DIAGNÓSTICO DE LA COMPRENSION DE ESCOLARES DEL SISTEMA DE NOTACIÓN EN BASE DIEZ

Mariela Orozco Hormaza1

Resumen

Se analiza la comprensión y las dificultades de una muestra de 4.912 alumnos, distribuidos en 119 grupos entre 2º a 5º grado de Educación Básica Primaria (EBP), en 29 instituciones escolares pertenecientes al sector oficial del área urbana de Cali. En parejas, los alumnos responden un total de 2.451 cuestionarios, con preguntas relativas a los componentes del Sistema de Notación en Base Diez (SNBD), que se analizan a partir de los aciertos y errores cometidos al resolverlas.

El análisis de las respuestas a los ítems de los cuestionarios, muestra que algo menos que el 50% de las parejas que respondieron los cuestionarios, o sea, algo menos que la mitad de la muestra, poseen una comprensión aceptable de la mayoría de los componentes del sistema: 28% de las parejas lo comprenden, pues resuelven la totalidad de los ítems dentro del rango inferior y propio y 18% poseen una comprensión moderada del mismo, pues solamente resuelven un 50% de los ítems en el rango propio. Algo más que el 50% de la muestra no comprenden el sistema porque no resuelven correctamente ítems con un rango inferior al propio.

Los estudiantes saben escribir numerales dictados, manejan la secuencia numérica. Las dificultades se presentan al resolver los ítems relativos a los componentes operatorios del sistema. Más del 85%, de los cuestionarios de 2º a 5º, presentan dificultades al resolver ítems relativos a descomposición multiplicativa; más del 75%, al resolver ítems relativos a la composición aditiva y el 63%, en composición multiplicativa. A medida que los alumnos avanzan en los grados, las dificultades en relación con el sistema se incrementan

La discusión final de estos resultados permite proponer los procedimientos primitivos que los alumnos utilizan para resolver las preguntas relativas a los componentes operatorios del sistema probablemente son la principal causa de las dificultades que tienen para comprenderlo.

1 Con la colaboración de Rubén Darío Betancur.Este trabajo fue posible gracias al compromiso de los maestros y maestras con la investigación. Sin su colaboración, los resultados que aquí se presentan no se habrían podido obtener.Agradezco a Cesar Delgado, Yenny Otálora y Juan José Giraldo la lectura paciente de algunos capítulos de este documento. A Juan Fernando Aguilera y Diego Fernando Guerrero, el trabajo de edición.

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0. INTRODUCCIÓN

Desde 1990, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) creó el Sistema Nacional de Evaluación de la Educación que se encarga de evaluar periódicamente como se enseña y como aprenden la matemática y el lenguaje los alumnos de 3º, 5º, 7º y 9º, que asisten a escuelas y colegios de todo el país, con el propósito de establecer su nivel de logro. El producto de esta evaluación es considerado como el punto de partida de la estrategia que permite evaluar la calidad de la educación que se imparte en los centros educativos oficiales y privados del país y por lo tanto orientar políticas y programas de mejoramiento de la misma.

El propósito de las pruebas realizadas en 1992 – 1994 (ICFES, MEN, 1997) “es determinar niveles de logros de la habilidad de los estudiantes para resolver problemas matemáticos en una etapa determinada de su proceso formativo” (p. 15).

Los autores organizan la evaluación del nivel de logro de las habilidades en función de tres ejes:

temas, definidos en función de los programas curriculares del MEN y de los grados que los alumnos cursan: para 3º, 5º, 7º y 9º: sistemas numéricos, geometría, medición y sistemas de datos; para 9º, álgebra;

esquemas matemáticos, relacionados con la construcción y uso de operaciones, relaciones y combinación entre operaciones y relaciones

habilidades básicas definidas como “las acciones del sujeto que revisten una mayor o menor complejidad cognitiva y que puede ser inferidas a partir del tipo de problemas que un alumno está en capacidad de resolver” (p. 17)

Siguiendo el modelo de Polya sobre resolución de problemas, señalan que “resolver problemas matemáticos involucra la ejercitación de habilidades de complejidad creciente, como la comprensión y la ejercitación logarítmica, el establecimiento de relaciones, el análisis y diseño de estrategias, su ejecución y verificación.” (p. 17)

Para interpretar los resultados, definen operacionalmente tres niveles de logro:

B. Nivel de ejecución mecánica de algoritmosC Nivel de comprensión de conceptosD Nivel de solución de problemas

Presentan los resultados en función de los logros que cada grado alcanza. Para el propósito de esta revisión, basta señalar que el nivel D, el más alto, solamente lo alcanzan el 37, 23, 25 y 35% de los alumnos de 3º, 5º, 7º y 9º, respectivamente. Sorprende que el nivel máximo solamente lo logra algo más que la tercera parte de la población que entra a la escuela y que en los años siguientes esta proporción decrece para aproximarse nuevamente a esa proporción en el 9º grado.

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En 1997, Castaño y otros realizan otra evaluación a alumnos de 3º y 5º con base en los criterios arriba mencionados; los resultados indican que solo un 20% logran el nivel D, o sea, el de solución de problemas.

Recientemente, el Sistema de Evaluación de la Calidad de la Educación “SABER” dio a conocer los resultados de la evaluación en matemáticas y lenguaje a alumnos de 3º, 5º, 7º y 9º de todo el país. Esta vez, el SABER evalúa el “nivel de logro cognitivo” que los estudiantes alcanzan, en cada área y en función de los grados que cursan y la manera como ellos “utilizan sus conocimientos” en interacción con los otros y el contexto.

Para diseñar la prueba toman como pauta los lineamientos curriculares y establecen criterios o estándares para cada área y grado. “Estos criterios representan las competencias básicas que todos los estudiantes deben alcanzar.” (MEN – ICFES, 2001, p. 7). Definen competencia matemática como “la manifestación del saber hacer en matemáticas. Esto implica poder manejar conceptos y procedimientos matemáticos, tener habilidades comunicativas para leer y escribir matemáticamente, traducir y simbolizar y la capacidad para dar sentido lógico, comprender y explicar una variedad de situaciones” (MEN – ICFES, 2001, p. 9)

Para evaluar los resultados que los estudiantes alcanzan en las pruebas SABER, establecen niveles de logros acumulativos, así: B, C, D, siendo B el nivel inferior y D el superior. Solamente unos pocos avanzan al nivel C y como muchos estudiantes no alcanzan el nivel mínimo, entonces los agrupan en el nivel X, que es inferior al B.

Los resultados son francamente preocupantes, solamente el 17, 22, 3 y 20% de los alumnos evaluados en 3º, 5º, 7º y 9º, respectivamente, poseen el nivel de competencia matemática esperada.

En 1997, la Asociación Internacional para la Evaluación del Logro Educativo (IEA) lleva a cabo el Tercer Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias (TIMSS, 1997) cuya finalidad es identificar las características de la educación en matemáticas de los países participantes. Para el estudio los autores adoptan el currículo como variable central y estudian comparativamente el medio educativo de 39 países diferenciando tres niveles de currículo: el propuesto, el desarrollado y el logrado.

Para evaluar el currículo logrado participan en el estudio una muestra representativa de estudiantes de 7º y 8º grado de colegios privados y públicos de todas la regiones de Colombia. En la prueba de matemáticas la evaluación incluye “dos grandes aspectos del Marco de Referencia Curricular y utiliza tres tipos de preguntas.” (Díaz y otros, 1997, p. 23). Entre los contenidos o temáticas tratadas, que interesan a este estudio incluyen preguntas sobre fracciones y sentido numérico, que aglutinan el mayor número de preguntas del examen. En las habilidades matemáticas evalúan uso de conocimiento, de procedimientos de rutina y de procedimientos más complejos, investigar y resolver problemas, razonamiento matemático y comunicar.

Los resultados generales muestran que la posición relativa de los estudiantes colombianos de 7º y 8º grado, cuyo promedio de edad es el más alto del estudio, están por debajo del promedio internacional y su ubicación corresponde al puesto 40 entre los 41 países que terminan el estudio.

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“Quizás el aspecto fundamental a destacar en el rendimiento de los estudiantes colombianos no es tanto los bajos promedios que obtienen, sino el gran desfase que presentan respecto a los puntajes obtenidos por los mejores estudiantes de los países que ocupan los primeros lugares. Así por ejemplo, en ambos casos, para séptimo y octavo, los mejores estudiantes colombianos del percentil 95º, no superan los porcentajes del percentil 5º de Singapur y los puntajes máximos nacionales son inferiores a los puntajes promedio internacional” (Díaz y otros, 1997, p. 35)

Las diferentes pruebas previamente citadas cubren una amplia gama de contenidos matemáticos que se enseñan en la primaria. Sin embargo, si se acepta que en este nivel educativo se consolidan las bases para el aprendizaje y construcción del conocimiento matemático, entonces se entenderá la importancia de estudiar la comprensión y las dificultades que los alumnos alcanzan del SNBD, un contenido específico, pero que fundamenta la escritura de numerales, el manejo de algoritmos y el sistema de medida e incide en la mayoría de los contenidos matemáticos que se imparten en la escuela básica primaria.

Este estudio diagnóstico no evalúa la calidad de la educación; con el se intenta diagnosticar la comprensión que alumnos de las escuelas públicas de Cali, tienen el sistema y las dificultades que enfrentan para comprenderlo, con el propósito final de identificar estrategias de enseñanza y formación de los maestros de 3º, 5º, 7º y 9º que permitan superarlas.2

Se decide diagnosticar dificultades en función de la comprensión y no de las habilidades o competencias matemáticas esperadas, evitando la confusión reinante sobre la manera de entender estos dos últimos conceptos y teniendo en cuenta que varios estudiosos de logros educativos toman la comprensión del estudiante como el referente de sus trabajos (Ver Larreamendy, 1998; Puche Navarro y otras, 2001). Igualmente, reconociendo la imposibilidad de establecer “el nivel de logro cognitivo” a partir de pruebas escritas, el único medio que permite las evaluaciones de grandes muestras de población.

En el primer capítulo, de esta sección del informe general, se presenta y las concepciones que lo fundamentan, específicamente que se entiende por comprensión y dificultad, conceptos que guían el diseño y posterior análisis de los cuestionarios, la evolución histórica de los sistemas de notación hasta concluir en los sistemas de posición, de los cuales el sistema de notación en base diez es el más ampliamente utilizado en la educación primaria y el enfoque de resolución de problemas adoptado para la presentación y análisis de la mayoría de las preguntas, desde la perspectiva de la educación matemática.

En el segundo capítulo, se exponen el propósito del estudio, el problema a investigar y el enfoque metodológicos y procedimental adoptado, que incluyen: el diseño, la descripción del estudio piloto y sus efectos en las estrategias y procedimientos adoptados para el diseño de los instrumentos y la muestra seleccionada.

2 En la sección 2 de este informe se presentan estrategias de enseñanza que ayudan a los alumnos a superar las dificultades que enfrentan para comprender el sistema.

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Teniendo en cuenta la importancia y centralidad del instrumento en los estudios diagnóstico, el tercer capítulo, está centrado en su presentación, e incluye: los elementos conceptuales que definen los componentes del sistema y la estructura de los cuestionarios; las variables definidas para cada componente, la descripción y análisis de cada pregunta y sus correspondientes ítems desde la perspectiva de los componentes que incluye y de la educación matemática y las exigencias que cada ítem genera en los estudiantes, que facilitan los criterios para analizar las respuestas de los alumnos.

En el capítulo quinto se incluyen los resultados y en ellos el nivel de comprensión y las dificultades de alumnos de 2º, 3º, 4º y 5º con los tres cuestionarios diseñados y con en el SNBD; este último se presenta en función de los criterios adoptados para aceptar que los estudiante comprende o tiene dificultades con el sistema, incluidos en el capítulo previo.

En el capítulo sexto se analizan y discuten los resultados encontrados; y el 7º , incluye las conclusiones y algunas hipótesis sobre los mismos y se presentan las limitaciones del estudio.

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1.FUNDAMENTOS CONCEPTUALES

En este capítulo se incluyen las concepciones que fundamentan los ejes que orientan el diseño del instrumento, a saber: la noción de comprensión y dificultad, la concepción sobre el sistema y sobre resolución de problemas. En relación con la concepción del sistema, en este capítulo solamente se incluye su evolución histórica y el siguiente contiene, conjuntamente con la descripción del instrumento, la concepción sobre el sistema que lo fundamenta.

1. Sobre comprensión y dificultad

Para este estudio, se adopta la noción de comprensión3 propuesta por Herbert Simon, después de un minucioso análisis critico sobre la concepción guestaltista del mismo concepto.

“Una persona comprende una situación problemática en la medida en que ella o él puedan inducir, por una combinación de reconocimiento y razonamiento, una rica cadena de relaciones entre los elementos de la situación y como resultado puedan llevar a cabo una variedad de tareas que involucran operar sobre o transformar de alguna manera la situación.” (Simon, 1986 , p. 489)

Para estos autores la comprensión es un proceso que involucra reconocimiento y razonamiento. El primer requisito de la comprensión exige que quien resuelve un problema sea capaz de reconocer su significado; solamente si una situación problema resulta significativa a quien se propone, el o ella pueden razonar sobre la misma. El razonamiento, el segundo componente, exige que el sujeto que lo resuelva, posea y ponga a disposición de la solución una “rica cadena de relaciones” entre los elementos que configuran la situación que se quiere resolver. Desde esta perspectiva se puede postular que la posesión de una mayor cantidad de relaciones entre los elementos que definen la situación, garantiza una mejor comprensión.

En este caso, se trata de diagnosticar la comprensión de problemas relativos al sistema de notación en base diez que exigen soluciones que son producto del significado que los estudiantes asignan a las situaciones problema y de las relaciones que establecen entre los elementos que conforman su conocimiento sobre el sistema, para aplicarlo y operar sobre los componentes de los problemas. En otras palabras, la medida de la comprensión son las respuestas de los sujetos al operar sobre o transformar las situaciones problema que resuelven.

Esta concepción sobre la comprensión, exige que las situaciones problema que se propongan, para diagnosticar como entienden los estudiantes el sistema de notación en base diez, resulten significativas, que activen el conocimiento que poseen y que susciten operaciones y transformaciones adecuadas de los elementos que las configuran.3 Para una revisión amplia del tema de la comprensión, ver Larreamendy (1.998) y Larreamendy y otros, 2000.

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Desde esta perspectiva, el instrumento que posibilita el diagnóstico se considera como un todo, constituido por situaciones problema de diferente tipo que permiten ejemplificar a los alumnos los elementos que definen el sistema y por los formatos de presentación adoptados para las preguntas, que deben facilitar la significación de los problemas.

El diseño del instrumento exige la definición de los componentes del sistema cuya comprensión se intenta diagnosticar y el análisis detallado de las relaciones entre ellos; este análisis teórico define su estructura. Igualmente exige la búsqueda de situaciones problemas que ejemplifiquen los componentes y de formatos para presentar las preguntas; estos criterios para el diseño determinan el carácter del instrumento. Y finalmente, analizar las situaciones problema que se formulan, para identificar desde la perspectiva educativa el tipo de estructuras que presentan y las exigencias que generan.

Por supuesto, la dificultad está referida a la falta de comprensión y asociada con dos factores: la posibilidad que los alumnos tienen de comprender las preguntas que se les formulan y las experiencias de aprendizaje que tienen sobre el contenido por el cual se indaga. Por esto, en el caso del sistema de notación en base diez la variable rango numérico, asociada con el grado que cursan es determinante en la definición de dificultad.

Actualmente, las dificultades en matemáticas se identifican por la discrepancia entre un cociente de inteligencia y los logros en una prueba estandarizada de matemáticas. (Grobecker, 2000) Es decir, se tiene el potencial para adquirir conocimiento matemático, pero dificultades específicas obstaculizan su progreso. Los autores señalan como dificultades: a) la recuperación de la memoria a corto plazo y problemas para memorizar ´mathematic facts´, como las tablas de la suma y de la multiplicación; b) deficiencias en los procedimientos, como la utilización de estrategias de conteo para resolver problemas y c) dificultades con la representación espacial de los números en la columna correcta. (Geary, 1993, citado por Grobecker, 2000)

En relación con las dificultades, Grobecker (1996, 1997, 1998a, 1998b y 2000) quien propone un modelo de diferencias en el aprendizaje, relacionado con el origen de las dificultades de los niños para construir conocimiento matemático, señala que el déficit no existe como un fenómeno aislado, sino como un proceso de transformación que posee múltiples capas y que no se puede reducir a pasos que se adicionan o incrementan. “Cuando la compleja dinámica de los aspectos cognitivos, afectivos y sociales del aprendizaje se separa, lo más probable es que no encontremos una entidad tal como problemas de aprendizaje. Si queremos capturar la naturaleza compleja de los problemas de aprendizaje es necesario tener en cuenta dos grandes áreas: a) la calidad de reflexión que el alumno está en capacidad de generar por si mismo, cuando se involucra en actividades de aprendizaje que le permiten investigar relaciones medios-fin, a medida que el pensamiento se lleva a cabo o tiene lugar, b) las intenciones y los propósitos de sus conductas.

Grobecker (1998b) señala que las distorsiones en el aprendizaje que se designan como dificultades no son inherentes solamente al aprendiz, sino que “se crean en la relación entre el aprendiz y las demandas del proceso de instrucción.” (Grobecker, 1998b, p. 10)

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Entonces, en este estudio, la dificultad se mide en función de la falta de comprensión que las respuestas erróneas y algunos pocos casos, del tipo de procedimientos que los alumnos utilizan para resolver los problemas que se les proponen.

Sin embargo, el error no puede ser el único indicador de dificultad. El error y el reconocimiento del mismo, hacen parte del proceso de aprendizaje; no hay aprendizaje sin error, en otras, palabras, para aprender es necesario errar y reconocer el error, para corregirlo. Desde esta perspectiva, solamente cuando el aprendizaje se ha llevado a cabo, se considera el error como indicador de dificultad.

Esta concepción del error, lleva a definir la dificultad en función del rango en el cual se comete. Si los alumnos se equivocan al escribir numerales en rangos superiores a los que se han fijado para el grado que cursan, la escritura está errada pero no se puede categorizar como dificultad. Las equivocaciones en el rango propio, son equivocaciones, pero no necesariamente errores y si se consideran errores, son propios de cualquier aprendizaje. Por esto, el error es indicador de dificultad cuando ocurren en problemas que manejan un rango numérico inferior al fijado para el grado.

2. Evolución histórica de los sistemas de notación

Según Ifrah (1985/1988) y Menninger (1969), la notación numérica ha evolucionado de la siguiente forma:

En la notación concreta, la primera que se crea, “un número de ‘tokens’ similares se ponen en correspondencia uno a uno con el conjunto a enumerar y el patrón de ´tokens´ resultantes sirve de palabra numérica.” (Dehaene, 1992, p. 3) En la categoría de notación concreta se incluyen la notación jeroglífica de los egipcios, (el cuatro se escribe ||||); la notación gestual, usada en Nueva Guinea, según la cual, los números hasta el 33 se denotan señalando diferentes partes del cuerpo o nombrando la parte apropiada.

Las notaciones escritas concretas son limitadas porque las palabras numéricas consecutivas no se discriminan rápidamente por encima de cierto límite. Varias culturas antiguas resolvieron este problema, agrupando las marcas en patrones reconocibles por ejemplo 5 = ||| ||; o inventando nuevos símbolos, en la antigua Grecia, 5 = .

La notación aditiva aparece más tarde, como respuesta al problema de memorizar símbolos arbitrarios y nuevos para cada nuevo número. En este tipo de notación se “asignan símbolos especiales a números fundamentales (p. e. 10 y 100).” Según Dehaene, la notación de números mayores, exige “yuxtaponer un número apropiado de símbolos de cada tipo (p. e., 10 10 10 10 1 1 1 se usa para denotar 43).” (Dehaene, 1992, p. 3).

Los “números romanos”, en los cuales símbolos especiales son asignados a números fundamentales, constituye un buen ejemplo de este tipo de notación. Por ejemplo, X = 10 y I = 1. “Sin embargo, representar números mayores, no solamente exige yuxtaponer el número apropiado de símbolos (p. e. XX para 20); sino que, la composición de estos números, es producto de la operación aditiva - suma y resta - y la posición del símbolo, indica la operación que permite componerlos y obtener el correspondiente numeral. Por ejemplo, uno (I) después del símbolo del diez (X) indica que se suma a X y el numeral resultante es el once; en cambio, el símbolo I antepuesto al X, indica que se resta y

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entonces, el numeral resultante es el 9. Esta regla igualmente aplica a los otros símbolos especiales.” (Orozco & Hederich, 1997)

Para Dehaene (1992), las notaciones multiplicativas - aditivas4 son notaciones híbridas de las cuales, las expresiones verbales del inglés y del castellano constituyen un buen ejemplo. En este tipo de notación los números fundamentales están precedidos por otro número que los multiplica. Por ejemplo, en inglés se dice “three hundred y en castellano “trescientos”. En contraste con las notaciones aditivas, la notación multiplicativa aditiva posee una sintaxis compleja. Hurford (1975) utiliza la estructura de árbol para describir las operaciones sucesivas e inclusivas implícitas en las palabras que designan los numerales en inglés. Si M denota a la multiplicación y A, la adición, en inglés y castellano, el numeral para 350,172 se puede descomponer de la siguiente manera.

