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clasmeson-vieira
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DERIVADAS TOTAIS E PARCIAIS Def. 1: Seja w = f(P) = f(x1,x2, ... ,xn) uma função de n variáveis. Chama-se acréscimo total de w = f(P) no ponto P0 ao número real: ∆ ∆ ∆ ∆w f P f P f x x x x x x f x x xn n n= − = + + + −( ) ( ) ( , , , ) ( , , , )0 1 1 2 2 1 2K K . Vamos considerar os seguintes casos: 10 CASO: Para as funções de uma única variável x, isto é, y = f x( ) , temos que P = x, P0 = x0 e ∆y = f x( )− f(x0) = f x x f x( ) ( )0 0+ −∆ . Geometricamente: y f(x0+∆x) f(x0) x0 x0+∆x x ∆∆
∆∆
yx
f x x f xx
=+ −( ) ( )0 0 = taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo [x0, x0 + ∆x]
e dydx
yx
f x x f xx
f xx x
= =+ −
= ′→ →
lim lim( ) ( )
( )∆ ∆
∆∆
∆∆0 0
0 00 = taxa de variação (instantânea) de y em relação
a x, a partir de x0, por unidade de variação de x.
′ =f xdydx
( )0 é a derivada total de y = f x( ) no ponto x0.
Exemplo: Consideremos a função y x= , x0 = 9. Então, f x( )0 3= e ′ = =f xx
( )00
12
16
.
Isto significa que se: (a) x x0 + ∆ = 10, então f x x( )0 + ∆ = 3 + 1/6; (b) x x0 + ∆ = 11, então f x x( )0 + ∆ = 3 + 2(1/6); (c) x x0 + ∆ = 8, então f x x( )0 + ∆ = 3 − 1/6. 20 CASO: Para as funções de duas variáveis x e y, isto é, z = f x y( , ) , temos P = (x,y), P0 = (x0, y0) e ∆ ∆ ∆z f P f P f x x y y f x y= − = + + −( ) ( ) ( , ) ( , )0 0 0 0 0 . Geometricamente: z f(x0+∆x,y0+∆y) ∆z f(x0,y0) y0 y0+∆y x0 P0 y
x0+∆x P=(x0+∆x,y0+∆)
x
Neste caso, ∆z depende das variações de ∆x e de ∆y. Vamos considerar, então, que ∆z de-
pende da distância do ponto P0 ao ponto P, d(P0,P), que representa o módulo do vetor P P0
→ =
P P− 0 . Portanto, por analogia, temos que:
∆z
d P P( )0 = taxa de variação média de z em relação às variações de x e y ou que, é a taxa de
variação média de z em relação à variação da distância entre P0 e P e, que,
dz
d P Pz
d P Pf P f P
P PP P P P( )lim
( )lim
( ) ( )
0 0
0
00 0
= =−
−→ →
∆= lim
( , ) ( , )( , ) ( , )∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆x y
f x x y y f x y
x y→
+ + −
+0 0
0 0 0 0
2 2
é a taxa de variação (instantânea) de z em relação a x e a y, a partir do ponto P0, por unidade de distância de P0 a P. É, por analogia, chamada de derivada total de z = f(P) no ponto P0 e, em rela-ção a x e a y. Exemplo: Calcular a derivada total de z = f x y( , ) = 3x2y, no ponto P0 = (1,2).
dzd P P
f x y fx y
x yx yx
yxy
( )lim
( , ) ( , )lim
( ) ( ) ( )
000
2 2 00
2 2
2 2
1 2 1 2 3 1 2 3 1 2=
+ + −
+=
+ + −
+→→
→→
∆∆
∆∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ ou,
dzd P P( )0
= lim∆∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆xy
x y x x yx y→
→
+ + + + + −
+00
2 2
2 2
6 12 3 6 3 6 = lim
∆∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆xy
x y x x yx y→
→
+ + +
+00
2 2
2 2
12 3 6 3
Como o limite apresenta a indeterminação 00
e não apresenta simplificação, vamos usar os
caminhos: ( )
Cxy
x xx
x xxx
yx1 0
0
2
2 0
00
12 6 12 612
∆∆
∆ ∆
∆
∆ ∆∆∆
∆∆
→=
⇒+
=+
=→=
→ lim lim e
Cxy
yyx
y
2 00
00
33
∆∆
∆∆∆
∆
=→
⇒ ==→
lim
Como os resultados são diferentes, não existe o limite. Isto é, esta função não tem derivada total no ponto (1,2). Obs.: Em geral, z = f x y( , ) não tem derivada total. Mas, em particular, vamos considerar os resul-tados dos limites por caminhos, isto é, as derivadas por caminhos ou, as derivadas parciais, defini-das por: Def. 2: Chama-se derivada parcial de z = f x y( , ) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a x, ao número real f x yx ( , )0 0 , definido por
f x yf x x y f x y
xzx
x yx x( , ) lim
( , ) ( )( , ),
0 0 0
0 0 0 00 0=
+ −=
→∆
∆∆
∂∂
desde que o limite exista. Obs.: Usamos a letra d para indicar a derivada total. Para não confundir, usamos a letra d do alfabe-to Ronde, ∂ , para indicar a derivada parcial. Analogamente, podemos ter a derivada parcial em relação a y, isto é:
Def. 3: Chama-se derivada parcial de z = f x y( , ) no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a y, ao número real f x yy ( , )0 0 , definido por
f x yf x y y f x y
yzy
x yy y( , ) lim
( , ) ( , )( , )0 0 0
0 0 0 00 0=
+ −=
→∆
∆∆
∂∂
desde que o limite exista. Exemplos: 1) Determine as derivadas parciais de z = f x y( , ) = 3x2y no ponto (1,2) e, em relação a x e, em relação a y. Solução: (a) Em relação a x:
ff x f
xx
xx x x( , ) lim
( , ) ( , )lim
( ) ( )1 2
1 2 1 2 3 1 2 3 1 20 0
2 2
=+ −
=+ −
→ →∆ ∆
∆∆
∆∆
= fx x
xx x( , ) lim1 2
6 12 6 60
2
=+ + −
→∆
∆ ∆∆
fx x
xx x( , ) lim
( )1 2
12 612
0=
+=
→∆
∆ ∆∆
.
(b) Em relação a y:
ff y f
yyyy y y
( , ) lim( , ) ( , )
lim( ) ( ) ( )
1 21 2 1 2 3 1 2 3 1 2
0 0
2 2
=+ −
=+ −
→ →∆ ∆
∆∆
∆∆
= lim lim∆ ∆
∆∆
∆∆y y
yy
yy→ →
+ −= =
0 0
6 3 6 33.
2) Idem (1) para P0 = (x0,y0) genérico. Solução: (a) Em relação a x:
f x yf x x y f x y
xx x( , ) lim
( , ) ( , )0 0 0
0 0 0 0=+ −
→∆
∆∆
= lim( )
∆
∆∆x
x x y x yx→
+ −0
02
0 02
03 3 ∴
f x yx ( , )0 0 = lim∆
∆ ∆∆x
x y x y x y x x yx→
+ + −0
02
0 0 0 03
02
03 6 3 3 = lim
( )∆
∆ ∆∆x
x y y x xx→
+0
0 0 06 3 ∴
f x y x yx ( , )0 0 0 06= . (b) Em relação a y:
f x yf x y y f x y
yy y( , ) lim
( , ) ( , )0 0 0
0 0 0 0=∆
∆∆→
+ − = lim
( )∆
∆∆y
x y y x yy→
+ −0
02
0 02
03 3 = lim
∆
∆∆y
x yy→0
023
∴
f x y xy ( , )0 0 023= .
Se a função z = f x y( , ) admite derivadas parciais em relação a x e a y em todos os pontos P0 de uma região D do plano IR2, dizemos que z = f x y( , ) é derivável parcialmente em relação a x e a y em D. Neste caso, podemos definir as funções derivadas parciais em D. Isto é:
(i) ∂∂
zx
f x yf x x y f x y
xx x= =
+ −→
( , ) lim( , ) ( , )
∆
∆∆0
é a função derivada parcial de f x y( , ) em D;
(ii) ∂∂
zy
f x yf x y y f x y
yy y= =
+ −→
( , ) lim( , ) ( , )
∆
∆∆0
é a função derivada parcial de f x y( , ) em D.
