Detaljna Rjesenja Zadataka Iz Udzbenika

1

Rjesenja zadataka 1.1

Zadatak 1. 1) Zapisi prirodni broj koji neposredno slijedi iza prirodnog broja n .2) Zapisi prirodni broj koji neposredno prethodi prirodnom broju n − 2 . Kad

zadatak ima rjesenje?3) Zapisi broj koji je za 2 veci od zbroja brojeva m i n .4) Zapisi broj koji je dvostruko veci od razlike brojeva a i b .5) Zapisi broj koji je tri puta manji od umnoska brojeva a i b .

Rjesenje. 1) Sljedbenik broja n je broj n + 1 .2) Prethodnik broja n − 2 je (n − 2) − 1 = n − 3 . Zadatak ima rjesenje kadje n > 3 .

3) To je broj m + n + 2 . 4) To je broj 2(a − b) . 5) To je brojab3

.

Zadatak 2. Ispisi:1) sve cijele brojeve koji su izme -du cijelih brojeva k − 1 i k + 5 ;2) sve neparne cijele brojeve koji su veci od 2k − 1 i manji od 2k + 7, gdje

je k cijeli broj;3) sve parne cijele brojeve vece od 2k − 5 i manje od 2k + 1, gdje je k cijeli

broj.

Rjesenje. 1) To su brojevi k , k + 1 , k + 2 , k + 3 , k + 4 .2) To su brojevi 2k + 1 , 2k + 3 i 2k + 5 .3) To su brojevi 2k − 4 , 2k − 2 , 2k .

Zadatak 3. Marko je dvostruko stariji od Filipa, a Filip je 3 godine stariji od Luke. Ako jeLuki n godina, koliko ukupno godina imaju sva trojica?

Rjesenje. Ako je Luki n godina, a Filip je 3 godine stariji, onda Filip ima n + 3 godina.Marko je dvostruko stariji od Filipa pa ima 2 · (n + 3) = 2n + 6 godina. Svatrojica ukupno imaju n + n + 3 + 2n + 6 = 4n + 9 godina.

Zadatak 4. Zamisli neki broj. Dodaj mu 1 pa zbroj pomnozi s 4. Zatim oduzmi 4 padobiveni rezultat podijeli s 4. Koji je broj rezultat?Ponovi ovaj postupak nekoliko puta. Sto primjecujes? Obrazlozi!

Rjesenje. [(n + 1) · 4 − 4] : 4 = (4n + 4 − 4) : 4 = 4n : 4 = n. Tako ovim racunomuvijek dobijemo broj od kojega smo krenuli.

Zadatak 5. Neka je d dan, a m mjesec ro -denja tvojeg prijatelja. Evo kako ces odreditikoji je dan njegov ro -dendan. Zadaj mu neka provede sljedeci racun:— Podvostruci broj d.

— Pomnozi dobiveni rezultat s 10.— Dodaj 73.— Pomnozi s 5.— Dodaj broj m.

Neka ti sada prijatelj kaze rezultat koji je dobio. Oduzmi krisomod tog rezultatabroj 365 i dobit ces datum njegovog ro -denja.Obrazlozi matematicku pozadinu ovog opceg rjesenja.

1

1 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Prati niz zapisa: 2d → 20d → (20d + 73) → (20d + 73) · 5 → (100d +365+m) → (100d+m) . Rezultat je cetveroznamenkast broj cije su prve dvijeznamenke redni broj dana, a posljednje dvije redni broj mjeseca ro -denja.

Zadatak 6. Neka tvoj prijatelj broj svojih godina starosti pomnozi s 4. Tom broju nekadoda 10 pa rezultat pomnozi s 25. Neka potom od dobivenog rezultata oduzmebroj dana u neprestupnoj godini. Konacno, neka razlici doda iznos sitnisa ulipama koji ima u svojem dzepu (svakako neka je manji od 100). Nakon ovogracuna zahtijevajte da vam kaze rezultat. Dodat cemo tom rezultatu 115 i ocita-ti: prve dvije znamenke su godine, a sljedece dvije iznos sitnisa u dzepu vasegprijatelja. Mozete li razobliciti ovu “caroliju”?

Rjesenje. Oznacimo sa n broj godina, a sa s kolicinu sitnisa. Slijedi niz zapisa:4n → 4n+10 → (4n+10)·25 → (4n+10)·25−365 → (4n+10)·25−365+s =100n+ s−115 . Dodamo li ovom posljednjem broju 115 dobit cemo 100n+ s .Ocigledno, prve dvije znamenke su broj godina, posljednje dvije iznos su sit-nisa.

Zadatak 7. Na polici se nalazi sest svezaka Opce enciklopedije, poredanih slijeva udesno,jedan do drugog. Svaki svezak ima 515 stranica ne racunajuci korice.1) Koliko ukupno stranica ima Opca enciklopedija?2) Koliko stranica ima izme -du 313. stranice drugog sveska i 127. stranice

petog?3) Brojimo li stranice enciklopedije redom te izbrojimo 1784, u kojem svesku

i na kojoj stranici smo se zaustavili?4) Brojimo li stranice enciklopedije redom, ali otraga prema naprijed te se

zaustavimo na broju 3000, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaus-tavili?

Rjesenje. 1) 6 · 515 = 3090 ; 2) (515 − 313 + 1) + 2 · 515 + 127 = 1360 ;3) 1784 − 3 · 515 = 239 ; 4) 3090 − 3000 + 1 = 91 , zaustavili smo se na91. stranici prvog sveska.

Zadatak 8. Me -du brojevima 1, 2, 3, . . . , 9 odaberi dva me -dusobno razlicita broja. Ispisisve dvoznamenkaste brojeve kojima su znamenke ti brojevi, te ih zbroji. Taj jezbroj uvijek djeljiv s 22. Zbog cega? Obrazlozi! Mozes li provesti analognozakljucivanje za tri odabrana broja?Napomena: Dvoznamenkast broj xy zapisujemo u obliku 10x+ y . Jednako jetako xyz = 100x + 10y + z .

Rjesenje. Odaberemo li primjerice znamenke 2 i 5, svi dvoznamenkasti brojevi su 22, 25,52 i 55. Njihov zbroj je 154 i on je djeljiv s 22.Opcenito, odaberemo li dvije razlicite znamenke x i y , svi dvoznamenkastibrojevi su xx , xy , yx , i yy , a njihov zbroj je

xx + xy + yx + yy = 10x + x + 10x + y + 10y + x + 10y + x

= 22x + 22y = 22 · (x + y).

Zadatak 9. Broj 100 zapisi povezujuci racunskim operacijama

1) cetiri jedinice; 2) cetiri trojke; 3) cetiri petice.

Rjesenje. Primjerice: 1) 111 − 11 ; 2) 33 · 3 +33

; 3) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 .

2

1

Zadatak 10. Ispisi redom brojeve 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Povezi te brojeve znakovima + i −(koristeci ih ukupno triput) tako da dobijes 100.

Rjesenje. Primjerice: 123 − 45 − 67 + 89 .

Zadatak 11. Zapisi broj 100 uporabom svih 10 znamenki i uporabom cetiriju osnovnihracunskih operacija.

Rjesenje. Primjerice: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9 .

Zadatak 12. Rijesi rebus:O H O H O

+ A H A H A

A H A H A H

Rjesenje. A moze biti samo 1 pa imamo:

O H O H O+ 1 H 1 H 1

1 H 1 H 1 H

Odatle je O = 9 , pa sad rebus izgleda ovako:

9 H 9 H 9+ 1 H 1 H 1

1 H 1 H 1 H

Lako se vidi da je H = 0 . Dakle, rjesenje je 90909 + 10101 = 101010 .

Zadatak 13. Odredi cetiri uzastopna prirodna broja kojima je zbroj jednak 1 258 .

Rjesenje. Neka je n najmanji od trazena cetiri broja. Onda mora biti

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 1258,

4n + 6 = 1258.

Odatle je n = 313 , te su trazeni uzastopni brojevi 313, 314, 315, 316.

Zadatak 14. Zbroj pet uzastopnih parnih prirodnih brojeva jednak je 6 080 . Koji su tobrojevi?

Rjesenje. Oznacimo treci po redu broj s n . Onda su ostala cetiri jednaka n − 4 , n − 2 ,n + 2 i n + 4 pa mora biti

(n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) = 6080

5n = 6080

te je n = 1216 . Rijec je o brojevima 1 212 , 1 214 , 1 216 , 1 218 , 1 220 .

Zadatak 15. Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih brojeva jednak je 581. Koliki jezbroj sedam narednih neparnih prirodnih brojeva?

Rjesenje. Srednji cemo broj oznaciti s n . Onda su preostali brojevi n− 6 , n− 4 , n− 2 ,n + 2 , n + 4 i n + 6 pa mora biti

(n − 6) + (n − 4) + (n − 2) + n + (n + 2) + (n + 4) + (n − 6) = 581

7n = 581

te je n = 83 . Rijec je o brojevima 77, 79, 81, 83, 85, 87 i 89. Sedam narednihneparnih brojeva su redom 91, 93, 95, 97, 99, 101 i 103, a njihov zbroj iznosi679.

3

1 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 16. Umnozak triju uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 4080. Koliki je zbroj tihtriju brojeva?

Rjesenje. Rastavljanjem broja 4080 na proste faktore, dobivamo 4080 = 24 · 3 · 5 · 17 =16 · 15 · 17 . Dakle, rijec je o umnosku brojeva 15, 16 i 17. Njihov zbroj je 48.

Zadatak 17. Koja je posljednja znamenka umnoska 1 · 3 · 5 · 7 · . . . · 99?

Rjesenje. Rijec je o umnosku uzastopnih neparnih prirodnih brojeva od kojih neki zavr-savaju s 5, te i cijeli umnozak zavrsava s 5.

Zadatak 18. S koliko nula zavrsava umnozak 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 33 ?

Rjesenje. Broj je djeljiv s 10 ako je djeljiv s 2 i s 5. Kad bismo zadani umnozak rastavilina proste faktore, zanima nas koliko u tom rastavu ima petica (dvojki ociglednoima vise nego petica). Me -du zadanim brojevima imamo tri koji zavrsavaju s5 (5, 15 i 25 – njihov je umnozak djeljiv s 5 cetiri puta), te tri koja zavrsavajus nulom (10, 20 i 30 – umnozak je djeljiv s 5 tri puta). Stoga cijeli umnozakzavrsava sa sedam nistica.

Zadatak 19. Koja je posljednja znamenka umnoska prvih stotinu prostih brojeva?

Rjesenje. Broj 2 jedini je paran prost broj. Svi su ostali prosti brojevi, a me -du njima je ibroj 5, neparni. Zbog toga umnozak zavrsava nulom.

Zadatak 20. U kvadratice upisi broj tako da dobijes tocne jednakosti:

1) −11 + = −24 ; 2) − (−45) = 13 ;

3) 23 + = −1 ; 4) + (−17) = −34 ;

5) 33 − (−44) = ; 6) −75 − 28 = ;

7) −61 + = 77 ; 8) − (−111) = −205 .

Rjesenje. 1) = −24 + 11 = −13 ; 2) = 13 − 45 = −32 ;

3) = −1 − 23 = −24 ; 4) = −34 + 17 = −17 ;

5) = 33 + 44 = 77 ; 6) = −75 − 28 = −103 ;

7) = 77 + 61 = 138 ; 8) = −205 − 111 = −316 .

Zadatak 21. Izracunaj:

1) −5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) ; 2) 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) ;3) (−12) · (−11)− (−10) · (−15) ; 4) −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 .

Rjesenje. 1) −5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) = −5 · (−9) − 4 · (−9) = 45 + 36 = 81 ;2) 2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) = −6 + 20 + 42 = 56 ;3) (−12) · (−11)− (−10) · (−15) = 132 − 150 = −18 ;4) −12 · (−3) − 5 · 14 − 11 = 36 − 70 − 11 = −45 .

Zadatak 22. Racunamo: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + . . . Ako imamo konacan brojpribrojnika, recimo n , koliki je rezultat ovog zbrajanja?

Rjesenje. Ako je n paran broj onda imamo (1−2)+(3−4)+(5−6)+. . .+[(n−1)−n] =n2· (−1) = −n

2;

4

1

Ako je n neparan broj onda imamo (0 + 1) + (−2 + 3) + (−4 + 5) + . . . +[−(n − 1) + n] =

n2· 1 =

n2

.

Zadatak 23. Najvisa ikad izmjerena temperatura zraka na Zemlji zabiljezena je u Libiji13.9.1922. Iznosila je 57.8 ◦C ili 136 ◦F . Najniza je izmjerena na Antark-tici (Vostok Station) 12.1.1983., kada je termometar pokazivao −89.2 ◦C ili−128.6 ◦F .Kolika je razlika izme -du najnize i najvise temperature ikad izmjerene na Zem-lji?U Hrvatskoj je do sada najvisa izmjerena temperatura iznosila 42.8 ◦C ili109 ◦F , a izmjerena je 5.8.1998. u Plocama. Najniza temperatura izmjerena jeu Cakovcu 3.2.1929., a bilo je −35.5 ◦C ili −31.5 ◦F .Kolika je razlika izme -du najvise i najnize izmjerene temperature u Hrvatskoj?

Rjesenje. Na Zemlji: 57.8 ◦C − (−89.2 ◦C) = 147 ◦C ili 136 ◦F − (−128.6 ◦F) =264.6 ◦F ;U Hrvatskoj: 42.8 ◦C − (−35.5 ◦C) = 78.3 ◦C ili 109 ◦F − (−31.5 ◦F) =140.5 ◦F .

Zadatak 24. Arhimed je zivio od 287. g. pr. Kr. do 212. g. pr. Kr. To bismo jednostavnijemogli zapisati: Arhimed je zivio od −287. do −212. g. Koliko je godinapozivio Arhimemed? Odgovori na isto pitanje za sljedece matematicare:Tales je zivio od −620. do −540. godine.Vitruvije je zivio od −75. do 15. godine.Heron je zivio od 10. do 70. godine.

Rjesenje. Arhimed je zivio −212 − (−287) = 75 godina. Tales je zivio −540 −(−620) = 80 godina. Vitruvije je zivio 15 − (−75) = 90 godina. Heron jezivio 70 − 10 = 60 godina.


Zadatak 1. Razlomke52

,54

,38

,1516

prikazi u obliku decimalnog broja.

Rjesenje.52

= 2.5 ,54

= 1.25 ,38

= 0.375 ,1516

= 0.9375 .

Zadatak 2. Brojeve 0.5 , 0.25 , 0.125 , 0.75 , 0.625 prikazi u obliku razlomka.

Rjesenje. 0.5 =12

, 0.25 =14

, 0.125 =18

, 0.75 =34

, 0.625 =58

.

Zadatak 3. Poredaj po velicini brojeve:23

, 66 % , 0.666 , 0.6 .

Rjesenje. Prikazimo razlomak i postotak u obliku decimalnog broja:23

= 0.6 i

66 % = 0.66 . Brojevi poredani po redu od najmanjeg prema najvecem su:

0.66 , 0.666 ,23

= 0.6

5

1 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 4. Ako je13

= 0.3, koliko je130

?

Ako je27

= 0.285714, koliko je 267?

Rjesenje.130

=13· 110

= 0.3 : 10 = 0.03 .

267

=14 + 6

7=

207

=27· 10 = 0.285714 · 10 = 2.857142 .

Zadatak 5. Odredi period u decimalnom zapisu racionalnog broja:

1)56

; 2)311

; 3)513

; 4)67

.

Rjesenje. 1)56

= 0.83 ; 2)311

= 0.27 ; 3)513

= 0.384615 ; 4)67

= 0.857142 .

Zadatak 6. Koja se znamenka nalazi na 101. mjestu iza decimalne tocke u decimalnomzapisu svakog od cetiriju brojeva iz prethodnog zadatka?

Rjesenje. 1)56

= 0.83 ; Na svim decimalnim mjestima je znamenka 3 pa je i na 101.

mjestu.

2)311

= 0.27 ; Uzastopno se ponavlja skupina od dvije znamenke (27). Podi-

jelimo li 101 s 2 dobit cemo 50 i 1 ostatka. To znaci da ce na 101. mjestu bitiprva znamenka iz skupine, a to je 2.

3)513

= 0.384615 ; Uzastopno se ponavlja skupina od sest znamenki (384615).

Podijelimo li 101 s 6 dobit cemo 16 i 5 ostatka. To znaci da ce na 101. mjestubiti peta znamenka iz skupine, a to je 1.

4)67

= 0.857142 ; Uzastopno se ponavlja skupina od sest znamenki (857142).

Podijelimo li 101 s 6 dobit cemo 16 i 5 ostatka. To znaci da ce na 101. mjestubiti peta znamenka iz skupine, a to je 4.

Zadatak 7. Odredi 303. znamenku u decimalnom zapisu broja1537

.

Rjesenje.1537

= 0.405405 . . . = 0.405 .

U decimalnom zapisu broja1537

uzastopno se ponavlja skupina od tri znamen-

ke (405). Podijelimo li 303 s 3 dobit cemo 101. To znaci da na 303. mjestuzavrsava navedena skupina, te je trazena znamenka 5.

Zadatak 8. Odredi 777. znamenku u decimalnom zapisu broja −11111

.

Rjesenje. −11111

= −10.090909 . . . = 0.09 .


uzastopno se ponavlja period od dvije zna-

menke (09). Podijelimo li 777 s 2 dobit cemo 388 i ostatak 1. To znaci da cena 777. mjestu biti prva znamenka iz skupine, a to je 0.

6

1

Zadatak 9. Odredi 1500. znamenku u decimalnom zapisu broja313

.

Rjesenje.313

= 0.230769230769 . . . = 0.230769 .


uzastopno se ponavlja period od sest znamenki

(230769). Podijelimo li 1500 s 6 dobit cemo 250. To znaci da na 1500. mjestuzavrsava navedena skupina, te je trazena znamenka 9.

Zadatak 10. Za koje su cijele brojeve a brojevi1a

,a + 2

a(a − 3),

a2a − 10

,a + 2a2 − 4

racional-

ni?

Rjesenje. Broj1a

je racionalni broj za sve cijele brojeve a , a �= 0 . Broja + 2

a(a − 3)je

racionalan za sve a , a �= 0 i a �= 3 . Broja

2a − 10je racionalan za sve a ,

a �= 5 . Broja + 2a2 − 4

je racionalan za sve a , a �= −2 i a �= 2 .

Zadatak 11. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak6

n + 1cijeli broj.

Rjesenje. Razlomak6

n + 1je cijeli broj za n = −7 , −4 , −3 , −2 , 0, 1, 2 i 5.

Zadatak 12. Za koje je cijele brojeve n razlomak6

n − 1cijeli broj?

Rjesenje. n ∈ {−5,−2,−1, 0, 2, 3, 4, 7} .

Zadatak 13. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomakn + 2n − 2

cijeli broj.

Rjesenje. Zapisimon + 2n − 2

=n − 2 + 4

n − 2= 1 +

4n − 2

te je n ∈ {−2, 0, 1, 3, 4, 6} .

Zadatak 14. Odredi prirodni broj x tako da vrijede jednakosti:

1)x12

=23

; 2)4x

=25

; 3)37

=x21

.

Rjesenje. U rjesavanju primjenjujemo definiciju jednakosti racionalnih brojeva.1) 3x = 24 , slijedi x = 8 ; 2) 2x = 20 , slijedi x = 10 ;3) 7x = 63 , slijedi x = 9 .

Zadatak 15. Za koji cijeli broj x vrijedi:

1)15

=x20

; 2)x6

= −13

; 3) − x24

=56

?

Rjesenje. 1) Iz 5x = 20 slijedi x = 4 ; 2) Iz 3x = −6 slijedi x = −2 ;3) Iz −6x = 120 slijedi x = −20 .

7

1 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 16. Za koji je broj x ispunjena jednakost9+x15+x

=23

?

Rjesenje.

9 + x15 + x

=23,

3(9 + x) = 2(15 + x),27 + 3x = 30 + 2x,

x = 30 − 27 = 3.

Zadatak 17. Za koji je broj x ispunjena jednakost123−x101+x

=59

?

Rjesenje.

9(123 − x) = 5(101 + x),1107− 9x = 505 + 5x,

−14x = −602,

x = 43.

Zadatak 18. Ako od brojnika i nazivnika razlomka1532

oduzmemo isti broj x , dobit cemo

razlomak421

. Koliki je x ?

Rjesenje.

15 − x32 − x

=421

,

21(15 − x) = 4(32 − x),315 − 21x = 128 − 4x,

−21x + 4x = 128 − 315,

−17x = −187,

x = 11.

Zadatak 19. Ako brojniku razlomka113212

dodamo neki broj, a isti taj broj oduzmemo od

nazivnika, dobit cemo razlomak23

. O kojem se broju radi?

Rjesenje.

113 + x212 − x

=23,

3(113 + x) = 2(212 − x),339 + 3x = 424 − 2x,

5x = 85,

x = 17.

8

1

Zadatak 20. Skrati razlomke:

1)105168

; 2)11555775

; 3)6 93012 870

; 4)3 333 3335 555 555

; 5)135 135234 234

.

Rjesenje. 1) 105 = 3 · 5 · 7, 168 = 8 · 3 · 7,105168

=3 · 5 · 78 · 3 · 7 =

58

;

2) 5775 = 5 · 1155,11555775

=1155

5 · 1155=

15

;

3) 6930 = 10 · 9 · 7 · 11, 12870 = 10 · 9 · 11 · 13,6 93012 870

=713

;

4) 3 333 333 = 3 · 1 111 111, 5 555 555 = 5 · 1 111 111,3 333 3335 555 555

=35

;

5) 135 135 = 135 · 1001 = 9 · 15 · 1001, 234 234 = 234 · 1001 =

9 · 26 · 1001,135 135234 234

=1526

.

Zadatak 21. Poredaj po velicini brojeve:

1)34

,1112

,1924

,1718

,6772

; 2)34

, 0.7 ,1316

, 0.7 ,2932

;

3) −34

, −1112

, −1924

, −1718

, −6772

.

Rjesenje. 1)34

,1924

,1112

,6772

,1718

; 2) 0.7 ,34

, 0.7 ,1316

,2932

;

3) −6772

, −1112

, −34

, −1718

, −1924

.

Zadatak 22. Ako je a = 0.3 , b = 0.25 , koliko je1a

, a2 , a + b , a · b ,ab

?

Rjesenje. a =13

=⇒ 1a

= 3 , a2 =19

, b =25100

=14

=⇒ a + b =13

+14

=712

,

a · b =13· 14

=112

,ab

=

1314

=43

.

Zadatak 23. Ako je1a

+1b

= 1 ,1b

+1c

= 2 ,1c

+1a

= 5 , koliko je a + b + c ?

Rjesenje. a =12

, b = −1 , c =13

, a + b + c = −16

.

Zadatak 24. Primjenjujuci jednakost1n− 1

n + 1=

1n · (n + 1)

izracunaj:

11 · 2 +

12 · 3 +

13 · 4 + . . . +

199 · 100

.

Rjesenje.1

1 · 2+1

2 · 3+1

3 · 4+. . .+1

99 · 100=

12−1

2+

12−1

3+

13−1

4+. . .+

199

− 1100

=

1 − 1100

=99100

.

9

1 RJESENJA ZADATAKA


1)(1.6 − 3

5

)·(−2

14

)− 0.2 :

(−4

5

);

2)(4

5− 1.8

):(−1

45

)+ 0.1 ·

(−5

9

);

3)[32− 2

3

(1 +

23

)]:

[(0.75 − 2

3

): 1.25 − 1

];

4)[35− 1.2

(1 + 1

12

)]:

[(2.5 − 2

5

):

78− 3

].

Rjesenje.1)

(1.6 − 3

5

)·(−2

14

)− 0.2 :

(−4

5

)=(

1610

− 35

)·(−9

4

)− 2

10:

(−4

5

)

=(

85− 3

5

)·(−9

4

)− 1

5·(−5

4

)= 1 ·

(−9

4

)+

14

= −94

+14

= −84

= −2;

2)(

45− 1.8

):

(−1

45

)+ 0.1 ·

(−5

9

)=(

45− 18

10

):

(−9

5

)+

110

·(−5

9

)

=(

45− 9

5

)·(−5

9

)− 1

18= −1 ·

(−5

9

)− 1

18=

59− 1

18=

10 − 118

=918

=12;

3)[32− 2

3

(1 +

23

)]:

[(0.75 − 2

3

): 1.25 − 1

]

=[32− 2

3· 3 + 2

3

]:

[(75100

− 23

):125100

− 1

]

=[32− 2

3· 53

]:

[(34− 2

3

):

54− 1

]=[32− 10

9

]:

[9 − 812

· 45− 1

]

=27 − 20

18:

[112

· 45− 1

]=

718

:

(115

− 1

)=

718

:1 − 15

15

=718

·(−15

14

)= − 5

12;

4)[35− 1.2

(1 + 1

12

)]:

[(2.5 − 2

5

):

78− 3

]

=[35− 12

10

(1 +

32

)]:

[(2510

− 25

):78− 3

]

=[35− 6

5· 2 + 3

2

]:

[(52− 2

5

)· 87− 3

]

=[35− 6

5· 52

]:

[25 − 4

10· 87− 3

]=[35− 3

]:

[2110

· 87− 3

]

=3 − 15

5:

[125

− 3

]= −12

5:

12 − 155

= −125

·(−5

3

)= 4.

10

1


1)3

425

+ 0.59(34− 0.15

): 4

; 2)

724

: 0.125 + 3.5

23− 0.25

.

Rjesenje. 1)3

425

+ 0.59(34− 0.15

): 4

=

7925

+59100(

34− 15

100

): 4

=

316 + 59100(

75 − 15100

)· 14

=

375100

60100

· 14

=

37510015100

=37515

= 25 ;

2)

724

: 0.125 + 3.5

23− 0.25

=

724

:1251000

+3510

23− 25

100

=

724

:18

+72

23− 1

4

=

724

· 8 +72

8 − 312

=

73

+72

512

=

14 + 216512

=

356512

=705

= 14 .


1)

⎛⎜⎝ 0.75

123− 1.2

:3 + 1

12

1.4

⎞⎟⎠ ·

12− 1

313− 1

4

; 2)

⎛⎜⎝ 0.875

3.2 − 113

:3 +

34

1.2

⎞⎟⎠ ·

1 − 13

1 +14

.

Rjesenje.

1)

⎛⎜⎝ 0.75

123− 1.2

:3 + 1

12

1.4

⎞⎟⎠ ·

12− 1

313− 1

4

=

⎛⎜⎝

75100

53− 12

10

:3 +

32

1410

⎞⎟⎠ ·

3 − 26

4 − 312

=

⎛⎜⎝

34

53− 6

5

:

6 + 3275

⎞⎟⎠ ·

16112

=

⎛⎜⎝

34

25 − 1815

:

9275

⎞⎟⎠ · 2 =

⎛⎜⎝

34715

:4514

⎞⎟⎠ · 2

=(

4528

· 1445

)· 2 =

12· 2 = 1;

2)

⎛⎜⎝ 0.875

3.2 − 113

:3 +

34

1.2

⎞⎟⎠ ·

1 − 13

1 +14

=

⎛⎜⎝

8751000

3210

− 43

:

12 + 341210

⎞⎟⎠ ·

3 − 13

4 + 14

=

⎛⎜⎝

78

165

− 43

:

15465

⎞⎟⎠ ·

2354

=

⎛⎜⎝

78

48 − 2015

:258

⎞⎟⎠ · 8

15=

⎛⎜⎝

782815

· 825

⎞⎟⎠ · 8

15

=1532

· 825

· 815

=225

.

11

1 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 28. Izracunaj x iz sljedecih jednakosti, primjenjujuci svojstva osnovnih racunskihoperacija s racionalnim brojevima:

1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 ; 2) (184 + x):325

= (2x − 48) : 2.4 ;

3) 1 :(345− 0.8x

)= 55 : (x + 4) ; 4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6 ;

5) 1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 ; 6) 12 · (0.22 − x) = −1.44 ;

7) −1.2 · (0.3 + x) = −3.6 ; 8)10

[(8x + 24) : 5] : 4 + 6= 1 ;

9) 208:

[112 − (100 − 3x)·4

23

]=2 ; 10)

(x − 11.875) :58

0.625 · 825

− 215

= 1 ;

11)[(145 − 24x) : 5

29+ 24

]: 5 = 5 ;

12)3

415

(5.5 + x) : 2137

− 138

= 5.625 .

Rjesenje. 1) 2)(5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12

4.8 : (3.3 − x) = 12

4.8 = 12(3.3 − x)4.8 = 39.6 − 12x

12x = 39.6 − 4.8

12x = 34.8

x = 34.8 : 12

x = 2.9;

(184 + x) :325

= (2x − 48) : 2.4

(184 + x) · 532

= 2(x − 24) :2410

(184 + x) · 532

= (x − 24) · 2 · 512

(184 + x) · 116

= (x − 24) · 13

3 · (184 + x) = (x − 24) · 16

552 + 3x = 16x− 384

3x − 16x = −384− 552

−13x = −936

x = 72;3) 1 :

(345− 0.8x

)= 55 : (x + 4)

x + 4 = 55 ·(

345− 0.8x

)

x + 4 = 55 · 15 + 45

− 55 · 0.8x

x + 4 = 209 − 44x

x + 44x = 209 − 4

45x = 205

x =419

;

12

1

4) 5)1.2 − (0.8 + x) = −3.6

1.2 − 0.8 − x = −3.6

0.4 − x = −3.6

−x = −3.6 − 0.4

x = 4;

1.1 − (5x + 5.5) = 11.1

1.1 − 5x − 5.5 = 11.1

−4.4 − 5x = 11.1

−5x = 11.1 + 4.4

−5x = 15.5

x = −3.1;

6) 7)12 · (0.22 − x) = −1.44

12 · 0.22 − 12x = −1.44

2.64 − 12x = −1.44

−12x = −1.44 − 2.64

−12x = −4.08

x = 0.34;

−1.2 · (0.3 + x) = −3.6

−1.2 · 0.3 − 1.2x = −3.6

−0.36 − 1.2x = −3.6

−1.2x = −3.6 + 0.36

−1.2x = −3.24

x = 2.7;

8) 9)10

[(8x + 24) : 5] : 4 + 6= 1

[(8x + 24) : 5] : 4 + 6 = 10

[(8x + 24) : 5] : 4 = 4

(8x + 24) : 5 = 16

8x + 24 = 80

8x = 80 − 24

8x = 56

x = 7;

208 :

[112 − (100 − 3x) · 4

23

]= 2

104 :

[112 − 400 − 12x

23

]= 1

112 − 400 − 12x23

= 104

−400− 12x23

= 104 − 112

400 − 12x = −8 · (−23)−12x = 184 − 400

x = −216 : (−12)x = 18;

10) 11)(x − 11.875) :58

0.625 · 825

− 215

= 1

(x − 11875

1000

):

58

=6251000

· 825

− 115(

x − 958

)· 85

=58· 825

− 115

85x − 19 =

15− 11

585x = −2 + 19

x = 17 · 58

x =858

x = 1058;

[(145 − 24x) : 5

29+ 24

]: 5 = 5

(145 − 24x) : 5 + 24 · 2929

= 25

29 − 245

x + 696 = 725

725 − 245

x = 725

−245

x = 0

x = 0;

13

1 RJESENJA ZADATAKA

12)3

415

(5.5 + x) : 2137

− 138

= 5.625

4915

(5.5 + x) :1507

=56251000

+118

4915(

5510

+ x

)· 7150

=458

+118

49155510

· 7150

+7

150x =

568

4915

77300

+7

150x

= 7

4915

=539300

+49150

x

49 · 20 = 539 + 49 · 2x

−98x = −980 + 539

−98x = −441

x =92.

Zadatak 29. Ako je a : b : c = 1 : 2 : 4 , koliko jea + 2b − 3c3a − 2b + c

?

Rjesenje. Iz a : b : c = 1 : 2 : 4 =⇒ a = k , b = 2k , c = 4k .a + 2b − 3c3a − 2b + c

=k + 2 · 2k − 3 · 4k3k − 2 · 2k + 4k

=k + 4k − 12k3k − 4k + 4k

=−7k3k

= −73

.

Zadatak 30. Broj 135 podijeli na dva dijela koji su u omjeru 7 : 8 .

Rjesenje. Iz x + y = 135 i x : y = 7 : 8 imamo x = 7k i y = 8k . 7k + 8k = 135 =⇒k = 9 . Odavde slijedi da je x = 7 · 9 = 63 i y = 8 · 9 = 72 . 135 = 63 + 72 .

Zadatak 31. Ako je 3x : 5y = 7 : 11 , koliko je x : y ?

Rjesenje.3x5y

=711

=⇒ xy

=711

· 53

=⇒ xy

=3533

. Slijedi x : y = 35 : 33 .

Zadatak 32. Ako su velicine kutova u trokutu u omjeru 1 : 3 : 4 , koliki je najveci kuttrokuta?

Rjesenje. α = k , β = 3k i γ = 4k . Iz α+β+γ = 180◦ slijedi k+3k+4k = 180◦ =⇒8k = 180◦ =⇒ k = 22.5◦ . Najveci kut u trokutu je γ = 4k = 4·22.5 = 90◦ .

Zadatak 33. Mjere unutarnjih kutova cetverokuta u omjeru su 1 : 2 : 3 : 4 . Kolika je mjeranajmanjeg kuta ovog cetverokuta?

14

1

Rjesenje. Zbroj svih kutova cetverokuta iznosi 180◦ pa iz zadanog omjera imamok + 2k + 3k + 4k = 360 , 10k = 360◦ . Najmanji kut ovog cetverokutaima mjeru 36◦ .

Zadatak 34. Ako su a , b i c duljine stranica trokuta i ako je a : b = 5 : 4 , a : c = 3 : 5 , aopseg trokuta iznosi 156 cm, kolika je duljina najkrace stranice ovog trokuta?

Rjesenje. Iz a : b = 5 : 4 =⇒ b =45a , a iz a : c = 3 : 5 =⇒ c =

53a . Odavde

slijedi

a +45a +

53a = 156 cm,

15 + 12 + 2515

a = 156 cm,5215

a = 156 cm,

a = 45 cm, b = 36 cm, c = 75 cm.

Duljina najkrace stranice je b = 36 cm.

Zadatak 35. Broj 2 400 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8 .

Rjesenje. x + y + z = 2400 i x : y : z = 3 : 5 : 8 . Slijedi x = 3k , y = 5k , z = 8k .Uvrstimo li to u prvu jednadzbu dobit cemo 3k + 5k+ 8k = 2400 =⇒ 16k =2400 =⇒ k = 150 . Odavde slijedi x = 3 · 150 = 450 , y = 5 · 150 = 750 iz = 8 · 150 = 1200 .

Zadatak 36. Broj 697 podijeli na tri dijela, a, b i c tako da je a : b = 3 : 4 i b : c = 3 : 5 .

Rjesenje. a : b : c = 9 : 12 : 20 , dijelovi su redom 9k , 12k i 20k te iz 41k = 697dobijemo k = 17 i a = 153 , b = 204 , c = 340 .

Zadatak 37. Opseg oranice iznosi 2 800 metara. Kolike su duljina i sirina oranice ako su uomjeru 5 : 9 ?

Rjesenje. d : s = 5 : 9 =⇒ d = 5k , s = 9k . O = 2d + 2s = 10k + 18k = 28k .2800 = 28k =⇒ k = 100 . Slijedi da je duljina oranice d = 5 · 100 = 500 mi s = 9 · 100 = 900 m.

Zadatak 38. Za 1.5 sat napuni se 0.3 obujma bazena. Koliko treba vremena da bi se napunilo0.9 obujma bazena?

Rjesenje. 0.3 : 0.9 = 1.5 : x =⇒ 1 : 3 = 1.5 : x =⇒ x = 4.5 .

Zadatak 39. Nakon 12 minuta gorenja duljina svijece smanji se s 30 cm na 25 cm. Nakonkoliko ce vremena svijeca dogorjeti?

Rjesenje. 5 : 25 = 12 : x =⇒ 5x = 25 · 12 =⇒ x =25 · 12

5= 60 minuta.

Zadatak 40. Ako su od 70 proizvoda 3 s greskom, koliko se proizvoda s greskom mozeocekivati u 840?

Rjesenje. 70 : 840 = 3 : x =⇒ 70x = 840 · 3 =⇒ x =840 · 3

70= 36 proizvoda.

Zadatak 41. U jednom razredu na pismenom ispitu iz matematike 1/ 3 ucenika nije rijesilajedan zadatak, 1/ 4 nije rijesila po dva zadatka, 1/ 6 po po tri zadatka, a 1/ 8sva cetiri zadatka. Koliko je ucenika tocno rijesilo sve zadatke ako je u razredumanje od 30 ucenika?

Rjesenje. Najmanji prirodni broj djeljiv sa 3, 4, 6 i 8 je broj 24 (sljedeci je 48). Dakle,barem jedan zadatak netocno je rijesio ukupno 21 ucenik pa je sve zadatkerijesilo samo troje.

15

1 RJESENJA ZADATAKA


Zadatak 1. Koji su od sljedecih brojeva racionalni:

−1115

,√

17 ,π2

, −√

22

, 5 ,5√5

, −444 ?

Rjesenje. Racionalni su brojevi: −1115

, 5 , −444 .

Zadatak 2. Izme -du kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalaze sljedeci brojevi:√117 , −√

515 ,5π3

, −√77 ,

√777 , −15π ?

Rjesenje. 10 <√

117 < 11 , −23 <√

515 < −22 , 5 <5π3

< 6 , −9 < −√77 < −8 ,

27 <√

777 < 28 , −48 < −15π < −47 .

Zadatak 3. Poredaj po velicini brojeve: 3.14 ,227

, π ,355113

,√

9.9 .

Rjesenje. Broj π je iracionalan broj. On je priblizno jednak 3.1415926535 . . . Nadalje

je:227

= 3.142857 . . . ,355113

= 3.1415929 . . . ,√

9.9 = 3.14642 . . .

Poredani po velicini dani brojevi cine niz: 3.14 , π ,355113

,227

,√

9.9 .

Zadatak 4. Je li broj 0.3333 . . . racionalan ili iracionalan? Obrazlozi!

Rjesenje. Odgovor je neizvjestan, ne znaju se ostale znamenke danog broja.

Zadatak 5. Postupajuci kao u “Kutku plus” dokazi da broj√

3 nije racionalan broj.

Rjesenje. Kad bi√

3 bio racionalan broj, mogli bismo ga zapisati u obliku kolicnikadvaju prirodnih brojeva. Pa uzmimo da on to jest, da ga mozemo zapisati u

obliku razlomkamn

, gdje su m i n prirodni brojevi (jer je√

3 pozitivan broj).

Tako -der mozemo pretpostaviti da m i n nisu oba parna. Kad bi oni bili takvi,kratili bismo ih sve dok to mozemo, dok barem jedan od njih ne bude neparan.

Kvadriramo jednakostmn

=√

3 i dobijemo 3 =m2

n2, odnosno m2 = 3n2 .

Ako je n neparan, n2 je isto neparan pa je i m2 neparan. Ako je n pa-ran onda je i m paran sto ako je

√3 racionalan ne moze biti jer je zapisan

kao razlomakmn

pa bi se moglo skratiti s 2. Dakle, m i n moraju biti ne-

parni da bi√

3 bio racionalan. Uvrstimo li m = 2k − 1 i n = 2l − 1 ,dobijemo 4k2 − 4k + 1 = 3(4l2 − 4l + 1) , 4k2 − 4k + 1 = 12l2 − 12l + 3 ,4k2−4k = 12l2−12l+2 . Skratimo sve s 2 i izlucimo: 2k(k−1) = 6l(l−1)+1 .Lijeva strana jednadzbe je ocito parna, a desna neparna sto je nemoguce te za-kljucujemo da je

√3 iracionalan.

Zadatak 6. Dokazi da je broj√

2 +√

3 iracionalan. Uputa: zapisi√

2 +√

3 = a , gdje jea racionalan broj.

16

1

Rjesenje. Pretpostavimo da je√

2 +√

3 = a , pri cemu je a racionalan broj. Tada je√3 = a −√

2 . Kvadriramo ovu jednakost pa imamo a2 − 2√

2a = 1 . Dalje

je√

2 =a2 − 1

2a. Kako je s lijeve strane ove jednakosti iracionalan, a s desne

racionalan broj (Zasto?), ona je proturjecna. Pretpostavka je bila pogresna izakljucujemo kako je dani broj iracionalan.

Zadatak 7. Odredi sest brojeva cija je aritmeticka sredina jednaka 3, a svaki je sljedeci odprethodnog veci za 0.4.

Rjesenje. Tih sest brojeva oznacimo ovako: x− 0.8, x− 0.4, x, x + 0.4, x + 0.8, x + 1.2 .Slijedi da je aritmeticka sredina

x − 0.8 + x − 0.4 + x + x + 0.4 + x + 0.8 + x + 1.26

= 3

6x + 1.26

= 3

x + 0.2 = 3

x = 2.8.

Ti su brojevi: 2, 2.4, 2.8, 3.2, 3.6, 4.

Zadatak 8. Srednja vrijednost 15 uzastopnih prirodnih brojeva jednaka je 14. Koji jenajmanji, a koji je najveci od tih brojeva?

Rjesenje. Oznacimo te brojeve ovako: n−7, n−6, n−5, n−4, n−3, n−2, n−1, n, n+1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7 , n > 7 . Srednja vrijednost je

n−7+n−6+n − 5+n−4+n−3+n − 2+n−1+n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6+n+715

= 14

15n15

= 14

n = 14.

Srednji je broj 14, najmanji je 7, a najveci 21.

Zadatak 9. Prosjecna tezina djecaka u razredu je 55 kg, a prosjecna tezina djevojcica 47 kg.Koliki je omjer broja djevojcica i broja djecaka ako je prosjecna tezina svihucenika tog razreda 49 kg?

Rjesenje. Ako je m broj djecaka, a c broj djevojcica, tada iz55m + 47c

m + c= 49 slijedi

55m + 47c = 49m + 49c te je c = 3m . U razredu je tri puta vise djevojcicanego djecaka.

Zadatak 10. Koji je od brojeva 28, 30, 26, 37 i 29 aritmeticka sredina ostalih cetiriju?

Rjesenje.28 + 30 + 26 + 37 + 29

5=

1505

= 30 .

Zadatak 11. Odredi sedam brojeva cija je aritmeticka sredina 6.6, a svaki je sljedeci broj odprethodnog manji za 0.2.

17

1 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Oznacimo te brojeve ovako: x−0.6, x−0.4, x−0.2, x, x+0.2, x+0.4, x+0.6 .Aritmeticka sredina je

x − 0.6 + x − 0.4 + x − 0.2 + x + x + 0.2 + x + 0.4 + x + 0.67

= 6.6

7x7

= 6.6

x = 6.6.

Ti su brojevi 6, 6.2, 6.4, 6.6, 6.8, 7, 7.2.

Zadatak 12. Prosjecna starost igraca jedne nogometne momcadi, njih jedanaestorice, je25.5 godina. Ako je iz igre iskljucen igrac star 20.5 godina, kolika je prosjecnastarost igraca koji su ostali u igri?

Rjesenje.25.5 · 11 − 20.5

10= 26 godina. Prosjecna starost igraca je 26 godina.

Zadatak 13. U nekom razredu s 30 ucenika prosjecna ocjena opceg uspjeha je 3.85. S pro-sjekom 5.0 razred je zavrsilo 6 ucenika. Kolika je prosjecna ocjena ostalih 24ucenika?

Rjesenje.3.85 · 30 − 6 · 5

24= 3.5625 . Prosjecna ocjena ostalih 24 ucenika je .5625 .

Zadatak 14. U nekoj je skoli16

svih ucenika zavrsila razred s odlicnim uspjehom,23

s vrlo

dobrim,18

s dobrim. S dovoljnim nije zavrsio niti jedan ucenik, a 13 ucenika

upuceno je na popravni ispit. Kolika je srednja ocjena ucenika koji su uspjesnozavrsili skolsku godinu?

Rjesenje. Ako s x oznacimo broj svih ucenika skole, onda je

16x +

23x +

18x + 13 = x.

Odatle se dobije x = 312 .Sada izracunamo da su u skoli 52 odlikasa, da je 208 ucenika razred zavrsilo svrlo dobrim uspjehom, a 39 s dobrim. Racunajmo srednju ocjenu:

52 · 5 + 208 · 4 + 39 · 3299

=1209299

≈ 4.04.

Zadatak 15. Prosjecna visina djevojcica u nekom razredu je 164 cm, a djecaka 172 cm. Akoje prosjecna visina svih u razredu 167 cm, koliki je omjer broja djevojcica ibroja djecaka u tom razredu?

Rjesenje. Oznacimo s c broj djevojcica i s d broj djecaka u tom razredu. Aritmeticka

sredina jednaka je164 · c + 172 · d

c + d= 167 . Odavde slijedi 164c + 172d =

167c + 167d =⇒ 5d = 3c =⇒ c : d = 5 : 3 . Omjer brojeva djevojcica idjecaka u tom razredu je 5 : 3 .

Zadatak 16. Hotel Plavi Jadran, ciji je kapacitet 180 postelja, u 7. i 8. mjesecu bio je po-punjen 95 % , u 6. i 9. popunjenost je bila 75 % . U trima zimskim mjesecimahotel je bio zatvoren, a u ostalim mjesecima popunjenost je bila 45 % . Kolikije bio prosjecan mjesecni broj gostiju tog hotela u vremenu kada je hotel biootvoren?

18

1

Rjesenje. Najprije izracunamo broj gostiju po pojedinom mjesecu. U VII. i VIII. mjese-cu u hotelu je dnevno boravio prosjecno 180 · 0.95 = 171 gost. U VI. i IX.mjesecu prosjek gostiju je bio 180 · 0.75 = 135 , a prosjek u ostalih 5 mjesecikada je hotel bio otvoren iznosio je 180 · 0.45 = 81 .I sada racunamo ukupan prosjek za cijelu godinu:

171 · 2 + 135 · 2 + 81 · 59

=1017

9= 113.

Zadatak 17. Odredi aritmeticku sredinu brojeva512

i715

. Uvjeri se da je taj broj veci od

manjeg, a manji od veceg od tih dvaju brojeva.

Rjesenje. Aritmeticka sredina je

512

+715

2=

25 + 28602

=53120

. I sada je53120

>512

=50120

, te53120

<715

=56120

.

Zadatak 18. Koristeci se svojstvom aritmeticke sredine odredi pet brojeva koji su veci od56

, a manji od89

.

Rjesenje. Aritmeticka sredina brojeva56

i89

je

56

+89

2=

15 + 16182

=3136

.

Aritmeticka sredina brojeva56

i3136

je

56

+3136

2=

30 + 31362

=6172

.


i89

je

3136

+89

2=

31 + 32362

=6372

.


i6172

je

56

+6172

2=

60 + 61722

=121144

.


i6372

je

89

+6372

2=

64 + 63722

=127144

.

Slijedi56

<121144

<6172

<3136

<6372

<127144

<89

.

Zadatak 19. Za neku je gradnju potrebno 200 000 komada opeke. Ako je otpad zbog loma4.5% koliko komada treba nabaviti?

Rjesenje. x − 4.5100

x = 200 000 , x(1 − 4.5

100

)= 200 000 , x · 95.5

100= 200 000 ,

x =200 000 · 100

95.5≈ 209 425 .

Zadatak 20. Kava pri przenju gubi 12% mase. Koliko treba sirove kave da bi se przenjemdobilo 10 kg przene?

Rjesenje. x − 12%x = 10 , x(1 − 12

100

)= 10 , x · 88

100= 10 , x ≈ 11.4 kg .

19

1 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 21. Netko za prijevoz robe plati 600 kn sto cini 1.5% njezine vrijednosti. Kolikovrijedi roba?

Rjesenje.1.5100

x = 600 , x =600 · 100

1.5= 40 000 .

Zadatak 22. U nekoj skoli 55% svih ucenika su djevojcice. Ostalo su djecaci i njih je za 60manje nego djevojcica. Koliko je ucenika u toj skoli?

Rjesenje. 45%x + 60 = 55%x ,45100

x + 60 =55100

x ,55 − 45

100x = 60 , x = 600 . U

skoli je 600 ucenika. Od toga je 55%600 =55100

· 600 = 330 djevojcica i

600 − 330 = 270 djecaka.

Zadatak 23. Ucenici triju razreda skupljali su stari papir. Razred A skupio je za 20% vecukolicinu od razreda B, a razred B za 20% manje od razreda C. Ako je ukupnoskupljeno 759 kg papira, koliko je skupio pojedini razred?

Rjesenje. A + B + C = 759

A = B + 20%B = B(1 + 0.2) = 1.2B

B = C − 20%C = C(1 − 0.2) = 0.8C =⇒ C =1

0.8B = 1.25B

1.2B + B + 1.25B = 759 =⇒ 3.45B = 759 =⇒ B = 220 kg

A = 1.2 · 220 = 264 kg

C = 1.25 · 220 = 275 kg

Zadatak 24. U predizbornoj kampanji jedan je politicar obecao kako ce za vrijeme svojegcetverogodisnjeg mandata ukinuti PDV na knjige koji sada iznosi 20% i to takoda ce ga svake godine umanjiti za 5% u odnosu na prethodnu godinu. Moze litaj politicar, bude li izabran, ispuniti svoje obecanje?

Rjesenje. Ne, ne moze. Uz navedene uvjete umanjenje ce biti 18.55%. Kad bi svakegodine umanjenje bilo za 5% u odnosu na pocetno stanje, onda bi iznosilo 20%.

Zadatak 25. Novine obavjestavaju kako je porast cijene automobilskog goriva tijekom pos-ljednje 3 godine bio redom za 4%, 5% i 8% Tako je u te 3 godine cijena poraslaza ukupno 17%, zakljucuje novinar. No ta je racunica pogresna. Izracunajtekoliko je porasla cijena goriva u posljednje tri godine.

Rjesenje. Prve godine cijena je porasla za 4% te je iznosila 1.04c , gdje je c cijena gorivaprije poskupljenja. Naredne godine doslo je do poskupljenja za 5% te je novacijena jednaka 1.04c+1.04c ·0.05 = 1.04c ·1.05 = 1.092c . I konacno, nakonnovog poskupljenja za 8% cijena iznosi 1.092c+1.092 ·0.08 = 1.092 ·1.08c =1.17936c . Ukupno poskupljenje dakle nije 17% vec je gotovo 18%.

Zadatak 26. Odgovori na sljedeca pitanja:1) Koliko je ucenika u tvojem razredu zavrsilo osmi razred s opcim uspjehom

vrlo dobar? Izrazi taj broj u postotcima.2) Napismenom ispitu izmatematike u tvojem razredu 32%ucenika ocijenjeno

je odlicnom ocjenom. Koliki je to broj ucenika?

Rjesenje. 1) U mom razredu je bilo 25 ucenika. 9 ih je zavrsilo osmi razred s opcim

uspjehom vrlo dobar. To je925

= 0.36 = 36% .

20

1

2) 25 · 32% = 30 · 0.32 = 8 . 8 ucenika je ocijenjeno odlicnom ocjenom napismenom ispitu iz matematike.

Zadatak 27. U morskoj je vodi 0.3 % soli. Koliko kilograma soli ima u jednom hektolitrumorske vode?

Rjesenje. 1 hl = 100 l pa je u jednom hektolitru 0.003 · 100 = 0.3 kg soli.

Zadatak 28. Od neke svote odbije se 8 % na troskove, a ostatak se podijeli na 5 osoba.Koliko je iznosila cijela svota ako je svaka osoba dobila po 930 kn?

Rjesenje.x − 8%x

5= 930 , x − 0.08x = 4650 , 0.92x = 4650 , x = 5054.35 kn.


Zadatak 1. Ispisi sve elemente ovih skupova:1) skup svih djelitelja broja 48;2) skup svih zajednickih visekratnika brojeva 6 i 9 manjih od 150;3) skup prostih brojeva manjih od 100;4) skup svih dvoznamenkastih brojeva cije su znamenke 1, 2 ili 3.

Rjesenje. 1) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} ;2) {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144} ;3) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} ;4) {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33} .

Zadatak 2. Dan je skup S ={− 1√

2, 0.11, 3.14159,−101,

π4

,0.71.23

}.

Napisi podskup ovog skupa ciji su elementi iracionalni brojevi.

Rjesenje. SI ={− 1√

2,

π4

}

Zadatak 3. Za prirodni broj n definiramo skup Sn = {x ∈ N : x < n} . Odredi skupoveS1 , S10 i S1000 .

Rjesenje. S1 = {x ∈ N : x < 1} = ∅ ;S10 = {x ∈ N : x < 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ;S1000 = {x ∈ N : x < 1000} = {1, 2, 3, . . . , 997, 998, 999} .

Zadatak 4. Odredi sve skupove X za koje vrijedi X ⊆ {a, b, c} .

Rjesenje. X ∈ {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} .

Zadatak 5. Neka je A ⊆ B . Cemu su jednaki skupovi A ∩ B , A ∪ B ?

Rjesenje. A ∩ B = A , A ∪ B = B .

Zadatak 6. U kojem su me -dusobnom odnosu sljedeci skupovi:1) A = {n ∈ N : n = 3k} , B = {n ∈ N : n = 6k} ;2) A = {n ∈ N : n = 4k − 1} , B = {n ∈ N : n = 2k + 4} ?

21

1 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1) B ⊆ A ; skup A sadrzi brojeve djeljive s 3, a skup B brojeve djeljive sa 6;2) A ∩ B = ∅ ; skup A sadrzi neparne brojeve, a skup B parne.

Zadatak 7. Odredi neki skup A tako da vrijedi:1) {1, 2, 3} ∩ A = {1, 2} ;2) {1, 2, 3} ∩ A = ∅ ;3) {1, 2, 3} ∩ A = {3, 4} .

Rjesenje. 1) A je bilo koji skup koji sadrzi brojeve 1 i 2 ali ne i broj 3;2) A je bilo koji skup koji ne sadrzi niti broj 1 niti broj 2 niti broj 3;3) takav skup A ne postoji jer u prvom skupu nema broja 4.

Zadatak 8. Odredi neki skup B tako da vrijedi:1) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} ;2) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3} .

Rjesenje. 1) B je skup koji sadrzi brojeve 4 i 5 i mozda jos neki od brojeva 1, 2 ili 3, alinikoji drugi broj.2) B moze sadrzavati samo neke od brojeva 1 , 2 ili 3.

Zadatak 9. Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih brojeva koji su manji od10. Pritom je: A ∩ B = {3, 8} , A ∩ C = {8, 9} , B ∩ C = {8} , A ∪ B ={1, 2, 3, 4, 8, 9} , A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} , B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} .Odredi skupove A , B i C .

Rjesenje. A = {1, 2, 3, 8, 9} , B = {3, 4, 8} , C = {5, 6, 7, 8, 9} .

Zadatak 10. Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih brojeva koji su manji od 10.Pritom je: A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = {3, 4} , A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} ,A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5} , B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7} . Odredi skupove A , B i C .

Rjesenje. A = {1, 2, 3, 4} , B = {3, 4, 6, 7} , C = {3, 4, 5} .

Zadatak 11. Skupovi A , B i C podskupovi su skupa prirodnih brojeva: A = {n : n =2k − 1, k ∈ N} , B = {n : n = 3k, k ∈ N} , C = {n : n = 4k, k ∈ N} . Odrediskupove A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C , A ∩ B , A ∩ C , B ∩ C .

Rjesenje. A = {1, 3, 5, 7, 9, 11 . . .} , B = {3, 6, 9, 12, 15 . . .} , C = {4, 8, 12, 16, 20 . . .} .A∪B={1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15 . . .}={n : n = 2k−1 ili n = 3k, k ∈ N} ;A∪C = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16 . . .} = {n : n = 2k−1 ili n = 4k,k ∈ N} ;B ∪ C = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16 . . .} = {n : n = 3k ili n = 4k, k ∈ N} ;A ∩ B = {3, 9, 15 . . .} = {n : n = 6k − 3, k ∈ N} ;A ∩ C = ∅ ;B ∩ C = {12, 24, 36 . . .} = {n : n = 12k, k ∈ N} .

Zadatak 12. Sto se moze reci o skupovima A , B , C za koje vrijedi:

1) A ∪ B = A , 2) A ∪ B = A ∩ B ,3) A ∩ B ∩ C = A , 4) A ∪ B ∪ C = A ?

Rjesenje. 1) B ⊆ A ; 2) A = B ; 3) A ⊆ B i A ⊆ C ; 4) B ⊆ A i C ⊆ A .

Zadatak 13. Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je:A = {x ∈ N : 2 < x < 11} , B = {x ∈ N : 7 � x � 17} .

22

1

Rjesenje. A ∪ B = {x ∈ N : 2 < x � 17} ; A ∩ B = {x ∈ N : 7 � x < 11} .

Zadatak 14. Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je:A = {x ∈ Z : −12 < x < −1} , B = {x ∈ Z : −2 � x � 5} .

Rjesenje. A ∪ B = {x ∈ Z : −12 < x � 5} ; A ∩ B = {−2} .

Zadatak 15. Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je:

A ={

x ∈ Q : 0 < x � 12

}, B =

{x ∈ Q : −1

2� x � 1

4

}.

Rjesenje. A ∪ B ={

x ∈ Q : −12

� x � 12

}; A ∩ B =

{x ∈ Q : 0 < x � 1

4

}.

Zadatak 16. Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je:

A ={

x ∈ Q : −38

< x � 57

}, B =

{x ∈ Q : −4

9� x � 7

9

}.

Rjesenje. A ∪ B ={

x ∈ Q : −49

� x � 79

}= B ;

A ∩ B ={

x ∈ Q : −38

< x � 57

}= A .

Zadatak 17. Obrazlozi:1) A ∩ B ⊆ A i A ∩ B ⊆ B ;2) A ⊆ A ∪ B i B ⊆ A ∪ B ;3) A ∩ B ⊂ A ∪ B .

Rjesenje. 1) x ∈ A ∩ B =⇒ x ∈ A i x ∈ B , pa je A ∩ B ⊆ A i A ∩ B ⊆ B .2) x ∈ A =⇒ x ∈ A ∪ B , x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪ B .3) x ∈ A ∩ B =⇒ x ∈ A i x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪ B .

Zadatak 18. Odredi skup X tako da vrijedi:

{1, 2, 3} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}.Rjesenje. X = {1, 2, 3} , X = {1, 2, 3, 4} , X = {1, 2, 3, 5} , X = {1, 2, 3, 4, 5} .

23

2 RJESENJA ZADATAKA


Zadatak 1. Zapisi u obliku potencije sljedece umnoske

1) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 ;2) 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 ;

3)(2

3

)·(2

3

)·(2

3

)·(2

3

);

4) (a − b) · (a − b) · (a − b) ;5) (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) .

U svakoj potenciji uoci njezinu bazu i njezin eksponent.

Rjesenje. 1) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 77 ;

2) 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 · 0.4 = (0.4)5 ;

3)(2

3

)·(2

3

)·(2

3

)·(2

3

)=(2

3

)4;

4) (a − b) · (a − b) · (a − b) = (a − b)3 ;

5) (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) = (ab)6 .

Zadatak 2. Provjeri jednakosti:

1) 13 + 23 = 32 ;

2) 13 + 23 + 33 = 62 ;

3) 13 + 23 + 33 + 43 = 102 ;

4) 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 152 .Uocavas li pravilnost? Zapisi i provjeri istinitost sljedece jednakosti u ovomnizu.

Rjesenje. 1) 1 + 8 = 9 ;2) 1 + 8 + 27 = 36 ;3) 1 + 8 + 27 + 64 = 100 ;4) 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 .Vrijedi opcenito:

13 + 23 + 33 + . . . + n3 =(n(n + 1)

2

)2.

No malo je prerano za provjeru te tvrdnje, valja pricekati do cetvrtog razreda.

Zadatak 3. Odredi sve prirodne brojeve n za koje je:

1) 12 < 2n < 42 ;2) 15 < 3n < 255 ;3) 1234 < 10n < 100 001 .

Rjesenje. 1) 12 < 24 < 25 < 42 , n = 4 ili n = 5 ;

2) 15 < 33 < 34 < 35 < 255 , n ∈ {3, 4, 5} ;

3) 1234 < 104 < 105 < 100 001 , n ∈ {4, 5} .

24

2

Zadatak 4. 1) Odredi najmanji prirodni broj n za koji je 5n > 3126 .2) Odredi najveci broj n za koji je 10n < 55 565 .

Rjesenje. 1) 3126 = 55 + 1 , n = 6 ;2) 104 = 10 000 < 55 565 , n = 4 .

Zadatak 5. Kojom znamenkom zavrsavaju brojevi 222 , 333 , 444 , 555 ?

Rjesenje. Napisimo 222 kao 222 = (24)5 · 22 = 165 · 4 . Pomnozimo li posljednjeznamenke ovih brojeva dobit cemo 64. Posljednja znamenka broja 222 je 4.

Broj 333 napisemo kao (34)8 · 3 = (81)8 · 3 . Zadnja znamenka broja (81)8 je1. To jos pomnozimo s 3 i dobijemo da je broju 333 posljednja znamenka 3.

Napisimo broj 444 kao 444 = (222)2 . Posljednja znamenka broja 222 je 4, paje posljednja znamenka broja 444 jednaka 6.Posljednja znamenka svih potencija broja 5 je 5, pa je posljednja znamenkabroja 555 jednaka 5.

Zadatak 6. Koristeci se zapisom potencije zapisi sljedece umnoske:1) (−10) · (−10) · (−10) · (−10) · (−10) · (−10) ;2) 7 · (−7) · 7 · (−7) · (−7) · 7 · (−7) ;

3) (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) ;

4) −3 · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) .

Rjesenje. 1) (−10) · (−10) · (−10) · (−10) · (−10) · (−10) = (−10)6 ;

2) 7 · (−7) · 7 · (−7) · (−7) · 7 · (−7) = 77 ;

3) (−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1)·(−1) = (−1)11 ;

4) −3 · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) · (−1) · (−3) = (−3)5 .

Zadatak 7. Procitaj brojeve.

1) 5 044 356 301 ; 2) 1 234 567 890 112 ;3) 344 556 667 778 889 000 .

Rjesenje. 1) Pet milijardi cetrdeset cetiri milijuna tristo pedeset sest tisuca tristo jedan;2) Bilijun dvjesto trideset cetiri milijarde petsto sezdeset sedam milijuna osam-sto devedeset tisuca sto dvanaest;3) Tristo cetrdeset cetiri bilijarde petsto pedeset sest bilijuna sesto sezdesetsedam milijardi sedamsto sedamdeset osam milijuna osamsto osamdeset devettisuca.

Zadatak 8. Broj zrnaca zita u prici o sahu je

18 446 744 073 709 551 615.

Procitaj taj broj.

Rjesenje. Osamnaest trilijuna cetristo cetrdeset sest bilijardi sedamsto cetrdeset cetiri bi-lijuna sedamdeset tri milijarde sedamsto devet milijuna petsto pedeset jednatisuca sesto petnaest.

Zadatak 9. Koliko je velik broj zrnaca zita iz price o sahu, moze se vidjeti i iz ovog podatka:posljednjih se godina u svijetu godisnje proizvede izme -du 500 i 600 milijunatona psenice.

25

2 RJESENJA ZADATAKA

1) Ako 1 kg psenice sadrzi priblizno 25 000 zrna, koliku masu zita je zatrazioSissa?2) Koliko bi prosjecnih godisnjih prihoda psenice u novije doba u svijetu trebaloisporuciti izumitelju?

Rjesenje. 1) Sissa je zatrazio18 446 744 073 709 551 615 : 25 000 = 737 869 762 948 382.0646 kg zita.2) 737 869 762 948 382.0646 kg = 737 869 762 948.3821 t ,737 869 762 948.3821 : 500 000 000 = 1475.74 t ,737 869 762 948.3821 : 600 000 000 = 1229.78 t .Izumitelju bi trebalo isporuciti izme -du 1229 i 1476 prosjecnih godisnjih prihodapsenice.

Zadatak 10. Pra-pra-pra-. . . -praSvaka osoba ima dva bioloska roditelja, dvije bake i dva djeda, cetiri prabakei cetiri pradjeda, sesnaest praroditelja itd. Malo rodoslovno (genealosko) sta-blo zorno prikazuje upravo takvu povezanost za razliku od velikog stabla kojeobuhvaca siru obitelj.

Mala genealogija obitelji Draskovic u dvorcu Trakoscan lijep je primjer maloggenealoskog stabla. Nastala je 1755. godine, a na slici se vidi i tada najpotpuniji prikazovog prelijepog dvorca s kulama i zidinama te visokim tornjem u sredini na kojem je sat.

Koliko izravnih predaka ima svaka osoba u prethodnih 10 generacija? Mozesli poopciti zakljucivanje i dati odgovor za prethodnih n generacija?Uocavas li povezanost izracuna broja zrnaca u prici o sahu i broja predaka?

Rjesenje. Broj praroditelja u jednoj generaciji dvostruko je veci od onoga u prethodnoj.Zbog toga imamo dvije bake i dva djeda, 2 · 2 · 2 praroditelja (4 prabake i 4pradjeda), 2 · 2 · 2 · 2 pra-praroditelja, 2 · 2 · 2 · 2 · 2 pra-pra-praroditelja itd.Svaka osoba u prethodnih 10 generacija ima 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 210

izravnih predaka.U n -toj pra-generaciji imamo ukupno 2 · 2 · 2 · . . . · 2 predaka, pri cemu je uumnosku n faktora. Svaka osoba u prethodnih n generacija ima 2n izravnihpredaka.

26

2



1) x3 + x3 + x3 ; 2) a4 + a4 − 3a4 ;3) 35+4·35−2·35 ; 4) 2·48−4·48−6 · 48 ;

5) 11 · 510 − 12 · 510 + 6 · 510 ; 6) a9 + 2a9 − 3a9 + 4a9 ;

7) 3n6 − 7n6 − 11n6 + 5n6 ; 8) 6x4 − 7x4 + 2x4 − x4 .

Rjesenje. 1) x3 + x3 + x3 = 3x3 ;2) a4 + a4 − 3a4 = −2a4 ;3) 35 + 4 · 35 − 2 · 35 = 36 ;4) 2 · 48 − 4 · 48 − 6 · 48 = −219 ;5) 11 · 510 − 12 · 510 + 6 · 510 = (11 − 12 + 6) · 510 = 5 · 510 = 511 ;

6) a9 + 2a9 − 3a9 + 4a9 = (1 + 2 − 3 + 4)a9 = 4a9 ;

7) 3n6 − 7n6 − 11n6 + 5n6 = (3 − 7 − 11 + 5)n6 = −10n6 ;

8) 6x4 − 7x4 + 2x4 − x4 = (6 − 7 + 2 − 1)x4 = 0 .


1) 33 − (−3)3 − 33 ; 2) (−5)4 − 54 − (−5)4 ;

3) −23 − (−2)3 + (−2)3 − 23 ; 4) (−a)2n − a2n ;

5) (−a)2n−1 − a2n−1 .

Rjesenje. 1) 33 − (−3)3 − 33 = 33 = −(−33) = 33 ;

2) (−5)4 − 54 − (−5)4 = 54 − 54 − 54 = −54 ;

3) −23−(−2)3+(−2)3−23 = −23−(−23)+(−23)−23 = −23+23−23−23 =−2 · 23 = −24 ;4) (−a)2n − a2n = a2n − a2n = 0 ;

5) (−a)2n−1 − a2n−1 = −a2n−1 − a2n−1 = −2a2n−1 .

Zadatak 3. Pomnozi:

1) 35 · 37 ; 2) 54 · 56 ; 3) 106 · 103 ;

4) 28 · 2 ; 5) (0.7)2 · (0.7)3 .

Rjesenje. 1) 35 · 37 = 35+7 = 312 ; 2) 54 · 56 = 54+6 = 510 ;3) 106 · 103 = 106+3 = 109 ; 4) 28 · 2 = 28 · 21 = 28+1 = 29 ;5) (0.7)2 · (0.7)3 = (0.7)2+3 = (0.7)5 .

Zadatak 4. Pomnozi:

1) 3a2b · 4a3b2 ; 2) −4x3y · 38x2y3 ;

3) 5x5y3 ·(− 3

10x3y4

); 4) −3

8a3b2 ·

(−4

9a2b3

);

5)310

ab5 ·(−4

9a3b

); 6) −1

2a2bc3 · 4

5abc2 .

27

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1) 3a2b · 4a3b2 = 12a2+3b1+2 = 12a5b3 ;

2) −4x3y · 38x2y3 = −3

2x2+3y1+3 − 3

2x5y4 ;

3) 5x5y3 ·(− 3

10x3y4

)= −3

2x5+3y3+4 = −3

2x8y7 ;

4) −38a3b2 ·

(−4

9a2b3

)=

16a3+2b2+3 = −1

6a5b5 ;

5)310

ab5 ·(−4

9a3b

)= − 2

15a1+3b5+1 = − 2

15a4b6 ;

6) −12a2bc3 · 4

5abc2 = −2

5a2+1b1+1c3+2 = −2

5a3b2c5 .

Zadatak 5. Pomnozi:

1) 23 · 24 · 25 ; 2) 34 · 36 · 38 ;

3) 5 · 55 · 57 ; 4) 10·102·103·104·105 .

Rjesenje. 1) 23 · 24 · 25 = 23+4+5 = 212 ;2) 34 · 36 · 38 = 34+6+8 = 318 ;3) 5 · 55 · 57 = 51 · 55 · 57 = 51+5+7 = 513 ;4) 10 · 102 · 103 · 104 · 105 = 101 · 102 · 103 · 104 · 105 = 101+2+3+4+5 = 1015 .

Zadatak 6. Pomnozi:

1) (−3)3 · (−35) ;

2) (−2)3·(−25)·(−2)7 ;

3) −102 · (−103) · (−10)4 · (−10)5 · (−106) .

Rjesenje. 1) (−3)3 · (−35) = (−3)3 · (−3)5 = (−3)3+5 = (−3)8 = 38 ;

2) (−2)3·(−25)·(−2)7 = (−2)3·(−2)5·(−2)7 = (−2)3+5+7 = (−2)15 ;

3) −102 · (−103) · (−10)4 · (−10)5 · (−106) = −102 · (−103) · 104 · (−105) ·(−106) = 102+3+4+5+6 = 1020 .


1) 23 · 24 · 25 ; 2) 34 · 36 · 38 ;

3) a3 · a · a5 ; 4) 4 · 43 · 45 ;

5)(

1a

)7

·(

1a

)3

·(

1a

)7

.

Rjesenje. 1) 23 · 24 · 25 = 23+4+5 = 212 ;2) 34 · 36 · 38 = 34+6+8 = 318 ;3) a3 · a · a5 = a3+1+5 = a9 ;4) 4 · 43 · 45 = 41+3+5 = 49 ;

5)(1

a

)7·(1

a

)3·(1

a

)7=(1

a

)7+3+7=(1

a

)17.

Zadatak 8. Koliko znamenki ima broj:

1) 211 · 511 ; 2) 225 · 520 ; 3) 210·510·1015 ;

4) 47 · 510 ; 5) 410 · 2511 ; 6) 811 · 533 ?

28

2

Rjesenje. 1) 211 · 511 = (2 · 5)11 = 1011 , broj ima dvanaest znamenki;

2) 225 · 520 = 25 · 220 · 520 = 25 · (2 · 5)20 = 25 · 1020 = 32 · 1020 , broj imadvadeset dvije znamenke;

3) 210 · 510 · 1015 = 1025 , broj ima dvadeset sest znamenki;

4) 47 · 510 = 214 · 510 = 24 · 210 · 510 = 24 · (2 · 5)10 = 24 · 1010 = 16 · 1010 ;broj ima dvanaest znamenki;

5) 410 · 2511 = 220 · 522 = 220 · 520 · 52 = (2 · 5)20 · 25 = 25 · 1020 ; broj imadvadeset i dvije znamenke;

6) 811 · 533 = 233 · 533 = (2 · 5)33 = 1033 ; broj ima trideset i cetiri znamenke.

Zadatak 9. Odredi najmanji prirodni broj n za koji broj 2n · 512 ima 15 znamenki.

Rjesenje. Uzmimo da je n = 12 pa imamo 212 · 512 = (2 · 5)12 = 1012 . To je broj kojiima trinaest znamenki. Treba nam jos jedan troznamenkasti broj, koji je poten-cija broja 2, tako da pomnozen s ovim brojem daje broj s petnaest znamenki.Takav najmanji broj je 27 = 128 . Dakle, 27 · 212 · 512 = 128 · 1012, n = 19 .

Zadatak 10. Ako je m = 55 , n = 66 , koliko znamenki ima broj m · n ?

Rjesenje. m · n = 55 · 66 = 306 = 36 · 106 = 729 · 106 . Broj ima devet znamenki.

Zadatak 11. Ako je m = 45 , n = 58 , koliko je nula u zapisu broja m · n ?

Rjesenje. m · n = 45 · 58 = 210 · 58 = 22 · 28 · 58 = 4 · 108 . U zapisu broja m · n je osamnula.

Zadatak 12. Koliko znamenki ima broj 210 · 515 ? S koliko nula zavrsava broj 811 · 2516 ?

Rjesenje. 210 · 515 = 210 · 510 · 55 = 3125 · 1010 ; broj ima 14 znamenki.

811 · 2516 = 233 · 532 = 2 · 232 · 532 = 2 · 1032 ; broj zavrsva s 32 nule.

Zadatak 13. Ako je a = 3 · 511 , b = 5 · 311 , koja je posljednja znamenka umnoska a · b ?

Rjesenje. a · b = 3 · 511 · 5 · 311 = 15 · 1511 , posljednja znamenka je 5.

Zadatak 14. Ako je m = 4 · 312 , n = 3 · 412 , koja je posljednja znamenka broja m + n ?

Rjesenje. Racunamo li uzastopce potencije broja 3, uocit cemo da se posljednje znamen-ke periodicno ponavljaju. To ce redom biti znamenke 3, 9, 7, 1. Zbog togaje posljednja znamenka potencije 312 jednaka 1. Posljednja znamenka brojam = 4 · 312 je stoga 4.Racunamo li uzastopce potencije broja 4, uocit cemo da se posljednje znamenkeperiodicno ponavljaju. To ce redom biti znamenke 4, 6. Zbog toga je posljednjaznamenka potencije 412 jednaka 6. Posljednja znamenka broja n = 3 · 412 jestoga 8.Odatle je posljednja znamenka zbroja m + n jednaka 2.

Zadatak 15. Koliki je n ako je:

1) 44 + 44 + 44 + 44 = 2n ;

2) 55 + 55 + 55 + 55 + 55 = 25n ;

3) 84 + 84 + 84 + 84 = 4n .

Rjesenje. 1) 44 + 44 + 44 + 44 = 4 · 44 = 45 = 210 =⇒ n = 10 ;

29

2 RJESENJA ZADATAKA

2) 55 + 55 + 55 + 55 + 55 = 5 · 55 = 56 = (52)3 = 253 =⇒ n = 3 ;

3) 84 + 84 + 84 + 84 = 4 · 84 = 22 · 212 = 214 = 47 =⇒ n = 7 .

Zadatak 16. Obrazlozi:

1) 311 − 310 = 2 · 310 ;

2) 44 + 44 + 44 + 44 = 45 ;

3)1010 − 109

108 − 107 = 100 .

Rjesenje. 1) 311 − 310 = 3 · 310 − 310 = (3 − 1) · 310 = 2 · 310 ;

2) 44 + 44 + 44 + 44 = 4 · 44 = 45 ;

3)1010 − 108

108 − 107

10 · 109 − 109

10 · 107 − 107

(10 − 1) · 109

(10 − 1) · 107=

109

107= 109−7 = 102 = 100 .

Zadatak 17. Koliki je n , ako je

1) 22 · 43 · 84 = 16n ;

2) 55 · 255 · 1255 = 25n ;

3) 10 · 1003 · 1000n = 100 000 000 0002 .

Rjesenje. 1) 22 · 43 · 84 = 22 · (22)3 · (23)4 = 22 · 26 · 212 = 22+6+12 = 220 = 16n =(24)n = 24n , 20 = 4n =⇒ n = 5 ;

2) 55 · 255 · 1255 = 55 · (52)5 · (53)5 = 55 · 510 · 515 = 55+10+15 = 530 = 25n =(52)n = 52n , 30 = 2n =⇒ n = 15 ;

3) 10 · 1003 · 1000n = 10 · (102)3 · (103)n = 10 · 106 · 103n = 101+6+3n =100 000 000 0002 = (1011)2 = 1022 , 1 + 6 + 3n = 22 , 3n = 15 =⇒ n = 5 .

Zadatak 18. Potenciraj:

1) (34)3 ; 2) (82)2 ; 3) (103)4 ;

4) (an+1)3 ; 5) (a4)n+1 ; 6) (an−1)n+1 .

Rjesenje. 1) (34)3 = 33·4 = 312 ;

2) (82)2 = 82·2 = 84 = (23)4 = 23·4 = 212 ;

3) (103)4 = 103·4 = 1012 ;

4) (an+1)3 = a(n+1)·3 = a3n+3 ;

5) (a4)n+1 = a4·(n+1) = a4n+4 ;

6) (an−1)n+1 = a(n−1)·(n+1) = an2−1 .

Zadatak 19. Izracunaj i zapisi rezultat u obliku potencije:

1) (33)4 · (34)3 ; 2) (25)3 · (23)3 ;

3) (10n+2)3 · (102)n−1 ; 4) (4n−1)2 · (42)n+1 .

Rjesenje. 1) (33)4 · (34)3 = 312 · 312 = 324 ;

2) (25)3 · (23)3 = 215 · 29 = 224 ;

3) (10n+2)3 · (102)n−1 = 103·(n+2) · 102·(n−1) = 103n+6 · 102n−2 = 103n+6+2n−2

= 105n+4 ;4) (4n−1)2 · (42)n+1 = 42·(n−1) · 42·(n+1) = 42n−2 · 42n+2 = 44n = 28n .

30

2

Zadatak 20. Zapisi u obliku potencije s bazom 2:

1) (16 · 43 · 82)5 ; 2) (162 · 43 · 84)3 .

Rjesenje. 1) (16 · 43 · 82)5 = (24 · 26 · 26)5 = (216)5 = 280 ;

2) (162 · 43 · 84)3 = (28 · 26 · 212)3 = (226)3 = 278 .

Zadatak 21. Zapisi u obliku potencije s bazom 3:

1) (272 · 81 · 93)4 ; 2) (93 · 3 · 272)3 .

Rjesenje. 1) (272 · 81 · 93)4 = ((33)2 · (34) · (32)3)4 = (36 · 34 · 36)4 = 364 ;

2) (93 · 3 · 272)3 = ((32)3 · 3 · (33)2)3 = (36 · 3 · 36)3 = (313)3 = 339 .


1) (ab2)3 · (a2b)3 ; 2) (a3b3)2 · (a2b2)3 ;

3) (a3b4)5 · (a5b4)3 ; 4) (a2b3)4 · (a3b2)4 .

Rjesenje. 1) (ab2)3 · (a2b)3 = a3b2·3 · a3·2b3 = a9b9 ;

2) (a3b3)2 · (a2b2)3 = a6b6 · a6b6 = a12b12 ;

3) (a3b4)5 · (a5b4)3 = a15b20 · a15b12 = a30b32 ;

4) (a2b3)4 · (a3b2)4 = a8b12 · a12b8 = a20b20 .

Zadatak 23. Koji je od sljedecih brojeva veci:

1) 411 ili 166 ; 2) 278 ili 912 ; 3) 12515 ili 2525 ;

4) 275 ili 98 ; 5) 430 ili 820 ; 6) 522 ili 333 ?

Rjesenje. 1) 411 = 222 , 166 = 224 , dakle 411 < 166 ;2) 278 = 324 , 912 = 324 , te je 278 = 912 ;

3) 12515 = 545 , 2525 = 550 , dakle 12515 < 2525 ;4) 275 = (33)5 = 315 , 98 = (32)8 = 316 , dakle 275 < 98 ;

5) 430 = 260 , 820 = (23)20 = 260 , dakle 430 = 820 ;

6) 522 = 2511 , 333 = 2711 , 25 < 27 , dakle 522 < 333 .


1) (−23)4+2·(−24)3+3·(−22)6 ;

2) (−32)3+5·(−3)6−(−33)2 ;

3) (−27)2−36+(−9)3−(−32)3 ;

4) (−252)3−(1252)2−(−54)3+6253 ;

5) (−4)3+(−23)2+(−8)2−26 ;

6) (−92)3−813+(27)4+(−93)2 .

Rjesenje. 1) (−23)4 + 2 · (−24)3 + 3 · (−22)6 = 212 − 2 · 212 + 3 · 212 = 2 · 212 = 213 ;

2) (−32)3 + 5 · (−3)6 − (−33)2 = −36 + 5 · 36 − 36 = 3 · 36 = 37 ;

3) (−27)2 − 36 + (−9)3 − (−32)3 = 36 − 36 − 36 + 36 = 0 ;

4) (−252)3 − (1252)2 − (−54)3 + 6253 = −512 − 512 + 512 + 512 = 0 ;

5) (−4)3 + (−23)2 + (−8)2 − 26 = −26 + 26 + 26 − 26 = 0 ;

6) (−92)3 − 813 + (27)4 + (−93)2 = −312 − 312 + 312 + 312 = 0 .

31

2 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 25. Zapisi u obliku potencije s bazom 2 sljedece brojeve:

1) 3 · 26 + 10 · 25 ; 2) 11 · 46 + 20 · 210 ;3) 6 · 211 + 5 · 46 ; 4) 213 + 4 · 211 ;

5) 20 · 45 + 3 · 213 + 5 · 84 ; 6) 2 · 163 − 3 · 46 + 5 · 84 .

Rjesenje. 1) 3 · 26 + 10 · 25 = 3 · 26 + 5 · 26 = 8 · 26 = 29 ;2) 11 · 46 + 20 · 210 = 11 · 212 + 5 · 212 = 16 · 212 = 216 ;3) 6 · 211 + 5 · 46 = 3 · 212 + 5 · 212 = 8 · 212 = 215 ;4) 213 + 213 = 2 · 213 = 214 = 213 + 213 = 2 · 213 = 214 ;5) 20 · 45 + 3 · 213 + 5 · 84 = 5 · 212 + 6 · 212 + 5 · 212 = 16 · 212 = 216 ;6) 2 · 163 − 3 · 46 + 5 · 84 = 2 · 212 − 3 · 212 + 5 · 212 = 4 · 212 = 214 .

Zadatak 26. Zapisi u obliku potencije s bazom 3 sljedece brojeve:

1) 37 + 6 · 36 ; 2) 6 · 39 + 95 ; 3) 5 · 95 + 12 · 39 ;

4) 39 + 6 · 94 ; 5) 2 · 96 + 15 · 311 + 2 · 274 .

Rjesenje. 1) 37 + 6 · 36 = 37 + 2 · 37 = 3 · 37 = 38 ;

2) 6 · 39 + 95 = 2 · 310 + 310 = 3 · 310 = 311 ;3) 5 · 95 + 12 · 39 = 5 · 310 + 4 · 310 = 9 · 310 = 312 ;4) 39 + 6 · 94 = 39 + 2 · 39 = 3 · 39 = 310 ;5) 2 · 96 + 15 · 311 + 2 · 274 = 2 · 312 + 5 · 312 + 2 · 312 = 9 · 312 = 314 .

Zadatak 27. Ako je ab2 = 5 , a a2b5 = 15 , izracunaj a i b . Rezultat provjeri.

Rjesenje. Iz ab2 = 5 slijedi a2b4 = 25 . Tako je onda a2b5 = a2b4 · b = 25 · b = 15 ,

odakle slijedi b =35

. Zatim nalazimo a =1259

.

Zadatak 28. Ako je x2y3 = 80 , a x3y4 = 50, izracunaj xy2 .

Rjesenje. Dijeljenjem dviju jednakosti dobijemo xy =58

. Sada prvu jednakost zapisemo

u obliku xy · xy2 = 80 i imamo58xy2 = 80 odakle slijedi xy2 = 128 .

Zadatak 29. Ako je 2m−1 · 3m+1 = a , koliko je 62m+1 ?

Rjesenje. Najprije je a = 2m−1 · 3m+1 =32· 2m · 3m =

32· 6m pa je 6m =

2a3

. A zatim

mozemo pisati: 62m+1 = 6 · (6m)2 = 6 ·(

2a3

)2

=83a2 .

Zadatak 30. Ako je 2m · 3n = a , koliko je 4m+1 · 9n−1 ?

Rjesenje. Zadanu jednakost kvadriramo i pomnozimo s49

. Dobijemo 4m+1·9n−1 =49a2 .

Zadatak 31. Ako je8n

4m−n=

132

te9n

27m+n= 3 , izracunaj m i n . Rezultat provjeri.

32

2

Rjesenje.8n

4m−n=

132

=⇒ (23)n

22m−2n=

125

=⇒ 23n−2m+2n = 2−5 =⇒ 5n − 2m =

−5 .9n

27m+n=

32n

33m+3n= 3 =⇒ 32n−3m−3n = 3 =⇒ −n − 3m =

1 =⇒ n = −3m − 1 . Uvrstimo to u jednadzbu 5n − 2m = −5 i dobije-mo −15m − 5 − 2m = −5 . Odavde slijedi −17m = 0 =⇒ m = 0 pa jen = −1 . Provjerimo tako da uvrstimo dobivene vrijednosti od m i n u pocetnejednakosti.

8n

4m−n=

132

8−1

40+1=

132

8−1

4=

132

18 · 4 =

132

132

=132

i

9n

27m+n= 3

9−1

270−1= 3

9−1

27−1= 3

279

= 3

3 = 3.

Zadatak 32. Ako je x = 2n+1 , y = 5n+1 , koliko znamenki ima broj x2 · y2 ?

Rjesenje. x2y2 = (xy)2 = (2n+1 · 5n+1)2 = ((2 · 5)n+1)2 = (10n+1)2 = 102n+2 . Brojx2y2 ima 2n + 3 znamenke.

Zadatak 33. Podijeli:

1) 37 : 34 ; 2) 511 : 56 ; 3) 66 : 65 .

Rjesenje. 1) 37 : 34 = 37−4 = 33 ; 2) 511 : 56 = 511−6 = 55 ; 3) 66 : 65 = 66−5 = 6 .


1)(

45x5y3

):

(815

x3y2

); 2)

(−3x4y4)

:

(611

xy2

);

3) (8a8b8) : (16a5b5) ; 4)(

916

a6b4

):(18a3b

);

5)(

524

a3b8

):

(−25

12a2b5

).

Rjesenje. 1)(4

5x5y3

):( 8

15x3y2

)=

45· 15

8x5−3y3−2 =

32x2y ;

2)(−3x4y4

):( 6

11xy2

)= −3 · 11

6x4−1y4−2 = −11

2x3y2 ;

3) (8a8b8) : (16a5b5) = 8 · 116

a8−5b8−5 =12a3b3 ;

4)( 9

16a6b4

):(18a3b

)=

916

· 118

a6−3b4−1 =132

a3b3 .

5)( 5

24a3b8

):(−25

12a2b5

)=

524

·(−12

25

)a3−2b8−5 = − 1

10ab3 .

33

2 RJESENJA ZADATAKA


1)99

273 · 36; 2)

645

83 · 164; 3)

1256

258 · 53.

Rjesenje. 1)99

273 · 36=

318

39 · 36=

318

315= 33 = 27 ;

2)645

83 · 164=

230

29 · 216=

230

225= 25 = 32 ;

3)1256

258 · 53=

518

516 · 53=

518

519=

15

.


1)275 + 274

98 + 97 + 96; 2)

167 − 166

810 + 89 + 88; 3)

254 − 253

58 − 57 + 56.

Rjesenje. 1)275 + 274

98 + 97 + 96=

315 + 312

316 + 314 + 312=

33 · 312 + 312

34 · 312 + 32 · 312 + 312=

28 · 312

(81 + 9 + 1) · 312

=28 · 312

91 · 312=

2891

=413

;

2)167 − 166

810 + 89 + 88=

228 − 224

230 + 227 + 224=

24 · 224 − 224

26 · 224 + 23 · 224 + 224=

15 · 224

(64 + 8 + 1) · 224

=1573

;

3)254 − 253

58 − 57 + 56=

58 − 56

58 − 57 + 56=

52 · 56 − 56

52 · 56 − 5 · 56 + 56=

24 · 56

21 · 56=

2421

=87

.


1) 20 − (−2)−4 ; 2) (−0.25)−2 · 100 ;

3) (0.2)−4 · (−1.6) ; 4) 0.01 · (−0.5)−3 ;

5) 8−3 ·(1

2

)−10; 6)

(12

)−3·(−4)0+

(12

)−1.

Rjesenje. 1) 20 − (−2)−4 = 1 − 2−4 = 1 − 124

= 1 − 116

=1516

;

2) (−0.25)−2 · 100 =(−1

4

)−2· 100 =

(14

)−2· 100 = 42 · 100 = 16 · 100

= 1 600 ;

3) (0.2)−4 · (−1.6) =(1

5

)−4·(−8

5

)= 54 ·

(−8

5

)= −53 · 8 = −125 · 8

= −1 000 ;

4) 0.01 · (−0.5)−3 =1

100·(−1

2

)−3=

1100

· (−23) = − 8100

= − 225

;

5) 8−3 ·(1

2

)−10= 2−9 ·

(12

)−10=

129

· 210 = 2 ;

6)(1

2

)−3· (−4)0 +

(12

)−1= 23 · 1 + 2 = 8 + 2 = 10 .

34

2


1) (a−1b + ab−1)−2 , za a =13

, b =15

;

2) (a−1 − b−1)2 · (a + b)−2 , za a =13

, b = 3 ;

3) a−1b−2 + a−2b−1 , za a =23

, b = −32

.

Rjesenje. 1) (a−1b + ab−1)−2 =((1

3

)−1· 15

+13

(15

)−1)−2=(3 · 1

5+

13· 5)−2

=(3

5+

53

)−2=(9 + 25

15

)−2=(34

15

)−2=(15

34

)2;

2) (a−1 − b−1)2 · (a + b)−2 =((1

3

)−1− 3−1

)2·(1

3+ 3

)−2

=(3 − 1

3

)2·(10

3

)−2=(8

3

)2·( 3

10

)2=

649

· 9100

= 0.64 ;

3) a−1b−2 + a−2b−1 =(2

3

)−1·(−3

2

)−2+(2

3

)−2·(−3

2

)−1

=32·(3

2

)−2+(3

2

)2·(−2

3

)=

32·(2

3

)2+

94·(−2

3

)=

32· 49− 3

2

=23− 3

2= −5

6.


1)

[6−4·

(516

)0]−2

; 2)

[(23

)−1

− 34

]−1

; 3)3−2 −

(34

)−2

2 −(1

5

)−1 ;

4)3 ·

(23

)−2+ 4−1(1

2

)−1+ 5

; 5)2−2 + 5 ·

(12

)0

3 −(2

3

)−2 ; 6)

(23

)−3· (2.5)0 + 2−4

(−0.4)−2 −(4

5

)−1 .

Rjesenje. 1)

[6 − 4 ·

(516

)0]−2

= [6 − 4 · 1]−2 = 2−2 =14

;

2)

[(23

)−1

− 34

]−1

=[32− 3

4

]−1

=(3

4

)−1=

43

;

3)3−2 −

(34

)−2

2 −(1

5

)−1 =

19− 16

92 − 5

=−15

9−3

=59

;

4)3 ·(2

3

)−2+ 4−1(1

2

)−1+ 5

=3 · 9

4+

14

2 + 5=

2847

=77

= 1 ;

35

2 RJESENJA ZADATAKA

5)2−2 + 5 ·

(12

)0

3 −(2

3

)−2 =

14

+ 5 · 1

3 − 94

=

21434

= 7 ;

6)

(23

)−3· (2.5)0 + 2−4

(−0.4)−2 −(4

5

)−1 =

278

· 1 +116(

−25

)−2− 5

4

=

5516(

−52

)2− 5

4

=

5516

254

− 54

=

5516204

=1116

.


1) 212 · 14· (0.25)5 ; 2)

1252

· 1254 · (0.04)3 ;

3)132

· 85 · 0.25−2 ; 4) 512 · 125

· 0.045 ;

5)3−10 · 7−5 ·

(19

)−2

( 121

)8· 49

; 6)0.04−2 · 1254 · 0.2−1

4 · 258.

Rjesenje. 1) 212 · 14· (0.25)5 = 212 1

22·(1

4

)5= 212 · 2−2 · 4−5 = 210 · 2−10 = 20 = 1 ;

2)1

252·1254·(0.04)3 =

154

·512·( 1

25

)3= 5−4·512·25−3 = 58·5−6 = 52 = 25 ;

3)132

· 85 · 0.25−2 = 32−1 · 215 ·(1

4

)−2= 2−5 · 215 · 42 = 210 · 24 = 214 ;

4) 512 · 125

·0.045 = 512 ·25−1 ·( 1

25

)5= 512 ·5−2 ·25−5 = 510 ·5−10 = 50 = 1 ;

5)3−10 · 7−5 ·

(19

)−2

( 121

)8· 49

=3−10 · 7−5 · 92

21−8 · 72=

3−10 · 34 · 7−5

3−8 · 7−8 · 72=

3−6 · 7−5

3−8 · 7−6

= 3−6+8 · 7−5+6 = 9 · 7 = 63 ;

6)0.04−2 · 1254 · 0.2−1

4 · 258=

( 125

)−2· 512 ·

(15

)−1

4 · 516=

252 · 512 · 54 · 516

=54 · 513

4 · 516

=517−16

4=

54

.

Zadatak 41. Pojednostavni:

1)(

a−3

3b−2

)−3

· (9a4b−1)−2 ; 2) (0.25x−4y−3)2 ·(

x−3

4y2

)−3

;

3)(

8a−2

b−3

)3

·(

16a−3

b−2

)−3

; 4)(−9a4

2b3

)−3

·(

4a−5

27b−4

)−2

.

36

2

Rjesenje. 1)( a−3

3b−2

)−3· (9a4b−1)−2 =

a9

3−3b6· 9−2a−8b2 =

a9 · 33

b6· b2

34a8=

a3b4

;

2) (0.25x−4y−3)2·(x−3

4y2

)−3=(1

4x−4y−3

)2· x9

4−3y−6=

142

·x−8y−6·x9·43y6=4x ;

3)(8a−2

b−3

)3·(16a−3

b−2

)−3=

83a−6

b−9· 16−3a9

b6= 83 ·a−6 ·b9 ·2−3 ·8−3 ·a9 ·b−6

=a3b3

8=

18a3b3 ;

4)(−9a4

2b3

)−3·( 4a−5

27b−4

)−2= −9−3 · a−12

2−3b−9· 4−2a10

27−2 · b8

= −3−6 · a−12 · 23 · b9 · 2−4 · a10 · 36 · b8 = 2−1a−2b = − b2a2

.


1)(

125

)−n

: 52n−1 ; 2) 32n+1 :

(19

)−n

; 3) 4n−1:(2 · 8−n−1) ;

4) 272n+1 :

(19

)1−3n

; 5)

(16n−1 :

(18

)2n−2)

: 45n−3 .

Rjesenje. 1)( 1

25

)−n: 52n−1 =

125−n

: 52n−1 = 25n : 52n−1 = 52n : 52n−1 =

52n−2n+1 = 5 ;

2) 32n+1 :(1

9

)−n= 32n+1 : 9n = 32n+1 : 32n = 32n+1−2n = 3 ;

3) 4n−1 : (2 · 8−n−1) = 22n−2 : 2 · 2−3n−3 = 22n−2 : 2−3n−2 = 22n−2+3n+2 =25n ;

4) 272n+1 :(1

9

)1−3n= 36n+3 : 9−1+3n = 36n+3 : 3−2+6n = 36n+3+2−6n = 35 ;

5)(16n−1 :

(18

)2n−2): 45n−3 =

(24n−4 : 82−2n

): 210n−6 =

(24n−4 :

26−6n)

: 210n−6 = 24n−4+6n−6 : 210n−6 = 210n−10 : 210n−6 = 210n−10−10n+6 =

2−4 =124

=116

.

Zadatak 43. Poredaj po velicini brojeve:

1) −105 , 10−5 , (−10)5 , −10−5 , (−10)−5 , 105 ;

2) −0.15 , 0.1−5 , (−0.1)5 , −0.1−5 , (−0.1)−5 , 0.15 .

Rjesenje. 1) −105 = (−10)5 < −10−5 = (−10)−5 < 10−5 < 105 ;

2) (−0.1)−5 < −0.15 = (−0.1)5 < 0.15 < 0.1−5 .

Zadatak 44. Broj m zapisi u standardnom zapisu:

1) m = 3 · 105 + 8 · 103 + 2 · 10 + 10−1 + 10−2 + 10−3 ;2) m = 1 · 104 + 2 · 103 + 3 · 10 + 10−2 .

Rjesenje. 1) 3 · 105 + 8 · 103 + 2 · 10 + 10−1 + 10−2 + 10−3 = 308 020.111 ;2) 1 · 104 + 2 · 103 + 3 · 10 + 10−2 = 12 030.01 .

37

2 RJESENJA ZADATAKA


Zadatak 1. Zapisi u znanstvenom obliku brojeve

1) 500 · 107 ; 2) 0.05 · 107 ;

3) 500 · 10−7 ; 4) 0.05 · 10−7 .

Rjesenje. 1) 500 · 107 = 5 · 109 ;

2) 0.05 · 107 = 5 · 105 ;3) 500 · 10−7 = 5 · 10−5 ;4) 0.05 · 10−7 = 5 · 10−9 .

Zadatak 2. Zapisi u znanstvenom obliku sljedece brojeve:

1) 1100 · 10−6 ; 2) 0.11 · 1010 ;

3) 110 · 108 ; 4) 0.0011 · 10−5 .

Rjesenje. 1) 1100 · 10−6 = 1.1 · 103 · 10−6 = 1.1 · 10−3 ;2) 0.11 · 1010 = 1.1 · 10−1 · 1010 = 1.1 · 109 ;3) 110 · 108 = 1.1 · 102 · 108 = 1.1 · 1010 ;4) 0.0011 · 10−5 = 1.1 · 10−3 · 10−5 = 1.1 · 10−8 .

Zadatak 3. Odredi dzepnim racunalom rezultat mnozenja i protumaci ga:

1) 414 515 · 313 616 ; 2) 123 456 789 · 987 654 321 ;3) 0.000535 : 455 566 ; 4) 0.078865 · 0.000956 ;5) 9 456 728 : 0.00005 .

Rjesenje. 1) 414 515 · 313 616 = 1.299985362 · 1011 ≈ 1.3 · 1011 . Dzepno racunalo primnozenju vrlo velikih ili vrlo malih brojeva daje rezultat zapisan u znanstve-nom obliku. Jedan je od razloga i taj sto se ponekad zbog prevelikog brojaznamenki rezultat i ne moze prikazati na zaslonu racunala.

2) 123 456 789 · 987 654 321 = 1.2193263 · 1017 ;3) 0.000535 : 455 566 = 0.000000001 ;4) 0.078865 · 0.000956 = 0.000075394 ;5) 9 456 728 : 0.00005 = 1.8913456 · 1011 .

Zadatak 4. Obrazlozi jednakosti:

1) 108 + 107 = 1.1 · 108 ; 2) 44 · 10−4 · 115 · 10−5 = 5.06 · 10−6 ;

3)3 · 109

50= 6 · 107 ; 4)

1.3 · 108

5.3 · 105 = 245 .

Rjesenje. 1) 108 + 107 = 108 +110

· 108 = 108 + 0.1 · 108 = 1.1 · 108 ;

2) 44 · 10−4 · 115 · 10−5 = 44 · 115 · 10−9 = 5060 · 10−9 = 5.06 · 103 · 10−9 =5.06 · 10−6 ;

3)3 · 109

50=

350

· 109 = 0.06 · 109 = 6 · 10−2 · 109 = 6 · 107 ;

4)1.3 · 108

5.3 · 105 =13 · 107

53 · 104 =1353

· 103 = 245 .

38

2

Zadatak 5. Neka je a = 8.55 · 108 , te b = 9.12 · 105 .1) Izracunaj a − b . 2) Koliko je a · b ?Rezultate navedi u znanstvenom zapisu.

Rjesenje. 1) a − b = 8.55 · 1000 · 105 − 9.12 · 105 = 8550 · 105 − 9.12 · 105

= (8550 − 9.12) · 105 = 8540.88 · 105 = 8.54 · 108 ;

2) a · b = 8.55 · 108 · 9.12 · 105 = 77.976 · 1013 = 7.8 · 1014 .

Zadatak 6. Neka je a = 2.5 · 10−4 , te b = 6 · 10−3 .

1) Izracunaj b − a . 2) Koliko je b3?Rezultate navedi u znanstvenom zapisu.

Rjesenje. 1) b − a = 6 · 10 · 10−4 − 2.5 · 10−4 = (60 − 2.5) · 10−4 = 57.5 · 10−4

= 5.75 · 10−3 ;2) b3 = 63 · 10−9 = 216 · 10−9 = 2.16 · 10−7 .

Zadatak 7. Neka je a = 4.5 · 10−9 , te b = 6.6 · 105 .1) Izracunaj a · b . 2) Koliko je a : b ?Rezultate navedi u znanstvenom zapisu.

Rjesenje. 1) a · b = 4.5 · 10−9 · 6.6 · 105 = 29.7 · 10−4 = 2.97 · 10−3 ;

2) a : b = (4.5 · 10−9) : (6.6 · 105) = 4.5 : 6.6 · 10−9−5 = 0.681 · 10−14

= 6.8 · 10−15 .

Zadatak 8. 1) Ako je 210 · 512 = n · 1011 , koliki je n ?

2) Ako je 212 · 258 = 6.25 · 10n , koliki je n ?

3) Ako je 410 · 5n = 3.2 · 1016 , koliki je n ?

Rjesenje. 1) 210 ·512 = 210 ·510 ·52 = 1010 ·25 = 1010 · 1010

·25 = 1011 · 2510

= 2.5 ·1011 ,

n = 2.5 ;2) 212 ·258 = 212 ·(52)8 = 212 ·516 = 1012 ·54 = 1012 ·625 = 6.25 ·102 ·1012 =6.25 · 1014 , n = 14 ;3) 410 · 5n = (22)10 · 5n = 220 · 5n = 1020 · 5n−20 = 104 · 1016 · 5n−20 ,

104 · 5n−20 = 3.2 =⇒ 5n−20 =25

105= 5−5 , n − 20 = −5 , n = 15 .

Zadatak 9. Pluton je od Zemlje udaljen 4.58 · 109 km. Radiovalovi se sire brzinom svjet-losti, 3 · 105 km/ s. Koliko ce dugo trajati prijenos radijskog signala s Plutonana Zemlju? Rezultat neka bude u znanstvenom zapisu na dvije decimale i toizracunan:1) u satima; 2) u sekundama.

Rjesenje. 1) 4.58 · 109 : 3 · 105 = 1.5 · 104 sati;2) 1.5 · 104 · 3600 = 5.5 · 107 sekundi.

Zadatak 10. Kapljica vode ima prosjecnu masu od 0.08 g. Koliko je kapljica vode u 1 m 3

vode?

Rjesenje. 1 m 3 vode ima masu 1000 kg. (1000 ·103) : 0.08 = 12 500 ·103 = 1.25 ·107 .

39

2 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 11. Zrno maka ima masu od 5 · 10−4 g. Koliko je zrna u 1 kg maka?

Rjesenje. U jednom je kilogramu1000

5 · 10−4= 2 · 106 = 2 000 000 zrna maka.

Zadatak 12. Ljudska kosa raste brzinom od 5 · 10−9 m/ s. Koliko centimetara kosa narasteza 10 tjedana?

Rjesenje. t = 10 tjedana = 70 dana = 70 ·24 ·3 600 = 6 048 000 sekundi. Za to vrijemekosa naraste za 5 · 10−9 · 6 048 000 = 0.03 m, odnosno oko 3 cm.

Zadatak 13. Godisnje se u svijetu rodi oko 130 000 000 djece. Koliko se djece rodi svakeminute?

Rjesenje.130 000 000365 · 24 · 60

= 247.33637747 .

Zadatak 14. Dnevna proizvodnja nafte u svijetu 2005. godine iznosila je oko 7 · 107 bareladnevno. (1 barel = 159 litara).

1) Ako u jednu cisternu stane 2.5 · 104 litara nafte, koliko bi cisterni trebaloza prijevoz ove kolicine nafte?

2) Ako je duljina cisterne 10 metara, koliko bi bila duga kolona u koju bi seslozile sve te cisterne?

Rjesenje. 1)159 · 7 · 107

2.5 · 104= 445, 2 · 103 = 445 200 ;

2) 445 200 · 10 = 4 452 000 m.

Zadatak 15. Udio zemalja clanica OPEC-a (engl. Organization of the Petroleum ExportingCountries) u ukupnoj proizvodnji nafte u svijetu iznosi 40 % . Izracunaj kolikaje bila proizvodnja nafte u zemljama OPEC-a 2005. godine, a rezultat izrazi ulitrama i u znanstvenom zapisu.

Rjesenje. 159 · 7 · 107 · 40100

= 159 · 7 · 4 · 106 = 4452 · 106 = 4.452 · 109 .

Zadatak 16. Brzina svjetlosti i brzina zvukaBrzina svjetlosti je oko c = 3 · 108 m/ s. Brzina zvuka je oko 0.2 milje usekundi. Koliko je puta brza svjetlost od zvuka?

Rjesenje. c = 3 · 108 m/ s, vz = 0.2 · 1609.344 = 321.8688 m/ s,3 · 108

321.8688=

932 056.79 . Svjetlost je brza oz zvuka vise od 932 056 puta.

Zadatak 17. Pjesice do MjesecaUdaljenost Zemlje od Mjeseca je 3.84 · 108 km. Koliko bi vremena trebalopjesaku koji hoda brzinom od 4 km/ h da prije -de toliku udaljenost?

Rjesenje.3.84 · 108

4= 0.96 · 108 = 9.6 · 107 h .

40

2

Zadatak 18. Svjetlosna godinaJedna svjetlosna godina je udaljenost sto je za 365 dana prije -de svjetlost. Odzvijezde Sjevernjace do Zemlje svjetlost putuje 680 godina. Kolika je udalje-nost Sjevernjace od Zemlje u metrima?

Rjesenje. s = v · t = 3 · 108 m/s · 680 · 24 · 60 · 60 == 9.461 · 1015 metara.

Zadatak 19. Proxima CentauriProxima Centauri je najbliza zvijezda Suncevu sustavu, udaljena je od Zemlje4.3 svjetlosne godine. Kolika je ta udaljenost u kilometrima?

Rjesenje. Udaljenost je jednaka 4.3 · 5.9 · 1012 · 1.609 = 40.82 · 1012 = 4.082 · 1013 km.

Zadatak 20. Rubikova kocka

Cuvenu Rubikovu kocku valja iz nekog stanja dovesti do to-ga da su sve njezine strane jednobojne. Broj svih mogucihrasporeda boja na vidljivim stranama malih kockica jednakje

43 252 003 274 489 856 000.

Prikazi taj broj u znanstvenom zapisu.

Rjesenje. 43 252 003 274 489 856 000 = 4.325 · 1019 .

Zadatak 21. Zaga -denje mora

U mnostvu izuma americkog znanstvenika i izumite-lja Benjamina Franklina (1706. – 1790.) mozda jenajpoznatiji gromobran. Taj je znanstvenik poznat poizreci “Vrijeme je novac”.

Franklin je izracunao da 0.1 cm3 nafte onecisti po-vrsinu vode od 40 m2 .Kolika je pri tom debljina naftne mrlje?Ako je povrsina Jadranskog mora jednaka

135 595 km2,

kolika bi kolicina nafte po Franklinu pokrila cijelu njegovu povrsinu?

Rjesenje. Iz V = P · h , gdje je V obujam, P povrsina, d debljina dobije se da je deblji-na naftne mrlje prema Franklinu jednaka d = 2.5 · 10−7 cm = 2.5 · 10−9 m .Primjenom iste formule izracunamo da bi nafta obujma 339 m3 (sto je oko271 tona uzme li se gustoca 800 kg/m3 ) pokrila cijelo Jadransko more. Ta jekolicina oko 400 puta manja od one koju prevozi prosjecan tanker – brod zaprijevoz sirove nafte.

Zadatak 22. Voda u oceanimaSrednja dubina svih oceana na Zemlji je 3.7 · 103 m , a povrsina oceana iznosi3.6 · 1014 m2 . Koliki je obujam vode u oceanima? Uzmi da je 1 L = 1 dm3 .

41

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Obujam vode izrazen u m3 iznosi 3.7·103·3.6·1014 m3 = 1.332·1018 m3 . Ka-ko je 1 m3 = 103 dm3 , a 1 L = 1 dm3 , onda je obujam jednak 1.332 · 1021 li-tara.

Zadatak 23. InflacijaInflacija je jedna od najgorih nepogoda koja moze zateci neku drzavu. U nepu-ne dvije godine, od pocetka 1922. do kraja 1923., u Njemackoj je hiperinflacijapodigla cijene s razine 100 na 10 000 000 000. O kakvoj se nedaci radi ilustri-raju i dvije slicice na kojima su prednja i straznja strana istog pisma upucenogu to vrijeme. Na njima su na ime postarine nalijepljene tri marke od po dvijemilijarde maraka, cetiri od po 500 milijuna te 50 od po 200 milijuna. Koliko jeiznosila postarina za ovo pismo?

Rjesenje. 3 ·2 ·109 +4 ·500 ·106+50 ·200 ·106 = 6 ·109 +2 ·109 +10 ·109 = 18 ·109 .

Zadatak 24. Inflacijski rekordNajgora inflacija zadesila je Ma -darsku u periodu od 1945 do 1946, cijene suse udvostrucavale svakih 15 sati. Najveca banknota 1944 iznosila je 1000 pen-goa, da bi 1946 bila otisnuta novcanica od 1 milijarde bilijuna pengoa. Napisivrijednost te novcanice u znanstvenom zapisu.

18. kolovoza 1946 uvedena je forinta, 1 forinta vrijedila je 4 · 1029 pengoa.Procitajte taj broj koristeci nasu skalu.

Rjesenje. Cetristo tisuca kvadrilijuna.

Zadatak 25. Pusaci

Uzmimo da je neki pusac poceo pusiti s 18 godina (tadaneka osoba moze legalno kupiti cigarete) i da je dozivio70 godina. Pretpostavimo da popusi kutiju od 20 cigaretadnevno.1) Koliko cigareta je pusac popusio za zivota?2) Ako je pusenje tom pusacu skratilo zivot za 5 godina,

koliko je njegov zivot skratila jedna popusena cigareta?

Rjesenje. 1) 52 godine · 365 dana · 20 cigareta = 379 600 cigareta.

2) t =5 god.

379 600 cig.≈ 1.32 · 10−5 godina ≈ 7 min.

Zadatak 26. Solarna energijaPovrsina od 1 m2 jedne vrste solarnih celija moze proizvesti 140 W elektricneenergije. Jednogodisnja potrosnja elektricne energije u Republici Hrvatskoj je

42

2

2 100 MW (1 MW = 106 W). Kolika bi bila povrsina solarnih celija iz kojihbismo dobivali svu ovu energiju?

Rjesenje. P =2100 · 106

140m2 = 1.5 · 107 m2 = 15 km2 .

Zadatak 27. Kineski zidU Ripleyjevoj knjizi Vjerovali ili ne iz godine 1932. izme -du ostaloga stoji kakoje Kineski zid, jedno od svjetskih cuda, vidljiv golim ljudskim okom i s Mjese-ca. Ta je gra -devina ukupno duga oko 8800 km, a njezina najveca sirina je 9.1metar. Je li tvrdnja vjerodostojna?

Usporedimo vidljivost Kineskog zida s Mjeseca s vidljivoscu vlasi ljudske ko-se s neke udaljenosti d . Uzmimo da je promjer ljudske vlasi 8 · 10−8 km .Postavimo omjer:

d : 3.844 · 105 = 8 · 10−8 : 9.1 · 10−3.

Odatle je d =3.844 · 105 · 8 · 10−8

9.1 · 10−3 ≈ 3.38 km .

Dakle, tvrdnja da se Kineski zid vidi s Mjesca odgovara tvrdnji da je ljudskavlas vidljiva na udaljenosti vecoj od 3 km.Izracunajte s koje je najvece udaljenosti iz svemira vidljiv Kineski zid uz pret-postavku da je ljudska vlas vidljiva na najvecoj udaljenosti od 1 m.

Rjesenje. d : 1 =9.1 · 10−3

8 · 10−8=⇒ d = 1.14 · 105 = 114 000 km .

Zadatak 28. RacunaloGodine 1988. poznati proizvo -dac racunala IBM pustio je u prodaju racunalokoje izvodi 3.9 · 108 racunskih operacija u sekundi. Bilo je to 15 000 putabrze od najbrzih stolnih racunala toga vremena. Koliko je operacija u sekundiizvodilo “staro” stolno racunalo?Na internetskoj adresihttp://element.hr/plus/2/potencije-i-algebarski-izrazinalazi se nekoliko kvizova koji mogu dobro posluziti za uvjezbavanje gradivao potencijama. Preporucujemo ti da ih proradis.

Rjesenje. v =3.9 · 108

15 000= 26 · 000 .

43

2 RJESENJA ZADATAKA


Zadatak 1. Odaberi za x , y i z bilo koje brojeve te provjeri da se nakon njihova uvrsta-vanja u polja tablice dobije magicni kvadrat. Pokazi kako je kvadrat magican,neovisno o izboru triju brojeva.

Rjesenje. Zbroj brojeva u svakom retku i u svakom stupcu te na objema dijagonalamatablice jednak je 3x .

Zadatak 2. Sljedece jednakosti vrijede za sve realne brojeve a, b i c . Provjeri.

1) a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + ac + bc) ;

2) a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = 0 ;3) a(b + c) − b(c + a) − c(a + b) = −2bc ;4) a(b − c) − b(c − a) − c(a − b) = 2(ab − ac) .

Rjesenje. 1) ab + ac + bc + ba + ca + cb = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab + ac + bc) ;2) ab − ac + bc − ab + ac − bc = ab − ab − ac + ac + bc − bc = 0 ;3) ab + ac − bc − ba − ca − cb = ab − ba + ac − ca − bc − cb = −2bc ;4) ab − ac − bc + ba − ca + cb = ab + ba − ac − ca − bc + cb

= 2ab − 2ac = 2(ab − ac) .


1) 2a(3a − 5b) + 2b(2a − 3b) − 6a(a − b) ;

2) x(x − 2y2) − y(2x2 − y) + 2xy(x + y) ;

3) 2ab(a−b)−a(a−b2)−b(a2−b)+a2−b2 .

Rjesenje. 1) 2a(3a−5b)+2b(2a−3b)−6a(a−b) = 6a2−10ab+4ab−6b2−6a2+6ab= −6b2 ;

2) x(x− 2y2)− y(2x2 − y)+ 2xy(x+ y) = x2 − 2xy2− 2x2y+ y2 + 2x2y+ 2xy2

= x2 + y2 ;3) 2ab(a− b) − a(a − b2) − b(a2 − b) + a2 − b2 = 2a2b − 2ab2 − a2 + ab2

− a2b + b2 + a2 − b2 = a2b − ab2 .


1) (x − 2y)(x + 2y) − (2x − y)(2x + y) ;

2) (x − y)(x + 2y) − (x + y)(2x − y) ;3) (x − y)(x − 1) − (x + y)(x + 1) ;4) (2a − 3b)(3a + 2b) − (2a − 3b)(3a − 2b) ;

44

2

5) (2x − 5y)(3x + 4y) + (3x + 2y)(4x − 5y) ;

6) (x2 + 1)(y2 − 1) + (x2 − 1)(y2 + 1) .

Rjesenje. 1) (x − 2y)(x + 2y) − (2x − y)(2x + y) = x2 + 2xy − 2xy − 4y2 − 4x2 − 2xy+ 2xy + y2 = −3x2 − 3y2 ;

2) (x−y)(x+2y)− (x+y)(2x−y) = x2 +2xy−xy−2y2−2x2 +xy−2xy+y2

= −x2 − y2 ;3) (x−y)(x−1)−(x+y)(x+1) = x2−xy−x+y−x2−x−xy−y = −2x−2xy ;

4) (2a− 3b)(3a + 2b)− (2a− 3b)(3a− 2b) = 6a2 + 4ab− 9ab− 6b2 − 6a2

+ 4ab + 9ab − 6b2 = 8ab − 12b2 ;5) (2x − 5y)(3x + 4y) + (3x + 2y)(4x − 5y) = 6x2 + 8xy − 15xy − 20y2

+ 12x2 − 15xy + 8xy − 10y2 = 18x2 − 14xy− 30y2 ;6) (x2 +1)(y2−1)+(x2−1)(y2 +1) = x2y2− x2 + y2−1+ x2y2 + x2− y2−1

= 2x2y2 − 2 .


1) (2a − b + 1)(a + b) − (2a + b − 1)(a − b) ;

2) (a − b + c)(a − c) + (a + b − c)(a + c) ;3) (x − 2y + 3z)(x + y) − (x + 2y− 3z)(x − y) ;

4) (x − 2y − 1)(x − 2y + 1) − (x + 2y − 1)(x + 2y + 1) ;5) (2a − b + c)(2a + b − c) − (2a − b − c)(2a + b + c) ;6) (3a − 2b + c)(2a + 3b − c) − (2a + 3b − c)(3a + 2b + c) .

Rjesenje. 1) (2a − b + 1)(a + b) − (2a + b − 1)(a − b) = 2a2 + 2ab − ab − b2 + a+ b − 2a2 + 2ab − ba + b2 + a − b = 2a + 2ab ;

2) (a − b + c)(a − c) + (a + b − c)(a + c) = a2 − ac− ab + bc + ac − c2

+ a2 + ac + ab + bc − ac − c2 = 2a2 + 2bc − 2c2 ;3) (x − 2y + 3z)(x + y) − (x + 2y − 3z)(x − y) = x2 + xy − 2xy − 2y2 + 3zx

+ 3zy − x2 + xy − 2xy + 2y2 + 3zx − 3zy = −2xy + 6xz ;4) (x− 2y− 1)(x− 2y + 1)− (x + 2y− 1)(x + 2y + 1) = x2 − 2xy + x− 2xy

+4y2−2y−x+2y−1−x2−2xy−x−2xy−4y2−2y+x+2y+1 = −8xy ;5) (2a−b+c)(2a+b−c)−(2a−b−c)(2a+b+c) = 4a2 +2ab−2ac−2ab

−b2+bc+2ac+bc−c2−4a2−2ab−2ac+2ab+b2+bc+2ac+cb+c2 = 4bc ;6) (3a − 2b + c)(2a + 3b − c) − (2a + 3b − c)(3a + 2b + c) = 6a2 + 9ab

− 3ac− 4ab − 6b2 + 2bc + 2ac + 3bc− c2 − 6a2 − 4ab − 2ac − 9ab− 6b2 − 3bc + 3ac + 2bc + c2 = −8ab − 12b2 + 4bc .