A

M

A A

M M A three hundred fifty thousand one hundred and seventy two tres cientos cincuenta mil ciento setenta y dos5

Tomado de Dehaene, 1992, p. 4

En las notaciones híbridas, este autor distingue dos tipos de palabras:“palabras referidas a cantidades numéricas específicas y palabras multiplicadoras, como ‘hundred’ que Guitel (1975) llama signos que frecuentemente no tiene valor numérico intrínseco y sirven como marcadores gramaticales en la cadena de palabras. En el ‘Kanji’ japonés - el ejemplo más simple de notación en base 10, simultáneamente multiplicativa y aditiva - el léxico esta limitado a palabras número correspondientes a los unos (desde uno hasta nueve) y las palabras múltiplos de diez, como diez, cien y mil, etc. Por ejemplo, el 12 se escribe diez dos y 27, dos diez siete. En el sistema inglés, que es más complejo, la adición de 10 y la multiplicación por diez no son indicados por palabras multiplicativas sino por medio de marcadores morfológicos (teen o ty). Como resultado, el léxico en inglés se aumenta con dos clases de palabras número: las palabras ‘teens’ (sixteen) y las palabras ‘ty’ (sixty).” (Dehaene, 1992, p. 4, citado por Orozco & Hederich, 1997, p. 9).

4 Que Zhang y Norman (1995) llaman “notaciones tridimensionales”.5 Más adelante el lector encontrará un análisis completo de este número en castellano.

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Para este autor, las notaciones híbridas limitan el rango de los números que denotan, no proveen un código compacto, y no facilitan el cálculo. La notación escrita, de tipo posicional, ejemplificadas por la notación arábiga, supera estas dificultades.

“El léxico se reduce a un pequeño conjunto de símbolos (dígitos) que denotan los ‘números enteros´, menores que la base. En el numeral, la posición de cada dígito determina el poder de la base por el cual es multiplicado (p. e., 321 = 3 100 + 2 10 + 1). Si solamente se definen los dígitos de 1 - 9, entonces el sistema es ambiguo. Por ejemplo, 3 100 + 1 y 3 10 + 1, son definidos por la misma cadena “3 1” y “31” y lo que es peor, el número 3, de 3 10 y 3 100 son codificados por la misma cadena “3”. Actualmente, algunas notaciones escritas conservan tales ambigüedades, por ejemplo la cuneiforme (Ifrah, 1981; Menninger, 1969). Para prevenirla, se inventó el 0, un símbolo especial que, en la descomposición del número, explícitamente indica la ausencia de un poder dado de la base. Antes de tener un poder propio, el dígito 0, únicamente trabajaba como un artefacto sintáctico. (Dehaene, 1992, p 4, citado por Orozco & Hederich, 1997, p. 10)

3. Sobre la resolución de problemas

Las situaciones que permiten diagnosticar la comprensión del sistema se conciben desde la perspectiva de la resolución de problemas. Existen enfoques diferenciados sobre este tema6, pero para este estudio se adopta la concepción tradicional sobre problema matemático según la cual, se trata de encontrar el valor de la incógnita o el término desconocido, partiendo de datos conocidos.

Sin embargo, resulta necesario elaborar algunas precisiones sobre el tipo de problemas que se utilizan.

Según Polya (1965/1992) no importa que tan modesto sea el problema que se plantea, pero, “si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas y si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo.” (Polya, 1965/1992, p. 5) Este autor propone que para resolver un problema, es necesario: comprenderlo, concebir un plan, determinando la relación entre datos e incógnita, ejecutar el plan y examinar la respuesta que se obtiene.

Para comprender un problema, es necesario empezar por el enunciado, cuya comprensión permite determinar las acciones y relaciones sobre los términos numéricos. Trataré de explicar esto de la manera más sencilla posible.

Los maestros generalmente no entienden porque los alumnos suman cuando deben restar o multiplicar y porque, cada vez que les plantean un problema, ellos preguntan: “es de sumar?”, “es de restar?”, “es de multiplicar”. Algunos autores han encontrado que el tipo de operación que utilizan depende de la operación que están aprendiendo. El alumno que así pregunta no comprende las “características semánticas” del problema (Carpenter y Moser, 1983), o sea, no es capaz de inferir en el enunciado, las acciones y relaciones implícitas en

6 Para una revisión más amplia del tema, ver Puche Navarro y otras (2001)

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él, porque esta inferencia, no es fácil, cuando empiezan a aprender aritmética. Examinemos algunos ejemplos de enunciados, tomados del cuestionario utilizado para el diagnóstico:

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Ejemplo 1.

Tienen 999 pesos y les regalan 1 peso. ¿Cuánto dinero completan?

Ejemplo 2.

Dibujo de 4 monedas de 10 pesos. Aquí hay ____ pesos.Dibujo de 7 monedas de 1 peso.Aquí hay ____ pesos.En total hay _____ pesos.

Ejemplo 3. Tienen una moneda de 100 pesos y la van a cambiar por monedas de 10 pesos. ¿Cuántas monedas de 10 les tienen que dar?

En todos los ejemplos anteriores, el alumno se enfrenta a dos términos numéricos, pero las acciones y relaciones implícitas en los enunciados y el carácter de la incógnita varían: En el Ejemplo 1., las acciones de los enunciados son: tienen y les regalan y deben encontrar cuanto completan. En el 2, las relaciones se establecen entre el número de monedas dibujadas y el valor de las monedas y deben establecer cuanto dinero hay en cada tipo de monedas y entre todas las monedas. Finalmente, en el Ejemplo 3., las relaciones se establecen entre 1 moneda y su valor y deben obtener el número de monedas con un valor diferenciado que les deben dar para cambiarla.

El ejemplo 1 pertenece a los llamados problemas aditivos, y los ejemplos 2 y 3 a las “estructuras multiplicativas” propuestas por Vergnaud en 1983. Este investigador francés, pionero en las sistematización de los problemas aritméticos en primaria, logra demostrar que los esquemas clásicos, que la matemática utiliza para representarlos no son suficientes y propone dos conceptos claves que permiten diferenciarlos: “relaciones aditivas” y el “campo conceptual de las estructuras multiplicativas” (Vergnaud. (1976/1983, 1983)

Los esquemas que permiten presentar desde la matemática las operaciones aritméticas elementales están basados en la ley de composición interna binaria y las siguientes fórmulas resultan suficientes para todos los casos:

a + b = ca - b = ca x b = ca : b = c

Vergnaud señala que “en todas estas ecuaciones c está considerado como un número de la misma naturaleza que a y b y como el resultado de su composición.” (Vergnaud, 1976/1983, p. 105) En tanto que desde la perspectiva de la educación matemática el análisis de los problemas aritméticos, deben tener en cuenta en cuenta los estados y los tipos de acciones, y transformaciones que enfrentan al resolverlo.

Por ejemplo, en los enunciados de muchos problemas de tipo aditivo interviene un desarrollo en el tiempo y por esto “los diferentes números en juego no pueden colocarse en el mismo plano, ya que unos representan estados y otros transformaciones.” (p. 106)

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En el Ejemplo 1:

- 999 representa el estado de los recursos financieros, se trata de una medida positiva de estos recursos.

- 1 representa una transformación de los recursos disponibles. Se trata de una transformación positiva…, (que igualmente podría ser negativa si gastan o pierden dinero).

Para Vergnaud, en el análisis es importante respetar esta diferencia en las relaciones numéricas, que se manifiesta especialmente “por el hecho de que los estados son frecuentemente medidas, es decir, números positivos (naturales si nos referimos a los números enteros), mientras que las transformaciones son números positivos o negativos (relativos si nos referimos a los números enteros).” (p. 107)

Por lo tanto, desde la perspectiva de la educación matemática, para diferenciar los problemas aditivos que se utilizan en los cuestionarios, se adopta la distinción propuesta por este autor y sus correspondientes esquemas:

La flecha indica el sentido de la transformación de un estado al otro, el círculo marca lo números relativos y el rectángulo marca los números naturales.

Este esquema, no abarca todas las situaciones posibles, pues se presentan otros casos en los que no interviene desarrollo temporal alguno y la operación de composición implica dos estados: dos medidas que se componen en una tercera. Este es el análisis que se puede aplicar al componente aditivo del ejemplo 2. El siguiente esquema permite a este autor representar este tipo de relaciones:

Para Vergnaud el campo conceptual de las estructuras multiplicativas define “un conjunto de problemas y situaciones para cuyo tratamiento resulta necesario utilizar conceptos, procedimientos y representaciones de diferente tipo estrechamente interconectados” (Vergnaud, 1983, p. 127) y se pueden diferenciar varios tipos de estructuras: isomorfismos de medida o proporciones simples, productos de medida y proporciones compuestas.

De acuerdo con esta teoría, los problemas que se utilizan en los ejemplos 2 y 3 pertenecen a los llamados isomorfismos de medidas. Este tipo de problemas presentan dos espacios de

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Estado

Estado

Estado

medida en relación: M1, cantidad de monedas y M2, valor de las monedas. El número de monedas es la unidad de medida en el espacio de la cantidad de monedas (m), y el valor de las mismas, expresado en pesos ($), es la unidad de medida en el espacio del valor; la x designa el valor que se debe encontrar.

M1 M2 m $

1 10 4 x

El lector debe tener en cuenta que número de monedas y valor de las monedas constituyen dos medidas diferenciadas. El siguiente ejemplo permite ilustrar esta afirmación: $10 en monedas de $1, son 10 monedas y $10 en monedas de $10, corresponde a 1 moneda. En estos problemas, la relación entre número de monedas y valor es inversa: a mayor valor, menor número de monedas y a menor valor, mayor número de monedas.

El mismo esquema permite a este autor analizar el problema 3 y señalar que la diferencia con el anterior reside en el lugar en el cual se ubica la incógnita.

M1 M2m $

1 100 x 10

Los maestros continúan enseñando la multiplicación a partir del modelo de la suma reiterada, un procedimiento que resulta natural a los alumnos (Fischbein y otros, 1985) pero que impide entender el verdadero carácter de la multiplicación. En general la multiplicación resulta más difícil de aprender que la suma. Según varios autores, esto se debe a la naturaleza diferenciada del multiplicando y del multiplicador.

Dienes y Golding (1966) señalan que la suma se refiere a un solo universo, el de los conjuntos, en los ejemplos se suman pesos a pesos. En cambio la multiplicación maneja dos universos distintos: si se tienen 4 monedas de 10, existe un nivel operativo correspondiente a las monedas de diez, el cardinal 10; en cambio el 4 designa el conjunto de los valores de las monedas. Para estos autores y Piaget, el multiplicando posee un nivel de abstracción y el otro número el multiplicador, corresponde con un nivel superior.

El trabajo de Piaget (1983, 1987) muestra que multiplicar no es una forma rápida de sumar repetidamente, sino que es una operación que requiere pensamiento multiplicativo de alto orden, que el niño construye a partir de su habilidad para pensar aditivamente.

De acuerdo con Piaget (Piaget y Grize, 1968), la adición es la operación que permite construir el número, por medio de la adición repetida de unidades. En cambio, la multiplicación es una operación más compleja que se construye a partir de adiciones con un nivel superior de abstracción. Piaget describe las diferencias entre la multiplicación y la adición como el número de niveles de abstracción y de relaciones de inclusión que un niño puede realizar simultáneamente.

Para Piaget, el pensamiento aditivo solamente involucra un nivel de abstracción, en el cuál, cada unidad que el niño suma está hecha de unos; igualmente, exige establecer relaciones de inclusión de un nivel: los grupos se combinan sucesivamente. En contraste, la

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multiplicación involucra dos tipos de relaciones que no son necesarias para la adición: la correspondencia múltiple (uno a varios) y la composición de relaciones de inclusión a más de un nivel. En el caso de 4 veces 10, el niño debe volver 10 unidades de uno en una unidad de 10, por supuesto esto requiere de una abstracción superior que pensar en unidades de uno. Ahora bien, al nivel de las unidades de diez, el niño debe contabilizar cuatro unidades de diez. En la multiplicación, estas relaciones sucesivas de inclusión se deben dar simultáneamente.

Sin embargo, los niños tienden a resolver correctamente problemas multiplicativos utilizando procedimientos aditivos: enumeraciones y sumas reiteradas (Steffe, 1991, Anghileri, 1989, Orozco, 1996). Resnick propone como hipótesis que los “únicos conceptos fáciles de adquirir y que parece se adquieren universalmente, son los basados en la composición aditiva.” (Resnick, 1986, p. 189). Orozco (1996) sostiene que la aparición de multiplicación está relacionada con el desarrollo y con el tipo de problema que resuelven.

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2.PROBLEMA Y METODOLOGÍA

Desde la puesta en marcha del Sistema Nacional de Evaluación (SABER) se ha evidenciado la inmensa dificultad de los alumnos para aprender el conocimiento matemático y específicamente el sistema de notación en base 10. Estos resultados, compatibles con la Prueba Internacional de la IEA (TIMSS), con los hallazgos del Programa de Formación, Actualización y Profesionalización de Docentes al Servicio del Estado en el Departamento de Risaralda (Betancur, 1998) y con la investigación sobre la relación entre la construcción de la operación multiplicativa y el sistema de notación en base diez, adelantada en Cali (Orozco & Hederich, 1999), nos llevan a suponer que las dificultades que los alumnos presentan en la comprensión y manejo del sistema de notación en base 10 son más generalizadas que lo previsto.

En consecuencia, proponemos diagnosticar las dificultades que los alumnos que asisten a las escuelas públicas de Cali presentan en relación con el manejo y la comprensión del sistema de notación en Base 10.

Configurado de esta manera el problema, con este estudio de tipo diagnóstico intentamos responder plantean las siguientes preguntas:

¿Cuál es nivel de comprensión de los alumnos de 2º a 5º de primaria de las escuelas públicas de Cali en relación con el sistema de notación en base 10?

¿Cuales son las dificultades más usuales que los alumnos presentan?

1.Objetivos

1.1 Objetivo General

Con este estudio se pretende diagnosticar la comprensión y las dificultades de los alumnos en relación con el sistema de notación en base diez.

1.2 Objetivos Específicos

Establecer los aciertos y errores de los alumnos al resolver preguntas relativas al sistema de notación en base diez.

Establecer la comprensión de los alumnos del sistema de notación en base diez. Caracterizar la comprensión de los alumnos del sistema de notación en base diez. Establecer las dificultades de los alumnos en relación con el sistema de notación en

base diez. Caracterizar las dificultades de los alumnos en relación con la comprensión del sistema

de notación en base diez.

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2. Metodología

Se trata de un estudio aplicado, de carácter diagnóstico con la cual se pretende establecer la comprensión del SNBD, de estudiantes que cursan de 2º a 5º de EBP, con el propósito de elaborar algunas hipótesis y proponer algunas alternativas que permitan avanzar en la resolución de un problema, al parecer endémico y crucial de la enseñanza de la matemática en primaria. Los estudios diagnósticos persiguen auscultar rasgos, factores o estados de índole psicológica, cognitiva, etc. que permitan fundamentar estudios sistemáticos posteriores.

En general, el estudio contempla dos etapas diferenciadas que permiten la ejecución de la totalidad de la investigación: la primera, dedicada al diagnóstico y la segunda, a la corrección de los errores detectados. En esta sección del informe, únicamente se presentan los resultados de la primera.

El diagnóstico de las dificultades de los alumnos en la comprensión y manejo del sistema de notación en base 10 comprende dos momentos diferenciados: El momento inicial, contempla un programa de formación de los maestros en la detección de las dificultades propias del sistema de notación en base 107, el segundo, está dedicado al diagnóstico del conocimiento de los alumnos sobre el sistema.

En la realización del diagnóstico del conocimiento de los alumnos se pueden diferenciar los siguientes momentos:

1. Aplicación de una prueba piloto que tiene como propósito evaluar el diseño inicial del cuestionario sobre la comprensión del SNBD y las condiciones para su aplicación.

2. Aplicación del cuestionario sobre la comprensión del sistema a una muestra representativa de los niños que estudian en 2º, 3º, 4º y 5º, en las escuelas públicas del sector urbano de Cali.

2.1. Estudio piloto del cuestionario

Los maestros inscritos en el Programa de Formación aplican el cuestionario inicialmente diseñado para el piloto a grupos de estudiantes que cursan el mismo grado, en el que ellos trabajan, en una escuela vecina a la suya, que posteriormente no se incluye en la muestra.El análisis del estudio piloto del cuestionario permitió:

Modificar progresivamente los cuestionarios inicialmente diseñados, con base en estrategias tomadas de libros de texto, hasta llegar al diseño del cuestionario final.

Diseñar el instructivo para la aplicación de los cuestionarios. Establecer que no es posible aplicar una prueba escrita a alumnos de primero de

primaria. El cuestionario resulta difícil para ellos por el nivel de lectura que exige y por el rango de los números que se utilizan: mayores que 100. La dificultad del cuestionario para los alumnos de primero no permite diagnosticar su dificultad sino su incapacidad para entenderlo. Además, como la mayoría de ellos no saben leer; esta situación exige la presentación oral e individual de cada pregunta del

7 El proceso de formación como un todo, corresponde a la segunda sección del Informe.

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cuadernillo; el volumen de alumnos con el que se trabajó, hace imposible la aplicación del cuestionario en estos términos.

Establecer las dimensiones reales de las actividades a realizar, que llevan a descartar el trabajo individual con alumnos de transición, inicialmente planeado.

2.2. Población y muestra

La población objeto de estudio son los estudiantes de 2º, 3º, 4º y 5º grado de básica primaria, de las escuelas públicas, de la zona urbana de Cali. No fue posible conocer la población total de estudiantes objeto de estudio, ni su distribución por grado8. A continuación se describe la modalidad de muestreo adoptada para acceder a la unidad de medición.

En la zona urbana de Cali, existen 242 escuelas públicas. Se decide trabajar con el 10 de escuelas por comuna9 y se adoptan para la selección dos criterios igualmente pragmáticos, relacionados con la maximización de los recursos disponibles.

Quedan incluidas en la muestra, la totalidad de las escuelas donde trabajan los maestros que asisten al Programa de Formación, inclusive, aquellas donde trabajan los de 1º grado, cuyos cursos no forman parte del grupo diagnosticado.10 Otro criterio que se adopta para facilitar el acceso a las escuelas en las comunas seleccionadas y evitar complicaciones en la aplicación de los cuestionarios es el vínculo que las maestras y maestros participantes en el Programa de Formación tienen con ellas.

En las escuelas que finalmente quedan en la muestra se aplican 2.456 cuestionarios a 4.912 estudiantes que cursan el año lectivo 1.999 – 2000 en los grados de 2º a 5º. Los alumnos asisten a 29 escuelas,11 del sector público en el área urbana de Santiago de Cali y están ubicadas en 15 de las 21 comunas en que esta sectorizado Cali, en barrios pertenecientes a los estratos 2 (12 escuelas) y 3 (14 escuelas); solamente 2 pertenecen al estrato 1 y 1 escuela al 4.

Como el cuestionario se aplica a parejas de estudiantes, debido a la situación hacinamiento encontrada en las escuelas públicas de Cali (Ver descripción en p. 24); cada cuestionario, o pareja de estudiantes que los resuelven se toma como unidad de medición. En esta dirección y a estimar proporciones se orientan los resultados. La estimación del nivel de 8Con el propósito de configurar el universo de la muestra, se solicitó la siguiente información a la Secretaría de Educación del Municipio de Cali:

número de escuelas por comuna jornada por escuela número de grupos por grado número de alumnos por grado.

Solamente se obtuvo un listado de las escuelas distribuidas en función de la comuna.9 Las comunas con menos de 10 escuelas públicas, en las cuales el 10% es menor que una escuela, no se tienen en cuenta para la muestra.10 Dado que en las escuelas de las comunas 4 y 6 trabajan varios maestros y maestras que participan en el Programa de Formación, el porcentaje de escuelas en estos sectores es superior al 10%.11 5 escuelas trabajan en jornadas alternas en el mismo edificio de las escuelas contabilizadas, pero con absoluta independencia administrativa y académica. Se incluyen en la muestra porque se utilizan como controles de las escuelas que poseen grupos pertenecientes al grupo experimental.

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precisión que responde al tamaño de muestra utilizada, es necesaria para dar una idea aproximada de bajo cuales niveles de error y confianza se pueden mover los resultados obtenidos.(Ver Anexo 1. Estimación de la Muestra)

Sin embargo, se reconoce que se trata de un muestreo intencional, por conglomerados, en el cual el nivel de confianza y error esta orientado al grupo en general, y no se pueden sacar conclusiones en función de grados, porque cada grado escolar tiene un nivel de precisión diferente y habría sido necesario plantear un muestreo estratificado, que no fue posible.

La siguiente tabla permite ver como esta conformada la muestra por grado en función del número de cuestionarios que son aplicados, el número de niños y su edad promedio, el número de grupos y el número de escuelas a las que éstos grupos pertenecen.

