Derivation for time dependent gas mixture in a perfectly stirred reactor with an open systemMy assumptions are: ignore surface reactions, heat loss* = inm = outlet mass flow ratem¿ = inlet mass flow rateρ = mass densityV = reactor volumeT = gas temperatureτ=m /m¿ = residence timeMass conservation

dmdt

=d ( ρV )dt

=m¿−m

Vd ρdt

= ρVτ

−m

m= ρVτ

−V d ρdt

Species equation d midt

=d (ρV Y i)dt

=m¿Y i¿−mY i+ωiW iV=ρV

d Y idt

+Y id ( ρV )dt

ρVd Y idt

=m¿Y i¿−mY i+ωiW iV−Y i

d ( ρV )dt

Substitute continuity

ρVd Y idt

=m¿Y i¿−(m¿−

d ( ρV )dt )Y i+ωiW iV−Y i

d ( ρV )dt

Expand terms

ρVd Y idt

=m¿Y i¿−m¿Y i+

d ( ρV )dt

Y i+ωiW iV−Y id ( ρV )dt

Cancel terms

ρVd Y idt

=m¿Y i¿−m¿Y i+ωiW iV

Which simplifies todY idt

=1τ

(Y i¿−Y i )+ωiW i

ρWhere

τ= ρVm¿

Energy EquationThis reactor is constant pressure, but even though there is a constant total volume there is not constant specific volume

dudt

=qnet ,∈¿−p

dvdt

¿

Definition of enthalpy h≡u+ pv

dhdt

=dudt

+p dvdt

+v dpdt

dpdt

=0 because constant pressure, substitute dudt

equation into dhdt

equation pdvdt

terms

canceldhdt

=qnet ,∈¿ ¿

Therefore we can conserve enthalpy instead of energy, energy is still conserved but would

need an additional equation from ideal gas law to calculate dvdt

if we would want to

conserve energy instead of enthalpy.

dHdt

=d (∑ mih i)

dt=H ¿−H out

dHdt

=∑midh idt

+∑ hidmidt

dHdt

=∑ ρV Y i cpidTdt

+∑ hid ( ρV Y i )dt

dHdt

=dTdtρV cp+∑ hi(Y i d ( ρV )

dt+ ρV

dY idt )=m¿∑Y i

¿h i¿−m∑Y ihi

dTdtρV cp=m

¿∑ Y i¿hi

¿−m∑ Y ihi−∑ hi(Y iV d ρdt +ρVd Y idt )

Substitute continuitydTdtρV cp=m

¿∑ Y i¿hi

¿−( ρVτ −V d ρdt )∑Y ihi−∑ hi(Y iV d ρdt +ρV

d Y idt )

Expand termsdTdtρV cp=m

¿∑ Y i¿hi

¿− ρVτ∑Y ihi+V

d ρdt

∑Y ihi−d ρdtV∑ h iY i− ρV∑ h i

dY idt

Cancel termsdTdtρV cp=m

¿∑ Y i¿hi

¿− ρVτ∑Y ihi−ρV∑ hi

dY idt

Substitute species equationdTdtρV cp=m

¿∑ Y i¿hi

¿− ρVτ∑Y ihi−ρV∑ hi( 1τ (Y i¿−Y i )+

ωiW i

ρ )Expand terms

dTdtρV cp=m

¿∑ Y i¿hi

¿− ρVτ ∑Y ihi−

ρVτ ∑ hiY i

¿+ ρVτ ∑ hiY i−V∑ hiωiW i

Cancel termsdTdtρV cp=m

¿∑ Y i¿hi

¿− ρVτ ∑ hiY i

¿−V∑ hi ωiW i

Substitute m¿= ρV

τdTdtρV cp=

ρVτ ∑ Y i

¿hi¿− ρV

τ ∑ hiY i¿−V∑ hiωiW i

dTdtρ c p=

ρτ ∑Y i

¿ (hi¿−hi )−∑ hi ωiW i

dTdt

= 1τ c p

∑ Y i¿ (hi¿−hi )−

1ρ cp

∑ hi ωiW i