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Universidad Nacional de Tucumán
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y TECNOLOGIA
8
MAGISTER EN
METODOS
NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES
EN INGENIERIA
MATEMATICA
NUMERICA
OBJETIVOS
Aprender a usar Matlab para resolverproblemas que involucren el cálculo de
derivadas e integrales
Familiarizarse con los métodos numéricos dediferenciación numérica y de resolución deintegrales en una variable o más variables
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MP
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LE
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N IN
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NIE
RIA
Tema 8Derivación e integración de funciones
v
t
Diferenciación numérica de datos: diferenciasfinitas, uso de fórmulas de interpolación. Estimaciónde derivadas parciales. Integración numérica:planteo general. Integración de datos igualmenteespaciados, fórmulas de Newton-Cotes, aplicaciónmúltiple de las fórmulas de Newton-Cotes,estimación del error de truncación. Extrapolación deRichardson, algoritmo de Romberg. Cuadraturas deGauss. Integración de datos no equi-espaciados.Integrales impropias. Métodos adaptivos de cua-dratura. Integrales múltiples. Funciones de Matlab.
TEMAS
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Tema 8Derivación e integración de funciones
v
t
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DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
dv
dt
v
ta
tdt
dva
v
t
b
avdty
y
Diferenciación Integración
La diferenciación es una operación inherentemente afectada por la naturaleza ruidosa de la función, mientras que la integración es todo lo contrario.
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DERIVACIÓN DE FUNCIONES
La forma “natural” de pensar en el cálculo numérico de la derivada es aplicar la definición:
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APROXIMACIÓN DE DERIVADAS
Diferencia hacia adelante.
O(h)h
)f(x)f(x)(xf' i1i
i
Diferencia hacia atrás
O(h)h
)f(x)f(x)(xf' 1ii
i
Aplicando el Teorema de Taylor y truncando a partir del término de la segunda derivada
i1i
xx
3
33
xx
2
22
xx
i1i
xxh
dx
fd
3!
h
dx
fd
2!
h
dx
dfhxfxf
iii
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APROXIMACIÓN DE DERIVADAS
Se puede aumentar la precisión tomando más términos en la serie de Taylor
n
ni
(n)3i
(3)2i
ii1i Rhn!
)(xf...h
3!
)(xfh
2!
)(x'f')h(xf')f(x)f(x
h
Rh
n!
)(xf...h
3!
)(xfh
2!
)(x'f'
h
)f(x)f(x)(xf' n1ni
(n)2i
(3)
ii1ii
con lo que se obtiene precisión de 2do orden
...h3!
)(xf
2h
)3f(x)4f(x)f(x)(xf'
2i
(3)
i1i2ii
donde f’’(x) es reemplazada por
)O(hh
)f(x)2f(x)f(x)(x'f'
2
2
1i1i2ii
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APROXIMACIÓN DE DERIVADAS
)x(f
i-2 i-1 i i+1 i+2
Curva parabólica
)O(h 2h
xfx4fx3fxf
2i1i2ii
Diferencia
hacia adelante
)O(h 2h
xfx4fx3fxf
22-i-1iii
Diferencia hacia atrás
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APROXIMACIÓN DE DERIVADAS
La mejora de precisión con Diferencias
centradas resulta evidente en forma
gráfica.
)O(h2h
)f(x)f(x)(xf' 1i1i
i
2
Otra alternativa para acrecentar la precisión es emplear la Extrapolación de Richardson.
Para demostrar, reste m. a m. las expansiones
de f(xi+1) y f(xi-1)
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APROXIMACIÓN DE DERIVADAS
Para encontrar las derivadas de orden 2, se usa la expansión de Taylor y por suma se eliminan los términos en los que aparece la derivada primera.
xf3!
h xf
2!
h xfh xf xf
xf xf
xf3!
h xf
2!
