Den specielle relativitets teori

Risskov Gymnasium

2012

Den specielle

relativitetsteori SRP matematik/fysik

Frederik Rosenørn Jensen

Frederik Rosenørn Jensen SRP MA/FY Relativitetsteori 21-12-2012 3x Risskov Gymnasium

2

Abstract

This paper describes the principles of relativity, and compares them to those of the classical

mechanics and therefore the Newtonian mechanics. It explores the flaws and errors of how the

classical mechanics understood time and space, and explains why the new relativistic mechanics are

more fit to describe the connection between events in two inertial frames of reference. Furthermore

it covers the concept of time dilation and proves the existence of this phenomenon through an

experiment, in which the lifetime of a muon is measured. The point of this experiment is that the

theoretical lifetime of a muon does not allow more than % of all muons to be

registered at ground level even if they travel at the speed of light. However we are still able to

detect up to 50% of the muons that gets created at the top of the atmosphere. This is due to the time

dilation and this paper will therefore calculate this time dilation from the information received in

the experiment.

This paper also covers the concept of length contraction, and describes how and why the Lorentz-

transformation is used to tie together events in two different inertial frames of reference which is

fundamental to the understanding of the theory of relativity.


3

Indholdsfortegnelse

Indledning........................................................................................................................4

Den klassiske mekanik.....................................................................................................5

Newton .............................................................................................................................................. 5

Galilei-transformationen........................................................................................................................6

William de Sitters paradoks...................................................................................................................8

Michelson Morley................................................................................................................................10

Det specielle relativitetsprincip......................................................................................15

Einstein................................................................................................................................................15

Samtidighed.........................................................................................................................................17

Lorentz-transformationen....................................................................................................................19

Lorentz-transformationen på differensform.........................................................................................25

Tidsforlængelse....................................................................................................................................27

Længdeforkortelse..............................................................................................................................29

Rumtiden............................................................................................................................................31

Eksperimentel eftervisning af tidsforlængelsen..............................................................31

Konklusion.....................................................................................................................36

Litteraturliste.................................................................................................................37

Bilag 1............................................................................................................................38

Bilag 2............................................................................................................................39

Bilag 3............................................................................................................................40

Bilag 4............................................................................................................................41


4

Indledning

Relativitetsteorien er noget de fleste har hørt om, men det er de færreste der ved hvad den egentlig

går ud på, og hvad den indebærer. Samtidig er lysets hastighed noget man som regel bare antager

for at være en konstant. Baggrunden for lysets hastighed som en konstant er det ikke alle der

kender, og netop denne er tæt forbundet med relativitetsteorien.

Mit emne er afgrænset til primært at handle om lysets hastighed og tid. Dette indebærer dog at man

bliver nødt til at undersøge hvordan mekanikken tog sig ud, før relativitetsteoriens tilkommen, og

med den vores opfattelse af hvordan tid og rum hænger sammen. Det er først efter man har forstået

baggrunden, man kan begynde at snakke om den relative mekanik. Nogle af de væsentligste

begreber der indgår i dette er invarians, og ikke mindst inertialsystemer. Inertialsystemer hænger

uløseligt sammen med Lorentz-transformationen, hvilket i sidste ende leder til at man kan

diskuterer begreberne tidsforlængelse og længdeforkortelse.

Som sagt er der et fokus på tid i den følgende opgave, og der vil derfor også være et øget fokus på

tidsforlængelsen som også eksperimentelt vil blive påvist i den sidste del af opgaven.


5

Den klassiske mekanik

Newton

Før vi bevæger os ud i relativitetsteori må vi først forstå hvad der ligger til grund for den. For at

gøre dette bliver vi nødt til at betragte den klassiske (også kendt som den Newtonske) mekanik.

Grundlæggende for denne mekanik er Newtons tre bevægelseslove:

Newtons 1. lov1: Et legeme, som ikke bliver påvirket med nogen kraft, bevæger sig med en

konstant hastighed.

Newtons 2. lov2: Et legemes acceleration, , er proportional med kraften, der virker på

legemet.

Newtons 3. lov3: Hvis et legeme A påvirker et legeme B med en kraft , så vil B påvirke A med

kraften , som er modsatrettet og af samme styrke.

Når man arbejder med fysikken benytter man sig ofte af koordinatsystemer, i hvilke man kan

bestemme forskellige fysiske størrelser. Dette kunne for eksempel være tid, hastighed eller position.

Da det ikke kan lade sig gøre at finde en partikels stedvektor i forhold til et abstrakt matematisk

punkt, bliver man nødt til her, at benytte sig af et materielt objekt hvilket resulterer i at man skal

fastlægge sit koordinatsystem efter dette. Et sådant tilfælde kaldes for et referencesystem inden for

fysikken.

Til et hvert referencesystem kan der altid lægges et retvinklet koordinatsystem ved hjælp af tre

indbyrdes ortogonale planer. Herefter kan du finde et punkts koordinater (x,y,z), ved at måle

afstandene fra disse planer. Dette forudsætter dog at rummets geometri er Euklidisk (og da det er et

3-dimensionelt koordinatsystem, må dette betyde at skal gælde).

1 Dam, Mogens. Introduktion til den specielle relativitetsteori. 7. udg. Niels Bohr Instituttet, 2007, s. 1.

2 Dam, 2007, s. 2.

3 Samme s. 2.


6

Desuden må tiden t også være defineret i hele rummet idet den indgår i de fysiske love.

I den Newtonske teori er tiden absolut og tikker af sted med samme rate overalt. Det er kun enheder

og nulpunkter man selv kan bestemme i referencesystemerne.

Et system hvor Newtons første lov gælder kaldes inden for fysikken for et inertialsystem. I praksis

er det dog utrolig svært at finde inertialsystemer i vores verden, da næsten alt er påvirket af ydre

kræfter. Hvis vi tager Jorden som eksempel må vi også tage Jordens rotation i betragtning, og da

dette betyder at referencesystemet nu også rotere, er dette ikke længere et inertialsystem.

Galilei-transformationen

Nu betragter vi to referencesystemer som vi kan kalde for S og S'. Disse to systemer bevæger sig

med en konstant hastighed v i forhold til hinanden. Enhederne for længde og tid i

referencesystemerne er ens i dette tilfælde.

Nu orienteres de to systemer i forhold til deres indbyrdes bevægelse, så begyndelsespunktet i S'

bevæger sig langs med den positive x-akse i S. Samtidig er x- og x'-aksen, y- og y'-aksen, z- og z'-

aksen parallelle. Ud over dette nulstilles urene i de to referencesystemer således: .