Exemplo: Vimos (ex. 2, anterior) que a função f x y( , ) = 3x2y tem derivada parcial em relação a x e em relação a y, em todos os pontos (x0,y0) do IR2. Logo, é derivável parcialmente em IR2 e, suas funções derivadas parciais ou apenas derivadas parciais são:
∂∂
zx
f x y xyx= =( , ) 6 e ∂∂
zy
f x y xy= =( , ) 3 2 .
CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS DE z = f(x,y) Para calcularmos as derivadas parciais de z = f x y( , ) não precisamos calcular os limites que as definem. Podemos usar as fórmulas de derivação usadas para o calculo das derivadas de y = f x( ) . (a) Derivada parcial em relação a x: Para calcularmos as derivadas parciais em relação a x, vamos usar a função auxiliar ϕ (x) = f x y( , )0 em que consideramos y = y0 constante. Então:
∂∂
zx=
∂∂
ϕ ϕϕ
zx
f x yf x x y f x y
xx x x
xx
y yx x x
= =
+ −=
+ −= ′
=→ →
0
0 0
0 0
0( , ) lim
( , ) ( , )lim
( ) ( )( )
∆ ∆
∆∆
∆∆
.
Exemplos: 1) Calcular a derivada parcial em relação a x de z = f x y( , ) = 3x2y. Sol.: Considerando y = y0 = b (constante), temos a função auxiliar ϕ (x) = f x b( , ) = 3x2b.
Derivando ϕ em relação a x, obtemos ϕ‘(x) = 6xb. Como ∂∂
zx
xby b
=
= 6 = ϕ‘(x), voltamos com o
valor b = y obtendo ∂∂
zx
xy= 6 que é a derivada de f x y( , ) em relação a x.
2) Calcular a derivada parcial de z = f x y( , ) = x2 + y2 + 3xy2 + 5x − y + 10 em relação a x. Sol.: Para y = y0 = b (constante), a função auxiliar é ϕ (x) = x2 + b2 + 3xb2 + 5x − b + 10. Derivando em relação a x obtemos ϕ‘(x) = 2x + 3b2 + 5. Voltando com b = y, temos que, ∂∂
zx
f x y x yx= =( , ) 2 3 52+ + .
(b) Derivada parcial em relação a y: De modo análogo, vamos usar a função auxiliar ψ(y) = f x y( , )0 em que considera-mos x = x0 constante. Então:
∂∂
zy=
∂∂
ψ ψψ
zy
f x yf x y y f x y
yy y y
yy
x xy y y
= =
+ −=
+ −= ′
=→ →
0
0 0
0 0
0( , ) lim
( , ) ( , )lim
( ) ( )( )
∆ ∆
∆∆
∆∆
.
Exemplos: 1) Calcular a derivada parcial em relação a y de z = f x y( , ) = 3x2y. Sol.: Considerando x = x0 = a (constante), temos a função auxiliar ψ (y) = f a y( , ) = 3a2y.
Derivando ψ em relação a y, obtemos ψ ‘(y) = 3a2. Como ∂∂
zy
ax a
=
= 3 2 = ψ ‘(y), voltamos com o
valor a = x obtendo ∂∂
zy
x= 3 2 que é a derivada de f x y( , ) em relação a y.
2) Calcular a derivada parcial de z = f x y( , ) = x2 + y2 + 3xy2 + 5x − y + 10 em relação a x. Sol.: Para x = x0 = a (constante), a função auxiliar é ψ (y) = a2 + y2 + 3ay2 + 5a − y + 10. Derivando em relação a y obtemos ψ ‘(y) = 2y + 6ay −1. Voltando com a = x, temos que, ∂∂
zy
f x y y xyy= =( , ) 2 6 1+ − .
30 CASO: Para as funções do tipo w = f x y z( , , ) , de três variáveis, temos que P = (x,y,z), P0 = (x0,y0,z0) e ∆w = f(P) − f(P0) = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z) − f(x0,y0,z0). Neste caso, não temos representação geométrica e, por analogia, concluímos que não existe a derivada total de w = f x y z( , , ) em relação conjunta às três variáveis x, y e z. Mas, existem as deri-vadas parciais, isto é: Def. 4: Dada a função w = f x y z( , , ) das três variáveis x, y, z e, o ponto P0 = (x0,y0,z0), en-tão, temos que a derivada parcial de w = f(x,y,z), no ponto P0 e, (i) em relação a x, é dada por
∂∂wx
f x y zf x x y z f x y z
xx x= =
+ −→
( , , ) lim( , , ) ( , , )
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
∆
∆∆
;
(ii) em relação a y, é dada por
∂∂wy
f x y zf x y y z f x y z
yy y= =
+ −→
( , , ) lim( , , ) ( , , )
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
∆
∆∆
;
(iii) em relação a z, é dada por
∂∂wz
f x y zf x y z z f x y z
zz z= =
+ −→
( , , ) lim( , , ) ( , , )
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
∆
∆∆
,
desde que os limites existam. Se as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) existem em todos os pontos P = (x0,y0,z0) de uma região R do IR3, dizemos que w = f x y z( , , ) é derivável parcialmente em R e, podemos calcular suas funções derivadas parciais em relação a x, y e z. (Basta trocar na definição 4, x0 por x, y0 por y, z0 por z e, calcular os limites). Exemplo: Calcular as derivadas parciais em relação a x, y e z da função w = f x y z( , , ) = x3y2z − 5xy + 3yz − 2xz + 10. Sol.: (a) Em relação a x: ∂∂wx
f x x y z f x y zxx
= lim( , , ) ( , , )
∆
∆∆→
+ −0
∂∂wx
= lim( ) ( ) ( )
∆
∆ ∆ ∆∆x
x x y z x x y yz x x z x y z xy yz xzx→
+ − + + − + + − + − + −0
3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10
∂∂wx
x y z x x z x y z x y x z xxx
= lim∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆→
+ + − −0
2 2 2 2 2 33 3 5 2 = 3x2y2z − 5y − 2z.
(b) Em relação a y: ∂∂wy
f x y y z f x y zyy
= lim( , , ) ( , , )
∆
∆∆→
+ −0
∂∂wy
= lim( ) ( ) ( )
∆
∆ ∆ ∆∆y
x y y z x y y y y z xz x y z xy yz xzy→
+ − + + + − + − + − + −0
3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10
∂∂wy
= lim∆
∆ ∆∆y
x yz x y z yy
x yz x z→
− +− +
0
332 5 3
2 5 3= .
(c) Em relação a z: ∂∂wz
f x y z z f x y zzz
= lim( , , ) ( , , )
∆
∆∆→
+ −0
∂∂wz
= lim( ) ( ) ( )
∆
∆ ∆ ∆∆z
x y z z xy y z z x z z x y z xy yz xzz→
+ − + + − + + − + − + −0
3 2 3 25 3 2 10 5 3 2 10
∂∂wz
x y z y z x zz
x y y x= =3 2
3 23 23 2
∆ ∆ ∆∆
+ −+ − .
CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS DE w = f(x,y,z) De modo análogo ao caso anterior, vamos calcular as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) em relação as variáveis x, y e z, usando funções auxiliares que são funções de uma única variável. Isto é, as duas outras variáveis são consideradas como constantes. (a) Derivação parcial em relação a x: Vamos considerar a função auxiliar ϕ(x) = f x y z( , , )0 0 em que y = y0 e z = z0 são constan-tes. Então:
∂∂
∂∂
ϕ ϕϕ
wx
wx
f x x y z f x y zx
x x xx
xy yz z
x x=
=
+ −=
+ −= ′
==
→ →0
0
0
0 0 0 0
0lim
( , , ) ( , , )lim
( ) ( )( )
∆ ∆
∆∆
∆∆
.
