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DEANE DE MESQUITA ROEHL
UMA METODOLOGIA PARA A ANÂLISE NÃO- LINEAR GEOMl!:TRICA
DE PÓRTICOS ESPACIAIS COM LIBERAÇÕES DE EXTREMIDADE DE BARRA
E CARGAS DISTRIBUÍDAS
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Departamento de Engenharia Civil
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO
Rio de Janeiro, Setembro de 1987
N Chamada· 624 / R713m {TESE uc Titulo Uma metodc o; a pAra aª"ª' se n&o-1 "ea
111 llllH o o 3 4 7 o a El< 1·CE~T~':, . 9385
DEaNE DE MESQUITA ROEHL
, , UlfA PIETODOLOGIA PARA A AIUlLISE NÃO-LlilEAB. GEOftETRICA
, DE PORTICOS ESPACIAIS COft LIBERAÇÕES DE EXTBElfIDADE DE BARRA
, E CARGAS DISTRIBUIDAS
Tese apresentada ao Depart~mento
de Engenharia Civil da PUCJRJ como
requisito parcial para obtenção do
Título de Mestre em Ciências de
Engenharia civil.
Orientador: Marcelo Gattass
DEPARTaMENTO DE ENGENHARIA CIVIL , ,
PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATOLICA DO RIO DE JANEIRO
Rio de Janeiro, Setembro de 1987
V" J / ,1 :/ '6--1
.Aos meus pais
e ao Rodolfo
AGRADECil'!EHTOS
Ao professor Marcelo Gattass pela segura e dedicada
orientaçio bem como pela amizade desenvolvida ao longo deste
trabalho.
Ros
Departamento
professores
de Engenharia
do curso de
Civil-PUC/RJ
transmitidos durante o curso de Mestrado.
do
pelos ensinamentos
Ao Rodolfo pelo incansável apoio e dedicação durante o
desenvolvimento deste trabalho.
Ao amigo Jorge pela disponibilidade e auHÍlio na edição
desta dissertação.
Ao Gilberto,
eHecuçao dos desenhos.
Humberto e l'larcello pelo auxilio na
Aos colegas de Pós-Graduação pela amizade e agradável
convívio.
Ao CNPQ pelo apoio financeiro.
• Apresenta-se uma metodologia de análise nio-linear
• geométrica de estruturas reticuladas tridimensionais baseada na
formulação Laqrangeana Atualizada. Incorpora-se, nesta
metodologia, a modelagem de liberaç~es de extremidade de barras e
de cargas distribuídas •
.;. As equaçoes de equilíbrio sao formuladas com base no
princípio dos trabalhos virtuais e as matrizes para resolução por
elementos finitos destas equaç~es são derivadas.
Hã modelagem desenvolvida para cargas distribuídas é
considerada a natureza da carga, podendo esta ser constante no
sistema global de eixos ou constante no sistema local.
Desenvolve-se um programa para computador segundo a
metodologia apresentada. são estudados alguns exemplos com o
objetivo de avaliar numericamente os resultados de análise
obtidos e formular algumas conclusões sobre o comportamento
• geometricamente não-linear de estruturas reticuladas de aço.
Elabora-se também um sistema gráfico interativo para auxiliar na
interpretação dos resultados da análise.
•
•
1
.IUISTBACT
This work presents a methodology for a geometric
nonlinear analysis of 3-D frames based on the Updated Lagrangian
Formulation.
included.
The modeling of distributed loads and hinges is
Equilibrium equations based on the virtual work
principie are presented and matrices are derived for the finite
element solution of these equations.
The solution models the distributed loads according to
their nature which can be of two kinds: constant loads in the
global coordinate system and constant loads in the local
coordinate system.
A structural analysis program is developed and numerical
eHamples are studied to evaluate the proposed methodology and to
obtain some information on the geometrical nonlinear behavior of
steel framed structures. The numerical examples are analysed
with the aid ar an interactive graphio computer program.
, SUllARIO
Lista de Síniliolos........................................... vi
Lista de Figuras............................................ x
Capitulo 1 IHTRODUÇRO. .................................... 1
Capítulo 2 FORl'IULaçiio DAS EQUüÇOES INCREMENTAIS DO ,
ATRAVES DA MEC~NICA DO CONTÍNUO. MOVIMENTO 9
2. 1 Introdução. 9
2.2 Notação . ... 10
2.3 Principio dos Trabalhos Virtuais. 12
2.4 Análise por Elementos Finitos. 21
2.5 Recuperação de Forças . ....... . 33
Capitulo 3 ,
l'IETODO DE SOLUÇRO. .... -· ....................... . 37
3.1 Introdução. .......... 37
3.2 Métodos Incrementais. .................... 37
3.3 Métodos Incrementais e Iterativos. 41
3.4 Atualização da Geometria . . ................. 46
3.5 Critérios de Convergência. 57
i"
Capítulo 4 li:iPLEl'IENTllÇãO COi:iPUTACIOHAL .•••••••••••••••.••• 60
4.1 Introduçia. 60
4.2 Descrição da Programa. .................... 60
4. 2. 1 Entrada de Dados. .................... 60
4.2.2 Solução Passo-a-Passo. 62 •
4.3 Visualização dos Resultados. ............... 65
' 4.3.1 Descrição do Programa de Visualização
de Resulta dos........................ 66
Capítulo 5 EXEMPLOS •.•••••••••.......••••••••••••••••..... 72
Capítulo 6 CONCLUSÕES. .................................... 124
6.1 Consideraçoes Gerais •••••••..•..•..••.•••.• 124
6.2 Conclusões. ........ 125
6.3 Sugestões .. .. . ... 129
REFER~NCIAS ,
BIBLIOGRllFICAS. ................................. 131
APflNDICE li ,
FORl'IULAS PARA O ELEMENTO DE VIGA-COLUNA •••..... 137
'
V
•
•
•
ROMNOS
A
b
F
F
rª i
r~ • fSL •
fSG i
h
' LISTA DE SIIUIOLOS
área da seçao transversal
largura da seção transversal
matriz das funç~es de interpolação das deformações
lineares
matriz das funções de interpolação das deformações
componen_te do tensor das relações constitutivas
módulo de elasticidade longitudinal
trabalho das forças internas nodais
vetor das forças internas nodais
componente do vetor de forças externas
componr1nte do vetor de forças externa de superfície
componente do vetor de forças de superfície no
compr i menta
componente do vetar de forças de superfície no sistema
global
altura da seçao transversal
funç~es de forma hermitianas
matriz daS funçÕes de interpolação dos deslocamentos do
elemento
momento de inércia em relação ao eixo local y
vi
•
•
r
G q
L q
momento de inércia em relação ao eiKo local .z
matriz de rigidez linear
matriz de rigidez n;a-linear
matriz de rigidez linear tangente
comprimento do elemento
vetor de cargas nodais
componente do vetor de incrementas de cargas
concentradas
vetor de cargas distribuídas constantes no sistema
global
vetor de cargas distribuídas constantes no sistema
local
componen.tes do vetor de cargas distribuidas constarites
no sistema global na instante t+õt
componentes do vetor de cargas distribuídas constantes
no sistema local no instante t+õt
componentes do vetor de incremento de cargas
distribuídas constantes no sistema global
componentes do vetor de incremento de cargas
distribuídas constantes no sistema local
qx' qy' qz componentes do vetor de carqas distribuídas
resultante no sistema local de eiKas
vetor de carga
trabalho das cargas distribuídas constantes no sistema
global no instante t+6t
vetor de carga nodal no sistema global
trabalho das cargas distribuídas constantes no sistema
vii
local no instante t+6t
vetor de carga nodal no sistema local
trabalho das cargas nodais no instante t+At
vetor de carga nodal
trabalho virtual externo no instante t+At
tensor de Piola-Kirschhorr II
• matriz de transformação do sistema global para o local
t instante ,
u deslocamento axia·1
u vetor dos deslocamentos
deslocamento axial do eixo centroidal
V deslocamento vertical de um ponto do elemento,
deslocamento vertical do eixo centroidal
volume do corpo no instante t+At
K coordenada do sistema local do elemento
K coordenada do sistema global do elemento
w deslocamento transversal de um ponto do elemento
deslocamento transversal do eixo centroidal
y coordenada do sistema local do elemento
y coordenada do sistema global do elemento
z coordenada do sistema local do elemento
z coordenada do sistema global do elemento
• GREGOS
' ª1 componentes do vetor
A K local na sistema global
Jl i componentes da vetor A y local na sistema global
viii
•
,
ó, •
óu. 1
A . componentes do vetor z local no sistema global
componente linear do tensor de deforma9Ões
infinitesimais
componente do vetor de deslocamentos virtuais
vetor dos deslocamentos
61, 6 2 , .• 61 2 deslocamentos nodais
6R
60
60 q
6t
E .. lJ
~.
~ij
~ij
vetor de cargas incremental
vetor de deslocamentos incrementais
vetor de deslocamentos incrementais nas cordenadas
globais
vetor de deslocamentos incrementais nas cordenadas
locais
incremento de tempo
tensor de def ormaçÕes de Green-Lagranqe
rotação axial do eixo centroidal
matriz dos cosenos diretores
componente não-linear do tensor de deformaçÕes
tensor das tensÕes de Cauchy
iK
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 Descrição do movimento do corpo no sistema de
coordenadas cartesianas........................ 11
• Figura 2.2 Descrição do movimento do elemento de viga e
seus eiKos coordenados locais ••.••••••••••••••• 20 '
Figura 2.3 Deslocabilidades do elemento ••••••••••••••••••• 25
Figura 2.4 Equilíbrio do elemento de viga-coluna •.••.••.•• 28
Figura 2.5 Forças internas no procedimento Lagrangeano
Atualizado..................................... 35
Figura 3.1 Repre.sentação do método de solução incremental
simples......................................... 40
Figura 3.2 Representação do método de solução iterativo de
Hewton-Raphson •••••••••••••••••.••••••••••••• ,. 45
Figura 3.3· Método iterativo de Newton-Raphson Modificado
utilizando rigidez constante igual a tangente
no início do incremento........................ 47
Figura 3.4 Sistemas de coordenadas do elemento .••••••••••• 49
Figura 3.5 ftngulos que os eiKos locais formam com os eixos
globais •••••..••••••• , •••••••••• ,, •• , •••• ,.,... 50
Figura 3.6 (a) atualização da direção do vetor y"
(b) Vetor da geometria desejado •...•.•••• ,,,,,, 54
' Figura 3.7 Atualização da geometria para rotaç~es de corpo 56
rígido
- t+ôtA (a) Determinaçao de z
K
d t+ótA
(b) Determinaçao e y 58
Figura 4.1 Tela padrão gerada pelo programa PPGEE •••••••.• 68
Figura 4.2 Exemplo de utilização de algumas funçÕes
presentes no menu do programa PPGEE............ 71
Figura 5.1 Exemplo 1 - Viga em balanço com carga
transversal aplicada na extremidade............ 74
• Figura 5.2 Configurações deformadas da viga em balanço
sujeita a uma carga transversal na extremidade
para PH igual a 2, 4, 6, 8 e 10................ 75
Figura 5.3 Resposta da viga em balanço com carga
transversal, P* versus deslocamentos vertical e
horizontal ••.••••••••••••••.••••.••..••••. :.... 76
Figura 5.4 Comparação entre os resultadas obtidos
utilizando-se a recuperaçao de forças
tradicional e a modificada calculando-se as
forças axiais diretamente...................... 77
Figura 5.5 Exemplo 2 - Viga em balanço com carga momento
aplicada na extremidade........................ 80
Figura 5.6 Configurações deformadas da viga com carga
momento aplicada na extremidade .para valores do
parâmetro de carga H* iguais a 0.4, 0.8, 1. 2 1
1.6 e 2.0...................................... 81 • Figura 5.?a Resposta da rotação da extremidade da viga com
carga momento na extremidade................... 92
' Figura 5.7b Resposta do deslocamento vertical da viga com
carga momento na extremidade................... 83
xi
Figura 5.7c Resposta do deslocamento horizontal da viga com
carga momento na extremidade................... 94
Figura 5.8 EHemplo 3 - Quadro de forma retangular
discretizado em B elementos por barra sujeito a
-uma carga de traçao. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 86
Fiqura 5. 9 ConfiquraçÕes deformadas do quadro retangular
• com carga de tração para P* igual a 0.8 1 1. 6 1
' 2.4 1 3.2 e 4.0 ••••••••••••••••••••••••••••••••• 8?
Figura 5.10 Curvas parâmetro de carga versus
deslocamento para os deslocamentos u e v....... 88
Figura 5.11 Exemplo 4 - Quadro de forma retangular
carregado no centro das barras horizontais com
cargas de compressao........................... 90
Figura 5.12 ConfiguraçÕes deformadas sucessivas de
estrutura do Exemplo 4 para o parâmetro de
carga P* igual a 0.B, 1.6, 2.4, 3.2 e 4.0...... 91
Figura 5.13 Resposta dos deslocamentos u e v, representados
na Figura 5.10, para c.argas de compressao ••••• , 92
Figura 5.14a EHemplo 5 Quadro de forma losangular
discretizado em 4 elementos por barra
-solicitado por carga de traçao................. 94
Figura 5.14b Modelo considerando a simetria da estrutura e
do carregamento................................ 95
Figura 5.15 Configurações deformadas da estrutura do
' EHemplo 5 para PM igual a 0.7, 1. 4, 2.1, 2.8,
3.5 e 4.0.................................... .. 96
xii
Figura 5.16 Resposta dos deslocamentos u e v do pórtico
losanqular tracionado em função da carga
. ~ apl .icada....................................... 97
Figura 5.17 Exemplo 6 - Quadro de forma losanqular
discretizado em 4 elementos por barra,
solicitado por carga de compressão............. 100
• Fiqura 5.18 Configuraç~es deformadas do quadro losangular
, comprimido para P* igual a 1.7, 3.4, 5.1, 6.8,
7.5, 8.2 e 10 .•••••••••••••••••••••.•••••.••.•. 101
Figura 5.19 Resposta dos deslocamentos u e v do quadro
losangular sujeito a carga de compressao ••••••• 102
Figura 5. 20 Exemplo 7...................................... 104
(a) Viga em balanço com carregamento
distribuído
(b) Carga distribuída constante no sistema
local
(e) Carga distribuída coitstaiite no sistema
global
Figura 5.21 Curvas parâmetro de carga versus
deslocamento para a viga com carregamento
distribuído constante no sistema global e
constante no sistema local ••••••..•.•...••..... 105
Figura 5.22 Comparação com modelos de cargas ooilcentradas
nodais......................................... 106 , Figura 5.23 Exemplo B - Viga curva em arco de 45 6 carregada
na extremidade................................. 108
(a) Isométrico
Kiii
•
•
•
(b) Planta
Figura 5.24 Configuração
intermediárias
deformada final
da viga curva
e alqumas
com carga
transversal aplicada na eKtremidade •.•••••••••• 109
Figura 5.25 Curvas parâmetro de carga versus
deslocamento
direção Y) e u
para os deslocamentos u (na
(na direção Z) da extremidade da
V 1qa •••••••••••••• o •• o ••• o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Figura 5.26 Exemplo 9 - Descrição da estrutura •••••••••••••
Figura 5.27 Configuração deformada da estrutura nos níveis
110
113
de carga P* iguais a 10, 25 e 60 •••••••••.•.... 114
Figura 5.28 Curvas parâmetro de carga versus
deslo.camento para as deslocamentos V e Z do no
10 e deslocamento Y do nó 4 •.•••••••••••••••••• 115
Figura 5.29 Definição da geometria, carregamentos e
propriedades do pórtico plano de doze andares .. 117
Figura 5.30 Configuraçio final do pórtico de doze andares •• 118
Figura 5.31 Curva carqa uersus deslocamento horizontal do
piso superior do pórtico plano do Exemplo 10... 119
Figura 5.32 Def iniçio da geometria e propriedades do
pórtico espacial de seis andares do Exemplo 11. 121
Figura 5.33 Conf iguraçio final do pórtico espacial de seis
andares •••••••.••..••••••.•••••••.••••••••••••• 122
Figura 5.34 Curua carga versus deslocamento horizontal do
piso superior do pórtico espacial do Exemplo 11 123
Kiu
, CAPITULO 1
INTRODUÇAO
' Freqüentemente, as cargas Últimas levam uma estrutura a
um comportamento caracterizado pela presença tanto de relaçoes
tensão-deformação não-lineares como de grandes deslocamentos.
Antes de atingir seu limite de resistência, praticamente todas as
estruturas de aço, carregadas tanto estática quanto
dinamicamente, experimentam deformaç~es plásticas e variaçoes dos
esforços internos devidos a tais deslocamentosc a hipótese de
comportamento elástico linear pode levar a resultados errôneo!i
que mas.caram a resposta real d·a estrutura e dif icul taro uma
'determinação precisa da sua segurança. Por esta razao 1 métodos
de análise que incorporem os efeitos não-lineares sao necessários
ao projeto pois, reduzindo a incerteza na determinação da
resistência, permitem um projeto mais econômico para o mesmo
nível de segurança .
•
Recentemente 1 normas de estruturas metálicas têm
' encorajado o uso de análises não-lineares em procedimentos de
projeto. Esta iniciativa, entretanto, vem sendo tomada de forma
paulatina devido às dificuldades de execuçao e interpretação
dessas análises. Por tais dif iouldades a norma canadense de
estruturas de aço [ 1]. por exenlplo, reconienda pro_ced i men tos
•
•
•
2
aproKimados do tipo "P-ô" que procuram avaliar a variaçao dos
esforços internos devido aos deslocamentos através de uma
seqüência de análises lineares [2 1 3].