h xfh xf xf
i
3
i
2
ii-1i
ii
i
3
i
2
ii1i
(A)
(B)
(C)
Haciendo (A)-2 (B) + (C) y dividiendo en h2 resulta :
)O(h h
xfx2fxfxf
2
2
-1ii1ii
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APROXIMACIÓN DE DERIVADAS
Fórmulas con Diferencias Laterales
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APROXIMACIÓN DE DERIVADAS
Fórmulas con Diferencias Centrales
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APROXIMACIÓN DE DERIVADASDatos no equiespaciados
Introduciendo:
Las diferencias hacia atrás y hacia adelante:
i1i1i
1iii
xxΔx
xxΔx
'f'2
Δx
Δx
)f(x)f(x)(xf' i
i
1iii
'f'
2
Δx
Δx
)f(x)f(x)(xf' 1i
1i
i1ii
Combinando las fórmulas anteriores :
''f'6
ΔxΔx)f(x)f(x
Δx
Δx)f(x)f(x
Δx
Δx
ΔxΔx
1)(xf' 1ii
1ii
i
1ii1i
1i
i
1ii
i
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APROXIMACIÓN DE DERIVADASDatos no equiespaciados
Una alternativa sería usar las fórmulas de interpolación
de Lagrange. Considerando tres puntos xi-1, xi y xi+1,la función de 2do.orden sería:
1i
1i1ii1i
i1ii
1ii1ii
1i1i1i
1i1ii1i
1ii
1i1iii1i1i
yxxxx
xxxxy
xxxx
xxxxy
xxxx
xxxx
yxLyxLyxLxf
)x)(xx(x
xx2x)f(x
)x)(xx(x
xx2x)f(x
)x)(xx(x
xx2x)f(x(x)f'
i1i1i1i
i1i1i
1ii1ii
1i1ii
1i1ii1i
1ii1i
Y la derivada resulta para cualquier x en el
intervalo [xi-1,xi+1]:
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APROXIMACIÓN DE DERIVADASFunción de Interpolación de Lagrange
Al usar la Función de Interpolación, la expresión es aplicable tanto a datos equi-espaciados tanto como a los no equi-espaciados.
Para datos equi-espaciados vale:
Diferenciado una vez más, se tiene:
que es la expresión obtenida anteriormente
1i2
i1ii2
1i1i1i2
1ii y2h
xx2xy
h
xx2xy
2h
xx2xxf
2
1ii1i1i2i21i2
h
y2yyy
h
1y
h
2y
h
1xf
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DERIVADAS PARCIALES
Para evaluar derivadas parciales se hace una extensión directa de las fórmulas de una variable.
(i-2, j) (i-1, j) (i, j) (i+1, j) (i+2, j)
(i, j+1)
(i, j+2)
(i, j-1)
(i, j-2)
(i+1, j+1)(i-1, j+1)
(i-1, j-1) (i+1, j-1)
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DERIVADAS PARCIALES
121 h
1
x
uu
101 h2
1
x
u u
22
2
xx
x
(i-2, j) (i-1, j) (i, j) (i+1, j) (i+2, j)
(i, j+1)
(i, j+2)
(i, j-1)
(i, j-2)
(i+1, j+1)(i-1, j+1)
(i-1, j-1) (i+1, j-1)
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DERIVADAS PARCIALES
Por ejemplo para evaluar el Laplaciano:
1
|
141
|
1
h
1
uuu
2
yyxx
2
i-1 i i+1
j+1
j
j-1
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DERIVADAS PARCIALES
La derivada cruzada:
i-1 i i+1
j+1
j
j-1
101
|||
000
|||
101
h4
1u
2xy
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DERIVADAS PARCIALES
Diversas fórmulas dedistintos órdenes puedenconseguirse en:
Abramowitz and Stegun.Handbook of Mathematical Functions
Disponible on line en: http://mintaka.sdsu.edu/faculty/wfw/ABRAMOWITZ-STEGUN/toc.htm
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA DE FUNCIONES
b
af(x)dxI
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
NUMERICA
A partir de datos discretos de f(x)
A partir de la función f(x)
Se trata de encontrar:
b
af(x)dxI
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA DE FUNCIONES
A partir de datos discretos de f(x)
La idea es remplazar una función complicada con otra aproximada que sea más fácil de integrar.
)( (x)dxfdxxfIb
an
b
a
Se aproxima f(x) por una línea recta (n=1) pasando a través de (a, f(a)) y (b, f(b)), o por una parábola cuadrática (n=2) a través de tres puntos, o por un polinomio cúbico (n=3) pasando a través de 4 puntos...
- Regla del Trapecio corresponde a f1(x), n=1.- Regla de Simpson de 1/3 corresponde a f2(x), n=2.- Regla de Simpson de 3/8 corresponde a f3(x), n=3.
¡¡ Y HAY OTRAS MAS !! SON LAS FORMULAS DE NEWTON-COTES
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAFórmulas de Newton-Cotes
)x(fc)x(fc)x(fc
)x(fcdx)x(f
nn1100
i
n
0i
i
b
a
a = x0 x1 b = xnxn-1x
f(x)
La evaluación de la función resulta como una suma ponderada de la función f(x):
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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla del Trapecio
Aproximar el área debajo de f(x) por un trapecio.