(b) Derivação parcial em relação a y: Vamos considerar a função auxiliar ψ(y) = f x y z( , , )0 0 em que x = x0 e z = z0 são constan-tes. Então:
∂∂
∂∂
ψ ψψ
wy
wy
f x y y z f x y zy
y y yy
yx xz z
y y=
=
+ −=
+ −= ′
==
→ →0
0
0
0 0 0 0
0lim
( , , ) ( , , )lim
( ) ( )( )
∆ ∆
∆∆
∆∆
.
(c) Derivação parcial em relação a z: Vamos considerar a função auxiliar λ(y) = f x y z( , , )0 0 em que x = x0 e y = y0 são constan-tes. Então:
. ∂∂
∂∂
λ λλ
wz
wz
f x y z z f x y zz
z z zz
zx xy y
x z=
=
+ −=
+ −= ′
==
→ →0
0
0
0 0 0 0
0lim
( , , ) ( , , )lim
( ) ( )( )
∆ ∆
∆∆
∆∆
.
Exemplos: 1) Calcular as derivadas parciais de w = f x y z( , , ) = x3y2z − 5xy + 3yz − 2xz + 10, em rela-ção a x, y e z. Sol.: (a) Em relação a x: Fazendo y = y0 = b e z = z0 = c, constantes, temos que ϕ(x) = f(x,b,c) = x3b2c − 5xb + 3bc − 2xc + 10. Derivando em relação a x, ϕ‘(x) = 3x2b2c − 5b − 2c. Voltando com os valores de b = y, c
= z, obtemos ∂∂wx
f x y z x y z y zx= = − −( , , ) 3 5 22 2 .
(b) Em relação a y: Para x = x0 = a e z = z0 = c, constantes, ψ(y) = f(a,y,c) = a3y2c − 5ay + 3yc − 2ac + 10. Derivando em relação a y, obtemos ψ‘(y) = 2a3yc − 5a + 3c. Voltando com a = x e c = z, resulta
que ∂∂wy
f x y z x yz x zy= = − +( , , ) 2 5 33 .
(c) Em relação a z: Considerando x = x0 = a e y = y0 = b, resulta que λ(z) = f(a,b,z) = a3b2z − 5ab + 3bz − 2az + 10. Derivando em relação a z, obtemos λ‘(z) = a3b2 + 3b − 2a. Voltando com os valores de a =
x, b = y, resulta ∂∂wz
f x y z x y y xz= = + −( , , ) 3 2 3 2 .
40 CASO: GENERALIZAÇÃO Dada a função de n variáveis w = f(x1,x2, . . . ,xn) então, suas derivadas parciais em relação d cada uma das n variáveis é dada por:
(a) ∂∂
wx
f x x x x f x x xxx
n n
1 0
1 1 2 1 2
11
=+ −
→lim
( , , , ) ( , , , )∆
∆∆
K K;
(b) ∂∂
wx
f x x x x f x x xxx
n n
2 0
1 2 2 1 2
22
=+ −
→lim
( , , , ) ( , , , )∆
∆∆
K K;
M
(n) ∂∂
wx
f x x x x f x x xxn x
n n n
nn
=+ −
→lim
( , , , ) ( , , , )∆
∆∆0
1 2 1 2K K,
desde que os limites existam. As derivadas parciais podem ser calculadas diretamente se considerarmos as outras variáveis como constantes. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) Calcular as funções derivadas parciais de z = f x y( , ) = 9 2 2− −x y . Em seguida, calcu-lar fx (2,1) e fy(2,1). Sol.: (a) Em relação a x: Para y = b, temos que ϕ (x) = f(x,b) = 9 2 2− −x b . Derivando em relação a x, obtemos:
ϕ‘(x) = −
− −
22 9 2 2
xx b
. Voltando com y = b, temos que fx(x,y) = −
− −
xx y9 2 2
e fx (2,1) = −1;
(b) Em relação a y: Considerando x = a, temos que ψ(y) = f(a,y) = 9 2 2− −a y . Derivando em relação a y,
obtemos ψ‘(y) = −
− −
22 9 2 2
ya y
. Voltando com x = a, temos que fy(x,y) = −
− −
yx y9 2 2
e que
fy(2,1) = − ½ . 2) Calcular as derivadas parciais de z = ln(x2 + xy + y2) Sol.: (a) Em relação a x:
Fazendo y = b, resulta que ϕ(x) = ln(x2 + xb + b2) cuja derivada é ϕ‘(x) = 2
2 2
x bx xb b
++ +
.
Como b = y, temos que ∂∂
zx
x yx xy y
=+
+ +2
2 2 ;
(b) Em relação a y:
Para x = a, ψ(y) = ln(a2 + ay + y2) e sua derivada é ψ‘(y) = a y
a ay y+
+ +2
2 2 . Substituindo a
por x, obtemos ∂∂
zy
x yx xy y
=+
+ +2
2 2 .
3) Calcular ∂∂
zx
e ∂∂
zy
para zxy
x y=
+2
2 2 .
Sol.:
(a) Cálculo de ∂∂
zx
:
Para y = b, ϕ(x) = 22 2
xbx b+
e ϕ‘(x) = 2 2 22 2
2 2 2
b x y bx xx b
( ) ( )( )+ −
+ =
2 22
2 2 2
by bxx b
−+( )
. Logo, como
b = y, temos que ∂∂
zx
= 2 23
2 2 2
y xyx y
−+( )
.
(b) Em relação a y:
Fazendo x = a, ψ(y) = 2
2 2
aya y+
e ψ‘(y) = 2 2 22 2
2 2 2
a x y ay yx y
( ) ( )( )+ −
+ =
2 22 2
2 2 2
ax aya y
−+( )
. Logo,
como a = x, temos que ∂∂
zy
= 2 23
2 2 2
x xyx y
−+( )
.
4) Determine as derivadas parciais de zyx
= arctg .
Sol.: (a) Em relação a x:
ϕ(x) = f(x,b) = arctgbx
. Derivando, ϕ‘(x) =
−
+
−
+
bx
bx
bx
x bx
2
2
2
2 2
21= = −
+−+
bxx x y
bx y
2
2 2 2 2 2( )= .
Portanto, ∂∂
zx
= −+y
x y2 2 .
(b) Em relação a y:
ψ(y) = f(a,y) = arctgya
. Derivando, ψ‘(y) =
1
1
1
2 2 2
2
aya
aa y
a+
+= =
aa a y
2
2 2( )+. Simplificando
por a, e substituindo a por x, obtemos ∂∂
zy
= x
x y2 2+.
5) Se z xy= tg , determine suas derivadas parciais. Sol.: (a) Em relação a x:
ϕ(x) = f(x,b) = tgxb . Derivando, ϕ‘(x) = ( )sec2
1
x
b xbb tg−
. Para b = y, temos ∂∂
zx
= ( )sec2
1
x
y xyy tg−
.
(b) Em relação a y: ψ(y) = f(a,y) = tgay . Para derivarmos, vamos escrever na forma ψ(y) = f(a,y) =
( ) yy aa1
tg=tg . Derivando em relação a y, obtemos ψ‘(y) = ( ) ay
a y tgln1tg 2
1
− . Para a = x, temos
∂∂
zy
= −tg
tgx
yx
y
2 ln .
6) Determine as derivadas parciais de w = xy2z3 − 5xy + 3yz. Sol.: A função w é uma função das três variáveis x, y e z. Devemos então calcular as três de-rivadas parciais. Isto é: (a) Em relação a x: Considerando y = b e z = c, constantes, obtemos a função auxiliar ϕ(x) = f(x,b,c) = xb2c3 − 5xb + 3bc. Derivando em relação a x obtemos ϕ‘(x) = b2c3 − 5b. Voltando com o b = y e c = z,
obtemos ∂∂wx
= y2z3 − 5y.
(b) Em relação a y: Para x = a e z = c, temos que ψ(y) = f(a,y,c) = ay2c3 − 5ac + 3yc. Derivando, ψ‘(y) = 2ayc3 + 3c.
Voltando com os valores de a = x e c = z, obtemos ∂∂wy
= 2xyz3 + 3z.
