Semana 3- Sesión 1

Movimiento curvilíneoDefiniciones Generales

Vector posición, velocidad media e instantánea rapidez media e instantánea,

aceleración media e instantánea

Física 1 1

Logro de la sesión

Al termino de la sesión el estudiante

evalúa magnitudes físicas que

describen el movimiento curvilíneo con

pensamiento critico.

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Agenda de la sesión de clases

Introducción al movimiento curvilíneo.

Concepto generales del movimiento curvilíneo.

Resolución de ejercicios con aplicaciones a la ingeniería

Aceleración dependiente de la posición y de la velocidad.

Resolución de ejercicios.

Cierre.

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Vector posición

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• Elementos que necesitamos para describir el movimiento

• Sistema de referencia• Medidor de tiempo• Vector posición

• r(t2) vector posición en el instante t2

• r(t1) vector posición en el instante t1

• El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo [t1, t2] esta dado por:

• ¿Es necesario conocer la trayectoria del móvil para hallar el vector desplazamiento?

• No. Para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo.

12 rrΔ ttr

B

t1

t2

r

A

1t

2t

1r( t )

2r( t )

r

x

y

z

kzjyixtr

)(

Velocidad y rapidez media

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• se define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t1, t2] como:

• La velocidad media apunta en la misma dirección del vector desplazamiento.

• La rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado

• La rapidez media no es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo). Como

2 1

2 1m

r t r m

s

tΔrV

Δt t t

rV

//Δm

1t

2t

)( 1tr

)( 2tr

r

x

y

z

mV

t

lvm Δ

Δ~

rΔ l mm V~ v

1t

2t

r

x

y

zl

Velocidad instantánea

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• La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto del tiempo

• Esta expresión podemos expresarla en función de sus componente rectangulares

• El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria.

• La rapidez instantánea es igual al modulo de la velocidad instantánea.

dt

d

tt t

rrlimv

Δ

Δ0Δ

dt

dx(t)vx

dt

dy(t)vy

dt

dz(t)vz

r

ΔmV

r

ΔmV r

ΔmV

r

mVr

mV

V

dt

d(t)v(t)

rv~

Aceleración media

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• Se define la aceleración media como la rapidez de cambio de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo.

• La aceleración apunta hacia la concavidad de la curva.

• La aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo t,

2 12

2 1m

v t v t ma

t t s

1t

2t

x

y

z

1v t

2v t

v

1v t

2v t

ma

dt

d(t)

va

1t

2t

x

y

z

1a

2a

dt

tdva xx

dt

tdva yy

dt

tdva zz

Ecuaciones cinemáticas

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• Si se conoce la posición de la partícula con el tiempo r(t) podemos determinar su velocidad y aceleración instantánea por simple derivación

• Así mismo si se conoce la aceleración con el tiempo es posible encontrar su posición y velocidad usando el camino inverso, es decir integrando

• De donde

• Una vez determinada la velocidad calculamos su posición:

• Donde r(t0) y v(t0) son los vectores posición y velocidad en el instante t0.

dttddt

tdt vr

rv

t

tO

dtttt vrr

0

dttddt

tdt av

va

t

t

dtttt

0

0 avv

2

2

dt

d

dt

d(t)

xva

dt

dt

rv

Aceleración dependiente de la posición

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Integrando

• Ahora se conoce la velocidad en función de la posición y podemos hallar x(t), y el, problema esta resuelto

• Un caso real por ejemplo es la variación de la aceleración de la gravedad con la coordenada y medida desde el centro de la tierra

Características

• Hemos encontrado que la posición, la velocidad y aceleración de una partícula se relacionan según:

• Cuando se da la aceleración en función de la posición hay que aplicar la regla de la cadena de la derivación

dt

dxv

dt

dva

dt

dx

dx

dv

dt

dvxa )(

dx

dvvxa )(

x

x

v

v

dxxavdv00

)(

x

x

dxxavv0

)(220

2

Aceleración dependiente de la velocidad

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o podemos hallar la velocidad en función de la posición

• Otro caso de interés es cuando la aceleración depende de la velocidad, por ejemplo cuando un cuerpo se mueve en un fluido la aceleración del cuerpo es de la forma :

• para bajas velocidades , y

• Para altas velocidades

• Para esta situación la velocidad se puede hallar en función del tiempo:

kvva )(

2)( kvva

dt

dvva )(

v

v

ttva

dv

0

0)(

dt

dx

dx

dv

dt

dvva )(

v

v va

dvvxx

0)(0