Derivacin NumricaDaniela Cando, Erik Muso, Carlos
OrtDepartamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas
Armadas-ESPESangolqu,
[email protected]@[email protected]
Abstract This paper aims to explain the method of numerical
derivation from procurement and demonstration of formulas that
determine it from the Taylor series method to translate it into
practical exercises for full understanding. Besides its
implementation is explained in Matlab as a tool for solution,
giving us results in a short time , high reliability, a brief
comparison between similar methods and formulas is also made .
Keywords: Taylor series circuits, interpolation, approximation ,
secant line, Matlab .
Resumen El presente documento tiene por objetivo explicar el
mtodo de derivacin numrica desde su obtencin y demostracin de las
frmulas que lo determinan a partir del mtodo de Series de Taylor
hasta plasmarlo en ejercicios prcticos para su total comprensin.
Adems se explica su implementacin en Matlab como herramienta de
solucin, brindndonos resultados en corto tiempo y de gran
confiabilidad, tambin se hace una breve comparacin entre mtodos y
frmulas similares.Palabras Clave: Serie de Taylor, derivacin,
interpolacin, aproximacin, secante, Matlab.
I. INTRODUCCINLa derivacin numrica es una tcnica de anlisis
numrico para calcular una aproximacin a la derivada de una funcin
en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma
Est muy vinculada a diferentes mtodos de resolucin de ecuaciones
diferenciales, tales como el mtodo de la secante, diferentes mtodos
de Newton y de igual manera de mtodos vinculados a la interpolacin
de datos como Series de Taylor y Lagrange.Se parte de la premisa:
Si de una funcin f(x) se conocen sus valores en un determinado
soporte de puntos, puede aproximarse la funcin f(x) por otra funcin
p(x) que la interpole en dicho soporte y sustituir el valor de las
derivadas de f(x) en un punto x* por el valor de las
correspondientes derivadas de p(x) en dicho punto x. Ver [1].sta
premisa debe ser analizada a fondo puesto que adems de conducirnos
a la formulacin de derivacin numrica, puede llevarnos a cometer
errores no admisibles.Para la determinacin de las frmulas de
derivacin numrica nos basaremos en el mtodo de interpolacin de
Serie de Taylor y as determinaremos las formulas hacia adelante
(progresiva), hacia atrs (regresiva) y de la centrada.II.
FUNDAMENTO TERICOPara poder realizar el anlisis de derivacin
numrica se debe tomar en cuenta la serie de Taylor, pues esta es la
base para su desarrollo. Por lo tanto se realizar una breve
explicacin acerca de esta.A. Serie de TaylorLa serie de Taylor de
una funcin f real o compleja (x) infinitamente diferenciable en el
entorno de un nmero real o complejo c es la siguiente serie de
potencias:
Que puede ser escrito de una manera ms compacta como la
siguientesumatoria:
Ec. 1 Serie de Taylor Donde:
n!es elfactorialden Denota la n-simaderivadadefpara el valorade
la variable respecto de la cual se deriva.Si c=0 se conoce como
serie de Maclaurin de f.B. Definicin Derivacin Numrica
La derivada de una funcin f(x) en un punto es el valor del
lmite, si este valor existe. Por definicin se sabe que la derivada
de una funcin f(x) est dada de la siguiente forma:
La derivacin numrica es una tcnica de anlisis numrico utilizada
para calcular una aproximacin a la derivada de una funcin en un
punto utilizando los valores y propiedades de la misma, no es
necesario conocer la expresin analtica de esta. Ver [2]
Para hallar numricamente la derivada de f(x) se considera una
aproximacin de su definicin:
es decir, la lnea secante o cuerda en dos puntos prximos.
Las aproximaciones numricas que se puede tener para h>0
sern:
i) Diferencias hacia atrs (regresivas). ii) Diferencias
centradas.iii) Diferencias hacia adelante (progresivas).
C. Diferencias hacia Atrs.
Dada una funcin continua, , se trata de aproximar numricamente
sus derivadas en un punto x. Se trabaja la serie de Taylor:
Se despeja el valor , y se obtiene la frmula hacia delante de su
aproximacin:
Se tiene un resto de primer orden O(h).
1) Primera diferencia.
2) Segunda diferencia.