Grado Cuestionarios Niños Edad Grupos Escuelas12

2º 571 1.140 7 a 8 años 31 273º 584 1.160 8 a 9 años 32 284º 601 1.200 9 a 10 años 32 275º 69513 1.390 11 a 12 años 37 32

Total 2.451 4.890 132

La inclusión de las escuelas donde trabajan los maestros del Programa de Formación, puede inducir sesgos en la muestra. La realidad es que se trata de un grupo comprometido de maestras y maestros y todos participan sabiendo que no van a recibir crédito alguno.

2.3. Los instrumentos

Para diagnosticar la comprensión de los estudiantes sobre el SNBD se diseñan tres cuestionarios, estructurados con base en los componentes del sistema. Los llamamos cuestionarios y no pruebas por las características de su diseño, que corresponden con la concepción de comprensión y dificultad adoptada. Solamente si los alumnos reconocen y significan las preguntas que se les formulan y la manera de responderlas, estamos seguros alcanzar su comprensión del sistema.

2.4. El diseño

En el diseño de los cuestionarios se adoptan estrategias y formatos especiales para la formulación y presentación de las preguntas. No se utilizan preguntas exclusivamente numéricas (con excepción de aquellas que permiten diagnosticar comprensión sobre secuencia de unidades y descomposición numérica).

Esta decisión se toma porque se conocen las concepciones erradas y limitadas que la enseñanza simplista del valor de posición ha generado en la comprensión del sistema (Ver

12 En una misma escuela se diagnostican varios grupos del mismo grado; por lo tanto, el número de escuelas es menor que el número de grados.13 El número de cuestionarios o parejas de 5º grado es superior al de los otros grados porque cuatro de los maestros que participaron en el Programa de Formación trabajan en 5º y era necesario garantizar a sus grupos, un control, en escuelas ubicadas en la misma comuna.

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Fuson, 1996; Orozco, 2000). Generalmente, cada dígito en el numeral es comprendido como unidad, decena, centena, unidad de mil, etc., pero los maestros no enseñan que “1”, en la columna de las decenas representa 10 unidades, y en la columna de las centenas representa 100 unidades y así sucesivamente. En otras palabras los maestros transmiten un conocimiento de tipo figurativo, pues simplemente utilizan los nombres sin relacionar el significado operativo con el valor de posición. Estas concepciones permiten resolver exitosamente algunas preguntas numéricas, pero no son indicativas de comprensión del sistema.

Las preguntas de composición, expresadas en formato arábigo, como aparecen en muchos textos, pueden resultar muy difíciles para los alumnos y esto, igualmente, se quiere evitar. Tampoco se utilizan fotografías o dibujos de materiales concretos, como ábacos o cubos de Dienes (Dienes, 1964), tan comunes en los libros de textos actuales, porque los alumnos de las escuelas públicas no los conocen14 y la experiencia previa juega un papel fundamental en la significación de la pregunta.

Por esto, para formular las preguntas de composición se utilizan “problemas verbales” que exigen el manejo de monedas, billetes y montos diferenciados de dinero. Se asume que ciertas monedas y billetes de nuestro sistema monetario permiten ejemplificar las unidades en el sistema, por ejemplo, monedas de $1, $10, $100 y $1.000 y billetes de $10.000.15 Se considera que este tipo de material, familiar para los alumnos, permite crear un contexto específico en el cual ellos tienen que aplicar un conocimiento determinado.

Los problemas son presentados en dos formatos: verbal y gráfico. Para la presentación gráfica, se utilizan fotografías que representan las monedas, y esquemas que representan los billetes. Estos formatos de presentación de igual forma facilitan la significación de las preguntas.

Además, la presentación de los problemas verbales incluye ejemplos sobre la manera de responder al menos una de las preguntas que se formulan, tratando de garantizar la comprensión de la situación problema propuesta.

2.5. La aplicación

Para la aplicación de los cuestionarios en 119 aulas, participan varios equipos, cada uno conformado por cuatro o cinco adultos, maestras y maestros voluntarios, que participan en el Programa de Formación16 y al menos un miembro del equipo de investigación. Los miembros de los equipos ayudan a controlar a los niños y responden sus preguntas e inquietudes. Todos sin excepción, reciben entrenamiento para desempeñar este papel.

Se diseñan dos instructivos de aplicación para los diferentes equipos conformados para este fin, buscando crear las mismas condiciones para todas las parejas de alumnos, en todas las

14 Información entregada por los profesores que participan en el Programa de Formación.15 Teniendo en cuenta que los estudiantes no conocen las monedas de 1 y 10 pesos, entonces se les entregan copias de las mismas que ellos tienen disponibles durante la aplicación del cuestionario. (Ver Anexo 1. Instructivos para la aplicación de los cuestionarios)16 Sin el apoyo de los maestros, la cobertura que este estudio alcanza, no hubiese sido posible, pues los fondos asignados no contemplaron las dimensiones del proyecto.

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escuelas. El primero, se diseña para el cuestionario de 2º grado y el segundo, para los de 3º, 4º y 5º. (Ver Anexo 2. Instrucciones para la aplicación de los cuestionarios)

El cuestionario se aplica por parejas. Esta estrategia se adopta porque las condiciones de hacinamiento de las escuelas y los pupitres bipersonales, que la mayoría de las escuelas aún utilizan, impiden la aplicación individual.

En un espacio inferior a 405 cms2, correspondiente a la medida del espacio libre en el pupitre bipersonal (85cms. de ancho, por 90cms. de largo y 69cms de alto, incluida la tabla donde escriben que mide 40 por 90, o sea que el espacio libre el de 45 por 90cms.) se acomodan dos niños y en 42 mts2, se distribuyen 20 pupitres y en ellos entre 40 y 50 niños. Cuando los pupitres dobles no alcanzan, tres alumnos comparten el mismo pupitre y en algunos casos, sillas individuales del tipo universitario, completan la dotación de las aulas.17

Es tal el hacinamiento en algunas, que para salir del salón, los niños caminan sobre los pupitres de sus compañeros porque no hay espacio para circular.

Teniendo en cuenta las características del contexto, resulta inútil solicitar a los alumnos que respondan los cuestionarios individualmente. Intentar cumplir esta condición, estipulada por los cánones para de la aplicación de una prueba, solamente garantiza que los estudiantes se copien entre si, por lo que se entrega a cada pareja de niños un cuestionario.

En términos generales, los miembros del equipo solicitan a los alumnos, que no borren, que realicen las operaciones en los mismos cuestionarios y que no copien. A pesar de los esfuerzos realizados por el equipo, no se logró que las algunas parejas no copiaran y no borraran. La falta de normas y de pautas habituales de comportamiento los lleva a pararse del puesto, a preguntar las respuestas a las preguntas que no saben, o a solicitar el lápiz y el borrador a los gritos18, sin prestar atención a los adultos que les piden permanecer sentados y les advierten sobre la manera de comportarse durante la aplicación.

Algunas parejas realizaron las operaciones en el mismo cuestionario; otras, en hojas de papel que los miembros del equipo recogieron. Desafortunadamente, las anotaciones entregadas no llegan al 20% de los cuestionarios y por lo tanto no se pueden analizar. Sin embargo, en ciertas preguntas, dan claves para analizar los procedimientos empleados y proponer ciertas hipótesis sobre las causas de las dificultades.

17 Estos niños y a otros, que se negaron a trabajar con su pareja, respondieron los cuestionarios individualmente y los cuestionarios se marcaron. Sin embargo, son tan pocos estos casos que no afectan el procedimiento adoptado para la muestra general.18 Las condiciones de pobreza que encontramos en las escuelas, nos llevaron a disponer de lápices para cada niño. Intentamos prohibir el uso del borrador pero la costumbre de utilizarlo está tan arraigada, que no lo logramos.

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3. LOS CUESTIONARIOS

1. Su estructura

Los elementos que estructuran los cuestionarios son:

los componentes del Sistema de Notación en Base Diez (SNBD), que definen la estructura matemática del mismo (Ver Cuadro 1. Análisis de la estructura de los cuestionarios);

las variables de diseño adoptadas para su elaboración: rango numérico y aquellas que se definen para cada componente;

la estructura de los problemas, definida desde la perspectiva de la educación matemática: por ejemplo, problemas aditivos y multiplicativos; y

las exigencias de solución de cada ítem, definidas a partir de su análisis.

En cada pregunta, las variables del diseño definen los ítems. Se considera ítem un elemento en la pregunta cuya su solución resulta independiente de los demás elementos, en la misma pregunta. Por ejemplo, en la pregunta 1, dictado de numerales, cada numeral es considerado como un ítem porque su escritura resulta independiente de la de los demás.

Una variable común a todas la preguntas es rango numérico. Para todos los componentes del cuestionario, se tiene en cuenta esta característica y se varía, en función del grado en el que se aplica, de acuerdo con los parámetros propuestos por el MEN para los mínimos en matemáticas. Las otras variables, se definen en función de los componentes. Por ejemplo, orden de la unidad, en composición aditiva de unidades (pregunta 2, Cuestionarios 2 y 3) o, formato de presentación (Preguntas 4 y 5, Cuestionarios 1, 2 y 3).

Con las páginas divididas por recuadros, los cuestionarios (Ver Anexo 3. Cuestionarios 1, 2 y 3) presentan un número diferenciado de preguntas e ítems, así:

Cuestionario No. Grado Número pregunta

Número ítems

Componentes del SNBD

1 2º 7 31 1. Escritura de numerales2. Composición aditiva3. Composición multiplicativa4. Descomposición multiplicativa5. Secuencia de unidades

2 3º y 4º 11 48 1. Escritura de numerales2. Composición aditiva3. Composición multiplicativa4. Descomposición multiplicativa5. Secuencia de unidades6. Descomposición de numerales

3 5º 11 4619

19 El Cuestionario 3, para 5º, se diseña con el mismo formato que el de 3o y 4o, pero se excluyen los ítems 23 y 24 de la pregunta 4 (ver mas adelante); como consecuencia, este cuestionario presenta solo 46 ítems.

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Para fundamentar la naturaleza teórica de las preguntas que conforman los instrumentos utilizados, en el apartado siguiente se presentan la concepción que se maneja sobre cada uno de los componentes del sistema y las preguntas que permiten diagnosticar la comprensión que los alumnos poseen. A continuación el lector encontrara cuadros que resumen el análisis de la estructura de los cuestionarios.

2. Componentes del SNBD y las preguntas

Desde la perspectiva de la matemática, el sistema de notación en base diez y en general, cualquier sistema de numeración, se puede concebir como una estructura conformada por:

Elementos constitutivos: los dígitos del 0 al 9, unidades de orden diferenciado y las reglas que definen la sintaxis de los numerales.

Operaciones que posibilitan la construcción de unidades y numerales en el sistema. Relaciones entre unidades y numerales del sistema: de orden y equivalencia. Propiedades del sistema.

Análisis recientes de tipo psicolingüístico, muestran que la problemática de la enseñanza del SNBD, exige incluir en el análisis, las expresiones verbales y las escritas. En consideración, el sistema se concibe como una estructura configurada por un conjunto de elementos, reglas de constitución, operaciones y relaciones entre componentes, utilizadas para representar verbal y gráficamente cualquier número dentro del SNBD. Como consecuencia se diferencian dos subsistemas:

1. El sistema de representación verbal de los números, en las versiones hablada y escrita, basado en las palabras numéricas verbales, las reglas sintácticas que definen su composición y las operaciones aditivas y multiplicativas inferidas a partir del orden de las palabras que definen las expresiones numéricas.

2. El sistema de notación numérico o formato arábigo (según Ifrah, 1988, “indo-arábigo, por su procedencia), que permite la escritura de numerales, fundamentado en los dígitos, o símbolos básicos; las reglas que determinan su composición; las operaciones aditivas, multiplicativas que la posibilitan y las relaciones y propiedades que lo definen.

Desde esta perspectiva, el análisis del primer componente del cuestionario, la escritura de numerales dictados, exige diferenciar las expresiones numéricas verbales de la notación, propiamente dicha.

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Expresiones numéricas verbales

Las expresiones numéricas verbales se analizan desde una doble perspectiva: 1) morfofonológica, según la cual, en las palabras numéricas se diferencian prefijos, sufijos y las contracciones propias de algunas de las palabras numéricas (por ejemplo, veintiuno para denotar veinte y uno); y 2) sintáctica, que facilita la caracterización de las palabras que componen cada expresión numérica verbal y sus relaciones (Hederich & Orozco, 2000). Según este tipo de análisis en las expresiones numéricas verbales, se pueden diferenciar dos tipos de componentes:

“Palabras numéricas y prefijos que marcan “cantidades básicas”. Por ejemplo, dos, tres, cuatro, etc, son palabras numéricas y cuar/ cinc, etc. son prefijos.

Palabras numéricas y sufijos que expresan potencia de diez o unidad en un orden dado. Por ejemplo, cien, mil, millón, son palabras y enta, cientos, sufijos20. “ (Orozco, Hederich, 2000, p. 7)

De aquí en adelante, las palabras o partículas se denominan marcas de cantidad o partículas que expresan potencia de diez. En la composición de las expresiones numéricas verbales estas partículas se intercalan unas con otras siguiendo un orden.

En las expresiones cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, ochenta y noventa los prefijos cuar, cincu, ses, set, och y nov marcan la cantidad y el sufijo enta define la decena. En el período de las unidades de orden 1, solamente se presentan tres palabras número que no poseen esta lógica: “diez”, “veinte” y “treinta”.

En las expresiones numéricas doscientos, trescientos, etc., los prefijos dos, tres, etc. marcan la cantidad y el sufijo cientos define la centena. En el período de las unidades de orden 2, solamente hay dos palabras número que no obedecen a esta lógica: “cien” y “quinientos”.

Lo mismo sucede con dos mil, tres mil, etc, aunque en estos casos se trata de dos palabras numéricas: dos, tres, etc que marcan cantidad y el sufijo mil que define la unidad de mil y así sucesivamente.

Orozco (1999) señala que las marcas lingüísticas de las expresiones numéricas verbales dan claves a quien aprenden el sistema que permiten distinguir el tipo de cantidad y de unidad que se maneja21:

En un trabajo reciente, Orozco y Hederich (2.000) analizan el sistema de expresiones numéricas verbales e infieren las composiciones aditivas y multiplicativas implícitas en ellas.

“En la expresión verbal “trescientos cincuenta mil seiscientos setenta y dos” (350.672) la implicación de una composición aditiva (señalada en el siguiente ejemplo con slash(/)) solo es explicita en la conjunción (y); en la mayoría de los

20 Cien y mil define potencia de diez pero cuando la cantidad es uno como en el caso de los números “cien” y “mil”, la marca de cantidad no tiene forma fonológica; a esto se le llama morfema cero.21 Esta afirmación corresponde a uno de los supuestos derivados de una investigación previa que aún no han sido confirmados.

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casos, hay ausencia de marcas gramaticales específicas que hagan transparente la adición; de tal forma, la composición aditiva de la siguiente expresión numérica queda denotada así: {trescientos / cincuenta} mil / seiscientos / setenta y /dosLa composición multiplicativa se indica a partir de los sufijos: enta para las unidades de orden 1(101), cientos para las unidades de orden 2(102), mil para las unidades de orden 3(103), 4(104), 5(105) y así sucesivamente. Siguiendo con el ejemplo previo, para denotar el carácter multiplicativo utilizan paréntesis cuadrados ( ), de tal manera la expresión queda así:{trescientos / cincuenta} mil / seiscientos / setenta y /dosEste análisis permite a los autores señalar que en castellano, las expresiones numéricas verbales denotan una secuencia de operaciones aditivas y multiplicativas entre “palabras (tres[cientos]) y prefijos (set), que marcan cantidad; y sufijos (enta) y palabras numéricas (cientos, mil, millón), que expresan potencias de diez.” (Orozco, Hederich, 2000, p. 8)

2.2. Notación numérica: formato arábigo

La definición matemática del sistema se refiere específicamente a los componentes, las reglas, operaciones de composición y características del formato arábigo. En este formato, los símbolos básicos son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 y opcionalmente, un punto (.) o una coma (,) para indicar unidades de mil, de millón, etc. De la misma manera, para representar un número en el sistema de notación en base 10 se deben seguir las siguientes reglas: solamente se escriben los dígitos, que codifican la cantidad, uno a continuación del otro, de izquierda a derecha, en relación decreciente con el orden de las potencias de diez. Esta regla de escritura dota a cada dígito de un doble valor: el correspondiente al número22 de unidades y el relativo al orden de la unidad; este último se puede inferir “de la posición que la cifra ocupa en el numeral.” (Bedoya & Orozco, 1991, p. 56).

La notación arábiga se puede concebir como una suma de “unidades sucesivas” (Hederich & Orozco, 2000, p. 5) en la que se establece, como principio constitutivo, el valor de posición. Para estos autores, en la numeración arábiga es evidente el carácter aditivo y multiplicativo del sistema, de tal manera que: a) “el número se expresa como la suma de unidades de diferente orden”, b) “cada símbolo incluido en la expresión arábiga se debe interpretar como la multiplicación del dígito que representa, por la potencia que marca su posición en la expresión”. (Hederich & Orozco 2000, p. 5) Así, el numeral 325 se puede considerar como el resultado de multiplicar 3x102 + 2x101 + 5x100; no obstante, la regla de notación indica que solo se escriben los operadores de cada unidad de orden, manteniendo la posición que determina el valor de cada cifra en el numeral.

Al comparar en los sistemas de representación del SNBD, las expresiones numéricas verbales y el arábigo, Hederich & Orozco (2000) señalan que los dos sistemas comparten características comunes y diferencias significativas. Resulta claro el carácter doblemente multiplicativo y aditivo de los dos tipos de representación.

22 O cantidad de unidades, como las denomina McCloskey.

25

Sin embargo, el análisis de la estructura de las expresiones numéricas verbales y de los numerales arábigos revela la diferencias entre las sintaxis de uno y otro formato: la sintaxis del formato verbal expresa explícitamente las potencias de diez: enta, cientos, miles, etc.; en cambio, en el numeral arábigo, marca la posición que definen el valor de cada dígitos en el numeral.23

Esta dificultad se intensifica en el caso de los numerales que se escriben con cero. El análisis de las expresiones numéricas verbales correspondientes a estos numerales revela que el cero no se expresa, y por lo tanto las expresiones son más cortas. Se puede decir que en la vocalización, el silencio expresa el cero; en cambio, en el formato arábigo, el 0 designa ausencia de unidades en una posición determinada. En la transcodificación de la expresión “tres mil cuatro” al formato arábigo, el mil marca la posición del 3 y el 4 se asigna a la posición de las unidades; los espacios vacíos que corresponden a las decenas y las centenas se deben llenar con ceros. Esto es así, porque el formato arábigo exige convertir las marcas de potencia del formato verbal, en la posición de los dígitos en el numeral.

En cambio, las expresiones verbales de los numerales que no tienen cero expresan tanto las marcas de cantidad que definen los dígitos en el numeral, como las marcas de potencia, que definen la posición de los mismos en el numeral.

Parece que para los niños resulta más fácil los numerales sin cero que los numerales con cero.24

En este estudio, la comprensión de los estudiantes del formato arábigo, se diagnostica por medio de un dictado que delimita el componente escritura de numerales. Estrictamente hablando, el dictado es una tarea que se presenta a los estudiantes en formato verbal hablado y que les exige la transcodificación de la expresión numérica verbal que escuchan, al formato arábigo. (Orozco y Hederich, 2000)

Se ha encontrado que al realizar esta transcodificación los estudiantes caen en dos tipos de errores generales: léxicos y sintácticos. (McCloskey y otros, 1985)25 En la investigación previa se encontró una prevalencia de errores sintácticos sobre los léxicos.

Parece ser que en el aprendizaje de la escritura arábiga, las marcas lingüísticas del formato verbal hablado dominan la sintaxis del formato arábigo y llevan a los alumnos a cometer preponderantemente errores del segundo tipo.26

2.2.1. La pregunta

Para diseñar esta pregunta del cuestionario, se adoptan dos variables que determinan la selección de los numerales a dictar, el nivel de dificultad de los mismos y el número de ítems para cada cuestionario, a saber:

23 Esta afirmación corresponde a un supuesto derivado de una investigación previa aún sin confirmar.24 En esta investigación se intenta negar o confirmar este supuesto.25 Para una definición y revisión completa sobre este tipo de errores ver Orozco y Hederich, 2000.26 Esta afirmación corresponde a un supuesto derivado de una investigación previa aún sin confirmar.

26

Rango numérico del numeral que se dicta, que se diferencia en función del grado, de acuerdo con los parámetros mínimos fijados por los programas curriculares de MEN, así:

2º hasta 1.000 3º hasta 10.000 4º hasta 100.000 5º hasta 1.000.000

numerales con y sin cero. Orozco y Hederich (2000) encuentran que la escritura de los numerales con cero, resulta más difícil para los alumnos.

