DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN …

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

……..….***…………

BÙI THỊ THUÝ

DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA

CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 62 52 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội – 2017

Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ -

Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TSKH Nguyễn Văn Khang

Người hướng dẫn khoa học 2: TS Trần Đình Sơn

Phản biện 1: GS. TSKH Đỗ Sanh

Phản biện 2: GS. TSKH Nguyễn Tiến Khiêm

Phản biện 3: PGS. TS Lê Lương Tài

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Học

viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa

học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng …

năm 2017

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của luận án

Trong kỹ thuật, nhiều máy và công trình được thiết kế, cấu tạo

dựa trên các mô hình giảm chấn đàn nhớt cấp nguyên Kelvin-Voigt,

mô hình Maxwell và mô hình tuyến tính tiêu chuẩn…Tuy nhiên với

sự phát triển của khoa học công nghệ nói chung và cơ học nói riêng,

càng ngày càng có nhiều vật liệu mới ra đời (như cao su tổng hợp,

silicone…), những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp

nguyên không thể hiện được đầy đủ tính chất của vật liệu. Do đó

xuất hiện các mô hình đàn nhớt cấp phân số.

Với các vật liệu mới, các mô hình giảm chấn được tính toán với

phần tử đạo hàm cấp phân số. Từ các bài toán thực tế ta đã biết rằng

đối với những biến dạng lớn, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện.

Quy luật dao động của cơ hệ không còn đơn thuần là quy luật tuyến

tính, thay vào đó là quy luật phi tuyến. Do đó các nhà khoa học cần

phải có sự nghiên cứu chuyên sâu về dao động phi tuyến của cơ hệ

có đạo hàm cấp phân số để thiết kế những công trình, máy móc tối

ưu phục vụ nhu cầu cuộc sống. Việc thiết lập và giải các phương

trình vi phân mô tả đặc tính dao động phi tuyến của cơ hệ là rất cần

thiết trong kỹ thuật hiện đại.

2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu các hệ dao động

cơ học được biểu diễn về mặt toán học bởi các phương trình vi phân

cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Cụ thể, tìm nghiệm của các

phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số hệ đàn nhớt có

chứa đạo hàm cấp phân số.

2

3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu của luận án

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các hệ dao động được biểu

diễn bởi các phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân

số. Nội dung nghiên cứu là sử dụng phương pháp số Newmark,

phương pháp số Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận tìm nghiệm

phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số hệ đàn nhớt cấp

ba có đạo hàm cấp phân số, tìm ra tính chất dao động mới của cơ hệ.

4. Cấu trúc của luận án

Cấu trúc của luận án gồm: Phần mở đầu, ba chương nội dung,

phần kết luận chung và những đóng góp mới của luận án.

Chương 1: “Mô hình đàn nhớt cấp phân số”. Chương này giới

thiệu một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo hàm và tích

phân cấp phân số, mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính và phi

tuyến. Từ đó cho ta một cái nhìn tổng quan về đạo hàm và tích phân

cấp phân số và các mô hình đàn nhớt cấp phân số.

Chương 2: “Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm

cấp phân số bằng phương pháp số”. Chương này áp dụng hai phương

pháp số Newmark và phương pháp số Runge – Kutta tính toán dao

động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số, sau đó so sánh kết

quả giữa hai phương pháp số..

Chương 3: “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến

cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận”.

Trong chương này, nghiệm xấp xỉ của dao động cộng hưởng, điều

kiện ổn định của nghiệm dừng dựa trên lý thuyết Lyapunov được

khảo sát. Từ kết quả mô phỏng số, nghiên cứu ảnh hưởng của các

tham số của đạo hàm cấp phân số đối với đường cong biên độ tần số,

điều kiện ổn định của hệ, so sánh giữa hệ có đạo hàm cấp nguyên và

đạo hàm cấp phân số.

