Derivate –nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicanteeduard/C3_Derivate financiare... · 2017-12-14 · Optimalitatea portofoliilor replicante 5 / 37 Pentru o op‚tiune de

Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicantePartea I : Toy models & modelul CRR

Universitatea "Al. I. Cuza", Facultatea de Matematic¼a

Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 1 / 37

Referinte

Marek Musiela, Marek Rutkowsi - Martingale Methods in Financial Modelling,second edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005

Tomasz Bielecki, Monique Jeanblanc, Marek Rutkowski - Introduction toMathematics of Credit Risk Modeling, Stochastic Models in Mathematical Finance,CIMPA-UNESCO-MOROCCO School, Marrakech, Morocco, April 9-20, 2007


Referinte

Marek Musiela, Marek Rutkowsi - Martingale Methods in Financial Modelling,second edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005

Tomasz Bielecki, Monique Jeanblanc, Marek Rutkowski - Introduction toMathematics of Credit Risk Modeling, Stochastic Models in Mathematical Finance,CIMPA-UNESCO-MOROCCO School, Marrakech, Morocco, April 9-20, 2007



DenitionOptiuni: exemple standard de derivate nanciare, adic¼a active a c¼aror valoare depinde depretul altor active nanciare de baz¼a (active suport), precum stocuri si bonduri(certicate emise de guverne sau companii publice ce promit r¼ascump¼ararea banilorîmprumutati la o dat¼a prestabilit¼a, cu o dobând¼a xat¼a).

Tipuri de optiuni:

optiuni de tip call (put) - ofer¼a detin¼atorului dreptul, dar nu si obligatia de acump¼ara (vinde) activul suport la un moment viitor (momentul de exercitare aloptiunii), cu un pret xat K (pretul de exercitare, strike). Obligatia celui de aldoilea investitor este aceea de a vinde (cump¼ara) activul suport.

Optiuni europene, optiuni americane, optiuni exotice (barrier, lookback, asian...).


DenitionOptiuni: exemple standard de derivate nanciare, adic¼a active a c¼aror valoare depinde depretul altor active nanciare de baz¼a (active suport), precum stocuri si bonduri(certicate emise de guverne sau companii publice ce promit r¼ascump¼ararea banilorîmprumutati la o dat¼a prestabilit¼a, cu o dobând¼a xat¼a).

Tipuri de optiuni:

optiuni de tip call (put) - ofer¼a detin¼atorului dreptul, dar nu si obligatia de acump¼ara (vinde) activul suport la un moment viitor (momentul de exercitare aloptiunii), cu un pret xat K (pretul de exercitare, strike). Obligatia celui de aldoilea investitor este aceea de a vinde (cump¼ara) activul suport.

Optiuni europene, optiuni americane, optiuni exotice (barrier, lookback, asian...).


Optiuni call si put în piete de tip spot (instantanee)Toy-model pentru optiuni europene (OE)

Consider¼am piete nanciare f¼ar¼a frictiuni:

toti investitorii au acces la acelasi informatii din piat¼a;

nu exist¼a comisioane pentru tranzactii;

toate activele sunt perfect divizibile si lichide;

nu sunt limit¼ari în ceea ce priveste dimensiunea creditului;

dobânzile la depozite si credite sunt egale.

Descrierea modelului

DenitionPozitia short este pozitia vânz¼atorului activului nanciar, pozitia long este aceea acump¼ar¼atorului.


Pentru o optiune de call european¼a (OCE), cu momentul de maturitate T si pretul deexercitare K , functia utilitate (de plat¼a) la momentul de expirare al optiunii este

g (ST ) = (ST K )+ = maxfST K , 0g,

iar pentru o optiune de put europeana (OPE) functia de plat¼a este

h (ST ) = (K ST )+ =

0, ST K (optiune abandonat¼a),K ST , ST < K (optiune exercitat¼a),

Are loc formula de paritate put-call

g (ST ) h (ST ) = (ST K )+ (K ST )+ = ST K ,

adic¼a o OPE poate evaluat¼a prin intermediul unei OCE având acelasi activ suport,aceeasi dat¼a de maturitate si acelasi pret de exercitare.


Example (Model de piat¼a spot cu o perioad¼a)Consider¼am un stoc al c¼arui pret este 280$, iar peste 3 luni el poate deveni 320$ sau260$. Calcul¼am pretul rational pentru o OCE cu pretul de exercitare K = 280$, dac¼arata dobânzii la 3 luni este r = 5%.