En el Cuestionario para 2º grado, el dictado configura la pregunta 1, con 10 ítems, que corresponden a los diez números dictados. De estos números, el rango numérico de 6 de ellos corresponde al asignado para 2º grado; los 4 restantes, (entre 1.000 y 10.000), al asignado para 3º.

En los cuestionarios 2 y 3, para 3º y 4º y 5º, respectivamente, el dictado configura la pregunta 1, con 16 ítems, que corresponden a los 16 números dictados, de los cuales: 4 (entre 100 y 1.000) corresponden al rango asignado a 2º grado, 4 están dentro del rango fijado para 3º (entre 1.000 y 10.000), 4 están dentro del rango asignado a 4º (10.000 a 100.000) y los 4 restantes están dentro del rango fijado para 5º (100.000 a 1.000.000). 27

Las diferencias en rango de los numerales dictados, permite establecer tres categorías: numerales con rango inferior o superior o correspondiente al fijado para el grado; designamos a la última, como rango propio. Esta diferenciación se establece no sólo para la pregunta relativa a la escritura de numerales, sino para todas las variaciones en el rango de los numerales que se utilizan a través de todas las preguntas.

Desde la perspectiva del formato arábigo, para diagnosticar la comprensión del sistema, además de la escritura, es igualmente necesario tener en cuenta, las operaciones de composición y las relaciones entre unidades y numerales, así:

1. La composición aditiva, que fundamenta la composición de unidades y numerales partiendo de unidades de ordenes diferenciados.

2. La composición multiplicativa, que fundamenta la composición de las unidades del sistema y el manejo de operadores.

3. La descomposición multiplicativa, que permite descomponer las unidades del sistema entre si.

4. Las relaciones de orden, entre las unidades del sistema y sus respectivas inclusiones.

5. Las relaciones de equivalencia entre unidades del sistema.Cualquier número en el sistema es producto de dos tipos de composiciones: aditivas y multiplicativas28. “Para construir un número, y en general, una unidad decimal en un cierto

27 Los números seleccionados son semejantes a los que se presentaron a los niños en la investigación “Construcción de la operación multiplicativa y el sistema de notación en base diez: una relación posible”. Las variaciones que se hicieron tratan de corregir errores detectados en los numerales seleccionados para esa investigación, específicamente, el mismo dígito repetido, uno a continuación del otro.28 Las descomposiciones, operaciones inversas, no siempre permiten construir números en el sistema.

27

período, es necesario recurrir aditiva y multiplicativamente a unidades y números de períodos anteriores”. (Bedoya & Orozco, 1991, 57)

Desde esta perspectiva, inicialmente se analizan cómo inciden las composición aditiva y posteriormente la composición multiplicativa directa e inversa (descomposición multiplicativa) en la compresión del sistema.

A continuación se define cada componente y se especifican las preguntas diseñadas para su diagnóstico.

2.3. Composición aditiva directa

La composición aditiva fundamenta la composición de los numerales en los distintos ordenes. “La composición aditiva posibilita la inclusión de los números de un período inferior en el siguiente y permite entender porque solo se escriben los operadores de las potencias” (Bedoya & Orozco, 1991), definiendo una característica esencial del sistema de notación: el valor de posición.

En este estudio se trabaja la composición aditiva desde una doble perspectiva: composición aditiva de unidades y composición aditiva de numerales. En relación con la primera, interesa diagnosticar la manera como los alumnos construyen una unidad en un período dado, a partir de las unidades que lo preceden. Por ejemplo, operaciones como 90+10 (o lo que es lo mismo, el siguiente en las unidades de orden 1), o 99+1, permiten construir y comprender la unidad de orden 2 como producto de composiciones aditivas de unidades de orden inferior con numerales o “nudos”29 en el período precedente.

Ahora bien, como se trata de construir unidades de orden superior, cualquier unidad de orden inferior, está incluida y se pueden utilizar diferenciadamente para construir una unidad en el siguiente orden. El siguiente de 99, utilizando unidades de orden 0, es 100, pero el siguiente de 90, manejando unidades de orden 1, es 100. A este tipo de composición la llamaremos composición aditiva de unidades en el sistema o en un período dado.

En relación con la composición aditiva de numerales, la escritura de cualquier numeral es producto de la composición multiplicativa y aditiva de las diferentes unidades que lo conforman, así 5.030 es producto de:

5x103 = 5x1.000 = 5.0000x102 = 0 x 100 = 03x101 = 3 x 10 = 300x100 = 0 x 0 = 0

5.030

Cuando los alumnos aprenden a escribir los números a partir de las operaciones de composición y descomposición comprenden que el numeral representa una totalidad y que las cifras que lo conforman no se pueden considerar como dígitos separados: cinco, cero, tres, cero, si no, como un todo que corresponde a cinco mil treinta e igualmente entender que 5.030 equivale a 5 unidades de mil, 50 centenas, 503 decenas y 5.030 unidades.

29 Expresión utilizada por Lerner y Sadovsky para designar las unidades en los períodos de las decenas, las centenas y las unidades de mil.

28

Teniendo en cuenta que varias preguntas relativas a la comprensión de las composiciones aditivas y multiplicativas incluyen ítems relativos a los dos componentes, inicialmente se presentan las que diagnostican por separado cada tipo de composición y posteriormente, las que las evalúan conjuntamente.

2.3.1. Las preguntas: Composición aditiva de unidades

En el cuestionario 1, para 2º, la pregunta 6, con 4 ítems, diagnostica la comprensión de la composición aditiva de unidades y se formula en función del orden de la unidad que se adiciona, así: 1, 10, 100. En todos los casos, la suma lleva a obtener una unidad en el orden o período siguiente. Por ejemplo, 90 + 10 = 100. La totalidad de las unidades que se obtienen están incluidas en el período determinado por las unidades de orden 2 (102).

En los cuestionarios 2 y 3, para 3º y 4º y 5º, respectivamente, la pregunta 2, con 3 ítems, diagnostica la composición aditiva unidades. La pregunta se formula en función de dos variables: rango numérico y orden de la unidad que se adiciona y exige la composición aditiva de unidades de orden 0, 1, 2, 3, ..., (100, 101, 102, 103), a partir de la suma unidades de orden inferior (1, 10 y 100 ) a numerales como 9, 90 y 900, respectivamente.

Desde la perspectiva de los problemas aditivos, la estructura de las preguntas del tipo: “tienen ___ y les regalan ___ ¿Cuánto dinero completan?” corresponde a las relaciones aditivas de estado, transformación, estado propuestas por Vergnaud (1976/1983). Teniendo en cuenta la enseñanza que los alumnos han recibido, se supone que la utilización del algoritmo puede resultar necesaria para resolverlas.

2.4. Composición multiplicativa

Orozco (1999) plantea que la composición multiplicativa fundamenta la construcción de las unidades del sistema y de los operadores de las potencias, garantizando la formación de los numerales que lo configuran.

Formalmente, la unidad decimal o unidad en base 10 se define como la clase conceptual cuyos componentes son las unidades decimales de ordenes 0, 1, 2, 3, etc.: (Bedoya, Orozco, 1991, p. 56)

100 = 1101 = 10102 = 100103 = 1.000104 = 10.000105 = 100.000106 = 1.000.000......

En el sistema, la unidad se denomina de orden cero porque no hay una unidad cuyo valor sea igual a diez, o sea, no se configura un grupo de 10 elementos y por eso se escribe 100. Se llama unidad de orden uno, porque se forma una unidad30 que vale 10, o sea, se configura un grupo con 10 elementos y por eso se representa 101. Se llama unidad de orden

30 La unidad puede ser compuesta o simple. Cuando me refiero a la unidad simple, utilizo la expresión elementos, cuando me refiero a la unidad compuesta especifico el valor de la misma.

29

dos, porque se forma una unidad que vale 10 veces 10, o sea 10 grupos de 10 y por eso se escribe 102, y así sucesivamente.

Desde esta perspectiva, se puede decir que cualquier unidad en el sistema es producto de la potenciación. Entonces, la unidad de orden 3 (10³) es 100 veces 10 y 1.000 veces 1. “En otras palabras, la unidad de orden 3 es una unidad compuesta de unidades de orden 2, las cuales a su vez son unidades compuestas de unidades de orden 1 y 0 (Bedoya, Orozco, 1991, p. 57). El Cuadro 1, presenta las unidades del sistema en función de su valor, según la posición que ocupan.

106 105 104 103 102 101 100

11 0

1 0 01 0 0 0

1 0 0 0 01 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0Unidades en el SNBD, en función del valor correspondiente a su posición

Para escribir el numeral correspondiente a un número natural cualquiera, se utiliza una versión abreviada de lógica del sistema y solamente se escriben los operadores de las potencias. Para escribir el número “cinco mil treinta” solamente se utilizan los operadores de las potencias. Los dígitos que configuran al numeral 5.030 son múltiplos de las potencias. así:

5x103 + 0x102 + 3x101 + 0x100

Ejemplo: 5.030 = 5 X 103 + 0 X 102 + 3 X 101 + 0 X 100

Potencia: orden de la unidadOperadores: factores que multiplican la potencia

De la misma manera se puede decir que 20 es 2 veces 10, la unidad de orden uno; 200, es igual a 2 veces 100, la unidad de orden dos; 2.000 es igual a 2 veces 1.000, la unidad de orden 3... etc.”.

Para manejar los números naturales en el sistema es necesario que los alumnos construyan progresivamente los diferentes períodos que lo configuran. “Un período está definido por los números comprendidos entre dos unidades de ordenes consecutivos e incluye las de orden inferior, así: el primer período está constituido por los números naturales entre 0 y 10, el segundo, por los naturales entre 9 y 100, y el tercero por los naturales entre 99 y 1.000 y así, sucesivamente. Construir un número natural en un período determinado exige

30

manejar números y unidades de períodos y órdenes anteriores al período u orden correspondiente al número dado.

2.4.1. Las preguntas: composición multiplicativa de unidades

En los cuestionarios 1, 2 y 3, los dos ítems de la pregunta 3, diagnostican la composición multiplicativa de las unidades en el sistema. Los ítems se formula en función de la variable rango numérico y exige hallar: 1) el valor de 10 monedas de 100 pesos y 2) de 100 monedas de 100. Desde la perspectiva del enunciado, las preguntas del tipo “tienen 10 monedas de 100. ¿Cuánto dinero tienen?”, corresponden a las estructuras multiplicativas del tipo función simple, o isomorfismo de medida, propuestas por Vergnaud (1983, p. 133).31 Estos problemas se pueden resolver utilizando procedimientos aditivos o multiplicativos.

2.5. Composición multiplicativa y aditiva directa

Las preguntas que diagnostican conjuntamente la composición aditiva y multiplicativa directa, se presentan en función de los cuestionarios.2.5.1. Preguntas Cuestionario 1

En el cuestionario para 2º, se diseñan 2 preguntas para diagnosticar la composición aditiva y multiplicativa, y en su diseño se contemplan dos variaciones: composición aditiva y multiplicativa de numerales en el sistema y composición aditiva de unidades en el sistema, así:

1. La pregunta 4, con un ejemplo y 3 ítems, diagnostica la composición aditiva y multiplicativa de los numerales en el sistema. En el primer recuadro se ejemplifica cómo resolver la composición aditiva y para esto se presenta la fotografía de 1 moneda de 10 y 2 monedas de 1 peso con un texto que señala: “Aquí hay $12 pesos”. Los siguientes recuadros presentan fotografías de dos colecciones de monedas: 4 de 10 pesos y 7 de 1 peso y debajo de cada colección hay una frase: “Aquí hay $___ pesos”. Finalmente aparece la frase: “En total hay $____ pesos. Los dos primeros ítems exigen establecer el valor de cada colección. En el caso de las monedas de 10, el problema que se plantea corresponde a las estructuras multiplicativas, del tipo isomorfismo de medida (Vergnaud, 1.976/1983); en cambio, en el de las monedas de 1 peso, el carácter multiplicativo del problema no es claro, pues un simple conteo permite resolverlo, porque el número de monedas corresponde con el valor de las monedas en la colección. El tercer ítem exige encontrar el valor total de las dos colecciones, uniendo los resultados parciales obtenidos y permite diagnosticar la comprensión de la composición aditiva de

31 Esta pregunta incluye igualmente 2 ítems que intentaban diagnosticar la comprensión de la equivalencia entre unidades. Las preguntas diseñadas para diagnosticar esta relación, no se analizan porque plantean un simple problema de cambio, que únicamente exige comparar el resultado obtenido en el ítem inmediatamente anterior (1.000), con cinco esquemas que ejemplifican billetes, para establecer por cual de los cinco se puede cambiar el dinero reunido. Teniendo en cuenta que el diseño de esta pregunta no corresponde con el objetivo fijado, se decide no tener en cuenta este ítem para el análisis

31

numerales. Desde la perspectiva de las relaciones aditivas, este tipo de enunciado define problemas del tipo estado, estado, estado. (Vergnaud, 1976/1983, p. 107)

2. La pregunta 5, con 5 ítems, de los cuales, los tres primeros, diagnostican la comprensión de las composiciones multiplicativa y aditiva de los numerales en el sistema. Los dos primeros exigen hallar por separado el valor de dos colecciones de 9 monedas de 10 pesos y de 9 monedas de 1 peso, respectivamente y el tercero, sumar los resultados obtenidos para hallar el valor total de las dos colecciones. La estructura y las exigencias de esta pregunta son similares a las de la pregunta anterior.

3. El cuarto ítem indaga sobre la comprensión de la composición aditiva de unidades. Partiendo 99, el resultado del ítem anterior, deben encontrar cuánto dinero completan “si les regalan un peso”.32

4. El quinto ítem pretende diagnosticar la comprensión de la equivalencia entre unidades pero simplemente plantea un problema de cambio, que exige comparar el resultado obtenido en el ítem anterior (100) con tres monedas graficadas - 10, 100 y 1.000 – para establecer por cual de las tres se puede cambiar el dinero reunido. Teniendo en cuenta que la formulación de esta pregunta solamente exige comparar la respuesta correcta al ítem precedente (100) con las monedas graficadas, que muy pocos alumnos logran la respuesta correcta del ítem precedente y que su diseño no corresponde con el objetivo fijado para la pregunta, se decide omitir este ítem para el análisis.

Los ítems que diagnostican la comprensión de la composición aditiva (tanto en la pregunta 4 como en la 5, del cuestionario 1, como en la 4, 5 y 6 de los cuestionarios 2 y 3) no son independientes de los ítems que diagnostican la composición multiplicativa; responderlos correctamente exige respuestas correctas a los ítems anteriores. Teniendo en cuenta esta limitación, las respuesta a los ítems que exigen composiciones aditivas, partiendo de composiciones multiplicativas, se evalúan como correctas o incorrectas en función del procedimiento que el alumno emplea y no de la respuesta. De esta manera, se busca independizarlos de los ítems precedentes.33

2.5.2. Cuestionarios 2 y 3

En los cuestionarios para 3º y 4º y 5º, se diseñan 3 preguntas, la 4, 5 y 6, que diagnostican tanto la composición aditiva como la multiplicativa, Estas preguntas se formulan en función de dos variables: rango numérico y formato de presentación de la pregunta: verbal gráfico y verbal escrito. La totalidad de las preguntas correspondientes a los dos tipos de presentación poseen la misma composición de problemas multiplicativos y aditivos descritos para el cuestionario 1 y se les aplica el mismo análisis en relación con su estructuras y sus exigencias de resolución.

2.5.2.1. Formato Verbal Gráfico

En el cuestionario 2, la pregunta 4, presenta 1 ejemplo y 4 ítems; su diseño contempla la presentación de cuatro colecciones de fotografías de monedas (1.000, 100, 10 y 1 peso) y

32 Este tipo de pregunta ya fue analizada en el apartado correspondiente a la composición aditiva de unidades.33 Ver criterios de diagnóstico, para un ejemplo sobre este criterio p. 45.

32

ejemplifica la composición multiplicativa de 6 monedas de 10, poniendo el resultado (60 pesos) sobre la raya correspondiente a la respuesta a esta pregunta. En los tres primeros ítems, relativos al mismo contenido, se formula la misma pregunta: ¿Cuánto dinero hay en monedas de ... ?, para cada una de las monedas graficadas, seguida de una raya que permite escribir el resultado; en el cuarto ítem, se formula la pregunta: ¿Cuánto dinero hay entre todas las monedas? seguida de la raya que se supone facilita la escritura del resultado.

En el cuestionario 3, para 5º grado, la pregunta 4, presenta 1 ítem, porque su diseño, incluye las cuatro colecciones de las mismas monedas pero no presenta el ejemplo y solamente presenta la última pregunta: ¿Cuánto dinero hay entre todas las monedas?, seguida de la raya, donde se espera consignen la respuestas.

Los 3 primeros ítems del cuestionario 2, y el ejemplo, se formulan en función del proceso que se supone exige resolver la pregunta final que pide hallar el valor total de las cuatro colecciones de monedas. En el cuestionario para 5º grado, no se incluyen las preguntas relativas al proceso porque se supone que, los alumnos de este grado lo manejan. La no inclusión de estos ítems en el cuestionario de 5º, cambia el número de ítems para el cuestionario 3. (Ver Cuadro 1. Análisis de estructura de cuestionario 3)

Tanto en el cuestionario 2, como en el 3, los ítems que diagnostican la composición aditiva, no son independientes y por lo tanto para su evaluación se sigue el mismo procedimiento que en los ítems de la pregunta 4, del cuestionario 1.

2.5.2.2. Formato verbal escrito

Para diagnosticar la composición multiplicativa directa y la composición aditiva, utilizando enunciados verbales, en los cuestionarios 2 y 3, se diseñan las preguntas 5 y 6, con 4 ítems cada una, en los cuales se mantiene constante el contenido de los enunciados (cantidad de dinero en una alcancía) y varían en función del rango de los numerales.

En el texto, que presenta por escrito el problema, se entrega la totalidad de la información que permite resolverlo y el alumno debe manejarlo como un referente obligado para la solución del mismo.

Las preguntas presentan las siguientes variaciones en rango:

Rango de las monedas que componen: pregunta 5: 1.000, 10 y 1 peso y pregunta 6: 10.000, 1.000 y 100 pesos.

Número de monedas a componer: pregunta 5: 8, 10 y 3 monedas respectivamente; y pregunta 6: 10, 9 y 7 monedas respectivamente.

Los alumnos deben hallar, primero, el producto de los tres enunciados para luego encontrar el total, sumando los resultados parciales que han obtenido.

2.6. La descomposición multiplicativa

Previamente se ha señalado que la composición de unidades y de cualquier número en el sistema de notación en base diez, es de carácter aditivo y multiplicativo. Igualmente, las relaciones entre unidades de un mismo orden y entre unidades de ordenes diversos comportan la inclusión de unidades de orden inferior en unidades de orden superior. Es

33

decir, 10 unidades de 1, componen 1 unidad de orden 1 (10); 10 unidades de orden 1, componen 1 unidad de orden 2 (100) y simultáneamente, 100 unidades de orden 0, componen 1 unidad de orden 2 (100). Estas relaciones entre las unidades del sistema se pueden revertir, es decir, descomponer unidades de orden superior en unidades de orden inferior. La descomposición multiplicativa permite establecer el número de unidades de orden inferior en que se descompone una unidad de orden superior. Por ejemplo, 1 una unidad de orden 2 (100) se descompone en 10 unidades de orden 1 (10) o 100 de orden cero (1).Cualquier unidad en un período dado, igualmente se puede descomponer en unidades de orden inferior. Así, 40 se puede descomponer en unidades de orden 1 y 0. Llamamos a este tipo de problema, descomposición de unidades en un período dado.

Suponemos que la composición de unidades en un período dado en unidades de orden inferior resulta más difícil que la descomposición entre unidades en el sistema, porque exige el manejo de los operadores.34

Desde la perspectiva de la comprensión del sistema, es necesario que los alumnos trabajen esta lógica, manejando la comprensión de la composición y descomposición de unidades.

2.6.1. Las preguntas

Las preguntas correspondientes a la descomposición multiplicativa solamente se presentan en formato verbal y varía en función del tipo de unidad que se descompone: unidades del sistema: 10, 100, 1.000, ... etc., o unidades en un período dado, que algunos investigadores (Lerner y Sadovsky, 1994, Nunes y Bryant, 1.999) denominan “nudos”

En el cuestionario 1, la pregunta 3, con 1 ítem, diagnostica la descomposición multiplicativa de unidades y la pregunta 7, con 5 ítems, diagnostica la descomposición de “nudos”. Estas preguntas presentan situaciones de cambio de una cantidad dada de dinero por monedas de valores diferenciados, que ejemplifican las unidades en el sistema. En la pregunta 7, varía la cantidad de dinero: 1) 40 y 2) 300 pesos; y el valor de las monedas por las cuales se cambia el dinero: 1) 10 y 1 peso; 2) 100, 10 y 1 peso. Estas preguntas intentan indagar por la descomposición de unidades de orden 1(101) y 2(102), en unidades de orden 0(100), 1(101) y 2(102), respectivamente. Desde la perspectiva del enunciado, corresponden a problemas de isomorfismo de medida, en los cuales varía la posición de la incógnita y por lo tanto exigen el manejo de la división.