Den måde vi har indrettet systemerne S og S' på i forhold til hinanden kaldes for

standardkonfiguration.

Figur 14

4 Dam, Mogens. Introduktion til den specielle relativitetsteori. 7. udg. Niels Bohr Instituttet, 2007, s. 3


7

Hvis vi nu antager at der sker en begivenhed, så som to partikler der støder sammen, har denne

koordinatsættet (x,y,z,t) i S, og (x',y',x',t') i S'. Når begivenheden har disse koordinater er forholdet

mellem dem givet ved Galilei-transformationen:

I denne er v hastigheden S' har i forhold til S.

Dette kan også tydeligt ses ud fra figur 1, der illustrerer de to referencesystemer hvor afstanden

mellem de to systemer er givet ved vt.

Man kan også se ud fra dette, at antagelsen om tid som et absolut begreb indgår i Galilei-

transformationen, idet tiden her er uafhængig af de to systemers bevægelse i forhold til hinanden.

Hvis man nu differentierer venstresiderne af transformationen med hensyn til t', og højresiderne

med hensyn til t, får man nu de klassiske hastighedstransformationer, som forbinder

hastighedskomponenterne for partikler i bevægelse i S, med dem i S'.

Her er ( ) og ( ).

Dette viser klart at sammensætningen af parallelle hastigheder foregår ved addition. For eksempel,

hvis man bevæger sig med en hastighed på 5 km/t ( ) i et tog, og toget bevæger sig med 100 km/t

(v), bevæger man sig altså med en hastighed på 105 km/t ( ) i forhold til sporene.

Hvis vi differentierer dette endnu en gang fremkommer transformationsreglerne for acceleration:


8

I dette tilfælde gælder det at ( ). Dette viser at accelerationen er ens i de

to systemer. Man kan også sige at accelerationen er invariant over for Galilei-transformationen.

Ved hjælp af vektor-notation kan vi skære alt dette ned til nogle enkelte mere præcise

sammenhænge:

I denne er henholdsvis positions-, hastigheds- og accelerationens-vektoren i S, mens de

tilsvarende mærkede symboler repræsenterer det samme i S' systemet.

William de Sitters paradoks

I løbet af 17. århundrede udviklede der sig to teorier omkring lysets natur. Den første teori kaldes

for emissionsteorien, og blev opstillet af blandt andre Newton. Denne teori betragter lys som små

partikler der bliver udsendt fra lyskilden med en konstant hastighed i enhver retning fra kilden.

Hvis man så bevæger lyskilden med en hastighed på i forhold til den person der iagttager

lyskilden, må man forvente at lysets hastighed opfattes som for iagttageren. Forudsætningen

for dette er at lys følger lovene for vektoraddition, på samme måde som materielle partikler gør det i

Galilei-transformationen, som jeg tidligere har beskrevet.

At denne teori ikke passer blev imidlertid påvist af en hollandsk astronom ved navn William de

Sitter (1872-1934). Han betragtede et dobbeltstjernesystem bestående af en mørk centralstjerne, der

befandt sig i hvile i afstand l fra Jorden, og en lysende ledsagerstjerne, der bevæger sig cirkulært

omkring centralstjernen med hastigheden v, og omløbstiden T. Omløbstiden kan bestemmes alene

ved hjælp af observation.


9

Figur 25

Figur 2 ovenfor viser dobbeltstjernesystemet. Systemet er vist hvor ledsagerstjernen befinder sig i

to yderpositionerer A og B. I disse positioner bevæger stjernen sig henholdsvis imod og væk fra

Jorden.

Hvis man lader ledsagerstjernen passere A til tiden 0 må lyset denne udsender have farten , og

lyset må derfor nå Jorden til tiden: .

Når stjernen så når position B må vi kunne sige at: , da der her må være gået en halv

omløbstid, og da stjernen bevæger sig væk fra Jorden må dennes fart skulle subtraheres fra lysets

hastighed.

Når ledsagerstjernen så når tilbage til position A igen (altså har taget en hel omgang omkring

centralstjernen) kan vi nu sige:

Ud fra dette burde vi kunne forvente at de to halvdele af omløbsbanen gennemløbes i forskellige

tider, når vi iagttager dette fra Jorden, nemlig:

AB i tiden:

BA i tiden:

5 Knudsen, Ole og Pedersen, Olaf: Mekanik 2. 1. udg. Århus Universitets Forlag 1972. s 114.


10

Dette er dog i modstrid med observationerne, som viser at ledsagerstjernen bruger samme tid på at

rejse mellem den ene yderstilling og den anden. Desuden ville forskellen: kunne

antage værdier der er større end selve omløbstiden.

Dobbeltstjernen har , og dette ville føre til at

, hvilket ville resultere i at der bliver vendt rundt på begivenhederne når

man iagttager dem fra Jorden. Og da dette aldrig er blevet konstateret bliver man nødt til at forkaste

hypotesen om lys med en konstant hastighed i forhold til lyskilden.

Michelson Morley

Den anden teori der beskriver lysets natur stammer fra Huygens, og bliver kaldt ondulationsteorien.

Denne teori beskriver lys som bølger, og i starten af de 19. århundrede forestillede man sig at bølger

svingede i et elastisk medium som man kaldte for æteren. Senere hen opfattede man takket være

Ludvig Valentin Lorenz og James Clerk Maxwell lys som et elektromagnetisk felt i æteren. I begge

tilfælde gælder det dog, at man antog at lysbølgerne har en bestemt hastighed i forhold til æteren,

præcis ligesom lydbølger har en bestemt hastighed i forhold til atmosfæren. Til fælles med

emissionsteorien antog man også i denne, at lysets hastighed kunne adderes som vektorer.

Ondulationsteorien fik sit store gennembrud, og blev offentligt anerkendt i den sidste del af det

forrige århundrede, som den var blevet udformet af Ludvig Valentin Lorenz og James Clerk

Maxwell. Dette skyldtes, at denne udformning af teorien kunne forklare fænomener som

diffraktion, interferens of polarisation.

Denne teori førte til at Albert Abraham Michelson ønskede at finde Jordens bevægelse i forhold til

æteren. Dette forsøgte han i 1881 og igen i 1887.

Han antog, at når både lyskilden samt iagttageren er forbundet til Jorden, må man forvente at lysets

hastighed må forandre sig, i og med lysstrålen enten bevæger sig med eller mod Jordens rotation i

æteren. Da Jordens årlige bevægelse er ca. som svare til omtrent af lysets hastighed,

kunne man kun påvise det ønskede med et meget fintfølende interferometerforsøg.