Consider¼am c¼a probabilitatea subiectiv¼a (actual probability, real-world probability,statistical probability), individual¼a, de crestere a pretului 0.2, iar de sc¼adere 0.8 (coresp.bear market).Modelul matematic este:

Ω = fω1,ω2g,F = P (Ω) ,P : Ω ! R,P (ω1) = 0.2 = 1P (ω2) .

Dinamica pretului stocului este dat¼a de v.a.

ST : (Ω,F )! R+, ST (ω) =Su = 320, ω = ω1 ,

Sd = 260, ω = ω2 ,

iar functia utilitate este

X = CT (ω) = (ST (ω)K )+ =Cu = 40, ω = ω1 ,

Cd = 0, ω = ω2 ,

valoarea medie, actualizat, a utilit¼atii ind

EP

(1+ r)1 CT

= 0.2 40 (1.05)1 = 7.62 (depinde de alegerea lui P !)

RemarkTrebuie asigurat¼a unicitatea pretului activelor derivate, lucru ce se poate realiza prinutilizarea portofoliilor replicante.


ProblemTrebuie asigurat¼a unicitatea pretului activelor derivate, lucru ce se poate realizaprin utilizarea portofoliilor replicante .

Se construieste la momentul 0, de c¼atre investitorul ce se a¼a într-o pozitie short pe oOCE, un portofoliu ∅ = ∅0 = (α0, β0) 2 R2 ce simuleaz¼a valoarea la momentulterminal a functiei utilitate. Valoarea (wealth) sa este

V0 (∅) = α0S0 + β0 si VT (∅) = α0ST + β0 (1+ r) .

DenitionSpunem c¼a ∅ reproduce valoarea functiei de plat¼a la momentul T dac¼a VT (∅) = CT .

În cazul exemplului anterior,

VT (∅) (ω) =V u (∅) = α0Su + (1+ r) β0 = C

u , ω = ω1 ,

V d (∅) = α0Sd + (1+ r) β0 = Cd , ω = ω2 ,

adic¼a α0 = 2/3 si β0 = 165.08. Pentru ecare ECO vândut¼a se p¼astreaz¼a α0 unit¼atide activ suport (hedge ratio) si suma β0 în bonduri f¼ar¼a risc (al¼aturi de prima încasat¼a,se împrumut¼a cash si se achizitioneaz¼a actiuni).Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 8 / 37

DenitionDenim costul de achizitie (valoarea) pentru o OCE ca ind investitia initial¼a necesar¼apentru construirea portofoliului replicant.

În cazul de fat¼a

C0 = V0 (∅) = α0S0 + β0 = 21.59 (nu depinde de P !)

Sumarizând, tranzactiile si uxul de cash devin, din perspectiva pozitiei short (nu suntnecesare investitii suplimentare pentru constructia portofoliului replicant):

pentru t = 0 :

8<: prima pentru optiunea vândut¼a : C0α0 unit¼ati de activ cump¼arate : α0S0β0 unit¼ati de cash împrumutate : β0

pentru t = T :

8<: plata pentru optiunea de call exercitat¼a : CTα0 unit¼ati de activ suport vândute : α0STîmprumutul pl¼atit : rβ0 , unde r = 1+ r


DenitionDenim costul de achizitie (valoarea) pentru o OCE ca ind investitia initial¼a necesar¼apentru construirea portofoliului replicant.

În cazul de fat¼a

C0 = V0 (∅) = α0S0 + β0 = 21.59 (nu depinde de P !)

Sumarizând, tranzactiile si uxul de cash devin, din perspectiva pozitiei short (nu suntnecesare investitii suplimentare pentru constructia portofoliului replicant):

pentru t = 0 :

8<: prima pentru optiunea vândut¼a : C0α0 unit¼ati de activ cump¼arate : α0S0β0 unit¼ati de cash împrumutate : β0

pentru t = T :

8<: plata pentru optiunea de call exercitat¼a : CTα0 unit¼ati de activ suport vândute : α0STîmprumutul pl¼atit : rβ0 , unde r = 1+ r


M¼asura martingal¼a pentru o piat¼a spot

RemarkProbabilit¼atile subiective sunt inutile în stabilirea pretului derivatelor nanciare (exemplu:cazul bear/bull market).

