Diferenciabilidad German

7/30/2019 Diferenciabilidad German

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NOTAS DE CLASE ANALISIS VECTORIAL

Diferencilabilidad de funciones en varias variables

Profesor: German Fabian Escobar Fiesco

Notas de clase correspondiente a las tematicade diferenciabilidad de funciones en varias variables

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA

FACULTAD DE CIENCIAS

PROGRAMA DE MATEMATICAS APLICADAS

Neiva Huila. 2010


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Indice general

1. Introduccion 1

1.1. Funciones en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Funciones de valor real de n-variables 8

2.1. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.3. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.4. Diferenciabilidad de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.5. El diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.6. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.7. Planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.8. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.9. Teorema de la funcion implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Funciones de valor vectorial de n-variables 31

3.1. Diferenciablilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.2. Teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Bibliografa 37

ii


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Captulo 1

Introduccion

n-espacio euclidiano Rn

El n-espacio euclidiano consiste de todas las n-tuplas ordenadas de numeros reales denotadas

por Rn. Simbolicamente,

Rn = {(x1, . . ,xn)|x1,...,xn R}

as Rn es el producto cartesiano de R consigo mismo n veces y puede ser escrito Rn =

R R.Los elementos de Rn los denotaremos por x = (x1, . . ,xn) y hablaremos de x como un punto

en Rn. Se definen las operaciones de adicion y multiplicacion en forma usual

x + y = (x1, . . ,xn) + (y1, . . ,yn) = (x1 + y1, . . ,xn + yn)

y

x = (x1, . . ,xn) = (x1,..,xn)

El n-espacio euclidiano con las operaciones de adicion y multiplicacion por escalar definidas

anteriormente dotan a Rn con la estructura algebraica de espacio vectorial, de dimensi on n.

(por tal razon algunas veces nos referimos a x como un vector y otra veces como un puntode Rn).

Se definen:

La longitud o norma de un vector x en Rn por

x =

ni=1

x2i

1/2

1


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CAPITULO 1. INTRODUCCION 2

donde x = (x1,...,xn).

La distancia entre dos vectores x e y es el numero real

d(x, y) = x y = ni=1

(xi yi)21/2 .El producto interno de entre dos vectores x e y, como

x, y =ni=1

xiyi

de donde se tiene x2 = x, x.

Para vectores en Rn, se tiene

(I) Propiedades del producto interno

(i) x, y1 + y2 = x, y1 + x, y2

(ii) x, y = y, x

(iii) x, x 0 y x, x = 0 sii x = 0

(iv) |x, y| xy (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

ni=1

xiyi n

i=1

x2i1/2 n

i=1

y2i1/2

(II) Propiedades de la norma

(i) x 0, x = 0 sii x = 0

(ii) x = ||x

(iii) x + y x + y

(III) Propiedades de la distancia

(i) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 sii x = y

(ii) d(x, y) = d(y, x)

(iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)


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Si hacemos M = Rn, el par (M, d) con las propiedades III es llamado un espacio metrico.

Topologa de Rn

Consideremos el espacio metrico (Rn, d) con la distancia

d(x, y) = x y =

ni=1

(xi yi)21/2

y las propiedades (i) (iii) definidas anteriormente.

Definicion Para cada punto x Rn y > 0 el conjunto

D(x, ) =

{y

Rn

|d(x, y) <

}es llamada un -disco alrededor de x (tambien -vecindad o -bola alrededor de x). Un con-

junto A Rn se dice abierto si para cada x A, existe un > 0 tal que D(x, ) A.0000000000000000000000001111111111111111111111110000011111 xD(x, )x

x

x

x

y

y z

D(x, )

D(x, )

Figura 1.1: -vecindad para n = 1, 2, 3

Teorema Para todo x Rn

y > 0 el conjunto D(x, ) es abierto enRn

.Teorema

(i) La inerseccion de un numero finito de subconjuntos abiertos deRn, es un subconjunto

abierto deRn.

(ii) La union de una coleccion arbitraria de subconjuntos abiertos deRn, es un subconjunto

abierto deRn.


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Un conjunto formado por una coleccion de conjuntos (llamados por definicion conjuntos

abiertos) que satisface las propiedades del teorema anterior y adem as continene al conjunto

y a el mismo es llamado un espacio topologico.

Definicion Un punto x Rn es llamado un punto de acumulacion de un conjunto A si paratodo conjunto abierto Ude x el contiene al menos otro punto de A (e.d U(A {x}) = ).

1.1. Funciones en varias variables

Consideremos una funcion f : Rn

Rm, f asigna a un punto (o vector) x = (x1,...,xn) en

Rn un unico punto (o vector) y = (y1,...,ym) en R

m tal que y = f(x), es posible clasificar

las funciones en varias variables dependiendo de los valores de n y m respectivamente:

Para n = 1, f : R Rm, diremos que f corresponde a una trayectoria.

Para m = 1, f : Rn R, nos referimos a f como una funcion de valor real den-variables (o simplemente un campo escalar).

Para m, n > 1, f : Rn

Rm nos referimos a f como una funcion de valor vectorial

de n-variables (o simplemente un campo vectorial). Si x = (x1,...,xn) Rn entonces,

f(x) = (f1(x),...,fm(x)) f(x1,...,xn) = (f1(x1,...,xn),...,fm(x1,...,xn))

e.d que f se puede identificar como m-campos escalares fi : Rn R con i = 1,...,m.

1.2. Funciones continuas

Definicion Sea A Rn, f : A Rm y supongamos que x0 es un punto de acumulacionde A. Diremos que b Rm es el lmite de f cuando x tiende a x0, que escribimos

lmxx0

f(x) = b,

si para todo > 0 existe un > 0 tal que

Si x x0 < entonces f(x) b <


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Definicion Sea A Rn, f : A Rm y x0 A. Diremos que f es continua en x0 si

lmxx0

f(x) = f(x0),

e.d si para todo > 0 existe un > 0 tal que

Si x x0 < entonces f(x) f(x0) <

Esta expresion equivale a decir que f : A Rm es continua en un punto x A cuandopara cualquier -bola D = D(f(x), ) se puede encontrar otra bola D = D(x, ), tal que

f(D) D. 000000000000111111111111f(D)D(x, ) f(A)AD(f(x), )

x

y

f

x

x

y

f(x)

Figura 1.2: Ejemplo de continuidad para f : A R2 R2

La continuidad se puede representar para espacios metricos (en particular para Rn) como

sigue:

Teorema 1 Sean (M, d) y (N, d) espacios metricos. Para que una funcion f : M N seacontinua es necesario y suficiente que la imagen inversa f1(W) de todo conjunto abierto

de W N sea un subconjunto abierto de M.