Zadatak 6. Odredi onaj clan umnoska

(3a − 5b + 1)(a + 2b − 4ab)koji sadrzi ab .

Rjesenje. (3a− 5b + 1)(a + 2b− 4ab) = 3a2 + 6ab− 12a2b − 5ab− 10b2 + 20ab2 +a + 2b − 4ab = 3a2 − 10b2 − 12a2b + 20ab2 − 3ab + a + 2b . Rjesenje je−3ab .


(2a − 3b)(3a + b)(a − b)

koji sadrzi ab2 .

45

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Promatrajmo samo one clanove umnoska (2a − 3b)(3a + b) koji sadrze b2

ili ab . To su −7ab i −3b2 . Njihovim mnozenjem s izrazom u trecoj za-gradi uz ab2 dobijemo 7ab2 i −3ab2 . Njihov zbroj je rjesenje zadatka:7ab2 − 3ab2 = 4ab2 .


(a − b + ab)(a + b − ab)(a + b + ab)

koji sadrzi a2b2 .

Rjesenje. Promatrajmo samo one clanove umnoska (a− b+ ab)(a+ b− ab) koji sadrzeab , ab2 ili a2b . To su 0ab , 0a2b i 2ab2 . Mnozenjem 2ab2 s izrazom utrecoj zagradi uz a2b2 dobijemo 2a2b2 .

Zadatak 9. Ako je 3a− b + 2c + 5d = 11 te a+5b+2c−d=9 , koliko je a + b + c + d ?

Rjesenje. Zbrojimo li dvije jednakosti, dobit cemo: 4(a + b + c + d) = 20 te jea + b + c + d = 5 .

Zadatak 10. Ako je 13x − 52y = 1 , koliko je 11x − 44y ?

Rjesenje. 13x− 52y = 13(x− 4y) = 1 =⇒ x − 4y =113

, 11x− 44y = 11(x− 4y) =

11 · 113

=1113

.

Rjesenje. Pomnozimo li jednakost 13x−52y = 1 s1113

dobit cemo1113

·13x− 1113

·52y =1113

· 1 =⇒ 11x− 44y =1113

.

Zadatak 11. Ako je u = −2x2 + 6xy − 4y2 te v = 3x2 − 9xy + 6y2 , onda je 3u + 2v = 0 .Provjeri!

Rjesenje. 3u + 2v = −6x2 + 18xy − 12y2 + 6x2 − 18xy + 12y2 = 0 .

Zadatak 12. Ako je (2x − y)(x − 2y) = 4 , koliko je

−4x2 + 10xy− 4y2?

Rjesenje. Kako je (2x−y)(x−2y) = 2x2−5xy+2y2 = 4 , onda je −4x2 +10xy−8y2 =−8 .

Zadatak 13. Ako je (3x + 2)(2x − 3) = 11 , koliko je

(x − 1)(6x + 1)?

Rjesenje. Iz (3x + 2)(2x − 3) = 11 slijedi 6x2 − 5x = 17 te je (x − 1)(6x + 1) =6x2 − 5x − 1 = 16 .

Zadatak 14. Ako je (4x − 2)(3x − 4) = 9 , koliko je

(3x − 1)(2x − 3)?

Rjesenje. Iz (4x − 2)(3x − 4) = 9 =⇒ 12x2 − 24x = 1 , odatle 6x2 − 11x =12

. Sada

je (3x − 1)(2x − 3) = 6x2 − 9x − 2x + 3 = 6x2 − 11x + 3 =12

+ 3 = 3.5 .

46

2

Zadatak 15. Dokazi da je za svaki prirodni broj n broj

(2n + 3)(3n − 2) − (3n + 2)(2n − 3)djeljiv s 10.

Rjesenje. Dani je izraz jednak 10n , a taj broj djeljiv je s 10 za svaki prirodni broj n .

Zadatak 16. Dokazi da je za svaki prirodni broj n broj (2n + 3)(3n − 7) − (n + 1)(n − 1)djeljiv s 10.

Rjesenje. Nakon mnozenja i sre -divanja danog izraza dobit cemo 5n2 − 5n − 20 =5(n2 − n− 4) . Taj je broj ocito djeljiv s 5. Primijeti da je broj u zagradi uvijekparan. Naime, ako je n paran n2−n−4 je paran, ako je n neparan broj n2−nje paran pa je paran i n2 − n− 4 , te je izraz n2 − n− 4 djeljiv i s 2 za svaki n .

Zadatak 17. Dokazi da je za svaki prirodni broj n broj (5n−2)(3n−1)− (2n+3)(2n−3)djeljiv s 11.

Rjesenje. Nakon mnozenja i sre -divanja danog izraza dobit cemo 11n2 − 11n + 11 =11(n2 − n + 1) . Taj je broj ocito djeljiv s 11.


123456787 · 123456788− 123456789 · 123456786.

Rjesenje. Oznacimo x = 123456789 . Onda je zadatak izracunati (x−2)(x−1)− x(x−3) = x2 − 3x + 2 − x2 + 3x = 2 .

Zadatak 19. 1) (3a + 2b)2 ; 2) (4a + 5)2 ;

3) (7a + 3b)2 ; 4) (5a + 6)2 ;

5) (2a − 1)2 ; 6) (4a − 3b)2 ;

7) (10a − b)2 ; 8) (6a − 5)2 ;

9) (11a + 1)2 ; 10) (8a + 3)2 .

Rjesenje. 1) (3a + 2b)2 = 9a2 + 12ab + 4b2 ;

2) (4a + 5)2 = 16a2 + 40a + 25 ;

3) (7a + 3b)2 = 49a2 + 42ab + 9b2 ;

4) (5a + 6)2 = 25a2 + 60a + 36 ;

5) (2a − 1)2 = 4a2 − 4a + 1 ;

6) (4a − 3b)2 = 16a2 − 24ab + 9b2 ;

7) (10a − b)2 = 100a2 − 20ab + b2 ;

8) (6a − 5)2 = 36a2 − 60a + 25 ;

9) (11a + 1)2 = 121a2 + 22a + 1 ;

10) (8a + 3)2 = 64a2 + 48a + 9 .

Zadatak 20. 1)(1

2a + b

)2; 2)

(12a − 1

)2;

3)(1

2a − 2

3

)2; 4)

(23a +

34b)2

;

47

2 RJESENJA ZADATAKA

5)(3

4a +

16

)2; 6)

(12ab − c

)2;

7)( 1

10a − 1

)2; 8)

(45a +

56b)2

;

9)(3

8a +

16b)2

; 10)( 8

15a − 5

12b)2

.

Rjesenje. 1)(1

2a + b

)2=

14a2 + ab + b2 ;

2)(1

2a − 1

)2=

14a2 − a + 1 ;

3)(1

2a − 2

3

)2=

14a2 − 2

3a +

49

;

4)(2

3a +

34b)2

=49a2 + ab +

916

b2 ;

5)(3

4a +

16

)2=

916

a2 +14a +

136

;

6)(1

2ab − c

)2=

14a2b2 − abc + c2 ;

7)( 1

10a − 1

)2=

1100

a2 − 15a + 1 ;

8)(4

5a +

56b)2

=1625

a2 +43ab +

2536

b2 ;

9)(3

8a +

16b)2

=964

a2 +18ab +

136

b2 ;

10)( 8

15a − 5

12b)2

=64225

a2 − 49ab +

25144

b2 .

Zadatak 21. 1)(1

2x2 − 2

3y2)2

; 2)(5x2y2 +

14

)2;

3)(1

6x − 1

3y2z3

)2; 4)

(23a3 +

34b4c

)2;

5) (0.1 + a2b2)2 ; 6) (a2b − ab2)2 ;

7) (0.2x2 + 0.3y3)2 ; 8) (0.5a3 − 1)2 ;

9)(2

3x2 − 6yz3)2 ; 10)

(14a3 − 2

)2.

Rjesenje. 1)(1

2x2 − 2

3y2)2

=14x4 − 2

3x2y2 +

49y4 ;

2)(5x2y2 +

14

)2= 25x4y4 +

52x2y2 +

116

;

3)(1

6x − 1

3y2z3

)2=

136

x2 − 19xy2z3 +

19y4z6 ;

4)(2

3a3 +

34b4c

)2=

49a6 + a3b4c +

916

b8c2 ;

5) (0.1 + a2b2)2 = 0.01 + 0.2a2b2 + a4b4 ;

6) (a2b − ab2)2 = a4b2 − 2a3b3 + a2b4 ;

7) (0.2x2 + 0.3y3)2 = 0.04x4 + 0.12x2y3 + 0.09y6 ;

48

2

8) (0.5a3 − 1)2 = 0.25a6 − a3 + 1 ;

9)(2

3x2 − 6yz3)2 =

49x4 − 8x2yz3 + 36y2z6 ;

10)(1

4a3 − 2

)2=

116

a6 − a3 + 4 .

Zadatak 22. Provjeri sljedeca dva identiteta i opisi njihovo znacenje:

1) (−a − b)2 = (a + b)2 ;

2) (a − b)2 = (b − a)2 .

Rjesenje. 1) (−a − b)2 = (−a + (−b))2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ;

2) (a − b)2 = (b − a)2 , a2 − 2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 .Obje ove jednakosti izricu cinjenicu da su kvadrati suprotnih brojeva jednaki.

Zadatak 23. Ako je (−2x + 1)2 = 3 , koliko je (4x − 2)2 ?

Rjesenje. (−2x+1)2 = (2x−1)2 = 3 . Onda je (4x−2)2 = (2(2x−1))2 = 4 ·3 = 12 .

Zadatak 24. Ako je (−3x + 6)2 = 9 , koliko je (x − 2)2 ?

Rjesenje. Iz (−3x + 6)2 = 9 · (x − 2)2 = 9 slijedi (x − 2)2 = 1 .

Zadatak 25. Provjeri sljedece identitete:

1) (x − 2y)2 + 8xy = (x + 2y)2 ;

2) (2a + 3b)2 − 24ab = (2a − 3b)2 ;

3) x2 + 9y2 = (x + 3y)2 − 6xy ;

4) 16a2 + 25b2 = (4a + 5b)2 − 40ab .

Rjesenje. 1) (x − 2y)2 + 8xy = x2 − 4xy + 4y2 + 8xy = x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)2 ;

2) (2a + 3b)2 − 24ab = 4a2 + 12ab + 9b2 − 24ab = 4a2 − 12ab + 9b2 =(2a − 3b)2 ;

3) (x + 3y)2 − 6xy = x2 + 6xy + 9y2 − 6xy = x2 + 9y2 ;

4) (4a + 5b)2 − 40ab = 16a2 + 40ab + 25b2 − 40ab = 16a2 + 25b2 .

Zadatak 26. Ako je 2a(2a − 3) = 10 , koliko je (4a − 3)2 ?

Rjesenje. 2a(2a−3) = 4a2−6a = 10 , (4a−3)2 = 16a2−24a+9 = 4(4a2−6a)+9 =4 · 10 + 9 = 49 .

Zadatak 27. Ako je (x − 1)(x − 3) = 5 , koliko je (x − 2)2 ?

Rjesenje. (x − 1)(x − 3) = x2 − x − 3x + 3 = x2 − 4x + 3 = 5 =⇒ x2 − 4x = 2 ,(x − 2)2 = x2 − 4x + 4 = 2 + 4 = 6 .

Zadatak 28. Ako je a + b = 1 , koliko je a(a − 2) + b(b − 2) + 2ab ?

Rjesenje. a(a − 2) + b(b − 2) + 2ab = (a + b)2 − 2(a + b) = 1 − 2 = −1 .

Zadatak 29. Ako je a + b = 3 , ab = −1 , koliko je a2 + b2 ?

Rjesenje. a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab = 9 + 2 = 11 .

49

2 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 30. Ako je a2 + b2 = 13 , a + b = 11 , koliko je ab ?

Rjesenje. a2 + b2 = 13

a + b = 11

ab =?

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

121 = 13 + 2ab

ab = 54

Zadatak 31. Ako je a − b = 3 , a + b = 2 , koliko je a2 + b2 ?

Rjesenje. a − b = 3

a + b = 2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

4 = a2 + 2ab + b2?

9 = a2 − 2ab + b2?

13 = 2(a2 + b2) =⇒ a2 + b2 =132

Zadatak 32. Ako je x2 + xy + y2 = 7 i x + y = 2 , koliko je x2 + y2 ?

Rjesenje. Iz x2 + xy + y2 = (x + y)2 − xy = 7 slijedi xy = −3 . Zatim izracunamox2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = 10 .

Zadatak 33. Ako je x2 − xy + y2 = 7 i x − y = 5 , koliko je xy ?

Rjesenje. Iz x2 − xy + y2 = (x − y)2 + xy = 25 + xy slijedi 25 + xy = 7 odnosnoxy = −18 .

Zadatak 34. Ako je a2 − a − 1 = 0 , koliko je a4 − 2a3 + a2 ?

Rjesenje. Vrijedi a4 − 2a3 + a2 = (a2 − a)2 , a kako je a2 − a = 1 , odgovor je 1.

Zadatak 35. Za koji je broj k dana jednakost identitet:

1) (4a − 2)4 = k · (2a − 1)4 ;

2) (6a − 3)3 = k · (1 − 2a)3 ?

Rjesenje. 1) (4a − 2)4 = 16(2a − 1)4 = k · (2a − 1)4 , slijedi k = 16 ;

2) (6a − 3)3 = 27(2a − 1)3 = −k · (2a − 1)3 te je k = −27 .

Zadatak 36. Provjeri: (ka + kb)2 = k2 · (a + b)2 .

Rjesenje. (ka + kb)2 = k2a2 + 2 · ka · kb + k2b2 = k2 · (a2 + 2ab + b2) = k2 · (a + b)2 .

Zadatak 37. Ako je x + y =15

, x · y = −35

, koliko je x2 + y2 ?

Rjesenje. x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy =(1

5

)2− 2 ·

(−3

5

)=

125

+65

=3125

.

50

2

Zadatak 38. Ako je x +1x

= 2 , koliko je x2 +1x2

?

Rjesenje. x2 +1x2

=(x +

1x

)2− 2 = 4 − 2 = 2 .

Zadatak 39. Ako je x +1x

= 5 , koliko je x4 +1x4

?

Rjesenje. Nakon kvadriranja jednakosti sobije se x2 +1x2

= 23 , a nakon jos jednog

kvadriranja imamo x4 +1x4

= 527 .

Zadatak 40. Ako je a − 1a

= 3 , koliko je a2 +1a2

?

Rjesenje. a2 +1a2

=(a − 1

a

)2+ 2 = 9 + 2 = 11 .

Zadatak 41. Zapisi u obliku kvadrata binoma:

1) 4x2 + 4x + 1 ; 2) x2 − 6x + 9 ;

3)14a2 − ab + b2 ; 4) a2 + 3a +

94

;

5) 4x2 + x +116

; 6)49a4+

916

b4−a2b2 ;

7) a4b4 − 8a2b2 + 16 ; 8) 9a2b4 − 24ab2c3 + 16c6 .

Rjesenje. 1) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 ;

2) x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 ;

3)14a2 − ab + b2 =

(12a − b

)2;

4) a2 + 3a +94

=(a +

32

)2;

5) 4x2 + x +116

=(2x +

14

)2;

6)49a4 +

916

b4 − a2b2 =(2

3a2 − 3

4b2)2

;

7) a4b4 − 8a2b2 + 16 = (a2b2 − 4)2 ;

8) 9a2b4 − 24ab2c3 + 16c6 = (3ab2 − 4c3)2 .


1) 4a2 + 28a + 49 ; 2) 9a2 − 30ab + 25b2 ;

3)19a2 +

12ab +

916

b2 ; 4)14a2b2 − 3ab + 9 ;

5) 16a4 + 24a2b3 + 9b6 ; 6) 49a6 − 70a3b4 + 25b8 ;

7)916

a4 +35a2b +

425

b2 ; 8)425

a2b2 − 65ab +

94

.

Rjesenje. 1) 4a2 + 28a + 49 = (2a + 7)2 ;

2) 9a2 − 30ab + 25b2 = (3a − 5b)2 ;

51

2 RJESENJA ZADATAKA

3)19a2 +

12ab +

916

b2 =(1

3a +

34b)

;

4)14a2b2 − 3ab + 9 =

(12ab + 3

)2;

5) 16a4 + 24a2b3 + 9b6 = (4a2 + 3b3)2 ;

6) 49a6 − 70a3b4 + 25b8 = (7a3 − 5b4)2 ;

7)916

a4 +35a2b +

425

b2 =(3

4a2 +

25b)2

;

8)425

a2b2 − 65ab +

94

=(2

5ab − 3

2

).

Zadatak 43. Za koju vrijednost od m se sljedeci trinomi mogu prikazati u obliku kvadratabinoma:

1) mx2 − 12x + 4 ; 2) 16x2 − 8mx + 25 ; 3) x2 − 5x + 4m ?

Rjesenje. 1) m = 9 ; 2) m = 5 ili m = −5 ; 3) m =2516

.

Zadatak 44. Izracunaj napamet:

1) 5.22 + 6.82 + 10.4 · 6.8 ;

2) 1102 + 102 − 2200 ;

3) 13.82 + 16.22 + 32.4 · 13.8 ;

4) 15.12 − 30.2 · 5.1 + 5.12 .

Rjesenje. 1) 5.22 + 6.82 + 10.4 · 6.8 = (5.2 + 6.8)2 = 122 = 144 ;

2) 1102 + 102 − 2200 = (110 − 10)2 = 1002 = 10 000 ;

3) 13.82 + 16.22 + 32.4 · 13.8 = (13.8 + 16.2)2 = 302 = 900 ;

4) 15.12 − 30.2 · 5.1 + 5.12 = (15.1 − 5.1)2 = 102 = 100 .

Zadatak 45. Za koji realni broj a je polinom 9x2 + 3ax + 1 , kvadrat binoma?

Rjesenje. 9x2 + 3ax + 1 = (3x ± 1)2 = 9x2 ± 6x + 1 =⇒ a = ±2 .

Zadatak 46. Za koji realni broj m je polinom 4x2 − 3mx + 9 , kvadrat binoma?

Rjesenje. 4x2 − 3mx + 9 = (2x ± 3)2 = 4x2 ± 12x + 9 =⇒ m = ±4 .

Zadatak 47. Za koje x izraz x2 − 2x + 3 prima najmanju vrijednost?

Rjesenje. Zapisimo x2 − 2x + 3 = (x − 1)2 + 2 . Ocito, ovaj izraz prima najmanjuvrijednost za x = 1 i ona iznosi 2.

Zadatak 48. Za koje x izraz 1 − x − x2 prima najvecu vrijednost?

Rjesenje. Zapisimo 1 − x − x2 = −[(

x +12

)2

− 54

]. Najvecu vrijednost izraz prima

za x = −12

. Ta je vrijednost jednaka54

.

Zadatak 49. Ako je 4x2 + y2 − 4x + 2y + 2 = 0 , koliki su x i y ?

52

2

Rjesenje. Jednadzbu zapisimo u obliku (2x − 1)2 + (y + 1)2 = 0 . Slijedi x =12

,

y = −1 .

Zadatak 50. Ako je 2x2 + 4xy + 4y2 − 2x + 1 = 0 , odredi x i y ?

Rjesenje. Kao u prethodnomzadatku, iz (x+2y)2+(x−1)2 = 0 slijedi x = 1 , y = −12

.

Zadatak 51. Dokazi:1) (n + 7)2 − n2 je broj djeljiv sa 7 za svaki cijeli broj n ;

2) (n + 2)2 − (n − 2)2 je broj djeljiv s 8 za svaki cijeli broj n .

Rjesenje. 1) (n + 7)2 − n2 = n2 + 14n + 49 − n2 = 7(2n + 7) .

2) (n+2)2−(n−2)2 = n2+4n+4−(n2−4n+4) = n2+4n+4−n2+4n−4 =8n .

Zadatak 52. Broj (5k + 1)2 + (5m + 2) je djeljiv s 5 za svaka dva broja k i m .

Rjesenje. (5k + 1)2 + (5m + 2) = 25k2 + 10k + 1 + 25m2 + 20m + 4 = 25k2 + 25m2 +10k + 20m + 5 = 5(5k2 + 5m2 + 2k + 4m + 1) .

Zadatak 53. Provjeri vrijede li sljedece jednakosti za sve realne brojeve a , b i c :

1) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2) ;

2) (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab ;

3)(

a + b2

)2

+(

a − b2

)2

=a2 + b2

2;

4)(

a + b2

)2

−(

a − b2

)2

= ab ;

5) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 ;

6) (a2 − b2)(c2 − d2) = (ac + bd)2 − (ad + bc)2 ;

7) (ad+bc)2+(ac−bd)2 = (ad−bc)2+(ac+bd)2 ;

8) (ad−bc)2−(ac−bd)2 = (ad+bc)2−(ac+bd)2 .

Rjesenje. 1) (a+b)2+(a−b)2 = a2+2ab+b2+a2−2ab+b2 = 2a2+2b2 = 2(a2+b2) ;

2) (a + b)2 − (a − b)2 = a2 + 2ab + b2 − a2 + 2ab − b2 = 4ab ;

3)(a + b

2

)2+(a − b

2

)2=

a2 + 2ab + b2

4+

a2 − 2ab + b2

4

=a2 + 2ab + b2 + a2 − 2ab + b2

4=

2a2 + 2b2

4=

a2 + b2

2;

4)(a + b

2

)2−(a − b

2

)2=

a2 + 2ab + b2

4− a2 − 2ab + b2

4

=a2 + 2ab + b2 − a2 + 2ab − b2

4=

4ab4

= ab ;

5) (a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + 2acbd + b2d2

+ a2d2 − 2adbc + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 ;

6) (a2−b2)(c2−d2) = a2c2−a2d2−b2c2+b2d2 = a2c2+2acbd+b2d2−a2d2

−2adbc−b2c2 = (ac+bd)2−(a2d2+2adbc+b2c2)=(ac+bd)2−(ad+bc)2 ;

53

2 RJESENJA ZADATAKA

7) (ad + bc)2 + (ac − bd)2 = a2d2 + 2adbc + b2c2 + a2c2 − 2acbd + b2d2

= a2d2 − 2acbd+ b2c2 + a2c2 + 2adbc + b2d2 = (ad− bc)2 + (ac + bd)2 ;

8) (ad−bc)2−(ac−bd)2 = a2d2−2adbc+b2c2−(a2c2−2acbd+b2d2)a2d2

− 2adbc+ b2c2 − a2c2 + 2acbd− b2d2a2d2 + 2acbd+ b2c2 − a2c2 − 2adbc− b2d2(ad + bc)2 − (a2c2 + 2adbc + b2d2)(ad + bc)2 − (ac + bd)2 .


1)(

2a +14

)2

−(

2a − 14

)2

;

2) 2a(3a − 2b)2 + 6b(2a − 3b)2 ;

3) (2a − 1)2(a + 1) − (2a + 1)2(a − 1) ;

4) (x2 − 4)2 − (x + 2)(x − 2)(x2 + 4) ;

5) (a − 2b)2 + (a + 2b)2 ;

6) (2a + 3b)2 − (3a − 2b)2 .

Rjesenje. 1)(

2a +14

)2

−(

2a − 14

)2

= 4a2 + a +116

−(

4a2 − a +116

)= 4a2 + a +

116

− 4a2 + a − 116

= 2a ;

2) 2a(3a−2b)2+6b(2a−3b)2 = 2a(9a2−12ab+4b2)+6b(4a2−12ab+9b2)= 18a3 − 24a2b + 8ab2 + 24a2b− 72ab2 + 54b3 = 18a3 − 64ab2 + 54b3 ;

3) (2a − 1)2(a + 1) − (2a + 1)2(a − 1) = (4a2 − 4a + 1)(a + 1)− (4a2 + 4a + 1)(a − 1) = 4a3 + 4a2 − 4a2 − 4a + a + 1 − (4a3 − 4a2

+ 4a2 − 4a + a − 1) = 4a3 − 3a + 1 − 4a3 + 3a + 1 = 2 ;

4) (x2 − 4)2 − (x + 2)(x − 2)(x2 + 4) = x4 − 8x2 + 16 − (x2 − 4)(x2 + 4)= x4 − 8x2 + 16 − (x4 − 16) = x4 − 8x2 + 16 − x4 + 16 = −8x2 + 32 ;

5) (a − 2b)2 + (a + 2b)2 = a2 − 4ab + 4b2 + a2 + 4ab + 4b2 = 2a2 + 8b2 ;

6) (2a + 3b)2 − (3a − 2b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2 − (9a2 − 12ab + 4b2)= 4a2 + 12ab + 9b2 − 9a2 + 12ab− 4b2 = −5a2 + 24ab + 5b2 .

Zadatak 55. Provjeri da za kvadriranje troclanog izraza vrijedi: (a + b + c)2 = a2 + b2 +c2 + 2ab + 2bc + 2ac. Izracunaj zatim i (a + b + c + d)2 .

Rjesenje. (a + b + c)2 = ((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2 · (a + b) · c + c2

= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac .

(a + b + c + d)2 = ((a + b + c) + d)2 = (a + b+ c)2 + 2 · (a + b+ c) · d + d2

= a2 + b2 + c2 + 2ac + 2ab + 2bc + 2ad + 2bd + 2cd + d2

= a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd .

Zadatak 56. Kvadriraj sljedece trinome:

1) (a + b − c)2 ; 2) (a − b − c)2 ;

3) (2a − 3b + c)2 ; 4) (a − 2b − 3c)2 ;

5) (ab − bc − ca)2 ; 6) (2ab − b + 3bc)2 ;

7) (2a − 3b + c)2 ; 8) (3a − 2b − c)2 .

Rjesenje. 1) (a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac− 2bc ;

54

2

2) (a − b − c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac + 2bc .

3) (2a − 3b + c)2 = 4a2 + 9b2 + c2 − 12ab + 4ac − 6bc ;

4) (a − 2b − 3c)2 = a2 + 4b2 + 9c2 − 4ab − 6ac + 12bc ;

5) (ab − bc − ca)2 = ((ab − bc) − ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 − 2ab2c− 2a2bc + 2abc2 ;

6) (2ab − b + 3bc)2 = 4a2b2 + b2 + 9b2c2 − 4ab2 + 12ab2c − 6b2c ;

7) (2a − 3b + c)2 = 4a2 + 9b2 + c2 − 12ab + 4ac − 6bc ;

8) (3a − 2b − c)2 = 9a2 + 4b2 + c2 − 12ab− 6ac + 4bc .

Zadatak 57. Primjenjujuci identitete(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 odredi:

1) (4a + 1)3 ; 2) (a − 6)3 ;

3) (ab + 5)3 ; 4) (3a − 5b)3 ;

5) (2a2 − 16)3 ; 6) (2ab − 3cd)3 .

Rjesenje. 1) (4a + 1)3 = (4a)3 + 3(4a)2 + 3 · 4a · 1 + 1 = 64a3 + 48a2 + 12a + 1 ;

2) (a − 6)3 = a3 − 3a2 · 6 + 3a · 36 − 63 = a3 − 18a2 + 108a − 216 ;

3) (ab+5)3 = (ab)3+3a2b2 ·5+3ab·25+125 = a3b3+15a2b2+75ab+125 ;

4) (3a − 5b)3 = (3a)3 − 3(3a)2 · 5b + 3 · 3a · (5b)2 − (5b)3

= 27a3 − 135a2b + 225ab2 − 125b3 ;

5)(

2a2 − 16

)3

= (2a2)3 − 3(2a2)2 · 16

+ 3(2a2) · 136

− 1216

= 8a6 − 2a4 +16a2 − 1

216;

6) (2ab − 3cd)3 = (2ab)3 − 3 · (2ab)2 · 3cd + 3 · 2ab · (3cd)2 − (3cd)3

= 8a3b3 − 36a2b2cd + 54abc2d2 − 27c3d3 .

Zadatak 58. Primjenjujuci identitete(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 odredi:

1)(1

3c2 − 1

2d2)3

; 2) (3a2b − 4c3)3 ;

3)(2

3a2b2 − 3

2c4)3

; 4) (2m − 3m)3 ;

5) (2n + 2m)3 ; 6) (2n+1 − 2n−1)3 .

Rjesenje. 1)(1

3c2 − 1

2d2)3

=(1

3c2)3

− 3(1

3c2)2

· 12d2 + 3 · 1

3c2(1

2d2)2

−(1

2d2)3

=127

c6 − 16c4d2 +

14c2d4 − 1

8d6 ;

2) (3a2b − 4c3)3 = (3a2b)3 − 3 · (3a2b)2 · 4c3 + 3 · (3a2b) · (4c3)2 − (4c3)3

= 27a6b3 − 108a4b2c3 + 144a2bc6 − 64c9 ;

55

2 RJESENJA ZADATAKA

3)(2

3a2b2 − 3

2c4)3

=(2

3a2b2

)3− 3

(23a2b2

)2· 32c4 + 3 · 2

3a2b2 ·

(32c4)2

−(3

2c4)3

=827

a6b6 − 2a4b4c4 +92a2b2c8 − 27

8c12 ;

4) (2m − 3m)3 = (2m)3 − 3 · (2m)2 · 3m + 3 · 2m · (3m)2 − (3m)3

= 8m − 3 · 12m + 3 · 18m − 27m ;5) (2n + 2m)3 = (2n)3 + 3 · (2n)2 · 2m + 3 · 2n · (2m)2 + (2m)3

= 8n + 3 · 22n+m + 3 · 2n+2m + 8m ;6) (2n+1 − 2n−1)3 = (4 · 2n−1 − 2n−1)3 = (3 · 2n−1)3 = 27 · 8n−1 .

Zadatak 59. Kubiraj:

1) (a2b2 − 5)3 ; 2) (2ab2 − 1)3 ;

3) (4a + 3b2)3 ; 4) (a3b3 − 3)3 ;

5) (6a4 − 5)3 ; 6) (4a2b3 + 3c4)3 .

Rjesenje. 1) (a2b2 − 5)3 = a6b6 − 15a4b4 + 75a2b2 − 125 ;

2) (2ab2 − 1)3 = 8a3b6 − 12a2b4 + 6ab2 − 1 ;

3) (4a + 3b2)3 = 64a3 + 144a2b2 + 108ab4 + 27b6 ;

4) (a3b3 − 3)3 = a9b9 − 9a6b6 + 27a3b3 − 27 ;

5) (6a4 − 5)3 = 108a12 − 540a8 + 450a4 − 125 ;

6) (4a2b3 + 3c4)3 = 64a6b9 + 144a4b6c4 + 108a2b3c8 + 27c12 .

Zadatak 60. Kubiraj:

1)(

13a2b2 + 1

)3

; 2)(

a − 13

)3

;

3)(

23a + 1

)3

; 4)(

12a +

13b

)3

;

5)(

23ab − 3

4cd

)3

; 6)(

25a2 +

16b2

)3

.

Rjesenje. 1)(1

3a2b2 + 1

)3=

127

a6b6 +13a4b4 + a2b2 + 1 ;

2)(a − 1

3

)3= a3 − a2 +

13a − 1

27;

3)(2

3a + 1

)3=

827

a3 +43a2 +

23a + 1 ;

4)(1

2a +

13b)3

=18a3 +

14a2b +

16ab2 +

127

b3 ;

5)(2

3ab − 3

4cd)3

=827

a3b3 − a2b2cd +1816

abc2d2 − 2764

c3d3 ;

6)(2

5a2 +

16b2)3

=8

125a6 +

225

a4b2 +130

a2b4 +1

108b6 .

Zadatak 61. Odredi drugi clan nakon provedenog kubiranja binoma:

1) (3a2b3 − 1)3 ; 2) (4a3b2 + 11c4)3 .

Rjesenje. Drugi clan nakon provedenog kubiranja binoma (x + y)3 je 3x2y .

56

2

1) 3 · (3a2b3)2 · (−1) = −27a4b6 ;

2) 3 · (4a3b2)2 · 11c4 = 528a6b4c4 .

Zadatak 62. Odredi treci clan nakon provedenog kubiranja binoma:

1) (3a2b − 5)3 ; 2) (4a2b3 + 11)3 .

Rjesenje. Treci clan nakon provedenog kubiranja binoma (x + y)3 je 3xy2 .

1) 3 · 3a2b · (−5)2 = 225a2b ;

2) 3 · 4a2b3 · 112 = 1452a2b3 .

Zadatak 63. Za koje cijele brojeve a i b je cetveroclani izraz kub binoma:

1) 27x3+ax2+bx−64 ;

2) ax3+12x2+6x+b ;

3) ax3+150x2+bx+8 ;

4) x3+ax2+48x+b .

Rjesenje. 1) a = 3 · 32 · (−4) = −108 , b = 3 · 3 · (−4)2 = 144 ;

2) 3a21 · b1 = 12 , 3a1 · b2

1 = 6 , a21b1 = 4 , a1b2

1 = 2 , a1 = 2 , b1 = 1 ,a = a3

1 = 8 , b = b31 = 1 ;

3) 3a21 · 2 = 150 , a2

1 =1506

= 25 =⇒ a1 = 5 , a = a31 = 125 ,

b = 3 · a1 · 22 = 3 · 5 · 4 = 60 ;4) a1 = 1 , 3a2

1 · b1 = a , 3b1 = a , 3a1 · b21 = 48 , 3b2

1 = 48 , b21 = 16 ,

b1 = ∓4 , b = b31 = ∓64 , a = 3b1 = ±12 .

Zadatak 64. Zapisi u obliku kuba binoma sljedece cetveroclane izraze:

1) a3 + 6a2 + 12a + 8 ;

2) 27a3 − 27a2 + 9a − 1 ;

3) a3−21a2+147a−343 ;

4) 125a3+225a2b+135ab2+27b3 ;

5) a6b6 − 12a4b4 + 48a2b2 − 64 ;

6) 27a6b3 + 54a4b2c3 + 36a2bc6 + 8c9 ;

7) 27a3 − 92a2 +

14a − 1

216;

8)18a3b3 − 1

4a2b2cd +

16abc2d2 − 1

27c3d3 .

Rjesenje. 1) a3 + 6a2 + 12a + 8 = a3 + 3 · a2 · 2 + 3 · a · 4 + 23 = (a + 2)3 ;

2) 27a3 − 27a2 + 9a − 1 = (3a)3 − 3 · 9a2 · 1 + 3 · 3a · 1 − 13 = (3a − 1)3 ;

3) a3 − 21a2 + 147a − 343 = a3 − 3 · a2 · 7 + 3 · a · 49 − 73 = (a − 7)3 ;

4) 125a3 + 225a2b + 135ab2 + 27b3 = (5a)3 + 3 · 25a2 · b + 3 · 5a · 9b2 + b3

= (5a + 3b)3 ;

5) a6b6 − 12a4b4 + 48a2b2 − 64 = (a2b2)3 − 3 · a4b4 · 4 + 3 · a2b2 · 16 − 43

= (a2b2 − 4)3 ;

6) 27a6b3 + 54a4b2c3 + 36a2bc6 + 8c9

= (3a2b)3 + 3 · 9a4b2 · 2 + 3 · 3a2b · 4 + (2c3)3 = (3a2b + 2c3)3 ;

57

2 RJESENJA ZADATAKA

7) 27a3− 92a2+

14a− 1

216= (3a)3−3·9a2· 1

6+3·3a· 1

36−(1

6

)3=(3a− 1

6

)3;

8)18a3b3 − 1

4a2b2cd +

16abc2d2 − 1

27c3d3

=(1

3ab)3

−3 · 14a2b2 · 1

3cd+3 · 1

2ab · 1

9c2d2 +

(13cd)3

=(1

2ab− 1

3cd)3

.

Zadatak 65. Zapisi u obliku kuba binoma sljedece cetveroclane izraze:

1) 27m + 3 · 18m + 3 · 12m + 8m ;

2) 8n − 3 · 22n+m + 3 · 2n+2m − 8m ;

3) a3 − 12a2 + 48a − 64 ;

4) 27a3 + 27a2 + 9a + 1 ;

5) 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3 ;

6) 64a6 − 144a4b + 108a2b2 − 27b3 ;

7) 8a3 + 60a2b2 + 150ab4 + 125b6 ;

8) a9 − 18a6b2 + 108a3b4 − 216b6 .

Rjesenje. 1) 27m+3·18m+3·12m+8m = 33m+3·32m·2m+3·3m·22m+23m = (3m+2m)3 ;

2) 8n−3·22n+m+3·2n+2m−8m = 23n−3·22n ·2m+3·2n ·22m−23m = (2n−2m)3 ;

3) a3 − 12a2 + 48a − 64 = a3 − 3 · a2 · 4 + 3 · a · 42 − 43 = (a − 4)3 ;

4) 27a3 + 27a2 + 9a+ 1 = (3a)3 + 3 · (3a)2 · 1 + 3 · 3a · 12 + 13 = (3a + 1)3 ;

5) 8a3 + 36a2b+ 54ab2 + 27b3 = (2a)2 + 3.〈 2a)2 · 3b+ 3 · 2a · (3a)2 + (3b)3

= (2a + 3b)3 ;

6) 64a6 − 144a4b + 108a2b2 − 27b3

= (4a2)3 − 3 · (4a2)2 · 3b + 3 · 4a2 · (3b)2 − (3b)3 = (4a2 − 3b)3 ;

7) 8a3 + 60a2b2 + 150ab4 + 125b6

= (2a)3 + 3 · (2a)2 · 5b2 + 3 · 2a · (5b2)2 + (5b)3 = (2a + 5b)3 ;

8) a9 − 18a6b2 + 108a3b4 − 216b6

= (a3)3 − 3 · (a3)2 · 6b2 + 3 · a3 · (6b2)2 − (6b2)3 = (a3 − 6b2)3 .


Zadatak 1. Pomnozi:1) (2a − 3)(2a + 3) ; 2) (4a + 5)(4a − 5) ;

3) (ab − 11)(ab + 11) ; 4) (a2b2 − 7)(a2b2 + 7) ;

5) (2ab3 + 3)(3 − 2ab3) ; 6) (a2 + 6b3)(a2 − 6b3) ;

7)(

13a3 − 1

4b2c

)(13a3 +

14b2c

); 8)

(35a3b3 − 0.1

)(35a3b3 + 0.1

).

Rjesenje. 1) (2a − 3)(2a + 3) = 4a2 + 6a − 6a − 9 = 4a2 − 9 ;

2) (4a + 5)(4a − 5) = 16a2 − 20a + 20a − 25 = 16a2 − 25 ;

3) (ab − 11)(ab + 11) = a2b2 + 11ab − 11ab− 121 = a2b2 − 121 ;

4) (a2b2 − 7)(a2b2 + 7) = a4b4 + 7a2b2 − 7a2b2 − 49 = a4b4 − 49 ;

5) (2ab3 + 3)(3 − 2ab3) = 6ab3 − 4a2b6 + 9 − 6ab3 = 9 − 4a2b6 ;

58

2

6) (a2 + 6b3)(a2 − 6b3) = a4 − 6a2b3 + 6a2b3 − 36b6 = a4 − 36b6 ;

7)(1

3a3 − 1

4b2c

)(13a3 +

14b2c

)=

19a6 +

112

a3b2c − 112

a3b2c − 116

b4c2

=19a6 − 1

16b4c2 ;

8)(3

5a3b3 −0.1

)(35a3b3 +0.1

)=

925

a6b6−0.1 · 35a3b3 +0.1 · 3

5a3b3−0.12

=925

a6b6 − 0.01 .

Zadatak 2. Zapisi u obliku razlike kvadrata sljedece umnoske:

1) (2ab − 3)(2ab + 3) ; 2) (13x − 12yz)(13x + 12yz) ;

3) (5 − abc)(5 + abc) ; 4) (a2 − 10)(a2 + 10) ;

5)(1

2a − 3

4bc)(1

2a +

34bc)

; 6)(2

3ab +

34bc)(2

3ab − 3

4bc)

;

7)(0.2a − 1

7bc

)(0.2a +

17bc

); 8)

(0.1ab2− 3

5c3

)(0.1ab2+

35c3

).

Rjesenje. 1) (2ab − 3)(2ab + 3) = 4a2b2 + 6ab − 6ab − 9 = 4a2b2 − 9 ;

2) (13x − 12yz)(13x + 12yz) = 169x2 + 156xyz − 156xyz− 144y2z2

= 169x2 − 144y2z2 ;3) (5 − abc)(5 + abc) = 25 + 5abc− 5abc− a2b2c2 = 25 − a2b2c2 ;

4) (a2 − 10)(a2 + 10) = a4 + 10a2 − 10a2 − 100 = a4 − 100 ;

5)(1

2a− 3

4bc)(1

2a+

34bc)

=14a2+

38abc− 3

8abc− 9

16b2c2 =

14a2− 9

16b2c2 ;

6)(2

3ab +

34bc)(2

3ab − 3

4bc)

=49a2b2 − 6

12ab2c +

612

ab2c − 916

b2c2

=49a2b2 − 9

16b2c2 ;

7)(0.2a − 1

7bc

)(0.2a +

17bc

)= 0.04a2 +

a35bc

− a35bc

− 149b2c2

= 0.04a2 − 149b2c2

;

8)(0.1ab2 − 3

5c3

)(0.1ab2 +

35c3

)= 0.01a2b4 +

3ab2

50c3− 3ab2

50c3− 9

25c6

= 0.01a2b4 − 925c6

.

Zadatak 3. Ako je a2 − b2 = 15 , a − b = 9 , koliko je 1 − 3a − 3b ?

Rjesenje. a2 − b2 = (a− b)(a + b) = 15 , a + b =159

, 1− 3a− 3b = 1− 3(a + b) =

1 − 3 · 159

= 1 − 5 = −4 .

Zadatak 4. Ako je x2 − y2 = 21 , y = x + 3 , koliko je x + y ?

Rjesenje. x2 − y2 = (x − y)(x + y) = 21 =⇒ x + y =21−3

= −7 .

Zadatak 5. Ako je (a + b)2 = 11 , (a − b)2 = 13 , koliko je (a2 − b2)2 ?

59

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. (a2 − b2)2 = [(a − b)(a + b)]2 = (a − b)2(a + b)2 = 13 · 11 = 143 .

Zadatak 6. Ako je (x + 1)(x − 1) = 3 , koliko je:

1) (x2 − x)(x2 + x) ; 2) (x3 − x)(x3 + x) ?

Rjesenje. 1) Iz (x + 1)(x − 1) = 3 slijedi x2 − 1 = 3 =⇒ x2 = 4 .(x2 − x)(x2 + x) = x(x−1)x(x+1) = x2(x−1)(x+1) = 3x2 = 3 ·4 = 12 ;

2) (x3 − x)(x3 + x) = x(x2 − 1)x(x2 + 1) = x2(x2 − 1)(x2 + 1) = 4 · 3 · (4 + 1)= 12 · 5 = 60 .


1) (a + b + c)(a − b − c) ; 2) (a + b − c)(a − b + c) ;3) (a − b + c)(a − b − c) ; 4) (a − b − c)(a + b − c) ;5) (2a − b + 3c)(2a + b − 3c) ; 6) (a2 + 2b − c3)(a2 − 2b + c3) ;

7) (5a + 3b2 + 4c3)(5a − 3b2 − 4c3) ;

8) (3a2 − 3b2 − 3c2)(3a2 − 3b2 + 3c2) .

Rjesenje. 1) (a + b + c)(a − b − c) = (a + (b + c))(a − (b + c)) = a2 − (b + c)2

= a2 − b2 − c2 − 2bc ;2) (a + b − c)(a − b + c) = (a + (b − c))(a − (b − c)) = a2 − (b − c)2

= a2 − b2 − c2 + 2bc ;3) (a − b + c)(a − b − c) = ((a − b) + c)((a − b) − c) = (a − b)2 − c2

= a2 + b2 − c2 − 2ab ;4) (a − b − c)(a + b − c) = ((a − c) − b)((a − c) + b) = (a − c)2 − b2

= a2 + c2 − b2 − 2ac ;5) (2a−b+3c)(2a+b−3c) = (2a−(b−3c))(2a+(b−3c)) = 4a2−(b−3c)2

= 4a2 − b2 − 9c2 + 6bc ;6) (a2 + 2b − c3)(a2 − 2b + c3) = (a2 + (2b − c3))(a2 − (2b − 3c3))

= a4 − (2b − c3)2 = a4 − 4b2 − c6 + 4bc3 ;

7) (5a + 3b2 + 4c3)(5a− 3b2 − 4c3) = (5a + (3b2 + 4c2))(5a− (3b2 + 4c2))= 25a2 − (3b2 + 4c3)2 = 25a2 − 9b4 − 16c6 − 24b2c3 ;

8) (3a2−3b2−3c2)(3a2−3b2+3c2) = ((3a2−3b2)−3c2)((3a2−3b2)+3c2)= (3a2 − 3b2)2 − 9c4 = 9a4 + 9b4 − 9c4 − 18a2b2 .

Zadatak 8. Napisi u obliku umnoska sljedece razlike kvadrata:

1) 9 − a2b2 ; 2) 36a2b2 − 121 ;

3) a2 − 81b4 ; 4) 64a4 − b6 ;

5)1681

a4b4 − 1 ; 6) 64a8 − 1 ;

7) 0.01x2 − 1.44y4 ; 8)916

x2y4 − 125

z6 ;

9) 2.25a4b4− 1400

; 10)49a8 − 25

64b8c12 ;

11) 25a2 − 1 ; 12) 49a2 − 81b2c2 ;

13) 16a4 − 1 ; 14) 36a2b2 − 49 ;

15) 81a4 − 16 .

60

2

Rjesenje. 1) 9 − a2b2 = (3 − ab)(3 + ab) ;

2) 36a2b2 − 121 = (6ab − 11)(6ab + 11) ;

3) a2 − 81b4 = (a − 9b2)(a + 9b2) ;

4) 64a4 − b6 = (8a2 − b3)(8a2 + b3) ;

5)1681

a4b4−1=(4

9a2b2−1

)(49a2b2+1

)=(2

3ab−1

)(23ab+1

)(49a2b2+1

);

6) 64a8 − 1 = (8a4 − 1)(8a4 + 1) ;

7) 0.01x2 − 1.44y4 = (0.1x − 1.2y2)(0.1x + 1.2y2) ;

8)916

x2y4 − 125

z6 =(3

4xy2 − 1

5z3)(3

4xy2 +

15z3)

;

9) 2.25a4b4− 1400

=(1.5a2b2 − 1

20

)(1.5a2b2 +

120

);

10)49a8 − 25

64b8c12 =

(23a4 − 5

8b4c6

)(23a4 +

58b4c6

);

11) 25a2 − 1 = (5a + 1)(5a − 1) ;

12) 49a2 − 81b2c2 = (7a + 9bc)(7a − 9bc) ;

13) 16a4 − 1 = (4a2 + 1)(4a2 − 1) ;

14) 36a2b2 − 49 = (6ab + 7)(6ab + 7) ;

15) 81a4 − 16 = (9a2 + 4)(9a2 − 4) .

Zadatak 9. Izracunaj napamet:

1) 6.52 − 3.52 ; 2) 1012 − 1 ;

3) 44.22 − 34.22 ; 4) 0.992 − 0.012 .

Rjesenje. 1) 6.52 − 3.52 = (6.5 − 3.5)(6.5 + 3.5) = 3 · 10 = 30 ;

2) 1012 − 1 = (101 − 1)(101 + 1) = 100 · 102 = 10 200 ;

3) 44.22 − 34.2 = (44.2 − 34.2)(44.2 + 34.2) = 10 · 78.4 = 784 ;

4) 0.992 − 0.012 = (0.99 − 0.01)(0.99 + 0.01) = 0.98 · 1 = 0.98 .

Zadatak 10. Izracunaj bez uporabe dzepnog racunala:

1)√

15 · √135 +√

98.52 − 97.52 ;

2)

√3

116

+√

522 − 482 ;

3)

√652 − 562

√522 − 202

;

4)

√0.652 − 0.162

0.372 − 0.122.

Rjesenje. 1)√

15·√135+√

98.52 − 97.52 =√

15 · 9 · 15+√

(98.5 − 97.5)(98.5 + 97.5)= 15 · 3 +

√1 · 196 = 45 + 14 = 59 ;

2)

√3

116

+√

522 − 482 =

√4916

+√

(52 − 48)(52 + 48) =74

+√

4 · 100

=74

+ 20 =874

= 2134

;

61

2 RJESENJA ZADATAKA

3)

√652 − 562

√522 − 202

=

√(65 − 56)(65 + 56)√(52 − 20)(52 + 20)

=√

9 · 121√32 · 72

=3 · 11

4 · 2 · 6 =3348

=1116

;

4)

√0.652 − 0.162

0.372 − 0.122=

√(0.65 − 0.16)(0.65 + 0.16)(0.37 − 0.12)(0.37 + 0.12)

=

√0.49 · 0.810.49 · 0.25

=0.90.5

=95

.

Zadatak 11. Napisi u obliku umnoska sljedece razlike kvadrata:

1) (a − b)2 − c2 ; 2) a2 − (b − c)2 ;

3) (a+b)2−(c−d)2 ; 4) 9(a2 − 2b)2 − 16c2 ;

5) 25a2−16(b2−3c)2 ; 6)916

a4 −(b − 1

2c2)2

.

Rjesenje. 1) (a − b)2 − c2 = (a − b − c)(a − b + c) ;

2) a2 − (b − c)2 = (a − b + c)(a + b − c) ;

3) (a+b)2−(c−d)2 = (a + b − c + d)(a + b + c − d) ;

4) 9(a2 − 2b)2 − 16c2 = (3a2 − 6b − 4c)(3a2 − 6b + 4c) ;

5) 25a2 − 16(b2 − 3c)2 = (5a − 4b2 + 12c)(5a + 4b2 − 12c) ;

6)916

a4 −(b − 1

2c2)2

=(3

4a2 − b +

12c2)(3

4a2 + b − 1

2c2)

.

Zadatak 12. Pomnozi:

1) (2a − 1)2 · (2a + 1)2 ;

2) (4 − 4a + a2)(4 + 4a + a2) ;

3) (a − 1)2(a2 + 1)2(a + 1)2 ;

4) (a2 + a + 1)2 · (a2 − a + 1)2 ;

5) (2a2 − 2a − 1)2 · (2a2 + 2a + 1)2 .

Rjesenje. 1) (2a − 1)2 · (2a + 1)2 = (2a − 1)(2a + 1) · (2a − 1)(2a + 1) = (4a2 − 1)2

= 16a4 − 8a2 + 1 ;2) (4−4a+a2)(4+4a+a2) = (a−2)2(a+2)2 = (a2−4)2 = a4−8a2 +16 ;

3) (a−1)2(a2 +1)2(a+1)2 = (a2−1)2(a2 +1)2 = (a4−1)2 = a8−2a4 +1 ;

4) (a2 + a + 1)2 · (a2 − a + 1)2 = ((a2 + 1) + a)2((a2 + 1) − a)2

= ((a2 + 1)2 − a2)2 = (a4 + a2 + 1)2 = a8 + 2a6 + 3a4 + 2a2 + 1 ;

5) (2a2 − 2a − 1)2 · (2a2 + 2a + 1)2 = (2a2 − (2a + 1))2(2a2 + (2a + 1))2

= (4a4− (2a+1)2)2 = 16a8−32a6−32a5 +8a4 +32a3 +24a2 +8a+1 .


1) (a − b)3 · (a + b)3 ;

2) (a2 − 1)3 · (a2 + 1)3 · (a4 + 1)3 .

Rjesenje. 1) (a − b)3 · (a + b)3 = (a2 − b2)3 = a6 − 3a4b2 + 3a2b4 − b6 ;

62

2

2) (a2 − 1)3 · (a2 + 1)3 · (a4 + 1)3 = (a4 − 1)3(a4 + 1)3 = (a8 − 1)3

= a24 − 3a16 + 3a8 − 1 .

Zadatak 14. Napisi u obliku umnoska:

1) 27a3 + 8b3 ; 2) 1 − 64a3 ;

3) 8a3b3 + 1 ; 4) 125a3 − 64b6 ;

5)127

a12 +64125

; 6)827

a6b9 − 1125

c12 .

Rjesenje. 1) 27a3 + 8b3 = (3a + 2b)(9a2 − 6ab + 4b2) ;

2) 1 − 64a3 = (1 − 4a)(1 + 4a + 16a2) ;

3) 8a3b3 + 1 = (2ab + 1)(4a2b2 − 2ab + 1) ;

4) 125a3 − 64b6 = (5a − 4b2)(25a2 + 20ab2 + 16b4) ;

5)127

a12 +64125

=(1

3a4 +

45

)(19a8 − 4

15a4 +

1625

);

6)827

a6b9 − 1125

c12 =(2

3a2b3 − 1

5c4)(4

9a4b6 +

215

a2b3c4 +125

c8)

.


1) (a − 2b)(a2 + 2ab + 4b2) ;

2) (2a − 3)(4a2 + 6a + 9) ;

3) (4ab − 1)(16a2b2 + 4ab + 1) ;

4) (7a2 − 4b2)(49a4 + 28a2b2 + 16b4) ;

5)(

13ab−3

4c2

)(19a2b2+

14abc2+

916

c4

);

6)(

25a3 − 1

4b3

)(425

a6 +110

a3b3 +116

b6

).

Rjesenje. 1) (a − 2b)(a2 + 2ab + 4b2) = a3 − (2b)3 = a3 − 8b3 ;

2) (2a − 3)(4a2 + 6a + 9) = (2a)3 − 33 = 8a3 − 27 ;

3) (4ab − 1)(16a2b2 + 4ab + 1) = (4ab)3 − 13 = 64a3b3 − 1 ;

4) (7a2 − 4b2)(49a4 + 28a2b2 + 16b4) = (7a2)3 − (4b2)3 = 499a6 − 64b6 ;

5)(1

3ab − 3

4c2)(1

9a2b2 +

14abc2 +

916

c4)

=(1

3ab)3

−(3

4c2)3

=127

a3b3 − 2764

c6 ;

6)(2

5a3 − 1

4b3)( 4

25a6 +

110

a3b3 +116

b6)

=(2

5a3)3

−(1

4b3)3

=8

125a9 − 1

64b9 .

63

2 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 16. Ne mnozeci polinome, izravno zapisi rezultat mnozenja:

1) (2a+5b)(4a2−10ab+25b2) ; 2) (3a − 1)(9a2 + 3a + 1) ;

3) (4a+7b)(16a2−28ab+49b2) ; 4) (a2 + 3b3)(a4 − 3a2b3 + 9b6) ;

5)(5ab+

12

)(25a2b2−5

2ab+

14

); 6)

(12x2 − 1

)(14x4 +

12x2 + 1

).

Rjesenje. 1) (2a + 5b)(4a2 − 10ab + 25b2) = (2a)3 + (5b)3 = 8a3 + 125b3 ;

2) (3a − 1)(9a2 + 3a + 1) = (3a)3 − 1 = 27a3 − 1 ;

3) (4a + 7b)(16a2 − 28ab + 49b2) = (4a)3 + (7b)3 = 64a3 + 343b3 ;

4) (a2 + 3b3)(a4 − 3a2b3 + 9b6) = (a2)3 + (3b3)3 = a6 + 27b9 ;

5)(5ab +

12

)(25a2b2 − 5

2ab +

14

)= (5ab)3 +

(12

)3= 125a3b3 +

18

;

6)(1

2x2 − 1

)(14x4 +

12x2 + 1

)=(1

2x2)3

− 13 =18x6 − 1 .

Zadatak 17. Zapisi u obliku umnoska:

1) a3 − 125b3 ; 2) a6 − b6 ; 3) a9 − 64b6 ;

4) 27a3 − 8b6c9 ; 5)18a9b9 − 1 ; 6)

27125

a6b9 − 164

c12 .

Rjesenje. 1) a3 − 125b3 = (a − 5b)(a2 + 5ab + 25b2 ;

2) a6 − b6 = (a2 − b2)(a4 + a2b2 + b4) ;

3) a9 − 64b6 = (a3 − 4b2)(a6 + 4a3b2 + 4b4) ;

4) 27a3 − 8b6c9 = (3a − 2b2c3)(9a2 + 6ab2c3 + 2b4c6 ;

5)18a9b9 − 1 =

(12a3b3 − 1

)(14a6b6 +

12a3b3 + 1

);

6)27125

a6b9 − 164

c12 =(3

5a2b3 − 1

4c4)( 9

25a4b6 +

320

a2b3c4 +116

c8)

.

Zadatak 18. Razlika kvadrata dvaju uzastopnih cijelih brojeva neparan je broj. Dokazi!

Rjesenje. Zapisimo dva uzastopna cijela brojeva kao n i n+1 . Slijedi da je (n+1)2−n2 =(n + 1 + n)(n + 1 − n) = (2n + 1) · 1 = 2n + 1 . Za bilo koji n ∈ Z broj2n + 1 je neparan.

Zadatak 19. Umnozak dvaju uzastopnih parnih brojeva djeljiv je s 8. Dokazi!

Rjesenje. Tvrdi se da je umnozak 2n · (2n + 2) = 4n(n + 1) , djeljiv s 8. Ocito je da jedjeljiv sa 4, a kako je jedan od faktora n i n + 1 paran, jer su to dva uzastopnaprirodna broja, umnozak je djeljiv s 8.

Zadatak 20. Umnozak kvadrata prirodnog broja i broja koji prethodi tom kvadratu djeljiv jes 12. Dokazi!

Rjesenje. Zapisimo: n2 · (n2 − 1) = (n − 1) · n2 · (n + 1) . Ako je n paran broj, onda jen2 djeljiv sa 4, a jedan od triju uzastopnih brojeva u umnosku sigurno je djeljivs 3. Ako je n neparan broj, onda su parni prvi i treci faktor umnoska.

64

2

Zadatak 21. Razlika kvadrata dvaju uzastopnih neparnih brojeva djeljiva je s 8. Dokazi!

Rjesenje. (2n + 3)2 − (2n + 1)2 = 4n2 + 12n + 9− 4n2 − 4n− 1 = 8n + 8 = 8(n + 1) .

Zadatak 22. Kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s 3 daje ostatak 0 ili 1. Dokazi!

Rjesenje. Ako je broj djeljiv s 3, onda je i njegov kvadrat djeljiv s 3. Ako nije djeljiv s 3,onda je oblika n = 3k ± 1 , pa je n2 = 9k2 ± 6k + 1 = 3k(3k ± 2) + 1 .

Zadatak 23. Dokazi da zbroj kvadrata triju uzastopnih cijelih brojeva pri dijeljenju s 3 dajeostatak 2.

Rjesenje. (n − 1)2 + n2 + (n + 1)2 = n2 − 2n + 1 + n2 + n2 + 2n + 1 = 3n2 + 2 .

Zadatak 24. Ako umnosku dvaju uzastopnih cijelih brojeva dodamo veci od njih, dobit cemokvadrat veceg broja. Dokazi!

Rjesenje. n(n + 1) + (n + 1) = n2 + n + n + 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .

Zadatak 25. Ako umnosku triju uzastopnih cijelih brojeva dodamo srednji broj, dobit cemokub srednjeg broja. Dokazi!

Rjesenje. (n − 1) · n · (n + 1) + n = n(n2 − 1) + n = n3 − n + n = n3 .

Zadatak 26. Kvadrat svakog neparnog broja umanjen za 1 djeljiv je s 8. Dokazi!

Rjesenje. (2n + 1)2 − 1 = (2n + 1 − 1)(2n + 1 + 1) = 4n(n + 1) .

Zadatak 27. Ako je svaki od dvaju neparnih cijelih brojeva djeljiv s 3, razlika kvadrata tihbrojeva djeljiva je sa 72. Dokazi!

Rjesenje. (3(2n− 1))2 − (3(2m− 1))2 = 9((2n− 1)2 − (2m− 1)2) = 9(2n− 1 + 2m−1)(2n − 1 − 2m + 1) = 9 · 2(n + m − 1)2(n − m) = 36(n − m)(n + m − 1) .Jedan je faktor ovog umnoska djeljiv s 36, a od ostalih dvaju jedan je paran.Stoga je taj umnozak djeljiv sa 72.

Zadatak 28. Umnozak cetiriju uzastopnih cijelih brojeva uvecan za 1 potpuni je kvadrat.Dokazi!

Rjesenje. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 +2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 .

Zadatak 29. Dokazi da je broj (6n − 7)2 − (4n − 3)2 djeljiv s 40 za svaki cijeli broj n .

Rjesenje. (6n−7−4n+3)(6n−7+4n−3) = (2n−4)(10n−10) = 20(n−1)(n−2) .Broj je ocito djeljiv s 20. Od dvaju uzastopnih brojeva n − 1 i n − 2 jedan jesigurno paran pa je broj 20(n − 1)(n − 2) djeljiv s 40.

Zadatak 30. Dokazi da je broj (20n + 17)2 − (17n + 20)2 djeljiv s 888 za svaki neparnicijeli broj n .

Rjesenje. Zadani broj zapisemo u obliku (20n+17)2−(17n+20)2 = (20n+17+17n+20)(20n + 17 − 17n − 20) = (37n + 37)(3n − 3) = 37(n + 1) · 3(n − 1) =111(n − 1)(n + 1) . Uocavamo da je on djeljiv sa 888. Da je djeljiv sa 111ocito je, a dva preostala faktora, jer je n neparan, parni su brojevi, pri cemu jejedan djeljiv sa 4.

Zadatak 31. Rijesi u skupu cijelih brojeva jednadzbu x2 − y2 = 105 .

65

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Uputa: x2 − y2 = (x − y)(x + y) = 1 · 3 · 5 · 7 . Imamo redom cetiri sustava:x − 1 = 1, x + y = 105 ; x − 1 = 3, x + y = 21 ; x − y = 5, x + y = 21 ix− y = 7, x+ y = 15 . Parovi rjesenja koji zadovoljavaju jednadzbu x2 − y2 =105 redom su: (−53,−52) , (−53, 52) , (53,−52) , (53, 52) ; (−19,−16) ,(−19, 16) , (19,−16) , (19, 16) ; (−13,−8) , (−13, 8) , (13,−8) , (13, 8) ;(−11,−4) , (−11, 4) , (11,−4) , (11, 4) .

Zadatak 32. Kub prirodnog broja pri dijeljenju s 9 daje ostatak 0, 1 ili 8. Dokazi!

Rjesenje. Razmotrimo sve mogucnosti za n : n = 3k , n = 3k + 1 , n = 3k + 2 .n = 3k =⇒ n3 = 27k3 , sto je djeljivo s 9, a ostatak pri dijeljenju je 0.n = 3k+1 =⇒ n3 = (3k+1)3 = 27k3+27k2+9k+1 = 9(3k3+3k2+k)+1 ,sto pri dijeljenju s 9 daje ostatak 1.

Zadatak 33. Razlika kuba neparnog prirodnog broja i samog broja djeljiva je s 24. Dokazi!

Rjesenje. (2k−1)3−(2k−1) = (2k−1)((2k−1)2−1) = (2k−1)(2k−1+1)(2k−1−1) =2k · (2k − 1)(2k − 2) . Od triju uzastopnih prirodnih brojeva jedan je sigurnodjeljiv s 3, dva su parna od kojih je jedan djeljiv sa 4.

Zadatak 34. Dokazi: zbroj kubova triju uzastopnih cijelih brojeva djeljiv je s 3.

Rjesenje. (n − 1)3 + n3 + (n + 1)3 = n3 − 3n2 + 3n − 1 + n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 =3n3 + 6n = 3n(n2 + 2) .


Zadatak 1. 1) 2a2b + 4ab2 ; 2) 3a4b + 15a2b2 ;

3) 6a3b + 8a2b3 ; 4) 9a4b2 − 15a2b3 ;

5) 10a2b3c + 5ab2c4 ; 6) 5a3b2 + 20a2b4 .

Rjesenje. 1) 2a2b + 4ab2 + 2ab · a + 2ab · 2b = 2ab(a + 2b) ;

2) 3a4b + 15a2b2 = 3a2b · a2 + 3a2b · 5b = 3a2b(a2 + 5b) ;

3) 6a3b + 8a2b3 = 2a2b · 3a + 2a2b · 4b2 = 2a2b(3a + 4b2) ;

4) 9a4b2 − 15a2b3 = 3a2b2 · 3a2 − 3a2b2 · 5b = 3a2b2(3a2 − 5b) ;

5) 10a2b3c + 5ab2c4 = 5abc · 2ab2 + 5abc · bc3 = 5abc(2ab2 + bc3) ;

6) 5a3b2 + 20a2b4 = 5a2b2 · a + 5a2b2 · 4b2 = 5a2b2(a + 4b2) .

Zadatak 2. 1) 6a2b2 − 12a2b + 18ab2 ; 2) 7a3b + 14a2b2 − 21a2b ;

3) 10a3b2c − 15a2b3c + 25ab3c3 ; 4) 33a4b3c2 − 44a4bc4 + 55a3b2c4 ;

5) 30a3b3c2 + 18a2b4c3 + 6a2b2c2 ; 6) 27a2b4c − 36a3b4 − 63a2b3c2 .

Rjesenje. 1) 6a2b2−12a2b+18ab2 = 6ab ·ab−6ab ·2a+6ab ·3b = 6ab(ab−2a+3b) ;

2) 7a3b+14a2b2−21a2b = 7a2b ·a+7a2b ·2b−7a2b ·3 = 7a2b(a+2b−3) ;

3) 10a3b2c − 15a2b3c + 25ab3c3 = 5ab2c · 2a2 − 5ab2c · 3ab + 5ab2c · 5bc2

= 5ab2c(2a2 − 3ab + 5bc2) ;

4) 33a4b3c2 − 44a4bc4 + 55a3b2c4 = 11a3bc2 · 3ab2 − 11a3bc2 · 4ac2

+ 11a3bc2 · 5bc2 = 11a3bc2(3ab2 − 4ac2 + 5bc2) ;

5) 30a3b3c2+18a2b4c3+6a2b2c2 = 6a2b2c2 ·5ab+6a2b2c2 ·3b2c+6a2b2c2 ·1= 6a2b2c2(5ab + 3b2c + 1) ;

66

2

6) 27a2b4c − 36a3b4 − 63a2b3c2 = 9a2b3 · 3bc− 9a2b3 · 4ab − 9a2b3 · 7c2

= 9a2b3(3bc − 4ab − 7c2) .

Zadatak 3. 1) 22a3b2c3 − 33a2b2c4 + 44a3bc4 ; 2) 21a3b3 + 35a3b3c − 28a2b2c2 ;

3) 2a3b − 4a2b2 + 2ab3 ; 4) x6y2 + 2x4y4 + x2y6 ;

5) 4a4b − 16a3b2 + 16a2b3 ; 6) 50x2y3 − 125x3y4 − 5xy2 .

Rjesenje. 1) 22a3b2c3 − 33a2b2c4 + 44a3bc4 = 11a2bc3 · 2ab − 11a2bc3 · 3bc+ 11a2bc3 · 4ac = 11a2bc3(2ab − 3bc + 4ac) ;

2) 21a3b3 + 35a3b3c − 28a2b2c2 = 7a2b2 · 3ab + 7a2b2 · 5abc− 7a2b2 · 4c2

= 7a2b2(3ab + 5abc− 4c2) ;

3) 2a3b−4a2b2 +2ab3 = 2ab ·a2−2ab ·2ab+2ab ·b2 = 2ab(a2−2ab+b2)= 2ab(a − b)2 ;

4) x6y2+2x4y4+x2y6 = x2y2 ·x4+x2y2 ·2x2y2+x2y2 ·y4 = x2y2(x4+2x2y2+y4)= x2y2(x2 + y2)2 ;

5) 4a4b − 16a3b2 + 16a2b3 = 4a2b · a2 − 4a2b · 4ab + 4a2b · 4b2

= 4a2b(a2 − 4ab + 4b2) = 4a2b(a − 2b)2 ;

6) 50x2y3 − 125x3y4 − 5xy2 = 5xy2 · 10xy− 5xy2 · 25x2y2 − 5xy2 · 1= 5xy2(10xy−25x2y2−1) = −5xy2(25x2y2−10xy+1) = −5xy2(5xy−1)2 .


1) (a − 2b)2 + 8ab ; 2) (2a + 3b)2 − 24ab ;

3) (a2 − 4b2)2 + 16a2b2 ; 4) 20b2c + (b2 − 5c)2 .

Rjesenje. 1) (a − 2b)2 + 8ab = a2 − 4ab + 4b2 + 8ab = a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 ;

2) (2a + 3b)2 − 24ab = 4a2 + 12ab + 9b2 − 24ab = 4a2 − 12ab + 9b2

= (2a − 3b)2 ;

3) (a2 − 4b2)2 + 16a2b2 = a4 − 8a2b2 + 16b4 + 16a2b2 = a4 + 8a2b2 + 16b4

= (a2 + 4b2)2 ;

4) 20b2c + (b2 − 5c)2 = 20b2c + b4 − 10b2c + 25c2 = b4 + 10b2c + 25c2

= (b2 + 5c)2 .

Zadatak 5. 1) 2a3 − 12a2 + 18a ; 2) x4y2 − 4x3y3 + 4x2y4 ;

3) 16a3b + 48a2b2 + 36ab3 ; 4) 12a2b − 12a3b − 3ab ;

5) −2a3 − 4a4 − 2a5 ; 6) 8a(a − 1)2 + 24a(a − 1) + 18a ;

7) 3a(a2+1)2−24a(a2+1)+48a ; 8) (x + y − 1)2 − 2(1 − x − y) + 1 ;

Rjesenje. 1) 2a3 − 12a2 + 18a = 2a(a2 − 6a + 9) = 2a(a − 3)2 ;

2) x4y2 − 4x3y3 + 4x2y4 = x2y2(x2 − 4xy + 4y2) = x2y2(x − 2y)2 ;

3) 16a3b + 48a2b2 + 36ab3 = 4ab(4a2 + 12ab + 9b2) = 4ab(2a + 3b)2 ;

4) 12a2b − 12a3b − 3ab = −3ab(4a2 − 4a + 1) = −3ab(2a− 1)2 ;

5) −2a3 − 4a4 − 2a5 = −2a3(a2 + 2a + 1) = −2a3(a + 1)2 ;

6) 8a(a − 1)2 + 24a(a − 1) + 18a = 2a(4(a − 1)2 + 12(a − 1) + 9)= 2a(2(a − 1) + 3)2 = 2a(2a + 1)2 ;

7) 3a(a2 + 1)2 − 24a(a2 + 1) + 48a = 3a[(a2 + 1)2 − 8(a2 + 1) + 9]= 3a(a2 + 1 − 4)2 = 3a(a2 − 3)2 ;

67

2 RJESENJA ZADATAKA

8) (x + y − 1)2 − 2(1 − x − y) + 1 = (x + y − 1)2 + 2(x + y − 1) + 1= ((x + y − 1) + 1)2 = (x + y)2 .

Zadatak 6. 1) a(a + b) + 3(a + b) ; 2) a(b − 2) + 2(b − 2) ;

3) ab(a − 1) − a(a − 1) ; 4) a2b(b + 1) − b(b + 1) ;

5) 2ab(ab − 3) − 4a2b2(ab − 3) ; 6) a2b(ab + b2) − ab2(a2 − ab) .

Rjesenje. 1) a(a + b) + 3(a + b) = (a + 3)(a + b) ;2) a(b − 2) + 2(b − 2) = (a + 2)(b − 2) ;3) ab(a − 1) − a(a − 1) = (ab − a)(a − 1) = a(b − 1)(a − 1) ;

4) a2b(b + 1) − b(b + 1) = (a2b − b)(b + 1) = b(a2 − 1)(b + 1)= b(b + 1)(a + 1)(a − 1) ;

5) 2ab(ab− 3) − 4a2b2(ab − 3) = (2ab − 4a2b2)(ab − 3)= 2ab(1 − 2ab)(ab− 3) ;

6) a2b(ab + b2) − ab2(a2 − ab) = ab(a(ab + b2) − b(a2 − ab))= ab(a2b + ab2 − a2b + ab2) = ab(2ab2) = 2a2b3 .

Zadatak 7. 1) (2a − 1)(3a + 2) + (2a − 1)(2a + 3) ;

2) (2a − 4b)(a − b) − (6b − 3a)(a + b) ;3) (a + 2b)(b + c − 1) + (2a + b)(b + c − 1) ;4) (a − 3b)(a − b + c) + (a − 3b)(a + b + c) ;

5) (a − b + 1)(2b + c) + (a − b + 1)(b + 2c) ;6) (3a + 6)(2a − 1) − (2a + 1)(a + 2) .

Rjesenje. 1) (2a − 1)(3a + 2) + (2a − 1)(2a + 3) = (2a − 1)(3a + 2 + 2a + 3)= (2a − 1)(5a + 5) = 5(2a − 1)(a + 1) ;

2) (2a−4b)(a−b)− (6b−3a)(a+b) = 2(a−2b)(a−b)+3(a−2b)(a+b)= (a − 2b)(2(a − b) + 3(a + b)) = (a − 2b)(2a − 2b + 3a + 3b)= (a − 2b)(5a + b) ;

3) (a + 2b)(b + c− 1) + (2a + b)(b + c− 1) = (a + 2b + 2a + b)(b + c− 1)= (3a + 3b)(b + c − 1) = 3(a + b)(b + c − 1) ;

4) (a−3b)(a−b+ c)+ (a−3b)(a+b+ c) = (a−3b)(a−b+ c+a+b+ c)= (a − 3b)(2a + 2c) = 2(a + c)(a − 3b) ;

5) (a− b + 1)(2b + c) + (a− b + 1)(b + 2c) = (a− b + 1)(2b + c + b + 2c)= (a − b + 1)(3b + 3c) = 3(b + c)(a − b + 1) ;

6) (3a + 6)(2a− 1)− (2a + 1)(a + 2) = 3(a + 2)(2a− 1)− (2a + 1)(a + 2)= (a+2)(3(2a−1)−(2a+1)) = (a+2)(6a−3−2a−1) = (a+2)(4a−4)= 4(a − 1)(a + 2) .

Zadatak 8. 1) (ab − 1)(a + 2b) − (1 − ab)(2a + b) ;

2) (2a − 3)(b2 − 2) + (2a + 3)(2 − b2) ;

3) (a2 − ab)(4a − 2b) − (ab − a2)(2a − 4b) ;

4) (a − b + 1)(2b + c) − (a − b + 1)(b + 2c) ;5) (1 + abc)(a + b + c) − (1 + abc)(a − b − c) ;

6) (3a+b−2c)(4a−6b)+(6a+2b−4c)(3b−2a) ;7) a(a − b + 1) + b(a − b + 1) − a + b − 1 ;8) a(a + b − 1) + b(a + b − 1) − a − b + 1 .

68

2

Rjesenje. 1) (ab−1)(a+2b)− (1−ab)(2a+b) = (ab−1)(a+2b)+ (ab−1)(2a+b)= (ab − 1)(a + 2b + 2a + b) = (ab − 1)(3a + 3b) = 3(ab − 1)(a + b) ;

2) (2a− 3)(b2 − 2)+ (2a+ 3)(2− b2) = (2a− 3)(b2 − 2)− (2a+ 3)(b2 − 2)= (b2 − 2)(2a − 3 − 2a − 3) = (b2 − 2)(−6) = −6(b2 − 2) ;

3) (a2 − ab)(4a − 2b) − (ab − a2)(2a − 4b)= (a2−ab)(4a−2b)+(a2−ab)(2a−4b) = (a2−ab)(4a−2b+2a−4b)= a(a − b)(6a − 6b) = 6a(a − b)2 ;

4) (a− b + 1)(2b + c)− (a− b + 1)(b + 2c) = (a− b + 1)(2b + c− b− 2c)= (a − b + 1)(b − c) = (b − c)(a − b + 1) ;

5) (1+abc)(a+b+c)−(1+abc)(a−b−c) = (1+abc)(a+b+c−a+b+c)= (1 + abc)(2b + 2c) = 2(1 + abc)(b + c) ;

6) (3a + b − 2c)(4a − 6b) + (6a + 2b − 4c)(3b − 2a)= (3a + b − 2c) · 2(2a − 3b) + 2(3a + b − 2c)(3b − 2a)= 2(3a + b − 2c)(2a − 3b + 3b − 2a) = 0 ;

7) a(a−b+1)+b(a−b+1)−a+b−1 = a(a−b+1)+b(a−b+1)−(a−b+1)= (a − b + 1)(a + b − 1) ;

8) a(a+b−1)+b(a+b−1)−a−b+1 = a(a+b−1)+b(a+b−1)−(a+b−1)= (a + b − 1)(a + b − 1) = (a + b − 1)2 .

Zadatak 9. 1) a2(a + 1) − 2a(a + 1) + a + 1 ;

2) (a − 1)a2 + 2a(a − 1) + a − 1 ;

3) (a2 − b2)(a + b) − 2(a2 − b2) + a − b ;

4) a2(a2 − 1) + 2a(a2 − 1) + a2 − 1 ;

5) (x−y)(x−y+1)2−2(x−y)(x−y+1)+x−y .

Rjesenje. 1) a2(a + 1)− 2a(a + 1) + a + 1 = (a + 1)(a2 − 2a + 1) = (a + 1)(a− 1)2 ;

2) (a− 1)a2 + 2a(a− 1) + a− 1 = (a− 1)(a2 + 2a + 1) = (a− 1)(a + 1)2 ;

3) (a2 − b2)(a + b) − 2(a2 − b2) + a − b = (a + b)(a − b)(a + b)− 2(a + b)(a − b) + (a − b) = (a − b)((a + b)2 − 2(a + b) + 1)= (a − b)(a + b + 1)2 ;

4) a2(a2 − 1) + 2a(a2 − 1) + a2 − 1 = (a2 − 1)(a2 + 2a + 1)= (a − 1)(a + 1)(a + 1)2 = (a + 1)3(a − 1) ;

5) (x − y)(x − y + 1)2 − 2(x − y)(x − y + 1) + x − y = (x − y)((x − y + 1)2

− 2(x − y + 1) + 1) = (x − y)(x − y + 1 + 1)2 = (x − y)(x − y + 2) .

Zadatak 10. 1) 3a2 + 2a + 4b + 6ab ; 2) 2a3 + 5a2b2 + 6ab + 15b3 ;

3) a3b + a2 + b2 + ab3 ; 4) 6a2bc + 9ab2 + 8ac2 + 12bc ;

5) a3b + 3a2 − 3ab2 − 9b ; 6) 21a2bc − 7ab3 − 3ac2 + b2c .

Rjesenje. 1) 3a2 + 2a + 4b + 6ab = 3a(a + 2b) + 2(a + 2b) = (3a + 2)(a + 2b) ;

2) 2a3+5a2b2+6ab+15b3 = 2a(a2+3b)+5b2(a2+3b) = (2a+5b2)(a2+3b) ;

3) a3b + a2 + b2 + ab3 = a2(1 + ab) + b2(1 + ab) = (a2 + b2)(1 + ab) ;

4) 6a2bc + 9ab2 + 8ac2 + 12bc = 2ac(3ab + 4c) + 3b(3ab + 4c)= (2ac + 3b)(3ab + 4c) ;

5) a3b + 3a2 − 3ab2 − 9b = a2(ab + 3) − 3b(ab + 3) = (a2 − 3b)(ab + 3) ;

69

2 RJESENJA ZADATAKA

6) 21a2bc − 7ab3 − 3ac2 + b2c = 7ab(3ac− b2) − c(3ac− b2)= (7ab − c)(3ac − b2) .

Zadatak 11. 1) 2ab + 4a + b2 + 2b ; 2) 6ab + 9a + 4b + 6 ;

3) 4ab + 20a + 3b + 15 ; 4) 3a2b + 6ab2 + 2a + 4b ;

5) x3 − 3x2 − 3x + 9 ; 6) a3 − a2b − 2ab2 + 2b3 ;

7) 4a2 + 2ab − 2ac− bc ; 8) 6a3b − 9a2b2 − 4a + 6b ;

9) 6a3 + 8a2b2 − 3ab − 4b3 ; 10) x3 − 2x2 + x − 2 .

Rjesenje. 1) 2ab + 4a + b2 + 2b = b(2a + b) + 2(2a + b)(2a + b)(b + 2) ;2) 6ab + 9a + 4b + 6 = 3a(2b + 3) + 2(2b + 3) = (3a + 2)(2b + 3) ;3) 4ab + 20a + 3b + 15 = 4a(b + 5) + 3(b + 5) = (4a + 3)(b + 5) ;

4) 3a2b + 6ab2 + 2a + 4b = 3ab(a + 2b) + 2(a + 2b) = (3ab + 2)(a + 2b) ;

5) x3 − 3x2 − 3x + 9 = x2(x − 3) − 3(x − 3) = (x − 3)(x2 − 3) ;

6) a3 − a2b − 2ab2 + 2b3 = a2(a − b) − 2b2(a − b) = (a − b)(a2 − 2b2) ;

7) 4a2 + 2ab − 2ac − bc = 2a(2a + b) − c(2a + b) = (2a + b)(2a − c) ;

8) 6a3b−9a2b2−4a+6b = 3a2b(2a−3b)−2(2a−3b) = (2a−3b)(3a2b−2) ;

9) 6a3+8a2b2−3ab−4b3 = 2a2(3a+4b2)−b(3a+4b2) = (2a2−b)(3a+4b2) ;

10) x3 − 2x2 + x − 2 = x2(x − 2) + (x − 2) = (x − 2)(x2 + 1) .

Zadatak 12. 1) a3 − 2ab − a3b + 2ab2 + a2b − 2b2 ;

2) 2a3 − 2a3b2 + 2ab2 + 3a2b − 3a2b3 + 3b3 ;

3) 2a3 − 2a2b − 2ab2 − 3a2 + 3ab + 3b2 ;

4) 3a3 + 2a3b + 3a2b − 3ab2 − 2ab3 − 3b3 .

Rjesenje. 1) a3−2ab−a3b+2ab2 +a2b−2b2 = a(a2−2b)−ab(a2−2b)+b(a2−2b)= (a2 − 2b)(a − ab + b) ;

2) 2a3 − 2a3b2 + 2ab2 + 3a2b − 3a2b3 + 3b3 = 2a(a2 − a2b2 + b2)+ 3b(a2 − a2b2 + b2) = (2a + 3b)(a2 − a2b2 + b2) .

3) 2a3−2a2b−2ab2−3a2+3ab+3b2 = a2(2a−3)−ab(2a−3)−b2(2a−3)= (2a − 3)(a2 − ab − b2) ;

4) 3a3 + 2a3b + 3a2b − 3ab2 − 2ab3 − 3b3 = 3a(a2 − b2) + 2ab(a2 − b2)+3b(a2−b2) = (a2−b2)(3a+2ab+3b) = (a−b)(a+b)(3a+2ab+3b) .

Zadatak 13. 1) (2a−1)(a+2)2−8a(2a−1) ; 2) (a − 2)(a − 1)2 + 4a(a − 2) ;

3) (a+3)(3a+1)2−12a(a+3) ; 4) (3a−2)(2a−3)2+24a(3a−2) ;

5) a(a + 1) − (a + 4)(a + 1)2 .

Rjesenje. 1) (2a − 1)(a + 2)2 − 8a(2a − 1) = (2a − 1)[(a + 2)2 − 8a]= (2a− 1)[a2 + 4a+ 4− 8a] = (2a− 1)(a2− 4a+ 4) = (2a− 1)(a− 2)2 ;

2) (a − 2)(a − 1)2 + 4a(a − 2) = (a − 2)[(a − 1)2 + 4a]= (a − 2)[a2 − 2a + 1 + 4a] = (a − 2)(a2 + 2a + 1) = (a − 2)(a + 1)2 ;

3) (a + 3)(3a + 1)2 − 12a(a + 3) = (a + 3)[(3a + 1)2 − 12a]= (a+3)[9a2 +6a+1−12a] = (a+3)(9a2−6a+1) = (a+3)(3a−1)2 ;

70

2

4) (3a − 2)(2a − 3)2 + 24a(3a− 2) = (3a − 2)[(2a − 3) + 24a]= (3a − 2)[4a2 − 12a + 9 + 24a] = (3a − 2)(4a2 + 12a + 9)= (3a − 2)(2a + 3)2 ;

5) a(a + 1) − (a + 4)(a + 1)2 = (a + 1)[a − (a + 4)(a + 1)]= (a + 1)[a − a2 − a − 4a − 4] = (a + 1)(−a2 − 4a − 4)= −(a + 1)(a2 + 4a + 4) = −(a + 1)(a + 2)2 .

Zadatak 14. Zapisi u obliku umnoska sljedece razlike kvadrata:

1) (a2 + b2)2 − 4a2b2 ; 2) (a2 + 1)2 − 4a2 ;

3) (a2 + 6ab)2 − 81b4 ; 4) (a2 + 4b2)2 − 16a2b2 ;

5) 16a2b2 − (a2 + 4b2)2 ; 6) 144a2b2 − (4a2 + 9b2)2 ;

7) 9(x−3y)2−25(2x+y)2 ; 8) 4(2x − y)2 − 9(x + 3y)2 ;

9) 9(4x − y)2 − 16(3x + y)2 ; 10) 4a2(a−5b)2−25b2(5a−b)2 .

Rjesenje. 1) (a2 + b2)2 − 4a2b2 = (a2 + b2 − 2ab)(a2 + b2 + 2ab) = (a− b)2(a + b)2 ;

2) (a2 + 1)2 − 4a2 = (a2 + 1 − 2a)(a2 + 1 + 2a) = (a − 1)2(a + 1)2 ;

3) (a2+6ab)2−81b4 = (a2+6ab−9b2)(a2+6ab+9b2) = (a−3b)2(a+3b)2 ;

4) (a2+4b2)2−16a2b2 = (a2+4b2−4ab)(a2+4b2+4ab) = (a−2b)2(a+2b)2 ;

5) 16a2b2 − (a2 + 4b2)2 = (4ab − a2 + 4b2)(4ab + a2 + 4b2)= −(a − 2b)2(a + 2b)2 ;

6) 144a2b2 − (4a2 + 9b2)2 = (12ab− 4a2 − 9b2)(12ab + 4a2 + 9b2)= −(2a − 3b)2(2a + 3b)2 ;

7) 9(x− 3y)2 − 25(2x + y)2 = (3(x− 3y)− 5(2x + y))(3(x− 3y)+ 5(2x + y))= (3x − 9y − 10x − 5y)(3x − 9y + 10x + 5y) = (−7x − 14y)(13x− 4y)= −7(x + 2y)(13x − 4y) ;

8) 4(2x− y)2 − 9(x + 3y)2 = (2(2x− y)− 3(x + 3y))(2(2x− y) + 3(x + 3y))= (4x − 2y − 3x − 9y)(4x − 2y + 3x + 9y) = (x − 11y)(7x + 7y)= 7(x + y)(x − 11y) ;

9) 9(4x− y)2 − 16(3x + y)2 = [3(4x− y)− 4(3x + y)][3(4x− y) + 4(3x + y)]= (12x − 3y − 12x− 4y)(12x − 3y + 12x + 4y) = −7y(24x + y) ;

10) 4a2(a − 5b)2 − 25b2(5a − b)2

= [(2a(a − 5b)− 5b(5a − b)][2a(a − 5b) + 5b(5a − b)]= [2a2 − 10ab− 25ab + 5b2][2a2 − 10ab + 25ab − 5b2]= (2a2 − 35ab + 5b2)(2a2 + 15ab − 5b2) .

Zadatak 15. 1) a2(b − 1) − b2(b − 1) ; 2) x2(x + y − 1) − x − y + 1 ;

3) 4a2(x − 1) − 4x + 4 ; 4) 9a2(b2 − 1) − 4b2 + 4 ;

5) a2 − 4b2 − 9b2(a2 − 4b2) ; 6) a2 − 1 − ab + b ;

7) x2 − xy − y − 1 ; 8) a2b2 − a2 − ab2 + a ;

9) a2b − a2 − b2 + 1 ; 10) 4a2 − b2 − 4a + 1 .

Rjesenje. 1) a2(b − 1) − b2(b − 1) = (b − 1)(a2 − b2) = (a − b)(a + b)(b − 1) ;

2) x2(x+ y−1)− x− y+1 = x2(x+ y−1)− (x+ y−1) = (x2 −1)(x+ y−1)= (x − 1)(x + 1)(x + y − 1) ;

3) 4a2(x − 1) − 4x + 4 = 4a2(x − 1) − 4(x − 1) = (4a2 − 4)(x − 1)= 4(a − 1)(a + 1)(x − 1) ;

71

2 RJESENJA ZADATAKA

4) 9a2(b2 − 1) − 4b2 + 4 = 9a2(b2 − 1) − 4(b2 − 1) = (9a2 − 4)(b2 − 1)= (b − 1)(b + 1)(3a − 2)(3a + 2) ;

5) a2 − 4b2 − 9b2(a2 − 4b2) = (a2 − 4b2)(1 − 9b2)= (a − 2b)(a + 2b)(1 − 3b)(1 + 3b) ;

6) a2 − 1 − ab + b = (a − 1)(a + 1) − b(a − 1) = (a − 1)(a − b + 1) ;

7) x2 − xy − y − 1 = (x2 − 1) − y(x + 1) = (x − 1)(x + 1) − y(x + 1)= (x + 1)(x − y − 1) ;

8) a2b2 − a2 − ab2 + a = a2(b2 − 1) − a(b2 − 1) = (a2 − a)(b2 − 1)= a(a − 1)(b − 1)(b + 1) ;

9) a2b − a2 − b2 + 1 = a2(b − 1) − (b2 − 1) = a2(b − 1) − (b − 1)(b + 1)= (b − 1)(a2 − b − 1) ;

10) 4a2 − b2 − 4a + 1 = 4a2 + 2ab − 2ab − 2a − 2a − b2 + b − b + 1= 4a2 + 2ab − 2a − 2ab − b2 + b − 2a − b + 1= 2a(2a+b−1)−b(2a+b−1)−(2a+b−1) = (2a−b−1)(2a+b−1) .

Zadatak 16. 1) a2 − 2ab + b2 − c2 ; 2) a2 − 10a + 25 − b2 ;

3) b2 + 6b + 9 − 9c2 ; 4) 1 − 8xy − x2 − 16y2 ;

5) 16x2 − 25y2 − 24ax + 9a2 ; 6) 25 − a2 − 4b2 + 4ab ;

7) a2−b2+c2−d2+2ac+2bd ; 8) a2−b2+c2−d2−2ac−2bd ;

9) a2 − b2 − c2 − 4a + 2bc + 4 ; 10) a2b2 − a2 − b2 − 4ab + 1 .

Rjesenje. 1) a2 − 2ab + b2 − c2 = (a − b)2 − c2 = (a − b − c)(a − b + c) ;

2) a2 − 10a + 25 − b2 = (a − 5)2 − b2 = (a − b − 5)(a + b − 5) ;

3) b2 + 6b + 9 − 9c2 = (b + 3)2 − 9c2 = (b − 3c + 3)(b + 3c + 3) ;

4) 1 − 8xy − x2 − 16y2 = −(x2 + 8xy + 16y2) + 1 = 1 − (x + 4y)2

= (1 − x − 4y)(1 + x + 4y) ;

5) 16x2−25y2−24ax+9a2 = (3a−4x)2−25y2 = (3a−4x−5y)(3a−4x+5y) ;

6) 25 − a2 − 4b2 + 4ab = 25 − (a2 − 4ab + 4b2) = 25 − (a − 2b)2

= (5 − a + 2b)(5 + a − 2b) ;

7) a2 − b2 + c2 − d2 + 2ac + 2bd = (a + c)2 − (b − d)2

= (a + c − b + d)(a + c + b − d) ;

8) a2 − b2 + c2 − d2 − 2ac− 2bd = (a − c)2 − (b + d)2

= (a − c − b − d)(a − c + b + d) ;

9) a2−b2−c2−4a+2bc+4 = (a−2)2−(b−c)2 = (a−b+c−2)(a+b−c−2) ;

10) a2b2 − a2 − b2 − 4ab + 1 = (ab − 1)2 − (a + b)2

= (ab − a − b − 1)(ab + a + b − 1) .

Zadatak 17. 1) 4a2b2 − 4b2 − a2 + 1 ; 2) a2b2 − 4a2 − 4b2 + 16 ;

3) x4 − 2x3 + 2x − 1 ; 4) 16x4 − 16x3 + 4x − 1 ;

5) x4 − 2x3 − 2x2 + 2x + 1 ; 6) x4 − 3x3 − 8x2 + 12x + 16 ;

7) (a + 1)4 − a4 + 2a2 − 1 ; 8) (x2 − 2x)2 + 2x2 − 4x + 1 .

Rjesenje. 1) 4b2(a2−1)−(a2−1) = (a2−1)(4b2−1) = (a−1)(a+1)(2b−1)(2b+1) ;

2) a2(b2 − 4)− 4(b2− 4) = (a2 − 4)(b2 − 4) = (a− 2)(a+ 2)(b− 2)(b+ 2) ;

3) (x2 − 1)(x2 + 1)− 2x(x2 − 1) = (x2 − 1)(x2 − 2x + 1) = (x− 1)3(x + 1) ;

72

2

4) (4x2 − 1)(4x2 + 1) − 4x(4x2 − 1) = (2x − 1)3(2x + 1) ;

5) (x2 − 1)2 − 2x(x2 − 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 − 2x − 1) ;

6) (x2 − 4)2 − 3x(x2 − 4) = (x − 2)(x + 2)(x + 1)(x − 4) ;

7) (a + 1)4 − (a2 − 1)2 = 4a(a + 1)2 ;

8) (x2 − 2x)2 + 2(x2 − 2x) + 1 = (x2 − 2x + 1)2 = (x − 1)4 .

Zadatak 18. 1) (ab − 1)2 − (a − b)2 ; 2) 4(ab + 1)2 − (4a + b)2 ;

3) (x2 − y2)2 − (x + y)2 ; 4) (x2 − y2)2 − (x − y)2 .

Rjesenje. 1) (ab − 1)2 − (a − b)2 = (ab − a + b − 1)(ab + a − b − 1)= (a − 1)(a + 1)(b − 1)(b + 1) ;

2) 4(ab + 1)2 − (4a + b)2 = (2ab + 2 − 4a − b)(2ab + 2 + 4a + b)= (2a(b − 2) − (b − 2))(2a(b + 2) + (b + 2))= ((b − 2)(2a− 1))((2a + 1)(b + 2)) = (2a− 1)(2a + 1)(b− 2)(b + 2) ;

3) (x2 − y2)2 − (x + y)2 = (x2 − y2 − x − y)(x2 − y2 + x + y)= ((x − y)(x + y) − (x + y))((x − y)(x + y) + (x + y))= ((x+ y)(x− y−1))((x+ y)(x− y+1)) = (x+ y)2(x− y−1)(x− y+1) ;

4) (x2 − y2)2 − (x − y)2 = (x2 − y2 − x + y)(x2 − y2 + x − y)= ((x − y)(x + y) − (x − y))((x − y)(x + y) + (x − y))= ((x− y)(x+ y−1))((x− y)(x+ y+1)) = (x− y)2(x+ y−1)(x+ y+1) .

Zadatak 19. 1) a5b5 − a3b3 ; 2) 2a3b − 8ab3 ;

3) a4b2 + 8ab5 ; 4) a6b3 − a3b9 ;

5) 3a4b8 + 81ab2 ; 6) 64a8b2 − a2b2 .

Rjesenje. 1) a5b5 − a3b3 = a3b3(a2b2 − 1) = a3b3(ab − 1)(ab + 1) ;

2) 2a3b − 8ab3 = 2ab(a2 − 4b2) = 2ab(a− 2b)(a + 2b) ;

3) a4b2 + 8ab5 = ab2(a3 + 8b3) = ab2(a + 2b)(a2 − 2ab + b2)= ab2(a + 2b)(a − b)2 ;

4) a6b3 − a3b9 = a3b3(a3 − b6) = a3b3(a − b2)(a2 + ab2 + b4) ;

5) 3a4b8 + 81ab2 = 3ab2(a3 + 27) = 3ab2(a + 3)(a2 − 3a + 9) ;

6) 64a8b2 − a2b2 = a2b2(64a6 − 1) = a2b2(4a2 − 1)(16a4 + 4a2 + 1)= a2b2(2a − 1)(2a + 1)(16a4 + 4a2 + 1) .

Zadatak 20. 1) a2 + 4ab + 4b2 − 4a2b2 ;

2) x2+y2−2xy−1 ; 3) 2xy−x2−y2+1 ;4) (a−b)3−a+b ; 5) (b−a)3+a−b ;

6) (a − b)4 − a4 + 2a2b2 − b4 ; 7) 3(a2 − 4b2) − (a − 2b)2 ;

8) 2(a2 − 4b2) − (a + 2b)2 ; 9) (3a − 1)2 − 3(9a2 − 1) ;

10) (a2 − b2)2 − (a − b)4 .

Rjesenje. 1) a2 + 4ab+ 4b2− 4a2b2 = (a+ b)2 − 4a2b2 = (a+ b− 2ab)(a+ b+ 2ab) ;

2) x2 + y2 − 2xy − 1 = (x − y)2 − 1 = (x − y − 1)(x − y + 1) ;

3) 2xy − x2 − y2 + 1 = 1 − (x − y)2 = (1 − x + y)(1 + x − y) ;

4) (a − b)3 − a + b = (a − b)3 − (a − b) = (a − b)[(a − b)2 − 1]= (a − b)(a − b − 1)(a − b + 1) ;

73

2 RJESENJA ZADATAKA

5) (b − a)3 + a − b = (b − a)3 − (b − a) = (b − a)[(b − a)2 − 1]= (b − a)(b − a − 1)(b − a + 1) ;

6) (a−b)4−a4+2a2b2−b4 = (a−b)4−(a2−b2)2 = (a−b)4−(a−b)2(a+b)2

= (a− b)2[(a− b)2 − (a + b)2] = (a− b)2[(a− b− a− b)(a− b + a + b)]= (a − b)2(−2b)(2a) = −4ab(a− b)2 ;

7) 3(a2 − 4b2) − (a − 2b)2 = 3(a − 2b)(a + 2b) − (a − 2b)2

= (a − 2b)(3(a + 2b)− (a − 2b)) = (a − 2b)(3a + 6b − a + 2b)= (a − 2b)(2a + 8b) = 2(a − 2b)(a + 4b) ;

8) 2(a2 − 4b2) − (a + 2b)2 = 2(a − 2b)(a + 2b) − (a + 2b)2

= (a + 2b)(2a − 4b − a − 2b) = (a + 2b)(a − 6b) = −4b(a + 2b) ;

9) (3a − 1)2 − 3(9a2 − 1) = (3a − 1)2 − 3(3a − 1)(3a + 1)= (3a − 1)(3a − 1 − 3(3a + 1)) = (3a − 1)(3a − 1 − 9a − 3)= (3a − 1)(−6a − 4) = −2(3a − 1)(3a + 1) ;

10) (a2 − b2)2 − (a − b)4 = (a − b)2(a + b)2 − (a − b)4

= (a−b)2(a2 +2ab+b2−a2 +2ab−b2) = (a−b)2(4ab) = 4ab(a−b)2 .

Zadatak 21. 1) x3 − 1 ; 2) x3 + 1 ; 3) x6 − 1 ; 4) x6 + 1 ;

5) x9 − 1 ; 6) x9 + 1 ; 7) x12 − 1 ; 8) x12 + 1 .

Rjesenje. 1) x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) ;

2) x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) ;

3) x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1) ;

4) x6 + 1 = (x2)3 + 1 = (x2 + 1)(x4 − x2 + 1) ;

5) x9−1 = (x3)3−1 = (x3−1)(x6+x3+1) = (x−1)(x2 +x+1)(x6+x3+1) ;

6) x9 + 1 = (x3 + 1)(x6 − x3 + 1) = (x + 1)(x2 − x + 1)(x6 − x3 + 1) ;

7) x12 − 1 = (x6 − 1)(x6 + 1) = (x3 + 1)(x3 − 1)(x2 + 1)(x4 − x2 + 1)= (x + 1)(x2 − x + 1)(x − 1)(x2 + x + 1)(x2 + 1)(x4 − x2 + 1)= (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)(x4 − x2 + 1) ;

8) x12 + 1 = (x4)3 + 1 = (x4 + 1)(x8 − x4 + 1) .


Zadatak 1. 1)a2 − 42a − 4

; 2)a2 − 4a2 − 2a

; 3)a2 − 4

2a2 − 4a;

4)4a2 − 94a2 + 6a

; 5)4a2 − 6a4a2 − 9

; 6)4a2 − 96a − 4a2

.

Rjesenje. 1)a2 − 42a − 4

=(a − 2)(a + 2)

2(a − 2)=

a + 22

;

2)a2 − 4a2 − 2a

=(a − 2)(a + 2)

a(a − 2)=

a + 2a

;

3)a2 − 4

2a2 − 4a=

(a − 2)(a + 2)2a(a − 2)

=a + 22a

;

4)4a2 − 94a2 + 6a

=(2a − 3)(2a + 3)

2a(2a + 3)=

2a − 32a

;

74

2

5)4a2 − 6a4a2 − 9

=2a(2a − 3)

(2a − 3)(2a + 3)=

2a2a + 3

;

6)4a2 − 96a − 4a2

=(2a − 3)(2a + 3)

2a(3 − 2a)= −2a + 3

2a.

Zadatak 2. 1)a2 + abab + b2

; 2)a2b + ab2

a2 − b2;

3)a3b − ab3

ab2 − a2b; 4)

a3b − ab3

a4b2 − a2b4.

Rjesenje. 1)a2 + abab + b2

=a(a + b)b(a + b)

=ab

;

2)a2b + ab2

a2 − b2=

ab(a + b)(a − b)(a + b)

=ab

a − b;

3)a3b − ab3

ab2 − a2b=

ab(a − b)(a + b)ab(b − a)

= −a − b ;

4)a3b − ab3

a4b2 − a2b4=

ab(a2 − b2)a2b2(a2 − b2)

=1ab

.

Zadatak 3. 1)a2 − b2

(a + b)2; 2)

(a − b)2

a2 − b2; 3)

a3 + b3

a2 − b2;

4)a2−b2

a3−b3; 5)

(a2−b2)2

(a+b)2; 6)

a4−b4

a2−b2.

Rjesenje. 1)a2 − b2

(a + b)2=

(a − b)(a + b)(a + b)(a + b)

=a − ba + b

;

2)(a − b)2

a2 − b2=

(a − b)(a − b)(a − b)(a + b)

=a − ba + b

;

3)a3 + b3

a2 − b2=

(a + b)(a2 − ab + b2)(a − b)(a + b)

=a2 − ab + b2

a − b;

4)a2 − b2

a3 − b3=

(a − b)(a + b)(a − b)(a2 + ab + b2)

=a + b

a2 + ab + b2;

5)(a2 − b2)2

(a + b)2=

(a − b)2(a + b)2

(a + b)2= (a − b)2 ;

6)a4 − b4

a2 − b2=

(a2 − b2)(a2 + b2)a2 − b2

= a2 + b2 .

Zadatak 4. 1)x2 − 2x + 12x2 − 2x

; 2)a2 + 4a + 4

a2 − 4;

3)4a2 − 4a + 1

4a2 − 1; 4)

4a2 − 94a2 − 12a + 9

;

5)16a2 − 24a + 9

9 − 16a2; 6)

25a2 − 925a2 + 30a + 9

.

75

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1)x2 − 2x + 12x2 − 2x

=(x − 1)2

2x(x − 1)=

x − 12x

;

2)a2 + 4a + 4

a2 − 4=

(a + 2)2

(a − 2)(a + 2)=

a + 2a − 2

;

3)4a2 − 4a + 1

4a2 − 1=

(2a − 1)2

(2a − 1)(2a + 1)=

2a − 12a + 1

;

4)4a2 − 9

4a2 − 12a + 9=

(2a − 3)(2a + 3)(2a − 3)2

=2a + 32a − 3

;

5)16a2 − 24a + 9

9 − 16a2=

(4a − 3)2

(3 − 4a)(3 + 4a)=

3 − 4a3 + 4a

;

6)25a2 − 9

25a2 + 30a + 9=

(5a − 3)(5a + 3)(5a + 3)2

=5a − 35a + 3

.

Zadatak 5. Koliko je:

1)a2 − 2ab + b2

ab − b2, za a = −0.5 , b = −3

2?

2)a2 + b2 − c2 + 2ab

a + b + c, za a =

14

, b =23

,

c = −0.25 ?

3)a3b − ab3

a3b − 2a2b2 + ab3, za a =

38

, b = −0.4 ?

Rjesenje. 1)(a − b)2

b(a − b)=

a − bb

=ab− 1 = −1 ;

2)a2 + b2 − c2 + 2ab

a + b + c=

(a + b)2 − c2

a + b + c=

(a + b − c)(a + b + c)a + b + c

= a + b − c =14

+23

+14

=12

+23

=76

;

3)a3b − ab3

a3b − 2a2b2 + ab3=

ab(a2 − b2)ab(a2 − 2ab + b2)

=ab(a − b)(a + b)

ab(a − b)2=

a + ba − b

=

38− 2

538

+25

=

15 − 1640

15 + 1640

= − 131

.

Zadatak 6. Ako jex − 2y2x + y

= 3 , koliko jex + 3y3x − y

?

Rjesenje. Izx − 2y2x + y

= 3 slijedi y = −x te jex + 3y3x − y

= −12

.

Zadatak 7. Ako jeba

=23,cb

=34

, koliko jea + b + ca − b − c

?

Rjesenje. Iz a : b : c = 6 : 4 : 3 slijedi a = 6k , b = 4k , c = 3k , pa je vrijednostrazlomka jednaka −13 .

76

2

Zadatak 8. Ako jexy

+ x =yx

+ y , x �= y , koliko je1x

+1y

?

Rjesenje. Zadanu jednakost zapisimo u oblikuxy− y

x= y−x , odnosno

x2 − y2

xy= y−x .

Slijedix + yxy

= −1 , odnosno1x

+1y

= −1 .

Zadatak 9. 1)1x

+2x

+3x

+4x

+5x

; 2)2x

x + 1+

2x + 1

;

3)a

a − b− b

a − b; 4)

1a − b

+1

b − a;

5)a2

a − b− b2

a − b; 6)

a2

a + b+

2aba + b

+b2

a + b.

Rjesenje. 1)1x

+2x

+3x

+4x

+5x

=1 + 2 + 3 + 4 + 5

x=

15x

;

2)2x

x + 1+

2x + 1

=2x + 2x + 1

=2(x + 1)x + 1

= 2 ;

3)a

a − b− b

a − b=

a − ba − b

= 1 ;

4)1

a − b+

1b − a

=1 − 1a − b

= 0 ;

5)a2

a − b− b2

a − b=

(a − b)(a + b)a − b

= a + b ;

6)a2

a + b+

2aba + b

+b2

a + b=

(a + b)2

a + b= a + b .

Zadatak 10. 1)1x− 1

xy+

1y

; 2)1

x2y− 1

xy2;

3)xy2

− 1x2y2

− yx2

; 4)2x− 1 − x

2x− 4

3x;

Rjesenje. 1)1x− 1

xy+

1y

=y − 1 + x

xy=

x + y − 1xy

;

2)1

x2y− 1

xy2=

y − xx2y2

;

3)xy2

− 1x2y2

− yx2

=x3 − y3 − 1

x2y2;

4)2x− 1 − x

2x− 4

3x=

12 − 3 + 3x − 86x

=3x + 1

6x.

Zadatak 11. 1)1

a2−b2+

1b2−c2

; 2)x−yx

−x−yy

;

3)x − yx2y

− x + yxy2

; 4)3a − 1

a2b− 3b − 1

ab2;

5)2x

2x − 2− 2x + 1

3x − 3; 6)

a2a − 4

− 2a2 − 2a

;

77

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1)1

a2 − b2+

1b2 − c2

=b2 − c2 + a2 − b2

(a2 − b2)(b2 − c2=

a2 − c2

(a2 − b2)(b2 − c2;

2)x − y

x− x − y

y= − (x − y)2

xy;

3)x − yx2y

− x + yxy2

= −x2 + y2

x2y2;

4)3a − 1

a2b− 3b − 1

ab2=

(3a − 1)b − (3b − 1)aa2b2

=3ab − b − 3ab + a

a2b2

=a − ba2b2

;

5)2x

2x − 2− 2x + 1

3x − 3=

6x − 4x − 26(x − 1)

=2(x − 1)6(x − 1)

=13

;

6)a

2a − 4− 2

a2 − 2a=

a2(a − 2)

− 2a(a − 2)

=a2 − 4

2a(a − 2)=

(a − 2)(a + 2)2a(a − 2)

=a + 22a

.

Zadatak 12. 1)y

x2−xy− x

xy−y2; 2)

a−42a−4

+2

a2−2a;

3)a2 − b2

a3 + b3− a − b

a2 − ab + b2; 4)

a2a−4

− 2a−13a−6

;

5)2

x − 3− x + 1

2x − 6.

Rjesenje. 1)y

x2 − xy− x

xy − y2=

yx(x − y)

− xy(x − y)

=y2 − x2

xy(x − y)=

−(x − y)(x + y)xy(x − y)

= −x + yxy

;

2)a − 42a − 4

+2

a2 − 2a=

a − 42(a − 2)

+2

a(a − 2)=

a2 − 4a + 42a(a − 2)

=(a − 2)2

2a(a − 2)

=a − 22a

;

3)a2 − b2

a3 + b3− a − b

a2 − ab + b2=

(a − b)(a + b)(a + b)(a2 − ab + b2)

− a − ba2 − ab + b2

= 0 ;

4)a

2a − 4− 2a − 1

3a − 6=

a

2(a − 2) − 2a − 13(a − 2)

=3a − 4a + 2

6(a − 2)= −1

6;

5)2

x − 3− x + 1

2x − 6=

2x − 3

− x + 12(x − 3)

=4 − x − 12(x − 3)

= −12

.

Zadatak 13. 1)2a−22a−6

− a+33a−9

; 2)3a2

6a+4− 2

9a+6;

3)b

2a2−ab− 4a

2ab−b2; 4)

4b3a2+2ab

− 9a3ab+2b2

;

5)a−255a−25

+3a+5a2−5a

; 6)1−6a

4a2−6a+

86a−9

.

78

2

Rjesenje. 1)2a − 22a − 6

− a + 33a − 9

=2(a − 1)2(a − 3)

− a + 33(a − 3)

=6a − 6 − 2a − 6

6(a − 3)=

4a − 126(a − 3)

=4(a − 3)6(a − 3)

=23

;

2)3a2

6a + 4− 2

9a + 6=

3a2

2(3a + 2)− 2

3(3a + 2)=

9a2 − 46(3a + 2)

=(3a − 2)(3a + 2)

6(3a + 2)

=3a − 2

6;

3)b

2a2 − ab− 4a

2ab − b2=

ba(2a − b)

− 4ab(2a − b)

=b2 − 4a2

ab(2a − b)

=(b − 2a)(b + 2a)

ab(2a − b)= −2a + b

ab;

4)4b

3a2 + 2ab− 9a

3ab + 2b2=

4ba(3a + 2b)

− 9ab(3a + 2b)

=4b2 − 9a2

ab(3a + 2b)

=(2b − 3a)(2b + 3a)

ab(3a + 2b)=

2b − 3aab

;

5)a − 255a − 25

+3a + 5a2 − 5a

=a − 25

5(a − 5)+

3a + 5a(a − 5)

=a2 − 25a + 15a + 25

5a(a − 5)

=a2 − 10a + 25

5a(a − 5)=

(a − 5)2

5a(a − 5)=

a − 55a

;

6)1 − 6a

4a2 − 6a+

86a − 9

=1 − 6a

2a(2a − 3)+

83(2a − 3)

=3 − 18a + 16a

6a(2a − 3)

=3 − 2a

6a(2a − 3)= − 1

6a.

Zadatak 14. 1)1

6a−4+

a−13a2−2a

; 2)2

3a−9− a+1

2a2−6a;

3)a−1

a2−2a− a

a2−4; 4)

4−a2a−4

− 2a2−2a

;

5)a − 1a2 − 4

− 2a − 32a2 − 4a

; 6)a + b

a2b − ab2− a − b

a2b + ab2.

Rjesenje. 1)1

6a − 4+

a − 13a2 − 2a

=1

2(3a − 2)+

a − 1a(3a − 2)

=a + 2a − 22a(3a − 2)

=3a − 2

2a(3a− 2)

=12a

;

2)2

3a − 9− a + 1

2a2 − 6a=

23(a − 3)

− a + 12a(a − 3)

=4a − 3a − 36a(a − 3)

=16a

;

3)a − 1

a2 − 2a− a

a2 − 4=

a − 1a(a − 2)

− a(a − 2)(a + 2)

=(a − 1)(a + 2) − a2

a(a − 2)(a + 2)

=a2 + a − 2 − a2

a(a − 2)(a + 2)=

1a(a + 2)

;

4)4 − a2a − 4

− 2a2 − 2a

=4 − a

2(a − 2)− 2

a(a − 2)=

4a − a2 − 42a(a − 2)

= − (a − 2)2

2a(a − 2)

= −a − 22a

;

79

2 RJESENJA ZADATAKA

5)a − 1a2 − 4

− 2a − 32a2 − 4a

=a − 1

(a − 2)(a + 2)− 2a − 3

2a(a − 2)=

2a(a − 1) − (2a − 3)(a + 2)2a(a − 2)(a + 2)

=2a2 − 2a − 2a2 − 4a + 3a + 6

2a(a − 2)(a + 2)=

−3a + 62a(a − 2)(a + 2)

= − 32a(a + 2)

;

6)a + b

a2b − ab2− a − b

a2b + ab2=

a + bab(a − b)

− a − bab(a + b)

=(a + b)2 − (a − b)2

ab(a − b)(a + b)

=4ab

ab(a − b)(a + b)=

4a2 − b2

.

Zadatak 15. 1)3

2x2 + 2x+

2x − 1x2 − 1

; 2)a − 12b

a2 − 16b2+

4ba2 − 4ab

;

3)3a − 3

2a2 − 3a− 4a − 3

6a − 9; 4)

12 − y6y − 36

− 6y2 − 6y

;

5)a − 64 − a2

+2

2a − a2.

Rjesenje. 1)3

2x2 + 2x+

2x − 1x2 − 1

=3

2x(x + 1)+

2x − 1(x − 1)(x + 1)

=3(x − 1) + 2x(2x − 1)

2x(x + 1)(x − 1)

=3x − 3 + 4x2 − 2x2x(x + 1)(x − 1)

=4x2 + x − 3

2x(x + 1)(x − 1)=

3x2 − 3 + x2 + x2x(x + 1)(x − 1)

=3(x2 − 1) + x(x + 1)

2x(x − 1)(x + 1)=

(x + 1)(3(x − 1) + x)2x(x − 1)(x + 1)

=3x − 3 + x2x(x − 1)

=4x − 3

2x(x − 1);

2)a − 12b

a2 − 16b2+

4ba2 − 4ab

=a − 12b

(a − 4b)(a + 4b)+

4a(a − 4b)

=a2 − 12ab + 4b(a + 4b)

a(a − 4b)(a + 4b)=

a2 − 8ab + 16b2

a(a − 4b)(a + 4b)=

(a − 4)2

a(a − 4b)(a + 4b)

=a − 4b

a(a + 4b);

3)3a − 3

2a2 − 3a− 4a − 3

6a − 9=

3(a − 1)a(2a − 3)

− 4a − 33(2a − 3)

=9a − 9 − 4a2 + 3a

3a(2a − 3)

=−(4a2 − 12a + 9)

3a(2a − 3)=

−(2a − 3)2

3a(2a − 3)= −2a − 3

3a;

4)12 − y6y− 36

− 6y2 − 6y

=12 − y

6(y − 6)− 6

y(y − 6)=

12y− y2 − 366y(y − 6)

=−(y2 − 12y + 36)

6y(y − 6)=

−(y − 6)2

6y(y − 6)= −y− 6

6y;

5)a − 64 − a2

+2

2a − a2=

a − 6(2 − a)(2 + a)

+2

a(2 − a)=

a2 − 6a + 4 + 2aa(2 − a)(2 + a)

=a2 − 4a + 4

a(2 − a)(2 + a)=

(a − 2)2

−a(a − 2)(2 + a)= − a − 2

a(a + 2)=

2 − aa(a + 2)

.

Zadatak 16. 1)x−2

x2+2x+

x+2x2−2x

− 4xx2−4

; 2)x+22x−4

+2−x3x+6

+5x3+824−6x2

;

80

2

3)2a+b

2a2−ab− 16a

4a2−b2+

2a−b2a2+ab

; 4)3

2x2 + 2x+

2x − 1x2 − 1

− 2x

;

5)x + 3

x+

x3 − x

+9

x2 − 3x; 6)

1x− x − 9

x2 − 9+

33x − x2

.

Rjesenje. 1)x − 2

x2 + 2x+

x + 2x2 − 2x

− 4xx2 − 4

=x − 2

x(x + 2)+

x + 2x(x − 2)

− 4x(x − 2)(x + 2)

=(x − 2)2 + (x + 2)2 − 4x2

x(x + 2)(x − 2)=

x2 − 4x + 4 + x2 + 4x + 4 − 4x2

x(x + 2)(x − 2)

=−2x2 + 8

x(x + 2)(x − 2)=

−2(x2 − 4)x(x + 2)(x − 2)

=−2(x − 2)(x + 2)x(x − 2)(x + 2)

= −2x

;

2)x + 22x − 4

+2 − x3x + 6

+5x3 + 824 − 6x2

=x + 2

2(x − 2)+

2 − x3(x + 2)

+5x3 + 8

6(4 − x2)

=x + 2

2(x − 2)+

2 − x3(x + 2)

+5x3 + 8

−6(x2 − 4)

=x + 2

2(x − 2)+

2 − x3(x + 2)

− 5x3 + 86(x − 2)(x + 2)

=3(x + 2)2 + 2(2 − x)(x − 2) − 5x3 − 8

6(x − 2)(x + 2)

=3x2 + 12x + 12 − 2(x − 2)2 − 5x3 − 8

6(x − 2)(x + 2)

=3x2 + 12x + 12 − 2x2 + 8x − 8 − 5x3 − 8

6(x − 2)(x + 2)

=x2 + 20x− 5x3 − 4

6(x − 2)(x + 2)=

x2(1 − 5x) − 4(1 − 5x)6(x − 2)(x + 2)

=(1 − 5x)(x2 − 4)6(x − 2)(x + 2)

=(1 − 5x)(x − 2)(x + 2)

6(x − 2)(x + 2)= −5x − 1

6;

3)2a + b

2a2 − ab− 16a

4a2 − b2+

2a − b2a2 + ab

=2a + b

a(2a−b)− 16a

(2a−b)(2a + b)+

2a−ba(2a + b)

=(2a + b)2−16a2 + (2a−b)2

a(2a + b)(2a−b)

=4a2 + 4ab + b2 − 16a2 + 4a2 − 4ab + b2

a(2a + b)(2a − b)=

−8a2 + 2b2

a(2a + b)(2a − b)

=−2(4a2 − b2)

a(2a + b)(2a − b)=

−2(2a − b)(2a + b)a(2a + b)(2a − b)

= −2a

;

4)3

2x2 + 2x+

2x − 1x2 − 1

− 2x

=3

2x(x + 1)+

2x − 1(x − 1)(x + 1)

− 2x

=3(x − 1) + 2x(2x − 1) − 4(x − 1)(x + 1)

2x(x − 1)(x + 1)

=3x − 3 + 4x2 − 2x − 4x2 + 4

2x(x − 1)(x + 1)=

x + 12x(x − 1)(x + 1)

=1

2x(x − 1);

5)x + 3

x+

x3 − x

+9

x2 − 3x=

x + 3x

− xx − 3

+9

x(x − 3)

=(x + 3)(x − 3) − x2 + 9

x(x − 3)=

x2 − 9 − x2 + 9x(x − 3)

=0

a(x − 3)= 0 ;

81

2 RJESENJA ZADATAKA

6)1x− x − 9

x2 − 9+

33x − x2

=1x− x − 9

(x − 3)(x + 3)− 3

x(x − 3)

=(x − 3)(x + 3) − x(x − 9) − 3(x + 3)

x(x − 3)(x + 3)=

x2 − 9 − x2 + 9x − 3x − 9x(x − 3)(x + 3)

=6x − 18

x(x − 3)(x + 3)=

6(x − 3)x(x − 3)(x + 3)

=6

x(x + 3).