(c) Em relação a z: Considerando x = a e y = b, constantes, temos que λ(z) = f(a,b,z) = ab2z3 − 5ab + 3bz. Derivando em relação a z, obtemos λ‘(z) = 3ab2z2 + 3b. Voltando com a = x e b = y, temos que ∂∂wz
= 3xy2z2 + 3y.
7) Calcule as derivadas parciais de w = xyz. Sol.: a) Em relação a x:
ϕ(x) = f(x,b,c) = xbc. Derivando, ϕ‘(x) = bc. Logo, ∂∂wx
= yz.
(b) Em relação a y:
ψ(y) = f(a,y,c) = ayc. Derivando, ψ‘(y) = acyc -- 1. Portanto, ∂∂wy
= xzyz − 1 .
(c) Em relação a z:
λ(z) = f(a,b,z) = abz. Derivando, λ‘(z) = abzlnb. Logo, ∂∂wz
= xyzlny.
8) Calcule as derivadas parciais de wxy
yz
zt
tu
= + + + .
Sol.: Aqui temos w = f(x,y,z,t,u). Vamos, então, calcular cinco derivadas parciais. (a) Em relação a x:
ϕ(x) = f(x,b,c,d,e) = xb
bc
cd
de
+ + + . Derivando, ϕ‘(x) = 1b
e ∂∂wx
= 1y
.
(b) Em relação a y:
ψ(y) = f(a,y,c,d,e) = ay
yc
cd
de
+ + + . Derivando, ψ‘(y) = − +ay c2
1. Logo,
∂∂wy
= − +xy z2
1.
(c) Em relação a z:
λ(z) = f(a,b,z,d,e) = ab
bz
zd
de
+ + + . Derivando, λ‘(z) = − +bz d2
1. Logo,
∂∂wz
= − +yz t2
1.
(d) Em relação a t:
θ(t) = f(a,b,c,t,e) = ab
bc
ct
te
+ + + . Derivando, θ‘(t) = − +ct e2
1. Logo,
∂∂wt
= − +zt u2
1.
(e) Em relação a u:
ρ(u) = f(a,b,c,d,u) = ab
bc
cd
du
+ + + . Derivando, ρ‘(u) = −du2 . Logo,
∂∂wu
= −t
u2 .
9) Mostre que se zx y
x y=
2 2+−
então, x∂∂
zx
+ y∂∂
zy
= z.
Sol.: (a) ∂∂
zx
= ( )
2 1 22 2
2
2 2
2
x x y x y
x y
x xy yx y
( ) ( )( )( )
− − +
−
− −−
= ;
(b) ∂∂
zy
= 2 1 22 2
2
2 2
2
y x y x yx y
x xy yx y
( ) ( )( )( ) ( )
− − + −−
+ −−
= .
Substituindo na equação a derivadas parciais, obtemos:
x∂∂
zx
+ y∂∂
zy
= xx xy y
x yy
x xy yx y
2 2
2
2 2
2
2 2− −−
+
+ −−
( ) ( ) =
x x y xy x y xy yx y
3 2 2 2 2 3
2
2 2− − + + −−( )
∴
x∂∂
zx
+ y∂∂
zy
= x x y y x y
x y
2 2
2
( ) ( )( )− + −
− =
x yx y
z2 2+−
= . #
10) Se x = ρcosθ e y = ρsenθ , determine
∂∂ρ
∂∂θ
∂∂ρ
∂∂θ
x x
y y .
Sol.: Derivando parcialmente as funções x = f(ρ,θ) e y = f(ρ,θ), obtemos:
∂∂ρ
θx
= cos , ∂∂θ
ρ θx
= − sen , ∂∂ρ
θy
= sen e ∂∂θ
ρ θy
= cos . Substituindo no determinante,
obtemos:
∂∂ρ
∂∂θ
∂∂ρ
∂∂θ
θ ρ θθ ρ θ
ρ θ ρ θ
x x
y y = =cos sensen cos cos sen
−+2 2 = ρ(cos2θ + sen2θ ) = ρ.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (I) Calcular as derivadas parciais de z = f(x,y) em relação a x e a y de: 1) f x y( , ) = 2x − 7y2, no ponto (1,2) 2) f x y( , ) = x2 + 3xy − y2, no ponto (2,1) 3) f x y( , ) = 1 − 3xy, no ponto (1,2) 4) f x y( , ) = xy2 − 3x2y3, no ponto (1, −1)
5) f x y xyxy
( , ) = + , no ponto (2,1)
(II) Calcular as derivadas parciais das seguintes funções:
1) f x y( , ) = 3x2 − 2xy + 5y4 + xy2 − 4x + y + 7 2) f x y( , ) = x2 + xy x y12
13 2+
3) f x y( , ) = x y2 75 4) f x y( , ) = 13 23 x y
5) f x y( , ) = x y2 2− 6) f x y( , ) = x y − 7
7) z = ex+y 8) z = xy
9) z = x2cosy 10) z = 3cos(xy) + 5sen(xy)
11) zx yx y
=−+
12) z = xcosy + ysenx
13) z x y= +ln 2 2 14) z = 1 − y2
15) f x yxy
x y( , ) =
+2
2 2 16) z = xy
17) zyx
= arctg 18) ( )z x x y= + +ln 2 2
19) z eyx=
sen 20) z
x yx y
=−+
arcsen2 2
2 2
21) zx
y=
+ln sen
1 22) z
e ex y
x y
=++cos sen
23) f x y zy xz
x y z( , , ) =
++ +
3 2
2 2 2 24) f x y z( , , ) = ln(xy + z)
25) w = (xy)z 26) w = x y z
x y z+ +
+ +2 2 2
27) w = zxy 28) w exyz
xyz= + arctg3
2
29) w x y z= + +ln 2 2 2 30) f x y z t xyzt( , , , ) ( )= arctg (III) Verificar as identidades ou calcular o valor de:
1) Se zx
x y=
2
2 2+, então, x
zx
yzy
z∂∂
∂∂
+ = 2) Se zx
x y= 2 2+
, então, xzx
yzy
∂∂
∂∂
+ =
3) Se z xy xeyx= + , então, x
zx
yzy
xy z∂∂
∂∂
+ += 4) Se zyx
= ln , então, xzx
yzy
∂∂
∂∂
+ =
5) Se w = (x− y)(y− z)(z− x), então, ∂∂
∂∂
∂∂
wx
wy
wz
+ + =
6) Se w xx yx z
= +−−
, então, ∂∂
∂∂
∂∂
wx
wy
wz
+ + =
DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS Se a função w = f(P) admite derivadas parciais em relação a todas as variáveis independen-tes, x1,x2, ..., xn e, estas funções derivadas parciais admitem derivadas parciais em relação a todas as variáveis, então, suas derivadas parciais são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem de w = f(P). Se as derivadas de segunda ordem são parcialmente deriváveis, suas derivadas são chamadas de derivadas parciais de terceira ordem de w = f(P) e, assim, sucessivamente. 1) Para z = f(x, y), temos as seguintes derivadas sucessivas:
z f x y
zx
fzy
f
ordem
zx
f
zy x
f
zx y
f
zy
f
ordem
zx
f
zy x
f
zx y x
f
zy x
f
zx y
f
zy x y
f
zx y
f
zy
f
x
y
a
xx
xy
yx
yy
a
xxx
xxy
xyx
xyy
yxx
yxy
yyx
==
=
=
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
( , )
∂∂∂∂
∂∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂
∂∂∂∂ ∂∂
∂ ∂ ∂∂
∂ ∂∂∂ ∂∂
∂ ∂ ∂∂
∂ ∂∂∂
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
3
3
2
3
2
3
3
2
3
3
1 24 34
1 244 344
yyy
a ordem
31 244 344
Obs.: O número de derivadas parciais é 2n em que n é a ordem das derivadas. Exemplo: Calcular as derivadas de 3a ordem de z = f x y( , ) = x4y5 + 5x3y3 − 4x2y − 5 Sol.: Derivadas de primeira ordem ∂∂
zx
= 4x3y5 + 15x2y3 − 4xy2 +3 ∂∂
zy
= 5x4y4 + 15x3y2 − 4x2y − 5
Derivadas de segunda ordem
∂∂
zx 2 = 12x2y5 + 30xy3 − 4y2
∂∂ ∂
2 zx y
= 20x3y4 + 45x2y2 − 8xy
∂∂ ∂
2 zy x
= 20x3y4 + 45x2y2 − 8xy ∂∂
2
2
zy
= 20x4y3 + 30x3y − 4x2
Derivadas de terceira ordem
∂∂
3
3
zx
= 24xy5 + 30y3 ∂∂ ∂
3
2
zy x
= 60x2y4 + 90xy2 − 8y
∂∂ ∂
3
2
zx y
= 60x2y4 + 90xy2 − 8y ∂
∂ ∂ ∂
3zy x y
= 80x3y3 + 90x2y − 8x
∂∂ ∂ ∂
3zx y x
= 60x2y4 + 90xy2 − 8y ∂∂ ∂
3
2
zy x
= 80x3y3 + 90x2y − 8x
∂∂ ∂
3
2
zx y
= 80x3y3 + 90x2y − 8x ∂∂
3
3
zy
= 60x4y2 + 30x3
2) Para w = f(x, y, z), temos as seguintes derivadas parciais
w f x y z