)x(f)x(f2
h
)x(fc)x(fc)x(fcdx)x(f
10
1100i
1
0i
i
b
a
a = x0 b = x1x
f(x)
L(x)
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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla del Trapecio
El valor numérico de la integral es:
El error de truncación vale entonces:
y por lo tanto será pequeño si b-a es pequeño
3))((12
1abf''Et
.
))((''12
1
2
))()(()( 3
ba
abfbfaf
abI
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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla Simpson de 1/3
Se aproxima la función f(x) a una parábola.
)x(f)x(f4)x(f3
h
)x(fc)x(fc)x(fc)x(fcdx)x(f
210
221100i
2
0i
i
b
a
a = x0 x1
x
f(x)
b = x2h h
L(x)
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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla Simpson de 1/3
Usando la Función de Interpolación de Lagrange:
f(x) pasa a través de 3 puntos:
a,f(a); (b+a)/2,f((b+a)/2); b,f(b)
La integral numérica resulta: tEbf
bafaf
hI
)]()
2(4)([
3
2
),(90
)4(5
abh
bafh
Et
y el Error de Truncación:
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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla Simpson de 3/8
Se aproxima la función f(x) con un polinomio cúbico
)x(f)x(f3)x(f3)x(f8
h3
)f(xc)f(xc)f(xc)f(xc)x(fcdx)x(f
3210
33221100i
3
0i
i
b
a
x0 x1x
f(x)
x2h h
L(x)
x3h
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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla Simpson de 3/8
Igual que en el caso anterior, usando la
Función de Interpolación de Lagrange
5
(4)
, 3
3 ( ), .
80
t
b ah
hE f a b
tEbf
hafhafafh
I
)](
)2(3)(3)([8
3
El Error de Truncación es del mismo orden, a pesar de usar polinomio de un grado mayor
)x(f)xx)(xx)(xx(
)xx)(xx)(xx(
)x(f)xx)(xx)(xx(
)xx)(xx)(xx(
)x(f)xx)(xx)(xx(
)xx)(xx)(xx(
)x(f)xx)(xx)(xx(
)xx)(xx)(xx()x(L
3
231303
210
2
321202
310
1
312101
320
0
302010
321
y se encuentra el valor de la integral:
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAFórmulas de Newton Cerradas
b
a
NN221100 ]fa...fafafh[ad
Nf(x)dx
N d a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 Error
1 2 1 1 O(h2)
2 6 1 4 1 O(h4)
3 8 1 3 3 1 O(h4)
4 90 7 32 12 32 7 O(h6)
5 288 19 75 50 50 75 19 O(h6)
6 840 41 216 27 272 27 216 41 O(h8)
7 17280 751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751 O(h8)
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAFórmulas de Newton-Cotes Abiertas
Las Fórmulas de Newton-Cotes presentadas, incluyen los puntos extremos y se las conoce como Fórmulas Cerradas. Existen también las Fórmulas Abiertas de Newton-Cotes, como la del Punto Medio
)(f24
)ab()
2
ba(f)ab(
)x(f)ab(dx)x(f
3
m
b
a
a bx
f(x)
xm
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAFórmulas de Newton-Cotes Abiertas
Usando una aproximación lineal
)(f108
)ab()x(f)x(f
2
abdx)x(f
3
21
b
a
x0 x1x
f(x)
x2h h x3h
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAFórmulas de Newton-Cotes Abiertas
Usando una función parabólica
)(f23040
)ab(7
)x(f2)x(f)x(f23
abdx)x(f
5
321
b
a
x0 x1x
f(x)
x2h h x3h h x4
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAFórmulas de Newton-Cotes
¿Cómo Mejorar la precisión del resultado?
Reglas compuestas.Aplicación múltiple de las fórmulas Newton-Cotes
Algoritmo de Romberg
Extrapolación de Richardson
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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla del Trapecio (Aplicación múltiple)
Se aproxima el área debajo de f(x) por dos o más trapecios.
