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Estudos de delineamentos experimentais. Nos experimentos mais simples comparamos tratamentos de apenas um tipo ou fator, permanecendo os demais fatores constantes. Assim, nesses experimentos, quando comparamos inseticidas, todos os demais fatores, como, por exemplo: variedades, adubações, tratos culturais etc., devem ser mantidos constantes, isto é, devem ser os mesmos para todos os inseticidas estudados.Entretanto, existem casos em que vários fatores devem ser estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse. Para tanto, nos utilizamos dos experimentos fatoriais, que são aqueles nos quais são estudados ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de tratamentos ou fatores.Cada subdivisão de um fator é denominada nível do fator e os tratamentos nos experimentos fatoriais consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos fatores nos seus diferentes níveis.
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1
Universidade de So Paulo
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz
Estudo de delineamentos experimentais no esquema fatorial duplo com um
tratamento adicional
Marcos Andr Braz Vaz
Dissertao apresentada para obteno do ttulo de
Mestre em Cincias: rea de concentrao: Estatstica
e Experimentao Agronmica
Piracicaba
2013
3
Marcos Andr Braz Vaz
Engenheiro Agrnomo
Estudo de delineamentos experimentais no esquema fatorial duplo com um tratamento
adicional
verso revisada de acordo com a resoluo CoPGr 6018 de 2011
Orientadora:
Prof. Dra. SNIA MARIA DE STEFANO PIEDADE
Dissertao apresentada para obteno do ttulo de Mestre em
Cincias: rea de concentrao: Estatstica e Experimentao
Agronmica
Piracicaba
2013
Dados Internacionais de Catalogao na Publicao DIVISO DE BIBLIOTECA - ESALQ/USP
Vaz, Marcos Andr Braz Estudo de delineamentos experimentais no esquema fatorial duplo com um
tratamento adicional / Marcos Andr Braz Vaz.- - verso revisada de acordo com a resoluo CoPGr 6018 de 2011. - - Piracicaba, 2013.
102 p: il.
Dissertao (Mestrado) - - Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, 2013.
1. Anlise de varincia 2. Delineamento experimental 3. Mnimos quadrados 4. Regresso linear 5. Tratamento adicional I. Ttulo
CDD 519.535 V393e
Permitida a cpia total ou parcial deste documento, desde que citada a fonte O autor
3
Aos meus pais, Queli e Marcos,
minha irm, Thas,
dedico.
4
5
AGRADECIMENTOS
Prof. Dra. Snia Maria De Stefano Piedade, Professora Doutora do Departamento
de Cincias Exatas da Esalq/USP, pela sugesto do assunto e oportunidade.
Prof. Dra. Paula Pinheiro Padovese Peixoto, Professora Doutora do Departamento
de Cincias Agrrias da Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD, pelo constante
apoio e motivao.
colega e amiga Gina Tasso que sempre esteve ao meu lado durante as disciplinas e
fora delas, pelos estmulos e cooperao.
Aos colegas do departamento Maria, Simone, Renata, Ricardo e Everton, que de
alguma forma colaboraram com as ideias do trabalho.
Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior - CAPES pela
concesso da bolsa.
Ao meu amigo Rafael Oliveira, pelo apoio e amizade durante toda a realizao do
curso.
Aos meus pais, pelo incentivo e apoio de sempre.
6
7
SUMRIO
RESUMO .................................................................................................................................11
ABSTRACT .............................................................................................................................13
LISTA DE FIGURAS ..............................................................................................................15
LISTA DE TABELAS .............................................................................................................17
1 INTRODUO ....................................................................................................................19
2 DESENVOLVIMENTO .......................................................................................................21
2.1 Reviso Bibliogrfica .........................................................................................................21
2.1.1 Planejamento e delineamento de experimentos ..............................................................21
2.1.2 Experimentos fatoriais duplos .........................................................................................21
2.1.3 Tratamento controle ........................................................................................................23
2.1.4 Fatorial incompleto .........................................................................................................24
2.1.5 Teste de Dunnett .............................................................................................................26
2.2 Delineamento inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com uma testemunha
como tratamento adicional ................................................................................................26
2.2.1 Caracterizao .................................................................................................................26
2.2.2 Modelo linear ..................................................................................................................27
2.2.3 Sistema de equaes normais ..........................................................................................29
2.2.4 Anlise de varincia ........................................................................................................31
2.2.4.1 Obteno das somas de quadrados ...............................................................................31
2.2.4.2 Graus de liberdade .......................................................................................................37
2.2.4.3 Quadro da anlise de varincia ....................................................................................39
8
2.2.4.4 Esperana matemtica das somas de quadrados ..........................................................40
2.2.4.4.1 Esperana matemtica da soma de quadrados de tratamentos ..................................40
2.2.4.4.2 Esperana matemtica da soma de quadrados de resduos .......................................41
2.2.4.5 Independncia e distribuio das formas quadrticas ..................................................42
2.2.4.5.1 Distribuio da SQTrat/2 .........................................................................................43
2.2.4.5.2 Distribuio da SQRes/2 ,.........................................................................................44
2.2.4.5.3 Distribuio do quociente SQTrat/nt/SQRes/nr .........................................................45
2.2.4.6 Teste de significncia ...................................................................................................46
2.2.5 Diagrama de Hasse ..........................................................................................................47
2.2.5.1 Graus de liberdade .......................................................................................................47
2.2.5.2 Somas de quadrados .....................................................................................................48
2.2.6 Ajuste de equaes de regresso .....................................................................................49
2.2.6.1 Regresso linear simples ..............................................................................................49
2.2.6.2 Teste de linearidade .....................................................................................................51
2.2.6.3 Anlise de varincia para regresso .............................................................................52
2.2.7 Ilustrao do mtodo .......................................................................................................53
2.2.7.1 Anlise exploratria .....................................................................................................54
2.2.7.2 Anlise de varincia .....................................................................................................55
2.2.7.3 Diagrama de Hasse e nmero de graus de liberdade ...................................................57
2.2.7.4 Teste de Dunnett ..........................................................................................................58
2.2.7.5 Anlise pelo pacote ExpDes no R ................................................................................59
2.2.7.5.1 Desdobramento da interao .....................................................................................60
2.2.7.5.2 Ajuste do modelo de regresso .................................................................................61
9
2.3 Delineamento casualizado em blocos no esquema fatorial duplo com um tratamento
controle adicional ..............................................................................................................62
2.3.1 Caracterizao .................................................................................................................62
2.3.2 Modelo linear ..................................................................................................................63
2.3.3 Sistema de equaes normais ..........................................................................................66
2.3.4. Anlise de varincia .......................................................................................................68
2.3.4.1 Obteno das somas de quadrados ...............................................................................68
2.3.4.2 Graus de liberdade .......................................................................................................69
2.3.4.3 Quadro da anlise de varincia ....................................................................................70
2.3.4.4 Teste de significncia ...................................................................................................72
2.3.5 Diagrama de Hasse ..........................................................................................................73
2.3.5.1 Graus de liberdade .......................................................................................................73
2.3.5.2 Somas de quadrados .....................................................................................................74
2.3.6 Ilustrao do mtodo .......................................................................................................75
2.3.6.2 Anlise de varincia .....................................................................................................77
2.3.6.3 Diagrama de Hasse e nmero de graus de liberdade ...................................................80
2.3.6.4 Teste de Dunnett ..........................................................................................................82
3 CONCLUSO ......................................................................................................................85
REFERNCIAS .......................................................................................................................87
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA .........................................................................................89
APNDICES ............................................................................................................................91
10
11
RESUMO
Estudo de delineamentos experimentais no esquema fatorial duplo com um tratamento
adicional
O presente trabalho teve como objetivo o estudo de experimentos em delineamentos
em esquema fatorial duplo com tratamento adicional do tipo testemunha. Para este esquema
usa-se a notao A x B +1, em que A representa o primeiro fator com i nveis (i = 1, 2, ..., a) e
B representa o segundo fator com j nveis (j = 1, 2, ..., b) com a adio do tratamento
adicional. Para a anlise de varincia deste caso, consideraram-se os modelos lineares yijk = + i + j + ij + ijk e yh = + + h; relacionados, em que yijk a varivel observada no i-simo nvel do fator com o j-simo nvel do fator da k-sima repetio (k = 1, 2, ..., r), a mdia amostral, i o efeito do i-simo nvel do primeiro fator, j o efeito do j-simo nvel do segundo fator, ij o efeito da interao do i-simo nvel do fator com o j-simo nvel do fator , ijk o erro associado independente e identicamente distribudo, ijk~N(0,
2), yh a
varivel observada na h-sima repetio do tratamento adicional, o efeito do tratamento adicional e h o erro associado ao tratamento adicional, independente e identicamente distribudo h~N(0,
2). Considerou-se os delineamentos experimentais inteiramente
casualizado e blocos casualizados. Para a anlise do delineamento em blocos ao acaso, a
adio do efeito de blocos v (v = 1, 2, ..., w) aos modelos, se fez necessria. Foi realizada a deduo da soma de quadrados de tratamentos e sua decomposio para os efeitos dos fatores,
sua interao e o contraste com o tratamento adicional. Os graus de liberdade foram
deduzidos a partir do posto da matriz ncleo da forma quadrtica das somas de quadrados. A
tcnica do diagrama de Hasse tambm foi adotada para deduo das somas de quadrados e
graus de liberdade. Uma ilustrao do mtodo obteve os mesmos resultados da anlise de
varincia do pacote ExpDes no programa R. Curvas de regresso linear foram ajustadas
considerando o tratamento controle como um nvel de fatores quantitativos. O teste de
Dunnett foi empregado para comparar as mdias do fatorial com o tratamento controle.