11

Figur 36

Figur 3 viser forsøgsopstillingen for Michelsons interferometerforsøg.

L betegner en lyskilde der udsender monokromatisk lys (lys der kun har en enkelt bølgelængde og

dermed også kun en farve). Dette lys har frekvensen v og bølgelængden λ. Lyset fra denne kilde

passerer gennem blændeåbningen B og rammer S. Her bliver strålen spaltet i to (dette kan for

eksempel foregå ved hjælp af spejle eller prismer). Efter at være blevet spaltet i to stråler

gennemløber den ene afstanden l1 til tiden t1, mens den anden stråle gennemløber afstanden l2 til

tiden t2. Disse to stråler bliver så ved hjælp af et optisk arrangement F, der minder om S, genforenet,

hvorefter de til sidst ender i kikkerten K.

På strækningen l1 vil der naturligvis befinde sig vt1 antal bølger, mens der tilsvarende vil være vt2

bølger på den anden strækning. Dette resulterer i en forskel der kan beskrives som:

.

Hvis de to lystider er forskellige, vil de to stråler have en faseforskel når de endnu en gang føres

sammen. Denne faseforskel bestemmer hvad det er man kommer til at se, når man kigger ind i

kikkerten.

Hvis Δn er et helt tal P vil lysstrålerne forstærke hinanden, og det forventes at hele synsfeltet i

kikkerten vil være oplyst, når man kigger ind i den. Hvis Δn derimod er af formen vil

strålerne svække hinanden, og det forventes at der vil være mørkt når man ser i kikkerten.

Når man udfører forsøget i praksis er dette dog ikke sandt. Dette skyldes at instrumenterne har

nogle ufuldkommenheder i optisk forstand. I praksis vil begge tilfælde komme til at se ud på denne

måde:

6 Dam, Mogens: Introduktion til den specielle relativitetsteori. 7. udg. Niels Bohr Instituttet, 2007, s. 8


12

Figur 47

De lyse striber viser der hvor de to lysstråler har forstærket hinanden, mens de mørke repræsenterer

hvor de to stråler har svækket hinanden.

Hvis vi nu forestiller os at vi på en af lysvejene mellem S og F foretager en ændring, dette kunne

være at vi opvarmer luften, ændrer vi brydningsforholdet, og dermed også lysets hastighed på denne

strækning. Dette vil føre til at vi får en ændring af t1, og dermed også af Δn. Resultatet af dette må

være en ændret position af de lyse og mørke striber. Hvis man gør dette løbende, mens man

observerer ændringerne igennem kikkerten, vil man se dette som om lysstriberne bevæger sig hen

over synsfeltet. Hvis en mørk stribe vandrer hen hvor der før var en lys stribe må dette betyde at Δn

er ændret med , og derfor kan vi også slutte at lysvejen l1 må være ændret med . På denne måde

kan man benytte interferometeret til at opserverer ændringer i lysvejene mellem S og F.

Som tidligere nævnt forsøgte Albert Abraham Michelson to gange at eftervise æteren. Det mest

kendte forsøg var dog hans andet som han udførte i 1887 sammen med Edward Morley.

Forsøgsopstillingen til forsøget er vist på figur 5:

7Dam, Mogens: Introduktion til den specielle relativitetsteori. 7. udg. Niels Bohr Instituttet, 2007, s. 9


13

Figur 58

L er endnu en gang en monokromatisk lyskilde, og B er også den samme som før, altså en

blændeåbning. Lyset fra L passere gennem denne åbning og rammer S som er et spejl der er

halvforsølvet. Dette betyder at halvdelen af lyset bliver reflekteret, mens den anden halvdel passerer

gennem spejlet med en lille parallelforskydning. Lysstrålen rammer spejlet med en vinkel på 45°.

Strålen der passerer gennem spejlet rammer nu spejlet S1 hvor det bliver reflekteret tilbage til S. Den

del af lyset der bliver reflekteret i S til at starte med, rammer S2 inden det bliver kastet tilbage til S.

Her mødes det med lyset fra S1, og ender til sidst i kikkerten K.

Vi kan nu beregne lyshastigheden på de to strækninger, hvor lysstrålerne er adskilte SS1S og SS2S.

Først og fremmest tænker vi os, at instrumentet er opstillet således at lyset i SS1 er parallelt med

Jordens hastighed v gennem æteren. Dette medfører at lysets hastighed på denne strækning må være

, mens det på strækningen S1S må være .

Hvis vi nu tildeler længden af strækningen SS1 symbolet L1 vil den samlede lystid da være:



14

Nu kigger vi på lystiden på strækningen SS2S. Her tildeler vi den en lignende længde, som vi kalder

for L2. I dette tilfælde må vi tage højde for instrumentets bevægelse i forhold til æteren. I dette

system er denne bevægelse vinkelret på lysstrålens retning, og vi kan ved hjælp af en retvinklet

trekant bestemme at lysets hastighed her må være

hvilket er vist på figur 6 til højre.

Det vil være det samme tilfælde på vejen ned igen og

det resulterer i en samlet lystid der hedder: .

Som jeg har nævnt tidligere i Michelsons første forsøg

på at detektere æteren er hvilket må

betyde at: Figur 69

Da instrumentet er indrettet på sådan en måde, at de to arme er lige lange får vi nu . Og

for får vi ved rækkeudvikling den tilnærmede formel:

Og hvis vi så indfører bølgelængden som får vi nu:

Forsøget udførtes således, at man observerede interferensstriberne i kikkerten mens hele

instrumentet drejede 90°, hvilket betyder, at de to arme byttede roller. Dette ville resultere i en

forskel i bølgetallet på:

Da instrumentet i Michelson Morley forsøget havde en L = 1100 cm, og benyttede lys med

bølgelængden , får man med at:

Dette burde give en tydelig ændring i interferensstriberne, men man observerede dog intet, selvom

man burde kunne havet registreret ændringer helt ned i 0.02 tydeligt.



15

Herefter foretoges et lignende eksperiment, hvor man lod instrumentet stå stille, mens man iagttog

striberne over en periode på seks måneder. Denne tidsperiode ville være nok til at Jorden ville

ændre dens rotation i forhold til æteren, og dette ville i følge teorien give sig til kende i form af en

ændring i bølgetal, og dermed i kikkerten.

