Upload
anii88
View
149
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 1/21
4.1. FUNGSI LIMIT
Definisi 4.1.1
A R. Titik c ∈ R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap δ > 0 ada paling
sedikit satu titik di x ∈ A, x ≠ c sedemikian sehingga | x – c | < δ.
Definisi diatas dapat disimpulkan dengan cara lain :
Titik c adalah suatu titik limit di A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c atau
ditulis δ(c) yaitu :
δ(c) = { x ∈ R ; | x – c | < δ }
= - δ < x – c < δ
= c – δ < x < c + δ
Vδ(c) = ( c – δ, c + δ ) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda
dengan c.
Catatan : A ⊆ R, c titik limit dari A jika Vδ(c)∩ A yang berbeda dari c
Teorema 4.1.2
Bilangan real c adalah titik limit dari A, A ⊆ R, jika dan hanya jika ada barisan
(an) dalam A dan an ≠ c, ∀ n ∈ N sedemikian hingga lim (an) = c
Bukti :
() A ⊆ R. Bilangan real c adalah titik limit dari A maka akan ditunjukkan ada
barisan (an) dalam A dan an ≠ c, ∀ n ∈ N sedemikian hingga lim
(an) = c
c adalah titik limit dari A, artinya untuk sembarang n∈
N, persekitaran1/n dari c, yaitu V1/n(c) memuat paling sedikit satu titik dalam A yang
berbeda dengan c. Jika an, ∀ n ∈ N merupakan titik-titik tersebut, maka an
∈ A, an ≠ c, dan lim (an) = c. (terbukti)
() Jika ada barisan (an) dalam A dan an ≠ c, ∀ n ∈ N sedemikian hingga
lim (an) = c akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A
(an) dalam A dan an ≠ c maka (an) dalam A berbeda {c}, dan lim (an) = c,
artinya untuk sembarang δ > 0,∃
K∈
N, sehingga jika n ≥ K(δ), maka an
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 2/21
∈ δ(c). Dengan kata lain, terdapat persekitaran-δ dari c, δ(c) yang memuat
titik-titik an,∀ n ≥ K(δ), an ∈ A dan an ≠ c. Jadi, c merupakan titik limit
dari A.
DEFINISI LIMIT
4.1.4. Definisi
A ⊆ R, f : A → R, dan c merupakan titik limit dari A. Bilangan real L merupakan
limit dari f di c, jika ε > 0 ada δ > 0 sedemikian hingga untuk sembarang x ∈ A
dan 0 < | x – c | < δ maka | f(x) – L | < ε.
Catatan :
a. Pengambilan nilai δ bergantung pada pengambilan ε, sehingga kadang-
kadang δ ditulis dengan δ(ε).
b. Ketaksamaan 0 < | x – c | adalah ekuivalen dapat dikatakan x ≠ c
Jika L merupakan limit f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan
ditulis :
)( x f Lim Lc x
atau f Lim Lc x
dikatakan f(x) menuju L untuk x menuju c
Teorema 4.1.5
Jika f : A → R, dan c titik limit dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c.
Bukti :
Andaikan f mempunyai dua nilai limit di c, yaitu L1 dan L2, L1 ≠ L2
Pilih ε > 0, sehingga
L1 merupakan limit f di c maka ada δ1(ε/2) > 0 dan 0 < | x – c | < δ1(ε/2) maka
| f(x) – L1 | < ε/2
L2 merupakan limit f di c maka ada δ2(ε/2) > 0 dan 0 < | x – c | < δ2(ε/2) maka
| f(x) – L2 | < ε/2
Ambil δ = min{ δ1(ε/2), δ2(ε/2) } maka jika x ∈ A dan 0 < | x – c | < δ, dengan
ketaksamaan segitiga didapatkan :
| L1 – L2 | ≤ | L1 – f(x) | + | f(x) - L2 | < ε/2 + ε/2 = ε
Karena ε > 0 dapat disimpulkan bahwa : L1 – L2 = 0 jadi L1 = L2
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 3/21
Definisi limit dapat dideskripsikan dalam bentuk persekitaran karena
Vδ(c) = ( c – δ, c + δ ) = { x ∈ R ; | x – c | < δ }
Ketaksamaan segitiga 0 < | x – c | < δ adalah ekuivalen dikatakan bahwa x ≠ c dan
x berbeda ke persekitaran Vδ(c) dari c. sama dengan ketaksamaan | f(x) – L1 | < ε
adalah ekuivalen dikatakan bahwa f(x) berbeda ke persekitaran Vδ(L) dari L.