Palavras-chave: Controle; Interao; Experimento fatorial; Tratamento adicional
12
13
ABSTRACT
Study of experimental design in two-way factorial with an additional treatment
The present study aimed to study the experiments in two-way factorial designs with
additional treatment of type control. For this scheme uses the notation A x B +1, where A
represents the first factor levels with i (i = 1, 2, ..., a) and B is the second factor with levels j (j
= 1 , 2, ..., b) with the addition of one more treatment. For the analysis of variance of this
case, we considered the linear models yijk = + i + j + ij + ijk and yh = + + h; related, wherein yijk is the variable observed in the ith level of factor with the jth level of factor of k-th iteration (k = 1, 2, ..., r), is the sample mean, i is the effect of the ith level of the first factor, j is the effect of the jth level of the second factor, ij is the interaction effect of the ith level of factor with the jth level of factor , ijk is the error associated with independent and identically distributed, ijk ~ N (0,
2), yh is the variable observed in the hth repetition of the
additional treatment, is the effect of the additional treatment and h is the error associated to the additional treatment, independent and identically distributed h ~ N (0,
2). It was
considered the completely experimental designs and randomized block design. For the
analysis of the randomized block design, the addition of blocks effect v (v = 1, 2, ..., w) to the models, was necessary. Was performed the deduction of the sum of squares of treatments
and their decomposition to the effects of the factors, their interaction and the contrast with the
additional treatment. The degrees of freedom were deducted from the posto of the matrix core
of the quadratic form of sums of squares. The Hasse diagram technique has also been adopted
for deduction of sums of squares and degrees of freedom. An illustration of the method has
obtained the same results of analysis of variance program package ExpDes in R. Linear
regression analysis was fitted control treatment as a level of the quantitative factors. The
Dunnett test was used to compare the means of the factorial with the control treatment.
Keywords: Control treatment; Interaction; Factorial experiment; Additional treatment
14
15
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Ilustrao da anlise visual exploratria da interao.............................................23
Figura 2 Diagrama de Hasse combinado para fatores de parcela e de tratamento.................47
Figura 3 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de parcela..........................47
Figura 4 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de tratamento....................48
Figura 5 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de parcela.............................48
Figura 6 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de tratamento.......................49
Figura 7 Retas observadas dos nveis de substratos dentro do fator doses...........................54
Figura 8 Graus de liberdade para fatores de parcela da ilustrao.........................................57
Figura 9 Graus de liberdade para fatores de tratamentos da ilustrao..................................57
Figura 10 Curvas de regresso linear de doses em relao altura para os nveis Plantmax e
Casca de coco.......................................................................................................61
Figura 11 Curvas de regresso linear de doses em relao altura para os nveis Plantmax e
Casca de coco, considerando o tratamento
testemunha...........................................................................................................62
Figura 12 Diagrama de Hasse combinado para fatores de parcela e de tratamento..............73
Figura 13 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de parcela........................73
Figura 14 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de tratamento.................74
Figura 15 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de parcela...........................74
Figura 16 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de tratamento.....................75
Figura 17 Graus de liberdade para fatores de parcela............................................................81
Figura 18 Graus de liberdade para fatores de tratamentos....................................................81
16
17
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Variveis e mdias observadas em um experimento fatorial duplo........................23
Tabela 2 Ilustrao de um esquema fatorial incompleto em que as combinaes de nveis
iguais no so realizadas........................................................................................24
Tabela 3 Ilustrao de um fatorial duplo com uma testemunha como tratamento adicional
(2x2+1)...................................................................................................................25
Tabela 4 Ilustrao de um fatorial duplo com um tratamento adicional (3x2+1)..................25
Tabela 5 Quadro da anlise de varincia de um experimento inteiramente casualizado no
esquema fatorial duplo com um tratamento adicional...........................................39
Tabela 6 Graus de liberdade e somas de quadrados por desvios de um experimento
inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com um tratamento
adicional..............................................................................................................40
Tabela 7 Anlise de varincia para o teste de ajuste de regresso linear de um experimento
inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com um tratamento
adicional.................................................................................................................52
Tabela 8 Mdias de alturas de plantas de pimento cultivadas em bandejas sob casa de
vegetao em Dourados, MS...............................................................................53
Tabela 9 Anlise de varincia de um delineamento inteiramente casualizado no esquema
fatorial duplo com tratamento adicional (3x2+1)...................................................56
Tabela 10 Anlise de varincia realizada pelo pacote ExpDes do R para um delineamento
inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com um tratamento
adicional...............................................................................................................59
Tabela 11 Desdobramento do fator Doses dentro dos nveis do fator Substratos..................60
Tabela 12 Desdobramento do fator Substratos dentro dos nveis do fator Doses..................60
Tabela 13 Quadro da anlise de varincia de um experimento em delineamento casualizado
em blocos no esquema fatorial duplo com um tratamento adicional................71
18
Tabela 14 Quadro da anlise de varincia com as respectivas somas de quadrados em termos
de desvios de um experimento em delineamento casualizado em blocos no
esquema fatorial duplo com um tratamento adicional.........................................71
Tabela 15 Dados de massa seca da parte area, Piracicaba, SP.............................................76
Tabela 16 Anlise de varincia de um experimento em delineamento casualizado em blocos
no esquema fatorial duplo com um tratamento
adicional...............................................................................................................80
Tabela 17 Quadro de anlise de varincia pelo mtodo do diagrama de Hasse para um
experimento em delineamento casualizado em blocos casualizados no esquema
fatorial duplo com um tratamento adicional .......................................................82
19
1 INTRODUO
Em experimentao agronmica, uma das maiores dificuldades no planejamento de
um experimento est na escolha do melhor delineamento a se utilizar. A melhor opo surge
no bom senso do pesquisador em estudar as condies do experimento e seus objetivos.
Delineamentos em esquema fatorial so amplamente utilizados em experimentos
agronmicos visando o estudo da combinao de dois ou mais fatores. Fagundes (2012) cita
como vantagem do uso de delineamentos no esquema fatorial, a possibilidade de estudar os
efeitos simples dos fatores e as interaes entre eles. A adio de tratamentos controles, ou
testemunhas, na anlise de um experimento fatorial tm sua relevncia e pode ser feito
simultaneamente.
A anlise de varincia de um delineamento em esquema fatorial duplo com um
tratamento adicional pode ser realizada com a ajuda de dois quadros de anlises, um para o
estudo do fatorial e outro para o estudo do contraste. Recentemente, com o auxilio de rotinas
computacionais e programao, as anlises tem sido feitas em um nico quadro conjunto (R,
2002). Apesar disso, poucas so as referncias e os detalhamentos sobre as somas de
quadrados e sobre o ajuste de equaes de regresso.
O uso de delineamentos com esquema fatorial e tratamentos adicionais, que servem de
referncia para comparao com as demais combinaes estudadas (YASSIN et al., 2002),
deve ser feito com cautela, devido a interpretao do contraste fatorial versus adicional.
Vrios trabalhos tm utilizado delineamentos em esquema fatorial duplo com um tratamento
adicional. Machado et al. (2011) aplicou o delineamento fatorial 4 x 4 + 1 (dois fatores com
quatro nveis cada e um tratamento adicional) no estudo do crescimento inicial de limoeiros.
Hisano et al. (2007) e Araujo et al. (2011) aplicaram em suas pesquisas o delineamento 3 x 3
+ 1.
O objetivo geral do presente trabalho a realizao da anlise de varincia de
delineamentos com esquema fatorial duplo e uma testemunha como tratamento adicional.
20
21
2 DESENVOLVIMENTO
2.1 Reviso Bibliogrfica
2.1.1 Planejamento e delineamento de experimentos
O planejamento e a escolha do delineamento experimental so etapas importantes no
processo de realizao de pesquisa e experimentos agronmicos. Viera (1999) explica que a
seleo de variveis explanatrias funo importante para a determinao dos delineamentos
a serem utilizados.
Fagundes (2012) define o delineamento experimental como aquele que ir conduzir o
perfil do experimento. Os delineamentos experimentais mais utilizados so o inteiramente
casualizado, blocos ao acaso e quadrado latino. Por sua vez, o delineamento de tratamentos
independe do tipo de delineamento experimental. O fatorial um exemplo de delineamento de
tratamentos, em que dois ou mais fatores so analisados. Podem-se citar ainda as parcelas
subdivididas e as faixas, que so delineamentos de tratamentos com maior nvel de controle
local.
Um planejamento depende das condies e disponibilidades para a realizao do
experimento, da experincia do pesquisador e dos objetivos do estudo. Pimentel-Gomes
(1990) cita os trs princpios bsicos da experimentao; repetio, casualizao e controle
local; que so funes importantes para reduo do erro experimental. O mesmo autor ainda
comenta sobre as dificuldades encontradas nas anlises de experimentos com aplicao
abusiva do controle local e delineamentos complexos, que muitas vezes poderiam ser
realizados por delineamentos mais simples, alm da maior perda de graus de liberdade
residual.
2.1.2 Experimentos fatoriais duplos
Os experimentos em esquema fatorial no constituem um delineamento experimental,
e sim um esquema de tratamentos. Considera-se um fatorial duplo quando dois fatores, e a sua
interao, esto em estudo. O fatorial mais simples o 2x2 onde h dois nveis de cada fator.
Outras formas mais comuns de delineamento fatorial so o 3x3 e 4x4. A combinao dos
nveis dos fatores determina o nmero de tratamentos que sero executados (FAGUNDES,
2012).
22
Seja um experimento no esquema fatorial duplo A x B, em que A o primeiro fator
com a nveis e B o segundo fator com b nveis. Para cada combinao realiza-se r rplicas.
Considerando o modelo (1):
yijk = + i + j + ij + ijk (1)
sendo:
yijk a varivel resposta relacionada ao i-simo nvel do primeiro fator (i = 1, 2, ..., a)
com o j-simo nvel do segundo fator (j = 1, 2, ..., b) na k-sima repetio (k = 1, 2, ..., r);
a mdia geral;
i o efeito do i-simo nvel do primeiro fator;
j o efeito do j-simo nvel do segundo fator;
ij o efeito da interao do i-simo nvel do primeiro fator com o j-simo nvel do
segundo fator;
ijk o erro experimental associado observao yijk e supe-se que ijk~N(0,2) e
independentes;
A anlise de varincia pode ser empregada para testar o efeito simples de um fator, o
efeito principal de um fator e o efeito da interao entre os dois fatores. A interao o
resultado de uma combinao onde um fator influencia na resposta de outro fator,
positivamente ou negativamente (PERECIN e FILHO, 2008).
A interao pode ser identificada por anlise exploratria quando no se observa
paralelismo entre as retas observadas (Figura 1). Alm do teste de igualdade entre interaes
de combinaes, um teste de hipteses pode confirmar estatisticamente se h paralelismo
entre retas por meio dos coeficientes angulares. Retas com coeficientes angulares
estatisticamente iguais so paralelas, indicando que no h o efeito de interao entre os
fatores testados (DEMTRIO e ZOCCHI, 2011).
23
Figura 1 Ilustrao da anlise visual exploratria da interao
A Tabela 1 mostra um esquema para organizao dos dados coletados de um
experimento em esquema fatorial duplo. As mdias apresentadas so resultados dos efeitos
individuais de cada nvel de cada fator.