Fig. 1. Grfico diferencias hacia atrs.
i) Ejemplo Prctico.
1) Utilizando las formulas atrasadas de derivacin de primer y
segundo orden, encuentre las derivadas numricas en el punto x=3,
sabiendo que y con un tamao de paso h=0.1.
Evaluando x=3 en f (x) tenemos que
Conociendo que la frmula atrasada para calcular la derivada
numrica de primer orden es:
Reemplazamos los valores en la ecuacin:
Conociendo que la frmula atrasada para calcular la derivada
numrica de segundo orden es:
Reemplazamos los valores en la ecuacin:
ii) Comprobacin con Matlab.
Fig. 2. Interfaz del programa.
Fig. 3. Ingreso de Datos
Fig. 4. Grfico con Derivada Atrasada
Fig. 5. Tabla Derivada Atrasada
D. Diferencias Centradas
Dada una funcin continua, , se trata de aproximar numricamente
sus derivadas en un punto x. Se trabaja la serie de Taylor:
Se resta las dos desigualdades y se despeja , y se obtiene la
frmula centrada:
El resto en este caso es de segundo orden O().
1) Primera diferencia.
2) Segunda diferencia.
Fig. 6. Grfico diferencias centrales.
i) Ejemplos Prcticos
1) Utilizando las formulas centradas de derivacin de segundo y
cuarto orden, encuentre las derivadas numricas en el punto x=3,
sabiendo que y con un tamao de paso h=0.1.
Evaluando x=3 en f (x) tenemos que
Conociendo que la frmula centrada para calcular la derivada
numrica de segundo orden es:
Reemplazamos los valores en la ecuacin:
Conociendo que la frmula centrada para calcular la derivada
numrica de cuarto orden es:
Reemplazamos los valores en la ecuacin:
ii) Comprobacin con Matlab
Fig. 7. Interfaz del Programa.
Fig. 8.Ingreso de datos.
Fig. 9. Grfico con Derivada Central.
Fig. 10. Tabla Derivada Central.
E. Diferencias hacia Adelante
Dada una funcin continua, , se trata de aproximar numricamente
sus derivadas en un punto x. Se trabaja la serie de Taylor:
Se despeja el valor , y se obtiene la frmula hacia delante de su
aproximacin:
Se tiene un resto de primer orden O(h).
1) Primera diferencia.
2) Segunda diferencia.
Fig. 11. Grfico diferencias hacia adelante.
i) Ejemplo Prctico
1) Utilizando las formulas adelantadas de derivacin de primer y
segundo orden, encuentre las derivadas numricas en el punto x=3,
sabiendo que y con un tamao de paso h=0.1.
Evaluando x=3 en f (x) tenemos que
Conociendo que la frmula adelantada para calcular la derivada
numrica de primer orden es:
Reemplazamos los valores en la ecuacin:
Conociendo que la frmula adelantada para calcular la derivada
numrica de segundo orden es:
Reemplazamos los valores en la ecuacin:
Se observa que al realizar la derivacin numrica adelantada con
la frmula de primer orden la aproximacin no es muy buena, por el
contrario al realizar con la frmula de segundo grado esta se acerca
mucho ms al valor real, por lo cual si queremos una mejor
aproximacin deberemos ocupar frmulas de derivacin numrica de mayor
orden.
ii) Comprobacin con Matlab
Fig. 12. Interfaz Programa.
Fig. 13. Ingreso de Datos.
Fig. 14. Grfico Derivada Adelantada.
Fig. 15. Tabla Derivada Adelantada.
F. Clculo de error
Si , donde es un intervalo que contiene los nodos , entonces se
tiene que el error cometido para la primera derivada en los nodos
se verifica la acotacin:
Dada una funcin f(x) y el valor de un punto de x, se calcula la
derivada f(x), y se la evala en el punto dado, siendo este el valor
el real, para analizar el error se aplica la derivacin numrica y se
analiza con el valor d x y el valor de tamao a paso h, y se obtendr
el valor prctico, por lo tanto la frmula de error ser la
siguiente:
III. IMPLEMENTACIN EN MATLAB
A. Comandos de Matlab
Tabla I. Comandos de Matlab.Comando DefinicinSintaxis
Ejemplo
switch
Ejecutar uno de varios grupos de declaracionesswitch(op)case
1disp(Hola )op=1Hola
fprintfEscribir datos en archivo de textoFprintf(pendiente = %f,
m)Pendiente=0.5
subsSustitucin simblica.syms absubs (a + b, a, 4)Ans=b+4
B. Diagrama de Flujo
Diagrama I. Diagrama de flujo de proceso de programacin en
Matlab
IV. MANUAL DE USUARIO
Abrir el programa Matlab R2013a. Fig. 4.