y
x
( ( ( (
( ( ( (
( ( ( (( ( ( (
DiberikanVδ(L)
L
cadaVδ(c)
4.1.6 Teorema
Ambil f : A → R, c titik limit dari A, maka ekuivalen dengan pernyataan dibawah
ini :
1. L x f Limc x
)(
2. Diberikan persekitaran-ε Vε(L) dari L, ada persekitaran-ε Vε(c) sedemikian
sehingga jika x ≠ c adalah titik Vε(L) ∩A, x ≠ c, maka f(x) ∈Vε(L).
Contoh :
1. bb Limc x
Bukti :
Tampak bahwa f(x) = b ∀ x ∈ R. akan ditunjukkan bb Limc x
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 4/21
Jika ε > 0, ambil δ = 1, sehingga jika 0 < |x - c| < 1 diperoleh |f(x) - b| = |b - b|
= 0 < ε . Terbukti karena ε > 0 maka dapat disimpulkan bb Limc x
2. c x Limc x
Bukti :
g(x) = x ∀ x ∈ R. Jika ε > 0, ambil δ = ε, sehingga jika 0 < |x - c| < δ maka
diperoleh
|g(x) – c| = |x -c| < ε . Karena ε > 0 maka terbukti bahwa c x Limc x
.
3.
22
c x Limc x
Bukti :
h(x) = = x2 ∀ x ∈ R. Untuk menunjukkan
22c x Lim
c x
, maka harus
ditunjukkan : |h(x) – c2| = |x
2-c
2| < ε
Ambil sembarang ε > 0 dan x yang cukup dekat dengan c.
Dimana x2
- c2
= (x+c) (x-c) Jika |x - c| < 1.
Pergunakan teorema ketidaksamaan diperoleh :
|x| ≤ |c| + 1 sehingga |x + c | ≤ |x| + |c| ≤ 2|c| + 1
jika |x - c| < 1, maka akan diperoleh :
(*) | x2-c
2| = |x+c||x-c| ≤ (2|c| +1) | x – c |
dan harus ditunjukkan nilainya lebih kecil dari ε.
Hal tersebut akan dipenuhi jika |x - c| < ε/(2|c| + 1).
Oleh karena itu, pilih δ(ε) = inf (1||2
,1c
)
sehingga jika 0 < |x - c| < δ(ε) maka memenuhi:
|x - c| < 1 dan mengakibatkan (*) valid, dan diperoleh
| x2-c
2| ≤ ε/(2|c| + 1) |x - c| < ε.
Karena nilai δ(ε) > 0 diperoleh dengan mengambil sembarang nilai ε > 0,
maka terbukti bahwa22
c x Limc x
Kriteria Barisan Untuk Limit
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 5/21
4.1.8 Teorema (Kriteria Barisan)
f : A → R, dan c merupakan titik limit dari A; maka :
(i) L x f Limc x
)(
(ii) Untuk setiap barisan (xn) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga
xn ≠ c, ∀ n ∈ N, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L
Bukti :
(i) → (ii). Anggap f mempunyai limit L di c, serta (xn) merupakan barisan dalam
A dengan lim(xn) = c dan xn ≠ c, ∀ n ∈ N. Kita harus menunjukkan bahwa
barisan (f(xn)) konvergen ke L. f mempunyai limit L di c, (menurut definisi
4.1.4), jika diambil sembarang ε > 0 akan terdapat δ > 0, sehingga jika x ∈ A
memenuhi 0 <|x - c|< δ, maka f(x) memenuhi |f(x) - L| < ε.