Demostracion. Supongamos que f es continua y tomemos W N abierto, debemos probarque f1(W) es abierto en M. En efecto, para cada x f1(W) tenemos f(x) W, luegopor la definicion de conjunto abierto existe > 0 tal que D(f(x), ) W. Siendo f continuaen el punto x para corresponde un > 0 tal que f(D(x, )) D(f(x), ) W esto quieredecir D(x, ) f1(W) por consiguiente f1(W) es abierto.


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Para M y N espacios metricos, un homeomorfismo de M en N corresponde a una biyeccion

continua f : M N cuya inversa f1 : N M es tambien continua. En este caso sedice que M y N son homeomorfos.

Teorema 2 Una funcion de n-variables de valor vectorial f : A Rn Rm es continuasii cada una de las funciones componentes fi : A Rn R coni = 1,...,m son continuas.

Demostracion. Asumamos que f es continua en un punto x0 A entonces para todo > 0existe un a > 0 tal que

f(D(x0, )) D(f(x0), ).

De esta forma si x D(x0, ) entonces

f(x) f(D(x0), )

esto es

d(f(x), f(x0)) =

mi=1

[fi(x) fi(x0)]21/2

as

[fi(x) fi(x0)]2 m

i=1 [fi(x) fi(x0)]2 2; i = 1, . . ,m

por tanto

d(fi(x) fi(x0)) = |fi(x) fi(x0)| ; i = 1, . . ,m

Reciprocamente, supongamos que cada fi : A Rn R con i = 1,...,m es continua enx0 A se sigue que para =

m> 0 existe i > 0 tal que,

fi(D(x0, i)) D(fi(x0), ); i = 1, . . ,n

as dado x D(x0, i),

fi(x) D(fi(x0), ) d(fi(x), fi(x0)) = |fi(x) fi(x0)| < |fi(x) fi(x0)|2 < 2

m

luegomi=1

|fi(x) fi(x0)|2 < m( 2

m) =


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por tanto,

para mn1im

{i} se tiene d(f(x), f(x0)) =

m

i=1|fi(x) fi(x0)|2

1/2<

Ejemplo 1

Analice la continuidad de la siguiente funcion de valor vectorial de 2-variables f(x, y) =

(f1(x, y), f2(x, y)) para

f1(x, y) =

3xy2

x2+y2; si (x, y) = (0, 0)

0 ; si (x, y) = (0, 0)

y

f2(x, y) =

(x + y)sin(1x)cos(

1y ) ; si (x, y) = (0, 0)

0 ; si (x, y) = (0, 0)

Solucion

Es posible extender la nocion de distancia, conjunto abierto, secuencias convergentes y otras

ideas topologicas a subespacios vectoriales de Rn. Si E es un subespacio vectorial de Rn, la

funcion distancia d : Rn Rn R puede ser restringida a la funcion dE : E E R quetambien satisface las propiedades III de distancia.

xD(x, )

A D(x, )A

A

D(x, )

A D(x, )

x

Figura 1.3: Ejemplos de continuidad sobre subconjuntos deR3


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Captulo 2

Funciones de valor real de

n-variables

2.1. Diferenciabilidad

2.1.1. Derivadas parciales

Definicion 1 Sean f : U Rn R, conUconjunto abierto deRn ya U. Se define la i-esimaderivada parcial de f en a (0 i n), como:

f

xi(a) = lm

h0

f(a+ hei) f(a)h

Cuando tal lmite existe.

En particular para f : U R2 R, si se escribe z = f(x, y) para indicar la funcion en dosvariables, y se denota el punto a= (x0, y0) se tiene:

(i) Derivada parcial de f respecto a x:

f

x(a) = lmh0

f(a + he1) f(a)h

= lmh0f((x0, y0) + h(1, 0)) f(x0, y0)

h

= lmh0f(x0 + h, y0) f(x0, y0)

h

(ii) Derivada parcial de f respecto a y:

8


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CAPITULO 2. FUNCIONES DE VALOR REAL DE N-VARIABLES 9

f

y(a) = lmh0

f(a + he2) f(a)h

= lmh0f((x0, y0) + h(0, 1)) f(x0, y0)

h

= lmh0f(x0, y0 + h)

f(x0, y0)

h

Geometricamente las derivadas parciales obtenidas en (i) y (ii) tienen una representacion

similar a la desarrollada para una funcion real en una variable.

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 0000000000001111111111110000000000000011111111111111000000000000000000000111111111111111111111 yUz(x0, y0, f(x0, y0)) yf(x0, y) = (y)planoe2 fy (x0, y0) = fe2(x0, y0)y0 x = x0x = x0x y0x0 (x0, y0)fx (x0, y0) fy (x0, y0) = (y0)Figura 2.1: Derivadas Parciales n = 2

La grafica 2.2 muestra que cuando se fija el plano x = x0 (paralelo al plano yz), lafx (a) =

(y) expresa la pendiente de la recta tangente a la curva f(x0, y) = (y) generada por la

interseccion del plano con la superficie. De forma analoga interpretamos la f

y

(a) cuando se

fija y = y0.

Nota Si pensamos en una superficie representada por la expresion z = f(x, y), la derivada

parcial es un concepto puntual que mide la variacion parcial (geometricamente la inclinacion)

de la superficie en direccion de uno los ejes (x e y) cuando el otro se mantiene fijo.

Ejemplo 1


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Halle las derivadas parciales de la funcion

f(x, y) =

xyx2 + y2

; si(x, y) = (0, 0)

0 ; si(x, y) = (0, 0)

Solucion

Para (x, y) = (0, 0)f

x(x, y) =

(y)(x2 + y2) (xy)(2x)(x2 + y2)2

=y3 x2y

(x2 + y2)2

f

y(x, y) =

(x)(x2 + y2) (xy)(2y)(x2 + y2)2

=x3 xy2

(x2 + y2)2

Para (x, y) = (0, 0)

f

x(0, 0) = lm

h0f((0, 0) + h(1, 0)) f(0, 0)

h= lm

h01

hf(h, 0) = 0

f

y(0, 0) = lm

h0f((0, 0) + h(0, 1)) f(0, 0)

h= lm

h01

hf(0, h) = 0

Este ejemplo muestra que la existencia de las derivadas parciales en punto no garantizan

el buen comportamiento de una funcion en terminos de su continuidad. Para el ejemplo 1,

aunque las fx (0, 0) yfy (0, 0) existen la funcion f no es continua de (0, 0), (ver ejemplo 0000

de la seccion 1.3).