Heller ikke denne gang kunne nogen ændring ses, og det ledte Michelson til konklusionen, at man

ikke kan påvise Jordens bevægelse i forhold til æteren ud fra hypotesen om, at lys udbreder sig med

en konstant hastighed i denne.

Det specielle relativitetsprincip

Einstein

I 1905 kom Albert Einstein med en afhandling kaldet "Zur Elektrodynamik bewegter Körper". I

denne afhandling forsøgte Einstein at komme med en forklaring på ætervinds-paradokset, som

stadig ikke var blevet løst på dette tidspunkt, selvom det også var blevet forsøgt af Fitzgerald og

Lorentz tidligere.

I afhandlingen kom Einstein med det første postulat:

Alle inertialsystemer er ligeværdige for udførelsen af alle fysiske eksperimenter.10

Dette postulat henviser til det mekaniske relativitetsprincip, som siger, at alle inertialsystemer er

ligeværdige for udførelsen af mekaniske eksperimenter.

Einstein udtrykte desuden:

De samme elektrodynamiske og optiske love vil gælde i alle koordinatsystemer, i hvilke

mekanikkens ligninger er gyldige.11

Dette kaldes det specielle relativitetsprincip og er en forklaring på hvorfor Michelson ikke kunne

finde Jordens bevægelse (det vil sige et inertialsystems bevægelse) i forhold til en i rummet

hvilende æter, ved hjælp af hans optiske udstyr.

Senere hen udtrykte Einstein princippet som:

10

Dam, Mogens: Introduktion til den specielle relativitetsteori. 7. udg. Niels Bohr Instituttet, 2007, s. 12. 11

Knudsen, Ole og Pedersen, Olaf: Mekanik 2. 1. udg. Århus Universitets Forlag 1972. s 123.


16

Hvis et koordinatsystem S er valgt sådan, at de fysiske love heri gælder i deres simpleste form, vil

de samme love også gælde i et hvilket som helst andet koordinatsystem S', der udfører en jævn

translation i forhold til S.12

I følge Einstein findes der altså ikke nogen æter eller noget absolut rum for den sags skyld. Alle

inertialsystemer er ligeværdige, da alle fysikkens love gælder uforandret i dem alle sammen. Dette

betyder jo selvfølgelig også, at elektromagnetiske og optiske love gælder i alle inertialsystemer, og

dette nærmest tvang Einstein til det næste postulat:

I det tomme rum udbreder lyset sig retlinet med hastigheden c i enhver retning i ethvert

inertialsystem.13

Dette er naturligvis i modstrid med Galilei-transformationen, da denne ikke er forenelig med de

elektrodynamiske og optiske love som de er udformet i de Maxwellske ligninger (Gauss' lov, Gauss'

lov om magnetisme, Faradays lov og Ampères lov), og heller ikke med princippet om en konstant

lyshastighed.

Den grundlæggende transformation mellem inertialsystemer kan derfor ikke være Galilei-

transformationen, og denne må derfor erstattes af en transformationen som alle fysikkens love er

invariante over for. Denne hedder Lorentz-transformationen.

Da vi nu opgiver Galilei-transformationen må vi derfor også genoverveje den klassiske mekanik og

de Newtonske love. Vi ved dog fra erfaring, at den klassiske mekanik har vist sig anvendelig når vi

arbejder med meget små hastigheder i forhold til lysets hastighed, hvilket betyder, at den nye

relativistiske mekanik skal indeholde den klassiske mekanik som et grænsetilfælde. Dette betyder,

at Lorentz-transformationen må skulle gå over i Galilei-transformationen i sådanne tilfælde.

Dette fører til, at vi må skulle opbygge den nye relativistiske mekanik efter de følgende tre

principper:

1) Princippet om den klassiske mekanik som et grænsetilfælde for den

relativistiske.

2) Det specielle relativitetsprincip.

3) Princippet om lyshastighedens konstans.14

12

Knudsen, Ole og Pedersen, Olaf: Mekanik 2. 1. udg. Århus Universitets Forlag 1972. s 124 13

Dam, Mogens: Introduktion til den specielle relativitetsteori. 7. udg. Niels Bohr Instituttet, 2007, s. 12.


17

Den første konsekvens af relativitetsprincippet er, at lysets hastighed må være den samme i alle

inertialsystemer. Dette må siges at være korrekt da lyshastigheden er uafhængig af retningen inden

for det enkelte inertialsystem, og for det andet er uafhængig af lyskildens hastighed (dette må siges

at være sandt på grund af William de Sitters argument ud fra dobbeltstjernesystemet). Der må derfor

være knyttet et tal til et hvert inertialsystem, der angiver lysets hastighed i det pågældende system.

Dette tal må dog imidlertid siges at være ens i alle inertialsystemer da der ellers ville kunne skelnes

mellem dem ved hjælp af optiske forsøg, og det vil derfor være i strid med det specielle

relativitetsprincip.

Samtidighed

Vi tænker os nu at vi har to inertialsystemer S og S' som har hver deres tidsmål t og t'. I den

klassiske mekanik gik man ud fra at disse tidsmål måtte kunne bringes til at stemme overens, og

man satte derfor i Galilei-transformationen. Dette betyder, at hvis to begivenheder er

samtidige i S, vil de også være det i S'.

Denne idé om samtidighed kan dog ikke opretholdes i relativitetsteorien, og vi søger derfor en

anden definition, der kan afgøre om begivenheder er samtidige ved hjælp af fysiske målinger. Til

dette benytter vi os af Einsteins andet postulat (lys udbreder sig med den samme hastighed c i

enhver retning i alle inertialsystemer). Vi kan skrive at:

To begivenheder, der foregår i punkterne A og B, vil være samtidige, såfremt et lyssignal udsendt

fra A, når begivenheden her finder sted, og et lyssignal udsendt fra B, når begivenheden finder sted

der, vil nå frem til en iagttager i samme afstand fra A og B til samme tidspunkt.15

Denne definition medfører, at to iagttagere der er i indbyrdes bevægelse ikke vil være enige om

samtidigheden for to begivenheder. Dette kan demonstreres ved hjælp af et tanke eksperiment som

Einstein udførte.

14

Knudsen, Ole og Pedersen, Olaf: Mekanik 2. 1. udg. Århus Universitets Forlag 1972. s 125. 15



18

Vi betragter et tog, der er i jævn retlinet bevægelse i forhold til jordoverfladen. Toget bevæger sig i

tordenvejr, og der slår et lyn ned ved forenden og ved bagenden af toget. Her afsætter lynene

mærker på skinnerne såvel som toget selv. Når de slår ned vil de også udsende et lysglimt i hver sin

retning langs med toget

som illustreret til højre.