wx
fwy
f
wz
f
ordem
wx
f
wy x
f
wz x
f
wx y
f
wy
f
wz y
f
wx z
f
wy z
f
wz
f
ordem
x
y
z
a
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
a
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
( , , )
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 24 34
1 244 344
Obs.: O número de derivadas parciais é 3n em que n é a ordem das derivadas. Exemplo: Calcular as derivadas de segunda ordem de w = f x y z( , , ) = x3y4z5 + x2y2z2 + 3xyz + 5x − 6y + 7z − 12. Sol.: Derivadas de primeira ordem
∂∂wx
= 3x2y4z5 + 2xy2z2 + 3yz + 5 ∂∂wy
= 4x3y3z5 + 2x2yz2 + 3xz − 6 ∂∂wz
= 5x3y4z4 + 2x2y2z +
3xy + 7 Derivadas de segunda ordem ∂∂
2
2
wx
= 6xy4z5 + 2y2z2 ∂∂ ∂
2wy x
= 12x2y3z5 + 4xyz2 + 3z ∂∂ ∂
2 wz x
= 15x2y4z4 + 4xy2z +
3y ∂∂ ∂
2wx y
= 12x2y3z5 + 4xyz2 + 3z ∂∂
2
2
wy
= 12x3y2z5 + 2x2z2 ∂∂ ∂
2 wz y
= 20x3y3z4 + 4x2yz +
3x ∂∂ ∂
2 wx z
= 15x2y4z4 + 4xy2z + 3y ∂∂ ∂
2 wy z
= 20x3y3z4 + 4x2yz + 3x ∂∂
2
2
wz
= 20x3y4z4 + 2x2y2
Teorema 1: Se a função w = f(P) admite derivadas parciais mistas de ordem n, contínuas em uma região R do IRn, então, suas derivadas parciais mistas são iguais.
INTERPRETAÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS 1) DA FUNÇÃO z = f(x,y) 1.1) GEOMÉTRICA Para calcularmos as derivadas parciais de z = f x y( , ) , usamos as funções auxiliares ϕ(x) = f(x,y0) e ψ(y) = f(x0,y) nas quais, y0 e x0 são, respectivamente, constantes. (a) Em relação a x: A função ϕ(x) = f(x, y0) é a curva intersecção da superfície que é o gráfico de z = f x y( , ) com o plano y = y0 = constante. Consideremos os pontos P0 = (x0,y0) e P = (x0 + ∆x,y0) sobre a curva ϕ(x). A reta s que passa por P0 e P, é uma reta secante à curva ϕ(x) e ao gráfico de f x y( , ) . O coeficiente angular
da reta s é dado por mx x x
xs =+ −ϕ ϕ( ) ( )0 0∆
∆ =
f x x y f x yx
( , ) ( , )0 0 0 0+ −∆∆
.
Se o ponto P desliza sobre ϕ(x) até coincidir com o ponto P0, P → P0, a reta secante, s, passa a ser uma reta t, tangente à curva ϕ(x) e ao gráfico de f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0), com z0 = f(x0,y0). Seu coeficiente angular é dado por
mx x x
xt x=
+ −→
lim( ) ( )
∆
∆∆0
0 0ϕ ϕ = lim
( , ) ( , )∆
∆∆x
f x x y f x yx→
+ −0
0 0 0 0 = ϕ‘(x0) = fx(x0,y0)
Isso significa que a derivada parcial de f x y( , ) , em relação a x, no ponto P0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva ϕ(x) e ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0, y0, z0). A reta t, tangente, pertence ao plano y = y0 = constante que é paralelo ao plano coor-denado x0z. Logo, o ângulo α que t forma com a reta y = y0 = constante, no plano x0y é o mesmo ângulo que t forma com o eixo 0x. Portanto:
f x yf P
xx ( , )( )
0 00=
∂∂
= tg α = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e, paralela ao plano x0z. Analogamente, (b) Em relação a y: A função ψ (y) = f(x0, y) é a curva intersecção da superfície que é o gráfico de z = f x y( , ) com o plano x = x0 = constante. Consideremos os pontos P0 = (x0,y0) e P = (x0,y0 + ∆y) sobre a curva ψ(y). A reta s que passa por P0 e P, é uma reta secante à curva ψ(y) e ao gráfico de f x y( , ) . O coeficiente angular
da reta s é dado por my y x
ys =+ −ψ ψ( ) ( )0 0∆
∆ =
f x y y f x yy
( , ) ( , )0 0 0+ −∆∆
.
Se o ponto P desliza sobre ψ(y) até coincidir com o ponto P0, P → P0, a reta secante, s, passa a ser uma reta t, tangente à curva ψ(y) e ao gráfico de f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0), com z0 = f(x0,y0). Seu coeficiente angular é dado por
my y y
yt y=
+ −→
lim( ) ( )
∆
∆∆0
0 0ψ ψ = lim
( , ) ( , )∆
∆∆y
f x y y f x yy→
+ −0
0 0 0 0 = ψ‘(y0) = fy(x0,y0)
Isso significa que a derivada parcial de f x y( , ) , em relação a y, no ponto P0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva ψ(y) e ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0).
A reta t, tangente, pertence ao plano x = x0 = constante que é paralelo ao plano coor-denado y0z. Logo, o ângulo β que t forma com a reta x = x0 = constante, no plano x0y é o mesmo ângulo que t forma com o eixo 0y. Portanto:
f x yf P
yy ( , )( )
0 00=
∂∂
= tg β = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e, paralela ao plano y0z . Exemplo: Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de z = 7 − x2 − y2 + 2x + 2y, (a) no ponto (2,3,4) e paralela ao plano x0z, isto é, na direção do eixo 0x; (b) no ponto (2,3,4) e paralela ao plano y0z, isto é, na direção do eixo 0y; (c) no ponto (1,1,9) e na direção do eixo 0x; (d) no ponto (1,1,9) e na direção do eixo 0y. Sol.: As derivadas parciais de z = f x y( , ) são: fx(x,y) = −2x + 2 e fy(x,y) = −2y + 2 (a) A reta tangente em (2,3,4) e paralela ao plano x0z é uma reta que pertence ao plano y = 3 e tem como coeficiente angular fx(2,3) = − 4 + 2 = −2; (b) A reta tangente em (2,3,4) e paralela ao plano y0z é uma reta que pertence ao plano x = 2 e tem como coeficiente angular fy(2,3) = − 6 + 2 = −4; (c) A reta tangente em (1,1,9) e na direção do eixo 0x, é uma reta que pertence ao plano y = 1 e tem como coeficiente angular fx(1,1) = − 2 + 2 = 0; (a) A reta tangente em (1,1,9) e na direção do eixo 0y, é uma reta que pertence ao plano x = 1 e tem como coeficiente angular fy(1,1) = − 2 + 2 = 0. EQUAÇÕES DAS RETAS TANGENTES (a) A equação da reta t1, tangente ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e parale-la ao plano x0z, é dada por:
Na forma simétrica x x z z
f x yy y
x
−=
−
=
0 0
0 0
0
1 ( , )
ou, na forma paramétrica x xy yz z f x yx
= +== +
0
0
0 0 0
λ
λ
( , ).