)x(f)x(f2)2f(x)f(x2)f(x2
h
)f(x)f(x2
h)f(x)f(x
2
h)f(x)f(x
2
h
f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx
n1ni10
n1n2110
x
x
x
x
x
x
b
a
n
1n
2
1
1
0
a=x0 x1x
f(x)
x2h h x3h h b=x4
n
abh
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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla del Trapecio (Aplicación múltiple)
La precisión mejora a medida que se toman más segmentos (intervalos menores)
0
1
2
3
4
5
6
7
3 5 7 9 11 13 15
Dos segmentos
0
1
2
3
4
5
6
7
3 5 7 9 11 13 15
Cuatro segmentos
0
1
2
3
4
5
6
7
3 5 7 9 11 13 15
Más segmentos …
0
1
2
3
4
5
6
7
3 5 7 9 11 13 15
Tres segmentos
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N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla del Trapecio (Aplicación múltiple)
Dividiedo el intervalo b-a en n segmentos. h = (b-a)/n.
x0= a, x1 = a + h, …., xi = a + i h,… …, xn = b.
El área bajo f(x) aproximada por n trapecios es
)(ξ'f'n
1)(ξ'f' y xξx
)(ξ'f'12n
a)(b
)(ξ'f'12n
a)(b)h(ξ'f'
12
1E
)]f(x2f(b)[f(a)2
hII
n
1i
iii1i
2
3
n
1i
i3
33
i
n
1i
t
1n
1i
i
n
1i
i
Reducción del Error de Truncación en un factor de aproximadamente 1/n2
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla de Simpson de 1/3 (Aplicación múltiple)
Se utiliza aproximaciones cuadráticas por tramos (una por cada dos intervalos).
a=x0 x2x
f(x)
x4h hxn-2h
b=xn
n
abh
…...
hx3x1 xn-1
MA
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UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla de Simpson de 1/3 (Aplicación múltiple)
Se divide el intervalo b-a en n, número par de segmentos
)f(x)4f(x)2f(x
)4f(x)2f(x)4f(x
)2f(x)4f(x)2f(x)4f(x)f(x3
h
)f(x)4f(x)f(x3
h
)f(x)4f(x)f(x3
h)f(x)4f(x)f(x
3
h
f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx
n1n2n
12i2i-12i
43210
n1n2n
432210
x
x
x
x
x
x
b
a
n
2n
4
2
2
0
MA
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CO
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CIO
NA
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GE
NIE
RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla de Simpson de 1/3 (Aplicación múltiple)
)f(x)4f(x)2f(x)4f(x)2f(x)4f(x
)2f(x)4f(x)2f(x)4f(x)f(x3
hf(x)dx
n1n2n12i2i-12i
43210
b
a
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ER
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OS
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CO
MP
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CIO
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GE
NIE
RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla de Simpson de 1/3 (Aplicación múltiple)
La expresión general para n intervalos (n+1 puntos)
3n
)f(x)f(x2)f(x4)f(x
a)(bI
2n
2,4,6j
nj
1n
1,3,5i
i0
El error de truncación resulta:
)(ξfn
2)(ξf
)(ξf180n
a)(b )(ξf
2
n
90n
a)(b
)(ξf90n
a)(b)h(ξf
90
1E
n/2
1j
j
(4)(4)
(4)
4
5(4)
5
5
n/2
1j
j
(4)
5
55
j
(4)n/2
1j
t
Reducción del Error de Truncación en un factor de aproximadamente 1/n4
MA
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ER
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Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
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GE
NIE
RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla de Simpson de 3/8 (Aplicación múltiple)
Similar a la anterior, pero se emplean aproximaciones cúbicas por tramos (una por cada tres intervalos).
Siguiendo un procedimiento análogo a la anterior, se llega a una expresión:
Y el Error de Truncación:
2 3
0 1
1,4,7 3,6,9
( ) 3 ( ) ( ) 2 ( ) ( )8
n n
i i i n
i i
b aI f x f x f x f x f x
n
)(
t fn
a)(bE
4
4
5
80
MA
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Y
CO
MP
UTA
CIO
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NIE
RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICACombinación de las reglas de Simpson
Si en número de puntos no es par ni múltiplo de 3 no se puede aplicar ninguna de las dos Reglas de Simpson.
En este caso la Regla de Simpson de 3/8 se aplica a los últimos tres puntos y la otra a los puntos previos.
5 segmentos
MA
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UM
ER
IC
OS
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CO
MP
UTA
CIO
NA
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GE
NIE
RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICAError en la
integración con formulas de
Newton-Cotes
Se analizaron los Errores de Truncación
y se vio que aumentando el número
de segmentos se acrecienta la
precisión. Pero esto tiene un límite:
el Error de Redondeo
MA
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CIO
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegración con Segmentos no equi-espaciados
Los métodos anteriores se basan en datos equi-espaciados en la abscisa. En la práctica puede nodisponerse de datos en intervalos regulares.Para esos casos existen algunas alternativas:
Aplicar la Regla del Trapecio a cada segmento
Si es posible, usar selectivamente las Reglas de Simpson de 1/3 y 3/8.