3

CHƯƠNG 1. MÔ HÌNH ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ

Chương 1 trình bày một số định nghĩa về đạo hàm và tích phân

cấp phân số của các tác giả khác nhau. Sử dụng định nghĩa đạo hàm

và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville, luận án đã trình

bày mối quan hệ giữa định nghĩa này với các định nghĩa khác về đạo

hàm và tích phân cấp phân số. Phần tiếp theo của chương trình bày

một số mô hình đàn nhớt cấp phân số trong các hệ dao động.

1.1. Một số kiến thức bổ trợ

Hàm Gamma

1

0

, 0x ss e x dx s

(1.12)

Hàm Mittag – Leffler

0

, 0.1

k

k

zz

k

(1.32)

Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên

1

0

lim .1

n Nna

Nj

j nt a t aD f t f t j

N n j N

(1.62)

1.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số

Theo Riemann – Liouville 0, 1p n p n

11

,( )

tnn pR p

a n

a

dD f t t f d

n p dt

(1.65)

Theo Grünwald – Letnikov

1

0

lim .1

p NG p

aN

j

j pt a t aD f t f t j

N p j N

(1.66)

Theo Caputo 0 1n p n

11

,

tn p nC p

a

a

D f t t f dn p

(1.83)

4

Theo hàm biến phức

1

1

2

p

p

C

p fD f z d

i z

(1.88)

1.3. Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính

Đàn nhớt tuyến tính là sự hợp thành từ các mô hình: đàn hồi

tuyến tính,nhớt tuyến tính cấp nguyên và nhớt tuyến tính cấp phân số

Hình 1.3. Mô hình

đàn hồi tuyến tính

0.E D


nhớt tuyến tính cấp

nguyên 1.D


nhớt tuyến tính cấp

phân số . tc D

1.3.1. Mô hình Kelvin – Voigt cấp phân số (hình 1.6 )

Phương trình vi phân chuyển động

.tmx t cD x t k x t F t (1.107)


Kelvin – Voigt


Maxwell


tuyến tính tiêu chuẩn

1.3.2. Mô hình Maxwell cấp phân số (hình 1.8)


2 .t t t t

cm cD x t m D x t cD x t F t D F t

k k

(1.113)

σ E

σ

c, α

σ

σ η

σ

σ

x(t) F t

k c,α c,α

x t F t

k 1x

2x

c,α

F t x t

1x

2x

2k

k1

5

1.3.3. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (hình 1.10)


21 2 1 1 2

1 2 .

t t t

t

cm D x t k k mD x t k c D x t k k x t

c D F t k k F t

(1.119)

1.3.4. Mô hình đàn nhớt của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân

số

Hình 1.12. Mô hình ô tô Hình 1.14. Mô hình giá treo ô tô

Ví dụ 1. Phương trình vi phân dao động của ô tô (hình 1.12)

Gọi x và u là dịch chuyển của vật và bánh xe. Giả thiết độ cứng

của lót trục có thể được biểu diễn bằng một lò xo tương đương với

độ cứng k. Phương trình vi phân dao động của ô tô

1 11 1 1 1

2 2 2

.t t t t

c kc c kck k kx x D x x D x D u u D u

c m m mc m m mc

(1.128)

Ví dụ 2. Phương trình vi phân dao động của giá treo ô tô (hình 1.14)

Gọi x1, x2 và u là dịch chuyển của các vật và bánh xe. Ta có

phương trình vi phân dao động

11 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2

1 2 2 2 1 2 1 2

12 1 2 1

2 2 1 2 1 2

. (1.138)

t t

t t

c c c c c kckx x D x x D x x

m m m m m m m m

c c c kckD u u D u u

m m m m m m

x1

u

c1

k c2,α

m2

x2

m1

c1,α

x

k

m

z

u c2

6

1.4. Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến

Hình 1.16. Mô hình cổ điển Hình 1.17. Mô hình mới

Lực đáp ứng của hệ đàn nhớt cổ điển có dạng

nF kx cx (1.139)

Với các vật liệu mới, lực đáp ứng có chứa đạo hàm cấp phân số

p

vF kx c x D xb x (1.140)

Trong đó:

- Các hệ số: , ,k c là các hệ số của vật liệu.