Zadatak 17. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza(1a

+1b

): (a + b) , za a = −1

34

, b = 0.8 .

Rjesenje. a = −74

, b =810

=45

;

(1a

+1b

): (a + b) =

⎛⎜⎝ 1

−74

+145

⎞⎟⎠ :

(−7

4+

45

)=(−4

7+

54

):−35 + 16

20

=−16 + 35

28:−1920

=1928

· −2019

= −57.

Zadatak 18. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza(ab− b

a

)· aba − b

, za a = −1.2 , b = 125

.

Rjesenje. a = −65

, b =75

;

(ab− b

a

)· aba − b

=

⎛⎜⎝−6

575

−75

−65

⎞⎟⎠ ·

−65· 75

−65− 7

5

=(−6

7+

76

)·

4225135

=−36 + 49

42· 4213

=15.

Zadatak 19. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza(a − a−1

b+1

):

(b − b−1

a+1

), za a =

14

, b =23

.

Rjesenje. a =14

, b =23

;

(a − a − 1

b + 1

):

(b − b − 1

a + 1

)=

⎛⎜⎝1

4−

14− 1

23

+ 1

⎞⎟⎠ :

⎛⎜⎝2

3−

23− 1

14

+ 1

⎞⎟⎠

=

⎛⎜⎝1

4−

1 − 44

2 + 33

⎞⎟⎠ :

⎛⎜⎝2

3−

2 − 33

1 + 44

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝1

4−

−34

53

⎞⎟⎠ :

⎛⎜⎝2

3−

−13

54

⎞⎟⎠

82

2

=(

14− −9

20

):

(23− −4

15

)=(

14

+920

):

(23

+415

)

=5 + 920

:10 + 4

15=

1420

· 1514

=34.

Zadatak 20. Ako jeab

= 5 , koliko jea + b

b,

ba

,a − b

a,

a + ba − b

?

Rjesenje. Imamo redom:a + b

b=

ab

+ 1 = 6 ;ba

=15

;a − b

a= 1 − b

a=

45

;

a + ba − b

=

ab

+ 1

ab− 1

=64

=32

.

Zadatak 21. Ako jea + b

b= 3 , koliko je

ab

,b

a + b,

ba

,a − b

a?

Rjesenje. Iza + b

b= 3 slijedi a + b = 3b te je a = 2b . I sada imamo redom:

ab

=2bb

= 2 ;b

a + b=

b3b

=13

;ba

=b2b

=12

;a − b

a=

2b − b2b

=12

.

Zadatak 22. Ako jea

a − b=

23

, koliko jeab

?

Rjesenje. Iza − b

a= 1 − b

a=

32

, slijediba

= −12

, teab

= −2 .

Zadatak 23. Ako je1

a(b + 1)+

1b(a + 1)

=1

(a + 1)(b + 1), koliko je

1a

+1b

?

Rjesenje. Nakon mnozenja jednakosti sa (a + 1)(b + 1) dobijemoa + 1

a+

b + 1b

= 1 ,

a odatle slijedi 1 +1a

+ 1 +1b

= 1 , odnosno1a

+1b

= −1 .

Zadatak 24. Pomnozi razlomke:

1)2x

x + 2· x2 + 2x

x + 1; 2)

x − 1x + 1

· 2x + 2x2 − x

;

3)x

2x−1· 4x2−1

4x; 4)

x2 − 1x2

· x2x + 2

;

5)3x−13x+1

· 3x9x2−1

; 6)x2+4x+4

4x· x2

x2−4.

Rjesenje. 1)2x

x + 2· x2 + 2x

x + 1=

2xx + 2

· x(x + 2)x + 1

=2x2

x + 1;

83

2 RJESENJA ZADATAKA

2)x − 1x + 1

· 2x + 2x2 − x

=x − 1x + 1

· 2(x + 1)x(x − 1)

=2x

;

3)x

2x − 1· 4x2 − 1

4x=

x2x − 1

· (2x − 1)(2x + 1)4x

=2x + 1

4;

4)x2 − 1

x2· x2x + 2

=(x − 1)(x + 1)

x2· x2(x + 1)

=x − 12x

;

5)3x − 13x + 1

· 3x9x2 − 1

=3x − 13x + 1

· 3x(3x − 1)(3x + 1)

=3x

(3x + 1)2;

6)x2 + 4x + 4

4x· x2

x2 − 4=

(x + 2)2

4x· x2

(x − 2)(x + 2)=

x(x + 2)4(x − 2)

.

Zadatak 25. Podijeli razlomke:

1)a2−44a2

:a+22a−4

; 2)3a

9a2−1:

9a2

6a2−2a;

3)x2−1x2+1

:x2−xx2+x

; 4)a2−3a(a+3)2

:(a−3)2

a2+3a;

5)x2−x2x+2

:x2−1

(x+1)2; 6)

1x2−4x+4

:x2+4x+4(x2−4)2

.

Rjesenje. 1)a2 − 44a2

:a + 22a − 4

=(a − 2)(a + 2)

4a2· 2(a − 2)

a + 2=

(a − 2)2

2a2;

2)3a

9a2 − 1:

9a2

6a2 − 2a=

3a(3a − 1)(3a + 1)

· 2a(3a − 1)9a2

=2

3(3a + 1);

3)x2 − 1x2 + 1

:x2 − xx2 + x

=(x − 1)(x + 1)

x2 + 1· x(x + 1)x(x − 1)

=(x + 1)2

x2 + 1;

4)a2 − 3a(a + 3)2

:(a − 3)2

a2 + 3a=

a(a − 3)(a + 3)2

· a(a + 3)(a − 3)2

=a2

a2 − 9;

5)x2 − x2x + 2

:x2 − 1

(x + 1)2=

x(x − 1)2(x + 1)

· (x + 1)2

(x − 1)(x + 1)=

x2

;

6)1

x2 − 4x + 4:

x2 + 4x + 4(x2 − 4)2

=1

(x − 2)2· (x − 2)2(x + 2)2

(x + 2)2= 1 .

Zadatak 26. 1)(

a − a2 + 44

)· 84 − a2

; 2)(

1a− a + 2

2a + 1

)· a − 4a3

a2 − 1;

3)(

23a

− a2a2 − 2

)· 3a − 3a2

2a + 4; 4)

(2a− a + 4

a − 2

)· a2

a3 − 8;

5)(

2a − 10a − 92a − 1

)· 1 − 2a9 − 4a2

; 6)(

1 − a − 32a + 2

)· a + 1a2 + 5a

;

7)(

1 − 3xx + 1

)· x2 − 11 − 4x2

; 8)9

1 − 9x2·(

x − x − 14

);

9)1 − 4a2

6:

(a − a + 1

3

); 10)

(4 − 4 + a2

a

):

(12− 1

a

).

84

2

Rjesenje. 1)(a − a2 + 4

4

)· 84 − a2

=4a − a2 − 4

4· 8(2 − a)(2 + a)

=−(a − 2)2

4· 8(2 − a)(2 + a)

= −(a − 2)2 · 2−(a − 2)(2 + a)

=2(a − 2)a + 2

;

2)(1

a− a + 2

2a + 1

)· a − 4a3

a2 − 1=

2a + 1 − a2 − 2aa(2a + 1)

· a(1 − 4a2)(a − 1)(a + 1)

=1 − a2

a(2a + 1)· a(1 − 2a)(1 + 2a)

(a − 1)(a + 1)= 1 − a · (1 − 2a)

a − 1

= −(a − 1) · 1 − 2aa − 1

= 2a − 1 ;

3)( 2

3a− a

2a2 − 2

)· 3a − 3a2

2a + 4=( 2

3a− a

2(a2 − 1)

)· −3a(a − 1)

2(a + 2)

=4a2 − 4 − 3a2

6a(a − 1)(a + 1)· −3a(a − 1)

2(a + 2)=

a2 − 42(a + 1)

· −14(a + 2)

=(a − 2)(a + 2)

(a + 1)· −14(a + 2)

=2 − a

4(a + 1);

4)(2

a− a + 4

a − 2

)· a2

a3 − 8− a

(a − 2)2

=2a − 4 − a2 − 4a

a(a − 2)· a2

(a − 2)(a2 + 2a + 4)

=−a2 − 2a − 4

a − 2· a(a − 2)(a2 + 2a + 4)

=−(a2 + 2a + 4)

(a − 2)· a(a − 2)(a2 + 2a + 4)

= − a(a − 2)2

;

5)(2a − 10a − 9

2a − 1

)· 1 − 2a9 − 4a2

=4a2 − 2a − 10a + 9

2a − 1· 1 − 2a(3 − 2a)(3 + 2a)

=4a2 − 12a + 9

2a − 1· −(2a − 1)(3 − 2a)(3 + 2a)

=(2a − 3)2

(2a − 3)(3 + 2a)=

2a − 32a + 3

;

6)(1− a − 3

2a + 2

)· a + 1a2 + 5a

=2a + 2 − a + 3

2a + 2· a + 1a(a + 5)

=a + 52a + 2

· a + 1a(a + 5)

=a + 1

a(2a + 2)=

a + 12a(a + 1)

=12a

;

7)(1 − 3x

x + 1

)· x2 − 11 − 4x2

=x + 1 − 3x

x + 1· (x − 1)(x + 1)(1 − 2x)(1 + 2x)

= 1 − 2x · x − 1(1 − 2x)(1 + 2x)

=x − 12x + 1

;

8)9

1 − 9x2·(x − x − 1

4

)=

9(1 − 3x)(1 + 3x)

· 4x − x + 14

=9

(1 − 3x)(1 + 3x)· 1 + 3x

4=

94(1 − 3x)

;

85

2 RJESENJA ZADATAKA

9)1 − 4a2

6:(a − a + 1

3

)=

(1 − 2a)(1 + 2a)6

:(3a − a − 1

3

)=

(1 − 2a)(1 + 2a)6

· 32a − 1

=−(2a − 1)(1 + 2a)

2(2a − 1)= −2a + 1

2;

10)(4 − 4 + a2

a

):(1

2− 1

a

)=(4a − 4 − a2

a

):(a − 2

2a

)=

−(a2 − 4a + 4)a

· 2aa − 2

= −(a − 2)2 · 2a − 2

= −2(a − 2) .

Zadatak 27. 1)(

2a − 1a + 2

− 1

)· a2 + 2a

a2 − 9; 2)

(1 − a

2a − 1

)· 4a2 − 1a2 − 2a + 1

;

3)(

a − 12 − a

)· a2 − 4a + 4

a2 − 1; 4)

(1

a2 − 2a− 2

a2 − 4

):

1a2 + 4a + 4

;

5)(

1− 4ab(a+b)2

):

a2−b2

a2+2ab+b2; 6)

(1 +

(a − b)2

4ab

)· a3b − a2b2 + ab3

a3 + b3;

7)(

aba2 − b2

− b2a − 2b

):

2ba2 − b2

.

Rjesenje. 1)(2a − 1

a + 2− 1

)· a2 + 2a

a2 − 9=

2a − 1 − a − 2a + 2

· a(a + 2)(a − 3)(a + 3)

=a − 3a + 2

· a(a + 2)(a − 3)(a + 3)

=a

a + 3;

2)(1 − a

2a − 1

)· 4a2 − 1a2 − 2a + 1

=2a − 1 − a

2a − 1· (2a − 1)(2a + 1)

(a − 1)2

=a − 12a − 1

· (2a − 1)(2a + 1)(a − 1)2

=2a + 1a − 1

;

3)(a − 1

2 − a

)· a2 − 4a + 4

a2 − 1=

2a − a2 − 12 − a

· (a − 2)2

(a − 1)(a + 1)

=−(a2 − 2a + 1)

2 − a· (a − 2)2

(a − 1)(a + 1)=

(a − 1)2

a − 2· (a − 2)2

(a − 1)(a + 1)

=(a − 1)(a − 2)

a + 1;

4)( 1

a2 − 2a− 2

a2 − 4

):

1a2 + 4a + 4

=( 1

a(a − 2)− 2

(a − 2)(a + 2)

):

1(a + 2)2

=a + 2 − 2a

a(a − 2)(a + 2)· (a+2)2 =

2 − aa(a − 2)

· (a+2) = − a − 2a(a − 2)

· (a+2)

= −a + 2a

;

5)(1− 4ab

(a + b)2

):

a2 − b2

a2 + 2ab + b2=(a2 + 2ab + b2 − 4ab

(a + b)2

):(a − b)(a + b)

(a + b)2

=a2 − 2ab + b2

(a + b)2· (a + b)2

(a − b)(a + b)= (a−b)2 · 1

(a − b)(a + b)=

a − ba + b

;

86

2

6)(1 +

(a − b)2

4ab

)· a3b − a2b2 + ab3

a3 + b3

=4ab + a2 − 2ab + b2

4ab· ab(a2 − ab + b2)(a + b)(a2 − ab + b2)

=a2 + 2ab + b2

4ab· aba + b

=(a + b)2

4(a + b)=

a + b4

;

7)( ab

a2 − b2− b

2a − 2b

):

2ba2 − b2

=( ab

(a − b)(a + b)− b

2(a − b)

):

2b(a − b)(a + b)

=2ab − b(a + b)2(a − b)(a + b)

· (a − b)(a + b)2b

=2ab − ab − b2

4b=

ab − b2

4b

=b(a − b)

4b=

a − b4

.

Zadatak 28. 1)( 2

a2 − a− 2a

1 − a2

)· 2a2 + 2a

a3 − 1− 4

a − 1;

2)(a − a2 − b2

ab

)·(a +

a2 − b2

ab

)+(b

a− a

b

)2;

3)(1 − 3

x − 3

):( 12

x2 − 3x− x

(3 − x)2

);

4)( 2a

a2 − b2+

a − ba2 + 2ab + b2

)· (a + b)2

9a4 − b4;

5)( x − 3

x2 − 3x + 9− 6x − 18

x3 + 27

):

5x − 154x3 + 108

.

Rjesenje. 1)( 2

a2 − a− 2a

1 − a2

)· 2a2 + 2a

a3 − 1− 4

a − 1=( 2

a(a − 1)− 2a

(1 − a)(1 + a)

)·

2a(a + 1)(a − 1)(a2 + a + 1)

− 4a − 1

=2a + 2 + 2a2

a(a − 1)(a + 1)· 2a(a + 1)

(a − 1)(a2 + a + 1)−

4a − 1

=4

(a − 1)2− 4

a − 1=

4a − 8(a − 1)2

=4(a − 2)(a − 1)2

;

2)(a− a2 − b2

ab

)·(a+

a2 − b2

ab

)+(b

a− a

b

)2= a2− (a2 − b2)2

a2b2+

(b2 − a2)2

a2b2

= a2 ;

3)(1 − 3

x − 3

):( 12

x2 − 3x− x

(3 − x)2

)=

x − 3 − 3x − 3

:( 12

x(x − 3)−

x(−(x − 3))2

)=

x − 6x − 3

:(12(x − 3) − x2

x(x − 3)2

)=

x − 6x − 3

· x(x − 3)2

12x− 36 − x2=

x(x − 3)(x − 6)−(x2 − 12x + 36)

= −x(x − 3)x − 6

=x(x − 3)6 − x

;

4)( 2a

a2 − b2+

a − ba2 + 2ab + b2

)· (a + b)2

9a4 − b4=( 2a

(a − b)(a + b)+

a − b(a + b)2

)·

(a + b)2

(3a2 − b2)(3a2 + b2)=

2a(a + b) + (a − b)2

(a − b)(a + b)2 · (a + b)2

(3a2 − b2)(3a2 + b2)

87

2 RJESENJA ZADATAKA

=2a2 + 2ab + a2 − 2ab + b2

(a − b)(3a2 − b2)(3a2 + b2)=

3a2 + b2

(a − b)(3a2 − b2)(3a2 + b2)

=1

(a − b)(3a2 − b2);

5)( x − 3

x2 − 3x + 9−6x − 18

x3 + 27

):

5x − 154x3 + 108

=( x − 3

x2 − 3x + 9− 6(x − 3)

(x + 3)(x2 − 3x + 9)

)·

4(x3 + 27)5(x − 3)

=x2 − 9 − 6x + 18

(x + 3)(x2 − 3x + 9)·4(x3 + 27)

5(x − 3)=

4(x2 − 6x + 9)5(x − 3)

=4(x − 3)2

5(x − 3)

=4(x − 3)

5.

Zadatak 29. 1)a3 − 1

1 +1

a − aa + 1

; 2)2a

a +1

a +1 − a2

a

;

3)

⎛⎜⎜⎝1 − 1

1 − a2

a − 1

⎞⎟⎟⎠ · a3 + 1

a2; 4)

⎛⎜⎝1 − 1

a +a

a − 1

⎞⎟⎠ · 1

a3 + 1.

Rjesenje. 1)a3 − 1

1 +1

a − aa + 1

=a3 − 1

1 +1

a2 + a − aa + 1

=a3 − 1

1 +1

a2

a + 1

=a3 − 1

1 +a + 1a2

=a3 − 1

a2 + a + 1a2

=a2(a − 1)(a2 + a + 1)

a2 + a + 1= a2(a − 1) ;

2)2a

a +1

a +1 − a2

a

=2a

a +1

a2 + 1 − a2

a

=2a

a +11a

=2a

a + a=

2a2a

= 1 ;

3)

(1 − 1

1 − a2

a−1

)· a3 + 1

a2=

(1 − 1

a−1−a2

a−1

)· a3 + 1

a2

=(

1 − a − 1a − 1 − a2

)· a3 + 1

a2=

a − 1 − a2 − a + 1a − 1 − a2

· a3 + 1a2

=a2

a2 − a + 1· (a + 1)(a2 − a + 1)

a2= a + 1 ;

4)

(1 − 1

a + aa−1

)· 1a3 + 1

=

(1 − 1

a2−a+aa−1

)· 1a3 + 1

=(1 − a − 1

a2

)· 1a3 + 1

=a2 − a + 1

a2· 1(a + 1)(a2 − a + 1)

=1

a2(a + 1).

88

2

Zadatak 30. 1)

1a2

− 1a − 1

1a2

+1

a + 1

·1 − 1

a3

1 +1a3

; 2)

1a− 1

b + c1a

+1

b + c

·1 +

b2 + c2 − a2

2bcc + b − a

abc

;

3)

a + ba − b

− a − ba + b

1 − a2 + b2

a2 − b2

·b +

1a

a +1b

; 4)a3 + b3

a − b +ab

a − b

− a3 − b3

a + b − aba + b

.

Rjesenje. 1)

1a2

− 1a − 1

1a2

+1

a + 1

·1 − 1

a3

1 +1a3

=

a − 1 − a2

a2(a − 1)a + 1 + a2

a2(a + 1)

·a3 − 1

a3

a3 + 1a3

=−(a + 1)(a2 − a + 1)(a − 1)(a2 + a + 1)

· (a − 1)(a2 + a + 1)(a + 1)(a2 − a + 1)

= −1 ;

2)

1a− 1

b + c1a

+1

b + c

·1 +

b2 + c2 − a2

2bcc + b − a

abc

=

b + c − aa(b + c)b + c + aa(b + c)

·2bc + b2 + c2 − a2

2bcc + b − a

abc

=b + c−ab + c + a

· a[(b + c)2−a2]2(b + c−a)

=a(b + c−a)(b + c + a)

2(b + c + a)=

a(b + c−a)2

;

3)

a + ba − b

− a − ba + b

1 − a2 + b2

a2 − b2

·b +

1a

a +1b

=

a2 + b2 + 2ab − a2 + 2ab − b2

(a − b)(a + b)a2 − b2 − a2 − b2

(a − b)(a + b)

·ab + 1

aab + 1

b

=4ab−2b2

· ba

= −2 ;

4)a3 + b3

a−b +ab

a−b

− a3−b3

a + b− aba + b

=a3 + b3

a2−2ab + b2 + aba−b

− a3−b3

a2 + 2ab + b2−aba + b

=(a − b)(a + b)(a2 − ab + b2)

a2 − ab + b2− (a + b)(a − b)(a2 + ab + b2)

a2 + ab + b2

= a2 − b2 − a2 + b2 = 0 .


Zadatak 1. Rijesi jednadzbe:

1) 1 +x2

=x − 1

3; 2)

x2

+x3

= 1 − x − 26

;

3)x + 1

2+

x − 13

= 1 ; 4) 1 − 2x − 33

=x2− x

6;

5)x − 1

2− x − 1

3=

x + 14

; 6)2x − 3

3− x − 1

2= 1 − x

6;

89

2 RJESENJA ZADATAKA

7) 2

(1 − x − 1

3

)=

12

(x − x + 2

3

).

Rjesenje. 1) 2)

1 +x2

=x − 1

3/ · 6

6 + 3x = 2x − 2

x = −8

;

x2

+x3

= 1 − x − 26

/ · 63x + 2x = 6 − x + 2

6x = 8

x =43

;

3) 4)x + 1

2+

x − 13

= 1 / · 63x + 3 + 2x − 2 = 6

5x = 5

x = 1

;

1 − 2x − 33

=x2− x

6/ · 6

6 − 4x + 6 = 2x

x = 2

;

5) 6)x − 1

2− x − 1

3=

x + 14

/ · 12

6x − 6 − 4x + 4 = 3x + 3

x = −5

;

2x − 33

− x − 12

= 1 − x6

/ · 64x − 6 − 3x + 3 = 6 − x

x = 4.5

;

7)

2

(1 − x − 1

3

)=

12

(x − x + 2

3

)2(3 − x + 1

3

)=

12

(3x − x − 23

)2(4 − x)

3=

2(x − 1)6

/ · 38 − 2x = x − 1

x = 3

.

Zadatak 2. Provjeri je li dani broj x0 rjesenje dane jednadzbe:

1) 2x − x − 0.23

= 0.1 , x0 =150

;

2)(x−1)(x+1)

3− (2x+1)2

12= 1

14− x , x0=2 ;

3)x2+

x3−1

5

[ x4−1

7

( x6−3

)]=

5984

, x0= − 1 ;

4)0.01 − x

0.02− 2

12

=2 − 3x0.01

; x0 = 0.808 ;

5)0.3x−10.05

−1.5x−10.5

=3−0.2x−0.020.01

, x0=1 .

90

2

Rjesenje. 1)x0 =

150

2x − x − 0.23

= 0.1/ · 3

6x − x + 0.2 = 0.3

5x = 0.1 =110

=⇒ x =150

2) x0 = 2

(x − 1)(x + 1)3

− (2x + 1)2

12=

54− x

/ · 12

4(x2 − 1) − (2x + 1)2 = 15 − 12x

4x2 − 4 − 4x2 − 4x − 1 = 15 − 12x

8x = 20 =⇒ x =52

3) x0 = −1x2

+x3− 1

5

[ x4− 1

756x − 1

5

( x4− x

24+

37

)=

5984

56x − 1

5

(19x84

+37

)=

5984

56x − 19x

420− 3

35=

5984

/ · 420

350x − 19x− 36 = 295

331x = 331 =⇒ x = 1

4)0.01 − x

0.02− 2

12

=2 − 3x0.01

; x0 = 0.808 ;

5)0.3x − 1

0.05− 1.5x− 1

0.5= 3 − 0.2x− 0.02

0.01, x0 = 1 .

Zadatak 3. Za koju je vrijednost realnog broja k rjesenje jednadzbe0.1x − 1

3−0.2x− k

2=

0.6 broj 1?

Rjesenje.

0.1x− 13

− 0.2x − k2

= 0.6

0.1 − 13

− 0.2 − k2

= 0.6 / · 6− 1.8 − 0.6 + 3k = 3.6

3k = 6

k = 2.

91

2 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 4. Za koju vrijednost broja m je broj −12

rjesenje jednadzbemx − 1

3+

34

=

1 − 1x

?

Rjesenje.

m ·(−1

2

)− 1

3+

34

= 1 − 1

−12

,

m2− 1

3= 1 − 3

4+ 2

−m − 26

=94, −2m− 4 = 27, m = −31

2.

Zadatak 5. Rijesi sljedece jednadzbe:

1) (x + 3)(3x − 1) − (x + 2)(2x − 1) = (x + 2)2 ;

2) 3(x − 1)(x − 2) − 2(x − 2)(x − 3) − (x − 3)(x − 4) = 0 ;

3) (5x − 1)2 − (3x − 1)2 = (4x − 3)(4x + 3) ;

4) 4(x − 1)(x − 3) − 3(x + 1) = (2x − 3)2 ;

5) (4x − 1)(x + 3) − 3(x − 2) = (2x − 3)2 ;

6) (x + 5)(x + 2) − 3(4x − 3) = (x − 5)2 ;

7) (x − 3)(x + 4) − 2(3x − 2) = (x − 4)2 ;

8) (3x − 1)2 − 5(2x + 1)2 = (x − 1)2 − (6x − 3)(2x + 1) ;

9) (x − 2)3 − (x + 2)3 = (1 − 3x)(1 + 4x) ;

10) (x − 2)3(x + 5) − 8 = (x + 2)2(x2 − 5x − 2) .

Rjesenje. 1)

(x + 3)(3x − 1) − (x + 2)(2x − 1) = (x + 2)2

3x2 − x + 9x − 3 − 2x2 + x − 4x + 2 = x2 + 4x + 4

x2 + 5x − x2 − 4x = 4 + 1

x = 5;

2)

3(x − 1)(x − 2) − 2(x − 2)(x − 3) − (x − 3)(x − 4) = 0

3x2 − 6x − 3x + 6 − 2x2 + 6x + 4x − 12 − x2 + 4x + 3x − 12 = 0

8x = 18

x =94;

92

2

3)

(5x − 1)2 − (3x − 1)2 = (4x − 3)(4x + 3)

25x2 − 10x + 1 − 9x2 + 6x − 1 = 16x2 + 12x − 12x− 9

−4x = −9

x =94;

4)

4(x − 1)(x − 3) − 3(x + 1) = (2x − 3)2

4x2 − 12x− 4x + 12 − 3x − 3 = 4x2 − 12x + 9

−7x = 0

x = 0;

5)

(4x − 1)(x + 3) − 3(x − 2) = (2x − 3)2

4x2 + 12x − x − 3 − 3x + 6 = 4x2 − 12x + 9

20x = 6

x =310

;

6)

(x + 5)(x + 2) − 3(4x − 3) = (x − 5)2

x2 + 2x + 5x + 10 − 12x + 9 = x2 − 10x + 25

5x = 6

x =65;

7)

(x − 3)(x + 4) − 2(3x − 2) = (x − 4)2

x2 + 4x − 3x − 12 − 6x + 4 = x2 − 8x + 16

3x = 24

x = 8;

8)

(3x − 1)2 − 5(2x + 1)2 = (x − 1)2 − (6x − 3)(2x + 1)

9x2 − 6x + 1 − 20x2 − 20x− 5 = x2 − 2x + 1 − 12x2 − 6x + 6x + 3

−24x = 8

x = −13;

9)

(x − 2)3 − (x + 2)3 = (1 − 3x)(1 + 4x)

x3 − 6x2 + 12x − 8 − x3 − 6x2 − 12x− 8 = 1 + 4x − 3x − 12x2

−x = 17

x = −17;

93

2 RJESENJA ZADATAKA

10)

(x − 2)3(x + 5) − 8 = (x + 2)2(x2 − 5x − 2)

(x3 − 6x2 + 12x − 8)(x + 5) − 8 = (x2 + 4x + 4)(x2 − 5x − 2)

x4 + 5x3 − 6x3 − 30x2 + 12x2 + 60x− 8x − 40 − 8

= x4−5x3−2x2+4x3−20x2−8x+4x2−20x−8

80x = 40

x =12.

Zadatak 6. 1) Ako je y =1 − 3x1 + 3x

, koliko je x ?

2) Ako je y =p + x1 + px

, koliko je x ?

3) Ako je c =a − b1 − ab

, koliko je a ?

4) Ako je1x

=1y

+1z

, koliko je z ?

5) Ako je c =mx1 + nx2

m + n, izracunaj n .

Rjesenje. 1) 2)

y =1 − 3x1 + 3x

y + 3xy = 1 − 3x

3x(y + 1) = 1 − y

x =1 − y

3(y + 1);

y =p + x1 + px

y + ypx = p + x

x(yp − 1) = p − y

x =p − ypy− 1

x =y − p1 − py

;

3) 4)

c =a − b1 − ab

c − abc = a − b

−a(bc + 1) = −b − c

a =b + cbc + 1

;

1x

=1y

+1z

zy = xz + xy

z(y − x) = xy

z =xy

y − x;

5)

c = drmx1 + nx2m + n

mc + nc = mx1 + nx2

n(c − x2) = mx1 − mc

n =mx1 − cm

c − x2.

94

2

Zadatak 7. Temperaturne skale po Celsiusu (C ◦ ) i Fahrenheitu (F ◦ ) vezane su relacijom

C ◦=59(F◦−32) . Izrazi iz te jednakosti F.

Rjesenje. F◦ =15(9C◦ + 160) .

Zadatak 8. Povrsinu trapeza racunamo po formuli P =a + c

2· v . Izrazi iz te formule

duljinu visine v .

Rjesenje. v =2P

a + c.

Zadatak 9. Oplosje kvadra s bridovima duljina a , b i c racuna se po formuli O =2(ab + bc + ca) . Izrazi iz te formule duljinu brida c . Kolika je duljina bridab ? Moramo li ponovno racunati? Zasto?

Rjesenje.O = 2(ab + bc + ca),

O2

= ab + bc + ca

bc + ca =O2− ab, c(a + b) =

O − 2ab2

, c =O − 2ab2(a + b)

Zadatak 10. Broj h =2

1x + 1

y

je harmonijska sredina brojeva x i y . Ako su zadani

brojevi h i x , koliki je y ?

Rjesenje.

h =2

1x

+1y

,hx

+hy

= 2 / · xy

hy + hx = 2xy, y(h − 2x) = −hx, y = − hxh − 2x

=hx

2x − h

Zadatak 11. 1)4 + x

8= 2 − 3 − 4x

5; 2) x − 2 − x

3= 1 +

x2

;

3) 2 − 3x +1 − 2x

5= 1 − 7x − 5

2; 4) 2x − 6 − 16 − x

3=

x + 32

;

5)3 − 2x

3− x + 1

2= 1 − 5x − 1

6; 6) x − 2x + 3

5− 1

2= 1 +

x − 110

;

7)13

(x2−1

4

)−1

6=

19

(x8+

12

); 8) 1 − 1

4

(x2− 1

6

)=

18

(2 +

23x

);

9)13

(x2− 2

3

)− 1

2

(1 − x + 6

6

)=

136

.

95

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1)

4 + x8

= 2 − 3 − 4x5

20 + 5x = 80 − 24 + 32x

−27x = 36

x = −43;

2)

x − 2 − x3

= 1 +x2

6x − 4 + 2x = 6 + 3x

5x = 10

x = 2;

3)

2 − 3x +1 − 2x

5= 1 − 7x − 5

220 − 30x + 2 − 4x = 10 − 35x + 25

x = 13;

4)

2x − 6 − 16 − x3

=x + 3

212x− 36 − 32 + 2x = 3x + 9

11x = 77

x = 7;

5)

3 − 2x3

− x + 12

= 1 − 5x − 16

6 − 4x − 3x − 3 = 6 − 5x + 1

−2x = 4

x = −2;

6)

x − 2x + 35

− 12

= 1 +x − 110

10x− 4x − 6 − 5 = 10 + x − 1

5x = 20

x = 4;

96

2

7)

13

( x2− 1

4

)− 1

6=

19

( x8

+12

)1 +

x6− 1

12=

x72

+118

72 + 12x− 6 = x + 4

11x = −62

x = −6211

;

8)

1 − 14

( x2− 1

6

)=

18

(2 +

23x)

1 − x8

+124

=14

+x12

24 − 3x + 1 = 6 + 2x

−5x = −19

x =195

;

9)

13

( x2− 2

3

)− 1

2

(1 − x + 6

6

)=

136

x6− 2

9− 1

2+

x + 612

=136

6x − 8 − 18 + 3x + 18 = 1

9x = 9

x = 1.

Zadatak 12. 1)0.12 − x

0.03+

0.01 + 3x0.02

= 412

;

2)x − 0.5

2+

x − 0.254

+x − 0.125

8= 0 ;

3)1 − 1 − x

34

−2 − 2 − x

53

= 1115

;

4)3x − 12 − x

159

−9x − 3

5+ 1

6=

1990

;

5)3x +

5x − 18

3−

x − 2x − 13

2= 5 ;

6)0.4x − x − 0.8

45

−0.3x − x + 1.2

54

= 0.45 .

97

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1)

0.12 − x0.03

+0.01 + 3x

0.02= 4

12

12 − 100x3

+1 + 300x

2=

92

24 − 200x + 3 + 900x = 27

−1100x = 0

x = 0;

2)

x − 0.52

+x − 0.25

4+

x − 0.1258

= 0

4x − 2 + 2x − 0.5 + x − 0.125 = 0

7x = 2.625

7x =218

x =38;

3)

1 − 1 − x3

4−

2 − 2 − x5

3= 1

115

3 − 1 + x12

− 10 − 2 + x15

=1615

2 + x12

− 8 + x15

=1615

10 + 5x − 32 − 4x = 64

x = 86;

4)

3x − 12 − x15

9−

9x − 35

+ 1

6=

1990

45x − 12 + x15 · 9 − 9x − 3 + 5

30=

1990

46x− 129

− 9x + 22

=196

92x− 24 − 81x− 18 = 57

11x = 99

x = 9;

98

2

5)

3x +5x − 1

83

−x − 2x − 1

32

= 5

24x + 5x − 183

−3x − 2x + 1

32

= 5

29x − 124

− x + 16

= 5

29x− 1 − 4x − 4 = 120

25x = 125

x = 5;

6)

0.4x − x − 0.84

5−

0.3x − x + 1.25

4= 0.45

1.6x − x + 0.845

−1.5x − x − 1.2

54

= 0.45

1.5x + 0.820

− 1.4x− 1.220

= 0.45

1.5x + 0.8 − 1.4x + 1.2 = 9

0.1x = 7

x = 70.

Zadatak 13. 1)(x − 2)2

2− (x − 3)(2x − 5)

4= 3 − (x − 4) ;

2)(x + 1)(x − 2)

2− (2x − 3)2

8= 1 +

x2

;

3) 1 − (3x − 2)(2x + 3)3

=5x6

− (2x − 3)2

2;

4) 2x(3x − 2) − 3

[1 − (2 − x)(2x + 3) − x − 3

2

]= 13 ;

5) 3

{x − 3x − 1

4−[1 − 2

(x − x + 3

5

)]}= 5x − 2 ;

6)x2−{

x4− 1

3

[x3− 1

4

( x2− 2

)]}=

x3

.

99

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1)

(x − 2)2

2− (x − 3)(2x − 5)

4= 3 − (x − 4)

2x2 − 8x + 8 − 2x2 + 5x + 6x − 15 = 12 − 4x + 16

7x = 35

x = 5;

2)

(x + 1)(x − 2)2

− (2x − 3)2

8= 1 +

x2

4x2 − 8x + 4x − 8 − 4x2 + 12x− 9 = 8 + 4x

4x = 25

x =254

;

3)

1 − (3x − 2)(2x + 3)3

=5x6

− (2x − 3)2

26 − 12x2 − 18x + 8x + 12 = 5x − 12x2 + 36x − 27

−51x = −45

x =1517

;

4)

2x(3x − 2) − 3[1 − (2 − x)(2x + 3) − x − 3

2

]= 13

6x2 − 4x − 3 + 3(4x + 6 − 2x2 − 3x) +3x − 9

2= 13

6x2 − 4x − 3 + 3x + 18 − 6x2 +3x − 9

2= 13

−x + 15 +3x − 9

2= 13

−2x + 30 + 3x − 9 = 26

x = 5;

100

2

5)

3{

x − 3x − 14

−[1 − 2

(x − x + 3

5

)]}= 5x − 2

3{4x − 3x + 1

4−[1 − 2 · 5x − x − 3

5

]}= 5x − 2

3{x + 1

4−[1 − 8x − 6

5

]}= 5x − 2

3{x + 1

4− 5 − 8x + 6

5

}= 5x − 2

3{x + 1

4− 11 − 8x

5

}= 5x − 2

3x + 34

− 33 − 24x5

= 5x − 2

15x + 15 − 132 + 96x = 100x− 40

11x = 77

x = 7;

6)x2−{ x

4− 1

3

[ x3− 1

4

( x2− 2

)]}=

x3

x2− x

4+

13

[ x3− x

8+

12

]=

x3

2x − x4

+13· 8x − 3x + 12

24=

x3

x4

+13· 5x + 12

24=

x3

18x + 5x + 12 = 24x

−x = −12

x = 12.

Zadatak 14. 1)(

2x − 156

)2

−(

2x − 36

)2

= 4 ;

2)(

3x2

− 13

)2

−(

3x2

+12

)2

= 119

;

3)(

5x +12

)2

−(

4x +12

)2

= (3x − 1)2 ;

4)(

5x − 12

)2

−(

4x − 12

)2

=(

3x − 13

)2

;

5)(

x2− 3

4

)2

−(

x2

+14

)2

= 112

;

6)(

3x4

− 12

)2

−(

x4

+23

)2

=12

(x − 1

3

)2

;

7)(

x2

+34

)2

−(

x3− 1

4

)2

= 5(1 +

x6

)2.

101

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1)

(2x − 156

)2−(2x − 3

6

)2= 4;

S lijeve strane jednadzbe uocavamo razliku kvadrata. Tako mozemo zakljuciti:

(2x − 156

− 2x − 36

)(2x − 156

+2x − 3

6

)= 4;

Dalje redom slijedi:

2x − 15 − 2x + 36

· 2x − 15 + 2x − 36

= 4

−2 · 4x − 186

= 4

−8x + 36 = 24

−8x = −12

x =32;

2)

(3x2

− 13

)2−(3x

2+

12

)2= 1

19(3x

2− 1

3− 3x

2− 1

2

)(3x2

− 13

+3x2

+12

)=

109

−2 − 36

·(3x +

3 − 26

)=

109

−15x6

− 536

=109

−90x − 5 = 40

−90x = 45

x = −12;

3)

(5x +

12

)2−(4x +

12

)2= (3x − 1)2

(5x +

12− 4x − 1

2

)(5x +

12

+ 4x +12

)= (3x − 1)2

x(9x + 1) = (3x − 1)2

9x2 + x = 9x2 − 6x + 1

7x = 1

x =17;

102

2

4)

(5x − 1

2

)2−(4x − 1

2

)2=(3x − 1

3

)2

(5x − 1

2− 4x +

12

)(5x − 1

2+ 4x − 1

2

)=(3x − 1

3

)2

x(9x − 1) = 9x2 − 2x +19

9x2 − x = 9x2 − 2x +19

x =19;

5)

( x2− 3

4

)2−( x

2+

14

)2= 1

12( x

2− 3

4− x

2− 1

4

)( x2− 3

4+

x2

+13

)=

32

−1(x − 1

2

)=

32

−x +12

=32

−x = 1

x = −1;

6)

(3x4

− 12

)2−( x

4+

23

)2=

12

(x − 1

3

)2

(3x4

− 12− x

4− 2

3

)(3x4

− 12

+x4

+23

)=

12

(x2 − 2

3x +

19

)( x

2− 7

6

)(x +

16

)=

x2

2− 1

3x +

118

x2

2+

x12

− 7x6

− 736

=x2

2− 1

3x +

118

3x − 42x− 7 = −12x + 2

−27x = 9

x = −13;

103

2 RJESENJA ZADATAKA

7)

( x2

+34

)2−( x

3− 1

4

)2= 5

(1 +

x6

)2

( x2

+34− x

3+

14

)( x2

+34

+x3− 1

4

)= 5

(1 +

x3

+x2

36

)(3x − 2x

6+ 1

)(3x + 2x6

+12

)= 5 +

5x3

+5x2

36( x6

+ 1)(5x

6+

12

)= 5 +

5x3

+5x2

365x2

36+

x12

+5x6

+12

= 5 +5x3

+5x2

36x + 10x + 6 = 60 + 20x

−9x = 54

x = −6.

Zadatak 15. 1)3x− 1

6 − 2x=

23x − x2

; 2)3

x − 1=

2 − xx − x2

− 12x

;

3)4x− 5

x − x2=

92x − 2

; 4)12x

− 11 − 2x

=4x

4x2 − 1;

5)2x

+2

x2 − x=

53x − 3

; 6)5x−42x−1

−4x−16x−3

=1− 2x+310x−5

;

7)x+3

2x2−6x− x+3

3x2−9x=

16x

; 8)x+3

8x2−2x− 3x+5

12x2+3x=

1−2x16x2−1

;

9)2x + 19x2 − 1

− 11 − 3x

=7

6x + 2; 10)

2x2 + 12x − 4x2

− 1 − 3x6x − 3

=13x

.

Rjesenje. 1) Najprije postavimo ogranicenja koja proistjecu iz definiranosti razlomka ujednadzbi: x �= 0 , x �= 3 ;

3x− 1

6 − 2x=

23x − x2

3x− 1

2(3 − x)=

1x(3 − x)

/· 2x(3 − x)

2(3 − x) · 3 − x = 2

18 − 6x − x = 2

−7x = −14

x = 2;

104

2

2) x �= 0 , x �= 1 ;

3x − 1

=2 − xx − x2

− 12x

3x − 1

=x − 2

x(x − 1)− 1

2x

/· 2x(x − 1)

6x = 2x − 4 − x + 1

5x = −3

x = −35;

3) x �= 0 , x �= 1 ;

4x− 5

x − x2=

92x − 2

4x

+5

x(x − 1)=

92(x − 1)

/· 2x(x − 1)

2(x − 1) · 4 + 10 = 9x

8x − 8 + 10 = 9x

−x = −2

x = 2;

4) x �= 0 , x �= −12

, x �= 12

;

12x

− 11 − 2x

=4x

4x2 − 112x

+1

2x − 1=

4x(2x − 1)(2x + 1)

/· 2x(2x − 1)(2x + 1)

4x2 − 1 + 2x(2x + 1) = 4x · 2x

4x2 − 1 + 4x2 + 2x = 8x2

2x = 1

x =12.

Jednadzba nema rjesenja.5) x �= 0 , x �= 1 ;

2x

+2

x2 − x=

53x − 3

2x

+2

x(x − 1)=

53(x − 1)

/· 3x(x − 1)

3(x − 1) · 2 + 6 = 5x

6x − 6 + 6 = 5x

x = 0.

Jednadzba nema rjesenja.

105

2 RJESENJA ZADATAKA

6) x �= 12

;

5x − 42x − 1

− 4x − 16x − 3

= 1 − 2x + 310x − 5

5x − 42x − 1

− 4x − 13(2x − 1)

= 1 − 2x + 35(2x − 1)

/· 15(2x− 1)

75x − 60 − 20x + 5 = 30x − 15 − 6x − 9

31x = 31

x = 1;

7) x �= 0 , x �= 3 ;

x + 32x2 − 6x

− x + 33x2 − 9x

=16x

x + 32x(x − 3)

− x + 33x(x − 3)

=16x

3x + 9 − 2x − 6 = x − 3

3 �= −3.


8) x �= 0 , x �= −14

, x �= 14

;

x + 38x2 − 2x

− 3x + 512x2 + 3x

=1 − 2x

16x2 − 1x + 3

2x(4x − 1)− 3x + 5

3x(4x + 1)=

1 − 2x(4x − 1)(4x + 1)

3(4x + 1)(x + 3) − 2(4x − 1)(3x + 5) = 6x − 12x2

12x2 + 36x + 3x + 9 − 24x2 − 40x + 6x + 10 = 6x − 12x2

−x = −19

x = 19;

9) x �= −13

, x �= 13

;

2x + 19x2 − 1

− 11 − 3x

=7

6x + 22x + 1

(3x − 1)(3x + 1)+

13x − 1

=7

2(3x + 1)4x + 2 + 6x + 2 = 21x− 7

−11x = −11

x = 1;

106

2

10) x �= 0 , x �= 12

;

2x2 + 12x − 4x2

− 1 − 3x6x − 3

=13x

2x2 + 1−2x(2x− 1)

− 1 − 3x3(2x− 1)

=13x

−3 · (2x2 + 1) − 2x · (1 − 3x) = 2(2x − 1)

−6x2 − 3 − 2x + 6x2 = 4x − 2

x = −16.

Zadatak 16. 1)3x − 16x − 3

+1

4x2 − 1=

x2x + 1

;

2)x + 5

x2 − 5x− x − 5

2x2 − 10x=

x + 252x2 − 50

;

3)x + 3

2x2 − 6x− x − 3

3x2 + 9x=

x6x2 − 54

;

4)x − 1

2x2 + x− 2x

2x2 − x=

3 − 2x4x2 − 1

;

5)1

1 − 4x2+

x + 12x2 + x

=x − 1

2x2 − x;

6)4(x + 9)5x2 − 45

+x + 3

5x2 − 15x=

x − 3x2 + 3x

;

7)3

10x2 + 2x− 5

30x2 − 6x=

125x2 − 1

;

8)3x − 1

12x − 15+

1532x2 − 50

=2x + 18x + 10

;

9)2x − 1

6x2 − 4x− 1 − 3x

9x2 + 6x=

23x

;

10)3x − 16x − 3

− 11 − 4x2

=x

2x + 1.

Rjesenje. 1) x �= −12

, x �= 12

;

3x − 16x − 3

+1

4x2 − 1=

x2x + 1

3x − 13(2x − 1)

+1

(2x − 1)(2x + 1)=

x2x + 1

(3x − 1)(2x + 1) + 3 = 3x(2x − 1)

6x2 + 3x − 2x − 1 + 3 = 6x2 − 3x

x = −12.


107

2 RJESENJA ZADATAKA

2) x �= −5 , x �= 0 , x �= 5 ;

x + 5x2 − 5x

− x − 52x2 − 10x

=x + 25

2x2 − 50x + 5

x(x − 5)− x − 5

2x(x − 5)=

x + 252(x2 − 25)

2(x + 5)2 − (x2 − 25) = x2 + 25x

2x2 + 20x + 50 − x2 + 25 = x2 + 25x

−5x = −75

x = 15;

3) x �= −3 , x �= 0 , x �= 3 ;

x + 32x2 − 6x

− x − 33x2 + 9x

=x

6x2 − 54x + 3

2x(x − 3)− x − 3

3x(x + 3)=

x6(x2 − 9)

3(x + 3)2 − 2(x − 3)2 = x2

3x2 + 18x + 27 − 2x2 + 12x− 18 = x2

30x = −9

x = − 310

;

4) x �= −12

, x �= 0 , x �= 12

;

x − 12x2 + x

− 2x2x2 − x

=3 − 2x4x2 − 1

x − 1x(2x + 1)

− 2xx(2x − 1)

=3 − 2x

(2x − 1)(2x + 1)

(2x − 1)(x − 1) − 2x(2x + 1) = 3x − 2x2

2x2 − 2x − x + 1 − 4x2 − 2x = 3x − 2x2

−8x = −1

x =18;

108

2

5) x �= −12

, x �= 0 , x �= 12

;

11 − 4x2

+x + 1

2x2 + x=

x − 12x2 − x

1(1 − 2x)(1 + 2x)

+x + 1

x(2x + 1)=

x − 1x(2x − 1)

1(1 − 2x)(1 + 2x)

+x + 1

x(1 + 2x)=

1 − xx(1 − 2x)

x + (x + 1)(1 − 2x) = (1 − x)(x + 2x)

x + x − 2x2 + 1 − 2x = 1 + 2x − x − 2x2

−x = 0

x = 0.

Jednadzba nema rjesenja.6) x �= −3 , x �= 0 , x �= 3 ;

4(x + 9)5x2 − 45

+x + 3

5x2 − 15x=

x − 3x2 + 3x

4(x + 9)5(x2 − 9)

+x + 3

5x(x − 3)=

x − 3x(x + 3)

4x(x + 9) + (x + 3)2 = 5(x − 3)2

4x2 + 36x + x2 + 6x + 9 = 5x2 − 30x + 45

72x = 36

x =12;

7) x �= −15

, x �= 0 , x �= 15

;

310x2 + 2x

− 530x2 − 6x

=1

25x2 − 13

2x(5x + 1)− 5

6x(5x − 1)=

1(5x − 1)(5x + 1)

9(5x − 1) − 5(5x + 1) = 6x

45x− 9 − 25x − 5 = 6x

14x = 14

x = 1;

109

2 RJESENJA ZADATAKA

8) x �= −54

, x �= 54

;

3x − 112x− 15

+15

32x2 − 50=

2x + 18x + 10

3x − 13(4x − 5)

+15

2(16x2 − 25)=

2x + 12(4x + 5)

2(3x − 1)(4x + 5) + 45 = 3(2x + 1)(4x − 5)

24x2 + 30x − 8x − 10 + 45 = 24x2 − 30x + 12x− 15

40x = 50

x =54.


9) x �= −23

, x �= 0 , x �= 23

;

2x − 16x2 − 4x

− 1 − 3x9x2 + 6x

=23x

2x − 12x(3x − 2)

− 1 − 3x3x(3x + 2)

=23x

3(2x − 1)(3x + 2) − 2(1 − 3x)(3x − 2) = 4(9x2 − 4)

(6x − 3)(3x + 2) − (2 − 6x)(3x − 2) = 36x2 − 16

18x2 + 12x− 9x − 6 − 6x + 4 + 18x2 − 12x = 36x2 − 16

−15x = −14

x =1415

;

10) x �= −12

, x �= 12

;

3x − 16x − 3

− 11 − 4x2

=x

2x + 13x − 1

3(2x − 1)− 1

(1 − 2x)(1 + 2x)=

x2x + 1

3x − 13(2x − 1)

+1

(2x − 1)(2x + 1)=

x2x + 1

(3x − 1)(2x + 1) + 3 = 3x(2x − 1)

6x2 + 3x − 2x − 1 + 3 = 6x2 − 3x

4x = −2

x = −12.


110

2

Zadatak 17. Rijesi sljedece jednadzbe u kojima je a parametar, a x nepoznanica:

1) a(a2 − x) = a − x ; 2) a2(x − 1) = 2ax − 4 ;

3) a2(x − 1) = x + a ; 4) 9a2(x + 1) = 4 + 6ax ;

5) a2(x − 1) = ax − 1 ; 6) a2(2x − 1) = −4 − 4ax .

Rjesenje. 1)

a(a2 − x) = a − x

a3 − ax = a − x

x − ax = a − a3

(1 − a)x = a(1 − a2);

Za a = 1 jednadzba je neodre -dena jer je 0 · x = 0 i rjesenje moze biti svakirealni broj x . Za a �= 1 , x = a(a + 1) ;2)

a2(x − 1) = 2ax − 4

a2x − a2 = 2ax − 4

a2x − 2ax = a2 − 4

a(a − 2)x = (a − 2)(a + 2).

Za a = 0 jednadzba nema rjesenja jer je 0 · x = −4 a takav x ne postoji,za a = 2 jednadzba je neodre -dena, za a �= 0 i a �= 2 rjesenje jednadzbe je

x =a + 2

a.

3)

a2(x − 1) = x + a

a2x − a2 = x + a

a2x − x = a + a2

(a − 1)(a + 1)x = a(a + 1).

Za a = 1 jednadzba nema rjesenja, za a = −1 jednadzba je neodre -dena, za

a �= 1 i a �= −1 rjesenje jednadzbe je x =a

a − 1.

4)

9a2(x + 1) = 4 + 6ax

9a2x + 9a2 = 4 + 6ax

9a2x − 6ax = 4 − 9a2

3a(3a − 2)x = (2 − 3a)(2 + 3a).

Za a = 0 jednadzba nema rjesenja, za a =23

jednadzba je neodre -dena, za

a �= 0 i a �= 23

rjesenje jednadzbe je x = −3a + 23a

.

111

2 RJESENJA ZADATAKA

5)

a2(x − 1) = ax − 1

a2x − a2 = ax − 1

a2x − ax = a2 − 1

a(a − 1)x = (a − 1)(a + 1).

Za a = 0 jednadzba nema rjesenja, za a = 1 jednadzba je neodre -dena, za

a �= 0 i a �= 1 rjesenje jednadzbe je x =a + 1

a.

6)

a2(2x − 1) = −4 − 4ax

2a2x − a2 = −4 − 4ax

2a2x + 4ax − a2 − 4

2a(a + 2)x = (a − 2)(a + 2).

Za a = 0 jednadzba nema rjesenja, za a = −2 jednadzba je neodre -dena, za

a �= 0 i a �= −2 rjesenje jednadzbe je x =a − 22a

.

Zadatak 18. Uz raspravu o ovisnosti rjesenja o realnom parametru a rijesi jednadzbe:

1)a

x + 1− a − 1

x=

1x − a

; 2)a

x − 1+

1x − a

=a + 1

x;

3)(1 − a)2

x − a=

(1 + a)2

x + a; 4)

(1 − a)3

1 − ax=

(1 + a)3

1 + ax;

5)ax − 1ax − a2

− ax + 1ax + a2

=a − 1

x2 − a2; 6)

x − ax2 − 1

+a

x2 + x=

x + ax2 − x

.

Rjesenje. 1) x �= −1 , x �= 0 , x �= a ;

ax + 1

− a − 1x

=1

x − aax(x − a) − (a − 1)(x + 1)(x − a) = x2 + x

ax2 − a2x + (1 − a)(x2 − ax + x − a) = x2 + x

ax2 − a2x + x2 − ax + x − a − ax2 + a2x − ax + a2 = x2 + x

−2ax = −a2 + a

x =−a(a − 1)

−2a

x =a − 1

2.

Za a = 0 jednadzba je neodre -dena, za a = −1 i a = 1 jednadzba nemarjesenja. Naime, za a = −1 dobije se x = −1 a za a = 1 je x = 0 a 0 i 1

ne mogu biti rjesenja zadane jednadzbe. Za sve ostale realne a je x =a − 1

2.

112

2

2) x �= 0 , x �= 1 , x �= a ;

ax − 1

+1

x − a=

a + 1x

ax(x − a) + x(x − 1) = (a + 1)(x − 1)(x − a)

ax2 − a2x + x2 − x = (a + 1)(x2 − ax − x + a)

ax2 − a2x + x2 − x = ax2 − a2x − ax + a2 + x2 − ax − x + a

2ax = a2 + a

x =a(a + 1)

2a

x =a + 1

2.

Za a = 0 jednadzba je neodre -dena, za a = −1 i a = 1 jednadzba nema

rjesenja, za sve ostale realne a je x =a + 1

2.

3) x �= −a , x �= a ;

(1 − a)2

x − a=

(1 + a)2

x + a(1 − 2a + a2)(x + a) = (1 + 2a + a2)(x − a)

x − 2ax + a2x + a − 2a2 + a3 = x + 2ax − a − 2a2 + a2x − a3

−4ax = −2a3 − 2a

x =−2a(a2 + 1)

−4a

x =a2 + 1

2.


rjesenja. Za a �= 0 , a �= 1 i a �= −1 rjesenje je jedinstveno: x =a2 + 1

2.

4) x �= −1a

, x �= 1a

;

(1 − a)3

1 − ax=

(1 + a)3

1 + ax(1 − 3a + 3a2 − a3)(1 + ax) = (1 + 3a + 3a2 + a2)(1 − ax)

1−3a+3a2−a3+ax−3a2x+3a3x−a4x = 1+3a+3a2+a3−ax−3a2x−3a3x−a4x

6a3x + 2ax = 2a3 + 6a

2a(3a2 + 1)x = 2a(a2 + 3)

x =2a(a2 + 3)2a(3a2 + 1)

x =a2 + 33a2 + 1

.


rjesenja. Za a �= 0 , a �= 1 i a �= −1 rjesenje je jedinstveno: x =a2 + 33a2 + 1

.

113

2 RJESENJA ZADATAKA

5) x �= −a , x �= a ;

ax − 1ax − a2

− ax + 1ax + a2

=a − 1

x2 − a2

(ax − 1)(x + a) − (ax + 1)(x − a) = a(a − 1)

ax2 + a2x − x − a − ax2 + a2x − x + a = a2 − a

2a2x − 2x = a2 − a

x =a(a − 1)2(a2 − 1)

x =a(a − 1)

2(a − 1)(a + 1)

x =a − 1

2(a + 1).

Za a = 1 jednadzba je neodre -dena, za a = 0 i a = −1 jednadzba nema

rjesenja. Za a �= 0 , a �= 1 i a �= −1 rjesenje je jedinstveno: x =a

2(a + 1).

6) x �= −1 , x �= 1 ;

x − ax2 − 1

+a

x2 + x=

x + ax2 − x

x − a(x − 1)(x + 1)

+a

x(x + 1)=

x + ax(x − 1)

x2 − ax + a(x − 1) = (x + a)(x + 1)

x2 − ax + ax − a = x2 + x + ax + a

−ax− x = 2a

x(−a − 1) = 2a

x = − 2aa + 1

.

Za a = 0 , a = −1 i a = 1 jednadzba nema rjesenja. Za a �= 0 , a �= −1 i

a �= 1 rjesenje je jedinstveno: x = − 2aa + 1

.


1)a +

x1 − a

a − x1 + a

=1 + a1 − a

; 2) 1 −1 − a − x

a + x

1 +a − xa + x

=x + 1a2

;

3)1 − ax

a − x

1 +ax

a + x

=1 +

1a− 1

x

1 +1a

+1x

; 4)

x + ax − a

+x − ax + a

1 −(

x − ax + a

)2 =ax

+xa

.

114

2

Rjesenje. 1) x �= −a , x �= a ;

a +x

1 − a

a − x1 + a

=1 + a1 − a

a − a2 + x1 − a

a + a2 − x1 + a

=1 + a1 − a

(1 + a)(a − a2 + x)(1 − a)(a + a2 − x)

=1 + a1 − a

a − a2 + xa + a2 − x

= 1

a − a2 + x = a + a2 − x

2x = 2a2

x = a2;

2) x �= −a , x �= a ;

1 −1 − a − x

a + x

1 +a − xa + x

=x + 1a2

1 −a + x − a + x

a + xa + x + a − x

a + x

=x + 1a2

1 − 2x2a

=x + 1a2

2a − 2x2a

=x + 1a2

a − xa

=x + 1a2

a2 − ax = x + 1

−(a + 1)x = 1 − a2

x =(1 − a)(1 + a)

−(a + 1)x = a − 1;

115

2 RJESENJA ZADATAKA

3) x �= 0 , x �= −a , x �= a ;

1 − axa − x

1 +ax

a + x

=1 +

1a− 1

x

1 +1a

+1x

a − x − axa − x

a + x + axa + x

=

ax + x − aax

ax + x + aax

(a + x)(a − x − ax)(a − x)(a + x + ax)

=ax + x − aax + x + a

a + xa − x

= 1

a + x = a − x

2x = 0

x = 0.

Jednadzba nema rjesenja jer x ne smije biti jednak nuli.4) x �= 0 , x �= −a , x �= a ;

x + ax − a

+x − ax + a

1 −(x − a

x + a

)2 =ax

+xa

x2 + 2ax + a2 + x2 − 2ax + a2

(x − a)(x + a)

1 − (x − a)2

(x + a)2

=a2 + x2

ax

2x2 + 2a2

(x − a)(x + a)x2 + 2ax + a2 − x2 + 2ax − a2

(x + a)2

=a2 + x2

ax

2(x + a)(x2 + a2)(x − a)(4ax)

=a2 + x2

axx + a

2(x − a)= 1

x + a = 2x − 2a

x − 2x = −2a − a

−x = −3a

x = 3a.

Zadatak 20. Ako zrakoplov za 4 sata leta preleti 3 200 km, koliki put ce preletjeti za 5 sati?

Rjesenje. 4x = 3200 =⇒ x = 800 . Za 1 sat zrakoplov preleti 800 km, a za 5 satipreletjet ce 4 000 km.

116

2

Zadatak 21. Neki automobil trosi 5.2 litre goriva za put od 90 km. Koliko ce goriva tajautomobil potrositi za 225 km?

Rjesenje. 90x = 5.2 =⇒ x =13225

. Za 1 km automobil potrosi13225

litara goriva, a za

225 km automobil ce potrositi 13 litara goriva.

Zadatak 22. Gospodin Brzic svojim automobilom za 35 minuta prije -de 45.5 km. Uz uvjetda automobil ne zakaze, koliko ce daleko dospjeti gospodin Brzic za 6 satineprekidne i jednolike voznje?

Rjesenje. x =45.5 km

3560

h=

60 · 9.17

kmh

=78

kmh

. Gospodin Brzic i nije tako brz, vozi

prosjecnom brzinom 78 km/ h te ce za 6 sati prijeci 468 km.

Zadatak 23. U jednoj brzoj praonici automobila za 25 minuta operu 8 automobila. Kolikoim vremena treba da operu 12 automobila?

Rjesenje. x =258

= 3.125 . Za pranje jednog automobila potrebno je 3.125 minuta, a za

pranje 12 automobila utrosi se 37.5 minuta.

Zadatak 24. Radeci dnevno po 8 sati, Roko za dva dana zaradi 240 kuna. Koliko ce Rokozaraditi za 12 sati rada?

Rjesenje. x =24016

= 15 kuna po satu. Roko ce za 12 sati rada zaraditi 180 kuna.

Zadatak 25. Baka Marija je 2.5 kg banana platila 15 kuna. Koliko bi platila 2 kg?

Rjesenje. x =152.5

=15025

= 6 kuna po kilogramu. Baka Marija bi 2 kg banana platila

12 kuna.

Zadatak 26. Vrijedna tipkacica za 5 minuta otipka 140 rijeci. Koliko joj vremena treba daotipka 630 rijeci?

Rjesenje. Tipkacica otipka x =14025

= 28 rijeci u minuti. Za 630 rijeci tipkacici treba

63028

= 22.5 minuta.

Zadatak 27. Omjer broja osobnih automobila i broja svih drugih vozila koji se krecu auto-cestom je 15 : 4 . Ako u nekom vremenu tom autocestom pro -de 88 vozila kojanisu osobni automobili, koliko bi osobnih automobila trebalo proci u istomvremenu?

Rjesenje. x : y = 15 : 4 =⇒ 4x = 15y =⇒ x =154

y . x =154

· 88 = 330 . Trebalo

bi proci 330 osobnih automobila.

Zadatak 28. Udaljenost od 100 km na zemljovidu je predocena udaljenoscu od 2.5 cm.Kolika udaljenost na zemljovidu odgovara stvarnoj udaljenosti od 39 km?

Rjesenje. Jedan centimetar na karti predstavlja x =1002.5

= 40 kilometara stvarne uda-

ljenosti. Stvarnoj udaljenosti od 39 km na zemljovidu pripada3940

= 0.975cm.

117

2 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 29. Kuhar u izvi -dackom taboru priprema kajganu tako da na svaka tri izvi -dacaplanira 7 jaja. Koliko je kuhar zamutio jaja ako kani nahraniti 60 izvi -daca?

Rjesenje. Kuhar zamuti x =73

jaja za jednog izvi -daca. Da nahrani 60 izvi -daca, kuhar je

zamutio73· 60 = 140 jaja.

Zadatak 30. U mjenjacnici “Najbolji tecaj” za 100 kruna dobiju se 354 kune. Ako neki kaputstoji 335 kruna, kolika je njegova cijena u kunama ravnamo li se po tecaju iznavedene mjenjacnice?

Rjesenje. U navedenoj mjenjacnici 1 kruna vrijedi354100

= 3.54 kune. Cijena kaputa u

kunama iznosi 3.54 · 335 = 1 185.9 kuna.

Zadatak 31. U nekom je razredu 12 odlikasa, sto cini 37.5 % broja svih ucenika tog razreda.Koliko taj razred ima ucenika?

Rjesenje. Oznacimo li ukupan broj ucenika u razredu s x , onda je 0.375x = 12 , odaklese dobije x = 32 .

Zadatak 32. Ako cijena neke kosulje nakon snizenja od 15 % iznosi 204 kune, kolika je bilacijena te kosulje prije snizenja?

Rjesenje. Iz jednadzbe 0.85x = 204 nalazimo cijenu kosulje prije snizenja x = 240kuna.

Zadatak 33. Cijena knjige umanji se za 20 %, a potom jos i za 25 % nove cijene. Koliko jeukupno umanjena pocetna cijena knjige?

Rjesenje. Ako je x cijena knjige prije umanjenja, onda je njezina cijena nakon prvog

snizenja45x , a nakon drugog

45x − 1

4· 45x =

35x . Stoga je ukupno snizenje

cijene 40 %.

Zadatak 34. Trostruki broj x umanjen za pet daje isti rezultat kao isti taj dvostruki uvecanza sedam. O kojem je broju rijec?

Rjesenje. 3x − 5 = 2x + 7 , x = 12 .

Zadatak 35. Dvostruki najmanji od tri uzastopna neparna broja za 15 je veci od najveceg.Koliki je zbroj tih triju brojeva?

Rjesenje. 2(2x − 1) = 2x + 3 + 15 . To su brojevi 19, 21, 23, zbroj im je 63.

Zadatak 36. Zbroj dvaju brojeva od kojih je veci za 3 manji od dvostrukog manjeg je 333.Koji su to brojevi?

Rjesenje. x + 2x − 3 = 333 , odatle x = 112 . Drugi je broj 221.

Zadatak 37. Zbroj cetvrtine i sestine nekog broja za 5 je manji od polovine tog broja. Kojije to broj?

Rjesenje. Iz jednadzbex4

+x6

+ 5 =x2

dobije se x = 60 .

Zadatak 38. Zbroj dvaju brojeva je 30, a razlika njihovih kvadrata je 120. Koji su to brojevi?

Rjesenje. Iz jednadzbe a2 − (30 − a)2 = 120 dobijemo a = 17 . Drugi je broj jednak13.

118

2

Zadatak 39. Razlika kvadrata dvaju uzastopnih neparnih cijelih brojeva iznosi 128. Koji suto brojevi?

Rjesenje. Iz jednadzbe (2n + 1)2 − (2n − 1)2 = 128 dobije se n = 16 , te su trazenibrojevi 31 i 33.

Zadatak 40. Ako od umnoska triju uzastopnih neparnih cijelih brojeva oduzmemo kub sred-njeg od tih triju brojeva, dobit cemo 60. Koji su to brojevi?

Rjesenje.

(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) − (2n + 1)3 = 60

(2n + 1)[(2n − 1)(2n + 3) − (2n + 1)2] = 60

(2n + 1)(4n2 + 6n − 2n − 3 − 4n2 − 4n − 1) = 60

(2n + 1)(−4) = 60

2n + 1 = −15

2n = −16

n = −8.

To su brojevi −17,−15,−13 .

Zadatak 41. Ako umnosku triju uzastopnih parnih prirodnih brojeva pribrojimo njihov ud-vostrucen zbroj i oduzmemo kub srednjeg broja, dobit cemo 20. Koji su tobrojevi?

Rjesenje.

(2n − 2) · 2n · (2n + 2) + 2(2n − 2 + 2n + 2n + 2) − 8n3 = 20

2n(4n2 − 4) + 2(6n)− 8n3 = 20

8n3 − 8n + 12n − 8n3 = 20

4n = 20

n = 5.

Trazeni su brojevi 8, 10 i 12.

Zadatak 42. Zbroj dvaju brojeva iznosi 531. Ako veci broj podijelimo manjim, dobit cemokolicnik 6 i ostatak 20. Koji su to brojevi?

Rjesenje. Postavimo jednadzbu a+(6a+20) = 531 iz koje je a = 73 . Drugi, veci brojje 458.

Zadatak 43. Znamenka desetica dvoznamenkastog broja veca je za 4 od znamenke jedini-ca. Ako tom broju pribrojimo broj zapisan istim znamenkama, ali u obrnutomporetku, dobit cemo 154. O kojem je dvoznamenkastom broju rijec?

Rjesenje. Iz jednadzbe (a + 4) · 10 + a + 10a + (a + 4) = 154 slijedi a = 5 , te je rijeco broju 95.

Zadatak 44. Nazivnik razlomka za 700 je veci od brojnika. Nakon kracenja dobije se

razlomak37

. Kojim je brojem kracen razlomak?

Rjesenje.a

a + 700=

37

. Iz ove jednadzbe izracunamo a = 525 . Razlomak525

1 225

kratimo sa 175, te dobijemo razlomak37

.

119

2 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 45. Koliki je vanjski kut trokuta ABC pri vrhu A ?

Rjesenje. x + x + 1 + 2x + 4 = 180

4x = 175

x = 43.75◦ = 43◦45′ =⇒ α = 44◦45′

α′ = 180◦ − 44◦45′ = 179◦60′ − 44◦45′ = 135◦15′

Zadatak 46. Razlika duljina hipotenuze i jedne katete pravokutnog trokuta je 8 cm, a duljinaje druge katete 36 cm. Kolika je povrsina ovog trokuta?

Rjesenje. Primjenjujemo Pitagorin poucak i postavljamo jednakost a2 + 362 = (a + 8)2

iz koje dobijemo a = 77 . Dalje nalazimo b = 36 cm te izracunamo povrsinukoja iznosi 1 386 cm 2 .

Zadatak 47. Opseg pravokutnika je 80 m. Njegova je dulja stranica tri puta dulja od krace.Kolika je povrsina tog pravokutnika?

Rjesenje. o = 2a + 2b = 80 , a = 3b , 6b + 2b = 80 =⇒ b = 10 , a = 30 ,P = 30 · 10 = 300 m2 .

Zadatak 48. Duljina igralista oblika pravokutnika za 8 je metara veca od sirine. Kad duljinupovecamo za 2 m, a sirinu za 1 m, povrsina igralista poveca se za 46 m2 .Kolike su duljina i sirina igralista?

Rjesenje.

x · (x + 8) + 46 = (x + 1)(x + 10)

x2 + 8x + 46 = x2 + 2x + 9x + 10

−3x = −36

x = 12.

Duljina je igralista 20, a sirina 12 metara.

Zadatak 49. Tri brata imaju zajedno 58 godina. Koliko je kojem od njih godina ako su34

broja godina najmla -deg jednake23

broja godina srednjeg, odnosno12

broja

godina najstarijeg brata?

Rjesenje. Iz jednadzbi x+y+ z = 58 ,34x =

23y =⇒ y =

98x i

34x =

12z =⇒ z =

32x

120

2

dobijemo jednadzbu

x +98x +

32x = 58

8 + 9 + 128

x = 58

298

x = 58

x = 16.

Braci je 16, 18 i 24 godine.

Zadatak 50. Perica ima u dzepu 50 kn sitnisa od po 1, 2 i 5 kuna. Novcica od 5 kn dva jeputa vise nego od onih po 2 kn, a novcica po 1 kn dva je puta manje nego onihpo 2 kn. Koliko novcica po 5 kn ima Perica?

Rjesenje. Oznacimo sa x broj novcica od 5 kn. Tada imamo: 5x +x2· 2 +

x4

= 50 ,

x = 8 .

Zadatak 51. Uze duljine 10 m prerezano je na dva dijela. Veci je dio za 0.5 m kraci oddvostrukog kraceg.Kolike su duljine dvaju komada?

Rjesenje. x + y = 10 , x = 2y − 0.5 , 2y− 0. + y = 10 , y = 3.5 m i x = 6.5 m.

Zadatak 52. Jedan je komad zice dulji od drugog 54 metra. Kad od svakog komada odreze-mo po 12 m, dulji ce komad biti cetiri puta dulji od kraceg. Koliko su dugackiti komadi zice?

Rjesenje.

x + 54 − 12 = 4(x − 12)x + 42 = 4x − 48

−3y = −90

y = 30.

Jedan komad zice dug je 30 metara, a drugi 84 metra.

Zadatak 53. Na dvije police su 72 knjige. Kad s prve na drugu premjestimo 6 knjiga, naprvoj ce biti dvaput vise knjiga nego na drugoj. Koliko je knjiga na svakojpolici?

Rjesenje.

72 − x − 6 = 2(x + 6)−3x = −54

x = 18.

Na jednoj je polici 18 knjiga, a na drugoj 54 knjige.

Zadatak 54. Na kolodvoru stoje dvije kompozicije vlaka. Jedna ima 12 vagona vise negodruga. Kad bismo svaku kompoziciju umanjili za 6 vagona, u jednoj bi ostalo3 puta vise vagona nego u drugoj. Koliko je vagona u kojoj kompoziciji?

121

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje.

12 + x − 6 = 3(x − 6)−2x = −24

x = 12.

U jednoj je kompoziciji 12, a u drugoj 24 vagona.

Zadatak 55. Ucenici jednog razreda uce dva strana jezika. Od njih 32 prvi strani jezik uciih 24, a drugi 28. Ako svaki od ucenika uci barem jedan strani jezik, kolikoucenika uci oba jezika? Izrazi taj broj i u postotcima.

Rjesenje. Iz jednadzbe 32 = 24 + 28 − x , gdje smo s x oznacili broj ucenika koji uceoba strana jezika, dobije se x = 20 , sto je u postotcima 62.5 %.

Zadatak 56. Na jednom pisanom ispitu koji sadrzi 40 pitanja za tocan odgovor dobije se 20bodova, a za netocan oduzima 5 bodova. Ako je neki ispitanik odgovorivsi nasva pitanja sakupio 425 bodova, na koliko je pitanja dao pogresan odgovor?

Rjesenje. Postavimo jednadzbu (40 − x) · 20 + x · (−5) = 425 , a iz nje je x = 15 .

Zadatak 57. Ako se posuda puni prvom slavinom, napunit ce se za 18 minuta, a ako se punidrugom, bit ce puna za 27 minuta. Otvorimo li obje slavine, koliko ce vremena

proci dok u posudi bude56

njezina obujma?

Rjesenje. Za 1 minutu vodom iz prve slavine napuni se118

posude, a vodom iz druge127

obujma posude. Ako su obje slavine otvorene, nakon jedne minute u posudi ce

biti118

+127

=554

njezina obujma vode. A56

obujma napunit ce se vodom

nakon 9 minuta.

Zadatak 58. Vodom iz prve slavine bazen se napuni za m sati, a vodom iz druge za n sati.Ako se istovremeno ukljuce obje slavine, za koliko ce se vremena napunitibazen?

Rjesenje. Prva slavina za sat vremena napuni1m

bazena, a druga slavina1n

bazena.

Kada su istovremeno ukljucene obje slavine bazen ce se napuniti za x sati.( 1m

+1n

)· x = 1 =⇒ n + m

nmx = 1 =⇒ x =

mnm + n

. Bazen ce se napuniti

nakonmn

m + nsati.

Zadatak 59. Tekucinom iz prve slavine posuda se napuni za 10 minuta, a tekucinom iz drugeza 15 minuta. Ako otvorimo ove dvije i jos jednu, trecu slavinu, posuda ce senapuniti za 4 minute. Koliko bi vremena bilo potrebno da se posuda napunitekucinom samo iz trece slavine?

122

2

Rjesenje. Prva slavina napuni110

posude u jednoj minuti, druga slavina115

, a treca1x

posude u jednoj minuti. Sve tri slavine citavu posudu napune za 4 minute.( 110

+115

+1x

)· 4 = 1

410

+415

+4x

= 1

12x + 8x + 120 = 30x

−10x = −120

x = 12.

Bilo bi potrebno 12 minuta.

Zadatak 60. Svjeze smokve sadrze 72 % vode, a suhe 20 %. Koliko se suhih smokava dobijesusenjem 20 kg svjezih?

Rjesenje. U 20 kg svjezih smokava 5.6 kg je suha tvar, ostalo je voda. Tih 5.6 kg u suhihje smokava 80 % njihove mase te iz 0.8x = 5.6 dobijemo x = 7 , odnosno,od 20 kg svjezih smokava susenjem se dobije 7 kg suhih.

Zadatak 61. U svjezim je gljivama 88 % vode, a u suhim svega 8 %. Koliko bismo svjezihgljiva trebali ubrati zelimo li nakon susenja imati 3 kg suhih gljiva?

Rjesenje. U 3 kg suhih gljiva ima 3 · 0.92 = 2.76 kg suhe tvari, koja u svjezim gljivamacini svega 12 %. Stoga je 2.76 = 0.12x , odakle se izracuna x = 23 kg.

Zadatak 62. Susenjem oraha gubi se 25 % njihove mase. Od koje ce se mase svjezih orahanakon susenja dobiti 3 kg suhih oraha?

Rjesenje.34· x = 3 =⇒ x = 3 · 4

3= 4 . Od 4 kg.

Zadatak 63. U morskoj je vodi 4.5 % soli. Koliko slatke vode valja uliti u 40 litara morskekako bi u tako pomijesanoj vodi bilo 2 % soli?

Rjesenje. U 40 litara morske soli ima 1.8 litara ciste soli, a tih 1.8 litara je 2 % u masiod 90 litara. Stoga valja doliti 50 litara slatke vode.

Zadatak 64. Ako u 60 litara alkohola koncentracije 75 % ulijemo 30 litara alkohola koncen-tracije 90 %, kolika ce biti koncentracija alkohola u smjesi?

Rjesenje.60 · 75 + 30 · 90

60 + 30= 80 , te je jakost alkohola u smjesi jednaka 80 %.

Zadatak 65. Pomijesamo li vrucu vodu temperature 76 ◦C i hladnu temperature 12 ◦C ,dobit cemo 96 litara vode s temperaturom 40 ◦C . Koliko je pritom uzeto vrucevode?

123

2 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Iz jednadzbe76x + (96 − x) · 12

96= 40 , dobije se x = 42 , dakle valja uzeti

42 litre vrele vode.

Zadatak 66. Mijesamo tri vrste kave. Uzmemo li 120 kg po cijeni 40 kn za kilogram i 150kg po cijeni 36 kn za kilogram, koliko moramo uzeti kave po 45 kn za kilogramzelimo li da cijena mjesavine bude 42 kn za kilogram?

Rjesenje. Iz jednadzbe120 · 40 + 150 · 36 + x · 45

120 + 150 + x= 42 dobije se x = 380 kg.

Zadatak 67. Jedna vrsta dusicne kiseline koncentracije je 30 %, druga 55 %. Koliko kojevrste treba pomijesati kako bi se dobilo 100 litara kiseline koncentracije 50 %?

Rjesenje. Iz jednadzbe30x + (100 − x) · 55

100dobijemo x = 20 .

Zadatak 68. Dva automobila, jedan stalnom brzinom od 100 km/ h drugi 115 km/ h u istovrijeme krenu autocestom iz Splita za Zagreb. Nakon koliko vremena ce bitiudaljeni 5 km?

Rjesenje. 115t − 100t = 5 , t = 20 min.

Zadatak 69. Ivica biciklom prije -de put od kuce do skole za 20 minuta. No ako bi brzinupovecao za 5 km/ h, u skolu bi stizao za 15 minuta. Koliko je Ivicina kucaudaljena od skole?

Rjesenje. Ako je v1 prva, a v2 druga, od v1 za 5 km/ h veca brzina, onda iz v2 = v1 + 5

uvrstavajuci v =st

imamos14

=s13

+ 5 , odakle dobijemo s = 5 km.

Zadatak 70. Vozac za 1 sat prije -de polovinu puta, a potom ubrza za 15 km/ h i drugu po-lovinu prije -de za 45 minuta. Kojom je brzinom vozac vozio prvu polovinuputa?

Rjesenje. Iz jednadzbe v · 1 = (v + 15) · 34

dobijemo v = 45 km/ h.

Zadatak 71. Putnicki vlak prije -de put izme -du Rijeke i Zagreba za 245

sata, a teretni za 423

sata. Ako je putnicki vlak brzi od teretnog za 26 km/ h, kolika je udaljenostZagreba i Rijeke?

Rjesenje. Iz v · 145

= (v−26)· 143

imamo v = 65 km/ h, te je trazena udaljenost s = 182

km.

Zadatak 72. Iz mjesta M krene pjesak, a nakon 2 sata u istom smjeru za njim se uputibiciklist. Brzina kretanja pjesaka je 4.5 km/ h, a biciklist za 45 minuta prije -de9 km. Koliki je put presao pjesak u trenutku kad ga je biciklist dostigao?

124

2

Rjesenje. Brzina biciklista je934

= 12 km/ h. Iz 4.5t = 12(t− 2) slijedi t = 3.2 sata, te

je s = 14.4 km.

Zadatak 73. Iz dvaju gradova istovremeno krenu jedan drugom ususret dva automobila, je-dan brzinom 60 km/ h, drugi 80 km/ h. Ako su gradovi udaljeni 448 km, nakonkoliko ce se vremena automobili susresti?

Rjesenje. Iz jednadzbex60

=448 − x

80slijedi x = 192 minute. Automobili ce se susresti

nakon 3 sata i 12 minuta.

Zadatak 74. Ploveci niz rijeku, brod prije -de put od mjesta A do mjesta B za 6 sati. Uzvodnomu za isti put treba 10 sati. Ako je brzina broda po mirnoj vodi 16 km/ h, kolikaje brzina rijeke?

Rjesenje. Iz jednadzbe (16 + v) · 6 = (16− v) · 10 , gdje je s v oznacena brzina rijecnogtoka, slijedi v = 4 km/ h.

Zadatak 75. Ploveci uzvodno, brod preplovi put od mjesta M do mjesta N za 6 sati i 15minuta. Obratno ploveci brodu za isti put treba 3 sata i 45 minuta. Ako jebrzina rijeke 4 km/ h, kolika je brzina broda po mirnoj vodi?

Rjesenje. Iz jednadzbe (v + 4) · 334

= (v − 4) · 614

dobijemo v = 16 km/ h.

Zadatak 76. Baka Marta iz pune salice crne kave otpije16

pa do vrha dolije mlijeko. Zatim

otpije13

i opet do vrha dolije mlijeko. Otpije potom jos12

bijele kave i do

vrha dolije mlijeko. Koliko je tada mlijeka u salici?

Rjesenje. Nakon prvog ispijanja u salici je ostalo56

kave, nakon drugog56− 5

6· 13

=59

,

a nakon treceg59− 5

9· 12

=518

. Konacno, u salici je ostalo1318

mlijeka.

Zadatak 77. Racunalni virus prvoga dana pojede12

svih podataka pohranjenih na racunalu,

drugog dana pojede13

preostalih podataka, a treceg dana nestane jos13

od

onoga sto je jos ostalo. Koliko je podataka ostalo na racunalu?

Rjesenje. Nakon prvog dana ostalo je12

podataka, nakon drugog12− 1

6=

13

, a nakon

treceg13− 1

9=

29

.

Zadatak 78. Ani je pukla ogrlica. Jednu trecinu perlica nasla je na podu, jednu cetvrtinuna stolu, jednu petinu na naslonjacu, a jedna se sestina zadrzala na niti. Nakraju su nedostajale 3 perlice. Koliko je perlica bilo na ogrlici prije njezinograspadanja?

Rjesenje. Iz jednadzbe13x +

14x +

15x +

16x + 3 = x dobije se x = 60 .

125

3 RJESENJA ZADATAKA


Zadatak 1. Koji je broj veci:

1) π ili247

; 2)√

2 ili 1.414 ?

Rjesenje. 1) π ≈ 3.1416 ,247

≈ 3.4286 , slijedi247

> π ;

2)√

2 ≈ 1.412 , slijedi√

2 < 1.414 .

Zadatak 2. Usporedi brojeve m i n ako je:

1) m + 3 = n ; 2) m − n = −5 ; 3) m − 10 = n .

Rjesenje. 1) m < n ; 2) m = n − 5 , m < n ; 3) m = n + 10 , m > n .

Zadatak 3. Usporedi brojeve n i p , p i q te m i q , ako je m > p , n > m , n < q .

Rjesenje. n > m , m > p =⇒ n > p ;p < m , m < n , n < q =⇒ p < q ;m < n , n < q =⇒ m < q .

Zadatak 4. Vrijedi li tvrdnja:

1) ako je a > b , onda je a2 > b2 ;

2) ako je a2 > b2 , onda je a > b ;

3) ako je a3 > b3 , onda je a > b ;

4) ako je a > b , onda je an > bn , za svaki prirodni n ;

5) ako je a > b i c > d , onda je ac > bd ?

Rjesenje. 1) Ne! Npr. 1 > −2 , 12 = 1 < 4 = (−2)2 ;

2) Ne! Npr. (−4)2 = 16 > 4 = (−2)2 , ali −4 < −2 ;

3) Da! Npr. 2 > −3 i 23 = 8 > −27 = (−3)3 ;4) Ne! Primjer da tvrdnja ne vrijedi je pod 2);5) Ne! Npr. uzmemo li a = 2 , b = 1 , c = −3 , d = −4 dobijemo 2 > 1 ,−3 > −4 , ali −6 < −4 .

Zadatak 5. Sto mozes kazati o brojevima a i b ako je:

1) ab > 0 ; 2)ab

� 0 ; 3) ab � 0 ; 4)ab

< 0 ?

Rjesenje. 1) ab > 0 =⇒ (a > 0 i b > 0) ili (a < 0 i b < 0) ;

2)ab

� 0 =⇒ (a � 0 i b > 0) ili (a � 0 i b < 0) ;

3) ab � 0 =⇒ (a � 0 i b < 0) ili (a � 0 i b > 0) ;

4)ab

< 0 =⇒ (a > 0 i b < 0) ili (a < 0 i b > 0) .

Zadatak 6. Provjeri jesu li istinite sljedece tvrdnje:

1) ako je a > b , onda je (a + 1)b < a(b + 1) ;2) ako je a > b , onda je (a + 1)(b − 1) < ab .

126

3

Rjesenje. 1) a > b =⇒ b < a =⇒ ab + b < ab + a =⇒ (a + 1)b < a(b + 1) ;2) a > b =⇒ b < a =⇒ b < a + 1 =⇒ b − a − 1 < 0 =⇒ab+b−a−1 < ab =⇒ b(a+1)− (a+1) < ab =⇒ (a+1)(b−1) < ab .

Zadatak 7. Dokazi tvrdnju: za svaki broj a , −1 < a < 0 vrijedi1a2

− 1a

> 2 .

Rjesenje. Nejednakost1a2

− 1a

> 2 ekvivalentna je nejednakosti1 − a − 2a2

a2> 0 . Nju

mozemo zapisati u obliku(1 − 2a)(1 + a)

a2> 0 . Kako je a ∈ 〈−1, 0〉 ova je

nejednakost ispunjena.

Zadatak 8. Zapisi odgovarajucimoznakama za intervale podskupove skupa realnih brojevasto su zadani sljedecim nejednakostima:

1) x � −32

; 2) x > 3.5 ; 3) −5 < x � 0 ;

4) x � −√

3 ; 5) −34

� x � 11 ; 6) x < −2√

2 .

Rjesenje. 1) x ∈⟨−∞,

32

]; 2) x ∈ 〈 3.5, +∞〉 ; 3) x ∈ 〈−5, 0] ;

4) x ∈ [−√3, +∞〉 ; 5) x ∈

[−3

4, 11

]; 6) x ∈ 〈−∞,−2

√2〉 .

Zadatak 9. Naznaci na brojevnom pravcu skupove tocaka T(x) ako za x vrijedi sljedeciuvjet:

1) −1 � x < 3 ; 2) x < −1 ili x � 2 ;3) x � −1 i x < 3 ; 4) x < −3 i x > 1 .

Rjesenje. 1)

2)

3)

4) ∅Zadatak 10. Zapisi odgovarajucim oznakama za intervale sljedece skupove realnih brojeva:

1) skup svih brojeva x vecih od −1 i manjih od 3;

2) skup svih brojeva x manjih od 1 ili vecih od32

;

3) skup svih brojeva x koji su manji od −34

;

4) skup svih brojeva x koji su manji od ili jednaki12

ili veci od ili jednaki 3 ;

5) skup svih brojeva x vecih ili jednakih −1.1 ;

6) skup svih brojeva x koji su manji ili jednaki 2, i veci od ili jednaki√

5 .

Rjesenje. 1) 〈−1, 3〉 ; 2) 〈−∞, 1〉 ∪⟨3

2, +∞

⟩; 3)

⟨−∞,−3

4

⟩;

4)⟨−∞,

12

]∪ [3, +∞〉 ; 5) [−1.1, +∞〉 ; 6) ∅ .

127

3 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 11. Zapisi uobicajenim oznakama intervale koji su istaknuti na sljedecim crtezima:

-1 1 2 -2 1 3

0 3 0

Rjesenje. 1) 〈−∞,−1]∪ 〈 1, 2] ; 2) [−2, 1]∪ 〈 3, +∞〉 ; 3) 〈−∞, 0〉 ∪ [3, +∞〉 ;4) [0, +∞〉 .

Zadatak 12. Odredi skupove A ∪ B i A ∩ B ako su A i B intervali realnih brojeva:

1) A = 〈−1, 2] , B = 〈 0, 3] ; 2) A = 〈−3, 5〉 , B = [0, +∞〉 ;

3) A = 〈−∞, 1] , B=[−1, +∞〉 ; 4) A = 〈−∞,−2〉 , B = [0, 2] ;

5) A = 〈−∞, 5〉 , B = [−5, 1〉 ; 6) A =[−2

3,23

], B = [−2, 2] ;

7) A = [−3, 5〉 , B = [0, 7] ; 8) A = 〈 1, 5〉 , B = 〈 0, 4] .

Rjesenje. 1) A∪B = 〈−1, 3] , A∩B = 〈 0, 2] ; 2) A∪B = 〈−3, +∞〉 , A∩B = [0, 5〉 ;3) A∪B = R , A∩B = [−1, 1] ; 4) A∪B = 〈−∞,−2〉 ∪ [0, 2] , A∩B = ∅ ;5) A ∪ B = A , A ∩ B = B , jer je B ⊂ A ; 6) A ∪ B = B , A ∩ B = A .


Zadatak 1. 1) −12x + 2 � 1

3; 2) 2x +

34

< −13

; 3)23x − 1 >

34

;

4) −3x − 23

� 1 ; 5) −23x − 1 � 1

14

.

Rjesenje. 1) − 12x + 2 � 1

3

/· 6

−3x + 12 � 2

−3x � 2 − 12

−3x � −10

/·(−1

3

)x � 10

3;

2) 2x +34

< −13

/· 12

24x + 9 < −4

24x < −4 − 9

24x < −13

/· 124

x < −1324

;

3)23x − 1 >

34

/· 12

8x − 12 > 9

8x > 9 + 12

8x > 21

/· 18

x >218

;

4) − 3x − 23

� 1

/· 3

−9x − 2 � 3

−9x � 3 + 2

−9x � 5

/·(−1

9

)

x � −59;

128

3

5) − 23x − 1 � 1

14

−23x − 1 � 5

4

/·(−3

2

)x � −27

4.

Zadatak 2. 1)2x3

− [1 − 3(2 − x)] >3x − 1

4;

2) x − 12

[x3− 1

2

(x4− 1

3

)]� x − x − 7

12;

3)x + 1

4− 3

[x2− 2

3

(x − 1

2

)]� 1 − x − 6

6.

Rjesenje. 1)2x3

− [1 − 3(2 − x)] >3x − 1

42x3

− (1 − 6 + 3x) >3x − 1

42x3

− (3x − 5) >3x − 1

42x3

− 3x + 5 >3x − 1

4

/· 12

8x − 36x + 60 > 9x − 3

8x − 36x − 9x > −3 − 60

−37x > −63

/·(− 1

37

)x <

6337

;

2) x − 12

[x3− 1

2

(x4− 1

3

)]� x − x − 7

12

x − 12

(x3− x

8+

16

)� 12x

12− x − 7

12

x − 12

(5x24

+16

)� 11x + 7

12

x − 5x48

− 112

� 11x + 712

43x48

− 112

� 11x + 712

/· 48

43x − 4 � 44x + 28

−x � 32 / · (−1)x � −32;

129

3 RJESENJA ZADATAKA

3)x + 1

4− 3

[x2− 2

3

(x − 1

2

)]� 1 − x − 6

6

x + 14

− 3

(x2− 2x

3+

13

)� 6 − x + 6

6

x + 14

− 3

(− x

6+

13

)� 12 − x

6x + 1

4+

x2− 1 � 12 − x

6x + 1 + 2x − 4

4� 12 − x

63x − 3

4� 12 − x

6

/· 12

9x − 9 � 24 − 2x

11x � 33 / : 11

x � 3;

Zadatak 3. 1) 1 − 2x + 13

<x2− x − 3

6; 2)

x + 14

− x − 13

� x − 2x + 16

;

3)3 − 2x

4− 1 >

x3− 5x + 1

6; 4) 2x − 2x − 3

3� 3x + 1

4− x + 3

6;

5)2x − 1

3− 3x + 1

4< 1 − x

12; 6)

x − 12

− x − 23

− x − 34

< 1 − x − 48

.

Rjesenje. 1) 1 − 2x + 13

<x2− x − 3

6

/· 6

6 − 4x − 2 < 2x + 3

−6x < −1

/·(−1

6

)x >

16;

2)x + 1

4− x − 1

3� x − 2x + 1

6

/· 12

3x + 3 − 4x + 4 � 12x − 4x − 2

−9x � −9

/·(−1

9

)x � 1;

3)3 − 2x

4− 1 >

x3− 5x + 1

6

/· 12

9 − 6x − 12 > 4x − 10x − 2

−3 > −2.

Nejednadzba nema rjesenja, ona je ekvivalentna netocnoj nejednakosti −3 >−2 ;

4) 2x − 2x − 33

� 3x + 14

− x + 36

/· 12

24x − 8x + 12 � 9x + 3 − 2x − 6

9x � −15

/· 19

x � −53;

130

3

5)2x − 1

3− 3x + 1

4< 1 − x

12

/· 12

8x − 4 − 9x − 3 < 12 − x

−7 < 12;Rjesenje nejednadzbe je svaki realni broj x , nejednadzba je ekvivalentna tocnojnejednakosti −7 < 12 ;

6)x − 1

2− x − 2

3− x − 3

4< 1 − x − 4

8

/· 24

12x− 12 − 8x + 16 − 6x + 18 < 24 − 3x + 12

x < 14.

Zadatak 4. 1)(2x − 1)2

4− (3x − 1)(3x + 1)

9<

13− 2x + 3

12;

2)(

13− 2x

)·(

13

+ 2x

)> x − (4x + 3)2

4;

3) (x − 2)3 − (x + 2)3 < 2(1 − 2x)(1 + 3x) ;

4)(x + 1)3

2− (2x − 1)3

16<

(3x + 1)2

4.

Rjesenje. 1)(2x − 1)2

4− (3x − 1)(3x + 1)

9<

13− 2x + 3

12

/· 36

9(2x − 1)2 − 4(3x − 1)(3x + 1) < 12 − 3(2x + 3)

9(4x2 − 4x + 1) − 4(9x2 − 1) < 12 − 6x − 9

36x2 − 36x + 9 − 36x2 + 4 < 3 − 6x

−30x < −10

/·(− 1

30

)x >

13;

2)(

13− 2x

)·(

13

+ 2x

)> x − (4x + 3)2

4(13

)2

− (2x)2 >4x − (4x + 3)2

4

19− 4x2 >

4x − 16x2 − 24x− 94

/· 36

4 − 144x2 > 9 · (−16x2 − 20x − 9)

4 − 144x2 > −144x2 − 180x− 81

4 > −180x− 81

180x > −85

/·(

1180

)x > −17

36;

131

3 RJESENJA ZADATAKA

3) (x − 2)3 − (x + 2)3 < 2(1 − 2x)(1 + 3x)

(x − 2 − x − 2)[(x − 2)2 + (x − 2)(x + 2) + (x + 2)2] < 2(1 + 3x − 2x − 6x2)

−4(x2 − 4x + 4 + x2 − 4 + x2 + 4x + 4) < 2 + 2x − 12x2

−4(3x2 + 4) < 2 + 2x − 12x2

−12x2 − 16 < 2 + 2x − 12x2

−16 < 2 + 2x

−18 < 2x

/· 12

x > −9;

4)(x + 1)3

2− (2x − 1)3

16<

(3x + 1)2

4

/· 16

8(x + 1)3 − (2x − 1)3 < 4(3x + 1)2

[2(x + 1)]3 − (2x − 1)3 < 4(9x2 + 6x + 1)

(2x + 2)3 − (2x − 1)3 < 36x2 + 24x + 4

[(2x+2)−(2x−1)][(2x+2)2+(2x+2)(2x−1)+(2x−1)2]<36x2+24x+4

(2x+2−2x+1)(4x2+8x+4+4x2−2x+4x−2 + 4x2−4x+1)<36x2+24x+4

3 · (12x2 + 6x + 3) < 36x2 + 24x + 4

36x2 + 18x + 9 < 36x2 + 24x + 4

−6x < −5

x >56;

Zadatak 5. Odredi najveci cijeli broj koji je rjesenje nejednadzbe14(2x+1)−0.2(3x+1) >

−13

.

Rjesenje.

14(2x + 1) − 0.2(3x + 1) > −1

312x +

14− 0.6 − 0.2 > −1

3

−0.1x > −14

+15− 1

3

x <236

Najveci cijeli broj koji je rjesenje nejednadzbe je x = 3 .

Zadatak 6. Odredi najmanji cijeli broj koji je rjesenje nejednadzbe 49.4 − 27 − x10

<

47.4 − 27 − 9x10

.

132

3

Rjesenje.

49.4 − 27 − x10

< 47.4 − 27 − 9x10

2 <27 − x − 27 + 9x

1020 < 8x

x >52

Najmanji cijeli broj koji je rjesenje nejednadzbe je x = 3 .

Zadatak 7. Uvjeri se da je svaki realni broj x rjesenje nejednadzbe 3.5(x+1) > 4x− x − 12

.

Rjesenje.

3.5(x + 1) > 4x − x − 12

/ · 27x + 7 > 8x − x + 1

6 > 0

Nejednadzba je ekvivalentna nejednakosti 6 > 0 pa je svaki realni broj xrjesenje nejednadzbe.

Zadatak 8. Nejednadzbax − 1

2−1.2 >

2x − 15

+x10

nema rjesenja. Provjeri ovu tvrdnju.

Rjesenje.

x − 12

− 1.2 >2x − 1

5+

x10

/ · 10

5x − 5 − 12 > 4x − 2 + x

15 < 0

Nejednadzba je ekvivalentna nejednakosti 15 < 0 pa nejednadzba nema rjese-nja.

Zadatak 9. Za koje je vrijednosti realnog broja m rjesenje jednadzbe mx + 3x = 5 pozi-tivan broj?

Rjesenje. mx + 3x = 5 , x(m + 3) = 5 , x =5

m + 3> 0 , m + 3 > 0 . Za m > −3 je

rjesenje jednadzbe mx + 3x = 5 pozitivan broj.

Zadatak 10. Za koje je vrijednosti realnog broja m rjesenje jednadzbemx2

− 3 = 2(x−m)negativan broj?

133

3 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje.

mx2

− 3 = 2(x − m) / · 2mx − 6 = 4x − 4m

x(m − 4) = 6 − 4m

x =2(3 − 2m)

m − 4< 0, m �= 4

1◦ 3 − 2m < 0 i m − 4 > 0 2◦ 3 − 2m > 0 i m − 4 < 0

m >32

i m > 4 m <32

i m < 4

m > 4 m <32

Za m <32

ili m > 4 rjesenje jednadzbemx2

−3 = 2(x−m) je negativan broj.

Zadatak 11. Za koje vrijednosti realnog broja m rjesenje jednadzbemx + 1

2− x + 1

3=

1 − m − x6

pripada intervalu 〈−1, 1〉 ?

Rjesenje.mx + 1

2− x + 1

3= 1 − m − x

6/ · 6

3mx + 3 − 2x − 2 = 6 − m + x

x(3m − 3) = 5 − m

x =5 − m

3(m − 1)

−1 <5 − m

3(m − 1)< 1 / · 3

5 − mm − 1

+ 3 > 0 i5 − mm − 1

− 3 < 0

5 − m + 3m − 3m − 1

> 0 i5 − m − 3m + 3

m − 1< 0

2(1 + m)m − 1

> 0 i4(2 − m)m − 1

< 0

1 + mm − 1

> 0 i2 − mm − 1

< 0

m − 1 > 0 i 1 + m > 0 i 2 − m < 0

m > 1 i m > −1 i m > 2

m > 2

m − 1 < 0 i 1 + m < 0 i 2 − m > 0

m < 1 i m < −1 i m < 2

m < −1

Za m < −1 ili m > 2 rjesenje jednadzbemx + 1

2− x + 1

3= 1 − m − x

6pripada intervalu 〈−1, 1〉 .

134

3

Zadatak 12. Marko kupuje racunaloMarko namjerava kupiti prijenosno racunalo i pritom raspolaze s 3 600 kn go-tovine. Na cijene izlozene u trgovini zaracunava se porez na dodanu vrijednost(PDV) u iznosu od 25 %, a ako se placa u gotovini cijena s pridodanimPDV-omumanjuje se za 10 %.

1) Moze li Marko kupiti prijenosno racunalo na slici?2) Moze li Marko kupiti i skuplje racunalo? Koliku najvisu cijenu (bez PDV-a

i popusta) moze “podnijeti” njegov dzep?3) Koliko se na tu najvisu cijenu zaracunava PDV-a, a koliki je popust za

gotovinu?

Rjesenje. 1) Kad na cijenu od 3 000 kn dodamo 25 % poreza na dodanu vrijednost (PDV)bit ce to ukupno 3 750 kn. Oduzmemo li od toga 10 % popusta na gotovinskoplacanje dobit cemo konacnu cijenu 3 375 kn. Zakljucujemo da Marko mozekupiti izlozeno prijenosno racunalo uz uvjet da placa gotovinom.2) Iz c · 1.125 � 3 600 slijedi c � 3200 , sto znaci da Marko uz zadaneuvjete moze kupiti i skuplje racunalo, ali najvise ono s istaknutom cijenom od3 200 kn.3) Kad bi Marko kupio racunalo po cijeni 3 200 kn na to bi morao dodati 25 %PDV-a sto bi ukupno iznosilo 4 000 kn. Nakon popusta za gotovinsko placanjeod 10 % dobije se 3 600 kn, a upravo s toliko novca Marko raspolaze.

Zadatak 13. Pismeni ispitPismeni ispit sastojao se od 30 pitanja. Svaki tocan odgovor donosio je 2boda. Za zadatak koji nije rijesen oduziman je jedan bod. Ocjene su potomraspore -dene prema sljedecoj skali:

20 – 30 bodova dovoljan31 – 40 bodova dobar41 – 50 bodova vrlo dobar51 – 60 bodova odlican

1) Koju je ocjenu dobio ucenik/ ucenica koji/ koja je tocno rijesio/ rijesila 23zadatka?

135

3 RJESENJA ZADATAKA

2) Koliko je zadataka tocno rijesio ucenik/ ucenicakoji/ koja je sakupio/ sakupila39 bodova?

3) Koliko zadataka mora rijesiti ucenik/ ucenica koji/ koja zeli dobiti ocjenuvrlo dobar?

4) Moze li broj osvojenih bodova biti negativan?

Rjesenje. 1) Ucenik koji je rijesio tocno 20 zadataka sakupio je ukupno 20·2+10·(−1) =30 bodova, a to znaci da je dobio ocjenu dovoljan.2) Iz jednadzbe 2x + (30 − x) · (−1) = 39 , gdje je x broj tocno rijesenihzadataka, slijedi x = 23 .3) Iz uvjeta 41 � 2x + (30 − x) · (−1) � 50 slijedi 71 � 3x � 80 pa zaklju-cujemo kako je za vrlo dobru ocjenu potrebno rijesiti 24, 25 ili 26 zadataka.4) Ako sa x oznacimo broj tocno rijesenih zadataka u ovom ispitu, tada jeukupan broj osvojenih bodova jednak 3x− 30 . Nakon rjesavanja nejednadzbe3x − 30 < 0 zakljucit cemo da je za manje od 10 tocno rijesenih zadatakaukupan broj bodova negativan.

Zadatak 14. Najam automobilaIznajmljivac automobila nudi dvije mogucnosti najma automobila: 150 kn podanu i 0.5 kn po prije -denomkilometru ili 250 kn po danu bez dodatnog placanjapo prije -denom kilometru.1) Ako zelite unajmiti automobil na 3 dana uz koji ce uvjet biti povoljnije da

taj najam bude po prvoj tarifi?2) Uz koji ce uvjet opcenito iznajmljivanje po prvoj tarifi biti povoljnije nego

po drugoj?

Rjesenje. 1) Ako je k broj prije -denih kilometara, onda je ukupan trosak po prvoj tarifi zatrodnevni najam jednak 150 ·3+0.5k . Po drugoj tarifi trosak je jednak 250 ·3i on ne ovisi o broju prije -denih kilometara. Iz uvjeta 150 · 3 + 0.5k < 250 · 3slijedi 0.5k < 300 te je k < 600 km. Dakle, odabir prve tarife u trodnevnomnajmu automobila povoljniji je ako se automobil uzima u najam za put kraci od600 km.2) Uzmimo da auto unajmljujemo na d dana pri cemu cemo prijeci k kilome-tara. Tada bi trosak po prvoj tarifi iznosio 150d + 0.5k , a po drugoj 250d . Izuvjeta 150d + 0.5k < 250d slijedi k < 200d .

Zadatak 15. S punim spremnikom u koji stane 55 litara goriva automobil moze prevaliti iz-me -du 650 i 700 km. Koliki put taj automobil moze prijeci ako su u spremniku33 litre goriva?

Rjesenje. Neka je V obujam spremnika, d put koji automobil prije -de s punim spremni-

kom. Dakle, 650 < d < 700 . Kako je 33 l goriva35

njegova obujma, tada

imamo 390 <35d < 420 .

Zadatak 16. Nina je u posjeti prijateljici u Kanadi i zeli je iznenaditi kolacem koji ce samaispeci. Ali na stednjaku su oznake u stupnjevima Fahrenheita. Nina zna da sebiskvit pece na temperaturi od 180 ◦C do 190 ◦C i da su temperaturne skaleu Fahrenheitovim stupnjevima (F ◦ ) i Celzijevim stupnjevima (C ◦ ) vezane

jednakosscu F=95

C+32 . Procijenila je da bi pecnicu valjalo postaviti na

400 ◦F . Je li donijela dobru odluku? U kojim granicama moze biti temperaturau pecnici kako bi se kolac dobro ispekao?

136

3

Rjesenje. Iz 180 <C< 190 slijedi 356 <95

C+32 < 374 . Postoji opasnost da Nina

prepece biskvit jer je 400 ◦F temperatura iznad gornje dopustive granice.

Zadatak 17. U poduzecu “Ured” koristili su se uslugama umnozavanja kopiraonice “Pres-lik” u kojoj je cijena 15 lipa po stranici. No u “Uredu” su odlucili stedjeti pa sunabavili svoj stroj za kopiranje cija je cijena 6300 kn, a preslika jedne stranicena tom stroju stoji 3 lipe. Koliko najmanje kopija trebaju napraviti u “Uredu”na svojem stroju kako bi im se isplatila nabavka? Ako do prvog servisa strojizvuce 150 000 kopija, kolika je usteda?

Rjesenje. Trosak kopiranja u “Uredu” za n kopija iznosi 0.03n + 6300 , a za isti brojkopija trosovi u “Presliku” iznosili bi 0.15n . Zahtjev 0.03n + 6300 < 0.15nispunjen je za n > 52 500 .Ako bi se svih 150 000 kopija platilo “Presliku” to bi iznosilo 22 500 kn. Atroskovi istog posla u “Uredu” stoje 10 800 kn pa je uste -deno 11 700 kn.

Zadatak 18. Teta Inka se odlucila na dijetu kako bi smanjila svoju tjelesnu tezinu s 80 kg na65 do najvise 68 kg. Dijeta koju je primijenila tjedno odnosi 75 dkg. Kolikotjedana teta Inka mora biti na dijeti kako bi ostvarila svoj cilj?

Rjesenje. Iz 65 � 80 − 0.75t � 68 slijedi 12 � 0.75t � 15 te je 16 � t � 20 . TetaInka mora biti na dijeti najmanje 16, a najvise 20 tjedana kako bi ostvarila svojcilj.

Zadatak 19. Marija zeli nabaviti mobitel i dvoumi se izme -du dva operatera. Kod prvogamjesecna je pretplata 100 kn u sto je ukljuceno 100 minuta razgovora, a svaka sedodatna minuta naplacuje 25 lipa. Mjesecna pretplata kod drugog je operatera125 kn sto ukljucuje tako -der 100 minuta razgovora, a svaka se dodatna minutanaplacuje 20 lipa. Ako se Marija odluci za drugog operatera koliko minutarazgovora smije obaviti kako bi mogla zakljuciti da je donijela dobru odluku?

Rjesenje. Neka je m broj minuta dodatnih razgovora. Tada mora biti 0.20m + 125 <0.25 + 100 . Odatle slijedi m > 500 .

Zadatak 20. Rijesi sljedece sustave nejednadzbi:

1)

{10 − 4x > 3(1 − x)3.5 +

x4

< 2x 2)

{6 − 2x > 3(x − 3)0.5 − x

2< x

3)

⎧⎪⎨⎪⎩

0.3x +x6

>x + 1

22x − 5

3− x >

x2

4)

⎧⎪⎨⎪⎩

x − x − 0.55

<3x2

− 0.12x − 1

3− 0.25 >

x4

5)

⎧⎪⎨⎪⎩

4x − 35

− 0.1 >x2

4 − x2

>x3

6)

⎧⎪⎨⎪⎩

2x3

− 1 < 0.2xx − 1

5+ 2 <

x2

137

3 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1) Rijesimo svaku nejednadzbu sustava posebno.

10 − 4x > 3(1 − x) 3.5 +x4

< 2x

10 − 4x > 3 − 3x3510

+x4

< 2x

−x > −772

+x4

< 2x / · 4x < 7 14 + x < 8x

14 < 7x

x > 2Rjesenje sustava presjek je skupova rjesenja dvaju nejednadzbi koje cine sustav.To je interval x ∈ 〈 2, 7〉 ;

2)

6 − 2x > 3(x − 3) 0.5 − x2

< x

6 − 2x > 3x − 912− x

2< x / · 2

−5x > −15 / : (−5) 1 − x < 2x

x < 3; 1 < 3x

x >13;

x ∈⟨

13, 3

⟩;

3)

0.3x +x6

>x + 1

22x − 5

3− x >

x2

/ · 6310

x +x6

>x + 1

2/ · 30 4x − 10 − 6x > 3x

9x + 5x > 15x + 15 −5x > 10

−x > 15 x < −2;

x < −15;

x ∈ 〈−∞,−15〉 ;

138

3

4)

x − x − 0.55

<3x2

− 0.12x − 1

3− 0.25 >

x4

x − x − 12

5<

3x2

− 110

2x − 13

− 14

>x4

/ · 12

x − 2x − 110

<3x2

− 110

/ · 10 8x − 4 − 3 > 3x

10x− 2x + 1 < 15x − 1 5x > 7

−7x < −2 x >75;

x >27;

x ∈⟨

75, +∞

⟩;

5)4x − 3

5− 0.1 >

x2

4 − x2

>x3

/ · 64x − 3

5− 1

10>

x2

/ · 10 12 − 3x > 2x

8x − 6 − 1 > 5x −5x > −12

3x > 7 x <125

;

x >73;

x ∈⟨

73,125

⟩;

6)2x3

− 1 < 0.2xx − 1

5+ 2 <

x2

/ · 10

2x3

− 1 <15x / · 15 2x − 2 + 20 < 5x

10x− 15 < 3x −3x < −18

7x < 15 x > 6;

x <157

;

139

3 RJESENJA ZADATAKA

Iz prve nejednadzbe slijedi x <157

, a iz druge x > 6 . Sustav nema rjesenja

jer ne postoji realni broj x koji je i veci od 6 i manji od157

.

Zadatak 21. 1) −12x2(x − 5) � 0 ; 2) x(x − 1)2 > 0 ;

3) (3x − 2)(4x2 + 3) � 0 ; 4) (x + 1)(x2 + 1) � 0 ;

5)−3

2x + 5� 0 ; 6)

2 − 3xx2 − 4x + 4

< 0 ;

7)−2

−x + 1< 0 ; 8)

x2 + 12x − 1

� 0 .

Rjesenje. 1) Za x = 0 , −12x2(x − 5) = 0 , pa je x = 0 jedno rjesenje. Za x �= 0

−12x2 < 0 pa slijedi da mora biti (x − 5) � 0 ., odnosno x � 5 . Rjesenje

polazne nejednadzbe je x � 5 ili x = 0 ;

2) (x − 1)2 � 0 , pa je nejednadzba ekvivalentna sustavu nejednadzbi:{x > 0,(x − 1)2 > 0.

(x−1)2 � 0 , za svaki x ∈ R , jos treba vrijediti (x−1)2 �= 0 , odnosno x �= 1 .Rjesenje polazne nejednadzbe je x > 0 , x �= 1 ;

3) Zbog 4x2 + 3 > 0 za svaki x ∈ R nejednadzba se svodi na rjesavanjenejednadzbe 3x − 2 � 0 .

3x − 2 � 0, 3x � 2, x � 23.

Rjesenje polazne nejednadzbe je x � 23

;

4) Zbog x2 + 1 > 0 za svaki x ∈ R nejednadzba se svodi na rjesvanjenejednadzbe x + 1 � 0 .

x + 1 � 0, x � −1.

Rjesenje polazne nejednadzbe je x � −1 ;5) Zbog −3 < 0 nejednadzba se svodi na rjesavanje nejednadzbe 2x + 5 < 0 .

2x + 5 < 0, 2x < −5, x < −52.

Rjesenje polazne nejednadzbe je x < −52

;

6) Sre -divanjem dobijemo2 − 3x

(x − 2)2< 0 ; (x− 2)2 je veci ili jednak 0 za svaki

x ∈ R . U zadanoj nejednadzbi se nalazi u nazivniku pa mora biti razlicit od0 , to jest x − 2 �= 0 , x �= 2 . Sada se rjesavanje polazne nejednadzbe svodi narjesavanje nejednadzbe 2 − 3x < 0 .

2 − 3x < 0, −3x < −2, x >23.

140

3

Rjesenje polazne nejednadzbe je x >23

, x �= 2 .

7) Zbog −2 < 0 nejednadzba se svodi na rjesavanje nejednadzbe −x+1 > 0 .

−x + 1 > 0, −x > −1, x < 1.

Rjesenje polazne nejednadzbe je x < 1 ;

8)Zbog x2+1 > 0 nejednadzba se svodi na rjesavanje nejednadzbe 2x−1 > 0 .

2x − 1 > 0, 2x > 1, x >12.

Rjesenje polazne nejednadzbe je x >12

;

Zadatak 22. 1) (x − 1)(x − 2) > 0 ; 2) (2x − 1)(x + 5) � 0 ;

3) (4x + 1)(1 − 3x) > 0 ; 4) (3x + 5)(4x + 7) � 0 ;

5) (5x − 1)(2 − 7x) � 0 ; 6) (4x − 3)(3x − 4) � 0 .

Rjesenje. 1) Nejednadzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadzbi.

1){

x − 1 > 0,x − 2 > 0, ili 2)

{x − 1 < 0,x − 2 < 0.

Rjesenje sustava 1) je x > 2 , a sustava 2) x < 1 , pa je rjesenje polaznenejednadzbe x < 1 ili x > 2 ;2) Nejednadzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadzbi.

1){

2x − 1 � 0,x + 5 � 0, ili 2)

{2x − 1 � 0,x + 5 � 0.

1) 2x − 1 � 0 x + 5 � 0

2x � 1 x � −5

x � 12

2) 2x − 1 � 0 x + 5 � 0

2x � 1 x � −5

x � 12

Rjesenje sustava 1) je −5 � x � 12

, a sustav 2) nema rjesenja, pa je rjesenje

polazne nejednadzbe −5 � x � 12

;

3) Nejednadzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadzbi.

1){

4x + 1 > 0,1 − 3x > 0, ili 2)

{4x + 1 < 0,1 − 3x < 0.

1) 4x + 1 > 0 1 − 3x > 0

x > −14

x <13

2) 4x + 1 < 0 1 − 3x < 0

x < −14

x >13

Rjesenje sustava 1) je −14

< x <13


polazne nejednadzbe −14

< x <13

;


1){

3x + 5 � 0,4x + 7 � 0, ili 2)

{3x + 5 � 0,4x + 7 � 0.

141

3 RJESENJA ZADATAKA

1) 3x + 5 � 0 4x + 7 � 0

x � −53

x � −74;

2) 3x + 5 � 0 4x + 7 � 0

x � −53

x � −74;


� x � −53



� x � −53

;


1){

5x − 1 � 0,2 − 7x � 0, ili 2)

{5x − 1 � 0,2 − 7x � 0.

1) 5x − 1 � 0 2 − 7x � 0

x � 15

x � 27;

2) 5x − 1 � 0 2 − 7x � 0

x � 15

x � 27;

Rjesenje sustava 1) je x � 15

, a sustava 2) x � 27

, pa je rjesenje polazne

nejednadzbe x � 15

ili x � 27

;


1){

4x − 3 � 0,3x − 4 � 0, ili 2)

{4x − 3 � 0,3x − 4 � 0.

1) 4x − 3 � 0 3x − 4 � 0

x � 34

x � 43;

2) 4x − 3 � 0 3x − 4 � 0

x � 34

x � 43;


, a sustava 2) x � 34


nejednadzbe x � 34

ili x � 43

.