Encontrar datos equi-espaciados a partir de una Función de interpolación adecuada
MA
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAExtrapolación de Richardson
La Extrapolación de Richardson permite mejorar la precisión del cálculo. Requiere conocer en forma analítica función a integrar.
Consiste en la aplicar en forma sucesiva de la regla del Trapecio (o la de Simpson).
)()()()( 2211 hEhIhEhII
Donde I es el valor real de la integral e I(h1) es una aproximación basada en un paso h1 e I(h2) es la aproximación basada en un paso h2 = h1 /2.
MA
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RIA
El Error de Truncación es:
Suponiendo que el valor de la derivada segunda no cambia sustancialmente, se puede aproximar:
''12
2 fhab
E
2
2
1
212
222
2
2
1212
2
2
1
2
1
1
)()()(
)()()()( )(
)(
hh
hIhIhE
hEhIh
hhEhII
h
h
hE
hE
)(3
1)(
3
4
1
)()()()()(
12
2
2
1
21222
hIhII
hh
hIhIhIhEhII
De esta forma se obtiene una estimación más precisa de la integral. De O(h2) se pasa a O(h4):
INTEGRACIÓN NUMÉRICAExtrapolación de Richardson
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegración de Romberg
El mecanismo anterior, es aplicable a otras estimaciones también, como por ejemplo, las de las derivadas.
j es el índice relativo al tamaño de los pasos y k es el indicativo del nivel de mejora.
Así para k=1, primer nivel de mejora resulta:
La Fórmula de Extrapolación de nivel múltiple es:
)O(h3
II4I
4j,01,0j
j,1
)O(h14
II4I
22k
k
1kj,1k1,j
k
kj,
El Algoritmo de Romberg consiste en emplear múltiples niveles de extrapolación.
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICATabla de integración de Romberg
255
256
63
64
15
16
3
4
16/
8/
4/
2/
)()()()()(
43210
3,3,12,2,11,1,10,0,1
0,4
1,30,3
2,21,20,2
3,12,11,10,1
4,03,02,01,00,0
108642
jjjjjjjj IIIIIIII
Ih
IIh
IIIh
IIIIh
IIIIIh
hOhOhOhOhO
kkkkk
BooleSimpsonTrapecio
MA
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICATabla de integración de Romberg
EJEMPLO 9265.52164
0
2 dxxeI x
%00050.0%00168.0%0053.0%0527.0%66.2
95.535525.0
68.521976.57645.0
20.521775.525679.72881
01.521714.522998.56702.121422
95.521684.522468.549941.82407.238474
)()()()()(
43210108642
h
h
h
h
h
hOhOhOhOhO
kkkkk
BooleSimpsonTrapecio
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICACuadratura de Gauss
MotivaciónAcrecentar la precisión minimizando el número de evaluaciones de la función f(x).
Regla del Trapecio
Cuadratura de Gauss
Método que se puede emplear si se conoce en forma analítica a f(x)
MA
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IC
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Y
CO
MP
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CIO
NA
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GE
NIE
RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICACuadratura de Gauss
x2x1-1 1
Formula Gauss-Legendre de 2 puntos )f(xc)f(xcI 2211
Observar que la variable x se integra en el
intervalo [-1,1]
MA
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IC
OS
Y
CO
MP
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NA
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GE
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICACuadratura de Gauss
Se debe encontrar los valores de las constantes c1 y c2 y lasposiciones de la abscisa x1 y x2. El criterio es se obtenga laintegración exacta para:
f (x) = x0, f (x) = x1, f (x) = x2, f (x) = x3
3
1x
3
1x
1c
1c
xcxc0dxx xf(x)
xcxc3
2dxx xf(x)
xcxc0xdxx f(x)