En los cuestionarios 2 y 3, la descomposición multiplicativa se diagnostica con tres preguntas: la pregunta 8, con 4 ítems indaga por la descomposición multiplicativa de unidades; la pregunta 9, con un ejemplo y 2 ítems a resolver y la pregunta 10, con 4 ítems, permiten diagnosticar la descomposición multiplicativa de nudos. Las preguntas varían en función del tipo de enunciado, la cantidad de dinero que se propone cambiar y el tipo de moneda por el cual se cambia, así:

Pregunta 8

Dinero Monedas Enunciado Ítems

34 Esta afirmación corresponde a un supuesto derivado de una investigación previa aún sin confirmar.

34

Billete de 1.000 100 Afirmación: tienen y lo van a cambiarPregunta: cuantas monedas tienen que dar?

37

Billete de 10.000 100 Afirmación: tienen y lo van a cambiarPregunta: cuantas monedas tienen que dar?

38

$100.000 1.000 Pregunta: ¿cuánto les dan por? 39$100.000 100 Pregunta: ¿cuánto les dan por? 40

La pregunta 8 contiene 4 ítems, que presentan las siguientes características: el valor del dinero ejemplifica unidades del sistema de orden 3(103); 4(104) y 5(105); el primer ítem diagnostica la descomposición multiplicativa de unidades de orden 3(103) en unidades de orden 2(102); el segundo, de unidades de orden 4(104) en unidades de orden 2(102); el tercero, de unidades de orden 5(105) en unidades de orden 3(103) y el cuarto, de unidades de orden 5(105) en unidades de orden 2(102).

Preguntas 9 y 10. Enunciado: ¿Cuánta monedas de ... necesitas para tener ..?

Pregunta No. Ítems Dinero Monedas9 41 $900 $100

42 $110 43 $3.000 $1.000

44 $1004546

$10$1

La pregunta 9 contiene un ejemplo y 2 ítems. El ejemplo presenta la respuesta a la descomposición de un “nudo”, en el período definido por unidades de orden 2 (102) en unidades de orden 1(101); el primer y segundo ítem diagnostican la descomposición multiplicativa de un “nudo”, correspondiente al período de las unidades de orden 2(102) en unidades de orden 2(102) y unidades de orden 0(100).

La pregunta 10 contiene 4 ítems: que indagan sobre la descomposición multiplicativa de un “nudo”, en el período definido por unidades de orden 3(103) en unidades de orden 3(103), 2(102), 1(101) y 0(100), respectivamente.

2.7. La descomposición de numerales

Hederich & Orozco (2000) han planteado que los numerales en el formato arábigo, como todos los sistemas posicionales, son el resultado de descomponer enteros en “sumas de unidades sucesivas”. Esta descomposición se representa de la siguiente forma:

,

Donde n es el número arábigo para descomponer, m representa el orden del número, i varía entre 0 y m y los k son enteros entre 0 y 9.

35

En el numeral 13.425, por ejemplo, la descomposición se realiza entre las diversas unidades de orden que la componen, de tal forma que:

13.425 = 10.000 + 3.000 + 400 + 20 + 5= 1(104) + 3(103 ) + 4(102 ) + 2(101 ) + 5(100 )

Como se evidencia una vez más, el análisis de la representación gráfica de la notación arábiga precisa de la composición aditiva, multiplicativa y de la potenciación.

2.7.1. La pregunta

Los cuestionarios 2 y 3, para 3º, 4º y 5º contienen un sexto componente denominado descomposición numérica con el cual se pretende diagnosticar la comprensión que los alumnos tienen de las unidades constitutivas de un numeral dado.

Para diagnosticar la comprensión de la descomposición numérica, se elabora 1 pregunta, la 7, con 1 ejemplo y 5 ítems. El ejemplo presenta una descomposición resuelta que muestra al estudiante cómo realizarla: 925 (900 + 20 + 5). Los ítems varían en función del rango numérico de los numerales a descomponer: en dos ítems de la pregunta, se utilizan numerales comprendidos en el rango entre 1.000 y 10.000, propio de 3º grado; los otros dos, en un rango entre 10.000 y 100.000, adecuados para los grados 4º y 5º. La pregunta exige descomponer los numerales en el conjunto de las unidades que las componen.

2.8. La secuencia de unidades

La secuencia de unidades del sistema de notación en base diez, corresponde con la estructura ordenada que subyace al valor de posición y al carácter inclusivo de las unidades que configuran el sistema. Esta característica es esencial para comprender y manejar adecuadamente los numerales construidos en el sistema.

La sucesión de unidades en cada orden, se establece así:

1 10i , 2 10i, 3 10i,... 9 10i, i = 0, 1, 2, 3, etc.

Bedoya & Orozco (1991), proponen el “proceso de recurrencia de la sucesión de unidades.”, de tal manera que “la construcción del concepto de número natural como sucesión numérica exige la extrapolación sucesiva de los dígitos y de alguna manera, el proceso de recurrencia de la sucesión de unidades” (Bedoya, Orozco, 1991, p. 57)

Después del último dígito de la secuencia: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (unidades de orden 0(100), se cambia al orden inmediatamente superior (101) y la secuencia de orden inferior queda incluida en la de orden superior.

,

Para que un estudiante pueda realizar una extrapolación de una secuencia numérica que contenga varios ordenes (sucesión de sucesiones) debe definir en cual orden se realiza la sucesión numérica, conservando constante el orden de las otras unidades. Por ejemplo, la sucesión en el orden de las decenas es 10, 20, 30, ... 90; en el de las centenas, es 100, 200, 300... 900 y así sucesivamente. La secuencia de unidades exige pasar a la secuencia de los miles y mantener constante esta unidad mientras se continúa con el orden de las decenas

36

(mil diez, mil veinte, mil treinta) o con el de las centenas (mil cien, mil doscientos, mil trescientos etc.)

2.8.1. La pregunta

Para el diseño de las preguntas relativas a la secuencia numérica, se adoptan igualmente dos variables: el rango numérico y el período de la secuencia o lo que es lo mismo, el orden de la unidad que se itera para conformarla.

Para que los estudiantes comprendan cómo deben trabajar la secuencia, se presentan inicialmente tres o cuatro ejemplos que sugieren el orden y una raya continua que deben llenar infiriendo el siguiente a partir del orden dado, hasta llegar a un numeral escrito que marca el límite.

En el cuestionario para 2º, los 3 ítems de la pregunta 2, presentan tres variaciones en la secuencia: 1) numerales que varían en el período determinado por el orden de las decenas (101); 2) numerales que varían en el período determinado por orden de las centenas (102) y, 3) numerales en el orden de las centenas, que varían el período determinado por las unidades de orden 1 (101).

En los cuestionarios para 3º y 4º y el de 5º la pregunta 11, incluye 2 ítems que presentan dos variaciones en la secuencia: 1) numerales en el orden de las unidades de mil que varían en el período determinado por las unidades de orden 1(101); y 2) numerales en el orden de las unidades de mil, que varían en el período determinado por las unidades de orden 2 (102).

A continuación el lector encontrará un resumen que presenta la estructura del cuestionario definida en función de los componentes del sistema, las variables que definen preguntas que los ejemplifican y el conjunto de ítems definidos para cada pregunta; la estructura formal de la pregunta (desde la perspectiva matemática), la estructura del problema (desde la perspectiva de la educación matemática) y un análisis detallado de las exigencias de cada ítem a quien lo responde correctamente.

3. Criterios y categorías de análisis

El criterio utilizado para analizar las respuestas de los alumnos al cuestionario es el logro al resolver cada ítem. El criterio define categorías de respuestas correctas e incorrecta y se mantiene para todos las respuestas con excepción de los ítems (17, 20 y 21, cuestionario 1, para 2º; 24, 28 y 32, cuestionario 2, para 3º y 4º y 22, 26, y 30, cuestionario 3, para 5º), que diagnostican la comprensión de la composición aditiva. Las respuesta a estos ítems se evalúan como correctas o incorrectas en función del procedimiento que el alumno emplea. De esta manera, se busca independizarlos, de los ítems precedentes.Por ejemplo, si el alumno se equivoca al obtener un resultado parcial, pero compone correctamente los resultados parciales que obtiene, la respuesta se califica como correcta. En cambio si todos los resultados parciales previos son correcto y la composición de los mismos es incorrecta, generalmente por una colocación equivocada de las cifras en relación con el orden de las unidades impuesto por el algoritmo, entonces la respuesta a este ítem se califica como incorrecta.

37

El análisis de las respuestas de las parejas a los cuestionarios se realiza en función de criterios. Teniendo en cuenta que los cuestionarios contienen preguntas con ítems cuyos numerales superan el rango fijado para el grado, se considera indicador de comprensión en un componente dado:

acierto en el 100% de los ítems con numerales con rango inferior y en el 50% de los ítems con numerales en el rango propio.

Se consideran indicadores de dificultad en un componente dado: cualquier respuesta incorrecta a ítems con numerales con un rango inferior al

correspondiente al grado o cuyas exigencias correspondan con las demandas mínimas fijadas para el grado.

respuestas incorrectas en más del 50% de los ítems con numerales en el rango propio.

Rango en función de grado

Grado RangoInferior Propio

2º 1 – 100 101 - 1.0003º 100 – 1.000 1.001 – 10.0004º 1.000 – 10.000 10.001 – 100.0005º 10.000 – 100.000 100.001 - 1.000.000

Ítems con rango propio, cuyas exigencias corresponden a demandas mínimas por grado

Grado Ítem No. Pregunta Exigencia

2º 29 300/100 Lo pueden resolver utilizando procedimiento aditivo

3º 23 6×1.000 Formato gráfico: procedimiento de conteo24 60+5+500+6.000 Suma, que no exige llevar, correspondiente a

problema de monedas graficado4º 43 3.000/1.000 Lo pueden resolver utilizando procedimiento

aditivo

Estos indicadores permiten definir los siguientes niveles de comprensión y dificultad:

1. Comprenden, cuando en el cuestionario analizado resuelven correctamente el 100% de los ítems correspondientes al rango inferior o cuyas exigencias correspondan con las demandas mínimas fijadas para el grado y el 100% de los ítems correspondientes al rango propio.

2. Comprensión moderada, cuando resuelven correctamente, el 100% de la ítems del rango inferior y el 50% de los ítems correspondientes al rango propio.

3. Dificultad, cuando fallan en uno cualquiera de los ítems que manejan numerales en el rango inferior al esperado para el grado.

38

En los Cuadros 2, 3 y 4. Criterios que permiten definir comprensión: cuestionario 1, 2 y 3, respectivamente, que a continuación se incluyen, se define para cada componente el criterio de logro esperado en función del rango de los ítems que deben resolver y del porcentaje de aciertos esperado para cada grado. Igualmente, el Anexo 4, Distribución de los ítems en función de componentes, grados y niveles de comprensión, presenta los números de los ítems en los cuales los alumnos deben alcanzar 100% de aciertos, en cada cuestionario; una sola falla en cualquiera de ellos se califica como dificultad. En la columna comprensión moderada, se presentan los números de los ítems cuyos numerales corresponden con el rango propio en los que los alumnos pueden fallar, máximo en un 50% de los casos.

INSERTAR CUADROS 2, 3, 4

39

4. RESULTADOS35

Comprenden los alumnos de 2º a 5º, de las escuelas públicas de Cali, los cuestionarios que resolvieron? ¿Qué comprensión alcanzan y cuáles son sus mayores dificultades en relación con el SNBD?

Las respuestas a estas dos preguntas definen la organización de la presentación de los resultados. Inicialmente se describe la comprensión general del cuestionario y en segundo término, la comprensión del sistema.

El análisis de la comprensión y las dificultades que los estudiantes de la muestra tienen con los cuestionarios, contempla los aciertos al resolver la totalidad de los ítems de cada pregunta en cada cuestionario, incluidos los ítems de rango superior. El análisis de la comprensión y las dificultades de los estudiantes del sistema y sus componentes, se realiza "con referencia a criterio", utilizando los criterios previamente expuestos.

1. Comprensión del cuestionario

Para presentar la comprensión y las dificultades de los estudiantes al resolver los cuestionarios36 se utilizan dos tipos de análisis: en primer lugar, se examina el porcentaje de aciertos que logran al resolver los ítems correspondientes a cada componente; y el segundo tipo de análisis, examina por grado, la distribución del porcentaje de parejas que los responden correctamente, en función de intervalos de aciertos y medidas de distribución central.

1.1. Comprensión de ítems por componente

La comprensión de los cuestionarios se define en función de los aciertos al resolver cada ítem. En general, se puede concluir que algo más del 50% de las parejas de alumnos resuelven los ítems cuyo rango no supera el fijado para el grado que cursan o rango propio; que los aciertos de las parejas de estudiantes, se ven afectados por el incremento del rango del numeral que deben escribir o del número con el que deben operar: en los de menor rango obtienen un mayor porcentaje de aciertos, en tanto que en los de rango mayor, el porcentaje de aciertos tiende a disminuir; y que a medida que los alumnos avanzan en los grados tienden a alcanzar un porcentaje mayor de aciertos al resolver los cuestionarios.

35 Agradezco a Madelein Melchor la realización del análisis estadístico.36 Garret & Woodworth señalan que “la validez de contenido”, es utilizada para la selección de ítems en los test de logros educativos” (p. 355) y aunque esta no es un aprueba de logros, este es el criterio de validez adoptado. “Las pruebas estandarizadas de logros educativos son representaciones del consenso de muchos educadores de lo que un niño dada una edad y grado debe saber en aritmética.” (Garret & Woodworth, 1926/1971)De acuerdo con el criterio de validez de contenido, en el proceso de diseño del cuestionario participaron maestros y miembros del equipo de investigación y sus contenidos y formatos se reformularon en función de las dificultades que los niños presentaron al resolver los primeros cuestionarios diseñados, durante el estudio piloto. Una vez diseñados, los cuestionarios se someten a la evaluación externa de dos tipos de expertos: psicóloga especialista en psicología de la educación matemática y matemáticos.

40

(Ver Anexo 4. Distribución de porcentajes de aciertos, en función de componentes, ítems y grados)

Para analizar la comprensión de los cuestionarios por componentes, se independizan los porcentajes de aciertos de 2º al resolver el Cuestionario 1, (Ver Gráficos 1, 2 y 3) de los porcentajes de aciertos de 3º, 4º y 5º al resolver los cuestionarios 2 y 3; aunque los cuestionarios poseen estructuras similares en relación con los componentes, la mayoría de los ítems presentan ligeras diferencias que no permiten compararlos. Los resultados para 3º, 4º y 5º se presentan comparativamente, porque los cuestionarios 2 y 3, son iguales37 (Ver Gráficos 4, 5 y 6, que presentan comparativamente los aciertos de 3º, 4º y 5º al contestar los Cuestionarios 2 y 3)

En relación con el componente escritura (Gráficos 1 y 4), se puede concluir que en todos los grados algo más del 70% de las parejas de alumnos saben escribir los numerales de rango inferior y propio, con las siguientes excepciones: 3º, 3.004 y 9.070, con el 63 y 54% de parejas que aciertan, respectivamente; 4º, 9.070 y 85.007, con el 59 y 66% respectivamente; y en 5º, 85.007, 104.002 y 800.009, con 68, 41 y 60% de parejas que aciertan.

Los porcentajes de parejas que escriben correctamente numerales con un rango superior al propio, es considerablemente más bajo (entre el 65 y el 13%); sin embargo, es necesario destacar que en todos los grupos, se encuentran parejas de estudiantes capaces de escribir numerales con un rango superior al fijado para su grado. En promedio, el 35% de las parejas de alumnos de 2º, el 45% en 3º y el 51% en 4º, son capaces de escribir numerales con un rango superior.38 Parece ser que esta tendencia se incrementa a medida que los estudiantes avanzan en los grados. (Ver Anexo 4.)

Igualmente, se puede señalar que en todos los grados lo numerales cuya escritura requiere del “cero” resultan más difíciles y presentan un menor porcentaje de aciertos que los numerales sin “cero”. En el rango inferior y propio, los estudiantes tienden a escribir correctamente los numerales con “cero”; en todos los grados, el porcentaje de parejas que aciertan está por encima del percentil 70. No sucede lo mismo con los numerales que se escriben con “cero”; aún en 5º, los aciertos disminuyen cuando escriben numerales en el rango propio, que corresponden a expresiones numéricas verbales, como “ochocientos mil nueve” (60% de las parejas aciertan) y “ciento cuatro mil dos”, (41% de parejas aciertan) este ultimo, es el ítem más difícil para todos los grados, incluido 5º.

INSERTAR Gráficos 1, 2 y 3 Y 4, 5 Y 6

A través de los grados, la proporción de parejas que aciertan al resolver los ítems que diagnostican comprensión de la composición aditiva, permite señalar que en general resultan difíciles. En 2º, 99+1 y 90+9, ítems relativos a la composición aditiva de unidades y numerales, respectivamente, resultan ser uno de los más difíciles: entre 36 y 45% de parejas que aciertan. En 3º, el porcentaje de parejas que aciertan al responder este tipo de

37 Con excepción de la pregunta 4, que difiere en el número de ítems.38 En 5º esta situación no se presenta porque las parejas no tienen que escribir numerales que superan el rango fijado para este grado.

41

ítems, no llega al 50%; en 4º se presenta un leve incremento y el porcentaje de parejas que aciertan fluctúa entre el 50 y el 70%; en 5º, el porcentaje se incrementa (entre 65 y 80%); conviene anotar que todos los ítems que presentan numerales con un rango inferior al fijado para este grado.

Las parejas de alumnos presentan los mayores aciertos y las mayores dificultades al resolver a los ítems relativos a la composición multiplicativa directa e inversa o descomposición multiplicativa, En 3º y 4º, 100% de las parejas aciertan al resolver las multiplicaciones 6×1.000 y 5×100, presentadas en formato gráfico y solamente algo más que el 30% de las parejas de 5º resuelven las divisiones 100.000/1.000 y 100.000/100. En términos generales los ítems que diagnostican comprensión de la composición multiplicativa, resultan más fáciles que los relativos a la descomposición, pues un porcentaje mayor de parejas aciertan al resolver los ítems correspondientes a los problemas de multiplicación; en cambio, las mayores dificultades se presentan al resolver los de división.

En términos generales, los alumnos de 3º, 4º y 5º logran resolver los ítems relativos a la secuencias de unidades en el sistema, pero igualmente el porcentaje de logros disminuye ligeramente si la secuencia se trabaja en el período de las centenas. En el caso de las decenas, las parejas obtienen uno de los porcentajes más altos de acierto (por encima del percentil 75), en todos los grados. En 2º, el porcentaje de las parejas que aciertan en los ítems que corresponden a este componente, se mantiene alto, no así en 3º, 4º y 5º, pues los porcentajes de aciertos en el período de las centenas decrecen considerablemente en relación con el éxito que alcanzan en el de las decenas.

Finalmente, los ítems relativos a la descomposición de numerales resultan los más difícil para 3º, 4º y 5º. Solamente los estudiantes de 5º logran superar el 50% de aciertos en este componente al descomponer el numeral 8.004.

Se puede concluir que los estudiantes comprenden y tienden a resolver correctamente los ítems de los cuestionarios cuando estos contienen numerales que corresponden con el rango propio y que un porcentaje alto de parejas (más de la mitad; por encima del percentil 60) tienden a resolver correctamente la mayoría de los ítems diseñados para diagnosticar la comprensión del SNBD.

1.2. Distribución de aciertos por grados

Ahora bien, como se distribuyen los porcentajes de parejas que aciertan en función del número de ítems que logran responder correctamente? Para responder esta pregunta se establecen intervalos de aciertos y se examina la distribución de porcentajes de parejas en función de los mismos. Los Gráficos 7, 8, 9 y 10 presentan para todos los grados, la distribución del porcentaje de parejas que aciertan asignados a cada intervalo.39

39 Se recuerda al lector que los alumnos de 2º, resuelven el Cuestionario 1, con 31 preguntas y los de 3º, 4º y 5º resuelven los Cuestionarios 2 y 3, respectivamente, con estructuras idénticas pero con un número diferenciado de ítems: el de 3º y 4º tiene 48 ítems, distribuidos en 11 preguntas, en tanto que el de 5º, tiene 46, distribuidos en las mismas 11 preguntas.

42

Sin embargo, resulta necesario señalar que la distribución de porcentajes aciertos de parejas de los alumnos de 2º, 4º y 5º, al resolver los Cuestionarios 1, 2 y 3. respectivamente, difiere de la distribución porcentaje de aciertos de las de los alumnos de 3º, al resolver el Cuestionario 2. La primera distribución muestran ligeras desviaciones hacia la derecha, que pueden indicar una cierta facilidad del instrumento para los alumnos de 2º, 4º y 5º grado. En cambio, la desviación hacia la izquierda que presentan la distribución de las parejas de 3º, indica que el cuestionario efectivamente discrimina su nivel de ejecución, pero resulta difícil para este grado.

