5 Krivulje na plohama

PROPOZICIJA 3.29 (Rodrigues)Neka je M ploha u R

3 s parametrizacijom r ∈ C∞(U) i C krivulja na M sparametrizacijom x ∈ C∞(I), x(t) = r(u(t)), te y ∈ C∞(I), y(t) = ν(u(t)).Tada je C glavna krivulja od M ako i samo ako postoji glatka funkcija λ :I → R takva da je y′(t) + λ(t)x′(t) = 0, t ∈ I.

Dokaz Ako postoji λ ∈ C∞(I) takva da je y′(t) = −λ(t)x′(t), t ∈ I, onda jeν′(u(t))u′(t) = −λ(t)r′(u(t))u′(t) pa je Bu(t)u

′(t) = λ(t)Gu(t)u′(t) odnosno

Su(t)u′(t) = λ(t)u′(t) sto znaci da je u′(t) svojstveni vektor od Su(t).

Obrat se dokazuje slicno.


PROPOZICIJA 3.30 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U) iC krivulja na M s parametrizacijom x ∈ C∞(I), x(t) = r(u(t)).

(1) C je glavna krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadzbu

∣

∣

∣

∣

∣

∣

u′2(t)

2 −u′1(t)u

′2(t) u′

1(t)2

E(u(t)) F (u(t)) G(u(t))e(u(t)) f(u(t)) g(u(t))

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

koju zovemo diferencijalna jednadzba glavnih krivulja.(2) Koordinatne krivulje su glavne ako i samo ako je F = f = 0.

Dokaz (1) C je glavna krivulja ako i samo ako postoji glatka funkcija λ :I → R takva da je Su(t)u

′(t) = λ(t)u′(t), sto se moze zapisati u obliku

(Ge − Ff)u′1 + (Gf − Fg)u′

2 = (EG − F 2)λu′1

(Ef − Fe)u′1 + (Eg − Ff)u′

2 = (EG − F 2)λu′2

pa je (Ef − Fe)u′1(t)

2 + (Eg − Ge)u′1(t)u

′2(t) + (Fg − Gf)u′

2(t)2 = 0, a

ovo se drukcije zapisuje u obliku gornje determinante. (2) Operator Su sedijagonalizira u standardnoj bazi ako i samo ako je F = f = 0.

PROPOZICIJA 3.31 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U) iC krivulja na M s parametrizacijom x ∈ C∞(I), x(t) = r(u(t)).

(1) C je asimptotska krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadzbu

e(u(t))u′1(t)

2 + 2f(u(t))u′1(t)u

′2(t) + g(u(t))u′

2(t)2 = 0

koju zovemo diferencijalna jednadzba asimptotskih krivulja.(2) Koordinatne krivulje su asimptotske ako i samo ako je e = g = 0.

Dokaz (1) C je asimptotska krivulja ako i samo ako vrijedi bu(t)(u′(t)) = 0, za

svaki t ∈ I, sto se drukcije zapisuje u obliku gornje diferencijalne jednadzbe.(2) Koordinatne krivulje su asimptotske ako i samo ako je κu(e1) = 0 iκu(e2) = 0, sto se svodi na e = 0 i g = 0.

DEFINICIJA 3.32 Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r ∈ C∞(U)

i C krivulja na M s parametrizacijom x ∈ C∞(I), x(t) = r(u(t)). Ako jem(t) = ν(u(t)) i ng(t) = m(t) × t(t) onda se m(t) zove plosna normala,ng(t) se zove geodetska normala, a (t(t),ng(t),m(t)) se zove geodetski

trobrid krivulje C u tocki t.


DEFINICIJA 3.33 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U) i Ckrivulja na M s parametrizacijom x ∈ C∞(I), x(t) = r(u(t)), trobridom(t,n,b) i fleksijom κ.

(1) Funkcija κg : I → R, κg(t) = κ(t)(n(t)|ng(t)), se zove geodetska

zakrivljenost ili geodetska fleksija od C.Kazemo da je C geodetska krivulja ako je κg = 0.(2) Funkcija κn : I → R, κn(t) = κ(t)(n(t)|m(t)), se zove normalna

zakrivljenost ili normalna fleksija od C.(3) Funkcija τ g : I → R, τ g(t) = [x′(t),m(t),m′(t)]/‖x′(t)‖2, se zove

geodetska torzija od C.

PROPOZICIJA 3.34 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U) iC krivulja na M s parametrizacijom x ∈ C∞(I), x(t) = r(u(t)). Tada zasvaki t ∈ I vrijede sljedece tvrdnje

(1) κ2 = κ

2g + κ

2n

(2) κn(t) = κu(t)(u′(t))

(3) κg(t) = [x′(t),x′′(t),m(t)]/‖x′(t)‖3

(4) τ g(t) = τu(t)(u′(t))

(5) Funkcije κn, κg i τ g ne zavise od reparametrizacije.