- Các hàm điều chỉnh ,c x b x là hàm của x với 0 0 1c b .

Hàm b x để giải thích tác động của lực cản nhớt trong trường hợp

biến dạng lớn.

1.5. Kết luận chương 1

Chương 1 trình bày một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của

đạo hàm và tích phân cấp phân số. Đồng thời cũng trình bày các mô

hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính và các mô hình đàn nhớt cấp

phân số phi tuyến. Từ đó cho ta một cái nhìn tổng quan về đạo hàm

và tích phân cấp phân số.

CHƯƠNG 2. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA HỆ CẤP BA CÓ

CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ

Shimizu và Zhang [74] đã mở rộng phương pháp Newmark và

Dương Văn Lạc [4] đã mở rộng phương pháp Runge – Kutta để tính

toán dao động của hệ được mô tả bằng phương trình vi phân cấp hai

có chứa đạo hàm cấp phân số. Trong chương này, luận án phát triển

vF

nF

x x

7

ý tưởng trong các tài liệu [74] và [4] trình bày thuật toán tính toán

dao động của hệ được mô tả bằng phương trình vi phân cấp ba có

chứa đạo hàm cấp phân số.

2.1. Phương pháp Newmark tính toán dao động của hệ động lực

cấp ba

2.1.1. Ý tưởng của phương pháp Newmark

Ta xây dựng phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấp ba

dựa trên phương pháp Newmark giải hệ phương trình vi phân cấp hai

Trong đó véc tơ trạng thái của hệ ở thời điểm 1n nt t h được suy

ra từ véc tơ trạng thái đã biết ở thời điểm nt qua các khai triển

Taylor của dịch chuyển, vận tốc và gia tốc

1 11 ,n n n nh h q q q q (2.14)

2 21 1

1,

2n n n n nh h h

q q q q q (2.15)

2

3 31 1

1.

2 6n n n n n n

hh h h

q q q q q q (2.16)

2.1.4. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số

2.1.4.1. Phương trình vi phân dao động cấp phân số p p 0 1

Xét phương trình vi phân dao động cấp phân số

0 0 1R px t ax t b D x t cx t f t p

(2.25)

trong đó a,b,c là các hằng số.

Kết quả tính toán của hệ dao động được trình bày trong công bố số 1.

Ví dụ 2. Lấy các số liệu

0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin , 0.013

p a b c f t h

.

Ta có phương trình vi phân dao động:

1/201.3 0.5 0.25 0Rx x D x t x (2.45)

8

Với các điều kiện

đầu 0 0,x

0 1, 0 0x x

Ta có đồ thị dao

động hình 2.2.

Hình 2.2 cho thấy

dao động của hệ có

dạng dao động tuần

hoàn.

Hình 2.2. Dịch chuyển theo thời gian của

hệ dao động cấp ba (2.45)

2.1.4.2. Phương trình vi phân dao động cấp phân số 1 2 p p

Xét phương trình vi phân dao động cấp phân số

0 1 2R px t a D x t bx t cx t f t p (2.47)

trong đó , ,a b c là các hằng số.

Áp dụng quy tắc hợp thành ta có 0R p

nD x t tại thời điểm nt t

0 0 1

1

2

R pn n nD x t I I I

p

(2.54)

Trong đó

0 1

0 01

p p

n n

x xI p

t t (2.51)

20 1

1 1 1 11

2 , 2.2

nn

n p p pin n

x ihx xhI n

t h t ih

(2.56)

2

1 12

1 1

2 3

3 12 6

p

n n n n

n n

hI x x x

p p hh

p x h x

(2.59)

Thay phương trình (2.59) cùng các công thức Newmark của nx

9

và nx vào (2.47) ta tính được giá trị của nx như sau

0 13

1 1 1 13 2

2

1 1 1 12

1

1 1

4 2

1 1 1 11

2 6

3 14 2 6

1

p

n n n

n n n n

p

n n n n

n

ha b c x f t a I I

p h ph

x x x xhh h

ha x x p x h x

p hh

b x xh

21 1 1

11 (2.62)

2 6 2n n nh x h x

Ví dụ 5. Lấy các số liệu 3 2, 1, 1, 1, sin .3

p a b c f t

Ta có phương trình vi phân dao động:

3/20 sin

3

Rx D x t x x t

(2.65)

Với các điều kiện

ban đầu 0 0,x

0 0, 0 1x x

Đồ thị dao động

được biểu diễn trên

hình 2.5 có dạng dao

động tuần hoàn theo

thời gian.