La diferencia entre los alumnos de 3º y 4º, al resolver el mismo cuestionario se puede explicar porque los de 4º deben responder 5 ítems que sobrepasan el rango esperado para ellos o rango propio, en tanto que los de 3º responden 16; entonces, el cuestionario resulta más fácil para 4º que para 3º. El grupo de 5º no tiene que resolver ítems en el rango superior; este hecho explica la distribución de aciertos de las parejas de 5º (Gráfico 10), que presenta una inclinación hacia la derecha, indicando que para este grado, el cuestionario 3 resulta relativamente fácil de resolver.

En 2º, ( = 15,33; S = 6,51) resuelven 571 cuestionarios y solamente 3 parejas de la muestra total, aciertan en todos los ítems (0.5%) y el 21,5%, acierta en más de 20 ítems, el 50% responden entre 3 y 15 ítems, o sea, menos de la mitad de los 30, que efectivamente se evalúan40); el 28%, el porcentaje más alto de parejas que aciertan, responden acertadamente algo más que la mitad. (Ver Anexo 6. Medidas de tendencia central)

En 3º, ( = 29,9; S = 9,29) el porcentaje de parejas que aciertan en todos los ítems es de 0.9%, 5 parejas del total de 584 cuestionarios respondidos; el 3.1% se ubica en la franja de más del 87% ítems correctos; el 7%, aciertan más de las tres cuartas partes y el 19%, acierta en las tres cuartas partes del cuestionario; estos resultados permiten señalar que el 30% de las parejas de niños logran resolver acertadamente ítems en el rango superior, que para este grado representan el 33% de los ítems del Cuestionarios 2. El 25% de las parejas aciertan en aproximadamente la mitad de los ítems y el 45% responde correctamente menos de la mitad.

INSERTAR GRÁFICOS 7, 8, 9, 10 histogramas acierto parejas

En 4º, ( : 29,96 ; S = 8,99) se registra un leve incremento en el porcentaje de parejas que resuelven correctamente todos los ítems del cuestionario; de 601 cuestionarios respondidos, 11 parejas de estudiantes aciertan en todos los ítems (cerca del 2% de la muestra total) y el 9% logran responder acertadamente más del 87% de los ítems del Cuestionario 2; sin embargo, en este grado pocas parejas logran responder numerales con rango superior al propio que solamente representan el 8% de los ítems del Cuestionario 2. El 52%, responde acertadamente entre el 58 y el 85% del total de los ítems y menos del 37% de las parejas de alumnos de 4º responden correctamente menos de la mitad de los ítems del cuestionario.

40 De los 31 ítems que componen el cuestionario para 2o grado, se descarta un ítem para el análisis: el ítem 22, en la pregunta 5, con la cual se intenta diagnosticar la comprensión de las relaciones de equivalencia y la pregunta solamente diagnostica la comprensión de una situación de cambio; los formatos de presentación de esta pregunta, no permiten diagnosticar lo que se intenta medir.

43

En 5º, ( = 33,37; S = 7,99) el porcentaje de parejas que aciertan al responder la totalidad de los ítems del cuestionario es de 0.7%; 5 parejas de 695. Este resultado sorprende, porque se espera que los alumnos de 5º resuelvan correctamente el 100% de los ítems del cuestionario, teniendo en cuenta que el rango numérico de los mismos no sobrepasa el nivel esperado para este grado, como sucede con 3º y 4º.

En general, la distribución muestra que el Cuestionario 3 resulta fácil para este grado. Un porcentaje alto de parejas de alumnos (77%) responden correctamente más de la mitad de los ítems, pero solamente el 16 % logran contestar correctamente más del 90% de los ítems; el 23% de las parejas de estudiantes de 5º aciertan en menos del 58% de los ítems del cuestionario diseñado para este grupo.

Ahora examinemos cual es la comprensión que los estudiantes tienen del sistema y cuales las dificultades que presentan.

2. Comprensión y dificultades con el sistema41

Aceptando que las categorías “comprensión” y “comprensión moderada” pueden ser consideradas como indicadoras de comprensión (entre el 50 y el 100% de aciertos en la totalidad de los ítems definidos para cada grado), y que “dificultad” diferencia a los alumnos que no comprenden el sistema, el promedio de los porcentajes de comprensión por grado (descrito en la Tabla 1) permite concluir que algo menos que el 50% de las parejas que respondieron los cuestionarios, o sea, algo menos que la mitad de la muestra poseen una comprensión aceptable de la mayoría de los componentes del sistema: 28% de las parejas lo comprenden, pues resuelven la totalidad de los ítems dentro del rango inferior y propio y 18% poseen una comprensión moderada del mismo, pues resuelven la totalidad de los ítems de rango inferior y el 50% de los ítems en el rango propio. Igualmente, estos resultados permiten señalar que un poco más que el 50% de la muestra no comprenden el sistema porque no resuelven correctamente ítems con un rango inferior al propio.

Tabla 1. Porcentajes de parejas en función de comprensión y dificultad, según grado

41 Este análisis igualmente se asume desde la perspectiva de los criterios fijados para establecer niveles de comprensión. Recordemos que una pareja presenta dificultad si se equivoca en uno cualquiera de los ítems que presentan numerales por debajo del rango fijado para el grado.

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Grado Comprende

%

Comprensión moderada

%

Dificultad

%

2º 39 11 50

3º 17 38 45

4º 24 20 56

5º 33 4 63

Porcentaje 28 18 54

Los grados con el porcentaje más alto de parejas que comprenden son 2º y 3º (50 y 55%, respectivamente), a pesar de las dificultades que el cuestionario presenta para 3º. Los grados que mayor dificultad presentan son 4º y 5º, en los cuales algo más que el 50% de las parejas que responden los cuestionarios presentan dificultades pues fallan escribiendo, operando o estableciendo relaciones al responder ítems que presentan problemas con un rango inferior al fijado para estos cursos. Sin embargo, es necesario anotar que algo más que dos quintas partes de los alumnos de 4º y una tercer parte de los de 5º comprenden el sistema de notación en base diez.

Los Gráficos 11, 12, 13 y 14, “Comprensión versus dificultad”, para todos los grados, muestran claramente como a medida que los alumnos avanzan en los grados, las dificultades en relación con el sistema se incrementan. Esto puede ser así, porque a medida que los estudiantes avanzan, los criterios adoptados exigen que resuelvan un mayor número de ítems en la prueba, pero se trata de ítems cuyo rango corresponde con el fijado para el grado que cursan.

2.1. Comprensión y dificultades con los componentes del sistema

En relación con los componentes del sistema, resulta claro que un porcentaje alto de parejas de estudiantes manejan la secuencia numérica, escriben correctamente la mayoría de los numerales hasta el rango correspondiente a su grado y son capaces de descomponer numerales en rangos inferiores al propio; más de la mitad manejan el componente multiplicativo del sistema y solamente un porcentaje muy reducido manejan el aditivo, la descomposición multiplicativa y la descomposición de numerales. Estas conclusiones sobre el grupo en general permiten suponer que en su conjunto la población de alumnos de las escuelas públicas de Cali, posee una comprensión del sistema que puede ser igual o menor que la muestra. (Ver Tabla 2).

Tabla 2. Porcentajes de parejas en función de nivel de comprensión, por componente

45

Componentes sistema Nivel de comprensión

Comprensión %

Comprensión moderada %

Dificultad %

Total %

Escritura 35,6 27,7 36,7 100

Composición aditiva 15,1 6,1 78,9 100

Composición multiplicativa 33,7 3,1 63,2 100

Descomposición multiplicativa 6,6 6,9 86,5 100

Descomposición de numerales 12,5 53,8 33,7 100

Secuencia de unidades 61,3 17,7 21,0 100

Se puede concluir que la mayoría de los estudiantes manejan la secuencia de unidades y saben escribir numerales, porque los promedios más altos de porcentajes parejas que comprenden se encuentran al resolver los ítems relativos a la secuencia de unidades: 61,3% logran resolver la totalidad de los ítems en el rango inferior y propio al grado que cursan y el 17%, todos los ítems de rango inferior y un 50% de los del rango propio. En escritura, el 35,6% de las parejas escriben correctamente numerales en el rango propio y el 27,7% saben escribir los numerales en el rango inferior y al menos el 50% de los que corresponden al propio.

Ahora bien, si se acepta que los estudiantes comprenden, cuando se equivocan al contestar hasta un 50% de los ítems en el rango propio, o sea, se unen los promedios de comprensión moderada y comprensión, entonces igualmente se puede concluir que las parejas de alumnos perticipantes, manejan la descomposición de numerales; el 53,8 de parejas logran descomponer la totalidad de los numerales en el rango inferior y el 50% de los numerales en el rango propio y el 12,5 descompone correctamente numerales en el rango inferior y el propio, en otras palabras, 66,3% de parejas no presentan dificultades en este componente.

De la misma manera, es posible señalar que los alumnos que presentan dificultades al resolver los ítems relativos a secuencia de unidades, escritura y descomposición de numerales, tienen dificultades para comprender el sistema.

46

INSERTAR Gráficos 11, 12, 13 y 14 tortas

La proporción de parejas que comprenden la composición multiplicativa resulta baja ; (33,7%), una tercera parte de las parejas que presentan la prueba resuelven los problemas de composición multiplicativa en rango inferior y propio y el 3.1% resuelven lo ítems con rango inferior y al menos el 50% en el propio; el 63,2% tienen dificultades con este componente porque no resuelven composiciones en rangos inferiores al propio.

En composición aditiva y descomposición multiplicativa los resultados muestran una situación preocupante. Menos de la tercera parte de las parejas de estudiantes que presentan la prueba resuelven correctamente problemas de composición aditiva (21.2%) y menos de una cuarta parte logran resolver los de descomposición multiplicativa en el rango inferior y al menos el 50%, en el propio (13.5%). Se puede entonces concluir que las parejas de alumnos presentan dificultades para descomponer unidades y numerales en unidades de rango inferior, (86,5%), componer aditivamente unidades y numerales (78.9) y componer multiplicativamente unidades y numerales (63.2) en el rango inferior al propio.

A continuación el lector encuentra un análisis detallado de la comprensión y las dificultades de los alumnos en cada componente del sistema, en función del grado que cursan (Tabla 3) y de las variables adoptadas para cada componente.

2.1.1. Escritura de numerales

En la pregunta de escritura, los ítems varían en función de dos atributos: el rango numérico y la presencia o ausencia del 0 en el numeral. Como ya se ha señalado, en relación con rango, se presentan tres tipos de variaciones: ítems que corresponden a un rango inferior al fijado para el grado, ítems cuyo rango corresponde al grado que cursan e ítems con un rango superior.42

2.1.1.1. Diferencias en rango inferior por grado

A medida que los grados cursados aumentan, un mayor porcentaje de parejas tienen dificultad para escribir numerales en el rango inferior, o lo que es lo mismo, el porcentaje de comprensión decrece; esto permite señalar que las dificultades con la escritura se acumulan a medida que el rango de los numerales aumenta. En 2º, el 14% tienen dificultades con numerales en el rango inferior (en total 2 numerales); en 3º, el 24% presentan dificultad al escribir alguno de los 4 numerales de rango inferior que deben escribir. En 4º y 5º el porcentaje de parejas que presentan dificultades al escribir numerales con un rango inferior al propio aumenta considerablemente (50,1 y 54,2 respectivamente).

42 Se recuerda al lector que para analizar la comprensión del sistema, los ítems con rango superior no se incluyen.

47

INSERTAR TABLA 3Probablemente esta dificultad se presenta porque las parejas de 4º y 5º grado, deben resolver un mayor número de ítems con numerales por debajo del rango fijado para su grado - en 4º, 8 y en 5º, 12.- y el incremento aumenta la probabilidad de error; Sin embargo, se supone que los alumnos de los grados superiores deberían dominar la escritura de cualquier numeral en el rango comprendido entre 100 y 1.000.000. Esta relación inversamente proporcional entre comprensión y grado que cursan sugiere que los errores de escritura no se resuelven y más bien se acumulan a medida que los alumnos pasan los grados y el rango de los numerales incrementa.

Desde la perspectiva del grado que cursan, la proporción de parejas que cometen errores en el rango inferior, aumenta en función del grado; en cambio, al escribir los cuatro numerales propios de cada grado, los errores disminuyen considerablemente y no se presentan diferencias entre grados. (Ver Anexo 6, p. 3)

Tabla 4. Proporción de aciertos y errores en escritura en función de rango y grado

Grado Rango Inferior%

Rango Propio%

Error Acierto Error Acierto2º 14,2 85,8 16,3 83,73º 24,0 76,0 21,4 78,64º 50,1 49,9 18,1 81,95º 54,2 45,8 22,3 77,7

Total 36,7 63,3 19,7 80,3

Conviene entonces examinar si las diferencias entre proporción de errores y aciertos en rango inferior, en función de grado, resulta significativa. El análisis de varianza (ANOVA) sobre comportamiento de la proporción de errores y aciertos al escribir numerales correspondientes al rango inferior, en 2°, 3°, 4°, 5°, permite rechazar la hipótesis de igualdad entre proporción de aciertos y errores al escribir numerales en el rango inferior, para cada grado (F(4,2451) = 115.41, p<.001, =0.05). Como F4,2451 2.3756 y es menor que el estadístico F calculado 115.41, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que no todos los grados tienen la misma proporción de errores en el rango inferior.

El análisis de las diferencias entre 2º y 3º y 3º y 4º no permite aceptar que la proporción de errores encontrados en el rango inferior sea la misma en cada uno de los grados. La proporción de los errores en el grado 2º, es significativamente menor que la proporción de los errores en el grado 3º y en 3º, igualmente, menor que en 4º.

Como los alumnos de 3º, 4º y 5° resuelven los mismos cuestionarios (Cuestionario 2 y 343) entonces se compara la proporción de errores de 3º con los de 4º. La prueba t, presenta una diferencia significativa entre los grados 3° y 4°, t(1163) = 9,669 , p<.001. En cambio, la prueba t para 4º y 5º no presenta diferencias significativas t(1294) = 1,496 , p<.135.

43 Se recuerda al lector que la única variación entre estos cuestionarios es el número de ítems en la pregunta 4.

48

Las parejas de estudiantes de 3º escriben 8 numerales, las de 4º, 12 y las de 5º, 16, o sea, que la diferencia en el número de numerales es constante (4). Por lo tanto se puede concluir que a medida que los grados aumentan, la proporción de parejas que cometen errores al escribir tiende a aumentar.2.1.1.2. Numerales con y sin 0

Para todos los grados la media de aciertos para los ítems que se escriben sin cero, es significativamente mayor que los que lo incluyen. (Ver Tabla 5)

Tabla 5. Diferencias entre medias de aciertos en ítems sin cero y con ceroGrado t gl Sig

2º 6,405 570 .0013º 7,601 583 .0014º 4,804 600 .0015º 6,688 694 .001

2.1.1.3.Tipos de error al escribir

Las producciones erradas de los alumnos al dictado se analizan desde la doble perspectiva de la psicolingüística y del rango numérico. Para la primera diferenciación se sigue la tradición de McCloskey y otros, (1985) Noel y Seron (1993) que distingue los errores léxicos de los sintácticos. En relación con la segunda, o sea, con el rango del numeral en el que se equivocan, se adopta la noción de escritura no convencional propuesta por Lerner y Sadovsky (1994) para designar las equivocaciones que los niños pequeños cometen al escribir numerales que aún no les han enseñado. Desde esta perspectiva, los errores que comenten al escribir numerales que pertenecen al rango inferior o propio, se consideran “error”, propiamente dicho y los que cometen al escribir numerales con un rango superior al propio, se denominan escritura no convencional.

Se considera que los alumnos cometen errores léxicos cuando la equivocación al escribir el numeral involucra cambios en la producción de los dígitos o las palabras numéricas, pero conservan el mismo orden de magnitud que el numeral dictado. En cambio, los errores producidos por deficiencias en el procesamiento sintáctico involucran respuestas en las cuales cambian la sintaxis y el orden de magnitud del numeral. En este caso, los errores algunas veces revelan la dominancia de la sintaxis de la expresión verbal sobre la sintaxis del formato arábigo (Orozco & Hederich, 2000); en otros, estos errores son producto de dificultades para procesar “las relaciones entre los elementos con el propósito de producir los números como un todo.” (McCloskey, Caramazza & Basili, 1985, p. 173).

La mayoría de las parejas que cometen errores léxicos, se equivocan al escribir entre 1 y 2 numerales; pocos cometen más de 2 errores léxicos. En cambio sorprende, en todos los grados, incluido 5º, los porcentajes de parejas de alumnos llegan a cometer hasta más de 5 errores sintácticos; sin embargo, la mayoría igualmente se ubican entre 1 y 2 errores; estos errores tienden a aumentar a medida que el grado aumenta. (Ver Tabla 6)

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Tabla 6. Proporción de errores sintácticos y léxicos en función del número de errores y grado

Grado Sintácticos %

Léxicos %

1-2 errores 3-4 errores >5 1-2 errores 3-4 errores2º 49,5 34,1 16,4 90,9 9,13º 56,2 29,2 14,6 97,4 2,64º 73,4 21,1 5,5 100,05º 80,0 12,6 7,4 95,5 4,5

Total 59,6 27,6 12,7 96,3 3,7

Niveles de error y escritura no convencional t gl Sig

Bajo: menos del 50% en aciertos 45.403 1755 .001Medio: entre el 50% y el 75% de aciertos 5.010 1755 .001Alto: más del 75% de aciertos 39.461 1755 .001

La prueba t, muestra una diferencia significativa entre la proporción de cuestionarios con error léxico y la proporción de cuestionarios con error sintáctico, t(2450) = 19,841 , p<.001, siendo mayor la proporción de cuestionarios con error sintáctico ( = ,2880) que los que presentan error léxico ( = ,066).

Para las categorías de error y escritura no convencional se consideran tres niveles: bajo si presentan menos del 50% en aciertos en los ítems que marcan error o escritura no convencional44, medio, si presentan entre el 50% y el 75% de aciertos y alto, para las parejas que presentan más del 75% de aciertos (solamente presentan 1 equivocación al escribir numerales que corresponden con una u otra categoría).

En el nivel bajo, la prueba t muestra diferencias significativas entre la proporción de cuestionarios con menos del 50% de aciertos en los ítems que miden error y la proporción de cuestionarios con menos del 50% de aciertos que miden escritura no convencional, t(1755) = -45,403 , p<.001. La proporción de cuestionarios con menos del 50% de aciertos es mayor para los ítems que miden escritura no convencional ( = 69,42, S = .46), es decir, numerales con rango superior al fijado para el grado, que en los ítems que miden error.

Para el nivel medio y alto, la prueba t arroja una diferencia significativa entre la proporción de cuestionarios con aciertos en los ítems que miden error y la proporción de cuestionarios con aciertos en los ítems que miden escritura no convencional. La proporción de cuestionarios con aciertos entre el 50% y el 75% es mayor para los ítems que miden error que los que miden escritura no convencional, Igualmente, la proporción de cuestionarios con más del 75% de aciertos es mayor para los ítems que miden error que para los que

44Error: ítems en rango inferior o propioEscritura no convencional: ítems con rango superior.

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miden escritura no convencional. Esto permite concluir que la escritura no convencional domina en las parejas con mayor fracaso.

Teniendo en cuenta que las parejas cometen dos grandes tipos de errores, conviene examinar si existen relaciones entre ellos: error léxico y sintáctico y error y escritura no convencional. El chi2 revela una dependencia significativa entre la variable error y escritura no convencional y la variable error sintáctico y léxico, (χ2 = 50,542, p < .001).

2.1.2. Secuencia de unidades

La pregunta que diagnostica la comprensión de los estudiantes sobre la secuencia de unidades en el sistema, no quedó bien diseñada. Los alumnos de 3º solamente resuelven secuencias en el rango propio (1.000 – 10.000); la pregunta no incluye ítems con rango inferior al fijado para este grado. En cambio, los estudiantes de 4º y 5º solamente resuelven secuencias en el rango inferior y ningún ítem en el propio; o sea, esta pregunta resulta difícil para 3º y fácil para 4º y 5º.

En secuencia de unidades, los datos no muestran parejas de 3º grado asignadas a la categoría “dificultad” y probablemente esto no es así, simplemente refleja un déficit de la pregunta, en relación con el criterio adoptado: se considera dificultad cualquier error en rango inferior. Como no se incluyen ítems con rango inferior, entonces aparentemente no hay errores.

Se puede concluir que las parejas de estudiantes de 2º y 5º comprenden de manera satisfactoria la secuencia de unidades, más los de 2º que los de 5º; que los estudiantes de 3º manejan la secuencia de unidades en el rango propio inclusive con más éxito que 4º y 5º. Los de 4º mayoritariamente dominan el manejo de la secuencias con rango inferior al propio, pero un porcentaje alto se equivoca al escribir numerales en secuencias prefijadas dentro de rangos inferiores al establecido para ese grado.