Iagttageren som befinder

sig på jorden, modtager

de to lysglimt til samme

tidspunkt, og når han

herefter opmåle

afstanden til de to

mærker, finder han, at

disse er lige lange. Dette

må betyde, at de to

lynnedslag fandt sted

samtidig. Figur 716

Som man kan se på tegningen, er der også en anden iagttager. Denne befinder sig midt på toget,

som bevæger sig mod en af lynene. Dette medfører, at denne iagttager modtager det ene lysglimt før

det andet. Iagttageren kan herefter fastslå, at han er lige langt fra togets forende og bagende, og da

lynene også afsatte mærker her, kan iagttageren konkludere, de to lynnedslag ikke var samtidige.

Kort sagt er de to begivenheder samtidige i det ene inertialsystem, men ikke i det andet. Altså er

samtidighed et relativt begreb, og det er kun i nogle specielle tilfælde, at samtidighed i det ene

system medfører samtidighed i det andet. Figur 817

For eksempel hvis en begivenhed er vinkelret på den

relative bevægelsesretning af inertialsystemerne. Dette

kan også forklares ud fra et simpelt tankeeksperiment.

16

Dam, Mogens: Introduktion til den specielle relativitetsteori. 7. udg. Niels Bohr Instituttet, 2007, s. 19. 17

Dam, Mogens: Introduktion til den specielle relativitetsteori. 7. udg. Niels Bohr Instituttet, 2007, s. 21


19

Vi tænker os nu i stedet, at et lyn slår ned i hver ende af en af vognakslerne, som jo må siges at

være vinkelret på bevægelsesretningen.

Hvis iagttageren på toget, der befinder sig i et plan vinkelret på midten af akslen, ser de to lysglimt

til det samme tidspunkt må begivenhederne siges at være samtidige for denne.

Lad os nu sige, at der befinder sig en anden iagttager på jorden, lige under det punkt på toget hvor

vores første iagttager så glimtene. Denne person vil også modtage lysglimtene til det samme

tidspunkt. Dette betyder at der i inertialsystemer ikke er uenighed omkring dimensioner som er

vinkelrette på bevægelsesretningen.

Lorentz-transformationen

Ligesom Galilei-transformationen skal Lorentz-transformationen sammenknytte en begivenheds

fire koordinater (x, y, z, t) i inertialsystemer S med dens koordinater (x', y', z', t') i et hvilket som

helst andet inertialsystem S'. Derfor er vores opgave at finde sammenhængene mellem de to

koordinatsæt ud fra de tre tidligere listede principper. Dette kan man gøre ved at finde

koordinaterne i S' som funktion af koordinaterne i S. Det vil sige:

Disse fire funktioner må afhænge af den relative hastighed af de to inertialsystemer.

I det følgende vil vi gøre visse antagelser af de to systemers indbyrdes forhold. Vi går ud fra, at

hastigheden af S' i forhold til S er rettet i x-aksens positive retning, og har værdien v.

Vi vælger også, at begyndelsespunktet for S', som vi kalder O', falder sammen med

begyndelsespunktet O af S til et eller andet tidspunkt. Denne begivenhed bruger vi som nulpunktet

for vores tidsregning i de to systemer, så med andre ord kan vi skrive:

Og til sidst vil vi antage at x'-aksen falder sammen med x-aksens positive retning.


20

Da S' bevæger sig med hastigheden v i forhold til S, må vi af symmetrigrunde kunne sige at S har

den relative fart -v i forhold til S'. Hvis ikke dette var tilfældet, ville de to systemer ikke være

ligeberettigede.

Som tidligere nævnt i eksemplet med togets aksel, er der ingen forskel på dimensionerne vinkelret

på bevægelsesretningen. Derfor kan vi ud fra de førnævnte antagelser sige at:

Og derved har vi fundet to af transformationsligninger. Disse adskiller sig ikke fra Galilei-

transformationen.

Vi kan nu vise at de to resterende funktioner ikke kan afhænge af y og z. Vi betragter to

begivenheder der har samme x-værdi og er samtidige i S. Da de finder sted vinkelret på den relative

bevægelsesretning, og er samtidige i S må de også være samtidige i S'. Derfor må det gælde at:

Dette må gælde for alle y og z.

Vi behøver nu ikke længere at beskæftige os med disse to koordinater og kan derfor lade som om at

alle begivenheder finder sted på x-aksen. Vi skriver de resterende to ligninger som:

I Galilie-transformationen så disse to ligninger ud som:

Disse to formler er tydeligt af formen ovenfor, da hverken y eller z indgår i dem.

Transformationen er lineær hvorved der blot forstås, at transformationen er et

førstegradspolynomium i x og t. Desuden er transformationen også homogen, hvilket betyder, at

medfører at . En homogen lineær transformation må derfor siges at

være en lineær transformation, der ikke indeholder nogle konstanter.

I vores situation er transformationen blot homogen, på grund af de antagelser vi lavede tidligere.

Hvis O og O' ikke er sammenfaldende til tiden t = 0 er transformationen ikke homogen, men stadig

lineær.


21

Det er klart at Lorentz-transformationen må være homogen med vores specielle antagelser. Det er

dog ikke helt lige så klart hvorfor den bliver nødt til at være lineær. Dette kan dog nemt vises ud fra

et hurtigt eksempel:

Hvis vi betragter en ikke-lineær transformation af formen:

Herefter antager vi at en partikel bevæger sig jævnt hen ad aksen med formen:

I dette er u en konstant. Hvis dette var tilfældet ville vores transformation give os følgende:

Hvis vi nu eliminerer t får vi:

Og heraf kan vi se at den bevægelse der var jævn i systemet S nu vil være jævnt accelererende i

systemet S' dette betyder at de to systemer ikke er inertialsystemer hvilket ellers er forudsat. 18

Dette medfører, at vi kan skrive transformationen på formen:

Her er de fire koefficienter γ, σ, κ, og ρ afhængige af hastigheden v, men uafhængige af x og t. Og

vi går derfor ud fra, at de kun kan afhænge af den relative fart mellem de to inertialsystemer.

For at bestemme koefficienterne kræver vi nu, at farten af de to systemer er v i x-aksens positive

retning. Vi kræver derfor, at O' (x' = 0) har hastigheden v set fra S. Dette betyder at ligningen:

må have løsningen:

18



22

Dette medfører derfor:

Tilsvarende må O (x = 0) have hastigheden -v i forhold til S'. Dette medføre at . Nu

benytter vi denne viden:

Transformationen er nu reduceret til:

I de her ligninger er γ en endnu ukendt funktion af v. Jeg har skrevet κ som -γαv, da dette vil vise sig

at være bekvemt senere hen. Dette betyder at α er en ubekendt funktion af v.