cc21dx 1f(x)
2
1
2
1
3
22
3
1
1
11
33
2
22
2
1
1
11
22
221
1
11
2
1
11
)3
1f()
3
1f(f(x)dxI
1
1
La integral se evalúa con la expresión:
MA
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ET
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ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
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N IN
GE
NIE
RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICACuadratura de Gauss
)f(xc)f(xc)f(xcf(x)dx 332211
1
1
Los parámetros c1, c2, c3, x1, x2, x3 se eligen de modo que el método produzca la “integral exacta” para las funcionesf(x) = x0, x1, x2, x3,x4, x5
Si se emplean 3 puntos, la expresión de cómputo numérico de la integral tiene la forma:
x3x1-1 1x2
x
MA
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICACuadratura de Gauss
3/5x 5/9c
0x 8/9c
3/5x 5/9c
33
22
11
)5
3(f
9
5)0(f
9
8)
5
3(f
9
5dx)x(fI
1
1
La integral se evalúa con la expresión:
MA
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICACuadratura de Gauss
Para resolver los problemas en los que los límite deintegración sean a y b, se debe cambiar coordenadaspara pasar de [a,b] a [-1,1]
t2t1a b
1
1
1
1
b
af(x)dx)dx
2
ab)(
2
abx
2
abg(g(t)dt
bt 1x
at1x
2
abx
2
abt
g(t)
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICACuadratura de Gauss
Parámetros de la Cuadratura de
Gauss-Legendre
Error de truncación
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INTEGRACIÓN NUMÉRICACuadratura de Gauss
EJEMPLO 9265.52164
0
2 dtteI t
Transformación de coordenadas
1
1
1
1
4x44
0
t2dx)x(fdxe)4x4(dtteI
2dxdt ;2x22
abx
2
abt
33.3%)( 543936.3477376279.3468167657324.9
)3
44()
3
44()
3
1()
3
1()( 3
44
3
441
1
eeffdxxfI
Fórmula de 2 Puntos (N = 2)
MA
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MP
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CIO
NA
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GE
NIE
RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICACuadratura de Gauss
9265.52164
0
2 dtteI tEJEMPLO(continuación)
4.8%)( 106689.4967
)142689.8589(9
5)3926001.218(
9
8)221191545.2(
9
5
)6.044(9
5)4(
9
8)6.044(
9
5
)6.0(9
5)0(
9
8)6.0(
9
5)(
6.0446.04
1
1
eee
fffdxxfI
Fórmula de 3 Puntos (N = 3)
MA
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICACuadratura de Gauss
9265.52164
0
2 dtteI tEJEMPLO(comparación)
ComparaciónNº de Puntos
Método Integral Error Relativo
2 Trapecio
Cuadratura de Gauss
23847.7
3477.54
348 %
33.0 %
3 Trapecio
Simpson
Cuadratura de Gauss
12142.2
8240.41
4967.11
133 %
58.0 %
4.8 %
4 Trapecio
Cuadratura de Gauss
7288.79
5197.54
39.0 %
0.37 %
MA
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Y
CO
MP
UTA
CIO
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICAOtras Cuadraturas de Gauss
Existen varias cuadraturas, todas en general con laformulación siguiente:
Al incrementar el número n de nodos (x1, x2,... ,xn)se logra aumentar el grado de precisión de laaproximación.
Los nodos son las raíces del n-ésimo polinomioortogonal respecto del producto escalar inducido porw(x) en el intervalo [a,b].
𝑎
𝑏
𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈
𝑖=1
𝑛
𝐴𝑖 𝑓(𝑥𝑖)
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICAOtras Cuadraturas de Gauss
Fórmula general
Cálculo de los coeficientes a partir
de los respectivos polinomios ortogonales
Error de Truncación
𝑎
𝑏
𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑖=1
𝑛
)𝐴𝑖𝑓(𝑥𝑖 + 𝐸𝑡
𝐴𝑖 =1
𝑃𝑛′ 𝑥𝑖
𝑎
𝑏𝑃𝑛 𝑥
𝑥 − 𝑥𝑖𝑤 𝑥 𝑑𝑥
𝑖 = 1, 2
𝐸𝑡 =𝑓 2𝑛 𝜃
2𝑛 !