Ejemplo 2

Encuentre las derivadas parciales de la funcion

f(x, y) =

xxy

(x2 + y2)g(t)dt

Donde g : R R es una funcion continua.Solucion

Una de las consecuencias del TFC (teorema fundamental de calculo) en una variable, garan-

tiza para g : R R continua y , funciones derivables en x de valor real;

f(x) =

(x)(x)

g(t)dt ddx

[f(x)] = g((x))(x) g((x))(x)

Entonces, si rescribimos la funcion f(x, y) como sigue,

f(x, y) =

xxy

(x2 + y2)g(t)dt = (x2 + y2)

xxy

g(t)dt

y aplicamos derivada de un producto se tiene:


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f

x(x, y) =

x

x2 + y2

xxy

g(t)dt

+

x2 + y2

x

xxy

g(t)dt

= (2x)xxy

g(t)dt+ x2 + y2g(x) 12x g(xy)yf

y(x, y) =

y

x2 + y2

xxy

g(t)dt

+

x2 + y2

y

xxy

g(t)dt

= (2y)

xxy

g(t)dt

+

x2 + y2

(g(xy)x)

2.1.2. Derivada direccional

Definicion 2 Sean f : U Rn R, conUconjunto abierto deRn, a Uy un vector unitariov Rn. La derivada direccional de f en a, en direccion del vector v, se define como el lmite:

f

v(a) = lm

t0

f(a+ tv) f(a)t

Cuando tal lmite existe.

Esquematicamente.

e1

y

x

U R2R

f

a

v

a + tv

f(a)

f(a + tv)e2

Figura 2.2: Grafico esquematico de la derivada direccional n = 2

Geometricamente para n = 2 considerando a = (x0, y0).


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CAPITULO 2. FUNCIONES DE VALOR REAL DE N-VARIABLES 12000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111U yvz e1fv (x0, y0)e2(x0, y0, f(x0, y0))x y0x0 (x0, y0)Figura 2.3: Geometria de la derivada direccional n = 2

Un importante hecho que relaciona los conceptos de derivada parcial y derivada direccional,

se puede percibir al considerar una funcion f : U R2 R, tomando como direccion losvectores unitarios (o base canonica para R2) e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1), en cuyo caso

f

e1(a) = lm

t0f(a + te1) f(a)

t=

f

x(a)

yf

e2(a) = lm

t0f(a + te2) f(a)

t=

f

y(a)

Donde a U R2, en otras palabras el concepto de derivada parcial es un caso particulardel concepto de derivada dereccional.

Ejemplo 3

Halle la derivada direccional en el punto y direccion indicado:

1. f(x, y) = 1 + x2, p = (1, 1), u = (3, 2)

2. f(x, y) =

xyx2 + y2

; si (x, y) = (0, 0)

0 ; si (x, y) = (0, 0); p = (0, 0), v = (, ) unitario.


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3. f(x, y) =

x3yx6 + y2

; si (x, y) = (0, 0)

0 ; si (x, y) = (0, 0)

; p = (0, 0), v = (, ) unitario.

Solucion

1. Como u no es unitario dividimos por su norma u = 2, de esta formav = uu = (

12

, 12

), entonces

f

v(1,1) = lmt0

f

(1, 1) + t

1/

2, 1/

2 f(1, 1)

t

= lmt0f(1 + t/

2, 1 + t/

2) 2

t

= lmt0(1 + (1 + t/

2)2) 2

t

= 2

2.

f

v(0,0) = lmt0

f((0, 0) + t (, )) f(0, 0)t

= lmt0f(t,t)

t

= lmt01

t

(t)(t)

(t)2 + (t)2

= lmt01

t

2 + 2

No existe

3.

fv

(0,0) = lmt0f((0, 0) + t (, )) f(0, 0)

t

= lmt0f(t,t)

t

= lmt01

t

(t)3(t)

(t)6 + (t)2

= lmt03t

6t4 + 2

= 0

La derivada direccional existe en todas las direcciones.

En el ejemplo 3, se observa que la existencia de las derivadas direccionales no implica

la continuidad de la funcion (Para verificar esto considere los caminos 1(t) = (t, t3) y

2(t) = (t, 0)).

Observacion Mientras la derivada parcial mide la variacion de una funcion en direccion

de los ejes, la derivada direccional expresa la variacion de la funcion en cualquier direccion


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incluyendo las de los ejes de coordenadas.

Intuitivamente (ver grafico 2.4) si pensamos en una persona ubicada en un punto sobre una

superficie la derivada direccional nos dira que tan rapido (positiva, negativamente o cero)

cambia la superficie independientemente de la direccion elejida.

Figura 2.4: Idea intuitiva de derivada direccional

2.1.3. Teorema del valor medio

Para una funcion real en una variable el teorema del valor medio se puede expresar como:

Teorema Sean f : I R R, con I = [a, b]. Si f es continua en [a, b] y derivable en(a, b) entonces existe un a < c < b, tal que

f(b) f(b) = f(c)(b a)

Geometricamente;

Otra forma de enunciar el teorema anterior (ver grafica 2.6), que permite hacer una descrip-

cion mas aproximada para una funcion real de n-variables, es la que sigue

Teorema Sean f : I Rn R, con I = [a, a + h]. Si f es continua en [a, a + h] y


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y = f(x)

m = f(b)f(a)ba

m = f(c)

f(b)

f(a)

xa bc

y

Figura 2.5: Teorema del valor medio 1

derivable en (a, a + h) entonces existe un 0 < < 1 tal que

f(a + h) f(a) = f(a + h)h

Geometricamente;

m = f(x0+h)f(x0)hm = f(x0)

xx0 + h x0 + hx0

f(x0)

y = f(x)

y

f(x0 + h)

Figura 2.6: Teorema del valor medio 2

Teorema del valor medio para un campo escalar


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CAPITULO 2. FUNCIONES DE VALOR REAL DE N-VARIABLES 16000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000011111111111110000000000000000000000000011111111111111111111111111a + hvaz a + hvU

f(a + hv)

y

x

fv (a)

Figura 2.7: Teorema del valor medio para un campo escalar

Teorema 3 Sean f : U Rn R, conUconjunto abierto deRn y un vector unitario v Rn. Siel segmento de recta [a, a+ hv] U, la restticcion f | [a, a+ hv] es continua y en f| (a, a+ hv)esta definida la derivada direccional en direccion del vector unitario v, entonces existe 0 < < 1

tal que;

f(a+ hv) f(a) = fv

(a+ hv) hv

Donde hv = |h|v = h.