For at bestemme α og γ og dermed komme frem til den endelige Lorentz-transformation betragter vi

nu en lyskilde, som udsender et lysglimt til tiden . Dette lysglimt udsendes fra det fælles

begyndelsespunkt i to systemer som vi endnu en gang kalder S og S'.


23

Da vi antager, at lysets hastighed er invariant, må dette da udbrede sig sfærisk fra lyskilden med

hastigheden c i S såvel som i S'. Hvis dette gælder tilfredsstilles relationerne og ,

som er udtryk for sfærens radius i de to systemer. Derfor gælder det altså at:

S:

S':

Vi må nu kræve, at Lorentz-transformationen er konstrueret således, at lysglimtets udbredelse

tilfredsstiller begge disse udtryk.

Vi benytter nu transformationen

Denne bruger vi i udtrykket:

Dette giver os da udtrykket:

Nu ønsker vi så at bestemme α og γ, så de stemmer overens med . Først og

fremmest må de to led, som indeholder produktet xvt gå ud med hinanden. Dette betyder at:

Nu erstatter vi α med . Herefter kan vi samle de to led som indeholder x2 på venstre side af

lighedstegnet, og i overensstemmelse med kan vi kræve at koefficienten er 1.


24

Som sagt kan vi kræve at koefficienten for x2er 1 i følge vores formel fra tidligere. Derved

fremkommer: . Vi har således at:

Vi har her valgt den positive rod af α, idet vi kræver

at x' kontinuert går med x for .

Den fremkommende funktion kaldes for Lorentz-

faktoren og den spiller en meget vigtig rolle i den

videre relativitetsteori.

Når så vil faktoren altid være større end 1,

selvom det ikke er meget, når man snakker om små

hastigheder ( ).

Figur 919

Hvis man afbilleder funktionen som en graf, kommer den til at se ud som vist i figur 9. Her ses

tydeligt den lave tilvækst for små hastigheder mens grafen bliver lodret, når man når .

Med disse resultater har vi nu udledt den endelige Lorenz-transformation, som ser således ud:

19



25

Dette sammen med de to andre ligninger giver os de fire Lorentz-ligninger:

Lorentz-transformationen på differensform

Vi betragter nu to punkter P1 og P2 i et inertialsystem S. De to punkter har koordinatsættene

( ) og ( ). Differensen på disse punkter må derfor siges at være:


26

Vi ønsker nu at finde de tilsvarende koordinater i inertialsystemet S', som bevæger sig i forhold til

S, på den måde som er brugt før.

For at finde x-koordinaten anvender vi Lorentz-transformationen:

Hvis vi benytter en lignende fremgangsmåde på de resterende ligninger i transformationen, ender vi

med fire ligninger, der ser således ud:

Ved hjælp af Lorentz-transformationen kan man også eftervise at:

Dette foregår på samme måde, som da vi arbejdede med den sfæriske udbredelse af lys i

inertialsystemerne S og S'. Og ved hjælp af samme fremgangsmåde som vi lige har brugt, kan vi

derfor komme frem til:


27

Dette betyder, at S og S' ikke længere behøver at være sammenfaldende i , da der nu er

taget højde for koordinatdifferenser.

Afstanden mellem to punkter i det Euklidiske rum er som tidligere nævnt givet ved:

Vi erstatter nu med (og det samme gør vi for de mærkede koordinater da det

samme må gælde i S').

I det tilfælde vil vores formel for afstanden mellem to punkter ende op på formen:

Hvis vi nu betragter en effekt, der i S udbreder sig med lysets hastighed vil dette betyde at

, og dermed går højresiden ud med sig selv, og det samme vil kunne siges om

venstresiden af vores lighedstegn. Dette betyder ultimativt, at lyshastigheden er invariant i vores

teori.

Den fælles værdi for de to kvadratiske former der beskriver forskellen mellem to begivenheder,

kaldes for kvadratet af forskydningen:

Tidsforlængelse

Et af de vigtigste begreber i relativitetsteorien er tidsforlængelse. Kort sagt betyder dette, at et ur i

bevægelse vil gå langsommere, end et ur der er i hvile. Dette fænomen vil jeg nu bevise ud fra et

lysur.

I fysikken er ethvert ur blot noget, der er baseret på en periodisk bevægelse. Altså en bevægelse der

gentager sig selv igen og igen. Dette gælder for eksempel for rotationen af viseren i et armbåndsur.

Hvis vi nu tager to spejle, der er parallelle. Mellem disse to spejle lader vi en lyspuls bevæge sig

frem og tilbage. Dette må siges at være et ur, hvor man kan måle tiden ved, at tælle antallet at gange

lyspulsen rammer det ene spejl. Dette kalder vi

for et lysur.

Hvis vi har et lysur i hvile, må perioden for dette

ur kunne siges at være tiden det tager lyset, at


28

bevæge sig fra det ene spejl hen til det andet og tilbage til det første igen. Hvis vi kalder afstanden

mellem de to spejle for L må perioden kunne

beskrives som:

Figur 1020

Figur

1121

c betegner her lysets hastighed, mens T0 blot

fortæller at det er perioden for uret i hvile.

Hvis vi nu sætter vores lysur i bevægelse med

farten v langs med x-aksen, må afstanden mellem

det punkt hvor lyset bliver udsendt, til det punkt

hvor lyset når tilbage til det første spejl igen

kunne beskrives som:

T adskiller sig her fra T0 ved at det er perioden for lysuret i bevægelse.

Der vil nu opstå en retvinklet trekant, der har kateterne , samt hypotenusen .