lim(xn) = c, artinya untuk sembarang δ > 0, ∃ K(δ) ∈ N, sehingga untuk n
≥ K(δ) berlaku |xn – c |. Tetapi setiap xn memenuhi |f(x) - L| < ε. Jadi, jika n ≥
K(δ) maka berlaku |f(xn) - L| < ε artinya barisan (f(xn)) konvergen ke L.
(ii)→
(i). Pembuktian akan menggunakan kontra positif, yaitu denganmengandaikan (i) tidak benar akan diperoleh juga bahwa (ii) tidak benar.
Andaikan L x f Limc x
)( maka akan ada persekitaran-ε0 dari L, Vε0(L) sehingga
untuk setiap persekitaran-δ dari c, Vε0(c) yang diambil, terdapat paling sedikit
satu nilai xδ ∈ A ∩Vε0(c) dengan xδ ≠ c, f(xδ) ≠ Vε0(L). Oleh karena itu, ∀ n ∈
N, persekitaran-(1/n) dari c, memuat bilangan xn, sedemikian hingga
0 < |xn - c| < 1/n dan xn ∈ A Tetapi, |f(xn) - L| ≥ ε0, ∀ n ∈ N.
Dengan demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (xn) termuat dalam A – {c}
yang konvergen ke c, tetapi barisan (f(xn)) tidak konvergen ke L.
Jadi, dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat
kontra positif, maka (ii) → (i) bernilai benar.
Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit
fungsi dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan.
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 6/21
Contoh : Jika (xn) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu
bilangan c, maka (xn
2) konvergen ke c
2. Oleh karena itu, dengan menggunakan
Kriteria Barisan, fungsi h(x):= x2
mempunyai limit :2
)( c xh Limc x
Kriteria Divergensi
Berikut akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari
suatu fungsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada
suatu titik.
4.1.9 Kriteria Divergensi
A ⊆ R, f : A → R, dan c merupakan titik limit dari A.
a. Jika L ∈ R, maka f tidak mempunyai limit L di c, jika dan hanya jika ada
barisan (xn) dalam A, xn ≠ c ∀ n ∈ N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c,
tetapi (f(xn)) tidak konvergen ke L.
b.
Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika ada barisan (xn)dalam A, xn ≠ c ∀n ∈ N, sehingga barisan (xn) konvergen ke c, tetapi (f(xn))
tidak konvergen di R.
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 7/21
Contoh :
1. x
x Lim 1
0tidak ada di R.
Bukti :
Jika diambil barisan (xn) dengan xn = 1/n untuk n ∈ N, maka lim (xn) = 0,
tetapi ϕ(xn) = 1/ (1/n) = n, dan barisan (φ(xn)) =(n) merupakan barisan yang
tidak konvergen karena tidak terbatas Oleh karena itu menurut teorema 4.1.9
(b) disimpulkan bahwa x
x Lim 1
0tidak ada di R.
2. )sgn(0
x Lim x
tidak ada.
Bukti :
Fungsi signum didefinisikan sebagai berikut :
01
00
01
)sgn(
xuntuk
xuntuk
xuntuk
x
Ingat bahwa sgn(x) = x / |x| untuk x ≠ 0 (lihat gambar 4.1.2). Akanditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit di x = 0. Karena akan
ditunjukkan )sgn(0
x Lim x
tidak ada, maka harus ditunjukkan ada barisan (xn)
dan lim (xn) = 0, tetapi (sgn(xn)) tidak konvergen.