Tabela 1 Variveis e mdias observadas em um experimento fatorial duplo
Fator A Fator B
Mdia 1 2 ... b
1 y111, ..., y11r y121, ..., y12r ... y1b1, ..., y1br 1..
2 y211, ..., y21r y221, ..., y22r ... y2b1, ..., y2br 2..
a ya11, ..., ya1r ya21, ..., ya2r ... yab1, ..., yabr a..
Mdia .1. .2. ... .b. ...
2.1.3 Tratamento controle
Um tratamento controle ou testemunha em uma pesquisa serve como base de
referncia para o efeito dos tratamentos que so objetivos do trabalho. Em experimentos, a
variao do valor de uma varivel observada pode ser explicada pelo efeito de um tratamento
ou por caractersticas no observveis (SILVA, 2005). A comparao do efeito de uma
24
testemunha com efeito de tratamentos pode ser feita para verificar o quanto realmente
explicado pelo tratamento testado.
Para fatores quantitativos, em geral, o tratamento testemunha o valor nulo, ou zero,
como visto em experimentos em que os tratamentos testados so lminas de irrigao
(VIEIRA et al., 2000), nveis de adubao nitrogenada (BISCARO et al., 2011) e doses de
fungicida (BEZERRA et al., 2010). Porm, em alguns casos, o nvel testemunha pode ser um
valor de referncia, como a dose recomendada comercialmente de um determinado adubo.
CORRENTE et al. (2001) sugerem o emprego do contraste ortogonal para a
comparao do tratamento testemunha com as demais combinaes de um fatorial.
2.1.4 Fatorial incompleto
Trochim (2006) classifica como um fatorial incompleto, aquele em que nem todas as
combinaes do fatorial so executadas. A Tabela 2 ilustra um exemplo de experimento em
esquema fatorial incompleto de modo geral.
Tabela 2 Ilustrao de um esquema fatorial incompleto em que as combinaes de nveis
iguais no so realizadas
Fator A Fator B
1 2 3 4
1 .. y121, ..., y12r y131, ..., y13r y141, ..., y14r
2 y211, ..., y21r .. y231, ..., y23r y241, ..., y24r
3 y311, ..., y31r y321, ..., y32r .. y341, ..., y34r
4 y411, ..., y41r y421, ..., y42r y431, ..., y43r ..
Zeviane (2011) comenta que experimentos fatoriais com a adio de uma testemunha
podem ser classificados como fatoriais incompletos. Para obteno da ortogonalidade das
somas de quadrados, o tratamento controle deve ser considerado como um pseudonvel dos
fatores combinados. Esta ideia est ilustrada na Tabela 3 que representa o esquema de um
experimento fatorial com a combinao de doses de adubo e fontes de aplicao e a adio de
um tratamento adicional testemunha que representa a dose 0 e nenhuma fonte de aplicao
(controle). Sendo assim, a testemunha pode ser considerada um pseudonvel de doses e fontes.
25
Tabela 3 Ilustrao de um fatorial duplo com uma testemunha como tratamento adicional
(2x2+1)
Fontes Doses
Dose 0 Dose 10 Dose 20
Controle Testemunha
Fonte A Fonte A x Dose 10 Fonte A x Dose 20
Fonte B Fonte B x Dose 10 Fonte B x Dose 20
A testemunha nem sempre indica um valor de nulidade ou ausncia de efeitos. Zeviani
(2011) exemplifica um experimento 5x5 + 1, em que os nveis do primeiro fator so doses de
um determinado adubo em kg/ha (50, 75, 100, 125, 150) e, do segundo fator, cultivares (B, C,
D, E, F). Deseja-se comparar o fatorial com uma cultivar comercial de uma regio em que a
dose recomendada 100kg/ha (Tabela 4).
Tabela 4 Ilustrao de um fatorial duplo com um tratamento adicional (3x2+1)
Cultivar Doses
50 75 100 125 150
A A x 100
B B x 50 B x 75 B x 100 B x 125 B x 150
C C x 50 C x 75 C x 100 C x 125 C x 150
D D x 50 D x 75 D x 100 D x 125 D x 150
E E x 50 E x 75 E x 100 E x 125 E x 150
F F x 50 F x 75 F x 100 F x 125 F x 150
26
2.1.5 Teste de Dunnett
O teste de Dunnett um teste de comparao mltipla que utilizado quando se deseja
comparar a mdia de um tratamento controle com os demais tratamentos testados
(ESTATCAMP, 2011). Suponha-se que 1, 2, ..., j so as mdias de tratamentos de um
experimento, para i = 1, 2, ..., j, e j+1 a mdia do tratamento controle adicionado. Ao
realizar o teste de comparao mltipla com a testemunha, os parmetros de interesse
primrios so a diferena entre a mdia dos tratamentos i, e a mdia da testemunha j+1, ou
seja, i j+1. Assim, temos as hipteses:
Quando no h dados faltantes temos a menor diferena significativa definida pela
equao:
. (2)
Para o caso dos dados desbalanceados, temos este valor definido pela equao:
(3)
em que d ( j+1,GLErro) o valor tabelado de Dunnett , que depende dos nveis de
tratamentos (j+1) e dos graus de liberdade dos resduos (GLErro); QME o quadrado mdio
do resduo; n o nmero de repeties de cada tratamento.
2.2 Delineamento inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com uma
testemunha como tratamento adicional
2.2.1 Caracterizao
Seja um experimento inteiramente casualizado em esquema fatorial duplo com um
tratamento adicional do tipo testemunha A x B + 1, em que A o primeiro fator e B o
segundo fator com a adio do tratamento testemunha, com os seguintes ndices:
27
a: nveis do primeiro fator;
b: nveis do segundo fator;
r: nmero de repeties de cada combinao de tratamentos do fatorial;
m: nmero de repeties do tratamento adicional (e, considerando que os dados sejam
balanceados, m = r).
2.2.2 Modelo linear
Para um experimento em esquema fatorial duplo com tratamento adicional, o modelo
no pode ser expresso em uma nica equao. Isso acontece porque os efeitos dos pares de
combinaes do fatorial so independentes do efeito do tratamento adicional. Portanto, para o
experimento em questo, considera-se o seguinte modelo linear:
yijk = + i + j + ij + ijk (4)
e
yh = + a + h (5)
em que:
yijk a varivel resposta relacionada ao i-simo nvel do primeiro fator (i = 1, 2, ..., a)
com o j-simo nvel do segundo fator (j = 1, 2, ..., b) na k-sima repetio (k = 1, 2, ..., r);
a mdia geral;
i o efeito do i-simo nvel do primeiro fator;
j o efeito do j-simo nvel do segundo fator;
ij o efeito da interao do i-simo nvel do primeiro fator com o j-simo nvel do
segundo fator;
ijk o erro experimental associado observao yijk e supe-se que ijk~N(0,2) e
independentes;
28
yh a varivel resposta associada h-sima observao (h = 1, 2, ..., m) do tratamento
adicional;
a o efeito do tratamento adicional;
h o erro experimental associado ao tratamento adicional e supe-se que h~N(0,2) e
independentes.
Na forma matricial, os modelos (4) e (5) so dados por:
y = X + (6)
em que:
y r(ab+1)x1 o vetor de realizaes de variveis aleatrias;
Xr(ab+1)x(a+b+ab+2) a matriz dos coeficientes dos parmetros do modelo (matriz de
delineamento) de caracterstica (ab+1);
(a+b+ab+2)x1 o vetor de parmetros do modelo;
r(ab+1)x1 um vetor, no observvel, de erros aleatrios, tal que ~N(0,I2);
e por ser um modelo de Gauss-Markov (G.M.) y~N(X,I2).
Particionando a matriz de delineamento convenientemente, obtm-se:
X = [ X1 | X2 | X3 | X4 | X5]
em que:
X1r(ab+1) x 1 o vetor dos coeficientes associados mdia ;
X2 r(ab+1) x a a matriz dos coeficientes associados ao fator A;
X3 r(ab+1) x b a matriz dos coeficientes associados ao fator B;
X4 r(ab+1) x ab a matriz dos coeficientes associados interao AxB;
X5 r(ab+1) x 1 o vetor dos coeficientes associados ao tratamento adicional.
29
Correspondentemente partio da matriz X, a partio do vetor dado por:
em que:
;
;
.
2.2.3 Sistema de equaes normais
Pleo mtodo dos quadrados mnimos obtm-se o sistema de equaes normais dado
por:
XX =Xy
30
ou seja,
em que:
X1X1 = r(ab+1) = n = nmero total de unidades experimentais ou parcelas;
X1X2 = [br br ... br] = vetor linha de repeties associadas ao fator A de dimenses
(1)x(a);
X1X3 = [ar ar ... ar] = vetor linha de repeties associadas ao fator B de dimenses
(1)x(b);
X1X4 = [r r ... r] = vetor linha de repeties associadas ao nmero de repeties da
interao AB de dimenses (1)x(ab);
X1X5 = r = nmero de repeties associadas ao tratamento adicional;
X2X2 = brIa = diagonal [br, br, ..., br] = submatriz associada s repeties do fator A
de dimenses (a)x(a);
X2X3 = r(axb) = submatriz de nmeros de repeties do fator A em cada nvel do fator
B;
X2X4 = submatriz de dimenses (a)x(ab), correspondente ao nmero de incidncias
dos nveis do fator A na interao ij;
X2X5 = vetor coluna nulo de dimenses (a)x(1);
X3X3 = arIb = diagonal [ar, ar, ..., ar] = submatriz associada s repeties do fator B
de dimenses (b)x(b);
31
X3X4 = submatriz de dimenses (b)x(ab), correspondente ao nmero de incidncias
dos nveis do fator B na interao ij;
X3X5 = vetor coluna nulo de dimenses (b)x(1);
X4X4 = rIab = diagonal [r, r, ..., r] = submatriz associada s repeties dos pares da
interao ij de dimenses (ab)x(ab);
X4X5 = vetor coluna nulo de dimenses (ab)x(1);
X5X5 = r = nmero de repeties dos tratamentos adicionais;
X1y = N = total geral observado;
X2y = vetor dos totais observados no fator A de dimenses (a)x(1);
X3y = vetor dos totais observados no fator B de dimenses (b)x(1);
X4y= vetor dos totais observados nos pares de interao ij de dimenses (ab)x(1);
X5y = o total observado no tratamento adicional.