SOLUTIA : utilizarea m¼asurilor martingale , care, intuitiv, modeleaz¼a probabilistic un joccorect (fair game). Trebuie determinat¼a o m¼asur¼a de probabilitate P P, pentru carepretul actualizat al stocului, denit de

S0 = S0 si ST = (1+ r)1 ST

devine o Pmartingal¼a, adic¼a

S0 = EP (ST ) .

În cazul modelului de piat¼a cu 2 st¼ari si 1 perioad¼a, ea este determinat¼a de

S0 = (1+ r)1pSu + (1 p) Sd

, p = P (ω1) = 1P (ω2) ,

de unde rezult¼aUniversitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 10 / 37

P (ω1) =(1+ r) S0 Sd

Su Sd si P (ω2) =Su (1+ r) S0

Su Sd .

Evident, C0 = C 0 :

C 0 = EP(1+ r)1 CT

= EP

(1+ r)1 (ST K )+

= (1+ r)1

pCu + (1 p)Cd

= 21.59 = C0 !

DenitionNumim economie cu risc neutru (risk-neutral economy) un model stochastic de piat¼ananciar¼a în care uctuatiile viitoare ale preturilor activelor suport sunt determinate dem¼asura martingal¼a P (risk-neutral probability).


Absenta arbitrajuluiConsider¼am, din nou,

Ω = fω1,ω2g, F0 = f?,Ωg, FT = 2Ω

si presupunem existenta a dou¼a active primare în modelul de piat¼a considerat:

un activ riscat (stoc), a c¼arui pret e modelat de un proces stochastic discret, strictpozitiv S = (St )t2f0,T g , adaptat ltr¼arii F = fF0,FT g, adic¼a v.a. St Ftm¼asurabil¼a (t 2 f0,Tgg):

S0 2 R si ST (ω) =Su , ω = ω1Sd , ω = ω2

cu Su > Sd .

un activ f¼ar¼a risc (risk-free bond), dat de: B0 = 1, BT = 1+ r , cu r 0.

Fie Φ spatiul liniar al portofoliilor ∅0 = (α0, β0) (stoc,bond) si vom urm¼ari stabilireapretului derivatelor nanciare în modelul de piat¼aM = (S ,B,Φ) .

DenitionÎntelegem prin derivat nanciar (contingent claim) cu momentul de maturitate T ovariabil¼a aleatoare X Ft m¼asurabil¼a. Spunem c¼a derivatul nanciar X este replicabil(attainable) dac¼a exist¼a un potofoliu replicant pentru acesta.


Absenta arbitrajuluiConsider¼am, din nou,

Ω = fω1,ω2g, F0 = f?,Ωg, FT = 2Ω

si presupunem existenta a dou¼a active primare în modelul de piat¼a considerat:

un activ riscat (stoc), a c¼arui pret e modelat de un proces stochastic discret, strictpozitiv S = (St )t2f0,T g , adaptat ltr¼arii F = fF0,FT g, adic¼a v.a. St Ftm¼asurabil¼a (t 2 f0,Tgg):

S0 2 R si ST (ω) =Su , ω = ω1Sd , ω = ω2

cu Su > Sd .

un activ f¼ar¼a risc (risk-free bond), dat de: B0 = 1, BT = 1+ r , cu r 0.Fie Φ spatiul liniar al portofoliilor ∅0 = (α0, β0) (stoc,bond) si vom urm¼ari stabilireapretului derivatelor nanciare în modelul de piat¼aM = (S ,B,Φ) .

DenitionÎntelegem prin derivat nanciar (contingent claim) cu momentul de maturitate T ovariabil¼a aleatoare X Ft m¼asurabil¼a. Spunem c¼a derivatul nanciar X este replicabil(attainable) dac¼a exist¼a un potofoliu replicant pentru acesta.