2.1.3. Descomposición de numerales

Algo similar sucede con el diseños de la descomposición de numerales. Los estudiantes de 3º deben resolver descomposiciones en el rango propio, los de 4º en el propio e inferior y los de 5º no descomponen numerales en el rango propio. En tercero pocas parejas (13,9%), son capaces de descomponer correctamente los dos numerales en el rango propio; la mayoría (86,1%) resuelven uno de los dos, prioritariamente 8.004. El 12,6% de las parejas de alumnos de 4º resuelven tanto los ítems con rango inferior como los de rango propio; la mayoría de las parejas de este grado 84,7% se equivocan al descomponer uno de los numerales en el rango propio; muy pocos (2,7%) tienen dificultades con los del rango inferior. En cambio las parejas de alumnos de 5º efectivamente presentan dificultades para descomponer numerales dentro de rangos inferiores al fijado para ese grado.

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2.1.4. Composición aditiva

Ahora, examinemos que sucede con los componentes que para su correcta ejecución exigen manejar operaciones. En composición aditiva, en todos los grados, un porcentaje alto de parejas presentan dificultades para resolver ítems con rango inferior al establecido para su grado.

En el diseño, para el componente composición aditiva, se manejan dos variables: 1) presentación de la pregunta: formato gráfico y verbal; y 2) tipo de composición aditiva: de numerales y de unidades.

Si se mantiene constante la variable rango numérico y se comparan los resultados de la composición aditiva en los ítems que presentan las gráficas de las monedas (ítem 24 para 3º y 4º y 22 para 5º), con el problema de Juan, que se presenta en formato verbal (ítem 28, para 3º y 4º y 26, para 5º) se encuentran diferencias en el porcentaje de parejas que resuelven correctamente uno y otro tipo de pregunta.

El análisis de la proporción de aciertos en las categorías gráfico y verbal, para los cursos 3°, 4° y 5°, permite señalar que en los tres grados, la presentación gráfica presenta mayor proporción de aciertos que en la presentación verbal y por lo tanto se puede suponer que la presentación gráfica resulta más fácil que la verbal.

Tabla 7. Proporción de aciertos en ítems con presentación gráfica, versus

verbal

Grado Gráfica Verbal

3º 24.7 16.14º 50.1 33.65º 65.0 58.1

Total 47.7 37.2

Grado t gl Sig

3º 4.420 583 .0014º 7.163 600 .0015º 2.959 694 .003

En 3º y 4º, la prueba t, indica una diferencia significativa entre las categorías presentación gráfica y verbal. La diferencia entre la proporción de aciertos es mayor en los ítems de la categoría gráfica que en la verbal. Teniendo en cuenta el tamaño de muestra, la diferencia en 5º, entre una y otra categoría, es mucho menor. Se puede entonces concluir que en 5º, la proporción de aciertos es ligeramente mayor en aquellos ítems que se presentan en formato gráfico.

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Parece ser que en 3º, 4º y 5º la dificultad es mayor en la composición aditiva de numerales; un porcentaje más alto de parejas tiene más dificultad para resolver este tipo de ítems, que al resolver ítems relativos a la composición aditiva de unidades.

Composición aditiva Ítem 3º %

4º%

5º%

De unidades 999+1 50,0 69,9 80,39.990+10 42,0 67,9 78,199.900+100 - 65,2 75,1

De numerales 6.000+500+60+5 24,7 50,1 65,010.000+80+3 16,1 33,6 58,1100.000+9.000+700 - 31,3 57,6

Estos resultados no son tan claros en 2º. Los cuestionarios para este grado presentan tres tipos de ítems: composición de unidades del sistema, composición de numerales y composición de unidades en un período dado. La composición 99+1 (Ver Anexo 5) (composición de unidades) y 199+1 (, son las que presentan el porcentaje más bajo de parejas con respuestas correctas (36 y 45%, respectivamente); contrariamente, 90+10 (composición de unidades) y 400+100 (composición de unidades en un período dado), presentan los porcentajes más altos de parejas (65 y 67%) que aciertan al responder estos ítems.

2.1.5. Composición multiplicativa

El porcentaje de parejas que responden correctamente al resolver los ítems que diagnostican la comprensión de la composición multiplicativa – 43,4% en 2º y 49,9% en 5º - evidencia una mejor comprensión de esta operación en estos grados que en 3º y 4º; en estos dos últimos grados, los porcentajes más altos de parejas 77,1 y 71,4% respectivamente, están asignados a la categoría “dificultad”.

Las parejas de estudiantes de 2º y 5º, elevan el porcentaje de respuestas correctas en las composiciones multiplicativas, porque en estos grados no resuelven multiplicaciones en el rango propio y entonces, o resuelven correctamente la totalidad de las multiplicaciones o fallan al resolver al menos una de las de rango inferior. Esto quiere decir que los estudiantes de 2º logran establecer: a cuanto dinero corresponden a 4 y 9 monedas de $10, tarea se presenta en formato gráfico; los de 5º, logran obtener el monto de dinero que Juan y María tienen en monedas de 10.000, 1.000, 100 y 10 pesos.

Quisiera señalar que estos ítems, poseen una estructura multiplicativa, pero se pueden resolver por simples conteos o adiciones, que no exigen “llevar” y no necesariamente exigen procedimientos multiplicativos.

En el caso de 3º las dificultades encontradas, se pueden entender porque existe una diferencia significativa45 entre las respuestas a los ítems que se presentan en formato verbal gráfico (100% de acierto al resolver los ítems 22 y 23 de la pregunta 4) y los de formato verbal escrito, del mismo rango (48, 36 y 52% de respuestas correctas al resolver los ítems

45 No se evalúa nivel de significación porque las diferencias son evidentes.

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25, 26 y 27, respectivamente (Ver Anexo 5). Esto permite concluir que en este grado, los alumnos aún tienen dificultadas para resolver problemas verbales, porque los rangos de los numerales no cambian y corresponden a un rango inferior al fijado para el grado; igualmente, que pueden resolver estos ítems utilizando procedimientos aditivos.

Los porcentajes de parejas de alumnos de 4º también presentan diferencias significativas al resolver los ítems correspondientes a formato gráfico (100% de acierto) y los ítems del mismo rango, presentados en formato verbal escrito (65, 58 y 75% de parejas resuelven correctamente los ítems 25, 26 y 27, respectivamente). Sin embargo, el caso de 4º las diferencias son menos claras, debido a la mayor cantidad de ítems de composición multiplicativa que deben resolver correctamente (Ver Anexo 5). El porcentaje de parejas que logran resolver los ítems 21 (rango inferior) y 29 (rango propio), es el más bajo (53 y 57%, respectivamente).

Al analizar los resultados de 5º, resulta necesario señalar una vez más, que los alumnos de 5º no resuelven ítems relativos a la composición multiplicativa en el rango propio; por esto o resuelven todos los ítems de rango inferior bien (49,9%), o fallan aunque sea en uno (50,1). Reconociendo que el porcentaje de parejas de 5º que aciertan al resolver la totalidad de los ítems con rango inferior relativos a la composición multiplicativa es superior (casi la mitad de los sujetos lo logran), la comprensión en este grado no es óptima porque en ningún de los ítems alcanzan el 100% de respuestas correctas. Es necesario recordar al lector que el cuestionario para este grado, no presenta ítems multiplicativos en formato gráfico y por lo tanto, no se pueden comparar para este componente los porcentajes de parejas de 5º que aciertan al resolver ítems en formato gráfico y en formato verbal escrito.

En relación con 2º, se supone que los procedimientos que permiten resolver los ítems relativos a la composición multiplicativa en el cuestionario 1, pueden ser de dos tipos: de conteo unitario o enumeración (7 monedas de $1 y 9 monedas de $1) y de suma reiterada o conteo de 10 en 10 (4 monedas de $10 y 9 monedas de $10). El análisis de los porcentajes de parejas que aciertan al resolverte estos ítems, permite suponer diferencias.

La prueba t, muestra una diferencia significativa entre la proporción de acierto en los ítems que se pueden resolver utilizando procedimientos de conteo y los que exigen utilizar la suma: t(570) = 6.160, p<.001; la proporción de aciertos es mayor en los ítems de conteo unitario ( = .6813, S = .4664) que en los que solamente se pueden resolver utilizando la suma, o conteos de 10 en 10.

2.1.6. Descomposición multiplicativa

La descomposición multiplicativa es el componente que resulta más difícil para todos los grados, incluido tercero, pues aunque en este grado, el porcentaje de parejas que presentan dificultad es el mismo que en la composición aditiva (82,9%), ninguna pareja de 3º es capaz de descomponer la totalidad de los ítems de rango inferior y propio.

En el diseño de las estas preguntas se diferencian los ítems que evalúan la comprensión de la descomposición de unidades del SNBD de la descomposición de unidades en un período dado y nos preguntamos: ¿cuál resulta más fácil para los alumnos?. El análisis de los porcentajes de parejas que aciertan, igualmente permite supone que la distancia entre el

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dividendo y el divisor puede incidir en la dificultad que presentan al resolver estos ítems. Por ejemplo, en 2º no es lo mismo descomponer 40/10 que 40/1; en 3º, 4º y 5º, 900/100 que 900/10; parece que a mayor distancia entre las unidades a descomponer, mayor dificultad se encuentra.

Al examinar la proporción de aciertos en los ítems que diagnostican descomposición de unidades del SNBD versus los que diagnostican descomposición de unidades en un período dado, en función del grado, se obtienen diferencias:

Tabla 8. Proporción de aciertos en los ítems de descomposición de unidades del SNBD y de unidades en un período, según gradoGrado Unidades del SNBD

%Unidades en un período

%3º 33.9 6.54º 12.1 16.85º 22.9 37.3

% Total 22.9 21.2

Grado t gl Sig

3º 14.347 583 .0014º -2.875 600 .0045º -7.415 694 .001

En 3º se presentan diferencias significativas entre los ítems que diagnostican descomposición de unidades del SNBD y los de descomposición de unidades en un período; la proporción de aciertos es mayor en los ítems relativos a la descomposición de unidades del SNBD que en los de descomposición de numerales en un período.

En 4º y 5º, la prueba t, igualmente muestra una diferencia significativa entre los ítems que diagnostican descomposición de unidades del SNBD y los de descomposición de unidades en un período; se puede concluir que la proporción de aciertos es mayor en los ítems de descomposición de unidades en un período que unidades del sistema; aunque para 4º, esta diferencia es menor.

La proporción de aciertos en los ítems que presentan menor diferencia entre divisor y dividendo, igualmente varía en relación con los que presentan mayor diferencia.

Tabla 9. Proporción de aciertos en los ítems que presentan diferencia menor ó diferencia mayor entre divisor y dividendo

Grado Menor%

Mayor%

2º 8.9 4.63º 29.3 6.54º 35.3 7.5

55

5º 59.3 16.5% Total 34.5 9.1

Grado t gl Sig

2º 3.467 570 .0013º 12.629 583 .0014º 14.491 600 .0015º 22.240 694 .001

La prueba t, muestra una diferencia significativa entre la proporción de aciertos al resolver ítems que presentan menor diferencia entre divisor y dividendo, en todos los grados, confirmando el supuesto.

A continuación el lector encuentra un resumen de los del tipo de comprensión y dificultad que las parejas de estudiantes presentan en cada componente, en función del grado que cursan.

INSERTAR CUADRO 5. RESUMEN DE COMPRENSIÓN Y DIFICULTAD

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5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

Dos tesis, una eminentemente pragmática y otra teórica, permiten explicar por que los estudiantes muestran la mayor comprensión al resolver los ítems relativos a secuencia de unidades y escritura. La estrategia de enseñanza más generalizada en la escuela, “las planas”, posiblemente, les permite aprender a escribir numerales. Autores como Steffe (1991) y Meninger (1978) señalan que la secuencia numérica es el primer conocimiento matemático que los niños construyen.

Sin embargo, quisiera aventurar una tercera hipótesis, relativa al carácter de las tareas que permitiría explicar estos resultados. El dictado, es una tarea de transcodificación, que exige al estudiante transformar la expresión numérica verbal dictada al formato arábigo. Muchos autores señalan que para resolver esta tarea, los alumnos utilizan una “ruta de procesamiento asemántica” (Noel y Seron, 1993; Cipolotti & Butterworth, 1995) dominada por las pautas lingüísticas y que su solución probablemente no requiere del manejo operatorio del sistema (Orozco & Hederich, 2000).

Quisiera proponer que un proceso de transcodificación asemántica puede igualmente permitir el manejo exitoso de la secuencia de unidades. Examinemos las pautas lingüísticas que pueden ayudar:

Diez, veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, ochenta, noventa, cien, doscientos, trescientos, cuatrocientos, quinientos, seiscientos, setecientos, ochocientos, novecientos, mil, mil cien, mil doscientos. Se trata de un sistema reiterativo que a partir de ciertos numerales presenta pocas palabras nuevas y que utiliza marcas que definen el tipo de unidad que se debe utilizar. En el período de las centenas, dos, tres, cuatro,46 seis, ocho, son expresiones idénticas a las de los ocho primeros números naturales, que acompañadas con la expresión cientos, que marca el valor de la unidad, permiten o al menos facilitan completar la secuencia de unidades de orden 2.

Por esto, aunque el análisis teórico de las secuencias permite suponer la necesidad de inferir la diferencia entre las unidades que se presentan como ejemplo (Ver Cuadro 1. Análisis de la estructura de los cuestionarios), los hallazgos de la investigación reciente, permiten suponer que la inferencia inicial marca la pauta, pero que el seguimiento de la pauta lingüística y la transcodificación asemántica de la misma al formato arábigo, permiten resolver la tarea de secuencia. En otras palabras, propongo que la tarea de secuencia de unidades exige para su solución una lógica similar a la de la del dictado, que no requiere del manejo de las características operatorias del sistema.

La diferencia significativa entre errores sintácticos y léxicos, la media de los primeros significativamente mayor que las de los segundos, soporta este supuesto. En un trabajo previo proponemos que en los errores sintácticos domina la sintaxis de la expresión verbal sobre la sintaxis del formato arábigo; si la mayoría de los errores que los alumnos con dificultades cometen son de tipo sintáctico, este dato apoya la tesis de la dominancia de las marcas lingüísticas para escribir numerales y manejar secuencias.46 El “cinco” no se incluye porque se dice “quinientos”; una palabra nueva. (Ver Orozco, 1999)

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Las dificultades de las parejas de estudiantes se incrementan a partir de las preguntas relativas a las operaciones de composición y descomposición en el sistema, o sea, en los componentes que exigen el manejo de operaciones y sus algoritmos.

Sorprenden que la proporción de parejas que comprenden la composición multiplicativa resulta superior a la proporción en composición aditiva. Según Resnick (1998) la adición es una operación natural a los niños, no así la multiplicación. Entonces, cómo explicar esta diferencia entre composición multiplicativa y aditiva, a favor de una mayor facilidad para resolver la primera? ¿Cómo explicar la contradicción que los resultados de este estudio plantean con los postulados teóricos?

Probablemente el formato y el contenido de las preguntas facilitan las respuestas a los ítems que diagnostican comprensión de la composición multiplicativa. Dos ítems presentan fotografías de monedas y la solución de las multiplicaciones de mayor rango, solamente presentan casos especiales de multiplicación: ×10, ×100 y ×1.000.

Cognitivamente se espera que la multiplicación resulte más difícil que la adición (Resnick 1998, Orozco, 1996) pero la ayuda que las fotos de las monedas les proporcionan, constituyen características de los ítems que diagnostican comprensión en estos componentes que permitirían explicar este desfase.

Es posible proponer que los ítems relativos a composición multiplicativa no diagnostican efectivamente el nivel de comprensión de la operación, pues se pueden resolver a partir de conteos simples o procedimientos aditivos muy primitivos. La mayoría de los procedimientos para resolver multiplicaciones, que las parejas consignan en los cuestionarios o en las hojas que se recogieron, son de tipo aditivo y no multiplicativo.

Las preguntas referidas a la composición aditiva exigen que los alumnos manejen el algoritmo de la operación - y no cálculos mentales simples, como los requerido por los ítems relativos a la composición multiplicativa - y este fue uno de los déficit más altos de los niños frente al cuestionario.

Es probable que la presentación de las preguntas de composición aditiva de numerales no facilita la localización de los numerales en columnas, la manera más elemental de manejar el algoritmo.47 Sin embargo, esta dependencia de la localización, se puede considerar como indicador de una comprensión poco elaborada y poco abstracta del algoritmo.

En la composición aditiva el cuestionario distingue entre composición de numerales y composición de unidades.

47 La pregunta 4 incluye un ejemplo; 60 (producto de 6 monedas de 10) está escrito sobre la primera línea de las preguntas que indagan sobre el mondo de dinero en las mondas de diferentes denominaciones.

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Composición de numerales Composición de unidades1.000 99 + 500 1 60 100 51.565

En la composición de numerales funciona la propiedad modulativa de la suma y su complejidad cognitiva, derivada del seguimiento del algoritmo, se fundamenta en la posición de los dígitos en las columnas. La composición de unidades, exige que el estudiante proceda ya bien sea, mentalmente, porque sabe que 99+1=100, o que utilice el algoritmo y la suma llevando. La suma “llevando” exige trabajar adecuadamente el orden de los dígitos en las columnas y “sumar llevando”, o sea, plantea una mayor demanda cognitiva a quien la resuelve.

El análisis de las diferencias en las respuestas a los problemas de composición de numerales y los de composición de unidades, permite señalar, el mal manejo del algoritmo de la suma, como uno de los causantes de este problema. Esto permitiría concluir como Resnick señala que los estudiantes poseen la operación mental de suma de manera natural pero no así el manejo del algoritmo.

Probablemente la utilización de procedimientos de conteo y suma, que no exigen “llevar”, ni el manejo del algoritmo de la suma, explican los aciertos que las parejas de estudiantes alcanzan en los ítems relativos al componente composición multiplicativa y explica el porcentaje de fracasos al resolver los ítems relativos a la composición aditiva, que efectivamente exigen el manejo del algoritmo.

Teóricamente, la solución de tareas que exigen la utilización de operaciones inversas resultan más difíciles para los alumnos de primaria y los resultados de las respuestas a los cuestionarios, lo confirman: indiscutiblemente, la mayor dificultad la enfrentan al resolver los ítems relativos a la descomposición multiplicativa, principalmente aquellos cuya solución requiere de la operación inversa.

La totalidad de los ítems que diagnostican descomposición son problemas de cambio de monedas de una denominación superior en una inferior. En los ítems que solamente requieren descomponer unidades dentro del mismo orden: los estudiantes alcanzan los porcentajes más altos de aciertos en descomposición (Ver Anexo 5). En relación con este hallazgo, propongo que procedimientos de tipo aditivo permiten resolver estas descomposiciones, así: 100, 200, 300, igual a 3 de 100; lo mismo para los de mil. Se puede entonces suponer que para resolver estas situaciones de cambio, los alumnos utilizan procedimientos de conteo o sumas reiteradas48.

Los procedimientos aditivos resultan adecuados cuando la diferencia entre los rangos de las unidades involucradas en el problema no es grande, como en los ejemplos anteriores; sin embargo, cuando la diferencia entre dividendo y divisor es alta, (3.000/10) cómo la

48 Escritura y algoritmos que permiten inferir estos tipos de procedimientos y que confirmarían este supuesto, se encuentran en los papeles que los alumnos utilizaron para resolver las preguntas y en la margen de los mismos cuestionarios.

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solución de este tipo de ítems requiere de la división, las dificultades son significativamente mayores. Y esto puede ser así porque los procedimientos aditivos que utilizan para resolver todo tipo de problemas no les permiten resolver estas descomposiciones y los alumnos no poseen o manejan la operación multiplicativa que es la única que les permitiría resolverlos.

Este análisis permite proponer a manera de hipótesis que el dominio de procedimientos primitivos impide que los alumnos comprendan el SNBD.

Fischbein y sus colegas, han señalado que “las operaciones aritméticas básicas permanecen generalmente atadas a modelos primitivos intuitivos implícitos e inconscientes.” (Fischbein y otros, 1991, p. 2) Por ejemplo el concepto de multiplicación permanece intuitivamente ligado con el modelo de adición repetida. (Fischbein y otros, 1985). Estas restricciones del modelo particular pueden imponer la selección de operaciones que no resultan adecuadas. (Citado por Orozco, 1996, p. 7)

Son indicadores de procedimientos primitivos, la transcodificación asemántica, no operatoria de las expresiones numéricas verbales dictadas, al formato arábigo y la utilización de procedimientos de conteo y suma reiterada, para resolver problemas multiplicativos directos e inversos.

Se puede suponer que los procedimientos de conteo que permiten a los niños de 2º resolver problemas multiplicativos, y las adiciones reiteradas - que permiten a la totalidad de las parejas de 3º y 4º resolver los problemas presentados en formato gráfico y que les impiden resolver la descomposición de unidades, cuando la distancia entre el dividendo y el divisor es amplia - prevalecen a través de la primaria e impiden comprender el sistema.

El análisis de la diferencia entre acierto y error en escritura con los aciertos en los componentes operatorios del sistema – descomposición multiplicativa, composición multiplicativa y composición aditiva - puede apoyar este supuesto. Examinemos los resultados:

Tabla 10. Diferencias entre medias de aciertos y error en escritura, en función de los componentes operatorios del sistema

Componente t gl SigDescomposición multiplicativa 6.611 2449 .001Composición multiplicativa 9.202 2449 .001Composición aditiva 3.788 2449 .001

En todos los componentes operatorios del sistema, la prueba t, indica una diferencia significativa en la proporción de aciertos y dificultades al escribir numerales. Las diferencias entre la proporción de aciertos y dificultades al escribir numerales son mayores en los componentes descomposición y composición multiplicativa, que en composición aditiva. Estas pruebas dan soporte estadístico a los supuestos previamente presentados.