Zadatak 23. 1)x − 3x + 3

� 0 ; 2)2x + 13x + 2

� 0 ; 3)x

1 − 7x< 0 ;

4)2x + 13 − 5x

� 0 ; 5)3x + 22x − 5

> 0 ; 6)5 − 3x3 − 5x

> 0 ;

7)−3x + 82x − 1

� 0 ; 8)1 − 2x2x + 3

� 0 .

Rjesenje. 1) Nejednadzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadzbi.

1){

x − 3 � 0,x + 3 > 0, ili 2)

{x − 3 � 0,x + 3 < 0.

1) x − 3 � 0 x + 3 > 0

x � 3 x > −3;

2) x − 3 � 0 x + 3 < 0

x � 3 x < −3;

Rjesenje sustava 1) je x � 3 , a sustava 2) x < −3 , pa je rjesenje polaznenejednadzbe x < −3 ili x � 3 ;2) Nejednadzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadzbi.

1){

2x + 1 � 0,3x + 2 > 0, ili 2)

{2x + 1 � 0,3x + 2 < 0.

142

3

1) 2x + 1 � 0 3x + 2 > 0

x � −12

x > −23;

2) 2x + 1 � 0 3x + 2 < 0

x � −12

x < −23;


< x � −12



< x � −12

;


1){

x < 0,1 − 7x > 0, ili 2)

{x > 0,1 − 7x < 0.

1) x < 0 1 − 7x > 0

x <17;

2) x > 0 1 − 7x < 0

x >17;

Rjesenje sustava 1) je x < 0 , a sustava 2) x >17


nejednadzbe x < 0 ili x >17

;


1){

2x + 1 � 0,3 − 5x > 0, ili 2)

{2x + 1 � 0,3 − 5x < 0.

1) 2x + 1 � 0 3 − 5x > 0

x � −12

x <35;

2) 2x + 1 � 0 3 − 5x < 0

x � −12

x >35;


� x <35



� x <35

;


1){

3x + 2 > 0,2x − 5 > 0, ili 2)

{3x + 2 < 0,2x − 5 < 0.

1) 3x + 2 > 0 2x − 5 > 0

x > −23

x >52;

2) 3x + 2 < 0 2x − 5 < 0

x < −23

x <52;

Rjesenje sustava 1) je x >52

, a sustava 2) x < −23


nejednadzbe x < −23

ili x >52

;


1){

5 − 3x > 0,3 − 5x > 0, ili 2)

{5 − 3x < 0,3 − 5x < 0.

1) 5 − 3x > 0 3 − 5x > 0

x <53

x <35;

2) 5 − 3x < 0 3 − 5x < 0

x >53

x >35;

143

3 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje sustava 1) je x <35

, a sustava 2) x >53


nejednadzbe x <35

ili x >53

;


1){ −3x + 8 � 0,

2x − 1 > 0, ili 2){ −3x + 8 � 0,

2x − 1 < 0.

1) − 3x + 8 � 0 2x − 1 > 0

x � 83

x >12;

2) − 3x + 8 � 0 2x − 1 < 0

x � 83

x <12;


, a sustava 2) x <12


nejednadzbe x <12

ili x � 83

;


1){

1 − 2x � 0,2x + 3 > 0, ili 2)

{1 − 2x � 0,2x + 3 < 0.

1) 1 − 2x � 0 2x + 3 > 0

x � 12

x > −32;

2) 1 − 2x � 0 2x + 3 < 0

x � 12

x < −32;


, a sustava 2) x < −32



ili x � 12

.

Zadatak 24. 1)x

x + 1> 1 ; 2)

2x − 12x + 1

< 1 ;

3)3x + 12x − 3

<32

; 4)x2 + 22x + 1

� 1 ;

5)x2 + 62x − 1

� 3 ; 6)x2

2x − 1� 1 ;

7)x2

x − 1� x + 1 ; 8)

x2 + 2xx + 1

� x + 1 .

Rjesenje. 1) Nejednadzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli.

xx + 1

− 1 > 0

x − (x + 1)x + 1

> 0

x − x − 1x + 1

> 0

−1x + 1

> 0.

Buduci da je −1 < 0 mora biti x + 1 < 0 , x < −1 ;

144

3

2) Nejednadzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli.

2x − 12x + 1

− 1 < 0

2x − 1 − (2x + 1)2x + 1

< 0

2x − 1 − 2x − 12x + 1

< 0

−22x + 1

< 0.

Buduci da je −2 < 0 mora biti 2x + 1 > 0 , x > −12

;


3x + 12x − 3

− 32

< 0

2(3x + 1) − 3(2x− 3)2(2x − 3)

< 0

6x + 2 − 6x + 94x − 6

< 0

114x − 6

< 0.

Buduci da je 11 > 0 mora biti 4x − 6 < 0 , x <32

;


x2 + 22x + 1

− 1 � 0

x2 + 2 − 2x − 12x + 1

� 0

x2 − 2x + 12x + 1

� 0

(x − 1)2

2x + 1� 0.

Iz (x − 1)2 � 0 slijedi da je jedno od rjesenja kada je (x − 1)2 = 0 , to

jest x = 1 , a za x �= 1 mora biti 2x + 1 < 0 , x < −12

. Rjesenje polazne

nejednadzbe je x < −12

ili x = 1 ;

145

3 RJESENJA ZADATAKA


x2 + 62x − 1

− 3 � 0

x2 + 6 − 6x + 32x − 1

� 0

x2 − 6x + 92x − 1

� 0

(x − 3)2

2x − 1� 0.

Iz (x − 3)2 � 0 slijedi da je jedno od rjesenja kada je (x − 3)2 = 0 , to jest

x = 3 , a za x �= 3 mora biti 2x−1 < 0 , x <12

. Rjesenje polazne nejednadzbe

je x <12

ili x = 3 ;


x2

2x − 1− 1 � 0

x2 − 2x + 12x − 1

� 0

(x − 1)2

2x − 1� 0.

Izraz(x − 1)2

2x − 1jednak je nuli za x = 1 . Za x �= 1 zbog (x − 1)2 > 0 ,

nejednadzba je veca od 0 kada je 2x − 1 > 0 , odnosno x >12

u sto ulazi i

rjesenje x = 1 . Rjesenje polazne nejednadzbe je x >12

;


x2

x − 1− (x + 1) � 0

x2 − (x + 1)(x − 1)x − 1

� 0

x2 − x2 + 1x − 1

� 0

1x − 1

� 0.

Buduci da je 1 > 0 mora biti x − 1 < 0 , x < 1 ;

146

3


x2 + 2xx + 1

− (x + 1) � 0

x2 + 2x − (x + 1)2

x + 1� 0

x2 + 2x − x2 − 2x − 1x + 1

� 0

−1x + 1

� 0.

Buduci da je −1 < 0 mora biti x + 1 > 0 , x > −1 .

Zadatak 25. 1)2x

x + 3< 1 ; 2)

x − 12x + 3

� 2 ; 3)x − 22x + 5

<12

;

4)1

x + 2< 3 ; 5)

x + 12x − 1

� 1 ; 6)2x − 1x + 3

<32

.


2xx + 3

− 1 < 0

2x − x − 3x + 3

< 0

x − 3x + 3

< 0.

Nejednadzba je ekvivalentna uniji dvaju sustava nejednadzbi.

1){

x − 3 < 0, x < 3x + 3 > 0, x > −3 ili 2)

{x − 3 > 0, x > 3,x + 3 < 0, x < −3.

Rjesenje sustava 1) je −3 < x < 3 , a sustav 2) nema rjesenja, pa je rjesenjepolazne nejednadzbe −3 < x < 3 ;2) Nejednadzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli.

x − 12x + 3

− 2 � 0

x − 1 − 4x − 62x + 3

� 0

−3x − 72x + 3

� 0.


1)

⎧⎪⎨⎪⎩

−3x − 7 � 0, x � −73

2x + 3 > 0, x > −32

ili 2)

⎧⎪⎨⎪⎩

−3x − 7 � 0, x � −73

2x + 3 < 0, x < −32.

Sustav 1) nema rjesenja, a rjesenje sustava 2) je −73

� x < −32

, pa je rjesenje


� x < −32

;

147

3 RJESENJA ZADATAKA


x − 22x + 5

− 12

< 0

2x − 4 − 2x − 54x + 10

< 0

−94x + 10

< 0.

Buduci da je −9 < 0 mora biti 4x + 10 > 0 , x > −52

;


1x + 2

− 3 < 0

1 − 3x − 6x + 2

< 0

−3x − 5x + 2

< 0.


1)

{−3x − 5 < 0, x > −5

3x + 2 > 0, x > −2

ili 2)

{−3x− 5 > 0, x < −5

3x + 2 < 0, x < −2.

Rjesenje sustava 1) je x > −53

, a rjesenje sustava 2) je x < −2 , pa je rjesenje

polazne nejednadzbe x < −2 ili x > −53

;


x + 12x − 1

− 1 � 0

x + 1 − 2x + 12x − 1

� 0

−x + 22x− 1

� 0.


1)

{ −x + 2 � 0, x � 2

2x − 1 > 0, x >12

ili 2)

{ −x + 2 � 0, x � 2

2x − 1 < 0, x <12.

Rjesenje sustava 1) je x � 2 , a rjesenje sustava 2) je x <12

, pa je rjesenje

polazne nejednadzbe x <12

ili x � 2 ;


2x − 1x + 3

− 32

< 0

4x − 2 − 3x − 92x + 6

< 0

x − 112x + 6

< 0.

148

3


1){

x − 11 < 0, x < 112x + 6 > 0, x > −3; ili 2)

{x − 11 > 0, x > 112x + 6 < 0, x < −3.

Rjesenje sustava 1) je −3 < x < 11 , a sustav 2) nema rjesenja, pa je rjesenjepolazne nejednadzbe −3 < x < 11 .

Zadatak 26. 1)x − 12x − 1

� 13

; 2)x

2x + 3� 2

3; 3)

x + 1x

� 23

;

4)2x − 1x + 2

� 3 ; 5)1 − x2x + 3

� 1 ; 6)x − 12x − 1

� 23

.


x − 12x − 1

− 13

� 0

3x − 3 − 2x + 12x − 1

� 0

x − 22x − 1

� 0.


1)

{x − 2 � 0, x � 2

2x − 1 > 0, x >12

ili 2)

{x − 2 � 0, x � 2

2x − 1 < 0, x <12.

Rjesenje sustava 1) je12

< x � 2 , sustav 2) nema rjesenja, pa je rjesenje

polazne nejednadzbe12

< x � 2 ;


x2x + 3

− 23

� 0

3x − 4x − 62x + 3

� 0

−x − 62x + 3

� 0.


1)

{ −x − 6 � 0, x � −6

2x + 3 > 0, x > −32;

ili 2)

{ −x − 6 � 0, x � −6

2x + 3 < 0, x < −32.

Sustav 1) nema rjesenje, a rjesenje sustava 2) je −6 � x < −32

, pa je rjesenje

polazne nejednadzbe −6 � x < −32

;

149

3 RJESENJA ZADATAKA


x + 1x

− 23

� 0

3x + 3 − 2x3x

� 0

x + 33x

� 0.


1){

x + 3 � 0, x � −33x > 0, x > 0; ili 2)

{x + 3 � 0, x � −33x < 0, x < 0.

Rjesenje sustava 1) je x > 0 , a sustava 2) je x � −3 , pa je rjesenje polaznenejednadzbe x � −3 ili x > 0 ;4) Nejednadzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli.

2x − 1x + 2

− 3 � 0

2x − 1 − 3x − 6x + 2

� 0

−x − 7x + 2

� 0.


1){ −x − 7 � 0, x � −7

x + 2 > 0, x > −2; ili 2){ −x − 7 � 0, x � −7

x + 2 < 0, x < −2.

Sustav 1) nema rjesenje, a rjesenje sustava 2) je −7 � x < −2 , pa je rjesenjepolazne nejednadzbe −7 � x < −2 ;5) Nejednadzbu prevedemo u ekvivalentnu kojoj je desna strana jednaka nuli.

1 − x2x + 3

− 1 � 0

1 − x − 2x − 32x + 3

� 0

−3x − 22x + 3

� 0.


1)

⎧⎪⎨⎪⎩

−3x − 2 � 0, x � −23

2x + 3 > 0, x > −32;

ili 2)

⎧⎪⎨⎪⎩

−3x − 2 � 0, x � −23

2x + 3 < 0, x < −32.

Rjesenje sustava 1) je x � −23

, a sustava 2) je x < −32



ili x � −23

;

150

3


x − 12x − 1

− 23

� 0

3x − 3 − 3 − 4x + 26x − 3

� 0

−x − 16x − 3

� 0.


1)

{ −x − 1 � 0, x � −1

6x − 3 > 0, x >12;

ili 2)

{ −x − 1 � 0, x � −1

6x − 3 < 0, x <12.

Rjesenje sustava 1) je x >12

, a sustava 2) je x � −1 , pa je rjesenje polazne

nejednadzbe x � −1 ili x >12

.

Zadatak 27. 1) (1 − x)(1 − 2x)(1 − 3x) > 0 ; 2) (2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) < 0 ;

3)x − 1

(x + 2)(x + 3)< 0 ; 4)

(x + 1)(x + 2)x − 3

> 0 .

Rjesenje. 1) Cetiri su mogucnosti

1)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1 − x > 0, x < 1

1 − 2x > 0, x <12

1 − 3x > 0, x <13;

2)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1 − x < 0, x > 1

1 − 2x < 0, x >12

1 − 3x > 0, x <13;

3)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1 − x < 0, x > 1

1 − 2x > 0, x <12

1 − 3x < 0, x >13;

4)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1 − x > 0, x < 1

1 − 2x < 0, x >12

1 − 3x < 0, x >13;


, sustav 2) nema rjesenja, sustav 3) nema rjesenja,

a rjesenje sustava 4) je12

< x < 1 . Rjesenje zadatka je unija rjesenja sustava

1)–4), to jest x <13

ili12

< x < 1 ;

2) Cetiri su mogucnosti

1)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 < 0, x < −12

3x + 1 < 0, x < −13

4x + 1 < 0, x < −14;

2)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 < 0, x < −12

3x + 1 > 0, x > −13

4x + 1 > 0, x > −14;

151

3 RJESENJA ZADATAKA

3)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 > 0, x > −12

3x + 1 < 0, x < −13

4x + 1 > 0, x > −14;

4)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 > 0, x < −12

3x + 1 > 0, x > −13

4x + 1 < 0, x > −14;


, sustav 2) nema rjesenja, rjesenje sustava 3) je

−14

< x < −13

, a sustav 4) nema rjesenja. Rjesenje zadatka je unija rjesenja

sustava 1)–4), to jest x < −12

ili −13

< x < −14

;


1)

{x − 1 < 0, x < 1x + 2 < 0, x < −2x + 3 < 0, x < −3;

2)

{x − 1 < 0, x < 1x + 2 > 0, x > −2x + 3 > 0, x > −3;

3)

{x − 1 > 0, x > 1x + 2 < 0, x < −2x + 3 > 0, x > −3;

4)

{x − 1 > 0, x < 1x + 2 > 0, x > −2x + 3 < 0, x > −3;

Rjesenje sustava 1) je x < −3 , a sustava 2) −2 < x < 1 , sustavi 3) i 4) ne-maju rjesenja. Rjesenje zadatka je unija rjesenja sustava 1)–4), to jest x < −3ili −2 < x < 1 ;4) Cetiri su mogucnosti

1)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 < 0, x < −12

3x + 1 < 0, x < −13

4x + 1 < 0, x < −14;

2)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 < 0, x < −12

3x + 1 > 0, x > −13

4x + 1 > 0, x > −14;

3)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 > 0, x > −12

3x + 1 < 0, x < −13

4x + 1 > 0, x > −14;

4)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 > 0, x < −12

3x + 1 > 0, x > −13

4x + 1 < 0, x > −14;


, sustav 2) nema rjesenja, rjesenje sustava 3) je

−14

< x < −13

, a sustav 4) nema rjesenja. Rjesenje zadatka je unija rjesenja

sustava 1)–4), to jest x < −12

ili −13

< x < −14

;


1)

{x + 1 < 0, x < −1x + 2 < 0, x < −2x − 3 < 0, x < 3;

2)

{x + 1 < 0, x < −1x + 2 > 0, x > −2x − 3 > 0, x > 3;

3)

{x + 1 > 0, x > −1x + 2 < 0, x < −2x − 3 > 0, x > 3;

4)

{x + 1 > 0, x < −1x + 2 > 0, x > −2x − 3 < 0, x > 3;

152

3

Rjesenje sustava 1) je x > 3 , sustav 2) nema rjesenje, rjesenje sustava 3) je−2 < x < −1 , a sustav 4) nema rjesenje. Rjesenje zadatka je unija rjesenjasustava 1)–4), to jest −2 < x < −1 ili x > 3 .

Zadatak 28. Rijesi sustave nejednadzbi:

1) −1 � x − 13

� 0 ; 2) 1 <2x − 1

2� 2 ;

3) −1 <x − 1x + 1

< 1 ; 4)13

� 2x + 33x − 4

<12

.

Rjesenje. 1) 2)

−1 � x − 13

� 0 / · 3−3 � x − 1 � 0

x − 1 � −3 i x − 1 < 0

x � −2 i x < 1

−2 � x � 1

1 <2x − 1

2� 2 / · 2

2 < 2x − 1 � 4

2x − 1 > 2 i 2x − 1 � 4

x >32

i x � 52

32

< x � 52

3)

−1 <x − 1x + 1

< 1

x − 1x + 1

+ 1 > 0 ix − 1x + 1

− 1 < 0

2xx + 1

> 0 i − 2x + 1

< 0

x + 1 > 0 =⇒ x > 04)

13

� 2x + 33x − 4

<12

2x + 33x − 4

− 13

� 0 i2x + 33x − 4

− 12

< 0

6x + 9 − 3x + 43(3x − 4)

� 0 i4x + 6 − 3x + 4

2(3x − 4)< 0

3x + 133(3x − 4)

� 0 ix + 10

2(3x − 4)< 0

3x − 4 > 0 i 3x + 13 � 0 i x + 10 < 0

x >43

i x � −133

i x < −10 nema zajednickog rjesenja

3x − 4 < 0 i 3x + 13 � 0 i x + 10 > 0

x <43

i x � −133

i x > −10

−10 < x � −133

153

3 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 29. Rijesi sljedece sustave nejednadzbi:

1)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + 1x

> 1 − x

1 +1

x − 1<

x(x − 1)2

2)

⎧⎪⎨⎪⎩

1 − 1x

>x

x + 11

x − 1<

1x + 1

3)

⎧⎪⎨⎪⎩

x + 1x

<x

x + 1

4x + 1 +1

4x + 1< 2

4)

⎧⎪⎨⎪⎩

1 − 1x2 − 1

<x

x + 1

x + 1 <1

1 − x− 0.25 +

x4

Rjesenje. 1) Svaku pojedinu nejednadzbu sustava prevedemo u ekvivalentnu kojoj jedesna strana jednaka nuli.

x + 1x

− 1 + x > 0 1 +1

x − 1− x

(x − 1)2< 0

x + 1 − x + x2

x> 0

x − 1 + x − 1 − x(x − 1)2

< 0

x2 + 1x

> 0x − 2

(x − 1)2< 0

Dobili smo sustav ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + 1x

> 0

x − 2(x − 1)2

< 0

Rjesenje prve nejednadzbe sustava, zbog x2 + 1 > 0 , je x > 0 , a druge, zbog(x− 1)2 > 0 za x �= 1 , je x < 2 , x �= 1 . Rjesenje polaznog sustava je presjekovih rjesenja, to jest 0 < x < 2 ali x �= 1 ;2) Svaku pojedinu nejednadzbu sustava prevedemo u ekvivalentnu kojoj jedesna strana jednaka nuli.

1 − 1x− x

x + 1> 0

1x − 1

− 1x + 1

< 0

x2 + x − x − 1 − x2

x(x + 1)> 0

x + 1 − x + 1(x − 1)(x + 1)

< 0

−1x(x + 1)

> 02

(x − 1)(x + 1)< 0


−1x(x + 1)

> 0

2(x − 1)(x + 1)

< 0

Zbog −1 < 0 , 2 > 0 sustav je ekvivalentan uniji dvaju sustava nejednadzbi{x + 1 > 0 x > −1x < 0x − 1 < 0, x < 1;

ili

{x + 1 < 0, x < −1x > 0x − 1 > 0, x > 1;

Rjesenje sustava je −1 < x < 0

154

3

3) Svaku pojedinu nejednadzbu sustava prevedemo u ekvivalentnu kojoj jedesna strana jednaka nuli.

x + 1x

− xx + 1

< 0 4x + 1 +1

4x + 1− 2 < 0

(x + 1)2 − x2

x(x + 1)< 0

(4x + 1)2 + 1 − 2(4x + 1)4x + 1

< 0

(x + 1 − x)(x + 1 + x)x(x + 1)

< 0(4x + 1 − 1)2

4x + 1< 0

2x + 1x(x + 1)

< 04x2

4x + 1< 0


2x + 1x(x + 1)

< 0

4x2

4x + 1< 0

Sustav je ekvivalentan uniji sustava nejednadzbi

1)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 < 0 x < −12

x < 0x + 1 < 0, x < −1

4x + 1 < 0, x < −14;

2)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 < 0 x < −12

x > 0x + 1 > 0, x > −1

4x + 1 < 0, x < −14;

3)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 > 0 x > −12

x < 0x + 1 > 0, x > −1

4x + 1 < 0, x < −14;

4)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

2x + 1 > 0 x > −12

x > 0x + 1 < 0, x < −1

4x + 1 < 0, x < −14;

Rjesenje polaznog sustava je unija rjesenja sustava 1)–4), to jest x < −1 ili

−12

< x < −14

;

4) Svaku pojedinu nejednadzbu sustava prevedemo u ekvivalentnu kojoj jedesna strana jednaka nuli.

1 − 1x2 − 1

− xx + 1

< 0 x + 1 − 11 − x

+1 − x

4< 0

x2 − 1 − 1 − x(x − 1)(x − 1)(x + 1)

< 04(1 + x)(1 − x) − 4 + (1 − x)2

4(1 − x)< 0

x2 − 2 − x2 + 1(x − 1)(x + 1)

< 04 − 4x2 − 4 + 1 − 2x + x2

4(1 − x)< 0

−1(x − 1)(x + 1)

< 0−3x2 − 2x + 1

4(1 − x)< 0

1(1 − x)(1 + x)

< 0−3x(x + 1) + (x + 1)

4(1 − x)< 0

(1 + x)(1 − 3x)4(1 − x)

< 0

155

3 RJESENJA ZADATAKA


1(1 − x)(1 + x)

< 0

(1 + x)(1 − 3x)4(1 − x)

< 0

Sustav je ekvivalentan uniji sustava nejednadzbi

1)

⎧⎪⎨⎪⎩

1 − x < 0 x > 11 + x > 0, x > −1

1 − 3x > 0, x <13;

2)

⎧⎪⎨⎪⎩

1 − x > 0 x < 11 + x < 0, x < −1

1 − 3x > 0, x <13;

Rjesenje polaznog sustava je unija rjesenja sustava 1) i 2), to jest x < −1 .

Zadatak 30. 1)x2 − 4

x3 − x2 + 4x − 4� 0 ; 2)

4x2 − 1x3 − 4x2 + x − 4

< 0 ;

3)x4 + 3x3 + 3x2 + 9x

x3 − x2> 0 ; 4)

3x3 + x2

3x4 − x3 + 9x2 − 3x� 0 .

Rjesenje. 1) Sredimo nejednadzbu

x2 − 4x3 − x2 + 4x − 4

� 0

(x − 2)(x + 2)x2(x − 1) + 4(x − 1)

� 0

(x − 2)(x + 2)(x − 1) (x2 + 4)︸︷︷︸

>0

� 0

Nejednadzba je ekvivalentna uniji sustava nejednadzbi:

1)

{x − 2 � 0, x � 2x + 2 � 0, x � −2x − 1 > 0, x > 1;

2)

{x − 2 � 0, x � 2x + 2 � 0, x � −2x − 1 < 0, x < 1;

3)

{x − 2 � 0, x � 2x + 2 � 0, x � −2x − 1 > 0, x > 1;

4)

{x − 2 � 0, x � 2x + 2 � 0, x � −2x − 1 < 0, x < 1;

Rjesenje polaznog sustava je unija rjesenja sustava 1)–4), to jest −2 � x < 1ili x � 2 ;2) Sredimo nejednadzbu

4x2 − 1x3 − 4x2 + x − 4

< 0

(2x − 1)(2x + 1)x(x2 + 1) − 4(x2 + 1)

< 0

(2x − 1)(2x + 1)(x − 4) (x2 + 1)︸︷︷︸

>0

< 0


156

3

1)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x − 1 < 0, x <12

2x + 1 < 0, x < −12

x − 4 < 0, x < 4;

2)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x − 1 < 0, x <12

2x + 1 > 0, x > −12

x − 4 > 0, x > 4;

3)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x − 1 > 0, x >12

2x + 1 < 0, x < −12

x − 4 > 0, x > 4;

4)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x − 1 > 0, x >12

2x + 1 > 0, x > −12

x − 4 < 0, x < 4;

Rjesenje polaznog sustava je unija rjesenja sustava 1)–4), to jest x < −12

ili

12

< x < 4 ;

3) Sredimo nejednadzbu

x4 + 3x3 + 3x2 + 9xx3 − x2

> 0

x[x2(x + 3) + 3(x + 3)]x2(x − 1)

> 0

(x + 3)

>0︷︸︸︷(x2 + 3)

x(x − 1)> 0


1)

{x + 3 > 0, x > −3x > 0,x − 1 > 0, x > 1;

2)

{x + 3 > 0, x > −3x < 0,x − 1 < 0, x < 1;

3)

{x + 3 < 0, x < −3x > 0,x − 1 < 0, x < 1;

4)

{x + 3 < 0, x < −3x < 0,x − 1 > 0, x > 1;

Rjesenje polaznog sustava je unija rjesenja sustava 1)–4), to jest −3 < x < 0ili x > 1 ;4) Sredimo nejednadzbu

3x3 + x2

3x4 − x3 + 9x2 − 3x> 0

x2(3x + 1)x[x2(3x − 1) + 3(3x − 1)]

> 0

x(3x + 1)(3x − 1) (x2 + 3)︸︷︷︸

>0

> 0


157

3 RJESENJA ZADATAKA

1)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x � 0,

3x + 1 � 0, x � −13

3x − 1 < 0, x <13;

2)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x � 0,

3x + 1 � 0, x � −13

3x − 1 > 0, x >13;

3)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x � 0,

3x + 1 � 0, x � −13

3x − 1 > 0, x >13;

4)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x � 0,

3x + 1 � 0, x � −13

3x − 1 < 0, x <13;

Rjesenje polaznog sustava je unija rjesenja sustava 1)–4), to jest x � −13

ili

0 < x <13

.

Zadatak 31. Rijesi nejednadzbe:

1)x

x + 1− x2 + 1

x2 − 1>

12

; 2) 1 − x − 2(x − 1)2

� 1x − 1

;

3)2x + 1x + 3

� x − 32x − 1

; 4)x + 1x + 2

� x + 2x + 3

;

5)x

x − 1< 1 − 1

x + 1; 6)

x + 1x − 1

� 1 − xx + 1

;

7)1x− x − 1

x2 + x<

x + 1x2 − x

; 8)2x − 3

4x2 + 6x>

12x

− 32x2 − 3x

;

9)1

x2 + 2x+

2x − 2

� x + 2x2 − 2x

; 10) 1 − 22x + 1

� 2x − 1x

.

Rjesenje. 1) Sredimo nejednadzbu

xx + 1

− x2 + 1x2 − 1

− 12

> 0

2x2 − 2x − 2x2 − 2 − x2 + 12(x2 − 1)

> 0

−x2 − 2x − 12(x2 − 1)

> 0

−(x + 1)2

2(x2 − 1)> 0

Zadana nejednadzba je ekvivalentna nejednadzbi−(x + 1)2

2(x2 − 1)> 0 , cije je rje-

senje svaki realni broj x za koji vrijedi x2 − 1 < 0 , to jest svaki realni broj x ,−1 < x < 1 ;

158

3


1 − x − 2(x − 1)2

− 1x − 1

� 0

x2 − 2x + 1 − x + 2 − x + 1(x − 1)2

� 0

x2 − 4x + 4(x − 1)2

� 0

(x − 2)2

(x − 1)2� 0

Nejednadzba je ekvivalentna nejednadzbi(x − 2)2

(x − 1)2� 0 , pa je njezino rjesenje

svaki realni broj x , x �= 1 ;3) Sredimo nejednadzbu

2x + 1x + 3

− x − 32x − 1

� 0

4x2 − 1 − x2 + 9(2x − 1)(x + 3)

� 0

>0︷︸︸︷3x2 + 8

(2x − 1)(x + 3)� 0


1)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x − 1 > 0, x >12

x + 3 > 0, x > −3;

2)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x − 1 < 0, x <12

x + 3 < 0, x < −3;

x < −3 ili x >12

; jednakost nije ispunjena ni za koji realni broj x ;


x + 1x + 2

− x + 2x + 3

� 0

x2 + 4x + 3 − x2 − 4x − 4(x + 2)(x + 3)

� 0

<0︷︸︸︷−1

(x + 2)(x + 3)� 0


1){

x + 2 > 0, x > −2x + 3 > 0, x > −3; 2)

{x + 2 < 0, x < −2x + 3 < 0, x < −3;

x < −3 ili x > −2 , jednakost nije ispunjena ni za koji realni broj x ;

159

3 RJESENJA ZADATAKA


xx − 1

− 1 − 1x + 1

< 0

x2 + x − x2 + 1 − x + 1(x − 1)(x + 1)

< 0

>0︷︸︸︷2

(x − 1)(x + 1)< 0


1)

{x < 0,x − 1 < 0, x < 1x + 1 < 0, x < −1;

2)

{x < 0,x − 1 > 0, x > 1x + 1 > 0, x > −1;

3)

{x > 0,x − 1 < 0, x < 1x + 1 > 0, x > −1;

4)

{x > 0,x − 1 > 0, x > 1x + 1 < 0, x < −1;

x < −1 ili 0 < x < 1 ;6) Sredimo nejednadzbu

x + 1x − 1

− 1 +x

x + 1< 0

x2 + 2x + 1 − x2 + 1 + x2 − x(x − 1)(x + 1)

< 0

>0︷︸︸︷x2 + x + 2

(x − 1)(x + 1)< 0


1){

x − 1 > 0, x > 1x + 1 > 0, x > −1; 2)

{x − 1 < 0, x < 1x + 1 < 0, x < −1;

Slijedi x < −1 ili x > 1 . Jednakost nije ispunjena ni za koji realni broj x ;7) Sredimo nejednadzbu

1x− x − 1

x2 + x− x + 1

x2 − x< 0

x2 − 1 − x2 + 2x − 1 − x2 − 2x − 1x(x − 1)(x + 1)

< 0

<0︷︸︸︷−(x2 + 3)

x(x − 1)(x + 1)< 0


1)

{x > 0,x − 1 > 0, x > 1x + 1 > 0, x > −1;

2)

{x > 0,x − 1 < 0, x < 1x + 1 < 0, x < −1;

3)

{x < 0,x − 1 < 0, x < 1x + 1 > 0, x > −1;

4)

{x < 0,x − 1 > 0, x > 1x + 1 < 0, x < −1;

160

3

−1 < x < 0 ili x > 1 ;8) Sredimo nejednadzbu

2x − 34x2 + 6x

− 12x

+3

2x2 − 3x> 0

4x2 − 12x + 9 − 4x2 + 9 + 12x + 182x(2x + 3)(2x − 3)

< 0

>0︷︸︸︷36

2x(2x + 3)(2x − 3)< 0


1)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x < 0,

2x + 3 < 0, x < −32

2x − 3 < 0, x <32;

2)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x < 0,

2x + 3 > 0, x > −32

2x − 3 > 0, x >32;

3)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x > 0,

2x + 3 < 0, x < −32

2x − 3 > 0, x >32;

4)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x > 0,

2x + 3 > 0, x > −32

2x − 3 < 0, x <32;

−32

< x < 0 ili x >32

;


1x(x + 2)

+2

x − 2− x + 2

x(x − 2)� 0

x − 2 + 2x2 + 4x − x2 − 4x − 4x(x + 2)(x − 2)

� 0

x2 + x − 6x(x + 2)(x − 2)

� 0

x2 − 4 + x − 2x(x + 2)(x − 2)

� 0

(x − 2)(x + 2) + (x − 2)x(x + 2)(x − 2)

� 0

(x − 2)(x + 3)x(x + 2)(x − 2)

� 0 (x �= 2)

x + 3x(x + 2)

� 0


1)

{x > 0,x + 3 � 0, x � −3x + 2 > 0, x > −2;

2)

{x > 0,x + 3 � 0, x � −3x + 2 < 0, x < −2;

3)

{x < 0,x + 3 � 0, x � −3x + 2 < 0, x < −2;

4)

{x < 0,x + 3 � 0, x � −3x + 2 > 0, x > −2;

Rjesenje je svaki realni broj x , −3 � x < −2 ili x > 0 i x �= 2 ;

161

3 RJESENJA ZADATAKA


1 − 22x + 1

− 2x − 1x

� 0

2x2 + x − 2x − 4x2 + 1x(2x + 1)

� 0

−2x2 + x + 1x(2x + 1)

� 0

1 − x2 − x2 + xx(2x + 1)

� 0

(1 − x)(1 + x) − x(1 − x)x(2x + 1)

� 0

1 − xx(2x + 1)

� 0


1)

⎧⎪⎨⎪⎩

x < 0,1 − x � 0, x � 1

2x + 1 < 0, x < −12;

2)

⎧⎪⎨⎪⎩

x < 0,1 − x � 0, x � 1

2x + 1 > 0, x > −12;

3)

⎧⎪⎨⎪⎩

x > 0,1 − x � 0, x � 1

2x + 1 > 0, x > −12;

4)

⎧⎪⎨⎪⎩

x > 0,1 − x � 0, x � 1

2x + 1 < 0, x < −12;

x � −1 ili −12

< x < 0 ili x � 12

.


Zadatak 1. Izracunaj vrijednost brojevnog izrazaa|b| − b|a||a| − |b| za:

1) a = −2 , b = −3 ; 2) a = −12

, b =23

;

3) a = 1 −√2 , b = 1 +

√2 .

Rjesenje. 1)−2| − 3| − (−3)| − 2|

| − 2| − | − 3| =−2 · 3 + 3 · 2

2 − 3=

0−1

= 0 ;

2)−1

2

∣∣∣∣23∣∣∣∣− 2

3

∣∣∣∣−12

∣∣∣∣∣∣∣∣−12

∣∣∣∣−∣∣∣∣23∣∣∣∣

=−1

2· 23− 2

3· 12

12− 2

3

=−2

3

−16

= 4 ;

3)(1−√

2)|1+√

2|−(1+√

2)|1−√2|

|1−√2|−|1+

√2| =

(1−√2)(1+

√2)−(1+

√2)(

√2−1)√

2−1−1−√2

=1 − 2 − 2 + 1

−2= 1 .

162

3

Zadatak 2. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza

a|a − b| − b|a + b||a − b| − |a + b| za:

1) a = −1 , b = −3 ; 2) a = −12

, b = −23

;

3) a =√

2 , b = −√3 ; 4) a =

√2 −√

3 , b =√

2 +√

3 .

Rjesenje. 1)(−1)| − 1 − (−3)| − (−3)| − 1 + (−3)|

| − 1 − (−3)| − | − 1 + (−3)| =(−1) · 2 + 3 · 4

2 − 4=

−10−2

= 5 ;

2)

(−1

2

) ∣∣∣∣−12−(−2

3

)∣∣∣∣−(−2

3

) ∣∣∣∣−12

+(−2

3

)∣∣∣∣∣∣∣∣−12−(−2

3

)∣∣∣∣−∣∣∣∣−1

2+(−2

3

)∣∣∣∣=

−12· 16

+23· 76

16− 7

6

=− 1

12+

1418

−1=

1418

− 112

=28 − 3

36=

2536

;

3)

√2∣∣∣√2 − (−√

3)∣∣∣− (−√

3)∣∣∣√2 + (−√

3)∣∣∣∣∣∣√2 − (−√

3)∣∣∣− ∣∣∣√2 + (−√

3)∣∣∣ =

√2(√

2 +√

3) +√

3(√

3 −√2)√

2 +√

3 −√3 +

√2

=2 +

√6 + 3 −√

6

2√

2=

5

2√

2=

5√

24

4)(√

2 −√3)∣∣∣(√2 −√

3) − (√

2 +√

3)∣∣∣− (

√2 +

√3)∣∣∣(√2 −√

3) + (√

2 +√

3)∣∣∣∣∣∣(√2 −√

3) − (√

2 +√

3)∣∣∣− ∣∣∣(√2 −√

3) + (√

2 +√

3)∣∣∣

=(√

2 −√3) · 2√3 − (

√2 +

√3) · 2√2

2√

3 − 2√

2=

2√

6 − 6 − 4 − 2√

6

2(√

3 −√2)

=−5√

3 −√2

=−5(

√3 +

√2)

1= −5(

√3 +

√2) .


1)

∣∣∣∣67 − 89

∣∣∣∣ ; 2) |1 −√2| ;

3) |√2 − 1.414| ; 4) |√6 − 2.45| ;5) |1 +

√2 −√

5| ; 6) |1 −√2 −√

5| ?

Rjesenje. 1)

∣∣∣∣67 − 89

∣∣∣∣ =89− 6

7, jer je 6 · 9 < 7 · 8 ;

2) |1 −√2| =

√2 − 1 , jer je 1 <

√2 ;

3) |√2 − 1.414| = √2 − 1.414 , jer je

√2 > 1.414 ;

4)√

6 ≈ 2.449 < 2.45 , te je stoga |√6 − 2.45| = 2.45 −√6 ;

5) |1 +√

2 −√5| = 1 +

√2 −√

5 ;

6) |1 −√2 −√

5| = −1 +√

2 +√

5 .

163

3 RJESENJA ZADATAKA


1)|x − 1| − |y + 1|

|x + y| , za x =√

2, y = −√3 ;

2)|a−b| − |a+b|

|a+b−1| , za a=2−√2, b=3−√

3 .

Rjesenje. 1)|√2 − 1| − | − √

3 + 1||√2 + −√

3| =√

2 − 1 − (√

3 − 1)√3 −√

2=

−(√

3 −√2)√

3 −√2

= −1 ;

2)|2−√

2−(3−√3)|−|2−√

2+(3−√3)|

|2−√2+(3−√

3)−1| =|2−√

2−3 +√

3|−|2−√2 + 3−√

3||2−√

2 + 3−√3−1|

=| − 1 −√

2 +√

3| − |5 −√2 −√

3||4 −√

2 −√3| =

1 +√

2 −√3 − (5 −√

2 −√3)

4 −√2 −√

3

=1 +

√2 −√

3 − 5 +√

2 +√

3

4 −√2 −√

3=

2√

2 − 4

4 −√2 −√

3.


1)√

(√

2 −√3)2 −

√(√

3 −√2)2 ;

2)√

(1−√2)2 −

√(√

2−√3)2 −

√(√

3−2)2 ;

3)√

(1−√2)2 −

√(√

2−2)2 +√

(2√

2−3)2 .

Rjesenje. 1)√

(√

2 −√3)2 −

√(√

3 −√2)2 =

∣∣∣√2 −√3∣∣∣− ∣∣∣√3 −√

2∣∣∣

=√

3 −√2 − (

√3 −√

2) = 0 ;

2)√

(1 −√2)2 −

√(√

2 −√3)2 −

√(√

3 − 2)2

=∣∣∣1 −√

2∣∣∣− ∣∣∣√2 −√

3∣∣∣− ∣∣∣√3 − 2

∣∣∣=

√2−1−(

√3−√

2)−(2−√3) =

√2−1−√

3+√

2−2+√

3 = 2√

2−3 ;

3)√

(1 −√2)2 −

√(√

2 − 2)2 +√

(2√

2 − 3)2

=∣∣∣1 −√

2∣∣∣− ∣∣∣√2 − 2

∣∣∣+ ∣∣∣2√2 − 3∣∣∣ =

√2 − 1 − (2 −√

2) + 3 − 2√

2

=√

2 − 1 − 2 +√

2 + 3 − 2√

2 = 0 .


1) ||x| − 1| za x = 1 −√2 ;

2) ||x − 2| − √2| za x =

√2 ;

3) |||x − 1| − 2| − 3| za x = π ;

4) |1 − |1 − |1 − x||| za x =√

2 ;

5) |x − 3| − |x − 2| − |x − 1| za x =√

3 ;

6) |x − 1| + |x − 2| − |x − 3| za x =√

5 .

Rjesenje. 1)∣∣∣|1 −√

2| − 1∣∣∣ =

∣∣∣√2 − 1 − 1∣∣∣ =

∣∣∣√2 − 2∣∣∣ = 2 −√

2 ;

164

3

2)∣∣∣|√2 − 2| − √

2∣∣∣ =

∣∣∣2 −√2 −√

2∣∣∣ =

∣∣∣2 − 2√

2∣∣∣ = 2

√2 − 2 ;

3) |||π − 1| − 2| − 3| = ||π − 1 − 2| − 3| = |π − 3 − 3| = 6 − π ;

4)∣∣∣1 −

∣∣∣1 −∣∣∣1 −√

2∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣1 −∣∣∣1 − (

√2 − 1)

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣1 −

∣∣∣2 −√2∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣1 − 2 +√

2∣∣∣

=√

2 − 1 ;

5)∣∣∣√3 − 3

∣∣∣− ∣∣∣√3 − 2∣∣∣− ∣∣∣√3 − 1

∣∣∣ = 3 −√3 − (2 −√

3) − (√

3 − 1)

= 3 −√3 − 2 +

√3 −√

3 + 1 = 2 −√3 ;

6)∣∣∣√5 − 1

∣∣∣+ ∣∣∣√5 − 2∣∣∣− ∣∣∣√5 − 3

∣∣∣ =√

5 − 1 +√

5 − 2 − (3 −√5)

= 2√

5 − 3 − 3 +√

5 = 3√

5 − 6 .


1) |x − 1| za x > 1 ; 2) |2 − x| za x < 2 ;

3) |2x + 1| za −12

< x < 0 ; 4) |3 − 2x| za x >32

;

5) |3x + 2| za x < −1 ?

Rjesenje. 1) x − 1 ; 2) 2 − x ; 3) 2x + 1 ; 4) 2x − 3 ; 5) −3x− 2 .


1) |x − 1| + |x + 2| za −2 < x < 1 ;

2) |3 − x| − |1 − 2x| za x <12

;

3) |x − 2| − |2x + 3| , ako je −1 < x < 1 ;

4) |3x + 2| − |1 − 4x| , ako je x < −1 ;

5) |3x + 4| − |2 − 3x| za x ∈ 〈−3,−2〉 ;

6) |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| za −3 < x < −2 ?

Rjesenje. 1) | x − 1︸︷︷︸<0

| + | x + 2︸︷︷︸>0

| = 1 − x + x + 2 = 3 ;

2) | 3 − x︸︷︷︸>0

| − | 1 − 2x︸︷︷︸>0

| = 3 − x − 1 + 2x = x + 2 ;

3) | x − 2︸︷︷︸<0

| − | 2x + 3︸︷︷︸>0

| = 2 − x − 2x − 3 = −3x− 1 ;

4) | 3x + 2︸︷︷︸<0

| − | 1 − 4x︸︷︷︸>0

| = −3x − 2 − 1 + 4x = x − 3 ;

5) | 3x + 4︸︷︷︸<0

| − | 2 − 3x︸︷︷︸>0

| = −3x − 4 − 2 + 3x = −6 ;

6) | x + 1︸︷︷︸<0

| + | x + 2︸︷︷︸<0

| + | x + 3︸︷︷︸>0

| = −x − 1 − x − 2 + x + 3 = −x .


1)√

x2 − 4x + 4 , za x � 2 ; 2)√

9x2 + 6x + 1 , za x > − 13 ?

Rjesenje. 1)√

x2 − 4x + 4 =√

(x − 2)2 = |x − 2| = (x − 2 < 0 za x � 2) = 2 − x ;

165

3 RJESENJA ZADATAKA

2)√

9x2 + 6x + 1 =√

(3x + 1)2 = |3x + 1| =(

3x + 1 > 0 za x > −13

)=

3x + 1 .

Zadatak 10. Dana je funkcija f (x)=√

x2−6x+9−√x2+6x+9 . Koliko je f (x) za −3 <

x < 3 ? Izracunaj f (−√8) .

Rjesenje. Najprije zapisimo f (x) =√

(x − 3)2 −√(x + 3)2 = |x − 3| − |x + 3| . Za

−3 < x < 3 je f (x) = 3 − x − x − 3 = −2x . A jer je −3 < −√8 < 3 , to je

f (−√8) = 2

√8 = 4

√2 .

Zadatak 11. Dana je funkcija f (x) =√

x2 + 4x + 4 +√

x2 − 4x + 4 . Koliko je f (x) , za−2 < x < 2 ? Izracunaj f (

√2 −√

3) .


(x + 2)2 +√

(x − 2)2 = |x + 2| + |x − 2| . Za−2 < x < 2 je f (x) = x + 2 + 2 − x = 4 . A jer je −2 <

√2 −√

3 < 2 , toje f (

√2 −√

3) = 4 .

Zadatak 12. Dana je funkcija f (x) =√

4x2 − 4x + 1 −√x2 + 6x + 9 −

√x2 .

Koliko je f (x) , za x < −3 ? Izracunaj f(−33

8

), f (−√

112) , f (−π) .


(2x − 1)2−√(x + 3)2−√

x2 = |2x−1|−|x+3|−|x| . Za x < −3 je f (x) = |2x−1|−|x+3|−|x| = 1−2x−(−x−3)−(−x) = 4 .

A jer je svaki od brojeva −338

,−√112,−π manji od −3 , vrijednost funkcije

za svaki od njih jednaka je 4.


1) ||x + 1| − 2| , za −1 < x < 0 ; 2) |1 − |1 − x|| , za 0 < x < 1 ;

3) |1 − |1 + x|| , za x < −2 ; 4) ||x + 1| − x − 1| , za x < −1 ?

Rjesenje. 1) ||x + 1| − 2| = (x + 1 > 0 za − 1 < x < 0) = |x + 1 − 2| = |x − 1|= (x − 1 < 0 za − 1 < x < 0) = −x + 1 ;

2) |1 − |1 − x|| = (1 − x > 0 za 0 < x < 1) = |1 − 1 + x| = |x|= (x > 0 za 0 < x < 1) = x ;

3) |1 − |1 + x|| = (1 + x < 0 za x < −2) = |1 − (−1 − x)| = |x + 2|= (x + 2 < 0 za x < −2) = −x − 2 ;

4) ||x+1|− x−1| = (x+1 < 0 za x < −1) = |− x−1− x−1| = |−2x−2|= (−2x − 2 > 0 za x < −2) = −2x− 2 = −2(x + 1) .


1)x2 − |x − 1| − 1

x2 − 1; 2)

(|x| − 1) · (x − 1)x2 − 2|x| + 1

;

3)x|x − 1| − x + 1x2 − 2|x| + 1

; 4)x(x − 2) + |x − 2||x − 1|(x − 2)

.

Rjesenje. 1) Za x > 1 imamo razlomakx2 − (x − 1) − 1

x2 − 1=

x2 − x + 1 − 1x2 − 1

=x2 − xx2 − 1

=x(x − 1)

(x − 1)(x + 1)=

xx + 1

,

a za x < 1 razlomak

166

3

x2 − (−x + 1) − 1x2 − 1

=x2 + x − 1 − 1

x2 − 1=

x2 − 1 + x − 1x2 − 1

=(x − 1)(x + 1) + x − 1

(x − 1)(x + 1)

=(x − 1)(x + 2)(x − 1)(x + 1)

=x + 2x + 1

,

x �= −1 ;2) Za x < 0 i x �= −1 imamo razlomak(−x − 1) · (x − 1)

x2 + 2x + 1=

−(x + 1) · (x − 1)(x + 1)2

= −x − 1x + 1

,

a za x > 0 i x �= 1 vrijednost razlomka je jednaka

(x − 1) · (x − 1)x2 − 2x + 1

(x − 1)2

(x − 1)2= 1 .

3) Za x � 0 i x �= −1 imamo razlomakx(1 − x) − x + 1

x2 + 2x + 1=

x − x2 − x + 1(x + 1)2

=(1 − x)(1 + x)

(x + 1)2=

1 − xx + 1

= −x − 1x + 1

,

za 0 � x < 1 razlomakx(1 − x) − x + 1

x2 − 2x + 1=

(1 − x)(1 + x)(x − 1)2

= − (x − 1)(x + 1)(x − 1)2

= −x + 1x − 1

,

a za x > 1 vrijednost razlomka jednaka je

x(x − 1) − x + 1x2 − 2x + 1

=(x − 1)(x − 1)

(x − 1)2=

(x − 1)2

(x − 1)2= 1 .

4) Za x < 1 razlomak je jednakx(x − 2) − x + 2(−x + 1)(x − 2)

=(x − 2)(x − 1)−(x − 1)(x − 2)

= −1 ,

za 1 < x < 2 vrijednost razlomka jednaka jex(x − 2) − x + 2(x − 1)(x − 2)

=(x − 2)(x − 1)(x − 1)(x − 2)

= 1 ,

a za x > 2 dobije se razlomakx(x − 2) + x − 2(x − 1)(x − 2)

=(x − 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2)

=x + 1x − 1

.


Zadatak 1. Odredi udaljenost tocaka A i B ako je:

1) A(3) , B(7) ; 2) A(−7) , B(1

2

);

3) A(−11) , B(−1.1) ; 4) A(3

5

), B

(53

);

5) A(−3

14

), B

(−1

13

); 6) A(−2.3) , B(3.45) .

Rjesenje. 1) |AB| = |xB − xA| = |7 − 3| = 4 ;

2) |AB| = |xB − xA| =∣∣∣∣12 + 7

∣∣∣∣ = 712

;

3) |AB| = |xB − xA| = | − 1.1 + 11| = 9.9 ;

167

3 RJESENJA ZADATAKA

4) |AB| = |xB − xA| =∣∣∣∣53 − 3

5

∣∣∣∣ =1615

;

5) |AB| = |xB − xA| =∣∣∣∣−4

3+

134

∣∣∣∣ =2312

;

6) |AB| = |xB − xA| = |3.45 + 2.3| = 5.75 .

Zadatak 2. Odredi koordinatu x tocke T(x) i prikazi tu tocku na brojevnom pravcu akoje:

1) |x| = 1 ; 2) |x| = 2.5 ; 3) |x| = 313

.

Rjesenje. 1) T(−1) ili T(1) ;

2) T(−2.5) ili T(2.5) ;

3) T(−10

3

)ili T

(103

).

Zadatak 3. Prikazi na brojevnom pravcu skup svih tocaka T(x) za cije koordinate x vri-jedi:

1) |x| < 2 ; 2) |x| � 412

; 3) |x| � 3 ; 4) |x| >54

.

Rjesenje. 1) −2 < x < 2 ;

2) x � −92

ili x � 92

;

3) −3 � x � 3 ;

4) x < −54

ili x >54

.

Zadatak 4. Odredi koordinatu x tocke T(x) koja je od tocke:

1) A(−1) udaljena za 3; 2) B(2.2) udaljena za 1.7;

3) C(−2

35

)udaljena za 0.4; 4) D

(12

)udaljena za 0.5.

Rjesenje. 1) |x − (−1)| = |x + 1| = 3 . Imamo dva slucaja1) x + 1 = −3 , x = −4 , T(−4) ili 2) x + 1 = 3 , x = 2 , T(2) ;2) |x − 2.2| = 1.7 . Imamo dva slucaja1) x − 2.2 = −1.7 , x = 0.5 , T(0.5) ili 2) x − 2.2 = 1.7 , x = 3.9 , T(3.9) ;

3)

∣∣∣∣x + 235

∣∣∣∣ =∣∣∣∣x +

135

∣∣∣∣ = 0.4 =25

. Imamo dva slucaja

1) x+135

= −25

, x = −3 , T(−3) ili 2) x+135

=25

, x = −115

, T(−11

5

);

4)

∣∣∣∣x − 12

∣∣∣∣ = 0.5 =12

. Imamo dva slucaja

1) x − 12

= −12

, x = 0 , T(0) ili 2) x − 12

=12

, x = 1 , T(1) .

168

3

Zadatak 5. Odredi koordinatu x tocke T(x) i tu tocku prikazi na brojevnom pravcu akoje:

1) |x − 1| = 2 ; 2) |x + 3| = 1 ; 3) |x + 11| = 11 ;

4) |x − 3| = 1 ; 5) |2x − 1| =34

; 6) |3x + 2| =13

.

Rjesenje. 1) x − 1 = −2 , x = −1 , T(−1) ili x − 1 = 2 , x = 3 , T(3) ;

2) x + 3 = −1 , x = −4 , T(−4) ili x + 3 = 1 , x = −2 , T(−2) ;

3) x + 11 = −11 , x = −22 , T(−22) ili x + 11 = 11 , x = 0 , T(0) ;

4) x − 3 = −1 , x = 2 , T(2) ili x − 3 = 1 , x = 4 , T(4) ;

5) 2x − 1 = −34

, 2x =14

, x =18

, T(1

8

)ili 2x − 1 =

34

, 2x =74

,

x =78

, T(7

8

);

6) 3x + 2 = −13

, 3x = −73

, x = −79

, T(−7

9

)ili 3x + 2 =

13

, 3x = −53

,

x = −59

, T(−5

9

).

Zadatak 6. Prikazi na brojevnom pravcu skup svih tocaka T(x) za cije koordinate x vri-jedi:

1) |x − 3| � 2 ; 2) |x + 1| > 2 ; 3) |x + 2| � 2 ;

4) |x + 5| � 2 ; 5) |2 − x| < 4 ; 6) |2x + 3| >23

.

169

3 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1) To su sve tocke koje su od tocke A udaljene najvise 2 tj. za cije koordinatex vrijedi 1 � x � 5 ;

2) To je skup tocaka koje su od tocke A(−1) udaljenije od 2 , tj. za cije koor-dinate x vrijedi x < −3 ili x > 1 ;

3) To su sve tocke koje su od tocke A(−2) udaljene najvise 2 tj. za cijekoordinate x vrijedi −4 � x � 0 ;

4) To je skup tocaka koje su od tocke A(−5) udaljene najmanje 2 , tj. za cijekoordinate x vrijedi x � −7 ili x � −3 ;

5) To je skup tocaka koje su od tocke A(2) udaljene manje od 4 , tj. za cijekoordinate x vrijedi −2 < x < 6 ;

6) |2x + 3| >23

=⇒∣∣∣∣x +

32

∣∣∣∣ >13

. To je skup tocaka koje su od toc-

ke A

(−3

2

)udaljenije od

13

, tj. za cije koordinate x vrijedi x < −116

ili

x > −76

.

Zadatak 7. Odredi tocku T(x) za koju je:

1) |x − 1| = |x + 3| ; 2) |x + 2| = |x + 4| .Rjesenje. 1) Rijec je o polovistu duzine AB , A(1) , B(−3) , a to je tocka T(−1) ;

2) Rijec je o polovistu duzine AB , A(−2) , B(−4) , a to je tocka T(−3) .

Zadatak 8. Koristeci se udaljenoscu tocaka rijesi sustav nejednadzbi:

1) 2 � |x − 2| < 4 ; 2) 1 < |2x + 3| < 7 ; 3)12

� |1 − x| � 52

.

Rjesenje. 1) To je presjek skupa tocaka koje su od tocke A(2) udaljene najmanje 2 i skupatocaka koje su od tocke A(2) udaljene manje od 4 , tj. (〈−∞, 0] ∪ [4, +∞〉 )∩(〈−2, 6〉 ) , odnosno 〈−2, 0] ∪ [4, 6〉 ;

2) 1 < |2x+3| < 7 ,12

<

∣∣∣∣x +32

∣∣∣∣ <72

. To je presjek skupa tocaka koje su od

tocke A

(−3

2

)udaljene vise od

12

i skupa tocaka koje su od tocke A

(−3

2

)

170

3

udaljene manje od72

, tj. (〈−∞,−2〉 ∪ 〈−1, +∞〉 ) ∩ (〈−5, 2〉 ) , odnosno

〈−5,−2〉 ∪ 〈−1, 2〉 ;

3) To je presjek skupa tocaka koje su od tocke A(1) udaljene najmanje12

i sku-

pa tocaka koje su od tocke A(1) udaljene njvise52

, tj.

(⟨−∞,

12

]∪[32, +∞

⟩)∩([

−32,72

]), odnosno

[−3

2,12

]∪[32,72

].

Zadatak 9. Odredi poloviste P(x) duzine AB ako je:

1) A(5) , B(11) ; 2) A(−3) , B(1) ; 3) A(−11

9

), B

(−5

6

).

Rjesenje. 1) xP =11 + 5

2= 8 , P(8) ;

2) xP =−3 + 1

2= −1 , P(−1) ;

3) xP =−11

9+(−5

6

)2

= −37182

= −3736

, P(−37

36

).

Zadatak 10. Ako je P1 poloviste duzine AB , A(−4) , B(3) , a P2 poloviste duzine CD ,C(−3) , D(5) , kolika je udaljenost tocaka P1 i P2 ?

Rjesenje. xP1 =−4 + 3

2= −1

2, P1

(−1

2

), xP2 =

−3 + 52

= 1 , P2(1) ,

|P1P2| =∣∣∣∣1 −

(−1

2

)∣∣∣∣ =32

.

Zadatak 11. Odredi tocku A(x) koja je simetricna tocki B(−3) s obzirom na tocku C(−1) .

Rjesenje. C je poloviste duzine AB . Iz−3 + x

2= −1 slijedi x = 1 . Tocka je A(1) .

Zadatak 12. Tocka A(−1

4

)simetricna je tocki B(x) s obziromna tocku C

(−3

12

). Odredi

tocku B .

Rjesenje. C je poloviste duzine AB . Iz−1

4+ x

2= −3

12,−1 + 4x

8= −7

2, −1+4x =

−28, x = −274

, slijedi B(−27

4

).

Zadatak 13. Dane su tocke A(−3), B(1

2

), C(5) . Odredi duljinu duzine P1P2 gdje je P1

poloviste duzine AB , a P2 poloviste duzine BC .

Rjesenje. xP1 =−3 +

12

2= −5

4, P1

(−5

4

), xP2 =

12

+ 5

2=

114

, P2

(114

),

|P1P2| =∣∣∣∣11

4+

54

∣∣∣∣ = 4 .

171

3 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 14. Tocka P1(−2) poloviste je duzine AB , a tocka P2(3) poloviste je duzine BC .Ako je B(0) , odredi duljinu duzine AC .

Rjesenje.xA + 0

2= −2 , xA = −4 , A(−4) ,

0 + xC

2= 3 , xC = 6 , C(6) ,

|AC| = |6 − (−4)| = 10 .

Zadatak 15. Tocka C(1) simetricna je tocki A(−2) s obzirom na tocku B . Tocka D si-metricna je tocki C s obzirom na A , a E je simetricna D s obzirom na C .Odredi polozaj tocke E na brojevnom pravcu.

Rjesenje. Tocka B je poloviste duzine AC , xB =−2 + 1

2= −1

2.

Tocka A je poloviste duzine CD , −2 =1 + xD

2, xD = −5 , D(−5) .

Tocka C je poloviste duzine DE , 1 =−5 + xE

2, xE = 7 , E(7) .

Zadatak 16. Tocka T2(−2) poloviste je duzine T1T3 . Tocka T3 poloviste je duzine T2T4 ,tocka T4 poloviste je duzine T3T5 , tocka T5 poloviste je duzine T4T6 itd.Kolika je duljina duzine T1T100?

Rjesenje. |T1T3| = 2|T1T2| , |T1T4| = 3 · |T1T2| , |T1T5| = 4 · |T1T2| . Zato jeT1T100| = 99 · |T1T2| .

Zadatak 17. Tocka T2(−2) poloviste je duzine T1T3 . Tocka T3 poloviste je duzine T1T4 ,tocka T4 poloviste je duzine T1T5 , tocka T5 poloviste je duzine T1T6 itd. Ko-nacno, tocka T10 poloviste je duzine T1T11 . Kolika je duljina duzine T1T11?

Rjesenje. |T1T3| = 2 · |T1T2| , |T1T4| = 4 · |T1T2| = 22 · |T1T2| , |T1T5| = 8 · |T1T2| =23|T1T2| . Zato je |T1T11| = 29 · |T1T2| = 512|T1T2| .


Zadatak 1. 1) |x| = 10; 2) |x| = 0.5; 3) |x| = −1;

4) | − x| = 2; 5) |x| = 0; 6) |x| = π.

Rjesenje. 1) x = −10 ili x = 10 ; 2) x = −0.5 ili x = 0.5 ; 3) nema rjesenja;4) x = −2 ili x = 2 ; 5) x = 0 ; 6) x = −π ili x = π ;

Zadatak 2. 1) |x| = x; 2) |x| = −x.

Rjesenje. 1) x � 0 ; 2) nema rjesenja.

Zadatak 3. 1) |x − 1| = 2; 2) |x − 2| = 1; 3) |x − 3| = 3;

4) |x + 1| = 2; 5) |x + 3| = 3; 6) |x − 1| = −1.

Rjesenje. 1) x = −3 ili x = −1 ; 2) x = 1 ili x = 3 ; 3) x = 6 ili x = 0 ;4) x = 1 ili x = −3 ; 5) x = 0 ili x = −6 ; 6) nema rjesenja.

172

3

Zadatak 4. 1) |2x + 3| = 7; 2) |3x − 1| = 2; 3) |4x + 3| = 8;

4) |2x + 1| = 34 ; 5) |5x − 2| = 0.75; 6) |4x + 1| = 0.

Rjesenje. 1) 2x + 3 = 7 , 2x = 4 , x = 2 ili −2x − 3 = 7 , −2x = 10 , x = −5 ;

2) 3x − 1 = 2 , 3x = 3 , x = 1 ili −3x + 1 = 2 , −3x = 1 , x = −13

;

3) 4x + 3 = 8 , 4x = 5 , x =54

ili −4x − 3 = 8 , −4x = 11 , x = −114

;

4) 2x + 1 =34

, 2x = −14

, x = −18

ili −2x − 1 =34

, −2x =74

, x = −78

;

5) 5x − 2 = 0.75 , 5x = 2.75 , x = 0.55 ili −5x + 2 = 0.75 , −5x = −1.25 ,x = −0.25 ;

6) 4x + 1 = 0 , 4x = −1 , x = −14

ili −4x − 1 = 0 , −4x = 1 , x = −14

.

Zadatak 5. 1) |2x − 3| = |x + 1|; 2) |3x + 1| = |2x − 1|;3) |4x + 5| = |2x − 3|; 4) |2x + 1| = |2x − 1|;5) |2x − 5| = |3x − 5|; 6) |4x + 1| = | − x|.

Rjesenje. 1) Iz 2x − 3 = x + 1 slijedi x = 4 , a iz 2x − 3 = −x − 1 je x =23

.

2) Iz 3x + 1 = 2x − 1 slijedi x = −2 , a iz 3x + 1 = −2x + 1 je x = 0 .

3) Iz 4x + 5 = 2x − 3 slijedi x = −4 , a iz 4x + 5 = −2x + 3 je x = −13

.

4) Jednakost 2x + 1 = 2x − 1 nema rjesenja, a iz 2x + 1 = −2x + 1 slijedix = 0 .5) Iz 2x − 5 = 3x − 5 slijedi x = 0 , a iz 2x − 5 = −3x + 5 je x = 2 .

6) Iz 4x + 1 = −x slijedi x = −15

, a iz 4x + 1 = x je x = −13

.

Zadatak 6. 1) |2x − 1| = x − 1; 2) |3x + 2| = x − 2;

3) |4x − 5| = 2x − 1; 4) |2x + 1| = 2x + 1;

5) |2x − 3| = 2x − 5; 6) |x + 1| = −x + 1.

Rjesenje. 1) Za 2x − 1 � 0 je 2x − 1 = x − 1 , slijedi x = 0 sto ne moze biti rjesenje

jer je x � 12

. Za 2x − 1 < 0 je −2x + 1 = x − 1 , slijedi x =23

sto ne moze

biti rjesenje jer je x <12

.

2) Za 3x + 2 � 0 je 3x + 2 = x − 2 , slijedi x = −2 sto ne moze biti rjesenje

jer je x � −23

. Za 3x + 2 < 0 je −3x− 2 = x− 2 , slijedi x = 0 sto ne moze

biti rjesenje jer je x < −23

.

3) Za 4x− 5 � 0 , x � 54

je 4x− 5 = 2x− 1 , slijedi x = 2 . Za 4x− 5 < 0 ,

x <54

je −4x + 5 = 2x − 1 , slijedi x = 1 .

173

3 RJESENJA ZADATAKA

4) Za 2x + 1 � 0 , x � −12

dobivamo 2x + 1 = 2x + 1 , sto vrijedi za svaki

x � −12

. Za 2x + 1 < 0 , x < −12

je −2x− 1 = 2x + 1 , slijedi x = −12

.

5) Za 2x − 3 � 0 je 2x − 3 = 2x − 5 , −3 = −5 sto ne moze biti. Za2x− 3 < 0 je −2x + 3 = 2x− 5 , slijedi x = 2 sto ne moze biti rjesenje jer je

x <32

.

6) Za x + 1 � 0 , x � −1 je x + 1 = −x− 1 , slijedi x = 0 . Za x + 1 < 0 je−x − 1 = −x + 1 , −1 = 1 sto ne moze biti.

Zadatak 7. 1) ||x| − 1| = 2 ; 2) ||x| + 3| = 4 ;

3) ||x| − 2| = 1 ; 4) ||x − 1| + 1| = 3 ;

5) ||x − 1| − 2| = 3 ; 6) ||x + 1| − 2| = 1 ;

7) ||2x+1|−3|=2 ; 8) ||3x − 1| − 2| = 1 .

Rjesenje. 1) |x| − 1 = −2 ili |x| − 1 = 2 odnosno |x| = −1 ili |x| = 3 . Prva jednakostnema rjesenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan. Rjesenjadruge jednakosti su x = −3 ili x = 3 ;2) |x|+ 3 = −4 ili |x|+ 3 = 4 odnosno |x| = −7 ili |x| = 1 . Prva jednakostnema rjesenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan. Rjesenjadruge jednakosti su x = −1 ili x = 1 ;3) |x| − 2 = −1 ili |x| − 2 = 1 odnosno |x| = 1 ili |x| = 3 . Rjesenja prvejednakosti su x = −1 ili x = 1 , a druge x = −3 ili x = 3 . Sva rjesenjapolazne jednakosti su x1 = −3 , x2 = −1 , x3 = 1 , x4 = 3 ;4) |x−1|+1 = −3 ili |x−1|+1 = 3 odnosno |x−1| = −4 ili |x−1| = 2 . Pr-va jednakost nema rjesenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan.Rjesenja druge jednakosti su x = −1 ili x = 3 ;5) |x−1|−2 = −3 ili |x−1|−2 = 3 odnosno |x−1| = −1 ili |x−1| = 5 . Pr-va jednakost nema rjesenja jer je desna strana negativan broj, a lijeva pozitivan.Rjesenja druge jednakosti su x = −4 ili x = 6 ;6) |x + 1| − 2 = −1 ili |x + 1| − 2 = 1 odnosno |x + 1| = 1 ili |x + 1| = 3 .Rjesenja prve jednakosti su x = −2 ili x = 0 , a druge x = −4 ili x = 2 . Svarjesenja polazne jednakosti su x1 = −4 , x2 = −2 , x3 = 0 , x4 = 2 ;7) |2x+1|−3 = −2 ili |2x+1|−3 = 2 odnosno |2x+1| = 1 ili |2x+1| = 5 .Rjesenja prve jednakosti su x = −1 ili x = 0 , a druge x = −3 ili x = 2 . Svarjesenja polazne jednakosti su x1 = −3 , x2 = −1 , x3 = 0 , x4 = 2 ;8) |3x−1|−2 = −1 ili |3x−1|−2 = 1 odnosno |3x−1| = 1 ili |3x−1| = 3 .

Rjesenja prve jednakosti su x =23

ili x = 0 , a druge x = −23

ili x =43

. Sva

rjesenja polazne jednakosti su x1 = −23

, x2 = 0 , x3 =23

, x4 =43

.


1)

∣∣∣∣x − 1x − 2

∣∣∣∣ =12

; 2)

∣∣∣∣ x + 12x − 3

∣∣∣∣ = 1 ;

3)

∣∣∣∣ 2 − x2x + 1

∣∣∣∣ =13

; 4)

∣∣∣∣2x + 1x − 3

∣∣∣∣ =∣∣∣∣2x + 1

x − 5

∣∣∣∣ .174

3

Rjesenje. Ovakve nejednadzbe rjesavaju se na temelju cinjenice |a| = |b| ako i samo akoje a = b ili a = −b .1) |x − 1|

|x − 2| =12

/ · 2|x − 2|, x �= 2

2|x − 1| = |x − 2||2x − 2| = |x − 2|

2x − 2 = x − 2 ili 2x − 2 = −x + 2 . Rjesenje prve jednakosti je x = 0 , a

druge x =43

.

Rjesenja polazne jednakosti su x = 0 ili x =43

;

Moze se postupati i na ovaj nacin:

Iz

∣∣∣∣x − 1x − 2

∣∣∣∣ =12

slijedix − 1x − 2

=12

ilix − 1x − 2

= −12

. Iz prve jednadzbe slijedi

x = 0 , a iz druge x =43

.

2) |x + 1||2x − 3| = 1 / · |2x − 3|, x �= 3

2

|x + 1| = |2x − 3|x + 1 = 2x − 3 ili x + 1 = −2x + 3 . Rjesenje prve jednakosti je x = 4 , a

druge x =23

.

Rjesenja polazne jednakosti su x =23

ili x = 4 ;

3) |2 − x||2x + 1| =

13

/ · 3|2x + 1|, x �= −12

|6 − 3x| = |2x + 1|6 − 3x = 2x + 1 ili 6 − 3x = −2x − 1 . Rjesenje prve jednakosti je x = 1 , adruge x = 7 .Rjesenja polazne jednakosti su x = 1 ili x = 7 ;

4) Jedno od rjesenja je x = −12

, tada jednakost poprima oblik 0 = 0 . Uzmimo

sada x �= −12

:

|2x + 1||x − 3| =

|2x + 1||x − 5|

1|x − 3| =

1|x − 5| / · |x − 5| · |x − 3|, x �= 3, x �= 5

|x − 3| = |x − 5|x − 3 = x − 5 ili x − 3 = −x + 5 . Prva jednakost nema rjesenja, a rjesenjedruge je x = 4 .

Rjesenja polazne jednakosti su x = −12

ili x = 4 ;

175

3 RJESENJA ZADATAKA


1)

∣∣∣∣ x2x − 1

∣∣∣∣+∣∣∣∣ 2x2x − 1

∣∣∣∣ = 1 ; 2)

∣∣∣∣ x − 12x − 1

∣∣∣∣−∣∣∣∣ x + 12x − 1

∣∣∣∣ = 3 .

Rjesenje. 1) |x||2x − 1| +

|2x||2x − 1| = 1 / · |2x − 1| x �= 1

2

|x| + |2x| = |2x − 1||3x| = |2x − 1|

3x = 2x − 1 ili 3x = 1 − 2x , rjesenje prve jednakosti je x = −1 , a druge

x =15

;

Rjesenja polazne jednadzbe su x1 = −1 , x2 =15

;

Moglo se i ovako:∣∣∣∣ x2x − 1

∣∣∣∣+∣∣∣∣ 2x2x − 1

∣∣∣∣ = 1,∣∣∣∣ x2x − 1

∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣ x2x − 1

∣∣∣∣ = 1,

3

∣∣∣∣ x2x − 1

∣∣∣∣ = 1,∣∣∣∣ x2x − 1

∣∣∣∣ =13,

3x = 2x − 1 ili −3x = 2x − 1 , x = −1 ili x =15

.

2) |x − 1||2x − 1| +

|x + 1||2x − 1| = 3 / · |2x − 1| x �= 1

2

|x − 1| − |x + 1| = 3|2x − 1||x − 1| − |x + 1| − 3|2x − 1| = 0

x − 1 = 0 za x = 1 , x + 1 = 0 za x = −1 , 2x − 1 = 0 , x =12

. Pogledaj-

mo predznake zadanih izraza unutar cetiri intervala koje na brojevnom pravcu

odre -duju brojevi −1 ,12

i 1 .

a) x < −1 ; x − 1 < 0 , x + 1 < 0 , 2x − 1 < 0 ;

−x+1+x+1+6x−3 = 0 , x =16

, nije u zadanom intervalu pa nije rjesenje;

b) −1 � x <12

; x − 1 < 0 , x + 1 � 0 , 2x − 1 < 0 ;

−x+1−x−1+6x−3 = 0 , x =34


c)12

� x < 1 ; x − 1 < 0 , x + 1 > 0 , 2x − 1 � 0 ;

−x+1−x−1−6x+3 = 0 , x =38


176

3

d) x � 1 ; x − 1 � 0 , x + 1 > 0 , 2x − 1 > 0 ;

x− 1− x− 1− 6x + 3 = 0 , x =16



Zadatak 10. Odredi sve realne brojeve x koji zadovoljavaju sustav nejednadzbi:

1) 1 � |x − 2| < 3 ; 2)12

� |3x + 2| <34

; 3)23

<

∣∣∣∣3x − 12

∣∣∣∣ � 34

.

Rjesenje. 1) Najprije rijesimo nejednadzbu |x − 2| � 1 . Ona je ekvivalentana sustavunejednadzbi:

x − 2 � −1 ili x − 2 � 1

a njihovo je rjesenjex � 1 ili x � 3.

Rijesimo zatim i drugu nejednadzbu |x − 2| < 3 . Ona je ekvivalentna nejed-nadzbi:

−3 < x − 2 < 3

cije je rjesenje−1 < x < 5.

Rjesenje zadatka je presjek ovih dvaju skupova rjesenja:x ∈ 〈−1, 1] ∪ [3, 5〉 ;

2) Najprije rijesimo nejednadzbu |3x + 2| � 12

. Ona je ekvivalentana sustavu

nejednadzbi:

3x + 2 � −12

ili 3x + 2 � 12

3x � −52

ili 3x � −32

a njihovo je rjesenje

x � −56

ili x � −12.

Rijesimo zatim i drugu nejednadzbu |3x + 2| <34

. Ona je ekvivalentna

nejednadzbi:

−34

< 3x + 2 <34, −11

4< 3x < −5

4cije je rjesenje

−1112

< x < − 512

.

Rjesenje zadatka je presjek ovih dvaju skupova rjesenja:

x ∈⟨−11

12,−5

6

]∪[−1

2,− 5

12

⟩;

177

3 RJESENJA ZADATAKA

3) Najprije rijesimo nejednadzbu

∣∣∣∣3x − 12

∣∣∣∣ >23

. Ona je ekvivalentana sustavu

nejednadzbi:

3x − 12

< −23

ili 3x − 12

>23

3x < −16

ili 3x >76


x < − 118

ili x >718

.

Rijesimo zatim i drugu nejednadzbu

∣∣∣∣3x − 12

∣∣∣∣ � 34

. Ona je ekvivalentna

nejednadzbi:

−34

� 3x − 12

� 34, −1

4� 3x � 5

4;

cije je rjesenje

− 112

� x � 512

.

Rjesenje zadatka je presjek ovih dvaju skupova rjesenja:

x ∈[− 1

12,− 1

18

⟩∪⟨ 7

18,

512

].

Zadatak 11. 1) 1 − 1|2x − 1| =

23|2x− 1| ; 2)

2|x − 2| − 1 =

12|x − 2| ;

3)2

|3x − 6| + 1 =3

|2x − 4| ; 4)2x − 1|4 − 2x| + 1 =

x|x − 2| ;

5)1

|1 − 2x| − 1 =2x

|4x − 2| .

Rjesenje. 1) Za 2x − 1 > 0 , x >12

pa jednakost postaje

1 − 12x − 1

=2

3(2x − 1)/ · 3(2x− 1)

6x − 3 − 3 = 2

x =43.

Za 2x − 1 < 0 , x <12


1 − 11 − 2x

=2

3(1 − 2x)/ · 3(1 − 2x)

3 − 6x − 3 = 2

x = −13;

178

3

2) Za x − 2 > 0 , x > 2 pa jednakost postaje

2x − 2

− 1 =1

2(x − 2)/ · 2(x − 2)

4 − 2x + 4 = 1

x = −12

nije rjesenje;

Za x − 2 < 0 , x < 2 pa jednakost postaje

22 − x

− 1 =1

2(2 − x)/ · 2(2 − x)

4 − 4 + 2x = 1

x =12;

3) Za x − 2 > 0 , x > 2 pa jednakost postaje

23(x − 2)

+ 1 =3

2(x − 2)/ · 6(x − 2)

4 + 6x − 12 = 9

x =176

;

Za x − 2 < 0 , x < 2 pa jednakost postaje

23(2 − x)

+ 1 =3

2(2 − x)/ · 6(2 − x)

4 + 12 − 6x = 9

x =76;

4) Za 2 − x > 0 , x < 2 pa jednakost postaje

2x − 14 − 2x

+ 1 =x

2 − x/ · 2(2 − x)

2x − 1 + 4 − 2x = 2x

x =32;

Za 2 − x < 0 , x > 2 pa jednakost postaje

2x − 12(x − 2)

+ 1 =x

x − 2/ · 2(x − 2)

2x − 1 + 2x − 4 = 2x

x =52;

5) Za 1 − 2x > 0 , x <12


11 − 2x

− 1 =x

1 − 2x/ · 1 − 2x

1 − 1 + 2x = x

x = 0;

179

3 RJESENJA ZADATAKA

Za 1 − 2x < 0 , x >12


12x − 1

− 1 =x

2x − 1/ · 2x − 1

1 − 2x + 1 = x

x =23.

Zadatak 12. 1) |x| � 1; 2) |x| > 2; 3) |x| < 0;

4) |x| � −1; 5) |x| � 12 ; 6) |x| < 0.1

Rjesenje. 1) 0 � x � 1 ; 2) x < −2 ili x > 2 ; 3) nema rjesenja;

4) vrijedi za svaki x ∈ R ; 5) x � −12

ili x � 12

; 6) −0.1 < x < 0.1 .

Zadatak 13. 1) |x − 1| � 2; 2) |x − 1| > 1; 3) |x + 1| < 3;

4) |x + 2| � 1; 5) |x + 5| � 3; 6) |x − 3| < 0.

Rjesenje. 1) −2 � x − 1 � 2 , −1 � x � 1 ;2) za x − 1 � 0 =⇒ x � 1 i x − 1 > 1 =⇒ x > 2 rjesenje je x > 2 , zax − 1 < 0 , x < 1 nema rjesenja;3) −1 < x + 1 < 3 , −2 < x < 2 ;4) za x + 2 � 0 =⇒ x � −2 i x + 2 � 1 =⇒ x � −1 rjesenje je x � −1 ,za x + 2 < 0 =⇒ x < −2 i −x − 2 � 1 =⇒ x � −3 rjesenje je x � −3 ;5) −3 � x + 5 � 3 , −8 � x � −2 ;6) nema rjesenja.

Zadatak 14. 1)3

1 + |x − 1| < 2 ; 2)|2 − x|

1 − |x − 2| � 1 ;

3)2

|x − 2| − 1 <1

|4 − 2x| ; 4) 1 − 1|1 − 2x| <

2|6x − 3| .

Rjesenje. 1)3

1 + |x − 1|︸︷︷︸>0

< 2 / · 1 + |x − 1|

3 < 2 + 2|x − 1|2|x − 1| > 1

|x − 1| >12

x − 1 < −12

ili x − 1 >12

odnosno

x <12

ili x >32;

180

3

2)

�0︷︸︸︷|x − 2|

1 − |x − 2| � 1︸︷︷︸>0

. Odavde slijedi:

1 − |x − 2| > 0; |x − 2| < 1

to jest,

x − 2 > −1 ili x − 2 < 1

x > 1 ili x < 3

x ∈〈 1, 3〉Uz ovaj uvjet sredimo polaznu nejednadzbu

|x − 2|1 − |x − 2| � 1 / · (1 − |x − 2|)

|x − 2| � 1 − |x − 2||x − 2| � 1

2

x − 2 � −12

ili x − 2 � 12

x � 32

ili x � 52

Uz gornji uvjet rjesenje polazne nejednadzbe je

⟨1,

32

]∪[52, 3

⟩;

No mogli smo rjesavanje provesti i na drugi nacin. Dana nejednadzba ekviva-

lentna je nejednadzbi2|x − 2| − 11 − |x − 2| � 0 . Odavde slijedi 2|x − 2| − 1 � 0 i

1− |x− 2| > 0 , odnosno |x− 2| � 12

i |x− 2| < 1 , druga mogucnost otpada.

Iz ovih nejednadzbi dobije se uvjet

12

� |x − 2| < 1

koji je ekvivalentan sustavu nejednadzbi

12

� −x + 2 < 1 ili12

� x − 2 < 1,


1 < x � 32

ili52

� x < 3.

3)2

|x − 2|︸︷︷︸>0, za x �=2

− 1 <1

2|x − 2| / · 2|x − 2|, x �= 2

4 − 2|x − 2| < 1

|x − 2| >32

181

3 RJESENJA ZADATAKA

x − 2 < −32

ili x − 2 >32

odnosno

x <12

ili x >72;

4)1 − 1

|2x − 1|︸︷︷︸>0, za x �= 1

2

<2

3|2x − 1| / · 3|2x − 1|, x �= 12

3|2x− 1| − 3 < 2

|2x − 1| <53;

−53

< 2x − 1 <53, −2

3< 2x <

83,

−13

< x <43.


1)

∣∣∣∣ 1x − 1

∣∣∣∣ � 2 ; 2)

∣∣∣∣ xx + 1

∣∣∣∣ � 12

;

3)

∣∣∣∣ x − 12x + 1

∣∣∣∣ > 1 ; 4)

∣∣∣∣ x + 12x − 3

∣∣∣∣ � 12

.

Rjesenje. 1)

1|x − 1|︸︷︷︸

>0, za x �=1

� 2 / · |x − 1|, x �= 1

2|x − 1| � 1,

|x − 1| � 12;

−12

� x − 1 � 12

, x �= 1 odnosno12

� x � 32

, x �= 1 ;

2)

|x||x + 1|︸︷︷︸

>0, za x �=−1

� 12

/ · 2|x + 1|, x �= −1

2|x| � |x + 1|2|x| − |x + 1| � 0

Odredimo predznake izraza unutar znaka apsolutnih vrijednosti. Prvi izrazjednak je nuli za x = 0 , a drugi za x = −1 . Brojevi −1 i 0 odre -duju triintervala unutar kojih cemo razmatrati predznake zadanih izraza.1) x < −1 ; x < 0 , x + 1 < 0−2x+x+1 � 0 , x � 1 , nije rjesenje jer se ne nalazi u promatranom intervalu.

182

3

2) −1 < x < 0 ; x < 0 , x − 1 > 0 (zbog uvjeta x �= −1 )

−2x − x − 1 � 0, 3x � −1, x � −13.

Iz −1 < x < 0 i x � −13

slijedi da je rjesenje x ∈[−1

3, 0

⟩.

3) x � 0 ; x � 0 , x − 1 > 0

2x − x − 1 � 0, x � 1.

Iz x � 0 i x � 1 slijedi da je rjesenje x ∈ [0, 1] .

Konacno rjesenje je unija pojedinih slucaja, a to je x ∈[−1

3, 1

], odnosno

−13

� x � 1 ;

3)

|x − 1||2x + 1|︸︷︷︸

>0, za x �=− 12

> 1 / · |2x + 1|, x �= −12

|x − 1| > |2x + 1||x − 1| − |2x + 1| > 0

Odredimo predznake izraza unutar znaka apsolutnih vrijednosti. Prvi izraz

jednak je nuli za x = 1 , a drugi za x = −12

. Brojevi −12

i 1 odre -duju tri

intervala unutar kojih cemo razmatrati predznake zadanih izraza.

1) x < −12

; x − 1 < 0 , 2x + 1 < 0

−x + 1 + 2x + 1 > 0, x > −2.

Iz x < −12

i x > −2 slijedi da je rjesenje −2 < x < −12

2) −12

< x < 1 ; x − 1 < 0 , 2x + 1 > 0 (zbog uvjeta x �= −12

)

−x + 1 − 2x − 1 > 0, −3x > 0, x < 0.

Iz −12

< x < 1 i x < 0 slijedi da je rjesenje −12

< x < 0 .

3) x � 1 ; x − 1 � 0 , 2x + 1 > 0

x − 1 − 2x − 1 > 0, −x > 2, x < −2.

Nema rjesenja.

Konacno rjesenje je unija pojedinih slucaja, a to je x ∈ 〈−2, 0〉 , x �= −12

;

4)

|x + 1||2x − 3|︸︷︷︸>0, za x �= 3

2

� 12

/ · 2|2x − 3|, x �= 32

2|x + 1| � |2x − 3|2|x + 1| − |2x − 3| � 0

183

3 RJESENJA ZADATAKA

Odredimo predznake izraza unutar znaka apsolutnih vrijednosti. Prvi izraz

jednak je nuli za x = −1 , a drugi za x =32

. Brojevi −1 i32

odre -duju tri

intervala unutar kojih cemo razmatrati predznake zadanih izraza.1) x < −1 ; x + 1 < 0 , 2x − 3 < 0

−2x − 2 + 2x − 3 � 0, −5 � 0;

Tvrdnja nije istinita, nema rjesenja.

2) −1 � x <32

; x + 1 � 0 , 2x + 1 < 0

2x + 2 + 2x − 3 � 0, 4x � 1, x � 14.

Iz −1 � x <32

i x � 14

slijedi da je rjesenje14

� x <32

.

3) x >32

; x + 1 > 0 , 2x − 3 > 0

2x + 2 − 2x + 3 � 0, 5 � 0.

Istinita tvrdnja, rjesenje je svaki x >32

.

Konacno rjesenje je unija pojedinih slucaja, a to je x � 14

, x �= 32

.

184

4


Zadatak 1. Nacrtaj trokut ABC , A(4,−2) , B(−3, 2) , C(0,−4) . Nacrtaj potom trokutsimetrican zadanom s obzirom na os apscisa i odredi koordinate njegovih vr-hova.

Rjesenje.

A′(4, 2) , B′(−3,−2) , C′(0, 4) .

Zadatak 2. Nacrtaj trokut simetrican trokutu ABC , A(−3, 0) , B(0,−5) , C(3, 3) s obzi-rom na ishodiste koordinatnog sustava i odredi koordinate vrhova tog trokuta.

Rjesenje.

A′(3, 0) , B′(0, 5) , C′(−3,−3) .

Zadatak 3. Tocke (1, 1) , (5, 1) i (5,−3) tri su vrha kvadrata. Odredi koordinate cetvrtogvrha i koordinate sredista kvadrata.

Rjesenje.

Cetvrti je vrh tocka (1,−3) , a srediste kvadrata je (3,−1) .

185

4 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 4. Tocke A i B susjedni su vrhovi kvadrata ABCD . Odredi vrhove C i D akoje:

1) A(4,−2), B(4, 4); 2) A(−3, 1), B(5, 1).

Rjesenje. 1)

C(−2, 4) , D(−2,−2) ili C(10, 4) , D(10,−2) ;2)

C(5,−7) , D(−3,−7) ili C(5, 9) , D(−3, 9) .

Zadatak 5. Tocke A i C suprotni su vrhovi kvadrata ABCD . Odredi ostale vrhove kvadrataako je:

1) A(1,−6), C(1, 2); 2) A(−3, 2), C(3,−2);3) A(0,−5) , C(5, 0) .

Rjesenje. 1)

B(5,−2) , D(−3,−2) ;

186

4

2)

B(−2,−3) , D(2, 3) ;3)

B(5,−5) , D(0, 0) .

Zadatak 6. Kolike su duljine ortogonalnih projekcija duzine AB na koordinatne osi akoje:

1) A(−3,−2) , B(3,−1) ;

2) A(−2, 1) , B(5,−3) ;3) A(−2, 3) , B(3,−3) ;4) A(−1,−4) , B(−1, 2) ?

Rjesenje. 1) Duljina ortogonalne projekcije duzine AB na os x je 6 jedinica, a na os y 1jedinica.

2) Duljina ortogonalne projekcije duzine AB na os x je 7 jedinica, a na os y 4jedinice.

3) Duljina ortogonalne projekcije duzine AB na os x je 5 jedinica, a na os y 6jedinica.

4) Duljina ortogonalne projekcije duzine AB na os x je 0 jedinica, a na os y 6jedinica.

Zadatak 7. Nacrtaj skup svih tocaka T(x, y) u ravnini kojima koordinate zadovoljavajuuvjet:

1) x = −1 ; 2) y = 2 ; 3) x � 3 ;

4) y � −32

; 5) 2x−3>0 ; 6) 3y + 5 < 0 .

187

4 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1) Pravac paralelan s osi ordinata, a prolazi tockom (−1, 0) ;

2) Pravac paralelan s osi apscisa, prolazi tockom (0, 2) ;

U sljedecim cetirima zadatcima danim nejednakostima odre -dene su poluravni-ne. Uoci da rub poluravnine pripada ili ne pripada poluravnini. To ovisi je linejednakost stroga ili nije.3) 4)

5) 6)

Zadatak 8. Odredi skup svih tocaka T ravnine kojima koordinate x i y zadovoljavajuuvjet:

1) x + y > 0 ; 2) x − y � 0 .

188

4

Rjesenje. 1) Kad bi bila zadana jednakost x + y = 0 , odnosno y = −x , potrazili bismosve tocke ravnine tipa T(x,−x) , dakle tocke kojima su koordinate suprotnibrojevi. Sve takve tocke pripadaju simetrali II. i IV. kvadranta. No mi imamouvjet y > −x , pa je rijec o poluravnini kojoj je granica pravac y = −x .

2) Slicno kao u prethodnomzadatku, rijec je o poluravnini iznad granice y = x ,ali sada je ukljucena i granica.

Zadatak 9. Nacrtaj skup svih tocaka T(x, y) ravnine kojima kooordinate x i y zadovolja-vaju sustav nejednadzbi:

1){

(x + 1)(x − 2) � 0;(y − 1)(y + 2) � 0;

2){

(2x − 3)(x + 3) � 0;(2y + 5)(y − 2) � 0.

Rjesenje. 1) Rjesimo prvu nejednadzbu:

(x + 1)(x − 2) � 0

1) x + 1 � 0, x − 2 � 0

x � 2

2) x + 1 � 0, x − 2 � 0

x � −1

Rjesenje prve nejednadzbe je svaki realni broj x , x � −1 ili x � 2 . Skuptocaka ravnine sto je odre -den uvjetom (x + 1)(x− 2) � 0 , stoga je unija dvijupoluravnina.

189

4 RJESENJA ZADATAKA

Sada rjesimo drugu nejednadzbu:

(y − 1)(y + 2) � 0

1) y − 1 � 0, y + 2 � 0

−2 � y � 1

2) y − 1 � 0, y + 2 � 0

∅

Rjesenje druge nejednadzbe je svaki realni broj y , −2 � y � 1 , sto u ravniniodre -duje jednu prugu.

No rijec je o sustavu nejednadzbi, pa kao njegovo konacno rjesenje valja namodrediti presjek pojedinih rjesenja.

2) Rjesimo prvu nejednadzbu:

(2x − 3)(x + 3) � 0

1) 2x − 3 � 0, x + 3 � 0

x � 32, x � −3

−3 � x � 32

2) 2x − 3 � 0, x + 3 � 0

x � 32, x � −3

∅

190

4

Rjesenje prve nejednadzbe je svaki realni broj x , −3 � x � 32

. Skup tocaka

ravnine sto je odre -den uvjetom (2x − 3)(x + 3) � 0 je pruga.

Sada rjesimo drugu nejednadzbu:

(2y + 5)(y − 2) � 0

2y + 5 � 0, y − 2 � 0

y � −52, y � 2

∅

2y + 5 � 0, y − 2 � 0

y � −52, y � 2

−52

� y � 2

Rjesenje druge nejednadzbe je svaki realni broj y , −52

� y � 2 , sto u ravnini

odre -duje jednu prugu.

Konacno rjesenje je presjek pojedinih rjesenja. Skup tocaka je kvadrat, presjekdviju pruga.

191

4 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 10. Nacrtaj skup svih tocaka T(x, y) ravnine za koje vrijedi:

1) x(y − 1) � 0 ; 2) (x + 1)y � 0 ;

3) (2x + 3)(y − 2) < 0 ; 4) (x − 3)(y + 1) > 0 .

Rjesenje. 1) Rjesenje su sve tocke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x � 0 i y � 1 ilix � 0 i y � 1 .

2) Rjesenje su sve tocke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x � −1 i y � 0 ilix � −1 i y � 0 .

3) Rjesenje su sve tocke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x < −32

i y > 2 ili

x > −32

i y < 2 .

4) Rjesenje su sve tocke ravnine T(x, y) za koje vrijedi x > 3 i y > −1 ilix < 3 i y < −1 .

Zadatak 11. Nacrtaj skup svih tocaka T(x, y) ravnine za koje je:

1) |x| < 1 ; 2) |y| � 2 ;

3) |x + 1| � 2 ; 4) |y − 2| � 1 .

192

4

Rjesenje. 1) Iz |x| < 1 slijedi −1 < x < 1 , pa je rjesenje pruga bez granica (slika)

2) Uvjet |y| � 2 znaci y � −2 ili y � 2 , te ima-mo za rjesenje uniju dviju zatvorenih poluravnina(slika);

3)Uvjet |x+1| � 2 znaci x+1 � −2 ili x+1 � 2odnosno x � −3 ili x � 1 , te imamo za rjesenjeuniju dviju zatvorenih poluravnina (slika);

4) Iz |y− 2| � 1 slijedi −1 � y− 2 � 1 odnosno1 � y � 3 , pa je rjesenje pruga (slika).

Zadatak 12. Prikazi graficki skup svih ure -denih parova (x, y) realnih brojeva x i y za kojeje:

1) |x| � 2 i |y| � 2 ; 2) |x| � 3 ili y � 1 ;

3) |x + 1| > 2 i |y − 1| > 3 ; 4) |2x − 5| � 1 ili |y + 2| > 2 ;

5) |x − 1| > 2 ili |y + 1| < 3 ; 6) |x| � 3 i |y + 1| � 2 .

Rjesenje. 1) Rjesenje je presjek dvaju pruga: −2 � x � 2 i −2 � y � 2 , tj. kvadrat (naslici zelenom).

193

4 RJESENJA ZADATAKA

2) Rjesenje je presjek pruge −3 � x � 3 i zatvorene poluravnine za y � 1(na slici zelenom).

3) Iz |x + 1| > 2 proizlazi x + 1 < −2 ili x + 1 > 2 odnosno x < −3 ilix > 1 . Iz |y − 1| > 3 proizlazi y − 1 < −3 ili y − 1 > 3 odnosno y < −2ili y > 4 .Rjesenje je presjek poluravnina x < −3 , x > 1 s poluravninama y < −2 ,y > 4 (na slici zelenom).

4) Konacno rjesenje je unija rjesenja pojedinih nejednadzbi.Rjesenje prve nejednadzbe |2x − 5| � 1 je −1 � 2x − 5 � 1 odnosno pruga2 � x � 3 .

Rjesimo i drugu nejednadzbu. Iz |y+2| > 2 slijedi y+2 < −2 ili y+2 > 2 ,odnosno rjesenja su poluravnine y < −4 i y > 0 .

Unija svih tocaka ravnine koje pripadaju dobivenoj prugi ili poluravninama jekonacno rjesenje (na slici zelenom).

194

4

5) Konacno rjesenje je unija rjesenja pojedinih nejednadzbi.Rjesimo prvu nejednadzbu. Iz |x − 1| > 2 slijedi x − 1 < −2 ili x − 1 > 2odnosno x < −1 ili x > 3 .

Rjesimo i drugu nejednadzbu. Iz |y + 1| < 3 slijedi −3 < y + 1 < 3 odnosnopruga −4 < y < 2 .

Unija svih tocaka ravnine koje pripa-daju dobivenim poluravninama iz prvejednadzbe ili dobivenoj prugi iz drugejednadzbe je konacno rjesenje.

195

4 RJESENJA ZADATAKA

6) Konacno rjesenje je presjek rjesenja pojedinih nejednadzbi.Iz |x| � 3 slijedi −3 � x � 3 (pruga).

Rjesimo drugu nejednadzbu. Iz |y + 1| � 2 slijedi −2 � y + 1 � 2 odnosnodobije se pruga −3 � y � 1 .

Tocke ravnine koje pripadaju objema dobivenim prugama je konacno rjesenje.

Zadatak 13. Nacrtaj skup svih tocaka T(x, y) ravnine kojima kooordinate x i y zadovolja-vaju sustav nejednadzbi:

1) 1 � |x − 1| < 3 ; 2) 1 < |y + 1| � 3 ;

3) x · y � 0 i |x| � 1 ; 4) x · y � 0 i |y| < 2 ;

5) x · y � 0 i 1 < |x| � 2 ; 6) x · y � 0 i 1 � |y| � 2 .

Rjesenje. 1) Iz 1 � |x−1| < 3 imamo sustav dviju nejednadzbi |x−1| � 1 i |x−1| < 3 .Rjesenje prve nejednadzbe je x − 1 � −1 ili x − 1 � 1 odnosno x � 0 ilix � 2 (dvije zatvorene poluravnine).

196

4

Rjesenje druge nejednadzbe je −3 < x − 1 < 3 odnosno pruga −2 < x < 4 .

Konacno rjesenje je presjek rjesenja prve i druge nejednadzbe.

2) Iz 1 < |y+1| � 3 imamo sustav dviju nejednadzbi |y+1| > 1 i |y+1| � 3 .Rjesenje prve nejednadzbe je y + 1 < −1 ili y + 1 > 1 odnosno y < −2 iliy > 0 (dvije poluravnine).

Rjesenje druge nejednadzbe je −3 � y + 1 � 3 odnosno pruga −4 � y � 2 .

197

4 RJESENJA ZADATAKA


3) Uvjet x · y � 0 zadovoljavaju svetocke iz II. i IV. kvadranta zajedno stockama na koordinatnim osima.

Uvjet |x| � 0 zadovoljavaju sve tocke T(x, y) , za koje vrijedi x � −1 ilix � 1 .


4) Uvjet x · y � 0 zadovoljavaju sve tocke iz I. i III. kvadranta zajedno stockama na koordinatnim osima.

198

4

Uvjet |y| < 2 zadovoljavaju sve tocke T(x, y) , za koje vrijedi −2 < y < 2 .


5) Uvjet x · y � 0 zadovoljavaju svetocke iz II. i IV. kvadranta zajedno stockama na koordinatnim osima.

Uvjet 1 < |x| � 2 zadovoljavaju sve tocke T(x, y) , za koje vrijedi x < −1 ilix > 1 i −2 � x � 2 odnosno −2 � x < −1 ili 1 < x � 2 .

Konacno rjesenje je presjek rjesenja pr-ve i druge nejednadzbe.

199

4 RJESENJA ZADATAKA

6) Uvjet x · y � 0 zadovoljavaju sve tocke iz I. i III. kvadranta zajedno stockama na koordinatnim osima.

Uvjet 1 � |y| � 2 zadovoljavaju sve tocke T(x, y) , za koje vrijedi y � −1 iliy > 1 i −2 � y � 2 odnosno −2 � y � −1 ili 1 � y � 2 .


Zadatak 14. Zapisi uvjete kojima je odre -den pojedini skup tocaka istaknut u koordinatnojravnini:

1

y y

x x

-1

-1

1) 2)

y y

x x

3) 4)

-1

2

200

4

Rjesenje. 1) x � 1 ; 2) x + 1 > 0 i y + 1 > 0 ; 3) −1 < y � 2 ;4) |x| � 2 i |y| � 2 .


Zadatak 1. Odredi udaljenost |AB| tocaka A i B ako je:

1) A(1, 2) , B(4, 6) ; 2) A(−3, 5) , B(5,−1) ;

3) A(1,−2) , B(−1, 2) ; 4) A(−3, 0) , B(0,−4) ;5) A(−3, 1) , B(5, 5) ; 6) A(−11, 8) , B(9,−7) .

Rjesenje. 1) |AB| =√

(4 − 1)2 + (6 − 2)2 =√

9 + 16 = 5 ;

2) |AB| =√

(5 − (−3))2 + (−1 − 5)2 =√

64 + 36 = 10 ;

3) |AB| =√

(−1 − 1)2 + (2 − (−2))2 =√

4 + 16 =√

20 =√

4 · 5 = 2√

5 ;

4) |AB| =√

(0 − (−3))2 + (−4 − 0)2 =√

9 + 16 = 5 ;

5) |AB| =√

(5 − (−3))2 + (5 − 1)2 =√

64 + 16 =√

80 =√

16 · 5= 4

√5 ;

6) |AB| =√

(9 − (−11))2 + (−7 − 8)2 =√

400 + 225 = 25 .

Zadatak 2. Tocke (0,−2) , (−4, 8) i (3, 1) pripadaju kruznici sa sredistem u tocki(−2, 3) . Provjeri!

Rjesenje. A = (0,−2) , B = (−4, 8) i C = (3, 1) , O = (−2, 3) .

|AO| =√

(−2 − 0)2 + (3 − (−2))2 =√

4 + 25 =√

29

|BO| =√

(−2 − (−4))2 + (3 − 8)2 =√

4 + 25 =√

29

|CO| =√

(−2 − 3)2 + (3 − 1)2 =√

25 + 4 =√

29

Svaka od triju danih tocaka jednako je, za r =√

29 , udaljena od tocke (−2, 3) ,tj. sredista kruznice.

Zadatak 3. Dokazi da tocke A , B i C pripadaju jednom pravcu:

1) A(4,−2) , B(1, 2) , C(−2, 6) ;

2) A(1,−1) , B(5, 1) , C(11, 4) .

Rjesenje. 1) |AB| = 5 , |BC| = 5 , |AC| = 10 , te je |AC| = |AB| + |BC| , dapace, tockaB poloviste je duzine AC .

2) Izracunamo |AB| = 2√

5 , |BC| = 3√

5 , |AC| = 5√

5 , te vidimo da je|AB| + |BC| = |AC| , sto znaci da tocke A , B i C pripadaju jednom pravcu.

Zadatak 4. Provjeri da je trokut ABC jednakokracan ako su njegovi vrhovi tocke:

1) A(0,−3) , B(2, 3) , C(6,−1) ;2) A(3,−1) , B(9, 5) , C(2, 6) .

Rjesenje. 1) |AB| =√

(2 − 0)2 + (3 − (−3))2 =√

4 + 36 =√

40 ;

|AC| =√

(6 − 0)2 + (−1 − (−3))2 =√

36 + 4 =√

40 ;

|AB| = |AC| =√

40 – trokut je jednakokracan;

2) |AB| =√

(9 − 3)2 + (5 − (−1))2 =√

36 + 36 =√

72 ;

201

4 RJESENJA ZADATAKA

|AC| =√

(2 − 3)2 + (6 − (−1))2 =√

1 + 49 =√

50 ;

|BC| =√

(2 − 9)2 + (6 − 5)2 =√

49 + 1 =√

50 ;

|AC| = |BC| =√

50 – trokut je jednakokracan.

Zadatak 5. Tocke A(−3, 1) i C(2,−4) nasuprotni su vrhovi kvadrata. Kolika je povrsinakvadrata?

Rjesenje. Duljina dijagonale kvadrata jednaka je |AC| =√

50 = 5√

2 , te je duljina

stranice kvadrata a =|AC|√

2=

5√

2√2

= 5 . Stoga je povrsina kvadrata jednaka

P = a2 = 25 kv. jed.

Zadatak 6. Duzina MN , M(−4,−3) , N(2, 5) , promjer je kruga. Kolika je povrsinakruga?

Rjesenje. |MN| = 2r , |MN| =√

(2 − (−4))2 + (5 − (−3))2 =√

36 + 64 = 10 ,2r = 10 , r = 5 , P = r2π = 25π .

Zadatak 7. Izracunaj povrsinu jednakostranicnog trokuta kojem su tocke A(0, 5) i B(2, 1)dva vrha.

Rjesenje. Duljina stranice trokuta jednaka je a = |AB| =√

(2 − 0)2 + (1 − 5)2 =√

4 + 16 =√

20 . Povrsina trokuta iznosi P =√

34

a2 = 5√

3 .

Zadatak 8. Koristeci se obratom Pitagorina poucka dokazi da je trokut ABC pravokutanako je:

1) A(2, 2) , B(6, 4) , C(5, 6) ;

2) A(5, 3) , B(4, 6) , C(−4, 0) .

Rjesenje. 1) |AB|2 = (6 − 2)2 + (4 − 2)2 = 16 + 4 = 20 ,

|BC|2 = (5 − 6)2 + (6 − 4)2 = 1 + 4 = 5 ,

|AC|2 = (5 − 2)2 + (6 − 2)2 = 9 + 16 = 25 ,

te je |AB|2 + |BC|2 = |AC|2 ;

2) |AB|2 = (4 − 5)2 + (6 − 3)2 = 1 + 9 = 10 ;

|BC|2 = (−4 − 4)2 + (0 − 6)2 = 64 + 36 = 100 ,

|AC|2 = (−4 − 5)2 + (0 − 3)2 = 81 + 9 = 90 ;

|BC|2 = |AB|2 + |AC|2 , hipotenuza je stranica |BC| .Zadatak 9. Tocke A(4, 3) , B(5, 1) , C(3, 0) vrhovi su jednakokracnog pravokutnog tro-

kuta. Provjeri!

Rjesenje. |AB|2 = (5 − 4)2 + (1 − 3)2 = 1 + 4 = 5 ,

|AC|2 = (3 − 4)2 + (0 − 3)2 = 1 + 9 = 10 ,

|BC|2 = (3 − 5)2 + (0 − 1)2 = 4 + 1 = 5 ;

|AB| = |BC| =√

5 – trokut je jednakokracan.

|AB|2 + |BC|2 = |AC|2 – trokut je pravokutan.

Zadatak 10. Koliki je polumjer kruznice opisane trokutu ABC ako je A(−1,−3) , B(9, 7) ,C(−3, 3) ?

202

4

Rjesenje. Kako je

|AB|2 = (9 − (−1))2 + (7 − (−3))2 = 100 + 100 = 200 ,

|BC|2 = (−3 − 9)2 + (3 − 7)2 = 144 + 16 = 160 ,

|AC|2 = (−3 − (−1))2 + (3 − (−3))2 = 4 + 36 = 40 ,

|BC|2 + |AC|2 = |AB|2 , pa je trokut pravokutan. Hipotenuza pravokutnogtrokuta promjer je trokutu opisane kruznice (Talesov poucak). Ovdje je hipo-tenuza stranica AB , njezina je duljina 10

√2 , pa je duljina polumjera opisane

kruznice jednaka 5√

2 .

Zadatak 11. Odredi duljinu polumjera i koordinate sredista kruznice opisane trokutu ABCako je A(5, 5) , B(5,−1) , C(−2,−2) .

Rjesenje. Srediste kruznice opisane trokutu je tocka S(x, y) jednako udaljena od svihtriju vrhova trokuta. No vrhovi A i B imaju istu apscisu pa ce ordinata sredistabiti jednaka y = 2 , odnosno tocka oblika S(x, 2) .Iz uvjeta |SB| = |SC| dobije se

(x − 5)2 + (2 − (−1))2 = (x + 2)2 + (−2 − 2)2

x2 − 10x + 25 + 9 = x2 + 4x + 4 + 16

−14x = −14

x = 1.

Dakle, srediste kruznice je tocka S(1, 2) . Polumjer kruznice je

r = |AS| =√

(1 − 5)2 + (2 − 5)2 =√

16 + 9 = 5.

Zadatak 12. Odredi koordinate sredista i duljinu polumjera kruznice opisane trokutu ABCako je A(−3, 1) , B(−1,−3) , C(3,−3) .

Rjesenje. Neka je S(x, y) srediste kruznice. Tada mora vrijediti |AS| = |BS| = |CS| .Vrhovi B i C imaju istu ordinatu pa ce apscisa sredista biti jednaka x = 1 .Dakle, srediste je oblika S(1, y) .Iz uvjeta |AS| = |BS| dobije se

(1 − (−3))2 + (y − 1)2 = (1 − (−1))2 + (y − (−3))2

16 + y2 − 2y + 1 = 4 + y2 + 6y + 9

−8y = −4

y =12.

Tako je srediste kruznice tocka S(1,

12

).

Jos izracunamo r2 = |AS|2 = (1 + 3)2 +(

12− 1

)2

= 16 +14

=654

.

Zadatak 13. Odredi koordinate sredista i polumjer kruznice opisane trokutu ABC ako jeA(−3, 2) , B(5,−2) , C(1, 6) .

203

4 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Mora vrijediti |AS| = |BS| = |CS| , S(x, y) .

|AS| = |BS|(x − (−3))2 + (y − 2)2 = (x − 5)2 + (y − (−2))2

x2 + 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = x2 − 10x + 25 + y2 + 4y + 4

16x − 8y − 16 = 0

8y = 16x − 16

y = 2x − 2,

|AS| = |CS|(x − (−3))2 + (y − 2)2 = (x − 1)2 + (y − 6)2

x2 + 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = x2 − 2x + 1 + y2 − 12y + 36

8x + 8y − 24 = 0

8y = 24 − 8x

y = 3 − x.

Izjednacimo li jednadzbe dobivene iz gornjih uvjeta dobijemo

2x − 2 = 3 − x

x =53.

Uvrstimo li x =53

u y = 3 − x dobijemo y =43

; S(5

3,43

);

r = |AS| =

√(53

+ 3

)2

+(

43− 2

)2

=

√1969

+49

=

√2009

=10

√2

3.

Zadatak 14. Tocke A(2, 1) , B(7, 1) , C(8, 4) i D(3, 4) vrhovi su paralelograma. Provjeri!

Rjesenje. |AB| =√

52 + 02 = 5 ,

|BC| =√

12 + 32 =√

10 ,

|CD| =√

(−5)2 + 02 = 5

|AD| =√

12 + 32 =√

10 .

|AB| = |CD| = 5 , |BC| = |AD| =√

10 – cetverokut je paralelogram.

Zadatak 15. Tocke A(−3,−2) , B(2, 0) , C(1, 4) i D(−4, 2) vrhovi su paralelograma. Pro-vjeri! Kolike su duljine dijagonala tog paralelograma?

Rjesenje. |AB| =√

52 + 22 =√

25 + 4 =√

29

|BC| =√

(−1)2 + 42 =√

1 + 16 =√

17 ,

|CD| =√

(−5)2 + (−2)2 =√

25 + 4 =√

29 ,

|AD| =√

(−1)2 + 42 =√

1 + 16 =√

17 ,dakle cetverokut ABCD je paralelogram. Duljine njegovih dijagonala jednakesu|AC| =

√42 + 62 =

√16 + 36 =

√52 ,

204

4

|BD| =√

(−6)2 + 22 =√

36 + 4 =√

40 .

Zadatak 16. Tocke A(−2,−1) , B(1, 0) , C(2, 3) i D(−1, 2) vrhovi su romba. Provjeri teodredi povrsinu romba.

Rjesenje. Najprije provjeravamo da je cetverokut ABCD romb. Dovoljno je pokazati dasu sve cetiri stranice tog cetverokuta jednake duljine.

|AB| =√

32 + (−1)2 =√

10 ,

|BC| =√

(−1)2 + 32 =√

10 ,

|CD| =√

(−3)2 + (−1)2 =√

10 ,

|AD| =√

12 + 32 =√

10 ;

Uistinu, |AB| = |BC| = |CD| = |AD| =√

10 . Duljine su dijagonala romba

e = |AC| =√

42 + 42 =√

16 + 16 =√

32 ,

f = |BD| =√

(−2)2 + 22 =√

4 + 4 =√

8 ,a kako je romb cetverokut s okomitim dijagonalama, njegova povrsina jednaka

je P =12ef = 8 .

Zadatak 17. Cetverokut ABCD je pravokutnik. Provjeri to i odredi povrsinu pravokutnikaako je:

1) A(−3, 0) , B(3,−6) , C(6,−3) , D(0, 3) ;2) A(−2, 1) , B(0,−3) , C(8, 1) , D(6, 5) .

Rjesenje. 1) |AB|2 = 62 + (−6)2 = 36 + 36 = 72 ,

|BC|2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18 ,

|CD|2 = (−6)2 + 62 = 36 + 36 = 72 ,

|AD|2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18 .Dakle, cetverokut ABCD jest paralelogram. No jos je i

|AC|2 = 92 + (−3)2 = 81 + 9 = 90 ,

|BD|2 = (−3)2 + 92 = 9 + 81 = 90 ,sto znaci da je pravokutnik. Njegova je povrsina

P = |AB||BC| = 6√

2 · 3√

2 = 36.

2) |AB|2 = 22 + (−4)2 = 4 + 16 = 20 ,

|BC|2 = 82 + 42 = 64 + 16 = 80 ,

|CD|2 = (−2)2 + 42 = 4 + 16 = 20 ,

|AD|2 = 82 + 42 = 64 + 16 = 80 .Dakle, cetverokut ABCD jest paralelogram. No jos je i

|AC|2 = 102 + 02 = 100 ,

|BD|2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 ,sto znaci da je pravokutnik. Njegova je povrsina

P = |AB||BC| = 2√

5 · 4√

5 = 40.

205

4 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 18. Odredi na osi apscisa tocku koja je od tocke A(3, 6) udaljena 10.

Rjesenje. Neka je T(x, 0) tocka na osi apscisa. Iz uvjeta |AT| = 10 dobijemo jednadzbu(x−3)2 +36 = 100 , odnosno (x−3)2 = 64 . Odatle je |x−3| = 8 pa imamodva rjesenja, dvije tocke: T1(−5, 0) i T2(11, 0) .

Zadatak 19. Na osi ordinata odredi tocku koja je od tocke A(3, 2) udaljena 5.

Rjesenje. Neka je T(0, y) tocka na osi ordinata. Iz uvjeta |AT| = 5 dobijemo jednadzbu9 + (y − 2)2 = 25 , odnosno (y − 2)2 = 16 . Odatle je |y − 2| = 4 pa imamodvije tocke T1(0,−2) i T2(0, 6) koje zadovoljavaju postavljene uvjete.

Zadatak 20. Tocka T(x, 2x − 6) jednako je udaljena od tocaka A(0, 4) i B(8, 0) za sva-ku vrijednost realnog broja x . Dokazi! Sto je skup svih tocaka T s ovimsvojstvom?Rijesi isti zadatak ako je:

1) A(−2, 3) , B(6,−5) , T(x + 1, x − 2) ;2) A(−1, 2) , B(3, 0) , T(x, 2x − 1) .

Rjesenje. Jednostavno izracunamo |AT|2 = x2 + (2x − 10)2 = 5x2 − 40x + 100 , te|BT|2 = (x − 8)2 + (2x − 6)2 = 5x2 − 40x + 100 . Ocito, |AT| = |BT| . Skupsvih tocaka T je pravac, simetrala duzine AB .

1) |AT|2 = (x + 1 + 2)2 + (x − 2 − 3)2 = (x + 3)2 + (x − 5)2 ,

|BT|2 = (x + 1 − 6)2 + (x − 2 + 5)2 = (x − 5)2 + (x + 3)2 .|AT| = |BT| .2) |AT|2 = (x+1)2+(2x−1−2)2 = x2+2x+1+4x2−12x+9 = 5x2−10x+10 ,

|BT|2 = (x− 3)2 +(2x− 1)2 = x2 − 6x+ 9+ 4x2− 4x+ 1 = 5x2 − 10x+ 10 .|AT| = |BT| .

Zadatak 21. Odredi na osi apscisa tocku koja je jednako udaljena od tocaka:

1) A(−1, 1) i B(5, 3) ; 2) A(−3,−2) i B(1, 4) .

Rjesenje. 1) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane tocke, a T(x, 0) tocka kojutrazimo, dobije se

(x + 1)2 + 1 = (x − 5)2 + 9,

x2 + 2x + 1 + 1 = x2 − 10x + 25 + 9,

12x = 32,

x =83.

Tako smo dobili tocku T(8

3, 0)

.

2) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane tocke, a T(x, 0) tocka kojutrazimo, dobije se

(x + 3)2 + 4 = (x − 1)2 + 16,

x2 + 6x + 9 + 4 = x2 − 2x + 1 + 16,

8x = 4,

x =12.

206

4

Tako smo dobili tocku T(1

2, 0)

.

Zadatak 22. Odredi na osi ordinata tocku koja je jednako udaljena od tocaka:

1) A(−3,−1) i B(5, 1) ; 2) A(3, 3) i B(5,−1) .

Rjesenje. 1) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane tocke, a T(0, y) tocka kojutrazimo, dobije se

9 + (y + 1)2 = 25 + (y − 1)2,

9 + y2 + 2y + 1 = 25 + y2 − 2y + 1,

4y = 16,

y = 4.

Tako smo dobili tocku T(0, 4) .2) Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane tocke, a T(0, y) tocka kojutrazimo, dobije se

9 + (y − 3)2 = 25 + (y + 1)2,

9 + y2 − 6y + 9 = 25 + y2 + 2y + 1,

−8y = 8,

y = −1.

Tako smo dobili tocku T(0,−1) .

Zadatak 23. Odredi tocku T(x, x) koja je jednako udaljena od tocaka A(5,−2) i B(6, 5) .

Rjesenje. Iz uvjeta |AT| = |BT| , gdje su A i B dane tocke, a T(x, x) tocka koju trazimo,dobije se

(x − 5)2 + (x + 2)2 = (x − 6)2 + (x − 5)2

(x + 2)2 = (x − 6)2

x2 + 4x + 4 = x2 − 12x + 36

16x = 32

x = 2

Tako smo dobili tocku T(2, 2) .

Zadatak 24. Dane su tocke M(−2,−5) i N(2,−2) . Odredi na osi ordinata tocku T takoda kut <)MTN bude pravi.

Rjesenje. Primijenit cemo obrat Pitagorinog poucka, tj. potraziti tocku T(0, y) tako davrijedi |MT|2 + |NT|2 = |MN|2 .

|MT|2 = 4 + (y + 5)2

|NT|2 = 4 + (y + 2)2

|MN|2 = 16 + 9 = 25.

207

4 RJESENJA ZADATAKA

Iz gornjeg uvjeta dobijemo jednadzbu

4 + (y + 5)2 + 4 + (y + 2)2 = 25

8 + y2 + 10y + 25 + y2 + 4y + 4 = 25

2y2 + 14y + 12 = 0

/· 12

y2 + 7y + 6 = 0.

Polinom s lijeve strane rastavimo na faktore te imamo (y + 1)(y + 6) = 0 .Dvije tocke rjesenja su zadatka: T1(0,−6) i T2(0,−1) .