Demostracion. Definamos la funcion : [0, h] R haciendo (t) = f(a + tv), por lahipotesis hecha sobre f, es continua en [0, h] y derivable en (0, h), luego por el teorema del

valor medio para funciones reales en una variable, existe 0 < < 1 tal que

(h)

f(0) = (h)h (

)

Como (h) = f(a + hv), (0) = f(a) y

d

dt(h) = lm

t0(h + t) (h)

t= lm

t0f(a + (h + t)v) f(a + hv)

t

= lmt0

f((a + hv) + tv) f(a + hv)t

=f

v(a + hv)


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Entonces, remplazando en ()

f(a + hv) f(a) = fv

(a + hv) h

Recordando un poco lo que ocurra en calculo de una variable, la existencia de la derivada

en un punto implicaba la continuidad de la funcion en dicho punto, hecho que se resuma en

el teorema: Seaf : I R R conx0 I. Si f es derivable en x0 entonces f es continuaen x0. Al observar que las nociones de derivada parcial y derivada direccional no son sufi-

cientes para garantizar la continuidad en una funcion de valor real de n-variables es necesario

introducir un concepto adicional diferenciabilidad que extiende de forma equivalente la idea

anterior a funciones reales de n-variables.

2.1.4. Diferenciabilidad de un campo escalar

Definicion 3 Sean f : U Rn R, con U conjunto abierto deRn y a U. Diremos que lafuncion f es diferenciable en el punto a cuando existen las constantes A1, A2,...,An tales que,

para cada vector h Rn cona+ h U, se tiene que

f(a+ h) = f(a) + A1 h1 + + An hn + r(h), donde lmh0

r(h)

|h| = 0

Si suponemos que f es diferenciable en el punto a U, tomamos h = tei con i = 1,...,n yremplazamos en la ecuacion de la definicion anterior tenemos

f(a + tei) = f(a) + Ai t + r(tei) Ai= f(a + tei) f(a)t

r(tei)t

Ai = lmt0

f(a + tei) f(a)t

r(tei)t

Ai = f

xi(a) lmt0 r(tei)

|tei

| Ai = fxi

(a)

como consecuencia de la relacion anterior si una funcion es diferenciable en las condiciones

de la definicion 3 podemos decir tambien

f(a + h) = f(a) +ni=1

f

xi(a) hi + r(h), donde lm

h0r(h)

|h| = 0

Para h = (h1,...,hn).


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En el caso n = 1 (e.d una funcion de variable real a valor real) podemos dar una inter-

pretacion geometrica a la nocion de diferenciabilidad ([?]), primero que todo recordemos que

para una funcion f : I R R es derivable (o diferenciable en una variable significa lomismo) en un punto a I, s existia un numero real A tal:

lmxa

f(x) f(a)x a = A = lmh0

f(a + h) f(a)h

aqu f(a) esta representado por al real A. La definicion de limite ?? nos permite ver que si

f es diferenciable en a I, esto equivale a

lmh0

f(a + h) f(a)h

f(a) = 0 lmh0

f(a + h) f(a) f(a)hh

= 0

que a su vez equivale a; dado > 0 esixte > 0 tal que si |h| < entonces|f(a + h) f(a) f(a)h| < |h|.

Si hacemos r(h) = f(a + h) f(a) f(a)h vemos que:

f(a + h) = f(a) + f(a)h + r(h), donde lmh0

r(h)

|h| = 0.

graficamente;

a a + h

f(a)

f(a + h)

y = f(x)

r(h)

P

Q

f(a)h

f(a)

lP : y = f(a) + f(a)(x a)

R

R

Figura 2.8: Interpretacion diferenciabilidad funcion real de valor real

Ahora para una funcion diferenciable f el valor del resto r(h) determinado por la expresion

f(a + h)f(a)f(a)h aparece del comportamiento local de la funcion en un punto respecto


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de su recta tangente. Mas especificamente, si llamamos P a la recta tangente de la funcion

f en el punto P de coordenadas (a, f(a)) con pendiente f(a), tenemos que la ecuacion de

la recta se encuentra determinada por la expresion:

P : y f(a) = f(a)(x a)

se sigue que para la abscisa x = a + h obtenemos como imagen sobre P la ordenada y =

f(a) + f(a)h. Por tanto, si llamamos Q al punto de coordenadas (a + h, f(a) + f(a)h) ver

grafico ???, el resto r(h) representa la distancia entre f y la recta tangente determinada

por la longitud del segmento P Q, esto lo re-escribimos como f(a + h) = f(a) + f(a)h + r(h).

Intuitivamente podemos decir que la diferenciabilidad de f garantiza que en la vecindad de

un punto la grafica de la funcion se comporta igual que la recta tangente e.d que localmente

se hacen la misma a medida que h tiende a cero. Vale resaltar que para que esto suceda en

la condicion lmh0 r(h)/h = 0 el resto r(h) tiende a cero mas rapido de lo que h lo hace y

esto sucede si la curva es relativamente suave alrededor del punto.

La caracterizacion que hicimos de diferenciabilidad nos lleva automaticamente a una defini-

cion equivalente a 3, que se discute a mayor profundidad en un curso de analisis en Rn y

aparece como consecuencia directa del hecho de considerar R como espacio vectorial sobre si

mismo, haciendo posible establecer una relacion biunivoca o isomorfismo :L

(R

,R

) R

(ver [?]).

Al considerar R como espacio vectorial se tiene como base canonica a 1, ademas si T : R Res una transformacion lineal y hacemos T(1) = a, para cualquier x R

T(x) = T(1 x) = T(1) x = ax

por tanto, si el real T(1) = a caracteriza la transformacion T, tenemos

: L(R,R) RT (T) = T(1)

establece un isomorfismo con inverso 1(a) = T donde T(x) = ax para x R. 11Nuestra intencion no es complicar aun mas el resultado si no recordar que a medida que en matematicas

avanzamos en terminos de los espacios sobre los cuales desarrollamos una teora requerimos de conceptos mas

finos o simplemente mas elaborados que confronten nuestros primeros resultados, a su vez que estos no sean

alterados y que aparezcan como una consecuencia de esa generalizacion.


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Definicion 4 Seaf : I R R, I conjunto abierto deR. Diremos que f es diferenciableen a I si existe una transformacion lineal T : R R, tal que

f(a + h) = f(x) + T(h) + r(h) ; Donde lmh0

r(h)

|h|= 0

En este caso T(h) = f(a)h.

Para un campo escalar se tiene la siguiente version:

Definicion 5 Sea f : U Rn R, U conjunto abierto deRn. Diremos que f es diferenciableen a Usi existe una transformacion lineal Ta : Rn R, tal que para h Rn con a+ h Use tiene

f(a+ h) = f(x) + Ta(h) + r(h) ; Donde lmh0

r(h)

h

= 0

Aqu Ta(h) = df(a)h, donde df(a) = f

x1(a), ...,

f

xn(a)

.