𝑎
𝑏
𝑃𝑛2 𝑥 𝑤 𝑥 𝑑𝑥
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAOtras Cuadraturas de Gauss
CUADRATURA INTERVALO FUNCIÓN DE PESO
Gauss-Legendre
Gauss-Chebyshev
Gauss-Jacobi
Gauss-Laguerre
Gauss-Hermite
[-1,1]
[-1,1]
[-1,1]
[0,+∞)
(-∞,+∞)
𝒘 𝒙 = 𝟏
𝒘 𝒙 =𝟏
𝟏 − 𝒙𝟐
𝒘 𝒙 =𝟏
𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏
𝒘 𝒙 = 𝒆−𝒙
𝒘 𝒙 = 𝒆−𝒙𝟐
MA
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Cuadratura de Gauss-Laguerre
En la tabla, la cifra entre paréntesis(n) significa que debe multiplicarsepor 10n
𝒘 𝒙 = 𝒆−𝒙
MA
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Cuadratura de Gauss-Hermite
En la tabla, la cifra entre paréntesis(n) significa que debe multiplicarsepor 10n
𝒘 𝒙 = 𝒆−𝒙𝟐
MA
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Cuadratura de Gauss con singularidad logarítmica
En la tabla, la cifra entre paréntesis(n) significa que debe multiplicarsepor 10n
𝒘 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales impropias
Estas integrales se pueden clasificar en:
1) El Intervalo de integración es infinito (integrales con dominio infinito)
2) El integrando f(x) presenta discontinuidad
3) El integrando f(x) tiene singularidades
Para cada caso se pueden aplicar distintas soluciones
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales impropias – Dominio infinito
Si el dominio es infinito, las soluciones pueden ser:
Transforma la variable de integración para que el nuevointervalo sea finito. Ejemplo: x = 1/t se transforma elintervalo [a, ∞] en [1/a,0]
Reemplazar los límites infinitos de integración porvalores finitos cuidadosamente elegidos
Utilizar el comportamiento asintótico (si es posible) paraevaluar la "cola“ de la función contribución.
Usar reglas de cuadratura no lineales diseñadas paraintervalos infinitos.
𝒂
∞
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 =
1 𝒂
0
−1
𝒕2𝒇1
𝒕𝒅𝒕
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales impropias – Dominio infinito
Reemplazar los límites infinitos de integración porvalores finitos cuidadosamente elegidos
Ejemplo
Exacta
MA
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RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales impropias – Dominio infinito
Utilizar el comportamiento asintótico (si es posible) paraevaluar la "cola“ de la función contribución.
Y se evalúa para valores de a crecientes hasta alcanzar la tolerancia fijada
Ejemplo cola
MA
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales impropias – Dominio infinito
Usar reglas de cuadratura no lineales diseñadas paraintervalos infinitos
Cuadratura de Gauss-Laguerre
Cuadratura de Gauss-Hermite
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales impropias – Integrando discontinuo
Aproximando el valor de discontinuidad
Para la integral si es discontinua en 0,
aplicando la definición formal:
Trabajar algebraicamente para eliminar la discontinuidad,cambiando variable si es preciso
Usar reglas de cuadratura que consideran discontinui-dades, o bien, si la discontinuidad está en un punto que norequiere la evaluación del valor de la función
Partiendo el intervalo de integración
hasta convergencia:
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ER
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CO
MP
UTA
CIO
NA
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NIE
RIA Trabajar algebraicamente para eliminar el efecto
singular, cambiando variable si es preciso
En línea con el anterior, usar la regla de integración delproducto para transformar la integral original
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥𝑎
𝑏−
𝑎
𝑏
𝑓′ 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥
Emplear alguna cuadratura que considere explícitamentelas discontinuidades
INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales impropias – Integrando singular
Gauss-Jacobi
Gauss-Chebyshev,
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CIO
NA
LE
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N IN
GE
NIE
RIA
INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegración adaptiva
La idea es que el integrando debe ser
más evaluado en aquellas zonas en las
que presenta mayores cambios.
La cuadratura adapta-tiva involucra la selec-ción cuidadosa de lospuntos donde la funciónva a ser evaluada, demanera que se puedacalcular la integral conuna precisión especifi-cada realizando el mí-nimo número posible deevaluaciones de lafunción.
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OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegración adaptiva
La propiedad aditiva de la integración, es la base de laIntegración Adaptiva. Si c es cualquier punto entre a y b:
Si se puede aproximar cada uno de los integrandos de la partederecha con una precisión especificada, la suma de ambosdará entonces el resultado deseado. Si no, se puede aplicarrecursivamente la propiedad aditiva a cada uno de losintervalos [a,c] y [c,b]. De este modo, el algoritmoresultante se adapta automáticamente al integrando, partiendoel intervalo en subintervalos con un espaciado fino en laspartes donde el integrando varía rápidamente y con espaciadosmayores donde el integrando varía lentamente.