Similar cazului optiunilor europene

X (ω) =X u , ω = ω1 ,

X d , ω = ω2 ,

iar portofoliul replicant este determinat deα0Su + (1+ r) β0 = X

u

α0Sd + (1+ r) β0 = Xd ,

cu solutia unic¼a

α0 =X u X dSu Sd si β0 =

X dSu X uSd(1+ r)

Su Sd

,iar costul derivatului nanciar X în piataM este:

π0 (X ) := V0 (∅) = α0S0 + β0 =X u X dSu Sd S0 +

X dSu X uSd(1+ r)

Su Sd

. (1)


Denition

1 Spunem c¼a modelul de piat¼aM este f¼ar¼a arbitraj dac¼a nu exist¼a ∅ 2 Φ pentrucare

V0 (∅) = 0, VT (∅) 0 si PfVT (∅) > 0g >0. (2)

Un portofoliu pentru care (2) are loc se numeste oportunitate de arbitraj.

2 Se numeste oportunitate tare de arbitraj un portofoliu ∅ pentru care

V0 (∅) < 0 si VT (∅) 0.

3 Dac¼a modelul de piat¼aM este f¼ar¼a arbitraj, not¼am cu π0 (X ) pretul de arbitraj(pretul just) al cererii contingente X înM.

Optimalitatea replic¼arii - Replicarea este o metod¼a optimal¼a de hedging !


TheoremModelul de piat¼aM = (S ,B ,Φ) este f¼ar¼a arbitraj dac¼a si numai dac¼a pretul actualizatS admite o m¼asur¼a martingal¼a P P. În acest caz, pretul de arbitraj la momentul 0al oric¼arui derivat nanciar X (în particular, X = CT ), cu maturitatea T este dat deformula de evaluare în caz de risc-neutru (risk-neutral valuation formula):

π0 (X ) = EP(1+ r)1 X

= p

X u

1+ r+ (1 p)

X d

1+ r(3)

=(1+ r) S0 Sd

Su SdX u

1+ r+Su (1+ r) S0

Su SdX d

1+ r.

Proof.M¼asura martingal¼a P a lui S exist¼a d.n.d. p 2 (0, 1) .R.A. pp. c¼a nu exist¼a m¼asura martingal¼a P, de exemplu p 1. Construim ooportunitate de arbitraj în (S ,B ,Φ) . Avem

p 1 () (1+ r) S0 Su > Sd .

Portofoliul ∅ = (1,S0) (se împrumut¼a o unitate de stoc, se vinde si se depoziteaz¼abanii) satisface V0 (∅) = 0 si


Proof.

VT (∅) =Su + (1+ r) S0 0, ω = ω1 ,

Sd + (1+ r) S0 > 0, ω = ω2 ,

adic¼a ∅ este o oportunitate de arbitraj.Dac¼a p 0, avem Su > Sd (1+ r) S0, iar ∅ = (1,S0) (se împrumut¼a bani sise cump¼ar¼a o unitate de stoc) este oportunitate de arbitraj.Dac¼a p 2 (0, 1) , atunci 8∅ 2 Φ, conform cu (1) avem

pV u (∅) + (1 p)V d (∅) = 0, adic¼aV d (∅) < 0 pt. V u (∅) > 0

^V d (∅) > 0 pt. V u (∅) < 0

,

adic¼a nu exist¼a oportunit¼ati de arbitraj înM dac¼a p 2 (0, 1) .Pentru a demonstra (3), pentru ecare portofoliu replicant ∅ = (α0, β0) pentru X :

EP(1+ r)1 X

= EP

(1+ r)1 VT (∅)

= EP (α0S

T + β0)

= α0S0 + β0 = V0 (X ) = π0 (X ) .


Optiuni de tip put European (OPE)

În modelul de piat¼a discutat, plata la momentul T pentru aceast¼a optiune este:

PT (ω) = (K ST (ω))+ =

Pu = 0, ω = ω1 ,

Pd = 20, ω = ω2 .

Portofoliul replicant ∅ = (α0, β0) este dat de320α0 + 1.05β0 = 0260α0 + 1.05β0 = 20,

cu solutia ∅ = (1/3, 101.59) (se împrumut¼a α0 unit¼ati de activ, se intr¼a într-opozitie short-selling iar venitul, împreun¼a cu prima încasat¼a pentru optiunea put seintroduc într-un depozit pl¼atitor de dobând¼a). Pretul de arbitraj al OPE este

P0 = 1/3 280+ 101.59 = 8.25,

valoare ce se poate obtine si prin intermediul formulei (3), pentru X = PT :

P0 = EP(1+ r)1 PT

= 8.25.


