DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT

TAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGA

TEOREMA-TEOREMA PENTING TERKAIT DERET PANGKAT

TEOREMA-TEOREMA PENTING

1. Integrasi dan diferensiasi deret pangkat dapat dilakukan per suku, yaitu:

∑∑

∫ ∑ ∑∫∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−=−

≤−∈−=−

00

0 0

)()(

,,)()(

n

nn

n

nn

q

pn n

q

p

nn

nn

dxaxCdx

daxC

dx

d

raxqpdxaxCdxaxC

Selang konvergensi seragam deret pangkat yang dihasilkan, sama seperti yang semula. Untuk kedua titik ujungnya, perlu diselidiki.

2. Dua deret pangkat dapat di-jumlah/kurang-kan, dan diperkalikan; deret yang dihasilkan memiliki selang konvergensi masing-masing deret. Jadi, misalkan I1 dan I2 selang konvergensi masing-masing deret, maka selang konvergensi deret yang dihasilkan adalah ( lambang teori himpunan bagi irisan).

21 II ∩ ∩

== 00 nn dxdx

3. Dua deret pangkat dapat pula dibagi asalkan penyebutnya tak-nol di x = a, atau nol di x = a, tetapi tercoretkan (seperti pada 2.22). Selang konvergensinya harus dicari kembali.

x

x)1ln( +

4. Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalam deret pangkat lainnya, asalkan selang konvergensi deret yang disisipkan terkandung dalam deret lainnya. Jadi, misalkan I1 selang konvergensinya I2, maka ( lambang teori himpunan bagi himpunan bagian).

21 II ⊆ ⊆

5. Pernyataan suatu fungsi f(x) dalam deret pangkat konvergen, adalah tunggal.Artinya ada satu pernyataan deret pangkat untuk satu fungsi, sejauh pangkat untuk satu fungsi, sejauh variabel x berada dalam selang konvergensi deret.

URAIAN TAYLOR SEBUAH FUNGSI

• Suatu fungsi S(x) yang diketahui, dapat pula dinyatakandalam suatu deret pangkat. Kenyataan inimenguntungkan, karena deret pangkat sangat mudahditangani secara analitis, ketimbang fungsi S(x) sendiri.Misalnya, dalam perhitungan integral dari fungsi S(x),bila seandainya S(x) adalah suatu fungsi rumit yangbila seandainya S(x) adalah suatu fungsi rumit yangintegralnya tak terdapat dalam tabel integral.

• Sebagai contoh, integral tentu berikut:

• Muncul dalam praktik, yaitu pada persoalan difraksi Fresnel gelombang cahaya oleh sebuah celah. Integral jenis ini tak terdaftarkan dalam tabel integral, karena hasilnya tak dapat diungkapkan dalam pernyataan suatu

∫1

0

2sin dxx

hasilnya tak dapat diungkapkan dalam pernyataan suatu fungsi primitif tertentu. Dalam pasal ini akan dibahas bagaimana integral jenis ini dan perhitungan numerik (secara angka) lainnya dengan menggunakan metode deret pangkat.

• Menguraikan sebuah fungsi f(x) yang diketahui atas deret pangkat. Secara umum, kita tulis

LL +−++−+−+= naxCaxCaxCCxf )()()()( 2

• Tetapan a dapat pula bernilai nol.

LL +−++−+−+= nn axCaxCaxCCxf )()()()( 2

210

• Masalah selanjutnya adalah:

a. Menentukan nilai-nilai koefisien Cn, sebagai fungsi dari n, sehingga sebagai fungsi dari n, sehingga penulisan di atas berupa suatu identitas (berlaku bagi semua nilai x).

b. Menentukan selang konvergensi deret pangkatnya dalam identitas (a) berlaku.

• Dengan menerapkan teorema diferensiasi deret pangkat pada (2.31), kita peroleh:

nn

nn

CnCCCaf

CCCCCaf

)0()0(20)('

)0()0()0()(

11

21

02

210

=+++++=

=+++++=−

LL

LL

nnn

nn

n

CnCnaf

CCnnCaf

CnCCCaf

!0!000)(

................................................................................

!2)0()1(1.200)("

)0()0(20)('

22

2

121

=++++++=

=+−++++=

=+++++=−

LL

LL

LL

)(!

1 )( afn

C nn =

Jadi:

• Dengan demikian,

axafaxafafxf

1

))(("!2

1))((')()( 2 +−+−+= L

nn

n

nn

axafn

xf

axafn

))((!