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )( )( )(
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Y
CO
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegración adaptiva
Si se combina la Regla compuesta de Simpson, h=(b-a)/2,
f(b)h)4f(af(a)3
hb)S(a,
b][a, η
(ηf90
hf(b)h)4f(af(a)
3
hdx f(x) (4)
5b
a
)
f(b))2
3h4f(ah)f(a
6
hb,
2
baS
h)f(a)2
h4f(af(a)
6
h
2
baa,S
)η(f180
a)(b
16
h
f(b))2
3h4f(ah)2f(a)
2
h4f(af(a)
6
hdx f(x)
(4)4
b
a
con la Regla de Simpson para paso h/2=(b-a)/4:
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegración adaptiva
Si )η(f(ηf(4)(4) )
b,2
baS
2
baa,Sb)S(a,
15
1
b,2
baS
2
baa,Sdx f(x)
b
a
Entonces, si ε b,2
baS
2
baa,Sdx f(x)
b
a
Buena aproximación de la integral
b,
2
baS
2
baa,S
Si no se alcanza la precisión, se aplica el mismoprocedimiento a los subintervalos [a,(a+b)/2] y[(a+b)/2,b] (tolerancia /2.). Se reitera hastaalcanzar la precisión prefijada.
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales Dobles
b
a
d
cRdxdy)y,x(fdA)y,x(fI
0p,]b,a[x);x(Ipdy)y,x(fpI i
i
iii
i
d
cii
0q],d,c[y;)y,x(fq)x(I jj
j
jiji
La situación más simple es si la región de integración es un rectángulo (límites constantes en las dos variables).
Considerando la integral exterior:
Donde:
MA
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OS
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CO
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales Dobles
q'*Z*p)y,f(xqpI jiji
n
i
m
j1 1
La situación más simple es si la región de integración es un rectángulo (límites constantes en las dos variables).
p y q son los vectores de los coeficientes de la regla particular que se aplica, por ejemplo:
]1,2,...,2,2,1[2
hp Regla del Trapecio
]1,2,4,2,...,2,4,2,4,1[3
kq Regla de Simpson
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales Dobles
Ejemplo de los pesos para el caso de aplicar la Regla de Simpson en abscisas y Trapecio en ordenadas
Z es la matriz con los valores de la función f
q'*Z*p)y,f(xqpI jiji
n
i
m
j1 1
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales Dobles
Si los límites no son constantes:
b
a
xd
xc
b
a
xd
xcdxdyyxfIdxdyyxf
)(
)(
)(
)(),( ),(
Primero se aproxima para cada xi, la integral el intervalo [c(xi), d(xi)], usando un mismo número de intervalos.
Luego, usando los valores anteriores, evaluar la integral exterior.
i j
ijiiji yxfqpI ),(
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INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales Dobles
Por ejemplo:
Se usa para evaluar la integral de y 7 puntos.
Se toman 13 puntos para x
5.0
1.0
x
x
xy dxdye2
3
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
3x
2x
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FUNCIONES DE MATLAB
quad (integral en las nuevas versiones)Computa la integral definida de una función f(x)
Sintaxisq = quad(fun,a,b)q = quad(fun,a,b,tol)[q,fcnt] = quad(fun,a,b,...)
AlgoritmoUsa un algoritmo adaptivo que toma como base la Regla Simpson empleando por defecto una tolerancia absoluta de 10-6
quadl (integral en las nuevas versiones)Computa la integral definida mediante un algoritmo recursivo de alto orden (Cuadratura de Lobatto).
SintaxisSímil anterior
AlgoritmoCudratura adaptiva de Gauss-Lobatto. Tolerancia absoluta por
defecto de 10-6 (http://www.inf.ethz.ch/personal/gander).
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FUNCIONES DE MATLAB
dblquad (integral2 en las nuevas versiones)Computa la integral sobre de una función f(x,y) con límites constantes
Sintaxisq = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,method)
AlgoritmoUtiliza la funcion quad para la evaluación de las integrales según x y según y
triplequad (integral3 en las nuevas versiones)Simil anterior para integrales triples
Sintaxistriplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
Diferenciación numérica de datos: diferenciasfinitas, uso de fórmulas de interpolación. Estimaciónde derivadas parciales. Integración numérica:planteo general. Integración de datos igualmenteespaciados, fórmulas de Newton-Cotes, aplicaciónmúltiple de las fórmulas de Newton-Cotes,estimación del error de truncación. Extrapolación deRichardson, algoritmo de Romberg. Cuadraturas deGauss. Integración de datos no equi-espaciados.Integrales impropias. Métodos adaptivos de cua-dratura. Integrales múltiples. Funciones de Matlab.
TEMAS
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Tema 8Derivación e integración de funciones
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