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3. Derivadas Parciais
Cálculo II
Derivadas de Funções de 2 Variáveis
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y), sua derivada em relação a x é
Significado matemático
xyxfyxxfyxf xx
),(),(lim),( 0
yyxfyyxfyxf yy
),(),(lim),( 0
1) Derivada parcial em x:
2) Derivada parcial em y:
Nomenclatura
• Seja z = f(x,y), então a derivada parcial de z em relação a x escreve-se:
xx Dxfyxf
),(
Interpretação Geométrica da Derivada Parcial
Significado geométrico
Eixo horizontal no plano y = yo
A curva z = f (x, y0)no plano y = yo
Reta tangente
Eixo vertical no plano y = yo
Significado geométrico
Eixo vertical no plano x = xo
Reta tangente
A curva z = f (x, y0)no plano x = xo
Eixo horizontal no plano x = xo
Significado geométrico
A curva z = f (x, y0)no plano y = yo
Esta reta tangente tem coeficiente angular fy (x0, y0)
A curva z = f (x, y0)no plano x = xo
Esta reta tangente tem coeficiente angular fx (x0, y0)
A Técnica de Derivadas Parciais
A Técnica de Derivadas Parciais
Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis
Ex.5
A Técnica de Derivadas Parciais
Exercícios propostos
Exemplos
),,( ),,(etermine ,643),,( )1
31
322322
zyxfezyx fdxyzyxzyxzyxfSe
Derivada em relação a x
Derivada em relação a z
323321 686),,( yzyxzxyzyxf
224223 49),,( yxzyxzyxf
Exemplos
),,( ),,(etermine ),5()4(cot)(),,( )1
23
3222
zyxfezyx fdzxysenzygzxtgzyxfSe
Derivada em relação a z Derivada em relação a y
332222223 5)5cos(24)4(cos)(sec),,( xyzxyzyzyeczxzyxf
2322222 15)5cos(8)4(cos),,( zxyzxyyzzyeczyxf
Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis
Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis
Exercícios
yxxyyx ffffacharxxyyxfSe ,,, ,),( )1 32
zyx fffachar
zyxxxyzyxfSe
,,
,..2),,( )2 22
Tabela de Derivadas
Tabela de Derivadas