(
)
1
-1
Fungsi signum
Ambil xn = (-1)n /n untuk n∈ N, maka lim (xn) = 0 dan
sgn(xn) = (-1)n untuk n ∈ N,
Lihat contoh 3.4.6(a) bahwa sgn(xn) tidak konvergen. Jadi, )sgn(0
x Lim x
tidak ada.
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 8/21
3.
x x Lim
1
0 sin tidak ada di R.
Bukti :
Jika g(x) = sin(1/n), untuk x ≠ 0. (lihat gambar 4.1.3) Akan ditunjukkan
bahwa g(x) tidak mempunyai limit di c = 0, dengan menetapkan dua barisan
(xn) dan (yn), dimana xn ≠ 0 dan yn ≠ 0, ∀ n ∈ N sedemikian hingga lim
(xn) = 0 dan lim (yn) = 0 tetapi lim (g(xn)) ≠ lim (g(yn)), hal itu
menunjukkan bahwa g Lim x 0
tidak ada.
1
-1
1/3π
1/2π
1/ π
Fungsi g(x) = sin (1/x) (x ≠ 0)
Ingat : sin t = 0 jika t = nπ, dan sin t = + 1 jika t =½π + 2n π untuk n ∈ Z.
Ambil xn = 1/nπ untuk n ∈ N, maka lim (xn) = 0 dan g(xn) = sin nπ = 0 ∀ n
∈ N, sehingga
lim (g(xn)) = 0 Ambil nn y 21
2
1 untuk n ∈ N, maka lim (yn) = 0
dan 12sin)(21 n yg n ∀ n ∈ N sehingga lim (g(yn)) = 1
maka x
x Lim 1
0sin
tidak ada di R.
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 9/21
4.2 TEOREMA LIMIT
4.2.1 Definisi
Diberikan R A , R A f : , dan diberikan Rc titik limit dari A . Kita
katakan bahwa f terbatas pada persekitaran c jika terdapat persekitaran
, )(cV dan konstanta 0 M seperti yang kita miliki M x f )( untuk semua
)(cV A x .
4.2.2 Teorema
Jika R A dan R A f : mempunyai sebuah limit di Rc , maka f
terbatas pada suatu persekitaran pada c
Bukti :
Jika f Lc x
lim: , maka untuk 1e , terdapat 0 sedemikian hingga jika
c x0 , kemudian 1)(
x f ( oleh corollary 2.2.4(a)),
1)()( L x f L x f
Karena itu, jika c xcV A x , , maka 1 L x f . Jika Ac , kita
ambil 1 L M , sementara jika Ac kita ambil 1,sup: Lc f M . Maka
bila ada cV A x , kemudian M x f . Ini menunjukkan bahwa
f terbatas pada suatu persekitaran pada c.
Berikut akan diberikan definisi, penjumlahan, selisih, perkalian dan pembagian
dari fungsi, seperti halnya dalam barisan.
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 10/21
4.2.3 Definisi
Diberikan R A , f dan g fungsi yang terdefinisi pada A ke R . Didefinisikan
jumlah g f , selisih g f dan perkalian fg pada A ke R dengan fungsi
xg x f xg f
xg x f xg f
xg x f x fg
untuk semua A x . Selanjutnya jika Rb didefinisikan perkalian bf dengan
fungsi xbf xbf untuk semua A x .
Akhirnya, jika 0 xh untuk A x , kita definisikan pembagi h f / dengan
fungsi xh
x f x
h
f
untuk semua A x
4.2.4 Teorema
Diberikan R A , diberikan f dan g merupakan fungsi pada A ke R , dan
diberikan Rc tertimbun dari A . Lebih lanjut diberikan Rb .