(b) A equação da reta t2, tangente ao gráfico de z = f x y( , ) , no ponto T = (x0,y0,z0) e parale-la ao plano y0z, é dada por:
Na forma simétrica y y z z
f x yx x
y
−=
−
=
0 0
0 0
0
1 ( , )
ou, na forma paramétrica x xy yz z f x yy
== += +
0
0
0 0 0
λ
λ ( , ).
Exemplo: Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de z = 7 − x2 − y2 + 2x + 2y, (a) no ponto (2,3,4); (b) no ponto (1,1,9). Sol.: Considerando os resultados do exemplo anterior, isto é, fx(2,3) = −2; fy(2,3) = −4; fx(1,1) = 0 = fy(1,1), temos que:
(a) Paralela ao plano x0z é xyz
= = =
234 2
+
−
λ
λ e, paralela ao plano y0z é
xyz
= = =
234 4+−
λλ
(b) Paralela ao plano x0z é xyz
== =
119
+
λ e, paralela ao plano y0z é
xyz
= 1 = 1+= 9
λ
PLANO TANGENTE − RETA NORMAL As retas tangentes t1 e t2, se interceptam no ponto T = (x0,y0,z0). Logo, determinam um plano que passa por T e que contém as retas t1 e t2. Este plano é o plano tangente ao gráfico de z = f x y z( , , ) , no ponto T. Sua equação geral é dada por z - z0 = fx(x0,y0)(x− x0) + fy(x0,y0)(y− y0) cujo vetor normal é r r rn v v= 1 2× , em que rv1 é o vetor diretor de t1 e, rv 2 é o vetor diretor de t2. Isto é,
r r r
r r r
r r rn v v
i j ki j k= 1 2 0
0
0 01 00 1
× = = − − +f Pf P
f P f Px
y
x y( )( )
( ) ( ) ou, r r r rn i j k= + −f P f Px y( ) ( )0 0 .
Obs.: Para P = (x0 + ∆x, y0 +∆y) pertencente a uma vizinhança de P0, o valor de z = f x y( , ) , isto é, o valor de f(P) = f(x0 + ∆x, y0 +∆y) pode ser calculado, aproximadamente, sobre o plano tangente. Ou seja, vale que z = f(x0 + ∆x, y0 +∆y) ≅ zplano. A reta normal ao gráfico de z = f x y( , ) no ponto T = (x0,y0,z0), tem como vetor diretor o
vetor rn . Logo, suas equações paramétricas são x x f x yy y f x yz z
x
y
= −= −= +
0 0 0
0 0 0
0
λλλ
( , )( , )
e, as equações simétricas são
x xf x y
y yf x y
z zx y
−−
=−
−= −
0
0 0
0
0 00( , ) ( , )
.
Exemplo: Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função z = 7 − x2 − y2 + 2x + 2y nos pontos: (a) (2,3,4) (b) (1,1,9) Sol.: (a) Considerando os resultados dos exemplos anteriores, isto é, que fx(2,3) = −2,
fy(2,3) = − 4 e que rv1 = (1,0,−2) e rv 2 = (0,1,−4 ), temos que: r r r
r r r
n v vi j k
1 2= =× −−
1 0 20 1 4
= 2ri + 4
rj +
rk é o vetor normal ao plano tangente. A equação do plano tangente é 2x + 4y + z + d = 0. Como o ponto (2,3,4) pertence ao plano, 2.2 + 4.3 + 4 + d = 0, ou, d = −20. Logo, a equação do plano tan-gente é 2x + 4y − z −20 = 0. Se usarmos a equação envolvendo as derivadas parciais, temos que: z − 4 = −2(x − 2) − 4(y − 3) ou que 2x + 4y + z −20 = 0.
A equação simétrica da reta normal é x y
z− −
−
22
34
4= = e, as paramétricas são
xyz
===
2 23 44
+++
λλλ
.
(b) Considerando os resultados do exemplo anterior, isto é, fx(1,1) = fy(1,1) = 0, e que
rv1 = (1,0,0) e rv 2 = (0,1,0), temos que: r r r
r r r
n v vi j k
= =1 2 1 0 00 1 0
× = 0ri + 0
rj −
rk é o vetor normal ao
plano tangente. A equação do plano tangente é: − z + d = 0. Como o ponto (1,1,9) pertence ao plano tangente, −9 + d = 0 ou que, d = 9. Logo, a equação do plano tangente é z −9 = 0 ou z = 9. Se usarmos a equação envolvendo as derivadas parciais, temos que, z − 9 = 0(x −1) + 0(y −1) ou que z − 9 = 0.
As equações simétricas e paramétricas da reta normal são idênticas e valem
+ λ9=0=0=
zyx
.
1.2) TAXA DE VARIAÇÃO Vimos que não existe a derivada total de z = f x y( , ) , no ponto P0 = (x0,y0) e, em relação a x e a y, simultaneamente. Mas, podemos avaliar as variações de z em relação a x e, em relação a y, em separado. Isto é: (a) Em relação a x: A taxa de variação média de z = f x y( , ) entre os pontos P0 = (x0,y0) e
P = (x0 + ∆x,y0), isto é, na direção do vetor P P0
→ ou, do eixo 0x, é dada por
∆∆ ∆
∆∆
zx
f P f Px
f x x y f x yx
= =( ) ( ) ( , ) ( , )− + −0 0 0 0 0 .
A taxa de variação instantânea ou apenas taxa de variação de z = f x y( , ) , no ponto P0 e na direção positiva do eixo 0x, é dada por
lim( ) ( )
lim( , ) ( , )
( , ) ( )∆ ∆∆
∆∆x x x
f P f Px
f x x y f x yx
f x yzx
P→ →
− + −0
0
0
0 0 0 00 0 0= = =
∂∂
ou seja, a derivada parcial de z = f x y( , ) , em relação a x, no ponto P0 = (x0,y0), indica a variação de z por unidade de variação de x, na direção positiva do eixo 0x, a partir de P0 = (x0,y0). Analogamente: (b) Em relação a y: A taxa de variação média de z = f x y( , ) entre os pontos P0 = (x0,y0) e
P = (x0,y0 +∆y), isto é, na direção do vetor P P0
→ ou, do eixo 0y, é dada por
∆∆ ∆
∆∆
zy
f P f Py
f x y y f x yy
= =( ) ( ) ( , ) ( , )− + −0 0 0 0 0 .
