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Análise Matemática IDerivação de funções
Joana Peres
MIEQ – 2009/2010
FEUP/MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I
Definição de derivada
Recordemos que a derivada da função f(x) no ponto x = a do seu domínio é o
limite da razão incremental quando h tende para 0:h
afhaf )()( −+
hafhafaf
h
)()(lim)(0
def −+≡′
→Definição:
axafxfaf
ax −−
≡′→
)()(lim)(def
FEUP/MIEQ 2Joana Peres / Análise Matemática I
Em todos os pontos de Df onde este limite existir, fica definida uma novafunção f´(x), designada por (1ª) derivada de f(x).
Definição alternativa : axhhax −=⇔+=fazendo vem que
Interpretação geométrica da derivada
A derivada f ‘(a), quando finita, representa o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x = a. A equação da recta tangente ao gráfico da função y=f(x) no ponto P de coordenadas (a,f(a)) é:
))(()( ' axafafy −+=
FEUP/MIEQ 3Joana Peres / Análise Matemática I
Isto é, se f’(a) existe )()(lim afxfax
=⇒→
ObservaçãoDerivabilidade implica continuidade, no entanto, continuidade não implica derivabilidade Por exemplo a função |x| é contínua em x = 0
Relação entre derivabilidade e continuidade
TeoremaSe a derivada da função f existir em x = a então a função f é contínua em x = a.
FEUP/MIEQ 4Joana Peres / Análise Matemática I
implica derivabilidade. Por exemplo, a função |x| é contínua em x = 0 mas não tem derivada nesse ponto.
Derivadas laterais
Para analisar o comportamento de f(x) nos extremos de um intervalo fechado, ou então quando f(x) apresentar dois ou mais ramos (diz-se neste caso que f(x) é uma função definida seccionalmente), necessitamos frequentemente de recorrer às derivadas laterais da função f(x).
Derivada lateral à direita no ponto x = a
Definição
Derivada lateral à esquerda no ponto x = a
Definição
axafxf
hafhafaf
axh −−
≡−+
≡′++ →→
+)()(lim)()(lim)(
def
0
def
axafxf
hafhafaf
axh −−
≡−+
≡′−− →→
−)()(lim)()(lim)(
def
0
def
FEUP/MIEQ 5Joana Peres / Análise Matemática I
Relação entre derivada e derivadas laterais
Teoremaexiste sse existirem e forem iguais as derivadas laterais, sendo
ObservaçãoSe a função f(x) for contínua em x = a, é válido substituir as derivadas laterais pelos correspondentes limites laterais da função derivada,
)()()( afafaf +− ′=′=′
)(af ′
Se a função f(x) não for contínua em x = a isto não pode ser feito.
ExemploMostre que a função não é derivável quando x=0.
)(lim e )(lim xfxfaxax
′′−+ →→
⎩⎨⎧
>+≤
=0 se ,10 se ,
)(xxxx
xf
FEUP/MIEQ 6Joana Peres / Análise Matemática I
Tangentes verticais
Quando a tangente ao gráfico de f(x) no ponto (a,f(a)) for vertical , f’(a) não existe nesse ponto (f’(x) tende para ∞ ou para - ∞).
DefiniçãoDizemos que o gráfico da função f(x) apresenta uma tangente vertical no ponto (a,f(a)) se:
seou ; )(lim)()(lim(i) ∞=′∧=→→
xfafxfaxax
FEUP/MIEQ 7Joana Peres / Análise Matemática I
seou ; )(lim)()(lim(ii) ∞=′∧=++ →→
xfafxfaxax
)(lim)()(lim(iii) ∞=′∧=−− →→
xfafxfaxax
Exercício:Corresponda o gráfico das funções (a) - (f) com o gráfico das funções derivadas respectivas em (A) – (F)
FEUP/MIEQ 8Joana Peres / Análise Matemática I
As quatro regras básicas da derivação de funções
Derivada da soma de duas funções:
Derivada do produto de duas funções:
( ) )()()()( xgxfxgxf ′+′=′+
( ) )()()()()()( xgxfxgxfxgxf ′+′=′
′⎞⎛
( ) )( )( )( xfcxfccxg ′=′⇒=Caso particular: c constante e
Derivada do quociente de duas funções:
Derivada da função composta (Regra da cadeia):
( )2)()()()()(
)()(
xgxgxfxgxf
xgxf ′−′
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) )())(())(( xgxgfxgf ′′=′
( )2)()(
)(1
xgxg
xg′
−=′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
FEUP/MIEQ 9Joana Peres / Análise Matemática I
Caso particular: Se 1)( =xf então
Função potência:
Função exponencial:
Função potência composta:
Função exponencial composta:
Derivadas de algumas funções elementares e das correspondentes funções compostas
ℜ∈∀=′ − axax aa , )( 1
+ℜ∈∀=′ aaaa xx ,ln)(
ℜ∈∀′=′ − axgxgaxg aa ),())(()))((( 1
+ℜ∈∀′=′ axgaaa xgxg ),( )(ln)( )()(
Função logarítmica: Função logarítmica composta:
+ℜ∈≠∀=′ 1,ln1)(log a
axxa
+ℜ∈≠∀′
=′ 1,ln)()())((log aaxg
xgxga
+ℜ∈≠∀′
=′ 1,)()())((ln a
xgxgxg
FEUP/MIEQ 10Joana Peres / Análise Matemática I
xx ee =′)(Caso particular: )()( )()( xgee xgxg ′=′Caso particular:
xx 1)(ln =′Caso particular: Caso particular:
Funções trigonométricas : Funções trigonométricas compostas:
xx cos)sen ( =′
xx sen)(cos −=′
)()(cos))g(sen ( xgxgx ′=′
)()g(sen))((cos xgxxg ′−=′
Derivadas de algumas funções elementares e das correspondentes funções compostas
xx sen )(cos −=
xx
x 22 tg1
cos1) tg( +≡=′
)()g(sen ))((cos xgxxg −=
≡′
=′)(cos
)())g( tg( 2 xgxgx
)('))(tg1( 2 xgxg+≡
FEUP/MIEQ 11Joana Peres / Análise Matemática I
Derivada da função exponencial generalizada (1º processo)
fxgxhxh Dxexgxf ∈∀≡= ,))(()( ))(ln()()(
• Reparando que:
Função exponencial generalizada é qualquer função do tipo:
)())(()( xhxgxf = 0)( >xgcom
[ ] [ ] [ ][ ] =′=′=′ ))(ln()( ))(( ))(ln()())(ln()()( xgxheexg xgxhxgxhxh
[ ] )()()())(ln()( ))(( )(⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′+′=
xgxgxhxgxhxg xh
FEUP/MIEQ 12Joana Peres / Análise Matemática I
• Aplicando a regra da derivada da função composta:
Calcula-se o logarítmo de f(x):
Deriva-se ambos os membros em ordem a x:
[ ] [ ]′=′ )(ln)()(ln xgxhxf
Derivação logarítmica
Derivada da função exponencial generalizada (2º processo)
)(ln)()(ln xgxhxf =⇒)())(()( xhxgxf =
Resolve-se em ordem a f’(x) e substitui-se f(x)
[ ] )()()())(ln()( ))(( )(⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′+′=
xgxgxhxgxhxg xh
)()()())(ln()(
)()(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′+′=
′xgxgxhxgxh
xfxf
)()()())(ln()()()( =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′+′=′
xgxgxhxgxhxfxf
FEUP/MIEQ 13Joana Peres / Análise Matemática I
Derivação de equações: taxas de variação relacionadas
Frequentemente somos confrontados com problemas que envolvem taxas devariação temporal de duas ou mais variáveis, as quais estão relacionadas entre si por meio de uma equação (ou até, por vezes, mais do que uma equação).
Exemplo 1Uma escada com 3 metros de comprimento está encostada a uma parede vertical Se a base da escada deslizar horizontalmente afastando se da parede a
FEUP/MIEQ 14Joana Peres / Análise Matemática I
vertical. Se a base da escada deslizar horizontalmente afastando-se da parede a uma taxa constante de 0,3 m/s, a que taxa está o topo da escada a deslizar ao longo da parede? A que taxa está o topo da escada a deslizar quando o topo da escada está a 1 metro acima do solo?
Derivação de equações: taxas de variação relacionadas
A estratégia a utilizar para resolver problemas que envolvam taxas de variação (temporal) relacionadas entre si é a seguinte:
1. Identificar as taxas de variação conhecidas e a(s) taxa(s) de variação que se pretende(m) calcular, interpretando cada uma delas como sendo a derivada de uma variável em ordem ao tempo;
2. Obter, ou deduzir, uma equação (ou mais do que uma) que relacione(m) as variáveis referidas em 1. Em muitos casos, uma figura bem desenhada poderá ser uma grande ajuda neste passo;
3. Derivar ambos os membros da equação (ou equações) obtida(s) em 2. em ordem ao tempo, obtendo desta forma uma equação (ou equações) que relaciona(m) as taxas de variação referidas em 1.;
4. Substituir na equação (ou equações) obtida(s) em 3. os valores numéricos conhecidos das variáveis e das taxas de variação (derivadas) num dado instante, e resolver em ordem à(s) taxa(s) de variação desconhecida(s).