a. Jika L f c x
lim dan M g
c x
lim , maka :
M Lg f c x
lim , M Lg f
c x
lim
LM fgc x
lim bLbf c x
lim
b. Jika R Ah : , jika 0 xh untuk semua A x , dan jika 0lim
H hc x
,
maka
H
L
h
f
c x
lim
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 11/21
Bukti
Salah satu bukti teorema ini persis sama dengan teorema 3.2.3. Alternatif , dapat
dibuktikan dengan menggunakan teorema 3.2.3 dan 4.1.8. Sebagai contoh,
biarkan n x menjadi urutan apapun di A sehingga c xn untuk N n , dan
n xc lim . Mengikuti dari teorema 4.1.8 bahwa
L x f lim , M xg lim
Di sisi lain, definisi 4.2.3 menyiratkan bahwa
nnnxg x f x fg untuk N n
Oleh karena itu aplikasi dari teorema 3.2.3 hasilnya
nnn xg x f x fg limlim
= LM xg x f nn limlim
Bagian lain dari teorema ini terbukti dengan cara yang sama. Kita meninggalkan
rincian untuk pembaca.
Komentar
1. Catatan kita, bahwa bagian b, asumsikan penjumlahan bahwa
0lim
h H c x dibuat. Jika diasumsikan ini tidak dipenuhi, maka limit
xh
x f
c xlim
mungkin atau mungkin tidak ada. Tetapi bahkan jika limit ada, kita dapat
menggunakan teorema 4.2.4 b untuk mengevaluasinya.
2. Diberikan R A , dann
f f f ,........, 21 dengan fungsi A ke R , dan diberikan
c titik timbun dari A . Jika
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 12/21
k c x
k f L
lim untuk nk .,.........1
Maka berikut teorema 4.2.4 oleh argumen induksi bahwa
nc x
n f f f L L L .....lim..... 2121
Dan
nc x
n f f f L L L .....lim...... 2121
Khususnya, kami menyimpulkan bahwa jika f Lc x lim dan N n , maka
nc x
n x f L
lim
4.2.5 Contoh
i. Beberapa dari limit di bagian 4.1 dapat dibuktikan dengan menggunakan
teorema 4.2.4. Sebagai contoh, mengikuti dari hasil ini bahwa c xc x
lim ,
kemudian22
lim c xc x
dan jika 0c , maka
c xc x
c x
1
lim
11lim
ii. 2041lim32
2
x x
x
Ikuti dari teorema4.2.4 bahwa
4lim1lim41lim 3
2
2
2
32
2
x x x x
x x x
= 421232
= 4814
= 45
= 20
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 13/21
iii. 5
4
1
4lim
2
3
2
x
x
x
Jika berlaku teorema 4.2.4 b, maka
5
4
1lim
4lim
1
4lim
2
2
3
2
2
3
2
x
x
x x
x
x
x
Catatan bahwa limit dengan penyebut (i.e 51lim2
2
x
x) tidak sama dengan 0,
maka teorema 4.2.b berlaku.
iv. 3
4
63
4lim
2
2
x
x
x,
Jika diberikan 42 x x f dan 63 x xh untuk R x maka tidak dapat
digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi xh x f x 2lim
karena
)63(limlim22
x xh H x x
= 062.36lim32
x
x
Bagaimanpun, jika 2 x , maka
)2(3
1
)2(3
)2)(2(
63
42
x
x
x x
x
x
Maka dari itu
3
42lim
3
1)2(
3
1lim
63
4lim
22
2
2
x x
x
x
x x x
Catatan bahwa fungsi )63()4()( 2 x x xg mempunyai limit di 2 x
meskipun tidak ada definisinya.