1)(

))((!

1

0

−=

+−+

∑∞

=

L

Pernyataan deret dari fungsi Selang konvergensi

...,!7!5!3

.1753

+−+−= xxxxxSin Semua nilai x

...,!6!4!2

1.2642

+−+−= xxxxCos Semua nilai x

...,1.3432

+++++= xxxxex Semua nilai x...,

!4!3!21.3 +++++= xxx

xex Semua nilai x

( ) ...,432

1ln.4432

+−+−=+ xxxxx -1 < x ≤ 1

( ) ( ) ( )( )...,

!3

21

!2

111.5

32

+−−+−++=+ xpppxpppxx p |x| < 1

Disebut deret Binomial, dengan p adalah bilangan real positif atau negatif

Teknik-teknik untuk mendapatkan pernyataan deret suatu fungsi

A. Perkalian suatu deret dengan suatu polinomial atau perkalian deret

dengan deret

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret dari : ( ) xx sin1+Maka kita lakukan perkalian ( )1+x xsinDengan deret Sbb :

( ) ( )

( ) L

L

!3!3sin1

!5!31sin1

432

53

xxxxxx

xxxxxx

−−+=+

−+−+=+

Contoh 2

Untuk mencari pernyataan deret dari : xex cos

Maka kita lakukan perkalian deretxe xcosDengan deret Sbb :

B. Pembagian suatu deret dengan deret lainnya atau dengan suatu polinomial

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret dari : ( )xx

+1ln1

Maka kita lakukan pembagian ( )x+1ln xDengan deret Sbb :

Contoh 2

Untuk mencari pernyataan deret dari :x+1

1

Maka kita lakukan pembagian 1 ( )x+1Dengan Sbb :

Contoh 3

Untuk mencari pernyataan deret dari : xtan

Maka kita lakukan pembagian deret xcosdengan deret Sbb :xsin

C. Menggunakan deret Binomial

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret dari :1

1

+x

Digunakan deret Binomial Sbb :

(contoh B2)

Hasilnya sama dengan contoh B2

D. Substitusi suatu polinomial atau suatu deret untuk variabel dalam deret lain

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret dari :2xe−

Maka kita lakukan substitusi 2x− pada variabel x dalam deret Sbb :xe

Contoh 2

Untuk mencari pernyataan deret dari : xe tankita lakukan substitusi sbb :

E. Metode Kombinasi

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret dari : xarc tanDigunakan metode Sbb :

karena

Kita tuliskan 1

Sebagai deret Binomial sbb : Kita tuliskan 21

1

t+Sebagai deret Binomial sbb :

sehingga

Soal latihan

x

ex

−1.1

xsec.2 xsec.2

∫ −=

−+ x

t

dt

x

x

0211

1ln.3

2cosh.4

xx eex

−+=

E. Uraian Taylor melalui uraian Mc-Laurin

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret taylor dari fungsi xlndisekitar x = 1, kita tuliskan:

Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :

( )432

+−+−=+ xxx( ) ...,432

1ln432

+−+−=+ xxxxx

Kemudian ganti x dengan (x-1), didapat :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )...,

4

1

3

1

2

1111lnln

432

+−−−+−−−=−+= xxxxxx

Contoh 2

Cari uraian Taylor dari fungsi xcos di sekitar 23π=x

Kita tuliskan:

Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :

...,!7!5!3

753

+−+−= xxxxxSin

Kemudian ganti x dengan (x - 3ππππ/2), didapat :

( ) ( ) ( ) ( )...

!52

3

!32

3

23

23

53

+−

+−

−−=−=ππ

ππ xxxxSinxCos

Soal Latihan

Cari uraian Taylor dari fungsi-fungsi berikut melalui uraian McLaurin :

11

)(.1 == adisekitarx

xf

25)(.2 == adisekitarxxf

Beberapa penggunaan deret

A. Perhitungan secara numerik

Contoh 1

hitunglah di x = 0,0015

Contoh 2

hitunglah

Lakukan diferensiasi empat kali dan masukan x=0,1, didapat :

B. Penjumlahan deret

Contoh 1

hitunglah

Mulai dengan deret :

Ambil x = 1

Jadi

69,0....4

1

3

1

2

11 =+−+−

Soal latihan

.........7

1

5

1

3

11.1 =+−+−

.........!7!5!3

.2642

=−+− πππ

Gunakan xarc tan

Gunakan x

xsin!7!5!3

( ) ( ).........