Dokaz (1) Prikaz vektora κn u ortonormiranoj bazi (t,ng,m) je dan for-mulom κn = κgng + κnm pa tvrdnja slijedi uzimanjem norme. (2) Po prvojFrenetovoj formuli je t′ = ‖x′‖κn pa je κn = (t′|m)/‖x′‖ = −(t|m′)/‖x′‖ =−(x′|m′)/‖x′‖2 = −(r′(u)u′|ν ′(u)u′)/‖x′‖2 = bu(u′)/gu(u′) = κu(u′). (3)Slijedi iz κg = κ(b|m) i x′ × x′′ = ‖x′‖3

κb, po 2.7, a (4) iz 3.20, dok je (5)evidentno buduci da oba trobrida i fleksija ne zavise od reparametrizacije.

KOROLAR 3.35 Neka je C krivulja na M. Tada vrijedi(1) C je asimptotska krivulja ako i samo ako je κn = 0.(2) C je glavna krivulja ako i samo ako je τ g = 0.

Dokaz (1) slijedi iz prethodne propozicije, formula (2), a (2) iz 3.21.

KOROLAR 3.36 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U) i Ckrivulja na M s parametrizacijom x ∈ C∞(I), x(t) = r(u(t)).

(1) C je geodetska krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadzbu

[x′(t),x′′(t),m(t)] = 0, t ∈ I

(2) C je glavna krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadzbu

[x′(t),m(t),m′(t)] = 0, t ∈ I


Dokaz Tvrdnje slijede iz 3.34 i 3.35.

PROPOZICIJA 3.37 Za geodetski trobrid krivulje vrijedi(1) t′ = vκgng + vκnm(2) n′

g = −vκgt + vτ gm(3) m′ = −vκnt− vτ gng

Dokaz Zamijetimo da je geodetski trobrid ortonormirana baza od R3 pa

se t′, n′g i m′ mogu prikazati kao linearne kombinacije vektora geodetskog

trobrida. Formula (1) je dokazana u 3.34. Derivirajuci evidentne relacije(t|t) = (ng|ng) = (m|m) = 1 i (t|ng) = (t|m) = (ng|m) = 0 dobijemopreostale dvije.

KOROLAR 3.38 Vektor ωg = vτ gt − vκnng + vκgm se zove geodetska

kutna brzina od C i vrijedi t′ = ωg × t, n′g = ωg × ng, m′ = ωg × m.

Dokaz Tvrdnja neposredno slijedi iz prethodne propozicije.

KOROLAR 3.39 vκ2(τ − τ g) = κgκ

′n − κnκ

′g

Dokaz Iz 2.7 slijedi [t, t′, t′′] = v3κ

2τ , a iz prethodne propozicije dobijemo[t, t′, t′′] = v2(κgκ

′n − κnκ

′g) + v3

κ2τ g pa slijedi tvrdnja.

KOROLAR 3.40 Neka je C krivulja na M . Tada vrijedi(1) Ako je C asimptotska krivulja onda je κn = 0, |κg| = κ, τ g = τ .(2) Ako je C geodetska krivulja onda je κg = 0, |κn| = κ, τ g = τ .(3) Ako je C glavna krivulja onda je τ g = 0, κn(t) = k1(u(t)) ili k2(u(t)).

Dokaz Tvrdnje slijede iz 3.37, 3.39 i Frenetovih formula.

KOROLAR 3.41 τ g(t)2 = −K(u(t)) + 2H(u(t))κn(t) − κn(t)2

Dokaz Dokaz slijedi iz 3.22 i 3.34.

KOROLAR 3.42 Ako je C asimptotska krivulja na M onda za njezinutorziju vrijedi Beltramijeva formula τ (t)2 = −K(u(t)), t ∈ I.

Dokaz Slijedi iz prethodna dva korolara.

PROPOZICIJA 3.43 Neka je M ploha za koju je K < 0. Tada vrijedi(1) Kut ϕ izmedu asimptotskih krivulja je dan sa cos ϕ = H/(H2−K)1/2.(2) Asimptotske krivulje od M su okomite u svim tockama ako i samo ako

je M minimalna ploha.(3) Ako su τ 1 i τ 2 torzije asimptotskih krivulja, koje se sijeku u tocki

r(u(t)), onda vrijedi τ 1(t)τ 2(t) = K(u(t)), t ∈ I.


Dokaz (1) Buduci da su sve tocke od M hiperbolicke, po 3.25 u svakoj tockipostoje dva asimptotska smjera, koji se sijeku pod kutom ϕ, sto znaci da seasimptotske krivulje s tim brzinama takoder sijeku pod kutom ϕ. (2) ϕ = π/2ako i samo ako je H = 0. (3) Slijedi iz 3.26.

KOROLAR 3.44 Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U).(1) Normalna zakrivljenost koordinatnih krivulja je dana sa

κn = e/E ; κn = g/G

(2) Geodetska zakrivljenost koordinatnih krivulja je dana sa

κg = [r1, r11, ν]/‖r1‖3 ; κg = [r2, r22, ν]/‖r2‖3

(3) Geodetska torzija koordinatnih krivulja je dana sa

τ g = [r1, ν, ν1]/‖r1‖2 ; τ g = [r2, ν, ν2]/‖r2‖2

Dokaz Dokaz slijedi iz 3.34, formule (2), (3) i (4).

PRIMJERI 3.45

(1) Neka je M rotacijska ploha iz 3.28, (6).(a) Meridijan od M, na geografskoj duljini u1, ima parametrizaciju x(u2) =

r(u), pa je x′(u2) = r2(u) i x′′(u2) = r22(u). Za njega vrijedi κg = 0, stoznaci da je meridijan geodetska krivulja od M.