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 14/21
v. x x
1lim
0tidak terdapat di R
Tentu saja 11lim1
xdan 0lim
0
x H
x. Bagaimanapun, ketika 0 H , tidak
dapat digunakan teorema 4.2.4b untuk mengevaluasi )1(lim0
x x
. Dalam
faktanya, lihat contoh 4.1.10a, fungsi x x 1)( tidak mempunyai sebuah
limit di 0 x . Kesimpulan mengikuti juga dari teorema 4.2.2 ketika fungsi
x x 1)( tidak terbatas dipersekitaran 0 x
vi. Jika p adalah sebuah fungsi polynominal, maka )()(lim c p x pc x
Biarkan p menjadi fungsi polynominal di R maka
01
1
1 ....)( a xa xa xa x pn
n
n
n untuk semua R x . Berdasarkan
teorema 4.2.4 dan fakta bahwak k
c xc x
lim , maka
01
1
1 ......[lim)(lim a xa xa xa x pn
n
n
nc xc x
= 01
1
1 lim)(lim.....)(lim)(lim a xa xa xac xc x
n
nc x
n
nc x
= 01
1
1 ..... acacaca n
n
n
n
= )(c p
Karenanya )()(lim c p x pc x
untuk setiap fungsi polynominal p
vii. Jika p dan q adalah fungsi polynominal di R dan jika 0)( cq maka
)(
)(
)(
)(lim
cq
c p
xq
x p
c x
Ketika )( xq adalah sebuah fungsi polynominal, berdasarkan dari sebuah
teorema di aljabar bahwa ada paling banyak bilangan terbatas bilangan real
m ,.....1 [bilangan real nol di )( xq ] maka 0)( jq dan jika
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 15/21
),.....( 1 m x , maka 0)( xq . Karenanya, jika ),.....( 1 m
x kita dapat
definisikan
)(
)()(
xq
x p xr
Jika c tidak nol di )( xq , maka 0)( cq , dan mengikuti dari bagian vi bahwa
0)()(lim
cq xqc x
. Oleh karena itu kita dapat menerapkan teorema 4.2.4b
untuk menyimpulkan bahwa
)(
)(
)(lim
)(lim
)(
)(lim
cq
c p
xq
x p
xq
x p
c x
c x
c x
Hasil berikutnya adalah analog langsung dari teorema 3.2.6
4.2.6 Teorema
Diberikan R A , R A f : , dan diberikan Rc titik limit dari A . Jika
b x f a )( untuk semua c x A x , dan jika terdapat f c x
lim , maka
b f ac x
lim .
Bukti
Memang, jika f c x
lim , maka berdasarkan dari teorema 4.1.8 bahwa jika )( n x
adalah setiap barisan bilangan real berlaku bahwa A xc n untuk semua N n
dan jika barisan )( n x konvergen ke c , maka barisan x f konvergen ke L .
Ketika b x f a )( untuk semua N n , berdasarkan dari teorema 3.2.6 bahwa
b La .
Sekarang kita bagian analog dari teorema squeeze 3.2.7. untuk
membuktikannya kita1 serahkan kepada pembaca.
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 16/21
4.2.7 Teorema Squeeze
Diberikan R A , R Ahg f :,, , dan Rc titik limit di A . Jika
)()()( xh xg x f untuk semua c x A x , , dan jika h L f c xc x
limlim , maka
Lgc x
lim
4.2.8 Contoh
0lim 2
3
x
c x )0( x
Diberikan 2
3
)( x x f untuk 0 x sejak ketidaksamaan 12
1
x x memegang
untuk 10 x . Hal berikut bahwa x x x f x 2
3
2)( untuk 10 x . Maka
0lim2
0
x
xdan 0lim
0
x
x
Berdasarkan dari teorema 4.2.7 squeeze bahwa 0lim 2
3
x
c x
4.2.9 Teorema
Diberikan R A , R A f : dan diberikan Rc cmempunyai sebuah limit di
A , jika 0lim
f c x
[masing-masing, 0lim
f c x
]. Maka terdapat sebuah
persekitaran )(cV di c sehingga 0)( x f [masing-masing, 0)( x f ] untuk
semua c xcV A x , .