Hvis vi benytter os a Pythagoras' læresætning får vi nu: Figur 1222

Hvis vi løser disse kvadrater, og

ganger udtrykket igennem med 4, får

vi således:

20

Uggerhøj, Ulrik I.: Et detaljeret supplement til Tid - Den relative Virkelighed. 1. udg. Instituttet for Fysik og Astronomi, Århus Universitet, 2006. s. 1. 21

Uggerhøj, Ulrik I.: Et detaljeret supplement til Tid - Den relative Virkelighed. 1. udg. Instituttet for Fysik og Astronomi, Århus Universitet, 2006. s. 2. 22

Uggerhøj, Ulrik I.: 2006. s. 2


29

Nu har vi altså fundet sammenhængen mellem perioden på uret i bevægelse og uret i hvile. Ud fra

dette kan vi se, at når hastigheden af uret i bevægelse går mod c vil nævneren i brøken gå mod 0, og

derved vil forskellen i perioden stige jo hurtigere uret bevæger sig. Dette betyder, at et ur i

bevægelse går langsommere end et ur i hvile med faktoren: hvilket er den samme som

Lorentz-faktoren fra tidligere. Dette betyder at vi kan skrive:

Hvis uret derimod bevæger sig med en fart, der er meget langsommere end lysets hastighed

vil nærme sig T, hvilket er grunden til, at vi ikke registrerer denne effekt i vores hverdag.

Længdeforkortelse

Vi roterer nu vores lysur 90°, og lader endnu

engang perioden være den tid det tager lyset, at

bevæge sig fra det ene spejl til det andet. Vi

sætter dog denne gang spejlene i bevægelse i

lysets udbredelsesretning, og kigger i første

omgang på hvornår lyset rammer det første spejl

(som jo bevæger sig væk fra lyset). Tidspunktet

spejlet bliver ramt til, kalder vi for T1. Lyset må


30

til denne tid have bevæget sig , hvilket betyder at den totale afstand, lyset til dette

tidspunkt har tilbagelagt, må være lysurets længde L samt afstanden x.

Figur 1323

Dette giver sammenhængen:

Den tilsvarende tilbagevej i tidsrummet T2 hvor spejlet denne gang bevæger sig mod lyset, må da

være:

Vi kan nu finde perioden for uret, hvilket må siges at være:

Vi benytter os nu af udtrykket, der fortæller, at et ur i bevægelse går langsommere end et ur i hvile:

Dette betyder at:

23

Uggerhøj, Ulrik I.: Et detaljeret supplement til Tid - Den relative Virkelighed. 1. udg. Instituttet for Fysik og Astronomi, Århus Universitet, 2006. s. 3


31

I hvile må det da gælde at:

Dette betyder derfor:

Af den grund må længden af lysuret i bevægelse blive:

Vi genkender nu udtrykket: hvilket må betyde at forholdet mellem længden i hvile og i

bevægelse må blive:

Da γ altid er mere end 1 (undtagen hvis v = 0), må dette da betyde, at længden af uret i bevægelse L

er mindre end uret i hvile L0, hvilket er længdeforkortelsen.

Rumtiden

Vi har allerede set, hvordan den specielle relativitetsteori er påvirket af bevægelsen både iagttageren

og den iagttagede begivenhed. I Galilei-transformationen var tid en absolut størrelse, men som vi

har vist sker der i Lorentz-transformationen en sammenblanding af begivenheders tidspunkt og

begivenheders rumlige koordinater. Denne sammenhæng leder til opfattelsen af tid som den fjerde

dimension, og dette system i fire dimensioner kaldes for rumtiden.

Et punkt i rumtiden er karakteriseret ved fire koordinater (x,y,z,t), hvor t refererer til det tidspunkt,

hvor en begivenhed finder sted, mens de tre andre koordinater refererer til et punkt i de normale tre


32

dimensioner. I den specielle relativitetsteori eksisterer den invariante 4-dimensionale

differentialform:

At denne er invariant, har jeg allerede vist i afsnittet om Lorentz-transformationen på

differentialform.

Bortset fra omvendte fortegn, minder denne meget om formlen, der bestemmer, om et klassisk 3-

dimensionelt rum er Euklidisk. Og på samme måde som denne er invariant over for rotationen af

det 3-dimensionelle rum, er Δs også invariant overfor Lorentz-transformationen.

Eksperimentel eftervisning af tidsforlængelsen

Rent eksperimentelt kan tidsforlængelsen bestemmes ved hjælp af levetidsberegninger af myoner.

Myoner er partikler, der har den samme ladning som elektroner, men vejer ca. 207 gange så meget

som disse. Dette betyder, at myoner er radioaktivt ustabile, og henfalder til elektroner og neutrinoer.

Det interessante ved myoner er, at de bliver dannet i en højde ca. 10 km over Jordens overflade. Her

bevæger de sig med en hastighed, der er meget tæt på lysets hastighed.

Vi ønsker nu eksperimentelt at undersøge levetiden af myoner. Det vil sige hvor lang tid der går, før

antallet af myoner er henfaldet således, der kun er myoner tilbage.

Til dette bruger vi en scintillator. En scintollator består først og fremmest af et scintillerende

materiale, hvilket kan være mange forskellige materialer. Fælles for disse er dog, at de udsender lys,

når der passerer en ladet partikel igennem dem. Dette skyldes, at den ladede partikel eksiterer

atomer i stoffet, som kort efter henfalder, og udsender en lysfoton. Dette lys transporteres videre til

en Photo-Multiplier-Tube, da lysmængden er meget lille, og skal forstærkes. I PMT'en benytter man

lysets foto-elektriske effekt til at udsende elektroner. Man accelererer disse elektroner gennem et

spændingsfald, til plader hvor der bliver frigivet mindst to andre elektroner. Denne effekt fortsætter

hele vejen ned igennem PMT'en.24

Da dette instrument naturligvis er meget følsomt over for lys, pakker man det ind i lysreflekterende

folie og derefter mørkt plast og tape, for at undgå at den opfanger lys, der ikke stammer fra de

eksiterede atomer i det scintillerende materiale.

Vi forbinder nu scintillatoren til højspænding samt et oscilloskop. På oscilloskopet vil en myon i det

scintillerende materiale give sig til kende som et dobbelt udsving. Dette skyldes at myonen udskiller

24

For billeder af den i eksperimentet benyttede forsøgsopstilling se Bilag 1 og 2.


33

en masse energi, idet den gennemtrænger materialet, og bringes til standsning. Det andet udsving

fremkommer, idet myonen henfalder, og derved også giver anledning til lysudsendelse. Det der

adskiller disse to udsving, må være myonens levetid.

Man kan nu finde et udtryk for levetiden af myoner ved at lave en graf, hvor man hen ad x-aksen

har levetiden af de myoner der opfanges (tiden mellem de to udsving på oscilloskopet), og op ad y-

aksen har man antallet af gange den tidsforskel er blevet målt.

En typisk graf for dette vil se sådan ud:

Figur 1425

Dette er grafen for et eksperiment, der har stået i længere tid. Det eksperiment jeg udførte på Det

Fysiske Institut Århus Universitet stod kun i nogle få timer, og antallet af hændelser er derfor ikke

lige så stort. Dette giver anledning til et lidt andet resultat i databehandlingen, men grafen kan ikke

desto mindre stadig bruges.