(b) Paralela od M, na geografskoj sirini u2, ima parametrizaciju x(u1) =r(u), pa je x′(u1) = r1(u) i x′′(u1) = r11(u). Paralela nije geodetskakrivulja, osim za x′

1(u2) = 0.(c) Meridijani i paralele su glavne krivulje na M pa su njihove normalne

zakrivljenosti jednake glavnim zakrivljenostima od M.(d) Geodetska zakrivljenost paralele pseudosfere je dana sa κg(u1) = 1/r,

za 0 < u2 < π/2, κg(u1) = −1/r, za π/2 < u2 < π.(2) Vrijede sljedece tvrdnje:

(a) Pravci su geodetske krivulje u ravini. Svaka geodetska krivuljau ravnini je dio nekog pravca. Ako je C pravac ili dio pravca na plohi Monda je C geodetska krivulja. Naime, tada je [x′(t),x′′(t),m(t)] = 0 zbogtoga sto je t 7→ x(t) linearna funkcija pa je x′′(t) = 0, za svaki t.

(b) Neka je M sfera u R3 polumjera R i C kruznica na M polumjera r.

Tada je geodetska zakrivljenost od C dana formulom κg = (R2−r2)1/2/(Rr).Ako je R = r onda se C zove velika kruznica na M i ona je geodetskakrivulja na M. Svaka geodetska krivulja na M je dio neke velike kruznice.


(c) Neka je M helikoid s parametrizacijom r(u) = (u2 cos u1, u2 sin u1, au1).Prva koordinatna krivulja od M je obicna cilindricna spirala. Njezina ge-odetska zakrivljenost je dana sa κg(u1) = u2/(u

22 + a2). Druga koordinatna

krivulja od M je pravac pa je geodetska krivulja od M.(d) Krivulja je geodetska i asimptotska ako i samo ako je dio pravca.

Naime, tada je κ = κg = 0.(e) Geodetska krivulja je glavna ako i samo ako je ravninska. Naime,

tada je τ = τ g = 0.(f) Ako je krivulja asimptotska i glavna onda je τ = τ g = 0, K(u(t)) =

0, za svaki t, i m(t) = const.(g) Svaka krivulja je geodetska krivulja svoje binormalne plohe i

asimptotska krivulja svoje normalne plohe.(3) Neka je M ploha u R

3 s parametrizacijom r ∈ C∞(U) i C krivulja na Ms parametrizacijom x ∈ C∞(I), x(t) = r(u(t)). Ako se materijalna tockamase m giba po C pod djelovanjem vanjske sile f , onda je jednadzbagibanja dana sa mx′′(t) = f(t) + Rm(t) − |R|µt(t), gdje je R reakcijapodloge, a µ koeficijent trenja. Ako jednadzbu gibanja pomnozimo ska-larno sa x′(t) × m(t) dobijemo m[x′(t),x′′(t),m(t)] = [x′(t), f(t),m(t)].

Ako nema vanjske sile tj. ako je f = 0, onda je [x′(t),x′′(t),m(t)] = 0,sto znaci da se materijalna tocka giba po geodetskoj krivulji.(4) Neka je M ploha i r(u) = (f1(u1), f2(u1), u2). Ako je C geodetska krivuljana M onda je C pravac, koji je paralelan trecoj osi, ili je C zadana uvjetomu2 = αu1 + β, i ima parametrizaciju x(t) = (f1(t), f2(t), αt + β).(5) Neka je C krivulja s prirodnom parametrizacijom x ∈ C∞(I), r > 0,rκ(s) < 1, s ∈ I, i M ploha s parametrizacijom r :I × [0, 2π] → R

3,

r(u) = x(u1) + rn(u1) cos u2 + rb(u1) sin u2

gdje su n i b normala i binormala od C.Tada se M zove tubularna ploha od C i za nju vrijedi(a) ‖r1 × r2‖ = r(1 − rκ(u1) cos u2)(b) E = (1 − rκ(u1) cos u2)

2 + r2τ (u1)2, F = r2τ(u1), G = r2

(c) Gaussova i srednja zakrivljenost od M su dane sa

K(u) = − κ(u1) cos u2

r(1 − rκ(u1) cos u2), H(u) =

1

2r− κ(u1) cos u2

2(1 − rκ(u1) cos u2)

(d) Glavne krivulje od M su dane uvjetom u1 = const, sto je kruznica,te uvjetom u2 +

∫

τ(u1)du1 = const.(e) Buduci da je r22 = rν dobijemo [r2, r22, ν] = 0, sto znaci da je druga

koordinatna krivulja ujedno i geodetska krivulja na M.


(f) Ako je C kruznica polumjera R > r onda je M torus tj. torus jetubularna ploha kruznice. U ovom slucaju je binormala konstantna.(6) Ako je parametrizacija plohe M polugeodetska i E = const, onda je prvakoordinatna krivulja geodetska.(7) Ako je x ∈ C∞(I) injektivna parametrizacija krivulje C na plohi M,[a, b] ⊂ I i C1 = x([a, b]) onda se

κ∗(C1) =∫

C1κgdl =

∫ b

aκg(t)‖x′(t)‖dt

zove totalna geodetska zakrivljenost od C1. Ona ne zavisi od reparame-trizacije i vrijedi |κ∗(C1)| ≤ m|C1|, gdje je m = maxa≤t≤b |κg(t)|.