Zadatak 25. Dane su tocke M(4,−2) i N(7, 2) . Odredi na osi apscisa tocku T tako da kut<)MTN bude pravi.

Rjesenje. Primijenit cemo obrat Pitagorinog poucka, tj. potraziti tocku T(x, 0) tako davrijedi |MT|2 + |NT|2 = |MN|2 .

|MT|2 = (x − 4)2 + 4

|NT|2 = (x − 7)2 + 4

|MN|2 = 9 + 16 = 25.

Iz gornjeg uvjeta dobijemo jednadzbu

(x − 4)2 + 4 + (x − 7)2 + 4 = 25

x2 − 8x + 16 + x2 − 14x + 49 + 8 − 25 = 0

2x2 − 22x + 48 = 0

/· 12

x2 − 11x + 24 = 0.

Polinom s lijeve strane rastavimo na faktore te imamo (x − 3)(x − 8) = 0 .Dvije tocke rjesenja su zadatka: T1(3, 0) i T2(8, 0) .


Zadatak 1. Izracunaj povrsinu trokuta ABC ako su zadani njegovi vrhovi:

1) A(−3, 0) , B(3,−2) , C(1, 4) ;

2) A(−2, 1) , B(4,−3) , C(0, 5) ;3) A(−2,−2) , B(5, 0) , C(1, 4) ;

4) A(0,−5) , B(5, 0) , C(−3, 3) .

Rjesenje. 1)

P =12|xA(yB − yC) + xB(yC − yA) + xC(yA − yB)|

P =12|−3(−2 − 4) + 3(4 − 0) + 1(0 + 2)|

P =12|18 + 12 + 2|

P = 16;

208

4

2)


P =12|−2(−3 − 5) + 4(5 − 1) + 0(1 + 3)|

P =12|16 + 16|

P = 16;

3)


P =12|−2(0 − 4) + 5(4 + 2) + 1(−2 − 0)|

P =12|8 + 30 − 2|

P = 18;

4)


P =12|0(0 − 3) + 5(3 + 5) − 3(−5 − 0)|

P =12|40 + 15|

P =552

.

Zadatak 2. Koristeci se formulom za povrsinu trokuta koji je zadan koordinatama svojihvrhova provjeri da tocke A , B i C pripadaju jednom pravcu:

1) A(−2, 4) , B(2, 2) , C(6, 0) ;

2) A(−4,−1, ) , B(2, 1) , C(5, 2) .

Rjesenje. 1) Tocke A , B i C pripadaju istom pravcu ako je P�ABC = 0 . Provjerimo:


P =12|−2(2 − 0) + 2(0 − 4) + 6(4 − 2)|

P =12|−4 − 8 + 12|

P = 0;

Povrsina trokuta jednaka je nuli, a to znaci da sve tri tocke, A , B i C pripadajujednom pravcu.

209

4 RJESENJA ZADATAKA

2) Tocke A , B i C pripadaju istom pravcu ako je P�ABC = 0 . Provjerimo:


P =12|−4(1 − 2) + 2(2 + 1) + 5(−1 − 1)|

P =12|4 + 6 − 10|

P = 0;

Povrsina trokuta jednaka je nuli, a to znaci da sve tri tocke, A , B i C pripadajujednom pravcu.

Zadatak 3. Odredi nepoznatu koordinatu tocke C tako da ta tocka pripada pravcu AB :

1) A(−1, 4) , B(1, 0) , C(x,−4) ;

2) A(1,−2) , B(3, 1) , C(7, y) .

Rjesenje. 1) Iz uvjeta P�ABC = 0 dobije se:

0 =12

(xA(yB − yC) + xB(yC − yA) + xC(yA − yB))

0 =12

(−1(0 + 4) + 1(−4 − 4) + x(4 − 0))

0 =12

(−4 − 8 + 4x)

0 = 2x − 6

x = 3;

2) Iz uvjeta P�ABC = 0 dobije se:

0 =12


0 =12

(1(1 − y) + 3(y + 2) + 7(−2 − 1))

0 =12

(1 − y + 3y + 6 − 21)

0 =12

(2y− 14)

0 = y − 7

y = 7.

Zadatak 4. Tocke A(−4, 3) , B(5, y) i C(2, 1) pripadaju jednom pravcu. Odredi nepoz-natu koordinatu tocke B .

Rjesenje. Iz uvjeta P�ABC = 0 slijedi

0 =12


0 =12

(−4(y− 1) + 5(1 − 3) + 2(3 − y))

0 =12

(−4y + 4 − 10 + 6 − 2y)

y = 0.

210

4

Zadatak 5. Tocke A(−2,−3) , B(x, 3) i C(2, 9) pripadaju jednom pravcu. Odredi nepoz-natu koordinatu tocke B .

Rjesenje. Iz uvjeta P�ABC = 0 slijedi

0 =12


0 =12

(−2(3 − 9) + x(9 + 3) + 2(−3 − 3))

0 =12

(12 + 12x − 12)

x = 0.

Zadatak 6. Odredi povrsinu paralelograma ABCD ako su dana tri njegova vrha:

1) B(3, 3) , C(−2, 4) , D(−5, 0) ;2) A(−3, 1) , C(5,−3) , D(2, 0) .

Rjesenje. 1) Povrsina paralelograma dvostruko je veca od povrsine trokuta BCD , tj.P = 2 · P�BCD) :

P = 2 · 12|xB(yC − yD) + xC(yD − yB) + xD(yB − yC)|

P = |3(4 − 0) − 2(0 − 3) − 5(3 − 4)|P = |12 + 6 + 5|P = 23;

2) Povrsina paralelograma dvostruko je veca od povrsine trokuta ACD , tj.P = 2 · P�ACD) :

P = 2 · 12|xA(yC − yD) + xC(yD − yA) + xD(yA − yC)|

P = |−3(−3− 0) + 5(0 − 1) + 2(1 + 3)|P = |9 − 5 + 8|P = 12.

Zadatak 7. Izracunaj povrsinu trokuta ABC kojem su zadani vrhovi A(−2,−2) i C(7, 3) ,te poloviste P(2,−1) stranice AB .

Rjesenje. Povrsina trokuta ABC dvostruko je veca od povrsine trokuta APC . Stoga je

P�ABC = 2 · P�APC

P�ABC = 2 · 12|xA(yP − yC) + xP(yC − yA) + xC(yA − yP)|

P�ABC = |−2(−1 − 3) + 2(3 + 2) + 7(−2 + 1)|P�ABC = |8 + 10 − 7|P�ABC = 11.

Zadatak 8. Izracunaj povrsinu cetverokuta ABCD ako su zadani njegovi vrhovi:

1) A(−4, 0) , B(−1,−3) , C(3,−2) , D(2, 5) ;2) A(−3,−3) , B(5, 2) , C(1, 1) , D(−2, 3) ;3) A(1, 1) , B(1,−2) , C(3,−1) , D(4, 3) .

211

4 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1) P = P�ABC + P�ACD ;

P�ABC =12|xA(yB − yC) + xB(yC − yA) + xC(yA − yB)|

P�ABC =12|−4(−3 + 2) − 1(−2 − 0) + 3(0 + 3)|

P�ABC =12|4 + 2 + 9|

P�ABC =152

;

P�ACD =12|xA(yC − yD) + xC(yD − yA) + xD(yA − yC)|

P�ACD =12|−4(−2 − 5) + 3(5 − 0) + 2(0 + 2)|

P�ACD =12|28 + 15 + 4|

P�ACD =472

;

P =152

+472

= 31;

2) P = P�ABC + P�ACD ;


P�ABC =12|−3(2 − 1) + 5(1 + 3) + 1(−3 − 2)|

P�ABC =12|−3 + 20 − 5|

P�ABC = 6;


P�ACD =12|−3(1 − 3) + 1(3 + 3) − 2(−3 − 1)|

P�ACD =12|6 + 6 + 8|

P�ACD = 10;

P = 6 + 10 = 16;

3) P = P�ABC + P�ACD ;


P�ABC =12|1(−2 + 1) + 1(−1 − 1) + 3(1 + 2)|

P�ABC =12|−1 − 2 + 9|

P�ABC = 3;

212

4


P�ACD =12|1(−1 − 3) + 3(3 − 1) + 4(1 + 1)|

P�ACD =12|−4 + 6 + 8|

P�ACD = 5;

P = 3 + 5 = 8.

Zadatak 9. Izracunaj povrsinu peterokuta kojem su vrhovi tocke A(−3, 1) , B(−2,−3) ,C(3,−2) , D(5, 2) i E(1, 5) .

Rjesenje. P = P�ABC + P�ACD + P�ADE .


P�ABC =12|−3(−3 + 2) − 2(−2 − 1) + 3(1 + 3)|

P�ABC =12|3 + 6 + 12|

P�ABC =212

;


P�ACD =12|−3(−2 − 2) + 3(2 − 1) + 5(1 + 2)|

P�ACD =12|12 + 3 + 15|

P�ACD = 15;

P�ADE =12|xA(yD − yE) + xD(yE − yA) + xE(yA − yD)|

P�ADE =12|−3(2 − 5) + 5(5 − 1) + 1(1 − 2)|

P�ADE =12|9 + 20 − 1|

P�ADE = 14;

P =212

+ 15 + 14 =792

.

Zadatak 10. Izracunaj duljinu visine na stranicu AB trokuta ABC ako su vrhovi trokutatocke A(−3, 2) , B(1,−1) i C(−3,−3) .

Rjesenje. Najprije izracunamo povrsinu trokuta i duljinu stranice |AB| , a zatim iz

P =12|AB| · v nalazimo v .


P�ABC =12|−3(−1 + 3) + 1(−3 − 2) − 3(2 + 1)|

213

4 RJESENJA ZADATAKA

P�ABC =12|−6 − 5 − 9|

P�ABC = 10;

|AB| =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2

|AB| =√

(1 + 3)2 + (−1 − 2)2

|AB| =√

16 + 9

|AB| = 5

v =2P|AB|

v =205

v = 4.

Zadatak 11. Izracunaj duljinu visine na stranicu BC trokuta ABC ako su vrhovi trokutatocke A(1, 4) , B(−3,−2) i C(9, 3) .

Rjesenje. Najprije izracunamo povrsinu trokuta i duljinu stranice |BC| , a zatim iz

P =12|BC| · v nalazimo v .


P�ABC =12|1(−2 − 3) − 3(3 − 4) + 9(4 + 2)|

P�ABC =12|−5 + 3 + 54|

P�ABC = 26;

|BC| =√

(xC − xB)2 + (yC − yB)2

|BC| =√

(9 + 3)2 + (3 + 2)2

|BC| =√

144 + 25

|BC| = 13;

v =2P|BC|

v =5213

v = 4.

Zadatak 12. Odredi apscisu x tocke A(x, 2) ako je A jedan vrh trokuta ABC , ostala dvavrha su tocke B(4,−1) i C(0, 5) , a povrsina trokuta jednaka je 12.

Rjesenje. A(x, 2) , B(4,−1) i C(0, 5)Iz uvjeta da je povrsina trokuta jednaka 12 imamo


12 =12|x(−1 − 5) + 4(5 − 2) + 0(2 + 1)|

214

4

12 =12|−6x + 12|

12 = |−3x + 6|4 = |x − 2| .

Dobili smo jednadzbu |x − 2| = 4 , a njezina su rjesenja x1 = 6 i x2 = −2 .Tako imamo tocke A1(6, 2) i A2(−2, 2) .

Zadatak 13. Odredi ordinatu y tocke C(−1, y) ako je C vrh trokuta ABC , ostala dva vrhasu tocke A(3,−1) i B(1, 2) , a povrsina trokuta iznosi 5.

Rjesenje. Iz uvjeta da je povrsina trokuta jednaka 5 imamo


5 =12|3(2 − y) + 1(y + 1) − 1(−1 − 2)|

5 =12|6 − 3y + y + 1 + 3|

5 =12|2y − 10|

5 = |y − 5| .Dobili smo jednadzbu |y − 5| = 5 , a njezina su rjesenja y1 = 10 i y2 = 0 .Tako imamo tocke C1(−1, 10) , C2(−1, 0) .

Zadatak 14. Jedan vrh �ABC je tocka A(−2, 4) , vrh B je ishodiste, a vrh C lezi na pravcuy − 2 = 0 . Odredi koordinate vrha C ako je povrsina trokuta jednaka 5 kv.jed.

Rjesenje. Tocka B je ishodiste, odnosno ima koordinate (0, 0) . Iz uvjeta da tocka Clezi na pravcu y− 2 = 0 , zakljucujemo da su koordinate tocke (x, 2) . Sada izuvjeta da je povrsina trokuta jednaka 5 imamo


5 =12|−2(0 − 2) + 0(2 − 4) + x(4 − 0)|

5 =12|4 + 4x|

5 = |2x + 2| .

Dobili smo jednadzbu |2x + 2| = 5 , a njezina su rjesenja x1 =32

i x2 = −72

.

Tako imamo tocke C1

(32, 2

)i C2

(−7

2, 2

).

Zadatak 15. Jedan vrh �ABC je u ishodistu koordinatnog sustava, drugi je na pravcux + 1 = 0 , a treci je tocka (5,−1) . Ako je povrsina trokuta jednaka 8 kv. jed.,odredi koordinate nepoznatog vrha trokuta.

Rjesenje. Tocka A je ishodiste A(0, 0) , B lezi na pravcu x + 1 = 0 , B(−1, y) , a tockaC ima koordinate (5,−1) . Sada iz uvjeta da je povrsina trokuta jednaka 8

215

4 RJESENJA ZADATAKA

imamo


8 =12|0(y + 1) − 1(−1 − 0) + 5(0 − y)|

8 =12|1 − 5y|

16 = |1 − 5y| .Dobili smo jednadzbu |5y − 1| = 16 , a njezina su rjesenja y1 = −3 i

y2 = −175

. Tako imamo tocke B1(−1,−3) i B2

(−1,

175

).

Zadatak 16. Dva su vrha trokuta ABC tocke A(−2, 2) i B(4, 0) , a treci je vrh na simet-rali prvog i treceg kvadranta. Ako je povrsina tog trokuta jednaka 8, odredikoordinate vrha C .

Rjesenje. Vrh C je na simetrali prvog i treceg kvadranta, tj. na pravcu y = x , pa sumu koordinate jednake (x, x) . Sada iz uvjeta da je povrsina trokuta jednaka 8imamo


8 =12|−2(0 − x) + 4(x − 2) + x(2 − 0)|

8 =12|2x + 4x − 8 + 2x|

8 =12|8x − 8|

2 = |x − 1| .Dobili smo jednadzbu |x − 1| = 2 , a njezina su rjesenja x1 = −1 i x2 = 3 .Tako imamo tocke C1(−1,−1) , C2(3, 3) .

Zadatak 17. Dva su vrha trokuta ABC tocke A(−2, 1) i C(4, 3) , a treci je vrh na simetralidrugog i cetvrtog kvadranta. Ako je povrsina tog trokuta jednaka 13, odredikoordinate vrha B .

Rjesenje. Vrh B je na simetrali drugog i cetvrtog kvadranta, tj. na pravcu y = −x , pa sumu koordinate jednake (x,−x) . Sada iz uvjeta da je povrsina trokuta jednaka13 imamo


13 =12|−2(−x − 3) + x(3 − 1) + 4(1 + x)|

13 =12|2x + 6 + 2x + 4 + 4x|

13 =12|8x + 10|

13 = |4x + 5| .

216

4

Dobili smo jednadzbu |4x+ 5| = 13 , a njezina su rjesenja x1 = 2 i x2 = −92

.

Tako imamo tocke B1(2,−2) , B2

(−9

2,92

).

Zadatak 18. Tocke A(−3, 2) i B(5, 0) vrhovi su na osnovici jednakokracnog trokuta ABC .Odredi treci vrh trokuta ako mu je povrsina jednaka 34.

Rjesenje. Neka je C(x, y) treci vrh trokuta. Povrsina trokuta jednaka je 34, te imamo:


34 =12|−3(0 − y) + 5(y − 2) + x(2 − 0)|

34 =12|3y + 5y − 10 + 2x|

34 =12|2x + 8y − 10|

34 = |x + 4y− 5|No trokut je jednakokracan, sto znaci |AC| = |BC| :

|AC|2 = |BC|2(x + 3)2 + (y − 2)2 = (x − 5)2 + (y − 0)2

x2 + 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = x2 − 10x + 25 + y2

16x − 4y − 12 = 0/

: 4

4x − y − 3 = 0

y = 4x − 3

Tako smo dobili sustav dviju jednadzbi s rjesenjima koja su koordinate tocke C :

y = 4x − 3

34 = |x + 4y − 5|34 = |x + 4(4x − 3) − 5|34 = |17x− 17|

1◦ 34 = −17x + 17

2 = −x + 1

x = −1, y = −7 =⇒ C1(−1,−7)

2◦ 34 = 17x − 17

2 = x − 1

x = 3, y = 9 =⇒ C2(3, 9)

Dvije su tocke rjesenja zadatka, C1(−1,−7) i C2(3, 9) .

Zadatak 19. Vrhovi cetverokuta ABCD su tocke A(−3, 1) , B(−1,−5) , C(5,−3) i D(3, 3) .1) Dokazi da je ovaj cetverokut kvadrat.2) Kolika je povrsina ovog kvadrata?

Rjesenje. 1) Cetverokut ABCD ce biti kvadrat ako ima sve stranice jednake duljine idijagonale jednake duljine.

|AB| =√

(−1 + 3)2 + (−5 − 1)2 =√

4 + 36 =√

40;

|BC| =√

(5 + 1)2 + (−3 + 5)2 =√

36 + 4 =√

40;

217

4 RJESENJA ZADATAKA

|CD| =√

(3 − 5)2 + (3 + 3)2 =√

4 + 36 =√

40;

|AD| =√

(3 + 3)2 + (3 − 1)2 =√

36 + 4 =√

40;

|AC| =√

(5 + 3)2 + (−3 − 1)2 =√

64 + 16 =√

80;

|BD| =√

(3 + 1)2 + (3 + 5)2 =√

16 + 64 =√

80;

|AB| = |BC| = |CD| = |AD| =√

40 ; |AC| = |BD| =√

80 ,

2) P = |AB|2 = 40 kv. jed.

Zadatak 20. Vrhovi cetverokuta ABCD su tocke A(−5, 3) , B(3,−1) , C(5, 3) i D(−3, 7) .1) Dokazi da je ovaj cetverokut pravokutnik.2) Kolika je povrsina tog pravokutnika?

Rjesenje. 1) Cetverokut ABCD ce biti pravokutnik ako ima nasuprotne stranice jednakeduljine i dijagonale jednake duljine.

|AB| =√

(3 + 5)2 + (−1 − 3)2 =√

64 + 16 =√

80;

|BC| =√

(5 − 3)2 + (3 + 1)2 =√

4 + 16 =√

20;

|CD| =√

(−3 − 5)2 + (7 − 3)2 =√

64 + 16 =√

80;

|AD| =√

(−3 + 5)2 + (7 − 3)2 =√

4 + 16 =√

20;

|AC| =√

(5 + 5)2 + (3 − 3)2 =√

100 = 10;

|BD| =√

(−3 − 3)2 + (7 + 1)2 =√

36 + 64 = 10;

|AB| = |CD| =√

80 , |BC| = |AD| =√

20 , |AC| = |BD| = 10 ;

2) P = |AB| · |BC| =√

80 · √20 =√

1600 = 40 kv. jed.

Zadatak 21. Vrhovi cetverokuta ABCD su tocke A(−1, 1) , B(0,−2) , C(5, 1) i D(4, 4) .1) Dokazi da je ovaj cetverokut paralelogram.2) Kolika je povrsina tog paralelograma?

Rjesenje. 1) Cetverokut je paralelogram ako su mu nasuprotne stranice jednake duljine.Na -dimo duljine stranica:

|AB| =√

(0 + 1)2 + (−2 − 1)2 =√

1 + 9 =√

10;

|BC| =√

(5 − 0)2 + (1 + 2)2 =√

25 + 9 =√

34;

|CD| =√

(4 − 5)2 + (4 − 1)2 =√

1 + 9 =√

10;

|AD| =√

(4 + 1)2 + (4 − 1)2 =√

25 + 9 =√

34;

|AB| = |CD| =√

10 , |BC| = |AD| =√

34 .2)

P = 2 · P(�ACD) = |xA(yC − yD) + xC(yD − yA) + xD(yA − yC)|P = |−1(1 − 4) + 5(4 − 1) + 4(1 − 1)|P = |3 + 15|P = 18. kv. jed.

218

4


Zadatak 1. Odredi poloviste duzine AB ako je:

1) A(−3,−3) , B(7, 5); 2) A(−4, 1) , B(3,−1).

Rjesenje. 1) P

(7 − 3

2,5 − 3

2

), P(2, 1) ;

2) P

(3 − 4

2,−1 + 1

2

), P

(−1

2, 0

);

Zadatak 2. Odredi koordinate tocaka koje su simetricne tockama A(−4, 0) , B(1,−3) ,C(3, 4) i D(−1, 5) s obzirom na tocku S(−1, 1) .

Rjesenje. Neka su A′ , B′ , C′ i D′ redom tocke simetricne tockama A , B , C i D .S(−1, 1) je poloviste duzina AA′ , BB′ , CC′ i DD′ . Sada iz formule zapoloviste duzine imamo redom:xA′ = 2xS − xA = −2 + 4 = 2, yA′ = 2yS − yA = 2 − 0 = 2, A′(2, 2);xB′ = 2xS − xB = −2 − 1 = −3, yB′ = 2yS − yB = 2 + 3 = 5, B′(−3, 5);xC′ = 2xS − xC = −2 − 3 = −5, yC′ = 2yS − yC = 2 − 4 = −2, C′(−5,−2);xD′ = 2xS − xD = −2 + 1 = −1, yD′ = 2yS − yD = 2 − 5 = −3, D′(−1,−3).

Zadatak 3. Tocka A′(−3,−5) simetricna je slika tocke A , tocka B′(2, 0) tocke B , a tockaC′(−1, 4) tocke C s obzirom na tocku S(−2,−1) . Odredi koordinate tocakaA , B i C .

Rjesenje. S(−1, 1) je poloviste duzina AA′ , BB′ i CC′ . Sada iz formule za polovisteduzine imamo redom:xA = 2xS − xA′ = −4 + 3 = −1, yA = 2yS − yA′ = −2 + 5 = 3, A(−1, 3);xB = 2xS − xB′ = −4 − 2 = −6, yB = 2yS − yB′ = −2 − 0 = −2, B(−6,−2);xC = 2xS − xC′ = −4 + 1 = −3, yC = 2yS − yC′ = −2 − 4 = −6, C(−3,−6).

Zadatak 4. Tockama B i C duzina AD podijeljena je na tri jednaka dijela. Odredi koor-dinate tocaka:1) C i D , ako je A(−3, 2) , B(0, 1) ;

2) A i C , ako je B(2,−3) , D(5, 4) ;3) A i D , ako je B(2,−1) , C(3, 1) .

Rjesenje. 1) Tocka B je poloviste duzine AC pa imamo:

xC = 2xB − xA = 0 + 3 = 3, yC = 2yB − yA = 2 − 2 = 0, C(3, 0);

Tocka C je poloviste duzine BD pa imamo:

xD = 2xC − xB = 6 − 0 = 6, yD = 2yC − yB = 0 − 1 = −1, D(6,−1);

2) Tocka C je poloviste duzine BD pa imamo:

xC =xB + xD

2=

2 + 52

=72, yC =

yB + yD

2=

−3 + 42

=12, C

(72,12

);

219

4 RJESENJA ZADATAKA

Tocka B je poloviste duzine AC pa imamo:

xA = 2xB−xC = 4− 72

=12, yA = 2yB−yC = −6− 1

2= −13

2, A

(12,−13

2

);

3) Tocka B je poloviste duzine AC pa imamo:

xA = 2xB − xC = 4 − 3 = 1, yA = 2yB − yC = −2 − 1 = −3, A(1,−3);


xD = 2xC − xB = 6 − 2 = 4, yD = 2yC − yB = 2 + 1 = 3, D(4, 3).

Zadatak 5. Tockama B , C i D duzina AE podijeljena je na cetiri jednaka dijela.1) Ako je B(−3, 3) i D(1,−1) , odredi koordinate tocaka A, C i E ;2) ako je C(−1, 2) i E(3, 6) , odredi koordinate tocaka A , B i D ;3) ako je D(10, 0) i E(12, 1) , odredi koordinate tocaka A , B i C .

Rjesenje. 1) Tocka C je poloviste duzine BD pa imamo:

xC =xB + xD

2=

−3 + 12

= −1, yC =yB + yD

2=

3 − 12

= 1, C(−1, 1);


xA = 2xB − xC = −6 + 1 = −5, yA = 2yB − yC = 6 − 1 = 5, A(−5, 5);

Tocka D je poloviste duzine CE pa imamo:

xE = 2xD − xC = 2 + 1 = 3, yE = 2yD − yC = −2 − 1 = −3, E(3,−3);

A(−5, 5) , C(−1, 1) , E(3,−3) ;

2) Tocka D je poloviste duzine CE pa imamo:

xD =xC + xE

2=

−1 + 32

= 1, yD =yC + yE

2=

2 + 62

= 4, D(1, 4);


xB = 2xC − xD = −2 − 1 = −3, yB = 2yC − yD = 4 − 4 = 0, B(−3, 0);


xA = 2xB − xC = −6 + 1 = −5, yA = 2yB − yC = 0 − 2 = −2, A(−5,−2);

A(−5,−2) , B(−3, 0) , D(1, 4) ;

3) Tocka D je poloviste duzine CE pa imamo:

xC = 2xD − xE = 20 − 12 = 8, yC = 2yD − yE = 0 − 1 = −1, C(8,−1);


xB = 2xC − xD = 16 − 10 = 6, yB = 2yC − yD = −2 − 0 = −2, B(6,−2);


xA = 2xB − xC = 12 − 8 = 4, yA = 2yB − yC = −4 + 1 = −3, A(4,−3);

A(4,−3) , B(6,−2) , C(8,−1) .

Zadatak 6. Tockama B , C i D duzina AE podijeljena je na cetiri sukladna dijela. Akosu zadane tocke A(−7, 5) i C(−3, 3) , odredi koordinate tocaka B , D i E .

220

4

Rjesenje. Tocka B je poloviste duzine AC pa imamo:

xB =xA + xC

2=

−7 − 32

= −5, yB =yA + yC

2=

5 + 32

= 4, B(−5, 4);


xD = 2xC − xB = −6 + 5 = −1, yD = 2yC − yB = 6 − 4 = 2, D(−1, 2);

Tocka D je poloviste duzine CE pa imamo:

xE = 2xD − xC = −2 + 3 = 1, yE = 2yD − yC = 4 − 3 = 1, E(1, 1);

B(−5, 4) , D(−1, 2) , E(1, 1) .

Zadatak 7. Duzina MN , M(1, 5) , N(7, 3) , promjer je kruznice. U kojoj je tocki sredistekruznice? Kolika je duljina polumjera?

Rjesenje. Srediste je poloviste duzine MN :

xS =xM + xN

2=

1 + 72

= 4, yS =yM + yN

2=

3 + 52

= 4, S(4, 4);

r = |SM| =√

(4 − 1)2 + (4 − 5)2 =√

10.

Zadatak 8. Odredi srediste kruznice kojoj je promjer duzina AB , A(−4,−2) , B(4, 4) .Kolika je povrsina kruga ome -denog tom kruznicom?

Rjesenje. Srediste je poloviste duzine AB :

xS =xA + xA

2=

−4 + 42

= 0, yS =yA + yA

2=

−2 + 42

= 1, S(0, 1);

r = |SA| =√

(0 + 4)2 + (1 + 2)2 =√

16 + 9 = 5;

P = r2π = 25π.

Zadatak 9. Izracunaj udaljenosti polovista P duzine AB do tocaka A i B i uvjeri se da

vrijedi |PA| = |PB| =12|AB| .

Rjesenje.

|PA| =√

(xA − xP)2 + (yA − yP)2 =

√(xA − xB + xA

2

)2

+(

yA − yB + yA

2

)2

=

√(2xA − xB − xA

2

)2

+(

2yA − yB + yA

2

)2

=

√(xA − xB

2

)2

+(

yA − yB

2

)2

=

√14(xA − xB)2 +

14(yA − yB)2 =

√14[(xA − xB)2 + (yA − yB)2]

=12

√(xA − xB)2 + (yA − yB)2 =

12|BA| =

12|AB|.

221

4 RJESENJA ZADATAKA

|PB| =√

(xB − xP)2 + (yB − yP)2 =

√(xB − xB + xA

2

)2

+(

yB − yB + yA

2

)2

=

√(2xB − xB − xA

2

)2

+(

2yB − yB + yA

2

)2

=

√(xB − xA

2

)2

+(

yB − yA

2

)2

=

√14(xB − xA)2 +

14(yB − yA)2 =

√14[(xB − xA)2 + (yB − yA)2]

=12

√(xB − xA)2 + (yB − yA)2 =

12|AB|.

Zadatak 10. Ako su A(−1,−1) i B(3, 0) dva susjedna vrha, a S(1, 2) sjeciste dijagonalaparalelograma ABCD , odredi vrhove C i D . Izracunaj povrsinu paralelogra-ma.

Rjesenje. Dijagonale paralelograma se raspolovljavaju pa je tocka S srediste duzina ACi BD . Imamo:xC = 2xS − xA = 2 + 1 = 3, yC = 2yS − yA = 4 + 1 = 5, C(3, 5);xD = 2xS − xB = 2 − 3 = −1, yD = 2yS − yB = 4 − 0 = 4, D(−1, 4);

P = 2 · P�ABC = 2 · 12|xA(yB − yC) + xB(yC − yA) + xC(yA − yB)|

= |−1(0 − 5) + 3(5 + 1) + 3(−1 − 0)|= |5 + 18 − 3|= 20 kv. jed.

Zadatak 11. Tocke A(−1,−4) i B(6,−3) dva su vrha paralelograma ABCD , a tockaS(3,−1) sjeciste je dijagonala.1) Odredi koordinate vrhova C i D paralelograma.2) Kolike su duljine dijagonala paralelograma?3) Izracunaj povrsinu paralelograma.

Rjesenje. 1) Dijagonale paralelograma se raspolovljavaju pa je tocka S srediste duzinaAC i BD . Imamo:xC = 2xS − xA = 6 + 1 = 7, yC = 2yS − yA = −2 + 4 = 2, C(7, 2);xD = 2xS − xB = 6 − 6 = 0, yD = 2yS − yB = −2 + 3 = 1, D(0, 1);

2)

|AC| =√

(7 + 1)2 + (2 + 4)2 =√

64 + 36 = 10;

|BD| =√

(0 − 6)2 + (1 + 3)2 =√

36 + 16 =√

50 = 5√

2;

3)

P = 2 · P�ABC = 2 · 12|xA(yB − yC) + xB(yC − yA) + xC(yA − yB)|

= |−1(−3 − 2) + 6(2 + 4) + 7(−4 + 3)|= |5 + 36 − 7|= 34 kv. jed.

222

4

Zadatak 12. Zadan je cetverokut ABCD , A(−2,−1) , B(6,−3) , C(4, 3) , D(0, 5) . Polo-vista stranica cetverokuta vrhovi su paralelograma. Provjeri!Dokazi da je povrsina cetverokuta ABCD dva puta veca od povrsine paralelo-grama.

Rjesenje. Neka su P1 , P2 , P3 i P4 redom polovista stranica AB , BC , CD i AD .

xP1 =−2 + 6

2= 2, yP1 =

−3 − 12

= −2, P1(2,−2)

xP2 =6 + 4

2= 5, yP2 =

−3 + 32

= 0, P2(5, 0)

xP3 =4 + 0

2= 2, yP3 =

3 + 52

= 4, P3(2, 4)

xP4 =−2 + 0

2= −1, yP4 =

−1 + 52

= 2, P4(−1, 2)

Neka je sada P poloviste duzine P1P3 , a P′ poloviste duzine P2P4 .

xP =2 + 2

2= 2, yP =

−2 + 42

= 1, P(2, 1)

xP′ =5 − 1

2= 2, yP′ =

0 + 22

= 2, P′(2, 1)

P = P′ , a to znaci da je cetverokut P1P2P3P4 paralelogram.

P(ABCD) = P(�ABD) + P(�BCD)

=12|xA(yB−yD)+xB(yD−yA)+xD(yA−yB)|

+12|xB(yC−yD)+xC(yD−yB)+xD(yB−yC)|

=12|−2(−3 − 5) + 6(5 + 1) + 0(−1 + 3)|

+12|6(3 − 5) + 4(5 + 3) + 0(−3 − 3)|

=12|16 + 36|+ 1

2|−12 + 32|

= 26 + 10 = 36

P(P1P2P3P4) = 2 · P(P1P2P3)= |xP1(yP2 − yP3) + xP2(yP3 − yP1) + xP3(yP1 − yP2)|= |2(0 − 4) + 5(4 + 2) + 2(−2 − 0)|= |−8 + 30 − 4|= 18

P(ABCD) = 36 , P(P1P2P3P4) = 18 kvadratnih jedinica.

Zadatak 13. Povrsina paralelograma ABCD jednaka je 14 kvadratnih jedinica. Ako suA(1,−1) i B(5,−2) dva vrha, a sjeciste dijagonala lezi na pozitivnom dijeluosi x , odredi vrhove C i D .

Rjesenje. Tocka S je poloviste dijagonale AC i nalazi se na osi x , pa je tocka C jednakoudaljena od osi x kao i tocka A , i nalazi se s druge strane osi x , odnosno

223

4 RJESENJA ZADATAKA

ima ordinatu yC = 1 , C(xC, 1) . Isto tako zakljucujemo D(xD, 2) . Pomocuformule za povrsinu trokuta

P(ABC) =12P = 7,

odredimo apscisu tocke C :

7 =12|1(−2 − 1) + 5(1 + 1) + xC(−1 + 2)|

14 = | − 3 + 10 + xC|14 = |7 + xC|;

Dobili smo jednadzbu |xC + 7| = 14 , xC = 7 , C(7, 1) ;Sada iz formule za srediste imamo:

xS =xA + xC

2=

1 + 72

= 4, S(4, 0)

xD = 2xS − xB = 8 − 5 = 3, D(3, 2).

Zadatak 14. Kolike su duljine srednjica trokuta ABC ako su vrhovi trokuta tocke:1) A(−3 , 1) , B(3,−5) , C(5, 7) ;2) A(−4, 0) , B(6,−5) , C(0, 3) ?

Rjesenje. 1)

|A1B1| =12|AB| =

12

√(3 + 3)2 + (−5 − 1)2 =

12

√72 =

12· 6√

2 = 3√

2;

|B1C1| =12|BC| =

12

√(5 − 3)2 + (7 + 5)2 =

12

√148 =

12· 2

√37 =

√37;

|A1C1| =12|AC| =

12

√(5 + 3)2 + (7 − 1)2 =

12

√100 =

12· 10 = 5.

Zadatak 15. Tocke A1(2,−3) , B1(6,−6) , C1(6, 0) polovista su stranica trokuta. Odredikoordinate vrhova trokuta.

Rjesenje. Oznacimo vrhove trokuta s A(xA, yA) , B(xB, yB) , C(xC, yC) , i neka je A1

poloviste od BC , B1 od AC , i C1 od AB . Tada imamo sustav jednadzbi

xA + xB = 12,

xB + xC = 4, / · (−1)xA + xC = 12

⎫⎪⎬⎪⎭+

xA + xB − xB − xC + xA + xC = 20,

iz kojeg se dobije xA = 10 , xB = 2 , xC = 2 . Iz sustava

yA + yB = 0,

yB + yC = −6, / · (−1)yA + yC = −12

⎫⎪⎬⎪⎭+

yA + yB − yB − yC + yA + yC = −6

slijedi yA = −3 , yB = 3 , yC = −9 .Vrhovi trokuta su tocke A(10,−3) , B(2, 3) , C(2,−9) .

224

4

Zadatak 16. Tocke P(1,−1) , Q(0, 4) i R(4, 2) polovista su stranica trokuta. Odredi koor-dinate vrhova trokuta.

Rjesenje. Oznacimo vrhove trokuta s A(xA, yA) , B(xB, yB) , C(xC, yC) , i neka je P po-loviste od BC , Q od AC , i R od AB . Tada imamo sustav jednadzbi

xA + xB = 8,

xB + xC = 2, / · (−1)xA + xC = 0

⎫⎪⎬⎪⎭+

xA + xB − xB − xC + xA + xC = 6,

iz kojeg se dobije xA = 3 , xB = 5 , xC = −3 .Iz sustava

yA + yB = 4,

yB + yC = −2, / · (−1)yA + yC = 8

⎫⎪⎬⎪⎭+

yA + yB − yB − yC + yA + yC = 14

slijedi yA = 7 , yB = −3 , yC = 1 .Vrhovi trokuta su tocke A(3, 7) , B(5,−3) , C(−3, 1) .

Zadatak 17. Izracunaj povrsinu trokuta ABC ako su tocke A1(5, 2) , B1(2, 3) i C1(1, 1)polovista njegovih stranica.

Rjesenje. Odredimo vrhove trokuta. Imamo sustav jednadzbi:

xA + xB = 2,

xB + xC = 10, / · (−1)xA + xC = 4

⎫⎪⎬⎪⎭+

xA + xB − xB − xC + xA + xC = −4,

iz kojeg se dobije xA = −2 , xB = 4 , xC = 6 .

yA + yB = 2,

yB + yC = 4, / · (−1)yA + yC = 6

⎫⎪⎬⎪⎭+

yA + yB − yB − yC + yA + yC = 4

slijedi yA = 2 , yB = 0 , yC = 4 .A(−2, 2) , B(4, 0) , C(6, 4)


=12|−2(0 − 4) + 4(4 − 2) + 6(2 − 0)|

=12|8 + 8 + 12|

= 14.

225

4 RJESENJA ZADATAKA

Mozemo i izravno racunati povrsinu trokuta A1B1C1 , a povrsina trokuta ABCje cetiri puta veca od povrsine trokuta A1B1C1 .

P(A1B1C1) =12|xA1(yB1 − yC1) + xB1(yC1 − yA1) + xC1(yA1 − yB1)|

=12|5(3 − 1) + 2(1 − 2) + 1(2 − 3)|

=12|10 − 2 − 1|

=72

P = 4 · 72

= 14 .

Zadatak 18. Dan je trokut ABC , A(−1, 1) , B(3,−1) , C(5, 3) . Tocka A1 poloviste jestranice BC , tocka B1 stranice AC , a tocka C1 stranice AB . Izracunaj opsegei povrsine trokuta ABC i A1B1C1 i pokazi da je opseg prvoga dvostruko, apovrsina cetverostruko veca od opsega, odnosno povrsine drugog.

Rjesenje. Najprije odredimo polovista A1 , B1 , C1 stranica BC , AC i AB trokuta ABC .

A1

(3 + 5

2,−1 + 3

2

), A1(4, 1)

B1

(−1 + 52

,1 + 3

2

), B1(2, 2)

C1

(−1 + 32

,1 − 1

2

), C1(1, 0).

Potom izracunamo:

|AB| =√

(3 + 1)2 + (−1 − 1)2 =√

20

|BC| =√

(5 − 3)2 + (3 + 1)2 =√

20

|AC| =√

(5 + 1)2 + (3 − 1)2 =√

40

|A1B1| =√

(2 − 4)2 + (2 − 1)2 =√

5

|B1C1| =√

(1 − 2)2 + (0 − 2)2 =√

5

|A1C1| =√

(1 − 4)2 + (0 − 1)2 =√

10.

Usporedimo sada opsege i povrsine:

O(ABC) =√

20 +√

20 +√

40 = 2√

5 + 2√

5 + 2√

10 = 2(2√

5 +√

10),

O(A1B1C1) =√

5 +√

5 +√

10 = 2√

5 +√

10;

P(ABC) =12| − 1(−1 − 3) + 3(3 − 1) + 5(1 + 1)| =

12|4 + 6 + 10| = 10,

O(A1B1C1) =12|4(2 − 0) + 2(0 − 1) + 1(1 − 2)| =

12|8 − 2 − 1| =

52.

Time je tvrdnja zadatka dokazana.

226

5


Zadatak 1. Koje su od sljedecih velicina vektorske, a koje skalarne: temperatura, obujam,brzina, masa, ubrzanje, sila, elektricni napon?

Rjesenje. Vektroske velicine su: brzina, ubrzanje, sila.Skalarne velicine su: temperatura, obujam, masa, elektricni napon.

Zadatak 2. Dan je paralelogram ABCD . Tocka O sjeciste je njegovih dijagonala. Pro-matramo skup vektora kojima su pocetna i zavrsna tocka vrh paralelograma ilitocka O .

1) Ispisi sve vektore koji imaju jednak smjer kao i vektor−→AO . Ispisi sve

vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor−→AO .

2) Ispisi sve vektore koji imaju jednak smjer kao i vektor−→BD . Ispisi sve

vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao i vektor−→BD .

Rjesenje. 1) Jednak smjer kao i vektor−→AO imaju vektori:

−→OA ,

−→AC ,

−→CA ,

−→OC ,

−→CO .

Jednaku orijentaciju kao i vektor−→AO imaju vektori:

−→AC i

−→OC .

2) Jednak smjer kao i vektor−→BD imaju vektori:

−→DB ,

−→DO ,

−→OD ,

−→OB ,

−→BO .

Jednaku orijentaciju kao i vektor−→BD imaju vektori:

−→BO i

−→OD .

Zadatak 3. Koliko ima vektora kojima su pocetna i zavrsna tocka neka dva vrha trokutaABC ?

Rjesenje. Ima ih 6. To su vektori−→AB ,

−→AC ,

−→BA ,

−→BC ,

−→CA i

−→CB .

Zadatak 4. Koliko ima vektora kojima su pocetna i zavrsna tocka vrhovi cetverokuta ABCDako je taj cetverokut paralelogram, a koliko ako nije paralelogram?

Rjesenje. Ima ih 12 (za bilo koji cetverokut). To su vektori:−→AB ,

−→AC ,

−→AS ,

−→BA ,

−→BC ,

−→BD ,

−→CA ,

−→CB ,

−→CD ,

−→DA ,

−→DB i

−→DC .

Zadatak 5. Nacrtaj pravilan sesterokut ABCDEF . Neka je S sjeciste dijagonala tog seste-rokuta. Ispisi sve vektore kojima su pocetna i zavrsna tocka neki vrh sesterokutaili tocka S , a koji su

1) jednaki vektoru−→BC ;

2) suprotni vektoru−→SA .

227

5 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje.E D

F C

A B

S

1)−→AS ,

−→SD ,

−→FE ; 2)

−→AS ,

−→SD ,

−→BC ,

−→FE .


Zadatak 1. Dan je paralelogram ABCD . Neka je tocka S sjeciste njegovih dijagonala.Izracunaj:

1)−→SD +

−→CD ; 2)

−→AS +

−→BS ; 3)

−→AD +

−→CB ;

4)−→AB +

−→SD ; 5)

−→AB +

−→BS ; 6)

−→BS +

−→CS .

Rjesenje. E D

F C

A B

S

1)−→SD +

−→CD =

−→BC +

−→CD =

−→BD ; 2)

−→AS +

−→BS =

−→AS +

−→SE =

−→AE ;

3)−→AD +

−→CB =

−→AD +

−→DS =

−→AS ; 4)

−→AB +

−→SD =

−→AB +

−→BC =

−→AC ;

5)−→AB +

−→BS =

−→AS ; 6)

−→BS +

−→CS =

−→BS +

−→SF =

−→BF .

Zadatak 2. Tocka S sjeciste je dijagonala paralelograma ABCD . Izracunaj:

1)−→AS +

−→BS +

−→CS ;

2)−→AB +

−→CS +

−→BD ;

3)−→AB +

−→AC +

−→AD ;

4)−→SA +

−→SB +

−→SC +

−→SD .

Rjesenje. D C

A B

S

1)−→AS +

−→BS +

−→CS =

−→BS +

−→AS +

−→CS =

−→BS +

−→AS +

−→SA =

−→BS ;

2)−→AB +

−→CS +

−→BD =

−→BD +

−→AB +

−→CS ==

−→BD +

−→DC +

−→CS =

−→BS ;

3)−→AB +

−→AC +

−→AD =

−→AC +

−→AB +

−→AD =

−→AC +

−→AB +

−→BC = 2

−→AC ;

228

5

4)−→SA +

−→SB +

−→SC +

−→SD =

−→SA +

−→SC +

−→SB +

−→SD =

−→SA +

−→AS +

−→SB +

−→BS = �0 .

Zadatak 3. Neka je ABCDEF pravilan sesterokut i neka je S sjeciste njegovih dijagonala.Izracunaj:

1)−→AB +

−→EF ; 2)

−→AB +

−→SD ; 3)

−→BC +

−→ES ;

4)−→CS +

−→EF ; 5)

−→DE +

−→SC ; 6)

−→CF +

−→AS .

Rjesenje. E D

F C

A B

S

1)−→AB +

−→EF =

−→SC +

−→CB =

−→SB ; 2)

−→AB +

−→SD =

−→AB +

−→BC =

−→AC ;

3)−→BC +

−→ES =

−→ES +

−→BC =

−→ES +

−→SD =

−→ED ;

4)−→CS +

−→EF =

−→CS +

−→SA =

−→CA ; 5)

−→DE +

−→SC =

−→DE +

−→ED = �0 ;

6)−→CF +

−→AS =

−→CF +

−→FE =

−→CE .

Zadatak 4. Tocka S sjeciste je dijagonala pravilnog sesterokuta ABCDEF . Izracunaj:

1)−→AB +

−→SD +

−→SF ; 2)

−→AB +

−→CD +

−→EF ;

3)−→AB +

−→AS +

−→AF ; 4)

−→SB +

−→SD +

−→SF .

Rjesenje. E D

F C

A B

S

1)−→AB +

−→SD +

−→SF =

−→AB +

−→BC +

−→CS =

−→AS ;

2)−→AB +

−→CD +

−→EF =

−→AB +

−→BS +

−→SA = �0 ;

3)−→AB +

−→AS +

−→AF =

−→AB +

−→BC +

−→CD =

−→AD ;

4)−→SB +

−→SD +

−→SF =

−→SB +

−→BC +

−→CS = �0 .

Zadatak 5. Odredi zbroj vektora:

1)−→AC +

−→DB +

−→CD +

−→BA ;

2)−→AB +

−→CD +

−→BC +

−→DE .

Rjesenje. 1)−→AC +

−→DB +

−→CD +

−→BA = (

−→AC +

−→CD )+

−→DB +

−→BA =

−→AD +

−→DB +

−→BA =

−→AB +

−→BA = �0 ;

2)−→AB +

−→CD +

−→BC +

−→DE = (

−→AB +

−→BC )+(

−→CD +

−→DE ) =

−→AC +

−→CE =

−→AE .

229

5 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 6. Moze li zbroj vektora biti vektor manje duljine nego sto je duljina svakogpojedinog pribrojnika?Moze li razlika vektora biti manje duljine od njihova zbroja?

Rjesenje. Zbroj vektora moze biti vektor manje duljine nego sto je duljina svakog poje-

dinog pribrojnika, npr:−→AB +

−→BA = �0 (A �= B) .

Razlika vektora moze biti manje duljine od njihova zbroja, npr:−→AB +

−→AB =

2−→AB ,

−→AB − −→

AB = �0 (A �= B) .

Zadatak 7. Nacrtaj paralelogram ABCD i odredi njegovo srediste S . Izracunaj:

1)−→BC−−→

DC ; 2)−→AB−−→

BC ; 3)−→AS−−→

BS ;

4)−→BS−−→

SD ; 5)−→AC−−→

SC ; 6)−→AS−−→

SD .

Rjesenje.

B

S

CD

A

1)−→BC − −→

DC =−→BC +

−→CD =

−→BD ;

2)−→AB−−→

BC =−→AB +

−→DA =

−→DA +

−→AB =

−→DB ;

3)−→AS − −→

BS =−→AS +

−→SB =

−→AB ;

4)−→BS − −→

SD =−→BS − −→

BS = �0 ;

5)−→AC − −→

SC =−→AC +

−→CS =

−→AS ;

6)−→AS − −→

SD =−→AS − −→

BS =−→AS +

−→SB =

−→AB .

Zadatak 8. Neka su A , B , C , D , E , F vrhovi pravilnogsesterokuta. Provjeri jednakosti:

1)−→AB − −→

DC =−→BC ; 2)

−→BC − −→

ED =−→AF ;

3)−→CD − −→

FE =−→BA ; 4)

−→AF − −→

DE =−→BC .

Rjesenje.

C

BA

DE

FS

1)−→AB − −→

DC =−→AB − −→

SB =−→AB +

−→BS =

−→AS =

−→BC ;

2)−→BC − −→

ED =−→BC − −→

SC =−→BC +

−→CS =

−→BS =

−→AF ;

3)−→CD − −→

FE =−→CD − −→

SD =−→CD +

−→DS =

−→CS =

−→BA ;

4)−→AF − −→

DE =−→AF − −→

SF =−→AF +

−→FS =

−→AS =

−→BC .

Zadatak 9. Nacrtaj neka tri vektora �a , �b i �c te konstruiraj sljedece vektore:

1) �a +�b − �c ; 2) �a −�b + �c ; 3) �a −�b − �c .

230

5

Rjesenje. 1)

b b

b

bc

aa

a

a

c��

�

2) 3)

b

b

b

a

a

a

c

c��

�

b

b

b

a

a

a

cc�

�

�

Zadatak 10. Tocka T teziste je trokuta ABC . Odredi zbroj vektora−→TA +

−→TB +

−→TC .

Rjesenje. Konstruiramo paralelogram ADBT . Tada je:−→TA +

−→TB +

−→TC = (

−→TA +

−→TB ) +

−→TC =

−→TD +

−→TC = �0 .


1)−→AB − −→

BC − −→CD − −→

DA ;

2) (−→AB − −→

BC ) − (−→CD +

−→AD ) + (

−→CB − −→

CD ) .

Rjesenje. 1)−→AB −−→

BC −−→CD −−→

DA =−→AB +

−→CB +

−→DC +

−→AD =

−→AB +

−→CB +

−→AD +

−→DC

=−→AB +

−→CB +

−→AC =

−→AB +

−→AC +

−→CB =

−→AB +

−→AB = 2

−→AB ;

2) (−→AB−−→

BC )−(−→CD +

−→AD )+(

−→CB−−→

CD ) =−→AB−−→

BC−−→CD−−→

AD+−→CB−−→

CD

=−→AB +

−→CB +

−→DC +

−→DA +

−→CB +

−→DC =

−→DA +

−→AB + 2(

−→DC +

−→CB )

=−→DB + 2

−→DB = 3

−→DB .

Zadatak 12. Dan je trapez ABCD . Dokazi da je vektor−→AC +

−→DB kolinearan s vektorom

−→AB .

Rjesenje. Zapisimo:−→AC =

−→AD +

−→DC =

−→AD + k · −→AB ,

−→DB =

−→AB − −→

AD . Tada je−→AC +

−→DB = (k + 1)

−→AB .

231

5 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 13. Tocka O srediste je pravilnog peterokuta ABCDE . Dokazi da su vektori−→OA +

−→OB +

−→OC i

−→OD +

−→OE kolinearni.

Rjesenje.

O

E

D

BA

C

Vektor−→OA +

−→OC kolinearan je s vek-

torom−→OB . Oni leze na pravcu OB , te

je i vektor−→OA +

−→OB +

−→OC na pravcu

OB .−→OD +

−→OE ima smjer simetrale stranice

ED a ona lezi na pravcu OB .

Dakle, vektori−→OA+

−→OB+

−→OC i

−→OD+

−→OE leze na pravcu OB , tj. kolinearnisu.

Zadatak 14. Srednjica trokuta je duzina koja spaja polovista dviju stranica trokuta. Srednjicaje paralelna trecoj stranici i od nje je upola kraca. Dokazi!

Rjesenje. Neka su M i N polovista stranica AC i BC tro-

kuta ABC . Tada je−→AM +

−→MN +

−→NB =

−→AB , te

−→CM +

−→MN +

−→NC = �0 . Zbrojimo li ove dvije jed-

nakosti dobit cemo izravno 2−→MN =

−→AB , odnosno

−→MN =

12

−→AB .

Zadatak 15. Srednjica trapeza duzina je koja spaja polovista njegovih krakova. Srednjica je

paralelna osnovicama i njezina je duljina s =12(a + c) , gdje su a i c duljine

osnovica trapeza. Dokazi!

Rjesenje. Neka su M i N polovista krakova AD , odnosno BC ,

trapeza ABCD . Mozemo zapisati:−→AM +

−→MN +

−→NB =

−→AB , te

−→DM +

−→MN +

−→NC =

−→DC . Nakon

zbrajanja ovih dviju jednakosti dobijemo 2−→MN =

−→AB +

−→DC , a odatle

−→MN =

12(−→AB +

−→DC ) . Kako

su vektori−→AB i

−→DC kolinearni, iz ove jednakosti

izravno slijedi tvrdnja iskazana u zadatku.

Zadatak 16. Ako je P poloviste duzine AB , a O neka tocka u ravnini, tada je−→OP =

12(−→OA +

−→OB ) . Dokazi!

232

5

Rjesenje. Zbrojimo li jednakosti−→OP =

−→OA +

−→AP i

−→OP =

−→OB +

−→BP , dobit cemo 2 · −→OP =

−→OA +

−→OB , a odatle

−→OP =

12(−→OA +

−→OB ) .

Zadatak 17. Dokazi da je duzina MN koja spaja polovista M i N dijagonala AC i BDtrapeza ABCD paralelna s osnovicama trapeza.

Rjesenje. D

M N

A

C

B

Kako je−→AM =

12

−→AC =

12(−→AD +

−→DC ) te

−→AN =

12(−→AB +

−→AD ) , to je

−→MN =

−→AN − −→

AM =12(−→AB −

−→DC ) . No, vektori

−→AB i

−→DC su kolinearni, tj. postoji

takav realni broj k , k �= 0 , za kojega je−→AB = k· −→DC .

Stoga je−→MN =

12(k − 1)

−→DC .


Zadatak 1. Dan je paralelogram ABCD . Prikazi vektore−→AC i

−→BD kao linearnu kombi-

naciju vektora−→AB i

−→AD .

Rjesenje.

A

D C

B

−→AC =

−→AB +

−→BC =

−→AB +

−→AD ;

−→BD =

−→BA +

−→AD = −−→

AB +−→AD .

Zadatak 2. Dan je paralelogram ABCD . Prikazi vektore−→AD i

−→AB kao linearnu kombi-

naciju vektora−→AC i

−→BD .

Rjesenje.

A

D C

B

−→AD =

12

−→AC +

12

−→BD ;

−→AB =

12

−→AC − 1

2

−→BD .

Zadatak 3. Dan je paralelogram ABCD . Neka je−→AC = �a ,

−→BD = �b . Izrazi vektore

−→AB ,

−→BC i

−→CD kao linearnu kombinaciju vektora �a i �b .

Rjesenje.

A

D C

B

ab

−→AB =

12�a − 1

2�b ;

−→BC =

12�a +

12�b ;

−→CD = −−→

AB =12�b − 1

2�a ;

−→DA = −−→

BC = −12�a − 1

2�b .

233

5 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 4. Tocke E, F, G i H polovista su stranica paralelograma ABCD . Ako je−→AE = �a ,

−→AH = �b provjeri sljedece jednakosti:

1)−→AF = 2�a +�b ; 2)

−→AC = 2�a + 2�b ;

3)−→AG = �a + 2�b ; 4)

−→BD = 2�b − 2�a .

Rjesenje. 1)−→AF =

−→AB +

−→BF = 2�a +�b ; 2)

−→AC =

−→AB +

−→BC = 2�a + 2�b ;

3)−→AG =

−→AD +

−→DG = 2�b +�a = �a + 2�b ;

4)−→BD =

−→BA +

−→AD = −2�a + 2�b = 2�b − 2�a .

Zadatak 5. Stranica BC trokuta ABC tockama P i Q podijeljena je na tri jednaka dije-

la. Izrazi vektore−→AP i

−→AQ kao linearnu kombinaciju vektora

−→AB = �c i

−→AC = �b .

Rjesenje.

Q CB P

A

c b

−→BC = �b − �c ,−→AP = �c +

−→BP = �c+

13

−→BC = �c+

13(�b−�c) =

13�b +

23�c ,

−→AQ = �c+

−→BQ = �c+

23

−→BC = �c+

23(�b−�c) =

23�b +

13�c .

Zadatak 6. Tocke D, E i F polovista su stranica BC , AC i AB trokuta ABC . Prika-

zi vektore−→AD ,

−→BE i

−→CF kao linearnu kombinaciju vektora

−→AB = �c i

−→AC = �b .

Rjesenje.

BA

C

c

bDE

F

−→AB = �c ,

−→AC = �b

−→BC = �b − �c

−→AD = �c +

12

−→BC = �c +

12(�b − �c) =

12�b +

12�c ;

−→BE =

−→BA +

−→AE = −�c +

12�b ;

−→CF =

−→CA +

−→AF = −�b +

12�c .

234

5

Zadatak 7. Dan je kvadrat ABCD . Tockama E i F dijagonala BD kvadrata podijeljena je

na tri sukladna dijela. Izrazi vektore−→AE ,

−→AF i

−→EF kao linearnu kombinaciju

vektora �v1 =−→AB i �v2 =

−→AD .

Rjesenje.−→AB = �v1 ,

−→AD = �v1 ,

−→BD =

−→BA +

−→AD = −�v1 + �v2

−→AE =

−→AB +

13

−→BD = �v1 +

13(−�v1 + �v2) =

23

�v1 +13

�v2 ;

−→AF =

−→AB +

23

−→BD = �v1 +

23(−�v1 + �v2) =

13

�v1 +23

�v2 ;

−→EF =

13

−→BD =

13(−�v1 + �v2) = −1

3�v1 +

13

�v2 .

Zadatak 8. Neka je ABCDEF pravilan sesterokut. Izrazi vektore−→BC i

−→BD kao linearnu

kombinaciju vektora−→AB i

−→AF .

Rjesenje. E D

F C

A B

S

−→BC =

−→BS +

−→SC =

−→SC +

−→BS =

−→AB +

−→AF ;

−→BD =

−→BC +

−→CD = (

−→AB +

−→AF ) +

−→AF =

−→AB + 2

−→AF .

Zadatak 9. Tocke A , B , C , D , E i F vrhovi su pravilnog sesterokuta. Ako je−→AF = �e1 ,

−→AC = �e2 , prikazi vektore

−→AB ,

−→AD i

−→AE kao linearnu kombinaciju vektora

�e1 i �e2 .

Rjesenje.

C

BA

DE

FO

e1 e2

−→AB = �e2 +

−→CB = �e2 +

−→OA

= �e2 +−−→OF +

−→FA = �e2 −−→

AB − �e1

=⇒ 2−→AB = �e2 −�e1 =⇒ −→

AB =12�e2 − 1

2�e1 ;

−→AD =

−→AC +

−→CD = �e1 +

−→AF = �e1 + �e2 ;

−→AE =

−→AB +

−→BE =

12�e2 − 1

2�e1 + 2�e1 =

32�e1 +

12�e2 .

235

5 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 10. Neka su M , N i P polovista stranica BC , AC i AB trokuta ABC . Prika-

zi vektore−→AM ,

−→BN i

−→CP kao linearne kombinacije vektora

−→AB = �e1 i

−→AC = �e2 .

Rjesenje.

BA

C

e1

e2

MN

P

−→BC = �e1 − �e1 ;−→AM =

−→AB +

−→BM = �e1 +

12

−→CB = �e1 − 1

2

−→BC =

�e1 − 12(�e1 − �e1) =

12�e1 +

12�e2 ;

−→BN =

−→BA +

−→AN =

12�e2 − �e1 ;

−→CP =

−→CA +

−→AP = −−→

AC +12

−→AB =

12�e1 − �e2 .

Zadatak 11. U trokutu ABC tocke M i N polovista su stranica AB i AC . Prikazi vektore−→AB ,

−→AC i

−→MN kao linearnu kombinaciju vektora �m =

−→CM i �n =

−→BN .

Rjesenje. −→AB = 2

−−→AM

−→AB = 2(

−→AC +

−−→CM)

−→AB = 2

−→AC + 2�m

−→AB = 2 · 2−−→AN + 2�m−→AB = 4(

−→AB +�n) + 2�m

−3−→AB = 4�n + 2�m−→AB = −4

3�n − 2

3�m

BA

C

M

N m

n

−→AC = 2

−−→AN

−→AC = 2(

−→AB +

−−→BN)

−→AC = 2

−→AB + 2�n

−→AC = 2 · 2−−→AM + 2�n−→AC = 4(

−→AC + �m) + 2�n

−3−→AC = 4�m + 2�n−→AC = −4

3�m − 2

3�n

−−→MN =

−−→MA +

−−→AN

−−→MN =

12

−→BA +

12

−→AC

−−→MN = −1

2

−→AB +

12

−→AC

−−→MN = −1

2

(−4

3�n − 2

3�m)

+12

(−4

3�m − 2

3�n)

−−→MN =

23�n +

13�m − 2

3�m − 1

3�n

−−→MN =

13�n − 1

3�m

Zadatak 12. Tocka M poloviste je stranice BC , a tocka N stranice CD paralelograma

ABCD . Prikazi vektore−→AB i

−→AD kao linearne kombinacije vektora

−→AM i

−→AN .

236

5

Rjesenje.

A

D C

B

M

N

−→AB +

12

−→AD =

−−→AM / · 2

−→AD +

12

−→AB =

−−→AN / · (−1)

2−→AB +

−→AD = 2

−−→AM

−−→AD − 1

2

−→AB = −−−→

AN

⎫⎪⎬⎪⎭+

32

−→AB = 2

−−→AM −−−→

AN/ · 2

3−→AB =

43

−−→AM − 2

3

−−→AN

−→AB +

12

−→AD =

−−→AM

−→AD +

12

−→AB =

−−→AN / · (−2)

−→AB +

12

−→AD =

−−→AM

− 2−→AD −−→

AB = −2−−→AN

⎫⎪⎬⎪⎭+

− 32

−→AD =

−−→AM − 2

−−→AN

/ ·(−2

3

)−→AD = −2

3

−−→AM +

43

−−→AN


Zadatak 1. Dane su tocke A(4, 0) , B(1, 3) , C(−2,−1) , D(1,−1) . Odredi vektore−→AB ,

−→BC ,

−→CD ,

−→BD i

−→AC . Dobivene rezultate provjeri crtanjem u koordinatnoj

ravnini.

Rjesenje. A(4, 0), B(1, 3), C(−2,−1), D(1,−1)

−→AB = (1 − 4)�ı + (3 − 0)�j = −3�ı + 3�j, |−→AB| =

√(−3)2 + (3)2 =

√18 = 3

√2;

−→BC = (−2 − 1)�ı + (−1 − 3)�j = −3�ı − 4�j, |−→BC| =

√(−3)2 + (−4)2 = 5

−−→CD = (1 − (−2))�ı + (−1 − (−1))�j = 3�ı, |−−→CD| =

√(−3)2 = 3

−→BD = (1 − 1)�ı + (−1 − 3)�j = −4�j, |−→BD| =

√(−4)2 = 4

−→AC = (−2 − 4)�ı + (−1 − 0)�j = −6�ı − 1�j, |−→AC| =

√(−6)2 + (−1)2 =

√37;

x

y

�2

�2 �1

�1

2

1

1 2 4 53

3

A

B

C D

Zadatak 2. Dane su tocke A(−1,−3) , B(4, 1) i C(2, 4) . Odredi vektore−→AB ,

−→BC i

−→CA .

237

5 RJESENJA ZADATAKA

Prikazi tocke A , B i C u koordinatnoj ravnini i provjeri je li dobro rijesenzadatak.

Rjesenje.A(−1,−3), B(4, 1), C(2, 4)

−→AB = (4 − (−1))�ı + (1 − (−3))�j = 5�ı + 4�j, |−→AB| =

√52 + 42 =

√41;

−→BC = (2 − 4)�ı + (4 − 1)�j = −2�ı + 3�j, |−→BC| =

√(−2)2 + 32 =

√13

−→CA = (−1 − 2)�ı + (−3 − 4)�j = −3�ı− 7�j, |−−→CD| =

√(−3)2 + (−7)2 =

√58

x

y

�2

�3

�2 �1

�1

2

1

1 2 4 53

3

4

A

B

C

Zadatak 3. Dane su tocke A(−2, 0) , B(0, 1) i C(4, 3) . Provjeri da je−→BC = 2 · −→AB .

Rjesenje.A(−2, 0), B(0, 1), C(4, 3)

−→AB = (0 − (−2))�ı + (1 − 0)�j = 2�ı + �j

−→BC = (4 − 0)�ı + (3 − 1)�j = 4�ı + 2�j

2 · −→AB = 2 · (2�ı + �j) = 4�ı + 2�j =−→BC

Zadatak 4. Tocke A(−1, 1) , B(2,−1) , C(5,−3) pripadaju jednom pravcu. Provjeri!Provjeri tako -der da je tocka B poloviste duzine AC .

Rjesenje. Dovoljno je pokazati da su vektori−→AB i

−→BC kolinearni, tj. da postoji broj

k �= 0 takav da je−→AB = k · −→BC .

−→AB = (2 − (−1))�ı + (−1 − 1)�j = 3�ı − 2�j−→BC = (5 − 2)�ı + (−3 − (−1))�j = 3�ı− 2�j−→AB =

−→BC =⇒ k = 1 =⇒ tocke su kolinearne, B je poloviste od AC.

Zadatak 5. Tocke A(101,−49) , B(−51, 27) , C(77,−37) pripadaju jednom pravcu, od-nosno, kolinearne su. Provjeri!

238

5

Rjesenje. Dovoljno je pokazati da su vektori−→AB i

−→BC kolinearni, tj. da postoji broj

k �= 0 takav da je−→AB = k · −→BC .

−→AB = (−51 − 101)�ı + (27 − (−49))�j = −152�ı + 76�j−→BC = (77 − (−51))�ı + (−37 − 27)�j = 128�ı− 64�j−→AB = k · −→BC

−152�ı + 76�j = k · (128�ı− 64�j)

Ako postoji takav k onda mora vrijediti −152 = 128k , odnosno k = −1916

.

Provjerimo da li je k = −1916

trazeni k :

−152�ı + 76�j = −1916

· (128�ı− 64�j)

−152�ı + 76�j = 152�ı + 76�j =⇒ tocke su kolinearne

Zadatak 6. Dane su tocke A(−2, 4) , B(5, 1) , C(3, 5) . Provjeri:−→AB +

−→BC +

−→CA =

−→0 .

Rjesenje.A(−2, 4), B(5, 1), C(3, 5)−→AB = (5 − (−2))�ı + (1 − 4)�j = 7�ı− 3�j−→BC = (3 − 5)�ı + (5 − 1)�j = −2�ı + 4�j−→CA = (−2 − 3)�ı + (4 − 5)�j = −5�ı− �j

−→AB +

−→BC +

−→CA = 7�ı − 3�j − 2�ı + 4�j − 5�ı− �j = �0

Zadatak 7. Dane su tocke A(−1, 1) , B(2,−1) , C(x,−3) . Odredi nepoznatu koordinatutocke C tako da sve tri tocke pripadaju jednom pravcu.

Rjesenje. Mora vrijediti−→AB = k · −→BC , k �= 0 .

−→AB = (2 − (−1))�ı + (−1 − 1)�j = 3�ı − 2�j−→BC = (x − 2)�ı + (−3 − (−1))�j = (x − 2)�ı − 2�j−→AB = k · −→BC =⇒ −2 = k · (−2) =⇒ k = 1

3 = k · (x − 2)3 = 1 · (x − 2)3 = x − 2

x = 5

Zadatak 8. Dane su tocke A(−5,−3) , B(−2, y) , C(4, 0) . Odredi nepoznatu koordinatutocke B tako da tocke A , B i C budu kolinearne.

239

5 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Mora vrijediti−→AB = k · −→AC , k �= 0 .

−→AB = (−2 − (−5))�ı + (y − (−3))�j = 3�ı + (y + 3)�j−→AC = (4 − (−5))�ı + (0 − (−3))�j = 9�ı + 3�j−→AB = k · −→AC =⇒ 3 = k · 9 =⇒ k =

13

(y + 3) = k · 3y + 3 =

13· 3

y + 3 = 1

y = −2

Zadatak 9. Ako su A(1,−1) , B(3, 2) i C(−2, 3) tri uzastopna vrha paralelograma ABCD ,odredi koordinate cetvrtog vrha D .

Rjesenje.A(1,−1),B(3, 2),C(−2, 3),D(x, y),

−→AB =

−−→DC (paralelogram)

(3 − 1)�ı + (2 + 1)�j = (−2 − x)�ı + (3 − y)�j2�ı + 3�j = (−2 − x)�ı + (3 − y)�j2 = −2 − x =⇒ x = −4

3 = 3 − y =⇒ y = 0

=⇒ D(−4, 0)

Zadatak 10. Ako su A(2, 1) , B(−2, 4) i D(0,−3) tri vrha paralelograma ABCD , odredikoordinate vrha C .

Rjesenje.A(2, 1),B(−2, 4),C(x, y),D(0,−3),

−→AB =

−−→DC (paralelogram)

(−2 − 2)�ı + (4 − 1)�j = (x − 0)�ı + (y + 3)�j− 4�ı + 3�j = x�ı + (y + 3)�j− 4 = x =⇒ x = −4

3 = y + 3 =⇒ y = 0

=⇒ C(−4, 0).

240

5

Zadatak 11. Tocke A(0, 3) i B(2, 2) dva su vrha paralelograma ABCD , tocka S(3, 4)sjeciste je njegovih dijagonala. Odredi koordinate vrhova C i D .

Rjesenje.A(0, 3), B(2, 2), S(3, 4), C(xC, yC), D(xD, yD)

C, D =?

−→AS =

−→SC

(3−0)�ı+(4−3)�j=(xC−3)�ı+(yC−4)�j3�ı + 1�j = (xC − 3)�ı + (yC − 4)�j3 = xC − 3 =⇒ xC = 6

1 = yC − 4 =⇒ yC = 5

=⇒ C(6, 5)

−→BS =

−→SD

(3−2)�ı+(4−2)�j=(xD−3)�ı+(yD−4)�j�ı + 2�j = (xD − 3)�ı + (yD − 4)�j1 = xD − 3 =⇒ xD = 4

2 = yD − 4 =⇒ yD = 6

=⇒ D(4, 6)

Zadatak 12. Tocke B(1,−2) i C(3, 2) vrhovi su paralelograma ABCD , tocka S(−1

2,32

)sjeciste je njegovih dijagonala. Odredi vrhove A i D ovog paralelograma.

Rjesenje.A(xA, yA), B(1,−2), S

(−1

2,32

), C(3, 2), D(xD, yD)

A, D =?

−→AS =

−→SC(

−12− xA

)�ı +

(32− yA

)�j =

(3 +

12

)�ı +

(2 − 3

2Br)�j(

−12− xA

)�ı +

(32− yA

)�j =

72�ı +

12�j

− 12− xA =

72

=⇒ xA = −4

32− yA =

12

=⇒ yA = 1

=⇒ A(−4, 1)−→BS =

−→SD(

−12− 1

)�ı + (

32

+ 2)�j =(xD +

12

)�ı +

(yD − 3

2

)�j

− 32�ı +

72�j =

(xD +

12

)�ı +

(yD − 3

2

)�j

− 32

= xD +12

=⇒ xD = −2

72

= yD − 32

=⇒ yD = 5

=⇒ D(−2, 5)

241

5 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 13. Tocke A(−1,−1) , B(3,−2) i C(5, 2) tri su uzastopna vrha paralelogramaABCD . Kolika je duljina dijagonale BD ?

Rjesenje.A(−1,−1), B(3,−2), C(5, 2), D(xD, yD)

|BD| =?

−→AB =

−−→DC

(3 + 1)�ı + (−2 + 1)�j = (5 − xD)�ı + (2 − yD)�j4�ı − �j = (5 − xD)�ı + (2 − yD)�j5 − xD = 4 =⇒ xD = 1

2 − yD = −1 =⇒ yD = 3

=⇒ D(1, 3)−→BD = (1 − 3)�ı + (3 + 2)�j = −2�ı + 5�j

|−→BD| =√

(−2)2 + 52 =√

4 + 25 =√

29

Zadatak 14. Tocke A(3, 2) , B(1,−2) i D(5, 1) tri su vrha paralelograma ABCD . Kolikaje duljina dijagonale AC ?

Rjesenje.A(3, 2), B(1,−2), D(5, 1), C(xC, yC),

|AC| =?

−→AB =

−−→DC

(1 − 3)�ı + (−2 − 2)�j = (xC − 5)�ı + (yC − 1)�j− 2�ı − 4�j = (xC − 5)�ı + (yC − 1)�jxC − 5 = −2 =⇒ xC = 3

yC − 1 = −4 =⇒ yC = −3

=⇒ C(3,−3)−→AC = (3 − 3)�ı + (−3 − 2)�j = −5�j

|−→AC| =√

0 + 52 =√

25 = 5

Zadatak 15. Odredi jedinicni vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor−→AB ako je

A(3, 1) , B(−1,−2) .

Rjesenje.A(3, 1), B(−1,−2),

−→AB = (−1 − 3)�ı + (−2 − 1)�j = −4�ı− 3�j

|−→AB| =√

(−4)2 + (−3)2 =√

16 + 9 = 5

242

5

�e =1

|−→AB|· −→AB =

15(−4�ı − 3�j)

�e = −45�ı − 3

5�j

Zadatak 16. Odredi jedinicni vektor koji ima isti smjer, ali suprotnu orijentaciju od vektora−→AB ako je A(−4, 9) , B(−2, 5) .

Rjesenje.A(−4, 9), B(−2, 5),

−→AB = (−2 + 4)�ı + (5 − 1)�j = 2�ı− 4�j

|−→AB| =√

22 + (−4)2 =√

4 + 16 =√

20 = 2√

5

�e =1

|−→AB|· −→AB =

1

2√

5(2�ı − 4�j)

�e =1√5�ı − 2√

5�j

Zadatak 17. Tocke A(−1, 1) , B(3,−2) , C(7, 7) vrhovi su trokuta ABC . Odredi vektor usmjeru simetrale unutarnjeg kuta pri vrhu A ovog trokuta.

Rjesenje.A(−1, 1), B(3,−2), C(7, 7),

�s =?

−→AB = (3 + 1)�ı + (−2 − 1)�j = 4�ı− 3�j =

√16 + 9 = 5

�e1 =15(4�ı − 3�j) =

45�ı − 3

5�j

−→AC = (7 + 1)�ı + (7 − 1)�j = 8�ı + 6�j

|−→AC| =√

64 + 36 = 10

�e2 =110

(8�ı + 6�j) =45�ı +

35�j

�s = k(�e1 + �e2), k ∈ R

�s = k

(45�ı − 3

5�j +

45�ı +

35�j

)=

85k�ı

Zadatak 18. Odredi vektor �v kolinearan s vektorom−→AB , gdje je A(2,−1) , B(−1, 3) ako

je |�v| = 20 .

243

5 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje.

�v = k−→AB,

|�v| = 20,

A(2,−1), B(−1, 3)

−→AB = (2 − 1)�ı + (3 + 1)�j = −3�ı + 4�j

|−→AB| =√

9 + 16 = 5

�e =1

|−→AB|−→AB =

15(−3�ı + 4�j) = −3

5�ı +

45�j

�v = ±|�v| · �e = ±20

(−3

5�ı +

45�j

)�v1 = −12�ı + 16�j

�v2 = 12�ı− 16�j

Zadatak 19. Dane su tocke A(1, 1) , B(2, 2) , C(0, 3) i D(5, 8) . Prikazi vektor−→AD kao

linearnu kombinaciju vektora−→AB i

−→AC .

Rjesenje. −→AB = (2 − 1)�ı + (2 − 1)�j =�ı + �j

−→AC = (0 − 1)�ı + (3 − 1)�j = −�ı + 2�j−→AD = (5 − 1)�ı + (8 − 1)�j = 4�ı + 7�j−→AD = α

−→AB + β

−→AC

α(�ı + �j) + β(−�ı + 2�j) = 4�ı + 7�j

(α − β)�ı + (α + 2β)�j = 4�ı + 7�j

α − β = 4

α + 2β = 7

}−

− 3β = −3 =⇒ β = 1

α − 1 = 4 =⇒ α = 5−→AD = 5

−→AB +

−→AC

Zadatak 20. Vektor−→AD prikazi kao linearnu kombinaciju vektora

−→AB i

−→AC ako je

A(−2, 1) , B(−1,−1) , C(1, 2) i D(1, 9) .

244

5

Rjesenje.−→AB = (−1 + 2)�ı + (−1 − 1)�j =�ı − 2�j−→AC = (1 + 2)�ı + (2 − 1)�j = 3�ı + �j

−→AD = (1 + 2)�ı + (9 − 1)�j = 3�ı + 8�j−→AD = α

−→AB + β

−→AC

α(�ı − 2�j) + β(3�ı + �j) = 3�ı + 8�j

(α + 3β)�ı + (−2α + β)�j = 3�ı + 8�j

α + 3β = 3/ · 2− 2α + β = 8

2α + 6β = 6

− 2α + β = 8

7β = 14 =⇒ β = 2

α + 6 = 3 =⇒ α = −3−→AD = −3

−→AB + 2

−→AC

Zadatak 21. Dane su tocke A(1, 3) , B(2, 2) , C(3, 5) i D(4, 7) . Vektor−→AB prikazi kao

linearnu kombinaciju vektora−→BC i

−→BD .

Rjesenje.−→AB = (2 − 1)�ı + (2 − 3)�j =�ı − �j

−→BC = (3 − 2)�ı + (5 − 2)�j =�ı + 3�j−→BD = (4 − 2)�ı + (7 − 2)�j = 2�ı + 5�j−→AB = α

−→BC + β

−→BD

α(�ı + 3�j) + β(2�ı + 5�j) =�ı − �j

(α + 2β)�ı + (3α + 5β)�j =�ı − �j

α + 2β = 1/ · (−3)3α + 5β = −1

− 3α − 6β = −3

3α + 5β = −1

245

5 RJESENJA ZADATAKA

− β = −4 =⇒ β = 4

α + 8 = 1 =⇒ α = −7−→AB = −7

−→BC + 4

−→BD

Zadatak 22. Dani su vektori �a = 3�ı − �j , �b =�i − 2�j , �c = −�ı + 7�j . Vektor �v = �a +�b + �cprikazi kao linearnu kombinaciju vektora �a i �b .

Rjesenje.�a = 3�ı − �j

�b =�ı − 2�j

�c = −�ı + 7�j

�v = α�a + β�b

�v = �a +�b + �c

�v = 3�ı − �j +�ı − 2�j −�ı + 7�j = 3�ı + 4�j

3�ı + 4�j = α(3�ı − �j) + β(�ı − 2�j)3�ı + 4�j = (3α + β)�ı + (−α − 2β)�j

3α + β = 3/ · 2− α − 2β = 4

6α + 2β = 6

− α − 2β = 4

5α = 10 =⇒ α = 5

6 + β = 3 =⇒ β = −3

�v = 2�a − 3�b

Zadatak 23. Odredi |�a − 3�b| i |3�a − 2�b| ako je �a =�ı − 3�j , �b = 2�ı − 5�j .

Rjesenje. |�a − 3�b| =?

|3�a − 2�b| =?

�a =�ı − 3�j

�b = 2�ı− 5�j

�a − 3�b =�ı − 3�j − 3(2�ı − 5�j) = −5�ı + 12�j

|�a − 3�b| =√

(−5)2 + 122 =√

169 = 13

3�a − 2�b = 3(�ı − 3�j) − 2(2�ı− 5�j) = −�ı + �j

|3�a − 2�b| =√

(−1)2 + 12 =√

2

246

5

Zadatak 24. Dani su vektori �a = −�ı + 2�j , �b = 3�ı + 4�j i �c = −2�ı + �j . Odredi vektor �vkolinearan s �c , a duljine jednake duljini vektora �a +�b .

Rjesenje.�a = −�ı + 2�j

�b = 3�ı + 4�j

�c = −2�ı + �j

�v = α�c

|�v| = |�a +�b|�a +�b = −�ı + 2�j + 3�ı + 4�j = 2�ı + 6�j

|�a +�b| =√

22 + 62 =√

40 = 2√

10 =⇒ α = ±2√

10

|�c| =√

(−2)2 + 12 =√

5

�e =1|�c| · �c =

1√5(−2�ı + �j)

�v = ±2√

10 · 1√5(−2�ı + �j) = ±2

√2(−2�ı + �j)

�v1 = −4√

2�ı + 2√

2

�v2 = 4√

2�ı − 2√

2�j

247

6 RJESENJA ZADATAKA


Zadatak 1. Nacrtaj grafove sljedecih jednadzbi:

1) x + y = 8 ; 2) 2x − y = 0 ;3) x = −1 ; 4) 2y + 1 = 0 .5) 3x + 4y = 6 ; 6) x + y = 0 ;7) 3x = −9 ; 8) −2y = 1 .9) 3x + 2y = 0 ; 10) 2y = 5 ;

11) x + 4 = 0 ; 12) 4x − 6y = 15 .

Rjesenje.

x

y

8

8

1)

x

y

2

1

2�

1�1�

2)

x

y

1�

3)

x

y

21

�

4)

x

y

2

23

5)

x

y6)

x

y

3�

7)

x

y

21

�

8)

x

y

1

23

23

�

1�

9)

x

y

25

10)

x

y

4�

11)

x

y

25

�

415

12)

248

6

Zadatak 2. Dane su tocke A i B . Napisi jednadzbu pravca odre -denog tim dvjema tockamaako je:

1) A(2,−1) , B(5, 2) ; 2) A(−4,−4) , B(2, 5) ;3) A(−1, 0) , B(5,−4) .

Rjesenje. 1) Uvrstavanjem koordinata tocaka A i B u jednadzbu y = ax + b , dobijemosustav:

−1 = 2a + b,

2 = 5a + b.

Ako iz prve jednadzbe izrazimo b = −2a−1 i to uvrstimo u drugu jednadzbu,dobit cemo 2 = 5a − 2a − 1 . Odatle je a = 1 i potom b = −3 . Jednadzbapravca glasi y = x − 3 ;2) Uvrstavanjem koordinata tocaka A i B u jednadzbu y = ax + b , dobijemosustav:

−4 = −4a + b,

5 = 2a + b.

Ako iz prve jednadzbe izrazimo b = 4a − 4 i to uvrstimo u drugu jednadzbu,

dobit cemo 5 = 2a + 4a − 4 . Odatle je a =32

i potom b = 2 . Jednadzba

pravca glasi y =32x + 2 ;

3) Uvrstavanjem koordinata tocaka A i B u jednadzbu y = ax + b , dobijemosustav:

0 = −a + b,

−4 = 5a + b.

Ako iz prve jednadzbe izrazimo b = a i to uvrstimo u drugu jednadzbu, dobit

cemo −4 = 5a + a . Odatle je a = −23

, pa je i b = −23

. Jednadzba pravca

glasi y = −23x − 2

3.

Zadatak 3. Odredi jednadzbu pravca koji je odre -den dvjema tockama:

1) A(−3,−3) , B(5,−3) ;

2) A(−4, 2) , B(−4,−5) ;3) A(−1, 1) , B(5,−5) .

Rjesenje. 1) Uvrstavanjem koordinata tocaka A i B u jednadzbu y = ax + b , dobijemosustav:

−3 = −3a + b,

−3 = −a + b.

Ako iz prve jednadzbe izrazimo b = 3a − 3 i to uvrstimo u drugu jednadzbu,dobit cemo −3 = −a + 3a − 3 . Odatle je a = 0 , a b = −3 . Jednadzbapravca glasi y = −3 .Uocimo li odmah da tocke A i B imaju istu y koordinatu i stoga odre -dujupravac paralelan s x -osi, i bez racunanja zakljucujemo da jednadzba tog pravcaglasi y = −3 ;2) Obje tocke imaju istu x koordinatu koja iznosi −4 pa odre -duju pravac pa-ralelan s y -osi zadan jednadzbom x = −4 ;

249

6 RJESENJA ZADATAKA

3) Uvrstavanjem koordinata tocaka A i B u jednadzbu y = ax + b , dobijemosustav:

1 = −a + b,

−5 = 5a + b.

Ako iz prve jednadzbe izrazimo b = a + 1 i to uvrstimo u drugu jednadzbu,dobit cemo −5 = 5a + a + 1 . Odatle je a = −1 , a b = 0 . Jednadzba pravcaglasi y = −x .

Zadatak 4. Dokazi da tocka B(−2, 0) pripada pravcu AC , A(−3, 2) , C(1,−6) te da je|BC| = 3 · |AB| .

Rjesenje. Jednadzba pravca AC glasi:

y − 2 =−6 − 21 + 3

· (x + 3) =⇒ y − 2 = −2x − 6 =⇒ y = −2x − 4;

B(−2, 0) ∈ AC ⇐⇒ 0 = −2 · (−2) − 4 ⇐⇒ 0 = 0

=⇒ tocka B pripada pravcu AC

|AB| =√

(−2 + 3)2 + (0 − 2)2 =√

1 + 4 =√

5

|BC| =√

(1 + 2)2 + (−6 − 0)2 =√

9 + 36 = 3√

5

=⇒ |BC| = 3 · |AB|

Zadatak 5. Dokazi da tocke P(2, 1) i Q(5, 0) pripadaju pravcu AB , A(−1, 2) , B(8,−1) ,te da duzinu AB dijele na tri jednaka dijela.

Rjesenje. Jednadzba pravca AB glasi:

y − 2 =−1 − 28 + 1

(x + 1) =⇒ y = −13x +

53.

U dobivenu jednadzbu pravca uvrstimo koordinate tocke P :

1 = −13· 2 +

53

=⇒ 1 = 1.

Dakle, tocka P pripada tom pravcu. Na isti nacin provjerimo da i toca Qpripada tom pravcu:

0 = −13· 5 +

53

=⇒ 0 = 0.

Pogledajmo sada duljine duzina AP , PQ i QB :

|AP| =√

(2 + 1)2 + (1 − 2)2 =√

9 + 1 =√

10;

|PQ| =√

(5 − 2)2 + (0 − 1)2 =√

9 + 1 =√

10;

|QB| =√

(8 − 5)2 + (−1 − 0)2 =√

9 + 1 =√

10.

=⇒ |AP| = |PQ| = |QB| =√

10.

Dakle, tocke P i Q dijele duzinu AB na tri jednaka dijela.

Zadatak 6. Tocke A(−3,−2) , B(−1, y) i C(1, 6) pripadaju jednom pravcu.1) Odredi nepoznatu koordinatu tocke B .2) Odredi jednadzbu pravca koji je simetrican pravcu AC prema osi apscisa.3) Kolika je povrsina trokuta sto ga taj pravac zatvara s koordinatnim osima?

250

6

Rjesenje. Jednadzba pravca AC glasi:

y + 2 =6 + 21 + 3

(x + 3), y + 2 = 2(x + 3) =⇒ y = 2x + 4.

1) Uvrstimo koordinate tocke B u dobivenu jednadzbu pravca i slijedi da je:

y = 2 · (−1) + 4 = 2 =⇒ B(−1, 2);

2) Pravac simetrican pravcu AC prema osi apscisa prolazi tockama A′(−3, 2)i C′(1,−6) pa je njegova jednadzba:

y − 2 =−6 − 21 + 3

(x − 3), y − 2 = −2(x − 3) =⇒ y = −2x − 4;

3) Pravac sijece koordinatne osi u tockama (0, 4) i (−2, 0) te je:

P =| − 2| · |4|

2= 4 kv. jed.

Zadatak 7. Tocke A(−4, 0) , B(0,−2) i C(x,−5) pripadaju jednom pravcu.1) Odredi nepoznatu koordinatu tocke C .2) Odredi jednadzbu pravca koji je simetrican pravcu AC prema osi ordinata.3) Kolika je povrsina trokuta sto ga taj pravac zatvara s koordinatnim osima?


y − 0 =−2 − 00 + 4

(x + 4), =⇒ y = −12x − 2.

1) Uvrstimo koordinate tocke C u dobivenu jednadzbu pravca i slijedi da je

−5 = −12· x − 2,

12x = 3, x = 6 =⇒ C(6,−5);

2) Pravac simetrican pravcu AB prema osi ordinata prolazi tockama A′(4, 0) iB′(0,−2) pa je njegova jednadzba: A(-4, 0) ,B(0, -2)

y − 0 =−2 − 00 − 4

(x − 4), y =12x − 2;

3) Pravac sijece koordinatne osi u tockama (−4, 0) i (0,−2) , te je:

P =| − 4| · | − 2|

2=

82

= 4 kv. jed.

Zadatak 8. Tocke A(−3,−2) i B(−1, 4) leze na pravcu p .1) Nacrtaj pravac p u koordinatnom sustavu.2) U kojim tockama pravac p sijece koordinatne osi?3) Odredi jednadzbu pravca koji je simetrican pravcu p prema osi apscisa.

Rjesenje. 1) Jednadzba pravca AB glasi:

y + 2 =4 + 2−1 + 3

(x + 3), y + 2 = 3(x + 3) =⇒ y = 3x + 7.

251

6 RJESENJA ZADATAKA

x

y

7

73

�

2) y = 0 =⇒ 0 = 3x + 7, x = −73

=⇒ M(−7

3, 0)

;

x = 0 =⇒ y = 3 · 0 + 7, y = 7 =⇒ N(0, 7) ;3) Pravac simetrican pravcu AC prema osi apscisa prolazi tockama A′(−3, 2)i B′(−1,−4) pa je njegova jednadzba:

y − 2 =−4 − 2−1 + 3

(x + 3), y − 2 = −3(x + 3) =⇒ y = −3x − 7.

Zadatak 9. Kako glasi jednadzba pravca AB ako je A(2, 2) , B(−4,−1) ?1) Odredi apscisu tocke C(x,−5) tako da ta tocka pripada pravcu AB .2) U kojim tockama pravac AB sijece koordinatne osi?3) Kolika je udaljenost pravca AB od ishodista?


y − 2 =−1 − 2−4 − 2

(x − 2) =⇒ y =12x + 1.

1) Uvrstimo koordinate tocke C u jednadzbu pravca i dobijemo:

−5 =12x + 1,

12x = −6, x = −12 =⇒ C(−12,−5);

2) y = 0 =⇒ 0 =12x + 1, x = −2 =⇒ M(−2, 0) ;

x = 0 =⇒ y =12· 0 + 1, y = 1 =⇒ N(0, 1) ;

3) Udaljenost pravca od ishodista izracunat cemo tako da prvo na -demo povrsinutrokuta kojeg pravac zatvara s koordinatnim osima:

P =| − 2| · |1|

2= 1 kv. jed.

Ta je povrsina jednaka P =|MN| · d

2odnosno,

d =2P

|MN| =2√

(0 + 2)2 + (1 − 0)2=

2√5.

Zadatak 10. Tockom A(2,−3) prolazi pravac s nagibom a = 12 . U kojoj tocki taj pravac

presijeca os x ? Zadatak rijesi graficki.

Rjesenje. U jednadzbu pravca y = ax + b uvrstimo koordinate tocke A i vrijednostkoeficijenta smjera a i dobijemo:

−3 =12· 2 + b =⇒ b = −4.

Jednadzba pravca glasi y =12x − 4 . Uvrstimo li u tu jednadzbu x = 0 dobit

cemo y = −4 , N(0,−4) .

252

6

Zadatak 11. Tockom A(−4, 0) prolazi pravac s nagibom a = 2 . U kojoj tocki taj pravacpresijeca os y ? Zadatak rijesi graficki.

Rjesenje. U jednadzbu pravca y = ax + b uvrstimo koordinate tocke A i vrijednostkoeficijenta smjera a i dobijemo:

0 = 2 · (−4) + b =⇒ b = 8.

Jednadzba pravca glasiy = 2x + 8.

Uvrstimo li u tu jednadzbu x = 0 dobit cemo y = 8 , N(0, 8) .

Zadatak 12. Tockom A(0, 3) prolazi pravac s nagibom a = 32 . Tocke E(x, 6) , F(−6, y)

pripadaju tom pravcu. Odredi njihove nepoznate koordinate.

Rjesenje. Prvo na -dimo jednadzbu pravca:

y = ax + b =⇒ y =32x + b.

U jednadzbu uvrstimo koordinate tocke A :

3 =32· 0 + b =⇒ b = 3.

Jednadzba pravca glasi:

y =32x + 3.

U tu jednadzbu uvrstimo ordinatu tocke E :

6 =32x + 3,

32x = 3, x = 2 =⇒ E(2, 6).

Potom u jednadzbu pravca uvrstimo apscisu tocke F :

y =32· (−6) + 3, y = −6 =⇒ F(−6,−6).

Zadatak 13. Pravac prolazi tockama A(−2, 4) i B(x, 6) . Odredi apscisu tocke B ako jekoeficijent smjera pravca jednak 2

3 .

253

6 RJESENJA ZADATAKA


y = ax + b =⇒ y =23x + b.


4 =23· (−2) + b =⇒ b =

163

.


y =23x +

163

.

U tu jednadzbu uvrstimo ordinatu tocke B i dobijemo:

6 =23x +

163

, 18 = 2x + 16, x = x = 1 =⇒ B(1, 6).

Zadatak 14. Pravac prolazi tockama A(2,−1) i B(−2, y) . Odredi ordinatu tocke B ako jekoeficijent smjera pravca jednak − 3

4 .


y = ax + b =⇒ y = −34x + b.


−1 = −34· 2 + b =⇒ b =

12.


y = −34x +

12.

U tu jednadzbu uvrstimo apscisu tocke B i dobijemo:

y = −34· (−2) +

12, y = 2 =⇒ B(−2, 2).

Zadatak 15. Tockom A(−1, 2) prolazi pravac s nagibom a = − 23 . Tocke E(x, 4) , F(2, y)

pripadaju tom pravcu. Odredi njihove nepoznate koordinate.


y = ax + b =⇒ y = −23x + b.


2 = −23· (−1) + b =⇒ b =

43.


y = −23x +

43.

U tu jednadzbu uvrstimo ordinatu tocke E i dobijemo:

4 = −23x +

43., 12 = −2x + 4, x = −4 =⇒ E(−4, 4)

Uvrstimo li u jednadzbu pravca apscisu tocke F dobijemo:

y = −23· 2 +

43, y = 0 =⇒ F(2, 0).

254

6


1) x − 3y > 3 ; 2) 2x + 3y � 6 ;3) 3x − 5y > 15 . 4) x + y � 2 ;5) −4x + y < 4 ; 6) 2x + 5y � 5 .

Rjesenje. 1) y <13x − 1 ; 2) y � −2

3x + 2 ; 3) y <

35x − 3 ; 4) y � 2 − x ;

5) y < 4x + 4 ; 6) y � −25x + 1 .

Zadatak 17. Prikazi graficki u koordinatnoj ravnini skup svih rjesenja nejednadzbe:

1) x + y < 0 ; 2) x + 1 � 0 ; 3) 2y � 3 .

Rjesenje. 1) y < −x ; 2) x � −1 ; 3) y � 32

.

Zadatak 18. Iscrtaj u koordinatnoj ravnini skup svih rjesenja nejednadzbe:

1) 3x − 5y + 15 � 0 ; 2) 2x + 3y − 6 � 0 ;3) 3x − 4y − 12 � 0 ; 4) x + 3y + 3 � 0 .

Rjesenje. 1) y � 35x + 3 ; 2) y � −2

3x + 2 ; 3) y � 3

4x − 3 ; 4) y � −1

3− 1 .

5

33

2

�

255

6 RJESENJA ZADATAKA

33

1

4

�

�

�

Zadatak 19. Odredi skup rjesenja sustava nejednadzbi:

1)

{x + 3y + 2 � 0,3x − 2y + 6 � 0,4x + y − 3 � 0;

2)

{x − 4y − 4 � 0,x + y − 4 � 0,3x − 2y − 2 � 0.

Rjesenje.

1)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y � −13x − 2

3,

y � 32x + 3,

y � −4x + 3;

2)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y � 14x − 10,

y � −x + 4,

y � 32x − 1.

2

2

2 4

3

1 1

�

� �


Zadatak 1. Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−1) = −2 , f (3) = 6 .Koliki je nagib te funkcije? U kojoj tocki graf funkcije sijece os y ?

Rjesenje. Uvrstimo li vrijednosti argumenta i funkcije u f (x) = ax + b dobit cemojednadzbe:

−2 = −a + b

6 = 3a + b

Oduzmemo li prvu od druge dobit cemo:

4a = 8, a = 2.

Uvrstimo li vrijednost za a u prvu jednadzbu dobijemo:

−2 = −2 + b, b = 0,

te je f (x) = 2x . Nagib je 2. Graf funkcije je pravac koji prolazi ishodistem.

256

6

Zadatak 2. Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−5) = 2 , f (4) = −7 .Koliki je nagib te funkcije? U kojoj tocki graf funkcije sijece os y ?

Rjesenje. Uvrstimo li vrijednosti argumenta i funkcije u f (x) = ax + b dobit cemojednadzbe

2 = −5a + b

−7 = 4a + b.

Oduzmemo li prvu jednadzbu od druge dobijemo:

−9 = 9a, a = −1.


2 = −5 · (−1) + b, b = −3.

Slijedi da je f (x) = −x − 3 . Nagib je −1 . Graf funkcije sijece os y u tocki(0,−3) .

Zadatak 3. Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−5) = 5 , f (4) = 4 .Koliki je nagib te funkcije? U kojoj tocki graf funkcije sijece os y ?


5 = −5a + b

4 = 4a + b.


−1 = 9a, a = −19,


5 = −5 ·(−1

9

)+ b, b =

409

,

te je f (x) = −19x +

409

. Nagib je −19

. Graf funkcije sijece os y u tocki s

ordinatom y =409

.

Zadatak 4. Nacrtaj graf linearne funkcije f (x) = ax + b ako je f (−2) = 1 , f (2) = 3 .Koliki je nagib ove funkcije?


1 = −2a + b

3 = 2a + b.

257

6 RJESENJA ZADATAKA


2 = 4a, a =12.


1 = −2 · 12

+ b, b = 2,

te je f (x) =12x + 2 . Nagib je jednak

12

.

Zadatak 5. Odredi linearnu funkciju f (x) = ax + b ako je f (−1) + f (1) = 4 , f (−1) −f (1) = 2 .

Rjesenje. f (−1) + f (1) = a · (−1) + b + a · 1 + b = 4 =⇒ 2b = 4 =⇒ b = 2 .f (−1) − f (1) = a · (−1) + b − a · 1 − b = 2 =⇒ −2a = 2 =⇒ a = −1 .f (x) = −x + 2 .

Zadatak 6. Odredi linearnu funkciju f (x) = ax+b ako je f (1)+f (2) = 3 , f (1)−f (2) =5 .

Rjesenje. f (1) + f (2) = a · 1 + b + a · 2 + b = 3 =⇒ 3a + 2b = 3 ;f (1) − f (2) = a · 1 + b − a · 2 − b = 5 =⇒ a = −5 ; −15 + 2b = 3

=⇒ b = 9 ; a = −5 ;f (x) = −5x + 9 .

Zadatak 7. Ako je f linearna funkcija te ako je f (1) = 1 , f (3) = 5 , koliko je f (−1) if (7) ?

Rjesenje. Uvrstimo li dane uvjete dobijemo dvije jednadzbe s dvije nepoznanice:

a · 1 + b = 1

a · 3 + b = 5

Odavde slijedi a = 2 i b = −1 . Linearna funkcija je f (x) = 2x − 1 te je:

f (−1) = 2 · (−1) − 1 = −3

f (7) = 2 · 7 − 1 = 13.

Zadatak 8. Ako je f linearna funkcija te ako je f (−1) = 1 i f (0) = −3 , koliko je f (2)i f (−2) ?

Rjesenje. Uvrstimo li dane uvjete dobijemo dvije jednadzbe s dvije nepoznanice:

a · (−1) + b = 1

a · 0 + b = −3

Odavde slijedi a = −4 i b = −3 . Linearna funkcija je f (x) = −4x− 3 te je:

f (2) = −4 · 2 − 3 = −11

f (−2) = −4 · (−2) − 3 = 5.

258

6

Zadatak 9. Ako x naraste od 0 na 1, vrijednost linearne funkcije naraste od 2 na 3. Kolikaje promjena vrijednosti ove funkcije kad x naraste od 3 na 11?

Rjesenje. Za x = 0 vrijednost funkcije f (0) = 2 , a za x = 1 vrijednost funkcije jef (1) = 3 . Uvrstimo li dobiveno imamo:

a · 0 + b = 2

a · 1 + b = 3

Odavde slijedi b = 2 i a = 1 , tj. f (x) = x + 2 . Nagib funkcije je a = 1 .Δf (x) = a · Δx = 1 · 8 = 8 .

Zadatak 10. Kada x naraste od −1 na 1, vrijednost linearne funkcije padne od 1 na −3 .Kolika je promjena vrijednosti ove funkcije kad x naraste od 2 na 5?

Rjesenje. Za x = −1 vrijednost funkcije f (−1) = 1 , a za x = 1 vrijednost funkcije jef (1) = −3 . Iz f (x) = ax + b slijedi:

a · (−1) + b = 1

a · 1 + b = −3

te je a = −2 i b = −1 , tj. f (x) = −2x − 1 . Nagib funkcije je a = −2 ,Δf (x) = −2 · 3 = −6 .

Zadatak 11. Dana je linearna funkcija f (x) =37x +

211

. Poredaj po velicini brojeve:

f

(−3

4

), f (−1.5) , f

(115

), f (0) , f (−0.7) , f

(78

).

Rjesenje. Kako je −1.5 < −34

< −0.7 < 0 <78

< 115

, a funkcija je rastuca, onda su u

istom poretku i vrijednosti funkcije za ove brojeve.

Zadatak 12. Dana je linearna funkcija f (x) = − 221

x +122

. Poredaj po velicini brojeve:

f

(35

), f

(23

), f

(56

), f

(1112

), f

(79

).

Rjesenje. Kako je34

<23

<56

<79

<1112

, a funkcija je padajuca, onda su u vrijednosti

funkcije za ove brojeve u obrnutom poretku.

Zadatak 13. Dane su linearne funkcije:

f 1(x) =12x ; f 2(x) = 3x ; f 3(x) =

34x ; f 4(x) = x ; f 5(x) =

32x .

Poredaj po velicini brojeve: f 1

(−4

9

), f 2

(−4

9

), f 3

(−4

9

), f 4

(−4

9

),

f 5

(−4

9

).

Rjesenje. Nije potrebno izracunavati vrijednosti funkcije vec samo usporediti nagibe po-jedinih funkcija. Tako onda zakljucujemo:

f 1

(−4

9

)< f 3

(−4

9

)< f 4

(−4

9

)< f 5

(−4

9

)< f 2

(−4

9

).

259

6 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 14. Dane su linearne funkcije:

f 1(x) = −23x ; f 2(x) = −2x ; f 3(x) = −4

3x ; f 4(x) = −x ; f 5(x) = −1

2x .

Poredaj po velicini brojeve f 1

(57

), f 2

(57

), f 3

(57

), f 4

(57

), f 5

(57

).

Rjesenje. Nije potrebno izracunavati vrijednosti funkcije vec samo usporediti nagibe po-jedinih funkcija. Tako onda zakljucujemo:

f 2

(57

)< f 3

(57

)< f 4

(57

)< f 1

(57

)< f 5

(57

).

Zadatak 15. Zadana je funkcija f (x) = 2x + 1 .1) Nacrtaj graf ove funkcije.2) Odredi njezinu nul-tocku.3) Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost f (x) � −1 ?4) Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste

od −1 na 2?

5) Uvjeri se da jef (x2) − f (x1)

x2 − x1= 2 za svaka dva razlicita realna broja x1 i

x2 .Rjesenje svakog dijela zadatka potkrijepi slikom i opisi rijecima.

Rjesenje. 1)

1

1

�

2) 2x + 1 = 0 =⇒ x0 = −12

;

3) f (x) � −1 =⇒ 2x + 1 � −1 =⇒ 2x � −2 =⇒ x � −1 ;4) f (2) − f (−1) = 5 − (−1) = 6 .

Zadatak 16. Zadana je funkcija f (x) =14x − 1 .

1) Nacrtaj graf ove funkcije.2) Odredi njezinu nul-tocku.3) Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost |f (x)| � 2 ?4) Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste

od −4 na 6?

Rjesenje. 1)

�1

4

2)14x − 1 = 0 =⇒ x0 = 4 ;

260

6

3) |f (x)| � 2 =⇒ −2 � 14x−1 � 2 =⇒ −1 � 1

4x � 3 =⇒ −4 � x � 12 ;

4) f (6) − f (−4) =12− (−2) =

52

.

Zadatak 17. Zadana je funkcija f (x) = −32x + 3 .

1) Nacrtaj graf ove funkcije.2) Odredi njezinu nul-tocku.3) Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost | f (x)| � 4 ?4) Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste

od −1 na 3?

Rjesenje. 1)

3

2

2) −32x + 3 = 0 =⇒ x0 = 2 ;

3) | f (x)| � 4 =⇒ −4 � −32x + 3 � 4 =⇒ −7 � −3

2x � 1

=⇒ 143

� x � −32

=⇒ −23

� x � 143

;

4) f (3) − f (−1) = −92

+ 3 − 32− 3 = −12

2= −6 .

Zadatak 18. Zadana je funkcija f (x) = −12x − 1 .

1) Nacrtaj graf ove funkcije.2) Odredi nul-tocku ove funkcije.3) Za koje je vrijednosti x ispunjena nejednakost f (x) � 1 ?4) Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable x naraste

od −4 na 3?

5) Uvjeri se da jef (x2) − f (x1)

x2 − x1= −1

2za svaka dva razlicita realna broja x1

i x2 .Rjesenje svakog dijela zadatka potkrijepi slikom i opisi rijecima.

Rjesenje.1)

5

1

2�

261

6 RJESENJA ZADATAKA

2) Nul-tocku x0 odre -dujemo iz uvjeta f (x0) = 0 , dakle iz −12x0 − 1 = 0 .

Dobije se x0 = −2 .

3) Rjesenje nejednadzbe f (x) = −12x − 1 � 1 je svaki broj x, x � −4 .

Graficki, promatramo onaj dio pravca y = −12x − 1 koji pripada poluravnini

y � 1 , te je rjesenje nejednadzbe skup apscisa svih tocaka tog polupravca.

4 2

1

� �

�

Najjednostavnije je rjesenja vidjeti kao interval koji je ortogonalna projekcijatog polupravca na os apscisa.

4) Izracunamo: f (3)− f (−4) = −52− 1 = −7

2. Tu promjenu pratimo na osi

ordinata, i ona je predocena iscrtavanjem intervala.

5)f (x2) − f (x1)

x2 − x1=

−12x2 − 1 +

12x1 + 1

x2 − x1=

−12(x2 − x1)

x2 − x1= −1

2.

Zadatak 19. Kojim funkcijama pripadaju sljedeci grafovi?1) 2)

x

y

-3

3

x

y

1

2

3) 4)

x

y

-132

x

y

2

3

Rjesenje. 1) Iz grafa funkcije ocitamo da je f (−3) = 0 i f (0) = −3 . Slijedi da je−3 · a + b = 0 i a · 0 + b = 3 , odnosno b = 3 i a = 1 ; f (x) = x + 3 ;2) Iz grafa funkcije ocitamo da je f (1) = 0 i f (0) = 2 . Slijedi da je1 · a + b = 0 i a · 0 + b = 2 , odnosno b = 2 i a = −2 ; f (x) = −2x + 2 ;

3) Iz grafa funkcije ocitamo da je f(3

2

)= 0 i f (0) = −1 . Slijedi da je

32· a + b = 0 i a · 0 + b = −1 , odnosno b = −1 i a =

23

; f (x) =23x − 1 ;

262

6

4) Iz grafa funkcije ocitamo da je f (3) = 0 i f (0) = 2 . Slijedi da je

3 · a + b = 0 i a · 0 + b = 2 , odnosno b = 2 i a = −23

; f (x) = −23x + 2 .

Zadatak 20. Zadana je funkcija f (x) ={

2x − 1, ako je x � 0−2x − 1, ako je x > 0

Izracunaj: f (−3.5) , f (11) , f (−2) , f (0) , f(1

2

), f (−9) , f (1000) .

Rjesenje. f (−3.5) = 2 · (−3.5) − 1 = −8 ,f (11) = −2 · 11 − 1 = −23 ,f (−2) = 2 · (−2) − 1 = −5 ,f (0) = 2 · 0 − 1 = −1 ,

f(1

2

)= −2 · 1

2− 1 = −2 ,

f (−9) = 2 · (−9) − 1 = −19 ,f (1000) = −2 · 1000 − 1 = −2001 .

Zadatak 21. Zadana je funkcija f (x) =

{2x + 3, x � −11, −1 < x < 2−x + 3, x � 2

Izracunaj: f (−3.5) , f (11) , f (−0.317) , f (0) , f (1.111) , f (−9) , f (1000) .

Rjesenje. f (−3.5) = 2 · (−3.5) + 3 = −4 ,f (11) = −11 + 3 = −8 ,f (−0.317) = 1 ,f (0) = 1 ,f (1.111) = 1 ,f (−9) = 2 · (−9) + 3 = −15 ,f (1000) = −1000 + 3 = −997 .

Zadatak 22. Prikazi graficki funkcije:

1) f (x) ={

3x, x � 1x + 2, x > 1 2) f (x) =

{x + 2, x � 0

−13x + 2, x > 0

3) f (x) =

{ −2x + 3, x � 212x − 2, x > 2

4) f (x) ={ −3x − 4, x � −1

−x − 2, x > −1

Rjesenje.

3

1 2

2

6�

3

4

263

6 RJESENJA ZADATAKA


1) f (x) =

{x + 3, x � 03, 0 < x � 23x − 3, x > 2

2) f (x) =

{ −2x + 2, x � 12x − 2, 1 < x � 22, x > 2

3) f (x) =

{ −2x − 3, x � 13x − 8, 1 < x � 3x − 2, x > 3

4) f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩

−2x − 6, x � −2−2, −2 < x � 212x − 3, x > 2

Rjesenje.

3

3 2

2

21

�� 3

6

2

Zadatak 24. Opisi funkcije kojima pripadaju sljedeci grafovi:1) 2)

x

y

2

-1 2 4

x

y

-1 2-2

-2

3) 4)

x

y

-1

1

-2 (2,-2)

x

y

-1

1

-2

Rjesenje. 1) f (x) =

{2x + 2, x � 0

2, 0 < x � 2−x + 4, x > 4

2) f (x) =

{ −2x − 4, x � −1−2, −1 < x � 2

−x, x > 2

3) f (x) =

{ −2x − 2, x � 02x − 2, 0 < x � 1−2x + 2, x > 1

4) f (x) =

{x + 1, x � −1−2x − 2,−1 < x � 0−2, x > 0

264

6

Zadatak 25. Koristeci se grafickim prikazom funkcija f (x) = 2x + 1 i g(x) = x− 3 , rijesinejednadzbe:

1)2x + 1x − 3

� 0 ; 2) (2x + 1)(x − 3) � 0 .

Rjesenje.

1)[−1

2, 3

⟩; 2)

⟨−∞,−1

2

]∪ [3, +∞〉 .

Zadatak 26. Dane su linearne funkcije f (x) = x + 1 i g(x) = 2x − 3 . Prikazi te funkcijegraficki, te koristeci se slikom zapisi rjesenja sljedecih nejednadzbi:

1) f (x)g(x) � 0 ; 2)f (x)g(x)

� 0 ;

3) f (x)g(x) � 0 ; 4)f (x)g(x)

� 0 .

Rjesenje. 1) Rjesenje nejednadzbe f (x) · g(x) � 0 je svaki realni broj x za koji suvrijednosti funkcija f i g suprotni brojevi. Promatranjem grafova funkcija f

i g vidjet cemo da je to svaki x , x ∈[−1,

32

]. Za svaki x iz tog intervala je

f (x) � 0 a g(x) � 0 .

1 2

3

1

�

�

Primijeti da je za svaki x < −1 i f (x) < 0 i g(x) < 0 pa je f (x) · g(x) > 0 .

Jednako tako je za x >32

i f (x) > 0 , i g(x) > 0 , te je f (x) · g(x) > 0 .

2) x ∈ 〈−∞,−1] ∪⟨3

2, +∞

⟩;

3) x ∈ 〈−∞,−1] ∪[32, +∞

⟩;

4) x ∈[−1,

32

⟩.


1) (3x − 1)(2x + 5) < 0 ; 2) (2x + 3)(−3x + 2) > 0 ;

3)4 − x2x + 7

� 0 ; 4)−x − 1−5x + 8

� 0 .

265

6 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje.

–1

53

52

–

1) 2)

13

< <

2

32

– 23

< <3

3)

472

–23

<<

8

4)

–1 85

[ <

1)⟨−1

2, 3

⟩; 2)

⟨−3

2,23

⟩; 3)

⟨−∞,−7

2

⟩∪[4, +∞〉 ; 4)

[−1,

85

⟩.

Zadatak 28. Koristeci se grafickim prikazom linearnih funkcija f (x) = x−1 , g(x) = x−2 ,h(x) = x − 3 rijesi nejednadzbe:

1) (x − 1)(x − 2)(x − 3) � 0 ; 2)x − 1

(x − 2)(x − 3)� 0 .

Rjesenje.

1) x ∈ 〈−∞, 1] ∪ [2, 3] ; 2) x ∈ [1, 2〉 ∪ 〈 3, +∞〉 .

Zadatak 29. Zadane su funkcije f (x) = 2x− 1 , g(x) = −x + 3 , h(x) = 3x + 5 . Koristecise grafickim prikazom tih funkcija, rijesi nejednadzbe:

1) f (x)g(x)h(x) � 0 ; 2)f (x)

g(x)h(x)� 0 .

Rjesenje.1)

3‒1[

2)

[ [

3

5

53

–12

3‒1[

3

5

53

–12

< <

1) x ∈⟨−∞,−5

3

]∪[12, 3]; 2) x ∈

⟨−5

3,12

]∪ 〈 3, +∞〉 .

266

6


1)x − 5

−2x · (2x + 4)� 0 ; 2)

(−x + 1)(x − 3)2x + 1

� 0 ;

3) (4x + 3)(1 − 3x)(x − 1) < 0; 4) (1 − x)(2 − x)(3 − x) � 0 .

Rjesenje.

1) 〈−2, 0〉 ∪ [5, +∞〉 ; 2)⟨−∞,−1

2

⟩,∪[1, 3] ;

3)⟨−3

4,13

⟩∪ 〈 1, +∞〉 ; 4) 〈−∞, 1] ∪ [2, 3] .

Zadatak 31. Polazna cijena (start) za voznju taksijem je 10 kn, a za svaki prije -deni kilometarnaplacuje se 7 kn. Koliko stoji voznja taksijem na putu duljine: 7.5 km, 8 km,8.5 km, 9 km, 9.5 km, 10 km?Opisi cijenu prijevoza taksijem ovisno o duljini puta.

Rjesenje. Cijenu prijevoza taksijem ovisno o duljini puta mozemo opisati jednadzbomy = 7x + 10 , gdje je y ukupna cijena prijevoza, a x duljina puta.Za x = 7.5 km cijena prijevoza iznosi y = 7 · 7.5 + 10 = 62.5 kuna. Zax = 8 km cijena prijevoza iznosi y = 66 kuna. Za x = 8.5 km cijena prijevozaiznosi y = 69.5 kuna. Za x = 9 km cijena prijevoza iznosi y = 73 kune.Za x = 9.5 km cijena prijevoza iznosi y = 76.5 kuna. Za x = 10 km cijenaprijevoza iznosi y = 80 kuna.

Zadatak 32. Serviser kucanskih aparata naplacuje dolazak u kucu 50 kn, a svaki sat radacijeni 75 kn.

Koliko ce serviser naplatiti svoj rad koji je trajao: 12 sata, 1 sat, 1.5 sati, 2 sata,

2.5 sata?Zapisi funkciju koja opisuje cijenu servisera ovisno o vremenu koje je utrosiona popravak aparata.

Rjesenje. Cijenu servisera ovisno o vremenu utrosenom na popravak aparata mozemoopisati jednadzbom y = 75x + 50 , gdje je y ukupna cijena popravka, a xutroseno vrijeme.

267

6 RJESENJA ZADATAKA

Za x = 0.5 sata cijena popravka iznosi y = 75 · 0.5 + 50 = 87.5 kuna. Zax = 1 sat cijena popravka iznosi y = 125 kuna. Za x = 1.5 sati cijena pop-ravka iznosi y = 162.5 kuna. Za x = 2 sata cijena popravka iznosi y = 200kuna. Za x = 2.5 sata cijena popravka iznosi y = 237.5 kuna.

Zadatak 33. Na pisma do 20 dag placa se 10 kn postarine, a po svakomdodatnomdekagramudodaje se 1.5 kn.Kolika je postarina na pismo od: 25 dag, 30 dag, 35 dag, 40 dag i 50 dag?Zapisi funkciju koja opisuje iznos cijene pisma ovisno o njegovoj masi.

Rjesenje. Postarinu ovisno o masi pisma mozemo opisati jednadzbom

y ={

10, x � 201.5(x − 20) + 10, x > 20

gdje je y ukupna cijena postarine, a x masa pisma.Za pismo od x = 25 grama cijena postarine iznosi y = 1.5 · 25 − 20 = 17.5kuna. Za pismo od x = 30 grama cijena postarine iznosi y = 25 kuna. Zapismo od x = 35 grama cijena postarine iznosi y = 32.5 kuna. Za pismo odx = 40 grama cijena postarine iznosi y = 40 kuna. Za pismo od x = 50 gramacijena postarine iznosi y = 55 kuna.

Zadatak 34. Uz cestu se nalazi prometni znak uspona ceste od 8 % .Za koliko se popnemo nakon: 10 m, 20 m, 30 m, 40 m, 50 m prije -denog puta?Opisi funkcijom to uspinjanje.

Rjesenje. Uspinjanje mozemo opisati funkcijom y = 0.08x gdje je y visinska razlika, ax prije -deni put.Nakon 10 metara popnemo se y = 0.08 · 10 = 0.8 metara. Nakon 20 metarapopnemo se y = 1.6 metara. Nakon 30 metara popnemo se y = 2.4 metra.Nakon 40 metara popnemo se y = 3.2 metra. Nakon 50 metara popnemo sey = 4 metra.

Zadatak 35. Na pocetku puta spremnik automobila bio je pun. U njemu je bilo 48 litaragoriva. Nakon 640 prije -denih kilometara pokazivac stanja goriva pokazivao je16 litara.Kolika je prosjecna potrosnja goriva ovog automobila?Opisi funkcijom potrosnju goriva.