A taxa de variação instantânea ou apenas taxa de variação de z = f x y( , ) , no ponto P0 e na direção positiva do eixo 0y, é dada por
lim( ) ( )
lim( , ) ( , )
( , ) ( )∆ ∆∆
∆∆y y y
f P f Py
f x y y f x yy
f x yzy
P→ →
− + −0
0
0
0 0 0 00 0 0= = =
∂∂
ou seja, a derivada parcial de z = f x y( , ) , em relação a y, no ponto P0 = (x0,y0), indica a variação de z por unidade de variação de y, na direção positiva do eixo 0y, a partir de P0 = (x0,y0). Exemplo: 1) A temperatura do ponto (x,y) de uma placa metálica plana é dada por T(x,y) = 40 − 43 2 42 2− −x y (T em 0C, x e y em cm) (a) Determine a temperatura no ponto (3,2) e a equação da isoterma que passa por este ponto; (b) Qual é a taxa de variação da temperatura em relação a x e a y? (c) Qual é a temperatura aproximada dos pontos (4,2); (3,3); (2,2) e (3,1)? Sol.: (a) T(3,2) = 40 − 43 2 3 4 22 2− −( ) ( ) = 40 −3 = 37 0C A isoterma que passa pelo ponto (3,2) é a equação de todos os pontos que tem temperatu-ra 37 0C, isto é, a curva de nível T(x,y) = 37 . Substituindo e desenvolvendo obtemos: 40 − 43 2 42 2− −x y = 37 ou (3)2 = 43 − 2x2 − 4y2 ou 2x2 + 4y2 = 34. (b) (i) Em relação a x:
∂∂Tx
= Tx(x,y) = −−
− −
42 43 2 42 2
xx y
= 2
43 2 42 2
xx y− −
e, no ponto (3,2),
∂∂
Tx
Tx
( , )( , )
3 23 2= =
2(3)9
= 63
= 2 0C/cm. (Temperatura aumenta de 20C por cm)
(ii) Em relação a y:
∂∂Ty
T x yy
x yy= =( , ) −
−
− −
82 43 2 42 2
= 4
43 2 42 2
yx y− −
e, no ponto (3,2),
∂∂
Ty
Ty
( , )( , )
( )3 23 2
4 29
= = =83
≅ 2,66 0C/cm. (Temperatura aumenta de 2,660C por cm)
(c) Os valores aproximados das temperaturas são: T(4,2) ≅ 370C + 20C.1cm = 370C + 20C = 390C T(3,3) ≅ 370C + 2,660C.1cm = 370C + 2,660C = 39,660C T(2,2) ≅ 370C + 20C.(−1)cm = 370C − 20C = 370C T(3,1) ≅ 370C + 20C.(−1)cm = 370C − 2,660C = 36,340C. 2) DA FUNÇÃO w = f(x,y,z) Vimos que esta função não tem representação geométrica (gráfico). Logo, só pode-mos interpretar suas derivadas parciais através da taxa de variação. Isto é: (a) Em relação a x: A taxa de variação média da função w = f x y z( , , ) entre os pontos P0 = (x0,y0,z0) e
P =(x0 + ∆x,y0,z0) é dada por ∆∆
∆∆
wx
f x x y z f x y zx
=+ −( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0 . Logo, a taxa de variação
instantânea ou apenas taxa de variação de w = f x y z( , , ) , a partir de P0 e na direção de P0 a P, isto é, na direção positiva do eixo 0x, é dada por
lim( , , ) ( , , )
( , , )∆
∆∆x x
f x x y z f x y zx
f x y z→
+ −0
0 0 0 0 0 00 0 0=
que indica o quanto varia w por unidade de variação de x, a partir de P0, na direção positiva do eixo 0x. (b) Analogamente, a derivada parcial de w = f x y z( , , ) no ponto P0 e em relação a y, indica a taxa de variação de w por unidade de variação de y, a partir de P0, na direção positiva do eixo 0y e, (c) A derivada parcial de w = f x y z( , , ) , no ponto P0 e em relação a z, indica a taxa de vari-ação de w em relação a variação de z, a partir do ponto P0 e, na direção positiva do eixo 0z. GENERALIZAÇÃO Para w = f(x1,x2, . . ., xn), interpretamos cada derivada parcial como sendo a taxa de varia-ção de w por unidade de variação da respectiva variável xi, i = 1,2, ..., n, a partir do ponto P0 e na direção positiva do eixo xi. Exemplo: 1) O volume de um tronco de cone reto, com altura h, raio da base (maior) R e raio menor r,
é dado pela função V(h,r,R) = π3
2 2h r rR R( )+ + (V em unidades de volume e h,r,R em unidades
lineares) Em um determinado instante temos um tronco de cone de dimensões h = 10 cm, r = 2 cm e R = 5 cm. (a) Qual é o volume tronco do cone? (b) Se variarmos só a altura, qual é a variação do volume? (c) Se variarmos só o raio menor, qual é a variação do volume? (d) Qual é a variação do volume em relação ao raio da base? Sol.:
(a) O volume do tronco do cone é V = =π
π3
10 4 10 25 130( )+ + cm3.
(b) ∂∂
πVh
V h r R r rR Rh= =( , , ) ( )3
2 2+ + e Vh(10,2,5) = 13π cm3/cm.
(c) ∂∂
πVr
V h r R h r Rr= =( , , ) ( )3
2 + e Vr(10,2,5) = 30π cm3/cm.
(d) ∂∂
πVR
V h r R h r RR= =( , , ) ( )3
2+ e VR(10,2,5) = 40π cm3/cm.
2) O potencial elétrico dos pontos (x,y,z) de uma região do espaço é dado por V x y z x y z( , , ) ln= 2 2 2+ + (V em volts; x,y e z em cm) (a) Determine o potencial elétrico do ponto (1,2,2); (b) Qual é a superfície equipotencial que passa pelo ponto (1,2,2)? (c) Quais são as taxas de variação do potencial V, no ponto (1,2,2), em relação as variações de x, y e z? Sol.: (a) V ( , , ) ln1 2 2 1 2 22 2 2= + + = ln3 = 1,0986 volts. (b) A equação da superfície equipotencial é dada por V(x,y,z) = ln3 (é uma superfície de ní-vel)
Substituindo e desenvolvendo, ln x y z2 2 2+ + = ln3 ou x2 + y2 + z2 = 32 , isto é, to-dos os pontos que pertencem à esfera de centro na origem e raio 3 têm o mesmo potencial elétrico e ln3 volts. (c) As taxas de variação são dadas pelas derivadas parciais no ponto (1,2,2), isto ë: (i) Em relação a x:
∂∂Vx
V x y z
xx y z
x y zx
x y zx= = =( , , )
22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
+ +
+ + + + e Vx(1,2,2) =
11 2 2
192 2 2+ +
=
volts/cm. (ii) Em relação a y:
∂∂Vy
V x y z
yx y z
x y zy
x y zy= = =( , , )
22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
+ +
+ + + + e Vy(1,2,2) =
21 2 2
292 2 2+ +
= volts/cm.
(iii) Em relação a z:
∂∂Vz
V x y z
zx y z
x y zz
x y zz= = =( , , )
22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
+ +
+ + + + e Vz(1,2,2) =
21 2 2
292 2 2+ +
= volts/cm.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcular as derivadas parciais de terceira ordem das seguintes funções: a) f x y( , ) = x4 + 5y3 + 3x2y + 8xy b) f x y( , ) = x3cosy + 4y2senx c) f x y( , ) = ln(x + y) d) z = x3e5y e) z = cos(3x + 5y) f) z = ln(x2 + y) g) z = excosy h) z = exseny
i) z x yyx
= arctg( )2 2+ j) z = lnx x y
x x y
− −
+ −
2 2
2 2
2) Calcular as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
a) z = arcseny
x 2 b) w = xy + yz + zx
c) z = xaybzc d) w = x y z2 2 2+ +
3) Verifique se ∂∂ ∂
∂∂ ∂
2 2zx y
zy x
= para:
a) z = arcsenx y
x−
b) z = 2 2xy y+
c) z = arctgx y
xy+−1
d) z = xy
4) a) Mostre que para a função f x y xyx yx y
x y
x y( , ) , ( , ) ( , )
( , ) ( , )=
−+
≠
=
2 2
2 2 0 0
0 0 0
se
se , temos fxy(0,0) = −1 e
fyx(0,0) = 1;
b) Dada a função z = ye x2
, calcular ∂
∂ ∂
4
2 2
zx y
;
c) Mostre que a função z = x3 − 2xy2 verifica a equação xz
xy
zy x
zx
∂∂
∂∂ ∂
∂∂
2
2
2
2+ = ;
d) Mostre que a função z = xyx
yx
+ verifica a equação xz
xxy
zx y
yz
y2
2
2
22
2
22 0∂∂
∂∂ ∂
∂∂
+ + = ;
e) Mostre que a função z = tg(y + kx) + (y − kx)3/2 verifica a equação da corda vibrante, ∂∂
∂∂
2
22
2
2
zx
kz
y= ;
f) Quando dois resistores de resistências R1 ohms e R2 ohms são conectados em paralelo, sua re-
sistência combinada R em ohms é RR R
R R= 1 2
1 2+. Mostre que
∂∂
∂∂
2
12
2
22
2
1 24
4RR
RR
RR R
=( )+
5) Se f x y( , ) admite derivadas parciais de segunda ordem, chama-se Laplaciano de f à função:
r∇ = +2
2
2
2
2f x yf
xx y
fy
x y( , ) ( , ) ( , )∂∂
∂∂
Calcule r∇2 f x y( , ) para as seguintes funções:
a) f x y( , ) = x4 − y4 b) f x y( , ) = sen(x2 − y2) c) f x y( , ) = 1
2 2x y+
d) f x y( , ) = 2
2 2
xx y+
e) f x y( , ) = arctgyx
f) f x y( , ) = excosy
6) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva intersecção do gráfico de z = 10 22 2− −x y com o plano y = 1 no ponto em que x = 2.