2.2.4 Anlise de varincia
2.2.4.1 Obteno das somas de quadrados
Supondo que as variveis respostas em questo seguem uma distribuio normal de
Gauss-Markov, cujo primeiro momento descrito como a esperana matemtica de y, tem-se:
E(y) = X
e portanto:
= X
Utilizando o mtodo de estimao dos mnimos quadrados, pelo modelo y = X +
obtm-se:
y = +
||y||2 = || ||
2 + || ||
2
32
= yy -
= yy - Xy
em que a soma de quadrados de resduos (SQRes), yy a soma de quadrados
total no corrigida, e Xy a soma de quadrados de parmetros.
Pela metodologia de Brien (2007), o modelo minimal G = E(y) = X1, o modelo
esperado quando a resposta da mdia populacional a mesma para todas as observaes sem
efeitos dos fatores ou do tratamento adicional.
O modelo maximal T = E(y) = X, o modelo esperado quando todos os efeitos
ocorrem, tanto das interaes, assim como do contraste com o tratamento adicional.
Portanto,
= (X1X1)-1
X1y
e
g = X1
g = X1(X1X1)-1
X1y
g = Mgy,
em que Mg = X1(X1X1)-1
X1 = 1/nnxn.
A forma quadrtica yMgy o fator de correo (C) das somas de quadrados
(YASSIN, 2002), que pode ser expressa por:
que no caso balanceado fica:
.
33
A soma de quadrados de parmetros (SQPar) pode ser definida por:
SQPar = Xy
SQPar = yX(XX)-Xy
SQPar = yMty
sendo Mt = X(XX)-X.
Assim, a soma de quadrados de tratamentos (SQTrat) dada por:
SQTrat = SQPar C
SQTrat = yMty - yMgy
SQTrat = y(Mt - Mg)y
SQTrat = yQty
sendo Qt = Mt Mg.
A correo da soma de quadrados totais (SQTotalcorr) fica expressa por:
SQTotalcorr = yy - yMgy
SQTotalcorr = y(I - Mg)y
SQTotalcorr = yQuy
em que Qu = Ir(ab+1) - Mg.
Por diferena deduz-se a soma de quadrados residual (SQRes):
SQRes = yy - yMty
SQRes = y(I - Mt)y
SQRes = yQry
em que Qr = Ir(ab+1) - Mt.
34
Para decompor a soma de quadrados de tratamento necessrio obter a ortogonalidade
das submatrizes. Para isso, considera-se o experimento como um fatorial incompleto em que o
tratamento controle um pseudonvel dos fatores A e B. Com isso, obtm-se os seguintes
subespaos:
Xc = [Xf | X5]
Xa = [X2 | X5]
Xb = [X3 | X5]
Xab = [X4 | X5]
e os subvetores reparametrizados:
;
;
;
,
em que:
Xf = X1-X5, uma submatriz auxiliar dos coeficientes relacionados ao fatorial;
35
Xc o subespao dos coeficientes relacionados aos efeitos do controle (X5) e dos
coeficientes que no so do efeito do controle (Xf);
Xa o subespao dos coeficientes definido pelo fator A considerando o tratamento
adicional com um pseudonvel deste fator;
Xb o subespao dos coeficientes definido pelo fator B considerando o tratamento
adicional como um pseudonvel deste fator;
Xab o subespao dos coeficientes definido pelo fator AB considerando o tratamento
adicional como uma combinao dos pseudonveis de A e B;
t o efeito do tratamento adicional como pseudonvel do fator A;
t o efeito do tratamento adicional como pseudonvel do fator B;
t o efeito da combinao do pseudonvel do fator A com o pseudonvel do fator B;
f o efeito dos tratamentos do fatorial, ou seja, dos tratamentos que no so o
controle.
Assim, o vetor X1 de coeficientes associados s mdias uma combinao linear das
submatrizes Xa, Xb, Xab e Xc de modo que o modelo minimal seja marginal aos modelos
alternativos:
A = E(y) = Xa (somente o fator A tem efeito na resposta)
B = E(y) = Xb (somente o fator B tem efeito na resposta)
AB = E(y) = Xab (fator A e B possuem efeito de interao na resposta)
A+B = E(y) = Xa + Xb (fator A e B possuem efeitos independentes na resposta)
C = E(y) = Xc (tratamento adicional tem efeito diferente dos tratamentos do fatorial)
A submatriz Xc passa a ser uma combinao linear das submatrizes Xa, Xb e Xab, e,
portanto, o modelo C marginal aos modelos A, B e AB.
Considerando que o contraste do tratamento adicional com o fatorial uma reduo
em relao a , a soma de quadrados do contraste (SQcontraste) pode ser definida pela diferena:
SQcontraste = yMcy yMgy
36
SQcontraste = y(Mc Mg)y
SQcontraste= yQcy
sendo Mc = Xc(XcXc)-1
Xc e Qc = Mc Mg.
Sendo os modelos G e C marginais ao modelo A, a soma de quadrados do fator A
(SQA), pode ser deduzida por:
SQA = yMay - yMcy + yMgy - yMgy
SQA = y(Ma Mc)y
SQA = yQay
e analogamente a soma de quadrados do fator B (SQB)
SQB = yMBy - yMcy + yMgy - yMgy
SQB = y(Mb Mc)y
SQB = yQby
em que:
Ma = Xa(XaXa)-1
Xa;
Mb = Xb(XbXb)-1
Xb;
Qa = Ma - Mf;
Qb = Mb - Mf.
Finalmente, tem-se que o modelo G marginal ao modelo C, que por sua vez
marginal ao modelo A+B, que marginal ao modelo AB (G C A+B AB), portanto, a
soma de quadrados da interao do fator A com o fator B (SQAxB), fica definida por:
SQAxB = yMaby - yMay + yMcy - yMby + yMcy - yMcy + yMgy - yMgy
SQAxB = y(Mab Ma Mb + Mc)y
SQAxB = yQaby
sendo Mab = Xab(XabXab)-1
Xab e Qab = Mab Ma Mb + Mc.
37
2.2.4.2 Graus de liberdade
Os graus de liberdade podem ser definidos pelo posto da matriz ncleo de cada forma
quadrtica, assim:
Graus de liberdade do fator A:
posto[Qa] = posto[Ma Mc]
posto[Qa] = posto[Ma] posto[Mc]
posto[Qa] = (a + 1) 2
posto[Qa] = a 1
Graus de liberdade do fator B:
posto[Qb] = posto[Mb Mc]
posto[Qb] = posto[Mb] posto[Mc]
posto[Qb] = (b + 1) 2
posto[Qb] = b 1
Graus de liberdade da interao AxB:
posto[Qab] = posto[Mab Ma Mb + Mc]
posto[Qab] = posto[Mab] posto[Ma] posto[Mb] +
posto[Mc]
posto[Qab] = (ab + 1) (a + 1) (b + 1) + 2
posto[Qab] = ab a b + 1
posto[Qab] = (a 1)(b 1)
38
Graus de liberdade do contraste fatorial vs tratamento adicional:
posto[Qc] = posto[Mc Mg]
posto[Qc] = posto[Mc] posto[Mg]
posto[Qc] = 2 - 1
posto[Qc] = 1
Graus de liberdade de tratamentos:
posto[Qt] = posto[Mt Mg]
posto[Qt] = posto[Mt] posto[Mg]
posto[Qt] = (ab + 1) - 1
posto[Qt] = ab
Graus de liberdade do resduo:
posto[Qr] = posto[I - Mt]
posto[Qr] = posto[Ir(ab+1)] posto[Mt]
posto[Qr] = r(ab+1) ab +1
posto[Qr] = (r-1)(ab+1)
Graus de liberdade total:
posto[Qu] = posto[I Mg]
posto[Qu] = posto[Ir(ab+1)] posto[Mg]
posto[Qu] = r(ab+1) - 1
Por propriedade de matrizes, o posto tambm pode ser calculado pelo trao das
matrizes ncleo.
39
2.2.4.3 Quadro da anlise de varincia
O quadro da anlise de varincia, com a decomposio da SQTrat em partes
ortogonais, dado pela Tabela 5.
Tabela 5 Quadro da anlise de varincia de um experimento inteiramente casualizado no
esquema fatorial duplo com um tratamento adicional
C.V. G.L. S.Q. Q.M.
Fator A a-1 yQay SQA/(a-1)
Fator B b-1 yQby SQB/(b-1)
Interao AxB (a-1)(b-1) yQaby SQAxB/(a-1)(b-1)
Fatorial vs Ad. 1 yQcy SQcontraste
Tratamentos ab yQty SQTrat/ab
Resduo (r-1)(ab+1) yQry SQRes/(r-1)(ab+1)
Total corrigido r(ab+1)-1 yQuy
De acordo com Brien (2007), como as matrizes Q so simtricas e idempotentes, as
formas quadrticas podem ser expressas por matrizes D de desvios, sendo:
Da = Qay
Db = Qby
Dab = Qaby
Dc = Qcy
Dt = Qty
Dr = Qry
Du = Quy
Na Tabela 6 so apresentadas as somas de quadrados da anlise de varincia por
matrizes de desvios.
40
Tabela 6 Graus de liberdade e somas de quadrados por desvios de um experimento
inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com um tratamento
adicional
C.V. G.L. S.Q.
Fator A a-1 DaDa
Fator B b-1 DbDb
Interao AxB (a-1)(b-1) DabDab
Fatorial vs Ad. 1 DcDc
Tratamentos ab DtDt
Resduo (r-1)(ab+1) DrDr
Total corrigido r(ab+1)-1 DuDu
2.2.4.4 Esperana matemtica das somas de quadrados
2.2.4.4.1 Esperana matemtica da soma de quadrados de tratamentos
Sabe-se que:
SQTrat = y(Mt - Mg)y (7)
Para determinar a E[SQTrat], utiliza-se o teorema enunciado a seguir.
Teorema 1 (SEARLE, 1971)
Seja y ~ N(X,I2), ento:
E[yAy] = 2 tr[A] + XAX (8)
Assim, conforme Teorema 1, obtm-se:
E[SQTrat] = E[y(Mt Mg)y] = tr[Mt Mg] 2 + X(Mt Mg)X
Como tr[Mt Mg] = posto[Mt Mg] = ab, ento
tr[Mt Mg] = ab. (9)
41
Alm disso, tem-se que
X(Mt Mg)X = XMtX XMgX
= XX(XX)-1XX XX1(X1X1)-1
X1X
= XX XX1(X1X1)-1
X1X
= yX(XX)-1XX(XX)-1Xy yX(XX)-1XX1(X1X1)-1
X1X(XX)-1Xy
= yX(XX)-1Xy yX(XX)-1XX1(X1X1)-1
X1X(XX)-1Xy
= yMty yMtMgMty
= yMty yMgMty
= y(Mt-MgMt)y
= y(Mt-Mg)y
= yQty
=DtDt (10)
Substituindo as expresses (9) e (10) na expresso (8) obtm-se
E[SQTrat] = ab2 + DtDt. (11)
Da expresso (11) segue-se que
E[QMTrat] = 2 + DtDt/ab.