(a) Ako je C kruznica u ravnini polumjera r onda je κg = 1/r pa zatotalnu geodetsku zakrivljenost od C dobijemo κ∗(C) = 2πrκg = 2π.

(b) Ako je C jednostavna zatvorena krivulja u ravnini onda za totalnugeodetsku zakrivljenost vrijedi κ∗(C) = ±2π, pri cemu predznak zavisi odorijentacije krivulje. Ova tvrdnja se zove Hopfov teorem, a popularnija jepod njemackim nazivom Hopf Umlaufsatz.

(c) Ako je C suprotna krivulja od C, s parametrizacijom x ∈ C∞(−I),x(t) = x(−t), onda je t(t) = −t(−t), ng(t) = −ng(−t) i m(t) = m(−t) pa jeκn(t) = κn(−t), κg(t) = −κg(−t) i τ g(t) = τ g(−t), dok za totalnu geodetskuzakrivljenost dobijemo κ∗(C1) = −κ∗(C1). Dakle, normalna zakrivljenost igeodetska torzija ne zavise od orijentacije krivulje, dok geodetska zakriv-ljenost i totalna geodetska zakrivljenost mijenjaju predznak pri promjeniorijentacije krivulje.

3.6 Preslikavanja ploha

PRIMJERI 3.46 U sljedecim primjerima uvodimo neke nove pojmove, kojisu standardni u teoriji ploha, i dopunjujemo prethodnu teoriju.

(1) Neka su V1 i V2 otvoreni podskupovi od R3 i f : V1 → V2 glatka bijekcija

takva da je f−1 : V2 → V1 takoder glatka. Tada se f zove difeomorfizam.Ako je f difeomorfizam onda je det f ′(x) 6= 0, x ∈ V1. Kazemo da f cuvaorijentaciju ako je det f ′(x) > 0, x ∈ V1.

Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U), f : V1 → V2 dife-omorfizam, M ⊂ V1 i M = f(M) ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U),r(u) = f(r(u)). Tada kazemo da su M i M difeomorfne plohe.

Kazemo da su M i M = f(M) konformne ili konformno ekvivalentneako je f difeomorfizam i postoji glatka funkcija λ : U → R\{0} takva da je

f ′(r(u))τ f ′(r(u)) = λ(u)2I, u ∈ U


Tada se f |M : M → M zove konformna ekvivalencija od M i M.Ako su M i M konformne onda je Gu = λ(u)2Gu.Kazemo da su M i M = f(M) izometricne ako su konformne i λ = 1.

U tom slucaju se f |M : M → M zove izometrija od M i M.Ako su M i M izometricne onda je Gu = Gu.(a) Ako je f : R

3 → R3, f(x) = Ax + a, gdje je A ∈ L(R3) regularan

operator i a ∈ R3, onda je f ′(x) = A i f−1(x) = A−1(x − a), sto znaci da je

f difeomorfizam i zove se afina funkcija.Ako je A ortogonalan operator onda je f izometrija od R

3.(b) Ako je f : R

3 → R3, f(x) = rx + a, gdje je r > 0, onda se f zove

homotetija. Za nju vrijedi f ′(x) = rI i f ′(x)τ f ′(x) = r2I, pa je homotetijakonformno preslikavanje na R

3.(c) Ako je f : R

3\{0} → R3\{0}, f(x) = x/(x|x), onda se funkcija f zove

inverzija. Za nju vrijedi f−1 = f , f ′(x)y = [(x|x)y − 2(x|y)x]/(x|x)2, pa jef difeomorfizam, det f ′(x) = −(x|x)−3, f ′(x)τ f ′(x) = (x|x)−1I, sto znaci daje inverzija konformno preslikavanje na R

3\{0}.(2) Neka je M ploha u R

3 s parametrizacijom r ∈ C∞(U) i f : R3 → R

3,f(x) = Ax + a, izometrija od R

3. Nadalje, neka je M = f(M) ploha sparametrizacijom r(u) = Ar(u) + a. Tada je r′ = Ar′, r1 = Ar1, r2 = Ar2,pa je ν = Aν det A, ν

′ = Aν′ det A. Dakle, Gu = Gu, Bu = Bu det A,

Su = Su det A, Cu = Cu, pa je K = K, H = H det A i Du = Du det A.(a) Kazemo da su plohe M i M kongruentne ako je det A = 1. Dakle,

kongruentne plohe imaju iste sve zakrivljenosti.(b) Ako je M = f(M) = rM + a, gdje je r > 0, a ∈ R

3, ploha sparametrizacijom r(u) = rr(u) + a, onda je Gu = r2Gu, Bu = rBu, Su =Su/r, Cu = Cu, Du = rDu pa je K = K/r2, H = H/r.

Kazemo da su M i rM + a homoteticne plohe.(c) Ploha M, s istom parametrizacijom kao i M, ali s novom normalom

ν(u) = −ν(u), se zove suprotna ploha od M ili suprotno orijentiranaploha od M. Takoder kazemo da smo obrnuli orijentaciju na M. Za njuvrijedi Gu = Gu, Bu = −Bu, Su = −Su, Cu = Cu i Du = −Du pa jek1 = −k2 i k2 = −k1 sto daje K = K i H = −H.

