Problema 2  

Un cubo que está flotando en mercurio tiene sumergida la cuarta parte de su volumen. Si se agrega agua suficiente para cubrir el cubo, ¿qué fracción de su volumen quedará sumergida en el mercurio? ¿La respuesta depende de la forma del cuerpo?

Considere la densidad relativa del mercurio 13.6.

Datos   Pregunta

Volumen inicial del cubo sumergido en mercurio.

Volumen del cubo.

 

 

Volumen final del cubo sumergido en mercurio.

Fracción del volumen del cubo.

Solución

Representación gráfica de las situaciones físicas planteadas en el enunciado del problema.

Dibujo

Tenemos que en ambas situaciones para que el cubo flote se debe cumplir que

           (1)

         peso del cubo.

          fuerza de empuje.

a) Análisis de la situación inicial.

Tenemos que la fuerza de empuje se puede expresar como

 donde

       Densidad del fluido desalojado.

        Volumen del fluido desalojado.

          Aceleración de gravedad.

Se tiene entonces que el empuje en la situación inicial está dado por

Donde

         volumen del cubo.

       densidad del mercurio.

      densidad del aire.

Puesto que la densidad del mercurio    es mucho mayor que la del aire   

                   

en la expresión (2) podemos despreciar el segundo término con lo cual tenemos para la fuerza de empuje

            (3)

Reemplazando (3) en (1) tenemos que el peso del cubo está dado por la siguiente expresión

              (4)

b) Análisis de la situación final.

Analicemos ahora la situación final planteada en Dibujo, tenemos que en este caso la fuerza de empuje está dada por

Donde

          Volumen final del cubo sumergido en mercurio.

            Volumen final del cubo sumergido en agua.

Reemplazando (5) en (1) tenemos:

         (6)

igualando (4) y (6) se obtiene

           (7)

Considerando que

y por lo tanto

 

tenemos que la expresión (7) se puede escribir como

de donde se obtiene que

 

considerando que    es la densidad relativa del mercurio se obtiene.

 

reemplazando los valores correspondientes tenemos

Este valor no depende de la forma del cuerpo.