2.2.4.4.2 Esperana matemtica da soma de quadrados de resduos
Para a SQRes, tem-se, como usual,
SQRes = y(I - Mt)y
Aplicando o Teorema 1, tem-se:
E[SQRes] = E[y(I - Mt)y] = tr[I - Mt]2 + X[I - Mt]X
Como tr[I Mt] = posto[I Mt] = (r-1)(ab+1), ento tr[I Mt] = (r-1)(ab+1).
42
Alm disso, tem-se que:
X[I - Mt]X = XX XMtX
= XX XX(XX)-1XX
= XX XX
= 0 (12)
Portanto, define-se que:
E[SQRes] = (r-1)(ab+1)2 (13)
De (13), segue-se que:
E[QMRes] = 2
2.2.4.5 Independncia e distribuio das formas quadrticas
Para verificar a independncia e a distribuio das formas quadrticas, empregam-se
os seguintes teoremas citados por Riboldi (1988):
Teorema 2 (GRAYBILL, 1961)
Se y ~ N (,I2) ento yAy/ 2 ~ 2 (n,), ou seja, yAy/2 tem distribuio qui-
quadrado no central, com n graus de liberdade, e parmetro de no centralidade =
A/22, se e somente se A for uma matriz idempotente de caracterstica n.
Teorema 3 (SEARLE, 1971)
Quando y ~ N (,V), as formas quadrticas yAy e yBy so independentemente
distribudas se e somente se AVB = 0, ou, de forma equivalente, BVA = 0.
43
Teorema 4 (GRAYBILL, 1961)
Se uma varivel w distribuda conforme 2 (n1,), ou seja, como qui-quadrado no
central com n1 graus de liberdade e parmetro de no centralidade , e se outra varivel
aleatria z distribuda como 2 (n2), ou seja, como qui-quadrado central com n2 graus de
liberdade, e se w e z so independentes, ento a varivel
tem distribuio F no central, com n1 e n2 graus de liberdade, e parmetro de no
centralidade .
2.2.4.5.1 Distribuio da SQTrat/2
Sabe-se que
SQTrat = y(Mt - Mg)y. (14)
Assim,
(Mt Mg)2 = MtMt 2 MtMg + MgMg.
Como Mt e Mg so idempotentes, e MtMg = Mg, tem-se:
(Mt Mg)2 = Mt 2Mg + Mg
= Mt - Mg,
e portanto, (Mt - Mg) idempotente.
Tem-se ainda que
posto(Mt - Mg) = tr(Mt - Mg)
= ab + 1 1
= ab.
44
Assim, pelo Teorema 2, tem-se que:
SQTrat/2 ~ 2 (nt,t) , (15)
em que
nt = ab
t = DtDt/2.
2.2.4.5.2 Distribuio da SQRes/2
Sabe-se que
SQRes = y(I - Mt)y. (16)
Assim,
(I Mt)2 = I 2Mt + MtMt.
Como Mt idempotente, tem-se:
(I Mt)2 = I 2Mt + Mt
(I Mt)2 = I - Mt ,
e portanto, (I Mt) idempotente.
Tem-se ainda que
posto(I Mt) = tr(I Mt) = (r-1)(ab+1).
Alm, por (12), sabe-se que:
X[I - Mt]X = 0.
45
Pelo Teorema 2, tem-se que:
SQRes/2 ~ 2 (nr,0) , (17)
em que:
nr = (r-1)(ab+1)
r = 0.
2.2.4.5.3 Distribuio do quociente SQTrat/nt/SQRes/nr
De (14) e (16), tem-se:
SQTrat = y(Mt - Mg)y e SQRes = y(I - Mt)y ,
respectivamente.
Verifica-se que, sendo V = I2, ento
(Mt - Mg)I2(I - Mt) = (Mt - MtMt Mg + MgMt)
2
= (Mt - Mt Mg + Mg)2
= 0.
Assim, pelo Teorema 3, SQTrat e SQRes so independentes; e usando o teorema 4
tem-se, por (15) e (17) que:
em que:
nt = ab, so os graus de liberdade dos tratamentos;
nr = (r-1)(ab+1), so os graus de liberdade do resduo;
t = DtDt/2, o parmetro de no-centralidade.
46
2.2.4.6 Teste de significncia
As hipteses geradas pela decomposio da soma de quadrados de tratamento, so
dadas de acordo com os parmetros testados:
Para a soma de quadrados do fator A:
H0: 1 = 2 = ... = a
Ha: pelo menos dois nveis do fator A diferem entre si.
Para a soma de quadrados do fator B:
H0: 1 = 2 = ... = b
Ha: pelo menos dois nveis do fator B diferem entre si.
Para a soma de quadrados da interao:
H0: 11 = 12 = ... = ab
Ha: existe interao entre os fatores.
Para a soma de quadrados do contraste tratamento adicional vs fatorial:
H0: a = f
Ha: a f
47
2.2.5 Diagrama de Hasse
De acordo com Alcarde (2007), definem-se os fatores experimentais: Tratamentos,
fator de parcela; e Fator A, Fator B e Controle, fatores de tratamento (Figura 2).
Figura 2 Diagrama de Hasse combinado para fatores de parcela e de tratamento
2.2.5.1 Graus de liberdade
Para o esquema do diagrama de Hasse para fatores de parcela obtm-se:
Figura 3 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de parcela
48
Diagrama de Hasse para fatores de tratamentos:
Figura 4 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de tratamento
2.2.5.2 Somas de quadrados
O diagrama de Hasse pode ser empregado para encontrar as matrizes ncleos de forma
prtica das somas de quadrados.
Diagrama de Hasse para fatores de parcela:
Figura 5 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de parcela
49
Diagrama de Hasse para fatores de tratamentos:
Figura 6 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de tratamento
2.2.6 Ajuste de equaes de regresso
2.2.6.1 Regresso linear simples
Num experimento fatorial duplo, seja o fator A quantitativo, podem-se escrever b
equaes lineares de regresso, sendo b o nmero de nveis do fator B. As seguintes equaes
de regresso linear simples podem ser escritas:
yik1 = 01 + 11xi1 + ik1
yik2 = 02 + 12xi2 + ik2
yikb = 0b + 1bxib + ikb
em que:
yikb o valor observado no i-simo nvel do fator A na k-sima repetio da b-sima
equao;
50
0b o coeficiente linear da b-sima equao;
1b o coeficiente angular da b-sima equao;
xib o nvel fixo do fator A na b-sima equao;
ikb o erro associado observao yikb com ikb~N(0,2) e independentes.
Demtrio e Zocchi (2011) descrevem que se os erros tem distribuio normal, so
independentes e com varincias homogneas, ento yikb~N(0b + 1bxib,2).
O modelo matricial pode ser empregado para cada uma das equaes de regresso:
yb = X + ,
sendo:
y o vetor de variveis observveis;
X a matriz dos coeficientes da equao;
o vetor de parmetros da equao;
o vetor de erros associados.
Para o caso do fatorial duplo com uma testemunha como tratamento adicional, tem-se
que para uma equao:
e
sendo:
51
x0 o nvel do tratamento adicional;
xi o i-simo nvel do fator A.
Assim, pelo mtodo dos mnimos quadrados, as estimativas por variveis centradas
dos parmetros so:
e
2.2.6.2 Teste de linearidade
Segundo Demtrio e Zocchi (2011), o teste de linearidade, tambm conhecido por
teste da falta de ajuste, combinado com o teste de nulidade do coeficiente angular da reta,
resultam em quatro possveis casos, resultando em diferentes concluses:
Caso 1:
Teste de falta de ajuste: no significativo
Teste de regresso (H0: 1=0): no significativo
Concluso: no h inclinao da reta e o modelo se ajusta aos dados.
Modelo estimado: ik = 0 =
Caso 2:
Teste de falta de ajuste: no significativo
Teste da regresso (H0: 1=0): significativo
Concluso: a reta possui inclinao e o modelo se ajusta aos dados.
Modelo estimado: ik = 0 + 1xi
52
Caso 3:
Teste de falta de ajuste: significativo
Teste de regresso (H0: 1=0): no significativo
Concluso: a reta estimada no possui inclinao mas no se ajusta aos dados.
Modelo sugerido: yik = 0 + 1xi + 2xi2+ ik ou grau superior.
Caso 4:
Teste de falta de ajuste: significativo
Teste de regresso (H0: 1=0): significativo
Concluso: a reta possui inclinao e o modelo no se ajusta aos dados.
2.2.6.3 Anlise de varincia para regresso
Para verificar se o ajuste do modelo linear ou se os graus superiores so adequados,
segue o quadrado de anlise de varincia com os respectivos graus de liberdade para o
experimento em estudo:
Tabela 7 Anlise de varincia para o teste de ajuste de regresso linear de um experimento
inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com um tratamento adicional
C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcalculado
Regresso linear 1 SQReg SQReg/1 QMReg/QMRes
Desvios de regresso b-2 SQD SQD/(b-2) QMD/QMRes
Entre nveis de X b-1 SQTrat SQTrat/(b-1) QMTrat/QMRes
Resduo r(ab+1)-b SQRes SQRes/[r(ab+1)-b]
Total r(ab+1)-1 SQTotal
53
Seguindo o princpio da parcimonia, escolhe-se o modelo com menor quantidade de
parmetros, dentre os modelos ajustveis. Em alguns casos escolhe-se o modelo que melhor
explica os dados de acordo com a experincia ou bom senso do pesquisador.
2.2.7 Ilustrao do mtodo
Para ilustrao da metodologia, utilizam-se dados de um experimento realizado na
Universidade Federal da Grande Dourados, Dourados, MS, no ano agrcola de 2009, em casa
de vegetao da Faculdade de Cincias Agrrias.