Ví dụ 6. Lấy các số liệu 3 2, 10, 1, 10, 5sinp a b c f t . Ta

có phương trình vi phân dao động

3/2010 10 5sinRx D x t x x t (2.66)

10

Các điều kiện ban

đầu 0 0,x

0 0, 0 1x x .

Với các giá trị khác

nhau của , ta có đồ

thị dao động hình

2.6. Từ hình 2.6 cho

thấy khi tần số lực

kích động tăng thì

biên độ dao động

giảm.



2.2. Phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ động

lực cấp một

2.2.1. Ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta

Xét hệ phương trình vi phân dao động cấp một

0

0 0

t t t T

t

y f ,y

y y (2.70)

Tính gần đúng giá trị 1it y bởi 1iy .

1 1 2 3 4

12 2 ,

6i i y y k k k k (2.72)

Với

1

2 1

3 2

4 3

;

1;

2 2

1;

2 2

.

i i

i i

i i

i i

h t

hh t

hh t

h t h

k f ,y

k f ,y k

k f ,y k

k f ,y k

(2.73)

2.2.2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số

11

2.2.2.1. Phương trình vi phân dao động cấp phân số p 0 p 1

Xét dao động của hệ cấp ba được mô tả bởi phương trình

0 0 1R px t ax t b D x t cx t F t p (2.74)

Trong đó , ,a b c là những hằng số.

Đặt , ,y t x t z t x t s t x t (2.75)

Phương trình (2.74) đưa được về hệ phương trình cấp một sau

0

,

,

R p

y t z t

z t s t

s t as t b D y t cy t F t

(2.76)

Áp dụng quy tắc hợp thành

0

0

0 1,

1 1

t

R p p

p

y yD y t t d

p p t

(2.80)

Sau khi tích phân từng phần,

0

t

p

yd

t

đưa được về tích phân

xác định 1

0 0

( )

t tp

tI t y t d g d

(2.82)

Xấp xỉ tích phân iI t bởi công thức hình thang.

2

1 1

0

, 12 2i i i

i

i t j t j t i

j

h hI t g g g t i

(2.86)

Khi đó, hệ phương trình (2.76) trở thành

tq f ,q (2.88)

Trong đó 1 2 3

T Ty z s f f f q , , ; f , , ; (2.89)

1

2

1

3

,

,

010 .

1 1

p

p

f z t

f s t

z t I tf as t b y t cy t F t

p p

(2.90)

12

Ví dụ 8. Lấy các số liệu như ví dụ 2 (trang 7).

Ta có đồ thị dao

động hình 2.9. So

sánh ví dụ 2 và ví dụ

8 ta thấy: hình 2.2

(sử dụng phương

pháp Newmark) và

hình 2.9 (sử dụng

phương pháp Runge

– Kutta) có sự phù

hợp giữa các kết quả

được tính toán.



2.2.2.2. Phương trình vi phân dao động cấp phân số p 1 p 2

Xét dao động của hệ cấp ba được mô tả bởi phương trình

0 1 2R px t a D x t bx t cx t F t p (2.96)

Trong đó , ,a b c là những hằng số.

Từ (2.75), phương trình vi phân cấp ba (2.96) đưa được về hệ

phương trình vi phân cấp một

0

,

,

.R p

y t z t

z t s t

s t a D y t bz t cy t F t

(2.98)

Áp dụng quy tắc hợp thành đối với 0R pD y t với 1 2p

1

0 1

0

0 0 1,

1 2 2

t

R p p p

p

y y yD y t t t d

p p p t

(2.100)

Tích phân

1

0

t

p

yd

t

đưa được về tích phân xác định

13

2

0 0

( )

t tp

tI t y t d g d

(2.102)

Xấp xỉ tích phân iI t bởi công thức hình thang.