PropositionÎntr-o piat¼a f¼ar¼a arbitraj are loc urm¼atoarea formul¼a de paritate put-call:

C0 P0 = S0 (1+ r)1 K (4)

Proof.Se aplic¼a formula (3), pentru X = ST K .

RemarkFormula (3) este independent¼a de alegerea modelului, trebuie doar s¼a aib¼a locproprietatea de aditivitate a pretului.

Formulele explicite pentru pretul OCE si OPE, într-un model de piat¼a cu 1 perioad¼asi 2 active, pentru care Su > K > Sd sunt:

C0 =(1+ r) S0 Sd

Su SdSu K1+ r

si P0 =Su (1+ r) S0

Su SdK Sd1+ r

.


PropositionÎntr-o piat¼a f¼ar¼a arbitraj are loc urm¼atoarea formul¼a de paritate put-call:

C0 P0 = S0 (1+ r)1 K (4)

Proof.Se aplic¼a formula (3), pentru X = ST K .

RemarkFormula (3) este independent¼a de alegerea modelului, trebuie doar s¼a aib¼a locproprietatea de aditivitate a pretului.

Formulele explicite pentru pretul OCE si OPE, într-un model de piat¼a cu 1 perioad¼asi 2 active, pentru care Su > K > Sd sunt:

C0 =(1+ r) S0 Sd

Su SdSu K1+ r

si P0 =Su (1+ r) S0

Su SdK Sd1+ r

.


Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein (CRR)

Consider¼am un model de piat¼a cu datele de tranzactionare 0, 1...T în care sunt prezentedou¼a active nanciare primare:

un activ neriscat (bond, cont de economii) , a c¼arui dinamic¼a este dat¼a de:

Bt := (1+ r)t = r t , t = 0,T

un activ cu risc (stoc), pretul s¼au având dinamica:

St+1St

2 fu, dg, 0 < d < u, t = 0,T , S0 > 0.

Presupunem c¼a are loc conditia de nedegenerare:

PfSt+1 = uSt j S0, ...,Stg >0 si PfSt+1 = dSt j S0, ...,Stg >0

Modelul probabilistic

Fie p 2 (0, 1) si consider¼am sirul de v.a. independente, identic repartizateξt : (Ω,F ,P)! R

P (ξt = u) = p = 1P (ξt = d) , 8t = 1,T .





Bt := (1+ r)t = r t , t = 0,T


St+1St

2 fu, dg, 0 < d < u, t = 0,T , S0 > 0.





P (ξt = u) = p = 1P (ξt = d) , 8t = 1,T .





Bt := (1+ r)t = r t , t = 0,T


St+1St

2 fu, dg, 0 < d < u, t = 0,T , S0 > 0.





P (ξt = u) = p = 1P (ξt = d) , 8t = 1,T .





Bt := (1+ r)t = r t , t = 0,T


St+1St

2 fu, dg, 0 < d < u, t = 0,T , S0 > 0.





P (ξt = u) = p = 1P (ξt = d) , 8t = 1,T .


Formal, pretul stocului se scrie

St = S0t

∏j=1

ξj , 8t = 0,T si

PfSt+1 = uSt j S0, ...,Stg = Pξt+1 = u

= p > 0

PfSt+1 = dSt j S0, ...,Stg = Pξt+1 = d

= 1 p > 0

Determinarea recursiv¼a a pretului optiunilorLa ecare moment t T e:

αt : num¼arul de actiuni de activ suport detinute pe [t, t + 1);βt : suma investit¼a în active f¼ar¼a risc pe [t, t + 1).


Determin¼am, prin inductie, pretul unei OCE, ajustând potofoliul dinamic

∅ =n

∅t = (αt , βt )t=0,T1ola începutul ec¼arei perioade. Functia utilitate

CT = (ST K )+ va avea un unic portofoliu replicant, dinamic, autonantant .Pe intervalul [T 1,T ] : construim ∅T1 =

αT1, βT1

pentru care

VT (∅) = αT1ST + βT1 r = CT = (ST K )+ ,

adic¼a (αT1uST1 + βT1 r = (uST1 K )

+

αT1dST1 + βT1 r = (dST1 K )+ ,

cu solutia explicit¼a

αT1 =(uST1 K )+ (dST1 K )+

ST1 (u d)

βT1 =u (dST1 K )+ d (uST1 K )+

r (u d) ,

iar valoarea portofoliului la începutul perioadei este


CT1 = VT1 (∅) = αT1ST1 + βT1

= r1p (uST1 K )+ (1 p) (dST1 K )+

,

unde am notat

p =r du d =

1+ r du d .