Quando procedimentos do tipo "P-.6" nao sao usados, a
análise elástica linear permanece a base do projeto das
estruturas, apesar da grande quantidade de pesquisa que vem senda
conduzida na análise não-linear e na determinação da resistência
Última de estruturas de aço. As equações de projeto e as normas
de dimensionamento são baseadas na adoção de esforç,os derivados
de uma análise elástica linear convencional. Pórticos sao
dimensionados por um procedimento membro a membro sendo feitas
apenas considerações indiretas de interações entre membros e da
resistência do sistema como um todo. Por esta razao, o
desenvolvimento de metodologias de projeto capazes de considerar
não-linearidades de um modo mais realístico e prático é uma
necessidade básica para o avanço da prática de projeto.
Existem várias razoes para os engenheiros de projeto nao
terem feito uso de resultados de anál i 6es não-1 ineares. Uma
destas razoes é a ausência de métodos baseados em princípios
mecânicos simples, eficientes, precisos e que incluam na
modelagem do problenta considera9;;es importantes para o projeto
como liberaç;;es de extremidade de barra e oargas distribuídas,
SÓ recentemente, programas de análise não-linear gerais,
eficientes e com boa precisão, têm se tornado diaponiveis.
•
3
Outras razoes importantes que têm retardado a utiliza9ão
de análises não-lineares no projeto sao: pouca disponibilidade
de computadores, falta de métodos de solução de sistemas de
equações não-lineares globalmente convergentes, conservadorismo e
dificuldades
resultados .
de preparaçao de dados e interpretação de
Até recentemente os computadores digitai~ eram ou muito
caros ou limitad,:\S em sua capacidade. Isto retardou a
assimilação dos métodos de análise nao-Jinear. As geraçoes
atuais de micro e minicomputadores apresentam custo relativamente
baixo e grande capacidade de memória além de terem suas
necessidades de suporte e manutenção reduzidas. Estes
microcomputadores estão sendo usados em escritõrios de projeto
para auxiliar nas tarefas de análise . A análise nao-linear
. requer, no entanto, muita capacidade de memória devido ao emprego
de procedimentos incrementais. Mais ainda os resultados de
ariálises não-lineares nao podem ser superpostos ou fatorados
sendo necessária uma análise separada para cada caso de carga a
ser investigado. Os microcomputadores nacionais ainda nao sao
capazes de realizar tais análises para estruturas de grande porte
porém, para as de médio e pequeno porte apresentam bom
desempenho.
EHistem vários métodos de solução de equaç:oes
não-lineares, cada qual com uma justificativa racional. Ao
contrário dos métodos de solução de sistemas lineares, estes
métodos não garantem 1 em geral a convergência para o resultado
•
•
•
correto para qua !quer p:roblerr1a. O analista deve ser capaz,
baseado na sua experiência, de escolher o método mais adequado
para o problema em questão. Além disso, mesmo escolhido o
método 1 alguma dificuldade aparece na determinação de parâmetros
do tipo tolerâncias, incrementos de carga e número máKi\oo de
iterações que requerem o julgamento do engenheiro estrutural nem
sempre preparado para esta tarefa.
Aliada a todos estes fatores, existe ainda a
resistência natural aos métodos novos e relativamente pouco
conhecidos, que.tem retardado a assimilação da análise n~o'...linear
ao projeto de estruturas. Pode-se também argumentar que a menos
que um método tenha sido largamente testado, sua adoção no
projeto de estruturas que afetem a segurança pública não deve ser
recomendada.
a maioria destes problemas deve ser resolvida com o
passar do tempo, à medida que os métodos de análise nao-li1"lear
tornaren1-se mais utilizados e, consequentemente! mais bem
avaliados. a experiência necessária será adquirida com relação à
confiabilidade, desempenho, custo e aplicabilidade das diversas
técnicas de análise nao-linear. En1 geral, nlesn10 uma análise
não-linear simples fornecerá uma estimativa de resposta da
estrutura mais confiávnl que uma análise linear. Mais ainda, a
diminuiçio do custo do squipamento 001nputaoional al iad.:: a uma
capacidade crescente acelera~á a aceitaçio das técnicas de
análise 11ão- l inea:r. Rs fases de análise e projeto tendenl a ser
'
5
incorporadas num processa de cálculo homogêneo e consistente no
qual o comportamento do sistema estrutural é avaliado como um
todo.
Uma outra dificuldade do processo está na análise dos
resultados, que muitas vezes representam um grande volume de
infornla.Ç~es.
de computação
Esta difiCuldade pode ser contornada com o auHilio
gráfica. Várias etapas trabalhosas do processo
podem ser facilitadas por sistemas que incluam além de um
programa de aná 1 i se, programas gráficos de geração, de dadas e
interpretação dos resultados. Desta forma, a geraçaa dos dados
para o programa de análise pode ser feita de forma rápida
evitando erros de modelagem. Estes dados, após processados,
geram normalmente arquivos de resultados volumosos. a
interpretaçio destes resultados é facilitada por programas
gráficos interativos nos quais podemos analisar somente os
resultados que nos interessam e detectar automaticamente qualquer
problema que tenha surgido durante a análise. Um sistema ainda
mais conveniente é aquele que permite uma interaçio entre o
usuário e o programa de análise de modo que se possa acompanhar o
desenvolvimento da análise e intervir quando necessária tomando
decis~es, interrompendo a análise, alterando parâmetros e outras
açoes que levem em conta o comportamento da estrutura.
Análises incrementais têm sido largamente utilizadas no
estudo de problemas de grandes deslocamentos pois fornecem
informaç~es sobre a magnitude e modo de colapso da estrutura que
6
outros métodos nao fornecem. Tais informações sao essenciais
para o entendimento do comportamento global da estrutura. Entre
as teorias da mecânica do continuo, aplicadas às formulações
não-lineares de elementos finitos, umas das mais abrangentes são
as formulações Lagrangeanas apresentadas por Bathe, Ramm e Wilson
[4]. Estas sao as formulações Lagrangeana Total e Lagrangeana
Atualizada que diferem ·entre si com rela9ão à configuração de
referência para as variáveis cinemáticas e estáticas. Na
formulação Lagrangeana Total a configuração de referência é a
configuração inicial, enquanto na formulação atualizada o estado
de referência é a última configuração de equilíbrio conhecida.
Embora ambas formulações apresentem resultados idênticos, é
comprovada a maior eficiência computacional da formulação
Atualizada para estruturas reticuladas [5].
As muitas considerações envolvidas na análise nao-linear
vêm sendo estudadas por diversos pesquisadores. Sistemas
utilizando análises incrementais que consideram alguns destes
aspectos foram desenvolvidos por Gattass [6], onde a
não-linearidade geométrica de estruturas b i -d i n'len si ona is é
ana 1 i sada para carregamentos dinâmicos; por Yang (7] 5 em um
estudo de estruturas espaciais submetidas à torção não uniforme;
por Orbinson [B], que inclui em seu estudo, além da geométrica, a
não-linearidade do material no estudo de estruturas
tri-dimensionais sujeitas a cargas estáticas; por Hilrne (6], que
analisa este mesmo comportamento não-linear para estrutu~as
tri-dimensionais considerando cargas dinâmicas. Estas pesquisas
•
•
•
7
utilizaram a formulayao Laqrangeana Atualizada para a modelagem
das não-linearidades geométricas e obtiveram bons resu_ltados.
O trabalho ora em disserta9ão apresenta a implementa9ão
de um sistema de análise não-linear geométrica de pórticos
espaciais baseado na formulação Lagrangeana Atualizada.
Considera-se neste sistema a possibilidade de modelar pórticos
com qualquer liberação de extremidade de membro e a aplicação de
carregamentos nodais e carregamentos distribuídos em barras tanto
para cargas constantes no sistema global, por exemplo peso
próprio,
portanto,
quanto para cargas constantes no sistema local e,
dependentes do estado de deformação, aproHimando o
comportamento de cargas do tipo cargas de vento. Consideram-se
grandes deslocamentos e pequenas deformaç~es no regime elástico.
As nio-linearidades geométricas podem ser desmembradas em
duas parcelas; a primeira resulta diretamente dos grandes
deslocamentos, e a segunda é o efeito desses deslocamentos e das
forças internas na rigidez dos elementos. Pode-se considerar a
primeira componente através de um procedimento de atualização de
coordenadas locais e de orientação do elemento -de viga-coluna no
espaço . A segunda componente é considerada pelo desenvolvin~nto
de uma matriz de rigidez geométrica que somada à matriz de
rigidez elástica produz a matriz de rigidez tangente da
estrutura. As liberaçoes de extremidade do membro sao incluídas
como uma eliminação estática desta matriz.
•
•
B
Esta dissertação está dividida em cinco capítulos além
desta Introdução. O Capítulo 2 apresenta uma .revisao da
formulação Lagrangeana Atualizada para a análise de estruturas
reticuladas tridimensionais, incorporando-se nesta os efeitos de
cargas distribuídas e de liberações de extremidade de barras.
Descreve-se, também, a formulação de elementos finitos para o
elemento de viga-coluna subparamétrico. O Capitulo 3 enfoca a
solução do sistema não-linear e as atualizações necessárias para
a realização da análise incrementa 1. A implemel!'.atação
computac ivna l da metodologia de aná 1 i se adotada é de ser i ta no
c·apí tulo 4. Ho' mesmo capítulo, apresenta-se também um progranra
de pós-processamento gráfico que tem como objetivo auxiliar na
análise dos resultados. O Capítulo 5 contém alguns exemplos par~
ilustrar o comportamento não-linear de estruturas cor11 grandes
deslocamentos. A apreciação dos resultados permite comprovar a
adequabilidade da metodologia proposta e ainda enumerar algumas
conclusões sobre os efeitos da não-linearidade geométrica na
resposta estrutural. Tais elementos conclusivos seguidos de
sugestões para futuras pesquisas, estão apresentados no
Capítulo 6 •
' CAPITULO 2
•
FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES INCREMENTAIS DO MOVIMENTO • ' A '
ATRAVES DA MECANICA DO CONTINUO
2. 1 INTRODUÇÃO
Em uma análise não-linear, o equilíbrio do corpo deve
ser estabelecido na configuraçao corrente. Em geral, é
necessário empregar uma formula9ão incremental e utilizar uma
variável no tempo, t, para 'desc;rever convenientemente o
carregamento e o movimento do corpo. ll estratégia de solução
considera que as determinações para as variál.feis estáticas e
cinemáticas são conhecidas do tempo inicial até o momento. Assim
sendo, o processo de solução pode ser aplicado para a posição de
equilíbrio seguinte. Desta forma, durante a análise, observa-se
• as partículas do corpo da configuração original à configuração
final 1 ou seja 1 adota-se uma formulaçao Lagrangeana para o
• problema.
As formulações Lagrangeanas sao consistentes e capazes
de modelar problemas da mecânica do contínuo com não-linearidades
tanto do material quanto da geometria. Em out~os trabalhos Bathe
•
•
•
10
e Solourchi [10, 11] estenderam a formulação para incluir
elementos estruturais tais como, vigas, cascas e placas.
J{este capitulo apresentam-se as equaçoes básicas da
Jn2'Cânica do contínuo para a análise de problemas com grandes
deslocamentos e pequenas deformações e uma revisao da formula9ão
Laqrangeana Atualizada para a análise de pórticos tridimenionais
considerando as não-linearidades geométricas.
2,2 HOTAÇÍÍO
Analisa-se neste estudo o movimento de urr1 corpo em
relação a um sistema cartesiano estacior1ár·io. A convençao aqui
adotada segu~ a apresentada por Bathe [5] onde o índice superior
à esquerda indica em que conf igur·açao a qt.1ant idade , -\tensao,
f·orça, deformação} ocorre; o ind ice inferior à esquerda inforn1a
em relação a que configuração a quantidade é medida. Nesta
cànvençao, considera-se ainda que se a quantidade ocorre na lnesma
configuração em que é medida, apenas o Índice superior à esqueda
faz-se necessário.
As coordenadas que descrevem a conf i9t.tração do corpo em
um tempo t qualquer sao t K.,
tu ,.., t x,. Durante a mt.1dança de
conf iguraçio do corpo, o seu vo lu1ne e sua área sao cont i nuaniente
alterados. Estas quant iâades, bem conlO a conf igur·açao do corpo
para os instantes 0, t, t + ât, est;o na Figura 2.1.
•
•
•
•
li
f+At t+At t+At P( XI, X2. X3)
t t t P( XI. Xz. X3)
o o o P( XI. X2, X3)
o t t+At X2. X2.. X2 ºA
ºv
CONFIGURAÇAO NO INSTANTE O
o t t +At XI, XI, XI
o t t+.õt X3. X3. X3
CONFIGURAÇAO NO INSTANTE t+lll
CONFIGURAÇAO NO INSTANTE t
'x· ºx· 'u· f;; 1+ 1
t+At o . +t+At Xí::. X1 Ui
ttdt t Ui= Ui- Ui
FIGURA 2.1: DESCRIÇAO DO MOVIMENTO DO CORPO NO
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
,
12
Utilizando-se a mesma notação para os deslocanEntos
tem-se que o deslocamento da coordenada i no instante t é dado
t por u .• Ã
Na formulaçao das equaçoes de equilíbrio sao
consideradas as derivadas dos deslocamentos e das coordenadas. Na
notação adotada (5], a vírgula indica uma diferenciação em
relação ao Índice que a segue, o qual representa uma determinada
coordenada. Assim, por exemplo,
' 2.3 PRINCIPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Na análise Lagrangeana incremental o equilíbrio do
corpo no tempo t + 6t usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais
requer a consideração de deslocamentos virtuais em cada ponta do
corpo. Considera-se também que as funçÕes de deslocamento
são continuamente diferenciáveis em relação às coordenadas
t K,,
t K., e = 0 no contorno onde os deslocamentos sao
prescritos. A equaçao de equilíbrio é entio
f t+6t
?; i j
t+btv
( 2. 1 )
•
•
,
•
13
onde -z: •. é o tensor de tensões de Cauchy, 6e . . é o vetor de 1J 1J
deformações infinitesimais correspondentes
deslocamentos virtuais óu1
, isto é,
1
2 (t •tu. · + t+•tu · ·) +u 11J u J11
ao vetor de
(2.2)
O lado esquerdo da equaçao (2.1) representa o trabalho
virtual das forças internas e a· lado direito o trabalho virtual
externo.
A dificuldade fundamental na aplicação da equaçao (2.1)
está no fato de que a configuração do corpo em t + ôt é
desconhecida. Essa é uma grande diferença em relação a análise
linear, ande supoe-se deslocamentos pequenós, de tal forma que a
configuração do corpo não muda.
A equaçao básica que se deseja resolver (2."1) expressa
o equilíbrio e compatibilidade do corpo n·a configuração t + 6t.
Em geral, grandes deslocamentos podem ocorrer e a equaçao (2.1)
nao pode ser resolvida diretamente. Pode-se, na entanto,
expressá-la em relação a uma configuração de equilíbrio
previamente determinada. Na formulação Lagrangeana Atualizada
todas as variáveis cinemáticas e estáticas são referidas à Última
configuração de equilíbrio conhecida.
Considerando uma formulação Lagrangeana Atualizada a
•
14
equaçao (2.1) pode ser escrita em relação ao tempo t como (5]:
t V
t+6tt 5 .. lJ
t+õt 6 tEij (2.3)
t+õt onde tsij é o tensor de Piola-Hirschhoff II no instante t + õt
referido ao instante t e é D tensor de deformações de
Green-Laqrange.
Um procedimento incremental é então estabelecido pela
decomposição do tensor de tensões em
t+Att5 .. "" lJ
t ?; i j + ts ..
lJ
e do tensor de Green-Lagrange em
(2.4)
(2.5)
na qual e .. é a componente linear e~-. é a componente nao linear J. J 1 J
do tensor de deformaç~es. as equaç~es (2.4) e (2.5} substituídas
em (2.3) resultam na seguinte equaçao de deslocamentos
incrementais:
•
•
15
(ó teij+ ó tQij) tdV + I tv
t t; i j
Pode-se ainda aproximar
t t; i j
(2.6)
(2.7)
Resulta então, a seguinte equaçao de movimento, lineariiada em
relação aos termos quadráticos e cúbicos em deformação ;
e t rs
t '- -lJ
L V
t ' - -lJ
(2.B)
Observa-se que a única aproximaçao envolvida até este
estágio está na desconsideração dos termos não-lineares em
deslocamentos. a desconsideração destas parcelas não implica, no
entanto, em erros significativos como visto por Gattass [6] .
Faz-se necessária uma ª'"'aliação do trabalho das forças
externas que pode ser dado por (5]
•
•
•
16
t+õtR = L.6tv t+õtr~ Ju. t+õtdV +
l l
L.6ts t+6tr~ s t+l:ttdS + E t+6tP. (2.9) Ju. Ju.
l l i l l
e correspondem às forças externas de corpo e de
superfície, respectivamente, e P. às forças concentradas. l
As cargas comumente tratadas pela teoria da
elasticidade sao cargas conservativas que possuem un~ única
função potencial. Tais cargas satisfazem o Princípio da
Conservação de Energia e seu trabalho em qualquer deslocamento
admissível do corpo independe da trajetória. li s cargas
conservativas mais simples e mais conhecidas sao as do tipo
peso-próprio, as quais se mantêm constantes tanto em magnitude
quanto em direção durante a deformaçao e movimento do corpo.
Neste trabalho as cargas tipo peso-próprio sao
aproximadas por cargas concentradas, P nos nós e cargas
distribuídas, q 6 , de direção e sentidos constantes no sistema
global. Uma vez que a área e os momentos de inércia estio sendo
considerados constantes, somente a~ variaçao do comprimento do
elemento tem influência na determinação destas forças.