2

1 1

0

, 12 2i i i

i

i t j t j t i

j

h hI t g g g t i

(2.106)

Khi đó, hệ phương trình (2.96) trở thành

tq f ,q (2.108)

Trong đó 1 2 3

T Ty z s f f f q , , ; f , , ; (2.109)

1

2

2

13

,

,

011 0 0

2 2

.

p

p p

f z t

f s t

s t I tf a p y t z t

p p

bz t cy t F t

(2.110)

Ví dụ 10.

Lấy các số liệu như

ví dụ 5 (trang 9). Từ

hình 2.5 ( sử dụng

phương pháp

Newmark) và hình

2.11 (sử dụng

phương pháp Runge

– Kutta), ta nhận

thấy có sự phù hợp

giữa các kết quả

được tính toán.



14

Ví dụ 11. Lấy các số liệu như ví dụ 6 (trang 9).

Với các giá trị

khác nhau của

, ta có đồ thị

dao động (hình

2.12). Từ hình

2.6 và hình 2.12,

ta thấy có sự phù

hợp giữa các kết

quả được tính

toán thông qua

hai phương pháp

số.




Nhóm nghiên cứu của GS.Nguyễn Văn Khang (Trường Đại học

Bách Khoa Hà Nội) đã phát triển các phương pháp số Newmark và

Runge – Kutta xây dựng các thuật toán số giải hệ phương trình vi

phân có chứa đạo hàm cấp phân số. Một số kết quả đã được trình bày

trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [5] và [6].

Trong chương này, dựa trên ý tưởng của phương pháp tích phân

Newmark và định nghĩa đạo hàm cấp phân số của Riemann –

Liouville, một thuật toán số được phát triển để tính toán đáp ứng

động lực của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Dựa trên ý

tưởng của phương pháp Runge – Kutta, xây dựng một thuật toán giải

phương trình vi phân cấp ba của hệ có chứa đạo hàm cấp phân số.

Đối với phương pháp Runge – Kutta, ta biến đổi phương trình vi

phân dao động cấp ba có đạo hàm cấp phân số về hệ ba phương trình

15

vi phân cấp một. Do đó, phương pháp Runge – Kutta được tính toán

và lập trình trên phần mềm Matlab thuận tiện hơn so với phương

pháp Newmark. Qua các thí dụ tính toán trong nhóm nghiên cứu của

tác giả nhận thấy hai phương pháp này cho kết quả chính xác tương

đương nhau.

CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỘNG HƯỞNG CỦA

HỆ PHI TUYẾN CẤP BA CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP

PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIỆM CẬN

Dao động cộng hưởng của các hệ phi tuyến cấp ba, cấp bốn và

cấp n không chứa đạo hàm cấp phân số đã được GS.Nguyễn Văn

Đạo nghiên cứu kỹ trong các tài liệu [18], [47]. Trong chương này,

luận án áp dụng phương pháp tiệm cận nghiên cứu dao động cộng

hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Các kết

quả tính toán bằng phương pháp tiệm cận trong một số trường hợp

được so sánh với các kết quả tính toán bằng phương pháp số.

3.1. Dao động cộng hưởng của hệ được mô tả bởi phương trình vi

phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số

3.1.1. Dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ Duffing cấp ba có

chứa đạo hàm cấp phân số

Xét dao động của hệ Duffing được mô tả bởi phương trình vi

phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số sau

2 2 3 sin ,ppx t x t x t x t x t D x t E t

(3.1)

Kết quả tính toán của hệ Duffing được trình bày trong công bố số 3.

3.1.2. Dao động cộng hưởng của hệ van der Pol cưỡng bức cấp ba

có chứa đạo hàm cấp phân số

Xét dao động cưỡng bức của hệ phi tuyến cấp ba van der Pol

cưỡng bức được mô tả bởi phương trình vi phân

16

2 2 2 1

sin ,pp

x t x t x t x t x t x t

D x t E t

(3.41)

Kết quả tính toán của hệ phi tuyến cấp ba van der Pol cưỡng bức

được trình bày trong công bố số 4.

