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DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Prof. Luis Martínez Catalán Prof. Luis Martínez Catalán 20082008
DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICASDERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
TEOREMA:TEOREMA:Si la función tiene derivada en “a”;entonces, es
continua en “a”f f
Nota: 1) El recíproco del teorema anterior, no siempre es válido, es decir, una función continua en un punto no implica que tenga derivada en el punto.
2) Una función es diferenciable en si tiene derivada en ese punto y es única.
0xx
3) Una función es diferenciable en un intervalo cerrado , si
tiene derivada en cada punto del intervalo abierto
bxa
bxa
FORMULAS DE DERIVACIONFORMULAS DE DERIVACION
Derivación es el proceso de hallar la derivación de una función diferenciable
- Derivada de la función CONSTANTE
ctec ;cxfySí )(-
Entonces, )(xf 0)(
dx
cd
- Derivada de la función POLINOMIAL
Una expresión de la forma
donde es un entero positivo y los coeficientes
son números. Se llama polinomio en x
012
21
1)( axaxaxaxaxP nn
nn
nn
n0121 ,,...,, aaaaa nnn
El grado de un polinomio es el de la mayor potencia en el polinomio.
Una expresión del tipo , con , que puede escribirse
como el cuociente de dos polinomios, se define como una función racional
en x.
)(
)(
xQ
xP0)( xQ
Si se tiene una función polinomial en que
entonces se tiene:
;0...;1 0121 aaaaa nnn
nxxfy )( y su derivada es
1)()( nn nxxfxdx
d
- Si tiene derivada entonces, , tiene
por derivada
Es decir, “la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de una función”.
- Si y tienen derivadas y si , entonces,
)()( xgxfF
,)(xf )(xf )()( xfcxg
)()( xfcxg
)(xf )(xg
)()( xgxfF
- Derivada de un producto
En general
Si )(...)()()( 321 xfxfxfxfy n
Entonces )(...)()()( 321 xfxfxfxf ndx
dy
Es decir, combinando las fórmulas anteriores podemos calcular la derivada
de cualquier función polinomial en x.
Ej: Hallar la derivada de 52723)( 245 xxxxxf
Solución:
214815)( 34 xxxxf
- Derivada de un producto
Si y y
entonces,
)(xuu )(xvv ,)()()( xvxuxf
)()()()()( xvxuxvxuxf
Ej: Hallar la derivada de )62()23()( 232 xxxxxxf
y evaluar para 2x
Solución:
)62()32()643()23()( 2322 xxxxxxxxxf
Si 4)2(2 fx
- Derivada de un cuociente
Si )(xf ,)(
)(
xv
xu 0)( xvcon
entonces, )(xf 2)(
)()()()(
xv
xvxuxuxv
Ej: Determinar la derivada de )(xf3
322
2
x
xx
Solución:
)(xf
22
2
22
2323
22
22
)3(
9123
)3(
6493124
)3(
2)32()34()3(
x
xx
x
xxxxx
x
xxxxx
)(xf
)(xf
- Si es un entero positivo, , entonces, la derivada de
es
n 0xynxxf )( 1)( nxnxf
- Si nxxfy )( n, entero positivo o negativo,
entonces,dx
dy 1)( nxnxf
Ejemplos: Derivar:
1)
612128)(
9642)(257
368
xxxxf
xxxxxf
2)
854
745
3512125)(
53112)(
xxxxf
xxxxxf
3)
4)
30308456)(
)57()66()62(7)(
)57()62()(
23
23
3
xxxxf
xxxxxf
xxxxf
52
43
833)(
23)(
xxxf
xxxxf
TEOREMA (REGLA DE LA CADENA)TEOREMA (REGLA DE LA CADENA)
Supóngase que , con , es decir, ,
y que y son derivables.
)()( ugxf )(xuu )()( xugxf g )(xu
entonces, es derivable y es válida la fórmulaf
)()()( xuugxfdx
du
du
dg
dx
df
Corolario:
Sí , entero, entonces, nxuxf )()( n 1)()( nxunxf
dx
du
Sí , con , entonces,)(ufy )(xuu dx
du
du
dy
dx
dy
En la regla de la cadena, es la variable independiente, es la variable
intermedia, e es la variable dependiente.
x u
y
La regla de la cadena, se puede extender a funciones del tipo siguiente:
Sí , con y con)(vfy )(uvv )(xuu dx
du
du
dv
dv
dy
dx
dy
Ej: Encontrar endx
dy 42 )23()( xxvfy
Solución: Nótese que si se puede escribir232 xxu 4uy
Derivando 34udu
dy , pero 232 xxu
Además, 32 xdx
du
Entonces, por la Regla de la Cadena
)32()23(4
)32(4
32
3
xxxdx
dy
xudx
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
232 xxu, pero
Ejercicios
I) Calcular los siguientes límites
1)1x
lím2
3
x
x
2)
3)
4)
5)
6)
7)
2xlím
0xlím
0hlím
hlím
1xlím
8xlím
)82(
)2(2
xx
x
x
x 55
72
332
23
h
hh
1
1
x
x
2
1
2
11
hh
8
423
x
x
2.R
6
1.R
52
1.R
4
1.
R
.R
).( 2 xyIND
).( 3 xyIND
II) Estudie la continuidad de las siguientes funciones en todo su dominio.
Redefina si es necesario.
i)
ii)
iii)
)(xf6
42
x
x
52
21
x
x,
,
)(xf2
42
x ,
, 2
2
x
x
)(xf 3
62
x
xx, Sí
, Sí
3x
5 3x
R. es continua en todo su dominio
R. es discontinua en Hay que redefinir
R. es continua en todo su dominio
f
f
f
2x
III) Obtenga la derivada de las siguientes funciones
1)x
xxy
4)(
3
2)
3)
)1()2()( 32 xxxxy
2
32)(
xxxy
R.
2
32
)4(
212
x
xx
22
2
)1(
14
xx
xxR.
32
62
xx
R.
4)52 )3()( xxy
5) )51()23()( 22 xxxy
R.
42 )3(10 xx
2
22
51
)23(5516
x
xxxx
R.