6. Movimiento Curvilineo

Dinamica Vectorial para Ingenieros: DINAMICA

Décima Edición

Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Phillip J. Cornwell Lecture Notes: Brian P. Self California Polytechnic State University

Capitulo

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11 Cinemática de Partículas

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Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica

Tenth Edition

Movimiento Curvilíneo: Posición, Velocidad y Aceleración

11 - 2

La pelota y el automóvil tienen movimiento curvilíneo.

•  Cuando una partícula se mueve a lo largo de unaa curva diferente a una línea recta, describe un movimiento curvilíneo.



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11 - 3

•  El vector de posición de una partícula en el tiempo t lo define un vector entre el origen O de un sistema de referencia y la posicion que ocupa la partícula .

•  Considerese una particula que ocupa una posición P definida por en el tiempo t y P’ definida por en t + Δt,

r

r ʹ′



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11 - 4

0limt

s dsvt dtΔ →

Δ= =

Δ

Velocidad Instantánea (vector)

Rapidez instantanea (escalar)

0limt

r drvt dtΔ →

Δ= =

Δ

r rr



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11 - 5

0limt

v dvat dtΔ →

Δ= = =

Δ

r rrAceleración instantánea(vector)

•  Considere la velocidad de una particula en el tiempo t y la velocidad en t + Δt,

v vʹ′

•  En general, la aceleracion no es tangente a la trayectoria de la partícula.



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Componentes Rectangulares de la velocidad y la aceleración

11 - 6

•  Cuando la posición de una Partícula P se define por sus componentes rectangulares x, y y z,

kzjyixr

++=

•  El vector velocidad es,

kvjviv

kzjyixkdtdzj

dtdyi

dtdxv

zyx

++=

++=++=

•  El vector aceleración es ,

kajaia

kzjyixkdtzdj

dtydi

dtxda

zyx

++=

++=++= 2

2

2

2

2

2



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Componentes Rectangulares de la velocidad y la aceleración

11 - 7

•  El uso de los componentes rectangulares es particularmente efectivo cuando las componentes de la acelercion se pueden integrar independientemente ejemplo el moviemiento de un proyectil

00 ==−==== zagyaxa zyx con condiciones iniciales ,

( ) ( ) ( ) 0,,0 000000 ==== zyx vvvzyx

se integra dos veces

( ) ( )( ) ( ) 0

02

21

00

00

=−==

=−==

zgttvytvxvgtvvvv

yx

zyyxx

•  El movimiento en direccion horizontal es uniforme.

•  El movimiento en dirección vertical es uniformemente acelerado.

•  El movimiento de u n proyectil se puede sustituir por dos movimientos rectilineos independientes.



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Problema Resuelto 11.7

11 - 8

Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 150 m, con una velocidad inicial de 180 m/s a un angulo 30°con la horizontal. Si se ignora la resistencia del aire, encuentre: (a) la distancia horizontal desde el cañón hasta el punto en el que el proyectil golpea el suelo, (b) la elevación maxima sobre el suelo que alcanza el proyectil

SOLUCION: •  Se consideran los movimientos horizontal y

vertical por separado (son independientes)

•  Se aplican las ecuaciones de movimiento en la direccion y

•  Se aplican las ecuaciones de movimiento en la direccion x

•  Se determina el tiempo t en que el proyectil golpea el suelo y se usa para encontrar la distancia horizontal.

•  La elevacion máxima ocurre cuando vy=0



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11 - 9

SOLUCION:

Dado: (v)o =180 m/s (y)o =150 m

(a)y = - 9.81 m/s2 (a)x = 0 m/s2

Movimiento vertical – uniformemente acelerado:

Movimiento Horizontal– movimiento uniforme:

Se elige el sentido positivo hacia la derecha

(4)



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11 - 10

SOLUCION: Distancia horizontal

El proyectil golpea el suelo en:

Se resuelve para t, tomamos la raíz positiva

La maxima elevacion ocurre cuando vy=0

Sustituimos en la ecuacion (2)

Sustituimos en la ecuación (4)

Máxima elevación sobre el suelo =



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Pregunta Conceptual

2 - 11

Si se lanza un proyectil desde 150 metros sobre el suelo, que angulo de salida se necesita para obtener la maxima distancia x?

a)  Angulo de salida de 45° b)  Angulo de salida menor a 45° c)  Angulo de salida mayor de 45° d)  Depende de la velocidad de lanzamiento



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Trabajo en Grupo

11 - 12

U n a m a q u i n a l a n z a d o r a “dispara” pelotas de béisbol con velocidad horizontal v0. Si se desea que la altura h sea 42 pulg., determine el valor de v0.

SOLUCION:

•  Considere por separado los movimientos vertical y horizontal (son independientes)

•  Aplique las ecuaciones de movimento en la dirección y

•  Aplique las ecuaciones de movimiento en la direccion x

•  Determine el tiempo t para que el proyectil caiga a 42 inches

•  Calcule v0



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Trabajo en Grupo

2 - 13

Movimiento en direccion y

Dado: x= 40 ft, yo = 5 ft, yf= 42 in. Encuentre: vo

20

1(0)2fy y t gt= + −

2 211.5 ft (32.2 ft/s )2

t− = −

213.5 52gt= −

0.305234 st =

Movimiento en direccion x

0 00 ( )xx v t v t= + =

040 ft ( )(0.305234 s)v=

0 131.047 ft/s 89.4 mi/hv = =

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