!3

3ln

!2

3ln3ln.3

32

=+++

x

Gunakan 1−xe

C. Menghitung integral tertentu

Contoh :

hitunglah

Mulai dengan deret :

Integral Fresnel, dijumpai pada persoalan Difraksi Fresnel

....!5!3

sin106

22 −+−= xxxx

Jadi

!5!3

D. Menghitung Limit

Contoh :

hitunglah

Jawab :

Soal latihan

dtet t−∫01,0

0

.1

01,01

.22

3

3

=

−xdi

x

ex

dx

d x

13

− xdx

( )x

xx

−→

1lnlim.3

0

E. Menentukan nilai e

Gunakan pernyataan deret pangkat untukxe dengan x = 1

...,!4!3!2

1432

+++++= xxxxex

...,111

11432

+++++=e ...,!4

1

!3

1

!2

111 +++++=e

..718,2...,...017,05,02 =++++=e

F. Menentukan akar suatu bilangan

Tentukanlah niali 9 dengan deret Binomial

Kita tidak bisa menulis

Deret Binomial :

( ) ( ) ( )( )...,

!3

21

!2

111

32

+−−+−++=+ xpppxpppxx p

9 dengan 81+ atau ( ) 2/181+Kita tidak bisa menulis 9 dengan 81+ atau ( ) 2/181+

Karena konvergensi deret Binomial adalah 1<x

Untuk menyelesaikan ini gunakan resep berikut :

( )nn

n

b

ca

c

ba

/1

/1

= Dengan b >> c

Jadi nilai 9

( )2/12

2/1

10

29

2

109

=

( ) ( ) 2/12/12/1

2/1 64,015100

64

100

1005

100

3659 −=

−=

=

Itulah hasilnya

( ) ( ) ( )3...

8

64,0164,05,0159

22/1 =

+−−+=

Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika

Contoh 1

Selesaikan dengan menggunakan metode deret pangkat yang cocok !Sebuah kereta luncur bermassa m berada pada sebuah jalur tanjakandengan sudut kemiringan θ terhadap horizontal. Di dekat bagian bawah jalurterdapat sebuah tiang bermuatan listrik positif. Muatan yang positif yangsama ditempatkan pula di atas kereta. Jika gesekan kereta luncur denganlintasan diabaikan dan diasumsikan percepatan gravitasi g, berapakahbesar gaya tolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebutbesar gaya tolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebuttetap diam di tempatnya. Petunjuk tuliskan F dalam deret pangkat dari θ.

θ

Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika

Solusi : Agar kereta tetap di tempatnya, maka :

∑ = 0F

θsinwC FF = θsinwC FF =

θsinmgFC =

++−= ....

!5!3

53 θθθmgFC

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Cari solusi PDB berikut :

xyy 2'=

Dengan metode pemisahan variabel

xydy

2= xdxdy

2=xydx

2= xdxy

2=

∫∫ = xdxy

dy2

cxy lnln 2 +=2xCey =

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Mencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan :

PDB yang dicari solusinya berorde satu (y’), maka perlu dicari y’ :

...44

33

2210 +++++= xaxaxaxaay

...432' 34

2321 ++++= xaxaxaay 4321

xyy 2'=

PDB :

02' =− xyy

...2222 32

210 +−−−=− xaxaxaxy

...432' 34

2321 ++++= xaxaxaay

+..........................0 32 ++++= xxx

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Buat matriks seperti berikut :

2220 aaa −−−

4321 432 aaaa

320 xxxx

'y

xy2−210 2220 aaa −−−

+

( ) ( ) ( ) ( ) ....24232200 2413021 +−+−+−+−= aaaaaaa

xy2−

didapat :

001 =−a 022 02 =− aa

02 aa =023 13 =− aa013

23 == aa

24 24 aa =

021

242

4 aaa ==01 =a

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Dengan demikian :

...44

33

2210 +++++= xaxaxaxaay

....3

10

2

100 6

054

032

00 +++++++= xaxxaxxaxay32

....3

1

2

1 60

40

200 ++++= xaxaxaay

++++= ....

321

642

0

xxxay

2

0xeay = Sama dengan hasil sebelumnya

Soal Latihan

xxyy +='.2

Cari solusi PDB Berikut dengan metode deret pangkat

yxy 23'.1 =

xyy 3sin4''.3 =+

SELESAI

TERIMA KASIH…