O experimento trata da aplicao de doses de fertirrigao de um produto comercial
Yogen 5 e diferentes tipos de substratos (casca de coco e substrato comercial Plantmax
hortalias) para o crescimento de mudas de pimento em bandejas, com trs parcelas por
bandejas e quatro repeties por parcelas. As doses testadas foram de 1,25; 2,5 e 5,0 g/L-1
do
fertilizante diludas em gua. O tratamento controle foi a no aplicao do produto em mudas
plantadas em bandejas com solo do tipo Latossolo vermelho distrofrrico. O delineamento
empregado foi o inteiramente casualizado em esquema fatorial 3x2 com um tratamento
adicional. Cada parcela constituiu-se de 36 clulas da bandeja e apenas 12 foram amostradas e
calculadas as mdias. A varivel analisada para esta ilustrao foi altura de plantas (cm)
apresentada na Tabela 8.
Tabela 8 Mdias de alturas de plantas de pimento cultivadas em bandejas sob casa de
vegetao em Dourados, MS
Substratos
Doses Plantmax Casca de coco
1,25 8,23 8,50
8,62 7,40
2,98 2,15
2,08 2,23
2,50 11,75 11,28
9,88 9,1
5,40 4,25
3,67 3,00
5,00 6,12 5,80
5,40 6,23
4,58 5,7
4,25 3,88
Tratamento
controle
3,25 3,37
3,88 3,25
54
2.2.7.1 Anlise exploratria
Pela figura 7 observa-se a possvel interao entre os fatores pelo no paralelismo
entre os segmentos de retas observados. A testemunha torna-se um ponto em comum entre as
retas.
Figura 7 Retas observadas dos nveis de substratos dentro do fator doses
55
2.2.7.2 Anlise de varincia
Com o auxlio do programa R (2011) as matrizes do delineamento foram montadas
com rotinas computacionais. A matriz de delineamento fica definida como:
E o vetor de parmetros correspondente:
= [ 1 2 3 1 2 11 12 21 22 31 32 ].
Graus de liberdade do fator Dose:
a 1 = 2
56
Graus de liberdade do fator Substratos:
b 1 = 1
Graus de liberdade da interao Doses x Substratos:
(a 1)(b 1) = 2
Graus de liberdade de todos os nveis de tratamento do delineamento:
ab = 6
Graus de liberdade do resduo:
(r 1)(ab + 1) = 3.7 = 21
Graus de liberdade total:
r(ab + 1) 1 = 4(7) 1 = 27
Assim, possvel o clculo das somas de quadrados para a elaborao do quadro da
anlise de varincia (Tabela 9).
Tabela 9 Anlise de varincia de um delineamento inteiramente casualizado no esquema
fatorial duplo com um tratamento adicional (3x2+1)
C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcalculado
Doses 2 22,0221 11,0111 19,95*
Substratos 1 122,1308 122,1308 221,29*
Interao DxS 2 31,5882 15,7941 28,62*
Fatorial vs Ad. 1 21,4143 21,4143 38,80*
Tratamentos 6 197,1553 32,8592 59,53*
Resduo 21 11,5902 0,5519
Total corrigido 27 208,7455
*hiptese nula rejeitada ao nvel de 5% de significncia pelo teste F de Fisher-Snedecor.
Todos os F calculados foram maiores do que os valores tabelados. Para o fator doses,
conclui-se que existe pelo menos dois nveis que diferem entre si. Para o fator subtrato,
57
conclui-se que, ao nvel de 5% de significncia, a mdia da altura de plantas cultivadas em
casca de coco (3,68cm) menor do que plantas cultivadas no substrato Plantmax (8,19cm).
2.2.7.3 Diagrama de Hasse e nmero de graus de liberdade
Para a elaborao do diagrama de Hasse, considera-se como fator de parcela,
Tratamentos, e como fatores de tratamentos, Doses, Substratos e Controle.
Portanto, o diagrama de Hasse para fatores de parcela fica:
Figura 8 Graus de liberdade para fatores de parcela da ilustrao
E o diagrama de Hasse para fatores de tratamentos:
Figura 9 Graus de liberdade para fatores de tratamentos da ilustrao
58
2.2.7.4 Teste de Dunnet
A diferena entre o tratamento testemunha com as demais combinaes pode ser
realizada por um teste de comparao de mdias de Dunnett a 5% de significncia.
Sendo d de Dunnett definido pelos nveis de tratamentos ab+1 e os graus de liberdade
do resduo (r-1)(ab+1), obtm-se:
d5%(7,21) = 2,79
Como o experimento balanceado o nmero de rplicas k=4 e, pelo quadro da anlise
de varincia o QMRes = 0,5519.
Assim, pela equao proposta por Dunnett tem-se:
d = 1,4656
Analisando a diferena de cada combinao de tratamento com o controle obtm-se:
|Dose 1,25 x Plantmax Controle| = |4,7500| > 1,4656
|Dose 1,25 x Casca de coco Controle| = |-1,0775| < 1,4656
|Dose 2,5 x Plantmax Controle| = |7,0650| > 1,4656
|Dose 2,5 x Casca de coco Controle| = |0,6425| < 1,4656
|Dose 5,0 x Plantmax Controle| = |2,4500| > 1,4656
|Dose 5,0 x Casca de coco Controle| = |1,1650| < 1,4656
Portanto, conclui-se que a mdia da testemunha difere significativamente, no teste de
Dunnett a 5% de probabilidade, das mdias do nvel Plantmax combinado em qualquer nvel
de dose.
59
2.2.7.5 Anlise pelo pacote ExpDes no R
O programa computacional livre R (2011), traz o pacote estatstico ExpDes
(Experimental Design), em que possvel realizar a anlise de experimentos. O comando
fat2.ad.dic() uma funo que realiza a anlise de um fatorial duplo com um tratamento
adicional em delineamento inteiramente casualizado. A anlise realizada pelos comandos:
fat2.ad.dic(fator1,fator2,resp,rep,ad,quali=c(FALSE,TRUE))
em que:
fator1 so os nveis das doses;
fator 2 so os nveis dos substratos;
resp o vetor das observaes do fatorial;
rep a repetio do vetor de observaes;
ad o vetor das observaes do tratamento adicional;
quali=c(FALSE,TRUE) a determinao de que o primeiro fator quantitativo e
de que o segundo fator qualitativo.
Os resultados obtidos pelo quadro da anlise de varincia so vistos na Tabela 10,
similares aos da Tabela 9.
Tabela 10 Anlise de varincia realizada pelo pacote ExpDes do R para um delineamento
inteiramente casualizado no esquema fatorial duplo com um tratamento
adicional
60
2.2.7.5.1 Desdobramento da interao
Como a interao foi significativa, o desdobramento da interao pode ser realizado
com o auxilio do pacote computacional ExpDes. Faz-se o desdobramento de um fator dentro
dos nveis do outro fator. O desdobramento de Doses dentro de cada nvel de Substratos
observado na Tabela 11.
Tabela 11 Desdobramento do fator Doses dentro dos nveis do fator Substratos
Como o efeito de Doses foi significativo tanto para casca de coco como para
Plantmax, o programa roda o ajuste de modelos de regresso para cada nvel (ver item
2.2.8.6.1.2).
O desdobramento do fator Substratos dentro dos nveis de Doses pode ser visto na
Tabela 12.
Tabela 12 Desdobramento do fator Substratos dentro dos nveis do fator Doses
Sendo significativo o efeito do fator Substrato em todos os nveis do fator Doses,
conclui-se que as mdias de altura de plantas cultivadas em casca de coco diferem
estatisticamente a 5% de probabilidade pelo teste F, daquelas cultivadas em Plantmax.
61
2.2.7.5.2 Ajuste do modelo de regresso
Como o fator doses quantitativo, faz-se o uso da anlise de regresso para ajuste de
modelo linear que explique os dados. Para o fator Doses desdobrado dentro dos nveis de
Substratos, sendo significativo, faz-se o teste de ajuste de modelos de regresso. Por
considerar o fator Doses com apenas trs nveis, o pacote ExpDes realiza o teste de ajuste para
o modelo linear e quadrtico.
Nesta ilustrao, o modelo linear yi = 2,0988 + 0,5424xi , proposto como o mais
adequado dentro do nvel casca de coco. Para o nvel Plantmax, proposto o modelo
quadrtico yi = 2,7908 + 5,55xi 0,9861xi2. As equaes estimadas podem ser visualizadas na
Figura 10.
Figura 10 Curvas de regresso linear de doses em relao a altura para os nveis Plantmax e Casca de coco
Como o pacote no considera o tratamento testemunha como um pseudonvel de
doses, faz-se necessrio a criao de uma subrotina R para a anlise de regresso
considerando o controle.
Esta nova definio apresentada na Figura 11, em que proposto o modelo linear yi
= 2,902 + 0,3282xi para o nvel casca de coco e o modelo quadrtico yi = 3,3846 + 5,1056xi
0,9203xi2 para o nvel Plantmax.
62
Figura 11 Curvas de regresso linear de doses em relao a altura para os nveis Plantmax e Casca de coco,
considerando o tratamento testemunha
2.3 Delineamento casualizado em blocos no esquema fatorial duplo com um tratamento
controle adicional
2.3.1 Caracterizao
Seja um experimento disposto em blocos casualizado em esquema fatorial duplo com
um tratamento adicional do tipo testemunha A x B + 1, em que A o primeiro fator e B o
segundo fator, com os seguintes ndices:
a: nveis do primeiro fator;
b: nveis do segundo fator;
l: nmero de blocos;
r: nmero de repeties dos pares de combinao do fatorial;
m: nmero de repeties do tratamento adicional (m=r, caso balanceado);
z: nmero de repeties do fatorial e do tratamento adicional por blocos.
63
2.3.2 Modelo linear
Para o experimento em questo, considera-se o seguinte modelo linear:
yijvk = + i + j + ij + v + ijvk (18)
e
yvh = + + v + vh (19)
em que:
yijvk a varivel resposta relacionada ao i-simo nvel do primeiro fator (i = 1, 2, ..., a)
com o j-simo nvel do segundo fator (j = 1, 2, ..., b) no v-simo bloco (v = 1, 2, ..., w) na k-
sima repetio (k = 1, 2, ..., r);
a mdia geral;
i o efeito do i-simo nvel do primeiro fator;
j o efeito do j-simo nvel do segundo fator;
ij o efeito da interao do i-simo nvel do primeiro fator com o j-simo nvel do
segundo fator;
v o efeito do v-simo bloco;
ijvk o erro experimental associado observao yijk e supe-se que ijk~N(0,2) e
independentes;
yvh a varivel resposta relacionado ao v-simo bloco da h-sima repetio do
tratamento adicional (h = 1, 2, ..., m);
o efeito do tratamento adicional;
vh o erro experimental associado ao tratamento adicional e supe-se que vh~N(0,2)
e independentes.