Rjesenje. Za prije -denih 640 kilometara utroseno je 48 − 16 = 32 litre goriva. U prosje-

ku to je32640

= 0.05 litara po kilometru. Nagib funkcije je 0.05 , a ona glasi

y = 0.05x gdje je y utroseno gorivo, a x prije -deni put.

Zadatak 36. Marko je na pocetku skolske godine bio visok 175 cm, a na kraju skolske godine182 cm. Koliki je bio njegov prosjecan tjedni rast ako skolska godina ima 35tjedana?

Rjesenje. Marko je u skolskoj godini narastao 182 − 175 = 7 centimetara. Njegov

prosjecni tjedni rast je bio735

= 0.2 centimetra.

Zadatak 37. Na temelju humerusa, kosti nadlaktice, antropolozi mogu procijeniti visinumuskarca, odnosno zene. Ako je x duljina te kosti izrazena u centimetrima,tada se procjenjuje da je visina muskarca kojem ta kost pripada jednaka

m(x) = 2.89x + 70.64.

268

6

Za zenu se visina racuna po formuli

f (x) = 2.75x + 71.48.

Ako je u iskopinama na -den humerus dugacak45 cm, uz pretpostavku da je pripadao muskarcu, koliko je bio visok taj mus-karac? A ako je rijec o zeni, kolika je bila njezina visina?

Rjesenje. Muskarac je bio visok 2.89 · 45 + 70.64 = 200.69 centimetara, a zena2.75 · 45 + 71.48 = 195.23 centimetra.

Zadatak 38. Brzina impulsa u zivcanom vlaknu priblizno je jednaka 100 metara u sekun-di. Koliko vremena treba da impuls do -de od stopala do mozga osobe visoke178 cm?

Rjesenje. Od stopala do mozga osobe impuls prije -de 1.78 metara. Za to mu je potrebno1.78100

= 0.0178 sekunda.

Zadatak 39. Duljina puta sto ga pri kocenju uz brzinu od 50 km/h i vanjskoj temperaturix ◦F na skliskoj cesti prije -de automobil jednak je d(x) = 2x + 15 . Kolika jeduljina tog puta na temperaturi 23 ◦F ?

Rjesenje. d(23) = 2 · 23 + 15 = 61 m.


Zadatak 1. Nacrtaj grafove sljedecih funkcija:

1) f (x) = 2|x| ; 2) f (x) =12|x| ;

3) f (x) = 3|x| ; 4) f (x) = −|x| ;5) f (x) = −1

2|x| ; 6) f (x) =

34|x| .

Rjesenje.1) 2)

y y

x x� �1 1

1

2

2 2

3)y

x�1 1

3

4)y

x1�

�

1

1 �

�

�

1

2 2

4

3

4

5) 6)y y

x

x


1) f (x) = 1 − |x| ; 2) f (x) = −2|x|+ 3 ;

3) f (x) = −12|x| + 1 ; 4) f (x) = −|x| − 2 ;

269

6 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje.

��

2 2

1

2

y y

x

x

3) 4)

Zadatak 3. Prikazi graficki sljedece funkcije:

1) f (x) = |x − 1| ; 2) f (x) = |2x + 3| ;3) f (x) = −|2 − x| ; 4) f (x) =

∣∣∣−12x + 1

∣∣∣ ;Rjesenje.

x

x

y y3) 4)

-2

2

1

2

Zadatak 4. Na slikama su grafovi funkcija:

f (x) = −32|x| + 3, f (x) = −2|x + 1| + 2,

f (x) = |x − 2|, f (x) =12|x| − 1.

Kojoj od tih funkcija pripada pojedini graf?

x

x

x

y

y

y

-1

x

y

-2

-2

2

22

2

3

1) 2)

3) 4)

Rjesenje. 1) f (x) = 12 |x| − 1 , 2) f (x) = − 3

2 |x| + 3 , 3) f (x) = |x − 2| ,4) f (x) = −2|x + 1| + 2 .


1) f (x) = |x − 1| − 2 ; 2) f (x) = |2x + 1| − 1 ;

3) f (x) = −|x − 2| + 3 ; 4) f (x) = −|3 − 2x| − 3 ;

270

6

Rjesenje.

xx

y y

�

�

�

�

1

2

3

2

1

1

1) 2) 3) 4)y y

x

x

�1 2 5�

�

3

6


1) f (x) = |1 − |x|| ; 2) f (x) = ||x + 1| − 1| ;3) f (x) = ||1 − 2x| + 2| ; 4) f (x) = ||x + 1| + 2| − 3 .

Rjesenje.

x

y1) 2)

�1 1

1

�� 12

y

x

3) 4)

1

3

y

x

x

y

�2


1) f (x) = |x − 1| + |x + 1| ; 2) f (x) = |2x − 1| + |x − 3| ;3) f (x) = |x + 3| − |2x + 3| ; 4) f (x) = |x + 1| − |x + 2| − |x + 3| .

Rjesenje.

1) 2)y

x11 2

2

4

4

5

3

31

5

2

2

43

�

x

y3) 4)

� 3

1 123

32

� � � x

y y

x

Zadatak 8. Koristeci se grafickim postupkom rijesi sljedece jednadzbe:

1) 2x − 1 = |x + 3| ; 2) |2x − 3| = 2 − x ;

3) |3x + 2| = −x ; 4) |3 − x| = x − 3 .

Rjesenje. 1) x = 4 ; 2) x1 = 1 , x2 =53

;

�3 4

3

232

271

6 RJESENJA ZADATAKA

3) x1 = −1 , x2 = −12

; 4) x � 3 .

�

�

1

1

2

3

3

3

Zadatak 9. Koliki je opseg lika sto ga graf funkcije

f (x) =43|x| − 4 zatvara s osi x ?

Rjesenje. Nacrtajmo graf funkcije f (x) =43|x| − 4 . On zatvara jednakokracan trokut

s osi x . Duljina kraka tog trokuta jednaka je√

9 + 16 = 5 . Opseg trokutajednak je o = 6 + 2 · 5 = 16 .

Zadatak 10. Kolika je povrsina trokuta sto ga s osi apscisa zatvara graf funkcije f (x) =−|x| + 3 ?

Rjesenje. Nacrtajmo graf funkcije f (x) = −|x| + 3 . On zatvara jednakokracan trokut s

osi x cija je visina 3 . Povrsina trokuta jednaka je P =3 · 62

= 9 .

Zadatak 11. Kolika je povrsina trokuta sto ga s osi apscisa zatvara graf funkcije f (x) =|x − 2| − 3 ?

Rjesenje. Nacrtajmo graf funkcije f (x) = |x − 2| − 3 . On zatvara jednakokracan trokut

s osi x cija je visina 3 . Povrsina trokuta jednaka je P =3 · 62

= 9 .

Zadatak 12. Kolika je povrsina lika ome -denog grafom funkcije f (x) = 4− 2|x| i pravcimay − 1 = 0 i y + 2 = 0 ?

272

6

Rjesenje. Lik na slici je jednakokracan trapez. Njegova je povrsina jednaka P =(3 + 6) · 3

2= 13

12

(vidi sliku).

�

�

2

1

2

2

Zadatak 13. Kolika je povrsina lika ome -denog grafom funkcije f (x) = |x − 1| + |x + 1| ipravcem y − 4 = 0 ?

Rjesenje. Lik ome -den grafom funkcije f i pravcem y = −4 je trapez cije su osnoviceduljina 2 i 4, a duljina visine trapeza jednaka je 2.

�1 1

2

4

Povrsina trapeza iznosi P =(2 + 4) · 2

2= 6 kv. jed.

Zadatak 14. Kolika je duljina duzine sto je na osi x odsijeca graf funkcije:

1) f (x) = −2|x| + 5 ;

2) f (x) = 2|x − 1| − 3 ?

Rjesenje.

�1 1

2

4

1) d =∣∣∣∣−5

2

∣∣∣∣+∣∣∣∣52∣∣∣∣ =

102

= 5 ; 2) d =∣∣∣∣−1

2

∣∣∣∣+∣∣∣∣52∣∣∣∣ =

62

= 3 .

273

6 RJESENJA ZADATAKA


Zadatak 1. Odredi sjeciste pravaca:

1) x − y = 5 , x − 2y = 2 ;2) x + 3y = 5 , 2x − y = 3 ;3) x − 2y + 11 = 0 , −2x + 4y + 3 = 0 ;4) 3x + 2y = 6 , 2x − 3y = 4 ;5) 3x − 6y− 15 = 0 , 4x − 8y − 20 = 0 ;6) 4x − 5y = 2 , 2x + 3y = 12 .

Rjesenje.

1) x = 8 , y = 3 ; 2) x = 2 , y = 1 ; 3) Pravci su paralelni;4) x = 2 , y = 0 ; 5) Pravci se poklapaju; 6) x = 3 , y = 2 .

274

6

Zadatak 2. Dani su sustavi jednadzbi:

1){

5x − 3y = 74x − 11y = 10 2)

{x − 2y = 1−2x + 4y = 5

3){

3x − 4y = 16x − 8x = 2

Jedan od njih je neodre -den, jedan nema rjesenja, a jedan ima jedinstveno rjese-nje. Ne rjesavajuci sustave odredi kakav je koji.

Rjesenje. Sustav 1) ima jedinstveno rjesenje, sustav 2) nema rjesenja, a sustav 3) jeneodre -den.

Zadatak 3. Moze li sustav dviju linearnih jednadzbi s dvjema nepoznanicama imati tocnodva rjesenja? Obrazlozi!

Rjesenje. Sustav dviju linearnih jednadzbi s dvije nepoznanice ne moze imati tocno dvarjesenja, zato jer se pravci sijeku u jednoj jedinoj tocki.

Zadatak 4. Za koji je c sustav jednadzbi

1){

3x + cy = 52x − 5y = 1 2)

{2x + y = 104x + 2y = c

neodre -den, a za koji c taj sustav nema rjesenja? Postoji li c za koji isti sustavima jedinstveno rjesenje?

Rjesenje. 1) Za c = −152

= −7.5 nema rjesenja. Za sve druge vrijednosti broja c

sustav ima jedinstveno rjesenje.2) Pravci 2x + y = 10 i 4x + 2y = c imaju jednak nagib. Za c = 20 sustavje neodre -den, a za sve ostale vrijednosti broja c sustav nema rjesenja.

Zadatak 5. Za koje vrijednosti realnih brojeva m i n sustav jednadzbi

1){

mx − 3y + 2 = 02x + y + n = 0 2)

{x − y = mnx + y = 1

nema rjesenja, a za koje je neodre -den? Uz koje uvjete sustav ima jedinstvenorjesenje?

Rjesenje. 1) Za m = −6, n �= −23

sustav nema rjesenja. Pravci su paralelni. Za

m = −6, n = −23

sustav je neodre -den, pravci se poklapaju. Za m �= −6

sustav ima jedinstveno rjesenje.2) Za n = −1, m �= −1 sustav nema rjesenja. Pravci su paralelni. Zan = −1, m = −1 sustav je neodre -den, pravci se poklapaju. Za n �= −1 sustavima jedinstveno rjesenje.

Zadatak 6. U kojoj se tocki sijeku pravci AB i CD ako je A(−2, 4) , B(6,−2) , C(−4,−9)i D(−1,−4) ?

Rjesenje. Uvrstimo koordinate tocaka A i B u jednadzbu pravca y = ax + b i dobi-

jemo 4 = −2a + b i −2 = 6a + b . Odavde slijedi a = −34

, b =52

, tj.

275

6 RJESENJA ZADATAKA

y = −34x +

52

. Jednadzba pravca AB je 3x + 4y = 10 . Zatim uvrstimo koor-

dinate tocaka C i D u jednadzbu pravca y = ax+b i dobijemo −9 = −4a+b

i −4 = −a + b . Odavde slijedi a =53

, b = −73

, tj. y =53x− 7

3. Jednadzba

pravca CD je 5x − 3y = 7 , a pravci se sijeku u tocki S(2, 1) .y

x10

3 +4 =10x y 5 –3 =7x y

S

Zadatak 7. Napisi jednadzbu pravca koji prolazi sjecistem pravaca x − 2y − 3 = 0 i3x + 4y − 4 = 0

1) okomito na os x ; 2) okomito na os y .

Rjesenje.

Sjeciste pravaca je u tocki S

(2,−1

2

). 1) Pravac okomit na x os koji prolazi

tockom S ima jednadzbu x − 2 = 0 .2) Pravac okomit na y os koji prolazi tockom S ima jednadzbu 2y + 1 = 0 .

Zadatak 8. Napisi jednadzbu pravca koji prolazi sjecistem pravaca y−2 = 0 i 2x−3y+4 =0 paralelno s pravcem AB , A(0, 5) , B(2, 1) .

Rjesenje.

276

6

Sjeciste pravaca y − 2 = 0 i 2x − 3y + 4 = 0 je tocka S(1, 2) . Jednadzbapravca AB glasi

y − 5 =1 − 52 − 0

(x − 0) =⇒ y − 5 = −2x =⇒ y = −2x + 5.

Koeficijent smjera tog pravca je −2 . Pravac paralelan tom pravcu ima istikoeficijent smjera. Dakle, trazeni pravac ima koeficijent smjera a = −2 iprolazi tockom S(1, 2) . Njegovu jednadzbu dobijemo uvrstavajuci koordinatetocke S i koeficijenta smjera a u jednadzbu y = ax + b . Dakle,

2 = −2 + b =⇒ b = 4.

Trazena jednadzba glasi y = −2x + 4 .

Zadatak 9. Kolika je povrsina trokuta ABC kojem su stranice na pravcima x−4y−6 = 0 ,2x − y + 9 = 0 i 3x + 2y − 4 = 0 ?

Rjesenje.

Sjecista pravaca su tocke A(−6,−3) , B(2,−1) , C(−2, 5) , Povrsinu racuna-mo pomocu Heronove formule

P =12| − 6(−1 − 5) + 2(5 + 3) − 2(−3 + 1)|

=12|36 + 16 + 4| =

12· 56 = 28.

Zadatak 10. Srednjice trokuta ABC pripadaju pravcima 2x− 3y− 4 = 0 , 3x− 2y− 1 = 0i x + y − 2 = 0 . Odredi vrhove trokuta.

Rjesenje.

Sjecista pravaca su tocke S1(2, 0) , S2(1, 1) i S3(−1,−2) . Pravac na kojemlezi jedna stranica trokuta paralelan je pravcu 3x−2y−1 = 0 i prolazi tockom

277

6 RJESENJA ZADATAKA

S1(2, 0) . To znaci da mu je koeficijent smjera a =32

i iz

0 =32· 2 + b =⇒ b = −3

dobijemo jednadzbu tog pravca

y =32x − 3.

Druga stranica lezi na pravcu koji je paralelan pravcu 2x−3y−4 = 0 i prolazi

tockom S2(1, 1) . To znaci da mu je koeficijent smjera a =23

i iz

1 =23· 1 + b =⇒ b =

13

dobijemo jednadzbu pravca

y =23x +

13.

Treca stranica lezi na pravcu koji je paralelan pravcu x + y − 2 = 0 i prolazitockom S3(−1,−2) . To znaci da mu je koeficijent smjera a = −1 i iz

−1 = −1 · (−1) + b =⇒ b = −3

dobijemo jednadzbu pravca

y = −x − 3.

Prvi i drugi pravac se sijeku u tocki A(4, 3) . Drugi i treci pravac se sijekuu tocki B(−2,−1) . Treci i prvi pravac se sijeku u tocki C(0,−3) . Vrhovitrokuta su A(4, 3) , B(−2,−1) , C(0,−3) .

Zadatak 11. Dokazi da je trokut ome -den pravcima x − 3y + 3 = 0 , 3x + y − 11 = 0 ix − y + 3 = 0 pravokutan.

Rjesenje.

Sjecista pravaca su tocke A(3, 2) , B(−3, 0) i C(2, 5) . Za pravokutan trokutvrijedi |AB|2 + |AC|2 = |BC|2 .

(√

(−3−3)2 + (0−2)2)2 + (√

(2−3)2 + (5−2)2)2 = (√

(2 + 3)2 + (5−0)2)2

(√

36 + 4)2 + (√

1 + 9)2 = (√

25 + 25)2

40 + 10 = 50

50 = 50.

278

6

Zadatak 12. Dokazi da je trokut cije stranice pripadaju pravcima x + 5y + 3 = 0 ,2x − 3y + 6 = 0 i 3x + 2y− 17 = 0 jednakokracan i pravokutan.

Rjesenje.

Sjecista pravaca su tocke A(−3, 0) , B(7,−2) , C(3, 4) . Za jednakokracantrokut vrijedi

|AC| = |BC|√(3 + 3)2 + (4 − 0)2 =

√(3 − 7)2 + (4 + 2)2

√36 + 16 =

√16 + 36√

52 =√

52.

Za pravokutan trokut vrijedi

|AC|2 + |BC|2 = |AB|22 · (

√52)2 = (

√(7 + 3)2 + (−2 − 0)2)2

2 · 52 = (√

100 + 4)2

104 = 104.

Zadatak 13. Dokazi da je trokut ome -den pravcima 11x − 3y − 12 = 0 , 4x − 7y + 37 = 0i 7x + 4y + 16 = 0 jednakokracan.

Rjesenje.

279

6 RJESENJA ZADATAKA

Sjecista pravaca su tocke A(3, 7) , B(0,−4) , C(−4, 3) . Trokut je jednakok-racan ako je

|AC| = |BC|√(−4 − 3)2 + (3 − 7)2 =

√(−4 − 0)2 + (3 + 4)2

√49 + 16 =

√16 + 49√

65 =√

65.

Zadatak 14. Ishodistem koordinatnog sustava polozi pravac koji s osi x i s pravcem3x − 4y + 18 = 0 zatvara trokut povrsine 9.

Rjesenje. Nul-tocka zadanog pravca je x0 = −6 , sto znaci da je duljina osnovice trokuta

jednaka 6. Povrsina trokuta jednaka je 9, odnosno P =12· |x0 · v| , gdje je v

ordinata treceg vrha trokuta (slika dolje).

Imamo dva rjesenja: v = 3 ili v = −3 , odnosno dva pravca, y = −32x i

y =310

x .

�

�

�

10

6

3

1

Zadatak 15. Ishodistem koordinatnog sustava polozi pravac koji ce s osi ordinata i s pravcemx + y = 6 zatvarati trokut povrsine 12.

Rjesenje. Odsjecak zadanog pravca na osi y je osnovica trokuta. Taj je odsjecak jednak

6, te je P =12· |6v| , odakle je v = −4 ili v = 4 . Dva su rjesenja zadatka,

pravci y = −52x i y =

12x .

�4

6

10

6

Zadatak 16. Kolika je povrsina lika ome -denog grafom funkcije f (x) = 2|x| i pravcemx − y + 3 = 0 ?

280

6

Rjesenje. Vidi sliku.

P =12| − 1(0 − 6) + 0(6 − 2) + 3(2 − 0)| =

12|6 + 6| =

12· 12 = 6.

�1 3

( 1,2)�

( ,6)�

Zadatak 17. Izracunaj povrsinu trokuta sto ga zatvaraju pravac x − y = 0 i graf funkcijef (x) = 2|x| − 3 .

Rjesenje. Graf dane funkcije i dani pravac sijeku se u tockama A(−1,−1) , B(0,−3) iC(3, 3) (vidi sliku). Te su tocke vrhovi trokuta cija je povrsina jednaka

P =12| − 1(−3 − 3) + 0(3 + 1) + 3(−1 + 3)| =

12|6 + 6| =

12· 12 = 6.

3

3

3�

Zadatak 18. Kolika je povrsina lika koji graf funkcije

f (x) = |x − 1| zatvara s pravcem y =12x + 1 ?

Rjesenje. Pravac s grafom funkcije zatvara trokut s vrhovima u tockama (0, 1) , (1, 0) ,(4, 3) (vidi sliku). Povrsina tog trokuta jednaka je

P =12|0(0 − 3) + 1(3 − 1) + 4(1 − 0)| =

12|2 + 4| =

12· 6 = 3.

4

3

1

1

Zadatak 19. Odredi povrsinu lika sto ga ome -duju graf funkcije f (x) = −2|x| + 3 i pravac2x + 5y + 9 = 0 .

281

6 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Pravac s grafom funkcije zatvara trokut s vrhovima u tockama (−2,−1) ,(3,−3) , (0, 3) (vidi sliku). Povrsina tog trokuta jednaka je

P =12|−2(−3−3) + 3(3 + 1) + 0(−1 + 3)| =

12|12 + 12| =

12· 24 = 12.

32

3

3�

�

Zadatak 20. Kolika je povrsina lika ome -denog grafom funkcije f (x) =32|x− 2| i pravcem

x + 2y − 10 = 0 ?

Rjesenje. Pravac s grafom funkcije zatvara trokut s vrhovima A(2, 0) , B(4, 3) i C(−2, 6) .Povrsina trokuta je

P =12|2(3−6) + 4(6−0)−2(0−3)| =

12|−6 + 24 + 6| =

12· 24 = 12.

( ,6)��

( ,3)�

2

Zadatak 21. Kolika je povrsina lika sto ga graf funkcijef (x) = |2x − 3| zatvara s pravcem y = x ?

Rjesenje. Lik je trokut s vrhovima u tockama (1, 1) ,(3

2, 0)

i (3, 3) , a povrsina tog

trokuta jednaka je

P =12

∣∣∣∣1(0 − 3) +32(3 − 1) + 3(1 − 0)

∣∣∣∣ =12| − 3 + 3 + 3| =

12· 3 =

32.

Zadatak 22. Odredi povrsinu lika sto ga ome -duju graf funkcije f (x) = |x− 1| − 2 i pravacx + 4y − 8 = 0 .

282

6

Rjesenje. Graf funkcije i pravac zatvaraju trokut �ABC , A(−4, 3) , B(1,−2) , C(4, 1) .Povrsina trokuta iznosi

P =12| − 4(−2 − 1) + 1(1 − 3) + 4(3 + 2)| =

12|12 − 2 + 20| =

12· 30 = 15.


Zadatak 1. Rijesi sustave jednadzbi:

1){

3x − 2y + 4 = 05x − 3y + 6 = 0 2)

{4x + 3y − 12 = 02x + 5y + 15 = 0

3){

6x − 5y = 37x − 8y = 10 4)

{0.3x − 0.5y + 0.9 = 02.1x + y − 7.2 = 0

5){

0.1x + 0.5y = 0.40.2x + y = 0.2 6)

{2.4x − 5.1y + 10.5 = 03x + 2y − 12 = 0

Rjesenje. 1) 2){3x − 2y + 4 = 0 / · (−3)5x − 3y + 6 = 0 / · 2{ −9x + 6y − 12 = 010x − 6y + 12 = 0

/+

x = 0

6y = 12 =⇒ y = 2;

{4x + 3y − 12 = 02x + 5y + 15 = 0 / · (−2){

4x + 3y − 12 = 0−4x − 10y− 30 = 0

/+

− 7y = 42

y = −6

2x − 30 + 15 = 0 =⇒ x = 7.5;3) 4){

6x − 5y = 3 / · (−7)7x − 8y = 10 / · 6{ −42x + 35y = −21

42x− 48y = 60

/+

− 13y = 39

y = −3

6x + 15 = 3 =⇒ x = −2;

{0.3x − 0.5y + 0.9 = 0 / · (−7)2.1x + y − 7.2 = 0{ −2.1x + 3.5y− 6.3 = 0

2.1x + y − 7.2 = 0

/+

4.5y = 13.5

y = 3

0.3x− 1.5 + 0.9 = 0 =⇒ x = 2;

283

6 RJESENJA ZADATAKA

5) 6){0.1x + 0.5y = 0.4 / · (−2)0.2x + y = 0.2{ −0.2x − y = −0.8

0.2x + y = 0.2

/+

0 �= −0.6;

Sustav nema rjesenja.

{2.4x− 5.1y + 10.5 = 0 / · (−3)3x + y + 2y − 12 = 0 / · 2.4{ −7.2x + 15.3y− 31.5 = 0

7.2x + 4.8y − 28.8 = 0

/+

20.1y = 60.3

y = 3

3x + 6 − 12 = 0 =⇒ x = 2.


1){

9x + 7y = 5011x− 5y = 156 2)

{15x + 7y = 118x − 9y = −96

3){

18x− 21y = 224x− 15y = 7 4)

{64x + 51y = 9025x + 34y = 7

5){

9x + 8y = −505x + 36y = −12 6)

{21x − 17y = 17313x + 11y = 21

Rjesenje. 1) Sustav jednadzbi ima rjesenje ako je

D =∣∣∣∣ 9 711 −5

∣∣∣∣ = 9 · (−5) − 7 · 11 = −45 − 77 = −122 �= 0

x =

∣∣∣∣ 50 7156 −5

∣∣∣∣−122

=50 · (−5) − 7 · 156

−122=

−250− 1092−122

=−1342−122

= 11

y =

∣∣∣∣ 9 5011 156

∣∣∣∣−122

=9 · 156 − 50 · 11

−122=

1404 − 550−122

=854−122

= −7

2) Sustav jednadzbi ima rjesenje ako je

D =∣∣∣∣ 15 7

8 −9

∣∣∣∣ = 15 · (−9) − 7 · 8 = −135− 56 = −191 �= 0

x =

∣∣∣∣ 11 7−96 −9

∣∣∣∣−191

=11 · (−9) − (−96) · 7

−191=

−99 + 672−191

=573−191

= −3

y =

∣∣∣∣ 15 118 −96

∣∣∣∣−191

=15 · (−96) − 8 · 11

−191=

−1440− 88−191

=−1528−191

= 8


D =∣∣∣∣ 18 −2124 −15

∣∣∣∣ = 18 · (−15) − (−21) · 24 = −270 + 504 = 234 �= 0

x =

∣∣∣∣ 2 −217 −15

∣∣∣∣234

=2 · (−15) − (−21) · 7

234=

−30 + 147234

=117234

=12

284

6

y =

∣∣∣∣ 18 224 7

∣∣∣∣234

=18 · 7 − 2 · 24

234=

126 − 48234

=78234

=13


D =∣∣∣∣ 64 5125 34

∣∣∣∣ = 64 · 34 − 51 · 25 = 2176 − 1275 = 901 �= 0

x =

∣∣∣∣ 90 517 34

∣∣∣∣901

=90 · 34 − 51 · 7

901=

3060− 357901

=2703901

= 3

y =

∣∣∣∣ 64 9025 7

∣∣∣∣901

=64 · 7 − 90 · 25

901=

448 − 2250901

=−1802901

= −2


D =∣∣∣∣ 9 85 36

∣∣∣∣ = 9 · 36 − 8 · 5 = 324 − 40 = 284 �= 0

x =

∣∣∣∣−50 8−12 36

∣∣∣∣284

=−50 · 36 − 8 · (−12)

284=

−1800 + 96284

=−1704284

= −6

y =

∣∣∣∣ 9 −505 −12

∣∣∣∣284

=9 · (−12) − (−50) · 5

284=

−108 + 250284

=142284

=12


D =∣∣∣∣ 21 −1713 11

∣∣∣∣ = 21 · 11 − (−17) · 13 = 231 + 221 = 452 �= 0

x =

∣∣∣∣ 173 −1721 11

∣∣∣∣452

=173 · 11 − (−17) · 21

452=

1903 + 357452

=2260452

= 5

y =

∣∣∣∣ 21 17313 21

∣∣∣∣452

=21 · 21 − 173 · 13

452=

441 − 2249452

=−1808452

= −4


1)

⎧⎪⎨⎪⎩

x + y2

− x − y3

= 8

x + y3

+x − y

4= 11

2)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x − 3y4

− 3x + 2y3

=512

2x − 3y3

+3x + 2y

4= 3

13

3)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

32x + 1

:4

y − 1= −3

42

x + 1:

12y − 3

= −10

285

6 RJESENJA ZADATAKA

4)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

5x − 1

:4

y − 1=

2524

2x + 1

:3

y + 1=

712

Rjesenje. 1) 2)⎧⎨⎩

x + y2

− x − y3

= 8 / · 6x + y

3+

x − y4

= 11 / · 12{3x + 3y − 2x + 2y = 48

4x + 4y + 3x − 3y = 132{x + 5y = 48

7x + y = 132 / · (−5){x + 5y = 48

−35x − 5y = −660

/+

− 34x = −612

x = 18

18 + 5y = 48 =⇒ y = 6.

⎧⎪⎨⎪⎩

2x − 3y4

− 3x + 2y3

=512

/ · 12

2x − 3y3

+3x + 2y

4= 3

13

/ · 12{6x − 9y− 12x − 8y = 5

8x − 12y + 9x + 6y = 40{ −6x − 17y = 5 / · 1717x− 6y = 40 / · 6{ −102x− 289y = 85102x− 36y = 240

/+

− 325y = 325

y = −1

17x + 6 = 40 =⇒ x = 2.

3) 4)

⎧⎪⎨⎪⎩

32x + 1

:4

y − 1= −3

42

x + 1:

12y − 3

= −10⎧⎪⎨⎪⎩

32x+1

· y−14

= −34

/ · 4(2x+1)

2x+1

· (2y−3) = −10 / · (x+1){3y − 3 = −6x− 3

4y − 6 = −10x− 10{6x + 3y = 0 / · (−5)10x + 4y = −4 / · 3{ −30x− 15y = 030x + 12y = −12

/+

− 3y = −12

y = 4

6x + 12 = 0 =⇒ x = −2.

⎧⎪⎨⎪⎩

5x − 1

:4

y − 1=

2524

2x + 1

:3

y + 1=

712⎧⎪⎨

⎪⎩5

x−1· y−1

4=

2524

/ · 24(x−1)

2x+1

· (y+1)3

=712

/ · 12(x+1){30y− 30 = 25x − 25

8y + 8 = 7x + 7{−25x + 30y = 5 / (−5)−7x + 8y = −1{

5x − 6y = −1 / · 4−7x + 8y = −1 / · 3{

20x − 24y = −4−21x + 24y = −3

/+

− x = −7

x = 7

35 − 6y = −1 =⇒ y = 6.

286

6


1)

⎧⎪⎨⎪⎩

x2− x − 2y

3= 0.2

y3

+2x − y

2= 1.2

2)

⎧⎪⎨⎪⎩

3x − y4

− 0.1 = x − y3

x + 2y3

− 0.3 = y +x2

3)

⎧⎪⎨⎪⎩

2.5 − 2(2 − x)3

= 1 +y − 1

4

1.4 − x − y4

= 1 − x + y5

4)

⎧⎪⎨⎪⎩

12

( x2− y

3

)= 0.3 +

x − y5

12

( x2

+y3

)= 0.4 +

x + y5

5)

⎧⎪⎨⎪⎩

1 − x − y3

=13

( x2

+y3

)1.2 +

x − y6

=15

( x3− y

2

) 6)

⎧⎪⎨⎪⎩

−x + 3y5

− 1.5 =3(x + y)

32(x − y)

3− 1

14

=2x − 3y

6

7)

⎧⎪⎨⎪⎩

x − 12

+4x + y

9− 7y − 1

12= 1

x + y2

− 5y − x6

+3y − 1

5= x

8)

⎧⎪⎨⎪⎩

3x + 15

− 5x + 3y9

+y + 7

4= 1

y − x2

− 7x − y8

+3y + 1

5= y − 1

Rjesenje. 1) 2)⎧⎪⎨⎪⎩

x2− x − 2y

3= 0.2 / · 6

y3

+2x − y

2= 1.2 / · 6{

3x − 2x + 4y = 1.22y + 6x − 3y = 7.2{x+4y=1.2 =⇒ x=1.2 − 4y6x − y = 7.2

7.2 − 24y = 7.2

y = 0

x = 1.2.

⎧⎪⎨⎪⎩

3x − y4

− 0.1 = x − y3

/ · 12x + 2y

3− 0.3 = y +

x2

/ · 6{9x − 3y − 1.2 = 12x − 4y2x + 4y − 1.8 = 6y + 3x{ −3x + y = 1.2 =⇒ y = 1.2 + 3x−x − 2y = 1.8

− x − 2.4 − 6x = 1.8

− 7x = 4.2

x = −0.6

y=1.2−1.8 =⇒ y= − 0.6.

3) 4)⎧⎪⎨⎪⎩

2.5 − 2(2 − x)3

= 1 +y − 1

4/ · 12

1.4 − x − y4

= 1 − x + y5

/ · 20{30 − 16 + 8x = 12 + 3y − 328 − 5x + 5y = 20 − 4x − 4y{8x − 3y = −5−x + 9y = −8 =⇒ x = 8 + 9y

64 + 72y− 3y = −5

69y = −69

y = −1

x = 8 − 9 =⇒ x = −1.

⎧⎪⎨⎪⎩

12

( x2− y

3

)= 0.3 +

x − y5

/ · 60

12

( x2

+y3

)= 0.4 +

x + y5

/ · 60{15x− 10y = 18 + 12x − 12y15x + 10y = 24 + 12x + 12y{3x + 2y = 183x − 2y = 24

/+

6x = 42

x = 7

21 + 2y = 18 =⇒ y = −32.

287

6 RJESENJA ZADATAKA

5) 6)⎧⎪⎨⎪⎩

1 − x − y3

=x6

+y9

/ · 18

1.2 +x − y

6=

x15

− y10

/ · 30{18 − 6x + 6y = 3x + 2y36 + 5x − 5y = 2x − 3y{ −9x + 4y = −183x − 2y = −36 / · 2{ −9x + 4y = −186x − 4y = −72

/+

− 3x = −90

x = 30

90 − 2y = −36 =⇒ y = 63.

⎧⎪⎨⎪⎩

−x + 3y5

− 1.5 = x + y / · 52(x − y)

3− 5

4=

2x − 3y6

/ · 12{ −x + 3y − 7.5 = 5x + 5y8x − 8y − 15 = 4x − 6y{ −6x − 2y = 7.54x − 2y = 15

/−

− 10x = −7.5

x = 0.75

3 − 2y = 15 =⇒ y = −6.

7)⎧⎪⎨⎪⎩

x − 12

+4x + y

9− 7y − 1

12= 1 / · 36

x + y2

− 5y − x6

+3y − 1

5= x / · 30{

18x − 18 + 16x + 4y − 21y + 3 = 3615x + 15y− 25y + 5x + 18y− 6 = 30x{34x − 17y = 51 / : 17−10x + 8y = 6 / : 2{2x − y = 3 =⇒ y = 2x − 3−5x + 4y = 3

− 5x + 8x − 12 = 3

x = 5

y = 10 − 3 =⇒ y = 7.

8)⎧⎪⎨⎪⎩

3x + 15

− 5x + 3y9

+y + 7

4= 1 / · 180

y − x2

− 7x − y8

+3y + 1

5= y − 1 / · 40{

108x + 36 − 100x− 60y + 45y + 315 = 18020y − 20x− 35x + 5y + 24y + 8 = 40y − 40{8x − 15y = −171 / · 69y − 55x = −48 / · 10{48x − 90y = −1026−550x− 90y = −480

/+

− 502x = −1506

x = 3

24 − 15y = −171 =⇒ y = 13.

288

6

Zadatak 5. Rijesi sljedece sustave jednadzbi:

1){

(2x+y−1)(x+3y+5)=0x + y = 3 2)

{(x + 2y + 3)(x − y − 1) = 0(x + y + 2)(x + 3y + 1) = 0

3){

(x+2y+3)(x−y−1)=0(x + 2y + 2)(y − 3) = 0 4)

{x2 − 4y2 = 0x + y + 3 = 0

5){

x2 + 2xy + y2 − 1 = 02x − y + 5 = 0 6)

{x2 − y2 − 2x − 2y = 03x + y − 2 = 0

Rjesenje. 1) {(2x + y − 1)(x + 3y + 5) = 0x + y = 3 =⇒ x = 3 − y

(6 − 2y + y − 1)(3 − y + 3y + 5) = 0

(5 − y)(8 + 2y) = 0

5 − y = 0 ili 8 + 2y = 0y = 5 ili y = −4x = 3 − 5 = −2 ili x = 3 + 4 = 7

(−2, 5), (7,−4);

2) {(x + 2y + 3)(x − y − 1) = 0(x + y + 2)(x + 3y + 1) = 0

x − y − 1 = 0 =⇒ x = y + 1

(y + 1 + 2)(y + 1 + 3y + 1) = 0

(2y + 3)(4y + 2) = 0

2y + 3 = 0 ili 4y + 2 = 0

y = −32

ili y = −12

x = −32

+ 1 = −12

ili x = −12

+ 1 =12

x + 2y + 3 = 0 =⇒ x = −2y− 3

(−2y − 3 + 2)(−2y− 3 + 3y + 1) = 0

(−y − 1)(y − 2) = 0

−y − 1 = 0 ili y − 2 = 0y = −1 ili y = 2x = −2 · 2 − 3 = −7 ili x = −2 · (−1) − 3 = −1

(−1,−1), (−7, 2),(1

2,−1

2

),(−1

2,−3

2

)3) {

(x + 2y + 3)(x − y − 1) = 0(x + 2y + 2)(y − 3) = 0

y − 3 = 0 =⇒ y = 3

(x + 6 + 3)(x − 3 − 1) = 0

289

6 RJESENJA ZADATAKA

(x + 9)(x − 4) = 0

x + 9 = 0 ili x − 4 = 0x = −9 ili x = 4

x + 2y + 2 = 0 =⇒ x = −2y− 2

(−2y − 2 + 2y + 3)(−2y − 2 − y − 1) = 0

(−3y − 3) = 0

−3y = 3 =⇒ y = −1

x = −2 · (−1) − 2 = 0

(−9, 3), (4, 3), (0,−1);

4) {(x − 2y)(x + 2y) = 0x + y + 3 = 0 =⇒ x = −y − 3

(−y − 3 − 2y)(−y − 3 + 2y) = 0

(−3y − 3)(y − 3) = 0

−3y− 3 = 0 ili y − 3 = 0y = −1 ili y = 3x = −(−1) − 3 = −2 ili x − 3 − 3 = −6

(−2,−1), (−6, 3);

5) {(x + y)2 − 1 = 02x − y + 5 = 0

(x + y − 1)(x + y + 1) = 0y = 2x + 5

(x + 2x + 5 − 1)(x + 2x + 5 + 1) = 0

(3x + 4)(3x + 6) = 0

3x + 4 = 0 ili 3x + 6 = 0

x = −43

ili x = −2

y = −83

+ 5 =73

ili y = −4 + 5 = 1

(−2, 1),(−4

3,73

);

6) {(x + y)(x − y) − 2(x + y) = 03x + y − 2 = 0{

(x + y)(x − y − 2) = 0y = −3x + 2

(x − 3x + 2)(x + 3x − 2 − 2) = 0

(−2x + 2)(4x − 4) = 0

290

6

−2(x − 1) · 4(x − 1) = 0

−8(x − 1)2 = 0

x − 1 = 0 =⇒ x = 1

y = −3 + 2 = −1

(1,−1)

Zadatak 6. Sustave jednadzbi rijesi uvo -denjem novih nepoznanica:

1)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

4x

+6y

= 0

3x− 4

y= −2

56

2)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x− 4

y=

415

3x− 5

y=

12

3)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

13 − x

+1

y − 2= 2

23 − x

− 5y − 2

= −34)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x − y

+6

x + y= 1.1

4x − y

− 9x + y

= 0.1

5)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

52x + y

+4

2x − y= 5

152x + y

+2

2x − y= 5

6)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

34x + 3y

+2

4x − 3y=

3755

54x + 3y

− 14x − 3y

=1455

7)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

62x+y−1

− 22x−y+3

=52

42x+y−1

+4

2x−y+3=3

8)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

11 − x + y

− 1x + y − 1

=23

11 − x + y

− 11 − x − y

=43

Rjesenje. 1) ⎧⎪⎨⎪⎩

4x

+6y

= 0

3x− 4

y= −17

6

/u =

1x, v =

1y

/

4u + 6v = 0 / · 23u − 4v = −17

6/ · 3

8u + 12v = 0

9u − 12v = −172

17u = −172

=⇒ u = −12

6v = −4u

v = −23·(−1

2

)=

13

x =1u

= −2

y =1v

= 3

x = −2, y = 3;

291

6 RJESENJA ZADATAKA

2) ⎧⎪⎨⎪⎩

2x− 4

y=

415

3x− 5

y=

12

/u =

1x, v =

1y

/

2u − 4v =415

/ · (−3)

3u − 5v =12

/ · 2

−6u + 12v = −45

6u − 10v = 1

2v =15

=⇒ v =110

2u = 4v +415

u = 2 · 110

+215

=13

x =1u

= 3

y =1v

= 10

x = 3, y = 10;

3) ⎧⎪⎨⎪⎩

13 − x

+1

y − 2= 2

23 − x

− 5y − 2

= −3

/u =

13 − x

, v =1

y − 2

/

u + v = 2 =⇒ u = 2 − v2u − 5v = −3

4 − 2v− 5v = −3

−7v = −7 =⇒ v = 1

u = 2 − 1 = 1

u =1

3 − x=⇒ 3 − x =

1u

x = 3 − 1u

= 3 − 1 = 2

v =1

y − 2=⇒ y − 2 =

1v

y =1v

+ 2 = 3

x = 2, y = 3;

292

6

4) ⎧⎪⎨⎪⎩

2x − y

+6

x + y= 1.1

4x − y

− 9x + y

= 0.1

/u =

1x − y

, v =1

x + y

/

2u + 6v = 1.1 / · (−2)4u − 9v = 0.1

−4u − 12v = −2.24u − 9v = 0.1

−21v = −2.1

v = 0.1

2u = 1.1 − 6v =⇒ u = 0.25

u =1

x − y=⇒ x − y =

1u

v =1

x + y=⇒ x + y =

1v

x − y = 4

x + y = 10

2x = 14 =⇒ x = 7

y = 10 − x = 3

x = 7, y = 3;

5) ⎧⎪⎨⎪⎩

52x + y

+4

2x − y= 5

152x + y

+2

2x − y= 5

/u =

12x + y

, v =1

2x − y

/

5u + 4v = 515u + 2v = 5 / · (−2)

5u + 4v = 5−30u− 4v = −10

−25u = −5

u =15

4v = 5 − 5u =⇒ v = 1

u =1

2x + y=⇒ 2x + y =

1u

v =1

2x − y=⇒ 2x − y =

1v

2x + y = 5

2x − y = 1

4x = 6 =⇒ x =32

293

6 RJESENJA ZADATAKA

y = 5 − 2x = 2

x =32, y = 2;

6)⎧⎪⎨⎪⎩

34x + 3y

+2

4x − 3y=

3755

54x + 3y

− 14x − 3y

=1455

/u =

14x + 3y

, v =1

4x − 3y

/

3u + 2v =3755

5u − v =1455

/ · 2

3u + 2v =3755

10u − 2v =2855

13u =6555

u =111

2v =3755

− 3u =⇒ v =1155

u =1

4x + 3y=⇒ 4x + 3y =

1u

v =1

4x − 3y=⇒ 4x − 3y =

1v

4x + 3y = 11

4x − 3y = 5

8x = 16 =⇒ x = 2

3y = 11 − 4x = 3 =⇒ y = 1

x = 2, y = 1;

7)⎧⎪⎨⎪⎩

62x + y − 1

− 22x − y + 3

=52

42x + y − 1

+4

2x − y + 3= 3

/u =

12x + y − 1

, v =1

2x − y + 3

/

6u − 2v =52

/ · 24u + 4v = 3

12u − 4v = 54u + 4v = 3

16u = 8

u =12

294

6

4v = 3 − 4u =⇒ v =14

u =1

2x + y − 1=⇒ 2x + y − 1 =

1u

v =1

2x − y + 3=⇒ 2x − y + 3 =

1v

2x + y = 3

2x − y = 1

4x = 4 =⇒ x = 1

y = 3 − 2x = 1

x = 1, y = 1;

8)⎧⎪⎨⎪⎩

11 − x + y

− 1x + y − 1

=23

11 − x + y

− −1x + y − 1

=43

/u =

11 − x + y

, v =1

1 − x − y

/

u − v =23

/ · 2

u + v =43

2u = 2

u = 1

v =43− u =⇒ v =

13

u =1

1 − x + y=⇒ 1 − x + y =

1u

v =1

x + y − 1=⇒ x + y − 1 =

1v

−x + y = 0

x + y = 4

2y = 4 =⇒ y = 2

x = 4 − y = 2

x = y = 2.

Zadatak 7. Rijesi sustav jednadzbi:

{123x + 321y = 345321x + 123y = 543

Rjesenje. Najprije zbrojimo jednadzbe.

123x + 321y = 345321x + 123y = 543

/+

444x + 444y = 888 / : 444

x + y = 2

295

6 RJESENJA ZADATAKA

Onda oduzmimo jednadzbe.

123x + 321y = 345321x + 123y = 543

/−

−198x + 198y = −198 / : 198

−x + y = −1

Sada imamo

x + y = 2−x + y = −1

2y = 1 =⇒ y =12

x = 2 − y =32

Rjesenje je

(32,12

).

Zadatak 8. Za koje je vrijednosti realnih brojeva m i n ure -deni par (1,−2) rjesenjesustava jednadzbi:

1){

mx − 3y = 112x + ny = 4 2)

{mx − ny = 10nx + my = −5

Rjesenje. 1) Uvrstimo u jednadzbe x = 1 i y = −2 i dobijemo{m + 6 = 112 − 2n = 4

m = 5

n = −1

m = 5, n = −1 ;

2) Uvrstimo u jednadzbe x = 1 i y = −2 i dobijemo{m + 2n = 10 / · 2n − 2m = −5

2m + 4n = 20−2m + n = −5

5n = 15 =⇒ n = 3

m = 10 − 2n = 4

m = 4, n = 3 .

Zadatak 9. Ako je (33, 13) jedno rjesenje jednadzbeax − 5y = 1 , odredi rjesenje sustava jednadzbi:{

ax − 5y = 1x − 3y = 1

296

6

Rjesenje. Na -dimo vrijednost parametra a . Uvrstimo u prvu jednadzbu x = 33 i y = 13i dobijemo

33a − 65 = 1

33a = 66

a = 2.

Sada rijesimo sustav jednadzbi.{2x − 5y = 1x − 3y = 1 =⇒ x = 1 + 3y

2 + 6y − 5y = 1

y = −1

x = −2

Zadatak 10. Ako je (6, 1) jedno rjesenje jednadzbex + 3y = c , odredi rjesenje sustava jednadzbi:{

3x − 2y = 5x + 3y = c

Rjesenje. Na -dimo vrijednost parametra a . Uvrstimo u drugu jednadzbu x = 6 i y = 1i dobijemo

6 + 3 = c

c = 9.

Sada rijesimo sustav jednadzbi.{3x − 2y = 5x + 3y = 9 =⇒ x = 9 − 3y

27 − 9y− 2y = 5

−11y = −22

y = 2

x = 3

Zadatak 11. Za koju vrijednost realnog koeficijenta a sustav jednadzbi nema rjesenja?

1){

ax − y = 1x + 2y = 3 2)

{3x + ay = 1x − 2y = a 3)

{ax − ay = 12x + ay = 3

Rjesenje. 1){

ax − y = 1 / · 2x + 2y = 3

2ax − 2y = 2x + 2y = 3

/+

2ax + x = 5

x(2a + 1) = 5

x =5

2a + 1

Sustav nema rjesenja ako je realni koeficijent a = −12

;

297

6 RJESENJA ZADATAKA

2) {3x + ay = 1x − 2y = a / · (−3)

3x + ay = 1−3x + 6y = −3a

/+

ay + 6y = 1 − 3a

y(a + 6) = 1 − 3a

y =1 − 3aa + 6

Sustav nema rjesenja ako je realni koeficijent a = −6 ;

3) {ax − ay = 12x + ay = 3

/+

ax + 2x = 4

x(a + 2) = 4

x =4

a + 2

Sustav nema rjesenja ako je realni koeficijent a = −2 .

Zadatak 12. Za koju vrijednost realnog koeficijenta a dani sustavi jednadzbi nemaju rjese-nja, a za koju su neodre -deni?

1){

ax − y = 1x − ay = 1 2)

{ax − ay = 2x − ay = 2

3){

ax + y = a2ax + ay = 4 4)

{x − y = 1a2x − y = a

5){

x + a2y = ax + 4y + 2 = 0 6)

{x + ay = aax + y = 2a − 1

Rjesenje. 1) {ax − y = 1 =⇒ y = ax − 1x − ay = 1

x − a2x + a = 1

x(1 − a2) = 1 − a

x =1 − a

(1 − a)(1 + a)

x =1

1 + a

Za a = −1 sustav nema rjesenja, za a = 1 sustav je neodre -den;

298

6

2){

ax − ay = 2x − ay = 2 =⇒ x = 2 + ay

2a + a2y − ay = 2

y(a2 − a) = 2 − 2a

y =−2(a − 1)a(a − 1)

x = −2a

Za a = 0 sustav nema rjesenja, za a = 1 sustav je neodre -den;

3){

ax + y = a =⇒ y = a − ax2ax + ay = 4

2ax + a2 − a2x = 4

x(2a − a2) = 4 − a2

x =(2 − a)(2 + a)

a(2 − a)

x =2 + a

a

Za a = 0 sustav nema rjesenja, za a = 2 je neodre -den;

4){

x − y = 1 =⇒ y = x − 1a2x − y = a

a2x − x + 1 = a

x(a2 − 1) = a − 1

x =a − 1

(a − 1)(a + 1)

x =1

a + 1

Za a = −1 sustav nema rjesenja, za a = 1 je neodre -den;

5){

x + a2y = a =⇒ x = a − a2yx + 4y + 2 = 0

a − a2y + 4y + 2 = 0

y(4 − a2) = −2 − a

y =−(2 + a)

(2 − a)(2 + a)

y = − 12 − a

y =1 − 3aa + 6

Za a = 2 sustav nema rjesenja, za a = −2 je neodre -den;

299

6 RJESENJA ZADATAKA

6) {x + ay = a =⇒ x = a − ayax + y = 2a − 1

a2 − a2y + y = 2a − 1

y(1 − a2) = 2a − 1 − a2

y(1 − a2) = −(a2 − 2a + 1)

y =−(a − 1)2

(1 − a)(1 + a)

y = −a − 1a + 1

Za a = −1 sustav nema rjesenja, a za a = 1 je neodre -den.

Zadatak 13. Odredi realni broj m tako da rjesenje sustava jednadzbi

{mx + y = 1x − (m − 2)y = m

zadovoljava uvjet |x − y| � 1 .

Rjesenje. {mx + y = 1 =⇒ y = 1 − mxx − (m − 2)y = m

x − (m − 2)(1 − mx) = m

x − m + m2x + 2 − 2mx = m

x(1 − 2m + m2) = m + m − 2

x(m − 1)2 = 2(m − 1)

x =2

m − 1y = 1 − m · 2

m − 1=

m − 1 − 2mm − 1

y = −m + 1m − 1

Za m = 1 sustav je neodre -den, za m �= 1 rjesenje je sustava x =2

m − 1,

y =m + 11 − m

. Uvjet |x − y| =∣∣∣m + 3m − 1

∣∣∣ � 1 ispunjen je za svaki m , m � −1 .

Zadatak 14. Za koje vrijednosti realnog broja m rjesenje sustava jednadzbi

{mx − my = 4x + (m + 1)y = m

zadovoljava uvjet x > 0 i y > 0 ?

300

6

Rjesenje. {mx − my = 4x + (m + 1)y = m =⇒ x = m − (m + 1)y

m2 − m(m + 1)y − my = 4

y[−m(m + 1 + 1)] = 4 − m2

y[−m(m + 2)] = (2 − m)(2 + m)

y =(2 − m)(2 + m)−m(m + 2)

y =m − 2

mx = m − (m + 1)

m − 2m

x =m2 − m2 + 2m − m + 2

m − 1

x =m + 2

m

Za m = 0 sustav nema rjesenja, za m = −2 sustav je neodre -den, a za m �= 0

i m �= −2 rjesenje je x =m + 2

m, y =

m − 2m

. Uvjet x > 0 i y > 0 ispunjen

je za svaki m , m < −2 ili m > 2 .

Zadatak 15. Odredi realni broj m tako da za rjesenje sustava jednadzbi{(m − 1)x + y = mmx + my = 4

vrijedi uvjet x < 0 i y < 0 .

Rjesenje. {(m − 1)x + y = m =⇒ y = m − (m − 1)xmx + my = 4

mx + m2 − m(m − 1)x = 4

x[m − m(m − 1)] = 4 − m2

x[m(1 − m + 1)] = (2 − m)(2 + m)

x =(2 − m)(2 + m)

m(2 − m)

x =2 + m

my = m − (m − 1)

2 + mm

y =m2 − 2m − m2 + 2 + m

m

x =2 − m

m

Za m = 0 sustav nema rjesenja, za m = 2 sustav je neodre -den, a za m �= 0 i

m �= 2 rjesenje je x =m + 2

m, y =

−m + 2m

. Uvjet x < 0 i y < 0 ispunjen

je za svaki m , −2 < m < 0 .

301

6 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 16. Za koje vrijednosti realnog broja m rjesenje sustava jednadzbi{x + (m + 1)y = m(m + 1)x + 4my = m + 1

zadovoljava uvjet |x + y| � 1 ?

Rjesenje. {x + (m + 1)y = m =⇒ x = m − (m + 1)y(m + 1)x + 4my = m + 1

m(m + 1) − (m + 1)(m + 1)y + 4my = m + 1

y[4m − m2 − 2m − 1] = (m + 1)(1 − m)

y[−(m − 1)2] = (1 − m)(1 + m)

y =(m − 1)(1 + m)

(m − 1)2

y =m + 1m − 1

x = m − (m + 1)m + 1m − 1

x =m2 − m − m2 − 2m− 1

m − 1

x =−3m− 2m − 1

Za m = 1 sustav je neodre -den, a za m �= 1 rjesenje je x =−3m − 1m − 1

,

y =m + 1m − 1

. Uvjet |x + y| =∣∣∣ 2mm − 1

∣∣∣ � 1 ispunjen je za svaki m ∈[−1,

13

].

Zadatak 17. Za koje vrijednosti realnog broja m rjesenje sustava jednadzbi{(m − 1)x + 3y = mx + (m + 1)y = 2

zadovoljava uvjet x � 1 i y � 1 ?

Rjesenje. {(m − 1)x + 3y = mx + (m + 1)y = 2 =⇒ x = 2 − (m + 1)y

2(m − 1) − (m − 1)(m + 1)y + 3y = m

y[3 − (m − 1)(m + 1)] = m − 2m + 2

y(3 − m2 + 1) = 2 − m

y(4 − m2) = 2 − m

y =2 − m)

(2 − m)(m + 2)

y =1

m + 2x = 2 − (m + 1)

1m + 2

x =2m + 4 − m − 1

m + 2

x =m + 3m + 2

302

6

Za m = 2 sustav je neodre -den, za m = −2 nema rjesenja, a za m �= ±2

rjesenje je x =m + 3m + 2

, y =1

m + 2. Uvjet x � 1 i y � 1 ispunjen je za svaki

m ∈ 〈−2,−1] .

Zadatak 18. Odredi m iz uvjeta da rjesenje sustava jednadzbi{(2m − 1)x − my = 1mx − y = m

zadovoljava nejednakost x + y < 1 .

Rjesenje. {(2m − 1)x − my = 1mx − y = m =⇒ y = −m + mx

(2m − 1)x + m2 − m2x = 1

x(2m − 1 − m2) = 1 − m2

−x(m − 1)2 = (1 − m)(1 + m)

x =(m − 1)(1 + m)

(m − 1)2

x =1 + mm − 1

y = −m + mm + 1m − 1

x =−m2 + m + m2 + m

m − 1

x =2m

m − 1

Za m = 1 sustav je neodre -den, za m �= 1 rjesenje je x =m + 1m − 1

, y =2m

m − 1,

a postavljeni zahtjev daje m ∈ 〈−1, 1〉 .

Zadatak 19. Odredi realni broj m tako da za rjesenje sustava jednadzbi{mx + (m + 2)y = 1x + my = m

vrijedi x � y .

Rjesenje. {mx + (m + 2)y = 1x + my = m =⇒ x = m − my

m2 − m2y + (m + 2)y = 1

y(m + 2 − m2) = 1 − m2

y(m + 1 + 1 − m2) = (1 − m)(1 + m)y[(m + 1) + (1 + m)(1 − m)] = (1 − m)(1 + m)

y[(m + 1)(1 + 1 − m)] = (1 − m)(1 + m)

y =(1 − m)(1 + m)(m + 1)(2 − m)

y =1 − m2 − m

x = m − m1 − m2 − m

303

6 RJESENJA ZADATAKA

x =2m − m2 − m + m2

2 − m

x =m

2 − mZa m = 2 sustav nema rjesenja, za m = −1 sustav je neodre -den, a za m �= 2

i m �= −1 rjesenje je x =−m

m − 2, y =

m − 1m − 2

. Uvjet x � y ispunjen je za

svaki m , m ∈[12, 2⟩

.

Zadatak 20. Rijesi sustav jednadzbi: { |x| + |y| = 3|x| − |y| = −1

Rjesenje.{ |x| + |y| = 3

|x| − |y| = −1

/+

2|x| = 2

|x| = 1

|y| = 3 − |x||y| = 2

|x| = 1 , |y| = 2 , rjesenja su (1, 2) , (−1, 2) , (1,−2) , (−1,−2) .

Zadatak 21. Rijesi sustav jednadzbi:{2|x + 1| − |y − 1| = 3|x + 1| − 2|y − 1| = 0

Rjesenje.{

2|x + 1| − |y − 1| = 3|x + 1| − 2|y − 1| = 0 / · (−2){

2|x + 1| − |y − 1| = 3−2|x + 1| + 4|y − 1| = 0

3|y − 1| = 3

|y − 1| = 1

|x + 1| = 2|y − 1||x + 1| = 2

|x + 1| = 2 , |y − 1| = 1 , rjesenja su (1, 2) , (1, 0) , (−3, 2) , (−3, 0) .

Zadatak 22. Rijesi sljedece sustave jednadzbi:

1)

{x + y + z = 62x + y − z = 13x − y + z = 4

2)

{3x − 4y + 5z = 182x + 4y − 3z = 26x − 6y + 8z = 0

3)

{x + y + z = 63x − 2y − z = 05x + 2y − 4z = 6

Rjesenje. 1) Zbrojimo li drugu i trecu jednadzbu dobit cemo da je 5x = 5 =⇒ x = 1 .Zbrojimo zatim prvu i trecu jednadzbu i dobit cemo 4x + 2z = 10 . Uvrstimo

304

6

x = 1 i dobijemo da je z = 3 . Uvrstimo sada poznate vrijednosti u prvujednadzbu i dobijemo da je y = 2 . (1, 2, 3) .2) Iz trece jednadzbe izlucimo x = 6y−8z i to uvrstimo u prve dvije jednadzbe.Dobit cemo sustav

18y− 24z − 4y + 5z = 1812y− 16z + 4y − 3z = 26

14y − 19z = 1816y − 19z = 26

/−

−2y = −8

y = 419z = 14y− 18

z =14 · 4 − 18

19

z =3819

z = 2.

Konacno, x = 6 · 4 − 8 · 2 = 8 . (8, 4, 2) ;3) Iz prve jednadzbe imamo x = 6 − y − z . Uvrstimo to u drugu i trecujednadzbu i dobijemo

18 − 3y − 3z − 2y − z = 030 − 5y − 5z + 2y − 4z = 0

−5y− 4z = −18 / · (−3)−3y− 9z = −24 / · 5

15y + 12z = 54−15y− 45z = −120

−33z = −66

z = 2. − 5y − 8 = −18

−5y = −10

y = 2.

Na kraju, x = 6 − 2 − 2 = 2 . (2, 2, 2) .


1)

⎧⎪⎨⎪⎩

x − y + u − v = 2x + 2y − 2u − v = 53x − 2y − 5u − v = 32x − u − v = 4

2)

⎧⎪⎨⎪⎩

x + y − u + v = −7−x + y + 3u − 4v = 92x − 3y + 3u − 8v = 16x − 2y + u − v = 12

Rjesenje. 1) Oduzmimo od prve jednadzbe preostale tri.

−3y + 3u = −3 − 2x + y + 6u = −1−x − y + 2u = −2 =⇒ x = −y + 2u + 2

−3y + 3u = −32y − 4u − 4 + y + 6u = −1

−3y + 3u = −33y + 2u = 3

/+

305

6 RJESENJA ZADATAKA

5u = 0

u = 0

−3y = −3

y = 1

x = −1 + 2 = 1

v = 1 − 1 + 0 − 2

v = −2

(1, 1, 0,−2)

2) Pomnozimo prvu, drugu i cetvrtu jednadzbu s 2.

2x + 2y− 2u + 2v = −14−2x + 2y + 6u − 4v = 182x − 3y + 3u − 8v = 162x − 2y + 2u − 2v = 24

Drugoj jednadzbi pribrojimo prvu, trecu i cetvrtu i dobijemo

4y + 4u − 6v = 4 / : 2−y + 9u − 16v = 34 / + 2−2y + 8u − 10v = 42

2y + 2u − 3v = 2−2y + 18u − 32v = 68−2y + 8u − 10v = 42

/+

20u − 35v = 7010u − 13v = 44 / · (−2)

20u − 35v = 70−20u + 26v = −88 / · (−2)

−9v = −18

v = 2

10u − 26 = 44

10u = 70

u = 7

2y + 14 − 6 = 2

2y = −6

y = −3

x − 3 − 7 + 2 = −7

x = 1

(1,−3, 7, 2)

306

6


Zadatak 1. Udzbenik iz matematike sastoji se od dva dijela s ukupno 410 stranica. Akoprvi dio ima 50 stranica manje od drugog, koliko stranica ima drugi dio?

Rjesenje. Neka je x broj stranica prvog dijela, y broj stranica drugog dijela. Iz uvjetazadatka imamo:

x + y = 410

x = y − 50

Uvrstimo li drugu jednadzbu u prvu dobijemo:

y − 50 + y = 410 =⇒ 2y = 460 =⇒ y = 230, x = 180

Prvi dio ima 180, drugi 230 stranica.

Zadatak 2. Sebastijan je slavio ro -dendan i pocastio svojih osam prijatelja kolacima. Svaki,ukljucujuci Sebastijana, narucio je ili kremsnitu (12 kn) ili komad torte (15 kn).Ako je racun bio 111 kn, koliko je Sebastijanovih prijatelja narucilo tortu?

Rjesenje. Djece je ukupno bilo 9. Neka je x njih narucilo kremsnitu, tada ih je tortunarucilo 9 − x pa dobijemu jednadzbu:

12 · x + 15(9 − x) = 111

−3x + 135 = 111

3x = 24

x = 8

Osam ih je narucilo kremsnitu, a samo jedan tortu.

Zadatak 3. Fran je u svoju stednu kasicu ubacivao kovanice od 2 kn i 5 kn. Ubacio jeukupno 34 kovanice te ustedio 110 kn. Koliko je kojih kovanica bilo u kasici?

Rjesenje. x – broj kovanica od 2 kny – broj kovanica od 5 knSada imamo:

x + y = 34 =⇒ y = 34 − x

2 · x + 5 · y = 110

2 · x + 5 · (34 − x) = 110

− 3x + 170 = 110

3x = 60

x = 20, y = 14

14 kovanica od 5 i 20 kovanica od 2 kn.

Zadatak 4. Zbroj dvaju brojeva jednak je 7.1. Njihova je razlika 11.5. Koji su to brojevi?

Rjesenje. Imamo sustav:

a + b = 7.1

a − b = 11.5

Iz prve jednadzbe slijedi a = 7.1 − b . Uvrstimo li to u drugu jednadzbu dobitcemo

7.1 − b − b = 11.5 =⇒ −2b = 4.4 =⇒ b = −2.2, a = 9.3.

307

6 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 5. Dana su dva broja. Ako dvostrukom prvom dodamo drugi, dobit cemo 17, aako dvostrukom drugom dodamo prvi, dobijemo 19. Koji su to brojevi?


2a + b = 17

a + 2b = 19.

Iz prve jednadzbe slijedi b = 17− 2a . Uvrstimo li to u drugu jednadzbu dobitcemo

a + 34 − 4a = 19 =⇒ −3a = −15 =⇒ a = 5, b = 7.

Zadatak 6. Zbroj dvaju brojeva jednak je 40, a razlika njihovih kvadrata 880. Koji su tobrojevi?


a + b = 40

a2 − b2 = 880.

Iz prve jednadzbe slijedi a = 40 − b . Uvrstimo li to u drugu jednadzbu dobitcemo

1600− 80b + b2 − b2 = 880 =⇒ −80b = −720 =⇒ b = 9.

To su brojevi a = 31 , b = 9 .

Zadatak 7. Zbroj znamenki dvoznamenkastog broja je 11. Ako od tog broja oduzmemo brojzapisan istim znamenkama, ali u obrnutom poretku, dobitcemo 27. Koji je to broj?

Rjesenje. Neka je trazeni broj ab . Tada je a + b = 11 , te

ab − ba = 10a + b − (10b + a) = 9(a − b) = 27 =⇒ a − b = 3.

Zbrojimo li te jednadzbe dobit cemo

2a = 14 =⇒ a = 7, b = 4.

Trazeni broj je 74.

Zadatak 8. Zbroj znamenki dvoznamenkastog broja je 9. Ako zamijenimo poredak zna-menki, dobit cemo broj koji je za 45 veci od prvog. Koji je to broj?

Rjesenje. Neka je trazeni broj ab . Tada je a + b = 9 , te

ab = ba + 45 =⇒ 10a + b = (10b + a) + 45

=⇒ 10a + b − 10b − a = 9(a − b) = 45 =⇒ a − b = 5.


2a = 14 =⇒ a = 7, b = 2

Trazeni broj je 72.

Zadatak 9. Razlika znamenki dvoznamenkastog broja je 4. Zbroj toga broja i broja za-pisanog istim znamenkama ali u obrnutom poretku jednak je 154. Koji je tobroj?

Rjesenje. Neka je trazeni broj ab . Tada je |a − b| = 4 , te:

ab + ba = 154 =⇒ 10a + b + 10b + a = 154

=⇒ 11(a + b) = 154 =⇒ a + b = 14.

308

6

Ako uzmemo da je a > b . Tada imamo sustav jednadzbi:

a − b = 4

a + b = 14.

Zbrojimo li te jednadzbe dobijemo a = 9 , b = 5 , te je trazeni broj 95.Ako uzmemo da je b > a . Tada imamo sustav jednadzbi:

b − a = 4

a + b = 14.

Zbrojimo li te jednadzbe dobijemo b = 9 , a = 5 , te je trazeni broj 59.

Zadatak 10. Zbroj znamenki broja a0b jednak je 6. Ako se zamijeni redoslijed znamenkidobit ce se broj veci za 396. O kojem je broju rijec?

Rjesenje. Imamo: a + 0 + b = 6 , tj.

a + b = 6,

te

a0b = b0a − 396 =⇒ 100a + b = (100b + a) − 396

=⇒ 99(a − b) = −396 =⇒ a − b = −4.


2a = 2 =⇒ a = 1, b = 5

Trazeni broj je 105.

Zadatak 11. Zbroj znamenki broja aab jednak je 21. Ako se zamijeni redoslijed znamenkidobit ce se broj manji za 297. O kojem je broju rijec?

Rjesenje. Imamo: a + a + b = 21 , tj.

2a + b = 21,

te

aab = baa + 297 =⇒ 100a + 10a + b = (100b + 10a + a) + 297

=⇒ 99(a − b) = 297 =⇒ a − b = 3.


3a = 24 =⇒ a = 8, b = 5

Trazeni broj je 885.

Zadatak 12. Trostruki zbroj znamenki dvoznamenkastog broja n jednak je broju n . Akotom broju dodamo 45, dobit cemo dvoznamenkasti broj cijom zamjenom zna-menki dobijemo broj n . Odredi broj n .

Rjesenje. Neka je n = ab = 10a + b . Tada je

3(a + b) = 10a + b

10a + b + 45 = 10b + a.

Imamo sustav:

7a = 2b

a − b = −5.

Iz druge jednadzbe imamo a = −5 + b i to uvrstimo u prvu te dobijemo

−35 + 7b = 2b =⇒ 5b = 35.

Rjesenje tog sustava je a = 2 , b = 7 , te je trazeni broj n = 27 .

309

6 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 13. Ako dvoznamenkastom broju pribrojimo zbroj njegovih znamenki, dobit ce-mo 68. Ako od istog dvoznamenkastog broja oduzmemo 45, dobit cemo brojnapisan istim znamenkama, ali u obrnutom poretku. Koji je to broj?

Rjesenje. Imamo sustav jednadzbi:

10a + b + (a + b) = 68

10a + b − 45 = 10b + a,

tj.

11a + 2b = 68

a − b = 5.

Iz druge jednadzbe imamo a = b + 5 , sto uvrsteno u prvu daje

55 + 11b + 2b = 68 =⇒ 13b = 13,

odnosno b = 1 i a = 6 . Broj koji trazimo jest 61.

Zadatak 14. Aritmeticka sredina dvaju brojeva jednaka je 185. Ako veci od njih podijelimomanjim, dobit cemo kolicnik 2 i ostatak 40. Koji su to brojevi?

Rjesenje. Uvjete zadatka mozemo izraziti u obliku sustava jednadzbi:

a + b = 370,

a = 2b + 40.

Uvrstimo drugu jednadzbu u prvu i dobijemo

3b + 40 = 370 =⇒ 3b = 330 =⇒ b = 110.

Rjesenje tog sustava je a = 260 , b = 110 .

Zadatak 15. Aritmeticka sredina dvaju brojeva jednaka je 51. Ako veci broj podijelimomanjim, dobit cemo kolicnik 7 i ostatak 6. Koji su to brojevi?

Rjesenje. Iz sustava jednadzbi

a + b = 102,

a = 7b + 6

imamo

8b + 6 = 102 =⇒ 8b = 96 =⇒ b = 12, a = 90.

Zadatak 16. Ako dvoznamenkasti broj podijelimo zbrojem njegovih znamenki, dobit cemokolicnik 4 i ostatak 3. Ako pak od tog dvoznamenkastog broja oduzmemodvostruki zbroj njegovih znamenki, dobit cemo 25. O kojem je broju rijec?

Rjesenje. Imamo sustav jednadzbi

10a + b = 4(a + b) + 3

10a + b − 2(a + b) = 25,

odnosno

2a − b = 1

8a − b = 25.

Od prve jednadzbe oduzmemo drugu i dobijemo −6a = −24 . Odatle jea = 4 , b = 7 , pa je rijec o broju 47.

310

6

Zadatak 17. Znamenka jedinica dvoznamenkastog broja n za 4 je veca od znamenke dese-tica. Ako izme -du znamenki tog broja upisemo dvoznamenkasti broj za 1 manjiod n , dobit cemo cetveroznamenkasti broj 91 puta veci od n . Odredi broj n .

Rjesenje. Imamo sustav

b = a + 4,

axyb = 91 · ab,

xy = ab − 1.

Drugu jednadzbu zapisemo u obliku

1000a + b + 10(10a + b − 1) = 91(10a + b),odakle nakon pojednostavljenja imamo jednadzbu 19a−8b = 1 , a ona zajednos b = a + 4 cini linearni sustav s rjesenjem a = 3 , b = 7 , te je n = 37 .

Zadatak 18. Ako brojniku i nazivniku razlomka dodamo 1, dobit cemo razlomak34

. Ako

od brojnika i nazivnika istog razlomka oduzmemo 1, dobit cemo razlomak23

.

Koji je to razlomak?

Rjesenje. Uvjete zadatka izrazimo pomocu sustava

δra + 1b + 1 =34

a − 1b − 1

=23.

Sre -divanjem jednadzbi dobijemo

4a − 3b = −1

3a − 2b = 1.

Prvu jednadzbu pomnozimo s −3 , drugu s 2, zbrojimo ih i dobijemo a = 5 i

b = 7 . Trazeni razlomak je57

.

Zadatak 19. Brat je 3 godine stariji od sestre. Ako zajedno imaju 31 godinu, koliko godinaima sestra, a koliko brat?

Rjesenje. Imamo sustav

s + 3 = b

s + b = 31.

Uvrstimo li prvu jednadzbu u drugu dobit cemo

2s = 28 =⇒ s = 14, b = 17.

Zadatak 20. Sestra je starija od brata 4 godine. Za godinu dana omjer njihovih godina bitce 3 : 4 . Koliko je godina sestri, a koliko bratu?


s − b = 4

(s + 1) : (b + 1) = 4 : 3

dobijemo4 + b + 1

b + 1=

43

=⇒ 15 + 3b = 4b + 4 =⇒ −b = −11,

311

6 RJESENJA ZADATAKA

b = 11 i s = 15 godina.

Zadatak 21. Koliko je godina majci, a koliko kceri ako ce za 11 godina majka biti dvostrukostarija od kceri, a prije 9 godina bila je starija 12 puta?

Rjesenje. Uvjete zadatka izrazimo pomocu sustava

m + 11 = 2(k + 11)m − 9 = 12(k − 9).

Sre -divanjem dobijemo

m − 2k = 11

m − 12k = −99.

Od prve jednadzbe oduzmemo drugu i dobijemo

10k = 110 =⇒ k = 11, m = 33.

Majka ima 33, a kci 11 godina.

Zadatak 22. Prije 12 godina majka je bila 9 puta starija od kceri, a prije 3 godine samo triputa. Koliko godina ima majka, a koliko kci?


m − 12 = 9(k − 12)m − 3 = 3(k − 3)

sre -divanjem dobijemo

m − 9k = −96

m − 3k = −6.

Od prve jednadzbe oduzmemo drugu i dobijemo

−6k = −90 =⇒ k = 15, m = 39.

Zadatak 23. Jedan starinski zadatak.U nekog su seljaka fazani i kunici. Ako je broj glava svih ovih zivotinja 35, abroj nogu 94, koliko je kojih zivotinja u seljaka?

Rjesenje. Imamo sustav jednadzbi

f + k = 35

2f + 4k = 94.

Prvu jednadzbu pomnozimo s −2 i pribrojimo drugoj te dobijemo

2k = 24 =⇒ k = 12, f = 23.

Zadatak 24. Opseg pravokutnika je 52 cm, a razlika duljina njegovih stranica iznosi 6 cm.Kolika je povrsina pravokutnika?

Rjesenje. Iz uvjeta zadatka imamo sustav

2a + 2b = 52

a − b = 6.

Iz druge jednadzbe a = 6 + b uvrstimo u prvu i dobijemo

6 + b + b = 26 =⇒ 2b = 20 =⇒ b = 10, a = 14.

Povrsina pravokutnika iznosi

P = a · b = 140 cm2.

312

6

Zadatak 25. Igraliste ima oblik pravokutnika. Opseg igralista je 80 m, a duljina mu je za5 m veca od sirine. Kolika je povrsina tog igralista?

Rjesenje. Iz sustava

a + b = 40

a − b = 5

izracunamo duljinu ( 2a = 45 =⇒ a = 22.5 m) i sirinu ( b = 17.5 m)igralista, te mu je povrsina jednaka

P = a · b = 393.75 m2.

Zadatak 26. Vrt u obliku pravokutnika ima opseg 54 m. Kolika je povrsina ovog vrta ako jenjegova veca stranica za 1.5 m kraca od dvostruke duljine manje stranice?


2a + 2b = 54

a = 2b − 1.5

uvrstavanjem druge jednadzbe u prvu dobijemo

2(2b − 1.5) + 2b = 54 =⇒ 6b − 3 = 54 =⇒ b = 9.5,

=⇒ a = 2 · 9.5 − 1.5 = 17.5

Duljine stranica pravokutnika su 9.5 m i 18 m.

Zadatak 27. Ako duljinu jedne stranice pravokutnika umanjimo za 5.2 cm, a duljinu drugepovecamo za 1.5 cm, povrsina ce se smanjiti za 7.5 cm 2 . A ako duljinu prveuvecamo za 6.2 cm, a duljinu druge smanjimo za 0.5 cm, povrsina pravokutnikace se povecati za 16.9 cm 2 . Kolike su duljine stranica pravokutnika?

Rjesenje. Iz uvjeta zadatka imamo sustav

(a − 5.2) · (b + 1.5) = a · b − 7.5

(a + 6.2) · (b − 0.5) = a · b + 16.9

koji sre -divanjem ima oblik

1.5a − 5.2b = 0.3

−0.5a + 6.2b = 20.

Pomnozimo li drugu jednadzbu s 3 i pribrojimo li je prvoj jednadzbi dobit cemo

13.4b = 60.3 =⇒ b = 4.5 cm, a = 15.8 cm.

Zadatak 28. Ako duljinu pravokutnika uvecamo za 2 cm, a sirinu smanjimo za 1 cm, po-vrsina ce se povecati za 3 cm2 . No ako duljinu umanjimo za 3 cm, a sirinupovecamo za 2 cm, povrsina ce se umanjiti za 5 cm2 . Kolike su duljina i sirinatog pravokutnika?

Rjesenje. Iz

(a + 2)(b − 1) = ab + 3

(a − 3)(b + 2) = ab − 5

dobijemo sustav linearnih jednadzbi

−a + 2b = 5,

2a − 3b = 1.

313

6 RJESENJA ZADATAKA

Prvu jednadzbu pomnozimo s 2 i pribrojimo drugoj. Tada dobijemo b = 11 ,a = 17 cm.

Zadatak 29. Ako dulju katetu pravokutnog trokuta ABC povecamo za 1 cm, a kracu skrati-mo za 5 cm, ili ako dulju skratimo za 1 cm, a kracu uvecamo za 3 cm, duljinahipotenuze nece se promijeniti. Kolike su duljine kateta tog trokuta?


(a + 1)2 + (b − 5)2 = c2

(a − 1)2 + (b + 3)2 = c2

dobijemo sustav linearnih jednadzbi

a − 5b + 13 = 0

−a + 3b + 5 = 0.

Zbrojimo li te dvije jednadzbe dobit cemo rjesenje a = 32 cm, b = 9 cm.

Zadatak 30. Ako duljine hipotenuze i krace katete pravokutnog trokuta ABC umanjimo za1 cm, odnosno 3 cm, ili ako ih povecamo za 2 cm, odnosno 4 cm, duljina duljekatete nece se promijeniti. Kolike su duljine krace katete i hipotenuze trokutaABC ?

Rjesenje. Iz sustava (c + 2)2 − (a + 4)2 = b2 i (c − 1)2 − (a − 3)2 = b2 dobijemosustav linearnih jednadzbi

c − 2a = 30

−c + 3a = 4.

Zbrojimo li te dvije jednadzbe dobijemo rjesenje a = 7 cm, c = 17 cm.

Zadatak 31. Opseg jednog kruga za 6π cm veci je od opsega drugog. Razlika njihovihpovrsina je 24π cm2 . Kolike su duljine promjera ovih krugova?

Rjesenje. Iz2r1π − 2r2π = 6πr21π − r2

2π = 24πr1 − r2 = 3

(r1 − r2)(r1 + r2) = 24

r1 − r2 = 3

3(r1 + r2) = 24

r1 − r2 = 3

r1 + r2 = 8

slijedi r1 = 5.5 cm i r2 = 2.5 cm.

Zadatak 32. Petra je dio novca ulozila uz godisnju kamatnu stopu od 3 %, a dvostruko veciiznos ulozila je uz 5 %. Ako je nakon godinu dana dobila 55.25 kn kamata,koliko je ukupno novca ulozila?

314

6

Rjesenje. Imamo sustav:0.03x + 0.05y = 55.25

y = 2x

3x + 5y = 5525

y = 2x

3x + 5 · 2x = 5525

13x = 5525

x = 425, y = 850

pa je x + y = 1275 .

Zadatak 33. Na nekom pisanom ispitu postavljeno je 25 zadataka. Tocno rijesen zadatakdonosi 5 bodova, a po svakom netocno rijesenom ili nerijesenom oduzima se 3boda. Ako je netko dobio ukupno 69 bodova, koliko je zadataka rijesio tocno?

Rjesenje. Iz uvjeta zadatka dobijemo sustav jednadzbi

5t − 3n = 69

t + n = 25.

Drugu jednadzbu pomnozimo s 3 i pribrojimo prvoj te dobijemo

8t = 144 =⇒ t = 18.

Zadatak 34. U dvjema posudama od 144 l i 100 l nalaze se neke kolicine tekucine. Akobismo u vecu posudu dolili do vrha tekucinu iz manje, u manjoj bi ostalo 1

5prvotne kolicine tekucine. Kad bismo pak manju napunili dolijevanjem iz veceposude, u vecoj bi ostalo 7

12 prvotne kolicine. Koliko je tekucine u pojedinojposudi?

Rjesenje. Ako je u prvoj x litara, a u drugoj y litara tekucine, tada je

x +45y = 144

512

x + y = 100.

Sre -divanjem jednadzbi dobijemo

5x + 4y = 720

5x + 12y = 1200.

Oduzmemo od prve drugu jednadzbu. Odatle se dobije

−8y = −480 =⇒ y = 60 l, x = 96 l.

Zadatak 35. U dvjema je posudama razlicita kolicina tekucine. Ako bismo iz prve odlili 18litara, a iz druge 12 litara, u drugoj bi ostalo dvostruko vise tekucine nego uprvoj. Ako bismo iz prve odlili 8 litara, a iz druge 16 litara, kolicine tekucinekoje bi ostale u prvoj i drugoj posudi bile bi u omjeru 7 : 8 . Koliko je u kojojposudi tekucine?


2(x − 18) = y − 12

(x − 8) : (y − 16) = 7 : 8

315

6 RJESENJA ZADATAKA

sre -divanjem dobije se

2x − y = 24

8x − 7y = −48.

Iz prve jednadzbe y = 2x − 24 uvrstimo u drugu i dobijemo

8x − 14x + 168 = −48 =⇒ −6x = −216 =⇒ x = 36 l, y = 48 l.

Zadatak 36. U dvjema se posudama nalazi kiselina, jedna je koncentracije 20 % , druga

50 % . Ako16

kiseline iz prve posude prelijemo u drugu, kiselina u drugoj

posudi bit ce koncentracije 44 % . Ako pak svu kiselinu iz druge posude pomi-jesamo s kiselinom iz prve posude i dodamo 50 litara vode, dobit cemo kiselinukoncentracije 25.6 % . Koliko je kiseline u kojoj posudi?

Rjesenje. Neka je x kolicina kiseline u prvoj, a y kolicina kiseline u drugoj posudi (u

litrama). Tada imamox5

, odnosnoy2

litara ciste kiseline.

Nakon prelijevanja u drugoj ce posudi bitix30

+y2

ciste kiseline, odnosno

y +x6

litara tekucine, te je

y2

+x30

y +x6

· 100 = 44.

Na jednak nacin dobijemox5

+y2

x + y + 50· 100 = 25.6.

Sre -divanjem sustava dobijemo

3y = 2x

− 5.6x + 24.4y = 1280.

Iz ovog sustava jednadzbi slijedi

x =32y

−5.6 · 32y + 24.4y = 1280 =⇒ −8.4y + 24.4y = 1280

=⇒ 16y = 1280 =⇒ y = 80 l, x = 120 l.

Zadatak 37. Tezina od 24 g nekog metala u vodi je 21 g, a 14 g drugog 12 g. Tezina od 100g slitine tih dvaju metala nakon uranjanja u vodu umanji se za 13 g. Koliko jekojeg metala u slitini?

Rjesenje. Jedan gram metala x u vodi ima masu2124

=78

grama, jedan grama metala y

u vodi ima masu1214

=67

grama. Dakle,

78x +

67y = 100 − 13 = 87.

316

6

Radi jednostavnijeg rjesavanja tu jednadzbu mozemo zapisati ovakox8

+y7

= 13

gdje sux8

iy8

dio mase koji se izgubi uranjanjem u vodu. Imamo sustav

jednadzbi

x + y = 100x8

+y7

= 13.

Iz prve jednadzbe x = 100 − y uvrstimo u drugu i dobijemo

252

− y8

+y7

= 13 =⇒ y56

=12

=⇒ y = 28 grama, x = 72 grama.

Zadatak 38. U trima posudama nalazi se voda. Ako 12 kolicine iz prve prelijemo u drugu

posudu, pa zatim 13 kolicine iz druge u trecu, i konacno 1

4 iz trece u prvu, usvakoj ce posudi ostati 6 litara vode. Koliko je vode bilo u kojoj posudi prijeprelijevanja?

Rjesenje. Neka je u prvoj posudi x litara vode, u drugoj y litara. Tada je u trecoj

18 − x − y litara vode. Nakon prvog prelijevanja u prvoj posudi ostat cex2

litara, a u drugoj ce biti y +x2

litara. Nakon sljedeceg prelijevanja u drugoj

posudi ostat ce23

(y +

x2

), a u trecoj ce biti 18− x − y +

13

(y +

x2

). Nakon

jos jednog prelijevanja u toj posudi ostane34

(18− x− y +

13

(y +

x2

))litara.

I sada iz sustava34

(18 − x − y +

13

(y +

x2

))= 6

23

(y +

x2

)= 6

sre -divanjem dobijemo

−5x − 4y = −60

2y + x = 18.

Iz druge uvrstimo x = 18 − 2y u prvu jednadzbu i dobijemo

−90 + 10y− 4y = −60 =⇒ 6y = 30 =⇒ y = 5 litara, x = 8 litara.

Zadatak 39. Camac je za 3 sata preplovio 24 km niz rijeku i 15 km uz rijeku, a za 4 sata8 km niz rijeku i 35 km uz rijeku. Kolika je brzina plova camca po mirnoj vodi?

Rjesenje. Ako je x brzina kretanja camca pri plovu niz rijeku, a y njegova brzina pri

plovu uzvodno, onda iz temeljne formule t =sv

mozemo pisati⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

24x

+15y

= 3,

8x

+35y

= 4.

317

6 RJESENJA ZADATAKA

Iz ovog sustava jednadzbi dobijemo x = 16 km/ h, y = 10 km/ h. Brzinapri plovu nizvodno zbroj je brzine v1 camca u mirnoj vodi i brzine v2 samogrijecnog toka. Pri plovu uzvodno brzina camca jednaka je razlici tih brzina.Tako dobivamo novi sustav {

v1 + v2 = 16,

v1 − v2 = 10,

cije je rjesenje v1 = 13 km/ h, v2 = 3 km/ h. Brzina camca po mirnoj vodi je13 km/ h.

318

7


Zadatak 1. Tocke A i B s raznih su strana pravca p i od njega su jednako udaljene. Dokazida pravac p raspolavlja duzinu AB .

Rjesenje. Neka su A′ i B′ nozista visina spustenih iz tocaka A i B na pravac p , Ppresjek duzine AB i pravca. Trokuti AA′P i BB′P su pravokutni, podudarajuse u jednoj kateti i kutu kod vrha P (vrsni kutovi). Zato su sukladni pa je|AP| = |BP| .

Zadatak 2. Duzine AB i CD imaju zajednicko poloviste. Dokazi: �ACD ∼= �CBD i�ABD ∼= �ACB .

Rjesenje. Neka je P sjeciste tih duzina. Trokuti APD i BPC podudaraju se u dvjemastranicama i kutu me -du njima pa su sukladni. Zato se podudaraju u trecojstranici, dakle |AD| = |BC| . Na isti nacin pokazemo da je |AC| = |BD| .Trokuti ACD i CBD sada se podudaraju u svim trima stranicama, pa su suk-ladni. Isto vrijedi i za trokute ABD i ACB .

Zadatak 3. 1) Dokazi da su visine spustene na krakove jednakokracnog trokuta sukladne.2) Ako trokut ima dvije sukladne visine, dokazi da je on jednakokracan.

Rjesenje. 1) Trokuti AA′B i BB′A su pravokutni. Podudaraju se u hipotenuzi i kutu. (Ku-tovi uz katetu jednakokracnog trokuta.) Zato su sukladni pa je |AA′| = |BB′| .Drugi dokaz ove tvrdnje slijedi iz formule za povrsinu trokuta: P =

12ava =

12bvb . Ako je = b , onda mora biti va = vb .

2) Trokuti ABB′ i BAA′ su pravokutni, podudaraju se u hipotenuzi i jednojkateti, pa su sukladni. Zato se podudaraju i u kutovima: <)A ∼= <)B . Na-suprot jednako velikim kutovima leze jednako duge stranice. Zato je trokutjednakokracan.

Zadatak 4. Na visini CD spustenoj na osnovicu AB jednakokracnog trokuta ABC odab-rana je tocka E . Dokazi da je trokut ABE jednakokracan.

Rjesenje. Trokuti ADC i BDC su pravokutni, podudaraju se u hipotenuzi i kateti pa susukladni. Zato je |AD| = |DB| . Sada su ADE i BDE pravokutni, podudarajuse u dvjema katetama, pa su i oni sukladni. Znaci, |AE| = |BE| pa je ABEjednakokracan.

Zadatak 5. Na kracima AC i BC jednakokracnog trokuta ABC nalaze se tocke D i Etakve da je |AD| = |BE| . Dokazi da je |AE| = |BD| .

Rjesenje. Trokuti ABD i ABE su sukladni: stranica AB im je zajednicka, prema pretpos-tavci je |AD| = |BE| , a <)DAB = <)ABE , jer je trokut ABC jednakokracan.Duzine AE i BD odgovarajuce su stranice u tim sukladnim trokutima te sujednake duljine.

319

7 RJESENJA ZADATAKA

A B

C

D E

Zadatak 6. Trapez ABCD je jednakokracan, |AD| = |BC| . Tocka S sjeciste je dijagonalatrapeza. Dokazi da je �ASD ∼= �BSC .

Rjesenje. Iz �ABC ∼= �ABD slijedi <)ACB = <)BDA . Sada se trokuti ADS i BCSpodudaraju u dvama kutovima i stranici pa su sukladni.

Zadatak 7. Tocka P poloviste je kraka BC trapeza ABCD (vidi sliku). Dokazi: �CDP ∼=�BEP . Koristeci se ovom cinjenicom izvedi poznatu formulu za povrsinu tra-

peza, P =a + c

2· v , gdje su a i c duljine osnovica, a v duljina visine

trapeza.

Rjesenje. Trokuti BEP i CDP su sukladni (vidi sliku uz zadatak), jer je |PB| = |PC|( P je poloviste), <)BPE = <)CPD i <)PDC = <)PEB (kutovi uz presjecnicu).

Zadatak 8. Na duzini AB odabere se tocka C te se nad duzinama AC i BC s razlicitihstrana pravca AB konstruiraju jednakostranicni trokuti ACD i CEB . Dokazida je |AE| = |BD| .

Rjesenje. Treba prvo dokazati da su trokuti CDB i AEC sukladni. <)ACE = <)DCB jersu to kutovi uz presjecnicu. |AC| = |CD| jer je trokut ACD jednakostranican.|CE| = |CB| jer je trokut CEB jednakostranican. Dakle, imamo dva troku-ta koja se podudaraju u dvije stranice i kutu izme -du njih. Ta su dva trokutasukladna. Odatle slijedi da je |AE| = |DB| .

320

7

Zadatak 9. Na duzini AB odabere se tocka M te se nad duzinama AM i MB s razlicitihstrana pravca AB konstruiraju kvadrati AMCD i MEFB . Dokazi da je trokutAFC jednakokracan.

Rjesenje. Treba prvo pokazati da su trokuti AFB i CEF sukladni. <)CEF = <)FBA =90◦ jer su to kutovi istog kvadrata. |EF| = |FB| jer su to stranice istog kva-drata. |AB| = |EC| ( |AB| = |AM| + |MB| i |EC| = |EM| + |MC| ) jer je|AM| = |MC| (stranice istog kvadrata) i |MB| = |ME| (stranice istog kvadra-ta). Dakle, imamo dva trokuta koji se podudaraju u dvjema stranicama i kutuizme -du njih. Ta su dva trokuta sukladna, pa slijedi da je |AF| = |CF| .

Zadatak 10. Vrhovima konveksnog cetverokuta polozeni su pravci paralelno dijagonalamacetverokuta i ti pravci zatvaraju novi cetverokut. Odredi omjer povrsina ovihdvaju cetverokuta.

Rjesenje. Neka je ABCD dani cetverokut, a A1B1C1D1 cetverokut koji dobijemo opisa-nom konstrukcijom. Ocito je

� ADD1∼= �ASD, �AA1B ∼= �ABS,

� BB1C ∼= �CSB, �CC1D ∼= �DSC.

Povrsina cetverokuta A1B1C1D1 dvostruko je veca od povrsine cetverokutaABCD .

Zadatak 11. Dokazi da su trokuti ABC i A′B′C′ sukladni ako je:

1) α = α′ , β = β ′ , va = v′a ;

2) α = α′ , β = β ′ , vb = v′b ;

3) a = a′ , b = b′ , vb = v′b ;

4) a = a′ , b = b′ , vc = v′c ;

5) va = v′a , vb = v′b , γ = γ ′ .

Rjesenje. 1) Trokut ABA1 sukladan je trokutu A′B′A′1 . Ti trokuti imaju jednake sve

odgovarajuce kutove, te je va = v′a . No onda je i c = c′ . Dalje je lako, jer jeα = α′, β = β ′, c = c′ , trokuti ABC i A′B′C′ su sukladni.

321

7 RJESENJA ZADATAKA

2) Trokut ABB1 sukladan je trokutu A′B′B′1 . Ti trokuti imaju jednake dvije

stranice ( a′ = a i v′b = vb ) i kut nasuprot vecoj stranici (pravi kut pri vrhuB1 , odnosno B′

1 . No onda je i c = c′ . Dalje je lako, jer je a = a′ , b = b′ ic = c′ , trokuti ABC i A′B′C′ su sukladni.3) Trokut ABB1 sukladan je trokutu A′B′B′

1 . Ti trokuti imaju jednake sveodgovarajuce kutove, te je va = v′a . No onda je i c = c′ . Dalje je lako, jer jeα = α′, β = β ′, c = c′ , trokuti ABC i A′B′C′ su sukladni.4) Iz �DBC ∼= �D′B′C′ , slijedi β = β ′ , a iz �ADC ∼= �A′D′C′ slijediα = α′ . No onda je i γ = γ ′ . Buduci da je a = a′, b = b′ i γ = γ ′ , trokutiABC i A′B′C′ su sukladni.

5) �BCB1∼= �B′C′B′

1 , jer ti trokuti imaju jednake odgovarajuce kutove ijednu stranicu zajednicku. Iz istih je razloga �AA1C ∼= �A′A′

1C′ . Zbog prve

je sukladnosti a = a′ , a zbog druge b = b′ . Kako je jos i γ = γ ′ , slijedi�ABC ∼= �A′B′C′ .

Zadatak 12. Na stranicama AB , BC i AC jednakostranicnog trokuta ABC nalaze se tockeC1 , A1 i B1 , pri cemu je |AC1| = |BA1| = |CB1| (vidi sliku). Dokazi da jetrokut A1B1C1 jednakostranican.

Rjesenje. Iz |AC1| = |BA1| =⇒ |C1B| = |A1C| , iz |AC1| = |CB1| =⇒ |AB1| = |C1B|i iz |BA1| = |CB1| =⇒ |CA1| = |AB1| . Trokuti AC1B1 i C1BA1 su sukladnijer se podudaraju u dvjema stranicama ( |AC1| = |BA1| i |A1C| = |C1B| ) i kutuizme -du njih ( <)AC1B1 = <)C1BA1 = 60◦ ). To znaci da je |C1B1| = |C1A1| .

322

7

Trokuti AC1B1 i B1A1C su sukladni jer se podudaraju u dvjema stranicama( |AC1| = |CB1| i |AB1| = |CB1| ) i kutu izme -du njih ( <)B1AC1 = <)A1CB1 =60◦ ). To znaci da je |C1B1| = |B1A1| .Trokuti A1C1B i B1A1C su sukladni jer se podudaraju u dvjema stranicama( |BA1| = |CB1| i |C1B| = |A1C| ) i kutu izme -du njih ( <)C1BA1 = <)A1CB1 =60◦ ). To znaci da je |A1C1| = |B1A1| .Iz toga slijedi da je |A1C1| = |B1A1| = |C1B1| , tj. trokut A1B1C1 je jednakos-tranican.

Zadatak 13. Stranice AB , BC i AC jednakostranicnog trokuta ABC produzimo redompreko vrhova B , C i A za duzine jednake duljine. Tako dobijemo tocke C1 ,A1 i B1 . Dokazi da je trokut A1B1C1 jednakostranican.

Rjesenje. Trokuti BC1A1 i B1CA1 su sukladni jer se podudaraju u dvije stranice ( |BC1| =|CA1| i |BA1| = |B1C| ) i kutu izme -du njih ( <)A1BC1 = <)B1CA1 = 120◦ ).To znaci da je |C1A1| = |B1A1| .Trokuti BC1A1 i B1AC1 su sukladni jer se podudaraju u dvije stranice ( |BC1| =|AB1| i |BA1| = |AC1| ) i kutu izme -du njih ( <)A1BC1 = <)B1AC1 = 120◦ ). Toznaci da je |C1A1| = |B1C1| .Trokuti B1CA1 i B1AC1 su sukladni jer se podudaraju u dvije stranice ( |CA1| =|AB1| i |B1C| = |AC1| ) i kutu izme -du njih ( <)A1CB1 = <)B1AC1 = 120◦ ).To znaci da je |B1A1| = |B1C1| .Iz toga slijedi da je |C1A1| = |B1A1| = |B1C1| , tj. trokut A1B1C1 je jednakos-tranican.

Zadatak 14. Na stranicama AB , BC , CD i AD kvadrata ABCD nalaze se tocke A1 , B1 ,C1 i D1 takve da je |AA1| = |BB1| = |CC1| = |DD1| . Dokazi da je cetverokutA1B1C1D1 kvadrat.

Rjesenje. Treba dokazati da je �AA1D1∼= �BB1A1

∼= �CC1B1∼= �DD1C1 , jer on-

da se odatle zakljucuje da je |A1B1| = |B1C1| = |C1D1| = |D1A1| . Osimtoga, zbog jednakosti odgovarajucih siljastih kutova u tim pravokutnim troku-tima slijedi <)D1A1B1 = <)A1B1C1 = <)B1C1D1 = <)C1D1A1 = 90◦ (vidi sl.dolje).

323

7 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 15. Stranice AB , BC , CD i DA kvadrata ABCD produzimo redom preko vrhovaB , C , D i A za duzinu jednake duljine. Tako dobijemo tocke A1 , B1 , C1 iD1 . Dokazi da je cetverokut A1B1C1D1 kvadrat.

Rjesenje. Trokuti AD1A1 , BA1B1 , CB1C1 i DC1D1 su sukladni. Stranice |DD1| =|AA1| = |BB1| = |CC1| , |AD1| = |BA1| = |CB1| = |DC1| i kutovi<)D1AA1 = <)B1BA1 = <)B1CC2 = <)C1CB1 . Slijedi da je |C1D1| = C1B1| =|B1A1| = |A1D1| , tj. cetverokut A1B1C1D1 je kvadrat.

Zadatak 16. Nacrtaj paralelogram ABCD . Neka je tocka N noziste okomice iz vrha B , atocka M noziste okomice iz vrha D na dijagonalu AC . Dokazi da je cetverokutMBND paralelogram.

Rjesenje. Uocavamo (vidi sliku) da je �AMD ∼= �CNB . Zato je |MD| = |BN| iDM ‖ BN pa je cetverokut MBND paralelogram.

Zadatak 17. Nad stranicom CD kvadrata ABCD konstruiran je jednakostranicni trokutDCE . Dokazi da je trokut ABE jednakokracan.

Rjesenje. Trokut nad CD mozemo konstruirati na dva nacina. U oba je slucaja dovoljnodokazati da je �AED ∼= �BCE . Jer onda je i |AE| = |BE| , pa je trokut ABEjednakokracan.

Zadatak 18. Nad stranicama BC i CD kvadrata ABCD konstruirani su s vanjske stranejednakostranicni trokuti BPC i DCQ . Dokazi da je trokut APQ jednakostra-nican.

Rjesenje. Trokuti ADQ , ABP i PCQ su jednakokracni s krakovima jednake dulji-ne. Kut <)ABP = <)PCQ = <)ADQ = 150◦ . Ti su trokuti sukladni pa je|AP| = |PQ| = |AQ| . Slijedi da je trokut APQ jednakostranican.

Zadatak 19. Nad stranicama AD i CD paralelograma ABCD konstruirani su s vanjskestrane jednakostranicni trokuti ADN i DCM . Dokazi da je trokut BMN jed-nakostranican.

Rjesenje. Dovoljno je dokazati �ABN ∼= �BCM ∼= �NDM . Lako je vidjeti da sva tritrokuta imaju jednake po dvije odgovarajuce stranice |AN| = |BC| = |ND| , te

324

7

|AB| = |CM| = |DM| . Osim toga je <)NAB = <)BCM = <)NDM = 60◦ + α ,gdje je α = <)DAB .

Zadatak 20. Nad stranicama BC i CD paralelograma ABCD konstruirani su s vanjs-ke strane kvadrati BEFC i DCMN . Dokazi da je |AN| = |AE| . Je li|FM| = |AN| = |AE| ?

Rjesenje. Pokazimo da je �ADN ∼= �AEB . Ti trokuti imaju par jednakih stranica( |AD| = |BE| i |AB| = |DN| ) te je osim toga i <)ADN = <)EBA . Dakle,|AN| = |AE| .

Opcenito ne vrijedi |FM| = |AN| = |AE| . Te jednakosti vrijede u slucaju dasu nad stranicama paralelograma konstruirani jednakostranicni trokuti.

Zadatak 21. Nad stranicama AC i BC trokuta ABC konstruirani su s vanjske strane kvadratiBMNC i ACPQ . Dokazi da je |AN| = |BP| .

Rjesenje. Trokuti BCP i NCA su sukladni. Imaju dvije jednake stranice ( |BC| = |CN|i |AC| = |PC| ) i kut izme -du njih ( <)NCA = <)BCP = γ + 90◦ ). Slijedi da je|AN| = |BP| .

Zadatak 22. Dva jednakostranicna trokuta ABC i BDE imaju zajednicki vrh B . Dokazi daje |AE| = |CD| .

Rjesenje. Treba pokazati da su trokuti CBD i ABE sukladni. |AB| = |BC| i |BE| =|BD| . Oznacimo s β kut pri vrhu B trokuta CBE . <)CBD = <)ABE =β + 60◦ . Trokuti CBD i ABE su sukladni pa je prema tome |AE| = |CD| .

Zadatak 23. Nad stranicama jednakostranicnog trokuta ABC konstruirani su s vanjske stra-ne kvadrati. Dokazi da su sredista tih kvadrata vrhovi novog jednakostranicnogtrokuta.

Rjesenje. Valja dokazati da je �AMP ∼= �MBN ∼= �PNC .

325

7 RJESENJA ZADATAKA

Zbog sukladnosti triju kvadrata (jer su im stranice jednake stranicama jedna-kostranicnog trokuta ABC ) navedeni su trokuti jednakokracni s me -dusobnojednakim krakovima. No i kutovi pri vrhovima A , B i C u tim su trokutimajednaki, svaki iznosi 150◦ . Onda su i trece stranice, osnovice triju jednakok-racnih trokutame -dusobno jednake, zbog cega je trokut MNP jednakostranican.

Zadatak 24. Nad stranicama kvadrata ABCD konstruirani su jednakostranicni trokuti ABM ,CBN , DCP i DAQ . Dokazi da je cetverokut MNPQ kvadrat.

Rjesenje. Uocavamo sukladne trokute: �AQM ∼= �BMN ∼= �CNP ∼= �DPQ .Obrazlozenje. |AQ| = |AM| = |BM| = |BN| = |CN| = |CP| = |DP| =|DQ| = |AB| , te k tome <)MAQ = <)MBN = <)PCN = <)QDP = 150◦ .Dakle, |MN| = |NP| = |PQ| = |QM| , te <)QMN = <)MNP = <)NPQ =<)PQM = 15◦ + 60◦ + 15◦ = 90◦ .

Zadatak 25. Vrh jednog kvadrata nalazi se u sredistu drugog, sukladnog kvadrata. Ako jeduljina stranice svakog od tih dvaju kvadrata jednaka a , kolika je povrsinadijela ravnine koji im je zajednicki?

Rjesenje. Zbog sukladnosti dvaju osjencanih trokuta (podudaraju se u stranicia2

i kutovi-

ma uz tu stranicu 90◦ i 45◦−γ ), mozemo zakljuciti da je povrsina zajednickog

dijela uvijek jednaka14a2 , tj. cetvrtini povrsine jednog kvadrata.

Zadatak 26. Konstruiraj trokut ABC ako je zadano:

1) a = 4 cm, b = 3 cm, c = 6 cm;2) α = 75◦ , β = 45◦ , b = 5 cm;3) a = 3.5 cm, c = 4.5 cm, β = 105◦ ;4) b = 5 cm, c = 4 cm, β = 60◦ .

Rjesenje. 1) Konstruiramo duzinu AB duljine 6 cm. Iz tocke A zasijecimo kruzni lukpolumjera b = 3 cm, a iz tocke B luk polumjera a = 4 cm. U sjecistulukova nalazi se tocka C . Ti se lukovi sijeku u dvjema tockama pa postoje dvarjesenja.

326

7

2) Konstruiramo duzinu AC duljine b = 5 cm. U vrhu A konstruiramo kutα = 75◦ , a u vrhu C kut γ = 180◦−α −β = 180◦−120◦ = 60◦ . U sjecistukrakova tih kutova nalazi se tocka B .3) Konstriramo duzinu AB duljine c = 4.5 cm. U vrhu B konstruiramo kutβ = 105◦ . Iz tocke B nanesemo na krak tog kuta duzinu BC duljine a = 3.5cm. Spojimo vrhove C i A i dobijemo trazeni trokut.

4) Konstruiramo duzinu AB duljine c = 4 cm. U vrhu B konstruiramo kutβ = 60◦ . Iz vrha A zasijecemo kruzni luk polumjera b = 5 cm. U sjecistukruznog luka i kraka kuta β nalazi se tocka C .

Zadatak 27. Konstruiraj trokut ABC ako je:

1) a = 3.5 cm, b = 2.5 cm, c = 6 cm;2) a = 7 cm, c = 5.5 cm, γ = 60◦ .

Rjesenje. 1) Ne postoji trokut sa zadanim duljinama stranica. Nije, naime, ispunjenanejednakost a + b > c ;2) S danim podatcima trokut nije jednoznacno odre -den vec se konstrukcijomdobiju dva rjesenja. Razlog tome je sto je zadan kut nasuprot kracoj od stranicaa i c .

Zadatak 28. Konstruiraj trokut kojem je zadano

1) c , a − b , γ ; 2) c − a , b , β ;3) a − b , α , β ; 4) a + b , α , β .

Rjesenje. 1) Konstruiramo kut 90◦ +γ2

. Na jedan njegov krak nanesemo duzinu A′Bduljine a − b . Iz vrha B zasijecemo kruzni luk polumjera c . Drugi krak kutaiz vrha A′ i kruzni luk sijeku se u tocki A . Zatim, u tocki A konstruiramo

kut 90◦ − γ2

tako da mu jedan krak lezi na pravcu na kojem lezi i duzina AA′ .

Drugi krak i produljena stranica AB sijeku se u tocki C .

2) Konstruiramo duzinu AC′ duljine c − a . Iz vrha A zasijecemo kruzni luk

polumjera b . U vrhu C′ konstruiramo kut 90◦ +β2

. Krak tog kuta i kruzni

luk sijeku se u tocki C . U toj tocki konstruiramo kut 90◦ − β2

tako da mu

jedan krak lezi na pravcu na kojem lezi duzine CC′ . Drugi krak i produljenastranica AC′ sijeku se u tocki B .

327

7 RJESENJA ZADATAKA

3) Konstruiramo duzinu BA′ duljine a − b . U vrhu B konstruiramo kut βtako da mu jedan krak lezi na pravcu na kojem lezi i duzina BA′ . U vrhu

A′ konstruiramo kut 90◦ +α + β

2tako da mu jedan krak lezi na pravcu na

kojem lezi i duzina BA′ . Krakovih tih kutova sijeku se u tocki A . U vrhu Akonstruiramo kut α tako da mu jedan krak lezi na pravcu na kojem lezi i duzinaAB . Drugi krak tog kuta i produljena stranica BA′ sijeku se u tocki C .

4) Konstruiramo kut β u vrhu B . Na jedan krak nanesemo duzinu BC′ duljine

a + b . U vrhu C′ konstriuramo kut 90◦ − γ2

tako da mu jedan krak lezi na

pravcu na kojem lezi i duzine BC′ . Drugi krak tog kuta i krak kuta β sijekuse u tocki A . Zatim u tocki A konstruiramo kut α tako da jedan krak tog kutalezi na stranici AB . Sjeciste drugog kraka i duzine BC′ dat ce tocku C .

Zadatak 29. Konstruiraj paralelogram ako je zadano:

1) a = 6 cm, b = 4 cm, α = 45◦ ;2) a = 6 cm, e = 6 cm, f = 8 cm;3) e = 5 cm, f = 4 cm, va = 3 cm;4) a = 5 cm, f = 7 cm, ϕ = 75◦ .

Rjesenje. 1) Konstruiramo duzinu AB duljine a = 6 cm. U tocki A konstruiramo kutα = 45◦ . Na krak kuta nanesemo duzinu AD duljine b = 4 cm. U tocki D

konstruiramo kut β =12(360◦ − 2 · 45◦) = 135◦ . Na krak tog kuta nanesemo

duzinu DC duljine a = 6 cm. Spojimo tocke C i B .

2) Konstruiramo trokut ABS duljina stranica a = 6 cm,e2

= 3 cm i

f2

= 4 cm. Produljimo stranicu BS preko vrha S zaf2

i dobijemo tocku

D . Produljimo stranicu AS preko vrha S zae2

i dobijemo tocku C . Spojimo

Tocke D i A , B i C , C i D i dobijemo trazeni paralelogram.

3) Konstruiramo pravokutnik duljina stranica va = 3 cm i a + x√

e2 − v2a =√

25 − 9 = 4 cm. Dijagonala tog pravokutnika je ujedno i dijagonala traze-nog paralelograma e = 5 cm. U polovistu dijagonale konstruiramo kruznicu

328

7

polumjeraf2

= 2 cm. Kruznica sijece stranice pravokutnika u cetiri tocke. B

i B′ te D i D′ . Imamo dva rjesenja, paralelogram ABCD i AB′CD′ .

4) Konstruiramo duzinu BS duljinef2

= 3.5 cm. U vrhu S konstruiramo

kut 180◦ − ϕ = 105◦ . Iz vrha B opisemo kruznicu polumjera a = 5 cm.Sjeciste kruznice i kraka kuta je tocka A . Produljimo stranicu BS preko vrha

S zaf2

i dobijemo tocku D . Produljimo stranicu AS preko vrha S zae2

i

dobijemo tocku C . Spojimo tocke B i C , C i D , D i A i dobijemo trazeniparalelogram.

Zadatak 30. Konstruiraj jednakokracni trapez ako je zadano:

1) a = 6 cm, b = 4 cm, c = 3 cm;2) a = 5 cm, c = 3 cm, α = 60◦ ;3) a = 6 cm, b = 3 cm, v = 2.5 cm;4) a = 6 cm, c = 3 cm, v = 4 cm.

Rjesenje. 1) Konstruiramo duzinu AD′ duljine x =a − c

2= 1.5 cm. Iz vrha D′ po-

vucemo okomicu na duzinu AD′ . Iz vrha A opisemo kruznicu polumjerab = 4 cm. Sjeciste okomice i kruznice je tocka D . Iz tocke D povucemookomicu na duzinu D′D duljine c = 3 cm i dobijemo tocku C . Produljimostranicu AD′ preko tocke D′ za a− x = 4.5 cm i dobijemo tocku B . Spojimotocke B i C .

2) Konstruiramo duzinu AD′ duljine x =a − c

2= 1 cm. Iz tocke D′ povu-

cemo okomicu na duzinu AD′ . U tocki A konstruiramo kut α = 60◦ takoda mu jedan krak lezi na pravcu na kojem lezi i duzina AD′ . Sjeciste drugogkraka i okomice iz D′ je tocka D . Produljimo stranicu AD′ preko vrha D′ zaa − x = 4 cm i dobijemo tocku B . Iz vrha D povucemo okomicu na duzinuD′D duljine c = 3 cm i dobijemo tocku C . Spojimo tocke B i C .

3) Konstruiramo duzinu AB duljine a = 6 cm. Na visini v = 2.5 cm konstru-iramo pomocni pravac paralelan duzini AB . Iz vrhova A i B opisemo kruznicepolumjera b = 3 cm. Sjecista kruznice i pomocnog pravca su tocke C′ , C ,D i D′ . Imamo dva rjesenja.

4) Konstruiramo duzinu AD′ duljine x =a − c

2= 1.5 cm. Iz vrha D′ po-

vucemo okomicu duljine v = 4 cm i dobijemo tocku D . Spojimo tocke A iD . Produljimo stranicu AD′ preko tocke D′ za a − x = 4.5 cm i dobijemotocku B . Iz tocke D povucemo okomicu na duzinu D′D duljine c = 3 cm idobijemo tocku C . Spojimo tocke B i C .

Zadatak 31. Konstruiraj trapez kojem je zadano:

1) a = 6 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 5 cm;2) a = 5 cm, c = 3 cm, α = 60◦ , β = 45◦ .

Rjesenje. 1) Konstruiramo duzinu AB duljine a = 6 cm. Oko vrha B opisemo kruznicupolumjera c = 3 cm koja sijece duzinu AB u tocki D′ . Oko te tocke opisemokruznicu polumjera b = 4 cm, a oko tocke A kruznicu polumjera d = 5 cm.Te se kruznice sijeku u dvije tocke D1 i D2 . Oko vrha A opisemo kruznicupolumjera c = 3 cm koja sijece duzinu AB u tocki C′ . Oko te tocke opisemo

329

7 RJESENJA ZADATAKA

kruznicu polumjera d = 5 cm, a oko tocke B kruznicu polumjera b = 4 cm.Te se kruznice sijeku u dvije tocke C1 i C2 . Imamo dva rjesenja ovisno o tomes koje strane duzine AB odaberemo tocke C i D .

2) Konstruiramo duzinu AB duljine a = 5 cm. U vrhu A konstruiramo kutα = 60◦ a pri vrhu B kut β = 45◦ . Oko vrha B opisemo kruznicu polumjerac = 3 cm. Kruznica sijece duzinu AB u tocki D′ . U toj tocki konstruiramokut β = 45◦ tako da mu jedan krak lezi na pravcu na kojem lezi i duzinaD′A . Drugi krak tog kuta sijece krak kuta od 60◦ iz vrha A u tocki D . Okovrha A opisemo kruznicu polumjera c = 3 cm. Kruznica sijece duzinu AB utocki C′ . U toj tocki konstruiramo kut α = 60◦ tako da mu jedan krak lezina pravcu na kojem lezi i duzina C′B . Drugi krak tog kuta sijece krak kuta od45◦ iz vrha B u tocki C . Spojimo tocke C i D .


Zadatak 1. Konstruiraj trokut ako su mu dane duljine dviju njegovih stranica i polumjeropisane kruznice.

Rjesenje. Konstruiramo kruznicu polumjera trokutu opisane kruznice. Odaberemo tockuna toj kruznici (jedan vrh trokuta) i oko nje opisemo kruznicu polumjera jed-nakog duljini jedne stranice trokuta. U sjecistu tih kruznica (ima ih dva) nalazise drugi vrh trokuta. Oko tog vrha (ili oko prvog) opisemo kruznicu polumjerajednakog duljini druge stranice trokuta. U sjecistu te kruznice i trokutu opisanekruznice (ima ih dva) nalazi se treci vrh trokuta.

Zadatak 2. Zadana je kruznica, ali ne i njezino srediste. Kako ga konstruirati?

Rjesenje. Odaberi na kruznici bilo koje tri tocke. Srediste kruznice je sjeciste simetralabilo kojih dviju duzina koje su odre -dene s odabranim tockama.

Zadatak 3. Ako je zadan kut γ trokuta, koliki kut zatvaraju simetrale ostalih dvaju kutovaistog trokuta?

Rjesenje. Oznacimo s C′ sjeciste simetrala preostalih dvaju kutova trokuta ABC .

Promatrajmo trokut ABC′ s kutovimaα2

,β2

i γ ′ . Kut γ ′ jednak je

γ ′ = 180◦ −(

α2

+β2

)= 180◦ − 1

2(α + β) = 180◦ − 1

2(180◦ − γ ) =

180◦ − 90◦ − γ2

= 90◦ − γ2

.

Zadatak 4. Konstruiraj trokut ako su zadana dva njegova vrha i srediste upisane kruznice.

Rjesenje. Oznacimo zadane tocke s A , B i S te ih spojimo. AS je simetrala kuta privrhu A , a BS simetrala kuta pri vrhu B . Nanesemo prvi kut s druge stranesimetrale AS i dobijemo kut α . Nanesemo drugi kut s druge strane simetraleBS i dobijemo kut β . U sjecistu krakova kutova α i β nalazi se tocka C .

Zadatak 5. Neka je U srediste trokutu upisane kruznice. Paralela tockom U sa stranicomAB sijece druge dvije stranice u tockama D ∈ AC i E ∈ BC . Dokazi da je|DE| = |AD| + |BE| .

Rjesenje. Iz <)BAU = <)DAU ( AU je simetrala kuta α ) te <)BAU = <)AUD (kutovis paralelnim kracima) slijedi <)DAU = <)AUD sto znaci da je trokut AUD

330

7

jednakokracan. Onda je |AD| = |DU| . Analogno je |BE| = |EU| . Tako je|AD| + |BE| = |DU| + |UE| = |DE| .

Zadatak 6. Tocke A1, B1 i C1 polovista su stranica trokuta ABC . Konstruiraj trokut ABC .

Rjesenje. Spojimo zadane tocke. Duzina A1B1 je srednjica trazenog trokuta. To znaci daje paralelna sa stranicom AB i dvostruko kraca od nje. Konstruiramo pravacparalelan duzini A1B1 kroz tocku C1 . Lijevo i desno od tocke C1 na pravcananesemo duzinu |A1B1| i dobijemo tocke A i B . Povucemopravac kroz tockeB i A1 , te A i B1 . U sjecistu tih dvaju pravaca nalazi se tocka C .

Zadatak 7. Konstruiraj trokut ako su zadana dva njegova vrha i njegov ortocentar.

Rjesenje. Povucemo pravac iz jednog vrha koji prolazi ortocentrom. Iz drugog vrhapovucemo okomicu na taj pravac. Sada iz drugog vrha povucemo pravac krozortocentar. Iz prvog vrha povucemo okomicu na taj pravac. U sjecistu tih dvijuokomica nalazi se treci vrh trokuta.

Zadatak 8. Konstruiraj trokut ako je zadan njegov vrh A i pravci na kojima leze visine izvrhova B i C .