Considerando-se a hipótese de pequenas deformações, esta variaçao
não representa erros significativos.
17
As cargas nao-conservativas sao, por outro lado, muito
comuns na natureza; um exemplo sao as forças de interação que
incluem dois tipos: as de corpo, tais como as forças de origem
gravitacional, e as de superfície provenientes da interação com
outros corpos ao longo de uma superfície de contato. Citam-se
entre estas as forças que surgem em um corpo sólido quando este
• se move em relação a um fluido. As forças de contato sao, em
geral, dependentes da deformaçio e movimento do corpo sobre o
qual atuam apresentando portanto.um caráter não-conservativo.
Entre as cargas nãa-conservativas mais comuns estão as
chamadas forças circulatórias tais como forças "seguidoras·· e
momentos ··seguidores .. , bem como forças aerodinâmicas. Estas
forças nao derivam de um potencial, nao sao explicitamente
dependentes do tempo e seguem total ou parcialmente os
deslocamentos dos seus pontos de aplicaçao. • Forças circulatórias
sao forças não conservatiuas função dos deslocamentos, ou seja,
forças cujas componentes sao funçao de um Único parâmetro de
carga e dos deslocamentos generalizados locais. Essas forças nao
possuem um potencial e portanto seu trabalho virtual, para
qua !quer deslocamento virtual compa t Í vel do corpo, nao pode ser
escrito como a uariaçao de um funcional [12] .
•
Estão sendo consideradas neste trabalho cargas
distribuídas de intensidade constante mas direção dependente dos
deslocamentos da estrutura, em particular, cargas de direção
constante no sistema local que aproximam, por exemplo, o
18
comportamento das cargas de vento.
Considerando-se os três tipos de cargas citados, o
trabalho das forças externas pode ser escrito como:
( 2. 10)
•
onde
t+ôtRP = E t+6tp 60. (2.11)
i 1 1
t+ôtRG
L+l>tL
t+l>t G 6u. t+õtdL (2.12) = qi 1
"
t+ôtRL
L+l>tL
t+6t L 6u. t+ôtdL. (2.13) = qi 1
sao os deslocamentos nodais e os deslocamentos do
interior do elemento.
Nas equaçoes (2.11) e (2.12) o módulo das cargas t+ôtp e
t+ôt G q varia com o parâmetro t da seguinte forma •
( 2. l. 4)
(t+l>t) (2.15j
•
19
onde P. e 1
G q. 1
sao as componentes do vetor de incrementos de cargas
nodais e distribuídas globais, respectivamente. Nata-se que o
índice ··1·· destas equaçÕes se refere ao sistema de eixos global.
As componentes destas cargas no sistema de eixos local, que varia
com a deformação do elemento, nao sao constantes. a Figura 2.2
apresenta a descrição do movimento de um elemento de viga e os
sistemas de eixos global e local.
Como a configuração t. + 6t é desconhecida, pode-se
aproximar o vetor de cargas e o trabalho destas utilizando a
intensidade da força no instante t + õt e a geometrie1 do passo
anterior. Assim sendo pode-se escrever a equaçao (2. 12} em
relaçio à configuração t como:
= t L
J (t+õt)
tL
t ó tºi dL (2.16)
As cargas distribuídas constantes no sistema local,
t+ót L q , têm seu módulo dado por:
onde L qi
t+ôt L qi =
sao as
(t+õt)
componentes
incremental. Considerando-se
do
que
(2.1?)
·vetor de cargas distribuídas
t+ót L é constante relação qi em
20
-CONFIGURAÇAO t • dt
'x 1
'x,
t
· 0 x 1x 1 -i11x 2' 2 t 2
CONFIGURAÇÃO O
•
t + àtx • •
FIGURA 2.2: OESCRIÇAO 00 MOVIMENTO 00 ELEMENTO OE VIGA
E SEUS EIXOS COORDENADOS LOCAIS.
21
ao sistema local de eiHos 1 o Índice "i" nas equaçoes (2.13) e
(2.17) refere-se a este si-stema de eixos. O trabalho destas
cargas, equaçao (2.13), escrito em relação à configuração t é
dado por
t+õtRL t t+Ot L ~ tªi tdL = tqi =
• L
1. L o
(t+l>t) q. J u. dL (2.18) o 1 • 1
L
Na consideração das cargas distribuídas, por meio de
t+õt L suas cargas equivalentes nodais observa-se que embora q nao
esteja determinado no instante t+6t devido à sua dependência da
configuração deformada, sua natu_reza '"seguidora .. 1 permite uma
determinação préuia de suas forças nodais equivalentes.
Tratando-se de cargas distribuídas constantes no sistema global,
embora t+ótqG seja conhecido a avaliação de suas forças nodais
equivalentes faz-se necessária a cada passo devido às
modificaçoes ocorridas na geometria •
• 2.4 ANALISE POR ELEMENTOS FINITOS
•
Dentro da formulaçia Lagrangeana Atualizada utiliza-se
um elemento de viga tridi1nensional subparamétrico, apresentado
por Gattass [6] em sua forma bidimensiona!.
•
•
•
22
são admitidas as hipóteses de Navier nas quais as
seçoes planas permanecem planas e normais ao eixo da viga após a
aplicação da carga e permite-se ao elemento grandes deslocamentos
e rotações, mas pequenas deformações. Considera-se ainda que as
deformações na direção perpendicular ao eixo da viga saa pequenas
e por isso desprezadas. Assim sendo, a ã.rea e os momentos de
inércia da seçao transversal permanecem constantes. Não sao
considerados também deformações por cisalhamento, empenamento da
seção ou flambagem local da mesa.ou da alma.
De acordo com a hipótese de pequenas deformações, a
geometria da viga deformada pode ser modelada por um elemento
reto. Assim sendo a modelagem da geometria é dada por uma
interpolação linear.
H = L
-2- ( 1 + t.) -1 s t1 s 1 (2.19a)
y = h -2- t. -1 s t. s 1 (2.19b)
• = b -2- t. -1 s t. s 1 (2.19c)
Para representar o comportamento à flexão de unta viga,
funções de interpolação de ordem superior à 1 inear devem ser
empregadas para os deslocamentos transversais. Uma discretização
com estas características é dita "subparamétrica"' uma vez que a
geometria é interpolada por funçÕes de ordem inferior às
utilizadas para descrever os deslocamentos.
•
•
•
•
23
Considerando ainda a hipótese de que as deEormaçÕes
transversais e o empenamento são desprezíveis temos que
1
~u i j 1 õx se = =
e .. = 1J 0 em caso contrário
e
,.,ij
Mais ainda
~11 se i = j = 1
.,. .. :;::
1J 0
C1111 =E
em caso contrário
]' 1 se i = j = 1
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
onde E corresponde ao módulo de elasticidade long i tt1dinal do
elemento. A.s expressoes anteriores tornam escalar a equaçao
(2.B), obtendo-se entio,
'
•
24
t 6 t'1i 1 .. dV =
t • 11 (2.24)
Os deslocamentos da eixo centroidal sao descritos por
funçÕes lineares para os deslocamentos axiais e hermitíanas
cúbicas para os deslocamentos de flexão. Os desloca1nentos do
eixo centroidal escritos em função dos deslocan~ntos nodais õ são
dados por
uo(f1) = h1(f1) 61 + h1(C1} 67
vo(f 1) = h1(f1} 61 + h,(f1) 6, + hs(C1} 6, + h11(C1) 6 1,
wo(f1) = ho(f1) 63 + hs(f1} 6, + h,(C1) 6, + h11(C1} 6,,
(2.25)
onde as funções de forma h.(1; 1 ) sao dadas nas equaçoes (A.1) do 1
apêndice a e os deslocamentos ll. estão identificados na Figura
2.3.
Baseando-se na hipótese de que as seçoes planas
permanecem planas, os deslocamentos em qualquer ponto da viga são
dados por ;
25
y
1 . -
,65 '611
i62 i 68 ' 64 61 . 62 610 ~---+ ~ ~ !>X
~3 lt,9 '66 '612
;'
d . 1 71
z
FIGURA 2.3: DESLOCABILIDADES DO ELEMENTO
•
•
b
L
26
h
L
w(t,,t,,t,) = wo(t1) - ~o(t1) t,
b
2
h
2 (2.26)
Esta equaçao pode ser escrita na forma matricial como
U = H 6 (2.27)
onde
[ W JT u • u " (2.28)
e R é dado pelas equaçoes (S.2) do apêndice a.
A determinação da tensão de Cauchy dá-se de forma
simples ainda na hipótese de pequenas deformações, impondo-se as e
condiçÕes de equilíbrio ao elemento. Desta forma tem-se
•
27
F1 qK L (1-~i) - f2 h [ F12 t Fa
L (1-ti) ~11 = + + a a 2 21 2 z
2 L 2 b L
qy (1-ti} l - r. [ -F11 + F, ( 1-td + 8 21 2
y
2 L 2
qz ( 1-f i) l (2.30) 8
onde A é a área da seçao transversal, I e I y z sao os momentos de
inércia da seção em relação aos eixos locais y e z, F i saa as
forças nodais e sao as
distribuída no sistema local de eixos.
está representado na Figura 2.4.
Tem-se ainda de (2.20) que
àu
àK =
a ilx
111 j ó = B l> L
componentes da carga
Este sistema de forças
(2.31)
com BL dado pelas equaçoes (A.3) do apêndice A.
O termo de deformaçÕes não-lineares B17 11 pode ser
escrito da seguinte forma
[ ilu àu ilu
1 a &u
617 l l = ÕK a;{ ÕK ª" (2.32)
a •v ÕK
" •w ÔK
ou ainda
•
•
z
F,
/F, /F4
y
28
X
FIGURA 2.3' EQUILIBRIO DO ELEMENTO DE VIGA-COLUNA.
•
•
29
66 1 1 H 1 6 '
6111 l il
HT 1 il =
ilx ilx (2.33)
66 T BNL 6 6r, 1 1 = 8 NL (2.34)
com
B.,L = •• ô
H (2.35) õx
dado pela equaçao (A.4) do apêndice A.
As equaçoes (2.31) e (2.34) substituídas em (2.24)
resultam em
onde
1 t+6tR ·_
t
t tEL é a matriz de rigidez linear,
t e tKNL é a matriz de rigidez nao linear geométrica,
(2.36)
(2.37)
(2.38)
Assim sendo, após a interpolação por element·os finitos
30
a equaçao (2.8} é discretizada em:
õU (2.39)
• onde
(2.40)
e
t+ôtRP t + (2.41)
a matriz t tKT é denominada matriz de rigidez tangente e
para o elemento utilizado ela pode ser explicitada. O vetor
é o vetor de carga no tempo t + 6t, é a parcela
correspondente às cargas nodais, e sao as
·parcelas correspondentes às cargas nodais equivalentes às cargas
distribuídas constantes no sistema global e no sistema local,
respectivamente. O Apêndice A apresenta também as equações para
o cálculo destes vetores.
Para incluir na matriz de rigidez tangente as
considerações de cargas distribuídas a -equaçao (2.38) foi
• avaliada com o tensor de Cauchy, ~, dado pela equação (2.30).
matriz de rigidez obtida desta avaliaçio pode ser desmembrada em
duas parcelas; a primeira corresponde à participação das cargas
nodais na rigidez do elemento e a segunda à das cargas
distribuídas. O Apêndice A apresenta além da inatriz de rigidez
•
•
•
31
linear, seçao A.5, as matrizes não-lineares
correspondentes a estas cargas, seçao Q.6a e b.
geométricas
Na obtençao
destas matrizes considera-se o elemento bi-engastado e cargas
uniformemente distribuídas •
A obtenção destas matrizes para elementos com liberações
de extremidade pode ser feita da mesma forma, utilizando-se
funções de interpolação próprias para cada tipo de liberação.
Este procedimento torna-se muito trabalhoso à medida que é
necessária a obtenção destas funções, seguida da ª?aliação das
equaçoes (2.3?) e (2.38) para cada tipo ou combinação de
liberações.
Quando um vínculo é liberado o número de graus de
liberdade da estrutura aumenta • Estes graus de liberdade podem
. ser e! i minados da aná 1 ise g loba 1 desde que os demais qraus de
liberdade e forças no elemento sejam modificados de modo a le1Jar
isto em conta. Um procedimento para esta eliminação é a
condensação estática (13). Neste procedimento a matriz de
rigidez tangente de um elemento com liberac~es é obtida a partir
da matriz do elemento bi-engastado .
O procedimento básico da condensação estática pode ser
ilustrado pelo uso da notaçao matricial. A.s equaçoes (2.39}
podem ser particionadas em graus de liberdade .. l"' a serem
eliminados e r a serem retidos da seguinte forma:
•
•
•
onde
t+õt8
D t r =
t+6tRD t 1 =
"º r
t+ôtRG t r
t+6tRG t 1
32
= (2.42) 0
+ t+ôtRL t r
(2.43)
+ t+ótRL t 1
(2.44)
são as forças nodais equivalentes às cargas distribUídas obtidas
no elemento bi-engastado.
A solução para os graus de liberdade a serem eliminados
6U1
é dada por
(2.45)
onde os índices à esquerda foram eliminados para n~ior clareza da
~
equaçao •
A substituiçio da equaçao (2.45) na primeira linha da
equação (2.42) resulta na equação de equilíbrio em relação aos
graus de liberdade r •
= (2.46)
onde
•
•
•
e
33
K* =
= aº I + aº r
-1 Fisicamente, o termo ~ri K11 K1r
(2.47)
(2.48)
indica a modificação
na rigidez det.r ido à liberação dos graus de liberdade ""/" e
-1 D K
11 R
1 representa as forças leuadas dos graus de liberdade
.. I .. para os graus de liberdade ··r ... Esta nova matriz de rigidez
e vetor de cargas correspondente podem agora ser incorporaµos ao
sistema global pelo método da rigidez direta.
2 .• 5 RECUPERllÇÃO DE FORÇllS
Quando atuam somente cargas nodais, as forças internas
sao computadas por:
f t+6t
?:; ij ó
t+atv
(2.49)
qual t+ôtF e' o trabalho d f · t d · d l t na as orças 1n ernas no a1s o e emen o
na conf iguraçao t + 6t. fl consideraçio de cargas distribuídas
modifica esta equaçao para
•
I t+6t = ~ij ~ t+6tv
34
t+6tdV _ t+6tRG _ t+6tRL t+6teij (2.50)
a avaliação desta integral é um processo dispendioso pois
requer a determinação e armazenamento das tensões de Cauchy em
cada ponto de integração no interior do elemento e a realização
de uma integração numérica. Un~ expressão analítica mais simples
é possível para vigas. Aplicando-se à equação (2.50) as mesmas
transformaçoes que foram aplicadas à equaçao (2.1) obtém-se a
seguinte equação matricial para determinação das forças internas:
onde t+õtF é o vetor de forças nodais na configuraçao t
(2.51)
t + .õt
referenciado à configuração t. a Figura 2.5 apresenta o vetor
' de forças internas no procedi menta Lagrangeano Atua 1 i zado. E
interessante observar que as mesmas relações força-deslocamento
foram utilizadas na soluçio global, equaçio (2.39). Desta forma,
o processo de recuperação de forças acima resultaria sempre em
forças equi 1 ibradas independenten~nte do ta\nanho de 6U. Este
processo é eficiente e consistente com o resto da formulaçio •
Ele apresenta, no entanto, a grande desvantagem de nao ser
insensível a deslocamentos de corpo rígido. Devido a
aproximaçoes nas interpolações dos deslocamentos, quando o
sistema é submetido a deslocamentos de corpo rígido, enlhora não
haja mudança no estado de deforma9io, o processo apresenta um
incremento de força interna artificial. Em problemas de grandes
•
•
•
•
35
t+llty
• .
CONFIGURAÇÃO t +At
CONFIGURACAO t
O t t +At Y, Y, Y
CONFIGURAÇÃO O
ºx 'x 1+111 , , X
FIGURA 2.5: FORÇAS INTERNAS NO PROCEDIMENTO LAGRANGEANO ATUALIZADO
•
•
•
•
36
deslocamentos um grande número de incrementas é necessário para
garantir deslocamentos incrementais pequenos. Para evitar erros
significantes no equilíbrio interno, introduzidos devido às
rotações finitas, os deslocamentos de corpo r ig ido podem ser
retirados do processo de recuperação de forças como apresentado
por Powell
Gattass [6].
[14] e Coak [15] e discutido em detalhe por
Adota-se, neste trabalho, uma modificação na processo de
recuperação de forças de modo a eliminar o deslocamento axial de
corpo rígido, proposta por Bathe e Bolourchi [10]. Assim sendo,
a equaçao (2.51} é utilizada para computar as forças internas
exceto pela componente axial. Um procedimento direto é usado
para computar a força axial no elemento.
elemento é dada por
E =
A deformaçio aKial do
(2.52)
onde t+ôtL e sao o comprimento do elemento no inicio e no
final da iteração, respecti~ramente, supondo o ele~nto reto. A
parcela da força aKial correspondente ao produto K U é então
substituída por
F=Ell• (2.53)
As demais componentes sao extraídas da equaçao (2.51).
• CAPITULO 3
• HETODO DE SOLUÇAO
• 3. 1 INTRODUÇÃO
Estuda-se, neste capítulo, os métodos de solução de
sistemas de equaçoes não-lineares de equilíbrio e os
procedimentos de atualização de geometria da análise Lagrangeana
Atualizada de pórticos espaciais.