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6. CONCLUSIONES

Los formatos de presentación adoptados para las preguntas en los cuestionarios, los rangos numéricos establecidos de acuerdo con los mínimos logros esperados para cada grado, permiten esperar que las parejas de estudiantes responda la totalidad de los ítems fijados para su grado; sin embargo el panorama encontrado, difiere de este supuesto.

Algo menos que el 50% de las parejas que respondieron los cuestionarios, o sea, algo menos que la mitad de la muestra poseen una comprensión aceptable de la mayoría de los componentes del sistema: el 28% de las parejas resuelven la totalidad de los ítems dentro del rango inferior y propio y 18%, la totalidad de los ítems de rango inferior y el 50% de los ítems en el rango propio. Igualmente, estos resultados permiten señalar que un poco más que el 50% de la muestra no comprenden el sistema porque no resuelven correctamente ítems con un rango inferior al propio.

En relación con los componentes del sistema, resulta claro que un porcentaje alto de parejas de estudiantes escriben correctamente la mayoría de los numerales hasta el rango correspondiente a su grado, manejan la secuencia numérica y son capaces de descomponer numerales, fundamentalmente de rangos inferiores al propio; más de la mitad manejan el componente multiplicativo del sistema y solamente un porcentaje muy reducido manejan el aditivo, la descomposición multiplicativa y la descomposición de numerales. Se puede entonces concluir que las parejas de alumnos presentan dificultades para descomponer unidades y numerales, componer aditivamente unidades y numerales y componer multiplicativamente unidades y numerales en el rango inferior al propio.

En relación con la escritura al dictado, a medida que los grados aumentan los errores en la escritura se incrementan de manera significativa. Los errores de escritura no se resuelven y más bien se acumulan a medida que los alumnos pasan los grados y el rango de los numerales es mayor y tienden a ser más frecuentes en los numerales que presentan cero.

En todos los grados las parejas resuelven los problemas de composición y descomposición multiplicativa, utilizando procedimientos primitivos de conteo y adición y en pocos casos procedimientos multiplicativos. Esto queda demostrado por la dificultad de los estudiantes de descomponer numerales que guardan distancia con el divisor, en todos los grados.

Los estudiantes manejan la secuencia numérica, aprenden a escribir numerales y a descomponerlos, pero probablemente para alcanzar estos logros se apoyan en las marcas lingüísticas de las expresiones numéricas que manejan y no en los aspectos operatorios del sistema.

Parece ser que el principal problema de los estudiantes en la primaria está relacionado con el manejo y la comprensión de las operaciones. Sin embargo, y esto constituye un círculo vicioso, para operar necesitan números y tampoco es claro que los estudiantes construyan números durante la primaria.

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La diferencia en los resultados entre presentación en formato gráfico y verbal igualmente permite concluir que los alumnos no alcanzan el nivel de abstracción exigido por la matemática de la primaria.

Al finalizar la investigación, quedan aún muchas preguntas sin responder: Coincide la dificultad de los ítems con los criterios teóricos adoptados. Merece la pena estandarizar un cuestionario como este? Puede convertirse el cuestionario en una medida de pronóstico?

Resultaría igualmente interesante y necesario establecer diferencias entre grupos escolares, que tengan en cuenta tipos de escuela y condiciones escolares. Es posible aprender matemáticas en las condiciones descritas? Inciden estas condiciones en la comprensión de los alumnos y en las dificultades que presentan? De acuerdo con Grobecker consideramos que el problema de la dificultad con el conocimiento matemático es un fenómeno multivariado, producto de múltiples factores y que no se puede inculpar al maestro o a los alumnos de lo que está pasando. Cuales otros factores inciden?

Finalmente, contamos con bases de datos que apenas empezamos a analizar. Una estudiante de maestría, miembro del equipo va a trabajar la clasificación de los errores sintácticos de escritura, poniendo a prueba tipos de error propuestos en la investigación precedente. No supimos formular preguntas escritas que nos permitan indagar sobre la comprensión que los alumnos poseen de la equivalencia, una noción fundamental a la comprensión del sistema. Este punto del cuestionario queda pendiente.

BIBLIOGRAFIA

Anghileri, J. (1989) An investigation of young children’s understanding of multiplication.

Educational Studies in Mathematics, 20, 367-385.

Bedoya, E., Orozco, M. (1991) El niño y el sistema de numeración decimal. Comunicación,

Lenguaje y Educación. Vol. 11-12: 55-62

Betancur, R. (1998) Logros del programa: Conocimiento de los alumnos. Programa de Formación, Actualización y Profesionalización de Docentes al Servicio del Estado en el Área de Matemáticas, Departamento de Risaralda. Santiago de Cali: Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados en Psicología, Cognición y Cultura.

Carpenter, T. P. & Moser, J. M. (1983) The acquisition of addition and subtraction

problem-solving skills. In Lesh, R. & Landau, M. (Eds.) Acquisition of Mathematics:

Concepts and Processes. N.Y.: Academic Press. 128-174.

Dehaene, S. (1992) Varieties of numerical abilities. Cognition. Vol. 44: 1-42

Díaz, C., Álvarez, J., Torres, L. & Guacaneme, E. (1997) Tercer estudio internacional de matemáticas y ciencias. Análisis y resultados de las pruebas de matemáticas TIMSS Colombia. Bogotá: MEN.

Dienes, Z. P. (1964) Building up Mathematics (2nd ed.). London: Hutchinson Educational.

62

Dienes, Z. P. Golding, E. (1966/1968) Conjuntos, números y potencias. Barcelona:

Editorial Teide.

Fischbein, R., Deri, M., Nello, M., & Marino, M. (1985) The Role of Implicit Models in

Solving Verbal Problems in Multiplication and Division. Journal for Research in

Mathematics Education, 16, 3-17.

Fischbein, R., Seri, M., Nello, M., & Sciolis, M. (1991) Role of implicit models in solving

elementary arithmetical problems. Tel-Aviv: Tel-Aviv University. Draft.

Fuson, K. C., Smith, S. (1996) Supporting multiple 2-digit conceptual structures and

strategies in the classroom: Issues of conceptual supports, language, and instructional

design. Paper presented at The meeting on the role of contexts an models in the

development of mathematical strategies and procedures, Leiden University, The

Netherlands, December, 1996: 2-27.

Garrett, H. & Woodworth, R. (1966) Statistics in Psychology and Education. N.Y.: David

McKay Company, Inc.

Geary, D., Widaman, K., & Little, T. (1986) Cognitive addition and multiplication:

Evidence for a single memory network. Memory & Cognition. Vol. 14, No. 6: 478-

487

Geary, D. & Widaman, K. (1987) Individual differences in cognitive arithmetic. Journal of

Experimental Psychology General. Vol. 116: 154-171

Gobernación del Valle (1998-2000) Valle del Cauca. Directorio Educativo. Santiago de Cali: Secretaría de Educación Departamental, Gobernación del Valle.

Grobecker, B. (1996) Reconstructing the paradigm of learning disabilities: A holistic/constructivist interpretation. Learning Disability Quarterly. Vol. 19: 179-200

Grobecker, B. (1997) Partitioning and unitizing in children with learning differences. Learning Disability Quarterly, Vol. 20: 249-267

Grobecker, B. (1998a) The new science of life and learning differences. Learning Disability Quarterly. Vol. 21: 207-227

Grobecker, B. (1998b) Redefining mathematics “disabilities”. The Genetic Epistemologist. Vol. 26, No. 4: 1-14

63

Grobecker, B. (2000) Examining the facts: A response to Lourenço and Machado. Genetic Epistemologist. Vol. 27, No. 3: 9-16

Hederich, C. (1995) Dificultad cognitiva de algunos ítems de la aritmética elemental.

Enfoques Pedagógicos. Vol. 3, No. 2: 59-81

Hederich, C. (2000) Construcción de un modelo de procesamiento del sistema rotacional

en base 10. Bogotá: Centro de Investigaciones de la Universidad Pedagógica.

Proyecto de Investigación.

Hederich, C. y Orozco, M. (2000) Relación entre la construcción de la multiplicación y el

uso del sistema de notación en base 10. (En prensa)

Ifrah, G. (1985/1988) Las cifras: Historia de una gran invención 2nd edición. Madrid:

Alianza.

Larremendy-Joerns, J. (1998) Comprensión de situaciones problema y formulación de

preguntas en biología evolutiva: Un estudio comparativo entre expertos y aprendices.

Cali: Escuela de psicología. Universidad del Valle. Proyecto de investigación.

Larremendy-Joerns, J., Tascón, R. y Sandino, J. C. (2000) Comprensión de situaciones

problema y formulación de preguntas en biología evolutiva: Un estudio comparativo

entre expertos y aprendices. Cali: Escuela de psicología. Universidad del Valle.

Lerner, D. & Sadovsky, P. (1994) El sistema de numeración un problema didáctico. En

Parra, C. & Saiz, I. (Comps.) Didáctica de las matemáticas. Buenos Aires: Ediciones

Paidos SAICF. 95 - 184.

Macaruso, P., McCloskey, M. & Aliminosa, D. (1993) Cognitive Neuropsychology. Vol.

10, No. 4: 341-376.

Maza Gómez, C. (1989) Sumar y restar. El proceso de enseñanza/aprendizaje de la suma y

de la resta. Madrid: Aprendizaje Visor.

Maza Gómez, C. (1991) Multiplicar y dividir. A través de la resolución de problemas.

Madrid: Aprendizaje Visor.

64

McCloskey, M. (1992) Cognitive mechanisms in numerical processing: Evidence from

acquired dyscalculia. Cognition. Vol. 44: 107-157.

McCloskey, M., Aliminosa, D., & Sokol, S. (1991) Facts, rules and procedures in normal

calculation: Evidence from multiple single-patient studies of impaired arithmetic fact

retrieval. Brain and Cognition. Vol. 17: 154-203

McCloskey, M., Caramazza, A. & Basili, A. (1985) Cognitive mechanisms in number

processing and calculation: Evidence from dyscalculia. Brain and Cognition. Vol. 4:

171-196

MEN - ICFES (1997) Evaluación de logros en matemáticas: lineamientos teóricos. Pruebas de 3º, 5º, 7º y 9º, 1992-1994. Serie Publicaciones para Maestros. Sistema Nacional de Evaluación de la Educación. Bogotá: MEN

MEN - ICFES (2001) Evaluación de la calidad de la educación. Resultados de evaluación en los grados 3º, 5º, 7º y 9º. Pruebas realizadas durante 1997 – 1999, Matemáticas y Lenguaje. Documentos Especiales, Valle del Cauca. Bogotá: MEN

Menninger, K. (1969) Number words and number symbols. Cambridge, MA: MIT Press.

Nunes, T. & Bryant, P. (1996) Construcción de los sistemas de numeración. En Las

matemáticas y su aplicación: la perspectiva del niño 2nd edición. México: Siglo XXI

Editores.

Orozco, M. (1996) Análisis microgenético y procesual de la construcción de la operación

multiplicativa. Barcelona: Universidad de Barcelona. Tesis Doctoral.

Orozco, M. (1999) Análisis del sistema de notación en base 10 y sus implicaciones para la

enseñanza de los naturales en primaria. Conferencia dictada en el Primer Encuentro

Colombiano de Educación Matemática. Bogotá: Universidad Francisco José de

Caldas, Octubre.

Orozco, M. (2000) Los niños e sus dificultades con el sistema notacional en base diez.

Revista de Educaçao Projeto, Matemática. No. 03: 20-28

Orozco, M. & Hederich, C. (1997, 2000). Construcción de la operación multiplicativa y del

sistema de notación en base 10: Una relación posible. Santiago de Cali: Centro de

65

Investigaciones y Estudios Avanzados en Psicología, Cognición y Cultura,

Universidad del Valle.

Orozco, M. & Hederich, C. (2001) Errores de los niños al escribir numerales dictados. (En

prensa)

Piaget, J. (1983/1987) Possibility and Necessity. Minneapolis: University of Minnesota

Press.

Piaget, J., Grize, T. B., et al. (1968) Epistémologie et psychologie de la fonction. Etudes

d’épistémologie génétique. XXIII. París: P.U.F.

Polya, G. (1965) Cómo plantear y resolver problemas. México: Editorial Trillas.

Decimoséptima reimpresión, 1992.

Puche Navarro, R, Colinvaux, D. Dibar Ure, C. Compiladoras. (2001) El niño que piensa.

Un modelo de formación de maestros. Cali: MEN, OEA.

Resnick, L. (1986) The development of mathematical intuition. In Perlmutter, M. (Ed.)

Perspectives on Intellectual Development: Minnesota Symposia on Child Psychology.

Vol. 9: 159-194.

Scheuer & Otros (2000) Cuando ciento setenta y uno se escribe 10071: niños de 5 a 8 años produciendo numerales. Infancia y Aprendizaje. Vol. 90: 31-50

Seron, X. & Deloche, G. (1987) Numerical transcoding. A general production model. En

Deloche, G. & Seron, X. (Eds.) Mathematical Disabilities: A Cognitive

Neuropsychological Perspective. Hillsdale N.J: Erlbaum.

Simon, H. (1986) The information-processing explanation of gestalt phenomena. Computers in Human Behavior. Vol. 2: 481-493

Vasco, E., Escobedo, H., León, T. & Negret, J.C. (1994) La teoría general de procesos y sistemas. Una propuesta semiológica, ontológica y gnoseológica para la ciencia, la educación y el desarrollo. In Aldana, E. & Otros (Comisionados) Misión Ciencia, Educación y Desarrollo Tomo 2. Informes de Comisionados I. Bogotá: Presidencia de la Republica y COLCIENCIAS.

Vergnaud, G. (1983) Multiplicative structures. In Lesh, R. & Landau, M. (Eds.) Acquisition

of Mathematics: Concepts and Processes. N.Y.: Academic Press. 128-174.

66

Vergnaud, G. (1988) Multiplicative structures. In Hiebert, J. & Behr, M. (Eds.) Number

Concepts and Operations in the Middle Grades. Vol 2: 141-161. Reston, Virginia:

The National Council of Teachers of Mathematics, Inc., 2nd Printing 1989

Vergnaud, G. & Durand, C. (1976/1983) Estructuras aditivas y complejidad psicogenética.

En Coll, C. (Comp.) Psicología genética y aprendizajes escolares. Recopilación de

los textos sobre las aplicaciones pedagógicas de las teorías de Piaget. Madrid: Siglo

XXI de España Editores S.A. 105-128

Zhang, J., Norman, D. (1995). A representational analysis of numeration systems.

Cognition, Vol. 57: 271-295.

67

BIBLIOGRAFÍA

Behr, M. J., Harel, G., Post, T. & Lesh, R. (1992) Units of quantity: A conceptual basis

common to additive and multiplicative structures. In Harel, G. & Confrey, J. (Eds.)

The Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics.

Albany: State University of New York Press.

Betancur, R. D. (1998) Logros del programa: Conocimiento de los alumnos. Programa de Formación, Actualización y Profesionalización de Docentes al Servicio del Estado en el Área de Matemáticas, Departamento de Risaralda.. Capítulo 3. Cali: Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados en Psicología, Cognición y Cultura.

Cobb, P., McClain, K., Stephan, M. & Gravemeijer K. (2000) Participating in Classroom Mathematical Practices. Vanderbilt University & State University Utrecht. Draft paper.

Harel, G. & Tall, D. (1991) The general, the abstract and the generic in advanced

mathematics. Learning of Mathematics. Vol. 11, No. 1: 38-43.

Orozco, M. (1997) La matemática en primaria. Actas 8vas JAEM. Jornadas para el

aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. Salamanca, España: 447-449

Orozco, M. (1998) Programa de actualización, profesionalización y formación en matemáticas. Programa de Formación, Actualización y Profesionalización de Docentes al Servicio del Estado en el Área de Matemáticas, Departamento de Risaralda. Capítulo 1. Cali: Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados en Psicología, Cognición y Cultura.

Orozco, M., De la Fuente C., Alonso M., De la Torre F., Herrero S., Moreno J., Ortega E.,

(1997) Un modelo de formación de profesores: El programa del CEP de Burgos para

la enseñanza de las matemáticas. Actas Encuentro Internacional sobre el Aprendizaje

Significativo. Burgos: Universidad de Burgos. 239-249

Perry, P., Andrade, L., Fernández, F., Castro, M. & De Meza, M. (1999) Reflexión: Componente de la actividad profesional del docente de matemáticas. Bogotá: Una empresa docente.

Piaget, J. (1969/1983) Psicología y Pedagogía. Madrid: Editorial Ariel, S.A.

Puche, R., Colinvaux, D. & Dibar, C. (2001) El niño que piensa. Un modelo de formación de maestros. Washington: OEA & Bogotá: MEN.

68

Saxe, G., Gearhart, M., Franke, M., Howard, Sh. & Crockett, M. (1999) Teachers´ shifting assessment practices in the context of educational reform in mathematics. Teaching and Teacher Education. Vol. 15: 85-105

Steffe, L. (1991) Cómo construye el niño la significación de los términos aritméticos: Un

problema curricular. Cuadernos de Psicología. Vol. 11, No. 1: 105-162

Vasco, E., Escobedo, H., León, T. & Negret, J.C. (1994) La teoría general de procesos y sistemas. Una propuesta semiológica, ontológica y gnoseológica para la ciencia, la educación y el desarrollo. In Aldana, E. & Otros (Comisionados) Misión Ciencia, Educación y Desarrollo Tomo 2. Informes de Comisionados I. Bogotá: Presidencia de la Republica y COLCIENCIAS.

69

BIBLIOGRAFÍA

Chao, Shaw-Jing, Stingler, J & Woodward, A (2000). The effects of physical materials on kindergartner’s learning of numbers concepts. En Cognition and Instruction. Vol. 18(3), 285-316

Cobb, P., Yackel & Wood (1992). Learning and interaction in classroom . En Educational Studies in Mathematics. Vol. 23, 99-122.

Cobb, P., McClain, K., Stephan, M. & Gravemeijer K. (2000) Participating in Classroom Mathematical Practices. Vanderbilt University & State University Utrecht. Draft paper.

Croll, P. (1995) La observación sistemática en el aula. Madrid: Editorial La Muralla, S.A.

Kaplan, R., Yamamoto, T. & Ginsburg, H. (1989) La enseñanza de conceptos matemáticos In Resnick, L. & Klopfer, L. (comps.) Currículum y Cognición. Buenos Aires: Aique Grupo Editor S.A. 105-140

Lakoff, G,. & Núñez R. (2000) Where mathematics come from. New York: Basic Books.

Maza, C. (1995) Aritmética y representación. De la comprensión del texto al uso de

materiales. Barcelona: Ediciones Paidos Ibérica.

Puche, R., Colinvaux, D. & Dibar, C. (2001) El niño que piensa. Un modelo de formación de maestros. Washington: OEA & Bogotá: MEN.

Resnick, L. (1986) The development of mathematical intuition. In Perlmutter, M. (Ed.) Perspectives on Intellectual Development: Minnesota Symposia on Child Psychology. Vol. 9: 159-194

Resnick, L. & Klopfer, L. (1989) Currículum y Cognición. Buenos Aires: Aique Grupo Editor S.A.

Resnick, L. & Klopfer, L. (1989) Hacia un currículo para desarrollar el pensamiento: una visión general. In Currículum y Cognición. Buenos Aires: Aique Grupo Editor S.A., 15-42

Saxe, G., Gearhart, M. & Seltzer, M. (1999) Relations between classroom practices and student learning in the domain of fractions. Cognition and Instruction. Vol. 17, No.1: 1-24

Saxe, G., Gearhart, M., Seltzer, M., Schlackman, J., Carter Ching, C., Nasir, N., Fall, R., Bennett, T., Rhine, S. & Sloan, T. (1999) Opportunities to learn fractions in elemantary mathematics Classrooms. Journal for Research in Mathematics Education Vol. 30, No. 3: 286-315

Schoenfield, A. (1989) La enseñanza del pensamiento y la resolución de problemas. In Resnick, L. & Klopfer, L. (Comps.) Currículum y Cognición. Buenos Aires: Aique Grupo Editor S.A. 41-170

70

Steffe, L. (1991) Cómo construye el niño la significación de los términos aritméticos: Un

problema curricular. Cuadernos de Psicología. Vol. 11, No. 1: 105-162

Stern, E. & Lehrndorfer, A. (1992) The role of situational context in solving word problems. Cognitive Development. Vol. 7: 259-268

Stern, E. (1993) What makes certain Arithmetic Word Problems Involving the Comparison of Sets So Difficult for Children? Journal of Educational Psychology Vol. 85: 7-23

Orozco, M. (1994) Slums Children’s a School Arithmetical Knowledge. Proceedings 18° Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education PME, Lisboa.

71