7) Dada a função f x y yx y
( , ) = 22 2
1+
+, pede-se determinar:
a) O domínio de f; b) As derivadas parciais fx(3,4) e fy(3,4); c) O coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 no ponto em que y = 4. 8) Determine a equação do plano tangente e da reta normal às seguintes superfícies: a) z = x2 − 4y2, no ponto P0 = (5,−2) b) z = x2 + y2 , no ponto P0 = (3,4) c) z = x2 + y2 − 4x − 6y + 9, no ponto em que o plano tangente é paralelo ao plano x0y. 9) Através da equação do plano tangente, encontre um valor aproximado para: a) (1,02)3(0,97)2 b) (0,998)31,003 c) ( , ) ( , )4 05 2 932 2+
d) 8 002 3 9623 3, , e) 24 93681 082
,,
f) 36 24, tg44040’
10) Um ponto move-se ao longo da intersecção do parabolóide elíptico z = x2 + 3y2 e o plano x = 2. A que taxa está z variando em relação a x quando o ponto está em (2,1,7)?
11) Um ponto move-se ao longo da intersecção do plano y = 3 e superfície z x y= 29 2 2− − . Qual é a taxa de variação de z em relação a x e em relação a y quando o ponto está em (4,3,3)? 12) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa metálica plano é dada por T x y x y( , ) = 30 50 2 2+ − − . (T em 0C, x e y em cm) a) Determine o domínio de T(x,y) e a temperatura no ponto (3,4); b) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (3,4) e a represente no plano x0y; c) Se a partir do ponto (3,4) um formiga caminhar na direção do eixo 0x, sentido positivo, a temperatura aumentará ou diminuirá? De quantos graus por centímetro aproximadamente? 13) Em uma livraria, o lucro mensal L é uma função do número de vendedores, x, e do capital inves-tido em livros, y, (y em milhares de reais). Em uma certa época tem-se: L(x,y) = 400 − (12 − x)2 − (40 − y)2. a) Calcule o lucro diário se a empresa tem 7 vendedores e 30 mil reais investidos;
b) Calcule ∂∂
∂∂
Lx
Ly
( , ) ( , )7 30 7 30 e ;
c) O que é mais lucrativo, a partir da situação do item (a): − aumentar de uma unidade o número de vendedores, mantendo o capital investido; − ou investir mais 1 mil reais, mantendo o número de vendedores? 14) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa é dada por T(x,y) = 2x2 + 3y2 + 15, (T em 0C, x e y em cm). a) Determine a equação da isoterma que passa por (1,2); b) Se a partir do ponto (1,2) nos movermos no sentido positivo do eixo 0x, a temperatura aumenta ou diminui? De quantos 0C por cm, aproximadamente? c) Em que ponto (a,b) a temperatura vale 45 0C, sendo a taxa de variação da temperatura em relação à distância percorrida na direção do eixo 0y, sentido positivo, igual a 12 0C/cm? (considere a e b positivos). 15) Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um produto B, sendo o custo mensal da produção conjunta dado por C x y x y( , ) .= + +20 000 2 2 (C em reais). Em um certo mês, foram produzidas 3.000 unidades de A e 2.000 unidades de B. a) Calcule o custo da produção neste mês;
b) Calcule ∂∂
∂∂
Cx
Cy
e ;
c) O que é mais conveniente, a partir desta situação: aumentar a produção de A mantendo constante a de B, ou aumentar a de B mantendo constante a de A? Justifique com base nos resultados de (b). 16) A superfície de um lago é representada por uma região D no plano x0y, de modo que a profundi-dade sob o ponto (x,y) é dada por f x y( , ) = 300 − 2x2 − 3y2, (unidades em metros). Se um esquiador aquático está na água no ponto (4,9), ache a taxa de variação da profundidade na direção leste e na direção norte.
17) O potencial elétrico V no ponto (x,y,z) é dado por V x y zx y z
( , , ) =+ +100
2 2 2 (V em volts, x, y e z
em cm). Ache a taxa de variação de V, no ponto (2,−1,1) na direção: a) do eixo 0x b) do eixo 0y c) do eixo 0z
18) A análise de certos circuitos elétricos envolve a fórmula IV
R L=
+2 2 2ω, em que I é a corrente,
V a voltagem, R a resistência, L a indutância e ω uma constante positiva. Ache e interprete ∂∂
IR
e
∂∂
IL
.
19) A resistência R ohms de um circuito elétrico é dada pela fórmula REI
= , em que I é a corrente
em ampères e E é a força eletromotriz em volts. Calcule e interprete o significado de ∂∂
∂∂
RI
RE
e
quando I = 15 ampères e E = 110 volts. 20) A maioria dos computadores tem apenas um processador que pode ser utilizado para cálculos. Os supercomputadores modernos, entretanto, têm entre dois e vários milhares de processadores. Um supercomputador multiprocessador é comparado a um computador uniprocessador em termos de speedup. A speedup S é o número de vezes mais rápido que um cálculo pode ser feito com um mul-tiprocessador, do que com um uniprocessador. A lei de Amdahl é uma fórmula usada para determi-nar S
S p qp
q p q( , )
( )=
+ −1
em que p é o número de processadores e q é a fração do cálculo que pode ser realizada utilizando todos os processadores disponíveis em paralelo − isto é, usando-os de maneira que os dados sejam processados concomitantemente por unidades separadas. A situação ideal, paralelismo completo, ocorre quando q = 1. a) Se q = 0,8, ache a speedup quando p = 10; 100 e 1.000. Mostre que a speedup S não pode exceder a 5, independente do número de processadores disponíveis. b) Ache a taxa instantânea de variação de S em relação a q. c) Qual a taxa de variação em (b) se há paralelismo completo, e como o número de processa-dores afeta esta taxa de variação? d) A eficiência E de um cálculo por multiprocessador pode ser calculada pela equação:
E p qS p q
p( , )
( , )=
Mostre que, se 0 ≤ q < 1, E(p,q) é uma função decrescente de p e, portanto, sem paralelismo com-pleto, o aumento de número de processadores não aumenta a eficiência do cálculo. 21) No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura T no instante t horas e à pro-fundidade x pode ser dada, aproximadamente, por T x t T e t xx( , ) sen( )= −−
0λ ω λ
em que T0, ω e λ são constantes. O período de sen(ωt − λx) é 24 horas.
a) Calcule e interprete ∂∂
∂∂
Tx
Tt
e .
b) Mostre que T verifica a equação unidimensional do calor ∂∂
∂∂
Tt
kT
x=
2
2 em que k é uma
constante. 22) A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inala-ção de ar. Para um indivíduo do sexo masculino com x anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproximada pela fórmula V(x,y) = 27,63y − 0,112xy.
Calcule e interprete o significado de ∂∂
∂∂
Vx
Vy
e .
23) Em um dia claro, a intensidade de luz solar (em velas-pé) às t horas após o nascente e à profun-
didade oceânica de x metros, pode ser aproximada por: I x t I et
Dkx( , ) sen ( )= −
03 π
em que I0 é a
intensidade de luz ao meio-dia, D é a extensão do dia (em horas) e k é uma constante positiva. Se
I0 = 1.000, D = 12 e k = 0,1, calcule e interprete ∂∂
∂∂
It
Ix
e quando t = 6 e x = 5.
24) O volume V de um cone circular reto é dado por V x y x=π24
42 2 2− em que y é o compri-
mento da geratriz e x é o diâmetro da base. Encontre a taxa de variação do volume em relação à ge-ratriz e do volume em relação ao diâmetro quando x = 16 cm e y = 10 cm.