Bukti
Diberikan f Lc x
lim dan menduga bahwa 0 L . Kita ambil 02
1 L di
definisi 4.1.4, dan memperoleh sebuah 0 sehingga jika c x0 dan
A x , maka L L x f 2
1)( . Oleh karena itu berikut bahwa jika
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 17/21
c xcV A x , , maka 02
1)( L x f . Jika 0 L berlaku argumen yang
sama.
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 18/21
4.3 Beberapa Eksentensi Konsep Limit
4.3.1 Definisi
Diberikan R A dan R A f :
i. Jika Rc adalah titik limit dari bagian }:{),( c x A xc A maka kita
katakan bahwa R L adalah limit kanan f di c dan kita tulis
L f c x
lim L x f c x
)(lim
Jika diberi 0 terdapat sebuah 0)( sehingga untuk semua A x
dengan c x0 maka L x f )( .
ii. Jika Rc adalah titik limit dari bagian }:{),( c x A xc A maka
kita katakan bahwa R L adalah limit kiri f di c dan kita tulis
L f c x
lim L x f c x
)(lim
4.3.2 Teorema
Diberikan R A dan R A f : dan diberikan Rc titik limit di ),( c A .
Maka pernyataan berikut adalah ekuivalen :
i. L f c x
lim
ii. Untuk setiap barisan )(n x konvergen ke c sehingga A xn dan c x
n untuk
semua N n . Barisan )( x f konvergen ke L
4.3.3 Teorema
Diberikan R A , R A f : dan diberikan Rc membiarkan menjadi titik limit
bagian ),( c A dan ),( c A . Maka f Lc x
lim jika dan hanya jika
f L f c xc x
limlim
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 19/21
4.3.4 Contoh
(a). Diberikan )sgn()( x x f
Kita telah melihat contoh 4.1.10(b) bahwa sgn tidak mempunyai limit di 0.
Jelas bahwa 1)sgn(lim0
x x
dan 1)sgn(lim0
x x
. Karena limit ini satu sisi
yang berbeda. Itu juga mengikuti dari teorema 4.3.3 bahwa )sgn( x tidak
mempunyai limit di 0.
(b). Diberikan
2
1
)( e xg untuk 0 x ( lihat gambar 4.3.1)
Gambar 4.3.1 grafik 2
1
)( e xg untuk 0 x
Kami pertama menunjukkan g tidak mempunyai sebuah limit kanan
berhingga di 0c karena tidak dibatasi pada setiap persekitaran kanan
),0( di 0. kita wajib memanfaatkan ketidaksamaan (1) t et 0 untuk
0t
Yang akan dibuktikan kemudian (lihat collary 8.3.3). mengikuti dari (1)
bahwa jika 0 x , kemudian xe x1
10 . Maka jika kita mengambil
n xn
1 , kemudian n xgn)( untuk semua N n . Maka dari itu x
x
e1
0lim
tidak terdapat di R .
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 20/21
Namun, 0lim1
0
x
xe . Memang jika 0 x dan kita ambil
xt 1 di (1)
kita mendapatkan xe x
110
. Ketika 0 x , ini berarti xe x
1
0
untuk semua 0 x . Mengikuti dari ketidaksamaan bahwa 0lim1
0
x
xe .
4.3.5 Definisi
Diberikan Diberikan R A dan R A f : dan diberikan Rc titik limit di A .
(i) Kita katakan bahwa f cenderung sebagai c x , dan ditulis
f c x
lim
Jika untuk setiap R terdapat 0)( sehingga untuk semua A x
dengan c x0 , maka )( x f
(ii) Kita katakan bahwa f cenderung sebagai c x , dan ditulis
f c x
lim
Jika untuk setiap R terdapat 0)( sehingga untuk semua A x
dengan c x0 , maka )( x f
4.3.6 Contoh
(a).
)1(lim 20 x x
Jika 0 diberikan
1 maka bila ada x0 , maka
12 x
sehingga 21 x
.
5/12/2018 Definisi 4 (1) - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-4-1 21/21