Remarkp este probabilitatea de crestere a pretului stocului pe intervalul [t, t + 1] , evaluat¼asub m¼asura martingal¼a P pentru procesul S = S/B. Vom presupune c¼ad < 1+ r < u (adic¼a p 2 (0, 1)), ceea ce va asigura absenta arbitrajului în piat¼a.

Pe intervalul [T 2,T 1] : construim portofoliul ∅T2 =αT2, βT2

ce

va replica pe CT1

αT2ST1 + βT2 r = CT1 = VT1 (∅) ,

subliniind pentru momentul T 1 proprietatea de autonantare a portofoliului dinamic(adic¼a nu sunt infuzii sau retrageri de capital la momentele intermediare):Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 22 / 37

αT2ST1 + βT2 r = αT1ST1 + βT1sau, echivalent: (

αT2uST2 + βT2 r = CuT1

αT2dST2 + βT2 r = CdT1

unde am notat8><>:CuT1 =

1r

pu2ST2 K

++ (1 p) (udST2 K )+

CdT1 =

1r

p (udST2 K )+ + (1 p)

d2ST2 K

+sistem ce are solutia

αT2 =CuT1 CdT1ST2 (u d)

si βT2 =uCdT1 dCuT1

r (u d) .

Avem, de asemenea, VT2 (∅) = CT2 .

RemarkCalculele anterioare sunt similare si în cazul unei ECC de tipul X = g (ST ) , pretul dearbitraj la ecare moment t = 0,T 1 ind notat cu πt (X ) .


Formule de evaluare a pretului optiunilorNotatii

Pentru 8m 2 N xat, e am : R+ ! N,

am (x) := inffj 2 N : xujdmj > Kg

si consider¼amad := am (dx) si au := am (ux) .

Se observ¼a c¼a, pentru 8x > 0, ad = au sau ad = au + 1. (tem¼a)De asemenea, not¼am

∆m (x , j) := C jmpj (1 p)mj

ujdmjx K

.

Formula de evaluare e pretului unei OCE, precum si continutul pe parcursul ec¼areiperioade a portofoliului dinamic replicant asociat sunt date de urm¼atorul rezultat.


Theorem1 Pentru 8m = 1,T pretul de arbitraj la momentul t = T m pentru o OCE estedat de formula de evaluare CRR:

CTm = STmm

∑j=a

C jm pj (1 p)mj K

rm

m

∑j=a

C jmpj (1 p)mj , (5)

unde a := am (STm) , p :=r du d , p := p

ur.

2 La momentul t = T m 1, strategia (unic¼a) replicant¼a∅Tm1 =

αTm1, βTm1

este dat¼a de:

αTm1 =m

∑j=ad

C jm pj (1 p)mj +δ∆m (uSTm1, au)STm1 (u d)

si

βTm1 = Krm+1

m

∑j=ad

C jmpj (1 p)mj

δd∆m (uSTm1, au)r (u d) ,

unde ad := am (dSTm1) , au := am (uSTm1) si δ = ad au .(D) Inductie dup¼a m.



CTm = STmm

∑j=a

C jm pj (1 p)mj K

rm

m

∑j=a



ur.


αTm1, βTm1

este dat¼a de:

αTm1 =m

∑j=ad


si

βTm1 = Krm+1

m

∑j=ad

C jmpj (1 p)mj





CTm = STmm

∑j=a

C jm pj (1 p)mj K

rm

m

∑j=a



ur.


αTm1, βTm1

este dat¼a de:

αTm1 =m

∑j=ad


si

βTm1 = Krm+1

m

∑j=ad

C jmpj (1 p)mj





CTm = STmm

∑j=a

C jm pj (1 p)mj K

rm

m

∑j=a



ur.


αTm1, βTm1

este dat¼a de:

αTm1 =m

∑j=ad


si

βTm1 = Krm+1

m

∑j=ad

C jmpj (1 p)mj


unde ad := am (dSTm1) , au := am (uSTm1) si δ = ad au .

(D) Inductie dup¼a m.



CTm = STmm

∑j=a

C jm pj (1 p)mj K

rm

m

∑j=a



ur.


