Derivação Implícita, Taxas Relacionadas e Diferenciais

7/25/2019 Derivação Implícita, Taxas Relacionadas e Diferenciais

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Derivação Implícita Taxas Relacionadas Aproximação Linear Local e Diferenciais

Aula de Cálculo 1

Derivação Implícita, Taxas Relacionadas e Diferenciais

“ Não existem métodos fáceis para resolver problemas difíceis. ”

René Descartes

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Dizemos que uma equação da forma y = f (x ) define y explicitamente como uma função de x , pois

a variável y aparece sozinha de uma lado da equação.

Exemplo: A equação xy + y + 1 = x . Note que y é definidoexplicitamente em função de x apesar de y não estar sozinho de umlado da equação, ou seja, apesar de não estar na forma y = f (x ).

xy + y + 1 = x

y (x + 1) = x − 1

y = x −

1

x + 1

f (x ) = x − 1

x + 1

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Exemplo: A equação x 2 + y 2 = 1. Isolando y , obtemos:

y 2

= 1 −x 2

y = ±

1 − x 2

f 1(x ) =

1 − x 2 ou f 2(x ) = −

1 − x 2

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Nem sempre é fácil (ou mesmo possível) obter y = f (x ) definidaimplicitamente pela equação F (x , y ) = 0, ou seja, nem sempreconseguiremos isolar y na equação que define implicitamente y emfunção de x .

Exemplo: Na equação x 3 + y 3

−4xy = 0 que representa a curva

chamada Folium de Descartes.

Não conseguimos isolar y na equação acima.

Pergunta: Como derivar uma função definida implicitamente quenão possui representação explítita?

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Resposta: Basta considerar que y é derivável em relação a x ederivar os dois lados da equação em relação a x .

Exemplo: Determine dy dx

se x 3 + y 3 − 4xy = 0.

dy

dx x 3 + y 3 − 4xy

=

dy

dx [0]

3x 2 + 3 y 2dy

dx − 4 y − 4x

dy

dx = 0

(3 y 2 − 4x )dy

dx = 4 y − 3x 2

dy

dx =

4 y − 3x 2

3 y 2 − 4x

Usamos as regras da soma, produto e a Regra da Cadeia.

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D i I l i R l i d A i Li L l Dif i i

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Exemplo: Está sendo bombeado ar para dentro de um balãoesférico e seu volume crescendo a uma taxa de 100 cm3/s . Quão

rápido o raio está crescendo quando o balão estiver com umdiâmetro de 50 cm?

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D i ã I lí i T R l i d A i ã Li L l Dif i i

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Um problema de taxas relacionadas consiste em calcular a taxa devariação de uma grandeza em termos da taxa de variação de outra

grandeza que pode ser medida mais facilmente.

Estratégias para resolver problemas de taxas relacionadas

Passo 1 Desenhe uma fugura e identifique as variáveis.

Passo 2 Escreva as informações numéricas fornecidas.

Passo 3 Escreva aquilo o que é pedido.

Passo 4 Encontre a equação que relacione as variáveis.

Passo 5 Derive com relação a variável t .

Passo 6 Calcule o que é pedido.

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D i çã Im lícit T R l ci n d A im çã Lin L c l Dif nci i

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Retornando ao exemplo: Está sendo bombeado ar para dentro deum balão esférico e seu volume crescendo a uma taxa de 100cm3/s . Quão rápido o raio está crescendo quando o balão estivercom um diâmetro de 50 cm?

Passo 1 Denotamos por V o volume do balão e por r raio dobalão.

Passo 2 dV

dt = 100 cm3/s em qualquer momento.

Passo 3 dr

dt =? quando r = 25 cm

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Passo 4 O volume da esfera é dado por V = 4

3 · π · r 3.

Passo 5dV dt

= d dt

43 · π · r 3

dV

dt =

4

3 · π · 3 · r 2 · dr

dt

dV dt

= 4πr 2 · dr dt

dr

dt =

1

4πr 2 · dV

dt

Passo 6

dr

dt =

1

4πr 2 · dV

dt =

1

4π(25)2 ·

4·25 100 =

1

25π cm/s

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Exemplo: Uma escada de 5 m de comprimento está recostada emuma parede. A base da escada escorrega, afastando-se da parede auma taxa de 2 cm/s . Com que velocidade cai o topo da escada, nomomento em que a base da escada está a 3 m da parede?

Passo 1 Denotamos por x e y as distâncias da base e do topoda escada à base da parede, respectivamente.

Passo 2 dx dt

= 2 cm/s em qualquer momento.

Passo 3 dy

dt =? quando x = 3

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Passo 4 Pelo teorema de Pitágoras, temos que x 2 + y 2 = 25.

Passo 5 d

dt [x 2 + y 2] =

d

dt [25]

2 · x · dx

dt + 2 · y · dy

dt = 0

dy

dt =

−x · dx

dt 2 · y

Passo 6

dy

dt =

−x · dx

dt 2 · y

= −3 · 2

2 · 4 = −1, 5 cm/s

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Se y = f (x ) é derivável, então

dy dx

= f (x ).

Escrevemos

dy = f

(x )dx ,e chamamos de diferenciais as quantidades dy e dx .

Interpretamos dy como sendo a pequena variação que y sofre

quando x sofre uma pequena variação dx .

Note que dy depende tanto de dx como f calculada em x .

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ç p p ç

Interpretação geométrica

Seja y = f (x ) uma função derivável no ponto x 0.

T é a reta tangente ao gráfico da f no ponto x 0.

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Melhor Aproximação Linear Local

∆ y ≈ dy

f (x 0 + ∆x ) − f (x 0) ≈ dy , pois ∆ y = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0)

f (x 0 + ∆x ) ≈ f (x 0) + dy

f (x 0 + ∆x ) ≈ f (x 0) + f

(x 0) · dx , pois dy = f

(x 0) · dx f (x 0 + ∆x ) ≈ f (x 0) + f (x 0) · ∆x , pois ∆x = dx

f (x 0 + h) ≈ f (x 0) + f (x 0) · h , tomando h = ∆x

Assim, o valor da f perto de x 0 poder ser cálculo pela expressãoacima com um erro ε pequeno.

ε = ∆ y − dy

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Exemplo: Considere a função y = f (x ) = x 2 para o ponto x 0 = 1e h = ∆x = 0, 01, determine:

O valor de ∆ y ∆ y = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0)

∆ y = f (1 + 0, 01) − f (1)

∆ y = 1, 0201−

1 = 0, 0201

O valor da diferencial dy

dy = f (1) · dx

dy = 2 · 0, 01 = 0, 02

O valor do erro εε = ∆ y − dy

ε = ∆ y − dy = 1, 0201 − 1, 02 = 0, 0001

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Exemplo: Calcule o valor aproximado 3√

29.

Definição da função Considere f (x ) = 3√ x .

Valor conhecido mais próximo Seja x 0 = 27, então f (27) = 3 eh = ∆x = dx = 29 − 27 = 2.

Cáculo de dy Como f (x ) = x 13 , temos que f (x ) =

1

3

3√

x 2

.

Assim, f (27) = 1

3 3

(27)2=

1

3 · 9 =

1

27

dy = f (27) · dx = 1

27 · 2 =

2

27

Cáculo aproximado da função

f (29) ≈ f (27) + dy = 3 + 2

27 = 3 + 0, 074 = 3, 074

3√

29 = 3, 0723168256

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