de eudoxo a dedekind

0

NOTAS

HISTÓRICAS

DO

DESENVOLVIMENTO

DO

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

luiz roberto rosa

1

De Eudoxo à Dedekind

“Todas as grandes tentativas tendentes a fundamentar uma teoria do

conhecimento derivam da busca da certeza do saber humano. Este

último interrogativo, por sua vez, procede do desejo de um

conhecimento que apresente foros de certeza absoluta.” [Schlick

(1988), p.65]

Por onde se vai

Aqui traçarei alguns pontos históricos da construção do pensamento matemático

relacionados com o desenvolvimento de conceitos próprios do cálculo diferencial e

integral, do cálculo infinitesimal e da análise matemática. O intuito desta exposição é

levantar idéias e formas de pensamentos registradas por algumas leituras de fontes

históricas sobre a construção do saber matemático.

Em rápidas linhas

O plano: Iniciar pela matemática grega, ao redor de 300a.C., tendo como

referencial os Elementos de Euclides, entre Zenon de Eléia e Arquimedes. Apesar de ser

esta a ordem histórica, aqui será invertida a ordem de exposição. Inicio com uma passagem

dos Elementos, em seguida os Paradoxos de Zenon e arremato com a quadratura do círculo

por Arquimedes. Então, rumarei para os séculos XVI, XVII e XVIII do continente europeu

tendo como referenciais os trabalhos e as idéias de: Viète, Fermat, Barrow, Descartes,

Cavalieri, Newton, Leibniz, entre outros, passando antes por Thomas Bradwardine e

Nicole de Oresme (séculos XIII e XIV), para aportar no século XIX com Bolzano, Cauchy,

Weierstrass, Heine e Dedekind e alguns outros.

Estas passagens históricas vão mostrar um panorama de como a comunidade

matemática focava os pontos relevantes na construção das ferramentas da rainha das

ciências, fundando-os num corpo que se ambicionava único, sem ambigüidades, sem falsos

silogismos. Um monólito do pensamento humano. A grande obra. O mesmo ideal que

aguçou a Paul Erdös a idealizar O Livro, que acabou sendo escrito por Martins Aigner e

2

Günter M. Ziegler com o título: Proofs from the Book (que no Brasil foi editado com o

título: As provas estão n’O LIVRO).

Elementos de Euclides

Desta obra será realçado alguns pontos, que dizem diretamente respeito, ao

desenvolvimento do Cálculo para se traçar um vínculo estreito entre os conceitos deste

com a tradição geométrica da Grécia antiga.

Cabe ressaltar uma célebre frase atribuída à escola pitagórica: “Tudo é número”.

Neste tocante os gregos antigos classificavam seus estudos e trabalhos com números em

dois grupos: um, a logística, esta dizia respeito a tarefa computacional envolvendo

números, mais voltada à aplicação cotidiana dos números; outro, a aritmética, esta se

dedicava as relações abstratas envolvendo números, o que poderíamos dizer ser esta aquela

que dava um tratamento teórico àquilo que se pode denominar número.

De início depara-se com uma situação que se tornaria, por longo tempo, o que se

poderia chamar de calcanhar de Aquiles, no tocante a teoria dos números, os ditos – hoje –

números irracionais.

Um dos ícones da matemática é o chamado teorema de Pitágoras – ao que parece já

era de conhecimento dos babilônios [Boyer (1987)] que por sua vez possuíam métodos

algorítmicos para resolver (o que para nós se denominaria) equações. Outro símbolo

matemático instigante é a secção áurea. Estes dois emblemas matemáticos levaram Kepler

a fazer a seguinte afirmação:

“A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras;

o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O

primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo

podemos chamar de jóia preciosa” [Boyer (1987), p.37]

Mas é justamente na secção áurea que a matemática grega antiga vai se deparar com

o então inefável para o seu paradigma numérico: aquele que originou o termo

incomensurável.

Construindo a secção áurea.

Dado um segmento AB:

Marca-se, entre AB

proporcionalidade: 0 1 1 1 0: :: :AB AB AB B B

1B em média e extrema razão, sendo o segmento

medida áurea.

E pode-se continuar o processo marcando entre A e B

1 2 2 2 1: :: :AB AB AB B B; bem como entre A e B

2 3 3 3 2: :: :AB AB AB B B. No enésimo ponto marcado teremos:

Obtendo assim uma seqüencia de segmentos áureos que vai gerar uma seqüência

( )n n NAB ∈ de “medidas áureas”. E indefinidamente pode

menos em nossas mentes.

O primeiro segmento: Considerando que

1AB , x . Conseqüentemente

0 1 1 1 0: :: :AB AB AB B B, o que conduz a:

2 2x r rx= − . E isolando

modernas, tem-se revelado a irracionalidade de

Construindo a secção áurea.

Dado um segmento AB:

0AB um ponto B1, seja 1 1 0AB B B> . Se nesta divisão verificar a

0 1 1 1 0: :: :AB AB AB B B, diz-se que o segmento AB

em média e extrema razão, sendo o segmento 1AB o segmento áureo e a medida AB

se continuar o processo marcando entre A e B1 um ponto B

; bem como entre A e B2 um ponto B

. No enésimo ponto marcado teremos: 1 1: :: :n n n n nAB AB AB B B− −


de “medidas áureas”. E indefinidamente pode-se prolongar o processo, pelos

O primeiro segmento: Considerando que 0AB tenha medida r (racional positivo) e

. Conseqüentemente 1 0B B , r x− . Mas, por construção, tem

, o que conduz a: r x

x r x=

−, que inexoravelmente nos dá:

. E isolando x , tem-se: 5 1

2x r

−=

, com 0x > . E, nestas notações

se revelado a irracionalidade de x para r racional. O que se pode

3

. Se nesta divisão verificar a

0AB fica dividido por

o segmento áureo e a medida AB1, a

um ponto B2 na condição:

um ponto B3 na condição:

1 1: :: :n n n n nAB AB AB B B− − .


se prolongar o processo, pelos

r (racional positivo) e

. Mas, por construção, tem-se:

, que inexoravelmente nos dá:

. E, nestas notações

racional. O que se pode

4

demonstrar por absurdo: Seja a b c= ⋅ . Se b é irracional e cé racional (não nulo) então a

é irracional. Demonstração por absurdo : Seja a racional. Como a b c= ⋅ , então a

bc

= o

que nos leva a dizer que b é racional - Absurdo! Logo a é irracional. c.q.d. Claro, que se

está aqui considerando resultados conhecidos na Álgebra, como o do corpo racional.

Se chamar 1AB de 1x , 2AB de 2x e de modo geral, n nAB x= ; obteremos:

5 1

2

n

nx r −= ⋅

, ainda um número irracional.

A irracionalidade vai se manifestar também ao se aplicar o teorema de Pitágoras

para determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado medindo r (racional).

Considerando a diagonal como tendo medida d , obtém: 2d r= , também irracional.

Nas duas situações, de cara, os gregos antigos se depararam com a insuficiência dos

números racionais para se medir segmentos de modo geral.

Pode-se conjecturar que todo desenvolvimento geométrico, através das construções

com régua e compasso, dos gregos de antanho tenha ganho existência em virtude da

impossibilidade de se obter uma medida racional para situações semelhantes as citadas

acima. Isso agregado, principalmente, ao fato do rigor no trato matemático que se auto

impuseram os matemáticos gregos.

O mais notável é que a civilização Ocidental se fez herdeira da cultura helênica, e,

no que diz respeito a matemática, este rigor atravessou os séculos como um grande

paradigma, um monolítico referencial na construção do pensamento matemático. Bem é

verdade que muitos matemáticos ao longo da história contornaram tal monólito, e, para

curiosidade de muitos, obtendo resultado que vieram a se confirmar, em uma estrutura

axiomatizada. Outros ainda não demonstrados passaram para o contexto teórico como

conjecturas. Talvez a mais famosa seja a de Goldbach (de 1742). E na medida do possível

alguns abnegados passam um bom tempo de suas vidas – se não toda ela – na busca de uma

resposta satisfatória aos moldes do formalismo vigente.

Estes moldes não advêm de uma mera crença:

“Na maior parte das ciências uma geração põe abaixo o que outra

construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na

5

matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga

estrutura.”(Hermann Hankel – 1839-1873) [Boyer (1987), p.404]

Analisando a história da matemática ocidental vê-se que as coisas não transcorrem

nesta suave evolução contígua como sugere Hankel, pois no próprio século XIX muitos

conceitos matemáticos foram revistos para se poder consolidar um caminho viável em

conformidade com um todo matemático. Mas não se pode deixar de citar o pensamento

intuicionista que parte por um caminho distinto de se construir os entes matemáticos,

quando comparado com o formalismo consolidado, entre outros, por David Hilbert. Para os

intuicionistas a demonstração indicada no início deste – a demonstração por absurdo – não

é aceitável. Nisto várias das demonstrações matemáticas tornam-se inválidas sob o olhar

dos seguidores de Luitzen Brouwer (1881 – 1961).

Voltando a academia matemática grega e sua estrutura axiomática compilada e

elaborada, por volta de 300a.C., por Euclides em seus Elementos. Esta obra foi alicerçada

nos trabalhos de Eudoxo (408-355 a.C.), com relação a teoria das proporções por ele

desenvolvida, para abarcar os ditos incomensuráveis, os irracionais. Bem como o método

da exaustão a ele é atribuído por Arquimedes, que muito vai empregá-lo. A axiomática dos

Elementos possuía e possui uma forma geométrica; grandezas são representadas por

segmentos de linhas retas, planos e regiões limitadas por curvas, retas e superfícies planas

e curvas. Nestas formas foram incorporadas idéias sobre números.

No Livro V dos Elementos, lê-se nas seis primeiras definições (segundo Aníbal

Faro, da Edições Cultura – SP, 1944, p.119):

I

Uma grandeza se diz parte de outra grandeza, a menor da

maior, quando a menor mede a maior.

II

A grandeza maior se diz múltipla, ou multíplice da menor,

quando a menor mede a maior.

III

A razão entre duas grandezas, que são do mesmo gênero, é um

respeito recíproco de uma para outra, enquanto uma é maior, ou

menor do que a outra, ou igual a ela.

IV

As grandezas têm entre si razão, quando a grandeza menor,

tomada certo número de vezes, pode vencer a grandeza maior.

6

V

As grandezas têm entre si a mesma razão, a primeira para a

segunda, e a terceira para a quarta, quando umas grandezas,

quaisquer que sejam, eqüimultíplices da primeira e da terceira a

respeito de outras, quaisquer que sejam, eqüimultíplices da segunda e

da quarta, são ou juntamente maiores, ou juntamente iguais, ou

juntamente menores.

VI

As grandezas, que têm entre si a mesma razão, se chamam

proporcionais.

Este é o caminho tomado por Eudoxo e seguido por Euclides para se construir, o

que se poderia chamar de, uma álgebra para os comensuráveis e para os incomensuráveis.

Decorre que Aristóteles, diz:

“Se adicionarmos continuamente a uma quantidade finita,

excederemos qualquer grandeza dada e, do mesmo modo, se

subtrairmos continuamente dela chegaremos a alguma coisa menor do

que ela.” [Baron (1985), I, p.27]

No primeiro caso: dadas duas grandezas a e b (dois segmentos de reta), com a b>

, é possível fazermos: ...b b b+ + + ( n parcelas) de modo que ...b b b nb a+ + + = > . No

segundo caso: é possível encontrarmos: ...b b b+ + + ( m parcelas) de modo que

( )...a b b b a mb b− + + + = − < .

Tem-se com isso o que chamamos de princípio arquimediano, de fundamental

importância para se discutir a construção dos reais e dos infinitesimais. E procede

diretamente da definição IV.

E a definição V, pode ser ilustrada da seguinte forma:

Seja :x y (primeira e segunda grandezas) e :w z (terceira e quarta grandezas).

Para todo n e m (grandezas quaisquer);

Se nx >=< nw (eqüimultíplices da primeira e da terceira)

então nw >=< nz (eqüimultíplices da segunda e da quarta).

Temos aqui uma questão de ordem e a lei da tricotomia. Segundo Boyer (1987):

7

“Na verdade a definição não esta longe das definições de número real

dadas no século dezenove, pois divide a coleção dos números racionais

m n em duas classes, conforme ma nb≤ ou ma nb> . Porque existem

infinitos números racionais, os gregos, por implicação, se defrontavam

com o conceito que desejavam evitar, o de conjunto infinito; mas pelo

menos era possível agora dar demonstrações satisfatórias dos teoremas

sobre proporções.” [Boyer (1987), p.66-7]

Como veremos adiante, Dedekind vai construir seus cortes, à semelhança do que

foi dito acima, bem como uma aritmética dos seus “novos” entes matemáticos.

Zenon de Eléia

Um marco, na arte de se perturbar o status quo da matemática, são os Paradoxos de

Zenon.

A escola pitagórica havia admitido que o espaço e o tempo são constituídos por

pontos e instantes. Intuitivamente pode-se dizer que o tempo e o espaço possuem uma

propriedade que é a continuidade. Zenon de Eléia (c. 450a.C.) criou quatro histórias, que

conduziram o raciocínio vigente na matemática (à sua época) a uma cilada aos referenciais

pitagóricos. Os ditos Paradoxos de Zenon, que são: (1) a Dicotomia, (2) o Aquiles, (3) a

Flecha e (4) o Estádio.

Descreverei aqui duas delas, segundo Howard Eves:

“A Dicotomia: Se um segmento de reta pode ser subdividido

indefinidamente, então o movimento é impossível pois, para percorrê-

lo, é preciso antes alcançar seu ponto médio, antes ainda alcançar o

ponto que estabelece a marca de um quarto do segmento, a assim por

diante, ad infinitum. Segue-se, então, que o movimento jamais

começará.

A Flecha: Se o tempo é formado de instantes atômicos

indivisíveis, então uma flecha em movimento está sempre parada,

posto que em cada instante ela está numa posição fixa. Sendo isso

verdadeiro em cada instante, segue-se que a flecha jamais se move.

8

Já se deram muitas explicações para os paradoxos de Zeno.

Por outro lado, não é difícil mostrar que eles desafiam as seguintes

crenças da intuição comum: de que a soma de um número infinito de

quantidades positivas é infinitamente grande, mesmo que cada uma

delas seja extremamente pequena

1

i

i

ε∞

=

= ∞ ∑ e de que a soma de

um número finito ou infinito de quantidade de dimensão zero é zero

( )0 0 e 0 0n× = ∞× = . Qualquer que tenha sido a motivação dos

paradoxos, o fato é que eles excluíram os infinitésimos da geometria

demonstrativa grega.” [Eves (1997), p.418]

Cabe chamar a atenção para as seguintes questões: Os paradoxos de Zenon e as

divisões áureas têm uma estreita relação no que diz respeito a medidas infinitamente

pequenas e a questão do contínuo. Estas questões estarão permanentemente presente em

neste trabalho.

Arquimedes1

Dos problemas célebres da antiguidade, o da quadratura do círculo muito interessa,

dado que permite aproximar o desenvolvimento da integração, realizada no tempo de

Newton e Leibniz, com a tradição matemática grega, que aqui será representada por

Arquimedes.

A demonstração da fórmula que calcula a área do círculo que se seguirá, deve-se a

Arquimedes, que empregou o método da exaustão (de Eudoxo, segundo o próprio

Arquimedes) e a dupla redução ao absurdo. O primeiro esta presente na forma com que se

aproxima da circunferência por polígonos convexos regulares e o segundo na negação de

duas de três possibilidades construídas na hipótese.

Primeiro Método de Exaustão de Eudoxo:

“Se de uma grandeza qualquer subtrairmos uma parte não menor que

sua metade e do resto novamente subtrai-se não menos que a metade e

se esse processo de subtração é continuado, finalmente restará uma

1 Deste ponto até Leibniz a referência bibliográfica principal será Baron (1985).

9

grandeza menor que qualquer grandeza de mesma espécie.” [Boyer

(1987), p. 67]

Notar que há aqui uma proximidade com o conceito de limite.

Agora vamos ao cáculo da área do círculo por Arquimedes:

“A área de qualquer círculo é igual a área de um triângulo retângulo,

no qual um dos lados, partindo do vértice cujo ângulo é reto, é igual

ao raio, e o outro é igual à circunferência do círculo.” [Baron (1985),

I, p.34]

Demonstração, segundo Baron, com alguns adendos meus em itálico:

“Seja ABCD o círculo, e K o triângulo em questão.

Então, se o círculo não for igual a K, ele deve ser maior ou menor.

Suponhamos que o círculo seja maior do que K.

Inscreva um quadrado ABCD, divida AB, BC, CD, DA ao meio, depois

(se necessário) suas metades e assim por diante, até que os lados do

polígono inscrito, cujos pontos angulares são os pontos de divisão,

contenham segmentos cuja soma seja menor do que o excesso da área

do círculo, menos K.

[Seja iS a referida soma e oA a área do círculo, então: i oS A K< − (1). Por

construção, temos: i p oS A A+ = (2)].

Assim a área do polígono é maior do que K.

[De (2) em (1): i i pS S A K< + − , ou seja, pK A< ou pA K> (3)].

Seja AE qualquer lado dele, e ON a perpendicular baixada sobre AE do

centro O.

Então, ON é menor do que o raio do círculo, portanto menor do que

um dos lados adjacente ao ângulo reto de K. Também o perímetro do

polígono é menor do que a circunferência do círculo, isto é, menor do

que o outro lado adjacente ao ângulo reto de K.

Assim, a área do polígono é menor do que K. Isto é inconsistente com

a hipótese.

10

[Se dividirmos o polígono em triângulo isósceles cujas bases são congruentes a AE

e cada um deles com altura ON (conforme descrito), fazendo t o perímetro do polígono,

então 2p

ON tA

⋅= . Dado que K r c= ⋅ ( r , raio da circunferência, e c , o perímetro da

mesma), e como (por construção) e ON r t c< < , então pA K< (4). De (3) e (4), tem-se

um absurdo].

Assim a área do círculo não pode ser maior do que K.

Se possível seja o círculo menor do que K.

Circunscreva um quadrado, e trace dois lados adjacentes, tocando o

círculo nos pontos E e H encontrando-se em T. Divida os arcos ao

meio, entre os pontos adjacentes de contado, e tome as tangentes aos

pontos da divisão.

Seja A o ponto médio do arco EH e FAG a tangente em A.

Então, o ângulo TAG é um ângulo reto.

Logo TG GA> e TG AF> .

Segue que o triângulo FTG é menor do que a metade da área TEAH.

Do mesmo modo, se o arco AH é dividido ao meio e a tangente ao

ponto da divisão é tomada, ela cortará mais da metade da área de

GAH.

Continuando assim o processo, chegamos finalmente a um polígono

circunscrito cujos espaços entre ele e o círculo, somados, serão

menores do que o excesso entre K e a área do círculo.

[Seja eS a referida soma e oA a área do círculo, então: e oS K A< − (5). Por

construção, temos: e o pS A A+ = (6)].

Logo, a área do polígono será menor do que K.

[De (6) em (5): p o oA A K A− < − , ou seja, pA K< (7)].

Como a perpendicular de O sobre qualquer lado do polígono é igual ao

raio do círculo, enquanto o perímetro do polígono é maior do que a

11

circunferência do círculo, segue-se que a área do polígono é maior do

que o triângulo K, o que é impossível.

[Se dividirmos o polígono em triângulo isósceles cujas bases são congruentes a HI

(um dos lados desse polígono) e cada um deles com altura OB (B ponto médio de HI ),

fazendo t o perímetro do polígono, então 2p

OB tA

⋅= . Dado que K r c= ⋅ ( r , raio da

circunferência, e c , o perímetro da mesma), e como (por construção) e OB r t c= > ,

então pA K> (8). De (7) e (8), tem-se um absurdo].

Portanto, a área do círculo não é menor do que K.

Como a área do círculo não é maior e nem menor do que K, só pode

ser igual a K. [Baron (1985),I, p.35]

O que resta saber é como foi que Arquimedes chegou na comparação da área do

círculo com a área de um triângulo retângulo com catetos medindo conforme condições

mencionadas no teorema demonstrado. Ao que parece foi através de um forte senso

intuitivo aliado a algum método empírico. Assim pode-se dizer que não é de todo razoável

banir da matemática a intuição e o empirismo. O que não é possível, segundo o rigor em

vigor, é se bastar somente neles. Mas, a história da matemática aponta, com grande

freqüência, que a junção da estrutura axiomática, e o seu rigor demonstrativo, com a

intuição, bem como com certos empirismos, é extremamente frutífero para a construção de

uma linguagem que exprime um pensamento sustentado numa suficiência lógica.

“Assim, a lógica e a intuição têm cada uma seu papel necessário.

Ambas são indispensáveis. A lógica, a única que pode dar a certeza, é

o instrumento da demonstração: a intuição é o instrumento da

invenção.” [Poincaré (1998), p.22]

O método empregado por Arquimedes na determinação de áreas e volumes de

modo geral sempre recorrem a estrutura axiomática, e as demonstrações são rigorosas. Fato

este que será, sempre uma referência, um enorme paradigma para os matemáticos da época

de Newton e Leibniz, entre outros, ao justificar os resultados obtidos como se verá em

alguns exemplos.

Nos trabalhos de Arquimedes, com quadratura e cubatura,

recorre às séries. E as obtém por um método puramente geométrico. O exemplo que segue,

é mostrado por Baron (1985), I, p.41.

Seja 1 2 3, , , ... ,a a a a

Com isso tem-se: 2 12a a=

em progressão geométrica.

É fácil perceber que:

( 1 2 32 + ... + 1a a a a n a+ + = +

decorre que:

1 2 3+ ... + n na a a a a+ + =

Logo: 1 2 3 1 1 2 3a a a a a a a a a+ + < < + +

Esta desigualdade, Arquimedes empregou para provar o volume de um

(um sólido obtido por rotação de uma curva parabólica em torno de seu eixo).

Vale uma nota: Suspeita

feita por este genial matemático, já era de conhecimentos dos babilônios antigos, que

possuíam conhecimentos das fórmulas:

Nos trabalhos de Arquimedes, com quadratura e cubatura, freqüentemente

às séries. E as obtém por um método puramente geométrico. O exemplo que segue,

é mostrado por Baron (1985), I, p.41.

, , , ... , na a a a um conjunto de grandezas, onde 2 1 3 2 1a a a a a− = − = =

2 1a a , 3 13a a= e assim sucessivamente. Logo tem

e:

) ( )2 + ... + 1n na a a a n a+ + = + e ( 1 2 3 12 + ... + 1n na a a a n a−+ + = −

( )1

2n nn

a a a a a+

+ + = e 1 2 3 1+ ... + n na a a a a−+ + =

1 2 3 1 1 2 3+ ... + + ... +2n n nn

a a a a a a a a a−+ + < < + +

Esta desigualdade, Arquimedes empregou para provar o volume de um


Vale uma nota: Suspeita-se que alguns empregos, do que se chamaria de séries,


cimentos das fórmulas:

12

freqüentemente ele

às séries. E as obtém por um método puramente geométrico. O exemplo que segue,

2 1 3 2 1...a a a a a− = − = = .

e assim sucessivamente. Logo tem-se uma seqüência

) ( )1 2 3 12 + ... + 1n na a a a n a−+ + = −

( )1

2n nn

a a a a a−

+ + = .

Esta desigualdade, Arquimedes empregou para provar o volume de um conóide


se que alguns empregos, do que se chamaria de séries,


13

( )

0

1

2

n

i

n ni

=

+=∑ ,

1

0

1

1

nn

i

i

rr

r

+

=

−=−∑ e

( ) ( )2

0

1 2 1

6

n

i

n n ni

=

+ +=∑ .

Thomas Bradwardine e Nicole Oresme

Na idade média, muitas obras filosóficas, de física e de matemática foram

desenvolvidas por escolástico. No caso da matemática, dá-se continuidade à busca e

emprego do rigor vindo da Grécia antiga, tendo os Elementos de Euclides como referência.

Mas neste período, já se nota uma influência dos trabalhos elaborados por pensadores

árabes, em especial através do livro Liber abaci, de Fibonacci ou Leonardo de Pisa (1180 –

1250), um tratado sobre números e processos algorítmicos com emprego da numeração

indo-arábico. Apesar de herdeira de uma tradição hindu-arábica não havia nesta obra um

vínculo entre aritmética e geometria [Boyer (1987), p. 185]. Boyer chama atenção para o

fato de, já no século XIII, Fibonacci empregava a barra horizontal para representar frações,

mas o uso comum desta notação só se efetivou no século XVI. Aqui se tem um exemplo da

necessidade de se inventar notações e novos símbolos para representar entes matemáticos,

e concomitantemente dá-se um processo de firmemente associar significados a eles.

Neste ponto da história da matemática, creio que se deva ter uma maior atenção aos

trabalhos dos pensadores e sábios do mundo árabe. Mas isto não será aqui objeto de

análise, somente faço uma observação. Uma tensão mais forte entre a cultura árabe e a

cultura européia se com o advento das Cruzadas.

“Elas [as Cruzadas] ajudaram a despertar a Europa de seu sono feudal,

espalhando sacerdotes, guerreiros, trabalhadores e uma crescente

classe de comerciantes por todo o continente; intensificaram a procura

de mercadorias estrangeiras; arrebataram a rota comercial entre o

Oriente e o Ocidente, tal como antes.” [Huberman (1979), p.30]

Os registros históricos apontam, para este período europeu, um fato interessante: as

vilas e as cidades cresceram tão rapidamente que, por volta do século XIV, em algumas

regiões, metade da população havia sido deslocada para as atividades comerciais e

artesanais. É neste contexto que surge o Liber abaci de Fibonacci, cujo “pai, natural de

Pisa, tinha negócios no norte da África e o filho estudou com um professor muçulmano e

14

viajou pelo Egito, Síria e Grécia.” Assim, não é de se estranhar que “Fibonacci conhecesse

a fundo os métodos algébricos árabes”. [Boyer (1987), p. 185].

Este registro, sobre o Liber abaci e da inserção dos trabalhos árabes na Europa2,

considero relevante, pois é um passo importante para o processo de algebrização, com uma

forma própria, juntando-se a geometria que esta se construindo no Ocidente. Nesta direção

as idéias de Nicolau Oresme é um marco importante, bem como é relevante o pensamento

de Thomas Bradwardine, conforme se mostrará.

Segundo Boyer (1987), Thomas Brawardine, 1290(?) – 1349, foi “um filósofo,

teólogo e matemático que subiu à posição de Arcebispo de Canterbury” (p.191), e Nicole

Oresme, 1323(?) – 1382, um “sábio parisiense que se tornou Bispo de Lisieux” (p.191).

“O espírito filosófico de toda a obra de Bradwardine aparece mais

claramente na Geometria speculativa e no Tractatus de continuo, em

que ele dizia que as grandezas contínuas, embora contendo um número

infinito de indivisíveis, não são formados desses átomos matemáticos,

mas são compostas de um número infinito de contínuos de mesma

espécie. Diz-se, às vezes, que suas idéias se assemelham às dos

modernos intuicionistas; seja como for, as especulações medievais

sobre o continuum, populares entre os pensadores escolásticos como S.

Tomás de Aquino, mais tarde influenciaram o infinito cantoriano do

século dezenove.” [Boyer (1987), p.191]

Os registros alinhados até o momento traz razão, em linhas gerais, aos dizeres de

Hankel , citado anteriormente. Os matemáticos, de modo geral, constroem uma ciência

sempre com o olho firme no passado. No entanto, há pontos que eles discordam, como se

perceberá na obra de referência de Cavalieri – para citar um. Mas, antes de se chegar à

Cavalieri é importante fazer referência à obra: O Tractatus de latitudinibus formarum, cujo

registro deve-se a Nicole Oresme ou a algum estudante seu. Esta obra reimpressa pelo

menos quatro vezes entre 1482 e 1515, constituía-se de um resumo da obra maior:

Tractatus de figuratione potentiarum et mensurarum, segundo Boyer (1987, p.193).

“Aqui Oresme chegou a sugerir uma extensão a três dimensões de sua

‘latitude de formas’ em que uma função de duas variáveis

independentes era representada como um volume formado de todas as

ordenadas erigidas segundo uma regra, dada em pontos numa parte do

2 Gilli Martins em sua tese (UNESP-Rio Claro) aprofunda nesta questão.

15

plano de referência. Encontramos até uma insinuação de uma

geometria de quatro dimensões quando Oresme fala em representar a

intensidade de uma forma para cada ponto de um corpo ou volume de

referência. O que ele realmente precisava ter era, naturalmente, uma

geometria algébrica em vez da representação pictorial que tinha em

mente; mas a fraqueza técnica prejudicou a Europa durante todo o

período medieval.[Boyer (1987), p.193-4]

Três pontos a salientar dos dizeres acima: primeiro, o claro desenvolvimento de

representações de curvas no plano (e no espaço) do que se passaria a chamar cartesiana;

segundo, o quanto a escrita e o pensamento matemático vai se conduzindo para uma

álgebra formalizada; terceiro, é curioso este pensamento de Boyer, prejudicou a Europa. É

claro, que esta frase pode ser compreendida no sentido de que se alongou o caminho para a

construção matemática que viria a se consolidar pelos idos da segunda metade do século

XIX e início do século XX. Mas, por outro lado pode-se entender que esta frase carrega

também uma semântica da frustração pelo que não se fez, ao se julgar daqui, séculos XX –

XXI, que se esteve tão perto de fazê-lo.

A ‘latitude de formas’, acima mencionada vem da seguinte idéia de Oresme:

“Tudo é mensurável, escreveu Oresme, é imaginável na forma de

quantidade contínua; por isso ele traçou um gráfico velocidade-tempo

para um corpo que se move com aceleração constante. Ao longo de

uma reta horizontal ele marcou pontos representando instantes de

tempo (ou longitudes), e para cada instante ele traçou

perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta (latitude)

cujo comprimento representava a velocidade (que chamamos

ordenadas) preencherá um triângulo retângulo (ver fig. abaixo). Como

a área desse triângulo representa a distância percorrida, Oresme

forneceu assim uma verificação geométrica da regra de Merton, pois a

velocidade no ponto médio do intervalo de tempo é a metade da

velocidade final.” [Boyer (1987), p.192-3]

Oresme claramente antecipa a idéia, conforme já foi dito, a chamada representação

cartesiana de curvas no plano, só fica lhe faltando a notação e as operações algébricas.

Tem-se também um prelúdio de Integral aplicada a física, relacionando distância percorrida

16

com área de uma região limitada por uma curva e o eixo horizontal, caminho para uma

possível algebrização da geometria.

François Viète

O ponto de vista que será levantado aqui estará alicerçada no trabalho de Jacob

Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, que defende a tese de que a

Arithmetic de Diofanto (aprox. 250) esta por trás da influencia do desenvolvimento de uma

teoria algébrica realizada na Europa Ocidental, passando pela matemática árabe, que se

transferiu, através das obras escritas ou traduzidas pelos muçulmanos, para o continente

europeu. E, segundo Jacob Klein, François Viète é autor de trabalhos que fazem estas

conexões – no sentido de uma álgebra estruturada3. Em sua obra Canon mathematicus, seu

ad triangula, Viète trabalha na formulação de equações como tratada algebricamente pelos

seus contemporâneos Cardano, Tartaglia, Nonius e Bombelli, por exemplo. Viète deve ter

estudado a Arithmetic de Diofanto, tanto utilizando uma tradução da época como o original.

Este estudo influenciou-o em sua álgebra simbólica, cujas características fundamentais

estão esboçadas em In artem analyticen Isagoge (Introdução à arte analítica).

Viète havia recebido uma educação humanística nos moldes dos antigos pensadores

gregos, mas isso não o impediu de procurar conciliar as novas idéias, daquilo que viria a

ser a ciência moderna – que estava nascendo. Na matemática procurou conservar termos da

terminologia dos antigos na medida do possível. Para ele, e para muitos do seu tempo, a

inovação tratava-se de uma renovação.

Um comentário interessante feito por Viète, e transcrito por Jacob Klein é:

“There is in mathematics, Vieta says, a special procedure for

discovery, ‘a certain way of investigating the truth’ (veritatis 3 Gilli Martins em sua tese (UNESP-Rio Claro) aprofunda e reorienta esta questão.

17

inquirendae via quaedam) which, so it is claimed, was first discovered

by Plato. Theon of Alexandria gave this procedure the name of

‘analysis’ and defined it precisely, namely as a process beginning

with ‘the assumption of what is sought as though it were granted,

and by means of the consequences [proceeding to] a truth [which

was in fact already] granted’ (adsumptio quaesiti tanquam concessi

per consequentia ad verum concessum), just ‘as in converse’ (ut

contra) he defined ‘synthesis’ as a process beginning with ‘the

assumption of what is granted and by means of the consequences

[proceeding to] the conclusion and comprehension of what is

sought’ (adsumptio concessi per consequentia ad quaesiti finem et

comprehensionem). [destaque em negrito meu] These definitions,

which are here ascribed to Theon, also occur in Pappus in a modified

and clarified form, namely at the beginning of his seventh book

(Hultsch, II, P. 634, II ff.). In a scholium to Euclid it is shown with

reference to the first five theorems of the thirteenth book how the

‘synthesis’ results in each case from the preceding ‘anlysis’ by means

of conversion (analysis and synthesis both proceeding ‘without

drawing the figure’ - ανευ καταγραφηζ – Heiberg-Menge, Pp.

366,4; 368,16). And Pappus, who mentions the aforesaid procedure

with reference to the so-called Treasury of Analysis

(αναλυοµενοζ τοποζ), emphatically stresses the relationship of

conversion.” [Klein (1992), p.154-5].

Assim, segundo Viète, é Teon de Alexandria (aprox. 390) quem alcunha o termo

Análise bem como define o que se deve compreender no emprego da mesma. É nesta trilha

apontada que chegaremos a Weierstrass e Dedekind.

Viète desta forma cumpre, nesta dissertação, dois pontos relevantes: primeiro, vai

formalizar através de algumas obras gregas, representados pelo menos por Diofanto,

Pappus e Euclides, uma estruturação e uma simbologia algébrica (que será burilada e

sofisticada pelos séculos vindouros); segundo, traz uma definição, de Teon de Alexandria,

do que á a análise (aquela que se inicia com uma suposição do que é procurado, na forma

que o mesmo fora concebido, e por meio de encadeamentos lógicos chega-se a uma

verdade, (então já admitida); e do que é a síntese (a conclusão e a compreensão do que se

procurava).

18

Esta será a busca perseverada por matemáticos como Bolzano, Cauchy, Weierstrass

e Dedekind, entre outros. Sendo assim, a Análise Matemática se faz herdeira de um

método grego (Grécia antiga) de se desenvolver teorias matemáticas. Aqui fazem eco os

dizeres de Hankel, com as observações que fiz anteriormente.

Bonaventura Cavalieri

Este discípulo de Galileo Galilei, escreveu as obras: Geometria indivisibilibus

continuorum nova quadam ratione promota (Bolonha, 1635), e Exercitationes geometricae

sex (Bolonha, 1647). Antes de Cavalieri (1598 – 1647), Johannes Kepler (1571 – 1630) e

Galileo Galilei (1564 – 1642) foram os primeiros a empregar os indivisíveis (quantidades

infinitamente pequenas – que terá longa história) em seus métodos de desenvolvimento de

cálculo de áreas e de volumes, em substituição ao método, trabalhoso, introduzido por

Arquimedes. Os indivisíveis, aceito por alguns e contestado por outros – por carecer da

mencionada análise, definida por Teon de Alexandria –, muito empregados por Cavalieri

fez grandes influências pela Europa, conforme diz Baron (1985):

“Mesmo os que criticavam admitiam o uso [grifo meu] dos métodos de

Cavalieri particularmente. Os dois livros de Cavalieri tornaram-se

imediatamente fontes indispensáveis para os métodos de integração e o seu

nome será sempre lembrado em relação aos ‘indivisíveis’ na matemática.”

[Baron (1985), II, p.12]

Recorrerei a Howard Eves (1997) para obter uma descrição das idéias de

Bonaventura Cavalieri:

“O tratado de Cavalieri é demasiado prolixo e pouco claro, sendo

difícil até descobrir o que ele entendia por ‘indivisíveis’. Tudo indica

que um indivisível de uma porção plana dada é uma corda dessa

porção e um indivisível de um sólido dado é uma secção desse sólido.

Considera-se que uma porção plana seja formada de uma infinidade

[grifo meu] de cordas paralelas e que um sólido seja formado de uma

infinidade de secções planas paralelas. Então, argumentava Cavalieri,

fazendo-se deslizar cada um dos elementos [grifo meu] do conjunto

das cordas paralelas de uma porção plana dada ao longo de seu próprio

eixo, de modo que as extremidades das cordas ainda descrevam um

contorno contínuo, a área da nova porção plana é igual à da original,

19

uma vez que ambas são formadas das mesmas cordas. Um

procedimento análogo com os elementos do conjunto das secções

planas paralelas de um sólido dado fornecerá um outro sólido com o

mesmo volume do original. [...] Estes resultados, ligeiramente

generalizados, fornecem os chamados princípios de Cavalieri: 1. Se

duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralelas a

uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é

constante, então a razão entre as áreas dessas porções é a mesma

constante. 2. Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e

paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é

constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma

constante. Os princípios de Cavalieri representam ferramentas

poderosas para o cálculo de áreas e volumes, ademais, sua base

intuitiva [grifo meu] pode facilmente tornar-se rigorosa com o cálculo

integral moderno.” [Eves (1997), p.425-6]

Os grifos, acima anotados, marcam alguns pontos que serão temas de longos

debates que virão, entre os matemáticos desta época, século XVI, até século XX, com o

trabalho, de Abraham Robinson (1918 – 1974), Non-Standard Analysis (1966), que

recupera, em bases modernas de fundamentação, a noção de infinitésimos.

No desenvolvimento de Cavalieri é claro o apelo a intuição geométrica.

A título de exemplo, segue uma proposição de Cavalieri:

“PROPOSIÇÃO 23. Em qualquer paralelogramo tal como BD com

base CD, tracemos uma paralela arbitrária EF a CD e a diagonal AC,

interceptando EF em G. Então ( ): ou :DA AF CD EF FG= . AC é a

primeira diagonal. Depois seja H o ponto sobre EF tal que

2 2: :DA AF EF FH= , e assim em todas as paralelas a CD, de tal

forma que todas as retas como esta, HF, terminem numa curva CHA.

Do mesmo modo construímos uma curva CIA, onde

3 3: :DA AF EF FI= , uma curva CLA tal que 4 4: :DA AF EF FL= ,

etc. CHA é a segunda diagonal, CIA é a terceira, CLA é a quarta, etc. e

do mesmo modo AGCD é a primeira diagonal espacial do

paralelogramo BD, a figura AHCD é a segunda, AICD é a terceira,

ALCD é a quarta, etc. Então eu digo que o paralelogramo BD é duas

20

vezes o primeiro, três vezes o segundo, quatro vezes o terceiro, cinco

vez o quarto espaço, etc.” [Baron (1985),II,p.14]

Não se sabe como Cavalieri obteve estes resultados. Supõe-se que ele tenha

empregado muita inventividade e algum conhecimento de expansão binomial em potências

inteiras, que será bastante empregada por outros matemáticos.

Em nossa notação, o que Cavalieri fez foi:

1) De DA EF

AF FG= , que conforme a figura, considerando a medida anotada no

segmento EF como ordenada e CE como abscissa, podemos escrever: b a

x y= , o que nos

leva a a

y xb

= , no primeiro caso;

2) De 2

2

DA EF

FHAF= , tem-se: 2

2

ay x

b= , no segundo caso;

3) De 3

3DA EF

FIAF= , tem-se: 3

3

ay x

b= , no terceiro caso.

Integrando estas funções, supondo reais, de zero até b , obtemos:

De 1) 0

2

ba ab

AGCD xdxb

= =∫ , (BD é duas vezes o primeiro – AGCD);

21

De 2) 22

03

ba ab

AHCD x dxb

= =∫ , (BD é três vezes o primeiro – AHCD).

De 2) 33

04

ba ab

AICD x dxb

= =∫ , (BD é três vezes o primeiro – AICD).

Ao que se sabe hoje, resultado correto.

René Descartes e Pierre de Fermat

René Descartes (1596 – 1650) conhecia e estava familiarizado aos indivisíveis de

Cavalieri, mas procurou evitá-los em seu trabalho. Descartes considerava a álgebra um

instrumento de precisão e o método dos indivisíveis uma aproximação em matemática.

A partir deste ponto será introduzido o conceito de reta tangente num ponto de uma

dada curva. Segundo Eves (1997, p.428-9), a diferenciação se originou, da resolução do

problema da determinação da reta tangente, tendo como foco a determinação de mínimos e

de máximos de funções, com Fermat em 1629; salientando (ele Eves) que este tipo de

problema já havia sido abordado pelos gregos.

Apesar da indicação de Fermat por Eves, iniciarei a exposição da reta tangente pelo

trabalho de Descartes, deixando Fermat, e o seu método para se determinar o mínimo ou o

máximo de uma dada função, para a próxima descrição.

Para evitar um longo texto apresentado por Descartes, para em seguida apresentar

uma versão em notação mais recente, vou transcrever a leitura apresentada por Baron,

depois da exposição geral dada por Descartes em La Geometrie (1705).

Descartes, diz:

“Seja CE uma certa curva e de C tracemos uma reta fazendo um

ângulo reto com CE. Suponhamos que este problema esteja resolvido e

denominemos a reta por CP. Suponhamos também que a reta CP

intercepte a reta GA cujos pontos serão relacionados com os de CE.

Então, seja MA[=CB] = y ; e CM[=BA] = x . Devemos encontrar uma

equação relacionando x a y . Faço PC s= , PA v= , logo PM v y= − .

22

Como PMC é uma triângulo retângulo, vemos que 2s , o quadrado da

hipotenusa, é igual a 2 2 22x v vy y+ − + , a soma dos quadrados dos

catetos. Isto significa que 2 2 22x s v vy y= − + − ou 2 2y v s x= + −

. Por meio destas duas últimas equações, posso eliminar uma das duas

quantidades x e y da equação que relaciona os pontos da curva CE e os

da reta GA. Se queremos eliminar x não há problema, pois podemos

trocá-lo, onde aparece, por 2 2 22s v vy y− + − , 2x pelo quadrado

desta expressão, 3x por seu cubo, etc. Se quisermos eliminar y, basta

trocá-lo, onde aparece, por 2 2v s x+ − , e 2y , 3y , ..., pelo quadrado,

cubo, etc., desta expressão. O resultado será uma equação com apenas

uma quantidade desconhecida, x ou y. ” [Baron (1985), II, p.33]

Considerando a figura:

FIGURA

“[...] tomemos a parábola 2x ky= , onde AM y= , CM x= . Segundo

Descartes, temos: ( )22 2x ky s v y= = − − de tal modo que (eliminando

x ) obtemos uma equação em y que pode ser escrita na forma:

( ) ( )2 2 22 0y y k v v s+ − + − = . [Baron (1985),II, p.33]

Em geral esta equação tem duas raízes distintas, isto é, existem dois

valores de y para s escolhido arbitrariamente. Se CP é a normal,

então o círculo, centrado em P, toca a curva em C, logo a equação tem

duas raízes iguais. Comparando nossa equação com: 2 22 0y ye e− + =

, y e= , temos: 2 2 2k v e y− = − = − , 2v y k− = , donde segue que:

2k x x FM= e 22 2FM x k y= = . [Baron (1985),II, p.35]

Note que, considerando ( )x f y= e 2x ky= (1), e derivando em y , obtêm-se:

'2x x k⋅ = , ou seja '

2

xx

x= (2). Isolando k em (1) e substituindo em (2), tem-se: ,

'

2

x AMx tg

y FMα= = = (Seja α a medida do ângulo ˆCFM ). De onde segue que 2FM y= ,

conforme apontado por Descartes.

Agora Pierre de Fermat (1601(?)

uma função dada pelo método

“SOBRE UM MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DE MÁXIMO E

MÍNIMO

Dividir o segmento AC em E, de tal modo que o retângulo

possa ser máximo.

Seja a reta

possa ser um máximo

Seja AC

o retângulo, cujo máximo procuramos, será

A E+

formado pelos segmentos será

consid

termos comuns:

Desprezando

dividir a reta ao meio: é impossível existir um método mais geral.”

Obs.: 1)

Fermat (o qual obtivemos de Diofanto), como “aproximadamente

igual” (usando

representar constantes e variáveis, ao mesmo tempo.

p.36]

Fermat empregou o mesmo método para determinar a tangente à curva. Ou seja,

num dado momento desprezava alguma grandeza sem exp

seguintes dizeres:

“O método nunca falha: ele pode ser estendido a vários problemas;

temos usado também para determinar centros de gravidade de figuras

limitadas por retas e curvas assim como de sólidos. Ele une vários

outros res

[Baron (1985), II, p.37]

Agora Pierre de Fermat (1601(?) – 1665) com a questão de máximo e mínimo de

pelo método da tangente:

OBRE UM MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DE MÁXIMO E

MÍNIMO .

Dividir o segmento AC em E, de tal modo que o retângulo

possa ser máximo.

Seja a reta AC dividida em E, de tal modo que o retângulo

possa ser um máximo

AC igual a B e um dos segmentos igual a A: o outro será

o retângulo, cujo máximo procuramos, será BA Aq

A E a primeira parte de B, o resto será B A E− −

formado pelos segmentos será BA Aq BE AE Eq− + − −

consideraremos ser aproximadamente igual a BA Aq

termos comuns: ~ 2BE AE Eq+ e dividindo por E,

Desprezando E, B é igual a 2A . Para resolver o problema devemos


Obs.: 1) 2 significa Aq A , 2) Traduzimos o termo


igual” (usando o símbolo ~), 3) Fermat usou letras maiúsculas para

representar constantes e variáveis, ao mesmo tempo.


num dado momento desprezava alguma grandeza sem explicações, e encerra com




outros resultados que podemos descrever adiante se o tempo permitir.”

[Baron (1985), II, p.37]

23

1665) com a questão de máximo e mínimo de

OBRE UM MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DE MÁXIMO E

Dividir o segmento AC em E, de tal modo que o retângulo AE EC⋅

, de tal modo que o retângulo AE EC⋅

: o outro será B A− , e

BA Aq− . Agora seja

B A E− − e o retângulo

2BA Aq BE AE Eq− + − − , que

BA Aq− . Removendo

, ~ 2B A q+ .

. Para resolver o problema devemos


, 2) Traduzimos o termo adaequabitur, de


o símbolo ~), 3) Fermat usou letras maiúsculas para

representar constantes e variáveis, ao mesmo tempo. [Baron (1985), II,


licações, e encerra com os




ultados que podemos descrever adiante se o tempo permitir.”

24

A maneira, de Fermat, de encerrar algum comentário, ao que parece, costuma dar

trabalho por alguns séculos.

Fermat também apresentou trabalhos sobre quadraturas. Desenvolverei, em notação

atual, a idéia de Fermat sobre a determinação da área sob curvas dadas por funções reais

dadas por lei do tipo: ny x= (n inteiro positivo), segundo apresentação feita por Eli Maor

em seu livro: e: A História de um Número.

“Fermat fez a aproximação da área sob cada curva através de uma

série de retângulos cujas bases formam uma progressão geométrica

decrescente. Isto sem dúvida, é muito semelhante ao método da

exaustão de Arquimedes; mas ao contrário de seu predecessor, Fermat

não evitou recorrer a uma série inifinita.” [Maor (2003), p. 89]

Consideremos no eixo horizontal o segmento ON como sendo de medida a, e

vamos dividí-lo em segmentos menores de modo que OM ar= , 2OL ar= , 3OK ar= e

25

assim ad infinitum (notar que 0 1r< < ). Assim, as alturas (ordenadas) em cada ponto são:

na , ( )nar , ( )2 nar , ( )3 n

ar , ad infinitum. Seja rS a soma das áreas dos retângulos para

um dado r, então:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 3 4 3 ...n n n n n n nrS a ar a ar ar a r ar ar a r ar ar a r= − + − + − + − + ou

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 3 31 1 1 1 ...n n n n n n nrS a r a r r a r r a r r+ + + + + + += − + − + − + − + ou

( ) ( ) ( ) ( )2 31 1 1 1 1

1

11 ... 1

1n n n n n

r nS a r r r r a r

r

+ + + + ++

= − + + + = − −

, ou seja:

( )1

1

1

1

n

r n

a rS

r

+

+−

=−

Fermat percebeu que: ( ) ( )1 2 31 1 1 ...n nr r r r r r+− = − + + + + + , obtendo desta

forma:

1

2 31 ...

n

r n

aS

r r r r

+=

+ + + + +. O próximo passo foi considerar r adaequabitur 1, o

que, pode-se supor, levou Fermat a substituir o denominador por 1n+ , concluindo que:

1

1

n

ra

Sn

+=

+. O que está em concordância com o que hoje se sabe ser:

1

01

a nn a

S x dxn

+= =

+∫ .

O emprego de séries com infinitos termos para quadratura vai se tornar uma rotina

nos trabalhos de vários matemáticos deste período. Bolzano e Cauchy vão se manifestar

contra o emprego indiscriminado de séries infinitas e fixarão um critério conforme se verá.

Cilles Persone de Roberval

Roberval (1602 – 1675), matemático francês, reforça a idéia de uma curva como sendo formada pelo movimento de um ponto, no plano, que se compõe de dois movimentos conhecidos, cuja resultante dos vetores dos dois movimentos fornece a reta tangente a curva no ponto.

26

Quanto a quadratura, em seu Traité des indivisibles, Roberval trabalhou com os

conceitos de indivisíveis, empregado por Cavalieri, se relacionando com o conceito de

infinitesimais, ao modo de Fermat.

“[...] El indivisible procede de uma subdivisión continua de uma

superficie que se puede ir estrechando hasta el infinito em pequeñas

superfícies. [...] Uma superfície no está compuesta realmente de líneas,

o um sólido compuesto de superfícies, sino constituido de pequeñas

piezas de superficies y sólidos respectivamente, pero estas infinitas

cosas son consideradas como si fueran indivisibles. [...] No se

comparan heterogéneos, sino que los infinitos o indivisibles se

conciben así: una línea etá compuesta de líneas pequeñas, infinitas en

número, pero se hablará del infinito número de puntos, de forma

análoga a como el infinito números de líneas de una superficie

representará el ininito número de pequeñas superfícies que llenan la

superficie entera. [...]” [Urbaneja (1992), p.121-2]

Aquí, estarei interessado na quadratura desenvolvida por Roberval, que trabalhou

com subdivisões recorrerndo ao cálculo aritméticos envolvendo séries. Destaco o emprego

de suas idéias na determinação do cálculo da área sob uma parábola, nas palavras de

Urbaneja – que a transcreve numa notação atual.

“[...] sea ABC um segmento de una parábola cuyo vértice es A y cuyo eje es AB. Roberval divide la tangente AD en un número infinito de partes iguales: AE, EF; traza las líneas EL, FM, ..., paralelas a AB por

27

los puntos de división E, F,..., y estabelece: á��

��â��

��

�� , [...] donde ‘todas las lineas’ significa la suma de

las ordenadas. [Urbaneja (1992), p.122-3]

Urbaneja recorre a notação de função, para desenvolver o pensamento de Roberval,

da seguinte maneira:

Considerando as figuras planas F1 e F2 como tendo uma base AD, limtadas pelos

gráficos de duas funções bem como pelas linhas AB e DC, conforme figura que segue.

Assim, Roberval determina a razão 1 2:F F da seguinte forma:

[ ]( )

[ ]( )

1

11 2

2

1

: lim

n

inn

i

ADf i n AD

n

F F

ADf i n AD

n

=→∞

=

=

∑

∑

Na quadratura da parábola F1 é um segmento da mesma e F2 é um retângulo. Sendo

assim:

[ ]( ) ( )2 21f i n AD i n AD= e [ ]( ) 2

2f i n AD AD= , o que nos conduz a:

28

( ) ( ) ( )

2

23 2

11 2 3

1

1 3 1 2 1 6: lim lim

1

n

inn n

i

i

n n n nF F

n=

→∞ →∞

=

+ += =∑

∑

Para calcular este limite Roberval faz apelo à intuição geométrica, considerando

que para um n suficientemente grande a soma ( ) ( )21 2 1 6n n+ é desprezível se comparado

com n3, o que leva a 1 1 22

1 1, logo:

3 3

FF F

F= = . Em outras palavras, 1

1

3F ab= .

Seja ( ) 21f x x= , integrando de zero a a:

32

10

3

aa

F x dx= =∫ , logo

( )3 21 2

1 3 3 3 3 3

a f a Fa a a a bF

⋅⋅ ⋅= = = = = ou seja 1 21

3F F= .

Os resultados obtidos por matemáticos da época de Roberval são interessantíssimos,

dado que o advento da notação algébrica e de sua manipulação é, então, extremamente

recente. E neste ponto, há de se ressalvar que todos os trabalhos deste período – até, pelo

menos, ao de Euler (1707 – 1783)–, com todas estas “especulações” ao se tratar dos

indivisíveis ou dos infinitesimais – dada a ausência do rigor, do ponto de vista da análise–,

em muito se contribuiu para o avanço das fundamentações da Análise. Contrabalanceando-

se ao enfoque veemente, que muitas vezes se dá, no sentido dos erros cometidos. Pois, com

muitos resultados, que hoje se sabe corretos, matemáticos foram forçados a pensar em

como a chamada intuição geométrica, fortemente associado a idéias e pensamentos que se

culminariam na chamada aritmetização da Análise, possibilitou tal fato. É neste período, de

Viète e Roberval, que se associa formas e ferramentas de pensamento dos gregos antigos

com a nova álgebra que esta surgindo com fortes vínculos aritméticos (ainda não

totalmente formalizados). O emprego das séries vai cada vez mais fortalecer a

fundamentação que se virá. Neste tocante vale salientar os dizeres de Roberval por

Urbaneja:

“Pero Roberval tambiém maneja intuitivamente un límite de

magnitudes geométricas, pues maneja lo que llama un método para

reducir las demonstraciones por los indivisibles a los antiguos

29

geómetras, mediante polígonos inscritos y circunscritos, reconciliando

así ambos métodos a base de utilizar un lema general que enuncia así:

‘Si tenemos una razón R/S y dos cantidades A y B, tales que para

una cantidad añadida a A la suma tiene con B una razón mayor

que R/S y para una pequeña cantidad sustraída a A la diferencia

tiene con B una razón menor que R/S; entonces digo que A/B =

R/S.’ [grifo meu] Mediante la aplicación de este lema, Roberval

resuelve nuevamente la cuadratura de la parábola, a base de encajarla

en dos series de pequeños rectángulos, unos interiores y otros

exteriores, siendo la diferencia entre las dos series inferior a una

cantidad dada Z, lo cual es siempre posible dividiendo el lado AD en

partes suficientemente pequeñas. La consideración de los diversos

pequeños rectángulos muestra, según el lema general, que el área

limitada por la parábola es la del rectángulo circunscrito como 1 es a

3.” [Urbaneja (1992), p.128-9]

O destaque que fiz acima é para frisar a semelhança de tal lema com o método

desenvolvido por Arquimedes, bem como perceber o quanto as idéias se direcionam para

uma definição de limite.

John Wallis e James Gregory

O que segue, foi obtido de Boyer (1987): Wallis (1616 – 1703), um respeitável

matemático inglês que antecede Newton, deu importante contribuição à análise

infinitesimal. No cálculo da área sob o semicírculo 2y x x= − , Wallis, pode-se dizer,

antecipou um resultado que seria desenvolvido por Euler mais adiante. Quanto ao cálculo

da área do semicírculo ele chegou ao resultado 8π . Empregando o método de indução e

de interpolação4, Wallis, chegou as expressões interessantes, como a que se escreveria

hoje como sendo ( )1 2

2

0

1 2!

2!x x dx− =∫ . Logo,

( )21 2!

8 2!

π = , ou seja 1

2 2!

π = . Este é

uma situação particular da função beta de Euler –( ) ( )1

11

0

, 1 nmB m n x x dx−−= −∫ – para

3 2m n= = .

4 Isaac Newton recorrerá a estes expedientes.

30

É assaz curioso o que Thomas Hobbes (1588 – 1679), registra, segundo Boyer,

sobre a “aritmetização da geometria de Wallis, reprovando fortemente a ‘todo o rebanho

daqueles que aplicam sua álgebra à geometria’, e referindo-se à Arithmetica infinitorum

como ‘uma sarna de símbolos’.” [Boyer (1987), p.282].

Com relação Gregory (1638 – 1675), seguirei o que diz Baron: Matemático de

origem escocesa que estudou na Itália, convivendo com o método dos indivisíveis. Em sua

obra Vera circuli et hyperbolae quadratura ele procurou generalizar a aplicação do método

de exaustão de Arquimedes, no qual uma quantidade procurada se inseria entre duas

seqüências de figuras, inscritas I e circunscrita C , de modo que as áreas formadas por

estas possibilitam as desigualdades: 1 2 3 3 2 1... ...n nI I I I L C C C C< < < < < < < < < < .

Imbuído da mentalidade clássica, Gregory traçou o que seria o início de uma teoria da

convergência para as referidas seqüências5. Ele tentou definir o que hoje se escreve como:

( ) ( )lim limn nn n

L I C→∞ →∞

= = .

“Com base nestas idéias ele tentou provar a impossibilidade de, racionalmente ou

algebricamente, ‘quadrar’ o círculo, a elipse e a hipérbole (isto é, expressar o que hoje

conhecemos como o número racional π, ou obtê-lo por operações algébricas). Embora sua

demonstração estivesse incorreta, ele foi o primeiro a tentar demonstrar uma proposição

deste gênero.” [Baron (1985), II, p.43].

É importante registrar que Gregory antecipou, os resultados obtidos por Brook

Taylor (1685 – 1731) e Jean Bernoulli (1667 – 1748), nas séries, ditas de Taylor:

2 3 2

2...

2! 3!

x dy x d yydx yx

dx dx= − + −∫ .

Já em sua obra Geometriae pars universalis, Gregory elabora um tratado, todo

verbal e geométrico, sistemático, cujas demonstrações são alicerçadas nas idéias de

Arquimedes, com todas as operações para se determinar arco, tangente, área e volume,

próprias de cálculo infinitesimal de seu tempo.

“Não existe nenhuma dúvida de que Gregory tinha clara compreensão

da relação inversa entre tangente e quadratura. Na proposição VI ele

passa diretamente da quadratura de uma curva à construção da

5 Um prenúncio do que viria fazer Cauchy.

31

tangente de uma outra curva (isto é, 0

x

ku zdx=∫ k du dx z⇒ = .

Podemos considerá-la como a primeira afirmação publicada, em

forma geométrica [grifo meu], do que agora conhecemos como o

teorema fundamental do cálculo. Se Gregory o considerou como

‘fundamental’ é uma outra questão!” [Baron (1985), II, p.44]

Baron, destaca que Isaac Barrow (1630 – 1677), em seu Lectiones geometricae

desenvolveu idéias bastante próximas a de Gregory, que só percebeu após já ter escrito a

sua própria obra. Esta observação é relevante dado que Isaac Newton será orientado por

Barrow em seus estudos de matemática.

Isaac Newton

Newton (1642 – 1727) teve a peculiaridade de publicar seus trabalhos tempos

depois de tê-los idealizados, o que lhe rendeu uma controvérsia com relação a primazia da

descoberta/invenção do cálculo integral e diferencial, a numa certa medida foi ou é

atribuída a Leibniz, que publicou suas idéias antes de Sir. Newton.

Apresentarei primeiro as idéias de Newton, segundo exposição encontrada em

Baron, III.

Segue alguns trechos da carta (de 24 de outubro de 1676) que Oldenburg (secretário

da Sociedade Real de Londres) enviou a Leibniz, reproduzindo a história escrita pelo

próprio Newton.

“Ao iniciar meus estudos matemáticos, tendo já conhecimento dos

trabalhos do nosso célebre Wallis sobre a série por intercalação, cuja

área do círculo e da hipérbole ele próprio enuncia, considerei o fato de

que, na série de curvas cujo eixo ou base comum é x e cujas ordenadas

são ( )0 221 x− , ( )1 221 x− , ( )2 221 x− , ( )3 221 x− , ( )4 221 x− ,

( )5 221 x− , etc. se as áreas dos fatores intercalados, nominalmente x ,

31

3x x− , 3 52 1

3 5x x x− + , 3 5 73 3 1

3 5 7x x x x− + − , etc., pudessem ser

interpolados, deveríamos obter as áreas dos fatores intermediários das

32

quais o primeiro ( )21 x− é o círculo: de modo a interpolar essa série,

notei que em todas elas o primeiro termo era x e que os segundos

termos 30

3x , 31

3x , 32

3x , 33

3x , etc. estavam numa progressão

aritmética.” [Baron (1985), III, p.14]

Deste ponto Newton começa a desenvolver sua interpolação comparando os

coeficientes. E mais adiante, na mesma carta, continua:

“[...] isto significa que os coeficientes dos termos da quantidade a ser

intercalada, a saber, ( )1 221 x− , ou ( )3 221 x− , ou em geral ( )21m

x− ,

surgem pela multiplicação repetida dos termos dessa série

1 2 3

2 3 4

m m mm

− − −× × × , etc., tal que (por exemplo)

( )1 221 x− é o valor de 2 4 61 1 11

2 8 16x x x− − − , etc.,

( )3 221 x− é o valor de 2 4 63 3 11

2 8 16x x x− + + , etc.,

( )3 221 x− é o valor de 2 4 61 1 51

3 9 51x x x− − − , etc.,

Assim, a redução geral de radicais a séries infinitas, através da regra

que expus no começo da minha carta anterior, chegou ao meu

conhecimento antes que eu tivesse estado familiarizado com a extração

de raízes. Mas uma vez conhecido isso, o outro não podia ficar oculto

de mim por muito tempo.”[Baron (1985), III, p.15]

Após mais alguns esclarecimento sobre o seu processo de descoberta, ele conclui:

“Depois de ter esclarecido isso, abandonei totalmente a interpolação de

séries e usava somente essas operações, pois davam fundamentações

mais naturais. Tampouco existia um segredo qualquer acerca da

redução pela divisão que, em todo caso, é um assunto mais fácil.”

[Baron (1985), III, p.15]

Em posse das séries infinitas Newton pode calcular a área sob uma curva (dada por

expressões que envolviam raízes), integrando termo a termo. Da mesma forma ele

33

executava a retificação da mesma. Nota-se que ele não trabalha a questão da convergência

das séries. Mas, é de se supor que ele tinha conhecimento do trabalho feito por Gregory,

considerando que recebera orientações de estudo de Barrow, bem como este havia deixado

a disposição de Newton sua biblioteca. Então Newton começa a quadrar curvas, como

segue, do livro De Analysi:

“Retrospectivamente dois pontos antes de todos os outros precisam de

uma demonstração.

Preparação para demonstrar a primeira regra.

1. A quadratura de curvas simples segundo a regra 1. Seja então ADδ

uma curva qualquer que tem a base AB x= , a ordenada perpendicular

BD y= , como antes. Simultaneamente seja B oβ = , BK v= e seja o

retângulo ( )B HK ovβ igual ao epaço B Dβδ . Portanto, A x oβ = + e

A z ovδβ = + . Com essas premissas procuro 1y a partir de um

relacionamento arbitrário entre x e z da seguinte maneira.

Tome 3 22

3x z= ou 3 24

9x z= . Então, se ( )x o Aβ+ for substituído

em lugar de x e ( )z ov Aδβ+ em lugar de z surgirá (pela natureza da

curva) ( )3 2 2 3 2 2 243 3 2

9x x o xo o z zov o v+ + + = + + .

Eliminando-se as quantidades (34

9x e 2z ) e dividindo-se o resto por

o sobra ( )2 2 3 2 243 3 2

9x o xo o zov o v+ + = + . Se supusermos que Bβ é

infinitamente pequeno, quer dizer, que o seja zero, v e y serão iguais

34

e os termos multiplicados por o desaparecerão e conseqüentemente

restará 243 2

9x zv= ou ( )2 3 22 2

3 3x zy x y= = , quer dizer,

( )1 2 2 3 2x x x y= = . Reciprocamente, portanto, se 1 2x y= , teremos

3 22

3x z= .

Demonstração:

Ou em geral, se ( ) ( )m n nn m n ax z++ = , quer dizer, ao colocar

( )na m n c+ = e m n p+ = , se p ncx z= ou n p nc x z= , então, se

x o+ for substituído em lugar de x e (ou equivalentemente, z oy+ )

em lugar de z, surgirá ( )1 1... ...n p p n nc x pox z noyz− −+ = + , omitindo-

se os outros termos, os quais foram desprezados, para sermos exatos.

Agora, eliminando-se os termos iguais n pc x e nz e dividindo-se o

resto por o , vai sobrar ( )1 1n p n n n p p nc px nyz nyz z nyc x cx− −= = = .

Quer dizer, ao dividir por n pc x , obtemos 1 p npx ny cx− = ou ; em

outras palavras, pela restauração de ( )na m n+ para c e ( )m n+ para

p , quer dizer, m para p n− e na para pc, teremos m nax y= .

Reciprocamente, portanto, se m nax y= , então

( ) ( )m n nn m n ax z++ = . Como queríamos demonstrar.

O descobrimento de curvas que podem ser quadradas. De passagem

podemos mencionar aqui um método pelo qual podem ser

encontradas tantas curvas de áreas conhecidas quantas quisermos:

a saber, assumindo-se uma equação arbitrária para o

relacionamento da área z, podemos procurar conseqüentemente a

ordenada y [grifo meu].

Assim, se supusermos 2 2a x z + =

, podemos determinar

2 2x a x y + =

. E semelhantemente em outros casos.

35

Eis, assinalado, no final deste trecho, uma indicação para o teorema fundamental do

cálculo.

Acima tem-se uma exposição de Newton sobre as séries finitas e em seguida uma sobre

quadratura. Agora um registro sobre os fluxões e os fluentes, já empregando uma notação

específica.

“Falta agora, como uma ilustração dessa arte analítica, explicitar

alguns problemas típicos e tão especiais como a natureza de curvas

que o representam. Mas sobretudo eu observaria que as dificuldades

dessa espécie podem ser todas reduzidas a somente dois problemas que

proporei com vista ao espaço percorrido por qualquer movimento local

acelerado ou retardado:

1 Dado o comprimento do espaço percorrido continuamente [grifo

meu] (quer dizer, em cada [instante do] tempo), ache a velocidade do

movimento num instante qualquer.

2 Dada continuamente a velocidade do movimento, ache o

comprimento do espaço percorrido num instante qualquer.

Assim, na equação 2x y= se y significa o comprimento do espaço

percorrido num instante qualquer que é medido e representado por um

segundo x, que cresce com velocidade uniforme, então, 2xx& designará

a descrição da velocidade pela qual o espaço no mesmo momento de

tempo está sendo percorrido. E, portanto, considerarei em seguida as

quantidades como se fossem geradas por um aumento contínuo do

espaço no qual um objeto se move descrevendo sua trajetória.

Não podemos ter, porém, uma estimativa do tempo, exceto no sentido

de ser exposto e medido por um movimento local uniforme. Além

disso, somente quantidades da mesma espécie e, do mesmo modo, as

suas taxas de crescimento e decrescimento podem ser comparadas

entre si. É por essas razões que no que se segue não considerarei o

tempo como tal. Portanto, de uma das quantidades apresentadas que

são da mesma espécie, suporei que elas aumentam num fluxo

uniforme: a ela, e a todas as outras, podemos nos referir como se

fossem o tempo. Assim, a palavra ‘tempo’ não deve ser transferida

erradamente a ela por simples analogia. Desta forma, se você encontrar

36

em seguida a palavra ‘tempo’ (como a tenho tratado no meu texto a

fim de obter mais clareza e distinção) esse nome não deve ser

entendido como tempo formalmente considerado, mas como sendo

aquela outra quantidade cujo aumento ou fluxo uniforme interpreta e

mede o tempo.

Mas, para distinguir as quantidades que considero perceptíveis, porém

indefinidamente crescente, das outras que em todo caso devem ser

consideradas como conhecidas e determinadas e que são designadas

pelas letras iniciais a, b, c, etc., chamarei as primeiras de fluentes e

designá-las-ei pelas letras finais v, x, y e z. As velocidades com as

quais elas fluem e que aumentam pelo movimento gerador (que eu

chamaria mais adequadamente de fluxões ou simplesmente de

velocidades) designarei pelas letras v& , x& , y& e z& : a saber para a

velocidade da quantidade v colocarei v& e para as velocidades das

outras quantidades colocarei x& , y& e z& , respectivamente.[Baron

(1985), III, p.26-7]

Aqui, Newton esclarece, no primeiro ponto, a questão da velocidade instantânea

(derivada) e no segundo, a questão da quadratura (integração), e relacionando estas com

seus fluxões e fluentes. Nota-se o trabalho se encaminhando, como no texto anterior, para o

teorema fundamental do cálculo ao estreitar as distâncias entre os tipos de problemas.

Neste trabalho de Newton, percebe-se, o que se costuma dizer, como o Cálculo Diferencial

e Integral se originou no conceito de movimento. Bem que a idéia de movimento de pontos,

segmentos de retas e até de região plana antecede a Newton, claro é que a fundamentação

rigorosa destes modos de se fazer matemática ainda não estava a contento, ou pode-se

dizer, quase não existia.

Neste caso, está se considerando que o Cálculo Diferencial e Integral foi criado por

Newton (ou por Leibniz, conforme citaremos mais adiante). Isto é razoável, caso o ponto

de partida para tal análise seja associar a criação do Cálculo no momento em que se dá

existência ao Teorema Fundamental do Cálculo. Assim, definindo-se a discussão sobre

quem criou o Cálculo, fica restrito, até onde se sabe, entre Newton e Leibniz e quiçá pode-

se incluir neste pequeno rol o nome de James Gregory, conforme descrito acima. No caso

de Gregory, Baron realça que o seu desenvolvimento fora na forma geométrica, e levanta ,

de certa maneira, dúvidas se ele considerava tal relação como fundamental. Ainda em se

levando tais questões em conta, conceitualmente Gregory trabalhou no sentido que hoje

37

compreendemos o Teorema Fundamental do Cálculo. E, ainda no quesito publicar, ele

antecede Newton e Leibniz. O que diferencia estes dois últimos do primeiro é a notação

algébrica empregada, que acabou por se mostrar, contrário do que afirmou Hobbes, útil ao

desenvolvimento matemático, abrindo novas fronteiras para se pensar a matemática, sem

abandono da geometria dos antigos, conforme fica claro ao lermos os trabalhos e as

preocupações dos pensadores matemáticos ou não da idade média na Europa. Nesta

observação pode-se querer fazer coro com Hankel.

Ainda, tendo em vista os grifos deixados na passagem acima, é forte o apego

geométrico-intuitivo, que origina a concepção de continuidade empregada por Newton e

que será foco de discussões acaloradas por matemáticos do século XIX, principalmente, em

particular por Dedekind. O que corroborará para a aritmetização da Análise Matemática.

Aliás, o nome Analysi já empregado por Newton em seu trabalho.

Continuando com Newton, por Baron, em seu De Quadratura Curvarum (publicada

em 1711):

“DEMONSTRAÇÃO

Os movimentos das quantidades fluentes (quer dizer, as suas partes

infinitamente pequenas, pela adição das quais elas aumentam durante um

período qualquer de tempo infinitamente pequeno) estão relacionados com

as suas velocidades de fluxo. Por essa razão, se o momento de cada uma e

em particular se x for expresso pelo produto da sua velocidade x& por uma

quantidade o que é infinitamente pequena (quer dizer, por xo& ) então os

momentos das outras v, y, z, ..., serão expressos por vo& , yo& , zo& , ... o que

mostra que vo& , xo& , yo& e zo& estão relacionados como v& , x& , y& e z& .

Agora, como os momentos (digamos xo& e yo& ) das quantidades fluentes

(digamos x e y) são os incrementos infinitamente pequenos [grifo meu],

pelos quais aquelas quantidades aumentam durante cada intervalo de tempo

infinitamente pequeno, segue que aquelas quantidades x e y, depois de

qualquer intervalo infinitamente pequeno, tornar-se-ão x xo+ & e y yo+ & .

Conseqüentemente, uma expressão que expressar uma relação uniforme

entre as quantidades fluentes em todos os instantes expressará aquela

relação uniforme entre x xo+ & e y yo+ & da mesma maneira como entre x e y.

38

Portanto, x xo+ & e y yo+ & podem ser distribuídos pelas últimas quantidades

x e y na equação considerada. Dada a equação 3 2 3 0x ax axy y− + − = ,

substitua x xo+ & em lugar de x e y yo+ & no lugar de y: surgirá

( ) ( )3 2 2 2 3 3 2 2 23 3 2x xox x o x x o ax axox ax o+ + + − + + +& & & & &

( ) ( )2 3 2 2 2 3 33 3 0axy axoy ayox axyo y yoy y o y y o+ + + + − + + + =& & && & & &

Agora, pela hipótese 3 2 3 0x ax axy y− + − = quando esses termos forem

cancelados e o resto dividido por o , restará

2 2 3 2 2 2 23 3 2 3 3xx x ox x o axx ax o axy ayx axyo yy y oy+ + − − + + + − − −& & & & & & & && & &

3 2 0y o− =& .

Supondo-se o infinitamente pequeno, a fim de expressar os momentos das

quantidades, os termos que contêm o como fator podem ser desprezados

[grifo meu]. Portanto, restará 2 23 2 3 0xx axx axy ayx yy− + + − =& & & & & , como no

exemplo acima. Deve-se observar que os termos não multiplicados por o em

mais de uma dimensão. Da mesma forma, os termos restantes depois da

divisão por o sempre aceitarão a forma que devem ter de acordo com esta

regra. É isso que queria mostrar,” [Baron (1985), III, p.28-9]

É de se notar que o uso dos infinitésimos continua presente na obra de Newton, e

estes suscitarão investigações, nos próximos séculos, com relação ao conceito de limite e

de continuidade. Pois, funções de comportamentos, como se diz, patológicos serão

inventadas para por em cheque determinadas afirmações no tocante a continuidade e de

diferenciação, esta associada ao conceito de limite , e não passará ilesa a própria definição

de função, tão correntemente citada neste trabalho, ao procurar aproximar as idéias dos

matemáticos aqui referidos com a matemática do nosso tempo. Estas questões, função,

continuidade e limite, serão abordadas mais adiante deste trabalho.

Mas, Newton, percebendo que os ditos infinitamente pequenos ainda deixavam

margens para críticas, procurou se reorientar conceitualmente. Segue trecho do Livro I

(Lema I) presente no Principia (1687):

“As quantidades e as razões das quantidades, que em qualquer tempo

finito convergem continuamente para a igualdade, e antes do fim

39

daquele tempo aproximam-se mais uma da outra do que por qualquer

diferença dada, tornando-se finalmente iguais.

Se você negá-lo, suponha-as como finalmente desiguais, e tome D

como sendo a última diferença. Portanto, elas não podem se aproximar

mais da igualdade do que por essa diferença dada D; o que contraria a

suposição. [“Newton (1990), p.35]

Indo ao Tractatus de Quadratura Curvarum (1704), encontra-se Newton

explicando o seu método das fluxões em termos das famosas primeiras e das últimas

razões.

“A QUADRATURA DAS CURVA

Não considerarei aqui as quantidades matemáticas como sendo

compostas de partes extremamente pequenas, mas como sendo

geradas por um movimento contínuo. Linhas são descritas, e ao

descrevê-las são geradas. Não por um alinhamento de partes, mas por

um movimento contínuo de pontos. As superfícies são geradas pelo

movimento de linhas, os sólidos pelo movimento de superfícies, os

ângulos pela rotação dos seus lados, o tempo por um fluxo contínuo,

etc. Essa gênese está baseada na natureza e pode ser vista dia a dia

[grifo meu] no movimento dos corpos. E desta maneira os antigos nos

ensinaram a gerar retângulos justapondo-se linhas retas móveis ao

longo de retas imóveis numa posição ou situação normal a elas.

Percebe-se que as quantidades que aumentam em tempos iguais, e que

são geradas por esses aumentos serão maiores ou menores conforme a

40

sua velocidade, na qual aumentam e são geradas, seja maior ou menor;

esforcei-me para encontrar um método que determinasse as

quantidades das velocidades, dos movimentos ou incrementos, que as

geraram. Chamando de fluxões às velocidades dos movimentos ou dos

aumentos e de fluentes às quantidades geradas, esclareci aos poucos

(nos anos 1665 e 1666) o método das fluxões, que aproveito aqui na

Quadratura das curvas.

As fluxões são semelhantes aos aumentos dos fluentes, os quais são

gerados em intervalos de tempos iguais, mas são infinitamente

pequenos; e para ser mais exato, diria que estão na primeira razão dos

aumentos nascentes, mas podem ser representados por quaisquer

linhas proporcionais a elas. Se as áreas ABC, ABDG forem descritas

pelas ordenadas BC e BD, que se movem uniformemente ao longo da

base AB, então as fluxões dessas áreas estarão entre si como as

ordenadas BC e BD que as descrevem e poderão ser representadas por

aquelas ordenadas; isto é, tais ordenadas estão na mesma proporção

que os aumentos nascentes das áreas.

Deixe a ordenada BC deslocar-se da sua posição BC para uma nova

posição bc; complete o paralelogramo BCEb, trace a linha reta VTH

tocando a curva em C e cortando os prolongamentos de bc e BA em T

e V, agora os aumentos gerados da abcissa AB, da ordenada BC e da

curva Acc serão Bb, Ec e Cc; e os lados do triângulo CET estão na

primeira razão desses aumentos nascentes. Portanto, as fluxões de AB,

BC e AC são como os lados CE, ET e CT do triângulo CET e poderão

ser representadas por aqueles lados, ou, equivalentemente, pelos lados

do triângulo VBC que é semelhante a CET. O mesmo acontece se

tomarmos as fluxões na última razão das partes ínfimas [grifo meu].

Trace a linha reta Cc e prolongue-se até K. Com a ordenada bc em sua

posição original BC faça os pontos C e c se aproximarem. A linha reta

CK vai coincidir com a tangente CH e o triângulo ínfimo [grifo meu]

Cec tornar-se-á semelhante ao triângulo CET. Seus lados ínfimos CE,

Ec e Cc estarão na mesma proporção que os lados CE, ET e CT do

outro triângulo CET. Portanto, as fluxões das linhas AB, BC e AC terão

a mesma razão. Se os pontos C e c estiverem numa distância pequena

qualquer, CK estará a uma distância pequena da tangente CH. Quando

41

a linha reta CK coincidir com a tangente CH, e quando as últimas

razões das linhas CE, Ec e Cd forem encontradas, os pontos C e c

deverão se aproximar e coincidir exatamente. Erros, por menores que

sejam, não devem ser negligenciados na matemática. [Baron (1985),

III, p.31-3]

A solicitação geométrica é patente, e o infinitamente pequeno corre com o tempo,

também infinitamente pequeno.

Ao modo de Viète, de Teon de Alexandria e de Descartes, Newton atingiu uma

síntese facilitada por uma notação algébrica e por uma boa manipulação das técnicas

analíticas, que eram recentes para a sua época, porém de largo uso. É de se notar que o

gênio de Newton não sentiu necessidade de criar uma notação específica para a quadratura,

trabalhando somente com a notação “ponto sobre a variável” para representar o que viria a

ser a diferenciação, e com natural destreza algébrica a relacionava com a quadratura.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Não se vai adentrar aqui na discussão da primazia da descoberta/invenção do

Cálculo Diferencial e Integral, entre Newton e Leibniz (1646 – 1716), mas sim nas idéias

desenvolvidas por ambos. Assim, chegou o momento do alemão Leibniz.

Leibniz iniciou seus estudos de matemática, sob orientação do holandês Christiaan

Huygens, através dos trabalhos de Barrow, Cavalieri, Pascal, Descartes, entre outros. Foi

estudando o trabalho de Pascal que Leibniz teve o insight sobre o cálculo da inclinação da

reta tangente a uma curva num certo ponto, construindo a razão entre as diferenças das

ordenadas e das abscissas deste ponto com um outro, pertencente a curva, e que se

avizinhasse a ele. Leibniz não publicou suas idéias de imediato, mas se sentiu forçado a

fazê-lo quando percebeu que em artigos publicados, no Acta Eruditorum Lipsiensium, por

E. W. von Tschirnhaus (1651 – 1708), que conhecia Leibniz e suas idéias.

Para trabalhar com suas idéias de diferenças Leibniz criou os símbolos dy e dx, o

primeiro para representar a diferença infinitamente pequena entre as ordenadas, o segundo

para representar a diferença infinitamente pequena entre as abscissas.

42

“As diferenças são ‘infinitamente pequenas’. Isto significa que podem

ser comparadas entre si (a razão :dy dx é finita). Mas com respeito às

quantidades finitas ordinárias[6] as diferenciais podem ser

desprezadas: x dx x+ = . Produtos de diferenciais podem ser

desprezados com respeito às próprias diferenciais: adx dydx adx+ = ,

já que a dy a+ = . Para cada ponto ( ),x y na curva podemos formar o

‘triângulo característico’ , ,dx dy ds( ds é a diferencial do

comprimento de arco s). Se o segmento de reta ds, infinitamente

pequeno, for prolongado, formará a tangente à curva em ( ),x y e

teremos : : : :dx dy ds t yτ= . Portanto, para determinar as tangentes é

suficiente determinar a razão :dy dx. A relação entre y e x usualmente

é dada em forma de uma equação (a equação da curva); a fim de

calcular a razão entre dy e dx é preciso diferenciar essa equação, ou

seja, é preciso formar a equação diferencial da curva. Para fazer isso

deve-se aplicar as regras de cálculo: 0da= se a é constante,

( )d u v du dv+ = + , ( )d uv udv vdu= + , 2

u vdu udvd

v v

− =

,

( ) 1n nd u nu du−= (também se n for uma fração ou negativo, porém não

para 1n = − ). Essas regras seguem o fato de que as diferenças podem

ser desprezadas. ” [Baron (1985), p.58-9]

Leibniz não traz uma construção que fundamente suas idéias que possui uma forte

conotação intuitiva. Sousa Pinto diz:

6 Ver comentários de Sousa Pinto mais adiante [destaque meu].

43

“A idéia de infinitésimo (e de número infinito) não pode ser realizada

num universo construído com base no conjunto IR dos números reais.

Leibniz, no entanto, preconizava para o estudo do Cálculo

infinitesimal a adoção de um sistema numérico mais amplo que os dos

números reais que incluísse, para além desses, números ‘ideais’

infinitos e infinitesimais e no qual continuassem a verificar-se as leis

usuais dos números ordinários. Estes dois objetivos, assim

formulados, são contraditórios!” [Pinto (2000), p.22]

Quanto a quadratura Leibniz tomou como base a soma de áreas de retângulos

infinitamente pequenos entre a curva e o eixo das abscissas, empregando para tal soma das

áreas a notação ydx∫ . Note que não há referência quanto ao intervalo de integração. Mas,

pela suas aplicações pode-se inferir que ele considera a abscissas variando de zero a um

certo valor x.

“A diferença da área OCB)

(a diferença de dois valores consecutivos

daquela área) é o retângulo ydx à extrema direita: d ydx ydx=∫ o que

mostra a relação inversa entre d e ∫ . Reciprocamente dy y=∫ [7],

que é imediatamente evidente.” [Baron (1985), p.60]

Tem-se neste trecho a revelação, por parte e ao modo, de Leibniz do Teorema

Fundamental do Cálculo. Leibniz emprega processos simples e diretos. Ao que parece para

ele tudo é simples e natural. É importante frisar que Leibniz foi um pensador respeitado e

que se permitiu versar sobre filosofia, teologia, leis, história, economia, lingüística, lógica e

probabilidade, e penso que em outras coisas mais – seus impulsos não devem ter parado

por aí.

7 No início Leibniz havia adotado outra forma de notação para a quadratura. [destaque meu]

44

Interessante perceber a versatilidade do pensamento de Leibniz com o que ele

chamou de transmutação. Bem que esta idéia não se originou8 com Leibniz, mas ele,

desconhecendo que já a haviam utilizada, muito se impressionou com tal descoberta, dado

o seu poder no auxílio de algumas quadraturas.

“Leibniz utilizou o triângulo característico para deduzir uma regra

geral de transformação para as áreas sob curvas, que ele chamou ‘a

transmutação’. O teor dessa regra, que se encontrou em 1673, pode ser

resumido da seguinte maneira: a área sob uma curva pode ser

considerada como sendo a soma das áreas de retângulos pequenos,

mas também como sendo a soma das áreas de triângulos pequenos,

situados como na figura. Portanto área OcCB = (∑ triângulos Occ′) +

+ OCB∆ . Considere agora a tangente cg que intercepta o eixo vertical

em s, e seja Op perpendicular à tangente. Então áreaOcc′= 1

2cc Op′× .

O triângulo característico cdc′ é semelhante ao Ops∆ , de sorte que

: :cd cc Op Os′ = , logo cc Op cd Os′× = × . Agora, trace sq paralelo ao

eixo interceptando as ordenadas bc e b c′ ′ em q e q′ respectivamente;

então: áreaOcc′= 1 1 1

2 2 2Op cc Os cd′× = × = área bqq b′ ′ . Queremos

agora somar as áreas Occ′ , a fim de encontrarmos a quadratura da

curva OcC. Para realizarmos isso, marcamos para cada ponto c na

curva o ponto correspondente q, o qual gera uma nova curva OqQ.

temos então:áreaOcCB=(∑ Occ′∆ ) ( )1

2OCB bqq b OCB′ ′+∆ = + ∆ =∑

1

2= áreaOqQB OCB+ ∆ . Essa é aregra de transmutação.” [Baron

(1985), p.47-8]

Assim, por meio da transmutação a quadratura de uma dada curva é trocada por

outra, construída a partir das tangentes da primeira. Isso, é claro, passa a ser interessante se

a quadratura da segunda for mais fácil do que da primeira. A engenhosidade de tal

procedimento é marcante, e mostra o quanto Leibniz foi um pensador virtuoso que buscava

novas formas de abordagens, e de soluções de problemas.

8 Elas estavam também presente nos trabalhos de Barrow e Gregory.

45

Leonhard Euler

Rapidamente apresentarei uma pequeníssima passagem da vasta obra do mestre

Euler (1707 – 1783) discípulo da família Bernoulli, que por sua vez havia dado

continuidade as idéias de Leibniz.

O trecho que apresentarei consta da obra Introductio Analysin Infinitorum. Ver-se-á

um desenvolvimento algébrico mais direto. Euler foi um exímio algebrista e calculista. O

que segue aqui é o seu desenvolvimento9 algébrico para se definir o número irracional e –

aliás, símbolo por ele inventado.

Para 1a > , seja 0 1a = , assim para um valor ε infinitamente pequeno tem-se:

1a kε ε= + . Se assinalarmos um número real positivo, xε , este será um número

infinitamente grande, que pode ser escrito como sendo o número v infinito. O que nos

conduz a: ( ) ( )1v vx va a a kε ε ε= = = + . Para este último recorrendo a fórmula do binômio

de Newton, tem-se:

( ) ( ) ( )21 1 ... 11 1 ... ...

2! !

v nx v v v v v nkx kx kx kx

a vv v v n v

− − − + = + = + + + + +

que pode ser reescrito como:

( ) ( ) ( ) ( )221 1 2 1

1 ... ... ...1! 2! !

nx nv v v v nk k k

a x x xv v v v n

− − − − + = + + + + ⋅ ⋅ ⋅ +

Euler considera v infinitamente grande e sem mais detalhes escreve:

( ) ( ) ( )1 21 ... ...

v v v j

v v v

− − −= = = = =

E com algumas manipulações algébricas obtém:

221 ... ...

1! 2! !

nx nx x x

a k k kn

= + + + + +

Em seguida define o número e fazendo 1x = , para a constante k também igual a 1.

9 Em linhas gerais segue a apresentação dada por Sousa Pinto (2000).

46

1 1 11 ... ...

1! 2! !e

n= + + + + +

Decorrendo então: 2

1 1 ... ...1! 2! !

v nx x x x x

ev n

= + = + + + + +

Lembrando que para

Euler v é um número infinito.

Joseph Louis Lagrange

Antes de chegar em Bolzano e Cauchy, faço uma sucinta apresentação da idéia de

derivada10 de Lagrange (1736 – 1813).

Se conduzindo por uma regra levantada por Leibniz, que dizia respeito a relação

entre diferenciais de ordem superiores do produto de duas variáveis e as potências de

mesma ordem do desenvolvimento binomial destas variáveis. Assim, considerou a função

( ) 1

1f x

x=

−, que ao ser expandida por divisão fornece a série finita 21 ... ...nx x x+ + + + + ,

já conhecida por muitos. Em posse desta expansão Lagrange por suposições, tais como

toda função pode assim ser expandida, o que não é um factível. Sem ter-se percebido deste

lapso, ele considerou que se, em tal expansão, multiplicarmos cada termo nx por !n ,

tínhamos a derivada n-ésima da função ( )f x . Lagrange então criou, para estas derivadas,

a notação: ( )f x′ , ( )f x′′ , ..., ( ) ( )nf x , e assim por diante. Pensou, Lagrange que com este

procedimento teria evitado a necessidade de limites e de infinitésimos.

De Bolzano a Dedekind11

Até aqui objetivei trazer passagens da história do Cálculo/Análise, sem querer

esgotar a todas, mas que realçassem os primeiros pontos conceituais fundados então para

servir de base para o novo desenvolvimento da quadratura e da tangente, já se mostrando

em uma notação própria e insinuando-se para a necessidade de conceitos mais bem

definidos. As associações com as formas geométricas foram uma constante, salvo as duas

últimas apresentações, a de Euler e a de Lagrange, que já faziam uso natural das

expressões algébricas.

10 Palavra cunhada por Lagrange. 11 A partir de Bolzano a referência bibliográfica principal será Bottazzini (1986).

47

A falta de consistência das formas ditas indivisíveis e dos infinitesimais, que

Lagrange procurou evitar, será a partir deste ponto abordada por Bolzano, Cauchy,

Weierstrass, entre outros.

A forma de se trabalhar o Cálculo/Análise, ao redor do período em que viveram

Newton e Leibniz, conduziu-se por meio de forte apelo a intuição geométrica, mas

concomitantemente permitiu uma evolução do trato, da manipulação das expressões

algébricas, que acabaram por se mostrar, nos primeiros momentos, carentes de uma melhor

definição e delimitação semântica, pois esta estavam sendo feitas justamente neste

processo de construção do Cálculo/Análise. Daí tornar-se tarefa difícil a emissão de juízo

de valores categóricos. Não vejo todo este movimento feito, por enumeráveis matemáticos

e pensadores, com uma conotação de tempo perdido, como por vezes se tende a fazer. Vejo

os modos humanos de construir um viver nas mais complexas relações. A matemática não

se exclui deste universo complexo de tessituras inumeráveis.

O que deixa forte marca nesta história matemática registrada em documentos e

livros, pelo menos com relação ao que nos chegam, é o vínculo persistente com o herdado

rigor matemático da grécia antiga. Isto que nos dá a sensação da matemática ser um corpo

único e de história retilínea no sentido posto por Hankel. É claro, que se vista nos detalhes,

isto pode ser questionado, mas no geral, os novos caminhos procuram por um todo

organizado. Neste sentido, que percebo a construção da álgebra, que de ferramenta

paralelamente aplicada a geometria ganha contornos próprios através de aplicações e de

questionamentos profundos.

Este momento histórico evidenciou a eclosão da álgebra e o seu tratamento

analítico. Com o Cálculo/Análise os novos elementos matemáticos exigiram novas formas

de argumentações, são os casos dos conceitos de função, de limite, de continuidade, e

todos eles associados ao comportamento dos ditos números reais. E para melhor definir

estes conceitos é que chego nesta parte final deste capítulo.

Rumando à aritmetização da Análise trarei alguns conceitos de alguns matemáticos

em detrimento de outros. Vários e importantes nomes estão associados as idéias que

levantarei, mas elegi aqueles cujos nomes mais freqüentemente aparecem na elaboração de

teoremas na Análise.

Assim feito, retomo com Bernhard Bolzano (1781 – 1848 ). Pode-se dizer que o

rigor analítico na Análise começa a se consolidar, em um artigo de 1826, com as idéias de

48

uma monge boêmio12 chamado Bernhard Bolzano. Este monge viveu em Praga, e que lá

permaneceu, em seu tempo, distante dos focos mais efervescentes das idéias matemáticas,

que foram: França, Inglaterra, Alemanha e Suíça, contudo ele era conhecedor do que por

essas bandas estavam fazendo. Mas, por este distanciamento, que se diz, que o seu trabalho

não teve rápida influência na Europa.

Bolzano demonstrou o teorema do binômio – muito empregado na Análise,

conforme já vimos, e deu um estudo detalhado do comportamento de ( )1n

x+ , com n real,

deixando de lado os casos em que x e n são números imaginários, bem como o caso em que

n é irracional numa potência de número negativo, alegando que o conhecimento que se

tinha até aquele ponto não permitia analisá-los.

Bolzano faz uma crítica ao emprego geométrico nas demonstrações em Análise,

dizendo que isso cria certos vícios. Bem como não concorda com a utilização de tempo e

de movimento nas demonstrações que solicitam o conceito de continuidade no tratamento

com funções. A partir destas críticas, Bolzano introduz na Análise um critério de

convergência fazendo considerações sobre séries – um antigo e permanente recurso

empregado no Cálculo/Análise. Neste ponto, Cauchy desenvolverá, tempos depois, suas

idéias de forma semelhante a de Bolzano.

A única observação restritiva que coube fazer ao trabalho de Bolzano deve-se a

falta de uma teoria rigorosa de números reais, que virá com Dedekind e Cantor.

Bolzano começa anunciando:

( )2 ... rrA Bx Cx Rx F x+ + + + = e ( )2 ... ...r r s

r sA Bx Cx Rx Sx F x+++ + + + + + =

Estabelecendo a seguir o seguinte teorema:

“Theorem. When a sequence of quantities

( ) ( ) ( ) ( )1 2, ,..., ,...,n n rF x F x F x F x+ [i.e. a sequence of partial sums]

has the character that the difference between its nth member ( )nF x

and very later ( )n rF x+ , no matter how far distant it may be, remains

smaller than every given quantity when n is taken large enough, then

there is always a certain constant quantity, and only one, which the

12 Segundo Boyer (1987).

49

terms of this sequence always approach and can come as near to it as

one wishes when the sequence is extended far enough.” [Bottazzini

(1986), p.99]

Este teorema, que passou a ser conhecido como sendo de Cauchy, aponta para uma

nova formalização na Análise, os famosos - ε δ . Abaixo segue outro teorema, que passou

a ser um marco também, enunciado por Bolzano e um roteiro de demonstração empregado

por ele.

“Theorem. If a property M does not belong to all values of a

variable quantity x , but to all that are smaller than a certain u , then

there always is a quantity U which is the largest of those for which it

can be said that all smaller x have the property M .” [Bottazzini

(1986), p.100]

Desde que M é válido para todo x menor do que u , mas não para todo x , então existe uma quantidade V u D= + ( 0D > ) para o qual pode-se dizer que M não pertence a

todo x V< . Considere-se a quantidade: / 2mu D+ , com m N∈ .

Se M pertence a todos x menor do que / 2mu D+ , para todo m. Assim este u é o maior valor para o qual é verdade que todo x u< possui a propriedade M .

No caso contrário, Bolzano, por meio de raciocínios baseados na reiteração do

mesmo argumento, constrói uma série convergente: ...2 2m m n

D Du ++ + +

Se U é a soma desta série, então M é verdadeira para todo x U< . Em seguida ele

mostra, sem dificuldade, que M não é verdadeiro para x U ε< + .

Aqui, notamos a diferença entre muitas demonstrações vistas até então. Bolzano

emprega fundamentações puramente analíticas, não recorrendo a chamada intuição

geométrica.

Bolzano comenta que o referido teorema será de grande importância para todos os

ramos da matemática. Ao que parece ele estava certo. Este teorema vem ao encontro do

que hoje constitui um conjunto de conceitos que embarcam: Ponto de Aderência, Ponto de

Acumulação, Vizinhança, Supremo e Ínfimo, conceitos iniciais na Análise Moderna.

Em 1821, Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857), decide escrever e publicar uma

série de lições de Análise Matemática que ele havia dado na École Polytechnique.

Instituição em que se formara tendo aulas com Poisson, Lacroix, Ampère e Lagrange.

50

Foi com o trabalho e Lagrange13 que Cauchy notou que uma atenção maior deveria

ser dada ao emprego de séries. Ele, então, afirmou que uma série se divergente, não possui

soma. Completando: argumentos tirados exclusivamente da álgebra não podiam servir de

base de uma análise precisa.

As idéias de Cauchy foram imprimidas em seu livro Cours d’analyse, que mais

tarde ele o resume, para uso de seus alunos na École Polytechnique, num livro cujo título é:

Le Calcul Infinitésimal.

O Cours d’analyse passou a ser uma manifestada referência na lida com a Análise.

Nas palavras de Abel: "deve ser lido por todos os analistas que gostam de rigor em

pesquisas matemáticas" [Bottazzini (1986), p.102]

Na introdução de seu livro Cauchy, diz:

“As for methods, I have sought to give them all the rigor that one demains in

geometry, in such a way as never to revert to reasoning drawn from the generality of

algebra. Reasoning of this kind, although commonly admitted, particularly in the passage

from convergent to divergent series and from real quantities to imaginary expressions, can,

it seems to me, only occasionally be considered as inductions suitable for presenting the

truth, since they accord so little with the precision so esteemed in the mathematical

science. We must at the same time observe that they tend to attribute an indefinite

extension to algebric formulas, whereas in reality the larger part of these formulas exist

only under certain conditions and for certain values of the quantities that they contain. In

determining these conditions and these values. I have abolished all uncertainty. … It is true

that, in order to remain continually faithful to these principles, I was forced to admit many

propositions that perhaps seem a bit severe at first sight.” [Bottazzini (1986), p.102]

O intento de Cauchy foi obtido ao definir precisamente limite e isso lhe permitiu

dar significado preciso aos infinitesimais, bem como das infinidades positivas e negativas.

Bem que, intuitivamente, esta maneira de tratar os infinitesimais, já estivesse presente na

mentes de muitos matemático da época. Mas, o que está em questão aqui também é a

formalização da mesma, sem apelo geométrico, e sem suposições vagas.

Com sua forma de tratar as séries, ficou claro que a partir deste trabalho não se

poderia mais ignorar se uma dada série era convergente ou divergente.

13 Teoria das Funções Analíticas, da qual expus um trecho.

51

A definição se Cauchy, tornou-se clássica:

“When the successive numerical values of the same variable decrease

indefinitely in such a way as to fall below any given number, this

variable becomes what one calls an infinitesimal or an infinitely small

quantity. A variable of this kind has zero as a limit.

When the successive numerical values of the same variable increase

more and more in such a way as to rise above every given number, we

say that this variable has positive infinity for a limit, indicated by the

sign ∞ if it is a positive variable, and negative infinity, indicated by

the symbol−∞ , if it is a negative variable.” [Bottazzini (1986), p.103-

4]

Prossegue então Cauchy, definindo continuidade de uma função14:

“Let ( )f x be a function of the variablex , and let us suppose that, for

every value of x between two given limits, this function always has a

unique and finite value. If, beginning from one value of x lying

between these limits, we assign to the variable x an infinitely small

incrementα , the function itself increases by the difference

( ) ( )f x f xα+ − , which depends simultaneously on the new variable

α and on the valuex . Given this, the function ( )f x will be a

continuous function of this variable within the two limits assigned to

the variable x if, for every value of x between these limits, the

numerical value of the difference ( ) ( )f x f xα+ − decreases

indefinitely with that of α . […] In other words, the function ( )f x

will remain continuous with respect to x within the givens limits if,

within these limits, an infinitely small increase of the variable always

produces an infinitely small increase of the function itself.” [Bottazzini

(1986), p.104-5]

No Cours d’analyse, Cauchy dedica várias páginas analisando o comportamento de

alguns valores singulares em algumas funções, que envolvem "um dos mais importantes e

14 Até aqui ainda não se possui uma definição bem delimitada para função, bem como de números reais.

52

mais delicadas questões de análises"15 , que é o estudo dos limites de funções quando

x = ±∞ e 0x = , o que conduz as chamadas formas indeterminadas do tipo 00 , ∞

∞ ,

∞ − ∞ , 0⋅∞ , 00 , 0∞ , 1∞ .

Posto isto formula os seguintes teoremas:

“Theorem I. If, for increasing values of x , the difference

( ) ( )1f x f x+ − converge towards a certain limit k, the fraction

( )f xx will converge towards the same limit at the same time.

Theorem II. If, the function ( )f x being positive for very large

values of x , the ratio ( )( )

1f xf x

+ converge towards the limit k as

x increase indefinitely, the expression ( )1

xf x will converge

towards the same limit at the same time.” [Bottazzini (1986), p.109]

Como último elemento do trabalho de Cauchy apresento sua definição de derivada.

Neste ponto ele critica abertamente a forma definida por Lagrange, dado que ele,

Cauchy, tinha em vista todo um estudo de séries, mas um interessante é que ele emprega a

notação de derivada de seu professor Lagrange. Ao mesmo tempo diz-se grato pelas idéias

de Ampère, que também fora seu professor.

“When the function ( )y f x= remains continuous between two given

limits of the variable x and one assigns to this variable a value

included between the two limits in question, an infinitely small

increase in the variable produces an infinitely small increase in the

function itself. As a consequence, if one then sets x i∆ = , the two

terms of the ratio of differences [rapport aux differences]

( ) ( )f x i f xy

x i

+ −∆ =∆

, will be infinitely small quantities. But, while

these two terms will indefinitely and simultaneously approach the

limit zero, the ratio itself can converge towards another limit, either

positive or negative. This limit, when it exists [my emphasis], has a

15 Bottazzini – 1986 – p. 108.

53

determinate value for every particular value of x , but it varies with x .

… The form of the new function that will serve as the limit of the ratio

( ) ( )f x i f x

i

+ −, will depend on the form of the proposed function

( )y f x= . To indicate this dependence, we give the new function the

name of derived function, and designate it, with the aid of an accent,

by the notation 'y or ( )'f x .” [Bottazzini (1986), p.119-20]

Analiticamente é interessante ver como Cauchy desenvolve a idéia de diferencial

de uma função ( )f x , como ele diz, recorrendo a notação de Leibniz: “o limite para o qual

o primeiro membro da equação: ( ) ( ) ( ) ( )f x h f x f x i f x

hi

αα

+ − + −= , [sendo i hα= ],

converge quando a variável α se aproxima indefinidamente à zero, enquanto a quantidade

h permanece constante. No caso particular de ( )f x x= , a equação ( ) ( )'df x hf x= reduz-

se a dx h= , do qual ( ) ( )'df x f x dx= , ou o equivalente: 'dy y dx= . Isso, afirmou

Cauchy: permite-nos escrever a primeira derivada como dy dx, isto é, como razão entre o

diferencial da função e aquele da variável.”16

O trabalho de Cauchy segue adiante, mas neste ponto deixo de descrever suas

idéias, pois o objetivo é apresentar suas idéias iniciais que historicamente marcaram o

ensino e o desenvolvimento do Cálculo/Análise, bem como dar uma amostra do quando ele

vai se aprofundando na formalização analítica do Cálculo/ Análise, sem recorrer as

chamadas intuições geométricas. O termo que estará sempre presente em seu trabalho é o

infinitesimal, tanto que dá título ao seu resumo do Cours d’analyse, pois ele entende que,

com os conceitos introduzidos por ele, isto já esteja esclarecido.

Na segunda metade do século XIX, a Análise dá um novo salto na construção de

sua aritmetização, entre outros, com Karl Weierstrass (1815 – 1897). Weierstrass advogava

a necessidade de melhor se formalizar o conceito de número. Leibniz havia considerado

que a continuidade dos pontos sobre uma reta se bastava com o fato da densidade da

mesma. O conjunto dos números racionais possue esta propriedade e no entanto não

constituem um continuum. Neste ponto uma nova abordagem sobre números reais será

dada com as idéias de George Cantor (1845 – 1918), no que diz respeito à cardinalidade

dos conjuntos com infinitos elementos, que aqui não detalharemos.

16 Segundo Bottazzini – 1986 – p. 120.

54

As idéias de Weierstrass acabaram por difundir através de seus alunos, e entre eles

Heine (1821 – 1881), que, de 1872, em seu Elemente, seguindo o pensamento do mestre,

definiu o limite de uma função ( )f x em 0x , da seguinte forma:

“Se, dado qualquer ε , existe um 0η tal que para 00 η η< < a

diferença ( )0f x Lη± − é menor em valor absoluto que ε , então L é o

limite de ( )f x para 0x x= ” [Boyer (1987), p. 411]

Nesta definição, que por vezes se chamou de “teoria estática da variável”, nota-se

uma mudança se comparada com a definição proposta por Cauchy, que recorria às frases:

“valores sucessivos”, “aproximar-se indefinidamente” e “tão pequeno quanto se queira”.

Weierstrass ainda considerava estas frases carentes de precisão, daí corroborar para com a

definição elaborada por Heine. O interessante de salientar é que, ainda hoje, nas aulas de

Cálculo há muito apelo para frases semelhantes às colocadas por Cauchy, bem como a

intuição geométrica. Matematicamente está se distanciando do rigor e da precisão, mas

como recurso didático para um primeiro momento de introdução ao assunto é

sugestivamente atraente.

Com esta postura Weierstrass-Heine retiram espaço do Cálculo/Análise o renitente

objeto infinitesimal, cujo termo nem aparece em suas exposições, a não ser na crítica que

tecia com relação a estes.

Outra contribuição importante de Weierstrass à Análise matemática foi:

“[...] a representação como série de potências de uma função ( )f x

em torno de um ponto 1P no plano complexo converge em todos os

pontos internos a um círculo 1C com centro em 1P e que passa pela

singularidade mais próxima. Se agora, expandirmos a mesma função

em torno de um segundo ponto 2P diferente de 1P mas internos a 1C ,

essa série convergirá dentro de um círculo 2C tendo 2P como centro e

passando pela singularidade mais próxima de 2P . Esse círculo pode

envolver pontos fora de 1C , portanto prolongamos a área do plano em

que ( )f x está analiticamente definida. Weierstrass por isso definiu

uma função analítica como uma série de potências juntamente com

55

todas as que podem ser obtidas dela por prolongamento analítico.”

[Boyer (1987), p. 412]

Na edição de 1872 no Crelle’s Journal Heine havia publicado os primeiros artigos

sobre elementos da teoria das funções, de acordo com as idéias de Weierstrass. No mesmo

ano, Dedekind (1831 – 1911) e Cantor publicaram suas teorias sobre números reais, as

quais juntaram-se àquelas de Weierstrass, dando uma rigorosa sistematização aritmética de

continuidade. Provando ser esta uma questão primordial para qualquer tratamento

aritmético da análise.

Para Richard Dedekind,conforme consta no início de seus livros Essays on the

Theory of Number – que motivado pelas aulas de Cálculo que ministrava na Escola

Politécnica de Zurique –, a questão mais premente era encontrar uma rigorosa

fundamentação aritmética para o Cálculo Diferencial.

Entusiasmado por suas convicções quanto a continuidade e os números irracionais,

Dedekind, parodiando o aforismo de Platão: “Deus geometriza”, cria a frase:“O homem

aritmetiza”.

Interessante notar que Dedekind foi aluno de nada mais nada menos: Gauss; e

assistiu as penetrantes e profundas (segundo ele próprio) conferências e seminários de

Dirichlet, sobre Integração e teoria das potências, bem como a teoria dos números.

Durante os tempos de estudante, em 1950, Dedekind tinha assistido aulas de

Cálculo Diferencial e Integral dadas por Stern (1807 – 1894), e este comentou que a

dificuldade inerente ao Cálculo Infinitesimal não era de natureza matemática mas sim de

lógica, e que a “Matemática não havia analisado o conceito de contínuo”.

Dedekind disse, talvez motivado por Stern:

“We often say that the differential calculus is concerned with

continuous magnitudes, and yet a clarification of this continuity is

nowhere given. Even the most rigorous presentations of the

differential calculus do not base their proofs on continuity, but instead

either appeal with greater or lesser awareness to geometrical images or

to those induced by geometry, or rely on theorems which themselves

are never proved using purely arithmetical methods [my emphasis]”

[Bottazzini (1986), p.266]

56

Sobre o emprego do argumento geométrico, Dedekind diz: “realmente é

indispensável se a pessoa não deseja perder muito tempo", e continua: "Ninguém que

queira manter esta forma de introduzir o cálculo diferencial pode fazer qualquer

reivindicação quanto a ser este científico."17

Recusando o recurso da evidência geométrica como forma de se “fundamentar” o

Cálculo Diferencial, Dedekind percebe a necessidade de se buscar a verdadeira origem dos

teoremas do Cálculo Diferencial, para fundamentá-lo, nos elementos da aritmética. E ele

acreditava que isso repousava em uma real definição da essência do conceito de

continuidade.

Assim, primeiro estudando as propriedades dos números racionais R, das quais

Dedekind selecionou as de maior importância:

“ I. Se a b> e b c> , então a c> . …

II. Se a e c são dois números distintos, então há infinitos números distintos entre

a e c .

III. Se A é algum número finito, então todo número do sistema R pode ser

dividido em duas classe, 1A e 2A , cada uma contendo infinitamente muitos

elementos; a primeira classe 1A inclui todos os números 1a que s ão a< , a segunda

classe 2A inclui todos os números 2a que são a> .”18

O caminho seguido por Dedekind teve por base a propriedade ordenada da linha

reta, por meio da qual se é capaz de formular “uma precisa caracterização de continuidade,

que pode ser usada como base para validar deduções”. (Dedekind) [Bottazzini (1986),

p.267]

Assim, considerando que cada ponto p desta linha divide-a em duas partes – dado

que a reta esta orientada – cada ponto de uma parte estará a esquerda de cada ponto da

outra parte.

Com isso, Dedekind considera que resolve a questão com o seguinte princípio:

17 [Bottazzini (1986), p.266] 18 Idem.

57

“If all the points of the straight line fall into two classes in such a way that every

point of the first class lies to the left of every point of the second class, then there exists

one and only one point which produces this division of all points into two classes, thus

cutting the straight line into two parts.” [Bottazzini (1986), p.267]

“Este princípio evidente que muitas pessoas tomarão por banal, ficarão

desapontados ao ver que o segredo de continuidade fora revelado por esta trivialidade.”19

Depois de definir a continuidade de uma maneira axiomática, Dedekind deixa em

aberto o caminho para a aritmetização da Análise, através dos hoje conhecidos Cortes de

Dedekind. Representando um corte por ( )1 2;A A do campo dos racionais, este possui as

seguintes propriedades: 1) que todo número da classe 1A é menor do que todo número da

classe 2A , e 2) que, ou a classe 1A tem um máximo ou a classe 2A um mínimo e vice-

versa.

Em seguida, Dedekind diz que facilmente pode se perceber que existe infinitos

cortes que não podem ser produzidos por números racionais. O exemplo imediato é o 2 .

E segue:

“Now every time a cut ( )1 2;A A appears which is produced by no

rational number, then we create, a new, irrational number α , which

we regard as being completely defined by this cut ( )1 2;A A . We will

say that the number α corresponds to this cut, or that it produces this

cut” [Bottazzini (1986), p.268]

Desta forma Dedekind constrói um novo domínio numérico, o dos reais, em bases

axiomáticas, onde cada corte ( )1 2;A A determina um único número real e cada número real

determina um único corte.

Mas aqui podemos perceber uma influência da intuição geométrica na construção

axiomática da continuidade por Dedekind.

Em junho de 1876, Lipschitz (1832 – 1903) escreveu para Dedekind:

“I must confess that I do not deny the justification of your definition,

but I am of the opinion that it differs from what the ancients

19 [Bottazzini (1986), p.267]

58

established only in the form of the expression and not in the content. I

can only say that I hold the definition given in Euclid V, 5, which I

quote in Latin: rationem habere inter se magnitudines dicuntur, quae

possunt multiplicae sese mutuo superare [magnitudes are said to have

a ratio to one another which are capable, when multiplied, of

exceeding one another] and what follows, to be entirely as satisfying

as yours.” [Bottazzini (1986), p. 268]

Dedekind foi de opinião determinantemente contrária a de Lipschitz, respondendo

que o ponto de partida de Euclides foi completamente insuficiente para o propósito em

questão: a essência da continuidade.

Lipschitz, continua:

“I know very well that you will object that it is not enough for you to

derive the existence of a ratio from a geometrical construction. I

answer this as follows. The human spirit has in large part drawn the

strength that it now has from its occupation with geometry. The rigor

goemetricus has served the highest requirements for thousands of

years. If we now set up other requirements, then we owe this in larger

part to the occupation with geometry, and these requirements are also

not yet substantially different.” [Bottazzini (1986), p. 269]

Aqui transparece um apego as tradições gregas pela cultura ocidental européia.

Permite vislumbrar também a presença de um grande projeto, tacitamente conduzido, em

torno da construção de um pensamento único, lapidado pelas vivências ocidentais de

conquistas advindas dos tempos imemoráveis da cultura helênica. Sendo a matemática o

carro chefe deste projeto “inabalável”, colocado a toda prova constantemente pelos seus

próprios cultivadores. Daí a dificuldade em se aceitar novas formas, dado que se acredita

em demasia na forma antiga. Mas ainda esta resistência já é própria do ambiente

matemático – o da provação, basta lembrar de Zenon de Eléia e seus paradoxos, tão

próximo desta discussão pelos geômetras (ou algebristas? ou aritmeticistas?) dos séculos

XVII, XVIII e XIX. A diagonal do quadrado de lado unitário e os incomensuráveis tão

próximos e tão distantes. O rigor matemático advindo da Grécia Antiga é que nos arrasta

até Dedekind. E eu diria que não houve rompimento, mas uma contigüidade de idéias e

ideais. É claro que o ponto levantado por Lipschitz é com relação a necessidade de se criar

mais uma extensão matemática, dado que já se tinha uma há tempos.

59

Um resumo deste período pode ser lido em:

“At the end of the century the German word Funktionenlehre became

virtually synonymous with the theory of functions of a complex

variable according to Weierstrass’ principles. However, there was no

lack of opposition. Lie, for example, did not hesitate to write to

Darboux that it was entirely because of Weierstrass and his school that

there was no serious research in geometry in Germany. He even spoke

of the ‘great stupidities’ being uttered on this topic, which, apart from

the polemics, reveals a profound difference in his understanding of

mathematics. This difference was also shared (although in another

way), by men like Poincaré and Klein. The latter, in a talk delivered to

the Göttingen Society of Science on the occasion of Weierstrass’

eightieth birthday, recalled the ‘impulse’ that had given to

contemporary mathematics by Weierstrass’ rigor and Kronecker’s

extreme tendency ‘to ban irrational numbers and reduce mathematical

knowledge to relations between whole numbers alone.’ He then

continued,

‘I would like to include all of these development under one word: the

arithmetization of mathematics. … In this there lies, as you well

know, both a complete understanding of the extraordinary importance

of the development connected with this, and a rejection of the view

that the true contents of mathematics should already be completely

contained in a sort of extract of arithmetic. I must accordingly divide

my views into two parts, those positive and concurring and those

negative and dissenting. Since I do not see the arithmetical form of the

evolution of thought as the essence of the subject, but rather as a

logical sharpening achieved by this means, there follows the challenge

– and this is the positive side of my lecture – of subjeting the usual

disciplines of mathematics to a reworking with reference to the

arithmetical foundations of analysis. But on the other hand – and this

is the negative side – I have to maintain and firmly stress that

mathematics will never be completed by logical deduction, that in

relation to this intuition also retains its full specific importance.’

[Bottazzini (1986), p. 290].

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