' 3.2 HETODOS INCREMENTAIS
O principal problema da análise estrutural não-linear é
encontrar o estado de equilíbrio de um corpo correspondente às
cargas aplicadas. Supondo que as forças eKternas s;o descritas
como função do tempo, as condições de equilíbrio de uma
estrutura, representada por elementos finitos, podem ser
eKpressas por:
• ( 3. 1 )
onde o vetor o vetor de carqas equivalentes nodais de
cada elemento na configuração t + ót dado pela equação (2.41} e
vetor de forças no da is correspondentes às tensi:;es do
38
elemento nesta conf ig11ração, como n10stra a forma modificada. da
equaçao ( 2. 51) •
Em análises estáticas, a variável t denota apenas as
diferentes intensidades de carregamento e suas correspondentes '
confiquraç;;es. Quar1do a análise inclui condiçoes não-lineares
• geométricas ou materiais as equações de equilíbrio (3.1} precisam
ser resolvidas para todas os passos até o instante de interesse.
A determinação destas respostas ·é efetivamente realizada usando
uma ar1álise incremental ou passo-a-passo. l). base do prece? s so
incremental está em considerar-se a soluç;;:o para o instante t
conh.ecida e determinar-se a soluçio para o instante t + ót, onde
Ot é um incre~nto de tempo convenientemente escolhido.
Na forma incremental, a .carga no instante t + lit é dada
por
t+ótB t = R + 6R (3.2)
onde 6 indica um incremento finito •
• a ma.triz de rigidez para o instante t + ôt é baseada
• nos resultados do passo anterior e as equaçoes simultâneas a
serem resolvidas em cada incremento sao
(3.3a)
•
•
39
onde 6U é o uetor de deslocamentos nodais incrementais
matriz de rigidez no instante t,
= ' (3.3b)
Os deslocamentos no final do incremento sao:
= + ou (3.4)
De posse de uma a11aliação dos deslocamentos no instante
t + ôt, pode-se obter as correspondentes tens~es e forças nodais,
e entao prosseguir para o incremento de carga seguinte. A.s
equaçoes (3.2) a (3.4) provêm a base para aplicaçao de um
procedimento incremental simples e uma representação esquemática
deste procedimento é mostrada na F.igura 3.1.
O procedimento incremental apresenta conID vantagem,
além da sua simplicidade, a capacidade de resolver problemas que
apresentam os fenômenos de "'snap-through" e "'snap-back"' uma uez
que não são realizadas iteraç~es durante o processo •
Ho entanto, para análises con1 grandes deslocamentos, a
solução pode apresentar erros acumulados substanciais, uma vez
que o equi 1 íbrio nao é garantido para cada passo de carga.
Freqüentemente, é necessário iteragir até que a solução de (3.J.)
seja obtida com boa precisão.
R
•
•
•
•
/ /. _I _______ 1
AR
- ---
' ' AU 1
• 1 1 1 1
'u tt-Atu
/ /
/ /.
•
40
/ /
,.i'K / SOLUÇÃO
INCREMENTAL
------- RESPOSTA ~ EXATA
u
FIGURA 3.1' REPRESENTAÇÃO DO MÉTODO DE SOLUÇÃO INCREMENTAL SIMPLES .
41
' 3,3 nETODOS INCREnENTAIS E ITERATIVOS
Os procedimentos incrementais e iterativos consideram
incrementos de cargas com iterações de equilíbrio realizadas
• dentro de cada passo • O desempenho da análise está vinculado à
escolha dos parâmetros de análise, tais como os incrementas de •
carga. No caso da análise incremental simples~ a adequação do
incremento é verificada pelos erros introduzidos em cada passo.
Um esquema incremental ideal pef.mite que o incremento de carga
varie de acordo com o grau de não-linearidade da estrutura.
Quando iteraçoes sao incluídas em cada passo, o número de
iteraçoes necessárias para atingir o equilíbrio, é o indicador da
adequação do incremento adotada.
Um outro fator importante a ser considerado é a
convergência do procedimento. Para um determinado problema,
alguns esquemas sempre convergem para a solução e outros não. E1n
geral, os métodos existentes nao garantem estabilidade,
convergência e eficiência em situa9Ões limites.
• O método de Ne\rlon-Raphson [5] é talvez o método
iterativo mais antigo ainda em uso corrente. Ele adota um
• controle da carga e apresenta bons resultados em regiÕes estáveis
mas não é capaz de resolver problemas de pontos de singularidade
pois itera a carga constante [16 1 17 1 18). Este problema pode
ser contornado adotando-se um procedimento de deslocamento
controlado, cotno proposto inicialmente por .Argyris [19]. Neste
•
•
•
42
esquema de solução, um determinado deslocamento nodal é
incrementado e as iterações sao realizadas a deslocamentos
constantes. Uma desvantagem deste processo é que um conhecimento
prévio do comportamento não-linear da estrutura é necessário para
que um deslocamento controlado apropriado seja escolhido . A.lém
disso,
solução
por
de
iterar a
problemas
deslocamentos constantes, ele falha na
que apresentem o fenômeno de "snap-back".
Tanto o método de Newton-Raphson quanto o de deslocamentos
controlados nao consideram a Variação da não-linearidade do
sistema ao longo do processo incremental pois incrementas
constantes são utilizados.
Outras métodos que consideram melhor estes efeitos e
que sao capazes de resolver os problemas de estabilidade citados
foram desenvolvidos. o método de comprimento de arco,
desenvolvido por Wempner [20], tem sido usado para resolver tanto
problemas com ""snap-through" quanto com '"snap-back" pois ag
iterações de equilíbrio nao sao feitas nem a carga constante nem
a deslocamentos constantes. as eq11açoes utilizadas para a
determinação dos incrementas de força em cada iteraçao nao sao,
no entanto, consistentes [16, 21]. Um método alternativo,
apresentado por Yang (7] é o de controle do trabalho. Este é um
método consistente e o incremento de carga é dado de tal forma
que o trabalho realizado pelas forças incre1neiltais e1n cada passo
seja o mesmo. Este enfoque visa a consideração da variaçao da
não linearidade do sistema e sua inlplementação em um procedimento
iterativo con\rencional tende a igualar o número de iterações em
43
cada passo ao lon90 do processo de solução. A estabilidade e
convergência da solução são também garantidas.
O procedimento de iteração adotado neste trabalho é o
de Newton modificado . Este procedimento é largamente utilizado e •
pode ser derivado do método de Newton-Raphson para a solução de
• sistemas de equaçoes nao-lineares. As equaçoes utilizadas no
procedimento de Newton-Raphson sao
( 3. 5 )
= + (3.6)
onde a Índice superior à direita indica a iteração considerada e
as condiçÕes iniciais sao
= ; = ; (3.7)
As últimas estimativas dos deslocamentos nodais sao
usadas para avaliar as correspondentes tensões no elemento e as
forças internas nodais o vetor de forças
desequi 1 ibradas,
•
= ( 3. 8)
corresponde ao vetor de cargas que ainda nao foi equilibrado
pelas tensões no elemento. Devido a este desequilíbrio, é
•
44
necessário hauer um incremento de deslocamentos nodais e
conseqüentemente, um incremento de tensÕes. Este processo se
repete até que as forças desequilibradas e os incrementas de
deslocamentos sejam pequenos como mostra a Figura 3.2.
Observa-se, com relaçao ao método de Newton-Raphson,
que, em geral, a montagem e fatoraç;o da matriz de rigidez
tangente sao as principais responsáveis pelo custo computacional
da i teraçio. Quando sistemas d·e ordem elevada sao analisados,
estes cálculos podem tornar-se excessivamente dispendiosos e
modificações no método de Ne\rlon sao freqüentemente mais
eficazes.
O método de Newton modificado, na forma como empregado
neste trabalho, calcula a matriz de rigidez apenas no início de
cada passo. A matriz utilizada é a da Última configurac~o de
equilíbrio conhecida e as iterações de equilíbrio são processadas
utilizando a mesma matriz. A.s equaçoes (3.5} e (3.6) para o
método de Newton modificado sao;
(3.9)
e
t+ot0 + ( 3. 10)
com as condiçÕes iniciais (3.7). Este processo está representado
R
45
t•Llt fl2J
RESPOSTA EXATA
u
FIGURA 3.2 , REPRESENTAÇÃO DO MÉTODO DE SOLUÇÃO ITERATIVO DE NEWTON - RAPHSON
46
na Figura 3.3.
Este procedimento é implementado dentro do método da
rigidez direta, onde a matriz de rigidez de cada elemento é
avaliada e somada à matriz do sistema global. Para isto é
necessário relacionar as coordenadas locais ( x,y,z ) do elemento
com as coordenadas do sistema global ( X,Y,Z ).
3.4 ATUALIZAÇÃO DA GEOMETRIA
A cada elemento é associado um sistema de eixos local
que orienta o elemento de viga-coluna no espaço. Este sistenra é ~ ~ ~
composto de três vetores unitários x, y, z, ortogonais entre si,
com origem no nó inicial da barra e é atualizado a cada passo. O ~
vetor z indica o eixo longitudinal x e aponta na direção do nó
fina 1 da barra, nó j; o vetor y define um eixo principal de
inércia da seç;o transversal da barra sendo sua direção e sentido
determinados no primeiro passo pela entrada de dados. Para maior
clareza, neste trabalho, " o vetor y é identificado com o plano da
alma dos perfis tipo 1. Nos passos seguintes este vetor é
atualizado pelo procedimento descrito a seguir. O terceiro eixo •
~
local z, definido pelo vetor z, é ortogonal aos eiHos n e y.
Este sistema está representado na Figura 3.4.
Pode-se, a partir destes três vetores, montar a matriz de
transformação de coordenadas globais para locais. Para um
elemento de viga-coluna com doze graus de liberdade esta matriz é
R
•
•
•
47
RESPOSTA EXATA
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
t+dtu u
. FIGURA 3.3, METODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON
MODIFICADO UTILIZANDO RIGIDEZ CONS_ TANTE IGUAL À TANGENTE NO INICIO 00 INCREMENTO .
-.'.
. i " t
• VETOR DE ALMA
yr <l • NO
z
<l NÓ i
z
. NO j
~~
FIGURA 3.4' SISTEMA DE COORDENADAS DO ELEMENTO .
•
•
•
•
dada por [22]:
T =
onde ., é a
=
., • e .,
• e
e e
matriz de
1
cos
cos
CDS ªz
49
• e
• e
.. e
e .,
rotação abaixo
cos cos
cos cos
cos cos
com os ângulos que relacionam os sistemas
mostrados na Figura 3.5.
(3.11)
(3.12)
local e global
A transformação que le11a a matriz de rigidez do elemento
nas coordenadas locais, K1 , para a ma.triz do elemento no sistema
qlobal 1 R , é dada por g
K g = (3.13)
e os deslocamentos incrementais no sistema local de coordenadas
sao
= T l>U g
(3.14)
O usa de vetores locais unitárias si mp 1 i fica a geraçao
da matriz de rotação uma t.'ez que as componentes (H, Y, Z) globais
•
•
•
50
Óy
FIGURA 3.5, ÂNGULOS QUE OS EIXOS LOCAIS FORMAM COM OS EIXOS GLOBAIS
•
•
51
dos vetores sao os cossenos dos
respectivamente.
~
O vetor axial x é dado por
•• •• l
com
K. K. J 1
•• = L
Y. Y. J 1 •• =
L
z. z. J 1
•• = L
ângulos ó. 1
(3.15)
(3.16)
(3.1?)
(3.18)
onde os índices i e j referem-se aos nós inicial e final do
elemento, X, Y e Z sao as coordenadas destes nós referidas ao
sistema global e L é o comprimento do elemento.
O nó k, fornec,ido na entrada de dados, determina os
vetores o; e o; iniciais. Este nó é escolhido de tal forma que a
plana gerado por o; e ik seja o plano da alma do elemento. Desta
forma, o vetor '
perpendicular a este plano e obt ião da
normalização do produto vetorial ~
0 n /\ ik Para que se tenl1a um
•
•
52
-sistema ortogonal é preciso que 6y - -seja ortogonal a 0 x e ºz
-Logo o segundo produto vetorial 0 z resulta no vetor de
assim todos os cossenos diretores que aparecem na
matriz de rotação são determinados.
Ho sistema Lagrangeano Atualizado a transformação do
sistema local para o global é baseada na configuração deformada
da estrutura no início do passo. Assim sendo 1 a matriz de
rotaçao. é função dos deslocamentos e as coordenadas e os eixos
locais têm que ser atualizados após cada incremento de carga. A
atualização das coordenadas é direta sendo realizada através da
soma das translações às respectivas coordenadas iniciais, O
t+õt..... ,.,. -vetor x é entao calculado utilizando-se as equaçoes (3.16) a
(3.18) com as coordenadas atualizadas.
A atualização do uetor de -alma ·Y é simplificada por
admitir-se que o elemento é reto no início de cada incremento
sendo necessário considerar apenas os seis deslocamentos de corpo
rígido na sua atualização. Evidentemente, as três translações de
corpo rígido nao afetam as componentes do vetor de alma e o
problema reduz-se à consideraçio das três rotações de corpo
rígido • Os efeitos destas _rotaç~es sao analisados 5eparadamente.
Considera-se, à princípio, uma rotação de cada
extremidade do elemento em torno do eixo longitudinal x, na mesma
direção.
t+ôt""" por y
O vetor de alma no inicio do incremento é identificado
Uma rotação 8 em torno do ei1to x faz com que o eixo
•
•
y gire no plano y-z. ~ ~
de y e z '· ou seja:
= t~
y
53
Assim sendo,
+ t~
tan a z
é uma combinação linear
(3.19}
As componentes de t+ôt ' -y sao entao divididas pelo comprimento do
vetor resultando no vetor unitário
está ilustrado na Figura 3.6.
t+6t"", y Este procedimento
Esta técnica é baseada na hipótese de que o elemento nao
torce durante o incremento, resultando em rotações de eHtremidade
idênticas. Esta hipótese nem sempre se verifica e torna-se
necessária uma modificaçao para e. Considera-se e como a média '
das rotações axiais dos nós i e j do elemento.
e = 1
2 ( 6.
i + e. l
J (3.20}
Esta consideração é razoável em se tratando de elementos
prismáticos, considerados retos no inicio de cada incremento,e
que nao desenvolvem deformaç~es plásticas torcionais. Se, no
entanto, tratar-se de um e !emento longo, com pouca rigidez à
torção, e recomendável que este seja subdividido em elementos
menores.
Gonsideram-se agora as duas rotaç~es de corpo rígido
restantes; em torno do eiKo y e do eixo z locais. Uma rotação
de corpo rígido em torno do eixo y nao produz nenhum efeito nas
54
'·
•
t•6tY·~-------~cos e
0 0
OG 1 Z sen 0
(a) (b)
FIGURA 3.6: la) ATUALIZAÇÃO DO VETOR Y 1 b) VETOR DA GEOMETRIA PROCURADO
•
•
55
componentes do vetor de alma. Uma rotação de corpo rígido em
torno do eixo z altera o vetor de plano de alma e deve sar
portanto, considerada. Note que ambas as rotaç;;es de corpo
rígido ocorrem em estruturas espaciais e portanto a rotação em
torno do eixo z deve ser isolada. a separaçao direta desta
rotaçao de corpo rígido mostra-se bastante trabalhosa,
utilizando-se por isso ·um método alternativo desenvolvido por
Orbinson [8].
axial
Após a atualizaçao das coordenadas nodais e do vetor
t+õt ...... s um vetor perpendicular a este e ao vetor de alma
atualizado com relaçao à rotação em torno da eixo axial t+ót ..... ,
y é
obtido pelo produto vetorial
t+õt..... t+6tA t+ótA, Z = B' A y
como mostrado na Figura 3.7a. Os vetores
sao em geral, ortogonais e portanto t+õt .....
z
(3.21)
nao
deverá ter suas
componentes normalizadas para se tornar unitário.
O último passo é a correçao da atualizaçio do vetor de
alma para incluir as rotações em torno de z.
, t+õt ..... é obtido pelo produto vetorial de z e
Assim sendo, t+õt .....
y
t+6t ..... • • unitários,
gerando portanto um vetor unitário na direçio do plano da alma,
t+6tA t+6tA t+6tA y ~ Z A S (3.22)
•
'
•
'
t+AtZ
t ... ti.tz
56
t ... At Ç 1
(o)
t•lltY't t+eity
1 1
( b)
,-X
- t + AtX
. t+atx
FIGURA 3.7 ATUALIZAÇÃO DA GEOMETRIA PARA ROTAÇOES DE CORPO RÍGIDO
(a) DETERMINAÇÃO DE t•ólz (b) DETERMINAÇÃO DE t+Oly
•
•
,
57
como ilustrado na Figura 3.7b. Hote que este procedimento
supri me, automaticamente, a rotação de corpo r Íg ido em torno do
eixo y local. Se o elemento tiver rotação somente em torno de y
este procedimento produz um uetor
3.5 - CRITÉRIOS DE CONVERG~NCIA
t+ot; igual a t~
y
A adoção de uma estratégia de solução baseada em métodos
iterativos requer a utilização de um critério que estabeleça o
fim do processo de iteraçao. Ao final de cada iteração a soluçao
obtida deve ser analisada para avaliar se a solução convergiu
dentro das tolerâncias admissíveis ou se está divergindo. Se
tolerâncias muito grandes são adotadas resultados imprecisos sao
obtidos; tolerâncias muito apertadas requerem um esforço
computacional grande e a precisao dos resultados torna-se
eHagerada. Um critério de conuergência ineficiente pode
interromper o processo de iteração por detectar uma falsa
diuergência da solução como também forçar a busca de uma solução
inatingíuel. Alguns critérios de convergência sao brevemente
discutidos a seguir (5] .
Um critério que avalia a convergência do processo
iteratiuo em de,slocamentos, é dado por:
(3.23)
1 i.
onde é a tolerância de convergência para os deslocamentos.
•
,
58
Como é desconhecido considera-se como tima
. - t+õt aprox1maçao para U.