Teorema 4 Seaf : U Rn R, conUconjunto abierto deRn y a U. Si f es diferenciableen a Uentonces f es continua en a.

Demostracion. Para mostrar que f es continua basta ver que f es lipscheziana, e.d

f(x)

f(x0)

M

x

x0

. En efecto, el Df(a) : Rn

Rm es una transformacion lineal

continua luego existe una cosntante M0, tal que Df(a)h M0 h.De otro lado, como f es diferenciable en a,

f(a + h) = f(a) + Df(a)(h) + r(h) ; Donde lmh0

r(h)

h = 0

esto equivale a decir

lmh0

f(a + h) f(a) Df(a)(h)h = 0

as, para = 1, existe 0 > 0, talque si

h

< 0 entonces

f(a + h) f(a) Df(a)(h) < h

implica

f(a + h) f(a) < Df(a)(h) + h < (M0 + 1) h

por tanto, si M = M0 + 1 para = mn {0, /M}, tenemos

f(a + h) f(a) < Mh < M = M( M

) =


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Teorema 5 Seaf : U Rn R, con Uconjunto abierto deRn y a U. Si f tiene derivadasparciales en todos los puntos de U y para a U cada una de ellas es continua entonces f esdiferenciable en a.

Demostracion. Sea U Usobre el cual las funciones fx ,fy : U Rn R estan definidasy supongamos que son continuas en (x0, y0) U. Consideremos

r(h1, h2) = f(x0 + h1, y0 + h2) f(x0, y0) fx

(x0, y0)h1 fy

(x0, y0)h2

podemos escribir

r(h1, h2) = f(x0+h1, y0+h2)f(x0, y0+h2)+f(x0, y0+h2)f(x0, y0)f

x (x0, y0)h1f

y (x0, y0)h2

Ahora si hacemos (x) = f(x, y0 + h2) para x [x0, x0 + h1] por hipotesis se encuentradefinida

(x0) = lmh10

(x0 + h1) (x0)h1

= lmh20

f(x0 + h1, y0 + h2) f(x0, y0 + h2)h1

=f

x(x0, y0+h2).

As por el teorema del valor medio para : [x0, x0 + h1] R existe [0, 1] tal que

f(x0 + h1, y0 + h2) f(x0, y0 + h2) = fx

(x0 + h1, y0 + h2)

De forma similar para (y) = f(x0, y) con y [y0, y0 + h2] se tiene

f(x0, y0 + h2) f(x0, y0) = fx

(x0, y0 + h2)

y remplazando en r(h1, h2) obtenemos

r(h1, h2) =f

x(x0 + h1, y0 + h2)h1 +

f

y(x0, y0 + h2)h2 f

x(x0, y0)h1 f

y(x0, y0)h2

dividiendo ambos lados de la ecuacion por (h1, h2).

r(h1, h2)(h1, h2) = fx (x0 + h1, y0 + h2) fx (x0, y0) h1(h1, h2)+f

y(x0, y0 + h2) f

y(x0, y0)

h2

(h1, h2)finalmente como

hi(h1,h2) 1 con i = 1, 2 y dada la continuidad de las derivadas parcialesen (x0, y0) cuando (h1, h2) (0, 0) se sigue

lm(h1,h2)(0,0)

r(h1, h2)

(h1, h2) = 0


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Ejercicio

Se probo que si una funcion f : U Rn R tiene todas las derivadas parciales continuas enun punto a Uentonces es diferenciable en dicho punto. verifique que el reciproco es falso(e.d si f es diferenciable en un punto entonces tiene todas las derivadas parciales continuas

en dicho punto), para ello, considere la funcion f : U R2 R tal que;

f(x, y) =

(x2 + y2)sin 1x2 + y2

; si(x, y) = (0, 0)

0 ; si(x, y) = (0, 0)

1. Demuestre que las derivadas parciales de la funcion estan dadas porf

x,

f

y: U

R2 R,

f

x=

2x sin 1x2 + y2

xx2 + y2

cos1

x2 + y2; si(x, y) = (0, 0)

0 ; si(x, y) = (0, 0)

f

y=

2y sin 1x2 + y2

yx2 + y2

cos1

x2 + y2; si(x, y) = (0, 0)

0 ; si(x, y) = (0, 0)

2. Demuestre que las derivadas parciales son discontinuas en el origen, probando que el

lmite cuando (x, y) tiende a (0, 0) no existe.

3. Constate que el residuo de la diferenciabilidad en el origen para f esta dado por la

expresion:

r(h1, h2) = (h21 + h

22)sin

1h21 + h

22

4. Demuestre que

lm(h1,h2)(0,0) r(h

1, h2)r(h1, h2) = 0y concluya que f es diferenciable en el origen.

Corolario 1 Si f : U Rn R es de claseC1 entonces f es diferenciable.


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2.1.5. El diferencial

Si una funcion f : U Rn R es diferenciable en un punto a U

f(a + h) = f(a) +n

i=1

fxi

(a)hi + r(h), donde lmh0

r(h)|h| = 0.

para h = (h1,...,hn) y hacemos h = tv donde v = (v1,...,vn) es un vector unitario se sigue

f(a + h) = f(a) +n

i=1

f

xi(a)(tvi) + r(tv)

de donde

f(a + h) f(a)t =n

i=1

fxi(a)(vi) + r(tv)t

ahora, si h 0 es equivalente a decir t = 0 de esta forma tomando h = |t| v = |t|.

lmt0

f(a + h) f(a)t

=ni=1

f

xi(a)(vi) lm

h0r(h)

hpor tanto

f

v(a) =

n

i=1f

xi(a)vi

el diferencial de f en a, definido por el funcional lineal df(a) : Rn R asigna a cada vectorv el valor

df(a)v =f

v(a) =

ni=1

f

xi(a)vi

Toda transformacion linealRn R posee una matriz asociada en relacion a la base canonicade Rn. Para df(a) identificamos su matriz por

df(a) = fx1 (a), ..., fxn (a) ()Si f : U Rn R es una funcion diferenciable en U, el

df : U L(Rn,R)

Asocia a cada a Uel df(a).


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Teorema 6 Sean f, g : U Rn R, conUconjunto abierto deRn, a U. Si f es diferenciableen a Uentonces:

1. f + g :

URn

R es diferenciable en a

Ucond(f + g) = df + dg.

2. f g : U Rn R es diferenciable en a Ucond(f g) = df g + f dg.