3.2. Dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có

chứa đạo hàm cấp phân số

3.2.1. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát Coulomb và cản

nhớt theo luật đạo hàm cấp phân số

3.2.1.1. Thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận

Xét dao động tham số của hệ được mô tả bởi phương trình vi

phân cấp ba sau 2 2 3 3

0 sign cos 0ppx x x x k x hx h x D x cx t

(3.78)

Trong đó 0, , , , , , ,pk h h c là những hằng số.

Giả thiết hệ có cộng hưởng 2 21 ,2

(3.79)

Áp dụng phương pháp tiệm cận tương tự như phần 3.1, ta được

biểu thức nghiệm của phương trình (3.78) có dạng

cos2

x a t

(3.114)

2 3

2 2

10

2 2 4 3

2 2

10

3 1cos2 sin 2

8 4 2

1 2cos sin

2 2 2

1 3sin 2

4 42

1 2cos2 cos sin

2 2 2 2

pp

pp

da ack h a ac

dt

p pa h

d aca k h a

dt a

ac p pa h

17

3.2.1.2. Đường cong biên độ tần số 2

20

22

2 2 2 10 0

0

3cos

4 2

3 4sin 0

4 2 4

pp

pp

pka

p cha h

a

(3.118)

3.2.1.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng

Ta có điều kiện ổn định của hệ

2 3 1 00 0

43 2 cos sin 0

2 2

pp

hp pk h a a

(3.127)

2 2 2 2

0 0 0

1 2

0 0 02

0 0

3 33 cos 2

4 2 4

4 3 4sin 0

2 2

p

p

p

p

pka ka ha

ph ha h

a a

(3.128)

3.2.1.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số

Chọn bộ tham số 1, 1, 1, 0.01, 0.5, 0.1,p p k

00.05, 0.0025, 0.05,2

h h c

. Ta có đồ thị đường cong biên

độ tần số (hình 3.16 – 3.20).

Hình 3.16. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi

18

Hình 3.17. Đường cong biên độ

tần số khi p thay đổi


tần số khi h0 thay đổi

Đường nét liền biểu diễn các nghiệm ổn định, nét đứt biểu diễn

các nghiệm không ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn

định. Ta nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số

đối với đường cong biên độ tần số. Nếu cấp phân số 0.5p và cho

hệ số p thay đổi, các đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên

hình 3.16. Nếu hệ số 0.01p và cấp phân số p thay đổi, ta được

các đường cong biên độ tần số trên hình 3.17. Ta cũng có được các

đường cong biên độ tần số trên hình 3.18 với hệ số ma sát 0h thay

đổi. Từ các đồ thị trên, ta nhận thấy rằng khi cấp phân số p và hệ số

ma sát 0h tăng thì biên độ dao động giảm; hệ số p tăng thì biên độ

dao động không tăng nhưng pha dao động thay đổi.

Với mỗi một giá trị của , ta có một phương trình vi phân dao

động tương ứng. Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính

toán dao động của hệ. Sau đó, xác định được các biên độ dao động

của hệ trong giai đoạn dao động điều hòa tương ứng với từng giá trị

của . Trên hình 3.20, những chấm tròn là những nghiệm tìm được

thông qua phương pháp số. Ta có thể thấy rằng có sự phù hợp tốt

giữa các kết quả giải tích và kết quả số.