64
Na forma matricial, os modelos (18) e (19) so dados por:
y = X +
em que:
y rz(ab+1)x1 o vetor de realizaes de variveis aleatrias;
Xrz(ab+1)x(a+b+ab+w+2) a matriz dos coeficientes dos parmetros do modelo (matriz de
delineamento) de caracterstica (ab+w);
(a+b+ab+w+2)x1 o vetor de parmetros do modelo;
rz(ab+1)x1 um vetor, no observvel, de erros aleatrios, tal que ~N(0,I2);
e por ser um modelo de Gauss-Markov (G.M.) y~N(X,I2).
Particionando a matriz de delineamento convenientemente, obtm-se:
X = [ X1 | X2 | X3 | X4 | Xw | X5]
em que:
X1rz(ab+1) x 1 o vetor dos coeficientes associados mdia ;
X2 rz(ab+1) x a a matriz dos coeficientes associados ao fator A;
X3 rz(ab+1) x b a matriz dos coeficientes associados ao fator B;
X4 rz(ab+1) x ab a matriz dos coeficientes associados interao AxB;
Xw rz(ab+1) x w a matriz dos coeficientes associados aos blocos;
X5 rz(ab+1) x 1 o vetor dos coeficientes associados ao tratamento adicional.
65
Correspondentemente partio da matriz X, a partio do vetor dado por:
em que:
;
;
;
.
66
2.3.3 Sistema de equaes normais
Pelo mtodo dos quadrados mnimos obtm-se o sistema de equaes normais dado
por:
XX =Xy
ou seja,
,
em que:
X1X1 = rz(ab+1) = n = nmero total de unidades experimentais ou parcelas;
X1X2 = [brz brz ... brz] = vetor linha de repeties associadas ao fator A de dimenses
(1)x(a);
X1X3 = [arz arz ... arz] = vetor linha de repeties associadas ao fator B de dimenses
(1)x(b);
X1X4 = [rz rz ... rz] = vetor linha de repeties associadas a interao AB de
dimenses (1)x(ab);
X1Xw = [z(ab+1) z(ab+1) ... z(ab+1)] = vetor linha de repeties associadas aos
blocos de dimenses (1)x(w);
X1X5 = rz = nmero de repeties associadas ao tratamento adicional;
67
X2X2 = brzIa = diagonal [brz, brz, ..., brz] = submatriz associada s repeties do fator
A de dimenses (a)x(a);
X2X3 = rz(axb) = submatriz de nmeros de repeties do fator A em cada fator B de
dimenses (a)x(b);
X2X4 = submatriz de dimenses (a)x(ab), correspondente ao nmero de incidncias
dos nveis do fator A nos pares ij, da interao;
X2Xw = submatriz de dimenses (a)x(w), correspondente ao nmero de nveis do fator
B dentro do fator A;
X2X5 = vetor coluna nulo de dimenses (a)x(1);
X3X3 = arzIb = diagonal [arz, arz, ..., arz] = submatriz associada s repeties do fator
B de dimenses (b)x(b);
X3X4 = submatriz de dimenses (b)x(ab), correspondente ao nmero de incidncias
dos nveis do fator B nos pares ij, da interao;
X3Xw = submatriz de dimenses (b)x(w), correspondente ao nmero de nveis do
fator A dentro do fator B;
X3X5 = vetor coluna nulo de dimenses (b)x(1);
X4X4 = rzIab = diagonal [rz, rz, ..., rz] = submatriz associada s repeties dos pares
da interao ij de dimenses (ab)x(ab);
X4Xw = submatriz de dimenses (ab)x(w), correspondente ao nmero de repeties
das combinaes dos fatores dentro de blcoos;
X4X5 = vetor coluna nulo de dimenses (ab)x(1);
XwXw = (ab+1)Iw = diagonal [ab+1, ab+1, ..., ab+1] = submatriz associada ao nmero
de tratamentos dentro de cada bloco de dimenses (w)x(w);
XwX5 = [z z ... z] = vetor coluna correspondente ao nmero de repeties do
tratamento adicional dentro de cada bloco;
X5X5 = r = nmero de repeties dos tratamentos adicionais;
68
X1y = N = total geral observado;
X2y = vetor dos totais observados no fator A de dimenses (a)x(1);
X3y = vetor dos totais observados no fator B de dimenses (b)x(1);
X4y= vetor dos totais observados nos pares de interao ij de dimenses (ab)x(1);
Xwy = vetor dos totais observados dentro de cada bloco de dimenses (w)x(1);
X5y = o total observado no tratamento adicional.
2.3.4. Anlise de varincia
2.3.4.1 Obteno das somas de quadrados
Analogamente ao modelo inteiramente casualizado visto no item 2.2.5.1, a deduo da
soma de quadrados residual pode ser obtida por:
= yy - Xy
em que a soma de quadrados de resduos (SQRes), yy a soma de quadrados total no
corrigida, e Xy a soma de quadrados de parmetros (SQPar).
O modelo minimal G = E(y) = X1, o modelo esperado quando a resposta da mdia
populacional a mesma para todas as observaes sem efeitos dos fatores ou do tratamento
adicional (BRIEN, 2007).
A SQPar pode ser decomposta na soma de quadrados de tratamentos (SQTrat) e soma
de quadrados de blocos (SQblocos), em que a SQTrat se refere ao efeito do fatorial e do
contraste do tratamento adicional com o fatorial.
O modelo T = E(y) = X, o modelo maximal esperado em que todos os efeitos
ocorrem, fator A e fator B influenciam na mdia, existe o efeito de interaes, ocorre o efeito
dos blocos, e o tratamento adicional contrasta com o fatorial.
O modelo minimal marginal ao modelo alternativo do efeito de blocos w = Xw.
Este modelo estima apenas o efeito de blocos sobre a mdia. Deste modo, a reduo da soma
de quadrados dos blocos (SQblocos) pode ser deduzida:
69
SQblocos = yMwy yMgy
SQblocos = y(Mw Mg)y
SQblocos = yQwy
em que Mw = Xw(XwXw)-1
Xw e Qw = Mw Mg.
Para a deduo da SQTrat faz-se a reduo da SQPar em blocos.
SQTrat = SQPar - SQblocos
SQTrat = yMty yMwy
SQTrat = y(Mt Mw)y
SQTrat = yQty
em que Qt = Mt Mw.
Assim, para este delineamento, ocorre uma diminuio na soma de quadrados de
resduos e seus graus de liberdade, pela incluso dos blocos. A SQRes pode ser deduzida pela
diferena entre o total e os efeitos de tratamentos e blocos.
SQRes = SQTotal SQTrat SQblocos
SQRes = y(I Mg)y y(Mt Mw)y y(Mw Mg)y
SQRes = y(I Mg Mt + Mw Mw + Mg)y
SQRes = y(I Mt)y
SQRes = yQry
em que Qr = I Mt.
2.3.4.2 Graus de liberdade
Com a incluso do controle local em blocos, os graus de liberdade sofrem alteraes
em sua deduo para o total e resduos:
70
Graus de liberdade total:
posto[Qu] = posto[I Mg]
posto[Qu] = posto[Irz(ab+1)] posto[Mg]
posto[Qu] = rz(ab+1) 1.
Graus de liberdade do resduo:
posto[Qr] = posto[I - Mt]
posto[Qr] = posto[Irz(ab+1)] posto[Mt]
posto[Qr] = rz(ab+1) (ab + w)
posto[Qr] = rz(ab + 1) ab w.
No caso em que o nmero de repeties por blocos for 1 e o nmero de blocos for
igual ao nmero de repeties (z = 1 e r = w),
posto[Qr] = ab(r 1) + r w
posto[Qr] = ab(r 1).
Graus de liberdade blocos:
posto[Qw] = posto[Mw Mg]
posto[Qw] = posto[Mw] posto[Mg]
posto[Qw] = w 1.
2.3.4.3 Quadro da anlise de varincia
O quadro da anlise de varincia, com a decomposio da SQTrat em partes
ortogonais, dado na Tabela 13.
71
Tabela 13 Quadro da anlise de varincia de um experimento em delineamento casualizado
em blocos no esquema fatorial duplo com um tratamento adicional
C.V. G.L. S.Q. Q.M.
Fator A a-1 yQay SQA/(a-1)
Fator B b-1 yQby SQB/(b-1)
Interao AxB (a-1)(b-1) yQaby SQAxB/(a-1)(b-1)
Fatorial vs Ad. 1 yQcy SQcontraste
Tratamentos ab yQty SQTrat/ab
Blocos
Resduo
w-1
rz(ab + 1) ab w
yQwy
yQry
SQBloco/(w-1)
SQRes/(r-1)(ab+1)
Total corrigido rz(ab+1)-1 yQuy
A soma de quadrados de blocos pode ser escrita na forma de desvios:
Dw = Qwy
Assim, a tabela da anlise de varincia com as somas de quadrados por termos de
desvios pode ser visualizada na Tabela 14.
Tabela 14 Quadro da anlise de varincia com as respectivas somas de quadrados em termos
de desvios de um experimento em delineamento casualizado em blocos no
esquema fatorial duplo com um tratamento adicional
C.V. G.L. S.Q.
Fator A a-1 DaDa
Fator B b-1 DbDb
Interao AxB (a-1)(b-1) DabDab
Fatorial vs Ad. 1 DcDc
Tratamentos ab DtDt
Blocos
Resduo
w-1
(rz-1)(ab+1)-w+1
DwDw
DrDr
Total corrigido rz(ab+1)-1 DuDu
72
2.3.4.4 Teste de significncia
As hipteses geradas pela anlise, pela decomposio da soma de quadrados de
parmetros em tratamentos e blocos, so dadas de acordo com os parmetros testados:
Para a soma de quadrados do fator A:
H0: 1 = 2 = ... = a
Ha: pelo menos dois nveis do fator A diferem entre si.
Para a soma de quadrados do fator B:
H0: 1 = 2 = ... = b
Ha: pelo menos dois nveis do fator B diferem entre si.
Para a soma de quadrados da interao:
H0: 11 = 12 = ... = ab
Ha: existe interao entre os fatores.
Para a soma de quadrados de blocos:
H0: 1 = 2 = ... = w
Ha: existe pelo menos um bloco que difere dos demais.
Para a soma de quadrados do contraste tratamento adicional vs fatorial:
H0: a = f
Ha: a f
73
2.3.5 Diagrama de Hasse
De acordo com Alcarde (2007), definem-se os fatores experimentais: Blocos e
Parcelas, fatores de parcela, e Fator A, Fator B e Controle, fatores de tratamento.