25

Se Bilag 3


34

Figur 1526

Som det kan ses på graferne, har jeg udført en eksponentiel regression. Denne har forskriften:

. Jeg har dog valgt at udlade B, da denne kan være forårsaget af uønsket

gammastråling, og kun giver anledning til en parallelforskydning af grafen. Dette betyder, at

forskriften derfor ser ud som:

Denne form kan vi genkende som den samme for henfald, som er givet ved: hvor τ

angiver levetiden for myonen. Samtidig kan vi se at C må være , da t svarer til x.

Ud fra dette kan vi nu regne τ altså levetiden for myoner.

Nu har vi levetiden for en myon i hvile. Hvis vi nu antager, at myonen bevæger sig med lysets

hastighed, kan vi udregne den afstand, myonen kan tilbagelægge, før den henfalder:

26

Se Bilag 4


35

Som sagt bliver de dannet 10 km over Jordens overflade, og de kan åbenbart knap nå 900 m ned,

inden de henfalder. Der vil dog stadig være myoner tilbage efter levetiden, så vi kan nu regne hvor

stor en procentdel, der vil nå Jorden, og dermed kunne blive registreret i vores scintillator.

Vi starter med at finde ud af hvor lang tid det vil tage en myon at nå Jordens overflade med lysets

hastighed:

Det vil altså tage myonen at nå Jorden. Dette bruger vi nu til, at udregne antallet af

levetider det svarer til:

Det betyder, det vil tage myonen næsten 12 levetider at nå ned, hvor vi kan måle den. Dette kan vi

nu bruge til at udregne hvor stor en procentdel af myoner, der vil nå her ned, ved at bruge vores

viden om at myoner er tilbage efter hver levetid:

Herved kan vi se, at der vil nå cirka af

myonerne der bliver dannet ned til Jorden. Hvis vi

sammenligner dette med grafen til højre, kan vi se det

ikke stemmer overens, med hvor mange man egentlig er i

stand til at registrer. Hvis vi kigger på den vertikale flux

værdi i højden 10 km, og sammenligner denne med

værdien ved Jorden, kan vi se at der i virkeligheden er 33-

50% af myonerne tilbage.

Denne store forskel skyldes tidsforlængelsen, som vi nemt

kan finde, når vi ved at . Vi har tidligere udledt


36

formlen for tidsforlængelsen, og denne kan vi blot bruge, da vi kender både levetiden for myonen i

hvile og γ.

Det betyder altså, at den relative levetid for myonen er 55.7560 μs. Den må derfor have en

tidsforlængelse på:

Med denne nye levetid kan vi nu regne procentdelen af myoner vi kan detektere igen, med samme

fremgangsmåde som sidst:

Det betyder, at der med denne levetid vil gå 0.5982 levetider inden myonen når Jorden. Nu kan vi

så regne, hvor stor en del af myonerne dette svare til:

Derved vil der nå 54.98% af alle myoner til Jorden, hvilket stemmer mere overens med den

egentlige værdi, end før vi benyttede os at tidsforlængelsen.


37

Konklusion

Den primære pointe i den opgave der var blevet stillet, var at undersøge tidsforlængelsen, som er en

del af relativitetsteorien. Dette har jeg formået at gøre, ved først at undersøge den klassiske

mekanik, også kendt som den Newtonske mekanik. Her fandt jeg ud af, at denne ikke var

tilstrækkelig til at beskrive sammenhængen mellem inertialsystemer. Dette blev meget tydeligt, da

jeg beskæftigede mig med William de Sitter.

I den klassiske mekanik var sammenhængen mellem et inertialsystem S og et hvilket som helst

andet inertialsystem S' beskrevet ved hjælp af Galilei-transformationen. Denne fandt jeg dog ud af

måtte forkastes, da man forkastede den Newtonske mekanik. Galilei-transformationen blev erstattet

af Lorentz-transformationen ved relativitetsteoriens indtræden. Netop denne sammenhæng må siges

at være grundlæggende i teorien, da en stor del af denne omhandler sammenhængen mellem

begivenheder i to forskellige inertialsystemer.

Dermed lå Lorentz-transformationen også til grund for ideen om længdeforkortelse og

tidsforlængelse. Jeg har undersøgt disse fænomener, og er kommet frem til nogle generelle

sammenhænge mellem begivenheder, der finder sted i et inertialsystem i hvile og et inertialsystem i

bevægelse.

Teorien bag disse fænomener giver anledning til at efterprøve dem eksperimentelt. Dette har jeg

gjort for tidsforlængelsen ved at undersøge myoner. Rent praktisk blev dette gjort ved at undersøge

levetiden af en myon, hvorved jeg fandt ud af, at det teoretiske antal af myoner ved Jorden er langt

lavere, end det egentlig er tilfældet. Konklusionen på dette må være, at myonen er påvirket af en

hvis tidsforlængelse, hvorefter jeg ved hjælp af min udledte formel fandt myonens levetid i

bevægelse, som er langt højere end dens levetid i hvile.

Den generelle konklusion på opgaven må være, at relativitetsteorien holder stik, og rent fysisk kan

efterprøves. Derved må vi også konkludere at de tre relativistiske principper som Einstein

fremsagde må siges at være sande.


38

Litteraturliste

Dam, Mogens: Introduktion til den specielle relativitetsteori. 7. udg. Niels Bohr Institutet, 2007.

Feynman, Richard P. m.fl.: I. The Feynman Lectures on Physics. 1. udg. Addison-Wesly, 1964. side

15-1 - 17-8 The Special Theory of Relativity.

Knudsen, Ole og Olaf Pedersen: Mekanik 2. 1. udg. Århus Universitets Forlag, 1972.

Special Relativity | Lecture. Udgivet af Standford University.

Internetadresse: http://www.youtube.com/watch?v=toGH5BdgRZ4

Uggerhøj, Ulrik I.: Et detaljeret supplement til Tid - Den relative virkelighed. 1. udg. Instituttet for

Fysik og Astronomi, Århus Universitet, 2006.

Uggerhøj, Ulrik I. og Axel Svane: Supplerende noter til kurset Relativitetesteori. 1. udg. Instituttet

for Fysik og Astronomi, Århus Universitet, 2008.


39

Bilag 1


40

Bilag 2


41

Bilag 3


42

Bilag 4

Documents

Den specielle relativitets teori