αTm1, βTm1

este dat¼a de:

αTm1 =m

∑j=ad


si

βTm1 = Krm+1

m

∑j=ad

C jmpj (1 p)mj





Un calcul imediat conduce la 1 p = d (1p)r si obtinem:

pj (1 p)mj = pj(1 p)mjujdmjrm

.

Formula (5) se rescrie sub forma echivalent¼a:

CTm =1rm

m

∑j=a

C jmpj(1 p)mj (ujdmjSTm K )

=1rm

m

∑j=0

C jmpj(1 p)mj (ujdmjSTm K )+.

Demonstratia se face prin inductie dup¼a m. Pentru m = 0 avem CT = (ST K )+.Presupunem acum c¼a CTm este pretul de arbitraj al unei OCE la momentul T m siconstruim portofoliul ∅Tm1 =

αTm1, βTm1

pentru perioada

[T m 1,T m) astfel încât, la momentul T m el s¼a replicheze valoarea CTma optiunii la nalul intervalului de timp:

αTm1STm + βTm1 r = CTm .


Aceasta conduce la sistemul liniar:(αTm1uSTm1 + βTm1 r = C

uTm

αTm1dSTm1 + βTm1 r = CdTm ,

unde am notat:

CuTm :=1rm

m

∑j=0

C jmpj(1 p)mj (uj+1dmjSTm1 K )+

=1rm

m

∑j=au

C jmpj(1 p)mj (uj+1dmjSTm1 K )

CdTm :=1rm

m

∑j=0

C jmpj(1 p)mj (ujdmj+1STm1 K )+

=1rm

m

∑j=ad

C jmpj(1 p)mj (ujdmj+1STm1 K )+.


Solutia explicit¼a a acestui sistem este, notând q = 1 p :

αTm1 =CuTm CdTmSTm1(u d)

=1

rm(u d)m

∑j=ad

C jmpjqmj (uj+1dmj ujdmj+1)

+δ∆m(uSTm1, au)STm1(u d)

=m

∑j=ad

C jm pj (1 p)mj + δ∆m(uSTm1, au)

STm1(u d).

βTm1 =uCdTm dCuTm

r(u d)

=1

rm+1(u d)m

∑j=ad

C jmpjqmj (dK uK ) δd∆m(uSTm1, au)

r(u d)

= Krm+1

m

∑j=ad

C jmpjqmj δd∆m(uSTm1, au)

r(u d) .


Valoarea portofoliului la momentul T m 1 devine, utilizând formulele deduse,

CTm1 = αTm1STm1 + βTm1

=1

rm+1

m+1

∑j=0

C jm+1pjqm+1j (ujdm+1jSTm1 K )+,

ceea ce încheie demonstratia teoremei.


Proprietatea martingal¼a a modelului CRR

Analiz¼am proprietatea de ne-arbitraj în modelul CRR construind Ω ca spatiul canonic allui S . Pentru T 2 N xat, e spatiul de probabilitate nit

Ω :=

ω = (a1, ..., aT ) : aj 2 f0, 1g, F := P (Ω)

si consider¼am multimea P := fP : (Ω,F )! R j P este m¼asur¼a de probabilitateg ,elementele sale ind denite astfel:

P (ω) := p∑Tj=1 aj (1 p)T∑T

j=1 aj , ω 2 Ω si p 2 (0, 1) xat

Este clar c¼a 8P 2 P este unic determinat¼a de p 2 (0, 1) .Pentru 8j = 1,T , e evenimentele independente, de probabilitate p :

Aj := fω 2 Ω : aj = 1g

Denim variabilele aleatoare independente, identic repartizate ξj , j = 1,T

ξj (ω) := uaj + d1 aj

, 8ω 2 Ω

Repartitia lor este: P(ξj = u) = p = 1P(ξj = d).Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 31 / 37

Ar¼at¼am c¼a unica m¼asur¼a martingal¼a pentru S = S/B apartine multimii P .Revenind la modelul CRR, St : (Ω,F ,P)! R, t = 0,T este dat¼a de:

St+1 = ξt+1St , 8t < T , cu S0 > 0.