Figura 12 Diagrama de Hasse combinado para fatores de parcela e de tratamento
2.3.5.1 Graus de liberdade
Para o esquema do diagrama de Hasse para fatores de parcela obtm-se:
Figura 13 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de parcela
74
Diagrama de Hasse para fatores de tratamentos:
Figura 14 Graus de liberdade no diagrama de Hasse para fatores de tratamento
2.3.5.2 Somas de quadrados
O diagrama de Hasse pode ser empregado para encontrar as matrizes ncleos de forma
prtica das somas de quadrados.
Diagrama de Hasse para fatores de parcela:
Figura 15 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de parcela
75
Diagrama de Hasse para fatores de tratamentos:
Figura 16 Matrizes ncleos no diagrama de Hasse para fatores de tratamento
2.3.6 Ilustrao do mtodo
Os dados a seguir ilustram o mtodo para um delineamento em blocos casualizados
em esquema fatorial duplo com uma testemunha como tratamento adicional.
O experimento foi realizado em Piracicaba, SP, no Centro de Estudos em Energia
Nuclear na Agricultura (CENA), na Escola de Superior de Agricultura Luiz de Queiroz da
Universidade de So Paulo (Esalq/USP). Refere-se a aplicao de diferentes doses de
nitrognio em kg.dm-3
(50, 100, 150, e 200) de diferentes fontes de adubo (uria, uria
recoberta 1, uria recoberta 2 e uria recoberta 3), com quatro repeties em plantas de um
experimento. No controle no aplicado nitrognio. A blocagem foi realizada em curvas de
nvel. A varivel resposta massa seca da parte area em gramas.
76
Tabela 15 Dados de massa seca da parte area de plantas de milho em gramas, Piracicaba,
SP.
Fontes
Doses Blocos Uria Uria 1 Uria 2 Uria 3 Testemunha
50
B I
B II
B III
B IV
3,55
5,44
3,01
4,65
2,56
3,32
2,79
3,06
5,35
5,24
4,12
6,75
4,61
6,12
5,31
4,39
100
B I
B II
B III
B IV
4,28
3,71
4,16
4,15
2,21
4,76
3,81
2,44
5,37
5,17
4,71
5,25
4,68
5,92
5,76
5,11
150
B I
B II
B III
B IV
3,94
4,23
4,67
4,94
2,74
3,23
4,19
4,33
3,32
4,13
4,42
4,21
5,71
4,82
4,84
4,35
200
B I
B II
B III
B IV
3,92
4,33
3,85
4,76
4,46
3,74
4,54
2,44
2,55
5,52
4,05
4,48
4,43
4,21
3,10
4,44
0
B I
B II
B III
B IV
1,52
1,63
1,33
1,08
77
2.3.6.1 Anlise de varincia
Com o auxlio do programa R, a matriz de delineamento foi montada para o clculo
das somas de quadrados do experimento.
Vetor dos coeficientes relacionados mdia:
;
Submatriz dos coeficientes relacionados ao fator Doses:
;
Submatriz dos coeficientes relacionados ao fator Substratos:
;
78
Submatriz dos coeficientes relacionados aos blocos:
;
Submatriz dos coeficientes relacionados aos pares Doses x Substratos:
;
Vetor dos coeficientes relacionados ao tratamento adicional:
.
O vetor de parmetros definido por:
= [ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ]
em que:
= [11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44]
79
Os graus de liberdade so definidos a seguir:
Graus de liberdade do fator Doses
a 1 = 3.
Graus de liberdade do fator Fontes
b 1 = 3.
Graus de liberdade da interao Doses x Fontes
(a 1)(b 1) = 9.
Graus de liberdade de todos os tratamentos do delineamento
ab = 16.
Graus de liberdade do resduo, com z = 1 e r = w
ab(r 1) = 16(3)
= 48.
Graus de liberdade total
rz(ab + 1) 1 = 4(17) 1
= 67.
Assim, possvel o clculo das somas de quadrados para a elaborao do quadro da
anlise de varincia (Tabela 16).
80
Tabela 16 Anlise de varincia de um experimento em delineamento casualizado em blocos
no esquema fatorial duplo com um tratamento adicional
*hiptese nula rejeitada ao nvel de 5% de probabilidade pelo teste F de Fisher-Snedecor.
Para o fator doses, no houve diferena significativa entre as mdias de massa seca
pelo teste F ao nvel de 5% de significncia. Para o fator fontes, conclui-se que existem pelo
menos dois nveis que diferem entre si. A interao entre doses e fontes foi significativa. Pelo
contraste, conclui-se que o tratamento adicional difere das combinaes de tratamentos do
fatorial. No houve diferena significativa entre blocos, o uso de blocos no foi justificado.
2.3.6.2 Diagrama de Hasse e nmero de graus de liberdade
Para a elaborao do diagrama de Hasse, considera-se como fatores de parcela,
Parcelas e Blocos, e como fatores de tratamentos, Doses, Substratos e Controle.
Portanto, o diagrama de Hasse para fatores de parcela fica:
Figura 17 Graus de liberdade para fatores de parcela
C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcalculado
Doses 3 1,6059 0,5353 1,0274
Fontes 3 19,8479 6,6159 12,6974*
Interao DxF 9 9,9062 1,1007 2,1124*
Fatorial vs Ad. 1 31,6919 31,6919 60,8231*
Tratamentos 16 63,0519 3,9407 7,5631*
Blocos
Resduo
3
48
3,2932
25,0104
1,0977
0,5211
2,1067
Total corrigido 68 91,3555
81
E o diagrama de Hasse para fatores de tratamentos:
Figura 18 Graus de liberdade para fatores de tratamentos
O quadro de anlise de varincia proposto por Brien (2007), obtido pelas somas de
quadrados calculadas pelos diagramas para este experimento casualizado em bloco no
esquema fatorial duplo com um tratamento adicional, pode ser visualizado na Tabela 17.
Tabela 17 Quadro da anlise de varincia pelo mtodo do diagrama de Hasse para um
experimento em delineamento casualizado em blocos no esquema fatorial
duplo com um tratamento adicional
C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcalculado
Blocos 3 3,2932 1,0977 2,1067
Parcelas[Blocos] 64 88,0623
Controle 1 31,6919 31,6919 60,8231*
Doses[Controle] 3 1,6059 0,5353 1,0274
Fontes[Controle] 3 19,8479 6,6159 12,6974*
Doses^Fontes[Controle] 9 9,9062 1,1007 2,1124*
Resduos 48 25,0104 0,5211
Total corrigido 67 91,3555
*hiptese nula rejeitada ao nvel de 5% de probabilidade pelo teste F de Fisher-Snedecor.
82
2.3.6.4 Teste de Dunnett
Realizando o teste de Dunnett ao nvel de 5% de significncia, obtm-se a diferena
mnima significativa entre o tratamento testemunha e os tratamentos do fatorial:
d5%(17,48) = 3,60.
Como o experimento balanceado o nmero de rplicas k=4 e, pelo quadro da anlise
de varincia o QMRes = 0,5211.
Assim, pela equao proposta por Dunnett tem-se:
d = 1,8375.
Analisando a diferena de cada combinao de tratamento com o controle obtm-se:
|Dose 50 x Uria Controle| = |2,7725| > 1,8375
|Dose 50 x Uria1 Controle| = |1,5425| < 1,8375ns
|Dose 50 x Uria2 Controle| = |3,9750| > 1,8375
|Dose 50 x Uria3 Controle| = |3,7175| > 1,8375
|Dose 100 x Uria Controle| = |2,6850| > 1,8375
|Dose 100 x Uria1 Controle| = |1,9150| > 1,8375
|Dose 100 x Uria2 Controle| = |3,7350| > 1,8375
|Dose 100 x Uria3 Controle| = |3,9775| > 1,8375
|Dose 150 x Uria Controle| = |3,0550| > 1,8375
|Dose 150 x Uria1 Controle| = |2,2325| > 1,8375
|Dose 150 x Uria2 Controle| = |2,6300| > 1,8375
|Dose 150 x Uria3 Controle| = |3,5400| > 1,8375
|Dose 200 x Uria Controle| = |2,8250| > 1,8375
83
|Dose 200 x Uria1 Controle| = |2,4050| > 1,8375
|Dose 200 x Uria2 Controle| = |2,7600| > 1,8375
|Dose 200 x Uria3 Controle| = |2,6550| > 1,8375
Conclui-se que o tratamento controle difere significamente das combinaes de Uria,
Uria 1, Uria 2 e Uria 3 com as doses 50, 100, 150 e 200, exceto para a combinao de
Uria 1 com a dose 50.
84
85
3 CONCLUSO
A anlise de varincia de delineamentos em esquema fatorial duplo pode ser calculada
por meio das matrizes determinadas pelo modelo proposto e com a obteno das matrizes
ncleos das formas quadrticas dos modelos marginais.
A aplicao do diagrama de Hasse auxilia na obteno das matrizes ncleos e graus de
liberdade para clculo das somas de quadrados e elaborao do quadro da anlise de
varincia.
O pacote ExpDes no R tambm pode ser empregado para a anlise de varincia para
delineamentos inteiramente casualizado, porm, o ajuste das curvas de regresso no levam
em considerao o tratamento testemunha como um nvel do fator quantitativo.
O teste de Dunnett mostrou-se adequado s interpretaes das anlises para o
delineamento inteiramente casualizado e o delineamento casualizado em blocos.
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REFERNCIAS
ALCARDE, R. Fundamentos do diagrama de Hasse e aplicaes experimentao. 2007.
99p. Dissertao (Mestrado em Estatstica e Experimentao Agronmica) Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Universidade de So Paulo, Piracicaba, 2007.
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of Brachiaria brizantha cv. Marandu, under levels of soil water availability in stages of
growth of the plants. Revista Brasileira de Zootecnia, Braslia, v. 40, n. 7, p. 1405-1411,
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BEZERRA, A. K. D.; BRUNO, R. de A.; FERRARI, C. dos S.; SILVA, G. Z. da; JNIOR, J.
M. B.; ALVES, E. U. Utilizao de fungicidas no tratamento de sementes de mamona. In:
IV Congresso Brasileiro de mamona e I Simpsio Internacional de Oleaginosas Energticas,
Joo Pessoa, PB. Campina grande: Embrapa Algodo, 2010. p. 2180-2185.
BISCARO, G. A.; MOTOMIYA, A. V. de; RANZI, R.