Em análises nas quais os deslocamentos mudam pouco em
cada iteração mas continuam mudando por várias iterações, este
critério é falho. Um exemplo deste comportamento é o de análises
de estruturas que aumentam sua rigidez com os deslocamentos. a
solução pode estar longe quando a convergência é obtida por este
critério.
Um outro critério de convergência é
avaliaçio do vetor de cargas desequilibradas 6Bi
obtido pela
Este critério
verifica se as cargas desiqui 1 ibradas est;a dentro de uma certa
tolerância do incremento de carga aplicado, ou seja,
_ t+6tFi l I 2 s •r (3.24)
A verificaçao das forças pode requerer uma atençio
especial para problemas de inconsistências de unidades no vetor
de forças uma vez que forças e momentos estão presentes neste
vetor. a solução para deslocamentos nao é considerada neste
critério No caso de estruturas em plastificação com baiKo
módulo de encr_uamento, embora as cargas desequilibradas possam
ser pequenas, os deslocamentos podem estar errados.
Observa-se a necessidade da consideraç:io do equí 1 ibrio
tanto das forças quanto de deslocamentos para se atingir a
59
soluçao com boa precisao. Um terceiro critério, se baseia no
"' trabalho das forças desequilibradas realizado sobre os
deslocamentos incrementais, ou seja no incremento de energia
interna. Este incremento é comparado com o incremento de energia
interna inicial. Considera-se que a conuergênoia é atingida
quando
(•u'( t+õtR _ tF)) ~ E u
" (3.25)
Este critério nao apresenta as deficiências dos
anteriores sendo o implementado neste trabalho •
•
•
• CAPITULO 4
IMPLEMENTação COMPUT9CION9L
4. 1 INTRODUÇÃO
Com o objetivo de avaliar numericamente a formulaç:io
apresentada nos capítulos anteriores, desenvolveu-se um programa
computacional em linguagem FORTRAN V com a capacidade de realizar
análises geometricamente não-lineares de estruturas reticuladas
espaciais com libera9Ões de extremidade de barra sujeitas a
carregamentos estáticos compostos de cargas nodais cargas
uniformemente distribuídas constantes no sistema global e cargas
uniformemente distribuídas constantes no sistema local. As
rotinas deste programa sao baseadas na formulação apresentada no
Capítulo 2 e na metodologia descrita no Capítulo 3.
4.2 DESCRIÇ90 DO PROGR9l'!Jl
4.2.1 ENTRADA DE DADOS
•
A primeira fase da execuçao do programa ALAR é a
entrada de dados, na qual sao lidas informações de controle,
inEormaçÕes referentes aos pontos nodais e informações referentes
às barras. Nesta. fase os graus de liberdade ativos sao
61
numerados, e conseqüentemente é determinado o número de equaçoes
do sistema. Caloulam-se também as alturas úteis das colunas da
matriz de rigidez global armazenada em perfil [23]. De posse da
geometria do problema, determinam-se, os vetores de orientação
dos elementos no espaço, ou seja, especifica-se o sistema local
de eixos de cada barra como descrito no Capitulo 3.
As cargas aplicadas podem ser cargas nodais tanto para
forças quanto momentos, ou Cargas distribuídas. Após a
orientação de cada elemento no espaço pode-se prosseguir na
leitura dos dados uma vez que a consideração de cargas
distribuídas constantes no sistema local requer o conhecimento do
sistema local da barra onde ela atua. Na consideração de cargas
distribuídas são admitidas duas hipóteses para seu comportamento,
já citadas no Capítulo 2. A definição de cada carga aplicada
c"ontém o tipo de carga, o nó ou membro onde atua, o número do
caso de carga, e as três componentes da força nodal, momento
nodal ou carga distribuída aplicados. As componentes das cargas
e momentos nodais e das cargas distribuídas constantes no sistema
global sao referenciadas ao sistema global de eixos.
constantes em relaçao ao sistema local de eixos,
componentes dadas em relação a este sistema local.
As cargas
têm suas
As cargas distribuídas constantes em relaçao ao sistema
loca 1 ! por sua natureza ··seguidora··, apresentam em todos os
passos de carga a mesma contribuição para o vetor de cargas
equivalentes nodais da barra. Essa contribuição pode ser
62
portanto calculada ainda na etapa de entrada de dados. Já as
cargas constantes em relação ao sistema global, resultam em
forças equivalentes nodais diferentes para cada passo e por isso
o valor das cargas é armazenado e a cada incremento de carga as
forças equivalentes nodais são reavaliadas. As cargas nodais sao
consideradas independentes do deslocamento da estrutura e por
isso sua contribuição ao vetor de carregaJDQnto global pode ser
determinada previamente à análise. Convém lembrar que estão
sendo considerados incrementas constantes de carga, portanto cada
incremento de uma determinada carga P tem o valor de P/np onde
np é fornecido na entrada de dados e indica o número de
ao longo dos quais o carregamento deve ser aplicado.
passos
Ao final da primeira etapa tem-se o vetor global
incremental de cargas nodais, as forç~s equivalentes nodais
.incrementais de cada barra carregada com Cargas distribuídas
constantes no sistema local e as componentes em relação ao
sistema global dos incrementas de cargas distribuídas constantes
no sistema global.
4.2.2 SOLUÇAO PRSSO-R-PRSSO
Após , a entrada de dados inicia-se a análise
incremental. Parte-se das condiçÕes iniciais
( 4. 1 )
Com base nos vetores locais já conhecidos para cada
63
barra, determina-se a parcela das cargas nodais equivalentes
correspondentes às t+ôt G cargas R em cordenadas locais e soma-se
esta à parcela det+õtRL determinada na primeira rase. A matriz
de rigidez tangente, no primeiro passo equivalente à matriz
linear, de cada barra é calculada para um elemento bi-engastado.
No caso do elemento apresentar alguma liberação de eKtremidade •
esta matriz e o vetor de forças equivalentes nodais da barra
correspondente são então modificados através de um processo de
condensação estática, como discutido no Capítulo 2.
A matriz de rigidez e o vetor de cargas correspondente,
obtidos desta condensação sao inseridos na matriz de rigidez
global da estrutura e no vetor de cargas global respectivamente,
pelo método da rigidez direta. Após computar as cargas e
matrizes de todas as barras, obtem-se a solução da equaçao (3.9)
para utilizando o método de Crout (24]. De posse dos
deslocamentos globais da estrutura, calculam-se os deslocamentos
nodais locais e utiliza-se o processo de recuperação de forças
convencional para obter as forças internas de cada barra. As
componentes axiais deste vetor sao então substituídas de acordo
• com a equaçao (2.53) de modo a eliminar os deslocamentos axiais
de corpo rígido • A dete-rminação das forças internas de uma •
iteração encerra as etapas do processo de solução para essa
iteração. Faz-se então necessário verificar se o equilíbrio foi
atingido para o nível de carga em questao. As forças internas
modificadas são incorporadas ao vetor de forças internas global.
As forças desequilibradas s;o ent;o obtidas pela diferença entre
•
•
•
•
64
as forças externas e as forças internas como mostrado na equaçao
(3.8). Quando realiza-se uma análise linear o processo
encerra-se neste ponto •
Na análise nao-linear incremental
equilíbrio reinicia-se o processo pela
coordenadas e dos vetores locais das barras.
sem iteraç~es
atualização
de
das
Geram-se ta1nbém
novas matrizes de rigidez tan~ente com base nos esforços e
deslocamentos do passo anterior. Avaliam-se novamente as forças
nodais equivalentes e aplica-se um novo incremento de carga. a
solução deste novo sistema fornece um acréscimo de deslocan~ntos
e de esforços na estrutura devido a este incretnento. Os
deslocamentos e esforços após a aplicação deste incremento sao
obtidos pela soma dos esforços e deslocamentos em cada passo.
Este processo se repete até que a carga
aplicada.
total tenha
Quando iteraçoes de equilíbrio sao realizadas,
sido
de
acordo com o método de Newton-Raphson modificado, descrito na
seçao 3.3, etapas adicionais sao introduzidas no processo de
solução. Uma vez obtida a força desequilibrada da primeira
i teraçia do passo-, esta força é aplicada à estrutura de modo que
um novo sistema de equações é resolvido. Este sistema é ainda
baseado na configuraçio e nas matrizes obtidas no passo anterior.
Como resultado deste carregamento, surgem acréscimos de
deslocamentos e de tensoes que tendem, em geral, a diminuir o
desequilíbrio. Este processo se repet~ até que seja verificada a
•
•
65
convergência para a solur;ão dentro da tolerância imposta. Uma
vez atingida a convergência, o passo seguinte é iniciado.
4.3 VISUALIZAÇAO DOS RESULTADOS
após a realizaçao de un~ análise não-linear utilizando o
programa ALAR, inicia-se a tarefa de interpretação dos resultados
obtidos. Um perfeito entendimento deste_s resultados é às vezes
dificultado pelo grande número dê informaç~es a serem analisadas,
Visando facilitar a etapa de interpretação dos resultados do
programa ALAR desenvolveu-se um programa de pós-processamento
gráfico iterativo de estruturas espaciais, o PPGEE.
O ambiente de desenvolvimento propiciado pela PUC-RJ
consta de uma estação gráfica composta por um terminal Tektronix
4114-B vetorial de retraçamento 1 uma mesa digita 1izadora 1 uma
plotadora Calcomp H84 tamanho A4 ligados a um computador Control
Data CVBER 175.
As respostas geradas pelo pr·oqrama ALAR sao armazenadas
em arquivo em disco para oportunamente serem analisadas. Este
arquivo contém 1 além dos deslocamentos e esforços obtidos na
análise 1 as informaç;;es dos nós e barras que permitem a geraçio
de imagens da geometria da estrutura.
No desenvolvimento de programas de pós-processamento
66
gráfico iterativo deve-se procurar simplicidade, uelocidade de
resposta e confiabilidade. Deve-se projetar cuidadosamente a
iriteração ' ' USUARIO X MllQUINA tendo em mente tanto o projeto da
linguagem de interação quanto o projeto da interface do usuário
• com o computador [25] •
• o projeto da 1 i nguagem de interação consiste na
definição da forma de comunicaçao entre o usuário e o sistema
computacional. Para que se p·ossa obter um diálogo claro e
utilizar o sistema gráfico sem grandes dificuldades deve-se
procurar uma linguagem concisa, completa, eficiente e natural,
utilizando termos familiares à aplicação a que se destina [26].
' ' li interface USUARIO X MllQUINll deve ser também
cuidadosamente projetada, de modo a gerar uma interface
visualmente agradável e operacionalmente eficiente.
4.3.1 DESCRIÇÃO DO PROGRAJ"1A DE VISUALIZAÇÃO DE RESULTADOS
O programa PPGEE divide a área de tela em cinco
sub-áreas uma área de desenho principal, três áreas de desenho •
auxiliares e uma área de n:ienu e diálogo. Na área de menu são
apresentadas as funções de visualização que ao serem selecionadas
desencadeiam uma açao.
Ao iniciar-se a execuçao do prog~ama PPGEE a tela gerada
automaticamente apresenta na área principal a visualizaçio da
67
estrutura em projeçao isométrica, nas três áreas auxiliares suas
projeçoes ortográficas (vista em planta, elevação xz, elevação
yz) e na área de menu as funçoes disponíveis. Erros porventura
existentes de locação de nós e de incidências de barras podem ser
facilmente detectados nestas vistas. Esta configuração está
mostrada na figura 4.1 •
•
-Citam-se entre as opçoes do programa PPGEE as seguintes
opçoes de auxílio na visualização da geometria:
ROT X, ROT Y 1 ROT Z - gira a vista contida na área
principal de um ângulo e
fornecido pelo usuário em torno
dos eixos globais X , Y ou Z
respectivamente.
PLAH X, PLAN Y 1 PLAN Z isola planos paralelos aos planos
globais passando por um nó
escolhido pelo usuário.
FATIA X, FATIA V, FATIA Z - isola fatias da estrutura onde
s;o visualizados os trechos
compreendidos entre dois planos
globais paralelos.
68
•
•
rn ..... ,_, M
MENU f'RD. Vlsur.L. DE P!llTJCDS
EIEPTII. E»t. tl'IIL FUC/11.J
'"' ..... , ""' IUVEL. Z
FATIA X fhTJA T FllTJA 2
'"""'""' ~· ....... --~
...,,.,_,. """""'
-~ IUSTDIUCO
"""" ,..,,.
''" "'"
"" '"
Figura 4.1 Tela padrio gerada pelo programa PPGEE.
•
•
NO ti
MEMBRO ti
69
retorna na área de diálogo o
número de um nó selecionado e
suas coordenadas.
retorna o número de uma barra
selecionada e sua incidência •
Estas opçoes citadas sao importantes para a verificação
do modelo de elementos finitos, ·pois qualquer erro na definiç:io
da geometria é imediatamente sinalizado.
Após a realizaçao da análise incremental a investigação
dos resultados pode ser facilitada pela seleção de outras funções
presentes no menu do PPGEE. são elas :
DESDEF - desenha a configuração deformada da estrutura para
um determinado nível de carga. Esta deformada pode
ser apresentada em qualquer uma das quatro vistas
básicas.
SOBREPOR - desenha a deformada tracejada, sobreposta à
configuração indeforn~da •
HISTORICO - apresenta um acompanhamento da deformação da
estrutura através da sobreposiçio de deforn1adas
para passos de carga igualmente espaçados.
•
•
DESL NO
70
apresenta na área de diálogo os deslocamentos
sofridos por um nó de interesse para um
determinado passo de carga.
Além da visualização da configuraçao deformada 1 pode-se
também obter informações sobre os esforços e relacionar as cargas
com os deslocamentos através de gráficos.
representadas pelas funções :
Essas açoes sao
ESFORÇOS - lista na área de diálogo os esforços em uma barra
selecionada, ao fim do processo incremental.
P-DELTA
Na
- desenll.a um gráfico carga K deslocamento para um
grau de liberdade escolhido.
uisualização da geometria e na análise dos
resultados, as imagens das quatro áreas de desenho podern ser
trocadas entre si de acordo com a indicação do usuário através da
seleção da função TROCAR.
A qualquer momento, o usuário pode solicitar a gra'-'ª9ªº
da imagem da tela em arquivo para posterior impressao
feito selecionando-se a opçao PLOT.
Isto é
Alguns exemplos de resultados obtidas utilizando as
func~es presentes no programa PPGEE estio apresentados na figura
4.2 e no Capítulo 5.
r
?1
•
•
MENU flllll. YJ9W.... DE l'!llTlCOll
PEPTII. ENB. CIVIL l'IEl2J
"" '""' ""'" NJVEL 'Z
FATlll X FATlA T FATJA 'Z
"""""" ... ....... ...... """""" """"" ........ NJIITllUCO
""""' ..., ..
"'' .... ""' , ... ''" '"
' .
• Figura 4.2 Exemplo de utilizaçio de algumas funç~es presentes no
menu do programa PPGEE.
• CAPITULO 5
EXEMPLOS
• Este capítulo tem como objetivo avaliar numericamente a
metodologia apresentada para a análise de estruturas reticuladas
sujeitas a qrandes deslocamentos. são apresentados alguns
exemplos de solução analítica conhecida para verificar a exatidão
dos resultados fornecidos pela metodologia proposta. · Outros
eKemplos são analizados e os resultados sao comparados com os de
outras formulações.
Todos os exemplos aqui apresentados consideram pequenas
deformações e grandes deslocamentos. O processo de recuperaçao
de forças adotado elimina as deslocamentos axiais de corpo rígido
como descrito no Capítulo 2, equaçao (2. 53}. As soluç~es foram
obtidas por um procedimento incremental e iterativa com
conuerqência para o equilíbrio em cada passo •
• Na primeira série de eKemplos investiga-se a acurácia
• do procedimento adotado, onde os resultados obtidos sao
comparados com os resultados analíticos dados por Mattiasson
(27], que considera vigas ineutensiveis. Por esta razao,
adota-se para a área da seçio transversal dos elementos um valor
grande. Os resultados estão apresentados em forma adimcnsional e
73
sao válidos para qualquer comhinaçio dos parâmetros estruturais
desde que a rigidez axial seja mantida eleuada.
EXEMPLO 1
A viga em balanço da Figura 5.1 é analisada para uma •
carga transversal aplic-ada em sua extremidade. A carga foi
aplicada utilizando-se 50 passos de carga até o parâmetro de
carga igual a 10 e iteraç~es·de equilíbrio foram realizadas.
A viga é discretizada em 2, 4 e 8 elementos do mesmo comprimento
e suas deformadas para alguns passos de carga estão mostradas na
Figura 5.2. Os deslocamentos horizontal e vertical da
extremidade estão representados na Figura 5.3 em função do
* 2 parâmetro de carga P = PL /EI. Esses resultados foram co1nparados
com os resultados obtidos por Bisshopp e Drucker [ 28] e
Jfatt iasson [ 27], que obtiveram soluções para vigas subinet idas a
grandes deslocamentos através de integrais elípticas.
Os resultados obtidos desta análise mostram-se bastante
próximos dos resultados teóricos. Convém acrescentar que poucas
iterações (3 no máximo) foram necessárias em cada passo para •
atingir o equilíbrio dentro da tolerância imposta .
•
E importante observar que os equaçoes usadas no
programa consideram o efeito da deformação axial, Para minimizar
esses efeitos adotou-se, neste exemplo uma área de seçao
tranversal muito grande comparada com seu comprimento.
•
E:: IKN tm 2
A:: 1000 m2
L:: lm
I:: 1 m
* PL2
p ::El
74
L
:>
FIGURA 5.1 EXEMPLO 1 - VIGA EM BALANÇO COM CARGA
TRANSVERSAL APLICADA NA EXTREMIDADE
•
•
•
?5
Figura 5.2 Configurações deformadas da viga em balanço sujeita a
uma carga transversal na extremidade para p* igual a
2,4,6 1 Be10.
76
P' - ·--2 .ELEMENTOS • ------ 4 ELEMENTOS
8 ELEMENTOS ........ MATTIASSON •
ºº . f .
. I .., 80 ::1 i C> ·v / "' ..,
.. , I " .,, o 6.0 : r .
L ii L
1-.,, " ,.., 4.0
"' .., o.
2.0
o.o 02 0.4 0.6 0.8
Figura 5. 3 Resposta da viga em balanço com carga trans~.;ersal, p* •
versus deslocamento vertical e horizontal .
•
i '
'
•
'
•
P*
10.0
8.0 <C
" a: <C o
6.0 .., D
o a: i-.., "
4.0
'"' a: <C Q.
2.0
o.o
77
----- 4 ELEMENTO!! RECUPERAÇÃO TRAOlClONAL
---- 4 ELEMENTOS RECUPERAÇÃO MOOJF!CAOA
• • • • • • • • SOLUÇÃO ANALÍTICA
0.2 0.4
u
'
: 1 : 1 : 1 :· I : I : I . I : I
: I . ,__..~ . ' ' . I
:; : / . /
.-"/ .· / .. / .·y . .;_,"/
;.~
0.6 0.8
Figura 5.4 Comparaçio entre os resultados obtidos utilizando-se
a recuperaçao de forças tradicional e a modificada
calculando-se as forças axiais diretamente.
•
•
•
•
78
Com o objetivo de ilustrar a melhora introduzida nos
resultados pela recuperaçio de forças onde as forças axiais sao
calculadas diretamente apresenta-se a Figura 5. 4. Nesta figura
est;o representados a curva teórica, a curva de resultados
obtidos pelo programa utilizando a recuperacio de forças proposta
e a curva de resultados obtidos com a recuperaçao de forças
tradicional sem a modificaçio que elimina o movimento de corpo
rígido no cálculo desta força axial.
Observa-se que os resultados obtidos eliminando os
deslocamentos axiais de corpo rígido aproximam melhor os
resultados analíticos.
EXEMPLO 2
Estuda-se agora o comportamento de uma uiga em
balanço com uma carga momento aplicada na sua extremidade.
Figura 5.5 apresenta o modelo de elementos finitos e as
propriedades estruturais adotadas na análise. Neste eHemplo
foram utilizados 50 incrementes de carga atê atingii-' a carga
final, * . correspondente a H 1qual a 2.
a so~uçi"o analítica deste problema, com a qua 1 sao
comparados os resultados do programa, consiste em deformadas de
forma circular e pode ser facilmente obtida de cansideraç;;es
geonlétricas e da teoria das vigas. As para
deslocamentos encontradas por esta solução sao:
79
u 1 sen e
= - (5.1) L e
V 1 ( 1 e) = - cos
L e •
' onde 6 é o ângulo correspondente à curvatura da viga.
Na Figura 5.6 estão apresentadas deformadas para
alguns valores do parâmetro de carga * ' l'I = ML /2rrEI. Os
resultados desta análise são comparados com a solução teórica.
As curvas que relacionam o momento com a rotação e
deslocamentos vertical e l1orizontal da extremidade estão
mostradas nas Figuras 5.?a, 5.7b e 5.7c respectivamente.
Observando-se as figuras 5.7 nota-se que a solução
obtida pelo progra1na é bem próxima da solução analítica 1r.esmo
para níveis de carga onde a viga está bastante distorcida, como
se pode uer na Figura 5. 6. Obser-va-se que as expressoes (5.1)
envolvem funções seno e cosseno que para serem bem representadas
• par polinômios cúbicos requerem uma discretização mais refinada •
tlesta análise o equilíbrio em cada passo foi garantido
com duas iterações de equilíbrio, para uma tolerância 0.001 do
trabalho das forças desequilibradas. Os resultados obtidos
aproximam-se dos resultados teóricos inclusive para valores de n*
ele1..Jados.
•
•
•
E= IKN!m2
A= IOOom2
L:: Jm
I:: lm4
* ML M = 2TfEI
80
L
Mj)
µ __ t >
1
M~v.
FIGURA 5.5 EXEMPLO 2 -VIGA EM BALANÇO COM CARGA
MOMENTO APLICADA NA EXTREMIDADE
81
, • )·
M"; 2
M•; t.6
Mº= 1.2
M•: 0.8
Figura 5.6 Configuraçoes deformadas da viga com carga momento
aplicada na extren1idade para valores do parâmetro
de carga 11* iguais a 0.4, 0.8, 1.2, 1.6 e 2.0 .
•
'
•
•
M'
2.0
"' 1.5 "' o:
"' o
"' o o
1.0 o: ... "' ,. '"' o:
"' o,. 0.5
o.o
82
---- e, 4 e 2 ELEMENTOS
• • • • • • • • SOLUÇÃO ANALÍTICA
2..0 4.0 6.0 8.0
• T
100 12.0 • L
Figura 5.7a Resposta da rotaçao da eKtremidade da viga com carga
momento na extremidade .
•
•
"' C> a:
"' o w o
~ .... w
" '"' a: êt
M'
2.0
1.5
1.0
0.5
QO
83
---- 2 ELEMENTOS ---- -4 ELEMENTOS ----&ELEMENTOS
• • • • •.• • •SOUJÇÃO ANALÍTICA
·---·---·-. -·--·--·-., /)
V . .--
··' /-L ..---·--
~.
-·.··// ---........ -· .--·-
0.2 Q4 0.6 }!__ L
Figura 5.?b Resposta do deslocamento vertical da viga com carga
momento na eKtremidade •
'
•
•
M•
2.0
<( 1.5
"' a:
"' o UJ o o a: >-UJ
" '"' a: 11.
1.0
05
o.o
84
-·-·- 2:ELEMENTOS ------ 4ELEMENTOS
8 ELEMEN"TOS
• • • • ••••SOLUÇÃO IHJALiTlCA
0.2 0.4 06 0.B LO 1.2
Figura 5. ?e Resposta do deslocamento horizontal da \Tiga
submetida a uma carga momento na extremidade.
•
85
EXEMPLO 3
Um pórtico plano de forma quadrada é submetido a uma
carga vertical de tração aplicada no centro das vigas superior e
inferior. Este exemplo está representado na Figura 5.8. Foram
realizadas análises adotando-se 2, 4 e 8 elementos por viga. Os
resultados analíticos apresentados por Hattiasson (27] sao
·comparados com os obtidos da análise com o programa ALAR. Por
esta razao, considerando a hipótese de elementos i1!extensíveis,
adota-se um valor grande para a área de seçaa transversal.
A análise foi realizada utilizando-se 50 passos de carga
até um valor de carga correspondente ao parâmetro de carga p*
igual a 4.
As configurações deformadas estão apresentadas na
Figura 5.9 e as curvas carga-deslocamento, para os deslocamentos
verticais dos pontos de aplicação da carga, A, e horizontais do
centro das barras verticais, B, indicados na Figura 5.8 1 ambas em
função do parâmetro de carga p* "' PL 2 /EI 1 sao vistas na
Figura 5. 10,
Observa-se, destes resultados, uma boa concordância com
os resultados analíticos. As iterações de ,equilíbrio em cada
passa resultaram rapidamente na convergência para a tolerância
adotada, sendo necessárias, no máxi1no, duas iterações para a
•
•
86
L L
1 ---·-·------ A
2P J ·-·-·-·-·--•. I
1 l • I í ' 1 • 1 • 1 '
' . 1 ' 1 ' 1 i • 1 • 1
-
.
• ·----------- ---------
E: 104 KNtm 2
A= 1000 cm2
I = 1.0 cm4
L = 1.0 em
* PL2
p :: EI
/t 2P
B
-·-
r • 1 • 1 • 1 -' • 1 1 • 1 ,u 1
1 • 1 • 1 ' -' 1 i ' I
' ---r
FIGURA 5.8 EXEMPLO 3 QUADRO DE FORMA RETANGULAR
D!SCRfTIZADO EM B ELEMENTOS POR BARRA
CARGA D E T RAÇAO
87
i 2 p
Figura 5.9 Configuraçoes deformadas do quadro retangular com
- * carga de traçao para P igual a 0.8, 1.6, 2.4, 3.2 e
• 4.0.
,
•
•
P*
4.0
3.0
<{ C>
"' <{ o w 2.0 D
li? t-w
" '"' "' 1i' 1.0
00
BB
-·-·- Z ELEMENTOS ---- 4 ELEMENTOS
8 ELEMENTOS
" • •", • • • MATTIASSON
... / ·/
:''/ .~
:;; : /
. / / : '//· "/
r ... ~1· . ;; .
.·,/ :v,;·
u . " "
f
cY
OI 0.2
L .·'l'. L • ·9'_.
.f/
i/ ~·
0.3 0.4 as ~. r
Figura 5.10 Curvas parâmetro de carga * P versus deslocamento
para os deslocamentos u e v.
•
•
•
89
discretização com 8 elementos por barra. Embora estes resultados
nao representem um modelo real, as restriçÕes impostas pela
solução analítica mostraram-se bem representadas no modelo.
EXEl'!PLO 4
A estrutura do Exemplo 3 é agora analisada para uma
carga de compressao, Figura 5.11. são adotadas as mesmas
propriedades e discretizaç~es do Exemplo 3. Suas deformadas
estão mostradas na Figura 5.12 e os deslocamentos t.1ert ica 1 do
ponto R e horizontal do ponto B 1 estão representados em funçao da
carga aplicada na Figura 5 .13. Esta o tambén1 representados nesta
figura os resultados analíticos de Mattiasson (27].
Novamente, poucas iterações foram necessárias para o
e.quilíbrio e os resultados mostraram-se muito próximos dos
analíticos.
eleu-ados.
EXEl'IPLO 5
Os deslocamentos ao final do processo já são mui to
O pórtico losangular da Figura 5.14a é analisado para
cargas de traçio aplicadas em dois vértices opostos, A e B.
Nestes vértices o pórtico é rotulado e possue ligação rígida nos
outros dois. As propriedades adotadas para análise sia:
90
• L L
•
v A t~ --- íZ------ \ ---
• I 1
I ' ..J 1 • 1 • ' 1 1
' B :ui 1 • 1 1 ' 1
\ ' ' 1 • 1 ..J
1 1 • 1 ---------- -------------
2P
' Figura 5.11 Exemplo 4 - Quadro de forn1a retangular carregado no
centro das barras horizontais com cargas de
compressao.
•
•
•
•
91
2P
2P
Figura 5.12 Configura9Ões deformadas sucessivas da estrutura do
EHemplo 4 para o parâmetro de carga p* igual a 0.B,
1.6, 2.4, 3.2 e 4.0 •
,
p•
4.0
V> 3.0 <>'.
"' o: <>'. u
"' o
~ .... "' "' '"' o: a:
2.0
1.0
o.o
92
-· ---2 ELEMENTOS ---- - 4 ELEMENTOS
8 ELEMENTOS
• •• ··~·· MATTfASSON
0.2
1 I
u T
0.4 . Q6 0.8 1.0 l2 .J!.. !!._
' '
Figura S.13 Resposta das deslocan~ntos u eu representados na
Figura 5.10, P.ara cargas de compressão.
•
•
E = 1 kN/m2
a = 1000 m2
I = 1 m11
L = 1 m
93
Este exemplo tem como objetivo, além de avaliar a
acurâcia do programa computacional~ verificar a metodologia
adotada para o caso de estruturas com liberações de extremidade.
Com esta finalidade, duas modelagens da geometria sao
consideradas e estão representadas nas Figuras 5.14a e b.
Na primeira modelagem, a estrutura, composta de quatro
vigas, é modelada com quatro elementos por barra. A. r6tula é
idealizada pela consideração da liberaçao à rotação de uma das
barras que concorrem ao nó rotulado. Cabe ressaltar que apenas
uma das barras pode ser considerada livre à rotação de modo que
alguma rigidez seja associada a este grau de liberdade global. A
segunda modelagem considera a simetria do problema. Somente
metade da estrutura é idealizada e condiç~es de apoio que
refletem esta simetria sao utilizadas. lls barras sao também
Estes elementos sao, no discretizadas em quatro elementos.
entanto, todos restritos à rata9ao. A consideraçio da rótula é
feita a través da 1 iberação dos nós A e B à rotação.
modelagens foram analisadas até a
em 60 passos de carga.
* carga P igual a 10,
as duas
aplicada
são apresentadas, na Figura 5. 15 1 as deformadas da
94
' I I ' / . '
li .1·'~"
e
'"\ D
\ ' \
\ " • ' \
E • 1 kN/ m2
1000 m2 ~ A• \ is ! • 1 m4
L., 1 m r 2P
Figura 5.14a Exemplo 5 - Quadro de forma l.asangular discretizado
em 4 elementos por barra solicitado por carga de
tração.
•
•
• I
Í
~/ ~ p
95
--!
Fiqura 5.14b Modelo considerando a simetria da estrutt-1ra e do
carregamento.
•
•
e
p*. PL 2
EI
96
t 2P A
o
• ~ 2 p
Figura 5.15 Configurações deformadas da estrutura do Exemplo 5
* para P igual a 1.7 1 3.4, 5.1, 6.8, 8.5 e 10.0 •
•
•
•
p'
'ºº
8.0
"' "' "' "' o w 6.0 o
~ !;;
" 4.0
'"' "' "' a.
2.0
o.o
97
---- 4 ELEMENTOS ........ '-!ATT!ASSON
0.1 0.2
V T
0.3 0.4
- -"-L
JL V L L
Figura 5.16 Resposta dos deslocamentos u e v do pórtico
losangular tracionado em funçao da carga
aplicada.
98
estrutura para alguns incren1entos de carga, obtidas da análise
considerando a modelagem global da estrutura. Os gráficos da
Figura 5.16 ilustram este comportamento através de curvas
carga-deslocamento correspondentes ao deslocamento vertical do
ponto JI e horizontal do ponto D. Nestes gráficos sao •
confrontados os resultadas das duas modelagens CDlTI os de
• f'lattiasson [27].
Conclui-se da Figura 5.16 que a consideração de rótulas
através da condensação estática dos graus de liberdade liberados,
como sugerido no Capítulo 2, leva a resultados bastante próximos
aos fornecidos pela solução teórica. Pode-se dizer que a
consideração da simetria leva aos mesmos resultados que a análise
da estrutura como um todo, uma vez que a pequenas diferenças nao
perceptíveis na Figura 5.16. Neste exemplo a convergência foi
também bastante rápida.
EXEMPLO 6
Neste exe1nplo o pórtico losangular da Figura 5.17 é
estudado para um carregamento de compressão aplicado aos nós A e
• B. São adotadas as mesmas propriedades e discretização do
Exemplo 5. A análise é realizada considerando 60 passos de carga
. , 1 d * 1 ao fim dos quais atinge-se o nive e carga P igua a 10.
Os resultados destas análises fornecem as deformadas
apresentadas na Figura 5.18 para alguns passos de carga.
•
•
•
99
Observa-se que devido aos grandes deslocam2ntos da estrutura os
pontos A e B cruzam-se quando p* iguala a 2.3 e a partir deste
ponto invertem suas posiçoes. n. carga aplicada passa então a
tracionar as barras, Os deslocamentos horizontais crescem no
sentido positi170 até esta inversao, decrescem e chegam a ser
negativos no final do processo • Estas obse1·1_1açÕes sao reiteradas
na Figura 5.19 and2' as curvas carga-deslocamento para os
resultados obtidos com o programa computacional e para os
resultados análiticos (27] estão representadas. Os rest.11 ta dos
encontrados neste exemplo apresentam boa concordância com os
* analíticos até atingir a carga P próxima a 2.3. A partir desta
carga o modelo computacional apresenta um comportamento um pouco
mais flexível.
Convén1 comentar qt1e a aná I i se deste cxemp lo exigiu
várias tentativas de ajuste de parânietros e de idealizaçao. A
adoção de outras modelagens levou a uma divergência da solugão a
partir do nÍ\1el de carga p* igual a 2.3. Este ponto corresponde
Justamente à inversao da solicitação como foi comentado
anteriormente. Nesta etapa sao observados deslocan~ntas grandes
e a conf igura.ção da estrutura após o incremento é ba.sta}1te
diferente da do passo anterior. Isto pode dP.cor~er de urna perda
real de estabilidade da estrutura ou de um acúmulo de erros ao
longo do processo. Em qualquer caso~ estes de
deslocamentos e cargas Já sao bastante afastados da realidade. ~
adoção de um método de solução n1ais eficiente Yto trata111ento
destes fenômenos poderia contornar este problema.
•
•
•
•
100
2P
/ / A
---
8
2P
-------<
---
Figura 5.17 Exemplo 6 - Quadro de forma losangular discretizado
em 4 elementos por barra, solicitado por carga de
compressao.
•
•
•
•
101
1 2 p
"' A
\
Figura 5.18 Configuraç~es deformadas do quadro losangular
* comprimido para P igual a 1.7 1 3.4, 5.1, 6.S,
8.5 e 10 •
•
'
•
<(
"' "' <( u w D
~ 1-w
" •« o: <( Q.
02
P*
·I D
o.o
102
----4 ELEMENTOS
02
.l!... L
04.
MATTlASSON
0.6 o.a
.'L __ ., L
1.0 L2 ~ • j'.__ L L
Figura 5.19 Resposta dos deslocamentos u e v do quadro
losangular sujeito a cargas de compressao.
•
103
EXEMPLO 7
Estuda-se agora uma viga engastada e liure mostrada na
Figura 5.20. A viga é idealizada em 10 elementos do mesmo
comprimento. a análise é feita e1n 50 passos de carga
valor K* = qL3 /EI igual· a 10 supondo-se duas hipóteses
até un1
para a
carga distribuída. Na primeira supoe-se carga constante no
sistema local e na segunda no si·stema global. A carga constante
no sistema local tem como objetivo representar o comP.artall'l9nto da
viga para uma carga de vento. A carga constante no sistema
global tem um comportamento si mi lar ao de cargas tipo
peso-próprio.
5.20.
Os parâmetros adotados est::io 1nostrados na Figura
Os resultados obtidos na análise com cargas constantes
sao comparados com os de Argyris [12] que considera~ em sua
formulação, uma matriz de rigidez que inclue correçÕes devidas às
cargas não-conser\1at i vas. As respostas para cargas constantes no
sistema global
Holden (29].
adi mens iona l.
sao comparadas com os re5ultados analíticos de
A Figura 5.21 mostra essas quatro curvas em forma
Observa-se da Figura 5.21 que quando a uiga é carregada
com uma carga constante no sistema loc"-11 o~. deslocamentos sao
maiores que os obtidos com um carregamento constante n0 sistema
global. As curvas para estas duas análises sao próxi111as somente
l04
~ 1 l l l,I l l l l l q
+---~L ~-l ( o )
> q'
E• 2.1 X 1011 N/m2
----i A• 20 X 10·4 m' ,, L ' 1.0 m
q• l ' 1.66667 • 1o·e m4
( e l K•: q L' TI
FIGURA 5.20 EXEMPLO 7 •
(o) VIGA EM BALANCO COM CARREGAMENTO
• DISTRIBUIDO .
( b) CARGA DISTRIBUI DA CONSTANTE NO SI§ TEMA LOCAL,
1e1 CARGA DlSTRJBUIDA CONSTANTE NO SI~ TEMA GLOBAL.
•
"' "' o:
"' u
w e o o: >-"' " '"' o:
"' Q_
105
K' ---- 10 ELEMENTOS
----- ARGYRiS
lQQ • • • • • • • • HOL.DEN
8.0
6.0
4.0
2.0
QO 0.1 0.2 0.3 0.4 05 -06 0.7 08 V L
Figura 5.21 Curvas parâmetro de carga K* versus deslocamento
para viga com carregamento distribuído constante
no sistema global e constante no sistema local.
•
•
•
K '
10.0
8.0
6.0
4.0
/, 2.0
o.o
106
---- IO ELEMENTOS- CARGA DISTRIBUÍDA
---- 2 ELEMENTOS-CARGA OISTRÍBUÍDA
-·--· 1? ELEMENTOS - CARGA CONCENTRADA
HOLOEN ., ·i ;, /
,'!/ 1(1/
tt/ 1. lt_
1. I '/
I '/ I . I .'/
/ .'I / r;
0.1 0.2 03 0.4 05 0.6 0.7 08 ~ • .Y.. L L
Figura 5.22 Comparaçao com n~delos de cargas concentradas nodais •
107
. * ate K em torno de 3. Os resultados de ambas análises aproHimam
bem os resultados de Argyris (12] e Holden [29].
Investigou-se ainda, o comportamento desta mesma
estrutura se ao invés de considerar a carga distribuída na barra,
concentrarmos esta carga nos nós • O resultado desta análise está
• apresentado na Figura 5.22 confrontado com os da carga
distribuída constante no sistema global e a soluçao apresentada
por Holden [29].
Destes resultados observa-se um comportamento n~is
flexível da estrutura quando a carga é aplicada de forma
distribuída.
Os dois exemplos apresentados a seguir procuram avaliar
o comportamento do programa ANPES para a análise de estruturas
espaciais. Os resultados obtidos pelas análises utilizando este
programa sao comparados com resultados de outros programas de
aná 1 i se.
EXEMPLO B •
Este exemplo consiste de uma viga em arco de círculo de
45° sujeita a uma carga concentrada aplicada em sua eKtremidade
como mostrado na Figura 5.23. O raio de curvatura médio da viga
é de 100 cm, a área da seçao transversal de 1 cm2 • tl ·viga está
no plano X-Y e a carga concentrada está aplicada na direçao Z.
'
X
•
•
•
108
z
\
2
' p
• •
(a)
y ENGASTE rt;--.,F:::::;;;:,::::=-------------
•
E • 10'
R • lm
y
éb1 1 b l
KN/ m2
o • 0,01 m
b • 0,01 m
K • P.R2
TI ( b)
X
FIGURA 5.23 EXEMPLO 8 • VIGA CURVA EM ARCO DE 45º CARREGADA NA EXTREMIDADE.
(o) ISOMÉTRICO
I b I PLANTA
•
109
z
X
' P*= 7 A (CONFIGURACÃO flNAL)
'
'
/
/ /
/ / /
/ /
/
y
A (CONFIGURACÁO INICIAL}
Figura '5.24 Configuração deformada final e algumas inter1nediárias
da viga curva com carga transversal aplicada na
extremidade.
110
p • 8 ELEMENTOS
• . ........ BATHE E BOLOURCHi
7.0
6.0
5.0
"' C> a: JL JL
"' ' ' <.) 40 ., o o 3.0 a: 1-., " '"' 2.0 a: .. a.
1.0
o.o 0.1 0.2 .03 0.4 0.5
Figura 5. 25 Cur1..Tas parâmetro de carga p* versus deslocamento
para os deslocamentos u (na direção y} e u (na
di~eçio z) da extremidade da viga.
111
Utilizam-se na modelagem 8 elementos de igual
comprimento e aplica-se uma carga de 600 kH em 40 passos de
carga. Os resultados obtidos com estes parâmetros sao comparados
com os de Batll.e e Bolourchi [10] que adotam as mesmas
propriedades e idealizaram a viga em oito elementos
• isoparamétricos.
A Figura 5.24 apresenta a configuraçao final e algumas
configuraçoes intermediárias da estrutura. A comparaçao dos
resultados desta análise com os da referência (10] é feita na
Figura S.25 da qual se observa um comportamento mais fleHÍVel
para a discretizaçio utilizando elementos isoparamétricos. Para
a carga final obtêm-se os mes1nos deslocamentos transversais da
viga para os dois modelos.
EXEMPLO 9
O pórtico espacial, em forma de tripé, mostrado na
Figura 5.26 em perspectiva isométrica e em planta é analisado
para uma carga horizontal aplicada na base. O pórtico é formado
por três barras, sendo duas engastadas na base e a outra livre à
rotação em torno do eixo K e livre para deslocar-se na direçio Y.
* Aplica-se uma carga concentrada horizontal de valor P igual a 60
na direção do eixo Y no sentido positivo em 60 passos de carga.
Este exemplo foi analisado por Souza (30] adotando as
112
mesmas propriedades com uma discretização de três elementos
Lagrangeanos cúbicos por membro. A análise de Souza foi
realizada através da formulaçi"o Lagrangeana Total adotando 600
passos de carga, sem iteraç~es de equilíbrio, até a carga total
PM igual a 60.
A Figura 5.27 apresenta as deformadas para p* igual a
10 1 25 e 60 obtidas dos resultados do programa ANPES. Curt.Jas
carga-deslocamento destes resultados estão apresentadas na Figura
5.28 sobrepostas às de Souza (30].
Constata-se, na Figura 5.28 que as duas análises
apresenta resultados bastante próximos. A solução analítica do
problema nao é disponÍ1.'el e por isso un-ra melhor avaliação
relativa destas análises torna-se difícil. A análise feita neste
trabalho requer apenas 60 avaliaç:;;es da matriz de rigidez e un1a
vez que no n~ximo três iteraç~es de equilíbrio foram necessárias,
a equaçio 3.5 foi resolvida no máximo 180 vezes. Uma confrontaçio
melhor da eficiência destes dois procedimentos só pode ser
realizada conhecendo-se os tempos de processamento de cada
análise.
Apresentam-se agora alguns exe1nplos para verificar a
aplicaçao das técnicas de análise nao-linear implementadas no
programa coinputacional à análise de estruturas reais de grande
porte. Mais ainda, sua utilizaçio para estruturas espaciais é
demonstrada.
~
considerando
Estes exemplos foram analisados por Orbinson [B]
os efeitos da nao linearidade do material
X
~~{ ' 1 . b .
t-"+
2
FIGURA 5.26
3
113
z 10
9
0,.. B
7
B
9
IQ__. 1 _,.,..._
6
fi L 2
5
EXEMPLO 9 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA
E= 2.ox101 KN/m2
L:: 0.31177 m
b:O.Olm
o ::O.Olm
•
114
.,. ---(/ 1= _ -.. , .... ,
/, '/ /, , , / / /, ,
/, / / , ,
, / / /, , '/ / /, ,
,/ / /' , ,/,/
/'/
1\ P*• 25
~ p•. 60
,/, /,'/ ,'l'
//~ '•/ ,y,
o/ /-
Figura 5.2? Configuraçao deformada da estrutura nos niveis de
* carga P iguais a 10, 25 e 60 .
600
50.0
., "' "' 40.0 ., o w o o 300
"' t-w
"' ,., 2:10 "' .,
Q.
!O.O
ao
.
115
---- 8 ELEMENTOS
........ SOUZA
º'º '
0.2 0.4 06
. '
. .
08 to
-~ L
U V lL
Fiqura 5. 29 Curvas parâmetro de carga p* verst.ts deslocamento
para os deslocamentos y e z do nó 10 e deslocamento
y do nó 4.
116
EXEMPLO 10
O comportamento não-linear geométrico de um pórtico
plano de doze andares é investigado. A geometria e propriedades
do problema estao apresentados na Figura 5.29. Todos os membros
estão orientados de forma que a flexão aconteça no eixo de maior
inércia. Utilizam-se quatro e_lementos por barra para as vigas da
esquerda e dois para as da direita resultando num total de 252
graus de liberdade ativos. A estrutur.a é carregada com uma carga
de gravidade de 8.9 kl~ em cada nó e uma carga lateral de 35.6 kN
foi especificada para os nós da coluna da direita, íls cargas
foram aplicadas em 40 incrementas com convergência para o
equilíbrio em cada passo. A confiquração final da estrutura está
mostrada na Figura 5.30, onde foi necessária a adoção de um fator
de amplificação de deslocamentos de 5 para possibilitar a
visualização da configuraçao deformada. O deslocamento lateral
do topo do pórtico, em funçi:o do nível de carga aplicado está
mostrado na Figura 5.31.
EKEHPLO 11
eHemplo.
Um pórtico espacial de seis andares é apresentado neste
A geometria e propriedades das seçoes transversais
estão mostrados na Figura 5.32. As seçoes que aparecem em planta
são utilizadas para todos os niveis. O pórtico é modelado e1n 63
'~
117
Wl2 X 16 ~_.,_,....,,_,,".--~ -1-------'-----' -
f------1-----l -
f------1-----l -
Wl4>?? 1-----'llitL'-"_j_ _ _J -
1------'-----J -
1------'-----J -
Wt6x 26
1-------'-----J -
1------'-----J -
W2fx44 1--~~~-'-----J -
1t ~ 730cm .. ~ '
e u
o o
"' @ N
'\
Figura 5.29 Definição da geon1etria, carregamentos e propriedades
do pórtico plano de doze ancla1~es.
118
r-• • • 1 ! 1 • • 1--• • i 1 1 1 • • ' 1- ; ' ' 1 1 1 ' • ' 1-' ' ' 1 1 1 ' ' ' 1-' ' ' 1 1 . 1 ' ' ....:. 1- ' ' ' 1 1 1 • ' ' • ' ' 1 1 1 • • • ' ' ' 1 1 1 ' • ' ' ' ' 1
!1 1 • '
1t
~ \m '7~""
Figura 5,30 Configuraçao final do pórtico de doze andares.
'
,
_!'_ p TOTAL
1. o
6.0
"' "' o: 06
"' u w o o: 0.4 g ri
02
o.o
119
• 0
• • • • • • ANÃL!SE LINEAR
ANÁLISE NÃO- LINEAR GEOMÉTRICA
5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 u
30.0cm
Figura 5.31 CurtJa carga l..1ersus desloca1nento horizontal do piso
superior do pórtico plano do Exenlplo 10.
•
•
120
elementos resultando num total de 180 graus de liberdade ativos.
Foram aplicadas cargas de 19.2xl0-3 l'IPa de gravidade em todos os
níveis e também uma carga lateral de 106.B kN aplicadas a cada nó
da vista frontal na direção do eixo y. As curvas que representam
os deslocamentos laterais do pórtico em função do nível de carga
estão apresentadas na Figura 5.34 e sua deformada após o Último
incremento é vista na Figura 5.33. Novamente os deslocamentos
foram ampliados cinco vezes para possibilitar sua representação.
Na observaçao da Figura 5.34 constata-se que a análise
nao linear reflete um comportamento mais flexível da estrutura
que a análise linear .
121
Wl4 22 •
2 • g
l 3 • • • --j
i 1 _J __ _
2
"' ~' 1
!
~ ~ l_
' ""
' •1 ..
~l J
y
w.,. .,. º"
~
~ ~ T ~
• • " ~ ~ g • • • , .
1 ' Wl2 J 26 W!2 x 26 ___.__..
X
• !.----== .:. _____DQ~_tn~
•
Figura 5.32 Definiçao da geon)eti·ia e propriedades do pórtico
espacial de seis andares do EKen1plo 11.
•
'
•
•
122
.... _ _ , ,,.
1 • .... 1
' ' -~ /'
! 1
' ' ~1 I
' '
'/ ~ / • / '
Figura S.33 Configura9io final do pórtico espacial de seis
andares
'
•
'
'
1'. ProTAL
1.0
" "' 0.75 e:
" o w o e: o 0.5 ... " ..
0.25
o.o
123
-----ANÁLISE LINEAR
----ANÁLISE NÃO--t..INEAR GEOM!TR!CA
625 ~ 12.5 Ja75 250 3l25 u
35.7 {cm)
Figura 5.34 Cur\1a carga versus deslocan1ento l1orizontal do piso
Stiperior do pórtico espacial do Exen1plo 11.
• CAPITULO 6
CONCLUSÕES '
O desenvol1Jimento apresentado nos capítulos anteriores
focalizou a obtenção de técnicas de análise não-linear
computacionalmente eficientes e suficientemente aproKimadas para
o proJeto de estruturas reticuladas de aço. O trabalho reportado
nesta dissertaç;o é resumido neste capitulo e algumas conclusões
sao eKpostas, Sugestões para futuros desenvolvimentos sao
apresentadas.
6.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS
A.pós a apresentaçã-o da motivação desta pesquisa no
capítulo introdutório, reexaminou-se, no Capítulo 2, a formulação
Lagrangeana Atualizada para vigas tridiniensionais considerando
cargas distribuídas em barras. As expressaes analíticas para um
elemento de viga-coluna subparamétrico tridimensional foram '
apresentadas. As matrizes de rigidez deste elemento foram
deri1..radas explicitamente. As matrizE>s para elE>mentos com
liberaçoes de e~tremidade sao obtidas da matriz do elemento
bi-engastado através da condensaç;;;:o estática dos graus de
liberdade, realizada por um processo de eliminação de Gauss.
Discutiu-se também neste capí tt.1!0 a recuperaçao das
125
forças internas e adotou-se um procedimento direto de
determinação das forças internas aHiais.
Alguns métodos de solução para o ~
sistema de equaç:oes
• não-lineares sao revistos no Capítulo 3. Adotou-se como método
de solução O método de Newton-Raphson modificado. as
atualizaç;;es de geometria necessárias ao desen\ro 11-'i menta do
processo incremental e iterativo foram também tratadas.
No Capítulo 4 apresentaram-se vários aspectos da
implementação computacional do programa de análise naa-linear e
de um sistema computacional interativo de visualização e
pós-processamento de resultados. Alguns testes foram realizados
e seus resultados comparados com soluções analíticas e com outros
estudos. Algumas estruturas de· dimens~es reais foram também
analisadas. Os resultados destas análises foram apresentados no
Capítulo 5.
6.2 CONCLUSÕES
A formulação Lagrangeana Atualizada mostrou-se bastante '
adequada à análise de estruturas considerando grandes
deslocamentos. A inclusão de forças distribuídas considerando
sua natureza, quer constante no sistema local quer no sistema
global 1 mostrou-se bastante simples. a imple1nentaçio
computacional desta formulaçao utilizando elementos de viga
tridimensionais subparamétricos e a consideraçao das 1 iberaçÕes
126
de extremidade através da condensação estática dos graus de
liberdade é bastante simples e eficiente.
Em geral! nos exemplos descritos no Capítulo 5, poucas
iterações foram necessárias para atingir-se o equilíbrio e as
soluçoes numéricas aproximam bem a solução analítica ou soluç;;es
que utilizam outras implementações.
Observa-se do estudo de uma viga em balanço com uma
carga transversal aplicada na extremidade que a recuperaçao de
forças ut i 1 izando a recuperaçao da força aKial diretamente é
também eficiente e fornece mell1ores resulta dos que a recuperaçao
de forças convencional.
Atesta-se o bom comportamento das funçoes que
interpolam a geometria e os deslocamentos! resultando em uma boa
representação de vigas sujeitas a grandes variações de geometria.
Isto se det.re ao desacoplamento de teru10s em deslocamentos e
rotaçoes nessas funções e a uma boa atualização da orientação dos
elementos no espaço. O Exemplo 2 reitera estas afirmações uma
vez que a solução analítica envolve as funçÕes seno e cosseno e
as funções de interpolação do elemento fornecem resultados muito
bons mesmo para os deslocamentos finais onde a estrutura
apresenta grandes deslocamentos.
Os Exemplos 3 e 4 apresentam resultados excelentes 1
sendo a solução obtida pelo modelo computacional quase exata. l~o
127
Exemplo 5 novamente constatam-se bons resultados para um quadro
losangular submetido a forças de traçao. Ho estudo deste mesmo
~
quadro para cargas de compressao observa-se uma instabilidade da
solução. Para os parâmetros adotados esta instabilidade é
pequena, no entanto, para outras discretizaç~es testadas, após o
nível de carga p* em torno de 2.3, os resultados divergem.
Constata-se da análise ctoS resultados desta estrutura a
possibilidade de obterem-se as matrizes de rigidez para
estruturas com rótulas através da eliminaçao na matriz do
elemento bi-engastado do grau de liberdade de rotaçao
correspondente,
A avaliação do comportamento de uma viga em balanço
sujeita a um carregamento distribuído é feita através da
observaçao dos resultados do Exemplo ?. ~ consideração da carga
aplicada como constante no sistema local leva a deslocamentos
maiores que a carga constante no sisten1a global. Este
comportamento diferencial de estruturas sujeitas a cargas de
naturezas diversas evidencia a necessidade da consideração desta
natureza no estudo do colapso da estrutura. Para valores de
deslocamentos inferiores aos admitidos nas especificaçoes de
projeto esta diferença nio é significativa e pode ser ignorada . •
Do estudo do con1portamento de uma viga curva sujeita a
um carregamento transversal observa-se que os deslocan1entos
finais concordam com os de Bathe-Bolourchi [ 10]. .A.s ct.1rvas
carga-deslocamento, sao no enté'<nto ligeiramente diferentes,
embora apresentem o mesmo con1portamento. O modelo aqui adotado
120
apresenta um comportamento menos flexível que o de
Bathe-Bolourchi.
O tripé estudado no Exemplo 9 apresenta bons resultados
~ comparados com os de Souza (30) avaliando a capacidade do
programa de analisar estruturas tri-dimensionais. Os exemplos
finais demonstram a eficiência do programa quando aplicado à
análise n;o-linear geométrica de pórticos planos e espaciais de
grandes di1nensoes.
Constata-se, na análise dos exemplos do Capítulo 5, a
simplif icaçio na interpretação dos resultados introduzida pela
utilizaçao
interativo.
de um programa de pós-processamento gráfico
6.3 SUGESTÕES
Para dar continuidade a este traball10 sugere-se que a
análise seja expandida para incluir estudos de comportamentos
pós-flamhagem e consideraçao da nao-linearidade do material .
• Para incluir-se a obtenção de respostas pós-flambagem a adoçao de
métodos de solução de deslocalnentos controlados é necessária. A
investigação de n1étodos de solução que controlem o trabalho das
forças internas como o proposto por Yang [7] é também de grande
interesse. A consideraçio de nia-linearidade do material através
de pontos de plastificaç"io concentrados pode ser realizada
através da introduçio de rótulas na estrutura nos pontos
plastificados.
129
a inclusão de efeitos como os introduzidos pelas
deformações por e isa lhamente, empenamento da seçao, e r lambagem
local da mesa ou alma, na representação do elemento e avaliaçao
~de sua influência na resposta da estrutura é também uma proposta
• para outros desenvolvimentos.
~ avaliação das forças internas através de um processo
que elimine de forma mais eficiente os deslocamentos de corpo
rígido é conveniente. O processo de convergência em cada passo
seria acelerado e os resultados obtidos mais confiáveis. Outra
contribuição para a eficácia do processo seria a adoção de
incrementas de carga variáveis, determinados pelo processo de
análise, que levem em conta o grau de não-linearidade da
estrutura.
' E interessante também fazer estudos com o uso de outras
discretiza9Ões, a fim de avaliar a importância do número de
elementos e dos parâmetros de análise utilizados na eKatidão dos
resulta dos •
•
Cabe analisar estruturas reais e dimensioná-las de '
acordo com os resultados obtidos comparando com dimensionamentos
que incluem os efeitos destas nao linearidades de forma
aproximada. A verif icaçio das normas de projeto com relaçio a
estes resultados é de grande '-'alia.
•
130
A associaçao de um programa computacional de
preprocessamento interativo de estruturas reticuladas ao programa
de análise seria de bastante auxílio na tarefa de entrada de
dados. Mais ainda, a implementação de um sistema de análise
não-linear com interação gráfica seria o ideal. Uma maior
utilizaçao de técnicas interativas adaptativas permitiria um
controle da análise através da monitoração de resultados em tempo
real de computação. Uma análise interativa permitiria ao usuário
intervir durante a análise quando surgisse algum problema,
alterar parâmetros de aná 1 i se e incrementas de carga, e modificar
o algoritmo adotado.
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Departamento de Engenharia Civil PUC-RJ, Setembro 1987.
APj:;lillICE li
, FORMULAS PflRA O ELEMENTO DE VIGA-COLUNA
Este apêndice apresenta as
referenciadas no Capitula 2.
fl.. 1 Funçoes de interpolação 11ermi t ianas
J
2
1
4
1
2
L
a
[ 1 - t1 l
[ 2 - 3t 1 - t ~ l
[ 1 + {1 l
fórmulas e matrizes
hs(ti) = 1
4
138
h, ( t.) = -h, ('. 1
A.2 Matriz de
subparamétrico
= -
= Q)
Hl 1
6 -
Hl 7 = ,
L
8 [
2 ' l 1 + ti - ti - 'i J
inte1~polação de deslocamentos do ele1;1ento
1
2
b
8
3
4
3
4
h
8
1
2 [
h
L
b
L
,,
1
t' [ ~: - 1 ]
[ -1 2
l - 2,i + 3,,
+ t. l
= - 3
4
3
4
"1,10 = 0
"2 3 = 0 •
1
•
h
8
b
4
L
6
b
8
h
L
b
L
139
t. [ 1 - t~ 1
[ 2 ·- 3t1 + s-: J
t.[1-t.J
1
4
140
H2, 10 .: - : t 3 [ 1 + ti ]
= -
H3 5 = -•
"3,6 = 0
1
4
h
4
L
8
L
8
~,[1·~.J
[ 1 - ~1 -
H3 B = 0 '
1 H3
19 =
4
H3 10 = '
h
4
L
8
141
[2•3(',-, l ,,
,, [ 1 + t 1 l
A..3 f-1atriz deforri.ação linear - deslocarnentos nodais, BL
8Ll 1
= -L
8 L2 3 h t1 ,, = -
17
8L3 3 b ,, ,, = -17
8L4 = 0
8L5 1 ~t~ [ Jt, 1 l = -2 L
8L6 1 h ,, [ 3(', 1 l = - -2 L
BL? 1 = L
142
8LS
3 h
ti ·~ 2 = ~
8L9
3 b ç, ·~3 = ~
8Lt0 = 0
8 Lil l b
[ 3Ç 1 + 1 l = __ ç, 2 L
8L!2
l h ç, [ 3Ç 1 + 1 l = -2 L
A.4 Matriz deformação n:io-linear - deslocamentos nadai5 1 BNL
Para simplifica.r a escrita BliL ~stá representa.do por B.
ª1 . = BL . i = 1' 12
" " 8
2,1 = 0
3 1 2
l ª2,2 = ç, - 1 2 L
8 2 3 = 8 2 5 = ª·1 7 = 8 2 9 = 0 • • .. . •
8 2 4 1 h i· = ·• • 2 L
82 B = •
8 3 1 = •
83,3 =
83,4 -
83 9 -•
83,10 =
1
4
-B2,2
83 2 •
3
2
1
2
1
4
3
2
1
2
=
= - 1
4
1
L
143
8 3 6 = 8 3 7 = 8 3 B = 83,12 = 0
• • '
1
• l t, - 1
b e3 L
-2~,-1]
1 [ • l t, - 1 L
b t3 L
+ 2~ l - 1 ]
144
A.'5 Matriz de rigidez lii:lear
·· i:::::~:::i:::::::::i:::::::::i::::::::1:::::: ·:r::::::::i:::::E:i:::::::::c:::::::i:::::::::c:::::::i::::::::: 1
l _________ l _:::_:;:_ l ____ · ____ l ____ : ____ I ____ :__ _ l __ ·:_:;:_ l ___ ,: ____ I ::::_:;:_ l ____ : ____ l ____ : ____ l ____ : ____ l _:_·_:;:_ I l _________ l _________ l _:::_:;:_ l ____ : ____ I _:::_:; :_ l ____ : ____ l ____ : ____ l ____ : ____ I ::::_:;:_ l ____ : ____ l _:::_:;:_ l ____ : ____ I I _________ I _________ l _________ l __ :_:~: __ I ____ :__ _ l ____ : ____ l ____ : ____ l ____ : ____ l ____ : ____ I __ :_:!: __ l ____ : ____ I ____ · ____ I l _________ l _________ l _________ l _________ I _:_:_:; '_ l ____ : ____ l ____ : ____ l ____ : ____ l _:_:_:;:_ l ____ : ____ l _:_:_:;'._ I ____ : ____ I l _________ l _________ l _________ l _________ I _______ _ l _:_:_:;:_ l ____ : ____ l _:::_:;:_ I ____ : ____ l ____ : ____ l ____ : ____ I _' _ ·_:;:_ I l _________ l _________ l _________ / _________ I _______ _ / _________ l __ :_:~: __ / ____ : ____ I ____ : ____ / ____ : ____ / ____ : ____ / ____ : ____ / / _________ l ___ ,_·::'.l:::: _____ l _________ I _______ _ l _________ l _________ l _:::_:i:_ I _: __ : ____ l ____ : ____ l ____ : ____ l _:::_:;:_ I l _________ / _______ _J _________ / _________ / _______ _ l _________ I _________ / _________ , _'.'.'._:;:J ____ : __ __1 _:_:_:;:_ / __ --·_ ---'
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.. , l _________ l__ _______ l _________ l _________ I _______ _ l _________ l _________ l _________ l _________ l _________ l _________ l _:_:_:;:_ I ... '
145
A.6a Matriz de rigidez geométrica correspondente às cargas nodais
i:::;'.::::i:::;'.::::i:::;'.::::i:::::::::i::~;:. :::r:~'.:::::i:::;;::::i:::;'.::::i::=;'.::::i:::::::::i:::;;;:::i:::;'.'.::_1 l _________ l __ ::'.'.: __ l ____ : ____ I ::~:_:_;: I ____ : ____ l __ ::_·: __ l __ :;:: ___ l _:::'.:: __ l ____ : ____ I _:~:_:_;: l ____ : ____ l __ :: _:: __ I l _________ I _________ I __ ::~:'. __ I :'.~!_:_~'. I _:::_: ' __ l ____ · ____ l __ :~:: ___ l ____ : ____ I _:: '_:, _ I :'.'.:_:} I _ :::_::_. I ____ · ____ I l _________ l _________ l _________ l _:;'.:_::_ I _:::_: '. __ l _:::_'.'. __ l ____ : ____ 1_:1:_:_;!1 _:1:_:_;: I _::;'.:_:: l __ ::_'.'. __ l __ ::_'.~ __ I I _________ I _________ l _________ I _________ l _::_::_'._ l ____ • ____ E;:_:_:: l ____ • ____ l __ ::_:: __ l __ ::_~'. __ l _::_::_·_ 1 ____ : ____ \ I _________ I _________ l _________ l _________ I _________ l _ ::_:,_:_ I ::'.!_:_·: l _::·_:: __ l ____ : ____ l __ ::_'.'. __ l ___ :: ____ l _:, _::_·_ 1 I _________ l _________ l _________ l _________ I _________ l _________ l __ :~:: ___ l __ :~:: ___ l __ :~:: ___ l ____ : ____ I __ :~::: __ I __ :~!!: __ I !__ _______ l _____ :::'.\:::: _____ l _________ l _________ l _________ l _________ l ____ ;: ___ l ____ : ____ I _:~:_:_~: I ____ : ____ l _:·:_:: __ I
l _________ l _________ l _________ l _________ l _________ l _________ l _________ l _________ l __ ::'.:'. __ 1_::~::;~!1-=;~.;~- -1 ·=;:: ::·-1 I _________ I _________ l _________ I _________ I ______ . __ I _________ I _________ I _________ I _________ _ _'.______ _ ____ ''.__ _ ____ '.'. __ l _________ l _________ l _________ l _________ I _________ l _________ l _________ l _________ I _________ l _________ I _::.':_ ·_ 1 ____ : ____ I l_ ________ l _________ l _________ l _________ I _________ l _________ l _________ l _________ l _________ l _________ l _________ l _::_::_:_ J
' • 12• .. -~• • • 1 .. '" • _! __
1 ~ to 1 • '" •• ! ..
4 w 10
146
A.6b Matriz de rigide!z geornétrica correspondente às cargas
distribuídas
·1 ··::;:··--1 ··::;:---,-·:·;:··--1 ··--:-----1- ;:·::·:·1 ·:;:·::·:-,· -'::;:--T':•;:--T'::;:--T---:---T:::·:;:·r::·::;· 1 , 2 I _ 2 _____ _________ -·~~----- --~~----- ---~----- ---~----- ---~----- _________ ------~~- ------~--
1---------1·-;·-·:--I- -- 1 • 1 1 , 1- .. ' _, .. 1 1-· 1 ' ' --------- ___ :_~~-- ____ : ____ -~~-::_~ _____ : ______ ::_~~~- --~~~~ ___ ! ___ :_~~-- ____ : ____ -~~-::_~ _____ : ____ !_::_::.~.! L _______ l _________ l __ ::_~'. __ l _::_::_:_ I _: ::_:i:_ I ____ • __ ,_ l _ ::~!: ___ l ____ : ____ l _::·-~! __ l _'.;_::_:_ I :::_:: .:_ I ____ :_ -,-j l _________ 1__ _______ l _________ 1 _ ;:_::_i_ I _: ·:_:;;_ l _:·:_:;'._ l ____ · ____ l _'.;_::_:_ l _!'._::_'_ I :_'.'._::_; l __ :: _:~'-1 __ ::_:~'.-l _________ l _________ l _________ l _________ I _::_::_:: I ____ · ____ I _ -~-::_ '_ I ____ : ____ I __ ~_::_' _ l __ :·_:~;_ 1 _: :: _:~;_ 1 ____ · ____ I L _______ l _________ l _________ l _________ l _________ I _::_::_:: l _:'._::_:_ l _:'._::_:_ l ____ : ____ l __ ::_:'.~_ l ____ : ____ l _:::_:'.~_ I l _________ l _________ J _________ l _________ l _________ I _________ l __ :~:: ___ l __ :~'.: ___ l __ :;'.: ___ J ____ : ____ l __ ::_ :~'._ l _:::_:1'._ I l _________ l _____ ::::l:::: _____ l _________ I _________ I _________ l _________ l __ ::_;: __ l ____ : ____ l _~'._::_:_ l ____ : ____ I ::· _ :: _:_ I l _________ l _________ I _________ l _________ I _________ I _________ I _________ I _________ l __ :·_;'. __ I _;,_ ·:_'_ l _ '. _::.:_ I ____ : __ ,.1 l _________ l _________ l _________ J _________ J _________ l _________ l _________ l__ _____ ~_ l _________ l _~:_::_~_ l _:::_:i'._ l _:::_:~'._ I l _________ l _________ l _________ l _________ l__ _______ l _________ l _________ l _________ l _________ l _____ , ___ I _::_::_:: l ____ · ____ I !__ _______ l _________ l _________ I _________ I _________ I _________ l _________ I _________ I _________ l _________ I _________ I _::_ ::_:: 1
e~ .... ! .. • w 10
147
IL7 Determinação das forças nadais equi1.1alentes às cargas
distribuídas.
O vetor de forças nodais equivalentes as cargas
dl.str1·bu1'das i· d b t+ótRD ap 1ca as em u111a arra 1 1 co1n suas componentes
em relação ao sistema local de eixos, é dado por:
e
Logo
t+6t q
t+6tRD = ó t+otº l H t+6tq t+õtdL
t+ótL
Considera-se, neste trabalho, cargas
(ll..l)
(11.2)
(11.3)
uniformentente
distribuídas. Suas cc·mponentes em relação aos eixos locais
x, y, z saa q , K ~y' q l"espectivamente. z Resolvendo-se a equaçao
(fl.. 3) abtêin-se as seguintes expressoes para as forças nodais
equivalentes:
1
2
148
R2 1
L = qy 2
R, 1 L = qz
2
Rs 1 L' = qz 12
R, 1 L' = qy 12
R, 1 L = QK 2
R, 1 L = qy 2
R, 1 L = qz 2
R., 1 L:~ = qz 12
R., 1 L~: = qy 12
' ' ' "UHA nETODOLOGIA PARA A ANALISE NÃO-LINEAR GEOnETRICA DE PORTICOS
ESPACIAIS con LIBERAÇÕES IDE EXTREftlDADE DE BARRA E CARGAS
' DISTRIBUIDAS",
nESQUITA ROEHL·
Dissertação de Mestrado apresentada por DEAHE DE
El'I 18 de . s,etembro de 1987 ao Departamento de
Engenharia Ci,riJ da PUC/RJ, e aprovada pela Comissão Julgadora,
formada pelos seguintes prof1~ssores:
rof.l'lar elo Gattass (Orientador)
Depto. de Eng1~nharia Civil - PUC/RJ
Prof. Ra11l Rosa.se Silva
Depto. de Engt~nharia Civil - PUC/RJ
- COPPE/RJ
Andrade
Depto. de Eng1~nharia Civil - PUC/RJ
Visto e permitidi.'. a impressa!)
Rio de Janeiro, .J71 .3 / 01
Profa. Jlelita Koiler
Coordenildora dos Programas de Pós-Graduação
' ' do CEHTllO TECNICO CIENTIFICO