FEUP/MIEQ 15Joana Peres / Análise Matemática I
Análise do crescimento e do decrescimento de funções
Ixxxfxfxx
xfxfxx
xfxfxx
∈∀
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<⇒>
≥⇒>−
>⇒>
21
1212
1212
1212
,, )()(:edecrescent
)()(:edecrescentnão
)()(:crescente
Definição de funções monótonas no intervalo I ⊆ Df :
xfxfxx⎪⎪⎩ ≤⇒>− 1212 )()(:crescentenão
crescente decrescente
FEUP/MIEQ 16Joana Peres / Análise Matemática I
Análise do crescimento e do decrescimento de funções
Teorema (da média do Cálculo Diferencial, ou de Lagrange)
Se f(x) for contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[, existe pelo menos um número
c ∈ ]a, b[ tal que .
abafbfcf
−−
=)()()('
Variação média de f(x) no intervalo [a, b]
Interpretação geométrica
Existe pelo menos um ponto de ]a, b[ tal que o declive da tangente ao gráfico nesse ponto é igual ao declive da recta que une os pontos (a,f(a) )e (b,f(b))
FEUP/MIEQ 17Joana Peres / Análise Matemática I
Análise do crescimento e do decrescimento de funções
Teorema
Seja f(x) contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[:
(a) Se f’(x) > 0 em ]a,b[ então f(x) é crescente em [a,b];
(b) Se f’(x) < 0 em ]a,b[ então f(x) é decrescente em [a,b];
(c) Se f’(x) = 0 em ]a,b[ então f(x) é constante em [a,b].
ObservaçãoEste teorema é aplicável a intervalos infinitos, isto é, intervalos do tipo [a,∞[, ]-∞, b] ou ] -∞, ∞[ desde que f(x) seja contínua e derivável em todos os pontos desses intervalos.
(a) (b) (c)
FEUP/MIEQ 18Joana Peres / Análise Matemática I
A 2ª derivada de f(x): concavidade
DefiniçãoEm todos os pontos de Df’ onde a função f’(x) puder ser derivada, estará definida uma nova função, f’’(x), que é designada por 2ª derivada de f(x):
[ ] ′′≡ )( )('' def
xfxf
Definição de concavidade
Se f(x) for derivável num intervalo aberto I, dizemos que o gráfico de f(x) tem:
a concavidade positiva (“para cima”) em I se f’(x) for crescente em I
a concavidade negativa (“para baixo”) em I se f’(x) for decrescente em I.
FEUP/MIEQ 19Joana Peres / Análise Matemática I
A 2ª derivada de f(x): concavidade
TeoremaSuponhamos que f’’(x) existe num intervalo aberto I.
Se f’’(x) > 0 em I ,o gráfico de f(x) tem a concavidade positiva em I;
Se f’’(x) < 0 em I ,o gráfico de f(x) tem a concavidade negativa em I.
Concavidadenegativa
Concavidadepositiva
FEUP/MIEQ 20Joana Peres / Análise Matemática I
A 2ª derivada de f(x): pontos de inflexão
DefiniçãoUm ponto de inflexão (do gráfico) da função f(x) é um ponto de continuidade de f(x) onde a concavidade do gráfico de f(x) muda de sinal.
Ponto de inflexão Ponto de inflexão
Concavidadenegativa
Concavidadepositiva
Ponto de inflexão
a
Concavidadenegativa
Ponto de inflexão
Concavidadepositiva
a
FEUP/MIEQ 21Joana Peres / Análise Matemática I
A 2ª derivada de f(x): concavidade e pontos de inflexão
TeoremaSe f’’(x) existir num intervalo aberto contendo o ponto x = a, com a possível excepção desse ponto, e se f(x) for contínua no ponto x = a, este será um ponto de inflexão de f(x) se f’’(x) tiver sinais diferentes à esquerda e à direita do ponto x = a.
ObservaçãoPortanto, no ponto de inflexão propriamente dito, só temos duas alternativas: ou f’’(a) = 0, ou então f’’(a) não existe (mas f(a) tem de existir).ou f (a) 0, ou então f (a) não existe (mas f(a) tem de existir).
(a) (b) (c) (d)
FEUP/MIEQ 22Joana Peres / Análise Matemática I
Derivadas de ordem superior a 2 da função f(x)
Qualquer derivada de ordem superior da função f(x) poderá ser definida de forma análoga à 2ª derivada através da seguinte fórmula de recorrência:
( ) ( )[ ] ++ Ζ∈∀′≡ 0
def1 , )()( kxfxf kk
em que:
Observação sobre a notação
até à 3ª derivada usar a notação das linhas: .
a partir da 4ª derivada, é preferível utilizar a notação do índice (k) em
expoente: .
em que o índice (k) em expoente representa a ordem da derivada
por convenção, a “derivada de ordem zero” é a própria função.
( ) ( ) )( ),( 54 xfxf
)( ),( ),( xfxfxf ′′′′′′
FEUP/MIEQ 23Joana Peres / Análise Matemática I