3.fg

: U Rn R cong(x) = 0 es diferenciable en a Uy ademas d

fg

= dfgfdg

g2.

2.1.6. Gradiente

Definicion 6 Sea f : U Rn R, con U un conjunto abierto enRn y f es diferenciable en

U. Se define el vector gradiente de f en a

Ucomo

f(a) = grad(f(a)) = f

x1(a),...,

f

xn(a)

.

De la definicion anterior la expresion () puede ser escrita tambien

f

v(a) = df(a) v = f(a) v

Veamos ahora que la definicion del vector gradiente nos permite ver una cualidad importante

de la derivada direccional, para ello considere un punto a

Uun vector unitario v y el

gradiente de f en a, f(a).

v

fv

(a)

f(a)

v

fv

(a)

f(a)

Figura 2.9: Interpretacion del gradiente

Si proyectamos el vector gradientef(a) sobre el vector v obtenemos

Pf(a)v =

f(a) vv2

v =

f

v(a)

v


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Ahora si llamamos al angulo entre el vector gradiente y el vector unitario, y hacemos este

cada vez mas pequeno podemos observar (ver grafico ???) que la magnitud de la derivada

direccional aumenta, siguiendo este razonamiento se concluye que la derivada direccional

alcanza su valor maximo cuando los dos vectores tienen la misma direccion, esto es

f

v(a) =

f(a) v = f(a)v cos()

(i) Si = 0 entonces la derivada direccional alcanza su valor maximo y ademas fv (a) =

f(a).

(ii) Si = 2 entonces la derivada direccional es igual a cero,fv(a) =

f(a)(0) = 0.

2.1.7. Planos tangentes

En la seccion anterior se vio que la diferenciabilidad en una funcion de valor real de una

variable la mejor aproximacion a una curva y = f(x) localmente es su recta tangente. De

forma similar si una funcion f : U R2 R es diferenciable en un punto (x0, y0) U,podemos ver que localmente la mejor aproximacion a la superficie generada por f alrededor

de (x0, y0) es un plano tangente de ecuacion

f(x, y) = f(x0, y0) +f

x(x0, y0)(x

x0) +

f

y(x0, y0)(y

y0) (

)

Veamos esto, al ser f diferenciable en el punto (x0, y0) se tiene

f(x0 + h1, y0 + h2) = f(x0, y0) +f

x(x0, y0)h1 +

f

y(x0, y0)h2 + r(h1, h2)

donde

lm(h1,h2)(0,0)

r(h1, h2)

(h1, h2) = 0

Ahora si hacemos h1 = x x0 y h2 = y y0 la relacion anterior la podemos re-escribir como

f(x, y) = f(x0, y0) +fx (x0, y0)(x x0) + fy (x0, y0)(y y0) + r(x x0, y y0)

donde

lm(x,y)(x0,y0)

r(x x0, y y0)(x x0, y y0) = 0

De modo que el residuo

r(x x0, y y0) = f(x, y)

f(x0, y0) +f

x(x0, y0)(x x0) + f

y(x0, y0)(y y0)


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CAPITULO 2. FUNCIONES DE VALOR REAL DE N-VARIABLES 260000011111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111U yz T = Genfx (x0, y0), fy (x0, y0)(x0, y0)x0 y0xFigura 2.10: Plano tangente a la superficie

es la diferencia entre la funcion z = f(x, y) y el plano tangente.

En general, para un campo escalar

Definicion 7 Sea f : U Rn R, Uconjunto abierto deRn. Diremos que f es diferenciableen a Usi existe un polinomio lineal no homogeneo

ni=1

Ai(xi ai)

tal que la funcion lineal

f(a) +ni=1

Ai(xi ai)

aproxima a f(x) cerca de a en el siguiente sentido

lmxa

f(x) f(a) ni=1 Ai(xi ai)x a = 0

Observacion 1 La definicion anterior equivale a decir que existan las constantes A1,...,An y

una funcion r(x, a) definida en una vecindad V de a con V(a) Uque satisfaga la condicion

f(x) = f(a) +ni=1

Ai(xi ai) + x ar(x, a); en V con lmxa r(x, a) = 0.


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Por tanto dado un campo escalar f : U Rn R, las definiciones 3, 5 y 7 son equivalentes(Nos dicen lo mismo).

Finalmente debemos resaltar que la existencia del plano tangente depende de la diferencia-bilidad de la funcion y no unicamente de la existencia de las derivadas parciales como sugiere

la expresion (). Si retomamos la funcion del ejemplo 1 de la seccion 2.1

f(x, y) =

xyx2 + y2

; si(x, y) = (0, 0)

0 ; si(x, y) = (0, 0)

se vio que fx (0, 0) =fx (0, 0) = 0, si sustituimos estos valores en () tenemos que z = 0 es

la ecuacion del plano tangente a la superficie generada por f en el punto (0, 0), pero esto

carece de sentido dado que la funcion no es continua (0, 0).

Observacion 2 A modo de resumen podemos decir que la diferenciabilidad de un campo

escalar en un punto garantiza sobre el punto indicado los siguientes hechos:

La existencia de las derivadas parciales.

La existencia de las derivadas direccionales (en todas las direcciones).

La continuidad de f.

La existencia polinomio no lineal que aproxima localmente a f. En dimensiones 1, 2

recta tangente y plano tangente respectivamente.

2.1.8. Regla de la Cadena

Teorema 7 Sea U Rn y V Rm abiertos, f = (f1,...,fm) : U Rm, tal que f(U) V ycada funcion coordenada fi : U R con (i = 1,..,m) es diferenciable en un punto a de U.Sea tambien g : V R una funcion diferenciable en el punto b = f(a). Entonces la funcioncompuesta g fU : R es diferenciable en el punto a y sus derivadas parciales corresponden

(g f)xi

(a) =

mj=1

g

yj(b) fj

xi(a)

Demostracion. [?], pag-127.