Rjesenje. Ti se pravci sijeku u jednoj tocki. To je ortocentar O trazenog trokuta. Spo-jimo tocke A i O i dobijemo pravac na kojem lezi visina iz vrha A . Iz vrhaA povucemo okomice na zadane pravce. U sjecistu jednog zadanog pravca iokomice na drugu zadani pravac nalazi se drugi vrh trokuta. Treci vrh trokutanalazi se u sjecistu drugog zadanog pravca i okomice na prvi zadani pravac.

Zadatak 9. Konstruiraj visinu iz nedostupnog vrha C trokuta ABC . (Cinjenica da je nekivrh trokuta nedostupan znaci da iz nekih razloga pri konstrukciji ne mozemokoristiti taj vrh — recimo, da je prekriven mrljom tinte.)

Rjesenje. Konstruiramo visine iz vrhova A i B . One se sijeku u jednoj tocki, ortocentruO . Sada konstruiramo okomicu na stranicu AB koja prolazi tockom O .

Zadatak 10. Dan je pravac p kojem pripada stranica AB trokuta ABC te dvije tocke P iQ koje su nozista visina polozenih na stranice BC i AC trokuta. Konstruirajtrokut.

Rjesenje. Trokuti ABP i ABQ su pravokutni. Simetrala duzine PQ sijece pravac p usredistu S tim dvama trokutima opisane kruznice (Talesov poucak). Kruznicasijece pravac p u vrhovima A i B . Spojimo tocke A i P , te tocke B i Q . Usjecistu duzina AP i BQ nalazi se ortocentar O trazenog trokuta. Polozimookomicu na pravac p tockom O i dobijemo pravac na kojem lezi visina iz vrhaC . Produljimo pravac na kojem lezi duzina BP i u njihovom sjecistu dobijemovrh C .

Zadatak 11. Dane su tocke A1 i B1 , polovista stranica BC i AC trokuta ABC . Dana je itocka D , noziste visine iz vrha A . Konstruiraj trokut.

Rjesenje. Polozimo okomicu tockom D na pravac A1D . Tockom B1 polozimo parale-lu p s pravcem A1D . Pravac simetrican pravcu A1D s obzirom na p sijeceokomicu u vrhu A . Tockom A povucemo paralelu s duzinom B1A1 . Paralelasijece pravac na kojem lezi duzina A1D u tocki B . Polozimo pravac kroz tockeA i B1 . On sijece pravac na kojem lezi duzina A1D u tocki C .

Zadatak 12. Ako je ta duljina tezisnice trokuta ABC , onda je ta <12(b + c) . Dokazi!

Iskazi ovo svojstvo u opcem obliku.

331

7 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje.

A

B C

A1

P

b

b

cta

ta

Produzimo tezisnicu |AP| tako da je |AA1| = 2ta .Tada je cetverokut ABA1Cparalelogram. Promotrimo trokut ABA1 . Vrijedi |AA1| < |AB| + |BA1| , a tose upravo u zadatku i tvrdi.

Zadatak 13. Zbroj duljina tezisnica trokuta ABC veci je od polovine opsega trokuta. Doka-zi!

Rjesenje.

A

A1

B

B1

C

C1

T

Za stranice trokuta AA1C vrijedi ta > b − a2

. Analogno je tb > c − b2

(iz

trokuta ABB1 ) te tc > a − c2

(iz trokuta BCC1 ).

Zbrajanjem ovih triju nejednakosti dokazujemo tvrdnju iskazanu u zadatku.

Zadatak 14. Konstruiraj trokut ako su zadana dva njegova vrha i njegovo teziste.

Rjesenje. Oznacimo zadane vrhove trokuta s A i C , a teziste s T . Povucemo pravce kroztocke A i T , C i T . Primijenimo Poucak o tezistu trokuta u kojem se kaze dateziste dijeli pojedinu tezisnicu u omjeru 2 : 1 racunajuci od vrha trokuta. Toznaci da je |AT| = |TA1 i |CT| = |TC1| . Sad kad smo dobili tocke A1 i C1povucemo pravce kroz tocke A i C1 , te C i A1 . U njihovom sjecistu nalazise tocka B .

Zadatak 15. Dana su dva pravca na kojima leze tezisnice ta i tb trokuta ABC i tocka C1 ,poloviste stranice AB . Konstruiraj trokut.

Rjesenje. Dani se pravci sijeku u tezistu T . Vrh C trokuta odredimo iz uvjeta|CT| = 2|TC1| . Konstruiraj zatim poloviste D duzine CT . Pravac polo-zen tockom D paralelno tezisnici ta sijece tezisnicu tb u polovistu straniceAC , tj. B1 . Produljimo pravac na kojem leze tocke C i B1 za duljinu duzineCB1 i dobijemo vrh A . Vrh B odredimo iz uvjeta 2|TB1| = |BT| .

Zadatak 16. Dana tocka T teziste je trokuta ABC i tocke A1 i B1 polovista stranica BC ,odnosno AC trokuta. Konstruiraj trokut.

332

7

Rjesenje. Kako je |AT| = 2 · |TA1| i |BT| = 2 · |TB1| , mozemo konstruirati vrhove A iB . Povucemo pravce kroz tocke A i B1 , odnosno B i A1 i u njihovom sjecistudobijemo tocku C .

Zadatak 17. Tezisnica trokuta dijeli trokut na dva dijela jednakih povrsina. Dokazi!

Rjesenje. Neka je zadan trokut ABC , tezisnica ta i poloviste stranice a , tocka A1 . Izvrha A spustimo visinu na stranicu a . Trokuti AA1B i ACA1 imaju zajednicku

visinu i jednaku osnovicu. P(�AA1C) = P(�ABA1) =12· a2· va .

Zadatak 18. Tezisnice trokuta dijele trokut na sest manjih trokuta. Dokazi da su povrsinetih sest trokuta jednake.Uputa: dva trokuta jednakih osnovica i jednakih visina imaju jednake povrsine.

Rjesenje.

A

A1

B

B1

C

C1

P1 P1

P2

P2P3

P3

Uoci trokute jednakih povrsina. Zatim imamo: P(�AC1C) = P(�C1BC) ,odnosno P1 + 2P3 = P1 + 2P2 . Slijedi P2 = P3 . Analogno iz P2 + 2P1 =P2 + 2P3 imamo P1 = P3 . Zakljucujemo P1 = P2 = P3 .

Zadatak 19. Konstruiraj trokut ako su zadane duljine svih triju njegovih tezisnica.

Rjesenje. Nacrtaj neki trokut ABC . Neka je T1 simetricna slika tezista T s obziromna poloviste C1 stranice AB trokuta. Stranice trokuta AT1T imaju duljine|AT1| = |BT| = 2

3 tb , |TT1| = 23 tc , |AT| = 2

3 ta .

Konstruiramo najprije trokut ATT1 . Tocka C1 je poloviste stranice TT1 . Spo-jimo tocke A i C1 . Buduci da je C1 poloviste stranice AB trokuta, produljimo

stranicu AC1 za duljinu |AC1| i dobijemo tocku B . Buduci da je |T1C1| =13tc

produljimo stranicu C1T1 za23tc i dobijemo vrh C .

Zadatak 20. Konstruiraj trokut kojem su zadane stranice a i b te tezisnica tc .Uputa: konstruiraj trokut sa stranicama duljina a , b i 2tc .

333

7 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Konstruiramo najprije trokut DAC sa stranicama duljine a , b i 2tc . Povuce-mo paralelu sa stranicom a iz vrha C i paralelu sa stranicom b iz vrha D .Dobijemo paralelogram cije se dijagonale raspolavljaju. dijagonala AB je trecastranica trokuta.

Zadatak 21. Konstruiraj trokut kojem su zadane stranica a , tezisnica ta i polumjer R opi-sane kruznice.

Rjesenje. Najprije nacrtajmo kruznicu polumjera R pa odredimo tetivu BC duljine a .Odredimo poloviste stranice a pa sestarom opisimo luk polumjera ta . Usjecistu luka i kruznice polumjera R bit ce vrh A trazenog trokuta.

Zadatak 22. Izracunaj povrsinu trokuta ako su zadane duljine njegovih stranica:1) a = 29 cm, b = 25 cm, c = 6 cm;2) a = 13 cm, b = 20 cm, c = 21 cm;3) a = 5.2 dm, b = 8 dm, c = 8.4 dm.

Rjesenje. 1) s =a + b + c

2= 30 ; P =

√30(30 − 29)(30 − 25)(30 − 6) =

√30 · 5 · 24 =

60 cm 2 ;

2) s = 27 ; P =√

27(27 − 13)(27 − 20)(27 − 21) =√

27 · 14 · 7 · 6 = 126cm 2 ;

3) s = 10.8 ; P =√

10.8(10.8− 5.2)(10.8− 8)(10.8 − 8.4) =√

10.8 · 5.6 · 2.8 · 2.4 =20.16 dm2 .

Zadatak 23. Kolika je duljina najkrace visine trokuta ako su duljine stranica trokuta 13 cm,14 cm i 15 cm?

Rjesenje. s = 21 ; P =√

21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) =√

21 · 8 · 7 · 6 = 84 cm 2 .

Najkraca visina pripada najduljoj stranici te iz P = 84 =15 · v

2izracunamo

v = 11.2 cm.

Zadatak 24. Kolika je duljina najdulje visine trokuta ako su duljine stranica trokuta 15 cm,112 cm i 113 cm?

Rjesenje. s = 120 ; P =√

120 · 105 · 8 · 7 = 840 cm 2 . Najdulja visina pripada najkra-

coj stranici te je v =2 · 840

15= 112 cm.

Zadatak 25. Kolika je povrsina paralelograma ako su duljine njegovih stranica 12 cm i 17cm, a duljina jedne dijagonale 25 cm?

Rjesenje. Povrsina paralelograma jednaka je dvostrukoj povrsini trokuta sto ga cine zada-

ne stranice i dijagonala. P = 2

√12 + 17 + 25

2(27 − 12)(27 − 17)(27 − 25) =

2√

27 · 15 · 10 · 2 = 2 · 90 = 180 cm 2 .

334

7

Zadatak 26. Kolika je povrsina paralelograma ako je duljina jedne njegove stranice 51 cm,a duljine dijagonala su 40 cm i 74 cm?

Rjesenje. Dijagonale dijele paralelogram na cetiri trokuta i me -dusobno se raspolavlja-ju. Ti trokuti imaju jednake povrsine jer imaju zajednicke visine na odgo-

varajuce stranice. P = 4

√37 + 20 + 51

2(54 − 51)(54 − 20)(54 − 37) =

4√

54 · 3 · 34 · 17 = 4 · 306 = 1224 cm 2 .

Zadatak 27. Kolika je povrsina trapeza ako su duljine njegovih osnovica jednake 22 cm i16 cm, a duljine krakova 25 cm i 29 cm?

Rjesenje.

A B

CD

E

v

Vrhom D trapeza povucimo paralelu sa stranicom BC . Povrsina trokuta AED

jednaka je P =

√25 + 29 + 6

2(30 − 29)(30 − 25)(30 − 6) =

√30 · 5 · 24 =

60 cm 2 . Duljina visine trapeza iznosi v =2 · 60

6= 20 cm. Konacno je

P =a + c

2· v = 380 cm 2 .


Zadatak 1. Konstruiraj jednakostranicni trokut ciji je opseg jednak duljini dane duzine.

Rjesenje. 3a = o =⇒ a =o3

. Zadanu duzinu AP podijelimo na tri jednaka dijela tako

da iz tocke A povucemopo volji odabran polupravac p i na njemu odredimo povolji tocku A1 . Duzinu AA1 nanesemo sestarom jos dva puta na polupravac pdobivsi tako tocke A2 i A3 . Spojimo tocke A3 i P i zatim povucemo paralelekroz tocke A2 i A1 . One sijeku zadanu duzinu u tockama B i B1 . Sada iztocaka A i B zasijecemo kruzne lukove polumjera AB i u njihovom sjecistudobijemo treci vrh trazenog trokuta.

Zadatak 2. Nacrtaj neku duzinu pa konstruiraj trokut kojem je opseg jednak duljini teduzine, a stranice trokuta u omjeru su 2 : 3 : 4 .

Rjesenje. Duljine stranica trokuta su u omjeru a : b : c = 2 : 3 : 4 , tj. a = 2k , b = 3k ic = 4k . Opseg trokuta jednak je o = a + b + c = 2k + 3k + 4k = 9k . Dakle,potrebno je odabranu duzinu podijeliti na 9 jednakih dijelova. Kada smo toucinili, konstruiramo duzinu AB duljine c . Iz tocke A sestarom zasijecemoluk polumjera a , a iz tocke B luk polumjera B . U sjecistu lukova nalazi setocka C .

Zadatak 3. Duljina dane duzine jednaka je opsegu trokuta za cije stranice vrijedi a : b =1 : 2 , b : c = 3 : 2 . Konstruiraj taj trokut.

335

7 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Duljine stranica trokuta su u omjeru a : b : c = 3 : 6 : 4 , tj. a = 3k , b = 6k ic = 4k . Opseg trokuta je jednak o = 13k . Dakle, potrebno je zadanu duzinupodijeliti na 13 jednakih dijelova. Kada smo to ucinili, konstruiramo duzinuAB duljine c . Iz tocke A sestarom zasijecemo luk polumjera a , a iz tocke Bluk polumjera B . U sjecistu lukova nalazi se tocka C .

Zadatak 4. Konstruiraj jednakokracni trokut ako su duljine njegove osnovice i kraka uomjeru 3 : 4 , a opseg trokuta jednak je duljini dane duzine.

Rjesenje. Duljine stranica trokuta su u omjeru a : b = 3 : 4 , tj. a = 3k i b = 4k . Opsegtrokuta je jednak o = a + 2b = 3k + 8k = 11k . Dakle, potrebno je zadanuduzinu podijeliti na 11 jednakih dijelova. Kada smo to ucinili, konstruiramoduzinu AB duljine a . Iz tockaka A i B sestarom zasijecemo lukove polumjerab . U sjecistu lukova nalazi se tocka C .

Zadatak 5. Dana duzina ima duljinu jednaku opsegu trapeza kojem su duljine stranica uomjeru a : b : c : d = 5 : 2 : 1 : 3 . Konstruiraj taj trapez.

Rjesenje. Podijeli danu duzinu na 5 + 2 + 1 + 3 = 11 sukladnih dijelova pa konstruirajnajprije trokut AED , gdje je E tocka u kojoj pravac DE paralelan s krakomBC sijece stranicu AB . Primijeti da je |AE| = a − c .

Zadatak 6. Duljine osnovica trapeza ABCD jednake su a = 2.4 dm i c = 1.6 dm, aduljine krakova b = 1.6 dm i d = 2 dm. Produzetci krakova AD i BC sijekuse u tocki E . Kolike su duljine produzetaka CE i DE ?

Rjesenje. Iz omjera |AB| : |BE| = |DC| : |CE| , odnosno a : (b + x) = c : x slijedi

ax = (b + x) · c =⇒ ax − cx = bc =⇒ x(a − c) = bc =⇒ x =bc

a − c=

1.6 · 1.60.8

= 3.2 . |CE| = 3.2 dm. Iz omjera |AB| : |AE| = |DC| : |DE| ,odnosno a : (d + x) = c : x slijedi ax = (d + x) · c =⇒ ax − cx = cd =⇒x(a − c) = cd =⇒ x =

cda − c

=1.6 · 20.8

= 4 . |DE| = 4 dm.

Zadatak 7. Duljine osnovica AB i CD trapeza ABCD u omjeru su 9 : 5 , i jos je |AD| = 16cm. Ako se kraci AD i BC sijeku u tocki E , koliko je |AE| ?

Rjesenje. Neka je |DE| = x . a =95c . Iz omjera a : (16 + x) = c : x =⇒ ax =

(16 + x)c =⇒ ax − cx = 16c =⇒ x(a − c) = 16c =⇒ x =16c

a − c=⇒

x =16c

95c − c

=⇒ x =16c45c

slijedi x = 20 cm, te je |AE| = 36 cm.

Zadatak 8. Pravci kojima pripadaju kraci AD i BC trapeza ABCD sijeku se u tocki E .1) Koliko je |CE| ako je |AD| = 1 cm, |BC| = 15 cm, |DE| = 9 cm?

2) Ako je |AD| = 1.2 cm, te |BC| : |CE| =16

: 0.25 , izracunaj |DE| .3) Koliko je |BC| ako je |AD| : |DE| = 25 : 17 i |BC| − |CE| = 1.6 cm?

Rjesenje. 1) Iz omjera |AD| : |DE| = |BC| : |CE| , odnosno 1 : 9 = 15 : x =⇒ x =9 · 15 = 135 . |CE| = 135 cm;

336

7

2) Iz omjera |AD| : |DE| = |BC| : |CE| , odnosno 1.2 : x =16

: 0.25 =⇒16x = 1.2 · 0.25 =⇒ x = 1.8 . |DE| = 1.8 cm;

3) Iz omjera |AD| : |DE| = |BC| : |CE| , odnosno 25 : 17 = x : (x− 1.6) =⇒25x − 25 · 1.6 = 17x =⇒ 8x = 40 =⇒ x = 5 . |BC| = 5 cm.

Zadatak 9. Izracunaj |DE| ako je AB ‖ DE te:

1) |AB| = 21 cm, |AC| = 18 cm, |AD| = 6 cm;

2) |AB| = 18 cm, |AC| = 15 cm, |AD| = 10 cm.

Rjesenje. 1) Iz omjera |AB| : |AC| = |DE| : |DC| =⇒ |AB| : |AC| = |DE| :

(|AC| − |AD|) =⇒ 21 : 18 = |DE| : 12 =⇒ |DE| =21 · 12

18= 14 cm;

2) Iz omjera |AB| : |AC| = |DE| : |DC| =⇒ |AB| : |AC| = |DE| :

(|AC| − |AD|) =⇒ 18 : 15 = |DE| : 5 =⇒ |DE| =18 · 515

= 6 cm.

Zadatak 10. Tocke D i E pripadaju kracima AC , odnosno BC trokuta ABC i jos jeAB ‖ DE .

1) Ako je |AB| = 20 cm, |DE| = 15 cm, |AC| = 16 cm, koliko je |AD| ?2) Ako je |AB| : |DE| = 7 : 5 , koliko je |AD| : |CD| ?

Rjesenje. 1) Iz omjera |AB| : |AC| = |DE| : |DC| =⇒ 20 : 16 = 15 : |DC| =⇒|DC| =

16 · 1520

= 12 cm, |AD| = 4 cm;

2) Iz omjera |AB| : |DE| = |AC| : |DC| = (|AD|+|DC|) : |CD| =|AD||CD|+1 =

75

, te je|AD||CD| =

25

.

Zadatak 11. Stranica BC trokuta ABC podijeljena je na tri sukladna dijela te su djelistimapovucene paralele p i q sa stranicom AC . Ako je |AC| = 18 cm, kolike suduljine odsjecaka pravaca p i q izme -du stranica AB i BC trokuta?

Rjesenje. Iz omjera 12 : x = a :a3

=⇒ ax = 6a =⇒ x = 6 cm. Iz omjera

18 : y = a :2a3

=⇒ ay = 12a =⇒ y = 12 cm.

Zadatak 12. Duljina stranice AB trokuta ABC jednaka je 20 cm. Stranica AC podijeljenaje na pet sukladnih dijelova i djelistima su povucene paralele s AB . Kolike suduljine odsjecaka tih paralela unutar trokuta?

337

7 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Iz omjera 20 : x1 = a :45a =⇒ ax1 = 16a =⇒ x1 = 16 cm. Iz

omjera 20 : x2 = a :35a =⇒ ax2 = 12a =⇒ x2 = 12 cm. Iz om-

jera 20 : x3 = a :25a =⇒ ax3 = 8a =⇒ x3 = 8 cm. Iz omjera

20 : x4 = a :a5

=⇒ ax4 = 4a =⇒ x = 4 cm.

Zadatak 13. Krak trapeza podijeljen je na osam sukladnih dijelova i djelistima su povucenipravci paralelno s osnovicom trapeza. Ako su duljine osnovica trapeza 50 cmi 30 cm, kolike su duljine odsjecaka tih pravaca unutar trapeza?

Rjesenje. Neka pravac vrhom D paralelan s krakom BC sijece osnovicu AB u tocki

E . Promatraj trokut AED . Imamo redom omjere |AE| : |ED| = x1 :78|ED| ,

|AE| : |ED| = x2 :34|ED| , |AE| : |ED| = x3 :

58|ED| , |AE| : |ED| =

x4 :12|ED| , |AE| : |ED| = x5 :

38|ED| , |AE| : |ED| = x6 :

14|ED| i

|AE| : |ED| = x7 :18|ED| , pa su x1 = 17.5 , x2 = 15 , x3 = 12.5 , x4 = 10 ,

x5 = 7.5 , x6 = 5 i x7 = 2.5 . Duljine odsjecaka redom su jednake 32.5, 35,37.5, 40, 42.5, 45 i 47.5 cm.

Zadatak 14. Dokazi: BC ‖ DE .

Rjesenje. Uocimo da je |AC| : |AB| = 3 : 4 = |AE| : |AD| .

Zadatak 15. Dva paralelna pravca p i q sijeku krakove kuta s vrhom u tocki O .Ako je |OC| + |AC| = 21 cm, te |OD| : |OB| = 5 : 3 , koliko je |OA| ?

338

7

Rjesenje. Iz |OC| = |OA| + |AC| = |OA| + 21 − |OC| , slijedi 2|OC| = |OA| + 21 .

I sada iz 5|OA| = 3 · 12(|OA| + 21) , jer je |OC| : |OA| = 5 : 3 , dobijemo

|OA| = 9 cm.

Zadatak 16. Krakovi kuta α presjeceni su dvama paralelnim pravcima BC i DE (slikagore desno).1) Ako je |AB| = 8 cm, |AD| = 12 cm, |AC| = 10 cm, koliko je |AE| ?2) Koliko je |AB| ako je |AB| + |AD| = 21 cm, |AC| = 12 cm, |AE| = 16

cm?3) Koliko je |AD| ako je |AC| : |AE| = 3 : 5 , |BD| = 12 cm?

Rjesenje. 1) Iz omjera |AB| : |AC| = |AD| : |AE| =⇒ 8 : 10 = 12 : |AE| =⇒8|AE| = 12 · 10 =⇒ |AE| = 15 cm;2) Iz omjera |AD| : |AB| = |AE| : |AC| =⇒ |AD| : (21 − |AD|) = 16 :12 =⇒ 12|AD| = 16 ·21−16|AD| =⇒ 28|AD| = 16 ·21 =⇒ |AD| = 12 .|AB| = 21 − |AD| = 9 cm;

3) Iz omjera |AB| : (|AB|+ |BD|) = |AC| : |AE| =⇒ |AB| : (|AB|+ 12) =3 : 5 =⇒ 5|AB| = 3(|AB| + 12) =⇒ 2|AB| = 36 =⇒ |AB| = 18 .|AD| = |AB| + |BD| = 18 + 12 = 30 cm.

Zadatak 17. Jesu li pravci BC i DE paralelni ako je:1) |AB| : |BD| = 3 : 4 , |AC| = 1.2 cm, |AE| = 2.8 cm;

2) |AD| : |BD| = 12 : 7 , |AC| =57|CE| ;

3) |AB| =35|AD| , |AC| = 3.6 cm, |CE| = 2.4 cm?

Rjesenje. 1) Iz |AB| : |BD| = 3 : 4 slijedi |AB| : |AD| = 3 : 7 , a kako je|AC| : |AE| = 12 : 28 = 3 : 7 , pravci BC i DE su paralelni;2) Iz |AD| : |BD| = 12 : 7 slijedi |AB| : |BD| = 5 : 7 , a |AC| : |CE| = 5 : 7 .Dakle, pravci BC i DE su paralelni;3) |AB| : |AD| = 3 : 5 , no |AC| : |AE| = 3.6 : 6 = 3 : 5 . Pravci BC i DE suparalelni.

Zadatak 18. Simetrala kuta γ trokuta ABC sijece stranicu AB u tocki D .1) Ako je |AC| = 10 cm, |BC| = 15 cm i |AB| = 20 cm, koliko je |AD| i

|BD| ?2) Ako je |AD| : |BD| = 8 : 5 , i |AC| = 16 cm, koliko je |BC| ?

Rjesenje. 1) Neka je |AD| = x . Iz omjera 15 : (20 − x) = 10 : x =⇒ 15x =10(20 − x) =⇒ 25x = 200 =⇒ x = 8 . |AD| = 8 , |BD| = 12 cm;

2) |AD| : |BD| = 8 : 5 =⇒ |AD| =85|BD| . Iz omjera 16 : |AD| = |BC| :

|BD| =⇒ |BC| · |AD| = 16|BD| =⇒ |BC| = 16|BD||AD| =⇒ |BC| =

339

7 RJESENJA ZADATAKA

16|BD|85|BD|

=⇒ |BC| = 16 · 58

= 10 cm.

Zadatak 19. Duljine stranica trokuta ABC jednake su |AB| = 12 cm, |BC| = 15 cm i|AC| = 18 cm. U kojem omjeru srediste S trokutu upisane kruznice dijeli du-zine AA1 i BB1 ako su A1 i B1 sjecista simetrala kutova α i β s nasuprotnimstranicama?

Rjesenje. Odredit cemo najprije duljine |AB1|, |B1C|, |A1B| i |A1C| primjenjujuci Te-orem o simetrali kuta u trokutu. |AC| : |AB| = |CA1| : |A1B| =⇒ 18 : 12 =

|CA1| : |A1B| =⇒ |A1B| =23|CA1| . |A1B| + |CA1| =

23|CA1| + |CA1| =

53|CA1| = 15 =⇒ |CA1| = 9 , |A1B| = 6 . Na isti nacin |BC| : |AB| =

|B1C| : |B1A| =⇒ 15 : 12 = |B1C| : |B1A| =⇒ |B1A| =45|B1C| .

|B1C| + |B1A| = |B1C| +45|B1C| =

95|B1C| = 18 =⇒ |B1C| = 10 ,

|B1A| = 8| . Te su duljine naznacene na slici.

Primjenom istog teorema potom nalazimo: |AS| : |A1S| = 12 : 6 = 2 : 1 , te|BS| : |B1S| = 3 : 2 .

Zadatak 20. Simetrala kuta β trokuta ABC sijece stranicu AC u tocki D . Tockom Dpolozena je paralela DE , E ∈ BC , s AB , a potom tockom E paralela EF ,F ∈ AC , s BD . Kolika je duljina stranice b ako je a = 30 cm, c = 20 cm,te |AD| − |CF| = 1 cm?

Rjesenje. Kako je BD simetrala kuta β , to je EF simetrala kuta <)DEC i vrijedi:|AD| : |DC| = |DF| : |FC| = 2 : 3 . Iz |AB| : |DE| = |AC| : |DC| slijedi20|DE| =

|AD| + |DC||DC| =

|AD||DC| + 1 =

23

+ 1 =53

, pa je |DE| = 12 cm. No

|AD| =23|DC| i |FC| =

35|DC| , pa imamo

23|DC| − 3

5|DC| =

115

|DC| = 1 ,

odakle je |DC| = 15 cm. Konacno, |AC| =53|DC| = 25 cm.

340

7

Zadatak 21. Duljine stranica trokuta jednake su 5.1 cm, 8.5 cm i 10.4 cm. Kruznica sa sre-distem na najduljoj stranici dira dvije krace stranice trokuta. Kolike su duljineodsjecaka na koje srediste kruznice dijeli najdulju stranicu trokuta?

Rjesenje. Srediste kruznice je tocka u kojoj simetrala kuta nasuprot toj stranici sijecestranicu. Primjenom Teorema o simetrali kuta u trokutu naci cemo duljine

odsjecaka: |AS| : |SB| = 8.5 : 5.1 =⇒ |AS| =53|SB| . |AS| + |SB| =

53|SB|+ |SB| =

83|SB| = 10.4 =⇒ |SB| = 3.9 cm i |AS| = 6.5 cm.

Zadatak 22. Srediste kruznice upisane jednakokracnom trokutu dijeli visinu na osnovicutrokuta u omjeru 12 : 5 . Ako je duljina kraka trokuta 60 cm, kolika je duljinaosnovice trokuta?

Rjesenje. Primjenom Teorema o simetrali kuta u trokutu imamo omjer |CS| : |SC1| =

|BC| : |BC1| =⇒ 12 : 5 = 60 :12|AB| =⇒ 6|AB| = 300 =⇒ |AB| =

50 cm.

Zadatak 23. Duljina visine na osnovicu jednakokracnog trokuta iznosi 20 cm, a duljine os-novice i kraka u omjeru su 4 : 3 . Kolika je duljina polumjera kruznice upisaneovom trokutu?

Rjesenje. Kako je AS simetrala kuta <)CAD , stoga vrijedi |AC| : |AD| = |CS| : |DS| ,odnosno 3 : 2 = (20 − r) : r , odakle je r = 8 cm.

Zadatak 24. Trapez ABCD presjecen je pravcem paralelnim s osnovicama. Dokazimo dasu odsjecci tog pravca izme -du stranica i dijagonala jednaki: |MN| = |PQ| .

Rjesenje.

341

7 RJESENJA ZADATAKA

Triput cemo primijeniti Talesov teorem. Najprije, vrijedi|MN||DC| =

|AN||AC| (Ta-

lesov teorem s obzirom na pravce kroz vrh A ). Primijenimo isti teorem sobzirom na pravce kroz vrh C :

|AN||NC| =

|BQ||QC|

i jos jednom s obzirom na pravce kroz vrh B :

|BQ||BC| =

|PQ||DC| .

Dobili smo:|MN||DC| =

|AN||AC| =

1|AN| + |NC|

|AN|=

1

1 +|NC||AN|

=1

1 +|QC||BQ|

=1

|BQ| + |QC||BQ|

=|BQ||BC| =

|PQ||DC| ,

pa je |MN| = |PQ| .Zadatak 25. Zadan je trapez ABCD . Povucimo pravac paralelan s osnovicom AB tako

da dijagonale trapeza dijele odsjecak tog pravca unutar trapeza na tri jednakadijela.

Rjesenje. Neka je E poloviste osnovice AB , P tocka u kojoj se sijeku pravci CE i BD .Tvrdimo da je rjesenje zadatka pravac koji prolazi tockom P .

Prema Talesovom teoremu vrijedi

|AE||NP| =

|CE||CP| =

|EB||PQ| ,

pa iz |AE| = |EB| slijedi |NP| = |PQ| . Prema prethodnom primjeru znamoda vrijedi i |MN| = |PQ| .Drugo rjesenje, na slici naznaceno crtkanim linijama, dobiva se pomocu polo-vista F osnovice DC .


Zadatak 1. Jesu li trokuti ABC i A1B1C1 slicni ako su duljine njihovih stranica jednake:1) 12 cm, 16 cm, 20 cm, odnosno 15 cm,

20 cm, 25 cm ;2) 4.2 cm, 5.4 cm, 6 cm, odnosno 15 cm,

10.5 cm, 13.5 cm?

342

7

Rjesenje. Da, u oba slucaja rijec je o slicnim trokutima, a koeficijenti slicnosti redom sujednaki:1) 15 : 12 = 20 : 16 = 25 : 20 = 5 : 4 ; k = 1.25 ;2) 10.5 : 4.2 = 13.5 : 5.4 = 15 : 6 = 2.5 ; k = 2.5 .

Zadatak 2. Dana su tri trokuta. Duljine stranica prvog su 8 cm, 12 cm i 15 cm, drugog1.6 cm, 2.4 cm i 3 cm, a treceg 20 cm, 30 cm i 35 cm. Ima li me -du ovimtrokutima slicnih?

Rjesenje. 8 : 1.6 = 12 : 2.4 = 15 : 3 = 5 , prva dva trokuta su slicna.

Zadatak 3. Duljine stranica prvog trokuta su 10 cm, 8 cm i 12 cm, drugog 7.5 dm, 6 dm i7.2 dm, a treceg 25 mm, 20 mm i 30 mm. Ima li me -du ovim trokutima slicnih?

Rjesenje. Slicni su prvi i treci trokut, 30 : 12 = 25 : 10 = 20 : 8 .

Zadatak 4. Duljine stranica trokuta su 5.4 cm, 4.5 cm i 9 cm. Odredi duljine stranicaslicnog trokuta, ako je duljina njegove 1) najkrace; 2) najdulje stranice jednaka3 cm.

Rjesenje. 1) k =3

4.5=

23

, duljine stranica jednake su k · 5.4 = 3.6 , 3 i k · 9 = 6 cm;

2) k =39

=13

, duljine su stranica k · 5.4 = 1.8 , k · 4.5 = 1.5 i 3 cm.

Zadatak 5. Jedan je kut trokuta ABC jednak 56◦22′ , a jedan kut slicnog trokuta CDEiznosi 61◦49′ . Koliki su ostali kutovi ovih dvaju trokuta?

Rjesenje. Kutovi slicnih trokuta su jednaki. Dakle, treci kut obaju trokuta je jednak180◦ − 56◦22′ − 61◦49′ = 180◦ − 118◦11′ = 61◦49′ .

Zadatak 6. Kut pri vrhu jednakokracnog trokuta jednak je 64◦ , a kut uz osnovicu drugogjednakokracnog trokuta iznosi 58◦ . Jesu li ti trokuti slicni?

Rjesenje. Da, ti su trokuti slicni, jer kut uz osnovicu prvoga tako -der je jednak 58◦(180◦ − 64◦

2=

116◦

2= 58◦

).

Zadatak 7. Ako je u dvama jednakokracnim trokutima jednak jedan par odgovarajucihkutova, ti su trokuti slicni. Dokazi!

Rjesenje. Pretpostavimo da je treci kut trokuta γ , odnosno γ ′ . Za prvi trokut vrijedi180◦ = α + β + γ , za drugi 180◦ = α′ + β ′ + γ ′ i α = α′ , β = β ′ .Pokazimo da je γ = γ ′ . γ = 180◦−α − β = 180◦−α′b′ = γ ′ . Iz α = α′ ,β = β ′ i γ = γ ′ slijedi da su trokuti slicni.

Zadatak 8. Dana su tri trokuta. Jedan je kut prvoga jednak 66◦43′ , jedan kut drugoga51◦33′ , a jedan kut trecega 61◦44′ . Ako su ti trokuti me -dusobno slicni, odrediostale kutove svakog od njih.

Rjesenje. Preostali kutovi prvog trokuta su 51◦33′ i 61◦44′ , drugog trokuta 66◦43′ i61◦44′ i treceg trokuta 51◦33′ i 66◦43′ .

Zadatak 9. Jedan unutarnji kut trokuta ABC jednak je 75◦ , a jedan vanjski 134◦ . Jedanunutarnji kut trokuta A1B1C1 je 59◦ , a jedan vanjski 105◦ . Jesu li ovi trokutislicni?

Rjesenje. Kutovi trokuta ABC su α = 75◦ , β = 180◦ − 134◦ = 46◦ i γ =180◦−75◦−46◦ = 59◦ . Kutovi trokuta A1B1C1 su α = 180◦−105◦ = 75◦ ,

343

7 RJESENJA ZADATAKA

γ = 59◦ i β = 180◦ − 75◦ − 59◦ = 46◦ . Trokuti ABC i A1B1C1 su slicnijer je α = α′ , β = β ′ i γ = γ ′ .

Zadatak 10. Dva su kuta trokuta jednaka 18◦ i 54◦ . Dokazi da simetrala treceg kutaodsijeca od trokuta slican trokut.

Rjesenje. Kutovi trokuta ABC su α = 108◦, β = 54◦ i γ = 18◦ . Kako jeα2

= 54◦ ,

to je <)ADC = 108◦ , a to znaci da je trokut ADC slican zadanom trokutu.

Zadatak 11. Duljine stranica trokuta su 11 cm, 12 cm i 13 cm. Razlika duljina dviju kra-cih stranica slicnog trokuta iznosi 11 cm. Kolike su duljine stranica slicnogtrokuta?

Rjesenje. b1 − a1 = kb − ka = k(b − a) = 11 cm, k = 11 ;a1 = 121 cm, b1 = 132 cm, c1 = 143 cm.

Zadatak 12. Duljine stranica trokuta su 8.5 cm, 10 cm i 12.5 cm. Odredi duljine stranica sli-cnog trokuta ako je razlika duljina njegove najdulje i najkrace stranice jednaka4.8 cm.

Rjesenje. c1 − a1 = kc− ka = k(c− a) = k · 4 = 4.8 =⇒ k = 1.2 , duljine stranica su10.2 cm, 12 cm i 15 cm.

Zadatak 13. Duljine stranica trokuta odnose se kao 5 : 6 : 8 . Koliko one iznose ako jerazlika duljina najdulje i najkrace stranice jednaka 15 cm?

Rjesenje. Neka su duljine stranica jednake a = 5k , b = 6k , c = 8k , gdje je k pozitivanbroj. Iz 8k − 5k = 15 slijedi k = 5 cm, te je a = 25 , b = 30 , c = 40 cm.

Zadatak 14. Duljine kateta pravokutnog trokuta jednake su 1 dmi 2.4 dm, a duljina hipote-nuze slicnog trokuta iznosi 3.9 dm. Kolike su duljine kateta drugog trokuta?

Rjesenje. Duljina hipotenuze prvog trokuta jednaka je 2.6 dm, te je k =3.92.6

=32

= k .

Dakle, duljine kateta drugog trokuta jednake su 1.5 dm i 3.6 dm.

Zadatak 15. Duljina jedne katete pravokutnog trokuta jednaka je 10.8 cm, a duljina hipo-tenuze iznosi 11.7 cm. Ako je duljina odgovarajuce katete slicnog trokuta 7.5cm, kolike su duljine ostalih dviju njegovih stranica?

Rjesenje. Duljina druge katete prvog trokuta jednaka je√

11.72 − 10.82 = 4.5 cm.7.5 : 4.5 = 5 : 3 = k . Duljine stranica drugog trokuta su 7.5 cm, 19.5 cm i18 cm.

344

7

Zadatak 16. U trokutu ABC je |AB| = 15 cm , |AC| = 30 cm . Iz tocke D na stranici ACpovucen je pravac koji stranicu AB sijece u tocki E tako da je <)ADE = <)ABC .Odredi |AD| i |AE| ako je |AE| dulja od |AD| za 5 cm.

Rjesenje. Iz �AED ∼ �ABC slijedi |AE| : |AD| = |AC| : |AB| , odakle |AE| = 2 · |AD|(slika).

I sada iz |AE| = |AD| + 5 dobijemo |AD| = 5 cm, a potom |AE| = 10 cm.

Zadatak 17. U trokutu ABC je |AB| = 25 cm, |BC| = 20 cm, |AC| = 30 cm . Na straniciAB od vrha B nanesena je duzina BD , |BD| = 4 cm, a na BC odre -dena jetocka E tako da je <)BDE = γ . Koliki je opseg trokuta BED ?

Rjesenje. Iz �ABC ∼ �DBE slijedi 4 : x = 20 : 25 te 4 : y = 20 : 30 (slika). Iz prvese jednakosti dobije x = 5 cm, iz druge y = 6 cm, te je opseg trokuta BEDjednak 15 cm.

Zadatak 18. Pravac vrhom B trokuta ABC ( β > α ) sijece stranicu AC u tocki D , pricemu je <)DBC = <)CAB . Ako je |DC| = 10 cm, |BC| = 12 cm, |BD| = 15cm, izracunaj |AB| i |AD| .

Rjesenje. Iz slicnosti trokuta ABC i DBC slijedi |AB| : |BC| = |BD| : |CD| , a odatle je|AB| = 18 cm. Nadalje, iz |AC| : |BC| = |BC| : |DC| dobije se |AC| = 14.4cm, te je konacno |AD| = 4.4 cm.

345

7 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 19. U trokutu ABC je |AB| = 9 cm, |AC| = 18 cm, |BC| = 15 cm . Tockom Dna stranici AC polozen je pravac DE , E ∈ BC , tako da je <)DEC = α . Akoje |ED| = 6 cm, koliko je |CD| i |CE| ?

Rjesenje. Iz slicnosti trokuta ABC i DEC slijedi 6 : x = 9 : 15 , odatle x = 10 cm, te6 : y = 9 : 18 , i odatle y = 12 cm.

Zadatak 20. U polovistu hipotenuze pravokutnog trokuta podignuta je okomica na hipote-nuzu i ona dulju katetu dijeli na dva dijela duljina 25 cm i 7 cm. Kolika jeduljina hipotenuze?

Rjesenje. Neka je D poloviste hipotenuze pravokutnog trokuta ABC i neka okomicana hipotenuzu u tocki D sijece katetu AC u tocki E (vidi sliku). Kut αzajednicki je kut pravokutnim trokutima ADE i ABC pa su ti trokuti slicni.

25

7

Izc2

: 25 = 32 : c slijedi c2 = 1600 , odakle je c = 40 cm.

Zadatak 21. U trokutu ABC polozene su visine AD na stranicu BC i BE na stranicu AC .Dokazi da je trokut ABC slican trokutu EDC .

Rjesenje. Najprije uocimo slicne trokute ADC i BCE . Ti su trokuti pravokutni, a kutγ im je zajednicki. Zbog te je slicnosti |CD| : |EC| = |AC| : |BC| . No to jeujedno i jednakost omjera duljina stranica u trokutima EDC i ABC i to onihkoje zatvaraju zajednicki kut γ .

346

7

Zadatak 22. U slicnim je trokutima omjer duljina odgovarajucih tezisnica jednak omjeruduljina stranica koje su nasuprotne vrhovima iz kojih su povucene tezisnice.Dokazi!

Rjesenje. Kako je �ABC ∼ �A′B′C′ , (neka je k koeficijent slicnosti) onda jei �AA1C ∼ �A′A′

1C′ s istim koeficijentom slicnosti k . Naime, γ =

γ ′, |A1C| =a2

= k· a′

2, |AC| = b = k·b′ . Onda je ta = k·t′a , tj. ta : t′a = a : a′ .

Zadatak 23. Ako se dva trokuta podudaraju u jednom kutu, a duljine dviju visina na stranicekoje zatvaraju te kutove su proporcionalne, onda su ti trokuti slicni. Dokazi!

Rjesenje. Pretpostavka je γ = γ ′ , |AA1| = |A′A′1| , |BB1| = |B′B′

1| . Iz ovoga slijedi�AA1C ∼ �A′A′

1C′ , a odatle je b = k · b′ .

No isto je tako �BB1C ∼ �B′B′1C

′ te je a = k · a′ .I sada, zbog a = k · a′, b = k · b′, γ = γ ′ slijedi �ABC ∼ �A′B′C′ .

Zadatak 24. Opseg jednakokracnog trokuta iznosi 110 cm, a duzina koja spaja polovistakrakova ima duljinu 15 cm. Kolike su duljine stranica trokuta?

Rjesenje. Iz omjera a : b = 15 :b2

i jednadzbe a + 2b = 110 imamo 30b =

110b − 2b2 =⇒ b2 = 40b =⇒ b = 40 cm; a = 30 cm.

Zadatak 25. Polovistem P visine na osnovicu AB jednakokracnog trokuta ABC polozenje pravac paralelno s krakom AC . Taj pravac sijece stranicu AB u tocki D ,a stranicu BC u tocki E . Ako je opseg trokuta ABC jednak 18 cm, koliki jeopseg trokuta DBE ?

Rjesenje. Uoci slicne trokute ABC i DBE . Koeficijent slicnosti je k =34

. Naime,

trokuti AFC ( F je noziste visine iz vrha C ) i DFP su slicni. Vrijedi omjer

347

7 RJESENJA ZADATAKA

|DF| : |FP| = |AF| : |FC| =⇒ |DF| :12|FC| =

12|AB| : |FC| =⇒ |DF| =

14|AB| . |DB| =

14|AB| + 1

2|AB| =

34|AB| . Iz |DB| : |AB| =

34

=⇒ k =34

.

Opseg o′ trokuta DBE jednak je o′ =34· 18 =

272

= 13.5 cm.

Zadatak 26. Duljine stranica trokuta su 3 cm, 4 cm i 6 cm. Kolike su duljine stranica slicnogtrokuta kojem je opseg jednak 58.5 cm?

Rjesenje. o = 3 + 4 + 6 = 13 . Iz o′ = k · o nalazimo k = 4.5 , te su duljine stranicaslicnog trokuta jednake 13.5 cm, 18 cm i 27 cm.

Zadatak 27. Povrsina trokuta ABC jednaka je 22.5 cm2 , a duljine stranica slicnog trokutaiznose 2.4 cm, 3.4 cm i 5 cm. Kolike su duljine stranica trokuta ABC ?

Rjesenje. Iz P′ =√

5.4 · 3 · 2 · 0.4 = 3.6 cm 2 i P = k2 · P′ nalazimo k2 = 6.25 ,odnosno k = 2.5 . Duljine stranica trokuta ABC su 6 cm, 8.5 cm i 12.5 cm.

Zadatak 28. Duljine stranica trokuta su 5.5 cm, 12.5 cm i 15 cm. Slican trokut ima povrsinu21.12 cm2 . Kolike su duljine stranica tog drugog trokuta?

Rjesenje. Povrsina prvog trokuta jednaka je P =√

16.5 · 11 · 4 · 1.5 = 33 cm2 . Iz

P′ = k2 · P dobijemo da je k =

√21.1233

= 0.8 . Duljine stranica drugog

trokuta su 4.4 cm, 10 cm i 12 cm.

Zadatak 29. Duljine stranica trokuta su 4 cm, 13 cm i 15 cm. Kolika je povrsina slicnog

trokuta ako je koeficijent slicnosti k =25

?

Rjesenje. Povrsina zadanog trokuta jednaka je P =√

16 · 12 · 3 = 24 cm 2 . Njemu

slican trokut s koeficijentom slicnosti k =25

ima povrsinu P′ = P · k2 =

3.84 cm 2 . Moglo bi se shvatiti da je slican trokut veci, onda bi mu povrsinabila 150 cm 2 .

Zadatak 30. Duljine stranica trokuta iznose 5.2 cm, 8 cm i 8.4 cm. Povrsina slicnog trokutaiznosi 31.5 cm2 . Kolike su duljine stranica drugog trokuta?

Rjesenje. Najprije Heronovom formulom odredimo povrsinu prvog trokuta, ona je jed-naka P =

√10.8 · 5.6 · 2.8 · 2.4 = 20.16 cm 2 . Zatim iz P : P′ = 20.16 :

31.5 = k2 na -demo koeficijent slicnosti k =45

. Stranice drugog trokuta duljine

su 6.5 cm, 10 cm i 10.5 cm.

348

7

Zadatak 31. Duljine stranica trokuta su 10 cm, 10 cm i 16 cm. Ako je povrsina slicnogtrokuta 12 cm 2, koliki mu je opseg?

Rjesenje. P =√

18 · 8 · 8 · 2 = 4 cm 2 . P′ : P = k2 =⇒ k = 0.5 . Duljine stranicaslicnog trokuta su 5 cm, 5 cm i 8 cm, a opseg je o′ = 18 cm.

Zadatak 32. Duljine stranica trokuta su 4 cm, 13 cm i 15 cm. Duljina visine na najkracustranicu slicnog trokuta iznosi 18 cm. Kolike su duljine stranica tog drugogtrokuta?

Rjesenje. PomocuHeronove formule na -demonajprije povrsinu trokuta: P =√

16 · 12 · 3 =

24 cm. Iz formule P =a · va

2imamo va =

2Pa

=484

= 12 cm. Koeficijent

slicnosti izracunamo iz k = v′a : va = 18 : 12 =32

. Duljine stranica slicnog

trokuta su 6 cm, 19.5 cm i 22.5 cm.

Zadatak 33. Trokut ABC, a = 12 cm, b = 17 cm i c = 25 cm, presjecen je pravcem uspo-rednim stranici AB. Tako je od trokuta ABC odrezan manji trokut povrsine 40cm 2. Koliki je opseg tog manjeg trokuta?

Rjesenje. Povrsina veceg trokuta jednaka je P =√

27 · 10 · 15 · 2 = 90 cm 2 . Koefici-

jent slicnosti je k2 = P′ : P = 40 : 90 =49

=⇒ k =23

. Stranice manjeg

trokuta su 8 cm, 11.33 cm i 16.66 cm. Opseg manjeg trokuta je o′ = 36 cm.

Zadatak 34. Duljine stranica trokuta su |AB| = 9 cm, |BC| = 12 cm i |AC| = 15 cm.Trokut je presjecen pravcem paralelnim s AB i taj pravac sijece AC u tocki D,a BC u tocki E. Ako je opseg trokuta DEC jednak 24 cm, kolika je povrsinacetverokuta ABED?

Rjesenje. Opseg veceg trokuta je o = 36 cm, pa je koeficijent slicnosti k = o′ : o = 24 :

36 =23

. Povrsina veceg trokuta je P =√

18 · 3 · 9 · 6 = 54 cm 2 . Onda je

povrsina manjeg trokuta P′ =(

23

)2

·P =49· 54 = 24 . Povrsina cetverokuta

jednaka je PABED = P − P′ = 54 − 24 = 30 cm 2 .

Zadatak 35. Ako je povrsina cetverokuta ABED jednaka 63 cm2 , kolika je povrsina trokutaDEC (vidi sliku)?

Rjesenje. Trokuti ABC i DEC su slicni, jer im je <)ACB zajednicki te je |AC| : |BC| =

|CE| : |CD| = 4 : 3 . Koeficijent slicnosti je k = |AC| : |EC| = 20 : 8 =52

.

349

7 RJESENJA ZADATAKA

Povrsina trokuta DEC jednaka je k2 · P′ = 63 + P′ =⇒ 214

P′ = 63 =⇒P′ = 12 cm 2 .

Zadatak 36. Ako je povrsina trokuta DBE jednaka 8 cm2 , kolika je povrsina trokuta ABC(vidi sliku)?

Rjesenje. Kut <)ABC zajednicki je za oba trokuta, te je jos |AB| : |BE| = |BC| : |BD| =

k = 2 . Dalje je P(�DBE) =14P(�ABC) , dakle P(�ABC) = 32 cm 2 .

Zadatak 37. Duljine stranica trokuta ABC su a = 30 cm, b = 25 cm i c = 15 cm. Nastranici AB nalazi se tocka D te je tom tockom polozen pravac DE , E ∈ AC ,tako da je <)DEA = <)ABC . Ako je opseg trokuta ADE jednak 28 cm, kolikoje |BD| i |CE| ?

Rjesenje. Kut α zajednicki je kut za �ADE i �ABC , a u svakom od tih trokuta jedanje kut β (vidi sliku). Stoga su ti trokuti slicni, a koeficijent slicnosti jednak

je o′ : o =25

. Slijedi |AD| =25|AC| = 10 cm, |AE| =

25|AB| = 6 cm.

Konacno, |BD| = 5 cm, |CE| = 19 cm.

Zadatak 38. Duljina stranice AB trokuta ABC jednaka je 12 cm. Na toj stranici nalazi setocka D te je |AD| = 9 cm . Tockom D polozena je paralela s AC i ona sijecestranicu BC u tocki E . Koliki je omjer povrsina trokuta ABC i DBE ?

Rjesenje. Koeficijent slicnosti jednak je k = |AB| : |DB| = |AB| : (|AB| − |DB|) = 12 :(12 − 9) = 12 : 3 = 4 . P(�ABC) : P(�DBE) = 16 .

Zadatak 39. Na stranici AC trokuta ABC nalazi se tocka D , a na stranici BC tocka E ,te je |AD| = 5 cm, |DC| = 4 cm, |BE| = 9 cm, |EC| = 3 cm. Ako jeP�ABC = 36 cm 2, kolika je povrsina cetverokuta ABED ?

350

7

Rjesenje. Trokuti ABC i CDE su slicni jer imaju zajednicki kut pri vrhu C i |AC| :

|EC| = |BC| : |DC| = 9 : 3 = 12 : 4 = 3 = k . P(�CDE) =P(�ABC)

k2=

369

= 4 cm 2 . P(ABED) = P(�ABC) − P(�CDE) = 36 − 4 = 32 cm 2 .

Zadatak 40. U trokutu ABC je |AB| = 20 cm, |AC| = 15 cm . Na stranici AB nalazi setocka D te je |AD| = 6 cm, a na stranici AC tocka E tako da je |AE| = 8 cm .Ako je P�ABC = 12.5 cm2 , kolika je povrsina trokuta ADE ?

Rjesenje. Trokuti ABC i ADE su slicni jer imaju zajednicki kut pri vrhu A i |AB| :

|AE| = |AC| : |AD| = 20 : 8 = 15 : 6 =52

= k . P(�ADE) =P(�ABC)

k2 =12.5254

= 2 cm 2 .

Zadatak 41. Duljine stranica trokuta ABC su |AB| = 14 cm, |BC| = 13 cm i |AC| = 15cm. Na kojoj udaljenosti od pravca AB valja poloziti pravac paralelno s njimtako da taj pravac od trokuta ABC odsijeca trokut opsega 14 cm?

Rjesenje. Povrsina trokuta ABC jednaka je 84 cm 2 , visina na stranicu AB ima duljinu12 cm. Opseg trokuta ABC iznosi 42 cm, pa kako je opseg odsjecenog trokuta14 cm, koeficijent slicnosti tih trokuta jednak je k = 3 . Visina manjeg trokutaonda je 4 cm, a pravac koji odsijeca trokut od AB je udaljen 8 cm.

Zadatak 42. Visina trokuta dugacka je 12 cm. Na kojoj udaljenosti od vrha iz kojeg jepovucena visina treba povuci paralelu s nasuprotnom stranicom tako da trokuttom paralelom bude podijeljen na dva dijela jednakih povrsina?

Rjesenje. Oznacimo s P povrsinu trokuta ABC , a s P1 povrsinu trokuta A1B1C1 . Tada

jePP1

= 2 = k2 =|CD||CD1| . Odatle nalazimo |CD1| = 6

√2 cm.

Zadatak 43. Duljina visine na osnovicu AB trokuta ABC iznosi 6 cm. Na kojoj udaljenostiod vrha C treba povuci paralelu s AB tako da trokut bude podijeljen na dvadijela cije su povrsine u omjeru 4 : 5 ?

Rjesenje. Dvije su mogucnosti: ili je P1 : P2 = 4 : 5 ili je P1 : P2 = 5 : 4 . U prvom

slucaju koeficijent slicnosti trokuta ABC i trokuta A1B1C1 jednak je32

te je

d = 4 cm, a u drugom je pak k =3√5

pa je d = 2√

5 cm.

351

7 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 44. Neka su p i q duljine odsjecaka na koje noziste visine iz vrha pravog kutapravokutnog trokuta dijeli hipotenuzu, v duljina te visine.

1) Ako je p = 9 cm, q = 16 cm, izracunaj duljine kateta a i b trokuta.2) Ako je p = 24 cm, a = 26 cm, izracunaj duljine katete b i hipotenuze

trokuta.3) Ako je b = 6 cm, q = 3.6 cm, kolike su duljine katete a i hipotenuze

trokuta?4) Ako je v = 60 cm, a = 68 cm, kolike su duljine stranica trokuta?5) Ako je v = 6 cm, b = 10 cm, kolike su duljine stranica trokuta?

Rjesenje. 1) c = p+q = 25 cm, a =√

cp =√

25 · 9 = 15 cm, b =√

cq =√

25 · 16 =20 cm;

2) v =√

a2 − p2 =√

262 − 242 = 10 cm, v =√

pq =⇒ 10 =√

24q =⇒q =

10024

=256

; b =√

q2 + v2 =

√62536

+ 100 =

√422536

=656

= 1056

cm, c = p + q = 2816

cm;

3) v =√

b2 − q2 =√

36 − 12.96 = 4.8 cm; p =v2

q=

23.043.6

= 6.4 cm;

a =√

v2 + p2 =√

23.04 + 40.96 = 8 cm, c = p + q = 10 cm;

4) p =√

a2 − v2 =√

4624− 3600 = 32 cm; q =v2

p=

360032

= 112.5 cm;

b =√

v2 + q2 =√

3600 + 12656.25 = 127.5 cm, c = p + q = 144.5 cm;

5) q =√

100 − 36 = 8 cm; p =v2

q=

368

= 4.5 cm; a =√

v2 + p2 =

7.5 cm; c = p + q = 1212

cm.

Zadatak 45. Duljine ortogonalnih projekcija kateta na hipotenuzu pravokutnog trokuta jed-nake su 18 cm i 32 cm. Kolika je povrsina ovog trokuta?

Rjesenje. c = p + q = 18 + 32 = 50 cm; a =√

cp =√

50 · 18 = 30 cm;

b =√

cq =√

50 · 32 = 40 cm. Povrsina trokuta jednaka je P =ab2

=30 · 40

2= 600 cm 2 .

Zadatak 46. Visina na hipotenuzu pravokutnog trokuta dijeli hipotenuzu na dijelove duljina9 cm i 16 cm. Koliki je opseg ovog trokuta?

352

7

Rjesenje. c = p + q = 9 + 16 = 25 cm; a =√

cp =√

25 · 9 = 15 cm;b =

√cq =

√25 · 16 = 20 cm. Opseg trokuta je o = a + b + c = 60 cm.

Zadatak 47. Omjer duljina odsjecaka na koje hipotenuzu pravokutnog trokuta dijeli nozistevisine spustene iz vrha pravog kuta jednak je 4 : 9 . Ako je duljina visine 12cm, kolike su duljine stranica trokuta?

Rjesenje. Iz 4k · 9k = 122 dobije se k = 2 , te je p = 8 cm i q = 18 cm. Dakle, c = 26cm, a zatim iz a2 = c · p i b2 = c · q nalazimo duljine kateta: a = 4

√13 cm

i b = 6√

13 cm.

Zadatak 48. Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta jednaka je 18 cm, a duljina jedne katete6 cm. Kolike su duljine odsjecaka na koje noziste visine na hipotenuzu dijelihipotenuzu?

Rjesenje. Neka je b = 6 cm. Iz b2 = c · q slijedi q = 2 cm, a potom je p = c− q = 16cm.

Zadatak 49. Duljine ortogonalnih projekcija kateta na hipotenuzu pravokutnog trokuta jed-nake su 2 dm i 6 dm. Kolike su duljine kateta tog trokuta?

Rjesenje. c = 8 dm; a =√

pc =√

2 · 8 = 4 dm, b =√

qc =√

6 · 8 = 4√

3 dm.

Zadatak 50. Duljina jedne katete pravokutnog trokuta iznosi 9 cm, a duljina njezine orto-gonalne projekcije na hipotenuzu je 5.4 cm. Kolike su duljine druge katete ihipotenuze?

Rjesenje. Neka je a = 9 cm i p = 5.4 cm; c =a2

p= 15 cm i b =

√cq = 12 cm.

Zadatak 51. Visina na hipotenuzu pravokutnog trokuta dugacka je 6 cm i dijeli hipotenuzuna dva dijela tako da je duljina jednog od njih 9 cm. Kolika je duljina hipotenuzeovog trokuta?

Rjesenje. Iz v =√

pq slijedi da je p =v2

q=

369

= 4 cm; c = p + q = 4 + 9 = 13 cm.

Zadatak 52. Dokazi da za pravokutni trokut ABC s pravim kutom pri vrhu C vrijedi|AC|2|AD| =

|BC|2|BD| , gdje je D noziste visine iz vrha C na hipotenuzu.

Rjesenje. Iz �ADC ∼ �ABC slijedi |AC| : |AD| = |AB| : |AC| , a odatle |AC|2| =|AB| · |AD| . Potom iz �BCD ∼ �ABC imamo |BC| : |BD| = |AB| : |BC| , aodatle |BC|2 = |AB| · |BD| . Iz dviju dobivenih jednakosti slijedi ona koju jetrebalo dokazati.

Zadatak 53. Kateta pravokutnog trokuta je za 3 cm dulja od svoje ortogonalne projekcijena hipotenuzu, a duljina projekcije druge katete na hipotenuzu iznosi 15 cm.Odredi duljine stranica trokuta.

Rjesenje. Neka je p = a − 3 , q = 15 . Zbrojimo li ih, dobit cemo c = a + 12 . Kakoje b2 = 15c , iz Pitagorinog poucka imamo: (c− 12)2 + 15c = c2 , a odatle jec = 16 cm. Nadalje, a = 4 cm, b = 4

√15 cm.

353

7 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 54. Omjer duljina kateta pravokutnog trokuta jednak je 3 : 2 , a noziste visine dijelihipotenuzu na dijelove od kojih je jedan za 2 cm dulji od drugog. Kolika jeduljina hipotenuze?

Rjesenje. Neka je a = 3k , b = 2k , i neka je p−q = 2 . No p+q = c , te je p =c + 2

2,

q =c − 2

2. I dalje, a2 = c · p daje 9k2 =

c + 22

· c , a analogno se dobije i

4k2 =c − 2

2· c . Podijelimo li ove dvije jednakosti, dobit cemo

94

=c + 2c − 2

,

odakle je c = 5.2 cm.

Zadatak 55. U polovistu hipotenuze pravokutnog trokuta polozena je okomica na hipotenu-zu. Odsjecak te okomice u trokutu dugacak je 3 cm, a duljina njezinog odsjeckaizvan trokuta do sjecista s produzetkom krace katete iznosi 9 cm. Kolika jeduljina hipotenuze tog trokuta?

Rjesenje. Vrijedi: �ABC ∼ �ASE . Obrazlozi zasto. Zbog te je slicnosti 3 :c2

=c2

:

12 , a odatle se dobije c = 12 cm.

Zadatak 56. Opseg paralelograma iznosi 48 cm, a duljine visina paralelograma u omjeru su5 : 7 . Kolike su duljine stranica paralelograma?

Rjesenje. Iz �AED ∼ �CDF proistjeceva

vv=

ba

=24 − a

a=

57

. Odatle se dobije

a = 14 cm, a potom i b = 10 cm.

Zadatak 57. U trapezu ABCD je |BC| = 15 cm, |CD| = 10 cm i |BD| = 20 cm. Ako je<)ADB = <)DCB , koliko je |AB| i |AD| ?

Rjesenje. Uz zadanu jednakost kutova jos je i <)ABD = <)BDC . Zbog toga su trokutiABD i BCD slicni te imamo ove dvije jednakosti:

|AB| : 20 = 20 : 10 i |AD| : 20 = 15 : 10.

Iz prve je |AB| = 40 cm, a iz druge |AD| = 30 cm.

354

7

Zadatak 58. Duljine osnovica AB i CD trapeza ABCD jednake su 27 cm i 12 cm. Ako je<)ADC = <)ACB , kolika je duljina dijagonale AC tog trapeza?

Rjesenje. Iz vrha C povucemo paralelu sa stranicom AD i dobijemo trokut AC′C kojije sukladan trokutu ADC jer imaju odgovarajuce stranice jednakih duljina. Iz<)ACD = <)CAC′ = <)CAB i <)ADC = <)ACB slijedi da je �ABC ∼ �ACD .Odatle je 27 : d = d : 12 , gdje je d = |AC| . Tako se dobije d = 18 cm.

Zadatak 59. Dijagonale trapeza ABCD sijeku se u tocki S tako da je |BS| : |SD| = 5 : 3 .Ako je razlika duljina osnovica trapeza jednaka 8 cm, kolika je duljina srednjicetrapeza?

Rjesenje. Iz vrha C povucemo paralelu sa stranicom AD . �ADC ∼= �AC′C jer suim odgovarajuce stranice jednake duljine, pa je <)CAC′ = <)ACD . Iz vrhaD povucemo paralelu sa stranicom CB . �DD′B ∼= �BCD jer su im od-govarajuce stranice jednake duljine, pa je <)D′BD = <)CDB . Slijedi da je�ABS ∼ �DSC jer se podudaraju u kutovima pri vrhovima A i C , te privrhovima B i D . Odatle slijedi |BS| : |SD| = 5 : 3 = a : c . Odatle je

c =3a5

, pa iz a − c = 8 dobijemo a = 20 cm, c = 12 cm.

Duljina srednjice trapeza iznosia + c

2= 16 cm.

Zadatak 60. Trokutu ABC s osnovicom duljine 10 cm i visinom na osnovicu duljine 15 cmupisan je kvadrat kojem je jedna stranica na osnovici trokuta. Kolika je duljinastranice kvadrata?

Rjesenje. Nacrtajmo trokut ABC i upisimo mu kvadrat. Odmah se uocava �ABC ∼�A1B1C , zbog cega je 10 : x = 15 : (15 − x) , gdje je s x oznacena duljinastranice kvadrata. Iz ove se jednakosti dobije x = 6 cm.

355

7 RJESENJA ZADATAKA

15

Primijeti kako podatcima u zadatku trokut nije jednoznacno zadan, vec se vrhC moze nalaziti bilo gdje na pravcu paralelnom s AB koji je od AB udaljen15 cm.Jedino je ogranicenje da kut uz A , odnosno B nije veci od 90◦ . No bezobzira na odabir tocke C (uz navedeno ogranicenje) duljina stranice upisanogkvadrata jednoznacno je odre -dena.

Zadatak 61. Duljina osnovice trokuta jednaka je 5 cm, a duljina visine na osnovicu 3 cm.Trokutu je upisan kvadrat kojem je jedna stranica na osnovici trokuta. Kolikaje duljina stranice kvadrata?

Rjesenje. Nacrtajmo trokut ABC i upisimo mu kvadrat. Odmah se uocava �ABC ∼�A1B1C , zbog cega je 5 : x = 3 : (3 − x) , gdje je s x oznacena duljina

stranice kvadrata. Iz ove se jednakosti dobije x =158

cm.

Zadatak 62. Trokutu ABC upisan je paralelogram ciji je jedan kut ujedno i kut trokuta.Duljine stranica trokuta uz taj kut jednake su |AB| = 25 cm i |AC| = 20 cm,a duljine stranica paralelograma u omjeru su 6 : 5 . Kolike su duljine stranicaparalelograma?

�

Rjesenje. Ako je kraca stranica paralelograma paralelna sa stranicom AB trokuta, ondaimamo omjer 25 : 5k = 20 : x =⇒ x = 4k ; 4k + 6k = 20 =⇒ k = 2pa su duljine stranica paralelograma 10 cm i 12 cm. Ako je dulja stranicaparalelograma paralelna sa stranicom AB , onda imamo omjer 25 : 6k = 20 :

x =⇒ x =245

k .245

k + 5k =495

k = 20 =⇒ k =10049

pa su duljine

stranica paralelograma jednake50049

cm i60049

cm.

Zadatak 63. Duljina osnovice AB trokuta ABC jednaka je 30 cm, a duljina visine na os-novicu iznosi 10 cm. Tom je trokutu upisan jednakokracan pravokutni trokuts vrhom pravog kuta na osnovici AB i hipotenuzom paralelnom s AB . Kolikaje duljina katete upisanog trokuta?

356

7

Rjesenje. Iz �ABC ∼ �A1B1C slijedi 30 : c = 10 : (10 − vc) . vc =c2

pa je

30(10− c

2

)= 10c =⇒ 300−15c = 10c =⇒ 25c = 300 =⇒ c = 12 cm;

a =c√

22

= 6√

2 cm. Duljina hipotenuze jednaka je 12 cm, a duljina katete

6√

2 cm.

Zadatak 64. Pravokutnik kojem je jedna stranica dvostruko dulja od druge upisan je trokutus osnovicom duljine 8 cm i visinom na osnovicu duljine 6 cm. Kolike su duljinestranica pravokutnika ako jedna njegova stranica lezi na osnovici trokuta?

Rjesenje. Zadatak ima dva rjesenja. U prvom slucaju imamo omjer 8 : 2a = 6 :(6 − a) =⇒ 48 − 8a = 12a =⇒ 20a = 48 =⇒ a = 2.4 cm. Duljinestranica pravokutnika su 4.8 cm i 2.4 cm. U drugom slucaju imamo omjer

8 : a = 6 : (6 − 2a) =⇒ 48 − 16a = 6a =⇒ 22a = 48 =⇒ a =2411

cm.

Duljine stranica pravokutnika su2411

cm i4811

cm.

Zadatak 65. Jednakokracnom pravokutnom trokutu ABC upisan je kvadrat na dva nacina.Ako je povrsina prvog kvadrata P1 = 441 cm2 , kolika je povrsina drugog?

AA

1

2

B B

C C

PP

Rjesenje. Duljina stranice prvog kvadrata jednaka je 21 cm. Zakljucujemo da je duljinakatete trokuta 42 cm, a duljina hipotenuze 42

√2 cm. Duljina stranice drugog

kvadrata jednaka je 21√

2 :a2

= 21√

2 : (21√

2 − a) =⇒ a = 14√

2 te je

P2 = 392 cm 2 .

Zadatak 66. Kvadratu povrsine 128 cm2 upisan je pravokutnik kojem su stranice paralelnedijagonalama kvadrata, a duljine su im u omjeru 3 : 5 . Kolika je povrsinapravokutnika?

Rjesenje. Duljina stranice kvadrata je 8√

2 . Iz omjera 16 : 5k = 8√

2 : (8√

2 − x)i 16 : 3k = 8

√2 : x dobijemo k = 2 . Duljine stranica pravokutnika su

3k = 6 cm i 5k = 10 cm, a njegova je povrsina P = 60 cm 2 .

Zadatak 67. Iz vrha A paralelograma ABCD polozene su okomice AM i AN na pravceBC i CD ( M ∈ BC , N ∈ CD ). Dokazi da su trokuti AMN i ABC slicni.

Rjesenje. Najprije uocavamo �AMB ∼ �ADN (tim su trokutima jednaki odgovarajucikutovi). Zbog te je slicnosti |AM| : |AN| = |AB| : |AD| = |AB| : |BC| , a osimtoga je i <)ABC = <)NAM , jer su to kutovi s okomitim kracima.

357

7 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 68. Sva su tri trokuta na slici jednakostranicna. Kolika je duljina stranice najvecegod tih triju trokuta?

Rjesenje. Primjenjujemo poucke o slicnosti trokuta. Najprije iz 3 : 2 = (y + 2) : y

dobijemo y = 4 , a zatim iz x : 3 = 9 : 6 slijedi x =92

.

Zadatak 69. Na slici su tri kvadrata upisana u kut. Izracunaj duljine duzina x i y .

Rjesenje. Iz omjera 9 : 4 = (4+ x+ y) : (x+ y) i 4 : x = (x+ y) : y dobijemo x =169

,

y =6445

.

Zadatak 70. Duljina polumjera kruznice upisane jednakokracnom trokutu ABC jednaka je13

duljine osnovice AB . Opseg trokuta iznosi 72 cm. Kolike su duljine stranica

trokuta?

Rjesenje. Uocavamo da je �DBC ∼ �SEC , odakle slijedia2

: b =13a :

(v − 1

3a

)(vidi sliku). Odatle je v =

a + 2b3

=723

= 24 cm. Dalje, b2 =(a

2

)2+ v2 =

(36 − b)2 + v2 , te se tako dobije b = 26 cm, a = 20 cm.

358

7

Zadatak 71. Jednakokracnom trokutu ABC s osnovicom AB duljine 12 cm i krakom duljine18 cm upisana je kruznica. Na tu kruznicu polozena je tangenta paralelno os-novici trokuta. Kolika je duljina odsjecka te tangente koji je ome -den njezinimsjecistima s kracima trokuta?

Rjesenje. Najprije izracunamo povrsinu trokuta, ona je jednaka P = 72√

2 cm2 (slika).Zatim iz P = r · s , gdje je s pola opsega trokuta, nalazimo r = 3

√2 cm.

Sad koristimo �ABC ∼ �MNC te zapisujemo |AB| : |MN| = |CD| : |CE| ,a odatle se dobije |MN| = 6 cm.

Zadatak 72. Jednakokracnom trokutu ABC , |AB| = 30 cm , |AC| = |BC| = 25 cm , upi-sana je kruznica i ona krak AC trokuta dira u tocki E , a krak BC u tocki F .Izracunaj duljinu duzine EF .

Rjesenje. Slicnost trokuta CDB i CSF povlaci 15 : r = 25 : (20− r) =⇒ r =152

cm

i |CF| =

√(20 − 15

2

)2− 15

2= 10 cm.

Zatim iz �CDB ∼ �PSF slijedi 25 :152

= 20 : |PF| =⇒ |PF| = 6 cm, a

onda |EF| = 2 · |PF| = 12 cm.

359

7 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 73. Osnovica jednakokracnog trokuta dugacka je 36 cm, a duljina kraka trokutaiznosi 54 cm. Tom trokutu upisana je kruznica. Kolike su duljine duzina kojespajaju diralista kruznice sa stranicama trokuta?

Rjesenje. Visina trokuta je v = 36√

2 cm. Povrsina trokuta je P =36

√2 · 362

=

648√

2 cm 2 , a polumjer upisane kruznice je r =Ps

= 9√

2 cm. 36√

2 :

|A1C| = 18 : 9√

2 =⇒ |A1C| = 36 cm. Iz omjera 36 : |A1B1| =54 : 36 =⇒ |A1B1| = 24 cm. Neka je tocka P poloviste duzine A1B1 .v : |CP| = |C1B| : |PA1| =⇒ 36

√2 : |CP| = 18 : 12 =⇒ |CP| = 24

√2 .

|PC1| = v− |CP| = 12√

2 ; |A1C1| =√|PA1|2 + |PC1|2 =

√122 + 122 · 2 =

12√

3 cm; B1C1 = 12 cm.


Zadatak 1. Nacrtaj kvadrat ABCD pa konstruiraj njegovu sliku pri homotetiji sa sredistemu sredistu kvadrata i koeficijentom k = 2

3 .

Rjesenje. Nacrtamo kvadrat ABCD duljine stranica a . Iz sredista kvadrata povucemopravce kroz vrhove kvadrata. Duzinu AS podijelimo na tri jednaka dijela.

Sestarom prenesemo duljinu23|AS| na ostale pravce i dobijemo tocke A1 , B1 ,

C1 i D1 . Spojimo ih i dobijemo kvadrat cija je duljina stranice jednaka23a .

Zadatak 2. Nacrtaj kvadrat ABCD te mu odredi sliku pri homotetiji sa sredistem u tockiA i koeficijentom k = − 1

2 .

Rjesenje. Nacrtamo kvadrat ABCD duljine stranica a . Preko vrha A produljimo stra-

nice AB i AD za12a i dobijemo tocke B1 i D1 . Produljimo preko vrha A

dijagonalu AC za12|AC| i dobijemo tocku C1 . Spojimo te tocke i dobijemo

kavdrat cija je duljina stranice jednaka12a .

Zadatak 3. Konstruiraj sliku jednakostranicnog trokuta ABC pri homotetiji sa sredistem usredistu trokuta i koeficijentom homotetije k = − 3

2 .

Rjesenje. Nacrtamo jednakostranican trokut ABC duljine stranica a . Iz vrhova krozsrediste trokuta povucemo pravce. Preko sredista S na pravac nanesemo du-

ljinu32|AS| i dobijemo tocku A1 . Isto ucinimo i za ostala dva vrha trokuta i

360

7

dobijemo tocke B1 i C1 . Spojimo ih i imamo jednakostranican trokut A1B1C1

duljine stranica32a .

Zadatak 4. Nacrtaj trokut ABC te mu konstruiraj sliku pri homotetiji sa sredistem u tezistutrokuta i koeficijentom −2 .

Rjesenje. Nacrtamo trokut ABC . Spojimo vrhove trokuta s polovistima nasuprotnih stra-nica i dobijemo teziste T . Produljimo tezisnice. Preko tezista T na tezisnicuta nanesemo duljinu 2|AT| i dobijemo tocku A1 . Isto ucinimo i za ostala dvavrha trokuta i dobijemo tocke B1 i C1 . Spojimo ih i imamo trokut A1B1C1 .

Zadatak 5. Nacrtaj homoteticnu sliku dane kruznice ako je srediste homotetije neka tockana kruznici, a koeficijent homotetije jednak −2 .

Rjesenje. Nacrtamo kruznicu k polumjera r . Odaberemo na kruznici tocku O . Povuce-mo pravac kroz tocke S i O . Lijevo od tocke O na pravac nanesemo duzinur1 = 2|OS| i dobijemo tocku S1 oko koje opisemo kruznicu k1 radijusa r1koja je homoteticna slika kruznice k .

Zadatak 6. Dokazi da za svake dvije kruznice postoji homotetija pri kojoj je jedna kruznicaslika druge.

Rjesenje. Ako su dane dvije kruznice te je manja kruznica unutar vece, vrh homotetije jetocka koja duzinu S1S2 dijeli u omjeru r1 : r2 . (Dvije su mogucnosti).Ako kruznice nisu jedna unutar druge, a nisu ni sukladne, vrh homotetije jetocka u kojoj se sijeku pravac S1S2 i bilo koja zajednicka tangenta tih dvijukruznica. I u ovom slucaju imamo dvije homotetije kojima se jedna kruznicapreslika na drugu.

I konacno, ako su kruznice sukladne, vrh homotetije je poloviste duzine S1S2,a koeficijent je jednak −1 .

Zadatak 7. Dan je trokut ABC . Tocka P poloviste je stranice BC , tocka Q stranice AC ,a tocka R stranice AB . Dokazi da postoji homotetija kojom se trokut ABCpreslika u trokut PQR .

Rjesenje. Vrh homotetije je teziste trokuta, a koeficijent homotetije jednak je − 12 . Tvrd-

nja proistjece neposredno iz teorema o tezistu trokuta.

Zadatak 8. Nacrtaj kruznicu sa sredistem u tocki S i neka su SA i SB neka dva polumjerakruznice. Konstruiraj tetivu iste kruznice tako da je duzine SA i SB dijele natri sukladna dijela.

Rjesenje. Odredimo na pravcu AB tocke C i D tako da bude |CA| = |AB| = |BD| .Spojimo C i D sa S . Sjecista E i F tih spojnica s kruznicom odre -duju tetivuEF koja zadovoljava uvjete zadatka.

361

7 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 9. Konstruiraj trokut ABC ako je zadano

1) a : b : c = 3 : 4 : 6 , va = 3 ;2) b : c = 4 : 3 , α = 45◦ , va = 4 cm;3) a : b = 3 : 5 , c = 4.5 cm, β = 105◦ ;4) b = 5 cm, a : c = 2 : 3 , β = 60◦ .

Rjesenje. 1) Konstruiramo trokut sa stranicama a′ = 3 cm, b′ = 4 cm i c′ = 6 cm. Izvrha A spustimo visinu v′a na stranicu a′ . Nanesemo va = 3 cm na pravacna kojem lezi visina v′a i dobijemo tocku A1 . Kroz nju povucemo paralelu sastranicom a′ . Produljimo stranice b′ i c′ i u njihovim sjecistima s paralelomdobijemo vrhove B i C trazenog trokuta. (Homotetija sa sredistem u tockiA .)2) Konstruiramo kut α = 45◦ u vrhu A . Na krakove kuta nanesemo duljineb′ = 4 cm i c′ = 3 cm i dobijemo tocke B′ i C′ . Iz vrha A spustimo visinuv′a na stranicu a′ . Na pravac na kojem lezi visina v′a nanesemo va = 4 cmi dobijemo tocku A1 . Kroz tu tocku povucemo paralelu sa stranicom a′ .U sjecistima te paralele i krakova kuta α = 45◦ . Nalaze se tocke B i C .(Homotetija sa sredistem u tocki A .)3) Konstruiramo kut β = 105◦ s vrhom B . Na krak nanesemo duljinua′ = 3 cm i dobijemo tocku C′ . Oko te tocke zasijecemo kruzni luk polumjerab′ = 5 cm. U sjecistu tog luka i kraka kuta dobijemo tocku A′ . Na stranicuBA′ trokuta A′BC′ nanesemo duljinu c = 4.5 cm i dobijemo tocku A . Iztocke A povucemo paralelu sa stranicom C′A′ . U sjecistu paralele i kraka kutanalazi se tocka C . (Homotetija sa sredistem u tocki B .)4) Konstruiramo kut β = 60◦ i na njegove krakove nanesemo duljinea′ = 2 cm i c′ = 3 cm i dobijemo tocke C′ i A′ . Produljimo duzinuC′A′ i na nju nanesemo duljinu b = 5 cm i dobijemo tocku A′

1 . Kroz tockuA′

1 povucemo paralelu sa stranicom BC′ . U sjecistu te paralele i kraka kuta β ,na kojem lezi stranica BA′ , nalazi se tocka A . Iz tocke A povucemo paralelusa stranicom C′A′ i u sjecisu te paralele i kraka kuta β na kojem lezi stranicaBC′ nalazi se tocka C . (Homotetija sa sredistem u tocki B .)

Zadatak 10. Konstruiraj kvadrat upisan u zadani polukrug.

Rjesenje. U zadani polukrug konstruiramo manji kvadrat duljine stranice a , po voljiodabrane, tako da jedna stranica kvadrata lezi na promjeru polukruga i da sepoloviste te stranice poklapa sa sredistem S zadanog polukruga. Povucemosad pravce kroz tocku S i ostala dva vrha kvadrata. U tockama gdje ti pravcisijeku polukruznicu nalaze se dva vrha trazenog kvadrata. Iz njih spustimookomice na promjer polukruga te dobijemo preostala dva vrha trazenog kvad-rata. (Trazeni je kvadrat homoteticna slika po volji odabranog kvadrata u tockiS .)

Zadatak 11. U dani siljastokutni trokut ABC upisi jednakostranicni trokut DEF , tako daje vrh D na stranici BC , vrh E na stranici AC i vrh F na stranici AB , teEF ⊥ AB .

Rjesenje. Odaberimo na stranici AB bilo koju tocku F1 i polozimo okomicu na AB .Tako dobijemo tocku E1 na AC . Konstruirajmo potom i treci vrh D1 jedna-kostranicnog trokuta D1E1F1. Upisani je trokut homoteticna slika ovoga prihomotetiji s vrhom A. Zato ce tocka D biti sjeciste spojnice AD1 i straniceBC .

362

7

Zadatak 12. U polukruznicu s promjerom MN upisi kvadrat ABCD kojem je stranica ABna MN .

Rjesenje. Neka je A1B1 duzina na MN kojoj je srediste S poloviste. Konstruiramokvadrat A1B1C1D1 pa zatim tom kvadratu homotetican kvadrat ABCD .

Zadatak 13. Nacrtaj trokut ABC ako su zadana dva njegova kuta i duzina po duljini jednakanjegovom opsegu.

Rjesenje. Nacrtamo trokut A1B1C1 s kutovima kao sto su zadani. Zatim konstruiramoduzinu D1E1 cija je duljina jednaka opsegu ovog trokuta ( |D1A1| = |A1C1| ,|B1E1| = |B1C1| ).

Nacrtamo zatim paralelnu duzinu DE koja je po duljini jednaka opsegu trokutaABC . Konstruiramo vrh homotetije kojom se D1E1 preslikava na DE . Sadaje lako odrediti vrhove A i B , a onda i vrh C trokuta ABC .

Zadatak 14. Dana duzina jednaka je zbroju stranice i dijagonale kvadrata. Konstruiraj tajkvadrat.

363

7 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Konstruiramo bilo koji kvadrat A1B1C1D1 i neka je A1E1 duzina jednakazbroju njegove stranice i dijagonale. Na produzetku stranice A1D1 odaberimotocku A i neka je AE zadani zbroj stranice i dijagonale kvadrata koji valjakonstruirati.

Spojimo tocke E i E1 te u sjecistu s pravcem AA1 odredimo vrh homotetijepri kojoj se kvadrat A1B1C1D1 preslika na kvadrat ABCD .

Zadatak 15. Danom trokutu upisi romb tako da jedan vrh romba bude vrh danog trokuta.

Rjesenje. U danom trokutu odaberemo bilo koji vrh A . Taj nam je vrh ujedno i vrh rom-ba kojeg konstruiramo tako da mu dvije susjedne stranice leze na stranicamatrokuta iz odabranog vrha. Povucemo pravac kroz A i njemu nasuprotni vrhromba C′ . U sjecistu tog pravca i stranice trokuta nalazi se tocka C koja je vrhromba upisanog u taj trokut. Kroz nju povucemo paralele sa stranicama trokutai u sjecistima paralela i stranica dobijemo preostale vrhove. (Homotetija sasredistem u odabranom vrhu trokuta, tocki A .)

Zadatak 16. Danom kvadratu upisi pravokutnik kojem je jedna stranica dvostruko dulja oddruge, a stranice paralelne dijagonalama kvadrata.

Rjesenje. U danom kvadratu konstruiramo pravokutnik kojemu je jedna stranica dvostru-ko dulja od druge tako da mu dijagonale kvadrata raspolavljaju stranice i dasu okomite na njih. Iz sjecista dijagonala povucemo pravce kroz vrhove pra-vokutnika. U sjecistu tih pravaca i stranica kvadrata nalaze se vrhovi trazenogpravokutnika. (Homotetija sa sredistem u sjecistu dijagonala kvadrata.)

Zadatak 17. Primjenom homotetije konstruiraj jednakostranican trokut ako je dana duzinarazlika njegove stranice i visine.

Rjesenje. Konstruiramo jendakostranican trokut duljine stranice a′ . Spustimo visinu izvrha C′ na stranicu a u tocku N′ . Njenu duljinu nanesemo iz vrha C′ nastranicu a′ . Dobijemo tocku N′

1 . Sada zadanu duzinu nanesemo na pravac nakojem lezi duzina BC′ iz vrha B i dobijemo tocku N1 . Povucemo paralelus duzinom N′N′

1 iz tocke N1 . U sjecistu te paralele i pravca na kojem lezistranica A′B nalazi se tocka N . U tocki N dignemo okomicu na NB . Usjecistu te okomice i pravca na kojem lezi BC′ nalazi se tocka C . Produljimoduzinu NB za |NB| preko tocke N i dobijemo tocku A .

Zadatak 18. Konstruiraj kruznicu koja prolazi danom tockom T unutar danog kuta α i kojadira krakove kuta.

364

7

Rjesenje. Konstruiramo simetralu tog kuta i na njoj odaberemo tocku S′ . Iz te tockedignemo okomicu koja sijece krak kuta u tocki A . Oko tocke S′ opisemokruznicu radijusa |AS′| . Kroz vrh kuta i zadanu tocku T povucemo pravac.On sijece kruznicu u dvije tocke P i Q (postoje dva rjesenja). Odaberemo,npr. tocku P i spojimo je sa sredistem S′ . Zatim povucemo pravac paralelanduzini PS′ tockom T . On sijece simetralu kuta u tocki S koja je sredistetrazene kruznice polumjera |ST| . (Homotetija sa sredistem u vrhu zadanogkuta.)

Zadatak 19. Dane su dvije kruznice razlicitih polumjera. Konstruiraj zajednicke tangentetih dviju kruznica.Uputa: konstruiraj centar homotetije dviju kruznica pa zatim povuci tangentena kruznice iz tog centra.

Rjesenje. Kroz sredista danih kruznica povucemo pravac. Na jednoj kruznici odaberemobilo koju tocku P i spojimo je sa sredistem S1 te kruznice. Zatim povucemoparalelu duzini PS1 kroz srediste S2 druge kruznice. U sjecistu paralele i drugekruznice je tocka P′ . Povucemo pravac kroz tocke P i P′ . On sijece pravackroz sredista kruznica u tocki O koja je srediste homotetije. Odredimo polo-

viste duzine OS1 i u njemu konstruiramo kruznicu polumjera|OS1|

2. Spojimo

sjecistima te kruznice i kruznice k1 s tockom O i dobijemo trazene tangenate.

Zadatak 20. Preslikavanje koje svakoj tocki T(x, y) ravnine pridruzuje tocku T′(kx, ky), k �=

0 je homotetija sa sredistem u ishodistu koordinatnog sustava i koeficijentomk . Dokazi!

Rjesenje. Tocke O , T(x, y) i T ′(kx, ky) leze na istom pravcu. Pravac kroz tocke O iT glasi y = x . Tocka T ′(kx, ky) je na tom pravcu jer zadovoljava tu jed-nadzbu pravca ky = kx . Treba jos pokazati da je |OT ′| = |k| · |OT| =√

(kx)2 + (ky)2 =√

k2x2 + k2y2 =√

k2(x2 + y2) = |k|√

x2 + y2 = |k| ·|OT| .

365

8 RJESENJA ZADATAKA


Zadatak 1. 1) 0.5 · √0.04 +16

√144 ; 2)

12

√196 + 1.5 · √0.36 ;

3)34

√2.56 − 1.2 ·

√214

; 4)23

√0.81 + 4 · √1.21 .

Rjesenje. 1) 0.5 · √0.04 +16

√144 = 0.5 · 0.2 +

16· 12 = 2.1 ;

2)12

√196 + 1.5 · √0.36 =

12· 14 + 1.5 · 0.6 = 7 + 0.9 = 7.9 ;

3)34

√2.56−1.2·

√214

=34·1.6−1.2

√94

= 1.2−1.2· 32

= 0.3−0.9 = −0.6 ;

4)23

√0.81 + 4 · √1.21 =

23· 0.9 + 4 · 1.1 = 2 · 0.3 + 4.4 = 5 .

Zadatak 2. 1)√

22 · 48 · 11 · 54 ; 2)√

72 · 6 · 45 · 15 ;

3)√

42 · 18 · 27 · 7 ; 4)√

39 · 21 · 13 · 28 .

Rjesenje. 1)√

22 · 48 · 11 · 54 =√

11 · 2 · 6 · 4 · 2 · 11 · 6 · 9 = 11 · 2 · 6 · 2 · 3 = 792 ;

2)√

72 · 6 · 45 · 15 =√

36 · 2 · 2 · 3 · 9 · 5 · 5 · 3 = 6 · 2 · 3 · 3 · 5 = 540

3)√

42 · 18 · 27 · 7 =√

2 · 3 · 7 · 2 · 9 · 9 · 3 · 7 = 2 · 3 · 7 · 9 = 378 ;

4)√

39 · 21 · 13 · 28 =√

13 · 3 · 3 · 7 · 13 · 4 · 7 = 13 · 3 · 7 · 2 = 546 .

Zadatak 3. 1)√

1092 − 602 ; 2)√

1532 − 722 ; 3)√

1602 − 962 .

Rjesenje. 1)√

1092 − 602 =√

(109 − 60)(109 + 60) =√

49 · 169 = 7 · 13 = 91 ;

2)√

1532 − 722 =√

(153 − 72)(153 + 72) =√

81 · 225 = 9 · 15 = 135 ;

3)√

1602 − 962 =√

(160 − 96)(160 + 96) =√

64 · 256 = 8 · 16 = 128 .


1)√

4 + 2√

3 = 1 +√

3 ; 2)√

2 − 1 =√

3 − 2√

2 ;

3)√

5 + 2√

6 =√

2 +√

3 ; 4) 2 −√3 =

√7 − 4

√3 .

Rjesenje. 1)√

4 + 2√

3 =√

1 + 2√

3 + 3 =√

(1 +√

3)2 = 1 +√

3 ;

2)√

2 − 1 =√

(√

2 − 1)2 =√

2 − 2√

2 + 1 =√

3 − 2√

2 ;

3)√

5 + 2√

6 =√

2 + 2√

2 · sq3 + 3 =√

(√

2 +√

3)2 =√

2 +√

3 ;

4) 2 −√3 =

√(2 −√

3)2 =√

4 − 4√

3 + 3 =√

7 − 4√

3 .

366

8


1)√

(1 −√2)2 +

√(√

2 −√3)2 +

√(√

3 − 2)2 ;

2)√

(2√

3 − 3√

2)2 +√

(2√

2 − 3√

3)2 .

Rjesenje. 1)√

(1 −√2)2 +

√(√

2 −√3)2 +

√(√

3 − 2)2

=√

(√

2 − 1)2 +√

(√

3 −√2)2 +

√(2 −√

3)2

=√

2 − 1 +√

3 −√2 + 2 −√

3 = 1 ;

2)√

(2√

3−3√

2)2 +√

(2√

2−3√

3)2 =√

(3√

2−2√

3)2 +√

(3√

3−2√

2)2

= 3√

2 − 2√

3 + 3√

3 − 2√

2 =√

2 +√

3 .


1)|√8 − 3| + |1 −√

2||√2 − 2| + √

18; 2)

|3 −√12| − |4 −√

27||1 −√

3| − |3 −√3| ;

3)|3 −√

8| − |2 −√18|

|4 − 3√

2| + |√2 − 2| .

Rjesenje. 1)

|√8 − 3| + |1 −√2|

|√2 − 2| + √18

=3 − 2

√2 +

√2 − 1

2 −√2 + 3

√2

=2 −√

2

2 + 2√

2

=2 −√

2

2(1 +√

2)

/· 1 −√

2

1 −√2

=2 − 2

√2 −√

2 + 2−2

=4 − 3

√2

−2=

3√

2 − 42

;

2)

|3 −√12| − |4 −√

27||1 −√

3| − |3 −√3| =

2√

3 − 3 − 3√

3 + 4√3 − 1 − 3 +

√3

=1 −√

3

2(√

3 − 2)

/·√

3 + 2√3 + 2

=√

3 + 2 − 3 − 2√

3−2

=1 +

√3

2;

3)

|3 −√8| − |2 −√

18||4 − 3

√2| + |√2 − 2| =

3 − 2√

2 − 3√

2 + 2

3√

2 − 4 + 2 −√2

=5 − 5

√2

2(√

2 − 1)

/·√

2 + 1√2 + 1

=5(1 −√

2)(1 +√

2)2

= −52.

Zadatak 7. Za koje realne brojeve x vrijedi:

1)√

(2x − 1)2 = 2x − 1 ; 2)√

(x + 2)2 = −x − 2 ;

3)√

(3 − 4x)2 = 4x − 3 ; 4)√

x2 − 6x + 9 = 3 − x ;

5)√

9x2 − 12x + 16 = 3x − 4 ; 6)√

4x2 − 4x + 1 = 1 − 2x ?

367

8 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1) Mora vrijediti 2x − 1 � 0 , tj. x � 12

;

2) Mora vrijediti −x − 2 � 0 , tj. x � −2 ;

3) Mora vrijediti 4x − 3 � 0 , tj. x � 34

;

4)√

x2 − 6x + 9 =√

(x − 3)2 . Mora vrijediti 3 − x � 0 , tj. x � 3 ;

5)√

9x2 − 12x + 16 =√

(3x − 4)2 . Mora vrijediti 3x − 4 � 0 , tj. x � 43

;

6)√

4x2 − 4x + 1 =√

(2x − 1)2 . Mora vrijediti 1 − 2x � 0 , tj. x � 12

.


1)√

x2 − 2x + 1 −√x2 + 4x + 4 , za −2 � x � 1 ;

2)√

4x2 − 4x + 1 −√x2 + 2x + 1 , za −1 � x � 1

2;

3)√

x2−6x+9 −√x2−4x+4 −√

x2−2x+1 , za 2 � x � 3 ?

Rjesenje. 1) f (x) =√

(x − 1)2 −√(x + 2)2 = |x − 1| − |x + 2| , za −2 � x � 1 je

f (x) = −x + 1 − x − 2 = −2x − 1 ;

2) f (x) =√

(2x − 1)2−√(x + 1)2 = |2x−1|− |x+1| = −2x+1− x−1 =

−3x , za −1 � x � 12

;

3) f (x) =√

(x − 3)2−√(x − 2)2−√

(x − 1)2 = |x−3|− |x−2|− |x−1|=−x + 3 − x + 2 − x + 1 = −3x + 6 , za 2 � x � 3 .


1) (√

3 − 1)2(4 + 2√

3) ; 2) (3 + 2√

2)(1 −√2)2 ;

3) (√

3 +√

5)2(4 −√15) .

Rjesenje. 1) (√

3 − 1)2(4 + 2√

3) = (4 − 2√

3)(4 + 2√

3) = 16 − 12 = 4 ;

2) (3 + 2√

2)(1 −√2)2 = (3 + 2

√2)(3 − 2

√2) = 9 − 8 = 1 ;

3) (√

3 +√

5)2(4−√15) = (8 + 2

√15)(4−√

15) = 2(4 +√

15)(4−√15)

= 2(16 − 15) = 2 .


1)(√

2 +√

3 +√

2 −√3)2

; 2)(√

3 +√

5 −√

3 −√5)2

;

3)(√

4 −√7 −

√4 +

√7)2

.

Rjesenje. 1)(√2 +

√3 +

√2 −

√3)2

= 2 +√

3 + 2

√2 +

√3

√2 −

√3 + 2 −

√3

= 4 + 2√

(2 +√

3)(2 −√

3) = 4 + 2 · 1 = 6;

368

8

2)(√3 +

√5 −

√3 −

√5)2

= 3 +√

5 − 2

√3 +

√5

√3 −

√5 + 3 −

√5

= 6 − 2√

(3 +√

5)(3 −√

5) = 6 − 2 · 2 = 2;

3)(√4 −

√7 −

√4 +

√7)2

= 4 −√

7 − 2√

(4 −√

7)(4 +√

7) + 4 +√

7

= 8 − 2 · 3 = 2.

Zadatak 11. Koliko je x2 − xy + y2 ako je x =1√

3 −√2

, y =1√

3 +√

2?

Rjesenje. x =1√

3 −√2

/·√

3 +√

2√3 +

√2

=√

3 +√

21

=√

3 +√

2 ;

y =1√

3 +√

2

/·√

3 −√2√

3 −√2

=√

3 −√2

1=

√3 −√

2 ;

(√

3+√

2)2−(√

3+√

2)(√

3−√2)+(

√3−√

2)2 = 5+2√

6−1+5−2√

6 = 9.

Zadatak 12. Izracunaj a −√ab + b za a =

√2 − 1√2 + 1

,

b =√

2 + 1√2 − 1

.

Rjesenje. a =√

2 − 1√2 + 1

/·√

2 − 1√2 − 1

=3 − 2

√2

1= 3 − 2

√2 ;

b =√

2 + 1√2 − 1

/·√

2 + 1√2 + 1

=3 + 2

√2

1= 3 + 2

√2 ;

a−√ab+b = 3−2

√2−

√(3 − 2

√2)(3 + 2

√2)+3+2

√2 = 6−√

1 = 5 .

Zadatak 13. Izracunaj vrijednost izrazaab

+ba

za a =2 −√

2

3 +√

3, b =

3 −√3

2 +√

2.

Rjesenje.

ab

+ba

=

2 −√2

3 +√

33 −√

3

2 +√

2

+

3 −√3

2 +√

22 −√

2

3 +√

3

=(2 −√

2)(2 +√

2)(3 +

√3)(3 −√

3)+

(3 −√3)(3 +

√3)

(2 +√

2)(2 −√2)

=26

+62

=206

=103

= 313.

Zadatak 14. Ako je x =

√5 +

√3√

5 −√3

, y =1x

, koliko je 3x2 + 4xy + 3y2 ?

369

8 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. x =√

5 +√

3√5 −√

3

/·√

5 +√

3√5 +

√3

=8 + 2

√15

2= 4 +

√15 ;

b =1x

=1

4 +√

15

/· 4 −√

15

4 −√15

=4 −√

151

= 4 −√15 ;

3x2 + 4xy + 3y2 = 3(31 + 8√

15) + 4(16 − 15) + 3(31 − 8√

15)

= 93 + 24√

15 + 4 + 93 − 24√

15 = 190.

Zadatak 15. Izracunaj vrijednost funkcije f (x) = 9x3 − 9x2 − x + 1 za x =1 − 2

√2

3.

Rjesenje. f (x) = 9x3 − 9x2 − x + 1 = 9x2(x − 1) − (x − 1) = (x − 1)(9x2 − 1) ;

f

(1 − 2

√2

3

)=

(1 − 2

√2

3− 1

)⎡⎣9

(1 − 2

√2

3

)2

− 1

⎤⎦

= −2 + 2√

23

(9−4√

2−1) = −83(1 +

√2)(2−

√2) = −8

3

√2.

Zadatak 16. Ako je f (x) =1

x3 + 1:

x − 1x2 − x + 1

, koliko je f (√

3) ?

Rjesenje.

f (x) =1

x3 + 1· x2 − x + 1

x − 1=

1(x + 1)(x2 − x + 1)

· x2 − x + 1x − 1

=1

x2 − 1;

f (√

3) =1

3 − 1=

12.


1)√

x + 11 +

√x + x

:1

x2 −√x

; 2)(a

√a+b

√b√

a+√

b−√

ab)·(√a+

√b

a−b

)2;

3)(√a√

b+√

b√a−2

):

√a−√

b√ab

; 4)( √

a√a−√

b−

√b√

a+√

b

)·a−b

a.

Rjesenje. 1) √x + 1

1 +√

x + x:

1x2−√

x=

√x + 1

1 +√

x + x· x2−√

x1

=x2−x + x2√x−√

x1 +

√x + x

=x(x−1) +

√x(x2−1)

1 +√

x + x=

(x−1)(x +√

x(x + 1)1 +

√x + x

=(x−1)(x + x

√x +

√x)

1 +√

x + x=

√x(x−1)(

√x + x + 1)

1 +√

x + x

=√

x(x−1);

2)(a√

a+b√

b√a+

√b

−√

ab

)·(√

a+√

ba−b

)2

=a√

a + b√

b−a√

b−b√

a√a +

√b

· (√

a +√

b)2

(a−b)2

370

8

=[√

a(a−b)−√b(a−b)](

√a−√

b)(a−b)2

=(a−b)(

√a−√

b)(√

a−√b)

(a−b)2

=(√

a−√b)(

√a−√

b)a−b

=a−ba−b

= 1;

3)(√a√b

+√

b√a− 2

):

√a −√

b√ab

=(√a√

b+

√b√a− 2

)·

√ab√

a −√b

=a + b − 2

√ab√

ab·

√ab√

a −√b

=(√

a −√b)2

√a −√

b

=√

a −√

b;

4)( √a√

a −√b−

√b√

a +√

b

)· a − b

a=

√a(√

a +√

b) −√b(√

a −√b)

a − b· a−b

a

=a +

√ab −√

ab + ba

=a + b

a;

Zadatak 18. Racionaliziraj nazivnik u razlomku:

1)2√6

; 2)6√3√

5; 3)

√34

; 4)3√

2

2√

3;

5)a√

b√a

; 6)

√2a3b

; 7)2ab

3√

6a; 8)

2√

x + 13√

x.

Rjesenje. 1)2√6·√

6√6

=2√

66

=√

63

;

2)6√3√

5·√

3√

5√3√

5=

6√

1515

=2√

155

3)

√34

=√

3√4

=√

32

;

4)3√

2

2√

3·√

3√3

=3√

66

=√

62

;

5)a√

b√a

·√

a√a

=a√

aba

=√

ab ;

6)

√2a3b

=√

2a√3b

·√

3b√3b

=√

6ab3b

;

7)2ab

3√

6a·√

6a√6a

=2ab

√6a

18a=

b√

6a9a

;

371

8 RJESENJA ZADATAKA

8)2√

x + 13√

x·√

x√x

=2x +

√x

3x.


1)

√3

2√

3 − 3; 2)

2√

5 − 3√

2

2√

5 + 3√

2.

Rjesenje. 1)

√3

2√

3 − 3· 2

√3 + 3

2√

3 + 3=

6 + 3√

33

= 2 +√

3 ;

2)2√

5 − 3√

2

2√

5 + 3√

2· 2

√5 − 3

√2

2√

5 − 3√

2=

20 − 12√

10 + 1820 − 18

=38 − 12

√10

2=

19 − 6√

10 .


1)36

(3√

2 − 2√

3)2; 2)

4

(2√

5 − 3√

2)2;

3)

√3√

2 +√

3√3√

2 −√3

; 4)

√7 − 4

√3√

7 + 4√

3.

Rjesenje. 1)

36

(3√

2 − 2√

3)2· (3

√2 + 2

√3)2

(3√

2 + 2√

3)2=

36(3√

2 + 2√

3)2[(3√

2 − 2√

3)(3√

2 + 2√

3)]2

=36(3

√2 + 2

√3)2

(18 − 12)2= (3

√2 + 2

√3)2;

2)

4

(2√

5 − 3√

2)2· (2

√5 + 3

√2)2

(2√

5 + 3√

2)2=

4(2√

5 + 3√

2)2[(2√

5 − 3√

2)(2√

5 + 3√

2)]2

=4(2

√5 + 3

√2)2

(20 − 18)2= (2

√5 + 3

√2)2;

3)

√3√

2 +√

3√3√

2 −√3·√

3√

2 −√3√

3√

2 −√3

=

√(3√

2 +√

3)(3√

2 −√3)

3√

2 −√3

=√

18 − 3

3√

2 −√3

=√

15

3√

2 −√3· 3

√2 +

√3

3√

2 +√

3=

3√

30 +√

4515

=3√

5√

6 + 3√

515

=3√

5(√

6 + 1)15

=√

55

(√

6 + 1);

372

8

4)

√7 − 4

√3√

7 + 4√

3·√

7 + 4√

3√7 + 4

√3

=

√(7 − 4

√3)(7 + 4

√3)

7 + 4√

3=

1

7 + 4√

3· 7 − 4

√3

7 − 4√

3

=7 − 4

√3

1= 7 − 4

√3.


1)2√

3√2 +

√3 +

√5

; 2)4

1 −√2 +

√3

;

3)1

2−√2+

√3−√

6; 4)

1√12+

√8+

√6+3

.

Rjesenje. 1)

2√

3√2 +

√3 +

√5·√

2 +√

3−√5√

2 +√

3−√5

=2√

3(√

2 +√

3−√5)

(√

2 +√

3)2−5

=2√

3(√

2 +√

3−√5)

5 + 2√

2√

3−5

=2√

3(√

2 +√

3−√5)

2√

2√

3·√

2√

3√2√

3

=6√

2(√

2 +√

3−√5)

12=

√2

2(√

2 +√

3−√

5)

2)

4

1−√2 +

√3· 1−√

2−√3

1−√2−√

3=

4(1−√2−√

3)(1−√

2)2−3=

4(1−√2−√

3)3−2

√2−3

=−2(1−√

2−√3)√

2·√

2√2

=−2

√2(1−√

2−√3)

2

= −√

2(1 −√

2 −√

3) =√

6 −√

2 + 2;

3)

1

2 −√2 +

√3 −√

6=

1√2(√

2 − 1) −√3(√

2 − 1)

=1

(√

2 − 1)(√

2 −√3)

· (√

2 + 1)(√

2 +√

3)(√

2 + 1)(√

2 +√

3)

=(√

2 + 1)(√

2 +√

3)(2 − 1)(2 − 3)

= −(√

2 + 1)(√

2 +√

3);

373

8 RJESENJA ZADATAKA

4)1√

12 +√

8 +√

6 + 3=

1

2√

3 + 2√

2 +√

2√

3 + 3

=1

2(√

3 +√

2) +√

3(√

2 +√

3)

=1

(√

3 +√

2)(2 +√

3)· (

√3 −√

2)(2 −√3)

(√

3 −√2)(2 −√

3)

=(√

3 −√2)(2 −√

3)(3 − 2)(4 − 3)

= (√

3 −√

2)(2 −√

3).


1) 4912 ; 2) −0.09

12 ; 3)

(1625

) 12; 4) (−144)

12 ?

Rjesenje. 1) 4912 =

√49 = 7 ; 2) −0.09

12 = −√

0.09 = −0.3 ;

3)(

1625

) 12

=

√1625

=45

; 4) (−144)12 nema realnih rjesenja.

Zadatak 23.

1) −2713 ; 2)

(18

) 13; 3)

(−1

8

) 13; 4)

(− 64

125

) 13;

5) 1614 ; 6) −16

14 ; 7)

( 81625

) 14; 8) (−256)

14 .

Rjesenje. 1) −2713 = − 3√27 = −3 ; 2)

(18

) 13

= 3

√18

=12

;

3)(−1

8

) 13

= 3

√−1

8= −1

2; 4)

(− 64

125

) 13

= 3

√− 64

125= −4

5;

5) 1614 = 4√16 = 2 ; 6) −16

14 = − 4√16 = −2 ;

7)( 81

625

) 14

= 4

√81625

=35

; 8) (−256)14 nema realnih rjesenja.

Zadatak 24.

1) −3215 ; 2) (−32)

15 ; 3) 243

15 ; 4)

( 164

) 16;

5) 214 ; 6) 3

13 ; 7) (−10)

13 ; 8) 16

15 .

Rjesenje. 1) −2 ; 2) −2 ; 3) 3 ; 4) 2 ;5) 1.189207 ; 6) 1.44225 ; 7) 2.154435 ; 8) 1.741101 .

Rjesenje. 1) −3215 = − 5√32 = −2 ; 2) (−32)

15 = 5√−32 = −2 ;

3) 24315 = 5√243 = 3 ; 4)

( 164

) 16

= 6√64 = 2 ;

374

8

5) 214 = 4√2 = 1.189207 ; 6) 3

13 = 3√3 = 1.44225 ;

7) (−10)13 = 3√−10 = − 3√10 = 2.154435 ; 8) 16

15 = 5√16 = 1.741101 .

Zadatak 25.

1) 4√16 ; 2) 4√−16 ; 3) 3

√− 27

125; 4) 5√32 ;

5) 5√−32 ; 6) 4

√1681

; 7) 6√64 ; 8) 3√−343 .;

Rjesenje. 1) 4√16 = 2 ; 2) 4√−16 nema realnih rjesenja; 3) 3

√− 27

125= −3

5;

4) 5√32 = 2 ; 5) 5√−32 = −2 ; 6) 4

√1681

=23

;

7) 6√64 = 2 ; 8) 3√−343 = −7 ;

Zadatak 26. Rijesi u skupu realnih brojeva jednadzbe:

1) x3 = 125 ; 2) 8x3 = 27 ; 3) 16x4 − 1 = 0 ;

4) 81x4 − 256 = 0 ; 5) x5 = 16 ; 6) 3x4 = 25 .

Rjesenje. 1) x3 = 125 , x = 3√125 , x = 5 ; 2) 8x3 = 27 , x = 3

√278

, x =32

;

3) 16x4 − 1 = 0 , 16x4 = 1 , x4 =116

, x = 4

√116

, x1 =12

, x2 = −12

;

4) 81x4−256 = 0 , 81x4 = 256 , x4 =25681

, x = 4

√25681

, x1 =43

, x2 = −43

;

5) x5 = 16 , x = 5√16 , x = 1.741101 ;

6) 3x4 = 25 , x4 =253

, x = 4

√253

, x1 = 1.699044 , x2 = −1.699044 .


Zadatak 1. Zapisi u obliku potencije:

1) 3√4 ; 2) 4√27 ; 3)1√10

; 4) 5√16 .

Rjesenje. 1) 3√4 = 3√22 = 223 ; 2) 4√27 = 4√33 = 3

34 ;

3)1√10

= (√

10)−1 = 10−12 ; 4) 5√16 = 5√24 = 2

45 .


1) 16−12 − 0.251.5 ; 2) 0.008−

23 ·( 1

25

)−0.5;

3) 0.04−1.5 ·( 1

125

) 23; 4)

(19

)0.5+ 0.027−

23 .

375

8 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1) 16−12 − 0.251.5 =

√116

−(

14

)1.5

=14−(

12

)3

=14− 1

8=

18

;

2) 0.008−23 ·( 1

25

)−0.5= (0.2)−3· 2

3 ·( 1

25

)− 12

=(

15

)−2

·√25 = 25·5 = 125 ;

3) 0.04−1.5·( 1

125

) 23

= 0.2−3·(

15

)2

=(

15

)−3

· 125

= 53·25 = 125· 125

= 5 ;

4)(1

9

)0.5+ 0.027−

23 =

(13

)1+ 0.3−2 =

13

+(

103

)2

=13

+1009

= 1149

.


1) 0.25−32 ·( 1

16

)−0.5; 2)

(18

)− 23 · (0.81)−0.5 ;

3) 160.5 +( 1

16

)−0.75; 4)

(278

)− 23 − 1.44−

12 .

Rjesenje. 1) 0.25−32 ·(

116

)−0.5

= 0.5−3 ·(

12

)−2

=(

12

)3

· 22 = 23 · 22 = 25 = 32 ;

2)(

18

)− 23

· (0.81)−0.5 =(

12

)−2

· (0.9)−1 = 22 · 109

=409

= 449

;

3) 160.5 +( 1

16

)−0.75= 22 +

(12

)−3= 4 + 23 = 4 + 8 = 12 ;

4)(

278

)− 23

− 1.44−12 =

(32

)−2

− 1.2−1 =(

23

)2

− 56

=49− 5

6= − 7

18.


1)(9−

12 + (3

√3)−

23

)· (9− 1

2 − (3√

3)−23

);

2)(16−0.25 − (2

√2)

13

)(16−0.25 + (2

√2)

13

);

3)(

4√18 − 2−34

)(4√18 + 2−

34

);

4)[(27−

14 )−

23 −(

√125)

13

]·[(9

13 )0.75−(0.04)−

14

]?

Rjesenje. 1)(9−

12 + (3

√3)−

23

)·(9−

12 − (3

√3)−

23

)=(9−

12

)2−(3−

32 · 2

3

)2

=19− 1

9= 0 ;

2)(16−0.25 − (2

√2)

13

)(16−0.25 + (2

√2)

13

)=(2−1

)2 −(2

32 · 1

3

)2

=14− 2 = −7

4;

376

8

3)(

4√18 − 2−34

)(4√18 + 2−

34

)=

(18

14 −

(12

) 34

)(18

14 +

(12

) 34

)

= 1812 −

(12

) 32

= 3√

2 − 1

2√

2=

11

2√

2;

4)[(27−

14 )−

23 − (

√125)

13

]·[(9

13 )0.75 − (0.04)−

14

]=(3−

34 ·(− 2

3 ) − 532 · 1

3

)·(

323 · 3

4 −( 1

25)−

14

)=(3−

34 ·(− 2

3 ) − 532 · 1

3

)·(

323 · 3

4 −( 1

25

)− 14

)=(3

12 − 5

12

)·(3

12 − 5

12

)= 3 − 5 = −2 .

Zadatak 5. Ako je a > 0 , izracunaj:

1) (a−12 )−

23 · (a 1

3 )−4 ; 2) (a2)−23 · (a− 1

3 )2 ;

3) (a−35 )2 · (a 2

5 )3 ; 4) (a−34 · a 3

2 )−13 · a · 4√a ;

5) (a−2 · a 13 )

25 · 4√a3 ; 6) (a−

12 · a 2

3 )−2 · a · 3√a ;

7) (a−23 · a 3

4 )3 · 4√a3 ; 8) (a−34 : 3√a4)−0.8 : (a 3√a) .

Rjesenje. 1) (a−12 )−

23 · (a 1

3 )−4 = a−12 ·(− 2

3 ) · a 13 ·(−4) = a

13 · a− 4

3 = a13− 4

3 = a−1 =1a

;

2) (a2)−23 · (a− 1

3 )2 = a2·(− 23 ) · a−2· 1

3 = a−43 · a− 2

3 = a−43− 2

3 = a−2 =1a2

;

3) (a−35 )2 · (a 2

5 )3 = a−2· 35 · a3· 2

5 = a−65 · a 6

5 = a−65 + 6

5 = 1 ;

4) (a−34 · a 3

2 )−13 · a · 4√a = (a−

34 + 3

2 )−13 · a · a 1

4 = a34 ·(− 1

3 ) · a 54 = a−

14 + 5

4 = a ;

5) (a−2 · a 13 )

25 · 4√a3 = (a−2+ 1

3 )25 · a 3

4 = a−53 · 2

5 · a 34 = a−

23 + 3

4 = a112 ;

6) (a−12 · a 2

3 )−2 · a · 3√a = (a−12 + 2

3 )−2 · a · a 13 = a

16 ·(−2) · a1+ 1

3 = a−13 · a 4

3

= a−13 + 4

3 = a ;

7) (a−23 · a 3

4 )3 · 4√a3 = (a−23 + 3

4 )3 · a 34 = a

112 ·3 · a 3

4 = a14 + 3

4 = a ;

8) (a−34 : 3√a4)−0.8 : (a 3√a) = (a−

34 : a

43 )−

45 : (a · a 1

3 )= (a−

34− 4

3 )−45 : a1+ 1

3 = a−2512 ·(− 4

5 ) : a43 = a

53 : a

43 = a

53− 4

3 = a13 .


1)10

35 · 2−0.6

5−1.4; 2)

1523 · 3 1

3

5−13

; 3)12

34 · 2−0.5

3−14

; 4)12−

13 · 2 2

3

6−13 · 4 2

3

.

Rjesenje. 1)10

35 · 2−0.6

5−1.4= 5

35 · 2 3

5 · 2−0.6 · 51.4 = 535 · 2 3

5 · 2− 35 · 5 7

5 = 535 + 7

5 · 2 35− 3

5

= 52 · 20 = 25 ;

2)15

23 · 3 1

3

5−13

= 523 · 3 2

3 · 3 13 · 5 1

3 = 523 + 1

3 · 3 23 + 1

3 = 5 · 3 = 15 ;

3)12

34 · 2−0.5

3−14

= 334 · 4 3

4 · 2− 12 · 3 1

4 = 334 + 1

4 · 2 32 · 2− 1

2 = 3 · 2 32− 1

2 = 3 · 2 = 6 ;

377

8 RJESENJA ZADATAKA

4)12−

13 · 2 2

3

6−13 · 4 2

3

= 3−13 · 4− 1

3 · 2 23 · 6 1

3 · 4− 23 = 3−

13 · 2− 2

3 · 2 23 · 3 1

3 · 2 13 · 2− 4

3

= 3−13 + 1

3 · 2− 23 + 2

3 + 13− 4

3 = 1 · 2−1 =12

.

Zadatak 7. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza[(a−

23 b

13

)0.5:(a−

34 b−

34

) 23]− 3

2,

za a =116

, b = 2 .

Rjesenje.[(

a−23 b

13

)0.5:(a−

34 b−

34

) 23

]− 32

=[(

a−13 b

16

):(a−

12 b−

12

)]− 32

=(a−

13 b

16 a

12 b

12

)− 32

=(a−

13 + 1

2 b16 + 1

2

)− 32

=(a

16 b

23

)− 32

= a−14 b−1 .

Uvrstimo a =116

= 2−4 , b = 2 :(2−4

)− 14 2−1 = 2 · 1

2= 1 .

Zadatak 8. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza[(a2b−1.5

)− 13

:(a−

23 b)2]− 1

2,

za a =827

, b =181

.

Rjesenje.[(

a2b−1.5)− 1

3:(a−

23 b)2]− 1

2=[(

a−23 b

12

):(a−

43 b2

)]− 12

=(a−

23 b

12 a

43 b−2

)− 12

=(a−

23 + 4

3 b12−2

)− 12

=(a

23 b−

32

)− 12

= a−13 b

34 .

Uvrstimo a =827

=(

23

)3

, b =181

=(

13

)4

:

[(23

)3]− 1

3[(

13

)4] 3

4

=(23

)−1 (13

)3

=32· 127

=118

.

Zadatak 9. Izracunaj vrijednost brojevnog izraza[(a−

23 b

34

)−2:(a2b−1.5

)− 13]− 1

3,

za a = 8 , b =164

.