19


tần số khi 0.01; 0.5p p


tần số khi MPS 0.01; 0.5p p

3.2.2. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát động và cản nhớt

theo luật đạo hàm cấp phân số

3.2.2.1. Thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận

Xét dao động tham số của hệ có ma sát động 2 2 3 3 2

2 sign cos 0ppx x x x k x hx h x x D x cx t

(3.130)

Biểu thức nghiệm của phương trình (3.130) có dạng

cos2

x a t

(3.166)

Trong đó

2 3

2 2

1 22

2 2 4 3

2 2

1 2 22

3 1cos 2 sin 2

8 4 2

1 4cos sin

2 2 2 3

1 3sin 2

4 42

1 4cos 2 cos sin

2 2 2 2 3

pp

pp

da ack h a ac

dt

p pa h a

d aca k h a

dt a

ac p pa h a

20

3.2.2.2. Đường cong biên độ tần số

Phương trình đường cong biên độ tần số 2

20

2 22 2 2 1

0 2 0

3cos

4 2

3 8sin 0

4 2 3 4

pp

pp

pka

p cha h a

(3.170)

3.2.2.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng

Ta có điều kiện ổn định của hệ

2 3 1 20 0 2

83 2 cos sin 0

2 2

pp

p pk h a a h a

(3.179)

2 2 2 20 0 0

1 22 0 0 2

3 33 cos 2

4 2 4

8 3 8sin 0

2 3 2 3

pp

pp

pka ka ha

ph a ha h

(3.180)

3.2.2.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số

Chọn các số liệu 1, 1, 1, 0.01, 0.5, 0.1,p p k

20.01, 0.001, 0.05,,2

h h c

. Ta có đồ thị đường cong biên

độ tần số (hình 3.23 – 3.29).

Khi hệ số p thay đổi, cấp phân số 0.5p , các đường cong biên

độ tần số được biểu diễn trên hình 3.23. Nếu hệ số 0.01p và thay

đổi cấp phân số p, ta được các đường cong biên độ tần số trên hình

3.24. Ta nhận thấy khi cấp phân số p tăng thì biên độ dao động giảm,

khi hệ số của đạo hàm cấp phân số p tăng thì biên độ dao động

không tăng nhưng pha dao động thay đổi.

Hình 3.25 chỉ ra các đường cong biên độ tần số với các giá trị

khác nhau của hệ số ma sát h2 và 0.01, 0.5p p . Từ đồ thị trên,

21

cũng có thể thấy được ảnh hưởng quan trọng của hệ số ma sát đối với

đường cong biên độ tần số. Khi hệ số ma sát h2 tăng thì biên độ dao

động giảm.

Hình 3.23. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi


tần số khi p thay đổi


tần số khi h2 thay đổi

Trên hình 3.29, những chấm tròn là những nghiệm tìm được

thông qua phương pháp số Runge – Kutta. Sự phù hợp giữa các kết

quả giải tích và kết quả số có thể nhận thấy rõ ràng.

22


tần số khi p = 0.01; p = 0.5;

h2 = 0.1


tần số kết hợp MPS khi

p = 0.01; p = 0.5; h2 = 0.005


Chương 3 áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động

cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số.

Ưu điểm của phương pháp là tính đơn giản, đặc biệt trong việc tính

toán các xấp xỉ bậc cao và khả năng ứng dụng vào một lớp lớn các

bài toán phi tuyến yếu.

Sử dụng các phương trình biên độ tần số, các đường cong biên

độ tần số được vẽ thông qua phần mềm Matlab, ta có thể thấy rằng

có sự phù hợp giữa nghiệm số và nghiệm giải tích. Đường cong biên

độ tần số chỉ ra những ảnh hưởng quan trọng của đạo hàm cấp phân

số đối với các hệ động lực được xem xét.

Ảnh hưởng của các hệ số và cấp của đạo hàm cấp phân số đối

với nghiệm cũng được minh hoạ thông qua các đường cong biên độ

tần số. Do đó, hệ có thể được tối ưu hoá thông qua việc chọn các

tham số cấp phân số phù hợp.

23

KẾT LUẬN CHUNG

VÀ NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN

1. Kết luận chung

Tích phân và đạo hàm cấp phân số là một lĩnh vực của toán học

đang được quan tâm nghiên cứu. Về phương diện cơ học, một số mô

hình vật liệu mới mà quan hệ ứng suất biến dạng được mô tả bằng

đạo hàm cấp phân số và một số quy luật cản, bằng thực nghiệm, thấy

cần phải mô tả bằng tích phân và đạo hàm cấp phân số. Do đó việc

nghiên cứu dao động của các cơ hệ có đạo hàm cấp phân số là cần

thiết và có ý nghĩa thực tế. Trong luận án này áp dụng khái niệm đạo

hàm và tích phân cấp phân số nghiên cứu dao động của một số cơ hệ

cấp ba có phần tử cấp phân số. Các phương pháp sử dụng trong luận

án là phương pháp số và phương pháp tiệm cận.