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Corolario 2 Sea U Rn un conjunto abierto, f : U R una funci on diferenciable en elpunto b y : (a , a + ) U Rn un camino diferenciable en el punto a con (a) = b y(t) = (1(t),...,

n(t)). Entonces la funcion compuesta f es diferenciable en a y ademas

(f )(a) = ni=1

fxi

(b) i(a)

Corolario 3 SeaU Rn un conjunto abierto, f : U R una funcion diferenciable en el puntoacon f(U) I y g : I R diferenciable en el punto b = f(a). Entonces la funcion compuestag f es diferenciable en a y sus derivadas parciales son

(g f)xi

(a) = g(b) fxi

(a)

2.1.9. Teorema de la funcion implcita

Teorema 8 Sean f : U Rn+1 R, f de clase Ck (k 1), U conjunto abierto deRn+1. Sip = (x0, y0) Utal quef(x0, y0) = c con fy (p) = 0 entonces existe una bola abierta B(x0) Rny un intervalo abierto J = (y0 , y0 + ) tal que f1(c) (B J) es el grafico de la funcion : B J de clase Ck. Ademas para todo x B se tiene

xi =

f

xi(x, (x))

f

y(x, (x))

; i = 1,...,n

Para n=2 el teorema puede escribirse:

f : U R2 R, f de clase Ck (k 1), U conjunto abierto deR2. Si (x0, y0) U tal quef(x0, y0) = c con

fy (x0, y0) = 0 entonces existe un rectangulo abierto I J de centro en

(x0, y0) con I = (y0 , y0 + ), J = (y0 , y0 + ) tal que f1(c) (I J) es el grafico dela funcion : I J de clase Ck. Ademas para todo x I se tiene

x=

f

x(x, (x))

f

y(x, (x))

La representacion geometrica se puede ver en el grafico siguiente :

Esquematicamente


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CAPITULO 2. FUNCIONES DE VALOR REAL DE N-VARIABLES 290000000000000000000011111111111111111111(x0, y0)(x0, y0, f(x0, y0)) y0 + y0 x0 zU

y

x

y0

x0

x0 +

f1(c)

f

y (x

0, y

0)

Figura 2.11: Interpretacion geometrica del T.F.I, caso n = 2

La prueba del teorema se presenta para n=2. En el caso general se procede de forma similar

Demostracion. Supongamos fy (x0, y0) > 0, comofy es continua existen y tal que

haciendo I = (y0 , y0 + ), J = (y0 , y0 + ) se tiene que I J Uy fy (x, y) > 0 paratodo punto (x, y) I J. Entonces para todo x I la funcion x f(x, y) es estrictamentecreciente en el intervalo J en particular como f(x0, y0) = c se tiene f(x0, y0 ) < c yf(x0, y0 + ) > c.

En virtud del teorema del valor intermedio para cada x I existe un unico y = (x) J talque f(x, y) = c. Si elejimos obligatoriamente y J tenemos f1(c)(IJ) = f1(c)(IJ)es el grafico de la funcion : I J.Veamos que es de clase Ck, en efecto si definimos k = (x + h) (x) entonces (x + h) =

(x) + k luego f(x + h, (x + h)) = f(x + h, (x) + k) = f(x, (x)) = c, de esta forma

f(x + h, (x) + k) f(x, (x)) = 0

Por el teorema del valor medio existe 0 < < 1

f(x + h, (x) + k) f(x, (x)) = fv

(x + h,(x) + k)

=f

x(x + h,(x) + k) h + f

y(x + h,(x) + k) k


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0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 RJI

c

U

I J

f1(c)

f1(c)

x0

y0

Figura 2.12: Interpretacion esquematica del T.F.I, caso n = 2

Por tanto(x + h) (x)

h=

k

h=

f

x(x + h,(x) + k)

f

y(x + h,(x) + k)

Como lmh0 k = 0 y por la continuidad de las derivadas parciales

(x) = lmh0

(x + h) (x)h

= f

x(x, (x))

f

y(x, (x))

Si f es de clase C1 siendo , fx

yf

ycontinuas es continua,ahora si f es de clase C2entonces

,f

xy

f

yson de clase es de clase C1 luego es C1, es decir es de clase C2, siguiendo

este proceso si f Ck entonces Ck.

La importancia del teorema de la fucion implicita radica en que bajo ciertas condiciones

existe localmente una funcion y = (x) definida implicitamente cuando f(x, y) = c, con

(x, y) Rn+1. El teorema no establece como obtener explicitamente y = (x) pero cumplidaslas hipotesis del teorema garantiza su existencia ademas de como encontrar las derivadas

parciales de dicha funcion.2

2Se recomienda continuar la lectura de derivacion de funciones implicitas en [?] y [?].


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Captulo 3

Funciones de valor vectorial de

n-variables

3.1. Diferenciablilidad

Definicion 8 Seaf : U Rn Rm, Uconjunto abierto deRn. Diremos que f es diferenciableen a Usi existe una transformacion lineal T : Rn Rm, tal que

f(x+ h) = f(x) + T(h) + r(h) ; Donde lmh

0

r(h)

h= 0

Para h Rn se tiene a+ h U.

Esquematicamente la definicion anterior la podemos interpretar como sigue

Al igual que en la definion 4 , T(h) = Df(a)h. La interpretacion de la transformacion lineal

T : Rn Rm en la definicion anterior se pude ejemplificar para una f :U R2 R2, paraello definamos un trayectoria arbitraria : (, ) R2 tal que (0) = a con (0) = v,

donde v representa el vector velocidad tangente a la curva (ver grafica???). Intuitivamentepodemos decir para una funcion diferenciable que mientras la funcion f envia puntos de Rn

en puntos de Rm, el diferencial (o transformacion lineal) T = Df(a) envia vectores de Rn

en vectores de Rm, para nuestro ejemplo Df((0)) = (f )(0).

Otra observacion importante para f : U Rn Rm diferenciable, esta relacionada con el

31


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CAPITULO 3. FUNCIONES DE VALOR VECTORIAL DE N-VARIABLES 32

( )

()

()

(0) = vDf(a) v = (f )(0)

f(a)

U f(U)

R2 R

2

R

f

0

(0) = a

Df

Figura 3.1: Interpretacion esquematica de la diferenciabilidad caso general

concepto de derivada direccional

f

v(a) = lm

t0f(a + tv) f(a)

t

para el cual si se expresa f = (f1,....,fm) se tiene

f

v(a) =

f1v

(a), ...,fmv

(a)

.

Retomando la definicion 8 y haciendo h = tv para v un vector unitario donde suponemos f

diferenciable

f(x + h) = f(x) + Df(a)h + r(h) ; donde lmh0

r(h)

h = 0

Luego

f(x + tv) = f(x) + Df(a)tv + r(tv) ; donde lmh

0

r(tv)

tv

= lm

t

0

r(tv)

|t

|= 0

Por tantof

v(a) = lm

t0f(x + tv) f(x)

t= Df(a).v ()

En otras palabras si el diferencial envia un vector v de Rn en un vector de Rm este ultimo

tiene como componentes las derivadas direccionales de cada fi : Rn R en a, esto es:

Df(a)v =

f1v

(a), ...,fmv

(a)

= (df1(a)v, ..., dfn(a)v)


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La transformacion Df(a) : Rn Rm posee en relacion a su base canonica una matriz detamano m n llamada la matriz jacobiana de f en el punto a, que se indica comunmentecon la notacion Jf(a). Ahora si hacemos v = ei con i = 1,...,n, obtenemos los n vectores

columna de la forma

Df(a)ei =

f1ei

(a)

...

fmei

(a)

m1

=

f1x1

(a)

...

fmx1

(a)

m1

as

Jf(a) = f1x1

(a) f1xn

(a)

.