Rjesenje.[(

a−23 b

34

)−2:(a2b−1.5

)− 13

]− 13

=[(

a43 b−

32

):(a−

23 b

12

)]− 13

=(a

43 b−

32 a

23 b−

12

)− 13

=(a2b−2

)− 13 =

(ab

)− 23

=(

ba

) 23

.

Uvrstimo a = 8 = 23 , b =164

=(

12

)6

= 2−6 :

(2−6

23

) 23

=(2−62−3

) 23 =

2−9· 23 = 2−6 =

164

.

378

8


1)15−

23 · 3√1.8

0.040.5; 2)

12−34 · 4√27√0.005

;

3)72−

13

0.25−32 · 3√81

; 4)3√0.125

48−34 · 4√27

.

Rjesenje. 1)15−

23 · 3√1.8

0.040.5=

3−23 · 5− 2

3 ·(

95

) 13

0.2=

3−23 · 5− 2

3 · 3 23 · 5− 1

3

5−1

= 30 · 5−1 · 51 = 50 = 1 ;

2)12−

34 · 4√27√0.005

=3−

34 · 2− 3

2 · 3 34(

1200

) 12

= 2−32 200

12 = 2−

32 · 10 · 2 1

2 =12· 10 = 5 ;

3)72−

13

0.25−32 · 3√81

=8−

13 · 9− 1

3(14

)− 32

· 3 43

=2−1 · 3− 2

3

23 · 3 43

= 2−1 · 3− 23 · 2−3 · 3− 4

3

= 2−4 · 3−2 =116

· 19

=1

144;

4)3√0.125

48−34 · 4√27

=

(18

) 13

3−34 · 16−

34 · 3 3

4

=2−1

2−3= 2−1 · 23 = 4 .


1)(b

a− 2a−

12 b

12 + 1

):(a−

12 − a−1b

12

);

2)(1 + a

12 b−

12 + ab−1

):(ab−

12 − a−

12 b)

;

3)(a

b+ a−

12 b

12

):(a

12 b−1 − b−

12 + a−

12

).

Rjesenje. 1)(ba−1 − 2a−

12 b

12 + 1

):(a−

12 − a−1b

12

)=(a−

12 b

12 − 1

)2:[−a−

12

(a−

12 b

12 − 1

)]= −a

12

(a−

12 b

12 − 1

)= a

12 − b

12 ;

2)(1 + a

12 b−

12 + ab−1

):(ab−

12 − a−

12 b)

=

(1 +

a12

b12

+ab

):

(a

b12

− b

a12

)

=b + a

12 b

12 + a

b:

a32 − b

32

a12 b

12

=b + a

12 b

12 + a

b· a

12 b

12

(a12 − b

12 )(a + a

12 b

12 + b)

=a

12

b12 (a

12 − b

12 )

;

379

8 RJESENJA ZADATAKA

3)(a

b+ a−

12 b

12

):(a

12 b−1 − b−

12 + a−

12

)=

(a

32 + b

32

a12 b

)·(

a12 b

a − a12 b

12 + b

)

=(a

12 + b

12 )(a − a

12 b

12 + b)

a − a12 b

12 + b

= a12 + b

12 .


1)3a

12 − a

34

a − 9a12

; 2)a

23 + 2a

13

a − 4a13

; 3)3a

14 + 12

2a − 32a12

; 4)a

12 − 16a

16

a13 + 4a

16

.

Rjesenje. 1)3a

12 − a

34

a − 9a12

=a

12 (3 − a

14 )

a12 (a

12 − 9)

=3 − a

14

(a14 − 3)(a

14 + 3)

=−1

a14 + 3

;

2)a

23 + 2a

13

a − 4a13

=a

13 (a

13 + 2)

a13 (a

23 − 4)

=a

13 + 2

(a13 + 2)(a

13 − 2)

=1

a13 − 2

;

3)3a

14 + 12

2a − 32a12

=3(a

14 + 4)

2a12 (a

12 − 16)

=3(a

14 + 4)

2a12 (a

14 + 4)(a

14 − 4)

=3

2a12 (a

14 − 4)

;

4)a

12 − 16a

16

a13 + 4a

16

=(a

14 − 4a

112 )(a

14 + 4a

112 )

a112 (a

14 + 4a

112 )

=a

14 − 4a

112

a112

= a16 − 4 .


Zadatak 1. Provjeri i obrazlozi:

1) 4√81 = 3 ; 2) 3√0.125 =12

; 3) 5

√132

=12

; 4) 4

√16625

=25

;

5) 6√64 = 2 ; 6) 3

√27125

=35

; 7) 3

√125216

=56

; 8) 4√0.0625 = 0.5 .

Rjesenje. 1) 4√81 = 4√34 = 3 ; 2) 3√0.125 = 3

√18

= 3

√(12

)3

=12

;

3) 5

√132

= 5

√(12

)5

=12

; 4) 4

√16625

= 4

√(25

)4

=25

;

5) 6√64 = 6√26 = 2 ; 6) 3

√27125

= 3

√(35

)3

=35

;

7) 3

√125216

= 3

√(56

)3

=56

; 8) 4√0.0625 = 4√0.54 = 0.5 .


1)√

2.56 · 10−2 + 2 · 3√0.008 ; 2) 6√93 · 10002 −√

0.25 · 102 ;

3) 4√1.6 · 10−3 + 2 · 3√0.125 ; 4) 3√0.09 · 300 + 5 · √0.16 .

Rjesenje. 1)√

2.56 · 10−2 + 2 · 3√0.008 =√

0.0256 + 2 · 3√0.23 =√

0.162 + 2 · 0.2= 0.16 + 0.4 = 0.56 ;

380

8

2) 6√93 · 10002 −√

0.25 · 102 = 6√36 · 106 −√

0.52 · 102 = 6√306 −√

52

= 30 − 5 = 25 ;

3) 4√1.6 · 10−3 + 2 · 3√0.125 = 4√0.0016 + 2 · 3√0.53 = 4√0.24 + 2 · 0.5= 0.2 + 1 = 1.2 ;

4) 3√0.09 · 300+ 5 · √0.16 = 3√27+ 5 ·√

0.42 = 3√33 + 5 · 0.4 = 3 + 2 = 5 .


1) 3√84 ; 2) 4√46 ; 3) 8√162 ; 4) 6√272 ;

5) 9√1256 ; 6) 4√813 ; 7) 12√648 ; 8) 8√6254 .

Rjesenje. 1) 3√84 = 3√212 = 24 , jer je (24)3 = 212 ;

2) 4√46 = 4√212 = 4√

(23)4 = 23 = 8 ;

3) 8√162 = 8√28 = 2 ; 4) 6√272 = 6√36 = 3 ;

5) 9√1256 = 9√518 = 9√

(52)9 = 52 = 25 ;

6) 4√813 = 4√312 = 4√

(33)4 = 33 = 27 ;

7) 12√648 = 12√248 = 12√

(24)12 = 24 = 16 ;

8) 8√6254 = 8√516 = 8√

(52)8 = 52 = 25 .

Zadatak 4. Primjenjujuci jednakost n√a · n√b = n√ab , izracunaj:

1) 3√100 · 3√10 ; 2) 3√12 · 3√18 ; 3) 4√40 · 4√250 ;

4) 4√50 · 4√200 ; 5) 5√39 · 5√311 ; 6) 6√43 · 6√84 .

Rjesenje. 1) 3√100 · 3√10 = 3√100 · 10 = 3√1000 = 10 ;

2) 3√12 · 3√18 = 3√12 · 18 = 3√216 = 6 ;

3) 4√40 · 4√250 = 4√40 · 250 = 4√10000 = 10 ;

4) 4√50 · 4√200 = 4√50 · 200 = 4√10000 = 10 ;

5) 5√39 · 5√311 = 5√39 · 311 = 5√320 = 5√

(34)5 = 34 = 81 ;

6) 6√43 · 6√84 = 6√26 · 212 = 6√218 = 6√

(23)6 = 23 = 8 .


1) 3√8 · 27 ; 2) 4√625 · 16 ; 3) 3√75 · 45 ;

4) 5√310 · 0.515 ; 5) 6

√184

· 93 ; 6) 4

√256 · 1

163.

Rjesenje. 1) 3√8 · 27 = 3√23 · 33 = 3√63 = 6 ;

2) 4√625 · 16 = 4√54 · 24 = 4√104 = 10 ;

3) 3√75 · 45 = 3√3 · 25 · 5 · 9 = 3√33 · 53 = 3√153 = 15 ;

4) 5√310 · 0.515 = 5

√√√√(32)5 ·[(

12

)3]5

= 5

√95 ·

(18

)5

= 5

√(98

)5

=98

;

381

8 RJESENJA ZADATAKA

5) 6

√184

· 93 = 6

√(14

)6

· 36 = 6

√(34

)6

=34

;

6) 4

√256 · 1

163= 4

√512 ·

(12

)12

= 4

√1254 ·

(18

)4

= 4

√(1258

)4

=1258

.


1)4√3

4√48; 2)

3√403√625

; 3)5√4865√64

; 4)3√1.253√0.01

.

Rjesenje. 1)4√3

4√48= 4

√348

= 4

√116

= 4

√(12

)4

=12

;

2)3√40

3√625= 3

√40625

= 3

√8

125= 3

√(25

)3

=25

;

3)5√4865√64

= 5

√48664

= 5

√24332

= 5

√(32

)5

=32

;

4)3√1.253√0.01

= 3

√1.250.01

= 3√125 = 3√53 = 5 .


1) 3√

7 + 5√

2 = 1 +√

2 ; 2) 4√

49 + 20√

6 =√

2 +√

3 ;

3) 3√

26 − 15√

3 = 2 −√3 ; 4) 4

√28 − 16

√3 =

√3 − 1 .

Rjesenje. 1)(1 +

√2)3

= 1 + 3√

2 + 6 + 2√

2 = 7 + 5√

2 ;

2)(√

2 +√

3)4

=[(√

2 +√

3)2]2

=(5 + 2

√6)2

= 25 + 20√

6 + 24

= 49 + 20√

6 ;

3)(2 −√

3)3

= 8 − 12√

3 + 18 − 3√

3 = 26 − 15√

3 ;

4) (√

3 − 1)4 =[(√

3 − 1)2]2

= (3 − 2√

3 + 1)2 = (4 − 2√

3)2

= 16 − 16√

3 + 12 = 28 − 16√

3 .

Zadatak 8. Djelomice korjenuj:

1) 3√54 ; 2) 3√1080 ; 3) 5√160 ; 4) 4√80 ; 5) 4√324 .

Rjesenje. 1) 3√54 = 3√2 · 27 = 3√2 · 33 = 3 3√2 ;

2) 3√1080 = 3√5 · 8 · 27 = 6 3√5 ;

3) 5√160 = 5√5 · 32 = 5√5 · 25 = 2 5√5 ;

4) 4√80 = 4√5 · 16 = 4√5 · 24 = 2 4√5 ;

5) 4√324 = 4√4 · 81 = 4√4 · 34 = 3 4√4 .

382

8

Zadatak 9. Pomnozi:

1)√

2 · 3√2 ; 2)√

3 · 4√27 ; 3) 3√4 · 4√8 ;

4)√

3 · 3√9 · 4√27 ; 5) 3√25 · 4√125 · 12√5 ; 6) 3

√12· 6√32 · 4√8 ;

7) 3√4 · 4√8 · 6√32 ; 8) 3√4 · 4√8 · 6

√132

.

Rjesenje. 1)√

2 · 3√2 = 6√23 · 6√22 = 6√8 · 4 = 6√32 ;

2)√

3 · 4√27 = 4√32 · 4√33 = 4√32 · 33 = 4√35 = 4√34 · 3 = 3 4√3 ;

3) 3√4· 4√8= 3√22 · 4√23= 12√28 · 12√29= 12√28 · 29= 12√217= 12√212 · 25=2 12√32 ;

4)√

3 · 3√9 · 4√27 =√

3 · 3√32 · 4√33 = 12√36 · 12√38 · 12√39 = 12√36 · 38 · 39

= 12√323 = 12√312 · 311 = 3 12√311 ;

5) 3√25 · 4√125 · 12√5 = 3√52 · 4√53 · 12√5 = 12√58 · 12√59 · 12√5 = 12√58 · 59 · 5= 12√518 = 12√512 · 56 = 5 12√56 = 5

√5 ;

6) 3

√12· 6√32 · 4√8 = 3√2−1 · 6√25 · 4√23 = 12√2−4 · 12√210 · 12√29

= 12√2−4 · 210 · 29 = 12√215 = 12√212 · 23 = 2 12√23 = 2 4√2 ;

7) 3√4 · 4√8 · 6√32 = 3√22 · 4√23 · 6√25 = 12√28 · 12√29 · 12√210 = 12√28 · 29 · 210

= 12√227 = 12√224 · 23 = 12√

(22)12 · 23 = 4 12√23 = 4 4√2 ;

8) 3√4 · 4√8 · 6

√132

= 3√22 · 4√23 · 6√2−5 = 12√28 · 12√29 · 12√2−10

= 12√28 · 29 · 2−10 = 12√27 .

Zadatak 10. Ako je a > 0 , pomnozi:

1)√

a · 4√a ; 2)√

a · 3√a2 ; 3) 3√a2 · 4√a3 ;

4) 3√a · 6√a ; 5)√

a · 3√a · 4√a ; 6) 3√a · 4√a · 6√a ;

7)√

a · 4√a3 · 8√a7 ; 8) a · 3√a2 · 6√a5 .

Rjesenje. 1)√

a · 4√a = 4√a2 · 4√a = 4√a2 · a = 4√a3 ;

2)√

a · 3√a2 = 6√a3 · 6√a4 = 6√a3 · a4 = 6√a7 = 6√a6 · a = a 6√a ;

3) 3√a2 · 4√a3 = 12√a8 · 12√a9 = 12√a8 · a9 = 12√a17 = 12√a12 · a5 = a 12√a5 ;

4) 3√a · 6√a = 6√a2 · 6√a = 6√a2 · a = 6√a3 =√

a ;

5)√

a· 3√a· 4√a = 12√a6 · 12√a4 · 12√a3 = 12√a6 · a4 · a3 = 12√a13 = 12√a12 · a =a 12√a ;

6) 3√a · 4√a · 6√a = 12√a4 · 12√a3 · 12√a2 = 12√a4 · a3 · a2 = 12√a9

= 4√a3 ;

7)√

a · 4√a3 · 8√a7= 8√a4 · 8√a6 · 8√a7= 8√a4 · a6 · a7= 8√a17= 8√a16 · a=a2 8√a ;

8) a · 3√a2 · 6√a5= 6√a6 · 6√a4 · 6√a5= 6√a6 · a4 · a5= 6√a15= 6√a12 · a3=a2√a .


1)√

2 +√

3 · 4√

7 − 4√

3 ; 2) 3√

1 +√

2 · 6√

3 − 2√

2 .

383

8 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. 1)√

2 +√

3· 4√

7 − 4√

3 = 4√

(2 +√

3)2· 4√

7 − 4√

3 = 4√

(7 + 4√

3) · (7 − 4√

3)

= 4√49 − 48 = 4√1 = 1 ;

2) 3√

1 +√

2· 6√

3 − 2√

2 = 6√

(1 +√

2)2· 6√

3 − 2√

2 = 6√

(3 + 2√

2) · (3 − 2√

2)

= 6√9 − 8 = 6√1 = 1 .


1)4√

3√a4 · 3√√

a3 ; 2)4√

3√a8 :3√

3√a6 ; 3)5√

4√a15 · 3√

4√a9 ;

4)4√

3√a10 · 3√√

a7 ; 5)3√

4√a9 :√

3√a4 ; 6)5√

3√a5 · 4√

3√a2 ;

7)√√

a6 · 3√√

a9 ; 8)3√

4√a9 :6√

3√a9 .

Rjesenje. 1)4√

3√a4 · 3√√

a3 = 3√a · √a = 6√a2 · 6√a3 = 6√a5 ;

2)4√

3√a8 :3√

3√a6 = 3√a2 : 3√a2 = 1 ;

3)5√

4√a15 · 3√

4√a9 = 4√a3 · 4√a3 = 4√a6 = a 4√a2 = a√

a ;

4)4√

3√a10 · 3√√

a7 =√

3√a5 · 3√√

a7 = 6√a5 · 6√a7 = 6√a12 = a2 ;

5)3√

4√a9 :√

3√a4 = 4√a3 : 3√a2 = 12√a9 : 12√a8 = 12√a ;

6)5√

3√a5 · 4√

3√a2 = 3√a ·√

3√a = 3√a · 6√a = 6√a2 · 6√a = 6√a3 =√

a ;

7)√√

a6 · 3√√

a9 =√

a3 ·√

a3 =√

a6 = a3 ;

8)3√

4√a9 :6√

3√a9 = 4√a3 : 6√a3 = 12√a9 : 12√a6 = 12√a3 = 4√a .


1) 3√

2√

2 ; 2)√

6 · 3√6 ; 3) 4√

3 · 3√3 ; 4) 4√

9 · 3√9 ;

5)5√

4 · 4√4 ; 6)3√

9 · 4√3 ; 7)4√

25 · 3√25 ; 8)7√

8 · 6√8 .

Rjesenje. 1) 3√

2√

2 = 3√√

22 · √2 =3√√

23 =√

2 ;

2)√

6 · 3√6 =√

3√63 · 3√6 =√

3√64 = 3√62 = 3√36 ;

3)4√

3 · 3√3 = 4√

3√33 · 3√3 =4√

3√34 = 3√3 ;

4) 4√

9 · 3√9 =4√

32 · 3√32 =4√

3√36 · 3√32 =4√

3√38 = 3√32 = 3√9 ;

5)5√

4 · 4√4 =5√

4√44 · 4√4 =5√

4√45 = 4√4 = 4√22 =√

2 ;

6)3√

9 · 4√3 = 3√

32 · 4√3 = 3√

4√38 · 4√3 =3√

4√39 = 4√33 = 4√27 ;

7)4√

25 · 3√25 =4√

3√253 · 3√25 =4√

3√254 = 3√25 ;

8) 7√

8 · 6√8 = 7√

6√86 · 6√8 =7√

6√87 = 6√8 = 6√23 =√

2 .


1)√

4 · 3√2 · 3√

4 · √2 ; 2) 3√

3 · 4√27 · 4√

3 · 3√9 ;

3)√

5 · 3√25 · 3√

25 · 4√125 ; 4)3√

2 · 3√4 ·√

8 · 3√2 ;

5) 3√

4 · √2 :√

2 · 3√4 ; 6)4√

8 · 3√2 :√

2 · 3√4 ;

384

8

7) 4√

27 · 3√9 : 3√

9 · √3 ; 8) 3√

25 · √5 · 4√

125 · 3√5 ;

9)

√12· 3√4 · 3

√12· 4√8 ; 10) 3

√9 ·√

13·√

13· 3√9 ;

11) 3

√14· √2 : 6

√4 ·√

14

; 12)

√2 · 3

√14

: 3

√14· √2 .

Rjesenje. 1)√

22 · 3√2 · 3√

22 · √2 =√

3√26 · 3√2 · 3√√

24 · √2 =√

3√27 · 3√√

25

= 6√27 · 6√25 = 6√212 = 22 = 4 ;

2)3√

3 · 4√33 · 4√

3 · 3√32 =3√

4√34 · 4√33 · 4√

3√33 · 3√32 =3√

4√37 · 4√

3√35

= 12√37 · 12√35 = 12√312 = 3 ;

3)√

5 · 3√52 · 3√

52 · 4√53 =√

3√53 · 3√52 · 3√

4√58 · 4√53 =√

3√55 · 3√

4√511

= 6√55 · 12√511 = 12√510 · 12√511 = 12√521 = 5 12√59 = 5 4√53 = 5 4√125 ;

4)3√

2 · 3√22 ·√

23 · 3√2 =3√

3√23 · 3√22 ·√

3√29 · 3√2 =3√

3√25 ·√

3√210

= 9√25 · 6√210 = 18√210 · 18√230 = 18√240 = 4 18√24 = 4 9√4 ;

5) 3√

22 · √2 :√

2 · 3√22 = 3√√

24 · √2 :√

3√23 · 3√22 =3√√

25 :√

3√25

= 6√25 : 6√25 = 1 ;

6)4√

23 · 3√2:√

2 · 3√22 = 4√

3√29 · 3√2:√

3√23 · 3√22 =4√

3√210:√

3√25

= 12√210: 6√25 = 12√210: 12√210 = 1 ;

7)4√

33 · 3√32 : 3√

32 · √3 =4√

3√39 · 3√32 :3√√

34 · √3

=4√

3√311 :3√√

35 = 12√311 : 6√35 = 12√311 : 12√310 = 12√3 ;

8) 3√

52 · √5 · 4√

53 · 3√5 = 3√√

54 · √5 · 4√

3√59 · 3√5 =3√√

55 · 4√

3√510

= 6√55 · 12√510 = 12√510 · 12√510 = 12√520 = 5 12√58 = 5 3√52 = 5 3√25 ;

9)√

2−1· 3√22· 3√

2−1· 4√23 =√

3√2−3· 3√22· 3√

4√2−4· 4√23 =√

3√2−1· 3√

4√2−1

= 6√2−1· 12√2−1 = 12√2−2· 12√2−1 = 12√2−3 = 4√2−1 = 4

√12

=14√2

;

10)3√

32 ·√

3−1 ·√

3−1 · 3√32 = 3√√

34 ·√

3−1 ·√

3√3−3 · 3√32

= 3√√

33 ·√

3√3−1 = 6√33 · 6√3−1 = 6√32 = 3√3 ;

11) 3√

2−2 · √2 :6√

22 ·√

2−2 = 3√√

2−4 · √2 :6√√

24 ·√

2−2

=3√√

2−3 :6√√

22 = 6√2−3 : 12√22 = 12√2−6 : 12√22 = 12√2−8

= 3√2−2 = 3

√14

=13√4

;

12)√

2 · 3√2−2 :3√

2−2 · √2 =√

3√23 · 3√2−2 :3√√

2−4 · √2

=√

3√2 :3√√

2−3 = 6√2 : 6√2−3 = 6√24 = 3√22 = 3√4 .


1) ( 3√9 − 3√6 + 3√4)( 3√3 + 3√2) ;

2) ( 3√25 + 3√10 + 3√4)( 3√5 − 3√2) ;

3) (1 − 3√x)(1 + 3√x + 3√x2) ;

385

8 RJESENJA ZADATAKA

4) ( 3√a + 6√ab + 3√b)( 6√a − 6√b) ;

5) ( 3√a2 + 3√b2)( 3√a4 − 3√a2b2 + 3√b4) ;

6) (a2 − a√

b + b)(a +√

b) ;

7) (a −√a · 4√b +

√b)(

√a + 4√b) ;

8)(1 +

1a

3√ab2 +1b

3√a2b)·(

3

√ab− 3

√ba

).

Rjesenje. 1) ( 3√9 − 3√6 + 3√4)( 3√3 + 3√2) =(

3√3)3

+(

3√2)3

= 3 + 2 = 5 ;

2) ( 3√25 + 3√10 + 3√4)( 3√5 − 3√2) =(

3√5)3

−(

3√2)3

= 5 − 2 = 3 ;

3) (1− 3√x)(1+ 3√x+ 3√x2)=(1− 3√x)[1 + 3√x +

(3√x)2]=13− (

3√x)3 =1−x ;

4) ( 3√a + 6√ab + 3√b)( 6√a − 6√b) = ( 6√a2 + 6√ab + 6√b2)( 6√a − 6√b)

=(

6√a)3 −

(6√b)3

=√

a −√b ;

5) ( 3√a2 + 3√b2)( 3√a4 − 3√a2b2 + 3√b4) =(

3√a2)3

+(

3√b2)3

= a2 + b2 ;

6) (a2 −a√

b+b)(a+√

b) =(a2 − a

√b + (

√b)2

)(a+

√b) = a3 +

(√b)3

= a3 + b√

b ;

7) (a−√a · 4√b +

√b)(

√a + 4√b)=

((√

a)2−√a · 4√b + ( 4√b)2

)(√

a + 4√b)

=(√

a)3 +

(4√b)3

= a√

a + 4√b3 ;

8)(1 +

1a

3√ab2 +1b

3√a2b)·(

3

√ab− 3

√ba

)=

(3

√b2

s2+ 1 + 3

√a2

b2

)·(

3

√ab− 3

√ba

)

=

(3

√b2

s2+ 3

√ab· 3

√ba

+ 3

√a2

b2

)·(

3

√ab− 3

√ba

)

=(

3

√ab

)3

−(

3

√ba

)3

=ab− b

a=

a2 − b2

ab.


1) (√

a + 3√b)(a − 6√a3b2 + 3√b2) za a =14

, b = 0.125 ;

2) ( 3√a − 2 6√b)( 3√a2 + 2 6√a2b + 4 3√b) zaa = 2 , b = 4 ;

3) ( 3√a2 − 2√

b)(a · 3√a + 2 6√a4b3 + 4b) , za a = − 1

2√

2b = 3

√14

;

4) ( 6√a + b√

b)( 3√a − b 6√ab3 + b3) zaa = b = 0.25 .

Rjesenje. 1) Prvo sredimo izraz:

386

8

(√

a + 3√b)(a − 6√a3b2 + 3√b2) = (√

a + 3√b)((√

a)2 −√a 3√b + ( 3√b)2

)= (

√a)3 + ( 3√b)3 =

√a3 + b .

Uvrstimo sada vrijednosti za a i b :√

a3 + b =

√(14

)3

+ 0.125 =√(12

)6

+18

=18

+18

=14

.

2) Prvo sredimo izraz:

( 3√a − 2 6√b)( 3√a2 + 3√a · 2 6√b + 22 6√b2) =(

3√a)3 −

(2 6√b

)3= a − 8

√b .

Uvrstimo sada vrijednosti za a i b :

a − 8√

b = 2 − 8√

4 = 2 − 16 = −14;


( 3√a2−2√

b)(a· 3√a+2 6√a4b3+4b) =(

3√a2 − 2√

b)(

3√a4 + 3√a2 · 2√b + (2b)2)

=(

3√a2)3

−(2√

b)3

= a2 − 8√

b3 .

Uvrstimo sada vrijednosti za a i b :(− 1

2√

2

)2

− 8

√√√√(3

√14

)3

=18− 8

√14

=18− 8 · 1

2= −31

8.


( 6√a + b√

b)( 3√a − b 6√ab3 + b3) = ( 6√a + b√

b)( 6√a2 − 6√a · b√+(b√

b)2)

=(

6√a)3 +

(b√

b)3

=√

a + b3√

b3 =√

a + b4√

b .

a = b = 0.25 =14

.

Uvrstimo sada vrijednosti za a i b :

√a + b4

√b =

12

+1

256

√14

=12

+1

256· 12

=257512

.

Zadatak 17. Ako su a i b pozitivni brojevi, pojednostavni:

1)3√a2b + 3√ab2

a 3√b − b 3√a; 2)

(3√a2 − 3√b2

)(3√a2 + 3√b2

)a2 · 3√b2 − b2 · 3√a2

;

3)

[( 4√a3 + 4√b3)( 4√a3 − 4√b3)√

a −√b

−√ab

]· 2a + b

.

Rjesenje. 1)3√a2b + 3√ab2

a 3√b − b 3√a=

3√ab(

3√a + 3√b)

3√a3b − 3√ab3=

3√ab(

3√a + 3√b)

3√ab(

3√a2 − 3√b2)

=

(3√a + 3√b

)(

3√a − 3√b)(

3√a + 3√b) =

13√a − 3√b

;

387

8 RJESENJA ZADATAKA

2)

(3√a2− 3√b2

)(3√a2 + 3√b2

)a2 · 3√b2−b2 · 3√a2

=3√a4− 3√b4

3√a6b2− 3√a2b6=

3√a4− 3√b4

3√a2b2(

3√a4− 3√b4)=

13√a2b2

;

3)

[( 4√a3 + 4√b3)( 4√a3− 4√b3)√

a−√b

−√ab

]· 2a + b

=

[4√a6− 4√b6

√a−√

b−√

ab

]· 2a + b

=a 4√a2−b 4√b2−a

√b + b

√a√

a−√b

· 2a + b

=a√

a−b√

b−a√

b + b√

a√a−√

b· 2a + b

=a(√

a−√b)−b(

√a−√

b)√a−√

b· 2a + b

=(√

a−√b)(a−b)√

a−√b

· 2a + b

= 2 .


1)1√

2 · 3√2; 2)

10√5 · √5

; 3)2

4√

2 · 3√2; 4)

13√

4 4√2.

Rjesenje. 1)1√

2 · 3√2=

1√3√23 · 3√2

=1√3√24

=1

3√22·

3√23√2

=3√22

;

2)10√5 · √5

=10√√52 · √5

=10√√

53=

104√53

·4√54√5

=10 4√5

5= 2 4√5 ;

3)2

4√

2 · 3√2=

24√

3√23 · 3√2=

24√

3√24=

23√2

·3√22

3√22=

2 3√22

2= 3√4 ;

4)1

3√

4 4√2=

13√

22 4√2=

13√

4√29=

14√23

·4√24√2

=4√22

.


1)1√

2 − 4√3; 2)

14√5 + 4√3

; 3)1

3√3 − 1;

4)1

3√2 + 6√2; 5)

23√9+ 3√15+ 3√25

; 6)3

1 − 3√2 + 3√4.

Rjesenje. 1)1√

2 − 4√3=

14√4 − 4√3

·4√4 + 4√34√4 + 4√3

=4√4 + 4√3√4 −√

3·√

4 +√

3√4 +

√3

=( 4√4 + 4√3)(

√4 +

√3)

4 − 3= (

√2 + 4√3)(2 +

√3) ;

2)1

4√5 + 4√3·

4√5 − 4√34√5 − 4√3

=4√5 − 4√3√5 −√

3·√

5 +√

3√5 +

√3

=( 4√5 − 4√3)(

√5 +

√3)

5 − 3

=12( 4√5 − 4√3)(

√5 +

√3) =

12( 4√5 − 4√3)(

√5 +

√3) ;

3)1

3√3 − 1·

3√32 + 3√3 + 13√32 + 3√3 + 1

=3√32 + 3√3 + 1

( 3√3)3 − 13=

3√9 + 3√3 + 13 − 1

=12

(3√9 + 3√3 + 1

);

388

8

4)1

3√2 + 6√2·

3√22 − 3√2 6√2 + 6√2

2

3√22 − 3√2 6√2 + 6√2

2 =3√4 − 6√2

2 6√2 + 3√2

( 3√2)3 + ( 6√2)3

=3√4 −√

2 + 3√2

2 +√

2· 2 −√

2

2 +√

2=

( 3√4 −√2 + 3√2)(2 −√

2)4 − 2

=12( 3√4 −√

2 + 3√2)(2 −√2) ;

5)2

3√9 + 3√15 + 3√25=

2(3√3)2

+ 3√3 · 5 +(

3√5)2 ·

3√3 − 3√53√3 − 3√5

=2 ·(

3√3− 3√5)

(3√3)3

−(

3√5)3 =

2 ·(

3√3− 3√5)

3−5= −

(3√3− 3√5

)= 3√5− 3√3 ;

6)3

1 − 3√2 + 3√4=

3

1 − 3√2 +(

3√2)2 · 1 + 3√2

1 + 3√2=

3 ·(1 + 3√2

)13 +

(3√2)3

=3 ·(1 + 3√2

)1 + 2

= 1 + 3√2 .

Zadatak 20. Oplosje O kocke ciji je brid duljine a je 6a2 . Obujam V iste kocke je a3 .1) Izrazi obujam kocke kao funkciju njezina oplosja.2) Ako je zadan obujam kocke, koliko je njezino oplosje?

Rjesenje. V2 = a6 , O3 = 63a6 . V2 =O3

63=⇒ V =

√O3

63.

Zadatak 21. Kod vecine ptica povrsina krila ovisi o njihovoj tjelesnoj masi. Pritom jeP(m) = 0.3m

23 gdje je m masa ptice u kg, a P povrsina obaju krila u m2 .

Kolika je povrsina krila bjeloglavog supa cija je masa 7 kg?

Rjesenje. Zadatak se rjesava pomocu dzepnog kalkulatora. P(7) = 0.3 · 7 23 ≈ 1 m2 .

Zadatak 22. Postoji vise formula po kojima se racuna povrsina ljudskog tijela, a me -du njimanajsire je prihvacena formula P = 0.007184 · m0.425 · h0.725 , koju su jos davne1916. postavili supruznici Du Bois u casopisu Archives of Internal Medicine.U toj formuli je m tjelesna masa osobe izrazena u kg, h visina u cm, a rezultatza P je u m 2 . Kolika je povrsina tijela osobe mase 75 kg i visine 180 cm?

Rjesenje. Zadatak se rjesava pomocu dzepnog kalkulatora. P = 0.007184 · 750.425 ·1800.725 ≈ 1.94 m2 .


Zadatak 1. Dokazi da sljedece jednadzbe nemaju rjesenja u skupu realnih brojeva:

1)√

4 − x −√x − 6 = 2 ; 2)

√2x + 3 +

√x + 3 = 0 ;

3)√

x − 3 −√x + 9 =

√x − 2 ; 4)

√x +

√x + 9 = 2 .

Rjesenje. 1) Ne postoji realan broj x za koji je istovremeno 4 − x � 0 i x − 6 � 0odnosno x � 4 i x � 6 ;

389

8 RJESENJA ZADATAKA

2) Zbroj dva nenegativna broja jednak je nuli ako i samo ako su istodobno obajednaka nuli. No to

√2x + 3 i

√x + 3 nisu ni za koji realni broj x ;

3) Iz sustava x � 3 , x � −9 i x � 2 slijedi x � 3 . Ali za x � 3 je√x − 3 −√

x + 9 < 0 ;4) Kad bi dana jednadzba imala rjesenja, bio bi to broj x , x � 0 . No za x � 0je

√x +

√x + 9 � 3 , stoga jednadzba nema rjesenja.

Zadatak 2. 1) 8 − 2√

2x + 3 = 6 ; 2) 11 − 3√

x + 3 = 2 ;

3) 3 −√3x + 1 = 1 ; 4)

√7x + 1 = 2

√x + 4 ;

5)√

3x + 19 −√5x − 1 = 0 ; 6)

√4 − 9x2 =

√2 − 3x .

Rjesenje.

1) 8 − 2√

2x + 3 = 6

4 −√2x + 3 = 3√2x + 3 = 1

2x + 3 = 1

2x = −2

x = −1;Provjerom potvr -dujemo da je x = −1 uistinu rjesenje jednadzbe.

2) 11 − 3√

x + 3 = 2

3√

x + 3 = 9√x + 3 = 3

x + 3 = 9

x = 6;Provjerom potvr -dujemo da je x = 6 uistinu rjesenje jednadzbe.

3) 3 −√3x + 1 = 1√3x + 1 = 2

3x + 1 = 4

3x = 3


4)√

7x + 1 = 2√

x + 4

7x + 1 = 4(x + 4)7x + 1 = 4x + 16

3x = 15


390

8

5)√

3x + 19 −√5x − 1 = 0√

3x + 19 =√

5x − 1

3x + 19 = 5x − 1

2x = 20


6)√

4 − 9x2 =√

2 − 3x

4 − 9x2 = 2 − 3x

(2 − 3x)(2 + 3x) − (2 − 3x) = 0

(2 − 3x)(1 + 3x) = 0

x1 =23, x2 = −1

3;

Provjerom potvr -dujemo da su x1 =23

i x2 = −13

uistinu rjesenja jednadzbe.

Zadatak 3. 1)√

3 +√

x − 3 = 2 ; 2)√

2 −√2x − 1 = 1 ;

3)√

7 −√x + 1 = 2 ; 4)

√3 −

√2 +

√3x + 1 = 1 .

Rjesenje.

1)√

3 +√

x − 3 = 2

3 +√

x − 3 = 4√x − 3 = 1

x − 3 = 1


2)√

2 −√2x − 1 = 1

2 −√2x − 1 = 1√2x − 1 = 1

2x − 1 = 1


3)√

7 −√x + 1 = 2

7 −√x + 1 = 4√x + 1 = 3

x + 1 = 9


391

8 RJESENJA ZADATAKA

4)

√3 −

√2 +

√3x + 1 = 1

3 −√

2 +√

3x + 1 = 1√2 +

√3x + 1 = 2

2 +√

3x + 1 = 4√3x + 1 = 2

3x + 1 = 4


Zadatak 4. 1)x − 1√x + 1

= 4 +√

x − 12

; 2)√

x − 1x − 1

= 1 − 1√x + 1

.

Rjesenje.

1)x − 1√x + 1

·√

x − 1√x − 1

= 4 +√

x − 12

√x − 1 = 4 +

√x − 12

2√

x − 2 = 8 +√

x − 1√x = 9

x = 81;Provjerom potvr -dujemo da je x = 81 uistinu rjesenje jednadzbe.2) √

x − 1x − 1

= 1 − 1√x + 1

·√

x − 1√x − 1√

x − 1x − 1

= 1 −√

x − 1x − 1

2

√x − 1

x − 1= 1

2(√

x − 1) = x − 1

2√

x − 2 = x − 1

2√

x = x + 1

4x = x2 + 2x + 1

x2 − 2x + 1 = 0

(x − 1)2 = 0

x = 1;

Za x = 1 razlomak

√x − 1

x − 1nije definiran, pa jednadzba nema rjesenja.

392

8

Zadatak 5. 1)√

6 + x · √6 − x = x ; 2)√

2x + 3 · √2x − 3 = 4 ;

3)√

5x − 6 · √5x + 6 = 8 ; 4)√

2x + 3 · √2x − 1 = 2x ;

5)√

3x − 2 · √x + 2 = x + 2 .

Rjesenje. 1)√

6 + x · √6 − x = x√36 − x2 = x

36 − x2 = x2

x2 = 18

x =√

18

x = 3√

2;

2)√

2x + 3 · √2x − 3 = 4√4x2 − 9 = 4

4x2 − 9 = 16

4x2 = 25

x2 =254

x =52;

3)√

5x − 6 · √5x + 6 = 8√25x2 − 36 = 8

25x2 − 36 = 64

25x2 = 100

x2 = 4

x = 2;

4)√

2x + 3 · √2x − 1 = 2x√(2x + 3)(2x − 1) = 2x

4x2 + 4x − 3 = 4x2

4x = 3

x =34;

5)√

3x − 2 · √x + 2 = x + 2√(3x − 2)(x + 2) = x + 2

3x2 + 4x − 4 = x2 + 4x + 4

2x2 = 8

x2 = 4

x = 2.

Zadatak 6. 1)√

x + 1 · √5 − x =√

x + 3 · √4 − x ;

2)√

3x − 1 · √4x + 3 =√

2x + 3 · √6x − 5 ;

3)√

x + 1 · √x + 3 =√

x + 2 · √x + 4 .

Rjesenje. 1)√

x + 1 · √5 − x =√

x + 3 · √4 − x

(x + 1)(5 − x) = (x + 3)(4 − x)

−x2 + 4x + 5 = −x2 + x + 12

3x = 7

x =73;

2)√

3x − 1 · √4x + 3 =√

2x + 3 · √6x − 5

(3x − 1)(4x + 3) = (2x + 3)(6x − 5)

12x2 + 5x − 3 = 12x2 + 8x − 15

−3x = −12

x = 4;

393

8 RJESENJA ZADATAKA

3)√

x + 1 · √x + 3 =√

x + 2 · √x + 4

(x + 1)(x + 3) = (x + 2)(x + 4)

x2 + 4x + 3 = x2 + 6x + 8

2x = −5

x = −52;

Uvrstavanjem se vidi da x = −52

nije rjesenje. Jednadzba nema rjesenja.

Zadatak 7. 1)√

2x + 5 = x + 1 ; 2) 2√

x + 5 = x + 2 ;

3) x − 2 =√

4 + 2x − x2 ; 4)√

2x2 − 3x + 1 = x + 1 .

Rjesenje. 1)√

2x + 5 = x + 1

2x + 5 = x2 + 2x + 1

x2 − 4 = 0

(x − 2)(x + 2) = 0

x = ±2;Za x = −2 izraz pod korjenom je negativan, pa x = −2 nije rjesenje. x = 2jest rjesenje jednadzbe;

2) 2√

x + 5 = x + 2

4x + 20 = x2 + 4x + 4

x2 = 16

x = ±4;Uvrstavanjem dobijemo da je rjesenje x = 4 ;

3) x − 2 =√

4 + 2x − x2

x2 − 4x + 4 = 4 + 2x − x2

2x2 − 6x = 0

2x(x − 3) = 0;Za x = 0 lijeva strana jednadzbe je negativna, a desna pozitivna, pa x = 0 nijerjesenje jednadzbe. x = 3 jest rjesenje;

4)√

2x2 − 3x + 1 = x + 1

2x2 − 3x + 1 = x2 + 2x + 1

x2 − 5x = 0

x(x − 5) = 0Rjesenje je x = 0 ili x = 5 , sto se provjeri uvrstavanjem.

Zadatak 8. 1)√

x + 5 +√

5 − x = 4 ; 2)√

3x + 1 +√

16 − 3x = 5 ;

3)√

x − 4 +√

3 − x = 1 ; 4)√

x + 5 −√x − 3 = 2 ;

5)√

2x − 1 +√

2x − 6 = 5 ; 6)√

x + 1 +√

2x =√

3x + 1 .

394

8

Rjesenje.

1)√

x + 5 +√

5 − x = 4√25 − x2 = 16

x2 = 9;Rjesenja jednadzbe su x = −3 i x = 3 ;

2)√

3x + 1 +√

16 − 3x = 5

5 −√3x + 1 =

√16 − 3x

25 − 10√

3x + 1 + 3x + 1 = 16 − 3x

6x + 10 = 10√

3x + 1

3x + 5 = 5√

3x + 1

9x2 + 30x + 25 = 75x + 25

9x2 − 45x = 0

9x(x − 5) = 0x = 0 i x = 5 su rjesenja zadane jednadzbe.

Zadatak 9. 1)√

6x + 1 +√

4x + 2 =√

8x +√

2x + 3 ;

2)√

3x + 2 −√2x =

√2x + 3 −√

3x − 1 ;

3)√

3x − 1 −√x + 1 =

√2x + 1 −√

2x − 1 .

Rjesenje. 1)√

6x + 1 +√

4x + 2 =√

8x +√

2x + 3

10x + 3 + 2√

6x + 1√

4x + 2 = 10x + 2√

8x√

2x + 3 + 3√6x + 1

√4x + 2 =

√8x√

2x + 3

24x2 + 16x + 2 = 16x2 + 24x

8x2 − 8x + 2 = 0

4x2 − 4x + 1 = 0

(2x − 1)2 = 0

x =12;

2)√

3x + 2 −√

2x =√

2x + 3 −√3x − 1

3x + 2 − 2√

(3x + 2)2x + 2x = 2x + 3 − 2√

2x + 3√

3x − 1 + 3x − 1√(3x + 2)2x =

√2x + 3

√3x − 1

6x2 + 4x = 6x2 + 7x − 3

3x = 3

x = 1;

395

8 RJESENJA ZADATAKA

3)√

3x − 1 −√x + 1 =

√2x + 1 −√

2x − 1

3x − 1 − 2√

3x − 1√

x + 1 + x + 1 = 2x + 1 − 2√

2x + 1√

2x − 1 + 2x − 1√3x − 1

√x + 1 =

√2x + 1

√2x − 1

3x2 − 2x − 1 = 4x2 − 1

x2 + 2x = 0

x(x + 2) = 0Moguca rjesenja su x = 0 i x = 2 . Uvrstavanjem dobijemo da je jedinorjesenje x = 2 .

396

9


Zadatak 1. Koliko kruznica prolazi jednom tockom ravnine? A kroz dvije tocke? S kolikotocaka je jednoznacno odre -dena kruznica?

Rjesenje. Beskonacno mnogo. Beskonacno mnogo. Kruznica je jednoznacno odre -denas tri tocke.

Zadatak 2. Je li kruznica osnosimetrican skup tocaka? A je li centralno simetrican?

Rjesenje. Da. Da.

Zadatak 3. Promjer tramvajskog kotaca je 70 cm. Koliko se puta taj kotac okrene na putuod 1 km?

Rjesenje. 1 km = 1000 m = k · 2rπ =⇒ k =10000.7π

= 455 puta.

Zadatak 4. Ako je promjer kotaca bicikla 80 cm, koliki put biciklist prevali uz 500 punihokretaja kotaca?

Rjesenje. 500 · 2rπ = 500 · 0.8π = 1257 m.

Zadatak 5. Polumjeri dvaju krugova u omjeru su 1 : 2 . U kojem su omjeru opsezi, a ukojem povrsine ovih krugova?

Rjesenje. o1 : o2 = r1 : r2 = 1 : 2 ; P1 : P2 = r21 : r2

2 = 1 : 4 .

Zadatak 6. Ako utrostrucimo polumjer kruga, koliko mu se puta poveca opseg, a kolikoputa povrsina?

Rjesenje. r′ = 3r =⇒ o′ = 2r′π = 2 ·3 · rπ = 3 ·2rπ = 3o, P′ = r′2π = 9r2π = 9P .Opseg kruga se utrostruci, a povrsina se poveca devet puta.

Zadatak 7. Polumjer jednog kruga pet puta je manji od polumjera drugog. Usporedi opsegei povrsine ovih krugova.

Rjesenje. r′ =15r =⇒

⎧⎪⎨⎪⎩

o′ = 2r′π = 2 · 15· rπ =

15· 2rπ =

15o,

P′ = r′2π =125

r2π =125

P.

Opseg prvog kruga manji je pet puta od opsega drugog, a povrsina prvog manjaje 25 puta od povrsine drugog.

Zadatak 8. Ako je opseg kruga 22π cm, kolika je njegova povrsina?

Rjesenje. o = 2rπ =⇒ r =o2π

=22π2π

= 11 , P = r2π = 121π cm2 .

Zadatak 9. Ako je povrsina kruga 56.25π cm2 , koliki je njegov opseg?

Rjesenje. P = 56.25π cm2 =⇒ r2 = 56.25 , r = 7.5 cm, o = 2 · 7.5π = 15π cm.

Zadatak 10. Mala pizza promjera 30 cm stoji 30 kn, a velika promjera 40 cm stoji 50 kn.Jesu li ove dvije cijene ravnopravne?

Zadatak 11. Ako za pizzu promjera 36 cm treba 20 dag tijesta, koliko tijesta treba za pizzupromjera 32 cm?

397

9 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Iz (182π) : 20 = (162π) : x slijedi x = 15.8 dag.

Zadatak 12. Ako se opseg kruga umanji za 75%, za koji mu se postotak umanji povrsina?Ako se povrsina kruga umanji za 75 %, za koliko mu se umanji opseg?

Rjesenje. Ako se opseg kruga umanji za 75%, povrsina mu se umanji za 93.75%. Ako sepovrsina kruga umanji za 75%, opseg mu se umanji za 50%.

Zadatak 13. Kotac zamasnjak polumjera 0.8 m okrene se u minuti 105 puta. Koliki putprevali neka tocka na rubu zamasnjaka tijekom jednog sata?

Rjesenje. Opseg kotaca je 2rπ = 1.6π m. Tocka na njegovu rubu u jednom satu prevaliput koji iznosi 60 · 105 · 1.6π = 10 080π m ≈ 32 km .

Zadatak 14. Presjek dvaju sukladnih krugova ima povrsinu 96π cm2 , a istu ukupnu povr-sinu imaju i dijelovi tih krugova koji su izvan presjeka. Koliki je polumjersvakog od ovih dvaju krugova?

Rjesenje. Povrsina kruge jednaka je 96π +96π2

= 144π . Odatle slijedi r = 12 cm .

Zadatak 15. Kolika je povrsina kruznog prstena koji je ome -den dvama koncentricnim kru-govima opsega 9π i 3π dm?

Rjesenje. Iz o1 = 9π i o2 = 3π dobijemo r1 = 4.5 dm, r2 = 1.5 dm. Tada jeP = P1 − P2 = (r2

1 − r22)π = 18π dm2 .

Zadatak 16. Povrsina kruznog prstena je 160π cm2 . Ako je opseg manjeg kruga 6π cm,koliki je opseg veceg?

Rjesenje. P = 160π cm2

o1 = 6π cmo2 =?r1 =

o2π

= 3 cm

P = P2 − P1160π cm2 = r2

2π − 9π cmr22 = 169 cm2

r2 = 13 cmo2 = 2r2π = 26π cm

Zadatak 17. Povrsina kruga sa sredistem u tocki S je 10π cm2 . Koliki je polumjer kruznicekojoj je S srediste, a koja dani krug dijeli na dva dijela s omjerom povrsina2 : 3 ?

Rjesenje. Kruznica dijeli krug povrsine Pk = 10π cm2 na manji krug povrsine P i kruzniisjecak povrsine Pk − P . Imamo dva slucaja:

1) (Pk − P) : P = 2 : 3, P =35Pk = 6π cm2, r2 = 6 cm2, r =

√6 cm;

2) P : (Pk − P) = 2 : 3, P =25Pk = 4π cm2, r2 = 4 cm2, r = 2 cm.

Zadatak ima dva rjesenja; u prvom je r =√

6 cm, u drugom r = 2 cm.

398

9

Zadatak 18. Dan je krug sa sredistem S i polumjerom r . Podijeli taj krug dvjema koncen-tricnim kruznicama sa sredistem u S na tri dijela jednakih povrsina.

Rjesenje. Neka je povrsina manjeg kruga P1 , a veceg P2 , imamo:

P1 =13P, r2

1 =13r2, r1 =

√3

3r; P2 =

23P, r2

2 =23r2, r2 =

√6

3r.

Zadatak 19. Konstruiraj krug cija je povrsina jednaka zbroju povrsina dvaju zadanih krugo-va.

Rjesenje. Ako su r1 i r2 polumjeri dvaju zadanih krugova, onda je r21π + r2

2π = r2π ,gdje je s r oznacen polumjer kruga koji valja konstruirati. Dakle, r2 = r2

1 +r22 ,

pa je r hipotenuza pravokutnog trokuta kojem su r1 i r2 katete.

Zadatak 20. Nacrtaj neka dva kruga pa potom konstruiraj treci kojem je povrsina jednakarazlici njihovih povrsina.

Rjesenje. Ako su r1 i r2 polumjeri dvaju zadanih krugova r1 > r2 , onda je r2π =r21π − r2

2π , gdje je s r oznacen polumjer kruga koji valja konstruirati. Dakle,r2 = r2

1 − r22 , pa je r kateta pravokutnog trokuta kojem je r1 hipotenuza i r2

kateta.

Zadatak 21. Kvadratu je upisan i opisan krug. Koliki je omjer povrsina tih dvaju krugova?

Rjesenje. Polumjer kvadratu upisanog kruga jea2

, a polumjer opisanoga√

22

, pa je

povrsina kvadratu upisanog kruga jednakaa2

4π , a povrsina opisanog

a2

2π .

Omjer tih povrsina jednak je 1 : 2 .

Zadatak 22. U krug je upisan i istom je krugu opisan jednakostranicni trokut. Dokazi da jepovrsina opisanog trokuta cetiri puta veca od povrsine upisanog.

Rjesenje. Za trokut upisan u krug vrijedi:

r =a1

√3

3, a1 = r

√3;

Za trokut opisan krugu vrijedi:

r =a2√

36

, a2 = 2r√

3

Sada imamoP1 : P2 = a2

1 : a22 = 3 : 12 = 1 : 4.

Zadatak 23. Jednakostranicnom trokutu upisan je i opisan krug. Dokazi da je povrsinaopisanog kruga cetiri puta veca od povrsine upisanog.

Rjesenje. P1 – povrsina upisanog, P2 – povrsina opisanog kruga.

P1 : P2 = r21 : r2

2 =

(a√

36

)2

:

(a√

33

)2

= 1 : 4

Zadatak 24. Jednakokracnompravokutnom trokutu upisan je krug povrsine 8π cm2 . Kolikaje povrsina kruga opisanog ovom trokutu?

399

9 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Iz povrsine kruga dobijemo polumjer upisane kruznice r :

P1 = 8π cm2, r2 = 8 cm2, r = 2√

2 cm.

Izjednacavanjem formula za povrsinu trokuta P� =12(a+b+c)r i P� =

12a2

imamo:12a2 =

12(a + b + c)r,

a2 = (2a + a√

2)r,

a = (2 +√

2)r,

a = (2 +√

2)2√

2,

a = 4(1 +√

2).Slijedi:

R =c2

=a√

22

= 2√

2(1 +√

2).

Povrsina opisane kruznice je:

P2 = R2π = 8(3 + 2√

2)π.

Zadatak 25. U krug je upisan kvadrat, a krugu je opisan jednakostranicni trokut. Koliki jeomjer povrsina trokuta i kvadrata?

Rjesenje. Neka je a stranica, d dijagonala, a P povrsina upisanog kvadrata, imamo:

d = 2r, d = a√

2, a√

2 = 2r, a = r√

2,

P = a2 = 2r2.

Za trokut imamo:

r =a�

√3

6, a� =

6r√3,

P� =a2�√

3

4=

36r2

3

√3

4= 3

√3r2;

P� : P = 3√

3 : 2.

Zadatak 26. Ako su a = 12 cm i b = 16 cm duljine kateta pravokutnog trokuta, koliki jeopseg ovom trokutu upisane, a koliki opisane kruznice?

Rjesenje. Najprije, c = 20 cm, te je polumjer opisane kruznice jednakc2

= 10

cm. Opseg opisane kruznice iznosi 20π cm. Iz c = a + b − 2r slijedi

r =a + b − c

2= 4 cm, te je opseg upisane kruznice 8π cm.

Zadatak 27. Duljina stranice pravokutnika je 6 cm, a dijagonale pravokutnika sijeku se podkutom od 60◦ . Koliki je opseg kruznice opisane ovom pravokutniku?

Rjesenje. Ako je dulja stranica 6 cm, onda je polumjer kruznice opisane pravokutnikujednak 2

√3 cm, a opseg kruznice iznosi 4

√3π cm. Ako je duljina krace

stranice 6 cm, onda je i polumjer opisane kruznice 6 cm, te je njezin opseg 12πcm.

400

9

Zadatak 28. Kruznica dira stranice AB , CD i AD pravokutnika ABCD te prolazi sjecistemnjegovih dijagonala. Ako je polumjer kruznice jednak 4 cm, kolika je povrsinapravokutnika?

Rjesenje.

|AD| = 2r, |AB| = 4r, P = 8r2 = 128 cm2.

Zadatak 29. Koliki je polumjer kruznice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovimvrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm?

Rjesenje. Uocimo pravokutni trokut �SCE (vidi sliku). Primijenimo Pitagorin poucak:(12 − r)2 + 36 = r2 . Odatle se dobije r = 7.5 cm.

Zadatak 30. Povrsina kruznog prstena je 12.5π cm2 . Kolika je duljina tetive veceg krugaako ta tetiva dira manju kruznicu?

Rjesenje. Iz pravokutnog trokuta �SBD (slika) slijedi( t

2

)2= r2

1 − r22 =

Pπ

= 12.5 ,

pa je t2 = 50 , t = 5√

2 cm.

Valja primijetiti da polumjeri kruznica koje ome -duju prsten nisu jednoznacnoodre -deni, a ipak je duljina tetive potpuno odre -dena.

Zadatak 31. Ako je |AB| = 2r , |AC| = 2m , kolika je povrsina osjencanog dijela kruga naslici dolje lijevo?

401

9 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Oznacimo trazenu povrsinu s P , povrsinu kruga promjera |AB| s P1 , povrsinukruga promjera |CB| = 2r − 2m s P2 , a povrsinu kruga promjera |AC| s P3 ,imamo:

P =12P1 − 1

2P2 +

12P3 =

12

(r2 − (r − m)2 + m2

)π

=12

(r2 − r2 + 2rm − m2 + m2

)π = rmπ.

Zadatak 32. Koji dio povrsine kruga cini osjencani lik na slici gore desno?

Rjesenje. Oznacimo li trazenu povrsinu s P , povrsinukrugapromjera 2r s P1 , a povrsinukruga promjera r s P2 , imamo:

P = 2 ·(

14P1 − 1

2P2 +

12P2

)=

12P1 =

12r2π cm2.

Zadatak 33. Nad hipotenuzom i nad katetama pravokutnog trokuta ABC konstruirane supolukruznice, te su na taj nacin dobivene dvije lunule povrsina P1 i P2 (slika).Dokazi: P1 + P2 = P�ABC .

Rjesenje. Trazenu povrsinu dobijemo tako da zbrojimo povrsine polukrugova nad ABi BC i povrsinu trokuta ABC i od tog zbroja oduzmemo polovinu povrsinetrokutu opisanog kruga.

P1 + P2 =

(a2

)2π

2+

(b2

)2π

2+

ab2

−

( c2

)2π

2=

ab2

= P(�ABC) .

Zadatak 34. Promjer MN kruga podijeljen je tockama A , B , C i D na pet sukladnihdijelova i nad tim dijelovima konstruirane su polukruznice kao na slici. Dokazida je na ovaj nacin krug podijeljen na pet dijelova jednakih povrsina. Dokazida je opseg svakog dijela jednak opsegu kruga.

M A B C D N

402

9

Rjesenje.

Ne umanjujuci opcenitost uzet cemo |MN| = 10a . Neka je P povrsina kruga.

P1 je jednaka razlici zbroja povrsina polukrugova nad MA i MN i povrsinepolukruga nad AN :

P1 =12a2π +

12· 25a2π − 1

2· 16a2π = 5a2π =

15· (5a)2π =

15P.

Dakle P1 = P5 =15P .

P2 je jednaka razlici zbroja povrsina polukrugova nad MB i MN i zbrojapovrsine P1 i povrsine polukruga nad BN :

12(2a)2π +

12(5a)2π − 1

5· (5a)2π − 1

2(3a)2π

= 2a2π +252

a2π − 15· (5a)2π − 9

2a2π =

202

a2π − 15· (5a)2π

=1025

(5a)2π − 15· (5a)2π =

25(5a)2π − 1

5· (5a)2π =

15· (5a)2π =

15P.

Dakle, P2 = P4 =15P . No onda je i

P3 = P − 45P =

15P.

Slicno se vidi i za opsege:

o1 = o5 =12

(2a + 2 · (5a) + 2 · (4a)) π = 10aπ = 2 · 5aπ = O;

o2 = o4 =12

(2 · (2a) + 2 · (5a) + 2 · (3a)) π = 10aπ = 2 · 5aπ = O;

o5 =12· 2 (2 · (2a) + 2 · (3a)) π = 10aπ = 2 · 5aπ = O.

Zadatak 35. Dane su dvije kruznice jednakog polumjera a , od kojih jedna prolazi sredistemdruge. Ako su tocke S1 i S2 sredista tih kruznica, a A i B tocke u kojima sekruznice sijeku, kolika je povrsina kruga upisanog cetverokutu ABCD ?

Rjesenje.

403

9 RJESENJA ZADATAKA

Tocke A i B nalaze se na kruznicama k1 i k2 , iz cega slijedi: |S1A| = |S1B| =|S2A| = |S2B| = a . Tako -der tocka S2 se nalazi na kruznici k1 pa je |S1S2| = a .Dobiveni cetverokut je romb duljina stranica i jedne dijagonale a (slika).Neka je sjeciste dijagonala romba tocka C . Promatrajmo pravokutni trokutS1BC . Visina iz C je ujedno polumjer trazene kruznice. Pomocu formule zapovrsinu trokuta imamo:

a · r =a2· a

√3

2, r =

a√

34

;

te je trazena povrsina:

P =

(a√

34

)2

π =3π16

a2.

Zadatak 36. Dvije kruznice jednakog polumjera r diraju se izvana i obje diraju trecu kru-znicu polumjera 8 cm u tockama A i B . Ako je |AB| = 12 cm, koliki jer ?

Rjesenje. Iz slicnosti trokuta �SS1S2 i �SAB slijedi2r12

=r + 8

8. Odatle je r = 24

cm.

Zadatak 37. Odredi duljinu nacrtane krivulje ako je |AB| = 4 cm .1)

A B

2)

A B

Rjesenje. 1) d = 2 · 12

(18

+316

+516

+14

)|AB|π =

78· 8 cm . π = 7π cm .

2) d = 2 · 12

(12

+516

+316

+216

)|AB|π =

98· 8 cm . π = 9π cm .

404

9


Zadatak 1. Luku duljine 3.5π cm pripada sredisnji kut od 225◦ . Kolika je duljina cijelekruznice?

Rjesenje. r =l · 180◦

πα=

3.5π cm · 180◦

π · 225◦= 2.8 cm , o = 2 · 2.8 cm · π = 5.6π cm.

Zadatak 2. Povrsina kruga je 72 cm2 . Kolika je povrsina isjecka ovog kruga ako tomisjecku pripada sredisnji kut α = 72◦ ?

Rjesenje. r2 =72π

cm2 , Pi =r2πα360◦

=

72π

cm2 · π · 72◦

360◦= 14.4 cm2 .

Zadatak 3. Koliki je sredisnji kut kruznog isjecka cija povrsina cini 16 % povrsine kruga?

Rjesenje.16100

r2π =r2πα360◦

, α =16 · 360◦

100= 57.6◦ = 57◦36′ .

Zadatak 4. Kruznom luku duljine 4.8π cm pripada sredisnji kut od 36◦ . Kolika je povr-sina odgovarajuceg kruznog isjecka?

Rjesenje. r =180◦ · lπ · α

=180◦ · 4.8π cm

36◦ · π= 24 cm ;

Pi =rl2

=24 cm · 4.8π cm

2= 57.6π cm2 .

Zadatak 5. Povrsina kruznog isjecka je 16.8π cm2 , a pripadni sredisnji kut iznosi 42◦ .Kolika je duljina kruznog luka ovog isjecka?

Rjesenje. r2 =16.8π cm2 · 360◦

π · 42◦= 144 cm2 , r = 12 cm

l =2 · 16.8π cm2

12 cm= 2.8π cm ≈ 8.8 cm .

Zadatak 6. Povrsina kruga je 25π cm2 . Kolika je duljina luka na rubu ovog kruga ako tomluku pripada sredisnji kut od 72◦ ?

Rjesenje. r2 = 25 cm2 , r = 5 cm ; l =rπα180◦

=5 cm · π · 72◦

180◦= 2π cm .

Zadatak 7. Opseg kruga je 20π cm. Kolika je povrsina kruznog isjecka ovog kruga akotom isjecku pripada sredisnji kut od 216◦ ?

Rjesenje. o = 20π cm, r =o2π

=20π cm

2π= 10 cm,

Pi =r2πα360◦

=100 cm2 · π · 216◦

360◦= 60π cm2 .

Zadatak 8. Povrsina kruznog isjecka iznosi 3.2π cm2 , duljina pripadnog kruznog luka je0.8π cm. Koliki je sredisnji kut isjecka?

Rjesenje. r =2 · Pi

l=

2 · 3.2π cm2

0.8 cm= 8 cm ,

405

9 RJESENJA ZADATAKA

α =180◦ · l

rπ=

180◦ · 0.8π cm8 cm · π

= 18◦ .

Zadatak 9. Dva kruzna luka razlicitih kruznica imaju jednake duljine. Ako prvom pri-pada sredisnji kut od 60◦ , a drugom od 45◦ , koliki je omjer povrsina dvajuodgovarajucih krugova?

Rjesenje. l1 = l2 = l ; r1 : r2 =l · 180◦

π · 60◦:

l · 180◦

π · 45◦= 45 : 60 = 3 : 4 ,

P1 : P2 = r21 : r2

2 = 9 : 16 .

Zadatak 10. Duljina kruznog luka kruznice polumjera 8 cm je 6 cm. Kolika je povrsinakruznog isjecka odre -denog ovim lukom?

Rjesenje. Iz P =r · l2

nalazimo P = 24 cm2 .

Zadatak 11. Ako je povrsina kruznog isjecka kruga s polumjerom 12 cm jednaka 18 cm2 ,kolika je duljina kruznog luka koji odgovara tom isjecku?

Rjesenje. l =2pr

=2 · 18 cm2

12 cm= 3 cm.

Zadatak 12. Ako je povrsina kruznog isjecka 16.5 cm2 , a duljina pripadnog kruznog luka11 cm, koliki je polumjer kruga?

Rjesenje. r =2Pl

=2 · 16.5 cm2

11 cm= 3 cm.

Zadatak 13. Tri kruznice, polumjera√

3 + 1 ,√

3−1 i 3−√3 , me -dusobno se diraju iz-

vana. Kolika je povrsina zakrivljenog trokuta ome -denog lukovima ovih trijukruznica?

Rjesenje. Promatrajmo trokut S1S2S3 . Stranice trokuta su:

a = r1 + r2 = 2√

3, b = r2 + r3 = 2, c = r1 + r3 = 4;

c2 = a2 + b2.

Dakle, sredista triju kruznica odre -duju pravokutni trokut s katetama duljina2 cm i 2

√3 cm te hipotenuzom duljine 4 cm.

Nadopunom pravokutnog trokuta do jednakostranicnog zakljucujemo da susiljasti kutovi 30◦ , 60◦ .Povrsina opisanog lika jednaka je

P =2 · 2√3

2cm2 −

(30◦(

√3 + 1)2 + 60◦(

√3 − 3)2 + 90◦(

√3 − 1)2

)π cm2

360◦

= 2√

3 cm2 −(30(4 + 2

√3) + 60(12 − 6

√3) + 90(4 − 2

√3))

π

360cm2

= 2√

3 cm2 −(1200− 480

√3)

π

360cm2 = 2

√3 − 10 − 4

√3

3π cm2.

406

9

Zadatak 14. Kolika je povrsina kruznog odsjecka kruga ciji je polumjer jednak 20 cm, aodsjecku pripada sredisnji kut od 45◦ ?

Rjesenje. Neka je v visina iz A i neka je noziste visine tocka C . Trokut ACS je pra-vokutan. Kut pri vrhu S jednak je 45◦ , pa je i kut pri vrhu A trokuta ACS45◦ iz cega slijedi da je trokut jednakokracan pa pomocu Pitagorinog pouckaimamo:

v2 + v2 = 202, 2v2 = 400, v = 10√

2.

Povrsina odsjecka jednaka je razlici povrsine isjecka i povrsine trokuta �ABS :

Po = Pi−P� =400 cm2 · π · 45◦

360◦−1

2(20·10

√2) cm2 = (50π−100

√2) cm2 ≈ 15.66 cm2.

Zadatak 15. Dan je kvadrat sa stranicom duljine a te su konstruirani lukovi sa sredistima u

vrhovima kvadrata i polumjeroma2

. U dio ravnine (unutar kvadrata) ome -dene

tim lukovima upisana je kruznica. Koliki je njezin polumjer?

Rjesenje. 2r = d − 2 · a2

= a√

2 − a = a(√

2 − 1) , r =a2(√

2 − 1) .

407

9 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 16. Oko vrhova na hipotenuzi jednakokracnog pravokutnog trokuta opisane su dvi-je jednake kruznice koje se me -dusobno diraju. Oko vrha pravog kuta opisanaje kruznica koja dira prve dvije izvana. Koliki su opseg i povrsina krivocrtnogtrokuta izme -du ovih triju kruznica ako je duljina hipotenuze trokuta 2

√2 dm?

Rjesenje.

Trokut je jednakokracan i pravokutan pa imamo: α = β = 45◦ , γ = 90◦ ,

a =c√2

= 2 dm .

Oznacimo kruznice iz vrhova hipotenuze s k1 i k2 , a trecu kruznicu sa k3 .Duljina polumjera kruznica k1 i k2 jednaka je polovici dulljine hipotenuze, tj.

r1 = r2 =√

2 dm.

Duljina r3 jednaka je razlici a − r1 :

r3 = 2 −√

2 dm.

Sada imamo:

l1 = l2 =r1πα180◦

=√

2 dm · π · 45◦

180◦=

π√

24

dm;

l3 =r3πγ180◦

=(2 −√

2) dm · π · 90◦

180◦=

π(2 −√2)

2dm;

o = l1 + l2 + l3 = 2l1 + l3 = 2 · π√

24

dm +π(2 −√

2)2

dm = π dm;

P = P� − 2P1 − P3 =a2

2− 2 · r1l1

2− r3l3

2= 2 dm2 − π

2dm2 − π(2 −√

2)2

4dm2

= 2 dm2 − π2

dm2 − π(6 − 4√

2)4

dm2 = 2 dm2 − π2

dm2 − 3π2

dm2 + π√

2 dm2

= 2 − (2 −√

2)π dm2.

Zadatak 17. Oko svakog vrha jednakostranicnog trokuta opisan je luk s polumjerom koji jejednak duljini stranice trokuta (vidi sliku). Kolika je povrsina lika ome -denogtim trima lukovima ako je duljina stranice trokuta jednaka a ?

Rjesenje. P = 3Pi − 2P� = 3 · a2π · 60◦

360◦− 2

a2√

34

=12(π −√

3)a2 .

408

9

Zadatak 18. Oko vrhova B i D kvadrata ABCD , cija je stranica duga a , opisani su lukovis polumjerom duljine a (vidi sliku). Kolika je povrsina lika ome -denog timdvama lukovima?

Rjesenje. Neka je P′ povrsina kvadrata. Trazena povrsina jednaka je

P = 2Pi − P′ = 2 · a2 · π · 90◦

360◦− a2 =

a2 · π2

− a2 =π − 2

2a2.

Zadatak 19. Izracunaj povrsinu cvijeta na slici. Duljina stranice kvadrata je 2 cm.

Rjesenje. Neka je P′ povrsina kvadrata, a Pi povrsina polukruga. Trazena povrsinajednaka je razlici zbroja povrsina polukrugova i povrsine kvadrata:

P = 4Pi −P′ = 4 ·

(a2

)2π

2− a2 = 2

(a2

)2π − a2 = 2π cm2 − 4 cm2 ≈ 2.283 cm2

Zadatak 20. Oko vrhova A i B kvadrata ABCD s duljinom stranice a opisani su lukovipolumjera a . Kolika je povrsina osjencanog dijela kvadrata?

Rjesenje. Neka je tocka E sjeciste lukova. E se nalazi na kruznici iz A polumjera a i nakruznici iz B polumjera a , pa je |AE| = |BE| = |AB| = a , tj. trokut ABE jejednakostranican. Sada mozemo izracunati povrsinu P′ zakrivljenog trokutaABE :

P′ = 2 · a2π · 60◦

360◦− a2

√3

4=

a2π3

− a2√

34

=

(π3−

√3

4

)a2.

409

9 RJESENJA ZADATAKA

Trazena povrsina je

P = 2 · (Pi − P′) = 2 ·(

π · 90◦

360◦− π

3+

√3

4

)a2

= 2 ·(

π4− π

3+

√3

4

)a2 =

(√3

2− π

6

)a2.

Zadatak 21. Dokazi da svaki od cetiriju dijelova na koje je podijeljen krug imaju jednakupovrsinu.

Rjesenje. Neka je P povrsina kruga, a ostale povrsine oznacimo kao na slici.

P1 =( r

2

)2π =

14r2π =

14P;

P2 = P3 =12P1 +

14P − 1

2P1 =

14P;

P4 =12P − 2 · 1

2P1 =

12P − 1

4P =

14P.

Zadatak 22. Kolika je povrsina jajeta ako je |AB| = 3 cm?

A B

410

9

Rjesenje.

P =12·(

32

)2

π + 2 · 9π · 45◦

360◦− 1

2· 92

+14(3 − 3

2

√2)2π

=98

π +94

π − 94

+14(9 +

92− 9

√2)π =

278

π − 94

+278

π − 94

√2 π

=274

π − 94− 9

4

√2 π =

94

[(3 −

√2)π − 1

].

Zadatak 23. Ako je duljina stranice kvadrata jednaka a , kolika je povrsina osjencanog dijelakvadrata na slici?

Rjesenje. Od povrsine cetvrtine kruga s polumjerom a oduzmemo povrsinu polovine

kruga s polumjeroma2

, te neosjencani dio malog kvadrata.

P =14a2π − 1

2

(a2

)2π − 2

[(a2

)2− 1

4

(a2

)2π]

=14a2π − 1

8a2π − 2

(a2

4− a2

16π)

=18a2π − a2

2+

a2

8π

=14a2π − a2

2=

12

(π2− 1

)a2.

Zadatak 24. Dokazi da je povrsina osjencanog dijela kvadrata ABCD jednaka povrsinikvadrata EFGH (vidi sliku).

411

9 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Tvrdnju mozemo lako provjeriti, bez ikakva racunanja, samo uspore -divanjem irazmjestanjem pojedinih dijelova kvadrata. Naime povrsine kruznih odsjecakaiznad HE , EF , FG i GH su jednake.

Zadatak 25. Kut pri vrhu C jednakokracnog trokuta ABC je 36◦ , a duljina osnovice ABtrokuta iznosi 6 cm. Nad duzinom AB kao promjerom konstruirana je poluk-ruznica koju krakovi AC i BC trokuta dijele na tri luka. Kolike su duljine tihlukova?

Rjesenje.

Trokuti �ASD , �BSE i �ABC su slicni. Kutovi pri vrhovima C i S sujednaki 36◦ , pa imamo

l1 = l3 =3 cm · π · 36◦

180◦=

35

π cm

l2 = 3 · π cm − 2 · 35

π cm =95

π cm

Zadatak 26. Dvije kruznice, polumjera 2 dm i√

2 dm se sijeku, a sjecista su krajevi tetivekoja je dugacka 2 dm. Kolika je povrsina dijela ravnine ome -denogovim dvjemakruznicama?

Rjesenje. Neka je S1 srediste kruznice polumjera 2 dm, a S2 srediste kruznice polumjera√2 dm. Krajeve tetive oznacimo s A i B .

Trokut �S1AB je jednakostranican duljine stranice 2 dm, pa je kut pri vrhu S1jednak 60◦ .

Trokut �S2AB je jednakokracni pravokutni (22 = (√

2)2 + (√

2)2) , pa je kutpri vrhu S2 jednak 90◦ .

412

9

Prvo izracunajmo povrsinu presjeka dviju kruznica:

P′ = PS1AB − P�S1AB + PS2AB −�S2AB

=4 dm2 · π · 60◦

360◦− 4

√3

4dm2 +

2 dm2 · π · 90◦

360◦− 1 dm2

=23

π −√

3 +12

π − 1 dm2 =76

π −√

3 − 1 dm2

P = Pk1 + Pk2 − P′ = 4π + 2π − 76

π +√

3 + 1 dm2 =29π6

+ 1 +√

3 dm2.

Zadatak 27. Oko vrhova B , D i F pravilnog sesterokuta ABCDEF opisani su lukovi s po-lumjerom koji je jednak duljini stranice sesterokuta. Koliki su opseg i povrsinalika sto ga ome -duju ta tri luka?

Rjesenje.

Opseg je jednak duljini kruznice opisane sesterokutu, o = 2aπ , a povrsinaiznosi

P = 6 ·(

a2 · π · 60◦

360◦− a2 · √3

4

)= a2

(π − 3

√3

2

).

413

9 RJESENJA ZADATAKA


Zadatak 1. Razlika sredisnjeg i njemu pripadnog obodnog kuta kruznice je 33◦ . Koliki suti kutovi?

Rjesenje. β = 2α , β − α = 33◦ , α = 33◦ , β = 66◦ .Obodni kut jednak je 33◦ , sredisnji 66◦ .

Zadatak 2. Zbroj obodnog i pripadnog sredisnjeg kuta kruznice je 216◦45′ . Koliki su tikutovi?

Rjesenje. β = 2α , β + α = 216◦45′ , 3α = 216◦45′ , α = 72◦15′ , β = 144◦30′ .Obodni je kut jednak 72◦15′ , sredisnji 144◦30′ .

Zadatak 3. Obodni je kut za 28◦ manji od pripadnog sredisnjeg. Koliki su ti kutovi?

Rjesenje. β = 2α , α = β − 28◦ , α = 28◦ , β = 56◦ .

Zadatak 4. Obodni kut nad danom tetivom jednak je sredisnjem kutu nad istom tom teti-vom. Je li to moguce?

Rjesenje. Danoj tetivi odgovaraju dva sredisnja kuta. Neka su to β1 i β2 s pripadaju-cim obodnim kutovima α1 i α2 . Kako uvjet zadatka ne moze biti ispunjen zaodgovarajuce obodne i sredisnje kutove, pretpostavimo da je β1 = α2 . Imamo:

β1 + β2 = 360◦, β1 = α2, β2 = 2α2;

α2 + 2α2 = 360◦, α2 = 120◦.Dakle, moguce je. Ti kutovi su svaki 120◦ , samo sto nisu odgovarajuci, negoobodnom pripada sredisnji od 240◦ , a sredisnjem obodni od 60◦ .

Zadatak 5. Iz tocke A na kruznici povucene su tetive AB i AC , nad kojima su obodnikutovi od 70◦ i 40◦ . Koliki je kut α izme -du tih dviju tetiva?

Rjesenje. x = 20◦ , y = 50◦ =⇒ α = 70◦ . Druga mogucnost (vidi drugu sliku):α = y − x = 30◦ .

Zadatak 6. Ako su A , B i C tocke na kruznici sa sredistem S te ako je <)ACB = 45◦ ,onda su pravci AS i BS me -dusobno okomiti. Dokazi!

Rjesenje. Kut <)ACB obodni je kut kruznice nad njezinom tetivom AB . Dakle, pripadnije sredisnji kut <)ASB pravi.

Zadatak 7. Tocke A , B i C su na kruznici sa sredistem u tocki S . Ako je <)ACB = 30◦te |AS| = 3 cm, kolika je povrsina kruznog isjecka ASB ?

414

9

Rjesenje. <)ASB je pripadni sredisnji kut obodnog kuta <)ACB = 30◦ , pa je <)ASB = 60◦te povrsina isjecka

Pi =9 cm2 · π · 60◦

360◦=

32

π cm2.

Zadatak 8. Kruznici je upisan pravokutnik cija je dijagonala dvostruko dulja od kracestranice pravokutnika. Koliki su obodni kutovi nad stranicama pravokutnika?

Rjesenje. Srediste kruznice opisane pravokutniku je sjeciste dijagonala, a duljina polum-

jera je jednakad2

, odnosno kracoj stranici pravokutnika.

Trokut ASB je jednakostranicni, te je sredisnji kut nad kracom stranicom pra-vokutnika 60◦ ili 300◦ , a pripadajuci obodni 30◦ ili 150◦ . Sredisnji kut nadduljom stranicom pravokutnika je 120◦ ili 240◦ , a pripadajuci obodni 60◦ ili120◦ .

Zadatak 9. Duzina AB tetiva je kruznice sa sredistem S . Ako je <)ABS = 23◦48′ , kolikije kut nad tetivom AB ?

Rjesenje. Primijeti da je trokut �ABS jednakokracan.Iz <)ABS = 23◦48′ i <)BAS = 23◦48′ slijedi

<)ASB = 180◦ − (23◦48′ + 23◦48′) = 132◦24′,<)BSA = 360◦ − 132◦24′ = 227◦36′,

te su pripadajuci obodni kutovi 66◦12′ , odnosno 113◦48′ .

Zadatak 10. Tocke A , B i C leze na kruznici sa sredistem S . Ako je <)ACB = 131◦44′ ,koliki je kut <)ABS ?

Rjesenje. <)ACB = 131◦44′ je obodni kut nad tetivom AB . Pripadni sredisnji kut <)ASBje 263◦28′ , iz cega slijedi da je <)BSA = 96◦32 . Trokut ABS je jednakokracan(|AS| = |BS|) pa je

<)ASB =12(180◦ − 96◦32′) =

12(179◦60′ − 96◦32′) =

12(83◦28′) = 41◦44′.

Uzeli smo manji sredisnji kut.

Zadatak 11. Ako je α = 28◦ , β = 32◦ , koliki je kut <)ABC na slici?

415

9 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. <)ABC je obodni kut nad tetivom AB s pripadnim sredisnjim kutom360◦ − (2α + 2β) = 360◦ − 120◦ = 240◦ , pa je <)ABC = 120◦ .

Zadatak 12. Odredi duljinu tetive kruznice promjera 12 cm ako toj tetivi pripada obodni kutod1) 30◦ ; 2) 45◦ ; 3) 60◦ ; 4) 90◦ ?

Rjesenje. Oznacimo krajeve tetive s A i B , a srediste kruznice sa S .1) Pripadni sredisnji kut je 60◦ te je trokut ABS jednakostranicni, odnosnoduljina tetive jednaka je polumjeru kruznice t = 6 cm;2) Pripadni sredisnji kut je 90◦ te je trokut ABS pravokutni, hipotenuzet =

√2 · 36 = 6

√2 cm;

3) Pripadni sredisnji kut je 120◦ te je trokut ABS jednakokracni s kutevima120◦ , 30◦ , 30◦ . Visina iz vrha S dijeli trokut ABS na dva pravokutna trokutas kutevima 60◦ , 30◦ , 90◦ koji se daju nadopuniti na jednakostranicne trokutecije su duljine stranica jednake polumjeru kruznice, a duljina visine jednaka jepolovini duljine trazene tetive.

t = 2 · v = 2 · 6√

32

cm = 6√

3 cm;

4) Obodni kut je pravi iz cega zakljucujemo da je tetiva jednaka promjerukruznice pa je njena duljina t = 12 cm.

Zadatak 13. Ako su α = 42◦ i β = 72◦ dva kuta trokuta ABC , pod kojim se kutovima iztocaka kruznice opisane trokutu vidi stranica AB ?

Rjesenje. Treci kut trokuta ABC je obodni kut nad stranicom AB i jednak je 180◦ −(42◦ + 72◦) = 66◦ , te se iz svih tocaka s lukova

�

AC i�

BC ta stranica vidi podkutom od 66◦ .

Drugi obodni kut nad stranicom AB jednak je 114◦ , pa se iz tocaka luka�AB

stranica AB vidi pod kutom od 114◦ .Iz tocaka A i B vidi se pod kutom 0◦ .

Zadatak 14. Dijagonala pravokutnika s jednom njegovom stranicom zatvara kut od 15◦ .Pod kojim se kutovima iz tocaka kruznice opisane pravokutniku vide stranicepravokutnika?

416

9

Rjesenje. Dijagonale pravokutnika sijeku se pod kutom od 30◦ . Dulja stranica pravo-kutnika iz tocaka kruznice vidi se pod 75◦ , odnosno 105◦ . Isto vrijedi i zadrugu dulju stranicu. Ostale se dvije stranice vide pod kutom od 15◦ , odnosno165◦ . Iz vrhova pravokutnika stranice kojima pripada taj vrh vide se pod 0◦ .

Zadatak 15. Tetiva AB dijeli kruznicu na dva luka kojima su duljine u omjeru 3 : 5 . Kolikisu obodni kutovi nad tom tetivom?

Rjesenje. Iz α + α′ = 360◦ , gdje su α i α′ sredisnji kutovi nad tetivom AB , te

α′ =35

α , dobije se α = 225◦ . Obodni su kutovi jednaki 67◦30′ , odnosno

112◦30′ .

Zadatak 16. Duljine stranica trokuta su 13 cm, 14 cm i 15 cm. Kolike su povrsine trokutuupisanog i opisanog kruga?

Rjesenje. Najprije pomocu Heronove formule odredimo povrsinu trokuta,

P =√

21 · 6 · 7 · 8 = 84 cm2.

Potom iz P = r · s i P =abc4R

odredimo polumjere upisanog i opisanog kruga:

r = 4 cm, R =658

cm, o1 = 8π cm, o2 =654

π cm, P1 = 16π cm 2 ,

P2 =422564

π cm 2 .

Zadatak 17. Duljine stranica trokuta u omjeru su 4 : 13 : 15 , povrsina trokuta je 15.36 cm2 .Koliki su polumjeri trokutu upisane i opisane kruznice?

Rjesenje. Najprije nalazimo duljine stranica trokuta:

a : b = 4 : 13 =⇒ b =134

a, a : c = 4 : 15 =⇒ c =154

a,

s =a + b + c

2=

a +134

a +154

a

2= 4a

P =√

s(s − a)(s − b)(s − c) =

√4a · 3a · 3

4a · 1

4a =

32a2;

a2 =23P =

2315.36 cm2 = 10.24 cm2,

a = 3.2 cm, b = 10.4 cm, c = 12 cm,

r =Ps

=15.364 · 3.2

cm = 1.2 cm, R =abc4P

= 6.5 cm.

417

9 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 18. Tezisnica povucena iz vrha pravog kuta pravokutnog trokuta dugacka je 5 cm.Kolika je duljina kruznice opisane ovom trokutu?

Rjesenje. Tezisnica iz vrha pravog kuta pravokutnog trokuta polumjer je kruznice opisanetrokutu. Stoga je o = 10π cm.

Zadatak 19. Na kracima a i b siljastog kuta odabrane su tocke A i B . Ako je A′ ortogo-nalna projekcija tocke A na krak b , a B′ ortogonalna projekcija tocke B naa , dokazi da tocke A , A′ , B i B′ leze na jednoj kruznici.

Rjesenje. Trokuti �ABB′ i �AA′B su pravokutni trokuti sa zajednickom hipotenuzomAB pa prema Talesovom poucku tocke A′ i B′ pripadaju kruznici s promjeromAB .

Zadatak 20. Jedan siljasti kut pravokutnog trokuta je 27◦ . Pod kojim se kutovima iz sredistatom trokutu opisane kruznice vide katete tog trokuta?

Rjesenje. Neka je α = 27◦ , tada je β = 63◦ .

α je obodni kut nad katetom BC , pa je pripadni sredisnji kut pod kojim se vidikateta BC iz sredista opisane kruznice 2α = 54◦ .

β je obodni kut nad katetom AC , pa je pripadni sredisnji kut pod kojim se vidikateta AC iz sredista opisane kruznice 2β = 126◦ .

Zadatak 21. Duljine stranica trokuta ABC su |AB| = 10 cm, |AC| = 8 cm i |BC| = 6 cm.Najmanja kruznica koja dira pravac AB i prolazi vrhom C sijece AC u tockiQ , a BC u tocki R . Koliko je |QR| ?

Rjesenje. Najprije valja uociti da je trokut �ABC pravokutan: |AC|2 + |BC|2 = |AB|2 .

Najmanja kruznica koja dira AB , a prolazi tockom C je ona nad visinom CD .No QR je promjer te kruznice, jer ona prolazi vrhom C pravog kuta. Stoga je

|QR| = |CD| =2Pc

=abc

=8 · 610

= 4.8 cm.

C Q

R

B

D

A

Zadatak 22. Kolika je duljina kruznice opisane trokutu sa stranicama duljina 7.5 cm, 10cm i 12.5 cm?

Rjesenje. Trokut je pravokutan, jer je 7.52 + 102 = 12.52 . Duljina kruznice opisanetrokutu jednaka je 12.5π cm.

418

9

Zadatak 23. Kut pri vrhu jednakokracnog trokuta ABC je 54◦ . Nad krakom BC kao pro-mjerom opisana je polukruznica koju sjecista s krakom AC i osnovicom ABdijele na tri luka. Koliki su sredisnji kutovi koji pripadaju tim lukovima?

Rjesenje. Neka je S srediste kruznice, D tocka presjeka kruznice i kraka AC . TrokutDSC je jednakokracan s kutovima pri osnovici od 54◦ . Kut pri vrhu S jeujedno i sredisnji kut nad tetivom CD i jednak je 180◦ − 2 · 54◦ = 72◦ .

Neka je E tocka presjeka kruznice i osnovice AB . Trokut EBS je jednakok-racan s kutom pri vrhu B od 63◦ . Kut pri vrhu S trokuta EBS je sredisnji kutnad tetivom BE i jednak je 180◦ − 2 · 63◦ = 54◦ .Treci sredisnji kut zajedno s preostala dva cini ispruzeni kut, te je jednak180◦ − 72◦ − 54◦ = 54◦ .

Dakle, dva su kuta jednaka 54◦ , a jedan 72◦ .

Zadatak 24. Konstruiraj pravokutni trokut ABC s hipotenuzom AB duljine 7 cm i visinomna hipotenuzu, v = 3 cm.

Rjesenje. Nad duzinom AB kao promjerom opisemo kruznicu, zatim vrh C pravog kuta,koji pripada toj kruznici, odredimo iz uvjeta v = 3 cm.

Zadatak 25. Konstruiraj duzinu duljine√

7 cm.

Rjesenje. Nacrtamo duzinu AB duljine 8 cm. Neka je tocka D tocka na duzini tako da je|AD| = 1 cm. Okomica na AB u D sijece kruznicu s promjerom AB u tockiC , te je |CD| =

√7 cm.

Naime, kut <)ACB prema Talesovom poucku je pravi, a tada je prema Eukli-dovom poucku |CD|2 = |AD| · |BD| = 7 .

A D S B

C

419

9 RJESENJA ZADATAKA


Zadatak 1. U tockama A , B i C kruznice, koje kruznicu dijele na tri luka cije su duljineu omjerima 3 : 5 : 7 , polozene su tangente na kruznicu. Koliki su unutarnjikutovi trokuta sto ga zatvaraju te tri tangente?

Rjesenje. l1 : l2 : l3 = 3 : 5 : 7 =⇒ α1 : α2 : α3 = 3 : 5 : 7 , α2 =53

α1 , α3 =73

α1 ,

α1 + α2 + α3 = α1 +53

α1 +73

α1 = 360◦ =⇒α1 = 72◦, α2 = 120◦, α3 = 168◦.

Sredisnji kutovi nad tetivama AB , BC i AC jednaki su 72◦ , 120◦ i 168◦ .Vrhove dobivenog trokuta oznacimo kao na slici:

Kutovi trokuta jednaki su α = 180◦ − 72◦ = 108◦ , β = 180◦ − 120◦ = 60◦i γ = 180◦ − 168◦ = 12◦ .

Zadatak 2. Iz tocke P koja ne pripada kruznici konstruirane su tangente na kruznicu i onezatvaraju kut od 33◦ . Pod kojim se kutom iz tocaka kruznice vidi tetiva kojaspaja diralista tangenata?

Rjesenje. Unutarnji kutovi nad danom tetivom su 180◦ − 33◦ = 147◦ i 360◦ − 147◦ =213◦ . Odgovarajuci obodni kutovi su 73◦30′ i 106◦30′ .Iz tocaka veceg luka tetiva se vidi pod 73◦30′ , a s manjeg pod 106◦30′ . Iz D1i D2 pod 0◦ .

Zadatak 3. Dvije kruznice jednakog polumjera r diraju se izvana, a obje, jednu u tocki A ,drugu u tocki B , dira treca kruznica polumjera 8 cm. Ako je |AB| = 12 cm,koliki je r ?

Rjesenje. Kako je �SS1S2 ∼ �SAB, (obrazlozi!), zbog toga je |S1S2| : |AB| = |SS1| :|SA| , odnosno 2r : 12 = (r + 8) : 8 , a odatle se dobije r = 24 cm.

420

9

S

S

A B

r r S1 2

Zadatak 4. Iz tocke A polozene su tangente na kruznicu i one je diraju u tockama B i C .Tangenta na kraci luk kruznice sto je odre -den tockama B i C sijece AB u tockiM , a AC u tocki N . Koliki je opseg trokuta AMN ako je |AB| = 15 cm?

Rjesenje. Opseg trokuta �AMN jednak je |AM| + |MN| + |AN| = |AM| + |MD| +|DN|+ |NA| = |AM|+ |MB|+ |CN|+ |NA| = |AB|+ |AC| = 2|AB| = 30 cm.

Zadatak 5. Nad duzinom AB , |AB| = a , opisana je polukruznica, a potom jos dvije suk-ladne polukruznice. Potom je u dio ravnine ome -dene tim trima polukruznicamaupisana kruznica koja ih sve tri dira (vidi sliku). Koliki je polumjer te kruznice?

Rjesenje. Promotrimo pravokutni trokut �MOS . U njemu je |MO| =14a , |MS| =

14a + r , |OS| =

a2− r .

Ako primijenimo Pitagorin poucak, iz |MO|2 + |OS|2 = |MS|2 , dobit cemo

r =16a .

A M O N B

S

421

9 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 6. Krajnje tocke duzine AB , |AB| = a , sredista su dvaju kruznih lukova s polu-mjerom a koji se sijeku u tocki C . Nad AB konstruirane su dvije sukladnepolukruznice, a potom je u dio ravnine ome -den lukovima i polukruznicamaupisana kruznica (vidi sliku). Koliki je polumjer te kruznice?

Rjesenje. Iz jednakosti |DS|2 = |AS|2 − |AD|2 = |ES|2 − |ED|2 dobije se

|AS|2 − |AD|2 = |ES|2 − |ED|2

(a − r)2 −(a

2

)2=(a

4+ r

)2−(a

4

)2

a2 − 2ar + r2 − a2

4=

a2

16+

ar2

+ r2 − a2

16

a − a4

=r2

+ 2r

r =310

a.

Zadatak 7. U kut s vrhom u tocki V upisane su dvije kruznice koje se me -dusobno dirajui cija su sredista od vrha kuta udaljena 4 cm i 12 cm. Koliki su polumjeri tihkruznica?

Rjesenje. �VS1D1 ∼ �VS2D2 te je r1 : r2 = 4 : 12 , a odatle slijedi r2 = 3r1 . No|S1S2| = r1 + r2 = 12 cm − 4 cm = 8 cm. Tako dobijemo 4r1 = 8 pa jer1 = 2 cm, r2 = 6 cm.

D1

V

D2

S1

S2

Zadatak 8. Dvije kruznice polumjera R = 7 cm i r = 3 cm diraju se izvana. Kolika jeudaljenost njihove tocke dodira od zajednicke vanjske tangente?

Rjesenje. Promatramo pravokutni trapez S1ABS2 . Povlacenjem paralele s AB dobijemopravokutni trokut �S1ES2 . Iz �S1ES2 ∼ �DFS2 , slijedi

|S1E| : |S1S2| = |DF| : |DS2| =⇒ (R − r) : (R + r) = |DF| : r,

a odatle nalazimo

|DF| =4 · 310

cm = 1.2 cm

422

9

te je onda

|CD| = r + |DF| = 3 cm + 1.2 cm = 4.2 cm.

Zadatak 9. Dvije kruznice polumjera 15 cm i 5 cm diraju se izvana. Kolika je duljina ods-jecka njihove zajednicke unutarnje tangente izme -du dviju vanjskih zajednickihtangenata?

Rjesenje. Polozimo paralelu diralistem G s pravcem S1P . Tako dobijemo trokut �EFGslican trokutu �S1PE .

E

B

G

P

D

F

S S1 2

A

Onda je

|S1P| : |S1E| = |FG| : |FE| =⇒ |S1P| : R = (R + r) : (R − r),te je

|S1P| =(R + r) · R

R − r=

20 · 1510

= 30 cm.

Izracunamo sada

|EP| =√

|S1P|2 − |S1E|2 =√

900 − 225 cm = 15√

3 cm,

pa zatim iz |BD| : |DP| = |S1E| : |EP| , sto je posljedica �BDP ∼ �PES1 ,dobijemo

|BD| =|S1E| · |DP|

|EP| =15 · (30 − 15)

15√

3= 5

√3.

Konacno je|AB| = 2 · |BD| = 10

√3 cm.

Zadatak 10. Dvije kruznice polumjera R = 12 cm i r = 3 cm diraju se izvana. Kolika jepovrsina trokuta sto ga zatvaraju tri zajednicke tangente ovih kruznica?

Rjesenje. Polozimo paralelu diralistem G s pravcem S1C . Tako dobijemo trokut �EFGslican trokutu �S1CE .

423

9 RJESENJA ZADATAKA

Onda je

|S1C| : |S1E| = |FG| : |FE| =⇒ |S1C| : R = (R + r) : (R − r),te je

|S1C| =(R + r) · R

R − r=

15 · 129

= 20 cm.

Izracunamo sada

|CE| =√|S1C|2 − R2 =

√400 − 144 cm = 16 cm,

pa zatim iz |BD| : |DC| = |S1E| : |EC| , sto je posljedica �BDC ∼ �CES1 ,dobijemo

|BD| =|S1E| · |CD|

|CE| =|S1E| · (|S1C| − |S1D|)

|CE| =12 · (20 − 12)

16cm = 6 cm.

Konacno je

P = |BD| · |CD| = |BD| · (|S1C| − |S1D|) = 6 · (20 − 12) = 48 cm2.

Zadatak 11. Zajednicke unutarnje tangente dviju kruznicak1(S1, r1) i k2(S2, r2) sijeku se u tocki A , a njihove se zajednicke vanjsketangente sijeku u tocki B . Ako je r1 = 8 cm, r2 = 3 cm, te |S1B| = 24 cm,kolika je udaljenost |AB| ?

Rjesenje.

Iz �S1BC ∼ �S2BD , dobijemo

|S1B|:|S1C| = |S2B|:|S2D| =⇒ |S2B| =|S1B| · |S2D|

|S1C| =24 · 3

8cm = 9 cm,

a odavde|S1S2| = |S1B| − |S2B| = 15 cm.

Iz �S1AE ∼ �S2AF , dobijemo

|S1A| : |S1E| = |S2A| : |S2F|, (|S1S2| − |S2A|) : |S1E| = |S2A| : |S2F|,

424

9

odnosno

|S2A| =4511

cm.

Sada je

|AB| = |S2A| + |S2B| =4511

cm + 9 cm =14411

cm.

Zadatak 12. Sredista dviju kruznica ciji su polumjeri 10 cm i 6 cm udaljena su 24 cm.Kolika je udaljenost sjecista P zajednickih vanjskih i sjecista Q zajednickihunutarnjih tangenata ovih dviju kruznica?

Rjesenje.

Povucimo paralelu s vanjskom tangentom kroz S2 . Iz �S1S2E ∼ �S1QAimamo

|S1S2| : |S1E| = |S1Q| : |S1A|=⇒ |S1Q| =

|S1S2| · |S1A||S1E| =

24 · 1010 − 6

cm = 60 cm.

Iz �S1CP ∼ �S2DP imamo

|S1P| : |S1C| = |S2P| : |S2D|, |S1P| : |S1C| = (|S1S2| − |S1P|) : |S2D|,|S1P| = 15 cm.

|PQ| = |S1Q| − |S1P| = 60 cm − 15 cm = 45 cm.

Zadatak 13. Tri kruznice imaju zajednicke vanjske tangente, te se redom diraju. Dokazi daje polumjer srednje od tih triju kruznica geometrijska sredina polumjera ostalihdviju.

Rjesenje. Iz �S1S2P ∼ �S2S3Q slijedir1 − r2

r1 + r2=

r2 − r3

r2 + r3, odakle izravno slijedi

r22 = r1 · r3 .

Q

P

S1 S2 S3

425

9 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 14. Dvije kruznice imaju polumjere duljina r1 = 8 cm i r2 = 5 cm, te se me -du-sobno diraju. Koliki je polumjer trece kruznice koja dira jednu od ovih dviju iobje njihove zajednicke tangente?

Rjesenje. Koristeci se tvrdnjom dokazanomu prethodnomzadatku da je polumjer srednjeod tih triju kruznica geometrijska sredina polumjera ostalih dviju, dobit cemoza rjesenje dvije kruznice, jednu koja dira manju i jednu koja dira vecu od dvijudanih kruznica. Neka je r polumjer kruznice koja dira manju, a R polumjerkruznice koja dira vecu od danih kruznica, imamo:

25 = 8r, r =258

cm; 64 = 5R, R =645

cm.


Zadatak 1. Dva su kuta tetivnog cetverokuta jednaka 27◦ i 155◦ . Kolika su ostala dvakuta?

Rjesenje. Zbroj zadanih kutova je razlicit od 180◦ , pa mozemo uzeti da je α = 27◦ ,β = 155◦ . Iz α + γ = β + δ = 180◦ dobijemo

γ = 180◦ − 27◦ = 153◦, δ = 180◦ − 155◦ = 25◦.

Zadatak 2. Ako su dva kuta tetivnog cetverokuta jednaka 35◦ i 145◦ , koliki su ostalikutovi cetverokuta?

Rjesenje. Ako su dva dana kuta kutovi uz istu stranicu cetverokuta, onda su ostala dvajednaka 35◦ (kut nasuprot kutu od 145◦ ) i 145◦ . Ako su dva dana kutasuprotni kutovi cetverokuta, onda zadatak ima beskonacno mnogo rjesenja, tesu ostala dva kuta bilo koja dva ciji je zbroj 180◦ .

Zadatak 3. Mjere dvaju nasuprotnih kutova tetivnog cetverokuta u omjeru su 2 : 3 , a omjermjera ostalih dvaju je 4 : 5 . Koliki su kutovi ovog cetverokuta?

Rjesenje. α : (180◦ − α) = 2 : 3 =⇒ 3α = 360◦ − 2α , α = 72◦ , γ = 108◦ ;β : (180◦ − β) = 4 : 5 =⇒ 5β = 720◦ − 4γ , β = 80◦ , δ = 100◦ .

Zadatak 4. U tetivnom cetverokutu α , β , γ i δ uzastopni su unutarnji kutovi. Ako jezadan omjer α : β : γ = 2 : 3 : 4 , koliki je kut δ ?

Rjesenje. Kutovi α i γ su suprotni te je stoga α + γ = 180◦ , odnosno 2k+4k = 180◦ .Dakle, koeficijent proporcionalnosti je k = 30◦ . Onda je β = 3k = 90◦ te jei δ = 90◦ .

Zadatak 5. Koliki je kut γ trokuta ABC na slici?

426

9

Rjesenje. Cetverokut A1SC1B je tetivan ( <)SC1B + <)SA1B = 90◦ + 90◦ = 180◦ =⇒<)C1SA1 + <)C1BA1 = 180◦ ), te je β = 180◦ − 120◦ = 60◦ . Slijedi da jeγ = 180◦ − 40◦ − 60◦ = 80◦ .

Zadatak 6. Ako su α = 55◦ i β = 70◦ dva kuta trokuta ABC , pod kojim se kutovima izsredista trokutu upisane kruznice vide stranice trokuta?

Rjesenje. Primijetimo da je trokut jednakokracan ( α = γ = 55◦ ). Neka je S sredisteupisane kruznice. Spojnice sredista upisane kruznice i vrhova trokuta su si-

metrale kutova, te je trokut CAS s kutovima od552

◦ pri vrhovima A i C , te

kutom od 180◦ − 55◦ = 125◦ pri vrhu S , a to je ujedno kut pod kojim se vidistranica AC iz sredista S upisane kruznice. Istim postupkom dobijemo kutpod kojim se vide preostale dvije stranice.

Stranica AC se vidi pod kutom od 125◦ , a stranice AB i BC pod kutom od117◦30′ .

Zadatak 7. Jednakokracnom trokutu ABC , |AC| = |BC| , upisana je kruznica i ona dirakrak AC u tocki D . Ako je <)ASD = 50◦ , gdje je S srediste kruznice, kolikisu kutovi trokuta?

Rjesenje. Kako je <)ASD = 50◦ , onda je i <)ASE = 50◦ (�ASD ∼ �ASE jer<)DAS = <)EAS i <)SDA = <)SEA ). Tada je, (cetverokut AESD je tetivan),α = 180◦ − <)ESD = 80◦ , β = 80◦ , γ = 20◦ .

C

D

50

A E B

S

Zadatak 8. Cetverokut ABCD upisan je kruznici. Dijagonala AC okomita je na dijagonaluBD i raspolavlja je. Ako je <)BCD = 72◦ , koliki su ostali kutovi cetverokuta?

Rjesenje. Kutovi <)ABC i <)ADC su pravi (Talesov poucak), te je <)BAD = 180◦−72◦ =108◦ .

Zadatak 9. U kruznicu je upisan cetverokut ABCD te je <)DAC = 88◦ i <)ADC = 105◦ .Koliki je vanjski kut pri vrhu B ovog cetverokuta?

Rjesenje. Kut <)ABC = 180◦ − 105◦ = 75◦ , pa je vanjski kut kod vrha B jednak180◦ − 75◦ = 105◦ . Primijeti kako podatak o kutu <)DAC i nije bio potrebanza odgovor na postavljeno pitanje.

Zadatak 10. Diraliste kruznice upisane pravokutnom trokutu dijeli jednu katetu trokuta nadva dijela duljina 3 cm i 5 cm. Kolika je povrsina trokuta?

Rjesenje. Iz jednadzbe a2 + b2 = c2 , (x + 3)2 + (3 + 5)2 = (x + 5)2 slijedi x = 12 ,te su duljine stranica trokuta jednake 8 cm, 15 cm i 17 cm. Povrsina trokutaiznosi 60 cm 2 (vidi sliku).

427

9 RJESENJA ZADATAKA

3

3

5

5

12

12

Zadatak 11. Trokutu sa stranicama duljina 8 cm, 13 cm i 17 cm upisana je kruznica. Dira-liste kruznice s najkracom stranicom dijeli tu stranicu na dva dijela. Kolike suduljine tih dijelova?

Rjesenje. Promotri sliku te izvedi jednadzbu 8−m + 13−m = 17 . Rjesenje jednadzbeje m = 2 , te diraliste dijeli najmanju stranicu na dijelove duljina 2 cm i 6 cm.

m m

13-m

13-m8-m

8-m

Zadatak 12. Duljine triju uzastopnih stranica cetverokuta opisanog kruznici jednake su 10cm, 13 cm i 15 cm. Koliki je opseg ovog cetverokuta?

Rjesenje. Cetverokut je tangencijalni, pa je opseg cetverokuta jednak 2 · (10 + 15) =50 cm. Podatak o duljini druge stranice (13 cm) i nije bio potreban.

Zadatak 13. Duljine dviju nasuprotnih stranica tangencijalnog cetverokuta u omjeru su3 : 5 , a omjer duljina ostalih dviju jednak je 1 : 8 . Ako je opseg cetve-rokuta jednak 72 cm, kolike su duljine njegovih stranica?

Rjesenje. a + c = b + d ; a : c = 3 : 5 , c =53a ;

o = a + b + c + d = 2 · (a + c) = 2 · 83a =

163

a ;

a =316

o =316

· 72 = 13.5 cm; c =53· 13.5 = 22.5 cm;

b : d = 1 : 8 , d = 8b , b + 8b = 13.5 + 22.5 = 36 cm, b = 4 cm ;d = 8 · 4 = 32 cm.Stranice su: 13.5 cm, 4 cm, 22.5 cm i 32 cm.

Zadatak 14. Opseg trapeza opisanog kruznici jednak je 32 cm. Kolika je duljina srednjicetrapeza?

Rjesenje. Iz a + b + c + d = 32 cm i a + c = b + d = 16 cm slijedia + c

2= 8 cm.

Zadatak 15. Ako je duljina srednjice trapeza opisanog oko kruznice jednaka 7 cm, koliki jeopseg trapeza?

Rjesenje.a + c

2= 7 =⇒ a + c = 14 . Iz a + c = b + d imamo a + b + c + d =

2 · (a + c) = 28 cm .

Zadatak 16. Oko kruznice promjera 15 cm opisan je jednakokracni trapez. Ako je duljinakraka trapeza jednaka 17 cm, kolike su duljine osnovica trapeza?

428

9

Rjesenje. Po teoremu o tangencijalnom cetverokutu slijedi a + c = b + d = 34 . Izosjencanog pravokutnog trokuta nalazimo

a − c = 2 ·√

(172 − 152) = 2 · √289 − 225 = 2 · 8 = 16 cm.

Dobili smo sustav jednadzbi:

a + c = 34,

a − c = 16.

On ima rjesenje a = 25 cm, c = 9 cm.

Zadatak 17. Pravokutnom trapezu upisana je kruznica. Ako je opseg trapeza 40 cm, aduljina veceg kraka 15 cm, koliki je promjer upisane kruznice?

Rjesenje. Promjer upisane kruznice jednak je duljini kraceg kraka (koji s osnovicamazatvara prave kutove). Neka je b dulji, a d kraci krak trapeza. Imamo:

2 · (b + d) = o , d =o2− b , d =

402

− 15 = 5 cm. Dakle, 2r = 5 cm.

Zadatak 18. Kruznici polumjera 2 cm opisan je jednakokracni trapez povrsine 20 cm2 .Kolike su duljine stranica trapeza?

Rjesenje. a + c = 2b , P =a + c

2· v = b · v , b =

Pv

=P2r

= 5 cm ;

(a − c

2

)2

= 25 − 16 = 9 cm2 =⇒ a − c = 6 cm .

Dobili smo sustav jednadzbi:

a + c = 2b = 10 cm;

a − c = 6 cm,

odakle se dobije a = 8 cm , c = 2 cm .Konacno stranice trapeza su: a = 8 cm, b = 5 cm, c = 2 cm.

429

9 RJESENJA ZADATAKA

Zadatak 19. U krajnjim tockama promjera AB kruznice polozene su tangente na kruznicu.U tocki T kruznice polozena je jos jedna tangenta i ona sijece tangentu tockomA u tocki C , a tangentu tockom B u tocki D . Ako je |AC| = 9 cm, |BD| = 4cm, koliki je polumjer kruznice?

Rjesenje. Najprije imamo: |CD| = |CT| + |DT| = |AC| + |BD| = 13 cm. Iz pravokut-nog trokuta �CDE je zatim |DE| = 2r =

√(9 + 4)2 − (9 − 4)2 = 12 cm,

pa je r = 6 cm (vidi sliku).

S

B D

A E

T

4

4

9

C

Zadatak 20. Diraliste kruznice upisane rombu dijeli njegovu stranicu na dva dijela duljina2.25 dm i 1.21 dm. Kolika je povrsina romba?

Rjesenje. Uoci da je trokut �ABS pravokutan (slika) i da je duljina polumjera kru-znice jednaka duljini visine na hipotenuzu tog trokuta. Prema Euklido-vom poucku ( v =

√pq ) slijedi r =

√2.25 · 1.21 = 1.65 dm. Zatim je

P = r · s = 1.65 · 6.92 = 11.418 dm 2 .

S

BA

D C

Zadatak 21. Povrsina mnogokuta opisanog kruznici polumjera r je P = r · s , gdje je 2sopseg mnogokuta. Dokazi!

Rjesenje. Neka su stranice mnogokuta a1, a2, a3, . . . , an . Spajanjem vrhova mnogokutasa sredistem kruznice mnogokut je podijeljen na trokute kojima su osnovi-ce stranice mnogokuta, a visine su polumjer upisane kruznice. Zbrajanjempovrsina svih tih trokuta dobijemo povrsinu mnogokuta.

P =12a1r+

12a2r+

12a3r+ . . .+

12anr =

12r(a1 +a2+a3 + . . .+an) =

12r ·2s = rs.


Zadatak 1. Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi:

1) 135◦ ; 2) 150◦ ; 3) 144◦ ; 4) 121◦ ?

430

9

Rjesenje. 1) 135◦ =(n − 2)180◦

n, 135n = 180n− 360 , 45n = 360 ; n = 8 ;

2) 150◦ =(n − 2)180◦

n, 150n = 180n− 360 , 30n = 360 ; n = 12 ;

3) 144◦ =(n − 2)180◦

n, 144n = 180n− 360 , 36n = 360 ; n = 10 ;

4) 121◦ =(n − 2)180◦

n, 121n = 180n − 360 , 59n = 360 ; n = 6.102 . Ne

postoji pravilni mnogokut ciji je jedan unutarnji kut jednak 121◦ .

Zadatak 2. Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako je jedan njegov vanjski kut:

1) 36◦ ; 2) 24◦ ; 3) 18◦ ; 4) 108◦ ?

Rjesenje. Vanjski kut pravilnog mnogokuta jednak je sredisnjem.

1) n =360◦

36◦; n = 10 ;

2) n =360◦

24◦; n = 15 ;

3) n =360◦

18◦; n = 20 ;

4) n =360◦

108◦, n = 3.33 . Ne postoji takav pravilni mnogokut ciji je jedan

vanjski kut jednak 108◦ .

Zadatak 3. Koliki je zbroj vanjskih kutova pravilnog sedmerokuta?

Rjesenje. Neka su �ABS i �BCS karakteristicni trokuti pravilnog mnogokuta, pri ce-mu je S srediste tom mnogokutu opisane, odnosno upisane kruznice. Tada jeα + 2β = 180◦ i 2β + γ = 180◦ . Slijedi da je α = γ , i zakljucujemo da jezbroj vanjskih kutova bilo kojeg pravilnog mnogokuta, pa onda i sedmerokuta,jednak 360◦ .

�

� ��

�

S

BA

C

Zadatak 4. Odredi onaj pravilni mnogokut ciji je jedan unutarnji kut tri puta veci od vanjs-kog.

Rjesenje. Neka je α unutarnji, a β vanjski (sredisnji) kut mnogokuta,

α = 3β , α + β = 180◦, 4β = 180◦, β = 45◦; n =360◦

45◦, n = 8.

Zadatak 5. Koji pravilni mnogokut ima 6 puta vise dijagonala nego stranica?

Rjesenje. Iz jednakostin(n − 3)

2= 6n slijedi n − 3 = 12 , a odatle n = 15 .

Zadatak 6. Koji mnogokut ima 44 dijagonale?

431

9 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje. Iz12n(n − 3) = 44 slijedi n(n − 3) = 11 · 8 , te je n = 11 .

Zadatak 7. Zbroj unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta jednak je 2340◦ . Kolikodijagonala ima taj mnogokut?

Rjesenje. Iz jednakosti (n − 2) · 180◦ = 2 340◦ slijedi n = 15 , te je broj dijagonala

petnaesterokuta jednak12· 15 · 12 = 90 .

Zadatak 8. Koliki je unutarnji kut pravilnog mnogokuta koji ima tri puta vise dijagonalanego stranica?

Rjesenje. Iz jednakostin(n − 3)

2= 3n slijedi

n − 32

= 3 , a odatle n = 9 .

Zadatak 9. Tocke A , B , C , D i E pet su uzastopnih vrhova pravilnog dvanaesterokuta.Koliki kut zatvaraju pravci AB i CD , a koliki AB i DE ?

Rjesenje.

Trokut BCM je jednakokracan s kutovima pri vrhovima B i C jednakimvanjskim kutevima dvanaesterokuta iz cega slijedi

<)BMC = 180◦ − 2 · β = 180◦ − 2 · 360◦

12= 180◦ − 60◦ = 120◦.

Promatrajmo sada trokut ANS . Kut pri vrhu N jednak je polovici kuta izme -dupravaca AB i DE , kut pri vrhu S jednak je dvostrukom sredisnjem, a kut privrhu A polovici unutarnjeg kuta dvanaesterokuta. Imamo:

<)ANS = 180◦ − 2 · 360◦

12− 1

2· (12 − 2)180◦

12= 180◦ − 60◦ − 75◦ = 45◦.

Konacno:<)(AB, DE) = 2 · <)ANS = 2 · 45◦ = 90◦.

Pravci AB i CD zatvaraju kut od 120◦ , a pravci AB i DE kut od 90◦ .

Zadatak 10. Zbroj svih unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta osim jednog je 2190◦ .Koliko stranica ima taj mnogokut?

Rjesenje. Zapisimo jednakost (n − 2) · 180◦ = 2 190◦ + x , gdje je x taj jedan kut

koji nije ukljucen u zbroj. Tada je n − 2 =2190◦

180◦+

x◦

180◦, 0 < x < 180 ,

0 <x

180< 1 . Odatle slijedi

2190180

� n − 2 <2190180

+ 1,

432

9

odnosno

1216

� n − 2 < 1316,

te je n = 15 .

Zadatak 11. Kolika je povrsina pravilnog sesterokuta ako je duljina njegove stranice a = 2.4dm?

Rjesenje.

Povrsina je jednaka sesterostrukoj povrsini karakteristicnog trokuta. Ka-

rakteristicni trokut je jednakostranicni duljine stranice a = 2.4 dm (α2

=

12· (6 − 2) · 180◦

6=

12· 120◦ = 60◦ , β =

360◦

6= 60◦ ), odakle slijedi:

P = 6 · 2.42√

34

dm2 = 8.64√

3 dm2 ≈ 15 dm2.

Zadatak 12. Kolike su duljine dijagonala pravilnog sesterokuta akomu je povrsina 12√

3 cm2 ?

Rjesenje.

P = 6 · a2√

34

, 12√

3 cm2 =a23

√3

2, a2 =

12 · 23

cm2 = 8 cm2 , a =

2√

2 cm ;

d1 = 2 · a√

32

= a√

3 = 2√

6 cm ,

d2 = 2a = 4√

2 cm .

Zadatak 13. Duljina krace dijagonale pravilnog sesterokuta je√

3 dm. Kolika je povrsinasesterokuta?

433

9 RJESENJA ZADATAKA

Rjesenje.

Povrsina je jednaka sesterostrukoj povrsini karakteristicnog trokuta. Duljina vi-

sine mu je jednaka polovini duljine krace dijagonale sesterokuta v =d2

=√

32

,

te mu je duljina stranice a =2v√3

= 1 . Slijedi

P6 = 6 · 12√

34

dm2 =32

√3 dm2.

Zadatak 14. Dokazi da je duljina stranice pravilnog dvanaesterokuta upisanog kruznici po-

lumjera r jednaka r√

2 −√3 .

Rjesenje. Neka je �ABS karakteristican trokut pravilnog dvanaesterokuta. Kut pri vrhu

S jednak je 30◦ , zbog cega je v =12r , x = v

√3 =

√3

2· r . Primijenimo

Pitagorin poucak na trokut �ABN te dobijemo a2 = r2(2 −√3) .

Zadatak 15. Ako je duljina stranice pravilnog osmerokuta jednaka a , kolika je duljinapolumjera osmerokutu opisane kruznice?

Rjesenje. Promotrimo karakteristicni trokut pravilnog osmerokuta. Trokut �ANS je jed-

nakokracan pravokutni trokut, te je stoga x =r√

22

. Potom iz trokuta �ABN

nalazimo r2 =a2

2 −√2

.

A B

r-x

x45

xN

S

r

434

9

Zadatak 16. Kolika je povrsina pravilnog osmerokuta upisanog kruznici polumjera 8 cm?

Rjesenje.

x2 =r2

2= 32 cm2, x = 4

√2 cm;

a2 = x2 + (r − x)2 = 32 + (8 − 4√

2)2

= 32 + 64 − 64√

2 + 32 = 64(2 −√

2) cm2;

a = 8

√2 −

√2 cm;

v2 = r2 − a2

4= 64 − 16(2 −√

2) = 16(2 +√

2) cm2 ; v = 4√

2 +√

2 cm;

P8 = 8· 12·a·v = 8· 1

2·8√

2 −√2·4

√2 +

√2 = 128

√(2 −√

2)(2 +√

2) =

128√

4 − 2 = 128√

2 ≈ 181 cm 2 .

Zadatak 17. Kolika je povrsina pravilnog dvanaesterokuta upisanog kruznici polumjera 10cm?

Rjesenje.

Sa slike vidimo da za visinu karakteristicnog trokuta vrijedi 2v = r , odnosno

v =r2

= 5 cm , pa je

P12 = 12 · 12· r · v = 6 · 10 · 5 = 300 cm2.

435

Documents

Detaljna Rjesenja Zadataka Iz Udzbenika