Consider¼am pretul actualizat al stocului

St :=StBt=Str t, 8t T

si e σalgebra generat¼a de familia de variabile aleatoare Su , u t, adic¼aσ (S0, ...,St ) . În interpretare nanciar¼a, ea reprezint¼a informatiile din piat¼a accesibileinvestitorilor la momentul t.Consider¼am acum ltrarea natural¼a a lui S :

FSt := σ (S0, ...,St ) = σ (S0 , ...,S0 ) = FS

t , 8t T .

DenitionO m¼asur¼a de probabilitate P P se numeste m¼asur¼a martingal¼a pentru pretulactualizat al stocului dac¼a

EPSt+1 jFSt

= St , 8t < T 1. (6)


TheoremExist¼a o m¼asur¼a martingal¼a P pentru S dac¼a si numai dac¼a d < 1+ r < u. În acestcaz, m¼asura martingal¼a P este unicul element din P , care corespunde lui

p = p =1+ r du d .

Proof.Conditia (6) se rescrie

EPr(t+1)ξt+1St jFSt

= rtSt , 8t < T 1, adic¼a

r(t+1)StEP

ξt+1 jFSt= rtSt , 8t < T 1,

ceea ce conduce la

EP

ξt+1 jFSt= 1+ r = EP

ξt+1

,

adic¼a v.a ξt+1 este independent¼a de FSt sub probabilitatea P, deci este independent¼ade ξ1, ..., ξt . Simiar, se obtine imediat c¼a v.a. ξ1, ..., ξT sunt independente (subm¼asura de probabilitate P).Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 33 / 37

Proof.Dar

8t = 1,T : EP (ξt ) = uPfξt = ug+ d (1Pfξt = ug) = 1+ r ,

adic¼ad + (u d)Pfξt = ug = 1+ r ,

cu solutia

Pfξt = ug = p =1+ r du d , 8t = 1,T .

În plus, P 2 P siP P () d < 1+ r < u.


CorollaryModelul binomial CRR în piata nanciar¼aM = (S ,B,Φ) este f¼ar¼a arbitraj dac¼a sinumai dac¼a d < 1+ r < u.

Proof.Similar¼a cazului cu o perioad¼a, prin metoda R.A., se construiesc oportunit¼ati de arbitrajpe ecare perioad¼a.

RemarkFormula de evaluare a pretului în modelul CRR se poate obtine si din mediaconditionat¼a, sub P, a pl¼atii actualizate a optiunii.

TheoremConsider¼am o OCE, cu data de maturitate T si pretul de exercitare K , având ca activsuport un stoc al c¼arui pret S urmeaz¼a modelul binomial CRR. Atunci, 8m = 0,T ,pretul de arbitraj CTm denit de (5) coincide cu media conditionat¼a

C Tm = EPrm (ST K )+ jFSTm

. (7)


Proof.Calcul¼am formula (7) explicit. Avem

ST = STmξTm1...ξT =: STmηm , unde

STm este o v.a. FSTm m¼asurabil¼a si ηm este o v.a. independent¼a de FSTm . Prinurmare, formula (7) devine

C Tm = EPrm (STmηm K )

+ jFSTm= EP

rm (STmηm K )

+.

Variabilele aleatoare ξTm1, ..., ξT sunt independente si

P

ξj = u= p = 1P

ξj = d

,

ceea ce conduce la

C Tm = rm

m

∑j=0

C jmpj (1 p)mj

STmu

jdmj K+.

Folosind notatiile p = pursi 1 p = (1 p) d

r, obtinem c¼a


Proof.

C Tm =m

∑j=a

C jmSTm p

j (1 p)mj Krmpj (1 p)mj,

unde a := am (STm) = inffj 2 N : STmujdmj > Kg.

Formula (7) poate rescris¼a

C t = BtEPB1T (ST K )+ jFSt

= BtEP

B1T X jFSt

,

unde X = (ST K )+ , dar poate înlocuit¼a cu orice derivat nanciar european.

Remark

Formula de paritate put-call este: Ct Pt = St Kr(Tt), 8t T .

Într-adev¼ar,

πt (CT PT ) = EPr(Tt) (ST K ) jFSt

, adic¼a

Ct Pt = EPST r

t jFStKr(Tt),

ceea ce conduce la Ct Pt = St Kr(Tt).Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 37 / 37

Documents

Derivate –nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicanteeduard/C3_Derivate financiare... · 2017-12-14 · Optimalitatea portofoliilor replicante 5 / 37 Pentru o op‚tiune de