.. . . ....

fmx1

(a) fmxn

(a)

mn

Por tanto si f es diferenciable en cada punto de Use obtiene la aplicacion

Df : U L(Rn,Rm)

x Df(x) =

f1x1

(x) f1xn

(x)

.... . .

...

fm

x1 (x) fm

xn (x)

mn

.

Ejemplo 1

Sea f : U Rn Rm, U conjunto abierto y f diferenciable en a = (a1, a2), esto esequivalente a decir que existe T : R2 R2 lineal continua tal que

f(x + h) = f(x) + T(h) + hr(h); con lmh(0,0)

(h) = (0, 0)

entonces

T : R2 R2

h T(h), donde T(h) = a11 a12

a21 a22

h1h2

= a11h1 + a12h2

a21h1 + a22h2

Ademas h = e1h1 + e2h2. Para h = (h1, 0) se obtiene

f(a1 + h1, a2) f(a1, a2) = T(h1e1 + 0e2) + hr(h1, 0)= h1T(e1) + 0T(e2) + |h1|r(h1, 0)


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entonces lmh(0,0)f(a+h)f(a)

h = T(e1) r(h1, 0)

lmh(0,0)f(a + h) f(a)

|h1

|

= lmh10f(a1 + h1, a2) f(a1, a2)

|h1

|= T(e1)

=

a11a21

De forma analoga se obtiene

lmh20

f(a1, a2 + h2) f(a1, a2)|h2| = T(e2) =

a12a22

Ahora si consideramos f = (f1, f2) entonces

lmh10

f(a1 + h1, a2) f(a1, a2)|h1| =

lmh10

f1(a1 + h1, a2) f1(a1, a2)|h1| , lmh10

f2(a1 + h1, a2) f2(a1, a2)|h1|

=

f1x

(a),f2x

(a)

= (T(e1)) =

a11 a12a21 a22

10

= a11

a21

= f1x

(a) = a11 ,f2x

(a) = a21

y

lmh20

f(a1, a2 + h2) f(a1, a2)|h2| =

lmh20

f1(a1, a2 + h2) f1(a1, a2)|h2| , lmh20

f2(a1, a2 + h2) f2(a1, a2)|h2|

=

f1y

(a),f2y

(a)

= (T(e2)) =

a11 a12a21 a22

01

= a12

a22

= f1y

(a) = a12 ,f2y

(a) = a22

luego

T

f1x

f1y

f2x

f2y

(a)Por tanto, f : U R2 R2 es diferenciable en a = (a1, a2) Usii

f(a + h) = f(a) +

f1x

(a)f1y

(a)

f2x

(a)f2y

(a)

h1

h2

+ hr(h); donde lmh0

r(h) = 0


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Una forma importante de identificar si una funcion de valor vectorial de n-variables es difer-

enciable se describe en el teorema siguiente

Teorema 9 Una funcion f : URn

Rm

es diferenciable en un punto a Usi y solamentesi cada una de las funciones coordenadas fi : U Rn R coni = 1,...,m son diferenciables ena.

El teorema que se ilustra acontinuacion complementa el teorema anterior y nos dice que

esperar si adicionalmente el diferencial es continuo.

Teorema 10 Seaf : U Rn Rm es diferenciable en un punto a U, Uconjunto abierto deRn. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) f es diferenciable y la aplicacion derivada Df : U L(Rn,Rm) es continua.

(ii) Las funciones coordenadas fi : U Rn R con i = 1,...,m de f poseen derivadasparciales continuas fi

xj: U Rn R conj = 1,...,n .

(iii) Para cadav Rn, existe la derivada direccional fv

en caulquier punto x Uy la aplicacionf

v :U Rm es continua.

Demostracion. [?], pag.249

3.1.1. Regla de la cadena

Teorema 11 SeanU Rn yV Rp conjuntos abiertos, f : U Rn Rp diferenciable ena Uy g : V Rp Rm diferenciable en b = f(a) conf(U) V. Entonces g f es diferenciable ena Utal que

D(g f)(a) = Dg(b) Df(a)

Esquematicamente.

3.1.2. Teorema de la funcion inversa

Para una funcion real de variable real el teorema de la funcion inversa toma poder al pre-

guntarnos como interpretamos la derivada de la funcion inversa f1 de una funcion inyectiva

f : I R R, tal que (f f1)(x) = x para todo x en el dominio y (f1 f)(y) = y para


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y en el rango de f. Si x0 es un punto en el dominio de f y f(x0) = 0 entonces localmante

existe f1 derivable tal que

(f1)(f(x0)) =1

f(x0).

Nuestro interes es discutir bajo que condiciones existe la inversa de una funcion vectorial

f : U Rn Rn Sean U y V subconjuntos de Rn. Una biyeccion f : U V se dira undifeomorfismo de clase Ck de Uen V, si f y f1 son de clase Ck .1

Teorema 12 Sea f : U Rn una funcion de clase Ck (k 1), definida sobre un conjuntoabierto U Rn. SiDf(a) es un isomorfismo enL(Rn,Rn) (es equivalente a decir que |Jf(a)| = 0para todo a en

U) entonces existe de una vecindad

Vde a contenida en

Utal que

(i) La restriccion de f a Ves uno a uno.

(ii) La imagenW= f(V) es abierta enRn.

(iii) La funcion inversa f1 de f es de claseC1 sobre W.

(iv) Para b = f(a), Df1(b) =

Df(f1(b))1

.

1Se recomienda continuar la lectura de diferenciabilidad de funciones inversas en [?] y [?].


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Bibliografa

[1] Tom Apostol, Calculo volumen 2, vol. Segunda edicion, Editorial. Reverte, 1985.

[2] Francisco Caicedo, Introduccion calculo avanzado, vol. Segunda edicion, Universidad Na-

cional de Colombia, 2005.

[3] Elon Lages Lima, Curso de analise vol.2, Proyecto Euclides, 2000.

[4] , Analise no espaco Rn, vol. Primera edicion, Colecao Matematica Universitaria,

2004.

[5] Ruiz C. Pita, Calculo vectorial, vol. Primera Edicion, Prentice Hall, 1995.

[6] Michael Spivak, Calculo en variedades, vol. Primera Edicion, Editorial. Revertel, 1998.

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