2. Những đóng góp mới của luận án

Một số kết quả mới đã đạt được như sau:

1. Dựa trên ý tưởng của phương pháp tích phân Newmark và

định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville,

một thuật toán số tính toán đáp ứng động lực của hệ cấp ba có

chứa đạo hàm cấp phân số đã được phát triển.

2. Áp dụng phương pháp Runge – Kutta và định nghĩa đạo hàm

cấp phân số theo Riemann – Liouville đã xây dựng một thuật

toán tìm đáp ứng của hệ động lực cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số. Phương pháp này có ưu điểm trong việc tính toán và

lập trình trên phần mềm Matlab.

3. Áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng

hưởng của một số hệ phi tuyến yếu cấp ba có chứa đạo hàm

cấp phân số: hệ Duffing, hệ van der Pol, hệ có ma sát

24

Coulomb và hệ có ma sát động. Nội dung mỗi phần: thiết lập

biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận, đường cong

biên độ - tần số, khảo sát ổn định của dao động dừng, đồ thị

đường cong biên độ - tần số.

4. Những kết quả số mô phỏng số dao động hệ phi tuyến yếu cấp

ba đã cho biết ảnh hưởng của những tham số trong đạo hàm

cấp phân số đối với tính ổn định, đường cong biên độ tần số

của hệ. Một vài thí dụ:

• Đạo hàm cấp phân số p tăng: biên độ dao động giảm.

• Hệ số p của đạo hàm cấp phân số tăng: biên độ dao động

giảm trong trường hợp hệ Duffing; trong trường hợp hệ van

der Pol, hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động, biên

độ dao động không giảm nhưng pha dao động thay đổi.

• Qua sự phân tích ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp

phân số đối với tính ổn định, có thể thấy rằng: khi tần số

lực kích động càng lớn và các tham số đạo hàm cấp phân

số càng nhỏ thì tính ổn định của nghiệm dừng càng tốt. Kết

quả này đóng một vai trò quan trọng trong việc điều khiển

và tối ưu hoá các hệ động lực.

3. Một số vấn đề có thể tiếp tục mở rộng nghiên cứu

- Nghiên cứu áp dụng phương pháp số và phương pháp tiệm cận

tính toán dao động của các hệ kỹ thuật có sử dụng các vật liệu mới

như silicon, cao su tổng hợp.

- Nghiên cứu áp dụng phương pháp số và phương pháp tiệm cận

nghiên cứu dao động đàn hồi có cản cấp phân số.

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

1. Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016),

“Resonance oscillation of third order forced van der Pol system

with fractional order derivative”, ASME Journal of

Computational and Nonlinear Dynamics, Vol.11, Issue 4, pp.

0410301-0410305.

2. Nguyen Van Khang, Tran Dinh Son, Bui Thi Thuy (2012),

“Numerical calculating linear vibrations of third order systems

involving fractional operators”, Vietnam Journal of Mechanics,

VAST, Vol. 34, No. 2, pp. 91 – 99.

3. Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016),

“Calculating resonance oscillation of third order Duffing system

with fractional order derivative using the asymptotic method”,

Journal of Science & Technology, No.112 (2016), pp. 65 – 69.

4. Bui Thi Thuy, Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016),

“Nonlinear oscillations in third order autonomous Duffing

system involving fractional order derivatives”, Proceedings of

the 4th International Conference on Engineering Mechanics

and Automation – ICEMA4, Hanoi 25-26/08/2016, pp. 165 -

171.

5. Bùi Thị Thuý (2015), “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ

phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương

pháp tiệm cận”, Tuyển tập Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc,

Đà Nẵng 03-05/08/2015, tr. 247 – 254.

Documents

DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN …