실수 (Dedekind)(a+b)+c = a+(b+c), a+b=b+a, a+0=0+a=a, a+(-a)=0(ab)c= a(bc), ab=ba, 1a=a1=a, aa-1=1=a-1aa(b+c) = ab + aca, b ∊ P ↦ a+b ∊ P; a, b ∊ P ↦ ab ∊ P, a ∊ F a ≠ 0 ↦ a ∊ P 또는 – a ∊ P Dedekind cut

√2√2 무리수 , 초월수 ?

e Euler (1737), Hermite (1873) Pi Lambert(1761), Lindemann(1882)Lambert r 유리수인경우 tan r, er 무리수Hermite, Weierstrass a 가 대수수인경우 ea, log a 는 초월수 Hilbert 7 번 문제 a 대수수 , b 무리대수수인경우 ab 는 초월수이다 . (Gel’fond, Schneider 1934)

수는 어떻게 주어지는가 ?

Decimal representationLimits of sequencesSums of sequences Infinite product Continued fractions Definite integral Etc….

e= lim n-> (1+1/n)n

e = 2.71828183….. log x = x

1 dt/t, log(e) =1 e = n=1

1/n! e= [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1…](Euler)

현대 대수학

현대대수학은 수의 추상화를 연구한다 . 구조주의 (Levi-strauss, Chomsky) 의 시작점 각각에 대하여 증명할 필요가 없다 . 군 group환 ring 모듈 module체 field 대수 algebra

군 group

Binary operation *: G x G -> G Associative Identity a * e = e * a = aInverse a * a -1 = e = a-1 * a예 (Z, +), (Q, +), (R, +), (Q-{0},*), (R-{0},*), (C-{0},*)(Z/nZ, +), ((Z/nZ)x, *)아벨군 a*b = b*a

갈루아

Dihedral group{1,r,r2, …, r n-1, s, sr, sr 2,…,sr n-1}

Symmetric group A={1,2,3,…,n} f: A -> A, g: A -> A, g o f: A -> ACycle decomposition (135)(478)(29)Sn 은 아벨군이 아니다 . n>2

동형군

HomomorphismF: G -> H, F(g*h) =F(g)*F(h)Isomorphism homomorphism + bijection 동형인 것들은 그중 하나만 연구하면 된다 .

환 Ring(R, +, *) (I) (R, +) abelian group(II) x is associative(III) distributive law a*(b+c) = a*b + a*c Commutative a*b=b*aIdentity

환의 예

정수 Z, 유리수 Q, 실수 R, 복소수 CZ/nZ Z(D)={a+b D: a, b Z} Hamiltonian a+ b i + c j + d ki2=j2=k2=-1, ij = -ji=k, jk=-kj=I, ki=-ik=j

환의 예

다항식환 polynomial ringan x n + b n-1 x n-1 + … + a1 x + a0

행렬환 (aij)(a ij) + (bij) = (aij+ bij) (a ij) (bij) = ( k aik bkj)

모듈 Module(M, +, R)(M, +) abelian group, R ringR x M -> M (a) (r+s)m= rm + sm (b) (rs)m = r(sm) (c) r(m+n) = rm + rn 1m = m

모듈의 예

벡터공간 아벨군 ZnZmZkZZZZ텐서곱 GH0 -> A -> B -> C ->0exactnessHomologyA-> B-> C-> D-> E-> F ->0

체 (Field)Commutative ring Fidentity e for *, inverse for F-{0}R, Q Z/pZ p 는 소수 R(x), Q(x), Z/pZ(x)Field extension K F C = R + Ri R

체

Q + Q2Q( 2, 3)={a+b 2 + c 3 + d 6}[K, F]=K 의 차원

그리스 문제

자와 컴파스 만으로 (1) 2 배의 부피를 지닌 정육면체만들기(2) 각 삼등분하기 (3) 원과 면적이 같은 정사각형만들기 이문제들은 다할수 없다 ( 일반적인경우 )

그리스 문제의 해결

정리 : 작도로 얻어지는 수 a 는 [F(a), F] = 2m 을 만족한다 . (I) [Q(32), Q] = 3. 즉 32 는 작도할수 없다 . (II) =60 인경우 . a3 – 3a –1=0 의 해를 구하는 것과 같다 . [Q(a), Q]=3 이므로 a 를 작도할수 없다 ( 특정각은 가능하다 . 예 180, 90 등… )(III) [Q(), Q]= 이므로 는 작도할수 없다 .

아르키메데스 3 등각법

/3

1

5 차이상의 다항식

아벨 , 갈로와 의 해결 오차이상의 다항식의 해를 가지는 체를 F’ 이라고 하면 [F’, Q] 는 치환군을 대칭군으로 가지게 된다 . 그러나 루트형식의 해를 가지면 군은 solvable해야한다 . 그러난 5 와 5 이상의 치환군은 solvable 이 아니다 .

토의

추상화된 수학의 시작점은 무엇이라고 생각하는가 ? 추상화된 수학의 문제점은 무엇인가 ? 추상화된 수학의 장점은 무엇인가 ? 군 , 환 , 모듈 , 체의 과거 , 현재 , 미래 응용은 무엇인가 ?