Krivulja C na M je takoder krivulja na M, ali suprotno orijentirana.Orijentacija od C na M je jednaka orijentaciji od C na M. Ako istodob-no promijenimo orijentaciju plohe i krivulje na plohi onda njezina normalnazakrivljenost i geodetska torzija mijenjaju predznak dok geodetska zakriv-ljenost ostaje ista.(3) Neka je M ploha s injektivnom parametrizacijom r ∈ C∞(U) i Q kom-paktan podskup od U. Tada se integral Ar(Q) =

∫∫

Qdσ(u), gdje je dσ(u) =

(det Gu)1/2du, zove povrsina plohe M iznad Q. Ako je r(u) = r(ϕ(u))


reparametrizacija od M i Q = ϕ(Q) onda je po teoremu o zamjeni varija-ble Ar(Q) = Ar(Q), sto znaci da Ar(Q) ne zavisi od reparametrizacije.Umjesto kompaktnog skupa Q se moze uvrstiti i nekompaktni skup, ali takavda integral postoji.

(a) Ako je M rotacijska ploha iz 3.28, (6) i Q = [0, 2π] × [a, b] onda je

povrsina plohe izmedu dvije paralele dana sa Ar(Q) = 2π∫ b

ax1(t)‖x′(t)‖dt.

(b) Povrsina torusa M je dana sa |M | = 4π2rR(c) Ako je M tubularna ploha krivulje C i M1 dio plohe M izmedu

kruznica danih sa u1 = a i u1 = b, a < b, onda je povrsina od M1 danaformulom |M1| = 2πr(b − a).

(d) Povrsina pseudosfere je 4πr2 i jednaka je povrsini sfere polumjera r.(4) Neka je f : R

3 → R3 neprekidna funkcija, M ploha s injektivnom para-

metrizacijom r ∈ C∞(U) i Q ⊂ U kompaktan podskup.(a) Integral W =

∫∫

Q(f(r(u))|ν(u))dσ(u) zovemo tok vektorskog po-

lja f po plohi M iznad Q.(b) Ako je f : R

3 → R neprekidna funkcija onda se A =∫∫

Qf(r(u))dσ(u)

zove integral funkcije f po plohi M iznad Q. Specijalno, ako je f = 1onda je A = Ar(Q).

(c) Zamijetimo da integrali W i A uvijek postoje zbog |W | ≤ m1Ar(Q) i|A| ≤ m2Ar(Q), gdje je m1 = maxu∈Q ‖f(r(u))‖, m2 = maxu∈Q |f(r(u))|.

(d) Ako je T = r(Q) onda integral A drukcije oznacavamo sa

A =∫∫

Tf(r)da(r) ili A =

∫∫

Tfda

i zovemo ga integral od f po T ⊂ M. Specijalno je Ar(Q) =∫∫

Tda = |T |

povrsina skupa T = r(Q) ⊂ M.Integrali W i A ne zavise od reparametrizacije.(e) Realni broj Er(Q) =

∫∫

Q‖r1(u)× r2(u)‖2du se zove energija plohe

M iznad Q i za nju vrijedi Ar(Q)2 ≤ |Q|Er(Q), gdje je |Q| povrsina skupaQ. Zamijetimo da energija zavisi od reparametrizacije.

Umjesto kompaktnog skupa Q u gornjim formulama se moze uvrstiti inekompaktni skup, ali takav da integrali postoje.(5) Neka je M ploha u R

3 s injektivnom parametrizacijom r ∈ C∞(U) iM = f(M) ploha u R

3 s parametrizacijom r ∈ C∞(U), r(u) = f(r(u)), gdjeje f difeomorfizam. Tada vrijedi dσ(u) = ‖f ′(r(u))+

ν(u)‖dσ(u), a ako jef konformna ekvivalencija onda je dσ(u) = λ(u)2dσ(u), dok za izometrijuvrijedi dσ(u) = dσ(u). Ako je f : R

3 → R neprekidna funkcija onda je∫∫

Qf(r(u))dσ(u) =

∫∫

Qf(f(r(u)))‖f ′(r(u))+

ν(u)‖dσ(u)

za svaki kompaktni skup Q ⊂ U . Specijalno, za f = 1 dobijemo

Ar(Q) =∫∫

Q‖f ′(r(u))+

ν(u)‖dσ(u)


Ako je f konformna ekvivalencija onda je

∫∫

Qf(r(u))dσ(u) =

∫∫

Qf(f(r(u)))λ(u)2dσ(u)

pa za f = 1 dobijemo Ar(Q) =∫∫

Qλ(u)2dσ(u).

Ako je f izometrija onda je Ar(Q) = Ar(Q) tj. izometrija cuva po-vrsinu plohe iznad kompakta. Umjesto kompaktnog skupa Q se mozeuvrstiti i nekompaktni skup, ali takav da integrali postoje.(6) Neka je M ploha u R

3 s injektivnom parametrizacijom r ∈ C∞(U), Qkompaktan podskup od U, r(Q) = T i

K∗(T ) =∫∫

TK∗da =

∫∫

QK(u)dσ(u)

gdje je K∗ : M → R, K∗(r(u)) = K(u). Tada se K∗(T ) zove totalnazakrivljenost od T ⊂ M. Ona ne zavisi od reparametrizacije.

(a) Ako tri tocke na plohi spojimo geodetskim krivuljama onda omedenidio plohe zovemo geodetski trokut na M. Ako su α, β i γ kutovi u vrho-vima trokuta T onda je K∗(T ) = α + β + γ − π.

(b) Ako je Gaussova zakrivljenost od M konstantna, onda dobijemoK∗(T ) = K |T | = α + β + γ − π, gdje je |T | povrsina od T .

(c) Ako je M ravnina onda je K = 0 pa je α+β+γ = π tj. suma kutova ugeodetskom trokutu je jednaka π. Geodetski trokut je u ovom slucaju obicnitrokut.

(d) Ako je M sfera polumjera r onda je K = 1/r2 pa za povrsinu geodet-skog trokuta dobijemo |T | = r2(α + β + γ − π), iz cega slijedi α + β + γ > πtj. suma kutova u geodetskom trokutu na sferi je veca od π.

(e) Ako je M hiperbolicka ravnina onda je K = −1/r2 pa dobijemo|T | = r2(π − α − β − γ), iz cega slijedi α + β + γ < π tj. suma kutova ugeodetskom trokutu u hiperbolickoj ravnini je manja od π.

(f) Ako je M sfera sa sredistem u a ∈ R3, polumjera r > 0, onda je

K∗(M) = 4π. Dakle, ona ne zavisi od sredista niti od polumjera.(g) Ako je M torus onda je K∗(M) = 0.

(7) Ako tri tocke na plohi M spojimo glatkim krivuljama, koje se ne sijeku,onda omedeni dio plohe zovemo trokut na M. Rub trokuta T oznacavamosa ∂T i smatramo da je pozitivno orijentiran. Ako su α, β i γ kutovi uvrhovima trokuta T onda je

K∗(T ) + κ∗(∂T ) = α + β + γ − π

gdje je κ∗(∂T ) totalna geodetska zakrivljenost ruba trokuta T. Ako jeT geodetski trokut onda je κ∗(∂T ) = 0, buduci da je tada κg = 0.


(a) Umjesto trokuta T na plohi mozemo razmatrati cetrverokut T4,tako sto uzmemo cetiri tocke na M, u opcem polozaju, i spojimo ih glatkimkrivuljama koje se ne sijeku. Rub od T4 oznacavamo sa ∂T4. Zamijetimo dase T4 sastoji od dva trokuta pa iz formule za trokut dobijemo

K∗(T4) + κ∗(∂T4) = α1 + α2 + α3 + α4 − 2π

gdje su αi, i = 1, 2, 3, 4, kutovi u vrhovima cetverokuta. Ako je T4 geodetskicetverokut tj. ako su njegove stranice geodetske krivulje, onda je κ∗(∂T4) =0, kao i u slucaju geodetskog trokuta.

(b) Ako je Tn n-terokut na M, pri cemu je n ≥ 3, onda dijeljenjemn-terokta na trokute dobijemo formulu

K∗(Tn) + κ∗(∂Tn) = α1 + · · · + αn − (n − 2)π

gdje su αi, i = 1, . . . , n, kutovi u vrhovima n-terokuta. Ako je Tn geodetskin-terokut onda je κ∗(∂Tn) = 0.

Ova tvrdnja se zove Gauss-Bonnetov teorem.(8) Kazemo da je M zatvorena ploha ako se R

3\M sastoji od jedneneogranicene komponente te jedne ili vise ogranicenih komponenti.Kazemo da je M jednostavna zatvorena ploha ako postoji difeomorfizamf od R

3 takav da je M = f(S2), gdje je S2 jedinicna sfera od R3. U ovom

slucaju je f(R3\(D3 ∪ S2)) neogranicena komponenta od R3\M, a f(D3) je

jedina ogranicena komponenta od R3\M i zovemo je unutrasnja kompo-

nenta od M, gdje je D3 = {x ∈ R3; ‖x‖ < 1} jedinicni disk od R

3.Neka je M jednostavna zatvorena ploha u R

3 s unutrasnjom komponen-tom V i parametrizacijom r ∈ C∞(U), takvom da je r injektivna i pokrijecijeli M osim eventualno neke krivulje na M, pri cemu je ν vanjska norma-la na M. Nadalje, neka je f : R

3 → R3 derivabilna funkcija. Tada vrijedi

Gaussova formula

∫∫∫

Vdiv f(x)dx =

∫∫

U(f(r(u))|ν(u))dσ(u)

Ova tvrdnja se takoder zove teorem o divergenciji. Za parametrizaciju odM mozemo uzeti f(r(u)), gdje je r neka parametrizacija od S2 iz 3.1, (4).

(a) Ako u Gaussovoj formuli stavimo f(x) = x onda je div f = 3 pa jevolumen |V | unutrasnje komponente V dan sa 3|V | =

∫∫

U(r(u)|ν(u))dσ(u).

(b) Specijalno, ako je M = S2 onda je∫∫

Udσ(u) = 3|D3| = |S2| = 4π.