Fig. 16. Pantalla inicial de Matlab Ingresamos la opcin que
deseamos realizar.
Fig. 17. Pantalla primer paso Matlab. Ingresamos el grado de la
derivada que deseamos obtener as como la funcin, el punto donde
queremos obtener la derivada y el tamao de paso
Fig.18. Pantalla segundo paso Matlab Finalmente se presentara un
grfico que contiene la funcin y su derivada, y una tabla donde
contiene los datos de los valores y los errores.
Fig.19. Grfico de Todas las DerivadasFig.20. Tabla de Datos.V. C
ONCLUSIONES
La derivacin numrica es una tcnica utilizada para calcular un
valor aproximado a la derivada real de una funcin determinada en un
punto especfico.
No es necesario conocer la expresin analtica de la derivada
puesto que al usar los valores y propiedades de la misma, puede ser
determinada por las formulas adelantada, atrasada y centrada.
La utilizacin de las diversas frmulas depender del tipo de
aproximacin que se requiere, siendo la centrada la que ms se
aproxima a la derivada real evaluada.
Si se requiere una mejor aproximacin es necesario aplicar las
frmulas adelantadas de mayor grado, donde se determina que a partir
del grado 3 de las frmulas el error cometido es mnimo.
Es por esto que las frmulas de derivacin numrica de orden mayor
son ms confiables, al permitirnos obtener un valor bastante
aproximado al valor de la derivada real evaluada en el punto
deseado.VI. MTODOS SIMILARESTabla II. Tabla de mtodos
similaresMtodoDescripcin
Lmite del Cociente IncrementalSe elige una sucesin tal que y se
calcula el lmite de la sucesin
para
Diferencias CentradasSon frmulas de aproximacin a que requieren
que la funcin se pueda evaluar en abscisas situadas simtricamente a
ambos lados del punto .
Diferencias progresivas y regresivasLas frmulas que utilizan
abscisas equidistantes que estn todas a derecha (o izquierda) de se
llamanFrmulas de Diferencias Progresivas(o regresiva).
Derivada del Polinomio Interpolar de NewtonSe utiliza cuando se
trata de derivar una funcin de la que se conocen slo unos datos. En
especial cuando esos datos estn desigualmente espaciados.
REFERENCIAS[1] Chapra, S., & Canale, R. (1999). Metodos
Numericos para Ingenieria. 5ta Edicion.[2] Annimo. Diferenciacin e
Integracin Numrica. Recuperado el 24 de Enero de 2015, de:
https://cursos.aiu.edu/Metodos%20Numericos/PDF/Tema%204.pdfBIBLIOGRAFAChapra,
S., & Canale, R. (1999). Metodos Numericos para Ingenieria. 5ta
EdicionAnnimo, (2009). Derivacin e Integracin Numrica. Recuperado
el 24 de Enero de 2015, de:
http://exa.unne.edu.ar/matematica/metodos/5-3-material-teorico/tema_Dif_Integracion_2009.pdfAnnimo.
Diferenciacin e Integracin Numrica. Recuperado el 24 de Enero de
2015, de:
https://cursos.aiu.edu/Metodos%20Numericos/PDF/Tema%204.pdfAnnimo.
Derivacin Numrica. Recuperado el 24 de Enero de 2015, de:
http://disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/MeNuCl05.pdfHernandez,
H., & Nuez, L. (2006). Matematica avanzada para ingenieros.
Madrid: Saavedra.
Derivacin Numrica
1) D. N. F. Atrasada2) D. N. F. Centradas3) D. N. F.
Adelantadas
Introducir funcin f(x)
Ingrese el valor de x donde quiere encontrar la derivada
1. Primera derivada2. Segunda Derivada3. Tercera Derivada