(9) Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r ∈ C∞(U) i C jednostavna

zatvorena krivulja na M s parametrizacijom x ∈ C∞(I), I = [a, b]. Oznacimosa N dio plohe omeden sa C, pri cemu je N = r(Q) i r injektivan na Q.Smatramo da je C orijentirana tako da obilazimo N jedanput u pozitivnom


smjeru. Ako je f : R3 → R

3, f(x) = (f1(x),f2(x),f3(x)), derivabilna funkcijaonda vrijedi Stokesova formula

∫∫

Q(rot f(r(u))|ν(u))dσ(u) =

∫ b

a(f(x(t))|x′(t))dt

Ako je M = R2 onda je r(u) = u, dσ(u) = du, ν(u) = e3, za svaki u, i

vrijedi (rot f(u)|e3) = ∂1f2(u) − ∂2f1(u) pa dobijemo Greenovu formulu.Dakle, Greenova formula je specijalni slucaj Stokesove formule.(10) (Implicitno zadane plohe) Neka je ploha M = f−1(0) u R

3 zadanaimplicitnom jednadzbom f(x) = 0, gdje je f : R

3 → R glatka funkcija takvada je f ′(x) 6= 0, za svaki x ∈ M. Definiramo funkcije K∗, H∗ : M → R,

K∗(x) =(f ′′(x)+f ′(x)|f ′(x))

‖f ′(x)‖4, H∗(x) = − ∆f(x)

2‖f ′(x)‖ +(f ′′(x)f ′(x)|f ′(x))

2‖f ′(x)‖3

Ako je r ∈ C∞(U) parametrizacija od M onda za Gaussovu i srednjuzakrivljenost od M vrijedi K(u) = K∗(r(u)) i H(u) = H∗(r(u)).

Ako umjesto f stavimo −f onda dobijemo istu plohu M , K∗ ostajeista, ali H∗ promijeni predznak. Ova promjena je ekvivalentna promjenipredznaka normale na plohu tj. promjeni orijentacije plohe.

Zamijetimo da je brojnik od K∗(x) dan 4 × 4 determinantom

(f ′′(x)+f ′(x)|f ′(x)) = −∣

∣

∣

∣

f ′′(x) f ′(x)τ

f ′(x) 0

∣

∣

∣

∣

(11) Neka je A ∈ L(R3), A 6= 0, simetrican operator, a ∈ R3, α ∈ R, i

f : R3 → R, f(x) = (Ax|x) + 2(a|x) + α

Tada je M = f−1(0) kvadrika, f ′(x) = 2Ax + 2a, f ′′(x) = 2A i

K∗(x) =(A+a|a) − α det A

‖Ax + a‖4, H∗(x) = − trA

2‖Ax + a‖ +(A(Ax + a)|Ax + a)

2‖Ax + a‖3

Dakle, M je nedegenerirana kvadrika ako i samo ako je Gaussova zakrivlje-nost od M razlicita od nule. Zamijetimo da K∗ ne mijenja predznak.Ako je M sfera onda je f(x) = (x|x)−2(a|x)+(a|a)−r2 pa je K∗(x) = 1/r2

i H∗(x) = −1/r, za svaki x ∈ M.(12) Ako je f : R

2 → R glatka funkcija onda je njezin graf M = G(f) danimplicitnom jednadzbom x3 − f(x1, x2) = 0 pa po (10) dobijemo

K(x) =det f ′′(x)

(1 + ‖f ′(x)‖2)2, H(x) =

∆f(x)

2(1 + ‖f ′(x)‖2)1/2− (f ′′(x)f ′(x)|f ′(x))

2(1 + ‖f ′(x)‖2)3/2


za svaki x ∈ R2. Usporediti ove formule sa 3.28, (3).

(a) Ako je f ′(x) = 0 onda je K(x) = det f ′′(x) i H(x) = 12∆f(x).

(b) Ako je f(x) = 12(x|x) onda se G(f) zove elipticki paraboloid i za

njega vrijedi K(x) = (1 + (x|x))−2, H(x) = (1 + f(x))/(1 + (x|x))3/2.Totalna zakrivljenost eliptickog paraboloida je 2π.(c) Ako je f(x) = 1

2(x2

1−x22) onda se G(f) zove hiperbolicki paraboloid.

Za njega vrijedi K(x) = −(1 + (x|x))−2, H(x) = −f(x)/(1 + (x|x))3/2.Njegova totalna zakrivljenost je −2π.

(13) (Teorem o paralelnoj plohi) Neka je M ploha u R3 s parametri-

zacijom r ∈ C∞(U) i M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U), gdje jer(u) = r(u) + aν(u), za neki a ∈ R. Tada kazemo da je M paralelnasa M na udaljenosti a. Ako je θ = 1 − 2aH + a2K onda za dovoljno malea, takve da je θ > 0, vrijede sljedece tvrdnje

(a) r1 × r2 = θ r1 × r2, ν = ν, dσ = θdσ(b) Gu = Gu − 2aBu + a2Cu = (1 − a2K)Gu + 2a(aH − 1)Bu

(c) Bu = Bu − aCu = aKGu + (1 − 2aH)Bu

(d) Su = (Su − aKI)/θ, Cu = Cu, Du = Du

(e) det Gu = θ2 det Gu, det Bu = Kθ det Gu

(f) k1 = (k1 − aK)/θ, k2 = (k2 − aK)/θ(g) K = K/θ, H = (H − aK)/θ(h) Ako je H/K = const i a = H/K onda je M minimalna ploha.(i) Ako je H = const 6= 0 i a = 1

2H−1 onda je K = 4H2 = const

(j) Ako je K = const > 0 i a = K−1/2 onda je H = −12K1/2 = const

(14) Neka je M ploha s parametrizacijom r ∈ C∞(U).(a) bu(x) + bu(y) = 2H(u), za gu(x) = gu(y) = 1, gu(x,y) = 0(b) Ako je r konformna onda je r11 + r22 = 2HEν

Naime, derivirajuci relacije (r1|r2) = 0, (r1|r1) = (r2|r2) parcijalno po u1 iu2 dobijemo da je r11 + r22 okomit na r1 i r2 pa je proporcionalan sa ν.

(c) Konformna parametrizacija je harmonijska ako i samo ako je H = 0.(d) Neka je x ∈ R

2 i θ kut izmedu tangencijalnih vektora r′(u)x i r′(u)x1.

Tada vrijedi formula H(u) = 1π

∫ π

0κu(x)dθ = 1

2π

∫ 2π

0κu(x)dθ, a dobije se

integriranjem Eulerove formule od κu(x).(15) Neka je M ploha u R

3. Tada vrijedi Baltzerova formula

K = 14(d1 − d2)/(EG − F 2)2

pri cemu su d1 i d2 dani sljedecim determinantama

d1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

4F12 − 2G11 − 2E22 E1 2F1 − E2

2F2 − G1 E FG2 F G

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, d2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 E2 G1

E2 E FG1 F G

∣

∣

∣

∣

∣

∣


gdje je Ei = ∂iE, Eij = ∂i∂jE, i slicno za ostale, a ∂i = ∂/∂ui, i = 1, 2.(a) Ako je F = 0 onda je K = −1

2λ[∂1(λG1) + ∂2(λE2)], λ = (EG)−1/2

(b) Ako E = G = eλ i F = 0 onda je K = −12e−λ∆λ, gdje je ∆ = ∂2

1 + ∂22

(c) Ako je E = G = 1 i F = cos ω onda je K = −ω12/ sin ω

TEOREM 3.47 (Theorema egregium)Izometricne plohe imaju istu Gaussovu zakrivljenost.

Dokaz Dokaz je dosta dugacak pa ga ne navodimo.

NAPOMENA 3.48

Ovu tvrdnju je dokazao Carl Friedrich Gauss (1777-1855) i nazvao je the-orema egregium, sto na latinskom znaci iznimni teorem. Ako su plohe izo-metricne onda su njihovi metricki operatori jednaki. Dakle, iako je Gaussovazakrivljenost definirana kao determinanta operatora oblika, ona ustvari za-visi samo od metrickog operatora tj. samo od funkcija E, F i G te njihovihderivacija, kao sto se vidi iz formula posljednjeg primjera. Svako svojstvoplohe, koje zavisi samo od metrickog operatora, se zove intrinzicko svoj-stvo ili svojstvo unutrasnje geometrije plohe. Ako neko svojstvo zavisiod operatora oblika onda ono ustvari zavisi i od smjestenja plohe u R

3, a nesamo od unutrasnje geometrije plohe.

Na plohu se uvodi i metrika δ, pri cemu definiramo δ(x,y) kao duljinunajkrace krivulje na plohi koja spaja tocke x i y. Zanimljivo je da jeta najkraca krivulja ustvari geodetska krivulja. Ona postoji za dovoljnobliske tocke x i y. Geodetske krivulje na plohi imaju onu ulogu sto ih imajupravci u ravnini, koji su upravo geodetske krivulje ravnine. Metriku δ zovemointrinzicka ili unutrasnja metrika plohe. Npr. ako je M ravnina onda jeδ(x,y) obicna metrika na M, a ako je M = {x ∈ R

3; ‖x‖ = 1} sfera onda jeδ(x,y) = arccos(x|y). Metrika δ je invarijantna na izometrije.

Totalna zakrivljenost, geodetska zakrivljenost i totalna geodetska zakriv-ljenost su intrinzicka svojstva, kao i svojstvo ”biti geodetska krivulja”. Nor-malna zakrivljenost, geodetska torzija, srednja zakrivljenost i glavne zakriv-ljenosti nisu intrinzicka svojstva.

Zamijetimo da u prethodnom teoremu obrat ne vrijedi, npr. ravnina icilindar nad kruznicom imaju istu Gaussovu zakrivljenost, a nisu izometricneniti su difeomorfne, iako se jedna u drugu mogu izometricno uloziti tj. jednaploha je izometricna dijelu druge, ali ne cijeloj drugoj. Ako plohe imaju istimetricki operator, onda su one lokalno izometricne tj. mala okolina tockena jednoj plohi je izometricna maloj okolini odgovarajuce tocke na drugojplohi. Ako plohe imaju istu Gaussovu zakrivljenost i ako je ona konstantna,onda su plohe lokalno izometricne.

Documents

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA - mapmf.pmfst.unist.hrmapmf.pmfst.unist.hr/matematika/Nastavni materijali/dig.pdf · Predgovor Ova skripta je napisana s namjerom da pomogne studentima Prirodoslovno-matematiˇckog